№ 38.

Математическое Образованіе.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

Годъ пятый.

№ 6.

Октябрь 1916 г.

МОСКВА.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

Математическое Образованіе“

Октябрь 1916 г. Годъ 5-й. № 6.

Содержаніе. Аналогія между методами рѣшеній ариѳметическихъ и конструктивныхъ задачъ. И. Александровъ. — О великой теоремѣ Фермата, пр. Р. Bachmann, пер. Рабиновича. — Исторія ученія о логариѳмахъ. В. Бобынинъ. — Сліяніе различныхъ отдѣловъ математики въ одинъ учебный предметъ. В. Добровольскій.— Понятіе о безконечно-маломъ и его приложенія въ математикѣ. Дж. Виванти, пер. Е. Борткевичъ. — Теорія раціональныхъ приближеніи. В. Оглоблинъ. — О нѣкоторыхъ свойствахъ параболы и параболоидовъ. А. Масловъ,—Задачи. — Рѣшенія задачъ.—Физико-математическая секція пасхальнаго съѣзда 1916 г. бывшихъ слушателей Педагогическаго Института имени П. Г. Шелапутина. П. С. —Новыя книги. — Опечатки.

Аналогія между методами рѣшеній ариѳметическихъ и конструктивныхъ задачъ.

И. И. Александровъ (Москва).

Въ моей статьѣ „Классификація ариѳметическихъ задачъ“1) доказано, что для рѣшенія всякой ариѳметической задачи первой степени достаточно знать три метода и 8 пріемовъ рѣшенія. Эти методы ниже отмѣчены римскими цифрами I — X2). Далѣе мнѣ удалось показать, что число пріемовъ рѣшенія можно уменьшить, по крайней мѣрѣ, на три3). Однако такое сокращеніе, какъ я и указывалъ тамъ же, можетъ стѣснять иниціативу и свободу рѣшающаго задачу, и потому едва ли желательно. Въ тѣхъ же статьяхъ нѣкоторые мои доводы опираются на аналогію, а порою, и тождество ариѳметическихъ и геометрическихъ рѣшеній. Не имѣя тогда достаточнаго мѣста для основательнаго разбора этой аналогіи, я ограничился лишь обѣщаніемъ представить по этому вопросу подробности. Это и исполнено въ предлагаемой запискѣ.

Я намѣренъ далѣе придерживаться моей классификаціи ариѳметическихъ задачъ, той самой, которая указана въ предыдущихъ моихъ статьяхъ. Затѣмъ, не желая увеличивать статьи, я пропустилъ четыре основныя дѣйствія съ отрѣзками, углами и дугами и разсматриваю только задачи на всѣ дѣйствія, ограни-

1) 1 и 2 „Математическаго Образованія“ 1915 г., а также 7 и 3 Педагогическаго Вѣстника Московскаго Учебнаго округа“ 1914 и 1915 гг.

2) Методъ исключенія неизвѣстныхъ проявляется въ 5 пріемахъ рѣшенія и потому онъ самъ исключается изъ общей суммы 3-f 8.

3) № 5 „Математическаго Образованія“ 1915 г.

чивъ кругъ задачъ рѣшеніемъ ихъ исключительно двумя инструментами — циркулемъ и линейкой. Пропущенъ также способъ отношеній1) (или замѣняющій его способъ прямого или обратнаго приведенія къ единицѣ), потому что для даннаго вопроса онъ не даетъ ничего характернаго.

Задачи на вычисленіе. 1. Къ половинѣ суммы чиселъ 177 и 349 прибавить двѣ трети разности чиселъ 972 и 171, а результатъ раздѣлить на 7.

1. Къ половинѣ суммы отрѣзковъ и 6 прибавить двѣ трети разности отрѣзковъ с и d,а результатъ раздѣлить на 7.

2. Купецъ купилъ 728 пудовъ товара по 3 руб. пудъ. Четверть товара испортилась и не пошла въ продажу, а остальное продано по 5 руб. пудъ. Сколько получено прибыли?

2. Отъ даннаго треугольника отрѣзали четверть его площади въ видѣ треугольника СВХ (точка X —на прямой AB) а остатокъ упятерили. Требуется указать фигуру, которая показывала бы, насколько полученная площадь больше утроенной площади треугольника АВС.

I. Методъ обратности.

3. Я задумалъ число. Если его упятерить, къ результату прибавить 125 и все, что получится, раздѣлить на 6, то выйдетъ 115. Какое число я задумалъ?

Рѣш. Если бы дѣленія на 6 не было, получилось бы не 115, а 115.6 = 690.Если бы не прибавляли 125, то вышло бы не 690, а 565 и т. д.

3. Неизвѣстный отрѣзокъ упятерили, къ результату прибавили данный отрѣзокъ а; шестая часть полученной суммы равна данному отрѣзку 6. Начертить первоначальный отрѣзокъ.

До дѣленія на шесть получилось 6 6.Этотъ отрѣзокъ получимъ послѣ прибавленія а; слѣд., до прибавленія а было 66 —а.

4. Урядникъ согласился пускать старосту на мостъ каждый разъ на слѣдующемъ условіи. За каждое вступленіе на мостъ староста платитъ уряднику 40 коп., но зато послѣ этого урядникъ удваиваетъ оставшіяся у старосты деньги. Когда староста перешелъ мостъ 3 раза, то у него всѣ деньги вышли. Сколько было денегъ у старосты?

Эту задачу можно бы выразить слѣдующимъ образомъ:

„Изъ неизвѣстнаго числа вычитаютъ 40, остатокъ удваиваютъ. Съ полученнымъ числомъ дѣлаютъ тѣ же два дѣйствія. Со вновь полученнымъ числомъ дѣлаютъ опять тѣ же два дѣйствія и въ результатѣ получаютъ нуль. Каково неизвѣстное число?

Можно рѣшать этотъ вопросъ совершенно такъ же, какъ № 3; но вообще выражать такъ задачи совершенно безполезно.

1) Такъ я назвалъ способъ, въ основѣ котораго лежитъ идея, „чтобъ узнать неизвѣстное, иногда выгодно опредѣлить, во сколько разъ неизвѣстное больше или меньше одного изъ данныхъ“

Гораздо лучше прямо разматывать клубокъ дѣйствій, закрывшихъ неизвѣстное число.

Послѣ третьяго перехода у старосты денегъ не было; значитъ, до третьяго перехода у него было 40 коп. Эти 40 коп., получились послѣ удвоенія денегъ старосты; слѣд., когда староста заплатилъ за второй переходъ, у него оставалось 20 коп. Поэтому до второго перехода у старосты было СО коп. Эти 60 коп. получились послѣ удвоенія денегъ старосты; слѣд., послѣ первой уплаты въ 40 коп. у старосты оставалось 30 коп. Да заплачено за первый переходъ 40 коп.; слѣд., у старосты было 70 коп.

4. Изъ нѣкотораго квадрата вырѣзываютъ данный квадратъ А21); полученный въ остаткѣ новый квадратъ учетверяютъ. Изъ вновь полученнаго квадрата опять вырѣзываюъ данный квадратъ А4 и остатокъ учетверяютъ. Съ полученнымъ квадратомъ дѣлаютъ тѣ же два дѣйствія и въ результатѣ получается нуль. Начертить первоначальный квадратъ.

Послѣ третьяго вычитанія получился нуль; слѣд., до третьяго вычитанія выходилъ квадратъ А3, а до второго умноженія было А3:4=А12. Квадратъ АД получился послѣ 2-го вычитанія; слѣд., до 2-го вычитанія или все равно послѣ перваго умноженія получилось А^Д-А3 (надо оба квадрата превратить въ одинъ съ помощью теоремы Пиѳагора).

До перваго умноженія получилось (АД -[- А2) : 4 = (Ах : 2)2 —[— -4- (А: 2)2, а до перваго вычитанія было А2-(-(А1*-)-А3) = 4. Это и есть искомый квадратъ.

Предыдущіе два примѣра рѣшаются, быть можетъ, удобнѣе уравненіями, однако и въ ариѳметикѣ существуютъ примѣры, безъ всякаго сомнѣнія, легче разрѣшимыя ариѳметическими идеями; въ геометріи можно найти, сколько угодно, примѣровъ, въ которыхъ составленіе уравненія чрезвычайно сложно и трудно, рѣшеніе же этихъ уравненій еще болѣе затруднительно, между тѣмъ какъ тѣ же примѣры легко разрѣшаются идеями чистаго построенія.

5. Четыре лица А, В, С и D играютъ между собой на томъ условіи, что проигравшій игру долженъ заплатить каждому изъ остальныхъ столько, сколько тотъ имѣетъ. Первую игру проигралъ А, вторую — В, третью — С и четвертую — D. Послѣ этого каждый изъ нихъ имѣлъ по 48 руб. Сколько денегъ имѣлъ каждый первоначально?

Алгебра даетъ 4 уравненія съ 4 неизвѣстными, среди которыхъ (въ особенности при увеличеніи числа играющихъ) довольно легко запутаться. Между тѣмъ по методу обратности задача рѣшается легко при всякомъ количествѣ лицъ. Послѣ 4 й игры деньги А, В и С, удвоились; поэтому до 4-й игры они имѣли по 24 руб. и т. д. Рѣшеніе можетъ быть представлено слѣд. таблицей.

1) Для этого изъ вершины В даннаго квадрата ЛВС!) чертимъ дугу радіусомъ к до встрѣчи въ Мсъ полуокружностью, описанной на діаметрѣ ВС. Пусть DK J_ СМ. Тогда ДД ВСМ и CKD повертываютъ на 90° около центровъ вращенія В и D; М переходитъ въ N, К — въ G. Если СМ встрѣчаетъ въ точкѣ L, то квадратъ NBML будетъ искомымъ. Квадратъ —А2.

Такая же таблица, составленная въ обратномъ направленіи для уравненій, будетъ гораздо сложнѣе.

Черт. 1.

5. Даны три концентрическія окружности (черт. 1) Провести сѣкущую АВС {А, В и С точки встрѣчи съ окружностями) такъ, что АВ = ВС.

Вѣха. Отложимъ на произвольной прямой двѣ равныя и произвольныя части С1В1 и BfAt. Отыщемъ геометрическое мѣсто точекъ, разстоянія которыхъ до точекъ С, и находятся въ отношеніи ОС:ОВ\ затѣмъ отыщемъ геометрическое мѣсто точекъ, разстоянія которыхъ до точекъ С, и At пропорціональны ОС и О Л. Обѣ построенныя окружности встрѣтятся въ точкѣ Ог Тогда достаточно построить при О уголъ, равный / С^О^,въ произвольномъ положеніи.

Если эту задачу рѣшать уравненіями, то рѣшеніе получится не особенно сложное. Однако, если вмѣсто сѣкущей АВС потребовать уложить вершинами на данныхъ окружностяхъ треугольникъ ÂBC, подобный данному Д АХВХСХ то показанное рѣшеніе сохранитъ свою силу; рѣшить же задачу уравненіями будетъ очень и очень затруднительно.

Аналогія рѣшенія двухъ послѣднихъ задачъ состоитъ не въ подробностяхъ, а въ томъ, что наши вычисленія и построенія идутъ не въ обычномъ порядкѣ, т.-е. не отъ данной фигуры къ искомой, а, наоборотъ, отъ конечнаго результата, который извѣстенъ намъ по своимъ размѣрамъ или формѣ, къ первоначальному — такъ въ послѣднемъ примѣрѣ отъ Д АХВХС\, который долженъ быть результатомъ рѣшенія, мы стремимся перейти къ тремъ окружностямъ, проходящимъ черезъ его вершины, т.-е. къ фигурѣ, обычно служащей точкой отправленія построеній.

Считаемъ полезнымъ сдѣлать двѣ замѣчанія.

Во-первыхъ, никоимъ образомъ нельзя смѣшивать методъ обратности съ методомъ инверсіи (методъ обратныхъ фигуръ или обращенія). Методъ обратности въ геометріи есть частный случай другого болѣе общаго метода „построимъ фигуру, подобную искомой, а потомъ преобразуемъ ее согласно требованіямъ“. Въ такой формѣ этотъ методъ можетъ дать случаи, которымъ не найти аналогіи въ ариѳметикѣ.

И это очень понятно — не всякому вопросу формы и положенія въ пространствѣ можно подыскать чисто ариѳметическую оболочку, потому что сія послѣдняя, вообще говоря, рѣшаетъ задачи первой степени, а геометрія — задачи и высшихъ степеней. Если бы пожелали имѣть полную аналогію въ рѣшеніи тѣхъ и другихъ задачъ методомъ обратности, то намъ бы пришлось ограничиться исключительно задачами, общая форма которыхъ есть

+ а) + Ь] + с| +---f-dj —

гдѣ знакъ плюсъ можетъ быть по произволу замѣненъ знакомъ вычитанія, умноженія или дѣленія, при чемъ а, Ъ с---е, для ариѳметики суть раціональныя числа, а для геометріи они могутъ быть и отрѣзками, и нѣкоторыми числами, но съ соблюданіемъ однородности уравненія1).

Методъ инверсіи вообще имѣетъ дѣло съ кривыми второго порядка и потому ему нѣтъ аналогіи въ ариѳметикѣ; однако при построеніи отображенной фигуры нижепоказанные ариѳметическіе методы могутъ играть существенную роль.

Задачи на различные методы.

Методы исключенія неизвѣстныхъ съ помощью:

II. соединенія или сложенія:

6. Путешественникъ, выйдя изъ города, шелъ пѣшкомъ 6 часовъ и ѣхалъ на лошадяхъ 5 часовъ; всего онъ удалился отъ города на 80 верстъ. Въ другой разъ онъ, выѣхавъ изъ города, съ тѣми же скоростями проѣхалъ на лошадяхъ 11 часовъ, затѣмъ шелъ въ обратную сторону 6 часовъ и очутился въ 64 верстахъ отъ города.

Опредѣлить часовую скорость лошадей.

Здѣсь два неизвѣстныхъ — часовая скорость лошадей и часовая скорость пѣшехода. Одно надо исключить.

Соединимъ оба пути вмѣстѣ. Тогда С часовъ пути пѣшкомъ

Черт. 2.

1) Если въ общемъ видѣ задачъ, рѣшаемыхъ методомъ обратности, всѣ знаки плюсъ замѣнить произвольно знаками умноженія и дѣленія, то задача будетъ рѣшаться методомъ подобія.

впередъ покроютъ 6 часовъ пути пѣшкомъ назадъ, п въ 16 часовъ путникъ проѣзжаетъ на лошадяхъ 144 версты и т. д.

6. Даны двѣ параллели и на нихъ по точкѣ А и изъ внѣшней точки С провести сѣкущую (черт. 2) такъ, чтобъ АХ-{- BY было равно данной длинѣ.

Приложимъ къ BY отрѣзокъ АХ. Тогда положеніе точки Л извѣстно, и искомая прямая проходитъ черезъ середину AB.

Аналогія обоихъ рѣшеній состоитъ въ томъ, что какъ въ первомъ случаѣ соединеніе обоихъ оборотовъ выключило одно неизвѣстное (часовую скорость пѣшехода), такъ сложеніе неизвѣстныхъ АХ il BY исключило неизвѣстное BY, оставивъ равенство AX — DY, указывающее на рѣшеніе задачи.

III. вычитанія:

7. За 7 топоровъ и 9 сохъ заплачено 41 руб., а за 5 топоровъ и 9 сохъ по тѣмъ же цѣнамъ заплачено 37 руб. Почемъ топоръ и соха?

Сравнивая обѣ покупки, видимъ, что 2 топора стоятъ 4 руб. и т. д.

7. Даны двѣ параллели, на нихъ по точкѣ, А и В, и внѣшняя точка С. Провести сѣкущую CXY (черт. 2) такъ, чтобъ BY—АХ было равно данной длинѣ.

Отложимъ EY=AX; тогда ЕВ равно данной длинѣ и CY |] АЕ. Размѣръ аналогіи рѣшеній такой же, какъ въ ШЬ 6.

IV. Замѣны одного неизвѣстнаго другимъ:

8. Смѣшано 9 фунт. орѣховъ 1-го сорта съ 11 фунт. 2-го и 7 фунт. 3-го сорта. Сколько стоилъ фунтъ каждаго сорта, если вся смѣсь стоила 6 руб. 61 коп., а фунтъ 1-го сорта дороже на J5 коп. фунта 2-сорта и на 17 коп. — фунта 3-го сорта?

Замѣнимъ орѣхи перваго и второго сорта орѣхами третьяго сорта; тогда цѣна смѣси понизится на 17.9-f-2.ll = 175 коп. и будетъ равна 661 — 175 = = 486 коп. Поэтому 27 фунт. третьяго сорта стоятъ 486 коп. и т. д.

Легко составить линейную задачу изъ геометріи, которая рѣшалась бы вполнѣ идентично съ предыдущей1), однако мы предпочитаемъ, какъ и ниже, держаться задачъ, касающихся по-

Черт. 3.

1) Напримѣръ: „Найти три отрѣзка, которые, будучи соотвѣтственно умножены на 2, 3 и 4, въ суммѣ даютъ данную длину, если извѣстны разности между этими отрѣзками“.

ложенія и формы, хотя бы аналогія рѣшеній, сохраняясь въ главномъ, уменьшалась въ частностяхъ.

8. Даны три параллели, на нихъ по точкѣ, А, ВпС,и внѣшняя точка D. Черезъ I) провести окружность, встрѣчающую параллели въ X,Y и Zтакъ, что разности АХ — BY и CZ—В У имѣютъ данныя значенія (черт. 3).

Замѣнимъ отрѣзки АХ и CZ отрѣзкомъ BY. Тогда точки А и С перейдутъ въ извѣстныя точки Е и Пусть 01 будетъ центромъ окружности, проходящей черезъ и проводимъ изъ 01 параллели до встрѣчи съ дугою, описанной изъ D радіусомъ ОгЕ. Получимъ искомый центръ О.

Весьма важно замѣтить, что способъ замѣны, легко обходимый въ ариѳметикѣ (хотя бы способомъ уравниванія, см. У), въ геометріи дѣлается существенно необходимымъ; тамъ постоянно приходится опредѣленіе прямой или угла замѣнять опредѣленіемъ точки, отысканіе этой точки замѣнять отысканіемъ новой точки и т. д.

V. Уравниванія неизвѣстныхъ;

9. На трехъ полкахъ 548 книгъ; на верхней 19-ю книгами меньше, чѣмъ на средней, а на средней на 129 книгъ меньше, чѣмъ на нижней. Сколько книгъ на каждой полкѣ?

Здѣсь три неизвѣстныхъ — сдѣлаемъ ихъ равными. Для этого съ нижней полки снимемъ 129 книгъ и изъ этихъ 129 книгъ положимъ 19 на верхнюю полку.

Тогда на трехъ полкахъ останется 438 книгъ, на всѣхъ поровну; слѣд., на каждой осталось 438:3 = 146 книгъ. На верхнюю полку мы положили 19 книгъ; теперь ихъ надо снять и т. д.

9. Данный треугольникъ АВС раздѣлить трансверсалями ВХ и BY на три части такъ, чтобъ разности этихъ трехъ площадей имѣли данныя значенія (черт. 4).

Пусть Д АВХ = Д ХВ Y и Д Д ХВ — кг Уравняемъ всѣ три площади. Для этого къ Д АВХ прибавимъ Д М А В, равновеликій к\ а отъ Д Y ВС отнимемъ Д КВ С, равновеликій АД1). Трансверсали ВХ и должны дѣлить МК на три равныя части. Полная аналогія.

Для насъ важно замѣтить, что всѣ задачи №№ 6 — 8 легко рѣшаются методомъ уравниванія неизвѣстныхъ2). Это явленіе

Черт. 4.

1) Здѣсь приходится два раза рѣшить задачу .построить треугольникъ, равновеликій данному квадрату, такъ чтобъ одна сторона и прилежащій къ нему уголъ имѣли данныя значенія“. Построеніе треугольника выполняется такъ. Пусть квадратъ PQBS — к'1. Строимъ /_ = /_ BAG и на продолженіи ST откладываемъ TV = 2 PS. На продолженіи ТЛ откладываемъ ТК — AB, изъ В ведемъ параллель ѴК до пересѣченія въ 17 сь отрѣзкомъ VS. Д KUT—искомый.

2) Быть можетъ, это неясно по отношенію задачи Л? 6. Чтобъ уравнять АХ я BY, отложимъ (чер. 2) ТВ = АХ и XM=BY. Тогда искомая сѣкущая проходитъ черезъ центръ извѣстнаго параллелограмма

подтверждаетъ то, что уже сказано выше, а, именно, что пріемы II, III и IV можно замѣнить однимъ пріемомъ V, и, если кому трудно запомнить четыре идеи рѣшенія, то онъ можетъ ограничиться на этотъ разъ и одною идеею.

Что же касается метода уравниванія неизвѣстныхъ въ геометріи, то онъ въ соединеніи съ идеей совмѣщенія равныхъ представляетъ одинъ изъ сильнѣйшихъ методовъ построенія. Примѣромъ можетъ служить слѣдующая задача, одна изъ лучшихъ композицій пишущаго эти строки.

10. Даны три прямыя и на нихъ по точкѣ и провести сѣкущую такъ, чтобъ отношенія .4Х : и АХ CZ были данной величины (чер. 5).

Уравняемъ BY и CZ съ ЛѴ и совмѣстимъ ихъ вращеніемъ. Для этого опредѣлимъ центры вращеній О и 0„ совмѣщающихъ BY и съ АХ1).

На чертежѣ видно, какъ и CZ сначала дѣлаются параллельными ÆY, а затѣмъ какъ они, соотвѣтственно сжимаясь, могутъ быть совмѣщены съ АХ.ДД и АОВ подобны; тоже самое съ треугольниками OxXZ и слѣд., /_ОХ Y = /_ОАВ и /_OxXZ —/J\ А С, и потому ^/ОхХО извѣстенъ. Остается на отрѣзкѣ 001 описать дугу, вмѣщающую извѣстный уголъ.

Черт. 5.

VI. Уравниваніе данныхъ:

Этотъ способъ дѣлится на двѣ вѣтви, смотря потому, являются ли неизвѣстныя множимыми или множителями.

Въ первомъ случаѣ уравниваютъ повторяемость неизвѣстнаго въ двухъ различныхъ случаяхъ, съ цѣлью примѣнить способы II и III. Напримѣръ:

10. Торговецъ продалъ 9 грушъ и 2 яблока за 96 коп. Въ другой разъ онъ продалъ 8 грушъ и на полученныя въ этотъ разъ деньги купилъ 5 яблокъ, при чемъ ему дали сдачи 65 коп. Почемъ онъ продавалъ груши и яблоки, если цѣны въ оба раза были одинаковы и торговецъ не бралъ барыша?

Неизвѣстная цѣна яблока повторяется въ первой покупкѣ 2 раза, а во второй — 5 разъ. Надо сдѣлать такъ, чтобы яблокъ было поровну въ оба раза.

Увеличимъ первый оборотъ въ 5 разъ, а второй—въ 2 раза, и соединимъ ихъ вмѣстѣ. Тогда сумма, вырученная за яблоки

1) Съ этой цѣлью возьмемъ на АХ и В Г по произвольной точкѣ и такъ, чтобъ AB : BE = АХ : BY. Затѣмъ на отрѣзкахъ AB и BE опишемъ дуги, вмѣщающія угодъ между прямыми АХ и Пересѣченіе этихъ дугъ дастъ точку О.

въ первый разъ, покроетъ сумму, истраченную за яблоки во второй разъ, и выйдетъ, что 61 груша проданы за 610 коп. Слѣд., одна груша стоила 10 коп., а яблоко стоило (96—90) : 2 и т. д.

Можно было второй оборотъ оставить въ покоѣ, а первый увеличить въ 2,5 раза.

Этого рода способъ уравниванія данныхъ въ геометріи лишь упрощаетъ задачу, приводя ее къ болѣе простой, и въ этомъ его вся огромная сила. Непосредственной же силы для рѣшенія онъ, какъ кажется, не имѣетъ. При этомъ уравненіе чиселъ въ геометріи достигается разнообразными, подчасъ весьма характерными способами.

Такъ, въ задачѣ „даны три точки и черезъ провести прямую такъ, чтобъ разстоянія ЛХ и этой прямой отъ А и С удовлетворяли равенству 4АХ'г— 2, гдѣ к есть данный отрѣзокъ“ рѣшеніе значительно упростится, если коэффиціенты 4 и 9 сдѣлать равными. Для этого дѣлимъ въ А, пополамъ, а ВС дѣлимъ въ С\ такъ, чтобъ ВС1 : 6\С =1 :2, и получаемъ ту же задачу, въ которой точки и замѣнены точками Аг и Сг,разстоянія которыхъ отъ искомой прямой удовлетворяютъ равенству .IjXj2 — Сл Yli = k21).

Точно также въ задачѣ „Даны уголъ АВС и окружность О. Провести въ извѣстномъ направленіи прямую, опредѣляющую въ углѣ и окружности отрѣзки, отношеніе которыхъ равно т : и“ очень выгодно уравнять числа т и п.Для этого отрѣзокъ въ углѣ надо умножить на п:т. Чтобъ это сдѣлать, въ /_АВС проведемъ въ извѣстномъ направленіи отрѣзокъ ХГ, умножимъ его на получимъ отрѣзокъ XZ и проведемъ BZ. Тогда искомая сѣкущая въ углѣ ABZ и окружности О даютъ равные отрѣзки, и задача значительно упрощается. Однако необходимо замѣтить, что въ послѣднемъ примѣрѣ мы могли достигнуть тѣхъ же результатовъ, руководясь идеей уравниванія не данныхъ, а неизвѣстныхъ.

Во второй вѣтви этого метода уравниваютъ два данныхъ множимыя съ такимъ расчетомъ, чтобъ были видны послѣдствія этого уравниванія. Общихъ идей этого уравниванія указать едва ли возможно, но можно сказать, что они опредѣляются въ ариѳметикѣ главнымъ образомъ примѣненіемъ методовъ II и III, а въ геометріи соединеніемъ или всего чаще совмѣщеніемъ данныхъ послѣ того, какъ они сдѣланы равными. Примѣровъ чрезвычайно много и въ рѣшеніяхъ можно наблюдать полную аналогію.

11. Купецъ продалъ нѣсколько аршинъ синяго сукна по 7 руб. и нѣсколько аршинъ чернаго сукна по 3 руб. — всего на сумму 175 руб.; въ другой разъ онъ продалъ столько же синяго сукна по 5 руб. аршинъ и столько же (сколько въ первый разъ) чернаго сукна по 6 руб. аршинъ, и получилъ за все 260 руб. Сколько онъ продалъ каждаго сукна?

Чтобъ имѣть возможность сравнивать обѣ выручки, пустимъ въ первый разъ черное сукно по 6 руб. аршинъ; тогда синее

1) Рѣшеніе этой задачи помѣщено въ „Метод. рѣш. геом. задачъ“ Александрова за № 502, II.

сукно въ первый разъ придется пустить по 14 руб , и первая выручка достигнетъ до 350 руб. Разница въ выручкахъ равна 90 руб., и она произошла оттого, что на аршинъ синяго сукна накинуто 9 руб.; слѣд., синяго сукна было 10 арш. и т. д.

11. Построить четыреугольникъ ABCD, зная его стороны и разность угловъ и

Нужно наложить (чер. 6) ДД АВС и ACD такъ, чтобъ на чертежѣ получилась разность В — D (чер. 6). Но такъ какъ AB и AD неравны, то нужно Д АВС умножить на AD : AB. Тогда Д АВС преобразовывается въ Д Этотъ послѣдній обернемъ на 180° около АС въ положеніе АВ2Сі9 а Д АВ2С повернемъ около точки А на уголъ, равный углу B2AD. Точка В2 придетъ въ В, а точка . — въ С.2. Легко построить Д СВС2 (извѣстны DC2 — BC.AD:AB, CD и —D), а затѣмъ опредѣлить А, потому что извѣстны DA и АС:АС2.

Черт. 6.

VII. Методъ подобія.

Задачи, рѣшаемыя этимъ методомъ, дѣлятся на двѣ категоріи. Къ первой относятся тѣ задачи, къ которымъ можно примѣнить методъ подобія сейчасъ же, т.-е. безъ всякихъ предварительнымъ преобразованій. Общій типъ этихъ задачъ слѣдующій „одни изъ данныхъ суть отношенія искомыхъ; другое данное, будучи выражено черезъ одно неизвѣстное, мѣняется пропорціонально этому неизвѣстному. Опредѣлить неизвѣстныя“. Ко второй категорія принадлежатъ тѣ задачи, которыя требуютъ извѣстной отдѣлки, извѣстныхъ преобразованій, послѣ которыхъ задача приводится къ типу первой категоріи.

12. Три брата получили 1800 руб. Первый получилъ вдвое болѣе второго, а третій въ три раза — болѣе перваго. Сколько получилъ каждый? Пусть первый получилъ 50 руб. Тогда второй получилъ 25 руб., а третій —150 руб. Всего выходитъ 225 руб., т.-е., въ 8 разъ менѣе, а потому первой получилъ 50.8 и т. д.

12. Отъ даннаго Д АВС отдѣлить сѣкущею извѣстнаго направленія треугольникъ XYC даннаго периметра 2

Въ углѣ С проводимъ произвольную сѣкущую *іГг даннаго направленія. Пусть периметръ треугольника X, 1\С равенъ 2 рг; тогда Д X2Y2C надо умножить на число и получилъ требуемое.

Пусть вмѣсто периметра Д XYC долженъ быть извѣстной площади к2. Тогда надо измѣрить площадь треугольника Хг Y fi — пусть она равна к\2.Въ такомъ случаѣ ДІ,!^ пришлось бы умножить на к:кѵ Такое рѣшеніе имѣло бы полную аналогію съ рѣшеніемъ методомъ подобія слѣдующей ариѳметической задачи „стороны прямоугольника пропорціональны числамъ 3 и 8, а площадь его равна 4 десятинамъ; опредѣлить эти стороны“.

Примѣромъ задачъ второй категоріи на методъ подобія служитъ задача № 13.

VIII. Приведеніе неизвѣстныхъ къ такимъ значеніямъ, при которыхъ становится извѣстнымъ ихъ отношеніе; послѣ этого задача обыкновенно рѣшается методомъ подобія.

13. Три брата получили 995 руб. Старшій получилъ втрое больше младшаго и еще 85 руб., а средній въ 4 раза болѣе младшаго безъ 50 руб. Сколько получилъ каждый?

Сдѣлаемъ такъ, чтобъ старшій получилъ ровно въ 3 раза болѣе младшаго, а средній ровно въ 4 раза болѣе младшаго. Для этого у старшаго возьмемъ 85 руб. и изъ этихъ денегъ дадимъ среднему 50 руб. Тогда общая сумма станетъ 960 руб., и задача легко рѣшается методомъ подобія.

Въ самомъ дѣлѣ пусть младшій получитъ 10 руб.; тогда другіе получатъ 30 и 40, а всѣ вмѣстѣ 80 руб., т.-е., въ 16 разъ меньше, чѣмъ слѣдуетъ и т. д.

13. Данный Д АВС раздѣлить трансверсалями ВХ и BY на три треугольника, площади которыхъ были бы связаны соотношеніями Д АВХ==4: âXBY— к2и Д гдѣ и к\ суть данные отрѣзки.

Также какъ въ задачѣ № 9 (чер. 4) къ прибавимъ Д МАВ, площадь котораго равна к2, а отъ Д YВС отнимемъ Д КВС, площадь котораго равна kfi Тогда ВХ и дѣлятъ МК въ отношеніи 4:1:3.

IX. Способъ приведенія данныхъ въ порядокъ, яснѣе обнаруживающій неизвѣстное.

14. Яблоко дороже сливы на 9 коп., а 3 яблока дешевле 10 сливъ на 1 коп. Что стоитъ слива?

Замѣтивъ, что 3 яблока дороже трехъ сливъ на 27 коп., разсуждаемъ такъ. Десять сливъ дороже трехъ яблокъ на 1 коп., а три яблока дороже 3 сливъ на 27 коп. Слѣд., 10 сливъ дороже 3 сливъ на 28 коп., а потому 7 сливъ стоятъ 28 коп., и т. д. Зтому пріему соотвѣтствуетъ въ геометріи приведеніе частей фигуры ихъ передвиженіемъ въ положеніе, удобное для построенія. Примѣровъ очень много.

14. Вписать въ данную окружность четыреугольникъ ABCD, зная AB,CD и ВС fi AD.

Вращеніемъ около центра перемѣнимъ мѣстами сегменты ВС и CD. Тогда задача приведется къ извѣстной задачѣ „построить треугольникъ, зная а, А и b fi fi.

X. Разложеніе задачи на рядъ задачъ, изъ которыхъ каждая предыдущая приводится къ послѣдующей, или къ которымъ приводится основная задача1).

Въ геометріи главнымъ образомъ имѣетъ мѣсто первый случай, въ ариѳметикѣ — оба случая въ смѣшанной ихъ формѣ. Сведеніе одной задачи на другую, благодаря которому, какъ выразился одинъ изъ моихъ нѣмецкихъ рецензентовъ, нѣкоторыя задачи дѣлаются очагами рѣшенія цѣлаго класса задачъ, въ геометріи играетъ существенную роль и представляетъ одинъ изъ главныхъ элементовъ для умѣнья рѣшать задачи. Въ ариѳметикѣ этотъ пріемъ имѣетъ главнымъ образомъ чисто педагогическій, классный характеръ, если только преподаватель нашелъ возможнымъ проходить этого рода задачи.

15. Летѣло два стада гусей. Если изъ перваго стада перелетитъ во второе 16 гусей, то въ нихъ будетъ поровну. Если же изъ второго въ первое перелетитъ 4 гуся, то въ первомъ будетъ въ 5 разъ болѣе. Сколько гусей въ каждомъ стадѣ?

Эта довольно трудная задача сдѣлается совсѣмъ легкой, если овладѣть слѣдующими задачами:

1) Если изъ одного кармана переложить въ другой 16 коп., то въ нихъ будетъ поровну. На сколько въ одномъ болѣе, чѣмъ въ другомъ?

2) Одно число больше другого на 32. Какова будетъ разность этихъ чиселъ, если отъ меньшаго отнять 4, а къ большому прибавить 4?

3) Одно число больше другого въ 5 разъ; разность этихъ чиселъ равна 40. Найти эти числа (VII).

15. Даны четыре прямыя, выходящія ивъ точки Начертитъ параллелограммъ BEFD съ даннымъ угломъ такъ, чтобъ его вершины лежали на данныхъ прямыхъ, чтобъ сумма ВС -+- ЕС 4- FC -{- НС была данной величины (чер. 7).

Извѣстно, что построеніе четыреугольниковъ часто приводится параллельнымъ перенесеніемъ къ построенію параллелограммовъ. Поэтому естественно испытать обратный путь. Перенесемъ параллельно СЕ и С F въ БА и НА (чер. 7). Тогда задача приводится къ слѣдующей.

1) Построить четыреугольникъ АВСН, зная его углы, уголъ діагоналей и периметръ.

Черт. 7.

1) Само собой разумѣется, здѣсь я говорю о задачахъ, представляющихъ собою одно органическое цѣлое, а не о тѣхъ микстурныхъ задачахъ, которыя даются у насъ на письменныхъ экзаменахъ. Противъ такого рода задачъ, сшитыхъ подчасъ изъ 7—10 разношерстныхъ кусковъ, я неизмѣнно протестовалъ и въ печати, и устно — при каждомъ удобномъ случаѣ.

Имѣя въ виду методъ подобія, приводимъ эту задачу къ новой:

2) Узнать, опредѣляютъ ли углы и уголъ между діагоналями форму четыреугольника.

Такъ какъ Д_.ABD—/_CDB 180° — + діагональ BD пока остается произвольной, точки же и лежатъ на дугахъ, вмѣщающихъ углы А и С, то задача приводится къ слѣдующей.

3) Даны двѣ пересѣкающіяся въ В и D окружности. Отыскать па нихъ по точкѣ А и С такъ, чтобы направленіе АС и разность угловъ ABD и CDB были данныя (чер. 8).

Попробуемъ уравнять углы ABD и CDB. Съ этой цѣлью построимъ Z. ДВР, равный данной разности.

Тогда дуги АН и ВС имѣютъ равную мѣру, и задача приводится къ слѣдующей задачѣ.

4) На двухъ окружностяхъ дано по точкѣ Н и В. Отыскать на нихъ еще по точкѣ А и С, такъ чтобы дуги НА и ВС были подобны и направленіе АС было данное (условіе пересѣченія окружностей дѣлается лишнимъ).

Послѣдняя задача имѣетъ только одно рѣшеніе1), и потому углы и уголъ діагоналей четыреугольника вполнѣ опредѣляютъ его форму; рѣшеніе же основной нашей задачи очевидно.

Я старался добросовѣстно исполнить свою задачу, и, если въ нѣкоторыхъ случаяхъ меня постигла неудача, то зто могло произойти по двумъ причинамъ. Во-первыхъ, подъ руками у меня былъ чрезвычайно широкій матеріалъ; сдѣлать сравнительную оцѣнку примѣровъ, взятыхъ изъ этого матеріала, хотя и близко мнѣ знакомаго, было иногда нелегко и требовало не мало времени; къ тому же я не могъ отказаться отъ случая указать на большое значеніе методовъ вращенія, которые продолжаютъ быть у насъ недостаточно популярными. Во-вторыхъ, меня стѣсняло то обстоятельство, что наши преподаватели en masse, не имѣютъ, какъ мнѣ кажется, правильнаго отношенія къ изученію методовъ. Подробнѣе объ этомъ поговоримъ потомъ.

Москва, 1916. I. 7.

Черт. 8.

1) Подробное рѣшеніе см. въ № 481, II „Метод. рѣш. геом. задачъ“ Александрова.

О великой теоремѣ Фермата.

Проф. R. Bachmann, пер. Рабиновича.

(Продолженіе).

14. Для слѣдующихъ двухъ случаевъ

(56) хй-j- уъ я*

(57) X1 -j- у1 =

теорема Фермата тоже доказана элементарнымъ путемъ. Прежде всего можно установить—мы вернемся къ этому позже,— что одно изъ чиселъ х, у, z всегда должно дѣлиться на показатель степени 5 или 7; мы допустимъ, что этимъ числомъ является z. Неразрѣшимость уравненія (56) при этомъ условіи впервые была доказана Дирихле (Dirichlet) въ работѣ, прочитанной въ парижской академіи 11.7.1825 г. и напечатанной затѣмъ въ журналѣ Крелля (Crelle), 3, стр. 354/68; въ этой работѣ было предположено, что z является какъ разъ четнымъ изъ чиселъ X, у, z. Затѣмъ Лежандръ во второмъ отдѣлѣ „Theorie des nombres“ доказалъ при помощи особаго анализа всю теорему, т.-е. и случай Дирихле и другой случай, при которомъ z является нечетнымъ. Впослѣдствіи Дирихле далъ въ прибавленіи къ своей упомянутой работѣ (тамъ же, стр. 368 ff.) доказательство и послѣдняго случая, совершенно аналогичное доказательству перваго случая. Не останавливаясь здѣсь на этомъ доказательствѣ, упомянемъ только, что его методъ, какъ и методъ Фермата, состоитъ въ переходѣ отъ опредѣленнаго равенства, имѣющаго установленный видъ и разрѣшаемаго въ цѣлыхъ числахъ, къ другимъ равенствамъ того же вида, но съ постоянно уменьшающимися цѣлыми числами, и что основою доказательства снова служатъ двѣ вспомогательныя теоремы, относящіяся къ теоріи числового корпуса, образованнаго изъ і/+5. Именно, для того чтобы въ самомъ общемъ видѣ обратить выраженіе — 2 въ пятую степень, недѣлящуюся на 5, при помощи взаимно-простыхъ, обладающихъ различною четностью чиселъ q, изъ которыхъ послѣднее должно дѣлиться на 5, достаточно положить

при чемъ числа г, s должны считаться взаимно-простыми нечетными числами, изъ которыхъ первое не дѣлится на 5. Дирихле устанавливаетъ эти предложенія при помощи длиннаго ряда заключеній. Они оказываются простымъ слѣдствіемъ теоріи упомянутыхъ числовыхъ корпусовъ, если замѣтить, что алгебраическія цѣлыя числа соотвѣтствующаго корпуса представляютъ собою числа вида -, гдѣ и< ѵ сравнимы между собою по

модулю 2, и что для этихъ цѣлыхъ чиселъ корпуса снова существуетъ однозначное разложеніе на простые множители того же вида. Поэтому если выраженіе

гдѣ P, Q обозначаютъ взаимно-простыя и нечетныя числа, должно представлять собою пятую степень, недѣлящуюся на 5, въ то время какъ Q дѣлится на 5, то, принимая во вниманіе, что оба множителя не имѣютъ общаго дѣлителя, такъ какъ въ противномъ случаѣ онъ былъ бы общимъ и для чиселъ и \/ 5, мы прихо димъ къ выводу, что выраженіе —--------- либо само является пятою степенью, либо отличается отъ пятой степени на множитель или дѣлитель, равный единицѣ корпуса. Но такъ какъ, по условію, Q должно дѣлиться на 5, то эта единица корпуса обращается въ простую единицу, такъ что

Такъ какъ числа р, q мы считаемъ нечетными, то таковы же будутъ и числа и, V, и мы получаемъ такимъ образомъ вторую вспомогательную теорему. Такимъ же образомъ находится первая вспомогательная теорема, если принять, что Q = 2q, а

числа p,q — взаимно-простыя и различной четности.

15. Совершенно аналогичнымъ образомъ Ламе (Lamé, Journ. des Math. 5, 1840. стр. 195) впервые доказалъ теорему Фермата для уравненія (57), а затѣмъ Лебегъ (Lebesgue,тамъ же стр. 276 и 348) упростилъ его доказательство; въ этихъ работахъ тоже оказалось необходимымъ прибѣгнуть къ помощи теоремъ изъ теоріи соотвѣтствующихъ числовыхъ корпусовъ. Связь между такими числовыми корпусами и задачею Фермата сейчасъ же выясняется изъ того обстоятельства, что, согласно извѣстной теоремѣ ученія о дѣленіи окружности, для каждаго нечетнаго простого числа р можно написать:

(58)

гдѣ X, Y представляютъ собою цѣлыя функціи отъ х,у и, слѣдовательно, одновременно съ послѣдними обращаются въ цѣлыя числа. Оба множителя

(59)

на которые разлагается правая часть равенства (58), представля-

ютъ собою цѣлыя алгебраическія числа корпуса, образованнаго изъ величины у ( і) г ^# Но къ этому корпусу, воооще говоря, уже непримѣнимы обычные законы дѣлимости, и однозначное разложеніе его цѣлыхъ чиселъ на такъ называемые простые множители уже не имѣетъ мѣста, если эти множители должны быть того же вида. Чтобы получить однозначное разложеніе, приходится ввести опредѣленные числовые образы, которые носятъ названіе идеаловъ и могутъ быть распредѣлены по опредѣленному принципу эквивалентности на конечное число классовъ. Каждое цѣлое число корпуса разлагается тогда однозначнымъ образомъ на произведеніе простыхъ, такъ называемыхъ примъ-идеаловъ. Затѣмъ позже будетъ доказано, что если уравненіе

(60) xt -\ - ур —

разрѣшимо въ цѣлыхъ числахъ х,у,г, то лѣвая часть равенства (58) должна представлять собою либо ую степень, либо произведеніе таковой на число р. Въ первомъ случаѣ, если множители правой части равенства (59) не имѣютъ общаго дѣлителя, принадлежащаго этому корпусу, они должны сами представлять собою і>-ую степень опредѣленнаго идеала. Если мы при этомъ будемъ считать, что р не входитъ въ число классовъ идеаловъ, то на основаніи общей теоріи числовыхъ корпусовъ эти множители будутъ равны р-ымъ степенямъ другихъ цѣлыхъ чиселъ:

или отличается отъ этихъ степеней на множитель, равный единицѣ корпуса, и, слѣдовательно, можно провести доказательство такимъ же путемъ, какъ въ уже разсмотрѣнныхъ случаяхъ. Но, несмотря на то. что это могло бы привести къ цѣли только по отношенію къ числамъ р упомянутаго рода, уже работы Ламе и Лебега показываютъ, что при возрастаніи значеній показателя р разсужденія необычайно усложняются и, по всей вѣроятности, вскорѣ становятся невыполнимыми.

Съ помощью корпуса, соотвѣтствующаго дѣленію окружности, т.-е. съ помощью чиселъ, образованныхъ изъ корня р-ой степени изъ единицы, на которыя указываетъ уже предыдущая замѣтка, Куммеру удалось доказать великую теорему Фермата для всѣхъ простыхъ показателей р, удовлетворяющихъ опредѣленному условію, даже въ гораздо болѣе общемъ смыслѣ, чѣмъ самъ Ферматъ предполагалъ,—именно, доказать, что равенство (60) неразрѣшимо не только въ цѣлыхъ раціональныхъ, но и въ цѣлыхъ алгебраическихъ числахъ, принадлежащихъ области дѣленія окружности. Еще неизвѣстно, существуетъ ли конечное или безконечное количество такихъ простыхъ чиселъ ѵ; но такъ какъ къ нимъ принадлежатъ всѣ простыя числа пер-

вой сотни, то теорема Фермата уже установлена для всѣхъ простыхъ чиселъ р < 100. См. ст. Куммера въ Journ. f. reine u. angew. Math. 40 (1850), стр. 130, или въ Journ. des math. (1) 16 (1851), стр. 488. Простыя числа 37, 59, 67, собственно, не принадлежатъ къ тѣмъ, которыя удовлетворяютъ упомянутому условію, но и для нихъ Куммеръ доказалъ теорему Фермата при помощи особаго изслѣдованія (Abh. der Berliner Acad. 1857, стр. 41; Monatsberichte devselben 1857, стр. 275). Но эти разсужденія Куммера выходятъ какъ за предѣлы настоящаго сочиненія, такъ и за предѣлы поставленной нами цѣли: разсмотрѣнія главныхъ предложенныхъ до сихъ поръ элементарныхъ попытокъ доказательства — цѣли, имѣющей тѣмъ болѣе основаній, что если Ферматъ, дѣйствительно, обладалъ доказательствомъ своей теоремы, то и оно могло быть только элементарнымъ.

(Продолженіе въ слѣд. №)

Исторія ученія о логариѳмахъ.

По поводу 300 лѣтія выхода въ свѣтъ Mirifici logarithmorum canonis descriptio Джона Непера.

(Продолженіе).

В. В. Бобынинъ. (Москва).

Также результатомъ сравненія ариѳметическихъ и геометрическихъ прогрессій, хотя и не новымъ, было высказываемое Штифелемъ заключеніе о томъ, что сложенію и вычитанію, производящимся въ ариѳметическихъ прогрессіяхъ, соотвѣтствуютъ умноженіе и дѣленіе въ геометрическихъ. Для немедленнаго приложенія этого заключенія Штифель пользуется прямымъ и обратнымъ тройными правилами. Онъ находитъ, въ самомъ дѣлѣ, если употреблять буквенное обозначеніе, изъ подчиненія чиселъ а, -f-b, b-\-d закону b -f- d = b-)- (a -f- d —a, что въ прямомъ тройномъ правилѣ четвертый членъ равняется частному отъ дѣленія произведенія второго и третьяго членовъ на первый, а въ обратномъ частному отъ дѣленія произведенія перваго и второго членовъ на третій.

Пополнивъ указаннымъ путемъ два пробѣла, заключавшіеся ранѣе въ ученіи о совокупности ариѳметической и геометрической прогрессій, образующей систему логариѳмовъ, Штифель подходилъ также и къ идеямъ, которыя при своемъ углубленіи, а также и при условіи наличности познанія степеней съ дробными показателями могли бы привести его къ устраненію главной причины неполноты системъ логариѳмовъ, состоявшей въ отсутствіи свѣдѣній о способности ариѳметическихъ и геометрическихъ прогрессій къ

неопредѣленному продолженію внѣ и внутри себя, то-есть между каждыми двумя рядомъ - стоящими членами. Отправляясь отъ мысли, что нѣкоторые изъ членовъ ряда послѣдовательныхъ степеней одного и того же числа вмѣстѣ съ соотвѣтствующими нмъ членами натуральнаго ряда могутъ быть разсматриваемы, какъ главные, остальные же какъ промежуточные, онъ въ качествѣ таковыхъ вставлялъ между 2 и 32, какъ главными, числа 4, 8,16 и соотвѣтственно между 1 и 5 числа 2, 3 и 4. Затѣмъ; можетъ-быть, ему не доставало только знанія степеней съ дробными показателями, чтобы сдѣлать шагъ далѣе и прійти, наприм., къ такой вставкѣ промежуточныхъ членовъ между членами ряда послѣдовательныхъ цѣлыхъ степеней числа 8, то-есть ряда 8°, 81, 8s, 83,... или 1, 8, 64, 512,..., которая давала бы рядъ 8°, 8*'>, 8V., 81, 81*/., 8іа/з, 82, 82V», 822/з, 83,... или 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,... Въ виду же отсутствія въ этомъ послѣднемъ ряду чиселъ 3, 5, 6, 7,... можно было прійти къ мысли о возможности путемъ продолженія вставокъ указаннаго рода достигнуть, наконецъ, хотя бы приближенно выраженія членовъ, отсутствовавшихъ ранѣе въ каждой изъ прогрессій, образующихъ систему логариѳмовъ. Не осуществивъ вслѣдствіе исключительнаго употребленія при вставкахъ только цѣлыхъ чиселъ ни одной изъ указанныхъ сейчасъ возможностей на дѣлѣ, онъ, повидимому, ихъ однакоже прозрѣвалъ. Какъ на выраженіе этого провидѣнія можно указать на замѣчаніе, сдѣланное имъ въ упомянутомъ уже мѣстѣ У главы III книги. Можно было бы, говоритъ онъ, вставить здѣсь цѣлую новую книгу о нѣкоторыхъ удивительныхъ свойствахъ чиселъ, но отъ попытки сдѣлать это онъ долженъ уклониться и уйти отъ нея съ закрытыми глазами1). Первое, по крайней мѣрѣ въ печати, осуществленіе провидѣнія Штифеля, то-есть образованія системы логариѳмовъ изъ совокупности ариѳметической и геометрической прогрессій, неопредѣленно продолжаемыхъ внѣ и внутри себя выпало на долю математиковъ слѣдующаго ряда поколѣній.

Порожденное ученіемъ о прогрессіяхъ, ученіе о логариѳмахъ въ теченіе долгаго времени только ему одному и было обязано своимъ крайне медленнымъ дальнѣйшимъ развитіемъ. Съ XYI столѣтія обнаружился еще и другой гораздо болѣе мощный импульсъ къ движенію впередъ ученія о логариѳмахъ. Имъ было стремленіе къ сокращенію и упрощенію вычисленій, вызванное большимъ ихъ развитіемъ въ этомъ столѣтіи въ астрономіи. Тригонометрическія таблицы, съ помощью которыхъ они производились, какъ состоявшія изъ чиселъ, содержащихъ 16 и болѣе знаковъ, требовали для своего составленія громадной затраты труда и времени. Также очень продолжительными и сложными были въ большинствѣ случаевъ и производимыя съ ихъ помощью вычисленія. Въ виду всего этого упомянутое стремленіе явилось не только понятнымъ, но и необходимымъ и настолько сильнымъ,

1) Posset fere hic novus liber integer scribi de mirabilibus numerorum, sed oportet ut me hic subducam, et clausis oculis abeam.

что, когда на основаніи вышеуказанныхъ предложеній исчисленія логариѳмовъ была сознана возможность пониженія съ ихъ помощью ступеней дѣйствій, развитіе ученія о логариѳмахъ пошло такъ быстро, что очень скоро, говоря относительно, было достигнуто его завершеніе. Достиженіемъ такого неожиданнаго по сравненію съ прежнимъ медленнымъ движеніемъ результата ученіе о логариѳмахъ было обязано полному раскрытію и широкому использованію способности ариѳметическихъ и геометрическихъ прогрессій къ неопредѣленному продолженію внутри себя, то есть между ихъ каждыми двумя рядомъ-стоящими членами. И то-и другое было первоначально, дѣломъ одного и того же математика, къ ознакомленію съ жизнью и дѣятельностью котораго теперь и слѣдуетъ обратиться.

(Продолженіе въ слѣд. №).

Сліяніе различныхъ отдѣловъ математики въ одинъ учебный предметъ.

(Проектъ организаціи преподаванія математики въ средней школѣ на новыхъ началахъ).

В. Добровольскій (Москва).

Математика, какъ, впрочемъ, и другія науки, шла въ своемъ историческомъ развитіи двумя путями: путемъ спеціальныхъ, частныхъ изслѣдованій въ ограниченныхъ областяхъ, открывая при этомъ все новые и новые факты, и путемъ сопоставленія извѣстныхъ ранѣе фактовъ и изучія ихъ съ новой, объединяющей точки зрѣнія. Изъ области первыхъ изслѣдованій достаточно, можетъ быть, указать на геометрію треугольника и теорію чиселъ, чтобы увидѣть, какъ далеко можно уйти въ одномъ направленіи внѣ связи съ другими. Но стоитъ только вспомнить открытіе Декартомъ аналитическаго метода (метода координатъ) изслѣдованія геометрическихъ проблемъ или новѣшія работы Клейна и Пуанкаре, въ которыхъ старые вопросы освѣщаются съ новыхъ точекъ зрѣнія, — и мы поражаемся новыми горизонтами, открывающимися передъ нами, мы видимъ, какъ возникаютъ въ громадномъ числѣ новыя проблемы тамъ, гдѣ казалось уже все извѣстно до мельчайшей песчинки, и какъ эти проблемы привлекаютъ къ себѣ изслѣдователей.

Если въ средней школѣ должна излагаться наука (а это, на нашъ взглядъ, должно имѣть мѣсто, будетъ ли этой наукой математика, физика, біологія или исторія), то возникаетъ вопросъ, какой изъ указанныхъ двухъ путей нужно избрать для преподаванія математики?

Вплоть до самаго послѣдняго времени школа шла почти исключительно первымъ путемъ; математика дробилась на ари-

ѳметику, алгебру, геометрію (съ подраздѣленіемъ на планиметрію и стереометрію) и тригонометрію, а въ послѣдніе годы къ этимъ отдѣльнымъ предметамъ пристраивались также въ видѣ отдѣльныхъ предметовъ аналитическая геометрія и анализъ. Правда, въ геометріи часто опираются на алгебраическія познанія, но это всегда носитъ характеръ вспомогательный, а не принципіальный, и даже имѣются попытки, въ подражаніе Евклиду, совсѣмъ обойтись безъ этой помощи. Однако, присматриваясь къ такому дѣленію учебнаго матеріала, мы видимъ съ одной стороны, что границы этихъ предметовъ (за исключеніемъ геометріи) оказываются нѣсколько неясными; такъ, одними употребленіе буквъ считается достаточнымъ, чтобы отмѣтить алгебру отъ ариѳметики, другими всѣ свойства чиселъ хотя бы и обобщенныхъ (относительныхъ, ирраціональныхъ, комплексныхъ) относятся къ ариѳметикѣ, алгебрѣ оставляются лишь уравненія, а изученіе функцій обозначается уже какъ анализъ. Съ другой стороны мы видимъ, что и эти нетвердо установленныя границы часто переходятся и уже безъ всякихъ исключеній: на урокахъ ариѳметики знакомятъ съ „квадратными и кубическими мѣрами“, т.-е. съ геометрическими понятіями площадей и объема и рѣшаютъ задачи, представляющія въ скрытомъ видѣ уравненія; на урокахъ алгебры упражняются въ извлеченіи квадратнаго корня изъ чиселъ и въ логариѳмическихъ вычисленіяхъ, что должно быть отнесено къ ариѳметикѣ, если въ основу раздѣленія ариѳметики и алгебры класть употребленіе буквъ, изученіе же два раза теоріи дробей и пропорцій, одинъ разъ на числахъ въ ариѳметикѣ, другой разъ на буквахъ въ алгебрѣ, являются всегда для учениковъ скучнымъ и непонятнымъ повтореніемъ. Наконецъ, на урокахъ геометріи, хотя и въ качествѣ служебныхъ, излагаются теоремы анализа (о предѣлахъ), а въ тригонаметріи впервые говорятъ о функціяхъ, точно раньше для этого не нашлось бы повода. И эта трудность разграниченія математическаго матеріала не случайна, а коренится въ существѣ дѣла—существуютъ ли на самомъ дѣлѣ эти рѣзкія границы, чтобы можно было сказать: вотъ этотъ фактъ цѣликомъ относится къ области ариѳметики, а этотъ—къ области алгебры? Возьмемъ хотя бы область чиселъ и дѣйствій надъ ними. Опредѣленіе всякаго обратнаго дѣйствія есть въ сущности опредѣленіе того уравненія, корнемъ котораго служитъ искомый результатъ этого дѣйствія; такъ, опредѣленіе вычитанія 5 изъ 9 можетъ быть записано уравненіемъ 5 -f- х = 9; особенно ясно это выступаетъ при опредѣленіи корня п-ой степени изъ единицъ, какъ корня двучленнаго уравненія Xй —1=0, или опредѣленіе „алгебрическихъ“ чиселъ, т.-е. корней алгебрическихъ уравненій. Возьмемъ область уравненій—здѣсь мы найдемъ, что свойства уравненій представляютъ въ сущности свойства функціи стоящей въ его лѣвой части. Выраженіе „алгебрическій анализъ“, употребляемое часто въ настоящее время, достаточно ярко характеризуетъ современные взгляды на эти вопросы. Что касается геометріи, то дѣленіе ея на планиметрію и стереомет-

рію даетъ поводъ удивиться отсутствію эвдеметріи, геометріи на прямой. Между тѣмъ уже въ „Началахъ“ Евклида мы находимъ геометрическіе факты, которымъ мы теперь обычно придаемъ лишь ариѳметическое (или, если угодно алгебрическое) значеніе, напримѣръ ( а -J— b )2 = а2 —2аЬ —|— Ь2 и т. п. При помощи же метода координатъ мы устанавливаемъ полный параллелизмъ между анализомъ (алгебраическимъ и безконечно-малыхъ) и геометріей; съ этимъ параллелизмомъ математики въ настоящее время такъ свыклись, что выраженіе „рѣшеніе системы двухъ уравненій съ двумя неизвѣстными“ вызываетъ неизбѣжно представленіе о пересѣченіи двухъ кривыхъ на плоскости.

Долго стоявшіе на мѣстѣ и, казалось, застывшіе методы обученія математикѣ сдвинулись, наконецъ, съ своихъ прежнихъ позицій и уже теперь преподаватель не боится иллюстрировать алгебрическое тождество на отрѣзкахъ или площадяхъ, не сторонится отъ графическаго рѣшенія уравненій, не бѣжитъ отъ функцій, какъ отъ чумы, и не открываетъ прямой пропорціональности между временемъ передачи телеграммы и разстояніемъ, а обратной—между числомъ каменьщиковъ и временемъ постройки стѣны... Фузіонизмъ въ геометріи представляетъ уже смѣлое посягательство на традиціи, тригонометрія уже входитъ составною частью въ планиметрію, а начертательная геометрія— въ стереометрію.

Послѣ всего сказаннаго ясно, что наше предложеніе заключается въ доведеніи современныхъ педагогическихъ теченій въ области математики до ихъ логическаго конца—до полнаго сліянія различныхъ отдѣловъ математики въ одинъ учебный предметъ; я думаю, излишне, добавлять, что этотъ предметъ долженъ находиться въ рукахъ одного преподавателя, ведущаго своихъ учениковъ на протяженіи всего курса. Въ дальнѣйшемъ нами будутъ приведены примѣрныя программы такого курса, какъ онъ намъ представляется, а теперь намъ хочется указать еще на характеръ самаго преподаванія такой соединенной математики.

Мы не можемъ отрѣшиться отъ мысли, что современный образованный человѣкъ, къ какой бы профессіи онъ ни принадлежалъ, нуждается въ довольно обширныхъ математическихъ свѣдѣніяхъ и навыкахъ, нуждается чисто практически, какъ въ инструментахъ для удовлетворенія своихъ профессіональныхъ потребностей. Такія свѣдѣнія онъ долженъ получить въ общемъ для всѣхъ отдѣленіи средней школы, гдѣ математика будетъ играть роль, хотя и вспомогательнаго, но въ равной степени съ другими обязательнаго, а не „второстепеннаго“ предмета. Такое служебное значеніе математики не означаетъ, впрочемъ, исключенія изъ нея матеріала, безразличнаго въ смыслѣ узкопрактическомъ, но интереснаго самого по себѣ, во-первыхъ, потому, что зачастую невозможно опредѣлить, что „безразлично“ и что „полезно“, а во-вторыхъ, интересъ къ чисто математическимъ фактамъ, напр. къ числовымъ соотношеніямъ или къ геометрическимъ мѣстамъ, есть почти у всѣхъ дѣтей и подро-

стковъ, и лишать ихъ этого матеріала, значитъ забывать, что мы не только готовимъ будущихъ профессіоналовъ, но и входимъ въ общеніе съ живой душой ребенка. По тѣмъ же соображеніямъ эти свѣдѣнія не только не должны быть навязаны, но ихъ сообщеніе должно согласоваться съ возрастомъ учениковъ, такъ что естественный въ ихъ устахъ вопросъ „почему это такъ?“ долженъ рѣшаться на разныхъ ступеняхъ различными путями.

Подобному циклу свѣдѣній, по нашему мнѣнію, слѣдуетъ отвести 5 лѣтъ изъ 7 или 8.

Другой принципъ, выставляемый нами для средней школы, это—необходимость распредѣленія учениковъ въ старшихъ классахъ на группы по ихъ склонности къ той или иной области знанія; будетъ ли этотъ принципъ осуществленъ при помощи бифуркаціи или факультативными занятіями въ предѣлахъ единой школы, наше мнѣніе таково, что математику, какъ науку (а такой характеръ и должно носить преподаваніе въ старшихъ классахъ), нельзя преподавать одинаково юношамъ, обнаружившимъ интересъ и способности именно въ этой области, и другимъ, имѣющимъ влеченіе въ сторону біологіи или гуманитарныхъ наукъ. Для первыхъ это долженъ быть систематическій курсъ математики, включающій какъ прежнія свѣдѣнія, такъ и новыя, необходимыя для общей связи. Такихъ курсовъ удобно сдѣлать два: первый, какъ общій курсъ ариѳметики, алгебры и анализа (три великихъ А) въ связи съ геометрическими приложеніями, и второй, какъ курсъ геометріи, проведенный параллельно по различнымъ методамъ, а именно: а) чистогеометрическіе методы, т.-е. проективная геометрія и геометрія мѣры безъ пользованія свойствами алгебраическихъ формулъ, в) промежуточный методъ, т.-е. такъ назыв. приложеніе алгебры къ геометріи, с) методъ координатъ, т.-е. аналитическая геометрія и дифференціальная геометрія. Для достиженія поставленной цѣли—уясненія этихъ методовъ—достаточно изложить изслѣдованіе основныхъ свойствъ коническихъ сѣченій. Если при этомъ преподаватель остановится нѣсколько подробнѣе на однихъ задачахъ въ ущербъ другимъ, не заботясь о полнотѣ и даже цѣльности курса, но заставитъ юношу почувствовать всю красоту, свойственную математическимъ проблемамъ и хоть разъ приведетъ его въ тотъ священный восторгъ, который можно сравнить развѣ только съ переживаніями человѣка, слушающаго прекрасное исполненіе классической музыки,—рѣшеніе такой задачи наполнитъ самого учителя наивысшей доступною для человѣка радостью.

Для тѣхъ же, кого привлекаютъ иныя проблемы, кто испытываетъ больше радости отъ соприкасанія съ электромагнитными волнами, растительной клѣткой или общественными отношеніями, для тѣхъ всетаки любопытно выяснить взаимныя отношенія наукъ, въ томъ числѣ и математики, ея историческую роль и логическую основу.

Въ результатѣ такого преподаванія математики мы ожидаемъ получить:

1) цѣльность образованія, въ центрѣ котораго будетъ стоять любимая наука,

2) твердую почву для выработки общаго міросозерцанія,

3) отношеніе къ наукѣ, какъ носительницѣ чистаго знанія, независимо отъ ея практическихъ приложеній, и, вслѣдствіе зтого, наконецъ,

4) уваженіе къ истинѣ.

Программа первой ступени.

1-ый классъ (4 часа).

Вычисленія съ цѣлыми числами. Знакомство съ русскими и метрическими мѣрами. Ознакомленіе съ основными геометрическими образами (прямая, плоскость, отрѣзокъ, линейный и двугранный уголъ), и ихъ взаимнымъ положеніемъ (параллельность, перпендикуллярность), Построеніе простѣйшихъ фигуръ на плоскости и тѣлъ. Площадь прямоугольника и квадрата. Объемъ прямоугольнаго бруска и куба. Полученіе простѣйшихъ дробей путемъ дробленія и путемъ измѣренія величинъ. Обращеніе смѣшаннаго числа въ непрерывную дробь и наоборотъ, сокращеніе дроби и приведеніе ея къ разнымъ знаменателямъ (путемъ догадки и подбора, на простыхъ примѣрахъ, безъ заучиванія правилъ). Понятіе о десятичныхъ дробяхъ. Сложеніе и вычитаніе дробей, обыкновенныхъ и десятичныхъ. Умноженіе и дѣленіе дроби на цѣлое число. Употребленіе буквъ и знаковъ = ,>,<. Иллюстрація дѣйствій надъ дробями при помощи отрѣзковъ, угловъ и дѣленій круга,

2-ой классъ (4 часа).

Четыре дѣйствія съ дробями, обыкновенными и десятичными. Обращеніе десятичной дроби въ простую и обратно. Округленіе чиселъ. Приближенное значеніе частнаго двухъ чиселъ. Отношеніе, процентныя вычисленія (надбавка и скидка). Число И (эмпирически). Переводъ мѣръ съ метрическихъ на русскія и обратно. Простѣйшія геометрическія построенія. Превращеніе фигуръ путемъ разрѣзанія ихъ на части и собиранія частей въ другомъ порядкѣ. Вычисленіе площадей прямолинейныхъ фигуръ. Составленіе буквенныхъ формулъ для нихъ. Вычисленіе объема и вѣса призматическихъ тѣлъ. Вычисленія со скобками и сложныя дроби. Опредѣленіе ошибки (абсолютной) при сложеніи, вычитаніи, умноженіи приближенныхъ чиселъ и при дѣленіи приближеннаго числа на точное.

3-ій классъ (4 часа).

Измѣненіе въ данномъ отношеніи. Подобіе. Пропорціональность. Первое понятіе о функціи и ея графикѣ. Простѣйшія

уравненія 1-ой степени съ 1 и 2 неизвѣстными съ числовыми коэффиціентами. Линейная функція и ея графика. Опредѣленіе обратныхъ дѣйствій изъ уравненій. Степени и корни. Извлеченіе квадратнаго корня изъ чиселъ (механически, безъ доказательства, но съ повѣркой). Вычисленія по готовымъ формуламъ (напр. площади треугольника по тремъ сторонамъ,объема шара и др.). Простѣйшія буквенныя уравненія въ родѣ опредѣленія d изъ уравненія S — . Опредѣленіе площади правильнаго многоугольника, круга и сектора. Отношеніе площадей подобныхъ фигуръ.

4-ый классъ (4 часа).

Простѣйшія алгебраическія преобразованія (6 дѣйствій надъ одночленами и многочленами). Формулы приближеннаго вычисленія. Пропорціи на числахъ и на отрѣзкахъ. Среднее пропорціональное. Теорема о перпендикулярѣ и катетахъ. Теорема Пиѳагора. Объемъ конуса, полнаго и усѣченнаго. Объемъ и поверхность шара. Дѣйствія надъ относительными числами. Простѣйшія алгебраическія функціи; параболическій и гиперболическій графикъ. Квадратныя уравненія. Комплексныя числа. Геометрическія мѣста 1-ой степени и простѣйшіе примѣры мѣстъ 2-ой степени на плоскости и въ пространствѣ, построеніемъ и аналитически. Тригонометрическія функціи остраго угла. Рѣшеніе прямоугольныхъ треугольниковъ.

5-ый классъ (4 часа).

Функція показательная. Понятіе объ отрицательныхъ и дробныхъ показателяхъ и дѣйствіяхъ надъ ними. Функція логариѳмическая. Свойства логариѳмовъ. Функціи тригонеметрическія. Понятіе о методѣ проекцій (начала начертательной геометріи).

Программа второй ступени.

6-ой классъ, А (физико-мат. от.) 6 часовъ.

Обобщеніе понятія числа: натуральныя числа—дроби—ирраціональныя числа—относительныя числа—комплексныя числа. Алгебраическія уравненія. Показательныя, логариѳмическія и гоніометрическія уравненія. Формулы треугольника алгебраическія и тригонометрическія. Суммированіе ариѳметическихъ и другихъ рядовъ. Прогрессіи. О сходимости рядовъ. Биноміальный и показательный рядъ. Разложеніе въ рядъ функцій sinx и cosx. Понятіе о производной и дифференціалѣ. Приложеніе къ геометріи (касательная и нормаль). Понятіе объ опредѣленномъ и неопредѣленномъ интегралѣ. Вычисленіе площадей и объемовъ.

6-ой классъ, В (естественное отд.) и С (новогуманитарное отд.) 4 часа.

Повтореніе и объединеніе дѣйствій надъ числами. Рѣшеніе алгебраическихъ уравненій. Формулы треугольника. Понятіе о производной и интегральной функціи. Вычисленіе скорости, площади и пр. при помощи этихъ функцій.

6-ой классъ Д (классическое отд.), 3 часа.

Предыдущая программа съ нѣкоторыми сокращеніями.

7-ой классъ А (4 часа).

Оредѣленіе коническихъ сѣченій на основаніи ихъ метрическихъ свойствъ. Фокусы, директриссы, діаметры, касательныя и пр. Аналитическое опредѣленіе коническихъ сѣченій (изслѣдованіе общаго уравненія 2-ой степени). Преобразованіе координатъ и приведете уравненія къ простѣйшему виду. Проективное опредѣленіе коническихъ сѣченій. Основные типы поверхностей 2-го порядка и ихъ свойства. Примѣры алгебраическихъ кривыхъ высшихъ порядковъ, трансцендентныхъ кривыхъ, а также нѣкоторыхъ поверхностей (напр. линейчатыхъ и поверхностей вращенія).

7-ой классъ В, С и Д (2 часа).

Математика, какъ логическая система. Отношеніе математики къ естественнымъ и общественнымъ наукамъ. Особенное значеніе геометріи.

Примѣчаніе 1. При 8-лѣтнемъ курсѣ программа 6-го класса дѣлится между 6-мъ и 7-мъ классами, а программа 7-го класса переносится на 8-ой.

Примѣчаніе 2. Приведенныя программы только намѣчаютъ основные пункты курса и его характеръ. Подробная разработка программы и группировка матеріала предоставляется преподавателю.

Понятіе о безконечно-маломъ и его приложенія въ математикѣ.

Дж. Виванти. Пер. съ итальянскаго Е. Борткевичъ.

(Петроградъ).

ГЛАВА 1-ая.

Безконечно-малое нулевое.

(Продолженіе).

Понятіе „элемента“, составляющаго „сплошность“, подъ видомъ безконечно-малаго получило при созданіи Лейбницомъ его исчисленія право гражданства въ области высшей математики и вошло навсегда въ поле протяженныхъ величинъ; и съ того времени подъ безконечно-малымъ понималась величина, которая, будучи умножена на любое число, всегда меньше любой конечной величины или, что то же самое—величина меньшая любой данной величины. Но по скольку это новое математическое существо проявлялось, какъ могучее и вѣрное орудіе анализа, необходимо, однако, разобрать не налагало ли его опредѣленіе случайно абсурдъ, т.-е. можно ли было себѣ представить, не впадая въ противорѣчіе съ идеями прежде принятыми, величины отличныя отъ нуля и меньшія любой произвольной данной величины.

Первый вопросъ, непосредственно возникающій по этому поводу, тотъ, какого былъ мнѣнія самъ изобрѣтатель диференціальнаго исчисленія.

Въ другомъ мѣстѣ1) я уже отвѣтилъ на такой вопросъ, говоря, что понятіе безконечно-малаго „не было даже совершенно яснымъ въ умѣ его создателя“. Не будетъ излишнимъ замѣтить, что нѣкоторыя мѣста въ его трудахъ противорѣчатъ другъ другу и таковыя относятся къ послѣднимъ годамъ жизни Лейбница (1646—1716), такъ что все это показываетъ, что онъ никогда окончательно не остановился ни на одномъ, ни на другомъ мнѣніи. Такимъ образомъ объясняется, какъ разные писатели могли приписывать Лейбницу совершенно противоположныя сужденія и всѣ они могли найти поддержку въ своихъ увѣреніяхъ въ его-же работахъ. Такъ, возьмемъ для примѣра нѣкоторыхъ изъ нихъ: Вольфъ (1679—1764), Джердиль (1718 — 1802), Ашаръ (Achard) и среди новыхъ Mansion отрицаютъ, что Лейбницъ допускалъ существованіе безконечно-малыхъ величинъ, отличныхъ отъ нуля; Гранди (1671—1742)—противоположнаго мнѣнія; Когенъ и Лассвицъ приписываютъ ему понятіе безконечно-малаго-интенсивнаго.

Неувѣренность Лейбница относительно принциповъ исчисленія была, вѣроятно, главной причиной, отвлекшей его учени-

1) Süll’ infinitesimo attnale, Rivista di Matematica Т. I, p. 135—153, 248—255.

ковъ отъ теоретическихъ споровъ, относящихся къ характеру безконечно-малаго, и посовѣтовала имъ внушить молчаніе противникамъ новаго анализа торжествомъ побѣдъ, одержанныхъ при его посредствѣ въ болѣе возвышенныхъ поляхъ геометріи и механики. Однако они почти всѣ имѣли случай выразить болѣе или менѣе ясно свой взглядъ относительно понятія безконечномалаго. И въ частности среди отрицающихъ существованіе величинъ безконечно-малыхъ, не нулевыхъ, находимъ вмѣстѣ съ Вольфомъ не безъ нѣкотораго удивленія того же самаго Гранди, который, приписывая Лейбницу сужденіе о безконечной дѣлимости матеріи, принималъ и присваивалъ идеи великаго учителя. Не болѣе послѣдовательнымъ самому себѣ является Яковъ Бернулли (1654—1705), который послѣ объявленія имъ, что безконечно-малое и нуль одно и то-же, и послѣ признанія имъ, что считаетъ безконечно-малое фикціей, удивляетъ насъ своимъ замѣчаніемъ, что разности равныхъ величинъ не всегда равны, потому что могутъ ими не быть, когда эти величины безконечно-малы.

Было предоставлено эмпиризму энциклопедистовъ объявить открыто войну понятіямъ безконечно-малаго и безконечнаго. И дѣйствительно, Д’Аламберъ (1717—1783) и въ энциклопедіи, равно какъ и въ своихъ трудахъ настаивалъ на той мысли, что эти слова лишь только способы выраженія и что математика разсуждаетъ всегда и только надъ конечными величинами. Каковы были послѣдствія этого спора не мѣсто здѣсь распространяться, такъ какъ то, что насъ интересуетъ болѣе, чѣмъ само понятіе безконечно-малаго—это его приложеніе къ анализу, и по тому я долженъ буду объ этомъ говорить пространно во второй части.

Укажу еще на одного изъ самыхъ извѣстныхъ математиковъ, на Эйлера (1707—1783), заслуживающаго среди тѣхъ, которые отрицаютъ, что безконечно-малое можетъ быть отличнымъ отъ нуля, особое мѣсто, такъ какъ онъ, вслѣдствіе отказа считать безконечно-малое за истинный нуль, сдѣлалъ изъ него, пользуясь смѣшаннымъ понятіемъ, нулевую величину, способную имѣть опредѣленныя отношенія къ другимъ существамъ того же характера. Осужденіе такого взгляда находится въ его же самомъ трудѣ, гдѣ мы видимъ его не въ состояніи пользоваться имъ же созданнымъ орудіемъ и потому прибѣгающимъ къ принципамъ совершенно инымъ для основъ исчисленія.

Эйлеръ разсуждаетъ такъ: величина меньшая произвольно заданной величины не можетъ быть иной, какъ нулевая; откуда уравненія, входящія въ исчисленіе, только тогда становятся строго точными, когда безконечно-малыя величины приравниваются нулю. Но если разность двухъ нулей всегда нуль, ихъ отношеніе можетъ быть любымъ числомъ и оно совершенно неопредѣленно. Отсюда путемъ странной перестановки логическаго смысла Эйлеръ выводитъ, что не есть абсурдъ, если говорятъ объ отношеніи двухъ нулей, но, наоборотъ, что это отношеніе можетъ быть разсматриваемо, какъ настоящая величина.

Идеи Эйлера нашли сперва нѣкоторыхъ послѣдователей, но вскорѣ были оставлены и отъ нихъ сохранилось лишь одно воспоминаніе.

ГЛАВА ІІ-ая.

Безконечно-малое-актуальное.

Я уже пространно объяснилъ въ другомъ мѣстѣ1), что подразумѣвается подъ „безконечно-малымъ—актуальнымъ“ и каково было происхожденіе этого понятія и, потому здѣсь только припомню, что подъ этимъ именемъ обыкновенно понимается „опредѣленная“ величина, меньшая произвольно взятой конечной заданной величины.

По поводу этого понятія Штольцъ2) пишетъ: „дѣйствительно трудно понять, что выдающіеся математики, какъ, напр., Іоаннъ Бернулли и его ученикъ маркизъ де Л’Опиталь и даже Пуассонъ могли утверждать, что существуютъ величины, отличныя отъ нуля и въ одно и то же время меньшія любой данной величины“.

Что же касается Іоанна Бернулли (1667—1748), то извѣстна его продолжительная переписка съ Лейбницомъ по поводу существованія безконечно-большихъ и безконечно-малыхъ величинъ. О томъ, что думалъ Л’Опиталь (1661—1704) о безконечно-маломъ, нельзя судить изъ его „Analyse des infiniment petits“, такъ какъ трудъ этотъ посвященъ исключительно развитію метода безконечно-малыхъ, гдѣ постоянное употребленіе безконечно-малыхъ количествъ вовсе не доказываетъ, что авторъ допускалъ ихъ существованіе.

Рядомъ съ Л’Опиталемъ можно поставить его истолкователя Вариньона (1654—1722), который такъ писалъ Лейбницу: „Г. Аббатъ Галуа распространяетъ здѣсь, что вы объявили понимать подъ безконечно-малымъ лишь величину въ дѣйствительности очень малую, но однако всегда конечную и опредѣленную такую, напр., какъ землю по сравненію съ небеснымъ сводомъ или же песчинку по сравненію съ землей, вмѣсто того, какъ я назвалъ безконечно-малымъ или дифференціаломъ величины то, въ чемъ эта величина неисчерпаема“.

Фонтенель (1657—1757), возымѣвшій смѣлую мысль написать геометрію безконечнаго, но сила котораго не сравнялась со смѣлостью, пришелъ естественно къ вопросу о безконечно-маломъ, основой котораго является дилемма, имѣютъ ли протяженіе или нѣтъ элементы сплошности, состоитъ-ли линія изъ точекъ или изъ линейныхъ элементовъ. Эта дилемма изъ которой намъ помогаетъ выдти, какъ мы говорили, понятіе интенсивной величины, представляетъ въ обоихъ своихъ рѣшеніяхъ—важныя за-

1) „Siill'itifinitesimo attuale“ Rivista di Matematica T I.

2) Grössen und Zahlen, p. 14.

трудненія: однако, она пригодна для того, кто для доказательства справедливости одной изъ двухъ гипотезъ удовлетворяется тѣмъ, что устанавливаетъ невозможность другой. Именно такъ поступаетъ Фонтенель, который приходитъ къ заключенію, что элементы линіи суть линіи безконечно-малыя.

Намекну мимолетно, что Лесажъ (Lesage) (1724—1803), которому первому принадлежитъ слава изобрѣтенія электрическаго телеграфа, какъ будто представлялъ себѣ безконечно-малыя, какъ постоянныя величины. Это слѣдуетъ изъ отрывка его письма отъ 14-го іюля 1786 къ Lhiulier (1750—1840), приведеннаго на стр. 211 его „Exposition élémentaire des principes des calculs supérieurs“ (Berlin 1786).

Наконецъ, среди математиковъ, жившихъ уже послѣ крупныхъ споровъ, относящихся къ основамъ исчисленія и которые имѣли мѣсто въ концѣ прошлаго столѣтія, Пуассонъ (1781—1840), пожалуй, единственный въ предѣлахъ этого времени допускавшій безконечно малое—актуальное. Онъ пишетъ: „Безконечномалое—величина меньшая всякой данной величины того же характера.

Естественно нриходимъ къ понятію о безконечно-малыхъ, когда разматриваемъ послѣдовательныя измѣненія величины, подчиненной закону непрерывности.

Итакъ, время возрастаетъ въ степеняхъ меньшихъ, нежели назначенный промежутокъ, каковъ бы онъ ни былъ малъ. Пространства, проходимыя разными точками тѣла, возрастаютъ также на безконечно-малыя величины, такъ какъ ни одна точка не можетъ изъ одного положенія перейти въ другое, не пройдя черезъ всѣ промежуточныя положенія, и мы не можемъ назначить ни одного разстоянія сколь угодно малаго между двумя послѣдовательными положеніями. Итакъ, безконечно-малыя величины дѣйствительно существуютъ, а не суть только способъ изслѣдованія, выдуманный математиками“.

(Продолженіе въ слѣд. №).

Теорія раціональныхъ приближеній.

В. Н. Оглоблинъ. (Кіевъ).

Въ курсахъ алгебры, въ теоріи непрерывныхъ дробей приводится слѣдующая теорема. „Подходящая дробь ближе къ точному значенію непрерывной дроби, чѣмъ всякая дробь съ меньшимъ знаменателемъ“. Значеніе этой теоремы можно уяснить себѣ слѣдующимъ образомъ. Если мы имѣемъ два приближенныхъ значенія — и---^— нѣкотораго числа, съ недостаткомъ и съ избыткомъ, то предѣлъ ошибки каждаго изъ этихъ прибли-

женій есть —Такъ какъ онъ убываетъ съ возрастаніемъ «, то вообще можно считать, что приближеніе тѣмъ ближе къ точному значенію числа, чѣмъ больше знаменатель приближенія, но иногда можетъ оказаться, что дробь съ меньшимъ знаменателемъ выражаетъ разсматриваемое число точнѣе. Приведенная выше теорема утверждаетъ, что этого не можетъ случиться, если приближеніе представляетъ подходящую дробь разложенія разсматриваемаго числа въ непрерывную дробь.

Однако это свойство еще недостаточно характерно для подходящей дроби, такъ какъ оказывается, что она ближе къ точному значенію числа, чѣмъ рядъ дробей съ большими знаменателями. Выясняя этотъ вопросъ, я пришелъ къ предлагаемой ниже картинѣ расположенія раціональныхъ приближеній. Вмѣстѣ съ тѣмъ явилась возможность изложить совершенно иначе всю теорію непрерывныхъ дробей, если не короче, въ смыслѣ компактности теоремъ, по сравненію съ классической теоріей, то настолько наглядно, что совершенно отпала характерная для классической теоріи необходимость въ употребленіи индексовъ и доказательствъ съ переходомъ отъ п къ и 4-1. За исключеніемъ нѣсколькихъ простыхъ теоремъ, изложеніе здѣсь безъ ущерба для строгости можно вести на примѣрахъ. Отличительной чертой предлагаемаго изложенія является то, что свойства подходящихъ дробей разсматриваются независимо отъ разложенія числа въ непрерывную дробь.

Возьмемъ какія - либо двѣ ариѳметическія дроби — и ~, считая, напр., что —, и сравнимъ съ ними дробь -, Находимъ:

Такъ какъ первая разность положительна, а вторая отрицательна, то — < —у, т.-е. дробь, которая получается отъ почленнаго сложенія числителей и знаменателей двухъ данныхъ дробей, находится между этими дробями. (А)

Кромѣ того, замѣчаемъ, что при общемъ пріемѣ вычитанія дробей (общій знаменатель-произведеніе знаменателей) числители найденныхъ выше разностей имѣютъ до сокращенія ту же

абсолютную величину, что и числитель разности между данными дробями, и дробь ближе къ той изъ дробей — и —, которой знаменатель больше. (В)

Замѣтимъ еще, что если одна изъ двухъ дробей или обѣ дроби имѣютъ видъ -у- или , то можно считать, что дробь, получающаяся отъ сложенія числителей и знаменателей, также находится между данными дробями, если принять, что — обозначаетъ число, которое больше всякаго разсматриваемаго.

Если пр— mq=1, то дроби —, и ——- несократимы.

(С)

Въ самомъ дѣлѣ, если бы, напр., т-\-р и n-\-q дѣлились на одно и то же число, отличное отъ единицы, то и разность {т-\-р) п — (n-\-q) ш дѣлилась бы на это число, что невозможно, такъ какъ она равна 1.

Если пр — mq = 1, то между дробями и нѣтъ дробей со знаменателемъ, меньшимъ n-\-q.

Для доказательства этого положенія допустимъ сначала, что

Тогда

или

что невозможно, такъ какъ положительное цѣлое число пх — ту оказывается меньшимъ 1.

Допустимъ теперь, что

Тогда

или

что невозможно по прежней причинѣ.

На основаніи доказанныхъ положеній можно составить съ помощью почленнаго сложенія числителей и знаменателей слѣдующій рядъ дробей, расположенныхъ по ихъ величинѣ.

Между - и Q вставляемъ у ; у между у и q : [ между - и : I и т, д. Затѣмъ между f и т вставляемъ й, и т. д.; ... между J и 2 ’ з междУ 2и Ï и т' д‘ Далее появляются дроби и т. д., а затемъ 5 ’ 7 ’ 8 ’ 7 ’ 7 ’ g ’ и т. д.

Такъ какъ условіе пр — тд = 1 выполняется для первоначальныхъ дробей j и то на основаніи предложенія ) оно выполняется для всякихъ двухъ дробей, которыя въ какой-либо изъ стадій процесса стоятъ рядомъ.

Всѣ дроби въ такомъ ряду несократимы и, конечно, не повторяются. Кромѣ того, въ немъ должна находиться всякая дробь. Въ самомъ дѣлѣ, знаменатели такимъ образомъ составляемыхъ дробей все возрастаютъ; если дробь — заключается двумя дробями — и съ меньшими знаменателями, то въ дроби ІІД.І? знаменатель п4-п не можетъ быть больше такъ какъ тогда изъ доказаннаго выше положенія слѣдовало бы, что между — и - нѣтъ дроби — со знаменателемъ меньшимъ п 4- q. Слѣдовательно, дробь - не можетъ быть пропущена.

Возьмемъ теперь какое-либо ирраціональное или раціональное число, напр., —и посмотримъ, какъ располагаются около него различныя раціональныя приближенія. Для наглядности представимъ, что число это отложено въ опредѣленномъ масштабѣ на прямой отъ нѣкоторой точки, и что отъ этой же точки на этой прямой откладываются послѣдовательно опредѣляемыя приближенія.

Вставляя по изложенному методу между у и ^ дроби |, у, г и т. д., замѣчаемъ что находится между - ІГ 4.

Вставляя между | и | дробь ^, убѣждаемся вычисленіемъ или графически, что заключается въ промежуткѣ между - и 2, затѣмъ — что она находится въ промежуткѣ между -у и ^, и т. д. Поступая такимъ образомъ и далѣе и беря только тѣ промежутки, въ которыхъ заключается —, мы придемъ къ слѣдующей схемѣ, изображающей сравнительную величину дробей, съ которыми намъ придется встрѣчаться (причемъ правильность масштаба не соблюдена).

Разсмотримъ внимательнѣе одинъ изъ промежутковъ, напр., между -g- и g • Если мы вообразимъ, что на прямой нанесены дѣленія, соотвѣтствующія 3-мъ, 4-мъ и 5-мъ долямъ и т. д. до 10-хъ включительно, то на основаніи теоремы можемъ утверждать, что ни одно изъ дѣленій не упадетъ между и ^ •

Иными словами, изъ дробей со знаменателями, меньшими 11, точнѣе всего выражаютъ разсматриваемое число дроби ? и ^

Нанося дѣленія, соотвѣтствующія 11-мъ долямъ, мы получимъ дробь jj, попадающую внутрь разсматриваемаго промежутка, послѣ чего будемъ разсматривать уже промежутокъ между ^

Эти послѣднія дроби выражаютъ разсматриваемое число точнѣе, чѣмъ всѣ дроби со знаменателями до 19 включительно, и только дробь 2Q попадетъ внутрь промежутка.

Разсматривая послѣдовательность, въ которой дроби въ изложенномъ процессѣ смѣняютъ другъ друга, мы видимъ, что сначала мы дѣлаемъ три „шага“ отъ j до | (на прилагаемой схемѣ эти шаги отмѣчены дугами), затѣмъ два шага отъ ^ до

2» далѣе четыре шага отъ ^ до -g- и, наконецъ, три шага отъ 2 до, причемъ серія шаговъ съ одной стороны смѣняется серіей шаговъ съ другой стороны, начинаясь всегда отъ болѣе простой изъ двухъ имѣющихся дробей. Послѣднія дроби въ этихъ серіяхъ называются подходящими дробями разсматриваемаго числа. Въ нашемъ примѣрѣ подходящія дроби суть

Если мы возьмемъ изъ двухъ сосѣднихъ подходящихъ дробей болѣе простую, то отъ нея долженъ быть возможенъ по крайней мѣрѣ одинъ шагъ, при которомъ получившаяся дробь будетъ находиться по ту же сторону отъ точнаго значенія числа, что и упомянутая дробь. На основаніи предложенія (В) получившаяся дробь будетъ ближе къ слѣдующей подходящей, чѣмъ къ предыдущей, а точное значеніе числа будетъ еще ближе. Такимъ образомъ, точное значеніе числа находится между двумя послѣдовательными подходящими дробями, при чемъ оно ближе къ послѣдующей дроби, чѣмъ къ предыдущей.

Если бы числа шаговъ въ серіяхъ (въ нашемъ примѣрѣ: 3, 2, 4, 3) были извѣстны, то вычисленіе подходящихъ дробей (и разсматриваемаго числа, если оно раціонально) могло бы производиться весьма просто. Вмѣсто многократнаго прибавленія къ членамъ одной дроби соотвѣтствующихъ членовъ другой, можно членамъ одной дроби прибавлять соотвѣтствующія кратныя членовъ другой дроби, при чемъ множителями кратности являются числа шаговъ въ соотвѣтствующихъ серіяхъ. Такъ въ нашемъ примѣрѣ:

Вычисленіе обыкновенно производится устно со слѣдующей записью:

Перейдемъ теперь къ отысканію способа опредѣленія числа шаговъ для подходящихъ дробей.

Въ схемѣ на стр. 3 отбросимъ 3 первыхъ числа, послѣ чего явится возможность исключить изъ всѣхъ дробей цѣлое число 3.

Конечно, новыя дроби будутъ обладать также изложенными выше свойствами. Получимъ схему:

Такъ какъ построеніе этого ряда дробей основано на положеніяхъ (А) и (В) и на равенствѣ — 1, то взявъ дроби,

обратныя дробямъ послѣдней схемы, мы получимъ новый рядъ дробей, обладающихъ тѣми же свойствами, только дроби будутъ убывать отъ начала, а не возрастать.

Отбросимъ теперь 2 послѣднихъ шага и исключимъ изъ всѣхъ дробей число 2.

Возьмемъ обратныя дроби:

Оторосимъ 4 первыхъ шага и исключимъ изъ всѣхъ дробей число 4.

Мы видимъ, что на мѣстѣ, соотвѣтствующемъ въ первой схемѣ дроби , получилась дробь ^ . Производя надъ этой послѣдней дѣйствія обратныя тѣмъ, которыя производились для ея полученія, и только обозначая ихъ, найдемъ:

Замѣтимъ, что существеннымъ въ изложенномъ процессѣ является то, что цѣлыя числа, исключаемыя каждый разъ изъ дробей, равны соотвѣтствующимъ числамъ шаговъ.

Итакъ, числа шаговъ для какой либо дроби равны частнымъ, полученнымъ при такъ называемомъ послѣдовательномъ дѣленіи, выполненнымъ надъ ея числителемъ и знаменателемъ.

Для подходящихъ дробей получаются подобныя же выраженія:

Укажемъ еще на нѣкоторыя слѣдствія, вытекающія изъ изложенной теоріи и уясняющія значеніе нѣкоторыхъ дробей, которыя получаются при послѣдовательныхъ шагахъ, но не являются подходящими дробями въ обычномъ смыслѣ. Возьмемъ какую-либо дробь, напр., и зададимся вопросомъ, каковы ближайшія къ ней дроби съ меньшимъ знаменателемъ. Ближайшей дробью будетъ, конечно, та, которая предшествуетъ дроби при описанномъ способѣ полученія дробей (см. первую схему), т.-е.-Щ. По другую сторону дроби ближайшей къ ней будетъ послѣдняя подходящая дробь

тт х 69 „ , 100

Дробь окажется также подходящей дробью для —^9" »

если эту послѣднюю мы представимъ въ слѣдующемъ видѣ:

По этому поводу слѣдуетъ указать на встрѣчающееся въ учебникахъ неправильное утвержденіе, что „для раціональнаго числа существуетъ только одно разложеніе въ непрерывную дробь съ цѣлыми частными“ (см. напр., Маракуевъ. Элементарная алгебра). Это справедливо лишь при оговоркѣ (которая обыкновенно не дѣлается), что послѣднее частное не должно быть единицей.

Для трехъ дробей ^и -g- имѣемъ слѣдующія тождества:

Изъ первыхъ двухъ слѣдуетъ, что числа =31 и 9 или X— 69 и у— 29 удовлетворяютъ уравненіямъ

100 у — 29 = 1.

Покажемъ, что указанныя двѣ пары рѣшеній суть единственныя положительныя рѣшенія при условіи ^29. Допустимъ, что напр., для уравненія

100 у— 29#=1

существуетъ, кромѣ # = 31 и у =9, еще пара рѣшеній #', удовлетворяющая упомянутымъ условіямъ, такъ что

100 у'— 29#' = 1.

Вычитая почленно два послѣднія равенства одно изъ другого, получимъ:

100 ( у—у') — 29 —#') = (),

откуда

что невозможно, такъ какъ несократимая дробь не можетъ быть равна дроби съ меньшимъ знаменателемъ.

Подобнымъ образомъ можно доказать, что при поставленныхъ условіяхъ уравненіе

100 у — 29 .г = - 1

имѣетъ только одну пару рѣшеній # = 69 и у = 20.

О нѣкоторыхъ свойствахъ параболы и параболоидовъ.

А. Масловъ. (Москва.)

Геометрическіе образы плоскости и пространства часто обладаютъ аналогичными свойствами. Мы укажемъ на свойства такого рода директрисъ параболы и параболоидовъ.

Изучимъ (мнимыя) касательныя къ параболѣ въ (мнимыхъ) точкахъ ея пересѣченія съ директрисой. Возьмемъ уравненіе параболы въ видѣ

у2 = 2

Такъ какъ уравненіе директрисы

то наши точки будутъ

Легко видѣть, что тангенсъ угла наклона касательной въ этихъ точкахъ къ оси параболы—оси х—будетъ имѣть величину соотвѣтственно*):

Этотъ тангенсъ имѣетъ для параболы величину — •

Это свойство характерно для директрисы. Въ самомъ дѣлѣ докажемъ, что точки пересѣченія параболы съ директрисой будутъ единственными точками, въ которыхъ касательная наклонена къ оси параболы подъ угломъ, тангенсъ котораго равенъ zр ?. Отнеся параболу къ оси и вершинѣ и замѣтивъ попрежнему, что тангенсъ угла наклона касательной равенъ-^— > найдемъ изъ уравненія искомыя точки: это будутъ

т.-е. тѣ самыя, что и раньше.

Итакъ, дѣйствительная прямая будетъ директрисой параболы тогда и только тогда, если касательныя въ точкахъ ея пересѣченія съ параболой наклонены къ оси параболы подъ угломъ, тангенсъ котораго равенъ zt г. Иначе: если парабола расположена на плоскости такъ, что ея ось параллельна оси , то наши касательныя должны быть направлены въ циклическія точки плоскости.

Обратимся теперь къ параболоидамъ. Возьмемъ уравненіе эллиптическаго параболоида

Извѣстно, что уравненія директрисы параболоида, соотвѣтствующей фокусу (аи 0, /0, будутъ

*) Указаніе на это свойство параболы встрѣчено нами у Darboux (Bulletin des Sciences Mathématiques, t. 36 (1912), стр. 120).

и для фокуса

Тогда точки пересѣченія*) первой директрисы съ параболоидомъ:

а второй:

Изыщемъ касательныя плоскости къ параболоиду въ нашихъ точкахъ. Опредѣлимъ тангенсъ угла наклона ихъ къ оси параболоида— оси г. Извѣстно, что онъ равенъ * _ • Въ изслѣдуемыхъ точкахъ будемъ имѣть въ томъ и другомъ случаѣ для нашего тангенса одно изъ значеній:

Обратно, если бы мы стали искать точки, касательныя плоскости въ которыхъ наклонены къ оси параболоида подъ указаннымъ угломъ, то нашли бы прежнія точки. Въ самомъ дѣлѣ, если тангенсъ угла наклона къ оси параболоида—оси , касательной плоскости равенъ =t і,то точка прикосновенія, находясь на параболоидѣ

должна также лежать на мнимомъ цилиндрѣ

Множимъ второе уравненіе на g и вычитаемъ изъ перваго, находимъ, что искомая точка лежитъ на параболоидѣ и на цилиндрѣ

*) При вычисленіи пользуемся уравненіями фокальныхъ линій:

Точно такъ же, производя умноженіе на р, найдемъ, что искомая точка найдется также на пересѣченіи параболоида съ цилиндромъ

Но оба послѣдніе цилиндра—геометрическія мѣста директрисъ параболоида. Слѣдовательно, мы найдемъ лишь прежнія точки.

Замѣтимъ, что для изучаемыхъ точекъ выраженіе

равно 0, можемъ сказать, что касательныя плоскости въ этихъ точкахъ огибаютъ абсолютный кругъ.

Всѣ эти разсужденія приложимы и къ гиперболическому параболоиду

во всѣхъ выкладкахъ q лишь замѣнится на— И мы можемъ сказать, что (дѣйствительная) прямая будетъ директрисой параболоида (эллиптическаго или гиперболическаго) и притомъ только тогда, когда (мнимыя) касательныя плоскости въ (мнимыхъ) точкахъ пересѣченія ея пересѣченія съ параболоидомъ наклонены къ оси параболоида подъ угломъ, тангенсъ котораго равенъ гЫ; иначе: если параболоидъ расположенъ такъ, что его ось параллельна оси г, то касательныя плоскости въ указанныхъ точкахъ должны огибать абсолютный кругъ.

Задачи*).

Подъ редакціей Э. Ю. Лейнѣка.

268. Даны на плоскости три параллельныхъ прямыхъ. Построить равнобедренный прямоугольный треугольникъ съ вершинами на этихъ прямыхъ.

А. Власовъ.

269. Даны три параллельныхъ прямыхъ, не лежащихъ въ одной плоскости. Построить треугольникъ съ вершинами на этихъ прямыхъ и подобный данному.

А. Власовъ.

270. На данной окружности О найти точку X, связанную съ данными точками А и В условіемъ < ХАВ — < ХВА = а, гдѣ а есть данный уголъ.

И, Александровъ.

*) Въ условіи задачи 260 (№ 5, стр. 178) должно стоять 2 Sx S4.

271. Построить треугольникъ по основанію а, разности угловъ В — С=а и разности ßA— внѣшней и внутренней биссектрисы угла А.

В. Кованько.

272. Острый уголъ В прямоугольнаго треугольника АВС раздѣленъ на четыре равныя части. Доказать, что изъ получившихся на катетѣ АС четырехъ отрѣзковъ, второй, считая отъ вершины прямого угла, меньше одной четверти всего катета

Ѳ. Гусевъ.

273. Найти общія формулы для выраженія въ цѣлыхъ числахъ реберъ прямоугольнаго параллелепипеда, у котораго боковая поверхность равновелика площади квадрата, построеннаго на его діагонали.

274. Показать, что число вида

2 . 3 . 5.7 . . . р +1, гдѣ

р — простое число, не можетъ быть точнымъ квадратомъ.

I. Ч.

275. Показать, что

и и с многочлены относительно и

В. Голубевъ.

276. Найти необходимое и достаточное условіе дѣлимости

х‘п -{- ж“--1 . . . . X-{- 1 на -j- хп 1 -j- . . . , -j- 1,

гдѣ ш и п два натуральныхъ числа.

277. Показать, что если

Е. II.

278. Даны два уравненія

имѣющія дѣйствительные корни, при чемъ одно изъ нихъ имѣетъ оба корня одинаковаго знака. Доказать, что уравненіе

«А + аАх + а2Ь2хі = 0

имѣетъ также дѣйствительные корни. Обобщить и доказать теорему для уравненій 3-й степени.

Рѣшенія задачъ.

202. Рѣшить въ цѣлыхъ и положительныхъ числахъ уравненіе

Лѣвая часть уравненія есть функція, симметричная относительно всѣхъ четырехъ перемѣнныхъ. Поэтому, найдя одну какую-либо систему рѣшеній хх , у, зг, мы можемъ изъ нея получить 1 . 2 . 3.4 = 24 системъ (включая сюда и первоначальную), если между числами хх, ух, зх, tx нѣтъ равныхъ, 12—если два одинаковыхъ, 4—если три одинаковыхъ и 6—если двѣ пары, состоящихъ изъ одинаковыхъ чиселъ.

Для опредѣленности положимъ, что обозначенія выбраны такъ, что х<у <з <t.

Ясно, что X не можетъ быть равнымъ единицѣ*) и не можетъ быть больше числа 4.

Итакъ, возможны для х лишь значенія

х — 4, 3, 2.

1°. Если х = 4 , то -+ * 4-- = ~ •

Такъ какъ у>х, то у>4. Но ясно, что >4 быть не можетъ, такъ какъ - большая или равная изъ трехъ величинъ

- > - » - > сумма которыхъ равна ^ •

Итакъ у = 4. Такимъ же образомъ убѣждаемся, что и * = 4, а слѣдовательно и /=4.

Мы получили первую систему

X —у— 3 — 1 — 4.(1)

2°. Пусть х — Ъ.

Тогда уравненіе принимаетъ видъ

*) Если допускать рѣшенія вида у = co}2 = co,t = co, то конечно и этотъ случай возможенъ.

Для у имѣемъ неравенство 3 и ->çj( такъ какъ-есть большая или равная изъ трехъ величинъ, сумма которыхъ равна I ), слѣдовательно у с| т.-е. для величины у доступны лишь

два значенія у=3 ,у = ±.

Если у— 3, то получаемъ уравненіе - = ,т >

если ate у = 4, то - 4- •

Въ первомъ случаѣ, какъ нетрудно сообразить, г ограничено условіемъ

т.-е. 2 г= 4,5,6 откуда слѣдуетъ

'=12, у - 6.

Такимъ образомъ получаемъ всего лишь два рѣшенія

(2).

Во второмъ случаѣ изъ уравненія

принимая во вниманіе соотношенія

выводимъ z = 4, откуда t= 6. Получилось одно лишь рѣшеніе

у— 4, z= 4, 6 (3).

3°. Пусть теперь х = 2.

Для дальнѣйшаго изслѣдованія имѣемъ уравненіе

Такъ какъ- есть большая или равная изъ трехъ величинъ, У

сумма которыхъ равна ^ > то у<6, но такъ какъ а я = 2,

то для у получаемъ рядъ возможныхъ значеній 3, 4, 5, 6.

Каждому изъ этихъ значеній соотвѣтствуетъ одно уравненіе съ неизвѣстными г и t.

Произведя изслѣдованіе каждаго изъ этихъ уравненій по тому же способу, по которому разбирались предыдущіе случаи, найдемъ

Собирая всѣ полученныя рѣшенія, мы получимъ слѣдующую систему:

Всѣ эти 14 системъ рѣшеній различны. Изъ каждой системы, на основаніи замѣчанія, сдѣланнаго въ началѣ, можно получить рядъ новыхъ системъ.

К. Верещагинъ (Козловъ), И. Евдокимовъ (Шуя), П. Козыревъ (Енисейскъ).

204. Данъ кругъ и внѣ его уголъ Найти на кругѣ точку X такъ, чтобы а) отношеніе опущенныхъ изъ нея на стороны АС и AB перпендикуляровъ XY и XZ имѣло данную величину- ; Ъ) чтобы отрѣзокъ YZ, соединяющій основанія упомянутыхъ перпендикуляровъ имѣлъ данную длину а. а) Оставляя пока въ сторонѣ данный кругъ, найдемъ геометри-

ческое мѣсто точекъ, отношеніе разстояній которыхъ отъ сторонъ даннаго угла имѣло данную величину - • Для этого проведемъ двѣ прямыя, параллельныя сторонамъ угла АВС и отстоящія отъ нихъ на разстояніяхъ, соотвѣтственно равныхъ и

Точку пересѣченія N этихъ прямыхъ соединимъ съ вершиною угла. Полученная прямая и будетъ искомымъ геометрическимъ мѣстомъ. Дѣйствительно, пусть взята какая-нибудь точка Nx на этой прямой и изъ нея опущены на стороны угла перпендикуляры Nx Вх и Nx Сх. Опустимъ также изъ N на тѣ же стороны перпендикуляры NB2 и NC.À Изъ подобія треугольниковъ имѣемъ

откуда выводимъ

Продолживъ полученную прямую до пересѣченія съ данною окружностью, получимъ двѣ, одну или ни одной точки пересѣченія, которыя и будутъ искомыми точками. Замѣтимъ, что для даннаго угла В АС упомянутое выше геометрическое мѣсто точекъ будетъ состоять изъ двухъ прямыхъ.

V) Найдемъ сначала геометрическое мѣсто такихъ точекъ, чтобы отрѣзокъ, соединяющій основанія перпендикуляровъ, опущенныхъ изъ нихъ на стороны угла В АС, имѣлъ данную величину а. Отмѣтимъ для этого на сторонахъ угла В АС двѣ точки Мх и М2 такъ, чтобы отрѣзокъ М і1/2 имѣлъ длину а и въ точкахъ Мхи і1/2 возставимъ къ AB и СВ по перпендикуляру, точку пересѣченія которыхъ обозначимъ черезъ il Ясно, что А, Мѵ ІІ/2, І1/ находятся на одной окружности, имѣющей діаметромъ AM. Если будемъ измѣнять положеніе отрѣзка М2, то будетъ конечно измѣняться и положеніе точки ІІ/, но величина AM будетъ оставаться неизмѣнной. Это будетъ величина діаметра окружности описанной около треугольника А Мх М2. Отсюда слѣдуетъ построеніе. Отмѣтимъ на сторонахъ даннаго угла двѣ точки Мх и ІІ/2, такихъ, что МхМ2 — а, описываемъ около Д АМХ М2 окружность и проводимъ изъ точки А радіусомъ, равнымъ діаметру этой окружности, дугу. Точки пересѣченія дуги съ данной окружностью и будутъ искомыми точками. Въ зависимости

отъ расположенія даннаго угла и окружности, а также и отъ величины отрѣзка а, задача допускаетъ два, одно или ни одного рѣшенія.

К. Верещагинъ (Козловъ), И. Козыревъ (Енисейскъ).

221. Найти условіе, необходимое и достаточное для того, чтобы центръ круга, описаннаго около треугольника, находился на прямой, проходящей чрезъ вершину треугольника, параллельно его основанію.

Проведемъ биссектрису AD и продолжимъ ее до встрѣчи съ окружностью въ точкѣ Е. такъ какъ дуги AB и BE соотвѣтственно равны дугамъ GC и СЕ, то заключаемъ, что дуга ЕС есть четверть окружности и уголъ EAG т~ • Таковымъ же будетъ вслѣдствіе параллельности линій AG и ВС уголъ ADB. Итакъ, необходимымъ условіемъ является равенство < АІ)Б=^• Это условіе и достаточно.

Пусть, дѣйствительно, въ треугольникѣ АВС биссектриса AD образуетъ съ основаніемъ ВС уголъ равный j- • Опишемъ около треугольника окружность, проведемъ діаметръ AOG и изъ вершины А опустимъ на продолженіе стороны ВС перпендикуляръ AF.

Въ прямоугольныхъ треугольникахъ ABF и CAG углы ABF и AGC равны, какъ измѣряющіеся Поэтому равны и углы В А F и С АС, откуда заключаемъ далѣе о равенствѣ угловъ FAD и GAD.

Такъ какъ < FAD= ,то на основаніи только что сдѣланнаго замѣчанія заключаемъ, что и

< GAD = j=<ADF.

Изъ этого слѣдуетъ, что AG || ВС.

Итакъ, необходимое и достаточное условіе того, что центръ круга, описаннаго около треугольника, находится на прямой, проходящей черезъ вершину треугольника, параллельно основанію его, состоитъ въ томъ, чтобы биссектриса угла при вершинѣ образована съ основаніемъ уголъ, равный^--

Легко убѣдиться, что этому же условію можно дать двѣ другихъ формы:

1) Необходимо и достаточно, чтобы разность угловъ при основаніи треугольника составляла

2) Необходимо и достаточно, чтобы между боковыми сторонами треугольника АВС и высотою, опущенною на основаніе ВС, имѣло мѣсто соотношеніе

Не трудно показать, что изъ выше полученнаго условія (< ADB слѣдуетъ условіе (1) и обратно; точно также изъ условія (1) слѣдуетъ условіе (2), а изъ условія (2) — (1).

К. Верещагинъ (Козловъ), В. Кованько (с. Тейково), П. Козыревъ (Енисейскъ)-

Физико-математическая секція пасхальнаго съѣзда 1916 года бывшихъ слушателей Педагогическаго Института имени П. Г. Шелапутина.

Во второй половинѣ пасхальной недѣли состоялся 3-й съѣздъ бывшихъ слушателей Института. Эти съѣзды для Института становятся обычными и замѣчается все возрастающій интересъ къ нимъ, какъ со стороны бывшихъ питомцевъ, такъ и преподавателей Института. Постепенно намѣчается и ихъ будущая двоякая роль: освѣжать дѣятельность преподавателей на мѣстахъ, съ одной стороны и съ другой,—болѣе согласовать съ требованіями школьной практики самое преподаваніе въ Институтѣ. Такая тенденція намѣчалась уже на 2-мъ съѣздѣ, но особенно ясно выступила въ настоящемъ, какъ въ заслушанныхъ докладахъ, такъ и въ рѣчахъ преподавателей Института.

Останавливаясь въ частности на Физико-Математической секціи, замѣчаемъ ту же тенденцію.

Здѣсь были предложены доклады преподавателей: «О новомъ планѣ преподаванія физики» Н. В. Кашина, «Новости математической учебной литературы за 1915—16 уч. годъ» I. И. Чистякова и слушателей: «Выращиваніе кристалловъ» В. И. Смирнова. «О вращеніи твердаго тѣла» О. Г. Шпикитера, с.О явленіи Штарка» Н. В. Шалаурова.

Одни изъ этихъ докладовъ носили освѣдомительный характеръ, другіе же характеръ разработки отдѣльныхъ вопросовъ методики физики примѣнительно къ планамъ обновленной школы. Они явились несомнѣнно весьма цѣнными для членовъ съѣзда, какъ по содержанію, такъ и по нѣкоторымъ демонстраціямъ (доклады гг. Смирнова и Шпикитера) и возбудили рядъ вопросовъ, а подчасъ и горячіе пренія (доклады I. И. Чистякова и Н. В. Кашина).

Со стороны бывшихъ слушателей были предложены.

Два доклада В. М. Елизарова: 1) «Сборникъ задачъ-карточекъ, какъ пособіе для классныхъ письменныхъ работъ по математикѣ», 2) «Устныя вычисленія въ первыхъ двухъ классахъ средней школы». Докладчикъ главнымъ образомъ касался индивидуализаціи преподаванія ариѳметики въ младшихъ классахъ средней школы.

Докладъ В. Н. Старцева: «Повтореніе отдѣловъ математики, какъ замѣна экзаменовъ». Подчеркивая безусловную цѣнность новаго порядка, введеннаго гр. Игнатьевымъ, докладчикъ останавливается на тѣхъ затрудненіяхъ, съ какими этотъ порядокъ проводился въ жизнь, и указываетъ на возможные выходы изъ этихъ затрудненій, ссылаясь на Laisant’a и Fehr’a.

Докладъ Д. И. Воскресенскаго: «Нѣкоторые вопросы методики математики». Докладчикъ дѣлится своимъ опытомъ и разработкой нѣкоторыхъ вопросовъ теоретической ариѳметики.

Докладъ В. И. Бородкина: «Опытъ двухлѣтняго преподаванія физики въ женской гимназіи». Здѣсь указывалось на тѣ затрудненія, какія испытываетъ преподаватель физики въ женской гимназіи съ одной стороны вслѣдствіе отсутствія подходящаго учебника, съ другой—убожества внѣшней обстановки. Докладчикъ считаетъ необходимымъ освобожденіе преподавателя отъ погони за выполненіемъ оффиціальныхъ программъ.

Три доклада И. А. Лобко: 1) «О повѣркѣ домашнихъ письменныхъ работъ по математикѣ», гдѣ докладчикъ, признавая необходимость повѣрки, считаетъ очень полезнымъ производить повѣрку цѣлымъ классомъ, что имъ осуществлялось на практикѣ; 2) «Метеорологія въ учебникахъ физики». Здѣсь указывалось на необходимость возможно полнаго ознакомленія учащихся съ даннымъ предметомъ. 3) «О математической библіографіи». Въ данномъ докладѣ проявилось стремленіе наивозможно тѣснѣе сплотиться около Института для общаго блага изданіемъ библіографическаго указателя общими усиліями Института и бывшихъ его питомцевъ. Этотъ вопросъ нашелъ собѣ горячій откликъ, какъ у собранія, такъ и среди преподавателей Института. Насколько это осуществимо— покажетъ будущее.

Всѣ доклады прошли очень оживленно, а иногда и въ приподнятомъ настроеніи. Необходимо отмѣтить то радушіе, съ которымъ встрѣтилъ Институтъ своихъ бывшихъ питомцевъ и семейный характеръ секціонныхъ засѣданій. Всего секція имѣла 4-е засѣданія. П. С.

Новыя книги.

В. Добровольскій. Краткія свѣдѣнія по математикѣ и собранія задачъ для учениковъ ремесленныхъ и техническихъ училищъ. В. I. М. 1916. Ц. 1 р.

К. Б. Пеніонжкевичъ. Систематическій сборникъ задачъ по анализу безконечно-малыхъ (для VІІ кл.реальн. учил) И. 1916. Ц. 2 р.

В. И. Лебедевъ. Очерки по исторіи точныхъ наукъ. В. IІ-й. Кто авторъ первыхъ теоремъ геометріи? М. 1916. Ц. 1 р.

Ф. Г. Трубинъ. Примѣненіе графическаго метода къ рѣшенію и изслѣдованію уравненій. Одесса, 1916. Ц. 1 р. 25 к.

К. Н. Рашевскій. Краткій курсъ ариѳметики для сред. учебн. завед. М. 1916. Ц. 40 к.

Н. Г. Лексинъ. Методика алгебры. Казань 1916. Ц. 3 р.

Вл. Свѣнцицкій. О причинахъ многолѣтняго засиживанія студентовъ въ спеціальныхъ высшихъ учебныхъ заведеніяхъ и о мѣрахъ къ устраненію этого явленія, П. 1916.

В. П. Ивановъ. Изданныя главы элементарной алгебры. Баку. 1916. Ц. 1 р.

П. А. Долгушинъ. Систематическій курсъ алгебры для ср. уч. заведеній. П.—Кіевъ. 1913. Ц. 1 р.

ОПЕЧАТКИ.

Отвѣтственный редакторъ I. Чистяковъ.

Типографія „Русскаго Товарищества печатнаго и издательскаго дѣла". Москва, Чистые пруды, Мыльниковъ пер , с. д. Тел. 18-35.