№ 41-42.

Математическое Образованіе.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка.

Годъ шестой.

№ 1—2.

Январь—февраль. 1917 г.

МОСКВА.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

„Математическое Образованіе“

Январь—Февраль 1917 г. Годъ 6-й. № 1—2.

Содержаніе. Исторія ученія о логариѳмахъ. В. Бобынинъ. Понятіе о безконечно-маломъ. Дж. Виванти, пер. Борткевичъ. Примѣненіе графическаго метода къ рѣшенію и изслѣдованію уравненій. Ф. Трубинъ.—Къ статьѣ объ оиредѣленіи длины окружности и площади круга. I. Чистяковъ. О великой теоремѣ Фермата. Р. Bachmann, пер. Рабиновича.—Задачи. Рѣшенія задачъ.—Библіографическій отдѣлъ.—Отъ Комитета 2-го Всероссійскаго Съѣзда преподавателей физики, химіи и космографіи.—Объявленія.

Исторія ученія о логариѳмахъ.

По поводу 300-лѣтія выхода въ свѣтъ Mirifici logarithmоrum canonis descriptio Джона Непера.

(Окончаніе.)

В. В. Бобынинъ. (Москва.)

Первымъ изъ англійскихъ ученыхъ писателей, принявшимъ отъ Бригга систему обыкновенныхъ логариѳмовъ, былъ Эдмундъ Гунтеръ (Edmund Gunter) (1581—1626). Вначалѣ лицо духовное, онъ сдѣлался съ 1619 года профессоромъ астрономіи въ Грегемовой Коллегіи въ Лондонѣ. Ему принадлежатъ: 1) введеніе въ началѣ XVII вѣка термина cosinus вмѣсто употребляемаго прежде sinus complementi, 2) устройство въ 1624 году логариѳмической палочки, извѣстной подъ именемъ гунтеровой скалы и назначенной для такого же употребленія при логариѳмическихъ вычисленіяхъ, какое неперовы палочки имѣли въ обыкновенномъ счетѣ, 3) изобрѣтеніе около 1626 года особаго рода пропорціональнаго циркуля, описаннаго въ сочиненіи автора „The description and use of the sector cross—staff, quadrant and other Instruments“1). Наконецъ 4) наблюденія въ 1622 году вѣкового измѣненія магнитнаго склоненія. Трудомъ Гунтера, представлявшимъ его вышеуказанное отношеніе къ системѣ обыкновенныхъ логариѳмовъ, была составленная имъ съ 7 десятичными знаками логариѳмическо-тригонометрическая таблица синусовъ и тангенсовъ. Въ печати она появилась въ 1620 году подъ заглавіемъ „Canon triangulorum or Table of artificial sines and tangentes etc2). Въ ней авторъ не уклонился, какъ это сдѣлалъ позднѣе Бриггъ, отъ традиціоннаго употребленія 60-ричныхъ подраздѣленій углового градуса, то-есть минутъ

1) London 1673.

2) London.

и секундъ, чѣмъ, можетъ быть, подалъ будущему времени примѣръ, парализовавшій въ этомъ направленіи вліяніе Бригга.

Много занимавшій и самого Бригга трудъ пополненія оставленнаго имъ въ своихъ таблицахъ пробѣла былъ безъ его вѣдома и содѣйствія взятъ на себя голландскимъ математикомъ Адріеномъ Влаккомъ (Adrian Vlacq). Свѣдѣнія о жизни и дѣятельности этого ученаго не отличаются полнотою. Неизвѣстны даже годы его рожденія и смерти. Родомъ онъ былъ изъ голландскаго города Гуда, въ которомъ принадлежалъ къ очень уважаемой фамиліи. Получивъ хорошее научное образованіе, онъ въ особенности выдавался хорошимъ знаніемъ латинскаго языка и свѣдѣніями въ математикѣ. Профессія его была очень скромною. Съ 1626 года онъ занимался въ своемъ родномъ городѣ торговымъ дѣломъ въ книгопродавческой фирмѣ Питера Раммазейна, къ которой, можетъ быть, даже принадлежалъ, какъ участникъ предпріятія, Въ 1633—42 годахъ онъ жилъ въ Лондонѣ, какъ книгопродавецъ, занимающійся, главнымъ образомъ, сбытомъ книгъ, появляющихся въ Голландіи при упомянутой фирмѣ. Вызванное революціей крайне неспокойное состояніе Англіи и связанныя съ нимъ личныя опасности заставили Влакка переселиться въ Парижъ, гдѣ онъ оставался до 1648 года. Затѣмъ онъ жилъ опять-таки въ качествѣ книгопродавца въ Гаагѣ и здѣсь, какъ показываетъ предисловіе къ одной изъ напечатанныхъ при его участіи книгъ, находился еще въ 1655 году. Трудъ изученія Влаккомъ предмета своей будущей работы не былъ единоличнымъ. Въ Гудѣ онъ сблизился съ мѣстнымъ землемѣромъ и учителемъ математики Езекіелемъ де Декеръ. Вмѣстѣ они изучали посвященные логариѳмамъ труды Непера, Бригга и Гунтера, а также и „Рабдологію“ перваго. Въ этой коллективной работѣ оба сотрудника до нѣкоторой степени дополняли другъ друга, такъ какъ Декеръ не зналъ латинскаго языка, но превосходилъ Влакка въ знаніи математики. Важнымъ для голландской математической литературы результатомъ этой работы было появленіе въ 1626 году изданнаго фирмою Питера Раммазейна сборника Nieuwe Telkonst (новое числовѣдѣніе) (4°), содержащаго въ себѣ математическія произведенія Непера, переведенныя Влаккомъ, коммерческое исчисленіе прибыли, таблицы процентовъ и проч., составленныя Декеромъ, и, наконецъ, счисленіе десятичныхъ дробей Стевина. Въ томъ же году и изъ той же фирмы вышелъ второй сборникъ (8°) подъ тѣмъ-же заглавіемъ, но уже приписываемый въ немъ только одному Декеру, какъ издателю, и, попрежнему, Неперу, Бриггу и Гунтеру, какъ авторамъ источниковъ. Главный трудъ Влакка, изданный въ 1628 году какъ таблицы Бригга и потому имѣющій общее съ ними заглавіе Arithmetica logarithmica1), далъ пополненіе оставленнаго Бриггомъ пробѣла отъ 20000 до 90000 вмѣстѣ съ принадлежащей послѣднему частью таблицы, но уже вычисленной, какъ и часть самого Влакка, съ 10 десятичными знаками. Несмотря

1) Goudae in-fol у Раммазейна.

на размѣры и значеніе своего труда, Влаккъ скромно называетъ себя въ немъ „умножителемъ“ второго изданія таблицъ Бригга. Никакой заботливости въ отношеніи возможнаго сокращенія таблицъ безъ ущерба для ихъ полноты онъ не проявилъ, печатая каждый логариѳмъ вполнѣ и при томъ со включеніемъ характеристики. Не свободны его вычисленія также и отъ ошибокъ, которыхъ, даже не обращая вниманія на послѣднія цифры, насчитывается до 300. Бриггу изданіе Влакка сдѣлалось извѣстнымъ очень скоро послѣ своего выхода въ свѣтъ, какъ это слѣдуетъ изъ относящихся къ нему словъ Бригга въ его письмѣ къ Джону Пеллю отъ 25 октября 1628 года. Сверхъ 1000 экземпляровъ на латинскомъ, французскомъ и голландскомъ языкахъ, это изданіе имѣло, повидимому, по заказу лондонскаго книгопродавца Миллера, и еще нѣкоторое ихъ число, какъ это слѣдуетъ изъ того, что Этимъ книгопродавцемъ въ 1631 году въ Лондонѣ было выпущено снабженное англійскимъ предисловіемъ и подъ видомъ новаго изданія логариѳмическихъ таблицъ, ничѣмъ не отличающееся отъ такихъ же Влакка и даже сохранившее, по крайней мѣрѣ въ нѣкоторыхъ экземплярахъ, у нижняго края листовъ голландскія типографскія помѣтки. Первое изданіе таблицъ Влакка было очень скоро распродано, что указываетъ на существованіе вполнѣ готовой уже почвы для распространенія ученія о логариѳмахъ и его приложеній. Кромѣ указаннаго главнаго труда Влакка, ему принадлежалъ еще и другой по тому же предмету подъ заглавіемъ Trigonometria artificiaiis sive magnus canon triangu-lorum logarithmicus1). Въ немъ логариѳмы 10-значные, а углы разнятся на 10". Сокращеніемъ этого труда, изданнымъ также Влаккомъ, была выдержавшая очень много изданій Tabulae sinuum taugentium et secantium, et logarithme sinuum tanqentium et numerorum ab unitate ad 100002). Это же сокращеніе было и первымъ по своему предмету русскимъ изданіемъ, вышедшимъ въ 1703 и затѣмъ въ 1716 году подъ слѣдующими заглавіями: въ первомъ своемъ изданіи „Таблицы логариѳмовъ, и синусовъ, тангенсовъ, секансовъ. Къ наученію мудролюбивыхъ тщателей, напечатался повелѣніемъ благочестивѣйшаго великаго государя нашего царя, и великаго князя Петра Алексіевича, всея великія и малыя и бѣлыя Россіи самодержца. При благороднѣйшимъ великомъ государѣ нашемъ царевичѣ и великомъ князѣ Алексіи Петровичѣ, въ царствующемъ великомъ градѣ москвѣ, въ лѣто отъ сотворенія міра 7211, отъ Рождества же по плоти Бога слова 1703 года, індікта 11 мѣсяца маіа“3), во второмъ: „Таблицы синусовъ, тангенсовъ и сѣкансовъ и логариѳма синусовъ и тангенсовъ: таже и числъ еже есть отъ единаго даже до 10000, со изъясненіемъ удобнѣйшимъ: оныхъ довольствомъ возможно разрѣшити вся треугольники прямолинейныя, и сферическія и множайшая вопрошенія Астрономическая. За

1) Goudae 1633; fol.

2) Goudae 1636; 3«:

3) Отдѣльными лицами таблицы логариѳмовъ въ ихъ подлинномъ видѣ употреблялись въ Россіи и ранѣе. Такъ, въ числѣ черныхъ книгъ, обладаніе которыми ставилось въ вину боярину Артамону Сергѣевичу Матвѣеву, была и книга, напечатанная цифирью.

повелѣніемъ пресвѣтлѣйшаго царскаго величества Воупотребленіе и знаніе Маѳематиконавигацкнмъ ученикамъ, которыя содержатся подъ командою Генерала, Адмирала, Кавалера, Губернатора, тайнаго совѣтника и президента Адмиралтейства Граѳа Ѳеодора Матвѣевича Апраксина. Тисненію преданы въ Москвѣ вторымъ типомъ, первѣеже нынѣ во Гражданской типографіи: подъ надъ-зрѣніемъ, господина Генерала фельцеихъ мейстера и кавалера Якова Вилимовича Брюса. Тщаніемъ и заосвидѣтельствомъ ма-ѳематиконавигацкихъ школъ учителей Андреа Ѳархварсона, Сте-ѳана Гвына и Леоньтья Магницкаго, отъ Библіотекаря В. Кипріянова лѣта отъ воплощенія христова. 1716“1). Вообще можно сказать, что изъ современниковъ Бригга никто такъ много не сдѣлалъ для распространенія употребленія его системы логариѳмовъ, какъ Влаккъ, и какъ калькуляторъ и какъ книгопродавецъ, жившій для этого даже въ Лондонѣ и Парижѣ. Единственнымъ его произведеніемъ, не относившимся системѣ бригговыхъ логариѳмовъ было „Ephemerides motuum coelestium ab а. 1633 а. 1636“2).

Совершенно оригинальный методъ вычисленія бригговыхъ логариѳмовъ былъ найденъ и затѣмъ предложенъ въ 1666 году безъ доказательства Парижской Академіи Наукъ въ одномъ изъ ея первыхъ засѣданій3) знаменитымъ соотечественникомъ Влакка Гюйгенсомъ. Голландія, такимъ образомъ, оказывается сдѣлавшею для бригговыхъ логариѳмовъ болѣе, чѣмъ какая-нибудь другая страна, за исключеніемъ, конечно, Англіи. Если послѣ опредѣленія съ помощью послѣдовательныхъ извлеченій квадратнаго корня Зу/10 и Ьѵ/10 умножить съ цѣлью устраненія десятичныхъ дробей полученные результаты на 1013=rf, то получатся

Далѣе изъ всѣхъ этихъ чиселъ составляется, а затѣмъ и вычисляется выраженіе

Умноженіе этого результата на а — ^ приводящее къ имѣющему видъ цѣлаго числа произведенію р=4і75509443116778, заканчиваетъ собою первую часть опредѣленія каждаго изъ бригговыхъ логариѳмовъ, общую для всѣхъ нихъ. Далѣе слѣдуетъ вторая часть, которая при строеніи, строго аналогичномъ первой, является имѣющею уже частный характеръ, обусловливаемый опредѣляемымъ логариѳмомъ даннаго числа. Если этпмъ даннымъ

1) 8°; 141 нумерованный листъ и 1 не нумерованный заглавный.

2) Goudae 1632; 4°.

3) Comptes Rendus.

числомъ будетъ, наприм., 2, то, по сказанному, разсматриваемая вторая часть опредѣленія его логариѳма представится въ видѣ

И, наконецъ, послѣ умноженія послѣдняго результата на а— г/= 12586953589206. Доставляемеая заключительными результатами общей и частной частей опредѣленія искомаго логариѳма пропорція

р : q — d : 2

и приводитъ къ цѣли, то-есть къ

log 2 = 30102999567,

точному до своей 11-й цифры слѣва, отличающейся отъ истинной на 1-цу.

Непосредственнымъ слѣдствіемъ развитія употребленія логариѳмическихъ таблицъ, главнымъ образомъ бригговыхъ, была забота объ экономіи какъ требуемыхъ для нихъ цифръ, такъ и занимаемаго ими мѣста. Трудомъ, впервые проявившимъ эту заботу, были таблицы бригговыхъ логариѳмовъ чиселъ отъ 1 до 100000, изданныя Натаніелемъ Poe (Nathaniel Roe) въ 1633 году. Въ нихъ издатель изъ 10-значныхъ логариѳмовъ таблицы Влакка опустилъ 3 послѣдніе знака, оставляя безъ измѣненія 7-ой знакъ даже въ тѣхъ случаяхъ, когда первый изъ опускаемыхъ былъ одною изъ цифръ, слѣдующихъ за 5. Изъ чиселъ, идущихъ, начиная со 100, въ восходящемъ порядкѣ, оканчивающіяся двумя нулями, онъ писалъ надъ соотвѣтствующими столбцами логариѳмовъ, подлѣ которыхъ въ отводимомъ для этого крайнемъ столбцѣ помѣщалъ тѣ пары цифръ отъ 00 до 99, замѣна которыми двухъ крайнихъ нулей въ числахъ, стоящихъ надъ столбг цамп логариѳмовъ, доставляла всѣ заключающіяся между этими числами другія цѣлыя числа. Въ логариѳмахъ онъ писалъ каждый разъ вполнѣ только 4 послѣдніе знака. Что же касается однозначной характеристики и трехъ первыхъ десятичныхъ знаковъ, то онъ ихъ давалъ только тогда, когда они отличались отъ тѣхъ же знаковъ въ предшествующихъ логариѳмахъ.

Стремленіе къ экономіи мѣста въ таблицахъ логариѳмовъ нашло свое завершеніе въ преобразованіи слѣдующей за 1000 большей ихъ части въ таблицы по употребляемому иногда выраженію „двойного входа“ (Tafel doppelten Einganges), то-есть въ тотъ общеизвѣстный въ настоящее время ихъ видъ, въ которомъ одна и та же страница, заключая въ себѣ одновременно соотвѣтствующія: ей 4-хъ и 5-значныя числа, даетъ и ихъ логариѳмы. Этимъ завершеніемъ наука обязана доктору богословія Джону Ньютону (1622—1678), однофамильцу и старшему современнику знаменитаго Исаака Ньютона (1642—1726), давшему своему ново-

введенію мѣсто въ своей вышедшей въ свѣтъ въ 1658 году Trigonometria britannica1). Такимъ неоригинальнымъ заглавіемъ этотъ трудъ былъ обязанъ, можетъ быть, помѣщенію въ одной изъ его книгъ англійскаго перевода сочиненія Бригга, имѣвшаго, по сказанному выше, то же заглавіе. Логарифмы въ таблицахъ Ньютона— 8-значные.

Первымъ взявшимъ на себя трудъ распространенія таблицъ Непера въ Германіи былъ Беньяминъ Урзинусъ или первоначально Беръ (Behr) (1587—1633). Уроженецъ Шпроттау въ Силезіи, онъ въ началѣ своей служебной дѣятельности былъ гофмейстеромъ въ Прагѣ, а потомъ учителемъ математики въ Розенбергеровской гимназіи въ Линцѣ. Въ этихъ обоихъ городахъ онъ не только поддерживалъ завязавшееся знакомство съ Кеплеромъ, но и помогалъ ему при составленіи Рудольфиновскихъ таблицъ. Съ 1615 года преподавалъ въ Іохимстальской гимназіи въ Берлинѣ, а съ 1630 года былъ до дня смерти профессоромъ университета во Франкфуртѣ на Одерѣ. Изучивъ Descriptio Непера и оцѣнивъ ея значеніе въ наукѣ, Урзинусъ въ виду замедленія въ появленіи второго изданія издалъ ее самъ, подъ заглавіемъ „Trigonometria logaritbmica Johannis Neperi“2), при чемъ присоединилъ собственное предисловіе и укоротилъ логариѳмы черезъ опущеніе въ нихъ двухъ послѣднихъ знаковъ. Другою работою Урзинуса по тому же предмету былъ „Magnus canon triangulorum logarithmicus“3). Углы здѣсь даются съ разностью въ 10". Нѣкоторые изъ синусовъ для болѣе строгаго испытанія выводимыхъ изъ нихъ другихъ вычислены съ особенною точностью, именно при радіусѣ въ 1016. Прилагается этотъ радіусъ наприм. въ случаяхъ угловъ въ 30°, 45°, 18°, 72°, 36°, 54°, 9°. Въ мѣстахъ, содержащихъ указанныя сейчасъ по сравненію съ таблицами Непера новизны, встрѣчаются иногда опечатки, а вѣроятнѣе ошибки въ вычисленіяхъ. Урзинусъ не только замѣтилъ ихъ, но и исправлялъ, какъ это показываютъ сдѣланныя его рукою поправки въ экземплярѣ, принадлежащемъ Берлинской библіотекѣ. Въ 1623 году вышло въ свѣтъ также и нѣмецкое изданіе Рабдологіи Непера, выпущенное Урзинусомъ.

Съ гораздо большею самостоятельностью, чѣмъ Урзинусъ, отнесся къ таблицамъ Непера Кеплеръ, ясно выразившій ихъ важность для астрономіи, познакомившись съ ними первоначально черезъ Trigonometria logarithmica Урзинуса и потомъ получивъ въ 1619 году въ Линцѣ подлинный экземпляръ Descriptionis, онъ. несмотря на свои указанныя уже выше отношенія къ таблицамъ Бюрги, нашелъ ихъ неизмѣримо уступающими Неперовымъ. Онъ не только счелъ своимъ научнымъ долгомъ настойчиво рекомендовать употребленіе таблицъ Непера, но и самъ составилъ подобную имъ таблицу логариѳмовъ обыкновенныхъ чиселъ отъ 1 до 1000, изъ которыхъ уже должны были находить синусы. Онъ издалъ свою таблицу въ 1624 году подъ заглавіемъ „Chilia-

1) 2 книги. London, fol.

2) In—4°, Francofurti 1618. Coloniae (на Шире) 1625.

3) Colonae 1624: 4°.

Logarifhmorum ad totiadem numéros rotuudos; praemmissa demonstra-tione légitima ortus logarithmorum eorumque usus“1). Такъ какъ въ этомъ трудѣ не указывалось съ достаточною полнотою употребленіе лагариѳмовъ, то, по желанію издателя, которымъ былъ Гес-сенъ-Буцбахскій ланграфъ Филиппъ, Кеплеръ посвятилъ употребленію логариѳмовъ вышедшее въ слѣдующемъ-же 1625 году въ 8 главахъ Supplemeutum chiliadis logarithmorum continens praecepta de eorum usu“2). Не одобряя вмѣстѣ со многими другими изъ нѣмецкихъ ученыхъ сдѣлапнаго Неперомъ облегченія ученія о логариѳмахъ въ геометрическо-механическую форму, столь полезную для выясненія истинной природы логариѳмовъ и ихъ отношеній къ соотвѣтствующимъ числамъ, онъ не послѣдовалъ за Неперомъ также и въ принятомъ имъ расположеніи чиселъ и ихъ логариѳмовъ въ таблицахъ, выработавъ для него собственныя правила, иногда даже совпадающія съ нѣкоторыми изъ указаній самого Непера въ его „Прибавленіи“. Своею таблицею логариѳмовъ Кеплеръ воспользовался также и для изданныхъ въ 1627 году Рудольфиновскихъ таблицъ.

Между намѣреніями Кеплера, оставшимися послѣ его смерти въ 1630 году неисполненными, было изданіе его таблицы логариѳмовъ въ значительно болѣе расширенномъ видѣ. Осуществленіе этого намѣренія взялъ на себя его зять, медикъ Яковъ Барчъ, родившійся въ 1600 году въ Лаубанѣ въ Лаузитцѣ и тамъ же умершій въ 1633 году, когда долженъ былъ сдѣлаться профессоромъ астрономіи въ Страссбургѣ. Онъ, именно, напечаталъ въ 1630 году Tabulae novae logarithmicologisticae3) и въ 1631 J. et J. BartschiiTabulae mammies logarithmicae ad calculum astronomicum utiles“4), предшествовавшими этимъ таблицамъ его сочиненіями были: Nuncius mirabilium coelestium, anni 1622, 23 et 245) Tractatus de planisphaerio stellato6) Usus astronomicus Indicis aspectu-um veterum et praecipue novorum etc.7) Tabulae diariae quantitatis dierum Uraburgum Strassburgicum8). Catalogue fixarum ad annum 1630.

Также нужды астрономовъ имѣлъ въ виду главнымъ образомъ при своемъ нѣсколько измѣненномъ изданіи таблицъ Непера и не бывшій астрономомъ Петръ Крюгеръ. Рожденный 20 октября 1580 года въ Кёнигсбергѣ и умершій 6 іюня 1639 г. въ Данцигѣ, гдѣ былъ съ 1607 года учителемъ математики и поэзіи въ гимназіи, онъ свое вышеупомянутое изданіе выпустилъ въ свѣтъ въ 1634 году подъ заглавіемъ Praxis trigonometriac loga-sifhmicae, cum logarifhmorum tabulis ad triangula tarn plana quam sphaerica sufficieutibus9). Какъ на главное изъ измѣненій, внесенныхъ въ таблицы Непера этимъ изданіемъ, слѣдуетъ указать на произведенное въ немъ отдѣленіе логаррѳмовъ чиселъ отъ логариѳмовъ тригонометрическихъ функцій. Первые для чиселъ отъ 1 до 10.000 составляютъ въ изданіи таблицу І-ю. Вторымъ отведены три слѣдующія таблицы, изъ которыхъ одна именно по общей нумераціи, вторая содержитъ логариѳмы синусовъ и тангенсовъ всѣхъ угловъ при разности въ одну минуту и съ при-

1) Marpurgi: 4°.

2) Тамъ же; 4Л.

3) Sagani.

4) Тамъ же.

5) Argentorat. 1622.

6) Тамъ же. 1624.

7) Тогда же и тамъ же.

8) Lipsiae 1629.

9) Amstelod.

-соединеніемъ пропорціональныхъ частей 10". Введенныя въ эту таблицу Крюгеромъ измѣненія по сравненію съ Неперовою состоятъ въ опущеніи столбца синусовъ, чѣмъ достигается значительное сокращеніе въ обозначеніи столбца съ логариѳмами тангенсовъ по его среднему положенію названіемъ Mesologarithmi. Третья таблица содержатъ логариѳмы синусовъ угловъ перваго углового градуса при возрастаніи ихъ на одну секунду. Наконецъ четвертая и послѣдняя таблица, составителемъ которой названъ Барчъ, даетъ подъ названіемъ Antilogarithmi логариѳмы косинусовъ угловъ до 1° 41" при разности ихъ въ 2". Значеніе употребленнаго здѣсь новаго термина не совпадаетъ, впрочемъ, съ его позднѣйшимъ значеніемъ. Предпочтеніе, оказанное Крюгеромъ неперовымъ таблицамъ передъ бригговыми уже извѣстными въ это время въ Германіи, несовсѣмъ понятное въ виду произведеннаго имъ отдѣленія логариѳмовъ чиселъ отъ логариѳмовъ тригонометрическихъ функцій, вызываетъ съ его стороны слѣдующее объясненіе. Всѣ вычисленія, производимыя съ помощью рудольфиновскихъ Таблицъ, пользуются исключительно таблицами Непера, которыя, поэтому, и должны изучаться до тѣхъ поръ, по крайней мѣрѣ, пока ученые, наиболѣе нуждающіеся въ производствѣ вычисленія, то-есть астрономы, не откажутся отъ употребленія рудольфовскихъ таблицъ. Другими, также относившимися къ математикѣ и астрономіи сочиненіями Крюгера были: Tetragonismus circuli per lineas1); Trigonometria2). Disputatio de hypothetica systemate coeli3). Disputatio de motu magnetis4). De quotidiana Telluris in orbem revolntione, vulgo de primo mobili5), Lo-gistica sexagenaria methodice conformata6). Uranodromus cometicus7); Rescriptum aux Petri Nagel’s Buch dessen Titul: Astronomia Nageliana8); Cupeliae astrosophiae d. h. Frag und. Antwort darinnen die aller kunstreichsten und tiefsten Geheimnisse d. Astronomie usw. dermassen deutlich u. verständlich ausgeführt sind dass dieselben beyudes von Gelehrten und Ungelehrten gar leicht können gefasst u. begrifen werden9).

Вытѣсненіе неперовыхъ логариѳмовъ изъ общаго употребленія бригговыми началось въ Германіи, повидимому, съ сочиненія военнаго инженера и учителя математики въ Ульмѣ Іоганна Фаульгабера (1580—1635 г.) Ingenieurs-Shul10), въ которомь авторъ учитъ, какъ производить тригонометрическія вычисленія съ помощью логариѳмовъ и, кромѣ того, едва ли не впервые въ Германіи называетъ въ заглавіи сочиненія имена Бригга и Влакка на ряду съ именами Непера, Питискуса и Бернеггера.

Во Франціи неперова таблица логариѳмовъ и объясненіе пхъ вычисленія были напечатаны въ первый разъ въ Ліонѣ соотвѣтственно въ 1619 и въ 1620 годахъ. Затѣмъ уже въ Парижѣ послѣдовали и другія работы по тому же предмету. Эдмундъ Вингетъ (Wingate) 1593—1656), лондонскій юристъ, занимавшійся математикою, какъ любитель, въ первый годъ своего пребыванія въ 1624—1650 годахъ при дворѣ въ Парижѣ въ качествѣ учителя содѣйствовалъ распространенію во Франціи свѣдѣній о гун-

1) Lips 1607.

2) 1612.

3) 1615.

4) 1615.

5) 1616.

6) Gedan. 1916.

7) Тамъ же. 1619.

8) Тамъ же. 1622.

9) Breslau. 1630.

10) 1630. 2-е изданіе. Niirenberg. 1637

теровой скалѣ при посредствѣ, главнымъ образомъ, своего сочиненія „Construction description et usage de la règle de proportion1), a въ 1625 году напечаталъ свою Arithmétique2), появившуюся позже, именно въ 1635 году, также и въ англійскомъ переводѣ въ Лондонѣ. Дени Анріонъ (Denis Henrion), профессоръ математики въ Парижѣ и инженеръ, родившійся въ концѣ XVI вѣка и умершій въ 1640 году, едва ли не первый изъ французовъ составилъ таблицу логариѳмовъ, находящуюся въ статьѣ Traité des logarithmes, напечатанной въ 1627 году во II томѣ сборника сочиненій того же автора, изданнаго имъ, подъ заглавіемъ „Mémoires mathématiques recueilis et dressés en faveur de la noblesse française"3).

Понятіе о безконечно-маломъ.

Дж. Виванти, пер. Е. Борткевичъ. (Петроградъ).

ЧАСТЬ II.

(Продолженіе).

Глава І-ая.

Методъ исчерпанія.

Хотя въ этомъ методѣ не входитъ подъ какимъ либо видомъ понятіе безконечно-малаго, однако, приходится упомянуть здѣсь спеціально о немъ для того, чтобы выяснить, каково его отношеніе къ послѣдующимъ методамъ.

Въ числѣ многихъ предразсудковъ, уничтоженныхъ новыми изслѣдованіями, заключается и тотъ, что греческая математика уже сразу родилась совершенной, какъ мы ее находимъ въ „Эле-ментахъ“ Евклида, во всемъ томъ порядкѣ и во всей строгости, отмѣчающихъ этотъ безсмертный трудъ. Въ настоящее время это болѣе недопустимо, точно также, какъ нельзя вѣрить тому, что Евклидовскія доказательства, которымъ ради логической строгости были принесены въ жертву точность и простота, знаменовали пути, ведущіе къ раскрытію геометрическихъ истинъ, и внѣ сомнѣнія греческая математика въ знакомомъ намъ видѣ— трудъ ученыхъ относительно менѣе древнихъ, которые, собирая и упорядочивая результаты, полученные первыми изобрѣтателями, хотѣли создать цѣлое, изъ коего были бы исключены всякія разсужденія и доказательства недостаточно строгія. Итакъ, въ древней геометріи никогда не появляется явно идея безконечнаго. А между тѣмъ это понятіе настолько свойственно человѣческому уму, и даже навязывается съ такой необходимостью

1) Paris. 1624.

2) Paris.

3) Paris. 1612 et 1627; 4<>.

въ изслѣдованіяхъ, возвышающихся немного надъ самыми элементарными, что невольно удивляешься, почему отсутствіе его не было отмѣчено, какъ фактъ странный и достойный изученія. Лишь одно историческое данное, имѣющее, повидимому, мало значенія, дало намъ объясненіе этому, показывая, что и для древнихъ грековъ безконечное явилось цѣннымъ подспорьемъ для геометрическихъ изслѣдованій, и что впослѣдствіи только изъ-за причинъ, которыя, пожалуй, нетрудно было бы прослѣдить въ исторіи греческой философіи, они были принуждены оставить пользованіе имъ.

Антифонтъ (въ Y в. до P. X.),—такъ говоритъ Симплицій— его истолкователь въ YI ст. по P. X., — вписалъ въ кругъ квадратъ, потомъ восьмиугольникъ, 16-угольникъ и т. д. и утверждалъ, что, продолжая такимъ образомъ, получился бы вписаннымъ въ кругъ многоугольникъ, стороны котораго, благодаря ихъ малости, не отличались бы отъ окружности. Здѣсь, очевидно, примѣняется понятіе ряда дѣйствій, продолженныхъ до безконечности до тѣхъ поръ, пока окружность и периметръ не совпали бы настолько строго, что слились бы въ одно цѣлое. И въ самомъ дѣлѣ, истолкователь лукаво замѣчаетъ, что разсужденіе не точно, но такъ какъ оно не основано на геометрическихъ принципахъ, то нельзя доказать геометрически его ошибочности.

Такимъ образомъ былъ открытъ путь, ведущій къ квадратурѣ круга; пришлось однако освободить его отъ того, что, въ глазахъ грековъ въ то время, какъ среди нихъ развивался вкусъ къ философскимъ изслѣдованіямь, являлось препятствіемъ. Уже парадоксы Зенона (Y в. до P. X.) открыли войну противъ идеи безконечнаго; теперь же выступалъ врагъ болѣе страшный—Аристотель (384—322 до P. X.), власть котораго должна была продолжаться болѣе двадцати вѣковъ Тогда-то Евдоксъ ввелъ систематическое употребленіе „метода исчерпанія“, который сталъ очень скоро однимъ изъ самыхъ обычныхъ пріемовъ греческой: геометріи и не только продолжалъ, видоизмѣняясь, властвовать въ полѣ высшей математики до открытія и распространенія новыхъ методовъ, но былъ употребляемъ и позднѣе авторами слишкомъ робкими и щепетильными, какъ Макъ-Лоренъ.

Этотъ методъ можетъ служить двойной цѣли; рѣшенію задачъ и доказательству теоремъ.

Какъ средство рѣшенія, онъ состоитъ въ томъ, что для опредѣленія величины, не могущей быть вычисленной непосредственно, образуютъ два ряда" величинъ такъ, что неизвѣстная величина заключается между двумя любыми соотвѣтственными элементами этихъ двухъ рядовъ и что разность между ними уменьшается безконечно по мѣрѣ того, какъ мы подвигаемся въ этихъ же рядахъ.

Какъ средство доказательства, методъ исчерпанія пытается установить существующія соотношенія между величинами, не могущими быть прямо вычисленными, доказывая, что тѣ же соотношенія существуютъ между величинами, взятыми такъ, что онѣ отличаются отъ разсматриваемыхъ сколь угодно мало; и для

этой цѣли онъ долженъ основываться на постулатѣ Архимеда (или на 1-омъ предл. Х-ой книги „элементовъ“ Евклида) и на приведеніи къ нелѣпости.

Въ качествѣ примѣра возьмемъ теорему, что площади круговъ относятся между собой, какъ квадраты ихъ діаметровъ. Доказательство ея, которое даетъ Евклидъ (III в. до P. X.), можно привести къ слѣдующему.

Обозначимъ черезъ С1, С2 площади обоихъ круговъ; черезъ І)х, D2—ихъ діаметры и предположимъ первоначально -^1— = -, при чемъ ЕсС2. Тогда, принимая въ основу вышеупомянутый постулатъ, можно установить возможность вписать во второмъ кругѣ правильный многоугольникъ Р2, площадь котораго больше Но если Рх многоугольникъ подобный Р2, вписанный въ первый кругъ, то имѣемъ - —Іг = j}, оттуда Р, > С\ что, нелѣпо. Аналогично вели бы мы разсужденіе, принимая Отсюда, т.к. Е не можетъ быть ни меньше, ни больше С,, то оно должно быть равнымъ С2; а слѣдовательно имѣемъ —; L-

Удивительные результаты, полученные Архимедомъ при помощи метода исчерпанія, слишкомъ хорошо извѣстны, чтобы слѣдовало здѣсь на нихъ останавливаться.

Было бы также излишнимъ, но нашему мнѣнію, прослѣдить этотъ методъ въ древности и въ среднихъ вѣкахъ, по этому поводу достаточно указать на то, что Лука Валерій (1552—1618) былъ первымъ, который привелъ къ общему виду процессъ доказательствъ, повторяемый древними въ каждомъ единичномъ случаѣ. Наоборотъ, важно для исторіи происхожденія этихъ идей разсмотрѣть, какая связь существуетъ между методомъ исчерпанія и тѣми, которые его замѣнили въ болѣе новую эпоху. Многіе—и среди нихъ нѣкоторые изъ самыхъ извѣстныхъ основателей новаго анализа—утверждали, что новые методы по существу тождественны съ методомъ исчерпанія.

Кепплеръ (1571—1630) считалъ себя истолкователемъ мысли Архимеда, говоря, что кругъ можно разсматривать, какъ сумму безконечнаго числа равнобедренныхъ треугольниковъ, имѣющихъ вершину въ центрѣ.

Роберваль (1602—1876) говоритъ, что, изучая Архимеда, онъ нашелъ зародышъ своей теоріи недѣлимыхъ. Ферматъ (1601—1665) считаетъ свой собственный методъ тождественнымъ съ методомъ Архимеда, исключивъ послѣднюю часть, т.-е. приведеніе къ нелѣпости. Валлисъ и Паскаль (1623—1662) считаютъ теорію недѣлимыхъ, простымъ видоизмѣненіемъ метода древнихъ. Самъ Лейбницъ нѣсколько разъ повторяетъ, что его методъ лишь только сокращеніе метода Архимеда. Ньютонъ даетъ свои леммы просто какъ средство для избѣжанія приведенія къ нелѣпости. Гранди говоритъ, что основа новыхъ методовъ, т.-е. лемма, что двѣ величины, разность между которыми можетъ быть сдѣлана

менѣе любой данной величины, равны, заключается въ методѣ Архимеда. Іоаннъ Бернулли и Фонтенель высказываютъ мнѣніе, что Архимедъ разсматривалъ кругъ, какъ многоугольникъ съ безконечно-большимъ числомъ сторонъ.

Странно, что всѣ эти математики, содѣйствовавшіе въ большей или меньшей мѣрѣ созданію новаго анализа, не признали въ самомъ понятіи глубокой разницы, существующей между ихъ методомъ и методомъ древнихъ; и тѣмъ болѣе странно, потому что нѣкоторые изъ нихъ показали, что умѣютъ очень хорошо оцѣнивать успѣхи, ими достигнутые по отношенію къ своимъ непосредственнымъ предшественникамъ. Такъ, Валлисъ говоритъ, что онъ начинаетъ тамъ, гдѣ кончилъ Кавальери; такъ Лейбницъ, какъ увидимъ, умѣетъ оцѣнить въ должной мѣрѣ важность своего открытія. Но, пожалуй, причина этому кроется въ томъ, что основатели новыхъ исчисленій, окруженные недовѣрчивой публикой и обвиняемые постоянно въ нарушеніи требованій строгости и логики, надѣялись, что пріобрѣтутъ благорасположеніе къ своимъ открытіямъ, прикрывая ихъ авторитетомъ великаго имени Архимеда. Но когда сраженіе было выиграно окончательно, то вопросъ могъ быть изслѣдованъ хладнокровно безъ всякой предвзятой мысли; и понятіе, получившее большую силу и расширившее свой горизонтъ, благодаря кантовской философіи, могло легче проникнуть въ сущность вопроса. И дѣйствительно, мы встрѣчаемъ въ прошломъ столѣтіи нѣкоторыхъ писателей, пытающихся пролить свѣтъ на различія, существующія между методомъ исчерпанія и новыми методами. Такія различія могутъ быть сведены къ тому, что методъ исчерпанія ведется аналитически, между тѣмъ какъ новые методы ведутся ситентически. Древніе ограничиваются утвержденіемъ, что площадь круга заключена между площадью правильнаго вписаннаго многоугольника и площадью подобнаго описаннаго многоугольника и что разность между этими двумя площадями можетъ быть сдѣлана менѣе любой конечной площади, увеличивая послѣдовательно число сторонъ обоихъ многоугольниковъ.

Мы скажемъ еще нѣчно большее: мы добавляемъ, что кругъ-многоугольникъ съ безконечно-большимъ числомъ сторонъ (методъ безконечно-малыхъ), или что онъ — предѣлъ къ которому стремится правильный многоугольникъ при неопредѣленномъ возрастаніи числа своихъ сторонъ (методъ предѣловъ). Тѣмъ или инымъ методомъ мы доходимъ до уничтоженія специфической разницы между многоугольникомъ и кругомъ, чего бы древніе никогда не посмѣли сдѣлать: мы доходимъ (да позволятъ мнѣ употребить это возраженіе) до лишенія строгости прямолинейной мѣры, точно также, какъ введеніемъ ирраціональныхъ чиселъ мы лишаемъ численную мѣру ея прерывности.

Благодаря этому, мы достигаемъ двойной выгоды: прежде всего удовлетворяемъ потребности (если только можно такъ выразиться) эстетики науки; потому что, какъ съ геометрической точки зрѣнія нѣтъ специфической разницы между кругомъ и многоугольникомъ, такъ справедливо, что первому, равно какъ

и второму, должно соотвѣтствовать простое ариѳметическое представленіе, не зависящее отъ другихъ представленій. Вторая выгода— существенно практическая, и еіі мы обязаны въ большой мѣрѣ созданіемъ новыхъ исчисленій. Возьмемъ опять теорему, относящуюся къ соотношенію между двумя кругами, которую мы приводили съ доказательствомъ древнихъ. Методъ безконечномалыхъ поступаетъ просто такъ:

Пусть Р20ѵ правильные многоугольники п сторонъ, вписанные въ круги Сг, С2, имѣемъ, каково бы ни было и, 7г^7=-дт, но P1(”)=Cl-,Р.оо = с2. Слѣд. = А по методу предѣловъ: имѣемъ А предѣлъ отношенія равенъ отношенію предѣловъ, поэтому УГ==—РГ^-

Какъ видимъ, здѣсь новые методы позволяютъ значительно сокращать доказательства и, что еще болѣе важно, дѣлаютъ во многихъ случаяхъ излишнимъ приведеніе къ нелѣпости, что, какъ было сказано, убѣждаетъ, но не освѣщаетъ.

Примѣненіе графическаго метода къ рѣшенію и изслѣдованію уравненій*).

Ф. Трубинъ. (Одесса.)

Считаю излишнимъ выяснять значеніе графическаго метода при изученіи математики и другихъ предметовъ, такъ какъ въ послѣднее время, особенно на съѣздахъ преподавателей математики, не мало объ этомъ говорилось, а потому прямо приступлю къ цѣли своего доклада.

Графики при рѣшеніи уравненій окаызваютъ большую услугу. Какъ извѣстно, уравненія показательныя и высшихъ степеней, за исключеніемъ нѣкоторыхъ частныхъ случаевъ, не разрѣшимы элементарной алгеброй, между тѣмъ какъ графически они иногда весьма просто рѣшаются, напр. очень просто графически рѣшается система х2 —5, неразрѣшимая элементарной алгеброй.

Но при графическомъ рѣшеніи нужно помнить, что степень точности рѣшеній зависитъ отъ степени точности чертежа и что такимъ путемъ могутъ быть найдены только вещественные корни.

Для графическаго рѣшенія уравненій необходимо знаніе нѣкоторыхъ статей аналитической геометріи, для чего нужно

*) Докладъ, читанный на педагогическомъ съѣздѣ Одесскаго учебнаго округа.

сообщить ихъ учащимся въ самой удобопонятной формѣ, и не давать ничего лишняго, и пользоваться только прямолинейными, прямоугольными координатами. Такъ, напр., при доказательствѣ теорамъ о прямой я не считаю возможнымъ давать ученикамъ IV, V или VI (муж. гимназій) классовъ строгаго нхъ доказательства, а пользуюсь нагляднымъ способомъ, изло-жнымъ у Berendsen-Gotting (Lehrbuch der Mathematik nach modernen Grundsäzen Unterstufe А für Gymnasien), гдѣ берется задача ro копилкѣ“, но я ее нѣсколько видоизмѣняю и замѣняю задачей о бассейнѣ, такъ какъ мнѣ кажется это будетъ нагляднѣе.

Задача читается такъ: Въ бассейнъ льется вода помощью одного крана, въ 1 минуту вливается 1 ведро. Опредѣлить состояніе бассейна въ различные моменты времени. Рѣшить графически и аналитически эту задачу.

Рѣшая графически, получаемъ прямую, проходящую черезъ начало координатъ и дѣлящую координатный уголъ пополамъ.

Рѣшая аналитически, получаемъ уравненіе у = х. Слѣдовательно уравненіе этой прямой (биссектрисы) будетъ

Далѣе видоизмѣняю задачу, предполагаю, что въ 1 минуту вливается 2 ведра, ведра, получаю новыя прямыя, уравненія которыхъ соотвѣтственно у~2х, у = ^х, и т. д. и вообще въ общемъ видѣ у=ах, гдѣ объ а нужно дать понятіе, какъ о положительномъ угловомъ коэффиціентѣ.

Слѣдовательно всякая прямая, проходящая черезъ начало координатъ и составляющая съ положительнымъ направленіемъ оси х-овъ острый уголъ, представляется уравніемъ у = ах.

Если же предположить, что въ бассейнѣ первоначально было 10 ведеръ, то получимъ прямыя, представляемыя уравненіями у — х-(-10, у= 2а;-{-10, у = ъ х-)- 10, или вообще -}- Здѣсь нужно дать понятіе о начальной ординатѣ.

Снова видоизмѣняя задачу о бассейнѣ, можно показать, что и въ случаѣ тупого угла, составляемаго прямой съ положительнымъ направленіемъ оси х-овъ, получаемъ уравненіе вида у — ах -ф b, гдѣ уже а<0.

Обратную теорему доказываю на частныхъ случаяхъ. Строю отдѣльныя точки, координаты которыхъ суть частныя значенія уравненія первой степени съ 2-мя неизвѣстными, и помощью натянутой нити показываю, что всѣ точки лежатъ на одной прямой. Или же можно доказать это пропорціональностью отрѣзковъ.

Послѣ чего я показываю наиболѣе простые способы построенія прямой по ея уравненію и рѣшеніе уравненія первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ.

Не мѣшаетъ показать и графическое доказательство теоремъ, на которыхъ основано рѣшеніе уравненій, напр. теорему: если къ обѣимъ частямъ уравненія прибавимъ одно и то же положи-

тельное или отрицательное количество, то отъ этого получимъ новое уравненіе, равносильное первому, т.-е. нужно доказать равносильность уравненій

Здѣсь нужно показать, что значенія х будутъ одинаковы, т.-е. точки пересѣченія паръ прямыхъ

будутъ одинаково отстоять отъ оси ординатъ: въ этомъ легко убѣдиться графически, построивъ графики уравненій, а затѣмъ и геометрически,—изъ равенства соотвѣтствующихъ треугольниковъ.

Подобнымъ же образомъ можно показать ученикамъ и изслѣдованіе уравненій первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ. Дѣйствительно, графики показываютъ, что уравненіе ах-\-Ь — — аух 4- 4 имѣетъ

Затѣмъ нужно показать рѣшеніе системы двухъ уравненій первой степени съ двумя неизвѣстными и ея излѣдованіе, и наконецъ рѣшеніе системы 3-хъ уравненій первой степени съ 3-мя неизвѣстными по способу, изложенному въ „Трудахъ I Всероссійскаго съѣзда преподавателей математики“.

Уравненія линейныя съ большимъ числомъ неизвѣстныхъ не излагаю, такъ какъ изложеніе ихъ потребовало бы много времени, но особаго интереса это не представляетъ ни въ теоретическомъ, ни практическомъ отношеніи.

Затѣмъ я излагаю рѣшеніе квадратныхъ уравненій съ однимъ неизвѣстнымъ, вида ах2 -|- б.г ф- е = 0. Лѣвая часть этого уравненія, если обозначить ее черезъ приводится въ виду у — а I X —I--------^-2 - , наир. для уравненія х*-\-4х 4-3 = 0 имѣемъ у — (х-f 2)2—1. Построивъ графикъ, легко видѣть, что это парабола, для которой х —— 2 есть ось симметріи. Абсциссы точекъ пересѣченія ея съ осью х - овъ и даютъ корни уравненія.

Рѣшеніе ур —ія ахг -\~Ьх-\-с = 0 всегда можно свести къ построенію параболы вида у = х*и прямой, точки пересѣченія которыхъ и даютъ корни уравненія.

Простые способы рѣшенія квадратнаго уравненія съ однимъ неизвѣстнымъ указаны у Лебединцева, Лермантова, Адлера и другихъ. У Адлера изложено рѣшеніе помощью такъ называемой

„Штейнеровой окружности“. Послѣ рѣшенія квадратнаго уравненія можно дать его изслѣдованіе графическимъ путемъ.

Системы квадратныхъ уравненій съ двумя неизвѣстными рѣшаются построеніемъ линій, представленныхъ уравненіями, по ихъ отдѣльнымъ точкамъ.

Все изложенное относится къ курсу начальному по графическому методу рѣшенія уравненій, для учениковъ IV, V, VI классовъ мужскихъ гимназій и IV, V реальныхъ училищъ.

Для учениковъ же старшихъ классовъ можно добавить нѣкоторыя весьма существенныя статьи и углубить знаніе предыдущихъ.

Построеніе кривыхъ 2-го порядка по точкамъ требуетъ большой затраты времени; для упрощенія ихъ построенія весьма полезно знать напередъ, —что оно представляетъ, и если кривую, то какую кривую, а затѣмъ, умѣя упростить уравненіе этой кривой и зная ея свойства, безъ труда можно построить ее.

Изслѣдованіе кривыхъ 2-го порядка и упрощеніе ихъ уравненій нужно сообщить въ возможно краткой формѣ, избѣгая нагроможденія матеріала аналитической геометріи.

Для этого нужно воспользоваться асимптотическими направленіями, избѣжавъ полярныхъ координатъ.

Съ этою цѣлью нужно доказать, что всякая прямая пересѣкаетъ кривую, представленную уравненіемъ -f- -(- + + Dx-\-Ey + F=Ö въ двухъ точкахъ, дѣйствительныхъ различныхъ, совпадающихъ или мнимыхъ.

При доказательствѣ нужно взять прямую и посмотрѣть ея пересѣченіе съ кривой. Подставивъ значеніе а изъ 2-го уравненія въ уравненіе кривой, получимъ

(А-)- Вт -|- Cm2) х2-\- ( Вп-|- 2 СтпD-\- Em) х -f- (Си2 En -\-F)=0.

Здѣсь нужно разсмотрѣть 2 случая:

1) А -f- Вт 4- Cm2ф0, тогда очевидно х имѣетъ 2 значенія и теорема доказана,

2) А -f- Вт -I- Cm2 = 0, тогда уравненіе квадратное приводится къ уравненію 1-ой степени, а слѣдовательно получается одинъ корень для х, что какъ будто опровергаетъ теорему.

Но изъ элементарной алгебры извѣстно, что уравненіе ах2-\-Ъх-\~с=0 при а — 0 (предѣльный случай безконечно-малой величины) даетъ 2 корня: xL = — -^, = ±00. Слѣдовательно, въ данномъ случаѣ, при А-\-Вт-\-Ст2— второе значеніе Х-а будетъ безконечность, что и доказываетъ справедливость теоремы во 2-мъ случаѣ.

Изъ послѣдняго случая видимъ, что кривыя могутъ имѣть такія прямыя, которыя пересѣкаютъ ихъ въ двухъ точкахъ, изъ которыхъ одна конечная, а другая безконечно-удаленная.

Направленія этихъ прямыхъ опредѣляются угловымъ коэффиціентомъ, который находится изъ уравненія А-f-Вт-j- 0; но т здѣсь имѣетъ 2 рѣшенія, слѣдовательно и такихъ направленій можетъ быть тоже 2.

Здѣсь нужно разсмотрѣть 3 случая:

1) В2— 4НС<:0, тогда оба корня мнимы, слѣдовательно такихъ направленій нѣтъ. Кривая есть эллипсъ. Слѣдуетъ показать ея видъ.

2) В2— 4ПС'>0, тогда 2 вещественныхъ корня, слѣдовательно, существуетъ 2 различныхъ направленія. Кривая — гипербола.

3) В2 — AÂC— 0, оба корня совпадаютъ, слѣдовательно, существуетъ только одно направленіе. Кривая — парабола.

(Нѣсколько далѣе нужно показать, что при существованіи этихъ случаевъ уравненіе можетъ не представлять кривой, а представлять систему двухъ прямыхъ или мнимость).

Затѣмъ нужно показать перенесеніе начала координатъ (безъ измѣненія направленія осей), дѣленіе кривыхъ на центральныя и не имѣющія центра и дать понятіе о дискриминантѣ.

Послѣ этого нужно дать чисто алгебраическое доказательство, что уравненіе 2-ой степени съ 2-мя перемѣнными можетъ представлять мнимость или систему двухъ прямыхъ, напр., что уравненіе Ах2 -f- Вху -f- Су2 -)- Вх-\- Ey~\- представляетъ мнимость, если В2 — 4ПС<0, Д^О и Д и 4 одинаковыхъ знаковъ.

Для этого приводимъ уравненіе къ виду 4- f\ = 0. Послѣднее легко приводится къ новому виду (Н,.г4-“Ь С\УУЛ~А2х2--(-Cjî/2 —j— Ъ\ — 0, гдѣ -f- Ct2-f и 2 А1С1 = В, при чемъ А2, 02, Fx — положительны. Это всегда можно сдѣлать, такъ какъ В2—4 АС с 0. А, С, Ь\ мы считали здѣсь положительными; если же они отрицательны, то достаточно измѣнить знаки предъ всѣми членами на обратные, чтобы свести къ предыдущему (А, С и Fx — одного знака при данныхъ условіяхъ). Полученное же уравненіе не можетъ быть удовлетворено никакими вещественными значеніями неизвѣстныхъ, слѣдовательно уравненіе дѣйствительно представляетъ мнимость.

Подобнымъ же образомъ легко показать, что если \~0, то уравненіе вида представляетъ систему двухъ прямыхъ вещественныхъ или мнимыхъ.

Всѣ случаи могутъ быть выражены одной таблицей.

А и А — одного знака А и А — различныхъ знаковъ

система двухъ прямыхъ (вещ. или мним.). мнимость

эллипсъ

гипербола

парабола

Послѣ чего уже нужно сообщить и дальнѣйшее упрощеніе уравненія кривыхъ, — помощью измѣненія направленія осей.

На упрощенныхъ уравненіяхъ разсмотрѣть свойства эллипса, гиперболы и параболы, при чемъ не только аналитически, но и графически.

Умѣя приводить уравненія кривыхъ къ простѣйшему виду и зная свойства кривыхъ 2-го порядка, можно, пользуясь практическими пріемами построенія этихъ кривыхъ, строить самыя кривыя, точки пересѣченія которыхъ дадутъ корни уравненій.

Затѣмъ можно показать рѣшеніе уравненія 3-й и 4-ой степеней съ однимъ неизвѣстнымъ въ общемъ видѣ по способу, изложенному у Адлера въ его „теоріи геометрическихъ построеній“. и на частныхъ случаяхъ рѣшеніе системы 2-хъ уравненій высшихъ степеней съ двумя неизвѣстными, напр.

Положивъ въ первомъ уравненіи у=имѣемъ 2 ( -)- 3 — — 30 = 0, отсюда х2 = 0и я — р5 '

Придавая t различныя значенія, получимъ точки первой кривой. Для построенія второй кривой представляемъ ея уравненіе въ видѣ y — d=x 1/ ■

Отсюда видно, что кривая не можетъ имѣть значеній для большихъ 2-хъ. Слѣдовательно, для полученія значеній Y-a нужно Х-у придавать значенія отъ 0 до 2-хъ. Такимъ образомъ строится 2-ая кривая.

Въ результатѣ получимъ 4 пары рѣшеній:

остальныя же очевидно мнимы.

И наконецъ слѣдуетъ показать графическое рѣшеніе показательныхъ уравненій и неопредѣленныхъ.

Такимъ образомъ могутъ быть разсмотрѣны всѣ виды уравненій, рѣшаемыхъ элементарной алгеброй, а кромѣ того и тѣ, которыя ею не разрѣшимы, и въ то же время въ весьма интересной формѣ изложены наиболѣе существенныя статьи аналитической геометріи, знаніе которыхъ тотчасъ примѣняется на практикѣ, и притомъ въ наглядной формѣ*).

*) Подробное изложеніе примѣненій графическаго метода можно найти въ книгѣ автора настоящей замѣтки: Ф. Г. Трубинъ. „Примѣненіе графическаго метода къ рѣшенію и изслѣдованію уравненій“. Одесса. 1916 г. Ред.

Къ статьѣ объ опредѣленіи длины окружности и площади круга.

І. Чистяковъ. (Москва).

При изложеніи статьи объ опредѣленіи длины окружности и площади круга авторы учебниковъ геометріи пользуются способомъ предѣловъ. При этомъ можно отмѣтить два главныхъ способа изложенія: въ однихъ курсахъ доказывается, что окружность есть предѣлъ периметровъ прав. вписанныхъ и описанныхъ многоугольниковъ, а площадь круга предѣлъ площадей тѣхъ же многоугольниковъ, когда число сторонъ ихъ неограниченно увеличивается; въ другихъ-же учебникахъ названныя теоремы замѣняются опредѣленіями того-же содержанія. Перваго способа изложенія держатся болѣе старые авторы, какъ Лежандръ проф. Давидовъ и др., второе же изложеніе находитъ мѣсто у авторовъ болѣе новыхъ курсовъ, каковы Руше и Комберуса, Гадамаръ, Киселевъ и пр. Второе направленіе является болѣе научнымъ, чѣмъ первое; однако, въ педагогическомъ отношеніи оно представляетъ весьма большія неудобства. Дѣйствительно, когда дано названное опредѣленіе,—напр., что окружность есть предѣлъ периметровъ прав. вписанныхъ мн—ковъ и пр.,— то нужно доказать, во-первыхъ, что такой предѣлъ дѣйствительно существуетъ, и, во-вторыхъ, что онъ не зависитъ отъ способа, какимъ вписываются многоугольники. Но доказательство этихъ положеній весьма сложно; еще первое изъ нихъ сравнительно проще и легче дается учащимся, второе же должно быть признано почти недоступнымъ. У Киселева, напр., оно доказывается при помощи тригонометріи. Кромѣ того упомянутыя опредѣленія длины окружности и площади круга кажутся для учащихся, уже имѣющихъ изъ опыта соотвѣтствующія понятія, крайне странными и искусственными.

Явная неудача попытокъ замѣнить старое изложеніе объ измѣреніи длины окружности и площадь круга другимъ повела къ тому, что въ послѣднее время были сдѣланы многочисленныя попытки дать новое изложеніе той-же статьи. Такъ, на 2-мъ Всероссійскомъ Съѣздѣ преподавателей математики были сдѣланы 3 доклада подобнаго содержанія; не мало ихъ было прочитано въ засѣданіяхъ секціи математики при Педагогическомъ Музеѣ Военно-Учебныхъ заведеній, нѣсколько статей по тому-же вопросу помѣщено также въ журналахъ. Въ этихъ докладахъ и статьяхъ предлагаются самые разнообразные способы для изложенія отдѣла о длинѣ окружности и площади круга, вплоть до интегральнаго исчисленія. Общей чертой ихъ является при этомъ стремленіе къ усиленію научнаго элемента. Но такая тенденція ведетъ къ осложненію изложенія массою оговорокъ, дополнительныхъ изслѣдованій и проч., вслѣдствіе чего оно становится растянутымъ и громоздкимъ.

Было бы весьма интереснымъ сдѣлать критическій обзоръ этихъ новѣйшихъ проектовъ изложенія знаменитой статьи, тѣмъ болѣе, что они содержатъ въ себѣ отзвуки современныхъ научныхъ теченій. Однако, это совсѣмъ не входитъ въ задачу настоящей замѣтки. Въ общемъ-же я полагаю, что всѣ они ни по объему, ни по содержанію не подходятъ для средней школы, и вопросъ о новомъ школьномъ изложеніи разсматриваемой статьи долженъ считаться еще находящимся въ стадіи разработки. Для средней же школы, особенно для изучающихъ геометрію прямо въ видѣ систематическаго курса, наиболѣе доступнымъ является то традиціонное изложеніе этой главы, о которомъ я упомянулъ въ самомъ началѣ. Но въ него могутъ быть внесены нѣкоторыя измѣненія и улучшенія; намѣтить ихъ и является цѣлью этой замѣтки.

Въ названномъ традиціонномъ способѣ принимается безъ доказательства и считается за очевидную истину, что окружность опредѣленнаго радіуса имѣетъ совершенно опредѣленную длину, а ограничиваемая его часть плоскости—совершенно опредѣленную площадь. Затѣмъ доказывается, что окружность есть предѣлъ периметровъ, а площадь круга—предѣлъ площадей извѣстныхъ правильныхъ многоугольниковъ. Такое изложеніе является, конечно, не вполнѣ научнымъ, ибо предварительно не дается точнаго опредѣленія понятій о длинѣ кривой и площади фигуры съ криволинейнымъ контуромъ. Однако, этотъ упрекъ, совершенно правильный съ чисто научной стороны, теряетъ въ своемъ значеніи, если мы станемъ на педагогическую точку зрѣнія. Въ самомъ дѣлѣ, учащіеся, не зная точнаго опредѣленія длины кривой, тѣмъ не менѣе имѣютъ о ней надлежащее понятіе. Они получаютъ его, прежде всего, изъ опыта, сравнивая линію съ гибкой и нерастяжимою нитью. Далѣе же въ учебникахъ геометріи это понятіе не только не отвергается, а даже какъ будто поддерживается. Такъ, на первыхъ же страницахъ любого учебника геометріи встрѣчается фраза, что „линія имѣетъ одно измѣреніе— длину“, при чемъ не дѣлается различія между прямыми и кривыми линіями, упоминается, что о прямой линіи понятіе даетъ туго натянутая нить и пр. Но если у учащихся есть это понятіе, то можно строгаго опредѣленія его и не давать, какъ это имѣетъ мѣсто относительно понятій числа, величины и др. Кромѣ этого понятія, здѣсь пользуются еще постулатомъ, что объемлющая кривая или ломаная линія длиннѣе любой выпуклой объемлемой, и способомъ предѣловъ.

Относительно примѣненія этого послѣдняго способа слѣдуетъ сдѣлать нѣсколько замѣчаній. Сухостью и холодомъ вѣетъ отъ страницъ учебниковъ геометріи, посвященныхъ этому отдѣлу. И главнымъ недостаткомъ изложенія этой статьи я считаю крайній недостатокъ примѣровъ, поясняющихъ теорію. Такъ, примѣровъ величинъ, имѣющихъ предѣлъ, приводится ничтожное количество, нерѣдка мало понятныхъ и не убѣдительныхъ, хотя ихъ можно было бы много привести изъ извѣстныхъ уже учащимся отдѣловъ алгебры, геометріи и ариѳметики. Еще печальнѣе обстоитъ

дѣло съ двумя основными теоремами способа предѣловъ: „Если двѣ перемѣнныя величины при всѣхъ своихъ измѣненіяхъ равны, то равны и ихъ предѣлы“ и „Если двѣ перемѣнныя величины сохраняютъ постоянное отношеніе, то въ томъ же отношеніи находятся и ихъ предѣлы“. Несмотря на крайнюю отвлеченность этихъ истинъ, въ поясненіе ихъ не дается ни одною конкретнаго примѣра (см. напр. учебникъ геометріи А. Киселева, перераб. изд.). Между тѣмъ, съ помощью этихъ теоремъ можно было бы дать многимъ теоремамъ, ранѣе пройденнымъ учащимися, доказательство по способу предѣловъ.

Переходя къ теоремамъ о томъ, что длина окружности есть предѣлъ периметровъ а площадь круга—предѣлъ площадей правильныхъ вписанныхъ и описанныхъ многоугольниковъ и пр, слѣдуетъ отмѣтить, что доказательства ихъ въ учебникахъ—чисто аналитическія, лишенныя наглядности; окружность въ нихъ прямо не фигурируетъ. Предлагаю поэтому слѣдующія доказательства ихъ, болѣе нагляднаго характера.

Пусть на чертежѣ дуга АЕ представляетъ собою * часть окружности; проведемъ изъ точекъ А и касательныя до пересѣченія ихъ въ точкѣ D и соединимъ точку I)съ О и точку А съ Е. Пусть хорда АЕ пересѣкается съ OD въ точкѣ С. Тогда АС будетъ представлять собою половину стороны прав. вписаннаго въ кругъ «-угольника, AD-uo-ловнну стороны прав. описаннаго «-угольника. Обозначая длину окружности чрезъ С, а периметры правильныхъ вписаннаго и описаннаго «-угольниковъ соотвѣтственно чрезъ Р и р, можемъ составить пропорцію

Отсюда слѣдуетъ, что вмѣсто предѣловъ отношеній р и - можно искать предѣлы ~AJ) 11 ÄC ‘ Покажемъ, что каждый из ънихъ равенъ единицѣ. Дѣйствительно, на основаніи постулата о томъ, что объемлющая линія длиннѣе объемлемой, имѣемъ:

Раздѣляя всѣ члены этихъ неравенствъ на АС, имѣемъ;

Но изъ подобія треугольниковъ и AOD слѣдуетъ, что

Пусть число сторонъ правильнаго вписаннаго и описаннаго мн-ковъ неограниченно увеличивается, тогда предѣломъ отношенія будетъ 1. Слѣдовательно, и пред.—^^=1, а потому и ^ =1, откуда С—пред. р, т.-е. длина окружности есть предѣлъ периметровъ правильныхъ вписанныхъ многоугольниковъ при безграничномъ увеличеній числа ихъ сторонъ. Точно такъ же, раздѣляя всѣ члены неравенствъ (а) на АD, докажемъ, что , т.-е., что окружность есть и предѣлъ периметровъ прав. описанныхъ многоугольниковъ.

Обозначимъ далѣе площадь круга К, площади правильныхъ вписаннаго и описаннаго n-ковъ соотвѣтственно чрезъ и и площадь сектора АО В чрезъ S. Тогда

Но изъ чертежа видно, что

пл. АОС-свсил. AOD (в).

Раздѣляя всѣ члены этого неравенства на пл. АОС, получимъ:

Но вслѣдствіе подобія 3-ковъ AOD и АОС пропорціи:

При безграничномъ увеличеніи числа сторонъ прав. вписанныхъ и описанныхъ многоугольниковъ послѣднее отношеніе въ предѣлѣ стремится къ 1. Слѣдовательно, пред. а значитъ и пред. ^—1, откуда К—пред. q, что н требовалось доказать. Аналогично раздѣляя члены неравенства (в) на пл. AOD, найдемъ, что пред. откуда пред.-^— 1 или Q.

О великой теоремѣ Фермата.

Проф. Р. Bachmann, пер. Рабиновича.

(Окончаніе).

16. Переходя къ изложенію результатовъ, достигнутыхъ такими пріемами по отношенію къ общему случаю уравненія

(60),

мы предпошлемъ этому изложенію рядъ замѣчаній, нетолько важныхъ для этой цѣли, но представляющихъ, кромѣ того, самостоятельный интересъ.

Прежде всего, перенеся zP въ правую часть уравненія (60) и написавши —z, вмѣсто г, мы можемъ придать уравненію симметричный видъ:

(61)

при этомъ только два изъ чиселъ z можно считать положительными, а третье нужно считать отрицательнымъ. Мы должны ихъ считать также попарно взаимно простыми; поэтому два изъ чиселъ х, у, z должны быть нечетными, а третье — четнымъ.

1) Если мы введемъ теперь обозначенія:

то числа X, у, г можно будетъ разсматривать, какъ корни кубичнаго уравненія.

а если мы обозначимъ для каждаго индекса

то изъ формулъ Ньютона мы получимъ слѣдующія соотношенія:

(62)

Принимая во вниманіе формулы

которыя нетрудно вывести, можно написать три послѣднихъ равенства въ слѣдующемъ видѣ:

(63)

на послѣдней изъ нихъ Лебегъ (см. вышеупомянутую ст.) основалъ доказательство неразрѣшимости уравненія (57) въ цѣлыхъ числахъ.

Далѣе для каждаго простого показателя согласно теоремѣ Фермата, имѣетъ мѣсто сравненіе

(64) Sp— хр-)- ур -f* Л -f- -f- (

Такимъ образомъ для разрѣшимости уравненія (61), необходимо, чтобы

(65) L — X-(- у-f- zзг7 0 (mod р).

Вслѣдствіе этого, мы изъ равенствъ (63) заключаемъ, что для разрѣшимости уравненій

въ цѣлыхъ числахъ, необходимо существованіе слѣдующихъ соотвѣтствующихъ имъ сравненій:

Первое изъ нихъ показываетъ, что, по крайней мѣрѣ, одинъ изъ множителей х-\-у, у-\-s, z-\-долженъ дѣлиться на 3; но такъ какъ изъ (65) вытекаетъ сравненіе (mod3), то это въ свою очередь показываетъ, что одно изъ чиселъ х, у, z должно дѣлиться на 3. Изъ второго слѣдуетъ, что либо одинъ изъ трехъ множителей х-\-у, у-\-г, z-\- х, либо выраженіе -\-yiJrz2 дѣлится на 5 ; но такъ какъ, согласно сравненію (65), /.= О (mod 5), то послѣднее допущеніе равносильно тому, что ж2 + уа-|- г* дѣлится на 5 ; но и въ томъ и въ другомъ случаѣ одно изъ чиселъ х, у, z должно дѣлиться на 5. Такимъ образомъ въ случаяхъ р= 3 и р — ?> получается уже ранѣе упомянутый результатъ. Но уже по отношенію къ ближайшему случаю это

раздѣленіе оказывается непримѣнимымъ; въ самомъ дѣлѣ, изъ послѣдняго равенства мы заключаемъ, что либо одинъ изъ множителей у -f-г-\-х, а вслѣдствіе этого, и одно изъ чиселъ х, у, zдѣлятся на 7, либо, если это не выполнено, то на 7 дѣлится послѣдній множитель; такъ какъ, согласно (65), = 0 ( 7), то послѣднее допущеніе приводитъ къ тому, что должно дѣлиться на 7 ; но легко видѣть, что это можетъ произойти и въ томъ случаѣ, если ни одно изъ чиселъ х, у, z не дѣлится на 7. Поэтому въ разсматриваемомъ случаѣ и тѣмъ болѣе— въ общемъ случаѣ произвольнаго простого показателя р для доказательства соотвѣтствующаго предложенія требуются иныя средства.

2) Вообще говоря, разность U— т.-е. выраженіе

(х-f- у-)- z)p — —

представляетъ собою гомогенную цѣлую и цѣлочисленную функцію р-аго измѣренія отъ х, у, z, коэффиціенты которой дѣлятся на р. Но такъ какъ это выраженіе исчезаетъ при условіи, что X у или у -(-z или г- \-хравно нулю, то оно дѣлится алгебраически на каждую изъ этихъ суммъ, и поэтому получается общая формула:

(66)

въ которой F(x, у, z) обозначаетъ цѣлую цѣлочисленную гомогенную функцію р— 3-аго измѣренія отъ х, у, z.

Точно такъ же мы найдемъ, что разность

всѣ коэффиціенты которой тоже представляютъ собою цѣлыя числа, дѣлящіяся на р, дѣлится на х, у, х-\- у, такъ какъ при условіи, что X или у или X -f- у равно нулю, эта функція исчезаетъ: такимъ образомъ существуетъ слѣдующее общее соотношеніе, которое нетрудно получить также изъ соотношенія (66), положивъ въ немъ 0 = 0:

(66а) (х + уУ — xt—yP = . (х -f (х, у),

при чемъ f(x, у) обозначаетъ цѣлую, цѣлочисленную и гомогенную функцію р— 3-аго измѣренія отъ (х, у). Эту функцію легко опредѣлить по формулѣ, вывенной въ главѣ 2, № 12 настоящаго сочиненія. Согласно послѣдней,

гдѣ обшій членъ равенъ

и, слѣдовательно, рядъ замыкается членомъ

коэффиціенты разложенія суть цѣлыя числа, дѣлящіяся на р. Поэтому получается

Мы обязаны Коши (Cauchy, Journ. des Math. 5(1840), стр. 211) интереснымъ болѣе близкимъ опредѣленіемъ этой функціи. Если мы обозначимъ

слѣдовательно,

и будемъ понимать подъ а мнимый кубическій корень изъ единицы. такъ что а2-|-а+1=0, а+1 = — 2, «2-р1=:— а,то, очевидно, для всѣхъ р > 3 получается

между тѣмъ какъ

поэтому въ томъ случаѣ, когда р—1 дѣлится на 3, т.-е.р имѣетъ видъ 6к -f-1, 9>'(«) и <jp'(a2) тоже обращаются въ нуль. Но это показываетъ, что функція <p(z) прнр>3 постоянно дѣлится на 1; въ томъ же случаѣ, когда р = 6«-)-1, она дѣлится даже на Такимъ образомъ мы заключаемъ, что функція f (х, у) всегда имѣетъ множителемъ выраженіе х2 -{- ху -f-а въ случаѣ, когда р имѣетъ видъ бк-фі, то оно имѣетъ мно-

*) Символами ^ 1,1 ^__j ! авторъ обозначаетъ биноміальныя коэффиціенты, такъ что вообще

Примѣч. перев.

жителемъ даже квадратъ этого выраженія. Такъ, напримѣръ, дѣйствительно,

(66в)

17. Замѣтимъ теперь, что хр-f-ур можетъ быть представлено въ слѣдующемъ видѣ:

(69)

гдѣ

(70)

это выраженіе, очевидно, вмѣстѣ съ является цѣлымъ числомъ. Если мы напишемъ

Ч — Х + у,

то изъ предыдущаго равенства получимъ

("1)

Если теперь ю представляетъ собою простой множитель числа х = у, то ю не можетъ войти въ составъ множителей числа X, такъ какъ въ этомъ случаѣ оно входило бы и въ составъ множителей числа у, и такимъ образомъ числа х, у, вопреки условію, не были бы взаимно-простыми. Предыдущее равенство показываетъ такимъ образомъ, что б лишь тогда можетъ служить и дѣлителемъ числа —если й = », и что въ этомъ случаѣ, дѣйствительно, ы =р входитъ въ составъ дѣлителей числа — и притомъ только одинъ разъ; въ свою очередь можетъ лишь тогда дѣлиться на если дѣлится на это число. Отсюда слѣдуетъ, что если х + не дѣлится на р, то оба множителя выраженія (69) — взаимно-простые, и второй изъ нихъ тоже не дѣлится на такъ что если мы положимъ

(72а)

то s,t будутъ обозначать взаимно-простыя числа, недѣлящіяся на р. Если же х~\-у дѣлится на р, то нужно положить

(72Ь)

гдѣ s,t снова обозначаютъ взаимно-простыя числа, не дѣлящіяся на р.

Поэтому, если равенство

(73) хр ур гр — О

разрѣшимо въ цѣлыхъ числахъ, то въ первомъ случаѣ произведеніе s.t,а слѣдовательно, и каждый изъ двухъ множителей s,t должны представлять собою р-ую степень, недѣлящуюся на р. т.-е.

в = гір,

во второмъ же случаѣ выраженіе должно представлять собою р-ую степень, дѣлящуюся на р, слѣдовательно,

при чемъ числа и,ѵ должны быть во всякомъ случаѣ взаимнопростыми, недѣлящимися на р.Такимъ образомъ имѣются либо соотношенія вида

(74а)

либо слѣдующія:

(74Ь)

Число V — нечетное. Въ самомъ дѣлѣ, если одно изъ чиселъ х,у—четное, а, слѣдовательно, другое — нечетное, то всѣ члены выраженія (70), кромѣ одного — четные, въ противномъ же случаѣ это выраженіе состоитъ изъ нечетнаго числа нечетныхъ членовъ. Пусть теперь ю представляетъ собою какое-либо простое число, входящее въ составъ дѣлителей числа ѵ и, слѣдовательно, отличное отъ р\ вслѣдствіе равенства (70), оно не можетъ служить дѣлителемъ ни одного изъ чиселъ , такъ какъ въ этомъ случаѣ оба числа дѣлились бы на со, т.-е. не были бы взаимно-простыми. Такъ какъ xp- 0 <5), то, положивъ rty = — 1, g = yx, мы получимъ g* = l (mod со), между тѣмъ какъ сравненіе g = 1, т.-е. у х — 1 = у(х 4- = 0 (mod б) невозможно. Поэтому число g принадлежитъ (mod показателю который такимъ образомъ долженъ быть дѣлителемъ числа со — 1. Иными словами, каждый простой дѣлитель (Ь числа »имѣетъ видъ 2hp-\-l, и слѣдовательно

Но изъ симметричности уравненія (73) относительно х, у, s мы заключаемъ, что подобно существованію одного изъ равенствъ (74а) или (74Ь) должны существовать либо равенство

(75а)

либо

а также либо

(76Ь)

(76в)

при чемъ и числамъ и', ѵ\ а также ", примѣнимо то же самое, что было установлено для чиселъ

Но для того чтобы два изъ чиселъ не дѣлились на р, эти возможности могутъ быть сгруппированы лишь въ слѣдующихъ четырехъ взаимныхъ комбинаціяхъ.

при чемъ послѣднія три комбинаціи соотвѣтствуютъ тому случаю, когда одно изъ чиселъ х, у, ^ дѣлится на Вслѣдствіе симметричности уравненія (73) относительно х, у, z, — безразлично, какое изъ этихъ чиселъ мы будемъ считать дѣлящимся на Мы избираемъ для этого число z, ивъ дальнѣйшемъ намъ предстоитъ изслѣдовать лишь два существенно различныхъ случая— первую и послѣднюю изъ четырехъ комбинацій:

I. Либо

(77 а)

откуда слѣдуетъ, что

(78а)

II. Либо

(76Ь)

откуда слѣдуетъ, что

(78Ь)

Эти формулы даны Лежандромъ (Legendre, Mém. de PAcad. des sciences, Institut de France 1823 [1827], стр. 1), но онѣ находятся также въ письмѣ Абеля (Abel) къ Гольмбе(Holmboe) отъ 24.6.1823; см. Abel, œuves complètes, 2 éd. II, стр. 264/265.

Прежде чѣмъ ближе перейти къ разсмотрѣнію каждаго изъ этихъ случаевъ въ отдѣльности, сдѣлаемъ еще два замѣчанія, впервые установленныя, по свидѣтельству Лежандра (см. упомянутую ст.), Софьей Жерменъ (Sophie Germain). Первое замѣчаніе утверждаетъ, что въ формулахъ (77в) «>1, т.-е. что то изъ чиселъ х, у, s, которое дѣлится на дѣлится и на р'!. Дѣйствительно, изъ этихъ формулъ слѣдуетъ, что

это требуетъ, чтобы и дѣлилось на р, вслѣдствіе чего, согласно уравненію (67),

и'Р -]- и"Р ~ (и1 г«")^ = 0 ( 2);

принимая же во вниманіе послѣднюю изъ формулъ (78в), мы заключаемъ, что и г дѣлится на рг.

Второе изъ этихъ замѣчаній относится одинаково къ обоимъ случаямъ, подлежащимъ разсмотрѣнію; оно утверждаетъ, что простые дѣлители со числа ѵ, имѣющіе, согласно доказанному, видъ 2hp -f-1, могутъ быть выражены точнѣе въ видѣ 2£ps-f-l, т.-е. h должно дѣлиться на р. Дѣйствительно, въ обоихъ случаяхъ существуютъ сравненія:

с = 0, г = 0, у = и'Р, X = и"* , --ур=- и'рг + = 0 ( сЗ);

обозначивъ Sozius числа и" (mod со) черезъ1), мы можемъ замѣнить послѣднее изъ этихъ сравненій слѣдующимъ:

(79) (и'и3У2 -f-1 = 0 (mod со).

Пусть теперь g представляетъ собою нѣкоторый первообразный корень простого числа â> = 2hp-\-l; тогда при чемъ і не дѣлится на h, такъ какъ въ противномъ случаѣ получилось бы (MlMj)t=p'> = ±i) слѣдовательно, либо (и'щУ2 +1 =2, либо ■и'/,-\-и"р = х-\-у=0; но ни то, ни другое невозможно.

1) Sozius (союзное чнсло) щ произвольнаго числа w"(mod<5) есть число, удовлетворяющее сравненію: а"и2—1 (mod(5). Прим. перев.

Такъ какъ изъ сравненія (79) получается

то = 1 ( modй>); это показываетъ, что дѣлится на <а — 1 = 2 lip,или ір — на h,что можетъ произойти лишь въ случаѣ, если h дѣлится на р.

18. Разсмотримъ теперь сначала случай I.

Мы будемъ исходить вмѣстѣ съ Вендтомъ (Е. Wendt, Journ. f. Math. 113 [1894], стр. 335) изъ формулы, впервые примѣненной для разсматриваемой задачи въ уже упомянутой работѣ Ламе. Для трехъ произвольныхъ количествъ а, с можно на основаніи теоремы о возведеніи въ степень многочленовъ написать выраженіе

(80). $ = (а + Ь + су. — (а + Ь — сУ — (а — Ь-{-сУ — (-а + Ъ

слѣдующимъ образомъ:

причемъ суммированіе должно быть произведено для всѣхъ неотрицательныхъ а, ß, у, составляющихъ въ суммѣ число р. Такъ какъ р — число нечетное, то либо всѣ три количества ß, должны быть нечетными, либо — только одно изъ нихъ; но въ послѣднемъ случаѣ величина, стоящая въ скобкахъ подъ знакомъ суммы, исчезаетъ, слѣдовательно, можно написать:

(81)

Слѣдовательно, если мы обозначимъ

то на основаніи формулъ (78а) и исходнаго уравненія (73), мы получимъ равенство

изъ котораго вытекаютъ два другихъ равенства слѣдующаго вида:

(83)

Установивши это, обозначимъ черезъ ю простое число вида 2Ьр -}-1. Изъ исходнаго уравненія (73) слѣдуетъ сравненіе

(84) хр-}- у* -f- гР = 0 ю);

если ни одно изъ чиселъ х, у, не дѣлится на ю, то, обозначивши соціусъ числа z (mod со) черезъ можно дать этому сравненію слѣдующій видъ:

(xz'y + 1= (— xz’y,

или

(85) g* 4~ 1 = г/Р (

гдѣ g, у — числа, взаимно-простыя съ Со, такъ что

(86) g2/,c = 1( if'P 1 (mod со).

На основаніи послѣднихъ сравненій, сравненіе (85) послѣ возведенія во 2/і-ю степень переходитъ въ слѣдующее:

изъ этого сравненія при помощи послѣдовательнаго умноженія на §р и постояннаго сопоставленія съ (86) получаются другія:

И такъ, если сравненіе (84) возможно д л я значеній X, у, z, недѣлящихся на то детерминантъ

полученныхъ 2h сравненій долженъ дѣлиться на модуль ы — 2hp1, т.-е. если мы обозначимъ

то должно оказаться

Dih = 0 со).

Поэтому если существуетъ простое число с5 = 2Ар -}-1, которое не входитъ въ составъ дѣлителей детерминанта І)2/І, то сравненіе вида (84), а слѣдовательно, и сравненіе (73) въ числахъ X, у, г, недѣлящихся на Л, невозможно. Въ такомъ случаѣ одно изъ этихъ чиселъ должно дѣлиться на въ виду симметричности уравненія относительно этихъ чиселъ, — безразлично, какое изъ нихъ считать дѣлящимся на <5; мы примемъ поэтому, что таковымъ является число г. Этотъ простой дѣлитель ю входитъ тогда либо въ составъ и,либо въ составъ »; по такъ какъ числа и, V,а также х, у и у, з — слѣдовательно, и числа и\ и и", V—взаимно-простыя, то въ послѣднемъ случаѣ дѣлитель ы не входитъ въ составъ ни одного изъ чиселъ и, Изъ третьяго сравненія (78а) въ этомъ случаѣ получилось бы аналогичное сравненію (84) сравненіе

въ числахъ — «, и1, и", недѣлящихся на ю, что невозможно, въ виду принягаго нами, по условію, свойства числа «. Такимъ образомъ остается одно, — что число и дѣлится на <5, и изъ третьяго сравненія (78а) слѣдуетъ, что

въ виду чего

Но при этихъ условіяхъ, разсматривая второе изъ уравненій (83), какъ сравненіе ( mod<5), мы должны откинуть тѣ члены, въ которыхъ Я>-0, такъ какъ они дѣлятся на ы, и положить,

такъ какъ, благодаря этому, суммированіе будетъ распространяться только на всѣ ѵ, сумма которыхъ ц-\-ѵ=.——, то полупится слѣдующее сравненіе:

Далѣе, существуютъ слѣдующія равенства:

а изъ ихъ вычитанія мы находимъ

Благодаря этому, сравненіе (88) принимаетъ болѣе простой видъ:

пир-з)р ^рр~і. рр й).

Такъ какъ и'не дѣлится на то это сравненіе сейчасъ же показываетъ, что и Г не дѣлится на это число, а послѣ возведенія въ 2h-io степень оно приводитъ, па основаніи теоремы Фермата, къ слѣдующему:

или

Поэтому если простое число удовлетворяетъ еще второму условію — тому, что для него сравненіе (89) не имѣетъ мѣста, то число и— а, слѣдовательно, и число не могутъ дѣлиться на со. Мы приходимъ такимъ образомъ къ слѣдующему выводу:

Если существуетъ простое число <5 = 2%-f-l, ко-торое не входитъ въ состазъ дѣлителей ни детерминанта Z>2/„ ни числа рін — 1, то случай I для уравненія (73) невозможенъ, т.-е. это уравненіе не, можетъ быть разрѣшено въ цѣлыхъ числахъ недѣлящихся на^з.

19. По существу то же самое предложеніе находится въ вышеупомянутой работѣ Вендта. Другое выртженіе далъ ему уже Лежандръ (въ послѣдней изъ цитированныхъ статей), приписавшій еі’о Софьѣ Жерменъ. Его выраженіе гласитъ: если существуетъ простое число â>z= для котораго никакіе два вычета »•', г" р-ыхъ степеней не могутъ образовать соотношенія 1 -J-r' — т.-е. не можетъ существовать никакое сравненіе вида (85),— и для котораго число р не служитъ вычетомъ ой степени, — т.-е. р не удовлетворяетъ сравненію рг,‘ = 1 (modw), то уравненіе (73) не можетъ быть разрѣшено въ цѣлыхъ числахъ, недѣлящихся на р. Но это выраженіе тождественно съ выраженіемъ теоремы Вендта, такъ какъ сравненіе Dik = 0 ( mod à) является не только необходимымъ, но, какъ мы сейчасъ укаяхемъ, и достаточнымъ условіемъ существованія сравненія вида (85).

На основаніи общей теоремы о детерминантахъ, очень простое доказательство которой дано Стерномъ (Stern. Journ. f. Math. 73, стр. 374), существуетъ соотношеніе

(90)

въ которомъ подъ Q понимается первообразный корень уравненія

Xth =\

На этомъ основаніи для каждаго первообразнаго корня сравненія

(91 ) X1'1 = 1 ( ы)

имѣетъ мѣсто сравненіе

изъ котораго при D = 0 слѣдуетъ, что одинъ изъ множителей произведенія при опредѣленномъ значеніи удовлетворяетъ сравненію

т.-е. выраженіе обращается въ нѣкоторый вычетъ г" ( й) р-й степени; но такъ какъ при этомъ и представляетъ собою корень сравненія (91), т.-е. нѣкоторый вычетъ ой степени, то получается соотношеніе 1 -}- f ш т.-е. сравненіе вида (85) (mod ю).

20. Обратимся теперь къ аналогичному разсмотрѣнію уравненія (73) для случая II, т.-е, предположимъ, что уравненіе (73) разрѣшается въ цѣлыхъ числахъ у, изъ которыхъ z дѣлится на р.

Подставивши при этомъ условіи въ уравненіе (81)

мы получимъ уравненіе

(92)

изъ котораго получаются два другихъ равенства слѣдующаго вида:

(93)

При разсмотрѣніи случая I уже было установлено, что если существуетъ простое число ôô = 2hp, невходящее въ составъ дѣлителей детерминанта Л2/і, то въ исходномъ равенствѣ (73) одно изъ чиселъ х, у, здолжпо дѣлиться на «. Мы примемъ сначала, что таковымъ является одно изъ двухъ чиселъ X, у, не дѣлящиXся на ]), напримѣръ, число х. Тогда изъ (78в) слѣдуетъ, что

(94) рпр~і, ир _|_ ц'р_|_ ц"р = 0 w),

при чемъ и одно изъ чиселъ и\ѵ' должно дѣлиться на ю. Если ѵ' дѣлится на <5, то ни одно изъ чиселъ и, не можетъ обладать этимъ свойствомъ, и тогда, умноживъ предыдущее сравненіе на ^-ю степень соціуса числа мы приходимъ къ другому сравненію слѣдующаго вида:

(95) pfi~x — -f- Ÿ (mod со),

въ которомъ числа g, ц—взаимно-простыя съ числомъ ш, такъ что

(96) — І ) rtlhp == І ы).

Возвысивъ сравненіе (95) въ 27і ю степень, мы получимъ затѣмъ

а изъ этого сравненія путемъ послѣдовательнаго умноженія на .rf-ià-dp — слѣдующія сравненія:

которыя могутъ существовать совмѣстно съ сравненіемъ, даннымъ по условію, лишь въ томъ случаѣ, если детерминантъ

(97)

дѣлится на со. Поэтому если простое число <5 удовлетворяетъ еще дальнѣйшему условію — не входить и въ составъ дѣлителей числа Д2А, то ѵ' не можетъ дѣлиться на со, а потому этимъ свойствомъ должно обладать число и'. Тогда изъ (94) слѣдуетъ

(98)

Если теперь со входитъ какъ разъ г разъ множителемъ въ составъ числа и',а слѣдовательно, — и въ составъ х, то на основаніи первой изъ формулъ (78в), оно входитъ точно такое же число разъ въ составъ р”^1. ир -f- и”/’, а слѣдовательно, и въ составъ

рнр-\ _ ир гр/> а"Р>

и поэтому первое изъ равенствъ (93) показываетъ, что не дѣлится на <5. Но если мы будемъ разсматривать второе изъ этихъ

равенствъ, какъ сравненіе {modю), то тѣ члены суммы, въ которыхъ |«>0, будучи кратными с исчезнутъ, а такъ какъ для оставшихся членовъ нужно положить —, то, принявъ во вниманіе (98), мы получимъ сравненіе:

это сравненіе упрощается такъ же, какъ и сравненіе (88), и принимаетъ видъ:

' цр(р-з) ^ рр {mod

Возвысивъ его въ степень 2 мы получимъ просто pih = 1 {mod ю),

— сравненіе, которое въ связи съ

и при условіи, что (мы можемъ поставить это условіе, такъ какъ теорема Фермата для показателя 3 уже доказана), переходитъ въ

(99) ріГ> = 1 {ä>).

Поэтому если простое число ю, какъ и въ первомъ случаѣ, удовлетворяетъ условію — теперь третьему — о томъ, чтобы не входить въ составъ дѣлителей числа p'lh — 1, то и дѣлимость числа и' на б становится невозможною, а поэтому и уравненіе (73) при условіяхъ, поставленныхъ относительно чиселъ , у, становится неразрѣшимымъ.

Поэтому остается лишь единственное предположеніе, что то изъ трехъ чиселъ х, которое дѣлится на р, — число г —дѣлится и на со. Изъ (78Ь) при этомъ слѣдуетъ

(100) —рпР~і. иР-j- и'Р -j- и"Р = 0 {mod й),

при чемъ й не должно служить дѣлителемъ ни числа и, ни числа V.Если бы ѵ дѣлилось на <5, то ни одно изъ чиселъ », и" не могло бы обладать этимъ свойствомъ, и мы пришли бы такимъ образомъ къ заключенію, что Д2Й должно дѣлиться на ю. Слѣдовательно, если бы мы поставили условіемъ противоположное, то V не могло бы дѣлиться на со, поэтому на à должно было бы дѣлиться число », и изъ (100) получилось бы

Но теперь сопоставленіе этого уравненія со второю изъ формулъ (93) не приводитъ къ дальнѣйшему условію, соотвѣтствующему сравненію (99), такъ какъ множитель въ формулѣ (93) исчезаетъ. Изъ формулы (77Ь) видно только, что должно дѣлиться на <5.

Связавши теперь вмѣстѣ выводы, полученные при разсмотрѣніи обоихъ случаевъ I и II, мы приходимъ къ слѣдующему предложенію:

Если существуетъ простое число й> = 2 -|-1, на которое не дѣлится ни одно изъ чиселъ

Аа> Дза, Pih - !>

то для разрѣшимости уравненія

въ цѣлыхъ числахъ х, у, s,необходимо, чтобы одно изъ нихъ, напримѣръ дѣлилось на j), и чтобы то же самое число г, равно какъ и сумма х-\-у двухъ другихъ чиселъ, дѣлилось на ю.

21. Хотя теоремъ Лежандра или Вендта, приведенныхъ въ послѣднихъ нумерахъ, вообще еще недостаточно для доказательства теоремы Фермата, тѣмъ не менѣе онѣ имѣютъ извѣстную цѣнность. Напримѣръ, Лежандръ въ упомянутой статьѣ установилъ, что для всѣхъ простыхъ чиселъ 100 существуютъ простыя числа ю того рода, который удовлетворяетъ условіямъ теоремы, изложенной въ № 18; далѣе онъ доказалъ, что каждое простое число каждаго изъ видовъ -f-1, -|-1, -j-1, \Ьр +1, ІОр -f-1, 14 р-f-1 представляетъ собою такое простое число ю. Этимъ уже доказано, что уравненіе

(101) хР + г/-\-Л = 0

въ цѣлыхъ числахъ, недѣлящихся на р, не разрѣшимо нетолько для всѣхъ простыхъ показателей ^<100, но и для тѣхъ, для которыхъ одна изъ упомянутыхъ формулъ образуетъ простое число, и такимъ образомъ легко найти, что оно не имѣетъ рѣшеній разсматриваемаго вида даже для всѣхъ простыхъ показателей р< 197. Впослѣдствіи Майе (Е. Maillet, Assoc, française pour l’advancement des sciences, st-. Etienne, 26 session 1897, стр. 156) повысилъ эту границу до р<223, а съ помощью пріемовъ болѣе высокаго рода Д. Мириманову (Mirimanoff, Journ. f. Math. 128 (1904), стр. 45) удалось распространить эту теорему еще дальше, до р<257. Наконецъ, при помощи болѣе глубокаго разсмотрѣнія условій, сопровождающихъ теорему Лежандра, изложенную въ № 18, Диксонъ (Е. L. Dickson, Mess. of. Math. new. series Xs 445 May 1908 и Quart. Journ. of Math, no 157,1908) недавно доказалъ для всѣхъ простыхъ чиселъ р < 7000, за исключеніемъ числа 6857, неразрѣшимость уравненія (101) въ цѣлыхъ числахъ, недѣлящихся на р. Здѣсь мы ограничимся доказательствомъ того, что

уравненіе (101) неразрѣшимо въ цѣлыхъ числахъ, недѣлящихся на р, для всѣхъ простыхъ показателей р, для которыхъ 2р-\-\ или 4p-j-l представляетъ собою простое число.

Для h— 1 выраженіе Dih обращается въ детерминантъ

Такимъ образомъ, если р представляетъ собою простое число, для котораго и ы = 2р-\-\ есть простое число, то послѣднее не входитъ въ составъ дѣлителей числа Х>2, но не входитъ также въ составъ дѣлителей выраженія

Рг— 1 = (р —1)0 + 1)-

Поэтому, согласно № 18, уравненіе

xt+yt-\-z>=0

неразрѣшимо въ цѣлыхъ числахъ, недѣлящихся на напримѣръ, для чиселъ

Р = 3, 5, 11, 23,у..

для которыхъ значенія

со = 7, 11, 23, 47,....

суть простыя числа.

Для h = 2 выраженіе L).lh обращается въ детерминантъ

Поэтому если р представляетъ собою простое число, для котораго Со =. 4р1 есть простое число, то â> не входитъ въ составъ дѣлителей соотвѣтствующаго детерминанта І)А, но не входитъ и въ составъ дѣлителей числа

по отношенію къ двумъ послѣднимъ множителямъ это очевидно; но если бы со служило дѣлителемъ числа p3-f- 1, то оно служило бы и дѣлителемъ числа

слѣдовательно, — и дѣлителемъ числа 17, что однако невозможно.

Поэтому уравненіе

неразрѣшимо въ цѣлыхъ числахъ, недѣлящихся на для всѣхъ такихъ показателей, напримѣръ, для

Р = 3,7, 13, 29,....,

для которыхъ

оз —13, 29, 53, 177,....,

представляютъ собою простыя числа.

Такъ устанавливается, между прочимъ, дляі? = 3, 5, 7, то что было замѣчено уже въ №№ 13 и 14. Но для утвержденія того, что для каждаго простого показателя уравненіе (101) можетъ быть разрѣшено лишь тогда, когда одно изъ цѣлыхъ чиселъ X, у, з дѣлится на р, нужно было бы доказать, что для каждаго простого числа р существуетъ простое число ä> = 2hp-\*- 1, удовлетворяющее условіямъ теоремы № 18. Но такое доказательство до сихъ поръ не дано, и его, вѣроятно, трудно дать. Если бы можно было показать, что такихъ простыхъ чиселъ ä> = 2hp-\-1, которыя не служатъ дѣлителями выраженія Rlh, существуетъ безконечное множество, то тѣмъ самымъ великая теорема Фермата была бы доказана въ своемъ полномъ объемѣ, потому что тогда, по меньшей мѣрѣ, одно изъ трехъ чиселъ х, у, z должно было бы дѣлиться на безконечное множество простыхъ чиселъ, что незможно. Но уже Либри высказался (Journ. f. Math. 9, стр. 275) отрицательно объ этомъ обстоятельствѣ, а недавно Диксонъ (см. тамъ же, 135 стр. 181) показалъ, что неніе

X? -J- у*гР = 0 ( «)

для каждаго простого числа а>

0з^(р+\у.{р + 2У + Ьр-2

имѣетъ рѣшенія, взаимно-простыя съ числомъ с5, и что, слѣдовательно, число простыхъ чиселъ й>, обладающихъ упомянутымъ свойствомъ — лишь конечное.

Этимъ мы заканчиваемъ нашъ очеркъ, въ ожиданіи дальнѣйшихъ результатовъ отъ будущихъ изслѣдованій. Но едва ли послѣднія приведутъ къ желанной цѣли безъ помощи теоріи числовыхъ корпусовъ.

Задачи.

Подъ редакціей Э. Ю. Лейнѣка.

296. Найти два числа, зная ихъ разность 66 и общее наименьшее кратное 360.

297. Доказать, что при всякихъ и 4- ^ 8 (а* -f- ІИ),

298. Показать, что при т>п

Sinus.

299. Показать, что при цѣломъ и положительномъ и число

14» -|_ 15» _ [13 п(2"~1 - 1) + 2й + 1]

дѣлится на 169.

А. Бутомо.

300. Найти десятичный логариѳмъ числа

Vö+W+W- V(T+W+Prï

не пользуясь таблицами.

Е. Григорьевъ.

301. Двѣ стороны треугольника равны 9 и 10 д., а радіусъ вписаннаго въ него круга 2 д., опредѣлить 3-ю сторону.

I.

302. Пользуясь обычными обозначеніями для треугольника, показать, что

1)3 — [ІР — а)3 -f- ІР — Ь)3(р — с):і] =12 S.

I. ч.

303. Въ углѣ В даннаго треугольника ЛВС провести извѣстной длины отрѣзокъ такъ, чтобы онъ стороною дѣлился въ данномъ отношеніи.

И. Александровъ.

304. Стороны треугольника выражаются цѣлыми числами

Л»), 1 "b /00 и 2 -}- /(и), гдѣ /00 = (2 —|— |/3)“ -J- (2 — у 3)" •— 1.

Показать, что площадь его выражается цѣлымъ числомъ

II. Свешниковъ.

Рѣшенія задачъ.

228. Найти на сторонѣ ИС' треугольника АВС' такую точку В, чтобы имѣло мѣсто соотношеніе DE* -)- DF2 а2, гдѣ а данный отрѣзокъ, DE \_АВи DF \_ ВС.

Пусть на основаніи АС треугольника АВС взята точка О, удовлетворяющая условію DE2-\-DF2—

Проведя ССХ ]_ А В и ААХ _L ВС, получимъ:

Складывая полученныя равенства, получимъ:

или

Изъ этого уравненія и даннаго въ условіи -J- = «s можно будетъ опредѣлить DE и DF.

Для построенія этихъ величинъ замѣтимъ, что здѣсь играютъ роль лишь величины ССХ, ААХ и а. Величина же основанія даннаго треугольника можетъ быть выбрана какою угодно.

Если только СО,, ААХ и а сохранятъ свою первоначальную величину, то и DE и DFне будутъ мѣняться.

Исходя изъ этого замѣчанія, построимъ вспомогательный прямоугольный треугольникъ съ катетами ССХ и Для этого треугольника задача рѣшается чрезвычайно просто — надо лишь изъ вершины прямого угла, какъ изъ центра, провести радіусомъ а окружность. Точка пересѣченія ея съ гипотенузою и будетъ тою точкою, перпендикуляры изъ которой на ССХ и ААХ будутъ имѣть искомыя длины DE и DF.

Ясно, что задача невозможна, если ach (перпендикуляра изъ вершины прямого угла на гипотенузу), если а > h два рѣшенія, сливающіяся въ одно при а —h.

К. Верещагинъ (Козловъ).

233. Показать, что

Выраженіе, стоящее въ лѣвой части доказываемаго равенства, обозначимъ черезъ Sn. Тогда какъ нетрудно убѣдиться,

Дѣйствительно,

Вычитая имѣемъ:

Итакъ,

Подставляя въ это равенство вмѣсто числа 1, 2, 3.......»

и складывая всѣ п равенствъ, имѣемъ:

К. Верещагинъ (Козловъ).

234. Показать, что

дѣлится на

Пусть

Тогда

такъ какъ каждая изъ скобокъ содержитъ выраженіе, дѣлящееся на X5 — 1, то и Р—Q дѣлится на —1; 1 дѣлится на

д.2_|_ж is т_е. па Qt а потому заключаемъ, что дѣлится на Q, слѣдовательно и Р дѣлится на Q.

2-е рѣшеніе.

Легко усмотрѣть, что

Надо обнаружить, что выраженіе

есть цѣлая функція отъ х.

Такъ какъ выраженіе #65 —1 дѣлится на хп -1 и па 1, то оно раздѣлится и на ихъ наименьшее кратное, т.-е.

(1)

Итакъ, частное отъ дѣленія хіь—1 на (1) будетъ цѣлою функціею отъ X. Это частное есть ничто иное, какъ а потому заключаемъ, что у- — цѣлая функція.

К. Верещагинъ (Козловъ), В. Кованько (с. Тейково), В. Литвинскій (Екатеринославъ).

£36. Въ учебникѣ элем. алгебры А. Киселева (23 изд. стр. 322) приведенъ примѣръ, показывающій, что если въ геом. прогрессіи а= Іи q= 1,2, то можно ручаться, что всѣ члены, слѣдующіе за 4995-мъ, окажутся болѣе 1000.

Показать, что въ дѣйствительности члены этой прогрессіи превышаютъ 1000 значительно ранѣе, чѣмъ указано.

Выраженіе и-го члена прогрессіи — aqИ_1

Требуется рѣшить неравенство

1,2й-1 >1000.

Логариѳмируя обѣ части при основаніи 10, будемъ имѣть:

(и—1) Ід 1,2>3, откуда

Такъ какъ то заключаемъ, что

Слѣдовательно уже 39 членъ— 1,235 болѣе 1000.

1020 <.1,2м <1021.

К. Верещагинъ (Козловъ), Б. Кобылинъ (Галичъ), Кованько (с. Тейково).

237. Доказать, что прямая, соединяющая концы двухъ взаимно перпендикулярныхъ хордъ кривой второго порядка, выходящихъ изъ точки М, пересѣкаетъ нормаль къ кривой въ М въ неизмѣнной точкѣ F. (Теорема Frégier).

Примемъ за ось X касательную къ разсматриваемой кривой въ точкѣ М, а нормаль въ той же точкѣ за ось Г.

Уравненіе нашей кривой при такомъ выборѣ осей приметъ видъ:

Лх' + Вху + Суі + Еу = 0.(1)

Пусть

А1х-\-В1 у—1=0 (2)

уравненіе какой-либо прямой.

Составимъ ур-іе

(3)

Это — уравненіе кривой 2-го порядка, проходящей черезъ точки пересѣченія (1) и (2) и начало координатъ.

Раскрывая скобки въ (3), мы видимъ, что (3) принимаетъ видъ

Ах* + (В + ЕАх)ху + (C+EBßß = 0............(4)

Слѣдовательно (4) — уравненіе пары прямыхъ, выходящихъ изъ начала координатъ и идущихъ въ точки пересѣченія (1) и (2). Условіе перпендикулярности этихъ прямыхъ будетъ имѣть видъ

С-j- ЕВХ откуда Ві— Е

Ур-іе (2) принимаетъ видъ

Ахх-Л±°- 1=0.........................(5)

Точка пересѣченія ея съ осью Г опредѣлится изъ (5), полагая х = 0.

Такъ какъ координаты этой точки постоянныя величины, то заключаемъ, что разсматриваемая точка сохраняетъ неизмѣнное положеніе на нормали —оси Г.

2-е рѣшеніе.

Пусть оси выбраны, какъ выше.

Ур-іе кривой имѣетъ видъ

Ах2 -{- Вху -f- Суг 0.

Проведемъ изъ начала координатъ двѣ взаимно перпендикулярныя хорды

Первая пересѣчетъ кривую въ точкѣ, координата х которой опредѣлится изъ уравненія

Ах* +В х{Щ 4- С(кху + Екх — О,

откуда

Координата х точки пересѣченія второй хорды съ кривою получится изъ написанной формулы, если замѣнимъ А- на---------

Итакъ,

Соотвѣтственно имѣемъ:

Составляемъ теперь ур-іе прямой, проходящей черезъ точки (#! yt)и (х2 у2) и ищемъ точку ея пересѣченія съ осью у.

Послѣ всѣхъ упрощеній находимъ, какъ и раньше,

К. Верещагинъ (Козловъ).

238. Найти геометрическое мѣсто, описываемое точкою F при движеніи точки М по данному эллипсу

^ + р = 1 (см- заД- № 237)-

Пусть координаты точки М хг, Проведемъ черезъ точку М двѣ взаимно-перпендикулярныя хорды — одну параллельно оси абсциссъ, а другую параллельно оси ординатъ. Первая пересѣчетъ кривую въ точкѣ —а;,, уи вторая въ точкѣ

Прямая, проходящая черезъ эти двѣ точки, пройдетъ, конечно, черезъ центръ эллипса и будетъ симметрична съ прямою МО относительно оси абсциссъ.

Слѣдовательно ур-іе нашей прямой будетъ

(1)

Ур-іе нормали въ точкѣ хѵ уѵкакъ извѣстно, имѣетъ видъ

(2)

Точка пересѣченія прямыхъ (1) и (2) и будетъ точкою Frégier, соотвѣтствующей точкѣ М.Чтобы найти координаты этой точки, представимъ (1) въ слѣдующемъ видѣ:

внося эти значенія въ (2), находимъ, что

Слѣдовательно, координаты точки F будутъ

(3)

Чтобы найти ур-іе геометрическаго мѣста точекъ F, выразимъ изъ (3) хг и у1 черезъ хи и внесемъ въ уравненіе

эллипса.

Тогда получимъ:

т.-е. уравненіе элллипса, концентрическаго и подобнаго данному эллипсу. Въ случаѣ, когда а = Ь, т.-е. эллипсъ обращается въ окружность, искомое геометрическое мѣсто будетъ точка —начало координатъ.

К. Верещагинъ (Козловъ).

239. Опредѣлить геометрическое мѣсто точекъ пересѣченія биссектрисы угла А и стороны ВС для треугольниковъ, имѣющихъ данное основаніе АСи данный уголъ В при вершинѣ (въ частности прямой).

Пусть М будетъ точка пересѣченія биссектрисы угла со стороною ВС. Примемъ за ось х прямую а перпендикуляръ, возставленный къ ней въ точкѣ А, за ось Пусть координаты точки М будутъ X, у.

По свойству биссектрисы имѣемъ:

(1).

Выразимъ черезъ х, у и данныя величины всѣ четыре члена полученной пропорціи.

Опустивъ изъ точки .1/ перпендикуляръ ММ' на имѣемъ:

Внося полученныя выраженія въ (1), находимъ:

Послѣ упрощенія (Г) приметъ видъ:

Нетрудно обнаружить, что полученная кривая 4-го порядка распадается на кривую 3-го порядка и прямую.

Для выдѣленія линейнаго множителя преобразуемъ ур-іе (2).

или

Послѣдніе два члена допускаютъ разложеніе на множители:

Упростивъ выраженія въ прямыхъ скобкахъ, будемъ имѣть:

Коэффиціентъ при у2 въ (3) можетъ быть разложенъ на два множителя, изъ которыхъ одинъ совпадаетъ съ вторымъ множителемъ только что полученнаго выраженія. Итакъ, кривая (2) распадается на прямую

кривую 3-го порядка

или

(4).

Легко понять, что искомымъ геометрическимъ мѣстомъ является кривая (4), но не прямая sin -f- cos —hsinB — ü, такъ какъ лишь одна точка этой прямой удовлетворяетъ условію задачи.

Дѣйствительно, разсматриваемая прямая проходитъ черезъ точку С {Ь, 0) и наклонена къ оси х-овъ подъ постояннымъ угломъ. Точка М, описывающая искомое геометрическое мѣсто, находится на прямой ВС, которая при перемѣщеніи вершины В вращается около точки С. Слѣдовательно, MC не можетъ образовывать съ осью X постоянный уголъ. Одна лишь точка съ координатами Ь sin В cos В,лежащая на изслѣдуемой прямой, принадлежитъ искомому геометрическому мѣсту. Эта точка получается при разсмотрѣніи треугольника АВС въ томъ положеніи, когда углы при вершинахъ ВиС равны.

Отсюда ясно, что такой случай можетъ имѣть мѣсто лишь при изслѣдованіи треугольника съ острымъ угломъ при точкѣ В.

Нетрудно провѣрить, подставляя координаты sin2 и &sin В cos В въ ур-іе (4), что разсматриваемая точка дѣйствительно лежйтъ на кривой (4).

Въ случаѣ, когда В — ~ ур-іе (4) принимаетъ особенно простую форму:

X(хг -f- У2) -f- (у2 — О

или

Это — уравненіе строфойды.

К. Верещагинъ (Козловъ), В. Коватко (ст. Струнино).

Примѣчаніе. Пусть даны двѣ прямыя, пересѣкающіяся въ точкѣ А, и на одной изъ нихъ точка Проведемъ черезъ точку С лучъ, пересѣкающій вторую изъ данныхъ прямыхъ въ точкѣ и отложимъ на немъ по обѣ стороны отъ N отрѣзки NM и N31', равные AN.

Геометрическимъ мѣстомъ точекъ 31 и 31' при вращеніи прямой CN около С является нѣкоторая кривая, называемая „косою строфойдою“ — schiefe Strophoide, въ отличіе отъ обыкновенной строфойды, получающейся въ случаѣ, когда

Исходя изъ очень простыхъ геометрическихъ соображеній можно доказать, что геометрическимъ мѣстомъ точекъ пересѣче-нія биссектрисы угла А и стороны ВС должна являться косая строфойда, если В ф^ > а въ случаѣ В обыкновенная строфойда.

Проведемъ касательную въ точкѣ А къ окружности, описанной около треугольника АВС, и продолжимъ ее до пересѣченія съ продолженіемъ ВС въ точкѣ N. Въ треугольникѣ A31N уголъ при точкѣ А состоитъ изъ двухъ частей соотвѣтственно равныхъ и С. Уголъ при точкѣ 31, какъ внѣшній, равенъ

Слѣдовательно, треугольникъ A3IN равнобедренный, т.-е. NA — NM и значитъ точка 31, на основаніи только что изложеннаго, опишетъ строфойду, часть которой, заключенная между АиС, является искомымъ геометрическимъ мѣстомъ.

Отмѣтимъ, что названіе „строфойда“ встрѣчается впервые въ небольшой замѣткѣ Montucci, напечатанной въ 1846 г. въ журналѣ Nouvelles Annales de mathématiques, t. Y., p. 470—478.

Онъ разсматриваетъ пучекъ окружностей, касающихся прямой AB въ данной точкѣ С. Геометрическимъ мѣстомъ концовъ діаметровъ, проходящихъ черезъ точку С' той же прямой AB, будетъ строфойда.

Приведенное раньше построеніе строфойды, при помощи двухъ пересѣкающихся (подъ прямымъ угломъ) прямыхъ, принадлежитъ Midy (Nouv. Annales de math. t. III, 1844, p. 293—301).

Много интересныхъ историческихъ справокъ объ этой кривой и ея свойствахъ можно найти въ L’Intermédiaire des mathématiciens, t. Ill, p. 175, 242 и t. IV, p. 87.

Э. л.

240. Къ тремъ вершинамъ треугольника приложены три параллельныя силы, величины которыхъ пропорціональны противоположнымъ сторонамъ. Двѣ Изъ силъ направлены въ одну сторону, третья — въ противоположную. Опредѣлить центръ этихъ параллельныхъ силъ.

Въ точкахъ В и С приложены силы п пропорціональныя противоположнымъ сторонамъ, а въ точкѣ сила Р, противоположнаго съ Q in II направленія, такъ что

Равнодѣйствующая Q и В, находится на прямой ВС въ точкѣ D, такъ что имѣетъ мѣсто равенство

слѣдовательно,

Изъ этого заключаемъ, что AD биссектриса угла А.

Ищемъ далѣе равнодѣйствующую силъ Q-\- R (прилож. въ точкѣ D) и Р (прилож. въ точкѣ А). Точка О приложенія равнодѣйствующей находится на прямой такъ что имѣетъ мѣсто зависимость

Полученное равенство показываетъ, что для треугольника ADC прямая СО является биссектрисою внѣшняго угла.

Слѣдовательно, точка О есть центръ внѣвписаннаго круга для треугольника АВС.

К. Верещагинъ (Козловъ), В. Кованько (с. Тейково).

241. Три лица должны перенести тяжелую однородную пластинку эллиптической формы. Одно изъ нихъ взялось за нѣкоторую точку края. Гдѣ должны взяться два другихъ лица за край, чтобы на долю каждаго пришлось одинаковое усиліе.

Пусть вѣсъ пластинки характеризуется силою ЗР приложенной въ точкѣ О — центрѣ эллипса. Пусть одна изъ разсматриваемыхъ точекъ контура, за которую взялось одно лицо, обозначена буквою А. Въ этой точкѣ приложена сила Р. Ясно, что на продолженіи линіи АО— за точкою О должна быть другая точка А\ въ которой приложена сила 2 Эта точка находится

отъ центра О на разстояніи равномъ ^ Для нахожденія двухъ искомыхъ точекъ слѣдуетъ черезъ 1 провести хорду эллипса, дѣлящуюся въ точкѣ А' пополамъ. Концы этой хорды и будутъ искомыми точками.

Для построенія упомянутой хорды проводимъ какую-либо хорду параллельную АО, и середину ея М соединяемъ съ центромъ. Прямая, проведенная черезъ А' параллельно МО, явится искомою хордою, ибо для нея діаметръ, проходящій черезъ А, явится сопряженнымъ діаметромъ.

Нетрудно было бы получить аналитическія выраженія для координатъ искомыхъ точекъ В -а. С.

К. Верещагинъ (Козловъ), В. Кованько ст. (Струнино).

Библіографическій отдѣлъ.

Г. М. Болсуновъ. — Космографія (начала астраноміи). Петроградъ. 1914 г. Изданіе автора. Цѣна 1 р. 50 к.

Книга г. Болсунова — новый, своеобразно написанный учебникъ астрономіи, составленный, выражаясь словами самого автора „для лицъ, приступающихъ къ изученію началъ астрономіи съ предварительнымъ знаніемъ элементарной математики“,

Книга Болсунова написана съ большими заданіями, мысль о которыхъ нельзя не привѣтствовать. - Здѣсь мы встрѣчаемъ попытку ввести читателя въ научную астрономію со всѣми ея замѣчательными но глубинѣ мысли и по достигнутымъ результатамъ изслѣдованіями, со всѣми интересными историческими моментами въ развитіи этой науки. Мы говоримъ „попытку“ потому, что прекрасное заданіе этой книги авторомъ не вполнѣ выполнено. На ряду съ прекрасными, продуманно и рельефно написанными страницами можно отмѣтить и рядъ промаховъ, неудачныхъ мѣстъ, досадныхъ пропусковъ. Напримѣръ, глава XI (вращательное движеніе земли) по общему плану своему вызываетъ полное удовлетвореніе, но въ частностяхъ вызываетъ цѣлый рядъ замѣчаній, правда, легко поправимыхъ, если авторъ пожелаетъ при послѣдующихъ изданіяхъ исправить отмѣченные промахи.. Слѣдовало бы детальнѣе остановиться на умозрительныхъ доказательствахъ вращенія земли (§ 63), далеко не лишнее было бы упомянуть о возраженіяхъ противниковъ коперниковой системы, и отсюда подойти къ физическимъ доказательствамъ, какъ положившимъ конецъ спорамъ о коперниковой системѣ.

Физическія же доказательства слѣдовало бы облечь въ болѣе математическую форму, чтобы эти доказательства получили большую убѣдительность. Такъ, не достаточно упомянуть объ уклоненіи падающихъ тѣлъ къ востоку и о существованіи теоремы и формулы Клеро, а слѣдуетъ вывести эти формулы, представить ихъ въ видѣ удобномъ для вычисленій (вѣдь авторъ писалъ книгу для знакомыхъ съ математикой!) и привести таблицы величинъ, вычисленныхъ но этимъ формуламъ и полученныхъ изъ наблюденій. Именно подобный характеръ изложенія всего лучше воспринимается изучающимъ астрономію, вселяя невольное довѣріе къ наукѣ и осмысливая какъ самыя разсужденія, такъ и содержаніе космографіи.

За послѣднее десятилѣтіе русская учебная литература обогатилась цѣлымъ рядомъ руководствъ по космографіи:—проф. Покровскаго, Каменьщикова, Никитина, Стратонова, Соковнина, проф. Глазенапа, Малинина и Буренина въ переработкѣ нр.-доц. Некрасова и др. Каждое изъ упомянутыхъ руководствъ имѣетъ свои крупныя достоинства, особенно выдѣляется среди нихъ прекрасный учебникъ проф. Глазенапа, но всѣ они грѣшатъ оторванностью содержанія предмета отъ общеобразовательной стороны его. Между тѣмъ связать ростъ и развитіе астро-

номическихъ знаній съ общей культурной эволюціей человѣчества, отмѣтить весьма характерное ихъ взаимоотношеніе очень желательно въ каждомъ руководствѣ, предназначенномъ для ознакомленія съ основами науки о небѣ. Разбираемая нами книга г. Болсунова при послѣдующихъ изданіяхъ могла бы быть дополнена именно въ указанномъ направленіи, потому что книга г. Болсунова это не учебникъ въ прямомъ общеупотребительномъ смыслѣ этого слова, это книга, написанная по широкому плану, но къ сожалѣнію не выдержанному.

Понятно и хорошо написаны главы: VII (измѣреніе времени), XIX (кометы и метеоры) и ХХ-я (неподвижныя звѣзды и туманности). Бъ изложеніи этихъ вопросовъ нѣтъ ничего лишняго, отборъ соотвѣтствующаго научнаго матеріала вполнѣ отвѣчаетъ общему характеру книги.

Тѣмъ не менѣе многія мѣста этой книги вызываютъ довольно серьезныя замѣчанія.

Въ предисловіи авторъ обѣщаетъ намъ строго систематическое изложеніе, не объясняя, впрочемъ, что слѣдуетъ, по его мнѣнію, понимать подъ систематическимъ изложеніемъ, и располагая мѣстами матеріалъ, по нашему мнѣнію, далеко не систематично.

1) Въ § 4 (стр. 35) говорится о высотѣ свѣтила надъ горизонтомъ, но терминъ „высота“, какъ астрономическая координата выясняется только черезъ 15 страницъ (!), въ § 13; а пока авторъ опирается на чисто житейское понятіе „высота“, что врядъ ли свидѣтельствуетъ о систематичности изложенія.

2) Глава IV. Измѣрительные астрономическіе приборы — начинается съ упоминанія эккера и астролябіи, которые, оказывается, описывается въ курсахъ элементарной геометріи (?) По поводу этого приходится сдѣлать замѣчаніе, что названные приборы суть приборы геодезическіе (или топографическіе), а никакъ не астрономическіе; описываются они въ нѣкоторыхъ курсахъ тригонометріи, а не геометріи; упоминаніе этихъ приборовъ совершенно не отвѣчаетъ общему содержанію этой главы, написанной слишкомъ сжато и не доступно для начинающаго.

Въ этой же главѣ мы находимъ термины „звѣздное время“, „поправка часовъ“ — термины, необходимо предполагающіе знакомство съ измѣреніемъ времени, между тѣмъ къ измѣренію времени авторъ приходитъ только въ гл. VII.

3) Вопросъ о приливахъ и отливахъ (въ гл. XV) излагается раньше, чѣмъ движеніе луны (гл. XVI). Между тѣмъ элементарная истина, что ученіе о приливахъ и отливахъ, связанное съ движеніемъ луны, должно излагаться послѣ вопроса о движеніи луны, когда изучающему извѣстны уже всѣ термины, встрѣчающіеся при описаніи движеніи луны, и всѣ характерныя особенности этого движенія. Изъ редакціонныхъ ошибокъ отмѣтимъ слѣдующія:

1) На стр. 12-й читаемъ: „астрономія пользуется гипотезами, т.-е. предположеніями о существованіи нѣкоторой закономѣрной связи между явленіями“—далеко не научное опредѣленіе гипотезы.

2) Черт. 42 (стр. 41)—весьма неудаченъ—этотъ чертежъ (какъ и черт. 41-й) вовсе не поясняетъ суточнаго движенія небесной сферы, а, наоборотъ, можетъ только запутать приступающаго къ изученію астрономіи.

3) Неудачнымъ и далеко не систематичнымъ представляется намъ изложеніе координатъ (§ 13, стр. 50) — оно слишкомъ сжато; получается впечатлѣніе, что о координатахъ говорится мимоходомъ—къ слову пришлось—а не потому, что усвоеніе ихъ приступающими къ изученію астрономіи составляетъ необходимый фундаментъ для дальнѣйшаго — составляетъ, такъ сказать, азбуку всей астрономической науки, безъ знанія которой нельзя, читать книгу о небѣ.

4) На стр. 51 (§ 14) находимъ нѣчто совсѣмъ странное:“... пользуются другой болѣе устойчивой и опредѣленной системой координатъ“. Признаться, до сего времени намъ не приходилось встрѣчать въ астрономической литературѣ терминовъ: устойчивая и неустойчивая система координатъ.

5) Вопросъ о приливахъ и отливахъ (въ гл. XV) изложенъ чисто описательно, безъ соотвѣтствующихъ математическихъ выводовъ, безъ чертежа, наглядно представляющаго расположеніе и направленіе приливныхъ силъ; нѣтъ указаній и на весьма интересный и поучительный вопросъ о приливной эволюціи — словомъ, ученіе о приливахъ и отливахъ изложено черезчуръ элементарно для разбираемой нами книги.

6) Слишкомъ сжато написана и глава XVIII — физическое строеніе планетъ — написана сжато и поверхностно даже для обыкновеннаго учебника, а не только для книги г. Болсунова, написанной, какъ мы уже сказали, съ большими

заданіями. Къ тому же заголовокъ главы не отвѣчаетъ ея содержанію, такъ какъ мы имѣемъ здѣсь просто самое поверхностное описаніе планетъ, но ни чего почти не узнаемъ о ихъ физическимъ строеніи.

7) Въ § 42-мъ (Доказательства шаровидности земли), на стр. 98-й, находимъ описаніе весьма страннаго способа, которымъ авторъ предлагаетъ обнаружить кривизну земли по тремъ, вбитымъ въ дно неглубокой рѣки, шестамъ. Предлагаемый авторомъ способъ совершенно невѣренъ, съ научной точки зрѣнія прямо абсурденъ, и трудно даже себѣ представить, какъ онъ могъ попасть на страницы серьезно написанной астрономической книги.

8) Не можемъ мы обойти молчаніемъ и другого обстоятельства—въ книгѣ г. Болсунова есть тенденція подчеркивать относительность и условность нашихъ познаній о небѣ, мало умѣстная въ книгѣ, предназначенной для начальнаго ознакомленія съ астрономіей. Излагая, напр., чисто описательно (безъ единой формулы) отвѣтъ небесной механики на вопросъ объ устойчивости нашей планетной системы (§ 92, стр. 190—191), г. Болсуновъ заканчиваетъ изложеніе вопроса уничтожающимъ заключеніемъ:

„мы находимся въ предверіи храма возможнаго знанія законовъ природы“... „въ вопросахъ астрономіи слѣдуетъ избѣгать словъ: «точно, всегда и достовѣрно» и пользоваться ими лишь въ качествѣ удобныхъ сокращеній. Мы должны свыкнуться съ мыслью, что наша планетная система устойчива только относительно*) и что „громадный океанъ сокровенной истины“ все еще продолжаетъ лежать за предѣлами научныхъ знаній человѣчества“.

Нельзя, конечно, возражать на это по существу, съ научной точки зрѣнія, но съ педагогической приходится возразить самимъ рѣшительнымъ образомъ— нельзя въ книгѣ, предназначенной для начинающихъ, вдаваться въ такія тонкости, которыя могутъ быть доступны лишь знакомымъ съ небесной механикой, вообще, и съ разложеніемъ пертурбаціонной функціи въ ряды, въ частности. Подобныя замѣчанія, высказанныя чисто догматически, ничего кромѣ путаницы и недовѣрія къ даннымъ астрономіи не внесутъ въ представленія начинающаго. Слѣдовало бы, наоборотъ въ такихъ книгахъ всемѣрно подчеркивать поразительное проникновеніе человѣческаго генія въ тайны природы, почти сказочную точность, достигнутую въ астрономическихъ вычисленіяхъ, и значеніе въ этихъ завоеваніяхъ математическаго анализа, какъ мощнаго орудія для изслѣдованія законовъ окружающаго насъ міра. Въ этомъ и заключается величайшее воспитательное и образовательное значеніе математическихъ наукъ.

9) Неумѣстными также въ учебникѣ астрономіи представляются намъ реплики въ родѣ, напримѣръ, слѣдующей (§ 112, стр. 224—225): „....на вопросъ, что происходитъ на Марсѣ и какими физическими свойствами обладаетъ его поверхность, мы можемъ отвѣтить только словами греческаго философа: мы знаемъ то, что ничего не знаемъ. Это не мѣшаетъ, однако, предпріимчивымъ американцамъ вступать въ переговоры съ жителями Марса, а ученымъ съ большою фантазіей писать цѣлые ученые трактаты о томъ, какъ марсіане... строятъ грандіозныя сооруженія въ видѣ каналовъ и проч“.... подобныя замѣчанія по своему тону и характеру совершенно не подходятъ къ серьезному учебнику; отъ отсутствія подобныхъ мѣстъ книга г. Болсунова только выиграла бы...

10) Совершенно напрасно, наконецъ, точка д въ книгѣ г. Болсунова обозначается черезъ „ѵ“. Подобное отступленіе отъ общепринятаго въ астрономической наукѣ обозначенія точки весенняго равноденствія ни на чемъ не основано, и цѣль подобнаго новшества совершенно непонятна,

Въ виду указанныхъ и нѣкоторыхъ другихъ недочетовъ мы затруднялись бы рекомендовать книгу г. Болсунова въ качествѣ руководства для начинающихъ изученіе астрономіи, но очень рекомендовали бы ее гг. преподавателямъ, для которыхъ отмѣченные промахи не существенны, и которые найдутъ въ книгѣ г. Болсунова много интереснаго и своеобразнаго.

В. Базилевскій.

Г. Москва,

31 декабря, 1916 г.

*) Курсивъ нашъ.

Отъ Комитета 2-го Съѣзда преподователей физики, химіи и космографіи.

Распорядительный Комитетъ Второго Всероссійскаго съѣзда преподавателей физики, химіи и космографіи, обсудивъ вопросъ и созывѣ съѣзда, постановилъ: 1) созывъ съѣзда отложить въ виду переживаемаго труднаго времени до Рождества 1918—19 года; 2) созвать съ 5 по 9 іюня сего года въ Москвѣ экстренное всероссійское совѣщаніе преподавателей физики, химіи и космографіи для обсужденія и, если возможно, рѣшенія нѣкоторыхъ вопросовъ преподаванія физико - химическихъ наукъ по слѣдующей программъ: I. Современное положеніе физико-химическихъ паукъ въ средней школѣ въ связи съ общимъ ея строемъ. II. Задачи и направленіе преподаванія физико-химическихъ наукъ. III. Учебные планы и обстановка преподаванія физики, химіи и космографіи въ разныхъ типахъ средней школы. IY. Организація дѣятельности преподавателей физико-химическихъ наукъ.

Лицъ, желающихъ принять участіе въ этомъ совѣщаніи, Комитетъ проситъ присылать, если можно не позже 15 мая, заявленіе о томъ и членскіе взносы (5 р.) на имя Николая Владимировича Кашина, дѣлопроизводителя Распорядительнаго Комитета, по адресу: Москва, Дѣвичье поле, Педагогическій Институтъ имени П. Г. Шелапутина.

Бюро Распорядительнаго Комитета: предсѣдатель—А. А. Эйхенвальдъ; товарищи его—Ю. В. Вульфъ и В. Ф. Давыдовскій; дѣлопроизводитель — Н. В. Кашинъ; казначей—Э. Е. Лейстъ; завѣдующіе секціями физики—А. В. Цингеръ, химіи—А. Н. Реформатскій, космографіи—С. Н. Блажко.

Новыя книги.

В. Фридианъ. Учебникъ методики ариѳметики для VIII доп. кл. женскихъ гимназій. 2-е изд. М. 1917. Ц. 1 р. 50 к.

А. Кулишеръ. Методика и дидактика подготовительнаго курса геометріи. П. 1917. Ц. 3 р. 90 к.

Проф. Д. Синцовъ. Лекціи аналитической геометріи. В. II. Геометрія въ пространствѣ. Харьковъ. 1917.

Н. Лексинъ. Лабораторный методъ изученія геометріи. Пропедевтическій курсъ. 1-я ступ. Изд. 2-е Казань. 1917. Ц. 3 р.

Д. Бемъ, А. Волковъ, Р. Струве. Сокращенный сборникъ упражненій и задачъ по элементарному курсу алгебры. М. 1917. Ц. 1 р. 25 к.

Мнѣніе комиссіи Московскихъ педагогическихъ организацій по вопросамъ реформы средней школы. Отд. оттискъ изъ журнала „Физика“, М. 1916.

П. Некрасовъ. Изслѣдованіе функціональнаго уравненія состязаній въ шахматныхъ и народныхъ играхъ. М. 1916.

Н. И. Москвинъ. Электрическій трамвай въ общедоступномъ изложеніи. М. 1916. Ц. 75 к.

Н. П. Сергѣевъ. Счеты—книжка. М. 1916.

Д. И. Крюковскій. Теорія параллельныхъ безъ постулата Эвклида. Харьковъ. 1917. Д. 50 к.

В. Фридманъ. Учебникъ теоретической ариометики. Изд. 2-е. М. 1917. Ц. 1 р. 20 к.

Отвѣтственный редакторъ I. Чистяковъ.

Типографія „Русскаго Товарищества печатнаго и издательскаго дѣла“. Москва, Чистые пруды, Мыльниковъ пер., с. д. Тел. 18-35.