№ 33-34.

Математическое Образованіе.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

Годъ пятый.

№ 1—2.

Январь и Февраль 1916 г.

МОСКВА.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

Математическое Образованіе“

Январъ—Февраль 1916 г. Годъ 5-й. № 1—2.

Содержаніе. Рѣшеніе одной задачи неопредѣленнаго анализа. Б. Млодзѣевскій. — Замѣтка о признакахъ дѣлимости чиселъ на 9 и на 11. С. Слугиновъ.— Къ геометріи треугольника. И. Рабиновичъ.— О великой теоремѣ Фермата. Л. Бахманнъ, пер. И. Рабиновича. — Проэктъ программы по математикѣ для общеобразовательной средней школы. К. Лебединцевъ. — Проэктъ новыхъ программъ преподаванія математики въ средней школѣ, составленный Комиссіей при Министерствѣ Народнаго Просвѣщенія весною 1915 г. А. Волковъ. — Объ одной формулѣ четыреугольника. В. Шлыгинъ. — Задачи. — Рѣшенія задачъ.—Новыя книги.

Рѣшеніе одной задачи неопредѣленнаго анализа.

Б. Млодзѣевскій. Москва.

Въ одномъ изъ засѣданій Математическаго Кружка Е. С. Томашевичъ привелъ нѣсколько примѣровъ цѣлыхъ чиселъ, удовлетворяющихъ системѣ двухъ уравненій

Въ настоящей замѣткѣ я хочу предложить слѣдующій способъ рѣшенія въ цѣлыхъ числахъ этой системы.

Обозначимъ общее значеніе суммъ и а'-\-Ѵ с' черезъ Замѣняя въ первомъ уравненіи с и с' соотвѣтственно черезъ s—а— Ъ и s — а' — Ъ', получимъ

или, по сокращеніи на 2

Отсюда получаемъ

или

или

Такъ какъ s—число цѣлое, то и послѣдняя дробь должна быть равна цѣлому числу. Отсюда имѣемъ, обозначая это число черезъ к

или

Прибавивъ здѣсь къ обѣимъ частямъ по 2 и разложивъ на множители, будемъ имѣть

или

Обозначимъ это отношеніе черезъ несократимую дробь — Тогда получимъ,

гдѣ m, n— два взаимно первыхъ числа, и затѣмъ

Отсюда получаемъ искомыя рѣшенія

Легко видѣть, что выраженія (2) представляютъ самыя общія рѣшенія уравненій (1). Обратно, если даны числа а, Ь, с, а', Ъ\ с1, то изъ (2) находимъ

затѣмъ изъ выраженій (2) для а, b, а', V найдемъ значеніе т, п, p, q и г, при чемъ знаки двухъ послѣднихъ, не принадлежащихъ къ одной и той же парѣ, могутъ быть взяты произвольно.

Пояснимъ сказанное примѣрами. Полагая £=1, 2, р— 1, q= 2, г— 2, получимъ

Обратно, пусть имѣемъ

тогда будетъ

Откуда т= 1, п— 2, р = 1, 2и, наконецъ,

Замѣтимъ, что если мы измѣнимъ порядокъ чиселъ а, Ь, с, а1, Ъ', с', то одному и тому же рѣшенію будетъ соотвѣтствовать другая система значенія чиселъ п,р, q, г. Напримѣръ, если мы въ формулѣ (2) переставимъ мѣста чиселъ с, то для новыхъ значеній чиселъ к', т\ п', р', q', г’ получимъ слѣдующія условія

Отсюда получимъ

и отсюда

26 января 1916 г.

Замѣтка о признакахъ дѣлимости чиселъ на 9 и на 11.

С. Слугиновъ. Казань.

Возьмемъ число, написанное по десятичной системѣ счисленія:

Кромѣ общеизвѣстныхъ способовъ—примѣненія, такъ называемой, основной теоремы дѣлимости и способа придаванія и отниманія отъ даннаго числа суммы цифръ его, можно при выводѣ признаковъ дѣлимости на 9 и на 11 съ успѣхомъ пользоваться формулой разложенія двучлена по биному Ньютона.

Въ самомъ дѣлѣ, замѣчая, что 10 = 9-f-l, будемъ имѣть:

(2).

Выполняя въ равенствѣ (2) надлежащія дѣйствія, мы можемъ его представить въ видѣ суммы двухъ частей:

N = 9 Р-(- (а„ -|-«1 -(-... -J- -|- О......(3).

Выраженіе (3) показываетъ, что число N тогда только дѣлится на 9, когда сумма цифръ его дѣлится на 9.

Можно сократить вычисленія, воспользовавшись символомъ Сдѣлаемъ это, написавъ число въ обобщенной формѣ и разсмотрѣвъ признаки дѣлимости его на — 1 и

Имѣемъ

N =. а0хт + аг X”-1 -|-... -f ak +... х х + . . (4).

Въ равенствѣ (4) количества «0, аѵ...ат_г, ат означаютъ цифры числа N, а х — основаніе выбранной нами системы счисленія.

Выраженіе (4) сокращенно можно представить такимъ образомъ.

(5).

Имѣя въ виду формулу

(6)

и равенство

мы можемъ соотношенію (5) придать такую форму

или

(7)

Обозначая сумму всѣхъ членовъ ряда, стоящаго въ квадратныхъ скобкахъ, за исключеніемъ послѣдняго члена, чрезъ (сс—1) Q, будемъ имѣть:

Формула (8) показываетъ, что число N дѣлится на разность между основаніемъ системы и единицей, если сумма цифръ его дѣлится на эту разность. Аналогичнымъ же образомъ мы можемъ также вывести и признакъ дѣлимости числа на сумму между основаніемъ системы и единицей.

Имѣя въ виду формулу

(9)

и равенство

мы можемъ выраженіе (5) представить въ такой формѣ:

(10).

Разлагая выраженіе, стоящее въ квадратныхъ скобкахъ, по биному Ньютона и обозначая затѣмъ сумму всѣхъ членовъ кратныхъ ( X-J- 1) чрезъ ( X-}-1) М, будемъ имѣть:

(11)

или

(12).

Будетъ ли т четное или нечетное, равенство (12) показываетъ, что всегда признакъ дѣлимости числа на (я -}-1) будетъ одинъ и тотъ же, т.-е. число дѣлится на ( -)-1), если разность между суммою цифръ, стоящихъ на нечетныхъ мѣстахъ, и суммою цифръ, стоящихъ на четныхъ мѣстахъ, дѣлится на ( -J- 1).

Къ геометріи треугольника.

(Замѣтка по поводу статьи Н. А. Агрономова*).

И. М. Рабиновичъ. Москва.

Интересная работа г. Агрономова посвящена вопросу о свойствахъ двухъ треугольниковъ, вписанныхъ въ данный тр-къ

*) См. „Матем. Образ". 1915 г. № 6.

АВС и имѣющихъ стороны, соотвѣтственно перпендикулярныя сторонамъ послѣдняго. Но тѣ же пріемы изслѣдованія могутъ быть примѣнены къ болѣе общему случаю, при чемъ выводы г. Агрономова получаютъ отчасти дальнѣйшее расширеніе, отчасти нѣкоторый коррективъ. Обозначенія мы сохраняемъ безъ измѣненія.

Для даннаго треугольника АВС можно построить два другихъ тр ка А1В1С1 и Л2В2С2 такъ, чтобы стороны ихъ образовали со сторонами даннаго одинъ и тотъ же произвольно выбранный уголъ т, а вершины лежали на сторонахъ АВС или на ихъ долженіи. Треугольники эти между собою равны, а съ даннымъ тр-комъ подобны.

Уголъ т условимся отсчитывать всегда внѣ тр-ковъ А1В1С1 и А2В2С2 (фиг. 1, 2, 3 и 4).

Подобіе тр-ковъ АХВХСХ и А2В2С2 тр-ку АВС доказывается тѣмъ, что углы ихъ соотвѣтственно равны угламъ послѣдняго. Величина сторонъ тр-ка А1В1С1 опредѣляется изъ системы уравненій:

Аналогичная система получается для

Отсюда.

гдѣ ідш’—нѣкоторый коэффиціентъ, зависящій отъ данныхъ величинъ.

Далѣе, изъ фиг. 1 имѣемъ:

В — радіусъ окружности, описанной около А1Б1(71 или А2В2С\. Та же величина получается и для ВХС2 и С\А2.

Итакъ:

Чертежи къ статьѣ И. М. Рабиновича.

Изъ уравненій (2) видно, что ВСХ. ВС2=ВАХ . ВА2, СВХ. СВ2=САХ . СА2, т.-е. вершины Вѵ В2, Сх, С2 лежатъ на одной окружности.

Изъ тѣхъ же уравненій (2) видно, что

Изъ равнобедреннаго тр-ка КАХВ2 находимъ J/_AiKB2=2 т; въ связи съ вышеуказанными соотношеніями и подобіемъ треугольниковъ зто даетъ возможность нанести на чертежъ величины остальныхъ угловъ (см. фиг. 1).

Для остальныхъ отрѣзковъ имѣемъ:

откуда

Наконецъ для хордъ АХС2, ВХА2 и СХВ2 имѣемъ:

ВхА2—2 ВSin(m-\-C); .........(7).

откуда

АхС2 : ВхА2 : CxB2=Sin ( т-\-В) : (т-\-С) : Sin (т-\~А) . . (8).

Кромѣ того

АхС2 И АС,ВхА2 у и СХВ2 И ............(9).

Таковы величины и направленія сторонъ и діагоналей шестиугольника АХС2СХВ2ВХА2 на фиг. 1. Тѣ же формулы получаются и для другихъ фигуръ.

Т. abc. >'

Объ окружности о можно сказать, что — — гдѣ S— площадь тр-ка АВС\ разстоянія центра К отъ сторонъ ВС, CA, AB для фиг. 1 соотвѣтственно равны: В Cos {А—т), В Cos (В— В Cos ( С—т).

Наконецъ, указываемое г. Агрономовымъ замѣчательное свойство линій Аа’, Bf;', С-;1 тоже остается въ силѣ въ разсматриваемомъ общемъ случаѣ*). Дѣйствительно,

*) См. Мат. Обр. № 6, 1915, стр. 257.

Обратимся теперь къ другимъ, недопускающимъ обобщенія свойствамъ изслѣдуемыхъ тр-ковъ. Изъ уравненія (3) видно, что линіи А2В2, ВгСг и СХА2 всегда равны между собою, но только при т= 90° онѣ служатъ діаметрами и, слѣдовательно, пересѣкаются въ одной точкѣ. Эти линіи являются либо діагоналями шестиугольника ^1(7,<71Б2В1А2 (фиг. 1), либо его сторонами (фиг. 2), въ зависимости отъ расположенія вершинъ At, Ви Су, В2, С2 послѣдняго; то же относится и къ линіямъ А2В±, В.ІС1, и С2А1.

Расположеніе этихъ вершинъ, въ свою очередь, зависитъ отъ угла т. Считая отрѣзки АгА2, ВгВѵ. на фиг. 1 за положительные, мы находимъ изъ уравненій (5) или (6), что если то АхА2<0; если т<В, то BLB2cO; если т<С, то С1С2<0. Если т—А, то АХА2— 0, и т. д. Фигура 1 по расположенію точекъ аналогична фиг. 1 статьи г. Агрономова и соотвѣтствуетъ случаю, когда т>А, т>В и т>С. Фиг. 2 соотвѣтствуетъ т<А, пкВ, т<С. Фиг. 3 построена для случая тсВ. Съ другой стороны, уравненія (2) показываютъ, что если т-{-Л>1800, то линіи АСг и АС2 имѣютъ противоположные знаки, такъ же какъ и пара линій АВги АВ2; если т-(-£>180°, то это относится къ парамъ линій ВА1 и ВА2, ВС1 и ВС2, и т. д. Иными словами, если m-f- А или т -\-П или m-f СЬ>180°, то двѣ изъ вершинъ Аи Вѵ С[, А2, В2, С2 располагаются не на сторонахъ тр-ка АВС, а на ихъ продолженіяхъ. Теперь тр-ки А1В1Си А2В2С2 уже не являются вписанными въ тр-къ АВС, и утвержденіе г. Агрономова: „Въ тр-къ АВС всегда можно вписать два такихъ тр-ка“... въ этомъ случаѣ является неточнымъ. На фиг. 4 изображенъ случай, когда уголъ тупой, а т=90°, т.-е. Б-)-т>1800—случай, поясняющій только что сказанное.

Въ связи съ указаннымъ обстоятельствомъ должно быть видоизмѣнено и другое утвержденіе г. Агрономова, относящееся къ площади Въ самомъ дѣлѣ, уже изъ фиг. 4 видно, что При т — 90° эта площадь не всегда равна суммѣ площадей тр-ковъ А1В1С1 и А2В2С2. Въ общемъ же случаѣ мы при вышеупомянутыхъ различныхъ сравнительныхъ значеніяхъ угла т получаемъ для площади шестиугольника различныя формулы. Разсматривая искомую площадь, какъ сумму шести тр-ковъ, имѣющихъ вершину въ точкѣ К, мы получимъ, напримѣръ, для фиг. 1:

для фиг. 2:

О великой теоремѣ Фермата*).

Проф. Р. Bachmann. Пер. И. Рабиновича.

1. Настоящій очеркъ мы посвятимъ вопросу о томъ, можетъ ли сумма одинаковыхъ степеней нѣсколькихъ цѣлыхъ чиселъ равняться той же степени нѣкотораго цѣлаго числа. Ограничиваясь разсмотрѣніемъ суммы двухъ степеней, мы приходимъ такимъ образомъ къ вопросу о разрѣшимости уравненія

хп-\-yn —

въ цѣлыхъ числахъ х, у, z. Этотъ вопросъ уже давно занимаетъ математиковъ, и тѣмъ не менѣе онъ до сихъ поръ еще не разрѣшенъ въ общемъ видѣ. Для наименьшаго показателя п= 2 онъ былъ поставленъ и отчасти разрѣшенъ уже пиѳагорейцами. Уравненіе

С1) я2 4 -У2 = г

въ которомъ числа х, у и z обозначаютъ длины сторонъ треугольника, выражаетъ собою теорему Пиѳагора для прямоугольнаго треугольника; задача разрѣшенія этого уравненія въ цѣлыхъ числахъ, съ геометрической точки зрѣнія, сводится къ опредѣленію прямоугольнаго треугольника, стороны котораго выражаются раціональными, точнѣе — цѣлыми числами. Въ этомъ смыслѣ пиѳагорейцы и рѣшали задачу. Разрѣшимость ея вытекала для нихъ уже изъ простѣйшаго и характернаго случая

x — ?j] у = 4; 5;

существуетъ мнѣніе, что это ариѳметическое замѣчаніе и послужило источникомъ для открытія геометрической теоремы Пиѳагора. По свидѣтельству Прокла Діадоха, пиѳагорейцамъ удалось даже установить правило для отысканія безконечнаго множества треугольниковъ этой категоріи, которые мы для краткости будемъ называть пиѳагоровыми треугольниками. Согласно этому правилу Пиѳагора, нужно, считая » положительнымъ цѣлымъ числомъ, положить

дѣйствительно

или

*) Изъ книги Bachmann: „Die niedere Zahlentheorie“ Bd. II, 1910 г. Помѣшаемъ эту статью въ виду оживившагося интереса къ теоремѣ Фермата въ связи съ распространившимся слухомъ о томъ, что доказательство ея уже найдено. Ред.

Такимъ образомъ, проще говоря, нужно принять любое нечетное число за одинъ катетъ, а полупроизведеніе двухъ смежныхъ съ нимъ четныхъ чиселъ—за другой. Согласно тому же писателю, Платонъ впослѣдствіи далъ другое правило, выражаемое формулою

(3) х=2 п, у —и2 — 1, ;

дѣйствительно,

(2 пУ + (и2 — I)2 = (п2 +1)2.

Такимъ образомъ, согласно этому правилу, нужно считать за одинъ катетъ сумму, а за другой—произведеніе двухъ послѣдовательныхъ нечетныхъ чиселъ, что приводитъ къ меньшимъ числамъ.

Уже изъ различія этихъ двухъ правилъ ясно, что ни одно изъ нихъ не даетъ всѣхъ искомыхъ треугольниковъ или всѣхъ цѣлочисленныхъ рѣшеній уравненія (1). Лишь индусамъ принадлежитъ заслуга перваго указанія формулъ, удовлетворяющихъ этимъ требованіямъ. Мы приведемъ здѣсь вкратцѣ формулы Брамагупты (около 588 г. по P. X.).

2. Такъ какъ стороны треугольника можно выразить въ наименьшихъ числахъ, то мы будемъ считать числа положительными, цѣлыми и неимѣющими общихъ дѣлителей. При этомъ они будутъ и попарно взаимнопростыми, такъ какъ каждый дѣлитель, входящій въ составъ какой-либо пары изъ нихъ, долженъ былъ бы, на основаніи равенства

хг -J- y2

входить также въ составъ третьяго числа. Поэтому числа х, у должны быть неодинаковой четности, т.-е. одно изъ нихѣ—четнымъ, а другое—нечетнымъ; въ самомъ дѣлѣ, такъ какъ они не могутъ имѣть общаго дѣлителя 2, то въ противномъ случаѣ они были бы оба нечетными, вслѣдствіе чего получилось бы невозможное сравненіе

2 = х2-\-у2 = гг = 0 ( 4).

Примемъ X нечетнымъ, а у— четнымъ. Тогда выраженія -f z— X будутъ положительными четными числами, имѣющими однако лишь одинъ общій дѣлитель 2, что видно изъ ихъ суммы и разности. Вслѣдствіе того, что

y2—{z-\-x).{z — X),

мы получимъ равенства вида

z х = 2т*, z— и2,

гдѣ т, it— взамно-простыя цѣлыя числа, которыя мы будемъ считать положительными, и изъ которыхъ т является большимъ; такъ какъ у мы тоже будемъ считать положительнымъ, то найдемъ

(4) X — тг— ?г2, у — 2тп, г — т2-{-пг,

откуда видно, что для обращенія чиселъ въ нечетныя, числа т, п должны удовлетворять еще одному условію—быть неодинаковой четности.

Итакъ, всѣ положительныя цѣлыя неимѣющія общихъ дѣлителей рѣшенія равенства (1) выражаются равенствами (4), въ которыхъ числа т, п удовлетворяютъ вышеупомянутымъ требованіямъ. Но такъ какъ вмѣстѣ съ тѣмъ очевидно, что и каждая образованная такимъ образомъ система чиселъ х, является такимъ рѣшеніемъ, то формулы (4) при вышеупомянутыхъ условіяхъ даютъ полное рѣшеніе поставленной задачи. Это—индусскія формулы Брамагупты*).

Положивъ, напримѣръ, т — 2, » = 1, мы найдемъ уже упомянутое рѣшеніе

х=3, у = 4,

Что это рѣшеніе въ трехъ послѣдовательныхъ числахъ является единственнымъ, легко видѣть изъ того, что равенство

( и — I)2 и2 = -(- I)2

имѣетъ мѣсто лишь тогда, когда м2 = 4м, т.-е. при м=4 (такъ какъ при м = 0 число х получаетъ отрицательное значеніе), что приводитъ къ рѣшенію (5). Но существуетъ безконечное множество рѣшеній, при которыхъ, по меньшей мѣрѣ, числа #, у являются двумя послѣдовательными числами. Авторъ въ своей „Zahlentheorie“, Bd.I,стр. 195/6 далъ правило для отысканія всѣхъ такихъ рѣшеній. Для этого нужно только въ формулѣ

(6) * + У + *|/2 = (Д+1)- (3 + 2/2)"

для каждаго неотрицательнаго цѣлаго показателя h взаимно приравнять раціональные и ирраціональные члены, входящіе въ составъ обѣихъ частей, и къ полученнымъ такимъ образомъ двумъ уравненіямъ присоединить третье:

(6а) X — у = (— 1)Л.

Такимъ образомъ мы находимъ, напримѣръ, для 1 рѣшеніе (5); для h = 2—равенства

X -j- у = 41, 2 = 22, X— слѣдовательно,—рѣшеніе:

(7) X = 21, у = 20, 2 = 29;

*) По существу тѣ же формулы даны были уже Діоѳантомъ, но у него рѣшеніе дано лишь въ раціональной формѣ. Обозначая гипотенузу черезъ а, онъ полагаетъ

для h= 3 получается

х-\-у—239, г = 169, X — — 1,

слѣдовательно рѣшеніе таково:

(8) * = 119, г/= 120,0 —169.

Замѣтимъ, что количества

otj = 3 -j— 2j/2, а2 = 3 — 2[/2 представляютъ собою корни квадратнаго уравненія

(9) х2 = 6х—1,

и поэтому каждая изъ величинъ

представляетъ собою общій членъ нѣкотораго рекуррентнаго ряда съ тою же. скалою, и слѣдовательно, между тремя послѣдовательными числами 0А_1; 0Л, 0А+1 существуетъ соотношеніе

(10) '~Л+1 -0 гі •

Дѣйствительно, для трехъ рѣшеній (5), (7), (8)

3. Болѣе отчетливый взглядъ на совокупность рѣшеній или соотвѣтствующихъ имъ пиѳагоровыхъ треугольниковъ можно получить, если вмѣстѣ съ Ратомъ (Н. Rath, Archiv f. Math. u. Phys. 56, стр. 188) ввести въ формулы (4) разность

(11) d — m —

Послѣднія примутъ тогда слѣдующій видъ:

* = d(2 п-f- d),у = 2п (d-f- 0 = * -j~ =

гдѣ n обозначаетъ каждое неопредѣленное цѣлое число, а каждое взаимно-простое съ п положительное нечетное число. Соотвѣтственно значеніямъ этихъ двухъ элементовъ или цѣлочисленныхъ параметровъ d,и, всѣ треугольники могутъ быть расположены въ таблицу, имѣющую два направленія, причемъ ряды ея соотвѣтствуютъ различнымъ значеніямъ d, а промежутки между рядами — всевозможнымъ значеніямъ Первый рядъ, которому соотвѣтствуютъ Іи

xz=z2n-\-\, у = 2м (n-f-1), 0 = и(и-j-1)-f-1,

содержитъ пиѳагоровы треугольники, образованные по правилу Пиѳагора, а первый промежутокъ, для котораго = 1 п

очевидно, содержитъ пиѳагоровы треугольники, образованные по правилу Платона.

Каждый треугольникъ встрѣчается въ таблицѣ лишь одинъ разъ. Дѣйствительно, для отысканія его положенія въ таблицѣ, т.-е. для отысканія соотвѣтствующихъ ему значеній d, п, нужно по даннымъ значеніямъ у, г опредѣлить' изъ формулы (4) значенія d, п:

отсюда однозначно опредѣляются

(13)

Въ пиѳагоровомъ треугольникѣ нетолько стороны его, но и площадь 1 выражаются цѣлыми числами, что сразу видно изъ формулы

(14)

Числа 3, 4, 5, образующія простѣйшій треугольникъ, имѣютъ для всѣхъ остальныхъ треугольниковъ особое значеніе. Именно, въ каждомъ пиѳагоровомъ треугольникѣ, одно изъ чиселъ, измѣряющихъ катеты, дѣлится на 3; точно такъ же одно изъ нихъ дѣлится на 4, и, наконецъ, одно изъ трехъ чиселъ — на 5. Дѣйствительно, если одно изъ чиселъ т, п дѣлится на 3, то у = 2тп дѣлится на 3; въ противномъ случаѣ х=т2— га2 = 1 — 1—0 ( mod3); если одно изъ чиселъ га— четное, то у = 2 тп дѣлится на 4, въ противномъ случаѣ х = »г2—га2 = 0 (mod 4); наконецъ если одно изъ чиселъ га дѣлится на 5, то это относится и къ , въ противномъ же случаѣ числа гаг, га либо даютъ (mod 5) одинъ и тотъ же остатокъ 1 или 4, и тогда мы получаемъ х = rat2 — га2 = 0 (mod 5), либо одинъ квадратъ даетъ остатокъ 1, а другой — остатокъ 4, и тогда z — rat2 -J-ra2 = 0 (mod 5). Площадь пиѳагорова треугольника, на основаніи изложеннаго, всегда является кратною 6.

Заодно отмѣтимъ равенство: 4

4. Можно поставить также болѣе общій вопросъ о косоугольныхъ треугольникахъ, стороны которыхъ выражаются раціональными или проще — такъ какъ мы считаемъ, что онѣ измѣрены въ наименьшихъ единицахъ — цѣлыми числами, неимѣющими общихъ дѣлителей. При этомъ, въ отличіе отъ прямоугольныхъ треугольниковъ, площади, вообще говоря, ирраціональны. Но подъ раціональнымъ мы въ дальнѣйшемъ всегда будемъ понимать такой, у котораго какъ стороны, такъ и площадь раціональны. Обозначивши снова три стороны

буквами X, у, г и опредѣливъ три количества а, Ъ, с изъ равенствъ

(15)

получимъ

(16)

Какъ извѣстно, а, b я с выражаютъ собою отрѣзки, образуемые на сторонахъ треугольника точками касанія вписанной въ него окружности, слѣдовательно, площадь выражается формулою

(17)

Такимъ образомъ, съ точки зрѣнія теоріи чиселъ, отысканіе раціональныхъ треугольниковъ сводится къ опредѣленію всѣхъ положительныхъ значеній а,Ъ, с, обращающихъ выраженія (15) и (17) въ раціональныя числа, а первыя изъ нихъ, кромѣ, того,— въ числа цѣлыя, не имѣющія общихъ дѣлителей.

Такъ какъ х,у, z не должны имѣть ни одного общаго дѣлителя., то возможны лишь три случая:

1) всѣ три числа X, у, г — нечетныя;

2) два изъ нихъ, именно х, —нечетныя; а третье г—четное;

3) одно, именно х,— нечетное, а остальныя два, четныя. Въ первомъ и третьемъ случаяхъ а, Ь, с получаютъ значенія слѣдующаго вида:

гдѣ а, [3, f — цѣлыя числа, а формула (17) принимаетъ видъ

гдѣ подкоренное произведеніе представляетъ собою число, которое, какъ нетрудно видѣть, =3 (mod 4). Но такъ какъ число вида 4к + 3 не можетъ быть квадратомъ, то эти два случая не могутъ дать раціональнаго треугольника. Во второмъ случаѣ, на основы формулы (16), а, Ь, с обращаются въ цѣлыя числа, которыя не должны быть всѣ нечетными, такъ какъ при этомъ числа X, у, г, вопреки условію, имѣли бы общій дѣлитель 2. Такъ какъ, слѣдовательно, одно изъ нихъ должно быть четнымъ, то въ томъ случаѣ, когда число I получается раціональнымъ, I должно быть вмѣстѣ съ тѣмъ четнымъ числомъ. На основаніи всего этого можно высказать слѣдующее предложеніе:

Въ каждомъ раціональномъ треугольникѣ одно и только одно изъ чиселъ, измѣряющихъ стороны, а также число, измѣряющее площадь, являются четными, а всѣ отрѣзки сторонъ выражаются цѣлыми числами, изъ которыхъ одно также является четнымъ. Такъ какъ

затѣмъ высота, опущенная на сторону х, равна h — —, а, для отрѣзковъ s и t = xz+zs, отсѣкаемыхъ ею на сторонѣ легко найти

то въ каждомъ раціональномъ треугольникѣ радіусъ г вписанной окружности, высоты и отрѣзки, отсѣкаемые послѣдними на сторонахъ треугольника, выражаются раціональными числами.

5. Для опредѣленія всѣхъ раціональныхъ треугольниковъ, разсмотримъ теперь вмѣстѣ съ H. Rath’омъ два различныхъ случая.

Во-первыхъ, разсмотримъ тотъ особый случай, когда числа а, Ь, с представляютъ собою точные квадраты:

Тогда получаемъ

и задача сводится такимъ образомъ къ опредѣленію трехъ цѣлыхъ чиселъ а, ß, у, для которыхъ

т. е. сумма квадратовъ которыхъ представляетъ собою точный квадратъ. Числа а, ß, 7 не должны быть ни всѣ три четными, ни всѣ три — нечетными, такъ какъ при этомъ числа х, у, z имѣли бы общій дѣлитель 2. Пусть а будетъ поэтому нечетнымъ, а ß — четнымъ. Если мы затѣмъ положимъ

откуда

то, такъ какъ а2 -(- ß2= 1 ( mod4), мы получимъ <р = 4, потому у и о будутъ цѣлыми, a y даже точнѣе — четнымъ числомъ. На этомъ основаніи всѣ раціональные треугольники, отрѣзки сторонъ которыхъ измѣряются точными квадратами, найдутся, если мы будемъ складывать всѣ нечетные квадраты а2 со всѣми четными квадратами ß2, затѣмъ каждый разъ разлагать сумму a2-)-ß2 на два

положительныхъ множителя <р. изъ которыхъ черезъ <р мы будемъ обозначать большій, и принимать у = изъ отрѣзковъ

а = а2, Ь = ß2, с y2

сторонъ мы будемъ каждый разъ получать по формуламъ (15) соотвѣтствующій треугольникъ.

Но если мы, во-вторыхъ, откажемся отъ условія, чтобы числа а, Ь, с были квадратами, то общее рѣшеніе задачи представится слѣдующимъ образомъ. Для того, чтобы 1 было раціональнымъ, произведеніе

(а-\-Ъ -J- с) abc = а }- с),

согласно формулѣ (17), должно быть квадратомъ. Назвавъ поэтому общій наибольшій дѣлитель двухъ отмѣченныхъ множителей черезъ d, мы должны получить равенства слѣдующаго вида:

(18) a = d.i\ bc(a + b-{-

гдѣ і, h представляютъ собою взаимно-простыя числа.

Отсюда слѣдуетъ, что

(19) Ьс. (Ь-\-с) = d (h2— bei2).

Далѣе пусть 8 будетъ общимъ наибольшимъ дѣлителемъ чиселъ Ь, с, такъ что можно будетъ положить

Ь— S.ß, е = s-т;

число ß — взаимно-простое съ у, а 8 — съ такъ какъ числа а, Ь, с не могутъ имѣть общаго дѣлителя, который не принадлежалъ бы вмѣстѣ съ тѣмъ числамъ х, у, z. При этомъ вслѣдствіе второго изъ равенствъ (18), h должно дѣлиться на 8, h = 67-, и равенство (19) принимаетъ слѣдующій видъ:

(20)

т.-е. дробь, стоящая въ лѣвой части, послѣ сокращенія должна обратиться въ И такъ, мы получаемъ слѣдующее правило:

Для полученія всѣхъ раціональныхъ треугольниковъ нужно составить, съ одной стороны, для двухъ произвольныхъ положительныхъ взаимно - простыхъ чиселъ ß, а съ другой стороны— для двухъ произвольныхъ положительныхъ взаимно — простыхъ чиселъ к, і приведенное значеніе дроби

если это значеніе равно то изъ формулъ

получаются отрѣзки сторонъ каждаго изъ искомыхъ треугольниковъ.

Напримѣръ для [5 = 2, у = 1, Je = 2, г = 1 находимъ

слѣдовательно, d = 3, 8 = 1, а = 3, 6=2, с = 1, откуда

Для [5 = 4, у = 3, 1с = 6, г = 1 получается

слѣдовательно, d = 7, 8 = 2, а = 7, 6 = 8, с = 6 и поэтому

Оба случая замѣчательны тѣмъ, что стороны треугольниковъ — въ первомъ случаѣ прямоугольнаго, а во второмъ косоугольнаго,— выражаются тремя послѣдовательными цѣлыми числами.

Впрочемъ, можно замѣтить, что задача нахожденія всѣхъ раціональныхъ треугольниковъ сводится къ задачѣ опредѣленія пиѳагоровыхъ треугольниковъ. Именно, если мы приложимы другъ къ другу два такихъ или, выражаясь общѣе, два раціональныхъ прямоугольныхъ треугольника, имѣющихъ общій катетъ, что можетъ быть произведено двояко (треугольники могутъ расположиться по одну и ту же или по разныя стороны отъ общаго катета), то получатся два косоугольныхъ треугольника, которые мы будемъ называть по отношенію къ первымъ разностными или суммарными треугольниками; очевидно, что они представляютъ собою раціональные треугольники, такъ какъ ихъ стороны, равно какъ и площади, выражаются цѣлыми, а слѣдовательно, и раціональными числами. Но такимъ образомъ получаются всѣ раціональные треугольники. Въ самомъ дѣлѣ, если мы въ одномъ изъ такихъ треугольниковъ проведемъ какую-либо изъ трехъ высотъ, то составятся два прямоугольныхъ треугольника, имѣющихъ общій катетъ; но и этотъ катетъ, т. е. высота, и образованные имъ отрѣзки сторонъ, т.-е. вторые катеты прямоугольныхъ треугольниковъ, измѣряются, согласно вышесказанному, раціональными числами; то же относится и къ гипотенузами, т.-е. двумъ другимъ сторонамъ даннаго треугольника. Такимъ образомъ данный косоугольный треугольникъ, въ зависимости отъ того, пересѣкаетъ ли его высота противоположную сторону или продолженіе послѣдней, представляетъ собою суммарный или разностный треугольникъ двухъ прямоугольныхъ треугольниковъ. Поэтому приведенныя изслѣдованія представляются болѣе интересными съ точки зрѣнія теоріи чиселъ, чѣмъ съ точки зрѣнія геометріи.

6. Эти изслѣдованія были обобщены тѣмъ, что, кромѣ отысканія раціональныхъ треугольниковъ, былъ разсмотрѣнъ также

вопросъ объ опредѣленіи всѣхъ четыреугольниковъ, стороны и діагонали которыхъ, равно какъ и площади, выражаются раціональными числами. На эту задачу обращено вниманіе уже въ алгебрѣ индуса Brahmagupta (Algebra with Arithmetic and Mensuration, изд. Colebrooke) и не безъ успѣха, такъ какъ въ ней данъ рядъ правилъ, при помощи которыхъ, дѣйствительно, можно образовать раціональные четыреугольники.

(Продолженіе въ слѣд. №)

Проэктъ программы по математикѣ для общеобразовательной средней школы.

К. Лебединцевъ. (Москва).

(Продолженіе).

Программа второй ступени

(4, 5, 6 и 7 классы).

Четвертый классъ (4 урока).

Алгебра (2 урока).

Учебный планъ. Четыре дѣйствія (сложеніе, вычитаніе, умноженіе и дѣленіе) надъ цѣлыми и дробными алгебраическими выраженіями. Пропорціи. Уравненія первой степени съ однимъ и со многими неизвѣстными. Простѣйшія неравенства.

Программа. Повтореніе, расширеніе и систематизація усвоенныхъ на первой ступени познаніи о четырехъ дѣйствіяхъ надъ цѣлыми одночленами и многочленами. Особые случаи умноженія и дѣленія. Разложеніе простѣйшихъ многочленовъ на множителей. Наименьшее кратное. Алгебраическія дроби; ихъ сокращеніе и приведеніе къ общему знаменателю. Дѣйствія надъ алгебраическими дробями.

Общее понятіе о равенствѣ. Пропорціи; доказательство ихъ основного свойства. Простѣйшія производныя пропорціи. Понятіе о среднемъ ариѳметическомъ и среднемъ геометрическомъ.

Уравненія первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ. Приложеніе ихъ къ рѣшенію задачъ; истолкованіе смысла получаемыхъ рѣшеній.

Уравненія первой степени съ двумя неизвѣстными. Приложеніе ихъ къ рѣшенію задачъ истолкованіе смысла получаемыхъ рѣшеній.

Уравненія первой степени съ тремя и большимъ числомъ неизвѣстныхъ (простѣйшіе случаи), съ приложеніемъ къ рѣшенію задачъ.

Простѣйшія неравенства первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ.

Геометрія (2 урока).

Учебный планъ. Основныя свойства линій, угловъ, треугольниковъ, четыреугольниковъ, многоугольниковъ и окружности.

Программа. Повтореніе усвоенныхъ на первой ступени основныхъ понятій о геометрическомъ тѣлѣ, поверхности, линіи, точкѣ; о плоскости, прямой линіи и ея свойствахъ; объ углахъ, равенствѣ и неравенствѣ угловъ. Смежные углы. Прямой уголъ; перпендикуляръ. Вертикальные углы. Треугольники; условія ихъ равенства. Основныя соотношенія между элементами треугольника. Свойства перпендикуляровъ и наклонныхъ. Основныя задачи на построеніе. Параллельныя прямыя. Суммы угловъ треугольника и многоугольника. Основныя свойства четыреугольниковъ (параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата, трапеціи). Основныя свойства окружности, дугъ, хордъ, сѣкущихъ и касательныхъ. Построеніе окружности, описанной около треугольника и вписанной въ него.

Пятый классъ (4 урока).

Алгебра и начатки ученія о функціяхъ (2 урока въ первомъ полугодіи и 3—во второмъ).

Учебный планъ. Возвышеніе въ степень и извлеченіе корня. Понятіе о мнимомъ и ирраціональномъ числѣ. Квадратныя уравненія. Простѣйшія уравненія высшихъ степеней, приводимыя къ квадратнымъ и линейнымъ. Простѣйшія функціи первой степени и ихъ графическое изображеніе.

Программа. Возвышеніе въ степень произведенія, степени и дроби. Возвышеніе въ степень одночленовъ; нѣкоторые частные случаи возвышенія въ степень многочленовъ (квадратъ многочлена, кубъ двучлена).

Понятіе о корнѣ. Правило знаковъ при извлеченіи корня изъ чиселъ; понятіе о мнимомъ числѣ. Извлеченіе квадратнаго корня изъ чиселъ. Извлеченіе корня изъ произведенія, степени и дроби и изъ простѣйшихъ одночленовъ.

Рѣшеніе простѣйшихъ квадратныхъ уравненій съ однимъ неизвѣстнымъ и соотвѣтствующихъ задачъ (для случаевъ раціональныхъ рѣшеній).

Понятіе о квадратномъ корнѣ изъ неполнаго квадрата, какъ объ ирраціональномъ числѣ; понятіе объ его приближенныхъ значеніяхъ и вычисленіе ихъ. Обобщеніе понятія объ ирраціональномъ корнѣ на случай любой степени. Дѣйствія надъ ирраціональными выраженіями (простѣйшіе случаи, приложимые въ дальнѣйшей практикѣ). Квадратныя уравненія съ ирраціональными рѣшеніями.

Изслѣдованіе общей формулы рѣшенія квадратнаго уравненія; зависимость между его коэффиціентами и корнями. Биквадратныя уравненія. Квадратныя уравненія съ двумя и большимъ числомъ неизвѣстныхъ (простѣйшіе случаи). Ирраціональныя уравненія (простѣйшіе случаи).

Понятіе о постоянныхъ и перемѣнныхъ количествахъ, о независимыхъ перемѣнныхъ и функціяхъ. Разсмотрѣніе простѣйшихъ задачъ, приводящихъ къ функціямъ вида у~ах, и наглядное изображеніе результата чертежемъ; основныя понятія о прямоугольныхъ координатахъ (на плоскости); функція у=.ах, какъ общее выраженіе закона прямой пропорціональности и ея графика (съ простѣйшими практическими приложеніями). Функціи вида у — ax-f- Ъ(равномѣрное измѣненіе) и ихъ графика. Графическое рѣшеніе уравненій первой степени.

Геометрія (2 ур. въ первомъ полуг. и 1 ур. во второмъ).

Учебный планъ. Измѣреніе отрѣзковъ прямыхъ; соизмѣримые и несоизмѣримые отрѣзки.

Измѣреніе дугъ и угловъ. Подобіе треугольниковъ и многоугольниковъ. Числовыя зависимости между элементами треугольника и другихъ фигуръ. Площади прямолинейныхъ фигуръ. Правильные многоугольники.

Программа. Общій способъ измѣренія прямолинейныхъ отрѣзковъ; общая мѣра; соизмѣримые и несоизмѣримые отрѣзки; отношеніе точное и приближенное.

Центральные углы и зависимость между ними и соотвѣтствующими дугами. Измѣреніе дугъ и угловъ градусами. Вписанные и описанные углы и ихъ измѣреніе.

Понятіе о подобныхъ треугольникахъ и многоугольникахъ. Основныя условія подобія треугольниковъ и многоугольниковъ. Отношеніе периметровъ подобныхъ треугольниковъ и многоугольниковъ.

Числовыя зависимости между линейными элементами прямоугольнаго треугольника. Пиѳагорова теорема. Понятіе о рѣшеніи прямоугольныхъ треугольниковъ съ помощью таблицы катетовъ. Зависимости между линейными элементами остроугольнаго и тупоугольнаго треугольника. Зависимость между сторонами и діагоналями параллелограмма.

Вычисленіе площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеціи. Отношеніе площадей подобныхъ треугольниковъ и многоугольниковъ. Правильные многоугольники. Величина угла правильнаго многоугольника. Построеніе окружности, вписанной въ правильный многоугольникъ и описанной около него; зависимость между апоѳемой, стороной и радіусомъ описаннаго круга. Площадь правильнаго многоугольника; отношеніе периметровъ и площадей правильныхъ многоугольниковъ съ одинаковымъ числомъ сторонъ. Какъ вписать въ кругъ правильный четыреугольникъ, шестиугольникъ, треугольникъ, десятиугольникъ и опредѣлить ихъ сторону въ зависимости отъ радіуса. Какъ опредѣ-

лить сторону правильнаго описаннаго многоугольника по данной сторонѣ одноименнаго правильнаго вписаннаго многоугольника. Какъ опредѣлить по данной сторонѣ правильнаго вписаннаго многоугольника сторону другого правильнаго вписаннаго многоугольника съ удвоеннымъ числомъ сторонъ.

Шестой классъ (4 урока).

Алгебра, въ связи съ основами ученія о функціяхъ (2 урока).

Учебный планъ. Прогрессіи. Простѣйшія функціи второй степени и ихъ графическое изображеніе. Основы ученія о безконечно малыхъ и о предѣлахъ.

Обобщеніе понятія о показателѣ. Понятіе о логариѳмѣ; простѣйшія логариѳмическія вычисленія.

Программа. Ариѳметическая и геометрическая прогрессія; опредѣленіе ихъ любого члена и суммы членовъ.

Функція второй степени у — (равномѣрно ускоренное и равномѣрно замедленное измѣненіе), и ея графика (парабола). Приложеніе ея къ графическому рѣшенію квадратныхъ уравненій. Функціи вида у = ах2.

Функція вида У = х(законъ обратной пропорціональности) и ея графика (гипербола). Приложеніе ея къ физикѣ (законъ Бойль-Маріотта).

Функціи вида ij — sja1—^ и у=^\/сУУ-~х*и ихъ графики (кругъ и эллипсъ).

Понятіе о безконечно большихъ и безконечно малыхъ количествахъ. Важнѣйшіе примѣры безконечно малыхъ количествъ (длина стороны правильнаго вписаннаго въ кругъ многоугольника при безграничномъ возрастаніи числа его сторонъ; величина м-го члена убывающей геометрической прогрессіи при безграничномъ увеличеніи числа ея членовъ). Основныя теоремы о безконечно малыхъ (о суммѣ, разности и произведеніи безконечно малыхъ на постоянное и перемѣнное конечное). Понятіе о предѣлѣ. Предѣлъ величины угла правильнаго многоугольника и апоѳемы правильнаго вписаннаго многоугольника при безграничномъ возрастаніи числа сторонъ. Предѣлъ суммы членовъ безконечно убывающей геометрической прогрессіи. Основныя теоремы о предѣлахъ (предѣлъ суммы, разности, произведенія и частнаго).

Обобщеніе понятія о показателѣ на случаи нулевого, отрицательнаго и дробнаго показателя. Правила дѣйствій надъ количествами съ этими показателями.

Понятіе о логариѳмѣ. Понятіе о вычисленіи десятичныхъ логариѳмовъ элементарными пріемами. Логариѳмъ произведенія, частнаго, степени, корня. Примѣненіе таблицъ десятичныхъ логариѳмовъ (четырехзначныхъ) къ простѣйшимъ вычисленіямъ.

Геометрія и тригонометрія (2 урока).

Учебный планъ. Взаимное положеніе прямыхъ и плоскостей въ пространствѣ. Многогранные углы. Измѣреніе поверхностей и объемовъ призмъ и пирамидъ. Круглыя тѣла. Приложеніе теоріи предѣловъ къ вычисленію длины окружности и площади круга, поверхностей и объемовъ круглыхъ тѣлъ. Тригонометрическія величины остраго угла и ихъ приложеніе къ рѣшенію прямоугольныхъ треугольниковъ.

Программа. Условія, опредѣляющія положеніе плоскости въ пространствѣ. Понятіе о перпендикулярѣ къ плоскости; условіе перпендикулярности прямой къ плоскости. Сравнительная величина перпендикуляра и наклонныхъ; свойство прямой, проведенной на плоскости перпердикулярно къ проэкціи наклонной. Условія параллельности двухъ прямыхъ, прямой и плоскости и двухъ плоскостей. Основныя свойства двуграннаго и многограннаго угла.

Призмы и пирамиды; измѣреніе ихъ поверхностей и объемовъ.

Вычисленіе длины окружности, какъ предѣла периметровъ правильныхъ вписанныхъ и описанныхъ многоугольниковъ, при безграничномъ возрастаніи числа ихъ сторонъ. Понятіе о вычисленіи л. Вычисленіе площади круга, какъ предѣла площадей указанныхъ многоугольниковъ.

Цилиндръ, конусъ, шаръ. Вычисленіе ихъ поверхностей и объемовъ при помощи теоріи предѣловъ. Коническія сѣченія.

Понятія о тригонометрическихъ величинахъ остраго угла.

Основныя зависимости между тригонометрическими величинами одного и того же угла. Зависимость между величинами угла X и 90°—X. Понятіе о вычисленіи тригонометрическихъ величинъ (графическимъ методомъ). Зависимость между элементами прямоугольнаго треугольника. Рѣшеніе прямоугольныхъ треугольниковъ, съ простѣйшими приложеніями.

Седьмой классъ (3 урока).

Математика безъ подраздѣленія на отдѣлы.

Учебный планъ. Дополненіе, повтореніе и систематизація основъ всего курса математики.

Программа. Тригонометрическія величины прямого и тупого угла. Зависимости между величинами угловъ 90° + х, 180° — х и X. Зависимости между элементами косоугольнаго треугольника. Рѣшеніе косоугольныхъ треугольниковъ.

Обзоръ разсмотрѣнныхъ ранѣе функцій съ расширеніемъ и дополненіемъ свѣдѣній объ нихъ. Понятіе о показательной и логариѳмической функціи. Тригонометрическія функціи и ихъ графики.

Понятіе о производной функціи, съ простѣйшими приложеніями. Понятіе о непрерывности функціи. Понятіе объ интегралѣ.

Общій обзоръ ученія о числѣ (отъ цѣлаго положительнаго до комплекснаго включительно) и о дѣйствіяхъ надъ числами; общія свойства дѣйствій.

Ученіе о равносильныхъ уравненіяхъ и неравенствахъ. Изслѣдованіе уравненій.

Понятіе о математикѣ, какъ логической системѣ. Аксіомы и теоремы въ математикѣ. Значеніе постулата Эвклида о параллельныхъ прямыхъ. Понятіе о неэвклидовой геометріи.

(Окончаніе слѣдуетъ).

Проектъ новыхъ программъ преподаванія математики въ средней школѣ, составленный Комиссіей при Министерствѣ Народнаго Просвѣщенія весною 1915 года.

(Докладъ, читанный въ засѣданіи Московскаго Математическаго Кружка 28 января 1916 г.).

А. Волковъ. Москва.

Въ №№ 11, 12 за 1915 г. и 1 за. 1916 г. „Журнала Министерства Народнаго Просвѣщенія“ напечатаны подъ общимъ заголовкомъ „Матеріалы по реформѣ средней школы“ примѣрныя программы и объяснительныя записки къ нимъ, составленныя Комиссіей, работавшей надъ этимъ вопросомъ подъ предсѣдательствомъ Товарища Министра Народнаго Просвѣщенія профессора Т. В. Шевякова весной 1915 года. Нельзя не привѣтствовать опубликованія указанныхъ „Матеріаловъ“, такъ какъ оно позволяетъ подвергнуть напечатанные проекты программъ подробному обсужденію до проведенія въ жизнь намѣченнаго плана преобразованія средней школы и до введенія въ дѣйствіе составленныхъ программъ. Предлагаемая статья имѣетъ цѣлью разборъ одного изъ частныхъ вопросовъ, затронутыхъ въ „Матеріалахъ“—плановъ и программъ преподаванія математики. Несомнѣнно, подобныя же статьи, посвященныя организаціи преподаванія другихъ предметовъ, появятся изъ-подъ пера спеціалистовъ по преподаванію этихъ дисциплинъ. Тѣмъ не менѣе, въ качествѣ введенія придется остановиться вкратцѣ на общемъ планѣ реформы и на томъ положеніи, которое будутъ занимать тѣ или иные предметы въ предполагаемой „новой“ средней школѣ. Поэтому, прежде чѣмъ перейти къ разбору программъ по математикѣ, намъ будетъ необходимо разобрать и общіе принципы организаціи „новой“ средней школы.

§ 1. Общія положенія.

Какъ указывается въ введеніи къ „Матеріаламъ“, „особое совѣщаніе, собранное въ апрѣлѣ 1915 г., подъ предсѣдательствомъ графа П. Н. Игнатьева, установило общія положенія, на которыхъ должна строиться средняя школа. Для детальной разработки этихъ положеній, составленія новаго устава, установленія типовъ школы, построенія учебныхъ плановъ и программъ, Министерство избрало изъ среды педагоговъ цѣлый рядъ лицъ. Этимъ лицамъ было поручено образованіе различныхъ комиссій, для разработки того или иного спеціальнаго вопроса, главнымъ же образомъ, выработки учебныхъ плановъ и программъ“.

Къ сожалѣнію, въ цитируемомъ введеніи не указано ни состава отдѣльныхъ комиссій*), ни тѣхъ основаній, на которыхъ тѣ или другія лица были приглашены къ участію въ ихъ работѣ. Лишь изъ „письма“, напечатаннаго въ январской книгѣ за 1916 г. Ж. М. Н. Пр., (до напечатанія приведеннаго въ примѣчаніи списка) можно было установить, что предсѣдателемъ предметной комиссіи по выработкѣ программы математики въ реформируемой средней школѣ былъ профессоръ К. А. Поссе. Содержаніе „письма“ указываетъ на то, что, въ самой „предметной комиссіи“, повидимому, были довольно крупныя разногласія, такъ что одна изъ напечатанныхъ программъ является проектомъ „меньшинства“ членовъ комиссіи, а остальныя, слѣдовательно, выражаютъ мнѣніе „большинства“.

Основныя „положенія“, давшія комиссіямъ „указанія“ для ихъ работы, сводятся къ слѣдующимъ:

Школа должна быть: 1) національной, 2) самодовлѣющей, т.-е. дающей общее образованіе и не имѣющей непосредственной цѣлью подготовку въ высшія учебныя заведенія, 3) семилѣтней и 4) состоящей изъ двухъ ступеней: первой съ трехлѣтнимъ и второй съ четырехлѣтнимъ курсомъ обученія“.

Не входя въ подробный разборъ перечисленныхъ положеній, мы не можемъ не отмѣтить въ нихъ смѣшенія двухъ точекъ зрѣнія: принципіальной (1 и 2) и практической (3 и 4).

Что касается положенія 1-го, то приходится указать его крайнюю неопредѣленность, такъ какъ въ зависимости отъ того содержанія, которое можетъ быть вложено въ слово „національный“, отношеніе къ этому пункту можетъ оказаться весьма

*) Въ февральской книгѣ Ж. М. Н. Пр. составъ комиссій опубликованъ. Предметная комиссія по математикѣ состояла ивъ слѣдующихъ лидъ. Иредс.—проф. К. А. Поссе; члены: Д. А. Граве, П. М. Іозефовичъ, В. А. Кондратьевъ, К. Ѳ. Лебединцевъ, В. М. Меліоранскій, В. Е. Синелыциковъ, Д. М. Синцовъ, Е, А. Холодовскій, Д. П. Цинзерлингъ, И. Н. Шафрановскій.

различнымъ; второй пунктъ, несмотря на сопровождающее его разъясненіе, также страдаетъ большой неопредѣленностью. Замѣна принципіальной точки зрѣнія указаніемъ числа лѣтъ продолжительности курса средней школы и дѣленія ея на ступени (пункты 3 и 4), несомнѣнно, отразилась неблагопріятно на самомъ планѣ организаціи средней школы. Быть можетъ, было бы гораздо цѣлесообразнѣе пункты 3 и 4 замѣнить указаніемъ на желательность омоложенія состава кончающихъ среднюю школу и на нежелательность пребыванія въ стѣнахъ одной и той же школы учащихся, рѣзко разнящихся по возрасту. Изъ другихъ вопросовъ затронутыхъ въ введеніи, слѣдуетъ отмѣтить, напр., вопросъ о „семестровой системѣ“, способахъ оцѣнки и провѣрки познаній учащихся, экзаменахъ и т. и. Признавая весьма полезнымъ осуществленіе многихъ изъ указанныхъ пожеланій, мы не можемъ не отмѣтить, что въ „Матеріалахъ“ нѣтъ никакихъ указаній на то, какъ эти пожеланія могутъ быть проведены въ жизнь; между тѣмъ нельзя не признать, что осуществленіе этихъ пожеланіи связано съ необходимостью преодоленія ряда трудностей даже чисто техническаго свойства, напримѣръ, вытекающихъ изъ тѣсноты существующихъ помѣщеній, недостатка педагогическаго пе2)сонала и проч., не говоря о трудностяхъ другого и болѣе высокаго порядка.

§ 2. Таблица уроковъ.

Выработанная. Комиссіей таблица уроковъ представляется въ слѣдующемъ видѣ;

Первая ступень.

Образовательные предметы.

I кл. II кл. III кл. Всего

Зак. Божій 2 2 2 6

Русскій яз. 6 6 6 18

Математика 4 4 4 12

Исторія 2 2 2 6

Географія 2 2 3 7

Естествовѣд. 2 2 2 6

Итого. . . 18 18 19 55

Воспитательные предметы.

I кл. II. кл. III кл. Всего

Физ. упр. 3 3 3 9

Рисованіе 2 2 3 7

Пѣніе 1 1 1 3

Пр. зан. ест. , 1 1 1 3

Итого. . . 7 7 8 22

Всего. . . 25 25 27 77.

Вторая ступень.

Типы школы. Новогуманитарная. Гуманитарно-классическая. Реальная.

Законъ Божій

Русскій языкъ

Исторія

Математика

Физика съ космографіей

Химія

Логика........

Новый языкъ

Географія

Естествовѣдѣніе ....

Древній языкъ

Пр. зан. по физикѣ и химіи

Физическія упражненія

Рисованіе

Ознакомленіе съ памятн. искусства..

Черченіе

Практ. занятія по физикѣ

Практ. занятія по химіи

Прак. зан. по естествовѣдѣнію

Прежде чѣмъ перейти къ разбору „таблицы“, необходимо исправить имѣющіяся въ ней опечатки: 1) въ новогуманитарной школѣ общее число часовъ по математикѣ указано 14, а на самомъ дѣлѣ оно равно 15; опечатка произошла, повидимому, потому, что при окончательной сводкѣ показанное раньше число часовъ 2 въ VII классѣ, было исправлено на 3 (1 часъ въ полугодіе по геометріи; 1 часъ въ одно полугодіе и 2 въ другое

*) Реальная школа раздѣляется на двѣ вѣтви: физико-математическую и естественно-историческую; на физико-математической 22 часа математики, 2 часа естествовѣдѣнія, 3 часа рисованія и 1 часъ практ. занятій по естествовѣдѣнію, а на естественно-исторической—17 часовъ математики, 9 час. естествовѣдѣнія, 2 часа рисованія, 3 часа пр. зан. по естествовѣдѣнію.

по тригонометріи и 1 часъ по алгебрѣ), но исправленія не были сдѣланы вездѣ, гдѣ слѣдовало; аналогичная ошибка имѣется на стр. 246, гдѣ пропущенъ 1 часъ на алгебру; 2) общее число часовъ по физикѣ въ реальной школѣ показано 15, тогда какъ оно равно 13; 3) общее число часовъ на естественно-исторической вѣтви по таблицѣ, напечатанной въ Ж. М. Н. Пр., выходитъ равнымъ 123, а на самомъ дѣлѣ оно равно 120, а на физико-математической вѣтви оно равно 117, а не 119, какъ выходитъ если сложить данныя въ таблицѣ числа 97 и 22; точно также имѣются ошибки въ подсчетѣ часовъ въ отдѣльныхъ классахъ реальной школы; имѣется также разногласіе относительно числа часовъ по физикѣ въ YII классѣ между таблицей часовъ и „планомъ курса“.

Изъ обзора таблицы видно, что имѣется въ виду создать четыре типа школы: 1) новогуманитарную школу, 2) гуманитарно-классическую, 3) реальную—съ преобладаніемъ физико-математическихъ наукъ и 4) реальную съ преобладаніемъ естествовѣдѣнія. „Матеріалы“ предусматриваютъ еще одинъ типъ школы— съ двумя древними языками; его мы касаться не будемъ, такъ какъ для него имѣются въ разработанномъ видѣ лишь программы древнихъ языковъ; замѣтимъ только, что въ немъ нѣтъ дѣленія на двѣ ступени и что, кромѣ того, его слѣдуетъ признать школой съ восьмилѣтнимъ курсомъ, такъ какъ изъ примѣчанія къ „таблицѣ часовъ“ по этому типу слѣдуетъ, что въ первый классъ этой школы предполагается принимать учениковъ, обладающихъ по русскому языку и ариѳметикѣ „знаніемъ того, что проходится въ I классѣ общеобразовательной средней школы“.

Школа дѣлится на двѣ ступени: низшую съ трехлѣтнимъ курсомъ и высшую съ четырехлѣтнимъ; низшая ступень для всѣхъ типовъ имѣетъ одну и ту же программу, въ которую изученіе языковъ совсѣмъ не входитъ. Въ таблицѣ проведенъ принципъ дѣленія предметовъ на образовательные и воспитательные. Среди воспитательныхъ предметовъ обращаетъ на себя вниманіе предметъ, совершенно новый въ программѣ средней школы — Изученіе памятниковъ искусства (2 годовыхъ часа); въ январской книгѣ Ж. М. Н. П. (1916 г.) имѣется планъ и объяснительная записка къ преподаванію этого предмета; хотя мы и не являемся спеціалистами въ этой области, но нельзя не высказать сомнѣнія въ возможности уложить ту обширную программу, которая предположена, въ отведенныя для нея 2 недѣльныхъ часа.

Нельзя же выразить сомнѣнія въ цѣлесообразности такой квадрифуркаціи школы и спеціализаціи ея съ такого сравнительнаго ранняго возраста, къ которому принадлежатъ ученики IV класса; весьма сомнительно, чтобы къ этому возрасту склонности, стремленія и научные интересы большинства учениковъ вполнѣ опредѣлились, а въ такомъ случаѣ выборъ подходящаго для ученика типа школы будетъ производиться втемную и можетъ повлечь поэтому трудно поправимыя ошибки.

Не входя въ подробную критику самой таблицы, мы не можемъ не отмѣтить нѣкоторыхъ вопросовъ, которые сами собой

напрашиваются даже при бѣгломъ ея обзорѣ. Почему такъ колеблются числа часовъ по русскому языку въ однихъ и тѣхъ же классахъ разныхъ типовъ школы (отъ 3 въ гуманит. класс. отд., до 5 въ новогуманит.—въ Y классѣ)? Почему логика въ гуманитарной школѣ отнесена на VII классъ, а въ реальной на VI? Трудность подыскать мотивы для такихъ различій вызываетъ предположеніе, что эти различія нашли себѣ мѣсто не въ силу принципіальныхъ соображеній, а лишь вслѣдствіе стремленія не выходить изъ заранѣе установленной нормы числа уроковъ.

Къ числу достоинствъ плановъ слѣдуетъ отнести заботу о сокращеніи многопредметности и чрезмѣрнаго обремененія учениковъ уроками, число которыхъ, напр., въ современной реальной школѣ доходитъ до 36, а иногда и до 37. Но едва ли во всемъ можно согласиться съ тѣмъ, какъ эти цѣли достигнуты. Обратимъ, напримѣръ, вниманіе на новые языки: во всѣхъ типахъ школъ лишь одинъ новый языкъ, но число часовъ на него колеблется отъ 18 до 13. Сокращеніе общаго числа часовъ такимъ образомъ, очевидно, достигнуто за счетъ новыхъ языковъ. Между тѣмъ географія получаетъ такое число часовъ, какого на нее не отводилось раньше. Исторія остается и теперь при тѣхъ 20 урокахъ въ недѣлю (въ новогуманитарной школѣ), которые на нее полагались въ гимназіи при 8-лѣтнемъ курсѣ, при числѣ часовъ, которое нельзя не признать чрезмѣрнымъ, если сравнить его съ числомъ часовъ по математикѣ (27) въ томъ же типѣ школы. Физика не только почти не пострадала отъ сокращенія, но въ реальной школѣ расширилась; но математику постигло сокращеніе, и въ нѣкоторыхъ случаяхъ столь значительное, что трудно дать себѣ отвѣтъ, какъ можно при предположенномъ числѣ часовъ исполнить намѣченную программу. Отъ 34 часовъ въ физико-математической вѣтви реальной школы (противъ 35 часовъ по существующимъ планамъ реальныхъ училищъ) это число, понижаясь, доходитъ до 24 часовъ въ гуманитарноклассической школѣ (противъ 32 часовъ въ современной гимназіи и 29 часовъ—по планамъ 1890 года).

Нельзя не указать поэтому на весьма убогій характеръ новогуманитарной школы съ однимъ лишь новымъ языкомъ и гуманитарно-классической съ явно недостаточнымъ числомъ часовъ по новому языку и математикѣ. Что же касается реальной школы, то положеніе въ ней новаго языка еще печальнѣе.

Въ заключеніе слѣдуетъ отмѣтить, что въ проектѣ ничего не говорится о томъ, будутъ ли школы каждаго отдѣльнаго типа существовать отдѣльно, или всѣ четыре вѣтви школы будутъ соединены въ каждомъ учебномъ заведеніи, или онѣ будутъ соединены попарно: ново-гуманитарная съ гуманитарно-классической, а физико-математическая съ естественно-исторической. За каждый изъ способовъ рѣшенія поставленнаго вопроса можно высказать извѣстные доводы и противъ каждаго свои возраженія, и каждый изъ способовъ рѣшенія будетъ связанъ съ цѣлымъ рядомъ техническихъ затрудненій для своего осуществленія.

§ 3. Цѣли преподаванія математики въ средней школѣ.

Если принципы, положенные въ основу организаціи новой школы, формулированы въ высшей степени кратко и неопредѣленно, то на вопросъ, какія задачи ставитъ проектъ преподаванію въ средней школѣ математики вообще или тѣхъ или иныхъ ея отдѣловъ въ частности, въ „Матеріалахъ“ мы не находимъ никакого отвѣта. Въ этомъ отношеніи даже планы и программы мужскихъ гимназій и прогимназій, утвержденные 20 іюля 1890 года, оказываются много выше имѣющихся въ „Матеріалахъ“, такъ какъ начинаютъ съ опредѣленія тѣхъ задачъ, которыя должны быть поставлены преподаванію того или другого предмета. Правда, съ современной точки зрѣнія формулировка, данная въ указанныхъ программахъ можетъ считаться и односторонней и устарѣлой (какъ ставящая въ преподаваніи математики на первый планъ формальный принципъ), но она во всякомъ случаѣ указываетъ (допустимъ даже, что ошибочно) то направленіе, въ которомъ должно вестись преподаваніе. Находящіяся въ „Матеріалахъ“ программы снабжены объяснительными записками, но послѣднія въ большинствѣ случаевъ, не касаясь общихъ принципіальныхъ вопросовъ, ограничиваются указаніями, иногда въ весьма категорической формѣ и при томъ весьма спорными по существу, какъ и что слѣдуетъ проходить, чего проходить не слѣдуетъ, чего можно не требовать отъ учениковъ и т. п.

Быть можетъ отсутствіе опредѣленно установленной принципіальной точки зрѣнія на задачи преподаванія математики въ средней школѣ и придало проекту программъ тотъ характеръ частичныхъ и случайныхъ поправокъ, который онѣ имѣютъ, и сохранило въ немъ наиболѣе одіозныя черты существующей программы реальныхъ училищъ.

§ 4. Содержаніе программъ первой ступени.

Программа математики первой ступени является общей для всѣхъ типовъ школы, какъ и программы остальныхъ предметовъ. Она въ общемъ сохраняетъ тотъ порядокъ вещей, который былъ установленъ въ реальныхъ училищахъ программой 1906 года и недавнимъ циркуляромъ распространенъ и на гимназіи. Сущность его заключается въ томъ, что дается одна общая программа для перваго и второго классовъ (по 4 часа въ недѣлю), обнимающая цѣлыя числа и дроби, но безъ періодическихъ дробей, относимыхъ въ отдѣлъ о прогрессіяхъ. Новымъ въ программѣ этихъ двухъ классовъ является включеніе курса наглядной геометріи, но не въ видѣ отдѣльнаго пропедевтическаго курса, а въ тѣсной связи съ курсомъ ариѳметики. Такое рѣшеніе вопроса о наглядной геометріи представляется намъ весьма цѣлесообразнымъ; оно позволяетъ освободить курсъ ариѳметики отъ нелѣпыхъ задачъ,

нерѣдко встрѣчающихся въ задачникахъ, и даетъ болѣе пригодный матеріалъ для упражненій. Но весьма непонятно, почему наглядная геометрія отсутствуетъ въ программѣ третьяго класса. Программа третьяго класса включаетъ въ себя ариѳметику и алгебру. Изъ программы, ариѳметики устраняется правило смѣшенія, чего нельзя не привѣтствовать; зато довольно подробно изучаются пропорціи, включая сюда и производныя и сложныя пропорціи и свойства равныхъ отношеній. Причины перенесенія теоріи пропорцій въ ариѳметику являются довольно непонятными; и объяснительная записка ничего по этому поводу не разъясняетъ, а только указываетъ, что должно и чего не слѣдуетъ проходить.

Программа алгебры представляетъ обычную программу третьяго класса мужскихъ среднихъ учебныхъ заведеній по этому предмету, но не содержитъ совсѣмъ указаній на уравненія. Этимъ и заканчивается обученіе математикѣ на первой ступени.

Дѣленіе школы на двѣ ступени позволяло бы ожидать, что и первая ступень должна давать въ извѣстной степени законченный кругъ знаній по каждому предмету. Но едва ли тѣ свѣдѣнія по алгебрѣ, которыя включены въ программу третьяго класса, могутъ претендовать хотя бы на нѣкоторую законченность и закругленность. Съ послѣдней точки зрѣнія куда умѣстнѣе было бы включеніе въ курсъ третьяго класса численныхъ уравненій первой степени съ одной неизвѣстной, какъ дающихъ новый методъ рѣшенія ариѳметическихъ задачъ; такую перестановку нетрудно было бы сдѣлать путемъ перенесенія нѣкоторыхъ алгебраическихъ преобразованій въ курсъ четвертаго класса. Еще менѣе понятнымъ является съ указанной точки зрѣнія присутствіе въ курсѣ первой ступени довольно обширной главы о пропорціяхъ, не могущей имѣть въ этомъ курсѣ хотя сколько-нибудь значительнаго примѣненія.

Изъ сказаннаго ясно, что дѣленіе курса математики между двумя ступенями произведено чисто механически, даже безъ тѣхъ улучшеній, которыя при этомъ возможно было сдѣлать. По отношенію къ алгебрѣ не рѣшились сдѣлать того, что сдѣлано съ новыми языками: исключить ее изъ программы первой ступени. Не будемъ останавливаться на обсужденіи того, хорошо ли или плохо было бы поступить такъ съ алгеброй, но рѣшеніе, принятое составителями программъ, поражаетъ своей непослѣдовательностью.

Тѣ затрудненія, которыя возникли въ связи съ вопросомъ объ алгебрѣ и о новыхъ языкахъ, а также противорѣчивый выходъ изъ этихъ затрудненій показываютъ, что устанавливать заранѣе число лѣтъ обученія на каждой ступени едва ли было правильно.

§ 5. Вторая ступень. Программа maximum первыхъ шести классовъ.

Какъ мы указывали выше, вторая ступень средней школы дѣлится на четыре различныхъ вѣтви съ далеко не одинаковымъ

количествомъ времени, отведеннаго на изученіе математики. Поэтому является цѣлесообразнымъ начать съ разсмотрѣнія программы maximum, т.-е. съ программы по математикѣ того типа школы, въ которомъ этотъ предметъ, надо полагать, долженъ быть поставленъ наиболѣе идеально, такъ какъ изъ разсмотрѣнія ея, быть можетъ, удастся хотя бы косвеннымъ путемъ установить взглядъ Комиссіи на задачи преподаванія математики въ средней школѣ. Прежде чѣмъ перейти къ изложенію этой программы, является необходимымъ исправить одну опечатку: по программѣ тригонометрія и на физико-математической вѣтви реальной школы отнесена на VII классъ, между тѣмъ разсмотрѣніе таблицы часовъ съ полной несомнѣнностью показываетъ, что на указанной вѣтви этотъ предметъ долженъ войти въ программу шестого класса; такое же указаніе даетъ и „распредѣленіе уроковъ математики по классамъ“.

Программа алгебры на физико-математической вѣтви реальнаго отдѣленія въ общемъ совпадаетъ съ нынѣ дѣйствующей программой реальныхъ училищъ. Измѣненія заключаются въ слѣдующемъ: въ четвертомъ классѣ при сохраненіи прежней программы число часовъ съ 3 уменьшено до 2, а въ пятомъ классѣ увеличено съ 3 до 4. При этомъ программа пятаго класса расширена включеніемъ: изслѣдованія рѣшеній системы двухъ уравненій съ двумя неизвѣстными, теоріи предѣловъ и дѣйствій надъ количествами съ дробными и отрицательными показателями; программа VI класса (при сохраненіи двухъ недѣльныхъ часовъ) начинается изученіемъ показательной функціи ах и совпадаетъ съ нынѣ дѣйствующей программой этого класса во всѣхъ частяхъ, за исключеніемъ теоріи непрерывныхъ дробей, отнесенной на курсъ седьмого класса.

Объяснительная записка къ курсу алгебры, не входя въ обсужденіе основныхъ задачъ преподаванія алгебры въ средней школѣ, дѣлаетъ указанія по отдѣльнымъ пунктамъ программы, при чемъ нѣкоторыя указанія страдаютъ неопредѣленностью (напр., въ вопросѣ объ ирраціональныхъ числахъ); не мотивируетъ она и необходимости именно въ курсѣ V класса изучить статью о предѣлахъ „настолько подробно, чтобы тѣ части курса алгебры и геометріи и началъ анализа, въ которыхъ ссылаются на теорію предѣловъ, могли быть строго обоснованы“; совершенно неясно, зачѣмъ глава о количествахъ съ дробными и отрицательными показателями отрывается отъ ученія о показательной и логариѳмической функцій, съ которымъ она связана въ нынѣ дѣйствующей программѣ реальныхъ училищъ. При вычисленіяхъ съ логариѳмами рекомендуется „требовать, чтобы учащіеся могли опредѣлить предѣлы погрѣшности найденнаго результата, зная погрѣшности табличныхъ логариѳмовъ“. Обращенія вниманія въ объяснительной запискѣ на этотъ важный вопросъ нельзя не привѣтствовать, но, къ сожалѣнію, мы не находимъ никакихъ конкретныхъ указаній на наиболѣе простые пріемы оцѣнки погрѣшности результата, которые можно было бы сообщить учащимся; авторитетное указаніе въ этомъ вопросѣ

было бы тѣмъ болѣе важно, что ни въ нашихъ университетахъ, ни въ спеціальныхъ высшихъ учебныхъ заведеніяхъ, за исключеніемъ немногихъ, вопросу о приближенныхъ вычисленіяхъ почти не удѣляется никакого вниманія; безъ отсутствія необходимыхъ указаній отмѣченный пунктъ объяснительной записки будетъ имѣть лишь декларативное значеніе.

Программа по геометріи совпадаетъ по своему содержанію съ нынѣ дѣйствующей программой реальныхъ училищъ, но общее число часовъ, отводимое на этотъ предметъ, уменьшено на 2 <2-)-2-|-2 вмѣсто 3-(-3-f-2—почти безъ соотвѣтственныхъ сокращеній программы); мотивовъ такого сокращенія въ объяснительной запискѣ найти нельзя; слѣдуетъ отмѣтить, что такимъ путемъ геометрія ставится въ рамки, которыя были ей отведены программой 1890 года гимназій и прогимназій и которыя впослѣдствіи были признаны крайне тѣсными для сколько-нибудь основательнаго изученія геометріи (въ гимназіяхъ съ однимъ древнимъ языкомъ былъ прибавленъ въ Y классѣ одинъ недѣльный часъ); добавленіе одного полугодового часа на повтореніе геометріи въ VII классѣ еще болѣе сближаетъ новую программу съ упомянутой программой гимназій, гдѣ на повтореніе геометріи въ VIII классѣ отводится фактически приблизительно такое же время, и посвящается оно разсмотрѣнію тѣхъ же вопросовъ, которые намѣчены въ программѣ.

О цѣляхъ преподаванія геометріи въ средней школѣ объяснительная записка ничего не говоритъ; зато, напр., она останавливается на вопросѣ о роли рѣшенія задачъ на построеніе. Довольно странное впечатлѣніе производятъ указанія объяснительной записки, съ одной стороны, на то, что „во всѣхъ случаяхъ нахожденія отношенія двухъ величинъ въ этомъ (V) классѣ слѣдуетъ ограничиться случаемъ соизмѣримыхъ величинъ“, а съ другой на то, „что выводъ формулъ длины окружности и площади круга можетъ быть сдѣланъ, благодаря знакомству учащихся съ основаніями теоріи предѣловъ, съ надлежащей полностью и строгостью“. Нельзя не согласиться съ тѣмъ, что при той степени развитія, съ которой ученики переходятъ въ пятый классъ, трудно требовать отъ нихъ яснаго пониманія доказательствъ для случая несоизмѣримости, но въ такомъ случаѣ и усвоеніе теоріи предѣловъ является дѣломъ не менѣе труднымъ, и поэтому въ качествѣ логическаго вывода изъ первой посылки можно было ожидать перенесенія теоріи предѣловъ въ курсъ одного изъ слѣдующихъ классовъ, а вовсе не того, что мы видимъ въ программѣ алгебры и геометріи для V класса.

Программа тригонометріи отличается отъ нынѣ дѣйствующей въ реальныхъ училищахъ тѣмъ, что она уничтожаетъ весьма неудачное дѣленіе курса на двѣ ступени, изгоняетъ изъ курса то необъятное количество „особыхъ случаевъ“, которые являлись характерной особенностью первой изъ этихъ ступеней, и ставитъ изученіе этого предмета на функціональную точку зрѣнія. Въ объяснительной запискѣ къ этой программѣ говорится: „тригонометрическія функціи представляютъ собой наиболѣе удобный

матеріалъ для ознакомленія съ идеей функціональной зависимости, на что слѣдуетъ обратить вниманіе и познакомить учащихся съ графиками тригонометрическихъ функцій“. Едва ли можно согласиться съ этимъ указаніемъ объяснительной записки; напротивъ приходится отмѣтить, что оно какъ бы узаконяетъ имѣющееся въ нынѣ существующихъ программахъ извращеніе перспективы, при которомъ съ понятіемъ функціи ученики знакомятся не на простѣйшихъ примѣрахъ линейной функціи и квадратнаго трехчлена, а на трансцендентныхъ функціяхъ, какими являются показательная, логариѳмическая и тригонометрическія функціи. Слѣдуетъ добавить, что указанное мѣсто объяснительной записки есть единственное, гдѣ въ курсѣ элементарной математики рекомендуются графики.

§ 6. Курсъ VII класса.

Курсъ седьмого класса распадается на геометрію (1 часъ въ первое полугодіе—см. выше), дополненія къ ариѳметикѣ и алгебрѣ (2 Ѵ2 годовыхъ часа) и основанія аналитической геометріи и анализа (3 часа).

Дополненія къ ариѳметикѣ и алгебрѣ обнимаютъ: главу о дѣлимости чиселъ и общемъ наибольшемъ дѣлителѣ, непрерывныя дроби и неопредѣленныя уравненія, неравенства первой и второй степени, комплексныя числа, формулу Муавра, теорему Безу, вопросы о кратныхъ корняхъ и числѣ корней цѣлой раціональной функціи данной степени. Объяснительная записка къ этой части курса, повидимому, признаетъ ученіе о дѣлимости чиселъ и объ общемъ наибольшемъ дѣлителѣ болѣе важнымъ, чѣмъ обзоръ первыхъ четырехъ ариѳметическихъ дѣйствій надъ цѣлыми и дробными числами и законовъ этихъ дѣйствій.

Аналитическая геометрія и начала анализа входятъ въ программу въ видѣ обособленныхъ курсовъ. Объяснительная записка къ программѣ аналитической геометріи уже знакома читателямъ „Математическаго Образованія“, такъ какъ она напечатана въ № 5 за 1915 годъ. Поэтому намъ остается отмѣтить лишь нѣкоторыя ея указанія, освѣщающія точку зрѣнія комиссіи на положеніе предмета въ курсѣ средней школы.

„Просачиваніе новыхъ методовъ въ самыя начала преподаванія математики“, говоритъ объяснительная записка, „представляется однако очень спорнымъ, и если пользованіе графиками не на урокахъ математики есть явленіе естественное, то въ области преподаванія математики къ нимъ нужно прибѣгать лишь съ большой осторожностью“. Съ высказанною мыслью едва ли можно согласиться, такъ какъ, если „не на урокахъ математики“ приходится пользоваться математическими методами, то ясно, что именно на преподаваніи математики лежитъ обязанность ознакомить съ ними учениковъ. Объяснительная записка, равно какъ и программа, подчеркиваютъ обособленный характеръ курса аналитической геометріи и указываютъ только на необхо-

димость для преподавателя „имѣть въ виду предстоящее ему преподаваніе началъ аналитической геометріи и въ соотвѣтствующихъ случаяхъ давать надлежащія указанія“. По поводу включенія въ программу средней школы особаго курса аналитической геометріи замѣтимъ только, что вопросъ о необходимости такого курса въ этой программѣ является, по нашему, по крайней мѣрѣ, мнѣнію, гораздо болѣе спорнымъ, чѣмъ „просачиваніе новыхъ методовъ въ самыя начала преподаванія математики“. Самое содержаніе программы по аналитической геометріи сравнительно мало отличается отъ содержанія нынѣ дѣйствующей программы реальныхъ училищъ. Программа по анализу значительно сокращена по сравненію съ программой реальныхъ училищъ 1906 года. Такъ, изъ нея совсѣмъ исключены основы интегральнаго исчисленія. Но среди формулъ дифференцированія почему-то сохранены производныя и arc tgx. Казалось бы, что разъ исключено понятіе объ интегралѣ, то было бы вполнѣ естественнымъ исключить и формулы производныхъ отъ указанныхъ функцій, такъ какъ интересъ ихъ исчерпывается въ элементарномъ курсѣ тѣмъ фактомъ, что алгебраической производной соотвѣтствуетъ въ этомъ случаѣ трансцендентная первообразная и что такимъ образомъ интегральное исчисленіе является источникомъ трансцендентныхъ функцій; въ примѣненіи же этихъ формулъ въ тѣхъ элементарныхъ задачахъ, которыя можно разбирать въ средней школѣ, надобность едва ли когда встрѣтится. Едва ли можно согласиться съ указаніями объяснительной записки относительно пріема доказательства теоремы Лагранжа; да и самый вопросъ о необходимости этой теоремы въ курсѣ, соотвѣтствующемъ составленной программѣ, становится весьма спорнымъ, разъ понятіе объ интегралѣ исключено и такимъ образомъ устранено то примѣненіе, которое имѣетъ эта теорема въ доказательствѣ свойства функцій, имѣющихъ одну и ту же производную. Столь же спорнымъ является указаніе на необходимость различать въ такомъ элементарномъ курсѣ термины „maximum и minimum“ и „наибольшее и наименьшее значеніе“.

§ 7. Программы по математикѣ въ другихъ типахъ средней школы.

При разсмотрѣніи программы математики въ другихъ типахъ средней школы естественно было бы перейти теперь къ программѣ естественно-исторической вѣтви реальной школы, но по самой конструкціи программъ приходится поступить иначе и разсмотрѣть программу новогуманитарной школы, такъ какъ программа естественно-исторической вѣтви реальной школы отличается отъ нея лишь добавленіемъ въ седьмомъ классѣ курсовъ аналитической геометріи и анализа, сходныхъ по своему характеру съ курсами этихъ предметовъ на физико-математической вѣтви, но имѣющихъ меньшій по сравненію съ ними объемъ.

По своему характеру курсъ алгебры въ новогуманитарной школѣ весьма близокъ къ нынѣ дѣйствующей программѣ гимназій: четвертый классъ посвященъ алгебраическимъ дробямъ и уравненіямъ первой степени, пятый—извлеченію корня, уравненіямъ крадратнымъ и приводимыхъ къ квадратнымъ, дѣйствіямъ надъ радикалами, шестой—прогрессіямъ и логариѳмамъ, седьмой— ученію о равносильности уравненій, изслѣдованію рѣшеній уравненій первой степени съ одной и двумя неизвѣстными, непрерывнымъ дробямъ, теоріи соединеній и биному Ньютона*).

Программа по геометріи совпадаетъ съ программой физико-математической вѣтви съ однимъ только отличіемъ, что строгое изложеніе ученія объ измѣреніи окружности и площади круга отнесено на 7 классъ, въ программу коего (1 урокъ въ первомъ полугодіи) включена теорія предѣловъ.

Программа по тригонометріи отличается отъ таковой для физико-математической вѣтви лишь тѣмъ, что здѣсь не требуется доказательства общности формулъ синуса и косинуса суммы двухъ дугъ и рѣшенія тригонометрическихъ уравненій.

Курсъ анализа и аналитической геометріи въ программѣ гуманитарной школы отсутствуетъ. Число часовъ въ общемъ соотвѣтствуетъ имѣющемуся въ настоящее время въ соотвѣтственныхъ классахъ гимназій.

Что касается программы математики для гуманитарно-классическаго отдѣленія, то прежде всего она отличается отъ ранѣе разсмотрѣнныхъ программъ по характеру своего изложенія. Причина этого разъяснена въ цитированномъ выше письмѣ К. А. Поссе.

Въ общемъ она близко подходитъ къ программѣ новогуманитарной вѣтви, но отличается меньшимъ объемомъ и столь малымъ числомъ часовъ, что и при уменьшенномъ объемѣ программы его едва ли можно считать достаточнымъ для ея выполненія. Кромѣ того, она содержитъ въ курсѣ шестого класса опредѣленное указаніе на понятіе функціи; зато курсъ тригонометріи (въ седьмомъ классѣ) ограничиваетъ изученіе „тригонометрическихъ величинъ“ областью измѣненія аргумента отъ 0° до 180° и избѣгаетъ даже термина „тригонометрическая функція“. Программа седьмого класса, въ отличіе отъ разсмотрѣнныхъ ранѣе, содержитъ: „Общій обзоръ ученія о числѣ, о дѣйствіяхъ надъ числами; основные законы дѣйствій; понятіе о математикѣ, какъ логической системѣ; аксіомы и теоремы въ математикѣ; значеніе постулата Евклида о параллельныхъ прямыхъ“.

§ 8. Общій характеръ программъ.

Изъ всего изложеннаго можно сдѣлать одно заключеніе. Проектъ новыхъ программъ, внося нѣкоторыя измѣненія въ нынѣ дѣйствующія программы, измѣненія, въ нѣкоторыхъ случаяхъ весьма цѣлесообразныя, иногда же такія, которыя не могутъ не вызвать возраженій, въ цѣломъ проникнутъ стремленіемъ закрѣ-

*) Исключены лишь неопредѣленныя уравненія.

пить и на будущее время то положеніе вещей, которое установлено въ гимназіяхъ программами 1890 года и въ реальныхъ училищахъ программами 1906 года. Поэтому въ дальнѣйшемъ мы будемъ имѣть полную возможность подкрѣпить нашу аргументацію данными того опыта, который дало четверть вѣковое примѣненіе первыхъ и десятилѣтнее - вторыхъ. Но прежде чѣмъ перейти къ принципіальной оцѣнкѣ программъ, отмѣтимъ несогласованность программъ отдѣльныхъ предметовъ. Въ качествѣ примѣра возьмемъ программы математики и физики. Программа физики въ Y классѣ говоритъ уже о законѣ преломленія свѣта, слѣдовательно, требуетъ знакомства съ функціей синуса,— а тригонометрія по проекту изучается въ большинствѣ типовъ школы въ VII классѣ, и во всякомъ случаѣ не въ Y. Спрашивается, почему бы въ программѣ Y класса не сдѣлать указанія, что въ главѣ о подобіи должно быть дано первое понятіе о тригонометрическихъ функціяхъ. Программа физики YI класса говоритъ о графикахъ, и въ объяснительной запискѣ къ программѣ по аналитической геометріи это признается „явленіемъ естественнымъ“, но выводъ изъ этого признанія дѣлается тотъ, что въ математикѣ о графикахъ не слѣдуетъ говорить иначе, какъ въ систематическомъ курсѣ аналитической геометріи, т.-е. значительно позже, чѣмъ въ физикѣ. Вообще указанія объяснительныхъ записокъ носятъ весьма случайный характеръ, дѣлаютъ указанія на мелочи, иногда въ весьма странной формѣ (въ родѣ указанія, что при дѣленіи многочленовъ нужно располагать данныя по нисходящимъ степенямъ); самыя объяснительныя записки нерѣдко содержатъ противорѣчивыя указанія по одному и тому же вопросу. Во всякомъ случаѣ онѣ не помогутъ учителю въ дѣлѣ преподаванія, а въ нѣкоторыхъ случаяхъ могутъ привести какъ разъ къ противоположному результату.

§ 9. Задачи преподаванія математики въ средней школѣ.

Прежде чѣмъ давать общую оцѣнку проекту программъ, напечатанному въ „Матеріалахъ“, является нелишнимъ установить нашу принципіальную точку зрѣнія на задачи преподаванія математики въ средней школѣ, такъ какъ эта точка зрѣнія и опредѣлитъ нашъ взглядъ на общій характеръ составленнаго проекта, по поводу котораго до настоящаго времени мы дѣлали лишь частичныя замѣчанія.

Для обоснованія принципіальной точки зрѣнія полезно предварительно сдѣлать нѣкоторыя историческія справки. Время около 1900 года ознаменовано не только у насъ въ Россіи оживленіемъ интереса къ вопросамъ преподаванія въ средней школѣ, съ одной стороны, и сознаніемъ неудовлетворительности достигаемыхъ этимъ преподаваніемъ результатовъ, съ другой. Къ этому времени относятся комиссіи по преобразованію средней школы, учрежденныя при министрѣ Н. П. Боголѣповѣ. Работа этихъ комиссій была очень интенсивна; такъ, однѣ московскія комиссіи издали шесть томовъ своихъ трудовъ. Результаты этой работы, касающейся преподаванія математики, сведены въ весьма

интересной книгѣ К. М. Щербины „Математика въ русской средней школѣ“-. Уже этими комиссіями была признана неудовлетворительность программъ мужскихъ гимназій 1890 года.

Неудовлетворенность результатами преподаванія математики сказывалась въ это время не только въ Россіи, но и за границей. Конференціи при Педагогическомъ музеѣ въ Парижѣ, отчетъ о которыхъ напечатанъ въ В. Оп. Физ. и Элем. Мат. за 1904 годъ, признали цѣлый рядъ существенныхъ недостатковъ въ постановкѣ преподаванія математики во Франціи, а съѣздъ преподавателей германской средней школы, состоявшійся въ 1905 г. въ Меранѣ черезъ годъ послѣ III Международнаго Конгресса, посвятившаго довольно много докладовъ вопросамъ преподаванія элементарной математики, формулировалъ весьма опредѣленно взглядъ на задачи преподаванія математики въ средней школѣ. Эти задачи сводятся къ двумъ основнымъ: развитію „функціональнаго мышленія“ и развитію „пространственнаго представленія“. Если самый терминъ „функціональное мышленіе“ звучитъ нѣсколько неясно й неопредѣленно, то все же онъ подчеркиваетъ, что въ преподаваніи алгебры идея функціональной зависимости, которая обычно затушевывалась, должна занять надлежащее ей положеніе. Дальнѣйшіе этапы развитія вопроса о реформѣ преподаванія математики всѣмъ достаточно извѣстны, чтобы на нихъ нужно было останавливаться. Приходится отмѣтить только образованіе Международной Комиссіи по преподаванію математики и тѣ обширные матеріалы, которые были собраны и напечатаны ею. За шесть лѣтъ съ 1908 но 1914 г. своего существованія (послѣдніе два года приходится исключить, такъ какъ война парализовала дѣятельность Комиссіи, и самый терминъ „международный“ сталъ звучать теперь какъ-то странно) Комиссія успѣла оказать извѣстное вліяніе на постановку преподаванія математики и могла подвести нѣкоторые итоги; среди послѣднихъ для насъ является важнымъ упомянуть о работахъ конференціи по преподаванію математики въ Парижѣ съ 1 по 4 апрѣля 1914 г. (Цитируемъ по статьѣ А. П. Полякова въ № 6 „Математическаго Образованія“ за 1914 годъ). Одной изъ темъ, обсуждавшихся на этой конференціи, были „Результаты введенія курса дифференціальнаго и интегральнаго исчисленія въ старшіе классы средней школы“. Изъ пожеланій, высказанныхъ на этой конференціи, слѣдуетъ отмѣтить слова Бореля: „будемъ рѣшительно настаивать на томъ, чтобы возможно скорѣе въ среднюю школу всѣхъ типовъ были введены диференціальное и интегральное исчисленія—эти удивительныя дисциплины, одновременно болѣе полезныя для учениковъ и болѣе развивающія ихъ, чѣмъ всякая другая вѣтвь математики“. Въ заключеніи доклада Beke на указанную выше тему нелишне отмѣтить мысль, „что реформа преподаванія математики въ средней школѣ должна разсматриваться не съ точки зрѣнія будущихъ математиковъ или техниковъ, а съ точки зрѣнія интересовъ общей культуры“.

Изъ данныхъ доклада Beke, относящихся къ преподаванію элементовъ анализа, слѣдуетъ отмѣтить тотъ фактъ, что понятія анализа нигдѣ, за исключеніемъ Россіи, не вводятся въ видѣ

посторонняго придатка къ курсу „Элементарной математики“; что же касается самой постановки преподаванія этого предмета во Франціи, то приходится отмѣтить слова Bioche'а, что „введеніе начальныхъ понятій дифференціальнаго и интегральнаго исчисленій въ среднюю школу является очень полезной мѣрой при двухъ условіяхъ: если эти понятія вводятся постепенно и если ими пользуются возможно скорѣе для приложеній“. Постепенность эта во французскихъ школахъ достигается тѣмъ, что изученію анализа посвящается не одинъ годъ, а нѣсколько и что первый годъ обученія, напр., ограничивается разсмотрѣніемъ функцій ах-\-Ь, ах2-\-Ъх-\-с,

Что дало намъ преподаваніе анализа въ реальныхъ училищахъ, было очень выпукло очерчено въ докладѣ М. Г. Попруженко на 2-мъ Всероссійскомъ Съѣздѣ преподавателей математики. Выводы доклада были основаны на данныхъ анкеты, которую производилъ К. А. Поссе въ цѣляхъ полученія матеріала для отмѣченнаго выше доклада Beke, а заключительныя слова докладчика сводились къ предложенію признать результаты введенія элементовъ анализа и аналитической геометріи въ курсъ реальныхъ училищъ неудовлетворительными.

Приведенныя историческія справки проливаютъ свѣтъ, съ одной стороны, на существующіе взгляды на задачи преподаванія математики въ средней школѣ, а съ другой, на результаты преподаванія ея въ Россіи согласно программамъ 1890 и 1906 годовъ.

Значеніе идеи функціональной зависимости въ преподаваніи математики, какъ элемента общаго образованія, въ настоящее время едва ли кѣмъ отрицается. Но наглядное представленіе ея находитъ свое выраженіе въ методѣ координатъ. Послѣдній имѣетъ такимъ образомъ значеніе для общаго образованія, какъ средство, вліяющее на общее развитіе учащихся; но этимъ значеніе его не исчерпывается: въ настоящее время какъ разъ тѣ лица, которыя не посвящаютъ себя изученію математики, нуждаются въ знакомствѣ съ методомъ координатъ; изслѣдованія по медицинскимъ, экономическимъ наукамъ, по статистикѣ и пр. въ настоящее время не обходятся безъ діаграммъ и графикъ; и никакая школа, кромѣ средней, не можетъ дать этимъ лицамъ пониманія этихъ таблицъ, такъ какъ въ высшей школѣ они математики изучать не будутъ. Такимъ образомъ ясно, что если признается необходимымъ проникновеніе въ алгебру идеи функціональной зависимости, то въ той же мѣрѣ неизбѣжнымъ является и ознакомленіе учащихся и съ методомъ координатъ и понятіемъ производной. Но ознакомленіе съ методомъ координатъ не слѣдуетъ смѣшивать съ систематическимъ изученіемъ при помощи этого метода кривыхъ второго порядка. Если методъ координатъ и графическое представленіе функцій имѣютъ общеобразовательное значеніе, то изученіе этимъ методомъ кривыхъ второго порядка представляетъ спеціальную чисто математическую задачу. Поэтому ясно, что даже въ той школѣ, гдѣ предполагается спеціальный курсъ аналитической геометріи, нельзя откладывать ознакомленія учащихся съ методомъ координатъ до того времени, когда этотъ

курсъ будетъ изучаться. И въ этомъ случаѣ съ самымъ методомъ необходимо ознакомить учащихся заблаговременно, и тогда для нихъ связный курсъ аналитической геометріи послужитъ средствомъ приведенія въ систему знаній, полученныхъ раньше. Но такъ какъ курсъ аналитической геометріи представляетъ, какъ мы сказали, спеціально математическій интересъ, то въ тѣхъ школахъ, гдѣ математика поставлена не очень широко, онъ можетъ быть безъ вреда для дѣла исключенъ, но безъ метода координатъ, при изученіи понятія функціи, все же обойтись будетъ невозможно. Включеніе нѣкоторыхъ свѣдѣній изъ аналитической геометріи должно быть основано при этомъ на слѣдующемъ принципѣ: тамъ, гдѣ эти свѣдѣнія и соотвѣтствующія графическія представленія содѣйствуютъ болѣе наглядному изложенію алгебраическаго матеріала и тѣмъ способствуютъ его болѣе легкому и полному усвоенію, тамъ эти свѣдѣнія должны быть включены; тѣ же свѣдѣнія, которыя имѣютъ въ виду самостоятельный матеріалъ, относящійся къ аналитической геометріи, должны быть опущены изъ курса алгебры. Если общее число часовъ, отводимое на математику въ школѣ, невелико, то включеніе этихъ свѣдѣній можетъ быть произведено за счетъ нѣкоторыхъ отдѣловъ элементарной математики, напр. неопредѣленныхъ уравненій, непрерывныхъ дробей. Въ самомъ дѣлѣ, какъ высоко ни цѣнить указанныя главы элементарной математики, все же нельзя по образовательному значенію ставить ихъ наравнѣ съ методомъ координатъ и понятіемъ функціи.

§ 10. Общіе выводы.

Выводъ изъ всего сказаннаго ясенъ. Программы, напечатанныя въ „Матеріалахъ“, ограничиваясь незначительными передѣлками въ существующихъ нынѣ программахъ, не даютъ того рѣшенія вопроса, котораго ждала русская школа. Резолюціи Всероссійскихъ съѣздовъ преподавателей математики въ общихъ чертахъ формулировали ея ожиданія. Эти ожиданія не были слѣдствіемъ поклоненія модѣ, увлеченія примѣромъ, заимствованнымъ изъ Западной Европы. Тѣ пренія, которыя были по поводу доклада М. Г. Попруженко на 2-омъ съѣздѣ, показали, что ненормальность существующей постановки преподаванія математики сознана вполнѣ, что реформа необходима. Но Комиссія въ своихъ работахъ прошла мимо всего этого или не сочла заслуживающими вниманія ни примѣры Франціи и Италіи, ни пожеланія русскихъ преподавателей математики. Въ преподаваніи математики въ новой школѣ все должно остаться по-старому -вотъ выводъ, который невольно напрашивается при чтеніи „Матеріаловъ“, и элементы высшей математики останутся въ одной части среднихъ школъ не связанной съ остальными отдѣлами надстройкой на зданіи элементарной математики, какими они были по программѣ 1906 года, а для другой части останутся той же невѣдомой областью, какой они были и до настоящаго времени.

Объ одной формулѣ четыреугольника.

В. Шлыгинъ. Дѣйствующая армія.

Данъ четыреугольникъ ABCD со сторонами , ВС=Ь, CD = c, DA = d и діагоналями: АС=е и

Проектируя треугольники ACD, ABD и BCD соотвѣтственно на BD, CD и AD, будемъ имѣть:

е cos (e,f) = dcos (d.f) — cos (c. j")

a cos (a, c)—f cos ( — d cos

b cos (b, d)=f cos — cos (c, d).

Умножимъ первое равенство на f, второе на с и третье на d. Сложивъ затѣмъ первыя два равенства и вычтя третье, получимъ:

ef cos (е, f) -j- ас cos (а, с) — bd cos ( d) ~ 0.

Отсюда видно, что, обозначая въ четыреугольникѣ прилично выбранные углы: между діагоналями и черезъ со, между противоположными сторонами а и с черезъ ср и между bud черезъ гр, будемъ имѣть.

ef cos (0-\- ас cos -j- cos — 0.

Совершенно такая же формула имѣетъ мѣсто и для тетраедра. Называя противолежащія ребра тетраедра черезъ е и f, а и с, Ъи d,а углы между ними соотвѣтственно черезъ со, <р и ір и повторяя предыдущія разсужденія, найдемъ:

ef cos со —j— ас cos cp-\-bd cos гр—О.

Задачи.

Подъ редакціей Э. Ю. Лейнѣка.

242. Показать, что для описаннаго четыреугольника ABCD имѣетъ мѣсто равенство

гдѣ В—радіусъ окружности, А—площадь четыреугольника ABCD и А'—площадь четыреугольника, вершинами котораго служатъ точки касанія сторонъ ABCD.

Е. л.

243. Показать, что если п кратно 3, то имѣемъ

Е. п.

244. При нахожденіи общаго наибольшаго дѣлителя двухъ чиселъ способомъ послѣдовательныхъ дѣленій, получился рядъ частныхъ а0,а,,.... ап. Найти оба числа, зная величину 6 ихъ общаго наибольшаго дѣлителя.

245. Даны двѣ параллельныя линіи и на нихъ по точкѣ А и В. Черезъ внѣшнюю точку С провести сѣкущую CXY (А и X на одной прямой) такъ, чтобы < 2 < АХВ.

И. Александровъ.

246. На данной прямой найти точку, изъ которой одна изъ двухъ данныхъ концентрическихъ окружностей видна подъ угломъ втрое большимъ, чѣмъ другая.

А. Сергѣевъ.

247. Черезъ вершины треугольника АВС проведены прямыя, образующія треугольникъ А'В'С, подобный треугольнику АВС. Показать, что периметръ и площадь треугольника А'В’С достигаютъ maximum’a, когда соотвѣтственныя стороны обоихъ треугольниковъ параллельны.

В. Шлыгинъ.

248. Рѣшить уравненіе:

(і ах— I)3-)- (a-f- 1)3#2=:0.

249. Доказать, что если <р(и) дѣлится на —1, то п — простое число*).

Рѣшенія задачъ.

178. Суммировать безконечный рядъ

Обозначая члены ряда черезъ , г<2, м3-не трудно видѣть, что общій членъ ип имѣетъ форму:

Умножая обѣ части этого равенства на cos --2н_1, будемъ имѣть:

*) Функція (р (п) выражаетъ число чиселъ меньшихъ и взаимнопростыхъ съ п.

Замѣчая, что выраженіе, стоящее до 2 >есть ничто иное, какъ —ип_г, получимъ зависимость:

(1)

Полагая въ равенствѣ (1) п послѣдовательно равнымъ 2, 3. 4....п, будемъ имѣть

Складывая почленно эти равенства и обозначая

получимъ откуда имѣемъ:

Переходя къ предѣлу и замѣчая, что

получимъ

Е. М. (Харьковъ).

194. Пользуясь формулой Гаусса*) для вычисленія Пасхи, опредѣлить ближайшій послѣ 1915 годъ, когда Пасха будетъ 22 марта.

Для разсматриваемаго случая въ формулѣ Гаусса надо поло-

*) См. „Математ. Образ.“ 1915, стр. 31.

жить d = e = 0, а такъ какъ d—остатокъ отъ дѣленія 19а +15 на 30, а е — остатокъ отъ дѣленія 26 -}- 4с + -j- 6 на 7, то, обозначая искомый годъ черезъ х, будемъ имѣть слѣдующія три уравненія

19а+15 = 30 т (1)

26 + 4с + 6 = 7 (2)

х= 19(/ + а = 4^+ + (3).

Задача сведена къ рѣшенію этой системы уравненій въ цѣлыхъ положительныхъ числахъ при условіяхъ:

а< 19, 6<4, с <7, ж>1915.

Рѣшая обычнымъ способомъ первое уравненіе, получаемъ:

что совмѣстно съ условіемъ

дастъ

откуда

Изъ уравненія (2) въ связи съ условіями

находимъ

Замѣчая (изъ ур — нія (2)), что п должно быть четнымъ числомъ, имѣемъ изъ только что полученной формулы два значенія для и

Изъ того же уравненія (2) находимъ

а при условіи 0^6<4 получаемъ

Для п= 2 получаемъ:

Такимъ образомъ с можетъ имѣть четыре значенія:

Соотвѣтствующія значенія для Ъ будутъ 4 = 2> Ь2 — О, &3 = 3, Ь4 = 1.

Эти 4 случая разсмотримъ отдѣльно.

1. Ур —ія (3) принимаютъ видъ

X— 19?/-j- 15 = 4^-(- 2 1.

Рѣшая эту систему въ цѣлыхъ числахъ получимъ

Рѣшая эту систему, находимъ

Отсюда для X выводимъ

Выраженіе для х будетъ

X = 532р 4~ 509 .....IV.

Полученныя 4 формулы даютъ возможность опредѣлить всѣ года, въ которыхъ Пасха была и будетъ 22 марта. Помня, что #>1915, мы найдемъ для р лишь два значенія, 3 и

Изъ восьми значеній #, вытекающихъ изъ формулъ 1—ІУ наименьшее будетъ соотвѣтствовать = 3 (формула ІУ).

Итакъ, ближайшій годъ, въ которомъ Пасха придется на 22 марта, будетъ

532.3 4-509 = 2105.

Изъ формулъ I—ІУ можно усмотрѣть, что всѣ разбираемые года идутъ черезъ три промежутка въ 95 лѣтъ, потомъ черезъ 247 лѣтъ, потомъ опять черезъ три промежутка въ 95 лѣтъ и т. д.

К. Верещагинъ (Козловъ), В. Добровольскій (Москва), И. Евдокимовъ (Шуя), I. Каширинъ (Ржевъ), П. Козыревъ (Енисейскъ), А. Колегаевъ (Омскъ).

203. Рѣшить уравненія:

Умножимъ обѣ части ур — нія а) на 5 и введемъ неизвѣстную y = tgx, выразивъ sin 2#, cos 2# и cos3# черезъ tgx.

Тогда получимъ:

Отсюда имѣемъ

Изъ перваго равенства выводимъ

Раскрывая скобки въ (1), получимъ ур — іе

Это ур — ніе имѣетъ корень въ чемъ легко убѣдиться; отсюда имѣемъ разложеніе

Рѣшая получившееся квадратное ур — іе

Итакъ, имѣемъ всего 4 рѣшенія:

Замѣнивъ 2 cos2x черезъ 1 -f- cos 2х и cos 4л черезъ cos2 2х — — sin2 2х,будемъ имѣть:

выводимъ

К. Верещагинъ (Козловъ), Н. Козыревъ (Енисейскъ), В. Кованько (Вышній Волочекъ), М. Черняевъ (Амурская ж. д.).

205. Доказать, что въ треугольникѣ

Въ задачѣ № 169 (см. „Матем. Образ.“ 1915, стр. 135) доказано соотношеніе

Знакъ = относится къ случаю равносторонняго треугольника. Умножая обѣ части этого неравенства на положительную величину S (площадь треугольника), получимъ

Замѣтивъ, что

будемъ имѣть

К. Верещагинъ (Козловъ), И. Евдокимовъ (Шуя), Н. Козыревъ (Енисейскъ).

207. Найти число при условіи, чтобы квадратъ числа, образованнаго его двумя послѣдними цифрами, сложенный съ квадратомъ числа, стоящаго передъ нимъ, далъ бы сумму, равную искомому числу.

Обозначимъ число сотенъ искомаго числа а, a число, образованное двумя послѣдними цифрами, Тогда задача приведена къ рѣшенію неопредѣленнаго уравненія

100а -f- Ъ — а2 4- Ь2или (100 — a)a = b(—1). (1).

Полученное равенство показываетъ, что для рѣшенія задачи надо 100 разбить на такія двѣ части, произведеніе которыхъ равняется произведенію двухъ послѣдовательныхъ натуральныхъ чиселъ. Далѣе, изъ (1) видимъ, что если и удовлетворяютъ задачѣ, то 100 — а и Ь также удовлетворяетъ ей и, наконецъ, если 6 = 0 или 1, то а = 100, такъ какъ на основаніи условія задачи а = 0 не можетъ имѣть мѣста.

Итакъ, имѣемъ два числа 10000 и 10001, удовлетворяющихъ условію задачи.

Изслѣдуемъ случай 6>1. Въ этомъ случаѣ изъ равенства (1) видимъ, что а<100, т.-е. искомое число не можетъ имѣть болѣе четырехъ цифръ.

Произведеніе двухъ послѣдовательныхъ натуральныхъ чиселъ, какъ въ этомъ легко убѣдиться, можетъ оканчиваться лишь на 0,2,6, а произведеніе двухъ четныхъ слагаемыхъ,дающихъ въ суммѣ 100 [а должно быть непремѣнно четнымъ числомъ, что слѣдуетъ изъ равенства (1)] могло бы оканчиваться на 0, 4, 6. Сопоставляя эти результаты, приходимъ къ выводу, что какъ (100 — а) а, такъ и b (b — 1) можетъ оканчиваться на 0 или на 6.

Докажемъ, что случай—0 долженъ быть отброшенъ, какъ не подходящій для разбираемой задачи.

Въ самомъ дѣлѣ, если Ь (Ь — 1) оканчивается на 0, то b должно оканчиваться на одну изъ слѣдующихъ цифръ

О, 1, 5, 6 9, 0, 4, 5.

и Ъ — 1 на число (100 — а) въ этомъ случаѣ должно дѣлиться на 100, значитъ и Ъ (Ъ — 1) должно дѣлиться на 100.

Случаи g Q этому условію не удовлетворяютъ, такъ какъ произведеніе Ъ (Ъ — 1), оканчиваясь лишь однимъ нулемъ, не можетъ дѣлиться на 100.

Остается разсмотрѣть другіе случаи.

Пусть а = 10-г, — -f 5.

Тогда (1) приметъ видъ

Такъ какъ вся лѣвая часть дѣлится на 10, то и два послѣднихъ члена правой части должны дѣлиться на 10, что при однозначномъ у будетъ имѣть мѣсто лишь въ случаѣ 2; въ этомъ случаѣ имѣемъ ур—іе это цѣлыхъ рѣшеній не имѣетъ.

Пусть а = 10* и Ь = 10у-f-6.

Разсуждая такимъ же образомъ, какъ выше, придемъ къ уравненію

не имѣющему цѣлыхъ рѣшеній.

Итакъ, для дальнѣйшаго изслѣдованія остается лишь одинъ случай. Число (100 — а), а должно оканчиваться цифрою 6. Ясно, что само а должно для этого оканчиваться на 2, либо на 8. Число Ъ должно оканчиваться, какъ въ томъ, такъ и въ другомъ случаѣ на 3 или на 8.

Пусть а= 10*-f-2 , <100.

Ь = 10у-|-3.

Равенство (1) приметъ видъ

(100 —10* — 2) (10* + 2) = (10г/ + 3) (10у + 2)

или

19 -f- 96* — ІО*2 = 10 -f- by.

Такъ какъ правая часть дѣлится на 5, то и лѣвая должна дѣлиться на 5, т.-е. 19 4-96* должно дѣлиться, при *<10 (что слѣдуетъ изъ а < 100), на 5.

Это будетъ имѣть мѣсто при #=1 и # = 6. Первое значеніе приводитъ къ уравненію

2г/2 +у-21=0,

откуда

втрое же приводитъ къ уравненію

2?/* + ÿ — 47 = 0,

не имѣющему цѣлыхъ рѣшеній.

Итакъ, #= 1, у= 3. Отсюда выводимъ

а—. 12, Ь = 33, а искомое число 1233.

Пусть теперь а = 10# -f- 2, b = 1 Оу -f- 8. Тогда, разсуждая совершенно такимъ же образомъ, какъ выше, придемъ къ уравненію

14 + 96# — ІО#2 — 10у2 + 15

Аналогичными соображеніями придемъ къ результату, что # = 1 или # = 6.

Но ни при одномъ изъ этихъ значеній у не получается цѣлымъ.

Итакъ, если а оканчивается на 2, то имѣемъ рѣшеніе 1233; слѣдовательно, какъ было сказано въ самомъ началѣ, рѣшеніемъ будетъ также число, гдѣ а' = 100 — а, т.-е. 8833.

Къ этому результату мы бы пришли, если стали разсматривать случай а— 10#-J-8, Ъ = 10у 3.

Задача допускаетъ такимъ образомъ всего четыре рѣшенія:

2-е рѣшеніе. Задачу можно рѣшить значительно короче, если воспользоваться нѣкоторыми теоремами теоріи чиселъ. Представивъ уравненіе 100a-j-i> = a2-[-b2 въ видѣ

а2 — 100а = — Ь2 -\-Ъ = 1с(Г)

гдѣ Je нѣкоторое, пока неизвѣстное цѣлое число, рѣшимъ (1') относительно а и Ь.

Такъ какъ а и Ъ должны быть цѣлыми числами, то

Умноживъ первое равенство на 4 и сложивъ со вторымъ получимъ

Обозначая 2z = х, получимъ

10001 = ІР2 -4- Î/2 или

73.137 = ж2 -(- у\(3)

Числа 73 и 137 простыя числа вида 4р +1. Какъ извѣстно, такія числа разлагаются единственнымъ образомъ на сумму двухъ квадратовъ*)

примѣняя извѣстное тождество

положимъ

а—8, ß — Ъ, 7=11, o=4.

Будемъ имѣть

73.137 = (88 + 12)2 -f (33 — 32)2 = ÎOO2 -f Р = 762 + 652.

Сравнивая этотъ результатъ съ равенствомъ (3), получимъ

X =100, 1

X = 1, = 100

а; = 76, =65

X = 65, 76.

Равенства (2) даютъ

Первое равенство показываетъ, что изъ четырехъ значеній сможемъ брать лишь два: а; =100, а; = 76, что даетъ а = 100, О, 88, 12; вторая формула при у= 1 даетъ 6 = 1,0; при у = 65, 6 = 33.

Искомыя числа будутъ:

10000, 10001, 8833, 1233.

К. Верещагинъ (Козловъ), В. Кованько (Вышній Водочекъ), И. Козыревъ (Енисейскъ).

208. Найти предѣлъ выраженія

*) Веберъ и Велльштейнъ, Энциклоп элем, мат., т. I, §75.

Произведя надъ предложеннымъ выраженіемъ рядъ преобразованій, будемъ имѣть:

Подставляя сюда вмѣсто х величину ^10, получимъ результат.

А. Бутомо (Саратовъ), К. Верещагинъ (Козловъ), И. Евдокимовъ (Шуя), С. Звягинъ (Рыльскъ), Н. Козыревъ (Енисейскъ), В. Кованько (Вышній Волочекъ), Г. Несчастливцевъ (Ярославль), А. Сердобинскій (Харьковъ).

Новыя книги.

В. Кармиловъ. Значеніе математики въ познаніи міра и новыя области ея приложенія (возможность предсказанія войнъ). Самара. 1915.

Дж. В. А. Юнгь. Какъ преподавать математику? Пер. А. Р. Кулишеръ. Вып. I. Изд. 3-е. П. 1915. Ц. 1 р. 75 к.

В. А. Лай. Руководство къ первоначальному обученію ариѳметикѣ. Пер. подъ ред. Д. Л. Волковскаго. Изд. 5-е, значительно перераб. авторомъ. Изд. Т-ва „В. В. Думновъ“. М. 1916. Д. 1 р.

В. А. Барицкій. Очерки по методикѣ начальнаго курса ариѳметики. Изд. Херсонской губ. земск. Управы. Херс. 1915. Ц. 1 р. 50 к.

В. Шиффъ. Сборникъ задачъ по прямолинейной тригонометріи. Изд. Т-ва М. О. Вольфъ. П. 1915. Ц. 1 р.

В. Шиффъ. Сборникъ упражненій и задачъ по диференціальному и интегральному исчисленіямъ. Ч. I. 5-е измѣнен. и дополн. изд. 1915. Ц. 1 р. 50 к.

Б. К. Пеніонжкевичъ. Основанія аналитической геометріи. Курсъ дополн. кл. реальн. учил. Изд. 2-е. ГГ. 1915. Ц. 1 р.

Педагогическія воззрѣнія Платона и Аристотеля. Пер. С. Меликовой и проф. Жебелева подъ ред. проф. Ѳ. Зелинскаго. Изд. газеты „Школа и Жизнь“. П. 1916.

А. П. Перли. Числа изъ жизни. Сборникъ ариѳм. задачъ и упражн. для начальной школы и для приг. классовъ ср. учебн. завед. М. Изд. Т-ва И. Д. Сытина. Вып. I. 1915. Ц. 20 к. Вып. II. 1915. Ц. 25 к. Вып. III и IV. 1915. Ц. по 20 к.

Русскій Астрономическій Календарь-Ежегодникъ на 1916 г. изд. Нижег. Кружка Любителей физики и астрономіи. Перемѣнная часть. Н.-Н. 1916. Ц. 75 к.

С. И. Шохоръ-Троцкій. Методика ариѳметики для учителей среднихъ учебныхъ заведеній. Изд. 4-е, пересмотрѣнное. М. 1916. Ц. 2 р.

Ф. Н. Индриксонъ. Начальныя свѣдѣнія изъ физики. Ч. I. М. 1915. Ц. 50 к. Ч. II. М. 1916. Ц. 65 к.

Извѣстія Екатеринославскаго Горнаго Института Императора Петра 1 за 1915 г. Вып. П. Екатерин. 1915.

Отвѣтственный редакторъ 1. Чистяковъ.

Типографія »Русскаго Товарищества печатнаго и издательскаго дѣла. Москва, Чистые пруды, Мыльниковъ пер., с. д. Тел. 18-35.