МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

ЖУРНАЛ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

№ 2

1928

„РАБОТНИК ПРОСВЕЩЕНИЯ"

МОСКВА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

ЖУРНАЛ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

№ 2

1928

МАТЕМАТИКА ЗА ПОСЛЕДНИЕ ПЯТЬДЕСЯТ ЛЕТ.

Проф. А. В. Васильев. (Москва.)

(Окончание.)

3.

Перейдем теперь к вопросу о началах учения о числах, к вопросу о выяснении понятий о целом, отрицательном, комплексном, иррациональном числе. И по этому вопросу, как и по вопросу о началах геометрии, уже в первой половине XIX столетия были высказаны взгляды, развитие которых было осуществлено только в истекшее пятидесятилетие.

Уже в 1835 году Уильям Роан Гамильтон (1805—1865) опубликовал теорию алгебраических пар, которая так много выясняет и теорию отрицательных и теорию комплексных чисел1. В 1843 г. после продолжительной работы он пришел к теории кватернионов и тем положил основание теории гиперкомплексных чисел. В, кватернионах Гамильтона был дан первый пример системы чисел, над которыми производятся операции сложения и умножения по тем же законам, по которым слагаются и перемножаются целые числа, но с одним существенным различием: операция умножения не есть уже операция коммутативная (а X Ь не равно &Ха)- Но именно благодаря этому отступлению новая система чисел дает возможность символически изобразить геометрию пространственных векторов (линий, направленных в пространстве). К этому открытию кватернионов и относятся слова Пуанкарэ: «Здесь в арифметике мы имели революцию подобную той, которую Лобачевский произвел в геометрии»2.

Наконец, в 1844 г. Грассман издал свое сочинение «Ausdehnungslehre» («Учение о протяженности»); целью этого сочинения является развитие учения о протяженности произвольного числа измерений, т.-е. протяженности, происходящей от одного и того «же элемента по нескольким законам изменения. Частным случаем этого общего учения о протяженности является геометрия, или наука о пространстве; другим частным случаем является учение о гиперкомплексных числах. Судьба глубоких мыслей Грассмана во многом напоминает судьбу «воображаемой геометрии» Лобачевского. Через девять лет после издания книги Грассмана Мебиус писал, что он знает только одного математика, который прочел. В рассматриваемый нами период позабытое сочинение Грассмана было перепечатано, вполне оценено его значение и создана новая дисциплина — учение

1 Она изложена в моем курсе «Введение в анализ».

2 См. его отчет о работах Гильберта, в переводе на русский язык приложенный к моему переводу «Оснований геометрии» Гильберта.

о гиперкомплексных числах; работа Пуанкарэ, Ли, Картана связала это учение с теорией непрерывных групп.

Алгебра гиперкомплексных чисел является обобщением алгебры вещественных и комплексных чисел (произведение двух гиперкомплексных чисел может равняться нулю, хотя ни один из множителей не равен нулю) и привлекла к себе особенное внимание американских математиков (В. Peirce, Shaw, Dickson и мн. др..)

Теория пар, обобщением которой явилось учение о гиперкомплексных числах, внесла большую ясность и определенность в вычисления и доказательства, связанные с употреблением комплексных чисел вида a -f- Ы. В начале семидесятых годов, благодаря влиянию Вейерштрасса, было обращено внимание и на теорию иррациональных чисел. Здесь также мы встречаемся с мыслью, которая, повидимому, не была чужда мышлению Греции. На это указывает парадокс, известный под именем «Колеса Аристотеля». В эпоху возрождения вопросы, связанные с бесконечным и непрерывным, занимали и Джиордано Бруно и Николая Кузанского. В диалоге Галилея «Discorsi е dimostrazioni mathematiche» (1638) Сальвиати говорит: «Число всех чисел бесконечно, и число их квадратов бесконечно, но число квадратов не меньше, чем число самих чисел... Атрибуты «равный», «больше и меньше» не применимы к бесконечным величинам... Один отрезок линии не содержит больше или меньше или столько же точек, сколько другой, но каждый отрезок содержит бесконечное число». Но никто до Больцано (1781—1848) не вникал так глубоко в «Парадоксы бесконечного». Однако его брошюра под этим заглавием, в которой он развивает следствия, вытекающие из парадокса, что целое равно своей части, была опубликована только после его смерти в 1850 г. Несколько лет тому назад изучение оставшихся после него рукописей показало, как мы уже упоминали выше, что он, подобно Лобачевскому, утверждал, что диференцируемость не есть необходимое следствие непрерывности, и ранее Вейерштрасса нашел пример функции непрерывной, но не диференцируемой. Больцано можно считать предшественником Вейерштрасса в его требованиях строгости в началах анализа и Георга Кантора (1845 —1918) в создании теории множеств и теории функций от вещественной переменной. Кантор начал печатать свои исследования в 1878 г. и в 1883 г. опубликовал «Основы общего учения о множествах»1. Вместо понятия о числе Кантор вводит новое понятие мощности. Для конечных множеств, т.-е. аггрегатов конечного числа элементов, мощность совпадает с кардинальным числом; для множеств бесконечных замена понятия кардинального числа понятием мощности устраняет парадоксы бесконечного. Не только мощность ряда квадратов целых чисел равна мощности ряда целых чисел, но и все рациональные числа и даже все алгебраические числа могут быть расположены в ряд щ, uv и2..... и поэтому мощность совокупности всех алгебраических чисел равна мощности ряда чисел (так называемой алеф-нуль)2. Напротив, мощность континуума — совокупность не только алгебраических чисел, но и трансцендентных чисел—есть мощность, отличная от мощности перечислимых рядов.

Изучение природы континуума и множеств отличных по своей природе и от континуума и от перечислимых множеств составляет теперь новую ветвь математики, находящуюся в тесной связи с теорией функций от вещественной переменной. Но прежде чем перейти к этой теории, нельзя не остановиться на вопросе о трансцендентных числах. Лиувилль

1 Выпуск № 6 «Новых идей в математике», 1914 г.

2 Читатель может найти подробное рассмотрение этого вопроса, например, в моем «Введении в анализ».

еще в 1851 г. первый доказал существование трансцендентных чисел и показал, как можно составлять примеры таких чисел. Но до сих пор не найден общий критериум, по которому можно было бы решать, есть ли данное число, встречающееся в решении того или другого аналитического вопроса (напр., 2¥ ), число алгебрическое или трансцендентное. В 1873 г. Эрмит нашел путь к доказательству теоремы, что е есть число трансцендентное, т.-е. что не может существовать равенство ае ™> -\-Ъеп -|--j-ccr-}- . . . . =0, где а, Ь, с . . . m, n, г суть целые числа. В 1882 г. Линдеманн обобщил доказательство Эрмита и показал, что такое тождество не может существовать и в том случае, если а, Ъ, с, . . ту n, г суть числа алгебраические. Но между числами е и тт существует связь е7г*" =0, и, следовательно, тг не есть алгебраическое число. Этот результат положил конец вопросу о квадратуре круга, который в течение двух тысяч лет интересовал и выдающихся математиков и почти невежественных дилетантов. Линдеманн показал также, что уравнение е Т = у не может иметь места, если х и у суть оба алгебраические числа (за исключением х — 0, у—I). В 1923 и 1924 г. наш соотечественник, профессор Д. Д. Мордухай-Болтовской, поставил вопрос о характере чисел é\e€\.... Igr.Jg Ig7г,..«.

Теория функций от вещественной переменной, одним из первых результатов которой является возможность существования непрерывных, но не диференцируемых функций, указанная Лобачевским, ведет свое начало от мемуара Риманна о представлении функций тригонометрическими строками (1854, опубликован в 1867) и от мемуара Ганкеля (1839—1873) о бесконечно часто осциллирующей и непрерывной функции, напечатанного в 1870 г. Все развитие этой интересной области математической науки, которая, несмотря на кажущуюся причудливость исследований, является теперь необходимым основанием вариационного исчисления, произошло в рассматриваемое нами пятидесятилетие.

Но не только теории комплексных и иррациональных чисел подверглись новому обоснованию — первая благодаря работам Гамильтона и Грассмана, вторая благодаря Вейерштрассу, Кантору и Дедекинду—и послужили поводом к созданию новых математических дисциплин; основания арифметики целых натуральных чисел были за истекшие полвека также предметом весьма важных исследований.

Теории иррациональных чисел, данные в начале семидесятых годов, подверглись критике со стороны Кронекера. Я помню, как на своих лекциях в 1879 г. он возмущался результатом Кантора, по которому мощность отрезка прямой одинакова с мощностью квадрата или куба. Когда Линдеманн доказал трансцендентность числа тг, Кронекер сказал ему, что, по его мнению, этот результат не интересен, так как нет ни трансцендентных, ни алгебраических чисел, существуют только целые числа1. Кронекер считал возможным обойтись без введения иррациональных и комплексных чисел, заменяя действия над ними теорией функциональных сравнений по модулю х я—2 или #2 + 1. Так равенство X(j/2) = <p(j/2) заменялось равенством X (x) = v(x)-\-F(x) {х~ — 2) или сравнением X (х) = о(х) (мод. х2 — 2).

Но эта парадоксальная мысль Кронекера не нашла последователей. Без введения обобщенного понятия о числе современная высшая математика не могла бы достигнуть тех результатов, которые составляют ее славу. Но тем не менее ряд целых натуральных чисел составляет основ-

1 Эта же мысль была выражена им в афоризме: «Der liebe Gott schuf nur die ganzen Zahlen, aller Andere ist Menschenwerk» («Бог сотворил только целое число, все остальное—дело людей»).

ное понятие математики. Поэтому обоснование теории целых чисел, т.-е. сведение ее на наименьшее возможное число основных идей и основных положений, было предметом большого числа исследований; в связи с этим был поставлен и вопрос о том, что такое число. Исследования в области этих вопросов Грассмана, Гельмгольца, Кронекера, Пеано, Фреге, Ресселя, Уайтхеда, Дедекинда, Христофеля, Гильберта и мн. др. — все, за единственным исключением работ Грассмана, относятся к последнему полвеку и составляют, несомненно, одну из его характеристических особенностей. Если не-Евклидова геометрия и теория относительности не может не иметь громадного значения для дальнейшего развития гносеологии, то все исследования в области теории целого числа находились в теснейшей связи с логикой. Гильберт еще в 1904 г. указал, что необходимо «одновременное развитие законов логики и арифметики» и в работах последних лет обосновывает вместе и аксиомы логики и аксиомы арифметики. Бертран Рессель в своей, к сожалению, не переведенной на русский язык, прекрасной книге «Введение в математическую философию»1 говорит: «Математика и логика развивались в последнее время параллельно; логика стала более математической, а математика более логической. В результате стало теперь вполне невозможным провести линию раздела между ними; фактически они стали одним целым. Они отличаются как мальчик и взрослый человек: логика есть юность математики, а математика есть зрелый возраст логики... Так много математической работы производится на границе логики, так много в современной логике символического и формального, что тесная связь логики и математики очевидна теперь для каждого, изучающего эти отрасли».

4.

Я имел уже случай упомянуть в предыдущем несколько раз о значении теории групп. Эта прекрасная дисциплина, в которой мы имеем и вопросы, доступные для понимания и способные заинтересовать и ученика трудовой школы первой ступени (группа движений, совмещающих правильные многоугольники), и ученика второй ступени (решение в целых числах неравенства---1---1-->1, группа движении, совмещающих правильные многогранники, связь теоремы Фермата с теорией коммутативных групп) и которая в то же самое время является, как было выше сказано, необходимой основой математической теории относительности, развилась и приобрела особое значение также только в рассматриваемый нами период. Можно, правда, вместе с Пуанкарэ видеть намеки на нее даже в работах древних геометров; несомненно, что некоторые основные теоремы ее были найдены Лагранжем при изучении вопроса об алгебраическом решении уравнений, Эйлером и Гауссом—при решении вопросов теории чисел, что еще более было выяснено значение группы для высшей алгебры и введено самое слово — группа — безвременно погибшим французским математиком Эваристом Галуа в 1831 г. и что позже Галуа, до 1870 г., Гамильтон, Коши, Кэли, Серре, Матье, Жордан и др. нашли некоторые важные результаты и теоремы этой теории. Но только в 1870 г. Жордан издал свой большой трактат «Traité de substitutions», в котором найденные ранее результаты теории групп перемещений были изложены в виде стройной системы. В том же году Зилов и Кронекер нашли весьма важные теоремы теории групп. Зиму 1869/70 г. накануне войны, надолго

1 «Introduction to Mathematical Philosophy». London. 1919. Существует и немецкий перевод.

порвавшей завязывавшиеся связи между французскими и немецкими учеными, Клейн и Софус Ли провели в Париже в дружеском единении с Жорданом и Дарбу. Тогда для Клейна и Ли выяснилось значение теории группой оба выдающиеся ученые прошлого пятидесятилетия дали могучий толчок развитию этой теории. Клейн в начале семидесятых годов, как мы уже говорили, показал значение теории групп преобразований для геометрии и тогда же начал свои исследования по теории правильных многогранников, т.-е. по теории конечных групп линейных преобразований, соответствующих группам движений, совмещающих правильный многогранник с самим собой. Эти исследования, которые в случае икосаэдра совпадают с вопросом о решении общего уравнения 5-й степени, были им потом изложены систематически в сочинении «Лекции об икосаэдре» (1884). Как продолжение этих исследований является, с одной стороны, сведение математической кристаллографии на изучение групп линейных тернарных преобразований, которое и приводит к тридцати двум системам кристаллографии. С другой стороны, рациональные аутоморфные функции теории правильных многогранников естественно вели к изучению тех трансцендентных аутоморфных функций, которые фигурируют в задаче об обращении интегралов линейных диференциальных уравнений 2-го порядка. Эти функции под названием Фуксовых и Клейновых и были изучены Пуанкарэ в его классических мемуарах, напечатанных в «Acta Mathematica» (1882—1884).

Группы Клейна и Пуанкарэ, группы математической кристаллографии суть группы прерывные. Напротив, Софус Ли обратил свое внимание на изучение непрерывных групп и применил их теорию, изложенную им при помощи Фр. Энгеля в сочинении «Theorie der Transformationsgruppen» (1888—1893), к решению задачи Риманна — Гельмгольца, связанной с вопросом об основаниях геометрии, к многим весьма важным вопросам геометрии и к теории интегрирования диференциальных уравнений как обыкновенных, так и с частными производными.

Несмотря на существенное различие методов теории прерывных и непрерывных преобразований, в основе и той и другой стоят некоторые общие понятия, развитие которых составляет цель абстрактной теории групп, т.-е. замкнутых областей операций. Абстрактная теория той или другой группы имеет целью вывести логическое следствие законов сочетания символов, входящих в состав группы. Символы могут обозначать объекты различной индивидуальности: числа, множества, перестановки, движения, симметрии и т. д., но группа характеризуется законами комбинации символов, и поэтому теории групп, относящихся к совершенно различным объектам, вполне тожественны, если группы изоморфны, т.-е. законы комбинации их символов тожественны. В абстрактной теории групп получает таким образом общее и важное для всей высшей математики применение тот принцип «экономии мысли», на котором так настаивал в своих ученых и философских работах Эрнест Мах1. «Весь математический анализ,—говорит Пуанкарэ в своем докладе о работах Картана,—есть в конце-концов только изучение свойств группы операций, т.-е. системы, составленной из нескольких основных операций и всех возможных их комбинаций. Если мы извлечем из математической теории все, что является в ней только случайным, т.-е. ее материал, то останется существенное, т.-е. форма, и вот эта-то форма, составляющая, так сказать, костяк теории, и будет структура группы»2.

1 «Принципу экономии в математике» посвящен мой доклад, сделанный на II съезде преподавателей математики в Москве (дек. 1913).

2 «Acta Mathematica», vol. 38.

Новые дисциплины, частью вновь возникшие, частью развитые подробно в рассматриваемый нами период, не могли не отразиться и на понимании сущности математики и на самом ее определении. Старое определение математики как науки, имеющей своей целью изучение свойств величин, поскольку они могут быть перечисляемы и измеряемы, определение, данное Д'Аламбером и развитое подробно Огюстом Контом в его курсе «Положительной философии», совершенно не согласуется с большинством этих дисциплин; в них, как, например, в теории групп и в дескриптивной части теории множеств, имеет особенное значение идея порядка. Поэтому в последнее время было предложено несколько определений, выдвигающих на первое место идею порядка и определяющих математику как учение о порядке в многообразии. В «Началах геометрии» Гильберта основные понятия «вещи», которым Гильберт придает название точек, прямых, плоскостей, определяются исключительно аксиомами, устанавливающими отношения между ними и производными из них понятиями. Математика является той общей наукой об абстрактных отношениях, о которой говорил еще Лейбниц, когда он мечтал о возможности свести всякое рассуждение к вычислению и о том времени, когда спорящие вместо шума прений будут говорить друг другу: «сядем за стол и займемся вычислениями».

Мало-по-малу выяснилось, что идея, объединяющая разнообразные математические дисциплины, идея, наиболее характеризующая истинную сущность математики, есть именно идея вывода следствий, вытекающих из формальных отношений, существующих между элементами многообразия и устанавливающихся аксиомами или, точнее, постулатумами или гипотезами. Отсюда тот ряд определений математики, которые с первого взгляда поражают своей парадоксальностью, как, напр., определение американского ученого Peirce'a: «математика есть наука, выводящая необходимые следствия», или юмористическое определение Ресселя: «математика—это такая наука, в которой никогда не знают, о чем говорят, а также не знают, истинно ли то, о чем говорят».

Я ограничусь только сказанным по интересному вопросу о сущности и определении математики, насколько он выяснился из развития математики в последние пятьдесят лет; несколько лет тому назад мною была посвящена особая статья этому вопросу в «Известиях Казанского физико-математического общества».

6.

Углубление в начала, развитие и философское направление, а также значение для философии многих дисциплин чистой математики, связанных с ее основными вопросами и понятиями, не мешало, однако, развитию и других отделов чистой математики и развитию ее приложений, т.-е. развитию прикладной математики. И здесь позвольте ограничиться только несколькими указаниями. Так, за это время, с одной стороны, не переставала развиваться и та теория чисел, которая в настоящее время часто подвергается нападкам за ее отрешенность от практических приложений, но которая поэтому самому привлекала тех, кому дорога человеческая мысль сама по себе, вне зависимости от ее приложений. Английский математик Стефен Смит провозгласил на одном математическом банкете тост за теорию чисел именно потому, что она не имеет и не будет иметь никаких приложений. Но это предсказание, как и многие другие, не оправдалось: теория квант, роль атомного нумера в периодической системе Д. И. Менделеева заставляют нас думать, что и теория чисел в ближайшем бу-

дущем будет иметь громадное значение для математического естествознания.

С другой стороны, не только все отрасли математического естествознания, которые были созданы работой предыдущих веков, — аналитическая механика, небесная механика, математическая физика,—в протекшие 50 лет могут указать на громадные достижения (укажу для примера хотя бы на работы А. М. Ляпунова об устойчивости, на успех задачи о трех телах, развитие кинетической теории, теории электронов, электромагнитной теории света, теории квант и т. д.). Создались именно в эти 50 лет новые отрасли математического естествознания. Создалась трудами Федорова и Шенфлиса математическая кристаллография—это замечательное приложение теории групп, развивается все более и более математическая химия, начало которой было положено знаменитым мемуаром американского ученого Willard'a Gibbs'a. Приложение математического метода к биологии (биометрика), к изучению массовых явлений (математическая статистика) сделало за это время также громадные успехи. Ранее я имел уже случай говорить о грандиозном синтезе общей теории относительности, ставшем возможным только благодаря развитию диференциальной геометрии п-измерений.

7.

Сказанного, конечно, достаточно для того, чтобы составить представление о громадной работе математической мысли в пятидесятилетие, предшествовавшее мировой войне; эта работа, давшая такие большие и разработанные результаты, является беспримерной в истории математики. В истории человеческой мысли была, впрочем, одна эпоха, которая, насколько можно судить по скудным источникам, дошедшим до нас, несколько походила на наше время по интересу к основным вопросам математики и по пониманию тесной связи, существующей между математикой и философией. Такою была эпоха, когда в греческой науке от VI до III столетия до нашей эры вырабатывались основные геометрические понятия, ставились вопросы о прерывном и непрерывном, о конечном и бесконечном, создавалась и в то же время подвергалась строгой критике атомистическая теория. Но вся эта утонченная работа мысли Зенонов, Протагоров, Демокритов могла почти катастрофически погибнуть, быть смытой до такой степени, что через несколько столетий один из отцов христианской церкви мог с торжеством воскликнуть: «кто теперь читает Платона и Аристотеля!» Невольно является вопрос, не может ли повториться нечто подобное и теперь по отношению к тем утонченным и близким к вопросам, беспокоившим уже и греческую мысль, теориям, которые занимают такое большое место в современной чистой математике, не заботящейся о непосредственном приложении к жизни, даже подчас пренебрегающей этим приложением (напоминаю тост Стефена Смита). Вопрос этот является особенно жгучим в виду того переворота, который вносится в жизнь человечества увеличением значения физического труда, выступлением на историческую арену народных масс Азии и Африки. Но, думается, можно не бояться. С одной стороны, современная чистая математика может представить много примеров тесной связи между наиболее абстрактными теориями и успехами естествознание и техники1. С другой стороны, наука перестает уже быть достоянием небольшого числа народов, как это было во время Архимеда и Аполлония Пергского. Ока становится мировой, и четвертой характе-

1 См. об этом мою статью: «Чистая математика на службе естествознания и техники» («Вестник инженеров», 1925 г., № 1, Москва).

ристической особенностью пережитого периода является интернационализация математической науки. К очерку этого процесса интернационализации я и перейду теперь.

8.

В конце шестидесятых годов только в трех странах шла интенсивная работа в области математических наук—в Германии, Франции, Англии. В России, в Италии, в Америке работали отдельные крупные ученые [Чебышев (1821—1894), Beltrami (1835—1900), Кремона (1830—1901), В. Peirce (1809 — 1880)], но математической литературы в этих странах почти не существовало. Что касается Германии, Франции, Англии, то в них существовали обособленные национальные школы; ученые этих стран жили отдельной научной жизнью. В особенности обособлена была английская математическая школа. Английские математики в течение всего XVIII столетия и значительной части XIX столетия, как известно, не употребляли в анализе бесконечно малых ни терминов, ни символов Лейбница и заменяли их флюксиями и точками Ньютона. Это в особенности способствовало их обособлению от математиков континента. Обособлены были и французские и немецкие ученые. Французским математикам не были в семидесятых годах известны исследования Вейерштрасса, которые излагались германским ученым в его лекциях и в его математических семинариях. Только в конце семидесятых годов Эрмит оценил важность работ Вейерштрасса и того стремления к строгости и независимости от интуиции, которое преследовал Вейерштрасс в своих исследованиях. Большое влияние имен в этом отношении тогда еще молодой шведский ученый Миттаг-Леффлер (1846—1927), один из старых учеников Вейерштрасса, друг Софьи Васильевны Ковалевской, уже в самом начале своей научной деятельности поставивший себе целью сблизить математиков различных стран и много способствовавший этому сближению своим журналом «Acta Mathematica»1. Эрмит предложил французскому правительству послать молодых французских математиков в Берлин слушать лекции Вейерштрасса, Кронекера, Куммера. В 1879 г. я встретил на этих лекциях покойного Молька, Анри Фогта, итальянского ученого Пинкерле. В том же 1879 году Эрмит начал читать в Сорбонне свой замечательный курс теории функции комплексной переменной, в котором большое место занимают теоремы Вейерштрасса и Миттаг-Леффлера о разложении функций на первичные множители и на частные дроби. Молодая группа французских ученых, в течение последнего пятидесятилетия занявшая такое видное место в математической науке — Пуанкарэ, Пикар, Аппель, — уже прекрасно ознакомились с работами Вейерштрасса, Кантора и Клейна, и мы знаем, как изящно были изложены теории, получившие свое начало в Германии, в коллекции монографии, издаваемой Борелем.

Большое влияние на взаимное ознакомление с работами математиков различных стран имело немецкое издание, мысль которого принадлежала Ортманну, но которое в течение весьма долгого времени велось неутомимым почтенным берлинским математиком Лампе: «Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik». Оно начало издаваться в 1871 г. и его все более и более разрастающийся объем свидетельствует о росте и повсеместном распространении математической работы. Трудно, думаю, оценить ту громадную пользу, которую оно принесло; в частности, конечно, особенно обязана ему русская наука. При поразительном незнании нашего

1 Журнал этот начал издаваться в 1882 г. и продолжает издаваться до настоящего времени. В 1924 г. вышел уже 45-й том журнала; в 1927 г. вышли томы 50 и 51-й. После смерти Миттаг-Леффлера журнал издается под редакцией проф. Норлунда и Карлемана.

языка иностранцами (и теперь, например, в Германии можно назвать только двух, трех ученых математиков, его знающих, в Италии—только одного, в Англии, я думаю, ни одного), только благодаря этому Jahrbuch'y русская математическая литература могла сделаться известной математикам других стран.

Как я уже сказал выше, много способствовал сближению математиков разных стран журнал «Acta Mathematica», в первых томах которого появились классические работы Пуанкарэ о Фуксовых и Клейновых функциях, работы Г. Кантора и работы С. В. Ковалевской. Для меня лично приятно вспомнить лето 1882 г., проведенное в Париже, когда мне часто приходилось бывать у этой замечательной русской женщины, видеть в ее квартире корректуры статьи Пуанкарэ, которые через нее пересылались в Стокгольм, и познакомиться с гениальным французским математиком.

Во время войны Mittag-Leffler издал 40-й том своего журнала, посвященный им трем ученым трех стран: его учителю Вейерштрассу, Пуанкарэ и С. В. Ковалевской. Том этот заключает в себе и драгоценные биографические сведения об этих трех ученых и материалы громадной важности для истории математики в конце прошлого столетия.

Параллельно с сближением математиков разных стран шло сближение национальное, образование математических обществ, группирующих математиков одной страны. Старейшими из таких доныне существующих обществ является Лондонское математическое общество (1865) и Московское математическое общество, основанное по мысли А. Ю. Давидова и Н. Д. Брашмана и имевшее свое первое заседание 23 января (5 февраля) 1867 г.

Вслед за английскими и русскими математиками образовали свои национальные объединения французские математики (Société mathématique de France, 1872), итальянские (Circolo matematico di Palermo, 1883), американское (New-York Mathematical Society, 1881, преобразовавшееся в American Mathematical Society, 1894). Германские ученые, в стране которых существовало значительное число академий и научных обществ и между университетами которых существовала живая связь, сравнительно позже почувствовали нужду в таком объединении. Но в 1890 г., по мысли Г. Кантора, образовалось такое объединение—Deutsche Mathematische Vereinigung— и одною из своих задач поставило составление отчетов о состоянии различных отраслей математической науки. Эти отчеты принесли громадную пользу, и польза, принесенная ими, послужила побудительной причиной к изданию, по мысли и инициативе Ф. Клейна, «Энциклопедии математики», первый том которой появился в 1898 г. Но для того, чтобы это издание давало бы полное представление об успехах, достигнутых математикой в различных странах, необходимо было более близкое общение между математиками различных стран. К тому времени уже имели место многие интернациональные конгрессы (напр., зоологов), принесшие большую пользу науке. Естественно было появление идеи интернационального математического конгресса. Успех конгресса в Нью-Йорке, собравшего уже математиков различных стран (Ф. Клейн1), позволял надеяться на успех более тщательно организованных международных математических конгрессов. Инициаторами этих конгрессов были Георг Кантор, гениальный создатель теории множеств и теории трансцендентных чисел, и французский математик и политический деятель Лезан, которого труды по педагогике математики вам известны, инициатор журнала «Enseignement mathématique». Но я не могу в этот день не вспомнить с горячей благодарностью к их памяти,

1 По просьбе покойного священника И. М. Первушина, я послал туда сообщение об одной из его работ по теории чисел.

что они позволили и мне принять участие в этом деле, а также и то сочувствие, которое это дело встретило у Эрмита и у Пуанкарэ, которых не остановила память о войне 1870 г.

Первый международный конгресс состоялся на нейтральной почве в Цюрихе 9—11 августа 1897 г. Следующий, на котором Hilbert поставил свои 22 проблемы, в Париже в 1900 г., затем следовали конгрессы в Гейдельберге (1904), Риме (1908) и Кембридже (1912). На Кембриджском конгрессе было постановлено собрать следующий конгресс в Стокгольме в 1916 г., причем имелась в виду возможность более широкого участия русских математиков. Катастрофа 1914 г. прервала это дело. После окончания мировой войны под эгидой образованного Лигой Наций научного комитета были созваны два «международные конгресса»—один в Страсбурге в 1920 г., другой в прошлом году в Торонто. Но неприглашение немецких ученых вызвало большое неудовольствие среди американских и английских ученых (National Science Workers Association Англии, председателем которой состоял Hardy), и нужно надеяться, что в ближайшем будущем уже соберется шестой, действительно международный конгресс. Но и те пять конгрессов, которые имели место до войны, оставили после себя светлое воспоминание в их участниках, и многие крупные научные и педагогические предприятия обязаны им своим началом. Таковы, напр., издание сочинений Эйлера, образование особой ассоциации для изучения кватернионов и сродственных математических орудий, премия имени Guccia. Но особенное значение имела образованная на конгрессе в Риме в 1904 г. Интернациональная комиссия по вопросам математического образования (J. M. U. К.), о которой нам делал в 1912 г. подробный доклад проф. Д. М. Синцов. По отчету секретаря от 1 апреля 1914 г. 26 стран принимали участие в работе этой комиссии, и все издания ее заключали в себе более 10.000 стр. Одни немецкие отчеты и доклады были напечатаны на 3.822 страницах.

Мировая война прекратила эту работу, которая уже имела большое влияние на подъем во всем культурном мире математического образования как высшего, так в особенности среднего. Война разрушила уже образовавшиеся мировые связи, она отрезала ученых многих стран на долгое время от общения с товарищами по науке, она почти лишила их в некоторых странах возможности печатать свои работы; она и последовавшие за ней социальные перевороты отразились вообще крайне неблагоприятно на жизни умственных работников, и математики пострадали в этом отношении больше, чем ученые других специальностей, работа которых—нахождение фосфоритов или устройство лучших тепловозов или радиоприемников—или приносит непосредственную пользу, или больше бросается в глаза.

Но мировая война не могла ни прервать развития даже наиболее отвлеченных доктрин математической науки, ни ослабить энергию ученых. Под грохот пушек было сделано первое сообщение Эйнштейна в берлинской академии об общей теории относительности (19 ноября 1914 г.). Через год (20 ноября 1915 г.) Гильберт прочел свой доклад об основах физики. Весной 1918 г., когда для всей Германии стала очевидной предстоящая военная катастрофа, появилось первое издание книги Вейля: «Пространство, время, вещество». Тот X том сочинений Гаусса, о котором я говорил в начале доклада, был издан в 1917 г. с такой же тщательностью, как и предыдущие томы; к нему приложено fac-similé дневника, который вел в юности (с 1796 по 1814 г.) Гаусс. Последние слова этого дневника—«Nil desperari!» («Не отчаивайся!»).

Словами: «Не будем отчаиваться и мы ни в дальнейшем победоносном шествии математической мысли, ни в судьбе русского математического просвещения», позвольте мне, дорогие товарищи, заключить мой затянувшийся доклад.

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ТЕТРАЭДРА.

Д. И. Перепелкин. (Москва.)

(Окончание.)

§ 4. Изучение свойств произвольного тетраэдра выводит нас, как мы только-что видели, за пределы элементарной геометрии, заставляя опираться на свойства поверхностей второго порядка. Поэтому во всем дальнейшем мы будем говорить о тетраэдрах только некоторого специального вида. А именно, будем называть ортогональным такой тетраэдр, в котором противоположные ребра каждой пары взаимно перпендикулярны. Так как противоположные ребра каждой пары параллельны диагоналям соответствующих граней описанного параллелепипеда, то диагонали каждой грани этого параллелепипеда взаимно-перпендикулярны. Поэтому каждая грань описанного параллелепипеда будет ромбом. Для того, чтобы тетраэдр был ортогональным, необходимо и достаточно, чтобы все ребра описанного параллелепипеда были между собою равны. Из фиг. 1 видно, что ребра описанного параллелепипеда равны расстояниям между серединами соответствующих противоположных ребер, а потому в ортогональном тетраэдре три прямых, соединяющие середины противоположных ребер, между собою равны. Очевидно, что будет верно и обратное предложение.

Если ребра AB и CD тетраэдра ABCD взаимно-перпендикулярны, то через одно из них, напр., AB, можно провести плоскость ABE, перпендикулярную другому— CD. Так как эта плоскость будет в то же время перпендикулярна и к граням ACD и BCD тетраэдра (фиг. 5), то в ней будут лежать и высоты тетраэдра, выходящие из вершин А и By — AAQ и ВВ0.

Высоты АА0 и ВВ0, расположенные в одной и той же плоскости ABE, необходимо пересекаются, а так как А и В — любые вершины тетраэдра, то в ортогональном тетраэдре каждые две высоты пересекеются. Четыре высоты тетраэдра не лежат все четыре в одной и той же плоскости, а потому могут попарно пересекаться, только проходя через одну и ту же точку H (фиг. 5), которая называется ортоцентром (ортогонального) тетраэдра. Так как АА0± BE, ВВ0±АЕ, то точка H есть ортоцентр треугольника ABE; следовательно, прямая ЕЪ, проходящая через точку Я (фиг. 5), перпендикулярна к AB, но EF± CD, так как плоскость ABE перпендикулярна к CD. Короче говоря, через точку H проходит общий перпендикуляр ЕЕ двух противоположных ребер тетраэдра. Мы приходим к заключению, что в ортогональном тетраэдре все четыре высоты и три общих перпендикуляра противоположных ребер проходят через одну и ту же точку.

Далее, на черт. 5 АЕ есть высота треугольника ACD. Если мы выполним те же построения для других ребер тетраэдра, то убедимся, что осно-

Фиг. 5.

вание высоты В0 есть ортоцентр грани ÀCD, и то же самое имеет место для других граней. В ортогональном тетраэдре основания высот совпадают с ортоцентрами соответствующих граней.

Из этого положения вытекает, что в ортогональном тетраэдре ортоцентр H совпадает с той точкой, которую мы обозначали через H в §§ 2 и 3. Для ортогонального тетраэдра заключительное положение § 3 может быть формулировано так:

В ортогональном тетраэдре центр тяжести делит пополам отрезок между центром описанной сферы и ортоцентром.

§ 5. Два многогранника с одинаковым числом вершин будут подобны и подобно расположены, если между их вершинами можно установить такое соответствие, что прямые, соединяющие соответственные вершины, проходят через одну и ту же точку (центр подобия) и делятся в этой точке в одном и том же отношении.

Если мы через Av Bv Cv Dx обозначим центры тяжести граней тетраэдра ABCD, противоположных вершинам А,В, то тетраэдры АхВгС^х и ABCD будут подобны и подобно расположены, так как прямые ААХ, BBV ССХ и DDX проходят через одну и ту же точку— центр тяжести тетраэдра — и делятся в ней в отношении 3:1. Прямые, соединяющие соответственные точки двух подобно-расположенных многогранников, проходят через центр подобия и делятся в нем в том же самом отношении.

Фиг. 6.

Поэтому центр сферы, описанной около тетраэдра A1BiCiDv мы получим (фиг. 6), отложив на прямой 0G за точку G отрезок GOx — — OG (О попрежнему обозначает центр сферы, описанной около ABCD, а G — центр тяжести тетраэдра ABCD). Заметив, что на той же прямой OG лежит по доказанному и точка H и что OG = GH, мы получим НО:Н01 = 3:\ и OG:GOx = 3:1. Так как радиус сферы, описанной около A^fiiD^, будет в три раза менее радиуса сферы, описанной около ABCD, то эти пропорции показывают, что точки H и G служат внешним и внутренним центрами подобия этих двух сфер.

Если теперь снова предположим тетраэдр ABCD ортогональным, то (в силу свойств подобия) будет ортогональным и тетраэдр AxBtCxDv и ортоцентром последнего будет (фиг. 6) точка Hv лежащая на продолжении отрезка HG так, что GHX = ~ HG. Таким образом на одной и той же прямой получаем пять точек: G, О, H, Ov Нх.

Сфера Ov описанная около тетраэдра AXBXCXDX, проходит прежде всего через центры тяжестей граней тетраэдра ABCD. Далее, так как ортоцентр H служит внешним центром подобия сфер О и Ot то сфера Ох делит отрезки НА, HB, HC, HD в отношении 1 :2. Точка Ог равно удалена от точек H и Ни как это следует из указанных выше построений. Опустив из точек H и Нх перпендикуляры на грани тетраэдра, мы получим подошвы высот тетраэдра ABCD и центры тяжести его граней. Из равенства 01Н—01Нх следует, что точка Ох равноудалена от центров тяжестей граней тетраэдра и от подошв его высот.

Итак, в ортогональном тетраэдре 12 точек: центры тяжести граней, подошвы высот и точки, делящие отрезки от ортоцентра до вершин тетраэдра в отношении 1:2, лежат на одной сфере. Радиус этой сферы равен одной трети радиуса описанной сферы. Центрами подобия обеих

сфер служат центр тяжести и ортоцентр тетраэдра. Назовем эту сферу сферой 12-ти точек ортогональною тетраэдра. Мы получили полную аналогию с кругом девяти точек в треугольнике, проходящим через центры тяжестей сторон треугольника, подошвы его высот и делящим отрезки между ортоцентром и вершинами треугольника пополам. Заметим только, что в то время как круг 9-ти точек имеется во всяком треугольнике, сфера 12-ти точек есть принадлежность ортогонального тетраэдра.

§ 6. Для ортогонального тетраэдра можно указать и другую сферу 12-ти точек, также являющуюся в известном смысле слова обобщением круга девяти точек в треугольнике. Мы уже видели, что в ортогональном тетраэдре три расстояния между серединами противоположных ребер равны.

Но отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра, проходят через центр тяжести тетраэдра и делятся в нем пополам. Поэтому в ортогональном тетраэдре центр тяжести равноудален от середин всех шести ребер. Иначе говоря, середины всех ребер ортогонального тетраэдра лежат на одной сфере, имеющей своим центром центр тяжести тетраэдра. Шар этот пересекает каждую грань тетраэдра по соответствующему кругу 9 точек. Поэтому он проходит через основания высот всех граней тетраэдра. Напр., он проходит через точку Е (фиг. 5), основание высот АЕ и DE двух граней тетраэдра. Но точка Е служит, как мы уже видели, основанием общего перпендикуляра друх противоположных ребер тетраэдра. Применяя это ко всем ребрам тетраэдра, получим следующую теорему:

В ортогональном тетраэдре двенадцать точек—середины 6 ребер и основания общих перпендикуляров противоположных ребер тетраэдра лежат на одной сфере. Эту сферу мы можем назвать второй сферой двенадцати точек.

Если мы, не изменяя положения трех вершин тетраэдра ABCD, по предположению ортогонального, будем перемещать четвертую вершину D по высоте DD0, то тетраэдр будет оставаться ортогональным. Если в частности точка D совпадет с основанием высоты jD0,to наш тетраэдр превратится в плоский полный четыреугольник. При этом кратчайшие расстояния между противоположными ребрами тетраэдра обратятся в точки— основания высот треугольника ABC, а двенадцать точек, определяющих «вторую сферу двенадцати точек»,—в те 9 точек, которые определяют окружность 9 точек треугольника ABC. Таким образом предложение о сфере 9 точек в треугольнике можно рассматривать как частный случай теоремы о «второй сфере двенадцати точек».

МЕТОДЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ.

Н. Четверухин. (Москва.)

Введение.

Одной из наиболее ценных сторон преподавания является развитие у учащихся стремления к активности, пробуждение творческой силы, жажды самостоятельных попыток.

Математика, вся состоящая из задач, которые она себе ставит и которые ставят ей другие науки, пользующиеся ее методами, дает особенно сильный толчок в этом направлении. Мы знаем, как горячо увлекаются той или другой математической проблемой подчас еще в средней школе. Геометрические построения представляют в частности большой простор учащемуся для испытания своих сил и творческой фантазии. Нередко самые элементарные задачи на построение требуют не мало сообразительности и остроумия для их решения и вознаграждают за потраченные усилия простым и полным геометрического изящества чертежом. Но в особенности привлекают к себе те задачи, которые именуются как «неразрешимые». Такие задачи встречаются уже в элементарной геометрии. Достаточно напомнить знаменитые задачи о «трисекции угла», «квадратуре круга», «построении правильных семи- и девятиугольника» и др. Школьное преподавание приводит учащихся к этим проблемам и, возбудив их любопытство, не может дать им исчерпывающего ответа, не может сделать для них ясною бесполезность всяких попыток решения. Положение получается следующее: вопросы эти входят в элементарный курс, а ответы на них выходят из него. В результате — многочисленные и бесплодные попытки добиться решения самостоятельно. Единственную помощь во всех этих подчас фантастических и дилетантских работах может оказать лишь чтение. Мы имеем несколько прекрасных книг, посвященных обстоятельному разбору затронутой темы. Из них прежде всего следует назвать вышедшие в русском переводе лекции Ф. Клейна1 (издание Казанского физико-математического общества) и книгу Августа Адлера в издании «Mathesis»2. Кроме того, имеются собрания задач Александрова3 и Петерсена4. На немецком языке следует отметить переведенную с итальянского книгу F. Enriques'a5, представляющую сборник статей, посвященных вопросам геометрических построений (часть II), и солидный труд Th. Vahlen'a6, предназначенный, как говорит в предисловии сам автор, именно для той цели, которая была указана выше. Польза и помощь, принесенная всеми этими сочинениями, без сомнения, очень велика. Они дают полную теорию геометрических построений и в частности — ответ на вопрос о разрешимости или неразрешимости той или иной задачи циркулем и линейкой. Быть может, именно благодаря этим книгам значительно сократилось число ищущих квадратуру круга или трисекцию угла циркулем и линейкой. Последнее время такие курьёзы стали сравнительно редкими, зато значительно возросло количество попыток найти

1 Ф. Клейн. — «Лекции по избранным вопросам элементарной геометрии». Казань, 1898 г.

2 А. Адлер.—«Теория геометрических построений». «Mathesis», 1910 г.

3 И. Александров.—«Методы решений геометрических задач на построение и сборник геометрических задач». Москва.

4 Петерсен.—«Методы и теории решения геометрических задач на построение» (русское издание. Харьков—1883 г.).

5 F. Enriques.—«Fragen der Elementargeometrie». II Teil: Die geometrische Aufgaben, ihre Lösung und Lösbarkeit. Leipzig, 1907.

6 Th. Vahlen.—«Konstruktionen und Approximationen» (Eine Ergänzung der niederen, eine Vorstufe zur höheren Geometrie). Leipzig, 1911.

приближенное решение. Эти кустарные попытки являются по большей части совершенно изолированными по своему методу и представляют скорее обход трудности, чем решение задачи. Общих приемов и методов приближенных решений нет или почти нет также и в тех сочинениях, которые были указаны выше. Таким образом творческие стремления, которые могли бы найти вполне законное и научное развитие, оказываются опять-таки не поддержанными.

Автор настоящей работы будет считать свою цель достигнутой, если ему удастся хоть отчасти пополнить этот пробел и заинтересовать своих читателей методами геометрических приближений1.

§ 1. Общие принципы.

Методы геометрических приближений основываются на некотором общем принципе, который состоит в следующем.

Пусть X есть неизвестная точка, геометрические приближения которой мы ищем (см. черт. 1). Отметим произвольную точку х, которую будем считать первым приближением. Пусть, кроме того, на плоскости чертежа имеем несколько постоянных фиксированных точек А, В, С,.......

Предположим, что при помощи точек х, А, В, С, . . . .мы построим новую точку х'. Это построение обозначим следующим символическим равенством: x' = F (х).

Предположим далее, что построение F {х) обладает следующими свойствами:

1) F(X) = X

2) Для достаточно малых расстояний х всегда имеем: —— < Э , где О < в < 1.

Повторяя построение F(x), мы получим последовательность точек х, х\ х", х"\ . . . , «** для которой, как нетрудно видеть, точка X является предельной. В самом деле, расстояние х<п>Х<6.пхХ и при ?*-*œ х(п> X--> О. 4 у-

Точки X, х', х", х"\....., будем называть последовательными геометрическими приближениями точки X. Построение F (х) назовем рт* основным построением.

Если мы хотим избежать метрической формы, в которой выражено условие 2), то можем потребовать вместо него, чтобы последовательность точек x, х\ х'1\ х"\ .... сходилась к точке X, как к своей предельной точке.

Ценность того или другого метода геометрических приближений зависит от:

1) Простоты основного построения F(x).

2) Быстроты сходимости полученных приближений.

В разобранной ниже задаче Castillon'a для выполнения основного построения достаточно одной линейки. Быстрота сходимости приближений характеризуется формулой (2) §-а 4.

1 См. также другие статьи автора, посвященные вопросам геометрических приближений: «Способ конструктивных алгоритмов и Делийская задача» («Математическое образование», № 5—8, 1917 г.). «О спрямлении дуги окружности» («Физико-математический сборник», № 1. Москва, 1924).

§ 2. Задача Castillon'a и ее обобщения.

Краткая история ее такова1. Еще Pappus рассматривал задачу: В круг вписать треугольник, стороны которого проходят через заданные точки Pv р2, р3, лежащие на одной прямой.

Решение этой задачи и было им найдено. Castillon в 1776 году обобщил задачу Pappus'a, допуская произвольное расположение точек Рх, Р2, Р3 в плоскости. Данное им решение было впоследствии упрощено Euler'ом и Fuss'ом (в 1780 г.).

Дальнейшее обобщение задачи сделано итальянцем Giordano d'Ottaino (Verona) в 1778 году, который рассматривал не три, а вообще п центров. Brianchon, а за ним Poncelet заменяют окружность коническим сечением. Таким образом задача Castillon'a получила следующую форму.

Вписать в коническое сечение п-угольник, стороны которого проходят через п данных точек (центров), следуя определенному порядку.

Заметим, что эта задача легко решается средствами проективной геометрии. В самом деле, отметим какую-нибудь точку х данного конического сечения и, проектируя ее последовательно из центров Pv р2, . . . . . Рп9 приходим к точке х' (черт. 2). Ряды (х) и (х') находятся в проективном соответствии. Двойные элементы этого соответствия дают, очевидно, решение задачи. Число решений зависит от характера проективитета: их может быть два (гиперболический проективитет), одно (параболич. проект.) и ни одного (эллиптическ. проект.). Самое построение требует применения лишь одной линейки, предполагая конечно, что данное коническое сечение вычерчено2.

В самом деле, выбрав три точки А, В и С ряда (х), мы при помощи проектирования их из центров Pv р2 . . . . Рп можем построить соответственные точки А', В' и О ряда (#'). Рассмотрим теперь два пучка с центрами в точках А и А'. Пусть лучи А' А, А' В и А!С второго пучка являются соответственными лучами АА'у AB' С АС первого пучка. В таком случае, как легко заметить, пучки [А) и (Af) будут находиться не только в проективном, но и в перспективном соответствии. Последнее вытекает из того, что луч AÄ (или А'А) сам себе соответствует. Так как соответственные лучи двух перспективных пучков пересекаются на прямой линии (оси коллинеации проективитета), то последняя должна проходить через точки ß и f пересечения лучей А'В с AB' и ÄC с АС (черт. 3) и легко может быть построена. Точки M и N пересечения этой

Черт.

Черт. 3.

1 См., напр., Kötter—Die Entwicklung der synthetischen Geometrie. Jahresb. der Deutsch. Mat. Vereinigung. B. 5. (2 Heft) 1901, а также: Vahlen—1. с, § 52. M. А. Орбек—«Задача Кастильона» («Мат. образов.». Москва, 1913, № 8).

2 Если коническое сечение задано пятью точками (или пятью иными соотв. условиями), то задача решается циркулем и линейкой. См., например, решение Як. Штейнера в его книге: «Геометрич. построения, выполняемые посредством прямой линии и неподвижного круга» (русск. изд. Харьков, 1910 г.).

прямой с данным коническим сечением и будут, очевидно, искомыми двойными элементами1.

Поставим теперь значительно более общую задачу, для решения которой указанные методы уже недостаточны.

Даны одна или несколько произвольно начерченных линий и п центров: Pt, Р2, .... Рп, Требуется построить многоугольник, стороны которого (следуя определенному порядку) проходят через данные центры, а вершины лежат на данных линиях.

Можно было бы придать этой проблеме еще более общую формулировку, требуя, чтобы через каждый из центров Р. проходило вообще к сторон искомого многоугольника, который был бы в таком случае (к. п) —угольником. Ясно однако, что данная выше формулировка может быть сохранена и в этом случае, для чего достаточно каждый из центров Р. считать к раз, тогда и будем иметь (к. п) центров. В силу этого замечания будем вести исследование задачи, сохраняя приведенную формулировку.

Пусть имеем многоугольник, являющийся решением задачи (черт. 4). Отметим одну из его вершин буквой X. Эта вершина лежит, по условию, на данной линии. Вблизи точки X на той же линии отметим произвольно точку x и пусть обход из этой точки, полученный проектированием при помощи центров Р., приводит в точку хг. Этот обход устанавливает соответствие рядов {х) и (#').

Условимся называть решение X обыкновенным, если существует дуга aß данной линии, обладающая следующими свойствами:

1° Точка X лежит на дуге aß (в частном случае может совпадать с концом дуги) и других решений на этой дуге не имеется.

2е На этой дуге aß соответствие (х) и (х') взаимно-однозначно и взаимно-непрерывно.

Всякое иное решение мы будем называть особым.

Пусть обход из точки x приводит в точку х', обход из точки х' приводят в точку х" и т. д.... Точки x, x , x образует последовательность обходов.

Аналогичным образом можно построить последовательность обратных обходов.

Докажем следующую теорему:

Последовательность обходов (прямых или обратных) сходится вблизи обыкновенного решения X, которое является предельной точкой последовательности.

Доказательство:

Пусть aß есть дуга, о которой говорилось выше.

При определенно направленном движении точки х по дуге aß точка х' также движется в определенном направлении, что следует из п. 2°.

Движения эти могут быть одинаково или противоположно направлены. Рассмотрим первый случай.

Легко видеть, что в этом случае точки х и х' лежат по одну сторону от X (если бы они лежали по разные стороны, то движения были

Черт. 4.

1 Относящиеся сюда сведения из проективной геометрии можно найти, напр., у F. Enriques—Vorlesungen über projektive Geometrie. Leipzig, 1903, стр. 233 и 234.

бы необходимо противоположно направленными). Предположим, что х' лежит между X и X. В то время, как точка х описывает дугу х X, точка х' описывает духу х'X. Отсюда ясно, что последовательностью, х', х" . . . сходится.

Пусть 1 предельная точка этой последовательности.

Из непрерывности соответствия (х, х') тотчас следует, что обход из точки I должен приводить в ту же самую точку, т.-е. обход—замкнутый. Точка g, следовательно, есть решение. Но, согласно п. 1°, точка X есть единственное решение на дуге аЗ. Отсюда и вытекает, что последовательность обходов x, х', х", .... сходится к решению X.

Мы предполагали, что х' лежит между х и X. Если бы оказалось, напротив, что х лежит между х' и X, то мы будем рассматривать обратный обход (х\ х), для которого и строим последовательность. Предыдущие рассуждения повторяются без изменений.

Теперь обратимся к случаю противоположно направленных движений.

В этом случае мы будем рассматривать двукратный обход (х. х"). Движения точек х и х" окажутся одинаково направленными. Точка X представляет обыкновенное решение для двукратного обхода. Применяя вышеприведенный метод рассуждения, заключаем о сходимости последовательности двукратных обходов х, х'\ х"",........или обратных (х", х) к точке X. Из условия непрерывности соответствия (х х') находим, что и простая последовательность обходов х, х', х", .... или ей обратная {х', х) сходится к точке X.

Таким образом, теорема доказана. Из нее вытекает возможность обработки формулированной выше проблемы по методу последовательных приближений. При этом все построения производятся одной линейкой. Мы рассмотрим более подробно тот случай, когда вершины искомого многоугольника лежат на замкнутой выпуклой кривой, т.-е. случай овала. В нем в частности содержится и знаменитая задача Castillon'a.

§ 3. Случай овала.

Пусть X и х'—начальная и конечная точки обхода, вершины которого расположены на овале. Нетрудно видеть, что соответствие (х, х) однозначно и непрерывно на всем овале. В самом деле, при непрерывном движении по овалу точки х в определенную сторону точка х также движется непрерывно и в определенную сторону.

Если точка х опишет весь овал, то и точка х' также опишет весь овал. Рассмотрим теперь одно звено (х у) нашего обхода (черт. 5). Непосредственно из чертежа видим, что движения точек хну буд>т одинаково направлены, если проектирующий центр (Pi) находится внутри овала, и противоположно направлены, если центр (Р2) находится вне овала. Отсюда заключаем:

a) Если точка х описывает овал, то х' также описывает овал (и обратно).

b) Движения точек х и х' одинаково направлены, если число внешних центров четное или нуль, и противоположно направлены, если оно нечетное.

Основываясь на этих свойствах обходов, можем доказать следующее предложение:

Если решение существует, то обход, начатый из любой точки овала, сходится к одному из решений.

Черт. 5.

Пусть решение имеется. Отметим произвольную точку х на данном овале (черт. 6) и обозначим первое от х решение, если итти в одну сторону по периферии овала через А, а в другую сторону через В1.

Совершая обход, из х приходим в точку х'. Предположим, что движения точек X и х' одинаково направлены. В таком случае точка х' расположена непременно на дуге АхВ. В самом деле, если бы она занимала, например, положение х\, то при движении точки х к А точка х\ должна была бы двигаться встречным движением или пройти через В, но в этом последнем случае В уже не было бы решением, как мы предположили.

После этих замечаний становится совершенно очевидным, что последовательность обходов сходится или к решению А, если х лежит на дуге хА, или к решению Ву если х' лежит на дуге хВ.

Случай противоположно направленных движений точек X и х' легко сводится к предыдущему, если будем рассматривать двукратные обходы. Тогда движения будут опять одинаково направленными, и так как всякое решение простого обхода является вместе с тем и решением двукратного обхода, то предыдущее доказательство сохраняет свою силу.

Допустим далее, что число внешних центров—нечетное. Как было отмечено в пункте Ь), в этом случае движения точек х и х' противоположно направлены и, согласно известной теоремы2, существуют две точки встречи этих движений, т.-е. два решения задачи.

Выше было доказано, что обход, начатый из любой точки овала, сходится к решению. Легко заметить, что обход в прямом направлении сходится к одному, в обратном—к другому решению. Пары А, В и х, х' разделяют друг друга.

Повторяя обход несколько раз, мы получаем последовательные приближения с любой степенью точности. Таким образом, мы находим в любом приближении оба решения задачи, применяя только одну линейку. Эти решения изображены на черт. 7.

В тех случаях, когда число решений наперед неизвестно, стараются отделить решения. Это можно сделать, например, следующим образом.

Замечая, что первое и последнее звено обхода пересекаются один раз внутри, а в другом положении вне овала, можем уверенно утверждать, что на соответствующей дуге имеется по крайней мере одно решение, которое затем может быть построено по методу последовательных приближений. Здесь мы имеем некоторую аналогию с отделением и вычислением корней в алгебре.

Черт. 6.

Черт. 7.

§ 4. Определение быстроты сходимости приближений.

Процесс последовательных приближений в рассмотренной выше задаче содержит лишь графические (визуальные)3 операции.

Теперь мы поставим вопрос о быстроте сходимости построенного процесса приближений и тем дадим ему метрическую оценку.

1 В может в частном случае совпадать с А.

2 См., напр., Enriques.Vorl. über projektive Geometrie, 1903, § 76.

3 См. относительно этого термина: А. Адлер—Т. Г. П., стр. 154.

Мы разберем сначала частный случай проблемы, когда данные линии, на которых должны лежать вершины искомого многоугольника, суть прямые.

Пусть, например, AB— одна из сторон многоугольника - решения (черт. 8). Вершины А и В лежат на данных прямых АМг и BMV Обход начат из точки х\ после одного проектирования (с центром 1\) получаем точку Xj. Проводим BQ // хА\

Введем обозначения: хЛ === со ; xL В = о^; 7?C==ü>i; А1\ = аг; В/\ = ЬГ

Как видно из чертежа, имеем:

и, следовательно, произведя перемножение:

Черт. 8.

Выразив аналогичными формулами переход от одной вершины обхода к другой (т.-е. при каждом проектировании), без труда придем к следующей общей формуле.

в которой ю' = х'А есть уклонение конечной точки обхода (х, х') от вершины решения А. Отрезки Ь2, с2, c.d, ds . . . . , х{ М.,, х2 il/2, #2 Ä/3, to М3.....обозначены в том же порядке, как и на черт. 8, но для центров проектирования Р2, Р8 .....

Формула ( I ) дает выражение отношения начальной ошибки со (обусловленной выбором точки х) к ошибке со', полученной после одного обхода. Чем больше правая часть выражения (I), тем быстрее убывает ошибка.

Найдем предел выражения (I) при х-----> А (или со---> О).

Предел этот получим, заменяя переменные отрезки: xMv хх Л/,, х{ Л/2, х^ М2, X* Жд, хя Mz].....их пределами: АМ\ = яр ВЛ/, = J3Jt

Формула (I) примет вид:

(2)

Вернемся теперь к общему случаю, когда вершины многоугольника-решения лежат на данных кривых линиях. Пусть ABCD . . . . А-- многоугольник-решение.

xxу х.>.....хн х' — обход, начатый из точки х и приводящий к точке х'. Проведем секущие хА, хг В, х2 С,.....х'А.

Отношение ошибок —■ выразится тогда формулой, аналогичной формуле (I), причем роль данных прямых будут играть, очевидно, секущие хА, Ху Bt #2 С . . . . X А.

Перейдем к пределу (при со -> о), чтобы определить скорость сходимости процесса вблизи решения. Этот предел выразится формулой,

аналогичной формуле (2), причем следует принять во внимание, что секущие хАу хх -В, х2 С, . . . . х'А стремятся при переходе к пределу занять положение касательных к данным линиям в вершинах А, В,С, . многоугольника-решения.

Учитывая это обстоятельство и припоминая значение отрезков: Ъг, &2> с2> сз> • • • • > wi» Рр $2у Тг> Тз» • • . , мы получаем следующее геометрическое выражение формулы (2) (см. черт. 9):

Проводим касательные к данным линиям в вершинах многоугольника-решения.

Получим новый многоугольник: Мх М2 мг... мх.

Оба многоугольника обходим, следуя порядку центров, и отмечаем отрезки A^ïx, APt одной чертой, отрезки М\ В, Р{ В— двумя чертами; затем отрезки ВМ2, ВР2— одной чертой, отрезки М2 С, Р2 С — двумя чертами и т. д., кончая отрезками Мп А, Рп А, которые отмечаются двумя чертами. Величина lim [~г)$ характеризующая быстроту сходимости приближений вблизи решения, выразится дробью, числитель которой составляется, как произведение все с отрезков, отмеченных одной чертой, а знаменатель, как произведение всех отрезков, отмеченных двумя чертами.

Примечание. Если какая либо вершина, например, Mh оказывается бесконечно удаленной (т.-е. АМХ // ВМХ\ то отрезки АМХ и ВМХ пропускаются при составлении формулы, так как их отношение в этом предельном случае равно единице.

Черт. 9.

ЗАДАЧА ЛЕОНАРДА ПИЗАНСКОГО.

И. Чистяков. (Москва.)

Задача, рассматриваемая здесь, была предложена 700 лет тому назад знаменитому ученому того времени Леонарду Пизанскому, известному введением в Европе арабской нумерации, на математическом турнире, устроенном в 1225 г. в Пизе по случаю пребывания в этом городе императора Фридриха II. Она, как и другие вопросы, заданные придворными геометрами императора Леонарду, была им быстро и блестяще решена при помощи некоторых глубоких соображений, основанных на свойствах квадратов ряда натуральных чисел. В настоящей заметке предлагается чисто-элементарное решение этой задачи. Содержание ее следующее:

«Найти число, квадрат которого как при прибавлении к нему, так и при отнятии от него числа 5 остается квадратом».

Пусть искомое число есть х, тогда одновременно должны удовлетворяться равенства:

<г2-}-5 = Л18; x* — S = N* .........(I)

Взяв квадраты ряда натуральных чисел: 1, 4, 9, 16.... мы видим, что разность между смежными квадратами выражается рядом последовательных нечетных чисел: 3, 5, 7, 9...,., откуда ясно, что уравнения (I) не могут

быть удовлетворены целыми значениями х. Полагая поэтому, что неизвестное число есть дробь —, дадим тем же уравнениям вид:

Для краткости совокупность обоих равенств может быть представвлена в виде

где N—целое число. Чтобы из подкоренного выражения можно было в обоих случаях извлечь корень, положим:

(1) (2)

тогда Nx = u-{-v\ N2 = îi—v. Но равенство (1) показывает, что числа X, и и V могут быть приняты за выражения сторон рационального прямоугольного треугольника и, следовательно, выражены формулами:

и = m2 — n2; V = 2тп\ тогда х = w2 -|- п2.

Подставляя значения а и г; во (2), имеем:

5а2 = 4тп (т2 — п2)..........(3)

Отсюда = m2 — ri*-J- 2тп и N2 = — m2-J-n2 -(- 2mn.

Таким образом решение задачи сводится к нахождению чисел m, п, а, удовлетворяющих уравн. (3). Но еще Фермат показал, что выражение

тп (m2 — и2),

выражающее площадь рационального прямоугольного треугольника, не может быть точным квадратом. Поэтому оно должно содержать множитель 5 в нечетной степени. Разберем поэтому отдельные случаи, могущие представиться при решении уравнения (3).

1 ) Пусть m = 5 и m >> п. Тогда

4 . 5 . п (25— гс2) = 5а2

или

4ю (25— ю2) = а2.

Подставляя вместо w числа, меньшие 5, видим, что из них только п — А обращает а в квадрат, именно а = 12. Тогда # = 52-f-42 = 4). Это значение X и было найдено Леонардом Пизанским из иных соображений. Пользуясь им, имеем-:

Nx = 25 — 16 -f 40 = 49; N.2 == — 25 + 16 -f 40 = 31.

и действительно:

2) Пусть Лг = 5, тогда

Но число т{т-\-5) {т — 5) не может быть квадратом, так как один из множителей делится на 3, а другие—нет.

3) Положим m. = a2, n=ß2. Тогда

Откуда заключаем, что

Полагая

Отсюда найдем:

Так как числа аир взаимно простые, то дробный множитель в последнем уравнении должен быть квадратом целого числа, что возможно лишь при t = 2. Тогда а2 == 9ß2; j*-== 3, и при взаимно простых числителе и знаменателе а = 3; ß = 1.

Отсюда 5а2 = 4 . 9 . 1. (81 — 1); а2 = 4 . 9 . 16; а = 24, и для искомого числа x будем иметь х= a4-f- ß4== 82. Действительно, тогда

Разделяя эти числа на а2 = 242, получим:

или

т.-е. мы снова получили решение Леонарда Пизанского, которое оказывается единственно возможным.

ПРАВИЛА ПОДСЧЕТА ЦИФР.

В. Брадис. (Тверь.)

(Окончание.)

Пример 2. Найти вычислением объем обрезка стальной оси, состоящей из цилиндрического тела (поперечник dv высота \) с цилиндрической же головкой (поперечник с?2, высота h2). Ось имеет канал для шпильки (диаметр канала d3; канал этот считаем цилиндром с высотой, равной поперечнику оси ах) и шпонку (выступ) в форме призмы с основанием в виде трапеции; основание трапеции а и 6, высота трапеции с, высота призмы а.

Измерения посредством штанген-циркуля дали следующие значения (в см):

^ = 4,68 d2 = 5,63 й3 = 0,89 а = 1,62 с = 0,50 7^ = 9,40 Äa = 0,88 Ь = 1,18 й = 0,41

Искомый объем v вычисляем по формуле v — vx -J- v2 — г>3 -f- vv

Значения dx и hx известны с 3 значащими цифрами каждое, а потому, согласно правилу VI, берем значение я с 4 значащими цифрами (т.-е. 3,142) и вычисляем vx с 3 значащими цифрами и одной запасной. Далее v2 вычисляем уже только с 2 значащими цифрами, так как хотя d2 известно с 3 цифрами, но \—только с двумя; здесь для ir можно ограничиться уже только 3 значащими цифрами (3,14). Значения v3 и -у4 вычисляем, согласно II правилу, тоже лишь с двумя значащими цифрами (и одной запасной) каждое.

Вычисление

При вычислении v мы имеем алгебраическую сумму из 4 слагаемых с разным числом надежных десятичных знаков: в vx и ь\2 сомнительные цифры десятых долей; v3 имеет один, v± два надежных десятичных знака. Согласно I правилу, сумму округляем до целых, причем до сложения округляем, согласно VI правилу, значение vv

Оказывается, что мы воспользовались лишь одной значащей цифрой числа vg и двумя значащими цифрами числа t?a. Если бы мы предусмотрели это обстоятельство, наперед оценив грубо-приближенно значения членов суммы vx-\-v2 — ^3 + ^4, то при вычислении vB и vK можно было бы ограничиться еще меньшей точностью.

Для облегчения вычислений можно было бы воспользоваться таблицей 4-значных логарифмов для вычисления vx (согласно VIII правилу) и таблицей 3-значных логарифмов или заменяющей ее логарифмической линейкой (для вычисления г>2, vSi v4).

Пример 3. Зная, что экваториальный и полярный радиусы земного сфероида равны соответственно (по Кларку) а = 6378,2492 км и 6 = 6356,5150 ^, найти с тремя значащими цифрами знаменатель дроби

Для получения частного тремя значащими цифрами берем числитель и знаменатель с одной лишней цифрой (VII правило), т.е. с 4 значащими цифрами. Для получения разности а—Ь с 4 значащими цифрами приходится а и Ъ брать уже с 6 значащими цифрами: здесь мы встречаемся с явлением так называемой потери точности при вычитании:

Ответ: Сжатие земли выражается дробью

При выполнении этого вычисления нам пришлось дважды применять правило «округление до четной цифры», заключающееся в том, что в случае отбрасывания одной только цифры 5 предшествующая цифра остается без изменения, если она четная, и усиливается (увеличивается на 1), если она нечетная.

§ 5. Различные способы обоснования правил подсчета цифр. Строгое обоснование правил подсчета цифр заключается в выяснении того, каковы вероятности различных значений погрешностей в последних цифрах результатов, получаемых при их применении. Вероятности различных значений суммы приближенных слагаемых были вычислены уже давно в работах Лапласа, Бремикера, Штадтхагена. Обоснование правил I, II, III, IV, VI (при некоторых ограничивающих условиях) было дано в двух моих работах1. Вот, например, табличка, дающая картину распределения погрешностей произведения двух приближенных чисел, имеющих по три точных значащих цифры каждое (погрешности произведения выражены в единицах разряда третьей значащей его цифры). В первой строке приведены различные значения возможных погрешностей произведения х (погрешности берутся по абсолютной величине), во второй—их относительная частота.

X от 0 до 0,5 от 0,5 до 1 от 1 до 2 от 2 до 3 от 3 до 4 от 4 до 6 Р 83,09% 8,42% 6,07% 1,89% 0,47% 0,06%

Вместо того, чтобы приводить подобную табличку для результата каждого действия, ограничимся указанием только двух чисел: предельной погрешности, показывающей наибольшее из всех возможных (хотя бы крайне мало вероятное) значение погрешности, и средней квадратической погрешности, показывающей, какого значения не превосходят отдельные погрешности в большинстве случаев. Привожу таблицу, содержащую установленные мною значения предельной и средней квадратической погрешности результатов различных действий (те и другие выражены в единицах разряда последней цифры результатов, округленных согласно правилам подсчета цифр). Предполагается, что приближенное значение каждого компонента имеет погрешность, не превосходящую половины единицы разряда последней его цифры, и что все значения погрешностей от—0,5 до -f- 0,5 равно вероятны.

Действие

Результат

Предельная

погрешность

Средняя квадратическая погрешность

Сложение и вычитание.

Алгебраическая сумма n слагаемых

0,5 (n + 1)

0,289n

Произведение двух k-значных приближенных чисел

6

0,626

Умножение.

Произведение k-значного приближенного на точное

5,5

0,442

Произведение k-значного приближенного на (k+1)-значное приближенное

5,55

0,445

Частное от деления k-значного приближенного числа на k-значное приближенное число

10,5

0,576

1 «Умножение приближенных чисел» («Известия физико-математического общества при Казанском университете», том XXV, сер. 2, 1925 г.) и «Опыт обоснования некоторых практических правил действий над приближенными числами» («Известия Тверского педагогического института», вып. 3, 1927 г).

Действие

1

Результат

Предельная погрешность

Средняя квадратическая погрешность

Частное от деления k-значного приближенного числа на точное

5,5

0,389

Деление.

Частное от деления k-значного приближенного на (k+1)-значное приближенное

6

0,391

Частное от деления точного на k-значное приближенное

5,72

0,425

Частное от деления (k+1)-значного приближенного на k-значное приближенное

6

0,427

Возведение в степень.

Квадрат k-значного приближенного числа

4

0,705

Куб k-значного приближенного числа

7,63

1,059

Извлечение корня.

Квадратный корень из k-значного приближенного числа

1,31

0,221

Кубический корень из k-значного приближенного числа

1,29

0,185

Эта таблица с полной убедительностью выясняет целесообразность правил I, II, III, IV, VI. Так, в случае деления двух трехзначных приближенных чисел, округляя частное для 3 значащих цифр, мы рискуем получить погрешность самое большее в 10,5 единиц разряда последней цифры. Однако вероятность такой большой погрешности ничтожно мала, так как средняя квадратическая погрешность для этого случая составляет всего лишь 0,576 единицы того же разряда. Поэтому сохранять в частном третью значащую цифру безусловно стоит, последующие же, как совершенно ненадежные, бесполезно.

Вместо того, чтобы находить вероятности различных значений погрешности результата того или иного действия теоретическим путем, их можно установить путем опыта. Так, вычисляя точные произведения 200 пар пятизначных чисел, составленных так, чтобы обеспечить полную случайность каждой их цифры, а затем округляя эти 5-значные числа до 3 значащих цифр каждое, снова составляя произведения и сравнивая эти новые (приближенные) произведения с прежними (точными), я получил такую картину распределения погрешностей1.

Погрешности от 0 до 0,5 от 0,5 до 1 от 1 до 2 от 2 до 3 от 3 до 4 от 4 до 5 от 5 до 6

Сколько раз они встретились 162 24 10 3 1 0 0

Относительная частота 81% 12% 5<>/0 1,5% 0,5% 0% 0</0

Сравнивая эту табличку с той, какая была приведена на стр. 25, видим, что даже при таком небольшом числе испытаний получается удовлетворительное согласие теории и опыта. Отсюда заключаем, что опытное обоснование правил подсчета цифр можно считать столь же законным, как и теоретическое.

1 О подробностях этого опыта см. мою статью «Умножение...», стр. 68,75,76.

Переходим к рассмотрению отдельных правил.

§ 6. Сложение и вычитание. Пусть требуется найти сумму (алгебраическую) нескольких, положим, 10 слагаемых, данных с одним и тем же числом десятичных знаков каждое, например, с двумя, т.-е. до сотых, причем все цифры каждого слагаемого точны (другими словами, погрешность каждого из них не превосходит половины сотой). В самом неблагоприятном случае все эти погрешности сложатся; погрешность суммы во всяком случае будет не больше------- 0,01.10 = 0,05, т.-е. 5 единиц разряда последней цифры. Такова предельная погрешность суммы в рассматриваемом случае. Действительная ее погрешность лишь в крайне редких, исключительных случаях может приблизиться к этому предельному значению в силу двух причин: 1) погрешность каждого отдельного слагаемого, не превосходя половины сотой, часто бывает значительно меньше этого предельного своего значения; 2) погрешности разных слагаемых имеют разные знаки и отчасти друг друга уравновешивают. Отсюда заключаем, что последняя цифра нашей суммы все же заслуживает доверия и должна быть сохранена: малые значения ее погрешности вероятнее, чем большие. Проверить это заключение можно простыми опытами. Возьмем, например, 10 дробей вида — , где букве п будем давать значения 1, 3, 5, 7,..., пропуская те дроби, какие обращаются в десятичные точно; получим:

Обратим каждую из этих дробей в десятичную, ограничиваясь двумя десятичными знаками, и найдем сумму. Оказывается, что S = 0,33 + 0,14 + + 0,11 + 0,09 + 0,08 + 0,07 -f 0,06 -f- 0,05 -f 0,05 -f- 0,04 = 1,02. Вычисляя же каждое слагаемое с 4 десятичными знаками, получаем =0,3333 + + 0,1429 + 0,1111 + 0,0909 + 0,0769 -j- 0,0667 + 0,0588 + 0,0526 + 0,0476+ + 0,0435 = 1,0243. Как видим, сумма S, предельная погрешность которой равна 5 единицам разряда последней ее цифры, т.-е. 5 сотым, имеет действительную погрешность, не достигающую даже половины сотой.

Переходим теперь к случаю, когда слагаемые даны с разным числом десятичных знаков, опять предполагая, что все цифры каждого приближенного слагаемого точны. Пусть требуется найти сумму # = 2,4 — — 0,3509 + 13,85 + 0,04747, причем первое слагаемое (2,4) точно, остальные приближенны. Запишем слагаемые в обычном порядке, но вместо неизвестных цифр приближенных слагаемых с меньшим числом десятичных знаков поставим знаки вопроса (в точном слагаемом ставим нули) и выполним сложение и вычитание:

Последние три цифры суммы могли бы быть совсем другими, если бы нам были известны цифры, замененные знаками вопроса. Доверять им таким образом совершенно невозможно. Их надо отбросить. Получаем, по округлении, # = 15,95. Мы сделали именно то, что и рекомендует I правило.

Лишние десятичные знаки слагаемых 0,3509 и 0,04747 остаются неиспользованными, доставляя только лишнюю вычислительную работу. Лучше эти слагаемые заранее округлить, оставляя в них только один лишний знак (сравнительно со слагаемым 13,85).

Теперь имеем:

или, после округления, опять то же значение суммы 15,95. О возможности такого предварительного округления и говорит VI правило.

Рассмотрим, наконец, пример вычисления суммы, когда точность результата указана заранее. Пусть требуется найти сумму:

до сотых долей, предварительно обращая все простые дроби в десятичные. С каким числом десятичных знаков вести вычисление? Очевидно, не менее, чем с двумя. Один лишний знак (третий), однако, желательно ввести, чтобы сделать второй знак суммы вполне надежным. Попробуем? для поверки этого заключения, провести вычисление с 2, 3, 4, 5 десятичными знаками. Получим для у значения 0,18; 0,187; 0,1870; 0,18692; после округления до сотых: 0,18; 0,19; 0,19; 0,19. Итак, введение более чем одной запасной цифры ничего не дало, но без этой одной запасной цифры результат получился несколько худший. Вычислять одну запасную цифру таким образом стоит, больше же, чем одну — бесполезно.

Именно об этом и говорит VII правило.

§ 7. Умножение двух к-значных приближенных чисел. Рассмотрим умножение двух приближенных чисел, имеющих равное число точных значащих цифр. Возьмем, например, произведение чисел 3,86 и 2,18, которые считаем происшедшими 6т округления некоторых 4-значных чисел (неизвестные 4-е цифры означаем опять знаками вопроса).

Рассматривая, как произошла каждая цифра произведения, видим, что цифры правее пунктирной вертикальной черты, как полученные от сложения с неизвестными цифрами, никакого доверия не заслуживают. Первая цифра левее черты (1) тоже не вполне надежна, но ее погрешность не может быт значительной. Поэтому сохранять надо лишь первые три цифры результата, т.-е. столько цифр, сколько их имеет каждый приближенный сомножитель.

Мы взяли случай, когда два трехзначных числа дают в произведении пятизначное число. Чаще, однако, бывает, что произведение таких чисел

выражается шестизначным числом. Здесь третья цифра результата заслуживает уже большего доверия, что можно видеть на следующем примере

Здесь можно бы было сохранить даже четвертую цифру. Чтобы устранить необходимость разбираться каждый раз в том, какой из двух случаев имеет место, будем и здесь округлять произведение до трех значащих цифр.

Еще более убедительное подтверждение целесообразности нашего второго правила дает массовый эксперимент, подобный тому, о котором была речь в конце § 5. Такой эксперимент легко поставить в условиях работы с группой. Каждый участник берет несколько пар произвольных чисел, имеющих равное число значащих цифр, например, три. Положение запятой значения не иглеет; будем ставить ее хотя бы после первой значащей цифры. Затем каждый заполняет несколько строк «.ведомости», заголовок и первые 10 строк которой приведены ниже.

А

В

С

D

Е

F

?

Произвольные трехзначные числа

Те же числа после округления до 2 значащих цифр

Произведения чисел графы А

Произведения чисел графы В

Числа графы D после округления

Разности чисел С и Е в едини цах разряда второй значащей цифры

1

1,95.9,27

2,0.9,3

18,0765

18,6

19

0,9235

2

7,47.8,53

7,5.8,5

63,7191

63,75

64

0,2809

3

3,29.0,80

3,3.6,8

22,3720

22,44

22

0,3720

4

9,81.7,12

9,8.7,1

69,8472

69,58

70

0,1528

5

5,43.4,06

5,4.4,1

22.0458

22,14

22

0,0458

6

2,15.1,99

2,2.2,0

4,2785

4,40

4,4

1,215

7

9,57.8,73

9,6.8,7

83,5461

83,52

84

0,4539

8

6,04.5,67

6,0.5,7

34,2468

34,20

34

0,2468

9

3,31.2,52

3,3.2,5

8,3412

8,25

8,2

1,412

10

1.27.9,52

1,3.9,2

11,7475

11,96

12

0,2525

Результаты подобной работы над числами, взятыми произвольно самими ее участниками, не оставляют в них накакого сомнения относительно того, что вторую значащую цифру произведения двух двухзначных приближенных чисел сохранять действительно следует, более же двух—нет. Полезно, однако, указать, что в исключительных случаях погрешность второй цифры произведения может оказаться довольно значительной. Возьмем такой пример:

Сомножители точные 1,049 и 9,949; произведение 10,436501.

Сомножители приближенные 1,0 и 9,9; произведение 9,9.

Разность 10,436501 —9,9 = 0,536501 или 5,36501 единицы разряда второй значащей цифры приближенного произведения.

Таким образом погрешность в последней цифре произведения двух тс-значных приближенных чисел, округленного до тс-значащих цифр, может быть довольно значительной. Но встречается такая значительная погрешность крайне редко, что видно из опыта (приведенный последний пример составлен искусственно). Если требуется полная уверенность в точности последней цифры результата, надо применить один из способов строгого учета погрешностей: правила подсчета цифр такой уверенности не дают.

§ 8. Теорема о предельной погрешности произведения. Можно доказать, что погрешность произведения двух тс-значных приближенных сомножителей, имеющих h точных значащих цифр каждый, никогда не достигает 6 единиц разряда /с-ой значащей цифры. Привожу это доказательство, проводя его только элементарными средствами, хотя оно настолько громоздко, что вряд ли может войти в школьный обиход.

Лемма. Если х растет от 0 до-)-00, то // = .г-j-^ ■ убывает, пока X растет от 0 до р> и возрастает, пока х растет от р до 4-СО.

Для доказательства возьмем ух=хх -j- — и составим разность уг — у =

Лемма доказана.

Переходя к доказательству теоремы, ограничимся случаем к = 3. В общем случае доказательство проводится совершенно так же, как и в рассматриваемом частном, требуя лишь более сложной записи. Для определенности будем считать, что приближенное множимое аг выражается трехзначным целым числом, а приближенный множитель а2 — трехзначным числом, имеющим одну значащую цифру левее знака дробности.

Пусть точные значения сомножителей будут хг = ах -f-1}, х2 = а2 -j-12> где tt и t2—погрешности приближенных значений ах и а2. Согласно условиям имеем, что 100<а1<^ 999, 1,00<^ а, < 9,99. Погрешность произведения ах а2 равна абсолютному значению разности хх х2 — ах а2 = = («i+^i) (a2^~h) — а\а2' Раскрывая скобки и замечая, что tt< 0,5, £2< 0,005, имеем неравенство

■ хг х2 — аг a» j 0,005^ -f 0,5а2 -f- 0,0025 ......(А).

Рассмотрим порознь случай, когда произведение ах а2 имеет 1) три, 2) четыре значащих цифры до знака дробности. Неравенство 100.1 <; ах а2 < 999. 9,99 показывает, что только эти два случая и возможны.

В первом случае аха2< 999, я2>-^—. Переписываем неравенство (А) в таком виде:

Применяем к двучлену -|----------доказанную выше лемму, причем берем р2 = 99900, ^ = 316,06.... Число а может принимать все целые значения от 100 до 999. При я. =100 а, -|----------= 1099. При возрастании от 100 до 316 сумма ах -)---------- убывает, при возрастании ах от 317 до 999 возрастает, принимая при г/ч = 999 снова значение 1099. Итак, наибольшее значение выражения а5-)------— есть 1099. Отсюда заключаем, что:

Округляя произведение аг а% до 3 значащих цифр, т.-е. в данном случае до целых, мы допускаем еще погрешность от округления максимум в 0,5. Следовательно, погрешность окончательного результата будет во всяком случае менее, чем 5,5 + 0,5 = 6 единиц.

Во втором случае, когда произведение аха2 имеет не три, а четыре цифры до знака дробности, наибольшее возможное значение его погрешности вычисляется гораздо проще. Действительно, теперь:

При 4 цифрах до знака дробности третья значащая цифра есть цифра десятков. Округление до трех значащих цифр дает погрешность максимум в 5 единиц, и полная погрешность округленного произведения оказывается во всяком случае меньшей 15 единиц или 1,5 десятков, т.-е. 1,5 единиц разряда третьей значащей цифры, а следовательно, и подавно меньше 6 единиц этого разряда.

Теорема доказана.

$ 9. Другие случаи умножения. Подробно рассмотрев случай произведения двух приближенных сомножителей с равным числом значащих цифр, ограничимся немногими замечаниями об остальных случаях. Надо рассмотреть умножение приближенного числа на точное и умножение двух приближенных чисел, из которых одно имеет одной значащей цифрой больше, чем другое. Оказывается, что в произведении приближенного числа, имеющего к точных значащих цифр, на точное число с каким угодно числом значащих цифр сохранять следует опять-таки к значащих цифр. Далее, почти те же значения предельной и средней квадратической погрешности получаются и в том случае, когда точный сомножитель заменим приближенным, имеющим одной значащей цифрой больше, чем первый (см. таблицу на стр. 25). Отсюда делаем три важнейших заключения: 1) случаи, когда один из приближенных сомножителей имеет двумя, тремя и т. д. значащими цифрами больше, чем другой, практически не отличаются от случая, когда один из сомножителей точен; 2) число заслуживающих доверия цифр произведения равно числу значащих цифр в том сомножителе, какой имеет меньше значащих цифр, чем другой; 3) если один из сомножителей, точный или приближенный, имеет больше значащих цифр, чем другой, то его предварительно следует округлить, сохраняя в нем лишь одну лишнюю («запасную») цифру. Именно это и рекомен-

дуют II и VI правила подсчета цифр. Например, вопрос о том, с какой точностью следует брать число тг, так часто встающий перед учеником и учителем в школьной практике и решаемый почти всегда по «усмотрению», без сколько-нибудь основательной мотивировки, получает теперь очень простой ответ: надо посмотреть, сколько значащих цифр имеет то приближенное число (значение радиуса или диаметра круга), которое приходится множить на те, и взять в ти одной цифрой больше. Например, при вычислении длины окружности радиуса 5,4 cm, где радиус измерен, очевидно, с точностью до миллиметров, следует брать тт = 3,14, а если тот же радиус измерен до 0,1 mm (напр., штанген-циркулем) и равен 5,43 cm, то тт надо уже брать с 4 значащими цифрами (тт = 3,142). В тех редких случаях, когда радиус известен точно (напр., когда он наперед задан), надо принять во внимание желательную точность результата. Так, при вычислении площади круга с радиусом ровно в 2,6 метра, желая получить эту площадь с точностью до квадратных сантиметров, мы сперва находим грубо приближенное значение этой площади (пт2 = 3 . З2 = 27) и заключаем, что при точности до 1 cm2 = 0,0001 m2 площадь эта выражается шестизначным числом. Следовательно, значение тг надо взять c6-j-l=7 значащими цифрами (3,141593) и округлить произведение до 6 значащих цифр.

§ 10. Остальные действия. Рассмотрев довольно подробно применение правил подсчета цифр в случаях сложения и умножения, мы можем ограничиться лишь несколькими беглыми замечаниями о других действиях. Для деления правила оказываются теми же самыми, что и для умножения, в этом нас убеждает таблица на стр. 25. Доступное школе обоснование правила и здесь получается путем массового опыта, осуществляемого силами всей группы и вполне аналогичного опыту с умножениями. Конечно, и здесь, с целью первого ознакомления с правилом подсчета цифр частного, можно воспользоваться делением с применением знака вопроса.

Вот пример:

Дальше производить деление нельзя, так как мы ничего не знаем о третьем остатке. При вычитании числа 436? из первого остатка 63?? я округлил это число до сотен и вычитал не 436?, а 4400. Невозможность получения более чем трех цифр частного при трехзначных делимом и делителе показана на этом примере достаточно убедительно, но является вопрос о надежности даже третьей цифры частного: цифры частных произведений, замененные знаками вопроса, могут влиять и на цифры высших разрядов. Поэтому для устранения такого сомнения и необходимо производство массового опыта над точными и приближенными числами.

При возведении в степень с точным показателем мы имеем дело лишь с одним приближенным данным (основанием), а потому явление компенсации погрешностей выражено здесь гораздо слабее, чем, например, при умножении приближенных чисел. С возрастанием показателя точность степени приближенного числа быстро уменьшается, что стоит в связи с известной теоремой о границе относительной погрешности степени (она равна произведению границы относительной погрешности

основания на показатель степени). Однако при возведении в квадрат и в куб все же можно сохранять столько значащих цифр степени, сколько их имеет приближенное основание; надо только иметь ввиду, что последняя цифра округленной по этому правилу степени (квадрата, а особенно куба) будет менее надежной, чем последняя цифра основания. Опыты с возведением в квадрат и куб точных и соответствующих приближенных чисел, весьма облегчаемые применением таблиц квадратов и кубов, показывают это с полной убедительностью.

Обратное мы имеем при выполнении действия извлечения корня: точность корня из приближенного числа растет при возрастании показателя (граница относительной погрешности корня равна границе относительной погрешности подкоренного, деленной на показатель корня). При извлечении квадратного и кубического корней, однако, в результате следует брать столько же цифр, сколько их имеет приближенное подкоренное, но последняя цифра корня будет при этом более надежна, чем последняя цифра подкоренного.

Вычисление одночленного выражения посредством таблицы &-значных логарифмов дает в результате число, имеющее к значащих цифр, причем последняя (fc-ая) цифра результата не вполне надежна. В этом легко убедиться, вычисляя какое нибудь выражение посредством 3, 4, 5, 6, 7-значных логарифмов и непосредственно. Отсюда вытекают два следствия: 1) чтобы получить посредством логарифмов к вполне надежных значащих цифр в результате вычисления (одночленного выражения), следует применять таблицу логарифмов с fc-\-1 десятичными знаками; 2) если наименее точное (по числу значащих цифр) приближенное данное имеет к значащих цифр и результат, следовательно, может быть вычислен лишь с к значащими цифрами (предполагаю, что вычисляется одночленное выражение), то бесполезно применять таблицу логарифмов более чем с fc-f-1 знаками; можно даже ограничиться и й-значными логарифмами, если мириться с тем, что последняя (&-ая значащая) цифра результата, несколько сомнительная уже в силу неточности данных, станет еще более сомнительной из-за вычислительных погрешностей, обусловленных применением /с-значных логарифмов. Эти два следствия и приводят к VIII правилу подсчета цифр.

Большинство данных, с какими приходится иметь дело в технике и в повседневной жизни, имеют 3 или даже 2 значащих цифры. Поэтому становится понятным то широкое распространение, какое получила у техников логарифмическая линейка, заменяющая, при нормальной длине в 25 cm, таблицу трехзначных логарифмов. Таблица четырехзначных логарифмов, дающая 4 первых значащих цифры всякого результата, из которых три вполне надежны, четвертая несколько сомнительна, является, по видимому, основной логарифмической таблицей для постоянного употребления. Ее надо заменять другими таблицами, дающими большую точность, лишь в тех сравнительно редких случаях, когда эта большая точность соответствует точности данных и действительно необходима.

§ 11. Способ границ. Заканчивая настоящую статью, подчеркну еще раз, что в ней речь шла только о вычислениях без строгого учета погрешностей. Когда такой учет нужен, т.-е. когда требуется определенная численная характеристика точности окончательного результата, можно воспользоваться способом границ, который так прост, что без затруднений может применяться и в школе. Он основан на нескольких крайне простых теоремах, вроде следующих: низшая граница суммы равна сумме низших границ слагаемых; низшая граница разности равна разности между низшей границей уменьшаемого и нысшей границей вычитаемого, и т. д. Чтобы дать пример применения способа границ, вычислим этим способом

tg25° по известному Sin 25е = 0,423, уже найденный в § 3 без строгого учета погрешностей. Вот схема этого вычисления и само вычисление, понятное без особых пояснений.

Низшая граница | Высшая граница

Установив, что искомой tg25° содержится между 0,4661 и 0,4676, мы можем сказать, что tg25° равен 0,467 с погрешностью, во всяком случае не превосходящей 0,0009, а следовательно, и подавно не превосходящей 0,001. Итак, ручаемся, что tg25° = 0,467 (±0,001). Заглядывая, для поверки, в таблицу 5-значных тригонометрических величин, видим, что tg25u = 0,46631, что и подтверждает наше заключение.

ОЧЕРКИ ПО МЕТОДИКЕ АРИФМЕТИКИ.

Ф. А. Эрн. (Рига.)1

ГЛАВА I.

Монографическое изучение чисел первого десятка.

В теоретической части методики было уже указано на то, что в настоящее время большинство методистов считает необходимым посвящать первые уроки арифметики монографическому и всестороннему изучению чисел первого десятка, основанному, с одной стороны, на наблюдении и сравнении конкретных совокупностей, с другой стороны—яд счете отдельных предметов в этих совокупностях.

Такое изучение чисел должно быть монографическим, т.-е. каждое число изучается отдельно, в последовательности чисел первого десятка, и всесторонним, т.-е. каждое число изучается как можно подробнее со всех сторон, причем устанавливается состав изучаемого числа из единиц и других числовых групп и всевозможные отношения этого числа к другим раньше изученным числам.

Цель всех этих упражнений двоякая: с одной стороны, создать а сознании ребенка возможно более ясное, определенное и точное понятие о каждом числе первого десятка (некоторые методисты говорят даже о числовом представлении), с другой стороны, подготовить детей к пониманию действий над числами, их сущности и смысле.

Рассмотрим теперь подробно, из какого рода упражнений складывается монографическое и всестороннее изучение чисел 1-го десятка и в каком порядке эти упражнения должны следовать одно за другим. Относительно вида этих упражнений и их последовательности различные методисты высказываются различно. Нам представляется наиболее удачным

1 Из 2-й части «Методики математики» Ф. А. Эрна, за смертью автора, в 1926 г., оставшейся ненапечатанной.

план, представляющий собою соединение планов, предложенных швейцарским педагогом Штеклином и Д. Л. Волковским.

При изучении каждого числа повторяются следующие упражнения:

1) Непосредственное восприятие изучаемого числа, путем наблюдения совокупности или группы, состоящей из нужного числа отдельных предметов, и счет этих отдельных предметов.

2) Образование нового числа из раньше изученных чисел путем упражнений на вещественных наглядных пособиях.

3) Письменное обозначение числа (числовые фигуры и цифры).

4) Распознавание изучаемого числа и групп, входящих в его состав, на картинках и рисунках.

5) Упражнения в счете звуков, движений и пр.

6) Упражнения над совокупностями, предметами и явлениями, хорошо знакомыми детям, но не подвергающимися непосредственному наблюдению.

7) Упражнения в сравнении и действиях над отвлеченными числами с записью результатов.

Сущность и цель каждого из этих упражнений лучше всего выяснить на каком-нибудь конкретном примере. Возьмем, например, изучение числа 6.

1. Для непосредственного восприятия учащимися числа 6 учитель приносит в класс какой-нибудь предмет, на котором ясно видны 6 отдельных, но совершенно однородных частей, например, игрушечная кровать или стол с 6 одинаковыми ногами, игрушечный локомотив с 6 колесами, лесенка с 6 ступеньками, ветка с 6 симметрично расположенными листьями, куб (6 граней). Желательно, чтобы отдельные части были видны детям все сразу (неудобства куба) и расположены симметрично, лучше всего в виде числовой фигуры числа 6 д-ра Лая (неудобство лесенки, в которой ступеньки расположены в ряд, а не по группам).

Учитель предлагает учащимся внимательно рассмотреть показываемый предмет, обращая внимание главным образом на нужные в данном случае 6 частей. Затем несколько учащихся один за другим сосчитывают число наблюдаемых частей предмета. Результатом счета и наблюдения и получается новое число 6, состоящее из 6 отдельных единиц.

Наконец, здесь же можно приступить к разложению числа 6 на простейшие группы: 6 = 3-f-3 и 6 = 2-f-2 + 2. (Сколько листьев на ветке с правой стороны? Сколько с левой? Сколько всего? Сколько у стола передних ножек, задних, средних? и пр.)

2. Чтобы наглядно показать детям процесс образования изучаемого числа (6) из предыдущего, уже изученного числа (Ь), учитель предлагает детям отсчитать из имеющихся у каждого ученика кубиков, спичек или марок 5 штук и расположить их в виде числовой фигуры д-ра Лая.

Получается фигура ° ° или J J.

Затем предлагается детям взять еще одну марку или спичку и заполнить ею нижнее свободное место в правом столбце. Получается фигура

о о или 1 1 оо 11

в которой дети или сосчитывают число марок или спичек, или непосредственно узнают число 6, так как в этих фигурах отдельные единицы расположены совершенно так же, как были расположены отдельные части предмета, подвергавшегося наблюдению в 1-м упражнении.

Итак, 6 получается путем присоединения одного к пяти. Этот вывод может быть проведен путем построения числовых фигур пяти и шести других видов, например,

Затем можно перейти к разложению числа 6 на группы или к составлению числа 6 из других ранее изученных чисел, пользуясь теми же разнообразными числовыми фигурами, составляемыми самими учащимися.

При этом нет необходимости пользоваться только разложением числовой фигуры 6-ти на части, как это рекомендует д-р Лай. Наоборот, путем этих упражнений желательно наглядно демонстрировать оба взаимно-обратных процесса, лежащих в основе арифметических действий: соединение частей в целое и разложение целого на части. Поэтому нужные задачи могут быть предлагаемы детям в различной форме, напр.:

1) Отсчитайте 4 кубика и поставьте их попарно, одну пару за другой. Под нижней парой поставьте еще два кубика. Сколько у вас теперь кубиков?

2) Отсчитайте 4 спички. Сколько спичек надо еще добавить, чтобы получилось 6 спичек? Сделайте это.

3) Отсчитайте 6 марок и разложите их попарно, одну пару под другой. Сколько получилось пар? Отделите (возьмите прочь) одну пару (2 марки). Сколько марок осталось?

Таким образом чисто-наглядным путем дети получают ряд результатов, которые учащиеся пока выражают только устно, примерно, таким образом: 4 кубика да 2 кубика будет 6 кубиков. 6 кубиков без 2 кубиков будет 4 кубика. 3 пары спичек будет 6 спичек. 6 марок можно разложить на 3 пары. 3 кубика да 2 кубика, да еще 1 кубик будет 6 кубиков и т. д.

3. Письменное обозначение числа.

Эти упражнения рекомендуется начинать с рисования в тетрадях и на классной доске различных чи:ловых фигур, числа 6, составляемых из точек, кружочков, черточек и крестиков. Затем можно приступить к ознакомлению детей с цифрами.

Некоторые методисты указывают на то, что арабские цифры по своему начертанию слишком трудны и представляют собою чисто-символические обозначения, ничем не указывающие на число единиц в обозначаемом числе. Поэтому эти методисты рекомендуют знакомить детей сначала с римскими цифрами, пользуясь только двумя символами: I (изображение пальца) и V (обозначение руки). Таким образом 4 обозначается так: ПИ, 6—VI, 7—VII, 9—Villi. С другой стороны, другие методисты полагают, что для детей, знакомых с элементами письма, писание арабских цифр не может представить больше затруднений, чем запись таких трудных по начертанию букв, как б, д, ж, з, к и пр. Чтобы сблизить цифры-символы с обозначаемыми ими числами, можно сначала арабским цифрам придавать форму числовых фигур, составленных из стольких черточек, сколько единиц в обозначаемом числе: и т. п. (Правда, в некоторых случаях эти числовые фигуры лишь

очень отдаленно напоминают собою действительные арабские цифры: / î 3 / , в других они слишком сложны.)

Нам кажется, что вряд ли стоит много спорить о вопросе, с какими цифрами следует начинать знакомить учащихся. Если учитель сумеет правильно распределить уроки в начале обучения и приступит к всестороннему изучению чисел лишь после того, когда дети познакомятся с главнейшими элементами букв, то возможно одновременно упражнять учащихся в писании и римских и арабских цифр при изучении каждого числа.

Для дальнейшего выяснения и углубления понятия (представления) о каждом числе 1-го десятка служат готовые картинки или изготовляемые учителем или самими учащимися рисунки. И здесь цель достигается путем счета отдельных предметов и путем наблюдения и сравнения изображенных на картине групп предметов.

Но от предыдущих упражнений эти упражнения с картинками отличаются следующими важными элементами;

1. Здесь дети имеют дело не с самими предметами и совокупностями, а лишь с их изображениями, познаваемыми только зрением.

2. Предметы, входящие в состав совокупности, изображенной на картинке, могут быть не вполне однородны, и, следовательно, при счете их детям приходится отвлекаться от качественных различий отдельных предметов.

3. Изображаемые на картинке предметы и совокупности неподвижны, и поэтому отделение от совокупности некоторой ее части или соединение двух совокупностей в одну на самом деле произвести нельзя (как с кубиками или со спичками); эти акты учащиеся должны себе представить.

Вообще говоря, эти упражнения с картинками полезны тем, что они заменяют выработанные учащимися понятия о 6, положим, кубиках, 6 спичках, 6 марках понятием о 6 каких-нибудь предметах и таким образом способствуют выработке в дальнейшем понятия об отвлеченном числе.

4. Картинки и рисунки предоставляют больше простора детскому воображению, и поэтому эти упражнения могут возбудить больше интереса у детей.

В большинстве новых сборников арифметических задач на первых страницах помещено много картинок и рисунков, дающих материал и для счета, и для наблюдения и сравнения конкретных совокупностей. Кроме этих картинок в книжке, учитель может подобрать или нарисовать для каждого числа подходящую большую картину, которую можно рассматривать всем классом. Если на картине нарисовано несколько предметов, совершенно одинаковых во всех отношениях, то ею можно воспользоваться только для счета. Если же отдельные предметы отличаются друг от друга величиною, формою, положением или цветом, то при помощи такой картины можно провести целый ряд упражнений в наблюдении и сравнении совокупностей путем соединения частей в целое и разложения целого на части.

Положим, что дети, изучая число 6, рассматривают картину, на которой изображено 6 детей: 3 мальчика и 3 девочки, разных возрастов, в различных костюмах, за различными занятиями.

Наблюдая эту картину, дети должны ответить на следующие, примерно, вопросы учителя: Сколько мальчиков вы видите на этой картинке? А сколько девочек? Сколько всего детей? Сколько детей играют в мяч? (2)

Сколько играют в куклы? (2) Сколько всего детей играют? Сколько детей занято чтением? (2j Сколько будет 2 да 2 да еще 2? Сколько детей стоит? (2) и сколько сидит? (4) Сколько же будет 2 да 4? Дети построились в пары; сколько пар вышло? Двое детей ушло играть на двор; сколько детей осталось? Один мальчик вернулся со двора; сколько детей теперь в комнате? Еще трое ушли из комнаты; сколько осталось? Сколько детей должно теперь притти в комнату, чтобы их опять стало 6? и т. д.

Подобного рода упражнения можно вести и на картинках и рисунках, изготовляемых учителем на классной доске или учениками в своих тетрадях. Такими упражнениями можно пользоваться и для самостоятельных работ учащихся, исполняемых в то время, когда учитель занимается с другим отделением. (Придумать и зарисовать несколько задачек на число 6 о 6 яблоках, 6 птичках, 6 солдатах и пр.)

5. Раньше чем перейти к изучению числа путем внутреннего наблюдения и счета предметов в совокупностях, не находящихся на глазах у учеников, полезно проделать несколько упражнений в счете звуков и отдельных движений (счет стуков, производимых карандашом о доску стола; счет шагов, проходимых учеником или его товарищем; счет движений руки вверх, вниз, в сторону и пр ). Эти упражнения важны между прочим потому, что результат счета при этом дает не число реальных предметов, а указывает, сколько раз произошло то или другое явление. Результат такого счета имеет, стало быть, характер отвлеченного числа. И тем не менее и эти числа можно «наглядно» разложить на группы, если звуки и движения, а следовательно, и счет этих звуков и движений подчинить ритму. Учитель хлопает, напр., в ладоши 2 раза, потом делает небольшую паузу, снова хлопает в ладоши 2 раза и опять делает паузу, наконец, делает последние 2 хлопка. Таким образом 6 (ударов), и число 6 распадается на три группы по 2. Или ученик делает перед классом три шага и останавливается; погом делает снова 3 шага. Результат: 3-|-3 = 6. Разумеется, и эти упражнения можно и должно всячески разнообразить.

6. Дальнейшая подготовка детей к пониманию отвлеченного числа должна состоять в упражнениях в счете, соединении и разложении хорошо знакомых учащимся совокупностей или частей предметов, не находящихся в классной комнате. В этом случае дети оперируют, следовательно, не над самыми предметами, а лишь над их представлениями путем так называемого внутреннего наблюдения.

Богатый материал для этих упражнений дает прежде всего домашняя обстановка и семейная жизнь учащихся: члены семьи, домашние животные и птицы, разного рода мебель и посуда, окна, двери в доме, квартире или комнате, деревья, кусты и цветы в саду, гряды в огороде и пр. могут служить предметами счета (если число предметов не превышает 10) и давать материал для составления подходящих задач на соединение и разложение совокупностей. Разумеется, этот материал должен быть своевременно подготовлен: накануне того урока, который предполагается поставить этим упражнениям, учитель предлагает детям пересчитать дома различные предметы и запомнить те из них, которые окажутся в нужном числе (например, в количестве 6). Таким образом к следующему уроку в распоряжении почти каждого учащегося будет свой собственный числовой материал, который может быть использован и им самим и его товарищами.

Задачи, требующие для своего решения соединения или разложения совокупностей и чисел, могут быть составляемы частью учителем, а главным образом самими учащимися; по сущности своей это такие же простые задачи, как те, о которых было говорено при разборе упражнений с картинками и рисунками.

Материалом для этих упражнений (главным образом для счета) могут служить не только реальные предметы и группы предметов, но и хорошо известные детям однородные понятия; так, например, дети должны уметь отвечать на подобные вопросы: назовите мне 6 домашних животных, 6 птиц, 6 цветков, 6 имен мальчиков или девочек, 6 букв и пр. И над этим материалом можно производить упражнения в соединении и разложении числа на группы; напр., одному ученику предлагается назвать 4 домашних животных, другой называет 2 животных, а третий должен сказать, сколько всего животных было названо. Составление и решение подобных задач может иногда оживляться так называемыми арифметическими беседами или рассказами на подходящие к изучаемому числу темы; так, при изучении числа 4 можно провести беседу о 4 временах года, для числа 6 пригодна разработка известной сказочки о деде, бабке, внучке, жучке, кошке и мышке, тащивших репку. (Хорошо, если учитель сумеет зарисовать на классной доске отдельные моменты сказки.) Для числа 7—беседа о днях недели и т. д.

7. Изучение каждого числа первого десятка заканчивается упражнениями в счете, соединении и разложении отвлеченных чисел. Здесь закладывается первоначальный фундамент для будущих таблиц действий в пределе первого десятка. Здесь, следовательно, учащимися разрешаются вопросы такого рода: сколько будет 5 да 1? 2 да 4? Сколько будет 6 без 3, 6 без 4? Сколько будет 2 да 2, да еще 2? Из скольких троек можно составить 6? и пр. Упражнения эти проделываются главным образом устно, но при изучении последних чисел первого десятка (7, 8, 9, 10) можно, если учитель найдет это желательным, научить детей кратко записывать получаемые результаты, заменяя слова «да», «без» и «будет» знаками -f-, — и =. Введение знаков умножения и деления на этой ступени обучения мы считали бы преждевременным.

Заканчивая монографическое изучение чисел первого десятка, необходимо обратить внимание и на упражнение детей в сознательном прямом и обратном счете, без твердого знания которых учащиеся долго будут ошибаться в сложении и вычитании чисел 1 десятка. Упражнение в счете и поверка знания учащимися последовательности чисел натурального ряда в пределе 1-го десятка должны состоять в следующем:

1. Прямой счет на наглядных пособиях от 1 до 10. 2. Такой же обратный счет от 10 до 1. 3. Прямой и обратный счет в пределе 1 десятка, беспредметный. 4. Прямой и обратный счет на наглядных пособиях или без них от любого числа 1-го десятка вперед или назад. 5. Ответы на вопросы: какое число стоит после 6? а перед 6? Какое число находится между 6 и 8? Какие числа находятся между 5 и 8? между 7 и 2? и т. д.

В заключение этой главы считаем нужным сделать еще одно замечание общего характера. До сих пор приходится еще слышать, что монографическое и всестороннее изучение чисел 1-го десятка в том виде, как мы его изложили, представляет собою лишний баласт, являясь ненужной, а может быть даже вредной игрой в числа. Возражая на это, напомним, что разумная игра является чрезвычайно полезным образовательным и воспитательным средством. Что же касается методической ценности всех вышеописанных упражнений, то не следует забывать, что их главная цель—создать в душе ребенка, приступающего к изучению арифметики, ясные, отчетливые и прочные образа, связанные с каждым числом 1-го десятка, и подготовить их к пониманию процессов соединения и разложения, лежащих в основе всех арифметических действий. Цель эта может быть достигнута большим или меньшим числом упражнений в зависимости от общего развития и способностей учеников, составляющих данный класс.

Если большинство учащихся уже хорошо и сознательно считают и владеют ясными и точными понятиями о всех числах первого десятка, то было бы, конечно, неразумно долго останавливаться на этом введении в арифметику; в этом случае изучению чисел 1-го десятка было бы достаточно посвятить, может быть, 5—6 уроков, привлекая к активной работе главным образом наиболее отсталых детей и останавливаясь лишь на некоторых наиболее важных упражнениях. Если же класс по развитию и способностям учащихся слабый, если учитель убедится, что большинство учащихся умеет считать только механически и что понятия о числах 1-го десятка у многих детей неясны, туманны и неустойчивы, то на монографическое и всестороннее изучение этих чисел придется обратить серьезное внимание, отделив на него 15—20 первых уроков.

ГЛАВА II.

Арифметические действия в пределе первого десятка.

После выработки в детях понятия о каждом числе первого десятка и подготовки их к пониманию процессов соединения и разложения совокупностей и чисел можно перейти к систематическому изучению арифметических действий в пределе первого десятка.

Напомним, что изучить арифметическое действие значит: 1) понять его сущность и цель, т.-е. понять, в каких случаях и когда оно производится, и 2) вполне овладеть приемами производства действий.

Мы придерживаемся того мнения, что в пределе 1-го десятка следует остановиться лишь на изучении сложения и вычитания, ознакомление же с умножением и делением отложить до 2-го концентра. Такое распределение материала кажется нам более рациональным по следующим основаниям:

1. Детям, только-что приступающим к изучению арифметики, надо основательно познакомиться с простейшими случаями процессов соединения частей в целое и разложения целого на части; при ознакомлении их сразу со всеми 4 действиями характерные черты, отличающие одно действие от другого, выступят не так резко и определенно, и дети будут иногда смешивать различные действия.

2. Для изучения умножения и деления 1 десяток дает слишком мало числового материала: таблица умножения, например, дала бы только следующие 5—8 произведений: 2X2 — 4; 2X3 = 3X2 = 6; 2\4 = 4Х X 2 = 8; 2X5 = 5X2 = 10 и 3X3 = 9. На таком бедном материале невозможно вполне выяснить сущность и цель действия.

При рассмотрении сложения и вычитания в первом концентре следует познакомить детей только с простейшими видами или случаями применения этих действий, представляющими собою чистое и непосредственное соединение двух или нескольких частей в одно целое и отделение от данного целого некоторой данной части с целью определить величину оставшейся части. Со всеми другими видами сложения и вычитания (увеличение и уменьшение на несколько единиц, разностное сравнение и пр.) дети познакомятся постепенно на следующих ступенях обучения.

Остается решить еще один общеметодический вопрос: изучать ли сложение и вычитание одновременно и параллельно, противопоставляя одно действие другому, или рассмотреть сначала сложение и потом только перейти к вычитанию?

Сторонники одновременного прохождения обоих действий указывают на легкость и простоту полученных результатов вычитания в том случае,

если нахождение остатка непосредственно привлекает к нахождению соответственной суммы: найдя, например, что 4 -[-3 = 7, т.-е. что 7 состоит из 4 и 3, дети без труда поймут, что 7 без 4-х будет 3, т.-е. 7 — 4 = 3.

Это соображение, конечно, совершенно справедливо, и им и следует иногда пользоваться при нахождении результатов вычитания во время монографического изучения чисел 1-го десятка. Но нельзя забывать, что это соображение относится только к приемам нахождения результатов, т.-е. к производству действий. При выяснении же смысла и цели сложения и вычитания вряд ли было бы разумно рассматривать оба действия одновременно, так как понимание вычитания, как действия самостоятельного, несомненно легче дается детям, чем понимание его, как действия, обратного сложению. Поэтому нам кажется, что одновременное выяснение понятия о сложении и вычитании не упростило бы, а, наоборот, усложнило бы изучение этих действий.

В виду всего сказанного мы предложили бы такой порядок изучения сложения и вычитания в пределе 1-го десятка:

1) Выяснение понятия о сложении.

2) Выяснение понятия о вычитании.

3) Составление таблиц сложения и вычитания и техника присчитывания и отсчитывания.

Как уже было указано в теоретической части методики, главным средством для выяснения сущности и цели арифметических действий служит решение надлежаще подобранных простых задач. С такими задачами дети уже встречались на уроках, посвященных монографическому изучению чисел первого десятка, и, следовательно, почва для понимания смысла и цели сложения и вычитания уже подготовлена. Теперь остается порешать с детьми еще ряд таких же задач в определенной последовательности, выявить по возможности резко и определенно характерные признаки сходства и различия в каждой группе задач и сделать отсюда соответствующие выводы.

И здесь следовало бы начать с решения 2—3 задач с вещественными наглядными пособиями. Учитель мог бы провести, примерно, такую беседу:

— Дети! отсчитайте каждый 5 палочек (спичек) и возьмите их в левую руку. Отсчитайте еще 2 палочки и возьмите их в правую руку. Петя! Подыми твою левую руку! Сколько в ней палочек? Подыми правую руку! Сколько в ней палочек? Оля! скажи, сколько у тебя палочек в каждой руке! Сосчитаемте теперь: сколько палочек у каждого из вас всего в обеих руках?-Если один или несколько учеников вызовутся сразу отвечать на этот вопрос (на основании всестороннего изучения числа И) и дадут верный ответ, то его следует принять, но затем все-таки перейти к объяснению присчитывания по одной единице.—Переложите для этого одну палочку из правой руки в левую. Сколько теперь стало палочек в левой руке. (Спрашиваются 2 — 3 ученика) А сколько осталось в правой? (1). Переложите и эту последнюю палочку в левую руку. Сколько теперь всего палочек в левой руке? Все ли палочки вы соединили вместе? Сколько же всего палочек оказалось, когда к 5 палочкам вы присчитали 2 палочки? Значит, сколько будет всего: 5 палочек да еще 2 палочки?

Таким же образом решаются подобные же задачи о соединении путем присчитывания 4 кубиков и 3 кубиков в одно целое. Затем учитель откладывает на одной из проволок классных счетов 2 шарика и немного подальше на той же проволоке еще 6 шариков (если у учеников имеются самодельные ручные счеты, то каждый из них проделывает

то же самое на своем приборе; если ручных счетов нет, то к классным счетам вызывается один ученик, а остальные следят за его работой). Ученику, вызванному к счетам, учитель предлагает узнать, сколько будет вместе 2 шарика и 6 шариков. Что для этого надо сделать? Если ученик скажет, что надо к 2 шарикам присчитать 6 шариков, и начнет к 2 шарикам придвигать и присчитывать по одному все 6 шариков, то надо дать ему закончить эту работу, привлекая к отдельным ее моментам и других учащихся. Когда результат будет найден и окажется, что 2 шарика да 6 шариков будет всего 8 шариков, учитель предлагает всему классу вопрос: не скажет ли мне кто-нибудь, как эту задачу решить проще и скорее? Нам ведь пришлось очень долго присчитывать 6 шариков к 2 шарикам! Нельзя ли иначе соединить 2 шарика и 6 шариков вместе? Очень вероятно, что несколько учеников догадаются, что можно было 2 шарика присчитать к 6 шарикам. Если никто не догадается, то придется учителю самому указать на эту возможность.

Затем результат получается еще раз уже новым, более кратким путем. Одинаковость результата окончательно убеждает всех учеников в правильности нового приема. Таким образом делается первый шаг к ознакомлению детей с независимостью суммы от перемены места слагаемых (закон переместительности); этим свойством суммы в дальнейшем необходимо пользоваться каждый раз, когда второе слагаемое больше первого.

После решения этих задач на вещественных наглядных пособиях следует решить 2-3 такие же задачи на сложение на графических пособиях. Эти упражнения труднее предыдущих, так как начерченные кружки или крестики одной группы ученики должны будут присоединить или присчитывать к предметам другой группы, передвигая их не на самом деле, а только в воображении.

Далее можно перейти к решению задач на сложение без всяких наглядных пособий. Эти задачи потребуют от учащихся, чтобы: 1) они отчетливо представляли себе каждую из соединяемых совокупностей и отдельные предметы в них и 2) умели бы произвести присчитывание предметов одной воображаемой группы к другой, тоже воображаемой совокупности.

По своему содержанию эти задачи должны быть очень просты, и речь в них должна итти исключительно о совокупностях и предметах, очень хорошо знакомых детям.

Со стороны формы задачи эти должны быть построены так, чтобы в каждой из них определенно подчеркивался факт соединения двух данных частей в одно целое и требование определить величину этого неизвестного целого. Это последнее требование должно быть выражено в вопросе задачи в одной и той же (или почти одной и той же) форме: сколько было (или будет, или получится) тех или других предметов всего или вместе?

Факт же соединения двух частей в одно целое, по существу одинаковый во всех задачах, может словесно выражаться различно, и чем разнообразнее будут слова, требующие присоединения одной группы к другой, тем лучше. А слова эти могут быть таковы: «и еще», «прибавилось еще», «получено еще», «присоединил еще», «прикупил», «пришло или прилетело еще», «нашел еще», «прилито или присыпано» и т. д.

Соединяемые в одно целое совокупности должны быть, на этой ступени обучения, совершенно однородны. Решение таких задач, как: «На дворе играло 5 мальчиков и еще 4 девочки. Сколько всего детей играло на дворе?», требующее от детей умения обобщать «мальчиков» и «девочек» в «детей», должно быть отложено до одного из следующих концентров.

После решения целого ряда таких одинаковых по смыслу и цели задач необходимо обратить внимание учащихся на постоянные характерные черты их сходства и на несущественные признаки различия. Надо выяснить детям, что во всех этих задачах даются (известны) две части одного и того же целого (напр., птицы, сидевшие уже на дереве, и птицы, прилетевшие потом; вода, налитая в графин, и вода, прилитая туда же после, и пр.), что слова «прилетели», «прилито», «и еще» и др. —все означают одно и то же и могут быть всегда заменены словом «присоединено», показывающим, что обе части необходимо соединить вместе в одно целое посредством присчитывания и узнать величину этого целого. От самих детей, конечно, не следует требовать связного пересказа анализа задачи на сложение, но каждый ребенок в классе должен уметь правильно указать в каждой задаче обе данные части и указать, что с ними надо сделать (присчитать одно число к другому или соединить два числа вместе). Удостоверившись в том, что учащиеся действительно поняли и усвоили смысл и цель сложения, как арифметического действия, учитель может предлагать самим детям придумывать подобные задачи. Если дети сумеют придумать подходящие задачи, то учителю останется только сообщить им, что все такие задачи решаются сложением или прибавлением.

Наконец, если при монографическом изучении чисел 1-го десятка учитель не нашел нужным ознакомить детей со знаками + и —, то это необходимо сделать теперь. Для этого полезно результат решения нескольких задач записать (на доске и в тетрадях учеников) в гаком виде:

«4 куб. да 3 куб. будет 7 куб.» или

«6 стак. да 2 стак. будет 8 стак.», а потом условиться вместо слова «да» писать -f- (плюс), а вместо слова «будет» писать — (равно). Результаты решения последующих задач и примеров на сложение должны быть записываемы уже при помощи этих общеупотребительных знаков.

(Окончание в след. номере.)

ЗАДАЧИ.

10. К числу 617 приписать справа три цифры так, чтобы полученное число делилось на 7, 8 и 9.

11. Показать, что если а не делится на 5, то

делится на 50.

12. Решить уравнение:

13. Решить уравнение:

С. Адамович (Тула).

14. Решить в целых числах уравнение:

15. Построить треугольник ABC, если даны основания Е и F двух его высот, выходящих из вершин В и С, и прямая MN, на которой лежат эти вершины.

16. Построить треугольник по углу, периметру и радиусу вписанного круга.

17. Найти Sn27° и es 27° бе* помощи таблиц.

18. Найти геометрическое место центров окружностей, касающихся данного круга и данной прямой.

ЗАДАЧИ ИЗ «МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ» ЗА 1917 Г.. ОСТАВШИЕСЯ НЕ РЕШЕННЫМИ.

307. Определить в целых числах стороны треугольника, площадь и периметр которого выражаются одним и тем же числом.

308. Построены: 4-угольник, 5-угольник, 6-угольник и т. д. Число диагоналей во всех многоугольниках 800. Сколько построено многоугольников?

309. Решить в целых числах уравнение:

313. Составить уравнение 3-й степени с рациональными коэффициентами, корни которого равнялись бы его коэффицентам.

315. Найти три целых числа, парные произведения которых составляют арифметическую прогрессию.

316. Решить в целых и положительных числах уравнение:

317. Показать, что уравнение:

не может быть решено в целых числах.

320. Решить уравнение:

Решения всех предложенных задач предлагается присылать в редакцию (Москва, Маросейка, Старосадский, 9, кв. 4).

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

1. Железнодорожный поезд проходит мимо наблюдателя в 8 сек., а мимо платформы длиною в 400 м.—в 33 сек. Найти длину и скорость поезда.

Предполагая, что наблюдатель стоит у крач платформы, заключаем, что он увидит конечную точку поезда чрез 8 сек. после подхода его к платформе. На пробег всей платформы той же точке потребуется 33 — 8 = 25 сек., следовательно скорость ее и всего поезда равна 400: 25 = ==16 метр., а длина поезда 16.8 = 128 м.

М. Юкин, В. Скворцов (Москва), С. Карпенко (Жлобин), П. Милов (Люблино). И. Чубинский (Оренбурга А. Барсуков (Москва), К. Верещагин (Козлов), Е. Воскресенская (Павлов на Оке), И. Дианов (Ефремов), В. Ефимов (Пермь), И. Кастровицкий (Сталинград), К. Кирбятьев (Претория), В. Игумнов (Чебоксары), П. Николаев (Песоченский завод), Б. Авилов, К. Торопов, А. Филиппов (Оренбург), Цивчинский (Одесса), А. Никольский (Чернигов), В. Сакк (Верхнеднепровск), Д. Александров (Чебоксары), X. У. (Ростов на-Дону), Л. Гейвши (Сураж).

3. Решить уравнение:

X* — 4л:3 -f X2 -f 6х +2 = 0. Полагая, для уничтожения члена с л?, х = j/-f-1, получим после упрощений биквадратное уравнение:

у _5у2-|_6 = 0,

откуда: у, = j/З; у2 = — j/З; у3 « ]/2, yà — — j/2

и хх = 1 + |/3; X. = 1 — j/З: xs = 1 + ]/^ xk « 1 — j/2

2-е решение. Данному уравнению можно придать вид:

(лг* — 4л:3 + 6л? — 4х -f 1 ) + (— 5х2 + lOx-f 1) =0 или (х — \)^ — Ъ (х-1)2+6=0,

откуда лг1>2 = 1 ± j/2; л;3,4 = 1 ± j/з.

М. Юкин, М. Горнштейн (Москва), С. Кириенко (Жлобин), И. Чубинский (Оренбург). А Барсуков (Москва), К. Верещагин (Козлов), Е. Воскресенская (Павлов на Оке), В. Ефимов (Пермь), В. Зяблицкий, Н. Шуйский (Владимир), П. Николаев (Песоченский завод), А. Никольский (Чернигов), X. У. (Ростов на-Дону), Л. Гейвши (Сураж), В. Сакк (Верхнеднепровск), К. Торопов (Оренбург), А. Цивчинский (Одесса).

5. Найти объем правильной 4-угольной пирамиды, сторона основания которой a, a плоский угол при вершине равен углу между ребром и плоскостью основания.

Пусть в пирамиде SABC высота есть 50; опуская из вершины основания В перпендикуляр BE на ребро SA, убеждаемся, что тр—к SBE равен т—ку SOA по равенству гипотенуз и острых углов. Поэтому, обозначая ребро пирамиды / и высоту А, имеем из тр—ков SO А и ABE систему уравнений

и искомый объем пирамиды

М. Юкин (Москва), С, Кириенко (Жлобин), И. Чубинский (Оренбург), А. Барсуков, В. Хотимский (Москва), К. Верещагин (Козлов), Е. Воскресенская (Павлов на Оке). В. Игумнов (Чебоксары), А. Никольский (Чернигов), В. Сакк (Верхнеднепровск), К. Торопов (Оренбург), Н. Шуйский (Владимир), X. У. (Ростов на-Дону), Л. Гейвши (Сураж), А. Чернов (Тула), А. Цивчинский (Одесса), Флавиан Д. (Самара). Н. Дианов (Ефремов).

6. Показать, что уравнение круга, имеющего диаметром прямую, соединяющую точки с координатами (х\ уг) и (х",у") относительно некоторой прямоугольной системы координат, может быть представлено в виде:

(х — х') (х — хГ) + {у—уГ) (у-у") = 0.

Полагая, что точка M (х, у) соединена с упоминаемыми в условии точками А (хг, у') и В (х", у") прямыми, найдем, что уравнения этих прямых будут соответственно:

причем угловые коэффициенты их:

Если точка M лежит на окружности, то прямые AM и ВМ взаимно перпендикулярны, откуда

откуда и следует, что уравнение круга есть:

М. Юкин (Москва), И. Чубинский (Оренбург), К. Верещагин (Козлов), Е. Воскресенская (Павлов на Оке), Л. Гейвши (Сураж\ В. Сакк (Верхнеднепровск). К. Торопов (Оренбург), А. Цивчинский (Одесса), А. Никольский (Чернигов).

ХРОНИКА.

VII ПРИСУЖДЕНИЕ ПРЕМИИ ИМЕНИ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО.

Празднование столетней годовщины дня рождения Лобачевского (1893 г.), как известно, позволило физико-математическому обществу при Казанском университете поставить против здания университета памятник Лобачевскому и основать международную премию его имени за сочинения по неевклидовой геометрии. Шестикратное присуждение премии (1897, 1900, 1903, 1906, 1909 и 1912 г.) соединило с именем Лобачевского имена выдающихся представителей математической науки конца XIX и начала XX столетия. Премию получили Софус Ли, Гильберт, Ф. Шур, Киллинг, Уайтхед; золотые медали имени Лобачевского были присуждены за рецензии о сочинениях, представленных для соискания премии, Ф. Клейну, Пуанкаре, Энгелю, Пеано, Лезану, К. А. Андрееву, Б. К. Млодзеевскому. 7-й конкурс (в 1915 г.) не мог состояться, так как мировая война помешала сношениям с иностранными учеными. В 1918 г. капитал премии имени Лобачевского был секвестрован; но в 1926 г. по поводу юбилея открытия не-Евклидовой геометрии Наркомпрос РСФСР и правительство автономной Татарской республики ассигновали по 1000 р. для выдачи двух премий имени Лобачевского. В 1927 г. состоялся VII международный конкурс на получение первой из этих двух премий. На конкурс прислали сочинения: проф. Кэбе (Лейпциг), Ковалевский (Дрезден), Шиллинг Данциг), Скоутен (Дельфт), Струик (Роттердам), Варичак (Загреб) и Вейль (Цюрих). На основании отзыва проф. Гильберта денежная премия в 1000 руб. была присуждена комиссией физико-математического общества проф. Вейлю за представленные им работы:

1. Das Raumproblem. 1921.

2. Mathematische Analysis des Raumproblems. 1923.

3. Raum-Zeit-Materie. 19;3.

4. Zur Charakterisierung der Drehungsgruppen. 1923.

5. Theorie der Darstellung Kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen. I, II, III. 1925.

Ценные работы остальных конкурентов на основании подробных отзывов проф. Фубини, Д. Н. Зейлигера, Фалькенберга, Картана, П. А. Широкова и А. П. Котельникова были признаны заслуживающими почетных отзывов. Все отзывы помещены в «Известиях Физико-Математического Общества» (т. II, сер. 3, стр. 61—126) и представляют большой научный интерес.

МЕЖДУНАРОДНЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОНГРЕСС.

Шестой или восьмой (если считать международными конгрессы в Страсбурге и Торенто, на которых не участвовали ученые побежденных стран) международный конгресс состоится в Болонье 3—10 сентября текущего года. На конгрессе организуются 7 секций: 1) арифметика, алгебра, анализ, 2) геометрия, 3) механика, астрономия, геодезия, геофизика, математическая и теоретическая физика, 4) статистика, математическая экономия, исчисление вероятностей, теория вычисления актуариев. 5) инженерная наука с ее приложениями к промышленности, 6) элементарная математика, дидактические вопросы, математическая логика, 7) философия и история математики. Организационная комиссия наметила ряд итальянских ученых, которые взяли на себя труд подготовительной работы по отдельным секциям. По 6 секции

(элементарной математики) такими организаторами являются проф. Пеано, Амальди и Перна. Президентом организационной комиссии состоит проф. Пинкерле; членами конгресса могут быть без исключения все лица, работающие в области чистой математики или ее приложений. Членский износ (50 лип) высылается казначею конгресса проф. Борсарио (Comm. G. Borsario, Université de Bologne). Каждый член конгресса будет иметь право получить том трудов конгресса.

А. В.

ОТЧЕТ О ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ТУЛЬСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА.

Тульский математический кружок возник в конце 1925 г. и состоит при губотделе Союза рабпрос. Основателями и членами кружка являются преподаватели средних учебных заведений г. Тулы. Число членов доходит до 20.

Кружок имеет целью разработку вопросов элементарной и высшей математики и ее преподавания. Кроме обычных докладов на отдельные темы, в кружке устраивались, в целях пополнения математического образования преподавателей, также лекции по некоторым математическим дисциплинам, неизвестным или мало знакомым для членов кружка (по теории множеств, теории эллиптических функций, векторному анализу).

Всего за 2 года состоялось 22 заседания. Докладов было сделано 29, из них 25 научного содержания и 4—педагогического.

Весною 1926 г. было устроено заседание в память Н. И. Лобачевского, в котором принял участие приехавший из Москвы проф. А. В. Васильев, прочитавший доклад на тему «Исторический очерк развития не-Евклидовой геометрии».

В 1927 г. кружок посылал своего представителя на съезд математиков в Москве. Самый съезд и доклад о нем вызвали большой интерес среди преподавателей.

Нужно отметить, что число членов, принимающих активное участие в работах кружка, не велико. Более широкие круги преподавателей математики проявляют к нему мало интереса и присутствуют на его собраниях пока только в редких случаях. Одной из причин такого отношения является перегруженность преподавателей школьной работой. Впрочем, в последнее время круг активных работников стал несколько расширяться.

Председатель кружка Л. Ладыженский.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ.

Г. Вилейтнер. Как рождалась современная математика. Гиз. Пер. с немецкого под ред. проф. А. Я. Хинчина 1927 г. Ц. 1 р. 10 к.

В предисловии к рассматриваемой книге справедливо указывается на важность знакомства с историей науки для полного ее понимания, в частности для ознакомления с современной математикой, под которой автор понимает аналитическую геометрию и анализ бесконечно малых. Но содержание книги Вилейтнера оказывается шире ее заглавия: в ней излагается не только история возникновения, но и самая сущность упомянутых математических дисциплин. При этом автор предполагает у читателей «возможно меньше математической подготовки» (стр. 71), вследствие чего считает нужным полностью доказывать теоремы о площади треугольника и параллелограма (стр. 63), объяснять раскрытие неопределенности при х == 1, (стр. 93>, давать формулу для суммы чисел натурального ряда (стр. 83) и т. п. При небольшом объеме книги такое расширение задачи должно было повести к крайней сжатости и поверхностности изложения основ аналитической геометрии и анализа, и вряд ли они будут понятны лицам, незнакомым уже хотя отчасти с высшей математикой, а тем более незнающим основательно элементарных курсов. И сам автор как бы пред юлагает такое знакомство, нередко употребляя в дальнейшем изложении понятия и термины, с которыми он не знакомил раньше читателя. Так, на стр. 25 говорится о справедливости уравнения эллипса для косоугольных координат» о которых не упоминалось; на стр. 41 —о диаметрах эллипса; на стр. 51—о расстоянии точки от прямой хотя эта формула не выводилась; на стр. 70—о натуральном логарифме 2 и пр. В примерах для упражнений предлагается построить, напр., кривые у = -£-, з'-ггт , давая частные значения л\ но ничего не говорится, как

поступать при jc = 0 в первом и при х = 1 во втором примере; понятия о непрерывности и бесконечных значениях функций здесь не даются. Поэтому чтение глав, излагающих основы аналитической геометрии и анализа, доступно и, прибавим, несомненно интересно лишь для лиц с достаточной подготовкой.

Гораздо более удачной является историческая часть книги, отличающаяся живостью изложения, полнотою и новизною привлеченного материала. Особенно здесь ценно изложение работ по аналитической геометрии Ферма, которая обычно недостаточно освещается в курсах истории математики. Но и здесь желание автора охватить чуть не все эпохи развития науки и затронуть деятельность множества ученых приводит иногда к крайне поверхностному изложению вопроса. Так о возникновении проективной геометрии сказано только: «В начале XIX в. возник так называемый проективный метод. Впервые этот метод встречается у современника Декарта, Ж. Дезарга, сочинения которого утеряны». В некоторых случаях автор явно предполагает в читателе уже некоторое знакомство с историей математики, напр., на стр. 43: «и этим и исчерпывается все содержание изагог», — причем последнее слово не поясняется.

Редакционных недосмотров и опечаток весьма мало; отметим на стр. 79: «Архимед всегда рассматривает часть площади, как состоящую из всех своих хорд»; на стр. 87—неверная формулировка принципа Кавальери:... «тела равны между собою, если они расседаются параллельными плоскостями на соответственно равные площади». На стр. 70 Вилейтнер, как истый немец, приписывает заслугу более строгого обоснования анализа бесконечно-малых исключительно Вейерштрассу, не упоминая о работах Коши. На стр. 43 — опечатки в равенствах, относящихся к задаче Паппа; приведенное же решение ее, данное Декартом, слишком сжато и трудно для понимания.

Отмеченные дефекты разбираемой книги не уменьшают важного значения ее выхода в свет.

При крайней бедности нашей литературы по истории математики она явится чрезвычайно полезной для тех лиц, которые, обладая некоторой подготовкой в области высшей математики, пожелали бы углубить свое знакомство с предметом, проследив эволюцию основных ее понятий. Прибавим, что перевод сделан образцово; книга прекрасно издана и недорога по цене.

НОВЫЕ КНИГИ.

Десять лет советской науки. Сборник статей под общей редакцией начальника Главнауки Ф. Н. Петрова. Гиз М. 1927 Ц..4 р. 2о к.

Известия Тверского педагогического института. Вып. I. 1926. Ц 1 р. Вып. II. 1926. Ц. 1 р. Вып. III. 1927. U. 2 р.

Издания Института методов школьной работы: Наша работа. М. 1928. Ц. 8 ) к.

От школы учебы к школе общественно-полезного труда. М. 1927. Ц. 80 к.

Опыт учета школьной успешности по методу тестов. М. 1928.

Н. В. Кашин. Физика, кн. I и II. Курс начальный, построенный на основе лабораторных занятий. Изд. 4. М. 1928.

Э. Борель. Основные идеи алгебры и анализа. Авторизованный пер. с франц. проф. Д. А. Крыжановского. Гиз. 19.7. Ц. 2 р. 50 к.

Ппоф. С. П. Виноградов. Элементы теории вероятностей. Гиз. 1926. Ц. 40 к.

Проф. К. Дюзинг. Аналитическая геометрия на плоскости для средних технич. учебных заведений и самообразования). Перев. с нем. Гостехизд. 1927. Ц. 1 р.

Его же. Элементы диференциального и интегрального исчислений, изложенные геометрическим методом. 1927.

В. Брадис. Таблицы логарифмов с 4 десятичными знаками и производство вычислений с ними. Гиз. 3926. Ц. 30 к.

Под ред. И. А. Сигова. Математика и физика на II ступени трудовой школы. Задания библиотека для работы по дальтон плану). Ц 60 к.

R. Courant Vorlesungen über Differential und Integralrechnung, I Band. Berlin 1927. R. M. 18.60.

Ответственный редактор И. ЧИСТЯКОВ.

Главлит № А10273. Зак. № 513. Тир. 1.000.

Москва, тип. «Гудок», ул. Станкевича, 7.

СОДЕРЖАНИЕ.

Стр.

Проф. А. В. Васильев. Математика за последние пятьдесят лет......... 49

Д. И. Перепелкин. О некоторых свойствах тетраэдра............ 59

Н. Ф. Четверухин. Методы геометрических приближений ........... 62

Проф. И. Чистяков. Задача Леонарда Пизанского.............. 69

В. М. Брадис. Правила подсчета цифр................... 71

Ф. А. Эрн. Очерки по методике арифметики............ .... 82

Задачи......................... ..... 91

Решения задач............................... 92

Хроника....... ...................... . 94

Библиографический отдел......... . ............. 95

SOMMAIRE.

A. Vassiliev. Les Mathématiques durant les derniers cinquante ans....... 49

D. Perepelkine. Sur certaines propriétés du tétraèdre.............. 59

N. Tchetveroukhine. Méthodes d'approximations géométriques....... 62

I. Tchistiacov. Le problème de Léonard de Pi se........ ...... 69

V. Bradis. Régie de calcul des chiffres................... 71

F. Ern. Esquisses de méthodique d'arithmétique .......... ..... 82

Problèmes ........................... 91

Solutions de problèmes......................... 92

Chronique .............................. 94

Bibliographie.............................. 95

SOMMAIRE d u № 1.

Note de la Rédaction.—A. Vassiliev. Les Mathématiques durant les derniers cinquante ans. -N. Soloviev. Sur la géométrie de Lobatchevskv. - D. Perepelkine. Sur certaines propriétés du tétraèdre.—.S. Poliakov. Construction méthodologique des programmes de mathématiques dans l'enseignement.-I. Tchistiacov. Sur la question des polygons réguliers - I. Tchistiacov. Sur la méthode dite «de laboratoire» dans renseignement des mathématiques.— V. Bradis. Régie de calcul des chiffres.—Problèmes.— Chronique.—Bibliographie.

ПРОДОЛЖАЕТСЯ ПОДПИСКА

НА ЖУРНАЛ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНЕ

8 книг в год

Подписная цена на год 6—руб., на полгода—3 руб. 50 коп. с пересылкой. Отдельные номера по 90 к.

ЗАКАЗЫ НАПРАВЛЯТЬ:

Издательство „Работник просвещения".

Москва 19, Воздвиженка, 10.