№ 39.

Математическое Образованіе.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка.

Годъ пятый.

№ 7.

Ноябрь 1916 г.

МОСКВА.

Журналъ Московскаго Математмческаго Кружка

„Математическое Образованіе"

Ноябрь 1916 г. Годъ 5-й. № 7

Содержаніе. По поводу статьи проф. Млодзѣевскаго. Н. Агрономовъ.—Объ одной задачѣ неопредѣленнаго анализа. Н. Агрономовъ.—О вычисленіи числа т-У. Гусевъ. — Понятіе о безконечно маломъ Дж. Виванти, пер. Борткевичъ.— Опредѣленіе дуги кривой. П. Долгушинъ.—Изъ прошлаго 5-й книги началъ Эвклида. Пр. Д. Мордухай-Болтовской.—Исторія ученія о логариѳмахъ. В. Бобынинъ.—Задачи. —Рѣшенія задачи.—Новыя книги.

По поводу статьи проф. Млодзѣевскаго: „Рѣшеніе одной задачи неопредѣленнаго анализа“.

(Мат. Обр. 1916, 1—2)

Н. Агрономовъ (Ревель).

Извѣстно, что рѣшеніями уравненія

Ѵ + іс23 + - ■•+х\+1=у1і+у2і+. .. + y2m+l (1)

являются числа

(2)

гдѣ а,,..., —произвольныя цѣлыя числа (Математическій Листокъ, 1915, № 2).

Предположимъ, что требуется рѣшить систему

Такъ какъ числа (2) удовлетворяютъ первому изъ уравненій системы, то остается подчинить ихъ условію, чтобы онѣ удовлетворяли и второму уравненію системы (3). Этого мы достигнемъ, положивъ

Отсюда мы получаемъ

ai + \— ••• — bm = s (5)

Поэтому если въ формулахъ (2) опредѣляется формулой (5) и всѣ а и b попрежнему остаются произвольными, то мы получаемъ рѣшеніе системы (3).

2. Для случая, указаннаго проф. Б. Млодзѣевскимъ, мы имѣемъ формулы

3. Пользуясь методомъ § 1, мы можемъ рѣшить и такую систему

гдѣ 2 любая сумма составляемая изъ всѣхъ или части х2... хп, уи у2,... ут, а S сумма или всѣхъ, или части х, у, невошедшихъ въ 2.

Примѣръ. Рѣшить систему

Для опредѣленія имѣемъ

Отсюда

Если полученное s подставимъ въ формулы (2), то получимъ рѣшеніе системы (8) въ цѣлыхъ числахъ. Полученіе же положительныхъ рѣшеній какъ здѣсь, такъ и вездѣ подчинено еще и другимъ условіямъ.

4. Исключеніе параметровъ ал, ... а,„ Ьг,... Ьт изъ формулы (2) даетъ намъ возможность рѣшать и болѣе сложныя системы.

Примѣръ. Рѣшить систему

Послѣднее (п 1) уравненіе даетъ намъ

Т. о. рѣшеніе системы (12) суть

Объ одной задачѣ неопредѣленнаго анализа.

Н. Агрономовъ (Ревель).

Проф. Б. Млодзѣевскій въ своей статьѣ „Рѣшеніе одной задачи неопредѣленнаго анализа“ (Мат. Обр. 1916, 1—2) далъ рѣшеніе слѣдующей системы уравненій

Въ настоящей замѣткѣ я хочу коснуться одной задачи, находящейся въ близкой связи съ задачей, рѣшенной проф. Б. Млодзѣевскимъ, и попутно указать, что система

при «>2 и являющаяся такимъ образомъ болѣе общей, чѣмъ система проф. Б. Млодзѣевскаго рѣшается формулами

гдѣ а и а произвольныя цѣлыя числа. Доказательство этой теоремы изложено въ одной изъ моихъ статей, имѣющихъ, какъ я надѣюсь, появиться въ одномъ изъ спеціальныхъ изданій.

1. Пусть а, Ъ, с, d, s, X, у, произвольныя цѣлыя числа. Вычислимъ слѣдующія выраженія

Первое изъ нихъ равно

второе

Такъ какъ первое выраженіе отъ а, Ь, с, d не зависитъ, а второе есть симметрическая функція а, Ъ, с, , то ясно, что любая перестановка а, Ь, с, d не мѣняетъ значеній (1), (2). Такимъ образомъ мы получаемъ 24 группы изъ 8 чиселъ, для которыхъ сумма первыхъ и вторыхъ степеней сохраняетъ одно и то же значеніе, другими словами получаемъ рѣшеніе въ цѣлыхъ числахъ системы

2. Къ особенно замѣчательнымъ результатамъ мы придемъ, если положимъ а —1, 6 — 2, с = 3, 4, s — 9, 8, a именно къ системѣ тождествъ

справедливую для п 1 и 2. (Mathesis 1909, 205 — 206).

3. Такъ какъ тождество (3) остается справедливымъ, что нетрудно показать, когда ко всѣмъ х прибавлено одно и тоже число т, то сдѣлавъ это съ системой тождествъ § 2 мы получимъ слѣдующую теорему.

Теорема. 32 послѣдовательныхъ числа натуральнаго ряда можно 6-юспособами разбить на 4 группы по 8 чиселъ въ каждой такъ, чтобы суммы первыхъ и вторыхъ степеней чиселъ каждой группы были бы между собой равны.

О вычисленіи числа π.

Ѳ. Гусевъ. (Москва.)

1. Почти во всѣхъ нашихъ учебникахъ геометріи для вычисленія л излагается способъ послѣдовательнаго вычисленія периметровъ правильныхъ вписанныхъ и описанныхъ многоугольниковъ, выводится формула „удвоенія“ и указывается путь вычисленія числа л, но самого вычисленія нѣтъ. Такимъ образомъ у учащихся не создается яснаго представленія о данномъ вопросѣ. Въ настоящей замѣткѣ, я имѣю въ виду показать, что вычисленіе л можетъ быть выполнено и учащимися съ большою степенью точности.

Способъ послѣдовательнаго вычисленія периметровъ съ формулой „удвоенія“ можетъ-быть и имѣетъ свои достоинства въ педагогическомъ отношеніи, но для вычисленія л нужно предпочесть, такъ-называемый, способъ изопериметровъ, формулы котораго удобнѣе для вычисленія л и кромѣ того изящнѣе и проще для запоминанія. Этотъ послѣдній способъ, не встрѣчающійся въ нашей учебной литературѣ, упоминается въ западно-европейскихъ руководствахъ по геометріи, въ частности французскихъ (Курсы Sonnet, Vacquant’a, Hadaniard’a и др.).

2. Способъ изопериметровъ состоитъ въ слѣдующемъ. Вообразимъ правильный »-угольникъ съ даннымъ периметромъ, напримѣръ, равнымъ Р. Впишемъ въ этотъ многоугольникъ и опишемъ около него окружности, радіусы которыхъ обозначимъ черезъ гп и RH. Пусть число сторонъ этого многоугольника удвоилось, а величина периметра осталась та же самая. Снова впишемъ и опишемъ окружности, радіусы которыхъ обозначимъ — г2и и 1!.гп и т. д. Эти радіусы выражаются слѣдующими формулами:

(1)

(2)

Доказательство. Пусть АС сторона правильнаго я-ка (Черт. 1), О — его центръ, ОА = Вп, ОВ = гн радіусы описанной и вписанной окружностей. Продолжимъ ВО и отложимъ Соединивъ точки А и Dполучимъ равнобедренный треугольникъ OAD, соединивъ С съ 1)получимъ равнобедренный треугольникъ COD. Опустимъ перпендикуляры изъ О на AD и на СВ. Основанія AD и CD равнобедренныхъ треугольниковъ раздѣлятся пополамъ AX=ND = CM=MD.

Проведемъ прямую MX, она:

1) раздѣлитъ BD пополамъ (ВК—KD)

2) будетъ параллельна AC (MX || АС)

3) будетъ перпендикулярна BD (MX J_ BD) и

4) будетъ равна половинѣ AC

Уголъ BDC^'lz угла ВОС.

Слѣдовательно линію MN мы можемъ разсматривать какъ сторону правильнаго многоугольника, имѣющаго тотъ же периметръ, но число сторонъ котораго удвоилось, стало равняться 2». MD будетъ радіусомъ описанной окружности, а КВ — радіусомъ вписанной окружности.

Изъ чертежа видно, что

Такъ какъ треугольникъ OMD прямоугольный и изъ вершины прямого угла М опущенъ перпендикуляръ на гипотенузу,

то

Итакъ г2п есть среднее ариѳметическое между и а В.ы есть среднее геометрическое между

Ч. Т. Д.

Черт. 1.

3. Такимъ образомъ вычисленіе радіусовъ вписаннаго и описаннаго круговъ сводится къ процессу поочереднаго вычисленія средняго ариѳметическаго и средняго геометрическаго изъ двухъ предшествующихъ чиселъ.

При достаточно большомъ п правильный многоугольникъ можно принять за окружность, а зная периметръ этой окружности, напр., равный Р и вычисливъ приближенно радіусъ ея, найдемъ и приближенное значеніе ж, ибо я= ^.

Пусть периметръ многоугольника Р = 2, тогда

Если за первоначальный многоугольникъ возьмемъ квадратъ, то

Далѣе, примѣняя поочередно формулы (1 и 2), будемъ имѣть, ограничиваясь милліонными долями:

4. Однако вести вычисленіе по указанному способу дѣлается утомительно при возрастаніи числа сторонъ правильнаго многоугольника. Но эту работу можно значительно сократить. Проведемъ биссектрису MS угла ОМК, (Черт. 1) тогда

Слѣдовательно и потому

Такъ какъ Затѣмъ

МК катетъ, ОМ гипотенуза, MS биссектриса, а потому

Такимъ образомъ перемѣнная величина 212„ -f- какъ видно изъ неравенства, при удвоеніи п убываетъ и, слѣдовательно, каждое ея значеніе больше ея предѣла, т.-е.

гдѣ г — радіусъ изопериметрическаго круга, и отсюда

(3)

Принимая во вниманіе формулу (1) : /•*„+ , = 2г2„, формулу (3) можно преобразовать въ слѣдующую:

(3')

5. Если полагать, что л извѣстно, то можно ограничиться формулой (3) верхней границей числа

Но можно указать и нижнюю границу для

Лемма. Если острый уголъ прямоугольнаго треугольника прямыми раздѣлить на четыре равныя части и прямыя продолжить до встрѣчи съ противоположнымъ катетомъ, то вторая.

отъ вершины прямого угла, часть катета между этими прямыми, будетъ менѣе -і- всего катета.

Доказательство. Пусть (черт. 2) уголъ 90°, острый уголъ О раздѣленъ на 4 равныя части. Нужно доказать, что СВ < ( ЕА). У получившихся четырехъ треугольниковъ вершина общая, поэтому ихъ площади относятся, какъ ихъ основанія; слѣдовательно сравненіе отрѣзковъ— основаній треугольниковъ, можемъ замѣнить сравненіемъ площадей этихъ треугольниковъ. Треугольникъ О AB повернемъ около стороны OB, тогда точка А упадетъ въ N, и BN будетъ перпендикулярна ON; продолжимъ BN до пересѣченія съ 01) въ точкѣ М. Такъ какъ BN перпендикулярна биссектрисѣ ОС, то треугольникъ ВОС— д COM. Сравнивая треугольники ВМС и CNB, находимъ, что у перваго высота и основаніе больше, слѣдовательно и его площадь больше. Отсюда слѣдуетъ, что площадь

Черт. 2.

Но

поэтому

Откуда, на основаніи вышесказаннаго,

ч. т. д.

На чертежѣ 3, представляющемъ собою увеличенный треугольникъ ОМК чертежа 1-го, точкѣ О соотвѣтствуетъ конечная точка радіуса Вп, точкѣ F (OK = KF)— радіуса точкѣ K — радіуса г2„ и точкѣ S—радіуса Віп.

Продолжимъ процессъ удвоенія числа сторонъ многоугольника. Раздѣлимъ SK пополамъ точкой Н, тогда ей будетъ соотвѣтствовать конечная точка радіуса г4п. Въ точкѣ Н возстановимъ перпендикуляръ къ SK и продолжимъ его до пересѣченія

съ SM въ точкѣ Т. Проведемъ биссектрису TY угла ST точкѣ Y будетъ соотвѣтствовать конечная точка радіуса 1іАп. ТН и МК, какъ перпендикулярныя къ одной и той же прямой, между собою параллельны. Поэтому треугольникъ STH подобенъ треугольнику SMK. Но SH — НК, слѣдовательно и ST—TM.

Въ треугольникѣ SMK проводимъ биссектрису МР.

Тогда Д STY~ Д SMP.

Такъ какъ ST =ТМ,то и SY=YP.

Изъ вышесказанной леммы имѣемъ:

отсюда, по аналогіи съ § 4, получаемъ нижнюю границу для — .

Именно, сначала изъ предыдущаго нет равенства имѣемъ:

гдѣ г радіусъ изопериметрическаго круга, и, слѣдовательно

Черт. 3.

(4)

Изъ формулъ 3 и 4 имѣемъ границы для числа

(5)

Примѣнимъ теперь формулу (5) для приближеннаго вычисленія л, остановивъ точное вычисленіе гп и Яп при =32.

Чтобы получить два десятичныхъ знака, достаточно взять восьмиугольникъ.

Гюйгенсъ1) для вычисленія я приводитъ теоремы:

Теорема VI. Всякій кругъ меньше двухъ третей описаннаго около него равносторонняго многоугольника, увеличенныхъ на одну треть площади подобнаго ему вписаннаго многоугольника.

Теорема IX. Окружность всякаго круга меньше, чѣмъ двѣ трети периметра равносторонняго вписаннаго многоугольника, увеличенныя на одну треть периметра подобнаго ему описаннаго многоугольника и др.

Эти теоремы по своему содержанію совпадаютъ съ формулой 3.

А. К. Власовъ въ своей статьѣ „Квадратура круга и циркулятура квадрата“ (Математ. Образ. 1912 г. № 1, 7), разсматривая задачи вычисленія периметровъ и площадей правильныхъ вписанныхъ и описанныхъ многоугольниковъ и радіусовъ круговъ изопериметрическихъ правильныхъ многоугольниковъ въ цѣляхъ упрощенія приближеннаго вычисленія я, замѣняетъ вычисленіе средняго геометрическаго и средняго гармоническаго среднимъ ариѳметическимъ. Сокращая безконечный процессъ вычисленія среднихъ ариѳметическихъ, онъ приходитъ къ той же формулѣ 3-й. При замѣнѣ процесса точнаго вычисленія методомъ среднихъ ариѳметическихъ, онъ даетъ и методы оцѣнки погрѣшностей, такъ что имѣется возможность указать, сколько точныхъ цифръ для я можно получить при данномъ значеніи ».

Въ настоящей статьѣ я хотѣлъ показать, что границы для я, дающія ту же степень точности, какъ и теоремы Гюйгенса, можно получить и изъ иныхъ соображеній, и указать на ихъ важное значеніе для элементарнаго и простого вычисленія л.

Въ заключеніе я не могу не выразить глубокой благодарности проф. А. К. Власову за его крайне сочувственное отношеніе къ данной работѣ. Въ бесѣдахъ съ нимъ я встрѣтилъ и живѣйшій интересъ къ тѣмъ мыслямъ, которыми направлялась эта работа и желаніе придать имъ наиболѣе стройную форму. Такъ, онъ указалъ тотъ очень простой способъ перехода къ предѣлу при выводѣ формулъ (3 и 4), который данъ въ этой статьѣ (мой пріемъ былъ сложнѣе) и ему принадлежитъ идея воспользоваться площадями при доказательствѣ леммы (я доказывалъ эту лемму непосредственнымъ сравненіямъ отрѣзковъ).

1) Ф. Рудіо. „О квадратурѣ круга". Изд. Матезисъ. Од. 1911 г.

Понятіе о безконечно-маломъ и его приложенія къ математикѣ.

Дж. Виванти, пер. Е. Борткевичъ.

(Петроградъ.)

(Продолженіе.)

ГЛАВА III.

Уголъ касанія.

Задача, которая въ сущности приводится къ вопросу о существованіи безконечно-малаго актуальнаго и славившаяся большой извѣстностью въ XYI и въ XVII столѣтіяхъ, это—„уголъ касанія“.

Такимъ именемъ обозначается уголъ, образуемый окружностью и касательной къ ней.

Случай къ спору представился, благодаря 16-му предложенію III книги Евклида, утверждающему, что между окружностью и касательной къ ней нельзя провести ни одной прямой и что уголъ, составленный окружностью и касательной, менѣе любого остраго прямолинейнаго угла. Отсюда непосредственно возникаетъ вопросъ: равенъ ли или нѣтъ этотъ уголъ строго нулю?

Первое упоминаніе объ углѣ касанія (anguius contingentiae) находится, поскольку утверждаетъ М. Канторъ, въ трудѣ „De triangulis“ и дано I. Немораріемъ.

Кампано (въ концѣ XIII ст.) пришелъ, благодаря разсматриванію этого угла, къ любопытному утвержденію, что величина, мѣняющаяся непрерывно, можетъ переходить отъ одного значенія, меньшаго даннаго къ большему даннаго, не принимая при этомъ никогда этого значенія. Его разсужденіе состоитъ въ слѣдующемъ: Пусть (фиг. 1) ВО А, BED—два круга, имѣющіе точку касанія внутри, при чемъ радіусъ второго вдвое больше радіуса перваго. Если подвижный радіусъ пробѣгаетъ первую четверть BD большаго круга, и если предположимъ, что утвержденіе невѣрно, то будетъ существовать уголъ, заключенный въ прямомъ, равный В А Е. Въ частности можетъ сдѣлать /_ ВАЕ равнымъ „углу полуокружности“ (уголъ, образуемый окружностью и однимъ діаметромъ) который „самый большой изъ всѣхъ острыхъ угловъ“. Съ другой стороны,

Фиг. 1.

если раздѣлимъ пополамъ дугу El) въ точкѣ F, образуемый острый уголъ В А F будетъ больше^/ ВАЕи слѣдовательно, больше угла полуокружности, что невозможно.

Въ другомъ мѣстѣ Кампано отмѣчаетъ противорѣчіе между 16-мъ предложеніемъ III книги Евклида и І-ымъ X книги; однако замѣчаетъ, что послѣднее предложеніе не примѣнимо къ углу касанія и къ прямолинейному углу, т. к. они не суть величины одного и того же рода.

Приблизительно тремя вѣками позже этотъ вопросъ былъ возобновленъ Карданомъ (1501—1576), который пытался доказать „паралогизмъ“, что можно дойти отъ меньшаго къ большему, не переходя черезъ равное. И въ самомъ дѣлѣ говоритъ онъ, уголъ, образуемый кривой и прямой, имѣющій основаніемъ отрѣзокъ окружности, менѣе прямого, пока этотъ отрѣзокъ не превосходитъ полуокружности, больше прямого, когда этотъ отрѣзокъ превосходитъ полуокружность, но никогда не равенъ прямому. Затѣмъ онъ продолжаетъ; Immo sequitur majus miraculumtt (напротивъ слѣдуетъ большее чудо), что означаетъ возможность существованія двухъ величинъ, очень мало отличныхъ одна отъ другой и притомъ таковыхъ, что, умножая первую на произвольно большое число, никогда не достигнемъ второй. Таковы уголъ касанія и прямолинейный уголъ произвольно малый. Относительно перваго паралогизма Карданъ даетъ рѣшеніе, на которомъ останавливаться не стоитъ; о второмъ онъ говоритъ: Sed secundus eadem ratione dissolvitur, verum multi sunt modi demonstrationum, et longes plures assumptionum“ (второй разрѣшается не по этой причинѣ, но много есть способовъ доказательствъ и очень много предположеній).

Позднѣе Карданъ возвращается къ этому вопросу въ своемъ „opus novum de proportionibus“. Здѣсь, кажется, что онъ спеціально ставитъ себѣ цѣлью найти основаніе, изъ-за котораго уголъ касанія нельзя раздѣлить при помощи прямой; но хорошо это выяснить ему всетаки не удается. И въ самомъ дѣлѣ, послѣ того какъ онъ пытался показать, что прямолинейный уголъ и криволинейный не одного и того же рода, устанавливая, что нельзя построить прямолинейнаго угла равнаго углу, образованному прямой и окружностью, онъ учитъ, какъ построить прямолинейный уголъ, равный углу, образованному двумя равными окружностями; подмѣчаетъ противорѣчіе, уже указанное Кампано и замѣчаетъ, что фактъ недѣлимости угла касанія не можетъ служить доказательствомъ, что онъ менѣе любого прямолинейнаго угла, между тѣмъ какъ, наоборотъ, можно показать, что существуютъ прямолинейные углы, меньшіе угла касанія. Онъ даетъ затѣмъ, правду сказать, довольно неясное объясненіе, почему при помощи прямой нельзя раздѣлить угла касанія, но тутъ же приводитъ два возраженія, на которыя отвѣчаетъ разсужденіями не болѣе убѣдительными, нежели первоначальное.

Почти одновременно съ нимъ Де-фоа-Кандалла (1502—1594) замѣтилъ въ своемъ изданіи Евклида, что уголъ касанія другого рода нежели прямолинейный уголъ и потому не слѣдуетъ удивляться, если первый всегда менѣе второго.

Однако первымъ, кто посмѣлъ выразить ясное мнѣніе объ углѣ касанія былъ Пелльтье (Peletier) (1517—1582). Онъ открыто объявилъ, что этотъ уголъ строго равняется нулю, по его мнѣнію этимъ единственнымъ путемъ достигается согласованіе существованія угла касанія съ 1-мъ предложеніемъ X книги Евклида. Соглашеніе, котораго пытался достигнуть Кампано, не имѣетъ никакого значенія. Нельзя представить себѣ ни наибольшаго, ни наименьшаго значенія между всѣми величинами, т. к. непрерывная величина дѣлима до безконечности. Благодаря тому, что мы считаемъ уголъ касанія равнымъ нулю, теряютъ свое значеніе оба паралогизма Кардана.

Противъ Пелльтье выступилъ Клавій (1537—1612) который объявилъ его заключеніе противорѣчащимъ самому Евклиду. И въ самомъ дѣлѣ, говоритъ онъ, если бы Евклидъ считалъ уголъ касанія равнымъ нулю, то онъ не нашелъ бы нужнымъ доказывать, что онъ меньше любого прямолинейнаго угла. Уголъ касанія—настоящая величина, но не меньшая изъ всѣхъ величинъ, что было бы непостижимымъ, лишь меньшая всякаго прямолинейнаго угла; можно его дѣлить и множить, и даже невѣрно, что всѣ углы касанія равны.

Уголъ касанія, равно какъ и прямолинейный уголъ, хотя бы плоскіе, не одного и того-же рода въ томъ смыслѣ, что первый изъ нихъ, повторенный какое угодно число разъ, никогда не превзойдетъ второго; и потому къ нимъ нельзя примѣнить 1-е предложеніе X книги Евклида.

Послѣ смѣлаго заключенія Пелльтье стало невозможнымъ удовлетвориться успокоительными рѣшеніями Кампано и Кардана, нужно было встать за или противъ того, что уголъ касанія равенъ нулю. Тѣмъ не менѣе вопросъ этотъ вызывалъ удивленіе всѣхъ математиковъ, имѣвшихъ нѣкоторое имя въ эту эпоху.

Спорили съ Пелльтье Командино (1509 —1575), Вьета (1540— 1603), Галилей (1564—1642), Вивіани (1622—1703), Валлисъ (1616—1703), Яковъ Вернули н спустя столѣтіе Карстенъ (1732— 1787), съ Клавіо Гвидо Убальдо дель Монте (1545—1607), Гоббсъ (1588—1679), Лейбницъ, Ньютонъ (1642—1727) и позднѣе Фонтенель.

Командино послѣ 16-го предложенія III книги Евклида предупреждаетъ читателя не вѣрить тому, что такъ, называемый уголъ касанія есть истинный уголъ, т. к. такое мнѣніе приводитъ къ явному абсурду. Затѣмъ онъ доказываетъ слѣдующимъ образомъ, что уголъ касанія равняется нулю. Если раздѣлимъ или согнемъ прямую такъ, что первый и послѣдній отрѣзокъ будутъ перпендикулярны между собой, то сумма внѣшнихъ угловъ будетъ равна прямому. Итакъ, окружность разсматривается, какъ правильный многоугольникъ съ безконечнымъ числомъ сторонъ, и тогда каждый внѣшній уголъ (уголъ касанія)—безконечно-малая часть прямого и потому равенъ нулю, или же она принимается строго за кривую и т. к. уголъ вписаннаго многоугольника съ безконечнымъ числомъ сторонъ равенъ нулю, то тѣмъ паче равенъ нулю уголъ касанія, меньшій его.

Не слѣдуетъ удивляться, что уголъ полуокружности, хотя и прямой, не можетъ совпасть съ прямолинейнымъ прямымъ угломъ, т. к. полуокружность никогда не можетъ совпасть съ прямой.

Віета приводитъ много разсужденій, правду сказать, не одинаковаго значенія, чтобы установить, что такъ-называемый уголъ касанія не есть уголъ. Вотъ одни изъ нихъ:

Окружность—многоугольникъ съ безконечно-большимъ числомъ сторонъ и касательная совпадаетъ съ одной изъ его сторонъ.

Углы суть прямые или косые, но уголъ полуокружности— не косой, слѣдовательно, онъ прямой.

Углы измѣряются окружностью, но ни одна дуга не измѣряетъ угла касанія, слѣдовательно онъ не есть уголъ.

Всѣ углы касанія равны, слѣдовательно они не величины.

Галилей послѣ приведенія разсужденій Віета заключаетъ: „Слѣдовательно такъ-называемый уголъ касанія, ошибочно такъ названный, не есть въ дѣйствительности уголъ и не обладаетъ никакой величиной“. Кромѣ того, онъ замѣчаетъ (фиг. 2), что если имѣемъ прямую DE, касательную къ окружности АС В въ точкѣ С, и другую подвижную прямую ON, проведенную черезъ точку С, то, если представимъ себѣ, что прямая ON вращается надъ точкой С по направленію отъ О къ D, заостряя вышеупомянутые углы и наконецъ переходя въ положеніе GCF такъ, что нижній уголъ NCB станетъ верхнимъ, какъ /_ FCB, не понимаю, какъ это можетъ случиться безъ перехода черезъ исчезновеніе этихъ угловъ, которое можетъ имѣть мѣсто лишь въ томъ случаѣ, когда подвижная прямая не пересѣкаетъ болѣе кривой АСВ, а совпадаетъ съ касательной DE. Слѣдовательно, между дугой и касательной угла въ собственномъ смыслѣ не существуетъ—онъ какъ бы исчезаетъ“.

Вивіани для подтвержденія своихъ мыслей замѣчаетъ между прочимъ, что опредѣленіе угла, данное Евклидомъ, относится съ большой вѣроятностью исключительно къ прямолинейнымъ угламъ и что рѣдкіе намеки на углы, образуемые кривой и прямой, находящіеся въ „элементахъ“ суть, пожалуй, болѣе позднія добавленія.

Фиг. 2.

Валлисъ разсматриваетъ этотъ вопросъ болѣе подробно въ двухъ брошюрахъ, озаглавленныхъ: „De angulo contactus et semicirculi tractatus“ (1656) и „Ejus defensio“ противъ Клавій и Леото (Leotaud) (1685). Возвращаясь опять къ разсужденіямъ своихъ предшественниковъ, онъ замѣчаетъ, что несправедливо говорить, что прямолинейный и криволинейный углы—не однородныя величи-

іш, между тѣмъ, какъ, если BAD, CAE (фиг. 3) двѣ одинаковыхъ полуокружности, прямолинейный уголъ В АС равенъ криволинейному углу DAE. Отъ Якова Бернулли сохранились лишь слѣдующія слова: „Angulus contactus, vel nullus est, vel est compages infinitorum angulorum rectilineorum" (уголъ касанія или равенъ нулю, или представляетъ совокупность безконечнаго числа прямолинейныхъ угловъ).

Карстенъ посвящаетъ одну изъ своихъ статей углу касанія, приводя вновь нѣкоторыя изъ разсужденій, которыя мы уже нашли у Віета и у Валлиса.

Въ числѣ тѣхъ, которые высказывали мнѣніе, противоположное Пелльтье, первымъ по времени былъ Г. У. дель Монте, выразившій, однако, свою мысль попутно, разсматривая одинъ вопросъ по механикѣ. Тарталья (1500—1557) считалъ постулатомъ, что тѣло тѣмъ тяжелѣе, чѣмъ менѣе наклонъ линіи его паденія по отношенію къ отвѣсу. Отсюда слѣдуетъ, что если толстая палка, укрѣпленная по серединѣ и на концахъ которой привѣшены два равныхъ груза, смѣщена съ горизонтальнаго положенія, грузъ болѣе высокій будетъ вѣсить болѣе, нежели низкій, т. к. наклонъ траекторіи второго превышаетъ наклонъ траекторіи перваго въ два раза, и однако палка будетъ стремиться къ принятію вновь горизонтальнаго положенія. Дель Монте же, наоборотъ устанавливаетъ, что желѣзная палка въ равновѣсіи будетъ въ любомъ положеніи. Для этой цѣли онъ замѣчаетъ, что, если бы этого не было, то можно бы было прибавить къ одному изъ грузовъ такой грузъ, который привелъ бы систему въ равновѣсіе, но что тогда центръ тяжести не совпалъ бы съ центромъ привѣса, что нелѣпо. На это, говоритъ онъ, можно возразить, что нельзя назначить груза столь малаго для того, чтобы достичь равновѣсія, считая, что разность тяжести, происходящая вслѣдствіе разнаго положенія двухъ грузовъ по отношенію къ одному изъ нихъ, имѣетъ то же отношеніе, что уголъ касанія къ прямолинейному, т.-е. отношеніе меньшее любого назначеннаго (omnium proportionum minima), но думаетъ избѣжать трудности, показывая, что уголъ касанія не есть меньшій всѣхъ угловъ, но даже можетъ быть раздѣленъ на безконечное число криволинейныхъ угловъ еще меньшихъ.

Гоббсъ, о которомъ будемъ говорить дальше, подвергъ математическіе труды Валлиса строгой и ѣдкой критикѣ въ брошюрѣ, озаглавленной: ^Examinatio et emendatio mathematicae hodiernae qualis explicatur in libris Joh. Wallisii distributa in Sex dialogos“ (Лондонъ 1660). Первая часть 5-го діалога разсматриваетъ уголъ касанія, но доводы, приводимые имъ противъ тезиса Пелльтье мало отличаются отъ тѣхъ, къ которымъ прибѣгаетъ Клавій.

Фиг. 3.

Гоббсъ замѣчаетъ, что разсужденія, изложенныя Валлисомъ, хотя и доказываютъ, что уголъ касанія не есть однородная часть прямолинейнаго угла, но не исключаетъ, что различные углы касанія сравнимы между собой. Онъ называетъ „однородными“ такія количества, измѣреніе которыхъ совпадаетъ между собой, и заключаетъ, что уголъ касанія и прямолинейный уголъ не таковы, потому что второй, а не первый измѣряется дугами круга. Наоборотъ, различные углы касанія всегда однородны между собой; и въ самомъ дѣлѣ, если имѣемъ нѣсколько окружностей (фиг. 4), касательныхъ къ прямой CG въ точкѣ ея С, то за мѣру этихъ различныхъ угловъ касанія, образованныхъ въ этой точкѣ, можно взять отрѣзки CE,CD....., опредѣляемые самими же окружностями и какой-нибудь прямой, проходящей черезъ С— отрѣзки, которые пропорціональны радіусамъ окружности.

Предъ обоими основателями новаго анализа не могъ пройти незамѣченнымъ вопросъ объ углѣ касанія; напротивъ, они должны были видѣть въ немъ интересное и поучительное приложеніе ихъ понятій. И дѣйствительно Ньютонъ, разсматривая кромѣ окружностей всѣ другія кривыя—касательныя къ оси х-овъ въ началѣ координатъ, уравненіе которыхъ вблизи начала координатъ можетъ представиться подъ видомъ у = ахт, гдѣ а> 0, т > 1, показываетъ, что всѣ кривыя для которыхъ т имѣетъ то же самое значеніе, даютъ мѣсто угламъ касанія, сравнимымъ между собой, между тѣмъ какъ это не такъ для кривыхъ, у которыхъ различно; такъ что углы касанія, соотвѣтствующіе извѣстному значенію т, составляютъ классъ величинъ безконечно-большихъ или безконечно-малыхъ по отношенію къ угламъ соотвѣтствующимъ большему или меньшему значенію.

Лейбницъ разсматриваетъ вмѣстѣ съ угломъ касанія уголъ соприкосновенія, т.-е. уголъ, образованный кривой съ ея касательномъ кругомъ, и его мысли по этому поводу сводятся къ слѣдующимъ словамъ: „Ех quo intelligi potest, angulum communem seu duarum rectarum, angulum contractus duorum circulorum, et angulum osculi (primi gradus) quodammodo se habere, ut corpus, superficiem et lineam. Non tantum enim linea est minor quovis superficie, sed et ne quidem pars est superficiei, sed tautummodo minimum sive extremum“. (Изъ этого можно заключить, что есть три рода угловъ: обыкновенный прямолинейный, уголъ касанія двухъ окружностей, и уголъ соприкосновенія (кривой съ окружностью) точно такъ же какъ имѣемъ тѣло, поверхность и линію. Потому что не только линія менѣе какой угодно поверхности, но и не составляетъ никакой части ея, а опа есть минимальная или крайняя).

Фиг. 4.

Въ то время, какъ появилась на свѣтъ Geometria dell’infinito“ (1727) Фонтенеля, споръ объ углѣ касанія могъ считаться утихшимъ; однако въ предисловіи онъ упоминаетъ объ углѣ касанія просто какъ объ одномъ изъ доказательствъ существованія безконечно-большихъ и безконечно-малыхъ величинъ.

Любопытную позицію принимаетъ въ этомъ вопросѣ аббатъ Таке (Tacquet) (1612—1660), который признаетъ неправыми обѣ спорящія стороны и развязываетъ Гордіевъ узелъ, говоря, что уголъ (прямолинейный, равно какъ и криволинейный) не есть величина (quantitas), но родъ величины (modus quantitatis), и что потому къ нему не могутъ быть примѣняемы понятія о равенствѣ и о неравенствѣ.

Ренальдини (1615—1698) аналогично утверягдаетъ, что углы— не величины и что тотъ фактъ, что уголъ полуокружности не больше и не меньше прямого не доказываетъ, что онъ равняется прямому, такъ какъ между этими двумя существами не можетъ быть равенства.

Попятія, недавно введенныя въ математику, позволяютъ дать окончательное сужденіе относительно спора, при которомъ мы присутствовали, и отобрать среди разныхъ изложенныхъ мнѣній ту часть правды, которую они заключаютъ. Справедливо то, что говоритъ Пелльтье, что уголъ касанія несравнимъ съ прямолинейнымъ угломъ, но отсюда, какъ между прочимъ также справедливо замѣчаетъ Гоббсъ, нельзя вывести, что уголъ касанія абсолютно равенъ нулю и что два угла того же рода не сравнимы между собой. Углы касанія окружностей и прямолинейные углы образуютъ вмѣстѣ классъ линейныхъ величинъ, распадающійся на два такіе подкласса, что величины перваго безконечно-малы по отношенію къ величинамъ второго. И если мы затѣмъ разсматриваемъ, какъ это дѣлаетъ Ньютонъ, также углы касанія всѣхъ кривыхъ у = ахт, то получаемъ классъ, образованный изъ безконечнаго числа подклассовъ такихъ, что для величинъ одного и того же подкласса имѣетъ мѣсто постулатъ Архимеда, между тѣмъ какъ это не такъ для величинъ различныхъ подклассовъ. Существованіе классовъ такого характера, хотя и не вызываетъ въ насъ никакого удивленія, должно было казаться страннымъ, даже нелѣпымъ старымъ математикамъ, которые представляли себѣ величины подъ единственнымъ типомъ величины непрерывно мѣняющейся — пространство и время — что составляетъ сущность естественныхъ явленій. И, однако, правильно замѣчаетъ Гоббсъ, что ключъ тайны состоитъ въ томъ, что уголъ касанія и прямолинейный уголъ не могутъ быть измѣрены одной и той же мѣрой. Т.-е., если О А — неподвижный радіусъ, ОМ—подвижный и, если въ точкѣ О имѣется уголъ касанія АОВ въ то время, какъ каждому прямолинейному углу соотвѣтствуетъ дуга AM, которая не есть его мѣра, ни одна дуга не соотвѣтствуетъ углу касанія АОВ; въ непрерывномъ классѣ величинъ (дуги), образованныхъ концомъ подвижнаго радіуса, есть одна соотвѣтствующая прямолинейному углу, но нѣтъ ни одной соотвѣтствующей углу касанія. Величина (уголъ касанія) существуетъ, но мѣра (дуга)

нѣтъ; и ошибка Пелльтье и его послѣдователей состоитъ въ томъ, что они вывели изъ отсутствія мѣры несуществованіе величины.

(Продолженіе въ слѣд. №).

Опредѣленіе длины дуги кривой.

П. Долгушинъ. (Кіевъ.)

Понятіе о длинѣ дуги всякой кривой устанавливается въ элементарной геометріи длиннымъ и окольнымъ путемъ. Цѣль моей статьи дать общій, простой и наглядный пріемъ для опредѣленія двухъ отрѣзковъ прямой, между длинами которыхъ заключается длина дуги кривой, съ заданной напередъ точностью и приложить этотъ пріемъ къ опредѣленію длины полуокружности. На 1 черт. О точка пересѣченія нормалей къ кривой въ концахъ заданной дуги. Беремъ произвольную точку ' на продолженіи О А, проводимъ А'В', касательную къ кривой, и параллельную ей хорду AB, при чемъ В’ точка пересѣченія полупрямой OB съ первой касательной; затѣмъ проводимъ вторую касательную В1 С и параллельную ей хорду ВС, при чемъ точка пересѣченія полупрямой ОС со второй касательной и т. д.; если параллельная послѣдней касательной (изъ точки М) не проходитъ черезъ конецъ дуги точку N, то беремъ хорду MN и про-

Черт. 1.

водимъ параллельную ей APN', при чемъ N' точка пересѣченія этой параллельной съ полупрямой ON\ пусть Р (Р') точка пересѣченія касательной къ кривой въ концѣ ея (въ началѣ ея) съ периферіей внѣшней ломаной А'В'(У... APN'1, буквами р" обозначаемъ соотвѣтственно периметры вписанной ломаной, внѣшней А'В’С... APN' и описанной ЛР'В'С... ; полагаемъ О А = AA' = h'. Такъ какъ О центръ подобія вписанной и внѣшней ломаной, то откуда — = --или р' —р—р Предполагаемъ, что вписанная ломаная выпуклая, иначе данную дугу разбили бы на части и разсуждали относительно каждой части въ отдѣльности; въ такомъ случаѣ периметръ всякой вписанной ломаной меньше взятаго нами р".Видно, что и NP< PN1 с PJ\P -f- APN')*), значитъ, —р<р'— или р" _ р< W, если — ^ 1с.При заданной напередъ точности à, достаточно взять Ш ^ 6 или h1 ^ -г-. Такъ какъ 6 произвольна, то существуетъ только одинъ отрѣзокъ, заключающійся между периметрами вписанныхъ и соотвѣтствующихъ описанныхъ ломаныхъ; длина его и называется длиной дуги взятой кривой. Легко видѣть, что до-

Черт. 2.

*) Не необходимо, чтобы О А и ON были нормалями; достаточно только прослѣдить за тѣмъ, чтобы было р" < р

казательство не пострадаетъ, если вмѣсто касательныхъ къ кривой брать внѣшнія прямыя.

Для полуокружности построеніе упрощается (черт. 2). Отрѣзки двухъ послѣдовательныхъ касательныхъ (отъ точки касанія до точки ихъ пересѣченія) равны; радіусы, проведенные въ точки касанія, перпендикулярны къ касательнымъ, а, слѣдовательно, и къ параллельнымъ имъ хордамъ; эти радіусы дѣлятъ пополамъ хорды, а также и соотвѣтствующія имъ стороны описанной ломаной, поэтому всѣ стороны внѣшней ломаной (кромѣ, можетъ-быть, послѣдней) вдвое больше вышеупомянутыхъ отрѣзковъ касательныхъ, т.-е. равны между собою, какъ и соотвѣтствующія имъ хорды. Для построенія достаточно откладывать послѣдовательно равныя между собою хорды, безъ проведенія касательныхъ. Для опредѣленія вспомнимъ, что периметръ всякой вписанной въ полукружность выпуклой ломаной меньше полупериметра описаннаго около полной окружности квадрата, двѣ стороны котораго касательны въ концахъ полуокружности, слѣдовательно, всякій р < 4г и к — = 4.

Черт 3.

Чтобы опредѣлить р при заданной точности съ большимъ изяществомъ, докажемъ, что Ah'с гдѣ Т—точка пересѣченія полупрямой О А съ касательной, проведенной черезъ (черт. 3).

Положимъ, V— точка пересѣченія касательныхъ въ точкахъ А h В; ОѴ пересѣкаетъ окружность въ точкѣ серединѣ дуги AB.Уголъ TVA измѣряется дугой AB, такъ какъ онъ равенъ центральному углу ВОА. Пусть и суть точки пересѣченія съ ОТ полупрямыхъ, дѣлящихъ TVA на 4 равныя части; _/ Q VA = _/ UA F, такъ какъ мѣра обоихъ угловъ—четверть дуги AB, слѣдовательно, QV || AU и fjg = 1> т-'е-— UV=h'.По свойству наклонныхъ < VQ < VR < VS < VT;

по теоремѣ о биссектриссѣ внутренняго угла въ тр-кѣ гѵ >1 > 1 >значитъ’TS > >Л >. Доказана теорема: -> Если AT (tf) отрѣзокъ, взятый на продолженіи діаметра Л’Л, ограничивающаго полуокружность, касательная къ полуокружности (В — точка касанія), то периметръ вписанной въ полуокружность ломанной, всѣ стороны которой (кромѣ, можетъ-быть, послѣдней) равны AB, отличается отъ периметра соотвѣтствующей описанной ломаной линіи меньше, чѣмъ на AT, другими словами, длина его представляетъ полуокружность съ приростомъ

Черт. 4.

Можно увеличить точность, съ какою длина упоминаемой въ теоремѣ вписанной правильной или почти правильной ломаной выражаетъ полуокружность, замѣнивъ AT меньшимъ отрѣзкомъ АН, проекціей AB на діаметръ АЛ’’, но для этого нужно доказать двѣ теоремы о ломаныхъ и теорему о стрѣлкахъ.

На черт. 4 около дуги А0Е0 описана почти правильная ломаная линія ABODE, при чемъ DE параллельна D0E0, послѣдней замыкающей сторонѣ для соотвѣтствующей вписанной ломаной A0B0C0D0E0. Окружность О (031) пересѣкаетъ описанную ломаную и 0D въ точкахъ 3 T,N,N',P,P',Q,R;какъ извѣстно, NN'\_OB, РР*\_ОС и кромѣ того проведены Очевидно.

что периметръ ломаной M'MNN'PP'QQ'меньше периметра Элементы линіи M'MNN'PP'QQ',расположенные въ другомъ порядкѣ, даютъ ломаную A'B'CfD'KLR, при чемъ А'В' — В'О — =C'D' = MN, D'K—NN', KL = PP', значитъ, периметръ правильной описанной ломаной ABCD больше периметра ломаной A'B'CD'KLRи подавно больше периметра почти правильной A'B'C'D'R.Если возьмемъ почти правильную ломаную ABODE и ломаную A'B'CD'RE',то периметръ послѣдней меньше, такъ какъ по доказанному периметръ A'B'C'D'R меньше периметра ABCD, и п , = < 1, т.-е. RE'-cDE, значитъ, периметръ почти правильной ломаной A'B'C'D'E' навѣрное меньше периметра одноименной ломаной ABCDE; соотношеніе остается и тогда, когда при уменьшеніи сторонъ D'E' сдѣлается равной А'В'] сравнивая съ периметромъ правильной пятисторонней ломаной A'B'C'D'E'периметръ почти правильной шестисторонней ломаной, найдемъ, по доказанному, что периметръ послѣдней еще меньше и т. д. Такимъ образомъ обоснована теорема: -»-при уменьшеніи равныхъ сторонъ почти правильной или правильной внѣшней ломаной линіи периметръ ея уменьшается-«-. Для правильной двухсторонней ломаной, описанной около полуокружности, периметръ равенъ 4 значитъ, для всякой внѣшней почти правильной или правильной ломаной, число сторонъ которой больше 2, периметръ меньше 4г.

Докажемъ теперь, что -»- при уменьшеніи равныхъ сторонъ почти правильной или правильной ломаной линіи, вписанной въ дугу круга, периметръ ея увеличивается-«-. На черт. 5 въ дугу АЕ вписаны двѣ одноименныхъ почти правильныхъ ломаныхъ ABODE и AMNPE.

Раздѣлимъ дугу МВ пополамъ точкой IP и проведемъ М'А' II AB; строимъ B'N' || ВС при равенствѣ w ВВ' и w проводимъ хорду CP' у CD при равенствѣ ^СС и w CN'. Легко видѣть, что А'М' — АМ, какъ стягивающія равныя дуги: w = w AB — (w АА' -|- w ВМ') = w AB — w = w поэтому и B'N'=C'P' — AM. Отложены затѣмъ дуги равныя дугѣ ВМ' и проведены хорды QQ',RR',SS'параллельныя РЕ. Изъ чертежа видно, что ^ PD — w AD — 3 ^ AB — 3 w AM= 3 (w И7І — w AM)— 3 ^ BM— 6 w BAP и w PE - 6 w ВАГ = w PE — PD — w ED, значитъ, хорда равна хордѣ DE.

Затѣмъ EPQ > Q’ QR > R'RS (это видно изъ относительной величины дугъ, на которыя эти вписанные углы опираются), но и

наибольшая изъ этихъ дугъ ^EQc потому что w < <^iß и ^PQ — ^BM';значитъ, каждый изъ упомянутыхъ угловъ меньше а потому проекціи хордъ QR, Q'R', RS,R'S' на РЕ больше проекцій хордъ ВМ', АА', N'C, СС. DP' на соотвѣтствующія хорды AB, ВCD. Изъ этого слѣдуетъ, что сумма послѣднихъ проекцій меньше суммы первыхъ проекцій или 3 (AD — A'M'XPE—SS', т.-е. ?>(AD — АМ)< РЕ — DE, откуда, послѣ прибавленія къ обѣимъ частямъ по 3 -J- DE, получаемъ 3AD + DE < 3 AMРЕ, иначе AB -f- BC-\~ CD-}- DE<AM-f--f- MN -|- NP -f- VE. Итакъ, периметръ правильной трехсторонней ломаной (при _ ED = О) меньше периметра почти правильной четырехсторонней ломаной; периметръ послѣдней при уменьшеніи равныхъ сторонъ возрастаетъ, оставаясь меньше периметра правильной четырехсторонней ломаной; периметръ почти правильной пятисторонней ломаной больше периметра правильной четырехсторонней ломаной и увеличивается при уменьшеніи ея равныхъ сторонъ, однимъ словомъ, доказана приведенная выше теорема о вписанной ломаной.

Возвратимся къ чертежу 2. На немъ U точка касанія А'В' съ окружностью, т. V середина AB, UV=h (стрѣлкѣ). Изъ подобія фигуръ слѣдуетъ откуда.

Черт. 5.

Периметръ трехсторонней ломаной, вписанной въ полуокружность, равенъ 3г, периметръ почти правильной вписанной ломаной, число сторонъ которой не меньше 4, по доказанной теоремѣ больше 3г и меньше периметра любой описанной, напримѣръ, периметра описанной правильной четырехсторонней ломаной. На черт. 6 послѣдній периметръ равенъ 8 но АМ-\-МР — — AM. (l-j-v/2) = OP, откуда SAM = 8 (У 2—1

На черт. 6 UV стрѣлка для дуги AB; АН проекція хорды AB на діаметръ C'A. Уголъ АВН измѣряется дугой АѴ, такъ какъ равенъ /_ ВАР, и потому вдвое больше который измѣряется половиной дуги АѴ. Если BQ бисекрисса /_АВН, то /_QBU=J/mUBVи VU— UQ — h. Пусть прямая, проведенная черезъ точку Q параллельно АО, пересѣкаетъ AB въ точкѣ В; АѴ въ точкѣ S, ВН въ точкѣ I Vи параллельную AS черезъ точку Н въ точкѣ Т. Прямая Q W параллельная АО, перпендикулярна къ ВН, значитъ, QW=QU;Щ>~ = 1, т.е. и ST=AH=3VU+WT,откуда == 3 + Нетрудно показать, что отношеніе или растетъ съ уменьшеніемъ хорды AB. Изъ подобія тр-ковъ WTH и WBQ слѣдуетъ, что . Возьмемъ хороду А'В', меньшую AB и параллельную ей; Q'S' |[ О А'; проведемъ QS" (I Q'S1. Съ одной стороны = 1, т. - е. S"Q=VQ =SQ, съ другой стороны jîfQï — ^-JJÜQ > Щ’ такъ какъ

Черт. 6.

наклонная Tl"Q меньше наклонной HQ ( " внутри потому что ОА' внутри /_ѴОА). Итакъ,

Периметръ р всякой вписанной почти правильной ломаной меньше 8(^2 — 1 )г, значитъ, ^<8(\/'2— 1). Положимъ AT! стягиваетъ четверть окружности и AH=h0*). Изъ подобія фигуръ Щ = Ц> = 1’ и WT= QT— QW=— QW— ~ = 3 —f- \/2 — 1 =2-\-\l‘2или ~*=2-f-\/2. Разность (2-f-\'2) — 8(1/2 — 1) = 10 — 7 \/2 положительна, потому что ІО2 — 72.2 = 2.

По доказанному для всякой вписанной почти правильной ломаной, число сторонъ которой не меньше трехъ, отношеніе -г-> 2 -f- Ѵ2, слѣдовательно, •-.=-< - , _ <1, откуда • Ъ < hn.

Итакъ, р"—р-ср'— pch0:->~периметръ вписанной почти правильной ломаной представляетъ полуокружность съ приростомъ, равнымъ проекціи первой стороны на ограничивающій полуокружность діаметръ -ч-.

Статья эта вытекла изъ занятій пропедевтическимъ курсомъ геометріи во второмъ классѣ гимназіи, изъ желанія оцѣнивать степень точности опредѣленія при замѣнѣ полуокружности периметромъ вписанной ломаной. Если возьмемъ радіусъ окружности, равный дециметру, и проекцію въ пол-милиметра, то получится л = 3,14^ (3,14 слс3,15). Умѣньемъ выпрямлять дугу съ опредѣленной точностью можно воспользоваться и для другихъ цѣлей, напримѣръ, для построенія развертки конуса при любомъ основаніи.

Кіевъ. 11 іюля 1916 г.

*) Въ этомъ случаѣ Н совпадаетъ съ О.

Изъ прошлаго пятой книги началъ Эвклида.

Проф. Д. Мордухай-Болтовской. Ростовъ на Дону.

§ 1. Исторія 5-й книги Началъ Эвклида, содержащей античную теорію пропорцій это—исторія ариѳметизаціи геометріи, исторія эволюціи идеи числа.

Для Эвклида число это—„собраніе единицъ“ (кн. 7, опр. 2). такъ что и дробь для него еще не является числомъ. Между геометрическими величинами и числами еще нѣтъ взаимно однозначнаго соотвѣтствія, отношеніе двухъ отрѣзковъ площадей или объемовъ а : Ь еще не сводится къ отношенію двухъ чиселъ. Эвклиду приходится строить двѣ теоріи пропорцій: величинъ въ 5-й книгѣ и чиселъ въ 7-й. Съ нашей точки зрѣнія ему приходится повторяться.

Но это только съ нашей точки зрѣнія, а не съ точки зрѣнія Эвклида. У Эвклида не только нѣтъ взаимно-однозначнаго соотвѣтствія между геометрическими величинами и характеризующими ихъ числами, у него нѣтъ идеи рода, объемлющаго видовыя понятія геометрической величины и числа, которое является результатомъ только дальнѣйшей эволюціи математической мысли.

Чисто формальная точка зрѣнія противна Эвклиду, опредѣленіе класса совокупностью формальныхъ законовъ ему чуждо.

Число и прямолинейный отрѣзокъ (въ его терминологіи прямую) онъ не рѣшается отнести къ одному классу въ силу тожественности формальныхъ законовъ, которымъ подчиняются соотвѣтствующія операціи надъ ними. Величины въ I книгѣ (см. акс. 8) взаимно налагаются.

Аксіомы: 1, 2, 3...

„Величины, равныя одной и той же величинѣ, равны между собой“.

„Если къ величинамъ равнымъ придадимъ равныя, то получимъ равныя суммы".

„Если отъ величинъ равныхъ отнимемъ равныя, то получимъ равныя...“ и т. д. всѣ относятся не къ числамъ, а къ геометрическимъ величинамъ, къ классу, въ который отнюдь не входятъ числа.

Но что является въ высокой степени интереснымъ—это то, что эти и другія аксіомы лежатъ въ основѣ Ариѳметики Эвклида, такъ какъ всѣ ариѳметическія дѣйствія надъ цѣлыми числами Эвклидъ сводитъ къ дѣйствіямъ надъ особымъ классомъ отрѣзковъ, составленныхъ изъ одного опредѣленнаго, отвѣчающаго единицѣ.

Между отрѣзками этого класса и цѣлыми числами существуетъ взаимно-однозначное соотвѣтствіе и оно позволяетъ Эвкли-

ду, идя въ обратномъ современному направленіи, свести не Геометрію къ Ариѳметикѣ, а Ариѳметику къ Геометріи1).

§ 2. Понятія объ отношеніи чиселъ у Эвклида нѣтъ, но есть понятіе объ отношеніи величинъ.

Опред. 3 —5-й книги.

Отношеніе есть взаимная нѣкая зависимость двухъ однородныхъ величинъ по ихъ количеству (перев. Петрушевскаго).

Понятіе же о пропорціональности имѣется какъ для величинъ, такъ и для чиселъ.

Для величинъ: опред. 6—5-ой книги2).

Пропорціональными называются величины, имѣющія то же отношеніе.

Для чиселъ: опр. 20—7-ой книги.

Числа пропорціональны, если первое второго и третье четвертаго составляетъ то же кратное или ту же долю ^ ^ или ту же дробь — .

7-я книга проводится независимо3) отъ 5-й, такъ что, не будучи въ силахъ охватить эти два понятія пропорціональности чиселъ и пропорціональности величинъ въ одномъ общемъ ихъ объемлющемъ понятіи пропорціональности вообще, конечно, въ смутной формѣ у него имѣвшейся, Эвклидъ даетъ эти понятія раздѣльно, такъ что общимъ у нихъ остается только названіе.

Опредѣленіе отношенія величинъ, какъ опредѣленіе точки и прямой въ первой книгѣ, остается у Эвклида мертвымъ, логически не дѣйствующимъ.

Рабочимъ опредѣленіемъ является опредѣленіе 5-е, опредѣленіе тожественности отношеній. „Величины, говорится, суть въ томъ же отношеніи, первая ко второй и третья къ четвертой, когда равнократныя первой величины и третьей и равнократныя второй величины и четвертой, взятыя по какому-либо кратствованію, суть таковы, что поперемѣнно каждая каждой, или купно равны, или купно больше, или купно меньше".

На алгебраическомъ языкѣ.

если при всякихъ цѣлыхъ числахъ п такихъ, что

1) Какъ только дробь становится числомъ, результаты 7-й книги начинаютъ толковаться въ обобщенномъ видѣ. Въ пропорціи о : 6 = с, могутъ оказаться не только цѣлыми числами, но и дробями. Характерно опредѣленіе Беха-Эддина дѣленія, какъ опредѣленія числа, которое съ единицей находится въ томъ же отношевіи, что дѣлимое съ дѣлителемъ. Nouvelles Annales t. V 1846, Khélasat... de Beha-Eddin.

2) Эвклидовыхъ началъ восемь книгъ, пер. Ѳ. Петрушевскаго С-Пб. 1819.

3) Болѣе подробно объ этомъ см. ниже.

Что такое отношеніе?—Эвклидъ опредѣляетъ. Но тогда слѣдуетъ считать извѣстнымъ и то, что представляетъ тожественность или одинаковость отношеній.

Положеніе здѣсь то же, что съ прямыми углами, площадями..., равенства которыхъ Эвклидъ не опредѣляетъ, но даетъ аксіомой 8-й 1-й книги признакъ равенства.

Въ духѣ самого Эвклида слѣдовало бы признать опредѣленіе 5-е не опредѣленіемъ, а аксіомой.

То же самое относится и къ опредѣленію большаго и меньшаго отношенія (опред. 7), выражаемаго въ алгебраической символикѣ такъ:

a\b>c'.d

если для нѣкоторыхъ цѣлыхъ т, п:

та > пЬ тс < пЛ

Исторія созиданія Началъ Эвклида для насъ, собственно говоря, закрытая книга. Тѣмъ не менѣе можно иногда такъ-сказать ощупать психологію нѣкоторыхъ явленій, относящихся къ „началамъ“.

Что произошло бы, если бы 5-е опредѣленіе было объявлено аксіомой? Пришлось бы ее помѣщать въ началѣ 1-й книги, пришлось бы пополнять систему опредѣленій этой книги и безъ того очень длинную, и итти противъ ясно выраженной тенденціи помѣщать въ началѣ книги только minimum опредѣленій и вмѣстѣ съ тѣмъ въ силу методическихъ затрудненій—невозможности читателемъ обнять памятью всю эту таблицу, быть вынужденнымъ опять повторять эти опредѣленія въ началѣ 5-й книги.

Да и сама та аксіома обладала бы степенью очевидности еще меньшей, чѣмъ 11-я 1-й книги. Авторъ, можно сказать, инстинктивно сдѣлалъ то, что современные математики дѣлаютъ уже вполнѣ сознательно: возвелъ не очевидную истину въ опредѣленіе, объявивъ: „называется А то, чему присущи свойства а, Ъ, с...", между тѣмъ, какъ до тѣхъ поръ называлось то, чему были присущи свойства а', Ь’, с'..., и изъ наличности а\ Ъ', с'... уже извлекалась наличность а, Ь, с... или интуиціей, или выводомъ, не укладывавшимся въ строго логическую форму.

§ 3. Опредѣленіе 5-е пускается въ ходъ въ теоремѣ 4-й, а затѣмъ только съ 7-й. 1, 2, 3, 5, 6. теоремы выводятся независимо отъ него и относятся къ свойствамъ равнократныхъ.

Доказанныя на основаніи опр. 5-го свойства пропорций располагаются въ табличку:

Приводимъ для ознакомленія съ характеромъ доказательствъ 5-й книги доказательство 11-го предложенія (т.-е. IY свойства). Берутся равнократныя.

a, с, е- а , с, е (т.-е. ma, me, me)

b, d, f b,d, (т.-е. nb, nd,

Такъ какъ a:b = c:d,то, согласно 5-му опредѣленію, если

аgï b, то с =

Далѣе въ силу того, что c:dто по тому же опредѣленію если

c^d,то e^f ,

откуда извлекаемъ, что при аЩ b и и согласно опредѣленію 5-му, что

а : Ь=.е :/.

Приводимъ также доказательство положенія 16.

Взявъ равнократныя

а, Ь---- а , Ь (т.-е. та ,тЬ)

с, d---- с , d (т.-е. ne, nd)

мы имѣемъ

а\Ь~ а- b a\b — c\ d

откуда по свойству (IV)

с :d — a - b .

Но, такъ какъ c:d= с : d, то а : Ь = с • d откуда въ силу

(VII св.) при а < с также 6 < d, что согласно 5-му опредѣленію даетъ:

a:c = b:d.

Эта теорема о перемѣнѣ отношеній можетъ имѣть смыслъ только въ случаѣ однородности всѣхъ четырехъ величинъ

(а, Ь, с, d).

4) Табличка эта значительно продолжена классами:

Если взглянуть дальше въ 6-ю книгу, то ясно представится, что Эвклидъ признаетъ пропорціональность только между величинами одного рода, а равенства отношеній между разнородными. 1-е предложеніе 6-й книги формулируется такъ: Два трехугольника или два параллелограмма имѣющіе ту же высоту относятся, какъ основанія. Но во 2-мъ предложеніи мы имѣли на сторонахъ трехугольника, пересѣкаемаго параллельно основанію, пропорціональные отрѣзки, то же въ 3-ей теоремѣ, гдѣ мы имѣемъ четыре пропорціональныя величины: стороны трехугольника и отрѣзки, отсѣкаемые на третьей сторонѣ бисектриссой. .. въ 33-ей теоремѣ имѣемъ равенство отношеній угловъ и соотвѣтственныхъ дугъ. Слѣдуетъ думать, что въ дальнѣйшемъ понятіе пропорціональности подверглось обобщенію. Неоднородныя величины (а, Ь, с, d) стали называть пропорціональными, если

а :Ь=с :d,

напр., углы и соотвѣтствующія дуги.

Извѣстны двѣ версіи 8-го опредѣленія:

Пропорція - тожество отношеній.

Пропорція—подобіе отношеній.

Первое—отвѣчаетъ случаю однородности паръ (а, Ь) (с, d), второе—неоднородности.

Въ опредѣленіи 6-мъ пропорціональныхъ величинъ, какъ имѣющихъ равное отношеніе, внѣ сомнѣнія недостаетъ условія однородности.

Въ седьмой книгѣ для чиселъ доказывается свойство IV (теор. 5, 6, 7, 8, 11), причемъ отдѣльно- изслѣдуются случаи доли и дроби, затѣмъ свойство IX (теор. 9, 10,13) и св. XI (т. 22).

Я выше сказалъ, что 7-я книга проводится независимо отъ б-й. На это можно было бы возразить ссылкой на доказательство положенія 19-го 7-й книги.

Если a:b = c:d.то ad = bc и обратно.

Доказательство первой части ведется, полагая ad = e,bc = f,

ас — д.

Тогда согласно доказанному въ 7-й книгѣ независимо отъ 5-й: g:e = c:d и a:b — g:f.

Но согласно условію a:b = c:d,поэтому g:e=g:f, откуда

e=f.

Въ изданіи Лоренца1) здѣсь стоитъ ссылка на теоремы 11 и 9 первой книги, устанавливающія св. II и IV пропорцій, которой въ переводѣ Петрушевскаго не имѣется. Если самъ Эвклидъ имѣлъ въ виду эти ссылки, т.-е. примѣненіе результатовъ теоріи пропорціи 5-й книги къ числамъ въ 7-й, считая числа входящими въ классъ величинъ 5-й книги, то является въ высокой степени страннымъ, почему ему тогда понадобилось выводить другія свойства чиселъ, которыя можно было бы получить изъ той же 5-й книги?

1) Euclid’s Elemente fünfzehn Bücher übers. J. Lorenz Halle 1840.

Вѣрнѣй всего, что Эвклидомъ примѣнялась здѣсь скрытая ариѳметическая аксіома (этого рода аксіомы всѣ находились подъ порогомъ сознанья).

1) Если а составляетъ ту же часть Ъ, что с— а с ту же част d, что е — /', то а составляетъ ту же часть Ь, что е —

2) Если g составляетъ ту же часть е, что и /’, то и равны.

§ 4. Въ противоположность математикамъ XVII вѣка, Клавій1) (извѣстный коментаторъ Эвклида XVI в.) больше всего говоритъ не о 5-мъ, а 4-мъ опредѣленіи 5-й книги началъ. „Величины называются имѣющими отношеніе одна къ другой, кои, будучи взяты кратно, могутъ быть больше одна другой“.

Опредѣленіе же 3 излагается пространнѣе съ поясненіемъ примѣрами понятія однородности: „Когда двѣ величины одного рода, какъ два числа, двѣ линіи, двѣ поверхности и два тѣла и т. д. между собой сравниваются относительно количества, т.-е. того, что одно больше или меньше пли равно другому, то называется это сравненіе или взаимная зависимость—отношеніемъ (Ratio sive proportio).

Опредѣленіе 4-е представляетъ загадку болѣе трудную.

Едва ли можно предположить это другимъ опредѣленіемъ того же, что дается уже 3-мъ опредѣленіемъ.

Какъ это и въ другихъ случаяхъ дѣлается, вѣрнѣй всего здѣсь слѣдуетъ за опредѣленіемъ рода — опредѣленіе вида.

Отношеніе одной величины къ другой —видъ. Отношеніе (опр. 3) — родъ.

Какое отличіе между этими двумя отношеніями? Если въ томъ, что первое есть отношеніе не вообще однородныхъ величинъ, а однородныхъ величинъ спеціальнаго типа, при чемъ такого, который опредѣляется свойствомъ: кои, будучи взяты кратно, могутъ быть больше одна другой, то придется признать, что Эвклидъ ясно сознавалъ постулатъ Архимеда2) и возможность величинъ, ему неудовлетворяющихъ. Между тѣмъ вездѣ и въ 5-й, и въ 6-й, и въ 10-й книгахъ онъ привходитъ неявно, въ видѣ скрытой аксіомы, которыхъ было очень много подъ порогомъ сознанія Эвклида.

Ващенко-Захарченко3) основательно думаетъ, что свойство, отмѣчаемое опредѣленіемъ 4-мъ, приписывалось Эвклидомъ,

1) Euclides elementorum Libri XVI Auctore Christophoro Clavio. Trancofurti Auno MDCLIV.

2) Изъ неравныхъ линій, неравныхъ поверхностей или неравныхъ тѣлъ, если избытокъ большаго предъ меньшимъ будетъ совокупляемъ самъ съ собою, то онъ можетъ превзойти всякую предложенную величину изъ рода тѣхъ, кои взаимно сравниваются.

Твореніе Архимеда. Двѣ книги о шарѣ и цилиндрѣ. Пер. Ѳ. Петрушевскаго. СПБ. 1823, стр. 5.

3) Прим. 4 на стр. 187. Начала Эвклида. М. Е. Ващенко-Захарченко. Кіевъ. 1880.

Этимъ опредѣленіемъ Эвклидъ хочетъ показать, что сравниваемыя величины должны быть однородны, напримѣръ, длина и длина, площадь и площадь и т. д. Но длина и площадь соотношенія, въ смыслѣ выше изложеннаго имѣть не могутъ, такъ какъ, сколько бы разъ длину не повторили, площадь не получится.

всѣмъ однороднымъ величинамъ, но едва ли единственное назначеніе опредѣленія 4-го это—рѣзче подчеркнуть то, что уже упомянуто въ предшествующемъ опредѣленіи, а именно, однородность величинъ. Слѣдуетъ еще отмѣтить, что переводъ М. Е. Ващенко-Захарченки... „если меньшую изъ нихъ можно повторить столько разъ, чтобы результатъ былъ равенъ или больше большей“ нѣчто весьма отличное отъ то го, что стоитъ у Петрушевскаго или Лоренца:,,Ein Verhältniss zu einander haben Grössen welche "vervielfältigt einander übertreffen können“. Въ алгебраической символикѣ—по Ващенко-Захарченко утверждается существованіе цѣлаго т такого, что

mATSîB (m — 1) A<=zB

по Петрушевскому и Лоренцу для даннаго цѣлаго п — такое цѣлое т, что

тА =3= пВ (т — 1) А < пВ

При такомъ пониманіи естественнымъ является предположеніе, что „отношеніе 4-го опредѣленія“ относится къ такимъ же величинамъ, что „отношеніе 3-го опредѣленія“. Сравненіе количествъ двухъ величинъ самаго общаго характера даетъ намъ уже отношеніе. Таковымъ является отношеніе, дающееся элементарнымъ сравненіемъ, выражаемымъ словами больше и меньше.

А > В ВсА.

Такимъ также является то отношеніе, которое представляетъ результатъ того уже болѣе опредѣленнаго сравненія, который мы въ наше время выражаемъ числомъ. Это сравненіе разбивается на безконечное число сравненій элементарнаго типа, относящихся не только къ самимъ А и В, но и ихъ кратнымъ, въ алгебраической символикѣ, къ опредѣленію для всѣхъ такихъ т, что

тА У?; и В(т — 1 ) < пВ.

Можно сказать такъ: какъ только для всѣхъ п мы будемъ мыслить такія ш, что тА^пВ, (т — 1)АспВ мы получимъ не отношеніе, вообще, а :

Совершенно иначе разъясняетъ загадку Клавій.

Что такое отношеніе? — это вполнѣ разъясняется третьимъ опредѣленіемъ. За этимъ опредѣленіемъ ставится вопросъ: всѣ ли однородныя величины имѣютъ отношеніе?

Въ опредѣленіи 4-мъ—Клавій видитъ отрицательный отвѣтъ.

Родъ величинъ онъ разбиваетъ на два вида — находящіяся и не находящіяся между собой въ отношеніи.

Первыя это тѣ, которыя удовлетворяютъ постулату Архимеда, каковы прямолинейные отрѣзки, площади, объемы, прямолинейные углы... Вторыя, которымъ присуще чудесное свойство, состощее въ томъ, что прибавленіе къ а — а, а... не даетъ возможности превзойти Ь.

Такими величинами, но мнѣнію Клавій, является уголъ касанія, такъ интересовавшій математиковъ XVI вѣка1), образуемый двумя касающимися кругами и прямолинейный уголъ. Присоединеніе къ углу касанія другихъ ему равныхъ угловъ касанія никогда не можетъ, якобы на основаніи 16 теор. III книги дать прямолинейный уголъ или уголъ большій его.

„Неправильно, замѣчаетъ Клавій, думаютъ тѣ, которые подъ выраженіемъ величина одного рода въ Эвклидовомъ опредѣленіи разумѣютъ тѣ, которые заключаются въ одномъ ближайшемъ родѣ (sub eodem gonere proximo sive infimo), такъ какъ для угловъ касанія и прямолинейнаго угла такимъ genus proximus является уголъ“.

§ 5. Коментаторы Эвклида XVI вѣка не критикуютъ, а разъясняютъ Эвклида, высказываемое ими мнѣніе выдается или за мнѣніе Эвклида, или за мнѣніе, согласное съ его взглядами.

Въ XVII вѣкѣ выступаетъ Euclides restitutus. Эвклида не только коментируютъ, его исправляютъ. Пополняютъ систему аксіомъ, исправляютъ опредѣленія, мѣняютъ части всей логической постройки и дѣлаютъ попытки къ полной ея перестройкѣ.

Арце2), Озанамъ3), Такэ4), Борелли5), Саккери6) Арно — вотъ рядъ ступеней все болѣе и болѣе существенныхъ перестроекъ Началъ. Борелли обращается особенное вниманіе на 5-ю книгу. Имя его связано съ исторіей теоріи параллельныхъ въ виду очевиднаго вліянія его на Саккери. Но самъ онъ здѣсь еще въ большей зависимости отъ Клавій и вѣроятно и отъ своихъ современниковъ.

Въ его Euclides restitutus интереснѣе и оригинальнѣе исправленная 5-я книга Эвклида.

Онъ рѣдко критикуетъ 5-е опредѣленіе 5-й книги.

Всякое научное опредѣленіе должно ясно изложить природу опредѣляемой вещи черезъ свойство возможное, истинное, первое и извѣстнѣйшее, которымъ опредѣляется вещь и отличается отъ какого-либо другого объекта. Свойство же, излагаемое въ Эвклидовомъ опредѣленіи таково, что „нельзя узнать дается ли оно въ дѣйствительности, такъ какъ мы не можемъ опредѣлить дается ли это безконечное число равно кратныхъ единовременно большихъ или единовременно меньшихъ остальныхъ, такъ что не знаемъ, вѣрно ли оно...“ Въ опредѣленіи же отношенія и пропорціи онъ видитъ неопредѣленность и неясность, онъ подчеркиваетъ неопредѣленное quidam въ опредѣленіи отношенія, указывая на возможность не одного, захватываемаго опре-

1) Jacobi Pelttarii. Medici et Mathematici. Commentarii fres... Basileae, cm. мою статью: Философско-математическія идеи XVII вѣка и ихъ дальнѣйшая „эволюція“. Варшавскія Универ. Извѣстія.

Cantor. Vorlesungen über Geschichte der Mathematik. В. II. S. 665.

2) J Arzet. Clavis Mathematica. 1634.

3) Ozanam. Cours de Mathématiques. 1720.

4) Taquet. Elemenla Geometriae. 1654.

5) Euclides restitutus etc. a Alp. Borelio. Romae. 1670.

6) Euclides ab omni naevo vindicatus... auctore Hieronymo Sacchero, Mediolarni 1738, см. также Engel-Stäckel. Die Theorie der Paralleiliniea. Leipzig. 1875.

дѣленіемъ, а многихъ взаимныхъ зависимостей и то, что здѣсь дѣло идетъ о спеціальнаго типа зависимости и равнымъ образомъ въ опредѣленіи пропорціональности имѣется въ виду то же подобіе опредѣленнаго частнаго типа. Интересна критика Борелли, относящаяся къ, такъ сказать, преждевременной ариѳметизаціи теоріи пропорцій, сводящей опредѣленіе пропорціональности къ равенству показателей отношеній (denominatores proportionis), получаемыхъ дѣленіемъ на и с на

Говоря въ своей критикѣ о числахъ, Борелли разумѣетъ йодъ ирраціональными числами только корни изъ раціональныхъ чиселъ.

Невозможность представленія всякаго показателя отношенія такимъ числомъ приводить его къ заключенію, что невѣрно, что всякое ирраціональное отношеніе можно считать числовымъ.

Пропорціи чиселъ и геометрическихъ величинъ у него включаются въ пропорціи величинъ вообще, къ которымъ и относится исправленная 5-я книга Началъ.

Соизмѣримая пропорціональность, т.-е. пропорціональность двухъ паръ соизмѣримыхъ величинъ (а, ( d) имъ опредѣляется такъ, какъ Эвклидъ опредѣляетъ въ 7-й книгѣ пропорціональность чиселъ1).

Соединительнымъ звеномъ между соизмѣримой и несоизмѣримой пропорціональностью является опредѣленіе неравенствъ отношеній:

a'.bz^c'.d,

гдѣ а, Ь несоизмѣримы, anid соизмѣримы.

Въ алгебраическихъ символикахъ это опредѣленіе выражается такъ:

если c:d=m:n,гдѣ ти п цѣлыя числа.

Въ словахъ: отношеніе а къ Ь больше с къ d, если а больше той части Ъ, какую составляетъ отъ d.

Дальше идетъ опредѣленіе : < с : въ случаѣ несоизмѣримости а и Ъ, с и d съ помощью вспомогательнаго соизмѣримаго отношенія e:f

а\Ь> с. d,

если при a:b>e:f имѣемъ c:dce:f.

Наконецъ, пропорціональность опредѣляется такимъ образомъ:

а : b не > с : d и не <

согласно указаннымъ выше опредѣленіямъ.

(Окончаніе въ слѣд. №).

1) Опредѣленіе 20-е—-7-й книги: „числа называются пропорціональными, когда первое второго, а третье четвертаго суть равно кратныя или равно частныя или равно многочастныя. Эвклидъ. Началъ три книги въ пер. Петрушевскаго. 1833.

Исторія ученія о логариѳмахъ.

По поводу 300-лѣтія выхода въ свѣтъ Mirifici logarithmorum canonis descriptio Джона Непера.

(Продолженіе.)

В. В. Бобынинъ. (Москва.)

Джонъ Неперъ, баронъ Мерчистонъ, родился въ 1550 году въ родовомъ замкѣ своей фамиліи Мерчистонъ близъ Эдинбурга. Названіе Neper, иногда представляемое въ формѣ Nepair (также Napier, Napeir, Napair, Naper), присоединилось къ настоящему имени рода только въ ХІУ столѣтіи, когда, по утвержденію объясняющей его происхожденіе легенды, одинъ изъ представителей рода Дональдъ II, сынъ графа Леннокса, жившій въ царствованіи Давида II, такъ отличился въ одномъ сраженіи, что никто не могъ быть признанъ ему равнымъ.

Въ ранней молодости, немедленно по окончаніи курса въ коллегіи св. Андрея, куда поступилъ въ 1563 году, Неперъ совершилъ путешествіе по Германіи, Франціи и Италіи, изъ котораго вернулся на родину въ 1571 году. Поселившись въ своемъ родномъ замкѣ и въ томъ же году женившись, онъ затѣмъ уже никогда не оставлялъ Шотландію. Все его время было посвящено, повидимому, занятіямъ богословскими предметами и математикою, какъ это косвенно можно заключить изъ совершеннаго отсутствія свѣдѣній о событіяхъ его жизни, выходившихъ изъ очерченнаго этими занятіями круга. Онъ умеръ 4 апрѣля 1617 года.

Усердный и строгій пуританинъ, не разъ бывшій членомъ пресвитеріанскихъ соборовъ, онъ, по избранію одного изъ нихъ, даже принялъ участіе въ депутаціи, посланной къ королю Якову для исходатайствованія повелѣнія объ отлученіи отъ церкви нѣкоторыхъ представителей католической знати, въ числѣ которыхъ находился и отецъ его мачехи. По его собственнымъ словамъ, еще на школьной скамьѣ онъ задумалъ посвятить свою жизнь истолкованію пророчествъ, къ чему побудило его ослѣпленіе католиковъ, не желавшихъ видѣть, что въ Апокалипсисѣ ихъ вѣра обречена на уничтоженіе. По другому поводу, уже въ концѣ своей жизни, онъ говорилъ, что поставленная имъ себѣ экзегетическая задача всегда составляла главный предметъ его занятій, математика же служила для него только отдыхомъ. Плодомъ его работъ по исполненію этой задачи было толкованіе на Апокалипсисъ, вышедшее въ свѣтъ въ 1593 году1) и затѣмъ еще при жизни автора выдержавшее нѣсколько изданій, изъ которыхъ послѣднее, появившееся въ 1611 году, имѣло заглавіемъ: А plaine discovery of the whole revelation of S. John, set down in two treaties: the one searching and proving the true interpretation thereof; the other applying

1) Эдинбургъ. In 40.

the same paraphrasticallic and historicallic to the text; set forth by John Napoir, L. of Merchiston and now revised, corrected and inlarged by him, with a resolution of certain doubts moved by some wellaffected brethren; whereunto are annexed certain oracles of Sibylla agreing with the revelation and other places of Scripture1). Книга написана въ формѣ изложенія, усвоенной геометрическими сочиненіями, то-есть съ раздѣленіемъ содержанія на предложенія и доказательства. Для примѣра этихъ предложеній можно привести 26-е, утверждающее, что папа есть антихристъ, 36-е, по которому упоминаемая въ Апокалипсисѣ саранча суть турки и мухаммедане и проч. Конецъ міра, по предсказанію автора, долженъ былъ имѣть мѣсто между 1688 и 1700 годами. Книга имѣла несравненно большій успѣхъ, чѣмъ научныя произведенія автора. Появленіе ея вызвало даже нѣкоторую сенсацію и притомъ не только въ Англіи, но и за-границей, гдѣ появились нѣсколько ея переводовъ въ Германіи, а французскій, изданный въ Ларошели, выдержалъ, два изданія2). Въ Англіи, кромѣ изданій, вышедшихъ при жизни автора, послѣ его смерти появилось еще нѣсколько, изъ которыхъ особенно быстро слѣдовали другъ за другомъ два, напечатанныя въ Эдинбургѣ въ 1611 и 1645 годахъ.

Математическія занятія Непера первоначально состояли въ изученіи различныхъ произведеній математической литературы, изъ которыхъ одни, какъ сочиненія Регіомонтана, Коперника, книги о треугольникѣ Фанъ Лансберга и тригонометрія Питискуса указываются имъ самимъ, а другія, какъ Diclides caelometriсае Торпорлея и Geometria rotundi Томаса Финка, изслѣдователь можетъ предполагать въ виду употребленія въ сочиненіяхъ Непера заимствованныхъ изъ нихъ терминовъ. Въ силу этого послѣдняго основанія, и именно по употребленію Неперомъ термина minores nihilo для обозначенія отрицательныхъ чиселъ, можно съ большою вѣроятностью предполагать, что онъ былъ знакомъ также и съ книгою Arithmetica integra Михаила Штифеля, которая должна была ознакомить его съ современнымъ состояніемъ ученія о логариѳмахъ.

Главнымъ предметомъ самостоятельныхъ работъ Непера была тригонометрія, а опредѣляющею ихъ направленіе цѣлью: сокращеніе и упрощеніе вычисленій, стремленіемъ къ которымъ и были вызваны изобрѣтеніе имъ счетнаго прибора и его работы въ области ученія о логариѳмахъ.

Счетный приборъ, названный сейчасъ и извѣстный подъ именемъ Неперовыхъ палочекъ, состоялъ изъ десяти длинныхъ прямоугольныхъ параллелепипедовъ, каждая изъ боковыхъ граней которыхъ дѣлилась поперечными чертами на 9 квадратовъ, раздѣленныхъ въ свою очередь проводимыми въ одномъ и томъ же направленія діогоналями на пары треугольниковъ. Квадраты содержали въ себѣ результаты умноженія одного изъ первыхъ девяти чиселъ, помѣщеннаго въ верхнемъ квадратѣ, на каждое

1) London, printed for Jolm Norton; 1611, enm privilégie Regiae Majestatis. In 4», VIII+ 375 pp.

2) Въ 1662 и 1665 годахъ.

изъ тѣхъ же 9 чиселъ въ послѣдовательномъ порядкѣ отъ 1 до 9, при чемъ въ случаѣ если результатъ умноженія представлялъ двузначное число, то его десятки помѣщались въ верхнемъ треугольникѣ, а единицы въ нижнемъ. Для представленія нулей нѣкоторыя изъ боковыхъ граней палочекъ оставлялись незанятыми числами. Какъ представляющій по своему содержанію не что иное, какъ повторенную нѣсколько разъ таблицу умноженія въ ея полномъ видѣ, приборъ Непера могъ непосредственно прилагаться только къ исполненію дѣйствія умноженія. Чтобы, напр., умножить при его посредствѣ число 8365 на 7, нужно, выбравъ соотвѣтствующія палочки, приложить ихъ другъ къ другу такимъ образомъ, чтобы въ верхнихъ квадратахъ граней, обращенныхъ къ счетчику, находились числа 8, 3, 6, 5, тогда седьмые квадраты этихъ граней и дадутъ искомыя частныя произведенія множителя 7 на каждую изъ цифръ множимаго; затѣмъ останется тозько эти частныя произведенія сложить. Съ гораздо меньшими удобствами производится при помощи этого прибора дѣйствіе дѣленія, для чего нужно, записавъ дѣлимое, выбрать и расположить палочки такъ, чтобы верхніе квадраты ихъ обращенныхъ къ счетчику граней содержали цифры дѣлителя и затѣмъ подыскивать на нихъ произведенія дѣлителя на послѣдовательныя цифры частнаго и вычитать изъ дѣлимаго. Успѣхъ этого прибора, хотя въ выпавшей на его долю мѣрѣ и едва ли заслуженный, былъ такъ значителенъ, что въ честь какъ самаго прибора, такъ и его изобрѣтателя писались хвалебные стихи, и даже въ прошломъ столѣтіи нѣкоторые, далеко незаурядные математики, (наприм.. извѣстный составитель математическаго словаря Георгъ Симонъ Клюгель) давали прибору Непера преувеличивающую его дѣйствительное значеніе оцѣнку.

Едва-ли меньшее значеніе придавалъ своему прибору и самъ. Неперъ, какъ это слѣдуетъ изъ посвященія имъ описанію его устройства и употребленія довольно большого сочиненія Rabdologiae seu numerationis per virgulas libri duo: cum appendice de expeditissimo multiplicationis promptuario, quibus accessit et arithmeticae localis liber unus; authore et inventore Joanne Neoero barone Merchistoni, etc. Scoto1). Вызванное вышеуказаннымъ успѣхомъ своего предмета распространеніе этого сочиненія было очень значительно и притомъ не только въ Англіи, но и на континентѣ, гдѣ его не только перепечатали нѣсколько разъ въ Лейденѣ, но и перевели на голландскій и италіанскій языки.

Результаты работъ Непера по ученію о логариѳмахъ вошли въ составъ двухъ его сочиненій, изъ которыхъ первымъ было напечатано въ 1614 году въ Эдинбургѣ Mirifici logarithmorum Саnonis descriptio ejusque usus, in utraque trigonometria, ut etiam in omni logistica mathematica, amplissimi facillimi et expeditissimi explicatio; authore et inventore Joanni Nepero, barone Merchistonii, etc2). Сочиненіе это раздѣлено на двѣ книги, изъ которыхъ первая

1) Edimbur. 1617. In 12«.

2) Edduburgi, ex officina Andreae Hart, bibliopolae ClOIXJClV. In 4°.. 56 стр. текста и 90 стр. таблицъ.

занимается логариѳмами, а вторая плоской и сферической тригонометріей вмѣстѣ съ приложеніями логариѳмовъ. Пять главъ первой книги излагаютъ соотвѣтственно опредѣленія, свойства логариѳмовъ, описаніе таблицъ, ихъ употребленіе и примѣры, а изъ шести главъ, составляющихъ вторую, первыя двѣ разсматриваютъ рѣшеніе прямо- и косоугольныхъ прямолинейныхъ треугольниковъ, а четыре послѣднія — занимаются сферическими треугольниками. Изъ изложенныхъ въ нихъ результатовъ самостоятельныхъ изслѣдованій Непера особенно важными должны несомнѣнно считаться его аналогіи, разсматриваемыя въ VІ-й главѣ. Также заслуживаетъ вниманія чрезвычайно удачно задуманное сведеніе всѣхъ случаевъ, представляемыхъ прямоугольными сферическими треугольниками въ два предложенія.

Очевидною цѣлью введенія въ это чисто-тригонометрическое сочиненіе цѣлой книги, посвященной логариѳмамъ, была возможность пониженія ступени, начиная со второй, ариѳметическихъ дѣйствій на одну, доставляемая такими совокупностями ариѳметической и геометрической прогрессій, въ которыхъ члены первой находятся въ строгомъ соотвѣтствіи съ членами второй. Но для достиженія этой цѣли была необходима таблица логариѳмовъ величинъ какой-нибудь изъ тригонометрическихъ функцій, наприм., синуса. Занятія Непера ученіемъ о логариѳмахъ указали ему первому, приведшій къ образованію системы логариѳмовъ изъ двухъ неопредѣленно продолжающихся внѣ и внутри себя прогрессій, ариѳметической и геометрической, слѣдующій путь полученія упомянутой таблицы.

Изъ двухъ прямыхъ линій одна имѣетъ опредѣленную длину AB, а другая неопредѣленную или безконечную длину DE.

На каждой изъ нихъ происходитъ начинающееся въ одинъ и тотъ же моментъ теченіе (fluxus) точки отъ начала линіи въ направленіи отъ і къ 5 на первой и отъ D къ Е на второй. Употребленіе при разсмотрѣніи теченія точки по линіи AB тѣхъ же очень малыхъ промежутковъ вромени, какъ и при разсмотрѣніи теченія точки по линіи DE привело Непера къ наименованію перваго изъ нихъ „равновременнымъ движеніемъ“ (synchronus motus). Разстоянія, протекаемыя каждою изъ точекъ на своей линіи въ первый очень малый промежутокъ времени между собою равны, въ слѣдующіе же не равны, какъ подчиняющіяся неодинаковымъ условіямъ. Именно разстоянія, протекаемыя точкою на линіи DE въ равные промежутки времени равны, изъ чего слѣдуетъ, что разстоянія, протекаемыя точкою отъ начала теченія до конца каждаго изъ послѣдовательныхъ промежутковъ времени, составляютъ ариѳметическую прогрессію. Что же касается разстояній, протекаемыхъ точкою на линіи AB, то они уменьшаются пропорціонально остающимся послѣ каждаго изъ послѣдовательныхъ промежутковъ времени разстояніямъ отъ В. Такъ, если въ

первый промежутокъ времени точка протечетъ — всего предстоящаго ей пути AB, то-есть — AB, то и въ каждый изъ слѣдующихъ промежутковъ времени она также будетъ протекать предстоящаго ей пути, то-есть оставшагося послѣ предыдущаго промежутка времени. Что же касается этихъ остающихся путей или разстояній до точки В, то каждое изъ нихъ опредѣляется слѣдовательно вычитаніемъ изъ предыдущаго оставшагося разстоянія его — й или, что то же самое, умноженіемъ того же предыдущаго разстоянія на ^1— \ Такъ разстояніемъ до точки В, оставшимся послѣ перваго промежутка времени, будетъ

послѣ второго

послѣ третьяго.

и т. д. и наконецъ послѣ «-го

Остающіяся послѣ каждаго изъ послѣдовательныхъ промежутковъ времени разстоянія до точки В оказываются такимъ образомъ составляющими геометрическую прогрессію съ первымъ членомъ AB и знаменателемъ прогрессіи 1 — или 1 — если представить — въ болѣе общемъ видѣ 1с. Свою систему логариѳмовъ Неперъ образуетъ изъ этой геометрической прогрессіи и изъ вышеуказанной ариѳметической, доставляемой протекаемыми точкой на линіи DE разстояніями отъ начала теченія до конца каждаго

изъ послѣдовательныхъ промежутковъ времени, то-есть состоящей изъ членовъ

Образованіе своей, теперь уже полной, системы логариѳмовъ изъ этихъ двухъ прогрессій онъ выражаетъ, называя члены ариѳметической логариѳмами соотвѣтствующихъ имъ членовъ геометрической прогрессіи. Такъ если и СВ представляютъ соотвѣтствующіе члены обѣихъ прогрессій, то DF будетъ логариѳмомъ СВ. Въ началѣ, впрочемъ, вмѣсто слова „логариѳмы“ онъ употреблялъ терминъ „numeri artificiales“.

Свойство членовъ полученной Неперомъ ариѳметической прогрессіи быть логариѳмами соотвѣтствующихъ членовъ найденной имъ же геометрической, далеко не столь ясное, какъ въ извѣстныхъ до Непера неполныхъ системахъ логариѳмовъ, образуемыхъ непродолжаемыми внутри себя неопредѣленно прогрессіями можетъ быть однако же легко обнаружено. Пусть взятыми двумя соотвѣтствующими членами обѣихъ разсматриваемыхъ прогрессій будутъ ихъ и-ые члены, представляющіеся, по вышеизложенному, въ видѣ

ІВ (1 —А)" и AB.

Если разстояніе СВ, представляющее первый изъ этихъ двухъ членовъ, обозначить для краткости черезъ разстояніе DF, представляющее другой, черезъ и всю длину AB черезъ А, то

откуда

а слѣдовательно

или, принимая

Приведеніе послѣдняго равенства къ виду

показывающему, что

при основаніи а или также, что при

при томъ же основаніи, и даетъ искомое обнаруженіе указаннаго Неперомъ свойства членовъ полученной имъ ариѳметической прогрессіи. И въ самомъ дѣлѣ AB у Непера есть синусъ, выборъ котораго, какъ члена, соотвѣтствующаго 0 (нулю) въ ариѳметической прогрессіи, оставляется свободнымъ, но съ замѣчаніемъ, что наименьшія затрудненія представляются при выборѣ sinus totus, то-есть sin 90°, представляемаго радіусомъ, равнымъ въ простѣйшемъ случаѣ 1. Что же касается остальныхъ разстояній, такихъ какъ СВ, то они являются синусами, слѣдующими за избраннымъ, то-есть при выборѣ A sinus totus, синусами дугъ, заключающихся между 90° и 0°. Произведенное Неперомъ вычисленіе членовъ его ариѳметической прогрессіи должно было, слѣдовательно, доставить ему логариѳмы синусовъ указанныхъ сейчасъ дугъ, а въ ихъ совокупности таблицу этихъ логариѳмовъ. Какъ на характеристическія свойства послѣднихъ, обнаруживающіяся уже изъ условій предыдущаго чертежа, слѣдуетъ указать: 1) на то, что они положительны, и 2) на то, что, начинаясь съ логариѳма sin 90°, равнаго нулю, они возрастаютъ, тогда какъ соотвѣтствующіе имъ синусы уменьшаются.

Составъ Неперовыхъ таблицъ таковъ. Каждыя двѣ находящіяся рядомъ страницы ихъ относятся къ одному и тому же числу угловыхъ градусовъ, написанному сверху, или также къ числу градусовъ, дополняющему первое до 89° и написанному снизу. Каждая страница содержитъ въ себѣ 7 столбцовъ, изъ которыхъ въ первомъ и въ послѣднемъ на обѣихъ страницахъ помѣщены соотвѣтственно числа минутъ отъ 1 до 60 и отъ 60 до 1 въ восходящемъ, слѣдовательно, порядкѣ сверху внизъ въ первомъ и снизу вверхъ въ послѣднемъ. Столбцы второй и шестой съ надписью Sinus содержатъ величины синусовъ находящихся въ однѣхъ съ ними горизонтальныхъ строкахъ угловъ, или косинусы имъ дополнительныхъ. Столбцы третій и пятый, озаглавленные Logarithmi. заключаютъ въ себѣ логариѳмы помѣщенныхъ рядомъ съ ними синусовъ. Наконецъ средній или четвертый столбецъ съ надписью Differentiae содержитъ разности между написанными слѣва и справа отъ него логариѳмами, представляющія въ силу формулы

log sin cp — loy cos <p = log tang <p

логариѳмы тангенсовъ. Примѣромъ указаннаго строенія Неперовыхъ таблицъ можетъ служить слѣдующая строка, взятая со страницы, относящейся къ 9° и 80°

Неперовы таблицы, кромѣ своего прямого назначенія — давать логариѳмы синусовъ, косинусовъ и тангенсовъ, могли употребляться также и для нахожденія логариѳмовъ натуральныхъ чиселъ. Чтобы опредѣлить, наприм., log 137 достаточно, найдя въ таблицѣ секансовъ данное 13703048= 43й 8', отыскать въ Неперовыхъ таблицахъ

— log cos 43° 8' = —3150332.

Чтобы показать, что найденный логариѳмъ принадлежитъ числу, имѣющему 5-ю цифрами болѣе, чѣмъ данное число 137, Неперъ пишетъ

log 137 = —3150332 —00000.

Какъ поступалъ Неперъ въ случаяхъ, когда искомый уголъ прямо не заключается въ его таблицахъ, можно видѣть въ слѣдующемъ примѣрѣ:

log cos X =6994224.

Изъ таблицъ

log cos 60° 12'= 6992177 и

log cos 60° 13'= 6997258.

По Неперу

6994224 = log cos60° 12' 24

Произведенное гг. Wackerbarth1) и Glaisher2) изслѣдованіе Неперовыхъ таблицъ едва ли не впервые обнаружило, что содержащіеся въ нихъ логариѳмы вовсе не суть гиперболическіе или натуральные, какъ это было принято думать въ Исторіи Математики вслѣдствіе утвержденія Монтюкла, а въ учебникахъ со временъ Лакруа, назвавшаго гиперболическіе логариѳмы Неперовыми. Основаніе Неперовыхъ логариѳмовъ вслѣдствіе этого есть не е = 2,718281828--, а нѣкоторое другое число, попытка опредѣлить которое, сдѣланная названными сейчасъ двумя математиками не была удачна. Позднѣе основаніе неперовыхъ логариѳмовъ, которое пока можно обозначить какою-нибудь буквою, наприм., было найдено слѣдующимъ образомъ. По таблицамъ Непера число 0,693146922 есть логариѳмъ 0,5. Въ то же время по таблицѣ гиперболическихъ или натуральныхъ логариѳмовъ почти то же число 0,6931472 = log nat 2. Если, пренебрегая существующею между обоими числами незначительною разностью, принять ихъ равными, то можно будетъ написать

1) Les mondes, XXVI, р. 26.

2) Report of the Commitee of mathematical Tables p. 71 — 73, представляющій отдѣльный оттискъ изъ Report of the British Association for the Advancement of Science for 1873.

Почленное перемноженіе этихъ равенствъ даетъ

откуда

или

Вторымъ сочиненіемъ Непера о логариѳмахъ, написанномъ ранѣе перваго, но напечатанномъ только вмѣстѣ съ его вторыма изданіемъ, выпущеннымъ въ свѣтъ въ 1619 году сыномъ авторъ Робертомъ, было Mirifici logarithmorum Canonis constructio una cum appendice de alia atque praestantiore logarithmorum specie condenda, quibus accessere propositiones ad triangula sphaerica faciliore calculo resolvenda: Una cum annotationibus aliquot doctissimi D. Henrici Briggii, in eas et memoratam appendicem; authore et inventore Joanne Nepero, barone Merhitonii, etc.1). He сказавъ ничего въ первомъ сочиненіи о способахъ вычисленія своихъ таблицъ, то-есть содержащихся въ нихъ синусовъ и ихъ логариѳмовъ, онъ обѣщалъ сдѣлать это впослѣдствіи. Но съ исполненіемъ своего обѣщанія не спѣшилъ и притомъ въ такой мѣрѣ, что имѣющее его своимъ предметомъ названное сейчасъ сочиненіе и послѣ смерти автора осталось неотдѣланнымъ окончательно. Въ такомъ видѣ оно и вышло въ свѣтъ, сохранивъ даже первоначальное наименованіе логариѳмовъ терминомъ numeri artificiales.

(Продолженіе въ слѣд. №).

Задачи.

Подъ редакціей Э. Ю. Лейнѣка.

279. Показать, что всякая степень цѣлаго числа выше 2-й, можетъ быть представлена въ видѣ разности двухъ квадратовъ.

I. Ч.

280. Найти общія формулы для выраженія въ цѣлыхъ числахъ реберъ прямоугольнаго параллелепипеда, у котораго полная поверхность равновелика площади квадрата, построеннаго на его діагонали.

I. Ч.

281. Рѣшить систему уравненій:

Н. Косминковъ.

1) Scoto Edinburgh excudebat Andreas Hart, anno Domini 1619.

282. Показать, что неприводимое ур. + -(- а3= О

гдѣ а0, «J, а2,aä—дѣйствительныя количества не можетъ имѣть комплексный корень съ модулемъ 1.

283. Доказать, что выраженіе ѵ 7~. , гдѣ а, с, обозначаютъ длины сторонъ любого треугольника, всегда заключено между ~/= и .

Изслѣдовать, при какомъ видѣ треугольника ц =—=. _

284. Доказать, что длина діагонали прямоугольнаго параллелепипеда, имѣющаго ребрами медіаны какого-либо треугольника, выражается формулою кр, гдѣ полу периметръ упомянутаго треугольника, а к всегда заключено между 1 и 2 у/ 31).

285. Пересѣчь пучокъ лучей 0„, Оь, прямою такъ, чтобы въ сѣченіи получилась группа точект> А', О, конгруэнтная данной группѣ А, В, С, т.-е. чтобы А'В' = АВ и

А. Власовъ.

286. На прямой AB, какъ на діаметрѣ, описанъ кругъ и середины М и N обѣихъ полуокружностей соединены съ любою точкою Р окружности. Доказать, что точки Хи Y пересѣченія прямыхъ МР и NP съ діаметромъ раздѣлятъ послѣдній гармонически.

287. На линіи основанія равнобедреннаго треугольника взята точка S и изъ нея опущены перпендикуляры SP и SQ на боковыя стороны треугольника. Найти огибающую прямыхъ PQ.

В. Шлыгинъ.

288. Построить треугольникъ по основанію а, биссектору противолежащаго угла ßA и суммѣ -f- — двухъ другихъ сторонъ.

В. Кованько.

289. Доказать неравенство:

cosBl -f- cos IB Д- cos2 6' 2? 3/4, гдѣ A, В, C—углы треугольника.

В. Шлыгинъ.

1) Теоремы № 283 и 284 опубликованы въ іюлѣ 1916 г. сербскимъ математикомъ проф. М. Петровичемъ.

Рѣшенія задачъ.

222. Построить прямоугольный треугольникъ зная биссектрису BD остраго угла В и отрѣзокъ AD катета АС. (Уголъ С — прямой).

Пусть BD будетъ биссектриса угла В прямоугольнаго треугольника АВС. Проведя биссектрису угла А, замѣтимъ, что она составитъ съ BD уголъ

Опишемъ окружность около Д АВВ\ діаметръ ПУ этой окружности (см. зад. № 221) долженъ быть параллельнымъ сторонѣ BD. Проведя DG J_ AF, имѣемъ:

Пользуясь этимъ уравненіемъ, можемъ построить 25 по данныъ AB и ВВ.

Описавъ произвольнымъ радіусомъ окружность*), проведемъ въ ней хорды А'В' —AB и В'В' = ВВ. На продолженіи А’В' беремъ точку М такъ, что А’М= А'В1;проводимъ окружность концентрическую, касательную къ Ви изъ М касательную MNP къ ней. Тогда А'М . B'M=NM. или

2Ä7P = МР (МР — В В)............ (2).

Сравнивая (1) и (2), выводимъ 211 = МР.

По радіусу ~2~ описаннаго круга и двумъ сторонамъ построимъ Д АВВ;для полученія искомаго треугольника АВС достаточно опуститъ изъ В перпендикуляръ ВС на продолженіе AB.

Задача возможна всегда и допускаетъ одно рѣшеніе.

S. Верещагинъ (Козловъ), В. Кованько (с. Тейково), П. Козыревъ (Енисейскъ), В. Чичеринъ. (Ярославль).

*) Радіусъ выбираемъ больше

223. Черезъ данную точку провести къ данному углу В АС. сѣкущую PDE такъ, чтобы А1). АЕ = DE2. Для рѣшенія задачи воспользуемся методомъ подобія. Построимъ сначала треугольникъ А1 А, Е1 съ угломъ при вершинѣ А* равнымъ данному углу В АС, между сторонами котораго существовала бы зависимость

АА-АА—АА2* . . .(1).

Для рѣшенія этой послѣдней задачи опишемъ около треугольника ААА окружность, проведемъ діаметръ І)х А2 попустимъ высоту А А изъ А на D1E1. Тогда на основаніи извѣстной теоремы имѣемъ

АА • А А = А А • А*

Изъ этого равенства, принимая во вниманіе равенство (1) заключаемъ, что А1А,=АА. А А, т.-е. DXEX является для лин. А,А2 и А А среднею пропорціональною, откуда и обратно легко построитъ АА по даннымъ В1Е1 и DxDa.

Отсюда слѣдуетъ построеніе. На произвольномъ отрѣзкѣ DLEL описываемъ дугу, вмѣщающую уголъ В АС и проводимъ діаметръ DXD2. Опускаемъ изъ А на BlD2 перпендикуляръ А А* Отрѣзокъ D,E2 и будетъ искомою величиною, равной высотѣ АА*

Проведя на разстояніи ВХЕ2 прямую, параллельную ВХЕХ, будемъ имѣть въ точкахъ пересѣченія ея съ окружностью искомую вершину А*

Теперь на сторонахъ даннаго угла ВАС отложимъ отрѣзки, соотвѣтственно равные АА и АА и черезъ точку Р проведемъ прямую, параллельную АА* Эта прямая и будетъ искомою прямою.

Дѣйствительно, обозначивъ точки пересѣченія ея съ сторонами даннаго угла черезъ В и Е будемъ имѣть изъ подобія треугольниковъ:

Перемножая почленно обѣ пропорціи и замѣчая, что

по построенію, заключаемъ, что

Задача имѣетъ два рѣшенія, такъ какъ отрѣзокъ AtA можетъ быть расположенъ между сторонами даннаго угла двояко: А, на В А и А на СА или А, на C'A и А на ЕА-

Замѣтимъ наконецъ, что задача возможна лишь при условіи а<£> гдѣ а—данный уголъ В АС.

Дѣйствительно, обозначая для краткости стороны треугольника ADE черезъ ау dy е будемъ имѣть

а2 = d2 -j- е2 — 2de. cosa

и далѣе, а2 — de,

отсюда выводимъ

de — d2-\-e2 — 2de. cosa или de (1 2 cos a) = d2 -|- £2,

но изъ очевиднаго неравенства (rf—е)2> 0, выводимъ <f2-f е*>2<к, а поэтому заключаемъ, что

К. Верещагинъ (Козловъ), П. Козыревъ (Енисейскъ).

Новыя книги.

А. Киселевъ. Краткая ариѳметика для высшихъ нач. училищъ. Изд. 20-е. М. и П. Ц. 45 к.

А. Киселевъ. Элементарная алгебра. Изд. 28-е. П. 1916. Ц. 1 р. 60 к.

А. В. Цингеръ. Начальная физика. 1-я ступень. М. 1916. Изд. 6-е. Ц. 2 р. 50 к.

Н. Г. Лексинъ. Опытъ практическаго руководства по методикѣ ариѳметики. Изд. 2-е. Казань. 1916. Ц. 2 р. 80 к.

П. А. Некрасовъ. Средняя школа, математика и научная подготовка учителей. П. 1916.

Протоколъ чрезвычайнаго соединеннаго засѣданія московскихъ умелыхъ обществъ и учрежденій въ память Н. А. Умова. Съ нотр. и 2 табл. М. 1916.

В. Рабцевичъ. Методика начальной ариѳметики. Черниговъ. 1899. Ц. 90 к.

Отвѣтственный редакторъ I. Чистяковъ.

Типографія „Русскаго Товарищества печатнаго и издательскаго дѣла“. Москва, Чистые пруды, Мыльниковъ пер., с. д. Тел. 18-35,