№ 29.

Математическое Образованіе.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

Годъ четвертый.

№ 5.

Сентябрь 1915 г.

МОСКВА.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

Математическое Образованіе“

Сентябрь 1915 г. Годъ 4-й. № 5.

СОДЕРЖАНІЕ: Паммяти П. А. Баранова. Д. В.— Къ доказателству теоремы объ отношеніи діагоналей вписаннаго выпуклаго четыреугольника. Э. Бѣганскій.— О приближенныхъ значеніяхъ дугъ, входящихъ въ формулы для нахожденія значеній синусовъ и косинусовъ. П. Д. Яковлевъ. — По поводу моей статьи „Классификація ариѳметическихъ задачъ“. И. Александровъ. — Къ геометріи треугольника. А. Масловъ. — Аналитическое доказательство теоремъ Фермата и Вильсона. М Виленскій.—Задачи. Э. Ю. Лейнѣка. Рѣшенія задачъ. Библіографическій отдѣлъ. Новыя книги. Объявленія.

Памяти П. А. Баранова.

Во второй половинѣ минувшаго августа въ Москвѣ было получено печальное извѣстіе о смерти незауряднаго педагога-математика Петра Алексѣевича Баранова, погибшаго 10-го августа, около 9 часовъ вечера, геройскою смертью въ бою съ германцами подъ Оссовцомъ, въ деревнѣ Бѣло-Сукно. Адъютантъ одной изъ пѣшихъ дружинъ, поручикъ ополченія П. А. Барановъ, обходя окопы съ командиромъ полка подъ ружейнымъ огнемъ противника, былъ убитъ разрывной пулей, попавшей ему въ правое бедро. Смерть была почти мгновенной. Покойный похороненъ въ деревнѣ Романовкѣ, Романовскаго уѣзда, Гродненской губ. П. А. велъ себя на войнѣ геройски, не страшась смерти. За февральское дѣло подъ Гожей, около Гродно, покойный получилъ анненскій темлякъ на шашку.

Участіе П. А. въ этой войнѣ—второе участіе его въ военной кампаніи: въ первый разъ онъ участвовалъ въ 1905 году въ русско-японской войнѣ.

П. А. родился 26 іюня 1873 г., въ г. Вязьмѣ, Смоленской губ.; дѣтство провелъ въ г. Торжкѣ, Тверской губ., гдѣ отецъ его былъ директоромъ учительской семинаріи; учился въ 1-й московской гимназіи и въ московскомъ университетѣ по физико-математическому факультету, который окончилъ въ 1896 г. По окончаніи курса въ университетѣ, П. А. отбывалъ воинскую повинность въ качествѣ вольноопредѣляющагося въ артиллеріи, послѣ чего получилъ званіе подпрапорщика. По отбытіи воинской повинности, II. А. поступилъ въ г. Вязьму учителемъ мужской и женской гимназіи, гдѣ пробылъ около года; отсюда перешелъ въ Москву преподавателемъ математики и физики, сначала въ 5-ю мужскую гимназію, а съ 1901 г. былъ преподавателемъ въ учительскомъ институтѣ и Медвѣдниковской гимназіи. Въ 1913 г. онъ былъ приглашенъ читать лекціи по методикѣ ма-

тематики въ педагогическомъ институтѣ имени П. Г. Шелапутина, гдѣ пробылъ до призыва на военную службу.

Покойный былъ прирожденнымъ педагогомъ, высоко ставя и честно осуществляя это званіе, которое онъ не промѣнялъ бы ни на какое другое,—онъ былъ совершенно чуждъ соблазнамъ административной карьеры, которая легко бы предъ нимъ открывалась...

Насколько онъ серьезно и честно смотрѣлъ на педагогическое дѣло, это ярко видно изъ того, что когда его приглашали читать методику ариѳметики на лѣтніе педагогическіе курсы для народныхъ учителей, то онъ обычно отказывался отъ этого весьма труднаго и отвѣтственнаго дѣла, мотивируя это своимъ друзьямъ тѣмъ, что онъ недостаточно подготовленъ къ этому дѣлу, между тѣмъ онъ болѣе, чѣмъ многіе другіе, могъ бы быть здѣсь ,.на своемъ посту“.

Еще болѣе привлекателенъ образъ П. А., какъ собственно учителя. „Вотъ онъ пришелъ съ урока,—разсказываетъ одинъ изъ его сослуживцевъ и друзей,—въ мѣлу, нѣсколько утомленный, съ уставшимъ голосомъ, но еще болѣе оживленный, чѣмъ какимъ пошелъ въ классъ: сейчасъ удалось, на лету, придравшись къ случаю,—къ плохому ли отвѣту или чьему-либо вопросу, развить какое-нибудь интересное научное положеніе, затронуть что-либо новое, всколыхнуть, возбудить пытливость учащихся. Вотъ эта способность самому обновляться душой, неустанно обогащаться знаніями, и этой обогащенной душой живо и увлекательно подѣлиться съ аудиторіей дѣлало изъ него поистинѣ незауряднаго педагога“.

А вотъ какъ отзывается о немъ одинъ изъ его бывшихъ учениковъ:

„Въ 5-й гимназіи Варановъ пробылъ недолго; тѣмъ не менѣе, онъ съумѣлъ оставить о себѣ неизгладимую и хорошую память. У него была оригинальная манера преподаванія, лишенная всякой сухости. Онъ не объяснялъ уроки, а бесѣдовалъ съ учениками.

Училъ насъ Барановъ физикѣ, и значительная часть его уроковъ проходила на открытомъ воздухѣ, на обширномъ гимназическомъ дворѣ. Преподаватель ловилъ каждую мелочь, имѣющую отношеніе къ его предмету.

Я до сихъ поръ помню, какъ онъ, воспользовавшись качелями,—длинной доской, положенной на бревно,-объяснялъ намъ отчетливо, ясно и въ высшей степени остроумно различные виды рычаговъ... Книга, старый, классическій Краевичъ, въ этихъ объясненіяхъ почти не участвовала.

Былъ и такой урокъ. Баранова призвали въ армію, на повторительный учебный сборъ. Онъ пришелъ на урокъ въ военной формѣ. Она была, какъ сейчасъ вижу, очень ему къ лицу: щеголеватый и ловкій офицеръ. Онъ былъ артиллеристомъ.

Остановился передъ доской и сказалъ:

— Призвали меня какъ нельзя болѣе кстати. Въ прошлый разъ вы слышали отъ меня о законахъ паденія тѣлъ въ безвоздушномъ пространствѣ. А теперь мы поговоримъ о томъ, какъ летаютъ снаряды. Вчера я былъ на учебной стрѣльбѣ.

Прекрасное начало для бесѣды, не правда ли? Разсказывалъ онъ великолѣпно, ухитряясь быть живымъ, наблюдательнымъ и красочнымъ даже при сухихъ математическихъ выкладкахъ.

— Всякая мысль учителя должна принадлежать его ученикамъ...

Я узналъ о смерти Баранова на войнѣ. И такъ живо, такъ больно вспомнился мнѣ онъ въ ту минуту,—въ формѣ, передъ классною доской, разсказывающій о полетѣ снарядовъ.

Такихъ учителей, какъ Барановъ, было у насъ немного.

Вѣроятно, и на войнѣ, среди смерти, онъ оставался такимъ же острымъ, зоркимъ и живымъ человѣкомъ, какимъ былъ при своихъ классныхъ математическихъ выкладкахъ“.

Покойный былъ не только прекрасный педагогъ, но и авторъ почтенныхъ работъ по математикѣ и особенно физикѣ.

Его перу принадлежатъ пособія по геометріи: „Рѣшеніе треугольниковъ въ курсѣ геометріи“ (пособіе для преподавателя), „Ручная таблица катетовъ“ (пособіе для учащихся), „Стѣнная таблица катетовъ“ (классное пособіе). По физикѣ имъ написаны: „Начальная физика“ (для высшихъ начальныхъ училищъ) и „Методика физики“. Къ сожалѣнію, „Методика физики“, оригинальная по плану и содержанію книга, не окончена: въ печати появилась только первая часть, вторая же часть находится въ рукописи и не доведена до конца.

На всѣхъ этихъ работахъ его, какъ и на всемъ, за что онъ ни брался, лежитъ печать вдумчивости, серьезности, свѣжести и бодрости мысли.

Не менѣе извѣстенъ покойный и какъ издатель. Имъ издано нѣсколько портретовъ знаменитыхъ физиковъ съ краткими свѣдѣніями объ ихъ трудахъ. Къ сожалѣнію, эта очень полезная работа для нашей школы не закончена. Точно такъ же не закончено замѣчательное по изяществу и вѣрности воспроизведенія подлинника изданіе „Ариѳметики“ Магницкаго: въ печати появилась только первая часть этого обширнаго труда.

Кромѣ того, покойный былъ большой библіофилъ: имъ собрано много весьма цѣнныхъ старинныхъ книгъ по математикѣ, среди нихъ не мало раритетовъ и есть даже уника.

Помимо изданія трудовъ по своей спеціальности, въ послѣднее время П. А. принималъ дѣятельное участіе въ изданіи и отчасти въ переработкѣ извѣстныхъ книжекъ по географіи для начальныхъ школъ его покойнаго отца.

Живая и дѣятельная натура П. А. не удовлетворялась школьной и учебно-литературной работой: онъ состоялъ членомъ нѣсколькихъ обществъ, а именно: Общества вспомоществованія недостаточнымъ воспитанникамъ при учительскомъ институтѣ, благотворительнаго общества при Медвѣдниковской гимназіи, почетнымъ блюстителемъ школы, основанной его покойнымъ отцомъ въ селѣ Велегошъ, Тульской губ.; какъ пѣвецъ и музыкантъ, онъ былъ членомъ музыкальной комиссіи при Обществѣ музыкальной теоретической библіотеки въ консерваторіи. Но особенно горячее участіе онъ принималъ въ Московскомъ математическомъ кружкѣ и Обществѣ изученія и распространенія физическихъ наукъ, дѣлая въ нихъ нерѣдко интересные доклады.

Несмотря на сложность дѣла, взятаго покойнымъ на себя, онъ мечталъ не о сокращеніи его, а, наоборотъ, объ увеличеніи: въ послѣдніе годы его очень занимала мысль объ изданіи педагогическаго журнала по начальному образованію...

Вся эта сложная и усиленная работа покойнаго могла быть объяснена только его горячею любовью къ педагогическому дѣлу вообще и математикѣ въ частности.

Насколько П. А. любилъ педагогическое занятіе и математику, ясно видно изъ того, что даже во время войны, когда предъ его взоромъ во весь ростъ вставалъ мучительный вопросъ о смерти, онъ въ часы досуга удѣлялъ имъ вниманіе: ему посылались журналы и книги по математикѣ. Мало того, онъ даже находилъ возможность посвящать время и литературнымъ занятіямъ: имъ дѣлались наброски по составленію 2-й части „Методики физики“. Въ одномъ изъ писемъ къ другу отъ 14-го іюля онъ пишетъ: „хотѣлось бы посмотрѣть ваши новыя работы, такъ какъ, несмотря на окружающую обстановку, все еще не утратилъ интересовъ и педагогическихъ“.

Какъ человѣкъ, П. А. отличался добротою, отзывчивостью, благожелательностью, честностью и справедливостью.

„Въ педагогическомъ совѣтѣ,—говоритъ одинъ изъ его сослуживцевъ,—его голосъ былъ голосомъ чести и правды; компромиссовъ онъ не любилъ, циркуляровъ не страшился; линія его поведенія опредѣлялась его преданностью педагогическому дѣлу, и онъ высказывался открыто и прямо, безъ оглядки въ сторону, не заботясь о томъ, удобное или неудобное кому-либо онъ говорилъ“.

Въ богатой натурѣ П. А. мудро сочетались два рѣдко встрѣчающихся въ русскомъ человѣкѣ качества—идеализмъ и практичность, что давало ему возможность осуществлять въ жизни многіе планы, которые для другихъ могли бы быть только мечтой.

Въ лицѣ П. А. потеряли: журналъ „Математическое Обозрѣніе“—цѣннаго сотрудника, Московскій математическій кружокъ—дѣятельнаго члена, учебныя заведенія—талантливаго педагога, учебно-педагогическая литература—энергичнаго автора и издателя, а сослуживцы—рѣдкаго товарища.

Миръ праху твоему, дорогой Петръ Алексѣевичъ!

Д. В.

Къ доказательству теоремы объ отношеніи діагоналей вписаннаго выпуклаго четыреугольника.

Э. Бѣганскій. (Бирскъ).

Названная въ заглавіи теорема доказывается въ распространенныхъ нашихъ учебникахъ, какъ мнѣ кажется, слишкомъ сложно. Предлагаю поэтому слѣдующее болѣе простое доказательство этой теоремы (см. чер.).

Изъ подобія треугольниковъ CJDE и АВЕ имѣемъ:

(2).

Сложивъ почленно (1) и (2), найдемъ:

откуда

Аналогично:

Сложивъ почленно (I) и (II),найдемъ:

что и требовалось доказать.

О приближенныхъ значеніях дугъ, входящихъ въ формулы для нахожденія значеній сннусовъ и косинусовъ.

П. Д. Яковлевъ. Самара.

1. При нахожденіи значеній sin’овъ и cos’овъ пользуются формулами:

(1)

гдѣ X есть дуга, подчиненная условію:

Поступаютъ при этомъ такъ. Берутъ приближенное, вычисленное съ опредѣленной степенью точности, значеніе дуги ху которое мы обозначимъ черезъ g, и прилагаютъ къ нему формулы (1), сохраняя подъ знакомъ тригонометрическихъ функцій то значеніе дуги, для котораго отыскивается значеніе функцій т.-е. пользуются слѣдующими неравенствами:

(2)

что, въ концѣ концовъ, приводитъ къ опредѣленію значеній sin’a и cos’a, выраженныхъ съ опредѣленной степенью точности.

Но спрашивается, въ правѣ ли мы примѣнять неравенства (2) къ вычисленію sin’овъ и cos’овъ, пока не докажемъ справедливости этихъ неравенствъ, ибо вѣдь формулы (1) были выведены въ предположеніи, что х во всѣхъ членахъ неравенства есть истинное, а не приближенное значеніе дуги. Поставимъ себѣ поэтому вопросъ: будутъ ли имѣть мѣсто формулы (2), когда подъ g, какъ сказано было выше, мы будемъ разумѣть приближенное значеніе дуги, взятое съ избыткомъ или недостаткомъ, и если эти формулы окажутся возможными, то при какихъ условіяхъ?

2. Законность подобнаго вопроса можно показать хотя бы на слѣдующихъ примѣрахъ.

Доказано существованіе неравенства

но нетрудно доказать, что не можетъ быть неравенства

у 3,2 л 3,2 — л Л

гдѣ выражаетъ — съ избыткомъ ——— «0,01), при чемъ мы умышленно, такъ же какъ и въ слѣдующемъ примѣрѣ, беремъ такое грубое приближеніе для л.

Дѣйствительно, положивъ

(съ избыткомъ),

получимъ въ лѣвой части 0,32 — 0,31 = 0,01; въ правой же будемъ имѣть

т.-е. правая часть неравенства (3), несмотря на то, что мы, приписавъ sin ^ указанное выше значеніе, лѣвую часть нашего неравенства уменьшили, все-таки оказалась меньше, чѣмъ лѣвая, а это говоритъ намъ, что неравенство (3) при указанныхъ условіяхъ невозможно.

Въ качествѣ другого примѣра мы можемъ взять примѣненіе формулы cos#>l------— для того же самаго значенія дуги, т.-е. для ^. Нетрудно показать вычисленіемъ подобнымъ вышеприведенному, что при л = 3,1 (съ недостаткомъ) соотношеніе

невозможно.

Въ самомъ дѣлѣ, полагая въ лѣвой части cos — равнымъ 0,9511 (съ избыткомъ), мы въ правой части будемъ имѣть 0,95195, т.-е. число большее, чѣмъ 0,9511.

3. Обратимся теперь къ разсмотрѣнію неравенствъ (2). Докажемъ, что при извѣстныхъ условіяхъ неравенства эти возможны, и выведемъ означенныя условія.

Дуги, заключающіяся въ нашихъ неравенствахъ подъ знакомъ тригонометрическихъ функцій, будемъ брать въ предѣлахъ отъ 0 до —, т.-е. подчинимъ ихъ условію

Кромѣ того замѣтимъ, что такъ какъ дуга g можетъ выражать дугу X съ избыткомъ или недостаткомъ, т.-е. можетъ быть одно изъ двухъ: или

то намъ придется разсматривать порознь оба случая.

4. 1 случай. Обращаясь къ дугѣ g, когда g>.r, докажемъ прежде всего слѣдующее предложеніе:

разность между тангенсомъ и дугой его z, большей пуля и не превосходящей у2,*) меньше дробик~^^і•

Въ равенство

на мѣсто числителя подставляемъ z и на мѣсто знаменателя -г тогда, вслѣдствіе того, что

при чемъ

такъ какъ, по условію.

*) Т.-е. удовлетворяющей условію

получаемъ неравенство

(4)

Вычитая изъ обѣихъ его частей по будемъ имѣть

откуда

Дуга z въ послѣднемъ неравенствѣ, будучи больше нуля, не должна превосходить у 2 ; въ то же время выше мы условились (п. 3) разсматривать дуги въ интервалѣ отъ 0 до . Такъ какъ у2 то выводъ п. 4, т.-е. неравенство (5), осуществляется и при условіи — ^ s 0.

5. Выше мы допустили, что это можно выразить въ видѣ равенства

ё — # + (6)

гдѣ £>0 можетъ быть сдѣлано сколь угодно малымъ. Покажемъ, что при достаточно маломъ €

(7)

и выведемъ необходимое и достаточное условіе, при которомъ это неравенство осуществляется.

Положимъ прежде всего, что

Послѣднее возможно, ибо*)

*) Относительно формулы нужно замѣтить, что ея правая часть можетъ быть и положительной (при z < у/2 ) и отрицательной (при z^> у/2 ),поэтому ограниченіе является необходимымъ условіемъ существованія неравенства (4).

Допустимъ теперь, что у насъ имѣется неравенство (7). Подставляя въ него на мѣсто § его значеніе изъ равенства (6), мы получимъ:

откуда

т.-е.

(8)

Неравенство (8) и есть то необходимое условіе, при которомъ возможно соотношеніе (7). Покажемъ, что это условіе и достаточно.

Дѣйствительно, если

ибо

но такъ какъ по условію (8)

то, слѣдовательно,

6. Введемъ теперь въ условіе (8) аргументъ х, т.-е. выразимъ s въ зависимости отъ #’а.

Возьмемъ разность

Вслѣдствіе того, что по (5)

или

то находимъ, что

но такъ какъ по (8)

то

или

(9)

Такимъ образомъ неравенство (7) оказалось возможнымъ при условіи (9), которое является необходимымъ и достаточнымъ.

7. Послѣ всѣхъ этихъ предварительныхъ замѣчаній разсмотримъ ту задачу, которую мы поставили себѣ выше, т.-е. выведемъ соотношенія (2), при условіи

g = X -f- €.

Для того, чтобы получить неравенство

(1Ѳ)

умножимъ обѣ части неравенства

на

получимъ

X

или, совершивъ надлежащія преобразованія и замѣнивъ sin2 числомъ — ,

Замѣняя теперь въ правой части послѣдняго неравенства число X числомъ g (g>#), получимъ

Неравенство (7), пользуясь которымъ мы пришли къ послѣднему соотношенію, было введено при условіи (9); слѣдовала

тельно мы можемъ сказать, что если | = rr f-é и —- ^ х > 0, то неравенство (10) возможно при условіи

Соотношеніе

(Ц)

при £>#, очевидно всегда осуществляется, ибо если

гдѣ ^ X > 0*), то тѣмъ болѣе

g > sin#.

То же самое нужно сказать и о неравенствѣ

(12)

ибо если

то при

и подавно

Чтобы получить неравенство

(13)

мы воспользуемся равенствомъ

*) Собственно неравенство af>sina? возможно въ болѣе широкихъ предѣлахъ, > X > 0 ^ но отсюда и подавно возможно въ разсматриваемомъ нами интервалѣ I у >_ж 0 1.

Вслѣдствіе того, что

что возможно при

или, послѣ упрощенія, при

получаемъ

откуда

Всѣ наши разсужденія, относившіяся къ неравенствамъ (10),. (11), (12) и (13) можно разсматривать такъ

если дуга g выражаетъ дугу х х > 0j съ избыткомъ, то необходимымъ и достаточнымъ условіемъ существованія неравенства (10) является соотношеніе

а неравенства (13) —

неравенства же (11) и (12) осуществляются всегда для любой дуги.

8. 2 случай. Допустимъ теперь, что g<#, т.-е., что дуга g выражаетъ дугу х съ недостаткомъ. Тогда

ё = * —(14)

гдѣ £>0.

Въ этомъ случаѣ мы получаемъ слѣдующіе результаты. Неравенство (10) всегда имѣетъ мѣсто.

Дѣйствительно,

но при условіи (14)

отсюда, послѣ подстановки имѣемъ

Здѣсь важно отмѣтить то обстоятельство, что разность g — sin# можетъ быть, очевидно, и положительной и отрицательной, ибо дугу g можно всегда уменьшить въ такой степени, что возможно будетъ неравенство

g < sin#.

Укажемъ теперь тотъ предѣлъ наибольшихъ значеній для s, при которыхъ

g — sin#>0. (15)

Для этого подставляемъ въ неравенство на мѣсто sin# (изъ (15) g>sin#), тогда получаемъ

(16)

или

Это и есть то необходимое условіе, при которомъ возможно неравенство (15). Условіе это, какъ нетрудно видѣть, только необходимо, но не достаточно, ибо и при g = sin#, дуги # и g подчинены тому же самому условію.

Найдя предѣлъ значеній для е, мы въ то же время устанавливаемъ необходимое условіе, при которомъ возможно неравенство

g > sin#.

Неравенство (12) получается изъ соотношенія

(17)

которое возможно въ томъ случаѣ, когда

или

Изъ (17) послѣдовательно получаемъ

и

Что касается неравенства (13), то оно получается изъ соотношенія

замѣной въ немъ cosg на cosz*.

Резюмируя все сказанное въ п. 8 по поводу неравенствъ (10), (11), (12) и (13), можно сказать слѣдующее:

если дуга g выражаетъ дугу х ^дг>0J съ недостаткомъ, то неравенства (10) и (13) осуществляются всегда; необходимымъ условіемъ существованія неравенства (11) является соотношеніе

а неравенства (12) —

и

9. Въ заключеніе придадимъ условіямъ

болѣе удобную для испытаній форму, положивъ х = — . Тогда условія наши примутъ видъ

10. Закончимъ нашу замѣтку разсмотрѣніемъ примѣровъ, которыми мы уже одинъ разъ занимались въ п. 2. Посмотримъ, удовлетворяютъ ли дуги х и g, при выбранныхъ нами тамъ значеніяхъ, выведеннымъ условіямъ. Простыя вычисленія покажутъ намъ, что не удовлетворяютъ.

Въ самомъ дѣлѣ, первое изъ взятыхъ неравенствъ, могло бы имѣть мѣсто, если бы

было меньше

но въ дѣйствительности этого нѣтъ, ибо, съ одной стороны,

т.-е.

а съ другой— та же разность должна быть во всякомъ случаѣ меньше 0,005, что видно изъ соотношеній

Подобнымъ же образомъ, мы можемъ показать, что и во второмъ примѣрѣ разность

не удовлетворяетъ условію

Такъ какъ мы положили л = 3,1, то разность наша равна

т.-е.

я — g >0,004,

но разность эта должна быть во всякомъ случаѣ меньше 0,004 что явствуетъ изъ соотношеній

По поводу моей статьи „Классификація ариѳметическихъ задачъ“.

И. Александровъ. (Москва).

Означенная моя статья1), независимо отъ моихъ дѣйствительныхъ намѣреній и мыслей, вызвала по моему адресу нѣкоторыя недоумѣнія и упреки въ неясности. Я не чувствую себя вполнѣ свободнымъ отъ подобныхъ упрековъ, часть которыхъ я, дѣйствительно, не предусмотрѣлъ, считая дѣло вполнѣ яснымъ. Поэтому я прошу обратить вниманіе на то, что ниже написано, на то, что, по моему мнѣнію, должно было вытекать изъ моей статьи, кстати я сдѣлаю къ ней нѣкоторыя добавленія по существу дѣла.

Я остановлюсь лишь на двухъ пунктахъ, которые мнѣ предъявлены. Мнѣ говорятъ, во-первыхъ, что предлагаемая мною система расположенія ариѳметическихъ задачъ и не вполнѣ ясна, и не выдерживаетъ критики на томъ основаніи, что почти всякая задача можетъ рѣшаться различными методами.

Я имѣлъ въ виду совершенно такое же расположеніе задачъ, какъ въ геометріи. Сначала помѣщаются задачи на одно дѣйствіе, при чемъ задачи этого рода, представляющія ту или другую трудность2), должны быть выдѣлены въ особую рубрику. Затѣмъ слѣдуютъ задачи на каждый отдѣльный методъ и на каждый пріемъ съ подробнымъ рѣшеніемъ и объясненіемъ, а, если нужно, то и съ характеристикой метода. Послѣ этихъ задачъ на каждый методъ и пріемъ рѣшенія собираются задачи на этотъ методъ безъ рѣшенія и объясненія. Послѣ этого идутъ задачи, рѣшаемыя совокупностью методовъ и тѣхъ или другихъ пріемовъ; сначала они снабжаются подробными объясненіями и рѣшеніями, а потомъ идутъ безъ рѣшеній, но иногда съ тѣми или другими указаніями и ключами къ рѣшенію. Отдѣлить ли при этомъ задачи съ цѣлыми числами отъ задачъ съ дробями, я считаю вопросомъ второстепеннымъ.

Однимъ словомъ, это та же система, которая по отношенію конструктивныхъ задачъ была предложена и развита въ трудахъ Петерсена и Александрова, а затѣмъ и Адлера.

Что почти каждая задача рѣшается многими способами, то это ничему не мѣшаетъ. Въ геометріи можно указать очень хорошія задачи, которыя рѣшаются семью способами и даже болѣе, и это ничуть не мѣшаетъ задачѣ быть въ томъ или другомъ отношеніи типичною. Напротивъ, появленіе нѣсколькихъ рѣшеній одной задачи даетъ лишній шансъ, какъ автору задачника, такъ преподавателю и ученику, обнаружить зоркость и находчивость въ выборѣ простѣйшаго способа и въ умѣньѣ сравнить методы по отношенію простоты и типичности рѣшенія. Само собой разу-

1) См. №№ 1 и 2 „Матем. Образов.“ 1915 года.

2) См. примѣчаніе первое въ № 2 „Матем. Образов.“ 1915 года, стр. 69.

мѣется, что учащимся должна быть предоставлена полная свобода въ выборѣ рѣшенія — опытъ показываетъ, что такая свобода вполнѣ совмѣстима съ изученіемъ методовъ.

Второе возраженіе гораздо важнѣе и интереснѣе. Оно представляетъ типичный примѣръ педагогическаго заблужденія; главный источникъ его, какъ я увѣренъ, есть та невозможная современная духота, въ которой бьется мятущійся педагогическій умъ и духъ.

Не малую роль играютъ въ этомъ дѣлѣ тѣ, безспорно, недостаточные результаты, которыхъ достигаютъ за послѣднія двадцать лѣтъ наши школы.

Мнѣ говорятъ, что дисциплину, созданную, скажемъ для краткости, г.г. Малининымъ и Буренинымъ и другими, я стремлюсь замѣнить другою дисциплиной, быть-можетъ, не менѣе скучною и томительною; что подобнаго рода дисциплины уже надоѣли, что ихъ надо замѣнить чѣмъ-либо новымъ освѣжающимъ и что это новое живительное начало должно вытекать главнымъ образомъ изъ самостоятельнаго развитія способностей ученика. При оцѣнкѣ этихъ мыслей я очень стѣсненъ рамками журнала и его математическаго направленія. Однако, помимо большой фантастичности указанныхъ мечтательныхъ воззрѣній, я укажу на то, что я нигдѣ не указывалъ на практическую обязательность предлагаемой мною системы, а только находилъ и нахожу ее теоретически болѣе правильной. Практически же то, что хорошо въ однѣхъ рукахъ, можетъ быть очень дурнымъ въ другихъ рукахъ. И это очень понятно, потому что каждый преподаватель подходитъ къ ученикамъ съ своей стороны, со своею психологіей и своими нравственными теченіями, обусловливающими его дѣятельность.

Покойный дѣятель по образованію, В. Б. Струве, имѣвшій опытъ очень широкаго масштаба и видѣвшій очень много русскихъ и заграничныхъ школъ, часто указывалъ, что системы преподаванія, вполнѣ противорѣчащія другъ другу, въ различныхъ рукахъ и при различныхъ условіяхъ, могутъ давать одинаково хорошіе и отличные результаты. Много лѣтъ тому назадъ мой покойный товарищъ, М. Е. Медяникъ, выдающійся педагогъ и превосходнѣйшій человѣкъ, преподавалъ въ младшихъ классахъ Тамбовской гимназіи по слѣдующему девизу „сначала механизмъ, а потомъ уже пониманіе“. Въ тоже время я преподавалъ въ тѣхъ же параллельныхъ классахъ по всѣмъ современнымъ требованіямъ педагогики. Въ 4-хъ классахъ оказывалось, что ученики Медяника были по развитію ничуть не ниже моихъ, но его ученики вычисляли превосходно, а мои — слабовато. Я — не сторонникъ ученія Лая — какъ и В. Б. Струве, мнѣ всегда казалось подозрительнымъ искать панацею трудности низшей школы лишь въ кружочкахъ, а для нѣмецкой науки, теперь вскрывшей свою истинную подоплеку, это кажется совсѣмъ смѣшнымъ. Однако я никогда не былъ бы противъ того, чтобы лица, полюбившіе это направленіе, проводили его на практикѣ — и, дѣйствительно , многіе изучившіе это дѣло и въ теоріи, и на

практикѣ, свидѣтельствуютъ о большомъ успѣхѣ этого метода. Вотъ еще не безынтересный примѣръ. Съ цѣлью научить насъ правильно писать по-французски, преподаватель Тульской гимназіи г-нъ Пинья, начиная съ 6-го класса еженедѣльно диктовалъ заранѣе извѣстные намъ отрывки, при чемъ онъ молчаливо позволялъ списывать и оцѣнивалъ диктанты очень строго. Къ 8-му классу рука и глазъ настолько свыкались съ этимъ дѣломъ, что мы сами бросали списывать, и преподаватель прекращалъ диктанты, потому, что всѣ хорошо писали.

Конечно, очень трудно оставаться равнодушнымъ къ тѣмъ опытамъ и перипетіямъ, которымъ была подвергнута русская школа за послѣднія 40 лѣтъ, и въ особенности тяжело, когда самъ служишь объектомъ этихъ опытовъ въ теченіе долгихъ десятилѣтій, заканчивающихся томительной безнадежностью. Однако, въ минуты сильнаго разсудка и твердой воли дѣло представляется совершенно яснымъ и не требующимъ какихъ-то невиданныхъ живительныхъ началъ и фантастическихъ методовъ преподаванія. Не желая распространяться, мы можемъ только сказать, что чрезвычайно ошибочно разсматривать школу и ея успѣхи независимо отъ общаго состоянія страны. Будучи однимъ изъ органовъ цѣлаго организма, школа тѣсно и неразрывно связана съ жизнью цѣлаго. Это, конечно, такъ называемое, общее мѣсто. Но на этотъ разъ вся сила, именно, въ общихъ мѣстахъ, а не въ частностяхъ. При нѣкоторыхъ условіяхъ всякая система преподаванія, какъ бы хорошо она ни была продумана, не можетъ дать ничего хорошаго. Наоборотъ при измѣнившихся общихъ условіяхъ, самая простая, безхитростная система въ рукахъ преподавателя, любящаго свое дѣло, можеть дать прекрасные результаты.

Еще скажу, что прочное развитіе ума и нравственныхъ силъ совершенно невозможно безъ болѣе или менѣе настойчиваго трудолюбія и безъ болѣе или менѣе твердой воли на пути самоусовершенствованія. Многія частныя школы кричатъ и рекламируютъ способы преподаванія, при которыхъ будто бы учащіеся достигаютъ цѣли безъ замѣтнаго труда. Конечно, методъ много значитъ, но, вообще говоря, такія рекламы, быть-можетъ, въ силу современнаго состоянія общества простительны учебнымъ заведеніямъ, въ основѣ которыхъ лежитъ промышленность, но для педагоговъ они должны быть смѣшны.

...Къ другому обратимся мы къ предмету1).

Въ разсматриваемой моей запискѣ указанъ минимумъ числа ариѳметическихъ методовъ, обезпечивающихъ рѣшеніе всякой задачи первой степени, а, именно, всего два метода и 8 — 9 пріемовъ рѣшенія. Оказывается, что пріемы рѣшенія, помѣченные буквами а, ß, у, о, £2) способны замѣнять другъ друга, такъ что число пріемовъ сокращается до 5 — 6.

1) „Гамлетъ“, пер. Полеваго, 1-й актъ, выходъ короля.

2) Эти пріемы употребляются для исключенія одного неизвѣстнаго и состоятъ изъ:

а) соединенія нѣсколькихъ условій въ одно; р) сравненія двухъ условій вычитаніемъ;

Я уже не разъ высказывалъ, что въ вопросахъ метода различныя части математики должны содѣйствовать другъ другу; поэтому я разсмотрю дѣло сначала съ точки зрѣнія алгебры, а потомъ уже приведу примѣры съ ариѳметическими рѣшеніями.

Съ этой цѣлью прежде всего надо замѣтить, что всякое преобразованіе уравненія первой степени, вытекающаго изъ ариѳметической задачи, всегда можетъ быть выражено ариѳметическимъ языкомъ и переведено на чисто ариѳметическія соображенія. Причина этого та, что въ уравненіяхъ первой степени, если только они не представляютъ частный случай квадратнаго уравненія (въ этомъ случаѣ задача можетъ не рѣшаться ариѳметикой), неизвѣстное остается всегда въ первой степени, и въ преобразованіяхъ встрѣчаются только основныя ариѳметическія дѣйствія.

Такъ, напримѣръ, въ задачѣ „если продать товаръ по 6 руб. пудъ, то получится 15 руб. барыша; если же этотъ товаръ продать по 4 руб. пудъ, то получится 17 руб. убытка. Сколько вѣсилъ товаръ? “ перенесеніе членовъ уравненія 6х — 15 = 4# -f- 17 достигается вкратцѣ слѣдующими ариѳметическими соображеніями: „первая выручка больше второй на 32 руб., это происходитъ оттого, что на каждый лудъ накинуто 2 руб. и т. д.“. Въ задачѣ „если бы учителю дали еще столько же учениковъ, сколько у него есть, да еще полстолько, да четверть столько, да еще ученика, то у него стало бы 100 учениковъ. Сколько было учениковѣ?“ освобожденіе уравненія отъ дробей отвѣчаетъ различнымъ ариѳметическимъ соображеніямъ. Можно, напримѣръ, разсуждать такъ: „пусть искомое состоитъ изъ четырехъ равныхъ группъ; тогда 11 такихъ группъ составитъ 99 и т. д.“ или „увеличимъ искомое въ 4 раза; тогда вмѣсто одного ученика надо прибавить 4 учениковъ, а вмѣсто 100 надо взять 400 и т. д.“.

Замѣтивъ этотъ довольно интересный фактъ, разсмотримъ задачу, выраженную уравненіями ах by = с и агх — Ъу — сѵ которая очевидно, рѣшается пріемомъ а. Если нѣсколько измѣнить форму задачи, то получается уравненія ах-\-Ьу = с и Ъу—ахх— сх\ вычитаніе этихъ уравненій даетъ ах = с cL — ахх или ах-\-а^х — с-^с^ т.-е., то же, что и въ первомъ случаѣ. Изъ этого слѣдуетъ, что всякая задача, поддающаяся пріему а, рѣшится и пріемомъ {3, и обратно. Потребуются только нѣкоторыя добавочныя ариѳметическія соображенія, или, наоборотъ, часть этихъ соображеній пропадетъ.

Замѣняя въ первомъ уравненіи Ъу его значеніемъ, получимъ ах -f- агх — сх = с или ах -f- агх = с -f- сг. А такъ какъ каждому изъ этихъ преобразованій найдутся соотвѣтствующія имъ ариѳметическія соображенія, то всякая задача, рѣшающаяся пріемами а и ß, будетъ рѣшима и пріемомъ у, и обратно.

Теперь попробуемъ въ первомъ уравненіи by уравнять съ ахх. Для этого, очевидно, къ Ъу надо прибавить сх\ вторая часть

?) замѣны одного неизвѣстнаго другимъ;

Ь) уравниванія неизвѣстныхъ; е) уравниванія данныхъ.

Подробности и примѣры на стр. 72 въ № 26 „Матем. Образованія“.

уравненія тоже увеличится на сг и получимъ то же, что раньше. Итакъ, пріемы а J, у и о въ сущности равносильны, хотя могутъ сопровождаться соображеніями различной степени простоты. Сказанное легко распространить на задачи со многими неизвѣстными. Рѣшимъ всѣми 4 пріемами слѣдующую задачу. Путникъ, выйдя изъ города, шелъ пѣшкомъ 6 часовъ и ѣхалъ верхомъ 5 часовъ; всего онъ удалился отъ города на 80 верстъ. Въ другой разъ онъ съ тѣми же скоростями ѣхалъ изъ города 11 часовъ, а потомъ шелъ пѣшкомъ 6 часовъ въ обратную сторону, и очутился въ 64 верстахъ отъ города. Опредѣлить часовую скорость лошади.

а) Соединимъ оба пути вмѣстѣ; тогда 6 часовъ пути въ одну сторону покроются такимъ же разстояніемъ въ обратную сторожу, и въ 16 часовъ лошадь пробѣгаетъ 144 версты и т. д.

ß) Сохраняя первое условіе, формулируемъ второе условіе такимъ образомъ: „въ другой разъ путникъ прошелъ пѣшкомъ только 6 часовъ, пройдя при этомъ на 64 версты менѣе, чѣмъ онъ проѣзжалъ верхомъ въ теченіе 11 часовъ“.

Сравниваемъ оба условія. Въ первый разъ путникъ проходитъ болѣе, чѣмъ во второй, на 5 нѣкоторыхъ линейныхъ единицъ. Въ то же время въ первый разъ путникъ прошелъ болѣе на 144 версты1) безъ 11 такихъ же линейныхъ единицъ. Отсюда видно, что въ 144 содержится 16 линейныхъ единицъ и т. д.

Y) 6 часовъ пути впередъ можно замѣнить 11-ю часами ѣзды верхомъ; только тогда путникъ отъѣдетъ не на 80, а на 144 версты и т. д.

б) Чтобъ уравнять 6-часовой путь пѣшкомъ съ разстояніемъ, которое проѣзжаетъ путникъ верхомъ въ 11 часовъ, надо къ первому разстоянію прибавить 64 версты. Поэтому въ 16 часовъ путникъ проѣзжалъ не 80 верстъ и т. д.

Можно еще показать, что пріемъ е можетъ быть сведенъ на пріемы у и о. Но такъ какъ при этомъ не получается должной простоты, то лучше сохранить пріемъ г отдѣльнымъ.

Итакъ, для рѣшенія всякой ариѳметической задачи достаточно знать два метода и 5—6 пріемовъ рѣшенія.

Къ геометріи треугольника.

А. Масловъ. Москва.

1. Извѣстно, что центръ описаннаго около остроугольнаго треугольника круга обладаетъ тѣмъ свойствомъ, что сумма трехъ перпендикуляровъ, опущенныхъ изъ него на стороны треуголь-

1) Число 144 легко получить чисто ариѳметическими соображеніями. Здѣсь мы имѣемъ задачу такого характера: „однажды мальчику подарили 80 коп., а въ другой разъ ему подарили кошелекъ съ деньгами, изъ котораго онъ потерялъ 64 коп. Какъ узнать, насколько больше было денегъ у мальчика въ первый разъ?“ Это одна изъ тѣхъ задачъ на одно дѣйствіе, ариѳметическое рѣшеніе которыхъ можетъ затруднять ученика — о задачахъ итого типа было упомянуто въ началѣ этой записки.

ника, равна суммѣ радіусовъ описаннаго и вписаннаго круговъ:

1га 4* ІЦ -f- hc = г Q• (lf)

Замѣтимъ, что точка пересѣченія высотъ треугольника отстоитъ отъ каждой изъ вершинъ вдвое далѣе, чѣмъ центръ описаннаго круга отъ противоположной стороны 1). Поэтому предыдущее свойство остроугольнаго треугольника можно высказать иначе: сумма отрѣзковъ высотъ остроугольнаго треугольника отъ ихъ общей точки пересѣченія до вершинъ равна удвоенной суммѣ радіусовъ описаннаго и вписаннаго круговъ.

Въ случаѣ прямоугольнаго треугольника формула (lf) остается справедливой съ тѣмъ незначительнымъ видоизмѣненіемъ, что hc=(); имѣемъ

h*+lib = r -\-q(1")

Въ тупоугольномъ треугольникѣ съ тупымъ угломъ при С изучаемое соотношеніе обращается въ слѣдующее:

ha + hb-hc=r + Q.(1"')

2. Приложимъ формулы (1') (1") къ нѣкоторымъ частнымъ случаямъ.

Пусть у насъ треугольникъ равносторонній. Тогда,ha=Ji-b—hc=Q. Формула (!') даетъ

r = 2q

т.-е. въ равностороннемъ треугольникѣ радіусъ описаннаго круга вдвое болѣе радіуса вписаннаго.

1) Это извѣстное свойство вытекаетъ, между прочимъ, изъ слѣдующихъ соображеній. Треугольникъ A^BfCi (черт. 1), очевидно, подобенъ треугольнику АВС и отношеніе подобія есть 1 :2. Но для этого треугольника ha. hb, hc служатъ отрѣзками высотъ отъ ихъ точки пересѣченія до вершинъ. Такъ какъ &АВС соД AtBtCu то соотвѣтственные отрѣзки будутъ вдвое болѣе 1і(Ѵ hbt he. Доказательство, очевидно, не зависитъ отъ того, будетъ ли треугольникъ АВС остро — или тупоугольный.

Черт. 1.

Перейдемъ къ случаю равнобедреннаго треугольника. Во всѣхъ трехъ случаяхъ ha = hb; затѣмъ, изъ подобія прямоугольныхъ треугольниковъ ВСгС и ОАхС во всѣхъ случаяхъ слѣдуетъ, что

откуда

Черт. 2.

Что же касается 1гс, то въ первомъ случаѣ hc = h — г, во второмъ 7^ = 0, въ третьемъ hc = r — h; здѣсь h высота треугольника АВС. Итакъ, имѣемъ въ первомъ и третьемъ случаяхъ

откуда

(2)

Во второмъ случаѣ мы найдемъ:

Легко видѣть, что эта послѣдняя формула — частный случай предыдущей, при h=r; но h = r для равнобедреннаго прямоугольнаго треугольника. Слѣдовательно, формула (2) справедлива во всѣхъ случаяхъ. Замѣтимъ теперь, что h — ç есть раз-

стояніе центра вписаннаго круга отъ вершины, противолежащей основанію; поэтому можемъ сказать, чтъ въ равнобедренномъ треугольникѣ резстоянія центровъ описаннаго и вписаннаго круговъ отъ вершины, противолежащей основанію, относятся такъ же, какъ боковая сторона къ избытку суммы боковыхъ сторонъ надъ основаніемъ.

3. Формулы (lf), (2"), (3'") можно объединить въ одну. Условимся въ дальнѣйшемъ въ слѣдующемъ. Будемъ считать ту изъ частей плоскости, на которыя дѣлитъ ее сторона треугольника, положительной, въ которой лежитъ треугольникъ. Тогда, слѣдуя принципамъ координатнаго метода, условимся брать длину перпендикуляра, опущеннаго изъ какой-нибудь точки на сторону, съ -f-, если этотъ перпендикуляръ лежитъ въ положительной для данной стороны части плоскости, и съ —, если перпендикуляръ лежитъ въ отрицательной части плоскости.

Легко видѣть, что въ случаѣ остроугольнаго и прямоугольнаго треугольниковъ, всѣ перпендикуляры Аа, А&, Tic должны быть считаемы съ Въ случаѣ же тупоугольнаго треугольника перпендикуляръ на сторону с должно взять съ —.

Замѣняя поэтому въ (1Ш) —1гс на hc, придемъ къ прежней формулѣ (1Г). Итакъ, можемъ сказать, что центръ описаннаго круга обладаетъ тѣмъ свойствомъ, что сумма трехъ перпендикуляровъ изъ него на стороны треугольника равна суммѣ радіусовъ вписаннаго и описаннаго круговъ, при чемъ перпендикуляры должны разсматриваться, какъ алгебраическія величины въ указанномъ смыслѣ:

ha -J- Аь 4“ К =. 2h = г -(- Q. (1)

4. Обратимъ вниманіе на слѣдующее обстоятельство. Изслѣдуемая формула говоритъ, что сумма разстояній центра описаннаго круга выражается линейно черезъ радіусы описаннаго и вписаннаго круговъ. Также замѣтимъ, что сумма разстояній центра вписаннаго круга отъ сторонъ равна Зр, такъ какъ каждое изъ разстояній равно -f- q. Указываемые два случая есть частные случаи болѣе общей теоремы.

Теорема. Сумма разстояній отъ сторонъ треугольника любой точки прямой, проходящей черезъ цеитры описаннаго и вписаннаго круговъ, вырпжается линейно черезъ радіусы описаннаго и вписаннаго круговъ:

Ha + Hb + Hc=Mr + NQ,

при чемъ коэффиціенты М и N зависятъ исключительно отъ положенія точки на этой прямой центровъ.

Доказательство. Возьмемъ какую-нибудь точку на линіи центровъ. Пусть она дѣлитъ отрѣзокъ между центрами въ отношеніи Я : 1. Тогда ея разстояніе отъ стороны а будетъ

гдѣ h\ = -\-Q есть разстояніе центра вписаннаго круга отъ стороны а. Въ этой формулѣ знакъ На истолковывается такъ же, какъ и для ha.

Такимъ же образомъ,

Сложеніемъ найдемъ

или

что и доказываетъ теорему.

Формулы

hа “h 4“ hc —— Г ”Ь Q hfa ”f~ h \ -f- h*с = 3Q

являются частными случаями формулы (3) для Я = 0, оо.

5. Указываемую теорему нетрудно обобщить и для случая внѣвписаннаго круга.

Теорема. Сумма разстояніи какой-либо тонки прямой, проходящей черезъ центры описаннаго п внѣвписаннаго круговъ треугольника, отъ его сторонъ выражается линейно черезъ радіусы описаннаго, вписаннаго и соотвѣтственнаго внѣвписаннаго круговъ:

#.<•> + Ща) + НМ = Pr +Qq + Bq*,

при чемъ коэффиціенты P,Q,B зависятъ лишь отъ положенія точки на линіи центровъ.

Доказательство. Разсмотримъ внѣвписанный кругъ, прикасающійся извнѣ къ сторонѣ а; радіусъ его обозначимъ черезъ Qa. Тогда, замѣчая, что разстоянія центра 0а этого внѣвписаннаго круга отъ сторонъ будутъ

haW = —Qя; = + рв; hll,)=-\-ça

найдемъ, какъ и раньше, что

(4)

6. Возвратимся къ формулѣ (1). Представимъ ее въ видѣ

Центръ описаннаго круга, слѣдовательно, принадлежитъ къ категоріи точекъ, суммы разстояній которыхъ отъ сторонъ выражаются линейно черезъ радіусы двухъ связанныхъ съ треугольникомъ круговъ, при чемъ коэффиціенты при г и ç одинаковые. Зададимся цѣлью опредѣлить точки, суммы разстояній которыхъ отъ сторонъ выражались бы линейными комбинаціями величинъ г, Q, Qa, Qb, Qci ПРИ чемъ коэффиціенты при Г, Q, Qa, Qb, Qc, входящихъ въ формулу, были бы одинаковые. Центръ описаннаго круга — одна изъ такихъ точекъ.

Ради намѣченной цѣли, выполнимъ слѣдующее построеніе. На прямой, проходящей черезъ центры внѣвписанныхъ круговъ Оа и Ob, возьмемъ точку К, дѣлящую отрѣзокъ 0а Оь въ отношеніи Яг : 1; сумма разстояній ея отъ сторонъ есть, очевидно,

Проведемъ черезъ ()с и эту точку К прямую, на которой беремъ точку Z, дѣлящую ОсК въ отношеніи Я":1; для нея

Эту точку L соединимъ съ произвольной точкой М прямой ОО9. На новой прямой возьмемъ точку N, дѣлящую отрѣзокъ ML въ отношеніи Znt : 1. Для точки N

(5)

Очевидно, что при произвольныхъ Я, Яг, Я", Яг" точка N есть любая точка плоскости треугольника.

7. Воспользуемся формулой (5) для разрѣшенія намѣченной задачи. Прежде всего отыщемъ точки, сумма разстояній кото-

рыхъ отъ сторонъ выражается черезъ одинъ какой-нибудь радіусъ г, (), Qa, рь,

Желая найти точки, для которыхъ 2h=zAr, положимъ въ (5) коэффиціенты при q, ça, Qb, qc равными 0; будемъ имѣть для опредѣленія Я, Я', Я", X'" уравненія

Изъ послѣднихъ трехъ уравненій легко видѣть, чтоЯ,гг = (ѣ Въ самомъ дѣлѣ, если бы Яг":^0, то изъ послѣдняго уравненія слѣдовало бы, что X" = оо; тогда бы второе уравненіе давало Яг=оо; но при этихъ значеніяхъ Яг, Я" третье уравненіе не ^удовлетворялось бы при Х'"^0. Итакъ, Я'" —0. Первое уравненіе даетъ: Я = —По самому значенію Я, X'" находимъ, что изслѣдуемая точка находится на прямой, проходящей черезъ О и О'; для полученія ея надо отложить отъ О въ сторону, противоположную той, гдѣ лежитъ О', отрѣзокъ, равный — . Для нашей точки

Совершенно такъ же, съ незначительными измѣненіями въ разсужденіяхъ, найдемъ точки, суммы разстояній которыхъ выражаются черезъ Aq, ÂQay Aqc; это будутъ, какъ и слѣдовало ожидать, центры вписаннаго и внѣвписанныхъ круговъ. Суммы разстояній соотвѣтственно равны

8. Формулой (3) мы выразили свойство линіи 00': сумма разстояній любой ея точки отъ сторонъ выражается линейно черезъ два радіуса г и q.

Теперь мы можемъ сказать, что въ плоскости треугольника можно провести ^ = 10 прямыхъ, обладающихъ тѣмъ свойствомъ, что суммы разстояній ихъ точекъ выражаются линейно черезъ двѣ какія-нибудь изъ величинъ г, q, Qa, ç>b, çc.

Ихъ получимъ, проводя прямыя черезъ пары точекъ изъ числа 5, описанныхъ въ п. 7. Прямая 00' — одна изъ нихъ.

9. Перейдемъ теперь къ изысканію точекъ, суммы разстояній которыхъ отъ сторонъ выражаются черезъ двѣ изъ величинъ г, (>, (>а, çb, qc, при чемъ коэффиціенты формулы одинаковые. Прежде всего найдемъ точки, для которыхъ Jïh — A(r -f- р). Для этого въ (5) приравниваемъ 0 коэффиціенты при Qa, çb, qc и сравниваемъ коэффиціенты при г и р; получимъ уравненія

Изъ послѣднихъ трехъ уравненій, какъ и раньше (п. 7), слѣдуетъ, что Ат = 0, и изъ перваго: А = 0. Мы видимъ, что единственная точка, для которой 2h — A(r -f- р), есть О; для него

Для изысканія точекъ, суммы разстояній которыхъ будутъ

вида

поступаемъ аналогично. Изыщемъ, напримѣръ, точки, для которыхъ

остальныя же точки тогда найдутся непосредственно.

Положеніе точекъ, для которыхъ 2h = A(r-\- qc), найдется изъ уравненій

Такъ какъ

то изъ второго и третьяго уравненій слѣдуетъ, что

откуда нахо-

димъ: /" = 0. Первое уравненіе даетъ: Я —— — и послѣднее:

Мы видимъ, такимъ образомъ, что точки X,-, для которыхъ

2h = А(г -{- Qo), 2h — A{r -f- çb), 2h — A(r -f- (>c),

лежатъ на прямыхъ, соединяющихъ точку Р, для которой 2ІІ — — Г (см. п. 7), съ 0а, 0Ь, 0п при чемъ

РХх : Хг0а = РХ2 : Х20Ь — РХг : Х3 0С = 3 : 2;

суммы разстояній отъ сторонъ соотвѣтственно равны

Точки, для которыхъ 2h. = Л((> -f- (>с), найдемъ, полагая

Какъ и раньте, находимъ V1 = 0, Я=^оо. Изъ послѣдняго уравненія тогда слѣдуетъ, что Я,г, = 3.

Распространяя результаты тогда скажемъ, что точки З7,, для которыхъ 2h = А(p-j- Qa), 2h=. A{q-\-Qb), 2h = A(ç -f- Qc), лежатъ на прямыхъ (УGa, 0f0b, 0'0С, именно ихъ найдемъ, дѣля отрѣзки 0Ч)а, О'Оь, 0ЮС въ отношеніи 3:1. Для этихъ точекъ соотвѣтственно

Наконецъ, изъ уравненій

найдемъ положеніе точекъ, для которыхъ 2h — A(Qa-\-Qb), а, слѣдовательно, и остальныя изучаемой категоріи. Изъ перваго и второго уравненія слѣдуетъ, что Я,гг = оо, изъ третьяго Я" = оо; тогда послѣднее даетъ: Яг = 1. Мы можемъ, слѣдовательно, найти точки, для которыхъ 2h = A(Qa’{-Qb), 2h = A(çb-{-Qc), 2h =A(qc -f- (>a), дѣля отрѣзки 0а0ь7 (\0C, OcOa пополамъ. Для этихъ точекъ соотвѣтственно

10. Третью группу изучаемыхъ точекъ составятъ точки, для которыхъ суммы растояній отъ сторонъ будутъ вида

Мы изыщемъ изъ каждой строки таблицы только по одной точкѣ: остальныя получатся непосредственно.

Для отысканія точекъ, сумма разстояній которыхъ отъ сторонъ будетъ A(r -f- q (>с), имѣемъ уравненія

Изъ послѣднихъ двухъ уравненій слѣдуетъ (п. 9), что А"=0. Первое уравненіе даетъ А = 0. Тогда изъ второго слѣдуетъ, что V" = \. Находимъ, слѣдовательно, средину отрѣзка 00с.

Можемъ сказать, что искомыя точки будутъ срединами отрѣзковъ ООа, ООъ, 00 с\ для нихъ

Точки, для которыхъ mil — А(г -|- (>{,), найдутся изъ уравненій

Изъ второго уравненія слѣдуетъ, что /г = 1; третье уравненіе даетъ

Я =-----— (такъ какъ (1 -f- А)(1 -f- Хт) ф оо).

Тогда, такъ

Наконецъ, первое уравненіе даетъ Affr = 3. Искомая точка, слѣдовательно, дѣлитъ отрѣзокъ гдѣ Р точка, для которой 2Іі = -—г, Qab — средина Оа()ь, въ отношеніи 3:1. Такимъ образомъ, точки, для которыхъ

найдутся дѣленіемъ отрѣзковъ, соединяющихъ Р съ срединами Оа0Ь, ОьОс, ОсОа> въ отношеніи 3:1; при этомъ соотвѣтственно

Переходя къ точкамъ, для которыхъ получимъ уравненія:

Такъ какъ (1 4-Я)(1 4-2f,')=œ, то 14-31 = со, откуда Я=оо.

Третье уравненіе даетъ Х' — І. Тогда, такъ какъ

найдемъ X" = оо. Второе уравненіе даетъ: Аш = 6. Наша точка дѣлитъ слѣдовательно, отрѣзокъ О' Qab въ отношеніи 6:1. Точки, для которыхъ 2h = 4((> -f- Qb + Qc), Uh — A(q -f- qc -f- (>a), 2h = 4((> + Qa -f- Qb), дѣлятъ, слѣдовательно, отрѣзки O'Qbc, O'Qca: O'Qab въ отношеніе 6:1; для нихъ соотвѣтственно

Послѣдняя изъ точекъ нашей группы, для которой Uh — A(ça -f- Qb + Qc)> будетъ найдена изъ уравненій:

Третье уравненіе даетъ: Af = l; тогда изъ четвертаго: Х"=2. Изъ перваго и второго слѣдуетъ, что X'" = оэ, Искомая точка, какъ нетрудно видѣть, есть центръ тяжести треугольника 0Л)0ь,0с\ для нея

11. Четвертую группу составятъ точки, для которыхъ суммы разстояній отъ сторонъ будутъ:

Точки, для которыхъ 2h = A(r-\-Q~\-Qa-\-Qb)y найдемъ изъ уравненій

Какъ и раньше найдемъ: Яг = 1, Я" = оо, Я = 0, Яг,г = 2. Обобщая результатъ на случай, когда скажемъ, что центры тяжести треугольниковъ ООьОс, ООсОа, 00а Оі являются точками, для которыхъ суммы разстояній будутъ

Уравненія

дадутъ точку, для которой Sh = А(г + ça -f- çb -J- qc). Безъ труда по прежнему найдемъ: Я =-----Яг=1; Я”=2; Яш=—. Искомая точка, слѣдовательно, дѣлитъ отрѣзокъ, соединяющій точку Р (п. 7) съ центромъ тяжести треугольника ОаОъОс, въ отношеніи 9:2: для нея сумма разстояній равна

Пятая точка нашей группы будетъ получена изъ уравненій:

Опять найдемъ: Af = 1, А" = 2, Я=оо, Яш = 9. Искомая точка, такимъ образомъ дѣлитъ отрѣзокъ, соединяющій (У съ центромъ тяжести треугольника ОаОьОс въ отношеніи 9:1; для нея сумма разстояній отъ сторонъ равна

12. Въ заключеніе нашего изслѣдованія опредѣлимъ точку для которой 2h = А(г + Q -f- Qa + Çb + Qc)-

Для этого разсмотримъ уравненіе:

Прежними пріемами найдемъ: 2 = 0, Аг =1, Я" = 2, Arff = 3. Наша точка лежитъ, слѣдовательно, на отрѣзкѣ, соединяющемъ О съ центромъ тяжести треугольника 0а0ь0с и дѣлитъ этотъ отрѣзокъ въ отношеніи 3:1. Ея сумма разстояній отъ сторонъ равна

13. Такимъ образомъ, изучая точки плоскости треугольника въ зависимости отъ суммы ихъ разстояній отъ сторонъ треугольника, мы выдѣлили 31 точку, одной изъ которыхъ является центръ О. Суммы ихъ разстояній отъ сторонъ будутъ:

Аналитическое доказательство теоремъ Фермата и Вильсона.

М. Виленскій. Одесса.

Обыкновенно теорему Вильсона выводятъ при помощи теоремы Фермата изъ теоріи сравненій высшихъ степеней, въ которой доказывается, что никакое сравненіе т-й степени, не можетъ имѣть болѣе т различныхъ корней по модулю р, если р простое число и не всѣ коэффиціенты этого сравненія являются кратными р. Сравненіе

f(x) = (х — 1) (х — 2) (X — 3) . . {х-р-\-1)—(xfi-i—1) = 0 (mod.p) (1)

удовлетворяется (р — 1) первыми натуральными числами, потому что какъ уменьшаемое: (х — 1) (х — 2) . . (х —р -f-1), имѣющее ихъ своими обыкновенными корнями, такъ и вычитаемое: —1, по теоремѣ Фермата, удовлетворяются ими, а потому этими числами должна удовлетворяться и /*(#); но f(x) есть функція (р — 2)-й степени, потому что (р — 1)-я степень, при вычитаніи уничтожается, поэтому всѣ коэффиціенты этого сравненія, въ частности, его постоянный членъ, вслѣдствіе вышесказаннаго, должны быть кратными р, т.-е.

(р — 1)! + 1 = 0 (mod р\ (2)

что и составляетъ содержаніе теоремы Вильсона1).

Смѣю надѣяться, что небезынтереснымъ будетъ привести аналитическое и притомъ одно доказательство этихъ двухъ знаменитыхъ теоремъ.

Пусть будетъ

(3)

Для опредѣленія этихъ коэффиціентовъ можно пользоваться различными методами:

1) Методъ опредѣлителей. Считаемъ коэффиціенты неизвѣстными и придаемъ послѣдовательно х какія-нибудь п опредѣленныхъ различныхъ значеній, напр., первыхъ п натуральнныхъ чиселъ; т. к. очевидно, что /(£)= —— -----у., то получимъ систему п, линейныхъ относительно неизвѣстныхъ, уравненій съ

1) См. Чебышевъ: .Теорія сравненій“ 3-е нзд., стр. 51; Dirichlet-Dedekind: „Vorlesungen über Zahlentheorie“, 4-е изд., стр. 61.

и неизвѣстными, изъ которыхъ неизвѣстныя, т.-е. коэффиціенты и могутъ быть опредѣлены; но для этого п должно быть дано, какъ числовая величина, при нѣсколько значительномъ п вычисленіе затрудняется, да и вообще для нашей ближайшей цѣли этотъ способъ не представляетъ интереса; то же тамое приходится сказать и 2) объ опредѣленіи ихъ посредствомъ извѣстной формулы Ньютона

(4)

связывающей коэффиціенты ак функціи (съ первымъ коэффиціентомъ, равнымъ единицѣ) съ суммами sk одинаковыхъ степеней ея корней; въ данномъ случаѣ т. к. sk намъ извѣстны, то и становится возможнымъ вычислить посредствомъ нихъ и а*, но вслѣдствіе сложности формулъ для уже начиная съ 1с = 5, вычисленіе по нимъ не имѣетъ практическаго значенія.

Заслуживаетъ вниманія методъ 3) расположенія f(x) въ строку Маклорэна f(pc) = 2 а ' хп~,'='Е /^п ЩО)хп^. последнее слагаемое здѣсь опущено, т. к. ДО) =0; изъ этого равенства видно, что

(6)

Чтобы найти значенія Д(0), введемъ слѣд. обозначенія:

f 0 = (х 1) (х 2) . . . (х-\-п — 1); f±=x(x-\- 2). . .{х -f- п — 1).. . fn _, = X {х 1) (х -f- 2)... (х-\-п — 2), гдѣ индексы указываютъ нумеръ недостающихъ одночленовъ въ f{x), аналогично обозначимте fon = (х + 2) (х 4- 3) ... (х-\-п— 1), вообще fitk = x(x-{-1) . . . (х -г — 1) (х -f- і -f- 1) . # . (х 4- к — 1) (х -]- к -f- 1) ... (х -f- п — 1 ), такъ что fi,k — fkib такъ же точно будетъ значеніе /а, 3, *;. . .

По извѣстной формулѣ для диференцированія произведенія, имѣемъ

(7)

гдѣ щ обозначаютъ корни f(x)\ примѣнивъ это равенство къ данной функціи, имѣемъ

точно такъ же найдемъ

Вообще по приведеніи всѣхъ подобныхъ членовъ, ——— будетъ состоять изъ полиномовъ, каждый изъ которыхъ состоитъ изъ (п — л) одночленовъ; при х = О ^изъ нихъ исчезаютъ, а остальные (П у можно представить въ видѣ:

такъ что, согласно формулѣ (6), будемъ имѣть

и т. д.

Хотя и можно было бы доказать, что всѣ коэффиціенты, кромѣ крайнихъ, дѣлятся на w, при простомъ п\ такъ, напр., въ выраженіи для ап ^ не только вся сумма, но и сумма каждыхъ двухъ слагаемыхъ», равно удаленныхъ отъ концовъ, равна (п — 1)! у— -f-————----------- каковое выраженіе всегда будетъ дѣлиться на и, если оно простое число, (тогда число этихъ слагаемыхъ—четное), но это пришлось бы доказывать для каждаго коэффиціента отдѣльно.

Гораздо быстрѣе ведетъ къ цѣли слѣдующій пріемъ: въ равенствѣ (3) мы представляемъ въ f(x) х-\-\ вмѣсто х и опредѣ-

(8)

по теоремѣ же Тэйлора мы имѣемъ

(9)

каждый членъ суммы въ равенствѣ справа представляетъ собою опять сумму слѣдующаго вида:

(10)

Вставляя всѣ эти выраженія въ сумму (9), располагая ее по степенямъ х и сравнивая коэффиціенты одинаковыхъ степеней съ суммою (8), мы находимъ, замѣтивъ предварительно, что коэффиціентъ высшаго члена въ f(x), т.-е. очевидно, равняется единицѣ

(11)

или же, по приведеніи подобныхъ членовъ

(11а)

Для нѣкоторыхъ коэффиціентовъ получаются довольно простыя выраженія; такъ, напр.,

(12)

Мы еще желаемъ показать, какъ этимъ путемъ получаютъ послѣдній коэффиціентъ ап . Согласно (11а) имѣемъ

или же, прибавляя къ обѣимъ сторонамъ равенства, по а,^ ^

что f[\) = n\ очевидно, стоитъ только посмотрѣть на произведеніе (3), чтобы убѣдиться въ справедливости этого; изъ этого слѣдуетъ, что

аПп~ =(п — 1) ! (14)

(Продолженіе слѣдуетъ).

Задачи.

Подъ редакціей Э. Ю. Лейнѣка.

218. Рѣшить уравненіе

X3 -|- ах2-f-1 а2х + Ь=0.

219. Найти четырехзначное число, кратное 7 и представляющее собою сумму куба и квадрата нѣкотораго числа.

220. Рѣшить уравненія

10# =10* и ІО6# =10*

пользуясь обыкновенными пятизначными таблицами логариѳмовъ.

П. Козыревъ.

221. Найти условіе, необходимое и достаточное для того, чтобы центръ круга, описаннаго около треугольника, находился на прямой, проходящей чрезъ вершину треугольника, параллельно его основанію.

Проф. Б. Букрѣевъ.

222. Построить прямоугольный треугольникъ АВС, зная биссектрису BD остраго угла В и отрѣзокъ AD катета АС.

(Уголъ С — прямой).

Его же.

223. Черезъ данную точку Р провести къ данному углу В АС сѣкущую PDE такъ, чтобы AD.AE—DE2.

В. Кованько.

224. Построить треугольникъ АВС, зная АС, высоту BD и биссектрису BE.

И. Александровъ.

225. По сторонамъ DA и СВ вписаннаго въ кругъ четыреугольника ABCD дѣйствуютъ двѣ равныя силы р, а по сторонамъ AB и DC также равныя силы g. Зная углы А = а и В = ß> найти равнодѣйствующую силъ.

А. Масловъ.

Рѣшенія задачъ.

21*). Въ треугольникъ АВС вписаны три окружности такъ, что онѣ касаются вписанной окружности и двухъ сторонъ треугольника. Если ихъ радіусы суть s^ % sc, то

г — радіусъ вписаннаго круга.

1°. Пусть О центръ вписаннаго круга и Ог центръ той изъ трехъ разсматриваемыхъ окружностей, которая касается угла А. Опустивъ на АС перпендикуляры ОЕ и O'D и проведя CfG-W~DK будемъ имѣть:

а потому

и аналогично

Изъ этихъ формулъ выводимъ:

*) Условіе задачи № 21 (М О. 1912) содержитъ ошибку.

отсюда имѣемъ:

Дѣля обѣ части нашихъ равенствъ соотвѣтственно на sa, Sb< sc и навлекая квадратный корень, будемъ имѣть:

Такъ какъ

то въ разсматривае-

момъ случаѣ имѣетъ мѣсто соотношеніе

или, что то же:

Умножая обѣ части этого равенства на \ / -tf —— получимъ:

2°. Для вывода второй предложенной формулы воспользуемся извѣстнымъ соотношеніемъ

Такъ какъ

и аналогично

*) Такъ какъ —, —, острые углы, то радикалы должны быть взяты еъ знакомъ

Внося эти выраженія въ указанную формулу для площади будемъ имѣть:

(2)

I. Каширинъ (Ржевъ).

151. Обозначая корни квадратнаго уравненія х2 -\-px-\- q = 0 черезъ а и /9, найти такія цѣлыя числа для р и q, чтобы аА -j- ßA= p' + q*.

Полагая

найдемъ:

а такъ какъ по условію

(1)

Ур-іе (1) удовлетворяется при q = 0 и при условіи qz — 2g-|-4p2 = 0.

Въ первомъ случаѣ ур-іе задачи принимаетъ видъ

х2-\-рх-=0.

Корни его

а = 0 , ß = — p

и равенство

а4-f ßA—pA-]-qA

имѣетъ мѣсто при всякомъ р.

Во второмъ случаѣ р и q связаны соотношеніемъ

qz— 2g-j-4^2=0.

Переписавъ это уравненіе въ видѣ q (q2 — 2) = — 4р2

заключаемъ, что q должно быть числомъ четнымъ и отрицательнымъ.

Положивъ q = —2г будемъ имѣть:

г (2г2— 1 )=р2.

Числа г и 2г2 — 1 не могутъ имѣть общаго множителя потому, что если бы такой множитель d существовалъ, то онъ дѣлилъ бы Гу г2} 2г2у 2г2 — 1, а значитъ и разность 2г2 — (2г2 — 1) = 1.

Итакъ, г и 2г2 — 1 взаимнопростыя числа, а потому произведеніе ихъ можетъ быть точнымъ квадратомъ лишь въ томъ случаѣ, когда таковымъ будетъ каждый сомножитель, т.-е.

г — т2, 2г2 — 1=£2,

гдѣ т и t цѣлыя, взаимно простыя числа.

Исключая изъ двухъ полученныхъ уравненій величину г, будемъ имѣть:

t2 — 2m*= — l. (2)

Задача будетъ рѣшена, если найдемъ для t и т цѣлыя значенія, удовлетворяющія этому уравненію. Значенія q и р найдутся по формуламъ

q = — 2г = — 2т2 pz=z±i\J г (2г2 — 1) = ±mt.

Легко видѣть, что ур-ію (2) удовлетворяютъ числа t — ± 1,

т = ± 1.

Въ этомъ случаѣ

q = — 2, р = ± 1.

Искомое уравненіе приметъ видъ:

X2 — X — 2=0 и х2-\-х— 2 = 0.

Чтобы найти другія цѣлыя рѣшенія ур-ія (2), положимъ m2 = w. Тогда ур-іе (2) обратится въ такъ называемое ур-іе Реll’я

Какъ извѣстно*), всѣ подходящія дроби — нечетнаго порядка, получающіяся при обращеніи у/ 2 въ непрерывную дробь, удовлетворяютъ равенству рп2 — 2qn2 = — 1.

Очевидно, что за рѣшенія ур-ія (2) можно будетъ принять лишь тѣ значенія рп и qn при которыхъ qn — точный квадратъ.

Это имѣетъ мѣсто для первой подходящей дроби j (случай, разобранный выше) и для седьмой

Въ послѣднемъ случаѣ находимъ:

/ = 239, т = 13, /2 — 2т* = 2392 — 2 Л34= — 1.

Отсюда р = ± т/ = 3107

q = — 338.

Искомыя ур-ія имѣютъ видъ

Æ2-f-3107 X — 338 = 0 X2 — ЗІ07 X — 338 = 0.

Существуютъ ли рѣшенія кромѣ приведенныхъ сказать безъ болѣе подробнаго изслѣдованія нельзя. Въ интервалѣ 1----1010 нѣтъ ни одного числа qn, которое было бы точнымъ квадратомъ.

А. Сергѣевъ (Москва).

*) См. Веберъ и Велльштейнъ, Энциклоп. элем. мат. т. I. § 81. (3).

155. Даны двѣ параллели, точка А — на одной изъ нихъ и точка В внѣ ихъ. Провести сѣкущую ВУХ такъ, чтобы АХ.АУ было данное (точки А и X — на одной параллели).

Пусть ВУХ искомая сѣкущая. Соединивъ В съ А получимъ треугольникъ ВАХ. На сторонѣ В А построимъ треугольникъ В АС, подобный треугольнику ВХА. Соединивъ С и Z, а также А и У будемъ имѣть два новыхъ подобныхъ треугольника АХУ и CAZ. Въ самомъ дѣлѣ,

Далѣе,

а такъ какъ и <{Г CAZ= <£ АХУ, то заключаемъ, что /\АХУоо А CAZ.

Изъ подобія этихъ треугольниковъ заключаемъ, что разстоянія точки С отъ А и Z находятся въ данномъ отношеніи АХ:АУ, откуда слѣдуетъ построеніе.

Соединяемъ В и А\ на отрѣзкѣ В А строимъ дугу, вмѣщающую уголъ ВАХ и строимъ геометрическое мѣсто точекъ, разстоянія которыхъ отъ двухъ данныхъ точекъ А и Z находятся въ данномъ отношеніи АХ : А У.

Точка пересѣченія двухъ построенныхъ дунь и будетъ точкою С. Чтобы получить искомую прямую остается лишь отъ точки В провести прямую образующую съ В А уголъ АВХ, равный углу СВ А.

В. Кованько (Вышній Волочекъ), Н. Козыревъ (Енисейскъ), А. Сергѣевъ (Москва), А. Сердобинскій (Петроградъ).

157. Въ окружности проведенъ діаметръ AB, на которомъ дана точка М. Провести хорду CD параллельно AB такъ, чтобы она была видна изъ точки М подъ даннымъ угломъ а.

Пусть хорда CD \\ AB и<С CMD=a.

Опишемъ около Д CMD окружность и продолжимъ радіусъ даннаго круга СО до пересѣченія съ проведенною окружностью въ точкѣ Н и соединимъ Н съ D. Тогда будемъ имѣть:

он.ос=ом\

Слѣдовательно, величина ОН можетъ быть опредѣлена по даннымъ ОМ и ОС = R.

Треугольникъ OHD опредѣленъ по тремъ элементамъ — OD — R, ОН и < OHD = а.

Слѣдовательно, и хорда CD — сторона равнобедреннаго треугольника COD вполнѣ опредѣлена.

Построеніе хорды CD можетъ быть произведено слѣдующимъ образомъ. На OB, какъ на діаметрѣ, описываемъ полуокружность и засѣкаемъ ее изъ О радіусомъ ОМ. Изъ точки пересѣченія N опускаемъ перпендикуляры NP J_ OB.

Тогда изъ прямоугольнаго треугольника ONB имѣемъ:

ON2 = OP-OB или

ОМ2 = OP. R, т.-е. ОР=ОН.

Строимъ при точкѣ Р уголъ APQ = а и соединяемъ Q съ А. Тогда, по-сказанному хорда QA равна хордѣ CD. Остается лишь расположить ее параллельно діаметру AB. Описываемъ изъ центра О окружность касательную къ QA и проводимъ къ полученной окружности касательныя, параллельныя AB. Отрѣзки этихъ касательныхъ, заключенные внутри данной окружности и будутъ искомыми хордами.

Задача возможна для любого даннаго угла а.

H. Козыревъ (Енисейскъ), А. Сергѣевъ (Москва).

158. Построить треугольникъ по радіусамъ внѣ вписанныхъ круговъ его Га, Гь,Гс.

I. Изъ геометріи извѣстны соотношенія

Первыя два равенства даютъ

или

Полученная формула показываетъ, что высота hc можетъ быть построена, какъ четвертая пропорціональная къ отрѣзкамъ Га, 2гь, Га -|- ГЬ.

Аналогично могутъ быть построены высоты 1іа и hb. Построивъ такимъ образомъ три высоты искомаго треугольника, изъ соотношеній

выводимъ:

или

Если, слѣдовательно, построить треугольникъ А'ВС\ стороны котораго суть ВС' — h?,, С'А'—ка, А1В = ^^, то этотъ треугольникъ будетъ подобенъ искомому треугольнику и чтобы построить этотъ послѣдній, достаточно на высотѣ BD1 построеннаго треугольника А1 В С1 отложить отрѣзокъ BD, равный hb и провести чрезъ его конецъ D прямую АС\\А'С\

2. Изъ вышеприведенныхъ соотношеній выводимъ:

Возьмемъ двѣ взаимно-перпендикулярныя прямыя, пересѣкающіяся въ точкѣ Ж, и отложимъ на одной изъ нихъ произвольно выбранный отрѣзокъ МК — /г, а на другой МА = га, МВ = гь, МС=гс. Соединимъ К съ А,В, С и проведемъ КАг J_ КА, КВЛ J_ КВ, Ж7а ! КС. Въ такомъ случаѣ:

Отложивъ МВ2 = МВ1 и МС2=МСг получимъ:

Принявъ В2С^ С2АХ и В2Аг за стороны, строимъ треугольникъ Я/В/С/. Ясно, что полученный треугольникъ будетъ подобенъ данному. Построимъ внѣвписанную окружность, касающуюся стороны В/С/ въ Н. Принявъ центръ 0f этой окружности за центръ подобія и проведя лучи 0fG\r, О'В^, 0}АО'Я отложимъ на О'Я отрѣзокъ 0}L~ra и черезъ L проведемъ CLB || (7/ВД пересѣкающую (УС/ и 0ГВ/ въ С и В. Затѣмъ проводимъ С А II Сг9Аг9 и ВЯ II В/Н/. Треугольникъ АВС будетъ искомый. Для возможности построенія треугольника Я/В/С^' должно быть удовлетворено условіе В2 < С2Аг -f- В2Аг или

Аналогично имѣемъ

Такъ какъ по, смыслу задачи га, гь, гс величины положительныя, то полученныя неравенства имѣютъ мѣсто всегда и задача возможна при всякихъ значеніяхъ га, гь, гс.

В. Кованько (Вышній Волочекъ), Н. Козыревъ (Енисейскъ), К. Кульманъ (Москва), В. Павловъ (с. Ворсма), А. Сергѣевъ (Москва), А. Сердобинскій (Петроградъ).

162. Построить корни уравненій:

не рѣшая самыхъ уравненій (к, т и п — данные отрѣзки).

Нетрудно понять, что предложенная задача равносильна слѣдующей: построить прямоугольный треугольникъ по высотѣ изъ прямого угла такъ, чтобы отрѣзки гипотенузы, послѣ измѣненія одного изъ нихъ на а, находились бы въ данномъ отношеніи т : п.

Пусть АВС искомый треугольникъ AD = x, JDC = y, АЕ—а и перпендикуляръ къ ІС въ £ встрѣчаетъ продолженіе ВС въ F.

Тогда EF=k.r^~.

Отсюда слѣдуетъ такое построеніе. Строимъ Д FEA, въ которомъ одинъ катетъ EF— к. ———, а другой ЕА — а.

Описываемъ затѣмъ на AF полуокружность и проводимъ прямую, параллельную АЕ и отстоящую отъ нея на разстояніи к. Эта прямая пересѣкаясь съ построенною окружностью опредѣлитъ точку В, а прямая FB при пересѣченіи съ ЕА дастъ точку С. Треугольникъ АВС — искомый.

Приведенное построеніе, равно какъ и чертежъ, относится къ случаю —-— = — .

Рѣшеніе задачи для случая --------= — аналогично только что разобранному.

К. Верещагинъ (Козловъ), В. Кованько (Вышній Волочекъ), П. Козыревъ (Енисейскъ), А. Сергѣевъ (Москва).

Библіографическій отдѣлъ.

А. В. Цингеръ. Начальная физика. Вторая ступень. Механика.

Хотя названная книга является какъ бы продолженіемъ первой ступени начальной физики того же автора, однако вышедшій выпускъ (механика) представляетъ совершенно самостоятельное цѣлое. Выдѣленіе механики изъ общаго круга физики вообще можно только привѣтствовать, такъ какъ пріучаетъ учащагося смотрѣть на нее, какъ на особую науку математическаго характера со своими аксіомами и теоремами. Авторъ, впрочемъ, почему-то аксіомы механики (законы Ньютона) противопоставляетъ математическимъ аксіомамъ, повторяя рутинное и невѣрное утвержденіе, что аксіомы (математическія) суть истины, очевидныя сами по себѣ, а законы механики—истины, найденныя опытнымъ путемъ (стр. 62). Въ математикѣ очень много „очевидныхъ“ истинъ доказывается, а очевиднаго „самого по себѣ“ въ математикѣ совсѣмъ нѣтъ, о чемъ свидѣтельствуетъ хотя бы существованіе неевклидовыхъ геометрій, гдѣ отрицается аксіома (т.-е. „очевидная“ истина) о параллельныхъ. Съ другой стороны, математическія аксіомы (напр. въ геометріи) исторически несомнѣнно возникли на почвѣ опыта, но исторія этого возникновенія теряется во тьмѣ временъ.

Настоящая книга А. Цингера отличается въ общемъ тѣми же достоинствами, что и предыдущая (первая ступень): прекрасная внѣшность, обиліе рисунковъ и чертежей, портреты (Галилея и Ньютона), факсимиле заглавныхъ листовъ ихъ сочиненій (Philosophia Naturalis переведена въ книгѣ словами „физика“ безъ всякихъ комментаріевъ), интересные вопросы и задачи послѣ каждой главы, простой и ясный языкъ. Къ числу особыхъ достоинствъ книги слѣдуетъ отнести пользованіе клѣтчатой бумагой, изложеніе принципа Даламбера (хотя и въ примѣненіи только къ точкѣ, а не къ системѣ, гдѣ онъ, собственно, и проявляетъ свое могущество); желаніе затронуть интересные вопросы механики, напр. свободныя оси, гироскопы, заставило ввести много мелкаго шрифта; учащіеся, благодаря этому, найдутъ богатый матеріалъ, могущій побудить ихъ заняться механикой подробнѣе; въ этомъ смыслѣ книга А. Цингера, подобно первой ступени, не можетъ быть названа учебникомъ, но скорѣе книгой для чтенія. И этому можно только порадоваться, такъ какъ краткость и сухость обычныхъ учебниковъ врядъ ли можетъ поддержать интересъ къ изучаемому предмету. Къ достоинствамъ этой книги надо отнести и то обстоятельство, что авторъ не чуждается техническихъ приложеній, хотя его экскурсіи въ области техники и не всегда удачны, какъ увидимъ далѣе.

При всѣхъ достоинствахъ книги мы считаемъ однако своимъ долгомъ указать на слѣдующіе, болѣе или менѣе серьезные, промахи въ ней. Отмѣтимъ прежде всего незначительныя упущенія.

На стр. 5 движенія геометрическихъ точекъ названы воображаемыми; вѣроятно и самыя геометрическія точки авторъ считаетъ воображаемыми и только физическія тѣла—реальными; въ этомъ сказывается нѣкоторое пренебреженіе физика къ математику: физикъ, дескать, изучаетъ то, что есть, а математикъ только „воображаетъ“. У насъ, впрочемъ, нѣтъ увѣренности, что авторъ руководствовался именно этимъ соображеніемъ, употребляя слово „воображаемый“.

На той же стр. говорится о равновѣсіи тѣлъ, какъ о предметѣ статики, хотя правильнѣе было бы говорить о равновѣсіи силъ

На стр. 10 авторъ безъ всякихъ поясненій говоритъ объ отношеніи разстоянія ко времени, т.-е. объ отношеніи разнородныхъ величинъ, между тѣмъ учителя математики постоянно внушаютъ ученикамъ, что могутъ быть только отношенія однородныхъ величинъ: это относится и къ другимъ мѣстамъ книги, гдѣ говорится также и о произведеніи величинъ и т. п. Слѣдовало пояснить, что здѣсь разумѣются не самыя величины, а числа, ихъ выражающія. Въ дальнѣйшемъ, впрочемъ, это не вызываетъ недоразумѣній.

Слѣдовало дать опредѣленіе уравненія движенія для какого - нибудь движенія, а не только для равномѣрнаго.

При разсмотрѣніи движенія тѣла, брошеннаго вверхъ, слѣдовало указать, что оба движенія, и вверхъ и внизъ, выражаются одной формулой, такъ какъ ускореніе для обоихъ одинаково не только по величинѣ, но и по знаку.

На стр. 59 говорится, что у неизмѣняемаго тѣла остается одна и та же форма; можно подумать, что размѣры при этомъ могутъ мѣняться, такъ какъ о нихъ умалчивается.

На стр. 60 винтовымъ движеніемъ названо сочетаніе поступательнаго съ вращательнымъ, между тѣмъ это названіе присвоено лишь такому сочетанію, когда направленіе поступательнаго движенія совпадаетъ съ направленіемъ оси вращенія.

Всѣ законы Ньютона приведены въ кавычкахъ, что можетъ дать поводъ считать, что приведено подлинное выраженіе этихъ законовъ самимъ Ньютономъ; между тѣмъ это не такъ.

На стр. 65 матеріальной точкой называется шарикъ (?) безконечно-малаго радіуса; въ этомъ тоже сквозитъ недовѣріе физика къ математическому опредѣленію матеріальной точки, какъ геометрической точки, обладающей массою.

Къ стр. 71. Силы въ техникѣ всегда (а не иногда только) выражаютъ въ вѣсовыхъ единицахъ; въ электротехникѣ употребленіе дины имѣетъ лишь вспомогательное значеніе.

При изложеніи 2-го закона Ньютона (а не далѣе) слѣдовало сказать о томъ, что постоянная сила производитъ равноускоренное движеніе, иначе непонятно, почему отношеніе - замѣняется черезъ а.

Машинѣ Атвуда (какъ и во всѣхъ, впрочемъ, руководствахъ по физикѣ) придается преувеличенное значеніе. Въ концѣ-концовъ она доказываетъ (если только она вообще что-нибудь доказываетъ!) постоянство g для всѣхъ падающихъ тѣлъ.

На стр. 116 имѣется неправильное выраженіе: дѣйствіе магнита увеличиваетъ силу тяжести; слѣдовало бы сказать: къ дѣйствію тяжести прибавляется дѣйствіе магнита.

Тамъ же описанъ маятникъ Маха безъ указанія имени его.

На стр. 1-47 при описаніи работы съ нажимомъ Прони осталась неопредѣленной сила затяжки болтовъ, а отъ нея зависитъ величина груза, поло женнаго на чашку.

Къ стр. 148. Терминъ „отдача“ вмѣсто „к. п. д.“ примѣняется лишь къ электрическимъ машинамъ.

Къ стр. 176. Выраженіе „выше“ и „ниже“ оси вращенія можетъ относиться только къ горизонтальной оси, о чемъ указаній не имѣется.

Къ стр. 179. Термина „поверхность двоякой кривизны“ въ геометріи, повидимому, не существуетъ; по крайней мѣрѣ,намъ не приходилось его ни услышать ни отъ какого геометра, ни встрѣтить ни въ одномъ сочиненіи по геометріи.

На стр. 182 при изложеніи теоремы Вариньона не упомянуто его имя. Эту теорему, кромѣ того, достаточно было бы доказать лишь для пересѣкающихся силъ, такъ какъ правило сложенія параллельныхъ силъ выводится на основаніи параллелограмма силъ.

На стр. 196 дано рутинное изложеніе ученія о блокахъ и полиспастахъ; рутинность заключается въ томъ, что все значеніе въ устройствѣ, состоящемъ изъ веревокъ и блоковъ, приписывается блокамъ, разсматриваемымъ, какъ видозмѣненія рычага, между тѣмъ суть дѣла здѣсь въ веревкахъ, блоки же могутъ быть замѣнены кольцами или отверстіями, а употребляются исключительно для уменьшенія вліянія тренія.

Къ стр. 204. Дифференціальный воротъ въ настоящое время не употребляется; тотъ же принципъ положенъ въ основаніе устройства дифференціальнаго блока (Вестона), который и слѣдовало бы привести вмѣсто дифференціальнаго ворота.

Къ стр. 205. Торговые вѣсы и вѣсы Роберваля не одно и то же.

На стр. 232 слова „свободно падающаго тѣла“, очевидно, должны быть замѣнены словами „свободнаго тѣла“.

Переходя къ мѣстамъ, гдѣ по нашему мнѣнію имѣются существенныя ошибки, отмѣтимъ прежде всего популярное въ настояще время опредѣленіе инерціи (или еще „инертности“), какъ „стремленіе“ тѣла сохранить и пр. и какъ нѣкоторое „сопротивленіе“ (стр. 63); это даетъ поводъ всегда понимать инерцію, какъ силу.

Далѣе масса опредѣляется, какъ мѣра этой инертности (стр. 65); подставляя вмѣсто инертности ея словесное опредѣленіе (вполнѣ правильное), какъ нѣкоторой неспособности тѣла, мы находили, будто неспособность, т.-е.

чистое отрицаніе какихъ бы то ни было собственныхъ „стремленій“ и „сопротивленій“ у тѣла, можетъ имѣть мѣру. А между тѣмъ у автора далѣе на стр. 68 имѣется правильное и очень ясное опредѣленіе массы; зачѣмъ понадобилось напускать въ этотъ вопросъ тумана—неизвѣстно.

На стр. 94 и слѣд. имѣется большое и совершенно лишнее недоразумѣніе съ центробѣжной силой. При наличности принципа Д’Аламбера казалось бы достаточно одной „центробѣжной силы инерціи“, а разныя „давленія“ и „натяженія“, равныя этой силѣ, объяснить на основаніи этого принципа. Между тѣмъ эти силы получаютъ названіе „дѣйствительныхъ центробѣжныхъ силъ“, сомнѣваемся, чтобы это удваиваніе числа центробѣжныхъ силъ устранило бы то смѣшеніе понятій, отъ котораго предостерегаетъ авторъ.

На стр. 101 въ примѣчаніи дано невѣрное объясненіе дѣйствія центробѣжнаго регулятора.

На стр. 134 сравниваются коэффиціенты тренія скольженія и каченія численно; это сравненіе совершенно не состоятельно по той простой причинѣ, что 1-й коэфф. есть отвлеченное число, а 2-й—линейная величина. Эту ошибку тѣмъ болѣе странно встрѣтить въ книгѣ, въ которой говорится объ однородности физическихъ формулъ.

Несмотря на всѣ указанныя нами ошибки и недостатки (тщательное изученіе книги позволяетъ намъ сказать, что мы, повидимому, указали на всѣ недочеты), исправленіе которыхъ желательно въ слѣдующемъ изданіи, можно смѣло рекомендовать читателямъ эту книгу, какъ одно изъ лучшихъ руководствъ по механикѣ.

В. Д.

Новыя книги.

Н. Н. Слетовъ. Прямолинейная тригонометрія для среднихъ учебныхъ заведеній. 2-е исправл. изд. Пгдъ-Кіевъ. 1915. Ц. 80 к.

Доклады, читанные на 2-мъ Всероссійскомъ Съѣздѣ преподавателей математики въ Москвѣ. М. 1915. Ц. 2 р.

Вильямъ-Стернъ. Психологія ранняго дѣтства до шестилѣтняго возраста. Съ доп. Л. Оршанскаго. Пер. М. А. Энгельгардта. Изд. газеты „Школа и Жизнь“. Пгдъ. 1915.

Н. Каменьщиковъ. Таблицы логариѳмовъ съ четырьмя десятичными знаками. Пособіе для средн. учебн. зав. Пгдъ. 1914. Ц. 90 к.

П. А. Некрасовъ. Теорія вѣроятностей и математика въ средней школѣ. Пгдъ. 1915.

Шахматный Вѣстникъ. 1915 г. №№ 1—12. М. Н. 5 р. въ годъ съ перес.

Н. Н. Діанина. Опытъ нагляднаго ознакомленія съ основными понятіями теоріи предѣловъ. Вильна. 1915. Ц. 25 к.

В. Гебель. Наглядная геометрія въ задачахъ и вопросахъ (составлен. по А. Горнбрукъ). М. 1915. Ц. 50 к.

Н. С. Брянскій. Спутникъ энтомолога. Кіевъ. 1915. Ц. 30 к.

Дж. В. А. Юнгъ. Какъ преподавать математику? Пер. Р. К. Кулишеръ. B. 2-й. Изд. 2-ое. Пгдъ. Ц. 1 р. 50 к.

Р. А. Френкель. Клѣточная ариѳметика. В. I. Красноярскъ. 1915. Ц. 75 к.

Жизнь и знаніе въ числахъ. Деревня. Ч. 4-я. М. 1915. Ц. 20 к.

Г. Минковскій. Пространство и время. Съ портр. автора и біограф. очерк. Пер. I. В. Яшунскій. Пгдъ. 1915. Ц. 45 к.

С. Шохоръ-Троцкій. Новый ариѳметическій задачникъ. Для учениковъ начальныхъ школъ. Ч. II. 1915. М. Ц. 20 к. Ч. III. Ц. 25 к.

С. Левитинъ. Педагогика и милитаризмъ въ Германіи. Пгдъ. 1915. Ц. 1 р.

Устройство и оборудованіе школы по даннымъ выставки 1912 г. и др. позднѣйшимъ матеріаламъ. Подъ ред. Д. Левшина. Пгдъ. 1914. Ц. 10 р.

П. Флоровъ. Страхованіе жизни. Отд. оттискъ изъ журн. „Вѣстникъ Оп. Физики и Элем. Математики“. Одесса. 1915.

Н. Агрономовъ. О нѣкоторыхъ классахъ неопредѣлен. уравненій типа хін + пх2+......xkn — 0, рѣшаемыхъ въ цѣлыхъ числахъ. Казань. 1915 г.

Ѳ. И. Егоровъ. Методика ариѳметики. Изд. 6-е М. 1915. Ц. 1р. 50 к.

Отвѣтственный редакторъ I. Чистяковъ.