№ 30.

Математическое Образованіе.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

Годъ четвертый.

№ 6.

Октябрь 1915 г.

МОСКВА.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

Математическое Образованіе“

Октябрь 1915 г. Годъ 4-й. № 6.

СОДЕРЖАНІЕ. Объяснительная записка къ программѣ по аналитической геометріи. Д. Синцовъ.— По поводу статьи В. Г. Фридмана. К. Лебединцевъ. — Парадоксъ петроградскаго типа. П. Флоровъ. — Аналитическое доказательство теоремъ Фермата и Вильсона. М. Виленскій. — Очерки по геометріи треугольника. П. Агрономовъ.—Задачи.—Рѣшенія задачъ.-—Среди математическихъ журналовъ. П. Агрономовъ. — Библіографическій отдѣлъ. — Новыя книги. — Опечатки. Объявленія.

Объяснительная записка къ программѣ по аналитической геометріи.

Д. Синцовъ. (Харьковъ).

Составленная и принятая Комиссіей*) программа Началъ высшей математики, или точнѣе „Началъ Аналитической Геометріи на плоскости и анализа“ (ранѣе носившихъ названіе „Спеціальнаго Курса“) распадается на двѣ части: аналитическую геометрію на плоскости и собственно анализъ, какъ начало ученія о производныхъ.

Первая изъ этихъ частей обнимаетъ ознакомленіе съ методомъ координатъ въ его примѣненіи къ прямой линіи и кругу и къ простѣйшимъ, наиболѣе доступнымъ свойствамъ коническихъ сѣченій. Она никоимъ образомъ не предполагаетъ систематическаго изложенія теоріи линій, опредѣляемыхъ въ прямоугольныхъ координатахъ уравненіями 1-ой и 2-ой степеней, представляющаго задачу курса аналитической геометріи въ высшей школѣ. Это должно прежде всего имѣть въ виду при выполненіи предлагаемой программы. Въ то же время курсъ этотъ долженъ быть связанъ со всѣмъ курсомъ математики въ реальной вѣтви средней школы. Поэтому прежде всего необходимо сказать нѣчто о подготовкѣ къ курсу въ низшихъ классахъ.

Идея координатъ, въ особенности въ примѣненіи къ графическимъ изображеніямъ функціональной зависимости, находитъ себѣ широкое примѣненіе въ статистикѣ, экономикѣ, въ метеорологіи, физикѣ, химіи и т. д. Простота и наглядность пріема вызываютъ стремленіе знакомить съ нимъ на самыхъ первыхъ ступеняхъ школьнаго обученія. И въ западной учебной литературѣ, въ особенности англійской, появились даже особыя руководства графической алгебры, встрѣчаются сторонники примѣненія гра-

*) Комиссія была образована при Мин. Нар. Просвѣщенія въ маѣ 1915 г. для переработки учебныхъ плановъ и программъ средней школы. Ред.

фическаго метода даже въ ариѳметикѣ. Такое просачиваніе новыхъ методовъ въ самыя начала преподаванія математики представляется однако очень спорнымъ, и если пользованіе графиками не на урокахъ математики есть естественное явленіе, то въ области преподаванія математики къ нимъ нужно прибѣгать лишь съ большою осторожностью. Но преподаватель алгебры и геометріи долженъ имѣть въ виду предстоящее ему преподаваніе началъ аналитической геометріи и въ соотвѣтствующихъ случаяхъ давать надлежащія указанія. Такъ при выводѣ общей формулы рѣшенія системы 2-хъ уравненій 1-ой степени съ двумя неизвѣстными полезно указать, что позже эта самая задача явится снова, облеченная въ геометрическую форму нахожденія точки пересѣченія двухъ прямыхъ. При прохожденіи неопредѣленныхъ уравненій 1-ой степени надо отмѣтить, что цѣлочисленныя положительныя рѣшенія отнюдь не являются единственно возможными, и можно указать, что въ аналитической геометріи неопредѣленное уравненіе явится снова, какъ уравненіе, опредѣляющее прямую линію.

Въ курсѣ геометріи отдѣлъ „Приложенія алгебры къ геометріи“ сокращенъ до minimum’a. Наиболѣе важное въ этомъ отдѣлѣ — истолкованіе отрицательныхъ рѣшеній—естественнымъ образомъ отходитъ въ начала аналитической геометріи, и остаются лишь построенія 4-й пропорціональной и средней геометрической, необходимыя для того, чтобы учащійся сознавалъ, что построенія получаемыхъ имъ формулъ возможны. Дальнѣйшія развитія не представляютъ особой необходимости, и задачи на приложеніе алгебры къ геометріи съ успѣхомъ могутъ быть отнесены къ числу упражненій на составленіе уравненій.

Приступая къ выясненію понятія объ опредѣленіи при помощи координатъ положенія точки на плоскости (при чемъ разумѣется слѣдуетъ ограничиваться прямоугольною системою координатъ) не мѣшаетъ указать на тѣ случаи практическаго примѣненія лежащей въ основѣ ихъ идеи, какіе встрѣчаются въ практической жизни (планы съ ихъ раздѣленіемъ на квадраты, обозначенія квадратовъ шахматной доски и т. д.). Какъ ни просто и легко усваивается понятіе о координатахъ, полезно именно связать его съ тѣмъ, что хорошо извѣстно помимо школы. Труднѣе гораздо дается вторая основная идея—идея опредѣленія линіи посредствомъ уравненія, замѣна геометрическаго образа его алгебраическимъ выраженіемъ. Въ программѣ совсѣмъ не поставлено отдѣльнымъ пунктомъ опредѣленія линій посредствомъ уравненій, и рекомендуется непосредственно приступить къ выводу уравненія прямой линіи. Перечисленіе въ программѣ различныхъ видовъ уравненія прямой имѣетъ цѣлью показать учащимся, что уравненіе это можетъ быть составлено, какими бы геометрическими элементами прямая ни была задана, что отъ одного вида можно перейти къ другому. Важно установить, что всегда уравненіе получается первой степени относительно координатъ, а не запоминаніе ряда формулъ. Какъ общее правило, обремененіе памяти должно быть сведено къ minimum’y. Формулы—очень простыя—должны запечатлѣваться въ памяти естественнымъ образомъ,

благодаря упражненіямъ, и учащемуся не должно ставить въ вину, что онъ не помнитъ той или другой формулы, если онъ можетъ ее вывести. Въ дальнѣйшемъ перечисляются относительно прямой лишь немногія задачи, чтобы дать приблизительное представленіе, какъ понимается содержаніе этой главы, и, напр., упоминаніе по традиціи о площади треугольника имѣетъ скорѣе цѣлью указать, что эта формула является простымъ приложеніемъ формулы для длины перпендикуляра изъ данной точки на прямую, заданную двумя другими точками, чѣмъ въ виду значенія, придаваемаго этой формулѣ. Конечно, въ видѣ упражненія, формула можетъ быть выведена и до ознакомленія съ уравненіемъ прямой.

Глава о кругѣ составлена въ программѣ намѣренно кратко. Существенно показать, что не только постоянство радіуса, но и любое свойство, характерное для круга, можетъ служить для составленія его уравненія, и, обратно, каждое свойство круга можетъ быть обнаружено при помощи его уравненія, можетъ быть вычитано изъ его уравненія. Съ этой точки зрѣнія несущественно, какія именно свойства круга будутъ для этой цѣли привлечены, какія теоремы, извѣстныя изъ курса элементарной геометріи, будутъ передсказаны аналитически, какія будутъ сообщены вновь. Въ этомъ отношеніи преподавателю программа предоставляетъ свободу. Не должно только обходить вопроса о касательной, которой уравненіе можетъ быть для круга получено какъ геометрически, такъ и исходя изъ общаго опредѣленія касательной, какъ предѣла сѣкущей, которое умѣстно дать именно здѣсь, при первомъ же случаѣ.

Съ прохожденіемъ статей о прямой и кругѣ знакомство съ методомъ координатъ достигнуто. Не возбраняется поэтому, подойдя въ вопросѣ о касательной къ понятію о производной, перейти отъ аналитической геометріи къ началамъ ученія о производныхъ, начавъ, какъ указываетъ программа, съ повторенія ученія о предѣлахъ и графическаго изображенія функцій, чтобы затѣмъ вернуться снова къ главѣ о коническихъ сѣченіяхъ или же вести отсюда параллельно преподаваніе того и другого отдѣла. Однако, есть основанія слѣдовать и пути, указываемому программой, а именно, сначала закончить главу о коническихъ сѣченіяхъ и затѣмъ уже перейти ко второму отдѣлу. Помимо большей систематичности, за это говоритъ и то, что такимъ образомъ вниманіе учащихся менѣе разбрасывается и новизна понятій о функціональной зависимости, о составленіи производной не отвлекаетъ интереса отъ свойствъ новыхъ кривыхъ.

Въ противоположность прямой и кругу, для которыхъ сообщается самое общее уравненіе въ прямоугольныхъ координатахъ, нельзя давать для кривыхъ 2-ой степени ихъ общаго уравненія. Въ программѣ указано, что уравненія кривыхъ—въ простѣйшемъ видѣ, т.-е. -~î± — =z\ для эллипса и гиперболы и у2 = 2рх для параболы выводятся изъ геометрическаго ихъ опредѣленія, какъ плоскихъ сѣченій прямого кругового конуса.

Дѣйствительно, этотъ исторически первый способъ ихъ полу-

ченія является въ дидактическомъ отношеніи наиболѣе естественнымъ, ибо не имѣя возможности опредѣлять ихъ общимъ уравненіемъ 2-ой степени, пришлось бы иначе или прибѣгнуть къ фокальнымъ свойствамъ, или непосредственно дать вышеупомянутыя уравненія и изучать кривыя, какъ опредѣленныя этими уравненіями. Первый пріемъ сразу вводитъ довольно сложныя свойства кривыхъ и проводитъ рѣзкую грань между ними и кругомъ, съ которымъ необходимо связать ихъ тѣснѣе, второй же слишкомъ алгебраиченъ и оставляетъ загадкою, почему взяты именно эти кривыя, а не какія-либо другія. Не слѣдуетъ однако закрывать глаза на нѣкоторую затруднительность пользованія стереометрическимъ опредѣленіемъ плоскихъ фигуръ. Программа имѣетъ это въ виду, подчеркивая, что геометрическое опредѣленіе должно служить лишь для вывода уравненія, но не для изслѣдованія свойства кривыхъ, особенно не для вывода ихъ фокальныхъ свойствъ. Чисто-геометрическая элементарная теорія коническихъ сѣченій, можетъ быть, и осуществима въ средней школѣ, но не ее имѣетъ въ виду программа.

Можно однако итти даже далѣе, и усомниться въ усвояемости самаго вывода уравненій изъ сказаннаго геометрическаго опредѣленія. Хотя это едва ли такъ, но преподавателю можетъ быть предоставлено право—въ соотвѣтствіи со степенью успѣшности класса—требовать это доказательство лишь отъ способнѣйшихъ учениковъ или даже сдѣлать совершенно необязательнымъ, но ему настоятельно рекомендуется при классномъ объясненіи самому вывести на доскѣ ученикамъ со всею подробностью это доказательство, дабы уравненія, которыя потомъ кладутся въ основу, не являлись какъ deus ex machina. Модели и чертежи въ проекціяхъ весьма облегчаютъ пониманіе и примѣненіе ихъ въ высшей степени желательно.

Изслѣдованіе кривыхъ по полученнымъ простѣйшимъ уравненіямъ должно прежде всего знакомить съ ихъ видомъ и формою, симметріей относительно центра и осей (для гиперболы и эллипса) и оси для параболы.

Видъ и приближенное вычерчиваніе гиперболы существеннымъ образомъ опредѣляются ея асимптотами; даже съ этой точки зрѣнія нельзя обойти асимптотъ гиперболы, не говоря уже о важности для общаго представленія о вѣтвяхъ кривыхъ, уходящихъ въ безконечность, указать на разницу между таковыми вѣтвями гиперболы и параболы. Но конечно асимптоту слѣдуетъ вводить какъ прямую, разстояніе отъ которой точки кривой при возрастаніи я, у до оо убываетъ до 0, а не какъ касательную въ безконечно-удаленной точкѣ.—Касательныя къ кривымъ второго порядка также желательно вывести, — если есть время, какъ вопросъ курса, или для сокращенія показать въ качествѣ примѣра на нахожденіе производныхъ. Объемъ собираемаго матеріала можетъ быть сокращаемъ или расширяемъ въ зависимости отъ успѣшности класса.

Въ заключеніе замѣчаніе относительно преобразованія координатъ. Конечно, безъ этого вопроса, казалось бы, можно обойтись

въ элементарномъ курсѣ. При неблагопріятныхъ условіяхъ такъ вѣроятно и придется сдѣлать. Но, ограничиваясь указанными въ программѣ случаями, можно достичь двухъ цѣлей. 1°. Для круга показать, какъ его уравненіе упрощается при перенесеніи начала въ центръ кривой, и что въ послѣднемъ случаѣ поворотъ на уголъ не измѣняетъ уравненія окружности. 2°. При знакомствѣ съ этимъ вопросомъ можно въ заключеніе указать ученикамъ, что всякое уравненіе 2-ой степени между х и у можетъ быть приведено къ одному изъ трехъ простѣйшихъ видовъ. Конечно, не только не нужно входить въ подробности, но даже не слѣдуетъ преподавателю выводить это въ классѣ, но полезно указать на это обстоятельство, дабы учащіеся не получили ложнаго представленія, что принятыя простѣйшія уравненія кривыхъ суть единственныя и общія.

По поводу статьи В. Г. Фридмана.

К. Лебединцевъ (Москва).

Въ № 4 „Математическаго Образованія“ за 1915 годъ г. Фридманъ въ статьѣ „Изложеніе теоріи алгебраическихъ дробей въ учебникахъ элементарной алгебры“ подвергаетъ критикѣ, между прочимъ, выводъ правила умноженія и дѣленія дробей, изложенный въ моемъ „Курсѣ алгебры“, и находитъ въ немъ принципіальную логическую ошибку. Вотъ что пишетъ г. Фридманъ по этому поводу:

„Совершенно особый выводъ правила умноженія дробей мы находимъ въ учебникѣ алгебры г. Лебединцева; авторъ исходитъ изъ равенства — = ( — ) : п, т.-е. основывается на правилѣ: чтобы раздѣлить на произведеніе, достаточно раздѣлить данное количество на одного сомножителя (ж) и полученный результатъ на другого (п). Далѣе г. Лебединцевъ получаетъ равенство . Ь, основываясь на правилѣ дѣленія произведенія на количество.

Слѣдовательно, получается равенство — = ъ\ : п. Но чтобы раздѣлить произведеніе Ь на п, достаточно одинъ (одного? К. Л.) изъ сомножителей, именно Ъ, раздѣлить на п (N. В.! и на полученное количество умножить перваго сомножителя ^.К.Л.). Мы получаемъ, что— = — • — , откуда — • — = — (N. В.! очевидная опечатка, оба раза должно быть — • К. Л.); послѣднее равенство и выражаетъ правило умноженія алгебраическихъ дробей.

Это доказательство по нашему мнѣнію также содержитъ логическую ошибку, ибо тѣ правила, на которыя ссылается г. Лебединцевъ, не доказаны для случая, когда одинъ изъ множителей произведенія есть алгебраическая дробь (такъ, первый изъ множителей произведенія Ь есть дробь Такую же ошибку г. Лебединцевъ допускаетъ и при доказательствѣ правила дѣленія дробей“ (стр. 155).

Мнѣ, однако, кажется, что, наоборотъ, самъ г. Фридманъ впалъ здѣсь въ недоразумѣніе, такъ какъ та система изложенія, которая принята въ моемъ „Курсѣ алгебры“, какъ разъ и освобождаетъ меня отъ обязанности доказывать въ данномъ мѣстѣ, что нужный мнѣ законъ (чтобы раздѣлить произведеніе двухъ сомножителей на какое-либо число, достаточно раздѣлить на это число одного изъ сомножителей и полученный результатъ умножить на другого сомножителя) справедливъ и для того случая, когда одинъ изъ сомножителей есть алгебраическая дробь. Дѣло въ томъ, что данная алгебраическая дробь выражаетъ непремѣнно какое-либо число, положительное, отрицательное, цѣлое или дробное, или наконецъ нуль; указанный же законъ, какъ и другіе, упоминаемые здѣсь въ §§ 53 и 54 „Курса алгебры“, былъ въ свое время установленъ для всѣхъ этихъ чиселъ (въ ариѳметикѣ для положительныхъ чиселъ, цѣлыхъ и дробныхъ, и въ §§ 18 и 20 „Курса алгебры“ для отрицательныхъ чиселъ и нуля). Слѣдовательно, нѣтъ никакой надобности доказывать его вновь, подобно тому, какъ нѣтъ надобности доказывать основное свойство дроби І- = —I, если соотвѣтствующее свойство частнаго было установлено въ свое время для любыхъ чиселъ, цѣлыхъ и дробныхъ, положительныхъ и отрицательныхъ (а это послѣднее признаетъ и самъ г. Фридманъ на стр. 154). Логическая сторона приводимаго мною разсужденія, такимъ образомъ, прочнѣе, чѣмъ это кажется г. Фридману.

Остается вопросъ о томъ, является ли изложенный выводъ достаточно пригоднымъ для школьной практики, не слишкомъ ли трудно учащимся 13—14 лѣтъ понять связь между приводимыми здѣсь логическими посылками? Я думаю, что понять такое доказательство можетъ любой нормальный ребенокъ указаннаго возраста (вѣдь понимаютъ же учащіеся того же возраста и болѣе сложныя геометрическія теоремы); но требовать, чтобы учащіеся запоминали и воспроизводили это разсужденіе, по-моему излишне, такъ какъ главное въ данномъ отдѣлѣ—это усвоеніе основныхъ свойствъ дробей и дѣйствій надъ ними, а вовсе не заучиваніе данныхъ доказательствъ. Если же преподаватель не желаетъ давать учащимся дедуктивный выводъ правила умноженія и дѣленія дробей, то онъ можетъ записать съ ними въ видѣ формулъ - • -— —

и — : ~ = —I соотвѣтствующія правила дѣйствій надъ ариѳметическими дробями и затѣмъ заставить ихъ убѣдиться на рядѣ частныхъ примѣровъ, что данныя формулы остаются справедливыми и тогда, когда буквы а, Ь и т. д. будутъ обозначать числа дробныя или отрицательныя. Это — индуктивный способъ установленія изучаемыхъ истинъ, вполнѣ пріемлемый съ точки зрѣнія современной методики. Но во всякомъ случаѣ, мнѣ кажется, недопустимо, какъ это предлагаетъ г. Фридманъ въ своей статьѣ, ограничиться „указаніемъ на то, что дѣйствія надъ алгебраическими дробями производятся по тѣмъ же правиламъ, что и дѣйствія надъ ариѳметическими дробями“: подобныя чисто догматическія утвержденія не должны имѣть мѣста въ школьной практикѣ, а иначе школа рискуетъ отбить у учащихся интересъ къ предмету и довѣріе къ преподавателю.

Парадоксъ петроградскаго типа.

П. Флоровъ (Ст. Урюпинская).

Петроградскій парадоксъ, именовавшійся въ прежнее время Петербургской задачей, построенъ на возможности такой постановки опытовъ, при которой число опытовъ должно повториться неограниченное число разъ прежде, чѣмъ сумма вѣроятностей событія, ожидаемаго при опытахъ, сдѣлается равною единицѣ. Задачи съ такою общею характеристикою являются источниками парадоксовъ петроградскаго типа. Одна изъ задачъ этого рода разсматривается въ настоящей статьѣ. Она заключается въ слѣдующемъ.

Вообразимъ неограниченный рядъ перенумерованныхъ урнъ, содержащихъ въ себѣ только бѣлые и черные шары, при чемъ въ первой урнѣ бѣлыхъ а , а всѣхъ во второй урнѣ бѣлыхъ а2, а всѣхъ въ третьей урнѣ бѣлыхъ а4, a всѣхъ

и такъ далѣе. Произведемъ рядъ опытовъ такого рода. Первый опытъ заключается въ извлеченіи шара изъ первой урны, второй опытъ—въ извлеченіи по одному шару изъ первой и второй урнъ, третій опытъ—въ извлеченіи по одному шару изъ первой, второй и третьей урнъ и такъ далѣе. Вынутые шары всякій разъ немедленно возвращаются въ тѣ урны, изъ которыхъ они извлечены.

Вычислить вѣроятность выхода однихъ только бѣлыхъ шаровъ въ одномъ изъ перечисленныхъ опытовъ.

Вѣроятность выхода бѣлаго шара при первомъ опытѣ равна

Выходъ бѣлыхъ шаровъ при второмъ опытѣ есть сложное явленіе, состоящее въ совпаденіи выхода бѣлаго шара изъ первой

урны съ выходомъ бѣлаго шара изъ второй урны. Вѣроятность этого сложнаго явленія есть произведеніе вѣроятностей простыхъ событій, именно

Вѣроятность выхода трехъ бѣлыхъ шаровъ при третьемъ опытѣ равна

Такъ же вычисляются всѣ послѣдующія вѣроятности. Искомая вѣроятность выхода однихъ бѣлыхъ шаровъ при какомъ-либо изъ опытовъ, которую мы обозначимъ черезъ £я, найдется по теоремѣ сложенія вѣроятностей и будетъ:

Здѣсь въ правой части неограниченное число членовъ. Докажемъ, что сумма ихъ меньше единицы. Въ самомъ дѣлѣ посредствомъ неравенствъ

находимъ

Это есть безконечно-убывающая геометрическая прогрессія, сумма которой равна

Слѣдовательно,

Равенство для Sa можно представить въ видѣ

Съ другой стороны, замѣнивъ а черезъ а2, найдемъ

Слѣдовательно,

Отнявъ отъ каждой части этого равенства по - , легко приведемъ его къ виду

Что можно переписать такъ

Раздѣливъ обѣ части на а---, получимъ

Замѣнивъ здѣсь а послѣдовательно черезъ

найдемъ

Абсолютное значеніе разности

меньше единицы, потому что каждый членъ разности есть правильная дробь. Поэтому съ возрастаніемъ г абсолютное значеніе правой части предыдущаго равенства будетъ неограниченно убывать и будетъ имѣть своимъ предѣломъ нуль. Слѣдовательно

Введемъ обозначенія

Теперь вообразимъ себѣ двухъ игроковъ, которые соглашаются играть другъ съ другомъ на слѣдующихъ условіяхъ. Первый игрокъ уплачиваетъ второму опредѣленную сумму х рублей и затѣмъ начинаетъ производить опыты съ урнами. Если бѣлый шаръ появится при первомъ опытѣ, то первый игрокъ получаетъ отъ второго ct рублей и игра кончается. Если при первомъ опытѣ появится черный шаръ, а при второмъ два бѣлыхъ, то первый игрокъ получаетъ отъ второго с2 рублей и игра кончается. Вообще, если всѣ бѣлые шары въ первый разъ выйдутъ только при опытѣ порядяа г, то первый игрокъ получитъ отъ второго сг рублей и

игра окончится. Требуется вычислить х такъ, чтобы игра была безобидна для обоихъ игроковъ.

Правило безобидности заключается въ томъ, что математическое ожиданіе выигрыша для каждаго игрока должно быть нулемъ. Математическимъ ожиданіемъ какой-нибудь величины называется сумма ея частныхъ значеній, соотвѣтственно умноженныхъ на ихъ вѣроятности.

Ожидаемое событіе, выходъ однихъ только бѣлыхъ шаровъ, имѣетъ слѣдующія вѣроятности

Вѣроятность, что это событіе не случится, равна Р. Такимъ образомъ всевозможныя событія, символически означаемыя ихъ вѣроятностями, будутъ таковы

Что счетъ событій вѣренъ, порукою въ томъ служитъ равенство

Появленіе этихъ событій второй игрокъ оплачиваетъ слѣдующими суммами

Такъ какъ первый игрокъ уплатилъ второму х рублей, то выигрыши второго игрока, соотвѣтствующія перечисленнымъ событіямъ, выразятся такъ

Умноживъ эти выигрыши на вѣроятности ихъ полученія и сложивъ результаты, получимъ математическое ожиданіе выигрыша второго игрока:

Это выраженіе можно переписать такъ

Принявъ во вниманіе, что коэффиціентъ при х есть единица и уравнявъ математическое ожиданіе, по правилу безобидности нулю, получимъ

Поставивъ сюда на мѣсто нумерованныхъ Р и с ихъ значенія, будемъ имѣть

Если с<і 1, то правая часть будетъ величиною безконечно большою и получится парадоксъ петроградскаго типа. Если же с>1, то

Это есть искомая сумма, обезпечивающая безобидность игры.

Петербургская задача есть частный случай разсмотрѣнной задачи, соотвѣтствующій допущеніямъ

a=z 1 и с= 1.

Въ петербургской задачѣ опытъ съ урнами замѣняется бросаніемъ монеты, при чемъ выходу однихъ бѣлыхъ шаровъ соотвѣтствуетъ вскрытіе орла.

Аналитическое доказательство теоремъ Фермата и Вильсона.

М. Виленскій. Одесса.

(Окончаніе).

Еще нѣкоторыя свойства этихъ коэффиціентовъ обнаруживаются при подстановкѣ отрицательныхъ чиселъ вмѣсто х: очевидно, что

(15)

при k — 0; 1; 2;,... (п — 1), т.-е. корни функціи съ знакомъ минусъ; въ частности, при k — 1, равенство (15) показываетъ, что сумма четныхъ коэффиціентовъ равна суммѣ нечетныхъ, что

(16)

и что вообще каждый коэффиціентъ можно представить какъ линейную однородную функцію всѣхъ остальныхъ коэффиціентовъ.

Далѣе мы можемъ установить 1) что, кромѣ а°=1, имѣется, по крайней мѣрѣ, еще одинъ коэффиціентъ, который не дѣлится на п 0;2) что сумма всѣхъ не кратныхъ п коэффиціентовъ, кромѣ даетъ, при дѣленіи на п остатокъ, равный (п — 1); въ противномъ случаѣ, сумма всѣхъ коэффиціентовъ не дѣлилась бы на и, что противорѣчитъ формулѣ (13а), но если п — простое число, такимъ несравнимымъ съ нулемъ по модулю п коэффиціентомъ, можетъ быть только послѣдній коэффиціентъ — > потому что an = ^ji въ этомъ случаѣ, всегда =0 (modw), а поэтому и ка^ѵ для 1 </t<(n—1), согласно закону ихъ образованія изъ предшествующихъ коэффиціентовъ, выраженному формулой (11а), дѣлятся на и, потому что ^ % jc * =0 (modn) при простомъ п, а тогда и а^ должны дѣлиться на п, потому что к

и п числа взаимно простыя, только при к = п — 1 послѣднее слагаемое: ^с/^=1 на п не дѣлится и, въ силу вышесказаннаго, долженъ быть сравнимъ съ — 1 по модулю м, т.-е. теорема Вильсона доказана.

Если же п составное число, то нетрудно доказать, что не только (п — 1) !, но и ^E^J\ всегда дѣлится на п, за исключеніемъ случаевъ п — 4 и п = 9; а) при п четномъ = 2т, то

которое при т > 2 является всегда цѣлымъ числомъ; Ь) п равняется нечетному числу; пусть при разложеніи его на простые множители п = р^ р2Ч,ргЪ . . . , при чемъ можемъ полагать, что

тогда уже

тогда точно такъ же

другими словами, вопросъ сводится къ

Замѣтивъ, что корни уравненія

находятся между 4 и —1, замѣчаемъ, что при р^5,--------^------

поэтому между нулемъ и —^— встрѣчаются, по крайней мѣрѣ, 2 числа р и 2р кратныхъ р, а потому ихъ произведеніе кратно р2, т.-е.

(17)

Что касается р = 3, то ——2.3 = 0, и поэтому 6! =0 (mod 9); вообще же при нечетныхъ составныхъ w:w=2m-j-l, то, т. к. т и (2m-j-l) числа взаимно простыя, то уже ! = 0 (mod. п); во всякомъ случаѣ, при составномъ п (п> 4), ап ^ =0

(mod. n) и поэтому тогда должны быть другіе коэффиціенты, не дѣлящіеся на п.

Чтобы доказать теорему Фермата, вспомнимъ, что f(k), какъ уже было выше сказано, равняется к(к -f-1) (к -f- 2) . . . (п к — 1), число, которое всегда дѣлится на п, такъ что мы можемъ писать

f(x) = О (mod. п) (18)

при всѣхъ цѣлыхъ значеніяхъ х, но при простомъ п, всѣ коэффиціенты, за исключеніемъ крайнихъ, кратны п, какъ доказано было выше, и поэтому ихъ въ сравненіи (18) можно отбросить и мы получимъ, по перенесеніи послѣдняго члена на другую сторону и замѣнѣ коэффиціента эквивалентной ему единицей

хп = х (mod п),

но если X не является кратнымъ п, то можно сократить сравненіе на X, т. к. тогда х и п числа взаимно простыя и мы получаемъ теорему Фермата

Xй-1 = 1 (mod п) (19)

для всѣхъ чиселъ не кратныхъ п.

Въ заключеніе, упомяну еще, что если замѣнимъ въ обѣихъ частяхъ равенства (3) х черезъ и помножимъ ихъ на хп, то получимъ

(20)

т.-е. коэффиціенты остались тѣ же, что и въ f(x), только въ обратномъ порядкѣ; <р(х) является функціей (п—1)-й степени со свободнымъ отъ X членомъ.

Очерки по геометріи треугольника.

Н. Агрономовъ. Ревель.

I.

Въ тр-къ АБС всегда можно вписать два такихъ тр-ка, чтобы стороны послѣднихъ были перпендикулярны сторонамъ тр-ка АВС. Эти тр-ки обладаютъ нѣкоторыми весьма интересными свойствами, выяснить которыя мы ставимъ себѣ цѣлью.

§ 1. Допустимъ, что вписанными тр-ками являются тр-ки А1В1С1 и А2В2С2, но при этомъ взаимно перпендикулярными сторонами тр-ковъ А1В1С1 и АВС являются стороны СгВг и AB, АгСг и ВС, ВгАг и СА, а взаимно-перпендикулярными сторонами тр-ковъ А2В2С2 и АВС являются стороны В2С2 и АС, С2А2 и В А, А2В2 и СВ.

Обозначая В1С1 черезъ х, СгАг черезъ у, АгВг черезъ

имѣемъ для ихъ опредѣленія слѣдующую систему уравненій

(1)

Изъ этихъ уравненій находимъ, что

(2)

или, послѣ нѣкоторыхъ преобразованій

(3)

Такъ какъ

гдѣ со есть нѣкоторый замѣчательный уголъ тр-ка, а именно уголъ Брокара, то

(4)

Подобными же вычисленіями мы найдемъ для В2С2, С2А2, А2В2 слѣдующія выраженія:

(5)

Отсюда мы заключаемъ, что два тр-ка, вписанные въ данный тр-къ такъ, чтобы ихъ стороны были перпендикулярны сторонамъ даннаго треугольника, между собой равны и подобны, а съ даннымъ тр-комъ подобны.

8 2. Такъ какъ

(6)

то отсюда слѣдуетъ, что точки Сѵ С2, Вѵ В2 лежатъ на одной окружности. Въ виду того, что подобными разсужденіями можно показать нахожденіе точекъ А2, Сѵ С2 на одной и Вх, В2, Аг, А2 на другой окружности, слѣдуетъ, что точки Аѵ А2, Вг, В2, Сг, С2 леоюатъ на одной окружности (р.

§ 3. Вполнѣ естественнымъ является вопросъ, чему равенъ радіусъ этой окружности. Такъ какъ окружность <р есть описанная окружность тр-ка А1В1С1 или А2В2СѴ то для опредѣленія ея радіуса можно воспользоваться формулой

Для радіуса нашей окружности др мы получимъ

(7)

§ 4. Перейдемъ къ разсмотрѣнію другихъ свойствъ нашей окружности.

Вычислимъ хорду ВгС2. Изъ тр-ка АВгС2 имѣемъ

(8)

Такъ какъ

то

(9)

Равнымъ образомъ

(9')

Такъ какъ радіусомъ окружности ср является а2__|_^2_р~^2’ т0>

очевидно, что В1С2, СгА2, АгВ2 суть діаметры окружности у и, какъ таковыя, пересѣкаются въ одной точкѣ К, являющейся центромъ окружности <р.

§ 5. Возникаетъ вопросъ, что это за точка К? Имѣетъ ли она опредѣленное мѣсто въ системѣ замѣчательныхъ точекъ тр-ка? Чтобы рѣшить этотъ вопросъ, опредѣлимъ въ какомъ отношеніи АК, ВК, СК дѣлятъ ВС, CA, AB. Пусть прямыя АК, ВК, СК встрѣчаютъ ВС, СА, AB въ точкахъ а, ß, у.

Такъ какъ

(10)

изъ тр-ка АС2Вг, то

(11)

Такъ какъ

(12)

то

(13)

Равнымъ образомъ

(13')

Отношенія (13) и (13') показываютъ, что К есть точка Лемуана тр-ка АВС. Итакъ, центромъ окружности ср является точка Лемуана тр-ка АВС.

Примѣчаніе. Окружность (р въ геометріи тр-ка называется второй окружностью Лемуана, шестиугольникъ А1С2С1В2ВІА2 вторымъ шестиугольникомъ Лемуана.

§ 6. Изъ тр-ка АгВ2А2 имѣемъ 14

(14)

Слѣдовательно,

АгА2 : ВгВ2 : С\С2 = cos А : cos В : cos С (15)

иными словами, вторая окружность Лемуана отсѣкаетъ на сторонахъ тр-ка АВС отрѣзки, пропорціональные косинусамъ противолежащихъ угловъ.

Равнымъ образомъ, легко показать, что

а. АгА2 + Ь.В1В2+с.С1С2 = 0 (16)

§ 7. Займемся на нѣкоторое время шестиугольникомъ Лемуана. Опредѣлимъ его площадь S6. Очевидно, что

(17)

(19)

(20) (21)

или, наконецъ,

(22)

Такъ какъ площадь каждаго изъ тр-ковъ А1В1С1 и А2В2С2 равна >Stg2œ, то мы имѣемъ слѣдующее предложеніе: площадь второго шестиугольника Леумана равна суммѣ площадей тр-ковъ АВД * АВД-

§ 8. Остановимся на одномъ весьма замѣчательномъ свойствѣ изучаемой фигуры. Пусть а1, ß\ у1 точки, встрѣчи прямыхъ С\В2 и СЛВп А2С2 и i.G, Б2А и ВгАг и а", ß", у" точки встрѣчи прямыхъ Аа\ Bßf, С/ съ ВС, СЛ, Л/?.

Тогда

(23)

Кромѣ того изъ тр-ка С2АВ2 имѣемъ

(24)

Слѣдовательно

(25)

Для опредѣленія отношенія f воспользуемся треугольникомъ АС2В2, пересѣченнымъ прямой С1В1

(26)

Итакъ

(27)

Подставляя вмѣсто входящихъ сюда величинъ ихъ выраженія черезъ а, 6, с и тригонометрическія функціи, получимъ

(28)

Равнымъ образомъ

(28')

Отсюда слѣдуетъ, что прямыя, соединяющія вершины тр-ка ЛВС съ точками пересѣченія соотвѣтственныхъ сторонъ тр-ковъ А1В1С1 и Л2В2С2 пересѣкаются въ центрѣ описаннаго круга т-ка АВС.

(Продолженіе слѣдуетъ).

Задачи.

Подъ редакціей Э. Ю. Лейнѣка.

226. Даны двѣ параллели и на нихъ по точкѣ А л В. Въ данномъ направленіи провести между параллелями отрѣзокъ X Y такъ, чтобы ^АХВ = 2 ^AYB.

И. Александровъ.

227. Даны двѣ параллели, на нихъ по точкѣ А л В и внѣшняя точка С. Черезъ С провести къ параллелямъ сѣкущую СХ Г такъ, чтобы А ХВ = 2 Л YB.

И. Александровъ.

228. Найти на сторонѣ АС треугольника АВС такую точку А чтобы имѣло мѣсто соотношеніе DE2 -f- AF2 = а2, гдѣ а данный отрѣзокъ, DE\_AB и DF\^BC.

В. Кованько.

229. Найти зависимость, существующую между коэффиціентами уравненія

а0х4 -j- агх3 -f- а2х2 -j- azx -}- а4 = О, если извѣстно, что корни его связаны соотношеніемъ

*1+*і=*3+ *4

230. Рѣшить уравненіе

231. Доказать, что при простомъ р выраженіе

дѣлится на р.

Л. Соколовъ.

232. Доказать, что при

Рѣшенія задачъ.

180. Разложить на линейные множители выраженіе

х(у2 -f- z2 — X2) -(- 2/(^2 -f- а;2 — у2) 4" У2 — ^2) —

Для разложенія даннаго выраженія на линейные множители произведемъ надъ нимъ рядъ преобразованій:

2-е рѣшеніе.

Разсматривая данное выраженіе какъ многочленъ отъ х и подставляя вмѣсто х величину у — я, замѣчаемъ, что многочленъ обращается въ нуль, откуда по теоремѣ Bezout заключаемъ, что наше выраженіе дѣлится на х — {у — z), т.-е. на х-\-z — у.

По симметріи заключаемъ, что заданное выраженіе дѣлится также на у-\-х—z и z-\-y — х. Такимъ образомъ имѣемъ разложеніе

Сравнивая коэффиціенты при х3 въ обѣихъ частяхъ равенства, выводимъ

А — 1.

Итакъ, данное выраженіе разлагается слѣдующимъ образомъ:

(у+ 8 — + Х -t

К. Верещагинъ (Козловъ), Флавіанъ Д. (Дѣйствующая Армія), И. Евдокимовъ (Шуя), И. Козыревъ (Енисейскъ), В. Кованько (Вышній-Волочекъ), В. Тейковцевъ (Владимиръ).

181. Найти число, имѣющее четное число 2п цифръ и равное суммѣ чиселъ, составленныхъ его послѣдними п цифрами, первыми п цифрами и произведеніемъ этихъ двухъ чиселъ.

При перенесеніи послѣдней цифры на первое мѣсто долженъ получиться точный квадратъ.

Обозначимъ число, составленное первыми п цифрами черезъ X, а число, составленное послѣдними п цифрами,—черезъ Y. Искомое число выразится тогда формулою 10иХ-ф- Y, а условіе, которому это число на основаніи задачи должно удовлетворить, приметъ видъ:

10”Х + Г=Х + Г+ XY

или

10”Х = X + X Y= Х(1 + Г), такъ какъ X ^ О, то отсюда выводимъ:

Г=10и — 1.

Итакъ, если бы въ задачѣ не было добавочнаго условія, то всякое число изъ 2п цифръ, изъ которыхъ первыя п произвольны, а послѣднія п равны 9, удовлетворяло бы задачѣ.

Изъ добавочнаго условія слѣдуетъ, что искомое число не можетъ быть двузначнымъ — 10а -f- 9, ибо 90 -f- а не можеть быть точнымъ квадратомъ.

Четырехзначное число, оканчивающееся на 99, по перенесеніи послѣдней цифры впередъ приметъ видъ 9**9, гдѣ звѣздочками отмѣчены двѣ среднихъ цифры.

Такъ какъ

90<(/9*^9 <100

и такъ какъ искомый квадратный корень долженъ имѣть послѣднюю цифру 3 или 7, то подлежатъ испытанію числа 93 и 97.

Но такъ какъ 932 = 8649, то искомымъ квадратнымъ корнемъ является 97.

Значитъ искомое четырехзначное число — 4099, ибо

972 = 9409.

Легко доказать, что другихъ рѣшеній задача не допускаетъ. Въ самомъ дѣлѣ, если бы существовало шестизначное или восьмизначное число, удовлетворяющее задачѣ, то оно оканчивалось бы болѣе чѣмъ двумя девятками, и по перенесеніи послѣдней цифры на первое мѣсто мы должны были бы имѣть точный квадратъ, оканчивающійся двумя девятками, что невозможно. Значитъ искомое число только одно — 4099.

Только что приведенное свойство точнаго квадрата можно обнаружить слѣдующимъ образомъ. Число — точный квадратъ — оканчивающееся на 9, получается отъ возведенія въ квадратъ

lOnzfc 3;

Квадратъ же этого числа выражается по формулѣ 100/г2 =±= 60?г —|— 9, которая показываетъ, что число десятковъ этого квадрата есть число четное, т.-е. никогда не равно 9.

К. Верещагинъ (Козловъ), И. Евдокимовъ (Шуя), Н. Козыревъ (Енисейскъ).

182. Построить равнобедренный треугольникъ, если дана боковая сторона его и извѣстно, что проекція ея на другую равна основанію треугольника. (Рѣшеніе требуется чисто геометрическое).

Принявъ данную боковую сторону за радіусъ, опишемъ окружность О и изъ произвольной ея точки 0г тѣмъ же радіусомъ другую окружность которая пересѣчется съ первою въ точкахъ М и Р. Наконецъ изъ точки Р тѣмъ же радіусомъ проведемъ третью окружность и раздѣлимъ дугу AB линіею МР пополамъ. Окружность, описанная изъ точки М какъ изъ центра радіусомъ MC, пересѣчетъ окружность О въ точкахъ N и А7'. Треугольникъ MNO — искомый. Въ самомъ дѣлѣ, треугольникъ MNO равнобедренный, такъ какъ МО = N0. Далѣе, проведя NN" _і_ МО, заключаемъ:

Отсюда имѣемъ

Но MN = МС—МР- РС=а\/3—а (если данную сторону обозначимъ черезъ а).

Отсюда слѣдуетъ, что

т.-е. проекція стороны N0 на МО равна основанію MN треугольника MN О.

Замѣтимъ, что при указанномъ построеніи мы пользовались линейкою лишь одинъ разъ, чтобы раздѣлить дугу ОхО или AB пополамъ, но такъ какъ дѣленіе дуги пополамъ*) возможно и при помощи одного лишь циркуля, то указанный способъ даетъ возможность построить искомый треугольникъ съ помощью одного лишь циркуля.

К. Верещагинъ (Козловъ), В. Кованько (Вышній-Волочекъ), И. Козыревъ (Енисейскъ).

185. Равносторонній треугольникъ опирается своими вершинами на три концентрическихъ окружности. Выразить длину его стороны въ зависимости отъ радіусовъ гѵ г2, г? упомянутыхъ окружностей. Частный случай ^ = 11, г2 = 91, г3 = 96.

Пусть АВС искомый треугольникъ, ВВ1 _}_АС, ООг_І_ДС, 0D}_В}D. Обозначимъ AB, 0J9, DB1, ВВ1 соотвѣтственно черезъ X, т, п, h.

*) А. Адлеръ, Теорія геометрич. построеній. Одесса, 1910. § 15.

Тогда изъ прямоугольныхъ треугольниковъ выводимъ:

Изъ ур-ій (1г) и (Зг) выводимъ, складывая и вычитая, два слѣдующихъ равенства

Изъ равенствъ (2Г) и (4) опредѣляемъ п.

Внося найденныя выраженія для т и п въ формулу (4).. получимъ:

Внося въ полученное ур-іе вмѣсто h2 его значеніе получимъ:

Послѣ всѣхъ упрощеній это ур-іе приведется къ слѣдующей простѣйшей формѣ:

Рѣшая его, получимъ:

Выраженіе подъ внутреннимъ радикаломъ можетъ быть представлено въ видѣ произведенія*) и окончательно для х имѣемъ слѣдующее выраженіе

(7)

Полученная формула показываетъ, что задача возможна лишь въ случаѣ, когда подъ внутреннимъ радикаломъ положительная величина, т.-е. когда гх-\-г2>г3, г2“Ьгз>гі> гз *4“ гі > г2> другими словами, когда гг, г2, г3 могутъ образовать треугольникъ. Если сумма двухъ радіусовъ равна третьему, то подкоренная величина равна нулю и для х имѣемъ лишь одно значеніе. Легко показать, что въ случаѣ, когда гг-\-г2>г3, г2 —г3, г3 -(- гл > г2 оба значенія для х2, получаемыя изъ ур-ія (6), положительны.

Въ самомъ дѣлѣ, свободный членъ ур-ія (6) при указанныхъ соотношеніяхъ между гѵ г2, г3 положительная величина**), а потому оба корня х2 одинаковаго знака, но такъ какъ одинъ изъ нихъ, какъ это видно изъ (7), положителенъ, то и другой будетъ таковымъ же.

Для частнаго случая, когда г1 — 11, г2=91, г3 = 96, имѣемъ:

Первое рѣшеніе соотвѣтствуетъ треугольнику, одна сторона котораго проходитъ почти черезъ центръ; второе рѣшеніе даетъ треугольникъ, у котораго продолженіе одной стороны проходитъ черезъ центръ.

К. Верещагинъ (Козловъ), В. Добровольскій (Москва), И. Евдокимовъ (Шуя), В. Кованько (Вышній-Водочекъ), R. Козыревъ (Енисейскъ), А. Бутомо {Саратовъ).

186. Изъ точки S, лежащей на поверхности даннаго шара, проведены три взаимно перпендикулярныхъ хорды SA, SB, SC. Доказать, что при поворотѣ системы лучей SA, SB, SC около

*) Разложеніе это можетъ быть выполнено слѣдующимъ образомъ:

**) Пусть г8 > г2 Г|. Тогда

Такъ какъ въ этомъ выраженіи оба слагаемыя положительны, то и все выраженіе положительно.

Если же два радіуса равны, напр. и = г., то

точки S, плоскость ЛВС поворачивается около нѣкоторой постоянной точки, лежащей на діаметрѣ SS'. (SA, SB, SC остаются все время взаимноперпендикулярными).

Проведемъ черезъ лучи SA и SB плоскость. Эта плоскость пересѣчетъ шаръ по окружности и будетъ перпендикулярна къ SC. Пусть на время SC остается неизмѣннымъ и будемъ измѣнять лишь направленіе лучей и сохраняя при этомъ уголъ ASB—- и SB будутъ все время опираться на концы діаметра той окружности, которая получилась отъ пересѣченія шара плоскостью А SB, а плоскость ABS будетъ поворачиваться около прямой СО1 (О1 — центръ окружности ASB). Такъ какъ прямыя SO и СО1 пересѣкаются въ точкѣ F\ то плоскость АВС будетъ все время проходить черезъ точку F, которая, какъ это видно изъ треугольника SDC является точкою пересѣченія медіанъ СО' и SO. Слѣдовательно SF = \SO — \R. Возьмемъ теперь другое направленіе для SC и повторимъ тѣ же разсужденія. Результатъ, къ которому мы придемъ, будетъ прежній — плоскость АВС пересѣчетъ діаметръ SO въ точкѣ F\ отстоящей отъ S на разстояніи \Е, т.-е. F = F.

Итакъ, плоскость АВС будетъ все время проходить черезъ неподвижную точку F.

К. Верещагинъ (Козловъ).

Замѣтимъ, что можно было бы говорить о „вращеніи“ плоскости АВС лишь въ томъ случаѣ, когда не мѣняется длина лучей SA, SB, SC. Въ этомъ случаѣ треугольникъ АВС, не мѣняя своей формы, будетъ вращаться около F — точки пересѣченія медіанъ А АВС, огибая при этомъ нѣкоторую коническую поверхность, вершина которой находится въ F. Но и въ томъ случаѣ, когда лучи SA, SB, SC мѣняются по длинѣ, основной результатъ остается прежнимъ — плоскость АВС проходитъ черезъ ту же точку F, но здѣсь треугольникъ АВС будетъ мѣнять свою форму и одновременно съ поворотомъ онъ будетъ скользить вдоль точки F. Теорема эта является частнымъ случаемъ извѣстной теоремы Frégier: Плоскость соединяющая точки пересѣченія А, В, С реберъ SA, SB, SC прямого трехграннаго угла, вписаннаго въ поверхность второго порядка, пересѣкаетъ нормаль къ поверхности, проведенную въ S въ неизмѣнной точкѣ.

187. Найти два числа, зная ихь сумму 1008 и сумму ихъ общаго наибольшаго дѣлителя и наименьшаго кратнаго 3312.

Пусть оба искомыхъ числа х и у, ихъ общій наибольшій дѣлитель d, наименьшее кратное — т. Тогда имѣемъ слѣдующія соотношенія

Пусть x — d$, y — drj. Тогда, какъ извѣстно, g и rj взаимно простыя числа и m — d$r].

Наши ур-ія примутъ видъ:

Дѣля почленно, выводимъ отсюда:

Опредѣляя изъ этого уравненія у, получимъ:

Такъ какъ rj—число цѣлое и положительное, то отсюда слѣдуетъ 7g — 23 > 0, т.-е.

g>4.

Вслѣдствіе симметріи ур-ія (1) имѣемъ аналогичное неравенство

Итакъ,

откуда

или

g <17.

Аналогично имѣемъ ^<^17.

Мы получили такимъ образомъ двѣ границы для величинъ g и rj :

4£g£17

4^9 <17.

Легко видѣть изъ уравненія (Р), что наибольшему значенію g соотвѣтствуетъ наименьшее значеніе rj и наборотъ. Поэтому наибольшее значеніе суммы § -f- V можетъ быть 4 —J— 17 = 21, а наименьшее 10. Итакъ,

21^ё-Н>10

Такъ какъ §4-?]— то имѣемъ:

дѣля всѣ члены этого двойного неравенства на 7, получимъ

14:4:

Слѣдовательно равно или 2 или 3.

Пусть --=2; Тогда d = 72

Рѣшая систему

находимъ g = 5, д = 9 (или g = 9, rj — 5). Отсюда

Пусть теперь —т-=3, тогда d = 48

Рѣшая систему

найдемъ g = 4, 77 = 17 (или g =17, 77 = 4)

Отсюда x — d£ = 192 (или 816) т/ = сЙ7 = 816 (или 192).

Итакъ, задача допускаетъ два рѣшенія: 360 и 648 или 192 и 816.

И. Евдокимовъ (Шуя), В. Кованько (Вышній-Во дочекъ), И. Козыревъ (Енисейскъ).

Среди математическихъ журналовъ.

Обзоръ 6-й.

Н. Агрономовъ. (Ревель).

Начало настоящаго обзора мы посвятимъ разсмотрѣнію послѣднихъ 7 книжекъ журнала „II Pitagora“.

XX, 3. 6г. Pavesi. ^Considerazioni su di in quadro numerico“. Статья посвящена разсмотрѣнію свойствъ квадрата:

P. Fontehasso. „Paradosso“. Доказывается софизмъ, что всѣ числа между собой равны.

XX, 4. А. Aiudi. „Un problema di Stereometria“. Статья посвящена рѣшенію задачи: провести плоскость такъ, чтобы ея сѣченіе съ треугольной призмой было равностороннимъ треугольникомъ.

Р. Cattaneo. „Sülle tre medie“. Доказывается, что среднее геометрическое двухъ чиселъ совпадаетъ съ среднимъ геометрическимъ средней ариѳметической и средней гармонической тѣхъ же чиселъ.

XXI, 1. Е. Nannei. „Sulla questione 4403 dell' „Intermédiare“. Статья посвящена доказательству слѣдующей обобщенной теоремѣ Е. Barisien’a:

„Если члены ариѳметической прогрессіи

написать слѣдующимъ образомъ:

то сумма членовъ каждой строки есть полный кубъ“ (ж и п цѣлыя числа).

А. Marengoni. „Problemo geometrico“. Въ замѣткѣ дается способъ построенія треугольника, если извѣстны ha, hb, hc.

P. Cattaneo. „Sul calcolo Sh — xJt-\-yh in funzione di s = x-1~ + У e P = xy“. Замѣтка даетъ формулы, опредѣляющія суммы одинаковыхъ степеней корней квадратнаго уравненія черезъ коэффиціенты этого уравненія.

XX, 2. P. Cattaneo. „Sui quadrati тадісі“. Въ статьѣ даются формулы магическихъ квадратовъ изъ 9, 16, 25 клѣтокъ. Напримѣръ:

XXI, 3. G. Burali-Forti. „Calcolo diretto dell'area e dell funzioni etc“. Въ замѣткѣ содержится выводъ извѣстныхъ формулъ площади треугольника и тригонометрическихъ функцій половинныхъ угловъ.

V. Cavallaro. „Formole che derivano dai rapporti tra segmenti determinati da bisettrici“. Въ замѣткѣ изложены нѣкоторыя свойства бисектриссъ тр-ка.

Обильный и интересный матеріалъ даетъ румынскій журналъ „Gazeta Matematica“. Благодаря затруднительности почтовыхъ

сношеній, мы имѣемъ возможность изложить пока содержаніе только 3 №№.

XX, 9. Gh. Zapan. „Despre divisibilitatea numerilor“. Статья содержитъ изложеніе признаковъ дѣлимости на рядъ различныхъ чиселъ.

Gh. Zapan. „О identitate“. Въ замѣткѣ доказывается слѣдующее тождество:

Ръ. Belian. „А supra suprafetei poligoanelor“. Въ замѣткѣ содержится выводъ формулы площади многоугольника. ^

Tr. L. „Limitele râdâcivilor reale ale ecuatiunei de gradul al treilea“. Если всѣ корни уравненія

х2—рх-\- q = o

вещественны, то верхнимъ и нижнимъ предѣломъ являются

Въ отдѣлѣ задачъ мы находимъ слѣдующія интересныя теоремы.

№ 2155. Въ тр-кѣ

(V. Margu).

№ 2291. Въ тр-кѣ

(G. Dumitrescu).

Въ отдѣлѣ математическихъ развлеченій интересно слѣдующее замѣчаніе G. Zamfirescu: если въ извѣстномъ равенствѣ

вездѣ вычеркнуть sin, равенство не нарушится.

XX, 10. V. Alaci. „Aria si volumul sferei“. Авторъ замѣтки примѣняетъ созданную имъ теорію прогрессивныхъ многоугольниковъ къ выводу формулъ поверхности и объема шара. Прогрессивнымъ многоугольникомъ онъ называетъ многоугольникъ, вписанный въ кругъ, стороны котораго стягиваются дугами, находящимися въ ариѳметической прогрессіи.

Е. Abasohn. „Asupra teoremei lui Menelaus“. Въ замѣткѣ дается новый выводъ теоремы Менелая, относящейся къ теоріи трансверсалей.

Tr. L. „Asîipra configuratii geometrice formate de un iriunghiu si un cerc“. Если нѣкоторый кругъ пересѣкаетъ стороны тр-ка АВС въ точкахъ а и ß и ß} у и у\ то тр-ки aßy и a'ß'y1 называются вписанными конциклическими тр-ками. Эти тр-ки обладаютъ рядомъ замѣчательныхъ свойствъ, изложенію которыхъ посвящена замѣтка. Напримѣръ:

XX, 11. I. Steinberg. „O proprietate а medianelor ипиі patrulater“. Замѣтка посвящена аналитическому доказательству слѣдующей теоремы: сумма квадратовъ линій, соединяющихъ средины противоположныхъ сторонъ 4-ка, равна полусуммѣ квадратовъ діагоналей.

V. Crisiescu. „Asupra notei matematice № 51“. Доказательство и слѣдствія формулы

гдѣ И ортоцентръ тр-ка АВС.

N. Agronomof. „Sur une question d’Algèbre“. Доказывается слѣдующая теорема: если всѣ корни уравненія

положительны, то высшимъ и низшимъ предѣлами корней являются числа

N. Agronomof. „Sur la sérié de Fibonaci“. Если Р1 = 1, Р2 = 1 и Р„ = Р„_1 +Ря_а, то 1) РИ_1 р,2^ 4”-2 и 2) Ри>ѵ/4П~2.

Въ отдѣлѣ задачъ встрѣчаемся съ слѣдующими предложеніями.

№ 1436. Черезъ вершины Н,Р,С тр-ка АВС проведены три прямыя, проходящія черезъ точку М и встрѣчающія противоположныя стороны въ точкахъ a.ßj. Если А\В\СГ точки встрѣчи прямыхъ АМ,ВМ,СМ съ описанной окружностью и а\ ß\y' стороны тр-ка А'В'С', то

№ 1540. Выраженіе a2-f-b2-{-c2— (ha2-\-hb2hc2) достигаетъ minimum'a -f- тогда, когда тр-къ равносторонній (V. Cristescu).

№ 122. Если 0<d<90°, то

sin а -f- cos а -{- tg а -f- cotg а -f- sec а -f- cosec a ^ 6. (N. Agronomof). № 2284. Если p четное число, то

гдѣ п = 22 (G. Calmuschi).

J\? 2287. Если S есть предѣлъ суммы членовъ безконечно убывающей прогрессіи съ первымъ членомъ а и знаменателемъ q, то

S>±aq

(a,q положительныя числа). (N. Agronomof.)

Въ отдѣлѣ математическихъ развлеченій мы встрѣчаемся съ слѣдующимъ рядомъ равенствъ:

Тамъ же J. Lintes обращаетъ вниманіе на то, что теорема Менелая

представляетъ тождество, если въ лѣвой части А*В, В’С,.... разсматривать, какъ А'.В, В'.С и т. д.

Кое-что интересное можно найти въ „II Bollettino di matematiche e di scienze fisiche e naturali“.

XY, 1. V. Cavallaro. „ Qualche semplice construzione pratica etc.“ Въ данной замѣткѣ авторъ статьи даетъ нѣсколько приближенныхъ построеній правильнаго 17-ка.

ХУ, 2. М. Giudic. „Generalisazione di alcuni theoremi relativi al triangolo rettangolo“. Замѣтка посвящена свойствамъ прямоугольнаго тр-ка.

XV, 3. V. Cavallaro. „Construzioni di alcuni pofigoni regolari non euclidei di un numéro composto di lati*. Въ замѣткѣ дается приближенное построеніе правильныхъ 100-ка и 90-ка.

XV, 5. V. Cavallaro. „Proprieid invariantiva in ипа classe di quadrilateri inscrittibili“. Допустимъ, что АВС прямоугольный тр-къ, вписанный въ кругъ съ центромъ О, лежащимъ на AB; если изъ О къ AB возставимъ перпендикуляръ, то этотъ перпендикуляръ встрѣтитъ окружность въ точкѣ Мѵ Бисекрисса АМгВ встрѣчаетъ AB въ 02. Перпендикуляръ въ 02 къ AB встрѣчаетъ окружность въ точкѣ М2 и т. д. Авторъ замѣтки занимается четыреугольниками АСВМѴ АСВМ2 и т. д.

XV, 6. V. Cavallaro. „Determination grafische dei poligono regolare euclideo di un numéro primo р = 2Ъ1 и т. д.

Замѣтка посвящена приближенному построенію правильнаго мн-ка о 257 сторонахъ.

XV, 7. V. Cavallaro. „Determination graf ica di 13 poligoni regolari non euclideî d’un numéro primo p di latia. Замѣтка посвящена приближенному построенію многоугольниковъ о 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 сторонахъ.

Составитель обзоровъ охотно сообщаетъ лицамъ, заинтересовавшимся тѣмъ или инымъ вопросомъ, о подробностяхъ. Адресъ: Ревель, Луизентальская 14, 1.

Библіографическій отдѣлъ.

Новый математическій журналъ.

Математическій Листокъ. №№ 1—7. 1915 г. Въ докладѣ 2-му Съѣзду преподователей математики: „Объ иностранныхъ математическихъ журналахъ для учащихъ и учащихся“ пишущимъ эти строки было выражено пожеланіе, чтобы въ Россіи появились математическіе журналы различныхъ типовъ1). Въ послѣднее время это пожеланіе начинаетъ получать осуществленіе. Такъ, въ 1914 г. въ Москвѣ возникъ журналъ „Математическій Вѣстникъ“, издаваемый Н. А. Извольскимъ и посвященный преимущественно вопросомъ преподаванія ариѳметики и началъ алгебры и геометріи, а съ начала текущаго года Н. А. Агрономовъ, постоянный сотрудникъ нашего журнала, сталъ издавать въ Ревелѣ „Математическій Листокъ“. Извѣстно, что подъ такимъ названіемъ издавался въ Москвѣ въ 1879—81 г.г. математическій журналъ подъ редакціей покойнаго извѣстнаго педагога-математика А. И. Гольденберга. Онъ выходилъ ежемѣсячно въ объемѣ двухъ печатныхъ листовъ и по содержанію былъ очень интересенъ. Въ немъ помѣщались статьи и замѣтки методическаго характера по различнымъ отдѣламъ элем. математики, дополнительныя статьи къ учебному курсу, очерки по исторіи математики, библіографія и множество интереснѣйшихъ упражненій и задачъ. Въ настоящее время экземпляры этого журнала являются, къ сожалѣнію, библіографической рѣдкостью. Новый „Математическій Листокъ“ значительно разнится отъ прежняго и по объему, и по программѣ. Онъ будетъ выходить 10 разъ въ годъ, въ объемѣ 1 печатнаго листа, а главной задачей его является разработка вопросовъ элементарной математики внѣ связи ея съ преподаваніемъ. Съ этою цѣлью въ журналѣ помѣщаются статьи и замѣтки научнаго содержанія, а также большое количество математическихъ темъ, задачъ и упражненій, не стоящихъ въ прямой связи со школьной программой.

Въ настоящее время вышло 7 нумеровъ „Математическаго Листка“. Въ нихъ мы находимъ рядъ статей математическаго содержанія, нѣсколько замѣтокъ историческаго и библіографическаго характера, но болѣе всего журналъ удѣляетъ мѣста задачамъ и темамъ для самостоятельной работы читателей. Содержаніе какъ статей, такъ и темъ, задачъ и математическихъ развлеченій для учащихся и пр. въ вышедшихъ пока нумерахъ журнала берется главнымъ образомъ изъ двухъ отдѣловъ математики: неопредѣленнаго анализа и геометріи треугольника. Признавая за названными отдѣлами математики крайне важное научное и педагогическое значеніе, мы все же находимъ такое направленіе журнала, стоящее, быть-можетъ, въ связи съ личными склонностями редактора—извѣстнаго спеціалиста въ названныхъ областяхъ, нѣсколько одностороннимъ. Желательно болѣе равномѣрное распредѣленіе матеріала по отдѣламъ математики, въ частности, согласно мнѣніямъ, неоднократно высказывавшимся и въ печати, и на съѣздахъ, было бы желательно, чтобы въ журналѣ удѣлялось мѣсто вопросамъ изъ области началъ анализа и анали-

1) См. „Матем. Образов.“ № 2, 1914 г.

тической геометріи. Тѣмъ не менѣе, несомнѣнно, что помѣщенный въ журналѣ матеріалъ можетъ представить для читателей большой интересъ. Особенно это можно сказать о задачахъ, изъ которыхъ лишь нѣкоторыя являются извѣстными (напр., № II, 8, стр. 5, I, 10, стр. 16; II, 19, стр. 17, III, 51 и нѣк. др.). Темы же, предлагаемыя для самостоятельной разработки читателей иногда слишкомъ трудны и недостаточно опредѣленны, напр. I, 9; 13; 16; 18,—иныя же, хотя и не сложны, но едва ли могутъ представить большой интересъ, напр., 1, 7: „Вычислить тѣмъ или инымъ способомъ съ наибольшимъ (?) числомъ десятичныхъ знаковъ у/2". На эту послѣднюю тему уже помѣщено нѣсколько рѣшеній, въ которыхъ вычисленіе корня произведено съ огромнымъ числомъ десятичныхъ знаковъ, но редакція почему-то рекомендуетъ продолжаеть эту работу, не объясняя, какой же она имѣетъ смыслъ? Подобнаго же характера темы и упражненія I, 6; Ш, 22, I, 17 и др. Въ виду того, что журналъ предназначается и для учащихся, хотя и не преслѣдуетъ прямо педагогическихъ цѣлей, желательна также болѣе тщательная редакція и корректурная исправность условій и рѣшеній помѣщаемыхъ задачъ, что пока не всегда соблюдается. Такъ, напр., на стр. 34 предлагается доказать тождество II, 24, при чемъ въ приведенномъ выраженіи знакъ равенства отсутствуетъ; въ рѣшеніи задачи II, 13 пропущена система нулевыхъ рѣшеній, а въ нѣкоторыхъ другихъ — отрицательныхъ и т. п., отмѣтимъ еще, что на стр. 15 числу тс напрасно дается начертаніе П.

Всѣ сдѣланныя замѣчанія о недочетахъ журнала, конечно, не умаляютъ важнаго значенія предпринятаго г. Агрономовымъ изданія. И мы, желая ему полнаго успѣха, очень рекомендуемъ его вниманію всѣхъ лицъ, интересующихся элементарной математикой, тѣмъ болѣе, что цѣна его крайне невысока — 1 р. 40 к. въ годъ.

I. Чистяковъ.

Новыя книги.

I. Тропфке. Исторія элементарной математики въ систематическомъ изложеніи. Т. I. Ч. I. Ариѳметика. Пер. Д. Бема и Р. Струве подъ редакціей I. И. Чистякова. М. 1914. Ц. 1. р.

Н. И. Соболевскій. Систематическій сборникъ алгебраическихъ задачъ для среди, уч. зав. Ч. I. Изд. 2-е. М. 1915. Ц. 75 к.

Д. Л. Волковскій. Руководство къ „дѣтскому міру въ числахъ“. Ч. II. М. 1915. Ц. 85 к.

А. I. Бачинскій. Физика для среднихъ учебныхъ заведеній. 1-я половина. М. 1915. Ц. 1 р. 50 к.

Памяти Александра Павловича Гавриленко. Изд. Политехническаго Общества. М. 1915. Ц. 5 руб.

Наука и школа. Научно-педагогическій журналъ-сборникъ. № 1. Харьковъ 1915. Ц. 4 р. въ г. съ перес.

Проф. Д. М. Синцовъ. Харьковская математическая библіографія съ 1805 по 1905 г. Харьковъ. 1915.

С. Н. Поляковъ. Начала аналитической геометріи на плоскости. Пропед. курсъ для komm, училищъ. М. 1915. Ц. 60 к.

ОПЕЧАТКИ.

Страница. Строка. Напечатано. Должно быть.

203 7 сверху £ < sin#, £ ]> sin#,

204 12 сверху разсматривать резюмировать

Отвѣтственный редакторъ I. Чистяковъ.