№ 28.

Математическое Образованіе.

Журналъ Московскаго Матгматическаго Кружка

Годъ четвертый.

№ 4.

Апрѣль 1915 г.

МОСКВА.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

„Математическое Образованіе“

Апрѣль 1915 г. Годъ 4-й. № 4.

СОДЕРЖАНІЕ: Способъ Жерардена рѣшенія нѣкоторыхъ неопредѣленныхъ уравненій 3-ьей степени въ цѣлыхъ числахъ. Н. А. Агрономовъ. — Циклометрическая система линейныхъ уравненій. П. А. Некрасовъ.—Представленіе цѣлаго числа въ видѣ суммы ряда послѣдовательныхъ нечетныхъ чиселъ. Ал. Барсуковъ. — Изложеніе теоріи алгебраическихъ дробей въ учебникахъ элементарной алгебры. В. Г. Фридманъ.—Истина въ математикѣ. Джузеппе Веронезе.—Теорія предѣловъ въ курсѣ геометріи. К. Ѳ. Лебединцевъ.—„Геометрія круга“ г. А. Л. Охитовича. 77. Спенглеръ.—Замѣтка по поводу теоремы Польке. Д. Синцовъ.—Объ одномъ свойствѣ однополаго гиперболоида. Д. Синцовъ.—Задачи.—Рѣшенія задачъ.—Отъ Организаціоннаго Комитета 3-го Всероссійскаго Съѣзда Преподавателей математики.—Отъ Организаціоннаго Комитета 2-го Всероссійскаго Съѣзда преподавателей математики.—Засѣданія Московскаго Математическаго Кружка.— Библіографическій отдѣлъ.—Новыя книги.—Опечатки.—Объявленія.

Способъ Жерардена рѣшенія нѣкоторыхъ неопредѣленныхъ уравненій 3-ьей степени въ цѣлыхъ числахъ.

Н. А. Агрономовъ. Ревель.

Начнемъ съ простѣйшихъ примѣровъ. Допустимъ, что у насъ имѣется уравненіе

X*у* zà = -\-игг3 (1)

Очевидными рѣшеніями этого уравненія являются числа

(2)

Положимъ теперь

(3)

гдѣ а, Ъ, с, d, е, /*, k числа раціональныя и пока произвольныя. Подстановка ихъ въ уравненіе (1) наложитъ на нихъ ограничительныя условія. Въ самомъ дѣлѣ,

или по сокращеніи

или

Если теперь выберемъ f такъ, чтобы оно равнялось

— d — e-{-a-\-b~\-c (7)

то получимъ

(7)

а, Ь, су d) е по прежнему остаются произвольными. Слѣдовательно для х, у, я, и, V можно взять слѣдующія значенія

(8)

или имъ пропорціональныя числа

(9)

гдѣ

10

Возьмемъ численный примѣръ;

T. о. мы получаемъ слѣдующее тождество

(— l)s + (—ІЗ)3 + (—7)3 = (—25)3 + (—31)3 + З53 = 45416

или

2 о3 + З13 = I3 + 133+ 73 + З53

Всматриваясь внимательно въ выраженія (8), мы можемъ замѣтить, что

-j- [n +3 (—d—c -f- a + 6 -f- с) m\ (11)

Такимъ образомъ числа (9) являются рѣшеніями не только уравненія (1), но и системы

(12)

Разсмотрѣнный выше примѣрь даетъ намъ иллюстрацію къ этому выводу.

Въ самомъ дѣлѣ,

Повторяя предыдущее разсужденіе для уравненія

(13)

мы получимъ слѣдующую теорему и слѣдствіе. Теорема. Уравненіе

(14)

удовлетворяется числами

(15)

гдѣ

(16)

и а, {, с,, . . , J, 5, G, .. . цѣлыя произвольныя числа (число неизвѣстныхъ въ каждой части уравненія 14-го >3). Слѣдствіе. Система уравненій

(17)

удовлетворяется числами (15).

Разобранные случаи не являются единственными, къ которымъ приложимъ методъ Жерардена. Можно указать еще весьма обширные классы уравненій къ которымъ онъ примѣнимъ. Таковыми являются, напримѣръ, уравненія вида

(18)

при 4 и т. д.

Общее правило, предлагаемое Жерарденомъ, таково: взять наивозможно простѣйшія очевидныя рѣшенія уравненія, составить выраженія

(19)

гдѣ а, 6, с, ... найденныя простѣйшія рѣшенія, а Іс, 4, 5, С, . .. произвольныя цѣлыя числа; подставить выраженія (19) въ данныя уравненія; опредѣлить одно изъ чиселъ А, В, С) . . . въ зависимости отъ остальныхъ и найти k въ зависимости отъ всѣхъ остальныхъ произвольныхъ чиселъ; тогда числа пропорціональныя (19) дадутъ намъ рѣшеніе нашего уравненія*).

*) О примѣненіи метода Жерардена къ уравненіямъ 2-ой степени см. „Математическій Листокъ“ № 2. Съ оригинальными работами А. Gérardin можно познакомиться но книжкамъ журнала „L'Intermédiaire des mathématiciens“ за различные годы.

Циклометрическая система линейныхъ уравненій.

П. А. Некрасовъ. Петроградъ.

Циклическая, или циклометрическая система линейныхъ уравненій имѣетъ видъ:

при чемъ обозначеніе хк подчиняется условіямъ:

(2)

Благодаря этимъ условіямъ, система (1) содержитъ лишь п различныхъ неизвѣстныхъ

Xq, Xр , Хн—і'

Система (1) была мною разсмотрѣна въ 1885 году въ XII томѣ Математическаго Сборника (стр. 377—420). Тамъ она изслѣдуется какъ въ чистомъ видѣ, такъ и въ связи съ нѣкоторыми, возможными на практикѣ осложненіями, а также съ присоединеніемъ дополнительнаго уравненія тогда, когда детерминантъ системы окажется нулемъ.

Среди циклометрическихъ системъ уравненій найдется много примѣровъ, имѣющихъ какъ педагогическое значеніе, такъ и практическое, относящееся къ такъ называемому лабораторному математическому методу. Лабораторное значеніе циклометрическихъ системъ разъясняется въ статьѣ П. С. Порѣцкаго: „Двѣ замѣтки“ (Извѣстія физико-математическаго Общества при Казанскомъ университетѣ, за 1888 г.) и въ его изслѣдованіи: „Къ вопросу о рѣшеніи нѣкоторыхъ системъ, встрѣчающихся въ практической астрономіи“ (Казань, 1886). Книга Ф. Тейлора: „Организація промышленныхъ предпріятій“ (переводъ съ англійскаго А. В. Панкина и Л. А. Левенстерна. Петроградъ, 1912) прилагаетъ циклометрическую систему (см. стр. 130—132) къ изслѣдованію промышленныхъ факторовъ.

Частный случай циклометрической системы (1), соотвѣтствующій предположеніямъ:

(3)

(0 <m<w), разсмотрѣнъ С. П. Виноградовымъ и В. В. Добровольскимъ въ №№ 2 и 3 „Математическаго Образованія“ и приспособленъ въ ихъ изложеніи къ педагогическимъ цѣлямъ. Мнѣ кажется, что циклометрическія системы какъ въ этомъ частномъ случаѣ, такъ и въ болѣе общемъ случаѣ заслуживаютъ педагогической обработки для помѣщенія въ математическія хрестоматіи, приспособленныя къ потребностямъ солиднаго средняго образованія и самообразованія.

Представленіе цѣлаго числа въ видѣ суммы ряда послѣдовательныхъ нечетныхъ чиселъ.

Ал. Барсуковъ. (Ковровъ).

Всѣмъ извѣстныя равенства

12=т--1 *2 2 =1 + 3

32= 1 + 3 + 5 (1)

42=1 + 3 + 5 + 7

а также

13= 1

23 = 3 + 5

З3 = 7 + 9 + 11 (2)

±*=13 + 15+17 + 19

представляютъ изъ себя частный случай одной болѣе общей формулы выражающей любую степень числа т въ видѣ суммы т послѣдовательныхъ нечетныхъ чиселъ:

(3)

Нетрудно видѣть, что

1) число членовъ въ правой части формулы (3) равно т

2) число ти_І — т-\- 1 нечетное при всякомъ т

3) каждое слѣдующее число больше предыдущаго на 2. Такимъ образомъ въ правой части формулы (3) мы имѣемъ сумму т послѣдовательныхъ нечетныхъ чиселъ. Справедливость же ф-лы (3) легко показать путемъ суммированія членовъ въ правой части. Именно мы имѣемъ:

Полагая въ ф-лѣ (3) п = Іи m= 1, 2, 3.... получимъ въ лѣвой и правой частяхъ рядъ натуральныхъ чиселъ.

Полагая п = 2 и п = 3, получимъ ф-лы (1) и (2).

При п = 4 получимъ рядъ:

14 = 1 24 = 7 + 9

З4 = 25 + 27 + 29 (4)

4^= 61 + 63 + 65 + 67

и т. д.

Посмотримъ теперь, нельзя ли любое цѣлое число А представить въ видѣ суммы ряда послѣдовательныхъ нечетныхъ чиселъ.

Пусть

Л — (%У "4" 1) 4" (%У + 3) + (2у + 5) +.+ [2у + (2к + 1)] (5)

Или, полагая у + к + 1 = х,

А = (2у 1) + (2у + 3) + (2у + 5) +.....+ (2х — 1) (6)

Сумму (6) можно разсматривать, какъ разность двухъ рядовъ нечетныхъ чиселъ, начинающихся съ единицы, именно:

(2j/ + 1) + (2у + 3) + (2у + 5).... +. (2а? — 1) = [і + 3+5... + . (2х—1)]

— U + 3 + 5 + •••• + (% — 1)]

Но изъ ф-лъ (1), находимъ:

14-3 + 5 + 7 + .... + .(2х—1) =х2 иІ + 3 + 5 + 7 + + (2у—1) = у2

Слѣдовательно:

А = х2— у2 = (х + у) (х — У)- (7)

Представивъ А въ видѣ произведенія двухъ множителей и приравнявъ х-\-у большему изъ нихъ, а х — у меньшему, получимъ два уравненія съ двумя неизвѣстными, рѣшивъ которыя, найдемъ х и у и слѣдовательно числа ряда (6).

Пусть А — ab и а > Ъ. Тогда:

X + у = а, X — у = Ъ\ 2ж=а + Ь, 2у = а — 5, 2у+1=а—Ь+1,

2х — 1 = а + Ъ — 1 и рядъ (6) можно представить въ видѣ:

А — (и — Ь —J— 1) —|— (а — Ъ —J— 3) +- (а — b + 5).-+ .{а -f- b — 1) (8)

Если возможно разложеніе числа А на два другихъ множителя а' и Ъ\ то получимъ другой рядъ:

Но не всякое изъ возможныхъ разложеній числа А дастъ» рядъ вида (8).

Нетрудно видѣть, что оба множителя а = х + у и Ъ = х — у = = х-\-у — 2у — а — 2у должны быть одновременно четными или нечетными. Другими словами разложеніе А = ab дастъ рядъ вида (8) только при соблюденіи условія:

если а = 2/е или а = 2к-\-1 то и b = 21 b = 2l-\-l

гдѣ к и / цѣлыя числа.

Слѣдствія.

1) Простое число Ат не можетъ быть разложено на сумму нѣсколькихъ послѣдовательныхъ нечетныхъ чиселъ, т. к. его можно представить только въ видѣ произведенія N. 1, такъ что 2х = N -\- 1, 2у = N— Іи 2у 1 = N.

2) Число А = 2а, гдѣ а число нечетное, не можетъ быть разложено на сумму послѣдовательныхъ нечетныхъ чиселъ, т. к. изъ двухъ множителей одинъ всегда будетъ четнымъ, а другой нечетнымъ.

3) Если А = тп, то къ числу возможныхъ разложеній принадлежитъ разложеніе А = шп~1. т, которое дастъ рядъ:

А = (тн~г — т-f-1) -)- (тн~1 — т -f- 3) -\- -f- (т;г_1 -|- т — 1).

Это и есть случай, разсмотрѣнный въ І-ой главѣ.

4) Число членовъ въ ф-лѣ (8), т. е. число членовъ разложенія, какъ легко видѣть, равно меньшему множителю Ъ.

Примѣры:

Изложеніе теоріи алгебраическихъ дробей въ учебникахъ элементарной алгебры.

В. Г. Фридманъ. Москва.

Извѣстно, что правила дѣйствій надъ алгебраическими дробями вытекаютъ изъ немногихъ, чисто условныхъ, положеній. Эти положенія слѣдующія: 1) двѣ дроби т и считаются рав-

ными, если ad = Ъс\ отсюда непосредственно получается основное свойство дроби: дѣйствительно, дроби ^ и ^ равны, ибо а . Ът — = Ь.ат\ 2) сумма двухъ дробей съ одинаковыми знаменателями есть дробь съ тѣмъ же знаменателемъ и съ числителемъ, равнымъ суммѣ данныхъ числителей: — А-------= -—— ; 3) произведеніе двухъ дробей есть дробь, числитель которой есть произведеніе числителей, а знаменатель — произведеніе знаменателей: Послѣднія 2 условія заключаютъ въ себѣ правила сложенія и умноженія дробей, а слѣдовательно и правила вычитанія и дѣленія, ибо вычитаніе и дѣленіе можно разсматривать, какъ дѣйствія, обратныя соотвѣтственно сложенію и умноженію; 4) цѣлое количество а можно представить въ видѣ дроби •

Курсъ алгебраическихъ дробей проходится обычно въ III— IV классахъ мужскихъ гимназій, и было бы, конечно, немного рискованно вводить эти условныя положенія, какъ мы ихъ выше привели, въ элементарномъ курсѣ. По нашему мнѣнію, ихъ слѣдуетъ замѣнить здѣсь простымъ указаніемъ на то, что дѣйствія надъ алгебраическими дробями производятся1) по тѣмъ же правиламъ, что и дѣйствія надъ ариѳметическими дробями; такое указаніе вполнѣ доступно пониманію учениковъ III—IV классовъ, удовлетворяетъ свойственной человѣческой природѣ наклонности къ перманентности, а главное, выражаетъ въ сущности ту же мысль, что и вышеприведенныя положенія. При повтореніи же курса алгебры въ старшихъ классахъ гимназіи можно ознакомить учащихся съ условными положеніями теоріи дробей, и даже изжить эту теорію, основываясь строго на теоріи паръ. Думается намъ, что такое изложеніе теоріи дробей въ средней школѣ является единственно раціональнымъ съ педагогической точки зрѣнія, и въ то же время удовлетворительнымъ въ научномъ смыслѣ.

Авторы нашихъ учебниковъ алгебры стоятъ однако на иной точкѣ зрѣнія, стараясь „доказать“ правила дѣйствій надъ дробями, а также основное свойство дроби . Вотъ обычныя „доказательства“ нашихъ учебниковъ:

1) или ихъ условились производить.

1) Требуется доказать, что — = -j-— • Пусть — = qji —=q\ Тогда a = bq (1) и am = bmq' (2) на основаніи опредѣленія дѣленія. Затѣмъ получаемъ, что am = bqm (3) и слѣдовательно bqm — =bmq' (4), откуда, дѣленіемъ на 5та, получаемъ, что q = q', то а am есть -г = т— о Ьт

Если внимательно вдуматься въ это „доказательство“, то мы должны будемъ установить слѣдующее: а) Здѣсь дробь разсматривается какъ частное, но въ то же время за дробью не признается (а priori) обычнаго свойства частнаго, заключающагося въ томъ, что величина частнаго не измѣняется отъ умноженія дѣлимаго и дѣлителя на одно и то же количество: дѣйствительно, признавая это свойство, мы этимъ самымъ признали бы, что — = -—, и всякое доказательство этого равенства было бы излишнимъ1); г) Ь) равенство (2) получается не сразу изъ равенства — = <7- передъ этимъ должно быть получено равенство ат = (bm)q, Ьт ^ г послѣ чего опускаемъ скобки на основаніи сочетательнаго закона умноженія: но пользоваться здѣсь сочетательнымъ закономъ невозможно, ибо онъ не доказанъ для того случая, когда одинъ изъ множителей (именно q) означаетъ алгебраическую дробь; с) чтобы получить изъ равенства (4) равенство q = q', нужно сначала преобразовать равенство (4) такъ: (bm)q = (pm) q', то есть нужно опять воспользоваться сочетательнымъ закономъ. Мы видимъ, что приведенное „доказательство“ основного свойства дроби представляетъ собою circulus vitiosus; и вся эта логическая непослѣдовательность допущена ради желанія во что бы то ни стало доказать недоказуемое.

2) Требуется доказать, что------|- ;— =-----Для доказательства припоминаемъ правило дѣленія многочлена на одночленъ, на основаніи котораго можно написать, что —== . Читая это послѣднее равенство справа налѣво, получаемъ то, что требуется доказать. Логическая ошибка заключается здѣсь въ томъ, что мы молчаливо допускаемъ, что правило дѣленія многочлена на одночленъ справедливо и въ томъ случаѣ, когда отдѣльные члены многочлена не дѣлятся нацѣло (въ алгебраиче-

1) Такъ поступаетъ г. Лебединцевъ въ его учебникѣ алгебры.

скомъ смыслѣ) на дѣлителя, то есть когда выраженія — и — суть алгебраическія дроби.

3) Требуется доказать, что у • ^ • Пусть — = q и — == q'. Тогда получаемъ, что a — qb и с = dq'; отсюда ас = bqdq' и, а на основаніи сочетательнаго закона, ac — (bd)(qq') и слѣдовательно — = ап то есть что и требовалось доказать. Само собой разумѣется, что и здѣсь ссылка на сочетательный законъ недопустима.

Совершенно особый выводъ правила умноженія дробей мы находимъ въ учебникѣ алгебры г. Лебединцева; авторъ исходитъ изъ равенства----= I — 1 : w, то есть основывается на правилѣ: чтобы раздѣлить на произведеніе, достаточно раздѣлить данное количество на одного сомножителя (т) и полученный результатъ на другого (п). Далѣе г. Лебединцевъ получаетъ равенство ab а _ y — = — о, основываясь на правилѣ дѣленія произведенія на количество. Слѣдовательно, получается равенство ^ ^ • Ъ | : п. Но чтобы раздѣлить произведеніе ^ • b на п, достаточно одинъ изъ сомножителей, именно Ь, раздѣлить на п. Мы получаемъ, что ---z=r — • — , откуда — — =----; послѣднее равенство и выражаетъ правило умноженія алгебраическихъ дробей.

Это доказательство по нашему мнѣнію, также содержитъ логическую ошибку, ибо тѣ правила, на которыя ссылается г. Лебединцевъ, не доказаны для случая, когда одинъ изъ множителей произведенія есть алгебраическая дробь (такъ, первый изъ множителей произведенія ^ • Ъ есть дробь ^ ^ . Такую же ошибку г. Лебединцевъ допускаетъ и при доказательствѣ правила дѣленія дробей1).

1) Кстати замѣтимъ, что, если установлено правило умноженія дробей, то правило дѣленія весьма легко получается, разсматривая дѣленіе, какъ дѣйствіе, обратное умноженію. Между тѣмъ г. Лебединцевъ считаетъ нужнымъ приводить самостоятельное доказательство правило дѣленія, вводя лишній разъ логическую ошибку.

Вышеизложенное показываетъ, что теорія алгебраическихъ дробей разработана вь нашихъ учебникахъ алгебры вполнѣ неудовлетворительно и нуждается въ совершенно иной постановкѣ. „Доказательства“, приводимыя въ этихъ учебникахъ, антинаучны и въ то же время достаточно трудны, если принять во вниманіе умственное развитіе учениковъ III—ІУ классовъ. И мы полагаемъ, что преподавателямъ математики слѣдуеть обратить вниманіе на этотъ недостатокъ нашихъ учебниковъ, внося въ изложеніе курса дробей въ средней школѣ надлежащіе коррективы къ учебнику.

Истина въ математикѣ.

Джузеппе Веронезе.

Перев. съ итальянскаго Е. I. Борткевичъ. Петроградъ.

(Окончаніе).

Не слѣдуетъ допускать, чтобы васъ сбивали въ спорахъ о принципахъ идеями, господствующими въ данное время. Патеръ Саккери, профессоръ Павійскаго Атенея, подвергшій уже въ 1733 году изящной и точной критикѣ постулатъ о параллеляхъ, устанавливая простымъ и строгимъ способомъ главныя слѣдствія трехъ возможныхъ гипотезъ, палъ жертвой предубѣжденій своего времени, что гипотеза Евклида—единственно вѣрная, измучилъ себя и свалилъ рядомъ ошибокъ зданіе, имъ самимъ возведенное до степени науки и возстановленное впослѣдствіи Лобачевскимъ. Точно также кардиналъ Джердиль, профессоръ Римскаго университета въ 1806 г. могъ бы вывести съ большой легкостью трансфинитныя числа Г. Кантора, пользуясь нѣкоторыми своими соображеніями, еслибы онъ не былъ озабоченъ тѣмъ, что оспаривалъ понятіе объ актуальной безконечности для опроверженія вѣчности Вселенной, къ чему впрочемъ не имѣютъ никакого отношенія трансфинитныя числа.

Кромѣ не Евклидовыхъ геометрій, могущихъ быть провѣренными въ физическомъ мірѣ, есть и другія, которыхъ мы въ нашемъ мірѣ провѣрить не можемъ, хотя бы онѣ были логически возможны. Къ этимъ геометріямъ принадлежитъ не—Архимедова геометрія, на которую прежде нападали и не обращали никакого вниманія, теперь же она допускается математиками, но еще не разсматривается философами, которые однако занимались актуальными безконечно-большимъ и безконечно-малымъ. Наши-же практическія измѣренія никогда не поведутъ насъ внѣ нашего конечнаго поля.

Такъ обстоитъ дѣло съ геометріей болѣе трехъ измѣреній, включенныхъ въ общее пространство безконечнаго числа измѣ-

реній, такъ какъ при посредствѣ нашихъ чувствъ мы заключаемъ. что физическое или интуитивное пространство имѣетъ три измѣренія, называемыя обыкновенно длиной, шириной, высотой или глубиной.

Гипотеза о существованіи точки внѣ геометрическаго пространства трехъ измѣреній, называемаго обыкновеннымъ, долго оспаривалась и дала мѣсто ошибочнымъ сужденіямъ, а также фантазіямъ, опаснымъ для науки. И въ самомъ дѣлѣ допущеніе, что и внѣ физическаго пространства существуетъ точка, противорѣчитъ нашей интуиціи потому, что всѣ предметы, наблюдаемые нами, находятся въ этомъ пространствѣ, точно такъ же какъ каждое число, которое мы получаемъ, прибавляя послѣдовательно единицу къ единицѣ, всегда конечно и включено въ рядъ цѣлыхъ конечныхъ чиселъ, называемыхъ натуральными. Понимая этотъ рядъ, какъ цѣлое, созданное и данное мыслью и прибавляя къ этому ряду еще новую единицу (не включенную въ этотъ рядъ), мы такимъ путемъ образуемъ трансфинитныя числа Г. Кантора; аналогично мы можемъ понять отвлеченно, какъ данное, геометрическое пространство трехъ измѣреній и точку внѣ его. Если, напримѣръ, въ данный моментъ мы представляемъ себѣ обыкновенное пространство, а въ другой моментъ точку, и если время есть примѣта мысли, то точка, о которой мы думали позднѣе, не принадлежитъ прежнему пространству. Геометрическое пространство есть однако форма отвлеченнаго протяженія, независимая отъ интуиціи времени. Какъ въ наукѣ о числѣ мы строимъ системы предметовъ, представленныхъ конечнымъ числомъ независимыхъ перемѣнныхъ, и благодаря которымъ Декартъ первый нашелъ аналитическое изображеніе обыкновеннаго пространства, дающее возможность соотвѣтствія между системой трехъ чиселъ (координатъ) и точкой того же пространства, точно также въ наукѣ объ отвлеченномъ протяженіи мы можемъ построить пространства болѣе чѣмъ трехъ измѣреній, даже пространство безконечнаго числа измѣреній, включающее всѣ остальныя, прибѣгая къ тѣмъ же пріемамъ для ихъ созданія и для доказательства ихъ свойствъ, какъ для обыкновеннаго пространства.

И эти пространства не праздныя измышленія: мы можемъ и въ нихъ работать при помощи нашей интуиціи, представляя точку, прямую, и плоскость, какъ въ обыкновенномъ пространствѣ. Но не имѣя и не будучи въ состояніи имѣть представленія о пространствѣ четырехъ измѣреній, мы въ немъ соединяемъ интуицію съ абстракціей; и такъ сильна привычка въ постоянномъ употребленіи этого пріема, что намъ даже кажется, что мы видимъ въ данномъ пространствѣ двѣ плоскости, пересѣкающіяся въ одной точкѣ, а не по прямой, какъ будто бы въ прямой, общей этимъ двумъ плоскостямъ, находилась точка другой окраски сравнительно со всѣми остальными и которую мы бы мысленно выдѣлили.

Не буду говорить о томъ, какъ зародилась въ математикѣ идея о пространствѣ четырехъ измѣреній, а также о критикѣ подчасъ справедливой, когда математики отъ чисто отвлеченнаго представленія, синтетическаго—Грассмана или аналитическаго

Римана, Гельмгольца, Бетти, Бельтрами и другихъ легко переходили къ геометрическому представленію, котораго раньте не было.

Но пояснительные примѣры, къ которымъ прибѣгали геометры, могли зародить сомнѣніе, что ихъ математическая гипотеза была въ дѣйствительности гипотезой физической. Я самъ прибѣгнулъ къ воображаемому существу, живущему въ плоскости, на подобіе нашей тѣни на плоскости, — одаренному такими же умственными способностями, какъ и мы сами, и воспринимающему при посредствѣ своихъ чувствъ исключительно предметы своей плоскости. При допущеніи гипотезы о точкѣ внѣ плоскости это воображаемое существо могло бы теоретически построить стереометрію, какъ мы это дѣлаемъ. Однако этотъ примѣръ не даетъ возможности допущенія физической гипотезы о реальномъ пространствѣ четырехъ измѣреній, въ которомъ, какъ желалъ того Целльнеръ, тѣла были бы, какъ бы тѣнями существъ, живущихъ въ пространствѣ четырехъ измѣреній. Правда, что мы воспринимаемъ предметы реальнаго міра, смотря по качествамъ нашихъ ощущеній цвѣта, звука и вкуса; но эти ощущенія принадлежатъ нашей нервной системѣ, а не самимъ предметамъ, какъ тому вѣритъ мнѣніе толпы, въ то время какъ измѣненія соотношеній между ощущеніями зависятъ отъ внѣшнихъ вліяній. По однимъ ощущеніямъ мы не можемъ судить о сущности предметовъ самихъ въ себѣ, которую природа будетъ всегда скрывать отъ насъ. Допущеніе гипотезы, что міръ предметовъ самихъ въ себѣ имѣетъ четыре измѣренія, было бы равносильнымъ тому, что мы, какъ упомянутое воображаемое существо плоскости, живущее на ея поверхности и воспринимающее только ея два измѣренія, живемъ на поверхности тѣла четырехъ измѣреній и можемъ воспринять только три. Но при помощи этой гипотезы мы приписали бы предметамъ самимъ въ себѣ форму аналогичную той, которую мы провѣряемъ въ нихъ посредствомъ ощущеній, имъ не принадлежащихъ. Было бы возможнымъ представить себѣ существованіе міра, отличнаго отъ нашего или другихъ живыхъ существъ, одаренныхъ чувствами, воспринимающими четыре измѣренія лучше, нежели три измѣренія; но объ этихъ существахъ мы не имѣемъ никакихъ свѣдѣній. Этой послѣдней гипотезой желающій могъ бы объяснить нѣкоторые спиритическіе опыты, какъ напр., наложеніе двухъ симметричныхъ фигуръ или же появленіе или исчезновеніе матеріальныхъ предметовъ изъ герметически запертой комнаты безъ того, чтобы проломить ея стѣны. Такая физическая гипотеза была бы совершенно фантастической.

Допустимъ, что мы еще не можемъ объяснить нѣкоторыхъ явленій, какъ всегда это бывало въ исторіи естественныхъ наукъ; но мы должны найти ихъ объясненіе въ законахъ природы, такъ какъ только они одни могутъ руководить нами въ наукѣ и способствовать раскрытію истины. Страхъ передъ неизвѣстнымъ и потребность нашего ума познать все объясняютъ эти заблужденія всѣхъ временъ, такъ распространенныя и въ наше время среди образованныхъ людей. Въ исканіи истины встрѣчаются вѣра, фан-

тазія, энтузіазмъ, — самые могучіе факторы человѣческаго прогресса; и чѣмъ-то похожимъ на глазъ художника, на глазъ Леонардо да Винчи, приведшаго его къ великимъ открытіямъ, долженъ обладать также и ученый. Но глазомъ художника мы не назовемъ романическаго затменія или необузданной фантазіи, желающей какой бы то ни было цѣной прорваться черезъ непреодолимыя преграды, которыя намъ всегда поставитъ природа.

Каково значеніе математической истины въ исканіи законовъ внѣшней природы?

Мы не смѣемъ спрашивать, какую пользу могутъ принести построенія чистой математики: достаточно, чтобы они были полезны для открытія новыхъ истинъ или другихъ соотношеній между уже ранѣе установленными. Впрочемъ каждый математическій законъ, будучи закономъ мысли, есть также законъ природы. Благодаря чудесной гармоніи, существующей между законами мысли и законами внѣшняго міра, нельзя утверждать а priori, что въ немъ не могутъ имѣть полезнаго приложенія самыя высокія и самыя отвлеченныя математическія начала, если они и не были подсказаны опытомъ. Греки, изучавшіе сѣченія называемыя коническими, и благодаря имъ создавшіе высшую геометрію, не могли конечно предвидѣть, что черезъ нѣсколько вѣковъ эти сѣченія окажутся въ числѣ звѣздныхъ орбитъ, законы которыхъ были опредѣлены Кепплеромъ и въ свою очередь послужили къ открытію закона всемірнаго тяготѣнія Ньютона.

Кто могъ предвидѣть разнообразныя приложенія механики и дифференціальнаго исчисленія къ почти точному опредѣленію небесныхъ явленій, къ открытію ихъ законовъ, къ физическимъ явленіямъ оптики, теплоты, электричества, опредѣляя лучше такимъ образомъ значеніе гипотезъ физики и исключая тѣ, которыя не соотвѣтствуютъ уже болѣе фактамъ? Галилей сказалъ, что Природа—книга, написанная на математическомъ языкѣ.

Не можетъ быть никакого разлада между теоріей и практикой: первая помогаетъ второй, иногда вторая вызываетъ первую; точное разграниченіе между ними можетъ быть только вреднымъ для обѣихъ. Какъ уже давно въ статистикѣ теорія вѣроятностей принесла большую пользу въ объясненіи явленій соціальной жизни, такъ математическіе методы перешли и порогъ химическихъ наукъ, а также наукъ экономическихъ и соціальныхъ и уже пытаются вторгнуться, хотя и съ опаской, въ науки біологическія и физіологическія. Извѣстно также, что математика объясняетъ игры и является хорошимъ лекарствомъ противъ страсти къ игрѣ и лотереямъ. Если однако математика прилагается къ внѣшней дѣйствительности и наука становится методомъ, могучимъ орудіемъ для изысканій, то строгость ея истины является лишь относительной въ ея приложеніяхъ. Разсужденіе основывается на всѣхъ данныхъ опыта, существенныхъ для рѣшенія практическихъ вопросовъ, т. к. пренебрегая однимъ изъ нихъ, исчисленіе или разсужденіе можетъ привести къ результатамъ, противорѣчащимъ дѣйствительности.

Гипотезы относительно причинъ естественныхъ явленій мѣняются, когда хотятъ замѣнить ихъ другими болѣе вѣрными или болѣе общими, могущими объяснить большее число фактовъ и объединить ихъ однимъ болѣе общимъ принципомъ; но часто случается, какъ въ физикѣ, что математическія уравненія сохраняютъ своё значеніе. Поверхностенъ и нетерпимъ тотъ, который при перемѣнѣ гипотезъ кричитъ о крушеніи науки, какъ будто прежнія гипотезы не послужили къ построенію на ихъ развалинахъ зданія болѣе величественнаго и болѣе устойчиваго. Намъ недоступно познавать внутреннія причины явленій, скрытыя отъ насъ Природой, а только ихъ соотношенія. И когда будутъ найдены послѣ долгой подготовки всѣ данныя для опредѣленія этихъ соотношеній, тогда математика раскроетъ факты прежде незамѣченные.

Достаточно упомянуть объ открытіи планеты Нептуна, сдѣланномъ Леверрье, увѣровавшемъ еще въ молодости въ ньютоновскій законъ притяженія, управляющій движеніями Вселенной, хотя бы къ не большому удовольствію свѣта, но съ большой достовѣрностью.

Точно такъ-же и выводъ Максвелля, что законы электрическихъ колебаній получаются изъ тѣхъ же уравненій, какъ и законы свѣтовыхъ явленій, оставался въ теченіи тридцати лѣтъ чисто отвлеченнымъ понятіемъ. Но Герцъ, указывая намъ на волны, носящія его славное имя, при посредствѣ которыхъ Маркони далъ свое не менѣе знаменитое приложеніе, показалъ опытнымъ путемъ, что характеръ волнъ въ точности совпадаетъ съ тѣмъ, который былъ уже прежде предсказанъ математическими изысканіями Максвелля.

Итакъ благодаря математикѣ можно ожидать еще очень многаго въ изученіи опытныхъ наукъ.

Греки, столь великіе въ искусствѣ красоты и толкованіи математической истины, стояли гораздо ниже въ философіи природы. Итальянскому Возрожденію обязана слава начала экспериментальной философіи, которой математика оказала столь большія услуги.

Что могутъ сказать намъ мечты метафизиковъ по сравненію съ дѣйствительностью Вселенной, по сравненію съ эпохами, въ которыхъ образовывались солнце и земля и развивалась въ геологической исторіи жизнь, принимая формы все болѣе совершенныя? II развѣ раціонализмъ открылъ силу тяжести, законъ всемірнаго тяготѣнія, магнитизмъ и электричество, космическій эфиръ, какъ среду магнитную и электрическую, законъ сохраненія энергіи и еще многіе другіе, служащіе главными агентами въ безконечномъ пространствѣ?

Въ эпоху Возрожденія Италія была также наставницей и въ математикѣ. Въ практикѣ перспективы, почти совершенной у нѣкоторыхъ нашихъ великихъ художниковъ того времени, мы находимъ первыя попытки современной проективной и начертательной геометріи—проявленія этой счастливой комбинаціи, встрѣчаемой въ латинской рассѣ—науки съ искусствомъ. Но въ то

время, какъ во Франціи, Англіи и Германіи подъ вліяніемъ перваго могучаго порыва итальянцевъ, предтечъ Леонардо да Винчи и Галилея, наука въ прошломъ столѣтіи обогатилась великими открытіями и приложеніями, среди насъ—хотя и были люди высокихъ заслугъ, какъ Вольта,—но наши политическія условія мѣшали настоящей жизни науки. Посли объединенія Италіи, хотя государство и не дало въ школѣ основъ для нашего обновленія, тѣмъ не менѣе знаніе и умственная сила народа возродились и цѣлая плеяда достойныхъ мужей способствуетъ увеличенію престижа и чести итальянской науки. И въ итальянской жизни, гдѣ, какъ-бы заходитъ идеалъ славнаго прошлаго, смѣю надѣяться, восходитъ идеалъ не менѣе славнаго будущаго.

Теорія предѣловъ въ курсѣ геометріи.

К. Ѳ. Лебединцевъ. Москва.

(Докладъ, прочитанный на 2-мъ съѣздѣ преподавателей математики въ Москвѣ 27 декабря 1913 г.).

(Окончаніе).

Скажу теперь нѣсколько словъ о томъ, какимъ образомъ, по моему, слѣдуетъ знакомить учащихся съ основными понятіями даннаго отдѣла. Понятія о постоянныхъ и перемѣнныхъ количествахъ, о независимыхъ перемѣнныхъ и функціяхъ, разумѣется, должны быть извѣстны учащимся предварительно; при томъ распредѣленіи курса математики, которое я считаю наиболѣе цѣлесообразнымъ, учащіеся знакомятся съ этими понятіями нѣсколько раньше, одновременно съ изученіемъ вопроса о прямой пропорціональности и графическаго изображенія функцій 1-й степени съ однимъ перемѣннымъ; при обычной же программѣ эти вопросы не проходятся и тогда необходимо предпослать ученію о безконечно малыхъ знакомство съ указанными основными понятіями о перемѣнныхъ и функціяхъ. Разумѣется, все это слѣдуетъ проходить на конкретныхъ примѣрахъ, преимущественно изъ области геометріи и физики (напр. зависимость между разстояніемъ и временемъ при различнаго рода движеніи).

Послѣ этого можно уже выяснить учащимся понятіе о безконечно большомъ и безконечно маломъ. Здѣсь самое существенное въ томъ, чтобы учащіеся твердо усвоили мысль, что безконечно большія и безконечно малыя—это количества перемѣнныя и притомъ такія, которыя могутъ не только сдѣлаться соотвѣтственно болѣе или менѣе любого числа, но и при дальнѣйшемъ измѣненіи остаются соотвѣтственно болѣе или менѣе того же числа. Практика показываетъ, что учащіеся усвоиваютъ эти понятія довольно скоро и отчетливо, если не жалѣть времени на разборъ достаточнаго числа примѣровъ и притомъ заставлять учащихся подбирать и свои примѣры, особенно числовые. При желаніи

можно ограничиться только положительными безконечно большими и безконечно малыми количествами; если не разсмотрѣть соотвѣтственныя величины и съ отрицательными значеніями, то придется въ опредѣленіи указать, что во вниманіе принимается только измѣненіе абсолютныхъ величинъ разсматриваемыхъ количествъ.

Когда выяснено понятіе о безконечно маломъ, то нетрудно будетъ разсмотрѣть измѣненіе стороны правильнаго вписаннаго въ кругъ многоугольника при безграничномъ увеличеніи числа его сторонъ и доказать, что длина этой стороны при данныхъ условіяхъ есть количество безконечно малое.

Затѣмъ проходятся, въ большемъ или меньшемъ объемѣ, необходимыя теоремы о дѣйствіяхъ надъ безконечно малыми количествами. Лучше всего сперва разсматривать эти теоремы на частныхъ примѣрахъ, чтобы учащіеся могли воспринять ихъ сущность и формулировать ихъ содержаніе; затѣмъ разсматриваются и общія ихъ доказательства1).

Далѣе нужно перейти къ существенному понятію о предѣлѣ. Я выясняю это понятіе обыкновенно на примѣрѣ, вычисляя съ учащимися величину угла правильнаго многоугольника, число сторонъ котораго безгранично возрастаетъ. Если въ многоугольникѣ п сторонъ, то искомый уголъ содержитъ 180-— градусовъ; полагая п = 8, 4, 5, 6, 7, учащіеся вычисляютъ соотвѣтствующіе углы и убѣждаются, что величина угла возрастаетъ съ увеличеніемъ числа сторонъ; затѣмъ я предлагаю имъ разрѣшить вопросъ, будетъ ли этотъ уголъ возрастать безгранично или нѣтъ, и мы находимъ, что уголъ возрастаетъ не безгранично, а будетъ всегда менѣе 180° на величину —— ; эта дробь ни при какимъ п не обратится въ нуль, но можетъ быть сдѣлана сколь угодно малой. Я заставляю ихъ найти, при какомъ п уголъ многоугольника будетъ отличаться отъ 180° не болѣе чѣмъ на 1 мин., 1 сек., вообще на величину h\ и такимъ образомъ мы убѣждаемся, что постоянное количество 180° и перемѣнное—величина нашего угла — связаны между собой опредѣленнымъ соотношеніемъ, именно — разность ихъ безконечно мала. Теперь наступаетъ время сказать, что если два количества, постоянное и перемѣнное, обладаютъ указаннымъ свойствомъ, то постояное количество называется предѣломъ перемѣннаго; и понятіе о предѣлѣ такимъ образомъ выяснено. Необходимо и здѣсь разобрать достаточное число примѣровъ, хотя бы числовыхъ.

1) При этихъ доказательствахъ и вообще въ данномъ отдѣлѣ приходится пользоваться элементарными свойствами неравенствъ, (а иногда и отыскивать рѣшеніе неравенствъ 1-й степени съ однимъ неизвѣстнымъ). Поэтому небезполезно бываетъ своевременно выяснить и указать учащимся тѣ свойства неравенствъ, на которыя придется ссылаться, чтобы затѣмъ не отвлекаться изъ за этого отъ сути дѣла.

Теперь можно доказать теорему о томъ, что длина апоѳемы вписаннаго правильнаго многоугольника при безграничномъ возрастаніи числа его сторонъ имѣетъ предѣломъ длину радіуса; далѣе проходятся необходимыя теоремы о предѣлахъ, въ большемъ или меньшемъ количествѣ, по усмотрѣнію преподавателя. На основаніи своей практики могу сказать, что весь этотъ отдѣлъ не вызываетъ никакихъ затрудненій и усваивается учащимися вполнѣ сознательно, если только сопровождается разборомъ достаточнаго числа конкретныхъ примѣровъ.

Затѣмъ наступаетъ очередь за самымъ труднымъ шагомъ — необходимо перейти къ вопросу о вычисленіи длины окружности. Основная трудность здѣсь заключается въ томъ, какъ подойти въ систематическомъ курсѣ геометріи къ понятію о длинѣ окружности и къ вопросу о сравнительной длинѣ окружности и периметровъ вписанныхъ и описанныхъ многоугольниковъ. Дѣло въ томъ, что—проходится или не проходится въ младшихъ классахъ курсъ наглядной геометріи—но учащіеся все равно имѣютъ уже интуитивное представленіе о длинѣ кривой и въ частности о длинѣ окружности; для нихъ длина окружности—это длина той нити, которую можно совмѣстить съ данной окружностью и затѣмъ выпрямить и непосредственно сравнить съ любымъ прямолинейнымъ отрѣзкомъ: имъ кажется очевиднымъ, что прямая, соединяющая концы кривой, короче этой кривой, и менѣе очевидно, но все же довольно ясно, что эта кривая короче объемлющей (напр. описанной) ломаной. И съ точки зрѣнія методики вопросъ представляется въ высшей степени важнымъ, чтобы теоретическое ученіе о длинѣ окружности не разрывало связи съ этими наглядными представленіями, а наобороть—было самымъ тѣснымъ образомъ съ ними объединено.

Поэтому, если мы не желаемъ возвращаться къ обычному изложенію вопроса, то остается какъ будто только одинъ путь принять точку зрѣнія нашихъ старыхъ учебниковъ, признать понятіе о длинѣ кривой элементарнымъ и ввести аксіому или постулатъ, гласящій что окружность, дуга или вообще кривая линія больше периметра вписанной ломаной линіи и меньше периметра описанной (или какой либо другой равносильный постулатъ). Но здѣсь будетъ одно довольно существенное затрудненіе. Смыслъ словъ „больше“ и „меньше“ былъ у насъ до сихъ поръ опредѣленъ только примѣнительно къ такимъ геометрическимъ объектамъ, которые можно наложить другъ на друга (или вложить — для объемовъ); а въ какомъ смыслѣ мы должны понимать эти слова по отношенію къ объектамъ, которые нельзя наложить другъ на друга,—это мы еще до сихъ поръ не установили. Поэтому, если въ утвержденіи, что „длина окружности болѣе периметра вписаннаго многоугольника и менѣе периметра описаннаго“—мы понимаемъ слова „больше“ и „меньше“ въ обычномъ, ранѣе установленномъ въ геометріи смыслѣ, то въ сущности говоря мы здѣсь подразумѣваемъ чисто физическое явленіе—то обстоятельство, что длина нити, совмѣщенной съ окружностью и затѣмъ выпрямленной, болѣе длины прямолинейнаго отрѣзка, равнаго суммѣ сто-

ронъ вписаннаго многоугольника, и менѣе длины соотвѣтствующаго отрѣзка для описаннаго многоугольника; и разумѣется, этотъ чисто физическій фактъ не можетъ быть разсматриваемъ какъ геометрическая аксіома или постулатъ. Если же мы согласимся, что слова „больше“ и „меньше“ не могутъ здѣсь имѣть своего прежняго смысла (ибо геометрическая—а не физическая — окружность или часть ея никакъ не можетъ быть совмѣщена съ прямолинейнымъ отрѣзкомъ), то намъ останется только понимать самую „аксіому“: „окружность больше периметра вписаннаго многоугольника и меньше периметра описаннаго “—какъ скрытое опредѣленіе смысла словъ „больше“ и „меньше“ для даннаго случая (и вообще аксіомы и системы аксіомъ можно вѣдь разсматривать, какъ скрытыя опредѣленія); именно, мы въ сущности говоря вводимъ условіе считать окружность, какъ геометрическій объектъ—большей, чѣмъ периметръ вписаннаго многоугольника и меньшей, чѣмъ периметръ описаннаго, или равносильное условіе: дугу (меньшую полуокружности) считать большей, чѣмъ ея хорда, и меньшей, чѣмъ сумма касательныхъ, проведенныхъ черезъ ея концы. Можно замѣнить это условіе и такимъ, болѣе общимъ: дугу кривой считать большей, чѣмъ прямая, соединяющая ея концы, и меньшей, чѣмъ объемлющая ее ломаная линія.

Поэтому я думаю, что утвержденіе о сравнительной длинѣ окружности и периметровъ вписанныхъ и описанныхъ многоугольниковъ (и вообще о сравнительной величинѣ кривыхъ и прямыхъ линій), которое раньше было извѣстно учащимся прямо какъ физическій фактъ—теперь должно быть понимаемо ими какъ основное условіе о сравнительной величинѣ отрѣзковъ кривыхъ и прямыхъ линій, какъ геометрическихъ объектовъ; это условіе опредѣляетъ смыслъ словъ „больше“ и „меньше“ въ примѣненіи къ даннымъ группамъ геометрическихъ объектовъ, не наложимыхъ другъ на друга.

Здѣсь возникаютъ, естественно, возраженія. Если указанное сужденіе разсматривать какъ условіе, то во-1-хъ, можно ли его, при желаніи, замѣнить какимъ-либо другимъ, а во-2-хъ, какъ мотивировать, почему мы останавливаемся именно на этомъ условіи?

По поводу перваго обстоятельства скажу, что по моему вполнѣ мыслимо построить такую систему геометріи, въ которой считалось бы, что понятія „больше“ и „меньше“ приложимы только къ объектамъ, наложимымъ другъ на друга (въ этой геометріи выходило бы, что дуга круга и ея хорда не допускаютъ сравненія между собой по величинѣ); или даже такую, въ которой дуга считалась бы меньше своей хорды (и меньше описанной ломаной), и въ такой геометріи не было бы логическаго противорѣчія, а только было бы налицо расхожденіе съ общеизвѣстными физическими фактами, но это вѣдь не можетъ служить принципіальнымъ возраженіемъ.

По поводу второго обстоятельства я думаю, что цѣлесообразность принимаемаго нами условія можно (и должно) мотивировать примѣрно такъ. Если мы имѣемъ выпуклый многоугольникъ ABG1) и увеличимъ его площадь, замѣняя часть его пери-

метра ВС (выпуклой) ломаной В КС, а затѣмъ еще увеличимъ его площадь, замѣняя ломаную ВКС объемлющей ломаной BLMC,— то при этомъ, какъ извѣстно изъ геометріи, каждый разъ будетъ увеличиваться и периметръ, такъ какъ ломаная ВКС больше прямой ВС, но меньше объемлющей ломаной BLMC.

Если же мы возьмемъ тотъ же многоугольникъ AB CD и замѣнимъ въ немъ прямую ВС сперва выпуклой кривой В F С, а затѣмъ кривую—объемлющей ломаной BLMC,—то при этомъ площадь фигуры попрежнему всякій разъ возрастаетъ: но возрастаетъ ли соотвѣтственно и периметръ, мы не можемъ сказать, пока не установили, что больше: кривая BFC или прямая ВС, или ломаная BLMC. Въ силу же вышеуказаннаго условія мы получаемъ возможность утверждать, что и въ этомъ случаѣ периметръ выпуклой фигуры возрастаетъ при увеличеніи площади.

Разъ установлено соотношеніе по величинѣ между окружностью и периметрами вписаннаго и описаннаго многоугольниковъ, какъ геометрическими объектами, то мы можемъ установить и соотвѣтствующее неравенство между числами, выражающими ихъ длину. Пусть нами выбрана опредѣленная единица длины, и пусть рп и Рп будутъ числа, выражающія въ данныхъ единицахъ длину периметра вписаннаго и описаннаго правильнаго многоугольника (объ п сторонахъ); тогда длина окружности должна выразиться такимъ числомъ С, которое удовлетворяетъ неравенству р}1 <С С< Рп. Теперь уже нетрудно доказать, что разность Рп —Рп безконечно мала (при безграничномъ вырастаніи п), и слѣд. длина окружности С есть общій предѣлъ рп и Рп .

Далѣе изложеніе курса можетъ идти обычнымъ порядкомъ: теорема о томъ, что длины окружностей относятся какъ радіусы или діаметры, заключеніе изъ нея о постоянствѣ отношенія окружности къ діаметру и вычисленіе л. Кстати о вычисленіи л замѣчу, что обычныя геометрическія формулы Ьп и а2п даютъ возможность (при помощи правильнаго 96-угольника) вычислить л съ точностью до 0,01: нужно только (принимая радіусъ за единицу) найти сторону а96 въ видѣ радикальнаго выраженія и вычислять корни съ 6 десятичными знаками, а послѣдній—съ 5-ю; апоѳему же 96-угольника (нужную для вычисленія периметра описаннаго 96-угольника) достаточно взять съ 4-мя десятичн. знаками; получимъ 3,140 < л < 3,144, или jr = 3,14 съ точн. до 0,01.

Выводъ формулы площади круга не представитъ затрудненій. Подобнымъ же образомъ выводятся формулы поверхностей и объемовъ круглыхъ тѣлъ: при этомъ при вычисленіи объемовъ мы непосредственно устанавливаемъ, что объемъ вписаннаго тѣла менѣе объема даннаго круглаго тѣла, а послѣдній менѣе объема описаннаго тѣла: съ поверхностями же дѣло обстоитъ не такъ просто, такъ какъ онѣ не накладываются другъ на друга, и приходится вводить дополнительныя условія (или — если угодно — постулаты) для ихъ сравненія, считая каждый разъ поверхность круглаго тѣла большей, чѣмъ поверхность вписаннаго тѣла, но меньшей, чѣмъ поверхность описаннаго. Цѣлесообразность этихъ условій обычно не вызываетъ сомнѣній у учащихся, но въ слу-

чаѣ надобности ее можно мотивировать при помощи соображеній, аналогичныхъ указаннымъ выше по поводу длины окружности.

Вотъ основныя положенія, которымъ я слѣдовалъ въ своей практикѣ; могу удостовѣрить, что при такомъ изложеніи учащіеся уже не встрѣчаютъ затрудненій при прохожденіи даннаго отдѣла; напротивъ, они считаютъ его легкимъ и удобопонятнымъ.

„Геометрія круга“ г. А. П. Охитовича.

Н. Спенглеръ. Харьковъ.

По вопросу о раздѣленіи угла на равныя части г. Охитовичъ напечаталъ двѣ книги: 1) „Геометрія круга (циклометрія)“. Казань 1908: 2) „По вопросу о трисекціи угла. Отвѣтъ проф. Д. М. Синцову и другимъ моимъ критикамъ“. Казань 1913.

Въ началѣ своего отвѣта критикамъ г. Охитовичъ упоминаетъ о проф. математики N, который указалъ, что, начиная съ § 34, циклометрія базируется на неправильномъ постулатѣ. Постулатъ этотъ соститъ въ допущеніи существованія угловъ, имѣющихъ общую вершину внѣ центра и перефиріи круга и пропорціональныхъ дугамъ, заключеннымъ между ихъ сторонами. Хотя въ своемъ отвѣтѣ» критикамъ г. Охитовичъ и доказываетъ существованіе такихъ угловъ, но въ „циклометріи“ допускается болѣе частный случай, когда оба угла имѣютъ общую сторону, лежащую на діаметрѣ круга. Существованіе такихъ угловъ допускается въ §§ 34 и 38. Въ §41 высказывается утвержденіе, которымъ займемся подробнѣе.

Положимъ, что имѣемъ два центральныхъ угла /_АОВ = а и/_АОС= ß. Будемъ передвигать прямыя OB и ОС параллельно самимъ себѣ такъ, чтобы точка ихъ пересѣченія Ох двигалась по діаметру ААѴ Г. Охитовичъ полагаетъ, что существуютъ такія положенія точки О, внѣ центра О и концовъ діаметра AAtJ когда (См. чер.)

откуда

Посмотримъ, правильно ли это. Положимъ, что ВОВх =ВУ / COCt = С, АО = г, ООх — хи опустимъ перпендикуляры d и dx на прямыя 01В1 и 01С1.

Имѣемъ

(1)

Требуется опредѣлить х,В,С такъ, чтобы

Первое рѣшеніе получимъ, полагая

откуда

и слѣд. точка Ot совпадаетъ съ О.

Полагая, что В и С не равны нулю, изъ (1) находимъ

Пусть а = kß, и слѣд. В = кС, при чемъ 0 < fc < 1- Намъ надо изслѣдовать, какъ измѣняеться отношеніе

(2)

когда <р измѣняется въ предѣлахъ первой четверти, ибо только въ такихъ предѣлахъ можетъ измѣнятся уголъ G, если только ß<x.

Беря производную отъ (2), получимъ

Возьмемъ производную отъ числителя. Получимъ

Такъ какъ Ісср < ср, то при 0 < ср << — послѣднее выраженіе положительно, а потому ktgcp — tgkxp возрастаетъ въ предѣлахъ первой четверти. При ср == 0 послѣднее выраженіе равно нулю, и потому при О <С<Роно больше нуля. Такъ какъ знаменатель въ выраженіи для ^ также положителенъ, то находимъ, что отношеніе при измѣненіи (р отъ 0 до — постоянно возрастаетъ и пробѣгаетъ при этомъ всѣ значенія отъ к до sin —.

Поэтому отношеніе

при измѣненіи С отъ О до — обязательно получитъ значеніе равное и при томъ только одинъ разъ, а именно, когда

C=ß, В = а.

Уравненія (1) дадутъ тогда

X — г,

т. е. точка 01 будетъ находится въ точкѣ А1. Если точка 01 будетъ двигаться отъ О къ А, то отношеніе —г-77 будетъ опять получать тѣ же значенія отъ к, но ужъ не до sin —, а только до — . Послѣднее значеніе наше отношеніе получитъ въ точкѣ А. Другихъ рѣшеній нѣтъ.

Пусть теперь ß^>—- Если kß = а > — или kß = а^>л — ß, то & — z и угла С, удовлетворяющаго равенству

не существуетъ.

Остается еще предположеніе.

Такъ какъ ß>-, тоа = ^>-^-, и потому

а слѣд.

откуда заключаемъ, что искомого угла С въ этомъ случаѣ опять не существуетъ.

Итакъ, разбираемое утвержденіе г. Охитовича неправильно. Далѣе въ § 43 г. Охитовичъ доказываетъ слѣдующую теорему. Пусть ААХ есть діаметръ круга, а ВВХ и ССХ хорды пересѣкающіяся въ точкѣ Q на этомъ діаметрѣ. Пусть еще ^ AB =-----~—- и /_ А QB <_ /_ Л Q С < /_ ^ Тогда будетъ

Очевидно, что послѣдняя пропорція ведетъ за собой слѣдующую

а это, какъ видѣли, не возможно, если точка Q не лежитъ въ центрѣ окружности, т. е. теорема невѣрна.

Доказательство этой своей теоремы г. Охитовичъ основываетъ на разобранномъ предложеніи и кромѣ того допускаетъ и другія ошибки, какъ напр. вычитаетъ неравенства одинакового смысла.

Послѣдующія теоремы „циклометріи“ основываются на этой невѣрной.

Во второй своей книгѣ г. Охитовичъ возражаетъ проф. Д. М. Синцову, доказавшему, что построенный г. Охитовичемъ уголъ X и считаемый имъ за третью часть даннаго угла а, въ дѣйствительности опредѣляется формулой

(3)

Проф. Д. М. Синцовъ доказалъ, что этотъ уголъ х при вся« комъ а, заключенномъ внутри предѣловъ 0 и 1л, не равенъ

Г. Охитовичъ считаетъ, что анализъ еще не усовершенствовался въ достаточной мѣрѣ, чтобы его можно было всегда прилагать къ объясненію соотношеній явленій и фактовъ. Въ данномъ случаѣ это несовершенство выражается въ томъ, что уравненіе выведенное проф. Д. М. Синцовымъ, и связывающее величины х и а, не имѣетъ корня въ предѣлахъ отъ 0 до 2л. Это г. Охитовичъ доказываетъ на протяженіи десяти страницъ и даетъ два доказательства, не смущаясь тѣмъ общеизвѣстнымъ фактомъ, что

tgx въ предѣлахъ отъ 0 до л получаетъ всѣ значенія отъ 0 до -f- оо и затѣмъ отъ — оо до 0.

Въ первомъ доказательствѣ г. Охитовичъ утверждаетъ, что равенство

гдѣ X и а несоизмѣримы между собой, нелѣпо, ибо тогда функція несоизмѣримыхъ величинъ была бы тождественно равна цѣлому числу. Такимъ образомъ равенство.

при а =10 и х = 1од{03

по г. Охитовича является нелѣпымъ.

Во второмъ доказательствѣ г. Охитовичъ полагаетъ, что корень X уравненія равенъ та, гдѣ т — величина независящая отъ а. Допущеніе это г. Охитовичъ не обосновываетъ. Впрочемъ изъ дальнѣйшаго видно, что. по его мнѣнію, вообще всякая функція f(a) можетъ быть представлена подъ видомъ

(4) f(a) = ka,

гдѣ к не зависитъ отъ а. Интересно, какъ г. Охитовичъ представитъ въ такомъ видѣ функцію f(a) = а2.

Покончивъ съ уравненіемъ, выведеннымъ проф. Д. М. Синцовымъ, г. Охитовичъ говоритъ: „тѣмъ не менѣе въ построеніи уголъ X по отношенію къ углу а долженъ представлять опредѣленную величину... Назовемъ эту величину синтетическимъ корнемъ уравненія. Ниже будетъ показано, что синтетическій корень во всѣхъ случаяхъ, когда уравненіе имѣетъ аналитическій корень, совпадаетъ съ послѣднимъ, а въ тѣхъ случаяхъ, когда аналитическаго корня не имѣется, онъ есть предѣлъ значеній искомаго аналитическаго корня, стремящихся обратить уравненіе въ тождество“. Ниже это не показывается.

Покончивъ съ возраженіями проф. Д. М. Синцову, г. Охитовичъ пытается доказать аналитически справедливость своихъ результатовъ, полученныхъ въ „циклометріи“. При этомъ онъ пользуется упомянутымъ допущеніемъ (4) и кромѣ того доказываемыми имъ теоремами, въ которыхъ допускается, что отношенія —— и - могутъ при всѣхъ значеніяхъ а сохранять одно и то же значеніе (это, очевидно возможно только, когда к—1 или к = 0).

Замѣтка по поводу теоремы Польке.

Д. Синцовъ. Харьковъ.

А. К. Власовъ въ своемъ интересномъ и поучительномъ докладѣ на 2-мъ Съѣздѣ преподавателей математики: „Изобрази-

тельное искусство и геометрія“, который къ моему искреннему сожалѣнію пока еще не появился въ печати, но надо надѣяться будетъ опубликованъ авторомъ, указываетъ на необходимость отмѣтить передъ слушателями т. наз. теорему Польке:

„Три прямолинейныхъ отрѣзка произвольной длины сходящихся въ одной точкѣ и лежащихъ на плоскости изображенія, можно всегда считать наклоннымъ аксонометрическимъ изображеніемъ трехъ взаимно-нормальныхъ прямолинейныхъ отрѣзковъ равной длины1)“.

Вполнѣ соглашаясь съ почтеннымъ авторомъ я думаю, что это необходимо дѣлать, приступая къ изложенію аналитической геометріи въ пространствѣ. Мнѣ представляется необходимымъ разъясняя способъ, который будетъ примѣняемъ въ дальнѣйшемъ для изображенія въ плоскости трехмѣрныхъ пространственныхъ образовъ, обосновать этотъ пріемъ, и сдѣлать это очень не трудно, если обнаружить справедливость теоремы Польке для этого частнаго случая.

Дѣйствительно, если двѣ изъ осей координатъ параллельны плоскости чертежа (случай обычно примѣняемый при изображеніи координатнаго тріэдра), то можно принять, что онѣ и лежатъ въ этой плоскости (чертежа или доски). Тогда теорема Польке сводится къ утвержденію, что любая точка плоскости чертежа можетъ быть принята—при соотвѣтствующемъ выборѣ направленія проектирующихъ лучей,—за проекцію точки, лежащей на третьей оси на разстояніи равномъ единицѣ длины отъ начала координатъ. Дѣйств., пусть С точка оси, такъ что С0=1. (См. черт.). И пусть X произвольная точка плоскости чертежа, перпендикулярной къ линіи ОС.

Имѣемъ прямоугольный при О треугольникъ СОХ, въ которомъ //СХ0=а измѣряетъ уголъ, который проектирующіе лучи дѣлаютъ съ плоскостью чертежа.

Имѣемъ:

ОХ = ctg а.

И такъ какъ котангенсъ можетъ имѣть всѣ значенія отъ О до оэ, то ясно, что точку X можно взять на любомъ разстояніи отъ О. Прямая СХ опредѣлитъ направленіе проектирующихъ лучей.

1) Цитирую текстъ по Начертательной Геометріи В. Э. Вестермана. Рига, Киммель. 1910 г. с. 75.

Объ одномъ свойствѣ однополаго гиперболоида.

Д. Синцовъ. Харьковъ.

Нитяная модель однополаго гиперболоида, конечно, въ достаточной степени извѣстна всѣмъ, но она настолько поучительна, что можетъ быть не лишнее нѣсколько ее варіировать.

Обычно1) она изготовляется такъ: берутъ два эллипса въ плоскостяхъ симметрично расположенныхъ относительно центра и соединяютъ прямыми соотвѣтственныя ихъ точки, — т. е. тѣ которыя лежатъ на одной и той же образующей.

Если уравненіе гиперболоида

(1)

то при сѣченіи плоскостями z=+k получаемъ въ этихъ плоскостяхъ равные эллипсы

Прямолинейная образующая встрѣчаетъ первый эллипсъ (s=-f-Ä) въ точкѣ

1) Извѣстныя модели Коллекцій Брилля Итллинга: У меня передъ глазами очень изящная модель, изготовленная В. М. Фесенко.

Для гиперболоида вращенія очень простой способъ указанъ В. Я. Гебелемъ въ его книжкѣ: Начала аналитической геометріи въ пространствѣ и собраніе задачъ м. 1911 г. с. 12.

второй эллипсъ (z= —к) въ точкѣ

Эти точки и явятся соотвѣтственными.

Задавшись опредѣленными а, Ь, с, к даемъ рядъ Я и получаемъ тѣ точки, кои д. б. соединяемы. Но, конечно, это только схема, и при практическомъ выполненіи было бы удобнѣе задаваться точками одного изъ эллипсовъ и по нимъ вычислять соотв. Я. Задаваться точками можно произвольно, но руководящимъ принципомъ явится конечно принципъ эстетическій,—такъ чтобы модель давала ощущеніе наибольшей гармоніи и правильности.

Но я имѣлъ въ виду говорить не объ этихъ моделяхъ.

Мнѣ казалось бы крайне желательнымъ построить модель однополаго гиперболоида какъ совокупности прямыхъ встрѣчающихъ три данныхъ не пересѣкающихся прямыхъ.

По существу это конечно совсѣмъ нетрудно, и для этой цѣли можно использовать ту-же нитяную модель выдѣливши въ ней нитями особаго цвѣта—три какія-нибудь образующія одной системы: онѣ между собою не пересѣкаются и представляютъ т. о. нужную базу, на которую опираются всѣ прямыя другой системы образующія этотъ однополый гиперболоидъ.

При этомъ является одинъ интересный частный вопросъ: такъ какъ три основныхъ прямолинейныхъ образующихъ можно выбрать совершенно произвольно, то нельзя ли выбрать ихъ такъ, чтобы отъ были взаимно-перпендикулярны?

Оказывается, что это возможно не всегда: мнимая ось гиперболоида должна быть менѣе наибольшей изъ вещественныхъ осей т. е. если а > Ь, то а > с.

Это легко получить разсматривая асимптотическій конусъ, образующія котораго параллельны прямолинейнымъ образующимъ гиперболоида1).

1) На этотъ пріемъ доказательства мое вниманіе обратилъ С. Н. Бернштейнъ.

Дѣйств., наибольшій уголъ растворенія конуса 2а получается въ сѣченіи плоскостью проходящею черезъ ось его (мнимую ось гиперболоида) и большую ось горлового эллипса, и такъ какъ для гиперболоида

(1)

Къ этому же результату можно прійти и непосредственно вычисляя уголъ между прямолинейными образующими. Путь этотъ болѣе длинный приводитъ однако сверхъ того и къ геометрическому мѣсту точекъ гиперболоида, въ которыхъ его прямолинейныя образующія взаимно перпендикулярны.

Такъ какъ эта задача представляетъ хорошее упражненіе по аналитической геометріи, то я позволю себѣ привести два ея рѣшенія.

1-е рѣшеніе.

Приведемъ уравненія прямолинейныхъ образующихъ однополаго гиперболоида

къ виду

I.

II.

Условіе перпендикулярности

или

Пусть точка встрѣчи этихъ образующихъ (лежащая на гиперболоидѣ)

Отсюда

Вставляя въ (А) и освобождаясь отъ знаменателя найдемъ

Въ правой части замѣнимъ по уравненію гиперболоида

и будемъ имѣть по сокращеніи на 2:

Если это выраженіе переписать подъ видомъ

и замѣнить по уравненію гиперболоида

то получимъ

Итакъ точки гиперболоида, проходящія черезъ которыя прямолинейныя его образующія взаимно перпендикулярны, должны удовлетворять этому условію, т. е. лежать на шарѣ

(2)

2-е рѣшеніе. Къ этому результату мы могли бы прійти и иначе. Какъ извѣстно, касательная къ гиперболоиду (1) въ точкѣ его плоскость

(3).

пересѣкаетъ его по двумъ прямолинейнымъ образующимъ. Уравненіе

даетъ проекцію кривой пересѣченія (1) и (3) на плоскость хоу. Съ помощью уравненія гиперболоида (ибо по (1)

это уравненіе приводится къ виду

или

Вводя сюда

получимъ уравненіе для угловыхъ коффиціентовъ проекцій двухъ прямыхъ

или

гдѣ

Уравненія же самихъ прямолинейныхъ образующихъ напишутся

Условія перпендикулярности

или

послѣдніе три члена м. б. переписаны

Внося въ уравненіе имѣемъ

т. е. приходимъ къ тому же условію

хі2 + ух2 + = а14- Ъ2 — с1 (2)

Т. обр. необходимое условіе а2 -\-Ъ2 — с2>0, но оно еще недостаточно: нужно, чтобы шаръ

x2 + y2 + z2 = a‘2 + b2-C2

дѣйствительно пересѣкался съ гиперболоидомъ (1), а для этого его большой кругъ

не долженъ лежать цѣликомъ внутри горлового эллепса

Пусть а>Ь. Тогда для вещественности пересѣченія необходимо, чтобы

т. е.

Для радіуса сферы (2) можно дать такое геометрическое построеніе. Пусть данъ горловой эллипсъ AB А'В' съ центромъ въ О. (См. чер.). Строимъ прямоугольникъ OBDA на его полуосяхъ. OD = Va- +• Щ на OD какъ на діаметрѣ описываемъ окружность и изъ D засѣкаемъ дугу радіусомъ GD = c. Тогда ОС2 «== а2 -|- Ь2 — с2.

Окружность описанная радіусомъ ОС изъ центра О не должна лежать вся внутри горлового эллипса.

Линія пересѣченія шара и гиперболоида проектируется на плоскость ХОУ по эллипсу

Задачи.

Подъ редакціей Э. Ю. Лейнѣка.

210. Рѣшить уравненіе:

х3 — 6х2 -f 12х —10 = 0.

211. Обозначая чрезъ рѵ р2, р3 . . . . числителей подходящихъ дробей непрерывной дроби

доказать соотношеніе:

212. Составить рядъ изъ положительныхъ чиселъ такъ, чтобы каждое изъ нихъ равнялось суммѣ двухъ за нимъ слѣдующихъ; затѣмъ: а) найти предѣлъ суммы квадратовъ этихъ чиселъ, Ь) дать геометрическое толкованіе этой суммѣ (построенные соотвѣтственно найденнымъ числамъ квадраты при сложеніи ихъ могутъ быть расположены такъ, что въ предѣлѣ сумма ихъ площадей займетъ площадь нѣкотораго прямоугольника).

С. Лапшинъ.

213. Дана окружность и діаметръ ея AB; изъ какой-либо ея точки С радіусомъ СВ описывается дуга, пересѣкающая діаметръ AB въ точкѣ Е, а данную окружность въ точкѣ D. Доказать, что DE±_AC.

Р. Витвинскій.

214. Опредѣлить, при какихъ значеніяхъ коэффиціентовъ а и Ъ многочленъ

-f- ля3 -(- Ъх- — 8ж 4* 4

представляетъ собою точный квадратъ.

215. Построить треугольникъ по основанію и соотвѣтствующей ему высотѣ, если одинъ изъ угловъ при основаніи вдвое болѣе другого.

В. Кованько.

216. Найти предѣлъ суммы членовъ ряда

217. Найти внутри треугольника такую точку О, чтобы произведеніе AB'. ВС'. С А' имѣло наибольшую величину. АВ', С'— точки пересѣченія прямыхъ АО, ВО и СО со сторонами ВС, С А, AB.

Рѣшенія задачъ.

173. Доказать, что произведеніе двухъ логариѳмовъ не измѣняется, когда переставимъ числа или основанія, т.-е.

l[Ja 1 -А-| . IçfciQ ^2 —* ^ 2 * ^ 1 == ^ ^2

Обобщить теорему на случай нѣсколькихъ множителей.

Для доказательства воспользуемся извѣстнымъ соотношеніемъ изъ теоріи логариѳмовъ (см. напр. Веберъ и Велльштейнъ, Энциклопедія элем. мат. I. § 34,4).

Умножая обѣ части на Ідаі Лт2 будемъ имѣть

Переставляя первый и второй множители въ правой части и замѣчая, что на основаніи вышеприведеннаго тождества

получимъ:

Такимъ образомъ доказано равенство перваго и второго изъ трехъ данныхъ произведеній, а такъ какъ третье произведеніе отличается отъ второго лишь порядкомъ сомножителей, то тѣмъ самымъ доказана предложенная теорема въ полномъ объемѣ.

Теорема эта можетъ быть обобщена слѣдующимъ образомъ: произведеніе

lga{ Nt. lga2 N2 . Іда% Ns ... . Ідап іѴ

не мѣняетъ своей величины при какомъ угодно измѣненіи порядка величинъ ах, а2 . . . ап, или величинъ Nu N2 ... . Nn или одновременномъ измѣненіи порядка и тѣхъ и другихъ.

Справедливость этого утвержденія слѣдуетъ изъ того, что любая перестановка указателей аІ9 а2, а,3 .... ап можетъ быть получена изъ главной — аг а2 а3 а4 . . . ап посредствомъ ряда транспозицій (см. Веберъ и Велльштейнъ, loc. cit. § 49x), а каждая транспозиція, какъ это слѣдуетъ изъ только-что доказанной теоремы, не мѣняетъ величины разсматриваемаго выраженія.

Тоже самое относится и къ случаю, когда мѣняется порядокъ величинъ Nx, N2 . . . Nn, а порядокъ alf а2, . . . ап сохраняется. Наконецъ, въ случаѣ когда переставлены и величины ах, а2, ... ап и Nlf N%9 Ns . . . Nn, мы можемъ всѣ п множителей даннаго произведенія сгруппировать такъ, чтобы величины N. или а . шли въ натуральномъ порядкѣ и тогда мы будемъ опять имѣть дѣло съ однимъ изъ двухъ только что разсмотрѣнныхъ случаевъ.

К. Верещагинъ (Козловъ), В> Кованько (Вышній Волочекъ), И. Тепловъ (Москва).

174. Доказать, что прямая, симметричная съ одною изъ сторонъ треугольника относительно биссектриссы противолежащаго угла, перпендикулярна къ радіусу описаннаго круга, проведенному въ вершину этого же угла.

Опишемъ около треугольника АВС окружность и проведемъ высоту AD, биссектриссу АЕ угла А, прямую MN симметричную съ стороною ВС относительно АЕ и продолжимъ радіусъ АО до пересѣченія съ MN въ точкѣ D

Легко усмотрѣть параллельность линій AD и ОЕ' (Е‘ середина дуги ВС), а потому заключаемъ, что углы EAD и ЕЕ'О равны между собою;

далѣе, изъ равнобедреннаго треугольника АОЕ' выводимъ равенство угловъ ЕЕ’О и ЕАО. Отсюда слѣдуетъ равенство:

< DAE = <D'AE

Но въ треугольникахъ DAE и DAE' имѣется при точкѣ Е еще другая пара равныхъ угловъ (на основаніи условія задачи), а потому заключаемъ, что и третья пара состоитъ изъ равныхъ угловъ т.-е.

< El)'А = < EDA = J

и

К, Верещагинъ (Козловъ), В. Кованько (Вышній Волочекъ), Г. Стороженко (Новгородсѣверскъ), И. Тепловъ (Москва).

175. Въ данный равнобедренный треугольникъ вписать равносторонній треуголникъ, имѣющій сторону данной длины.

Пусть данъ равнобедренный треугольникъ АВС въ который надо вписать равносторонній треугольникъ DE F, имѣющій сторону данной длины. Задача будетъ рѣшена, если найдемъ положенія двухъ вершинъ напр. D и F или, что то же отрѣзки AD и AF.

Для этого произведемъ обратное построеніе: опишемъ около даннаго равносторонняго треугольника равнобедренный треугольникъ АВС.

Это построеніе можетъ быть выполнено слѣдующимъ образомъ: на сторонахъ DF и EF треугольника DEF описываемъ сегменты, вмѣщающіе уголъ А даннаго равнобедреннаго треугольника и черезъ точку F проводимъ прямую АС равную по длинѣ основанію треугольника АВС. Задача приведена съ слѣдующей задачѣ: черезъ точку пересѣченія двухъ окружностей провести сѣкущую такъ, чтобы сумма полученныхъ хордъ равнялась данному отрѣзку.

Чтобы построить искомую прямую на ОО, какъ на діаметрѣ, описываемъ полуокружность и изъ точки О радіусомъ равнымъ

засѣкаемъ ее въ точкѣ G. Прямая проведенная черезъ F параллельно 0G будетъ искомою сѣкущею. Въ самомъ дѣлѣ, продолживъ О'G до пересѣченія съ ІС и опустивъ изъ О перпендику-

ляръ на АС будемъ имѣть прямоугольникъ, у котораго сторона, противоположная сторонѣ 6?, равна половинѣ всей сѣкущей, а такъ какъ OG = ——-, то длина всей сѣкущей равна данному отрѣзку—основанію равнобедреннаго треугольника.

Изъ всего изложеннаго слѣдуетъ построеніе.

На данномъ отрѣзкѣ строимъ равносторонній треугольникъ DEF и на сторонахъ его DF и FF описываемъ дуги, вмѣщающія уголъ А даннаго равнобедреннаго треугольника. На прямой 00', соединяющей центры только что упомянутыхъ дугъ, описываемъ полукружность и изъ центра О радіусомъ засѣкаемъ ее въ точкѣ G. Черезъ F проводимъ линію параллельную OG, встрѣчающую окружности въ точкѣ А' и С'. Проводимъ A'D и С'Е до ихъ взаимнаго пересѣченія и получаемъ АА'В'С', равный данному А АВС. Отложивъ на сторонахъ даннаго треугольника отрѣзки AD — А!Е, ВЕ= В'Е, CF= C'F и соединивъ D съ Е и F будемъ имѣть искомый треугольникъ. Если задача возможна, то она допускаетъ вообще говоря два рѣшенія, такъ какъ полуокружность можно засѣкать и изъ точки О' тѣмъ же радіусомъ ——.

Въ случаѣ ~—> 00' или АС<С FF'1) задача невозможна.

Если —— = 00', то задача возможна, но имѣетъ лишь одно рѣшеніе.

Въ случаѣ —— <^00' задача имѣетъ два рѣшенія.

Е Верещагинъ (Козловъ), В. Кованько (Вышній Волочекъ).

176. Равносторонній треугольникъ двумя своими вершинами скользитъ по сторонамъ неподвижнаго прямого угла. Опредѣлить геометрическое мѣсто третьей вершины.

Выберемъ за начальное положеніе стороны AB равносторонняго треугольника то, при которомъ АО—ВО и докажемъ, что при движеніи А и В по сторонамъ прямого угла середина М стороны AB описываемъ окружность съ центромъ въ О, а весь треугольникъ вращается около точки Ы такъ, что если ОМ повернется на уголъ а, то и MC, принявъ положеніе МХСѴ будетъ образовывать уголъ Mt NM = а.

1) FF' отрѣзокъ сѣкущей, проведенной въ одной окружности касательно къ другой въ точкѣ F.

Въ самомъ дѣлѣ, какое бы положеніе не приняло AB, отрѣзокъ соединяющій вершину прямого угла съ серединою AB, какъ медіана гипотенузы, будетъ равенъ —-, т. е. точка М описываетъ окружность.

Далѣе, такъ какъ ОМ1=ВіМ1, то

поэтому

Изъ этого слѣдуетъ, что

Для опредѣленія геометрическаго мѣста вершины С возьмемъ за начало прямоугольной системы координатъ точку О, за ось X линію ОС, а за ось У прямую, проходящую черезъ О перпендикулярно къ О С.

При такомъ выборѣ осей легко подсчитать координаты точки Сг. Обозначая длину AB черезъ 2а будемъ имѣть:

Итакъ,

Исключая отсюда величину а получаемъ:

Это уравненіе, какъ извѣстно, характеризуетъ эллипсъ.

Вершина С опишетъ весь эллипсъ, если мы будемъ заставлять двигаться Aß во всѣхъ четырехъ квадрантахъ. Если же ограничиться лишь однимъ квадрантомъ, то точка С опишетъ дугу эллипса.

При другомъ расположеніи А АВС, а именно, когда С и О лежатъ по одну сторону отъ AB, получается другой эллипсъ, уравненіе котораго нетрудно составить.

К. Верещагинъ (Козловъ), В. Кованько (Вышній Волочекъ), И. Тепловъ (Москва).

177. Найти число, равное суммѣ квадратовъ его цифръ, умноженной на число цифръ безъ одной.

Задача заключается въ томъ, чтобы найти цѣлыя и положительныя рѣшенія уравненія:

10иао -(- 10й“ 1а1 10аи_1 -}- ап = п (а02 а12 ап2)... (1).

Наибольшее изъ возможныхъ значеній

п (а02 + «і2 + . .. а„2) есть 8 ln (n -f-1).

Наименьшее изъ возможныхъ значеній того же выраженія, если имѣть въ виду числа съ п-\- 1 цифрами, будетъ 10й.

Равенство (1) можетъ существовать лишь при условіи:

81w(w+ 1)>10”.

Легко убѣдиться, что этому неравенству удовлетворяютъ лишь значенія п=\ и w = 2, т. е. если задача имѣетъ рѣшеніе, то это будетъ число двузначное или трехзначное.

1. Пусть п = 1.

Уравненіе (1) принимаетъ видъ:

Отсюда

Выраженіе подъ корнемъ должно быть положительно, т. е.

или

Значенія аІ9 удовлетворяющія этому неравенству будутъ. О, 1, 2, 3, 4, 5 но изъ нихъ лишь 0 и 1 обращаютъ подкоренную величину въ точный квадратъ и для а0 получаемъ:

а0 = 5 + 5 т. е. а0 = 10 и а0 = 0

Итакъ въ случаѣ п= 1 задача рѣшеній не имѣетъ.

Пусть теперь п = 2.

Тогда ур-іе (1) приметъ видъ

100 а0 10 ал -f- а2 = 2(а02 -|- ^22)

Отсюда заключаемъ, что а2 четное число.

Такъ какъ наибольшее изъ возможныхъ значеній 2(а0 +аі2Н"а22) есть 486, то

Изъ основного ур-ія имѣемъ:

(2)

Пусть а0 = 1. Тогда находимъ

По тѣмъ же соображеніямъ, какъ выше, заключаемъ, что

Съ другой стороны <9, а потому

Ясно, что если оставить передъ корнемъ— ,то неравенство будетъ удовлетворяться при всякомъ а.2, обращающемъ подкоренное количество въ положительную величину, т. е. приходимъ къ прежнему результату 7; если же взять то возводя обѣ части равенства во вторую степень будетъ имѣть

Такъ какъ а2 число четное, то оба получеяыхъ неравенства удовлетворятся лишь при значеніяхъ а2 = 4, а2 = 6. Но ни то ни другое значеніе не даютъ для ах цѣлаго значенія.

Пусть теперь а0 = 2.

Такими же пріемами какъ выше приходимъ къ неравенствамъ

а2 > 8, а2 <9.

Отсюда выводимъ а% =8.

Подставляя это въ формулу для ах находимъ:

аг = 9.

Итакъ, искомое число имѣетъ видъ 298.

Дѣйствительно, 298 = 2(22-{-92-]-82)

Въ случаѣ а0 = 3 и а0 — 4 мы приходимъ къ неравенствамъ а22>105, a22> 148, невозможнымъ, такъ какъ а2 < 9. Слѣдовательно, задача имѣетъ лишь одно рѣшеніе—298.

К. Верещагинъ (Козловъ).

179. Доказать, что частное отъ дѣленія 2^_І—1 на р будетъ точнымъ квадратомъ при простомъ р лишь въ случаяхъ =1,3,7*) По теоремѣ Fermat’a заключаемъ, что при р простомъ не дѣлящемъ 2, т. е. р 2, частное------- есть цѣлое число.

Далѣе имѣемъ

У * У х

Оба количества 2 2 -)-1 и 2 2 —1 на р одновременно дѣлиться не могутъ, ибо въ этомъ случаѣ на р дѣлилась бы ихъ разность, (2 2-fl)—(2 2 —1)=2, что невозможно, ибо 2. Итакъ, возможны два случая:

дѣлится на р, дѣлится на р.

цѣлое число.

*) Въ условіи задачи № 179 см. М. О. 1914. стр. 369 опечатка: напечатано р=2, 3, 7.

Такъ какъ по только что сказанному ---^----и 2 2 — 1 числа взаимнопростыя и такъ ихъ какъ произведеніе по условію должно быть точнымъ квадратомъ то, заключаемъ, что каждый множитель въ отдѣльности долженъ быть точнымъ квадратомъ, т. е. должно имѣть мѣсто равенство

Такъ какъ а число нечетное, то положимъ а = 2/с —(— 1. Тогда будемъ имѣть:

Отсюда заключаемъ, что ѵ — < 2, ибо въ противномъ случаѣ 2 г дѣлилось бы на 4, слѣдовательно и все выраженіе должно было бы дѣлиться на 4 что невозможно, ибо правая часть равна 2. Итакъ, — ~ =1; р = 3.

2. Пусть цѣлое число.

Въ этомъ случаѣ сумма 2 2 -f- 1 должна быть точнымъ квадратомъ и притомъ квадратомъ нечетнаго числа.

Положимъ

Отсюда имѣемъ:

Произведеніе к(к4-1) при всякомъ цѣломъ, положительномъ к > 1 будетъ содержать нечетный множитель, а такъ какъ 2 на нечетное число дѣлиться не можетъ, то заключаемъ, что к — 1; въ этомъ случаѣ 2 2 = 8 = 28; р = 7.

Полученныя нами условія выведены въ предложеніи р 2 и являются условіями необходимыми. Провѣряя оба значенія р = 3 и р = 7 убѣждаемся, что эти же условія и достаточны. Два

неразсмотрѣнныхъ значенія р, р = 1 и р = 2 изслѣдуемъ непосредственно:

Итакъ, задача имѣетъ всего три рѣшенія: (если разсматривать и 1 какъ простое число, а 0 какъ точный квадратъ)

Р=1і 3, 7.

М. Бритманъ (Николаевъ).

Отъ Организаціоннаго Комитета 3-го Всероссійскаго Съѣзда Преподавателей математики.

На предварительныхъ совѣщаніяхъ по организаціи 3-го Всероссійскаго Съѣзда преподавателей математики выработаны слѣдующія предложенія:

1. Съѣздъ состоится на рождественскихъ каникулахъ 1917— 1918 года въ Петроградѣ.

2. Главная задача Съѣзда заключается въ выясненіи основъ общей постановки курса математики въ средней школѣ въ связи съ тѣми теченіями въ этой области, которыя обозначались на первыхъ двухъ Всероссійскихъ Съѣздахъ.

3. Въ цѣляхъ выясненія вопросовъ, обсужденіе которыхъ должно служить матеріаломъ для рѣшенія основной задачи Съѣзда, составленъ прилагаемый перечень.

Этотъ перечень составленъ главнымъ образомъ на основаніи трудовъ 1-го и 2-го съѣздовъ. Онъ можетъ подлежать отбору, сокращенію и дополненію съ точки зрѣнія основной задачи 3-г о Съѣзда.

Оглашеніе этого перечня обусловлено желаніемъ вызвать предварительный обмѣнъ мнѣній въ математическихъ обществахъ, кружкахъ, на страницахъ педагогическихъ журналовъ и пр.

Съ вопросами, пожеланіями и замѣчаніями, относящимися къ предварительной работѣ по организаціи 3-го Всероссійскаго Съѣзда преподавателей математики можно обращаться по слѣдующему адресу: Петроградъ, Соляной Городокъ. (Фонтанка, 10), Педагогическій Музей Военно-учебныхъ заведеній*).

*) Просятъ другіе педагогическіе журналы и повременныя изданія перепечатать это обращеніе и прилагаемый списокъ.

Вопросы, подлежащіе обсужденію на 3-ьемъ Всероссійскомъ Съѣздѣ Преподавателей Математики, предположено разбить на слѣдующія группы:

Іа. Общія основанія постановки курса математики въ средней школѣ.

Іб. Постановка курса математики въ женскихъ учебныхъ заведеніяхъ, въ комерч. учил., техническ. училищ., въ народной школѣ повышеннаго типа, въ учрежденіяхъ, подготовл. преподавателей, въ частности въ учительскихъ институтахъ и семинаріяхъ.

II. Конструкція разныхъ отдѣловъ математики въ средней школѣ.

III. Подготовка преподавателей.

IV. Повѣрка знаній (репетиціи, переводные, выпускные и конкурсные экзамены).

V. Общіе и частные вопросы преподаванія математики.

Вопросы:

I. Общія основанія постановки курса математики въ средней школѣ.

1. Сравнительная постановка курса математики у насъ и въ другихъ странахъ.

2. Раздѣленіе курса общеобразовательной средней школы на двѣ ступени: а) на ступень, общую для всѣхъ учащихся и б) на вторую ступень, „допускающую спеціализацію приноровленную къ индивидуальнымъ способностямъ учащихся и удовлетворяющую требованіямъ высшей школы*)“.

II. Конструкція разныхъ отдѣловъ математики въ средней школѣ.

Элементы анализа и аналитической геометріи въ средней школѣ.

3. Возможныя конструкціи курса анализа, въ виду признанія резолюціей 3-ьей Второго Съѣзда необходимости введенія даннаго курса въ среднюю школу всѣхъ типовъ.

4. Подготовка учащихся среднихъ классовъ къ курсу анализа.

5. Возможныя конструкціи курса аналитической геометріи, въ виду признанія резолюціей... и т. д. (см. вопросъ 3-ій).

Ариѳметика.

6. Требованія по предмету ариѳметики, предъявляемыя къ дѣтямъ, поступающимъ въ первый классъ средней школы.

7. Составъ курса ариѳметики въ младшихъ классахъ, въ частности вопросъ о пропедевтическомъ курсѣ дробей и вопросъ о рѣшеніи уравненій первой степени съ однимъ неизвѣстн. и численными коэффиціентами.

*) См. резолюціи 4, 5, 6 Перваго Съѣзда Преподават. Матем.

8. Вопросы ариѳметическаго содержанія въ курсѣ среднихъ классовъ.

9. Дополнительно-повторительный курсъ ариѳметики въ одномъ изъ старшихъ классовъ.

Алгебра.

10. Вопросъ о возможномъ сокращеніи курса алгебры (неопредѣленныя уравненія; кубическій корень; непрерывныя дроби и пр.).

11. Функціональныя зависимости въ курсѣ алгебры. Графики.

12. Ученіе объ ирраціональномъ числѣ въ средней школѣ.

13. Введеніе въ курсъ алгебры элементовъ исчисленія вѣроятностей въ связи съ комбинаторнымъ анализомъ.

Геометрія.

14. Необходимо ли раздѣленіе курса геометріи въ средней школѣ на циклы и вопросъ о числѣ цикловъ?

1-ый циклъ (пропедевтическій, начальный курсъ).

15. Постановка перваго цикла геометріи въ различныхъ учебныхъ заведеніяхъ и достигаемые этимъ курсомъ результаты.

16. Опредѣленія и разсужденія доказательнаго характера въ первомъ циклѣ геометріи.

17. Развитіе пространственныхъ представленій въ первомъ циклѣ.

2-ой циклъ

18. Задачи и цѣли 2-го (и 3-го) цикл. курса элементарной геометріи.

19. Вопросъ о сокращеніи курса Евклида, объ элементахъ геометріи начертательной и проективной.

20. Вопросы о сліяніи планиметрій съ стереометріей (фюзіонизмъ).

21. Вопросъ о функціональной точкѣ зрѣнія въ геометріи.

22. При наличіи курса анализа въ какую форму должно вылиться въ систематическомъ курсѣ геометріи ученіе о вычисленіи тѣхъ геометрическихъ протяженій, гдѣ въ настоящее время пользуются методомъ предѣловъ?*).

23. Какое значеніе можетъ имѣть ознакомленіе учащихся съ логической возможностью геометріи Лобачевскаго?

Тригонометрія.

24. Необходимо ли раздѣленіе тригонометріи на два цикла (по типу реальныхъ училищъ)?

III. Подготовка преподавателей.

25. Необходимо всесторонне выяснить вопросъ о соотношеніи между математическимъ и педагогическимъ образованіемъ преподавателя математики.

*) Опредѣленные интегралы?

IV. 26. Повѣрка знаній (репетиціи, переводные, выпускные и конкурсные экзамены).

V. Общіе и частные вопросы преподаванія математики.

27. О соотношеніи между логическимъ и интуитивнымъ элементами въ курсѣ математики.

28. Эстетическій элементъ въ математикѣ.

29. Роль наглядныхъ пособій на различныхъ ступеняхъ обученія математикѣ. „Лабораторный“ методъ при обученіи математикѣ.

30. Что дала экспериментальная психологія для обученія математикѣ?

31. Самостоятельныя занятія учащихся (чтеніе книгъ математическаго содержанія, рефераты, практическія занятія и проч.).

32. Содержаніе задачниковъ (см. резолюцію 3-ью Перваго Съѣзда: въ какой мѣрѣ въ нихъ „должны входить данныя изъ области физики, механики, космографіи...“).

Къ организаціи 3-го Съѣзда.

A. Учрежденіе научной секціи въ добавленіе къ тѣмъ секціямъ, которыя были на 1-омъ и 2-омъ Съѣздахъ.

Б. Исполненіе резолюціи У-ой 2-го Съѣзда — „Постоянное Бюро Съѣздовъ Преподавателей Математики“.

B. Докладъ о дѣятельности Международной Комиссіи.

Г. Докладъ о номографіи спеціалиста по математической статистикѣ (научная секція).

Отъ Организаціоннаго Комитета 2-го Всероссійскаго Съѣзда преподавателей математики.

Въ настоящее время законченъ печатаніемъ сборникъ: „Доклады читанные на 2-мъ Всероссійскомъ Съѣздѣ Преподавателей Математики въ Москвѣ“. Эта книга (20 печ. лист.) представляетъ собраніе докладовъ, читанныхъ на 2-мъ Съѣздѣ (съ 26 дек. 1913 г.— 3 янв. 1914 г.) и доставленныхъ ихъ авторами Организаціонному Комитету Съѣзда.

Цѣна—для членовъ Съѣзда 1 р., для постороннихъ лицъ 2 р. съ пересылкой.

Означенную книгу можно выписывать изъ редакціи журнала „Математическое Образованіе“ Москва, Маросейка, Козьмодемьяновскій, 9.

Засѣданія Московскаго Математическаго Кружка.

Въ засѣданіи 12 февраля 1915 г. сдѣлали доклады: М. О. Бергъ—„Ученіе о конгруэнтности въ элементарной планиметріи“ и Е. С. Томашевичъ— „Клѣтчатая бумага и почтовыя марки, какъ счетное пособіе“.

Въ засѣданіи 12 марта 1915 г. былъ прочитанъ и утвержденъ отчетъ о дѣятельности Кружка за 1914 годъ, а также докладъ ревизіонной коммиссіи. При этомъ собраніемъ была выражена глубокая благодарность редакціи журнала Кружка „Математическое Образованіе“ —„за самоотверженную и энергичную дѣятельность, благодаря которой этотъ журналъ занялъ почетное

мѣсто среди педагогическихъ журналовъ и получилъ широкое распространеніе“.

Въ томъ-же засѣданіи было сдѣлано сообщеніе К. Ѳ. Лебединцевымъ’. „Опытъ изложенія ученія о простѣйшихъ функціяхъ и ихъ графикахъ въ средней школѣ“.

Библіографическій отдѣлъ.

Систематическій указатель статей, напечатанныхъ въ неоффиціальной части „Педагогическаго Сборника“ за пятьдесять лѣтъ (1864—1914). Составилъ С. А. Переселенковъ. Петроградъ. 1915 г. Стр. Х+288. Цѣна 1 р. 20 к. Изд. Главнаго Управленія военно-учебн заведеній.

Разсматриваемый „Указатель“ есть пятый по счету указатель къ „Педагогическому Сборнику“. Онъ превосходитъ всѣ предыдущіе своею полнотою и обстоятельностью.

Матеріалъ расположенъ въ немъ въ хронологическомъ порядкѣ, хотя въ нѣкоторыхъ отдѣлахъ хронологическій порядокъ соединенъ съ алфавитнымъ.

Въ концѣ книги помѣщенъ алфавитный списокъ лицъ, упоминаемыхъ въ „Указателѣ“.

Для читателей,, Математическаго Образованія“ этотъ „Указатель“ цѣненъ тѣ>мъ, что онъ отличается богатствомъ математическаго отдѣла.

Въ „Указателѣ“ на 12 страницахъ (79—91) перечислены статьи по ариѳметикѣ, алгебрѣ, геометріи, тригонометріи, аналитической геометріи, анализу безконечно—малыхъ, дифференціальному и интегральному исчисленію.

Многія изъ этихъ статей представляютъ собою цѣнность какъ въ научномъ, такъ и въ дидактическомъ отношеніи.

Кромѣ того, на 13-ти страницахъ (182 —195) приведенъ богатый отдѣлъ рецензій книгъ по различнымъ отдѣламъ математики.

Есть указанія на математическіе вопросы и въ другихъ отдѣлахъ, напримѣръ, въ отдѣлѣ „Народное образованіе за границей“ и въ отдѣлѣ „Педагоги, ученые, общественные и политическіе дѣятели“.

Для лицъ, интересующихся математикой и ея преподаваніемъ, этотъ „Указатель“ является весьма цѣнною книгой.

Д-рій.

Новыя книги.

М. Ѳ. Зиминъ. Разложеніе комплексныхъ чиселъ въ произведенія вида Н(і-[-^і_У Новочеркасскъ. 1914.

Его-же. Кривая безъ кривизны. Новочеркасскъ. 1914.

Л. П. Николенко-Сагарда. Искусственные способы рѣшенія алгебраическихъ уравненій высшихъ степеней. Показательныя и логариѳмическія уравненія. Изд. С. А. Козловскаго. Сумы. 1915. Ц. 50 к.

С. А. Переселенковъ. Систематическій указатель статей, напечатанныхъ въ неоффиціальной части „Педагогическаго Сборника“ за 50 лѣтъ (1864—1914). Пгдъ. 1915. Д. 1 р. 20 к.

Опечатки.

Стр. 107, строчка 12 сверху

послѣ словъ „всѣхъ уравненій“ слѣдуетъ вставить: „дѣленную на 3“.

Стр. 107, строчка 10 снизу напечатано „т. е. Il-ое“, слѣдуетъ „т. е. 19-ое“.

Стр. 107, строчка 5 снизу напечатано „ж14“, слѣд. „ж15“.

Стр. 107, строчка 2 снизу напечатано „ = а2 + аъаи + ап = а3 + а9 + а15 f я12", слѣдуетъ:

?? = а2 + а& 4“ аи 4" аъ 4- йц = % + ßg 4- а15 + + а12“.

Отвѣтственный редакторъ I. И. Чистяковъ.