№ 43-44.

Математическое Образованіе.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

Годъ шестой.

№ 3—4.

Мартъ—Апрѣль. 1917 г.

МОСКВА.

Журналѣ Московскаго Математическаго Кружка

„Математическое Образованіе“

Марть—Апрѣль 1917 г. Годъ 6-й. № 3—4.

Содержаніе. Принципъ интерполяціи тригонометрическихъ функцій малыхъ дугъ. Е. Григорьевъ.—Понятіе о безконечно-маломъ. Дж. Виванти, пер. Бортке-вичъ.—Къ вопросу о выводѣ уравненія касательной къ коническимъ сѣченіямъ. Ѳ. Бѣлоярцевъ.—Новый способъ для рѣшенія уравненія 4-й степени. И. Свобода.— Значеніе методовъ построенія въ изложеніи и преподаваніи геометріи. И. Александровъ.—Къ вопросу объ опредѣленіи десятичной дроби въ нашей учебной ариѳметической литературѣ. В. Фридманъ.—Задачи.—Рѣшенія задачъ.— Объявленія.

Принципъ интерполяціи тригонометрическихъ функцій малыхъ дугъ.

Е. Григорьевъ. (Вятка.)

I.

Принципъ линейной интерполяціи, которымъ обычно пользуются при вычисленіи поправокъ логариѳмовъ тригонометрическихъ функцій, какъ извѣстно, непримѣнимъ для малыхъ дугъ и для дугъ, близкихъ къ 90°. Въ этомъ случаѣ его замѣняютъ другимъ принципомъ, позволяющимъ достигать той точности, на которую расчитаны таблицы. Въ настоящей замѣткѣ мы имѣемъ въ виду этотъ второй принципъ, формулируя его вкратцѣ слѣдующимъ образомъ: синусы и тангенсы малыхъ дугъ приблизительно пропорціонаньны самихъ дугамъ. Въ примѣненіи къ пятизначнымъ таблицамъ такое допущеніе приводитъ къ равенствамъ:

(1)

гдѣ X — дуга, не превышающая 3°, а h — ея положительное приращеніе, меньшее 1'.

Элементарные учебники тригонометріи предлагаютъ эти равенства (1) либо совсѣмъ безъ доказательства, либо, въ лучшемъ случаѣ, сопровождаютъ ихъ очень неубѣдительными разсужденіями въ родѣ слѣдующаго1): „такъ какъ при убываніи угла предѣлы каждаго изъ отношеній:

1) Цитируемъ по довольно полному „Курсу прямолинейной тригонометріи“ П. К. Шмулевича.

равны единицѣ, то для малыхъ угловъ можно принять приблизительно равными отношенія:

Наша замѣтка въ первой своей части имѣетъ цѣлью показать, что вопросъ объ интерполяціи функцій X и tg х для малыхъ дугъ, вполнѣ простъ и легко поддается изложенію, доступному ученикамъ средней школы, которые нерѣдко и сами, обращая вниманіе на отсутствіе въ предѣлахъ 0е — 3° привычныхъ для нихъ табличекъ р. р, задаютъ этотъ вопросъ гг. преподавателямъ.

Все дѣло заключается въ слѣдующей теоремѣ:

Если h положительное приращеніе дуги х, при чемъ

Извѣстно, что

Перемноживъ эти неравенства, имѣемъ

откуда

Принимая еще во вниманіе, что cosh < 1, мы можемъ тожество

преобразовать въ неравенство

или

(2)

Такимъ образомъ первая часть теоремы доказана; чтобы доказать вторую, воспользуемся тремя извѣстными неравенствами

2) Эту теорему можно встрѣтить въ „Traité de Trigonométrie“ par Serret. Доказывается тамъ она иначе, чѣмъ это сдѣлано у васъ.

послѣ перемноженія которыхъ получимъ

Вслѣдствіе этого легко доказываемое тожество

переходитъ въ неравенство

откуда послѣ прибавленія къ обѣимъ частямъ по 1, получается искомое

(3)

Замѣтимъ между прочимъ, что, хотя въ дальнѣйшемъ мы будемъ разсматривать х и h, какъ малыя дуги, однако теорема носитъ вполнѣ общій характеръ, т.-е. никакимъ ограниченіямъ относительно дугъ х и h,кромѣ уже сдѣланныхъ выше

|0< X< X -f- h< j, не подлежитъ.

Положимъ дѣло касается пятизначныхъ таблицъ, въ которыхъ даны приближенныя значенія логариѳмовъ тригонометрическихъ функцій черезъ каждую 1', и пусть х обозначаетъ дугу, не превышающую 3°, а h дугу, меньшую 1'.

Логариѳмируя при основаніи 10 неравенства (2) и (3), получаемъ

log (х -j- h) — log х > log sin ( -f- h) — log sin x . . . . (4) и

log (x -f- h) — log x < log ig p: -j- — .(5)

Между тѣмъ, слѣдуя принципу (1), принятому для малыхъ дугъ, мы вмѣсто неравенствъ (4) и (5) пользуемся равенствами

log (x -J- h) — I log x — log sin (x—log sin x .... (6) log {x -j- h) — log x = log tg (x -\~ — . . . . (7)

допуская въ обоихъ случаяхъ одну и ту же ошибку 6, положительную или отрицательную, величина которой, какъ видно изъ неравенствъ (4) и (5), всегда меньше

log tg (x-\-h) — log tgx — [ sin (x -)- h) — log sin .r],

или послѣ упрощеній

6 < log cos x — log cos (x -f- h)..(8)

Итакъ, вычисляя log sin (x ~|~ h) по формулѣ (6)

log sin ( x-|- h) =. log sin x — log x-\- log (x -f- h), . . . . (9)

мы получаемъ приближенное значеніе этого логариѳма съ ошибкой 6 (8) по избытку.

Точно такъ же равенство (7) даетъ

(10)

откуда имѣемъ приближенное значеніе съ ошибкой

é по недостатку.

Остается изслѣдовать величину погрѣшности 6.

Неравенство (8) прямо приводитъ насъ къ заключенію, что погрѣшность 6 меньше соотвѣтствующей табличной разности функціи cos X и никогда не достигаетъ этой разности, такъ какъ всегда меньше 1'. Но просматривая по таблицамъ послѣдовательныя значенія log cos х въ предѣлахъ 0° — 3°, мы не встрѣтимъ табличныхъ разностей функціи c, большихъ 0,00001; да и эта табличная разность появляется здѣсь благодаря только округленію послѣднихъ десятичныхъ знаковъ1).

Такимъ образомъ ô<0,00001 и, слѣдовательно, въ предѣлахъ точности таблицъ при вычисленіи log sin -f- и log tg -}- h) для дугъ, не превышающихъ 3°, вполнѣ законно пользоваться правиломъ пропорціональности, т.-е. приближенными равенствами (9) и (10).

Изслѣдуя величину погрѣшности мы, конечно, имѣли въ виду единственно ту ошибку, которая падаетъ на log sin (x 4- h) и log tg {x -{- h) въ силу принятаго нами допущенія о пропорціональности малыхъ дугъ и ихъ синусовъ и тангенсовъ. Между тѣмъ интерполяція функцій sin и по формуламъ (9) и (10) неизбѣжно влечетъ еще рядъ погрѣшностей, зависящихъ отъ того, что вычисленіе log sin (x h) и log tg (x -f- h) требуетъ трехъ приближенныхъ значеній логариѳмовъ. Не останавливаясь на оцѣнкѣ этого рода погрѣшностей, замѣтимъ, что ради уменьшенія общей ошибки результата и вообще для облегченія на практикѣ дѣла вычисленія по изложенному пріему выгодно пользоваться готовыми разностями

которыя съ этой цѣлью и были вычислены французскимъ математикомъ Деламбромъ. Значенія указанныхъ разностей, расположенныя въ опредѣленномъ порядкѣ, составляютъ такъ-называ-емыя таблицы Деламбра. При пользованіи ими дуги слѣдуетъ выражать въ секундахъ.

II.

Изложеннаго совершенно достаточно, чтобы поставить вопросъ объ интерполяціи синусовъ и тангесовъ малыхъ дугъ въ элементарномъ преподаваніи на твердую почву. Однако не безполезно изслѣдовать точнѣе предѣлъ погрѣшности, совершаемой при вычисленіи sin (x -f- h) и tg {x -)- h) по правилу пропорціональ-

1) Семизначныя таблицы обнаруживаютъ, что до 3° табличныя разности логариѳмовъ функціи cos h менѣе 0,000007 и достигаютъ 0,00001 лишь при дугахъ, близкихъ къ 4"и/.

ности. Съ этой цѣлью мы выведемъ сейчасъ формулы, удобныя при оцѣнкѣ ошибки, предполагая, что вычисляются значенія натуральныхъ тригонометрическихъ функцій, и устраняя тѣмъ самымъ сумму погрѣшностей, связанныхъ съ примѣненіемъ приближенныхъ значеній логариѳмовъ.

Прежде всего отмѣтимъ, какъ слѣдствіе вышедоказанной теоремы, что при возрастаніи ж отъО до функція --- постоянно убываетъ, а функція возрастаетъ. Къ такому заключенію приводятъ насъ неравенства (2) и (3), переписанныя въ видѣ:

Быть-можетъ, здѣсь интересно будетъ напомнить, что указанное свойство функціи — — разсматриваемой,конечно, въ формѣ отношенія хорды къ соотвѣтствующей ей дугѣ, извѣстно уже со временъ Птоломея, который при помощи его нашелъ приближенное значеніе длины хорды, отвѣчающей дугѣ въ 1#, и вывелъ отсюда я = т:і7т4)

Обратимся теперь къ нашей задачѣ. Допуская по правилу пропорціональности равенство

sin (х-}- h) sin X,........ (11)

взамѣнъ имѣющаго мѣсто въ дѣйствительности неравенства (2), мы совершаемъ ошибку по избытку

или

(12)

Принимая затѣмъ во вниманіе свойство функціи------------убывать при возрастаніи х, имѣемъ при x>h

4) Cantor, Geschichte der Mathemamatik, 3. Aufl. Bd. I, S. 122.

Вопросу о функціи —- въ „Математическомъ Образованіи* были посвящены двѣ замѣтки (январь 1915 г.): одна подъ заглавіемъ „По поводу одною неравенства* принадлежитъ нроф. Г». К. Млодзѣевскому, другая „Объ отношеніи sin Xй . т. „ — проф. А. К. Власову. Въ первой сообщается аналитическое доказательство свойства функціи —— , отличное отъ предложеннаго теперь нами, въ другой-доказательство геометрическаго характера.

откуда

Послѣ этого формула (12) переходитъ въ неравенство

tf, < sin х -j- sin h — sin ( -|- h),

которое посредствомъ обычныхъ тожественныхъ преобразованій приводится къ виду

(13)

Послѣднее выраженіе легко упрощается, если примѣнить теорему sinxcx-, такимъ образомъ окончательно находимъ

(14)

Съ помощью выведенной формулы можно довольно точно вычислить ошибку rfj въ случаѣ, когда h меньше 1', а дуги и X + h не превышаютъ 3°. Выражая эти дуги въ радіальной мѣрѣ, получимъ

откуда

или

Рѣшимъ еще одинъ вопросъ, пользуясь той же формулой.

Опредѣлимъ, до какихъ предѣловъ можно расширить область примѣненія принципа пропорціональности дугъ и ихъ синусовъ подъ условіемъ, чтобы ощибка, зависящая отъ этого допущенія, не превосходила точности пятизначныхъ таблицъ, т.-е. 0,000005.

Пусть а та наибольшая дуга, при которой, не выходя за предѣлы точности таблицъ, еще возможно пользоваться приближеннымъ равенствомъ (11). Тогда

Слѣдовательно, по формулѣ (14) имѣемъ

Полагая, что

находимъ

откуда, переходя отъ радіальной мѣры къ градусной, заключаемъ, что наибольшее значеніе а приблизительно равняется 10°37'.

Пусть теперь для вычисленія -f- мы пользуемся приближеннымъ равенствомъ

(15)

Сопоставляя его съ неравенствомъ (3), видимъ, что совершаемая при этомъ ошибка <?2 будетъ ошибкой по недостатку, при чемъ

или

(16)

Но по свойству функціи возрастать вмѣстѣ съ возрастаніемъ аргумента имѣемъ при x>h

Поэтому предыдущая формула (16) преобразуется въ неравенство

которое вслѣдствіе извѣстнаго тожества

принимаетъ достаточно удобную форму

дг< tg h tg х tg (х-j- h).(17)

Разрѣшимъ относительно функціи двѣ задачи, аналогичныя разсмотрѣннымъ выше для функціи х.

Пусть дуги Xи x-\-hне превосходятъ 3°, въ такомъ случаѣ

32<ф 1' 3°,

откуда

или

Сравнивая ошибку â2 съ ошибкой év приходимъ къ выводу, что для малыхъ дугъ приблизительно âiz=2âl.

Чтобы опредѣлить, въ какихъ предѣлахъ можно пользоваться приближеннымъ равенствомъ (15), не выходя за границы погрѣшности 0,000005, обозначимъ черезъ наибольшую искомую дугу. Такимъ образомъ полагая имѣемъ

62<tg 1' 2 ß.

Подчиняя эту ошибку требованію

tg 1' lg2 ß < 0.000005,

находимъ

<ÿ* iff <0,000005 cotg 1',

откуда

ß < 7°28',

т.-е. при вычисленіи tg (х -j- h) приблизительно до 7° 28' можно примѣнять формулу (15) при условіи, что дуга h не превышаетъ 1’.

Намъ думается, что и вторая часть этой замѣтки не будетъ лишней для учениковъ, интересующихся вопросами математики.

Понятіе о безконечно-маломъ.

Дж. Виванти, пер. Е. Борткевичъ (Петроградъ).

(Продолженіе.)

Глава II.

Методъ недѣлимыхъ.

Уже было сказано въ чемъ заключается основная мысль метода недѣлимыхъ и что въ немъ тѣла понимаются какъ бы составленными изъ безконечно-большого числа поверхностей, а поверхности — составленными изъ безконечно-большого числа линій.

Кажется, что первый зародышъ этого метода можно найти у Леонардо да Винчи (1452—1519), но непосредственный предшественникъ Кавальери съ этой точки зрѣнія безспорно Кепплеръ.

Изъ переписки между Галилеемъ и Кавальери вытекаетъ, что оба ученыхъ одновременно задумали трудъ о недѣлимыхъ. Однако у перваго не было возможности осуществить своего намѣренія, такъ что съ методомъ недѣлимыхъ связано только имя Бонавентура Кавальери.

Такъ какъ цѣль настоящаго труда—представить скорѣе общую идею путей, пройденныхъ разными методами, нежели войти въ ихъ техническую часть, то ограничусь изложеніемъ основного принципа метода недѣлимыхъ, отсылая читателя для большихъ подробностей къ историческимъ трудамъ Кантора и Мари.

Представимъ себѣ двѣ плоскихъ фигуры, заключенныя между двумя параллельными и вообразимъ себѣ проведенными всѣ параллельныя, включенныя между этими двумя—отношеніе площадей обѣихъ фигуръ равно отношенію суммъ отрѣзковъ, соотвѣтственно пересѣченныхъ въ нихъ. Очевидно, такія суммы безконечны и ихъ отношеніе есть точнѣе предѣлъ, къ которому стремится отношеніе суммъ пересѣченныхъ отрѣзковъ, когда число равноотстоящихъ параллельныхъ линій, оставаясь конечнымъ, возрастаетъ неопредѣленно. Для опредѣленія этого предѣла необходимо прибѣгнуть въ единичныхъ случаяхъ къ особеннымъ пріемамъ, которые, хотя и указываютъ на большую изобрѣтательность основателя метода, затрудняютъ пользованіе имъ. Валлисъ попытался сдѣлать методъ болѣе правильнымъ, замѣнивъ искусственные геометрическіе пріемы, которыми хвастаетъ Кавальери, ариѳметическими соображеніями.

Возьмемъ простѣйшій примѣръ: желаемъ доказать, что треугольникъ—половина параллелограмма, имѣющаго съ нимъ равныя основанія и высоту.

Валлисъ начинаетъ съ того, что устанавливаетъ, что сумма возрастающей ариѳметической прогрессіи, меньшій членъ которой—нуль, равна половинѣ произведенія наибольшаго члена на число членовъ. Дальше, если имѣемъ параллелограммъ, раздѣленный діагональю на два треугольника, то отрѣзки параллельныхъ къ одной изъ сторонъ образуютъ въ треугольникѣ ариѳметическую прогрессію, въ то время какъ отрѣзки, заключенные въ параллелограммѣ, всѣ равны основанію треугольника. Отсюда слѣдуетъ, что сумма первыхъ отрѣзковъ относится къ суммѣ вторыхъ, какъ 1 :2, и потому въ томъ-же отношеніи находятся площади обѣихъ фигуръ.

Методъ Кавальери, хотя на него нападалъ Гюльденъ, отрицавшій въ немъ оригинальность и точность и оспариваемый также Робервалемъ, претендующимъ на первенство, и нѣкоторыми другими авторами, нашелъ всюду большое распространеніе. Торричелли (1608—1647), Стефано дели Анджели (Stefano degli Angeli), (1623—1697), Г. П. Казати, Джованни Чева, Гвидо Гранди среди италіанцевъ, Уайтъ или Альбіусъ (White or Albius) въ 1590 г., Шотенъ (Schooten) (1615—1660) и Валлисъ среди другихъ ученыхъ встрѣтили его съ энтузіазмомъ, и примѣняли его къ самымъ разнообразнымъ геометрическимъ вопросамъ. И было бы еще больше приверженцевъ его, если бы не то, что меньше чѣмъ черезъ 50 лѣтъ былъ открытъ методъ Лейбница, предназначенный для преданія забвенію всѣхъ ему предшествовавшихъ и послѣдующихъ, начиная съ метода недѣлимыхъ Кавальери и кончая теоріей функцій Лагранжа.

Аналогичный методу Кавальери по крайней мѣрѣ по внѣшней формѣ—методъ Grégoire de St. Vincent (1584—1667), который въ VII книгѣ своего „Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni“ (Антвериенъ, 1647) называетъ „ductus plani in planum“ дѣйствіе, посредствомъ котораго, имѣя двѣ линіи, находящіяся въ двухъ перпендикулярныхъ плоскостяхъ, и проекція которыхъ тотъ же отрѣзокъ ихъ пересѣченія, строится тѣло, нор-

мальныя сѣченія котораго къ послѣдней прямой суть прямоугольники, образованные соотвѣтственными ординатами этихъ двухъ линій. Однако его методъ доказательства совершенно подобенъ пріемамъ древнихъ; онъ былъ даже однимъ изъ первыхъ, доказавшихъ необходимость сдѣлать изъ разсужденія, которое прежде повторялось въ каждомъ отдѣльномъ случаѣ общій методъ, получившій впослѣдствіи названіе „метода исчерпыванія“.

Глава III.

Методъ безконечно-малыхъ.

Основное понятіе метода безконечно-малыхъ можетъ считать своимъ началомъ день, въ который Антифонтъ заключилъ, что можно разсматривать кругъ, какъ многоугольникъ съ безконечнобольшимъ числомъ сторонъ. Эта мысль, отвергнутая непоколебимой строгостью греческой науки, робко появляется вновь спустя много вѣковъ, въ тотъ моментъ, когда геометрія начинаетъ уступать свое первенство ариѳметикѣ; Николай Кузанскій, Штифель (1486—1567), Командино, Віета повторяютъ, что кругъ — многоугольникъ съ безконечно-большимъ числомъ сторонъ; Віета даже выводитъ изъ этого замѣчательное выраженіе отношенія окружности къ діаметру. Однако первое теоретическое приложеніе этого понятія принадлежитъ Кепплеру, который заявилъ, что нужно считать кругъ,—образованнымъ изъ безконечно-большаго числа равнобедренныхъ треугольниковъ, имѣющихъ вершину въ центрѣ. Но онъ самъ впослѣдствіи въ трудѣ своемъ, принялъ нѣсколько иную точку зрѣнія, открывая такимъ образомъ путь къ методу недѣлимыхъ.

Этотъ методъ встрѣтилъ большія трудности, въ особенности потому, что многіе находили непріемлемымъ представленіе образованія поверхностей посредствомъ линій. И изъ попытки сдѣлать основную мысль менѣе противорѣчивой обыкновеннымъ геометрическимъ понятіямъ появились первые зародыши метода безконечно - малыхъ: такъ линіи были замѣнены частичками площади, которыя необходимо было предположить безконечномалыми. Эти частички, опредѣляемыя системой равноотносящихъ ординатъ, отличаются тѣмъ менѣе отъ формы трапеціи, чѣмъ болѣе число ординатъ, и можно для „удобства рѣчи“ сказать, что когда число ихъ безконечно велико, площадь раздѣлится на безконечно большое число трапецій. Но можно достигнуть еще дальнѣйшаго упрощенія. Замѣчая въ дѣйствительности, что площадь каждой полоски заключена между площадями прямоугольниковъ равной высоты и имѣющихъ основаніемъ наибольшую и наименьшую ординату, находящіяся въ той же самой полоскѣ, и что для кривыхъ, обыкновенно разсматриваемыхъ, сумма площадей первыхъ многоугольниковъ можетъ приблизиться сколь-угодно близко къ суммѣ вторыхъ, увеличивая согласно этому число ординатъ, можно сказать еще „для удобства и краткости рѣчи“, что искомая площадь равняется произведенію суммы безво-

нечно-большого числа ординатъ на разстояніе между двумя послѣдовательными ординатами.

Итакъ, переходъ отъ метода недѣлимыхъ къ методу безконечно-малыхъ выражается просто введеніемъ постояннаго множителя, который исчезаетъ каждый разъ при вычисленіи отношенія между двумя площадями.

Роберваль, изобрѣвшій независимо отъ Кавальери методъ, аналогичный методу недѣлимыхъ, хвастаетъ, что онъ не даетъ мѣста возраженіямъ, поднятымъ противъ метода италіанскаго математика, т. к. онъ считаетъ поверхности состоящими уже не изъ линій, а изъ безконечно-малыхъ поверхностей.

Паскаль говоритъ, что употребляя языкъ недѣлимыхъ, онъ понимаетъ подъ „суммой ординатъ“—сумму прямоугольниковъ, образованныхь ими и отрѣзками діаметра.

Превращеніе метода недѣлимыхъ въ методъ безконечно-малыхъ было дѣломъ легкимъ, съ ариѳметической точки зрѣнія, т. к. оно сводилось къ введенію постояннаго множителя, предназначеннаго въ концѣ исчисленія къ исчезновенію. Не такъ обстояло дѣло съ точки зрѣнія понятія: потому что, безконечномалая частичка, уже разъ проникнувъ въ область анализа, ор;а-залась полезнѣйшимъ орудіемъ для изученія вопросовъ, ожидающихъ болѣе простого или болѣе общаго рѣшенія. Хочу намекнуть въ особенности на два класса вопросовъ, составляющихъ важнѣйшую часть обычнаго дифференціальнаго исчисленія: теорія максимумовъ и минимумовъ и опредѣленіе касательныхъ.

Ферматъ въ своемъ мемуарѣ, озаглавленномъ „Methodus ad disquirendam maximam et minimam“, далъ для отысканія максимумовъ и минимумовъ правило, приписавшее ему разными извѣстными математиками славу, по-моему не вполнѣ заслуженную, перваго изобрѣтателя дифференціальнаго исчисленія. Пользуясь современными выраженіями, это правило можно изложить такъ: для того, чтобы сдѣлать функцію максимальной или минимальной вычисляется функція для значенія х перемѣнной и для другого значенія æ + s, гдѣ s неопредѣленно и приравниваются оба найденныя выраженія. Получивъ цѣлую раціональную функцію и исключивъ общіе члены въ обѣихъ частяхъ, дѣлятъ все на г; затѣмъ s приравниваютъ нулю г = 0; получится уравненіе, опредѣляющее значенія перемѣнной, для которыхъ взятая функція максимальна или минимальна.

Правило Фермата можетъ считаться ариѳметическимъ изображеніемъ мысли много разъ повторенной Кепплеромъ въ его „Stereometria doliorum“, что въ области максимальной или минимальной точки измѣненіе функціи неощутимо. И дѣйствительно, Ферматъ полагаетъ значеніе функціи въ точкѣ максимума или минимума равнымъ тому, которое она (функція) принимаетъ въ сосѣдней.

Однако равенство f(x + з) = не точно, но сдѣлается таковымъ только послѣ удачно выбранныхъ преобразованій; и онъ выражаетъ это. называя его не „aequatio“ но „adaequatio“ (терминъ, взятый у Діофанта). Что это уравненіе сдѣлается вполнѣ точнымъ, онъ этого однако не доказываетъ.

Въ другомъ мѣстѣ, разсуждая о квадратурѣ послѣ того, какъ онъ сказалъ, что каждую трапецію, образованную кривой и прямой, можно считать почти равной прямоугольнику, приходитъ впрочемъ опять для остальной части доказательства къ приведенію къ нелѣпости.

Гюйгенсъ (1629—1695), показавшій въ своемъ „Horologium oscillatorium“, что онъ принялъ идеи дифференціальнаго метода, пытается въ „Demonstratio regulae de maximis et minimis“ иллюстрировать и упростить правило Фермата, происхожденіе котораго не было указано его изобрѣтателемъ.

Вотъ, какъ онъ разсуждаетъ:

Если X — точка максимума или минимума для функціи f (х), то окажутся два значеніяz— 3, æ-J-e, для которыхъ —o) = f(x-{- е), т.-е., дѣлая х—° — zt; о-|— ® = е, получимъ: f{x1-\-é)— 0.

Значеніе, которое получится для х, полагая безконечномалымъ (infinite parva) будетъ искомымъ значеніемъ х. Чтобы его получить, нужно будетъ раздѣлить на е первую часть уравненія, потомъ исключить всѣ члены, содержащіе е, т. к. они безконечномалы по отношенію къ остальнымъ. Эта послѣдняя часть объясненія Гюйгенса, которая, казалось, должна была бы имѣть для насъ наибольшій интересъ, перестаетъ имѣть таковой, если примемъ во вниманіе, что „Demonstratio“ появилось въ 1693 году, т.-е. спустя нѣсколько лѣтъ, какъ были напечатаны первыя работы Лейбница по дифференцільному исчисленію, такъ что разсужденіе Гюйгенса не представляетъ ничего иного, какъ простое приложеніе основныхъ леммъ метода Лейбница.

Въ качествѣ одного изъ приложеній правила максимумовъ и минимумовъ Ферматъ обсуждалъ въ вышеуказанномъ трудѣ теорію касательныхъ. Насчетъ этой работы Гюйгенсъ напечаталъ въ томъ же 1693 году также мемуаръ подъ заглавіемъ „Regula ad inveniendas tangentes linearum curvarum“.

Барровъ, двадцатью годами раньше при помощи разсматриванія „характернаго треугольника“, „пользованіе которымъ никогда не прекратится“, образованнаго соотвѣтственными приращеніями абсциссы, ординаты и дуги, далъ для опредѣленія касательныхъ методъ, содержащій въ себѣ зародышъ всего дифференціальнаго исчисленія. Обозначивъ ординату черезъ т, одновременныя приращенія ея и абсциссы черезъ и черезъ t— подкасательную, можно будетъ по характеру кривой вывести нѣкоторое соотношеніе, содержащее и

Въ немъ мы исключаемъ члены степенью выше первой по отношенію къ а и е, взятыхъ вмѣстѣ, и члены, не содержащіе ни а, ни е; въ уравненіи, приведенномъ къ этому виду, замѣняемъ — черезъ j. Такимъ путемъ получимъ соотношеніе, которое опредѣлитъ t.

Важность характернаго треугольника состоитъ въ томъ, что онъ позволяетъ произвести замѣну отношенія двухъ величинъ безконечно или неопредѣленно малыхъ, т.-е. неопредѣленныхъ (приращенія ординаты и абсциссы) отношеніемъ двухъ величинъ вполнѣ опредѣленныхъ (ордината и подкасательная). Читатель, вѣроятно,

замѣтилъ въ то время, о которомъ идетъ рѣчь, явленіе совершенно новое въ исторіи математики по крайней мѣрѣ съ той поры, какъ она заслужила названіе науки.

Ферматъ и Барровъ оба одни изъ самыхъ извѣстныхъ математиковъ XYII вѣка учатъ нѣкоторымъ правиламъ для рѣшенія цѣлаго рода спеціальныхъ вопросовъ, но даже не пытаются дать ихъ доказательства. Этого не достаточно: потому что эти правила дѣйствительно противорѣчатъ всѣмъ тѣмъ принципамъ, хваленая непоколебимость которыхъ составила славу математики. Въ ариѳметикѣ допускается, даже полагается уничтоженіе величинъ, не абсолютно равныхъ нулю. Въ геометріи мы замѣняемъ криволинейную площадь суммой безконечно большаго числа прямоугольниковъ, пренебрегая суммой площадей безконечнобольшого числа смѣшанныхъ треугольничковъ, которая во всякомъ случаѣ разнится отъ нуля.

Однако это кажущееся ослабленіе геометрической строгости не ведетъ ни къ какому ошибочному заключенію, наоборотъ, во всѣхъ разсмотрѣнныхъ случаяхъ возможно точно доказать, что величины, которыми пренебрегли, не имѣютъ никакого вліянія на окончательные результаты. Все это давало поводъ думать, что методы древнихъ были доступны значительнымъ упрощеніямъ; но война, непрерывно веденная противъ новыхъ идей и ихъ защитниковъ, начиная Кепплеромъ и кончая Лейбницемъ, показываетъ насколько часто сильнѣе желанія новизны была боязнь умалить строгость математики. Даже геніальный трудъ Лейбница не оказался достаточнымъ для изгнанія червя-грызуна, гнѣздившагося въ новыхъ исчисленіяхъ; онъ только сумѣлъ его свести къ одной точкѣ. И въ самомъ дѣлѣ всѣ споры, которымъ дало мѣсто исчисленіе Лейбница, сосредоточиваются въ сущности вокругъ основной леммы: а именно, что безконечно-малымъ, прибавленнымъ къ конечному количеству, можно пренебречь. Въ настоящее время смыслъ этой леммы освѣщенъ вполнѣ; но это случилось бы гораздо раньше, если бы не вставали преградой неясность и двусмысленность понятія безконечно-малаго, которое поддается слишкомъ многимъ и различнымъ толкованіямъ.

Первые слѣды введенія безконечно-малаго въ математику могутъ быть отнесены, какъ уже было говорено, къ древнѣйшимъ временамъ; но Лейбницъ первый разсмотрѣлъ его, какъ существо само по себѣ, распространилъ и систематизировалъ пользованіе имъ въ анализѣ. Умъ его нашелъ двойное происхожденіе безконечно-малаго: философское и техническое. Прежде всего оно ему представилось изображеніемъ „закона непрерывности“, который онъ поставилъ основой всей природы, какъ выраженіе факта, что естественныя являнія измѣняются постепенно столь мало, что могутъ быть несравнимы съ любой конечной величиной такъ, что окажутся лишенными возможности быть измѣренными сколь угодно малой мѣрой. На второмъ мѣстѣ методическое пользованіе безконечно-малымъ стало для него могучимъ средствомъ для упрощенія исчисленій и для приведенія ихъ къ единственному общему алгориѳму. И если болѣе или менѣе справедливо была оспариваема слава дифференціальнаго „метода“, то

дифференціальное „исчисленіе" неоспоримо принадлежитъ ему всецѣло.

Задача максимумовъ и минимумовъ, касательныхъ и другіе аналогичные вопросы привели къ разсмотрѣнію того, что мы теперь называемъ „производной" функціи f(x). Для опредѣленія ея, нужно было образовать отношеніе-^- приращенія функціи къ приращенію перемѣнной и положить въ немъ е = 0. Дѣло было вообще далеко нелегкимъ и кромѣ самыхъ простыхъ случаевъ, не существовало никакого правила, позволяющаго сократить дѣйствіе. Для того, чтобы преодолѣть всякую трудность, приходилось достигнутъ двухъ цѣлей:

а) сумѣть опредѣлить сразу непосредственно при помощи обыкновенныхъ правилъ отношеніе--'— ^—^^-для всѣхъ элементарныхъ функцій, изъ которыхъ составляется любое аналитическое выраженіе, т.-е. для суммы, разности, произведенія, частнаго, степени, корня, логариѳма.

b) имѣть критерій для того, чтобы узнать „а priori", которые изъ членовъ, находящіеся въ выраженіи этого отношенія, исчезнутъ, когда въ окончательномъ результатѣ положимъ 0, благодаря чему ихъ можно было бы пропустить уже съ самаго начала.

Разсмотрѣнное отношеніе обыкновенно представляется подъ видомъ: А-f- Be-f- Ое2—(—., гдѣ А, В, С,.не зависятъ отъ ; полагая е — 0, выраженіе это приведется къ А, которое и есть именно производная. Итакъ, тотъ фактъ, что е въ концѣ вычисленій должно сдѣлаться равнымъ нулю, можно выразить, говоря, что е величина безконечно-малая; для оправданія перехода выраженія А -\- Be -f- Се2-\-. къ другому болѣе простому А, можно установить правило, что „слѣдуетъ пренебречь величиной безконечно-малой, когда ее прибавляютъ къ конечной“. Эта лемма, которая, какъ я уже сказалъ, составляетъ основу диференціальнаго метода, находитъ такимъ образомъ свое полное оправданіе; и, кажется, очевиднымъ, что она, будучи далеко не постулатомъ, какъ ее считали нѣкоторые, есть единственно „практическое правило“, пригодное для упрощенія вычисленій, указывающее, которые изъ членовъ предназначены для исчезновенія и вслѣдствіе того могутъ быть пропущены. Видѣлъ ли Лейбницъ все это настолько ясно, нельзя рѣшить, разсматривая его труды, навѣрное оно не было понято, какъ слѣдовало, его современниками, такъ какъ иначе не появилось бы столько сомнѣній относительно точности дифференціальнаго исчисленія.

По рѣшеніи такимъ образомъ второго изъ двухъ вопросовъ, первый долженъ былъ быть значительно упрощенъ, т. к. никакого затрудненія не могло болѣе представить непосредственное вычисленіе производной элементарныхъ функцій. Теорія дополнилась правиломъ для нахожденія производной сложныхъ функцій, и такимъ образомъ можно было сказать, что „дифференціальное исчисленіе“ стало вполнѣ законченнымъ, т.-е. былъ полученъ тотъ полный сводъ правилъ, которыя учатъ находить прямымъ систе-

магическимъ, чуть ли не механическимъ, путемъ производную любой функціи.

Для изслѣдованія, какой видъ принимаетъ съ новой точки зрѣнія вопросъ о квадратурѣ, (интегральное исчисленіе), приходится намекнуть на одно правило, которое есть ничто иное, какъ распространеніе основной леммы. „Безконечно-малымъ порядка“ называется выраженіе, обращающееся вмѣстѣ съ е въ нуль, и отношеніе котораго къ ef остается конечнымъ и не равнымъ нулю для е — 0. Если il I,N два безконечно-малыхъ выраженія порядка т, п, гдѣ п>ти, если положимъ: —=Р,— гдѣ Q конечны и не равны нулю для е = 0, то получимъ М -(- N—em Р-\-еп Q=em (P~\-en-mQ), но основываясь на много разъ упомянутой леммѣ, должно пренебречь е "~т Q по отношенію къ Р, такъ что получимъ:

M+N=emP = M.

Отсюда выводится правило, что должно пренебречь безконечно-малымъ высшаго порядка, если оно прибавляется къ безконечно-малому низшаго порядка“.

Возьмемъ теперь кривую, уравненіе которой и желаемъ опредѣлить площадь, заключенную между ею, осью абсциссъ и двумя ординатами у0, уѵ соотвѣтствующими абсциссамъ х0, Каждая изъ безконечно-малыхъ трапецій, образованныхъ кривой и прямыми одинаковой высоты dx, на которыя разобьется площадь посредствомъ ординатъ, состоитъ изъ прямоугольника и изъ треугольника, образованнаго кривой и прямыми, но этотъ послѣдній представляетъ безконечно-малое второго порядка, и потому можно пренебречь имъ по отношенію къ первому, который есть безконечно-малое перваго порядка. Поэтому искомая площадь равняется суммѣ прямоугольниковъ, стороны которыхъ у, dx и выразится слѣдующимъ образомъ:

Если мы хѵ уѵ будемъ разсматривать, какъ перемѣнныя величины, и обозначимъ просто черезъ х, у, то и площадь А будетъ перемѣнной и ее можно будетъ изобразить черезъ F (х) и тогда получимъ:

Приращеніе dF(x) площади, соотвѣтствующее переходу отъ одной ординаты f{x) къ ближайшей f{x-\-dx), ничто иное, какъ одна изъ уже разсмотрѣнныхъ трапецій; но т. к. вмѣсто нея можно подставить прямоугольникъ f то имѣемъ: dF(x) — f{x)Ax, откуда

Итакъ, интегрированіе оказывается дѣйствіемъ обратнымъ дифференцированію. И, для того, чтобы найти площадь кривой у — f(x) или, что то же самое, интегралъ функціи f (а.-), не нужно болѣе прибѣгать къ разнообразнымъ геометрическимъ пріемамъ, которыми должны были пользоваться въ разныхъ частныхъ случаяхъ предшественники Лейбница; достаточно поискать среди знакомыхъ намъ функцій, нѣтъ ли случайно такой, производная которой была бы именно f(x).

Этотъ процессъ, путемъ попытокъ доведенный впослѣдствіи, поскольку это допустимо сообразно съ характеромъ вопроса, къ своду методическихъ правилъ, обогащенный полезными критеріями для приведенія нѣкоторыхъ классовъ распространенныхъ функцій къ другимъ болѣе легко интегрируемымъ, преобразовалъ интегральное исчисленіе изъ совокупности пріемовъ болѣе или менѣе остроумныхъ въ настоящую науку.

Лейбницу однако принадлежитъ двойная заслуга: во-первыхъ, та, что онъ привелъ все то, что могло быть спорнымъ и не столь точнымъ въ дифференціальномъ исчисленіи, къ основной леммѣ; и, во-вторыхъ, та, что онъ изъ исчисленія сдѣлалъ алгориѳмъ, открывая „царскій путь“ къ высшему анализу точно такъ же, какъ Декартъ проложилъ дорогу къ геометріи.

Важность достигнутаго успѣха была всецѣло признана какъ самимъ Лейбницемъ, такъ и его учениками, давшими тому самое убѣдительное доказательство, примѣняя методъ Лейбница къ изученію труднѣйшихъ и до того неразрѣшенныхъ вопросовъ.— Слѣдовало однако составить сводъ правилъ новаго исчисленія и этой работѣ посвятилъ себя L’Hospital, который въ своей „Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes“ изложилъ систематически диференціальное исчисленіе и его геометрическія приложенія.

Лопиталь считаетъ основой теоріи два слѣдующихъ постулата, которые онъ считаетъ очевидными и также могущими быть въ строгости доказанными:

а) Два количества, разность которыхъ безконечно-мала, могутъ быть замѣнены одно другимъ.

Ь) Кривая можетъ быть разсматриваема, какъ многоугольникъ съ безконечно-большимъ числомъ сторонъ.

Было бы желательнымъ, если бы онъ далъ доказательство этихъ постулатовъ, потому что ему представился бы случай сказать, что онъ понималъ подъ безконечно-малымъ; и это, дѣйствительно, не было бы излишнимъ въ трудѣ, въ заглавіе котораго входитъ безконечно-малое.

„L’Analyse“ имѣла трехъ истолкователей: Вариньонъ, Крузасъ (1663—1748—1750) и Польянъ (1722—1802). Дѣйствительно значительнымъ по существенному значенію труда, который собственно не есть лишь толкованіе, а оригинальная работа является толкованіе Вариньона, извѣстнаго также изслѣдованіями по механикѣ. Вариньонъ исходитъ изъ двухъ постулатовъ, изъ которыхъ первый тождествененъ съ первымъ Лопиталя, а второй устанавливаетъ, что произведеніе двухъ безконечно-малыхъ равняется нулю (понимается по отношенію къ каждому изъ нихъ).

Однако его безконечно-малое ничто иное, какъ количество перемѣнное, неопредѣленно малое; онъ даже употребляетъ безразлично оба выраженія „infiniment petit“ и „indéfiniment, petit“; кромѣ того его способъ разсужденія показываетъ ясное стремленіе къ методу предѣловъ.

Яковъ и Иванъ Бернулли пріобрѣли славу распространенными своими приложеніями исчисленія Лейбница; второй написалъ также подъ заглавіемъ „Lectiones mathematicae de caleulo integralium aiiisque“, трактатъ объ интегральномъ исчисленіи, предназначенный какъ дополненіе къ трактату Лопиталя о дифференціальномъ исчисленіи.

Также и Гранди въ уже ранѣе упомянутомъ трудѣ своемъ: „De infinitis и т. д.“, оспаривая существованіе безконечно-малыхъ постоянныхъ величинъ, изложилъ принципы дифференціальнаго метода, согласно понятіямъ Лейбница.

Между тѣмъ появленіе труда Макъ-Лорэна на континентѣ и вліяніе зкциклопедистовъ давали преимущество методу предѣловъ и открывали доступъ долгимъ спорамъ, о которыхъ будемъ говорить въ слѣдующей главѣ.

Къ вопросу о выводѣ уравненія касательной къ коническимъ сѣченіямъ.

Ѳ. Бѣлоярцевъ. (Кузнецкъ.)

По опредѣленію, касательная къ кривой есть прямая, имѣющая съ этой кривой одну общую точку.

Выходя изъ этого опредѣленія, можно притти къ уравненію касательной къ кривой, слѣдующимъ аналитическимъ путемъ.

Во всѣхъ случахъ уравненіе касательной будемъ изображать въ нормальномъ видѣ:

х cos а-(- у sin а = I.(1)

Выведемъ прежде всего ур-іе касательной къ окружности

я2 уг=гг..........................(2)

Разсматривая ур-ія (1) и (2) совмѣстно, приходимъ къ

X =. I cos а rrr s а V»'2 — ........(3)

Такъ какъ для даннаго направленія касательной точка ко-санія единственная, то въ (3) должно положить

или

т.-е. длина перпендикуляра изъ начала координатъ на касательную равна радіусу окружности, а потому радіусъ, проведенный въ точку касанія, перпендикуляренъ къ касательной.

Изъ (3) имѣемъ:

хл — г cos а

и отсюда

(4)

Изъ ур-ія (2) получимъ

(5)

На основаніи (4) и (5) уравненіе (1) касательной принимаетъ видъ

ххл + УУі — ?'2 (I).

Перенеся центръ круга изъ начала координатъ въ точку (а. ß), получимъ ур-іе касательной къ окружности въ общемъ видѣ:

О* — «) — «) + (У — ß)0/і г\

Ур-іе касательной къ эллипсу (и гиперболѣ). Рѣшаемъ систему ур-ій

X cos -j- а — I ....

(1)

(6)

тогда получимъ

По тѣмъ же основаніямъ, что и въ первомъ случаѣ, полагаемъ и здѣсь

или

(7)

На основаніи этого послѣдняго

(3)

Подставивъ выраженіе (8) въ (6), получимъ

или, на основаніи (7)-го

Изъ (8)-го и (9)-го имѣемъ

Подставивъ эти значенія cos а и sin а въ ур-іе (1), получимъ ур-іе касательной къ эллипсу

(11)

Уравненіе касательной къ гиперболѣ можно получить изъ II простымъ указаніемъ на то, что для гиперболы 1 —е2 ——Ь2, н потому ур-іе касательной къ гиперболѣ

(III)

Уравненіе касательной къ параболѣ. Рѣшая совмѣстно ур-ія

(1)

(10)

получимъ

Полагая и здѣсь

(11)

получимъ

или, на основаніи (11),

(12)

отсюда

(12')

Подставивъ въ (11) значеніе изъ (12), получимъ

или такъ какъ

(13)

На основаніи (12') и (13) ур-іе касательной (1) принимаетъ

видъ

2-2- — —= 1 ................(14)

Въ этомъ видѣ уравненіе касательной къ параболѣ я не встрѣчалъ и думаю, что оно болѣе удобно для запоминанія.

Чтобы перейти отъ ур-ія (14) къ ур-ію

УУх =і> (х + хі)-

замѣняемъ въ ур-іи (14), послѣ умноженія обѣихь частей его на 3clt величину черезъ р.

Новый способъ для рѣшенія уравненія 4-й степени.

И. Свобода.

Этотъ способъ заключается въ слѣдующемъ: Уравненіе вида

(1)

гдѣ

можно рѣшить слѣдующимъ образомъ:

Раздѣлимъ уравненіе на 5 и получимъ

Полагая теперь

мы найдемъ:

Такимъ образомъ рѣшеніе уравненія 4-й степени вида (1) сводится къ рѣшенію двухъ квадратныхъ уравненій.

Переходимъ теперь къ разсмотрѣнію уравненій 4-й степени

вида

X*-j- ax3 -f- Ъх2 -f- -)- = 0..(2)

гдѣ коэффиціенты не связаны между собой никакими соотношеніями.

Пусть

x — y + h

Уравненіе (2) принимаетъ видъ

Надо h опредѣлить такъ, чтобы уравненіе (2) приняло видъ {!), или чтобы h удовлетворяло условію:

или

Мы видимъ, что h опредѣляется помощью коэффиціентовъ уравненія (2).

Примѣръ.

Разсмотримъ уравненіе:

Полагая

получимъ

или для h: откуда

Полагая теперь въ уравненіи

вмѣсто X мы получимъ или

Полагая

мы имѣемъ откуда

или

Значеніе методовъ построенія въ изложеніи и преподаваніи геометріи.

И. Александровъ. (Москва.)

Въ серьезной части русской и заграничной литературы вполнѣ установился правильный взглядъ на значеніе методовъ рѣшенія конструктивныхъ задачъ, какъ на существенное орудіе математическаго образованія. Во многихъ отношеніяхъ вопросъ этотъ можетъ считаться разработаннымъ. Поэтому, не касаясь всѣхъ сторонъ этого предмета, мы намѣрены указать на тѣ его характерныя черты, которыя обыкновенно не принимаются во вниманіе.

Внося съ одной стороны правильность и порядокъ въ рѣшеніе задачъ, эти методы въ то же время суть и методы самаго предмета математики. И, если нѣкоторыя главы нашихъ учебниковъ по геометріи могутъ быть изложены сравнительно проще, то это часто происходило оттого, что авторамъ не приходило въ голову пользоваться идеями методовъ построенія. Рѣшеніе геометрическихъ задачъ на построеніе съ помощью алгербы и аналитической

геометріи, хотя довольно рѣдко, но иногда1) считаютъ поглощающимъ чисто геометрическіе методы рѣшенія. Съ этимъ мнѣніемъ никакъ нельзя согласиться. Въ самомъ дѣлѣ, составленіе уравненій даже въ простыхъ случаяхъ (ниже приведены примѣры) дѣлается весьма затруднительнымъ, если пользоваться даннымъ рисункомъ, не дѣлая на немъ вспомогательныхъ построеній. Случаи, въ которыхъ уравненія получаются безъ проведенія вспомогательныхъ линій, дѣлаются тѣмъ рѣже, чѣмъ дальше мы идемъ вглубь предмета. Проведеніе же вспомогательныхъ линій всего чаще и существеннымъ образомъ вызывается чисто геометрическими идеями. Такимъ образомъ идеи построенія даютъ фундаментъ для составленія уравненій, и безъ нихъ методы алгебры и аналитической геометріи часто бываютъ безсильны. На практикѣ одни предпочитаютъ одинъ методъ, другіе—другой, въ дѣйствительности же до очевидности ясно, что всѣ эти три метода должны быть не въ соперничествѣ, а въ дружномъ взаимодѣйствіи. Только такое широкое взаимодѣйствіе методовъ могло довести теорію построеній до современнаго громаднаго совершенства.

Наконецъ, свободное и изящное рѣшеніе задачъ на вычисленіе, какъ уже ясно изъ предыдущаго, не можетъ быть выполнено безъ нѣкотораго знакомства съ тѣми же идеями построенія. Вотъ примѣры.

Теорема „внѣшній уголъ больше внутренняго“ всего легче и вполнѣ строго доказывается передвиженіемъ треугольника по АС, пока А не попадетъ въ О, а С въ D, или движеніемъ треугольника по ВС, пока В не придетъ въ С. Въ обоихъ случаяхъ углы А и В сдѣлаются частями угла BCD.

Въ связи съ этимъ, свойства равнобедреннаго треугольника и зависимость длины сторонъ отъ угловъ легко обнаруживается повертываніемъ треугольника АВС на 180° и наложеніемъ его самого на себя. При этомъ С придетъ въ О,, въ Аи и пусть АС и Ах Сх встрѣтятся въ D. Тогда уголъ С\ окажется внѣшнимъ для А ADC,и потому СХ>А или С>АХ.

Всѣ теоремы о зависимости наклонныхъ и ихъ проекцій весьма легко доказываются въ планиметріи и стереометріи вращеніемъ наклонныхъ около перпендикуляра и проекцій около слѣда перпендикуляра въ извѣстной плоскости.

Почти всѣ теоремы о дугахъ и хордахъ могутъ быть доказаны проще обычнаго, исходя изъ идей вращенія около точки. Пусть требуется доказать, что дугѣ AB, которая больше дуги CD, соотвѣтствуетъ большая хорда. Вращаемъ AB около центра до тѣхъ поръ, пока хорда AB не станетъ параллельна хордѣ CD. Легко указать, какое положеніе займутъ точки А и В. Опуская перендикуляръ изъ С и Dна новое положеніе AB, легко видѣть, насколько хорда AB больше хорды CD. Тутъ же видно, насколько большая хорда ближе къ центру и т. д.

Что около фигуры можно описать только одну окружность, всего удобнѣе можно доказать методомъ геометрическихъ мѣстъ;

1) См., напримѣръ, „Собраніе геом. задачъ на построеніе“ П. Некрасова Москва, 1891 г.

то же самое относительно вписанной окружности. Основная теорема относительно положенія двухъ окружностей (и двухъ шаровъ), именно: „если двѣ окружности имѣютъ общую точку внѣ линіи центровъ и т. д.“ всего короче доказывается вращеніемъ около оси (симметрія. Тѣ же идеи симметріи играютъ огромную роль въ правильныхъ многогранникахъ. Теоремы о линейныхъ и двугранныхъ углахъ съ параллельными и перендикулярными сторонами легко доказываются параллельнымъ перенесеніемъ и вращеніемъ.

Зависимость между плоскими углами трехграннаго угла можетъ быть показана слѣдующимъ очень простымъ способомъ. Пусть плоскіе углы будутъ ASB, ASC и такъ что /ASB—наибольшій. Допустимъ, что /_ASB> /_ASC-\-Z_BSC. Вращаемъ плоскости меньшихъ угловъ около осей S.T и SB пока онѣ не лягутъ на /_ASB. Отрѣзокъ SCзайметъ два положенія SX и SY. При обратномъ вращеніи SX и SF, образующія уголъ XS У, очевидно, станутъ удаляться другъ отъ друга и уже не могутъ образовывать трехграннаго угла, чего не можетъ быть. Также доказывается невѣрность гипотезы /_.А SB—^_ASC>/_BSG.

Теорема о суммѣ плоскихъ угловъ многограннаго угла всего легче доказывается наглядно и вполнѣ строго слѣдующимъ образомъ.

Внутри многограннаго выпуклаго угла S возьмемъ (чер. 1) произвольно точку О и проведемъ черезъ О плоскость, перпендикулярную къ SO. Въ сѣченіи получится многоугольникъ ABODE. Передвинемъ точку S въ Stпо направленію къ О. Тогда каждый изъ угловъ . . . . уменьшится. Въ самомъ дѣлѣ, если SXj^ то, повернувъ A около оси AB до совпаденія съ пло-скостю А SB, найдемъ, что тогда Sl придетъ на SX въ и, очевидно, 2_А SX> /_А S2X. При дальнѣйшемъ движеніи точки S къ О интересующая насъ сумма будетъ уменьшаться и, когда точка S придетъ въ О, сдѣлается равною 360°; слѣд., раньше она была меньше четырехъ прямыхъ. Если мы желаемъ ограничиться исключительно нагляднымъ доказательствомъ, то точку О можно брать произвольно на плоскости ABODE, проведя эту послѣднюю предварительно. Конечно, это доказательство можно считать болѣе легкимъ, чѣмъ обычное, только для тѣхъ лицъ, которыя имѣютъ твердыя и ясныя пространственныя представленія.

Теорема о равновеликости прямой и наклонной призмы легко доказывается параллельнымъ перенесеніемъ. Если ABC есть наклонная призма и XYZ ея перпендикулярное сѣченіе, то многогранникъ XG переносимъ параллельно, двигая вершины А, В и

Черт. 1.

С по ребрамъ до тѣхъ поръ, пока сольется съ abc. Наклонная призма превратится въ прямую.

Словомъ не существуетъ такого уголка геометріи, котораго хотя бы отчасти нельзя было упростить съ помощью различныхъ идей построенія. И это очень понятно. Въ самомъ дѣлѣ, рѣшеніе всякой задачи на построеніе оканчивается доказательствомъ справедливости построенія. Эта часть рѣшенія представляетъ собою теорему, и, конечно, въ числѣ этихъ теоремъ могутъ попадаться въ огромномъ количествѣ такія теоремы, доказательство которыхъ проще, чѣмъ доказательства, независящія отъ построенія. Очевидно возможенъ и тотъ случай, что доказательство, вытекающее изъ построенія, окажется единственно возможнымъ. Такіе случаи указаны ниже.

Здѣсь необходимо обратить вниманіе на три очень важныя обстоятельства.

Во-первыхъ, указанные случаи примѣненія метода вращеніи около оси достаточно приготовятъ слушателей къ весьма легкому усвоенію понятія о тѣлахъ вращенія.

Во вторыхъ, всѣ доказательства, построенныя на идеяхъ заданныхъ методовъ, могутъ быть показаны на моделяхъ—нагляднымъ образомъ, все-равно, будутъ ли эти доказательства прямыми или обратными.

Въ третьихъ, въ сужденіи о равенствѣ и подобіи фигуръ по нѣкоторымъ даннымъ соотношеніямъ частей этихъ фигуръ, геометрическія построенія, вообще говоря, приводятъ къ результату гораздо скорѣе, чѣмъ обычныя доказательства; въ трудныхъ же случаяхъ, построенія оказываются незамѣнимымъ оружіемъ сужденія. Вотъ два примѣра, легкій и трудный.

Построеніе треугольника по даннымъ а, и А даетъ 4 совпадающихъ рѣшенія. Поэтому треугольники, имѣющіе соотвѣтственно равные а, та и А, равны, а треугольники, имѣющіе соотвѣтственно равныя А и а:та, будутъ подобны.

Построеніе четыреугольника по даннымъ угламъ и діагоналямъ1) даетъ одно рѣшеніе.

Изъ этого заключаемъ, что два четыреугольника, имѣющіе углы и діагонали соотвѣтственно равными, равны между собой, и что два четыреугольника, имѣющіе равные углы и пропорціональныя діагонали, подобны. Я много разъ пробовалъ самъ и просилъ многихъ лицъ прійти къ этому заключенію обычнымъ путемъ, а также путемъ тригонометріи—однако рѣшенія не получалось.

Переходимъ къ задачамъ на вычисленіе, включая въ нихъ и тригонометрію. Пусть дана задача „вычислить площадь трапеціи ABCJD, зная діагонали и среднюю линію MN“. Можно быть увѣреннымъ, что не только ученикъ, но и вообще лица, незнакомыя съ идеей „многія задачи лишь отъ того трудны, что данныя расположены слишкомъ далеко другъ отъ друга“ очень затруднятся рѣшеніемъ. И дѣйствительно, идя шаблоннымъ путемъ,

1) Подробности въ моемъ докладѣ „О построеніи параллелограмовъ“ см. „Матем. Образованіе* за 1913 г.

мы едва ли сумѣемъ опредѣлить высоту, потому что, какъ видно ниже, одна изъ непараллельныхъ сторонъ или отношеніе остаются произвольными. Но стоитъ только перенести параллельно BD въ СЕ, тогда получится Д АСЕ, равновеликій трапеціи, при чемъ въ немъ окажутся извѣстными всѣ три стороны, и задача легко рѣшается1). Еще убѣдительнѣе опредѣленіе площади четыреугольника по даннымъ двумъ діагоналямъ и отрѣзку, соединяющему середины двухъ противоположныхъ сторонъ (см. „Методы геом. задачъ Александрова“, 484, II, стр. 90).

Однажды, бесѣдуя на эту тему съ товарищами, мало знакомыми съ идеями построеній, я предложилъ слѣдующую задачу на вычисленіе: „Даны двѣ равныя окружности, О и 0„ и внѣшняя точка А (чер. 2). Проведены два параллельные радіуса ОХ и О, У, видные изъ А подъ равными углами. Вычислить этотъ

уголъ зрѣнія, зная радіусы и длины АО, АОг и 0 Всѣ очень затруднились. А между тѣмъ задача не можетъ быть трудна лицу, которому извѣстна идея совмѣщенія равныхъ. И, дѣйствительно, перенесемъ параллельно двигая Ог по линіи центровъ, пока радіусы ОгУи ОХ не сольются.

Тогда А придетъ въ Аѵ и, такъ какъ углы А и Ах равны, точки О, X, А и Ах лежатъ на одной окружности. Радіусъ этой окружности, описанной около Д ОААх съ тремя извѣстными сторонами, легко опредѣлить. Затѣмъ уже легко вычислить уголъ, вписанный въ эту окружность и опирающійся въ ней на извѣстной длины хорду ОХ2).

Если не пользоваться параллельнымъ перенесеніемъ, то первые два примѣра можно считать забронированными отъ обычныхъ пріемовъ вычисленія алгеброй и тригонометріей, послѣдній же примѣръ даетъ довольно сложное тригонометрическое уравненіе.

Извѣстно далѣе, какую благодарную почву для различныхъ изслѣдованій представляютъ maxim’a и minim’а. Оказывается, что и здѣсь идеи построеній донельзя упрощаютъ дѣло и должны быть поставлены на очень видное мѣсто. Вотъ одинъ изъ очень хорошихъ примѣровъ. Пусть нужно въ данный Д АВС вписать Д EDF наименьшаго периметра (точка на ВС).

Рѣшеніе этого вопроса уравненіями безъ участія построеній представляетъ большія трудности. Между тѣмъ отразимъ D въ

Черт. 2.

1) Мы видимъ, что указанный способъ вычисленія площади трапеціи надо предпочесть обычному способу, потому что онъ распространяется на болѣе широкій кругъ задачъ и заключеній. Кромѣ того, безъ него нельзя обойтись при превращеніи многоугольника въ равновеликій треугольникъ.

2) Насколько построенія упрощаютъ тригонометрическія выкладки, показано въ моей статьѣ „Примѣненіе геометрическихъ построеній къ тригонометріи“. См. „Вѣстн. Опытной Физики" за 1892 г.

AB и АС (чер. 3). Полученная ломаная GEFH должна обратиться въ прямую. Но такъ какъ ^GAR то въ окружности, центръ которой есть А и которая проходитъ черезъ Д хорда G В. станетъ наименьшей при наименьшей длинѣ радіуса, т.-е., при AB_\_ВС.Искомый треугольникъ имѣетъ вершины въ основаніяхъ высотъ1).

Конечно, намъ скажутъ, что примѣровъ, подобныхъ приводимымъ, давать ученикамъ нельзя. Но на это можно возразить довольно сильно.

Во-первыхъ, безъ идей перенесенія не могутъ рѣшаться и совсѣмъ простыя, такъ - сказать, обиходныя задачи и теоремы. Такова задача „вычислить объемъ правильной усѣченной 6-угольной пирамиды, зная стороны основаній и боковое ребро. Пока не догадаемся высоту перенести въ одну изъ вершинъ малаго основанія, или продолжить хоть два ребра до пересѣченія, задача не рѣшится.

Чтобы опустить изъ А перпендикуляръ на плоскость Р, по указанію А. Ю. Давидова, надо провести по Р произвольную MN, изъ А опустить AB_\_MN, по Р провести BC_]_MN и, наконецъ, изъ А опустить AB ВВС. Въ предѣлахъ того же учебника, мы едва ли докажемъ, что отрѣзокъ AB есть искомый, пока не догадаемся перенести MN параллельно въ точку В.

И такихъ примѣровъ очень много.

Во-вторыхъ, вѣдь никто, кажется, и не говорилъ, что изученіе методовъ построенія надо доводить до указанныхъ въ этой статьѣ предѣловъ. Какъ и во всякомъ преподаваніи, граница предмета и степень углубленія въ него должны быть указываемы, главнымъ образомъ, тактомъ преподавателя и качествами того матеріала и тѣхъ условій, среди которыхъ приходится работать. Изъ всякаго предмета можно сдѣлать для учениковъ муку-мученскую. Вопросъ же здѣсь лишь въ томъ, почему, дѣлая въ настоящее время исключительно задачи на вычисленіе, совершенно пренебрегаютъ тѣми методами геометріи, на которыхъ эти вычисленія основаны, и далѣе, почему исключаютъ изъ преподаванія хотя бы краткое изученіе тѣхъ идей, безъ которыхъ невозможны улучшеніе преподаванія самого предмета, а подчасъ и легкое его усвоеніе.

Вопросъ этотъ имѣетъ свою краткую и печальную исторію, изъ которой пока могу привести лишь слѣдующее. Почти сорокъ лѣтъ тому назадъ въ Харьковскомъ учебномъ округѣ стали давать на экзаменахъ зрѣлости задачи на построеніе, иногда при-

Черт. 3.

1) Интересующіеся чисто геометрическими способами нахожденія maxim’овъ, найдутъ ихъ въ моей запискѣ того же названія (Вѣстн. Оп. Физики, за 1892 годъ).

соединяя къ нимъ элементы вычисленія. При этомъ округъ давалъ темы по своему выбору, по обыкновенію не соблюдая должной осторожности и игнорируя представляемыя преподавателями темы, между тѣмъ какъ задачи на построеніе болѣе, чѣмъ какой-нибудь отдѣлъ математики, требуютъ къ себѣ бережнаго отношенія и внимательной послѣдовательности1). Успѣшность письменныхъ работъ зрѣлости по геометріи стала въ округѣ сильно пошатываться и колебаться, и ненормальная постановка дѣла черезъ нѣсколько лѣтъ разрѣшилась однажды тѣмъ, что въ одной изъ Харьковскихъ гимназій изъ 40 учениковъ сдѣлалъ геометрическую задачу, насколько я помню, только одинъ (а, можетъ-быть, и ни одинъ). Случилось это на задачѣ „въ данный секторъ вписать квадратъ и вычислить уголъ зрѣнія, подъ которымъ видна изъ центра одна изъ сторонъ квадрата, зная уголъ сектора“.

Вскорѣ послѣ этого скандала министръ г. Деляновъ циркуляромъ устранилъ задачи на построеніе изъ казенныхъ гимназій. Лица, имѣвшія непосредственное общеніе съ округомъ, тогда разсказывали, что въ числѣ нерѣшившихъ вышепоставленную задачу былъ сынъ весьма вліятельнаго человѣка г. А-ва, близкаго знакомаго г. Делянова, и что судьба задачъ на построеніе была рѣшена г.г. Деляновымъ и А-вымъ за чашкой чая.

Появившаяся въ то же время программа задачъ на построеніе въ реальныхъ училищахъ совершенно не могла спасти дѣла, потому что она была построена на невѣрной идеѣ, классифицируя задачи по фигурамъ, участвующимъ въ задачѣ, а не по методамъ ихъ рѣшенія. Задачи на построеніе стали практиковаться все меньше и меньше, и въ настоящее время ихъ стали избѣгать даже тамъ, гдѣ онѣ рѣшительно необходимы, т.-е. въ 4-хъ классахъ среднихъ учебныхъ заведеній.

Въ теченіе моей почти 40-лѣтней дѣятельности мнѣ многократно приходилось выступать поборникомъ распространенія задачъ на построеніе, и на съѣздахъ, и въ печати, и въ различныхъ обществахъ и въ частныхъ собраніяхъ. Какихъ, какихъ тутъ возраженій я не слышалъ? Лишь немногія серьезныя лица указывали на три причины неудобства конструктивныхъ задачъ въ средней школѣ, при чемъ онѣ, конечно, могутъ быть устранены. Я разумѣю слѣдующія соображенія: 1) чтобъ учить задачамъ на построеніе, надо самому быть до нѣкоторой степени хозяиномъ въ этомъ дѣлѣ, 2) при существующемъ крайнемъ перегруженіи программъ задачамъ на построеніе нѣтъ мѣста и 3) столичные преподаватели, волей или неволей, должны себѣ набирать излишнее число уроковъ.

Въ частныхъ собесѣдованіяхъ по этому поводу я обыкновенно попадалъ въ положеніе, аналогичное положенію Л. Н. Толстого, когда онъ по случаю всеобщей переписи объѣзжалъ всю Москву со своимъ проектомъ уничтоженія нищеты въ Москвѣ.

1) Повѣрятъ ли мнѣ читатели, что въ это время по просьбѣ учениковъ 7-го класса Тамбовской гимназіи я офиціально хлопоталъ объ изьятіи моей книги „Методы геом. задачъ на построеніе“ изъ преподаванія въ этомъ классѣ— о того преподаватель неосторожно ею пользовался.

Дѣло, конечно, начиналось съ финансовыхъ комбинацій, и великій писатель свои бесѣды со своими знакомыми характеризуетъ слѣдующими словами: „Какъ только они понимали въ чемъ дѣло, имъ становилось какъ - будто неловко и совѣстно, преимущественно за меня, за то, что я говорю глупости, но такія глупости, про которыя никакъ нельзя прямо сказать, что это глупости. Какъ-будто какая-то внѣшняя сила обязывала слушателей потакнуть моей глупости“ (Л. Н. Толстой, часть XII, стр. 281).

Къ вопросу объ опредѣленіи десятичной дроби въ нашей учебной ариѳметической литературѣ.

В. Фридманъ. (Москва).

Въ настоящее время неизвѣстно въ точности, кого слѣдуетъ считать „изобрѣтателемъ“ современныхъ десятичныхъ дробей— швейцарца ли Бюрги или бельгійца Стевина или француза Віета; ясно, однако, что, кого бы ни считать изобрѣтателемъ десятичныхъ дробей, моментомъ изобрѣтенія ихъ является именно тотъ, когда была придумана особая система ихъ записыванія. И если во всѣхъ нашихъ учебникахъ (или задачникахъ) ариѳметики существуетъ особый отдѣлъ, посвященный спеціально дѣйствіямъ надъ десятичными дробями, то это происходитъ именно вслѣдствіе особаго способа записыванія десятинныхъ дробей, связаннаго съ обычнымъ способомъ записыванія цѣлыхъ чиселъ по десятичной системѣ, счисленія. Вслѣдствіе этого нельзя считать правильнымъ такое опредѣленіе десятичной дроби, въ которомъ не указанъ способъ записыванія ея.

Для того, чтобы дать правильное опредѣленіе десятичной дроби слѣдуетъ предварительно выяснить, что такое десятичная доля единицы, и что такое десятичный знакъ. Выяснивши эти два понятія можно опредѣлить десятичную дробь такъ: десятичная дробь есть дробь, состоящая изъ десятичныхъ долей единицы и условно записываемая при помощи десятичныхъ знаковъ. Если принять это опредѣленіе, то нельзя считать десятичной дробью, напримѣръ, дробь : это обыкновенная дробь съ знаменателемъ 1000; представивъ эту дробь въ видѣ суммы щ^+ѣООО мы ближе подойдемъ к ъдесятичной дроби 0,275, но и это не будетъ еще десятичная дробь.

Близкое къ нашему опредѣленіе десятичной дроби имѣется въ „Энциклопедіи элементарной математики“ Вебера и Вельштейна. Вотъ это опредѣленіе: дробь, имеющая знаменателемъ сте-

пень десяти и написанная въ формѣ (2)*) называется десятичной дробью. (Томъ I стр. 67)

Это опредѣленіе отличается отъ нашего тѣмъ, что здѣсь есть указаніе на знаменателя десятичной дроби взамѣнъ нашего указанія на составъ дроби изъ десятичныхъ долей единицы. Въ сущности указаніе на знаменателя десятичной дроби нѣсколько неточно и даже неправильно, ибо у десятичной дроби, понимаемой согласно опредѣленію ея, существуетъ не одинъ, а нѣсколько знаменателей: такъ, для дроби 0,275 эти знаменатели суть 10,100, и 1000. Было бы ошибочно считать за знаменателя дроби 1000—это лишь знаменатель послѣдней десятичной доли дроби, или знаменатель той обыкновенной дроби, въ которую обращается десятичная—0,275.

Въ нашихъ оригинальныхъ учебникахъ ариѳметики, мы встрѣчаемъ рядъ неправильныхъ опредѣленій. Разсмотримъ нѣкоторыя изъ этихъ опредѣленій.

1) „Курсъ теоретической ариѳметики“ А. Н. Глаголева. „Десятичной дробью называется дробь, знаменатель которой есть 10, 100, 1000, вообще степень десяти. Общій видъ такой дроби (стр. 159, 2-е изд.). У Глаголева между прочимъ можно найти такую фразу (стр. 162): „Дроби, имѣющія одинаковое число десятичныхъ знаковъ, имѣютъ одинаковые знаменатели—ясно, что это невѣрно, и что это можно сказать лишь о тѣхъ обыкновенныхъ дробяхъ, въ которыя обращаются десятичныя дроби.

2) „Учебникъ теоретической ариѳметики "В. Каспарьянца. „Дробь, знаменатель которой есть 10, 100, 1000, вообще нѣкоторая степень 10, называется десятичной; общій видъ десятичной дроби будетъ (стр. 76.) Мы видимъ, что В. Каспарьянцъ допускаетъ ту же ошибку, что и А Глаголевъ. На стр. 78 этого же учебника мы читаемъ: „способъ чтенія десятичныхъ дробей состоитъ въ томъ, что мы переводимъ десятичную дробь въ простую и читаемъ полученную дробь“. Ясно, что это указаніе противорѣ-читъ опредѣленію г. Каспарьянца; въ то же время это указаніе было бы вполнѣ естественнымъ, принимая наше опредѣленіе десятичной дроби. Вообще слѣдуетъ замѣтить, что большинство авторовъ учебниковъ, давъ сначала неправильное опредѣленіе, десятичной дроби („дробь вида ) примѣняютъ затѣмъ на практикѣ терминъ „десятичная дробь“ только для обозначенія дробей въ родѣ 0,275 или 0,3 и т. д.; т.-е. de facto пользуются этимъ терминомъ не такъ, какъ это слѣдуетъ изъ ихъ неправильнаго опредѣленія: при этомъ имѣется въ виду именно то опредѣленіе, которое мы даемъ десятичной дроби.

*) Форма (2) указана у Вебера и Вельштейна раньше въ видѣ строчки d = ат ат_х . . . аха0 a__t а__2 . . . а__п гдѣ а__ь а__2 . . . а__м означаютъ десятичные знаки.

„Систематическій курсъ ариѳметики“ Киселева. Опредѣленіе десятичной дроби здѣсь слѣдующее: „число, состоящее изъ десятичныхъ долей, называется десятичной дробью (или десятичнымъ числомъ)“, (стр. 144 изд. 16-е). Далѣе слѣдуетъ указаніе на способъ записыванія десятичныхъ дробей, разсматривается обращеніе десятичной дроби въ обыкновенную и затѣмъ уже слѣдуютъ указанія, какъ читать десятичную дробь; здѣсь, между прочимъ, есть указаніе, что „при такомъ чтеніи называется та обыкновенная дробь, въ которую обращется десятичная“. Мы видимъ такимъ образомъ, что г. Киселевъ вполнѣ правильно подходитъ къ дѣлу, остается лишь пожалѣть, что способъ записыванія десятичныхъ дробей не указанъ у г. Киселева непосредственно въ опредѣленіи. Иначе можетъ получиться, что дробь ÏO^TÔÔ+Ш) ^СМ- свыше) Должна быть названа десятичной.

4) „Ариѳметика“ В. Васильева. „Дроби, знаменателемъ которыхъ служатъ числа 10, 100, 1000 и т, д., вообще единица съ однимъ или нѣсколькими нулями, называются десятичными дробями. Всѣ же прочія дроби съ иными знаменателями, какъ, напр. у, щ и т. п., называются простыми или обыкновенными дробями“ (стр. 62, изд. 16-е). Итакъ г. Васильевъ отказывается называть дроби въ родѣ или уф обыкновенными дробями, что уже совершенно странно. Любопытно то, что г. Васильевъ противорѣ-читъ затѣмъ самъ себѣ на стр. 78 своего учебника, гдѣ онъ говоритъ слѣдующее: „чтобы обратить конечную десятичную дробь въ простую, достаточно подписать подразумеваемаго знаменателя и, если можно, сократить“—слѣдовательно здѣсь дроби -г^г или уже считаются за обыкновенныя.

5) „Ариѳметика“ Н.Соколова. Здѣсь допущена та же странная ошибка, что и у г. Васильева, но зато г. Соколовъ не говоритъ далѣе объ обращеніи конечной десятичной дроби въ обыкновенную. Оба автора занимаются приведеніемъ десятичныхъ дробей, въ родѣ 0, 9 и 0, 87, къ общему знаменателю, что, какъ мы выяснили выше, невѣрно, ибо вообще нельзя говорить о знаменателѣ десятичной дроби.

6) „Учебникъ Ариѳметики“ Е. Тихомирова. Здѣсь дано такое же опредѣленіе десятичныхъ дробей, какъ и у предыдущихъ авторовъ учебниковъ, разсматриваются вопросы о приведеніи десятичныхъ дробей къ общему знаменателю. Е. Тихомировъ говоритъ также (стр. 108) объ обращеніи десятичной дроби въ обыкновенную, несмотря на то, что по его опредѣленію, напримѣръ, дробь есть десятичная дробь.

Вышеизложенное показываетъ, что почти всѣ авторы разсмотрѣнныхъ учебниковъ невѣрно опредѣляютъ десятичную дробь, неправильно говорятъ о знаменателѣ десятичной дроби (въ родѣ

0,54 или 0,378), впадаютъ во внутреннее противорѣчіе сами съ собой, разсматривая вопросъ объ обращеніи конечной десятичной дроби въ обыкновенную. Въ результатѣ получается полная неопредѣленность самаго понятія о десятичной дроби.

Легко понять, почему возникло такое смѣшеніе различныхъ понятій. Дѣло объясняется тѣмъ, что, когда мы читаемъ десятичную дробь, (какъ, напримѣръ, 0,54 или 0,378), то мы читаемъ, въ сущности, не десятичную дробь, а ту обыкновенную или которой десятичная дробь равна,—отсюда уже одинъ шагъ до того, чтобы считать такія дроби, какъ или за десятичныя. Правильное, съ теоретической точки зрѣнія, чтеніе десятичной дроби (напримѣръ, 0,378) было бы слѣдующее (по разрядамъ): 0 цѣлыхъ, 3 десятыхъ, 7 сотыхъ и 8 тысячныхъ. Но такое чтеніе правильно и съ практически педагогической точки зрѣнія: такое чтеніе легко и удобно для учащихся; если бы мы такъ читали десятичныя дроби, то и записываніе ихъ подъ диктовку было бы для учащихся весьма легкимъ дѣломъ. Извѣстно, какъ учащіеся затрудняются записывать и читать десятичныя дроби (особенно, если нѣкоторые разряды отсутствуютъ): это объясняется всецѣло тѣмъ, что преподаватели, съ легкой руки составителей учебниковъ, слишкомъ торопятся читать дроби десятичныя, какъ обыкновенныя*). Этого затрудненія не было бы при вышеуказанномъ чтеніи по разрядамъ.

Замѣтимъ, что, читая десятичную дробь по разрядамъ, мы осуществляемъ практически ту связь между цѣлыми числами и десятичными дробями, которая признается принципіально всѣми авторами учебниковъ. Дѣйствительно, читая, напримѣръ, число 378 какъ триста семьдесятъ восемь, мы указываемъ, что въ этомъ числѣ 3 сотни (триста), 7 десятковъ (семьдесятъ) и 8 единицъ (восемь): иными словами мы указываемъ, сколько въ данномъ числѣ содержится единицъ разныхъ разрядовъ. Желая быть послѣдовательными, мы должны и дробь 0,378 читать, какъ о цѣлыхъ, 3 десятыхъ, 7 сотыхъ и 8 тысячныхъ**) И это будетъ тѣмъ болѣе справедливо, что облегчитъ трудъ учащихся.

Мы были бы очень довольны, если бы эта замѣтка обратила на себя вниманіе нашихъ составителей учебниковъ и если бы она посодѣйствовала тому, чтобы въ теорію и практику десятичныхъ дробей въ нашихъ школахъ была внесена большая стройность и опредѣленность.

*) Техники и ученые часто читаютъ и диктуютъ десятичныя дроби по разрядамъ; такъ, желая указать, что коэффиціентъ расширенія воздуха равенъ 41,00366 говорятъ, что этотъ коэффиціентъ равенъ нуль, запятая, нуль, нуль, три, шесть и шесть, при этомъ опускаются для простоты названія разрядовъ.

**) Впрочемъ, авторъ однаго изъ учебниковъ, г. Извольскій, считаетъ такой способъ чтенія „упрощеніемъ въ чтеніи десятичныхъ дробей“ (стр. 90).

Задачи.

Подъ редакціей Э. Ю. Лейнѣка.

305. Рѣшить уравненіе:

Е. Григорьевъ.

306. Рѣшить систему уравненій

И. Травчетовъ.

307. Опредѣлить въ цѣлыхъ числахъ стороны треугольника, площадь и периметръ котораго выражаются однимъ и тѣмъ же числомъ.

308. Построены: 4-угольникъ, 5-угольникъ, 6-угольникъ и т. д. число діагоналей во всѣхъ многоугольникахъ 800. Сколько построено многоугольниковъ?

I. ч.

309. Рѣшить въ цѣлыхъ числахъ уравненіе

В. Городковъ.

310. Доказать, что если въ треугольникѣ равны между собою линіи АА' и СС, дѣлящія въ одномъ и томъ же отношеніи (считая отъ основанія) углы при основаніи, то треугольникъ равнобедренный.

311. Рѣшить ур-іе

А. Кечеджіевъ.

312. Въ выраженіи

подобрать для х

и у наименьшія цѣлыя положительныя числа такъ, чтобы вторыя двѣ дроби были несократимы, а результатъ выразился бы дробью, которая при наименьшемъ положительномъ числителѣ сокращалась бы наисильнѣйшимъ образомъ.

И. Александровъ.

Рѣшенія задачъ.

200. Дана прямая MN и Точка

По прямой MN катится извѣстной величины кругъ. Привести его въ такое положеніе, чтобы произведеніе касательныхъ AB и АС (В и С на MN) имѣло данное значеніе

Пусть задача рѣшена и кругъ радіуса г, катясь по линіи MN, принялъ такое положеніе, что произведеніе касательныхъ AB и АС равно ІА. На основаніи извѣстнаго соотношенія пишемъ равенство

Ьс = 2 Rh

гдѣ R— радіусъ описанной около ЛВС окружности, а —высота Д АВС.

Изъ написаннаго равенства выводимъ, что

(1)

Легко можно было бы показать, что разсматриваемая окружность, радіуса В, касается прямой, проведенной на разстояніи <2=^—vjÿ отъ MN по другую сторону, чѣмъ А. (См., напр., Мат. Обр. 1915, стр. 323). Отсюда слѣдуетъ построеніе. Изъ точки А радіусомъ, равнымъ к, засѣкаемъ данную прямую въ точкѣ А' и къ А А' возставляемъ въ А' перпендикуляръ до пересѣченія въ А" съ перпендикуляромъ, опущеннымъ изъ А на

Половина отрѣзка АА" на основаніи (1) будетъ величиною Строимъ далѣе отрѣзокъ d и проводимъ прямую M'N', отстоящую отъ MN на разстояніи d (въ той части плоскости, гдѣ нѣтъ А). Проводимъ далѣе прямую отстоящую отъ MN' на разстояніи R (въ той части, гдѣ А) и засѣкаемъ эту прямую изъ центра А радіусомъ R. Точка пересѣченія будетъ искомымъ центромъ и окружность, описанная изъ нея радіусомъ R, дастъ въ пересѣченіи съ MN двѣ другихъ вершины и Задача невозможна, если h^2r или, если k^h.

К. Верещагинъ (Козловъ), В. Добровольскій (Москва), В. Кованько (Вышній Волочекъ), Н. Козыревъ (Енисейскъ), А. Сердобинскій (Харьковъ).

Въ виду того интереса, который вызвала эта задача у нѣкоторыхъ подписчиковъ приводимъ ниже рѣшеніе ея въ томъ видѣ, какъ оно дано ея авторами.

„Въ Д А ВС извѣстны г, ha и = « Такой треугольникъ можно построить (IV, 33 задачника Александрова, 14-е изданіе)“.

225. По сторонамъ DA и СВ вписаннаго въ кругъ четыреугольника ABCD дѣйствуютъ двѣ равныя силы а по сторонамъ AB и DC также равныя силы Зная углы А —а и найти равнодѣйствующую силъ.

Такъ какъ силы, дѣйствующія по сторонамъ DA и СВ равны, то ихъ равнодѣйствующая BL пойдетъ по биссектрисѣ угла L, образованнаго продолженіями DA и СВ. Величина ея выражается слѣдующимъ образомъ

2 рcos ~ -

(Для полученія этого результата достаточно перенести обѣ силы р въ точку L и разсмотрѣть треугольникъ, образованный обоими векторами ри отрѣзкомъ, соединяющимъ ихъ концы).

Подобнымъ же образомъ убѣдимся, что равнодѣйствующая В2 силъ q пойдетъ по биссектрисѣ угла образованнаго продолженіями прямыхъ AB il DC.

Величина ея выражается формулой

Извѣстно1), что биссектрисы угловъ, образованныхъ продолженіями противоположныхъ сторонъ вписаннаго въ окружность четыреугольника, взаимно перпендикулярны.

Поэтому, перенося В1 и Л2 въ точку пересѣченія N упомянутыхъ биссектрисъ и воспользовавшись теоремою о параллелограммѣ силъ, находимъ

Выражая углы L и AI черезъ данные углы и и внося ихъ выраженіе въ полученную формулу, найдемъ

Углы, составляемые равнодѣйствующей съ биссектрисами NL и ХМ опредѣляются при помощи формулъ:

К. Верещагинъ (Козловъ), В. Кованько (с. Тейково).

1) Обозначая соотвѣтственно черезъ и точки пересѣченія биссектрисъ угловъ L и Мсо сторонами DG и АІ). имѣемъ

235. Найти на полуокружности точку такъ, чтобы разстоянія ея отъ А и данной прямой AB находились бы въ данномъ отношеніи, т.-е.

{А' находится на DC).

Изъ прямоугольнаго треугольника АЕВ имѣемъ:

Замѣчая, что 211. AD = АС2, мы можемъ полученный результатъ представить въ слѣдующемъ видѣ:

(1)

Отсюда имѣемъ:

Для построенія АЕ поступаемъ слѣдующимъ образомъ: Проводимъ діаметръ СК и хорду АК. На этой послѣдней откладываемъ AF— — В и изъ точки F на продолженіи прямой АК дѣлаемъ засѣчки радіусомъ FC.

Два получающихся отрѣзка являются корнями ур-ія (1). Итакъ, получаемъ два рѣшенія АЕг и АЕ2, которыя опредѣляютъ положеніе искомой точки Е.

Въ случаѣ, когда данная прямая CD не пересѣкаетъ данную окружность задача можетъ быть рѣшена совершенно такимъ же способомъ. Замѣтимъ, что только - что разобранная задача можетъ быть формулирована нѣсколько инымъ образомъ: Найти точку пересѣченія данной полуокружности съ коническимъ сѣченіемъ, фокусъ котораго находится въ точкѣ А, директриса — DC и эксцентриситетъ------—

К. Верещагинъ (Козловъ).

242. Показать, что для описаннаго четыреугольника ABCD имѣетъ мѣсто равенство

гдѣ 11 — радіусъ окружности, — площадь четыреугольника ABCD и А' — площадь четыреугольника, вершинами котораго служатъ точки касанія сторонъ ABCD.

Пусть углы четыреугольника будутъ 2ß, 2у, 26. Проведя радіусы въ точки касанія мы разобьемъ площадь четыреугольника на 4 части, площади которыхъ выражаются соотвѣтственно формулами 7?2 col g а, Ttßcotgß, Я2 co cotg ô.

Вся площадь четыреугольника выразится поэтому формулою:

Д = Я2.2 cotg а1)

Разсуждая подобнымъ же образомъ мы получимъ аналогичную формулу для площади А1 второго четыреугольника.

Выведемъ теперь одну вспомогательную формулу, которая даетъ возможность очень быстро рѣшить нашу задачу.

Имѣемъ:

Раздѣлимъ обѣ части полученнаго равенства на произведеніе всѣхъ четырехъ sinus'oвъ П sin а.

(1)

Чтобы примѣнить полученное соотношеніе къ рѣшенію нашей задачи, раздѣлимъ полученныя раньше формулы для и первую на вторую:

(1)

или, замѣняя па основаніи (1)

Но такъ какъ —— — cosec а, -, = и т. д., то подста-

1) Для сокращенія употребимъ знакъ Л" соід а для обозначенія суммы 4 слагаемыхъ, отличающихся лишь значеніями аргумента а, ß, у, J.

вляя въ только-что полученную формулу эти значенія, будемъ имѣть:

В. Буханцевъ (Курскъ), К. Верещагинъ (Козловъ), Б. Садовниковъ (Лебедянь).

243. Показать, что если п кратно 3, то имѣемъ

Возьмемъ комплексное количество l-f-гУз и возведемъ въ цѣлую степень и по формулѣ Ньютона.

группируя дѣйствительные члены отдѣльно и мнимые отдѣльно получимъ,

Если п кратно 3, то

Отсюда заключаемъ, что дѣйствительная часть полученнаго выше выраженія должна быть равна (— 2)и, а мнимая 0.

Итакъ, имѣемъ:

К. Верещагинъ (Козловъ).

244. При нахожденіи общаго наибольшаго дѣлителя двухъ чиселъ способомъ послѣдовательныхъ дѣленій, получился рядъ частныхъ а0, а1(.... ап. Найти оба числа, зная величину 6 ихъ общаго наибольшаго дѣлителя.

Обозначимъ оба искомыхъ числа черезъ и Тогда по условію X — х' 6, у = у' à при чемъ х' и ?/' уже взаимно простыя числа. Разложивъ дробь » въ непрерывную, мы очевидно, получимъ то же самое разложеніе, которое соотвѣтствуетъ дроби — Такъ какъ это послѣднее намъ дано, то мы можемъ

по извѣстному правилу образовать послѣднюю подходящую дробь для непрерывной дроби

Пусть упомянутая подходящая будетъ

Тогда имѣемъ

обѣ несократимыя дроби, то заключаемъ, что —

Отсюда находимъ значенія для х и у

К. Верещагинъ (Козловъ), Б. Кобылинъ (Галичъ), Несторовичъ (Ново-градъ-Волынскъ).

248. Рѣшить уравненіе

Раскрывая скобки и располагая члены по степенямъ, количества а представимъ лѣвую часть ур-ія въ слѣдующемъ видѣ:

а3«2 (х -f- 1) -j- 3 ах(x —J— 1) -f- (x — 1) 1) — 0

или

{x-f- 1) (a3x3 -j- 3 ax-j- — 1) = 0.

отсюда

2-е рѣшеніе.

Замѣчаемъ, что при подстановкѣ — 1 на мѣсто лѣвая часть ур-ія обращается въ нуль. Поэтому, многочленъ (ах — I)3 -}-+ (« -f- 1)3х2 дѣлится безъ остатка на -|- 1 и предложенное ур-іе распадается на два болѣе простыхъ — разсмотрѣнныхъ выше.

В. Венкинъ (Тетюши), К. Верещагинъ (Козловъ), В. Городковъ (Тобольскъ), В. Кобылинъ (Галичъ), В, Кованько (Тейково), В. Литвинскій (Екатеринославъ), II. Несторовичъ (Новоградъ-Волынскъ), В. Садовниковъ (Лебедянь), Г. Стороженко (Новгородъ-Сѣверстъ), В. Чичеринъ (Ярославль).

249. Доказать, что если др («) дѣлится на « — 1, то п — простое число.

Дѣлиться на п — 1 можетъ лишь число или равное н — 1 или большее его; наибольшее значеніе функціи до (а) есть п — 1, которое оно принимаетъ только тогда, когда ѵ — простое, ибо въ этомъ лишь случаѣ число чиселъ меньшихъ и взаимнопростыхъ съ нимъ есть п — 1. Если же и имѣетъ хоть одного дѣлителя р, то др (п)<и — 1. Слѣдовательно, дѣлиться на п — 1 функція др (и) можетъ тогда и только тогда, когда и простое число.

2-е рѣшеніе.

Положимъ, что п составное число вида

Рі“іР2“^з “»• • • Pkak-

Тогда, какъ извѣстно

Такъ какъ по условію <р (п дѣлится на —1, то можемъ написать

гдѣ т1 обозначаетъ частное, получающееся при упомянутомъ дѣленіи; сокращая на п имѣемъ:

Но это равенство невозможно. Дѣйствительно, такъ какъ Рі < п,то каждая изъ разностей вида 1 — меньше 1 —• произведеніе всѣхъ к разностей тоже меньше 1 —- —- и подавно меньше т ^ 1---, если т> 1. Итакъ, допущеніе наше, что п — составное число, оказалось непригоднымъ.

Остается, слѣдовательно, считать простымъ числомъ.

3-е рѣшеніе.

По условію Извѣстно, что слѣдовательно откуда

и наше условіе принимаетъ видъ <р (и) — п — 1, что, какъ извѣстно является признакомъ того, что п простое число.

Разсмотрѣнная теорема можетъ быть формулирована нѣсколько иначе: для того, чтобы п было простымъ числомъ, необходимо и достаточно, чтобы <р («) дѣлилось на п— 1.

Б. Бенкинъ (Тетюши), К. Верещагинъ (Козловъ), Н. Несторовичъ Ново-градъ-Волынскъ).

254. Рѣшить уравненіе

Изслѣдуемъ функцію

При

Итакъ, вся кривая, изображенная ур-іемъ у — f{x) расположена въ верхней полуплоскости. Изъ геометрическихъ соображеній ясно, что на этой кривой существуетъ точка съ наименьшею ординатою.

Для нахожденія minimum а составляемъ ур-іе

отсюда имѣемъ

или,

Логариѳмируя (по осн. 10) это выраженіе и рѣшая получающееся ур-іе получимъ:

При этомъ значеніи х наша функція, какъ нетрудно провѣрить, получаетъ значеніе

/» — 0,9788...

Имѣя одинъ minimum, функція f(x) при непрерывномъ измѣненіи X отъ — со до 5,322... должна пробѣгать весь непрерывный рядъ значеній отъ -f-со до 0,9788...

Слѣдовательно, въ этомъ интервалѣ при нѣкоторомъ х она принимаетъ значеніе 1. Легко убѣдиться, что это имѣетъ мѣсто при х = Ь.

Далѣе, при измѣненіи х отъ 5,322... до + 00 функція должна, измѣняясь отъ 0,9788 до -f °°. еще одинъ разъ пройти черезъ значеніе 1.

Такъ какъ Д6) = 1 -}-лт = 1,04, то заключаемъ, что второй корень функціи лежитъ между 5,322. .. и 6.

Сближая нѣсколько предѣлы увидимъ, что при

Сближая еще, получимъ:

Наконецъ, при

X — 5,699 f(x) =0,99999.

Итакъ, беря среднее изъ двухъ послѣднихъ значеній, имѣемъ о,-= 5,6995. . .

К. Верещагинъ (Козловъ), Б. Кобылинъ (Галичъ), Г. Несчастливцевъ (Ярославль), Г.Стороженко (Новгородъ-Сѣверскъ).

256. Рѣшить уравненіе

Умножая обѣ части уравненія на 2, и припоминая соотношеніе 2 cos2 а—1 = cos 2 с, представимъ ур-іе въ слѣдующемъ видѣ:

или

т.-е.

Ур-іе это распадается на два:

Отсюда имѣемъ

Для величины получаемъ, такимъ образомъ, слѣдующія выраженія:

Послѣднія двѣ формулы могутъ быть соединены въ одну—

В. Буханцевъ (Курскъ), К. Верещагинъ (Козловъ), Б. Кобылинъ (Галичъ), В. Кованько (Тейково), Г. Несчастливцевъ (Ярославль), В. Новиковъ (Тотьма), Н. Несторовичъ (Новоградъ-Волынскъ).

253. Опредѣлить стороны прямоугольнаго треугольника, зная, что каждая изъ нихъ выражается цѣлымъ числомъ, и что сумма гипотенузы и одного катета болѣе другого катета на 12.

Пусть X обозначаетъ гипотенузу, а и г катеты искомаго прямоугольнаго треугольника.

На основаніи условія составляемъ ур-ія

Исключая отсюда величину х, приходимъ къ ур-ію

или

Отюда имѣемъ:

Такъ какъ у долженъ оказаться положительнымъ, то у — 6 и 12—у должны быть одинаковаго знака, что влечетъ за собою слѣдующее соотношеніе

6 12.

Итакъ, подвергаемъ испытанію значенія у 7, 8, 9, 10, 11. За исключеніемъ 7, всѣ остальныя даютъ для г цѣлое значеніе.

Слѣдовательно имѣемъ систему рѣшеній:

X 10 15 26 61

и 8 9 10 11

2 6 12 24 60

В. Буханцевъ (Курскъ), К. Верещагинъ (Козловъ), В. Городковъ (Тобольскъ), Б. Кобылинъ (Галичъ), В. Кованько (Тейково), А. Крейцбергъ (с. Кежемское на Ангарѣ), Н. Несторовичъ (Новоградъ-Волынскг), Г. Несчастливцевъ (Ярославль), В. Чичеринъ (Ярославль), И. Шкляръ-Скляръ (Жмеринка).

Опечатки.

Стр. 42, задача № 299. Напечатано: Слѣдуетъ читать