№ 37.

Математическое Образованіе.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

Годъ пятый.

№ 5.

Сентябрь 1916 г.

МОСКВА.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

„Математическое Образованіе“

Сентябрь 1916 г. Годъ 5-й. № 5.

Содержаніе. О великой теоремѣ Фермата. Л. Bachmann, пер. Рабиновича. — Вопросъ о преподаваніи космографіи въ трудахъ 1-го Всероссійскаго Съѣзда преподавателей физики, химіи и космографіи. Б. Базилевскій. — Современная математика и древній мистицизмъ. Б. Брэнфордъ, пер. А. Кулишеръ. — Проектъ программы по математикѣ для общеобразовательной средней школы. К. Лебединцевъ.— Исторія ученія о лагориѳмахъ. В. Бобынинъ. — Задачи. — Рѣшенія задачъ.

О великой теоремѣ Фермата.

Проф. R. Bachmann, пер. Рабиновича.

(Продолженіе).

10. Вернемся теперь къ уравненію.

(40) хп уп = zn .

Доказано, чго при п — 2 оно имѣетъ безчисленное множество рѣшеній въ цѣлыхъ числахъ ж, у, г. Тѣмъ болѣе замѣчательно ставшее знаменитымъ предложеніе Пьера Фермата (Pierre Frmat), согласно которому показатель 2 является единственнымъ, допускающимъ рѣшеніе въ цѣлыхъ числахъ, такъ что при и > 2 это уравненіе неразрѣшимо въ цѣлыхъ числахъ X, у, z. Это утвержденіе Фермата находится въ его обозрѣніяхъ книги Diophanti Alexandrini arithmeticorum libri sex et de numeris multangulis liber, unus( cum commentariis C. G Bacheti 1670; во второмъ примѣчаніи сдѣланномъ на поляхъ, оно выражено слѣдующимъ образомъ:

Cubum autem in duos cubos aut quadrato — quadratum in duos quadrato—quadratos et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere; cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

Но къ величайшему сожалѣнію, это „удивительное доказательство“ предложенія, называемаго обыкновенно „великою теоремою“ Фермата, въ отличіе отъ его же теоремы изъ области теоріи вычетовъ степеней, не было Ферматомъ ни опубликовано, ни оставлено, и со времени Эйлера математики тщетно стараются найти то или иное общее доказательство этой предполагаемой теоремы,—теоремы, установленіе которой отвело бы числу 2

такое же особое мѣсто среди всѣхъ остальныхъ простыхъ чиселъ, какое оно занимаетъ въ качествѣ единственнаго четнаго простого числа. Средства для доказательства, находившіяся въ распоряженіи Фермата, могли быть, по нашимъ понятіямъ, только элементарными, а между тѣмъ даже высшіе новѣйшіе методы не могли доказать теорему въ общемъ видѣ, хотя, правда, они (а также и болѣе простыя разсужденія) доказали теорему для многихъ случаевъ. Сомнѣваться въ правдивости Фермата при той откровенности, съ какою онъ всегда сообщаетъ о томъ, въ чемъ ему еще не удалось достигнуть успѣха, нельзя; онъ много разъ вполнѣ опредѣленно показываетъ, что онъ такъ же открыто сознается въ своемъ незнаніи, какъ неспособенъ приписать себѣ больше, чѣмъ онъ знаетъ. Если поэтому откинуть вопросъ о томъ, дѣйствительно ли онъ нашелъ доказательство своей теоремы, то можно сомнѣваться только въ правильности его утвержденія—именно, допустить, что онъ, быть можетъ, ошибся въ оцѣнкѣ доказательной силы своихъ заключеній.

Такъ какъ мы, съ своей стороны, къ сожалѣнію, еще не можемъ привести общаго доказательства теоремы Фермата, то сжатое изложеніе главныхъ попытокъ и успѣховъ въ этой области постольку, поскольку они не выходятъ за предѣлы элементарной теоріи чиселъ, является нелишнимъ и, быть можетъ, окажется полезнымъ и для дальнѣйшихъ попытокъ доказательства теоремы.

11. Единственное, что намъ извѣстно о ферматовомъ доказательствѣ его великой теоремы,—это общая рукописная замѣтка о методѣ этого доказательства. Въ своемъ 33-мъ примѣчаніи на поляхъ къ Діоѳанту онъ указываетъ на методъ доказательства, примѣненный имъ въ 45-мъ примѣчаніи для обоснованія другой теоремы, аналогичной по характеру съ первою. Эта теорема имѣетъ у него геометрическій смыслъ и выражаетъ слѣдующее:

Площадь прямоугольнаго треугольника съ цѣлочисленными сторонами никогда не можетъ выражаться точнымъ квадратомъ.

Мы здѣсь приведемъ доказательство Фермата, выраженное Лежандромъ (Legendre, théorie des nombres. 2 éd. 1808, стр. 340) на языкѣ современныхъ математическихъ обозначеній.

Будемъ считать числа х, у, s неимѣющими общихъ дѣлителей, такъ какъ, откинувъ такой дѣлитель, мы уменьшимъ число, выражающее площадь, на квадратный множитель, и такимъ образомъ, если эта площадь первоначально выражается квадратомъ, то она останется квадратомъ и послѣ раздѣленія. При этомъ условіи имѣютъ мѣсто индусскія формулы, и мы должны положить

X ■=. 2аЪ, у = — 2,

гдѣ а, Ь—числа различной четности и взаимно-простыя. Такимъ образомъ если бы площадь треугольника выражалась квадратнымъ числомъ, то и произведеніе

должно было бы равняться квадрату, т.-е.

(41) а = а2, и

(42) а2 — Ь2 = а'1 — у2.

Если мы напишемъ поэтому

(а2 + ß2) (а2 — =

то вслѣдствіе взаимной простоты и различной четности чиселъ а2, ß2, множители а2 -f- ß2, а2 — ß2 снова должны быть взаимно-простыми и сами равняться квадратамъ, т.-е.

(43) а* -f ß2 = g2, — г]2,

слѣдовательно,

(44) »?2 + 2/92 = g2.

Для дальнѣйшаго развитія доказательства нужно воспользоваться теоремою изъ теоріи квадратичныхъ формъ съ опредѣлителемъ — 2,или, лучше сказать, изъ теоріи числового корпуса, образованнаго изъ \/—2. Подъ этимъ числовымъ корпусомъ понимается совокупность всѣхъ чиселъ, образованныхъ изъ ѵ—2 при помощи четырехъ раціональныхъ дѣйствій. Цѣлыя алгебраическія числа этого корпуса суть числа формы -f- ѵ у/ — 2 съ цѣлыми коэффиціентами и, ѵ\ эти алгебраическія числа подчиняются тѣмъ же законамъ дѣлимости, какъ и цѣлыя раціональныя числа; между прочимъ, — закону однозначной разложимости на простѣйшіе, такъ называемые „первоначальные“ множители. На этомъ основаніи изъ равенства (44), которое можно написать въ видѣ

(V + ß \/'=Г2)- (V~ß ^=2) = ê2,

нужно заключить, что въ томъ случаѣ, когда »? -f- у/—2, »? — ß у/ — 2 не имѣютъ общихъ дѣлителей, множитель »? -}- у/ — 2 самъ долженъ равняться квадрату цѣлаго числа этого корпуса, именно

Ч + ß \Г=~2 = (Я+р у/^"2)2,

т.-е.

г; = X2 — 2,м2, /9 = 2Я//.

Изъ этого равенства, въ которомъ нечетность числа »? влечетъ за собою нечетность числа Я, а отсутствіе общихъ множителей у чиселъ »?, ß, равно какъ у чиселъ а, ß, вызываетъ отсутствіе общихъ дѣлителей и у чиселъ Я, слѣдуетъ, на основаніи равенства (43), что

а2 = »?2 4- ß2 = Я4 + 4

Итакъ, если бы существовалъ одинъ пиѳагоровъ треугольникъ, площадь котораго выражается квадратомъ цѣлаго числа, то существовалъ бы и второй пиѳагоровъ треугольникъ съ катетами, равными Я2, 2 fi2и гипотенузою а, стороны котораго, какъ легко видѣть, были бы по абсолютной величинѣ меньше соотвѣтствующихъ сторонъ перваго, а площадь равнялась бы Я2?»2,

т.-е. опять квадрату цѣлаго числа. Такъ какъ для новаго треугольника снова можно было бы повторить тѣ разсужденія, то, исходя изъ нашего предположенія, мы получили бы неограниченный рядъ треугольниковъ съ постепенно уменьшающимися цѣлочисленными сторонами, чтб является абсурдомъ.

Очевидно, что способъ доказательства Фермата представляетъ собою,какъ онъ самъ его называетъ, une descente infinie, т.-е. неограниченное развитіе условія. Полученіе все новыхъ треугольниковъ одной и той же категоріи, но съ убывающими числами, измѣняющими ихъ стороны, и приводитъ, въ виду невозможности такого продолженія, per absurdum къ доказательству теоремы.

12. Изъ этой теоремы очень просто вытекаетъ неразрѣшимость равенства

(45) хк — у4 =

въ цѣлыхъ числахъ х,у,з. Въ самомъ дѣлѣ, если бы такое рѣшеніе существовало, то числа х, у, очевидно, можно было бы считать попарно взаимно-простыми, и поэтому х, у были бы либо оба нечетными, либо одно изъ нихъ—четнымъ, а другое—нечетнымъ. Послѣднее допущеніе привело бы къ равенству, подобному равенству (42), слѣдовательно, и ко всему ряду вытекающихъ изъ него слѣдствій, а потому это допущеніе невозможно. Если бы, наоборотъ, оба числа х, у были нечетными, то г было бы четнымъ. Поэтому если мы напишемъ равенство (45) въ слѣдующемъ видѣ:

z2 + У4 = то изъ индусскихъ формулъ получится

з — 2 ab, у2 = а2 — х2 а2 -J- 2,

вслѣдствіе чего

а4 — Ь4 = у)2,

гдѣ а, b — числа различной четности; такимъ образомъ мы придемъ къ предыдущему случаю, невозможность котораго доказана.

Уже Ферматъ высказалъ, а Лежандръ (см. тамъ же) доказалъ, что тотъ же методъ примѣнимъ для доказательства невозможности равенства

(45а) X*-|- у* — 2.

Въ этомъ равенствѣ х, у, z тоже должны считаться попарно взаимно - простыми, при чемъ х, у не могутъ быть одновременно нечетными, такъ какъ при этомъ получилось бы невозможное сравненіе 2 = 0 ( mod4): слѣдовотельно, числа х, у могутъ быть только различной четности. На этомъ основаніи мы съ помощью индусскихъ формулъ получаемъ слѣдующія соотношенія:

х2—2ab, у2 = а2 —

въ которыхъ числа а, Ъ — взаимно простыя и различной четности. Кромѣ того, а должно быть нечетнымъ, а Ъ — четнымъ, такъ какъ въ противномъ случаѣ получилось бы = — 1 ( 4), что невозможно. Если мы на этомъ основаніи положимъ 26',

то изъ равенства х2 = 4 Ь'а мы найдемъ, что какъ а, такъ и Ъ' являются квадратными числами, т.-е.

слѣдовательно,

(46) ß4 —4 ß' = y2

Теперь можно либо прійти къ предыдущей теоремѣ Фермата, представивъ это уравненіе въ формѣ

(ß2 -J- 2ß2). (а2 — — у2,

при чемъ оба множителя, будучи, очевидно, взаимно-простыми, должны представлять собою отдѣльные квадраты, вслѣдствіе чего получается равенство

ß2-(-2/?2 = §2

того же вида, какъ (44), невозможность котораго доказана.

Либо можно, не прибѣгая къ теоремѣ теоріи числовыхъ корпусовъ, разсуждать проще слѣдующимъ образомъ: изъ (46) слѣдуетъ, что

ai = 4ßl -{-у2;

на этомъ основаніи, согласно индусскимъ формуламъ,

ß2 = Xy, у — Х2—у2, j-|M2,

гдѣ числа Х,у— взаимно-простыя и различной четности. Поэтому Я, у должны быть квадратными числами; положивши соотвѣтственно этому Х = 12, у = т2, мы найдемъ равенство

V т* а2;

такимъ образомъ изъ предположеннаго рѣшенія уравненія (45а) получилось бы другое въ очевидно меньшихъ числахъ I, т, для котораго затѣмъ можно было бы повторить такое разсужденіе и получить поэтому неограниченный рядъ рѣшеній во все убывающихъ цѣлыхъ числахъ, что, очевидно, невозможно.

Оба послѣднихъ предложенія доказаны такимъ же образомъ въ „Алгебрѣ“ Эйлера (французское изд., 2 т., гл. 13),который, равно какъ и послѣдовавшій за нимъ Лежандръ прибавилъ къ нимъ еще цѣлую группу сходныхъ предложеній.

Но послѣднее предложеніе устанавливаетъ справедливость теоремы Фермата для значенія 4 показателя п, а также для болѣе общаго случая, когда п = 2ѵгдѣ >2; въ самомъ дѣлѣ, если бы существовало равенство

X* + y*=Z8*,

то, введя обозначенія

х' = х2Ѵ 2, у* = у2,1' 2, z' = 2,

мы, вопреки доказанному, получили бы слѣдующее равенство:

x" + y'A = z'\

Если же, наоборотъ, п не представляетъ собою степени числа 2, то оно дѣлится, по крайней мѣрѣ, на одно нечетное простое число р, т.-е. п — рп', и такимъ образомъ при наличности равенства

(47) хп-\-,уп = г"

существовало бы другое:

(48) х'Р-{-y'P—

гдѣ буквы х\ у\ z1 обозначаютъ слѣдующее:

х'—хпІ, у'=уп\

Слѣдовательно, если бы удалось доказать невозможность рѣшенія равенства (48) въ цѣлыхъ числахъ, то тѣмъ самымъ было бы обосновано утвержденіе Фермата и для равенства (47). Поэтому при попыткахъ доказательства этой теоремы можно ограничиться условіемъ, что п равно нечетному простому числу.

13. Ближайшимъ случаемъ является такимъ образомъ уравненіе

(4.9) х3-\~y3 =

Его неразрѣшимость въ цѣлыхъ числахъ, которыя мы снова должны считать попарно взаимно-простыми, доказана впервые Эйлеромъ (см. тамъ же, № 223); его доказательство было повторено затѣмъ въ нѣсколько болѣе ясной формѣ Лежандромъ (см. цит. соч. Jfs 328/30). Начиная съ этого уравненія, приходится различать два случая, при которыхъ одно или ни одно изъ чиселъ X, ,дѣлится на показатель степени — въ данномъ случаѣ на 3; иными словами, нужно прежде всего показать, что если уравненіе разрѣшимо, то одно изъ чиселъ должно дѣлиться на показатель степени, и уже затѣмъ, исходя изъ этого положенія, доказать невозможность уравненія. Въ данномъ случаѣ это положеніе доказывается очень просто: кубъ всякаго числа m = недѣлящагося на 3,

т3 — 27 у3± 27 -j- zb 1

даетъ остатокъ zfc 1 ( mod9); если бы ни одно изъ чиселъ х, у, не дѣлилось на 3, то правая часть равенства (49) была бы сравнима съ zt 1, а лѣвая — съ zt 1 zt 1, т.-е. съ нулемъ или zt 2 {mod, 9), слѣдовательно, изъ равенства (49) получилось бы невозможное сравненіе по модулю 9. Съ другой стороны, очевидно, что изъ трехъ чиселъ х, у, z два должны быть нечетными, а одно—четнымъ, и можно условиться, что кубъ четнаго числа перенесенъ вправо, такъ что z—четное, а х, нечетныя числа. На этомъ основаніи можно положить, что

х-\-у = 2р,

гдѣ р, q— цѣлыя числа, изъ которыхъ одно должно быть четнымъ, а другое нечетнымъ, такъ какъ числа

p-\-qz=x, p — qz=y

нечетны; они вмѣстѣ съ тѣмъ — взаимно-простыя, такъ какъ ихъ общій дѣлитель долженъ былъ бы служить и общимъ дѣлителемъ чиселъ X, у, вопреки условію. Послѣ введенія этихъ количествъ равенство (49) принимаетъ видъ

Изъ этого равенства, на основаніи теоремы Фермата1), получается сравненіе

2p — x-\-y = z 3);

такимъ образомъ число р дѣлится или не дѣлится на 3 одновременно съ z. Далѣе, такъ какъ выраженіе р2-(-3 —нечетное, то равенство (50) требуетъ, чтобы р было четнымъ.

Допустимъ, во-первыхъ, что р не дѣлится на 3, т.-е. z не есть то изъ трехъ чиселъ х, г, которое дѣлится на 3; тогда мы должны считать оба множителя 2 р, p2-\-%q2 взаимно-простыми; въ самомъ дѣлѣ, такъ какъ p2-\-3q2 — число нечетное, а каждый общій простой дѣлитель чиселъ ри р2-J- 3 q2входилъ бы и въ составъ числа 3 то, въ виду взаимной простоты чиселъ р, q, онъ былъ бы равенъ 3, что противорѣчило бы условію. Поэтому изъ равенства (50) получаются равенства слѣдующаго вида:

(51) 2р = а3, р2-f- Ь3,

гдѣ а, Ь представляютъ собою два взаимно-простыхъ, недѣлящихся на 3 числа, изъ которыхъ первое — четное, а второе — нечетное.

Для продолженія доказательства необходимо теперь снова воспользоваться предложеніемъ изъ теоріи квадратичныхъ формъ съ опредѣлителемъ — 3 или изъ теоріи числового корпуса, образованнаго изъ ]/—3. Цѣлыя алгебраическія числа послѣдняго суть числа вида — - съ цѣлыми, сравнимыми между собою по модулю 2 числами и, и разлагаются опять единственнымъ образомъ на простые множители того же вида, такъ что изъ второго равенства (51), т.-е. изъ равенства

(р + qѴ^) • ( P-ï/=3) = Ь\

въ которомъ множители не имѣютъ общаго дѣлителя, слѣдуетъ, что выраженіе р + q V—3, раздѣленное на нѣкоторую единицу, принадлежащую этому корпусу, само представляетъ собою третью степень и, какъ нетрудно видѣть, можно положить

р+яѵ=з= \

при чемъ числа и,ѵ должны считаться четными. Итакъ, обозначимъ и — 2г, » — 2s; въ результатѣ получится

Р~\~ qV—3 = г3— 9 rs2-|- 3s (г2 — s2) ]/—3,

т.-е.

(52) р = г(г2 — 9s2), 2 — s2),

слѣдовательно,

(53) 2р = 2г (г 3s) (?• — 3s) = а3.

1) af 1 = 1 (mod p). Примѣч. перев.

Такъ какъ изъ равенства (52) видно, что каждый общій дѣлитель чиселъ г,s былъ бы также общимъ дѣлителемъ взаимнопростыхъ чиселъ р, q, то и г, s должны быть взаимно-простыми; кромѣ того, подобно р, q, первое изъ нихъ должно быть четнымъ, а второе нечетнымъ, и, наконецъ, г не должно дѣлиться на 3; поэтому три множителя равенства (53) — тоже попарно взаимнопростые, и мы получаемъ равенства слѣдующаго вида:

2г = g:3,r-j-3s — g3, г — 3s = rf,

слѣдовательно,

ê3 + 4s = £8,

въ то время какъ ни одно изъ чиселъ g, не дѣлится на 3. Но уже въ самомъ началѣ было доказано, что это невозможно.

Во-вторыхъ, если s представляетъ собою то изъ трехъ чиселъ х, у, z,которое дѣлится на 3, то, разсуждая совершенно подобнымъ же образомъ, мы получили бы новое равенство вида (49), но уже въ существенно меньшихъ числахъ, по отношенію къ которому можно было бы повторить то же разсужденіе. Такимъ образомъ въ концѣ концовъ произошло бы одно изъ двухъ: либо мы пришли бы къ равенству, разсмотрѣнному въ первомъ случаѣ и, слѣдовательно, невозможному, либо имѣлъ бы мѣсто неограниченный переходъ къ постоянно убывающимъ цѣлымъ числамъ, что тоже невозможно.

Ясно, что и въ этомъ случаѣ доказательство достигается при помощи перехода (descente), подобнаго тому, какимъ пользовался Ферматъ въ случаѣ, разсмотрѣнномъ въ началѣ № 11. Однако Ферматъ въ письмѣ къ Каркави (Carcavi) (œuvres, II, стр. 431), замѣчаетъ: S’ai ensuite considéré certaines questions—и въ числѣ ихъ упоминаетъ равенство (49) — qui ne restent pas de recevoir très grande difficulté, la méthode pour y pratiquer la descente étant tout à fait diverse des précédentes, comme il sera aisé d’éprouver. Трудно сказать въ точности, чтб Ферматъ подразумѣвалъ подъ этимъ. Но, дѣйствительно, между descente эйлерова доказательства и прежнимъ существуетъ различіе, которое полезно выяснить. Именно, по существу второй изъ двухъ разсмотрѣнныхъ нами различныхъ случаевъ приводится къ первому при помощи новаго вида descente, своеобразный принципъ котораго впервые былъ примѣненъ Лежандромъ (Legendre, Zahlentheorie, нѣм. перев. Maser, Bd. 2, стр. 348), а позднѣе — Куммеромъ (Kummer) въ его общихъ изслѣдованіяхъ о теоремѣ Фермата.

Обозначимъ

гдѣ zl—число нечетное и недѣлящееся на 3; при этомъ равенство (50) принимаетъ слѣдующій видъ:

2р (р2 + 3q2) = 2“ 33/'.

Такъ какъ выраженіе p2-\-3q2 — нечетное, но дѣлящееся теперь

одинъ разъ на 3, то изъ этого равенства вытекаетъ существованіе двухъ слѣдующихъ:

2 р = 2зк 33/,_1. а3 + 3 =

въ которыхъ числа а, Ь, какъ множители числа гх, не дѣлятся на 3; второе равенство можно написать также въ слѣдующемъ видѣ:

(р+î Ѵ-~з) Лр-<іі/-~3)=а/=3)2 • ( - Ь)3.

Съ помощью вышеиспользованной нами теоремы теоріи корпусовъ изъ этого уравненія мояото заключить, что такъ какъ множители p-\-qÿ — 3, p — qÿ— 3 имѣютъ общимъ наибольшимъ дѣлителемъ число У—3 корпуса, то

Р-г ? V— 3 — V— 3 0‘ + s V—3 )3.

слѣдовательно,

р = 9s (s -f- r) (s — г), (г2 — 9sa).

Наконецъ,

2s ( s-f- r)(s — r) = 33/1-3. a3.

Числа r, s не должны имѣть общихъ дѣлителей, а такъ какъ q—нечетное, то г должно быть нечетнымъ, а s — четнымъ; такимъ образомъ множители, стоящіе въ правой части равенства, оказываются попарно взаимно-простыми, и мы получаемъ поэтому либо равенства вида

2s = 2skÇ3, sdtzr= 33/'-3 I3 , rjz r = q3,

слѣдовательно,

(54) (33/'-1|)3-f»?3 = (2 kS)\

либо равенства другого вида:

2*- = 23k S3k~3 £3? s — r — g3, zp r q3,

слѣдовательно

(55) g3 -\-q3 — {2k .3/,_1. £)3,

при чемъ число £, какъ множитель числа а, уже не дѣлится на 3. Уравненіе (54) представляетъ собою уравненіе вида (49) перваго случая, слѣдовательно, не можетъ имѣть мѣста; уравненіе (55) имѣетъ видъ равенства (49) второго случая, въ которомъ однако высшая степень числа 3, входящая въ составъ z, понижена. Такимъ образомъ, повторяя тотъ же пріемъ, мы приходимъ, наконецъ, къ равенству вида (49), въ которомъ ^ уже не дѣлится на 3, т.-е. къ равенству перваго случая, изъ невозможности котораго ясно, что и никакое равенство второго случая невозможно.

(Продолженіе в слѣд. №).

Вопросъ о преподаваніи космографіи въ трудахъ Перваго Всероссійскаго Съѣзда преподавателей Физики, Химіи и Космографіи.

Б. В. Базилевскій. (Москва).

Введеніе. — Открытіе съѣзда 27 декабря 1913 года. Рѣчь проф. О. Д. Хвольсона. — Труды секціи космографіи: а) по вопросу о практическихъ занятіяхъ по космографіи; б) по вопросу о классномъ экспериментѣ при преподаваніи космографіи; в) по вопросу о конструированіи необходимыхъ приборовъ и моделей; г) по вопросу о программѣ систематическаго курса. — Можно ли ожидать существенныхъ результатовъ отъ трудовъ космографической секціи? — Заключеніе.

Настоящая статья представляетъ собой докладъ, прочитанный авторомъ въ „Кружкѣ преподавателей математики и физики при Варшавскомъ Учебномъ Округѣ“, весною 1914 года, о работахъ Перваго Всероссійскаго Съѣзда преподавателей Физики, Химіи и Космографіи, относящихся къ вопросу о преподаваніи послѣдней. Предлагаемый вниманію читателя докладъ, согласно пожеланію, высказанному въ названномъ „Кружкѣ преподавателей“, долженъ былъ появиться послѣ каникулъ 1914 года отдѣльной брошюрой. Разгорѣвшаяся война помѣшала осуществленію этого плана и докладъ остался ненапечатаннымъ...

Со времени Перваго Всероссійскаго Съѣзда преподавателей Физики, Химіи и Космографіи прошло три года, и за этотъ достаточно солидный промежутокъ времени не пришлось ни дождаться „Трудовъ Съѣзда“, ни встрѣтить болѣе или менѣе полнаго отчета о трудахъ космографической секціи Съѣзда. Въ виду этого будетъ, быть можетъ, не лишнимъ опубликовать печатаемый докладъ, несмотря на запозданіе его и на то, что лѣтомъ текущаго (1916) года было предположено устройство Второго Всероссійскаго Съѣзда преподавателей Физики, Химіи и Космографіи въ Москвѣ, который врядъ ли состоится въ виду развернувшихся событій.

Время, протекшее со времени Перваго Съѣзда, не могло не сказаться на нѣкоторыхъ заключеніяхъ о результатахъ Съѣзда автора этихъ строкъ, и послѣдній пунктъ доклада — можно ли ожидать существенныхъ результатовъ отъ трудовъ космографической секціи— написанъ теперь заново, не на основаніи теоретическихъ заключеній и оптимистическихъ надеждъ подъ впечатлѣніемъ Съѣзда, а на основаніи практическихъ наблюденіи и печальной дѣйствительности.

Первый Всероссійскій Съѣздъ преподавателей Физики, Химіи и Космографіи открылся 27 декабря 1913 года рѣчью предсѣдателя организаціоннаго комитета съѣзда проф. О. Д. Хвольсона. Въ этой рѣчи, кромѣ чисто офиціальной ея части, была выражена мысль, вполнѣ заслуживающая того, чтобы стать ру-

ководящимъ началомъ въ преподаваніи космографіи, до сихъ поръ, по общему признанію, дающемъ лищь ничтожные результаты.

Привѣтствуя съѣздъ преподавателей, являющихся представителями трехъ важнѣйшихъ областей научнаго знанія, имѣющихъ высокую общеобразовательную цѣнность, проф. О. Д. Хвольсонъ указалъ, что цѣлью преподаванія Физики, Химіи и Космографіи должна быть задача сообщить учащемуся юношеству основныя и строго научно-изложенныя понятія изъ области точнаго (математическаго) естествознанія, чтобы, опираясь на эти понятія, Университетъ могъ строить научную систему въ полномъ объемѣ, не встрѣчая затрудненій въ полной неподготовленности слушателей. Взглядъ этотъ, глубоко правдивый, является далеко не общепризнаннымъ; весьма многіе проводятъ рѣзкую грань между средней и высшей школой и считаютъ нормальнымъ явленіемъ, чтобы профессоръ физики или астрономіи, приступая къ изложенію того или иного вопроса, обращался къ своимъ слушателямъ съ просьбой позабыть все, чему ихъ учили въ гимназіи. Такое положеніе идетъ въ разрѣзъ и съ офиціальными даже, не только логическими, требованіями, такъ какъ программы, напримѣръ, физико-математическихъ факультетовъ русскихъ университетовъ согласованы съ программами соотвѣтствующихъ предметовъ гимназій, являясь ихъ непосредственнымъ продолженіемъ. Мнѣ кажется, что при такихъ обстоятельствахъ этотъ мотивъ рѣчи проф. Хвольсона заслуживаетъ большаго вниманія, въ особенности, если принять въ расчетъ нѣкоторое увлеченіе современной педагогической мысли, договорившейся до ироничнаго термина „мѣловой физики“ и что еще несообразнѣе „мѣловой космографіи“. Мотивъ этотъ представляется призывомъ, обращеннымъ къ преподавательской корпораціи, — выработать на собравшемся съѣздѣ способы совмѣстить возможную простоту изложенія со строгой научностью.

По составившемуся впечатлѣнію секція физики работала именно въ этомъ направленіи. Во всякомъ случаѣ отзывы о работахъ физической секціи свидѣтельствуютъ, что преподаватели физики получили на съѣздѣ полное нравственное удовлетвореніе.

Къ глубочайшему прискорбію долженъ сознаться, что въ трудахъ космографической секціи этого полнаго удовлетворенія искать не приходится. Я далекъ отъ мысли высказывать секціи порицаніе — у нея есть много вполнѣ извинительныхъ причинъ, изъ которыхъ главная заключается въ томъ, что космографы собираются въ первый разъ; для нихъ это первый съѣздъ въ буквальномъ абсолютномъ смыслѣ этого слова — нѣтъ поэтому необходимой опытности и систематичности въ обсуждаемыхъ вопросахъ; многимъ прямо не пришло въ голову подумать о томъ или иномъ вопросѣ, возбужденномъ на съѣздѣ, и надъ его рѣшеніемъ. Даже вопросъ о программѣ курса — о томъ, что же собственно и въ какомъ объемѣ должно войти въ курсъ космографіи, остался нерѣшеннымъ, хотя и былъ выдвинутъ на очередь.

Естественно спросить, что же сдѣлала космографическая секція, какими вопросами она занималась и къ какимъ пришла результатамъ?

Секція космографіи имѣла десять засѣданій, не считая занятій на выставкѣ пособій для изученія космографіи; каждое засѣданіе длилось въ среднемъ отъ 3—4 часовъ и было посвящено чтенію докладовъ и преніямъ по этимъ докладамъ. Засѣданія происходили подъ предсѣдательствомъ руководителя секціи проф. А. А. Иванова и благодаря его привычной опытности отличались замѣчательнымъ порядкомъ; но къ сожалѣнію, считаясь Съ личными удобствами и желаніями докладчиковъ, нельзя было расположить доклады въ извѣстной системѣ въ зависимости отъ ихъ содержанія, и въ этомъ отношеніи царствовала порядочная безсистемность, безспорно затруднявшая возможность быстро и отчетливо разобраться въ тенденціяхъ и идеалахъ докладчиковъ.

Чтобы избѣжать это затрудненіе въ нашемъ очеркѣ, гораздо удобнѣе будетъ вести изложеніе докладовъ не въ хронологической ихъ послѣдовательности, а расположивъ ихъ по группамъ въ зависимости отъ содержанія, тѣмъ болѣе, что цѣль настоящей статьи, вовсе не претендующей на полноту, очертить лишь въ основныхъ чертахъ работы космографической секціи.

Труды космографической секціи могутъ быть раздѣлены на слѣдующія пять категорій:

1) по вопросу о практическихъ занятіяхъ по космографіи,

2) по вопросу о классномъ экспериментѣ при преподаваніи космографіи,

3) по вопросу о конструированіи необходимыхъ приборовъ и моделей,

4) по вопросу о программѣ систематическаго курса,

5) по спеціальнымъ астрономическимъ вопросамъ.

Къ докладамъ первой категоріи — по вопросу о практическихъ занятіяхъ — должно отнести весьма интересный и поучительный докладъ Н. Н. Соковнина — „Практическія занятія по космографіи въ средней школѣ“. Основная мысль доклада формулируется слѣдующимъ образомъ словами самого автора „Само собой разумѣется, что тѣ методы и пріемы, которыми работаетъ астрономія, не могутъ быть перенесены цѣликомъ въ среднюю школу.

Для средней школы требуется выработать спеціальные пріемы, спроектировать и построить спеціальные упрощенные приборы. Пользуясь ими, можно будетъ одухотворить преподаваніе космографіи, сдѣлать его изъ схоластическаго „мѣлового“ предмета предметомъ живымъ и интереснымъ“. Далѣе авторъ демонстрируетъ очень остроумно сконструированные имъ приборы, которые даютъ не модель астрономическихъ инструментовъ, а лишь ихъ идею, и приводитъ списокъ работъ, которыя могутъ быть выполнены учениками (докладъ напечатанъ). Авторъ особенно подчеркивалъ мысль, что приборы для ученическихъ работъ должны отличаться особенной простотой, что поэтому они вовсе даже не должны напоминать собой настоящихъ астрономическихъ инструментовъ; вмѣстѣ съ тѣмъ авторъ самъ констатировалъ фактъ, что ученики и преподаватель не имѣютъ достаточно свободнаго времени для организаціи такихъ практическихъ зтнятій, въ особен-

нести, если принять во вниманіе, что подобныя наблюденія всецѣло зависятъ отъ метеорологическихъ условій. Роковую дилемму Н. Н. Соковнинъ рѣшилъ такъ: „Задача выработки списка работъ и техническихъ пріемовъ его осуществленія можетъ быть отдѣлена отъ другой задачи — найти для этихъ наблюденій время“. Послѣдней задачи авторъ не рѣшалъ совсѣмъ, что, конечно, представляетъ минусъ въ его докладѣ, такъ какъ вопросъ о времени для практическихъ занятій, коль скоро рѣчь идетъ о систематической организаціи такихъ занятій, является весьма существеннымъ .

Рис. 1.

Рис. 2.

На чертежахъ изображены схематически нѣкоторые изъ инструментовъ, сконструированныхъ Н. Н. Соковнинымъ; по этимъ чертежамъ можно составить нѣкоторое представленіе о типѣ приборовъ Соковнина, предназначаемыхъ для практическихъ занятій по космографіи.

Рис. 1 изображаетъ приборъ съ діоптромъ и кольцомъ съ натянутами нитями для наблюденія движенія звѣздъ.

AB — линейка со стойками ЛК и BN. С—мѣсто вращенія линейки въ горизонтальной и вертикальной плоскостяхъ. L — кольцо съ нитями. М—пересѣченіе нитей. К — діоптръ. О — глазъ наблюдателя.

Рис. 2. изображаетъ собой приборъ съ діоптромъ и стеклянной пластинкой для проектированія звѣздъ — короче для картографированія неба (цѣна приборовъ, изображенныхъ на рис. 1 и 2, вмѣстѣ 9 рублей)1).

AB — основная линейка. АК — діоптръ. V — стеклянная пластинка, изображающая проекціонную плоскость. О — глазъ наблюдателя. а, а, Ъ, с — созвѣздіе Орла; а', а', Ь',с' — изображаютъ созвѣздіе на проекціонной плоскости.

Рис. 3 изображаетъ угломѣрный приборъ, могущій быть употребляемымъ, какъ экваторіалъ, какъ теодолитъ и какъ меридіанный кругъ (цѣна 40 рублей).

MN — основная труба прибора — безъ оптическихъ стеколъ — простая латунная трубка цилиндрической формы — для отсчетовъ высотъ или склоненій. К—кольцо съ крестообразно натянутыми нитями. IL — кругъ для отсчетовъ. С—закрѣпной винтъ трубы MN. M1Nl— вспомогательная труба прибора, подобная главной трубѣ MN, вращающаяся, смотря по установкѣ прибора, въ плоскости горизонта или экватора. 7ц— кольцо съ крестообразно натянутыми нитями.

IJjj — кругъ для отсчетовъ. А и В — закрѣпные винты для круга IXLX и трубы М

Этотъ приборъ поражаетъ остроуміемъ и простотой своей конструкціи; отсутствіе у прибора техническихъ усовершенствованій— въ видѣ ноніусовъ, микроскоповъ, микрометрическихъ винтовъ, такъ называемыхъ ключей и т. и., дѣлаетъ его незамѣнимымъ пособіемъ для уясненія ученикамъ идеи этихъ трехъ инструментовъ; по своей простотѣ этотъ приборъ можетъ быть названъ геометрической моделью небесныхъ координатъ. Внѣшность его такъ же изящна и аккуратна, какъ и сама наука, для изученія которой онъ предназначается. Этотъ приборъ вызвалъ особенное восхищеніе у всѣхъ присутствовавшихъ на докладѣ H. Н. Соковнина и подробно его разсматривавшихъ. Конечно, плохой схематическій чертежъ не можетъ дать полнаго представленія о приборѣ.

Рис. 4 изображаетъ „звѣздный указатель“, состоящій изъ нѣсколькихъ параллельно-расположенныхъ брусовъ на стойкѣ (цѣна 5 рублей). Число брусковъ аах, — при желаніи можетъ

Рис. 3.

1) Цѣны показаны по условіямъ мирнаго времени.

быть значительно увеличено; въ оригиналѣ этихъ брусковъ, если не ошибаюсь, шесть.

По моему мнѣнію, вполнѣ возможно примѣнить этотъ приборъ и какъ угломѣрный, внеся въ него нѣкоторыя измѣненія; именно: придѣлавъ къ нему деревянные транспортиры, какъ показано на рисункѣ 5, будемъ имѣть возможность опредѣлять угловыя разстоянія свѣтилъ и ихъ высоты; такія опредѣленія имѣли бы смыслъ, напримѣръ, при наблюденіяхъ перемѣщенія планетъ между звѣздами, при чемъ приходилось бы опредѣлять угловыя разстоянія планеты отъ той или другой блестящей звѣзды и по этимъ даннымъ потомъ можно было бы вычертить, приближенно конечно, путь планеты на небесномъ сводѣ; такая работа должна выполняться, понятно, самими учащимися на особыхъ звѣздныхъ картахъ, подобныхъ географическимъ контурамъ. Подобныя работы, конечно, надо отнести къ такъ называемому пропедевтическому курсу.

Послѣ этого отступленія обратимся къ слѣдующимъ приборамъ.

Рис. 6-ой изображаетъ собой стеклянную полусферу, опирающуюся на подставку такъ, что глазъ наблюдателя можетъ быть помѣщенъ въ центрѣ О этой сферы; положенія звѣздъ проектируются на эту стеклянную поверхность полусферы; такимъ образомъ очень просто и наглядно демонстрируется такъ называемая „небесная сфера“ и вмѣстѣ съ тѣмъ относительность нашихъ понятій о линейныхъ размѣрахъ міра; небольшое (на сферѣ) созвѣздіе Малой Медвѣдицы въ дѣйствительности разростается до громадныхъ міровыхъ протяженій; можно при помощи желатиновыхъ кружковъ отмѣтить на сферѣ мѣсто проекцій звѣздъ; тогда получится картографированіе созвѣздія на сферѣ.

(Цѣна прибора 15 рублей).

Рис. 4. Рис. 5.

Рис. 6.

Къ этой же категоріи работъ по вопросу о практическихъ занятіяхъ надо отнести частъю докладъ и Ф. К. Красикова.

На рис. 7-мъ изображенъ „примитивный звѣздный угломѣръ“, предложенный Красиковымъ. Приборъ состоитъ изъ деревянной линейки, прикрѣпленной къ небольшому деревянному сегменту, укрѣпленному, какъ показано на рисункѣ 7. Вмѣсто линеекъ АО и OB можно брать прямо шнуры, какъ показано на рисункѣ 8. 01) — алидада; ОК—стойка съ зеркаломъ; ct и блоки для шнура. F (рис. 8) — діоптръ на ручкѣ; В — деревянный сегментъ.

Приборъ Красикова имѣетъ пожалуй одно только преимущество — это простота его изготовленія — каждый ученикъ можетъ изготовить его самъ —и дешевизна. Во всѣхъ остальныхъ отношеніяхъ онъ представляется мало педагогичнымъ и удобнымъ; наблюденія такимъ приборомъ не будутъ имѣть и въ глазахъ самихъ учениковъ никакой цѣны.

Для подобныхъ цѣлей удобнѣе пользоваться обыкновеннымъ (пожалуй даже деревяннымъ) ручнымъ квадрантомъ.

Этимъ мы закончимъ обзоръ вопроса о практическихъ занятіяхъ по космографіи.

Рис. 7.

Рис. 8.

Къ докладамъ второй категоріи —по вопросу о классномъ экспериментѣ — относятся: второй докладъ H. Н. Соковнина, упомянутый уже нами докладъ Ф. К. Красикова, доклады К. К. Дубровскаго и Д. Д. Струнина. Первые три доклада (Соковнина, Красикова и Дубровскаго) были встрѣчены весьма одобрительно и прослушаны съ большимъ интересомъ. По вопросу о классномъ экспериментѣ при преподаваніи космографіи члены космографической секціи имѣли возможность услышать очень много интереснаго и поучительнаго; кромѣ того, при существующихъ условіяхъ преподаванія космографіи, когда въ большинствѣ учебныхъ заведеній (въ гимназіяхъ) за космографіей не признается даже права на существованіе въ качествѣ самостоятельнаго предмета и лишь въ немногихъ сравнительно учебныхъ заведеніяхъ (реальныхъ училищахъ) космографія существуетъ, какъ самостоятельный предметъ, по которому полагается экзаменъ, при такихъ

условіяхъ классный экспериментъ является прогрессомъ, на осуществленіе котораго въ самомъ недалекомъ будущемъ можно надѣяться болѣе, чѣмъ на осуществленіе другихъ реформъ въ преподаваніи космографіи.

Основной мыслью докладовъ по вопросу о классномъ экспериментѣ при прохожденіи космографіи является положеніе, что однихъ занятій подъ открытымъ небомъ далеко не достаточно, потому что кромѣ хорошаго знакомства съ видимымъ движеніемъ свѣтилъ, которое дадутъ такія занятія, остается еще вопросъ объ ихъ истинныхъ взаимоотношеніяхъ. Въ послѣднемъ случаѣ классный экспериментъ имѣетъ существенное значеніе и представляетъ собой то удобство, что можетъ быть произведенъ во всякое время въ классѣ по желанію преподавателя въ соотвѣтствіи съ проходимымъ курсомъ.

Вопросъ объ организаціи класснаго эксперимента по космографіи — вопросъ новый, малоразработанный.

По справедливому замѣчанію докладчика, „можно надѣяться, что если за это дѣло примутся такъ же дружно, какъ за разработку вопроса о классномъ экспериментѣ по курсу физики, то черезъ короткое время у преподавателей будетъ въ распоряженіи циклъ такихъ демонстрацій, которыя сдѣлаютъ и классное преподаваніе космографіи и болѣе доступнымъ для учениковъ и интереснымъ.

Изъ довольно значительнаго (сравнительно) числа такихъ классныхъ экспериментовъ, продемонстрированныхъ на докладахъ въ космографической секціи, мы остановимся только на нѣкоторыхъ, наиболѣе интересныхъ и поучительныхъ, такъ какъ изложеніе всѣхъ такихъ демонстрацій полностью значительно увеличило бы объемъ настоящей статьи и повредило бы отчетливости впечатлѣнія. Моя цѣль, какъ я уже упоминалъ, представить лишь характерныя черты современной педагогической мысли по методикѣ космографіи.

Рис. 9 изображаетъ модель вселенной — система шариковъ — это эмблемы небесныхъ свѣтилъ, расположенныхъ въ міровомъ пространствѣ. Т— это земля; НИ — горизонтъ мѣста наблюденія MZ—направленіе на зенитъ. Такой глобусъ съ картоннымъ горизонтомъ — замѣчательно наглядно иллюстрируетъ истинную природу суточнаго движенія небеснаго свода.

Прикрѣпивъ къ глобусу кромѣ горизонта еще картонную плоскость меридіана, получимъ приборъ (см. рис. 10), служащій для нагляднаго объясненія кульминаціи свѣтилъ и объясненія выраженія „кульминація точки весенняго равноденствія“, которое

Рис. 9.

обыкновенно страшно сбиваетъ учениковъ, ибо имъ говорится, что это неподвижная точка въ пространствѣ (если, конечно, не считать прецессію).

На рис. 11-мъ демонстрируется измѣненіе высоты свѣтила при перемѣщеніи наблюдателя по меридіану и демонстрируется очень наглядно. Приборъ А въ нѣсколько увеличенномъ видѣ можетъ служить прекрасной моделью меридіаннаго круга или въ соединеніи съ горизонтальнымъ кругомъ— универсальнаго инструмента; отбросивъ круги, будетъ имѣть пассажный инструментъ.

Особеннаго вниманія заслуживаетъ приборъ для объясненія аберраціи свѣта. Рис. 12 изображаетъ такой приборъ.

На горизонтальной оси AB, свободно вращающейся въ гнѣздахъ и Сг2, плотно насажены два картонныхъ кружка и IV на нѣкоторомъ разстояніи другъ отъ друга. Между этими кружками на ось AB наматывается шнурокъ LK, натянувъ который, можно привести эти кружки въ быстрое вращательное движеніе. На нѣкоторомъ разстояніи отъ кружка М укрѣпляется пистолетъ В, стволъ котораго параллеленъ оси кружковъ AB, а на нѣкоторомъ разстояніи отъ кружка N укрѣпляется вертитально толстая деревянная доска В, которую не могла бы пробить пуля пистолета. Опытъ состоитъ въ слѣдующемъ.

Рис. 10.

I часть опыта: изъ пистолета производится выстрѣлъ, когда кружки находятся въ покоѣ; пуля, летящая параллельно оси AB (ибо стволъ пистолета параллеленъ AB), пробьетъ кружки и N въ точкахъ и пг и засядетъ въ доскѣ Просунувъ черезъ дырочки т1 и пг тонкій прутъ (металлическій или стеклянный), найдемъ, что онъ параллеленъ оси AB.

Рис. 11.

II часть опыта: изъ пистолета производится выстрѣлъ, когда кружки находятся въ быстромъ вращательномъ движеніи. Пуля, пробивъ кружокъ М въ точкѣ т2,пойдетъ и дальше параллельно оси АВ\ но пока пуля пролетитъ отъ кружка М до кружка N, послѣдній повернется на нѣкоторый уголъ, и пуля пробьетъ его въ точкѣ и2, не отвѣчающей по своему положенію точкѣ Просунувъ черезъ дырочки т2 и щ тонкій прутъ, найдемъ, что онъ

не параллеленъ оси AB, а составляетъ съ ней нѣкоторый уголъ. Получается впечатлѣніе, будто пуля должна была летѣть тисковъ навстрѣчу движенію кружковъ по направленію непараллельному оси AB. Такимъ образомъ демонстрируется кажущееся отклоненіе луча зрѣнія — аберрація свѣта.

Заслуживаетъ упоминанія также весьма остроумный опытъ, объясняющій почему звѣзды днемъ невидимы. На рис. 13 дана схема этого опыта. S — проекціонный фонарь, дающій сильный пучекъ параллельныхъ лучей — изображаетъ солнце;

3—небольшой источникъ свѣта,—напримѣръ, электрическая лампочка въ 1 свѣчу — изображаетъ звѣзду;

ABCD A1BlCiDl— стеклянный ящикъ;

MN— обыкновенное стекло, которымъ можно покрыть ящикъ. Этотъ ящикъ наполняется табачнымъ дымомъ отъ папиросы.

Рис. 12.

Рис. 13.

Приборы располагаются такъ, чтобы свѣтъ отъ фонаря S падалъ на стѣнку ящикъ AB В, Лх и освѣщалъ наполняющій ящикъ дымъ. Источникъ свѣта 3 находится за стѣнкой ящика С\С, а наблюдатель передъ стѣнкой ААХ ВХІ) (въ точкѣ О).

Опытъ производится слѣдующимъ образомъ: ящикъ АВСІ) А1В1С1І)1 наполняется табачнымъ дымомъ, который изображаетъ пыль и другія постороннія частицы атмосферы, уменьшающія ея прозрачность и разсѣивающія свѣтъ. Если фонарь изображающій солнце, не дѣйствуетъ (т.-е. опытъ соотвѣтствуетъ условіямъ ночного времени), то наблюдатель въ О увидитъ сквозь дымъ

(атмосферу) источникъ свѣта 3 (звѣзду). Если же фонарь находится въ дѣйствіи и освѣщаетъ дымъ въ ящикѣ (т.-е. солнце освѣщаетъ атмосферу), то наблюдатель будетъ видѣть лишь освѣщенный дымъ и на этомъ освѣщенномъ фонѣ свѣтъ отъ 8 (отъ звѣзды) исчезнетъ; звѣзды не будетъ видно.

На практикѣ опытъ очень простъ и эффектенъ.

Въ докладѣ К. К. Дубровскаго описаны нѣкоторыя интересныя пособія — напримѣръ:

I) искусственное небо,

II) звѣздный фонарь,

III) искусственный горизонтъ.

Въ докладѣ Ф. К. Красикова описаны также нѣкоторыя пособія для класснаго эксперимента, между прочимъ — оригинальный способъ реализировать круги небесной сферы — при помощи резиновой тесьмы; но на этихъ мелочахъ я останавливаться не буду, тѣмъ болѣе, что относительно этихъ приборовъ возможны различныя мнѣнія.

Въ числѣ докладовъ по вопросу о классномъ экспериментѣ былъ упомянутъ докладъ г. Струнина.

Докладъ Д. Д. Струнина, выступившаго съ пропагандированіемъ разборныхъ аппаратовъ Адольфа Манга, прозвучалъ на съѣздѣ глубокимъ диссонансомъ; если и не все удалось въ космографической секціи провести такъ, какъ это было бы желательно, если высказывались въ нѣкоторыхъ случаяхъ ошибочные взгляды, то дѣлалось это непроизвольно — искренняя цѣль докладчиковъ была—подѣлиться своими мыслями съ коллегами по наукѣ и въ свою очередь поучиться у нихъ. Въ докладѣ г. Струнина члены съѣзда встрѣтили не докладъ, а скорѣе рекламу въ пользу аппаратовъ Манга. Въ доказательство „простоты“ и „наглядности“ этихъ аппаратовъ г. Струнинъ, желая продемонстрировать объясненіе прецессіи и нутаціи, совершенно запутался въ „сложномъ механическомъ заводѣ“, какъ совершенно справедливо назвали аппараты Ад. Манга на съѣздѣ. Этотъ докладъ былъ встрѣченъ вполнѣ отрицательно, и врядъ ли аппаратамъ Ад. Манга суждено получить широкое распространеніе въ преподаваніи космографіи1).

Докладовъ по вопросу о программѣ курса космографіи на съѣздѣ было прочитало два: первый пишущимъ эти строки, второй А. М. Гижицкимъ, какъ представителемъ особой комиссіи, образованной при распорядительномъ комитетѣ съѣзда. Докладъ А. М. Гижицкаго заключался въ объяснительной запискѣ къ выработанной комиссіей программѣ, каковую сама комиссія признаетъ систематической, а я позволяю себѣ утверждать, какъ утверждалъ это и на съѣздѣ при обсужденіи программы, что программа эта носитъ скорѣе концентрическій характеръ, чѣмъ систематическій. Въ своемъ докладѣ я центръ тяжести сводилъ къ выясненію во-

1) По этой причинѣ я не описываю аппаратовъ Ад. Манга; къ тому же они извѣстны сравнительно многимъ преподавателямъ космографіи.

проса, что должна представлять собой космографія и какое значеніе она имѣетъ въ системѣ средняго образованія. Безъ рѣшенія этихъ вопросовъ говорить о программѣ и курса и практическихъ занятій, по моему мнѣнію, совершенно безполезно, такъ какъ программа курса, очевидно, всецѣло опредѣляется тѣмъ, какую цѣль мы преслѣдуемъ, включая ту или другую науку въ систему средняго образованія.

Я лично придаю космографіи роль обобщающей науки.

Физическіе и механическіе законы, управляющіе явленіями, совершающимися повсюду въ безконечныхъ глубинахъ пространства, пріобрѣтаютъ міровой смыслъ и констатируютъ замѣчательную гармонію и порядокъ, царствующіе среди силъ природы. Въ курсѣ космографіи передъ учащимися тотъ или иной физическій законъ разростается за предѣлы физическаго кабинета до предѣловъ цѣлой вселенной. Мало того, въ курсѣ космографіи передъ учащимися проходитъ совмѣстное дѣйствіе различныхъ физическихъ, химическихъ и механическихъ законовъ, ибо лабораторія природы этихъ законовъ не раздѣляетъ. Благодаря этому космографія пріобрѣтаетъ высокую эстетическую цѣнность; правильно преподаваемая она внушаетъ мысль о непреложности законовъ природы, невольно приковываетъ къ себѣ интересъ молодого ищущаго ума и рождаетъ у него массу новыхъ вопросовъ относительно окружающихъ его явленій и не только эти вопросы рождаетъ, но и отвѣчаетъ на нихъ.

По содержанію космографія должна представлять собой изложеніе явленій космоса и по возможности объяснять эти явленія, какъ слѣдствія извѣстныхъ законовъ механики и физики; по цѣли преподаванія космографія должна способствовать правильному мышленію о природѣ, какъ цѣломъ.

Изложеннымъ опредѣляется, какъ мнѣ кажется, и значеніе космографіи и характеръ ея преподаванія. Въ этомъ преподаваніи долженъ весьма существенную роль играть теоретически-описательный элементъ, такъ какъ иначе ни о какомъ обобщающемъ значеніи космографіи не можетъ быть и рѣчи. Примѣнительно къ этимъ соображеніямъ и составлена предлагаемая много программа.

По объему и содержанію обѣ программы разнятся сравнительно мало — существенная ихъ разница въ порядкѣ изложенія и освѣщенія курса. Въ программѣ комиссіи исключенъ элементъ историческій, которому въ моей программѣ отводится довольно видное мѣсто. Преній по существу программы не вызвали. Что же касается объема, то какъ та, такъ и другая программа, повидимому, показались слишкомъ подробными, хотя нѣкоторые члены съѣзда относились къ предложенной мной программѣ весьма сочувственно.

О трудахъ космографической секціи по спеціально астрономическимъ вопросамъ я говорить не буду, такъ какъ большинство изъ нихъ базировалось главнымъ образомъ на предстоящемъ солнечномъ затменіи (въ августѣ 1914 г.), что уже могло бы быть темой спеціальной статьи.

Мнѣ остается отвѣтить на послѣдній вопросъ настоящей статьи — можно ли ожидать существенныхъ результатовъ отъ трудовъ космографической секціи?

Теперь, когда со времени съѣзда прошло три года и съ очевидностью выяснилось, что преподаваніе космографіи ни на шагъ не подвинулось впередъ, и космографія попрежнему является забитой и загнанной падчерицей нашей школы, теперь приходится сознаться, что отъ трудовъ космографической секціи напрасно ожидать не только существенныхъ, но какихъ бы то ни оыло самыхъ скромныхъ результатовъ.

Труды съѣзда до сихъ поръ остаются неизданными и, повидимому, изданы не будутъ. Въ случаѣ же изданія ихъ ошибка все-таки исправленанебудетъ, такъ какъ изданіе является запоздавшимъ, когда даже у участниковъ съѣзда сгладятся впечатлѣніе и подъемъ, вызванные вдохновенными рѣчами проф. О. Д. Хвольсона, А. А. Иванова, Н. А. Умова и друг.

Нельзя, къ сожалѣнію, сказать, чтобы наша учебно-математическая литература за три протекшіе года обогатилась чѣмъ-либо выдающимся въ области методики космографіи; на страницахъ нашихъ физико-математическихъ журналовъ („Математическое Образованіе“, „Физика“, „Вѣстникъ опытной физики и элементарной математики“ и друг.) было бы напрасной попыткой искать откликовъ о работахъ космографической секціи съѣзда или призывовъ къ новой дружной работѣ надъ вопросомъ, какъ вывести космографію изъ того заколдованнаго круга, въ которомъ оказалась космографія въ средней школѣ.

На сколько можно судить, вопросъ о постановкѣ преподаванія космографіи при работахъ комиссіи о реформѣ средней школы при Министерствѣ Народнаго Просвѣщенія рѣшался совершенно независимо отъ трудовъ и занятій съѣзда.

Словомъ, можно сказать, что пока работы космографической секціи съѣзда не принесли никакихъ результатовъ и, насколько извѣстно автору этихъ строкъ, нашли откликъ лишь въ „Нижегородскомъ Кружкѣ Любителей Физики и Астрономіи“, гдѣ вопросъ о преподаваніи космографіи послужилъ темой не одного доклада; но приписывать это отрадное явленіе съѣзду, конечно, не приходится, а надо всецѣло отнести къ чести названнаго Кружка, стяжавшаго себѣ широкую популярность и заслуженное уваженіе среди всѣхъ русскихъ физиковъ и космографовъ.

А не такъ думалось и чувствовалось непосредственно послѣ съѣзда. Когда весной 1914 года мной былъ сдѣлалъ докладъ въ „Кружкѣ преподавателей математики и физики Варшавскаго Учебнаго Округа“, работы космографической секціи и организація практическихъ занятій и класснаго эксперимента по космографіи вызвали такой интересъ, что всѣми присутствующими было принято предложеніе Правленія Кружка поручить мнѣ оборудовать при „образцовомъ Физическомъ Кабинетѣ“ (при Управленіи Варшавскаго Учебнаго Округа) кабинетъ космографическій, по образцу котораго со временемъ можно было бы оборудовать такіе кабинеты при каждомъ учебномъ заведеніи. Война помѣшала обо-

рудовать такой образцовый кабинетъ, вслѣдствіе реквизиціи подъ лазаретъ зданія, въ которомъ долженъ былъ находиться кабинетъ... Такъ погибло одно изъ очень немногихъ начинаній, направленныхъ къ тому, чтобы наука о небѣ получила надлежащую постановку въ нашей школѣ. А безъ такихъ начинаній преподаваніе космографіи никогда не подвинется впередъ; возлагать въ этомъ отношеніи надежды на личные почины отдѣльныхъ преподавателей абсолютно невозможно, во-первыхъ, потому, что 90% изъ нихъ сами знаютъ космографію въ объемѣ тощаго учебника и потому считаютъ своей святой обязанностью заниматься на урокахъ космографіи математикой, а во-вторыхъ потому, что и учебное начальство смотритъ на космографію, какъ на ненужый предметъ, изученіе котораго навязано школѣ по чьему-то капризу безъ всякой опредѣленной цѣли.

По моему глубокому убѣжденію, въ задачу съѣзда входило отвоевать для космографіи болѣе почетное мѣсто въ школѣ — и это главное, за которымъ пошло бы естественное развитіе и методовъ преподаванія.

Но именно этого не суждено было достичь трудамъ космографической секціи Перваго Всероссійскаго Съѣзда преподавателей Физики, Химіи и Космографіи, а потому не суждено было отразиться и на улучшеніи преподаванія космографіи.

Но не будемъ отчаиваться! Наоборотъ, будемъ надѣяться, что въ недалекомъ будущемъ состоится Второй Всероссійскій Съѣздъ преподавателей Физики, Химіи и Космографіи, и что мы будемъ свидѣтелями того завѣтнаго дня, когда спадетъ, наконецъ, проклятіе, брошенное Астрономической наукѣ во времена Галлилея, и космографія займетъ въ нашей школѣ почетное положеніе на равнѣ съ математикой и физикой.

28 г. Москва,

25 февраля 1916.

Современная математика и древній мистицизмъ*).

Бенкара Брэнфорда,

окружного инспектора школьнаго совѣта Лондонскаго графства.

(Переводъ статьи, помѣщенной въ The Journal of Education, въ Маѣ 1913 года).

I —а) Путешественникъ и его разсказъ.

Въ десяти шагахъ отъ величественнаго зданія одного изъ университетовъ напротивъ его возвышаются два мощныхъ гранитныхъ монолита и смотрятъ въ лицо проходящему страннику.

*) „Principia Mathematica" А. И. Уайтхеда и Бертрана Рёсселя, т. І—ІІІ. Cambridge. Univessity Press. 1910—1913.

Каждый изъ монолитовъ вѣнчаетъ бронзовая фигура: одна изображаетъ юнаго охотника, обнаженнаго, могучаго, ликующаго и восхищеннаго своей удачей въ ловлѣ, другая — женщину, снимающую или одѣвающую вуаль и такимъ образомъ все время то покрывающую, то прячущую возвышенную красоту своего тѣла. Мужчина—Научное Знаніе, женщина—Истина. Изваянныя знаменитымъ скульпторомъ, эти фигуры были воздвигнуты въ самые послѣдніе годы нашей цивилизаціи. Скромный путникъ долго стоитъ въ изумленіи предъ этими приковывающими къ себѣ статуями.

б) Мірское и священное.

Великій художникъ всегда является глубочайшимъ истолкователемъ своей эпохи, будь онъ ваятель, зодчій, живописецъ, актеръ или музыкантъ. Развѣ во всѣхъ насъ не заложена возможность стать художникомъ и развѣ достиженія и творенія великихъ художниковъ нашего человѣческаго рода не вызвали внутри насъ сознаніе этой духовной возможности, сдѣлавъ ее реальной и надѣливъ ее силой? Вѣдь именно эти произведенія проливаютъ на нашъ собственный вѣкъ такой яркій свѣтъ, что становится возможнымъ въ его отблескѣ разсмотрѣть великую исторію прошлаго человѣческой культуры, а также мерцающее будущее, хотя съ неизбѣжнымъ потускнѣніемъ, все возрастающимъ по мѣрѣ того, какъ мы, идя вслѣдъ просвѣту, подвигаемся въ глубь вѣковъ.

Наука! Истина! Вотъ два слова, оплодотворяющую силу которыхъ въ области воспитанія трудно переоцѣнить, если только это вообще возможно.

Но развѣ въ теченіе чуть не столѣтія этимъ двумъ словамъ часто не придавалось ошибочное истолкованіе и развѣ при этомъ не смѣшивались также соединенныя съ ними области? Каковъ бы ни былъ отвѣтъ на поставленный нами вопросъ, этихъ поразительныхъ фигуръ создатель, повидимому, раскрылъ предъ нами юную душу новаго столѣтія, предназначеніе котораго мощно произрастать въ лицѣ живущаго и послѣдующихъ поколѣній до до тѣхъ поръ, пока столѣтній старецъ, теперь еще юноша, не повѣдаетъ свою повѣсть и не оправдается пророчество художника. Наука и Истина? И то, и другое — познаніе: въ чемъ же тогда существенная разница между ними? Не мало объемистыхъ трактатовъ было написано въ старину для выясненія двухъ идей, служащихъ основой этихъ словъ. Мы же пріимемъ во вниманіе ограниченность мѣста, которымъ здѣсь располагаемъ, а также

предѣлъ снисходительности нашихъ читателей и удовлетворимся представленіемъ на ихъ сужденіе стариннаго способа разграниченія этихъ двухъ идей. Примѣнивъ этотъ способъ къ нашимъ временамъ, мы охактеризуемъ Науку, какъ знаніе свѣтское, Истину какъ знаніе священное. Не правда ли, Наука открываетъ факты и подчиняется канонамъ логической ихъ сообразности, тогда какъ Истина сама творитъ и раскрываетъ свои законы? Развѣ Научные факты не таютъ подъ вліяніемъ времени, тогда какъ миѳы Истины выносятъ его давленіе? Наука математична; Истина—мистична.

Но если бы насъ попросили дать примѣры той и другой въ пхъ чистотѣ, мы необходимо должны были бы сознаться въ нашей полной неспособности сдѣлать это, такъ какъ мы увѣрены что Наука и Истина одна безъ другой для человѣка не существуетъ. И на дѣлѣ мы приходимъ къ компромиссу, такъ какъ мы не можемъ представить себѣ факта, который не содержалъ бы нѣкоторой примѣси миѳа, и не можемъ представить себѣ миѳа, не содержащаго извѣстнаго бродила — факта. Поэтому-то языки и другіе символы любого характера развиваются путемъ компромисса въ соотвѣтствіи съ преобладаніемъ то одного, то другого изъ двухъ элементовъ; жизнь же есть непререкающееся разрѣшеніе этого парадокса.

в) Форма и Духъ.

Но принявъ форму за нѣчто такое, посредствомъ чего мы различаемъ вещи, во времени ли, въ пространствѣ, или въ томъ и другомъ, а духъ за нѣчто, посредствомъ чего мы отожествляемъ вещи, мы можемъ предложить равносильное истолкованіе Науки и Истины, утверждая, что Наука есть познаніе формы, Истина—познаніе духа.

Всѣ вещи представляютъ собой для человѣка нѣчто единое до тѣхъ поръ, пока онѣ не примутъ формы. Чѣмъ подробнѣе мы изслѣдуемъ форму, тѣмъ болѣе мы отличаемъ другъ отъ друга вещи. Духъ обобщаетъ и объединяетъ, форма индивидуализуетъ и обособляетъ. Истина представляетъ собой въ познаніи безконечное, форма — конечное. Духъ присущъ формѣ и преступаетъ ее.

И Человѣчество, какъ рьяный охотникъ, вѣчно преслѣдуетъ достиженіе этого идеала, вѣчно преслѣдуемо стремленіемъ достигнуть идеала воплощенія духа въ форму, безконечнаго—въ конечное, надсознательнаго въ сознаваемое, Истины, красота которой стыдливо раскрывается и неясно воспринимается — въ

Науку, факты которой обнажены, не прячутся отъ глаза и воспринимаются съ рѣзкой точностью на полномъ свѣту. Двуполое въ самой сути своей, хотя и широко мѣняющее соотношенія своихъ составныхъ элементовъ—каждое человѣческое существо является отчасти мужчиной, преслѣдующимъ вѣчно ускользающую женственную Истину, отчасти женщиной, мастерски творящей формы, которыя должны раскрыть предъ ней ея красоту.

II.—а) Изъ исторіи.

Научное произведеніе, носящее гордое названіе „Ргіпсіріа“, наводитъ на мысль.... нѣтъ, непреодолимо указываетъ на сопоставленіе его съ великими твореніями, Декарта и Ньютона— „Principia Philosophiae“ (Descartes, Амстердамъ, 1644), „Philosophiae Naturalis Ргіпсіріа Mathematical (Newton, Лондонъ, 1687). Сюда слѣдуетъ еще прибавить „Biscorsiе e DimostazioniMathematiche Галилея (Galileo, Лейденъ, 1638) и работы Лейбница въ „Acta Eruditorum“ (1686, 1695). Но гдѣ критикъ, который могъ бы по праву произнести свое сужденіе? Мы не возьмемъ на себя рѣшеніе столь деликатной и трудной задачи. Но мы отважимся отдать на судъ потомства слѣдующую менѣе рискованную мысль: все современное международное развитіе математики, благороднымъ англійскимъ памятникомъ котораго является данное произведеніе Уайтхеда и Рёсселя, окажется для слѣдующей за нами эпохи цивилизаціи не менѣе плодотворнымъ, чѣмъ прославленныя творенія гигантовъ Италіи, Франціи, Германіи и Англіи, которыя удерживали свое значеніе въ теченіе трехъ сотъ лѣтъ эпохи, которая за ними послѣдовала. Въ это удивительное достиженіе наукъ Италія привнесла — починъ, побудительныя причины, Франція—ясность и широту, Германія—тонкія идеи и символизмъ, Англія же характерную ей смѣлость, воображеніе и творчество въ одѣяніи античной эллинской геометріи.

б) Три міра въ природѣ. „Познай самого себя“.

Высшимъ научнымъ идеаломъ человѣка является власть надъ природой. Въ природѣ есть три міра — міръ вещества и энергіи, міръ жизни и міръ человѣчества или, короче говоря, міры — физическій, органическій и человѣческій. Первая трудность для человѣка и въ то же время послѣдняя для него трудность—это умѣніе повелѣвать собой. Какъ разъ въ этой борьбѣ его за господство надъ своими собственными страстями каждый человѣкъ вступаетъ въ борьбу съ внѣшнимъ міромъ природы,

съ міромъ человѣческаго. Здѣсь человѣкъ начинаетъ сызнова свой первый урокъ, здѣсь онъ переоткрываетъ основной законъ всякой побѣды—законъ, согласно которому покорить свою природу онъ можетъ лишь путемъ своего подчиненія ея законамъ. Это положеніе было краснорѣчиво повѣдано Френсисомъ Бэкономъ, учившимъ, что оно приложимо ко всей природѣ, благодаря чему обладаетъ исключительнымъ могуществомъ, оказывая по безчисленнымъ не сразу видимымъ каналамъ вліяніе на научныя достиженія столѣтій, нами упомянутыхъ.

Могущественное, въ силу этого, положеніе, стоящее превыше всего, на что оно откликнется созвучнымъ эхо въ груди каждаго размышляющаго человѣка, есть не что иное какъ во внѣ проникающая въ своихъ исканіяхъ форма положенія, насчитывающаго тысячу лѣтъ и ищущаго внутри, положенія „Познай самого себя“. Ибо человѣкъ есть въ одно время и машина, и организмъ и существо человѣческое. Три міра есть въ природѣ, на они сливаются въ единомъ; и единое это—самъ человѣкъ.

Чтобы стать господиномъ самого себя, мы, по необходимости, должны раскрыть законы природы вещественной, законы природы органической, равно какъ и законы нашего собственнаго существа; послѣдніе законы по роду своему и по преимуществу будутъ законами человѣческими.

Непрерывно истекаютъ наружу и возвращаются внутрь въ ритмическомъ колебаніи своемъ, въ качаніи впередъ и назадъ, эти неумирающіе познавательные научные инстинкты человѣчества, заставляютъ проникать во внѣшній міръ природы и, наряду съ этимъ, обусловливаютъ соотвѣтственное проникновеніе въ дебри того міра природы, который находится внутри каждаго человѣка. Эти-то инстинкты возбуждаютъ всеобщій интересъ къ тремъ мірамъ природы и страстныя исканія передовыхъ вождей человѣчества въ сокровенныхъ ея тайникахъ.

в) Математика и міръ природы матеріальной.

Погрузимся теперь на мгновеніе въ исторію, ограничивъ наша поле зрѣнія одной Европой, и мы увидимъ тутъ этотъ неукротимый инстинктъ, творящій современную физическую науку въ шестнадцатомъ и семнадцатомъ столѣтіяхъ. Мы увидимъ здѣсь, что могущественнѣйшимъ орудіемъ мысли для открытіи тайнъ природы служитъ одновременно совершающееся развитіе высшей математики, аналитической геометріи, исчисленія безконечно малыхъ и безконечно большихъ, съ ихъ многообразными идеями, методами и символизмомъ.

Подъ конецъ грандіозное зданіе математики стало расти съ такой быстротой, что ето основанія оказались подъ угрозой, такъ какъ не могли уже выдержать столь тяжелой надстройки; и въ серединѣ девятнадцатаго столѣтія мы наблюдаемъ во всѣхъ отрасляхъ математики озабоченность и даже лихорадочность въ дѣлѣ пересмотра вопросовъ, касающихся состоятельности и природы ея аксіомъ, опредѣленій и постулатовъ; такому пересмотру подвергались и аксіомы прославленной временемъ евклидовой геометріи, и основные законы алгебры, и основные постулаты механики, и значеніе самого числа. И отраженное вліяніе изслѣдованія, проникающаго въ самыя основанія, распространилось далѣе вглубь философіи и теологіи. Наиболѣе поразительно сказалось дѣйствіе такого проникновенія въ основанія науки благодаря великой конструктивной и въ то же время критической работѣ двухъ изслѣдователей и поборниковъ*) неевклидовыхъ геометрій. Многое въ кантовыхъ воззрѣніяхъ на геометрію въ свѣтѣ этихъ работъ утратило значеніе, а на ряду съ этимъ перестали оказывать свое вліяніе многія философскія теоріи, на этихъ взглядахъ построенныя. Въ образованіи, какъ теперь мы покажемъ, на долго упрочилось радостное вліяніе новаго, побуждавшее и въ этой области произвести перестроеніе.

г) Математика и міръ живой природы.

Обратимся теперь къ органическому міру въ природѣ. Не рѣдко бываетъ, что руководящая идея эпохи проникаетъ въ различныя области современной ей науки тѣмъ болѣе прочно, чѣмъ менѣе можно заподозрить ея вліяніе. Такъ было съ современной руководящей идеей эволюціи. Подъ вліяніемъ ея смѣлыя умозрѣнія въ области основъ математики неизбѣжно подвергаютъ подъ конецъ своимъ ударамъ самыя основанія самой логики, благодаря чему подвергаются преобразованію издавна установленные законы мышленія; медленно пришли къ допущенію, что аксіомы мышленія также подвержены формальной эволюціи.

Такимъ образомъ не только руководящая идея, но и характерный ея отпрыскъ начали оказывать вліяніе на математику, расширяя ея границы и въ то же время характерныя мыслительныя орудія человѣка, служившія для изслѣдованія органическаго въ природѣ, были оставлены.

Взаимоотношенія организмовъ и окружающаго міра, рожденіе или появленіе, развитіе или ростъ, исчезновеніе или смерть

*) Венгра и русскаго.

организмовъ, отношенія родителя къ потомку, такія оплодотворяющія понятія, какъ понятія классификаціи, группы, порядка и подобныя основныя идеи біологіи постепенно создали параллельныя понятія и идеи въ области математики. Въ „Principia“' можно разсмотрѣть нѣчто большее, нежели начатки этихъ идей, хотя мы совершенно подготовлены къ тому, что авторы отвергнутъ подобныхъ предковъ. И вотъ математика съ ея традиціоннымъ могуществомъ высшаго символическаго инструмента человѣка переходитъ къ изобрѣтенію цѣлыхъ полчищъ новыхъ символовъ, нужныхъ для упорядоченія и использованія новаго міра, въ который она безсознательно вступила; символы эти сами, какъ бы счастливо они ни были выбраны, должны испытать всѣ случайности переживанія въ борьбѣ за существованіе.

Мы можемъ заключить этотъ раздѣлъ утвержденіемъ, что математикѣ суждено становиться все въ большей и большей мѣрѣ исчисленіемъ самой жизни.

Развитіе математическихъ способностей.

Эти большіе успѣхи математическаго знанія оказали въ области школьнаго обученія прямое воздѣйствіе, все болѣе и болѣе проявляющееся, главнымъ образомъ, въ трехъ направленіяхъ.

Въ математикѣ начали видѣть могущественное орудіе для истолкованія міра природы и для его подчиненія.

Изысканія въ области основоначалъ математики и результаты ихъ непогрѣшительно привели къ слѣдующему практическому руководящему положенію: степень строгости разсужденія должна соотвѣтствовать степени психологической зрѣлости учащагося.

И, наконецъ, исторія образованія математическихъ познаній и изученіе ребенка съ біологической стороны позволили установить параллелизмъ между ростомъ ребенка и развитіемъ нашихъ математическихъ знаній настолько обстоятельно, что разумное пользованіе исторіей науки въ цѣляхъ обученія становится оправдываемымъ.

На каждомъ изъ этихъ успѣховъ сказалось косвенное вліяніе плодовъ біологическаго знанія, по преимуществу привносившаго сюда свое одухотворяющее начало. Такимъ образомъ все болѣе и болѣе стало расти представленіе о математикѣ, какъ о чемъ-то живомъ, живущемъ. И лишь простымъ заключеніемъ, къ счастью правильно найденнымъ, является то обстоятельство,

что первыя ступени математическаго обученія, а именно простѣйшіе начатки знанія ариѳметическаго и знанія о пространствѣ поручаются болѣе мистически думающей женщинѣ, а не болѣе сурово размышляющему мужчинѣ.

е) Математика и міръ человѣческой природы.

Остается сказать еще о вліяніи соціологіи на развитіе математики и объ ихъ взаимоотношеніяхъ. Объ основаніяхъ этого вліянія мы будемъ говорить въ другомъ мѣстѣ; успѣхи математики здѣсь выражаются въ образованіи особой отрасли знанія въ формѣ исчисленія, относящагося къ человѣку, новой отрасли, созданной трудами Конта, Ле-Пле и Жедда.

Мы усердно обращаемъ вниманіе нашихъ читателей, которые не являются математиками спеціалистами, на эту область*).

III. Математика, какъ наука наукъ.

Такимъ образомъ, математика стойко удерживая свое господство въ количественной наукѣ—въ физикѣ, съ успѣхомъ проникаетъ въ область качественнаго—въ поле жизни. Раскрытіе условій мощнаго формальнаго мышленія любого типа, выясненіе всѣхъ парадоксовъ, доведеніе этого изслѣдованія вплоть до анализа идей и процессовъ, далѣе созданіе спеціальнаго символизма, по своей точности превосходнаго, предназначеннаго для экономизаціи мышленія—вотъ каковы ничуть не преуменьшенныя возвышенныя притязанія математики. Но даже и этотъ идеалъ не удовлетворяетъ наиболѣе взыскательныхъ. Въ прозрѣніи нѣкоторыхъ мыслителей математикѣ суждено стать наукой наукъ; и такъ какъ науки въ ихъ послѣдней стадіи представляются этимъ мыслителямъ въ ихъ соотношеніи къ нѣкоторымъ формамъ и взаимной связи формъ, математика, по мнѣнію этихъ ея пророковъ, непреложно является всеобщей наукой о природѣ, и вѣтвями ея служатъ: физика, біологія и соціологія. Математика, какъ такая всеобщая наука о природѣ, является въ своемъ развитіи могущественнымъ мыслительнымъ орудіемъ, съ помощью котораго человѣчество будетъ въ состояніи раскрыть тайные законы природы и, повинуясь имъ, пріобрѣсти надъ ней господство. Духъ же математики—это совершеннѣйшее сліяніе ясности и точности, кратности и понятности, связности и силы.

*) См. „Sociological papers“, Vol. I, pp. 103—118; Vol. II, pp. 57—119 (Macmillan).

IV—а). Человѣкъ есть великое дерзаніе природы.

Непосредственныхъ цѣлей у мыслителей-математиковъ, изслѣдующихъ предѣльные вопросы знанія, было двѣ: 1) довести число постулатовъ до минимума, 2) построить систему, свободную отъ противорѣчій.

Допуская законность и цѣнность этихъ цѣлей, какъ нѣкотораго идеала, мы смѣло утверждаемъ, что длительное обладаніе этимъ идеаломъ есть дѣло невозможное. Въ подкрѣпленіе нашего возраженія мы сошлемся на всю уже извѣстную намъ исторію развитія математики, изъ которой видно, что каждое поколѣніе одновременно развиваетъ и исправляетъ итоги работы предшественниковъ. Но эта же исторія научаетъ насъ съ помощью такихъ примѣровъ, какъ знаменитыя задачи о раздѣленіи угла на три равныя части съ помощью только линейки и циркуля и объ удвоеніи куба, тому, что неукротимое стремленіе къ недостижимому одного поколѣнія за другимъ приноситъ неожиданные плоды, щедро вознаграждающіе за усиліе; такъ, взрываніе почвы при поискахъ клада предковъ согласно предсмертной волѣ умирающаго отца подготовило почву для будущей обильной жатвы. По отношенію къ математикѣ такой жатвой является развитіе ея отъ вершинъ вверхъ, отъ основаній внизъ, іерархія развивающихся послѣдовательно одна изъ другой формъ, богатство и красота которыхъ идетъ въ параллель съ внѣшними формами самой природы.

Но даже помимо продолжительной исторіи самой древней изъ націй есть болѣе глубокое основаніе утверждать, что эти цѣли являются идеалами и притомъ недоступными. Человѣкъ— мыслитель, открыватель истинъ, математикъ — является самъ частью вселенной. Черезъ посредство человѣка понимать природу человѣкъ будетъ, какъ нѣчто порождающее величайшія мысли. Такимъ образомъ человѣкъ какъ часть природы не только сотворенной, но и творящей все время видоизмѣняется благодаря своимъ успѣхамъ въ знаніи и видоизмѣняясь онъ вноситъ измѣненіе въ природу, находящуюся внѣ его. И нѣтъ предѣла творческой утонченности, глубинѣ и возвышенности человѣческой мысли, благодаря которой расширяются самыя границы природы.

б) Самопожирающая змѣя.

Вотъ истинный духъ послѣдняго круга человѣческой мысли въ той или другой формѣ: это легендарная змѣя, пожирающая свой собственный хвостъ. Правда, обычно этотъ кругъ разсма-

тривается какъ порочный, но вспомнимъ, что въ глубокой древности змѣя въ человѣческой исторіи была символомъ вѣчной мудрости; лишь послѣдующая легенда, хотя, быть можетъ, также древняя, усмотрѣла въ змѣѣ символъ зла.

Болѣе пышенъ миѳъ о древѣ добра и зла. Слѣдуя этому миѳу, мы склонны утверждать, что тутъ мы имѣемъ дѣло съ ширящимся кругомъ мышленія, исполненнымъ достоинствъ для мудрыхъ и сохраняющимся порочнымъ кругомъ—для глупыхъ. Таково, вѣроятно, прославленное міровое колесо жизни — колесо, не обладающее твердой структурой, но непрестанно расширяющееся и сохраняющееся среди жизненныхъ переворотовъ, колесо, магически единое для каждаго индивидуума.

Не мало неподатливыхъ загадокъ, не мало до сихъ поръ неразрѣшенныхъ парадоксовъ осталось неразрѣшенными у нашихъ авторовъ въ этихъ большихъ томахъ „Mathemtica Principia“ среди нихъ прославленный парадоксъ „Эпименидъ“ или „Лгунъ“ (см. томъ I, стр. 63). И мы не сомнѣваемся, что при такомъ сочетаніи генія и времени для всѣхъ парадоксовъ, какіе только можно придумать, можно будетъ подыскать удовлетворяющее умъ рѣшеніе за исключеніемъ одного только названнаго выше парадокса и всего безконечнаго, въ немъ заключающагося.

Мы не можемъ считать себя овладѣвшими всѣмъ огромнымъ содержаніемъ этого сочиненія, но мы полагаемъ, что изучили его въ мѣрѣ достаточной для того, чтобы увѣренно высказать мнѣніе, справедливость котораго могутъ плодотворно изслѣдовать авторы; а именно мы утверждаемъ; 1) что каждое слово или какой-либо символъ постоянно измѣняютъ свое значеніе все время, пока они находятся въ употребленіи или живутъ, 2) что ни одну систему символовъ нельзя настолько отдѣлить отъ обычнаго языка, чтобы избѣгнуть при истолкованіи ея зависимости, хотя по преимуществу безсознательнаго, отъ истолкованія принятаго въ обыденномъ языкѣ, такимъ образомъ, математика, бывшая и остающаяся по сей день по преимуществу наукой символовъ, основанныхъ на зрѣніи, въ широкой мѣрѣ является наукой символовъ слуха и символовъ, связанныхъ еъ осязаніемъ.

Эйлеръ съ его широкимъ кругозоромъ переживалъ минуты, когда ему казалось, что его перомъ водитъ незримый духъ великихъ умершихъ метематиковъ; идеи, слишкомъ удаленныя отъ обыденной жизни, становятся безплодными и умираютъ. 3). Творческія утонченныя мысли обладаютъ той особенностью, что построенной съ помощью такихъ мыслей математической системѣ всегда будутъ присущи нѣкоторые характерные индивидуальные

элементы, проистекающіе изъ индивидуальности, изъ личности самого творца, обязательные для него одного; и такъ будетъ всегда, въ какой бы степени и съ какими бы оговорками ни старались придать системѣ безусловность и всеобщность. Эта частная обязательность подобныхъ элементовъ для творца даже для него временна и исчезаетъ съ его смертью навсегда.

4). Вступленіе въ область математической науки генія женщины будетъ ознаменовано, какъ это съ увѣренностью можно предсказать, созданіемъ преимущественно новыхъ типовъ. 5). Значеніе слова или другого символа зависитъ отъ всей исторической эволюціи и, въ концѣ концовъ, отъ всего употребительнаго въ данное время языка.

Система политической философіи можетъ быть основана на значеніи такой повидимому простой вещи, какъ предлогъ. Но развѣ предлоги и союзы не являются наиболѣе сложными элементами языка?

Правда, благодаря математикѣ, наука является какъ бы изваянной изъ мрамора, но и эти изваянныя изъ мрамора формы растворяются отъ прикосновенія времени.

При желаніи можно непрестанно увеличивать власть надъ природой, повинуясь ея законамъ, но лишь въ такой мѣрѣ, въ какой природа будетъ властвовать надъ собой черезъ посредство человѣка, ея излюбленнаго дѣтища. Тутъ мы опредѣлительно покидаемъ ясный міръ математики—міръ свѣтскаго знанія и входимъ въ туманный священный міръ мистическаго, міръ естественный для міра сверхъестественнаго.

с). Ни одинъ смертный да не откроетъ моего покрывала.

Такъ гласитъ надпись на статуѣ Изиды, богини истины. Истина дѣлаетъ человѣка безсмертнымъ. Здѣсь каждый человѣкъ испытываетъ потребность въ вѣрѣ и мужествѣ, поддерживаемомъ вѣрой. Ибо твореніе великой истины требуетъ равно великаго мужества. Здѣсь природа при посредствѣ человѣка цѣпенѣетъ и на мгновеніе поражается своимъ собственнымъ творческимъ дерзновеніемъ. Въ этомъ мірѣ мистицизма и заключается самый источникъ, самое начало творческой способности человѣчества, каноны привычной сообразности теряютъ тутъ смыслъ: здѣсь даже самые законы природы претерпѣваютъ видоизмѣненія.

Для знанія священнаго въ каждомъ положеніи свѣтскаго знанія содержатся истина и ошибка, что дѣлаетъ человѣка въ его существѣ въ одно время и безконечнымъ и конечнымъ; время въ его неимѣющемъ конца шествованіи представляетъ

собой возрастающее откровеніе процесса, съ помощью котораго неразрывный союзъ истины и ошибки обнаруживаетъ вѣчный ритмъ, повидимому, противоположныхъ другъ другу вѣрованій безконечную іерархію формъ мысли, послѣдовательно направляющихъ одна другую и тѣмъ создающихъ движеніе впередъ.

Или, пользуясь аналогіей Файнгера (см. его „Philosophie des Als Ob“ &C., Берлинъ, 1911 [?] ), подобно тому какъ хожденіе является упорядоченнымъ паденіемъ, мышленіе, ведущее впередъ является упорядоченнымъ заблужденіемъ. Древній Китай въ своей философіи Таоизма вполнѣ отдавалъ себѣ отчетъ въ ритмѣ, присущемъ мышленію, и прилагалъ его съ исключитетьной чуткостью и дѣйственностью въ развитіи своего искусства.

Наука описываетъ конечный міръ формъ; миѳъ истолковываетъ безконечный міръ духа.

Такимъ образомъ знаніе отчасти открывается, отчасти творится, и никому еще не удалось здѣсь провести строго точную границу между сопредѣльными областями обоихъ процессовъ. Вмѣстѣ съ Архимедомъ, человѣкъ-математикъ восклицаетъ: „Da mihi ubi consistam et terram loco movebo“, на что въ отвѣтъ человѣкъ-мистикъ шепчетъ: „Omnia exeunt in misterium“.

V. Грядущій міръ возрожденія философіи и дѣйственности.

Между полюсомъ математики и полюсомъ мистицизма умѣщается все мышленіе, приближаясь то къ математикѣ, по мѣрѣ того, какъ оно становится болѣе научнымъ, то къ мистицизму по мѣрѣ того, какъ оно становится болѣе поэтическимъ, ихъ синтезъ является вѣчной задачей философіи. Имѣется налицо не мало знаменательныхъ указаній, свидѣтельствующихъ о томъ, что подготовляется міровое возрожденіе мышленія, которое объединитъ философію западную, по преимуществу научную, съ философіей восточной, по преимуществу мистической. И отъ такого объединенія пышно расцвѣтетъ практическая дѣйственность, потому что союзъ яснаго реалистическаго мышленія съ божественнымъ мужествомъ и вдохновеніемъ мистическаго былъ преобладающей чертой возвышеннаго міра вождей во всѣ эпохи, древнія и новыя, во всѣхъ широтахъ, на востокѣ и на западѣ.

Мы были путниками въ далекой странѣ на самой границѣ царства математики и мы попытались какъ только можно короче описать кое-что изъ великихъ образовъ, видѣть которые намъ тамъ довелось.

Перевелъ А. Кулишеръ.

Проектъ программы по математикѣ для общеобразовательной средней школы.

К. Лебединцевъ. (Москва).

(Окончаніе).

Объяснительная записка къ программѣ второй ступени

(4, 5, 6 и 7 классы).

Четвертый классъ.

Курсъ алгебры четвертаго класса начинается съ повторенія, дополненія и расширенія тѣхъ познаній о дѣйствіяхъ надъ одночленами и многочленами, которыя были усвоены учащимися на первой ступени. Сложеніе, умноженіе и дѣленіе одночленовъ и многочленовъ проходятся здѣсь въ систематическомъ изложеніи, но, конечно, слѣдуетъ и тутъ избѣгать слишкомъ сложныхъ примѣровъ и вести изученіе дѣйствій параллельно съ рѣшеніемъ простѣйшихъ уравненій первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ. Изъ числа особыхъ случаевъ умноженія достаточно ограничиться квадратомъ суммы и разности и произведеніемъ суммы на разность, а для дѣленія — частнымъ отъ дѣленія разности квадратовъ и кубовъ двухъ количествъ на разность этихъ количествъ и суммы кубовъ на сумму данныхъ количествъ. Разложеніе на множителей достаточно ограничить двумя пріемами: выводомъ сомножителя за скобку и примѣненіемъ указанныхъ выше формулъ сокращеннаго умноженія и дѣленія; о наименьшемъ кратномъ — дать только понятіе въ связи съ приведеніемъ дробей къ общему знаменателю; а дѣйствія надъ дробями ограничить только самыми простѣйшими случаями, преимущественно тѣми, которые встрѣчаются при рѣшеніи уравненій; въ связи съ изученіемъ дробей слѣдуетъ рѣшать и такія уравненія, въ которыхъ приходилось бы выполнять освобожденіе отъ дробей.

Основное свойство пропорцій доказывается проще всего при помощи умноженія обѣихъ частей пропорціи на произведеніе послѣдующихъ членовъ; слѣдуетъ прилагать это свойство, гдѣ можно, къ рѣшенію уравненій. Изъ производныхъ пропорцій отъ данной b = d достаточно ограничиться тремя соотношеніями:

и свойствомъ ряда равныхъ отношеній.

Рѣшеніе уравненій необязательно основывать на понятіи о равносильности; съ одинаковымъ успѣхомъ можно ссылаться при преобразованіи уравненія на основныя свойства равныхъ чиселъ, если предполагать (какъ это и дѣлается при рѣшеніи уравненій), что буква X (или другая, ей соотвѣтствующая) во все время рѣ-

шенія уравненія обозначаетъ одно и то же число. Если же и давать учащимся понятіе о равносильности уравненій, то во всякомъ случаѣ на конкретныхъ примѣрахъ; общія же доказательства соотвѣтственныхъ теоремъ въ этомъ классѣ слишкомъ отвлеченны для учащихся и лучше проходить ихъ въ VII классѣ, куда они и отнесены по программѣ.

Истолкованіе смысла получаемыхъ рѣшеній слѣдуетъ произвести на конкретныхъ примѣрахъ, но исчерпывающимъ образомъ, то-есть чтобы учащіеся убѣдились, что, кромѣ случаевъ положительныхъ, отрицательныхъ и нулевыхъ рѣшеній, могутъ быть еще случаи, когда уравненіе не имѣетъ вовсе рѣшеній или имѣетъ ихъ безконечное множество.

При рѣшеніи системы уравненій достаточно ограничиться двумя общими способами: уравниваніемъ коэффиціентовъ и подстановкой. Полезно еще изучить частный способъ, именно замѣну неизвѣстныхъ, пригодный для упрощеннаго рѣшенія уравненій съ неизвѣстными въ знаменателѣ.

Простѣйшія неравенства слѣдуетъ изучить въ данномъ классѣ потому, что дальше они пригодятся при изученіи извлеченія корня и въ теоріи предѣловъ.

Изученіе систематическаго курса геометріи на данной ступени должно опираться на тѣ предварительныя свѣдѣнія, которыя пріобрѣтены учащимися еще на предыдущей ступени; поэтому необходимо начать его съ повторенія и систематизаціи указанныхъ въ программѣ свѣдѣній о геометрическихъ тѣлахъ и ихъ элементахъ, о линіяхъ и углахъ (прямой уголъ опредѣляется здѣсь уже какъ такой, который равенъ своему смежному). Основная задача при переходѣ отъ изученія наглядной геометріи къ систематическому курсу состоитъ въ томъ, чтобы дать учащимся убѣдиться въ цѣнности и силѣ логическихъ доказательствъ и научить ихъ понимать связь между логическими посылками и строить правильныя умозаключенія. Съ этой цѣлью слѣдуетъ выяснить учащимся (на подходящихъ примѣрахъ), во время прохожденія курса геометріи, что логическое доказательство устанавливаетъ достовѣрность данной истины во всѣхъ случаяхъ, а не только въ тѣхъ, которые были нами разсмотрѣны; а также цѣлесообразно допустить такое построеніе систематическаго курса геометріи, при которомъ истины, самоочевидныя для учащихся, принимались бы безъ доказательства на основаніи данныхъ нашего опыта и наблюденія (таковы истины, что всѣ прямые углы равны между собой, что изъ данной точки на прямую можно опустить только одинъ перпендикуляръ и т. п.); зато тѣмъ большее вниманіе можно было бы удѣлить логическому доказательству остального большинства геометрическихъ истинъ, не обладающихъ столь явной очевидностью.

Пятый классъ.

Важнѣйшими вопросами въ курсѣ алгебры пятаго класса являются рѣшеніе квадратныхъ уравненій и ученіе объ ирраціональномъ числѣ; алгебраическія - же преобразованія, какъ воз-

зышеніе въ степень и дѣйствія надъ радикалами, играютъ по существу служебную роль, и желательно свести ихъ изученіе къ возможному минимуму, ограничиваясь простѣйшими случаями, приложимыми при рѣшеніи задачъ и въ дальнѣйшемъ курсѣ,

О мнимомъ числѣ достаточно дать только понятіе при извлеченіи корня и изслѣдованіи общей формулы квадратнаго уравненія; ученіе же объ ирраціональныхъ числахъ желательно изложить подробнѣе и выяснить смыслъ не только самаго ирраціональнаго числа, но и дѣйствій надъ этими числами. Смыслъ этихъ понятій выясняется, конечно, на конкретныхъ задачахъ, въ которыхъ данныя величины выражаются ирраціональными квадратными корнями (напр. для установленія смысла числа | 2 весьма подходящей является такая задача: данъ квадратъ, сторона котораго равна единицѣ; найти сторону другого квадрата, площадь котораго вдвое болѣе даннаго).

Понятія о перемѣнныхъ количествахъ, функціяхъ и т. д. необходимо, конечно, выяснять на подходящихъ примѣрахъ и задачахъ изъ области ариѳметики, геометріи и физики (движеніе). При изученіи функцій первой степени и учащіеся должны въ концѣ-концовъ усвоить себѣ, что существеннымъ свойствомъ ихъ является равномѣрность измѣненія, и что первая изъ нихъ, то есть функція у = ах, представляетъ общее выраженіе закона прямой пропорціональности. Изучая графики этихъ функцій, учащіеся должны сперва убѣдиться конкретно, что всѣ точки, соотвѣтствующія значеніямъ функціи, лежатъ на одной прямой, а затѣмъ доказать, что такъ и должно быть, и наоборотъ, что всякая точка, лежащая на графикѣ, соотвѣтствуетъ опредѣленному значенію функціи. Изученныя свѣдѣнія о графикахъ слѣдуетъ затѣмъ приложить къ графическому рѣшенію уравненій первой степени и показать, что бываютъ случаи, когда графическое рѣшеніе вопроса представляетъ извѣстныя преимущества передъ ариѳметическимъ вычисленіемъ.

Курсъ геометріи даннаго класса состоитъ главнымъ образомъ въ изученіи числовыхъ зависимостей между элементами фигуръ. Сначала выясняется самый принципъ измѣренія и устанавливается наличность существованія какъ соизмѣримыхъ, такъ и несоизмѣримыхъ величинъ. Наиболѣе подходящій примѣръ несоизмѣримости— это несоизмѣримость діагонали квадрата и его стороны. Самый фактъ несоизмѣримости можетъ быть доказанъ какъ геометрическимъ, такъ и алгебраическимъ путемъ (и въ виду важности вопроса желательно, чтобы онъ былъ освѣщенъ съ обѣихъ точекъ зрѣнія); цѣлесообразно, между прочимъ, подчеркнуть, что фактъ несоизмѣримости можетъ быть установленъ только помощью логическихъ разсужденій — это дастъ учащимся существенное доказательство силы и значенія логическаго метода въ геометріи.

Доказательство пропорціональности отрѣзковъ, дугъ и т. п. для случая несоизмѣримости можно вести двояко; или опредѣлить пропорціональность несоизмѣримыхъ величинъ какъ равенство приближенныхъ отношеній, взятыхъ съ произвольной, но

одинаковой для обѣихъ величинъ, степенью точности, — и тогда проходить соотвѣтствующія теоремы параллельно со случаями соизмѣримости; или же сначала проходить теоремы о пропорціональности, подобіи и т. п. только для случая соизмѣримыхъ величинъ, а затѣмъ уже распространить ихъ на случаи несоизмѣримыхъ величинъ, когда будетъ усвоено понятіе объ ирраціональномъ числѣ и дѣйствіяхъ надъ ирраціональными числами.

Въ ученіи о подобіи и о числовыхъ зависимостяхъ желательно ограничиться только самыми основными теоремами, безусловно необходимыми для дальнѣйшаго курса (напр., излишнимъ является изученіе подобія треугольниковъ въ случаѣ параллельности или перпендикулярности сторонъ, или особыхъ условій подобія прямоугольныхъ треугольниковъ). Пиѳагоровой теоремѣ, въ виду ея особой важности, слѣдуетъ удѣлить особенное вниманіе и изучить ее съ двухъ точекъ зрѣнія — какъ числовую зависимость между сторонами прямоугольнаго треугольника и какъ зависимость между величиной квадратовъ, построенныхъ на этихъ сторонахъ. Желательно также дать учащимся понятіе о рѣшеніи прямоугольныхъ треугольниковъ при помощи таблицы катетовъ (или, если позволитъ время, дать имъ понятіе о синусѣ и тангенсѣ и пользоваться таблицей натуральныхъ тригонометрическихъ величинъ съ тремя десятичными знаками).

Шестой классъ.

Въ курсѣ алгебры шестого класса основными вопросами являются разсмотрѣніе простѣйшихъ функцій второй степени и ученіе о безконечно малыхъ и о предѣлахъ. При изученіи графикъ указанныхъ функцій желательно установить основныя геометрическія свойства этихъ кривыхъ. Изъ числа теоремъ о безконечно малыхъ и предѣлахъ, при желаніи, можно ограничиться только тѣми, которыя имѣютъ приложеніе въ дальнѣйшемъ курсѣ.

Въ ученіи о логариѳмахъ важно на первыхъ же порахъ выяснить учащимся смыслъ и цѣль примѣненія логариѳмовъ къ вычисленіямъ и дать понятіе о вычисленіи десятичныхъ логариѳмовъ элементарными пріемами. Практику логариѳмическихъ вычисленій достаточно ограничить употребленіемъ четырехзначныхъ таблицъ, съ примѣненіемъ ихъ къ вычисленіямъ средней трудности, въ родѣ тѣхъ, которыя встрѣчаются въ физикѣ.

Геометрія заканчивается въ данномъ классѣ изученіемъ курса стереометріи (со включеніемъ вопроса о кругѣ). При изученіи отдѣла о взаимномъ положеніи прямыхъ и плоскостей въ пространствѣ достаточно ограничиться только самыми существенными теоремами, имѣющими приложеніе въ дальнѣйшемъ курсѣ (причемъ самоочевидныя истины, напр., что на прямую изъ внѣшней точки можно опустить только одинъ перпендикуляръ, можно принимать безъ доказательства съ ссылкою на опытъ и наблюденіе или же доказывать, но не заставлять учащихся запоминать доказательство).

Вопросъ о вычисленіи длины окружности и площади круга, поверхностей и объемовъ круглыхъ тѣлъ долженъ быть разобранъ достаточно строго и обстоятельно, съ примѣненіемъ теоріи предѣловъ. Желательно дать учащимся понятіе о коническихъ сѣченіяхъ, чтобы они могли узнать здѣсь тѣ же кривыя, съ которыми познакомились раньше при изученіи графикъ, и которыя понадобятся имъ впослѣдствіи въ курсѣ космографіи.

Къ курсу геометріи примыкаетъ изученіе началъ тригонометріи, которое въ данномъ классѣ ограничивается тригонометрическими величинами остраго угла. Рѣшеніе послѣднихъ можетъ вестись какъ съ примѣненіемъ натуральныхъ тригонометрическихъ величинъ, такъ и ихъ логариѳмовъ; цѣлесообразно дать учащимся понятіе о вычисленіи тригонометрическихъ величинъ графическимъ методомъ, съ помощью миллиметровой бумаги.

Седьмой классъ.

Курсъ седьмого класса посвящается дополненію, повторенію и систематизаціи основъ всей математики безъ подраздѣленія ея на отдѣлы. Сперва дополняется курсъ тригонометріи ученіемъ о тригонометрическихъ величинахъ прямого и тупого угловъ и рѣшеніемъ косоугольныхъ треугольниковъ. Затѣмъ дѣлается обзоръ изученныхъ ранѣе простѣйшихъ алгебраическихъ функцій, дается понятіе о показательной и логариѳмической функціи и изучаются тригонометрическія функціи. Послѣ этого изучается понятіе о производной функціи съ его приложеніями въ геометріи и физикѣ, дается понятіе о непрерывности функціи и объ интегралѣ. Затѣмъ дѣлается общій обзоръ ученія о числѣ и о дѣйствіяхъ надъ числами, повторяются основные законы дѣйствій и устанавливается фактъ постоянства этихъ законовъ для всѣхъ изученныхъ видовъ чиселъ.

Далѣе доказываются основныя теоремы о равносильныхъ уравненіяхъ и неравенствахъ и изучаются важнѣйшіе случаи изслѣдованія уравненій. Такимъ образомъ учащіеся усваиваютъ важнѣйшее изъ относящагося къ тремъ основнымъ понятіямъ алгебры и ариѳметики: къ ученію о числѣ, объ уравненіи и о функціи. Наконецъ, имъ дается понятіе о математикѣ, какъ логической системѣ, выясняется значеніе аксіомъ и теоремъ и методовъ доказательства, и въ частности выясняется роль постулата Эвклида о параллельныхъ прямыхъ и понятіе о системахъ неэвклидовой геометріи.

P. S. Во время печатанія настоящей статьи были опубликованы, сперва въ „Журналѣ Министерства Народнаго Просвѣщенія“', а затѣмъ и отдѣльнымъ изданіемъ (подъ названіемъ „Матеріалы по реформѣ средней школы“), примѣрныя программы и объяснительныя записки къ нимъ, составленныя предметными комиссіями при Министерствѣ въ маѣ 1915 года. Изъ отдѣльнаго изданія „Матеріаловъ“ видно, что настоящая программа и объяснительная записка къ ней была предложена мною для первой ступени проектированной новой средней школы (1—3 классы) и для второй ступени (4—7 классы) новогуманитарнаго отдѣленія;

но мой проектъ не встрѣтилъ сочувствія большинства членовъ математической комиссіи и былъ приложенъ къ трудамъ комиссіи и напечатанъ при нихъ, какъ мое особое мнѣніе (стр. 464—489). При этомъ въ текстѣ объяснительной записки моей къ программѣ второй ступени (4—7 классовъ) вкрались существенныя опечатки, искажающія смыслъ нѣсколькихъ ея отдѣловъ (часть объяснительной записки къ курсу 4 класса напечатана въ курсѣ шестого класса, а въ курсѣ 4 класса попала часть объяснительной записки изъ курса 5 класса — стр. 484—488). Въ данной же статьѣ возстановленъ точный текстъ этой части моей записки, на что считаю долгомъ обратить вниманіе читателей, въ интересахъ истины.

Исторія ученія о логариѳмахъ.

По поводу 300-лѣтія выхода въ свѣтъ Mirifici logarithmorum canonis descriptio Джона Непера.

В. В. Бобынинъ. (Москва).

Элементовъ дѣйствія возвышенія въ степень три: число, возвышаемое въ степень, или корень; показатель степени и сама степень. Дѣйствій, опредѣляющихъ одинъ изъ этихъ элементовъ по извѣстнымъ остальнымъ, также три: одно прямое, представляемое самимъ возвышеніемъ въ степень или потенцированіемъ, и два обратныя: опредѣленіе числа, возвышаемаго въ степень, или корня и опредѣленіе показателя степени. Первое изъ этихъ двухъ обратныхъ дѣйствій называется извлеченіемъ корня или радицированіемъ, а второе логариѳмированіемъ.

Первымъ, хотя въ началѣ въ теченіе долгаго времени остававшимся ниже порога сознанія, ознакомленіемъ съ логариѳмированіемъ человѣчество обязано случаямъ, когда въ области его наблюденій появлялось возвышеніе одною и того же числа въ послѣдователъныя цѣлыя степени. Древнѣйшимъ изъ такихъ извѣстныхъ въ настоящее время случаевъ должно быть признано совершаемое въ древне-египетскихъ способахъ умноженія и дѣленія цѣлыхъ чиселъ1) возвышеніе числа 2 въ послѣдовательныя цѣлыя степени, начиная съ 1-й. Этотъ случай является, очевидно, однимъ изъ результатовъ древняго употребленія человѣчествомъ двоичной системы счисленія. Такъ какъ древне-египетскій способъ умноженія цѣлыхъ чиселъ состоялъ въ послѣдовательномъ удвоеніи даннаго множимаго и въ слѣдующемъ затѣмъ сложеніи тѣхъ изъ результатовъ удвоенія, которые представляютъ произведенія множимаго на каждую изъ составляющихъ данный множитель единицъ порядковъ двоичной системы счисленія, то онъ

1) В. В. Бобынинъ. Древне-египетская математика въ эпоху владычества Гиксовъ. Журналъ Министерства Народнаго Просвѣщенія. Новая серія. XXIV (1909, № 11, отд. 2, стр. 40 и 43 (по отд. оттпску)).

можетъ быть представленъ, наприм., умноженіемъ даннаго множимаго а на 297 = 1 -(- 8 -f- 32 -j- 256 въ слѣдующемъ нѣсколько обобщенномъ видѣ

Искомое произведеніе есть, слѣдовательно,

а 8а -f- 32а -f- 256а = 297а.

Вслѣдствіе отсутствія у древнихъ Египтянъ временъ Папируса Ринда понятія показателя степени — показатели послѣдовательныхъ степеней числа 2 замѣнялись порядковыми числами, или, что то же самое, нумерами удвоеній, какъ это и показано въ двухъ послѣднихъ столбцахъ таблички, приведенной сейчасъ для рѣшенія только-что разсмотрѣннаго примѣра египетскаго умноженія. Если ихъ разсматривать вмѣстѣ съ двумя первыми, собственно и назначенными для этого рѣшенія, то первый слѣва столбецъ представитъ рядъ послѣдовательныхъ степеней числа 2, а третій — рядъ натуральныхъ чиселъ, представляющихъ одновременно и показатели соотвѣтствующихъ степеней числа 2 и порядковыя числа или нумера тѣхъ же степеней въ составляемомъ ими ряду. Оба эти столбца являются, слѣдовательно, совокупностью натуральнаго ряда или, говоря вообще, ариѳметической прогрессіи съ соотвѣтствующей ей геометрической, представляемой рядомъ послѣдовательныхъ степеней числа 2.

Такъ впервые пришло человѣчество, хотя первоначально и ниже порога сознанія, къ ознакомленію съ неполною системою логариѳмовъ при основаніи 2 или, говоря болѣе общимъ образомъ, съ совокупностью образующихъ ее двухъ прогрессій: геометрической, составляемой послѣдовательными степенями одного и того же числа и ариѳметической, образуемой показателями тѣхъ же степеней. Эта неполная система, или, точнѣе, та ея первоначальная форма, въ которой отсутствующее понятіе показателя степени замѣнялось понятіемъ порядковыхъ чиселъ или нумеровъ послѣдовательныхъ степеней одного и того же числа въ составляемой ими геометрической прогрессіи, могло подняться надъ порогомъ сознанія только въ значительно болѣе позднее время, можетъ-быть, тогда, когда пиѳагорейцы, а ранѣе ихъ индусы, стали изучать свойства чиселъ черезъ посредство составляемыхъ этими числами рядовъ. Тогда, можетъ-быть, стали по немногу обнаруживаться путемъ наблюденія, а позднѣе н умозрѣнія, нѣ-

которыя изъ предложеній исчисленія логариѳмовъ, наприм., состоящія въ томъ, что произведеніе или частное двухъ какихъ-нибудь членовъ ряда послѣдовательныхъ степеней одного и тою же числа есть членъ того же ряда, имѣющій своимъ порядковымъ числомъ или нумеромъ въ этомъ ряду сумму или разность порядковыхъ чиселъ или нумеровъ множителей.

Приложенія логариѳмическаго исчисленія въ практикѣ вычисленій на этой ступени развитія ученія о логариѳмахъ при употребленіи необходимой таблицы должны были представляться въ слѣдующемъ видѣ.

ТАБЛИЦА.

Нумера чиселъ Числа

1 2

2 4

3 8

4 16

5 32

6 64

7 128

8 256

9 512

10 1024

11 2048

12 4096

13 8192

14 16384

15 32768

16 65536

17 131072

18 262144

19 524288

20 1048576

21 2097152

Найти произведеніе и частное чиселъ 1024 и 128. Такъ какъ оба они находятся въ таблицѣ, первое на 10-мъ мѣстѣ, а второе на 7-мъ, то ихъ произведеніе будетъ 17-мъ числомъ таблицы, равнымъ 131072, а частное 3-мъ, равнымъ 8.

Найти произведеніе и частное чиселъ 122880 и 768. Разложеніе этихъ чиселъ на простые множители и слѣдующее затѣмъ примѣненіе къ настоящему случаю таблицы приводятъ къ представленію произведенія, а также и частнаго соотвѣтственно, въ видахъ

122880 Х 768 = (2Х2Х2Х2Х2Х2х2Х2Х2Х2Х2Х Х2Х2ХЗХ5)Х(2Х2Х2Х2Х2Х2Х2Х2ХЗ) = = (13-ому числу таблицы, умноженному на 3 X 5) X (8-е число таблицы, умнож. на 3) = (21-му числу таблицы, умноженному на 3 X 5 X3) = 2097152 X 3 X 5 X 3 = 94371840 122880:768 = (13-му числу таблицы, умнож. на 3X5): (на 8-е число таблицы, умнож. на 3) = 32 X 5= 160.

Въ ХУ в. французскій математикъ Николай Шюке (Nicolas Chuquet) въ своемъ напечатанномъ въ 1484 г. сочиненіи Le Triparty en la science des nombres для представленія перваго изъ вышеприведенныхъ предложеній взялъ1) натуральный рядъ въ его значеніи ряда порядковыхъ чиселъ и геометрическую прогрессію съ равными между собою первымъ членомъ и знаменателемъ прогрессіи, то-есть въ общемъ видѣ

а, аі, а3,.. ап.

Сравнительно со своей первоначальной формой, имѣющей основаніемъ число 2, система логариѳмовъ у Шюке представляется такимъ образомъ уже въ обобщенномъ видѣ. Къ обобщенію, состоявшему въ настоящемъ случаѣ въ обнаруженіи способности каждаго цѣлаго числа, кромѣ единицы, быть основаніемъ системы логариѳмовъ, человѣчество было приведено разсмотрѣніемъ геометрическихъ прогрессій указаннаго сейчасъ вида, начатымъ съ Папируса Ринда и притомъ не только съ ряда послѣдовательныхъ степеней числа 2, но также и съ геометрической прогрессіи, имѣющей первый членъ и знаменатель равными 72).

Прогрессіи ариѳметическая и геометрическая во всѣ эпохи, съ которыми до сихъ поръ приходилось имѣть дѣло, разсматривались до самаго XVI в. какъ способныя къ неопредѣленному продолженію и притомъ безъ измѣненія соотвѣтственно разности и знаменателя прогрессій только въ одну сторону, именно вправо отъ начала. Обнаруженіе способности ихъ къ такому же продолженію также и влѣво отъ начала и первое указаніе на подобную же способность къ неопредѣленному продолженію и внутри себя, то-есть между каждыми двумя рядомъ-стоящими членами, хотя уже и при измѣненіи соотвѣтственно разности и знаменателя прогрессіи, принадлежатъ XVI столѣтію и въ немъ одному и тому же ученому. Такъ какъ за этимъ послѣднимъ должны быть въ виду сказаннаго признаны важныя заслуги въ дѣлѣ развитія ученія о логариѳмахъ, то теперь и слѣдуетъ остановиться на краткомъ очеркѣ его жизни и дѣятельности.

Указаннымъ сейчасъ ученымъ былъ Михаил Штифель, родившійся 19 апрѣля 1486 года въ Эсслингенѣ и умершій 19 апрѣля 1567 года въ Іенѣ. Въ началѣ монахъ августинскаго ордена въ монастырѣ своего родного города, онъ, какъ только получилъ свѣдѣнія о смѣломъ выступленіи Лютера противъ золъ и пороковъ церкви, сдѣлался его убѣжденнымъ и ревностнымъ сторон-

1) Triparty р. 629.

2) В. В. Бобынинъ. Древне-египегская математика и проч. Стр. 18—21 по отд. оттиску.

никомъ, написавшимъ, какъ таковой, сочиненія: „Bruder Michael Styfel, Augustiner von Esslingen. Von der christförmigen, recht gegründeten leer Doctoris Martini Luthers, ein überaus schön kundlich Lyed, sampt seiner neben usslegung. In Bruder Veiten thon“ и „Wider des Murners falsch er dycht lieyd; von dem undergang christliche glaubens. Bruder Michael Styfels von Esslingen ussleg und christliche gloss darüber“. Въ первомъ изъ этихъ сочиненій авторъ старался, наприм., доказать, что подъ упоминаемымъ въ XIV главѣ Апокалипсиса ангеломъ нельзя подразумѣвать никого другого, кромѣ Лютера. Вызванная этими сочиненіями вражда Констанцкаго епископа къ автору заставила послѣдняго бѣжать въ 1521 г. изъ монастыря къ Лютеру въ Виттенбергъ, гдѣ онъ оставался въ теченіе нѣкотораго времени, укрѣпляясь въ знаніи евангелія черезъ его усердное изученіе. Потомъ онъ былъ проповѣдникомъ сперва при графѣ Мансфельдскомъ Альбертѣ, а съ 1525 г. послѣ вторичнаго пребыванія при Лютерѣ и по его рекомендаціи проповѣдникомъ въ верхней Австріи въ Креусбахѣ. Въ упомянутой своей рекомендаціи Лютеръ отзывался о немъ, какъ о благочестивомъ, ученомъ, нравственномъ и прилежномъ человѣкѣ, способномъ быть очень полезнымъ. Изгнанный въ январѣ 1526 г. изъ Креусбаха за свою преданность ученію Лютера, онъ снова возвратился къ послѣднему и, благодаря его ходатайствамъ занималъ близъ Виттенберга мѣста приходскаго священника въ 1528—33 гг. въ Лохау и въ 1534—51 гг. въ Гольцдорфѣ. Въ первомъ изъ этихъ приходовъ онъ женился на вдовѣ предшественника, а предметами своихъ занятій въ свободное время сдѣлалъ мистическія вычисленія и числословіе. Во второмъ приходѣ онъ продолжалъ начатыя еще въ Эсслингенѣ и получившія затѣмъ въ Виттенбергѣ направленіе и поощренія отъ Миликіуса и Меланхтона занятія ариѳметикою. Учено-литературными результатами этихъ занятій въ разсматриваемое время были: Arithmetica integra. Authore Michaele Cum praefatione Philippi Melanchtonis1); Die deutsche Arithmetica2); Rechenbuch von der wälschen und deutschen Praktik3). Въ 1552—57 гг. Штифель былъ приходскимъ священникомъ въ Габерстро близъ Кенигсберга и здѣсь усовершенствовалъ много послужившее ему при составленіи Arithmeticae integrae сочиненіе Христофа Рудольфа „Coss“, напечатанное первоначально въ 1525 г. Результатомъ занятій этимъ предметомъ было появленіе въ свѣтъ второго изданія упомянутаго сочиненія подъ заглавіемъ „Coss Christoph Rudolphs mit schönen Exempeln der Coss, durch Michael Stifel gebessert und sehr gemehrt4).

Къ этому изданію Штифель присоединилъ въ видѣ прибавленія еще и собственное написанное въ 1533 г. сочиненіе „Eine sehr wunderns würdige Wortrechnung sammt einigen Merkmalen Danielis und der Offenbar Johannis“. Предметъ этого сочиненія, бывшаго ре-

1) Xorimbergae Japud oh. Petrejum. Anno Christi MDX. Z. IIII. Cum gratia et privilegio Caesareo atque Regio ad Sexennium. In—4°.

2) Тамъ же 1545; 4°.

3) Тамъ же 1546; 4°.

4) Кенгсбергъ 1554.

зультатомъ уже упомянутыхъ выше занятій автора мистическимъ исчисленіемъ и числословіемъ, состоялъ въ толкованіи находящихся у пророка Даніила и въ Апокалипсисѣ „запечатанныхъ“, словъ, то-есть такихъ, знаками которыхъ являются числа, а смыслъ, по желанію Бога, долженъ оставаться скрытымъ до послѣднихъ дней. Авторъ разсказываетъ здѣсь также о происхожденіи и началѣ своихъ работъ въ разсматриваемомъ направленіи, а также и о всемъ, что, по его мнѣнію, было имъ сдѣлано здѣсь болѣе замѣчательнаго. Отсюда же читатель узнаетъ и о книжкѣ автора, содер жащей его неудачное предсказаніе кончины міра въ 1533-мъ году и изданной анонимно въ 1532. Печальный исходъ этого предсказанія заставилъ Штифеля на цѣлыя 14 лѣтъ оставить свои занятія толкованіемъ мистическихъ чиселъ. Но, по минованіи этого промежутка времени, онъ снова къ нимъ возвратился и при томъ съ прежнимъ, если даже не съ большимъ увлеченіемъ. Въ 1557 г. онъ былъ пасторомъ въ Брюкѣ близъ Виттенберга, а съ 1559 г. жилъ въ Іенѣ, гдѣ былъ внесенъ въ университетскія матрикулы, какъ Michael Stifel. Senex, Artium Magister, et Minister verbi domini. На основаніи этой записи пришли къ заключенію, что онъ былъ въ Іенѣ профессоромъ ариѳметики, а также и дьякономъ городской церкви.

Въ ученіи о геометрическихъ прогрессіяхъ въ томъ видѣ, въ какомъ оно изложено въ IV главѣ I книги и частью въ VIII книги Arithmticae integrae Штифелю прежде всего принадлежитъ замѣна порядковыхъ чиселъ или нумеровъ членовъ ряда послѣдовательныхъ степеней одного и того же числа показателями или, по его выраженію, экспонентами степеней въ новѣйшемъ значеніи этого термина. Затѣмъ произведенное имъ едва ли не впервые введеніе въ алгебру разсмотрѣнія и изученія степеней съ отрицательными показателями позволило ему дополнить въ совокупности прогрессій, составляющей систему логариѳмовъ, ариѳметическую отрицательными показателями — 1, — 2,-Зит.д. и геометрическую степенями съ этими показателями основанія. Вмѣстѣ съ тѣмъ получилъ принадлежащее ему значеніе и нуль, раздѣляющій въ ариѳметической прогрессіи группу положительныхъ показателей и группу отрицательныхъ. Дѣйствительно, достаточно простого сравненія прогрессіи

совокупность которыхъ составляетъ систему логариѳмовъ при основаніи а, чтобы видѣть, что нуль есть показатель степени, въ которую нужно возвысить основаніе, чтобы получить единицу, или короче, что при основаніи, представляемомъ всякимъ положительнымъ цѣлымъ числомъ, кромѣ единицы, нуль есть логариѳмъ единицы. То же сравненіе должно было привесть изслѣдователя

къ заключенію, что въ каждой изъ указанныхъ системъ логариѳмовъ единица есть логариѳмъ основанія системы.

(Продолженіе слѣдует)

Задачи.

Подъ редакціей Лейнѣка.

260. Доказать, что Ss -f- <S'7 = гдѣ St обозначаетъ сумму г““ степеней первыхъ п натуральныхъ чиселъ.

Я. Назаревскій.

261. Пересѣчь прямой параллелепипедъ плоскостью такъ, чтобы въ сѣченіи получился квадратъ.

В. Добровольскій.

262. Вычислить площадь Европейской Россіи съ Кавказомъ, принимая ее приблизительно за четыреугольникъ, ограниченной меридіанами 24° и 60° и параллельными кругами 45° и 70°.

В. Добровольскій.

263. Въ данный кругъ вписать трапецію, у которой одна изъ параллельныхъ сторонъ проходитъ черезъ центръ, а боковая сторона относится къ другой изъ параллельныхъ сторонъ, какъ —

Н. Козыревъ.

264. Рѣшить систему уравненій

Е. П.

265. Найти два цѣлыхъ числа, разность которыхъ въ 10 разъ болѣе ихъ частнаго.

266. Даны три прямыя т, и, р и три точки А, В, С, лежащія на одной прямой. Построить треугольникъ, вершины котораго лежали бы на данныхъ прямыхъ, а стороны или ихъ продолженія проходили бы черезъ данныя точки.

Пистракъ.

267. Показать, что при нѣкоторыхъ цѣлыхъ значеніяхъ а выраженіе 6я -|- 5я кратно 17, и опредѣлить наименьшее изъ этихъ значеній.

В. Городковъ.

Рѣшенія задачъ.

218. Рѣшить уравненіе

Представивъ уравненіе въ видѣ

легко усмотрѣть, что первые четыре члена образуютъ полный кубъ, потому имѣемъ

отсюда

А. Бутомо ("Саратовъ), К. Верещагинъ (Козловъ), В. Кованько (с. Тейково), 11. Козыревъ (Енисейскъ), Г. Несчастливцевъ (Ярославль).

219. Найти четырехзначное число, кратное 7 и представляющее собою сумму куба и квадрата нѣкотораго числа.

Задача состоитъ въ рѣшеніи неопредѣленнаго уравненія

х2 -)- х3 = 7у,

гдѣ X нѣкоторое цѣлое число, а 7 —искомое число.

Такъ какъ по условію искомое число четырехзначное, то оно больше ІО3 =1000, но меньше 223= 10648, т.-е.

223>7«/> 103.................. (1).

Отсюда имѣемъ

а;2 -f- £с3 С 223

тѣмъ болѣе

х3с223, т.-е. другое условіе, слѣдующее изъ (1)

х> 10.

Представивъ полученное уравненіе въ видѣ

X2 (ж -}- 1) = 7у

заключаемъ, что либо х, либо х-\-\ дѣлится на 7.

Полагая х кратнымъ 7, находимъ лишь два значенія для X а именно х =14, х = 21.

Отсюда искомое число

142 + 143 = 2940 2124-213 = 9702.

Полагая же х-\-\ кратнымъ 7, будемъ имѣть опять-таки два значенія для х:

Отсюда, для искомаго числа—два значенія

132+133 = 2366 202-}-203=8400.

К. Верещагинъ (Козловъ), Н. Козыревъ (Енисейскъ), В. Литвинскій (Екатеринославъ).

220. Рѣшить уравненія

10* = 10* и ІО6* =10*.

Пользуясь обыкновенными пятизначными таблицами логариѳмовъ.

Логариѳмируя первое уравненіе но основанію 10, получимъ 1 -)- Ідх = * или

Ідх — х — 1.

Очевидно, этому уравненію удовлетворяетъ *=1.

Чтобы найти другой корень, ищемъ въ таблицахъ такой логариѳмъ, мантисса котораго состоитъ изъ тѣхъ же цифръ, какъ и само число. Такою мантиссою является 13713.

Теперь очевидно, что

Ід 0,13713 = 1Д3713 = 0,13713 — 1.

Слѣдовательно, * = 0,13713.

Поступая такимъ же образомъ со вторымъ уравненіемъ приходимъ къ зависимости

6 -(- lg X = * или Ідх — х — 6

Поищемъ теперь въ таблицахъ такой логариѳмъ, маптисса котораго состоитъ изъ тѣхъ же цифръ, какъ и число, которое сверхъ того должно имѣть первою цифрою 6. Такимъ числомъ является

6,8347 (2)

Ід 6,8347 (2) = 6,83472 — 6, т.-е.

* = 6,8347 (2).

Кромѣ этого корня есть еще корень

* = 0,000001

lg X — 6,000000 ~ * — 6.

Болѣе двухъ корней ни одно изъ разсматриваемыхъ уравненій имѣть не можетъ.

К. Верещагинъ (Козловъ), В. Кованько (с. Тейково).

*) Подробное изслѣдованіе уравненія ах = Ъх можно найти въ статьѣ I. Чистякова, Вѣстн., объ физики и эл. матем. 1911 г.

Отвѣтственный редакторъ I. Чистяковъ.

Типографія .Русскаго Товарищества печатнаго и издательскаго дѣла“. Москва, Чистые пруды, Мыльниковъ пер., с. д. Тел. 18-35.