№ 31-32.

Математическое Образованіе.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

Годъ четвертый.

№ 7-8.

Ноябрь и Декабрь 1915 г.

МОСКВА.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

„Математическое Образованіе“

Ноябрь—Декабрь 1915 г. Годъ 4-й. № 7—8.

СОДЕРЖАНІЕ: Къ методикѣ вычитанія и дѣленія цѣлыхъ чиселъ. I. Чистяковъ.— Изъ воспоминаній о 2-мъ Всероссійскомъ Съѣздѣ преподавателей математики. Членъ 2-го Съѣзда.— Проектъ программы по математикѣ для общеобразовательной средней школы. К. Лебединцевъ.— Очерки по геометріи треугольника (окончаніе). И. Агрономовъ.— По поводу курса тригонометріи въ гимназіяхъ, Б. Славскій.— Числа положительныя, отрицательныя и нуль. А. Москвинъ.— Задачи. Рѣшенія задачъ. Библіографическій отдѣлъ. Засѣданія Московскаго Математическаго Кружка. Новыя книги. Объявленія.

Къ методикѣ вычитанія и дѣленія цѣлыхъ чиселъ.

І. Чистяковъ. Москва.

При изложеніи статьи о вычитаніи одного многозначнаго числа изъ другого, въ тѣхъ случаяхъ, когда цифра какого-либо десятичнаго разряда уменьшаемаго менѣе цифры соотвѣтствующаго разряда вычитаемаго, во всѣхъ почти русскихъ руководствахъ ариѳметики рекомендуется для производства дѣйствія способъ займа: именно, занимаютъ въ уменьшаемомъ единицу слѣдующаго высшаго разряда, раздробляютъ ее въ единицы того десятичнаго разряда, гдѣ вычитаніе оказалось не возможнымъ, и прибавляютъ 10 полученныхъ единицъ къ имѣющимся десятичнымъ единицамъ уменьшаемаго; тогда вычитаніе въ этомъ разрядѣ становится возможнымъ. Чтобы не забыть о сдѣланномъ займѣ, надъ соотвѣтствующей цифрою уменьшаемаго рекомендуютъ поставить точку и пр.

Такой способъ, напоминающій извѣстную всѣмъ операцію займа денегъ, не лишенъ, конечно, достоинства нѣкоторой наглядности; однако, недостаткомъ его является извѣстная сложность примѣненія, особенно въ томъ случаѣ, когда среди цифръ уменьшаемаго встрѣчаются нули.

На Западѣ нашъ пріемъ „займа“ почти не употребляется, и вычитаніе въ разсматриваемомъ случаѣ производится на основаніи того основного свойства разности двухъ чиселъ, что она не измѣняется, если къ уменьшаемому и вычитаемому прибавить по одному и тому же числу.

Такъ, при вычитаніи по этому способу числа 1928 изъ 3841, разсуждаемъ слѣдующимъ образомъ:

8 единицъ изъ 1 вычесть нельзя; поэтому прибавляемъ къ уменьшаемому 1 десятокъ, или 10 единицъ; получимъ 11, тогда 11 — 8 = 3. Чтобы при этомъ разность не измѣнилась, мы должны прибавить 1 десятокъ и къ вычитаемому; прибавляя его къ имѣющимся 2 десяткамъ, получимъ 3 дес., тогда 4 — 3 = 1. Далѣе, подобнымъ же образомъ, для вычитанія 9 сотенъ изъ 8, къ послѣднимъ, прибавляемъ одну тысячу, или 10 сотенъ; всего будетъ 18 сотенъ; 18 — 9 = 9. Прибавляя затѣмъ 1 тысячу и къ вычитаемому, найдемъ 3 — 2 = 1 тыс., и разность равна, слѣдовательно, 1913.

Аналогичнымъ образомъ, при вычитаніи 2196 изъ 8002, цифры разности получимъ такъ:

Изложенный способъ иногда называется австрійскимъ способомъ вычитанія, хотя въ дѣйствительности во Франціи онъ былъ извѣстенъ и примѣнялся гораздо раньше, чѣмъ въ Германіи и Австріи. Такъ какъ онъ основанъ на чисто математическомъ свойствѣ разности и допускаетъ единообразное примѣненіе во всѣхъ случаяхъ, — какъ тогда, когда въ уменьшаемомъ имѣются нули, такъ и тогда, когда ихъ нѣтъ,—то онъ кажется намъ заслуживающимъ предпочтенія предъ способомъ займа. Кромѣ того, онъ является хорошимъ примѣненіемъ для статьи объ измѣненіи суммы и разности. Но главное его достоинство въ томъ, что онъ можетъ быть развитъ въ общій методъ и имѣть болѣе широкія примѣненія, чѣмъ способъ „займа“.

Такъ, съ помощью его можно весьма легко производить вычитаніе суммы нѣсколькихъ чиселъ изъ даннаго числа съ помощью одного дѣйствія, а не двухъ. Пусть, напр., нужно произвести вычитаніе:

Мы рекомендуемъ дѣйствіе расположить такъ:

Цифры разности получаются слѣдующимъ простымъ разсужденіемъ:

Приведенный способъ записи даетъ, очевидно, возможность легко произвести повѣрку дѣйствія. Если не желательно числа, прибавляемыя къ уменьшаемому и затѣмъ къ вычитаемому, удерживать въ умѣ, то ихъ можно записывать въ строчкѣ, слѣдующей за послѣднимъ вычитаемымъ. Аналогично возможно производить въ видѣ одного дѣйствія и вычитаніе одной суммы нѣсколькихъ чиселъ изъ другой.

Легко видѣть, что тѣмъ же способомъ удобно производить вычитаніе изъ какого-либо многозначнаго числа произведеніе другого на однозначное число. Пусть напр. нужно вычесть

Цифры разности, начиная съ единицъ, найдемъ такимъ образомъ:

Примѣры этого послѣдняго рода являются подготовкой для прохожденія дѣленія многозначныхъ чиселъ. Дѣйствительно, пользуясь изложеннымъ методомъ, мы можемъ при дѣленіи производить умноженіе дѣлителя на испытуемую цифру частнаго и вычитаніе произведенія изъ дѣлимаго одновременно. Такой способъ дѣленія, представляющій по его краткости и простотѣ очевидное преимущество предъ обычно практикуемымъ у насъ, является общеупотребительнымъ въ 3. Европѣ.

Пусть, напр., требуется раздѣлите 238746 на 486.

Опредѣливъ первую цифру частнаго 4, производимъ умноженіе на нее дѣлителя и вычитаніе одновременно:

4.6 = 24; 27 — 24 = 3; 4.8 = 32; 32 + 2 = 34; 38 — 34 = 4;

4.4=16; 16 + 3 = 19; 23 — 19 = 4.

Такимъ образомъ, 1-й остатокъ равенъ 443; приписывая къ нему новую цифру 4 и производя испытаніе слѣдующей цифры частнаго 9, будемъ имѣть:

6.9 = 54; 54 — 54 = 0; 8.9 = 72; 72 + 5 = 77; 83 — 7 = 6;

4.9 = 36; 36 + 8 = 44; 44 — 44 = 0.

Второй остатокъ, слѣдовательно, есть 60. Такъ же найдемъ послѣднюю цифру частпаго 1 и остатокъ отъ дѣленія 120.

Не входя въ подробности, замѣтимъ въ заключеніе, что излагаемый способъ съ удобствомъ можетъ быть примѣненъ вмѣсто способа „займа“ и далѣе въ курсѣ ариѳметики, наприм. при вычитаніи именованныхъ чиселъ и при вычитаніи дроби или смѣшаннаго числа изъ другого смѣшаннаго числа и т. п.

Изъ воспоминаній о 2-мъ Всероссійскомъ Съѣздѣ преподавателей математики.

Какъ извѣстно, одна изъ резолюцій 2-го Всероссійскаго Съѣзда преподавателей математики гласитъ:

....„Созвать 3-й Всероссійскій Съѣздъ преподавателей математики въ Харьковѣ въ декабрѣ 1915 г. и просить Харьковское Математическое Общество взять на себя выполненіе этой задачи“.

Увы! постановленію этому не суждено было осуществиться. Харьковское Математическое Общество отклонило отъ себя устройство Съѣзда, а затѣмъ онъ и совсѣмъ потерялъ шансы на близкое осуществленіе вслѣдствіе наступившихъ чрезвычайныхъ событій. Въ послѣднее время стало извѣстно, однако, что все-же идея 3-го Съѣзда не заглохла окончательно. За устройство его взялся тотъ кружокъ педагоговъ и дѣятелей, который группируется вокругъ Педагогическаго Музея Военныхъ Учебныхъ Заведеній въ Петроградѣ и который уже организовалъ ранѣе 1-й

Всероссійскій Съѣздъ преподавателей математики. Составившійся Организаціонный Комитетъ предполагаетъ созвать 3-й Съѣздъ въ Петроградѣ въ 1917 г. и уже опубликовалъ весьма интересную предварительную программу для предполагаемой его работы (См. „Мат. Образ.“ 1915 г. № 28).

И все же жаль, что сдѣлавшееся уже привычнымъ для многихъ пребываніе во время рождественскихъ вакацій на Съѣздѣ математиковъ на этотъ разъ невозможно. Удовольствуемся поэтому воспоминаніями о предыдущемъ Съѣздѣ. Быть можетъ, нѣкоторые наши выводы и критическія замѣчанія по его поводу будутъ не безполезны для устроителей послѣдующихъ съѣздовъ преподавателей математики.

Начну съ числа участниковъ Съѣзда. Въ этомъ отношеніи онъ долженъ считаться весьма удачнымъ: не смотря на совпаденіе съ рядомъ другихъ педагогическихъ съѣздовъ, изъ которыхъ съѣзды преподавателей физики и учителей народныхъ училищъ могли особенно отвлечь членовъ отъ 2-го Съѣзда, на него записалось 1060 человѣкъ, т.-е. почти столько же, сколько было и на 1-мъ Съѣздѣ. И въ числѣ съѣхавшихся было не мало профессоровъ и извѣстныхъ педагоговъ, столичныхъ и провинціальныхъ. Организація Съѣзда была произведена умѣло и успѣшно; во всемъ наблюдался большой порядокъ, удобно было получать всевозможныя справки, дневники и проч. Образцово было поставлено устройство экскурсій; значительный интересъ представляла организованная при Съѣздѣ выставка книгъ и учебныхъ пособій по математикѣ.

Занятія на Съѣздѣ состояли изъ общихъ собраній—съ рѣчами, безъ преній, изъ -соединенныхъ засѣданій двухъ секцій А и В, въ которыхъ обсуждались наиболѣе важные вопросы постановки преподаванія математики, и изъ секціонныхъ засѣданій, на которыхъ трактовались вопросы болѣе частнаго характера. Число секцій было обусловлено, повидимому, лишь числомъ предположенныхъ къ прочтенію сообщеній и количествомъ большихъ аудиторій въ прекрасномъ зданіи М. Высшихъ Женскихъ Курсовъ, гдѣ происходилъ Съѣздъ.

Переходя къ характеристикѣ читанныхъ докладовъ, отмѣтимъ, что общая тенденція ихъ была нѣсколько иная, чѣмъ на 1-мъ Съѣздѣ. Дѣйствительно, на 1-мъ Съѣздѣ въ цѣломъ рядѣ сообщеній настойчиво рекомендовалось класть въ основу обученія математикѣ данныя экспериментальной педагогики и лабораторный методъ. Несмотря на интересъ докладовъ этого рода, все же названная тенденція не имѣла на 1-мъ Съѣздѣ большого успѣха. II на 2-мъ Съѣздѣ доклады подобнаго характера почти отсутствовали; прочитанное одной изъ участницъ Съѣзда сообщеніе, рекомендовавшее примѣнять лабораторный методъ при изученіи чиселъ въ предѣлахъ отъ 1 до 1000, нельзя назвать удачнымъ.

Основная тенденція 2-го Съѣзда, какъ она представлялась участникамъ его, была иная, а именно: сближеніе науки и преподаванія, внесеніе научныхъ элементовъ въ область обученія,

повышеніе научныхъ свѣдѣній преподавателей чрезъ ознакомленіе ихъ съ современнымъ уровнемъ науки. Съ полною ясностью это направленіе выразилось во вступительной рѣчи Предсѣдателя Организаціоннаго Комитета проф. Б. К. Млодзѣевскаго. Онъ указалъ, что грандіозныя открытія въ области чистой науки, каковы ученія о множествахъ и трансфинитныхъ числахъ, объ основаніяхъ геометріи, разработка вопроса о роли логики и интуиціи въ математикѣ, идея преобразованій и др.—заставляютъ пересмотрѣть постановку преподаванія въ школѣ. На той же точкѣ зрѣнія стоялъ, повидимому, и вообще Организаціонный Комитетъ; по крайней мѣрѣ въ предварительныхъ сообщеніяхъ о Съѣздѣ былъ намѣченъ рядъ докладовъ, имѣющихъ цѣлью обзоръ современнаго состоянія нѣкоторыхъ частей математической науки. Таковы были предположенные доклады: И. И. Жегалкина—„Теорія безконечныхъ множествъ и чиселъ“, А. П. Полякова — „Объ ариѳметизаціи математики“, А. Н. Крылова — „О приближенныхъ вычисленіяхъ“ и нѣк. др. Къ огорченію участниковъ Съѣзда, однако, названные доклады не были прочитаны, и намѣченный планъ не вполнѣ осуществился. Изъ сообщеній, въ которыхъ были сдѣланы обзоры современнаго состоянія науки, можно отмѣтить лишь прочитанные въ общихъ собраніяхъ доклады проф. Б. К. Млодзѣевскаго: „Успѣхи элементарной геометріи въ XIX вѣкѣ“ и проф. А. В. Васильева: „Принципъ экономіи въ математикѣ“. Благодаря отсутствію другихъ сообщеній подобнаго рода, вопросы, намѣченные во вступительной рѣчи Б. К. Млодзѣевскаго, не получили надлежащаго развитія и разрѣшенія, и мы боимся, что для многихъ членовъ Съѣзда остались загадочными утвержденія, что часть не всегда меньше цѣлаго, а можетъ быть и равна ему; что во всемъ пространствѣ столько же точекъ, сколько и на самомъ маломъ отрѣзкѣ прямой; что возможна непрерывная кривая линія, занимающая собою цѣлый квадратъ, и пр. Впечатлѣніе подобной-же не разрѣшенной загадки могли оставить и нѣкоторыя мѣста упомянутой блестящей рѣчи проф. А. В. Васильева, въ особенности приведенныя имъ парадоксальныя равенства.

Напомню, что въ общихъ собраніяхъ были прочитаны еще интересныя рѣчи пр. Д. М. Синцова: „О дѣятельности Международной Комиссіи по реформѣ преподаванія математики“, проф. А. К. Власова: „Какія стороны элементарной математики представляютъ цѣнность для общаго образованія?“, пр.-доц. В. В. Бобынина: „Объ указаніяхъ, получаемыхъ преподаваніемъ математики отъ ея исторіи“ и пр.-доц. А. I. Бачинскаго: „Запросы преподавателя физики въ области математики“. Нельзя не пожалѣть, что по этимъ докладамъ не было организовано преній; въ особенности они были желательны, по нашему мнѣнію, по докладу А. I. Бачинскаго, — единственному на Съѣздѣ, затрогивавшему область преподаванія физики.

Доклады въ соединенныхъ засѣданіяхъ секцій касались важнѣйшихъ вопросовъ постановки математическаго образованія. Однимъ изъ первыхъ дебатировался важный вопросъ о подготовкѣ

преподавателей математики. При этомъ, двумя профессорами Харьковскаго университета было высказано два различныхъ мнѣнія. Проф. Н. Н. Салтыковъ оказался сторонникомъ французской системы, по которой главное вниманіе обращается на повышеніе научной подготовки кандидатовъ въ преподаватели. Проф. Д. М. Синцовъ склонялся болѣе въ сторону германской системы, гдѣ важное значеніе придается ознакомленію будущихъ учителей съ общей педагогикой и методикой предмета. Послѣдняя точка зрѣнія встрѣтила болѣе сочувствія на Съѣздѣ, мы же думаемъ, что у насъ, въ Россіи, гдѣ уровень математическихъ познаній многихъ учителей весьма невысокъ, для кандидатовъ въ преподаватели математики ознакомленіе съ наукой важнѣе, чѣмъ изученіе педагогическихъ дисциплинъ. Притомъ же знаніе методики и дидактики не даютъ еще гарантій въ правильномъ примѣненіи ихъ предписаній на практикѣ.

Доклады гг. Галанина и Лебединцева касались тяжелаго вопроса объ экзаменахъ по математикѣ, балловъ и ихъ вредныхъ сторонъ. Того же вопроса касались попутно и нѣкоторые другіе референты. Но удовлетворительнаго рѣшенія его такъ и не было найдено, да, конечно, и не могло быть найдено, ибо онъ не можетъ быть отдѣленъ отъ вопроса объ экзаменахъ и баллахъ по другимъ предметамъ и стоитъ въ тѣсной связи съ общимъ неудовлетворительнымъ строемъ средней школы. П. А. Некрасовъ энергично пропагандировалъ идею учрежденія промежуточныхъ (лицейскихъ) классовъ между среднею и высшей школами. Его защита этой мысли, правда, не была особенно убѣдительной, но самая идея, по нашему мнѣнію, заслуживаетъ вниманія и сочувствія, и, напр., во Франціи она доказала свою жизненность.

В. П. Писаревъ въ своемъ докладѣ касался важнаго вопроса о желательныхъ измѣненіяхъ въ постановкѣ преподаванія математики въ женскихъ гимназіяхъ, причемъ высказался за желательность увеличенія числа недѣльныхъ уроковъ въ женскихъ учебныхъ заведеніяхъ по математикѣ. Съѣздъ сталъ въ этомъ вопросѣ на еще болѣе правильную и широкую точку зрѣнія, чѣмъ докладчикъ, и призналъ, что особыхъ учебныхъ плановъ и программъ для дѣвочекъ не нужно, и что они должны быть одинаковы съ программами мужскихъ учебныхъ заведеній. Доклады гг. Попруженко, Синцова, Бернштейна и др. касались вопроса о введеніи въ среднюю школу основъ высшей математики — началъ анализа и аналитической геометріи. Попутно отчасти были подведены итоги уже послѣдовавшему введенію этихъ предметовъ въ курсъ реальныхъ училищъ, при чемъ выводы оказались довольно неутѣшительными. По этому поводу были выражены пожеланія о болѣе тѣсномъ сліяніи вводимыхъ элементовъ» высшей математики съ элементарнымъ курсомъ.

Не останавливаясь на другихъ докладахъ, прочитанныхъ въ соединенныхъ засѣданіяхъ, перейду къ сообщеніямъ, прочитаннымъ въ засѣданіяхъ секцій. Они были особенно многочисленны и касались преимущественно вопросовъ преподаванія тѣхъ отдѣловъ математики, которые наиболѣе трудны въ методическомъ

отношеніи, каковы вопросы о числахъ отрицательныхъ и несоизмѣримыхъ, теорія предѣловъ, измѣреніе длины окружности, приближенныя вычисленія и пр. Къ сожалѣнію, доклады на столь отвѣтственныя темы далеко не всегда читались лицами въ должной мѣрѣ компетентными. Было бы крайне желательно, чтобы впредь Организаціонные Комитеты заранѣе просили дѣлать сообщенія на особенно важныя и трудныя темы лицъ вполнѣ компетентныхъ и свѣдущихъ въ этихъ вопросахъ. Кромѣ того, нельзя не пожалѣть, что и въ преніяхъ по этимъ докладамъ приняло участіе мало лицъ изъ наиболѣе свѣдущихъ и компетентныхъ участниковъ Съѣзда—профессоровъ, членовъ математическихъ обществъ и наиболѣе опытныхъ педагоговъ... Въ результатѣ разгоряченная аудиторія буквально изнемогала отъ напряженія разрѣшить трудные вопросы, но дѣло мало подвигалось впередъ. Отсутствіе наиболѣе компетентныхъ участниковъ Съѣзда на секціонныхъ засѣданіяхъ наблюдалось весьма часто и представляло ихъ слабую сторону.

Доклады въ секціонныхъ засѣданіяхъ касались и иныхъ темъ, кромѣ чисто методическихъ; напр., о направляющихъ элементахъ математическаго изслѣдованія, о реформѣ школьной математики съ методологической точки зрѣнія, о введеніи въ курсъ средней школы новыхъ предметовъ, каковы теорія вѣроятностей и неэвклидова геометрія. Надо отмѣтить, что предложеній послѣдняго рода на 2-мъ Съѣздѣ было менѣе, чѣмъ на 1-мъ, гдѣ предлагалось ввести еще номографію, теорію чиселъ и проч. Особенно много интересныхъ секціонныхъ докладовъ было по геометріи, напр., изобразительныя искусства и геометрія; о развитіи представленій о соотношеніяхъ въ пространствѣ; о кубѣ, какъ наглядномъ пособіи; объ идеѣ движенія въ геометріи. Наоборотъ, докладовъ изъ области ариѳметики почти не было сдѣлано; между тѣмъ, въ числѣ членовъ Съѣзда было весьма много учительницъ, преподающихъ преимущественно ариѳметику, для которыхъ сообщенія изъ этой области были бы интересны и полезны. Жаль также, что на 2-мъ Съѣздѣ не было сдѣлано обзоровъ современной учебной литературы по математикѣ, какъ это имѣло мѣсто на 1-мъ Съѣздѣ.

Въ общемъ, наибольшее значеніе 2-го Съѣзда заключалось, по нашему мнѣнію, въ укрѣпленіи самой идеи съѣздовъ преподавателей математики; въ резолюціяхъ устанавливается ихъ извѣстная связь и преемственность. Совершенно справедливо, однако, на немъ указывалось неоднократно, что Всероссійскіе Съѣзды слишкомъ сложное учрежденіе, что на ряду съ ними должны быть устраиваемы мѣстные съѣзды, а также временные курсы для преподавателей математики различныхъ категорій. Основной же идеей 2-го Съѣзда была, какъ уже упомянуто, мысль о взаимообщеніи науки и педагогики, идея претворенія научныхъ данныхъ въ живую дѣйствительность. И наиболѣе правильнымъ выводомъ о работахъ Съѣзда былъ, думается, тотъ, который былъ сдѣланъ въ одномъ изъ послѣднихъ засѣданій заслуженнымъ педагогомъ С. И. Шохоръ-Троцкимъ и который мы позволимъ себѣ здѣсь привести („Дневникъ“, стр. 133):

...„Для меня болѣе, чѣмъ когда-либо важенъ одинъ выводъ: мнѣ надо учиться. Думаю, что надо учиться всѣмъ, посвящающимъ себя дѣлу обученія другихъ: не учащійся учитель—nonsens, contradictio in adjecto... Учиться надо не для того, чтобы внести побольше изъ области высшей математики въ курсъ низшей, а для того, чтобы знать, что можно и надо внести въ курсъ, и какъ это новое вносить“.

Членъ 2-го Съѣзда.

Проектъ программы по математикѣ для общеобразовательной средней школы.

К. Лебединцевъ. Москва.

Какъ извѣстно, еще весною нынѣшняго 1915 года Министерство народнаго просвѣщенія поставило на очередь вопросъ о реформѣ средней школы, а осенью имъ изданъ циркуляръ, въ которомъ было предложено педагогическимъ совѣтамъ, не ожидая общей реформы школы, теперь же приступить къ пересмотру программъ въ цѣляхъ ихъ упрощенія и усовершенствованія. Въ виду этого я думаю, что было бы весьма своевременно подвергнуть обсужденію на страницахъ „Математическаго Образованія“ вопросъ о программѣ математики въ нашей средней школѣ, и считаю небезполезнымъ предложить проектъ программы, который представляется мнѣ соотвѣтствующимъ современнымъ требованіямъ педагогики и методики. Этотъ проектъ, правда, имѣетъ въ виду не теперешнюю гимназію, но намѣченную Министерствомъ новую семилѣтнюю среднюю школу гуманитарнаго типа (съ раздѣленіемъ ее на двѣ ступени: первую отъ 1 до 3 класса включительно и вторую отъ 4 до 7-го); но именно вслѣдствіе того весьма малаго числа недѣльныхъ часовъ, которое отводилось на математику въ этомъ типѣ школы (12 въ первой ступени и 15 во второй), въ предлагаемую программу включенъ только тотъ минимумъ свѣдѣній по математикѣ, который мнѣ представляется необходимымъ для общеобразовательной средней школы, а въ силу этого данная программа можетъ быть небезполезна, какъ матеріалъ, и для надобностей теперешней школы, особенно, если преподаватель распредѣлитъ матеріалъ, отнесенный къ курсу 5 — 7 кл., на нынѣшніе 5 — 8 классы. Считаю долгомъ добавить, что въ курсѣ семи лѣтъ, по-моему, можно было бы вмѣстить предлагаемую программу лишь при извѣстныхъ измѣненіяхъ общаго строя нашей средней школы, а именно при наличности не болѣе 25 — 30 учащихся въ классѣ, при отсутствіи экзаменовъ, отнимающихъ 3 — 4 недѣли въ концѣ года, и при усовершенствованіи методовъ преподаванія; но въ курсъ восьми лѣтъ и при теперешнихъ 30 — 31 недѣльномъ часѣ она уложится, на мой взглядъ, вполнѣ свободно.

Въ настоящей статьѣ изложена только программа первой ступени (1—3 классы) и объяснительная записка къ ней.

Программа первой ступени.

(1, 2 и 3 классы).

Знанія, необходимыя для поступленія въ 1-й классъ, должны заключаться, во-1-хъ, въ знакомствѣ съ цѣлыми числами и дѣйствіями надъ ними въ предѣлахъ перваго десятка тысячъ: во-2-хъ, въ практическомъ ознакомленіи съ наиболѣе употребительными мѣрами длины, вѣса, стоимости и времени, и въ-3-хъ, въ практическомъ знакомствѣ съ простѣйшими долями. Болѣе подробный перечень относящихся сюда познаній и навыковъ сводится къ слѣдующему:

1) Умѣнье выполнять счетъ въ предѣлахъ перваго десятка тысячъ, называть соотвѣтствующія числа и изображать ихъ цифрами, а также читать написанныя числа. Знаніе римскихъ цифръ и обозначенія ими чиселъ до XII включительно. Умѣнье сознательно, быстро и отчетливо производить четыре ариѳметическія дѣйствія (сложеніе, вычитаніе, умноженіе и дѣленіе) надъ цѣлыми числами, устно — въ предѣлахъ первой сотни, и письменно—въ предѣлахъ перваго десятка тысячъ. Умѣнье рѣшать задачи на указанныя дѣйствія, съ устнымъ объясненіемъ плана рѣшенія.

2) Умѣніе измѣрить длину, взвѣсить предметъ на вѣсахъ и прочесть показаніе часовъ. Знакомство съ наиболѣе употребительными мѣрами длины, вѣса, стоимости и времени (аршинъ, вершокъ, сажень, верста; фунтъ, пудъ; рубль, копейка; минута, часъ, сутки, недѣля, мѣсяцъ, годъ). Знакомство со счетомъ часовъ въ суткахъ, съ названіями дней недѣли и мѣсяцевъ, а также съ числомъ дней въ каждомъ мѣсяцѣ. Знакомство съ наиболѣе употребительными русскими монетами и почтовыми марками.

3) Умѣніе раздѣлить какой-либо предметъ на небольшое число равныхъ частей (напр. на 2, 4, 8, 3, 6, 5, 10 частей), назвать полученныя доли и записать ихъ обозначенія; умѣнье найти одну изъ указанныхъ долей отъ даннаго числа (въ томъ случаѣ*, когда искомая доля выражается также цѣлымъ числомъ).

Ариѳметика и начатки геометріи.

1-й классъ (4 урока).

Учебный планъ. Нумерація и четыре дѣйствія надъ цѣлыми числами любой величины (отвлеченными и именованными). Элементарный курсъ дробей, простыхъ и десятичныхъ. Измѣреніе простѣйшихъ площадей и объемовъ, въ связи съ усвоеніемъ необходимыхъ свѣдѣній изъ геометріи.

Программа. Умѣнье выполнятъ счетъ и называть цѣлыя числа любой величины, записывать ихъ цифрами и читать написанныя числа. Изображеніе простѣйшихъ чиселъ римскими цифрами. Изученіе четырехъ дѣйствій (сложенія, вычитанія, умноженія и дѣленія) надъ числами любой величины; повѣрка дѣйствій. Знакомство со всѣми употребительными русскими мѣрами, а также съ важнѣйшими метрическими мѣрами длины и вѣса.

Рѣшеніе задачъ на всѣ четыре дѣйствія надъ отвлеченными и именованными числами (при чемъ составныя именованныя числа не выдѣляются въ особую статью, а проходятся параллельно съ отвлеченными).

Ознакомленіе (на моделяхъ и окружающихъ предматахъ) съ простѣйшими геометрическими тѣлами (кубъ, прямоугольная призма, пирамида, шаръ, цилиндръ, конусъ), и съ ихъ элементами (плоская и кривая поверхность, прямая и кривая линія, точка; квадратъ, прямоугольникъ, треугольникъ, многоугольникъ, кругъ, окружность). Черченіе и измѣреніе прямолинейныхъ отрѣзковъ. Вертикальныя (отвѣсныя) и горизонтальныя прямыя. Углы; равенство и неравенство угловъ; построеніе прямого угла наугольникомъ. Перпендикулярныя прямыя. Вычерчиваніе квадрата и прямоугольника; измѣреніе ихъ площадей; квадратныя мѣры. Измѣреніе объема куба и прямоугольной призмы; кубическія мѣры.

Составленіе дробей при помощи счета простѣйшихъ долей; полученіе дроби при дѣленіи одного числа на другое. Числитель, знаменатель; дробь правильная и неправильная; обращеніе неправильной дроби въ смѣшанное число и наоборотъ; сравнительная величина дробей въ тѣхъ случаяхъ, когда у нихъ равны либо знаменатели, либо числители. Сложеніе и вычитаніе дробей съ одинаковыми знаменателями и соотвѣтствующихъ смѣшанныхъ чиселъ. Умноженіе и дѣленіе дроби на цѣлое число посредствомъ измѣненія ея числителя. Нахожденіе указанной части отъ числа и числа по данной его части (простѣйшіе случаи). Понятіе о десятичныхъ дробяхъ; ихъ изображеніе и чтеніе. Сложеніе и вычитаніе десятичныхъ дробей; умноженіе и дѣленіе десятичной дроби на цѣлое число (кромѣ случая безконечнаго дѣленія). Понятіе о процентѣ, какъ сотой долѣ числа; вычисленіе одного или нѣсколькихъ процентовъ отъ даннаго числа; нахожденіе числа по даннымъ нѣсколькимъ его процентамъ (простѣйшіе случаи).

Ариѳметика и геометрія.

2-й классъ (4 урока).

Учебный планъ. Четыре дѣйствія надъ дробями, простыми и десятичными; обращеніе десятичныхъ дробей въ простыя и обратно. Метрическія мѣры. Расширеніе свѣдѣній объ измѣреній площадей и объемовъ.

Программа. Сравненіе долей между собою; обращеніе болѣе крупныхъ долей въ болѣе мелкія и наоборотъ. Сокращеніе простѣйшихъ дробей и приведеніе ихъ къ общему знаменателю по соображенію. Сложеніе и вычитаніе простѣйшихъ дробей съ различными знаменателями. Сокращеніе и приведеніе къ общему знаменателю десятичныхъ дробей.

Измѣненіе величины дроби при умноженіи и дѣленіи числителя и знаменателя на какое - либо число; неизмѣняемость величины дроби при умноженіи или дѣленіи числителя и знаменателя на одно и то же число.

Измѣненіе величины десятичной дроби при перемѣщеніи запятой; неизмѣняемость величины ея при приписываніи или отбрасываніи нулей съ правой стороны.

Простѣйшіе признаки дѣлимости (на 2,5; 4,25; 9,3); примѣненіе ихъ къ сокращенію дробей. Понятіе о числахъ первоначальныхъ и составныхъ; разложеніе числа на первоначальныхъ множителей (простѣйшіе случаи). Наименьшее кратное; нахожденіе его помощью разложенія на множителей. Приведеніе дробей къ общему знаменателю помощью нахожденія наименьшаго кратнаго, съ примѣненіемъ къ сложенію и вычитанію дробей. Смыслъ умноженія на дробь; умноженіе дробей, простыхъ и десятичныхъ, а также смѣшанныхъ чиселъ. Смыслъ дѣленія на дробь; дѣленіе дробей, простыхъ и десятичныхъ; дѣленіе смѣшанныхъ чиселъ. Обращеніе десятичныхъ дробей въ простыя и обратно; признакъ, по которому можно судить, обратится ли данная простая дробь въ конечную десятичную или нѣтъ. Рѣшеніе задачъ на всѣ дѣйствія надъ простыми и десятичными дробями. Процентныя вычисленія.

Метрическая система мѣръ; соотношенія между важнѣйшими метрическими мѣрами (метръ, километръ; граммъ, килограммъ; литръ) и русскими.

Измѣреніе угловъ градусами; транспортиръ. Вычерчиваніе угловъ и треугольниковъ; проведеніе высотъ въ треугольникѣ. Измѣреніе площади треугольника. Параллелограммъ; трапеція; многоугольники. Вычерчиваніе ихъ и измѣреніе ихъ площадей. Измѣреніе поверхности и объема призмы и пирамиды.

Ариѳметика и геометрія; начало алгебры.

3-й классъ (4 урока).

Учебный планъ. Упрощенные и искусственные пріемы рѣшенія ариѳметрическихъ задачъ. Простѣйшія приближенныя вычисленія. Общія свойства ариѳметическихъ дѣйствій.

Завершеніе элементарныхъ свѣдѣній о вычисленіи площадей и объемовъ.

Упражненія, служащія для перехода отъ ариѳметики къ алгебрѣ. Употребленіе буквъ для составленія общихъ формулъ и уравненій изъ условій задачъ. Рѣшеніе простѣйшихъ уравненій. Дѣйствія надъ простѣйшими алгебраическими выраженіями. Отрицательныя числа и нуль.

Ариѳметика и геометрія.

(2 урока).

Программа. Рѣшеніе ариѳметическихъ задачъ упрощенными и искусственными пріемами (приведеніе къ единицѣ, пропорціональное дѣленіе). Понятіе объ отношеніи и пропорціи; основное свойство пропорціи. Рѣшеніе пропорцій относительно неизвѣстнаго числа. Понятіе о величинахъ прямо и обратно пропорціональныхъ.

Приближенныя вычисленія въ простѣйшихъ случаяхъ. Основныя свойства ариѳметическихъ дѣйствій.

Черченіе окружности циркулемъ; центръ, радіусъ, діаметръ. Вычисленіе отношенія окружности къ діаметру (на основаніи непосредственныхъ измѣреній).

Вычисленіе площади круга. Измѣреніе поверхности и объема цилиндра и конуса. Объемъ шара.

Начало алгебры.

(2 урока).

Ознакомленіе (на задачахъ) со смысломъ и цѣлью употребленія буквъ въ алгебрѣ. Составленіе общихъ формулъ изъ условій задачъ и выраженіе общихъ истинъ ариѳметики въ видѣ формулъ. Составленіе задачъ на заданную общую формулу (простѣйшіе случаи). Примѣненіе буквеннаго обозначенія неизвѣстнаго къ рѣшенію задачъ. Рѣшеніе простѣйшихъ уравненій первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ, непосредственно (по соображенію) и посредствомъ перенесенія слагаемыхъ и вычитаемыхъ въ другую часть уравненія.

Понятіе объ алгебраическомъ выраженіи. Коэффиціентъ; понятіе о степени; показатель. Нахожденіе числовыхъ величинъ алгебраическихъ выраженій. Правила правописанія формулъ.

Понятіе объ отрицательномъ числѣ и нулѣ (на задачахъ). Дѣйствія надъ положительными и отрицательными числами; основныя свойства дѣйствій и ихъ выраженіе въ видѣ формулъ. Дѣйствія съ нулемъ.

Смыслъ дѣйствій надъ алгебраическими выраженіями. Понятіе объ одночленѣ и многочленѣ.

Многочленъ, какъ алгебраическая сумма его членовъ. Дѣйствія надъ одночленами и простѣйшими многочленами, встрѣчающимися при рѣшеніи уравненій первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ, и приложеніе ихъ къ рѣшенію задачъ.

Объяснительная записка къ программѣ математики.

Общія положенія.

Роль математики, какъ предмета изученія въ средней школѣ, обусловливается тѣмъ значеніемъ, которое имѣла и имѣетъ эта наука въ культурной жизни человѣчества. Съ одной стороны математика даетъ намъ возможность весьма просто, ясно и точно выражать соотношенія между вещами и пріобрѣтать новыя познанія о тѣхъ предметахъ и явленіяхъ, свойства которыхъ могутъ быть выражены на языкѣ ея символовъ, съ другой стороны она среди всѣхъ наукъ является наиболѣе стройной и прочно обоснованной системою истинъ. Поэтому и учащіеся въ средней школѣ должны въ концѣ-концовъ усвоить изучаемую ими математику

съ обѣихъ точекъ зрѣнія: и какъ орудіе міропознанія, и какъ логическую систему; при этихъ условіяхъ изученіе математики дастъ имъ и свѣдѣнія, необходимыя въ общемъ образованіи, и навыки въ индуктивномъ и дедуктивномъ мышленіи.

Содержаніе всего курса математики въ средней шкодѣ распадается по ступенямъ слѣдующимъ образомъ: на первой ступени (1—3 кл.) учащіеся изучаютъ счетъ и измѣренія, т.-е. ариѳметику въ связи съ началами алгебры и геометріи; вторая же ступень (4—7 кл.) включаетъ изученіе алгебры, геометріи и тригонометріи въ связи съ элементами такъ называемой высшей математики.

Методъ обученія матиматикѣ, разумѣется, долженъ видоизмѣняться сообразно возрасту учащихся и степени развитія ихъ психическихъ силъ. Современная психологія и педагогика даютъ основанія полагать, что способность строить связныя логическія умозаключенія и потребность въ болѣе прочномъ логическомъ обоснованіи изучаемаго проявляются у ребенка около 13—14 лѣтъ; поэтому на первой ступени средней школы методъ обученія ариѳметикѣ долженъ носить ясно выраженный конкретно-индуктивный характеръ: всякое новое понятіе изучается учащимися сперва на подходящихъ конкретныхъ примѣрахъ или образцахъ изъ жизни, и лишь этимъ путемъ совершается переходъ къ обобщенію и отвлеченію; равнымъ образомъ и всѣ математическія истины, знакомство съ которыми необходимо на этой ступени, изучаются индуктивно, путемъ разсмотрѣнія подходящихъ частныхъ примѣровъ и обобщенія наблюдаемыхъ свойствъ самими учащимися подъ руководствомъ учителя.

На второй ступени можно и необходимо постепенно пріучить учащихся овладѣть пріемами дедуктивнаго мышленія, и потому систематическое дедуктивное изложеніе изучаемыхъ истинъ пріобрѣтаетъ существенную роль въ обученіи. Однако и на этой ступени конкретно-индуктивный методъ сохраняетъ свою силу и цѣнность какъ при усвоеніи существенно новыхъ понятій, такъ и при ознакомленіи съ такими истинами, полное логическое обоснованіе которыхъ почему-либо недоступно для учащихся въ данномъ мѣстѣ курса.

Прилагаемые учебные планы и программы составлены съ такимъ разсчетомъ, чтобы для учителя являлось обязательнымъ лишь выполненіе учебнаго плана въ предѣлахъ данной ступени школы; самая же программа и распредѣленіе матеріала по отдѣльнымъ классамъ являются только примѣрными и не должны ограничивать учителя ни въ выполненіи подробностей учебнаго плана, ни въ расположеніи отдѣльныхъ вопросовъ курса, ни въ способѣ прохожденія того или иного отдѣла программы; это условіе является необходимомъ залогомъ постояннаго усовершенствованія учебнаго дѣла въ школѣ.

Первая ступень; требованія отъ поступающихъ въ первый классъ.

Преподаваніе математики на первой ступени имѣетъ цѣлью научить учащихся сознательно, быстро и изящно производить

дѣйствія надъ числами, цѣлыми и дробными, овладѣть основами буквеннаго исчисленія и пріемами рѣшенія простѣйшихъ уравненій, выполнять доступныя имъ измѣренія и различать элементарныя геометрическія формы, а также прилагать всѣ эти свѣдѣнія и навыки къ рѣшенію задачъ изъ различныхъ областей знанія и жизни. Для того, чтобы эта цѣль могла быть достигнута, учащіеся уже при поступленіи должны обладать извѣстной подготовкой, указанной въ программѣ, именно они должны умѣть выполнять дѣйствія надъ цѣлыми числами въ предѣлахъ перваго десятка тысячъ и имѣть практическое знакомство съ употребительными мѣрами длины, вѣса, стоимости и времени и съ простѣйшими долями. Знакомство со счетомъ и дѣйствіями надъ числами ограничено первымъ десяткомъ тысячъ, такъ какъ въ этихъ предѣлахъ учащіеся могутъ усвоить въ достаточной мѣрѣ и принципъ десятичной нумераціи, и всѣ основные пріемы производства дѣйствій, какъ устные, такъ и письменные; а между тѣмъ усвоеніе этихъ основныхъ принциповъ счета и дѣйствій, а равно и рѣшеніе задачъ, легче даются дѣтямъ, если имъ приходится имѣть дѣло съ числами, не затрудняющими ихъ своей величиной. Зато представляется крайне необходимымъ, чтобы учащіеся при поступленіи въ первый классъ обладали указанными въ программѣ свѣдѣніями о мѣрахъ и доляхъ; эти свѣдѣнія пріобрѣсть нетрудно, тѣмъ болѣе, что они тѣсно связаны съ жизнью, окружающей ребенка; а владѣя ими, учащіеся смогутъ сознательно разбираться въ цѣломъ рядѣ задачъ, имѣющихъ жизненный характеръ. Знакомство съ указанными мѣрами и ихъ соотношеніями должно выражаться, между прочимъ, и въ умѣніи обращать одни мѣры въ другія, такъ что дѣти должны умѣть рѣшать и такія задачи, въ которыя входятъ несложныя составныя именованныя числа; напр. они должны умѣть вычислить, сколько всего саженъ въ 2 вер. 400 саж. или сколько выйдетъ пятифунтовыхъ кульковъ изъ 2 пуд. 20 фун. сахару; но всѣ подобные вопросы дѣти должны умѣть рѣшать по соображенію, и термины: раздробленіе, превращеніе, именованныя числа и т. п. — здѣсь излишни.

Первый классъ.

При наличности указанной выше подготовки поступающихъ дѣтей ближайшая задача учителя при прохожденіи курса перваго класса состоитъ въ томъ, чтобы распространить имѣющіяся у дѣтей свѣдѣнія о числахъ, о дѣйствіяхъ надъ ними и о мѣрахъ — на числа любой величины. Это не представитъ особыхъ затрудненій, такъ какъ всѣ необходимые для того элементы уже имѣются налицо. При этомъ цѣлесообразнѣе всего не выдѣлять ученія о составныхъ именованныхъ числахъ въ особую статью, а изучать ихъ параллельно съ дѣйствіями надъ отвлеченными числами, и вообще не задавать въ задачахъ составныхъ именованныхъ чиселъ, имѣющихъ болѣе двухъ разрядовъ смежныхъ мѣръ; болѣе сложныя числа въ задачахъ жизненнаго характера обыкновенно не встрѣчаются, да и вообще составныя именованныя

числа имѣютъ лишь небольшое практическое значеніе и примѣненіе. Термины: раздробленіе и превращеніе — здѣсь, конечно, допустимы, но проще замѣнить ихъ однимъ—обращеніе.

Свѣдѣнія изъ области геометріи, изучаемыя на первой ступени средней школы, имѣютъ существенное и разнообразное значеніе. Прежде всего, эти начатки геометріи даютъ учащемуся рядъ свѣдѣній о геометрическихъ формахъ, постоянно попадающихся въ окружающей его жизни и тѣмъ самымъ расширяютъ его умственный кругозоръ; затѣмъ они даютъ возможность рѣшать цѣлый рядъ задачъ жизненнаго характера на вычисленіе площадей и объемовъ различной формы; кромѣ того, они образуютъ у учащагося тотъ запасъ живыхъ и отчетливыхъ представленій о геометрическихъ фигурахъ и тѣлахъ, на которомъ только и возможно успѣшное построеніе систематическаго курса геометріи (на второй ступени средней школы); и наконецъ, эти элементарныя геометрическія свѣдѣнія понадобятся учащимся при изученіи другихъ предметовъ учебнаго курса (географіи, природовѣдѣнія, физики). Въ курсъ перваго класса введены только тѣ свѣдѣнія изъ области геометріи, которыя существенно необходимы для сознательнаго ознакомленія учащихся съ квадратными и кубическими мѣрами и съ измѣреніемъ прямоугольныхъ фигуръ и тѣлъ; всѣ эти свѣдѣнія проходятся конкретно, при помощи изученія моделей и предметовъ окружающей обстановки, склеиванія или вылѣпливанія соотвѣтствующихъ моделей самими дѣтьми и вычерчиванія ими фигуръ или вырѣзыванія фигуръ изъ бумаги или картона1). Сначала учащіеся должны пріучиться различать изучаемыя ими геометрическія формы на моделяхъ и предметахъ, встрѣчающихся въ жизни, и по возможности воспроизводить эти формы и фигуры, затѣмъ они должны усвоить значеніе употребляемыхъ терминовъ; въ частности, прямой уголъ удобнѣе всего опредѣлять здѣсь, какъ уголъ, равный углу между вертикальной и горизонтальной линіей. Измѣреніе площади прямоугольника и объема прямоугольной призмы слѣдуетъ проводить конкретно и заставлять дѣтей воспроизводить соотвѣтствующія модели, такъ какъ это единственный путь, при которомъ они могутъ сознательно усвоитъ правила вычисленія площадей и объемовъ.

Кромѣ указанныхъ вопросовъ, въ первомъ классѣ изучается еще элементарный курсъ дробей, простыхъ и десятичныхъ. Въ этомъ курсѣ разсматриваются только простѣйшіе виды дробей, дѣйствія надъ которыми выполняются по соображенію и преимущественно устно; полезно примѣненіе наглядныхъ пособій, напр., круга, раздѣленнаго на равные квадраты. Десятичныя дроби введены въ курсъ перваго класса, во-1-хъ, вслѣдствіе ихъ практической важности, во-2-хъ, въ виду легкости усвоенія тѣхъ дѣйствій надъ ними, которыя указаны въ программѣ, и, въ-3-хъ, въ виду возможности уже въ первомъ классѣ выполнять простѣйшія процентныя вычисленія,

1) Въ случаѣ надобности соотвѣтствующія работы могутъ быть выполняемы учащимися на урокахъ ручного труда.

Желательно удѣлять достаточное вниманіе устному счету, какъ въ курсѣ перваго класса, такъ и вообще на всей данной ступени, и не только въ области цѣлыхъ чиселъ, но и при изученіи дробей. Такія дѣйствія, какъ умноженіе 6000 на 3, или 13/4 на 5, или нахожденіе 1°/0 отъ 234 должны выполняться устно, съ записью дѣйствія и результата, если это нужно.

Задачи должны быть просты по своему содержанію и имѣть жизненный характеръ; въ случаѣ надобности, полезны иллюстраціи задачъ рисункомъ, чертежомъ или „въ лицахъ“, напр., въ задачахъ, гдѣ идетъ рѣчь о движеніи пѣшеходовъ, поѣздовъ и т. п.

Второй классъ.

Во второмъ классѣ учащіеся должны усвоить дѣйствія надъ дробями, простыми и десятичными. Курсъ тѣхъ и другихъ лучше всего проходить параллельно; это ведетъ къ экономіи времени и труда и позволяетъ разсматривать свойства и правила дѣйствій надъ десятичными дробями, какъ частные случаи соотвѣтствующихъ свойствъ и правилъ для простыхъ дробей.

Обращенію болѣе крупныхъ долей въ болѣе мелкія и обратно слѣдуетъ удѣлить достаточно времени и вниманія и привлечь на помощь наглядныя пособія, такъ какъ все усвоеніе курса дробей зависитъ отъ того, насколько дѣти сознательно, ясно и твердо усвоятъ себѣ соотношенія между простѣйшими и наиболѣе употребительными долями, простыми и десятичными. Приведеніе дробей къ общему знаменателю и сокращеніе ихъ вначалѣ слѣдуетъ вести по соображенію, аналогично раздробленію и превращенію именованныхъ чиселъ, и лишь затѣмъ, когда дѣти твердо освоятся съ сутью дѣла, изучить съ ними обычные пріемы, привлекая на помощь признаки дѣлимости и разложеніе чиселъ на первоначальныхъ множителей.

Такъ какъ простыя дроби съ большими и сложными знаменателями на практикѣ не употребительны, то и въ школѣ слѣдуетъ ограничиваться простыми дробями съ небольшими сравнительно знаменателями, имѣющими примѣненіе въ жизни и въ другихъ учебныхъ предметахъ (напр , цѣлесообразны примѣры и задачи, въ которыя входятъ 12-ыя, 15-ыя, 24-ыя, 60-ыя, 90-ыя, 360-я доли, но не 73-ія, 89-ыя или 358-ыя). При такихъ условіяхъ изученіе признаковъ дѣлимости и разложенія чиселъ на первоначальныхъ множителей можетъ свестись къ минимуму, и самое разложеніе можетъ выполняться чаще всего устно, съ помощью таблицы умноженія (напр. 72 = 8.9 = 2.2.2.3.3), и примѣняться лишь къ нахожденію наименьшаго кратнаго; нахожденіе же общаго наибольшаго дѣлителя слѣдуетъ вовсе исключить изъ курса даннаго класса, такъ какъ сокращеніе дробей, употребительныхъ на практикѣ, выполняется по соображенію или съ помощью признаковъ дѣлимости. Самые термины „общій дѣлитель, общій наибольшій дѣлитель“, при желаніи учителя, могутъ быть, конечно, сохранены и употребляемы въ случаѣ надобности.

Смыслъ умноженія и дѣленія на дробь лучше всего выся-

нить на подходящихъ задачахъ, для чего у учащихся имѣется матеріалъ еще изъ элементарнаго курса дробей, изученнаго въ первомъ классѣ. Умноженіе на десятичную дробь проще всего разсматривать какъ частный случай умноженія на дробь вообще; тогда учащіеся сознательнѣе усваиваютъ и самое правило умноженія; для усвоенія дѣленія на десятичную дробь пригодны различные пріемы; самые простые изъ нихъ — это приведеніе дѣлимаго и дѣлителя къ общему зпаменателю, или увеличеніе дѣлимаго и дѣлителя во столько разъ, чтобы дѣлитель сталъ цѣлымъ числомъ, или выполненіе дѣленія на десятичную дробь по правилу дѣленія на простую дробь.

При обращеніи простыхъ дробей въ десятичныя слѣдуетъ выяснить на небольшомъ числѣ примѣровъ, что обращеніе въ конечную десятичную дробь не всегда возможно, и изслѣдовать, при какомъ составѣ знаменателя это возможно и при какомъ нѣтъ; ученіе же о періодическихъ дробяхъ и ихъ обращеніи въ простыя подлежитъ, разумѣется, исключенію изъ курса второго класса. Зато слѣдуетъ удѣлить въ этомъ классѣ время на рѣшеніе задачъ на процентныя вычисленія по соображенію, съ примѣненіемъ умноженія и дѣленія на дробь; здѣсь могутъ быть рѣшаемы, собственно говоря, всѣ основныя задачи на проценты, носящія жизненный характеръ.

Изученіе метрической системы мѣръ слѣдуетъ вести конкретно и съ помощью практическихъ измѣреній; соотношенія между метромъ и аршиномъ, килограммомъ и фунтомъ могутъ быть установлены помощью дѣйствительныхъ измѣреній и взвѣшиваній.

Въ области геометріи желательно возможное расширеніе свѣдѣній, пріобрѣтенныхъ въ предыдущемъ классѣ. Это расширеніе можетъ итти теперь въ двухъ направленіяхъ: во 1-хъ, слѣдуетъ изучить способы вычисленія площадей и объемовъ не только прямоугольныхъ фигуръ и тѣлъ; во 2-хъ, слѣдуетъ распространить усвоенныя правила вычисленія площадей и объемовъ и на тѣ случаи, когда линейныя измѣренія фигуръ выражены дробными числами.

Измѣреніе угловъ градусами изучается главнымъ образомъ для вычерчиванія фигуръ по заданнымъ элементамъ; при этомъ угловой градусъ лучше всего опредѣлять, какъ одну девяностую часть прямого угла. При измѣреніи площадей треугольника, параллелограмма и т. д. наиболѣе цѣлесообразно изготовленіе учащимися разрѣзныхъ моделей изъ бумаги и картона, причемъ при помощи перекладыванія частей этихъ фигуръ онѣ могутъ быть превращены въ равновеликій прямоугольникъ.

При измѣреніи объема призмы учащіеся должны усвоить на моделяхъ, что треугольная прямая призма составляетъ по объему половину соотвѣтствующей прямоугольной, и что наклонная призма можетъ быть превращена въ прямую, у которой основаніемъ будетъ перпендикулярное сѣченіе, а высотой — боковое ребро; при желаніи можно ограничиться здѣсь разсмотрѣніемъ только нѣкоторыхъ видовъ призмъ. То обстоятельство, что объемъ пирамиды втрое меньше объема соотвѣтствующей призмы — можетъ быть усвоено учащимися при помощи полыхъ внутри мо-

делей, наполняемыхъ водой или пескомъ. Разумѣется, всѣ геометрическія познанія должны быть приложены къ рѣшенію соотвѣтствующихъ ариѳметическихъ задачъ.

Третій классъ.

Задача третьяго класса — завершить обученіе счету и измѣреніямъ и сообщить элементарныя свѣдѣнія изъ области алгебры. Курсъ ариѳметики даннаго класса обычно состоялъ въ рѣшеніи задачъ на такъ называемыя „правила“ (тройное, процентовъ, пропорціональнаго дѣленія, смѣшенія и т. п.) посредствомъ приведенія къ единицѣ или примѣненія пропорцій. Цѣлесообразнѣе всего совершенно исключить изъ курса даже самое упоминаніе о какихъ-либо „правилахъ“ для рѣшенія задачъ, такъ какъ это ведетъ къ механическому выполненію вычисленій и затрудняетъ учащимся сознательное овладѣніе методами рѣшеній; кромѣ того, подлежатъ упраздненію вообще всѣ задачи громоздкаго и неестественнаго характера (въ родѣ задачъ на „тройное правило“ съ большимъ числомъ данныхъ), и вообще курсъ ариѳметики даннаго класса долженъ состоять лишь въ усвоеніи упрощенныхъ и искусственныхъ методовъ рѣшенія задачъ (приведеніе къ единицѣ, пропорціональное дѣленіе), въ усвоеніи понятій объ отношеніи, пропорціи и пропорціональныхъ величинахъ и въ ознакомленіи съ простѣйшими приближенными вычисленіями, а равно и въ своевременномъ выясненіи тѣхъ общихъ свойствъ дѣйствій, которыя необходимы для изученія алгебры. Изученіе ариѳметики должно вестись въ тѣсной связи съ курсомъ алгебры, и между этими обоими отдѣлами математики найдется достаточно точекъ соприкосновенія: вопросъ о нахожденіи неизвѣстнаго члена пропорціи сводится, собственно говоря, къ рѣшенію уравненія; главное свойство пропорціи можетъ быть выражено въ видѣ общей формулы, и точно такъ же въ видѣ формулъ могутъ быть выражены общія свойства ариѳметическихъ дѣйствій; самое понятіе объ общей формулѣ устанавливается на основаніи рѣшенія сходныхъ ариѳметическихъ задачъ; простѣйшія задачи на пропорціональное дѣленіе и смѣшеніе могутъ быть рѣшаемы и ариѳметическимъ путемъ, и составленіемъ уравненій, и т. п.

Знакомство съ приближенными вычисленіями, въ виду практическихъ надобностей, необходимо, но здѣсь достаточно ограничиться только самыми элементарными свѣдѣніями (которыя могутъ понадобиться въ рѣшеніи ариѳметическихъ и геометрическихъ задачъ).

Геометрія въ данномъ классѣ состоитъ въ изученіи и измѣреніи круга и круглыхъ тѣлъ. Отношеніе окружности къ діаметру можетъ быть найдено учащимися проще всего путемъ непосредственныхъ измѣреній круглыхъ предметовъ (напр., они могутъ измѣрить окружность и діаметръ монеты, блюдечка, ведра и т. п., и найти отношеніе полученныхъ чиселъ); при аккуратномъ измѣреніи можно получить результатъ, точный до 0,01. Площадь круга опредѣляется путемъ разрѣзыванія круга на узкіе секторы (напр.

на 16 или 32 равныхъ сектора) и складыванія ихъ въ фигуру, похожую на параллелограммъ; или же путемъ взвѣшиванія двухъ однородныхъ пластинокъ, круглой и такой квадратной, сторона которой была бы равна радіусу круга; въ результатѣ получается, что круглая пластинка тяжелѣе квадратной приблизительно въ 3,14 раза. Поверхности цилиндра и конуса могутъ быть измѣнены послѣ развертыванія ихъ на плоскости, что превращаетъ первую изъ нихъ въ прямоугольникъ, а вторую—въ часть круга (круговой секторъ); объемъ цилиндра опредѣляется сравненіемъ его съ объемомъ прямой призмы, или помощью взвѣшиванія, или посредствомъ наполненія пустыхъ моделей пескомъ или водой; подобнымъ же образомъ учащіеся могутъ убѣдиться, что объемъ конуса втрое меньше объема цилиндра съ такимъ же основаніемъ и высотой, а объемъ полушара равенъ объему конуса, имѣющаго діаметръ основанія и высоту равными діаметру полушара.

Въ курсѣ алгебры третьяго класса самымъ существеннымъ вопросомъ является рѣшеніе простѣйшихъ уравненій и соотвѣтствующихъ задачъ, а преобразованія формулъ имѣютъ лишь служебное значеніе, и потому совершенно достаточно на этой ступени ограничиться лишь тѣми преобразованіями, которыя могутъ имѣть мѣсто при рѣшеніи простѣйшихъ уравненій и изучать эти преобразованія параллельно съ рѣшеніемъ уравненій и задачъ. Другимъ важнымъ вопросомъ является вопросъ объ отрицательныхъ числахъ (и нулѣ); ученіе объ этихъ числахъ и дѣйствіяхъ надъ ними слѣдуетъ проходить конкретно, на соотвѣтствующихъ задачахъ и съ примѣненіемъ, гдѣ нужно, графическихъ иллюстрацій; это обезпечиваетъ наилучшее пониманіе и легкость усвоенія даннаго отдѣла учащимися.

К. Лебединцевъ.

(Продолженіе слѣдуетъ).

По поводу курса тригонометріи въ гимназіяхъ.

Б. Славскій. Петроградъ.

Курсъ тригонометріи мы начинаемъ крайне широко. Обобщаемъ понятіе угла, устанавливаемъ новую единицу угла, строимъ систему тригонометрическихъ функцій и формулы всяческихъ связей между ними, занимаемся обращеніемъ этихъ функцій, рѣшаемъ тригонометрическія уравненія, всюду подчеркивая общность выводовъ. Ученики въ правѣ ждать блестящаго продолженія при такомъ началѣ, а мы переходимъ къ табличнымъ вычисленіямъ, рѣшеніямъ треугольниковъ и задачъ, къ нимъ приводящихся; этимъ заканчиваемъ курсъ, поселяя недоумѣнія: зачѣмъ такъ непросто вести къ простой техникѣ рѣшенія задачъ, гдѣ почти всѣ предшествующія обобщенія не нужны. Обобщенія естественны къ концу, они должны манить дальше, мы же, какъ будто нарочно, ставимъ ихъ напередъ и обманываемъ возбуждающіяся надежды.

Эти соображенія привели меня къ нѣсколько иной схемѣ изложенія тригонометріи, гдѣ обобщенія вѣнчаютъ курсъ. При этомъ я позволилъ себѣ воспользоваться, какъ орудіемъ для обобщеній, теоремой сложенія, выведенной для аргументовъ, не выходящихъ изъ предѣловъ первой четверти.

Курса въ этомъ направленіи я не проводилъ и поэтому моя схема можетъ, конечно, вызвать возраженія.

1°. Въ прямоугольномъ треугольникѣ АБС съ острымъ угломъ В катетъ с есть часть гипотенузы а. Назовемъ эту часть, т.-е. отношеніе с къ а, косинусомъ угла В, такъ какъ оно зависитъ, очевидно, только отъ величины угла Б. Такимъ образомъ, для угла между 0° и 90° косинусъ есть правильная положительная дробь, убывающая при возрастаніи угла. Естественно положить: cos0°=:l и cos 90° = 0.

Пусть АВС—остроугольный треугольникъ и ААГ высота. Имѣемъ: ВС=ВА* -{- А'С, или, согласно опредѣленію косинуса:

— а Ь cos С -(- с cos В = 0.

Подобнымъ образомъ—

а cos С — Ъ -f- с cos А — 0 а cos В Ъ cos А — с = 0

Исключимъ а, Ъ, с изъ системы (I):

— 1 -}- 2 cos А cos В cos С-\- cos2H-f cos2B-fcos2(7=0,

откуда:

cos(7= — cosHcosB-}-\/(l — cos2H)(l—cos2B) . . .III.

(Передъ радикаломъ сохраненъ только +, иначе: cos(7<c:0, что невозможно).

Введемъ вспомогательную функцію sinМ, опредѣляя ее равенствомъ:

sinJf=vl — cos2ilf,...............IV.

гдѣ попрежнему уголъ М заключенъ между 0° и 90°.

Очевидно, при возрастаніи М отъ 0° до 90° sin М — правильная положительная дробь — растетъ отъ 0 до 1.

Формула (III) замѣнится:

cos С= — cos А cos В -[- sin А sin В...IIF.

Вычислимъ sin С:

или,

sin (7= sin А cos В cos А sin В............V.

За предѣлами 0° — 90° будемъ опредѣлять sin М и cos М такъ, чтобы сохранялись формулы III и V.

Для рѣшенія треугольниковъ достаточно распространить опредѣленія на промежутокъ 0°—180°.

Имѣемъ: А -f- # -f- С= 180°; пусть # п= 0, тогда С — 180° — А и, когда А измѣняется между 0° и 90°, С будетъ измѣняться между 180° и 90°; слѣдовательно:

cos (180° — А) = — cos И; sin (180 — А) —sin А .... VI.

Опредѣливъ такимъ образомъ синусъ и косинусъ для всякаго угла въ промежуткѣ: 0°— 180°, замѣнимъ С=180°— (А -f-#) въ формулахъ III' и V:

cos (А -)- В) = cos А cos В —- sin А sin В уд

sin (А -f- В) = sin А cos В + cos А sin В,

при чемъ А, В и (А -\-В) заключены между 0°—180°.

Рѣшенія системы VII относительно sin# и cos# [#=(Л-{-#) —А] дадутъ формулы разности аргументовъ, въ частности:

cos (90° — А) =. sin А , sin (90° — А) = cos А.

Далѣе введемъ остальныя функціи, опредѣляя ихъ равенствами:

tangM=—cotgilf==—— ; secil/=—cosocM = —^rF . (VIII) cos М 0 smilf cos JT sim¥ v ’

и докончимъ обычными пріемами построеніе системы формулъ. Само собой разумѣется, что ни одинъ изъ аргументовъ не можетъ выйти изъ предѣловъ: 0°—180°.

2°. Познакомивъ учащихся практически съ таблицами, перейдемъ къ рѣшенію треугольниковъ.

Легко убѣдимся въ справедливости соотношеній (I) для любого треугольника.

Такъ какъ замѣна сторонъ одноименными синусами въ формулахъ (I) даетъ тождества (V), должна существовать пропорціональность между сторонами и синусами. Исключая изъ этихъ же соотношеній (I) два косинуса, придемъ:

а2 = Ъ2-\-с2 — 2 be cos А и т. п.

(въ частности при А = 90° получимъ Пиѳагорову теорему — ею мы нигдѣ не пользовались).

Легко получимъ обычнымъ способомъ всѣ нужныя формулы.

3°. Въ заключеніе обобщимъ понятіе угла, дадимъ радіальную мѣру его.

Тригонометрическими синусомъ и косинусомъ будемъ называть величины, отождествляющія формулы VII и VIII.

Такъ, положивъ въ VII #=180°, опредѣлимъ косинусъ и синусъ для промежутка 180° — 360°; далѣе, беремъ В = 360°, устанавливаемъ періодичность и т. д. Положивъ В — — Л, построимъ функціи въ отрицательномъ полѣ.

Установимъ формулы приведенія, опредѣлимъ обратныя круговыя функціи и кончимъ рѣшеніемъ тригонометрическихъ уравненій, если, конечно, ограничиться обычнымъ содержаніемъ курса тригонометріи въ гимназіяхъ.

Очерки по геометріи треугольника.

Н. Агрономовъ. Ревель.

(Окончаніе).

§ 9. Разсмотримъ уголъ АС2ВѴ Имѣемъ:

(29)

Такъ какъ

(30)

Итакъ, разсматриваемый уголъ АС2Вг = /_C. Равнымъ образомъ Вслѣдствіе этого, мы можемъ утверждать, что прямыя С2ВѴ А2Сѵ В2Ах суть антипараллели тр-ка АВС.

Примѣчаніе. Такъ какъ указанныя .выше антипараллели проходятъ черезъ точку Лемуана и, кромѣ того, онѣ равны, то отсюда выясняются основанія, по которымъ точку Лемуана опредѣляютъ какъ точку пересѣченія равныхъ антипараллелей тр-ка.

§ 10. Обозначимъ черезъ Іа, Іь, Іс длины перпендикуляровъ, опущенныхъ изъ А,В,С на антипараллель ВгС2. Получимъ

(31)

или послѣ преобразованій

(32)

Изъ полученныхъ равенствъ мы безъ большихъ затрудненій получимъ, что

ЪЧь-\-сЧс = аЧа. (33)

Если та, ть, тс, па, щ, пс обозначаютъ длины перпендикуляровъ, опущенныхъ изъ вершинъ В и С на антипараллели СЛА2, АгВ2> то

(34)

Такъ какъ

(35)

то 1„ : nil, :п, — —j : А '■ т.-е., разстоянія вершинъ А, В, С

(X и С

АВС отъ соотвѣтственныхъ антипараллелей обратно-пропорціональны квадратамъ соотвѣтственныхъ сторонъ.

Отмѣтимъ безъ подробнаго доказательства, что

§ 11. Заканчивая свой очеркъ, позволю себѣ предложить читателю доказать, что радикальныя оси описанной окружности съ каждой изъ окружностей ААгА2, ВВѴВ2, ССХС2 встрѣчаютъ стороны ВС, CA, AB въ трехъ точкахъ, лежащихъ на прямой, изотомически сопряженной съ радикальной осью описанной окружности и 2-ой окружности Лемуана. Аналитическое доказательство этого предложенія не представляетъ затрудненій. Интересно доказательство при помощи только элементарной геометріи.

Числа положительныя, отрицательныя и нуль.

А. Москвинъ. Москва.

§ 1. Принципъ перманентности формальныхъ законовъ.

Принципъ перманентности формальныхъ законовъ состоитъ въ слѣдующемъ:

Каждое сочетаніе знаковъ, не выражающееся съ помощью чиселъ даннаго класса А, опредѣляется, какъ число въ обобщенномъ значеніи этого слова.

Числа даннаго класса А и числа въ обобщенномъ значеніи этого слова образуютъ новый классъ чиселъ В.

Равенство и неравенство чиселъ класса В зависитъ отъ выполненія нѣкоторыхъ условій, являющихся слѣдствіемъ опредѣленій, установленныхъ для чиселъ класса А.

Ариѳметическія дѣйствія надъ числами класса В производятся по правиламъ, которыя также являются слѣдствіями опредѣленій, установленныхъ для чиселъ класса А.

Всѣ эти слѣдствія изъ опредѣленій, установленныхъ для чиселъ класса А, принимаются за опредѣленія въ примѣненіи къ числамъ класса В.

§ 2. Имѣемъ рядъ натуральныхъ чиселъ (классъ А):

1, 2, 3, 4, 5,. 6, 7,......

Разсмотримъ выраженіе

cc — ßy

въ которомъ а и ß и представляютъ числа указаннаго ряда.

Если а > /?, то сочетаніе знаковъ

а — ß

выражается числомъ натуральнаго ряда. Если же а = ß или a<ßy то сочетаніе знаковъ а — ß не выражается ни однимъ изъ чиселъ натуральнаго ряда.

На основаніи принципа перманентности формальныхъ законовъ, сочетаніе знаковъ

а — ß,

въ которомъ cc = ß, и сочетаніе знаковъ

а —ß у

въ которомъ a<c.ßy опредѣляемъ какъ новыя числа.

На основаніи того же принципа мы можемъ къ числамъ натуральнаго ряда присоединить новыя числа и такимъ образомъ составить одинъ классъ чиселъ (классъ В).

Изъ предыдущаго слѣдуетъ, что числа класса В могутъ быть представлены въ видѣ

(«-«,

гдѣ а и ß суть числа натуральнаго ряда.

§ 3. Опредѣленіе равенства, неравенства и ариѳметическихъ дѣйствій надъ числами класса В.

Если

a>ß, y>à и а — ß = y — 4,

то изъ опредѣленія вычитанія и основныхъ законовъ сложенія чиселъ натуральнаго ряда слѣдуетъ равенство

ct + 6 = ß-\-y.

Если

а — ß>y — 4,

то изъ опредѣленія вычитанія и основныхъ законовъ сложенія слѣдуетъ неравенство

я à > ß -\-у.

Если

а — ß Су—â у

то на томъ же основаніи имѣетъ мѣсто неравенство

а + <?</? + /•

Наконецъ, если a>ß и у>d, то изъ опредѣленій и основныхъ законовъ сложенія, вычитанія и умноженія чиселъ натуральнаго ряда слѣдуютъ равенства:

(« — ß) + (Г — à) = (а + у) — (ß + «О

И

{а — ß)(y — 6) = (ay -f- ßd) — (aô -f- ßy).

Съ помощью принципа перманентности формальныхъ законовъ равенство, неравенство и ариѳметическія дѣйствія (сложеніе и умноженіе) надъ числами класса В (а — ß) и (/ — ö) опредѣляемъ такъ:

(a-ß) = (y — ä),

если

a+d = £-f у; (I)

(а — ß)>(7 — д),

если

«+£>г+Д (И)

(с — ß)<(y — d),

если

а -f d с + y; (Ш)

(а - ß) + (7 - d) = [(а + у)- (/? + d)]; IV)

(а — ß) .(ѵ — d) = [{ay + — {ßy + ad)]. (V)

§ 4. Изъ опредѣленій равенства (I) и неравенства (II, III) чиселъ класса В вытекаетъ рядъ предложеній, выражающихъ свойства этихъ чиселъ.

1. (a — ß) = (a — ß),

т.-е. каждое число класса В равно самому себѣ.

Дѣйствительно,

а -{— ß -—: ß —|— а.

На основаніи этого равенства и опредѣленія (I) заключаемъ,

что

(a — ß) — (a — ß).

2. Если

(а —/?)>(/ —d),

ТО

(Г— d) <(« — /?).

Дѣйствительно, изъ условія и опредѣленія (II) имѣемъ а -f- <5 > ß 4- у]

отсюда

ß -f- у < а + 6.

На основаніи послѣдняго неравенства и опредѣленія (III) заключаемъ, что

3. Если

(a — ß) = (fi — v)

(г — 0) = (ц —

то

(a — ß) = (y — 6).

Дѣйствительно, изъ условія и опредѣленія (I) имѣемъ

а + ѵ = 0-\-ц

ä + t* = r-\-ѵ;

отсюда

a-\-ä + ii + v = ß-lry + (i-\-v,

или

« + ô — ß + Y-

На основаніи послѣдняго равенства и опредѣленія (I) заключаемъ, что

(a — ß) — (y — ä).

4. Если

(a-ß)>(y-ö)

(y—rf)

ТО

(а —/?)>(/< —т).

Дѣйствительно, изъ условія и опредѣленій (II, III) имѣемъ:

уv>ô-\-(1\

отсюда

a+6+y + v>ß + y-\-ö-\-(i,

или

« + V>ß-\-[l.

На основаніи послѣдняго неравенства и опредѣленій (II, III) заключаемъ, что

(a — ß)>({i — v).

5. Если

(а — ß) — (fi— ),

(7 — 6) = (л — р) и

О — ѵ) > (л — (>),

ТО

(a — ß)>(y — ö).

Дѣйствительно, изъ условія и опредѣленій (I), (И) и (III) имѣемъ:

а-f* ѵ — ß ~Ь

7 + Q — + я,

отсюда

а-\-ѵ -fd + л + 1и + С>^£ + /* + 7 + () + ^ + :7Г>

или

a + ö>ß + fi.

На основаніи этого и опредѣленій (II) и (III) заключаемъ, что (а - ß)>(y — ö).

§ 5. Законы сложенія.

Изъ опредѣленія сложенія (IY) въ связи съ предложеніями, выведенными въ предыдущемъ параграфѣ, вытекаютъ шесть основныхъ законовъ этого дѣйствія.

1. Сумма чиселъ класса В всегда представляетъ число того же самаго класса.

Дѣйствительно, сложеніе чиселъ (а — ß) и (/ — 6 опредѣляется равенствомъ

(«- ß) + (г -<0 = [(« + ?) - <)]•

Но

[(« + ?) — (0+*)]

всегда представляетъ число класса Z», такъ какъ суммы натуральныхъ чиселъ а + / и ß -f- ô всегда безъ всякихъ исключеній представляютъ числа натуральнаго ряда.

2. Сумма чиселъ (а — ß) и (/ — â) имѣетъ только одно значеніе.

Дѣйствительно, на основаніи опредѣленія (IV) сумма чиселъ.

(a — ß) и (у — 6) равна [(« + /) — (/? + cf)].

Но выраженіе

[(а + 7) — (ß -f- â)]

имѣетъ только одно значеніе, такъ какъ суммы чиселъ натуральнаго ряда а -f- у и ß -f- â однозначны.

3. Законъ перемѣстительности:

(С£ — ß) + (у — â) = — 6) + — ß).

Дѣйствительно, на основаніи опредѣленія сложенія имѣемъ:

(« - ß) + (у — tf) = [(« -\-Y) — (ß + d)]

(/ — rf) + (« — ß) — [(« + Y) — iß + d)].

Ha основаніи этихъ равенствъ и предложенія 3 § 4 заключаемъ, что

(а — ß)-\-(y — ä) — (y—6)^-(a — ß).

4. Законъ сочетательности:

[(a-ß) + (r-d)] + (it-v)-(fl-ß) + [(r-d) + (ß-v)].

Дѣйствительно, на основаніи опредѣленія сложенія (IY) имѣемъ:

[(« — £) + (г — rf)] + C« — «О = [(« + у + р) — + â4-*0]

(« — ß) + [(г — à) + (fl — V)] = [(а + + ft) (ß + 4 + )].

Ha основаніи этихъ равенствъ и предложенія 3 § 4 заключаемъ, что

[(« — /?) + (/ — <ЭД + (fi — Ѵ) — (а — + [(7 — à) + (ft — V)].

5. Если

(a — 0) = (r — â), то

(a — ß) -\-(ц—т) = (у—0)-\-(

Дѣйствительно, изъ условія и опредѣленія (I) имѣемъ

a-j-ä = ß -}-у;

откуда

a-\-6-\-fi-\-v=zß-\-y-\-fi-\-v.

На основаніи послѣдняго равенства и опредѣленія (I) находимъ, что

[(« + ,«) - (ß + V)] = [(у + ft) (â + »)].

Но

[(« + ,м) — (/? + »)] = (« — ß «О

[(7 + /0 — (<* + »Ol = + (,« — ѵ).

На основаніи послѣднихъ двухъ равенствъ и предложенія 3 § 4 заключаемъ, что

(« — /?) + (,« - ѵ) = +{ц — ѵ).

6. Законъ монотонности:

Если

(а — ß)> {у — à),

то

(« — ß) + О — ѵ) > (у + (ß —

Дѣйствительно, изъ условія и опредѣленія (II) имѣемъ

а 4 б > ß + у,

откуда

На основаніи послѣдняго неравенства и опредѣленія (II' находимъ, что

K« + #0 -{ß + )] > [(/ + #0 - (à + V)].

Но

[(« + #0 — (0 + *0]=(« — £) + (р - ѵ)

и

[(Г + #0 — (rf + ѵ )J = (7 — 6) + (Р — г).

На основаніи этого и предложенія 5 § 4 заключаемъ, что

(« — ß) + (/* — ѵ) > (7 — <0 + Си — г).

§ 6. Опредѣленіе вычитанія.

Вычитаніе чиселъ класса В опредѣляемъ, какъ дѣйствіе обратное сложенію, а именно равенствами

(а — /?)— (у— ß)=x,

#+(/ - д) = (а — ß)

или

О — ä)+x=(a — ß).

Этимъ равенствамъ удовлетворяетъ число вида

[(a + d)-(ß + 7)].

Дѣйствительно, на основаніи опредѣленія сложенія (IV) имѣемъ

[(« + rf)-(/? + 7)] + (7-d) = [(« + 7 + rf)-(/9 + 7 + d)].

Но по опредѣленію (I) находимъ, что

На основаніи этихъ равенствъ и предложенія 3 §4 заключаемъ, что

[(a + ö)-(ß + 7)] + (y-ö) = (a-ß).

Такимъ образомъ,

(а — ß) — {у — â) = [(а -f д) — (/? + /)].(\’І)

§ 7. Законы вычитанія.

Изъ опредѣленія вычитанія въ связи съ предложеніями, выведенными въ § 4, вытекаютъ основные законы этого дѣйствія .

1. Разность чиселъ класса В всегда представляетъ число того же самаго класса.

Дѣйствительно, по опредѣленію вычитанія разность чиселъ (а — ß) и (7 — J) равна [(a-f-d) — (/? + /)]• Но

[(« + <0 — (ß + /)]

всегда представляетъ число класса В, такъ какъ суммы натуральныхъ чиселъ всегда безъ всякихъ исключеній представляютъ числа натуральнаго ряда.

2. Разность чиселъ (а — ß) и (7—6) имѣетъ только одно значеніе.

Допустимъ, что разность чиселъ (а — ß) и (7 — д) имѣетъ два различныхъ значенія х и у, такъ что

(сс — ß) — (у — â) — X {a — ß) — (y — ö) — y

и пусть

х>у.

Тогда, на основаніи этого неравенства и закона монотонности, имѣемъ

х + (у — à) > У 4- — â).

Но на основаніи опредѣленія вычитанія (§ 6) находимъ, что X + (/ — à) = (а —

y-\-(y — ô) = {a—

На основаніи этого и предложенія 5 §4 приходимъ къ неравенству

(а — ß) > (а — ß),

которое противорѣчитъ предложенію 1 §4.

Итакъ, разность чиселъ (а — ß) и (/ — 6) имѣетъ только одно значеніе, а именно [(« —j— rf) — (/£ + /)]•

3. Если

(a — ß) = (y — d), то

(ß — ß) — (fi — v) = (y — 6)

Дѣйствительно, изъ условія и опредѣленія (I) имѣемъ

a-\-ö = ß-\-y,

отсюда

а-\-ѵ-\-д — fi-=ß

На основаніи послѣдняго равенства и опредѣленія (I) находимъ, что

[(« + ѵ) — (Æ + /01 = [І7 + ѵ) -f //)].

Но

[(« + ѵ) — (ß 4- //)] = (а — —

[О + v) — (â + fi)] = (y — â) — ( fi —

На основаніи послѣднихъ равенствъ и предложенія 3 §4 заключаемъ, что

(ß — ß) — (fi— v) = ( — (fi —

4. Если

(a-ß)>(y-ö),

то

(а — ß)— (,« — /) Ху — à) - (р —

Дѣйствительно, изъ условія и опредѣленія (II) имѣемъ

ад> ß-f у\

отсюда

a-\-v-\-ö-\-fi>ß-\-fi-\-yJrv.

На основаніи послѣдняго неравенства и опредѣленія (II) находимъ, что

Но

[(« + ѵ) — (ß +,«)] = (« — ß)~ (Р — v)

[(Г + v) — (S +,«)] = à) (.« — «О-

На основаніи этого и предложенія 5 § 4 заключаемъ, что

(« — ß) — (ц — г*) > (/ — à) — (fi — v).

§ 8. Соотношенія между суммою н разностью.

Изъ опредѣленія вычитанія, однозначности этого дѣйствія и перемѣстительнаго и сочетательнаго законовъ сложенія чиселъ натуральнаго ряда вытекаютъ слѣдующія равенства:

(cl "j~ — с — а —|— (Ъ — с),

а — (Ь -f- с) — (а — Ь)—с, а — (Ь — с) = (а — Ь) -f с,

(а -|- с) — (6 -\- с) = а — Ь и

(а — с) — (Ь — с) = а — Ь.

Такъ какъ тѣ же законы вычитанія и сложенія имѣютъ мѣсто и для чиселъ класса Л, то и приведенныя равенства имѣютъ мѣсто для всякихъ чиселъ разсматриваемаго класса.

§ 9. Законы умноженія.

Изъ опредѣленія умноженія (У) въ связи съ предложеніями, изложенными въ § 4, вытекаютъ семь основныхъ законовъ этого дѣйствія.

1. Произведеніе чиселъ класса В всегда представляетъ число того же самаго класса.

Дѣйствительно, умноженіе чиселъ (а — ß) и (у — ô) опредѣляется равенствомъ

(« — ß) (г — ß) = [(ч №) — (ßy + а6Я

Но

[(а/ -f ßö) — (ßy -f arfj]

всегда представляетъ число класса і?, такъ какъ произведеніе и сумма натуральныхъ чиселъ всегда безъ всякихъ исключеній представляютъ числа натуральнаго ряда.

2. Произведеніе чиселъ (а — ß) и (/ — d) имѣетъ только одно значеніе.

Дѣйствительно, произведеніе чиселъ (а — ß) и (у — à) есть

К«ѵ + ßß) — (aô + ßy)\

Но выраженіе

[(«Y + ßß) — (ad -f- ßy)}

имѣетъ только одно значеніе, такъ какъ выраженія ау Д- ßö и <xä -f- ßy однозначны,

3. Законъ перемѣстительности:

(а — ß)(y — ä) = (y — d)

Дѣйствительно, на основаніи опредѣленія умноженія (V) имѣемъ:

(« — ß)(у — 6) — [(ау-f ßä) — (aâ -f ßy)]

(У — d)(a — ß) = [(су -f ßä) —

Ha основаніи этихъ равенствъ и предложенія 3 § 4 заключаемъ, что

(« — ß)(7 — d)= (Г — à) (а — fi).

4. Законъ сочетательности:

Дѣйствительно, на основаніи опредѣленія умноженія (У) имѣемъ:

[(а — fi) (у — 4)] — V) = [(aygi + fiâfi + adv + fiyv) —

— (aifi+fiyfi+ayv-\-fiôv)\ и

(a — fi) [(y — â)(/i - v)] = [(ayfi -f- ßäfi -f- <xdv + fiyv) —

— (adfi -|- fiyfi ajv + fiôv)J.

На основаніи этихъ равенствъ и предложенія 3 § 4 заключаемъ, что

[(« — ß) (Y — à)] (fi — v) = (a — fi)[ (y — d) (fi — v)].

5. Законъ распредѣлительности относительно сложенія:

[fа — £) + (7 — à)] (fi — v) — (a —fi) (// — v) + (y — 6) (ji — v).

Дѣйствительно, на основаніи опредѣленія сложенія и умноженія (IV, V) имѣемъ:

[(« — ß) + (y — rf)] (ß — »’) = [(«,« + 7ß + ßv + àv) —

— (ßß + 4« + cl' + 7V)]

и

(а — ß) (fi — y) -f (y — Ô)(fl — [(c,M 4- у fl + ßv -f öv) —

— (ßfi -|- 6fi -j-ar 4- yj>)].

На основаніи этихъ равенствъ и предложенія 3 § 4 заключаемъ, что

[(«-ß)-\- (у — rf)] (ß — ѵ) = (а — ß)(ß — v)-\-(y— à) (fl — v).

6. Если

(a ß) — (yà),

ТО

(a — ß) (fi — v) — (y — 6) v).

Дѣйствительно, изъ условія и опредѣленія (I) имѣемъ a + ä=zß + y,

отсюда

и

(а-\- ö)fi = (ß + y)fi, (ß + у)ѵ = (а -f 6)ѵ

ац -|~ 6ц -|- ßv -|- уѵ = ßfi у fi = аѵ -f- ôv.

На основаніи послѣдняго равенства и опредѣленія (I) находимъ, что

[{ац -f ßv) — (ßfi + «г)] = [ІГР + *0 — № + Уѵ)\

Но

[(ац -)- ßv) — (ßfi + «»)] — {а — ß) (,« — ѵ)

II

[(гИ 4- ßv) — {6fl 4- уѵ)] = {y — ô) (fl — V).

На основаніи послѣднихъ равенствъ и предложенія 3 §4 заключаемъ, что

(а — ß) {fi - V) =(y — 6){fi—

7. Законъ монотонности, а) Если

(« — ß)> (-/ — cf)

и

то

(а —ß)(fi — v)>(y — 6) (fi — ѵ).

Дѣйствительно, изъ условія и опредѣленія (II) имѣемъ а 6 > ß -j- у,

отсюда

(« 4- 6) 0м — ѵ)>(ß-\-y) {ц — г), а fi ôfi — аѵ — дѵ > ßfi -f- у ft — ßv — уѵу aft -|- öft -f- ßv -f- уѵ > аѵ -f- ôv -f- ßfi -}- y [г.

На основаніи послѣдняго неравенства и опредѣленія (II) находимъ, что

[(«<“ -f ßv) — (ß/i-f аѵ)] > [(y,« 4- ôv) — (cf,« 4~ уѵ)].

Но

[{au -)- ßv) — (ßfi -f- «»’)] = {a — ß){(i —

[{yfi 4- cf?') — (cf fi4- yv)] = {y — Cf) {fl —

Ha основаніи этого и предложенія 5 §4 заключаемъ, что (« — ß) (fl— г)>(у — 0)(ц — г).

в) Если

(a — ß)>(y— cf) и

11 = V,

то

(а — ß) (ft — v) = (у — ô) (ft - v).

Дѣйствительно, такъ какъ

ац -f- 0ц -f- ßv -J- yv = ßfi -j- уц -|- av -f- ôv,

то по опредѣленію (I) находимъ, что

[(afi + ßv) — {ßn -f av)] = + ôv) — (ôu +

Но

[(а(і -(- ßv) — (ßfi + av) (a — ß)(fi —

[{уц + ôv) — (6ц -J-yv)] = (y — ô)([i — v).

На основаніи этихъ равенствъ и предложенія 3 §4 заключаемъ, что

(а — ß) (ц — ѵ) = (у — 6) — ѵ).

с) Если

(а — ß)> (у — 6)

И

то

(а — ß) (ц — v) < (у — ci) — v). Дѣйствительно, изъ условя и опредѣленія (II) имѣемъ a + cf>/?-f у,

отсюда

На основаніи послѣдняго неравенства и опредѣленія (III) находимъ, что

[(а/* + ßv) — (ßfi + «v)] < + àv) — (tf,u -j- yv)].

Ho

[(«,« -\-ßv) — (ß[i аѵ)] = (а — ß) — v)

[(y II + rfv) — (cf// + yv v). Ha основаніи этого и предложенія 5 § 4 заключаемъ, что (« — Р)(и—ѵ)<(у — ô) (fi —

§ 10. Число нуль.

1. Разсмотримъ два числа (а — а) и (ß — ß).

На основаніи опредѣленія (I) находимъ, что

(a — a)~(ß — ß).

Это значитъ, что число (а — а) не измѣняется при замѣнѣ а какимъ угодно числомъ ß, говоря короче, число (а — а) не зависитъ отъ числа а.

2. На основаніи опредѣленій (ІУ), (VI) и (I) находимъ, что (ß — 7)-f (ß — «) = [(« + (« + 7)]

= iß — /)>

iß — /) — (« — «) = [(« + ^) — (« +7)]

= (^ — 7)-

Это значитъ, что число (а — а) какъ слагаемое и какъ вычитаемое можетъ быть откинуто.

3. На основаніи опредѣленій (У) и (I) находимъ, что

(у — d)(a — а) — [0 ау + aâ) — [ау + cd)]

= (« — «)•

Это значитъ, что произведеніе

(Y — (« —«)

не зависитъ отъ производителя (у — â) и равно числу (а — а).

Число (а — а) называется нулемъ и обозначается знакомъ 0. Такимъ образомъ,

а + 0= 0 + а = а,

0 + 0 = 0, а — 0 = а,

0-0 = 0,

а. 0 = 0. а = 0,

0.0 = 0,

гдѣ а есть число класса Б.

§ 11. Положительныя и отрицательныя числа.

1. Разсмотримъ два числа (а — ß) и (у—à) и положимъ, что

ß = a-\-(i и

* = 7 + Р-

На основаніи опредѣленія (I) находимъ, что

[а — (а + [і\ — [у — + /0J-

Это значитъ, что число

[«—(«+/<)]

не зависитъ отъ а, a зависитъ только отъ числа tu.

2. Разсмотримъ два числа:

[(«+/“)—«]и [«—(«+/<)]•

На основаніи опредѣленія сложенія (II) находимъ

[(а +,«) — «] + [« — (« + /')] = 0,

или

.« + [« — (« + .«)] = °-

Съ другой стороны,

IJ — U — 0.

Это значитъ, что прибавить число

равносильно вычесть число ц.

Обозначимъ число [а — (« 4~ Р)\ черезъ — ^ такъ что [а — (а+•/<)] = — ,«•

Полагая въ послѣднемъ равенствѣ, что

Р = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...

будемъ имѣть ряДъ чиселъ:

— 1,— 2,-3,-4, — 5,— 6,-7, ...

Числа этого ряда называются отрицательными. Числа же натуральнаго ряда называются положительными.

3. Такъ какъ по опредѣленію (УІ)

то заключаемъ, что каждое положительное число переходитъ въ соотвѣтствующее отрицательное, если его вычесть изъ нуля.

Въ виду того, что

о — — —

0 ~і~ I1 — ,мі

изображаютъ число ц также и черезъ -f- ц.

4. Такъ какъ

(«+,«)+ß>a-\-ß,

то по опредѣленію (II) находимъ, что

Поэтому

+ ^>0.

Это значитъ, что всякое положительное число больше нуля. Называемъ абсолютной величиной положительнаго или отрицательнаго числа это число, взятое безъ знака.

Имѣемъ два числа: —Я и —ц и положимъ, что Такъ какъ

а 4” “Ь > (а 4“ іи) 4“

то по опредѣленію (II) находимъ, что

Поэтому

— [і>—Я.

Это значитъ, что изъ двухъ отрицательныхъ чиселъ то больше, у котораго абсолютная величина меньше.

Такъ какъ

а 4~ (ß + Р) > а 4“ Л

то по опредѣленію (II) находимъ, что

(а —«)>[/? —(/? + ,«)].

Поэтому

О > —//.

Это значитъ, что нуль больше всякаго отрицательнаго числа. Такимъ образомъ, числа положительныя, отрицательныя и нуль могутъ быть расположены въ слѣдующемъ порядкѣ:

. . .5>4>3>2>1>0>— 1> — 2> — 3> — 4. . .

§ 12. Правило сложенія положительныхъ и отрицательныхъ чиселъ.

Разсмотримъ слѣдующіе случаи.

1. Даны два числа:

—Я и —ц.

На основаніи опредѣленія сложенія (IV) находимъ, что

Если

Если

то

(4~ 4~(— »а)=0.

Если же

Я<//5

то

( + я) + (-#О = -<0-я).

2. Даны два числа:

— Я и —(г.

На основаніи опредѣленія сложенія (IV) находимъ, что

3. Даны два числа:

—|— Я и —іі.

На основаніи опредѣленія понятія о положительномъ числѣ имѣемъ

(+ + ( 4~ #0 — + + іи)•

Отсюда правило сложенія положительныхъ и отрицательныхъ чиселъ:

Чтобы сложить два числа съ одинаковыми знаками, нужно сложить ихъ абсолютныя величины и поставить передъ полученной суммой общій знакъ. Чтобы сложить два числа съ разными знаками, нужно изъ большей абсолютной величины одного слагаемаго вычесть меньшую абсолютную величину другого слагаемаго и поставить передъ разностью знакъ того слагаемаго, абсолютная величина котораго больше.

§ 13. Правило вычитанія положительныхъ и отрицательныхъ чиселъ.

Разсмотримъ слѣдующіе случаи.

1) Даны два числа:

—j— Я и — fi.

На основаніи опредѣленія вычитанія (VI) имѣемъ

2) Даны два числа:

— Я и -J- //.

На томъ же основаніи находимъ:

Отсюда правило вычитанія положительныхъ и отрицательныхъ чиселъ:

Чтобы изъ одного числа вычесть другое, нужно къ первому числу прибавить второе съ обратнымъ знакомъ.

§ 14. Правило умноженія положительныхъ и отрицательныхъ чиселъ.

Разсмотримъ слѣдующіе случаи.

1) Даны два числа

-f Я и —ft.

На основаніи опредѣленія умноженія (V) находимъ, что

2. Даны два числа

— X и —ц.

На основаніи опредѣленія умноженія (У) находимъ, что

(-Я). = [(«-(« + Я)]. [ß-0? + fO]

= [daß -j- ац ßl= — (2 + ß," + ЭД]

— + (Лм)

3. Даны два числа:

+ Я и -{-fi.

На основаніи опредѣленія понятія о положительномъ числѣ имѣемъ:

Отсюда правило умноженія положительныхъ и отрицательныхъ чиселъ:

Чтобы перемножить два числа съ одинаковыми знаками, нужно перемножить ихъ абсолютныя величины и передъ полученнымъ произведеніемъ поставить знакъ плюсъ. Чтобы перемножить два числа съ разными знаками, нужно перемножить ихъ абсолютныя величины и передъ полученнымъ произведеніемъ поставить знакъ минусъ.

§ 15. Дѣленіе чиселъ положительныхъ, отрицательныхъ и нуля.

Дѣленіе чиселъ положительныхъ, отрицательныхъ и нуля опредѣляемъ какъ дѣйствіе обратное умноженію, а именно равенствами:

а:Ъ = х,

X .Ъ=а

или

Ъ.х=.а. (VII)

Разсмотримъ слѣдующіе случаи.

1) Пусть а и ß суть числа натуральнаго ряда и а есть число кратное /9, такъ что

a:ß = n.

Тогда, на основаніи опредѣленія дѣленія (УІІ) находимъ, что

Отсюда правило дѣленія положительныхъ и отрицательныхъ чиселъ:

Чтобы раздѣлить два числа съ одинаковыми знаками, нужно раздѣлить ихъ абсолютныя величины и передъ полученнымъ частнымъ поставить знакъ плюсъ. Чтобы раздѣлить два числа съ разными знаками, нужно раздѣлить ихъ абсолютныя величины и передъ полученнымъ частнымъ поставить знакъ минусъ.

Изъ этого правила слѣдуетъ, что частное при дѣленіи положительныхъ и отрицательныхъ чиселъ представляетъ число только въ случаѣ, если абсолютная величина дѣлимаго представляетъ число кратное числа, выражающаго абсолютную величину дѣлителя.

Такъ какъ абсолютная величина частнаго имѣетъ только одно значеніе, а знакъ его опредѣляется знаками дѣлимаго и дѣлителя, то частное при дѣленіи положительныхъ и отрицательныхъ чиселъ (если оно существуетъ) имѣетъ только одно значеніе.

2. Пусть а есть положительное или отрицательное число. Тогда,

О : а = 0,

такъ какъ

0. а = 0.

3. Частное

0 ; 0

имѣетъ множество значеній, такъ какъ каждое число, положительное, отрицательное и нуль, умноженное на нуль, даетъ въ произведеніи число нуль.

4. Пусть т есть число положительное или отрицательное. Тогда, сочетаніе знаковъ

т : 0

не выражается ни однимъ изъ чиселъ разсматриваемаго класса, такъ какъ среди послѣднихъ нѣтъ числа, удовлетворяющаго равенству

X . 0 = т.

§ 16. Соотношеніе между частнымъ, произведеніемъ и суммой.

Изъ опредѣленія дѣленія, однозначности этого дѣйствія и законовъ умноженія чиселъ натуральнаго ряда вытекаютъ слѣдующія равенства:

(ab) : с = (а : с). Ь, а : (be) —(а : Ь) : с, а : (Ъ : с) = (ас) : Ь,

(а : с) : (Ь : с) = а : Ь,

(а . с) : (Ъ . с) = а : Ь,

(а :Ь). (с : d) — (ас) : (Ы),

(а : Ъ) : (с : d) = (ad) : (be) и

(а -f- b) : с = (а : с) -{- (Ь : с).

Такъ какъ тѣ же законы умноженія и дѣленія имѣютъ мѣсто и для чиселъ разсматриваемаго класса, то и приведенныя равенства имѣютъ мѣсто для чиселъ разсматриваемаго класса, если дѣлитель не равенъ нулю.

Задачи.

Подъ редакціей Э. Ю. Лейнѣка.

233. Показать, что

234. Показать, что

х4і -J- а;33 -(- х2 —)— л;11 —j— 1

дѣлится на

X* -j- X2 -|- X2 -f- X -j- 1.

235. Найти на полуокружности точку Е такъ, чтобы разстоянія ея отъ А и данной прямой DC | AB находились бы въ данномъ отношеніи, т.-е.

АЕ т ,

(Л’ находится на DC).

В. Кованько.

236. Въ учебникѣ элем. алгебры А. Киселева (23 изд. стр. 322) приведенъ примѣръ, показывающій, что если въ геом. прогрессіи а = 1 и <2 — 1,2, то можно ручаться, что всѣ члены, слѣдующіе за 4995-мъ, окажутся болѣе 1000.

Показать, что въ дѣйствительности члены этой прогрессіи превышаютъ 1000 значительно ранѣе, чѣмъ указано.

237. Доказать, что прямая, соединяющая концы двухъ взаимно перпендикулярныхъ хордъ кривой второго порядка, выходящихъ изъ точки М, пересѣкаетъ нормаль къ кривой въ М въ неизмѣнной точкѣ F. (Теорема Frégier).

238. Найти геометрическое мѣсто описываемое точкою F при движеніи точки М по данному эллипсу

5+^=1 (см. зад. № 237).

239. Опредѣлить геометрическое мѣсто точекъ пересѣченія биссектриссы угла А и стороны ВС для треугольниковъ, имѣющихъ данное основаніе АС и данный уголъ В при вершинѣ (въ частности прямой).

240. Къ тремъ вершинамъ треугольника приложены три параллельныя силы, величины которыхъ пропорціональны противоположнымъ сторонамъ. Двѣ изъ силъ направлены въ одну сторону, третья — въ противоположную. Опредѣлить центръ этихъ параллельныхъ силъ.

А. .Масловъ.

241. Три лица должны перенести тяжелую однородную пластинку эллиптической формы. Одно изъ нихъ взялось за нѣкоторую точку края. Гдѣ должны взяться два другихъ лица за край, чтобы на долю каждаго пришлось одинаковое усиліе.

А, Масловъ.

Рѣшенія задачъ.

188. Найти два цѣлыхъ числа, зная сумму ихъ квадратовъ 468 и сумму ихъ общаго наибольшаго дѣлителя и наименьшаго кратнаго 42.

Обозначая неизвѣстныя числа черезъ и ихъ общаго наибольшаго дѣлителя черезъ d, можемъ на основаніи условія задачи составить слѣдующія два уравненія:

х2 4" У2 = 468 d + f = 42.

Пусть x = d.§, y = d.rj.

Тогда наши ур—ія примутъ видъ:

<**($*+ 4*) = 468 (1)

rf(l+g,)=42 (2)

Полученныя два равенства показываютъ, что число d должно быть дѣлителемъ 42, а квадратъ его 2 дѣлителемъ 468. Разлагая 468 и 42 на множители, имѣемъ

468 = 22.32.13 42 — 2.3.7.

Отсюда заключаемъ, что d можетъ быть лишь однимъ изъ чиселъ 2, 3, 6.

Пусть d= 2.

Тогда изъ ур-ій (1) и (2) заключаемъ, что

|2-|-?г2=117

§4= 20.

Умножая второе равенство на 2 и складывая съ первымъ, находимъ

(g + ѵУ = Іо?, результатъ

невозможный, ибо 157 не является точнымъ квадратомъ.

Пусть d — 3.

Аналогично только что изложенному приходимъ къ невозможному для насъ равенству

(§ + >;)2=78.

Положивъ наконецъ d — 6, находимъ

(g-И)2 = 25.

Отсюда g 4- t] = 5 (такъ какъ числа g и положительныя, то при извлеченіи корня ограничиваемся знакомъ-)-).

Рѣшая совмѣстно ур-ія

s "N = 5

§4 =

находимъ g = 2, д — З или g = 3, ?] = 2.

Отсюда на основаніи формулъ

x = d.§, y = d.?i

заключаемъ, что искомыми числами являются два числа 12 и 18.

К. Верещагинъ (Козловъ), М. Виленскій (Одесса), Н. Гольдбуртъ (Вильна), В. Добровольскій (Москва), И. Евдокимовъ (Шуя), В. Кованько (Вышній Волочекъ), И. Козыревъ (Енисейскъ), А. Колегаевъ (Омскъ), Л. Савватѣевъ (Торжокъ), А. Сердобинскій (Харьковъ).

189. Рѣшить уравненіе:

arctg X -f- arctg — -f- acrtg = л.

Обозначая слагаемыя по порядку черезъ а, имѣемъ:

Но по извѣстной формулѣ въ случаѣ a-\-ß-\-y=x имѣемъ tga + tgß-f tgy = (да. tgß. tgy.

Отсюда выводимъ:

или, упрощая.

х (х3— 2х — 21) = 0.

Замѣчая, что х3—2х—21 при обращается въ нуль, имѣемъ окончательно слѣдующее уравненіе

Откуда находимъ

А. Бутомо (Саратовъ), К. Верещагинъ (Козловъ), М. Виленскій (Одесса), Н. Гольдбуртъ (Вильна), В. Добровольскій (Москва), И. Евдокимовъ (Шуя), В. Кованько (Вышній Волочекъ), Н. Козыревъ (Енисейскъ), А. Колегаевъ (Омскъ), А. Сердобинскій (Харьковъ), М. Черняевъ (ст. Черняева).

190. Доказать, что острый уголъ со, удовлетворяющій уравненію

cotg со = cotg А -j- cotg -J- cotg С

удовлетворяетъ также уравненію

sin3co - sin (А — со). sin ( — со).sin ( — со),

гдѣ А-\- В-\- С = л.

Изъ даннаго условія

cotg со = cotg А -f- cotg В -f- cotg С

выводимъ:

аналогично выводятся еще два условія

Перемножая всѣ три полученныхъ равенства, находимъ.

Откуда слѣдуетъ

2-е рѣшеніе.

Углу со можно дать геометрическую интерпретацію.

Пусть внутри Д АВС взята точка £і такъ, что < AB О, = < ВС£І = <CAQ.

Обозначая уголъ AB О, черезъ со имѣемъ изъ треугольниковъ AQBи AQC

(1)

Замѣчая, что

имѣемъ изъ формулы (1)

Перемножая почленно полученное равенство и равенство

получимъ:

Отсюда имѣемъ

(2)

или

Написавъ двѣ формулы, получающіяся изъ (2) круговою перестановкою буквъ, и перемноживъ (2), (2') и (2"), найдемъ

sin3co = sin (А — со). sin (В — со). sin ( — о»).

Точка Q называется точкою Brocard’a, а уголъ со — угломъ Brocard’a.

Для треугольника со — острый уголъ, но ясно, что соотношеніе

sin3co = sin ( А — со), sin ( — sin ( — со)

при А -\-В + С

будетъ являться слѣдствіемъ соотношенія

cotg со — cotg А -f- cotg В -|- cotg С при любой величинѣ угла со.

К. Верещагинъ (Козловъ), М. Виленскій (Одесса), В. Добровольскій (Москва), И. Евдокимовъ (Щуя), Н. Козыревъ (Енисейскъ), А. Колегаевъ (Омскъ), А. Сердобинскій (Харьковъ).

191. Доказать, что ab (а*—Ь) при цѣлыхъ и нечетныхъ значеніяхъ а и Ь всегда дѣлится на 240.

Пусть а = 2т~І~1, b = 2n-j-l.

Тогда а2 — Ъ2 = (а -f- b)(а — b = 4 (ni -f• 1) (m —

Если m и n одинаковой четности, то все выраженіе 4 (т-\-п-)-1 )(т—п) дѣлится на 8, если же разной четности, то

такъ какъ т~|- п-(-1 будетъ четнымъ числомъ, то и въ этомъ случаѣ наше выраженіе раздѣлится на 8.

Представивъ данное выраженіе ab (а4 — Ь*) въ видѣ

ab (а2 -j- b2) (а2 —

и замѣтивъ, что а2 -)- b2 при нечетныхъ а и b всегда дѣлится на 2 заключаемъ, что ab (а4 — Ь4) при нечетныхъ а и Ъ дѣлится на 16.

Докажемъ, что это же выраженіе дѣлится на 3. Это очевидно, если хотя бы одно изъ чиселъ и дѣлится на 3. Если же ни одно не дѣлится на 3, то мы можемъ представить ихъ въ видѣ:

а = 3 mztz 1, b 3« rt 1

Въ этомъ случаѣ

а2 — Ь2 = 9 (m2 — 2) -{- е. 6 rt «), гдѣ £ = + 1 или —1.

Отсюда заключаемъ, что а2— 2 дѣлится на 3, а потому ab (а*— Ъ4) дѣлится на 3.

Подобнымъ же образомъ докажемъ, что наше выраженіе дѣлится на 5. Это очевидно, если хоть одно изъ чиселъ а я b дѣлится на 5; пусть ни одно изъ нихъ не дѣлится на 5, т.-е.

а = Ьт zb а, b = 5n + ß, гдѣ а и ßмогутъ принимать значенія 1,2.

Въ случаѣ a = ß имѣемъ

а2 — Ь2= 25(т2 — и2) -f-гдѣ £ = -f- 1 или —1.

Итакъ а2 — b2 дѣлится въ этомъ случаѣ на 5.

Если же a^rß, то одна изъ этихъ величинъ равна 2, другая 1. Составляя а2 -(- Ь2будемъ имѣть

а2 -j- b2 = 25 (ni2 -f- n2)-}- s. 10 (ni zt -J- ß2,

гдѣ e имѣетъ вышеуказанное значеніе.

Такъ какъ по только что сказанному -f 5, то вся наша сумма раздѣлится на 5. Итакъ, выраженіе (о4 — Ъ*) всегда дѣлится на 5.

Такъ какъ это выраженіе дѣлится на 16, 3, 5 и такъ какъ эти числа взаимно простыя, то (а4 — Ь4) раздѣлится и на ихъ произведеніе, т.-е. на 240.

К. Верещагинъ (Козловъ), М. Виленскій (Одесса), В. Добровольскій (Москва), В. Кованько (ВышніН Волочекъ), Н.Козыревъ (Енисейскъ), А. Колегаевъ (Омскъ), Л. Сердобинскій (Харьковъ).

192. По данному отрѣзку принятому за единицу, и отрѣзку MN—a (а с 1), построить отрѣзокъ, имѣющій численную величину ап, гдѣ п данное цѣлое положительное число.

На сторонахъ произвольнаго угла отложимъ, считая отъ вершины В, отрѣзки В Л — 1 и ВХ1 = а. Затѣмъ на сторонѣ считая отъ вершины В, отложимъ BN=ВХ1 и произведемъ п — 1 построеній.

1. Соединимъ А съ Хг и черезъ N проведемъ ||

2. Соединимъ А съ Х2 и черезъ N проведемъ NX3 ||^ІХ2. Соединимъ А съ Хп-х и черезъ N проведемъ NXn || Точки Хг, Х2, Х2, . . . Хп лежатъ на ВХѴ Отрѣзокъ ВХ„ будетъ имѣть величину а".

Для доказательства разсмотримъ рядъ пропорцій:

Замѣчая, что BN=BX1 = a, В А = 1 и перемножая всѣ пропорціи, будемъ имѣть:

2-е рѣшеніе.

Изъ конца В, отрѣзка AB возставляемъ перпендикуляръ, на которомъ откладываемъ ВАх = а, соединяемъ Ах съ А и изъ Ах возставляемъ къ ААг перпендикуляръ АХА2 до пересѣченія въ -42 съ продолженіемъ AB. Тогда, какъ легко убѣдиться, ВА2 = а2. Проведемъ А3А3| АХА2 до пересѣченія въ А3 съ продолженіемъ AjB. Отрѣзокъ ВАг — а3, и т. д. Получивъ точку А„, будемъ имѣть ВА„ = а".

К, Верещагинъ (Козловъ), В. Добровольскій (Москва), В. Кованько (Вышній Волочекъ), Н, Козыревъ (Енисейскъ), А. Колегаевъ (Омскъ),Л. Сердобинскій (Харьковъ).

193. Опредѣлить геометрическое мѣсто середины отрѣзка ОА, если О произвольная точка, взятая внутри даннаго круга, а А — точка, перемѣщающаяся по окружности.

Пусть Ох центръ данный окружности, а середина отрѣзка О А, гдѣ А какая-либо точка на окружности. Проведемъ ММХ |j АОх. Тогда, очевидно, Мх будетъ серединою а длина отрѣзка ММХ составитъ половину длины (это слѣдуетъ изъ подобія треугольниковъ ОМхМ и ООхА).

Точка Мудалена, слѣдовательно, отъ Мх на постоянномъ разстояніи, равномъ половинѣ радіуса данной окружности.

Слѣдовательно геометрическое мѣсто точекъ М будетъ окружность, описанная изъ Мх — середины ООх радіусомъ равнымъ ~2■

Замѣтимъ, что и въ случаѣ, когда точка О взята внѣ данной окружности, искомымъ геометрическимъ мѣстомъ точекъ М будетъ нѣкоторая окружность, описанная радіусомъ — изъ центра 3/, — середины отрѣзка ООх.

К. Верещагинъ (Козловъ), //. Гольдбуртъ (Вильна), В. Добровольскій (Москва), И. Евдокимовъ (Шуя), В. Кованько (Вышній Волочекъ), Н. Козыревъ (Енисейскъ), А. Колегаевъ (Омскъ), А. Сердобинскій (Харьковъ), Д. Соколовъ (Буй).

196. Найти сумму ряда

0,1 —J— 0,2 —|— 0,3 —j— . . . О,А.

Разсмотрѣть случай, когда 10“.

Въ случаѣ, когда X sg 9, сумма ряда можетъ быть получена по формулѣ суммы ариѳметической прогрессіи

Въ общемъ же случаѣ рядъ можетъ быть просуммированъ слѣдующимъ образомъ.

Положимъ ]0И>ЛГ>10''-1.

Тогда искомая сумма можетъ быть представлена въ нижеслѣдующемъ видѣ:

Итакъ, Sесть сумма суммъ ариѳметическихъ прогрессій, имѣющихъ своими разностями соотвѣтственно числа 0,1; 0,01; 0,001; • • . , число же членовъ у нихъ равно соотвѣтственно 9, 90, 900, ...

Поэтому будемъ имѣть:

Произведя сокращеніе, представимъ эту сумму въ видѣ:

Замѣчая, что каждое изъ выраженій подъ знакомъ представляетъ собою сумму геометрической прогрессіи, будемъ имѣть:

или

(1).

Такова формула суммы для случая, когда N не есть степень числа 10.

Въ случаѣ, когда Лг=10и, достаточно въ (1) положить N = 10й — 1 и къ суммѣ прибавить 0,1, такъ что въ этомъ случаѣ находимъ

или, послѣ упрощенія

(2).

К. Верещагинъ (Козловъ), Н. Козыревъ (Енисейскъ), А. Колегаевъ (Омскъ), А, Сердобинскій (Харьковъ).

197. Найти четырехзначное число, зная, что оно является точнымъ квадратомъ, и что цифры его распадаются на двѣ пары, состоящія изъ равныхъ цифръ.

Вслѣдствіе заданныхъ условій искомое число N можетъ, быть представлено въ одномъ изъ трехъ видовъ

Въ первомъ случаѣ заключаемъ, что X дѣлится на 101 и такъ какъ 101 простое число, то необходимо, чтобы 10 о: —г/ дѣлилось на 101, что невозможно, нбо ^9, ^9 и 10гк-|-г/^99.

Въ обоихъ остальныхъ случаяхъ IV дѣлится на 11, а потому, будучи полнымъ квадратомъ, должно имѣть видъ

N=\V.Z* = \2\Z\

При этомъ, чтобы іѴ было числомъ четырехзначнымъ, число Z2 должно удовлетворять условіямъ

отсюда выводимъ

3<J?sS9.

Давая Z рядъ значеній Z= 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, найдемъ, что только при Z= 8 получается число, удовлетворяющее даннымъ условіямъ.

Итакъ, искомое число есть

іУ=7744 = 882.

К. Верещагинъ (Козловъ), И\ Евдокимовъ (Шуя), В. Кованько (Вышній Волочокъ), И. Козыревъ (Енисейскъ), Л. Колегаевъ (Омскъ), А. Сердобинскій (Кіевъ), А. Соколовъ (Москва), Г. Стороженко (Новгородъ-Сѣверскъ).

198. Вершина А треугольника АВС соединена съ центромъ I вписаннаго въ треугольникъ круга, а изъ центра О описаннаго около треугольника круга проведенъ радіусъ OL, перпендикулярно къ сторонѣ ВС и пересѣкающій ее въ точкѣ D. Доказать соотношеніе

DL.AP=2R.r2

Продолжимъ LO до пересѣченія съ окружностью въ V и соединимъ L' съ С и О съ L; опустимъ также перпендикуляръ ІМ изъ I на АС.

Прямоугольные треугольники L'LC и AIM подобны, такъ какъ имѣютъ по равному углу и А. Отсюда слѣдуетъ пропорція:

Возведя обѣ частп равенства во вторую степень, имѣемъ

(1)

Такъ какъ изъ прямоугольнаго треугольника L'LC имѣемъ LCi=LI).LL' = LD.2R, то равенство (1) можетъ быть приведено къ виду

или

2-е рѣшеніе

Легко убѣдиться, что

Такъ какъ

то предыдущее равенство приметъ видъ

или

А. Бутомо (Саратовъ), К. Верещагинъ (Козловъ), И. Евдокимовъ (Шуя), В. Кованько (Вышній Волочекъ), II. Козыревъ (Енисейскъ), А. Колегаевъ (Омскъ), А. Сердобинскій (Харьковъ), Г. Стороженко (Новгородъ-Сѣверскъ).

Засѣданія Московскаго Математическаго Кружка.

Въ засѣданіи 9 апрѣля 1915 г. сдѣлали сообщенія: П. А, Карасевъ: Наглядныя пособія при преподаваніи геометріи и И. В. Богуславская: Самодѣльныя наглядныя пособія по ариѳметикѣ.

Засѣданіе 24 сентября 1915 г. происходило подъ почетнымъ предсѣдательствомъ прибывшаго изъ Петрограда гѳн.-лейт. М. Г. Попруженко. Въ началѣ засѣданія Б. К. Млодзѣевскій довелъ до свѣдѣнія собранія о тяжкихъ утратахъ, понесенныхъ въ теченіе лѣта Кружкомъ въ лицѣ скончавшагося Ѳ. И. Егорова и убитаго въ бою П. А. Баранова; память ихъ была почтена вставаніемъ.

А. А. Волковъ сдѣлалъ сообщеніе: „Алгебра Эйлера“. Приведя нѣкоторыя біографическія свѣдѣнія о жизни Эйлера, докладчикъ отмѣтилъ, что Эйлеръ является представителемъ той эпохи въ развитіи математическихъ наукъ, которую въ отличіе отъ проникнутаго критицизмомъ XIX столѣтія можно назвать эпохою наивнаго реализма. Эйлеръ въ цѣломъ рядѣ своихъ работъ подвелъ итоги сдѣланному его предшественниками; изложенію нѣкоторыхъ отдѣловъ математики онъ придалъ такую форму, которая сохранилась и до настоящаго времени; въ качествѣ примѣровъ можно привести теорію тригонометрическихъ функцій и основы аналитической геометріи. На алгебру Эйлера можно поэтому смотрѣть, какъ на учебникъ, представляющій образецъ той формы, которой достигло въ то время изложеніе этого отдѣла математики. Изложеніе алгебры въ этомъ учебникѣ проникнуто тѣмъ наивнымъ реализмомъ, который является характернымъ для всей эпохи и представителемъ котораго является Эйлеръ. Но подобнымъ же наивнымъ

реализмомъ обыкновенно проникнуты и лица, впервые приступающія къ изученію алгебры; поэтому преподаватель въ алгебрѣ Эйлера можетъ найти указанія на то, какія поясненія особенно доступны и близки пониманію такого начинающаго. Далѣе докладчикъ разобралъ тѣ пріемы изложенія, къ которымъ прибѣгаетъ Эйлеръ при расширеніи понятія о числѣ и о дѣйствіяхъ надъ числами.

I. И. Чистяковъ, въ дополненіе къ прочитанному докладу, демонстрировалъ имѣющееся у него изданіе алгебры Эйлера 1770 г.

Затѣмъ I. И. Чистяковъ сдѣлалъ краткое сообщеніе объ изданіи Н. А. Агрономовымъ въ Ревелѣ новаго математическаго журнала: „Математическій Листокъ“, при чемъ роздалъ членамъ собранія нѣкоторое число нумеровъ этого журнала, любезно присланныхъ его редакторомъ для ознакомленія. Потомъ I. И. Чистяковымъ былъ прочитанъ докладъ: „Къ методикѣ вычитанія и дѣленія многозначныхъ чиселъ“ (помѣщенъ въ настоящемъ № „Математическаго Образованія“).

Въ засѣданіи 29 октября 1915 г. А. А. Волковъ сообщилъ, что засѣданіе въ память Ѳ. И. Егорова имѣетъ быть 21-го ноября, при чемъ въ немъ, кромѣ Матем. Кружка примутъ участіе Моск. Женскіе Педагогическіе Курсы, Женская учительская семинарія и Общество бывшихъ воспитанниковъ Моск. Учительскаго Института.

В. В. Добровольскій сдѣлалъ сообщеніе: „Основные принципы и опредѣленія механики съ математической точки зрѣнія“.

Е. С. Томашевичъ сдѣлалъ сообщеніе: „О разложеніи квадратнаго трехчлена на множители“, при чемъ предложилъ нѣсколько искусственныхъ способовъ для разложенія трехчленовъ.

Библіографическій отдѣлъ.

А. I. Бачинскій. Физика для среднихъ учебныхъ заведеній. 1-я половина М. 1915

Д. 1 р. 50 к.

Преподаватели физики, вѣроятно, помнятъ то живѣйшее утовлетвореніе, которое они получили отъ вышедшаго въ свѣтъ учебника физики А. В. Цингера. Въ немъ впервые прозвучала обыденная житейская рѣчь, „Законы природы“ получили понятность и привлекательность; извѣстное „послѣсловіе“ сближало учителя съ учениками, школу—съ жизнью. Казалось, что лучшей книги для школы нельзя написать. Правда, въ нѣкоторыхъ мѣстахъ явно преобладала „популярность“ надъ „научностью“, но намъ казалось, что въ начальномъ курсѣ это неизбѣжно, такъ какъ „научность“ ведетъ за собою сухость и скуку; эти требованія, требованія научности (но разумѣется безъ скуки) мы переносили на нетерпѣливо ожидаемую „вторую ступень“...

Учебникъ физики А. I. Бачинскаго показалъ намъ однако, что и въ начальномъ курсѣ возможно соединить „популярность“ и „интересность“ съ научною строгостью. Описаніе типичныхъ лабораторныхъ упражненій, рядъ интересныхъ вопросовъ и задачъ, взятыхъ изъ повседневной жизни (нѣкоторыя изъ нихъ требуютъ большого вниманія и размышленія), послѣдовательное проведеніе въ курсѣ взгляда на физическія и химическія явленія, какъ на превращенія энергіи, и введеніе метеорологіи — вотъ особенности этого курса. Насколько внимательно авторъ обдумалъ и подготовилъ матеріалъ, видно хотя бы изъ такихъ мелочей: въ книгѣ указано соотношеніе вмѣсто обычнаго менѣе точнаго 1 Ъп — врс.; площадь круга и объемъ шара выражены чрезъ діаметръ, а не чрезъ радіусъ; указанъ способъ дѣйствій надъ разнородными именованными числами. Термины „вѣсы“ вмѣсто „вѣса“ и „термологія“ и „электрологія“ являются новостью въ учебникѣ элементарной физики.

Тѣмъ не менѣе нѣкоторыя мѣста книги вызываютъ замѣчанія.

1) Нужно ли съ первыхъ же страницъ говорить объ энергіи и ея превращеніяхъ? Для учениковъ среднихъ классовъ это понятіе еще не настолько близко, чтобы его можно было считать первоначальнымъ („основнымъ“).

2) Ускореніе опредѣляется, какъ мѣра возрастанія секундной средней скорости, что нѣсколько отличается отъ общепринятаго опредѣленія.

3) Масса опредѣляется, какъ мѣра „неподатливости“ тѣла. Говорить о неподатливости, да еще находить ея мѣру, нѣсколько рискованно, такъ какъ законъ инерціи прямо говоритъ о безусловной податливости (инертности) всѣхъ тѣлъ.

4) „Объясненіе44 инерціей „сопротивляемости“ гироскопа отклоненію оси можетъ породить представленіе объ инерціи, какъ о силѣ.

5) Врядъ ли удобно обобщать понятіе винтового движенія настолько, что даже движеніе земли подходитъ подъ это понятіе (95 стр.).

6) Объясненіе закона Маріотта съ точки зрѣнія молекулярно - кинетической теоріи въ томъ видѣ, какъ оно изложено здѣсь (стр. 185), врядъ ли можно считать убѣдительнымъ.

7) Употребленія термина „теплоемкость“ въ двухъ значеніяхъ (теплоемкость тѣла и теплоемкость вещества) слѣдовало бы избѣжать и замѣнить его въ послѣднемъ случаѣ терминомъ „удѣльная теплоемкость“ или „удѣльная теплота44.

Къ сожалѣнію, не обошлось и безъ недосмотровъ.

На стр. 19 „узелъ“ считается за единицу длины, между тѣмъ какъ это есть единица скорости.

На стр. 82 указывается, что „тѣло, притягиваемое землей, падаетъ съ ускореніемъ 5 m/sec2“.

На стр. 99 при разсмотрѣніи тѣла, имѣющаго одну точку опоры, пропущено указаніе, что эта точка должна быть неподвижна.

На стр. 150 указанъ опытъ съ истеченіемъ воды изъ отверстій, будто бы доказывающій, что давленіе возрастаетъ съ глубиной: на самомъ дѣлѣ, при истеченіи давленіе во всѣхъ отверстіяхъ одно и то же и равно атмосферному.

На стр. 152 примѣчаніе гласитъ: „Средою“ называется вещество (?), занимающее не слишкомъ малую (!) часть пространства.

На стр. 181, говоря о плавающемъ однородномъ параллелепипедѣ, предлагаютъ читателю рѣшить вопросъ: „если жидкость — вода, и плотность параллелепипеда = -, гдѣ находится его центръ тяжести въ каждомъ изъ трехъ положеній?“ Мы полагаемъ, что центръ тяжести параллелепипеда во всѣхъ его положеніяхъ и притомъ безразлично, плаваетъ онъ или нѣтъ, находится въ его центрѣ.

На стр. 276 говорится о нумераціи градусовъ цѣлыми числами, считая отъ абсолютнаго нуля; очевидно, авторъ имѣетъ въ виду положительныя числа.

На стр. 314 — 315 говорится: „Опытъ показываетъ, что насыщенные пары, подобно всѣмъ газамъ, повинуются (въ извѣстныхъ предѣлахъ) закону Маріотта-Гей-Люссака; а все различіе между насыщенными парами и обыкновенными газами сводится къ слѣдующему“... „Слѣдующее“ же какъ разъ показываетъ, что насыщенные пары не повинуются закону Маріотта-Гей-Люссака.

На стр. 342 „кривошипомъ“ названо то, что обычно называется колѣномъ.

На стр. 344 сказано „...машины безъ холодильника называются машинами высокаго давленія, а машины съ холодильникомъ — машинами низкаго давленія“, что не соотвѣтствуетъ дѣйствительному употребленію этихъ терминовъ, такъ какъ бываютъ машины высокаго давленія съ холодильникомъ, равно какъ и машины низкаго давленія безъ холодильника.

На той же стр. приведено обычное невѣрное объясненіе регулятора.

На стр. 345 неправильно указано различіе между машиною простого и двойного расширенія.

На стр. 348 немного рискованно дѣйствіе паровой турбины уподобляется дѣйствію вѣтряной мельницы.

Тамъ же безъ оговорокъ указано на высокій к. п. д. турбинъ (23°/0), что имѣетъ мѣсто лишь для большихъ мощностей (свыше 700НР), да и здѣсь разница не такъ велика.

На той же стр. въ числѣ вопросовъ и задачъ есть такіе:

2) Какая машина расходуетъ больше топлива: машина высокаго или низкаго давленія?

3) Какъ отличить машину высокаго давленія по ея внѣшнему поведенію?

4) Средняя величина давленія пара въ цилиндрѣ равна 10 • Площадь поршня 300 cm2. Какъ велика работа, совершаемая поршнемъ въ одинъ ходъ» если длина хода 50 cm? Сколько калорій выдѣляетъ при этомъ наръ?

Первый вопросъ неопредѣлененъ, на второй мы затрудняемся какъ-либо отвѣтить, настолько неясенъ его смыслъ; послѣдняя задача заключаетъ данное ^10 , недопустимое въ практикѣ, да и размѣры машины — діаметръ 19,5 cm. и ходъ 50 cm. — почти немыслимы.

Мы считаемъ, что всѣ эти недосмотры легко могутъ быть исправлены и нисколько не умаляютъ достоинства этого превосходнаго учебника физики, которому мы желаемъ широкаго распространенія.

В. Д.

1. А. Малининъ и К. Буренинъ.—„Руководство космографіи для гимназій и реальныхъ училищъ“. Изданіе 17-е, переработанное прив.-доц. Московскаго университета А. И. Некрасовымъ. Москва. Изд. Т-ва Сытина. Цѣна 80 коп.

2. А. Малининъ.—„Курсъ математической географіи для женскихъ учебныхъ заведеній“. Изданіе 12-е, переработанное и дополненное прив.-доц. Московскаго университета А. И. Некрасовымъ. Москва. Изд. Т-ва Сытина. Цѣна 80 коп.

„Руководство космографіи“, выходящее нынѣ 17-мъ изданіемъ и „Курсъ математической географіи“, выходящій нынѣ 12-мъ изданіемъ, принадлежатъ къ числу учебныхъ руководствъ, о которыхъ у каждаго педагога давно сложилось вполнѣ опредѣленное, хотя, быть можетъ, и не всегда одинаковое сужденіе.

Въ свое время это были почти единственныя и общепринятыя учебныя руководства. Позднѣе, съ развитіемъ у насъ учебной литературы и съ появленіемъ новыхъ учебныхъ руководствъ классическіе учебники нашихъ славныхъ педагоговъ были вытѣснены и замѣнены другими, иногда во многомъ имъ уступающими какъ по ясности изложенія, такъ и по научности.

Поэтому мы не можемъ не привѣтствовать попытки вернуть къ употребленію учебныя руководства А. Малинина и К. Буренина—руководства, на которыхъ съ успѣхомъ воспиталось не одно поколѣніе русскихъ людей. Конечно, со времени появленія первыхъ изданій учебниковъ наука ушла впередъ и внесла много новаго; измѣнились и программы; стало необходимымъ согласовать учебники какъ съ научными завоеваніями, такъ и съ программами. Этотъ трудъ и выполнилъ прив.-доц. Московскаго университета А. И. Некрасовъ, переработавшій соотвѣтствующимъ образомъ руководства космографіи Малинина и Буренина. Съ выходомъ въ свѣтъ этихъ изданій наша учебная литература по космографіи обогатилась очень недурными руководствами.

Изложеніе предмета отличается большой ясностью, просто и доступно пониманію учащихся; какъ авторы, такъ и редакторъ не прибѣгаютъ совершенно къ „элементарнымъ“ пріемамъ доказательствъ, только вносящимъ путаницу въ понятія учащихся; опытъ показываетъ, что ничто такъ не сбиваетъ учениковъ, какъ неубѣдительныя и нечего не доказывающія, „элементарныя“ разсужденія, получившія, къ сожалѣнію, большое распространеніе въ нашей учебной математической литературѣ.

Редакторъ разбираемаго нами руководства космографіи, внеся въ оригиналъ значительныя измѣненія и согласовавъ матеріалъ учебника съ настоящими программами, сохранилъ вмѣстѣ съ тѣмъ вполнѣ научный характеръ изложенія, такъ присущій классическимъ учебникамъ А. Малинина. Мѣстами учебникъ не оставляетъ желать ничего лучшаго.

Особенно удачно и систематично изложенъ вопросъ о вращеніи земли (глава VI). Каждый, преподававшій космографію, по опыту знаетъ, что дѣй-

ствительное пониманіе доказательствъ вращательнаго движенія земли дается учащимся съ большимъ трудомъ; поэтому нельзя не привѣтствовать строго систематическое и продуманное изложеніе этого вопроса въ разбираемомъ учебникѣ.

Глава IX „измѣреніе времени“ выгодно отличается отъ соотвѣтствующихъ главъ другихъ учебниковъ; въ ней дано понятіе о календарѣ, выяснено различіе между старымъ и новымъ стилями; прочтя эту главу, учащіеся вынесутъ общее правильное понятіе о календарѣ, какъ системѣ время-счисленія. и не будутъ понимать подъ этимъ словомъ 365 отрывныхъ листковъ съ анекдотами на оборотѣ или карманную книжку—представленіе, присущее, къ стыду напіей средней школы, большинству и „образованныхъ“ людей.

Глава XIII—„Объясненіе временъ года и земныхъ поясовъ“ вызываетъ полное удовлетвореніе—изложеніе вопроса просто, понятно и послѣдовательно. Очень удачно положены главы XV, XVI, XVII и XVIII — о кометахъ, падающихъ и неподвижныхъ звѣздахъ, туманныхъ пятнахъ, — изложены безъ излишнихъ (для учебника) подробностей, но въ соотвѣтствіи съ современными воззрѣніями на эти вопросы; сравнительно съ предыдущими изданіями мы находимъ здѣсь кое-что новое.

Къ нѣкоторымъ главамъ руководства космографіи (къ IV, V, VI) приложены задачи — обстоятельство, которое необходимо отмѣтить, какъ достоинство книги, но, къ сожалѣнію, задачи приложены только къ 3-мъ главамъ, а въ книгѣ ихъ 19; конечно, не всѣ главы по своему содержанію даютъ матеріалъ для соотвѣтствующихъ задачъ, но все же не три только главы изъ 19-ти могутъ быть снабжены задачами; напр., главы объ измѣреніи времени (IX), о движеніи планетъ (X) даютъ обширный матеріалъ для задачъ, и закончить эти главы упражненіями, которыя заставили бы учащихся глубже вникнутъ въ вопросы объ измѣреніи времени и общемъ устройствѣ солнечной системы, далеко не лишнее. Замѣтимъ кстати, что совершенно напрасно въ разбираемомъ нами изданіи руководства космографіи не дано отвѣтовъ на задачи. Учащіеся лишены этимъ возможности провѣрить правильность своего рѣшенія— для нихъ отвѣты буквально необходимы. Въ предыдущихъ изданіяхъ книги эти отвѣты всегда давались.

Къ недостаткамъ книги надо отнести не вполнѣ правильное, по нашему мнѣнію, расположеніе учебнаго матеріала (въ смыслѣ послѣдовательности главъ) и нѣкоторыя ошибки методическаго и редакціоннаго характера, которыя мы и отмѣтимъ.

§ 17 — „Звѣздныя сутки“ — находится не на своемъ мѣстѣ въ главѣ о суточномъ движеніи небеснаго свода; этотъ маленькій § (всего 8 строкъ слѣдовало бы помѣстить въ главу объ измѣреніи времени.

Глава о всемірномъ тяготѣніи должна быть помѣщена послѣ главы X (общій обзоръ солнечной системы) нормальнымъ шрифтомъ, а не въ концѣ и мелкимъ шрифтомъ, какъ неважная подробность, разсчитанная на любознательность учащихся. Важность и значеніе закона Newton’a, какъ мірового закона, не позволяютъ отводить закону всемірнаго тяготѣнія послѣднее мѣсто въ учебникѣ.

Зато свѣдѣнія изъ картографіи (§§ 41—46), не стоящія въ логической связи съ общимъ содержаніемъ курса, съ успѣхомъ могутъ быть отнесены въ конецъ книги, какъ необязательное прибавленіе.

Не удачно изложенъ § 12 — „Разстояніе звѣздъ отъ земли“, и аналогія съ земными предметами врядъ ли будетъ примѣнима; гораздо доступнѣе и проще дать понятіе о разстояніи звѣздъ отъ земли указаніемъ, что свѣтъ отъ ближайшей къ намъ звѣзды, а Centauri доходитъ въ 41/2 года (точнѣе 4, 3 года), а отъ болѣе удаленныхъ черезъ десятки и сотни лѣтъ; вмѣстѣ съ этимъ можно дать понятіе о „свѣтовомъ годѣ“.

На стр. 18, § 14, читаемъ: „всѣ звѣзды имѣютъ движеніе“; это выраженіе болѣе соотвѣтствуетъ собственному движенію неподвижныхъ звѣздъ, о которомъ пока рѣчи нѣтъ, но никакъ не суточному, о которомъ говорится въ этомъ §; гораздо правильнѣе, по нашему мнѣнію, было бы сказать, что небесный сводъ имѣетъ движеніе; эти формулировка была бы удобнѣе и для послѣдующаго изложенія вращательнаго движенія земли.

При изложеніи годичнаго параллакса звѣздъ и годичной аберраціи § § 72 и 73) не выяснена связь этихъ явленій съ поступательнымъ движеніемъ земли; для учениковъ останется непонятымъ почему именно годичный

параллаксъ и годичная аберрація доказываютъ поступательное движеніе земли вокругъ солнца. Чертежъ (78-й). поясняющій движеніе годичнаго параллакса очень неудаченъ, ничего не объясняетъ и уступаетъ чертежу предыдущихъ изданій.

Глава XIII „Затменія и приливы“ поражаетъ прежде всего своимъ заголовкомъ и наводитъ на вопросъ, почему столь отличныя по существу явленія попали въ одну главу?; не получимъ мы отвѣта на подобный вопросъ и по прочтеніи этой главы. Вопросъ о приливахъ изложенъ слишкомъ кратко, настолько кратко, что въ подобномъ изложеніи онъ почти теряетъ смыслъ; а между тѣмъ это вопросъ весьма интересный и поучительный, играющій очень большое значеніе въ механикѣ неба (приливная эволюція).

Изъ редакціонныхъ ошибокъ отмѣтимъ слѣдующія.

На стр. 15, § 9, ошибочно сказано, что простымъ глазомъ можно видѣть звѣзды первыхъ пяти величинъ, тогда какъ слѣдовало сказать шести величинъ.

На стр. 177, § 150 (собственныя движенія звѣздъ) читаемъ:„. звѣзды, отъ которыхъ солнце удаляется, расходятся другъ отъ друга, а къ которымъ оно приближается, кажутся сходящимися....“; очевидно, что слѣдуетъ наоборотъ, и въ другомъ изданіи учебника (курсъ матем. географіи для женск. учебн. заведеній) этой досадной ошибки нѣтъ.

Совершенно напрасно знакъ угла „ “ замѣненъ знакомъ „ < “, по начертанію совпадающимъ со знакомъ „меньше“; такое странное начертаніе знака угла ни на чемъ не основано.

Точно такъ же было бы гораздо правильнѣе давать всѣ протяженія въ метрическихъ мѣрахъ, какъ это общепринято въ наукѣ, а не въ русскихъ; календарныя же даты выражать по новому стилю, а не по старому, такъ какъ послѣдній въ астрономической наукѣ никогда не употребляется.

Изданіе руководства космографіи для женскихъ учебныхъ заведеній отличается отъ изданія для гимназій и реальныхъ училищъ незначительными сокращеніями, пропускомъ свѣдѣній изъ картографіи и главы о всемірномъ тяготѣніи, а главнымъ образомъ заглавіемъ книги (курсъ математической географіи), хотя мы совершенно не видимъ основаній къ тому, чтобы два изданія въ сущности одной и той же книги выпускать подъ разными заглавіями. Въ изданіи учебника для женск. учебн. заведеній задачамъ удѣлено большіе вниманія и ими заканчивается почти каждая глава.

Указанныя нами недочеты, конечно, нисколько не обезцѣниваютъ въ общемъ очень хорошихъ учебныхъ руководствъ космографіи, вполнѣ приведенныхъ г. Некрасовымъ къ уровню современности, и мы всѣцѣло можемъ рекомендовать ихъ вниманію всѣхъ, кто интересуется преподаваніемъ космографіи.

Б. Базилевскій.

Новыя книги.

Д. Бемъ, А. Волковъ, Р. Струве. Сборникъ упражненій и задачъ по элементарному курсу алгебры. Ч. I. Изд. 2-е. М. 1916. Ц. 1 руб.

С. И. Шохоръ-Троцкій. Новый ариѳметическій задачникъ. Ч. IV. М. 1915. Ц. 20 коп.

Проф. Б. К. Млодзѣевскій. Введеніе въ анализъ. Изд. 2-е. М. 1914. Ц. 1 руб. 30 коп.

Пррф. Д. Граве. Начала алгебры. Классное руководство для ср. уч. зав. Н. 1915. Ц. 1 руб. 50 коп.

Е. Пржевальскій. Собраніе алгебраическихъ задачъ для учениковъ старшихъ классовъ среднихъ учебныхъ заведеній. Ч. IV. М. 1915.

Н. Іовлевъ. Цѣлое число и его законы. Казань. 1915. Ц. 65 коп.

Д. Волковскій. „Дѣтскій міръ въ числахъ“. 1-й годъ обученія. Изд. 3-е переработанное. М. 1916. П. 20 коп.

Ero-же. Руководство къ „Дѣтскому міру въ числахъ“. Ч. I. Изд. 2-е. М. 1916. Ц. 1 руб. 50 коп.

М. Іовлевъ. Геометрія въ курсѣ составныхъ именованныхъ чиселъ. М. 1916. Ц. 35 коп.

Его же. Практическая геометрія для 2-классныхъ училищъ и среднихъ учебныхъ заведеній. М. 1916. Ц. 80 коп.

ОГЛАВЛЕНІЕ

Статьи и замѣтки.

Стр.

По поводу одного неравенства Б. Млодзѣевскій ...».............. 1

Объ отношеніи ----- А. Власовъ................................. о

О нѣкоторыхъ признакахъ дѣлимости. I. Чистяковъ................ 4, 97

Классификація ариѳметическихъ задачъ. И. Александровъ.......... 10, 69

Объ одномъ счетномъ приборѣ. С. Острейко....................... 18

Идея движенія въ современномъ курсѣ геометріи. А. Кулишеръ . . 20,79,112

Николай Алексѣевичъ Умовъ. А. Бачинскій.................. 49

Математическія замѣтки. 77. Агрономовъ............................... 57

Истина въ математикѣ. Дж. Веронезе........................... 60,100,156

Объ одной системѣ линейныхъ уравненій. С, Виноградовъ ..... 64

По поводу одной системы уравненій. В. Добровольскій............ 104

Объ оцѣнкѣ погрѣшности результата логариѳмическихъ вычисленій. А. Волковъ..................................................... 108

Пути открытія и доказательства древними математиками приписываемаго Платону правила образованія раціональныхъ прям. тр-ковъ. В. Бобынинъ.......................................... 110

Теорія предѣловъ въ курсѣ геометріи. К. Лебединцевъ............126, 161

Способъ Жерардена рѣшенія нѣкоторыхъ неопредѣленныхъ ур-ій 3-й степени въ цѣлыхъ числахъ Н. Агрономовъ.............. 145

Циклометрическая система линейныхъ ур-ій. П. Некрасовъ........ 149

Представленіе цѣлаго числа въ видѣ суммы ряда послѣдовательныхъ нечетныхъ чиселъ. А. Барсуковъ................................. 150

Изложеніе теоріи алгебраическихъ дробей въ учебникахъ элементарной алгебры. В. Фридманъ......................................... 152

„Геометрія круга“ А. Охитовича. 77. Спенглеръ.................. 166

Замѣтка по поводу теоремы Польке. Д. Синцовъ................... 170

Объ одномъ свойствѣ однополаго гиперболоида. Д. Синцовъ .... 172

Памяти П. А. Баранова. Д. В.................................... 193

Къ доказательству теоремы объ отношеніи діагоналей вцисаннаго выпуклаго четыреугольника. Э. Бѣганскій....................... 196

О приближенныхъ значеніяхъ дугъ, входящихъ въ формулы для нахожденія синусовъ и косинусовъ. 77. Яковлевъ........... 197

По поводу моей статьи „Классификація ариѳметическихъ задачъ“. И. Александровъ............................................... 208

Къ геометріи треугольника. А. Масловъ............................... 212

Стр.

Аналитическое доказательство теоремъ Фермата и Вильсона М. Виленскій ........................................................ 225, 251

Объяснительная записка къ программѣ по аналитической геометріи. Д. Синцовъ..................................................... 242

По поводу статьи В. Г. Фридмана. К. Лебединцевъ................ 245

Парадоксъ Петроградскаго типа. П. Флоровъ...................... 247

Очерки по геометріи треугольника. Н. Агрономовъ................ 253,295

Къ методикѣ вычитанія и дѣленія цѣлыхъ чиселъ. I. Чистяковъ . 273

Числа положительныя, отрицательныя и нуль. А. Москвинъ .... 296

Изъ воспоминаній о 2-мъ Всероссійскомъ Съѣздѣ преподавателей математики. Членъ 2-го Съѣзда.................................. 275

Проектъ программы по математикѣ. Б. Лебединцевъ................... 280

По поводу курса тригонометріи. Б. Славскій..................... 292

Задачи.

№№ 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194............................... 30

195, 196, 197, 198, 199, 200, 201 .............................. 87

202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209 ........................ 131

210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217......................... 178

218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225 ........................ 218

226, 227, 228, 229, 230, 231, 232 ............................. 258

233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241 ................... 314

Рѣшенія задачъ.

№№ 148, 152, 153, 154, 156..................................... 31

159, 160, 161, 164, 165.................................. 88

166, 168, 169, 170, 171, 172................................... 132

173, 174, 175, 176, 177, 179................................... 179

21, 151, 155, 157, 158, 162................................... 230

180, 181, 182, 185, 186, 187................................... 259

188, 189, 190, 191, 192, 193, 196, 197, 198.................... 315

Библіографическій отдѣлъ.

С. П. Виноградовъ. Основанія теорія детерминантовъ I. Ч. ......... 46

Д. Л. Волковскій. Дѣтскій міръ въ числахъ. Ѳ. Э................... 142

А. В. Цингеръ. Начальная физика 2 ступень. В. Д................... 238

Математическій Листокъ. №№ 1—7. I. Чистяковъ...................... 271

А. Бачинскій. Физика. 1-я половина. В. Д.......................... 325

А. Малининъ и К. Буренинъ. Руководство космографіи для гимназій и реальныхъ училищъ. Б. Базилевскій................................ 327

Опредѣленіе Учебнаго Комитета при Св. Синодѣ о журналѣ „Математическое Образованіе“......................................... 48

Среди математическихъ журналовъ. Н. Агрономовъ...................... 139,266

Новыя книги..................................... 48, 96, 144, 192, 240, 272, 329

Систем. указатель статей Педаг. Сборника за 50 лѣтъ. Д-рій. . . . 192

Стр.

Жизнь и дѣятельность ученыхъ обществъ и кружковъ.

Отъ Организаціоннаго Комитета 3-го Всероссійскаго Съѣзда преподавателей математики................................. 1 SS-

Отъ Организаціоннаго Комитета 2-го Всероссійскаго Съѣзда преподавателей математики......................................... 191

Засѣданія Московскаго Матем. Кружка.......................... 90,191,324

Отвѣтственный редакторъ I. Чистяковъ.