МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

ЖУРНАЛ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

№ 1

1928

„РАБОТНИК ПРОСВЕЩЕНИЯ"

МОСКВА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

ЖУРНАЛ МОСКОВСКОГО НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

№ 1

1928

Содержание. От редакции.— Математика за последние пятьдесят лет. А. Васильев.—О геометрии Лобачевского. Н.Соловьев. — О некоторых свойствах тетраэдров Д. Перепелкин.—Методологическая постройка программ учебной математики. С. Поляков.-К отделу о правильных многоугольниках. И. Чистяков. — Лабораторный метод в преподавании математики в средней школе. И Чистяков — Правило подсчета цифр. В. Брадис. — Задачи. ~ Хроника. — Библиографический отдел.

ОТ РЕДАКЦИИ.

Та напряженная работа по устройству новой трудовой социалистической школы, которая началась в России почти тотчас после Октябрьской революции, неизбежно должна была коснуться и вопросов преподавания математики, как одного из главных учебных предметов. Проведение в жизнь новых принципов обучения, создание новых типов учебных заведений, привлечение в школы новых кадров учащихся, осуществление на практике новых методов преподавания—все это заставляло как руководящие органы Наркомпроса и отделы народного образования, так и с'езды и конференции преподавателей математики и даже предметные комиссии отдельных школ усиленно работать по вопросу о новых учебных планах и программах, а также о методах преподавания математики.

Московский математический кружок, издавна об'единявший в Москве на общей научно-педагогической работе передовых преподавателей и профессоров математики, несмотря на трудные условия его существования в истекшее десятилетие, не замедлил принять участие в упомянутой общей деятельности. На заседаниях его делались обзоры вновь выходящих учебных планов и программ по математике, велись беседы о новых методах обучения, демонстрировались некоторые учебные пособия, сообщались сведения о новых книгах по математике и пр. К сожалению, неимение кружком собственного печатного органа и вообще полное отсутствие у нас журналов по математике препятствовало распространению сведений об этой работе кружка, хотя она всегда интересовала широкие круги учителей математики. Эта неблагоприятное положение улучшилось, однако, с начала текущего года, когда последовало преобразование Математического кружка в новое учено-педагогическое общество под названием «Московский научно-педагогический математический кружок», устав которого утвержден администрацией 17 февраля 1927 г. и которому разрешено издание журнала «Математическое образование».

Согласно § 1 устава, новый кружок «об'единяет преподавателей математики и родственных дисциплин (физики, астрономии, техники и др.), а также вообще всех лиц, интересующихся вопросами математики и ее преподавания, и имеет целью распространение математических знаний, разработку методов их преподавания и пробуждение интересов к задачам кружка».

В настоящее время эта работа и развивается кружком широко и планомерно. В состав кружка, кроме ряда профессоров и известных преподавателей математики, вошли некоторые работники Моно и Наркомпроса; для практической работы организованы секции: программно-методическая, научная и историческая, в которых по специально разработанным планам ведется работа в соответствующих областях. Контакт с Моно и Наркомпросом, в которых ведутся аналогичные работы, гарантирует деятельность кружка и этих учреждений от имевшего ранее иногда место параллелизма деятельности и распыления рабочих сил.

Журнал «Математическое образование», являясь выразителем результатов деятельности кружка, будет помещать на своих страницах доклады и статьи по вопросам общей и частной методики математики, обозрение учебных планов и программ, очерки по истории математики и математического образования, разбор новых книг по математике, а также научные обзоры и статьи по математике и ее истории, задачи и вопросы для решения, сведения о новых открытиях и пр. С другой стороны, подобно тому, как кружок имеет своей задачей об'единение лиц, интересующихся математикой и ее преподаванием, так и «Математическое образование» имеет целью всемерно содействовать об'единению той грандиозной учебно-плановой и методической работы по преподаванию математики, которая ведется в настоящее время повсеместно в СССР. Поэтому в журнале будут помещаться сведения о деятельности центральных и местных органов Наркомпроса, о работах конференций и с'ездов преподавателей математики, о постановке преподавания математики в отдельных учебных заведениях, русских и заграничных и пр. Точно так же будут даваться ответы на вопросы, особенно интересующие большинство преподавателей, отчеты о деятельности Московского научно-педагогического математического кружка и других аналогичных кружков, в том числе и организованных учащимися и пр.

В виду важности намеченных задач для общей постановки дела образования редакция журнала «Математическое образование» позволяет себе рассчитывать на сочувствие и содействие ее работе всех учреждений и лиц, посвящающих свои силы делу усовершенствования постановки преподавания математики и развитию интереса к математическим наукам.

Редакция.

МАТЕМАТИКА ЗА ПОСЛЕДНИЕ ПЯТЬДЕСЯТ ЛЕТ.

Проф. А. В. Васильев. (Москва.)

(Речь, произнесенная в день празднования в Московском математическом кружке 50-летнего юбилея академический деятельности А. В. Васильева 1 февраля 1925 г.)

1.

За пять лет до своей кончины princeps mathematicorum Гаусс в письме к Шумахеру от 1 сентября 1850 года, опубликованном только в 1917 году в X томе полного собрания его сочинений, высказал по поводу присланной ему работы, основанной на употреблении или, точнее говоря, злоупотреблении расходящимися строками, свои мысли о математике, которые можно рассматривать как его завещание будущим поколениям математиков.

«Характер математики нового времени,—писал он,—противоположен математике древних; наш язык символов и обозначений дает нам могучий рычаг, с помощью которого запутаннейшие рассуждения производятся механически, наука приобрела от этого бесконечно много в богатстве, но потеряла столько же в красоте и солидности. Как часто этот рычаг применяется механически, причем не обращается внимания на те скрытые предположения, на которых основывается его употребление... Математический символизм может быть уподоблен бумажным деньгам. Как бумажные деньги, он может быть употребляем с большой пользой и в больших работах, но как пользование ассигнациями солидно только тогда, когда они каждую минуту могут быть обращены в золотую монету, так и к пользованию временными математическими приемами необходимо пред'явить известные требования. Мое требование строгости и ясности (Strenge und Klarheit) заключается в том, чтобы при всяком употреблении вычисления, при всяком пользовании какими-либо понятиями математик ясно сознавал все условности, им допущенные, и не считал бы без достаточно твердых оснований верными найденные им результаты1)».

Но еще раньше Гаусса подобные же мысли о необходимости строгости и ясности высказал Лобачевский в предисловии к рукописи алгебры, которую он в 1823 году написал для руководства в гимназиях; рукопись эта осталась ненапечатанной, но сохранилась в библиотеке Казанского физико-математического общества.

Гаусс и Лобачевский имели и полное основание и полное право пред'являть к современной им математике такие требования.

Они имели основание, потому что почти ко всем отраслям математики и в начале XIX века и много позже были применяемы слова, ска-

1) Gausi Werke. Zehnten Bandes erste Abteilung. Leipzig, 1917. S. 434.

занные д'Аламбертом молодому человеку, смущенному неясностью оснований анализа бесконечно-малых: «Allezen avant le foi vous viendra». (Идите вперед, потом поверите.) Эти слова могли быть применяемы действительно не только к анализу бесконечно-малых. который был построен на геометрической интуиции. В геометрии Евклида тог же д'Аламберт называл «скандалом» теорию параллельных линий; другим пятном являлась теория пропорций и, следовательно, теория измерений. Как в алгебре, так и в анализе употреблялись мнимые числа, причем употребление их ничем не было оправдано. В «Introductio in Analysin» Эйлера громадное количество важнейших формул было основано или на введении мнимых выражений, или на употреблении строк без различия —сходящиеся ли они или нет. Известен рассказ о Лапласе, который после исследования копии о сходимости строк поспешил проверить с этой точки зрения все строки «Небесной механики».

Гаусс и Лобачевский имели вместе с тем и полное право требовать от математических работ строгости, так как они сами многое сделали для внесения в математику как строгости понятий, так и строгости выводов. Они оба своими работами по теории параллельных линий, выяснившими независимость одной из аксиом геометрии от других, положили начало тому направлению работ, которого цель заключается в установлении для каждой науки тех основных положений, независимых между собой и непротиворечивых, на которых эта наука должна и может быть построена; только направление исследований носит теперь название аксиоматического.

Лобачевский (и здесь рядом с ним нужно поставить чешского математика Бернгарда Больцано) понимал, что теоремы анализа не могут считаться строго обоснованными, если они доказываются с помощью геометрической интуиции.

Bolzano дал первое аналитическое строгое доказательство одной из таких основных теорем анализа, и в этом доказательстве уже вводятся те основные рассуждения, на которых основывается современная теория функций от вещественной переменной. Лобачевский и Больцано не считали возможным в геометрическом факте, что непрерывная кривая имеет во всякой точке определенную касательную, видеть доказательство того, что всякая непрерывная функция есть в то же время и функция диференцируемая. Лобачевский настаивает на отличии между постепенностью (непрерывностью) и непрерывностью (диференцируемостью). Больцано, как недавно найдено при разборке его рукописей, еще да 1831 г. дал пример непрерывной функции, не имеющей производной. До сих пор считалось, что первый пример такой функции, опубликованный П. Дюбуа Реймондом в 1874 г.1), был дач Вейерштрассом.

Но, конечно, не один Лобачевский, Больцано, Гаусс понимали важность и необходимость строгого обоснования начал, точности доказательств, теорем анализа и учения о числах от обращения к геометрической наглядности.

В числе ученых, которым много обязана в этом отношении математическая наука, нельзя не отметить Абеля, Коши во Франции, Ohm'a в Германии, Пикока в Англии2).

В стремлении к выполнению заветов о внесении строгости и ясности в математическую науку в критическом отношении и к началам науки и к способам доказательств и заключается, по моему мнению, первая

1) «Crelle Journal». Vol. 79, p. 29. О взглядах Лобачевского на этот вопрос см. мою биографию Лобачевского.

2) Ohm написал «Versuch eines vollkommen con. Systems der Mathematik», Nurenberg, 1822—1832. «Алгебра Пикока» (1791—18.8) вышла в 1830 и в 1842 г.

характеристическая черта того периода, о котором я буду говорить, и одно из его наибольших и наиважнейших достижений.

И с этой первой характеристической чертой периода—со стремлением к углублению и выяснению начал—находится в связи и вторая его черта—развитие новых отраслей математических дисциплин и тех идей, которые брошены были раньше: одни лаже в XVII столетии (идея Лейбница о создании геометрического метода, независимого от употребления координат и о связи математики с логикой), другие в первой половине XIX столетия (не-Евклидова геометрия, введение мнимых и бесконечных элементов в геометрию, кватернионы Гамильтона и алгебраические ключи Коши, парадоксы бесконечного Больцано, идея группы у Галуа и прочие тонкости у Грассмана). Можно найти в земледелии аналогию этой связи между углублением начал науки и расцветом новых пышных и плодотворных ее ветвей. Поверхностная пашня не дает таких урожаев, как пашня глубокая. «Новь надобно поднимать не скользящей сохой, но глубоко забирающим плугом».

С углублением вначале связана и третья черта этого периода— философское настроение, сознание связи вопросов математики с важнейшими отраслями философии, с теорией познания (гносеологией) и с логикой. Но понимание основных вопросов познания невозможно без ознакомления с их генезисом. Отсюда тот интерес к истории математики, которым отмечено последнее пятидесятилетие. В это время появилось и большое четырехтомное сочинение по истории математики Морица Кантора, появились специальные периодические издания, посвященные истории математической науки, и многочисленные исторические монографии Таннери, Энестрема, Лориа, Цейтена, Ганкеля, В. В. Бобынина и мн. др.

Это философское и историческое направление, отличающее современную высшую математику, имеет громадное педагогическое значение. На его значении для средней школы не раз останавливалось внимание Московского математического кружка. Я с величайшим удовольствием вспоминаю наш второй всероссийский с'езд преподавателей-математиков в Москве одиннацать лет тому назад и прекрасные слова незабвенных Б. К. Млодзеевского и А. К. Власова. В докладе последнего была прекрасно формулирована цель математического преподавания в средней школе — вызвать в учащемся математическое мышление, как аналитическое, так и геометрическое мышление, которое могло бы служить для него орудием познания мира как со стороны множественности и величин, так и со стороны пространственных представлений1). Тогда можно было мечтать и о большем—о введении в среднюю русскую школу тех основных понятий высшей математики, которые должны стать достоянием общей культуры, и об ознакомлении учеников средней школы в последний год их пребывания в ней с пограничными вопросами математики и философии и с историей математической мысли2). Этими вопросами являются вопросы об основании геометрии, арифметики, анализа, и я перейду теперь к очерку работы последнего пятидесятилетия над этими вопросами в связи с теми новыми отделами математической науки, которые создались и развились в результате этой работы, и с выяснением значения этих вопросов математики для решения коренных проблем человеческого познания. Я начну с вопроса о началах геометрии и с не-Евклидовой геометрии, этой гордости русской науки.

1) Доклады, читанные на II всероссийском с'езде преподавателей-математиков в Москве. 1915, стр 20.

2) А. В. Васильев. «Математическое и философское преподавание в средней школе». Речь, произнесенная при открытии Первого всероссийского с'езда преподавателей-математиков 24 декабря 1911 г. Труды Первого с'езда. Петербург, 1912 г.

Заменить ту теорию параллельных линий, которая д'Аламберту представлялась «скандалом» математики, и разрешить таким образом ту загадку, над которой бились математики в течение двух тысяч лет и разрешение которой, как писал всю жизнь мучившийся над ней Вольфганг Болиаи своему сыну Иоганну, «заслуживает награждения алмазом величиной с земной шар», удалось только после продолжительной и настойчивой работы мысли Лобачевскому, удалось также и Иоганну Болиаи. Открытая ими и Риманном иь-Евклидова геометрия, с одной стороны, внесла свет в вопрос о началах геометрии и явилась толчком для создания аксиоматического направления, значение которого выходит далеко за пределы чистой математики, с другой стороны, не-Евклидова геометрия послужила исходным пунктом для развития новых отраслей математической науки (теории многообразий п измерений, теории непрерывных групп). Но и для того и для другого необходимо было сопоставить не Евклидову геометрию с другими парадоксальными открытиями,—с открытием значения для планиметрии мнимых точек на бесконечно удаленной прямой, через которые проходят все круги плоскости, и для стереометрии—мнимого круга на бесконечно удаленной плоскости, через который проходят все шары пространства. Это открытие было сделано молодым французским офицером, взятым в плен в одном из сражений Отечественной войны 1812 г. и интернированным в Саратове. Там, лишенный книг и помощи, поглощенный горем своей родины и своими собственными бедствиями, Понселе имел тем не менее силу духа для занятий наукой и разработал те блестящие идеи, которые и изложил потом в своем «Traite des proprietes projectives» (1822). Но должно было пройти полвека, прежде чем эти идеи были вполне оценены и сопоставлены с идеями не-Евклидовой геометрии. Феликсу Клейну (1849) принадлежит заслуга выяснения как связи проективной геометрии и не-Евклидовой геометрии, так и громадного значения для геометрии теории групп преобразований. В его знаменитой Эрлангенской программе (1872)1) различные геометрические дисциплины—Евклидова и не-Евклидова геометрия, проективная и конформная геометрии, геометрия кругов и шаров, анализ положения (топология) —рассматривались как частные случаи общего учения о группах преобразований, и Клейн выставил в этой программе общее положение—принцип Клейна, как его справедливо называет голландский математик Скоутен (Schouten), по которому для всех геометрических исследований характерны не рассматриваемые в них элементы (точка, прямая плоскость или круг, шар), но группа преобразований и связанные с этой группой инвариантные свойства. Так, например, для элементарной планиметрии, которая изучает свойства, не изменяющиеся при всех движениях (в плоскости), перекладываниях, отражениях и подобных преобразованиях, характерна соответствующая группа непрерывных преобразований, не меняющих ни расстояний между точками, ни углов между прямыми. Напротив, проективная геометрия изучает те свойства геометрических функций, которые остаются неизменными при проектировании и сечении, и ей соответствует более общая группа проективных преобразований, подгруппой которой является группа преобразований элементарной геометрии. Исследования Софуса-Ли (1842 —1899), основанные на создании этим норвежским математиком теории групп непрерывных преобразований, дали ему возможность выделить группы преобразований, соответствующие геометриям Евклида, Лобачевского и

1) Русский перевод этой программы, принадлежащий проф. Д. М. Синцову, напечатан в Казани Физико-математическим обществом.

Риманна1). Понятна поэтому с первого взгляда парадоксальная фраза Пуанкарэ: «То, что мы называем геометрией, есть не что иное, как изучение формальных свойств некоторой группы, так что мы можем сказать: пространство есть группа».

Не-Евклидова геометрия привела не только к изучению теории групп непрерывных преобразований. Основная идея мемуара Риманна заключается в том, что он рассматривает геометрию как частный случай более общего понятия непрерывного многообразия, системы элементов, каждый из которых определяется числами и делает это более общее понятие предметом математического исследования. Он изучает те математические соотношения, которые характеризуют многообразие, и делает в этом исследовании два весьма важные допущения. Первое допущение, на которое обратил в последнее время внимание талантливый немецкий математик Вейль, заключается в независимости длины отрезка от его положения. Второе допущение заключается в том, что Риманн принял для линейного элемента в теории многообразий выражение, составляющее обобщение выражения элемента дуги кривой линии на поверхности, из которой Гаусс вывел многие важные результаты внутренней теории поверхностей. Исходя из своих допущений, Риманн пришел к понятию о кривизне многообразий. Все эти исследования Риманна, несколько упрощенные и пополненные в работах Христофелля, Липшица, Ф. М. Суворова, тем не менее представлялись и слишком сложными и недостаточно ясными. Сложность его вычислений привела Риччи к созданию особого исчисления, которое он называл абсолютным диференциальным исчислением, в котором изучаются аналитические образы—тензоры. Большую ясность внесло в понимание исследований Риманна введенное Леви-Чивита понятие о псевдопараллелизме. Особенное значение приобрели исследования Риманна и абсолютное диференциальное исчисление, когда гениальные идеи Эйнштейна привели его к заключению о необходимости предположить, что мир событий—многообразие четырех измерений — есть не-Евклидово многообразие, линейные элементы которого представляются той общей формулой, которая была положена Риманном в основу его исследований по диференциальной геометрии линейных измерений. Но затем Вейль, Эддинстон, Эйнштейн, Скоутен в своих исследованиях пошли уже дальше Риманна, отказавшись от некоторых из тех допущений, которые он считал нужным ввести в свои исследования. Так математический анализ ведет к созданию геометрии мира, его гармоничной физической картины.

Нужно ли говорить о том, какое громадное философское значение будут иметь эти математические исследования, имеющие целью в одном синтезе об'ять все явления, если уже и открытие не-Евклидовой геометрии поставило на очередь пересмотр коренных вопросов гносеологии (теории познания). Напомню те оживленные споры, которые велись и продолжаются и теперь по вопросу об отношении не-Евклидовой геометрии к учению Канта о пространстве, как трансцендентальной, не зависимой от опыта форме воззрения. В то время как, например, Кассирер в своей книге, посвященной теории относительности, считает, что как не-Евклидова геометрия, так и теория относительности могут быть согласованы с философией Канта, философы - позитивисты (Пецольд, Энрикес) считают, что то слияние геометрии с физикой, которое является одним из следствий общей теории относительности, подтверждает ту эмпирическую точку зрения Лобачевского, по которой основные понятия геометрии могут «подобно

1) Эти исследования изложены в третьем томе его большого сочинения «Theorie der Tfansformationsgruppen» — первом сочинении, удостоенном премии имени Лобачевского.

другим физическим законам быть поверяемы опытом, например, астрономическими наблюдениями». Эта эмпирическая точка зрения разделялась и разделяется многими выдающимися астрономами (Болль, Ньюкомб, Гарцер, Шварцшильд).

В той же Эрлангенской программе Клейн указал, что, в виду данного не-Евклидовой геометрией доказательства независимости аксиомы о параллельных линиях от других аксиом геометрии, необходимо провести подобные же исследования по отношению к каждой аксиоме и не только геометрии. Таким путем уже тогда, в 1872 г., была поставлена в частности для геометрии цель—дать те основные положения, из которых исключительно логическим путем могла бы быть выведена вся совокупность геометрических истин. «Начала» Евклида в свое время дали решение этой задачи, но это решение уже не могло удовлетворить критическую математическую мысль, пробужденную работами Лобачевского и Риманна. В восьмидесятых годах появились выдающиеся работы Паша, Пеано и его школы. Итальянская школа математиков (Пеано, Пиери, Падоа, Вайлати и др.) обратила особенное внимание на вопрос о полноте и независимости аксиом и первоначальных понятий и о совместимости аксиом между собой, причем преследовала главным образом цель ограничить число первоначальных понятий, принимаемых без определения при логическом построении геометрии. В 1891 г. появилось сочинение Веронезе «Fondamenti di geometria»—обширное сочинение, в котором была впервые построена система не-Архимедовых чисел и таким образом введен в геометрию континуум высшего порядка сравнительно с континуумом всех вещественных чисел. Таковы были главнейшие работы по вопросу об основаниях геометрии, появившиеся в свет до 1899 г., когда Гильберт (1862) в небольшом сочинении дал свою систему аксиом, новое построение теории пропорций и теории измерений и выяснил многие другие основные вопросы геометрии. Та постановка вопроса, которую Гильберт придал задаче обоснования Евклидовой геометрии, резко отличает систему Гильберта от других систем, первоначальные понятия которых имеют эмпирическое происхождение. Основные понятия «вещи», которым Гильберт придает название точек, прямых, плоскостей, не суть какие-либо специально определенные вещи и тем менее те геометрические образы, которые мы соединяем с этими названиями. Они определяются исключительно аксиомами, устанавливающими отношения между ними и производными из них. Только совокупность всех девятнадцати аксиом определяет геометрические образы Евклидовой геометрии и позволяет вместе с тем построить геометрию Декарта.

Система Гильберта должна быть таким образом рассматриваема как часть общего учения об отношениях. Новая постановка вопроса приобретает вместе с тем большое значение, так как дает новый метод для решения вопроса о совместимости и независимости аксиом геометрии, сводя вопросы геометрии на вопросы учения о числах. Так, например, наиболее важный для аксиоматического построения геометрии вопрос об отсутствии противоречия между аксиомами сводится к вопросу об отсутствии противоречия в аксиомах арифметики1). В докладе, прочитанном на II Международном парижском конгрессе 1900 г. под заглавием «Математические проблемы», Гильберт поставил эту задачу об аксиомах арифметики в число важнейших задач, на которые должно быть обращено внимание математиков. Позже эта задача была обобщена в задачу об отсутствии противоречия в системе аксиом анализа, т.е. учения о числах в более общем смысле этого слова. Эти исследования аксиом геометрии

1) В 1923 году издан мой перевод „Оснований геометрии" в издательстве „Сеятель". Петроград.

и анализа привели затем Гильберта к исследованию аксиом других наук. Из числа разнообразных, обнимающих почти все области человеческой мысли, аксиоматических вопросов внимание Гильберта привлекали особенно два вопроса: 1) вопрос об аксиомах физики и 2) общий вопрос об аксиоматическом мышлении, тесно связанный с вопросом об аксиомах логики. Первый из этих вопросов связан с интересом Гильберта к общей теории относительности и к теории Ми, в которой материя рассматривается как электрический феномен. Второй вопрос привел его к следующему, имеющему громадное значение для методологии всех наук заключению: «Все, что может быть предметом научного мышления, подлежит, если только оно созрело для образования теории, аксиоматической методе и вместе с тем математике»1).

(Окончание в след. номере.)

О ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО.

Н. М. Соловьев. (Москва.)2).

Основная особенность и необычайность геометрии Лобачевского состоит в том, что в ней утверждается зависимость размеров линий от углов. В геометрии Лобачевского не может быть двух подобных треугольников, не может быть двух треугольников с одинаковыми углами и с различными сторонами. Равенство углов треугольника и их сумм неизбежно влечет и равенство самих треугольников. И вот, подчеркивая мысль о разнородности понятий угла и отрезка линии, он, стараясь оправдать возможность этой связи в больших размерах, сравнивает эту связь с связью и зависимостью, наблюдаемыми в природе между другими разнородными вещами, например, в законе притяжения—с зависимостью силы от расстояния.

«Теперь спрашивается, — говорит Лобачевский, — как же расстояние производит силу? Как эта связь между двумя столь разнородными предметами существует в природе? Этого, вероятно, мы никогда не узнаем, — говорит он,— Но когда верно, что силы зависят от расстояний, то линии могут быть также в зависимости от углов. По крайней мере разнородность одинакова в обоих случаях, которых различие не заключается собственно в понятии, но только в том, что мы познаем одну зависимость из опытов, а другую при недостатке наблюдения должны предполагать умственно, либо за пределами видимого мира, либо в тесной сфере молекулярных притяжений».

Как же появилась на свет геометрия Лобачевского? Двадцать веков тому назад эллинский гений в лице Евклида создал величайшее произведение, в котором было собрано и систематизировано все, что создала в области геометрии мысль древних. Это произведение—«Начала». Здесь межиу прочим было систематизировано и все то, что лежит в основании геометрической мысли в форме аксиом, определений и постулатов. Строгость мысли, ясность и отчетливость доказательств сделали это произве-

1) Лекция прочитана в Цюрихе под заглавием «Аксиоматическое мышление» («Math. Annalen» Bd. 78).

2) Статья была написана покойным H. М. Соловьевым в связи с исполнившимся 12 февраля 1926 г. столетием со дня первого доклада Н. И. Лобачевского в Казанском университете о принципах не-Евклидовой геометрии.

дение способным в продолжение 20 веков учить геометрии человечество, Можно смело сказать, что все гении человеческой мысли считали своим долгом учиться геометрии по этому величайшему произведению древности. И вот среди многих аксиом и основных положений «Начал» Евклида одной суждено было приковать к себе особое внимание человечества. Это была 11-я аксиома.

«Если 2 прямые линии,—гласила эта аксиома,—встречаются с третьей так, что сумма внутренних углов, лежащих по одну сторону третьей, меньше двух прямых углов, то две первые прямые, по достаточном продолжении, встретятся по ту сторону прямой, на которой сумма внутренних углов меньше двух прямых»1).

Не случайным был особый интерес человеческой мысли к этой аксиоме, ибо здесь она приходила в соприкосновение с бесконечным. Ведь в аксиоме этой, невзирая на слабость и ограниченность нашей организации, провозглашалась какая-то постоянная возможность «достаточного продолжения» двух прямых до их встречи, что стоит в прямой связи с утверждением бесконечного. Можно сказать, что с давних времен и до самого последнего времени человеческая мысль непрестанно делала усилия свести эту аксиому к другим аксиомам Евклида—доказать ее. Много энергии было потрачено на это, но безуспешно.

Главная причина этой неуспешности состояла в том, что исследователи часто думали, что они доказали 11-ю аксиому Евклида (лишь на основании остальных аксиом), тогда как, на самом деле, или тайно, или явно они вводили в свои доказательства какую-нибудь новую аксиому, которая в действительности, по существу своему, была лишь видоизменением этой 11-й аксиомы и которая была равносильна ей. Среди таких попыток, сделанных в давнее время, наибольшей известностью пользуется, например, попытка арабского геометра Нассир Эддина, жившего в XIII в. Но наиболее важными и интересными попытками в этом отношении были попытки математиков уже XVIII века и начала XIX века—Саккери, Ламберта и Лежандра. Эти попытки были интересны в том отношении, что они хотя и не достигли цели, но, однако, вскрыли ряд весьма ценных и важных истин, которые послужили исходным пунктом исследований нашего великого соотечественника, проф. Казанского университета, Николая Ивановича Лобачевского, которому суждено было сказать свое слово в деле разрешения этой проблемы. Правда, что эти же идеи разрабатывались одновременно с Н. И. Лобачевским, независимо от него, величайшим немецким математиком Гауссом и венгерским математиком Иоанном Болиаи, но вынес в свет их первый Лобачевский.

12 февраля 1826 года в заседании физико-математического факультета прочел он записку «Exposition succincte des principes de la géométrie», которая опубликована не была и до нас не дошла, а три года спустя, в 1829 году, он поместил в журнале «Казанский вестник» статью «О началах геометрии», в которой в кратком виде, но достаточно полно были изложены начала не-Евклидовой геометрии. Эта первая печатная работа по не Евклидовой геометрии не только не обратила на себя внимания многих тогдашних ученых, но даже вызвала пренебрежительную критику со стороны многих.

После Лобачевского, в 1832 году, опубликовал свои исследования Болиаи, но ни тот, ни другой не дождались при жизни признания своих работ. Лобачевский умер в 1856 году, а Болиаи в 1860 году. Только к концу 60-х годов уровень развития математиков поднялся настолько, что труды Лобачевского обратили на себя должное внимание.

1) См. «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных». Предисловие.

Какие же положения могли бы быть указаны, как равносильные 11-й аксиоме Евклида? Приведем примеры таких положений. Чер^з данную точку можно провести лишь одну прямую, параллельную данной; перпендикуляр и наклонная при достаточном продолжении пересекаются; сумма углов треугольника равна 2d и т. д.

И вот, чтобы привести образец ошибки, которую делала при таких попытках мысль человеческая, остановимся, для примера, на работах Лежандра. Лежандр доказал, что при наличии других аксиом, помимо 11-й аксиомы, независимо от нее, может быть доказано положение, что сумма yiAOi Д не может быть больше 2 L

Было доказано Лежандром, что из трех возможностей относительно 3 суммы углов треугольника:

1) S=2d; 2)S<2d\ 3) S > 2d,

третья возможность S > 2d должна быть отринута, как несовместимая с другими аксиомами Евклида и главным образом с 12-й аксиомой, смысл которой заключается в том, что 2 прямые, выходящие из одной точки, никогда не встретятся при неограниченном их продолжении.

Большим достижением мысли до Лобачевского, и именно мысли вышеупомянутых математиков XVIII века, было вскрытие совершенной несовместимости трех вышеуказанных возможных предположений о сумме углов треугольника. Теорема, носящая имя Лежандра, которая, однако, гораздо раньше была доказана еще Саккери, говорит следующее: Если в каком-нибудь треугольнике сумма углов меньше, больше пли равна 2 прямым, то то же будет иметь место во всяком другом треугольнике. Таким образом после отринутия 3-й гипотезы, после доказательства того, что S не может быть больше 2с/, оставались две возможности: или эта сумма везде равна 2d, или она везде меньше 2d. И вот Лежандр, который доказал, что S не может быть больше 2с/, направил свои усилия и на то, чтобы отринуть и вторую возможность и доказать, что S не может быть меньше 2d. Тогда, конечно, осталась бы одна первая возможность S = 2dt которая соответствовала бы Евклидовой геометрии. И Лежандр думал, что ему удалось доказать, что S не может быть меньше 2d, так же, как удалось доказать, что она не может быть больше 2d. Но оказалось, что, если 3-я возможность для своего отринутия требует лишь осуществления аксиом, независимых от 11-й, и главным образом аксиомы о бесконечности прямой и неспособности двух прямых, пересекающихся в одной точке, при их продолжении опять встречаться, то возможность S<^2d требовала для своего отринутия признания одного из вышеуказанных предложений, равносильных 11-й аксиоме, именно предложения о том, что перпендикуляр и наклонная всегда пересекаются.

Порочный круг доказательства Лежандра был отчетливо осознан Лобачевским, и пред его глазами встали две возможности: S=2d и S<2d] одна соответствовала геометрии Евклида, другая открывала путь при своем признании к чему-то новому. И гениальный Лобачевский решил принять эту вторую возможность и решил смело пойти по этому новому пути, развивая последовательно, логически все последствия принятого им решения, несмотря на все те препятствия, которые ставило на пути этих исследований наглядное представление, эта наша «очевидность». Как же, однако, об'яснял он себе эти встречаемые им препятствия со стороны наглядного представления? О непонятной с точки зрения этого наглядного представления зависимости между двумя основными геометрическими образами: линией и углом, которую он должен был принять на этом выбранном им втором пути, он говорит, что «мы должны при недостатке наблюдений предполагать умственно либо за пределами видимого мира, либо

в тесной сфере молекулярных притяжений». Таким образом все вышеуказанные препятствия со стороны наглядно о нашего представления он относил на счет тех неточностей нашего чертежа, которые неизбежно связаны с слабостью нашей физической организации, не способной подняться до той строгий точности, к которой призывает нас наш ум перед идеей „бесконечность". Одним словом, он допустил, что наше повсюду наблюдаемое S = 2d в треугольнике — это есть лишь результат нашей неспособности уловить в наблюдаемом и видимом нами ничтожность малых отклонений этой суммы внутренних углов треугольника S от 2d, но что в очень больших с нашей точки зрения размерах, перед которыми не может остановиться наша мысль, носящая в себе понятие бесконечного, сумма углов треугольника S может значительно отличаться от 2d, будучи меньше этого 2d. Если бы этого не было, говорил он себе, если предположение S = 2d лежит в глубине прежде принятых аксиом и основных понятий логически, то должно при построении этой новой системы в предположении S<^2d встретить где-либо противоречие. Лобачевский, однако, построил свою «воображаемую» геометрию, нигде не встретив такого логического противоречия и вскрыв пред умом человеческим полную допустимость предположения S < 2d.

Посмотрим, к каким удивительным выводам и результатам пришел Лобачевский.

Мы говорили уже, что 11-я аксиома Евклида равносильна утверждению того, что чрез каждую течку можно провести лишь одну прямую, параллельную данной, т.-е. нигде не пересекающую данную прямую. Непринятие этой аксиомы равносильно было для Лобачевского допущению того, что чрез данную точку существует бесконечное множество прямых, не встречающих данной прямой. С этого-то положения и начинает Лобачевский.

Возьмем прямую а и точку Р вне ее. Опустим из Р перпендикуляр PQ на прямую айв точке F восставим к 1 Q перпендикуляр PZ. Известно по одной из теорем Евклидовой геометрии, независимей от 11-й аксиомы (см. 2/-е положение «Начал»), что эта линия Zl'Z* при своем продолжении и в ту и в другую сторону от точки Р нигде не встретит данной прямой а (XX'). При признании 11-й аксиомы эта линия будет называться параллельной линии а и будет единственной, ее не встречающей. Но при отринутии этой 11-й аксиомы, как это сделал Лобачевский, прямая чрез Р, не пересекающая линию а, не будет единственной. В угле ZPQ прямые, проходящие через точку Р, будут делиться на 2 группы: пересекающих а и не пересекающих а («встречные», как называет их Лобачевский, и «невстречные»). Принимая постулат непрерывности, должно признать, что прямая, вращаясь около Р в угле ZPQ от положения PZ к положению PQ, сначала будет все время оставаться непересекающей, а затем все время до положения FQ будет пересекающей а.

Должно будет признать таким образом, что в угле ZFQ есть такая прямая FY, отличная от PZ, которая разделяет прямые, пересекающие а, от прямых, не пересекающих ее. Что можно сказать о самой этой линии PY? К какому классу линий следует ее причислить? К классу пересекающих а или нет? Если бы мы представили себе ее принадлежащей к классу пересекающих (встречных) а, то должно бы мыслить и точку этой ее встречи В на линии а, но ведь на прямой линии нельзя представить последней точки, как нельзя представить последнего целого числа; если я представляю себе на прямой точку R, то должен представлять за ней

Черт. 1.

и какую-нибудь точку 8. Тогда, если я эту точку S соединю с Р, то получу прямую J}St которая, с одной стороны, будет пересекать а в точке S, следовательно, должна принадлежать к классу пересекающих о прямых, а с другой—она должна лежать за границей (прямой РУ), разделяющей класс пересекающих от непересекающих прямых, и именно в классе не пересекающих а прямых. Получилось противоречие. Следовательно, надлежит линию мыслить, как первую не пересекающую (не встречную) а. Вот эту-то первую не пересекающую прямую а линию Лобачевский и называет параллельной линии а. Итак, внутри угла QPY находятся пересекающие а линии, или, по терминологии Лобачевского, встречные или сводные, затем пограничная параллельная линия и, наконец, в угле YPZ непересекающие а, или невстречные и несводные линии.

Нетрудно видеть, что все сказанное об угле QPL в силу симметрии может быть повторено и об угле QPZ'. Должно налево от PQ признать существование линий /У, симметричной с Р\\ следовательно, составляющей с PQ угол QPy\ равный углу СРУ, также разделяющей пересекающие а влево от PQ от пересекающих ее, тоже первую из невстречающих влево прямую «, вторую параллельную к линии а. Совершенно очевидным становится теперь, что продолжение линии РУ в противоположную сторону от Р как PU и продолжение РУ' в противоположную от Р сторону как PU' разделяет всю плоскость на 4 угла попарно вертикальных: 1) У PU' и У'PU и 2) У'РУ и U PU. Все прямые, проходящие внутри первых углов через Р не пересекающие а, внутри вторых—пересекающие, 2 линии, создающие эти 4 угла: У PU и У'РЬТ\ суть 2 параллельные к а для точки Р.

Острый угол Qpy — QPy' = а называется углом параллельности для расстояния PQ=p и по примеру Лобачевского означается а = Г1(р), где П, по словам Лобачевского, вначале, т.-е. при обозначении «служит только знаком, который указывает на принадлежность угла riQo) к линии р».

Итак, существует целый пучок прямых чрез Р, лежащих в угле У'Р?7, которые не будут встречать линии а. Это является непривычным для нашего геометрического представления, но здесь сказывается только привычка мыслить определенным образом без достаточного углубления и вдумчивости по отношению к произносимому нами имени бесконечного, именно она—эта привычка—мешает делу. В самом деле, неужели уж так понятно то, что есть одна единственная линия чрез Р, пересекающая а и что самомалейшее отклонение от нее на сколь угодно малый угол должно уже непременно вызывать встречу прямо а?

И вот Лобачевский утверждает, что для наших размеров, расстояний, доступных нашему обычному наблюдению, угол отклонения от LPL' этой последней не пересекающей прямую а на конечном расстоянии (а ведь надо помнить, что здесь конечное может превышать все самые большие числа и размеры, которые может нам представить наше воображение), этот угол отклонения все же существует, хотя и представляет собой для наших наблюдений очень малую и даже исчезающую по своей малости величину, но все же величину отличную от 0. Он мог бы стать заметным лишь для очень больших размеров, выходящих за пределы наших наблюдений, этого расстояния PQ. Этот-то угол и дает начало целому пучку непересекающих а линий, заключенных между двумя параллельными к а. Угол этот изменяется с изменением этого PQ и растет с его ростом.

«Отличительное свойство,—как говорит Лобачевский,—параллельной состоит в том, чтобы с малейшим отклонением в одну сторону она делалась сводной (т.-е. пересекающей), а в другую—разводной (т.-е. непересекающей».

«Под этим видом,—продолжает Лобачевский, — параллельность уже рассматривается во всей обширности. Евклид, не будучи в состоянии дать удовлетворительного доказательства, допускал в «Употребительной геометрии» тот частный случай, когда две параллельные должны быть вместе перпендикулярами к одной прямой. Таким образом угол УРД как и весь угол yPU' с его вершинным (вертикальным) 1ТРУ\ здесь уничтожается, следовательно, все линии, кроме параллельной, должны пересекать а, достаточно продолжаясь в ту или другую сторону.

Евклидовы последователи затрудняли только предмет дополнительными положениями, либо произвольными, либо совсем нелепыми, стараясь убеждать в справедливости принятой истины, которую по существу самой геометрии доказывать невозможно.

Итак, угол параллельной РУ с перпендикуляром PQ есть а, который зависит от р= PQ:

а = П(р).

И вот Лобачевский ставит себе задачу исследовать природу этой зависимости. Может ли быть выражена она языком математических символов и знаков? Поистине удивительные исследования Лобачевского дают весьма простую формулу для выражения этой зависимости. Эта зависимость может быть облечена в следующую форму:

т.-е. тангенс половины угла параллельной с перпендикуляром есть некоторое вполне определенное число е (основание Неперовых логарифмов) в степени — ~у где р есть расстояние PQ, а к есть некоторая постоянная величина, которая входит во все формулы геометрии Лобачевского и находится в тесной связи с природой пространства. Это, как говорят, есть мера кривизны данного пространства. Чтобы пояснить смысл этого, мы позволим себе прибегнуть к следующей аналогии. Представим себе, что мы все время говорили о построениях, свойствах фигур и геометрии на плоскости, потом вдруг решили заняться изучением геометрии не на плоскости, а на какой-нибудь иной поверхности, например, на сферической, и стали находить зависимости между построенными здесь линиями и фигурами. Ясно, что в первом случае в силу единственности плоскости и наши формулы были бы единственными, наоборот, во втором случае они становятся не единственными, ибо они делаются зависимыми от радиуса рассматриваемой нами шаровой поверхности, от ее кривизны. И вот при данной выбранной сфере во все формулы будет входить эта постоянная величина, связанная с величиной радиуса выбранной сферы. То же самое будет и в случае геометрии Лобачевского. Если принять & = оо, т.-е. выбрать такую постоянную, наша формула примет вид:

т.-е. тангенс половины угла а равен 1, следовательно, угол а всегда равен 90°. Это как раз и есть то, что характеризует геометрию Евклида, которая становится частным случаем геометрии Лобачевского. С другой стороны, того же значения tg-^-П (р) = 1 можно достигнуть и другим

путем, т.-е. рассматривая величину к отличной от оо. Именно tgy П \р) может обратиться в 1 и при любом данном к, т.-е. в пространстве Лобачевского, полагая, чтор = 0. В самом деле, если р стремится к 0, то tg у П (р) может сколь угодно близко подходить к единице. Это значит, что и в предположении действительности геометрии Лобачевского и действительности изучаемого ею пространства мы можем сколь угодно близко подходить к 1 в значениях tgyfl(p), если это р будет незначительно отличаться от 0 в сравнении с теми величинами р, при которых это отклонение от 1 для tgy П(р) может быть нами подмечено. Таким образом приведенная формула вполне оправдывает ту мысль, что высказана была раньше. Незначительность наблюдаемых нами размеров PQ = p не позволяет нам подметить отклонения параллельной от перпендикуляра к PQ. Эта формула говорит нам, что действительно с возрастанием этого p = PQ уменьшается величина е ~ % , т.-е. tgy П (р). При достижении р чрезвычайно больших размеров, угол П(р) становится чрезвычайно малым и при р = оо становится 0.

Отметим теперь несколько удивительных истин геометрии Лобачевского.

Из вышесказанного явствует, что по геометрии Лобачевского пара прямых линий на плоскости может быть или 1) пересекающимися, или 2) непересекающимися, или 3) параллельными. По геометрии Евклида 2 и 3 случаи совпадают в один.

Две не пересекающие я прямые умеют всегда один, и только один, общий перпендикуляр, а две параллельных UMimb его не могут.

В Евклидовой геометрии всякие непересекающиеся линии суть параллельные, они всегда имеют общие перпендикуляры и не один, а бесконечное множество (черт. 2).

Черт. 2. Черт. 3. Черт. 4.

Для любого угла своя единственная параллельная линия, которая при задании этого угла NPM проходит трез определенную точку Q под углом 90* к FM (черт. 3).

В Евклидовой геометрии ни для какого угла не может быть параллельных линий под углом 90° к ГМ, кроме прямого угла, для которого их бесконечно много (черт. 4).

Расстояние между 2-мя параллельными линиями уменьшается в сторону их параллельности (черт. 5).

PQ >PtQx> Р* Q, >Р-Л> Р* Qi

В Евклидовой геометрии вышеупомянутое расстояние не изменяется (черт. 6).

PQ = PlQt = P2Q, = PsQt

Если в срединах стороны какого-нибудь треугольника восставить перпендикуляры, то может быть три случая: эти перпендикуляры 1) пересе-

кутся в одной точке; точка эта — действительная, 2) будут перпендикулярны к одной прямой, точка пересечения их —идеальная; 3) будут параллельны; точка их пересечения бесконечна (черт. 7, 8, 9).

Черт. 5.

Черт. 6.

Черт. 7.

В геометрии Евклидовой возможен один только первый случай.

В геометрии Лобачевского. 1) 2 пересекающиеся в действительной точке прямые дают начало пучку прямых с действительней вершиной (черт. 10).

2) 2 непересекающиеся прямые образуют пучок с идеальной вершиной. Они все перпендикулярны к одной пряной (черт. 11).

3) 2 параллельные прямые образуют пучок с бесконечно далекой вершиной (черт. 12).

В геометрии Евклида может быть лишь 2 пучка: пересекающихся и параллельных (черт. 13 и 14).

2 точки АиА1У взятые на 2 -х лучах этих пучков, называются соответствующими, если они, будучи соединены прямой, являются вершинами равных углов, делаемых этой прямой с лучами, на которых они взяты.

Черт. 8.

Черт. 9.

Черт. 10.

В геометрии Лобачевского есть 3 линии, являющиеся геометрическим местом соответствующих точек.

1) В пучке с действительной вершиной таким геометрическим местом является окружность с центром в этой точке. Это так же, как в Евклидовой геометрии (черт. 15).

Черт. 11.

Черт. 12.

Черт. 13.

2) В пучке с идеальной точкой таким геометрическим местом является особая линия, носящая название линии равных расстояний. Это — необычайная линия. Никакие 3 точки ее не лежат на одной прямой. В геометрии Евклида геометрическим местом точек, взятых от прямой на равных расстояниях по перпендикулярам к ней, является прямая, у Лобачевского нет (черт. 16).

Наконец, 3) в пучке с бесконечно далекой точкой таким геометрическим местом является предельная линия, как назвал ее Лобачевский, и по отношению к которой каждый луч этого пучка называется осью (черт, 17).

Это не прямая линия, как то должно было бы иметь место в геометрии Евклида для геометрического места точек, взятых на прямых, проходящих через одну бесконечно далекую точку так, что прямая, соединяющая их, делает с ними равные углы. В геометрии Евклида это будет прямая, перпендикулярная к пучку параллельных прямых.

Черт. 14.

Черт. 15.

Черт. 16.

Эта предельная линия обладает удивительными свойствами, совмещая в себе в одно время свойства и окружности и прямой, и играет весьма большую роль в геометрии Лобачевского. Эта линия кладется в основу вывода всех тригонометрических формул пространства Лобачевского, точно так же как окружность кладется в основание вывода формул тригонометрии Евклида. Благодаря ей между прочим получается и та знаменитая вышеприведенная формула, представляющая собой ключ ко всей тригонометрии Лобачевского:

Относительно этой линии раскрывается, между прочим, следующее. Доказывается, например, что

1) все предельные линии равны, т.-е. наложимы одна на другую, как наложимы куски прямых линий в Евклидовой геометрии, но и 2) душ предельных линий, соответствующие равным хордам, равны между собой; большей хорде соответствует большая дуга, как в окружностях Евклидовой геометрии; эти предельные линии могут быть концентрическими, как окружности Евклидовой геометрии, когда имеют осями лучи одного и того же пучка с бесконечно далекой вершиной.

Доказывается, что

3) отрезки осей между двумя концентрическими предельными линиями равны между собой, как то бывает в Евклидовой геометрии с отрезками пучка лучей, пересекаемых концентрическими окружностями, с центром в центре пучка (черт. 18).

Но доказывается также и то, что

Черт. 17.

Черт. 18.

4) при данном расстоянии точек А и В отношение —5- , отрезков концентрических предельных линий не зависит от величины дуг, но зависит только от этого расстояния АВ—х. Это, конечно, не имеет места для концентрических окружностей Евклидовой геометрии, где, например, uiTi может быть всегда равно , если только AB = ВС = х (черт. 19).

В геометрии Лобачевского это отношение дуг предельных линий, зависящее только от размеров АВ = х, имеет следующее значение —рк и это-то замечательное соотношение и дает основание для получения той удивительной формулы, составляющей ключ всей тригонометрии Лобачевского:

Если в геометрии Лобачевского углы зависят от размеров линий отрезков, если глубочайшим ее основанием является эта связь между углами и линиями, строго выражающаяся только-что приведенной формулой, то ясно, что здесь не может быть фигур равноугольных, но различных по размерам, здесь не может быть подобных фигур. Сумма углов фигуры стоит в зависимости от ее размеров. То же, конечно, и для треугольников. Сумма углов треугольника здесь остается меньшей 2d (тт) и изменяет свою величину в зависимости от размеров треугольника. Чем меньше размеры треугольника, тем ближе его сумма подходит к 2d. Но, чтобы составить себе некоторое понятие о тех размерах, которые способны были бы обнаружить это уклонение суммы углов от 2d, мы приведем здесь слова самого Лобачевского по этому поводу.

«В моих началах геометрии, — говорит он,—пользуясь астрономическими наблюдениями, показал я, что в треугольнике, которого бока равняются почти с расстоянием земли до солнца, сумма углов не может разниться с двумя прямыми, более 0,0003 секунды градуса».

Из этих слов становится вполне ясным то, насколько мы не можем претендовать на передачу истины посредством нашего чертежа. Громадность размеров фигур, могущая сделать доступной для наблюдения истину,—вот первая причина грубости нашего чертежа. Он никогда не может быть сколько-нибудь точным вследствие слабости нашей физической организации, неспособной видеть своим физическим глазом эту пространственную громоздкость. Но уклонение от 2d для суммы углов Д существует во всяком Д и оно тем больше, чем больше его размеры. Поэтому это самое уклонение, этот „дефект" может служить мерой размеров фигуры даже независимо от ее формы. Кроме равенства фигур есть еще и равносоставленность фигур, т.-е. фигуры, будучи неодинаковыми и неравными по своей форме, т.-е. при наложении неспособными совпадать, могут быть, однако, мыслимы составленными из равных фигур. Например, если в треугольнике ABC провести линию В Л, она разобьет этот треугольник ABC на 2 треугольника ABB и ВВС (черт. 20). Если теперь, перевернув треугольник II, приложить его к треугольнику I так, чтобы точка D упала в В, а В—в J), то составившаяся после этого фигура примет форму четыре-

Черт. 19.

угольника ADC В (черт. 21), который будет фигурой равносоставленной с фигурой прежней, треугольником ЛВС, но неравной с ней. Формы этих фигур различны, одна—треугольник, а другая—четыреугольник,но обе они составленье равно, т.-е. из двух треугольников—I и II. То же самое может быть распространено на более сложные формы фигур. Назовем дефект или недостаток треугольника D ( Д ЛВС) = тт — 5' ( Д ЛВС), где S ( Д ЛВС) обозначает сумму внутренних углов треугольника. Нетрудно видеть, что

или

Вычитая из 2тт последние 2 равных величины, мы найдем

или

Таким образом оказывается, что дефект /\АВС равен сумме дефектов тех двух треугольников, на которые он разбился линией BD. Но так как дефект Д никоим образом не зависит от положения треугольника, то, будут ли треугольники I и II приставлены друг к другу, как показано на первом чертеже или как то показано на втором чертеже, сумма их дефектов остается та же самая, и потому дефект Д ЛВС тот же, что и дефект равносоставленного с ним четыреугольника.

И доказывается вообще, что две прямолинейные фигуры, ограниченные простыми контурами, равносоставлены, если их дефекты равны, и обратно.

Это понятие равносоставленности фигур из равных треугольников заменяет собой в геометрии Лобачевского понятие равновеликости в геометрии Евклида (которая в этой последней связана с равносоставленностью из квадратов).

Черт. 20.

Черт. 21.

Черт. 22.

В геометрии Лобачевского считаются таким образом 2 фигуры равновеликими или равноплощадными в том случае, если они равносоставлены и имеют одинаковые дефекты. Следовательно, за меру площади мы можем принять дефект фигуры или величину, ему пропорциональную.

Доказывается, что для бесконечно малого треугольника произведение из дефекта на к2 совпадает с Евклидовым выражением площади треугольника. Поэтому соглашаются за меру площади треугольника с углами Л, Б, С считать

&2(я— А — В — С),

где 1с, как мы уже говорили, зависит от свойств пространства, от его кривизны.

Площадь треугольника стремится к 0 с его уменьшением, но в сторону его возрастания она не возрастает сверх всякого предела, как то бывает в Евклидовой геометрии, а доходит до определенного предела в размерах треугольника, за которым треугольник просто уже перестает существовать.

Вот пример этого. Возьмем 2 взаимно перпендикулярные прямые (черт. 22). Разделим угол между ними пополам линией OD. Для угла в 45°есть своя параллельная линия а, которая будет одна и для OA и для OB. Она

вместе с OB и OA составит последний предельный треугольник. Если взять точку M на линии OD за этой линией а по направлению OD и восставить перпендикуляр к этой биссектрисе OD в точке М, то этот перпендикуляр будет прямой непересекающейся с а и, следовательно, и с OB и OA и не будет образовывать с ними треугольника.

Итак, геометрия Лобачевского поражает наше воображение своими удивительными свойствами.

Но кто-нибудь спросит: где же, однако, окончательные гарантии ее совершенной логической непротиворечивости? Пусть Лобачевский и его продолжатели не пришли к противоречию в своих исследованиях, но кто может поручиться за то, что это противоречие не встретится когда-нибудь потом в развитии этой необычайной геометрии? И, может быть, вскрытие этого противоречия—лишь дело будущего? На этот вопрос дает ответ возможность использования геометрии Лобачевского в области геометрии Евклида. Дело в том, что можно найти такие образы в Евклидовой геометрии, на которые вполне могут быть перенесены все свойства геометрии Лобачевского (и это было сделано между прочим знаменитым французским математиком Анри Пуанкаре). И тогда появление каких-либо противоречий в системе Лобачевского означало бы существование противоречия и в этом истолковании ее в Евклидовой геометрии, которая сама в свою очередь, как теперь доказано, может получить чисто-числовое, аналитическое истолкование благодаря введению понятия бесконечной совокупности или множества. Таким образом противоречие в геометрии Лобачевского приводило бы к противоречию в области геометрии Евклида, а это последнее—к противоречию в числовой и аналитической области, следовательно, к противоречию в самой природе нашей мысли.

Отсюда вскрывается вся важность геометрии Лобачевского, которая самым фактом своего существования раз навсегда кладет конец всяким дальнейшим попыткам доказывать 11-ю аксиому Евклида, которые столь долгое время делались человеческою мыслью.

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ТЕТРАЭДРА.

Д. И. Перепелкин. (Москва )

Простейшим многоугольником на плоскости является треугольник, простейшим многогранником в пространстве—тетраэдр. Под тетраэдром мы будем понимать то, что обычно называется треугольной пирамидой,— многогранник, образованный четырьмя точками, не лежащими в одной плоскости, и четырьмя плоскостями, соединяющими эти точки по три. Учение о свойствах треугольника развилось в особый отдел геометрии— геометрию треугольника. Подобно этому и учение о свойствах тетраэдра выделилось в особую отрасль геометрии—«геометрию тетраэдра». Многие теоремы геометрии треугольника могут быть перенесены и на тетраэдр, конечно, с соответствующими изменениями как в формулировке, так и в доказательствах. Тем не менее переход от треугольника к тетраэдру характеризуется известными осложнениями, зависящими от свойств трехмерного пространства.

В настоящей статье мне хочется на примере нескольких теорем, связанных между собою общностью содержания, дать представление как о характере существующих между треугольником и тетраэдром аналогий, так и об особенностях, отличающих геометрию тетраэдра и делающих её в общем менее элементарной, чем геометрия треугольника.

§ 1. Шесть ребер тетраэдра распадаются на три пары противоположных ребер, причем ребра каждой пары между собою не пересекаются. Через каждую пару противоположных ребер можно провести (единственным образом) пару параллельных плоскостей. Три таких пары параллельных плоскостей образуют некоторый параллелепипед. Вершины тетраэдра (обозначим их буквами А, В, с, D) будут принадлежать к числу вершин параллелепипеда; ребра тетраэдра будут диагоналями граней параллелепипеда. Этот параллелепипед мы будем называть описанным параллелепипедом1) для данного тетраэдра (фиг. 1). Центр описанного параллелепипеда G совпадает, очевидно, с центром тяжести тетраэдра, ибо через него проходят прямые, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра.

Четыре вершины описанного параллелепипеда А'В'С'П, не принадлежащие к вершинам данного тетраэдра, образуют новый тетраэдр, который назовем сопряженным с данным. Две вершины параллелепипеда, лежащие на концах одной диагонали, принадлежат различным тетраэдрам. Если мы такие две вершины будем считать соответственными, то мы можем сказать, что прямые, соединяющие соответственные вершины двух сопряженных тетраэдров, проходят через одну точку—центр описанного параллелепипеда—и делятся в ней пополам. Так как центр описанного параллелепипеда совпадает с центром тяжести каждого тетраэдра, то мы приходим к следующему положению:

Два сопряженных тетраэдра симметричны между собой и симметрично расположены относительно их общего центра тяжести.

На прилагаемом чертеже (фиг. 2) изображено взаимное пересечение двух сопряженных тетраэдров, причем для упрощения чертежа не показаны ребра и диагонали описанного параллелепипеда.

Фиг. 1.

Фиг. 2.

§ 2. Около всякого тетраэдра можно, как известно, описать сферу. Для построения центра описанной сферы достаточно через середину каждого из ребер тетраэдра провести перпендикулярную к нему плоскость. Построим центры сфер, описанных около сопряженных тетраэдров ABCD и A'B'C'D'y и обозначим их соответственно через О и Я. Так как тетраэдры симметричны относительно общего центра тяжести G, то и точки О и H будут расположен симметрично относительно точки G. Другими словами, три точки О, G, H расположены на одной прямой так, что OG = GH.

Точку Я мы определили как центр сферы, описанной около тетраэдра, сопряженного с данным. Выясним теперь роль точки Я непосредственно по отношению к данному тетраэдру независимо от сопряженного. Для построения точки Я надо через середину каждого ребра тетраэдра

1) Описанный параллелепипед и его свойства впервые рассматривал еще Monge.

A'B'C'D' провести перпендикулярную к нему плоскость. Но плоскость, проведенная через середину одного из этих ребер, напр., А'В\ проходит в то же время и через середину ребра CD, лежащего в той же грани параллелепипеда (фиг. 1 и 2), а так как она по условию перпендикулярна к ребру А'В', то она будет перпендикулярна и к параллельному ему ребру AB тетраэдра ABCD. Отсюда следует, что для построения точки Я надо через середину каждого ребра тетраэдра A BCD провести плоскость, перпендикулярную к противоположному ребру того же тетраэдра. Найдем теперь положение проекции Н0 точки H на грань ABC тетраэдра. Пусть D0 (фиг. 3)—проекция вершины D тетраэдра на грань А ВС. Плоскость, проведенная через середину ребра DA перпендикулярно к ребру ВС (в которой точка H должна лежать), будет перпендикулярна и к самой плоскости ABC и пересечет эту плоскость по прямой PQ, проходящей через середину Р отрезка AD0 и перпендикулярной к стороне ВС. Проекция Н0 точки H :а грань ABC лежит на прямой PQ. Для построения точки Н0 достаточно построить прямую PQ и аналогичную прямую, соответствующую другой стороне треугольника ABC. С этой целью соединяем точку D0 со второй вершиной треугольника, напр. В (фиг. 4), делим отрезок BD0 пополам и из полученной точки Р' опускаем перпендикуляр PQ' на сторону АС. Если через M обозначить ортоцентр треугольника ABC, то прямые 1Q и PQ' будут средними линиями трапеций D0Mmod0 и D0Mm0'd0'. Поэтому точка их пересечения Н0 будет серединой отрезка D0M. Итак, проекция точки H на какую-либо грань тетраэдра ABCD совпадает с серединой отрезка, соединяющего ортоцентр этой грани с проекцией на ту же грань противоположной вершины тетраэдра. Отсюда следует, что сама точка H лежит в плоскости, проведенной через высоту тетраэдра и через перпендикуляр, восставленный в ортоцентре соответствующей грани. Мы можем определить точку Н, как точку пересечения четырех таких плоскостей.

§ 3. Если мы высоты тетраэдра ABCD, выходящие из точек А, В, С, спроектируем на плоскость ABC, то получим, очевидно, высоты треугольника ABC; отсюда следует, что перпендикуляр, восставленный из ортоцентра M треугольника А ВС, пересекает высоты тетраэдра, выходящие из вершин А, В, С. Другими словами, перпендикуляр, восставленный из ортоцентра какой-либо грани тетраэдра, параллелен одной из высот тетраэдра и пересекает три других высоты. Принимая во внимание свойства линейчатых поверхностей второго порядка, мы можем отсюда заключить, что четыре высоты тетраэдра являются прямолинейными образующими

Фиг. 3. Фиг. 4.

некоторого гиперболоида, а четыре перпендикуляра, восставленные в ортоцентрах граней, являются прямолинейными образующими другой серии того же гиперболоида1). Этот гиперболоид называется гиперболоидом высот данного тетраэдра.

Плоскость, проходящая через высоту тетраэдра и через перпендикуляр, восставленный из ортоцентра грани, проходит тем самым через две прямолинейных образующих гиперболоида высот, параллельных между собою, а значит, проходит и через центр этого гиперболоида высот. Четыре плоскости, пересечением которых мы выше (§ 2, конец) определили положение точки Я, проходят через центр гиперболоида высот. Это значит, что точка H и есть центр гиперболоида высот тетраэдра2).

Принимая во внимание наше первоначальное определение точки Н, а также сказанное выше об ее расположении относительно точек О и G, мы можем сказать:

Центр гиперболоида высот любого тетраэдра совпадает с центром сферы, описанной около сопряженного тетраэдра.

Во всяком тетраэдре центр тяжести делит пополам отрезок между центром отесанной сферы и центром гиперболоида высот.

Последняя теорема может считаться аналогичной известной теореме Эйлера: во всяком треугольнике центр тяжести делит отрезок между центром описанною круга и ортоцентром в отношении 1:2.

(Продолжение в след. №.)

МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ ПОСТРОЙКА ПРОГРАММ УЧЕБНОЙ МАТЕМАТИКИ.

С. Н. Поляков. (Тула.)

I.

Программы учебной математики обычно строятся или по принципу формально-логической ценности математики, или по принципу применимости математики к прикладным дисциплинам. В начальные периоды развития математических знаний принцип применимости определяет содержание и об'ем математики, так как в эти периоды конкретные образы, знания и практические приложения находятся в центре внимания и заслоняют обобщающие вопросы. На заре развития математики на берегах Нила принцип применимости служил исключительным стимулом работы математической мысли. Сохранившиеся памятники древних египтян свидетельствуют, что их внимание было сосредоточено на вычислениях с дробями, необходимых для житейского и торгового обихода, и на геометрических измерениях, необходимых в землемерии и технике сооружений. Вопросы обобщения и научный скепсис отсутствовали,—математические факты, формулы и правила устанавливались и поверялись путем опыта; формулы были неточными (площадь круга = D^2), а иногда и необобщаемыми (площадь равнобедренного треугольника с малым основанием и большой высотой); все это свидетельствует об отсутствии научного скепсиса и при установлении научных фактов, и при поверке их абсолютной достоверности. При организации школьного образования в России Петром В.

1) Теорема Steiner'а.

2) Теорема loachimstal'я.

принцип применимости обусловил программу математики: первая часть «цифирь»—арифметика, а затем «геометрия столько, сколько до инженерства надлежит» (указ 1712 г.); руководство для этих школ Магницкого давало правила арифметических действий, большое количество задач на тройные правила и краткие сведения из алгебры, практической геометрии, тригонометрии, геодезии, астрономии и навигации; практическая применимость на первом плане, вопросы почему? и отчего? отсутствуют. И здесь нет научного скепсиса при установлении и обобщении научных фактов и при утверждении достоверности выводов. А неуглубленное скепсисом практическое знание не дает достаточно широких применений к сложным явлениям и, по необходимости, должно раскалываться на ряд частных правил; этим надо об'яснить, например, большое количество различных типов задач на тройные правила, стремившееся охватить разнообразие действительности,—обобщающая идея есть результат научного скепсиса, как и установление абсолютной достоверности ее.

Математическое искусство древних египтян перенесено было в Грецию около VII—VI вв. до нашей эры; здесь древнеэллинский гений проявил всю силу научного скепсиса. Родоначальник греческой математики Фалес, по свидетельству древних, искал доказательств первых теорем геометрии, т.-е. искал утверждения их абсолютной достоверности. Пифагор и его школа отказались от изучения дробных вычислений, как занятия торгашей, а все усилия направили к изучению свойств целых чисел и их абсолютной ценности в мироздании. Школа Платона ищет обобщающих методов доказательства и устанавливает фундамент математической теории, цепи фактов и правил, обобщенных и достоверных. Евклид дает гениальную логически-стройную систему геометрических образов и понятий с твердыми обоснованиями абсолютной достоверности метрических соотношений прямолинейной и плоскогранной геометрии. Архимед направил исследование на установление абсолютно достоверных соотношений в области криволинейных образов и протяжений и несоизмеримых соотношений. Все творчество древнегреческих математиков было проникнуто научным скепсисом от установления математических фактов и истин через логическую цепь их до признания абсолютной достоверности выводов. «Древнеэллинская культура, быть может,—говорит В. П. Шереметевский,—ни в одной отрасли знания не оставила нам такого богатого и прочного наследия, как в области наук математических» Научный скепсис создал этому наследию прочное господство на многие столетия; та уверенность в самоочевидную неизбежность установленных истин, с которой Архимед применял математические вычисления к технике,—эта уверенность в результаты глубокого научного скепсиса и обеспечила навсегда и бесспорность выводов математики. Впоследствии изменялись системы изложения и способы доказательств, дополнялись содержание и обем научного здания, увеличивалась обобщающая сила научного скепсиса, но в основе всего математического творчества лежало наследие древних греков. А связанное с логически-формальным принципом, это наследие создало и учебной математике исключительную репутацию дисциплины, развивающей и изощряющей формальные способности мышления, «точильного камня способностей», «логики в действии».

После возрождения наук, под влиянием перевода древнегреческих математиков, принцип применимости в школах Западной Европы и России был вытеснен формально-логическим принципом; в нашей средней школе полстолетия доминировала целевая установка учебной математики «для развития способности к правильному логическому мышлению, путем математических доказательств и построения математической теории». Здесь теория заслоняет практику; образуется логическая цепь понятий,

теорем, правил, не всегда обладающих ценностью в смысле применения к практике и в смысле расширения математического кругозора; новые достижения математики-науки остаются вне традиционной систематизации и тем самым удаляют учебную математику от науки и жизни. Идеи и методы анализа бесконечно-малых и аналитической геометрии, установленные в XVII ст. и обусловившие все дальнейшее развитие чистой и прикладной математики, находились в противоречии с взглядами древних греков на число и величину; между тем усложнявшиеся условия культуры и техники были тесно связаны с новыми достижениями математики-науки; таким образом традиционная учебная математика, с ее формальным принципом, являлась в лучшем случае далекой предпосылкой современного научного мышления и технического прогресса, причем общая концепция ее с изучением постоянных величин и соотношений являлась полным противоречием новому математическому мышлению, проникнутому насквозь динамизмом и функциональной изменяемостью,—противоречие «аполлоновской души» и «фаустовского миросозерцания».

II.

Отсталость учебной математики от науки и жизни и ее логически-формальное направление, не учитывающее специфические особенности современного математического мышления, на границе XIX и XX веков вызвали к жизни возрождение принципа применимости в движении Перри. «Надо начинать изучение наук с сообщения самых нужных умений, на науках основанных; прежде всего необходимо умение делать расчеты; соответственно с этим занятия надо вести лабораторным путем». Здесь опять установление готовых формул и правил без надлежащего научного скепсиса. В соответствии с условиями современности центр тяжести перемещается из области элементарной математики в область высшего анализа,—практика современной жизни и техники выдвигает вопрос о точности вычислений при конкретизации формул, вопросы об интерполировании и экстраполировании в условиях непрерывного процесса и вопросы об исследовании функциональных соотношений; применимая алгебра и практическая геометрия обращаются в необходимые базы новых математических методов. Предполагаемый интерес учащихся к вопросам окружающей жизни устраняет вопрос об аперцепционных средствах их. Противоположность принципа применимости в этой стадии с формальным принципом обостряется, но вместе с тем возрастает неизбежность научного скепсиса в установлении понятий и методов высшего анализа; лабораторность, конечно, не устраняет этой неизбежности; графический метод выясняет многие понятия, но не обосновывает их и не дает необходимые формулы упрощенных и обобщенных методов исследования.

Почти одновременно с движением Перри возникло реформистское движение. Статьи В. П. Шереметевского и книга Тенищева в средине 1890 гг. с очевидностью показали отсталость традиционных учебных программ по математике и неизбежность их обновления идеями высшего анализа. В Германии крупный математик, проф. Ф. Клейн, с самого начала XX века повел борьбу против недочетов традиционных программ и широко поставил вопрос о их реформе; во Франции в 1902 г. изменяются программы в духе их реформы для сближения с современной наукой и жизнью; в 1908 г. реформистское движение становится международным Реформисты для развития пространственного мышления требуют изменения программ геометрии в форме отступлений в ее систематизации от Евклида,— до систематического курса необходим курс пропедевтический в связи с курсом счисления (арифметики). Затем для упрощения методов научного

скепсиса и математического исследования необходим фузионизм—слияние различных отделов математики (арифметики, алгебры, планиметрии, стереометрии, тригонометрии и высшего анализа) в общем комплексе математики, как орудия исследования. Наконец, для развития математики в духе современного математического знания необходимо развитие функционального мышления, мышления образами и понятиями функциональной связи между величинами и их функциональной изменяемости, мышления, тесно связанного с идеями бесконечного процесса и бесконечно-малых изменений. «Функциональное мышление,—говорит в 1913 г. проф. Власов,— становится необходимым орудием познания мира, как только жизнь и потребности жизни, поскольку дело идет о вычислении, становятся сложнее, запутаннее, требующими для своего выяснения не простой только пропорциональности». Таким образом реформа учебной математики, оставаясь на формальной точке зрения, цель логического построения теории заменяет развитием специфического математического мышления, как орудия научного исследования. Эта новая точка зрения на формальную ценность математики не исключает и принцип применимости, вернее—охватывает и его, но установление понятий, формул и правил обусловливается необходимостью научного скепсиса,—не интересы применения выводов, а интересы установления их, как звеньев математического мышления, как наиболее совершенных орудий научного исследования, как наиболее точных регуляторов количественного анализа и сравнения.

Фузионизм, пространственное мышление и функциональное мышление у реформистов, как и вовлечение в обиход математического исследования методов анализа бесконечно-малых и лабораторность у Перри, выдвигают на первый план не построение теории и не применимость выводов, а самый процесс математического мышления и творчества, навыки и умения в этом процессе и их научную ценность, специфические приемы и методы математической работы. Принципы формальный и применимости сливаются в методологический принцип, в принцип методологической ценности приобретаемых знаний, навыков и умений, в принцип методологической постройки программ, методологической оценки содержания и об'ема их, методологической систематизации учебного материала. Программы математики 1924 г. для рабфаков говорят: «преподавание математики имеет целью не столько сообщить определенное число фактов, сколько научить методу математического мышления и умению исследовать явления жизни с помощью математического аппарата».

«Не сообщение законченного, ограниченного запаса знаний,—говорит Кюйперс,—ставит себе задачей школа в Америке,—она имеет в виду создавать стимулы и указывать пути для самостоятельного приобретения знаний». Еще определеннее высказывается за методологический принцип английский педагог Армстронг: «задача школьного обучения не в том, чтобы преподать ту или иную отрасль знания, а в том, чтобы научить научному методу и развить соответствующие способности».

Нет надобности останавливаться на выяснении методологического принципа1), так как из истории его происхождения и из приведенных уже авторитетных указаний Армстронга, американских школ и программы рабфаков видна его целесообразность в современных условиях жизни и техники. Замечу только, что те требования, которые выдвигает лозунг математического мышления, легко могут быть осуществлены последовательным усвоением методов математического исследования. Сближению учебной математики с современными наукой, техникой и жизнью вполне

1) В 1916 г. на Всероссийском с'езде деятелей средней школы я более подробно выяснил значение и необходимость методологического направления.

отвечает усвоение и применение тех же методов. Лабораторно-исследовательское направление в дидактике обусловливается прежде всего развитием тех же методов. Научный скепсис, как наиболее ценный спутник формальнологического принципа, необходим при обосновании, становлении и применении тех же методов. Принцип применимости неизбежно дополняет усвоение тех же методов. По своей сущности методы математического исследования могут легко регулировать и частные вопросы дидактики, каковы, напр., вопрос о более целесообразном комплексировании, вопрос о последовательном развитии понятия функциональной зависимости, вопрос о развитии математических навыков и умений. Необходимо только детализировать вопрос о методологической постройке программ и согласовать эту построку со всеми перечисленными выше требованиями и условиями. Я позволю себе разобраться в этих вопросах не столько для решения их, сколько для возбуждения их.

III.

Как мы видим, центр тяжести учебных программ математики по формально-логическому принципу находится в построении математической теории; по принципу применимости этот центр в приложениях и математические факты не обосновываются, а берутся готовыми. Если стать на точку зрения усвоения методов исследования, то прежде всего необходимо установить, какую позицию займут обоснования методов, и будет ли повторять эта позиция слабые стороны других принципов построения программ.

Сущность математического метода в целом и его отношения к общим приемам мышления—к эмпиризму, дедуктивности и конкретизации—выясняются следующими авторитетными положениями. Гениальный мыслитель-математик Н. И. Лобачевский в своих «Новых началах геометрии» говорит: «Первыми данными, без сомнения, будут всегда те понятия, которые мы приобретаем в природе посредством наших чувств. Ум может и должен приводить их к самому меньшему числу, чтоб они служили потом твердым основанием науке... В природе мы познаем собственно только движение, без которого чувственные впечатления невозможны. Все прочие понятия, напр., геометрические, произведены нашим умом искусственно, будут взяты в свойствах движения, а потому пространство само собой, отдельно (независимо от движения и измерения) для нас не существует». Другой великий мыслитель-математик Пуанкаре в своем анализе математического мышления («Наука и гипотеза») утверждает: «Геометрические аксиомы не представляют собою ни математических суждений à priori, ни фактов опыта. Они суть условия; выбор, который мы делаем между всеми возможными условиями, совершается под руководством фактов опыта, но он остается все же свободным и ограничен лишь необходимостью избегать всякого противоречия. Таким образом постулаты могут оставаться строго верными, хотя бы опытные законы, определившие собою усвоение нами этих постулатов, и были только приблизительными». Итак, основное свойство математического метода, в условиях его обоснования, есть зависимость его условного языка от опыта постольку, поскольку этот последний не нарушает строгости суждения внесением противоречий, но, как говорит далее Пуанкаре, «было бы большой ошибкой заключить отсюда, что геометрия является, хотя бы отчасти, наукой экспериментальной; основанная на опыте, геометрия носила бы приближенный и притом временный характер». Конечно, еще далее от опыта счисление и анализ. Путем опыта мы получаем понятия и их условные и словесные и символические выражения, создаем условный язык математических методов, обусловливаем строгое

и верное отображение языком и символами полученных понятий. Вот границы эмпиризма в обосновании математических методов.

Другим существенным вопросом является вопрос о соотношении дедукции и индукции в математическом методе. «Если сопоставить,—говорит Вундт о математических методах,—все сведения, сохранившиеся от самой ранней эпохи математического мышления, то из них можно заключить с величайшей вероятностью, что математика была первоначально индуктивной наукой. Как ни важно это для развития познания вообще, но для научного характера математики гораздо важнее тот факт, что в ней существуют известные постоянные формы индукции и что самые основные положения математики основываются на них. Сюда относятся, во-первых, все аксиоматические положения; они не только возникли путем индукции, но для них и в дальнейшем не может быть дано никакого иного основания. Индуктивного происхождения, далее, те положения, которые можно рассматривать, как непосредственные специализирования аксиом (напр., числовые формулы 7 + 5 = 12 и др. и простейшие положения геометрии); их можно свести к аксиомам, но их нельзя доказать настоящим образом, исходя из аксиом, ибо в них имеются всегда особые элементы наглядного представления, не содержащиеся в общих аксиомах. Третью область индукции образуют, наконец, те общие положения, которые возникли путем обобщения из отдельных индукций описанного выше рода (напр., вывод общего члена прогрессии). «Какова природа математического мышления? — говорит Пуанкаре.—Действительно ли оно дедуктивно, как это обыкновенно думают? Более глубокий анализ показывает нам, что это совсем не так, что по своей природе математическое мышление подобно индуктивному, и это-то его свойство делает математику плодотворной... Даже в аналитической части математическое рассуждение подобно индуктивному. Математики действуют здесь по методу «построения»; они строят сочетания все более и более сложные; затем, возвращаясь путем анализа этих сочетаний, этих, так сказать, сложных единиц, к их первичным элементам, математик открывает отношения между последними, выводя отсюда и отношения самих сложных единиц. Это—чисто-аналитический порядок мыслей, но он направлен, однако, не от общего к частному, ибо сложные единицы не могут быть рассматриваемы, как нечто более частное, чем их составные элементы...1). Для того, чтобы построение могло быть полезным, чтобы оно не утомляло попусту наш разум и могло служить точкой опоры для дальнейшего прогрессивного движения, необходимо прежде всего, чтобы оно обладало особого рода единством, дающим возможность видеть в нем нечто большее, чем простое накопление составных элементов. Или, точнее, необходимо, чтобы было выгоднее рассматривать именно построение, а не отдельные его элементы. «Построение здесь обусловливается функциональной зависимостью и ею направляется». «Математическая индукция,—по словам Пуанкаре,— присуща нам, как логическая необходимость, благодаря способности нашего разума представить себе то или иное действие повторяющимся до бесконечности». Научный скепсис, сомнения в степени достоверности, общности и строгости обоснований и выводов таким образом интуитивно связаны с математической индукцией, а потому правильно, путем математической индукции, установленный метод обладает всеми основными свойствами научного метода; необходимо только установить его надлежащим образом, восходя от частных наглядно полученных образов и понятий к более сложным и общим сочетаниям. Здесь опре-

1) Таковы, напр., обобщения числа и степени, тригонометрический анализ, кубатура тел по Кавальери, метод полной индукции, метод уравнений, не Евклидовы геометрии. С. П.

деляется роль индукции, отвлечения и интуиции в математическом мышлении.

Эта авторитетная характеристика математического метода указывает на необходимость концентрического установления методов от наглядной пропедевтики, от методов наблюдения и описания числовых и геометрических элементов в формах действительности, в простейших формах пространства и движения, через методы отвлечения и систематизации к методам сложного, т.-е. функционального, анализа и обобщающих высот. При этом роль эксперимента должна быть минимальной, а роль математической индукции—максимальной; так, напр., установление формул об'ема в пропедевтике не физическими измерениями, а разложением фигуры и выявлением функциональных соотношений (в систематическом курсе — не геометрической дедукцией, а принципом Кавальери). Наконец, последовательность изложения методов должна учитывать роль отвлечения, индуктивности и интуиции в математическом мышлении, вести от анализа простейших конкретных соотношений геометрии и счисления к анализу сложных пространственных сочетаний и сложных функциональных соотношений.

IV.

Выяснив природу математического мышления в целом, обратимся к детальному определению составных элементов его и частных методов.

Реформисты во главе с Клейном выдвигают задачей учебной математики: 1) развитие пространственного мышления и 2) развитие функционального мышления. Это вполне согласуется с содержанием математики, как науки, пз словам Бугаева, «о свойствах, законах и взаимных соотношениях величин, рассматриваемых со стороны основной их способности изменяться». «Цель преподавания математики,—говорит проф. Власов,— хотя бы и элементарной, заключается в том, чтобы вызвать в учащихся математическое мышление соответственно корням этого мышления, как аналитическое, так и геометрическое, как относящееся к числу и вычислению, так и относящееся к пространственному представлению и построению, мышление, которое могло бы служить для него орудием познания мира как со стороны множественности и величины, так и со стороны форм, строения сложного, пространственных представлений. Такое мышление может быть различных степеней, начиная от элементарных, интуитивных навыков и восходя до сложных математических концепций. Где бы оно для данного лица ни кончалось, оно представляет для него ценность». (Доклад Власова на с'езде 1913 г. «Какие стороны математики представляют ценность для общего образования?») Проф. Власов и с точки зрения содержания науки предполагает концентрическое изложение методов математического мышления.

Естественно, первым концентром будут методы наблюдения и описания конкретного числового вычисления и простейших геометрических образов: методы наблюдения и описания комбинированного счета и основных форм трехмерного пространства, воспринимаемых путем движения и измерения: 1) вычисления с целыми, десятичными и дробными числами в связи с измерениями конкретных величин; 2) изучение прямоугольных, прямолинейных и плоскогранных форм простейшими методами наложения, разложения и развертки; 3) простейшие косвенные измерения величин и простейшие уравнения в связи с применением математической индукции для выявления общих свойств арифметических действий и к установлению общих аналитических формул функциональной зависимости; 4) приближенные вычисления в несложных конкретных условиях и их достоверность в связи с изучением круглых форм; 5) простейшая функциональная зави-

симость—прямая пропорциональность в конкретных работах и задачах геометрии и техники. Вот первый концентр математических методов нашего мышления; он по содержанию и об'ему совпадает с пропедевтическим курсом учебной математики, завоевавшим права гражданства под давлением реформистского движения почти во всех школах Америки, Европы и России. Необходимо резче выделить последовательное развитие навыков и приемов, подчеркнуть их математическую сущность и заменить физический эксперимент методом, основанным на математической индукции. Часто физический эксперимент приводит к формулам, фактам, идеям, но заслоняет и искажает метод, навык, уменье; между тем математическая индукция, с присущим ей научным скепсисом, даст не только формулы, факты, идеи, но и научит математическому методу, разовьет математическое мышление, даст более глубокие корни обобщению и достоверности. С точки зрения учета детской психологии и мышления конкретными образами, замена физического эксперимента (взвешиваний, пересыпаний, конкретных измерений) приемами, связанными с математической индукцией (разложений и комбинирований частей фигур), изменит только об'екты конкретных наблюдений, сохранив общий характер конкретизации.

Вторым концентром будут методы отвлечения и систематизации: методы мышления комплексами невыполненных действий, методы исследования простейших функциональных соотношений и методы геометрических преобразований: 1) алгебраические тождества и преобразования целых, дробных и иррациональных выражений; 2) метод уравнений: 3) графический метод и исследование линейной и квадратной функций; 4) равенство и симметрия геометрических фигур; 5) подобие фигур и пропорциональность отрезков; 6) тригонометрический анализ прямоугольного треугольника в связи с приближенными вычислениями.» Вот общие методы второго концентра. Здесь методы анализа и геометрического воображения выкристаллизованы и установлены на материале предыдущего концентра; они служат для систематизации форм аналитического языка и пространственного мышления, вносят в эти формы обобщающие моменты, расширяя область своей применимости, они детализируют свойства аналитических и геометрических образов и понятий, уточняя методы математического исследования. Основные законы арифметических действий дают специфические приемы преобразования целых выражений, дробных выражений и иррациональных выражений; метод уравнений принимает индивидуальное направление для линейных и квадратных уравнений и для систем уравнений; исследование функций выдвигает особенности и об'единяющие моменты своих методов; методы наложения и разложения геометрических фигур уступают место более точным и обобщенным способам равенства и симметрии; образуются новые методы геометрических мест, перспективы, тригонометрического анализа. Выбор материала и его детали должны подчиняться становлению методов, а не детализированию соответствующей теории—системы форм.

Чтобы наметить третий концентр методов—методы сложного функционального анализа1) и сложных обобщений, вспомним слова крупного математика Таннери: «Для того, чтобы хоть немного понять, что такое математика, насколько широка область ее применения и какова природа задач, которые она ставит и разрешает, необходимо знать, что такое функция, как данная функция изучается, как идут ее изменения, как она представляется при помощи кривой, как алгебра и геометрия оказывают взаимно друг другу поддержку, как число и пространство друг

1) Анализа, связанного с косвенными измерениями: спектральный анализ, психофизические измерения, метеорологические исследования и др.

друга поясняют, как определяются касательные, площади и об;емы, как мы приходим к созданию новых функций, новых кривых и к их изучению. Как раз эти понятия и методы необходимы для чтения книг технического содержания, в которых прилагается математика, они необходимы дня каждого, кто пожелает понимать тайну быстроты современного научного движения и многообразность научных приложений нашего времени, которые с каждым днем проявляют все более и более свое стремление видоизменить и углубить наш способ мышления и нашу жизнь. Эти понятия и методы необыкновенно просты и легки, если они сведены к тому, что в них существенного,—гораздо легче, чем многие из тех длинных и сложных доказательств, которые часто предлагаются ученикам и которые, обыкновенно, за исключением того предложения, к которому непосредственно относятся, абсолютно ни к чему не применимы. По моему мнению, они должны все более и более проникать в элементарное преподавание, чтобы упрощать и укреплять его». (Таннери—«Основные понятия математики».)

Методы функционального анализа и обобщений, очевидно, должны представлять комплексы или комбинации из элементарных методов, но очерченная Таннери сущность математики —исследование функций - предполагает новое направление этих методов в сторону бесконечного процесса, бесконечно-малых изменений и «комплекса невыполненных действий, как об'екта мысли», так как конкретизирование, интерполирование и экстраполирование формул закономерности происходят уже в рамках непрерывности; центр тяжести исследования функций необходимо переходит от графических до известной степени ограниченных методов к аналитическим методам, охватывающим бесконечный процесс становления: 1) числовые ряды и функциональная зависимость; 2) исследование уравнений и условия бесконечности и неопределенности; 3) уравнения высших степеней и целые функции; 4) тригонометрические и круговые функции как об'екты исследования и как орудия исследования; 5) показательная функция и логарифмы как об'екты исследования и как приемы исследования; 6) бесконечный процесс изменений и пределы; 7) диференцирование; 8) интегрирование; 9) принцип Кавальери; 10) метод координат; 11) определенный интеграл и 12) комбинаторика. Вот комбинированные методы третьего концентра; это—минимум того, что, по мнению Таннери и условиям современности, выявит значение математики как орудия научного исследования.

В заключение детального обзора методологической постройки программ следует отметить и место исторического элемента. «В математике,— говорит В. И. Шереметевский,— грандиозная широта научной области затрудняет проведение выделяющих ее границ, все детали этой науки—неизменные истины, накопившиеся веками, вплетены такими прочными логическими нитями в ее сложную конструкцию, что выделить основу ткани можно, только наблюдая за ее постепенным образованием. Чтобы ориентироваться среди многочисленных разветвлений науки, нужно знать, как возникли главные течения научной мысли и какими изгибами дошли они до главного срединного узла, сохраняющего свое положение среди потоков, иногда временных». (Лоренц. «Элементы высшей математики».) Конечно, в общеобразовательном курсе математики эта широкая задача должна быть сужена, сведена лишь к экскурсам в область истории научного творчества. Но значение исторической перспективы в установлении отдельных методов имеет большую ценность, выясняя учащимся основные идеи метода от грубого, неотесанного толкования при возникновении дс постепенно-усложнившегося оформления их. Не археологическое любопытство должно руководить историческими ссылками, а необходимость выяв-

ления основной сущности метода в элементарном толковании ее; следовательно, если история дает элементарное толкование основоположений метода, то надо остановитьси на ее свидетельстве, начать знакомство с методом с исторического воспоминания и по возможности повторить его точно. Например, как целесообразно начать изучение тригонометрических функций с воспоминаний о составлении таблиц хорд; или какую помощь окажет воспоминание о Стифеле при знакомстве с логарифмами; или как ценна будет история древнегреческой геометрии в начале систематического курса, история методов счисления бесконечно-малых при изучении этих последних, история фигурных чисел в отделе числовых рядов и т. д., и т. д.

V.

Позволю себе к собранному выше материалу по вопросу о методологической постройке учебных программ математики добавить свои конкретные соображения; при этом я обойду молчанием очень важные вопросы методического характера первоначальных отделов, так как эти методические вопросы более связаны с педологией и общей дидактикой, а не с методологией, не с вопросом о научных методах математики; оговорюсь только, что и здесь необходимы коррективы, направляющие указание методологии.

I концентр. (Развитие математической интуиции и навыков вычисления.)

1. 4 действия над целыми числами. Меры и простейшие дроби. Измерение длины Десятичное счисление. Сокращенные приемы и устный счет.

2. Прямоугольные формы и их изучение (куб, квадрат, прямая, плоскость, точка; прямоугольный брус, прямоугольник, параллельность и перпендикулярность линий и плоскостей). Вычисления с десятичными числами; простейшая разработка статистического материала; ступенчатые диаграммы. Измерение и изменения прямоугольных площадей и об'емов. Аналитическая формулировка. Определение неизвестных элементов формул Процентные отношения. Метрические меры.

3. Изучение прямолинейных и плоскогранных форм (призмы, четыреугольники, углы и окружность; пирамиды, треугольники, многоугольники). Вычисления с дробными числами; круговые диаграммы; составление и решение уравнений с целыми и дробными коэффициентами вида ах ± bv — с% ах ± Ь = с, ах + Ъ = сг. Измерение и разложение прямолинейных фигур и об'емов призм и пирамид. Пифагорова теорема. Технические расчеты и вычисления числовой величины формул.

4. Прямая пропорциональность и подобные фигуры. Пропорциональное деление и уравнение. Пропорциональные величины и пропорциональные отрезки Поперечный масштаб. Подобие фигур. Графики перевода мер и железнодорожные графики. Пропорции. Составление формул к законам физическим.

5. Изучение круглых форм и приближенные вычисления.

6. Вычисления с относительными числами и графики эмпирических функций. Алгебраическая сумма и основные законы. Из истории уравнений; общие приемы решения линейного уравнения.

7. Одночлены и многочлены. Из истории обобщения понятия о числе. Постоянство основных законов. Сложение, вычитание, умножение и деление на одночлен многочленов. Формулы сокращенного умножения и геометрическое толкование их Уравнения и Пифагорова теорема.

II концентр. (Выделение основных методов и усвоение их деталей.)

1. Целые многочлены и алгебраические дроби. Дробные и буквенные уравнения. Технические расчеты усеченных пирамид и конусов (язык формул).

2. Методы геометрических преобразований. Из истории геометрии в древней Греции. Осевая симметрия и свойства перпендикулярных линий. Центральная симметрия и свойства параллельных линий Равенство треугольников и свойства прямолинейных фигур. Геометрические места и свойства линий в окружности. Задачи на построение (язык фигур).

3. Линейные уравнения и их системы. Линейная функция и ее графика (язык уравнений).

4. Метрическая геометрия на плоскости; измерение углов и площадей, подобие фигур и пропорциональные линии, правильные многоугольники и окружность. Квадратные корни и решение квадратных уравнений (косвенные измерения на плоскости).

5. Тригонометрический анализ в прямоугольном треугольнике; из истории три-

тонометрии; тригонометрические функции и приближенные вычисления в решении треугольников и в геометрических вычислениях.

6. Квадратная функция. Теория квадратных уравнений. Делийская задача и графический способ решения уравнений квадратных и кубических.

7. Иррациональные числа, тождества и уравнения

8. Геометрия трехмерного пространства. Основы проекционного черчения. Многогранники, их свойства и поверхности (трехмерный анализ).

III концентр (Усвоение сложного анализа и исследование функций.)

1. Числовой анализ. Эволюция понятия о числе. Приближенные вычисления и измерения и основы учения о погрешностях. Число и сплошные величины.

2. Числовые ряды и функциональная зависимость. Фигурные числа. Арифметические ряды и прямая пропорциональность. Геометрическая прогрессия и показательная функция. Бесконечно-убывающая прогрессия.

3. Метод уравнений. Из истории алгебры. Теория преобразования уравнений. Исследование формул решения уравнений. Частные приемы решения уравнений высших степеней и целые функции.

4. Тригонометрические функции и их исследование. Гониометрические формулы и уравнения. Комплексные числа и геометрическое толкование их.

5. Показательные и логарифмические функции. Обобщение степени. Графики. Уравнения.

6. Логарифмические вычисления и решение треугольников.

7. Бесконечно-малые величины и пределы. Измерение окружности, круга и круглых тел. Принцип Кавальери и кубатура.

8. Метод координат и геометрические места. Метод координат и задачи на прямую. Метод координат и исследование кривых. Конические сечения.

9. Производная и исследование кривых и функций. Задачи на максимум и минимум. Диференцирование.

10. Неопределенный интеграл и простейшее интегрирование.

11. Определенный интеграл. Вопросы диференциальной геометрии. Квадратура и кубатура.

12. Комбинаторика. Бином Ньютона. Из теории вероятностей.

13. Разложение функций в ряды. Строки Маклорена и Тейлора.

Вот общая схема конкретизации методологического принципа. Еще раз повторяю, что, будучи глубоко убежденным в ценности и целесообразности методологической постройки учебной математики, я хотел только возбудить вопрос о детальном, последовательном и определенном осуществлении этой постройки.

К ОТДЕЛУ О ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКАХ.

И. Чистяков. (Москва.)

Обычное изложение отдела о правильных многоугольниках в систематических курсах геометрии страдает пестротою применяемых методов и неполнотой. Особенно это относится к вопросу о вписывании правильных многоугольников с данным числом сторон в круг. Так, после указания чисто-геометрических способов вписывания в окружность правильных 4-угольника, 6-угольника и 3-угольника предлагается алгебраический метод для нахождения стороны и вписывания правильного 10-угольника и чисто-арифметический путь—для получения сторон правильного вписанного 15-угольника. Относительно вписывания иных правильных многоугольников, как 7-угольник, 9-угольник и т. п., или ничего не говорится, или делаются мало вразумительные ссылки на теорему Гаусса. О приближенных способах построения правильных многоугольников, из которых некоторые весьма удобны и широко применяются на практике, не упоминается. Наконец, тригонометрическое трактование этого вопроса, которое могло бы осветить его с новой и общей точки зрения, обычно совсем отсутствует. Между тем ясно, что рассматриваемый отдел представляется весьма подходящим для об'единения на трактуемом вопросе различных

математических дисциплин, что так рекомендуется современной методикой математики, с присоединением еще и историко-математического элемента, что также очень ценится в настоящее время.

Предоставляя тт. преподавателям математики выработать детальную схему усовершенствованного изложения отдела о правильных многоугольниках с указанной точки зрения, я остановлюсь только на некоторых сторонах трактуемого вопроса.

Особенно неожиданным и искусственным представляется для учащихся получение стороны правильного вписанного 15-угольника, которая рассматривается, как хорда, стягивающая дугу, представляющую разность — и — частей окружности.

(1)

Действительно, такой способ решения задачи нигде более в геометрии не встречается, и у учащихся может явиться мысль, что правильный 15-угольник может быть вписан в круг только этим способом, который более нигде применен быть не может. Между тем указанный арифметический прием может быть изложен гораздо полнее, способен заинтересовать учащихся сам по себе и найти применение в других задачах и вопросах.

Исходное равенство (1), очевидно, является частным случаем неопределенного уравнения:

(2)

где х, у и N—целые числа. Можно предоставить самим учащимся подобрать такие пары аликвотных дробей — и —, чтобы разность их выражалась тоже данной аликвотной дробью -^. Вероятно, что скорее всего будут замечены пары дробей, знаменатели которых различаются на 1, как:

и вообще

Полученные результаты могут быть сейчас же применены для построения, а отчасти и для вычисления сторон правильных многоугольников, вписанных в круг, напр., правильного 12-угольника.

Но можно познакомить учащихся и с общим решением ур. (2), причем простейшим будет следующее решение, нигде не встреченное мною в журнальной или учебной литературе:

Освободим уравнение (2) от знаменателя и прибавим к обеим частям его N2, будем иметь

Nu — Nx — xij-\- N* — А2, или (N— х) [y-\-N) = N'2;

Полагая N* = а. ß, можем принять

N—x-=ol; y-\-N=$, причем ß>JV>a.

Отсюда х = N — а, у = $ — N.

Итак, дело сводится к разложению различными способами на множителей числа N2.

Пусть, напр., N=12, тогда 2V2 = 144. Тогда для аир имеем значения:

а

1

2

3

4

6

8

9

ь

144

72

48

36

24

18

16

и следовательно, для х и у имеем значения:

X

11

10

9

8

6

4

3

У

132

60

36

24

12

6

4

Этими решениями можно воспользоваться для представления разными способами — части окружности в виде разности дуг. Очевидно, простейшим из них будет

Для 15-угольника имеем R = 15, N2 = 225;

225 = 1.225 = 3.75 — 5.45 = 9.25,

откуда для X и у имеем четыре пары решений

14,210; 12,60; 10,30; 6,10;

из них последнее, очевидно, наиболее простое, почему оно только и приводится в учебниках в виде равенства (1).

Заметим, что с геометрической стороны задача могла бы считаться решенной, если бы удалось найти числа х и у, удовлетворяющие уравнению

или даже

ибо переход от последних дробей к совершается при помощи разделения дуги пополам, что может быть выполнено при помощи циркуля и линейки. Такими решениями будут, напр.,

Так, напр.,

Этим равенством Евклид в «Элементах геометрии» и пользуется для получения стороны правильного вписанного 15-угольника.

Таким образом с арифметической стороны задачу можно считать исчерпанной, но с геометрической возникает вопрос, когда она может быть решена при помощи циркуля и линейки.

Эта сторона рассматриваемого отдела тоже не имеет вполне ясного и удовлетворительного освещения в нашей учебной литературе. Как известно, вопрос получил разрешение в теореме Гаусса, но эта теорема и вообще все относящиеся сюда исторические справки даются в учебниках небрежно, а иногда и не совсем правильно. Так, в одном курсе геометрии

сказано, что Гаусс—ученый XVIII в. В «Истории элементарной математики» Ф. Кэджори (Одесса, 1910 г., стр. 78) про Гаусса сказано, что он «открыл, что, кроме правильных многоугольников о 2П, 3,5 сторонах (и их комбинаций), только многоугольники, число сторон которых простое, превосходит 5 и имеет вид р = 2*п -\- 1, могут быть вписаны в круге помощью Евклидовых постулатов, т.-е. с помощью только циркуля и линейки». В действительности, теорема Гаусса (1777 — 1855) состоит в том, что при помощи циркуля и линейки можно разделить окружность на число частей, равное 2П . аЪ^...у где п— любое целое число, а я, Ь, с— простые числа вида (2т -|-1). Давать доказательство теоремы Гаусса в средней школе, конечно, не приходится, хотя для более способных и интересующихся возможно рекомендовать ознакомиться с ним по книге: Ф. Клейн—«Избранные вопросы элементарной геометрии». Но желательно, все же познакомить с ней учащихся, хотя бы и в догматической форме, более подробно, чем это делается в учебниках геометрии.

Очевидно, сущность вопроса заключается в том, когда числа вида (2т-(-1) будут простыми. Но легко убедиться, что если m будет нечетным, или б/дет содержать нечетный множитель, то (2т -[- 1) не может быть простым числом. Действительно, пусть m = 2k. q, где q — нечетное число; тогда

N= 2*кя -f 1 = (22*)3 -f Iе ,

как сумма нечетных одинаковых степеней, делилось бы на (22*-|-1). Итак, Лг может быть только вида 22к -f- 1. Когда же числа подобного вида будут простыми? Задолго до Гаусса этими числами заинтересовался еще великий французский математик Фермат, который высказал предположение, что все числа этого вида суть простые. И действительно, при к=0, 1, 2, 3, 4 имеем соответственно N==3, 5, 17, 257, 65537 —простые числа. Но при к = 5 имеем:

ДГ=232 + 1 =4294967297;

это число, как показал Эйлер, уже составное; оно делится на простое число 641. При А; = 6 и при к =» 7 число N тоже оказывается составным, а при к = 8, в виду громадности числа Лт, вопрос, есть ли оно простое или составное, еще не выяснен. Но в 1877 и 1878 гг. священник Первушин (Пермской губ.) сообщил Петербургской академии наук, что числа N при к = \2 и /j=23 оказываются составными: первое из них делится на простое число 114689, а второе—на 167772161. Наконец, оказалось, что и число (22:,б4-1)—тоже составное; в нем имеется простой делитель 2748779069441. Самое это число—колоссальной величины; написать его цифрами было бы невозможно: в нем свыше 20 миллиардов цифр, и если бы написать его на полоске бумаги, то этой полоской можно было бы обернуть по экватору земной шар.

Таким образом в настоящее время неизвестно, существуют ли за к = 4 простые числа, и возможно, что их нет и что число правильных многоугольников, которые могут быть вписаны в круг с помощью циркуля и линейки, ограничено.

Применение арифметического метода позволяет значительно расширить число вписываемых многоугольников; так:

Заслуживают внимания тройки последовательно идущих правильных многоугольников, как о 3, 4, 5 сторонах; 15, 16, 17 сторонах и 255, 256, 257 сторонах. Из последних чисел арифметическим путем получим еще тройку вписываемых правильных многоугольников с числами сторон: 65535, 65536 и 65537.

ЛАБОРАТОРНЫЙ МЕТОД В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ.

И. И. Чистяков. (Москва.)

Под именем лабораторного метода, в прямом смысле слова, разумеется, по аналогии с физикой и химией, такой способ преподавания математики, при котором оно сопровождается практическими занятиями учащихся лабораторного характера. Так, учащиеся сами изготовляют модели геометрических фигур и тел, производят различные измерения и вычисления, делают чертежи, применяют взвешивание и пр. Этот метод был разработан и выдвинут в самом начале XX в. некоторыми передовыми английскими и американскими педагогами, в особенности Дж. Перри, и быстро завоевал признание и сочувствие в разных странах, в том числе и в России. Однако у нас этот ценный метод до настоящего времени не получил того распространения и применения на практике, которого он, бесспорно, заслуживает. Настоящая заметка и имеет своею целью выяснить сущность и значение лабораторного метода и применимость его в современной школе.

Оценка всякого метода обучения, конечно, должна иметь в виду те цели, которые ставятся преподаванию математики; поэтому естественно остановиться на этом последнем вопросе. Таких целей до последнего времени указывалось, как известно, две: согласно первому, более раннему взгляду, целью преподавания математики является формальное умственное развитие учащихся; согласно второму, более позднему,—практическая применимость математики в жизни. Однако подробное рассмотрение этого вопроса показывает1), что ни та, ни другая цель в действительности не могут быть полностью достигнуты в школе: мы также не можем преподаванием математики определенно повлиять на развитие умственного аппарата ученика, как и сообщить ему нужную сумму действительно применимых и достаточных для жизни сведений. Поэтому в последнее время, с развитием педагогики, вопрос о целях преподавания математики переносится в чисто-педагогическую область и решается в том смысле, что ближайшей задачей преподавателя является возбудить в учащихся интерес к математическим вопросам и их разрешению, вызвать активность в их работе и тем способствовать пробуждению и развитию в них математического мышления. Проснувшаяся работа математической мысли ученика и будет способствовать как его умственному развитию, так и приобретению им практически приложимых сведений.

В соответствии со взглядами на цель обучения математики развивались и методы ее преподавания. Так, взгляд, что этой целью является умственное развитие учащихся, повел к развитию и распространению абстрактно дедуктивного метода преподавания, при котором математические истины изучаются в систематическом порядке и выводятся строго логическим путем из немногих аксиом и определений. Такой способ обучения, применяемый и до настоящего времени, особенно во Франции, привился в особенности в преподавании геометрии главным образом благодаря тому, что еще в III в. до нашей эры было написано знаменитое сочинение Евклида—«Элементы геометрии», отличающееся замечательным логическим совершенством и в течение двух тысячелетий служившее главным учебником геометрии для человечества. Однако преподавание математики по абстрактно-дедуктивному методу не давало больших положительных

1) См., наприм., „Математика в школе", издание Отдела по реформе школы при Н. К. П., № 1, 1918 г. Ст. И. И. Чистякова „Цели и методы преподавания математики в новой школе".

результатов главным образом благодаря несоответствию его с возрастом и умственным развитием учащихся, для которых он был труден своею отвлеченностью и которым он не давал простора для самодеятельности. Поэтому на смену ему явился более жизненный и противоположный конкретно-индуктивный метод, при котором учащиеся, подобно тому как в естественных науках, доходят до общих математических положений путем наблюдения частных случаев и их обобщения. Так, понятие о сумме углов треугольника выводится из непосредственного измерения этой суммы на ряде отдельных треугольников. Индуктивный метод, в противоположность дедуктивному, отводит большое место интуиции, т.-е. способности нашего ума непосредственно угадывать и усматривать истину, помимо логических доказательств. Поэтому в целях развития и обострения интуиции при конкретно-индуктивном методе в преподавании математики получило распространение употребление наглядных пособий, которое почти не имело мес;а при абстрактно-дедуктивном методе.

Мы не будем входить в подобное рассмотрение преимуществ конкретно-индуктивного метода пред абстрактно-дедуктивным. (Это сделано с большой обстоятельностью в книге покойного К. Ф. Лебединцева «Введение в методику математики».) Укажем только, что второй метод более отвечает естественному стремлению человека переходить от конкретного к абстрактному; он соответствует и процессу научного творчества, наблюдаемому в работе ученых-математиков1). Применение наглядных пособий способствует углублению знаний учащихся о предмете,—так, напр., чертеж пирамиды на доске или бумаге дает менее для представления пирамиды, чем материальная модель этого тела.

Лабораторный метод обучения, очевидно, является видоизменением и дальнейшим развитием конкретно-индуктивного, так как и в нем учащиеся тоже подходят к общим положениям из рассмотрения частных случаев, но преимуществом его является более тесное соприкосновение учащихся с прорабатываемым материалом. При нем ознакомление учащихся с изучаемыми арифметическими и геометрическими понятиями происходит в условиях живой и реальной работы над ними, требующей участия большего числа органов чувств, чем при других методах; так, кроме зрения и слуха, здесь работает еще и осязание. Вследствие этого, получается более углубленное познание изучаемых об'ектов; ясно, напр., что одно рассмотрение модели пирамиды не даст о ней такого полного представления, как самостоятельное изготовление ее учащимся, напр., путем склеивания из бумаги, по предварительно размеренной и вычерченной развертке.

Однако главным достоинством лабораторного метода является присущий ему в высокой степени элемент активности; в этом отношении он как нельзя более отвечает той цели преподавания математики, которая была формулирована нами выше. Действительно, лабораторные занятия по самому уже своему существу требуют самостоятельной работы учащихся, но эта работа, кроме того, возбуждает интерес учеников и ведет к развитию у них самодеятельности. Возникающие в процессе проработки материала вопросы будят математическую мысль и способствуют развитию математического мышления, как арифметического, так и геометрического. Возможность самостоятельно начать и довести работу до конца дает полное удовлетворение; коллективная работа ведет к развитию некоторого соревнования в достижении лучших результатов, эстетических стараний и пр. Но, кроме этих чисто-педагогических достоинств, лабораторный метод имеет ряд ценных особенностей по существу, делающих его орудием

1) См. Пуанкаре—Математическое творчество.

математического исследования. Так, воспроизведение геометрических тел на материальных моделях развивает геометрическое представление и позволяет легко усмотреть многие свойства этих тел, которые иначе могли бы ускользнуть от нашего внимания. Употребление взвешивания дает особый способ для суждения о площадях фигур и об'емах тел, которого мы не имеем при других методах. Такое же значение может иметь и широкое применение в лабораторном методе элементов движения, важность которых все более и более находит признание в области преподавания геометрии1). Непосредственные измерения, применяемые при лабораторных занятиях, дают отличный материал для точных и приближенных вычислений разного рода, что также является одним из важных вопросов в современных программах математики. Далее, лабораторные занятия ведут к столь желательному об'единению и комплексированию различных отделов математики, так как поставленные задачи обычно требуют для решения применения сведений из разных математических дисциплин. Наконец, те же занятия дают поводы и материал для связи математики с физикой и другими отделами естествознания.

Отметим в заключение, что выдвинутый в наше время в качестве нового метода для обучения лабораторный метод был известен и применяем в древности, как орудие математического исследования. Так, известно, что древние изготовляли и употребляли различные счетные приборы — абаки и др.—и производили при помощи их вычисления, а для уяснения свойств геометрических тел—их материальные модели. Существуют древние рисунки, изображающие изучение сферической геометрии и тригонометрии на материальном шаре. Великий ученый III в. до нашей эры Архимед пользовался для изучения свойств геометрических образов, в частности площадей фигур и об'емов тел, взвешиванием моделей; таков был один из примененных им способов для определения площади параболического сегмента. Знаменитый Галилей лабораторным путем нашел, что площадь циклоиды в три раза более площади катящегося круга; с этой целью он клал на одну чашку весов циклоидальную медную пластинку, а на другую—три соответствующих медных кружка той же толщины и из получившегося равновесия убедился в их равновеликости. Примеры подобного рода, которых можно было бы привести множество, показывают, что лабораторный метод удовлетворяет биогенетическому принципу педагогики. Как известно, согласно этому принципу, ход умственного развития отдельного человека, аналогично с его физическим развитием, имеет стремление повторить в сокращенном масштабе ход развития человечества в его целом. Поэтому и математическое развитие детей имеет стремление итти в общем по тем же ступеням, по каким шло математическое познание человечества в его истории. В силу указаного принципа нормальная система всякого обучения и образования должна считаться с биогенетическим законом, и ложной будет та постановка образования, которая его нарушает. Из изложенного выше о лабораторном методе ясно, что он вполне отвечает биогенетическому закону педагогики, чего нельзя сказать об абстрактно-дедуктивном методе преподавания математики.

После этих общих замечаний о лабораторном методе перейдем к вопросу о применении его к преподаванию математики в средней школе.

(Окончание в следующем номере.)

1) См. „На путях математики", сборы, под ред. проф. М. Рубинштейна, ст. И. Чистякова—„Элементы движения в преподавании геометрии". М. 1926.

ПРАВИЛА ПОДСЧЕТА ЦИФР.

В. Брадис. (Тверь).

„C'est parce que les auteurs font de ces questions l'objet d'un examen trop approfondi, qu'il parait si difficile aux élèves de se servir des méthodes d'approximation. La breviété des opérations est le but que l'on se propose; toute discussion embarassante doit être bannie de la pratique: c'est là un principe fondamental qu'il ne faut jamais perdre de vue dans les calculs numériques".

J. Bourget. Théorie Élémentaire des Approximations Numériques. Paris, 1860.

§ 1. Три направления в теории приближенных вычислений. В обширной научной и методической литературе по вопросам теории приближенных вычислений ясно намечаются три основных направления. Первое характеризуется стремлением указывать предельную погрешность всякого приближенного числа, что в конце-концов сводится к указанию двух чисел, между которыми это приближенное число заключено (будем называть эти два числа «низшей» и «высшей» его границами). Делается это либо посредством указания границы погрешности, абсолютной или относительной, либо просто посредством указания этих двух границ приближенного числа. Вполне последовательно выдерживают это направление составители математических таблиц. Они ставят себе целью дать значения той или иной функции с погрешностями, не превосходящими половины единицы разряда последней цифры табличного значения. Из книг научного характера, вполне выдержанных в этом направлении, укажем книгу Lüroth'a «Vorlesungen über numerisches Rechnen» (1900). Методическая литература в большей своей части относится к этому направлению, и лучшей работой является книга И. Н. Кавуна «Приближенные вычисления» (Гиз, 1922 и 1923). Будем называть это направление, по его наиболее яркому выражению, «табличным направлением».

Второе направление, которое можно назвать «техническим», характеризуется тем, что стремится обойтись без вычисления погрешностей, обращая внимание лишь на то, сколько цифр нужно для изображения числа с некоторой определенной точностью. Основной его принцип, известный у инженеров под названием принципа Крылова, формулирован в книге проф. А. Н. Крылова «Лекции о приближенных вычислениях» (Петербург, 1911) следующим образом: «Результат всякого вычисления и измерения выражается числом; условимся писать эти числа так, чтобы по самому их начертанию можно было судить о степени точности; для этого стоит только принять за правило писать число так, чтобы в нем все значащие цифры, кроме последней, были верны, и лишь последняя цифра была бы сомнительная и притом не более, как на одну единицу». Некоторые работы, кладущие в основу этот принцип или близкий к нему, стремятся буквально выполнить последнее его требование, сводящееся к тому, чтобы абсолютная погрешность каждого приближенного результата была не более единицы разряда последней его цифры. В таких работах (Vieille, Селиванов) мы в сущности опять возвращаемся к первому («табличному») направлению. Другие же авторы, и прежде всего сам проф. Крылов, не следят за буквальным выполнением последнего требования, допуская некоторую неопределенность границы погрешности последней сохраненной цифры результата. В одной новой работе (Фан-дер-Флит, «Арифметика приближенных чисел», 1922) прямо предлагается «выписы-

вать все верные цифры и первую сомнительную». В этом допущении одной сомнительной цифры и заключается характерная особенность «технического» направления. Оно представлено, кроме упомянутых работ Крылова и Фан-дер-Флита, книгой Бурже, цитированной в начале настоящей статьи, книгой Шиманских («Принципы числовых расчетов», 1909), докладом В. Я. Крогиуса на I с'езде преподавателей математики («Приближенные и сокращенные вычисления в средней школе») и многими отдельными правилами, встречающимися в самых разнообразных книгах, где имеются приложения математики, напр., Григорьев, Знаменский, Кавун—«Практические занятия по физике», 1912, стр. 9. В духе «технического» направления выдержаны все вычисления в некоторых английских учебниках (напр., Milne - «Mensuration and elementary solid geometry for scools», 1923).

Отличительной особенностью третьего направления является то, что здесь интересуются не только предельными погрешностями приближенных значений, т.-е. наибольшими возможными их отклонениями от истинных значений, но и вероятностями различных значений этих отклонений, и просто игнорируют такие погрешности, которые хотя и возможны, но весьма мало вероятны, и встречаются поэтому очень редко. Это направление теории приближенных вычислений представляет собой целую разработанную науку, известную под разными названиями («теория ошибок»,, «теория уравновешивания», «Ausgleichungslehre», «теория уравнительных вычислений») и целиком основанную на теории вероятностей. Более всего приложений находит это направление в астрономических и геодезических работах, а потому будем называть его «геодезическим». Из книг на русском языке, изложенных в духе этого «геодезического» направления, укажем книги Helmert'a («Уравновешивание по способу наименьших квадратов», 1914), Сопоцько («Способы и средства числовых вычислений», 1916), проф. А. Иванова («Теория ошибок и способ наименьших квадратов», 1921), проф. Шилло («Теория ошибок и способ наименьших квадратов», литогр. 1924).

Первое и третье направления вполне разработаны, дают ряд обоснованных правил, но на практике применяются сравнительно редко, так как требуют, кроме вычисления основного искомого результата, еще немалой дополнительной работы по вычислению границ погрешностей: «предельной погрешности» в табличном направлении, «средней квадратической погрешности» в геодезическом направлении. «Техническое» направление подкупает простотой и удобоприменимостью своих правил, но правила эти несистематизированы и необоснованы. Но их обоснование надо искать не в «теоремах» «табличного» направления, а в применении теории вероятностей, т.-е. там, где находят себе обоснование приемы «геодезического» направления.

После этих общих замечаний о приближенных вычислениях переходим к вопросу о том, что надо дать в этой области в общеобразовательной школе.

§ 2. Приближенные вычисления в школьном курсе математики. Все математические вычисления, результатом которых должны быть некоторые числа, являются, за редкими исключениями, вычислениями, приближенными. Смотря по тому, требуется ли при этом, кроме приближенного результата вычисления, также и численная характеристика его точности (в виде предельной или средней квадратической его погрешности), или не требуется, все вычисления можно разделить на два основных вида: на вычисления со строгим учетом погрешностей и на вычисления без строгого учета погрешностей. Конечно, желательно иметь численную характеристику точности всякого приближенного результата, но так как вычисление погрешностей представляет собой заметную дополнительную работу даже в

простейших случаях, то его производят сравнительно редко, в случаях наиболее ответственных вычислений, в обыкновенных же вычислениях довольствуются тем, что во всяком приближенном результате отбрасывают цифры, явно не заслуживающие доверия. Отсюда вытекают две задачи для преподавания математики в общеобразовательных школах. Первая—ознакомить по крайней мере с каким-нибудь одним методом строгого учета погрешностей. Таким методом, как мне представляется, должен быть способ границ, заключающийся в том, что для всякого искомого результата устанавливаются две границы, низшая и высшая1). Вторая задача—упорядочить, с точки зрения теории приближенных вычислений, вычисления без строгого учета погрешностей, приучая учащихся избегать цифр, не заслуживающих доверия, т.-е. устранить из школьной практики те „нелепые хвосты ненужных цифр" (выражение И. Н. Кавуна), которыми, к сожалению, пестрят школьные работы. Задача эта разрешается введением в школьный обиход нескольких правил, которые можно назвать „Правилами подсчета цифр" и назначение которых непосредственно, без каких бы то ни было дополнительных вычислений, указывать, в зависимости от числа заслуживающих доверия цифр в данных, сколько заслуживающих доверия цифр имеют результаты.

§ 3. Правила подсчета цифр. Отдельные правила подсчета цифр указывались много раз различными авторами (см. § I, «техническое» направление). Поставив себе задачей систематизировать и обосновать эти правила, я исходил из следующих соображений.

Будем говорить, что все цифры данного приближенного числа точны, если абсолютная его погрешность не превосходит полуединицы разряда последней его цифры (цифры младшего его разряда). Если же эта погрешность больше полуединицы, но меньше 10 единиц этого разряда, то будем говорить, что все цифры числа точны, кроме последней, которая сомнительна, или короче, что это число имеет лишь одну сомнительную цифру. Основной принцип, которым следует руководствоваться при всех вычислениях без строгого учета погрешностей и который должен быть положен в основу всех правил подсчета цифр, можно формулировать так: приближенный результат всякого вычисления подлежит округлению с таким расчетом, чтобы в нем оставалась лишь одна сомнительная цифра, причем малые значения погрешностей в этой последней цифре должны быть более вероятны, чем большие.

Руководствуясь этим принципом, я пришел к следующей системе правил подсчета цифр, опубликованной (без обоснования) в 1926 году2):

I. При сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближенном компоненте с наименьшим числом десятичных знаков.

Примечание. ,,Десятичными знаками" числа называются те его цифры^ которые расположены справа от знака дробности.

II. При умножении и делении в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближенный компонент с наименьшим числом значащих цифр.

1) Подробные соображения о способе границ содержатся в моих статьях: „Приближенные вычисления в школьном курсе математики" (сборник „Вопросы математики и ее преподавания" под ред. И. И. Чистякова и H. М. Соловьева. Гиз, 1923) и „Теория и практика приближенных вычислений в школе II ступени" (сборник „Вопросы, преподавания математики" под. ред. И. А. Сигова и И. С. Симонова. Брокгауз-Ефрон. 1923).

2) „На путях математики", вып. II серии сборников „На путях к педагогическому образованию" под общей редакцией проф. M. М. Рубинштейна (изд. „Мир", 1926). Приведенный выше текст отличается от первоначального некоторыми редакционными изменениями.

Примечание. „Значащими цифрами" числа называются все его цифры, кроме нулей, расположенных левее первой отличной от нуля его цифры.

III. При возведении в квадрат и в куб в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень приближенное число.

Примечание. Последняя цифра квадрата и особенно куба при этом менее надежна, чем последняя цифра основания.

IV. При извлечении квадратного и кубического корня в результате следует брать столько значащих цифр, сколько их имеет подкоренное.

Примечание. Последняя цифра квадратного и особенно кубического корня при этом более надежна, чем последняя цифра подкоренного.

V. При вычислении промежуточных результатов следует брать одной цифрой более, чем рекомендуют предыдущие правила.

Примечание. В окончательном результате эта „запасная цифра" отбрасывается. Писать ее рекомендуется в уменьшенном размере.

VI. Если некоторые компоненты имеют больше десятичных знаков (при действиях I ступени) или больше значащих цифр (при действии II и III ступени), чем другие, их предварительно следует округлять, сохраняя лишь одну лишнюю цифру.

VII. Если компоненты можно брать с произвольной точностью, то для получения результата с к цифрами компоненты следует брать с таким числом цифр, какое дает, согласно правилам I — IV, к-\-\ цифру в результате.

VIII. При вычислении посредством логарифмов одночленного выражения следует подсчитать число значащих цифр в приближенном компоненте, имеющем наименьшее число значащих цифр, и взять таблицу логарифмов с числом десятичных знаков, на 1 большим. В окончательном результате последняя значащая цифра отбрасывается.

Примечание. При применении всех правил подсчета цифр следует избегать нулей, помещаемых в конце приближенных чисел взамен неизвестных их цифр. Так, если число 25400 имеет границу абсолютной погрешности, равную 100, то его надо писать в виде 234.102 или лучше в виде 2,54.104.

Применяя правило подсчета цифр, следует твердо помнить, что они отнюдь не дают гарантии точности последней цифры результата. Эта последняя цифра может иметь погрешность, достигающую в отдельных случаях, как мы увидим далее, даже нескольких единиц разряда последней цифры, но малые значения этой погрешности более вероятны, чем большие. Если подобная неполная надежность последней цифры представляется, по характеру задачи, недопустимой, надо произвести строгий учет погрешностей: правил подсчета цифр здесь недостаточно.

§ 4. Примеры применения правил подсчета цифр. Прежде чем перейти к обоснованию этих правил, покажем на нескольких примерах их применение.

Пример 1. Зная, что sn 25° = 0,423, найти tg 25<>.

Вычисления ведем по формуле tga= —----—, располагая их по следующей схеме:

Возводя в квадрат число 0,423, получаем 0,178929. Замечая, что 0,423 представляет собой приближенное число с 3 значащими цифрами,

заключаем, согласно III правилу, что квадрат его следует округлить тоже до 3 значащих цифр. Так как значение sna является не окончательным, а промежуточным результатом, то сохраняем в нем еще одну (четвертую) цифру, как запасную (V правило). Получаем число 0,17 89. При вычитании из единицы (точный компонент) этого числа 0,1789 (приближенный компонент с 3 десятичными знаками) получаем, согласно I правилу, разность 0,821 j (опять сохраняем одну запасную цифру). Извлечение квадратного корня, согласно IV правилу, ведем до тех пор, пока не получим 3 значащих цифры и одной запасной, т.-е. всего 4 значащих цифры. Остается выполнить деление чисел 0,423 и 0,9062, которое, согласно II правилу, дает 3 значащих цифры искомого окончательного результата. Здесь 4-я запасная цифра взята лишь для того, чтобы видеть, не следует ли усилить третью значащую цифру, и сейчас уже отброшена. Сравнение окончательного результата, взятого с запасной цифрой, т.-е. число 0,4668, с табличным значением tg 25°, равным 0,46631, показывает, что эта запасная цифра содержит значительную погрешность, и мы поступаем правильно, отбрасывая ее. Тем более бесполезной была бы работа по вычислению последующих цифр: при данном исходном приближенном значении sn 25° получить результат с большей точностью, чем мы это сделали, нельзя.

(Продолжение в следующем номере.)

ЗАДАЧИ.

1. Железнодорожный поезд проходит мимо наблюдателя в 8 сек, а мимо платформы длиною в 400 м. — в 33 сек. Найти длину и скорость поезда.

2. Решить уравнение:

j/#-f 2|/лГ—1 — |/" х- 2\/х — 1 —2.

3. Решить уравнение:

х± _ 4хя _| х'2 _|_ 6х _|_ 2 = 0.

И. Щетинин (Москва).

4. Решить систему уравнений:

5. Найти об'ем правильной 4-угольной пирамиды, сторона основания которой a, а плоский угол при вершине равен углу между ребром и плоскостью основания.

6. Показать, что уравнение круга, имеющего диаметром прямую, соединяющую точки с координатами (х\ у) и (#", у") относительно некоторой прямоугольной системы координат, может быть представлено в виде:

И. Ч.

7. Найти два рациональных числа, сумма которых равнялась бы: а) сумме их квадратов, б) сумме их кубов.

И. Ч.

8. В круг вписан равносторонний треугольник АСВ, на дуге AB взята точка Р и прямые АР и BP продолжены до пересечения с продолжениями сторон СВ и CA в точках M и N. Показать, что ВМ. AN=пост.

9. Решить уравнение:

ЗАДАЧИ ИЗ «МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ» ЗА 1917 Г., ОСТАВШИЕСЯ НЕ РЕШЕННЫМИ.

296. Найти два числа, зная их разность 66 и общее наименьшее кратное 360,

297. Доказать, что при всяких а и Ъ

298. Показать, что при m > п

299. Показать, что при целом и положительном n > 1

делится на 169.

301. Две стороны треугольника равны 9 и 10 м, а радиус вписанного в него круга—2 м; определить третью сторону.

302. Пользуясь обычными обозначениями для тр-ка, показать, что

305. Решить уравнение:

Решения всех предложенных задач предлагается присылать в редакцию (Москва), Маросейка, Старосадский, 9, кв. 4).

ХРОНИКА.

МОСКОВСКИЙ НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК.

(Краткий отчет за 1927 год.)

Московский научно-педагогический математический кружок начал функционировать 17 февраля 1927 года, когда был утвержден его устав. Выл избран временный совет кружка в числе 7 лиц: А. В. Васильева, М. Ф. Берга, Ю. О. Гурвица, М. А. Знаменского, И. И. Александрова, А. А Глаголевой и Н. Ф. Четверухина. Временный совет и выполнял на первых порах всю организационную и текущую работу, пока в заседании кружка 7/V1 1927 г. не был избран постоянный совет из 9 лиц во главе с председателем — проф. А. В. Васильевым. Кроме уже перечисленных выше лиц, в состав совета вошли И. И. Чистяков и Г. Н. Попов. Кружок имел 10 пленарных заседаний, на которых были прочитаны следующие доклады.

И. И.. Чистяков (Мо:ква)—«Очерк жизни и деятельности Ньютона», Г. Н. Попов (Москва)—«Всеобщая арифметика Ньютона», В. В. Добровольский (Москва)—«Значение Ньютона в истории механики», Д. М. Синцов (Харьков) — «Интуитивный элемент в преподавании высшей математики», А. Я Хинчин (Москва)—«Современное состояние великой теоремы Ферма", И. С. Чернушенко (Харьков)—«О требованиях, пред'являемых к системе аксиом геометрии», В. M Брадис (Тверь) — «К методике приближенных вычислений», И. К. Андронов (Москва)—«Современная учебная математиче-

екая литература» (Обзор), H.A. Глаголев (Москва)—«Ньютон как геометр", H. Н. Лузин (Москва) — «К истории открытия анализа бесконечно малых», Л. О. Вяземская (Москва)—«Опыт преподавания математики по дальтон-плану», В. В. Струве (Ленинград)—«О Московском математическом папирусе», И. И. Чистяков Москва)—«Крепостной математик-композитор XVIII века М. Матинский», H. А Путята (Москва) — «Волшебный тригонометрический круг», И. К- Андронов (Москва)—«Эволюция программ по математике за последние 10 лет», А. В. Васильев (Москва)—«Программы математики в современной германской средней школе».

В последнее время советом кружка был разработан план работ, согласно которому кружок имеет три секции, соответствующие главнейшим направлениям его деятельности, а именно: 1) программно-методическую, 2) истории математики и математического образования и 3) научную и научно популярную. Одною из важнейших задач совет кружка считает издание печатного органа кружка, журнала «Математическое образование». Для разрешения всех вопросов, связанных с этим изданием, была образована редакционно-издательская комиссия во главе с редактором журнала проф. И. И. Чистяковым, которая провела всю подготовительную работу и получила разрешение на издание журнала Благодаря этому, а также денежной помощи некоторых государственных учреждений выпуск журнала «Математическое образование^ оказался возможным в ближайшее время (с января 1928 года).

Средства кружка сложились из следующих сумм:

1. Членские взносы............... 168 р. —

2. Остаток кассы б. Моск. мат. кружка...... 1Ч3 р. 23 к.

3. Субсидия Главнауки ............ 202 р. —

4. Субсидия Главпрофобра............ 200 р. —

ИТОГО ... 753 р, 23 к. за вычетом всех расходов в сумме...... 147 р. 07 к.

в кассе кружка на I/XI—27 г. значится остаток . 606 р. 16 к.

В настоящее время в кружке числится 142 члена. В заседаниях кружка 3/ÏV и 27/XI 3927 года были единогласно избраны почетными членами кружка: проф, А. В. Васильев (Москва), проф. Д. Ф. Егоров (Москва) и проф. К. А. Поссе (Ленинград)

Секретарь Моск. н.-п. мат. кружка Н. Четверухин1).

ВСЕРОССИЙСКИЙ С'ЕЗД МАТЕМАТИКОВ.

С 27 апреля по 4 мая минувшего 1927 года в Москве происходил I Всероссийский с'езд математиков, который должен быть отмечен, как весьма значительное событие в научной жизни нашей страны. С'езд был организован Главнаукой РСФСР, причем вся подготовительная работа была проведена организационным комитетом, выделенным Московским математическим обществом и Научным институтом математики и механики и возглавляемым проф. Д. Ф. Егоровым.

Уже с первого дня работ с'езда было ясно, что с'езд привлек математиков со всего Союза ССР и явился по существу всесоюзным. Многолюдность с'езда (около 400 членов) и обилие заявленных докладов обеспечили ему богатую содержанием программу занятий. Кроме пленарных заседаний, которые происходили по утрам и были посвящены обзорным докладам, в вечернее время работали 4 секции с'езда: 1) анализа и теории чисел, 2) геометрии, 3) математического естествознания и 4) математической статистики.

Обзорные доклады ставили своей целью ознакомить членов с'езда со всеми важнейшими достижениями в той или другой области математических знаний и современным ее состоянием. Таковы были доклады H. Н. Лузина (Москва)—«Современное состояние теории функций действительного переменного», С Н. Бернштейна (Харьков) - «Современное состояние теории вероятностей», И. И. Привалова (Москва) — «Современное состояние теории аналитических функций», П. С. Александрова (Москва)—«Современное состояние топологии», В. Ф. Кагана (Москва)— «Современное развитие идей Римана в диференииальной геометрии», А. Я. Хинчина (Москва)—«Диофантовы приближения», Р. О. Кузьмина (Ленинград) — «Аналитическая

1) Адрес секретаря кружка Николая Федоровича Четверухина — Москва, 34, Филипповский пер., д. 12, кв. 4.

теория чисел», Б. Н. Делонэ (Ленинград)—«О неопределенных уравнениях 3 степени», С. П. Финикова (Москва)—«О современном состоянии дифегенциальной геометрии».

Помимо чисто-научных вопросов, членов с'езда интересовали также и вопросы педагогического характера. Совещание по вопросам преподавания в высшей школе, организованное Московским научно-педагогическим математическим кружком, привлекло много участников с'езда и вызвало оживленный обмен мнений. В принятой резолюции, утвержденной затем пленумом с'езда, говорится о желательности организации подобных совещаний на следующем с'езде математиков.

Необходимо отметить также организационную работу с'езда. На последнем (пленарном) заседании с'езд принял постановление об учреждении ассоциации математиков во всесоюзном масштабе. Первое бюро такой ассоциации было составлено из организационного комитета и президиума с'езда, в который вошли представители всех крупных научных центров Союза.

В число задач, возложенных на бюро ассоциации, входят следующие:

1) Подготовка II с'езда математиков.

2) Улучшение обмена научными изданиями.

3) Составление математической библиографии.

4) Собирание материалов для составления истории математики в России и др.

Таковы вкратце итоги I Всероссийского с'езда математиков. Члены его, осветив свои впечатления, обменявшись мнениями, проверив результаты своих научных достижений, раз'ехались во все концы Союза, чтобы с новой энергией продолжать научную работу. И в многочисленных речах как официальных представителей, приветствовавших с'езд, так и членов с'езда слышалось ясное сознание большого научного значения I с'езда математиков, который должен укрепить важнейший теоретический фундамент всех прикладных и технических знаний.

Н. Четверухин.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ.

И. Н. Кавун. Как обучать геометрии в четырехлетней школе I ступени. Методическое руководство для учителей. Изд. «Сеятель». Л. 1927. Ц. 1 р. 10 к.

Книга разделена на две равные части; в первой излагается общая, во второй частная методика геометрии. В общей методике рассматриваются три основных вопроса: о развитии пространственных представлений в детском возрасте, о геометрических методах и о системе геометрического образования в школе I ступени» Первый вопрос трактуется автором кратко и не всегда совершенно убедительно — в духе современной психологии. По второму вопросу он лишь слегка касается логического метода, а больше отводит места опытному и интуитивному методам. Справедливо подчеркивая основную роль и ценность интуитивного, а не опытно-экспериментального метода в школе I ступени, автор, однако, больше говорит об этом последнем, не делая, впрочем, тех методологических ошибок, которые имеют место во многих существующих курсах наглядной геометрии. Здесь же автор разбирает опытный метод с точки зрения его доказательности, кратко касаясь логических методов индуктивного умозаключения и останавливаясь на типичной ошибке неполной индукции. По третьему вопросу автор говорит о желательном распределении геометрического материала в I и II ступени и, правильно указывая на основную ошибку современных учебных планов — изучение в 1 ступени преимущественно метрической геометрии, удачно развивает план изучения в I ступени чистой геометрии —«геометрии формы». В дальнейшем автор касается трудного вопроса о фузионизме геометрии и арифметики и дает, действительно, удачные примеры связи между ними, не касаясь достаточно глубоко этого вопроса теоретически Наконец, касаясь больного вопроса наи ей школы —комплексной системы и места геометрии в ней, автор очень мало говорит по его существу, переходя к вопросу, хотя и очень актуальному, но не совпадающему с первым,- о связи геометрии с жизнью и о реальных задачах.

Во II части автор рассматривает геометрический материал по четырем годам обучения, располагая его по такому плану: а) геометрические образы и работы учеников, в измерительные задачи, с) иллюстративная геометрия как средство арифметического образования. 3-й и 4-й годы обучения, развитые ьесколько подробнее, чем предшествующие, строятся вначале на планиметрических и заканчиваются стереометрическими образами, идя через черчение, землемерие к моделированию. Особенно И Н. Кавун останавливается на идеях симметрии, движения, сечения, равносоставленности и превращения фигур в равновеликие и уже после этого переходит к измерению площадей и об'емов, отводя этому вопросу меньше места, чем в современных пропедевтических курсах.

В общем И. Н. Кавун, не создавая вполне нового собственного методического направления, умело и осторожно синтезирует опыт и частично теорию современного реформистского течения. При отсутствии доступных методических и методологических трудов для учителей 1 ступени его книгу можно горячо рекомендовать школьным работникам, особенно начинающим, а также для занятий в педагогических техникумах.

НОВЫЕ КНИГИ.

И. Н. Кавун Как обучать геометрии в четырехлетней школе 1 ступени. [Методическое руководство для учителей. Изд. «Сеятель». Л. 1927. Ц. 1 р. 10 к.

В. Минервин. Математика на экскурсиях. Изд. «Раб. просв.». M 1927. Ц. 90 р.

Д. Соловые. Методика арифметики дробей. Изд. «Раб. просв.». M 1927. Ц. 1 к.

На путях математики (из серии «На путях к педагогическому самообразованию»). Сборник статей Брадиса, Волковского, Жаркова, Казакова, Соловьева и Чистякова Под ред проф. M. М. Рубинштейна. (VI. 1926. Ц. 1 р. 20 к.

К Брусиловский, Р. Гангнус, М. Горнштейн, М. H Хитрин. Рабочая книга по матаматике. Курс рабфака. Ч. 1. М. 1928. Ц. 2 р. Ч. II. Ц. 1 р. 50к. Ч. III Ц. 1 р 75 к.

Моск. отд. нар. обр. Математика. Методическая проработка программного материала V, VI, VII гг. обучения школы семилетки. М. 1927. Изд. «Раб. просв.». Ц. 1 р. 25 к.

A. Иерусалимский. Школа черчения. Диаграммы и графики. Изд. «Благо». Лен. 1927. Ц. 1 р.

Вудгоуз и А. Брандт. Математика текстильщика. Пер. с англ. Изд. С.-З. Обл. Промбюро ВСНХ. Л. 1927.

К. К. Мазинг Рабочая книга по математике для профшкол, школ ученичества в горной промышленности. М. 1927. Ц. 2 р. 50 к.

Д. Сирота. Задания по математике в фабзавуче. Изд. «Новая Москва». 1927. Ц. 1 р. 20 к.

О. Цубербиллер. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. Под ред. проф. И. И. Жегалкина. M. К27. Ц 3 р. 25 к.

Г. Вилейтнер. Как рождалась современная математика. Пер. под ред. проф. А. Я. Хинчина. М. 1927. Ц. 1 р. 10 к.

Проф. А. Я. Хинчин. Великая теорема Ферма. М. 1927. Ц. 65 к.

B. Бринтон Графическое изображение фактов. Пер. с англ. Изд. «Экономическая жизнь» М. 1927. Ц. 4 р. 50 к.

Проф. И. И. Чистяков. Числовые суеверия. М. 1927. Ц. 35 к.

К. Фербер. Арифметика. Развитие понятия числа. Пер. Д. Бема и Р. Струве. М. 1925. Ц. 2 р. 5 ) к.

Инженер-педагог. Сборник под ред. профессоров А. Ф. Евстигнеева Белякова, M. М. Рубинштейна и В. А. Ушкова. Изд. В. Педаг. курсов при М. В. Т. У. М. 1928. Цена 2 р.

А. Я. Модестов. Физика. Рабочая книга для подготовки в ВУЗ. Изд. „Раб. просв." М. 1928.

Ответственный редактор И. ЧИСТЯКОВ.

Главлит А6974. Зак. № 9. Тир. 1.000.

Москвп, тип, «Гудок», ул. Станкевича, 7.