№ 36.

Математическое Образованіе.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

Годъ пятый.

№ 4.

Апрѣль 1916 г.

МОСКВА.

Журналѣ Московскаго Математическаго Кружка

„Математическое Образованіе“

Апрѣль 1916 г. Годъ 5-й. № 4.

Содержаніе. Труды комиссіи Московскаго Математическаго Кружка по разсмотрѣнію программъ преподаванія математики, составленнаго Комиссіей при Министерствѣ Народнаго Просвѣщенія. — Библіографическій Отдѣлъ — Новыя книги.

Докладъ Комиссіи, избранной Московскимъ Математическимъ Кружкомъ дли разсмотрѣнія проекта программъ по математикѣ, выработаннаго Комиссіей при Мин. Нар. Просвѣщенія.

Матеріалы по реформѣ средней школы, напечатанные въ ноябрьской и слѣдующихъ книжкахъ журнала Мин. Нар. Просвѣщенія за 1915 и 1916 гг., должны конечно вызвать среди русскихъ педагоговъ живѣйшій интересъ, ибо по работамъ Комиссій, собранныхъ Министерствомъ Народнаго Просвѣщенія, можно судить, въ какомъ направленіи предполагается реформировать нашу среднюю школу и что она можетъ дать слѣдующими поколѣніямъ.

Какъ указывается во введеніи къ „Матеріаламъ“, особое совѣщаніе, собранное въ апрѣлѣ 1915 года, подъ предсѣдательствомъ графа П. Н. Игнатьева, установило общія положенія, на которыхъ должна строиться новая школа. Для детальной разработки этихъ положеній, составленія новаго устава, установленія типовъ школы, построенія учебныхъ плановъ и программъ Министерство избрало изъ среды педагоговъ цѣлый рядъ лицъ. Этимъ лицамъ было поручено образованіе различныхъ комиссій, для разработки того или иного спеціальнаго вопроса, главнымъ же образомъ, выработки учебныхъ плановъ и программъ. Предсѣдатели каждой Комиссіи, а также нѣкторые члены этихъ послѣднихъ, были приглашаемы въ засѣданія, происходившія въ Министерствѣ подъ предсѣдательствомъ Товарища Министра профессора В. Т. Шевякова. Такихъ засѣданій было 10 и на нихъ были обсуждены слѣдующіе вопросы: 1) объемъ свѣдѣній, необходимыхъ для поступленія въ первый классъ средней школы; 2) число учебныхъ

недѣль въ году; 3) установленіе предметовъ первой ступени;

4) предѣльное число часовъ занятій въ недѣлю въ каждомъ классѣ первой ступени; 5) количество недѣльныхъ часовъ по каждому предмету въ каждомъ классѣ первой ступени; 6) основные типы средней школы второй ступени и предметы, подлежащіе изученію въ ней; 7) предѣльное число часовъ занятій въ недѣлю въ каждомъ классѣ второй ступени; 8) количество недѣльныхъ часовъ по каждому предмету въ каждомъ классѣ того или иного типа второй ступени; 9) семестровая система въ средней школѣ и 10) способы оцѣнки и провѣрка познаній учащихся.

При обсужденіи этихъ вопросовъ, совѣщаніе подъ предсѣдательствомъ Тов. Министра исходило изъ тѣхъ указаній, которыя были установлены совѣщаніемъ, происходившимъ подъ предсѣдательствомъ графа П. Н. Игнатьева и сущность которыхъ сводится къ слѣдующимъ положеніямъ:

Школа должна быть: 1) національной, 2) самодовлѣющей, т.-е. дающей общее образованіе и не имѣющей непосредственною цѣлью подготовку въ высшія учебныя заведенія, 3) семилѣтней и 4) состоящей изъ двухъ ступеней: первой съ трехлѣтнимъ и второй—съ четырехлѣтнимъ курсомъ обученія.

Кромѣ того совѣщаніе высказалось за согласованіе курса первой ступени съ курсомъ первыхъ трехъ классовъ высшихъ начальныхъ училищъ, слѣдствіемъ чего является единство школы въ первой ея ступени и отнесеніе развѣтвленія (бифуркаціи) средней школы къ старшей ступени.

Въ февральской книжкѣ 1916 года Журнала Министерства Нар. Пр. былъ опубликованъ составъ членовъ и предсѣдателей предметныхъ Комиссій. Въ январской книжкѣ того же Журнала отъ имени предсѣдателя Комиссіи по выработкѣ программъ по математикѣ профессора К. А. Поссе было помѣщено письмо въ редакцію съ возраженіемъ противъ напечатанія среди программъ, выработанныхъ Комиссіей, одной изъ программъ въ проектѣ меньшинства, а не большинства. Отсюда можно заключить, что въ самой Комиссіи повидимому были крупныя разногласія.

Къ сожалѣнію, для русскаго Общества остались неизвѣстными тѣ основанія, которыми руководилось Министерство Народнаго Просвѣщенія, опредѣляя составъ Комиссій, призванныхъ къ отвѣтственной работѣ устройства будущей школы. Что касается Комиссіи, призванной для выработки учебныхъ плановъ и программъ по математикѣ, то остается совершенно неизвѣстнымъ, какими принципіальными положеніями руководствовалась она при выполненіи своей работы: въ „Матеріалахъ“ нельзя найти по этому поводу никакихъ указаній.

Московскій Математическій Кружокъ, ознакомившись съ „Матеріалами“*) и не входя въ разсмотрѣніе общихъ положеній,

*) Изъ доклада А. А. Волкова (28 янв. 1916 г.): „Проектъ новыхъ программъ преподаванія Математики въ средней школѣ, составленный Комиссіей при Мин. Нар. Пр. весною 1915 года“.

выработанныхъ въ совѣщаніяхъ Министерства Народнаго Просвѣщенія, такъ какъ они касаются интересовъ всѣхъ педагоговъ, болѣе того—всего русскаго общества, и, надо надѣяться, будутъ всесторонне освѣщены при обсужденіи въ Законодательныхъ Учрежденіяхъ, поручилъ выбранной изъ своей среды комиссіи*) разсмотрѣть, какъ со стороны достоинства, такъ и со стороны недостатковъ программы по математикѣ, выработанныя въ одной изъ Комиссій избранныхъ Министерствомъ изъ среды педагоговъ лицъ.

Въ исполненіе сего порученія Комиссія Московскаго Математическаго Кружка заслушала рядъ докладовъ своихъ членовъ: Н. А Извольскаго — Общая постановка плана преподаванія математики въ проектѣ Министерства; А. С. Алферовой и М. Ф. Берга—О программмѣ ариѳметики, А. А. Волкова—О программѣ геометріи, А. А. Волкова — О программѣ алгебры, М. Ѳ. Берга — О программѣ тригонометріи, А. Н. Шапошникова — О соотношеніи элементарной и высшей математики въ средней школѣ. Кромѣ того, о программахъ по основаніямъ анализа и аналитической геометріи были сдѣланы доклады А. П. Поляковымъ и А. К. Власовымъ. Обсудивъ эти доклады, Комиссія пришла къ заключенію, что основной недостатокъ проекта учебныхъ плановъ и программъ по математикѣ, предлагаемаго предметной Комиссіей Министерства Народнаго Просвѣщенія, состоитъ въ отсутствіи указаній на руководящіе принципы, и, кромѣ того, не можетъ не отмѣтить въ этомъ проектѣ ряда противорѣчій и несогласованностей.

При выработкѣ учебныхъ плановъ и программъ математики, какъ и любого другого предмета, необходмо прежде всего установить тѣ принципы, которые должны быть положены въ основаніе этихъ программъ; должно выяснить тѣ задачи и цѣли, которыя преслѣдуетъ преподаваніе этого предмета въ средней школѣ, тѣмъ болѣе если школа должна быть самодовлѣющей; въ самодовлѣющей школѣ каждый предметъ долженъ имѣть самодовлѣющую цѣнность и законченную цѣльность. Установленіе этихъ принциповъ и выясненіе задачъ и цѣлей предмета опредѣляетъ объемъ его, устраняетъ изъ него лишнее или случайное, оттѣняетъ различно тѣ или иные пункты программы и опредѣляетъ характеръ преподаванія безъ ненужныхъ уклоненій въ сторону громоздкаго развитія того или иного пункта ея. Одно перечисленіе пунктовъ программы, хотя бы и проникнутое той или иной идеей, не можетъ дать представленія о томъ, къ чему нужно стремиться при преподаваніи математики. Если въ объяснительныхъ запискахъ не установлены принципы, не выяснены

*) Въ составъ Комиссіи вошли: А. С. Алферова, М. Ѳ. Бергъ, З. В. Бородкина, С. П. Виноградовъ, А. К. Власовъ (тов. предс. Мат. Кружка), А. А. Волковъ (секратерь Кружка), А. М. Воронецъ. Ѳ. В. Гусевъ, В. В Добровольскій, С. М. Зегеръ, Н. А. Извольскій, Н. В. Кашинъ, Ѳ. С. Коробкинъ, К. Ѳ. Лебединцевъ. С. И. Лапшинъ, В. К. Млодзѣевскій: предсѣд. (Кружка), А. П. Поляковъ, Е. С. Томашевичъ, I. И. Чистяковъ, А. Н. Шапошниковъ. Предсѣдателемъ Комиссіи избранъ А. К. Власовъ, секратерями А. А. Волковъ и М. Ѳ. Бергъ.

задачи и цѣли предмета, то остается не яснымъ и вопросъ, съ какими же представленіями, съ какими знаніями и умѣніями долженъ выходить ученикъ изъ школы, — вопросъ, который, несомнѣнно, долженъ имѣть опредѣленное рѣшеніе.

Къ сожалѣнію, предметная математическая Комиссія не предпослала выработаннымамъ ею программъ, подобно тому, какъ это сдѣлано Комиссіями по другимъ предметамъ, общей объяснительной записки, гдѣ устанавливался бы ея взглядъ на математику, какъ на предметъ преподаванія; и въ объяснительныхъ запискахъ, приложенныхъ къ отдѣльнымъ программамъ, нѣтъ никакихъ указаній на общія приципы, которыми должно руководствоваться преподаваніе математики. Правда, три мѣста записокъ могутъ, пожалуй, дать поводъ думать, что Комиссія имѣла въ виду выясеніе задачъ преподаванія того или иного отдѣла математики, но два изъ этихъ указаній носятъ случайный и, можно сказать, странный характеръ, а третье даже опасный. Въ объяснительной запискѣ къ программѣ анализа отмѣчена цѣль введенія этого отдѣла математики въ курсъ средней школы:

„Цѣль состоитъ въ томъ, чтобы ознакомить учащихся съ пріемами изслѣдованія измѣненія функцій при помощи производныхъ, по возможности элементарно“.

Едва ли можно считать это мѣсто объяснительной записки за принципіальное указаніе: здѣсь упоминается о функціи, а между тѣмъ нигдѣ не выяснено, насколько важно это понятіе и почему оно вводится въ среднюю школу, а потому остается неяснымъ, почему нужно ознакомить учащихся съ пріемами изслѣдованія измѣненія функцій. Безъ выясненія этихъ основныхъ вопросовъ приведенное указаніе носитъ частный характеръ и теряетъ свою цѣнность.

Въ другой объяснительной запискѣ (стр. 247) сказано:

„Наглядное ознакомленіе учениковъ первыхъ двухъ классовъ съ простыми геометрическими понятіями имѣетъ главною цѣлью оживить и обновить учебный матеріалъ, давая возможность преподавателю, на ряду съ обычными ариѳметическими задачами, задавать учащимся задачи съ геометрическими данными“.

Такое указаніе на цѣль введенія наглядной геометріи въ I—II классахъ первой ступени во всякомъ случаѣ нельзя назвать принципіальнымъ; вѣдь если бы такова была цѣль, то вмѣсто наглядной геометріи можно было ввести или предоставить преподавателю право ввести для достиженія этой цѣли что-нибудь совсѣмъ другое и, можетъ-быть, болѣе занимательное. Самое названіе наглядной геометріи, пожалуй, болѣе говоритъ уму, для чего она вводится въ младшіе классы, чѣмъ приведенное мѣсто объяснительной записки. Первая ступень школы по замыслу новаго плана должна имѣть нѣкоторую законченность и введеніе въ уроки ариѳметики на этой ступени наглядной геометріи должно имѣть принципіальное обоснованіе, котораго нѣтъ въ объяснительной запискѣ.

Наконецъ, въ объяснительной запискѣ къ программѣ математики въ IV классѣ гуманитарно-классическаго отдѣленія сказано:

„Основная задача при переходѣ къ систематическому кУРсу геометріи состоитъ въ томъ, чтобы дать учащимся убѣдиться въ цѣнности и силѣ логическихъ доказательствъ и научить ихъ понимать связь между логическими посылками и строить правильныя умозаключенія. Съ этой цѣлью слѣдуетъ выяснить учащимся (на подходящихъ примѣрахъ во время прохожденія курса), что логическое доказательство устанавливаетъ достовѣрность данной истины во всѣхъ случаяхъ, а не только тѣхъ, которые были нами разсмотрѣны, а также цѣлесообразно допустить такое построеніе курса геометріи, при которомъ истины, самоочевидныя для учащихся, сообщались бы безъ доказательства, со ссылкой на данныя нашего наблюденія) таковы истины: всѣ прямые углы равны между собою, изъ данной точки на прямую можно опустить только одинъ перпендикуляръ“.

Такое опредѣленіе задачи систематическаго курса геометріи сводитъ на-нѣтъ самую геометрію и носитъ всѣ признаки прежняго, давно осужденнаго, взгляда на геометрію, какъ простой, хотя бы и систематическій, сборникъ логическихъ упражненій. Если бы была правильно опредѣлена цѣль изученія геометріи въ средней школѣ, то тѣ методическія указанія, которыя выводятся въ запискѣ изъ приведеннаго выше опредѣленія, могли бы имѣть мѣсто, не заслоняя содержанія геометріи.

Такимъ образомъ, отмѣченныя три мѣста объяснительныхъ записокъ, которыя можно было бы принять за стремленіе выяснить задачи и цѣли преподаванія соотвѣтствующихъ отдѣловъ математики, никоимъ образомъ не могутъ имѣть руководящаго значенія.

Вмѣсто того, чтобы дать общіе принципы постановки преподаванія математики, чтобы преподаватель зналъ, къ чему стремиться, объяснительныя записки касаются, совершенно безъ системы, деталей курса и даютъ руководящія указанія относительно этихъ деталей почти постоянно въ видѣ приказанія или запрещенія, какъ слѣдуетъ проходить тотъ или другой пунктъ программы и чего не слѣдуетъ дѣлать при этомъ. Эти случайныя указанія объяснительныхъ записокъ связываютъ преподаваніе и препятствуютъ тому свободному духовному общенію между учителемъ и ученикомъ, которое дѣлаетъ изученіе предмета наиболѣе продуктивнымъ. Такія указанія объяснительныхъ записокъ нерѣдко оказываются въ противорѣчіи съ соотвѣтствующими пунктами программы, иногда и съ другими мѣстами тѣхъ же записокъ, а нѣкоторыя указанія не могутъ не вызвать недоумѣній, какъ, напр., слѣдующій совѣтъ объяснительной записки къ программѣ алгебры за IV классъ въ новогуманитарномъ отдѣленіи (стр. 253):

„При прохожденіи дѣленія многочлена на многочленъ слѣдуетъ располагать дѣлимое и дѣлитель лишь по нисходящимъ степенямъ главной буквы“.

Таковы общіе и основные недостатки программъ по математикѣ и объяснительныхъ записокъ къ нимъ, вырабатанныхъ Комиссіею Министерства Народнаго Просвѣщенія. Отсутствіе общаго руководящаго взгляда на математику, какъ предметъ преподаванія въ средней школѣ, не можетъ быть замѣнено никакимъ собраніемъ разнообразныхъ и частью странныхъ и даже опасныхъ методическихъ указаній.

Повидимому предметная математическая Комиссія поставила себѣ задачу распредѣлить въ планахъ и программахъ учебный матеріалъ, а своими объяснительными записками указать лишь на важность тѣхъ или иныхъ вопросовъ программы, на способы ихъ прохожденія и т. п. Но если даже ограничить задачу составленія плановъ, программъ и объяснительныхъ записокъ къ нимъ такими рамками, то и въ предѣлахъ разрѣшенія этой задачи въ работѣ Комиссіи нельзя не отмѣтить цѣлаго ряда недостатковъ, какъ чисто внѣшняго свойства, какъ и по существу.

1. Прежде всего программы и объяснительныя записки къ нимъ не всегда согласованы по различнымъ отдѣламъ математики одного и того же типа школы.

а) Такъ, нельзя не усмотрѣть противорѣчія въ слѣдующихъ указаніяхъ объяснительной записки къ программѣ курса геометріи для физико - математической вѣтви реальной школы (V классъ): „Во всѣхъ случаяхъ нахожденія отношенія двухъ величинъ въ классѣ слѣдуетъ ограничиться случаемъ соизмѣримыхъ величинъ, хотя въ этомъ классѣ въ курсѣ алгебры учащіеся и знакомятся съ основаніями теоріи предѣловъ, но эта статья въ курсѣ алгебры проходится не въ самомъ началѣ года, да и вообще вслѣдствіе относительной трудности этого вопроса для учащихся предпочтительнѣе отнести распространеніе соотвѣтствующей теоріи на случай несоизмѣримыхъ величинъ къ курсу VI класса, гдѣ преподаватель можетъ разсмотрѣть этотъ вопросъ, напр., хотя бы при выводѣ отношенія объемовъ двухъ прямоугольныхъ параллелепипедовъ, имѣющихъ равныя основанія, и предложить учащимся самимъ распространить на случай несоизмѣримыхъ величинъ соотвѣтствующія теоремы въ пройденныхъ отдѣлахъ геометріи. Выводъ формулъ длины окружности и площади круга можетъ быть сдѣланъ, благодаря знакомству учащихся съ основаніями теоріи предѣловъ съ надлежащей полностью и строгостью.“

Между тѣмъ программа и объяснительная записка къ курсу алгебры въ томъ же классѣ относятъ ученіе объ ирраціональномъ числѣ и теорію предѣловъ несомнѣнно къ первому полугодію (эти вопросы помѣщены предъ квадратными уравненіями) и предлагаютъ статью о предѣлахъ пройти „настолько подробно, чтобы тѣ части курса алгебры и геометріи и началъ анализа, въ которыхъ ссылаются на теорію предѣловъ, могли бы быть строго обоснованы“.

Нельзя по поводу приведенныхъ указаній не отмѣтить, что вопросъ объ отношеніи несоизмѣримыхъ величинъ находится въ тѣсной связи съ теоріей предѣловъ, и если признать желатель-

нымъ ограничить одинъ изъ этихъ вопросовъ, то въ той же мѣрѣ долженъ быть ограниченъ и другой; но если считается необходимымъ уже въ Y классѣ проходить теорію предѣловъ „настолько подробно, чтобы и т. д.“, то ясно, что и вопросъ объ отношеніяхъ несоизмѣримыхъ величинъ долженъ быть освѣщенъ съ этой точки зрѣнія въ томъ же классѣ, а не отложенъ до болѣе поздняго времени. Предлагаемое объяснительной запиской раздѣленіе двухъ вопросовъ препятствуетъ полному и одинаковому уясненію каждаго изъ нихъ.

б) Указанія объяснительныхъ записокъ къ программѣ тригонометріи (проходимой въ физико-математической вѣтви реальной школы въ VI классѣ) и къ программѣ аналитической геометріи находятся также въ явномъ противорѣчіи. Въ первой говорится:

„Тригонометрическія функціи представляютъ собой наиболѣе удобный матеріалъ для ознакомленія съ идеей функціональной зависимости, на что слѣдуетъ обратить вниманіе и познакомить учащихся съ графиками тригонометрическихъ функцій“.

Между тѣмъ объяснительная записка къ программѣ аналитической геометріи (проходимой въ VII классѣ), рѣшительно возстаетъ противъ „просачиванія“ графическаго метода въ отдѣлы математики, проходимые раньше аналитической геометріи.

в) Наконецъ, въ той же объяснительной запискѣ къ программѣ аналитической геометріи (стр. 271), повидимому, предполагается, что глава о неопредѣленныхъ уравненіяхъ въ проектѣ программъ предшествуетъ по времени аналитической геометріи, между тѣмъ и тотъ и другой отдѣлъ математики отнесены къ курсу одного и того же года обученія.

2. Естественно далѣе ожидать согласованности программъ въ отношеніи соотвѣтствія ихъ съ уровнемъ развитія учениковъ и съ отводимымъ для предмета временемъ. Кромѣ того, по степени сложности матеріала программы математики для различныхъ типовъ школы, казалось бы, должны располагаться въ опредѣленной градаціи отъ гуманитарныхъ отдѣленій къ физико-математической вѣтви реальнаго. Въ предлагаемыхъ предметной Комиссіей программахъ такая согласованность и такая градація не всегда соблюдены.

а) Такъ, совершенно правильно признавая несоотвѣтствующимъ возрасту учениковъ IV класса физико-математической вѣтви реальной школы обстоятельное изученіе вопроса о равносильности уравненій, составители программъ рекомендуютъ не вдаваться въ подробное изложеніе теоремъ о равносильныхъ уравненіяхъ и ограничиваютъ соотвѣтствующіе пункты программы „понятіемъ о равносильности уравненій и преобразованіемъ даннаго уравненія въ другое, ему равносильное“

Между тѣмъ для новогуманитарной школы въ томъ же Классѣ считается необходимымъ „тщательно выяснить понятіе о равносильности уравненій“ и соотвѣтственно этому въ программу включены даже „двѣ теоремы о равносильности уравненій“.

б) Еще болѣе бросается въ глаза игнорированіе уровня развитія учащихся въ программѣ ариѳметики III класса (т.-е. на первой ступени средней школы), гдѣ требуется подробное изученіе пропорцій съ доказательствомъ ряда теоремъ о производныхъ пропорціяхъ и о свойствѣ ряда равныхъ отношеній.

в) Далѣе объяснительная записка къ программѣ алгебры для физико-математической вѣтви реальной школы, признавая „строгое изложеніе дѣйствій надъ ирраціональными числами въ большинствѣ случаевъ мало доступнымъ пониманію учащихся V класса“, тѣмъ не менѣе въ курсѣ YI класса требуетъ изученія показательной функціи съ такой полнотой и строгостью, которыя едва ли доступны ученикамъ средней школы (стр. 262 — 264).

г) Что касается программы алгебры V класса физико-математической вѣтви реальнаго отдѣленія, то прежде всего слѣдуетъ отмѣтить, что въ ней нѣтъ цѣльности, а по своей сложности и разнообразію матеріала она является непосильной для учениковъ; увеличеніе числа часовъ, отводимыхъ на ея выполненіе, до четырехъ, едва ли можетъ помочь дѣлу, такъ какъ для сознательнаго, а не формальнаго лишь усвоенія цѣлаго ряда новыхъ идей необходимъ опредѣленный срокъ.

3. Нельзя не отмѣтить также несогласованности программъ по математикѣ съ программами другихъ предметовъ, напр., физики. Въ программѣ физики, напр., уже въ Y классѣ оказывается необходимымъ знакомство хотя бы съ одной тригонометрической функціей — синусомъ и съ методомъ координатъ, а въ программѣ математики эти вопросы отнесены къ болѣе позднему времени. Можетъ-быть, достигнуть согласованности программъ различныхъ предметовъ иногда оказывается весьма затруднительнымъ, но отсутствіе ея не можетъ быть не отмѣченнымъ.

4. Давая детальныя, хотя и случайныя указанія относительно способа прохожденія съ учениками такихъ отдѣловъ курса, которые давно уже входятъ въ программу средней школы и при преподаваніи которыхъ, слѣдовательно, не можетъ встрѣтиться особыхъ затрудненій, объяснительныя записки оказываются весьма скупыми на указанія о томъ, какъ слѣдуетъ проходить такіе вопросы, которые впервые въ явной формѣ вносятся въ программу, а) Такъ, относительно наглядной геометріи въ курсѣ I и II класса въ объяснительной запискѣ говорится лишь, что свѣдѣнія изъ нея „не должны имѣть характера отдѣльнаго, самодовлѣющаго курса“, а въ программѣ говорится лишь о выясненіи основныхъ геометрическихъ понятій „на моделяхъ“, б) По поводу приближенныхъ вычисленій указывается лишь, чего слѣдуетъ требовать отъ учащихся (стр. 262, 267), но нѣтъ никакихъ намековъ на то, въ какой формѣ должны быть сообщены учащимся тѣ свѣдѣнія изъ этого труднаго отдѣла, обладаніе которыми позволило бы ученикамъ удовлетворить указанныя требованія.

5. Наконецъ, къ недостаткамъ предлагаемыхъ плановъ нужно отнести механическое дѣленіе курса математики

между двумя ступенями средней школы. Первая ступень должна обладать по замыслу новыхъ плановъ нѣкоторою законченностью; соотвѣтствующею законченностью должны обладать и программы по предметамъ этой ступени; а между тѣмъ разрѣзъ прошелъ случайною линіей по алгебрѣ и курсъ алгебры первой ступени нуженъ не для этой ступени, а для ступени высшей. Такое игнорированіе задачъ каждой ступени производитъ впечатлѣніе, что предметная Комиссія заботилась лишь о томъ, чтобы какъ-нибудь размѣстить учебный матеріалъ въ намѣченныя рамки.

Таковы, по мнѣнію Комиссіи Московскаго Математическаго Кружка, несогласованности и противорѣчія разсматриваемыхъ учебныхъ плановъ и программъ по математикѣ, выработанныхъ предметной Комиссіей при Министерствѣ Народнаго Просвѣщенія.

Слѣдуетъ признать, что въ нѣкоторыхъ деталяхъ программы содержатъ и улучшенія по сравненію съ программами 1890 и 1906 гг. (въ ариѳметикѣ сокращенъ отдѣлъ о такъ-назыв. „правилахъ“, въ тригонометріи уничтожено нераціональное раздѣленіе ея курса на двѣ ступени, имѣвшее мѣсто въ программахъ реальныхъ училищъ), но общій характеръ ихъ остался прежній: на него не оказали вліянія ни работы Международной Комиссіи, ни резолюціи двухъ Всероссійскихъ Съѣздовъ Преподавателей Математики. Такъ, на программѣ по геометріи не отразились современные взгляды на важность развитія пространственныхъ представленій; а между тѣмъ признаніе такой важности могло бы направлять въ опредѣленную сторону преподаваніе геометріи. Точно такъ же не выдвинуто значеніе функціональнаго мышленія для общаго образованія. Предлагаемыя программы какъ-будто игнорируютъ эту цѣль. Согласно духу тѣхъ стремленій, которыя выразились въ работахъ Международной Комиссіи и двухъ Всероссійскихъ Съѣздовъ Преподавателей Математики, можно думать, что идея функціональной зависимости должна проникать элементарное преподаваніе на протяженіи всего курса, гдѣ представляется къ тому случай и возможность, и графически истолковываться методомъ координатъ. Между тѣмъ въ указаніяхъ разсматриваемаго проекта программъ вопросъ ставится совершенно обратно, какъ свидѣтельствуютъ о томъ разсужденія объяснительной записки къ программѣ аналитической геометріи о просачиваніи графическихъ методовъ. Методъ координатъ и понятіе функціи отнесены къ послѣднимъ классамъ, что привело къ выдѣленію анализа и аналитической геометріи въ отдѣльные курсы. Если бы методъ координатъ и понятіе функціи были поставлены въ органическую связь съ общимъ курсомъ элементарной математики, то, быть-можетъ, не оказалось бы надобности вводить въ среднюю школу курсовъ анализа и аналитической геометріи, какъ отдѣльныхъ предметовъ. Должно ли развивать функціональное мышленіе учениковъ средней школы въ связи съ общимъ курсомъ элементарной математики или заставлять ихъ изучать отдѣльные предметы анализа и аналитической геометріи, вопросъ этотъ настолько важенъ, что требуетъ всесторонняго

освѣщенія и то или иное его рѣшеніе должно быть опредѣлен но обосновано. Такого обоснованія нѣтъ въ разсматриваемомъ проектѣ плановъ и программъ и эти предметы остаются такой же чуждой общему характеру курса математики средней школы надстройкой, какой они были и въ программахъ реальныхъ училищъ 1906 года.

По поводу новаго проекта программъ математики въ средней школѣ.

(Докладъ, прочитанный въ Засѣданіи Комиссіи Моск. Мат. Кружка, составленной для разсмотрѣнія проекта программъ.)

Н. Извольскій. (Москва.)

Въ „Журналѣ Министерства Народнаго Просвѣщенія“ (ноябрь 1915 г.—февраль 1916 г.) опубликованы „Матеріалы по реформѣ средней школы“, представляющей собою результаты работы комиссіи при Мин. Нар. Просв., работавшей лѣтомъ 1915 г.

Для меня, конечно, наибольшій интересъ представляли выработанныя математическою предметною комиссіею, работавшей подъ предсѣдательствомъ проф. К. А. Поссе, программы по математикѣ.

Разсматривая эти программы, прежде всего поражаешься отсутствіемъ въ объяснительныхъ запискахъ къ программамъ ариѳметики, алгебры и геометріи указаній на какія-либо принципіальныя положенія, которыми направлялась работа математической комиссіи, а также на тѣ принципы, которыми рекомедовалось бы руководиться преподавателямъ въ ихъ работѣ въ новой проектируемой школѣ1). И это обстоятельство какъ-то идетъ въ разрѣзъ со всѣмъ тѣмъ, что обычно имѣло и имѣетъ мѣсто въ объяснительныхъ запискахъ. Такъ, въ тѣхъ программахъ по математикѣ, которыми руководствуются въ настоящее время мужскія гимназіи, имѣются принципіальныя указанія на цѣль обученія ариѳметикѣ, на нѣкоторыя общія идеи, которыя должны проводиться при прохожденіи алгебры, на цѣль изученія геометріи. Въ новыхъ программахъ такихъ указаній, за искюченіемъ программы, составленной двумя членами комиссіи для гуманитарноклассическаго отдѣленія, вовсе не имѣется. Взамѣнъ того здѣсь въ изобиліи имѣются догматическія указанія въ родѣ: „нѣтъ нужды давать строгое доказательство“, „примѣры слѣдуетъ выбирать несложные“, „необходимо тщательно выяснить“, „должны быть пройдены съ возможною полнотою“, „слѣдуетъ требовать отъ учащихся“ и т. д., и т. д.

1) То же отсутствіе принципіальныхъ положеній можно замѣтить и въ той части „Матеріаловъ“, которая представляетъ собою какъ бы введеніе въ программамъ отдѣльныхъ предметовъ.

Странность этого очевидна: почему, напримѣръ, въ одномъ мѣстѣ „нѣтъ нужды давать строгое доказательство“, а въ другомъ, наоборотъ, „надо тщательне выяснить“ (а иногда и доказать)? почему, напр., указано, что отъ учащихся надо требовать такія-то умѣнья, но не указано, какъ имъ сообщить эти умѣнья? Вотъ естественные вопросы, на которые нельзя найти отвѣтовъ, потому что объяснительныя записки вовсе лишены принципіальныхъ указаній.

Можно, конечно, думать, что общіе принципы, на которыхъ построены программы, функціонирующія въ настоящее время, уже отжили свое время, что то общее недовольство результатами преподаванія математики, какое имѣетъ мѣсто въ настоящее время, указываетъ на то, что курсъ математики въ средней школѣ построенъ на неправильныхъ основаніяхъ — и я готовъ во многомъ присоединиться къ такому заключенію, — но неужели возможно, какъ то даютъ право заключить „Матеріалы“, вовсе лишить планъ преподаванія математики какихъ-либо принциповъ: отбросить прежніе и на ихъ мѣсто ничего не поставить? И неужели же та работа по вопросамъ преподаванія математики, которая за послѣдніе годы приняла особенно интенсивный характеръ (математическіе журналы, съѣзды преподавателей математики) не позволяетъ выдвинуть новые принципы на смѣну уходящихъ изъ жизни прежнихъ?

Результатомъ отсутствія принципіальныхъ положеній у математической предметной комиссіи явился рядъ недоразумѣній, которыхъ, конечно, не было бы, если бы было предварительно выяснено отношеніе къ ряду принципіальныхъ вопросовъ. Остановлюсь на нѣкоторыхъ, наиболѣе важныхъ примѣрахъ.

Не подлежитъ сомнѣнію важность общаго вопроса о „емкости“ способностей учащихся различныхъ возрастовъ. То или иное рѣшеніе этого вопроса должно существенно отразиться на всемъ распредѣленіи учебнаго матеріала. Между тѣмъ настоящія программы вовсе игнорируютъ этотъ вопросъ. Вотъ примѣры.

1. Въ обяснительной запискѣ ко II классу мы читаемъ: „Выясняя ученикамъ признаки дѣлимости, нѣтъ нужды давать строгое доказательство справедливости этихъ признаковъ“, а въ объяснительной запискѣ къ курсу ариѳметики III класса требуется: „Послѣ доказательства теоремы, выражающей основное свойство пропорціи, должна быть доказана обратная теорема“, а далѣе указываются производныя пропорціи, которыя здѣсь должны быть выведены (въ программѣ имѣется даже свойство равныхъ отношеній). Помимо вопроса о томъ, почему комиссія игнорируетъ распространенное въ настоящее время мнѣніе, что теорія пропорцій для курса ариѳметики III класса вовсе не нужна, здѣсь возникаетъ недоумѣніе: почему для этихъ двухъ классовъ комиссія стала на столь различныя точки зрѣнія относительно „доказательствъ“? Неужели увеличеніе возраста учащихся на 1 годъ можно считать достаточнымъ, чтобы оправдать столь существеннее различіе? 2. Въ объяснительной запискѣ къ курсу

алгебры для новогуманитарнаго отдѣленія читаемъ: „необходимо тщательно выяснить ученикамъ... 2) понятіе о равносильности уравненій“, въ объяснительной же запискѣ для того же класса (1Y) для физико-математической вѣтви реальнаго отдѣленія имѣется: „При прохожденіи статьи объ уравненіяхъ не слѣдуетъ вдаваться въ подробное изложеніе теоремъ о равносильныхъ уравненіяхъ“. Возникаетъ вопросъ; почему комиссія думаетъ, что ученики ново-гуманитарнаго отдѣленія болѣе способны къ уразумѣнію тонкихъ математическихъ вопросовъ, чѣмъ ученики того же класса физико-математической вѣтви реальнаго отдѣленія: первымъ надо „тщательно выяснить понятіе о равносильности уравненій“, для вторыхъ „не слѣдуетъ вдаваться въ подробное изложеніе теоремъ о равносильныхъ уравненіяхъ“ Неужели же объясненіе этого кроется въ томъ, что эти объяснительныя записки составлялись разными лицами и комиссія не потрудилась привести эти записки въ большую согласованность? Или, быть-можетъ, недоразумѣніе возникаетъ отъ того, что комиссія недостаточно ясно выразила свое пожеланіе? Но тогда возникаетъ вопросъ: отчего она не сдѣлала этого, отчего она не обратила вниманія даже на возможность недоразумѣнія, относящагося къ столь важному педагогическому вопросу о „емкости“ способностей учащихся?—Все это заставляетъ думать, что указанный общій вопросъ вовсе игнорировался комиссіею.

Вторымъ важнымъ принципіальнымъ вопросомъ является вопросъ о значеніи геометріи для общаго образованія. Но, повидимому, этотъ вопросъ вовсе не былъ выдвинутъ, потому что иначе нельзя объяснить то, что сдѣлано комиссіею по отношенію къ геометріи: программа осталась, согласно мнѣнію большинства комиссіи, для всѣхъ отдѣленій новой школы прежнею, а число часовъ для нея, по сравненію съ существующимъ порядкомъ въ мужскихъ гимназіяхъ, уменьшено на 1 часъ (теперь 7 часовъ, а проектъ даетъ для этого курса 6 часовъ), при чемъ объяснительная записка, не устанавливая вовсе никакихъ принципіальныхъ положеній для этого курса, не даетъ также никакихъ объясненій для такого сокращенія времени. Невольно по этому вопросу хочется высказать пожеланіе: пора бы озаботиться тѣмъ, чтобы учащіеся, выходя изъ средней школы, не имѣли бы взгляда на геометрію, какъ это теперь постоянно бываетъ, какъ на собраніе теоремъ, неизвѣстно почему и откуда появившихся, при чемъ почему-то ихъ надо доказывать, и чтобы скорѣе миновала та пора, что учащіеся должны разучивать это собраніе теоремъ главнымъ образомъ при посредствѣ репетиторовъ. Случай подчеркнулъ странность такого сокращенія времени для геометріи: въ декабрьской же книжкѣ „Журнала Министерства Народнаго Просвѣщенія“ напечатана статья Н. П. Кильдюшевскаго „Къ вопросу о подготовкѣ учителей матеметики для высшихъ начальныхъ училищъ“. Въ этой статьѣ (на стр. 175 Отдѣла о народномъ образованіи) дана таблица, изъ которой видно, что въ высшихъ начальныхъ училищахъ отведено на курсъ геометріи 9 часовъ!

Остановлюсь еще на существенномъ вопросѣ, а именно, на

необходимости указаній, которыя съ достаточною опредѣленностью выясняли бы конкретное содержаніе различныхъ пунктовъ программы или объяснительной записки. При отсутствіи такихъ указаній является опасность, что нѣкоторые пожеланія останутся общими мѣстами. Это именно и случилось съ нѣкоторыми пунктами новыхъ программъ. Вотъ примѣры. Въ программу I и II классовъ вводятся „нѣкоторыя свѣдѣнія изъ наглядной геометріи“, при чемъ дана и программа: „выясненіе на моделяхъ слѣдующихъ понятій: тѣло, поверхность, линія, точка, параллельныя прямыя, плоскій уголъ... площадь прямоугольника, квадрата и треугольника. Объемъ прямоугольнаго параллелепипеда, куба. Численные примѣры на вычисленіе площадей и объемовъ“. Объяснительная записка по этому поводу говоритъ: „Наглядное ознакомленіе учениковъ первыхъ двухъ классовъ съ простыми геометрическими понятіями имѣетъ главною цѣлью оживить и обновить учебный матеріалъ, давая возможность преподавателю, на ряду съ обычными ариѳметическими задачами, задавать учащимся задачи съ геометрическими данными. Поэтому желательно, чтобы краткія свѣдѣнія изъ наглядной геометріи сообщались ученикамъ попутно съ прохожденіемъ курса ариѳметики при рѣшеніи задачъ“. Здѣсь возникаетъ два сомнѣнія: 1. Какъ это сдѣлать, чтобы „свѣдѣнія изъ наглядной геометріи сообщались ученикамъ попутно съ прохожденіемъ курса ариѳметики при рѣшеніи задачъ“? Объяснительная записка къ этому пункту должна была бы отнестись съ большимъ вниманіемъ: такъ какъ этотъ пунктъ вводитъ нѣчто новое сравнительно съ существующимъ, то необходимо дать хотя бы примѣрное указаніе на то, какъ проходить перечисляемые свѣдѣнія изъ геометріи, чтобы оправдать пожеланіе попутнаго прохожденія съ курсомъ ариѳметики. Хорошо, если преподаватель занимался вопросомъ о томъ, какъ можно обучать геометріи даже маленькихъ дѣтей,— тогда онъ результаты своихъ изысканій, не считаясь съ объяснительною запискою и со словомъ „попутно“, проведетъ въ жизнь, но для преподавателей, не работавшихъ надъ этимъ вопросомъ, это требованіе „попутнаго“ прохожденія геометріи съ ариѳметикой будетъ источникомъ большихъ недоразумѣній. Такъ какъ такихъ указаній не имѣется, то приходится это пожеланіе считать общимъ мѣстомъ, и процитованныя слова должны вызвать, какъ это всегда бываетъ по отношенію къ общимъ мѣстамъ, отрицательное отношеніе. 2. Что значатъ слова объяснительной записки: „давая возможность преподавателю, на ряду съ обычными ариѳметическими задачами, задавать учащимся задачи съ геометрическими данными“? И почему введеніе началъ геометріи позволитъ „оживить и обновить“ учебный матеріалъ? Просматривая содержаніе программы по геометріи для I и II классовъ можно прійти къ заключенію, что здѣсь введенъ лишь одинъ новый вычислительный вопросъ, сравнительно съ тѣмъ, что теперь дается въ курсѣ ариѳметики при изученіи квадратныхъ и кубическихъ мѣръ, а именно площадь треугольника. Неужели же правда, что этотъ одинъ вопросъ позволитъ и „оживить“ и „об-

новить“ изучаемый матеріалъ и дастъ возможность преподавателю предлагать учащимся помимо прежнихъ ариѳметическихъ задачъ еще новыя (конечно, достаточно интересныя) съ геометрическимъ содержаніемъ? Если бы здѣсь подразумевалось нѣчто болѣе тонкое, такъ, напр., возможность при помощи геометрическихъ образовъ схематизировать ариѳметическія задачи, то должно было бы дать рядъ соотвѣтствующихъ указаній, безъ чего приходится признать, что здѣсь мы имѣемъ мѣсто опять лишь съ общимъ мѣстомъ.

Еще болѣе яркимъ примѣромъ такого же отношенія къ дѣлу является программа, составленная двумя членами комиссіи и не принятая большинствомъ, для гуманитарно-классическаго отдѣленія. Здѣсь весь курсъ алгебры и геометріи умѣщенъ во время еще меньшее на 2 часа, сравнительно съ ново - гуманитарнымъ отдѣленіемъ, а между тѣмъ программа YII класса включаетъ въ себѣ вопросы: „Понятіе о математикѣ, какъ о логической системѣ. Аксіомы и теоремы въ математикѣ. Значеніе постулата Евклида о параллельныхъ прямыхъ“. Возникаетъ законный вопросъ: что надо понимать подъ всѣми тѣми заголовками, которые выше указаны? Объяснительная записка не даетъ никакихъ указаній на отвѣтъ по поводу этого вопроса. И, думается, самимъ авторамъ этой программы неясно, что выражается этими, столь высокими, словами. Послѣ раздумья приходишь къ заключенію: или здѣсь надо подразумѣвать лишь простой разговоръ по поводу приведенія въ логическую систему математическихъ знаній, или здѣсь надо подразумѣвать краткое изложеніе изслѣдованій Пеано, Паша, Гильберта и др., а также знакомство съ геометріями Римана и Лобачевскаго. Въ первомъ случаѣ возникаетъ опасность, какъ бы этотъ разговоръ не напомналъ тѣ разговоры о высокихъ матеріяхъ, которые ведутся отъ „нечего дѣлать“ въ гостиныхъ, а во-второмъ случаѣ возникаютъ вопросы: почему такое знакомство нужно для гуманитарно - классическаго отдѣленія (да и вообще: умѣстно ли оно въ средней школѣ?), возможно ли оно при томъ предварительно скомканномъ курсѣ основаній математики, который устанавливается этою программою? чѣмъ, наконецъ, должны руководиться преподаватели относительно и объема и системы изложенія? На это нѣтъ отвѣта, да и возможенъ ли онъ?. И приходится прійти къ заключенію, что здѣсь имѣемъ дѣло опять-таки съ общимъ мѣстомъ.

Наконецъ, необходимо еще указать на одно общее мѣсто, имѣющее иной характеръ. Въ объяснительной запискѣ къ аналитической геометріи (VII кл. физико-математической вѣтви реальнаго отдѣленія) имѣется указаніе: „Такъ при выводѣ общей формулы рѣшенія системы двухъ уравненій первой степени съ двумя неизвѣстными полезно указать, что позже эта самая задача явится снова, облеченная въ геометрическую форму нахожденія точки пересѣченія двухъ прямыхъ. При прохожденіи неопредѣленныхъ уравненій первой степени съ двумя неизвѣстными надо отмѣтить что цѣлочисленныя положительныя рѣшенія отнюдь не являются единственно возможными, — и можно указать, что въ аналитиче-

ской геометріи неопредѣленное уравненіе явится снова, какъ уравненіе, опредѣляющее прямую линію“. Прежде всего возникаетъ сомнѣніе, что авторъ этой объяснительной записки не ознакомился даже съ общимъ планомъ математики въ VII кл.

Если разсмотрѣть программы „Дополненій къ ариѳметикѣ и алгебрѣ“ и „аналитической геометріи“, то придешь къ заключенію, что о прямой линіи и ея уравненіи придется проходить въ курсѣ аналитической геометріи раньше, чѣмъ въ курсѣ „дополненій“ о неопредѣленныхъ уравненіяхъ; слѣдовательно, вышеприведенное указаніе не можетъ быть использовано. Далѣе, возникаютъ сомнѣнія по существу этихъ указаній: 1) Если въ Y классѣ при изслѣдованіи рѣшеній системы двухъ ур-ій съ двумя неизвѣстными преподаватель скажетъ, что эта же задача встрѣтится впослѣдствіи, когда надо будетъ находить точку пересѣченія прямыхъ линій, то, конечно, онъ приведетъ этимъ словеснымъ заявленіемъ учащихся въ нѣкоторое изумленіе и уже, конечно, нельзя, какъ дѣлаетъ то объяснительная записка, такое голословное заявленіе преподавателя считать „подготовкою“ учащихся къ курсу аналитической геометріи. 2) Указывая на „цѣлочисленныя положительныя рѣшенія“ неопредѣленныхъ ур-ій, объяснительная записка дѣлаетъ погрѣшность: надо указать вообще на уравненія 1-й степени съ 2 неизвѣстными, рѣшеніе которыхъ отнесено программою къ IY классу. Надо поставить этотъ вопросъ болѣе широко, надо, чтобы учащіеся не только научились рѣшать ур-ія первой степени съ 2 и 3 неизв., но и посвятили бы нѣкоторое время на изученіе этихъ ур-ій: тогда уже здѣсь была бы усвоена мысль, что одно ур-іе съ двумя неизвѣстными имѣетъ безконечно много рѣшеній, при чемъ одному неизвѣстному можно давать произвольныя значенія, что одно ур - іе съ тремя неизвѣстными также имѣетъ безконечно много рѣшеній и т. д. Такая работа дѣйствительно могла бы быть разсматриваема, какъ подготовка къ воспріятію того положенія аналитической геометріи, которое указываетъ, что всякое уравненіе съ двумя перемѣнными, если ихъ разсматривать какъ Декартовы координаты, выражаетъ линію. Возможно даже прійти и къ болѣе общему заключенію, что такая работа, помимо самостоятельнаго значенія, явится для учащихся подготовкою ко всему дальнѣйшему курсу математики. Даже въ объяснительной запискѣ къ курсу IY кл. алгебры имѣется на эту работу очень маленькій намекъ, „можно показать на простѣйшихъ примѣрахъ, каковы будутъ корни системы, когда число уравненій не равно числу неизвѣстныхъ“. Но надежды на то, чтобы этотъ намекъ повлекъ за собою ощутительные результаты, не должно быть: 1) намекъ этотъ слишкомъ неопредѣлененъ, 2) нельзя этого выполнить, если изученіе всѣхъ ур-ій первой степени оставить въ IY классѣ, пришлось бы хоть часть этого матеріала перенести въ Y классъ.

По поводу вышеизложеннаго приходишь къ заключеніямъ:

1) вышеуказанныя замѣчанія изъ объяснительной записки къ курсу аналитической геометріи остаются общимъ мѣстомъ, лишеннымъ конкретнаго содержанія, и 2) всѣ соображенія по поводу

этого замѣчанія заставляютъ выдвинуть еще новый принципіальный вопросъ, какъ поставить курсъ математики, чтобы каждый его шагъ являлся подготовкою къ дальнѣйшему, а отсюда прежде всего вытекаетъ потребность отказаться отъ того скомкиванія матеріала, какое выше указано по отношенію къ уравненіямъ первой степени, изученіе которыхъ цѣликомъ отнесено къ курсу IY кл. и какимъ вообще отличается разсматриваемый проектъ программъ. Особенно странною въ этомъ отношеніи представляется вышеупоминаемая программа двухъ членовъ комиссіи, почему-то опубликованная въ „Матеріалахъ“, для гуманитарно-классическаго отдѣленія. Тамъ на весь курсъ алгебры и геометріи отведено всего 12 часовъ, при чемъ въ курсѣ алгебры имѣются и прогрессіи и логариѳмы. Странность этого тѣмъ болѣе удивительна, что вѣдь имѣется примѣръ, наглядно показывающій ненормальность такого положенія. Въ женскихъ гимназіяхъ Министерства Народнаго Просвѣщенія отведено на курсъ алгебры и геометріи вмѣстѣ 10 часовъ, при чемъ прогрессіи и логариѳмы не введены въ программу. Поэтому можно признать, что по времени эти двѣ программы эквивалентны. А развѣ авторы программы для гуманитарно-классическаго отдѣленія не знаютъ ряда фактовъ, свидѣтельствующихъ о невозможности такой постановки курса математики въ женскихъ гимназіяхъ? Развѣ, напр., объ этомъ не говорилось на минувшихъ съѣздахъ? Развѣ авторы не знаютъ, что цѣлый рядъ женскихъ гимназій возбуждаютъ ходатайства объ увеличеніи числа часовъ для математики? Развѣ авторы по личному опыту не знакомы съ тѣми результатами обученія математикѣ, какіе имѣютъ мѣсто въ настоящее время у лицъ, окончившихъ 7 классовъ женскихъ гимназій?

Въ заключеніе необходимо остановиться на чисто внѣшнемъ, но достаточно показательномъ, обстоятельствѣ. Въ декабрьской книжкѣ „Журнала Министерства Народнаго Просвѣщенія“ напечатана была та особая программа математики для гуманитарно - классическаго отдѣленія, какая выше разбиралась, безъ какихъ-либо поясненій объ отношеніи къ ней большинства математической комиссіи. Въ январской книжкѣ за 1916 г. напечатано письмо проф. К. А. Поссе, въ которомъ онъ указываетъ, что напечатанная программа для гуманитарно-классическаго отдѣленія не была принята большинствомъ комиссіи, а представляетъ собою лишь отдѣльное мнѣніе двухъ членовъ комиссіи. Конечно, немедленно возникаетъ вопросъ: почему же въ „Матеріалахъ“ дана программа меньшинства и не указано, какъ о томъ говоритъ письмо К. А. Поссе, что большинство признало, что для этого отдѣленія должна имѣть мѣсто та же программа, какъ и для ново-гуманитарнаго отдѣленія? Недоумѣніе еще увеличивается благодаря редакціонному примѣчанію къ письму проф. Поссе; въ немъ указывается, что программа меньшинства напечатана, какъ „примѣрная“ и что она подходяща къ гуманитарно-классическому отдѣленію. Кто же отвѣтствененъ за приведеніе въ порядокъ работъ комиссіи, предсѣдатель ея или редакторъ Журнала Министерства Народнаго Просвѣщенія?

Въ результатѣ изученія программъ приходишь къ тремъ общимъ заключеніямъ:

1. Игнорированіе принципіальныхъ вопросовъ приводитъ въ результатѣ къ тому, что новыя программы обладаютъ столь существенными дефектами общаго характера, что онѣ не заслуживаютъ серьезнаго къ нимъ отношенія и не должны подлежать детальному разсмотрѣнію.

2. Если общество ожидало обновленія школы—подъ этимъ дивизомъ и шла работа комиссіи,— то оно должно отказаться отъ мысли найти такое обновленіе въ работѣ математической предметной комиссіи.

3. Необходимо всѣ усилія употребить на то, чтобы проектъ программъ по математикѣ не вошелъ въ жизнь и тѣмъ самымъ еще болѣе не усилилъ бы неудовлетворительность постановки дѣла преподаванія математики въ средней школѣ.

Объяснительная записка къ программѣ аналитической геометріи въ „Матеріалахъ по реформѣ средней школы“ Министерства Народнаго Просвѣщенія.

(Докладъ, прочитанный въ Коммиссіи, избранной Моск. Мат. Кружкомъ для разсмотрѣнія новыхъ учебныхъ плановъ и программъ математики М. Н. П.)

А. К. Власовъ. (Москва).

По новымъ учебнымъ планамъ, опубликованнымъ Министерствомъ Народнаго Просвѣщенія въ „Матеріалахъ по реформѣ средней школы“ предполагается ввести въ курсъ физико-математической вѣтви реальнаго отдѣленія анализъ и аналитическую геометрію. Согласно духу тѣхъ стремленій, которыми проникнуты работы Международной Комиссіи по реформѣ преподаванія математики и труды двухъ Всероссійскихъ Съѣздовъ преподавателей математики, можно признать, что основныя идеи анализа и аналитической геометріи — понятіе функціи и методъ координатъ нужны не только математику, но и всякому образованному человѣку, работающему въ иныхъ областяхъ знанія и прилагающему эти знанія къ рѣшенію различныхъ запросовъ жизни. Средняя школа, преслѣдуя цѣли общаго образованія, должна поэтому ознакомить своихъ учениковъ и съ этими идеями, расширяющими кругозоръ и лежащими въ основѣ разнообразнѣйшихъ приложеній. Но какимъ образомъ она можетъ рѣшить эту новую предлагаемую ей задачу? Слѣдуетъ ли для этого ввести въ курсъ средней школы анализъ и аналитическую геометрію какъ отдѣльные предметы преподаванія, или же нужно развивать идею функціональной зависимости и методъ координатъ въ связи съ общимъ курсомъ элементарной математики, гдѣ пред-

ставляется къ тому случай и возможность? То или иное рѣшеніе этого вопроса не безразлично съ педагогической точки зрѣнія. Предметная Комиссія по выработкѣ новыхъ учебныхъ плановъ и программъ остановилась на опредѣленномъ рѣшеніи и естественно думать, что въ соотвѣтствующихъ объяснительныхъ запискахъ можно найти достаточные мотивы такого выбора.

Я остановлюсь въ своемъ докладѣ лишь на объяснительной запискѣ къ аналитической геометріи, чтобы выяснить взглядъ предметной Комиссіи на аналитическую геометрію какъ предметъ преподаванія въ средней школѣ.

Опредѣляя вначалѣ, какъ нужно понимать предлагаемую программу аналитической геометріи, которая „обнимаетъ ознакомленіе съ методомъ координатъ въ его примѣненіи къ прямой линіи и кругу и простѣйшимъ и наиболѣе доступнымъ свойствамъ коническихъ сѣченій, записка прибавляетъ далѣе: „въ то же время курсъ этотъ долженъ быть связанъ со всѣмъ курсомъ математики въ реальной вѣтви средней школы. Поэтому прежде всего необходимо сказать нѣчто о подготовкѣ къ курсу въ низшихъ классахъ".

Далѣе идетъ странное выясненіе такой подготовки. Признавая важность идеи координатъ въ примѣненіи къ графическимъ изображеніямъ функціональной зависимости, „чѣмъ объясняется широкое примѣненіе этой идеи въ статистикѣ, экономикѣ, въ метеорологіи, физикѣ, химіи и т. п. и стремленіе знакомить съ этимъ методомъ на первыхъ ступеняхъ школьнаго обученія", объяснительная записка не одобряетъ такого „просачиванія новыхъ методовъ въ самыя начала преподаванія математики" и далѣе говоритъ: „Если пользованіе графиками не на урокахъ математики есть явленіе естественное, то въ области преподаванія математики къ нимъ нужно прибѣгать лишь съ большою осторожностью".

Какой глубокій смыслъ кроется въ этомъ утвержденіи и каковы основанія такой осторожности, читателю объяснительной записки остается неизвѣстнымъ; бросается лишь въ глаза явное противорѣчіе: если пользованіе графиками естественно не на урокахъ математики, то почему же этому пользованію не быть болѣе естественнымъ на урокахъ математики?

Посмотримъ теперь, какъ объяснительная записка понимаетъ ту подготовку къ курсу аналитической геометріи въ младшихъ классахъ, подготовку, о необходимости которой заявлено сначала.

„Преподаватель алгебры и геометріи долженъ имѣть въ виду предстоящее ему преподаваніе началъ аналитической геометріи и въ соотвѣтствующихъ случаяхъ давать надлежащія указанія. Такъ при выводѣ общей формулы рѣшенія системы двухъ уравненій съ двумя неизвѣстными полезно указать, что позже эта самая задача явится снова, облеченная въ геометрическую форму нахожденія точки пересѣченія двухъ прямыхъ. При прохожденіи неопредѣленныхъ уравненій первой степени надо отмѣтить, что дѣлочисленныя положительныя рѣшенія отнюдь не являются единственно возможными — и можно указать, что въ аналитической геометріи неопредѣленное уравненіе явится снова какъ уравненіе, опредѣляющее прямую линію".

Трудно себѣ представить, какъ такая подготовка можетъ связывать элементарную математику съ курсомъ аналитической геометріи, трудно признать такую мѣру, рекомендуемую объяснительной запиской, педагогической: чтобы установить правильный взглядъ на настоящее, быть-можетъ, чтобы уяснить это настоящее, рекомендуется указать на будущее, не входя въ существо этого будущаго — таковъ взглядъ автора записки.

Трудно согласиться съ объяснительной запиской и въ ея указаніяхъ, какъ нужно проходить курсъ аналитической геометріи особенно въ отдѣлѣ о коническихъ сѣченіяхъ. Если имѣть въ виду, что аналитическая геометрія въ средней школѣ „обнимаетъ ознакомленіе съ методомъ координатъ въ его примѣненіи къ прямой линіи и къ простѣйшимъ, наиболѣе доступнымъ свойствамъ коническихъ сѣченій", то повидимому никакихъ затрудненій, какъ приступить къ коническимъ сѣченіямъ, не представляется. Записка создаетъ рядъ кажущихся затрудненій для того только, чтобы выбрать худшій способъ вывода уравненій эллипса, гиперболы и параболы изъ стереометрическихъ построеній, боясь почему - то фокальныхъ свойствъ якобы удаляющихъ эти кривыя отъ круга. Оговаривая, что стереометрическое опредѣленіе здѣсь имѣетъ въ виду не элементарную (синтетическую) теорію коническихъ сѣченій, а только выводъ уравненій этихъ кривыхъ, записка сама потомъ произноситъ судъ надъ этимъ способомъ, предоставляя преподавателю право требовать такой выводъ лишь отъ способнѣйшихъ учениковъ, а то и совсѣмъ не требовать.

Къ такому нетребованію сводятся указанія объяснительной записки относительно преобразованія координат: „Казалось бы, конечно, говоритъ записка, „безъ этого вопроса можно было бы обойтись въ элементарномъ курсѣ". Но потомъ указывается все-таки, какихъ двухъ цѣлей можно достигнуть при знакомствѣ съ этимъ вопросомъ. Отмѣтимъ лишь вторую цѣль: „во-вторыхъ, говорится въ запискѣ можно въ заключеніе указать ученикамъ, что всякое уравненіе второй степени между æ и </ можетъ-быть приведено къ одному изъ трехъ упомянутыхъ выше простѣйшихъ видовъ. Конечно, не только ненужно входить въ подробности, но даже не слѣдуетъ преподавателю выводить это преобразованіе въ классѣ, но полезно указать на это обстоятельство, дабы учащіеся не получили ложнаго представленія, что принятыя простѣйшія уравненія кривыхъ суть единственныя и общія".

Этотъ методъ постоянныхъ указаній на неизвѣстное для уясненія предмета и предотвращенія ложныхъ представленій производитъ странное впечатлѣніе. Можетъ-быть, для предотвращенія ложныхъ представленій, выражаясь языкомъ объяснительной записки, нужно указать, что уравненія между и только что изученныя не всегда представляютъ тѣ линіи — прямую, кругъ, эллипсъ, гиперболу и параболу, съ которыми мы ихъ связали, если X и у означаютъ не прямолинейныя, а какія-либо криволинейныя координаты; можетъ быть полезно указать, что и эти кривыя не всегда представляются тѣми уравненіями первой

и второй степени, которыя были выведены, если опять - таки система координатъ не будетъ прямолинейной. Возразить противъ полезности и такихъ указаній авторъ записки не можетъ, ибо ссылка на неизвѣстное въ объяснительной запискѣ принята за правило. Едва ли такими аргументами можно обосновать необходимость и полезность введенія аналитической геометріи какъ отдѣльнаго предмета въ курсъ средней школы.

Помимо педагогической нераціональности методическихъ указаній объяснительной записки, можно поставить ей въ упрекъ и то, что она имѣетъ въ виду переходъ учениковъ къ дальнѣйшему изученію математики въ высшей школѣ и старается своими указаніями якобы облегчить трудъ преподавателя въ подготовкѣ ученика къ этому переходу. Такое стремленіе объяснительной записки стоитъ въ противорѣчіи съ однимъ изъ общихъ положеній, выработанныхъ совѣщаніемъ подъ предсѣдательствомъ гр. П. Н. Игнатьева, именно съ положеніемъ: средняя школа должна быть самодовлѣющей.

Такимъ образомъ разсужденія объяснительной записки о томъ, какъ слѣдуетъ проходить аналитическую геометрію въ средней школѣ, не убѣдительны во всѣхъ отношеніяхъ и скорѣе приводятъ къ выводу, что аналитическая геометрія, а тѣмъ болѣе и анализъ, не должны имѣть мѣста въ средней школѣ, какъ отдѣльные предметы преподаванія. Методы координатъ и идея функціональной зависимости и рядъ основныхъ понятій, примыкающихъ къ этой идеѣ, должны быть въ органической связи съ общимъ курсомъ элементарной математики, а не той указательной, какая рекомендуется объяснительной запиской къ программѣ аналитической геометріи.

Программа по алгебрѣ

А. А. Волковъ (Москва).

Программы по алгебрѣ для различныхъ развѣтвленій средней школы, по сравненію съ программами другихъ математическихъ предметовъ, значительно отличаются другъ отъ друга. Поэтому мы разсмотримъ сперва наибольшую по объему программу физико-математической вѣтви реальной школы, а затѣмъ укажемъ тѣ сокращенія, которыя сдѣланы въ ней для другихъ развѣтвленій. Особо говорить объ объяснительныхъ запискахъ къ этимъ программамъ мы не будемъ, такъ какъ все сказанное ранѣе по поводу объяснительныхъ записокъ къ программамъ Комиссіи примѣнимо въ такой же мѣрѣ и здѣсь: и здѣсь не выяснено, какое значеніе предметная комиссія придаетъ алгебрѣ, какъ предмету общаго образованія, не видно, какъ она относится къ задачѣ развитія т. н. „функціональнаго мышленія“; и здѣсь содержаніе записокъ сводится къ указаніямъ, что и какъ дѣлать, чего дѣлать не слѣдуетъ и т. п.

Объемъ программы для физико-математической вѣтви реальной школы можно считать равнымъ тому, что входитъ въ настоящее время въ курсъ алгебры реальныхъ училищъ. Ни одна изъ частей этого курса не подверглась сокращенію или исключенію; лишь нѣкоторыя, напр., изслѣдованіе системы двухъ уравненій съ двумя неизвѣстными, оказались подчеркнутыми болѣе, чѣмъ это дѣлалось раньше. Въ виду сказаннаго мы обратимъ наше вниманіе на распредѣленіе матеріала по классамъ и на тѣ особенности, которыя должны быть внесены, по мнѣнію авторовъ программы, въ изученіе того или иного отдѣла. Въ общихъ чертахъ, за исключеніемъ программы Y класса, распредѣленіе матеріала осталось такое же, какъ и въ дѣйствующей нынѣ программѣ реальныхъ училищъ; лишь непрерывныя дроби поставлены въ болѣе тѣсную связь съ элементами теоріи чиселъ, входящими въ программу ариѳметики YII класса, и перенесены поэтому въ YII классъ. Что же касается программы пятаго класса, то она не можетъ не вызвать цѣлаго ряда вопросовъ и недоумѣній; первое впечатлѣніе отъ этой программы таково, что въ нее включили все то, что по тѣмъ или инымъ соображеніямъ было исключено изъ курса другихъ классовъ: здѣсь мы видимъ и изслѣдованіе системъ уравненій первой степени, и извлеченіе квадратнаго корня, ирраціональныя числа и квадратныя уравненія (всегда составлявшія одну изъ главныхъ частей курса Y класса), И теорію предѣловъ, проходимую „настолько подробно, чтобы тѣ части курса алгебры и геометріи и началъ анализа, въ которыхъ ссылаются на теорію предѣловъ, могли быть строго обоснованы“, и дѣйствія надъ количествами и отрицательными и дробными показателями, и рѣшеніе уравненій высшихъ степеней, и прогрессіи. Если наличность остальныхъ пунктовъ программы можно такъ или иначе обосновать, то совершенно непонятнымъ является присутствіе въ ней „общихъ формулъ для рѣшенія системы двухъ уравненій первой степени съ двумя неизвѣстными и ихъ изслѣдованія“ и дѣйствій надъ количествами съ отрицательными и дробными показателями; послѣдній изъ указанныхъ отдѣловъ не можетъ имѣть самостоятельнаго значенія, и наиболѣе естественнымъ было бы связать его съ ученіемъ о логариѳмѣ, какъ это дѣлается въ программѣ реальныхъ училищъ 1906 г. Отсутствіе цѣльности программы V класса, обиліе и разнообразіе матеріала дѣлаютъ вполпѣ умѣстнымъ вопросъ, помогутъ ли его полному усвоенію тѣ четыре недѣльныхъ часа, которые программа отводитъ на этотъ предметъ, такъ какъ для сознательнаго, а не формальнаго лишь усвоенія предмета необходимъ извѣстный срокъ.

Въ программѣ YI класса предметная комиссія выдвигаетъ функціональную точку зрѣнія, для чего въ курсъ внесено изученіе показательной функціи. Но это изученіе и программой и объяснительной запиской ставится въ такія рамки, противъ которыхъ нельзя не привести возраженій. Прежде всего изученіе о свойствѣ функціи а1 при х раціональномъ (а затѣмъ и ирраціональномъ) предлагается вести съ такою строгостью, къ какой ученики окажутся неподготовленными, имѣя тѣ знанія изъ ученія

объ ирраціональномъ числѣ, которыя считаетъ обязательными программа Y класса; далѣе, при такомъ строгомъ обоснованіи свойства показательной функціи, программа совершенно умалчиваетъ (повидимому, въ соотвѣтствіи съ указаніями объяснительной записки къ программѣ по аналитической геометріи) о графическомъ представленіи показательной и логариѳмической функцій, считая его на этой ступени, повидимому, неумѣстнымъ; наконецъ, знакомя учениковъ съ понятіемъ функціи на примѣрахъ трансцендентныхъ функцій, она извращаетъ перспективу, такъ какъ естественно было бы ознакомить учениковъ съ понятіемъ функціи на простѣйшихъ примѣрахъ линейнаго двучлена и квадратнаго трехчлена; между тѣмъ въ курсѣ пятаго класса квадратный трехчленъ разсматривается только съ точки зрѣнія его разложимости на множители. Изъ другихъ замѣчаній объяснительныхъ записокъ слѣдуетъ отмѣтить указаніе, что „слѣдуетъ требовать, чтобы учащіеся могли опредѣлить предѣлы погрѣшности найденнаго результата, зная погрѣшности табличныхъ логариѳмовъ“, но, какъ научить этому учащихся, нигдѣ не сказано*).

Программа алгебры для новогуманитарнаго отдѣленія (а также для естественно-исторической вѣтви реальнаго) отличается отъ разобранной тѣмъ, что является повтореніемъ въ общихъ чертахъ программы этого предмета въ гимназіяхъ съ нѣкоторыми улучшеніями, заимствованными изъ программы 1906 г. реальныхъ училищъ; единственный пунктъ, который оказался исключеннымъ по сравненію съ программами гимназій 1890 года, это неопредѣленныя уравненія. Почему именно послѣднія подверглись исключенію, а, напримѣръ, не непрерывныя дроби или почему одинъ изъ этихъ отдѣловъ, а не оба, отвѣта въ объяснительной запискѣ на этотъ вопросъ нѣтъ. Благодаря тому, что программа по алгебрѣ повторяетъ по этому предмету программу 1890 года, Y классъ оказывается не столь перегруженнымъ, какъ это оказывается на физико-математической вѣтви реальнаго училища, а при изученіи логариѳмовъ разрѣшается не разсматривать отдѣльно свойствъ показательной функціи.

Программа „меньшинства“, т.-е. программа по алгебрѣ для гуманитарно-классическаго отдѣленія въ общемъ близка къ программѣ новогуманитарной школы, но, располагая меньшимъ количествомъ времени, она по необходимости сокращаетъ разсмотрѣніе нѣкоторыхъ отдѣловъ. Изъ существенныхъ отличій необходимо отмѣтить исключеніе изъ курса теоріи соединеній, бинома Ньютона, неопредѣленныхъ уравненій и непрерывныхъ дробей, съ одной стороны, и включеніе въ программу YI класса вопроса: „Понятіе о постоянныхъ и перемѣнныхъ количествахъ, о независимыхъ перемѣнныхъ и функціяхъ“. По поводу этихъ отличій приходится отмѣтить, что значеніе непрерывныхъ дробей и неопредѣленныхъ уравненій съ одной стороны и комбинаторики съ биномомъ Ньютона съ другой для общаго образованія

*) См. замѣчаніе по этому поводу въ нашемъ докладѣ „Проектъ новыхъ программъ“ Мат. Обр. стр. 24.

весьма различно; если можно признать цѣлесообразнымъ исключеніе первыхъ двухъ вопросовъ, то ни въ какомъ случаѣ нельзя этого сдѣлать по отношенію къ теоріи соединеній. Въ вопросѣ о включеніи понятія функціи „меньшинство“ не оказалось достаточно рѣшительнымъ: внеся этотъ важный и новый пунктъ въ программу шестого класса, авторы программы ничего не сказали въ объяснительной запискѣ о томъ, въ какомъ объемѣ слѣдуетъ его разобрать, такъ что можно подумать, что понятіе о функціи имъ нужно не само по себѣ, а какъ извѣстный фундаментъ для изложенія теоріи предѣловъ; наиболѣе же существеннымъ и характернымъ является умолчаніе по вопросу о графическомъ представленіи функцій. Нельзя не отмѣтить въ заключеніе, что и при сдѣланныхъ „меньшинствомъ“ сокращеніяхъ программы, для ея основательнаго усвоенія отведеннаго времени окажется недостаточно.

Послѣдній вопросъ, о которомъ необходимо сказать при разсмотрѣніи программъ по алгебрѣ, это вопросъ о таблицахъ логариѳмовъ. Въ тѣхъ немногихъ мѣстахъ, гдѣ объ этомъ говорится, дается ИЛИ прямое указаніе „таблицами логариѳмовъ слѣдуетъ пользоваться пятизначными“ (стр. 254) или такое же указаніе въ косвенной формѣ (стр. 264). Между тѣмъ въ цѣломъ рядѣ вопросовъ, напр., при рѣшеніи геометрическихъ задачъ съ примѣненіемъ тригонометріи гораздо цѣлесообразнѣе пользоваться четырезначными таблицами, такъ какъ такая точность, которой приходится предлагать значенія данныхъ для вычисленій съ пятизначными таблицами, достижима только въ астрономическихъ измѣреніяхъ, и вообще четырехзначныя таблицы гораздо пригоднѣе пятизначныхъ для тѣхъ вычисленій, какія приходится производить на практикѣ; съ другой стороны, довольно страннымъ является производство вычисленія сложныхъ процентовъ съ пятизначными таблицами (какъ это дѣлается въ средней школѣ въ настоящее время): логариѳмы т. н. множителей наращенія должны даваться, по крайней мѣрѣ, съ шестью- или семьюзначными цифрами. Поэтому было бы гораздо лучше рекомендовать обычно пользоваться четырехзначными таблицами, но имѣть въ виду ознакомленіе учащихся и съ таблицами съ инымъ числомъ знаковъ.

Программа по геометріи.

А. А. Волковъ (Москва).

Изученіе геометріи въ проектѣ программъ средней школы предполагается разбить на двѣ ступени: первую, на которой геометрія изучается наглядно и проходится въ тѣсной связи съ курсомъ ариѳметики, и вторую, на которой геометрія изучается въ видѣ систематическаго курса, программа котораго не отличается отъ существующихъ программъ мужскихъ гимназій, т.-е. отъ программы 1890 года. Но за двадцать пять лѣтъ дѣйствія

этихъ программъ многое измѣнилось во взглядахъ на значеніе изученія геометріи въ средней школѣ. Объяснительныя записки къ программамъ 1890 года, отдавая дань весьма распространенному въ то время взгляду на значеніе изученія геометріи для общаго образованія, въ значительной мѣрѣ выдвигали на первый планъ формальный принципъ, роль изученія геометріи для развитія „логическаго мышленія“, и, слѣдуетъ признаться, съ значительнымъ ущербомъ для „матеріальнаго принципа“, для дѣла развитія пространственнаго представленія. Но за двадцать пять лѣтъ, которыя истекли со времени появленія этихъ программъ, во взглядахъ на значеніе изученія геометріи произошелъ значительный сдвигъ, и въ настоящее время едва ли кто будетъ отрицать, какъ одну изъ главныхъ цѣлей изученія геометріи, развитіе пространственнаго представленія. Въ связи съ указанной перемѣной взглядовъ стоитъ и вопросъ о введеніи въ той или иной формѣ пропедевтики геометріи.

Естественно было бы поэтому ожидать, что предметная комиссія выскажетъ свое авторитетное мнѣніе по вопросу о значеніи изученія геометріи, формулируетъ его задачи, дастъ принципіальное обоснованіе тому способу рѣшенія вопроса о пропедевтическомъ куроѣ геометріи, которое дается въ „Матеріалахъ“. Къ сожалѣнію, ни на одинъ изъ указанныхъ вопросовъ отвѣта нѣтъ, а тѣ указанія, которыя имѣются въ объяснительныхъ запискахъ (объяснительная записка имѣется только къ программѣ геометріи для физико-математической вѣтви), поражаютъ своей случайностью и, если можно такъ выразиться, незначительностью тѣхъ аргументовъ, которые приводятся въ защиту того иного положенія. Такъ, совершенно правильная мысль о томъ, что, благодаря введенію наглядной геометріи, можетъ быть освѣженъ матеріалъ ариѳметическихъ задачъ, является какъ бы единственнымъ вѣскимъ аргументомъ въ пользу введенія элементовъ геометріи въ курсъ I и II классовъ средней школы.

Объяснительная записка къ систематическому курсу геометріи сводится къ полутора страницамъ. Никакихъ общихъ указаній относительно изученія этого курса она не даетъ, ограничиваясь частными замѣчаніями. Такъ, замѣчанія по поводу курса четвертаго класса затрагиваютъ лишь вопросъ о задачахъ на построеніе, при чемъ ничего новаго эти замѣчанія не содержатъ, между тѣмъ здѣсь можно было бы построенію отвести болѣе подобающую роль, а не признавать цѣлью рѣшенія задачъ на построеніе лишь „лучшее представленіе и болѣе прочное усвоеніе учащимися взаимнаго положенія прямыхъ линій и окружности, а также свойствъ прямолинейныхъ фигуръ, изучаемыхъ въ этомъ классѣ“.

Служебная роль задачъ на построеніе опредѣляется также указаніемъ на то, что рѣшеніе задачъ на построеніе должно „слѣдовать непосредственно за тѣми статьями курса, къ которымъ задача относится“.

Объяснительная записка къ программѣ У класса, оставляя въ сторонѣ собственно геометрическій матеріалъ, говоритъ преимущественно объ изученіи теоріи предѣловъ и о доказатель-

ствахъ равенства отношеній въ случаѣ несоизмѣримости членовъ этихъ отношеній и предлагаетъ такое рѣшеніе вопроса о времени сообщенія учащимся этихъ доказательствъ, которое нельзя не признать стоящимъ въ явномъ противорѣчіи съ остальными указаніями той же части объяснительной записки.

Объяснительная записка къ программѣ YI класса совершенно обходитъ молчаніемъ значеніе изученія стереометріи для развитія пространственнаго представленія, ничего не говоритъ о средствахъ, пригодныхъ для этого, а занимается вопросомъ, который прямого отношенія къ геометріи не имѣетъ, т.-е. вопросомъ о приближенныхъ вычисленіяхъ.

Таковы характерныя черты объяснительной записки къ программѣ геометріи. Самая программа, какъ мы уже указывали, не содержитъ какихъ-либо существенныхъ отличій отъ нынѣ дѣйствующей въ гимназіяхъ. Что касаетоя различій программъ по отдѣльнымъ развѣтвленіямъ школы, то программы эти для школы реальной (физико-математической вѣтви) и новогуманитарной настолько сходны, что можно было бы обѣ программы напечатать вмѣстѣ, сдѣлавъ лишь указаніе, что въ новогуманитарной школѣ теорія предѣловъ отнесена на курсъ YII класса, въ виду чего болѣе строгое изложеніе тѣхъ отдѣловъ геометріи, въ которыхъ необходимо пользоваться методомъ предѣловъ, также должно быть отнесено на седьмой классъ.

Подводя итоги сказанному, приходится отмѣтить, что предметная комиссія не внесла какихъ-либо новыхъ указаній на значеніе изученія геометріи въ курсѣ средней школы. И содержаніе и духъ программы остались тѣ же, что въ программахъ 1890 г.; слѣдуетъ отмѣтить, что эти программы (въ отношеніи числа часовъ) являются по сравненію съ нынѣ существующимъ порядкомъ также возвращеніемъ къ 1890 году: въ послѣдніе годы, послѣ реформы Ванновскаго, въ Y классѣ мужскихъ гимназій на геометрію отводилось 3 недѣльныхъ часа, что при наличномъ объемѣ программы было очень полезно, а проектъ возвращается къ прежнимъ (по планамъ 1890 г.) двумъ недѣльнымъ часамъ въ этомъ классѣ. Такимъ образомъ комиссія, повидимому, вполнѣ удовлетворена результатами существующаго преподаванія геометріи и никакихъ реформъ, по крайней мѣрѣ, въ преподаваніи систематическаго курса геометріи, не предлагаетъ, а тамъ, гдѣ реформа предлагается (въ курсѣ I и II кл.), то мотивируется она весьма слабо и проводить ее предлагается довольно странно: два года (въ I и II кл.) поучить, а въ III классѣ никакого геометрическаго матеріала ученикамъ не сообщать.

Что касается программы математики и объяснительныхъ о ней записокъ для второй ступени гуманитарно-классической вѣтви (представляющихъ проектъ меньшинства), то, несмотря на различія въ содержаніи программы, характеръ объяснительныхъ записокъ вообще и въ частности по отношенію къ программѣ геометріи, такой же, какъ и въ проектѣ большинства; общихъ соображеній о значеніи геометріи, какъ общеобразовательнаго предмета, и здѣсь не имѣется, а всѣ объяснительныя записки

состоятъ изъ немотивированныхъ указаній, что слѣдуетъ дѣлать, какъ можно вести изложеніе и т. п. Съ нѣкоторыми изъ нихъ едва ли можно согласиться, напр., съ указаніемъ: „при изученіи отдѣла о взаимномъ положеніи прямыхъ и плоскостей въ пространствѣ достаточно ограничиться только важнѣйшими теоремами, имѣющими приложеніе въ дальнѣйшемъ курсѣ“. Какъ разъ эти отдѣлы имѣютъ наибольшее значеніе для развитія пространственнаго представленія, и, сокращая ихъ, авторы программы сводятъ всю стереометрію къ чисто прикладному отдѣлу — главѣ о вычисленіи поверхностей и объемовъ. И въ этой программѣ и объяснительной о ней запискѣ „формальному принципу“ отведено первенствующее мѣсто (см. стр. 279 и 288), а при вообще крайне урѣзанномъ числѣ часовъ (при которомъ на геометрію можетъ быть отведено не свыше 5 — 51/2 часовъ) изученіе геометріи можетъ быть лишь поверхностнымъ, а не достигающимъ ни тѣхъ цѣлей, которыя ему ставились въ былое время, ни тѣхъ, которыя ставятся теперь.

Докладъ А. С. Алферовой и М. Ѳ. Берга по поводу программы ариѳметики.

Курсъ ариѳметики младшей ступени средней школы, по министерскому проекту, распадается на два главныхъ отдѣла: собственно ариѳметику и пропедевтическій курсъ геометріи.

Измѣненія въ программѣ ариѳметики, сравнительно съ нынѣ дѣйствующими программами, въ общемъ слѣдуетъ привѣтствовать: указывается на то, что теоретическій матеріалъ долженъ выясняться на конкретныхъ примѣрахъ; признается необходимымъ избѣгать излишне сложныхъ вычисленій какъ надъ составными именованными числами, такъ и надъ дробями, исключаются періодическія дроби; исключаются изъ курса третьяго класса спеціальныя задачи, какъ-то учетъ векселей и правило смѣшенія; задачамъ на вычисленіе процентовъ отводится соотвѣтствующее мѣсто: „главное вниманіе удѣляется тремъ задачамъ: 1) найти процентъ отъ даннаго числа; 2) найти число по даннымъ процентамъ и 3) найти процентное отношеніе двухъ чиселъ“. Вообще, хотя это и не выражено въ краткой объяснительной запискѣ, все преподаваніе должно носить, повидимому, интуитивный, наглядный характеръ.

Вѣроятно, слѣдуетъ считать редакціоннымъ недосмотромъ неупоминаніе объ отношеніи. Это основное понятіе при имѣющемся въ виду курсѣ ариѳметики можетъ и должно быть развито съ достаточной полнотою.

Въ полномъ несоотвѣтствіи съ изложеннымъ характеромъ проекта программы находится включеніе въ нее подробнаго ученія о пропорціи. Послѣднее, какъ ученіе о преобразованіяхъ извѣстнаго типа равенствъ, относится къ алгебрѣ, а не къ ариѳметикѣ, въ которой желательно и вполнѣ возможно обходиться

безъ теоріи пропорцій. Запись задачъ на пропорціональное дѣленіе въ видѣ пропорцій еще не означаетъ примѣненія теоріи ихъ преобразованія. Наоборотъ, пользованіе въ ариѳметическихъ задачахъ извѣстными теоремами о пропорціи приводитъ къ шаблону въ ущербъ конкретной наглядности.

Программа геометріи низшей ступени расходится съ объяснительной запиской. Въ объяснительной запискѣ указывается, что краткія свѣдѣнія изъ наглядной геометріи должны сообщаться попутно... и не должны имѣть характера самодовлѣющаго курса. Геометріи отводится служебная роль „для оживленія матеріала“ въ преподаваніи ариѳметики, въ смыслѣ введенія геометрическихъ данныхъ въ задачи на вычисленіе, при чемъ имѣются, повидимому, въ виду исключительно задачи на вычисленіе площадей и объемовъ, каковые обычно входятъ въ курсъ ариѳметики. Въ противоположность объяснительной запискѣ, въ проектѣ программы указанъ обширный матеріалъ по наглядной геометріи: такія понятія, какъ, напримѣръ, перпендикуляръ, параллельныя, различные виды треугольниковъ и четыреугольниковъ, кругъ и его элементы, призма, двугранный и трегранный уголъ, при чемъ объяснительная записка не даетъ никакихъ указаній относительно преподаванія этого матеріала.

Цѣнность пропедевтическаго курса геометріи заключается именно въ его наглядности, поэтому элементъ вычисленія, выдвигаемый на первый планъ въ объяснительной запискѣ, не долженъ въ немъ преобладать. Основной задачей его должно быть наглядное выясненіе простѣйшихъ геометрическихъ понятій и образовъ.

Выполнить этотъ указанный программою курсъ не представляется возможнымъ при 4 годовыхъ часахъ, отведенныхъ на ариѳметику въ I и II классахъ.

Для YII класса „математической вѣтви реальнаго отдѣленія“ проектъ программы предусматриваетъ прохожденіе главы „о дѣлимости“. Этотъ отдѣлъ ни въ смыслѣ расширенія математическаго кругозора, ни въ смыслѣ сообщенія полезныхъ навыковъ не имѣетъ большой общеобразовательной цѣны, а потому представлялось бы желательнымъ къ нему въ старшихъ классахъ не возвращаться. И вообще свѣдѣнія по ариѳметикѣ, пріобрѣтаемыя учащимися въ младшихъ классахъ, можно признать достаточными, если только при прохожденіи другихъ отдѣловъ математики будетъ удѣляться достаточно вниманія, съ одной стороны, упражненіямъ въ вычисленіи, съ другой—вопросу о разсмотрѣніи понятія о числѣ.

Докладъ М. Ѳ. Берга по поводу программы тригонометріи.

Тригонометрія, по новымъ программамъ, должна проходиться на физико-математическомъ отдѣленіи въ YI классѣ при 2 урокахъ, на остальныхъ отдѣленіяхъ въ YII классѣ при I1/, годовыхъ урокахъ.

Такъ какъ курсъ тригонометріи знакомитъ учащихся съ такими понятіями и методами, съ которыми они должны вполнѣ сродниться, то представляется весьма желательнымъ болѣе раннее прохожденіе тригонометіи уже въ YI классѣ. Принимая же во вниманіе программу физики въ тѣхъ же классахъ, приходится признать такое перенесеніе совершенно необходимымъ. Прочное усвоеніе курса тригонометріи наврядъ ли возможно менѣе чѣмъ при 2 годовыхъ часахъ: слѣдовало бы остановиться на такомъ числѣ для всѣхъ отдѣленій средней школы.

Вмѣстѣ съ тѣмъ, желательна была бы подготовка учащихся къ систематическому курсу тригонометріи путемъ ознакомленія съ тригонометрическими функціями въ ихъ простѣйшемъ смыслѣ при изученіи соотношеній между элементами прямоугольнаго треугольника въ Y классѣ.

Изъ программы исключены, какъ самостоятельный вопросъ, „особые случаи рѣшенія треугольниковъ“, съ чѣмъ нельзя не согласиться.

Безъ ущерба для общаго пониманія курса, возможно исключить еще слѣдующее:

1) способъ „вспомогательнаго угла“;

2) ученіе объ обратныхъ круговыхъ функціяхъ;

3) рѣшеніе тригонометрическихъ уравненій въ общемъ видѣ.

При условіи указанныхъ сокращеній, представлялось бы вполнѣ возможнымъ неторопливое прохожденіе курса, съ рѣшеніемъ достаточнаго количества задачъ изъ планиметріи, стереометріи и физики, выясняющихъ непосредственную область примѣненія тригонометрическихъ методовъ.

По поводу новыхъ программъ основаній аналитической геометріи и анализа.

А. Поляковъ (Москва).

Настоящій докладъ представляетъ собою не систематическое обозрѣніе программъ основаній аналитической геометріи и анализа, а по самому возникновенію своему, рядъ отдѣльныхъ замѣчаній по поводу ея1). Даже при самомъ бѣгломъ обзорѣ обращаетъ на себя вниманіе несоразмѣрность между обширностью программъ и количествомъ времени2), отведеннаго на ихъ выполненіе, тѣмъ болѣе, что понятія анализа и аналитической геометріи попрежнему вводятся въ видѣ посторонняго придатка къ

1) Докладъ этотъ былъ сдѣланъ экспромтомъ въ виду запозданія очередного докладчика въ одномъ изъ засѣданіи комиссіи, избранной Московскимъ Математическимъ Кружкомъ для разсмотрѣнія новыхъ программъ.

2) 3 часа или даже меньшее число часовъ (смотрѣть страницу 269 „Матеріаловъ по реформѣ средней школы“), на физико-математической вѣтви и 2 часа на естественно-исторической.

курсу „элементарой математики“. Такая программа — maximum подавляетъ личности какъ учителя, такъ и ученика и понижаетъ цѣнность математики въ системѣ общаго образованія, низводя ея преподаваніе къ быстрому и, слѣдовательно, поверхностному прохожденію въ обязательномъ порядкѣ цѣпи теоремъ1). Если „начала аналитической геометріи (на физико-математической вѣтви) обнимаютъ ознакомленіе съ методомъ координатъ въ его примѣненіи къ прямой линіи и кругу и къ простѣйшимъ, наиболѣе доступнымъ свойствамъ коническихъ сѣченій“ (стр. 271), то было бы совершенно достаточно, какъ это и сдѣлано для естественно-исторической вѣтви, помѣстить въ программѣ уравненія этихъ линій, предоставивъ педагогическому такту преподавателя выборъ задачъ, иллюстрирующихъ упомянутый методъ; во всякомъ случаѣ указаніе задачъ могло бы послужить только для облегченія этого выбора, но не для того, „чтобы дать приблизительное представленіе, какъ понимается содержаніе этой главы“ (стр. 272). Точно такъ же слишкомъ громоздкимъ2) для такого по необходимости краткаго (въ виду отведеннаго на него времени) курса представляется выполненіе указанія, что „уравненія кривыхъ — въ простѣйшемъ видѣ, —+—= 1 для эллипсиса и гиперболы и у2 = 2рх для параболы, — выводятся изъ геометрическаго ихъ опредѣленія, какъ плоскихъ сѣченій прямого кругового конуса (стр, 273)3). Въ программѣ по основаніямъ анализа, общей для обѣихъ вѣтвей реальнаго отдѣленія, прежде всего обращаетъ на себя вниманіе подробное перечисленіе вопросовъ, связанныхъ съ понятіемъ о непрерывности „Непрерывное измѣненіе аргумента. Опредѣленіе непрерывности функціи при данномъ значеніи аргумента и въ данномъ промежуткѣ. Разрывъ непрерывности“ (стр. 268). Такое детальное разсмотрѣніе понятія о непрерывности едва ли возможно въ начальномъ и, сверхъ того, краткомъ курсѣ, гдѣ вѣроятнѣе всего придется апеллировать въ данномъ случаѣ къ самой грубой интуиціи. Во всякомъ случаѣ въ такихъ деликатныхъ съ педагогической точки зрѣнія вопросахъ программы правильнѣе было бы давать просторъ иниціативѣ преподавателя, такъ какъ иначе все можетъ свестись къ замѣнѣ понятій словами—заучиванію безъ пониманія различныхъ опредѣленій и доказательствъ. Съ этой точки зрѣнія нельзя не привѣтствовать, что „программа не требуетъ аналитическаго доказательства основного свойства непрерывныхъ функній, упомянутаго въ п. 7, ни такового же для теоремы Ролля“ (стр. 270). Тѣмъ болѣе непослѣдовательнымъ является указаніе, что „формулу Лагранжа, наоборотъ, можно

1) Въ „Матеріалахъ“ встрѣчаются иногда подробныя указанія нерѣдко случайнаго характера, стѣсняющія только иниціативу учителя, столь важную для правильной постановки преподаванія.

2) Это слѣдуетъ и изъ объяснительной записки (смотрѣть страницы 273 и 274).

3) Характерными являются выраженія „геометрическое объясненіе свойства непрерывной функціи“ и „геометрическое толкованіе теоремы Ролля“ (стр. 269); въ такомъ элементарномъ и, слѣдовательно, по необходимости интуитивномъ курсѣ геометрическія „объясненіе“ и „толкованіе“ представляютъ собою доказательста.

и должно1) выводить изъ теоремы Ролля чисто аналитически“ (стр. 270)

Точно такъ же съ одной стороны подробно выясняется, что „характеръ рѣшенія (доставляемаго какимъ-нибудь корнемъ производной) можетъ быть опредѣленъ при помощи разсмотрѣнія знака пер вой производной“ (стр. 270), и съ другой стороны нигдѣ не упоминается, что въ приложеніяхъ теоріи maxima и minima этотъ вопросъ рѣшается гораздо проще. Кстати слѣдуетъ отмѣтить едва ли удачную редакцію указанія, что maximum (minimum) функціи не является необходимо наибольшимъ (наименьшимъ) значеніемъ этой функціи во всемъ промежуткѣ измѣненія аргумента, такъ какъ изъ словъ: „различать понятія о maximum (minimum) отъ понятія о наибольшемъ (наименьшемъ) значеніи функціи въ даномъ промежуткѣ“ (стр. 270), слѣдуетъ, что будто бы слова maximum и minimum нельзя переводить на русскій языкъ словами наибольшій и наименьшій (въ достаточно маломъ промежуткѣ). Наконецъ, въ тѣхъ же цѣляхъ сокращенія слишкомъ обширнаго курса можно было бы опустить производныя отъ , гдѣ п ирраціональное число, а , logx, и arctgx и2), слѣдовательно, опредѣленіе lim (і -f-^-)И • Но всякомъ случаѣ эти вопросы представляютъ для общаго образованія гораздо меньшую цѣнность, чѣмъ отсутствующее въ программѣ понятіе интеграла.

Въ заключеніе остается отмѣтить характерную для „Матеріаловъ“ черту, вполнѣ гармонирующую съ отмѣченнымъ уже отсутствіемъ связи основаній аналитической геометріи и анализа съ курсомъ „элементарной математики“,—именно отсутствіе идей метода координатъ и функціональной зависимости въ программахъ всѣхъ типовъ средней школы, кромѣ реальнаго отдѣленія. Получается впечатлѣніе, что реформа преподаванія математики въ „Матеріалахъ“ разсматривается не съ точки зрѣнія интересовъ общей культуры, а съ точки зрѣнія будущихъ математиковъ, естественниковъ и техниковъ, каковыми должны стать, повидимому, только ученики реальнаго отдѣленія. Все это совершенно противорѣчитъ одному изъ основныхъ положеній, что школа должна быть самодовлѣющей.

1) Повидимому, авторъ объяснительной записки признаетъ обращеніе къ интуиціи только какъ неизбѣжное зло. Такая точка зрѣнія поведетъ къ внесенію формализма въ преподаваніе математики, что губительно отзовется не только на спеціально-математическомъ, но и на общемъ развитіи учениковъ. Кончивъ школу, они тоже внесутъ въ свою дѣятельность отсутствіе чувства реальнаго.

2) Исключеніе производныхъ отъ sinx и, слѣдовательно, cosx слишкомъ сузило бы кругъ задачъ на примѣненіе методовъ анализа.

Библіографическій отдѣлъ.

Задачникъ по сельскому хозяйству. Составилъ по К. Дилю С. П. Глазенапъ. Книга I, Пг. 1914; цѣна 65 коп. Книга II, Пг. 1915; цѣна 85 коп.

Извѣстный петроградскій астрономъ и авторъ учебниковъ г. Глазенапъ, руководясь въ качествѣ образца распространеннымъ нѣмецкимъ учебникомъ К. Diehl’я „Rechenbuch für die bayerischen landwirtschaftlichen Winterschulen und ähnlichen Anstalten", составилъ интересный задачникъ, который хотя и предназначается (какъ видно изъ предисловія) главнымъ образомъ для сельскохозяйственныхъ школъ, а также (въ качествѣ средствъ для проведенія въ народъ сельскохозяйственныхъ знаній) для начальной школы, — но несомнѣнно заслуживаетъ полнаго вниманія со стороны преподавателей общеобразовательной средней школы. Главный недостатокъ многихъ распространенныхъ задачниковъ по ариѳметикѣ (а также и геометріи), заключающійся въ ихъ крайней безжизненности, въ искусственности содержанія задачъ, всѣмъ слишкомъ хорошо извѣстенъ. Купецъ, продающій поровну изъ двухъ цыбиковъ чаю; виноторговецъ, смѣшивающій вино съ водой и продающій смѣсь безъ прибыли и убытка; умирающій помѣщикъ, дѣлящій свое имущество между тремя сыновьями обратно-пропорціонально ихъ возрасту: всѣ эти фигуры достойны занять мѣсто въ педагогической кунсткамерѣ наряду съ тремя трубами, изъ которыхъ одна выливаетъ воду, вливаемую въ бассейнъ двумя другими1). Совершенно иное мы находимъ у г. Глазенапа. Кромѣ голыхъ числовыхъ примѣровъ, служащихъ для пріобрѣтенія механическаго навыка въ производствѣ дѣйствій, и кромѣ нѣкоторыхъ задачъ историческаго, физическаго и космографическаго содержанія, здѣсь всѣ остальныя задачи стоятъ по своему содержанію въ непосредственной связи съ дѣйствительною жизнью: сельская экономика, строительство, страховое дѣло, статистика и, конечно, земледѣліе съ его различными отраслями (скотоводство, молочное хозяйство, садоводство) — вотъ тѣ области, изъ которыхъ Дилю и г. Глазенапу удалось набрать множество интересныхъ темъ для ариѳметическихъ упражненій, вошедшихъ въ книгу I. По объему ариѳметическихъ свѣдѣній эта книга соотвѣтствуетъ обычному курсу ариѳметики, и мы увѣрены, что для нашего отечества было бы крайне полезно, если бы не только преподаватели сельскохозяйственныхъ школъ, но и преподаватели гимназій и т. п. учебныхъ заведеній въ земледѣльческихъ районахъ Россіи вводили эту прекрасную книгу въ качествѣ учебнаго пособія (въ частности, можно отмѣтить здѣсь значеніе ея для духовныхъ училищъ, гдѣ учатся дѣти, вышедшія изъ среды, близкой къ земледѣльческому населенію, и имѣющія опять вернуться современемъ въ ту же среду).

Книга II носитъ уже спеціальный характеръ. Сюда вошли болѣе сложныя задачи на ученіе о почвѣ и объ удобреніи; расчеты, относящіеся къ сѣменамъ, ихъ производству, жатвѣ и храненію урожаевъ; вычисленія, относящіяся къ опытному дѣлу; задачи по животноводству; вычисленіе оборотныхъ средствъ, себѣ стоимости производствъ и урожаевъ; задачи на сбереженіе, кредитъ и страхованіе; наконецъ, болѣе 30 страницъ отведено задачамъ геометрическаго и физическаго содержанія, изъ которыхъ опять можно многія рекомендовать вниманію преподавателей общеобразовательной школы.

Кромѣ задачъ, книжки г. Глазенапа содержатъ еще немало догматическаго и справочнаго матеріала: мы находимъ здѣсь основныя опредѣленія и правила (весьма здраво формулированныя), типическія задачи съ рѣшеніями, таблица мѣръ и т. п., также рядъ спеціально-агрономическихъ таблицъ. Шрифтъ — крупный, печать — хорошая. Замѣченныя нами погрѣшности на-

1) Задачи, особо отличающіяся безцѣльностью и безсмысленностью содержанія, встрѣчаются въ слишкомъ, къ сожалѣнію, распространенномъ сборникѣ Верещагина. См., напр., зад. 2780 (по 27 изданію 1913 г.): „Въ сентябрѣ 1904 года число дней, свободныхъ отъ учебныхъ занятій, составляло 36,(36) °/0 числа учебныхъ дней того же мѣсяца; число же праздниковъ этого мѣсяца (кромѣ вескревеній) составило 60% числа воскресныхъ дней. Сколько было воскресныхъ дней съ теченіе сентября 1914 года?“

столько несущественны, что о нихъ упоминать излишне — кромѣ одной: таблица удѣльныхъ вѣсовъ (кн. II, стр. 192), — взятая, вѣроятно, безъ критики у Диля, — должна быть пересмотрѣна, такъ какъ заключающіяся въ ней данныя частью не имѣютъ смысла вслѣдствіе слишкомъ большого числа десятичныхъ знаковъ (напр., уд. вѣсъ гипса, чугуна и т. п. указанъ съ тремя десятичными!), частью прямо ошибочны (напр., уд. вѣсъ платины не 20,869, а 21,4; уд. вѣсъ амміака — который у г. Глазенапа названъ амоніакомъ— не 0,586, а 0,597 и т. д.).

А. Бачинскій.

Новыя книги.

Проф. Д. Синцовъ. Лекціи аналитической геометріи. Вып. I. Геометрія на плоскости. Харьковъ. 1916.

Проф. Д. М. Синцовъ. Краткій курсъ аналитической геометріи на плоскости. Учебникъ для 7-го класса реальныхъ училищъ. Изд. т-ва И. Д. Сытина. М. 1916. Ц. 90 к.

С. И. Шохоръ-Троцній. Методика ариѳметики для учителей начальныхъ школъ. Изд. 8-е. Ч. II. Изд. т-ва И. Д. Сытина. М. 1916. Ц. 1 р. 80 к.

А. Казаровъ. Сборникъ задачъ по аналитической геометріи на плоскости Изд. 4-е. Ейскъ. 1916. Ц. 60 к.

П. Дворниковъ, Ѳ. Жаровъ, Б. Игнатьевъ, С. Соколовъ. Въ путь дорогу. Книга для чтенія въ старш. отдѣл. начал. школы. Ч. I. М. 1916. Ц. 1 р.

Д. А. Бемъ, А. А. Волковъ, Р. 3. Струве. Сборникъ упражненій и задачъ по элементарному курсу алгебры. Ч. I. Изд. 2-е. М. 1916. Ц. 1 р.

Комаровъ. Описаніе работъ на приборѣ для изученія дробныхъ чиселъ. Тюмень 1916.

Н. А. Извольскій. Комбинаціонная работа. Сборникъ упражненій по ариѳметикѣ. М. 1916. Ц. 25 к.

Я. Линцбахъ. Принципы философскаго языка. Опытъ точнаго языкознанія. II. 1916. Ц. 2 р. 50 к.

С. Дмитріевъ. Экономическая географія Россіи. Изд. 2-е, дополн. Изд. т-ва И. Д. Сытина. М. 1916. Ц. 2 р.

И. Теръ-Степановъ. С борникъ алгебрическихъ задачъ для среднихъ учебныхъ заведеній. Ч. I. П. 1915. Ц. 75 к.

Его-же. Сборникъ тригонаметрическихъ задачъ для гимназій и др. средн. учебн. зивед. П. 1915. Ц. 90 к.

М. Ѳ. Зиминъ. Обобщенные возвратные ряды.—Раціональные тетраедры.— О кривой, проходящій въ области всѣхъ точекъ нѣкотораго объема. (Отдѣльные оттиски изъ „Извѣстій Алексѣевскаго Донского Политехническаго Института“) Новочеркасскъ, 1916.

Н. В. Кашинъ. Основанія математическаго анализа. Учебная книга для старшихъ классовъ среди, школы. М. 1916. Ц. 3 р,

П. Карасевъ. Геометрія на подвижныхъ моделяхъ. Классное пособіе для среднихъ и низшихъ учебныхъ заведеній. М. 1916. Ц. 75 к.

А. Н. Уайтхэдъ. Введеніе въ математику. Пер. подъ ред. С. Майзель. П. 1916. Ц. 2 р.

С. Слугиновъ. Функціональное исчисленіе. Казань. 1913. Ц. 30 к.

Отвѣтственный редакторъ I. Чистяковъ.

Типографія „Русскаго Товарищества печатнаго и издательскаго дѣла" • Москва, Чистые пруды, Мыльниковъ пер., с. д. Тел. 18-35.