№ 35.

Математическое Образованіе.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка.

Годъ пятый.

№ 3.

Мартъ 1916 г.

МОСКВА.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

Математическое Образованіе“

Мартъ 1916 г. Годъ 5-й. № 3.

Содержаніе П. Ѳ. Никульцевъ А. Костицынъ и Г. Лобовиковъ—Одно изъ доказательствъ теоремы Безу L Чистяковъ.—Къ методикѣ вычитанія цѣлыхъ чиселъ Я. Оглоблинъ.—О нормальной программѣ курса математики въ 8-классныхъ коммерческихъ училищахъ С. Виноградовъ.—Преподаваніе космографіи по планамъ комиссіи при Министерствѣ Народнаго Просвѣщенія Б. Базилевскій.— О великой теоремѣ Фермата И. Бахманнъ, пер. Рабиновича.—Понятіе о безконечно маломъ и его приложенія въ математикѣ Дж. Виванти, пер. Е. Борткевичъ.— Задачи.—Рѣшенія задачъ.—Засѣданія Московскаго Математическаго кружка.

П. Ѳ. Никульцевъ

(f 24 февр. 1916 г.).

Въ ночь на 24 февраля скоропостижно скончался отъ паралича сердца, въ Москвѣ, П. Ѳ. Никульцевъ, извѣстный педагогъ, особенно хорошо памятный Смоленску, въ которомъ онъ пробылъ 19 лѣтъ сперва учителемъ математики, а потомъ инспекторомъ въ реальномъ училищѣ. Всѣ, кто зналъ этого незабвеннаго человѣка, могутъ засвидѣтельствовать, что смерть его есть большая общественная утрата.

П. Ѳ. Никульцевъ родился въ 1854 году, кончилъ курсъ въ 1873 г. въ Кронштадтской гимназіи, а въ 1877 г. въ Петроградскомъ университетѣ со степенью кандидата математическихъ наукъ. Былъ преподавателемъ въ Смоленскомъ реальномъ училищѣ, потомъ тамъ же инспекторомъ и затѣмъ, послѣдовательно, директоромъ реальныхъ училищъ въ Зарайскѣ, Скопинѣ, Тулѣ, Калугѣ, Гжатскѣ и Макарьевѣ (Костромскомъ). Въ качествѣ директора онъ завѣдывалъ также и женскими гимназіями во всѣхъ этихъ городахъ, кромѣ Калуги. И вездѣ онъ оставилъ о себѣ самыя свѣтлыя воспоминанія и среди сослуживцевъ, и среди учащихся и ихъ родителей. И вездѣ онъ являлся полезнымъ общественнымъ дѣятелемъ. Въ Смоленскѣ онъ устраиваетъ товарищескую учительскую кассу, принимаетъ дѣятельное участіе въ обществѣ попеченія о бѣдныхъ учащихся, основываетъ общедоступную библіотеку (Заднѣпровскую), организуетъ воскресныя чтенія для народа съ туманными картинами. Въ Зарайскѣ, благодаря его хлопотамъ, женская прогимназія превращается въ полную гимназію. Въ Гжатскѣ онъ открываетъ реальное училище, при которомъ, по его иниціативѣ, возникаетъ общество вспомоществованія бѣднымъ ученикамъ. Не только знатокъ математики, но человѣкъ вообще обширнаго, разносторонняго образованія, прекрасный пе-

дагогъ, — П. Ѳ. даетъ родинѣ много знающихъ и полезныхъ работниковъ. Составленные имъ учебники, по которымъ учатся десятки тысячъ людей, насчитываютъ уже много изданій: учебникъ ариѳметики вышелъ одиннадцатымъ изданіемъ, первая часть алгебры съ задачами девятымъ, а вторая часть — восьмымъ. Глубоко интересуясь педагогическимъ дѣломъ, онъ выпускаетъ и рядъ трудовъ по исторіи школъ: таковы: — „Смоленское Александровское реальное училище въ первое 15-лѣтіе своего существованія“, „Скопинское реальное училище въ періодъ 1876—1903 г.“ и „Тридцатилѣтіе Калужскаго реальнаго училища (1875—1905)“, „Столѣтіе дѣятельности М. Н. Пр. по распространенію образованія“. Кромѣ того, онъ работаетъ въ „Журналѣ элементарной математики“, „Вѣстникѣ опытной физики“ и др. Выйдя въ отставку въ 1914 году и поселившись въ Москвѣ, П. Ѳ. задумываетъ работу по статистикѣ Московскихъ городскихъ школъ, но смерть мѣшаетъ ему осуществить это намѣреніе.

Человѣкъ высокой гуманной души, П. Ѳ. былъ другомъ учениковъ, вникалъ въ ихъ нужды, относился къ нимъ съ сердечною теплотою, и сколько отрадныхъ воспоминаній сохранили о немъ ученики! Глубоко скромный и деликатный, онъ былъ другомъ для сослуживцевъ, и всѣ находили у него и помощь въ трудномъ дѣлѣ и теплый привѣтъ.

Смерть пресѣкла эту свѣтлую жизнь, и сколько трогательныхъ выраженій горя получила его семья отъ его учениковъ и сослуживцевъ! „Глубоко скорбимъ о смерти дорогого П. Ѳ., всю жизнь посвятившаго заботѣ объ ученикахъ. Свѣтлая память о немъ навсегда сохранится у насъ, его бывшихъ воспитанниковъ“ — такъ выражаютъ свое горе его бывшіе ученики. Миръ его праху!

А. Костицынъ.

Съ чувствомъ глубокаго уваженія должна быть помянута память П. Ѳ. Никульцева, скончавшагося въ ночь на 24 февраля с. г., автора многихъ учебныхъ руководствъ по элементарной математикѣ.

Не входя въ подробное освѣщеніе личныхъ качествъ покойнаго и его 37-лѣтней педагогической дѣятельности, начатой преподавательской службой въ Смоленскомъ реальномъ училищѣ и закончившейся директорской дѣятельностью въ разныхъ реальныхъ училищахъ Московскаго Учебнаго Округа, мы ограничимся выясненіемъ значенія составленныхъ покойнымъ П. Ѳ. Никульцевымъ руководствъ.

При оцѣнкѣ всякаго педагогическаго печатнаго труда нельзя ограничиваться требованіемъ отъ него однихъ только достоинствъ, но должно не упускать изъ виду и условія момента перваго появленія его, такъ какъ ростъ педагогическихъ требованій и подражанія вызываютъ быстро появленіе новыхъ подобныхъ же трудовъ, которые нерѣдко по какимъ-то особымъ причинамъ достигаютъ большаго распространенія, чѣмъ ихъ предшественники.

Первое изданіе „Ариѳметики“ П. Ѳ. Никульцевъ появилось въ 1885 г., когда преподаваніе въ среднихъ школахъ велось почти исключительно по руководствамъ Малинина и Буренина. Трудъ Никульцева былъ встрѣченъ педагогической математической литературой1) необыкновенно радушно, какъ имѣвшій за собой много достоинствъ, въ высшей степени выгодно отличавшихъ его отъ употреблявшихся тогда руководствъ (тщательность обработки учебнаго матеріала, сжатость, доказательность, ясность и доступность для учащихся и дешевизна изданія) и — безспорно — этотъ трудъ многимъ начинавшимъ тогда учителямъ оказалъ незамѣнимую услугу и послужилъ образцомъ для позднѣйшихъ составителей учебныхъ руководствъ по ариѳметикѣ. Какъ на особыя достоинства „Ариѳметики“ надо указать на ясное, краткое и толковое изложеніе вопросовъ объ устномъ и письменномъ счисленіи, умноженіи цѣлыхъ чиселъ, наименьшемъ кратномъ, обращеніи період. десят. дробей въ простыя, учетѣ векселей и мн. др. Благодаря своимъ несомнѣннымъ достоинствамъ „Ариѳметика“ теперь вышла 11-мъ изданіемъ.

Какъ бы въ дополненіе къ методическимъ цѣлямъ этой книги П. Ѳ. Никульцевъ составилъ небольшую брошюру „Образцы рѣшеній ариѳмет. задачъ. Пособіе для учащихся“.

Еще болѣе своевременнымъ было появленіе курса „Алгебры“ въ то время, когда преподаваніе ея велось или по тяжеловѣсному руководству Давидова, или по легковѣсному учебнику Малинина.

П. Ѳ. Никульцевъ своей „Алгеброй“ занялъ среднее положеніе между ними, онъ съумѣлъ соединить и въ этой книгѣ строгость, точность и доказательность изложенія съ ясностью и доступностью его для учащихся. Особенно удачно выяснено было въ этой книгѣ авторомъ понятіе объ ирраціональныхъ числахъ, о предѣлѣ, извлеченіе квадр. и куб. корней изъ чиселъ и алгебр. многочленовъ и др.

Въ дополненіе къ этому курсу П. Ѳ. Никульцевъ въ 1890 г. выпустилъ „Задачникъ по алгебрѣ“ въ видѣ 2-ой части „Алгебры“, содержащій въ себѣ 5132 задачи на всѣ отдѣлы курса. Обѣ эти книги сразу были отмѣчены вниманіемъ педагогическаго міра и теперь вышли 8 и 9 изданіями.

Все вышесказанное ясно подтвержаетъ мысль, что труды покойнаго П. Ѳ. Никульцева относятся не къ зауряднымъ явленіямъ педагогической литературы и несомнѣнно проникнуты знаніемъ и любовью къ дѣлу и учащейся молодежи.

Москва,

3 марта 1916 г. 1 2 3

Г. Лобовиковъ.

1) 1) Журн. элем. математики (т. I, стр. 299),

2) Педаг. Сборы, (авг. 1887 г.),

3) Журн. М. Н. II. (авг. 1885 г.) и Русск. Мысль (1886 г., стр. 59),

Многіе отзывы напечатаны при книгахъ Никульцева,

Одно изъ доказательствъ теоремы Безу.

І. И. Чистяковъ (Москва).

Какъ извѣстно, теорема о дѣлимости цѣлаго многочлена, расположеннаго по убывающимъ степенямъ перемѣннаго , т.-е.

Л0хт + Агх^ + А2хт~2 +..........+Ат_гх + Ат (I)

на двучленъ ( х—а), гласитъ, что остатокъ при названномъ дѣленіи равенъ результату подстановки въ многочленъ (I) вмѣсто X количества а, т.-е.

А0ат + Ахат~ѵ + А2а™~2 +.+ Ат_ха + Ат (II)

Доказательство названной теоремы, приводимое въ курсахъ алгебры и принадлежащее д’Аламберу, состоитъ въ томъ, что данный многочленъ дѣлятъ на (х — а); обозначая для краткости при этомъ дѣлимое чрезъ f (ж), частное чрезъ <р (х) и остатокъ, очевидно не содержащій х, чрезъ приходимъ къ тождеству

f(x) = <р {х) -f Д,

а полагая въ этомъ тождествѣ х=а, получаемъ:

f (а) = ф (а) ( — а)-\- Л

и, такъ какъ <р(а) не обращается въ бозконечность, то

Л — f (а) — А0ат Ахат 1 ..........-(- Ат_ха -j- ,

что и требовалось доказать.

Это доказательство, весьма замѣчательное по его краткости и остроумію, конечно, не оставляетъ ничего желать въ смыслѣ научности. Но съ педагогической точки зрѣнія оно представляетъ все же нѣкоторыя неудобства. Именно, неудобной стороной его является то, что употребляемый пріемъ для доказательства нигдѣ болѣе въ курсѣ алгебры не встрѣчается, почему оно производитъ на учащихся впечатлѣніе крайней искусственности. Въ виду этого я считаю небезполезнымъ предложить другое доказательство той же теоремы, которое мнѣ кажется болѣе прямымъ и естественнымъ, и которое можно было бы давать учащимся ранѣе или параллельно съ классическимъ доказательствомъ д’Аламбера.

Именно, докажемъ сначала, что разность одинакихъ степеней двухъ количествъ ( хп — а") дѣлится безъ остатка на ихъ разность, т.-е. на ( X— а). Дѣйствительно, мы непосредственно убѣждаемся, что двучлены х — а и х2 — а2 дѣлятся на х — а. Допустимъ теперь,

что теорема вѣрна для двучлена ж”-1 — аи~1, и докажемъ, что въ такомъ случаѣ она будетъ вѣрна и для двучлена хп — а”. Въ самомъ дѣлѣ, представляя послѣдній двучленъ въ видѣ суммы

хп — ап — х (х”~~1 — а”“1) -f- а”-1 (х — а),

видимъ, что онъ дѣлится на х — а, такъ какъ первое слагаемое дѣлится на X — а по предположенію, а второе — по его составу.

Отнимая теперь отъ многочлена (II) и прибавляя къ нему многочленъ (II), представимъ (I) въ видѣ:

Здѣсь сумма членовъ въ первой строчкѣ, по доказанной леммѣ, дѣлится на {х — а), а потому многочленъ, стоящій во 2-й строчкѣ, представляетъ остатокъ отъ дѣленія (I) на (х — а), что и требовалось доказать.

Предлагаемая форма доказательства имѣетъ то удобство, что легко позволяетъ написать и частное отъ дѣленія многочлена (I) на двучленъ (х — а). Дѣйствительно, замѣчая, что

видимъ, что искомое частное имѣетъ видъ:

или, если расположить его по степенямъ х,

Для полученія выраженія остатка отъ дѣленія многочлена (I) на двучленъ (х -f а), представляемъ послѣдній въ видѣ х—(—а); получимъ

аналогично можно получить и выраженіе частнаго.

Не останавливаясь на многочисленныхъ и важныхъ приложеніяхъ теоремы Безу въ алгебрѣ, замѣтимъ, что она можетъ имѣть различныя примѣненія и въ ариѳметикѣ. Такъ, съ ея помощью могутъ быть выведены общій и частные признаки дѣлимости чиселъ. Въ самомъ дѣлѣ, пусть въ многочленѣ (I) —х

цѣлое число, а коэффиціенты Л0, .......Ат — цѣлыя числа, меньшія X] тогда этотъ многочленъ можно разсматривать, какъ цѣлое число N, изображенное по системѣ счисленія съ основаніемъ X. Теорема Безу даетъ признакъ дѣлимости этого числа на числа ( х — а) и (х -|- а), гдѣ а — цѣлое число; именно, въ первомъ случаѣ, число R (ф. II), а во второмъ (ф. III) должны быть приравнены 0.

Полагая въ частности х= 10, и as — 1, получимъ въ первомъ случаѣ признакъ дѣлимости на 9, такъ какъ

Æ = Л) 4" А "b -^2 4"..........-f

а во второмъ случаѣ извѣстный признакъ дѣлимости на 11; именно

А — Ат — Ат_х -j- Ам_2 —.-f- (— 1)'и Л0,

т.-е. изъ суммы цифръ числа, стоящихъ на нечетныхъ мѣстахъ, нужно вычесть сумму цифръ, стоящихъ на четныхъ мѣстахъ; если остатокъ раздѣлится на 11, то и все число раздѣлится.

Къ методикѣ вычитанія цѣлыхъ чиселъ.

Н. Оглоблинъ. (Кіевъ).

Въ статьѣ I. Чистякова въ № 7—8 „Математическаго Образованія“ за 1915 г. выяснены преимущества такъ называемаго австрійскаго способа вычитанія. Не измѣняя этого способа съ внѣшней стороны, можно дать ему иное толкованіе, и тогда обнаружатся еще нѣкоторыя преимущества его (на нихъ имѣются нѣкоторыя указанія въ книгѣ: Штеклинъ. Методика ариѳметики, ч. III).

Положимъ, что намъ нужно вычесть 2491 изъ 5028, т.-е. по суммѣ 5028 и одному слагаемому 2461 найти другое слагаемое.

Будемъ отыскивать цифры этого слагаемаго послѣдовательно, начиная съ низшихъ разрядовъ. Чтобы получить 8, надо къ 1 прибавить 7. Говоримъ: 1 -f-7 = 8 и пишемъ 7 на мѣстѣ единицъ. Прибавленіемъ къ 9 десяткамъ нельзя получить 2 десятковъ, но можно получить 12 дес., именно, прибавляя 3 дес. Говоримъ 9 -f- 3 =: 12, пишемъ 3 на мѣстѣ десятковъ и отмѣчаемъ у сотенъ даннаго слагаемаго 1 сотню, которая должна быть со-

считана вмѣстѣ съ сотнями даннаго и искомаго слагаемаго. Далѣе говоримъ :l-f-4-J-5 = 10 и пишемъ 5 на мѣстѣ сотенъ. Наконецъ, говоримъ 1 -{- 2 -{- 2 = 7 и пишемъ 2 на мѣстѣ тысячъ.

Такимъ образомъ, производство вычитанія поэтому способу вполнѣ соотвѣтствуетъ повѣркѣ вычитанія сложеніемъ съ тою разницею, что при вычитаніи приходится подбирать послѣдовательно цифры неизвѣстнаго слагаемаго, пользуясь таблицей сложенія.

Достоинства такого пріема, кромѣ указанныхъ въ статьѣ I. Чистякова, слѣдующія.

1) Производство вычитанія находится въ непосредственной связи съ тѣмъ опредѣленіемъ вычитанія, съ которымъ учащимся придется встрѣтиться и усвоеніе котораго такимъ образомъ облегчено.

2) При разысканіи цифръ разности приходится пользоваться не таблицей вычитанія, а таблицей сложенія, что не одно и то же: для увѣренности счета произносимыя слова должны быть по возможности однообразными, напр., въ сложеніи и вычитаніи одними и тѣми же.

3) Сближеніе записей сложенія и вычитанія также способствуетъ увѣренности вычисленій, такъ какъ не приходится при вычитаніи вводить новыя условности: 5 съ точкой вверху означаетъ 4, или 0 съ точкой означаетъ 9, и т. д.

Предлагаемое объясненіе вычитанія отличается отъ обычнаго объясненія „австрійскаго“ способа тѣмъ, что не требуетъ примѣненія свойства разности не измѣняться при прибавленіи къ уменьшаемому и вычитаемому одного и того же числа. Это свойство обыкновенно излагается послѣ усвоенія пріема вычитанія, и еще по этой причинѣ предлагаемое объясненіе намъ кажется предпочтительнѣе.

О нормальной программѣ курса математики въ восьмиклассныхъ коммерческихъ училищахъ.

С. П. Виноградовъ. Москва.

17-го мая 1914 г. министромъ торговли и промышленности были утверждены выработанныя министерствомъ нормальныя программы коммерческихъ училищъ, разсчитанныя на восьмилѣтній курсъ обученія*).

*) Программы восьмиклассныхъ коммерческихъ училищъ министерства торговли и промышленности. СПБ. 1914.

Въ общей объяснительной запискѣ къ программамъ указана цѣль коммерческихъ училищъ: „создать образованныхъ коммерсантовъ, способныхъ подвергать критическому анализу явленія коммерческой жизни, а потому для надлежащаго усвоенія спеціальнаго курса нуждающихся въ предварительно полученномъ широкомъ общемъ образованіи и развитіи“. (Программы, стр. VII).

О значеніи математики въ курсѣ коммерческихъ училищъ общая объяснительная записка говоритъ слѣдующее: „Математическіе предметы составляютъ одну стройную логическую систему отвлеченнаго ученія, которая предоставляетъ учащимся средства къ правильному развитію мышленія и выработкѣ умѣнія излагать мысли точнымъ языкомъ, а потому эти науки должны разсматриваться, какъ дисциплины, имѣющія по существу своему высокое общеобразовательное значеніе. Нѣкоторые отдѣлы математики, кромѣ общеобразовательнаго значенія, важны и въ прикладномъ отношеніи. Такъ, аналитическая геометрія имѣетъ прямое примѣненіе — приложеніемъ метода координатъ къ графическому выраженію хода разнообразныхъ явленій, изучаемыхъ въ курсѣ коммерческихъ училищъ, напримѣръ, въ коммерческой географіи и статистикѣ“. (Прогр., стр. IX).

Спеціальная объяснительная записка къ программѣ по математикѣ, повторивъ почти буквально приведенныя выше слова о значеніи математики, даетъ указанія по отдѣльнымъ частямъ ея: ариѳметикѣ, алгебрѣ, геометріи, тригонометріи и аналитической геометріи.

Эти указанія удобно разсматривать въ связи съ самыми программами по этимъ предметамъ.

Курсъ ариѳметики проходится въ трехъ первыхъ классахъ при 4 урокахъ въ I и II, и 2 урокахъ въ III классѣ. Матеріалъ курса и распредѣленіе его по классамъ — обычные. Объяснительная записка къ программѣ по ариѳметикѣ (Программы, стр. 59 ислѣд.). указываетъ, главнымъ образомъ, на то, чѣмъ не слѣдуетъ заниматься. Эти указанія обнаруживаютъ стремленіе упростить и сократить курсъ ариѳметики. При изученіи четырехъ дѣйствій надъ числами записка рекомендуетъ „не особенно вдаваться въ теоретическія положенія со строго научными доказательствами, недоступными возрасту учащихся“, но сейчасъ же прибавляетъ, что отъ учащихся необходимо требовать „сознательнаго усвоенія производства ариѳметическихъ дѣйствій, опирающихся на точныя опредѣленія этихъ дѣйствій и на основные принципы сложенія, вычитанія, умноженія и дѣленія“.

Это добавленіе, неудачное и по своей грамматической формѣ („дѣйствій, опирающихся на точныя опредѣленія ариѳметическихъ дѣйствій“ и т. д.), вызываетъ недоумѣніе своею несогласованностью съ первымъ, совершенно вѣрнымъ указаніемъ на неумѣстность углубленія въ теорію дѣйствій съ учениками младшаго возраста.

Пункты 2), 3) и 4) содержать указанія на нежелательныя увлеченія теоріей при изученіи свойствъ дѣйствій, измѣненій результатовъ дѣйствій въ зависимости отъ измѣненія факторовъ,

свойствъ чиселъ, главы о дѣлителяхъ, а также на необходимость избѣгать сложныхъ вычисленій въ отдѣлѣ именованныхъ чиселъ и опустить аптекарскій вѣсъ. Кромѣ того въ пунктѣ 3) указывается, что „изъ иностранныхъ мѣръ слѣдуетъ остановиться лишь на метрической системѣ, относя задачи съ числами этой системы преимущественно къ десятичнымъ дробямъ“, и что слѣдуетъ „по возможности упражнять учащихся въ дѣйствительныхъ измѣреніяхъ всякаго рода и научить ихъ рѣшать задачи на простѣйшіе случаи нахожденія поверхности и объема“.

Пунктъ 5) содержитъ указаніе относительно статьи о десятичныхъ дробяхъ: „въ ученіи о десятичныхъ дробяхъ не слѣдуетъ останавливаться на теоретическихъ подробностяхъ, касающихся періодическихъ дробей; достаточно указать на способъ обращенія такихъ дробей въ обыкновенныя“. Этотъ пунктъ объяснительной записки стоитъ въ противорѣчіи съ программами. Въ программѣ ариѳметики періодическія дроби совсѣмъ не упоминаются; въ программѣ алгебры есть отдѣльный вопросъ: „періодическія десятичныя дроби“, поставленный на надлежащемъ мѣстѣ, а именно, въ главѣ о прогрессіяхъ. Зачѣмъ же нужно правило обращенія періодическихъ дробей въ обыкновенныя въ курсѣ II класса? Самъ ученикъ можетъ получить періодическую дробь только при дѣленіи, но въ такомъ случаѣ появленіе безконечной дроби послужитъ ему указаніемъ, что въ данномъ случаѣ удобнѣе пользоваться обыкновенными дробями, а не десятичными. Что же касается задачъ, данныя которыхъ выражены въ періодическихъ дробяхъ, то слѣдуетъ признать, что онѣ — искусственны и, кромѣ безполезныхъ усложненій, ничего не даютъ. Появленіе такого рода задачъ въ распространенныхъ теперь задачникахъ объясняется именно требованіями программъ, помѣщающихъ статью о періодическихъ дробяхъ въ курсъ ариѳметики во второмъ классѣ.

Пунктъ 6) относится къ курсу третьяго класса, программа, котораго содержитъ ученія о пропорціональности, пропорціи (понятіе и основное свойство) и правила тройное (простое и сложное), процентовъ, пропорціональнаго дѣленія и смѣшенія. Рекомендуя задачи на указанныя правила „распредѣлять по возможности равномѣрно по всему курсу“, этотъ пунктъ указываетъ на выдѣленіе этихъ задачъ въ самостоятельныя группы, какъ „на средство развитія и прочнаго закрѣпленія въ учащихся яснаго пониманія прямой и обратной пропорціональности, а также строгаго различія понятій о величинѣ и объ ея численномъ значеніи“.

Пункты 7, 8 и 9 указываютъ на пользу сокращенныхъ вычисленій, въ которыхъ слѣдуетъ упражнять учащихся во время прохожденія всего курса ариѳметики, на необходимость ознакомить учащихся съ устройствомъ „русскихъ счетовъ“ и ихъ употребленіемъ въ простѣйшихъ случаяхъ и, наконецъ, снова подчеркиваетъ ненужность задачъ „со многими сложными данными, находящимися въ неявной и запутанной логической связи, а тѣмъ болѣе такихъ, рѣшеніе которыхъ требуетъ исключительныхъ и искусственныхъ пріемовъ“.

Резюмируя объяснительную записку къ программѣ ариѳметики, можно сказать, что, оставляя неизмѣннымъ установившійся для средней школы матеріалъ курса, она стремится поставить его такъ, чтобы онъ явился для учащихся наиболѣе доступнымъ и простымъ. Только указанныя выше замѣчанія объ обоснованіи производства дѣйствій надъ числами и о періодическихъ дробяхъ, а также имѣющійся въ программѣ вопросъ о пропорціи и ея главномъ свойствѣ противорѣчатъ этой тенденціи къ упрощенію курса ариѳметики. Спеціальная цѣль коммерческихъ училищъ сказалась лишь въ одномъ замѣчаніи объяснительной записки, а именно, въ рекомендаціи брать матеріалъ для задачъ на правила тройныя, процентовъ и т. д. преимущественно изъ коммерческой практики (пунктъ 6).

Слѣдуетъ отмѣтить одно, по моему мнѣнію, важное упущеніе: ни въ программѣ, ни въ объяснительной запискѣ совсѣмъ не упоминается о приближенныхъ вычисленіяхъ. Понятія о приближенномъ измѣреніи, приближенномъ вычисленіи, точности измѣренія и вычисленія, а также о десятичныхъ приближеніяхъ обыкновенныхъ дробей не могутъ представить затрудненій для ученика II класса, и эти понятія нужно ввести въ курсъ ариѳметики.

На курсъ алгебры новыми программами отводится 10 уроковъ, по 2 урока въ классахъ III, IY, Y, YI и YII.

Объяснительная записка къ программѣ алгебры прежде всего указываетъ, что должно составлять главную задачу курса: „Среди разнороднаго матеріала, который приходится вводить въ программу алгебры, необходимо выдвинуть на первый планъ при прохожденіи курса изученіе уравненій, какъ главную задачу этой науки. Такое представленіе о предметѣ алгебры можетъ быть внушено ученикамъ съ первыхъ же уроковъ, если въ число обозначенныхъ въ программѣ упражненій, служащихъ для перехода отъ ариѳметики къ алгебрѣ, включить также и самыя простыя задачи на составленіе и рѣшеніе уравненій.

Ознакомившись съ необходимыми алгебраическими преобразованіями и способами рѣшенія уравненій первой и второй степени и легко приводящихся къ нимъ, учащіеся затѣмъ проходятъ статьи, не имѣющія прямой связи съ предшествующимъ курсомъ (прогрессіи, логариѳмы, теорія соединеній и пр.) съ тѣмъ, чтобы еще разъ вернуться къ болѣе глубокому изученію уравненій въ седьмомъ классѣ, гдѣ должна быть обстоятельно изложена статья о равносильности уравненій и случаяхъ нарушенія таковой, а также статья объ изслѣдованіи уравненій“.

Въ началѣ приведеннаго отрывка содержится указаніе, что „изученіе уравненій“ составляетъ „главную задачу этой науки“ (алгебры), и утвержденіе, что „такое представленіе о предметѣ алгебры можетъ быть внушено ученикамъ съ первыхъ же уроковъ“ при указанномъ въ запискѣ условіи введенія въ число предварительныхъ упражненій самыхъ простыхъ задачъ на составленіе и рѣшеніе уравненій.

Трудно предположить, чтобы объяснительная записка реко-

мендовала начинать въ третьемъ классѣ курсъ алгебры отвѣтомъ на вопросъ: „что такое алгебра“1); легче допустить, что изученіе уравненій признается запиской тѣмъ центральнымъ ядромъ, всего курса, около котораго должны группироваться всѣ его части. Но изъ разсмотрѣнія программы мы видимъ, что ни въ матеріалѣ статей, относящихся къ уравненіямъ, ни въ ихъ порядкѣ нѣтъ ничего, что могло бы подтвердить эту догадку.

И по существу нельзя признать въ изученіи уравненій главную задачу курса элементарной алгебры. Цѣль курса алгебры, какъ общеобразовательнаго предмета, заключается въ расширеніи у учащихся того кругозора въ области чиселъ, который они пріобрѣтаютъ въ ариѳметикѣ. Для этого служитъ и буквенное исчисленіе, и расширеніе понятія числа, и идея безконечнаго процесса, и понятіе уравненія, и понятіе функціи2).

Такимъ образомъ все первое замѣчаніе объяснительной записки остается неяснымъ.

Второе замѣчаніе объяснительной записки относится къ понятію функціи. Въ 7-мъ классѣ, говоритъ записка, „впервые дается опредѣленіе функціи, и въ качествѣ примѣровъ разсматриваются двѣ простѣйшихъ алгебраическія функціи — линейная и трехчленъ второй степени. Полученныя здѣсь первоначальныя свѣдѣнія о функціяхъ ученики расширятъ въ курсѣ тригонометріи и, еще болѣе, въ восьмомъ классѣ, въ курсѣ аналитической геометріи“.

По вопросу о постановкѣ ученія о функціи въ курсѣ элементарной алгебры удобнѣе высказаться въ связи съ разсмотрѣніемъ программы по аналитической геометріи, а теперь мы перейдемъ къ дальнѣйшему разсмотрѣнію объяснительной записки.

Третье замѣчаніе объяснительной записки касается взаимнаго соотношенія теоретической части курса алгебры и задачъ.

Записка говоритъ слѣдующее: „Требуя, вообще, отъ учащихся извѣстнаго навыка въ рѣшеніи задачъ и въ производствѣ различныхъ алгебраическихъ выкладокъ, отнюдь не слѣдуетъ умалять теоретической стороны, придавая ей въ глазахъ учениковъ лишь справочный характеръ, ибо въ существѣ послѣдней и заключается, главнымъ образомъ, общеобразовательное значеніе этой дисциплины; слѣдуетъ обращать должное вниманіе на расширеніе у учащихся понятія о числѣ (положительномъ, отрицательномъ, ирраціональномъ, мнимомъ и комплексномъ), на обобщеніе дѣйствій, выясненіе смысла и цѣли введенія символовъ, на обобщенія понятія о вещественномъ показателѣ, на значеніе корней уравненія и т. д. Въ виду всего вышесказаннаго преподаваніе алгебры слѣдуетъ вести такъ, чтобы ученики не были излишне отвлекаемы отъ существеннаго въ наукѣ и обременяемы подавляющими многосложными формулами и длинными вычисленіями. Такъ, при прохожденіи дѣйствій надъ алгебраи-

1) По этому вопросу см. статью В. Ф. Кагана: „Что такое алгебра“? Одесса, 1910 (Изд. Mathesis).

2) См. статью проф. А. К. Власова: „Какія стороны элементарной математики представляютъ цѣнность для общаго образованія?“ Матем. Обр. 1914, № 1.

ческими количествами должны быть тщательно устранены сложныя алгебраическія выраженія, не имѣющія приложенія въ послѣдующемъ изложеніи предмета. Преобразованія алгебраическихъ выраженій могутъ быть сведены безъ ущерба для дѣла къ минимуму, обнимающему лишь самыя существенныя изъ этихъ преобразованій. Равнымъ образомъ надо имѣть въ виду, что разложеніе алгебраическихъ многочленовъ на множителей (и?) и отысканіе общихъ дѣлителей и кратныхъ не играютъ самостоятельной роли въ курсѣ, а являются, главнымъ образомъ, вспомогательнымъ средствомъ для упрощенія дѣйствій надъ дробями, почему при прохожденіи этихъ статей слѣдуетъ ограничиваться лишь простѣйшими случаями. Въ статьѣ о рѣшеніи уравненій первой степени со многими неизвѣстными при исключеніи послѣднихъ достаточно ограничиться способами подстановки и сложенія и вычитанія. При работахъ съ логариѳмическими таблицами можно пользоваться четырехзначными и, во всякомъ случаѣ, не болѣе, какъ пятизначными таблицами и т. д.“

Приведенное замѣчаніе записки относится ко всему курсу алгебры, направлено противъ возможныхъ увлеченій формальными преобразованіями и въ этомъ отношеніи весьма цѣнно. Но оно важно и въ другомъ отношеніи: оно подчеркиваетъ общеобразовательное значеніе теоретической стороны отдѣльныхъ частей курса и тѣмъ самымъ нѣсколько выясняетъ общій взглядъ на его задачи, затушеванный, по моему мнѣнію, первымъ замѣчаніемъ записки объ изученіи уравненій, какъ главной задачи курса.

Послѣднее замѣчаніе объяснительной записки къ программѣ алгебры относится къ вновь вводимому въ курсъ алгебры отдѣлу, а именно, къ элементамъ теоріи вѣроятностей. Записка подробно указываетъ содержаніе этого отдѣла: „опредѣленіе вѣроятностей числомъ; вѣроятность появленія одного изъ независимыхъ событій; вѣроятность совмѣстнаго появленія нѣсколькихъ независимыхъ событій; вѣроятность появленія событія п разъ при т повтореніяхъ; понятіе о сущности закона большихъ чиселъ; понятіе о математическомъ ожиданіи; при этомъ въ число примѣровъ, иллюстрирующихъ теорію, желательно вводить также и примѣры, поясняющіе, какимъ образомъ выводы теоріи вѣроятностей могутъ быть приложены къ различнаго рода страховымъ разсчетомъ“.

Записка не указываетъ цѣли введенія въ курсъ алгебры элементовъ теоріи вѣроятностей. О ней можно только догадываться, принимая во вниманіе мѣсто, ей отведенное, и пожеланіе, чтобы въ числѣ примѣровъ, иллюстрирующихъ теорію, были и такіе, которые обнаружили бы возможность приложенія теоріи вѣроятностей къ различнаго рода страховымъ разсчетамъ.

Элементы теоріи вѣроятностей, какъ глава элементарнаго курса алгебры, входятъ во многіе англійскіе учебники1) и, на-

1) Напр., Todhunter, Algebra for the use of Colleges and Schools. London, 1870 (5 ed.); Chrystal, Algebra. An elementary text-book for the higher classes of secondary schools and for colleges. P. II London. 1900 (2 ed.); Hall and Knight. Higher algebra. London. 1910 (4 ed.).

сколько мнѣ извѣстно, въ одинъ русскій, а именно, въ II часть „Элементарной алгебры“ Глаголева (Москва. 1907)1). Содержаніе этихъ главъ приблизительно соотвѣтствуетъ указаніямъ объяснительной записки, и поэтому представляется интереснымъ то объясненіе, которое появленію главы о вѣроятностяхъ даетъ Chrystal въ своемъ учебникѣ. Для оправданія обыкновенія вводить въ учебники алгебры элементы теоріи вѣроятностей Chrystal въ своемъ курсѣ2) приводитъ три соображенія: 1) теорія вѣроятностей доставляетъ великолѣпныя иллюстраціи приложенія комбинаторики; 2) въ своихъ элементарныхъ частяхъ она представляетъ отличное логическое упражненіе въ правильномъ употребленіи терминовъ и въ точномъ распознаваніи оттѣнковъ мысли; 3) она находитъ практическія примѣненія въ нѣкоторыхъ изъ наиболѣе важныхъ предпріятій современной жизни.

Въ виду того, что элементы теоріи вѣроятностей въ программѣ слѣдуютъ непосредственно за теоріей соединеній, и что объяснительная записка говоритъ о желательности указаній на возможность приложенія теоріи вѣроятностей къ страховымъ операціямъ, можно думать, что первое и послѣднее изъ приведенныхъ выше соображеній играли роль при введеніи элементовъ теоріи вѣроятностей въ курсъ алгебры. Программа весьма скромно говоритъ объ „элементахъ теоріи вѣроятностей“. Объяснительная записка даетъ перечень вопросовъ, составляющихъ цѣлый курсъ, для надлежащаго прохожденія котораго потребовалось бы значительное число часовъ. Но при томъ обиліи матеріала, которымъ отличается программа алгебры въ YII классѣ3), едва ли будетъ возможно удѣлить теоріи вѣроятностей время, достаточное для того, чтобы учащіеся успѣли овладѣть новымъ понятіемъ и получить ясное представленіе о возможности его практическаго приложенія. Мнѣ кажется, что изъ указанныхъ выше цѣлей введенія въ курсъ алгебры элементовъ теоріи вѣроятностей наиболѣе доступной при наименьшей затратѣ времени является первая, состоящая въ томъ, чтобы при помощи элементовъ теоріи вѣроятностей расширить область приложеній комбинаторики.

Знакомство съ теоріей вѣроятностей и ея практическими приложеніями, безъ сомнѣнія, желательно для образованныхъ коммерсантовъ, но способъ, которымъ новыя программы хотятъ это

1) Задачи на элементы теоріи вѣроятностей и ея приложенія есть въ „Сборникѣ упражненій и задачъ по элементарному курсу алгебры“, Д. А. Бема, А. А. Волкова и Р. Э. Струве. Москва. 1915.

2) Algebra, part II, ch. XXXVI.

3) Алгебра (2 урока). Понятіе о функціи. Функція линейная и трехчленъ второй степени, какъ примѣры простѣйшихъ алгебраическихъ функцій. Ихъ непрерывность; измѣненія этихъ функцій; maximum и minimum трехчлена второй степени.

Теорема о дѣлимости цѣлаго и раціональнаго относительно многочлена на X—а. Теоремы о равносильности уравненій и системъ уравненій. Изслѣдованіе уравненій первой и второй степени.

Теорія соединеній. Биномъ Ньютона для цѣлаго и положительнаго показателя. Элементы теоріи вѣроятностей.

осуществить, представляется весьма сомнительнымъ, хотя и очень рѣшительнымъ1).

Изъ вопросовъ программы, не упоминаемыхъ въ объяснительной запискѣ, нужно отмѣтить два слѣдующіе: рѣшеніе въ цѣлыхъ и положительныхъ числахъ неопредѣленныхъ уравненій первой степени съ двумя неизвѣстными и приложеніе логариѳмовъ къ вычисленію сложныхъ процентовъ и срочныхъ уплатъ. Появленіе въ программѣ этихъ вопросовъ можно объяснить лишь традиціей. Первый вопросъ стоитъ въ курсѣ алгебры совершенно изолированно и безъ всякаго ущерба для курса алгебры можетъ быть изъ него исключенъ. Что же касается до приложенія логариѳмовъ къ вычисленію сложныхъ процентовъ и срочныхъ уплатъ, то занятія такими вычисленіями при помощи 4-хъ или 5-ти значныхъ таблицъ, указываемыхъ объяснительной запиской могутъ оказаться даже вредными для учащихся, пріучая ихъ не обращать вниманія на точность и, слѣд., практическую цѣнность результатовъ вычисленій.

Для геометріи новыя программы отводятъ 7 уроковъ: 3 въ IY классѣ и по 2 въ Y и YI. Программа не содержитъ ничего новаго ни по отношенію къ матеріалу, ни по отношенію къ его распредѣленію. Объяснительная записка говоритъ, что при прохожденіи статей, перечисленныхъ въ программѣ, „надлежитъ удержать только такія теоремы и задачи, которыя безусловно необходимы для сохраненія логической цѣльности геометрической системы въ указанномъ учебнымъ матеріаломъ объемѣ“. Въ послѣднемъ классѣ (т.-е. въ YI) рекомендуется „ознакомить учащихся болѣе подробно съ основаніями ученія о предѣлахъ и приложеніями этого ученія къ измѣренію длины окружности, площади круга, поверхности и объемовъ цилиндра, конуса и шара“. (Понятіе о предѣлѣ дается въ Y классѣ).

Первое изъ приведенныхъ замѣчаній говоритъ 1) о возможной краткости курса геометріи и 2) о критеріи, которымъ слѣдуетъ руководствоваться при выборѣ матеріала для курса. Первая часть замѣчанія является совершенно излишнею, такъ какъ при отведенныхъ для геометріи 7 часахъ нельзя думать о расширеніи курса. Вторая же часть замѣчанія, выставляя критеріемъ при выборѣ матеріала для курса „сохраненіе логической цѣльности геометрической системы“ можетъ дать поводъ къ невѣрному заключенію о значеніи геометріи для общаго образованія. Геометрію нельзя разсматривать, какъ собраніе теоремъ и задачъ, полезныхъ для логики; самодовлѣющую цѣнность представляетъ самый матеріалъ элементарной геометріи, такъ какъ изученіе его способствуетъ расширенію представленія и создаетъ мышленіе посредствомъ образовъ и построеній2).

1) По вопросу о введеніи элементовъ теоріи вѣроятностей въ курсъ средней школы см. докладъ проф. П. А. Некрасова 2-му Всероссійскому Съѣзду преподавателей математики: „Объ учебныхъ особенностяхъ двухъ направленій математическаго курса средней школы“. Напечатанъ въ трудахъ Съѣзда и въ „Математическомъ Образованіи“, 1914 г., № 3.

2) См. статью проф. А. К. Власова: „Какія стороны элементарной математики представляютъ цѣнность для общаго образованія „Мат. Обр.“ 1914, № 1.

Второе замѣчаніе (о теоріи предѣловъ) не даетъ указаній, въ какомъ именно объемѣ признается нужнымъ изложеніе теоріи предѣловъ, и почему въ этомъ классѣ нужно расширять ученіе о предѣлахъ, когда въ V классѣ уже приходится пользоваться этимъ ученіемъ при вычисленіи длины окружности и площади круга. Кромѣ того не выясненъ вопросъ, почему теорія предѣловъ относится программами къ курсу геометріи.

Тригонометрія изучается въ VII классѣ при двухъ урокахъ въ недѣлю. Объяснительная записка говоритъ: „При преподаваніи учебнаго матеріала по тригонометріи надлежитъ выдвинуть на первый планъ ознакомленіе учащихся съ тригонометрическими функціями съ цѣлью развитія въ нихъ понятій о функціональной зависимости, о графическомъ и табличномъ ея изображеніи, о непрерывности и періодичности измѣненія величинъ и проч., не вдаваясь въ излишнія подробности тригонометрическихъ преобразованій. Что касается собственно тригонометріи, т.-е. вычисленія треугольниковъ, то достаточно ознакомить учащихся съ основными пріемами рѣшенія прямоугольныхъ и косоугольныхъ треугольниковъ и дать имъ ясное представленіе о значеніи этого пріема въ сравненіи съ графическимъ опредѣленіемъ элементовъ треугольника. Необходимо ознакомить учащихся также и съ примѣненіемъ тригонометріи къ рѣшенію геометрическихъ задачъ. Продолжительныя же обязательныя упражненія учениковъ въ рѣшеніи многочисленныхъ случаевъ и примѣровъ на вычисленіе и многоугольниковъ надо считать излишними. Учебный матеріалъ можетъ быть развитъ и болѣе обширно, если позволитъ сдѣлать это время и составъ класса“.

Замѣчанія объяснительной записки относительно тригонометріи совершенно правильны и цѣнны въ томъ отношеніи, что они указываютъ точно и опредѣленно цѣль курса и нежелательныя увлеченія задачами на вычисленія.

Но одно указаніе ея находится въ противорѣчіи съ распредѣленіемъ учебнаго матеріала по математикѣ по классамъ. Я имѣю въ виду указаніе объяснительной записки на графическое изображеніе функціональной зависимости. Понятіе о координатахъ отнесено программой на VIII классъ, въ курсъ аналитической геометріи, такъ что въ VII классѣ, гдѣ ученики въ курсѣ алгебры и въ курсѣ триногометріи имѣютъ дѣло съ понятіемъ функціи, знакомства съ методомъ координатъ не предполагается. Это обстоятельство заставляетъ особенно внимательно отнестись къ тому, что является въ программахъ восьмиклассныхъ коммерческихъ училищъ существенно новымъ, а именно, къ курсу аналитической геометріи въ VIII классѣ. Программа этого двухчасового курса слѣдующая:

а) Способъ координатъ.

б) Уравненія линій, заданныхъ геометрическимъ опредѣленіемъ. Примѣры (прямая линія, окружность, эллипсъ, гипербола и парабола).

в) Построеніе и изслѣдованіе формъ линій, заданныхъ уравненіемъ.

Примѣры: у = sinx; y — tanx; y=.logx; у —ax2 и т. и.

г) Изслѣдованіе уравненія Ах-\-Ву-\-С=0. Главнѣйшія задачи на прямую.

д) Главнѣйшія задачи на окружность.

е) Общее изслѣдованіе уравненія второй степени1).

ж) Графическій и табличный способы заданія функцій. Линія, какъ аналитическое значеніе цѣлой алгебраической функціи при изслѣдованіи измѣненія послѣдней. Графическое представленіе эмпирическихъ функцій. Графическая интерполяція.

Въ объяснительной запискѣ къ этой программѣ мы находимъ слѣдующее: „Независимо отъ высокаго общеобразовательнаго значенія, предметъ аналитической геометріи имѣетъ и прямое примѣненіе — приложеніемъ метода координатъ къ графическому выраженію хода разнообразныхъ явленій, какъ къ предметамъ курса коммерческихъ училищъ, каковы, напр., коммерческая географія и статистика, такъ и къ вопросамъ, связаннымъ съ нѣкоторыми отраслями коммерческихъ знаній и коммерческой дѣятельности. Поэтому желательно, чтобы преподаватели сообщали ученикамъ въ теченіе курса типичнѣйшіе примѣры такого приложенія“.

И общая, и спеціальная объяснительныя записки указываютъ на важность сообщенія ученикамъ приложеній метода координатъ къ изученію явленій, съ которыми имъ приходится имѣть дѣло въ коммерческой географіи, статистикѣ и т. д. Естественно предположить, что различныя приложенія метода координатъ должны быть указаны при изученіи хода тѣхъ явленій, о которыхъ рѣчь идетъ, не въ курсѣ аналитической геометріи, а въ курсѣ коммерческой географіи, статистики, физики, химіи и т. п. Но для этого необходимо, чтобы ученики были заранѣе ознакомлены со способомъ координатъ, а не въ VIII классѣ, когда курсы физики и химіи уже окончены, а курсы коммерческой географіи и статистики начинаются одновременно съ курсомъ аналитической геометріи. Кромѣ того ознакомленіе учащихся съ методомъ координатъ въ VIII классѣ является запоздалымъ и по отношенію къ курсамъ алгебры и тригонометріи. Отсутствіе этого метода лишаетъ возможности пользоваться графиками въ вопросахъ объ измѣненіи алгебраическихъ и триногометрическихъ функцій, въ вопросѣ о maximum и minimum трехчлена 2-ой степени и при изслѣдованіи рѣшеній уравненій 1-ой и 2-ой степени, такъ какъ всѣ эти вопросы входятъ въ программу VII класса.

Матеріалъ, указанный въ программѣ аналитической геометріи можно раздѣлить на двѣ части. Первая часть [пункты а), в) и ж) ] содержитъ вопросы, касающіеся метода координатъ и его приложеній. Всѣ эти вопросы, къ которымъ слѣдуетъ еще присоединить уравненіе прямой изъ пунктовъ б) и г), тѣсно связаны съ ученіемъ о функціи и должны быть отнесены къ курсу алгебры. Вторая часть (остальные пункты программы) содержитъ такіе вопросы, которые не связаны непосредственно съ элементарнымъ

1) Вѣроятно пропущены слова: „Съ двумя перемѣнными“

курсомъ и взяты изъ курсовъ аналитической геометріи, читаемыхъ на математическихъ факультетахъ и въ спеціальныхъ институтахъ. Объяснительная записка не указываетъ цѣли введенія этихъ вопросовъ въ курсъ средней школы, гдѣ они занимаютъ совершенно изолированное положеніе и не могутъ получить ни развитія, ни приложенія.

Правда, она упоминаетъ о „высокомъ общеобразовательномъ значеніи“ аналитической геометріи, но это упоминаніе слишкомъ кратко и неопредѣленно, чтобы имъ можно было удовлетвориться при рѣшеніи такого серьезнаго вопроса, какъ введеніе новаго предмета въ курсъ средней школы. Такимъ образомъ курсъ аналитической геометріи въ YIII классѣ является надстройкой, возведенной надъ общимъ курсомъ математики съ неизвѣстной цѣлью.

Говоря о введеніи элементовъ ученія о функціи и метода координатъ въ курсъ средней школы, необходимо остановиться еще на одномъ бросающемся въ глаза пробѣлѣ въ новыхъ программахъ коммерческихъ училищъ. Въ нихъ нѣтъ упоминанія о производной. Ознакомленіе учащихся съ понятіемъ о производной весьма желательно и вполнѣ возможно безъ увеличенія времени, отведеннаго на математику. Мѣсто для этого понятія — въ главѣ объ изслѣдованіи измѣненія функціи. Чтобы выяснить понятіе производной и важность ея, какъ орудія для изслѣдованія измѣненія функціи, достаточно ограничиться производной степени съ натуральнымъ показателемъ и производной цѣлаго многочлена.

Резюмирую все сказанное о новыхъ программахъ въ 8-ми классныхъ коммерческихъ училищахъ.

Въ программахъ по математикѣ можно замѣтить двѣ тенденціи: тенденцію очистить курсъ отъ нѣкоторыхъ несущественныхъ вопросовъ, сохраняющихся въ программахъ по традиціи и безъ пользы для дѣла усложняющихъ курсъ, и тенденцію обновить курсъ введеніемъ въ программу новыхъ вопросовъ.

Первая тенденція ярко проявилась въ объяснительной запискѣ, указанія которой носятъ по преимуществу предупредительный характеръ.

Вторая тенденція обнаруживается введеніемъ въ курсъ элементовъ ученія о функціяхъ, элементовъ теоріи вѣроятностей и аналитической геометріи.

Очищеніе программъ отъ несущественныхъ для курса вопросовъ произведено, по моему мнѣнію, недостаточно рѣшительно: говоря о программахъ ариѳметики и алгебры, я указалъ тѣ статьи, которыя слѣдовало бы исключить изъ курса. Введеніе въ программы новаго матеріала произведено, напротивъ, весьма рѣшительно: не выяснена цѣль введенія элементовъ теоріи вѣроятностей и отдѣльнаго курса аналитической геометріи и не приведены въ надлежащую связь новыя части курса.

Въ виду этого я считаю весьма важнымъ обратить вниманіе на указанія циркуляра, который былъ разосланъ въ коммерческія училища вмѣстѣ съ новыми программами*). По этому цир-

*) Циркуляръ № 8232 отъ 15-го сент. 1914 г.

куляру новыя программы должны быть введены въ 8-ми классныхъ коммерческихъ училищахъ не позднѣе начала 1917/18 учебнаго года, но циркуляръ предусматриваетъ возможность и отступленій отъ нихъ съ особаго разрѣшенія Учебнаго Отдѣла по мотивированнымъ ходатайствамъ педагогическихъ комитетовъ и попечительныхъ совѣтовъ. Эта возможность должна быть использована педагогическими комитетами для указанія и возможнаго исправленія несовершенствъ новыхъ программъ.

Преподаваніе космографіи по планамъ Комиссіи при Министерствѣ Народнаго Просвѣщенія.

Б. В. Базилевскій. (Москва).

Опубликованные въ „Журналѣ Мин. Нар. Прос.“ планы преподаванія предметовъ, составленные особой Комиссіей при Мин. Нар. Прос. по реформѣ средней школы (см. „Журн. Мин. Нар. Прос.“, ноябрь и декабрь 1915 г. и январь и февраль 1916 г. — „Матеріалы по реформѣ средней школы“) даютъ возможность не только детально ознакомиться съ ними, но и высказаться о нихъ, какъ съ научной точки зрѣнія, такъ и практической, въ смыслѣ соотвѣтствія этихъ плановъ общему строю проектируемой школы и тѣмъ требованіямъ, какія школа должна предъявлять преподаванію того или другого предмета. Надо думать, что именно съ цѣлью получить отзывы по поводу проектируемыхъ плановъ и были изданы Министерствомъ упомянутые „матеріалы“.

Подобные отзывы не замедлили появиться, въ частности, и по вопросу о планахъ преподаванія математическихъ наукъ. Такъ, въ № 33—34 „Математическаго Образованія“ (январь и февраль 1916 г.) помѣщена статья А. Волкова, посвященная разбору плановъ преподаванія математики1), а также и общихъ принциповъ организаціи „новой“ средней школы. Предлагаемая статья имѣетъ цѣлью разобрать планы преподаванія космографіи, намѣченные въ „матеріалахъ“.

Въ этихъ планахъ по каждому предмету надо различать двѣ части — во-первыхъ, программу, т.-е. перечень вопросовъ, входящихъ въ курсъ преподаванія даннаго предмета, во-вторыхъ— объяснительную записку, осмысливающую (или долженствующую осмыслить) съ точки зрѣнія общей руководящей идеи данную программу.

Соотвѣтственно этому и разборъ плановъ распадается на двѣ части.

1) Проектъ новыхъ программъ преподаванія математики въ средней школѣ,...

I. Программа.

Программа курса космографіи весьма необширна. Мы приводимъ ее полностью.

КОСМОГРАФІЯ.

Программа.

I часть.

1. Описаніе зѣзднаго неба.

2. Суточное движеніе небесныхъ свѣтилъ.

3. Координаты и астрономическіе инструтенты. Часы.

4. Видимое движеніе солнца.

5. Форма и размѣры земли.

6. Понятіе о параллаксѣ; опредѣленіе разстояній до ближайшихъ свѣтилъ.

7. Вращеніе земли около оси; доказательства его.

8. Движеніе земли вокругъ солнца; доказательства его.

9. Смѣна временъ года — какъ результатъ движенія земли около солнца.

10. Планеты и ихъ движеніе.

11. Законы Кеплера.

12. Всемірное тяготѣніе.

13. Слѣдствія изъ теоріи всемірнаго тяготѣнія.

14. Движеніе луны.

15. Время и календарь.

II часть.

16. Примѣненіе фотографіи къ изученію неба. Спектральный анализъ и его примѣненіе.

17. Солнце; его строеніе.

18. Луна; описаніе ея поверхности.

19. Планеты.

20. Кометы и падающія звѣзды.

21. Звѣзды и туманности.

По поводу приведенной программы напрашиваются слѣдующія замѣчанія:

1) Программа начинается съ весьма неясно формулированнаго вопроса— „Описаніе звѣзднаго неба“. „Описаніе неба“—понятіе столь растяжимое, что видѣть въ немъ какое-либо указаніе на содержаніе отдѣла программы буквально невозможно. Очевидно, что въ это понятіе можетъ быть вложено и подробное описаніе неба по созвѣздіямъ съ обращеніемъ вниманія на наиболѣе замѣчательныя свѣтила либо по яркости (планеты и звѣзды 1-ой величины), либо по блеску (перемѣнныя звѣзды), либо по сложности (кратныя звѣзды), и точно такъ же — самое поверхностное, шаблонное перечисленіе свѣдѣній, извѣстныхъ и безъ того каждому школьнику изъ курса географіи.

Кромѣ того, не съ описанія неба, полагаемъ мы, долженъ начинаться курсъ космографіи, а съ выясненія предмета этой науки и съ общей характеристики ея методовъ; полезно провести параллель методовъ физическихъ и астрономическихъ.

2) Неудачной съ методической точки зрѣнія представляется намъ формулировка и второго вопроса программы — суточное движеніе небесныхъ свѣтилъ“. Гораздо правильнѣе было бы употребить выраженіе „суточное движеніе небеснаго свода“, такъ какъ, очевидно, въ программѣ разумѣется послѣднее; мы не допускаемъ мысли, чтобы программа разумѣла тутъ движеніе свѣтилъ вообще, т. е. не только „неподвижныхъ“ звѣздъ, но и солнца, луны и планетъ, имѣющихъ движенія весьма сложныя, пониманіе которыхъ на первыхъ порахъ изученія космографіи было бы недоступно учащимися.

3) Совершенно неудачно понятіе о параллаксѣ поставлено отдѣльно отъ годичнаго движенія земли. Въ данномъ случаѣ повторяется весьма распространенная ошибка считать понятіе о горизонтальномъ параллаксѣ болѣе простымъ, чѣмъ понятіе о. годичномъ параллаксѣ „неподвижныхъ звѣздъ“. Правда, объяснительная записка указываетъ, что преподавателю предоставляется право переставлять вопросы и вообще перерабатывать программу по-своему, но это нисколько не исключаетъ необходимости построить болѣе обдуманно и примѣрную программу.

Отмѣченные промахи далеко не исчерпываютъ всѣхъ недочетовъ разбираемой нами программы, но перечислять ихъ всѣхъ мы не имѣемъ возможности, не обращая настоящей статьи въ цѣлую методику космографіи. Сдѣлаемъ только еще два замѣчанія по поводу программы.

4) Программа совершенно не разработана и, по выраженю объяснительной записки, представляетъ собой лишь „общій перечень вопросовъ“. Такъ какъ этотъ пунктъ тѣсно связанъ съ объяснит. запиской, то и разборъ его удобнѣе отнести къ разбору объяснит. записки.

5) Программа не содержитъ весьма существеннаго вопроса, долженствующаго служить завершеніемъ всего курса — вопроса о космогоническихъ гипотезахъ. Въ программѣ космографіи совершенно игнорируется объяснительная записка къ программамъ физики, въ которой мы, между прочимъ, читаемъ:

„Вліяніе точнаго знанія далеко не ограничивается областью техники. Оно отражается на всѣхъ ступеняхъ человѣческой дѣятельности, простираясь до высшихъ проявленій философской мысли“.

„Пріобщить подрастающее поколѣніе къ этой культурной работѣ“ объяснит. записка (къ прог. физики) признаетъ „задачей первостепенной важности“.

„Навстрѣчу ея разрѣшенія, говорится далѣе въ „запискѣ“, идутъ преимущественно тѣ учебные предметы, которые ставятъ цѣлью ознакомлять учащихся съ явленіями природы путемъ точныхъ методовъ: а именно физика съ механикой и космография,

пользующіяся математикой и, и химія1). Приведенная цитата ясно указываетъ на несогласованность программы космографіи съ этимъ общимъ положеніемъ объяснит. записки по физикѣ, упоминающей космографію и, слѣдовательно, предполагающей полную согласованность плановъ по этимъ предметамъ. Наконецъ, космогонія является интереснѣйшимъ вопросомъ въ курсѣ космографіи, и было бы весьма умѣстно познакомить учащихся (конечно въ общихъ чертахъ) не только съ космогонич. гипотезой Канта-Лапласа (небулярной), но и съ гипотезой Мультона и Чемберлена (планетизимальной) и съ гипотезой See. Но къ нашему величайшему удивленію оказывается, что одна только изъ этихъ гипотезъ (Канта-Лапласа) включена въ программу геологіи и поставлена на первомъ мѣстѣ въ программѣ2) въ связи съ §-омъ „положеніе земли среди другихъ планетъ солнечной системы“. Мы далеко не считаемъ себя компетентными въ вопросѣ о томъ, умѣстны ли въ курсѣ геологіи упомянутые §§, но невольно задаешься вопросомъ, какимъ образомъ ученикъ YII класса будетъ изучать въ геологіи (съ первыхъ же уроковъ) „положеніе земли среди другихъ планетъ солнечной системы“, ничего не зная ни о планетахъ, ни о солнечной системѣ, и придя къ этимъ вопросамъ въ курсѣ космографіи значительно позднѣе (въ концѣ перваго полугодія YI1 же класса). Очевидно эти §§ учащимся придется принять догматически, съ тѣмъ, чтобы позднѣе, въ курсѣ космографіи, разобраться уже сознательно въ „положеніи земли среди другихъ планетъ солнечной системы“, но никогда не услышать въ изложеніи спеціалиста хотя бы одну космогоническую гипотезу...

Изъ всего сказаннаго слѣдуетъ выводъ: программа космографіи нуждается въ значительныхъ дополненіяхъ, а планы преподаванія (вообще) въ большей согласованности.

II. Объяснительная записка.

Объяснительная записка къ программѣ космографіи, также весьма необъемистая (всего 2 7, страницы), содержитъ, тѣмъ не менѣе, много мѣстъ, вызывающихъ полное недоумѣніе.

„... Желательно, читаемъ мы въ запискѣ, устройство при учебномъ заведеніи космографическаго кабинета или, по крайней мѣрѣ, набора простѣйшихъ космографическихъ приборовъ и моделей. Весьма желательно также устройство вышки для наблюденія и пріобрѣтеніе хотя бы небольшой (около 4") трубы“.

Спрашивается: если это окажется „нежелательнымъ“ (вѣдь записка говоритъ о „желательности“, а не „обязательности“!), что же тогда? Тогда можно обойтись безъ кабинета и безъ вышки? Можно съ увѣренностью сказать, что въ громадномъ большинствѣ случаевъ устройство кабинетовъ и, въ особенности, вышекъ

1) См. объяснительную записку къ программѣ физики. Общая часть. (Матеріалы по реформѣ средней школы.— Стр. 197).

2) См. „Матер. по рефор. средн. школы“.—Стр. 305. (Въ „Жур. Нар. Прос.“ Январь 1916 г.)

будетъ признано нежелательнымъ и со стороны начальниковъ учебныхъ заведеній, считающихъ по традиціи космографію ненужной наукой и вынужденныхъ расходовать средства на пособія по другимъ предметамъ, шире поставленнымъ, а подчасъ на надобности вовсе не учебныя.

Далѣе въ объяснительной запискѣ слѣдуетъ курьезъ: „Практическія занятія, факультативныя для учащихся, должны быть организованы учебными заведеніями такъ, чтобы они не входили въ учебное расписаніе дневныхъ уроковъ, а совершались непрерывно въ теченіе учебнаго года по вечерамъ развъ недѣлю или разъ въ двѣ недѣли въ опредѣленные дни и часы; въ случаѣ же дурной погоды занятія подъ открытымъ небомъ могутъ быть замѣнены практическими занятіями въ космографическомъ кабинетѣ1).

Врядъ ли какой-либо преподаватель (для котораго по существу и предназначается объяснит. записка) могъ бы подумать безъ этой курьезной вставки, что наблюдете звѣзднаго неба можно производить днемъ въ урочное время!

Какъ видно изъ приведеннаго мѣста объяснительной записки, практическія занятія по космографіи предполагаются по часу въ недѣлю, а то и въ двѣ, т.-е. говоря прямо, создается видимость практическихъ занятій, а не занятія; принявъ еще во вниманіе, что дни такихъ „занятій“ по расписанію могутъ совпасть съ праздникомъ или съ неподходящими метеорологическими условіями, мы получаемъ картину блестящей постановки практическихъ „занятій“, происходящихъ по часу уже не въ недѣлю или въ двѣ, а въ мѣсяцъ или полтора.

Такія занятія, происходящія опредѣленные дни и часы“, объяснительная записка рекомендуетъ, какъ „ краеугольный камень всего дальнѣйшаго курса космографіи“, благодаря которымъ (т.-е. занятіямъ) прохожденіе дальнѣйшей части курса не встрѣтитъ уже „обычныхъ затрудненій“.

Нельзя не выразить сомнѣнія въ томъ, что при подобной организаціи практическихъ занятій они могутъ стать надежнымъ основаніемъ для курса; не понятно также и то, отъ какихъ „обычныхъ затрудненій“ будетъ избавлено преподаваніе космографіи благодаря этимъ занятіямъ. Судя по общему смыслу даннаго мѣста объяснительной записки, въ ней имѣются въ виду затрудненія чисто дидактическаго характера. Очень ошибочно думать, что преподаваніе космографіи даетъ такіе плачевные результаты благодаря особой трудности вопросовъ, изучаемыхъ въ курсѣ космографіи; наоборотъ, при соотвѣтствующемъ освѣщеніи этихъ вопросовъ космографія не только не затрудняетъ, но и глубоко заинтересовываетъ учащихся. Въ дѣйствительности „обычныя затрудненія“ заключаются, во-1-хъ, въ совершенно недостаточномъ количествѣ часовъ (въ гимназіяхъ по 1-му часу въ недѣлю), а, во-2-хъ въ „обычной“ неподготовленности къ преподаванію космографіи какъ съ методической, такъ и съ чисто астро-

1) „Матеріалы по реформѣ средней школы“. Стр. 234.

номической стороны лицъ, преподающихъ ее. Исключенія въ этомъ отношеніи весьма рѣдки.

Въ новыхъ планахъ преподаванія космографіи на нее отводится не 1, а два часа въ недѣлю, что, конечно, является весьма цѣннымъ и желательнымъ, но, конечно, не вполнѣ достаточнымъ для надлежащей постановки предмета; да и въ этомъ приходится сдѣлать оговорку; по два недѣльныхъ урока космографіи предположено на новогуманитарной и реальной вѣтвяхъ средней школы, при чемъ на новогуманит. вѣтви этотъ добавочный часъ для космографіи берется отъ физики (для которой вмѣсто трехъ, теперь существующихъ часовъ, въ послѣднемъ классѣ положено два часа), противъ чего невозможно не возражать самымъ энергичнымъ образомъ, принимая во вниманіе, что программа физики значительно расширена сравнительно съ существующей (а число часовъ уменьшено съ 10 до 9 въ недѣлю). На гуманитарно-классической вѣтви дѣло обстоитъ еще печальнѣе — тамъ на физику полагается всего 8 часовъ (вмѣсто теперешнихъ 10) и на космографію 1 часъ, какъ и теперь. Принявъ же во вниманіе, что уменьшеніе преподаванія физики также должно неблагопріятно отразиться на космографіи, постоянно опирающейся на физику, придемъ къ печальному выводу, что de facto на космографію не придется и по одному часу въ недѣлю.

Подобная комбинація программъ представляется намъ сплошнымъ недоразумѣніемъ, т. к. трудно себѣ уяснить — почему учащіеся гуманитарно-классической вѣтви школы должны оставаться совершенно неосвѣдомленными въ окружающей ихъ природѣ.

Къ тому же объяснительная записка совершенно не указываетъ, чѣмъ же должна отличаться программа космографіи для гуманитарно-класической вѣтви (гдѣ 1 недѣльный урокъ) отъ программы для вѣтвей новогуманитарной и реальной (гдѣ два недѣльныхъ урока). Очевидно, что одну и ту же программу проходить при одномъ недѣльномъ урокѣ и при двухъ нельзя, а между тѣмъ никакихъ указаній по этому поводу ни въ программѣ космографіи, ни въ объяснительной къ ней запискѣ не имѣется.

„Программа самого курса космографіи, говорится въ объяснительной запискѣ, заключаетъ только общій перечень вопросовъ. Преподавателю предоставляется свобода въ разработкѣ отдѣльныхъ частей этой программы сообразно съ составомъ класса, съ большей или меньшей степенью развитія практическихъ занятій и другими обстоятельствами. При этомъ можетъ быть даже измѣненъ и порядокъ главъ самой программы“.

Мысль не связывать преподавателя точно и детально разработанной программой проходитъ красной нитью и въ программѣ по физикѣ, тенденція къ индивидуализаціи преподаванія въ зависимости отъ взглядовъ и убѣжденія преподавателя, конечно, принесетъ самые благіе и плодотворные результаты, ибо ничто такъ не убиваетъ живого захватывающаго слова, какъ сковываніе его въ узкія рамки съ навязываніемъ преподавателю опредѣ-

леннаго учебника — явленіе, къ прискорбію, постоянно повторяющееся до сихъ поръ. Поэтому нельзя не привѣтствовать отъ всей души рѣзко подчеркнутаго въ министерскомъ планѣ признанія за преподавателемъ права имѣть свои научные взгляды и освѣщать курсъ соотвѣтственно этимъ взглядамъ. Тѣмъ не менѣе по поводу разбираемаго нами плана преподаванія космографіи приходится высказаться отрицательно.— Предоставить преподавателю свободу въ передѣлкѣ курса и его освѣщеніи совершенно не значитъ, что программу слѣдуетъ дать не разработанной методически, а лишь въ видѣ „общаго перечня вопросовъ“. Далеко не всякій преподаватель захочетъ и сможетъ разработать программу самостоятельно; преподавателей, занимающихся космографіей серіозно и самостоятельно, надо считать единицами; въ массѣ же ее (космографію), по необходимости, преподаютъ преподаватели математики и физики, а иногда случаются курьезы — космографія попадаетъ въ руки естественниковъ или... историковъ. Поэтому, съ нашей точки зрѣнія, слѣдовало бы дать программу методически разработанную, предоставивъ право (какъ это и сдѣлано) желающимъ и подготовленнымъ къ тому преподавателямъ перерабатывать программу по-своему. Подготовленныхъ физиковъ русская школа имѣетъ въ 100 разъ больше, чѣмъ космографовъ, и тѣмъ не менѣе новые планы по физикѣ даютъ подробную, прекрасно разработанную программу съ идейными указаніями и указателемъ соотвѣтствующей литературы, нисколько тѣмъ не стѣсняя преподавателя въ правѣ перерабатывать эту программу, что неоднократно подчеркивается въ объяснительной запискѣ къ программѣ физики.

Программа же космографіи не только не разработана методически, но и не дополнена желательной объяснительной запиской, содержащей указанія на высокое общеобразовательное и эстетическое значеніе космографіи, на то, какія цѣли желательно преслѣдовать при преподаваніи космографіи, въ какомъ освѣщеніи желательно вести курсъ и т. п.; не приведена и литература по этому предмету, весьма обширная и интересная. Мы глубоко убѣждены, что преподаватели провинціальныхъ учебныхъ заведеній очень нуждаются въ такомъ указателѣ. Приложенная же къ программѣ объяснительная записка въ 1-ой ея части нами уже разобрана, и о второй ея части сказать остается немного. Она (2-я часть объясн. зап.) содержитъ рядъ замѣчаній до того шаблонныхъ и безцвѣтныхъ (кромѣ одного), что было бы лучше, если бы ихъ не было совсѣмъ.

На одномъ же мы остановимся.

„Въ третьей главѣ, говорится въ объяснительной запискѣ, подъ часами разумѣются часы, идущіе по звѣздному1) времени, причемъ за начало сутокъ можетъ1) быть принятъ пока1) любой условный моментъ, хотя бы напримѣръ время кульминаціи звѣзды ß Кассіопеи, а Андромеды и другихъ.

Чтоже касается другихъ1) вопросовъ этой главы, то порядокъ прохожденія вполнѣ зависитъ отъ убѣжденія преподавателя1)“.

1) Курсивъ нашъ.

Приведенная цитата находится въ очевидномъ противорѣчіи съ тенденціей считаться съ убѣжденіемъ преподавателя, и абсолютно непонятно почему вопросъ о часахъ и началѣ въ счетѣ сутокъ сопровождается замѣчаніемъ въ столь категорической формѣ, тогда какъ вопросы гораздо большаго принципіальнаго значенія въ курсѣ не упоминаются и не сопровождаются никакими методическими указаніями. По существу разбираемое замѣчаніе также вызываетъ недоумѣніе — почему при ознакомленіи учащихся съ координатами и астрономич. инструментами слѣдуетъ говорить о звѣздныхъ часахъ и не слѣдуетъ говорить о среднихъ?; какъ слѣдуетъ понимать, что „за начало сутокъ можетъ быть принятъ пока любой условный моментъ“, что значитъ „пока“?

И смыслъ и формулировка замѣчанія указываютъ, что объяснительная записка составлена весьма поверхностно. Неудачныя или шаблонныя замѣчанія этой записки носятъ совершенно случайный характеръ.

Изъ сказаннаго относительно программы космографіи и объяснительной къ ней записки вытекаетъ, что проектируемые планы преподаванія не могутъ сулить существеннаго улучшенія въ дѣлѣ изученія космографіи въ средней школѣ.

При знакомствѣ съ этими планами чувствуется, что составители ихъ имѣли въ виду реформировать существующее преподаваніе космографіи, вдохнуть въ него жизнь созданіемъ космографическихъ кабинетовъ, организаціей наблюденій надъ небомъ, предоставленіемъ преподавателю свободы въ планировкѣ курса и т. п., но вмѣстѣ съ этимъ чувствуется увѣренность, что на практикѣ всѣ эти благія пожеланія — пожеланіями и останутся, а космографія и въ реформированной школѣ останется такой же „золушкой“.

Десятилѣтіями вырабатывался въ нашемъ обществѣ взглядъ, что интеллигентному человѣку вовсе не обязательно имѣть правильное представленіе о строеніи вселенной и вполнѣ позволительно думать, что астрономы занимаются „звѣздочетствомъ“; ни въ одной области общество такъ не невѣжественно, какъ въ астрономіи. Отъ новыхъ плановъ преподаванія русская школа могла ждать свѣта въ этомъ отношеніи, но, повидимому, напрасно.

О великой теоремѣ Фермата.

проф. R. Bachmann, пер. И. Рабиновича.

(Продолженіе).

Послѣ того, какъ Шалъ (Chasles) въ 12 примѣчаніи къ своей исторіи геометріи разъяснилъ темный смыслъ этихъ правилъ, Куммеръ (Kummer, Journ. f. Math. 37, стр. 1) указалъ, что всѣ методы, примѣненные Брамагупта, основаны на идеѣ полученія

раціональныхъ четыреугольниковъ при помощи сложенія пиѳагоровыхъ треугольниковъ. Но Куммеръ тамъ же указалъ путь для отысканія всѣхъ четыреугольниковъ этого рода. Мы здѣсь вкратцѣ разовьемъ главный результатъ его изслѣдованія. Онъ опирается на слѣдующее предложеніе:

Въ каждомъ четыреугольникѣ, имѣющемъ раціональныя стороны и діагонали, послѣднія разсѣкаются другъ другомъ на раціональные отрѣзки.

Дѣйствительно, пусть имѣемъ такой четыреугольникъ ABCD; обозначимъ точку пересѣченія діагоналей черезъ Е, отрѣзки послѣднихъ — АЕ, BE, СЕ и DE соотвѣтственно черезъ а, ß, 7, tf, a углы В AE, DAE и АЕВ — соотвѣтственно черезъ и, ѵ, Такъ какъ стороны треугольниковъ

ABC, ACD, ABD,

по условію, раціональны, то на основаніи извѣстной тригонометрической формулы раціональными являются и косинусы

COS и. COS V, cos (и-j- ѵ)= cns U . COS V — U sin V,

слѣдовательно, и sin и. sin ѵ, равно какъ и siri2v = 1 — cos2v, а потому sin и -г,

также

Далѣе изъ теоремы о синусахъ получается соотношеніе

слѣдовательно,

откуда видно, что , а значитъ и -j- 1 = ^ раціональны, а потому раціональны также DE и BE.

Подобнымъ же образомъ и отрѣзки АЕ и СЕ выражаются въ раціональныхъ числахъ.

Отсюда слѣдуетъ, что въ треугольникѣ АЕВ съ раціональными сторонами cosw тоже долженъ имѣть раціональное значеніе.

7. На основаніи этой теоремы мы заключаемъ, что поставленная задача сейчасъ же приводится къ другой — къ отысканію такого треугольника съ раціональными сторонами, у котораго косинусъ одного изъ угловъ имѣетъ данное раціональное значеніе

Для рѣшенія этой задачи служитъ соотношеніе

(21)

гдѣ а обозначаетъ сторону AB. Данную дробь — нужно считать

произвольною, но точною и выраженною въ наименьшихъ числахъ, а числа а, а, ß можно, не ограничивая общности, считать цѣлыми числами, не имѣющими общихъ дѣлителей. Тогда 2— aß должно равняться цѣлому числу. Здѣсь возможны два случая въ зависимости отъ того, является ли п четнымъ или нечетнымъ числомъ; но такъ какъ въ обоихъ случаяхъ разсужденіе по существу остается однимъ и тѣмъ же, то достаточно разсмотрѣть здѣсь одинъ изъ этихъ случаевъ; мы будемъ считать п нечетнымъ числомъ. При этомъ п, какъ число взаимно-простое съ 2т, должно входить въ составъ дѣлителей числа aß.

Положивъ поэтому п=. г. s, мы должны принять а = га’, ß — sß',

слѣдовательно,

(22) а2 = г2а'2-f s2ß'2 — 2

Такъ какъ числа а, а, ß не имѣютъ общихъ дѣлителей, то и а', ß’ не могутъ имѣть таковыхъ, а потому, по крайней мѣрѣ, одно изъ нихъ, напримѣръ ß', должно быть нечетнымъ. Умноживъ равенство (22) на г2, получимъ другое

а2г2 = ( г2а' — mß’)2 -f- (и2 — m2)ß'2,

которому можно дать слѣдующій видъ:

(23) ( аг — r2a’ -f- mß') . ( ar-f- r2a' — mß') = — m2)ß'2.

Если далѣе со представляетъ собою одинъ изъ простыхъ дѣлителей числа ß', то на него можетъ дѣлиться только одинъ изъ множителей лѣвой части, такъ какъ въ противномъ случаѣ на него дѣлились бы одновременно

аг — г2а', аг -)- г2а',

слѣдовательно, — также аг и г2а', а потому во всякомъ случаѣ на него дѣлились бы к и ft а на основаніи равенства (22) — и число а, что противорѣчило бы условію. Поэтому уравненіе (23) можетъ имѣть мѣсто лишь въ томъ случаѣ, если

ar -f- г2а' — mß' = ру2, аг — г2а' -)- mß' =

гдѣ

pq = n2 — т2, уз — ß'.

Въ соотвѣтствіи съ этимъ мы находимъ

Если мы въ этомъ равенствѣ положимъ

слѣдовательно

гдѣ g обозначаетъ раціональное число, то равенство приметъ слѣдующій видъ:

или

(24)

Такимъ образомъ необходимымъ условіемъ того, чтобы треугольникъ АЕВ удовлетворялъ поставленнымъ требованіямъ, является существованіе такого раціональнаго числа съ помощью котораго отношеніе двухъ сторонъ, заключающихъ уголъ можетъ быть выражено въ формѣ (24). Но это необходимое условіе оказывается вмѣстѣ съ тѣмъ достаточнымъ, т.-е. если для какого-нибудь даннаго раціональнаго числа g двѣ раціональныя стороны, заключающія уголъ гѵ, выбраны такъ, что измѣряющія ихъ числа находятся другъ къ другу въ отношеніи (24), то треугольникъ АЕВ является однимъ изъ искомыхъ, такъ какъ изъ соотношенія (21) легко найти, что

(25) а = \Ja2 -\- 02 — 2caß ß ■

слѣдовательно, а — тоже раціонально.

8. Если мы теперь примѣнимъ изложенное къ построенію раціональнаго четыреугольника § 6, то, принимая во вниманіе, что уголъ при точкѣ Е въ треугольникѣ CED равенъ а въ двухъ треугольникахъ ВЕС и AED онъ равенъ л — гѵ, и, слѣдовательно, соотвѣтствующіе этимъ угламъ косинусы равны си —с, мы найдемъ, что должны существовать равенства слѣдующаго вида:

въ которыхъ g, г],X, у имѣютъ раціональныя значенія. Такъ какъ въ составъ этихъ равенствъ входятъ лишь отношенія длинъ линій, то одной изъ нихъ можно дать произвольное раціональное значеніе, напримѣръ /9 = 1, послѣ чего первыя два изъ равенствъ (26) примутъ слѣдующій видъ:

Здѣсь фигурируютъ такимъ образомъ пять количествъ х, у, g, у, с; они не независимы другъ отъ друга, такъ какъ по исключеніи количествъ а, у, 6 изъ четырехъ уравненій получается слѣдующее условное равенство:

Въ виду этого нужно дать тремъ изъ этихъ количествъ, напримѣръ §, у, с, произвольныя раціональныя значенія, при чемъ послѣднему изъ нихъ — значеніе, меньшее единицы, а затѣмъ выбрать раціональное значеніе для х такъ, чтобы изъ уравненія (28) число у получилось также раціональнымъ. Если это какимъ-либо путемъ достигнуто, то для полученія четыреугольника съ раціональными сторонами и діагоналями нужно опредѣлить его стороны на основаніи формулы (25) изъ равенствъ

въ которыхъ для краткости выраженіе 1 —с2 замѣнено черезъ і2, а подъ с, / нужно понимать значенія (27). Эти формулы представляютъ такимъ образомъ полное рѣшеніе задачи о четыреугольникѣ.

Если, кромѣ того, желательно, чтобы и площадь четыреугольника была раціональною, то достаточно замѣтить, что эта площадь I вычисляется, какъ сумма площадей четырехъ треугольниковъ фигуры по формулѣ:

I = 1/і (aß -j- ßy -f- yß + oa). sin

и, слѣдовательно, становится раціональною одновременно съ sin w. Но такъ какъ

то изъ индусскихъ формулъ для пиѳагорова треугольника мы сразу находимъ (это зналъ уже и Діоѳантъ), что общее рѣшеніе уравненія

въ раціональныхъ числахъ c,d выражается формулами

если г выбрано раціональнымъ. Такимъ образомъ для заданной цѣли было бы достаточно просто дать раціональной дроби с, выражающей cos гѵ, не произвольное значеніе, какъ мы считали до сихъ поръ, а значеніе вида ^ тогда и sm w = будетъ раціональнымъ.

Уравненіе (28) является уравненіемъ второй степени относительно каждаго изъ количествъ и можетъ быть написано въ слѣдующихъ двухъ видахъ:

Рѣшивъ первое изъ этихъ уравненій относительно у, мы найдемъ

Такимъ образомъ послѣ того какъ для чиселъ |, у, с выбраны произвольныя раціональныя значенія, нужно выбрать для х такое значеніе, при которомъ и у становится раціональнымъ, т.-е. значеніе, обращающее подкоренное выраженіе въ квадратъ раціональнаго числа. Всѣ раціональныя значенія х, находящіяся въ указанномъ соотношеніи съ каждымъ выборомъ чиселъ g, у, с, опредѣляютъ такимъ образомъ всевозможныя соотвѣтствующія

значенія у и тѣмъ самымъ располагаютъ совокупность искомыхъ раціональныхъ четыреугольниковъ въ систему, соотвѣтствующую отдѣльнымъ системамъ значеній g, г?, с. Такимъ образомъ эта задача о четыреугольникахъ въ концѣ концовъ приводится къ задачѣ теоріи чиселъ объ отысканіи всѣхъ раціональныхъ значеній для которыхъ

(30) (ах2 — 2с (ау) х — -J- 4

Уже Ферматъ и Эйлеръ (Euler) занимались болѣе общею задачею объ обращеніи раціональной цѣлой функціи четвертой степени отъ X въ квадратъ раціональнаго числа и дали методы для отысканія съ помощью одного извѣстнаго рѣшенія безконечнаго множества новыхъ рѣшеній. Съ помощью этихъ методовъ Куммеръ указалъ способъ, исходя изъ особенно простыхъ рѣшеній уравненія (30), устанавливать различныя правила для образованія раціональныхъ четыреугольниковъ. Но дальнѣйшее изложеніе его изслѣдованій слишкомъ удалило бы насъ отъ темы настоящаго очерка.

Упомянемъ поэтому только вкратцѣ о томъ, что (К. Schwering, Journ. f. Math. 115, стр. 301) развилъ методъ для рѣшенія еще болѣе общей задачи объ опредѣленіи тетраэдра съ раціональными (или цѣлочисленными) гранями и объемомъ, и что эти методы тоже въ концѣ концовъ приводятъ къ упомянутой задачѣ Фермата и Эйлера изъ области теоріи чиселъ.

9. Посвятимъ поэтому этой задачѣ еще нѣсколько краткихъ разсужденій.

Выраженіе

въ которомъ всѣ коэффиціенты — цѣлыя числа, требуется обратить при помощи соотвѣтствующаго выбора раціональнаго числа х въ квадратъ раціональнаго числа.

Для того случая, когда, по меньшей мѣрѣ, одинъ изъ коэффиціентовъ а, е представляетъ собою точный квадратъ, Ферматъ (œuvres de Р. Fermat, Paris 1896, III, стр. 377) далъ очень простое рѣшеніе. Пусть, напримѣръ, а = а Тогда находимъ

слѣдовательно, квадратъ равенъ выраженію X, когда х выбрано такимъ образомъ, что

Если не считать значенія ж=0, которое можетъ быть оставлено въ сторонѣ, то это имѣетъ мѣсто для значенія

Совершенно подобное этому вычисленіе разрѣшаетъ задачу въ томъ случаѣ, когда е = е2\ если же оба коэффиціента представляютъ собою квадраты, то возможны еще другіе способы (см. у Фермата тамъ же), но мы здѣсь на нихъ останавливаться не будемъ.

Но если ни одинъ изъ коэффиціентовъ не представляетъ собою квадрата, то приходится пользоваться способомъ послѣдовательнаго нахожденія рѣшеній съ помощью одного извѣстнаго рѣшенія. Именно, если для х извѣстно одно значеніе g, обращающее выраженіе X въ квадратъ, такъ что

(33) a+b£ + cg2 + tf£3 + eg4 = «2,

то вводятъ въ X подстановку х = g -f- Тогда X переходитъ въ

подобное же выраженіе, составленное изъ х', но первый членъ котораго равенъ выраженію (33), т.-е. а2:

(34) X = а2-f b'x' + с'х + d'x'3 4- е'х'*,

послѣ чего вышеуказанными способами можетъ быть найдено значеніе х', а слѣдовательно, и новое значеніе х — £-{-х', обращающее выраженіе X въ квадратъ. Такимъ образомъ можно по одному и тому же правилу находить неограниченное количество требуемыхъ значеній х, если, конечно, примѣненіе этого правила ни разу не приведетъ снова къ уже найденному значенію х.

Нѣсколько иначе поступаетъ Эйлеръ, неоднократно занимавшійся этою задачею1). Онъ прежде всего приводитъ выраженіе X къ виду

(35) X = P2-\-QR

гдѣ P, Q, R представляютъ собою функціи второй степени отъ х:

Въ томъ случаѣ, когда въ выраженіи X коэффиціентъ а представляетъ собою квадратъ а2, или когда, благодаря найденному значенію g числа х, выраженіе X можетъ быть приведено къ виду (34), въ которомъ это условіе соблюдено, выраженіе X можетъ быть преобразовано въ искомую форму (35) по способу

1) См. Mém. Acad. St. Pétersb. 11 (1830) или въ Commentât, arithm. collectae II, стр. 418, 467, 474 статьи de insigni promotione Analysis Diophantae, de resolutione hujus aequationis

0 = a -f- Ъх-f- cydo? -{- ехУ 4 fÿ2 4" 4" hxy2 -f- ix2y-

per numéros integros; methodus nova et facilis formulas cubicas et biquadraticas ad quadratum reducendi.

Фермата при помощи равенства (32), на основаніи котораго можно положить:

Еще проще достигается цѣль въ этомъ случаѣ, если положить

Если мы примемъ, что такъ или иначе форма (35) для найдена, и обозначимъ затѣмъ

(37)

то у должно удовлетворять равенству

(38) Qy2 -\-2Py — R — 0,

которое является уравненіемъ второй степени какъ по отношенію къ у, такъ и по отношенію къ х, и, будучи расположено по степенямъ X, можетъ быть обозначено въ видѣ

(39) Sx2 + Tx+U=Q,

гдѣ S,T, U—цѣлыя функціи второй степени отъ у.

Если мы допустимъ теперь, что намъ извѣстно одно изъ значеній ж = §, обращающее выраженіе X въ квадратъ, то на основаніи равенства (37) у получитъ соотвѣтствующее раціональное значеніе у, которое при х — й, будетъ удовлетворять равенству (38). Но послѣднее, какъ квадратное уравненіе, имѣетъ еще одинъ, тоже раціональный корень такъ что равенство (38) или равносильное ему равенство (39) удовлетворяются системою раціональныхъ значеній х = £, У — ч',т.-е. значенію у = у' соотвѣтствуетъ раціональный корень х = $. Какъ квадратное уравненіе, это равенство должно поэтому имѣть еще второй, соотвѣтствующій значенію у = у' корень x = g, такъ что уравненіе (39), а слѣдовательно, и (38) удовлетворяются системою раціональныхъ значеній æ = у —у', т.-е g' представляетъ собою новое значеніе х, удовлетворяющее требованіямъ задачи; но поэтому уравненіе (38) при x = ÿ должно снова имѣть кромѣ еще одинъ, тоже раціональный корень у=у",соотвѣтственно которому найдется новое значеніе х— удовлетворяющее требованіямъ задачи, и т. д. Такимъ образомъ и по способу Эйлера можно съ помощью одного извѣстнаго, заданнаго рѣшенія = g найти неограниченное количество новыхъ рѣшеній, если только въ процессѣ

примѣненія этого способа мы ни разу не придемъ къ уже ранѣе найденному значенію х.

Но если этихъ способовъ достаточно, для того чтобы съ помощью одного рѣшенія находить другія, то все же ясно,что ими задача далеко не исчерпывается. Для этого не достаетъ, съ одной стороны, способа, съ помощью котораго всегда можно было бы найти одно рѣшеніе, а съ другой стороны,— метода,который далъ бы возможность получить изъ того или иного основного рѣшенія всѣ остальныя. Эти части задачи до сихъ поръ остаются еще совершенно нерѣшенными.

(Продолженіе слѣд. №).

Понятіе о безконечно-маломъ и его приложенія въ математикѣ

Дж. Виванти. Пер. съ итальянскаго Е. Борткевичъ.

(Петроградъ).

ВВЕДЕНІЕ.

„Безконечно-малое“, „моментъ времени“, „недѣлимое“—обязаны своимъ происхожденіемъ свойственному человѣку стремленію заключающемуся въ изученіи сложныхъ явленій природы, и необходимости имъ испытываемой въ разложеніи ихъ на явленія болѣе простыя, болѣе доступныя средствамъ изслѣдованія, которыми онъ располагаетъ. Такое разложеніе можетъ, очевидно, пойти тѣмъ дальше, чѣмъ выше усовершенствованіе нашихъ приборовъ, и опытъ точно также, какъ и разсужденіе насъ убѣждаютъ, что нѣтъ предѣла такому усовершенствованію и что нельзя себѣ представить никакой степени разложенія, за которой не послѣдовала бы высшая. Однако, если путемъ смѣлаго полета вообразимъ себѣ законченнымъ безконечный рядъ послѣдовательныхъ разложеній, то мы встрѣтимся лицомъ къ лицу съ задачей, для которой наши чувства не могутъ найти и никогда не найдутъ рѣшенія: „какъ бы намъ представились предметы, если бы мы могли дойти до того идеальнаго предѣла?“

Возьмемъ, напр., дугу кривой линіи: для опредѣленія ея длины и самыхъ важныхъ ея свойствъ придется разбить ее на частичныя дуги, которыя будутъ тѣмъ менѣе отличаться отъ соотвѣтственныхъ хордъ, чѣмъ менѣе онѣ будутъ сами. Итакъ, когда дойдемъ „идеально“ до крайняго предѣла малости, поставимъ себѣ вопросъ, какого характера будутъ безконечныя части, на которыя раздѣлится линія?

Нашему уму представляются два рѣшенія: эти части суть геометрическія точки или же—прямолинейные отрѣзки; но оба

эти рѣшенія представляютъ серьезныя трудности. Какъ бы ни былъ малъ этотъ отрѣзокъ, онъ не можетъ представиться намъ недѣлимымъ и потому не можетъ изобразить крайней стадіи разложенія. Для геометрической точки это возраженіе болѣе не существуетъ, но, съ другой стороны, если посредствомъ этого совершенно непротяженнаго элемента хотимъ вновь образовать сплошность, то встрѣтимся лицомъ къ лицу съ предпріятіемъ, отъ котораго умъ нашъ отказывается, т. к. не умѣемъ представить себѣ, какимъ образомъ совокупность, хотя бы и безконечная, геометрическихъ точекъ можетъ дать мѣсто явленію сплошности. Однако обѣ эти трудности не обладаютъ одинаковой степенью важности. Первая—логическая, объективная, т. к. недѣлимый отрѣзокъ есть понятіе противорѣчивое. Вторая же—чисто субъективная и зависитъ отъ того факта, что мы не можемъ ни понять, ни представить себѣ совокупности безконечнаго числа элементовъ каждый въ отдѣльности, но лишь только законъ ихъ происхожденія. Если однако вообразимъ непротяженную точку, способную образовать протяженіе, то мы такимъ образомъ нашли путь для выхода изъ представшей дилеммы и мы создали единственное понятіе философски пріемлемое для элемента—производителя сплошности.

Чтобы придать больше ясности мыслямъ, разсмотримъ явленіе прямолинейнаго движенія точки. Вообразивъ длительность движенія разложенной на свои элементы, т.-е. на моменты, лишенные длительности, мы этимъ самымъ дадимъ положеніе движущейся точки въ каждый моментъ. Однако въ одинъ и тотъ же моментъ и въ одномъ и томъ же положеніи мы можемъ представить себѣ точки, обладающія разными движеніями. Отсюда возникаетъ вопросъ, чѣмъ отличаются одна отъ другой эти различныя подвижныя точки, т.-е. сущеттвуетъ ли и если существуетъ, то каково характерное свойство движенія, отличающее одно отъ другого. На такой вопросъ отвѣтъ не сомнителенъ: характерное свойство—„скорость“, и подвижныя точки отличаются одна отъ другой именно тѣмъ, что движутся съ разными скоростями.—Таковы, „направленіе“ касательной для большинства линій сливающихся въ одну точку и „кривизна“ для большинства линій, касательныхъ между собой.—Такія свойства въ общемъ выражаютъ „законъ происхожденія явленія“, характеръ его протеканія, т.-е. фактъ, что разсматриваемый элементъ способенъ породить то опредѣленное движеніе, ту опредѣленную линію. Въ этомъ смыслѣ безконечно-малое, разсматриваемое, какъ „элементъ-производитель конечныхъ величинъ“, понимается, какъ нѣчто, величина котораго равна „нулю“, но которое обладаетъ „при данномъ характерѣ и въ данной степени“ состояніемъ, стремленіемъ производить величины. Это и есть то, что выражаютъ философы, говоря, что безконечно-малое—„величина интенсивная“.

Однако, это измѣненіе понятія элемента не можетъ въ силу своего характера фигурировать никоимъ способомъ въ ариѳметикѣ, работающей исключительно надъ величинами протяжен-

ными. И потому элементъ сплошности, какъ онъ представляется въ аналитическихъ приложеніяхъ, можетъ принять одинъ изъ двухъ видовъ: или существа непротяженнаго, или обладающаго безконечно-малымъ протяженіемъ.

Между тѣмъ съ развитіемъ новаго анализа случилось, благодаря явленію не новому въ человѣческой мысли, что ученые, привыкшіе постоянно находиться лицомъ къ лицу съ этими двумя формами существъ, скажу, почти освоились съ ними, забывая имъ присущія трудности; и очень скоро то, что было только „ фикціей“ исчисленія, стало въ глазахъ нѣкоторыхъ изъ нихъ „выраженіемъ дѣйствительности“. Вотъ почему, сдѣлавъ исключеніе, пожалуй, только для Галилея, мы находимъ послѣ Лейбница и Ньютона математиковъ, утверждающихъ, что элементъ математической сплошности (безконечно-малое или диференціалъ) есть „точка абсолютно непротяженная“ или „частичка, обладающая безконечно-малымъ протяженіемъ“, и не придающихъ значенія очень важнымъ возраженіямъ, которымъ даютъ мѣсто какъ одна, такъ и другая гипотеза.

Слѣдуетъ однако припомнить, что не спекулятивный интересъ былъ причиной развитія понятія безконечно-малаго, но конечно и главнымъ образомъ, какъ я уже намекнулъ, приложеніе его къ естественнымъ законамъ. И въ самомъ дѣлѣ, не существуетъ явленія математическаго или механическаго, за исключеніемъ самыхъ простыхъ — прямая линія и равномѣрное движете—въ которое не входило бы скрыто или явно безконечно-малое; и нѣтъ никакого способа, могущаго избавить насъ въ „дѣйствительности“ отъ власти этого невидимаго тиранна.

Древніе, влекомые желаніемъ удержать совершенную геометрическую строгость, придумали „методъ исчерпанія“, но онъ былъ мало годенъ къ изученію многочисленныхъ вопросовъ, съ которыми встрѣчались ученые новѣйшихъ временъ; и поэтому одинъ знаменитый итальянецъ создалъ „методъ недѣлимыхъ“. Впрочемъ этотъ методъ существовалъ недолго и былъ вскорѣ замѣненъ болѣе совершенными и болѣе удобными для практики; ихъ можно сгруппировать въ два главныхъ типа, представляющіе лишь его видоизмѣненія: „методъ безконечно-малыхъ“ и „методъ предѣловъ“.

Все до сихъ поръ изложенное естественно подсказываетъ намъ планъ настоящаго труда. Онъ .состоитъ изъ двухъ частей, изъ которыхъ первая занимается безконечно-малымъ, разсматриваемымъ само въ себѣ, вторая — приложеніемъ его къ математикѣ.

Первая часть подраздѣлена на четыре главы: первая — касается безконечно-малаго, принимаемаго строго за нуль; вторая— касается безконечно малаго—актуальнаго, т.-е. принимаемаго за постоянную величину, третья—посвящена вопросу, который отличается лишь по формѣ отъ разсматриваемыхъ въ первыхъ двухъ

главахъ, а именно „углу касанія“; наконецъ, четвертая—говоритъ о безконечно-маломъ, какъ о величинѣ интенсивной.

Вторая часть также подраздѣлена на четыре главы, разсматривающія послѣдовательно методы исчерпанія, недѣлимыхъ, безконечно-малыхъ и предѣловъ.

Тѣсная связь, существующая между вопросомъ о характерѣ безконечно малаго и разнообразными философскими задачами, среди которыхъ главнымъ образомъ выдѣляется задача образованія математической сплошности, заставила бы меня включить въ рамку этого труда часть, касающуюся исторіи философіи древней и новой; однако мое ограниченное философское образованіе и желаніе направлять слово къ почти чисто математической публикѣ заставляютъ меня сократить мое изслѣдованіе, сдѣлавъ развѣ неизбѣжное исключеніе по отношенію къ сужденіямъ, высказаннымъ математиками, а также хотя бы къ вопросу о приложеніи безконечно-малаго къ анализу.

Но даже и при такомъ ограниченіи литература о безконечномаломъ очень пространна, и было бы предпріятіемъ болѣе смѣлымъ, нежели полезнымъ, собрать все то, что было сказано по отношенію къ нему. Я счелъ возможнымъ оставить совершенно въ сторонѣ работы надъ такимъ вопросомъ авторовъ мало или вовсе неизвѣстныхъ, какъ математиковъ, послѣ того, какъ я убѣдился, разсмотрѣвъ нѣкоторыя изъ нихъ, что идеи, содержащіяся въ нихъ, не точны или не новы.

Наконецъ, для заключенія моего труда я коснулся Коши, т. к. послѣ него вопросъ о характерѣ безконечно-малаго пересталъ имѣть математическій интересъ.

Я питаю надежду, что трудъ этотъ не будетъ считаться работой излишней. Исторія происхожденія диференціальнаго исчисленія была написана многими; были разсмотрѣны, были оспариваемы, поставлены лицомъ къ лицу методы, приведшіе къ созданію исчисленія, и вопросы, способствующіе открытію новыхъ путей въ неразработанныхъ поляхъ анализа. Задача, которую я себѣ поставилъ, совершенно иная: я хотѣлъ попытаться изложить исторію одной идеи, хотѣлъ прослѣдить нить понятія безконечномалаго въ умахъ и работахъ разныхъ аворовъ, и я остановился на методахъ исчисленія только постольку, поскольку было нужно для освѣщенія основной мысли, чтобы показать точку зрѣнія изобрѣтателей по отношенію къ безконечно-малому. Это изслѣдованіе, насколько мнѣ извѣстно, ново; доказывать его полезность было бы излишнимъ въ эпоху, какъ эта, въ которой исторія наукъ стоитъ на высотѣ чести. Проведено ли оно безстрастно и согласно нормамъ научнаго метода, пусть судитъ читатель.

(Продолженіе въ слѣд. №).

Задачи.

Подъ редакціей Э. Ю. Лейнѣка.

250. Построить треугольникъ, если дана сумма боковыхъ сторонъ и извѣстны положенія основаній высоты, биссектрисы и медіаны.

С. Кудинъ.

251. Даны три параллельныя прямыя и внѣ ихъ три точки М, N, Р. Построить треугольникъ, вершины котораго лежатъ на данныхъ прямыхъ, а стороны или ихъ продолженія проходятъ черезъ точки М, N, Р.

В Кованько.

252. На сторонахъ треугольника даны три точки А', В', С. Найти такую точку О, чтобы четыреугольники АВ'ОС, ВСЮ А' и С А'OB' оказались равновеликими.

253. Опредѣлить стороны прямоугольнаго треугольника, зная, что каждая изъ нихъ выражается цѣлымъ числомъ, и что сумма гипотенузы и одного катета болѣе другого катета на 12.

254. Рѣшить уравненіе

В. Городковъ.

255. Найти такія двузначныя числа, любая цѣлая положительная степень которыхъ оканчивалась бы искомымъ числомъ.

Аналогичная задача для трехзначныхъ чиселъ.

256. Рѣшить уравненіе

257. Доказать справедливость равенства

258. Построить треугольникъ АВС по сторонѣ AB, биссектору BD и длинѣ перпендикуляра, опущеннаго изъ вершины С на BD.

И. Александровъ.

259. Опредѣлить двугранный уголъ при основаніи правильной 4-угольной пирамиды, предполагая, что плоскость, дѣлящая этотъ уголъ пополамъ, дѣлитъ объемъ пирамиды въ отношеніи 3 :5, при чемъ большая часть находится при основаніи пирамиды.

В. Буханцевъ.

Рѣшенія задачъ.

199. Рѣшить треугольникъ по та, ha и ßA.

Пусть углы НАЕ и DAE обозначены соотвѣтственно черезъ «! и сса. Величины ихъ опредѣляются изъ уравненій

Такъ какъ Д АОМ равнобедренный, то

Изъ Д OAD имѣемъ

Изъ Д OBD находимъ для этого же отношенія слѣдующее выраженіе

Отсюда выводимъ

Черт. 1.

Остальные два угла В и С получаются на основаніи извѣстнаго соотношенія

такимъ образомъ имѣемъ:

откуда находимъ

Для нахожденія сторонъ разсматриваемаго треугольника, опредѣлимъ предварительно величину В радіуса описанной около Д АВС окружности.

Изъ Д ODA имѣемъ:

откуда

Стороны а, b, с найдутся по формуламъ:

К. Верещагинъ (Козловъ), И. Евдокимовъ (Шуя), Н. Козыревъ (Енисейскъ), Г. Стороженко (Новгородъ-Сѣверо къ).

206. Найти геометрическое мѣсто центровъ равностороннихъ треугольниковъ, вписанныхъ въ данный равнобедренный треугольникъ.

Пусть АВСті А'В'С разсматриваемые треугольники, B’D'±A'C'и О центръ равносторонняго треугольника. Обозначивъ сторону равносторонняго треугольника черезъ а, сторону ИС равнобедреннаго черезъ b и уголъ АВ'С черезъ а, нетрудно выразить длину перпендикуляра 00' _j_АС1).

Черт. 2.

Съ другой стороны

Изъ (1) и (2) выводимъ, что

1) О' на чертежѣ не изображено.

Полученная формула показываетъ, что зависитъ отъ величинъ, не мѣняющихся при переходѣ отъ одного изъ треугольниковъ А’В’О къ другому, т.-е. 00' — постоянная величина и геометрическимъ мѣстомъ точекъ О является прямая, параллельная основанію даннаго равнобедреннаго треугольника.

К. Верещагинъ (Козловъ).

2-е рѣшеніе.

На основаніи метода вращенія (см. Ю. Петерсенъ „Методы и теоріи геометрическихъ задачъ на построеніе“, 1892) всѣ равносторонніе треугольники, вписанные въ данный равнобедренный треугольникъ, вслѣдствіе того, что они подобны между собою, имѣютъ общій центръ вращенія и могутъ быть получены всѣ изъ одного путемъ соотвѣтствующаго вращенія и умноженія.

Далѣе на основаніи теоремы: „Если многоугольникъ, подобный данному, движется такъ, что три изъ его точекъ описываютъ прямыя (не проходящія черезъ одну и ту же точку), то и всякая другая точка, лежащая въ плоскости многоугольника, опишетъ также прямую (ibid. стр. 75), заключаемъ, что центръ движущагося указаннымъ въ задачѣ образомъ равносторонняго треугольника, какъ неизмѣнно и одинаковымъ образомъ съ ними связанная точка, тоже опишетъ прямую линію.

В. Кованько (Вышній-Волочекъ).

Примѣчаніе.

Разсматриваемая задача встрѣчается въ математической литературѣ нѣсколько разъ. Въ 1876 г. французскій математикъ É. Lucas предложилъ въ Nouvelle Correspondance Mathématique, t. 2, стр. 223 нѣсколько болѣе общую задачу (отличіе ея отъ только что разобранной то, что вмѣсто равнобедреннаго треугольника даны три какихъ угодно прямыхъ линіи).

Рѣшеніе появилось въ томъ же журналѣ лишь черезъ четыре года (Nouv. Corr. Math. 1880, t. 6, p. 72).

Авторъ рѣшенія, профессоръ Льежскаго университета, J. Neuberg даетъ два рѣшенія, одно аналитическое, другое геометрическое, которое мы ниже приводимъ. Neuberg въ своей замѣткѣ доказалъ болѣе общую теорему:

„Если треугольникъ А'В'С", вписанный въ данный неподвижный треугольникъ АВС, движется, оставяясь подобнымъ себѣ, то любая точка, лежащая въ плоскости движущагося треугольника, описываетъ прямую линію“.

Возникшая по этому поводу переписка между редакторомъ вышеупомянутаго журнала Е. Catalan’омъ и J. Neuberg’омъ выяснила слѣдующія интересныя подробности1).

Въ 1858 г. въ Nouvelles Annales de Mathématiques, 1-re série, t. 17, p. 48 de Lafitte опубликовалъ безъ доказательства слѣдующія двѣ теоремы:

Предполагая, что фигура измѣняется по величинѣ и положенію, оставаясь подобной самой себѣ, доказать, что 1°. Если три прямыя вращаются около неподвижныхъ точекъ, то всякая

1) Nouv. Corr. Math. 1880. t. 6, p. 172, 219, 321.

другая прямая также вращается около нѣкоторой неподвижной точки, а всякая точка описываетъ окружность. Всѣ эти окружности проходятъ черезъ одну общую точку, которая является двойною точкою для всѣхъ фигуръ.

2°. Если три точки описываютъ три прямыхъ линіи, то всякая другая точка также описываетъ прямую линію, а всякая прямая огибаетъ нѣкоторую параболу.

Эти же теоремы, за исключеніемъ второй части второй теоремы, были вновь предложены I. Petersen’oMb въ качествѣ задачъ въ Nouv. Annales de Math. Série 2-e, t. 5, 1866, р. 480. Рѣшенія были напечатаны въ томъ же журналѣ, t. 6.1867, р. 80. Первая теорема была доказана непосредственно, а вторая сведена къ первой методомъ взаимныхъ поляръ. Авторомъ рѣшеній является R. Durand.

Дальнѣйшія указанія, относящіяся къ кинематикѣ и начертательной геометріи, можно почерпнуть изъ вышеупомянутой переписки Е. Catalan’a и J. Neuberg’a.

Въ виду того, что доказательство J. Neuberg’a очень изящно и коротко, мы приводимъ его ниже, полагая, что оно можетъ представить интересъ для многихъ изъ нашихъ читателей.

Теорема. Если треугольникъ А'В'О, вписанный въ неподвижный треугольникъ АВС, движется, оставясь все время подобнымъ себѣ, то

1°. въ плоскости движущагося треугольника А'В'О существуетъ неподвижная точка со.

2°. Всякая другая точка плоскости описываетъ нѣкоторую прямую ХУ.

3°. Всякая прямая ХУ огибаетъ нѣкоторую параболу, имѣющую фокусомъ точку со; всѣ же точки прямой ХУ описываютъ касательныя къ разсматриваемой параболѣ.

Опишемъ около треугольниковъ А В'О, В О А', СА'В' окружности. Легко убѣдиться, что всѣ эти окружности проходятъ черезъ нѣкоторую точку со.

Такъ какъ углы А' со В', В' со О, О со А' дополняютъ соотвѣтственно углы С, А, В до л, то точка со является соотвѣтствующей сама себѣ относительно Д А'В’О, но она должна быть неподвижной относительно Д АВС, ибо углы со В А', соСА’, равны соотвѣтственно угламъ со О А' и со В'А', а эти послѣдніе не мѣняютъ своей величины.

Разсмотримъ теперь Д со А'О, гдѣ О какая-либо опредѣленная точка, взятая въ плоскости Д А'В'О. Этотъ треугольникъ остается все время подобнымъ самому себѣ, одна изъ вершинъ — со — неподвижна, другая — А' — описываетъ прямую ВС, а потому, какъ легко убѣдиться, третья вершина — — описываетъ также прямую, образующую съ ВС уголъ, равный А' со О.

Пусть далѣе I другая точка, взятая въ движущейся плоскости А'В'О.

Точки О и I описываютъ прямыя линіи, образующія съ ВС углы, соотвѣтственно равные А'со О и уголъ между этими прямыми равенъ поэтому углу О col, а потому, на основаніи теоремы, обратной извѣстной теоремѣ о касательныхъ къ пара-

болѣ1), заключаемъ, что прямыя линіи, описанныя точками и являются касательными къ нѣкоторой параболѣ, имѣющей фокусомъ точку со. Итакъ, всякая прямая — 01—движущейся плоскости А'В'С огибаетъ нѣкоторую параболу, а всякая точка этой прямой описываетъ касательную къ параболѣ. Э. Л.

209. На данной прямой найти точку, изъ которой одна изъ двухъ данныхъ концентрическихъ окружностей видна подъ угломъ вдвое большимъ, чѣмъ другая.

Пусть XY—данная прямая и Р—точка на ней, обладающая искомымъ свойствомъ.

Такъ какъ < ОРК =2< О PL, то

<OPL = <LPK.............................(1)

Такъ какъ < ОіР = < ОѢГР= 2» т0 заключаемъ, что точки О, L, K, Р расположены на окружности, имѣющей центромъ середину отрѣзка ОР, далѣе углы OPL и OKL, а также LPK и LOK равны, какъ вписанные углы, опирающіяся на одинаковыя дуги, а потому на основаніи (1) заключаемъ, что < OKL = < KOL.

Слѣдовательно, Д OLK равнобедренный, стороны котораго OL и ОР извѣстны, а потому и самъ треугольникъ можетъ быть построенъ. Отсюда слѣдуетъ искомое построеніе.

На какомъ-либо радіусѣ большей окружности, принятомъ за основаніе, строимъ равнобедренный треугольникъ, имѣющій боковую сторону равную радіусу меньшей изъ данныхъ окружностей и около полученнаго треугольника описываемъ окружность. Искомая точка отстоитъ отъ центра О на разстояніи равномъ діаметру только-что построенной окружности. Искомыми точками будутъ поэтому служить точки пересѣченія прямой съ окружностью, описанной изъ центра радіусомъ ОР.

Чтобы можно было построить Д OLK, необходимо имѣть OL + LK^OK, т.-е. 2г^В.

Чтобы точка Р оказалась внѣ большей окружности, необходимо, чтобы ОР> ОК, а это будетъ имѣть мѣсто все время, пока центръ О1 лежитъ в н ѣ Д OLK, т.-е пока < OLK > ^ или, что то же, ОК15;|0£2 -|- LK2, т.-е. Д2>2г2 или Поэтому условіями возможности задачи являются слѣдующія соотношенія между В и г.

Кромѣ того, необходимо, чтобы прямая XY встрѣчалась съ окружностью О (ОР).

К. Верещагинъ (Козловъ), Б. Кованько (Вышній-Волочекъ), И. Козыревъ (Енисейскъ), А. Сердобинскій, (Харьковъ).

1) Отрѣзокъ касательной къ параболѣ, заключенный между двумя постоянными касательными, виденъ изъ фокуса параболы подъ угломъ, равнымъ углу между двумя упомянутыми касательными. См. напр., К. Андреевъ, Осн. Курсъ Анал. геом. § 319.

210. Рѣшить уравненіе

х3—6а:2-f- 12а:— 10 = 0.

Представивъ лѣвую часть ур — ія въ видѣ

а;3_6а:24-12а: —8 — 2

легко усмотримъ, что четыре первыхъ члена образуютъ полный кубъ разности, а потому имѣемъ:

(х — 2)3 — 2 = 0,

откуда

X — 2 = aj/2 и

X — 2-(-а р^2,

гдѣ а, кубическій корень изъ 1, имѣющій какъ извѣстно, три значенія:

А. Бутомо (Саратовъ), К. Верещагинъ (Козловъ), И. Евдокимовъ (Шуя), В. Кованько (Вышній-Волочекъ), П. Козыревъ (Енисейскъ), Г. Несчастливцевъ (Ярославль), Л. Савватѣевъ (Торжокъ), А, Сердобинскій (Харьковъ), М. Черняевъ (ст. Черняева).

211. Обозначая черезъ рѵ р2,......... числителей подходящихъ дробей непрерывной дроби

доказать соотношеніе

Изъ теоріи непрерывныхъ дробей извѣстно соотношеніе

Рп+Х =Рпа„+Рп-1-

Полагая въ этой формулѣ послѣдовательно 3,4....

k получимъ

Умножая полученный рядъ равенствъ соотвѣтственно на р2, р3,...pt и складывая, будемъ имѣть:

Рі Рг + «2 2Y2 + «з Рг2 + akPk=Pk Pk+X

Замѣчая, что рх = 1, р2 = а1 можемъ вмѣсто перваго члена рхр2 подставить равную ему величину тогда наша формула приметъ видъ

2-е рѣшеніе.

Предложенное въ задачѣ соотношеніе легко можетъ быть доказано методомъ полной индукціи.

Положимъ, что формула справедлива для случая — 1,т.-е. пусть имѣетъ мѣсто соотношеніе

«1 Рі2 + «2 2Y2 +...ak-i 12 Pi-

Прибавимъ къ обѣимъ частямъ этого равенства величину

akPk=Pk • akPk —Pk 1 i)-

Тогда получимъ

Итакъ, если равенство справедливо при — 1, то оно справедливо и при к. Но для к= 1, 2, 3 можемъ убѣдиться непосредственно въ ея справедливости, вычисляя рх, поэтому заключаемъ, что наше равенство справедливо вообще.

К. Верещагинъ (Козловъ), И. Евдокимовъ (Шуя), В. Кованько (Вышній-Волочекъ), Н. Козыревъ (Енисейскъ), Г. Несчастливцевъ (Ярославль).

Примѣчаніе. Полученное въ задачѣ тождество можетъ быть использовано для рѣшенія многихъ вопросовъ ариѳметическаго характера.

Такъ, напр., при нѣкоторыхъ формахъ числа N, оно даетъ возможность найти рѣшеніе уравненія

Или же, полагая всѣ аЛ равными 1, мы имѣемъ непосредственно доказательство слѣдующаго свойства членовъ ряда Фибоначчи-Ламе:

гдѣ

213. Дана окружность и діаметръ ея AB; изъ какой-либо ея точки С радіусомъ СВ описывается дуга, пересѣкающая діаметръ AB въ точкѣ Е, а данную окружность въ точкѣ D. Доказать, что DE \_АС.

Продолживъ линіи AD и СВ до пересѣченія въ точкѣ В', получимъ равнобедренный треугольникъ В AB', что слѣдуетъ изъ того, что углы AB1 В и AB В' измѣряются одною и тою же дугою |(лг — а), гдѣ ß =

Такъ какъ < АСВ прямой, то АС высота въ равнобедренномъ /\АВВ', а поэтому В'С=ВС; другими словами, окружность, описанная изъ С радіусомъ СВ, пройдетъ и черезъ точку В'. Но въ такомъ случаѣ В'Е и BD являются высотами равнобедреннаго Д В AB',ибо < В'ЕВ = < = ~, какъ опирающіеся на діаметръ В'В.

Прямая DE, соединяющая основанія боковыхъ высотъ равнобедреннаго треугольника, какъ извѣстно, параллельна его основанію, т.-е. DE\\B'B, но такъ какъ то и

Случай, когда точка Е лежитъ на продолженіи діаметра AB, доказывается на основаніи аналогичныхъ соображеній. Заслуживаетъ быть отмѣченнымъ случай, когда точка С дѣлитъ дугу AB попаламъ.

К. Верещагинъ (Козловъ), И. Евдокимовъ (Шуя), В. Кованько (Вышній-Волочекъ), П. Козыревъ (Енисейскъ), Г. Несчастливцевъ (Ярославль), Сергачевъ (Ковровъ), А. Сердобинскій (Харьковъ), М. Черняевъ (ст. Черняева).

214. Опредѣлить при какихъ значеніяхъ коэффиціентовъ а и іі многочленъ

х4 -f- ах3 -{- Ъх2 — -f- 4

представляетъ собою точный квадратъ. Приравнивая данный многочленъ выраженію (х2 -\-mx-\- и)2, гдѣ и пока не опредѣлены, будемъ имѣть

X4 -j- ax3 -f- Ъх2 — 8# -f- 4 = X*-}- 2 -f- (m2 -f- 2 2 -f- 2 -f- и2,

откуда выводимъ

а = 2ш, Ъ = т3-\- 2п, — 4—4 = м2.

Послѣдовательно имѣемъ:

n = d= 2, ш = 2, 4 ±4, 4.

Итакъ имѣемъ два рѣшенія

а = — 4, Ъ= 8 и а = 4, 6 = 0.

Дѣйствительно,

X4 — 4х3 -f- 8х2 — 8х -f- 4 = (х2 — 2х -|- 2)2 X4 —4х3 — 8х -{- 4 = (х2 -|- 2х — 2)2.

А. Бутомо (Саратовъ), К. Верещагинъ (Козловъ), И. Евдокимовъ (Шуя), В. Кованько (Вышній-Волочекъ), Н. Козыревъ (Енисейскъ), Г. Несчастливцевъ (Ярославль), А. Сердобинскій (Харьковъ), М. Черняевъ (ст. Черняева).

215. Построить треугольникъ по основанію и соотвѣтствующей ему высотѣ, если одинъ изъ угловъ при основаніи вдвое болѣе другого.

Пустъ треугольникъ АВС искомый и пусть въ немъ уголъ А = 2С.Проведемъ черезъ В прямую, параллельную АС, до пересѣченія съ биссектрисой угла А въ точкѣ D. Разсматривая треугольникъ ABD, убѣждаемся, что онъ равнобедренный, ибо < BDA— < DAC= < BAD. Слѣдовательно AB = BD.

Далѣе, такъ какъ < DBG— < ВС А — < BAD=<£ BDA, то треугольникъ BOD, равно какъ и подобный ему треугольникъ АОС, равнобедренный. Проведя черезъ точку О — точку пересѣченія AD и ВС—прямую MN \_ АС, заключаемъ, что эта прямая раздѣлитъ отрѣзки BD и А С соотвѣтственно въ точкахъ N и М пополамъ.

Итакъ , BN=^^=^-.Другими словами, разстоянія точки В отъ точекъ А и N находятся въ отношеніи 2:1. Отсюда слѣдуетъ построеніе.

Изъ середины М даннаго основанія возставляемъ перпендикуляръ MN, равный данной высотѣ треугольника, и строимъ геометрическое мѣсто точекъ, разстоянія которыхъ отъ двухъ данныхъ точекъ А и N находятся въ отношеніи 2:1 (см. напр. А. Киселевъ, Геометрія, 1912, § 228). Точка пересѣченія этой окружности съ прямою, проведенною черезъ N параллельно АС, и будетъ искомою вершиною.

К. Верещагинъ (Козловъ), Н. Козыревъ (Енисейскъ).

216. Найти предѣлъ суммы членовъ ряда

Полагая

имѣемъ

откуда

Полагая въ этомъ выраженіи т послѣдовательно равнымъ 1, 2, 3.....и, получимъ рядъ равенствъ:

Складывая эти равенства, будемъ имѣть:

Переходя къ предѣлу при п= имѣемъ

Итакъ, искомый предѣлъ суммы членовъ даннаго ряда есть —г *

Л. Бутомо (Саратовъ), К. Верещагинъ (Козловъ), И. Евдокимовъ (Шуя), В. Кованько (Вышній-Волочекъ), Н. Козыревъ (Енисейскъ), А. Сердобинскій (Харьковъ).

217. Найти внутри треугольника такую точку О, чтобы произведеніе AB'.ВО.СА' имѣло наибольшую величину. А', В', С' — точки пересѣченія прямыхъ АО, ВО, СО со сторонами ВС, CA, AB.

Проведемъ медіаны AM, BN, СР треугольника АВС, пересѣкающіяся въ точкѣ G.

Такъ какъ средняя геометрическая двухъ величинъ не превосходитъ ихъ средней ариѳметической, то

откуда имѣемъ

аналогичнымъ путемъ приходимъ къ соотношеніямъ

Перемножая почленно три полученныхъ неравенства и замѣняя на основаніи извѣстной теоремы Чева произведеніе А'В.В'С.СА равнымъ произведеніемъ AB'.ВС'.СА' будемъ имѣть:

( AB'. ВС'. СА'У^ (.. ВМ. CNy

или

АВ'.ВС'.СА' <LAP.ВМ.CN.

Итакъ, гдѣ бы ни находилась внутри треугольника АВС точка О, произведеніе AB'. ВО. С А' не превзойдетъ произведенія AP .B31.CN, соотвѣтствующаго положенію точки О въ центрѣ тяжести G.

Слѣдовательно точка G является искомою точкою.

К. Верещагинъ (Козловъ), И. Евдокимовъ (Шуя), В. Кованько (Вышній-Волочекъ), Н. Козыревъ (Енисейскъ), А. Сердобинскій (Харьковъ).

Засѣданія Московскаго Математическаго Кружка.

Въ засѣданіи 26 ноября 1915 г. предсѣдатель довелъ до свѣдѣнія собранія, что 21 ноября состоялось засѣданіе Совѣта Педагогическихъ Курсовъ, Московскаго Математическаго Кружка, Совѣта Московской Женской учительской Семинаріи и Общества бывшихъ воспитанниковъ Московскаго Учительскаго Института, посвященное памяти скончавшагося члена Кружка, извѣстнаго педагога Ѳ. И. Егорова.

Н. А. Извольскій сдѣлалъ сообщеніе: „Изученіе степеней чиселъ“.

Е. С. Томашевичъ сдѣлалъ докладъ „О произвольно маломъ членѣ ариѳметической прогрессіи“.

Въ засѣданіи 28 января 1916 г. предсѣдатель доложилъ, что имъ получено отъ Организаціоннаго Комитета 3-го Всероссійскаго Съѣзда Преподавателей Математики предложеніе образовать при Кружкѣ мѣстный Комитетъ. Постановлено просить Правленіе представить свои соображенія по этому вопросу.

I. И. Чистяковъ сообщилъ, что въ связи съ военнымъ временемъ изданіе журнала „Математическое Образованіе* въ послѣднее время сопряжено съ большими затрудненіями. Въ частности происходить большая задержка въ выходѣ очередныхъ нумеровъ. За ноябрь и декабрь пришлось выпустить два нумера въ видѣ одной книжки.

Б. К. Млодзѣевскій сдѣлалъ сообщеніе: „Объ одной ариѳметической задачѣ“ (напечатано въ № 1 — 2 „Матем. Образов.“ 1916 г.).

А. А. Волковъ прочиталъ докладъ „Проектъ новыхъ программъ преподаванія математики въ средней школѣ, составленный комиссіей при Министерствѣ Народнаго Просвѣщенія“ (помѣщено въ № 1—2 „Мат. Образ.“ 1916 г.). Въ результатѣ обсужденія доклада признано необходимымъ избрать комиссію для детальнаго разбора программъ и составленія доклада Кружку. Въ составъ комиссіи вошло 15 членовъ Кружка.

Въ засѣданіи 25 февр. 1916 ъ. былъ заслушанъ и утвержденъ отчетъ о дѣятельности Кружка за 1915 г., составленный секретаремъ А. А. Волковымъ. Затѣмъ былъ утвержденъ докладъ ревизіонной комиссіи о состояніи денежныхъ средствъ Кружка и журнала „Математическое Образованіе“, а также произведены выборы должностныхъ лицъ Кружка въ виду истеченія срока ихъ полномочій. При этомъ избраннымъ оказался прежній составъ Правленія, т.-е. предсѣдателемъ — Б. К. Млодзѣевскій, товарищемъ предсѣдателя — А. К. Власовъ, секретарями — Л. И. Лебель и А. А. Волковъ.

С. П. Виноградовъ сдѣлалъ сообщеніе „Новыя программы по математикѣ коммерческихъ училищъ“ (докладъ помѣщенъ въ настоящемъ № „Матем. Образованія“).

С. И. Лапшинъ сдѣлалъ сообщеніе: „Вычисленіе площадей и объемовъ при помощи центра тяжести“. Докладчикъ указалъ, что для вычисленія площадей можно воспользоваться теоремой: Если прямолинейный отрѣзокъ движется такъ, что все время располагается нормально къ траекторіи его центра тяжести, то площадь, описанная отрѣзкомъ, равна произведенію траекторіи, описанной центромъ тяжести, на длину отрѣзка. При этомъ отрѣзокъ можетъ быть повернутъ на произвольный уголъ, при томъ условіи, что онъ долженъ быть такъ удлиненъ, чтобы его проекція на перпендикуляръ къ траекторіи равнялась его первоначальной длинѣ. Вычисленіе объема можетъ быть произведено на основаніи аналогичной теоремы объ объемѣ тѣла, описаннаго фигурой, движущейся такъ, что плоскость ея все время перпендикулярна къ траекторіи ея центра тяжести. Затѣмъ докладчикъ привелъ примѣры примѣненія указанныхъ теоремъ, иллюстрируя ихъ чертежами.

Согласно предложенію Правленія, постановлено: просить Организаціонный Комитетъ 2-го Съѣзда преподавателей математики принять на себя обязанности мѣстнаго комитета по подготовкѣ 3-го Всероссійскаго Съѣзда, имѣющаго быть въ Петроградѣ на рождественскихъ каникулахъ 1917—18 годовъ.

ОПЕЧАТКИ.

Страница. Строка. Напечатано. Должно быть.

45 21 сверху IV I

45 24 сверху 532.3+509=2105 532.3+414=2010

Отвѣтственный редакторъ I. Чистяковъ.

Типографія „Русскаго Товарищества печатнаго и издательскаго дъла". Москва, Чистые пруды, Мыльниковъ пер., с. д. Тел. 18-35.