№ 40.

Математическое Образованіе.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

Годъ пятый.

№ 8.

Декабрь 1916 г.

МОСКВА.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

Математическое Образованіе“

Декабрь 1916 г. Годъ 6-й. № 8.

Содержаніе. Изъ прошлаго 5-й книги началъ Эвклида. Пр. Д. Мордухай-Болтовской.—Понятіе о безконечно - маломъ Дж. Виванти, пер. Борткевичъ.— Исторія ученія о логариѳмахъ. В. Бобынинъ.—Этюды по Геометріи. М. Пистракъ.— Задачи.—Рѣшенія задачъ.—Засѣданія Моск. Матем. Кружка.—Новыя книги.—Оглавленіе.

Изъ прошлаго пятой книги началъ Эвклида.

Проф. Д. Мордухай-Болтовской. Ростовъ на Дону.

(Окончаніе).

§ 6. Критику Борелли интересно сравнить съ критикой Такэ1), который становится на другую точку зрѣнія. Борелли, выступая противъ опредѣленія, основаннаго на операціяхъ надъ безконечнымъ классомъ, собственно говоря, старается исправить Эвклида въ духѣ самого Эвклида, признающаго только то, что можетъ быть въ дѣйствительности получено построеніемъ. Такэ же старается исправить Эвклида такъ, чтобы онъ согласовался съ логическими идеями того времени, такъ ярко позже очерченными въ Портъ-Роялевской логикѣ2).

По мнѣнію Такэ ученіе Эвклида встрѣчаетъ слѣдующія затрудненія.

1) Опредѣленіе его равенствъ отношеній (т.-е. 5-е опредѣленіе) и отсюда пропорціи даетъ не сущность пропорціи, а только одинъ изъ его признаковъ.

2) То, что доказываетъ дальше Эвклидъ относительно пропорцій, опираясь на свое опредѣленіе, не можетъ быть безъ доказательства (т.-е. безъ доказательства, что указанное имъ свойство дѣйствительно присуще равенству отношеній) распространено на абсолютное равенство отношеній, т.-е. то истинное равенство отношеній, идея котораго предваряетъ всякое математическое изслѣдованіе.

По мнѣнію Такэ: „одно сказать, что отношеніе площадей трехугольниковъ съ равными высотами ЛВС и DEF равно отно-

1) Taquet Elementa Geometrie planae ac solidae etc. Antverpiae 1654.

2) L’art de penser.

шенію основаній АС и DF и другое — сказать, что для всякихъ т,п для которыхъ mABC^nDCF, также и mAC^nDF

и незаконно утверждать, что, если второе доказано, то доказано и первое безъ особаго оправданія Эвклидоваго опредѣленія пропорціи“’. Опредѣленіе же самого Такэ равенства отношеній, оказывается столь же мертвымъ, какъ опредѣленіе отношенія Эвклида.

„Два отношенія ( акъ b и с къ d) подобны или равны, когда предыдущее а равно (aeque) или также (т.-е. не больше и не меньше) содержитъ свое послѣдующее Ъ, какъ предыдущее с содержитъ послѣдующее d или короче, сколько Ъ содержится въ а, столько d въ с“. Входящее сюда понятіе: „содержанія“ Такэ разъясняетъ для случая раціональныхъ отношеній, а для ирраціональныхъ онъ не даетъ разъясненія, считая это само собой понятнымъ: „Если пропорція ирраціональная, то эта вещь не можетъ и не должна разъясняться“.

Такъ какъ изъ своего мертваго опредѣленія Такэ ничего не можетъ извлечь, то къ этому опредѣленію приходится приклеить аксіому, которую Дешаль1) возвелъ въ опредѣленіе, замѣняющее Эвклидово.

„Отношенія (а къ Ъи с къ d) равны, если послѣдующія (т.-е. Ь и d) и ихъ подобныя части (partes aliquotae), каковы бы онѣ ни были, равное число разъ содержатся въ предыдущихъ (т.-е. а и с)“.

Въ алгебраической символикѣ это истолковывается такимъ образомъ:

а‘.Ъ=.с'.д,

если обозначая черезъ

такія величины, что

гдѣ пі; цѣлыя числа, и въ то же время

гдѣ

цѣлыя числа,

то

1) Dechales. Elementorum Euclidis Librt Octo ad faciliorem captum accomodati aucthore P. Claudio Francisco Milliet Dechales Cambericus Soc. les. Lugundi MDCLXXV.

2) Интересно сравнить теорію Такэ съ теоріей Саньо д’Овидіо, въ которой роль равенствъ (*) играютъ

Что касается до системы положеній теоріи пропорцій то средствомъ ея упрощенія у Такэ является обычный въ XYII вѣкѣ способъ обращенія доказывавшихся раньше положеній въ очевидныя истины.

Въ этомъ отношеніи большое сходство между раціоналистами XYII вѣка и современными логистиками; разница лишь въ томъ, что ту роль, которую раньше играли аксіомы, играютъ теперь опредѣленія, къ которымъ не предъявляется другихъ требованій, кромѣ тѣхъ, чтобы изъ нихъ могли бы извлечь напередъ заданныя теоремы.

Къ 4-му опредѣленію Эвклида Такэ присоединяетъ въ качествѣ опять аксіомы положеніе о равенствѣ величинъ, имѣющихъ къ одной и той же величинѣ (или къ равнымъ) одно отношеніе и обратное положеніе, аналогичное, относящееся къ неравенству, положеніе: отношенія, равныя одному и тому же отношенію, равны между собой.

Взгляды Такэ на 12-е и 15-е положенія не вполнѣ ясны. Онъ не называетъ ихъ аксіомами, но поступаетъ съ ними такъ, какъ если бы это были теоремы, доказательства которыхъ такъ просты, что ихъ и не стоитъ приводить.

О 15-мъ положеніи:

„Двѣ величины имѣютъ между собой такое же отношеніе, какое имѣютъ ихъ равнократныя, онъ говоритъ:

Это положеніе можно было бы принять и за аксіому, если правильно понимать что такое подобныя части?

Внѣ сомнѣнія, такое обращеніе цѣлаго ряда раньше доказывавшихся положеній въ очевидныя истины обусловливается не однимъ стремленіемъ къ сокращенію теоріи пропорцій для болѣе легкаго усвоенія её начинающими изучать Эвклида; слѣдуетъ при объясненіи этого факта учесть и то, что эти положенія съ постепенной ариѳметизаціей ума стали проібрѣтать хотя бы и не въ сильной степени, ту очевидность, которая раньше имъ не была присуща.

Область понятія числа далеко расширилась за предѣлы Эвклидовыхъ, т.-е. цѣлыхъ чиселъ. Общность формальныхъ законовъ, присущихъ отношеніямъ и числамъ этой эпохи, прекрасно сознавалась математиками, она, можно сказать, каждую минуту вставала предъ ихъ глазами, они, такъ сказать, противъ воли пріучались мыслить отношеніе, какъ число и вслѣдствіе создававшагося черезъ это настроеніе ума возникали эти иллюзіи очевидности.

§ 7. Самъ Эвклидъ не могъ бы признать обѣихъ этихъ теорій. У Эвклида геометрическій объектъ получаетъ право существованія только при условіи доказанности его построенія. Дѣленіе отрѣзка на т частей устанавливается только въ 6 книгѣ.

Для — Ъ Борелли и Ь- dj Такэ не дается построеній и поэтому, съ точки зрѣнія Эвклида, (кстати сказать чуждой XYII в.) всѣ эти теоріи являются незаконченными, и, болѣе того, и не могутъ быть закончены.

Можно отмѣтить различіе въ аксіоматическомъ отношеніи между теоріей Такэ и Эвклидовой. Теорія пропорцій Эвклида зависитъ отъ Архимедова постулата, ибо на немъ зиждется доказательство 8-го и 9-го положеній.

Но независимы отъ него доказательства теоремъ 10—17 и независимо отъ него опредѣленіе 5-е, которое сохраняетъ смыслъ и въ томъ случаѣ, если постулатъ Архимеда не выполненъ. А именно, можно мыслить, что не для всякихъ п существуетъ такое т, что та>пЪ, что существуютъ значенія п безъ соотвѣтствующихъ т и относить условія

только къ тѣмъ (т, п), для которыхъ возможно первое неравенство.

Иное дѣло теорія Такэ-Дешаля. Само опредѣленіе уже предполагаетъ возможность такихъ а- и что что сводится къ постулату Архимеда.

§ 8. Арно1) является еще въ большей степени ариѳметизированнымъ, чѣмъ Такэ.

Таблица аксіомъ у него еще дальше расширяется. Слѣдующія 10 истинъ по его мнѣнію очевидны.

8. Два изъ слѣдующихъ условій влекутъ уже третье

хотя нѣкоторыя онъ вслѣдствіе недостаточно сильной очевидности доказываетъ или вѣрнѣе разъясняетъ.

Достаточно бросить взглядъ на эту таблицу, чтобы усмотрѣть, что для Арно отношенія уже величины, которыя, какъ

1) (Arnaldus) Nouveaux elements de Geometrie, Paris, 1683 (анонимно, какъ его Портъ-Роялевская логика).

Здѣсь можно отмѣтить болѣе грубый способъ уже не сократить, а отдѣлаться отъ 5-й книги, относящійся къ этому времени. Въ Euclidis elementorum sex libri Henrici Coetsii. 1692.

5-я книга сводится къ числовой теоріи пропорцій съ поясненіями на числахъ вмѣсто Эвклидовыхъ доказательствъ 7-й книги, при чемъ поясняется, что авторъ это дѣлаетъ потому, что читатель привыкъ болѣе мыслить въ числахъ, а то, что онъ говоритъ о числахъ, легко распространяется и на линіи.

числа, отрѣзки, площади, объемы и т. д. могутъ между собой складываться и вычитаться. Но только это величины относительныя, въ то время, какъ послѣднія величины абсолютныя1).

Для каждаго рода величинъ можно отмѣтить оба рода величинъ. Числами абсолютными у Арно называются только цѣлыя числа, относительныя же это дроби |,

Такимъ образомъ дробь начинаетъ разсматриваться, какъ отношеніе.

„Такъ какъ отношеніе величина, хотя бы и относительная, говоритъ Арно, то все, что относится къ величинѣ, вообще относится и къ отношеніямъ.

Двѣ величины (а:Ь)и (c:d), замѣчаетъ Арно, хотя и относительныя, мы можемъ подтвергнуть, какъ а и Ь, сравненію, дающему или равенство или неравенство.

Въ случаѣ равенства имѣемъ пропорцію

Случай неравенства даетъ то, что мы могли бы назвать вообщее относительной величиной уже второго порядка

(а : Ъ) : (с :

и сравненіе пары такихъ новыхъ относительныхъ величинъ даетъ опять пропорцію

(a:b):(c:d) = (e:f):(g:h)

или то, что можно было бы назвать относительными величинами высшихъ порядковъ и т. д.

Приведенная выше аксіома Такэ, обращенная Дешалемъ въ опредѣленіе, становится у Арно — теоремой.

Интересно доказательство этой теоремы, при чемъ, конечно, только случай несоизмѣримости; въ этомъ доказательствѣ ярко выступаетъ Лежандровское настроеніе. Слѣдуетъ замѣтить, что въ формулировкѣ теоремы у Арно несущественное измѣненіе въ сравненіи съ Такэ: предыдущее поставлено на мѣсто послѣдующаго и обратно.

„Если всякія подобныя аликвотныя части послѣдующихъ Ь и d равно (т.-е. равное число разъ) содержатся въ предыдущихъ, то а : b и с : d равны

a'.b — c'.d.

Положимъ, что а:Ь не = с : d.

Тогда a\b>c:d или а : b< с : d.

Конечно можно ограничиться первымъ случаемъ, ибо второй будетъ такѣ же разсматриваться.

1) Внѣ сомнѣнія въ связи съ ариѳметизаціей Геометріи въ XVII вѣкѣ находится и онтологическая проблемма, о которой велся споръ между Арно, стоявшимъ на точкѣ зрѣнія Декарта, и Мальбраншемъ, шедшимъ дальше его. Это проблемма въ родѣ схоластической: universalia in re или ante rem сводится къ вопросу: numerus ante rem numeratam aut in re nnmerata? Въ переводѣ на математическій языкъ: дается ли число счетомъ иди число слѣдуетъ понимать общѣе. Рѣшеніе вопроса въ послѣднемъ смыслѣ приводитъ къ признанію относительныхъ величинъ Арно за числа.

Тогда, замѣчаетъ Арно (пользуясь неявно аксіомой Клавія, о которой мы ниже еще будемъ Говорить), къ Ъ можно прибавить такое I, что

а : Ь -f § = с :

Но этого быть не можетъ, ибо можно взять отъ а такую аликвотную часть а, что а будетъ меньше g и тогда а будетъ содержаться въ b не столько разъ, сколько (подобная аликвотная часть d) содержится въ с, а на единицу больше, что противно условію1).

§ 9. Теорема: произведеніе крайнихъ равно произведенію среднихъ, входящая въ современную ариѳметическую или алгебраическую теорію пропорцій, у Эвклида оказывается въ 6-й книгѣ и при чемъ очень далеко отъ начала (16-е предл.) и въ 7-й (19-ое).

Доказывается она только для отрѣзковъ и цѣлыхъ чиселъ, при чемъ для случая отрѣзковъ формулируется такимъ образомъ:

„Если четыре прямыя линіи пропорціональны, то прямоугольникъ, построенный на крайнихъ прямыхъ, равенъ прямоугольнику, построенному на среднихъ и обратно... Буквенная Алгебра даетъ возможность выразить символически эту теорему.

Если a:b = c:d,

то ad =. be (*).

Подъ буквой внѣ сомнѣнія разумѣлось раньше (даже въ XVIII в.) не то, что мы теперь разумѣемъ, не число, а величина (magnitudo in généré), объемлющая, какъ непрерывныя, такъ и дискретныя величины. Что это такъ, это можно усмотрѣть уже изъ самихъ опредѣленій Алгебры, напр.

Рейхеръ (1703).

Чистая математика дѣлится на общую (Universalis), называемую Алгеброй, изслѣдующую абстрактное количество (quantitas abstracta) и частную: Геометрію, изслѣдующую непрепрывную величину и Ариѳметику, изслѣдующую множество или число.

Черезъ 60 лѣтъ.

Лакайль (1762)*2).

Алгебра, это, такъ сказать, Общая Ариѳметика или наука вообще о величинахъ, какъ Ариѳметика—наука о числахъ.

При этомъ Лакайль отмѣчаетъ, что quantitas vel magnitudo можетъ быть дискретно (е partibus separatis) и такія величины изслѣдуетъ Ариѳметика и непрерывныя (continuae), которыми занимается Геометрія.

Еще въ XVIII вѣкѣ Алгебра помѣщается послѣ Ариѳметики и Геометріи. Изъ „ars inveuiendi“, находящаго свое обоснованіе только въ Геометріи, Алгебра не скоро обратилась въ систему общаго ученія о величинахъ.

1) Конечно въ основаніи этого доказательства тѣ идеи, которыя лежатъ, въ основѣ методаисчерііыванія Эвклида (см. 12 книга2,5,10,11,12 предложенія).

2) De la Caille. Lectiones elementares mathematicae Seu elementa Algebrae et Geometriae. 1762.

Она содержала правила формальныхъ операцій и вытекающія изъ этихъ правилъ слѣдствія, но смыслъ ихъ совершенно различно истолковывался для геометрическихъ величинъ, чѣмъ для чиселъ.

Для геометрическихъ величинъ въ равенствѣ (*) ad и истолковывались, какъ площади прямоугольниковъ, построенныхъ на ad и be. Если a,b,c,d... прямолинейные отрѣзки или, какъ выражались, линейныя величины, то ab, cd... плоскія, abc... тѣлесныя.

Что касается до abed, то это величина, воображаемая, мнимая, то же, что для насъ |/— 1. Такъ, что одна и та же формальная алгебраическая операція могла привести или къ реальному, иди къ мнимому результату, смотря по тому, производится ли она надъ числами или геометрическими величинами, напр., отрѣзками.

Если а = 2, 3, ÿ -,то а* 2,«3, а4, а5... имѣютъ конкретный смыслъ.

Но, если а отрѣзокъ, то а2 площадь квадрата, а3 объемъ куба, а а4 — въ сущности говоря то же, что ÿ—1. Это коссическая величина. ,Существуетъ, говоритъ, Херигонъ1) только 3 рода величинъ вещественныхъ (réelles): линія, поверхность и тѣло, но мнимыхъ (d’imaginaires) безконечность: квадратъ-квадратъ, квадратъ-кубъ, кубъ-кубъ и т. д".

§ 10. Открытіе Аналитической Геометріи отнюдь не вызвало окончательной ариѳметизаціи Геометріи, а ея алгебраизацію.

Координата у Декарта2) ни въ какомъ случаѣ не число, а прямолинейный отрѣзокъ. Роль чиселъ у него играютъ прямолинейные отрѣзки, между которыми и всякими геометрическими величинами устанавливается взаимно-однозначное соотвѣтствіе, и всѣ операціи надъ геометрическими величинами сводятся къ операціямъ надъ отрѣзками; ab, abc, х х3... понимаются, какъ величины одного рода — отрѣзки, abed... х\ хъ получаютъ такой же реальный смыслъ. Для этого оказывается достаточнымъ истолковать ab, не какъ площадь, а какъ отрѣзокъ, получаемый построеніемъ: на О.Р откладывается OB —

С соединяется съ В

АХ И СВ ОХ=х

такъ, что X : а = b : 1 такой отрѣзокъ х и считается произведеніемъ а на Ь.

1) Herigonus. Cursus mathematicus nova etc. Paris. MDCXXXIV.

2) Descartes. Géométrie. Liv. I.

Интересно проанализировать вліяніе, оказанное Картезіанской философіей на ариѳметизацію Геометріи. Послѣ сведенія матеріальной вселенной къ „mundus geometricus“, къ движущимся геометрическимъ фигурамъ въ пространствѣ, объявивъ все остальное иллюзіей, оставался только одинъ путь—къ Мальбраншу и Беркли, къ признанію только одной р< альпостіі—духа. Вмѣстѣ съ тѣмъ число, какъ принадлежность духа, независимая отъ опыта въ матеріальной вселенной, переводится на высшую въ сравненіи съ пространствомъ плоскость существованія. Malbransche. Réponse à 3 lettres de Arnauld, Recherche de la vérité 6. Ch. V.

Бруншвигъ характеризуетъ двѣ ступени Декарта и Мальбранша такъ: первый прилагаетъ Алгебру къ Геометріи, второй сводитъ Геометрію къ Алгебрѣ. Brunschvig. Les étapes de la philosophie mathématique p. 130.

Въ основѣ этого опредѣленія лежитъ аксіома, которой пользуется Эвклидъ такъ же неявно, какъ постулатомъ Архимеда, которую вскрылъ Клавій: О существованіи четвертой пропорціональной, т.-е. существованіи такого х, что при данныхъ а,Ь,с,

х'.а — Ъ’.с.

Эта аксіома примѣняется въ доказательствѣ 18 предл. 5-й книги:

a:b = c:da

Доказательство ведется отъ противнаго съ помощью предыдущей обратной теоремы

a-\-b:b=c-\-d:d a:b—c:d.

Предполагается, что

а-\-b\b не = е -j-d: d, а =c-\-d\ef гдѣ e^d.

Въ первомъ случаѣ, на основаніи теоремы 17,

а\Ъ=іс-\- d — е:е,

откуда c + d:d=c + d — е:е,

а такъ какъ c-\-d>c-\-d — е, то должны имѣть и > что противно условію.

Такимъ же образомъ устраняется и второй случай. Подлинность этого доказательства оспаривается Робертомъ Симпсономъ.

Вайлати1) доказываетъ это утвержденіе ссылкой на то, что въ латинскомъ изданіи Началъ Компануса2), составленномъ по арабскому переводу, содержится другое доказательство, не зависящее отъ постулата Клавій.

Мы не будемъ приводить доказательства Компануса, дополненнаго Вайлати, отсылая читателя къ статьѣ послѣдняго. Въ исторіи эволюціи идеи числа, это доказательство не играло роли.

Между тѣмъ, какъ методъ доказательства 18 предл. 5-й книги составляетъ, именно, тотъ методъ, который былъ примѣненъ Арно къ доказательству аксіомы Такэ, а позднѣйшими математиками къ доказательству пропорціональности угловъ и дугъ (въ случаѣ несоизмѣримости) и другихъ аналогичныхъ положеній (теор. 33—6-й книги).

Аксіома Клавій должна была оказать большой толчокъ въ направленіи ариѳметизаціи числа.

Какъ мы выше замѣтили, едва ли самъ Эвклидъ включалъ числа и геометрическія величины въ одинъ классъ. Но такое

1) Энриквесъ. Вопросы элементарной Геометріи. С.-Пб. 1913, статья Д. Вайлати „Ученіе о пропорціяхъ“, стр. 220 и дальше.

2) Euclidis ѵі egarensis Elementorum Geometriae. Lib. XV. cum commentatioaibus. Campani. 1491.

включеніе совершенно опредѣленнымъ образомъ свершилось при созданіи буквеннаго счисленія.

Для Эвклида пропорція (равенство отношеній) a:b = o:d или для геометрическихъ величинъ различнаго рода (5-я книга) или чиселъ (7-я книга). Для позднѣйшихъ же математиковъ , и (c,d) — величины вообще, magnitudines in genere и можетъ быть случай, что (а, Ь) геометрическія величины, ) числа, но при этомъ, если (а, Ь) одного рода, то и (с, d) одного рода.

Постулатъ Клавій тогда постулируетъ возможность къ геометрическимъ величинамъ ( b, с) и числу а найти такое число что

х’.а — Ь'.с,

Возьмемъ и = 1 и мы будемъ приведены къ необходимости признать всякое отношеніе даже несоизмѣримыхъ величинъ, какъ отношеніе числа къ единицѣ.

Если за с принять единицу мѣры, то результатъ измѣренія 6:1 представится отношеніемъ числа къ 1. Остается отожествить отношеніе съ числомъ, чтобы получить взаимно-однозначное соотвѣтствіе между геометрическими величинами и характеризующими ихъ числами.

§ 11. Не меньшую роль въ ариѳметизаціи теорій пропорцій сыграло 5-е опредѣленіе 6-й книги началъ.

„Отношеніе называется сложеннымъ (составленнымъ) изъ отшеній, когда количества сихъ отношеній въ нихъ кратствованныя дѣлаютъ нѣкое количество“ (не вѣрнѣе ли—отношеніе?)

Оставляя въ сторонѣ вопросъ о точности перевода Петрушевскаго, я не могу не признать, что, если этотъ переводъ точенъ, то самъ оригиналъ представляетъ какое-то искаженіе Эвклидоваго опредѣленія, объ истинномъ содержаніи котораго приходиться строить предположеніе, пользуясь, напримѣръ, вольнымъ переводомъ Лоренца:

„Изъ трехъ или многихъ величинъ а, Ь, с, d..., изъ которыхъ каждое предыдущее находится въ отношеніи къ послѣдующему

(а:6), (6: с), ..

отношеніе перваго къ послѣднему называется составленнымъ изъ всѣхъ этихъ отношеній.“

Переводъ Ващенко-Захарченко:1)

Отношеніе называется, составленнымъ изъ отношеній, когда эти отношенія, будучи перемножены, даютъ отношеніе. При чемъ это поясняется рядомъ равенствъ въ современной символической формѣ:

1) Начала Эвклида. Ващенко-Захарченко, стр. 214.

Видимо этого рода пониманіе было у математиковъ второй половины XYII вѣка съ уже отчасти ариѳметизированнымъ математическимъ мышленіемъ.

Эвклидъ нигдѣ не оперируетъ съ отношеніями какъ съ числами, въ духѣ Арно. Съ его точки зрѣнія не можетъ быть умноженія отношеній.

Поэтому, если такой переводъ правиленъ, то справедливо замѣчаетъ Вайлати—это опредѣленіе не можетъ быть признано подлиннымъ.

Но въ этомъ случаѣ и предложеніе 23-е - 6-й книги (о которомъ, видимо, Вайлати забываетъ) должно быть признано не подлиннымъ.

Подробно анализируя доказательство этой теоремы, мы легко видимъ, что формулировка Лоренца не охватываетъ содержанія того опредѣленія, которое лежитъ въ основѣ этого доказательства.

Отношеніе a:d называется составленнымъ не только изъ

(а:Ь) , (Ь:с) , (c:d),

по и изъ

(а '■ Ь),( 0 : с), (с : d)

если а:Ъ = а • b , b: с = : с

Эвклидово отношеніе было ближе къ общему логическому понятію отношенія, лежащему въ основѣ современной логики отношеній, чѣмъ къ математическому отношенію чиселъ, но вѣроятно у самого Эвклида не было вполнѣ яснаго мышленія1).

Въ высшей степени интересно, какъ на промежуточной Декартовой точкѣ зрѣнія, не объявляя еще отношеніе числомъ, математики старались, не скажу истолковать, а скорѣе исправить Эвклида въ этомъ мѣстѣ.

За Декартовымъ истолкованіемъ умноженія отрѣзковъ а на о и вытекающаго отсюда истолкованія — или а : и, истолковывалось умноженіе отношеній (или частныхъ) . -у, такъ какъ J и-j представлялись отрѣзками.

Джордано Витале2) устанавливаетъ для а : Ь или-y рядъ формальныхъ законовъ, которымъ подчинены числа.

1) См. объ относительномъ умножеіи отношенній, напр „Кутюра Философскіе принципы математики, стр. 29.

2) D. Vitale. Euclide restisuto. Roma, 1680.

§ 12. Открытіе Пиѳагора несоизмѣримыхъ величинъ положило конецъ наивному представленію взаимно-однороднаго соотвѣтствія между геометрическими величинами и раціональными числами (или вѣрнѣе, отношеніями цѣлыхъ чиселъ).

Бруншвигъ1), по всей вѣроятности, правильно предполагаетъ цѣлый рядъ попытокъ выраженія діагонали квадрата, со стороной = 1, числомъ, раньше чѣмъ была установлена неразрѣшимость этой задачи.

Само пиѳагорейское міровоззрѣніе должно было располагать къ вѣрѣ въ разрѣшимость этой проблемы и открытіе неразрѣшимости должно было нанести ему неизцѣлимую рану.

Интересно отмѣтить, что установкѣ логически не обоснованной, но психологически обяснимой, взаимно-однозначнаго соотвѣтствія между геометрическими величинами и числами, путемъ расширенія идеи числа, предшествуетъ краткій періодъ особаго пониманія,

ab , abc...

въ которомъ постулируютъ взаимно-однозначное соотвѣтстіе между геометрическими величинами и числами, при этомъ числами не только раціональными, но и цѣлыми.

Но эти цѣлыя числа—это актуально безконечныя числа, которыми опредѣляется сколько разъ недѣлимое (актуальнобезконечно малое ХУІІ и начало XVIII в.) содержится въ конечной геометрической величинѣ.

„Линія, говоритъ Риваръ2) въ своихъ „Элементахъ Математики“, умножается на другую линію,если первая берется столько разъ, сколько точекъ во второй: напримѣръ, чтобы умножить АС на CD, слѣдуетъ линію АС взять столько разъ, сколько точекъ въ линіи CD, т.-е. чтобы имѣть произведеніе АС на CD, слѣдуетъ представить себѣ, что проведены линіи равныя и параллельныя АСонѣ заполняютъ пространство ACDB, вотъ почему произведеніе одной линіи на другую образуетъ прямоугольникъ.

§ 3. Арно-Луи Бертранъ3)—Лежандръ4) вотъ три ступени ариѳметизаціи Геометріи.

То, что у Бертрана высказывается въ робкой формѣ, у Лежандра высказано уже вполнѣ категорически.

Лежандръ и авторы учебниковъ5) Лежандровскаго типа всякое дѣйствіе надъ отрѣзками замѣняютъ соотвѣтствующими дѣйствіями надъ числами имъ соотвѣтствующими, ab понимается только, какъ число—произведніе двухъ чиселъ

{AB + ВС)* 2 = AB2 + 2AB. ВС f ВС*

1) L. Brunschvigg. Les étapes de la philosophie mathématique. Paris. Alcan, 1912, p. 47.

2) Rivard Elements de Mathématiques. Paris 1789.

3) L. Bertrand. Developpmen nouveau de la partie élémentaire des Mathématiques prise dans touté oson etendué A. Geneve, 1778.

4) Legendre. Elements de geometrie.

5) Учебники Лежандровскаго типа Garnier, Vincent, Terquem, Sonnet, Dupin, Fournier, Nicollet, Pascal, a также позднѣйшій Rouché et Comberousse.

ибо

(a + 6)3 = aî4-2aô-f Ь*

гдѣ а число опредѣляющее AB, Ь — ВС.

Вполнѣ понятно, что именно Лежандръ, лучшіе труды котораго относятся къ Теоріи чиселъ, долженъ былъ дойти до крайняго предѣла ариѳметизаціи Геометріи.

a'.b — C.d

поэтому ad = be

Эта истина, говоритъ Лежандръ, въ числахъ вѣрна, она вѣрна и при всякихъ другихъ величинахъ, лишь бы только онѣ изображались черезъ числа, что всегда можно положить.

Напримѣръ, если А, В, С, D — 4 линіи, то можно вообразить, что одна изъ нихъ служитъ мѣрой, тогда С соизмѣримы или несоизмѣримы, во всѣхъ случаяхъ онѣ выражаются числами, въ первомъ случаѣ соизмѣримыми (раціональными), во второмъ несоизмѣримыми (ирраціональными).

Что до чисто ариѳметическаго обоснованія теоріи ирраціональныхъ чиселъ математики и послѣ Лежандра чувствовали себя нѣсколько неловко въ критическихъ мѣстахъ элементарнаго курса Геометріи — это можно видѣть въ примѣчаніяхъ учебника Лакруа1)) въ которыхъ онъ какъ бы старается оправдаться предъ читателемъ въ своихъ ариѳметическихъ тенденціяхъ:

„Испытывается, говоритъ Лакруа, нѣкоторое затрудненіе въ перенесеніи на части пространства понятія отношенія въ такомъ видѣ, какъ оно понимается для чиселъ, въ особенности, когда дѣло идетъ о несоизмѣримыхъ между собой линіяхъ, но темнота разсѣется, если обратить вниманіе на то, что сравнивать двѣ линій возможно только относя ихъ къ общей мѣрѣ, но тогда ихъ отношеніе есть, дѣйствительно, число или дробь, члены которой, выраженные числами, представляютъ то, сколько разъ мѣра заключается въ каждой линіи. Хотя эту дробь невозможно точно указать въ томъ случаѣ, когда отношеніе несоизмѣримо, но она тѣмъ не менѣе существуетъ“.

§ 14. 5-я книга кончаетъ свое существованіе. Ариѳметика побѣждаетъ Геометрію и ставитъ послѣднюю въ зависимость отъ себя.

Но съ Началомъ логистическихъ тенденцій раздается еще въ 70 и 80 годахъ прошлаго столѣтія въ Италіи призывъ къ возврату къ Эвклиду, къ освобожденію Геометріи отъ Ариѳметики.

Но полнаго возврата къ прошлому не бываетъ. Эвклидъ италіанскихъ Геометровъ — это псевдо-Эвклидъ.

Для Эвклида въ Геометріи существуетъ только то, что можетъ быть построено, для Лежандра то, что можетъ быть вычислено, для математиковъ-логистовъ то, что не содержитъ противорѣчій.

1) Lacroix. Elements de Géométrie à l’usage de l’Ecole Centrale des Quatre nations, Paris, 1814.

Уже въ силу этого ирраціональныя числа не существовали, да и не могли существовать для Эвклида. Для Лежандра они, только они, были достаточны, ибо все вычисленіе надъ геометрическими величинами можно было свести къ операціямъ надъ числами.

Логистъ не только имѣетъ основанія отказаться отъ ирраціональныхъ чиселъ, но естественно логизируетъ понятіе ирраціональнаго числа и создаетъ идею такихъ объектовъ, которые, не служа уже орудіемъ вычисленія, вкладываются въ логическія схемы Ариѳметики.

Логистъ остается при взаимно-однозначномъ соотвѣтствіи геометрическихъ величинъ и чиселъ и не подчеркиваемый имъ до послѣдней главы фактъ существованія такого взаимно-однозначнаго соотвѣтствія и дѣлаетъ возможнымъ оперированіе съ отрѣзками, площадями и т. д. такъ, какъ оперируютъ въ Ариѳметикѣ и Алгебрѣ съ числами. Все, что приносится имъ, какъ новое, въ Начала Эвклида, это —

въ доказательствахъ — алгебраическое, а именно, прилагается алгебраическая техника доказательствъ въ приложеніи къ величинамъ, которыя не признаны алгебраическими (при чемъ Алгебра = Алгебра чиселъ),

въ постулатахъ — экономическое сокращеніе числа ихъ, съ стремленіемъ осуществить минимумъ, хотя въ ущербъ очевидности,

въ опредѣленіяхъ — логистическое — переработка опредѣленій съ сокращеніемъ интуитивнаго матеріала, въ нихъ входящаго.

Первое совершенно чуждо Эвклиду и потому не даетъ возврата отъ Лежандра къ Эвклиду, а въ дальнѣйшую за Лежандромъ стадію эволюціи.

Второе безспорно имѣлось въ виду и Эвклидомъ, но не интересовало Лежандра. Для Эвклида, чѣмъ меньше аксіомъ, тѣмъ меньше сомнѣній со стороны софистовъ, и Эвклидъ доказываетъ иногда совершенно очевидныя истины.

Третье же въ равной мѣрѣ совершенно чуждо и Эвклиду, и Лежандру.

Но для Эвклида на первомъ планѣ очевидность, на втотомъ минимумъ, для логиста же наоборотъ, онъ всегда готовъ принести въ жертву минимуму — очевидность.

Теоріи пропорцій Саньо д’Овидіо1), Веронезэ2) отнюдь не слѣдуетъ разсматривать, какъ продолженія того, удерживавшаго ариѳметизацію Геометріи, теченія въ обратномъ направленіи къ Эвклиду, которое проходитъ черезъ Деламберта и Гурьева3), а, какъ совершенно новое теченіе, представляющее продолженіе основного потока, идущаго черезъ Арно и Лежандра. _________

1) А. Sannia ed Е. D'Ovidio. Elenienti di Geometria ad uso dii Gimnasii e degli Institut! Tecnici. Xapoli, 1916.

2) G. Veronese. Elementi di Geometria ad uso dei Gimnasi e Licei e instituti tecnici, Padova, 1911. parti I, t. II. См. также Геометрич. учебники Энрикеса и Амальди, Инграми, де-Паолиса ит. д.

3) Гурьевъ. Основанія Геометріи С.-Пб. 1825 и другія его сочиненія.

Понятіе о безконечно-маломъ и его приложенія къ математикѣ

Дж. Виванти, пер. Е. Борткевичъ. (Петроградъ.)

(Продолженіе.)

ГЛАВА IУ.

Безконечно-малое—интенсивное.

Понятіе о безконечно-маломъ, какъ о величинѣ интенсивной, встрѣчается болѣе или менѣе скрыто и подъ разными видами у многихъ математиковъ и философовъ. Всѣ эти виды однако можно привести по существу къ двумъ, въ которые оно постепенно облачилось и скажу для краткости: видъ „кинематическій“ и видъ „динамическій“; и переходъ отъ перваго ко второму находитъ свое основаніе въ исторіи механики, такъ какъ онъ имѣетъ мѣсто только послѣ того, какъ Галилей путемъ своихъ памятныхъ изслѣдованій положилъ начало основамъ научной механики. Линія принимается за типъ протяженныхъ величинъ. Ея элементъ— непротяженная точка, но обладающая способностью производить протяженія посредствомъ движенія. И такъ, видъ, названный мною „кинематическимъ“, ограничивается тѣмъ, что разсматриваетъ „фактъ“ порожденія сплошности при помощи движенія точки, между тѣмъ какъ видъ „динамическій“ заботится исключительно о „стремленіи“ (conatus, momentum, et.) которымъ обладаетъ точка—производитель. Первый указываетъ на происхожденіе интегральнаго исчисленія, второй —на происхожденіе дифференціальнаго исчисленія, т. к. именно въ этомъ послѣднемъ наше вниманіе привлекаетъ особенный характеръ этого существа, которое считается „дифференціаломъ“ количества.

Слава созданія обоихъ видовъ интенсивнаго понятія безконечно-малаго принадлежитъ двумъ философамъ Джордано Бруно и Томасу Гоббсу. Уже Николай Кузанскій (1401 —1464) сказалъ, что линія—эволюція (explicatio) точки, время—эволюція момента. Но Джордано Бруно принадлежитъ гораздо большая заслуга: а именно, та, что онъ нѣкоторымъ образомъ переставилъ основной вопросъ, ведущій къ понятію безконечно-малаго. До того времени элементъ (атомъ, монада и т. д.) разсматривался, какъ „послѣдній“ результатъ неопредѣленнаго дѣленія сплошности; Бруно же образуетъ изъ него, называя его „минимумомъ“, первый активный элементъ, производящій протяженіе. Но этотъ „минимумъ“, который такимъ образомъ становится основой всей природы, для Бруно является также необходимой основной познанія ея, орудіе, безъ котораго нельзя ничего понять, точка, отъ которой должно имѣть начало всякое изученіе. Намъ неизвѣстно, имѣли ли вліяніе и какое идеи Бруно на Суве или Соверо (Souvey о Sovero) (1577—1629) и Ка-

вальери (1591—1647). Какъ бы то ни было, однако, благодаря совмѣстной работѣ этихъ двухъ математиковъ, понятіе о движеніи, какъ средство порожденія геометрическихъ существъ, законно входитъ въ геометрію.

Соверо утверждаетъ, что геометрія не можетъ существовать безъ идеи движенія и показываетъ, какъ, благодаря ей, могутъ быть замѣнены опредѣленія древнихъ другими — генетическими и способными дать ясное представленіе о геометрическихъ существахъ, а главнымъ образомъ, какъ увѣриться въ ихъ возможности, которая вовсе не вытекаетъ изъ Евклидовыхъ опредѣленій.

Что же касается Кавальери, то ясно слѣдуетъ изъ его трудовъ, что элементъ — производитель поверхностей — для него линія, „которая движется“. Но это теоретическое понятіе не можетъ быть примѣнено къ вопросу опредѣленія площадей, что составляетъ главную цѣль его изслѣдованій; и однако ему приходится обратиться къ понятію совершенно иному и разсматривать плоскія поверхности, какъ „составленныя“ изъ безконечно-большого числа параллельныхъ линій. Это просто лишь искусственный способъ исчисленія, а Кавальери, наоборотъ, старается показать, что его методъ не зависитъ ни отъ какой-либо гипотезы и хорошо примѣнимъ къ любой точкѣ зрѣнія. Однако онъ не сумѣлъ изложить его достаточно ясно для избѣжанія того, что почти всѣ тѣ, которые писали о немъ, были того сложнаго мнѣнія, что онъ считалъ поверхности дѣйствительно образованными изъ безконечно-большаго числа линій.

Среди тѣхъ, которые приняли идею порожденія сплошности посредствомъ движенія, покажется страннымъ найти на первомъ мѣстѣ имя Гюльдена (1577 —1643), который въ то время какъ онъ оспаривалъ понятіе, ошибочно приписываемое имъ Кавальери, самъ присвоилъ истинное понятіе, выражая его почти его же словами. Линія для него — потенціалъ точки, т.-е. слѣдъ, оставляемый подвижной точкой; потенціалъ можетъ быть двухъ родовъ: прямой и круговой. Гюльденъ, болѣе точный и осторожный нежели Кавальери, старается избѣгнуть ошибки, жертвой которой былъ Кавальери, и послѣ того какъ онъ сдѣлалъ различіе между „генезисомъ“ сплошности и „образованіемъ“, отмѣчая, что первый относится къ спекулятивной наукѣ, а второе къ практикѣ, показываетъ еще яснѣе, какъ понятіе „образованія“ сплошности соединяется съ понятіемъ „мѣры“. Мысль его состоитъ въ слѣдующемъ: круглое тѣло нужно себѣ представить образованнымъ путемъ вращенія плоской фигуры вокругъ оси, находящейся въ его-же плоскости; однако это представленіе не оказываетъ никакой пользы для измѣренія объема тѣла и для этой цѣли слѣдуетъ разложить его на основныя части и вычислить отдѣльно ихъ величину.

Барровъ (1630—1677), послѣ того какъ онъ перечислилъ различные способы порожденія величинъ, говоритъ, что всѣ они приводятся къ мѣстному движенію и что ничто не происходитъ въ природѣ безъ движенія; добавляетъ, что какъ прямая — слѣдъ

точки, точно такъ же время—слѣдъ момента. Онъ также считаетъ нужнымъ разсматривать для аналитическихъ приложеній сплошность, какъ доставленную“ изъ элементовъ и даже присовокупляетъ, что безразлично считать ли ихъ протяженными или непротяженными.

Джованни Чева въ своей „Geometria motus“ (Болонья, 1692, стр. 40) пишетъ: „Quallibet linea ut fluxus puncti concipi potest“ (какая угодно линія можетъ быть принята за слѣдъ точекъ).

Нелегко согласовать это мѣсто съ другими, въ которомъ онъ считаетъ допустимымъ разсматривать моменты не какъ абсолютно лишенные длительности, но какъ кратчайшіе.

Нельзя предположить, чтобы это замѣчаніе относилось не къ самому понятію элемента, но только къ виду, подъ которымъ онъ долженъ входить въ исчисленіяхъ, т. к. въ другомъ мѣстѣ онъ открыто объясняетъ, что скорость не измѣняется непрерывно, но остается немѣняющейся въ теченіе кратчайшихъ моментовъ, измѣняясь постепенно.

Въ то время, какъ Чева находился подъ вліяніемъ идей Кавальери, Гоббсъ показывалъ въ трудѣ своемъ „De Corpore“ (1656) какъ корни, зародившіеся въ немъ отъ личныхъ сношеній съ Галилеемъ и отъ изученія его трудовъ, нашли благопріятную почву.

Галилей былъ первымъ, который въ явленіи движенія узрѣлъ динамическій элементъ, т.-е. стремленіе (momento) точки двигаться по опредѣленному направленію и съ опредѣленной скоростью. Однако онъ не сумѣлъ извлечь пользы изъ этого понятія для рѣшенія вопроса относительно характера сплошности, и даже послѣ разложенія протяженія на части непротяженныя не нашелъ болѣе пути, чтобы его вновь составить при помощи этихъ частей и прибѣгъ къ уловкамъ, о которыхъ не стоитъ распространяться. Гоббсъ, наоборотъ, сумѣлъ разъяснить значеніе непротяженнаго элемента - производителя, предоставивъ своему великому соотечественнику Ньютону задачу облеченія его въ математическую форму. Онъ назвалъ „усиліемъ“ движеніе продолжительности меньшей любой заданной. Пользуясь этимъ представленіемъ, движеніе принималось за состоящее не изъ безконечно-большаго числа „положеній“ подвижной точки, а изъ безконечно-большаго числа „усилій“; и возраженіе философовъ Елеатской школы противъ возможности движенія должны были пасть, чтобы больше не возникать.

Это „усиліе“ (conatus), проявившее только временное вліяніе на Лейбница въ его юношескихъ изслѣдованіяхъ по физикѣ, становится краеугольнымъ камнемъ большаго зданія, созданнаго Ньютономъ. Само названіе „methodus fluxionum“ указываетъ очень ясно на понятіе, которымъ оно вдохновляется. Непрерывныя величины (fluentes) порождаются движеніемъ и мгновенныя ихъ приращенія (momento) пропорціональны ихъ скоростямъ (fluxiones). У видимъ далѣе, какъ также у Ньютона находимъ доказательство тому, что безконечно-малое интенсивное не приложимо къ математикѣ.

Тайлоръ (1685 —1731) и Макъ-Лоренъ (1698 —1746) — соотечественники Ньютона приняли вполнѣ его идеи также съ точки зрѣнія основъ. Но, какъ я уже сказалъ, съ распространеніемъ метода Лейбница математики становились все менѣе чувствительными къ трудностямъ, которымъ обязано происхожденіе безконечно-малаго интенсивнаго; и чѣмъ горячѣе становились споры относительно основъ аналитическихъ методовъ, тѣмъ уменьшался интересъ къ чисто философскому вопросу характера безконечно-малаго. И потому тотъ, кто хотѣлъ продолжать исторію этого вопроса во второй половинѣ XVIII ст. и болѣе спеціально исторію понятія безконечно-малаго интенсивнаго, долженъ былъ перейти съ тѣмъ, чтобы изъ нея больше не выйти, въ область философіи, но это привело бы меня за предѣлы, которые я себѣ поставилъ.

(Окончаніе въ слѣд. №).

Исторія ученія о логариѳмахъ.

По поводу 300-лѣтія выхода въ свѣтъ Mirifici logarithmorum canonis descriptio Джона Непера.

(Продолженіе.)

В. В. Бобынинъ. (Москва.)

Для вычисленія синусовъ, составляющихъ таблицы, или, что то же самое, членовъ вышеуказанной геометрической прогрессіи съ первымъ членомъ А и знаменателемъ прогрессіи 1 —— Неперъ принялъ А =10000000. Равнымъ тому же числу онъ положилъ и т,черезъ что получились 1—~ — 0,9999999, а первыми членами прогрессіи числа 10000000; 9У99999; 9999998.0000001 9999997.0000003; и т. д. до 101-го члена, который при обозначеніи членовъ прогрессіи буквою а съ соотвѣтствующимъ указателемъ представится въ видѣ а101 = 9999900.0004950. Нынѣшняя запятая въ десятичной дроби представлялась Неперомъ, вѣроятно, но примѣру Питискуса, точкою. Далѣе Неперъ вычислялъ уже не всѣ слѣдующіе члены прогрессіи, а только первый членъ каждой изъ ихъ послѣдовательныхъ сотенъ, то-есть а201, о301, а401)... Такъ какъ эти члены вмѣстѣ съ первымъ членомъ всей прогрессіи ал — 10000000 составляютъ геометрическую прогрессію съ первымъ членомъ а1 и знаменателемъ

или при опущеніи, какъ это дѣлаетъ Неперъ, въ а101 десятичной дроби

Членами этой прогрессіи, слѣдовательно, будутъ а201 = 9999800.001000, аз01 = 9999700.00300,....., а5001 = 9995000

при чемъ ихъ указатели составляютъ ариѳметическую прогрессію съ первымъ членомъ 1 и разностью 100. При дальнѣйшемъ продолженіи основной геометрической прогрессіи представляется въ числѣ многихъ другихъ геометрическая прогрессія

съ первымъ членомъ 10000000, знаменателемъ

и съ указателями, составляющими ариѳметическую прогрессію 1, 5001, 10001, 15001,....

Вычисленіе членовъ этой прогрессіи Неперъ останавливаетъ на

имъ принимаемомъ за 9900000. Какъ и прежде, изъ геометрическихъ прогрессій, представляющихся при продолженіи основной, берется

^100001? ^200001* * * * * ’

имѣющая своимъ знаменателемъ

Вычисленіе ея членовъ даетъ, наприм.,

«680000! = 5048858.8900, а6900001 = 4998609.4034,

изъ которыхъ на второмъ онъ останавливаетъ свои вычисленія, принимая его приблизительно за 5000000, то-есть за половину перваго члена 10000000. Наконецъ, что касается указателей при буквѣ а, опредѣляющихъ мѣста соотвѣтствующихъ членовъ въ основной геометрической прогрессіи, то они легко опредѣляются изъ соотвѣтствующихъ ариѳметическихъ прогрессій, уже указанныхъ выше. Такъ указатель въ а690о0оі можетъ быть опредѣленъ пли какъ 1381-й членъ въ прогрессіи

1, 5001, 10001,....

или какъ 70-й въ прогрессіи

1, 100001, 200001...

то-есть соотвѣтственно по формуламъ

1 + 5000 X 1380 = 6900001 И 1 + 1000000 X 69 = 6900001.

Итакъ 1381-й членъ въ предпослѣдней изъ представившихся вновь прогрессій и 70-й членъ въ послѣдней оказываются совпадающими.

При вычисленіи логариѳмовъ въ своей Constructio Неперъ представляетъ помощью сравненія съ движеніями образованіе геометрической и ариѳметической прогрессій гораздо болѣе строго и точно, чѣмъ прежде въ Descriptio. Пусть на линіи DE движется съ постоянною скоростью точка а, проходя въ единицу времени разстояніе DG. Одновременно на линіи AB движется точка Ъ, скорость которой въ А совпадаетъ со скоростью точки а, но затѣмъ безпрерывно и однообразно уменьшается. Въ первую единицу времени она проходитъ разстояніе AF. Если представить себѣ начало движенія перенесеннымъ на одну его единицу во времени назадъ, а въ пространствѣ также назадъ въ точку 0, то

откуда

или

и

Но такъ какъ AB>FB, то изъ послѣдней пропорціи и OA>AF. Итакъ, точка Ъ отъ О до движется быстрѣе, а отъ А до F медленнѣе, чѣмъ точка а. Въ виду этого можетъ быть можно скорость точки а принять равною средней ариѳметической ОА и AF. Если такимъ образомъ AB есть число данное разъ навсегда, FB—опредѣленное зааченіе церемѣннаго числа и DG — логариѳмъ FB, то приближенно

и DG или логариѳмъ FB,то-есть 9999999 = -^-. 2,0000001 = почти

1,00000005.

Въ то же время по Неперу log 10000000 = 0. Разность ариѳметической прогрессіи, представляемой логариѳмами, есть, слѣдовательно,

1,00000005 — 0 = 1,00000005.

Логариѳмомъ числа 5000000, на которомъ Неперъ остановилъ свои вычисленія, Descriptio даетъ 6931469, но почти такое-же число 6931469,22 въ Constructio указывается какъ логариѳмическая разность чиселъ, находящихся въ отношеніи 2:1.

Къ Constructio приложено еще прибавленіе, въ которомъ авторъ говоритъ о методахъ логариѳмическаго исчисленія въ случаѣ, когда логариѳмомъ единицы предполагается нуль, то-есть въ случаѣ, представлявшемъ предшествующее работамъ Непера первоначальное состояніе ученія о логариѳмахъ. Какъ о содержащемъ факты дальнѣйшаго развитія этого ученія въ формѣ его первоначальнаго состоянія о прибавленіи къ Constructio придется еще говорить болѣе подробно впослѣдствіи.

Четвертымъ извѣстнымъ въ настоящее время математическимъ произведеніемъ Непера является De arte logistica1) изданное впервые только въ XIX в. однимъ иэъ представителей рода Неперовъ, Маркомъ. Имъ же была издана книга Mémoires, of J. N. of Merchiston, his lineage, life and times, with a history of the invention of logarithms2). Позднѣе краткая біографія Непера вмѣстѣ съ подробнымъ каталогомъ его изданныхъ и неизданныхъ работъ и со статьями по вызываемымъ ими вопросамъ была помѣщена въ посвященной главнымъ образомъ переводу на англійскій языкъ второго сочиненія Непера о логариѳмахъ книгѣ The construction of the wonderful canon of logarithms by John Napier, baron of Merchiston. Translated a from latin into english with notes and a catalogue of the various editions of Napiers works by W. R. Macdonald3).

Почти одновременно съ таблицею Непера была составлена въ 1603—1611 гг. въ Прагѣ другая, хотя и посвященная въ общемъ тому же предмету, какъ первая, но далеко ей уступающая въ степени ясности предмета для сознанія автора, которымъ былъ швейцарецъ Іоостъ Бюрги4), родившійся 28 февраля 1552 года въ Лихтенштейгѣ въ Швейцаріи. Астрономъ по научной спеціальности и часовщикъ по профессіи, онъ избралъ мѣстомъ теоретическихъ и практическихъ приложеній своихъ знаній Германію. Здѣсь онъ былъ въ 1579—1603 гг. въ Касселѣ придворнымъ часовщикомъ гессенскаго ландграфа Вильгельма IV. Съ помощью пріобрѣтеннаго послѣднимъ секстанта Бюрги, кромѣ занятій своимъ ремесломъ, производилъ здѣсь въ 1590— 97 гг. еще астрономическія наблюденія, напечатанныя въ книгѣ W. Snellius Coeli et siderum in ео errantium Observationes Hassiacae5)

1) Loudon 1842.

2) Lonhon 1834. 4°.

3) Edinburgh, Blackwood 1889. jn—8°, XIX-j-169 pp.

4) Justus Byrgius, также Burgi и Borgen.

5) Lugduni Batavorum 1618.

подъ заглавіемъ Observations Pianetarum ab illustr. Principuro Guilielmi et Mauritii Hassiae Landgraviorum Organopoeo Jasto Byrgio per Sextantein Cassellis institutae. Въ томъ же періодѣ дѣятельности имъ былъ изобрѣтенъ отличающійся отъ Галилеевскаго пропорціональный циркуль, описанный Л. Гульзіус'омъ въ третьемъ трактатѣ о механическихъ инструментахъ подъ заглавіемъ „Beschreibung und Unterricht des Jobst Bürgi Proportional-Cirkels etc“1). Въ 1603 — 1622 гг. Бюрги былъ въ Прагѣ часовщикомъ двора императоровъ Рудольфа II, Матѳія и Фердинанда IIІ, имѣя собственный домъ, въ которомъ вмѣстѣ съ нимъ жилъ до 1611 г. его шуринъ и съ 3-лѣтняго возраста воспитанникъ Веніаминъ Брамеръ (1588—1649). Въ Прагѣ Бюрги познакомился съ Кеплеромъ, пользовавшимся позднѣе въ своихъ астрономическихъ вычисленіяхъ его таблицами. Въ 1622 г. Бюрги снова возвратился въ Кассель, гдѣ и умеръ 31 января 1632 года. Повидимому, въ это послѣднее время своей жизни онъ изобрѣлъ „геометрическій тріангулярный инструментъ“, состоявшій изъ трехъ линеекъ и назначенный для употребленія въ землемѣрныхъ работахъ. Его описавіе было дано упомянутымъ Брамеромъ въ сочиненіи Bericht zu М. Jobsten Bürgi seligen, geometrischen Triangular—Instrument u. s. w.2).

Сдѣланное сейчасъ указаніе времени употребленія Кеплеромъ таблицъ Бюрги основывается на сказанныхъ въ 1630 году словахъ Брамера о томъ, что „его любезный шуринъ и учитель лѣтъ 20 и даже болѣе тому назадъ занимался вычисленіемъ прекрасной таблицы прогрессій“. Кромѣ этого свидѣтельства есть еще и другія, его подтверждающія, хотя и менѣе опредѣленныя. Самъ Бюрги говоритъ3), „хотя я и занимался этими таблицами нѣсколько лѣтъ тому назадъ, однако-же отъ ихъ изданія меня удерживали мои обязанности“. Но тому же предмету Кеплеръ въ своемъ введеніи къ Рудольфиновскимъ таблицамъ говорилъ въ 1627 году: „Бюрги обладалъ своими таблицами за много лѣтъ до выхода изданія Непера, но тѣмъ не менѣе мѣшкающій секретникъ оставилъ новорожденное дитя для самого себя, вмѣсто того, чтобы воспитать его для общей пользы“. Очевидною цѣлью этихъ словъ Кеплера было установленіе независимости Бюрги въ его трудѣ отъ Непера. Въ этомъ, строго говоря, не было однако же никакой надобности, такъ какъ независимость Бюрги отъ Непера ясна сама собою.

Бъ печати таблица Бюрги появилась въ 1620 году въ Прагѣ подъ заглавіемъ „Arithmetische und Geometrische Progress— Tabulen, sambt grünblichen Unterricht, wie solche nützlich in allerley Rechnungen zu gebrauchen und verstanden werden sol“. Въ немногихъ сохранившихся до настоящаго времени экземплярахъ этихъ таблицъ обѣщаннаго въ заглавіи „основательнаго обученія“ ихъ пользѣ и употребленію не содержится. Было ли оно напечатано въ отдѣльномъ видѣ—неизвѣстно. Рукописное же его воспроизведе-

1) Frank. М. 1607. Съ предисловіемъ, написанномъ въ 1603 году.

2) Cassel 1648.

3) Gründliche Unterricht etc см. ниже.

ніе, къ счастью, однако уцѣлѣло, оказавшись пришитымъ къ экземпляру таблицъ, находящемуся въ Данцигѣ и изслѣдованному Gieswald’омъ, посвятившемъ ему сочиненіе „Justus Byrg als Mathematiker und dessen Einleitung in seine Logarithmen“1).

Таблица Бюрги состоитъ изъ двухъ столбцовъ, изъ которыхъ одинъ краснаго цвѣта, а другой чернаго. Первый содержитъ въ себѣ послѣдовательные члены ариѳметической прогрессіи съ первымъ членомъ О и разностью 10, а второй—члены геометрической

100000000, 100010000, 100020001,....,

имѣющей, слѣдовательно, знаменателемъ

По своему цвѣту числа перваго столбца называются у Бюрги просто красными числами, а числа второго столбца—черными. Выборъ перваго члена и закона образованія слѣдующихъ въ обѣихъ прогрессіяхъ совершенно произволенъ; требуется только установленіе взаимности соотвѣтствующихъ членовъ, то есть занимающихъ въ обѣихъ прогрессіяхъ одинаковыя мѣста. Употребленіе таблицы при вычисленіяхъ не могло не остановить вниманія автора на часто встрѣчающейся необходимости въ ея интерполированіи, то-есть въ разысканіи чиселъ промежуточныхъ между данными и потому прямо въ ней не содержащихся. Предметомъ такого разысканія Бюрги дѣлалъ впрочемъ, только одни красныя числа. Вотъ какъ, наприм., онъ находитъ соотвѣтствующее черному числу 36. Такъ какъ въ таблицѣ содержатся только 9-значныя черныя числа, то и данное должно быть дополнено до такового же черезъ присоединеніе справа 7 нулей, то-есть представлено въ видѣ 360000000. Числами, ближайшими къ нему, предшествующимъ и послѣдующимъ, являются въ таблицѣ 359964763 и 360000759. Первому соотвѣтствуетъ красное число 128090, а второму 128100. Такъ какъ разность черныхъ чиселъ, взятыхъ изъ таблицы, есть 35996, разность между даннымъ числомъ и предшествующимъ ему въ таблицѣ 35237, то при допущеніи для небольшого промежутка пропорціональности приращеній черныхъ и красныхъ чиселъ

х: 10 = 35237; 35996,

откуда

я— 9,789

или, по обозначенію Бюрги 9789. Здѣсь, какъ онъ замѣчаетъ далѣе, о стоитъ надъ послѣднею цифрою цѣлаго числа, за которою слѣдуетъ уже дробь. Искомое красное число, соотвѣтствующее данному 360000000 будетъ такимъ образомъ равно 128099,789. Тѣмъ же путемъ, конечно, шелъ Бюрги и въ обратномъ случаѣ,то-есть

1) Dauzig 1856.

при отысканіи чернаго числа, по данному красному, ему соотвѣтствующему. Подъ давленіемъ необходимости и, слѣдовательно, независимо отъ своей воли Бюрги во всѣхъ такихъ случаяхъ приходилъ, хотя и къ лежащему для него ниже порога сознанія, взгляду на ариѳметическія и геометрическія прогрессіи, какъ на ряды, неограниченно продолжающіеся внѣ и внутри себя, или, короче, какъ на ряды непрерывные.

Заключительнымъ послѣднимъ числомъ чернаго столбца является не соотвѣтствующій членъ находящейся въ немъ геометрической прогрессіи, а круглое число 1000000000. „Какъ началась таблица", говоритъ авторъ по этому поводу, „круглымъ чернымъ числомъ 100000000, такъ и кончиться она должна ближайшимъ къ нему подобнымъ же круглымъ числамъ 1000000000“-, соотвѣтствующее которому красное число есть 230270,022, названное авторомъ цѣлымъ краснымъ числомъ. Изъ его употребленія авторъ извлекаетъ нѣкоторыя выгоды для многихъ изъ приложеній таблицы, наприм.,для производства при ея помощи дѣленія въ тѣхъ случаяхъ, когда его результатъ есть правильная дробь. Такъ въ случаѣ дѣленія 154030185 на 205518112 при красныхъ соотвѣтственно числахъ 43200 и 72Ѳ40, разность 43200— 72040 замѣняется выраженіемъ

230270,022 + 43200 — 72040 = 201430,022.

Затѣмъ послѣ опредѣленія извѣстнымъ уже образомъ помощью пропорціи соотвѣтствующаго этому красному числу чернаго числа 749472554, это послѣднее дѣлится на 1000000000, черезъ что искомое частное оказывается равнымъ 0749472554 или

749472554

1000000000

Цѣль, которую преслѣдовалъ Бюрги при составленіи своей таблицы, состояла, какъ и у Непера, хотя и независимо отъ него, въ сокращеніи и облегченіи вычисленій преимущественно астрономическихъ, черезъ пониженіе на одну ступеней дѣйствій, начиная со второй. Самъ онъ по этому поводу говоритъ: „также и нѣкоторыми ариѳметиками: Симономъ Яковомъ, Мориціемъ Цонсъ и другими указывалось, что то же самое, что въ геометрической прогрессіи или въ черномъ числѣ умножается, въ ариѳметической или въ красномъ числѣ складывается“1). Отсутствіе упоминанія имени Штифеля показываетъ, что съ его трудами Бюрги знакомъ не былъ. Можно даже сказать болѣе; Arithmetica integra не могла быть доступна Бюрги уже по незнанію имъ латинскаго языка.

Представленіямъ логариѳма, въ тѣсномъ смыслѣ системы логариѳмовъ и ея основанія, Бюрги былъ совершенно чуждъ. Они для него не лежали даже ниже порога сознанія. Его таблица вслѣдствіе этого не была таблицею логариѳмовъ въ смы-

1) Gieswald. S. 27.

слѣ, придаваемомъ этой послѣдней въ настоящее время. Канторъ говоритъ, что она есть антилогариѳмическая таблица1). Тѣмъ не менѣе, какъ все же представляющая нѣкоторую систему логариѳмовъ, хотя и независимо отъ воли составителя, она должна имѣть свое основаніе, опредѣленіемъ котораго занялись, повидимому, не ранѣе XIX вѣка. Такъ какъ 0 = logl, то черное число 100000000, соотвѣтствующее красному 0, должно быть раздѣлено на 100000000 или, другими словами, всѣ его 8 нулей должны считаться составляющими дробную часть. Тому же измѣненію подлежатъ, очевидно, и всѣ другія черныя числа. При основаніи а получатся, слѣдовательно, равенства

а°=1, а10 =1,0001, а20 =1,00020001, и т. д.,

изъ которыхъ, наприм., второе даетъ

а— 7 1,00ÔÏ= 1,000009990550012.

Составленіе Неперомъ его таблицы было отвѣтомъ на вопросъ, ее только поставленный уже въ наукѣ, но и вполнѣ созрѣвшій для рѣшенія, которое, поэтому, должно разсматриваться стоявшимъ въ эпоху Непера на очереди. Въ этомъ убѣждаютъ изслѣдователя до нѣкоторой степени предшествовавшее Неперу состояніе ученія о логариѳмахъ и въ большей мѣрѣ пріемъ, встрѣченный его таблицами какъ въ средѣ ученыхъ, такъ и въ прикосновенной къ предмету части образованнаго общества. Отъ первыхъ онѣ получили признаніе значенія очень скоро послѣ своего появленія въ свѣтъ, а во второй распространеніе, потребовавшее второго изданія черезъ пять лѣтъ послѣ перваго. Первыми учеными, выразившими не только признаніе значенія труда Непера, но и восхищеніе имъ, были англичане Edward Wright и Henry Briggs.

Первый (1560 — 1615), фелловъ коллегіи Каюса въ Кембриджѣ, былъ состоящимъ на службѣ англо-остиндской Компаніи учителемъ математики. Онъ получилъ извѣстность за свои работы по навигаціи и картографіи, изъ которыхъ, какъ на болѣе замѣчательную, можно указать на The correctiton of certain errors in navsigation2) гдѣ впервые былъ правильно изложенъ принципъ меркаторской проекціи. Въ виду большой важности таблицъ Непера для астрономіи онъ рѣшилъ содѣйствовать ихъ распространенію всѣми зависящими отъ него средствами. Переведя Descriptio на англійскій языкъ и получивъ отъ автора не только согласіе на изданіе своего труда, но и его одобреніе, онъ немедленно приступилъ къ печатанію, оконченному, впрочемъ, уже послѣ его смерти, именно въ 1616 году.

Генри Бриггъ (1556—1630), воспитанникъ Кембриджа и эдѣсь же начавшій въ 1592 году свою преподавательскую дѣятельность, въ 1596 году перешелъ въ Лондонъ на должность профессора математики въ только что открытой здѣсь Коллегіи

1) М. Cantor. Vorlesungen über Geschichte der Mathematik. II Band. S 663.

2) London. 1599; 2 edit. *610, 3 edit. 1657.

сэра Томаса Грегема (Gresham). Свое преподаваніе въ этомъ учрежденіи онъ продолжалъ до перехода въ 1619 году въ Оксфордъ, вызваннаго занятіемъ предложенной ему и въ этомъ году только что учрежденной Савилемъ (Savile) профессуры по предмету геометріи. Эту должность онъ удерживалъ за собою до конца жизни. Его первыми появившимися въ печати произведеніями были: „А table to find the height of the Pole the magnetical declination“ (то есть inclination) being given“ (1602) и „Tables for the improvement of Navigation (1610). Таблицы различнаго рода, какъ показываютъ эти произведенія, составляли главный предметъ занятій и научныхъ интересовъ автора. Его послѣдующія отношенія къ таблицамъ Непера становятся такимъ образомъ вполнѣ понятными. Называя ихъ полною чудесъ новизною, онъ ищетъ знакомства и даже сближенія съ авторомъ, какъ съ человѣкомъ, болѣе, чѣмъ кто-нибудь другой, для него привлекательнымъ и возбуждающимъ его удивленіе. Получивъ отъ Непера разрѣшеніе его посѣщать, онъ провелъ съ нимъ цѣлый мѣсяцъ въ 1615 году и затѣмъ былъ у него въ 1616. Предполагавшееся въ 1617 году третье посѣщеніе не состоялось вслѣдствіе смерти Непера.

Уже при первомъ своемъ посѣщеніи Непера Бриггъ выступилъ предъ нимъ съ предложеніемъ принять за логариѳмъ 10 число—1, удерживая притомъ принятое въ его таблицахъ расположеніе логариѳмовъ, то-есть убываніе чиселъ при соотвѣтствующемъ возрастаніи ихъ положительныхъ логариѳмовъ. Это предложеніе не было для Непера новостью, такъ какъ онъ уже и ранѣе думалъ о такомъ выборѣ совокупности прогрессій ариѳметической и геометрической, при которомъ были бы 0 логариѳмомъ 1, а 1 логариѳмомъ 10 и, слѣдовательно, числа возрастали бы одновременно съ ихъ логариѳмами. Что несомнѣнно получилъ Неперъ отъ предложенія Бригга, такъ это толчокъ къ нѣсколько большему развитію указанныхъ своихъ мыслей и къ ихъ присоединенію въ 1616 или самое позднее въ началѣ 1617 года къ Constructio въ видѣ упомянутаго уже выше „Прибавленія“. Въ связь съ указаннымъ отношеніемъ Бригга къ этому „Прибавленію“ можетъ быть поставлено и его участіе въ послѣдней передъ печатаніемъ въ 1619 году редакціи Constructionis, выразившееся въ присоединеніи имъ къ этому сочиненію и нѣкоторыхъ собственныхъ дополненій. Въ виду всего сказаннаго сейчасъ на „Прибавленіе“ Непера къ Constructio можно смотрѣть, какъ на его третье сочиненіе о логариѳмахъ, написанное подъ нѣкоторымъ, хотя и не очень сильнымъ вліяніемъ Бригга. На разсмотрѣніи его содержанія теперь и слѣдуетъ остановиться.

Предметъ „Прибавленія“ состоитъ, главнымъ образомъ, въ указаніяхъ, относящихся къ вычисленію логариѳмовъ при log 1 = 0 и log 10 = 1. Здѣсь авторомъ впервые надъ порогомъ сознанія какъ обнаруживается совпаденіе логариѳма съ показателемъ, такъ и даются приложенія основанія системы логариѳмовъ, какъ числа, имѣющаго логариѳмомъ единицу съ какимъ

угодно числомъ слѣдующихъ за нею нулей и представляемаго, по предложенію Непера, числомъ 10 или при log 1=0. Для вычисленія логариѳмовъ этой системы Неперъ даетъ три метода. Первый пользуется извлеченіемъ корней. Если 1 = log 10, то 0,2 = log (у/1Ö); 0,04 = log (у^/іО) и т. д. до повторенія извлеченія корня 5-й степени 1Ö разъ. Остановиться на этомъ числѣ Непера заставили, повидимому, все возрастающія сложность и продолжительность вычисленій.

Второй методъ ограничивается извлеченіемъ только однихъ квадратныхъ корней. Пользуясь имъ, Неперъ слѣдующимъ образомъ подходитъ къ опредѣленію логариѳма, наприм., числа 5 при log 10=1

Какъ показываютъ эти вычисленія, Неперъ не продолжалъ извлеченіе квадратнаго корня далѣе опредѣленія 11 знаковъ послѣ запятой.

Третій методъ пользуется возвышеніемъ въ степень. Чтобы съ его помощью найти, наприм., log 2 при log 10=1 Неперъ возвышаетъ число 2 въ 1000000000-ю степень, результатомъ чего является, по его опредѣленію, число состоящее изъ 301029997 цифръ. Если это число обозначить черезъ а, то изъ равенства

21000000000 — а

получится

1000000000 log 2 = loga= 301029996,

откуда

log 2 = 0,301029996.

Невѣдомою для Непера или, лучше сказать, лежащею ниже порога сознанія цѣлью всѣхъ этихъ вычисленій, какъ опредѣляющихъ логариѳмы системы, разсматриваемой въ Прибавленіи“, было завершеніе развитія ученія о логариѳмахъ въ его первоначальномъ направленіи. Окончательное осуществленіе этой цѣли или, точнѣе, приведеніе въ исполненіе предначертаній Непера, изложенныхъ въ томъ же „Прибавленіи”, взялъ на себя Бриггъ еще при жизни своего вдохновителя. Онъ вычислилъ единолично и въ 1617 году издалъ свою Logarithmorum Chilias prima, содержащую обыкновенные или по его имени бригговы ло-

гариѳмы съ 8 десятичными знаками чиселъ отъ 1 до 1000. Слѣдующимъ его трудомъ по тому же предмету была вышедшая въ свѣтъ въ 1624 году Arithmetica logarithmica1), содержащая обыкновенные или бригговы логариѳмы уже съ 14 десятичными знаками для чиселъ отъ 1 до 20000 и отъ 90000 до 100000 съ присоединеніемъ также и нѣкоторыхъ отдѣльныхъ чиселъ изъ слѣдующей тысячи.

Чтобы доставить своимъ таблицамъ большую полноту, Бриггъ вычислилъ съ 10 десятичными знаками еще логариѳмическо-тригонометрическія таблицы, ко времени его смерти бытія уже почти оконченными. Находящеюся въ связи съ основаніемъ 10-й системы обыкновенныхъ логариѳмовъ особенностью этихъ таблицъ являлась замѣна употреблявшихся въ теченіе тысячелѣтій 60-ричныхъ подраздѣленій углового градуса, т.-е. минутъ и секундъ, десятичными.

(Окончаніе въ слѣд. №).

Этюды по Геометріи.

М. Пистракъ. (Москва).

I

Въ плоскости дана окружность радіусъ которой равенъ единицѣ. Всякой точкѣ плоскости (полюсу) можно относительно £2 отнести опредѣленную прямую (поляру) и обратно. Построеніе прямой, отвѣчающей данной точкѣ, или, какъ мы будемъ говорить, „взаимной данной точкѣ“, производится слѣдующимъ образомъ:

а) Точка (.4, чер. 1) лежитъ внѣ £2. Проводимъ изъ А касательныя AM и AN къ £2, il IN есть искомая прямая

б) Точка (В,чер. 1) лежитъ внутри £2. Проводимъ хорды KBL, SBT; черезъ К и L проводимъ касательныя къ £2 до встрѣчи ихъ въ точкѣ Р; черезъ и до встрѣчи въ Q\ PQ есть искомая прямая Ь.

с) Точка (С) лежитъ на £2. Искомая прямая есть касательная къ £2 въ этой точки — с.

Нетрудно видѣть отсюда, какъ по даннымъ прямымъ найти взаимныя имъ точки.

Для послѣдующаго сдѣлаемъ два замѣчанія.

1) Точкѣ О — центру £2 — отвѣчаетъ безконечно-удаленная прямая и обратно; назовемъ поэтому О „особенной точкой“. Всякой прямой, проходящей черезъ особенную точку (діаметру отвѣчаетъ безконечно-удаленная точка.

Черт. 1.

1) London.

2) Прямая, соединяющая О съ данной точкой ОС), перпендикулярна взаимной ей прямой (а, , с) и обратно. Безконечно-удаленная точка, взаимная данному діаметру лежитъ на лучѣ, перпендикулярномъ этому діаметру.

II.

Даны двѣ прямыя а и b и взаимныя имъ точки А и В. Мы знаемъ, что ОА]_а, ОВ\Ъ. Слѣдовательно /_АОВ или равенъ /_{а, Ь), или дополняетъ его до

Если О лежитъ внѣ дДа, Ь), то

/_(а, Ь), = /_АОВ-

если же О лежитъ внутри Ь), то

На основаніи вышесказаннаго вводимъ понятіе „угла между двумя точками“, опредѣляя его слѣдующимъ образомъ:

Угломъ между двумя точками и называемъ уголъ, подъ которымъ разстояніе AB видно изъ особенной точки, или съ нимъ смежный.

Нетрудно въ каждомъ случаѣ опредѣлить, какой именно уголъ принять за уголъ между двумя точками, (см. чер. 2— углы между и и и С).

Отсюда заключаемъ:

1. Двѣ точки будутъ „параллельны“, если онѣ лежатъ на прямой, проходящей черезъ особенную точку.

2. Уголъ между двумя точками будетъ прямой (т.-е. двѣ точки „ортогональны“ другъ другу), если разстояніе между ними видно изъ особенной точки подъ прямымъ угломъ.

3. Бисекторіальной точкой угла между двумя точками А и В будетъ пересѣченіе Р бисектора угла АОВ съ AB.

Черт. 2.

III.

Пусть (чер. 3) дана точка А и взаимна ей прямая а. Соединимъ О съ А и найдемъ А' — пересѣченіе О А съ а. Изъ А проводимъ А Р— касательную къ ß. Изъ ДИОР находимъ:

но 0Р= 1, слѣдовательно

Возьмемъ отрѣзокъ AB (чер. 3). Точкамъ и отвѣчаютъ прямыя а и Ь. Опустимъ перпендикуляры О А' и OB' на а и & и соединимъ А' и В' между собой. Разсмотримъ Д АОВ. Имѣемъ

(2)

изъ Д А'ОВ' имѣемъ

(3)

но по (1)

слѣдовательно изъ (3)

или по (2)

(4)

Равенство (4) можемъ принять какъ опредѣленіе новаго понятія. Именно, понятію „разстояніе между двумя точками А и В11 отвѣчаетъ взаимное понятіе „разстоянія между двумя прямыми а и которое на основаніи (4) можно опредѣлить такъ:

Разстояніемъ между двумя прямыми а и Ъ будемъ называть разстояніе (А'В') между основаніями перпендикуляровъ ( OB') изъ особенной точки (О) на прямыя а и і, дѣленное на произведеніе {ОА'. OB') этихъ перпендикуляровъ.

Будемъ впредь разстояніе между и обозначать черезъ (а, by.

Черт. 3.

Когда одна изъ прямыхъ а, Ь есть безконечно-удаленная прямая, т.-е. когда одна изъ точекъ А, (напр. В) совпадаетъ съ особенной точкой О, то по (1)

(со, а) = О А = -L

Раздѣлимъ теперь отрѣзокъ AB пополамъ въ точкѣ М и построимъ прямую т, взаимную (чер. 3).

Извѣстно, что къ точкамъ А, М, В четвертой гармонической точкой будетъ безконечно удаленная точка прямой AB. Четыре луча, опирающіеся на точки А, и оэ будутъ 4-мя гармоническими лучами. Такимъ образомъ О А, OM, OB, и ОК ( || AB) будутъ 4-мя гармоническими лучами. Но ОА\_а, , ОВ\Ь и OK\_OS (чер. 3), слѣдовательно и прямыя

а, т, OS, Ъ

образуютъ 4 гармоническихъ луча. И мы можемъ сказать:

Прямая ( т), „дѣлящая разстояніе между двумя прямыми (а и Ь) пополамъ", есть 4-ый гармоническій лучъ къ тремъ прямымъ: къ двумъ даннымъ (а и Ь) и прямой, соединяющей ихъ пересѣченіе ( S)съ особенной точкой (О).

IV.

Установленныя въ раздѣлахъ II и IIІ понятія даютъ возможность толковать каждую метрическую теорему плоской геометріи двояко; т.-е. къ каждой метрической теоремѣ можно найти ей взаимную, въ доказательствѣ уже не нуждающуюся. Достаточно только найти элементы, взаимные входящимъ въ составъ данной теоремы. Особенностью всѣхъ взаимныхъ теоремъ будетъ то, что онѣ будутъ опредѣленнымъ образомъ связаны съ нѣкоторой „особенной“ точкой плоскости, отъ выбора которой иногда будетъ зависѣть и формулировка взаимной теоремы. Такимъ образомъ данной теоремѣ будетъ отвѣчать иногда не одна, а нѣсколько взаимныхъ теоремъ.

Замѣтимъ также, что нѣтъ необходимости строить въ каждомъ случаѣ окружность Û. Достаточно только выбрать „особенную“ точку.

Найдемъ нѣсколько теоремъ, взаимныхъ теоремамъ о треугольникѣ. Замѣтимъ предварительно, что треугольнику всегда взаименъ треугольникъ же, если только „особенная“ точка не лежитъ на сторонѣ треугольника или ея продолженіи, ибо въ этомъ случаѣ концы этой стороны (см. разд. II) отвѣчаютъ двумъ параллельнымъ сторонамъ взаимнаго образа, который будетъ незамкнутъ (т.-е. одна изъ вершинъ взаимнаго треугольника—въ безконечности).

Теорема 1. Высоты треугольника пересѣкаются въ одной точкѣ.

Для полученія взаимной теоремы возьмемъ Д (чер. 4) и выберемъ гдѣ-нибудь не на сторонѣ особенную точку О.

Подъ высотой треугольника къ сторонѣ а мы понимаемъ прямую, проходящую черезъ А и перпендикулярную къ Взаимнымъ понятіемъ будетъ тючка ортогональная къ А и лежащая на а. Для полученія ея соединимъ (чер. 4). съ и проводимъ 0А'\ ОА до пересѣченія въ А' съ а. А' есть искомая ортогональная точка. Такимъ же образомъ находимъ точки В' и С". Отсюда

Взаимная теорема 1. Три ортогональныхъ точки треугольника лежатъ на одной прямой.

Теорема 2. Три бисектриссы треугольника пересѣкаются въ одной точкѣ.

Взаимная теорема 2. Три бисекторіальныя точки треугольника лежатъ на одной прямой.

Смыслъ этой теоремы ясенъ изъ чер. 5.

Проводимъ изъ О лучи ОА, OB, ОС и бисектриссы образовавшихся угловъ ОА', OB', ОС до ихъ пересѣченія съ а, Ъ, с въ А', В', С.

Тогда А', В', С—бисекторіальныя точки треугольника— лежатъ на одной прямой и.

Теорема 3. Три медіаны треугольника пересѣкаются въ одной точкѣ.

Найдемъ вааимные элементы (чер. 6).

Черт. 4.

Черт. 5.

Точка, дѣлящая сторону ВС — а пополамъ.

Прямая, соединяющая эту точку съ противоположной а вершиной (медіана). Отсюда

Четвертый гармоническій лучъ (АА1) къ ОА, Ъ, с (разд. III).

Пересѣченіе этого луча (АА1 съ противоположной А стороной а (точка А').

Взаимная теорема 3. Если изъ какой-нибудь точки О (не лежащей ни на одной сторонѣ треугольника) провести къ вершинамъ треугольника АВС лучи OB, ОС и къ каждымъ изъ

трехъ прямыхъ

ОА, Ь, с; OB, а, ; ОС, а, Ь построить 4-ые гармоническіе лучи

АА', ВВСС,

то точки А',В', С пересѣченія этихъ лучей съ сторонами а, Ъ, с лежатъ на одной прямой {и, чер. 6).

Теорема 4. Перпендикуляры, возставленные изъ срединъ трехъ сторонъ треугольника пересѣкаются въ одной точкѣ.

Взаимная теорема 4 будетъ означать слѣдующее (чер. 6). Перпендикуляры черезъ О къ OB, ОС встрѣчаютъ соотвѣтственно прямыя АА', ВВ', СС въ трехъ точкахъ, лежащихъ на одной прямой.

Читатель легко убѣдится въ этомъ замѣной взаимныхъ элементовъ.

У.

Проведемъ изъ центра О окружности £2 другую окружность Я —радіуса В. Окружности Я будетъ взаимна окружность Я' радіуса р) концентрическая съ Я. Дѣйствительно, всякой точкѣ окружности Я будетъ отвѣчать прямая на разстояніи •=, отъ О.

Огибающая такихъ прямыхъ будетъ очевидно окружностью Я'.

Поэтому, если мы будемъ искать свойства окружности, взаимныя извѣстнымъ свойствамъ окружности же, то за особенную точку должно принимать центръ окружности.

Найдемъ нѣкоторыя изъ нихъ.

Теорема 5. Вписанные углы, опирающіеся на одну и ту же хорду, равны между собой и равны углу между этой хордой и касательной къ окружности въ концѣ хорды (чер. 7).

Черт. 6.

Черт. 7.

Найдемъ взаимные элементы (чер. 7 и 8).

Постоянная хорда г съ концами Р и Q.

Точки окружности .

Хорды SP, SQ;S'P, S'Q,

Уголъ между SP и S'P и S'Q.

Касательная т въ Р (или Q). Уголъ между г и

Постоянная точка пересѣченія двухъ касательныхъ и

Касательныя окружности s, s'. Точки пересѣченія прямыхъ ( ),

(s, q): (s', p), (s',

Уголъ, подъ которымъ изъ О видны отрѣзки касательныхъ s, s’ между р и <[ (уголъ между точками (S, p), (s, q) II Т. д.).

Точка М касанія на р (или q). Уголъ между It и М.

Отсюда.

Взаимная теорема 5. Отрѣзокъ касательной къ окружности (s, s') между двумя постоянными касательными (p, ) виденъ изъ центра окружности подъ постояннымъ угломъ, равнымъ углу, подъ которымъ изъ центра виденъ отрѣзокъ постоянной касательной (р или q) отъ точки касанія (3/) до пересѣченія (В) постоянныхъ касательныхъ (р и q).

Теорема 6. Вписанный уголъ, опирающійся на діаметръ,— прямой.

Эта теорема есть частный случай предыдущей, когда хорда г проходитъ черезъ центръ О. Взаимная ей точка R будетъ тогда безконечно-удаленной точкой, т.-е. постоянныя касательныя будутъ параллельны. Отсюда:

Взаимная теорема 6. Отрѣзокъ касательной между двумя параллельными касательными къ окружности виденъ изъ центра подъ прямымъ угломъ (чер. 9).

Теорема 7. Произведеніе отрѣзковъ хордъ, проходящихъ черезъ данную точку внутри окружности, есть величина постоян-

Черт. 8. Черт. 9.

ная, равная квадрату полухорды, дѣлящейся данной точкой пополамъ (чер. 10: SM. SN = Const =

Черт. 10. Черт. 11.

Ищемъ взаимные элементы (чер. 10 и 11).

Точка S внутри окружности. Прямая Je черезъ S. Пересѣченіе съ окружностью въ Ми Разстоянія SM

Хорда AB черезъ S, перпендикулярная 0S] точки А и В.

Разстояніе Л'Л, (SB).

Равенство

Прямая s внѣ окружности. Точка К на s.

Касательныя ти изъ К къ окружности.

Выраженія 5-|Äj7;; д^д,:

но 0М1 = 0Nl — г — рад. окружности, слѣдовательно

Точка <S\ на перпендикулярѣ къ s въ пересѣченіи съ s; касательныя изъ Sx— а и Ъ.

Разстояніе

Равенство

По сокращеніи:

Но мы знаемъ что, Іл.SXN\ = SXAX

слѣдовательно SxN1 = SlN'(6)

Нетрудно видѣть отсюда, что точки и симметрично

расположены относительно 08г. Замѣтимъ также, что точки 8 и S\взаимно-обратны (по принципу инверсіи).

Теперь уже нетрудно формулировать взаимную теорему, что мы сдѣлаемъ ниже, соединивъ ее съ теоремой взаимной нижеслѣдующей:

Теорема 8. Произведеніе сѣкущей изъ данной точки на ея внѣшнюю часть постоянно и равно квадрату касательной къ окружности изъ этой точки.

Взаимные элементы (чер. 10 и 12).

Черт. 12.

Точка Р внѣ окружности и сѣкущая I черезъ нее.

Точки Qи Rсѣченія I съ окружностію.

Касательная t изъ Р и точка касанія Т на ней.

Разстоянія PQ,

Прямая р (сѣчетъ окружность) и точка L на ней.

Касательныя q и изъ L къ окружности.

Точка Тг сѣченія р съ окружностью и касательная tt черезъ нее.

Разстоянія (р, q), (р, г), g

Теорема гласитъ (чер. 10)

PQ. PH = Const = РТ2

Взаимная теорема будетъ формулирована такъ:

Pj Q1. Р1Р1 = Const PjPi2 (чер. 12) (7)

но Рх Q\ . Р,Л, = Px7\3, слѣдовательно

PlQl = PlQ\ (8)

Отсюда легко заключить, что Çx и Q\ симметрично расположены относительно ОРѵ Точки Рх и Р\ (чер. 12) взаимно-обратны. Обѣ теоремы можно слѣдовательно формулировать такъ: Взаимная теорема 7, 8. Если черезъ какую-нибудь точку (чер. 11 и 12, точки S\ и Р\) провести сѣкущую окружности и точки сѣченія (Ми Хх и Qlt Äx) соединить съ точкой (Sx, Рх) взаимно-обратной данной, то произведеніе полученныхъ отрѣзковъ будетъ величиной постоянной, равной квадрату касательной (SXAX) изъ точки взаимно-обратной къ данной, если данная точка внутри окружности, или квадрату полухорды (РХТХ) дѣлящейся взаимно-обратной точкой пополамъ, если данная точка взята внѣ окружности.

YI.

Въ разд. Y мы разсматривали случай, когда окружности Я взаимна окружность Я', что имѣетъ мѣсто, когда особенная точка взята въ центрѣ окружности Я. Тогда Я, Я' и £2 концентричны.

Но въ общемъ случаѣ, когда особенная точка не совпадаетъ съ центромъ данной окружности, ей взаимно коническое сѣченіе.

Для доказательства зтого возьмемъ окружность съ центромъ Ох и основную окружность О, съ центромъ О, не совпадающимъ съ Ох (чер. 13). Всякой точкѣ отвѣчаетъ опредѣленная прямая; совокупность всѣхъ этихъ прямыхъ будетъ огибать нѣкоторую кривую Ч3. Всякой касательной гр будетъ взаимна опредѣленная точка; совокупность ихъ будетъ лежать на той же кривой Ч>.

Поищемъ основныя свойства кривой Т, для чего будемъ исходить изъ двухъ основныхъ свойствъ окружности.

1. Окружность есть геометрическое мѣсто точекъ, равноудаленныхъ отъ центра.

2. Касательная къ окружности перпендикулярна къ радіусу, проходящему черезъ точку касанія.

Найдемъ взаимные элементы (чер. 13):

Черт. 13.

Точка А на гр Центръ Ох

Касательная а къ V Прямая ох

Разстояніе

Свойство V, взаимное первому, будетъ выражаться такъ

(9)

Для второго свойства—взаимные элементы (чер. 13):

Касательная черезъ къ у>.

Прямая ОхА — Ь, проходящая черезъ Ог—центръ р (радіусъ).

У словіе перпендикулярности прямыхъ и Ь.

Точка Ах кривой Т на касательной а къ ней.

Точка пересѣченія касательной а съ въ В. Перпендикулярность точекъ и

Свойство ÎP, взаимное второму свойству окружности, будетъ слѣдующее: отрѣзокъ касательной къ Ч* (ДгБ) между точкой касанія (Ах) и „опредѣляющей" прямой (оД— виденъ изъ особенной точки (центра Q—О) подъ прямымъ угломъ.

Покажемъ, что эти свойства Ут— основныя свойства коническихъ сѣченій.

Обозначимъ (чер. 13) разстояніе между центрами £і и гр— ООх =р; р—величина постоянная.

Замѣтимъ далѣе, что

Отношеніе - = Const.Это условіе для взаимной кривой 'Р можно выразить по (9) такъ

(10)

Соединимъ теперь О съ точкой Ах кривой (на касательной а) и опустимъ перпендикуляръ AXR на ох (чер. 13). Черезъ Аи В, В л О можно провести окружность, такъ какъ углы при R и О прямые (у В — по построенію; у —по второму основному свойству Ф). Черезъ точки О, А', В, можно также провести окружность, такъ какъ углы при А' и О' прямые. По свойству вписанныхъ угловъ

(11)

Вслѣдствіе перпендикулярности сторонъ

отсюда по (11)

£А і0В — /_А'00<(12)

Слѣдовательно изъ (11) и (12) треугольники ОА1В, и О А’О’ подобны, т.-е. (по 10)

0Ay — разстояніе особенной точки до точкй кривой АуЕ — разстояніе точки кривой до опредѣленной прямой. Такъ что кривыя ¥, взаимныя окружности, суть геометрическія мѣста точекъ (Ht), отношеніе разстояній которыхъ отъ опредѣленной точки—фокуса (О) и постоянной прямой—директриссы (о,) есть величина постоянная.

Это есть основное свойство коническихъ сѣченій.

Нетрудно видѣть, когда данной окружности отвѣчаетъ эллипсъ, парабола или гипербола.

Окружность хр можетъ находиться относительно особенной точки О (центра Q) въ трехъ положеніяхъ.

1. Либо О находится внутри гр\ тогда и ('<1,

т.-е. взаимная кривая есть эллипсъ (чер. 13).

Бъ этомъ случаѣ черезъ особенную точку нельзя провести ни одной касательной къ гр, и взаимно эллипсъ ¥ не имѣетъ ни одной безконечно-удаленной точки.

2. Либо О находится на тогда оо1=р = ѵ, и - = 1,

т.-е. взаимная кривая ¥ есть парабола (чер. 14). Въ этомъ случаѣ черезъ особенную точку проходитъ одна касательная къ гр, точка касанія которой совпадаетъ съ О. Взаимно—парабола ¥ имѣетъ одну безконечно-удаленную точку и безконечноудаленную касательную въ ней.

3. Или же О находится внѣ тогда ^>1,

т.-е. взаимная кривая ¥ есть гипербола (чер. 15). Въ этомъ случаѣ черезъ О проходятъ двѣ касательныхъ къ гр, но О не совпадаетъ ни съ одной изъ точекъ касанія. Взаимно—гипербола ¥ имѣетъ двѣ безконечно-удаленныхъ точки, касательныя къ которымъ проходятъ въ конечной части плоскости (асимптоты). Безконечно-удаленныхъ касательныхъ гипербола не имѣетъ.

Черт. 14. Черт. 15.

Вышеизложенное можно формулировать такъ:

Окружности взаимно коническое сѣченіе съ фокусомъ въ особенной точкѣ. Центру окружности взаимно отвѣчаетъ директрисса коническаго сѣченія. Если особенная точка внутри данной окружности, то коническое сѣченіе есть эллипсъ; если она на окружности — парабола; если внѣ окружности — гипербола. Основныя свойства окружности, какъ геометрическаго мѣста точекъ и огибающей, имѣютъ взаимными слѣдующія: 1) Коническія сѣченія суть геометрическія мѣста точекъ, отношеніе разстояній которыхъ отъ фокуса и директриссы постоянно; 2) отрѣзокъ касательной коническаго сѣченія между точкой касанія и директриссой виденъ изъ фокуса подъ прямымъ угломъ.

VII.

На основаніи вышеизложеннаго можно построить полную теорію кривыхъ второго порядка, исходя изъ свойствъ окружности. Не задаваясь этимъ вопросомъ во всей полнотѣ, мы въ нашихъ этюдахъ выведемъ только нѣсколько свойствъ коническихъ сѣченій. взаимныхъ извѣстнымъ свойствамъ окружности.

Теорема 9. Всѣ вписанные въ окружность углы, опирающіеся на постоянную хорду, равны между собой.

Взаимные элементы:

Постоянная хорда а\ концы ея J/j и N.

Вершина К вписаннаго угла на окружности.

Прямыя KM, и q.

Постоянная точка А внѣ коническаго сѣченія. Касательная изъ нея ти п.

Касательная 1с къ коническому сѣченію.

Точки сѣченія — (к, п)— Q.

Взаимная теорема 9. Отрѣзокъ касательной къ коническому сѣченію между двумя постоянными касательными виденъ изъ фокуса подъ постояннымъ угломъ.

Если хорда окружности есть діаметръ, то вписанный уголъ будетъ прямой.

Взаимно — діаметру отвѣчаетъ точка директриссы. Отсюда Взаимная теорема 10. Отрѣзокъ касательной къ коническому сѣченію между касательными изъ какой-нибудь точки директриссы виденъ изъ фокуса подъ прямымъ угломъ.

Въ частномъ случаѣ—для эллипса и гиперболы, когда .точка директриссы въ безконечности, т.-е. когда касательныя параллельны директриссѣ, получимъ теорему:

Взаимная теорема 11. Отрѣзокъ касательной къ эллипсу или гиперболѣ между касательными, параллельными директриссѣ, виденъ изъ фокуса подъ прямымъ угломъ.

Для параболы теорема видоизмѣнится. Одна изъ касательныхъ, параллельныхъ директриссѣ,—(чер. 14), проходитъ черезъ вершину параболы; вторая—безконечно-удаленная прямая. Отрѣзокъ касательной а между этими касательными однимъ концомъ М доходитъ до т,вторымъ до безконечно-удаленной пря-

мой. Искомый уголъ МО А, гдѣ О А || Уголъ МО А прямой и равенъ углу при М.Отсюда:

Взаимная теорема 12. Прямой уголъ съ вершиной на постоянной прямой (т)и одной стороной, проходящей черезъ постоянную точку (фокусъ О), огибаетъ второй стороной параболу.

Теорема 13. Произведеніе отрѣзковъ хордъ — чер. 10) окружности, проходящихъ черезъ постоянную точку (.S') внутри ея, есть величина постоянная.

Помѣстимъ особенную течку въ S, тогда окружности будетъ взаименъ эллипсъ. Точки М и N лежатъ на прямой, проходящей черезъ особенную точку, такъ что взаимныя имъ касательныя эллипса т и (чер. 16) будутъ параллельны другъ другу (см. раздѣлъ II). Разстояніямъ SM и SX отвѣчаютъ (чер. 16) обратныя разстоянія отъ фокуса до параллельныхъ касательныхъ. Опустимъ изъ второго фокуса F2 перпендикуляръ F2M2 на т\ нетрудно видѣть, что

FxN1 = F2M2\

тогда взаимная теорема будетъ выражаться:

'Fjî^F\Nx = Fjl\7 = Const’

т.-е.

FlMl. F2M2 Const. (14)

Отсюда

Взаимная теорема 13. Произведеніе разстояній отъ фокусовъ эллипса до какой, нибудь касательной — величина постоянная.

Эта величина равна квадрату малой полуоси, что легко замѣтить, если касательную т. провести параллельно Fѵ 1%.

Теорема 14. Произведеніе сѣкущей изъ внѣшней точки къ окружности на ея внѣшнюю часть постоянно.

Если въ этой точкѣ помѣстить особенную точку, то окружности будетъ взаимна гипербола. Взаимными элементами будутъ тѣ же, что и въ предыдущемъ случаѣ. Отсюда (чер. 15) взаимная теорема

ОМ .ON = Const.

Но OX—О Л,(чер. 151 т.-е.

Черт. 16.

При опредѣленномъ положеніи касательныхъ и п онѣ сольются съ асимптотой, которая вслѣдствіе симметріи будетъ одинаково удалена отъ фокусовъ, а потому (чер. 15).

ОМ.ОМ=ОК\(16)

Отсюда

Взаимная теорема 14. Произведеніе растояній отъ фокусовъ гиперболы до какой-нибудь касательной постоянно и равно квадрату разстоянія отъ фокуса до асимптоты.

VIII.

Первый опытъ распространенія принципа двойственности на метрическія теоремы сдѣлалъ проф. Д. Д. Мордухай-Болтовской*), которому принадлежитъ установленіе понятій „угла между двумя точками“ и „разстоянія между двумя прямыми“.

Я въ своихъ этюдахъ ограничился только элементарной разработкой вопроса и приложеніемъ къ немногимъ теоремамъ элементарной геометріи.

Полагаю однако, что область приложенія такимъ образомъ расширеннаго принципа двойственности значительно больше. Не безполезенъ будетъ, вѣроятно, этотъ методъ въ примѣненіи къ задачамъ геометріи построенія.

Задачи.

Подъ редакціей Э. Ю. Лейнѣка.

290. Найти 4 цѣлыхъ положительныхъ числа, обладающихъ тѣмъ свойствомъ, что при сложеніи ихъ по три въ суммѣ получаются квадраты четырехъ послѣдовательныхъ цѣлыхъ чиселъ.

Ч.

291. Въ данномъ треугольникѣ провести извѣстнаго направленія трансверсаль XFZ( Х-на на продолженіи ВС) такъ, чтобъ разность площадей треугольниковъ AXYnCZV имѣла данную величину.

И. Александровъ.

292. Рѣшить въ цѣлыхъ числахъ уравненіе

В. Городковъ.

293. Показать, что если sn (2a-\-ß) = 2sn ß, то

-f- ß)= 3 tga.

*) Взаимныя метрическія теоремы. Протоколы Варшавскаго Общества Естествоиспытателей за 1911 годъ.

294. Рѣшить уравненіе:

295. Двѣ окружности пересѣкаются въ точкахъ и въ точкѣ М проведены къ обѣимъ окружностямъ касательныя,, пересѣкающія ихъ въ точкахъ Р и Q, и эти точки соединены съ точкой У. Доказать, что МУ2 — УР. и что ZJPN = 2 /ѴМО.

Рѣшенія задачъ.

224. Построить треугольникъ АВС, зная АС, высоту BD и биссектрису BE.

Пусть треугольникъ АВС искомый. Возставимъ въ точкѣ В къ биссектрисѣ BE перпендикуляръ и продолжимъ его до пересѣченія съ продолженіемъ основанія АС въ точкѣ F. Какъ извѣстно, BF служитъ биссектрисой внѣшняго при точкѣ В угла нашего треугольника. Такъ какъ BE и BD даны, то треугольникъ BED можетъ быть непосредственно построенъ, а слѣдовательно будетъ построенъ и треугольникъ BEF. Замѣчая, что точки А,С и Е, F образуютъ двѣ сопряженныя пары гармоническихъ точекъ, мы заключаемъ, что задача приведена къ построенію двухъ точекъ А и С, разстояніе между которыми дано, дѣлящихъ гармонически разстояніе между извѣстными точками. Зто построеніе указано у Ю. Петерсена*).

2-е рѣшеніе. Переложимъ треугольникъ АВС такъ, чтобы А и С помѣнялись мѣстами и вершина В осталась бы по ту же сторону отъ АС, какъ и раньше. Обозначимъ новое положеніе вершины В черезъ Вѵ проведемъ прямую BBL и построимъ точку, симметричную съ точкою С (первоначальною) относительно упомянутой прямой.

Обозначимъ эту точку В2 и соединимъ ее съ точкою Ясно, что треугольникъ АВ2С можетъ быть построенъ, такъ какъ въ немъ извѣстны стороны АС и Разсмотримъ теперь параллелограммъ Въ немъ уголъ при точкѣ А равенъ разности угловъ и 67, а такъ какъ по извѣстной теоремѣ уголъ между биссектрисой и высотой треугольника равенъ полуразности двухъ другихъ угловъ, то заключаемъ, что уголъ въ параллелограммѣ при точкѣ А равенъ удвоенному углу DBE, который намъ извѣстенъ. Такъ какъ уголъ

*) Методы и теоріи для рѣшенія геометрическихъ задачъ на построеніе. М. 1692. № 307.

при точкѣ В въ разсматриваемомъ параллелограммѣ дополняетъ уголъ при точкѣ А до л, то и уголъ можемъ считать извѣстнымъ.

Отсюда слѣдуетъ построеніе.

По даннымъ отрѣзкамъ АС и 2 строимъ треугольникъ ЛСВ2 и на сторонѣ АВ2 описываемъ дугу, вмѣщающую уголъ л — 2< DBE. Точка пересѣченія этой дуги съ прямою возставленною къ В2С изъ его середины и будетъ искомою вершиною

При BE >j BD задача всегда возможна и имѣетъ одно рѣшеніе.

К. Верещагинъ (Козловъ), В. Кованько (с. Тейково), А. Сердобинскій (Харьковъ).

226. Даны двѣ параллели и на нихъ по точкѣ и Въ данномъ направленіи провести между параллелями отрѣзокъ ХГ такъ, чтобы <£А XB = 2<£AYB.

Отрѣзокъ XY будемъ строить такъ, чтобы точки Ï и і были расположены на одной параллели, а и па другой. Ясно, что задачу этимъ мы не съузимъ. Положимъ, что задача рѣшена и пусть X и Г искомыя точки. Соединимъ X съ В и проведемъ черезъ Y прямую YD II ХВ,которую продолжимъ до пересѣченія въ точкѣ К съ прямою, проведенною въ данномъ направленіи черезъ точку В. Наконецъ, проведемъ черезъ А въ данномъ направленіи прямую АС, соединимъ С съ К, а также А съ В. Разсмотримъ фигуру YXBK. Такъ какъ по построенію YK || ХВ и ХГ || то заключаемъ, что разсматриваемая фигура параллелограммъ, а потому XY=KB; далѣе изъ построенія слѣдуетъ, что X Г"= АС, откуда выводимъ, что АС=КВ и такъ какъ оба эти отрѣзка проведены въ данномъ направленіи, то АС\\КВ. Итакъ, фигура АСКВ тоже параллелограммъ, который легко можетъ быть построенъ; обративъ вниманіе на соотношеніе

< АХВ = 2 < А Y В и < = < YB

заключаемъ, что < В Y В = 2 < А , т.-е. А Y— биссектриса угла BY В.

Это послѣднее замѣчаніе даетъ возможность заключить, что точка А отстоитъ на равныхъ разстояніяхъ отъ YB и Y В. Отсюда слѣдуетъ построеніе.

Соединяемъ А съ В и проводимъ черезъ А прямую АС въ данномъ направленіи и строимъ параллелограммъ Затѣмъ изъ точки А описываемъ окружность, касательную къ СВ п проводимъ изъ точки К къ полученной окружности касательную КВ. Точка пересѣченія Г этой касательной съ данною прямою СВ и будетъ одна изъ искомыхъ точекъ. Проведя черезъ нее въ данномъ направленіи прямую, получимъ вторую искомую точку.

Нетрудно убѣдиться, что вторая касательная дастъ двѣ точки Гг и Хг такихъ, что углы и А 1\В будутъ связаны зависимостью

АХ1В + л = 2

К. Верещагинъ (Козловъ), В. Буханцевъ (Курскъ).

229. Найти зависимость, существующую между коэффиціентами уравненія

а0хА -(- ахх3 -|- а2хг агх -f- О,

если извѣстно, что корни его связаны соотношеніемъ

*і + х2 — хз +

Дѣля обѣ части на а0^0 и полагая

Ъ- = ЬІ, і= 1, 2, 3, 4, получимъ:

Тогда, какъ извѣстно изъ теоріи уравненій,

Дѣля (3) на (1), получимъ

внося это выраженіе въ (2), имѣемъ:

4 ЬХЬ2 = 8Ь3-ф- Ъ3 откуда, возвращаясь къ прежнимъ обозначеніямъ, получимъ:

4 а0аіа2= аі3 4" 8 а02а3.

Замѣтимъ, что полученное выраженіе вовсе не содержитъ «4.

К. Верещагинъ (Козловъ), В. Кованько (с. Тейково).

230. Рѣшить уравненіе

Воспользуемся формулою

Полагая

будемъ имѣть:

Такъ какъ выраженія х* — х2 — 6х и Зх2 — 3 одновременно въ нуль не обращаются, то заключаемъ, что ур-іе (1) равносильно уравненію

X4— X1 — 6

или

х(х — 2){х2 -f- 2-(- 3) = 0.

Отсюда имѣемъ два дѣйствительныхъ корня 0;2 и два комплексныхъ— 1 dzi \/2

К. Верещагинъ (Козловъ), Б. Кобылинъ (Галичъ), В. Кованько (с. Тейково), А. Сердобинскій (Харьковъ), И. Токарева (Петроградъ),

231. Доказать, что при простомъ р выраженіе

дѣлится на р.

По теоремѣ Вильсона имѣемъ:

Далѣе, имѣемъ:

Перемножая эти сравненія почленно и внося въ формулу (1) имѣемъ:

умножая обѣ части сравненія на ^ — 1 J 2 получаемъ окончательно

К. Верещагинъ (Козловъ), С. Слугиновъ (Казань), И. Токарева (Петроградъ).

232. Доказать, что при а-f- Ъ-f- с = 1

На основаніи извѣстнаго соотношенія

пишемъ неравенства

Складывая почленно неравенства (1) получимъ, принявъ во вниманіе, что а -f- Ь4- с = 1

Прибавляя къ обѣимъ частямъ

представимъ полученное неравенство въ видѣ:

Тѣмъ болѣе

откуда

В. Буханцевъ (Курскъ), К. Верещагинъ (Козловъ), В. Кованько (с. Тейково).

Засѣданія Московскаго Математическаго Кружка.

Въ засѣданіи 17 марта 1916 г. L И, Чистяковъ сдѣлалъ сообщеніе ,,0 теоремѣ Безу“, въ которомъ предложилъ доказательство этой теоремы, основанное на дѣлимости разности одинаковыхъ степеней двухъ количествъ на разность первыхъ степеней тѣхъ же количествъ. (Докладъ помѣщенъ въ № 35 „Матем. Образ.“)

А. Н. Шапошниковъ сдѣлалъ сообщеніе „О взаимоотношеніи высшей и элементарной математики въ курсѣ средней школы, причемъ на примѣрахъ пока-

залъ, какъ, по его мнѣнію слѣдуетъ знакомить учащихся средней школы съ основными идеями анализа.

И. В. Краснопѣвцевъ сдѣлалъ докладъ „О распространенномъ въ учебникахъ изложеніи статьи о прогрессіяхъ“, причемъ предложилъ обычно даваемыя въ теоріи прогрессій формулы, выражающія любой членъ прогрессіи чрезъ 1-й и сумму членовъ, начиная съ 1-го, замѣнить болѣе общими, выражающими любой членъ прогрессіи чрезъ любой другой членъ и сумму группы членовъ начиная съ к-го и кончая п-мъ.

Въ засѣданіи 21 апрѣля 1916 г. В. В. Добровольскій сдѣлалъ докладъ „О сліяніи различныхъ отдѣловъ математики въ одинъ учебный предметъ“. Докладчикъ указалъ на преимущества такъ наз. „фузіонистическаго“ преподаванія математики въ средней школѣ и предложилъ программу такого преподаванія (напечатано въ № 38 „Матем. Образованія“).

А. К. Власовъ доложилъ о работахъ комиссіи при О-вѣ изученія и распространенія физическихъ наукъ, образованной изъ представителей различныхъ педагогическихъ организацій Москвы для выработки общихъ основъ реформы средней школы. Въ комиссіи приняты слѣдующія положенія: а) школа должна быть единой, безъ биффуркаціи; в) обязательныя программы должны быть невелики но объему и такъ составлены чтобы остающееся свободное время могло быть использовано для факультативныхъ занятій учениковъ; с) школа должна быть самодовлѣющей; д) желательно, чтобы средняя школа была связана съ высшей и низшей начальной школой.

А. К. Власовъ прочелъ докладъ Комиссіи, избранной Московскимъ Математическимъ Кружкомъ для разсмотрѣнія проекта программъ по математикѣ, выработаннаго Комиссіей при Министерствѣ Народнаго Просвѣщенія. (Докладъ напечатанъ въ № 36 „Матем. Образованія“).

Въ засѣданіи 29 сентября 1916 г. I. И. Чистяковъ сдѣлалъ сообщеніе о тѣхъ затрудненіяхъ, съ которыми въ настоящее время сопряжено изданіе журнала „Математическое Образованіе“ въ связи съ вздорожаніемъ бумаги и непомѣрнымъ увеличеніемъ цѣнъ на типографскія работы. Собраніе, обсудивъ положеніе дѣла, постановило: 1) не прекращать изданія журнала, 2) не повышать по возможности подписной платы, сокративъ нѣсколько объемъ номеровъ, 3) возбудить предъ Г. Министромъ Народнаго Просвѣщенія ходатайство о субсидіи Кружку на изданіе журнала.

Предсѣдатель Б. К. Млодзѣевскій сообщилъ объ отказѣ Ѳ. В. Гусева отъ должности казначея редакціи „Математическаго Образованія“. I. И. Чистяковъ по этому поводу въ небольшой рѣчи выяснилъ важную ролъ, которую игралъ О. В. Гусевъ въ изданіи журнала Кружка и отмѣтилъ громадную работу, которую онъ при этомъ несъ. Постановлено просить правленіе Кружка передать Ѳ. В. Гусеву глубокую благодарность Кружка за его цѣнную и полезную работу.

Предсѣдатель Б. К. Млодзѣевскій доложилъ письмо, полученное отъ Директора департамента Министерства Народнаго Просвѣщенія, въ которомъ сообщается что г. Министръ Народнаго Просвѣщенія, ознакомившись изъ доклада, прочитаннаго въ засѣданіи Кружка 25 января 1916 г. съ тѣмъ, какъ внимательно отнесся Кружокъ къ вопросу о преобразованіи средней школы и къ программамъ математики, изданнымъ Министерствомъ, выразилъ желаніе, чтобы Московскій Математическій Кружокъ составилъ свой проектъ программъ по математикѣ. По обсужденію этого предложенія г. Министра собраніе признало желательнымъ довести до свѣдѣнія Министерства, что Кружокъ не отказывается отъ работы по выработкѣ программъ, но что такая работа не можетъ быть исполнена въ короткій срокъ; при этомъ Кружокъ полагаетъ, что онъ можетъ доставить Министерству лишь матеріалы; окончательный же проектъ программъ можетъ быть выработанъ собраніемъ, болѣе авторитетнымъ, чѣмъ Московскій Математическій Кружокъ.

А. К. Власовъ сдѣлалъ сообщеніе „Объ одномъ видѣ числовыхъ тождествъ“. По поводу этого доклада Б. К. Млодзѣевскій сообщилъ, что аналогичные вопросы разсматриваются въ присланной въ редакцію „Математическаго Образованія“ статьѣ Н. А. Агрономова. См. № 39 „М. О.“).

Въ засѣданіи Кружка 20 октября 1916 г, О. В. Гусевъ сдѣлалъ сообщеніе „Объ элементарномъ вычисленіи числа г.“ (докладъ напечатанъ въ № 39 „Математическаго Образованія“).

А. А. Волковъ сдѣлалъ сообщеніе „О законахъ сложенія и аксіомахъ порядка“. Докладчикъ указалъ, что аксіомъ порядка оказывается достаточно для опредѣленія понятія суммы отрѣзковъ, далѣе имъ было показано, что такъ наз. теорема Моора даетъ законъ сочетательный для сложенія и законъ монотонности, но для установленія закона перемѣстительности является необходимымъ установленія аксіомъ равенства.

Въ засѣданіи 10 ноября 1916 г. Предсѣдателемъ было доложено письмо г. Министра Народнаго Просвѣщенія отъ 28 октября съ предложеніемъ Кружку избрать делегатовъ въ комиссію, созываемую Министерствомъ подъ предсѣдательствомъ ген. - лейт. 3. А. Макшеева для разсмотрѣнія заявленій, сдѣланныхъ различными педагогическими организаціями относительно программъ по математикѣ, составленныхъ Особымъ совѣщаніемъ при Мин. Нар. Просвѣщенія въ 1915 г. По обсужденіи этого предложенія, постановлено было его принять и избрать двухъ делегатовъ; избранными оказались А. А. Волковъ и Н. А. Извольскій.

Н. А. Шапошниковъ прочиталъ часть своего доклада „Нужна - ли высшая математика въ средней школѣ?“ (1-я половина).

Въ засѣданіи 25 ноября 1916 г. А. И. Шапошниковъ прочиталъ 2-ю половину своего вышеупомянутаго доклада. В. В. Добровольскій прочелъ сообщеніе: ..Къ вопросу о цѣли преподаванія математики въ средней школѣ“.

Въ засѣданіи 13 декабря 1916 г. I. И. Чистяковъ прочелъ сообщеніе: „Къ статьѣ объ опредѣленіи длины окружности и площади круга“ (будетъ напечатано въ „Математическомъ Образованіи“).

Педагогическая бесѣда была посвящена вопросу о значеніи графикъ въ курсѣ средней школы. Вступленіе въ бесѣду сдѣлалъ Н. А. Извольскій; онъ же познакомилъ собраніе съ ходомъ работъ въ комиссіи по разработки учебныхъ плановъ и программъ по математикѣ, работающей подъ предсѣдательствомъ ген. - лейт. 3. А. Макшеева.

Новыя книги.

А. І. Бачинскій. Физика для среднихъ учебныхъ заведеній. Вып. 2-й. (Ученіе о звукѣ и о свѣтѣ). Изд. Т-ва И. Д. Сытина. М. 1917. Ц. 1 р. 25 к.

В. В. Добровольскій. Краткія свѣдѣнія по математикѣ и собраніе задачъ для учениковъ ремесленныхъ и техническихъ училищъ. В. 2-й. М. 1917. Ц. 1 р.

А. Воронецъ. Таблицы логариѳмовъ и справочникъ формулъ и вспомогательныхъ таблицъ по курсу элементарной математики. Изд. Т-ва И. Д. Сытина. М. 1917. Ц. 1 р. 50 к.

С. Богомоловъ. Общія основанія Ньютонова метода первыхъ и послѣднихъ отношеній. Казань. 1916.

Русскій астрономическій календарь - ежегодникъ на 1917 г. Нижегородскаго Кружка любителей физики п астрономіи. Н.-Н. 1917. Ц. 1 р.

В. И. Лебедевъ. Очерки но исторіи точныхъ наукъ. Вып. III. Какъ постепенно обобщалось понятіе о числѣ? М. 1917. Ц. 1 р.

Проф. Н. А. Умовъ. Собраніе сочиненій (подъ ред. и съ примѣч. А. I. Бачинскаго). T. III. Рѣчи и статьи общаго содержанія. Съ портр., факсимиле Н. А. Умова и мн. иллюстр. М. 1916. Ц. 5 р.

А. Бемъ, А. Волковъ, Р. Струве. Сокращенный сборникъ упражненій и задачъ по элементарному курсу алгебры. Изд. Т-ва И. Д. Сытина. М. 1917. Ц. 1 р. 25 к.

Д. Галанинъ. М. В. Ломоносовъ, какъ міровой геній русской культуры. М. 1916. Ц. 80 к.

Отвѣтственный редакторъ I. Чистяковъ.

Типографія „Русскаго Товарищества печатнаго и издательскаго дѣла". Москва, Чистые пруды, Мыльниковъ пер., с. д. Тел. 18-35.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНІЕ.

ЖУРНАЛЪ

Московскаго Математическаго Кружка.

ГОДЪ ПЯТЫЙ

1916

МОСКВА.

Типографія Русскаго Товарищества Печатнаго и Издательскаго дѣла. Чистые пруды, Мыльниковъ пер., соб . домъ

ОГЛАВЛЕНІЕ.

Статьи и замѣтки.

Стр.

Рѣшеніе одной задачи неопредѣленнаго анализа. Б. Млодзѣевскій .... 1

Замѣтки о признакахъ дѣлимости чиселъ на 9 и на 11. С. Слугиновъ . . 3

Къ геометріи треугольника. И. Рабиновичъ........................... 5

О великой теоремѣ Фермата. Р. Bachmann, пер. И. Рабиновича. 10, 77,133,194

Проектъ программы по математикѣ для общеобразователой средней школы. К. Лебединцевъ................................. ....................19, 167

Проектъ новыхъ программъ преподаванія математики въ средней школѣ, составленный Комиссіей при Министерствѣ Народнаго Просвѣщенія. А. Волковъ................................................................24

Объ одной формулѣ четыреугольника. В. Шлыгинъ......................41

П. Ѳ. Никульцевъ. А. Костицынъ и Г. Лобовиковъ.....................53

Одно изъ доказательствъ теоремы Безу. I. Чистяковъ.................56

Къ методикѣ вычитанія цѣлыхъ чиселъ. Н. Оглоблинъ....................58

О нормальной программѣ курса математики въ восьмиклассныхъ коммерческихъ училищахъ. С. Виноградовъ....................................... 59

Преподаваніе космографіи по планамъ Комиссіи при Министерствѣ Нар. Просвѣщенія. Б. Базилевскій..........................................70

Понятіе о безконечно-маломъ и его приложенія въ математикѣ Дж. Виванти, пер. Е. Борткевичъ.................................. 85, 206, 240, 290

Докладъ Комиссіи, избранной Московскимъ Математическимъ Кружкомъ для разсмотрѣнія программъ по математикѣ, выработанныхъ Комиссіей при Мин. Нар. ІІросв.........................................................101

По поводу новаго проекта программъ математики въ средней школѣ. Н. Извольскій ......................................................... 110

Объяснительная записка къ программѣ аналитической геометріи въ Матеріалахъ по реформѣ средней школы Мин. Нар. Просвѣщ. А. Власовъ . 117

Программа но алгебрѣ. А. Волковъ....................................120

Программа по геометріи. А. Волковъ..................................123

Докладъ А. С. Алферовой и М. Ѳ. Берга по поводу программы ариѳметики. 126

Докладъ М. Ѳ. Берга но поводу программы тригонометріи ....... 127

По поводу новыхъ программъ основаній аналитической геометріи и анализа. А. Поляковъ.....................................................128

Вопросъ о преподаваніи космографіи въ трудахъ 1-го Всероссійскаго Съѣзда преподавателей физики, химіи и космографіи. Б. Базилевскій . . . .142

Современная математика и древній мистицизмъ, Б. Бренфордъ, пер. A. Кулишеръ............................................................ 155

Исторія ученія о логариѳмахъ. В. Бобынинъ............. 172, 197, 264, 293

Аналогія между методами рѣшеній ариѳметическихъ и конструктивныхъ задачъ. И. Александровъ................................................ 181

Сліяніе различныхъ отдѣловъ математики въ одинъ учебный предметъ. B. Добровольскій........................................................199

Теорія раціональныхъ приближеніи. В. Оглоблинъ......................209

О нѣкоторыхъ свойствахъ параболы и параболоидовъ. А. Масловъ . . . 217

По поводу статьи проф. Млодзѣевскаго: „Рѣшеніе одной задачи неопредѣленнаго анализа“. Н. Агрономовъ..........................................229

Стр.

Объ одной задачѣ неопредѣленнаго анализа. II. Агрономовъ............231

О вычисленіи числа л. в. Гусевъ............................... . 234

Опредѣленіе дуги кривой. II. Долгушинъ..............................247

Изъ прошлаго 5-ой книги Началъ Эвклида. Д. Мордухай-Болтовской. 255, 277

Задачи.

№№ 242—249 ................................................. 41

250—259 ................................................. 89

260-267 ................................................ 178

268—278 ................................................ 220

279—289 ................................................272

290—295 ................................................ 317

Рѣшенія задачъ.

№№ 178, 194, 203, 205, 207, 208 .......................... 42

199, 206, 209, 210, 211, 213—217 ....................... 90

218—220 ................................................. 178

202, 204, 221 ..................................... 222

222, 223 ............................................... 274

224, 226, 229, 230, 231, 232 ......................... 318

Библіографическій отдѣлъ.

Задачникъ но сельскому хозяйству. Сост. По Дилю С. П. Глазенапъ. А. Бачинскій................................................ 131

Новыя книги................................. 51, 132, 228, 276, 322

Жизнь и дѣятельность ученыхъ обществъ и кружковъ.

Засѣданія Московскаго Математическаго Кружка........... 99, 320

Физико-математическая секція пасхальнаго съѣзда 1916 г. бывшихъ слушателей Педагогическаго Института имени П. Г. Шелапутина......227