№ 45-48.

Математическое Образованіе.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

Годъ шестой.

№ 5—8.

Сентябрь-Декабрь. 1917 г.

МОСКВА.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

„Математическое Образованіе“

Сентябрь—Декабрь 1917 г. Годъ 6-й. № 5—8.

Содержаніе. Отъ редакціи. Суммированіе одинакихъ степеней чиселъ натуральнаго ряда. I. Чистяковъ.—Основные принципы и опредѣленія механики съсъ математической точки зрѣнія. В. Добровольскій.—Способъ конструктивныхъ алгориѳмовъ и Делійская задача Н. Четверухинъ.—Астрономія, какъ наука и какъ учебный предметъ. Б. Базилевскій.—Понятіе о безконечно-маломъ и его приложенія въ математикѣ. Дж. Виванти пер. Борткевичъ.—Къ вопросу о рѣшеніи уравненія ]grt lga ... lg„ x=m. С. Слугиновъ.—Тригонометрическій выводъ нѣкоторыхъ формулъ геометріи. Б. Буханцевъ.—Математическія замѣтки. В. Городковъ.—Ученіе о пропорціональности у Евклида и современная теорія числа. Л. Волковъ.—Попытка доказательства великой теоремы фермата Ѳ. И. Назарова. Д. Синцовъ.—О построеніи центра данной окружности съ помощью одной линейки. Э. Лейнѣкъ.—Задачи.—Рѣшенія задачъ.—Объявленія.

Отъ редакціи.

Въ виду извѣстныхъ общихъ неблагопріятныхъ условій въ настоящее время въ Россіи для періодической печати, въ частности крайняго вздорожанія бумаги и типографскихъ работъ, Московскій Математическій Кружокъ вынужденъ съ выпускомъ настоящаго № 5/8 пріостановить изданіе журнала „Математическое Образованіе“ до болѣе благопріятнаго времени.

Увѣдомляя объ изложенномъ гг. подписчиковъ, редакція приноситъ имъ извиненіе за невольную неаккуратность при выпускѣ въ 1917 г. книжекъ журнала. Вмѣстѣ съ тѣмъ, редакція питаетъ надежду, что съ возстановленіемъ нормальныхъ условій она сможетъ вновь продолжать свою работу на пользу математическаго образованія и просвѣщенія въ Россіи.

Суммированіе одинакихъ степеней чиселъ натуральнаго ряда.

І. Чистяковъ. (Москва).

Какъ и многіе другіе вопросы изъ области ариѳметики, составленіе выраженій для суммъ одинакихъ степеней чиселъ натуральнаго ряда интересовало людей уже въ очень отдаленныя времена. Въ частности, суммированіемъ первыхъ степеней, квадратовъ и кубовъ натуральныхъ чиселъ много занимались ученые Египта и Греціи, которые и получили соотвѣтствующія формулы. Еще болѣе вниманія удѣляли тому же вопросу индусскіе и арабскіе ученые, которые выработали для рѣшенія подобныхъ за-

дачъ весьма своеобразные методы. Отъ нихъ интересъ къ суммированію одинакихъ степеней чиселъ натуральнаго ряда передался и европейскимъ ученымъ, и имъ, напр., занимались Фибоначчи, Ферматъ, Паскаль, Я. Бернулли и др. Съ развитіемъ математическаго анализа задача о суммированіи какихъ угодно степеней чиселъ натуральнаго ряда была вполнѣ разрѣшена и явилась частнымъ случаемъ общей формулы суммированія, выводимой въ исчисленіи конечныхъ разностей. Однако, представляютъ интересъ и заслуживаютъ полнаго вниманія и тѣ элементарные способы, которые были предложены для рѣшенія той же задачи какъ въ древности, такъ и въ новое время. Изложенію нѣкоторыхъ изъ этихъ методовъ и посвящена настоящая замѣтка.

I.

Пусть Sp — P -j- 2> 3* -+- ... + (и — ly -f- иР\ тогда задача сводится къ выраженію Sp чрезъ п и р. Простѣйшими ея случаями будутъ тѣ, когда р — \, 2 и 3. Для рѣшенія задачи въ этихъ случаяхъ древніе, въ особенности индусы, употребляли графическіе пріемы. Именно, они записывали числа натуральнаго ряда въ особыя таблицы, изь разсмотрѣнія которыхъ и выводили способы для полученія требуемаго выраженія.

Такъ, прир = 1, т.-е. для суммированія чиселъ отъ 1 до п, составляли треугольную таблицу

затѣмъ къ ней присоединяли подобную же таблицу въ обратномъ положеніи, въ результатѣ чего получалась прямоугольная таблица слѣдующаго вида:

въ этой послѣдней таблицѣ имѣется строчекъ, содержащихъ по (и-f-l) единицъ въ каждой; слѣдовательно

Для суммированія « первыхъ нечетныхъ чиселъ примѣнялась квадратная таблица, содержащая на каждомъ мѣстѣ 1; сумма всѣхъ записанныхъ въ ней единицъ равна и2; производя же суммированіе въ той

группировкѣ, которая размѣчена горизонтальными и вертикальными линіями на чертежѣ, непосредственно убѣждаемся, что

1 + 3 + 5+.. . + (2»-1) = *’,

т.-е. сумма п первыхъ нечетныхъ чиселъ равна квадрату ихъ числа.

Примѣненный въ этомъ послѣднемъ случаѣ способъ двоякаго составленія суммы чиселъ, помѣщенныхъ въ таблицѣ, при всей его простотѣ, позволяетъ вывести формулы для суммированія квадратовъ, кубовъ и т. д.,ряда натуральныхъ чиселъ. Съ этой цѣлью возьмемъ квадратную таблицу, въ каждой строкѣ которой записаны числа отъ 1 до Очевидно, что сумма всѣхъ чиселъ, находящихся въ таблицѣ, равна

(1 + 2 + 3 + ... +«). n=Sl.

Если же разсматривать числа въ группахъ, на которыя таблица раздѣлена проведенными горизонтальными и вертикальными линіями, то напр., въ т-й группѣ мы имѣемъ сумму т чиселъ, равныхъ т,стоящихъ въ вертикальномъ столбцѣ, и сумму (т — 1) первыхъ чиселъ натуральнаго ряда, находящихся за горизонтальной линіи. Поэтому сумма всѣхъ чиселъ въ й группѣ равна:

Сумма же чиселъ во всѣхъ выдѣленныхъ группахъ всей таблицы будетъ равна fSm2 — |2?m = f —\ +.

Итакъ,

а замѣняя Sl его выраженіемъ, получимъ

Эта формула инымъ, нѣсколько болѣе сложнымъ, путемъ была получена Архимедомъ въ сочиненіи „О спираляхъ“, гдѣ онъ прилагаетъ ее къ нахожденію площади сегмента Архимедовой спирали и параболы.

Возвысимъ, далѣе, всѣ числа предыдущей таблицы въ квадратъ; тогда, находя сумму всѣхъ помѣщенныхъ въ ней чиселъ, будемъ имѣть:

Съ другой стороны, разсматривая сумму чиселъ, выдѣленныхъ линіями въ й группѣ, видимъ, что она составляется изъ суммы чиселъ, равныхъ каждое ж2, стоящихъ въ вертикальномъ столбцѣ, и изъ суммы (m— 1) квадратовъ чиселъ меньшихъ т, расположенныхъ въ горизонтальной строкѣ; всего сумма этихъ чиселъ въ й группѣ дастъ:

Сумма же чиселъ во всѣхъ выдѣленныхъ группахъ таблицы будетъ равна:

Слѣдовательно:

откуда

Итакъ, сумма кубовъ п первыхъ цѣлыхъ чиселъ равна квадрату суммы ихъ первыхъ степеней. Это свойство суммы кубовъ было извѣстно древнимъ грекамъ, арабамъ и индусамъ.

Полагая, что числа, написанныя въ предыдущей таблицѣ, возведены не въ квадратъ, а въ кубъ, и поступая аналогично предыдущему, найдемъ

или

Отсюда

или

иначе

Предполагая, что числа въ нашей таблицѣ возведены въ 4-ю, 5-ю и т. д. степени, мы совершенно аналогично можемъ получить выраженія для S5, Se, и проч. чрезъ и. Однако, вычисленіе этихъ суммъ такимъ путемъ постепенно будетъ все сложнѣе и утомительнѣе. Для болѣе быстраго полученія искомыхъ суммъ можно взять за исходную таблицу извѣстную квадратную таблицу умноженія Пиѳагора и примѣнить къ ней тотъ же способъ двоякаго суммированія входящихъ въ нее чиселъ, которымъ мы пользовались. Дѣйствительно, суммируя входящія въ таблицу числа по строкамъ, найдемъ

(1 + 2.+ ...+»)(1 + 2+ ...+я) = 51».

Разсматривая же сумму чиселъ, стоящихъ въ т-й выдѣленной группѣ, видимъ, что она состоитъ изъ т чиселъ: стоящихъ въ вертикальномъ столбцѣ, и чиселъ т, 2т,... (т—1 въ горизонтальной строчкѣ; сумма ихъ всѣхъ выразится числомъ: 2т(1 2 -f-... -J- т) — = 1) — а сумма чиселъ во всѣхъ группахъ числомъ Итакъ, ^ = 5^, что мы видѣли уже и ранѣе. Предполагая затѣмъ, что всѣ числа Пиѳагоровой таблицы возведены въ квадратъ, и примѣняя тотъ же методъ двоякаго суммированія ихъ по строчкамъ и по группамъ, будемъ имѣть:

отсюда

Точно такъ же, полагая, что числа Пиѳагоровой таблицы возведены въ кубъ, получимъ:

или

отсюда

соотношеніе, указанное Якоби. Очевидно, что, примѣняя изложенный методъ, далѣе будемъ получать выраженія для послѣ-

дующихъ суммъ S съ нечетными индексами. Въ частности, найдемъ

Извѣстный французскій математикъ Е. Lucas въ своей книгѣ „Théorie des nombres“ называетъ изложенный способъ для полученія суммъ S индусскимъ; онъ далъ ему дальнѣйшее развитіе, распространивъ его на таблицы, аналогичныя Пиѳагоровой, но съ тремя измѣреніями или входами. Этимъ путемъ ему удалось получить много новыхъ и интересныхъ соотношеній между суммами S. Однако, индусскій способъ даже и въ этомъ обобщенномъ видѣ не даетъ возможности вывести формулу для суммы

5, = 1> + 2> + ... +я*

непосредственно только въ функціи чиселъ п и Для этой цѣли были предложены различные методы Я. Бернулли, Ферматомъ, Паскалемъ и др. Въ новѣйшее время элементарные способы для выраженія S„ были предложены Е. Lucas, Е. Cesaro и нѣкоторыми англійскими и американскими математиками, примѣнившими для означенной цѣли особый методъ, ими же разработанный.— методъ символическаго обозначенія. Простѣйшіе результаты примѣненія названнаго метода къ задачѣ о суммированіи однородныхъ степеней чиселъ натуральнаго ряда мы и изложимъ теперь съ возможною простотой.

II.

Методъ символическаго обозначенія состоитъ въ томъ, что, имѣя рядъ количествъ U0, l\, U „,связанныхъ между собою нѣкоторой опредѣленной алгебраическою зависимостью, мы обозначаемъ ихъ однимъ общимъ символомъ U безъ значка и разсматриваемъ соотношеніе между ними подъ видомъ нѣкоторой опредѣленной операціи надъ U, какъ если бы U было алгебраическимъ количествомъ, такъ что Un представляется чрезъ Ѵп. Надъ полученной такимъ образомъ функціей отъ U можно совершать новыя преобразованія и алгебраическія дѣйствія и даже дифференцированіе, разложенія въ ряды и проч.; окончательный же результатъ получимъ, перейдя отъ символическаго выраженія къ дѣйствительному, т.-е. замѣнивъ показателей при U—указателями. Напр., имѣя нѣкоторый многочленъ съ биноміальными коэффиціентами

мы можемъ его символически представить въ видѣ f (х) = (ж -j- U)’"; легко видѣть, что, напр., операція дифференцированія, совершенная надъ функціей въ такой символической формѣ, даетъ ея дѣйствительную производную; въ самомъ дѣлѣ

Замѣтимъ, что правильность формулъ, полученныхъ по методу символическаго обозначенія, можетъ бытъ затѣмъ подтверждена доказательствомъ отъ ткъ т -f-1, т.-е. способомъ математической индукціи.

Названный методъ мы и примѣнимъ къ изученію функціи Sp, выражающей сумму р-хъ степеней чиселъ натуральнаго ряда, причемъ подъ S 'рбудемъ теперь подразумѣвать выраженіе:

<S,= l* + 2>-|-3>4---Н* —1

Предварительно выведемъ одно весьма важное вспомогательное равенство символическаго характера. Именно, пусть у насъ имѣется нѣкоторый цѣлый алгебраическій многочленъ f(x), напр. (п -)- 1)-ой степени; дадимъ независимому перемѣнному X приращеніе, равное 1, и найдемъ соотвѣтствующее приращеніе функціи f(x), т.-е. разность f(-1)— ); это будетъ нѣкоторый новый многочленъ n-ой степени; его можно представить въ видѣ:

Будемъ давать х въ этомъ равенствѣ значенія 1, 2, 3,... . • • (ж — 1); получимъ:

Складывая почленно эти равенства, найдемъ:

fix) - fi 1) = aßn -f- +••••+ a„-i + c„So,

что можно символически представить равенствомъ:

fix)-fil) = fiS+l)-f(S)...............(I).

Давая въ этомъ равенствѣ функціи различныя частныя значенія, мы получимъ сколько угодно соотношеній между функціями S. Такъ, полагая f(x) = хт, получимъ формулу:

или, освобождаясь отъ символическаго обозначенія

замѣчая, что

найдемъ отсюда соотношеніе:

(II).

Пусть въ частности 2, тогда

откуда

При т — 3, имѣемъ:

и т. д.; очевидно, что такимъ путемъ можно послѣдовательно получить выраженіе функцій S3, SA, Sb и проч. При этомъ изъ формулы (II) и приведенныхъ примѣровъ заключаемъ, что ни одна изъ функцій Sfi не будетъ имѣть членовъ, свободныхъ отъ X.

Давая функціи f{x) иныя значенія, получимъ иныя соотношенія между функціями S, которыя позволяютъ получать выраженія для нихъ быстрѣе, а также обнаружить нѣкоторыя новыя ихъ свойства. Такъ полагая въ равенствѣ (I) f{x)—xP{x—\y^ будемъ имѣть символическое равенство:

или

или, переходя къ обычному обозначенію,

Пусть въ частности р~1\ тогда —1) = 25), откуда

При р= 2. имѣемъ:

откуда находимъ извѣстное соотношеніе

При р = 3, получимъ:

откуда

Полагая р = 4, будемъ имѣть

откуда вытекаетъ ранѣе упомянутое соотношеніе Якоби:

Изъ вышеизложеннаго убѣждаемся, что каждое Sip_t дѣлится на S3 и во всякомъ случаѣ содержитъ множителемъ х2. Возвращаясь къ ф. (II), представимъ ее въ видѣ

т.-е. т&'т_гвыражается многочленомъ ой степени относительно л съ коэффиціентомъ 1 при хт.

Слѣдовательно, мы можемъ представить въ видѣ многочлена

гдѣ А, В,... ,-\-Z—постоянныя числа, или же, вводя ради большаго удобства, биноміальные коэффиціенты, въ видѣ:

гдѣ В0, Вѵ В2..,.Вт_1—постоянныя числа (В0 — 1).

Для вычисленія и изслѣдованія этихъ послѣднихъ чиселъ, предыдущее равенство удобно представить въ символической формѣ

Замѣнимъ теперь въ этомъ равенствѣ чрезъ 1), тогда въ лѣвой части его прибавится слагаемое и мы получимъ

Вычитая изъ этого равенства предыдущее, найдемъ:

или

Сравнивая коэффиціенты при одинакихъ степеняхъ х въ обѣихъ частяхъ этого равенства, найдемъ слѣдующія соотношенія символическаго характера между числами В:

Изъ этихъ равенствъ и можно послѣдовательно вычислить коэффиціенты В; изъ перваго находимъ Д, — 1; далѣе имѣемъ

и т. д.; общее соотношеніе для вычисленія коэффиціентовъ В можетъ быть представлено въ видѣ

Замѣтимъ, что коэффиціенты В носятъ названіе Я. Бернулли, который впервые обратилъ на нихъ вниманіе въ

сочиненіи по теоріи вѣроятностей Ars Conjectandi, 1713 г., и вычислилъ ихъ до Ві0.

Вотъ значенія этихъ первыхъ чиселъ:

Бернулліевы числа обладаютъ многими интересными свойствами*), значенія ихъ въ настоящее время вычислены до Вш**). Легко убѣдиться, что Бернулліевы числа съ нечетными указателями, кромѣ BL, равны нулю. Дѣйствительно, полагая въ формулѣ (III) т = 2п, получимъ:

но мы видѣли, что S2H_t должно содержать общимъ множителемъ X2, слѣдовательно послѣдній членъ въ этомъ разложеніи равенъ 0, и В,1п_х~Ь.

Принимая во вниманіе равенство нулю Бернулліевыхъ чиселъ съ нечетными указаніями, можемъ придать слѣдующій окончательный видъ формуламъ суммированія одинакихъ степеней ряда натуральныхъ чиселъ:

Замѣтимъ, что если берется сумма чиселъ не до ( — а до хт, то въ соотвѣтствующемъ многочленѣ измѣнится лишь 2-й членъ, именно, вмѣсто В1хм — —\ х'п будетъ стоять -{--іа’".

*) См. Бернулліевы числа. I. И. Чистяковъ. М. 1895.

**) См. Таблица первыхъ 90 чиселъ Бернулли. С. З. Серебренниковъ.Спб. 1905

Полученные многочлены для выраженія функцій и носятъ названіе функцій Я. Бернулли; они часто разсматриваются не только при цѣломъ, но и при любомъ значеніи перемѣннаго х, и обладаютъ многими важными и интересными свойствами.

Въ заключеніе приведемъ выраженія функцій S. для небольшихъ значеній S, при чемъ въ нихъ значенія Бернулліевыхъ чиселъ уже подставлены и сдѣланы сокращенія:

Замѣтимъ, однако, что при большихъ значеніяхъ указателя р въ многочленахъ Sp оказывается болѣе удобнымъ писать ихъ съ биноміальными коэффиціентами и Бернулліевыми числами, не производя числовыхъ сокращеній.

Основные принципы и опредѣленія механики съ математической точки зрѣнія.

В. Добровольскій. (Москва).

Положеніе механики въ средней школѣ имѣетъ характеръ какой-то двойственности: не представляя особаго предмета (за исключеніемъ техническихъ училищъ), она входитъ составною частью въ курсъ физики, но здѣсь она даже при общей „мѣловой“ системѣ преподаванія все-таки выдѣляется своимъ теоретическимъ характеромъ: математика находитъ въ этомъ „отдѣлѣ физики“ наибольшее примѣненіе. При современномъ гоненіи на „мѣловую“, физику механическій отдѣлъ ея пытаются часто рѣзко отгородить отъ математики, отчего двойственность этой науки выступаетъ еще рельефнѣе. Если держаться дѣленія наукъ на отвлеченныя и конкретныя, то и выйдетъ, что съ одной стороны механика несомнѣнно наука конкретная, такъ какъ изучаетъ физическія явленія, а съ другой—является, подобно математикѣ, наукой отвлеченной, потому что развиваетъ свои положенія изъ небольшого числа основныхъ принциповъ и опредѣленій. Указаніе на то, что эти принципы и опредѣленія „установлены“ опытомъ и потому

достовѣрны лишь постольку, поскольку или сами или въ своихъ слѣдствіяхъ, не мѣняетъ существа дѣла, такъ какъ подобное же указаніе можетъ быть сдѣлано и относительно такой „математической“ науки, какъ геометрія. Вотъ при сравненіи механики съ геометріей и вскрывается какъ разъ особенно ясно различіе во взглядахъ на математическія и физическія истины. Первымъ приписывается обычно абсолютная достовѣрность, но ихъ единственный недостатокъ, какъ говорятъ, въ томъ, что онѣ относятся къ „идеальнымъ“, т.-е. несуществующимъ вещамъ; между тѣмъ вторыя, т.-е. физическія истины, хотя и достовѣрны лишь постольку, поскольку не опровергнуты пока опытомъ, но зато говорятъ о дѣйствительно существующемъ. Такой взглядъ широко распространенъ и поддерживается больше всего „физиками“; на этой почвѣ возникаетъ въ педагогической средѣ немало недоразумѣній между ними и „математиками“. Послѣдніе вынуждены бываютъ иногда согласиться на неабсолютную достовѣрность ихъ „теоремъ“ и необходимость ихъ опытной провѣрки и вмѣстѣ съ тѣмъ добиваются признанія за „прямой“, „плоскостью“ и—о, ужасъ!—„точкой“ несомнѣнной реальности, чтобы отстоять свои позиціи въ сферѣ дѣйствительности.

Въ настоящее время, однако, можно съ увѣренностью сказать, что споръ слѣдуетъ перенести совершенно въ другую плоскость: не объ отвлеченныхъ и конкретныхъ наукахъ можетъ быть рѣчь, а объ отвлеченной и конкретной сторонахъ науки, или, если угодно, о „формѣ“ и „содержаніи“ ея. Въ самомъ дѣлѣ, механика, напр., можетъ быть построена вся на формальномъ развитіи основныхъ принциповъ и опредѣленій совершенно такъ же, какъ геометрія—на развитіи своихъ аксіомъ и опредѣленій, не входя въ оцѣнку этихъ принциповъ со стороны ихъ опытнаго содержанія; таково ея положеніе со времени Ньютона, у котораго мы имѣемъ и „definitiones“ и „axiomata“; позднѣйшіе писатели предпочли удержать терминъ „leges motus“; предшествующій же „axiomata“—отбросить. Извѣстно, что въ настоящее время считаютъ возможнымъ строить геометрію на различныхъ совокупностяхъ аксіомъ и опредѣленій (постулатовъ), и получаемыя такимъ образомъ различныя геометріи признаются равноцѣнными и равнодостовѣрными съ математической точки зрѣнія; которая изъ этихъ геометрій окажется наиболѣе удобной для изученія свойствъ физическаго пространства, это уже вопросъ практической цѣлесообразности. Совершенно такъ же мы должны смотрѣть и на Ньютонову механику и на попытки „опровергнуть“ его „законы“ опытнымъ или какимъ-либо инымъ путемъ. Намъ извѣстно нѣсколько такихъ курьезныхъ опроверженій; заставляютъ, напр., падать отклоненный маятникъ или шаръ, подвѣшенный на пружинѣ, и „наблюдаютъ“, что во время паденія „тѣло не имѣетъ вѣса“*); или, уравновѣсивъ сосудъ съ водою и подвѣшеннымъ въ ней тѣломъ, обрѣзаютъ затѣмъ нитку и наблюдаютъ нарушеніе

*) Такія объясненія этихъ опытовъ намъ привелось слышать въ лабораторіи одного высшаго учебнаго заведенія отъ лаборанта.

равновѣсія во время паденія тѣла въ водѣ, что будто бы тоже доказываетъ несостоятельность Ньютоновыхъ законовъ, которые слѣдуетъ замѣнить энергическими*). Другіе пытаются путемъ „разсужденій“ доказать логическую несостоятельность механики Ньютона**); сюда же должны быть отнесены непрекращающіяся изобрѣтенія „perpetuum mobile“. Отрицательное отношеніе къ подобнаго рода опроверженіямъ не исключаетъ, разумѣется, серьезной критики Ньютоновскихъ принциповъ, которую мы имѣемъ въ работахъ Дюринга, Маха, Герца, Клиффорда, Дюгема, Пуанкаре и др. Эта критика показала, что основныя положенія и опредѣленія механики, можетъ быть удобнѣе формулировать иначе, чѣмъ у Ньютона, поставить ихъ въ иной связи другъ съ другомъ, замѣнить, наконецъ, другими, имъ равнозначащими, но невозможно обнаружить ихъ негодность по существу для логическаго построенія механики; они, кромѣ того, оказываются вполнѣ достаточными для такого построенія. Существованіе на ряду съ ними другихъ „принциповъ“, какъ-то: принципъ Д’Аламбера, принципъ Лангранжа и др., не подрываетъ значенія принциповъ Ньютона: эти новые принципы не даютъ ничего новаго по существу, а представляютъ лишь болѣе удобныя въ практическомъ отношеніи правила рѣшенія задачъ; самое слово „принципъ“ пріобрѣтаетъ такимъ образомъ нѣсколько иной оттѣнокъ: такія правила сами могутъ быть выведены и, слѣд., не имѣютъ аксіоматическаго характера. Нельзя не вспомнить по этому поводу увлекательныхъ страницъ введеніи Лагранжа въ его безсмертной аналитической механикѣ, такъ будятъ онѣ мысль и интересъ къ этимъ вопросамъ!

Послѣ критической работы, выполненной указанными авторами, намъ представляется возможнымъ изложить „основанія“ механики слѣдующимъ образомъ.

Основныя понятія механики суть: пространство, время, движеніе, масса, матеріальная точка, сила. Къ пространству механика ничего не прибавляетъ болѣе того, что даетъ геометрія; уже въ этомъ слѣдованіи за геометріей кроется возможность различныхъ механикъ. Время (абсолютное, математическое) принадлежитъ къ такимъ же первоначальнымъ, неопредѣленнымъ понятіямъ, какъ пространство въ геометріи; однако, подобно послѣднему, оно подчинено нѣкоторымъ условіямъ, а именно: 1) оно имѣетъ одно измѣреніе, слѣдовательно, отмѣтка его называемая, моментомъ, опредѣляется однимъ числомъ; 2) оно непрерывно въ томъ же смыслѣ, какъ это понимается въ математикѣ; изъ этихъ двухъ условій слѣдуетъ, что можно говорить о части времени („промежуткѣ“ времени), которая, подобно отрѣзку въ геометріи, мыслится какъ содержаніе (совокупность) всѣхъ моментовъ отъ одного, начальнаго, до другого, конечнаго. Движеніе есть соот-

*) Помѣщено въ одной изъ книгъ д-ра Краинскаго, сторонника энергической теоріи физическихъ, біологическихъ и психологическихъ процессовъ. Къ сожалѣнію, въ настоящій моментъ я не могу привести даже названія книги, такъ какъ не имѣю ея подъ руками.

**) См., напр., брошюру Б. Н. Лебедева: „Попытка построенія новой научной гипотезы“.

вѣтствіе между непрерывнымъ рядомъ точекъ, разсматриваемыхъ какъ различныя положенія одной точки, и непрерывнымъ рядомъ моментовъ времени. Другими словами, вводя время въ качествѣ четвертаго измѣренія, мы сопрягаемъ его при помощи движенія съ тремя измѣреніями геометрическаго пространства и тѣмъ самымъ какъ бы проектируемъ пространство 4-хъ измѣреній въ пространствѣ 3-хъ измѣреній съ отмѣтками четвертаго на подобіе того, какъ мы можемъ проектировать пространство 3-хъ измѣреній на плоскость (т.-е. въ пространство 2-хъ измѣреній) съ отмѣтками 3-го (напр., на горизонтальную плоскость съ отмѣтками высоты). На этихъ понятіяхъ, безъ введенія какихъ-либо иныхъ, кромѣ геометрическихъ и обще-математическихъ аксіомъ, строится зданіе кинематики. Скорость, ускореніе h прочія кинематическія понятія выводятся изъ этихъ основныхъ путемъ, указываемымъ во всѣхъ серьезныхъ курсахъ механики. Масса есть неизмѣнное число, приписываемое движущейся точкѣ во всякое время и во всякомъ ея положеніи. Сравненіе массъ различныхъ точекъ можетъ быть проведено лишь послѣ опредѣленія силы въ связи съ этимъ опредѣленіемъ. Матеріальная точка есть геометрическая точка, имѣющая массу. Сила можетъ быть „опредѣлена“ лишь послѣ перваго постулата механики и въ связи съ нимъ, а именно.

Первый постулатъ. Существуютъ условія, при которыхъ матеріальная точка за все время движенія сохраняетъ свою скорость.

Опредѣленіе силы. Сила есть совокупность условій, при которыхъ скорость матеріальной точки измѣняется; говорятъ въ этомъ случаѣ, что „сила дѣйствуетъ на матеріальную точку“.

По поводу такой формулировки „закона инерціи“ въ видѣ постулата слѣдуетъ замѣтить, что всякое указаніе въ этомъ законѣ на „силу“ требовало бы предварительнаго опредѣленія силы, которое не можетъ не заключать въ себѣ указанія на уклоненіе движенія отъ прямолинейнаго и равномѣрнаго, а, слѣдовательно, и на предположеніе о существованіи такого движенія при отсутствіи силъ, т.-е. на законъ инерціи: получается кругъ, избѣжать котораго можно по нашему мнѣнію, лишь поставивъ впереди опредѣленія силы первый постулатъ, сводящійся въ такомъ видѣ, какъ это можетъ показаться, почти къ тавтологіи. Силу условились понимать, какъ векторъ, начало котораго находится въ движущейся точкѣ, направленіе совпадаетъ съ направленіемъ того движенія, которое получала бы эта точка, если бы она предъ этимъ была неподвижной; сравненіе числовыхъ значеній векторовъ-силъ возможно лишь на основаніи второю постулата.

Между силой и вызваннымъ ею ускореніемъ одной и той же матеріальной точки существуетъ зависимость, исключающая всякія другія обстоятельства движенія (скорость точки, ускоренія ея отъ другихъ силъ).

На основаніи этого постулата доказывается первая основная теорема механики:

Векторъ - сила прямопропорціональна вектору - ускоренію.

Доказательство распадается на двѣ части. Во-первыхъ, вслѣд-

ствіе независимости ускоренія отъ скорости, послѣднюю можно положить равною нулю, а вслѣдствіе независимости отъ ускореній, вызванныхъ другими силами, можно и эти послѣднія считать равными нулю; но въ такомъ случаѣ направленіе движенія и направленіе ускоренія совпадаютъ, поэтому совпадаютъ также направленія силы и ускоренія.

Во-вторыхъ, обозначимъ числовыя значенія двухъ силъ, дѣйствующихъ на матеріальную точку, черезъ X и У, а вызванныя ими ускоренія—черезъ х и у\ тогда.

X = f (х) и y=f (у)

и задача сводится къ отысканію такой функціи для которой, согласно 2-му постулату, было бы

f (x + y) = f (*) + /“ («О-

Это функціональное уравненіе написано въ предположеніи, что обѣ силы дѣйствуютъ по одной прямой въ одну сторону и что въ этомъ случаѣ совокупность обѣихъ силъ равносильна одной силѣ, равной ихъ суммѣ (по правилу сложенія векторовъ). При X — у уравненіе дастъ

/(2я) = 2 (я);

полагая затѣмъ у = 2х, находимъ

f (Зх) = 3 f{х) и т. д.,

наконецъ

f (пх) — (х),

что при х — 1 даетъ

f(n') = nf(l );

обозначая /'(1) черезъ т. и замѣняя п буквою *•, находимъ окончательно

f (X) = тх

для цѣлыхъ значеній х. Извѣстнымъ математическимъ пріемомъ это соотношеніе распространяется на дробныя и ирраціональныя числа; такимъ образомъ мы всегда имѣемъ

X =

а принимая во вниманіе одинаковое направленіе обоихъ векторовъ и совпаденіе ихъ началъ, получаемъ

вект. Х = т. вект. я,

что и доказываетъ теорему*).

Въ этомъ основномъ уравненіи механики коэффиціентъ является, постояннымъ для данной матеріальной точки; его-то и принимаютъ за числовое значеніе массы.

Изложеннаго достаточно для полнаго формальнаго развитія динамики матеріальной точки. Въ нашу настоящую цѣль не вхо-

*) Приведенный мною выводъ основного уравненія былъ помѣщенъ нѣсколько лѣтъ тому назадъ въ одномъ русскомъ журналѣ; автора его я, къ сожалѣнію, припомнить не могу.

дитъ, однако, это развитіе, какъ не входитъ и сближеніе формально установленныхъ понятій „силы“ и „массы“ съ ихъ физической интерпретаціей. Намъ остается привести третій постулатъ, какъ основаніе динамики системы:

Двѣ матеріальныя точки, изолированныя отъ всякихъ побочныхъ вліяній (т.-е. поставленныя въ такія условія, при которыхъ каждая изъ нихъ, будучи единственной, имѣла бы движеніе по инерціи), имѣютъ ускоренія, обратно-пропорціональныя ихъ массамъ и направленныя обратно другъ другу по прямой, соединяющей эти точки.

На основаніи этого мы имѣемъ

что въ связи съ основнымъ уравненіемъ динамики точки даетъ равенство силъ, дѣйствующихъ на обѣ точки; эти силы извѣстны подъ именемъ силъ взаимодѣйствія, а въ 3-мъ постулатѣ не трудно усмотрѣть Ньютоновъ 3-й законъ дѣйствія и противодѣйствія.

Если бы мы не находили нужнымъ выдѣлить динамику точки, то мы всецѣло присоединились бы къ системѣ постулатовъ и опредѣленій, данныхъ Махомъ въ его „механикѣ“, гдѣ отношеніе массъ опредѣляется по ихъ взаимнымъ ускореніямъ, а опредѣленіе силы дается послѣ всѣхъ постулатовъ (или „опытныхъ принциповъ“ по терминологіи Маха) и въ сущности является излишнимъ, будучи лишь сокращеннымъ обозначеніемъ произведенія, массы на ускореніе,—выраженія, часто встрѣчающагося въ уравненіяхъ механики. Кстати замѣтимъ, что Герцъ рѣшительно становится именно на такую точку зрѣнія—второстепенности и производности понятія силы.

Съ другой стороны наблюдается стремленіе отдѣлить понятіе силы отъ понятія движенія и обосновить такимъ образомъ статику какъ будто независимо отъ динамики. Однако, такимъ характеромъ обладаетъ лишь геометрическая статика, которая, если она не хочетъ пользоваться понятіемъ движенія, обращается только въ векторіальный анализъ, подобно тому, какъ кинематика, исключая время, обращается въ кинематическую геометрію. Только динамическія понятія выдѣляютъ механику, какъ особую математическую науку. Аналитическая статика Лагранжа всецѣло покоится на динамическомъ принципѣ возможныхъ перемѣщеній.

Оствальдъ кладетъ въ основу механики (и не только механики, но и всѣхъ естественныхъ наукъ) понятіе энергіи, которому „подчинены всѣ явленія природы“ („Философія природы“). Мы, однако, не послѣдуемъ за нимъ, такъ какъ энергическое міровозрѣніе можетъ представляться кому-нибудь и болѣе удобнымъ, чѣмъ Ньютоновское, основанное на понятіи силы, но по существу совпадаетъ съ послѣднимъ.

Совсѣмъ въ другомъ положеніи мы очутимся, если послѣдуемъ за творцами „принципа относительности“—Эйнштейномъ, Минковскимъ и др. Здѣсь мы встрѣтимся съ такой „новой механикой“, котарая въ корнѣ противорѣчитъ Ньютоновской и до-

пускаетъ послѣднюю лишь какъ хорошее практическое приближеніе въ предѣлахъ „небольшихъ“ скоростей, т.-е. скоростей, далекихъ отъ скоростей свѣта. Это положеніе такъ напоминаетъ положеніе евклидовой геометріи по отношенію къ неевклидовой, что невольно напрашивается аналогія. Мысль о возможности сопоставить въ нѣкоторыхъ отношеніяхъ теорію относительности съ неевклидовой геометріей высказана была мною въ докладѣ моемъ Математическому Кружку въ 1915 году*) еще до ознакомленія съ докладомъ Варичака на эту тему, помѣщенномъ въ сборникѣ № 7 „Новыхъ идей въ математикѣ“, вслѣдствіе чего самое ознакомленіе вызвало во мнѣ чувство особеннаго удовлетворенія.

Въ самомъ дѣлѣ, формулы неевклидовой геометріи отличаются отъ соотвѣтствующихъ формулъ евклидовой существеннымъ образомъ тѣмъ, что въ первыхъ входитъ абсолютный параметръ, полагая его равнымъ безконечности, мы переходимъ къ послѣднимъ; уравненія „новой“ механики, построенной по принципу относительности, отличаются отъ уравненій „классической“, Ньютоновской механики тѣмъ же свойствомъ. Роль, которую играетъ въ неевклидовой геометріи кривизна пространства, вѣрнѣе радіусъ этой кривизны, тождественна съ ролью, которую играетъ скорость свѣта въ теоріи относительности. Характерно, что возраженія противъ Ньютоновой механики съ этой стороны повторяютъ возраженія противъ неевклидовой геометріи, это—ихъ несогласіе съ опытомъ. Въ механикѣ, благодаря новѣйшимъ открытіямъ въ области электромагнитизма, мы попали въ положеніе, въ которомъ очутился бы астрономъ, открывшій для очень удаленныхъ звѣздъ, что сумма внутреннихъ угловъ треугольника, ими составленнаго, менѣе 180° настолько, что эта разница не можетъ быть отнесена на счетъ ошибокъ наблюденія... Если бы такой астрономъ объявился, и его наблюденія подтвердились, соблазнъ признать геометрію Лобачевскаго единственно правильной, т.-е. согласной съ опытомъ, былъ бы великъ, а искушеніе узнать истинную величину кривизны нашего пространства—неопреодолимо. Но, скажутъ, вѣдь этого нѣтъ, мы ничего не знаемъ о кривизнѣ пространства, а между тѣмъ относительно скорости свѣта достовѣрно извѣстно, что она равна 3ю1010 cm./sec. Можетъ ли подобное утвержденіе дать критерій достовѣрности той или иной геометріи, той или иной механикѣ? Возвращаясь къ тому, что мы говорили въ началѣ статьи, отвѣтимъ на это слѣдующимъ образомъ. Подобно тому, какъ не можетъ быть спора относительно достовѣрности одной геометріи и недостовѣрности другихъ, а лишь о цѣлесообразности примѣненія той или другой для изображенія, при ея помощи, отношеній опытнаго міра, такъ нѣтъ основанія говорить и о вѣрности или невѣрности классической и новой механики, можно лишь поставить вопросъ о большемъ или меньшемъ, удобствѣ ихъ при описаніи того же опытнаго міра.

*) Настоящая статья представляетъ переработку этого доклада.

Способъ конструктивныхъ алгориѳмовъ и Делійская задача.

Н. Четверухинъ (Москва).

(Докладъ, читанный на засѣданіи Московскаго Математическаго кружка 20 января 1917 года).

Въ теорія геометрическихъ построеній извѣстно, что не всякая задача на построеніе можетъ быть разрѣшена при посредствѣ циркуля и линейки. Именно этимъ инструментамъ доступны лишь тѣ задачи, въ которыхъ неизвѣстное представляетъ собою такое выраженіе данныхъ, которое не содержитъ никакихъ другихъ ирраціональностей, кромѣ квадратныхъ корней. Если мы хотимъ, чтобы построеніе состояло изъ конечнаго числа операцій, то и въ искомомъ выраженіи ихъ должно быть конечное число. Существуетъ цѣлая область задачъ, неудовлетворяющихъ этому требованію. По отношенію къ этимъ задачамъ изслѣдованіе можетъ вестись въ двухъ направленіяхъ.

Во-первыхъ, можно искать точное рѣшеніе задачи, пользуясь болѣе сильными средствами построенія; во-вторыхъ, приближенное рѣшеніе при помощи циркуля и линейки. Въ то время, какъ методы точныхъ рѣшеній, призвавъ къ себѣ на помощь кривыя 2-го и высшихъ порядковъ или болѣе сильные инструменты (какъ напримѣръ два прямыхъ угла), достигли большихъ успѣховъ, приближенныя рѣшенія, хотя и весьма многочисленныя, страдаютъ именно отсутствіемъ общаго метода. Обыкновенно эти рѣшенія совершенно искусственны и не представляютъ собой сходящагося къ искомому элементу процесса.

Какъ замѣчаетъ С. Шатуновскій въ добавленіяхъ къ русскому изданію Адлера1), мы не имѣемъ здѣсь рѣшенія задачи, а лишь нѣкоторое построеніе, замѣняющее рѣшеніе. Многочисленность построеній такого рода имѣетъ объясненіе въ практической сторонѣ вопроса.

Съ практической точки зрѣнія всякое построеніе приближенно.

Чертежную ошибку при тщательномъ вычерчиваніи можно принять эквивалентной 0,1 тт2), а потому достаточно, чтобы теоретическая ошибка приближеннаго построенія была менѣе этой величины. Приближенныя рѣшенія, удовлетворяющія этому условію, практически равноцѣнны точнымъ построеніямъ, и мы можемъ выбирать тѣ изъ нихъ, которыя проще и удобнѣе. Съ научной стороны интереснѣе дать сходящійся конструктивный процессъ, который можетъ быть примѣненъ къ построенію искомаго элемента задачи. Въ этомъ случаѣ какая-нибудь задача на построеніе высшей степени имѣетъ рѣшеніе, состоящее изъ безконечнаго числа операцій, произведенныхъ циркулемъ и линей-

1) Августъ Адлеръ „Теорія геометрическихъ построеній“. Mathesis 1910 г., стр. 314.

2) тамъ же, 264 стр.

кой, аналогично тому, какъ, напримѣръ, какая-нибудь трансцендентная функція выражается безконечнымъ числомъ алгебраическихъ операцій.

Изложимъ теперь сущность метода конструктивныхъ алгориѳмовъ.

Пусть задача на построеніе выражается аналитически уравненіемъ:

Л*)>=о........................(1)

гдѣ f(x) = а0хп-f- -f-----\-ап

есть цѣлый раціональный многочленъ отъ х ной степени.

Коэффиціенты а0,аѵ а2-, суть нѣкоторыя функціи данныхъ задачи, которыя всѣ могутъ быть построены циркулемъ и линейкой.

Въ частности это цѣлыя числа.

Какъ легко видѣть, многочленъ можетъ быть построенъ циркулемъ и линейкой, если дано построеніемъ х.

Обозначимъ черезъ х искомый корень уравненія (1) и пусть имѣемъ:

х = х1 + со1..................(2),

гдѣ х1 есть нѣкоторая приближенная величина корня, начальное значеніе, а шг—соотвѣтствующая погрѣшность.

Разложимъ fix) въ строку Тейлора по степенямъ юг

f{x)=f(x1-\-031)=^f(x1)^co1fl(x1)-{- /'"Оі) +.+ -jjj- (3)

Полученное разложеніе умножимъ на величину Je, которую выберемъ впослѣдствіи, и прибавимъ къ правой части равенства (2). Будемъ имѣть:

■* = ■'0+ Щ*г) + *>iU + №,)] + *~2Г №)+ • • • • ■+* (4)

Обозначая въ правой части этого равенства

x1-\-Jef{x1)z=Fl{x1 ),

а остальную сумму черезъ со2, перепишемъ его слѣдующимъ образомъ:

X = і-f- ctfj.......... (5)

Въ равенствѣ (5) функція Fx{xf) называется алгориѳмомъ перваго порядка. Алгориѳмъ Fx{xf) сходится къ корню х, при достаточно маломъ со !, если соблюдено условіе:

I l+№i) I <1

Какъ это видно изъ равенства (4).

Положимъ:

Откуда

Внося это значеніе въ равенство (4), находимъ:

(6)

Въ равенствѣ (6) обозначимъ выраженіе

а остальную часть правой части равенства черезъ а>2'. Имѣемъ

Въ этой формулѣ F2{.TJ есть алгориѳмъ 2-го порядка, ибо соотвѣтствующая погрѣшность со\ даетъ разложеніе, начинающееся членомъ съ сох2. Алгориѳмъ —обыкновенный Ньютоновъ алгориѳмъ.

Разсматривая выраженіе F^), мы замѣчаемъ, что если множитель к можетъ быть построенъ циркулемъ и линейкой, то и все выраженіе допускаетъ такое построеніе.

Точно такъ же можетъ быть построенъ циркулемъ и линейкой алгориѳмъ F^x-l). Въ самомъ дѣлѣ f{xx) и цѣлые, раціональные многочлены n-ой и —1-ой степени, которыхъ коэффиціенты допускаютъ построеніе циркулемъ и линейкой.

Будемъ называть такіе алгориѳмы конструктивными. Мы нашли конструктивные алгориѳмы первыхъ двухъ порядковъ.

Подобнымъ же образомъ можно построить алгориѳмы высшихъ порядковъ1). Напримѣръ, взявъ систему уравненій:

Разлагаемъ ихъ лѣвыя части по степенямъ при

изъ полученныхъ уравненій выражаемъ черезъ ot3, а>г\--------- ,(о1,'+1.Внося это выраженіе въ равенство (2), найдемъ:

X =z Fs{xx)со,",

гдѣ F3(xx) алгориѳмъ 3-го порядка.

Легко показать, что и этотъ алгориѳмъ конструктивенъ.

Повторное построеніе какого-нибудь изъ этихъ алгориѳмовъ будетъ давать намъ величины: — Р(хг),........ сходящіяся къ искомому X, если выбрано въ области сходимости алгориѳма F(xt).

1) См. Бугаевъ »Способъ послѣдовательныхъ приближеній*. Москва. 1836 г.

Примѣнимъ описанный пріемъ къ рѣшенію Делійской проблемы. Мы поставимъ задачу въ слѣдующемъ болѣе общемъ видѣ.

„Дано ребро куба а, построить ребро х такого куба, отношеніе объема котораго къ объему даннаго куба равно р

Принимая а=1, получимъ уравненіе задачи:

—р = 0.....................(7)

Будемъ считать величину р допускающей построеніе циркулемъ и линейкой.

При р= 2 уравненіе (7) приметъ видъ:

*з_2 = 0...................... .(7')

Это извѣстное уравненіе удвоенія куба.

При р— 2,3,4,....имѣемъ умноженіе куба; при р — дѣленіе куба.

Построимъ алгориѳмъ дя уравненія (7), пользуясь равенствомъ (6).

Въ данномъ случаѣ будемъ имѣть:

(8)

гдѣ

(9)

Въ частности для удвоенія куба алгориѳмъ приметъ видъ:

(10)

Выбирая начальное значеніе хг съ погрѣшностью строимъ циркулемъ и линейкой выраженіе (10), находимъ х2 1\ (*,) съ погрѣшностью w2, выражаемой формулой (9), и т. д.

Найдемъ теперь алгориѳмъ третьяго порядка для уравненія (7). Для этого воспользуемся указаннымъ ранѣе пріемомъ. Составляя систему уравненій:

f(x) = x3— О xf{x) — х" — рх — О

разлагаемъ лѣвыя части по формулѣ Тейлора при х — х — хх-{- /ѵ1>

Считая въ написанной системѣ уравненій неизвѣстными wl и гѵ1 2, опредѣлимъ w1. Будемъ имѣть:

Внося это выраженіе ошибки въ равенство х — хг -f- и\, будемъ имѣть:

И слѣдовательно:

Для случая удвоенія куба (р —2) будемъ имѣть:

(11)

Произведемъ построеніе найденныхъ алгориѳмовъ.

Для построенія алгориѳма 2 порядка мы напишемъ уравненіе Делійской задачи въ такой формѣ:

Полагая въ этомъ равенствѣ -—у, получимъ:

Алгориѳмъ І\(у О имѣетъ для этого уравненія видъ (10)

(12)

Остается выбрать начальное значеніе ух.

На чертежѣ І-мъ отрѣзокъ ОМ ребро даннаго куба.

Продолжая прямую проводимъ черезъ О произвольную ось (ON). Описываемъ произвольнымъ радіусомъ окружность изъ центра О. Проводимъ тѣмъ же радіусомъ еще двѣ окружности изъ центровъ, отстоящихъ другъ отъ друга на величину радіуса, какъ это сдѣлано на черт. I.

Если теперь радіусъ примемъ за единицу, то, какъ легко видѣть, OB=yß[ OB есть

Черт. I.

катетъ прямоугольнаго треугольника, котораго другой катетъ равенъ 1_, а гипотенуза = 2.

Откладываемъ OB = OB.

Тогда AD—OA — OD— 3 — Д

Принимаемъ за начальное значеніе уг = АВ=3— \/3.

Величина 3—ѵ/3 = 3— 1,7321 . . ==1,2678 ......

Такъ какъ искомая величина у = ^/2 —1,25992106 ......

то I и\ I <0,008 или I гі\ | < щ-3 •

Внося выбранное значеніе у1 въ алгориѳмъ (12), найдемъ послѣ упрощеній:

Построимъ это выраженіе (черт. I)

и, слѣдовательно:

по свойству отрѣзковъ, отсѣкаемыхъ параллельными прямыми, при чемъ ОС = 1.

Откладывая Вг В3 — В1 В = 2у, имѣемъ:

Проведя MX Л AB., , находимъ:

но ОМ = а; и слѣдовательно:

Опредѣлимъ погрѣшность второго приближенія

По формулѣ (9) найдемъ:

Но если такъ, то ON даетъ ребро двойного куба съ погрѣшностью меньшей • а.

Третье приближеніе дало бы ребро двойного куба съ погрѣшностью меньшей • а.

На чертежѣ ІІ-мъ построенъ алгориѳмъ 3-го порядка. Принимая за начальное значеніе, какъ и въ предшествующемъ случаѣ, =3— у/3, мы перепишемъ алгориѳмъ F3 (ях), даваемый формулами (11), въ слѣдующей формѣ:

Построимъ это выраженіе . (черт. II).

Черт. II.

На чертежѣ ІІ-мъ ОС=а— 1 есть ребро даннаго куба. Подобно предшествующему построенію здѣсь: AB =. у/3. АВ = АВ = \/3; и слѣдовательно:

На произвольной оси, проходящей черезъ точку О, откладываемъ OE=OJD , соединяемъ точку I) съ Е и проводимъ АП2|| Д Полученный отрѣзокъ

Отложимъ ЕГ=0С—1 , тогда OF=xl-(-1.

Соединяя F съ С, проводимъ I), ТХ || FC, будемъ имѣть:

Изъ чертежа видно, что, раздѣливъ І)3В пополамъ, мы получимъ точку, разстояніе которой отъ начала О равно F3 (аг.) = x.t.

(Интересно обратить вниманіе на то, что точки и расположены почти симметрично относительно корня х, одна справа, другая слѣва).

Для большей ясности чертежа мы отложимъ EG = OD, тогда, найдя точку Ех,середину отрѣзка OG, имѣемъ:

По второй изъ формулъ (11) легко вычислить погрѣшность построенія.

Итакъ, если ОС=а ребро даннаго куба, то:

ОЕ есть ребро удвоеннаго куба съ ошибкой

Повтореніе построенія даетъ огромную точность.

Замѣтимъ, что вмѣсто ^ = 3 — у/З; мы могли бы взять какое-нибудь другое начальное значеніе, напр., хх —\^ съ ошибкой I EwxI < •

Построеніе алгориѳмовъ мало отличилось бы отъ приведенныхъ. Такимъ образомъ, выбирая сообразно предъявляемымъ рѣшенію требованіямъ, то или иное начальное значеніе, получимъ соотвѣтствующее второе приближеніе.

Естественно возникаетъ вопросъ, не являются ли построенія, даваемыя описаннымъ методомъ, слишкомъ сложными сравнительно съ другими приближенными построеніями, выполняемыми циркулемъ и линейкой. Приводимъ таблицу характеристикъ нѣкоторыхъ изъ этихъ построеній.

Построеніе. Граница погрѣшности. Коэффиціентъ простоты.

Buonafalce1)

А. Дмитровскаго2)

Vahlen’a3)

Во второмъ столбцѣ таблицы помѣщенъ геометрографическій коэффиціентъ простоты, позволяющій въ извѣстной степени судить о сложности даннаго построенія. Геометрографическій коэффиціентъ показываетъ число всѣхъ элементарныхъ операцій циркуля и линейки въ данномъ построеніи и, вслѣдствіе большого разнообразія въ пріемахъ построенія, можетъ считаться только приблизительно вѣрнымъ (въ особенности въ послѣднихъ построеніяхъ). Изъ таблицы видно, что построенія F2 и достаточно точны и просты.

Замѣтимъ, что, допуская въ качествѣ чертежнаго инструмента прямой уголъ, коэффиціенты простоты всѣхъ приведенныхъ построеній могутъ быть значительно понижены.

Подобно разобранному случаю удвоенія куба можетъ быть произведено построеніе алгориѳмовъ общей задачи, выражаемой уравненіемъ (7). Нужно только выбрать подходящимъ образомъ начальное значеніе. На практикѣ очень легко подобрать начальное значеніе съ точностью до ; построеніе алгориѳма второго порядка даетъ второе приближеніе съ точностью до •

Способъ конструктивныхъ алгориѳмовъ можетъ быть примѣненъ и въ другихъ задачахъ на построеніе. Особенно простымъ оказывается построеніе корней любой степени.

1) Адлеръ, стр. 223.

2) Вѣстникъ Опытной Физики и Элем. Мат. № 526—527

3) Yahlen, „Konstruktionen und Approximationen“.

Астрономія, какъ наука и какъ учебный предметъ*).

Б. В. Базилевскій (Москва).

Три съ половиной года тому назадъ, въ своемъ докладѣ „Къ вопросу о преподаваніи космографіи“, прочитанномъ на 1-омъ Всероссійскомъ Съѣздѣ Преподавателей Физики, Химіи и Космографіи въ Петроградѣ, я тщетно пытался поставить вопросъ на ту почву, на основѣ которой только и возможно прійти къ какимъ-либо опредѣленнымъ и практическимъ заключеніямъ по вопросу о преподаваніи космографіи. Я опредѣленно указывалъ, что прежде, чѣмъ обсуждать вопросъ о практическихъ занятіяхъ по космографіи, обсуждать детали устройства звѣздныхъ глобусовъ, отвергать „мѣловую космографію“ и т. д. прежде необходимо ясной опредѣленно поставить и разрѣши ть вопросъ: что такое космографія, какъ наука, и какое значеніе она имѣетъ въ системѣ средняго образованія; безъ рѣшенія этихъ вопросовъ разговоръ о программѣ и курса и практическихъ занятій совершенно безполезенъ, а чисто академическія пренія по частнымъ вопросамъ курса, методически совершенно не обоснованнаго, абсолютно безцѣльны. На поставленные мною вопросы въ докладѣ былъ данъ и вполнѣ опредѣленный отвѣтъ, какъ онъ представлялся моему разумѣнію, но при обсужденіи доклада пренія сосредоточились на сопровождавшей докладъ программѣ, предложенной мною въ качествѣ примѣрной и столкнувшейся съ другой программой, выработанной особой комиссіей, образованной при распорядительномъ комитетѣ съѣзда; общая же методическая часть доклада, и при томъ принципіальная, возраженій не встрѣтила и почти не обсуждалась. Между тѣмъ разрѣшеніе затронутыхъ въ ней вопросовъ необходимо въ первую очередь. Необходимо, чтобы на предстоящемъ 2-омъ Всероссійскомъ Съѣздѣ физиковъ и космографовъ эти основные вопросы общагометодическаго характера были поставлены въ полномъ объемѣ, получили опредѣленное разрѣшеніе и послужили основой для нормальной постановки преподаванія космографіи въ средней школѣ.

Поэтому мнѣ представляется вполнѣ цѣлесообразнымъ затронуть ихъ въ нашемъ настоящемъ совѣщаніи.

Не подлежитъ сомнѣнію, что методика каждаго учебнаго предмета прежде всего зависитъ отъ особенностей этого предмета, какъ науки; изъ разсмотрѣнія этихъ особенностей вытекаютъ основныя методическія положенія, которыми опредѣляются цѣ-

*) Докладъ, прочитанный, авторомъ на Всероссійскомъ Совѣщаніи преподавателей Физики, Химіи и Космографіи въ Москвѣ 7-го іюня 1917 г.

ли, методы и формы преподаванія даннаго предмета. Поэтому начнемъ съ характеристики астрономіи, какъ науки, и отсюда выведемъ, какія цѣли можетъ преслѣдовать преподаваніе элементарной астрономіи, т.-е. космографіи.

Астрономія въ современномъ значеніи этого слова есть наука о небесныхъ свѣтилахъ и происходящихъ на нихъ явленіяхъ. Земля, на которой мы живемъ, такъ же является предметомъ изученія астрономіи постольку, поскольку происходящія на ней явленія общи другимъ небеснымъ свѣтиламъ или связаны съ ними.

Изучая явленія, происходящія въ такъ называемомъ міровомъ или междузвѣздномъ пространствѣ, астрономія, подобно физикѣ, имѣетъ три задачи или цѣли: открыть, изслѣдовать и объяснить явленія.

Для того, чтобы открыть и изслѣдовать явленія, астрономія имѣетъ въ своемъ распоряженіи единственное средство—наблюденіе; этимъ она существенно отличаются отъ другихъ тѣсно связанныхъ съ нею наукъ точнаго естествознанія—физики и химіи, къ услугамъ которыхъ всегда имѣется искусственно воспроизведенное явленіе, т.-е. „опытъ“.

Третья задача астрономіи, заключающаяся въ объясненіи открытыхъ и изученныхъ явленій, сводится къ установленію за кономѣрной связи между явленіями, происходящими въ міровомъ пространствѣ, и объясненію этихъ явленій, какъ слѣдствій нѣсколькихъ общихъ „міровыхъ“ законовъ (напр. всемірнаго тяготѣнія, сохраненія энергіи, сохраненія вещества и т. п) и принятыхъ въ наукѣ гипотезъ.

Въ непосредственной связи съ этой задачей стоитъ вопросъ о созданіи космогонической гипотезы, рисующей намъ картину вѣроятнаго происхожденія и развитія солнечной системы и всего видимаго міра.

Послѣдній вопросъ представляетъ для насъ особый заманчивый интересъ и притягательную силу—съ его разрѣшеніемъ тѣсно связано разрѣшеніе цѣлаго ряда вопросовъ—что такое земля, на которой мы живемъ? Какое положеніе занимаетъ она среди другихъ видимыхъ нами міровъ? Что такое солнце и звѣзды, туманныя пятна и кометы? Какіе физическіе законы дѣйствуютъ на этихъ тѣлахъ и тождественны ли они съ законами, дѣйствующими у насъ на землѣ? и т. д. Подобные вопросы никогда не перестанутъ занимать человѣческій умъ, и то или иное разрѣшеніе ихъ накладываетъ характерный отпечатокъ на философское міровоззрѣніе данной эпохи. Можно сказать, что существенную часть исторіи древней философіи составляетъ исторія древней астрономіи, сводящаяся въ сущности къ попыткамъ создать ту или иную систему міра.

Отсутствіе у древнихъ научнаго метода и заставило ихъ обратиться прямо къ попыткамъ дать удовлетворительное объясненіе системы міра, оказавшимися тщетными. Современная наука, вооруженная строго-научными методами изслѣдованія, ста-

витъ вопросъ о космогоніи (о происхожденіи міра) конечной цѣлью всѣхъ астрономическихъ изслѣдованій, такъ какъ для рѣшенія этого вопроса необходимо познаніе возможно большаго количества небесныхъ явленій и учитываніе совмѣстнаго дѣйствія всѣхъ извѣстныхъ намъ механическихъ, физическихъ и химическихъ законовъ, царствующихъ среди силъ природы.

— Сказаннымъ опредѣляется и то громадное общеобразовательное значеніе, которое представляетъ собой изученіе астрономіи, а въ средней школѣ космографіи.

Космографія, являясь элементарнымъ изложеніемъ основныхъ понятій астрономіи, являясь изложеніемъ главнѣйшихъ законовъ космоса, охватываетъ физическій міръ въ цѣломъ, поскольку этотъ міръ доступенъ нашему зрѣнію и прямому или косвенному измѣренію; физическіе и механическіе законы,"управляющіе явленіями, совершающимися повсюду въ безконечныхъ глубинахъ пространства, пріобрѣтаютъ міровой смыслъ и констатируютъ замѣчательную гармонію и порядокъ, царствующіе среди силъ природы.

Въ курсѣ космографіи передъ учащимися тотъ или иной физическій законъ разростается за предѣлы физическаго кабинета до предѣловъ цѣлой вселенной. Мало того, въ курсѣ космографіи передъ учащимися проходитъ совмѣстное дѣйствіе различныхъ физическихъ, химическихъ и механическихъ законовъ, ибо лабораторія природы этихъ законовъ не раздѣляетъ. Благодаря этому, космографія пріобрѣтаетъ высокую эстетическую цѣнность; правильно преподаваемая она внушаетъ мысль о непреложности законовъ природы, невольно приковываетъ къ себѣ интересъ молодого ищущаго ума и рождаетъ у него массу новыхъ вопросовъ относительно окружающихъ его явленій и не только эти вопросы рождаетъ, но и отвѣчаетъ на нихъ.

Затрагивая механическіе и физическіе законы съ точки зрѣнія болѣе широкаго масштаба, чѣмъ это возможно въ курсѣ физики, и выдвигая примѣнимость этихъ законовъ во вселенной,космографія осмысливаетъ эти законы въ представленіи учащихся. Всецѣло опираясь на физику, космографія въ то же время и дополняетъ ее. Уже одна эта обобщающая роль космографіи выдвигаетъ ее въ качествѣ серьезнаго общеобразовательнаго предмета. Прибавимъ сюда фактическія свѣдѣнія объ измѣреніи времени, объ исторіи календаря, о доказательствахъ годичнаго и суточнаго движенія земли, о развитіи мысли о движеніи земли, начиная съ ученія древнихъ философовъ и кончая открытіемъ годичнаго параллакса звѣздъ, о замѣчательныхъ открытіяхъ астрофизики, наконецъ о космогоническихъ гипотезахъ—и для насъ станетъ несомнѣннымъ, что включеніе космог рафіи въ систему общаго средняго образованія далеко не безцѣльно, что оно имѣетъ свое raison d’être.

Само собой разумѣется, что при существующемъ препода-

ваніи космографіи оно совершенно безцѣльно, какъ по сообщаемымъ фактическимъ свѣдѣніямъ, такъ и по характеру преподаванія, лишеннаго какой-либо руководящей идеи. Тѣ свѣдѣнія, изъ которыхъ обычно слагается курсъ космографіи, врядъ ли могутъ быть названы астрономическими;это просто отдѣльные параграфы учебника, даже не связанные между собой общей мыслью; общераспространенный фактъ, что учащіеся такъ и не постигаютъ вопросовъ: 1) для чего собственно излагается въ курсѣ о параллаксѣ, 2) почему этотъ вопросъ приводится, какъ доказательство годичнаго движенія земли, и множество другихъ.

Въ отдѣльныхъ, къ прискорбію, довольно многочисленныхъ случаяхъ, преподаваніе космографіи прямо анекдотично: укажу два примѣра: одинъ преподаватель космографіи на заявленіе учениковъ, что они не понимаютъ объясняемаго, отвѣчалъ, что „космографія вообще такая наука, которую понимать нельзя“, а другой поступалъ еще проще: будучи класснымъ наставникомъ 8-го класса и устроивъ уроки космографіи по субботамъ, онъ на нихъ занимался выставленіемъ въ дневники отмѣтокъ. Вотъ почему, господа, между астрономіей, какъ наукой, и астрономіей, какъ учебнымъ предметомъ лежитъ цѣлая пропасть, совершенно недопустимая въ нормально поставленной школѣ.

Все изложенное выдвигаетъ на очередь вопросъ, какіе же методы и формы преподаванія наиболѣе цѣнный примѣнимы при изученіи космографіи въ средней школѣ? въ какія условія необходимо поставить преподаваніе космографіи, чтобы оно отвѣчало тѣмъ общеобразовательнымъ цѣлямъ, о которыхъ говорилось выше? Методовъ преподаванія космографіи можно различать, какъ мнѣ кажется, три: именно:

1) Методъ теоретически-описателъный, безъ всякихъ наблюденій, опирающійся на извѣстные ученикамъ законы физики и механики, извѣстный подъ именемъ „мѣловой космографіи“;

2) Методъ эвристическій, „ставящій учащагося, по выраженію проф. Армстронга, въ положеніе изслѣдователя и позволяющій открывать научные факты вмѣсто того, чтобы только слышать о нихъ“, иначе—методъ, основанный на практическихъ занятіяхъ по космографіи;

3) Методъ теоретически-наблюдательный, при которомъ курсъ космографіи излагается систематически и всѣ положенія, которыя могутъ быть провѣрены непосредственнымъ наблюденіемъ учащихся, дѣлаются предметомъ наблюденій, иначе говоря—методъ, въ которомъ теорія и наблюденіе дополняютъ другъ друга.

Первый методъ защитниковъ не имѣетъ, но примѣняется въ подавляющемъ большинствѣ случаевъ въ нашей школѣ, когда космографія преподается лицомъ, занимающимся ею ex officio или когда внѣшняя обстановка преподаванія дѣлаетъ невозможной организацію наблюденій.

Второй методъ — эвристическій выдвинутъ былъ и созданъ, какъ нѣчто законченное, Н. Ѳ. Платоновымъ, который подарилъ

русскую космографическую литературу очень интересной и оригинальной книгой „Практическія занятія по начальной астрономіи“. Продолжателемъ этого метода былъ покойный Н. Н. Соковнинъ, сконструировавшій цѣлый наборъ спеціальныхъ приборовъ для космографическихъ наблюденій и кромѣ того возбудившій весьма интересный вопросъ о классномъ экспериментѣ по курсу космографіи (см. мою статью „Вопросъ о преподаваніи космографіи въ трудахъ 1-го Всероссійскаго Съѣзда преподавателей Физики, Химіи и Космографіи“ — «Математическое Образованіе» № 5 за 1916 г.). Наглядность и живость этого метода являются аргументами за него; но отсюда, конечно, не слѣдуетъ, что этимъ методомъ можно злоупотреблять и что онъ не допускаетъ возраженій. Возраженія возможны; прежде всего этотъ методъ очень трудно осуществимъ на практикѣ, такъ какъ учащіеся при нормальной постановкѣ учебнаго дѣла не имѣютъ въ своемъ распоряженіи столько свободнаго времени, чтобы выполнить весь циклъ работъ, указанныхъ въ книгѣ Н. Ѳ. Платонова. Далѣе этотъ методъ даетъ ученикамъ лишь фактическія свѣдѣнія и при томъ цѣной очень медленной работы. Ссылаться исключительно на опытъ Н. Ѳ. Платонова въ этомъ отношеніи нельзя потому, что исключеніе не есть общее правило. Наконецъ, въ преподаваніи долженъ весьма существенную роль играть именно теоретически-описательный элементъ, такъ какъ иначе ни о какомъ обобщающемъ значеніи космографіи не можетъ быть и рѣчи; придать курсу космографіи преимущественно наблюдательный характеръ мнѣ представляется невозможнымъ: во-первыхъ, по той простой причинѣ, что большинство наблюденій можетъ касаться сферической части космографіи, которая вовсе не должна являться преобладающей въ курсѣ; во-вторыхъ, потому, что для уясненія законовъ природы надо наблюдать такія явленія и такъ, чтобы найти именно то, что требуется, т.-е. наблюдать, такъ сказать, тенденціозно—другими словами: раньше теорія — потомъ подтверждающее ее наблюденіе [но наблюденіе это обязательно во всѣхъ случаяхъ, когда возможно]. Сторонники чисто эвристическаго метода думаютъ, что ученики изъ наблюденій и будутъ выводить законы, что конкретный фактъ легче воспринимается, чѣмъ догматическая теорія; противъ этого не спорю, но думаю что изъ фактовъ выводить обобщенныя теоретическія представленія—значитъ не только владѣть научнымъ методомъ, но и быть мыслителемъ естествоиспытателемъ, что ученику, понятно, не доступно.

Нельзя сомнѣваться въ полезности и цѣлесообразности практическихъ занятій по космографіи, если они ведутся параллельно курсу, но нельзя отрицать и теоретическую космографію, иронично называемую „мѣловой космографіей“, ибо отрицаніе „мѣловой космографіи“ равносильно практически отрицанію систематическаго курса, необходимаго въ школѣ, и обращенію его въ чисто популярные разсказы о небѣ — подобныхъ цѣлей преподаваніе космографіи преслѣдовать не можетъ и не должно.

Указаннымъ условіямъ отвѣчаетъ именно третій методъ, представляющій собой, такъ сказать, середину между двумя первыми. Онъ представляется вполнѣ пріемлемымъ и примѣнимымъ къ условіямъ нашей школы. Онъ достаточно гибокъ, чтобы измѣняться въ ту или иную сторону въ зависимости отъ индивидуальности преподавателя, состава класса и другихъ условій преподаванія. Нужно помнить, что къ изученію космографіи ученики приступаютъ въ выпускномъ классѣ на третій годъ изученія физики, когда они знакомы изъ курса физики съ взаимоотношеніемъ опыта и теоріи, когда ими уже усвоено, во-первыхъ, что классный экспериментъ или ихъ собственный лабораторный опытъ есть только приближенная повѣрка извѣстнаго закона природы, выражаемаго математической формулой, какъ идеальной схемой природнаго процесса, и, во-вторыхъ, что эта схема получается не на основаніи класснаго эксперимента, а на основаніи научнаго опыта; другими словами, ученики приступаютъ къ изученію космографіи уже пріученные къ теоретическому изученію природы, а потому, если правильно поставлено преподаваніе физики, то изученіе космографіи и теоретическое не будетъ представлять затрудненій; оно все равно неизбѣжно, такъ какъ ученическія наблюденія по космографіи служить основой для курса не могутъ: они могутъ служить лишь иллюстраціей къ курсу, какъ классный экспериментъ служитъ иллюстраціей въ курсѣ физики.

Всѣ высказанныя положенія построены на предположеніи, что пропедевтическій курсъ космографіи не ведется и опираться на него преподаватель не можетъ. Нѣтъ никакихъ основаній надѣяться, что такіе курсы могутъ быть введены, какъ норма; лабораторное преподаваніе физики куда необходимѣе, и то мы до сихъ поръ не имѣемъ его, какъ нормы. Слава почтеннымъ труженикамъ школы, пробивающимъ новые пути въ дѣлѣ обученія юношества, но не будемъ обманываться, что и подавляющее большинство не всегда будетъ дѣйствовать по нормамъ!

На вопросѣ о роли наблюденія въ курсѣ космографіи приходится остановиться еще и потому, что въ эту методическую ловушку попалась и космографическая комиссія графа Игнатьева, которая намѣтила практическія занятія, факультативныя для учащихся, совершающіяся непрерывно въ теченіе учебнаго года по вечерамъ разъ въ недѣлю или разъ въ двѣ недѣли, въ опредѣленные дни и часы и рекомендовала ихъ, какъ „краеугольный камень всего дальнѣйшаго курса космографіи“.

Въ своей статьѣ, посвященной разбору преподаванія космографіи по планамъ упомянутой комиссіи (см. мою статью «Математическое Образованіе» № 3 за 1916 г.), я указывалъ на практическую и логическую неосуществимость этихъ предположеній, что еще разъ указываетъ на невозможность такъ переоцѣнивать значеніе ученическихъ наблюденій для нормальной постановки преподаванія космографіи.

Итакъ, я рѣшительно высказываюсь за то, что въ основѣ преподаванія космографіи должно быть строго продуманное, какъ въ отношеніи содержанія, такъ и формы, теоретическое изложеніе курса, при чемъ необходимо въ возможно широкомъ объемѣ, насколько только позволяютъ условія, пользоваться и наблюденіемъ неба и опытами съ классными моделями, какъ необходимыми вспомогательными методами преподаванія.

Перейдемъ къ вопросу: въ какія условія необходимо поставить преподаваніе космографіи, чтобы оно отвѣчало тѣмъ общеобразовательнымъ цѣлямъ, о которыхъ говорилось выше?

Правильная постановка преподаванія любого предмета, въ томъ числѣ и космографіи, зависитъ прежде всего отъ двухъ основныхъ условій:

1) научная освѣдомленность въ предметѣ и искренній интересъ къ нему преподавателя; безъ соблюденія этого условія никакія программы, съѣзды, постановленія не улучшатъ постановки преподаванія,

2) достаточное число учебныхъ часовъ, отведенныхъ для даннаго предмета въ школѣ; само собой разумѣется, что, не имѣя въ своемъ распоряженіи достаточнаго minimum’a уроковъ, и преданный своему дѣлу преподаватель не въ силахъ будетъ дать надлежащую постановку дѣла.

Въ примѣненіи къ космографіи оказывается, что ни-то, ни другое условіе, за рѣдкими исключеніями, не выполнено.

Дѣйствительно, по даннымъ анкеты, произведенной въ 1913 г. между преподавателями космографіи среднихъ учебныхъ заведеній Россіи, видно, что космографія въ очень рѣдкихъ случаяхъ преподается спеціалистами предмета; именно изъ 1009 лицъ, отвѣтившихъ на анкету и указавшихъ свою спеціальность, спеціалистами астрономіи являются всего 10% изъ нихъ; 67%—составляютъ математики, 18%—естественники и 5%—спеціалисты другихънаукъ, именно поданнымъ анкеты-механики, географіи, исторіи, философіи и... медицины; „среди нихъ, какъ видно изъ данныхъ той же анкеты, не мало такихъ, которые весьма тяготятся своей работой и съ нетерпѣніемъ ожидаютъ того момента, когда преподаваніе космографіи можно будетъ передать другому лицу.“*)

Данныя, очень краснорѣчивыя сами по себѣ, но все же не соотвѣтствующія дѣйствительности. Если принять во вниманіе, что на анкету отвѣтила лишь половина преподавателей и при томъ, конечно, болѣе интенсивная, то станетъ вполнѣ очевиднымъ, что въ дѣйствительности постановка преподаванія космографіи болѣе, чѣмъ вдвое печальнѣе сравнительно съ приведенными процентными данными. Очевидно, что при подобной постановкѣ преподаванія космографіи учащіеся знакомятся не съ основами астрономіи, а съ какимъ-то дешевымъ суррогатомъ этой науки. Выводъ изъ такого положенія можетъ быть только одинъ:

*) Труды І-го Всероссійскаго Съѣзда Преподавателей Физики, Химіи и Космографіи: томъ I, стр. 367—378.

необходимо, чтобы преподаваніе космографіи поручалось лицамъ, подготовленнымъ къ этому какъ съ методической, такъ и съ чисто астрономической стороны.

Вопросъ о числѣ часовъ, положенныхъ на преподаваніе космографіи по планамъ нашей школы, является вторымъ больнымъ мѣстомъ. Всѣмъ хорошо извѣстно, что наиболѣе трудно и медленно усваиваются основныя положенія всякой науки, всякаго знанія, и только тогда, когда у изучающаго установятся въ сознаніи основныя положенія, съ которыми могутъ ассоціироваться дальнѣйшія свѣдѣнія, изученіе можетъ итти болѣе быстрымъ темпомъ. Въ космографіи учащимся приходится знакомиться съ совершенно новой областью знанія но идеѣ—съ началами астрономіи, которыя въ началѣ усваиваются довольно медленно и требуютъ частаго повторенія; между тѣмъ въ наиболѣе распространенномъ типѣ школы—въ гимназіяхъ на преподаваніе космографіи полагается одинъ часъ въ недѣлю, при чемъ нерѣдкость перерывы между уроками въ двѣ, а то и въ три недѣли. При такихъ условіяхъ сколько-нибудь основательное прохожденіе курса является невозможнымъ. Тамъ, гдѣ на космографію полагается два недѣльныхъ урока, какъ, напримѣръ, въ реальныхъ и коммерческихъ училищахъ возможно уже болѣе основательное теоретическое прохожденіе курса; но указанная выше необходимость не ограничиваться только теоретическимъ курсомъ, а дополнять его наблюденіями неба и отчасти класснымъ экспериментомъ заставляетъ признать, что и двухъ часовъ для правильной постановки дѣла недостаточно. Это сознавалось и комиссіей графа Игнатьева, которая проектировала для космографіи два урока въ недѣлю на теоретическій курсъ и урокъ въ недѣлю или въ двѣ на практическія занятія, т.-е. на наблюденія. Несостоятельность такого плана, согласно которому подобныя практическія занятія должны быть „краеугольнымъ камнемъ всего дальнѣйшаго курса“, была мною указана въ упомянутой уже статьѣ о планахъ комиссіи графа Игнатьева, но тутъ для насъ интересно то, что и эта комиссія, не придававшая космографіи подобающаго ей значенія, тѣмъ не менѣе, признала, что двухъ часовъ недостаточно, и намѣчала на космографію отъ 21/2 до 3 часовъ въ недѣлю, причемъ практическія занятія выдвигались лишь, какъ факультативныя для учащихся. Ясно, что, признавая за практическими занятіями значеніе весьма важнаго вспомогательнаго метода преподаванія и слѣдовательно предполагая ихъ вовсе не факультативными, а обязательными для учащихся, надовысказаться за необходимость для космографіи minimum трехъ недѣльныхъ часовъ въ будущей реформированной школѣ и о немедленномъ введеніи во всѣхъ среднихъ школахъ двухъ недѣльныхъ часовъ. Реальныя училища, коммерческія училища и кадетскія корпуса уже имѣютъ эти два часа; остаются гимназіи мужскія и женскія; для первыхъ вопросъ рѣшается, по моему, просто—именно

сдѣлать въ 8-мъ классѣ вмѣсто пяти уроковъ латинскаго языка четыре и прибавить часъ на космографію. Программы фактическихъ свѣдѣній по латинскому языку, насколько мнѣ извѣстно, нѣтъ; тамъ просто читаютъ римскихъ авторовъ, а потому уменьшеніе числа уроковъ съ пяти до четырехъ никакого измѣненія по существу въ дѣло не внесетъ; лишній же часъ на космографію, въ которой сообщаются фактическія свѣдѣнія, прямо необходимъ. Для женскихъ гимназій, въ виду разнообразія въ нихъ программъ, предложить разрѣшеніе этого вопроса безъ предварительнаго обсужденія затруднительно, тѣмъ болѣе, что о преподаваніи космографіи въ женскихъ гимназіяхъ мы услышимъ спеціальный докладъ*).

Какъ уже сказано, на постановку преподаванія космографіи должно оказать вліяніе введеніе обязательныхъ практическихъ занятій по космографіи, параллельныхъ теоретическому курсу, придающему каждому наблюденію вполнѣ опредѣленный смыслъ. Съ другой стороны и наблюденія, связанныя съ теоретическимъ курсомъ, будутъ осмысливать послѣдній.

Наконецъ, наличность соотвѣтствующаго учебника могла бы во многомъ способствовать улучшенію преподаванія космографіи. Къ сожалѣнію, въ нашей учебной литературѣ нѣтъ учебника, подходящаго для указанныхъ выше цѣлей. Стремленіе къ „ходкости“ учебника на книжномъ рынкѣ испортило и тѣ учебники, которые по замыслу и могли бы вылиться въ формы, соотвѣтствующія вышеуказаннымъ положеніямъ. Въ новыхъ учебникахъ: проф. Глазенапа, проф. Покровскаго и Каменьщикова проскальзываетъ тенденція выяснить пріемы и методы астрономическихъ наблюденій, служащихъ исходной точкой для того или другого вопроса, но тенденціи эти, къ сожалѣнію, не дошли до того, чтобы изъ практической астрономіи выработать практическую космографію. Эти тенденціи такъ и остались, по удачному выраженію г. Баранова, „боязливымъ желаньемъ знакомить учащихся съ небомъ путемъ непосредственнаго наблюденія“. Что же касается, такъ называемой, популярной астрономической литературы, приходится признать, что имѣющіяся въ ней руководства для астрономическихъ наблюденій мало подходящи для средней школы во-первыхъ, но характеру изложенія, во-вторыхъ, по отсутствію связи съ программой средней школы и учебниками. Между тѣмъ для проведенія въ жизнь школьныхъ астрономическихъ наблюденій, какъ обязательныхъ при преподаваніи космографіи, необходимо дать и учащимся и преподавателямъ такое руководство, которое служило бы для учениковъ справочной книгой при ихъ наблюденіяхъ, а для преподавателя—основой, на которой онъ могъ бы выработать себѣ излагаемый курсъ на основаніи данныхъ какъ спеціальной астрономической литературы, такъ и

*) Докладъ, составленный К. Л. Баевымъ и М. Е. Набоковымъ „Преподаваніе космографіи въ женскихъ учебныхъ заведеніяхъ“, былъ прочитанъ К. Л. Баевымъ послѣ доклада г. Базилевскаго,

популярной. Это руководство должно соотвѣтствовать курсу космографіи совершенно такъ же, какъ описаніе лабораторныхъ работъ по физикѣ соотвѣтствуетъ учебнику этого предмета или такъ же, какъ задачники по алгебрѣ или геометріи соотвѣтствуютъ учебникамъ этихъ предметовъ. Особенно желательно, чтобы и учебникъ и руководство къ наблюденіямъ принадлежали одному автору, какъ мы это имѣемъ напримѣръ по физикѣ: „учебникъ физики“ Ф. Н. Индриксона приведенъ въ полное согласіе съ его же книгой „Работы по физикѣ для средней школы“. Подобное надо осуществить и для космографіи, чтобы практическія занятія по ней въ средней школѣ вошли въ жизнь, а не оставались въ области академическихъ пожеланій.

Вотъ тѣ основныя общія положенія, исходя изъ которыхъ, надо построить программу теоретическаго курса космографіи и планы наблюденій надъ небомъ. Затронутые мною общіе вопросы были частью затронуты и въ только что прочитанномъ докладѣ Н. Ѳ. Платонова; послѣдующіе доклады должны будутъ освѣтить подробнѣе нѣкоторые частные вопросы*), и тогда передъ нами намѣтится очередная задача нашего настоящаго совѣщанія: приложить всѣ усилія къ тому, чтобы физика, химія и космографія получили въ нашей школѣ подобающее имъ мѣсто. Совершенно недопустимо въ интересахъ всего нашего русскаго просвѣщенія, чтобы три важнѣйшія области научнаго знанія занимали далеко не первое мѣсто въ системѣ общаго образованія. Передъ нами реформа средней школы и созданіе новыхъ плановъ преподаванія; въ частности и преподаванія космографіи. Неебходимо обсудить высказанныя положенія и прійти къ конкретнымъ рѣшеніямъ, иначе реформа школы пройдетъ мимо нашихъ работъ!

Понятіе о безконечно-маломъ и его приложенія въ математикѣ

Дж. Виванти. Пер. съ итальянскаго Е. Борткевичъ

(Петроградъ).

ГЛАВА IV.

Методъ предѣловъ.

(Окончаніе).

Характерное отличіе метода предѣловъ состоитъ въ томъ, что онъ не пользуется даже, „какъ способомъ рѣчи“ о терминами, вызывающими понятіе о величинахъ иныхъ, нежели обыкновенныя конечныя, и потому по внѣшнему виду онъ вполнѣ точенъ.

*) Здѣсь идетъ рѣчь о докладахъ: 1) Баева и Набокова—(упомянутомъ выше) п 2) II. А. Симагина—„Постановка преподаванія космографіи въ кадетскихъ корпусахъ“.

Различіе между нимъ и диференціальнымъ методомъ можетъ казаться, какъ бы состоящимъ только въ словахъ: такъ, напр., говорятъ: предѣлъ отношенія двухъ количествъ, стремящихся одновременно къ нулю, вмѣсто предѣла ихъ безконечномалыхъ приращеній. Но это различіе гораздо болѣе глубокое. И дѣйствительно, методъ предѣловъ не взываетъ къ помощи чуждой области алгебры, не прибѣгаетъ ни къ какому новому понятію, ни къ какому новому соглашенію; онъ только нуждается въ теоремахъ, относящихся къ предѣлу суммы, разности, произведенія, частнаго. Кромѣ того, между тѣмъ какъ отношенія, къ которымъ приводитъ деференціальный методъ, не точны для любого значенія dx, dy, отличнаго отъ нуля, отношенія полученныя при помощи метода предѣловъ, всегда совершенно точны. Этому преимуществу слѣдуетъ противопоставить меньшую скорость въ вычисленіяхъ и меньшую легкость въ выраженіи посредствомъ аналитическихъ уравненій условій вопросовъ, которые мы желаемъ изучить.

Хотя методъ предѣловъ въ своей общности и въ самомъ новомъ видѣ встрѣчается впервые въ „Principia“- Ньютона, нельзя однако обойти молчаніемъ предшествующій ему приблизительно 20-ью годами трудъ „Vera circuli et hyperbolae quadratura“ Якова Грегори (1638—1675). Этотъ трудъ, не имѣвшій успѣха равнаго заслугѣ, замѣчателенъ, т. к. содержитъ въ зародышѣ нѣкоторыя идеи, господствующія въ настоящее время въ анализѣ, а главнымъ образомъ тѣмъ способомъ, какъ имъ поставлена основная задача квадратуры круга.

Грегори, послѣ того какъ онъ выразилъ, что задача анализа состоитъ не только въ томъ, чтобы рѣшить вопросы, но также чтобы доказать невозможность ихъ рѣшенія, вводитъ понятіе аналитическихъ соотношеній называя таковыми соотношенія, состоящія изъ раціональныхъ дѣйствій и извлеченія корней, и пытается доказать, что соотношеніе такого характера не можетъ существовать между площадью сектора круга и площадями треугольника АВР и четыреугольника ABFP.

При помощи этого онъ замѣчаетъ, что единственныя величины, непосредственно доступныя намъ—раціональныя, а среди ирраціональныхъ лишь разсматриваются обыкновенно получаемыя извлеченіемъ корня, между тѣмъ какъ каждая другая ирраціональная величина разсматривается лишь, когда возможно найти раціональную величину, или по крайней мѣрѣ аналитическую отличающуюся отъ нея на произвольно взятую малую величину.

Опредѣленіе такой величины можетъ быть разсматриваемо, какъ шестое дѣйствіе послѣ 4-хъ раціональныхъ и извлеченія корней. Это дѣйствіе можно исполнить систематическимъ путемъ, образуя два послѣдовательныхъ ряда аѵ а3,..., Ь и такъ, что ап + 1 и Ь„-f-1 получаются изъ ап и Ьп по постоянному закону, независящему отъ п, т.-е., что аи—Ьп стремится къ нулю при возрастаніи п и что опредѣляемая величина заключена между ип и каково бы ни было «; совокупность такихъ двухъ

рядовъ названа Грегори рядами сходящимися. Конецъ ряда, т.-е. общій предѣлъ обоихъ рядовъ долженъ одинаково зависѣть отъ любой пары соотвѣтственныхъ элементовъ, и выраженіе его будетъ дано функціей f(an, Ъп), удовлетворяющей условію f{an-\-l,bn-\-\)=f(an, Ьп). Приложеніе къ кругу общеизвѣстно. Сходящійся рядъ представляетъ совокупность вписанныхъ и описанныхъ правильныхъ многоугольниковъ, при немъ число сторонъ каждаго послѣдующаго вдвое больше числа сторонъ предыдущаго, но Грегори доказываетъ, что не существуетъ ни одной аналитической функціи, удовлетворяющей только что указанному условію, и изъ этого можно заключить, что площадь круга не есть аналитическая функція діаметра. Правду сказать, доказательство Грегори содержитъ столько несовершенствъ, что почти лишено всякаго значенія; однако автору принадлежитъ большая заслуга, а именно: ясная и точная постановка задачи и избавленіе ея отъ схоластическихъ тонкостей, къ которымъ прежде прибѣгали для ея толкованія.

Методъ предѣловъ можетъ считаться включеннымъ всецѣло въ первую лемму первой книги „Principia“ Ньютона: двѣ величины, разность которыхъ въ конечное время можетъ быть сдѣлана менѣе любой заданной величины, станутъ въ концѣ концовъ равными.

Здѣсь понятіе равенства принимаетъ болѣе широкое значеніе, нежели оно имѣло до сихъ поръ.

Нельзя болѣе сказать: два количества равны или не равны. Количества, съ которыми будемъ имѣть дѣло не опредѣленныя, а „текущія“; два количества такого характера могутъ мѣняться, оставаясь въ каждомъ положеніи различными, и, несмотря на это, мы ихъ называемъ равными, т.-к. всегда существуетъ положеніе, въ которомъ ихъ разность сколь угодно мала.

Это понятіе равенства было уже предугадано Ферматомъ, но у него не хватило смѣлости вполнѣ открыто принять его и онъ выражалъ его словами: „почти равны“, однако Ньютонъ, желая примѣнить къ требованіямъ анализа свою точку зрѣнія относительно происхожденія непрерывныхъ величинъ, пользуется двойнымъ наименованіемъ, при чемъ одно—строго математическое метода предѣловъ, второе основано на идеѣ количествъ, исчезающихъ и возникающихъ.

Дѣло дѣйствительно является страннымъ. Ньютонъ, принявшись съ жаромъ за изученіе всемірныхъ законовъ, хорошо понялъ, что желаніе исходить изъ гипотезы, касающейся настоящей сущности естественныхъ явленій, было ненужнымъ, а что интересъ заключался скорѣе въ нахожденіи математическаго принципа, на основѣ котораго можно было установить общіе законы, хотя бы этотъ принципъ былъ лишь выраженіемъ идеи физически невозможной. Однако онъ не развернулъ той же свободы духа въ изученіи математической сплошности. И какой ущербъ это принесло очевидности и простотѣ его изложенія ясно для такого наблюдателя, какъ онъ, который для математическаго оправданія количествъ, возникающихъ и исчезающихъ, долженъ былъ всегда прибѣгать къ понятію предѣла.

Изъ метода предѣловъ Ньютонъ пытался образовать алгориѳмъ, создавая „методъ флюксій“ съ главной цѣлью избѣжанія употребленія величинъ не конечныхъ.

И дѣйствительно, флюксіи или производныя разныхъ перемѣнныхъ количествъ, вычисленныя путемъ перехода къ предѣлу, заключаютъ въ себѣ величины пропорціональныя мгновеннымъ ихъ приращеніямъ, могущимъ замѣнить ихъ въ каждомъ случаѣ.

Методъ флюксій нашелъ въ Макъ-Лоренѣ ученаго и добросовѣстнаго толкователя. Однако онъ, пользуясь постоянно понятіемъ скорости, являющимся основой идеи флюксіи, отказывается отъ одного изъ главныхъ преимуществъ новыхъ методовъ, ведя всѣ доказательства „способомъ Архимеда“ приведеніемъ къ нелѣпости. Въ основу теоріи онъ положилъ четыре аксіомы: первая утверждаетъ, что пройденное пространство въ ускоренномъ движеніи болѣе того, которое было бы пройдено въ одинаковое время при равномѣрномъ движеніи и первоначальной скорости; вторая— сравниваетъ ускоренное движеніе съ равномѣрнымъ при конечной скорости; третья и четвертая относятся къ замедленному движенію. Пользованіе этими аксіомами станетъ яснымъ на слѣдующемъ простѣйшемъ примѣрѣ.

Желательно найти флюксію если а — флюксія А. Флюксія А 2заключается между (А-{-а)1— 2 и А3 — (А — а)2, т. е. между 2 Аа-\-а2 и 2 А а — а2. Предположивъ, что она больше 2 Аа и напр., равна 2 Аа-\-раи, взявъ а настолько малымъ, что р>а, получили бы 2 Аа-\-ра>2 Аа-\-а2, что нелѣпо, пришли бы къ тому же, положивъ, что она меньше 2 Аа. Слѣдовательно она равна 2 Аа.

Въ 12-й главѣ первой книги авторъ излагаетъ методъ безконечно-малыхъ, указывая на согласованіе его съ методомъ предѣловъ.

Трудъ Макъ-Лорена, чрезвычайно цѣнный важными геометрическими вопросами, физическими и механическими, излагаемыми въ немъ, несовершененъ по отношенію къ принципу, изъ котораго онъ исходитъ. И въ самомъ дѣлѣ, опредѣленіе скорости, даваемое и Макъ - Лореномъ и находящееся въ элементарныхъ изложеніяхъ, конечно, неспособно дать о ней точнаго понятія; для изъясненія, чтб такое скорость, необходимо прибѣгнуть къ понятію предѣла. Установивъ это, спрашиваемъ, почему же не излагать прямо анализа при помощи метода предѣловъ, не вводя понятія ему чуждаго, нуждающагося въ свою очередь въ идеѣ предѣла для того, чтобы быть ясно выражено?

Совершенно аналогичнымъ методу флюксій является методъ „приращеній“, составляющій предметъ главнаго труда Брука Тайлора. Объ Эйлерѣ было уже сказано, что понятіе безконечномалаго, принятое имъ кромѣ того, что само по себѣ было плохо опредѣлено, оказалось непригоднымъ къ аналитическимъ приложеніямъ. Онъ дѣйствительно задался цѣлью пользоваться безконечно-малыми— строго равными нулю, но отношеніе которыхъ опредѣленно; однако въ дѣйствительности его методъ приводится

къ нахожденію предѣла отношенія двухъ количествъ, одновременно убывающихъ, неопредѣленно.

Мысль, что анализъ не нуждается въ величинахъ, отличныхъ отъ обыкновенныхъ конечныхъ, отстаиваемая Даламберомъ, все больше и больше распространялась. Ланденъ (1719 —1790) въ своемъ трудѣ „The residual analysis, а new branch of the algebric art“ (Лондонъ, 1764), Крампъ (1760 —1826) и Арбогастъ (1749 —1811) искали методовъ, которые бы совершенно не зависѣли отъ безконечно-малаго. Болѣе извѣстной, хотя и неудачной, является попытка Лагранжа (1736 —1813), который сперва въ мемуарѣ, напечатанномъ въ 1772 году, затѣмъ въ „Théorie des fonctions analytiques“ (Парижъ, 1797) предположилъ обосновать анализъ на разложеніи въ ряды Тайлора и за опредѣленіе производной взялъ коэффиціентъ при перемѣнной первой степени въ этомъ разложеніи. вслѣдствіе чего анализъ терялъ много своей простоты и переставалъ быть научнымъ толкованіемъ непосредственнаго процесса нашей мысли.

Изслѣдованія послѣдующихъ математиковъ выяснили еще, что не всѣ функціи можно изобразить подъ видомъ, принятымъ Лагранжемъ, какъ совершенно общимъ. И потому его методъ ошибочный по принципу, искусственный по формѣ, былъ заслуженно оставленъ.

Къ концу прошлаго столѣтія въ 1784 году Берлинская академія, президентомъ которой былъ Лагранжъ, открывала конкурсъ по вопросу математическаго безконечнаго слѣдующими словами:

„Польза, получаемая математикой, уваженіе, которое ей присуще, и почтенное наименованіе, которое ей даютъ, точной науки по существу, обязаны ясности ея принциповъ, строгости ея доказательствъ и точности ея теоремъ. Для обезпеченія этого прекраснаго отдѣла нашихъ познаній, продолженія этихъ цѣнныхъ преимуществъ, требуется:

Ясная и точная теорія того, что въ математикѣ называется „безконечнымъ“.

Извѣстно, что высшая геометрія пользуется постоянно безконечно-большими и безконечно-малыми. Однако геометры и даже древніе аналитики тщательно избѣгали всего того, что приближается къ безконечному, и великіе аналитики настоящаго времени признаютъ, что выраженія „безконечная величина“ противорѣчивы.

Итакъ, Академія желаетъ разъясненія, какимъ образомъ было введено столько вѣрныхъ теоремъ при противорѣчивомъ предположеніи, и указанія принципа вѣрнаго, яснаго, однимъ словомъ, чисто математическаго, способнаго замѣстить безконечное и притомъ не затрудняя и не замедляя изслѣдованій, производящихся этимъ способомъ. Требуется, чтобъ этотъ вопросъ былъ изложенъ во всей возможной общности, во всей строгости, ясности и простотѣ.

Приглашаются ученые и. т. д“.

Преміей былъ награжденъ Люлье (Lhuilier), благодаря своей уже вышеупомянутой „Exposition élémentaire des principes des

calculs supérieurs“, въ которой главной цѣлью его было доказать, что методъ древнихъ, удачно прилагаемый, достаточенъ для требованій анализа. По существу однако онъ придерживается метода предѣловъ, основывая его на нѣкоторыхъ теоремахъ, изъ которыхъ главныя двѣ слѣдущія:

Если постоянное отношеніе двухъ перемѣнныхъ количествъ и способныхъ имѣть предѣлъ, равно единицѣ, то и предѣлы ихъ имѣютъ тоже отношеніе.

Если отношеніе двухъ перемѣнныхъ и стремящихся къ предѣлу, количествъ перемѣнно, но стремится къ предѣлу, то отношеніе ихъ предѣловъ есть предѣлъ отношенія.

Затѣмъ онъ опредѣляетъ „дифференціальное отношеніе“ двухъ перемѣнныхъ количествъ, какъ предѣлъ ихъ отношеній, „дифференціальное исчисленіе“ какъ нахожденіе дифференціальныхъ отношеній перемѣнныхъ количествъ.

II— глава занимается вопросомъ касательныхъ, III— говоритъ о дифференціальныхъ отношеніяхъ разныхъ порядковъ 1Y— о максимумахъ и о минимумахъ, Y— о флюэнтахъ, о радіусѣ кривизны и эволюты, YI— о логариѳмахъ, YII— и VIII— о квадратурахъ и спрямленіяхъ, IX— и X— объ объемѣ и о поверхности круглыхъ твердыхъ тѣлъ, XI глава спеціально посвящена развитію первой части программы конкурса; въ ней авторъ подвергаетъ критикѣ идеи Лопиталя, Фонтенеля и Эйлера, показываетъ, какъ дифференціальный методъ приводится къ методу предѣловъ, и говоритъ, что методъ, принятый имъ, можетъ разсматриваться, какъ методъ Ньютона, ставшій независимымъ отъ понятія движенія или лучше, какъ развитіе идей Даламбера. XII — и послѣдняя глава касается приложеній анализа къ физикѣ и къ механикѣ.

Другой мемуаръ, вызванный конкурсомъ Берлинскимъ, хотя и не предназначенный къ представленію въ Академію,—первый изъ уже упомянутыхъ „Mathematische Abhandlungen“ Карстена подъ заглавіемъ: „Vom Mathematisch - Unendlichen mit Rücksicht auf eine um Jahr 1784 aufgegebene Preisfrage“. По поводу этого труда ограничусь тѣмъ, что скажу, что въ немъ авторъ пытается дать истинный смыслъ правиламъ дифференціальнаго исчисленія, и для такой цѣли прибѣгаетъ, какъ понятно, къ понятію предѣла.

Еще большую извѣстность пріобрѣли „Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitésimal“ Карно (1753—1823).

Правду сказать, объ этой работѣ слѣдовало упомянуть въ предшествующей главѣ, такъ какъ она могла явиться защитой дифференціальнаго метода; но я предпочелъ говорить о ней здѣсь, такъ какъ она получила свое начало въ Берлинской программѣ или по крайней мѣрѣ отвѣчаетъ, какъ замѣчаетъ Гауфъ, первой части ея.

Путь, слѣдуемый Карно, для того, чтобы показать, какимъ образомъ получается, что результаты дифференціальнаго исчисленія, казалось бы, только приближенные, въ дѣйствительности точные, конечно, не самый простой. Онъ прибѣгаетъ къ двумъ соображеніямъ, изъ которыхъ одно,—относящееся къ произволу

такъ называемыхъ безконечно-малыхъ, достаточно вполнѣ для установленія точности метода Лейбница, а второе, относящееся къ компенсаціи ошибокъ,—есть просто слѣдствіе перваго и служитъ только къ осложненію изложенія. Ошибка, говоритъ онъ, происходящая отъ замѣны одного количества другимъ, отличающимся отъ него на безконечно-малое, произвольна и можетъ быть сдѣлана сколь угодно малой; я даже могу сдѣлать нѣсколько ошибокъ такого характера, распоряжаясь самъ степенью точности результата.

Но есть еще нѣчто большее; эти ошибки взаимно уничтожаются, потому что въ конечныхъ результатахъ не появляется ни одного произвольнаго количества. Разъ, что случается компенсація ошибокъ, никто не можетъ этого отрицать, но слѣдуетъ искать причину этого факта. Она же состоитъ именно въ томъ, что каждая ошибка въ отдѣльности стремится къ нулю, и потому позволено себя спросить точно ли собственно говорить о „компенсаціи“. То, что заставляетъ путать мысли, это введеніе „исчезающихъ количествъ“, которыя суть не что иное, какъ нуль, разсматриваемый какъ предѣлъ одного или другого перемѣннаго количества, и имѣющихъ большое сходство съ безконечно-малыми— нулевыми Эйлера, „сохраняющими слѣдъ своего происхожденія“, и дающихъ мѣсто опредѣленнымъ отношеніямъ.

Однако для сужденія о важности „Réflexions“ необходимо разсматривать ихъ, какъ полемическое сочиненіе того времени. Это была та эпоха, когда появлялись повторныя попытки съ цѣлью подкопать основы исчисленія Лейбница. Одна изъ первыхъ академій Европы, подъ предсѣдательствомъ одного изъ самыхъ извѣстныхъ математиковъ того времени, пригласила ученыхъ всего свѣта для обсужденія и критики основъ дифференціальнаго метода и вскорѣ послѣ того утвердила своимъ вѣскимъ одобреніемъ предложеніе сокрушить и замѣнить ихъ другими болѣе устойчивыми и непоколебимыми.

Тогда-то Карно, еще не погрузившійся въ водоворотъ политики, выступилъ съ защитой метода Лейбница, показывая, что онъ былъ достоинъ большого довѣрія, и возсталъ энергично противъ желанія противниковъ оставить удобный и ровный путь и замѣнить его извилистой тропинкой, полной терніевъ. Конечно, его средства защиты и не самыя простыя, и не самыя совершенныя; но они открыли путь къ окончательному зданію высшаго анализа, такъ что Карно можетъ дѣйствительно считаться предвѣстникомъ Коши.

Коши (1789—1857), воспользовавшись зародышемъ, брошеннымъ Карно, легко сообразилъ, что произволъ безконечно-малаго былъ достаточнымъ для того, чтобы установить точность метода Лейбница. Онъ однако опредѣлилъ „безконечно-малое“, какъ перемѣнную величину, имѣющую предѣломъ нуль; и назвалъ величину ß безконечно-малой м-го порядка по отношенію къ другой а, если предѣлъ ^ при стремленіи а къ нулю конеченъ и не нуль. Основываясь на такихъ положеніяхъ, основная лемма при-

водилась, какъ я уже сказалъ, къ практическому правилу, строго доказываемому, и съ тѣхъ поръ никто не могъ болѣе оспаривать мѣсто дифференціальнаго исчисленія, должное ему среди точныхъ наукъ.

Въ нашемъ бѣгломъ обзорѣ среди разныхъ историческихъ эпохъ мы видимъ, какъ робко на мгновеніе появляется безконечно-малое въ довольно отдаленныя времена, какъ затѣмъ оно опять входитъ въ поле математики, гдѣ оно принимается одними за нуль, другими за величину не нулевую, но меньшую любой заданной, еще иными за существо непротяженное, но имѣющее въ себѣ способность производить протяженіе. Мы находимъ его введеннымъ въ анализъ, то открыто въ видѣ недѣлимаго или дифференціала, то скрыто въ понятіи о предѣлѣ, и присутствуемъ при оживленныхъ спорахъ, которые были необходимымъ слѣдствіемъ разныхъ толкованій, могущихъ дать мѣсто понятію безконечно-малаго.

Теперь, наконецъ, послѣ столѣтнихъ споровъ произошло соглашеніе между методомъ безконечно-малыхъ и методомъ предѣловъ и сліяніе ихъ въ одно цѣлое. Форма и языкъ дифференціальнаго метода, цѣнные во многихъ отношеніяхъ, сохранились во всѣхъ своихъ частностяхъ; но неопредѣленное понятіе безконечно-малаго Лейбница замѣнилось понятіемъ строго опредѣленнымъ, имѣющимъ въ основѣ идею предѣла. Названіе „безконечномалаго“ стало нарицательнымъ невѣрнымъ конечнаго перемѣннаго количества, стремящагося къ нулю. И озарилась, наконецъ, полнымъ свѣтомъ истина, предугаданная уже многими, что среди величинъ, встрѣчающихся въ изученіи природы, нѣтъ ни одной не принадлежащей къ полю обыкновенныхъ конечныхъ величинъ

Къ вопросу о рѣшеніи уравненія lgalga....lgax = m.

С. Слугиновъ (Казань).

Вопросы, связанные съ изученіемъ дѣйствій и рѣшеніемъ уравненій, углубили и развили нашу идею о числѣ. Обратныя операціи породили число новыхъ природъ, какъ-то; дробныя и отрицательныя. При рѣшеніи уравненій примѣняются обратныя операціи тѣмъ, которыя характеризуютъ данное уравненіе. Поэтому и рѣшеніе уравненій приводитъ къ нахожденію чиселъ, дотолѣ неизвѣстныхъ. Рѣшеніе, напримѣръ, квадратныхъ уравненій принесло съ собою числа комплексныя; рѣшеніе же логариѳмическихъ уравненій доставило намъ числа весьма близкія по своей структурѣ къ трансфинитнымъ числамъ Кантора. Числа эти можно назвать экспоненціальными.

Слѣдующій примѣръ представляетъ намъ образецъ полученія экспоненціальнаго числа.

Возьмемъ уравненіе

lgalga....lga х=т.(1)

Лѣвая часть уравненія (1) содержитъ логариѳмъ отъ х, взятый п разъ. Потенцируя данное уравненіе, будемъ послѣдовательно имѣть

(2)

Въ равенствѣ (2) число а фигурируетъ п разъ.

Замѣтимъ, что, собственно говоря, уравненіе (1) имѣетъ, какъ и всякое трансцендентное уравненіе, безконечность рѣшеній; мы же нашли ариѳметическій корень уравненія (1), который исключительно насъ интересуетъ. Припомнимъ теперь, что числа 1-го класса Кантора представляютъ собою совокупность (множество) чиселъ натуральнаго ряда чиселъ

О, 1, 2, 3, ... г...............(3),

гдѣ lim v = œ есть уже число 2-го класса; числа 2-го класса будутъ послѣдовательнаго вида

(4)

За только что написанной таблицей слѣдуютъ числа, начинающіяся съ числа

Далѣе можетъ быть составлена таблица чиселъ, подобная 4-ой, начинающаяся, съ со* и дойдемъ до числа со3 и т. д. и т. д. Процессъ составленія чиселъ 2-го класса можетъ быть продолженъ безпредѣльно и мы будемъ получать трансфинитныя числа все большія и большія, именно

(5)

Нетрудно видѣть, что трансфинитныя канторовскія числа 2-го класса по своей формѣ аналогичны числу (2)-му, представляющему собою ариѳметическій корень уравненія (1), что мы и хотѣли показать въ настоящей замѣткѣ.

С. Слугиновъ.

Тригонометрическій выводъ нѣкоторыхъ формулъ геометріи.

Б. Буханцевъ, (Курскъ).

Предлагаемая замѣтка есть опытъ примѣненія тригонометріи къ выводу геометрическихъ формулъ и къ доказательству теоремъ. Въ видѣ образца такого примѣненія даемъ доказательство теоремы Птоломея и выводъ формулъ: 1) площади треугольника по тремъ сторонамъ, 2) биссектрисы угла треугольника и 3) разстояній центра круга, описаннаго около треугольника отъ центровъ круговъ вписаннаго и внѣвписсанныхъ.

§ 1. Въ кругъ радіуса R вписанъ четыреугольникъ (фиг. 1). Назовемъ углы ВАС и CAD а и ß; тогда /jBCA=.\80°— (180 — JB-(- ß)—B—ß. Въ треугольникахъ АВС,BAD, ВBAC, CAD и ACD имѣемъ

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Фиг. 1.

Перемноживъ почленно равенства (3) и (5), (4) и (6) и сложивъ полученные разультаты, находимъ

7)

Раскрывъ во второй части равенства (7) sm(i?-|-a), $in{B—ß) и упростивъ, получимъ

Итакъ

8)

Перемноживъ почленно равенства (Л) и (4), (5) и (6) и сложивъ, находимъ

AB -BC-\-AD .CD=4Ri[sinasin(B-{-a)-{-sinßsin(B—] ... 9)

Разложивъ въ правой части равенства (9) (В-\-с) и sin (B—ß) и упростивъ, получимъ

4:Ri[sinB(sinacosa-\-sinßcosß)-^-cosB(sinia—si«*/9)]

или, примѣнивъ формулы удвоенія,

2R2[sinB(sin2a-\-sin2ß)-\-cosB(cos2ß—cos2a)\.

Преобразовавъ сумму синусовъ и разность косинусовъ въ произведенія, принявъ при этомъ во вниманіе, что a-{-ß=A, имѣемъ

4 RisinA[sinBcos(a——ß) \

или

4 R Bin As im Г,-\-а—ß) —2 RsinA. 2 Rsin(B —■ —

Итакъ

AB.BG-\-AI). CD=BD.2Rsin{B-\-a—ß)...................10)

Перемноживъ далѣе равенства (4) и (5), (3) и (6) и сложивъ, находимъ

ВС.CD-{-AB. AD=AR2\sinasinß —.11)

Раскрывъ въ равенствѣ (11) sin(B-\-d) и sin(B—ß) и затѣмъ перемноживъ, замѣнивъ cos2 В черезъ 1— и вынеся за скобки sin2В и sinBcosB, получимъ

AR2\sin2B(cosacosß-\-sinasinß)-\-sinBcosB(sinacosß— )]

или

AR2sinB[sinBcos(a—ß)-\-cosBsin{a—/9)]

или

AR2sinBsin(B-\-a—ß)=2RsinB. 2 Rsin(B—ß)=AC•2Rsin(B-\-a—ß). Итакъ

ВС. CD -\-AB. AI)=AC. 2Rsin(B-\-a—ß)..................12)

Изъ равенствъ (10) и (12) находимъ

AC ____ AB. AD+BC. CD 1

BD~AB.BC+AD.CD...............................

§ 2. Площадь треугольника ABC, какъ извѣстно, выражается формулой

S=2RîsinAsinBsinC,...1)

въ которой Rесть радіусъ описаннаго круга.

Правую часть равенства (1) можно написать такъ

уЧ fi*t> h 12А s і 112 В s т2 С..........2)

Разложивъ въ выраженіи (2) синусы по формуламъ удвоенія и расположивъ множители, находимъ

Замѣнивъ въ послѣднемъ выраженіи учетверенныя произведенія ихъ значеніями въ силу извѣстныхъ тождествъ, имѣемъ

или

или

Итакъ

3)

§ 3. Назовемъ биссектрису угла А треугольника ABC—AI) черезъ а (фиг. 2). Въ треугольникахъ BAD и DAC

1)

2)

Сложивъ почленно равенства (1) п (2) находимъ

Фиг. 2.

или

Отсюда

Замѣнивъ въ правой части послѣдняго равенства cos — эго значеніемъ по извѣстной формулѣ, получимъ по упрощеніи

3)

§ 4. Назовемъ радіусы круговъ описаннаго около треугольника ЛВС (фиг. 4), вписаннаго и внѣвписаннаго, касающагося стороны Ъ, черезъ 1і, г и Ь\ пусть центры ихъ будутъ О, Ot и 0.г Разстоянія 00, и 002 обозначимъ черезъ d и dv "Опредѣлимъ въ зависимости отъ К и угловъ треугольника. Какъ извѣстно

Фиг. 3.

Такъ какъ

то

IV

Въ треугольникѣ ОАОх

или

Сдѣлавъ въ числителѣ дроби несложныя преобразованія, приведемъ его къ виду

г1—Br[cosB—cos{A-\-B)\

или

г*—Rr(cosB-\-co.....................2}

Изъ равенства (1) находимъ

B(eosB-\-cosC)=B-\-r—BcosA.

Слѣдовательно выраженіе (2) приметъ видъ

или

или

Такимъ образомъ

Отсюда

Радіусъ круга внѣвписаннаго Sb выражается формулой

Такъ какъ

то

Въ треугольникѣ

или

Преобразовывая числителя дроби приведемъ его послѣдовательно къ нижеслѣдующимъ видамъ

5)

Изъ равенства (4) находимъ

B(cosB—cosC)—/t—

Слѣдовательно выраженіе (5) приметъ видъ Stt+SAR-Sb+BcosÄ)

или по упрощеніи 2BSbcos* . Слѣдовательно

Отсюда

6)

Курскъ.

Математическія замѣтки.

В. Городковъ. (Тобольскъ).

1°. Объ одной числовой теоремѣ.

Въ теоріи чиселъ есть теорема:

„Произведеніе числа, принадлежащаго къ формѣ

X2 + ху +

на 2 сумма трехъ точныхъ квадратовъ; произведеніе квадрата такого числа на 2 — сумма трехъ точныхъ четвертыхъ степеней. (Catalan). Тоже самое вѣрно для числа вида

х2 + У2 + г2 — — хг — уз (Ed. Lucas)“*).

Е. Barisien (Mathesis, 1, 1904) нашелъ тождество

хі + У4 + (S + у)'— (х2 + ху 4- у2)2 -{- 2 4- *2 О 4- 4-

которое позволяетъ рѣшить въ цѣлыхъ числахъ уравненіе

z*-\-v* = w2-\-t2-\-1с2-\-12.(1)

Для этого достаточно положить

2 = х; и—у,

гѵ = X24- ху4-у1; t = xy\ к = Д-

Однако, легко замѣтить, что тождество £. Barisiea’a можетъ быть разсматриваемо, какъ слѣдствіе вышеизложенной теоремы. Дѣйствительно, извѣстно, что

2 (х2 -\-ху-\-у2) = (х-{-уУ-\-х2 Д- у2;

2(х2-Уху-Уу)2 = (х~УуУ-Ухі-Ууі.

Такимъ образомъ число

х2АГху-\-у2

отличается еще новымъ свойствомъ, указаннымъ Е. Barisien’омъ Исходя изъ этого, находимъ, что и число вида

х2 "Ь у2 4~ г2 —ху—хг —

отличается тѣмъ же свойствомъ.

*) Первая глава изъ элементарной теоріи чиселъ. А. Обри. „В. Оп. Ф." 644—645.

Дѣйствительно,

Такимъ образомъ рѣшеніями ур-ія (1) могутъ быть также числа:

2°. О свойствахъ нѣкоторыхъ чиселъ.

Изъ извѣстныхъ („Матем. Лист.“ № 3. „Матем. Вѣстн. 5, 1915 г. „Матем. Образ.“ № 2, 1914 г.) свойствъ чиселъ 3, 6, 9 можно вывести много различныхъ тожествъ. Такъ, напримѣръ,

Подобнымъ же образомъ

Мѣняя повсюду знаки плюсъ на минусъ и комбинируя ихъ всевозможными способами, а также замѣтивъ, что подобными же свойствами будутъ отличаться также числа 13,133,...31,331,... 131,1331,...313,33133,..., гдѣ вмѣсто 1 можно подставлять 2,3...9, а вмѣсто 3 — 6,9, мы можемъ сказать, что число подобныхъ тожествъ можетъ быть продолжено до громадныхъ размѣровъ.

Ученіе о пропорціональности у Евклида и современная теорія числа.

А. А. Волковъ. (Москва).

§ 1. Въ пятой книгѣ „Началъ“ Евклида, принадлежащей Евдоксу, излагается ученіе объ отношеніи и примѣненіи этого ученія къ изученію свойствъ пропорціи, теоріи подобія и сравненія площадей. Въ опредѣленіяхъ пятой книги особенно важны и замѣчательны и по формѣ и по смыслу опредѣленія 3, 4, 5, 7.

Опредѣленіе 3 устанавливаетъ понятіе „отношенія“, какъ нѣкоторой особой вещи, опредѣляемой парой однородныхъ величинъ: „Отношеніе есть нѣкоторое свойство двухъ величинъ, характеризующее ихъ кратность и опредѣляемое ихъ размѣрами“.

Опредѣленіе 4 устанавливаетъ классъ величинъ, къ коимъ примѣнимо понятіе отношенія, какъ классъ величинъ, удовлетворяющихъ аксіомѣ Архимеда: „Говорятъ, что величины имѣютъ между собой отношеніе, если онѣ при умноженіи могутъ превзойти одна другую“.

Опредѣленіе 5 есть наиболѣе важное въ этой книгѣ: оно является опредѣленіемъ равенства двухъ отношеній: „Говорятъ, что величины находятся въ одномъ и томъ же отношеніи первая

ко второй и третья къ четвертой, если равнократныя первой и третьей одновременно больше, равны или меньше соотвѣтственно равнократныхъ второй и четвертой“, или, если воспользоваться для обозначенія отношенія 4 къ В символомъ В) и принятыми въ современной математикѣ знаками:

(А, В)=(С, В), если одновременно:

Опредѣленіе 6 устанавливаетъ названіе пропорціональныхъ для величинъ, имѣющихъ равныя отношенія.

Опредѣленіе 7 является опредѣленіемъ неравенства отношеній въ томъ же духѣ, какъ 5 опредѣленіемъ равенства: Если изъ соотвѣтственно равнократныхъ кратная первой превосходивъ нѣкоторую кратную второй, а кратная третьей не превосходитъ кратной четвертой, тогда говорятъ „что первая величина имѣетъ большее отношеніе ко второй, чѣмъ третья къ четвертой“, или если воспользоваться современными обозначеніями:

(А,В) ;> (С, D), если можно найти такія и что к А>т В к С ^>т В.

Изложенныя опредѣленія, прибѣгая лишь къ понятіямъ 1) натуральнаго числа, 2) однородныхъ величинъ, 3) равенства и 4) неравенства такихъ величинъ, формально опредѣляютъ особый классъ вещей, который съ современной точки зрѣнія можно назвать числами. Опредѣленія 5 и 7 суть опредѣленія равенства и неравенства чиселъ, какъ паръ однородныхъ величинъ.

Для завершенія построеннаго такимъ способомъ ученія о числѣ, какъ парѣ однородныхъ величинъ, необходимо установить опредѣленіе суммы и произведенія.

При установленіи этихъ опредѣленій должны были встрѣтиться довольно серьезныя затрудненія, почему авторъ пятой книги „Началъ“ обошелъ ихъ, огранившись для суммы и разности доказательствомъ справедливости т. н. производныхъ пропорцій. а для оцѣнки отношенія площадей введеніемъ понятія т. н. сложнаго отношенія.

§ 2. Въ виду сказаннаго мы разсмотримъ, что даетъ установленное въ У книгѣ „Началъ“ опредѣленіе равенства и неравенства отношеній, и покажемъ, что оно для случая несоизмѣримости эквивалентно современному опредѣленію ирраціональнаго числа.

Разсмотримъ сперва случай, когда возможно найти такую пару чиселъ к и т, при которой осуществляется случай равенства въ опредѣленіи пропорціональности, т.-е. случай существованія у величинъ А к В общаго кратнаго, а, слѣдовательно, и общей мѣры. Пусть мы нашли два числа к и удовлетворяющихъ условію

Въ такомъ случаѣ мы можемъ сказать, что парѣ отрѣзковъ— отношенію ( А, В) соотвѣтствуетъ особая пара натуральныхъ чиселъ (т,к). Посмотримъ, какими свойствами обладаетъ эта пара. Пусть намъ удалось найти еще пару чиселъ gи удовлетворяющихъ тому же равенству:

q А=р В,

и, слѣдовательно, отношенію (А, В) соотвѣтствуетъ еще пара (р, q). Посмотримъ, не связаны ли какимъ соотношеніемъ числа т, к, р и q. Умножая обѣ части равенства*) q В на

имѣемъ: т (q А) = т (р В) или ( А = ( В, или

(mg') А =р (і тВ), но тВ=кА, откуда (mg) А =р (к А), или

(mg) А = (р к) А, откуда mq—pk.

Мы получили условіе равенства паръ (т, к)и g), которое въ формальной теоріи дробей принимается за опредѣленіе равенства дробей, опредѣляемыхъ какъ пары.

Разсмотримъ опредѣленіе неравенства отношеній.

Разсмотримъ сперва случай, когда оба неравныхъ отношенія образованы изъ соизмѣримыхъ величинъ, слѣдовательно, допускаютъ существованіе подходящихъ паръ чиселъ, удовлетворяющихъ равенствамъ:

кА— В

I С = п В, при чемъ I А> пВ. Тогда съ одной стороны (А, В) > (С, В), а съ другой т (I А)>т В) или (ml) А>( ) В, или (ml) А > п(тВ) или (ml) А>п (кА) или (ml) А > (пк) А, откуда ml>nk, что является условіемъ неравенства дробей и опредѣляемыхъ, какъ паръ чиселъ: (т, к) > (и, I).

Такимъ образомъ мы видимъ, что въ случаѣ соизмѣримости пары отрѣзковъ эквивалентны парамъ чиселъ, другими словами, въ случаѣ соизмѣримости каждой парой отрѣзковъ опредѣляется нѣкоторое раціональное число, почему мы и можемъ написать равенство

(А, В) = (т,к), если кА = тВ.

Покажемъ теперь, что въ случаѣ соизмѣримости двухъ величинъ для установленія равенства очищеній нѣтъ надобности находить ту „пару“, которая равна ихъ отношенію, а достаточно воспользоваться лишь неравенствами, входящими въ опредѣленіе, другими словами, что если ^ и кС ^ и , то въ случаѣ соизмѣримости, если есть пара , д)=(И, В), она будетъ также равна отношенію (С, В):

*) Слѣдуетъ имѣть въ виду, что допустимость тѣхъ преобразованіи равенствъ, къ которымъ мы прибѣгаемъ, доказана въ той же пятой книгѣ Евклида.

Пусть для всякой пары чиселъ Л* и е одновременно имѣютъ мѣста соотношенія

(I)

и пусть

(II)

но

(III).

Если q Сфр В,то q С либо больше, либо меньше В. Допустимъ, что qO>pB\ но въ такомъ случаѣ на основаніи соотношеній (D, тогда должно быть q А В, что противно (IDТакже докажется, что q С не можетъ быть меньше рВ.

§ 3. Разсмотримъ теперь случай неравенства отношеній, при чемъ пусть одно изъ отношеній составлено изъ несоизмѣримыхъ отрѣзковъ, а другое изъ соизмѣримыхъ. Пусть

кА>т В,

но

Тогда

или

Такимъ образомъ опредѣленіе неравенства отношеній позволяетъ любое раціональное число ( , сравнить съ отношеніемъ ( А, В). Отсюда получается первое важное свойство отношенія (А, В).

I свойство. Въ случаѣ несоизмѣримости А и В не существуетъ пары чиселъ ( , удовлетворяющей условію кА — тВ,но относительно любой пары чиселъ можно рѣшить, будетъ ли она больше или меньше отношенія (А, В).

Другими словами, всѣ раціональныя числа (пары вида (m, Je)) можно разбить на два класса, изъ которыхъ каждая пара перваго класса меньше каждой пары, принадлежащей ко второму классу.

II свойство. Среди чиселъ перваго класса и второго можно найти два числа, отличающіяся другъ отъ друга на произвольно малую величину, напр. на дробь(пару 1, /А Въ самомъ дѣлѣ,

на основаніи аксіомы Архимеда можно найти всегда такія два числа пи w-j-l, что

пВск А<(гс-(-1) ,

откуда

(и, *)<U, Я)<(»+1,

ч. и т. д.

III свойство. Въ первомъ классѣ нѣтъ послѣдняго числа, а во второмъ перваго.

Докажемъ первую половину теоремы.

Пусть пара (р, q) есть наибольшее раціональное число, принадлежащее къ первому классу, т.-е. послѣднее число этого класса.

Тогда ( р, q) < (А, В) и всякое раціональное число (т, к), которое больше ( А, В), будетъ больше и (р, q), и обратно, если (т, к) >(р, q), то (т, к) > (А, В) (такъ какъ (р, q) послѣднее изъ раціональныхъ чиселъ, меньшихъ (А, )). Точно также, если

(т, к) < (р, q), то < (А, Б)

и если

(ш,*)<(А, Б), то (т, к) < (р, q).

На основаніи сказаннаго, всякій разъ какъ

к Л тБ,

то и А- р т q или кр С^т q С, откуда

(А, В) — (р С,q С)—(р, q).

Т. о. мы пришли къ противорѣчію: , q) одновременно и равно и меньше ( А, Б). Слѣдовательно, предположеніе существованія наибольшаго числа въ первомъ классѣ не соотвѣтствуетъ дѣйствительности.

Точно такъ же доказывается и отсутствіе наименьшаго числа во второмъ классѣ.

Изъ изложеннаго видно, что опредѣленіе пропорціональности у Евклида вполнѣ равносильно опредѣленію равенства и неравенства въ современной теоріи ирраціональнаго числа. Что не было закончено въ этой теоріи, это опредѣленіе суммы двухъ отношеній; что же касается произведенія двухъ отношеній, то хотя въ „Началахъ“ и говорится о „сложномъ“ отношеніи, но это понятіе вводится, хотя и съ большимъ искусствомъ, но какъ-то мимоходомъ и безъ той отчетливости, съ какой изложена вся пятая книга. Изъ этого можно заключить, что авторъ видѣлъ всѣ трудности, которыя должны были встрѣтиться при болѣе подробномъ глубокомъ разборѣ понятія сложнаго отношенія и постарался обойти эти трудности.

Попытка доказательства великой теоремы Фермата.

Ѳ. И. Назаровъ, инж. - техн.-мех. Кіев. Полит. Инст.

Общее доказательство „великаго предложенія Ферма“.

Гор. Скобелевъ (Ферганской обл.) 1917 г. Тип. „Ферг. обл. союза дѣятелей печати. дѣла1“.

Текстъ и формулы набраны Литвиновичемъ, Эйнгорномъ и Марцисяномъ. 12°. 26 с. -(— 1 стр. опечатокъ. Эта брошюрка, которую авторъ посвящаетъ „Свѣтлой памяти Жюля Верна“, выдѣляется изъ общей массы „доказательствъ“ и потому мнѣ хотѣлось бы на ней остановиться. Хотя дать полное доказательство автору и не удалось, но я склоненъ думать, что можетъ быть самъ Ферматъ шелъ приблизительно такимъ путемъ, какъ это кажется самому г. Назарову вполнѣ несомнѣннымъ.

Основная идея заключается въ томъ, что для доказательства невозможности при п>2 существованія 3 цѣлыхъ положительныхъ чиселъ а, Ъ, с, удовлетворяющихъ равенству

an=zbn-\~cn (1)

авторъ толкуетъ а, Ъ, с, какъ стороны нѣкотораго треугольника. Дѣйствительно, если изъ отрѣзковъ длины Ъ, с ( треугольника составить нельзя, то или a>6-j-c или а — Ь-\-с. Но тогда очевидно ап > (Ьп -f- с)" = Ьп -\- сп -{- полож. чис. М.

т.-е. непремѣнно а" > Ьп-f- с".

Такимъ образомъ три числа, которыя могли бы выполнять (1), должны быть связаны неравенствами acb-{-c и а>Ъ — с. (2)

Но геометрическая интерпретація можетъ дать еще.

Если треугольникъ, образуемый а, Ь, с, тупоугольный, то а5 > Ь* с2 (3) или по умноженіи на и-2, а" > -f- но а>Ь и потому a — b-]-ß,a>c и потому а = с-\-у , ß и у полож.

Такимъ образомъ

или

и тѣмъ болѣе

Т.-е., если а, Ь, с образуютъ прямоугольный треугольникъ, то мы найдемъ т. о. изъ а2 = Ъ2-j- с2

такимъ образомъ

Итакъ, чтобы три числа а, Ь, с (а>Ъ>с) могли выполнять (1) , они должны кромѣ (2) выполнять еще неравенство

а2<: Ь2е2 (3)

Доказательство теоремы Фермата сводится такимъ образомъ къ доказательству невозможности совмѣстнаго выполненія (1),

(2) и (3).

Въ изложеніи г. Назарова есть въ этомъ пунктѣ тотъ дефектъ изложенія, что онъ вводитъ cos (Ь, с). Но этого легко избѣжать. Дѣйств. изъ (2) слѣдуетъ

а2>&2 + с2 — 2Ьс.

Въ связи съ (3) это даетъ

а2 = б2 + с2— 2ЬсХ,(4)

гдѣ I — правильная дробь:

0<Я<1.

Какъ и въ предыдущихъ случаяхъ, множимъ (4) на ап~2: а" = b” а“~2 -f с2ап~2 — (4’).

Если (1) возможно, и а, Ь, с(1) выполняютъ, то имѣемъ Ьп с” — Ьпап~3-f- с2а"~2 — 2 что можно переписать

(I) Ъп — Ьпап~3 -f- ЬсЛа’‘~3 = — [сп — -)- ЪсХап~г\.

Это равенство (съ замѣною / на Cos (b, с) имѣется у г. Назарова на стр. 16.

Такъ какъ Ь > с, то Ъп~3 — а“-2>си-2 — ап~3.

Но такъ какъ обѣ части равенства отрицательны, то

b\bn~3—а"-3) можетъ быть с\сп~3—а"-2).

Впрочемъ для случая Ь\Ьи~3— можно усмотрѣть противорѣчія въ томъ, что тогда

Ьп — с" = а>‘-2(Ь2— с2),

а при п> 2 и нечетномъ, Ь" — с” на Ь-\- с не дѣлится.

Г. Назаровъ предполагаетъ, что

62 (Ъп~2 — а’*-2) > с2 (с“~2 — а»"2) (5)

и хочетъ прійти къ противорѣчію съ (I). Прибавимъ для этого къ обѣимъ частямъ (5) по ЪсХап~3 получимъ:

Ьп — Ь2аи~2 4" Ьс)мп~3> с" — -J- 2 (II)

Онъ правильно заключаетъ, что если правая часть (II) положительна, то и лѣвая положительна, а по (I) она должна быть отри-

цательна. Равнымъ образомъ легко обнаруживается, что не можетъ быть

с” — сѴ‘~2 -j- ЪсХап~ 2 О,

ибо тогда по (I) должно быть и

V* — Ь V“2 і- = О,

а это противорѣчитъ (II). Но если

с” — с2ап~2 + < 0, \ то по (I)

Ь" — ЬѴ'-2-(-ЬсЯаи-2>0 | w

и это не противорѣчитъ (II). Этотъ случай въ анализѣ г. Назарова упущенъ.

Равнымъ образомъ если

Ъ2 (6я-2 — я”-2) < с2 (сп~2 — а”-2), (7)

то имѣемъ

6« _ &2а«-2 _j_ ЪсЫп~2 с« _ с2а«-2 I 2 (III)

и сопоставляя (I) и (III) заключаемъ, что правая часть (III) не можетъ быть ни отрицательной ни нулемъ. Но останется недоказанною невозможность неравенства:

при которыхъ (I) и (III) не противорѣчатъ одно другому.

Доказательство теоремы Фермата сводится къ доказательству невозможности сосуществованія равенствъ (1), (4) и неравенствъ (2), (3), и (5), (6), и (7), (8).

Вотъ положительный результатъ брошюры г. Назарова, по своей элементарности онъ, мнѣ кажется, заслуживаетъ вниманія.

Д. Синцовъ.

О построеніи центра данной окружности съ помощью одной линейки.

Э. Лейнѣкъ. (Москва).

Въ 1833 г. J. Steiner доказалъ, что всѣ задачи на построеніе второй степени, т.-е. задачи, разрѣшимыя посредствомъ проведенія окружностей и прямыхъ линій, могутъ быть разрѣшены съ помощью одной линейки, если на плоскости чертежа имѣется вычерченная окружность, центръ которой данъ.

Послѣднее условіе является существеннымъ, т.-е. центръ данной окружности съ помощью одной линейки не можетъ

быть найденъ и долженъ быть заданъ одновременно съ окружностью.

Въ ноябрѣ 1912 г. появилась въ Mathematische Annalen замѣтка D. Cauer’a, въ которой дается доказательство невозможности построенія центра окружности, если даны на плоскости двѣ непересѣкающіяся и неконцентрическія окружности. Тамъ же упоминается, что теорема о невозможности построенія центра данной окружности съ помощью одной линейки была доказана D. Hilbert’омъ на его лекціяхъ. Доказательство Cauer’a, какъ онъ самъ на это въ своей замѣткѣ указываетъ, является соотвѣтствующимъ видоизмѣненіемъ доказательства Hilbert’a, которое, насколько мнѣ извѣстно, нигдѣ не напечатано, но на основаніи указаній, имѣющихся въ вышеупомянутой статьѣ легко можетъ быть возстановлено.

Настоящая замѣтка имѣетъ своею цѣлью дать элементарное доказательство теоремы Hilbert’a, основанное на изученіи свойствъ одного преобразованія, и указать на нѣкоторые случаи, когда построеніе возможно.

Такъ какъ при доказательствѣ теоремы придется пользоваться простѣйшими свойствами гармоническихъ группъ точекъ и пучковъ, то сопоставимъ здѣсь всѣ тѣ теоремы, на которыя придется ссылаться при дальнѣйшемъ изложеніи.

I. Точки пересѣченія гармоническаго пучка любою прямою образуютъ гармоническую группу.

II. Ортогональная проекція гармонической группы точекъ на любую прямую есть гармоническая группа1).

III. Точки С и С, обратныя относительно нѣкоторой окружности, дѣлятъ діаметръ ея AB, проходящій черезъ эти точки гармонически.

IV. Если двѣ окружности ортогональны, то всякій діаметръ одной изъ нихъ дѣлится другою окружностью гармонически.

1.

Пусть на плоскости имѣемъ прямую и окружность, центръ которой лежитъ на этой прямой. Назовемъ окружность основною окружностью, прямую—осью и разсмотримъ слѣдующее преобразованіе, устанавливающее соотвѣтствіе между точками плоскости.

Назовемъ точки М и М' соотвѣтственными, если онѣ удовлетворяютъ слѣдующимъ двумъ условіямъ:

1) См. А. Давидовъ, Элементарная геометрія, § 78, 123, 124.

1. М и М' лежатъ на одномъ и томъ же лучѣ, выходящемъ изъ точки А—пересѣченія оси и основной окружности.

2. Проекціи1) точекъ М и М' на ось—обратныя точки относительно основной окружности.

Это преобразованіе, назовемъ его преобразованіемъ К, обладаетъ слѣдующими свойствами, которыя по своей простотѣ приводятся здѣсь, за исключеніемъ двухъ, безъ доказательства.

1. Если ЗР—точка, соотвѣтствующая то и, обратно, И соотвѣтствуетъ М, т.-е. разсматриваемое преобразованіе есть преобразованіе взаимное.

2. Преобразованіе К— однозначное, т.-е. всякой точкѣ М соотвѣтствуетъ одна и только одна точка 3

3. Всякой точкѣ оси соотвѣтствуетъ другая точка оси.

4. Всякая точка касательной, проведенной къ основной окружности въ точкахъ ея пересѣченія съ осью, преобразуется сама въ себя, т.-е. эти касательныя являются инваріантами преобразованія К.

5. Теорема. Изображеніемъ всякой прямой служитъ нѣкоторая прямая.

Разсмотримъ сначала общій случай, когда преобразуемая прямая не занимаетъ по отношенію къ оси какое-либо особое положеніе. Пусть наша прямая пересѣкаетъ ось въ точкѣ .17, а касательную ВБ’ въ С.

Черт. 1.

1) Ортогональныя.

Построивъ точку ЗГ, соотвѣтствующую М1), проведемъ прямую ЗГ С и докажемъ, что эта прямая будетъ соотвѣтствовать прямой ЗІС. Проведемъ какую-либо прямую изъ пересѣкающую MC и ЗГС соотвѣтственно въ точкахъ иЖ Такъ какъ группа АВЗГЗІ гармоническая (III), то и пучокъ С. —гармоническій, а потому группа AKNN-: гармоническая (I), отсюда заключаемъ (II), что и группа ABN0'N0 гармоническая, т.-е. N0 и N0' обратныя точки относительно основной окружности.

Итакъ, точки N и N' суть точки соотвѣтствующія другъ другу въ нашемъ преобразованіи, а такъ какъ приведенное выше разсужденіе примѣнимо ко всякой точкѣ прямой ,то заключаемъ, что геометрическимъ мѣстомъ точекъ соотвѣтствующихъ точкамъ N прямой ЗІС—является прямая ЗГС.

6. Всякой прямой, перпендикулярной къ оси, соотвѣтствуетъ другая прямая, также перпендикулярная къ оси.

7. Всякой прямой, параллельной оси, соотвѣтствуетъ прямая, проходящая черезъ центръ основной окружности и пересѣкающаяся съ взятой прямой на касательной ВВ'.

8. Всякая прямая, проходящая черезъ А, соотвѣтствуетъ себѣ самой.

9. Всякой парѣ прямыхъ соотвѣтствуетъ новая пара прямыхъ, при этомъ точка пересѣченія второй пары соотвѣтствуетъ точкѣ пересѣченія первой пары.

На основаніи приведенныхъ свойствъ преобразованія К заключаемъ, что разсматриваемое преобразованіе есть такъ называемая коллинеація.

10. Теорема. Всякая окружность, имѣющая центръ на оси и ортогональная къ основной окружности,преобразуется сама въ себя.

Возставивъ перпендикуляръ В В' къ оси, мы усматриваемъ, что онъ является полярою точки А относительно взятой окружности. Въ этомъ случаѣ, какъ извѣстно, группа AK33N—гармоническая; гармоническою будетъ и группа ABN0'N0—ортогональная проекція предыдущей группы на ось.

Такимъ образомъ Лг0' и К0—обратныя точки, т.-е. и К суть точки, соотвѣтствующія другъ другу въ нашемъ преобразованіи.

Такъ какъ подобное же разсужденіе можетъ быть примѣнено ко всякой точкѣ N на взятой окружности, то заключаемъ, что геометрическимъ мѣстомъ точекъ К1 будетъ та же самая окружность. Перпендикуляръ ВВ1 дѣлитъ взятую окружность на двѣ части—на дуги B'QB" и В'PB". Обѣ эти дуги являются въ

1) Гармонически сопряженную съ М относительно А и В.

изучаемомъ преобразованіи соотвѣтствующими фигурами, такъ какъ посредствомъ него одна изъ нихъ переходитъ въ другую. Нетрудно убѣдиться, что всякая точка, находящаяся внутри взятой окружности, преобразуется въ точку, расположенную также внутри нея, а точка, взятая внѣ—въ другую внѣшнюю точку.

Черт. 2.

Замѣтимъ далѣе, что доказанная теорема будетъ имѣть мѣсто и въ томъ случаѣ, когда за точку А примемъ другую точку пересѣченія основной окружности съ осью. Въ справедливости сказаннаго можно убѣдиться разсужденіями, подобными вышеприведеннымъ.

2.

Пусть имѣемъ вычерченную на плоскости окружность и допустимъ, что существуетъ построеніе, требующее проведенія однѣхъ только прямыхъ линій, посредствомъ котораго мы можемъ найти центръ данной окружности. Пояснимъ это нѣсколько подробнѣе. Такъ какъ все построеніе состоитъ въ проведеніи прямыхъ линій, а каждая изъ нихъ опредѣляется двумя точками, то мы можемъ начать построеніе, исходя изъ нѣкотораго опредѣленнаго (намъ пока неизвѣстнаго) числа произвольно выбранныхъ точекъ, расположенныхъ частью на, а частью внутри и внѣ данной окружности. Поступая по опредѣленнымъ правиламъ, даваемымъ тѣмъ построеніемъ, существованіе котораго мы допускаемъ, мы соединяемъ эти точки между собою и въ пересѣченіи двухъ прямыхъ линій въ концѣ построенія находимъ искомый центръ.

Пусть теперь имѣемъ какую-нибудь окружность ортогональную къ данной окружности О. Принявъ Q за основную окружность, линію центровъ за ось, а точку ея пересѣченія съ Si расположенную внѣ данной окружности, за точку выполнимъ надъ нашей фигурой преобразованіе К.

Черт. 3.

Такъ какъ это преобразованіе переводитъ окружность О саму въ себя, перемѣщая на плоскости лишь выбранныя нами вспомогательныя точки, сохраняя ихъ число и расположеніе относительно окружности О, то ясно, что и преобразованная фигура должна насъ привести къ центру данной окружности, такъ какъ въ нашей новой фигурѣ повторяются шагъ за шагомъ тѣ же построенія, которыя позволили намъ раньше найти искомый центръ. Мы приходимъ къ заключенію, что при выполненіи преобразованія К центръ окружности О долженъ сохранить свое положеніе на плоскости чертежа. Но здѣсь содержится противорѣчіе, такъ какъ центръ X окружности О преобразованіемъ К переводится въ точку X' обратную съ X относительно окружности Q, а точки Xи X'не тождественны.

Полученное противорѣчіе опровергаетъ сдѣланное нами допущеніе о томъ, что центръ X можетъ быть построенъ путемъ проведенія однѣхъ прямыхъ линій, и теорема Hilbert’a можетъ считаться доказанною.

Эта теорема встрѣчается въ извѣстной книгѣ А. А lier’а по теоріи геометрическихъ построеній1), см., напр., § 13, зад. 134, § 33х, § 344, но доказательство, приведенное тамъ, чрезвычайно абстрактно, такъ какъ пользуется свойствами безконечноудаленныхъ и мнимыхъ элементовъ плоскости.

1) А. Адлеръ, Теорія геометрическихъ построеній, пер. подъ ред. С. Шатуновскаго, Одесса, 1910.

Можно ожидать, что только что доказанная теорема не будетъ имѣть мѣста, если помимо окружности будутъ заданы еще какія-либо точки, расположенныя извѣстнымъ образомъ на нѳй или внѣ ея. Такъ, напр., если на окружности отмѣчены четыре точки—вершины квадрата Аи А2, А3 и то стоитъ лишь соединить Аг и А2 съ А3 и At, чтобы въ пересѣченіи этихъ прямыхъ имѣть центръ данной окружности.

Интересно поэтому разсмотрѣть подробнѣе нѣсколько частныхъ случаевъ, гдѣ подобнаго рода построенія возможны.

1. Пусть даны окружность и двѣ М и —концы одного изъ діаметровъ данной окружности.

Принявъ за основную окружность какую-либо окружность, ортогональную къ данной съ центромъ на продолженіи прямую MN за ось, а точку пересѣченія оси съ основною окружностью, расположенную внѣ данной, за А, мы произведемъ надъ полученною фигурою преобразованіе К. Разсуждая такимъ же образомъ, какъ выше, мы убѣдимся, что одною линейкою построить центръ намъ не удастся.

2. Пусть даны окружность и на пей три точки М, N, при чемъ одна изъ этихъ точекъ Р является серединою дуги МП.

Докажемъ, что и здѣсь, вообще говоря, одною линейкою центръ найти не удастся. Нетрудно построить съ помощью одной линейки точку Q— конецъ діаметра, выходящаго изъ точки Р (см. ниже). Но тогда мы имѣемъ случай, только что нами разобранный. Дѣйствительно, принявъ прямую за ось, окружность, касающуюся прямой MN и ортогональную къ данной, за основную окружность, и выбравъ точку , какъ въ предыдущемъ случаѣ, мы произведемъ надъ полученною фигурою преобразованіе К. Точки М и N остаются неподвижными, а и

Черт. 4.

помѣняются мѣстами. Тѣ же разсужденія, которыя приводились при доказательствѣ основной теоремы, обнаружатъ и здѣсь невозможность полученія центра.

Остается лишь показать, какимъ образомъ по даннымъ точкамъ И, Р,N построить точку Q. Для построенія точки Q соединяемъ произвольную точку S окружности, не лежащую на данной дугѣ MN, со всѣми тремя точками ІІІ, P, и къ полученнымъ тремъ лучамъ пучка строимъ четвертый гармоническій, сопряженный съ SP.Такъ какъ SP—биссектриса угла MSN, то SQ I SP, т.-е. PQ есть діаметръ данной окружности.

Заслуживаютъ вниманія два исключенія, когда по тремъ даннымъ точкамъ М, P, N центръ окружности все же можетъ быть найденъ.

Эти случаи слѣдующіе:

1. Точки И и N дѣлятъ окружность въ отношеніи 1 : 1.

2. Точки М и N дѣлятъ окружность въ отношеніи 1 : 2.

Въ первомъ изъ этихъ случаевъ центръ находится на пересѣченіи двухъ діаметровъ MN и PQ. Для построенія его придется провести всего 9 прямыхъ. Другой способъ, основанный на теоремѣ о высотахъ треугольника, легко усмотрѣть изъ чертежа 6. Число прямыхъ, которыя при этомъ построеніи должны быть проведены, также равно 9.

Чтобы построить центръ данной окружности, во второмъ изъ указанныхъ случаевъ строимъ сначала по вышеизложенному способу точку Q и замѣчаемъ, что точка пересѣченія прямыхъ МіV и PQ дѣлитъ отрѣзокъ въ отношеніи 1 : 3. Извѣстно, что если на прямой имѣются два отрѣзка, имѣющіе общій

Черт. 5.

конецъ и находящіеся другъ къ другу въ опредѣленномъ раціональномъ отношеніи, то, пользуясь лишь проведеніемъ прямыхъ линій, можно построить прямую, проходящую черезъ данную точку и параллельную данной прямой1).

Построивъ, такимъ образомъ, прямую || мы въ точкѣ пересѣченія NMXсъ PQ будемъ имѣть середину отрѣзка

Черт. 6.

3. Теорема. Если на окружности дана дуга MN, раздѣленная въ точкахъ Рх и Р2 на три равныя части, то центръ этой окружности можетъ бытъ построенъ съ помощью лишь одной линейки.

Такъ какъ касательная къ окружности есть поляра точки касанія, а поляра всякой точки можетъ быть построена при помощи одной лишь линейки, то заключаемъ, что и касательную въ любой точкѣ окружности можемъ построить, проводя лишь прямыя линія.

Построивъ полюсъ прямой МР22) и соединивъ его съ точкою Р1? мы будемъ имѣть одинъ изъ діаметровъ. Другой діаметръ получимъ, выполняя надъ трапеціей MPXP%N построеніе Steiner’а для дѣленія отрѣзковъ MNи РХР2 пополамъ. Точка пересѣченія обоихъ діаметровъ дастъ намъ центръ данной окружности.

Указанное построеніе становится невозможнымъ, когда каждая изъ трехъ равныхъ дугъ составляетъ-^-, другими словами, когда имѣемъ только три точки М, Р2—вершины правильнаго треугольника.

1) См..напр., А. Адлеръ, Теорія гео и. построеній, стр. 79.

2) Порядокъ данныхъ точекъ слѣдующій: М, Рѵ ІК, Аг.

Въ этомъ случаѣ центръ можетъ быть найденъ, какъ пересѣченіе прямыхъ Р1Р1' и Р2Р2\ гдѣ Р\' и Р,' суть полюсы прямыхъ МР2 и MPL1).

Построеніе центра, при пяти данныхъ точкахъ, расположенныхъ на окружности на равныхъ разстояніяхъ одна отъ другой, можетъ быть проведено при помощи 7 прямыхъ. Достаточно примѣнить два раза вышеупомянутое построеніе Steiner’a, чтобы получить два діаметра, а слѣдовательно и центръ.

Прибавленіе новыхъ точекъ не внесетъ уже никакого упрощенія въ построеніи центра.

Построеніе упростится весьма значительно, лищь въ томъ случаѣ, когда данныя точки будутъ представлять собою полную систему вершинъ правильнаго «-угольника (и>3). Нетрудно понять, что при п четномъ достаточно провести 2 прямыя, а при » нечетномъ—5 прямыхъ, чтобы центръ былъ найденъ. Доказанной теоремѣ можемъ дать нѣсколько иную формулировку:

Чтобы центръ данной окружности могъ бытъ построенъ помощи проведенія прямыхъ линій, достаточно задать на ней четыре послѣдовательныхъ вершины какого-либо правильнаго многоугольника.

Во всѣхъ разсмотрѣнныхъ построеніяхъ данныя точки отмѣчали на окружности нѣсколько равныхъ дугъ, имѣющихъ общіе концы. При такой точкѣ зрѣнія только что доказанная теорема утверждаетъ, что для возможности построенія достаточно задать три такихъ дуги.

Докажемъ, что и въ томъ случаѣ, когда данныя равныя дуги не имѣютъ общихъ точекъ, наименьшее ихъ число, при которомъ построеніе центра становится возможнымъ, есть 3.

Пусть имѣемъ три равныхъ дуги '~'А1А2, и WQC

Выполняя надъ трапеціями А^А^В^^ и ВХВ2С1С2 построеніе Steiner’a, мы послѣ проведенія 9 прямыхъ будемъ имѣть центръ данной окружности.

Ясно, что при симметричномъ расположеніи двухъ изъ данныхъ дугъ относительно искомаго центра, третья дуга является лишнею, такъ какъ центръ можетъ быть построенъ независимо отъ нея.

4.

При рѣшеніи каждой изъ разсмотрѣнныхъ задачъ мы пользовались помимо данной окружности еще нѣкоторыми точками, которыя были заданы извѣстнымъ образомъ на самой окружности. Но и въ тѣхъ случаяхъ, когда данныя точки не лежатъ на самой

1) Другое построеніе центра было уже приведено (2), стр. 168.

окружности, можно получить иногда довольно простыя построенія центра.

Изъ большого количества возможныхъ здѣсь случаевъ мы ограничимся разсмотрѣніемъ лишь нѣсколькихъ простѣйшихъ.

1. Даны двѣ точки, расположенныя симметрично, относительно искомаго центра.

Положимъ, что точки А и В лежатъ внѣ данной окружности.

Построивъ поляры для обѣихъ точекъ и соединяя точки пересѣченія этихъ поляръ съ окружностью накрестъ между собою, найдемъ, послѣ проведенія 12 прямыхъ, искомый центръ.

Если бы обѣ данныя точки лежали внутри данной окружности, то стоило бы построить поляры этихъ точекъ, чтобы имѣть въ пересѣченіи ихъ съ даннымъ діаметромъ двѣ точки, расположенныя симметрично относительно искомаго центра и внѣ данной окружности, т.-е. разсматриваемый случай окаягется сведеннымъ къ предыдущему.

2. Даны четыре вершины нѣкоторого параллелограмма.

Въ этомъ случаѣ, какъ извѣстно, съ помощью одной линейки можно проводить прямыя, параллельныя любому направленію.

Если поэтому построить двѣ параллельныя прямыя, пересѣкающія данную окружность, то мы будемъ въ состояніи найти діаметръ, перпендикулярный къ полученнымъ прямымъ. Повторивъ еще разъ это же построеніе съ другою парою параллельныхъ, мы получимъ другой діаметръ, а слѣдовательно и центръ данной окружности.

3. Даны четыре вершины нѣкоторой равнобедренной трапеціи.

Проводимъ двѣ прамыя, параллельныя основаніямъ трапеціи и пересѣкающія данную окружность. Затѣмъ строимъ діаметръ перпендикулярный къ нимъ. Раздѣливъ этотъ послѣдній пополамъ, что возможно, имѣя прямую, соединяющую точку пересѣченія діагоналей и непараллельныхъ сторонъ данной трапеціи, мы будемъ имѣть искомый центръ. Это построеніе непримѣнимо лишь въ томъ случаѣ, когда данная трапеція расположена симметрично относительно какого-либо діаметра данной окружности. Четырехъ данныхъ точекъ въ этомъ случаѣ недостаточно для построенія центра.

4. Даны четыре послѣдовательныхъ вершины какою-либо правильнаго многоугольника.

Такъ какъ эти вершины являются вершинами нѣкоторой равнобедренной трапеціи, то мы приведены къ только что разсмотрѣнному случаю. Вышеупомянутый исключительный случай

и здѣсь можетъ имѣть мѣсто, но если заданы пять вершинъ, то построеніе возможно всегда.

5. Данъ равносторонній треугольникъ и его центръ.

Соединяя данную точку съ двумя вершинами даннаго треугольника и продолжая обѣ полученныя прямыя до пересѣченія со сторонами его, мы получимъ двѣ новыя точки, которыя, вмѣстѣ съ двумя взятыми нами, будутъ служить четырьмя вершинами правильнаго шестиугольника, т.-е. построеніе центра сведено къ уже разсмотрѣнному случаю.

Приведенное построеніе возможно при всякомъ расположеніи данныхъ треугольника и окружности, потому что всегда можно, если бы это потребовалось, построить пятую вершину шестиугольника.

Нетрудно понять, что вмѣсто центра даннаго треугольника можно было бы задать середину одной изъ его сторонъ, потому что, зная середину какой-либо стороны и имѣя вычерченную окружность, можно легко найти центръ треугольника.

6. Данъ равносторонній треугольникъ, сторона котораго проходитъ черезъ центръ данной окружности.

Пусть вершины А и В даннаго треугольника АВС расположены на одномъ изъ діаметровъ, или его продолженіи. Опустивъ изъ точки С перпендикуляръ СС на AB1), мы тѣмъ самимъ построимъ середину стороны AB, т.-е. сведемъ задачу къ предыдущей.

Замѣтимъ, что при двухъ послѣднихъ построеніяхъ условіе, что данный треугольникъ равносторонній не является необходимымъ. Все сказанное остается справедливымъ и для того случая, когда данный треугольникъ равнобедренный. Единственное отличіе этого случая въ томъ, что задача 5 сведется къ задачѣ 3, а не 4.

5.

Всѣ до сихъ поръ приведенныя построенія позволяли при помощи сравнительно простыхъ построеній находить центръ данной окружности, когда кромѣ нея была задана еще нѣкоторая система раздѣльно расположенныхъ точекъ. Идя дальше по намѣченному пути, мы должны изслѣдовать, какъ мѣняется возможность построенія, когда будетъ заданъ какой-либо непрерывный рядъ точекъ, какая-либо кривая.

Такъ какъ при заданномъ правильномъ многоугольникѣ съ числомъ сторонъ п> 3 построеніе центра всегда возможно, то на первый взглядъ кажется очень вѣроятнымъ, что, взявъ вмѣсто

1) Мат. Обр. 1912, стр. 189, зад. 16.

даннаго многоугольника окружность, можно будетъ построить центръ первой данной окружности. Предположеніе это однако не оправдывается, такъ какъ имѣетъ мѣсто слѣдующая теорема:

Если на плоскости даны двѣ не имеющія общихъ точекъ и неконцентрическія окружности, то центры ихъ при помощи проведенія однѣхъ прямыхъ линій построены бытъ не могутъ.

Для доказательства выберемъ за ось прямую, проходящую черезъ оба центра Ои Оѵ а за основную окружность Q примемъ окружность, ортогональную къ обѣимъ даннымъ окружностямъ. Центръ этой окружности, какъ извѣстно, будетъ находиться въ точкѣ пересѣченія радикальной оси окружностей О, и съ ихъ линіей центровъ.

Если теперь выполнить надъ полученной фигурой преобразованіе К, то на основаніи тѣхъ же разсужденій, какъ п раньше (2.), мы придемъ къ противорѣчію: съ одной стороны центры двухъ данныхъ окружностей должны сохранить свое положеніе на плоскости, съ другой же стороны они должны преобразоваться въ двѣ точки, расположенныя внутри окружности Q.

Это противорѣчіе и доказываетъ невозможность построенія центровъ съ помощью проведенія однѣхъ прямыхъ линій.

Что же касается тѣхъ случаевъ, когда обѣ данныя окружности пересѣкаются, касаются или имѣютъ общій центръ, то легко указать построенія, приводящія насъ къ искомому центру.

Дѣйствительно, пусть обѣ окружности пересѣкаются въ точкахъ М и N. Соединяя какую-либо точку одной изъ нихъ, напр. 02, съ точками М, N и продолжая полученныя линіи до пересѣченія съ Оі, получимъ двѣ точки Р[. 1\. Продѣлавъ аналогичное построеніе съ другою точкою Q, получимъ двѣ новыя точки Q±,Q2.

Нетрудно понять, что точки Ри І\, Qx, являются вершинами нѣкоторой трапеціи, вписанной въ окружность а слѣдовательно легко построить и діаметръ этой окружности, перпендикулярный къ основаніямъ трапеціи.

Повторивъ это построеніе еще разъ, мы будемъ имѣть другой діаметръ, а слѣдовательно и центръ окружности

Въ случаѣ, когда обѣ окружности касаются, достаточно провести черезъ точку касанія двѣ прямыя, пересѣкающія Ot и соотвѣтственно въ точкахъ Аи BL и Прямыя А1В1 и параллельны между собою, а потому можно построить прямую AB [| А1В1 и пересѣкающую окружность Ог Дальнѣйшій ходъ построенія является повтореніемъ изложеннаго выше.

Пусть, наконецъ, Ох и 02 концентрическія окружности. Выбравъ произвольную точку Р, расположенную внѣ данныхъ окружностей, построимъ ея поляры относительно и Построенныя поляры, какъ въ этомъ нетрудно убѣдиться, параллельны между собою, а потому для насъ станетъ возможнымъ построеніе діаметра данныхъ окружностей, перпендикулярнаго къ полученнымъ полярамъ. Повторивъ это построеніе еще разъ, мы найдемъ другой діаметръ, а слѣдовательно и центръ.

6.

Построеніе центра становится также иногда возможнымъ, если кромѣ двухъ окружностей извѣстно еще положеніе какойлибо связанной съ ними особой точки, напр., заданъ одинъ изъ центровъ подобія двухъ данныхъ окружностей, точка радикальной оси и т. д.

Въ качествѣ примѣра разсмотримъ подробнѣе первую задачу.—Пусть даны двѣ окружности Ох, и ихъ внѣшній центръ подобія S.Проведемъ черезъ S двѣ прямыя, пересѣкающія окружности соотвѣтственно въ точкахъ Ви и

На основаніи свойствъ центра подобія мы заключаемъ о параллельности АгАг' и А2А2\ что даетъ намъ возможность построить середину М отрѣзка А2А2’. Зная положеніе этой послѣдней точки, мы можемъ проводить прямыя, параллельныя А2А2. Построивъ одну изъ такихъ прямыхъ С2С2, пересѣкающихъ окружность 02, мы найдемъ ея середину N. Прямая, соединяющая М съ N, будетъ однимъ изъ діаметровъ окружности 02. Пусть этотъ діаметръ пересѣкаетъ 02 въ точкахъ Р2, Q2. Построивъ точки Рх, Qly соотвѣтствующія Р2, Q2,мы будемъ имѣть двѣ параллельныя прямыя P, Фі у Р2 Q2, а слѣдовательно будемъ въ состояніи построить середину отрѣзка P2Q2, т.-е. центръ окружности 02.

Разбирая вопросъ о наименьшемъ числѣ окружностей, при наличности которыхъ построеніе центра съ помощью одной линейки становится возможнымъ, F. Schur доказалъ, что достаточно имѣть начерченными кромѣ данной двѣ окружности, не принадлежащія всѣ къ одному пучку окруяшостей, чтобы при помощи проведенія однѣхъ прямыхъ линій можно было бы найти ея центръ1).

Въ виду неэлементарнаго характера, которое носитъ доказательство Schur’a мы его здѣсь не приводимъ2).

1) Пучкомъ окружностей называется совокупность окружностей, имѣющихъ одну и ту же радикальную ось.

2) Mathematische Annalen, Bd. 74, S. 462.

Задачи.

Подъ редакціей Э. Ю. Лейнѣка.

313. Составить уравненіе 3-ьей степени съ раціональными коэффиціентами, корни котораго равнялись бы его коэффиціентамъ.

Ч.

314. Найти условіе, при которомъ всѣ три корня кубическаго уравненія х3-}-рх-J- ^=0 (р, q—числа комплексныя) лежатъ на одной прямой.

Обобщить задачу на случай уравненія и-ой степени.

Проф. Б. Букрѣевъ.

315. Найти три цѣлыхъ числа, парныя произведенія которыхъ составляютъ ариѳметическую прогрессію.

Ч.

316. Рѣшить въ цѣлыхъ и положительныхъ числахъ уравненіе

X2 — y2 = x-j-ll у

317. Показать, что уравненіе

не можетъ быть рѣшено въ цѣлыхъ числахъ.

318. Найти зависимость между разстояніемъ центровъ и радіусами г и В шаровъ вписаннаго и описаннаго около даннаго тетраэдра. [Обобщеніе формулы Эйлера d2=R(li — 2 г)].

Э.

319. Конусъ пересѣченъ плоскостью параллельно одной изъ образующихъ и боковая поверхность усѣченнаго такимъ образомъ конуса развернута на плоскости.

Опредѣлить въ какую линію развертывается кривая сѣченія—парабола.

Э.

320. Рѣшить уравненіе

Рѣшенія задачъ.

195. Доказать, что сумма всѣхъ чиселъ, большихъ, чѣмъ 10й-1 и изображенныхъ при помощи п цифръ а2, . . ап, равна

При этомъ ни въ одномъ числѣ цифра не повторяется. (& = 1, 2, . . . и).

Найти соотвѣтствующую формулу для того случая, когда одна изъ цифръ равна 0.

Предположимъ сперва, что ни одна изъ цифръ а3 . . не равна нулю.

Тогда 1 < и <19

и всѣ разсматриваемыя числа п—значныя.

Если въ какомъ нибудь изъ этихъ чиселъ цифра занимаетъ іое мѣсто, считая слѣва, то, обозначая это число черезъ N, будемъ имѣть:

N = 10"-‘ ak-j- N................(1)

гдѣ, при г>1, число N' получается изъ замѣною цифры нулемъ, а при г — 1 — зачеркиваніемъ стоящей слѣва цифры При этомъ чиселъ IV', а слѣдовательно и N, въ разсматриваемой суммѣ S столько, сколько перестановокъ можно образовать изъ п—1 цифръ числа N', т.-е. ( п—1)!

Поэтому въ разсматриваемую сумму -S' войдетъ слагаемое (согласно формулѣ (1))

10и~‘ (и—1)! ак

а такъ какъ і—произвольное цѣлое число, удовлетворяющее условію

1 <1 і<[ »,

то, на основаніи вышесказаннаго, заключаемъ, что въ разсматриваемую формулу для S входятъ слагаемыя

О-1 (п — 1)! ак-I- ІО”“2 (п — 1)! ак + . . 10 (» — 1 )! + — 1)! ак =

Это—часть разсматриваемой суммы, зависящая отъ ак. Остальныя части, зависящія отъ ал, а2, . . ап, будутъ составлены подобнымъ же образомъ, а поэтому вся сумма S будетъ

Вышеприведенное разсужденіе непримѣнимо для случая когда одна изъ цифръ %, а2, а3 . а„ равна нулю.

Тогда 2 <1 и <С 10

и число чиселъ N'будетъ не («—1)!, а (п — 1)! — (» — 2)! = (» — 2) (и — 2)!

потому что изъ общаго числа перестановокъ цифръ числа N' слѣдуетъ отбросить тѣ, въ которыхъ цифра, равная нулю, попа-

даетъ на первое мѣсто. Исключеніе составляетъ случай г = 1, для котораго сохраняется формула —1)!

Поэтому формула

замѣнится нижеслѣдующей

10й-1 (и — 1)! ак -j- ІО"-2 (и — 2)! (п — 2) -j- . . . (и —- 2)! ( — 2) а

окончательная формула замѣнится

или, послѣ упрощенія

К. Верещагинъ (Козловъ), И. Евдокимовъ (Шуя), И. Козыревъ (Енисейскъ) А. Колегаевъ (Омскъ), А. Сердобинскій (Харьковъ).

250. Построить треугольникъ, если дана сумма боковыхъ сторонъ и извѣстны положенія основаній высоты, биссектрисы и медіаны.

Пусть ЛВС — искомый треугольникъ. Обозначивъ стороны его черезъ а, Ь, с и отрѣзки В'В" и В"В'"*) черезъ ти п имѣемъ пропорцію:

(1)

Далѣе имѣемъ:

(2)

Перемножая равенства (1) и (2), получимъ:

(3)

*) В1 — основаніе медіаны, В" — биссектрисы и В’" — высоты.

Представивъ (3) слѣдующимъ образомъ:

(4)

видимъ, что т,- является среднею пропорціональною между и

Полученный результатъ позволяетъ очень просто построить отрѣзокъ Ь.

Изъ точки В'" (основанія высоты) возставляемъ перпендикуляръ къ отрѣзку В’В"' и изъ В’ радіусомъ засѣкаемъ этотъ перпендикуляръ въ точкѣ N.

Возставляемъ къ В'В'" перпендикуляръ въ точкѣ В" и продолжаемъ его до пересѣченія съ B'N въ

Строимъ MBX B'N, гдѣ Р—точка на окружности, описанной около Д B'NB"'. Отрѣзокъ В'В и будетъ искомою величиною •

Дѣйствительно, изъ прямоугольнаго треугольника B'NP имѣемъ B'Pi — B'N. В'М или

Остается лишь изъ В' радіусомъ В'В отмѣтить на продолженіи прямой В'В'" точки А и С.

Для нахожденія третьей вершины строимъ окружность— геометрическое мѣсто точекъ, разстоянія которыхъ отъ А и С находятся въ постоянномъ отношеніи AB" : В"С.

Пересѣченіе этой окружности съ прямою B'"N дастъ вершину В.

Такъ какъ у всякаго треугольника (не равнобедреннаго) основаніе биссектрисы расположено между основаніями медіаны и высоты, то для возможности задачи необходимо, чтобы данныя три точки имѣли именно такое расположеніе.

Въ случаѣ, когда всѣ три точки сливаются въ одну—задача становится неопредѣленною, ибо ей удовлетворяетъ безчисленное множество равнобедренныхъ треугольниковъ.

Во всѣхъ же другихъ случаяхъ задача возможна всегда и имѣетъ одно рѣшеніе.

К. Верещагинъ (Козловъ), В. Кованько (ст. Тейково).

251. Даны три параллельныя прямыя и три точки М, N, В. Построить треугольникъ такъ, чтобы его вершины лежали на

данныхъ прямыхъ, а стороны или ихъ продолженія проходили черезъ данныя точки.

Когда заданы только двѣ точки—и то можно построить безчисленное множество треугольниковъ, вершины которыхъ лежатъ на данныхъ прямыхъ, а двѣ стороны проходятъ черезъ заданныя двѣ точки.

Докажемъ, что и третьи стороны такихъ треугольниковъ проходятъ черезъ одну и ту же точку, лежащую на прямой, проходящей черезъ двѣ заданныя точки.

При этомъ предполагается, что заданы еще дополнительныя условія, характеризующія положеніе вершинъ треугольника; напр. у насъ:

AB проходитъ черезъ Р

при чемъ А лежитъ на а

Пусть одинъ изъ вышеупомянутыхъ треугольниковъ есть А'В'С.

Разсмотримъ подобные треугольники и О КС.

Имѣемъ:

(1)

Изъ подобныхъ треугольниковъ А'ВР и B’FP имѣемъ

(2)

Наконецъ изъ послѣдней пары—Д B'FN и Д C'EN

выводимъ

(3)

Перемножая (2) и (3), найдемъ:

(4)

Правая часть равенства (4)—постоянная величина при заданныхъ Р и N. Сравнивая (4) и (1), заключаемъ, что отношеніе — сохраняетъ одну и ту же величину, т.-е. точка О занимаетъ одно и то же положеніе на прямой , каковъ бы ни былъ взятый треугольникъ А'В'С.

Отсюда слѣдуетъ рѣшеніе задачи: при помощи прямой NPO и вспомогательнаго треугольника находимъ точку ; проводимъ О ACM черезъ М,что даетъ вершины А и С; проводя АРВ и CNB, получимъ искомый треугольникъ АВС. Нетрудно было бы доказать, что эти прямыя дѣйствительно пересѣкаются на прямой Ь.

Задача имѣетъ въ общемъ 6 рѣшеній. Проще всего это можно показать слѣдующимъ образомъ.

Условимся вершину треугольника, лежащую на обозначать черезъ А, на Ь—черезъ В, на с—черезъ С.

Условіе того, что сторона AB или ея продолженіе проходитъ черезъ Р, будемъ обозначать такъ:

Легко видѣть, что при

1) AB (Р)\ должно быть AC (Му

2) AB (РУ или

Аналогично:

Больше случаевъ быть не можетъ. Изъ чертежа легко усмотрѣть, какъ проводится построеніе для каждаго случая.

Если точки 31, N, Р лежатъ на одной прямой, то задача возможна только въ исключительныхъ случаяхъ (см. 2-е рѣшеніе).

2-е рѣшеніе.

Мы будемъ основываться на слѣдующей общеизвѣстной теоремѣ проективной геометріи:

Если два образа проективны другъ другу и притомъ общій ихъ элементъ (пересѣченіе двухъ рядовъ точекъ или общій лучъ двухъ пучковъ прямыхъ) отвѣчаетъ самому себѣ, то такое проективное соотвѣтствіе есть перспектива.

Пусть двѣ изъ трехъ данныхъ точекъ (напр. М и N) будутъ вершинами двухъ пучковъ, перспективныхъ относительно одной изъ данныхъ прямыхъ (напр. Ь). Прямыя а и с въ пересѣченіи съ пучками 31 и С дадутъ соотвѣтственно два проективныхъ ряда точекъ а и с. Но « и с имѣютъ общую безконечно-удаленную точку, которая сама себѣ отвѣчаетъ въ проективномъ соотвѣтствіи (такъ какъ это общій элементъ и съ рядомъ Ь), а потому а и с перспективны.

Находимъ теперь тотъ пучокъ лучей, относительно котораго « и с перспективны. Для этого проводимъ прямую О, которая соединяетъ соотвѣтственныя точки І> и рядовъ а и с; затѣмъ проводимъ лучи ВМА и BNC, что даетъ намъ А и С—другую пару соотвѣтственныхъ точекъ рядовъ а и с. Соединивъ А и С прямой до пересѣченія съ DE— найдемъ О—вершину искомаго пучка.

Проводя теперь черезъ Р и О прямую ОР,мы находимъ X и Y, которыя должны лежать на отвѣчающихъ другъ другу лучахъ пучковъ М и N—на XMZи YNZ.Точка X должна находиться на прямой Ь, и искомый треугольникъ X YZ.

Разсмотримъ случай, когда всѣ три данныя точки N, Р лежатъ на одной прямой.

Если даны точки Ми N (или любая пара изъ М, ,Р), то этимъ опредѣляются три положенія точки О на прямой МК (см. черт.), такъ какъ пучки М и N могутъ быть перспективны относительно любой изъ трехъ прямыхъ а, Ъ, с. Если третья данная точка Р, лежащая съ М и N, а значитъ и съ О на одной прямой, не совпадаетъ ни съ однимъ изъ трехъ положеній О, то задача невозможна.

При совпаденіи Р съ О имѣется безчисленное множество рѣшеній.

В. Буханцевъ (Курскъ), К. Верещагинъ (Козловъ), Пистракъ (Москва).

Примѣчанія.

1. Эта задача представляетъ частный случай болѣе общей задачи именно, когда прямыя а и проходятъ черезъ одну точку S.

Какъ и въ предложенной задачѣ, общимъ самому себѣ отвѣчающимъ элементомъ проективныхъ рядовъ а и с будетъ ихъ пересѣченіе съ Ъ—точка S.

Въ предложенной задачѣ эта точка была въ безконечности.

Обобщенная задача рѣшается такимъ же образомъ, какъ и разобранная выше, что ясно изъ чертежа*).

2. Разобранная задача наводитъ на взаимную ей задачу:

Даны три прямыя т, п, р и три точки А. В, С, лежащія на

*) Стр. 182.

одной прямой. Построить треугольникъ, вершины котораго лежали бы на данныхъ прямыхъ, а стороны или ихъ продолженія проходили бы черезъ данныя точки.

Для рѣшенія ея нужно только въ рѣшеніи предыдущей задачи замѣнить термины „пучокъ“ на „рядъ точекъ“ и обратно.

Рѣшеніе состоитъ въ слѣдующемъ*).

Пусть ряды точекъ т и п перспективны относительно пучка В. Пучки Ли С,опирающіеся на эти ряды, проективны между собой. Но такъ какъ А, В и С лежатъ на одной прямой, т.-е. имѣютъ общій лучъ, самому себѣ отвѣчающій въ пучкахъ А и С, то, на основаніи вышеприведенной теоремы, и перспективны.

Ищемъ тотъ рядъ точекъ, относительно котораго А и перспективны. Одна изъ его точекъ, очевидно, точка У—пересѣченія т и п. Для полученія еще одной точни искомаго ряда проводимъ лучъ SBT и черезъ соотвѣтственныя точки S и Т—инцидентные съ ними лучи AS и СТ. Точка пересѣченія AS и —есть вторая искомая точка, опредѣляющая искомый рядъ UV. Пересѣченіе UV съ прямой р даетъ одну вершину искомаго треугольника (X, у). Проводя черезъ (х, у) лучи пучковъ и С, найдемъ на и и п двѣ другія вершины (х, г), (у, z)\ прямая, соединяющая эти вершины, пройдетъ черезъ В, и треугольникъ построенъ.

Эта задача имѣетъ также 6 рѣшеній.

Когда прямыя т, пи р проходятъ черезъ одну точку, то она возможна только въ исключительныхъ случаяхъ, ибо при заданныхъ т и п прямая ГУ можетъ имѣть 3 положенія. Если

*) Чертежъ на стр. 183.

р съ UV совпадетъ—задача имѣетъ сколько угодно рѣшеній; въ противномъ случаѣ ни одного.

Эта задача можетъ быть модифицирована слѣдующимъ образомъ. Положимъ, что прямая АВС удалена въ безконечность и даны направленія, въ которыхъ точки А, В, С проектированы на безконечно-удаленную прямую. Тогда задача можетъ быть выражена такъ.

Задача. Даны три прямыя и и треугольникъ АВС. Требуется построить треугольникъ, вершины котораго лежатъ на заданныхъ прямыхъ, а стороны котораго параллельны сторонамъ треугольника АВС.

Задача рѣшается, какъ и предыдущая. Разница только въ томъ, что всѣ три пучка А, В, С стали пучками параллельныхъ прямыхъ опредѣленнаго направленія.

Для рѣшенія проводимъ В'С || ВС и В'А’ и C'A' |j ВА и CA. Точки А' и F опредѣляютъ положеніе прямой, на пересѣченіи которой (А4) съ р лежитъ одна изъ вершинъ искомаго треугольника. Проводя А"В" и À"C" (I AB и АС, найдемъ двѣ другія

вершины. Б"С" будетъ параллельна ВС, такъ какъ принадлежитъ одному пупку съ ВС. Треугольникъ построенъ.

Все сказанное раньше относительно числа рѣшеній и случаевъ невозможности относится и къ этому случаю.

М. Пистракъ.

3. Всѣ разобранныя задачи содержатся какъ частные случаи въ слѣдующей общей задачѣ, рѣшеніе которой дано J. Steiner’омъ.

„Въ плоскости даны два произвольныхъ треугольника; требуется найти третій, который одновременно описанъ около перваго и вписанъ во второй“ (см., напр., Я. Штейнеръ. „Геометрическія построенія, выполняемыя посредствомъ прямой линіи и неподвижнаго круга“. Харьковъ, 1910. Стр. 79).

Интересно отмѣтить особенность разобранныхъ частныхъ случаевъ, состоящую въ томъ, что всѣ необходимыя построенія выполнялись проведеніемъ только прямыхъ линій, тогда какъ для рѣшенія задачи въ общемъ случаѣ приходится пользоваться и окружностью.

Э.

257. Доказать справедливость равенства

Тождество иЯ+1. и„ = и,,. и,1+1 при помощи формулы

преобразуется въ слѣдующее:

послѣ преобразованія:

выраженіе ип2 — ип_г. ип+1 при измѣненіи указателя » на единицу мѣняетъ свой знакъ, но сохраняетъ свою абсолютную величину. Другими словами, выраженіе

(— 1)”(М„2 — «и-1 •«,+!)

имѣетъ постоянную величину, которую мы опредѣлимъ, положивъ п = 2

Замѣняя здѣсь иt на получимъ:

Подставляя сюда вмѣсто пчисла 2, 3, 4, . . .іи суммируя полученныя равенства, будемъ имѣть:

Замѣчая, что изъ тождества

при а = — 1 получается

мк полученную раньше формулу можемъ представить въ слѣдующемъ видѣ:

2-е рѣшеніе. Полагая к = 2, 3, 4, убѣждаемся въ справедливости предложеннаго для доказательства равенства при этихъ значеніяхъ А.

Для доказательства общности формулы примѣнимъ способъ полной индукціи.

Пусть имѣемъ

Пирбавляя къ обѣимъ частямъ равенства по и*_г«*, получимъ:

то окончательно имѣемъ

Б. Бенкинъ (Тетюши), В. Буханцевъ (Курскъ), £. Верещагинъ (Козловъ), />. Кобылинъ (Галичъ), Г. Несчастливцевъ (Ярославль), Б. Посновъ (Москва), Л. Сердобинскій (Харьковъ).

260. Доказать, что S. -|- .$'7 — 2 гдѣ 5,- обозначаетъ сумму і-ыхъ степеней первыхъ п натуральныхъ чиселъ.

Непосредственною провѣркою убѣждаемся, что предложенное для доказательства соотношеніе имѣетъ мѣсто при «=1, 2, 3.

Допустимъ, что доказываемая формула вѣрна для всѣхъ значеній п отъ 1 до к, и докажемъ, что она будетъ вѣрна и для

и =ifc-|-l.

Прибавивъ къ обѣимъ частямъ равенства

величину (Ä- —|— 1 )3 —j~ (/. —I)7 и замѣтивъ, что

будемъ имѣть:

Такимъ образомъ, справедливость разсматриваемой формулы доказана для любого п.

2-е рѣшеніе.

Подставимъ въ тождество

на мѣсто k послѣдовательно числа 1, 2, 3, 4, . . . и сложимъ п полученныхъ равенствъ.

Будемъ имѣть:

[п(и I)]4 — 8 S7 -j- 8 S- или, замѣняя -(- 1) на 2 и дѣля обѣ части на 8:

Б. Бенкинъ (Тетюши), Б. Кобылинъ (Галичъ), В. Кованько (ст. Тейково).

Примѣчаніе. Разсмотрѣнная формула была получена С. Jacobi (см. Briefwechsel zwischen Gauss und Schumacher, Bd. V, S. 299, Altona, 1863). Очень простой ея выводъ, принадлежащій французскому математику É. Lucas, см. въ статьѣ I. Чистякова, въ настоящемъ нумерѣ „Мат. Образ.“.

265. Найти два цѣлыхъ числа, разность которыхъ въ 10 разъ болѣе ихъ частнаго.

Обозначая искомыя числа черезъ а; и имѣемъ уравненіе

Такъ какъ хи у должны быть цѣлыми числами, то — 10 долженъ равняться одному изъ дѣлителей числа 100 и такъ какъ этихъ дѣлителей всего 9, то приравнивая по очереди«/—10 каждому изъ нихъ, будемъ имѣть всего 9 системъ рѣшеній:

X—121, 72, 49, 45, 40, 45, 49, 72, 121.

«/ = 11, 12, 14, 15, 20, 30, 35, 60, ПО.

Подобнымъ же образомъ можно было бы найти цѣлыя и отрицательныя рѣшенія и рѣшить аналогичное уравненіе

В. Буханиевъ (Курскъ), В. Городковъ (Тобольскъ), Б. Кобылинъ (Галичъ)

В. Кованько (ст. Тейково), И. Косминковъ (Бронницы), В. Литвинскій (Екатеринославъ), 7/. Несторовичъ (Новоградволынскъ), В. Чичеринъ (Ярославль).

268. Даны на плоскости три параллельныхъ прямыхъ. Построить равнобедренный прямоугольный треугольникъ съ вершинами на этихъ прямыхъ.

Проводимъ въ произвольной точкѣ А первой прямой перпендикуляръ къ ней, пересѣкающій остальныя прямыя въ точкахъ В и С.

Откладываемъ АСг = СС2 = АС и АС, = ВС и изъ точекъ С\, С„ В, какъ изъ центровъ, проводимъ дуги радіусами соотвѣтственно равными С1В, С.2В, С,В.

Соединивъ точки пересѣченія такимъ образомъ, какъ это указано на чертежѣ, получимъ три рѣшенія ВС1І>1, ,

Дѣйствительно,

Кромѣ этихъ трехъ рѣшеній получимъ еще три другихъ расположенныхъ, по отношенію къ прямой симметрично съ первыми тремя.

Задача имѣетъ, такимъ образомъ, всего шесть рѣшеній и всегда возможна.

Н. Андреевскій (Москва), В. Буханцевъ (Курскъ), Городовъ (Бѣлгородъ), A. Данилевичъ (Верхоленскъ), В. Кованько (ст. Тейково), И. Косминковъ(Бронницы), Ф. Куренинъ (Москва), М.Пистракъ (Москва), Г. Стороженко (Новгородсѣверскъ).

Примѣчаніе. Задача эта легко обобщается, если искать разрѣшенія инымъ путемъ. Именно, задавшись точкой А на ищемъ геометрическое мѣсто вершинъ острыхъ угловъ ( ) прямоугольныхъ равнобедренныхъ треугольниковъ съ вершиной одного остраго угла (А) въ опредѣленной точкѣ и вершиной прямого угла (В) на опредѣленной прямой (!>').

Замѣтимъ для этого слѣдующее: если изъ провести рядъ прямыхъ АВп АВ.2, ... до встрѣчи съ прямой Ь’ въ В{, . и черезъ Ви В.,, . . . . возставить къ нимъ перпендикуляры а,, а2, . . . то прямыя а(, а,, . . . обогнутъ параболу съ фокусомъ въ А и касательной въ вершинѣ ея V.

По взаимной теоремѣ (раздѣлъ VI статьи „Этюды по Геометріи“*) параболѣ относительно особенной точки, совпадающей съ фокусомъ отвѣчаетъ окружность съ особенной точкой на периферіи. Приведенное выше свойство параболы взаимно слѣдующему свойству окружности: окружность есть геометрическое мѣсто вершинъ прямыхъ угловъ, опирающихся на діаметръ.

Чтобы найти геометрическое мѣсто точекъ Си С,, . . . мы изъ А проводимъ АСХ, АС2, . . . подъ угломъ въ 45° къ ABt, АВ2, . . .до пересѣченія съ о,, . . Тогда отрѣзки B. ;С2, . . . видны изъ А подъ угломъ въ 45°.

*) Мат. Образов. 1916, стр. 314.

Взаимно: точкамъ В на Ъ' отвѣчаютъ прямыя Ьѵ Ъ.,, . . проходящія черезъ точку В окружности; точкамъ С\, Г, . . . на <г2 . . . —прямыя сис2,.. . черезъ „ А.ѵ . .на окружности.

Углы (bt, сі), {Ь.,, с2),. . равны угламъ BtACt, . . и равны 45°, т.-к. опираются на четверть окружности иначе говоря всѣ прямыя cL,с.2, . . . проходятъ черезъ одну точку окружности М. Слѣдовательно взаимно—всѣ вершины 6',, 6',, . . лежатъ на одной касательной къ параболѣ—т.

Искомое геометрическое мѣсто—прямая.

Чтобы построить прямую т замѣтимъ слѣдующее: такъ какъ МБ видно изъ О подъ угломъ въ 45°, то и образютъ уголъ въ 45". Разстояніе ОМ равно

Взаимно—разстояніе между А и т равно

(см. упомянутую статью, раздѣлы II и III).

Отсюда построеніе: опустимъ —перпендикуляръ къ Ь" и отложимъ KL — АК. Черезъ L проводимъ подъ угломъ 45<> къ Ь прямую т (т.-е. т І_ AL). Пересѣченіе т съ с' дастъ точку С, и АС—искомая гипотенуза.

Это построеніе примѣнимо къ рѣшенію слѣдующихъ задачъ, являющихся обобщеніемъ задачи Л» 268.

1. Даны 3 прямыя, проходящія черезъ одну точку. Построить равнобедренный прямоугольный треугольникъ съ вершинами на данныхъ прямыхъ.

2. Дана точка и двѣ прямыя (параллельныя или пересѣкающіяся). Построить равнобедренный прямоугольный треугольникъ съ вершиной остраго угла въ данной точкѣ, и двумя другими вершинами на данныхъ прямыхъ.

3. Даны точка А, прямая Ъ, кривая (напр. окружность) Построить прямоугольный равнобедренный треугольникъ съ вершинами острыхъ угловъ въ точкѣ А, и на кривой X, а прямого— на прямой Ь.

Предложенную задачу можно обобщить еще иначе, именно, задаться построеніемъ неравнобедреннаго прямоугольнаго треугольника съ острымъ угломъ <р въ точкѣ А 45°).

Легко видѣть, что при прочихъ равныхъ условіяхъ геометрическое мѣсто точекъ Сх, C.À, . . . будетъ также прямая касательная къ параболѣ (взаимно—точка

По предыдущему, прямая т'будетъ образовывать съ прямой V уголъ <р*). Разстояніе ОМ’ = OB cos <р.

Взаимно—разстояніе т'отъ точки равно

Отсюда ясно построеніе: проводимъ АК перпендикулярно * и AL такъ, чтобы KAL — <р. Черезъ L проводимъ т' перпендн-

*) См. второй чертежъ на стр. 189.

кулярно къ AL. Пересѣченіе т' съ с' дастъ искомую вторую вершину треугольника— С. Пересѣченіе окружности, построенной на діаметрѣ АС, съ V дастъ 2 вершины В прямого угла.

Приведенныя выше три задачи можно такимъ образомъ нѣсколько обобщить.

Дальнѣйшее обобщеніе будетъ состоять въ томъ, что нужно построить треугольникъ (косоугольный), подобный данному съ опредѣленнымъ положеніемъ вершинъ (какъ въ задачѣ 268 и предложенной мной). Методъ рѣшенія будетъ тотъ же, хотя построеніе нѣсколько осложнится. Послѣ всего сказаннаго читателю будетъ нетрудно самому провести построеніе.

Пистракъ.

274. Показать, что число вида (2 . 3 . 5 . 7 . . 1, гдѣр— простое число, не можетъ быть точнымъ квадратомъ.

Положимъ, что число 2. 3.5.7. . J-1 есть точный квадратъ, тогда

х2 = 2 . 3 - 5 . 7 . . . р -4- 1 или (.г 1 ) (х—1) = 2 .3-5.7. . .

Число 2.3 . 5 . 7 . . . р должно, такимъ образомъ разлагаться на два множителя х-j-1 и х — 1—разность между которыми равна 2. Но этотъ результатъ невозможенъ, ибо какимъ бы образомъ мы ни разлагали числа 2.3.5. . на два множителя, одинъ изъ нихъ окажется всегда четнымъ (тотъ) въ составъ котораго войдетъ 2), а другой нечетнымъ и разность ихъ никогда не можетъ равняться 2. Отсюда заключаемъ, что число вида (2 . 3 . 5 . 7 . . . р)-f-1 никогда не можетъ быть точнымъ квадратомъ.

Н. Андреевскій (Москва), В. ГородкФвг (Тобольскъ), В. Кованько (ст. Тейково).

276. Найти необходимое и достаточное условіе дѣлимости

хю-j- хт~х . . . . -j- X-j- 1 на хн-]- Xй-1 -4- . . . . -j-1, гдѣ

т и п—два натуральныхъ числа.

Такъ какъ при men дѣленіе невозможно, а при т — п оба многочлена тождественны, то для изслѣдованія имѣемъ лишь случай т > п.

Представляя данные многочлены въ видѣ

и производя дѣленіе будемъ имѣть:

гдѣ Bk имѣетъ видъ

Чтобы дѣленіе окончилось, необходимо, чтобы остатокъ 7,-го порядка обратился въ нуль, т.-е.

xm-kn-(k 1) — 1—0, или

т — кп — (к — 1) = 0,

откуда выводимъ т. -J- 1 = /,- (и -j- 1) т.-е. m-j-1 должно дѣлиться нацѣло на «4-1.

Условіе это— необходимо:

Ото же условіе и достаточно, ибо если -f-1 к -j-1) то, на основаніи извѣстной теоремы о дѣлимости —1 на х—1, -заключаемъ, что (жн+г)* — 1 раздѣлится нацѣло на х"+1 — 1.

В. Городковъ (Тобольскъ), Л. Данилевичъ (Верхоленекъ), В. Кованько (ст. Тейково).

281. Рѣшить систему уравненій:

Обозначая х-j- у -j- zчерезъ s, представимъ данныя уравненія въ слѣдующемъ видѣ:

Складывая два какія-либо изъ нихъ и вычитая изъ полученной суммы третье, получимъ:

Отсюда имѣемъ:

обозначая множитель пропорціональности черезъ опредѣляемъ отсюда X, у, z въ зависимости отъ к и вносимъ полученныя выраженія въ уравненіе

Имѣемъ:

Слѣдовательно,

Остается лишь внести вмѣсто ß, ихъ значенія:

В. Кованько (ст. Тейково).

286. На прямой AB,какъ на діаметрѣ, описанъ кругъ и середины М и У обѣихъ полуокружностей соединены съ любою точкою Р окружности. Доказать, что точки и пересѣченія прямыхъ MP il ХР съ діаметромъ раздѣлятъ послѣдній гармонически.

Соединивъ Р съ А и В, разсмотримъ Д А PB*). Такъ какъ N середина дуги ANB,то заключаемъ, что прямая PN—биссектриса угла Л PB. Далѣе, такъ какъ MN діаметръ j_ NP т.-е. прямая РМ — внѣшняя биссектриса угла ЛРВ. На основаніи извѣстной теоремы о биссектрисахъ треугольника заключаемъ, что точки пересѣченія этихъ биссектрисъ съ основаніемъ AB треугольника АРВ раздѣлятъ послѣднее гармонически.

Изъ самого хода доказательства видимъ, что теорема останется справедливою и въ случаѣ, когда AB—какая-либо хорда данной окружности.

В. Кованько (ст. Тейково).

289. Доказать неравенство

гдѣ А, В, С—углы треугольника.

Въ задачѣ ЛЬ 154 (Мат. Обр. 1915, стр. 40) было доказано, что

Умножая обѣ части этого неравенства на 2, имѣемъ

(1)

Изъ тригонометріи извѣстно, что при условіи А -j- -)- =

имѣетъ мѣсто соотношеніе

1 — 2 cos А cos В cos С—cos5 Аcos2 Вcos2 С.

Поэтому, внося въ (1) вмѣсто 2 cos А cos В cos С его значеніе

1 — (cos2 А -f- cos2 В -j- cos2 С),

будемъ имѣть:

В. Городковъ (Тобольскъ). Б. Кобылинъ (Галичъ), В. Кованько (ст. Тейково).

*) Точки Р и Мнаходятся по одну сторону отъ AB.

Указатель задачъ и рѣшеній къ нимъ, помѣщенныхъ въ журналѣ за 1912—1917 г.

Библіографическій Отдѣлъ.

Д. Граве, заслуж. проф. университета св. Владимира. Начала алгебры. Классное руководство для гимназій и другихъ среднихъ учебныхъ заведеній. Изд. К. Риккера. Петроградъ, 1915 г.

Какъ извѣстно, на Западѣ учебники элементарной математики, написанные профессорами высшихъ учебныхъ заведеній, не являются рѣдкостью и составленію ихъ посвящаютъ свои силы иногда даже выдающіеся ученые. Особенно продуктивна всегда была въ этомъ отношеніи работа французскихъ математиковъ, которые обогатили учебную математическую литературу прекрасными курсами элементарной математики. Достаточно указать, напр., на серію учебниковъ по всѣмъ отдѣламъ математики, изданную недавно подъ общей редакціей знаменитаго геометра Г. Дарбу, а также на учебники для средней школы, написанные Борелемъ и пр. У насъ въ Россіи интересъ профессуры къ дѣлу элементарнаго преподаванія вообще гораздо слабѣе, чѣмъ на Западѣ; послѣ проф. Давидова почти не было примѣровъ составленія элементарныхъ курсовъ спеціалистами-математиками, и уже поэтому выпущенная проф. Д. Граве книга „Начала алгебры“ заслуживаетъ вниманія.

Ближайшее ознакомленіе съ книгою показываетъ, что она дѣйствительно обладаетъ многими важными достоинствами и особенностями и въ общемъ представляетъ цѣнный вкладъ въ нашу учебную литературу. Главными изъ ея достоинствъ являются строгая научность изложенія, полнота разработки трактуемыхъ вопросовъ и въ особенности новизна и оригинальность введеннаго матеріала. Такъ, съ самаго начала проводится идея развитія понятія о числѣ, и послѣ ученія о цѣлыхъ числахъ идутъ главы, посвященныя числамъ дробнымъ и отрицательнымъ, при чемъ излагается формальная теорія дѣйствій надъ этими числами, какъ парами цѣлыхъ чиселъ. При этомъ разъясняется, что эти числа составляютъ общую совокупность чиселъ раціональныхъ; для обозначенія этой совокупности авторъ пользуется новымъ для нашей учебной литературы терминомъ

„числовое поле“. Въ дальнѣйшемъ мы находимъ новое обобщеніе понятія о числѣ—числа ирраціональныя. Теоріи этихъ чиселъ авторъ удѣляетъ особое вниманіе, и она разработана имъ самостоятельно съ большой тщательностью и подробностью, при чемъ проф. Граве подходитъ къ понятію объ ирраціональномъ числѣ изъ разсмотрѣнія безконечныхъ неперіодическихъ дробей, что является болѣе простымъ, чѣмъ введеніе того же понятія въ связи съ „сѣченіями“ Дедекинда. Еще далѣе дѣлается послѣднее распространеніе понятія о числѣ—на числа комплексныя. Важное мѣсто отведено проф. Граве и теоріи предѣловъ.

Съ достаточною подробностью изложены статьи о дѣйствіяхъ надъ одночленами и многочленами, объ уравненіяхъ опредѣленныхъ и неопредѣленныхъ и о неравенствахъ, которыя авторъ разсматриваетъ тотчасъ послѣ уравненій, что гораздо удобнѣе, чѣмъ обычное отнесеніе ихъ къ концу курса. Въ главѣ объ изслѣдованіи уравненій встрѣчаются нѣкоторыя интересныя и оригинальныя подробности и замѣчанія. Статьи о прогрессіяхъ и логариѳмахъ и нѣкоторыя другія сопровождаются примѣрами и замѣчаніями историческаго характера, оживляющими изложеніе. Въ концѣ книги имѣется небольшое прибавленіе, посвященное понятіямъ о функціональной зависимости величинъ, о простѣйшихъ функціяхъ, ихъ графическомъ представленіи и свойствахъ.

Изъ этого обзора содержанія книги проф. Граве видны научныя и педагогическія ея достоинства и особенности. Однако, по отношенію къ ея педагогической примѣнимости въ качествѣ учебника, приходится выразить сомнѣніе относительно того, чтобы она могла служить класснымъ руководствомъ по алгебрѣ, какъ это предполагаетъ авторъ.

Дѣйствительно изложеніе проф. Граве, по его абстрактности, сжатости и отсутствію достаточнаго числа простыхъ примѣровъ едва ли доступно для полнаго пониманія учащихся младшихъ классовъ. Но книга эта могла бы служить хорошимъ повторительнымъ курсомъ для старшихъ классовъ средней школы, а также пособіемъ для учащихся, интересующихся предметомъ и желающихъ пополнить и углубить свои свѣдѣнія по алгебрѣ.

Отмѣтимъ нѣкоторые недочеты книги, имѣющіе, впрочемъ, второстепенное значеніе. На стр. 86 при доказательствѣ неравенства не указано, что оно справедливо лишь при п > 2. Изслѣдованіе уравненій 1-й степени не сопровождается конкретными примѣрами, кромѣ классической задачи о курьерахъ. Въ качествѣ примѣра системы уравненій 1-й степени приведена система (II) ур-ій болѣе высокихъ степеней. О неопредѣленныхъ уравненіяхъ, опредѣляемыхъ какъ такія, въ которыхъ число неизвѣстныхъ болѣе числа ур-ій, сказано, что они допускаютъ безчисленное число рѣшеній, между тѣмъ, они иногда могутъ имѣть ограниченное число ихъ или ни одного, какъ, напр., ур-ія (х—а)2 + (у—в)2 = О, или X2 + у2=—1. Какъ примѣръ на неопредѣленныя уравненія 1-й степени, приведена задача интереснаго содержанія, но приводящаяся къ системѣ ур-ій 2-й степени и рѣшаемая слишкомъ искусственнымъ пріемомъ. Нѣкоторые термины, напр. „алгориѳмъ“, не объяснены.

Въ статьѣ о дѣйствіяхъ надъ комплексными числами не упомянуто, что результатомъ ихъ могутъ получиться и вещественныя количества.

Рѣшеніе квадратныхъ ур-ій съ комплексными коэффиціентами мы находимъ излишнимъ.

Изслѣдованіе корней биквадратнаго ур-ія пропущено. Упрощеніе двойного радикала, подъ видомъ котораго получаются корни этого ур-ія, производится при помощи возведенія вспомогательныхъ уравненіи въ квадратъ, при чемъ вопросъ о равносильности полученныхъ ур-ій съ начальными оставленъ безъ разсмотрѣнія.

Выраженіе „сумма прогрессіи“ не точно.

Наконецъ, статью о функціональной зависимости въ концѣ книги мы считаемъ, по ея краткости, отсутствію связи съ другими частями курса и недостатку примѣровъ, не достигающей цѣли и полагаемъ, что излагаемое въ ней понятіе о функціи должно излагаться и развиваться постепенно на протяженіи всего курса алгебры и въ органической связи съ прочими алгебраическими понятіями

Всѣ сдѣланныя замѣчанія не умаляютъ, конечно, важнаго значенія книги проф. Граве, которую мы рекомендуемъ вниманію всѣхъ преподавателей математики. занимающихся и интересующихся преподаваніемъ алгебры.

I. ЧИСТЯКОВЪ