№27.

Математическое Образованіе.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

Годъ четвертый.

№ 3.

Мартъ 1915 г.

МОСКВА.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

„Математическое Образованіе“

Март 1915 г. Годъ 4-й. № 3.

СОДЕРЖАНІЕ: О нѣкоторыхъ признакахъ дѣлимости. I. И. Чистяковъ.—Истина въ математикѣ. Джузеппе Веронезе.— По поводу одной системы уравненій. В. В. Добровольскій.—Объ оцѣнкѣ погрѣшности результата логариѳмическихъ вычисленій. А. А. Волковъ.—Пути открытія и доказательства древними математиками приписываемаго Платону правила образованія раціональныхъ прямоугольныхъ треугольниковъ. В. В. Бобынинъ.—Идея движенія въ современной геометріи и область ея примѣнимости въ курсѣ средней школы. А. Р. Кулишеръ.—Теорія предѣловъ въ курсѣ геометріи. К. Ѳ. Лебединцевъ.—Задачи.—Рѣшенія задачъ.— Среди математическихъ журналовъ. Н. Агрономовъ.—Библіографическій отдѣлъ.— Новыя книги. Объявленія.

О нѣкоторыхъ признакахъ дѣлимости.

І. И. Чистяковъ. Москва.

(Окончаніе).

10. Разсматривая способы, изложенные въ §§ 6 и 8 для полученія характеристическихъ чиселъ, легко убѣдиться, что эти числа возрастаютъ съ увеличеніемъ дѣлителя р. Въ связи-же съ этимъ и полученіе признаковъ дѣлимости при большихъ р становится сложнымъ. Въ виду этого, изложенный въ § 6 способъ можетъ быть обобщенъ, и мы можемъ искать характеристическое число X съ помощью уравненія

10*# = 1 Jr крат. р,

гдѣ 1. Дѣйствительно, пусть корнемъ этого уравненія является X = т, такъ что 10*.w = 1 -f- крат. р.\ (а)

представимъ испытуемое число N въ видѣ:

и умножимъ обѣ части равенства (а) на (а + 10гЪ 10 *q),

получимъ:

10*т(а + 101Ь+ - - . + Ю*-19) = а+ 10Ч> + • • • + 10*-1q + Kp. р.

Замѣняя теперь въ выраженіи (ß) числа N первое слагаемое выраженіемъ, стоящимъ въ лѣвой части послѣдняго равенства, мы получимъ новое число Л\, которое одновременно съ N дѣлится или не дѣлится на р:

Такъ какъ р - взаимно простое съ 10, то, если множитель въ скобкахъ дѣлится на р, число Nt, а слѣдовательно и N раздѣлится на р. Отсюда видно, что въ числѣ Л" нужно число, выраженное к послѣдними цифрами, умножить на характеристическое число т и прибавить къ остальному числу; если сумма раздѣлится на р, то и Лт раздѣлится. Это дѣйствіе, въ случаѣ надобности, можетъ быть повторено нѣсколько разъ.

Желая, напр. вывести признакъ дѣлимости на р = 233, возьмемъ к = 2 и найдемъ соотвѣтствующее характеристическое число изъ условія

ІО2.# = 1 + кр. 233, или 100#=1-}-кр. 233;

получимъ х=7. Слѣдовательно, въ испытуемомъ числѣ нужно отдѣлить 2 послѣднія цифры, составленное ими число умножить на 7 и прибавить къ предшествующему числу; если сумма раздѣлится на 233, то и все число раздѣлится. Испытывая, напр., число 12649337, получимъ:

т. е. оно дѣлится на 233 безъ остатка.

Для р — 167 при к = 2, получимъ т = — 5; для р = 29 можно взять к — 3, тогда т = 2 и т. д.

11. Обобщая еще далѣе изложенный способъ, мы можемъ искать характеристическое число х изъ условія:

10# = ß -f- крат. р.

Дѣйствительно, пусть корень этого уравненія есть т, т. е. Юш = /?-}- кр. р. Умножая число N= а 10Ь -f- 10*2с -|- . • • - на/?, получимъ

Nß = aß-\- lObß + ЮОс^ -f- . . . -

Если N дѣлится на р, то и Nß раздѣлится. Но мы имѣемъ: ІОат = aß -(- кр. р; поэтому въ выраженіи числа Nß можно nß за-

мѣнить числомъ 10am; получится новое число N1} которое дѣлится или не дѣлится на р одновременно съ Лт:

Nx = 10am -f- 10bß-\- lOOcß -j-

или JVr = 10 [am -f- ß (b + 10c -f- 100d +••••)]; слѣдовательно, о дѣлимости iVj, а слѣдовательно и N можно судить по дѣлимости числа, стоящаго въ скобкахъ, т. е. нужно цифру а единицъ испытуемаго числа N умножить на т и сложить съ остальнымъ числомъ, умноженнымъ на ß.

Напр., замѣчая, что при р = 23 имѣетъ мѣсто соотношеніе 10.5 = 4-(-кр. 23, мы можемъ, для испытанія дѣлимости какого-либо числа на 23, умножить цифру единицъ его на 5 и прибавить къ учетверенному остальному числу. Такъ, для .№=12167 найдемъ:

т. е. N дѣлится на 23.

И здѣсь, какъ и въ предыдущихъ случаяхъ, т можетъ быть и отрицательнымъ. Напр. при р = 43 уравненію 10я = /£-|-кр. 43 можно удовлетворить, полагая х = — 4, ß = 3. Слѣдовательно, въ этомъ случаѣ нужно послѣднюю цифру испытуемаго числа учетверить и вычесть изъ утроеннаго предыдущаго числа. Такъ, при N = 79507, получимъ:

23850 — 28 = 23822; 7146 — 8= 7138; 2139 — 32 = 2107;

630 — 28 = 602; 180 — 8 = 178; 51 — 8 = 43,

т. е. N дѣлится на 43.

12. Въ самомъ общемъ случаѣ мы можетъ вполнѣ аналогично предыдущему, искать число х, удовлетворяющее уравненію:

Ю*# = /9-[-кр. р.

Напр., замѣчая, что при р = 571 имѣетъ мѣсто соотношеніе: 1000.4 = 3 -\- 571.7, или 103.4 = 3 + кр. 571, находимъ, что здѣсь ж=4 и і? = 3, а потому получаемъ такой признакъ дѣлимости на 571: слѣдуетъ число, составленное тремя послѣдними цифрами даннаго числа учетверить и сложить съ утроеннымъ предшествующимъ числомъ; если

результатъ раздѣлится на 571, то и все число раздѣлится. Испытывая, напр. дѣлимость на 571 числа ІѴ= 186 169 411, послѣдовательно найдемъ:

т. е. N на 571 дѣлится.

Подобнымъ-же образомъ для р = 151, имѣемъ:

1000.8 = 151.58 — 3, или 103.8 =— 3 + кр. 151,

значитъ здѣсь х = 8 и ß — — 8, т. е. здѣсь нужно число представляемое тремя послѣдними цифрами даннаго числа увеличить въ 8 разъ и изъ результата вычесть оставшееся утроенное число. Напр. испытывая этимъ способомъ число 54662, убѣдимся, что оно на 151 дѣлится, ибо мы послѣдовательно получимъ:

662.8 54.8 = 5184; 184.8 — 5.8 = 1057; 57.8 — 1.3 = 458 — число дѣлящееся на 151.

Истина въ математикѣ.

Джузеппе Веронезе.

Перев. съ итальянскаго Е. I. Борткевичъ. Петроградъ.

(Продолженіе).

Въ другомъ родѣ намъ представляется математическій генезисъ принциповъ геометріи и механики—наукъ опытныхъ, такъ какъ предметы ихъ изученія взяты изъ опыта. Истину въ этихъ наукахъ мы основываемъ на гармоніи между мыслью и предметами внѣ ея и мы принуждены считать ложнымъ все то, что противорѣчитъ законамъ мысли и самого предмета.

Геометрія обязана своимъ происхожденіемъ наблюденію надъ предметами внѣшняго міра или, иначе говоря, физическаго пространства; изъ воспріятія ихъ она извлекаетъ свои первыя, не могущія быть доказанными, и нужныя для ея теоретическаго развитія истины, которыя суть аксіомы, какъ напр., предложеніе о томъ, что черезъ двѣ точки проходитъ только одно прямая. Однакоже, чтобы бытъ точной, геометрія должна представлять предметы, данные наблюденіемъ, посредствомъ чистыхъ отвлеченныхъ формъ, а также и аксіомы путемъ опредѣленныхъ гипотезъ, независящихъ отъ интуиціи. Такимъ образомъ геометрія становится частью чистой математики, т.-е. наукою объ отвлеченномъ протяженіи, гдѣ геометръ поступаетъ въ своихъ построеніяхъ, какъ въ

чистой математикѣ, не заботясь болѣе о томъ, имѣютъ-ли эти построенія, или нѣтъ, внѣшнее изображеніе, пока онъ ихъ не приложитъ къ внѣшнему міру.

Геометрія станетъ тѣмъ точнѣе, чѣмъ вѣрнѣе будетъ точность аксіомъ, данныхъ наблюденіемъ, а также, чѣмъ болѣе онѣ будутъ просты, удобопріемлемы и малочисленны. Но мы не можемъ ни допустить этихъ аксіомъ на всемъ неограниченномъ физическомъ пространствѣ, ни дать ихъ доказательства, такъ какъ никто никогда не наблюдалъ и не сможетъ наблюсти всего неограниченнаго пространства.

Наша пространственная интуиція не есть форма а priori трансцедентальная нашей мысли, хотя и вытекаетъ изъ наблюденія, комбинированнаго съ отвлеченіемъ. Мы убѣждаемся въ присутствіи внѣшнихъ предметовъ посредствомъ чувствъ, и изъ качества ощущеній, которыя они намъ даютъ, удерживаемъ благодаря отвлеченію, только ощущеніе протяженія, нужное для изображенія первыхъ геометрическихъ формъ. Пространственная интуиція не развита до одинаковой степени совершенства у всѣхъ людей, какъ у геометровъ и у художниковъ: и дѣйствительно замѣчено, что люди слѣпые съ дѣтства, пріобрѣвши зрѣніе, обладаютъ несовершенной интуиціей для самыхъ простыхъ формъ. Она является продуктомъ долгаго опыта, и если мы ею пользуемся не разсуждая, то изъ этого не слѣдуетъ, что она апріорная форма нашей мысли; точно также не является таковой и наша разговорная рѣчь, хотя мы взрослые понимаемъ тотчасъ же значеніе словъ даже и тогда, когда не можемъ указать, на какихъ примѣрахъ нашего наблюденія мы ихъ выучили въ дѣтствѣ.

Но какой бы совершенной ни была наша интуиція, мы никогда не можемъ представить себѣ неограниченной прямой, хотя прямая въ видѣ осязаемаго предмета можетъ быть идеализирована путемъ абстракціи. Вотъ почему мы не можемъ принять за основу геометріи Евклидово опредѣленіе параллельныхъ, какъ прямыхъ на плоскости, которыя, продолженныя безконечно, не встрѣчаются, а также и такой аксіомы, такъ какъ двѣ такихъ прямыхъ никогда не могутъ быть наблюдаемы. Отсюда ясно, что нужно дать опредѣленіе параллельныхъ, основанное на наблюденіи, а также мы по другимъ причинамъ остаемся въ убѣжденіи, что постулату Евклида „изъ одной точки можно провести только одну параллельную къ данной прямой“ не достаетъ очевидности, которой обладаютъ другія аксіомы, вытекающія изъ наблюденія.

Итакъ, чтобы споры относительно новыхъ гипотезъ геометріи были бы полезными, слѣдуетъ сдѣлать различіе между пространствомъ физическимъ и интуитивнымъ, а послѣднее отличить отъ пространства геометрическаго; эти формы пространства мало различались великими математиками, какъ напр., Гельмгольцемъ, а также и современными, какъ Пуанкарэ и другими. Геометрическое пространство и есть именно та часть идеальнаго протяженія, въ которомъ изображено пространство физическое и интуитивное, но въ свою очередь не могущая быть представленной для всѣхъ своихъ формъ въ мірѣ реальномъ. И между тѣмъ какъ

пространство физическое, а также пространство интуитивное не могутъ быть опредѣлены, наоборотъ можетъ быть опредѣлено геометрическое пространство. Точно также не равенство геометрическихъ фигуръ опредѣляется движеніемъ твердыхъ тѣлъ, какъ утверждалъ Гельмгольцъ, но наоборотъ именно равенство геометрическихъ фигуръ необходимо для опредѣленія движенія твердыхъ тѣлъ; отсюда слѣдуетъ, что теоретическая геометрія не есть часть механики, какъ то утверждалъ Ньютонъ. Движеніе твердыхъ тѣлъ, какъ и три протяженія физическаго пространства нужны для практическихъ приложеній геометріи, но не для ея теоретическаго развитія. Итакъ утвержденіе Стюарта Милля, что математическая прямая не существуетъ въ природѣ, и противорѣчащее наблюденіе Кэли (Cayley), что мы не могли бы этого утверждать, если бы не имѣли понятія о прямой, находятъ свое полное оправданіе въ отличіи, которое нужно дѣлать между физическимъ и интуитивнымъ пространствомъ съ одной стороны и геометрическимъ съ другой, и въ этомъ отличіи примиряется ихъ кажущееся противорѣчіе.

Кромѣ аксіомъ, вытекающихъ непосредственно изъ наблюденія, есть и другія, касающіяся приложенія геометріи въ физическомъ пространствѣ и которыя называются обыкновенно постулатами или гипотезами. Точность этихъ гипотезъ, неподтвержденная наблюденіемъ, подчинена тѣмъ же условіямъ, которымъ подчинены гипотезы чистой математики. Таковы гипотезы о параллельныхъ, о дѣлимости на части прямолинейнаго отрѣзка, къ которымъ приводитъ насъ законъ о безпредѣльности, хотя практически эта операція сводится къ недѣлимой части; также—гипотеза о непрерывности, этой загадки древнихъ философовъ, которую математику удалось, насколько онъ довольствуется этимъ, понять и опредѣлить; гипотезы объ актуальныхъ безконечно - большомъ и безконечно-маломъ, положившія конецъ старымъ спорамъ и послужившія къ созданію не архимедовой геометріи; и въ концѣ-концовъ гипотеза о пространствѣ болѣе чѣмъ трехъ измѣреній.

Такъ какъ геометрія по своему происхожденію есть опытная наука, то геометръ долженъ необходимо самъ рѣшить, которая изъ идеальныхъ гипотезъ примѣнима къ реальному міру. Въ числѣ ихъ находится гипотеза о параллельныхъ линіяхъ. Въ началѣ прошлаго столѣтія Гауссъ, Лобачевскій и Г. Боліэй основали геометрію на той гипотезѣ, что чрезъ одну точку можно провести двѣ параллельныя къ прямой, а также и всѣ прямыя, заключенныя между этими двумя; а Риманнъ построилъ геометрію на той гипотезѣ, что изъ одной точки нельзя провести ни одной параллельной къ данной прямой. Бельтрами далъ доказательство логической возможности гипотезы Лобачевскаго и Боліэя; онъ нашелъ въ томъ же геометрическомъ пространствѣ поверхность—псевдосферу, представляющую со всѣми своими свойствами плоскость новой геометріи, точно также, какъ плоскость Римана для того случая, когда двѣ прямыя встрѣчаются въ двухъ противоположныхъ точкахъ, можетъ быть изображена сферической поверхностью Евклидова пространства, или же аналогичной

поверхностью, когда двѣ прямыя встрѣчаются въ одной только точкѣ. Въ то время какъ прямая въ Евклидовомъ пространствѣ и въ пространствѣ Лобачевскаго несомкнута и слѣдовательно безконечна, наоборотъ, въ пространствѣ Римана она сомкнута и потому конечна, какъ и окружность безконечно большаго радіуса.

Гауссъ, убѣжденный въ опытномъ происхожденіи геометріи въ то время, когда торжествовали кантизмъ и чистый идеализмъ, ничего не печаталъ о не-Евклидовой геометріи по той причинѣ, что, какъ выражался, боялся криковъ беотійцевъ. Однако изъ геометрической возможности гипотезы еще не слѣдуетъ ея физическая возможность. Всѣ три геометріи, разсматриваемыя въ очень маломъ полѣ, даютъ съ большимъ приближеніемъ тѣ же результаты. Евклидова геометрія, провѣренная съ большимъ приближеніемъ въ полѣ нашихъ наблюденій, очень маломъ по сравненію со всѣмъ пространствомъ, доказываетъ, что она самая удобная, но не доказываетъ, что она физически самая истинная. Можетъ оказаться, что расширяя поле нашего внѣшняго наблюденія, или же при посредствѣ новыхъ болѣе точныхъ способовъ для измѣренія равныхъ величинъ, найдемъ, что физическое пространство соотвѣтствуетъ одной изъ нашихъ не Евклидовыхъ геометрій.

Если бы мы могли допустить на одинъ мигъ для геометріи чистый идеализмъ, то между тѣмъ изъ-за другихъ мотивовъ мы должны были бы его побороть; мы должны однако отбросить гипотезу Канта о формѣ а priori пространственной интуиціи, благодаря которой аксіома Евклида, единственная знакомая Канту,— необходимая истина. И философы - позитивисты, оспаривающіе не-Евклидовы гипотезы, въ этомъ отношеніи не менѣе метафизики, чѣмъ кантіанцы. Въ теченіи многихъ лѣтъ принимали поверхность земли за плоскость; дѣйствительно, и теперь, примѣняя наши измѣренія къ ограниченному пространству, находимъ гипотезу Евклида провѣренной съ большимъ приближеніемъ. Итакъ, наблюденіе здѣсь, какъ и всюду, только приближенно и тѣмъ болѣе приближенно, чѣмъ оно сложнѣе. Иной разъ наблюденіе обманчиво, какъ, напр., когда намъ кажется, что солнце вращается вокругъ земли, между тѣмъ какъ по другимъ фактамъ намъ извѣстно, что наоборотъ земля вращается вокругъ солнца.

Если бы наблюдатель, обладающій Евклидовой интуиціей, очутился въ пространствѣ псевдосферическомъ или сферическомъ, то, двигаясь, онъ получилъ бы впечатлѣніе, что предметы перемѣщаются опредѣленнымъ способомъ, расширяются и суживаются въ опредѣленномъ направленіи точно также, какъ и мы, по мѣрѣ того, какъ движемся, замѣчаемъ перемѣну въ величинѣ предметовъ, и мы не могли бы рѣшить является-ли такое свойство, кажущимся или дѣйствительнымъ, если бы намъ не были знакомы другимъ путемъ законы перспективы. Итакъ нашъ наблюдатель въ псевдосферическомъ пространствѣ замѣтилъ бы, что движенія видимыхъ имъ предметовъ только кажущіяся, когда при возвращеніи его въ первоначальное положеніе сами предметы вернулись бы также въ свое; и его интуиція примѣнилась бы къ новымъ соотношеніямъ пространства тѣмъ скорѣе, если бы наблюдатель позналъ ихъ иными путями.

(Окончаніе въ слѣд. №).

По поводу одной системы уравненій.

В. В. Добровольскій. Москва*).

Система п уравненій съ п неизвѣстными вида

(1)

гдѣ р<^п обладаетъ однимъ замѣчательнымъ свойствомъ, ставящимъ рѣшеніе этой системы въ зависимость отъ взаимныхъ свойствъ чиселъ п и р. Положимъ, что п при дѣленіи на р даетъ въ частномъ qt и въ остаткѣ гѵ т. е. n = q1p-\-r1\ принимая это во вниманіе, можно нашу систему замѣнить другою, имѣющею тотъ же видъ, но съ числомъ гх неизвѣстныхъ въ каждомъ вмѣсто р, т. е. съ меньшимъ числомъ. Для этой цѣли выбираемъ изъ нашей системы дг уравненій такихъ, чтобы каждое послѣдующее уравненіе начиналось съ неизвѣстнаго, слѣдующаго по порядку номеровъ за послѣднимъ неизвѣстнымъ предыдущаго, напр., 1-ое, р -|- 1-ое, 2jö-[-l-oe и т. д., и складываемъ ихъ; составивши такимъ образомъ п уравненій, въ каждомъ изъ которыхъ не окажется подобныхъ членовъ, а, слѣд., коэффиціенты будутъ единицами, вычтемъ поочередно эти уравненія изъ одного и того же уравненія, полученнаго сложеніемъ всѣхъ данныхъ уравненій и дѣленіемъ обѣихъ частей на р (которое окажется общимъ коэффиціентомъ при неизвѣстныхъ). Въ результатѣ получимъ слѣдующія п уравненій:

(2)

гдѣ правыя части суть функціи только правыхъ частей данныхъ уравненій, напр.

*) Ср. „Объ одной системѣ линейныхъ уравненій“, С. П. Виноградовъ. „Мат. Обр.“, № 2, 1915 г.

Положимъ теперь, что р при дѣленіи на г1 даетъ въ частномъ q2 и въ остаткѣ г2, т. е. р — q2 гг -)- г2; тогда изъ системы (2) выбираемъ способомъ, аналогичнымъ предыдущему такія q2 уравненій, которыя, будучи сложены вмѣстѣ, а затѣмъ вычтены изъ подходящаго уравненія системы (1), дали бы п уравненій съ г2 неизвѣстными въ каждомъ. Извѣстно, что при такомъ послѣдовательномъ дѣленіи (п на р, р на г1? гі на г2 и т. д.) получаются все меньшіе и меньшіе остатки, число которыхъ не превосходитъ р, а, слѣд., послѣднимъ остаткомъ будетъ 0; предпослѣдній же остатокъ будетъ либо 1, либо отличенъ отъ нея. Въ первомъ случаѣ послѣдовательное примѣненіе нашего способа приведетъ къ системѣ уравненій

т. къ рѣшенію данной системы*).

Во второмъ случаѣ мы придемъ къ системѣ вида

примѣняя къ ней нашъ способъ еще разъ, мы въ лѣвой части каждого выводного уравненія получимъ 0; получатся ли нули въ правыхъ частяхъ, будетъ зависѣть отъ чиселъ ах, а2, ....а„, и если они этихъ нулей не дадутъ, то система (пг -f- 1)—несовмѣстна, что явится также признакомъ несовмѣстности данныхъ уравненій (1); если же мы и въ правыхъ частяхъ получимъ нули, то система (гп -f- 1)—неопредѣленна; неопредѣленность выводной системы, вообще говоря, не служитъ еще признакомъ неопредѣленности данной системы (напр. х = а, у = Ъ, z = c есть опредѣленная система, а выводная х — у = а — 5, у — ъ = Ъ — с и ъ — х = с — а неопредѣленна), но въ данномъ случаѣ мы имѣемъ также неопредѣленность системы (1). Въ самомъ дѣлѣ, замѣтивъ, что гп есть общій наибольшій дѣлитель чиселъ а и р, и обозначивъ его черезъ D, будемъ имѣть п = ND и р = FD, гдѣ N и Р числа взаимно-

*) Замѣтимъ между прочимъ, что полученные корни могутъ быть представлены дробями, знаменатель которыхъ одинъ и тотъ же, а именно р, а числители суть функціи чиселъ я,, а2,

простыя; выбирая теперь изъ данной системы нашимъ способомъ по N различныхъ уравненій (т. е. беря каждое уравненіе всего-на все одинъ разъ) и складывая каждую группу, мы приведемъ нашу систему къ системѣ D уравненій, лѣвыя части которыхъ будутъ представлять Np — NPD = Рп членовъ, расположенныхъ въ порядкѣ ихъ нумеровъ (послѣ послѣдняго опять пойдетъ первый), т. е. Р—кратную сумму всѣхъ п неизвѣстныхъ; слѣд. лѣвыя части всѣхъ D уравненій окажутся равными, и мы получимъ D — 1 уравненій, связывающихъ числа а2, ....ап для того, чтобы данная система (1) была неопредѣленна; если эти уравненія не удовлетворяются, то система (1) несовмѣстна.

Итакъ, наша система (1) имѣетъ единственную систему корней только въ томъ случаѣ, когда гт = 1, т. е. когда числа п и р—взаимно-простыя; если же они имѣютъ общихъ множителей, то система (1), вообще говоря, несовмѣстна, за исключеніемъ того случая, когда числа ах, а2, ....ап удовлетворяютъ D—1 уравненіямъ, гдѣ D есть общій наибольшій дѣлитель п и р\ въ этомъ послѣднемъ случаѣ система (1) неопредѣленна, а именно D — 1 уравненій оказываются слѣдствіями остальныхъ. Легко видѣть, что D — 1 уравненія, связывающія числа аѵ а2, ...яи имѣютъ слѣдующій видъ:

Иллюстрируемъ сказанное двумя примѣрами.

1) п = 8, р = 3. Уравненія (1) примутъ такой видъ:

(1)

Складывая ихъ всѣ и дѣля обѣ части на 3, получимъ

Складывая же 1-ое съ 4-ымъ, 2-ое съ 5-ымъ и т. д. и вычитая каждое изъ только что полученнаго, находимъ систему

Вычитая каждое уравненіе системы (2) изъ ур-ія системы (1) подъ тѣмъ же номеромъ, находимъ окончательно:

хг = ах 4~ «4 4“ «7 — («1 + а2 4- .... + я8) и аналогично для остальныхъ неизвѣстныхъ. Въ данномъ примѣрѣ, какъ и въ другихъ частныхъ случаяхъ, въ рѣшеніе можно ввести упрощеніе, введя въ послѣдовательное дѣленіе отрицательные остатки, если они окажутся меньше положительныхъ (по абс. вел.); напр. можно сложить 1-ое, 4-ое и 7-ое уравненіе системы (1) и изъ полученнаго уравненія вычесть сумму всѣхъ уравненій,—получимъ сразу корень хг; поступая такъ же со 2-ымъ, 5-ымъ и В-ымъ, найдемъ корень х2 и т. д.

2) п = 15, р = 6, D = 3, N—Ъ, Р = 2.

Уравненія (1) примутъ видъ:

Складывая 1-ое, 7-ое, 13-ое, 4-ое (т. е. 11-ое, считая послѣ 15-аго снова 1-ое) и 10-ое, находимъ

20*4+#2 + - • • • + ххь) — «1 + «7 + «13 + «4 •+• «10;

аналогично найдемъ

2(^1 + х2 + • • • •Ч"Ж15)== «2 +«8 4“ «14 4“ «5 4“ «11 И 2(xt + #2 4“ • * • • 4“ «11) = «з4~ «9 4~ «15 4“ «6 4~ «12Î

слѣдовательно, наша система неопредѣленна, если правыя части удовлетворяютъ уравненіямъ

«1 4“ «7 4“ «13 4“ «4 4” «10 = «2 4" «8 «14 4" «11 =«3 + «9 + «15 4“ «12»

и несовмѣстна, если онѣ этимъ уравненіямъ не удовлетворяютъ.

Объ оцѣнкѣ погрѣшности результата логариѳмическихъ вычисленій.

А. А. Волковъ. (Москва).

Вопросъ объ оцѣнкѣ погрѣшности результата логариѳмическихъ вычисленій несомнѣнно имѣетъ большую важность въ курсѣ средней школы; между тѣмъ значительное большинство кончающихъ среднюю школу совершенно не имѣетъ понятія о точности тѣхъ результатовъ, которые получаются при примѣненіи къ вычисленіямъ логариѳмическихъ таблицъ. Причину этого можно видѣть въ томъ, что оказывается довольно затруднительнымъ изложить теорію подсчета погрѣшности результата такихъ вычисленій безъ ссылки на формулу производной логариѳма. Настоящая замѣтка имѣетъ цѣлью указать довольно простой пріемъ, дающій возможность обосновать подсчетъ погрѣшности результата при помощи соображеній элементарнаго характера.

Прежде всего замѣтимъ, что линейная интерполяція въ логариѳмическихъ вычисленіяхъ является допустимой въ виду того, что на сравнительно большихъ промежуткахъ приращеніе логариѳма оказывается пропорціональнымъ приращенію числа. Замѣтимъ далѣе, что умноженіе числа на 1,01, 1,001, 1,0001... (0,99, 0,999, 0,999...) соотвѣтствуетъ увеличенію числа на 1°/0, 0,1°/0> 0,001°/о и т. д. Но умноженію числа на 1,01, 1,001, 1,0001 соотвѣтствуетъ также увеличеніе его логариѳма на lg 1,01, lg 1,001, lg 1,0001..., умноженію числа на 0,99, 0,999, 0,9999... соотвѣтствуетъ уменьшеніе его логариѳма на —lg 0,99, —lg 0,999, —lg 0,9999 и т. д. Отсюда ясно, что какое бы число мы ни измѣнили на 1°/0, 0,1°/0, 0,01°/о и т- Дч его логариѳмъ измѣнится на одно и то же число. Но

Такъ какъ табличныя разности колеблются въ предѣлахъ отъ 43 до 4 единицъ пятаго знака (мы ведемъ разсужденіе въ примѣненіи къ пятизначнымъ таблицамъ: нетрудно видѣть, какъ придется измѣнить результаты, чтобы примѣнить ихъ къ вычисленіямъ съ таблицами съ инымъ числомъ знаковъ), и въ этихъ предѣлахъ приращенія логариѳмовъ пропорціональны приращеніямъ чиселъ, то можно задать вопросъ, насколько °/0 maximum можно измѣнить число, не измѣняя его табличнаго логариѳма.

Отвѣтъ на этотъ вопросъ получается рѣшеніемъ простой задачи на тройное правило. Такъ какъ изъ сопоставленія lg 1,001 и —lg 0,999 видно, что измѣненію числа на 0,1°/0 (и положитель-

ному, и отрицательному) соотвѣтствуетъ измѣненіе его логариѳма на 0,00043 и такъ какъ табличный логариѳмъ точенъ до половины единицы послѣдняго знака его мантиссы, т. е. содержитъ ошибку, не превышающую 0,000005, то для рѣшенія поставленнаго вопроса имѣемъ:

При интерполяціи, какъ видно изъ статьи Б. К. Млодзѣевскаго, напечатанной въ № 1 „Математическаго Образованіяа за 1912 годъ1), полученный логариѳмъ содержитъ погрѣшность, не превышающую единицы послѣдняго знака, и, слѣдовательно, опредѣляетъ соотвѣтствующее число съ относительной ошибкой вдвое большей, чѣмъ въ предыдущемъ случаѣ, т. е. приблизительно въ 0,0023%.

Сказаннаго вполнѣ достаточно для оцѣнки погрѣшности результата въ простѣйшемъ случаѣ вычисленій съ логариѳмами, когда вычисляемая формула содержитъ только умноженія и дѣленія. Если въ формулу входитъ к такихъ величинъ, надъ которыми производится указанное вычисленіе, то наивысшая погрѣшность логариѳма результата равна к единицамъ послѣдняго знака, а, слѣдовательно, относительная погрѣшность результата не больше 0,0023к%. Зная ошибку въ % и вычисливъ результатъ, мы сейчасъ же можемъ найти и максимальную возможную абсолютную ошибку этого результата, что и дастъ намъ оцѣнку точности этого результата.

Такъ же просто обстоитъ дѣло въ томъ случаѣ, когда въ вычисленіе входятъ степени и корни: въ самомъ дѣлѣ, степень съ цѣлымъ показателемъ р эквивалентна р множителямъ; что же касается дробной степени, показатель которой правильная дробь, то нетрудно видѣть, что ошибка ея логариѳма не больше двухъ единицъ послѣдняго знака мантиссы при показателѣ, большемъ половины, и не больше единицы послѣдняго знака послѣдняго знака при показателѣ, равномъ или меньшемъ половины. Это видно изъ того, что, такъ какъ ошибка умножаемаго логариѳма не выше единицы послѣдняго знака, то выраженная въ тѣхъ же единицахъ ошибка логариѳма дробной степени не больше гдѣ р показатель степени, а q есть ошибка, происходящая отъ округленія; наибольшее возможное значеніе послѣдней такимъ образомъ при Р ошибка не превышаетъ единицы, а при двухъ единицъ послѣдняго знака мантиссы.

Нѣсколько сложнѣе обстоитъ дѣло въ томъ случаѣ, когда въ вычисляемое выраженіе входятъ суммы и разности, члены

1) Въ томъ же номерѣ журнала (стр. 46) нами данъ выводъ приведеннаго здѣсь результата на основаніи формулы производной логариѳма.

которыхъ должны быть отдѣльно вычислены при помощи логариѳмовъ. Въ этомъ случаѣ относительную ошибку результата приходится вычислять по частямъ и имѣть при этомъ въ виду, что относительная погрѣшность суммы не выше наибольшей изъ относительныхъ ошибокъ слагаемыхъ, а относительная ошибка разности можетъ оказаться значительно больше каждой изъ относительныхъ ошибокъ уменьшаемаго и вычитаемаго.

Пути открытія и доказательства древними математиками приписываемаго Платону правила образованія раціональныхъ прямоугольныхъ треугольниковъ.

В. В. Бобынинъ. Москва.

Проклъ излагаетъ это правило въ слѣдующихъ выраженіяхъ. „Методъ Платона исходитъ изъ четныхъ чиселъ. Берутъ именно четное число и полагаютъ его равнымъ одному изъ двухъ катетовъ. Если это число раздѣлить пополамъ, половину возвысить въ квадратъ и къ этому квадрату прибавить единицу, то получится гипотенуза. Но если отъ того же квадрата отнять единицу, то получится другой катетъ“1).

До новѣйшей науки не дошло никакихъ свѣдѣній о пути, приведшемъ древнихъ математиковъ къ открытію этого правила. Дали-ли они ему доказательство или нѣтъ—также остается неизвѣстнымъ. Попытка возстановленія пути открытія правила Платона была сдѣлана Морицомъ Канторомъ2). Но какъ находящаяся вслѣдствіе употребленія „ подобныхъ“ чиселъ Теона Смирнскаго въ тѣсной связи съ подобною-же попыткою Рота Каптора въ отношеніи однороднаго правила Пиѳагора, она является столь-же искусственной и не соотвѣтствующей дѣйствительности, а потому и неудовлетворительной, какъ и упомянутая попытка Рота Каптора3). Для подтвержденія сказаннаго достаточно простого приведенія разсматриваемой попытки. „Уже Пиѳагоръ“, говоритъ Канторъ, „находилъ раціональные прямоугольные треугольники, исходя изъ принятія разности между гипотенузою а и большимъ катетомъ 6 равною единицѣ, вслѣдствіе чего онъ и сумму гипотенузы съ большимъ катетомъ былъ вынужденъ избирать въ формѣ не иначе какъ какого-нибудь нечетнаго квадратнаго числа. Если такимъ былъ въ дѣйствительности путь, приведшій Пиѳагора къ его величинамъ сторонъ раціональнаго прямоугольнаго треугольника, то

1) Prodi Diadochi in primum Euclidis elementorum librum commentarii. Ex recognitione g. Friedlein. Leipzig 1873. P. 428.

2) M. Cantor. Vorlesungen über Geschichte der Mathematik. I-er Band. 3-te Auflage. S. 224.

3) В. B. Бобынинъ. Естественные и искусственные пути возстановленія историками математики древнихъ доказательствъ и выводовъ (Вѣстникъ Опытной Физики и элементарной математики № 515 (1910 г.), стр. 278—280).

ближайшею попыткою являлось принятіе той-же вышеупомянутой разности а — Ъ = 2, при чемъ подобнымъ ей поверхностнымъ числомъ а -)- Ъ должно было быть двойное квадратное число или 2а2, a соотносительно и. половина четнаго квадратнаго числа —.

Тогда вслѣдствіе с = 2а будетъ Ъ = а2—1, а = а?-\-1, то есть въ точности то, что производилось Платономъ“1).

Искусственность этой попытки Каптора дѣлаетъ необходимымъ отыскиваніе такой новой, которая была бы вполнѣ сообразована съ условіями эпохи и съ доставляемыми ею средствами изслѣдованія, а потому и являлась бы вполнѣ естественною.

Квадратныя числа обращали на себя вниманіе древнихъ математиковъ не только сами по себѣ, какъ члены образуемаго ими ряда, но также и въ случаяхъ встрѣчи съ ними въ другихъ рядахъ чиселъ, наприм. въ ряду нечетныхъ чиселъ, какъ это показываетъ извѣстное пиѳагорейцамъ соотношеніе между квадратнымъ числомъ въ начинающемся съ 3 рядѣ нечетныхъ чиселъ и соотвѣтствующимъ этому числу членомъ ряда квадратныхъ чиселъ. Вызванное особымъ вниманіемъ къ квадратнымъ числамъ наблюденіе надъ членами натуральнаго ряда, между которыми заключается квадратное число, показало, что вычитаніе изъ квадрата члена, слѣдующаго за квадратнымъ числомъ, квадрата члена, ему предшествующаго, всегда приводитъ къ разности, представляемой числомъ квадратнымъ, какъ это можно видѣть на примѣрахъ чиселъ 5 и 3, 10 и 8, 17 и 15, разностями квадратовъ которыхъ соотвѣтственно будутъ 16, 36, 64. Позднѣе къ указанному этимъ наблюденіемъ факту могло придти и умозрѣніе съ помощью разсужденій, которыя при употребленіи новѣйшаго знакоположенія представляются въ слѣдующемъ видѣ. Пусть разсматриваемымъ въ натуральномъ ряду квадратнымъ числомъ будетъ п2. Тогда членами того-же ряда, предшествующимъ п2 и слѣдующимъ за нимъ, соотвѣтственно будутъ п2—1, п2+1, а разностью ихъ квадратовъ

(п2 -f I)2 — (п2 — I)2 = 4п2 = (2п)2.

Въ результатѣ всѣхъ этихъ изслѣдованій, какъ черезъ наблюденіе, такъ и умозрительныхъ, получались такимъ образомъ раціональные прямоугольные треугольники, стороны которыхъ выражаются соотвѣтственно: числами 5, 10, 17, . . . , п2-\- 1 гипотенузы, числами 3, 8, 15,..., п2— 1 катеты и четными числами 4, 6, 8, .... , 2п вторые катеты. Можно, слѣдовательно, сказать вообще, что всякое четное число представляетъ катетъ раціональнаго прямоугольнаго треугольника, котораго другой катетъ есть уменьшенный 1-цею квадратъ половины этого четнаго числа, а гипотенуза—тотъ-же квадратъ, увеличенный 1-цею. Правило Платона есть только основанное на этомъ предложеніи выраженіе опредѣленія по катету, представленному четнымъ числомъ, другихъ сторонъ прямоугольнаго треугольника.

1) Cantor, 1. с.

Умозрѣніе, упомянутое уже выше въ качествѣ подтвердившаго указанія наблюденія и вмѣстѣ съ тѣмъ распространившаго ихъ съ частныхъ случаевъ, разсмотрѣнныхъ непосредственно, на все безконечное множество другихъ такихъ же случаевъ, являлось по этимъ обоимъ своимъ результатамъ доказательствомъ предложенія, обнаруженнаго наблюденіемъ. Велось оно Платономъ, конечно, при помощи того-же способа гномона, который употреблялся въ подобныхъ случаяхъ какъ предшествовавшими Платону пиѳагорейцами, такъ и математиками, современными ему, а также и жившими позже до самаго XVII в. послѣ Р. Хр. Слѣдованіе умозрѣнія по пути, представлявшему приложеніе способа гномона должно было въ настоящемъ случаѣ представляться въ слѣдующемъ видѣ.

Къ квадрату ABHG, построенному на отрѣзкѣ AB прямой, представляемомъ числомъ п?, присоединялся гномонъ BDLKGHB, дополняющій его до квадрата ADLK, имѣющаго стороною

Отъ того-же квадрата ABHG, кромѣ того, отнимался еще гномонъ GBHGFEC, дополняющій до него квадратъ ACEF, построенный на отрѣзкѣ

Суммою этихъ двухъ гномоновъ представляется разность между обоими образованными при ихъ посредствѣ квадратами ADLK и ACEF. Но эта сумма, какъ показываетъ чертежъ, состоитъ изъ прямоугольника CDMN, представляемаго числомъ 2п2, и изъ 6-угольника FENMLK, превращаемаго перенесеніемъ квадрата HPLM на мѣсто равнаго ему квадрата EOHN въ прямоугольникъ FKPO, также представляемый числомъ 2п2. Разность между двумя разсматриваемыми квадратами или, что то-же самое, представляющая ее сумма двухъ гномоновъ оказывается такимъ образомъ выражаемою квадратнымъ числомъ 4п2.

Идея движенія въ современной геометріи и область ея примѣнимости въ курсѣ средней школы.

(Докладъ читанный на 2-мъ Всероссійскомъ Съѣздѣ Преподавателей Математики 29/ХІІ 1913 г.).

А. Р. Кулишеръ. Петроградъ.

(Окончаніе).

Если мы возьмемъ какую-нибудь фигуру и помѣстимъ ее передъ зеркаломъ, напримѣръ, передъ цилиндрическимъ зеркаломъ, и будемъ перемѣщать либо самую фигуру, либо зеркало,

то изображенія фигуры будутъ одно-однозначно, послѣдовательно преобразовываться одно въ другое39). Преобразовывать мы можемъ въ сказанномъ смыслѣ, то есть въ смыслѣ установленія одно-однозначнаго соотвѣтствія, не только элементы одной и той же совокупности но также элементы одной совокупности въ элементы нѣкоторой другой совокупности. „Если преобразованіе Т измѣняеть А въ Б, а преобразованіе S, измѣняетъ В въ С, то преобразованіе, измѣняющее А въ С, есть результатъ двухъ послѣдовательно выполненныхъ преобразованій Т и S. Мы называемъ этотъ результатъ произведеніемъ преобразованія Т на преобразованіе S и обозначаемъ его TS“.

„Если преобразованіе S измѣняетъ А въ В, то другое преобразованіе, измѣняющее В въ А, мы называемъ обратнымъ/? и обозначаемъ его S—x. Произведеніе S на обратное ему S“1 измѣняетъ сначала А въ В, потомъ В въ И, другими словами ничего не измѣняетъ. Тождественное преобразованіе, ничего не измѣняющее, мы обозначаемъ цифрой 1, такъ какъ при обычномъ умноженіи мы не измѣняемъ числа, умножая его на единицу

„Совокупность преобразованій образуетъ группу, если 1) произведеніе двухъ произвольно взятыхъ преобразованій, принадлежащихъ данной совокупности, входитъ также въ данную совокупность; 2) если преобразованіе, обратное любому изъ входящихъ въ данную совокупность, принадлежатъ также этой совокупности“ (bichard, 1. с., стр 27).

Въ каждой такой группѣ всегда содержатся преобразованія тождественныя (то есть ничего не измѣняющія). Дѣйствительно, кромѣ какого-нибудь преобразованія Т, въ группѣ должны содержаться еще обратное ему преобразованіе Г “1, а также ихъ произведеніе, то есть Т. Т-1, что, согласно вышесказанному, есть преобразованіе тождественное. При перемѣщеніяхъ тѣлъ и фигуръ въ геометріи предполагаются что эти тѣла и фигуры при этомъ остаются по формѣ и размѣрамъ тѣми же, что и раньше, или иначе говоря, что разстояніе между каждыми ихъ двумя точками остается неизмѣннымъ. Каждое тѣло можно разсматривать какъ совокупность его точекъ. Перемѣщеніемъ тѣла (или же плоской фигуры) мы будемъ называть такія точечныя преобразованія тѣла, при которыхъ разстоянія между каждой парой точекъ тѣлъ остается послѣ каждаго преобразованія неизмѣннымъ. Этому условію удовлетворяютъ какъ параллельныя перенесенія тѣлъ (и плоскихъ фигуръ), такъ и ихъ вращенія. Если мы назовемъ расположеніе точекъ тѣла, подвергающагося параллельному перенесенію (или вращенію), буквой А, расположенія точекъ тѣла послѣ каждаго изъ двухъ какихъ нибудь перенесеній (вращеній) соот-

39) О другихъ преобразованіяхъ мы будемъ имѣть случай говорить ниже. Въ дальнѣйшемъ, говоря о группахъ преобразованія мы будемъ пользоваться главнымъ образомъ названной выше книжкой—Р и шара (см. примѣч. 33) а также сочиненіемъ А. С. Богомолова (см. прим. 31).

вѣтственно буквами В и С, то, какъ мы знаемъ при, 1) А=В, и В=А; далѣе 2) если А=В; В=С; то отсюда слѣдуетъ, что А=С;

3) и, наконецъ, А=А.

Такимъ образомъ перемѣщенія — образуютъ группу преобразованій; параллельныя перенесенія же и вращенія образуютъ соотвѣтственно двѣ подгруппы большей группы, именно группы перемѣщеній.

Если мы преобразуемъ „параллельное перенесеніе“ при помощи того или другого „перемѣщенія“, то получимъ снова „параллельное перенесеніе“. Такимъ образомъ выполнивъ сказанное преобразованіе, снова получимъ подгруппу параллельныхъ перенесеній.

Послѣдняя подгруппа является, какъ говорятъ инваріантомъ по отношенію къ группѣ перемѣщеній, такъ какъ при преобразованіи группы переходитъ въ самое себя.

Въ свою очередь группа перемѣщеній является инваріантной подгруппой болѣе общей группы подобія. Преобразованія по подобію измѣняютъ каждое перемѣщеніе въ соотвѣтственное другое перемѣщеніе. Въ группѣ подобія имѣются преобразованія измѣняющія двѣ данныя точки въ двѣ какія угодно точки; другими словами при „преобразованіяхъ по подобію“ разстояніе между двумя точками не должно во всѣхъ случаяхъ оставаться неизмѣннымъ. Двѣ равныя фигуры преобразованіе по подобію измѣняетъ въ двѣ фигуры, другъ другу равныя (равенство ихъ первымъ двумъ возможно лишь въ частномъ случаѣ подобія).

Преобразованіе по подобію превращаетъ любую сферу въ сферу, прямую—въ прямую же, кругъ—въ кругъ.

Преобразованія по симметріи, изучаемыя въ элементарной геометріи, отличаются отъ „перемѣщеній“ тѣмъ, что каждое отдѣльное преобразованіе какой-нибудь фигуры по симметріи даетъ фигуру, не конгруентную первой (исходной).

Если же мы выполнимъ надъ второй фигурой еще одно преобразованіе по симметріи, то получимъ опять фигуру, конгруентную съ начальной. Такимъ образомъ произведеніе40) двухъ (четырехъ, шести, вообще говоря, четнаго числа) преобразованій по симметріи равносильно нѣкоторому „перемѣщенію“.

Преобразованіе по симметріи, подобно перемѣщеніямъ не измѣняютъ разстоянія между двумя точками.

Если мы составимъ совокупность изъ произведеній нечетнаго числа преобразованій по симметріи, то увидимъ, что эта совокупность группы не образуетъ такъ какъ произведеніе двухъ изъ элементовъ этой совокупности сводится къ четному числу преобразованій, дающихъ въ итогѣ перемѣщеніе.

Группу преобразованій по симметріи и группу перемѣщеній мы можемъ объединить въ одну группу подъ названіемъ Евклидовой группы.

40) Въ томъ смыслѣ какъ это слово понимается въ примѣненіи къ преобразованіямъ.

Мы не будемъ касаться здѣсь сколько-нибудь подробно интересныхъ преобразованій, выполняемыхъ съ помощью ряда инверсій (по отношенію къ нѣкоторой сферѣ, называемой абсолютомъ), которыя можно сочетать другъ съ другомъ, выбирая каждый разъ для двухъ послѣдовательныхъ инверсій весьма близкіе другъ къ другу полюсы и близкія значенія степеней. Эти произведенія паръ инверсій позволятъ преобразоватъ каждую точку пространства въ точку, отъ нея какъ угодно близко находящуюся.

Отмѣтимъ только, что 1° произведенія четнаго числа инверсій образуютъ группу неевклидовыхъ перемѣщеній или псевдоперемѣщеній, что 2° есть возможность установленія „движенія“, аналогичнаго вращенію въ геометріи евклидовой. Это „движеніе“ будетъ называться псевдовращеніемъ, и это точечное преобразованіе оставляетъ неизмѣннымъ совокупность точекъ окружности, ортогонально пересѣкающей абсолютъ, и именующейся псевдопрямой (осью псевдовращенія).40).

Насколько затруднительна критическая оцѣнка примѣнимости или непримѣнимости въ практикѣ средней школы движенія, разсматриваемаго съ послѣдней точки зрѣнія, видно изъ нижеслѣдующаго сравненія мнѣній французскихъ преподавателей, поставленныхъ въ свое время лицомъ къ лицу съ необходимостью высказаться по данному поводу. Обсужденіе41) должно было обладать достаточной опредѣленностью, такъ какъ рѣчь шла по преимуществу о конкретномъ примѣрѣ приложенія движенія въ курсѣ средней школы, о книгѣ Бурлè, необходимыя выдержки изъ которой нами были раньше приведены.

А. Доводы за „движеніе“.

Бурлё. 1) Вопреки часто высказываемому мнѣнію, гео-

В. Доводы противъ „движенія“.

Ожеро. 1) Эта геометрія противорѣчивъ духу здраваго

40) Выясненіе вопроса о движеніи не требуетъ отъ насъ дальнѣйшихъ соображеній относительно группъ преобразованій, хотя для преподавателя не безполезно взглянуть на точечныя преобразованія еще съ иной точки зрѣнія, пользуясь для этой цѣли совокупностью подстановокъ, переводящихъ одни геометрическіе образы въ другіе, съ ними конгруентные. Равнымъ образомъ немаловажными для расширенія кругозора учителя окажутся изысканія въ области началъ геометріи съ помощью теоріи группъ. Рядъ интересныхъ и важныхъ соображеній по этому поводу читатель найдетъ въ указанной выше книгѣ С. А. Богомолова: см. напримѣръ, стр. 221—222, 229—231.

41) См. выше примѣчаніе 4-ое „L'Enseignement de la géométrie...“ etc.

Конспектъ стенографическаго отчета объ этомъ засѣданіи занялъ у насъ при подготовленіи статьи 28 страницъ рукописи. Здѣсь же мы считаемъ болѣе цѣннымъ представить итоги обсужденія въ видѣ сжатаго сопоставленія главнѣйшихъ доводовъ „за“ и „противъ“ „движенія“, располагая эти доводы въ томъ порядкѣ, какой для насъ представляется наиболѣе цѣлесообразнымъ въ цѣляхъ выясненія вопроса. Читателей, желающихъ болѣе подробно ознакомиться съ поучительнымъ отчетомъ о засѣданіи, отсылаемъ къ подлиннику. Въ обсужденіи приняли участіе: Борель, Лаландъ, Мароттъ, Пеко, Ожеро, Сорель; небольшой докладъ предварительно прочелъ Бурле.

метрія, основанная на опредѣленіи понятія о прямолинейномъ перенесеніи и на понятіи о группѣ перемѣщеній въ согласіи съ идеями Софуса Ли, можетъ быть столь же точной, какъ классическая геометрія, которой теперь пользуются

2) эта геометрія въ совершенно той же мѣрѣ связана съ нашимъ опытомъ, какъ и классическая

3) она болѣе естественна

4) имѣетъ то преимущество, что подготовляетъ къ изученію современной высшей геометріи

5) видоизмѣненіе изложенія касается не одного только распредѣленія матеріала или измѣненій педагогическаго характера,—оно касается основъ метода геометріи

6) Можно сохранить единство и логичность и совмѣстить ихъ съ новыми идеями

7) Мой Cours abrégé de Géométrie освобожденъ отъ всего слишкомъ абстрактнаго, представленъ въ формѣ конкретной. Въ немъ съ самаго же начала учащіеся находятъ практическія приложенія.

8) Мароттъ. Согласенъ, что геометрія на основѣ движенія можетъ быть столь же точна, какъ и обычная евклидова, согласенъ, что получится болѣе глубокій синтезъ геометрическихъ фактовъ.

9) Борель. Благодаря мнѣ въ программы включено ученіе о симметріи куба и октаедра, другими словами, включена подгруппа движенія. Эта часть потребуетъ, чтобы преподаватель и учащіеся42) познакоми-

метода, связаннаго съ нашимъ опытомъ

2) она предсказываетъ выводы, основанныя на теоріи, на дѣлѣ не провѣренной (учащимися)

3) здѣсь чаще обращаются къ интуиціи, чѣмъ къ разсужденію

4) я опасаюсь, чтобы преподаваніе геометріи не потеряло части своей цѣнности, какъ орудіе общей культуры

5) ни одинъ предметъ не пригоденъ въ такой мѣрѣ для образованія ума молодыхъ людей, какъ геометрія въ томъ видѣ, въ какомъ мы ее изучали..; съ ея помощью „можно показать ребенку могущество и авторитетность разума“.

6) Мароттъ. Что такое геометрія для ученика? Это— отчасти собраніе правилъ, служащихъ для измѣренія длинъ, угловъ, площадей и объемовъ; сюда примыкаютъ соотношенія между элементами подобныхъ фигуръ и теорема о квадратѣ гипотенузы; съ другой стороны, это собраніе правилъ для построенія геометрическихъ образовъ—и это все. Опытъ показываетъ, что нельзя достигнуть ничего большаго, даже если взять хорошихъ учениковъ 12—16 лѣтъ

7) Я буду оспаривать ея (геометріи) практическую цѣнность для элементарнаго обученіямъ особенности для первоначальнаго.

„Для учениковъ“ примѣненіе движенія „означало бы наложеніе на геометрическіе факты (которые конкретны) но-

42) Мы обращаемъ особое вниманіе на это пожеланіе, такъ какъ самъ. Бурле ограничивается однимъ указаніемъ о необходимости данного требованія лишь для преподавателя.

лись съ понятіемъ о группѣ

наиболѣе важная и настоятельная часть реформы касается первой части обученія (учащіеся въ возрастѣ 12—16 л.)— необходимо здѣсь стремиться къ развитію интуиціи, а не давать замаскированную алгебру.

10) Бурлè. Мароттъ справедливо отдѣлилъ въ геометріи одну отъ другой двѣ ея части: I) геометрію измѣренія и II) геометрію фигуръ.

Мы расходимся съ нимъ въ нашемъ отношеніи къ геометріи фигуръ.

11 ) Мароттъ сопоставилъ два опредѣленія параллельности и судитъ о нихъ по числу словъ.

12) Въ старыхъ руководствахъ мы видимъ, что учащихся долго удерживаютъ на статическихъ представленіяхъ.

13) „Теперь“ (пользуясь перенесеніемъ) „очень легко проводить параллельныя прямыя въ отличіе отъ длиннаго пути у Евклида (напримѣръ, теперь легко провести черезъ данную точку прямую, параллельную данной прямой).

14) Вы не можете обвинить мой курсъ ни въ недостаткѣ чертежей, ни въ сообщеніи курсу характера геометрической алгебры, ни въ обращеніи къ сложнымъ понятіямъ теоріи Софуса Ли.

15) Мароттъ. Я не буду возражать противъ примѣненія при случаѣ въ дальнѣйшихъ частяхъ курса учениками, достаточно успѣвающими, понятія о движеніи.

вой алгебры, алгебры группы движеній.

Эта алгебра объединяетъ геометрическіе факты, но не является болѣе совершеннымъ объясненіемъ самихъ фактовъ, взятыхъ въ отдѣльности. Это— классификація, взятая извнѣ и пришпиленная къ фактамъ: надо сначала эти факты понять—между тѣмъ едва удается справиться съ этой задачей.

9) Сопоставимъ классическое опредѣленіе параллельности, а именно „Двѣ прямыя параллельны, если находятся въ одной и той же плоскости и при продолженіи не встрѣчаются“ съ новымъ опредѣленіемъ, приведеннымъ Бурле43).

Я не думаю, чтобы классическое опредѣленіе было труднѣе.

10) Пользуясь систематически понятіемъ о движеніи, о группѣ движенія мы вводимъ больше трудностей, чѣмъ получаемъ выгодъ.

11) Въ смыслѣ отвлеченія я ставлю современную кинематическую44) геометрію выше евклидовой.

12) Я требую обращенія не къ евклидовой геометріи, а къ геометріи болѣе конкретной (какъ у Клеро и въ нѣкоторыхъ курсахъ геометріи англійскихъ и американскихъ авторовъ).

13) Лишь очень немногіе изъ учащихся ощутятъ впослѣдствіи потребность въ кинематическихъ и механическихъ приложеніяхъ; большинство же будетъ измѣрять и чертить.

14) Я нахожу, что разсужденіе, основанное на движе-

43) У насъ указано въ одной изъ выдержекъ изъ курса Бурле.

44) Мы должны отмѣтить здѣсь сбивчивость въ пользованіи терминомъ. См. выше стр. 21.

16) Бурлё. Въ защиту движенія можно указывать, что въ окружающей членовъ собранія обстановкѣ имѣется множество примѣровъ (главнымъ образомъ) прямолинейнаго перенесенія (столы, оструганные рубанкомъ, потолокъ оштукатуренный съ помощью плоской дощечки) и вращенія; перенесеніемъ и вращеніемъ такъ часто пользуются въ ремеслахъ.

17) Только геометрія движенія совмѣстима съ доказательствами чисто опытнаго характера.

18) (Указаніе одного изъ членовъ палаты депутатовъ, приведенное Бурле): возможны двѣ геометріи:—школьная геометрія и геометрія мастерской“.

Если разбить курсъ на два цикла, то въ первомъ опредѣленіе параллельности прямыхъ основано на перенесеніи, во второмъ — мы пользуемся классическимъ опредѣленіемъ.

19) Лаландъ. Говорятъ о легкости, съ какой мы воспринимаемъ статическія фигуры. Сомнительно, чтобы глазъ могъ постигнуть форму и фигуру способомъ, независимымъ отъ движенія.

20) (Мнѣніе Пуанкаре по поводу метода, примѣненнаго Бурлè): Я не сомнѣваюсь въ томъ что преимущества метода будутъ признаны, если имъ надлежащимъ образомъ воспользуются.

ніи, для начинающаго изучать геометрію, болѣе расплывчато, менѣе уловимо, чѣмъ разсужденіе относительно фигуръ, находящихся въ покоѣ. (Въ другомъ мѣстѣ): оно труднѣе.

15) По мысли Бурлё, для вещей характеренъ способъ ихъ изготовленія; но, вѣдь, вещи могутъ выполнены не однимъ только какимъ-нибудь техническимъ способомъ.

16) Для философа понятіе о группѣ движеній ярко освѣщаетъ геометрію; оно даетъ классификацію значительнаго числа геометрическихъ фактовъ.

17) Мароттъ. „Для философа,—пишетъ А. Пуанкаре,— „геометрія есть ученіе о группѣ движенія твердыхъ тѣлъ“.

Да, для философа, для преподавателя, но ни въ какомъ случаѣ не для ученика.

18) Чѣмъ ближе теорема къ основному опредѣленію, тѣмъ проще и деликатнѣе ея доказательства. Новичекъ неспособенъ сразу охватить тонкое доказательство и только впослѣдствіи, когда его умъ немного болѣе культивируется, онъ начнетъ понимать необходимость, или по крайней мѣрѣ, полезность такихъ доказательствъ.

С. Различныя соображенія.

21) Бурлё. Геометрія, по моему мнѣнію, должна опуститься ниже въ первомъ циклѣ и подняться выше—во второмъ.

22) Борель. Реформа становится совершенной лишь спустя поколѣніе. Надо чтобы преподаватели сами получили это обра-

зованіе для того, чтобы его удачно насаждать въ школѣ. Этотъ— путь предопредѣленъ роковымъ образомъ.

23) (Мнѣніе преподавателя лицея въ Ангулемѣ, сообщенное этимъ преподавателемъ въ письмахъ, писанныхъ имъ Бурлё): „Мои ученики легче работаютъ по новой методѣ, чѣмъ я“. Бурлё. „Вотъ въ чемъ ключъ вопроса: учащіеся не имѣютъ тѣхъ привычекъ ума, которыя бы ихъ смущали“.

Изучая всѣ эти доводы „за“ и „противъ“ мы видимъ, что они сводятся къ указаніямъ относительно того, 1° легка ли геометрія, основанная на „движеніи“, или трудна, 2° естественна ли она или, напротивъ того, въ этомъ смыслѣ уступаетъ обычному изложенію, болѣе или менѣе близкому къ классическому образцу—къ Евклиду, 3° выигрываетъ ли первое изложеніе геометріи въ точности и связности по сравненію со вторымъ или нѣтъ, 4° отвѣчаетъ ли то или иное изложеніе потребностямъ, которыя выдвигаются жизнью и опытомъ учащихся, пригодится ли она впослѣдствіи (въ практической жизни или въ цѣляхъ завершенія образованія) окончившимъ курсъ средней школы. Въ меньшей мѣрѣ удѣляется здѣсь вниманіе тому, что въ сущности представляетъ собой „движеніе“, на которомъ построенъ курсъ Бурле. Наконецъ, остается совершенно невыясненнымъ вопросъ, почему цѣлесообразно или нецѣлесообразно пользоваться курсомъ построеннымъ на движеніи. Высказывается даже мнѣніе45), что при выборѣ постулатовъ можетъ итти рѣчь о предрасположеніяхъ, такъ какъ существуютъ различныя формы пространственнаго воображенія. Наиболѣе близко къ точной постановкѣ этихъ вопросовъ подходилъ Мароттъ, преподаватель, не возражавшій противъ примѣненія движенія46) (А, 14) учениками успѣвающими (на послѣдующихъ ступеняхъ курса), склонный къ построенію курса на началахъ, отличныхъ отъ лежандрова изложенія; онъ различаетъ движеніе, на которое ссылается Лаландъ (А, 18) отъ „движенія“, которымъ пользуется Бурлё. Для него, раздѣляющаго точку зрѣнія Пуанкаре, совершенно недопустимымъ кажется ознакомленіе учащихся съ понятіемъ группы движеній, которое, по его мнѣнію такъ важно для философа, для преподавателя. Но когда Бурлё указываетъ (А, 14) что онъ и не знакомитъ съ группой движеній, что у него курсъ начинается съ очень простыхъ и понятныхъ вещей, Мароттъ какъ бы теряетъ почву и опять повторяетъ лишь прежніе доводы. Съ другой стороны, онъ слишкомъ недооцѣниваетъ (В, 6) возможность построенія курсовъ, отличающихся отъ ему знакомыхъ, правда, очень хоро-

45) Мы уже выше отмѣтили, что нами приведены изъ отчета только наиболѣе важныя соображенія. Указанное далѣе мнѣніе принадлежитъ Лаланду; оно предшествуетъ его же мнѣнію, помѣщенному у насъ въ лѣвомъ столбцѣ подъ № 19.

46) При ссылкахъ на мнѣнія упомянутыхъ ораторовъ мы будемъ указывать ихъ мнѣнія, называя (нашъ) лѣвый столбецъ буквой А% а правый буквой В. Цифры означаютъ мѣсто въ столбцѣ.

тихъ образцовъ (В, 12), и невольно хочется вспомнить соображенія Бореля о томъ, что реформа становится совершенной лишь спустя поколѣніе.... (С, 22), мнѣніе преподавателя (С, 23), который говоритъ что мои ученики легче работаютъ по новой методѣ, чѣмъ я..., что, быть можетъ, сужденія Маротта въ значительной мѣрѣ скованы мыслительными привычками самого оратора, который не можетъ отрѣшиться отъ всего того, съ чѣмъ онъ сжился за годы ученія и учительства.

Ничего не даютъ намъ соображенія ораторовъ о легкости или трудности того или другого пріема изложенія первыхъ главъ геометріи. Дѣйствительно, совсѣмъ не трудно понять, что рейшина или чертежный треугольникъ могутъ занимать, какъ у Бурлè, различныя положенія, что отдѣльныя ихъ точки вычерчиваютъ показанныя на чертежѣ линіи. Еще понятнѣе все это будетъ учащимся послѣ того, какъ они закрѣпятъ эту работу многочисленными упражненіями, а вѣдь это и необходимо, какъ указываетъ Бурлè! И не представитъ большого труда пониманіе перемѣщеній пятиугольника изъ одного положенія въ другое, а также пониманіе связанныхъ съ ними постулатовъ, какъ это дѣлаетъ Бурлё!

Какъ отвѣтить на вопросъ о естественности того или другого начала? Начать съ разсмотрѣнія какихъ-либо конкретныхъ случаевъ, хотя бы движенія рейшины или чертежнаго треугольника, въ особенности если принять во вниманіе то значеніе, какое имѣетъ движеніе въ формированіи нашихъ представленій о пространствѣ47)—не такъ ужъ неестественны, какъ на то указывали ораторы, возражавшіе противъ курса Бурлè. Книга послѣдняго по внѣшности нисколько не абстрактна, начинается съ краткаго пропедевтическаго курса, основаннаго въ значительной мѣрѣ на черченіи, какъ того желалъ бы и Мароттъ, говоритъ о фигурахъ понятныхъ и простыхъ. Противъ упрека въ расплывчатости первыхъ шаговъ изложенія (В, 14) — для начинающихъ можно съ успѣхомъ возразить, что Бурле и дѣлаетъ. Слова группа движеній нигдѣ въ книгѣ не встрѣчаются,напротивъ того, въ текстѣ разбросаны немалочисленные примѣры изъ окружающей насъ обыденной обстановки48). Автору курса и его сторонникамъ, повидимому, безъ труда удается отразить упрекъ въ абстрактности. Правда, пропедевтическій курсъ здѣсь слиткомъ слабъ и мало отвѣчаетъ тѣмъ требованіямъ которые выдвигаются его сторонниками49), но отсюда никакъ нельзя заключить, что систематическій курсъ Бурлё слишкомъ абстрактенъ.

Для того, чтобы отвѣтить на всѣ эти вопросы надо отчетливо понять, что представляетъ собой то „движеніе“, на которомъ построено начало курса Бурле.

При надлежащей постановкѣ курса (А, 20) можно хо-

47) См. С. А. Богомоловъ, 1. с. стр. 56.

48) См. у насъ страницу.

49) См. А. Кулишеръ. Учебникъ геометріи, стр. 1—XII.

рошо изучить все то, что помѣщено на первыхъ страницахъ книги Бурлè. Но какъ дать почувствовать ученикамъ, что постулаты, на которыхъ все дальнѣйшее построено (авторъ справедливо указываетъ, что впослѣдствіи (С, 21) ученикъ можетъ понять необходимость даже тонкихъ доказательствъ), дѣйствительно необходимы, а не притянуты авторомъ лишь для какихъ-то извѣстныхъ одному послѣднему цѣлей50)?

Мы утверждаемъ, что выяснить учащимся необходимость этихъ имено постулатовъ въ томъ изложеніи, какое мы находимъ у Бурлè, не только не легко, но прямо невозможно.

Невозможно потому, что здѣсь мы имѣемъ дѣло не съ „динамическимъ“ истолкованіемъ движенія линейки или треугольника, какъ то можно подумать, видя конкретные примѣры, указанные авторомъ, не съ кинематической геометріей, какъ называли подобные курсы нѣкоторые изъ упомянутыхъ выше ораторовъ, а съ точечными преобразованіями.

И это первое, что надо сказать съ полной откровенностью.

Какъ бы мы ни маскировали наличность вопроса о точечныхъ преобразованіяхъ движущимися линейками и пятиугольниками, характера основныхъ построеній мы этимъ не измѣнимъ. А разъ мы имѣемъ дѣло съ точечными преобразованіями, то какимъ же образомъ будемъ мы строить на нѣкоторыхъ заключеніяхъ относительно преобразованій весь курсъ, разъ мы ничего не сдѣлали для упроченія и разсмотрѣнія самого понятія о преобразованіяхъ, которое мы должны были бы выяснить предварительно на разнообразныхъ примѣрахъ. Однако самые примѣры преобразованій, пригодные для сказанной цѣли, становятся понятными и своевременными лишь по завершеніи значительнаго періода занятій геометріей, при чемъ возможность ихъ появленія въ занятіяхъ учащихся обусловливается большимъ запасомъ предварительныхъ свѣдѣній

Такимъ образомъ мы попадаемъ здѣсь въ порочный кругъ. Для того, чтобы построить курсъ геометріи и пріобрѣсти познанія въ этомъ предметѣ, необходимо высказать нѣсколько общихъ положеній относительно точечныхъ преобразованій, а для того, чтобы судить о точечныхъ преобразованіяхъ, надо пріобрѣсти предварительно значительныя познанія по курсу геометріи51).

Вотъ второе наше соображеніе.

Но это еще не все: для того, чтобы разсуждать о точечныхъ

50) О „простотѣ“ ихъ говорить не приходится. Противники съ успѣхомъ могутъ возразить, что понятіе о прямой линіи, о точкѣ, о равенствѣ угловъ и т. п.—„проще“.

51) Гдѣ и при какихъ условіяхъ можно ввести изложеніе, предлагаемое Бурле или сходное, мы покажемъ ниже.

преобразованіяхъ и нѣкоторыхъ ихъ общихъ свойствахъ съ какой-либо пользой для математическаго развитія учащихся, послѣднимъ необходимо не только понимать нѣкоторыя перемѣщенія рейшинъ, чертежныхъ треугольниковъ и взятыхъ на послѣднихъ пятиугольниковъ, но надо быть настолько умственно зрѣлымъ, чтобы имѣть возможность мыслить.

Это наше третье соображеніе.

Надо ли прибавлять, что не только учащіеся, приступающіе къ изученію геометріи, но и тѣ, кто уже занимался ею годъ или два, и, быть можетъ, даже хорошо доказывалъ теоремы, лишь въ въ видѣ рѣдкаго исключенія отвѣчаютъ выдвинутому нами послѣднему условію, тоесть—въ состояніи мыслить.

Однако, возможно и другое положеніе вещей и иное отношеніе къ „движенію“ (въ данномъ случаѣ къ точечнымъ преобразованіямъ). Представимъ себѣ, что передъ нами не дѣти, приступающіе впервые къ систематическому курсу геометріи, къ тому же не прошедшіе ни одного изъ тѣхъ различныхъ подготовительныхъ курсовъ, о которыхъ мы говоримъ выше, а учащіеся въ возрастѣ 16—17 лѣтъ, основательно ознакомившіеся почти со всѣми тѣми вопросами, которые входятъ въ обычные систематическіе курсы геометріи.

Допустимъ также, что они своевременно и многократно удѣляли вниманіе вопросу о преобразованіяхъ, что преподаватель пользовался каждымъ соотвѣтственнымъ случаемъ для того, чтобы расширить въ этомъ направленіи кругозоръ учащихся, и посмотримъ, какими свѣдѣніями они могутъ располагать въ интересующій насъ моментъ ихъ занятій по геометріи.

Говоря, напримѣръ, о равенствѣ плоскихъ или пространственныхъ фигуръ, такіе учащіеся легко должны представлять себѣ плоскость (или пространство) съ множествомъ равныхъ фигуръ во всевозможныхъ расположеніяхъ. Эти равныя фигуры могутъ ничтожно отличаться другъ отъ друга по своему положенію; могутъ быть какъ бы ничтожно „смѣщены“ относительно другъ друга; тутъ должно получиться представленіе какъ бы о непрерывномъ переходѣ равныхъ фигуръ одной въ другую, въ какомъ бы направленіи на плоскости или въ пространствѣ мы ни стали бы перемѣщаться.

Обратимся къ равновеликости. Для большей опредѣленности остановимся на какихъ - нибудь двухъ частныхъ случаяхъ, а именно на равновеликости параллелограммовъ на плоскости и равновеликости пятигранныхъ призмъ.

Возьмемъ какой-нибудь параллелограммъ ILMK (рис. 6).

Если мы примемъ за основаніе сторону ІК, то безъ труда укажемъ множество равновеликихъ различныхъ по формѣ параллелограммовъ, имѣющихъ то же основаніе и ту же высоту: множество такихъ параллелограммовъ мы прежде всего усмотримъ

Рис. 6.

въ двухъ полосахъ, опредѣляемыхъ соотвѣтственными противоположными сторонами параллелограмма, а также въ безчисленномъ количествѣ равныхъ имъ полосъ въ ихъ безчисленно многообразномъ расположеніи на нашей плоскости.

Но это еще далеко не всѣ пути преобразованія даннаго параллелограмма, въ параллелограммы, ему равновеликіе. Мы можемъ принять за исходную фигуру любой изъ только-что полученныхъ параллелограммовъ или же такой, какъ EFDB, который позволитъ намъ перейти къ новой полосѣ (со сторонами F8 и ЕК)\ остановившись на параллелограммѣ NPSR, мы образуемъ множество другихъ параллелограммовъ, опредѣляемыхъ новой полосой (со сторонами NF' и КГ) и такъ далѣе.

На рисункѣ 7-омъ показаны три равновеликихъ пятиугольныхъ призмы съ равными, но разно расположенными основаніями А!", В\ О. Кромѣ безчисленнаго множества равновеликихъ имъ призмъ, заключенныхъ между двумя параллельными плоскостями Р и Q или между двумя другими плоскостями, отстоящими другъ отъ друга на томъ же разстояніи, что и плоскости Р и Q, или множествъ призмъ равновеликихъ, заключенныхъ соотвѣтственно въ призматическихъ трубахъ А А'", ВВ\ СС'51); особаго вниманія заслуживаютъ тѣ случаи когда взявъ какое-либо сѣченіе D', не параллельное основаніямъ одной изъ получившихся у насъ равновеликихъ призмъ, мы проводимъ, черезъ его вершины пять прямыхъ, параллельныхъ другъ другу и пересѣкающихъ плоскость сѣченія подъ любымъ угломъ. Эти прямыя опредѣляютъ каждый разъ одну изъ множества призматическихъ трубъ, въ каждой изъ которыхъ найдется на соотвѣтственномъ разстояніи отъ D' такое

Рис. 7.

51) Мы не останавливаемся здѣсь на этихъ простыхъ преобразованіяхъ.

параллельное послѣднему сѣченіе D", что призма D'D" будетъ равновелика исходной; надо ли говорить, о томъ что все пространство можно представить себѣ заполненнымъ ходами такихъ колѣнъ призматическихъ трубъ, пересѣкающихъ другъ друга подъ произвольными углами52).

На рисункѣ 8-омъ показанъ одинъ изъ частныхъ случаевъ преобразованій по подобію. Послѣднія могутъ быть выполнены какъ въ плоскости чертежа, такъ и въ пространствѣ. Въ послѣднемъ случаѣ фигурамъ, изображеннымъ у насъ на рисункѣ не трудно придать соотвѣтственное истолкованіе. Возьмемъ любой изъ имѣющихся на чертежѣ четыреугольниковъ, напримѣръ А'" и проведемъ черезъ вершины его изъ произвольной точки S" четыре прямыхъ, входящихъ въ составъ пучка съ центромъ S" . На соотвѣтственныхъ лучахъ у насъ будутъ расположены вершины множества подобныхъ и подобно расположенныхъ четыреугольниковъ, лежащихъ какъ по ту сторону отъ S" , что АІѴ, такъ и по противоположную сторону. Взявъ за центръ новаго пучка точку S', мы строимъ такіе четыреугольники, какъ А" и А\ далѣе имѣя Л, изъ произвольной точки S проводимъ соотвѣтственные лучи и получаемъ рядъ четыреугольниковъ, расположенныхъ, какъ А' или иначе. Такимъ путемъ мы можемъ заполнить всю плоскость такими четыреугольниками (или пространство соотвѣтственными пирамидами).

Мы намѣтили въ краткихъ чертахъ только планъ подобныхъ работъ, выполняемыхъ отчасти въ классѣ, отчасти дома, при самыхъ незначительныхъ указаніяхъ со стороны учителя, не касаясь дидактической стороны. Мы не остановились также на такихъ полезныхъ построеніяхъ, какъ преобразованія по симметріи, но уже изъ разсмотрѣннаго матеріала видно, что ученикъ въ состояніи будетъ смотрѣть на плоскость одинъ разъ какъ на носительницу множества фигуръ равныхъ, другой разъ—какъ на мѣсто фигуръ подобныхъ, третій разъ — какъ на мѣсто фигуръ равновеликихъ и т. д. Такимъ же носителемъ многообразныхъ свойствъ предстанетъ предъ нимъ не только плоскость; но и пространство, какъ тотъ или другой континуумъ, и тутъ то съ достаточной отчетливостью выяснится идея одно-однозначнаго соотвѣтствія.

Рис. 8.

52) Послѣднія преобразованія—весьма поучительны; высота призмы D'D" можетъ быть опредѣлена какъ съ помощью элементарныхъ тригонометрическихъ выкладокъ, такъ и безъ нихъ. Оба способа разсчета доступны нашимъ учащимся 6-го класса. Сказанныя преобразованія могутъ быть очень полезны въ курсѣ физики и его приложеніяхъ.

Подлежащимъ образомъ взрощенныя представленія придадутъ особую гибкость пространственному воображенію, и тутъ-то, можетъ быть, настанетъ время, когда учащійся, нѣсколько подготовленный къ тому, что можно считать „мышленіемъ“ о пространствѣ, въ состояніи будетъ съ пользой для себя сопоставить рядъ различныхъ видовъ преобразованій и съ помощью учителя прійти къ тѣмъ коротенькимъ постулатамъ, которые положены Бурлё въ основу курса...

Насколько разниться будетъ пониманіе учащагося на этой ступени отъ способности къ уразумѣнію значенія сказанныхъ постулатовъ учениками нашего 4-го класса судить не трудно:

Бурлè, какъ автору книги, послѣ коротенькаго подготовительнаго курса, приходится пополнять представленія учащихся о движеніи ссылками на тѣ или другія движенія, встрѣчающіеся въ обыденной жизни. Этими ссылками авторъ какъ бы подтверждаетъ наше мнѣніе о черезмѣрной краткости его подготовительнаго курса и о тѣмъ большей черезмѣрности требованій, которыя онъ предъявляетъ къ учащимся, строя свой систематическій курсъ на основахъ, къ уразумѣнію которыхъ подростки по причинамъ, указаннымъ нами выше и безъ того не готовы.

Итакъ обзоръ всего курса геометріи съ точки зрѣнія „движенія“ на этой высшей ступени можетъ быть очень цѣннымъ завершеніемъ занятій по нашему предмету, но отсюда нисколько не слѣдуетъ, что такое какъ разъ завершеніе (на основѣ „движенія“) сколько-нибудь обязательно.

Равнымъ образомъ многое можно извлечь для укорененія идеи о преобразованіяхъ изъ разумно построеннаго подготовительнаго курса. Но было бы ошибочнымъ думать, что подготовительный курсъ, имѣющій самодовлѣющія цѣли, о которыхъ мы говорили въ своемъ мѣстѣ, долженъ въ какой-либо мѣрѣ считаться съ возможностью завершенія занятій обзоромъ изученнаго матеріала на основѣ „движенія“.

Положеніе преподавателя геометріи въ наше время и трудно, и отвѣтственно. Онъ не только долженъ пополнить пробѣлы своего математическаго образованія, часто не включавшаго въ себя даже элементовъ проективной геометріи, но онъ обязанъ, сверхъ того, критически отнестись къ цѣлому ряду вопросовъ, однимъ изъ которыхъ является нашъ вопросъ о примѣнимости идеи движенія въ средней школѣ. Добросовѣстно ищущіе отвѣта на свои сомнѣнія, обычно, въ концѣ концовъ, удовлетворительный отвѣтъ находятъ, какъ ни труденъ бываетъ путь. Мнѣ невольно вспоминается рѣчь выдающагося ученаго, автора „Теоріи винтовъ“, Роберта Стауела Болла, произнесенная имъ въ 1887 году въ Мэнчестерѣ въ Британской Ассоціаціи (секція математики и физики). Здѣсь въ весьма остроумной иносказательной формѣ онъ сопоставляетъ и сравниваетъ другъ съ другомъ отличительныя особенности геометріи декартовой и новой синтетической и выясняетъ достоинства послѣдней. Онъ ставитъ на разрѣшеніе механическую задачу,—вопросъ о движеніи твердаго тѣла въ самой общей его формѣ. По очереди выступаютъ каждый съ сво-

имъ орудіемъ представители научной мысли, г. Картезій, г. Ангармоникъ, г. Одно-Однозначный, г. Геликсъ, г. Пытливый. Время отъ времени вставляетъ свое трезвое слово представитель здраваго смысла г. Комменсенсъ. Не останавливаясь на содержаніи самой рѣчи, напомню только, что каждый разъ какъ разрѣшеніе механической задачи въ той или иной ея стадіи становится черезвычайно утомительнымъ и почти 'безнадежнымъ, геометрія открываетъ предъ глазами изслѣдователей, безкорыстно ищущихъ истину, новыя тонкія и въ то же время могущественныя до того непримѣнявшіяся орудія.

М. Г. и М. Г. Интересная эпоха, переживаемая нами, съ ея мнообразными открытіями въ области чистаго знанія и ихъ приложеніями, требуетъ отъ учителей, отъ лицъ, участвующихъ въ формированіи мышленія подростающаго поколѣнія, новыхъ дидактическихъ пріемовъ, быть можетъ, даже нѣсколько измѣненныхъ привычекъ мысли. Но внесеніе новыхъ орудій мысли требуетъ большой вдумчивости, большой осторожности, и часто попутно выгодно оттѣняетъ также значеніе старыхъ методовъ изложенія. Такъ было и въ нашемъ вопросѣ о движеніи. Нѣсколько преувеличенное стремленіе внести въ изложеніе геометріи пріемы, основанные на движеніи, въ концѣ концовъ оказалось вдвойнѣ плодотворнымъ: оно заставило критически отнестись къ этимъ пріемамъ, повело къ болѣе раціональному распредѣленію области ихъ примѣненія на протяженіи всего курса и въ то же время пролило новый свѣтъ на другіе пріемы, совершенно выключающіе движеніе. Такимъ образомъ, вооружившись критическимъ чутьемъ, не забывая о томъ цѣнномъ, что было въ старыхъ методахъ, мы можемъ смѣло итти впередъ въ дѣлѣ совершенствованія дидактики геометріи, вѣря, подобно Роберту Стауеллу Боллу, что „природа никогда не измѣняетъ сердцу, которое искренне ее любитъ“.

Теорія предѣловъ въ курсѣ геометріи.

К. Ѳ. Лебединцевъ. Москва.

(Докладъ, прочитанный на 2-мъ съѣздѣ преподавателей математики въ Москвѣ 27 декабря 1913 г.).

Мнѣ часто приходилось слышать, что ученіе о вычисленіи длины окружности и площади круга, о поверхностяхъ и объемахъ круглыхъ тѣлъ кажется учащимся труднымъ, малопонятнымъ и менѣе обоснованнымъ, чѣмъ другіе отдѣлы курса геометріи. И я не удивляюсь этому, такъ какъ обычное изложеніе этихъ вопросовъ въ учебникахъ геометріи и въ школьной практикѣ страдаетъ существенными недостатками, которые съ одной стороны должны затруднять учащимся усвоеніе вопроса о кругѣ и круглыхъ тѣлахъ, а съ другой—невольно должны приводить ихъ къ сомнѣ-

ніямъ въ обоснованности получаемыхъ выводовъ. Въ самомъ дѣлѣ, прежде всего самое понятіе о длинѣ окружности въ настоящее время принято опредѣлять, какъ „предѣлъ, къ которому стремится периметръ вписаннаго въ эту окружность выпуклаго многоугольника, когда стороны его неограниченно уменьшаются“ (см. напр. учебникъ геометріи Киселева). Я не буду особенно подчеркивать, что это опредѣленіе можетъ подать поводъ къ недоразумѣніямъ; пусть напр. въ кругъ вписанъ равнобедренный прямоугольный треугольникъ А СВ ] затѣмъ черезъ середину М радіуса ОС, проведена хорда DE || AB и въ сегментъ DCE вписанъ какой либо 4-угольникъ DD^E, опирающійся на ходу DE; далѣе черезъ средину М, отрѣзка СМ проведена хорда FG || AB и въ сегментъ F CG вписанъ какой либо 5-угольникъ, напр. FD1CF1G> опирающійся на хорду FG, и т. д. Каждый изъ этихъ послѣдовательныхъ многоугольниковъ будетъ выпуклымъ и вписаннымъ въ кругъ, и стороны ихъ, какъ нетрудно доказать, неограниченно убываютъ (а число сторонъ неограниченно возрастаетъ), но предѣлъ, къ которому стремятся ихъ периметры, есть нуль, а не то, что мы привыкли разумѣть подъ длиной окружности. Но если даже исправить вышеприведенное опредѣленіе указаніемъ на то, что при неограниченномъ убываніи сторонъ вписаннаго многоугольника вершины его должны всякій разъ сохраняться (т. е. что вершины каждаго предыдущаго вписаннаго многоугольника служатъ также и вершинами слѣдующаго), то все же остается въ силѣ главное методическое препятствіе: хотя учащіеся и могутъ понять, что при безграничномъ возрастаніи числа сторонъ вписаннаго многоугольника его периметръ имѣетъ предѣлъ, и что этотъ предѣлъ будетъ тотъ же и для описаннаго многоугольника, но почему именно этотъ предѣлъ называется длиною окружности и почему этотъ предѣлъ можно и нужно отождествить съ интуитивнымъ понятіемъ о длинѣ окружности, которое имъ было знакомо раньше, —этотъ вопросъ при обычной системѣ изложенія остается безъ отвѣта. А между тѣмъ, это вопросъ кардинальной важности, и отсутствіе отвѣта на него заставляетъ учащихся недоумѣвать точно такъ же, какъ еслибы при изученіи умноженія на дробь въ курсѣ ариѳметики второго класса они услышали бы отъ преподавателя опредѣленіе: „условимся называть произведеніемъ двухъ дробей ту дробь, у которой числитель есть произведеніе числителей данныхъ дробей, а знаменатель—произведеніе знаменателей“. Подобнымъ же образомъ боковыя поверхности цилиндра, конуса, поверхность шара — опредѣляются какъ предѣлы, къ которымъ стремятся поверхности соотвѣтствующихъ вписанныхъ въ нихъ геометрическихъ тѣлъ—призмъ, пирамидъ и т. д.; и здѣсь, конечно, учащіеся вправѣ спросить, почему это такъ и нельзя ли называть поверхностью цилиндра или шара что-нибудь другое, а не вышеуказанные предѣлы?

Къ этому присоединяется еще и другой недочетъ обычнаго преподаванія, не менѣе существенный. Хотя учащимся и дается предварительное понятіе о безконечно маломъ и о предѣлѣ, но при выводѣ формулъ длины окружности и площади круга, по-

верхностей и объемовъ круглыхъ тѣлъ дѣлаются нерѣдко ссылки на такія свойства безконечно малыхъ и предѣловъ, которые раньте доказаны не были и молчаливо принимаются за истинныя. Такъ напр., считаютъ иногда очевиднымъ, что отъ сложенія безконечно малыхъ получается безконечно малая сумма, что отъ умноженія безконечно малаго на постоянное или на перемѣнное конечное получается безконечно малый результатъ; а относительно нахожденія предѣловъ дается безъ доказательства „основное начало способа предѣловъ: если какое либо равенство, содержащее перемѣнныя величины, остается вѣрнымъ при всѣхъ измѣненіяхъ перемѣнныхъ, то оно останется вѣрнымъ и тогда, когда на мѣсто перемѣнныхъ подставимъ ихъ предѣлы“ (см. напр. учебникъ Киселева). Между тѣмъ, всѣ эти истины далеко не очевидны, а когда учащимся приходится или усваивать ихъ мимоходомъ въ сокращенномъ изложеніи, или просто принимать на вѣру, то, конечно, изучаемый вопросъ не выигрываетъ отъ этого ни въ ясности, ни въ убѣдительности. Казалось бы, что здѣсь дѣло поправить нетрудно—стоитъ только ввести въ курсъ тѣ теоремы о безконечно малыхъ и о предѣлахъ, на которыя придется опираться въ дальнѣйшемъ изложеніи; но традиціонная школьная практика до послѣдняго времени упорно отгораживалась отъ всякаго углубленія курса въ этомъ направленіи и ограничивалась теоремами о равенствѣ предѣловъ для равныхъ перемѣнныхъ и о предѣлахъ перемѣнныхъ, находящихся въ постоянномъ отношеніи. Мотивировалось это обыкновенно неимѣніемъ времени (въ курсѣ 5 и 6 классовъ гимназіи); но недостатокъ времени не препятствовалъ однако въ тѣхъ же классахъ изучать многоэтажныя преобразованія радикаловъ, а иногда и логариѳмическія вычисленія по семизначнымъ таблицамъ. Настоящая причина, по которой теорія предѣловъ проникала въ курсъ средней школы лишь тайкомъ и въ урѣзанномъ видѣ, заключалась въ другомъ: это былъ страхъ передъ призракомъ „высшей“ математики, якобы недоступной для средней школы.

Въ теченіе моей педагогической дѣятельности я постоянно стремился усовершенствовать изложеніе даннаго вопроса, и, какъ мнѣ кажется, достигъ наконецъ удовлетворительныхъ результатовъ. Изложеніе тѣхъ выводовъ, къ которымъ я пришелъ, и будетъ служить содержаніемъ моего доклада.

Сначала, однако, я долженъ упомянуть, что въ послѣднее время дѣлаются попытки обойтись въ данномъ вопросѣ вовсе безъ теоріи предѣловъ и разсматривать кругъ, какъ „правильный многоугольникъ съ безчисленнымъ множествомъ сторонъ“. Такая попытка сдѣлана напр. Н. А. Извольскимъ въ его учебникахъ: „Геометрія на плоскости“ и „Геометрія въ пространствѣ“. Разсматривая процессъ безконечнаго удвоенія числа сторонъ правильнаго многоугольника и доказавъ, что при помощи этого процесса можно получить многоугольникъ, у котораго разстояніе между двумя сосѣдними вершинами меньше произвольно заданнаго отрѣзка, онъ разсуждаетъ далѣе такъ: „... Мы можемъ дать отвѣтъ на вопросъ, какой бы получился многоугольникъ, еслибы

мы этотъ процессъ удвоенія повторили безконечное число разъ. Такъ какъ разстояніе между двумя сосѣдними вершинами всякій разъ уменьшается и можетъ быть сдѣлано какъ угодно мало, то послѣ безконечнаго числа повтореній процесса удвоенія получится такой многоугольникъ, что двѣ его сосѣднихъ вершины должны слѣдовать непосредственно одна за другой, т. е. многоугольникъ обращается въ рядъ точекъ, непосредственно слѣдующихъ одна за другой и равноотстоящихъ отъ точки О, или, другими словами, многоугольникъ обращается въ кругъ, центръ котораго есть О и радіусъ ОА. Конечно, построить кругъ процессомъ удвоенія мы не можемъ, такъ какъ невозможно его повтореніе безконечное число разъ, но кругъ осуществить мы умѣемъ инымъ путемъ и можемъ теперь смотрѣть на кругъ, какъ на правильный многоугольникъ съ безконечно большимъ числомъ сторонъ “ (Геом. на плоскости, изд. 1-е, стр. 258). Но такую точку зрѣнія я не могу считать пріемлемой. Во 1-хъ, здѣсь остается совершенно невыясненнымъ, что значитъ „безконечно большое число“ сторонъ; если это трансфинитное число, то какъ ознакомить съ этимъ понятіемъ учащихся 5-го или 6-го класса (и можно ли вообще это сдѣлать при тѣхъ познаніяхъ, какими они обладаютъ)? Во 2-хъ, и это самое важное—теоремы, доказанныя для правильныхъ многоугольниковъ съ конечнымъ числомъ сторонъ, нельзя еще безъ дальнѣйшихъ разсужденій распространять и на „многоугольникъ съ безконечно большимъ числомъ сторонъ“, т. е. на кругъ, подобно тому, какъ правила дѣйствій надъ конечными десятичными дробями мы не можемъ безъ доказательства считать истинными для „безконечныхъ десятичныхъ дробей“ (періодическихъ и неперіодическихъ). А попытка обосновать законность такого распространенія заставитъ насъ какъ въ томъ, такъ и въ другомъ случаѣ ввести теорію предѣловъ, которой стремились было избѣжать.

Считая такимъ образомъ, что въ вопросѣ объ измѣреніи длины окружности и площади круга безъ теоріи предѣловъ обойтись нельзя, я нахожу прежде всего, что этотъ вопросъ долженъ изучаться совсѣмъ не въ томъ мѣстѣ гимназическаго курса, гдѣ онъ помѣщенъ сейчасъ. Въ настоящее время бываютъ случаи, когда въ курсѣ естествознанія или физики (которыя въ иныхъ школахъ начинаются съ 5 класса) учащимся нужно знать, какъ измѣряется площадь круга или даже объемъ цилиндра; а въ курсѣ математики они доходятъ до этихъ вопросовъ много позже, въ концѣ 5-го или въ 6-мъ классѣ. Кромѣ того, въ настоящее время можно считать общепризнаннымъ, что изученію систематическаго курса геометріи необходимо предпосылать, въ большемъ или меньшемъ объемѣ, курсъ наглядной, эмпирической геометріи. И по моему необходимо, чтобы учащіеся уже въ этомъ курсѣ (т. е. во 2-мъ или 3-мъ классѣ средней школы) ознакомились съ практическими методами измѣренія длины окружности и площади круга, поверхностей и объемовъ круглыхъ тѣлъ. Подробное выясненіе этихъ методовъ не входитъ въ задачу моего доклада: замѣчу только, что длину окружности учащіеся измѣряютъ непо-

средственно помощью нитки или сантиметровой ленты, и путемъ многократнаго измѣренія окружностей и діаметровъ круглыхъ предметовъ могутъ убѣдиться въ постоянствѣ отношенія между этими длинами (на основаніи своей практики скажу, что если учащіеся при помощи нитки аккуратно измѣрятъ окружность и діаметръ мѣднаго пятака въ миллиметрахъ, то отношеніе полученныхъ чиселъ даетъ число л съ точностью до 0,01); для измѣренія площади круга пригодно и разрѣзываніе круга на узкіе секторы, складываемые затѣмъ противоположными концами, и вычерчиваніе круга на миллиметровой бумагѣ, и даже взвѣшиваніе; объемы цилиндра, конуса и шара измѣряются при помощи наполненія пескомъ и водой соотвѣтствующихъ моделей, а поверхности—посредствомъ развертыванія ихъ на плоскости, или, если это невозможно—посредствомъ обматыванія веревкой равномѣрной толщины (такъ можно сравнить поверхность шара съ поверхностью описаннаго около него цилиндра). При такихъ условіяхъ учащіеся заблаговременно пріобрѣтутъ и тѣ практическія познанія объ измѣреніи круга и круглыхъ тѣлъ, которыя будутъ имъ необходимы въ естествознаніи и физикѣ, и цѣлый рядъ наглядныхъ представленій, на которыхъ можно будетъ уже съ успѣхомъ обосновать теоретическое изученіе соотвѣтствующихъ вопросовъ въ дальнѣйшемъ курсѣ математики. Что же касается изученія вопроса о длинѣ окружности и площади круга въ систематическомъ курсѣ геометріи, то по моему глубокому убѣжденію, этому отдѣлу не мѣсто въ курсѣ 5-го класса гимназій; его нужно объединить съ изученіемъ соотвѣтствующихъ круглыхъ тѣлъ и проходить въ самомъ концѣ систематическаго курса геометріи (въ 6-мъ классѣ), вмѣстѣ съ соотвѣтствующими теоремами о безконечно малыхъ и о предѣлахъ. Правда, это не согласуется съ обычнымъ раздѣленіемъ геометріи на планиметрію и стереометрію, но я держусь того мнѣнія, что съ этимъ раздѣленіемъ пора покончить и распредѣлять матеріалъ въ систематическомъ курсѣ геометріи не по числу измѣреній изучаемыхъ геометрическихъ объектовъ, а по методамъ доказательства. И въ своей педагогической практикѣ я уже втеченіе нѣсколькихъ лѣтъ объединяю всѣ геометрическіе вопросы, основанные на методѣ предѣловъ, въ особый, послѣдній отдѣлъ систематическаго курса геометріи.

Разумѣется, отдѣлу о кругѣ и круглыхъ тѣлахъ я предпосылаю ознакомленіе съ понятіями о безконечно маломъ и о предѣлѣ и съ нѣкоторыми теоремами о предѣлахъ. Между прочимъ, число необходимыхъ здѣсь теоремъ отнюдь не такъ велико, какъ принято иногда думать. Собственно говоря, для вывода всѣхъ формулъ, касающихся круга и круглыхъ тѣлъ, существенно необходимы только три теоремы о предѣлахъ, именно теоремы о единственности предѣла, о постоянномъ количествѣ, заключенномъ между двумя безконечно близкими перемѣнными, и о предѣлѣ произведенія перемѣннаго на постоянное; изъ нихъ первая и третья, какъ упомянуто выше, имѣются и въ традиціонныхъ курсахъ, хотя и подъ другими названіями, а вторая упрощаетъ

выводъ формулъ; прочія же теоремы напр. о предѣлѣ суммы и произведенія перемѣнныхъ или квадратнаго корня — не необходимы, такъ какъ формулу объема усѣченнаго конуса можно получить, вычисляя объемъ этого тѣла, какъ разность объемовъ двухъ конусовъ (а не какъ предѣлъ объема усѣченной пирамиды); а при выводѣ другихъ формулъ можно вычислять, въ случаѣ надобности, поверхности и объемы описанныхъ фигуръ и тѣлъ и тѣмъ избѣгать необходимости примѣненія теоремы о произведеніи двухъ перемѣнныхъ. Изъ теоремъ же о безконечно малыхъ безусловно необходимы тоже три теоремы: о суммѣ безконечно малыхъ, о произведеніи безконечно малаго на постоянное и на перемѣнное конечное. Такимъ образомъ для устраненія допускаемыхъ теперь многочисленныхъ логическихъ пробѣловъ при выводѣ формулъ круга и круглыхъ тѣлъ достаточно пройти, въ сущности, только четыре лишнихъ теоремы; а между тѣмъ, зная ихъ, учащіеся усваиваютъ весь отдѣлъ значительно легче и сознательнѣе. Въ своей личной практикѣ я не ограничивался этими вопросами, а проходилъ съ учащимися всѣ теоремы, касающіяся дѣйствій надъ безконечно малыми и надъ перемѣнными, имѣющими предѣлы, и обычно на это оказывалось достаточно времени въ курсѣ 6 класса.

(Окончаніе въ слѣд. №).

Задачи.

Подъ редакціей Э. Ю. Лейнѣка.

202. Рѣшить въ цѣлыхъ и положительныхъ числахъ уравненіе.

В. Шлыгинъ.

203. Рѣшить уравненія:

204. Данъ кругъ и внѣ его ВАС. Найти на кругѣ точку X такъ, чтобы а) отношеніе опущенныхъ изъ нея на стороны АС и AB перпендикуляровъ ХУ и XZ имѣло данную величину —; Ь) чтобы отрѣзокъ YZ, соединяющій основанія упомянутыхъ перпендикуляровъ, имѣлъ данную длину а.

В. Кованько.

205. Доказать, что въ треугольникѣ

Qa “ЬРс ^>hg -\-hb -f-hC'

206. Найти геометрическое мѣсто центровъ равностороннихъ треугольниковъ, вписанныхъ въ данный равнобедренный треугольникъ.

Н. Козыревъ.

207. Найти число при условіи, чтобы квадратъ числа, образованнаго его двумя послѣдними цифрами, сложенный съ квадратомъ числа, стоящаго передъ нимъ, далъ бы сумму, равную искомому числу.

А. Сергѣевъ.

208. Найти предѣлъ выраженія

при х = у10.

Н. Орлицкій.

209. На данной прямой найти точку, изъ которой одна изъ двухъ данныхъ концентрическихъ окружностей видна подъ угломъ вдвое большимъ, чѣмъ другая.

А. Сергѣевъ.

Рѣшенія задачъ.

166. Рѣшитъ уравненіе

я44- Зж3 — 8 = 0

Представимъ данное уравненіе въ слѣдующемъ видѣ:

X4 -j- X3 -J- 2х3 -}- 2х2 -f- 2х1 — Ax2 -f- \х — 4:Х — 8 = 0.

Лѣвая часть этого уравненія можетъ быть преобразована:

xQ(x2 X 2) -\- 2х(х2 х-\- 2)—4 (X2 -f- х -)- 2) = 0

Отсюда имѣемъ:

(X2 -\-x-\-2) (х2-\- 2х—4) = 0

Поэтому заключаемъ, что или

X2 + X —|— 2 =0, или х2-\-2х — 4 = 0.

Рѣшая первое уравненіе находимъ

Изъ второго же уравненія имѣемъ хш= — 1±уТ~

К. Верещагинъ (Козловъ), Н. Галановъ (Москва), Я. Гольдбуртъ (Вильна), В. Кованько (Вышній Волочекъ), Я. Козыревъ (Енисейскъ), А. Сердобинскій (Петроградъ).

167. Рѣшить систему уравненій

X4 -f- х2у2 4- у2 =а я2—яі/ + у2 = &

Разсмотримъ отдѣльно два случая: Ъ=0 и Пусть Ь=0.

Тогда второе уравненіе можетъ быть представлено въ слѣдующемъ видѣ X2 -|- у2 = ху. Возводя въ квадратъ, и перенося всѣ члены въ лѣвую часть получаемъ х*х2у2у* = 0. Это показываетъ, что для совмѣстности обоихъ данныхъ уравненій и а должно удовлетворить условію а = 0; въ этомъ случаѣ первое изъ предложенныхъ уравненій есть слѣдствіе второго. Такимъ образомъ въ случаѣ а = 0 и Ъ — 0 имѣемъ лишь одно уравненіе съ двумя неизвѣстными величинами: х2—ху + у2 = 0.

Рѣшеніями этого неопредѣленнаго уравненія будутъ служить величины:

гдѣ ш совершенно произвольная величина.

Пусть теперь Ъ ф 0.

Тогда, замѣчая, что х4 4" %~У2 4" УА можетъ быть представлено въ видѣ

{х2 + ху+ у2) (х2 — ху 4- у2), имѣемъ:

Ъ .{х2-\-ху у2) = а, откуда

дѣля обѣ части на Ъф0 находимъ:

*24-Xy + y2 = j а)

Сложивъ полученное уравненіе со вторымъ изъ двухъ данныхъ уравненій получимъ:

(2)

Отнявъ отъ (1) второе данное уравненіе, имѣемъ:

(3)

Систему уравненій (2) и (3) легко рѣшить.

Находимъ х-\-у, а затѣмъ составляемъ квадратное уравненіе, корнями котораго служатъ х и у.

Отсюда имѣемъ:

Поэтому для хи у имѣемъ слѣдующій рядъ рѣшеній

Замѣчая, что ts имѣемъ окочательно:

И. Бирюковъ (Омскъ), А. Вернеръ (Москва), К. Верещагинъ (Козловъ), A. Дюбюкъ (Владимиръ), И. Евдокимовъ (Шуя), В. Кованько (Вышній Волочекъ), Н. Козыревъ (Енисейскъ),#. Кульманъ (Москва), В. Лебедевская (Москва), B. Литвинскій (Екатеринославъ), А. Сердобинскій (Петроградъ), Г. Стороженко (Новгородсѣверскъ), В. Сѣверный (Тула), И. Тепловъ (Москва).

168. Разность между суммами кубовъ п первыхъ четныхъ и п первыхъ нечетныхъ чиселъ равна 2240.

Найти п.

Изъ даннаго условія выводимъ:

или,

Отсюда имѣемъ:

Какъ извѣстно,

, а потому наше

равенство приметъ видъ:

Итакъ, величина п является цѣлымъ, положительнымъ корнемъ этого уравненія.

Представивъ полученное ур-іе въ видѣ

заключаемъ, что п2 должно дѣлить 26.5.7, т.-е. п1 можетъ равняться лишь 26, 24, 22, 2°.

Другими словами, для п возможны лишь значенія п — 8, 4, 2,1.

Взявъ п = 8 видимъ, что оно удовлетворяетъ полученному уравненію. Что касается другихъ значеній w, то они не могутъ служить рѣшеніями, что видно уже изъ того, что сумма кубовъ первыхъ 4 четныхъ чиселъ меньше, нежели 2240.

И. Бирюковъ (Омскъ), А. Вернеръ (Москва), К. Верещагинъ (Козловъ), Н. Гольдбуртъ (Вильна), И. Евдокимовъ (Шуя), В. Кованько (Вышній - Волочекъ), Н. Козыревъ (Енисейскъ), К. Кульманъ (Москва), Л, Савватѣевъ (Торжокъ), А. Сердобинскій (Петроградъ), Г. Стороженко (Новгородсѣверскъ), В. Сѣверный (Тула), И. Тепловъ (Москва).

169. Пользуясь обычными обозначеніями для элементовъ треугольника, доказать, что

По теоремѣ о среднемъ геометрическомъ имѣемъ:

Поэтому

или

Точно также

Складывая всѣ три неравенства, получимъ

или

Не трудно убѣдиться, что знакъ равенства можетъ имѣть мѣсто лишь въ случаѣ а = Ъ = с.

b) Пользуясь извѣстнымъ неравенствомъ

имѣемъ:

Складывая почленно, находимъ:

а прибавляя къ каждой дроби по 1, получимъ:

или

Какъ и въ предыдущемъ случаѣ, и здѣсь знакъ равенства можетъ имѣть мѣсто лишь при а — Ъ = с.

И. Бирюковъ (Омскъ), К. Верещагинъ (Козловъ), И. Козыревъ (Енисейскъ), A. Сердобинскій (Петроградъ).

170. Найти геометрическое мѣсто вершинъ равностороннихъ треугольниковъ, имѣющихъ одну вершину въ данной точкѣ, а другую на данной окружности.

Разсмотримъ АВС—одинъ изъ треугольниковъ, удовлетворяющихъ условію задачи и равносторонній треугольникъ AOD построенный на отрѣзкѣ АО. Соединивъ точки О и Д а также D и С нетрудно обнаружить равенство треугольниковъ АО В и ADC. Такъ какъ АВ = АС, AO = AD, и О AB—60°—^BAD=^>DAC, то заключаемъ, что Д АО В — Д ADC, а потому DC=OB. Полученный результатъ показываетъ, что точка С отстоитъ отъ точки D на постоянномъ разстояніи, равномъ радіусу данной окружности. Такъ какъ точка D сама неподвижна, то искомымъ геометрическимъ мѣстомъ является окружность, описанная изъ центра Г радіусомъ OB. Кромѣ этой окружности существуетъ еще другая окружность, расположенная симметрично съ полученной относительно прямой АО. Итакъ, искомое геометрическое мѣсто есть совокупность двухъ равныхъ окружностей.

И. Бирюковъ (Омскъ,), it. Верещагинъ (Козловъ), А. Дюбюкъ (Владимиръ), B. Кованько (Вышній Волочекъ), Н. Козыревъ (Енисейскъ), А. Сердобинскій (Петроградъ).

171. Опредѣлить геометрическое мѣсто вершинъ треугольниковъ, у которыхъ основаніе общее, а медіана, проведенная къ основанію, есть среднее геометрическое къ двумъ боковымъ сторонамъ.

Пусть АВС одинъ изъ треугольниковъ удовлетворяющихъ условію задачи. По извѣстной теоремѣ имѣемъ

По условію задачи та—уЪс, а потому полученное равенство можетъ быть представлено въ видѣ

или

откуда выводимъ

Этотъ результатъ показываетъ, что разность боковыхъ сторонъ разсматриваемыхъ треугольниковъ сохраняетъ постоянную величину ~^=. Итакъ, искомое геометрическое мѣсто есть гипербола, имѣющая своими фокусами точки В и С, а дѣйствительною осью отрѣзокъ ~~~и• Подсчитавъ величину мнимой оси увидимъ, что наша гипербола есть гипербола равносторонняя.

II. Бирюковъ (Омскъ), К. Верещагинъ (Козловъ), Н. Гольдбуртъ (Вильна), А. Дюбюкъ (Владимиръ), И. Евдокимовъ (Шуя), В. Кованько (Вышній Волочекъ), К. Кульманъ (Москва), А. Сердобинскій (Петроградъ), И. Тепловъ (Москва).

172. Построить треугольникъ АВС, зная AB, ВС и отрѣзокъ BD, проекція котораго на И С равна отрѣзку DC (точка D лежитъ на АС).

Пусть треугольникъ АВС искомый. Проведемъ въ немъ отрѣзокъ BD, проекція котораго DE по условію равна DC. Слѣдовательно BD является медіаною для треугольника ВЕС. Проведемъ въ этомъ треугольникѣ еще другую медіану ЕМ, которая пересѣкаетъ первую медіану въ точкѣ G. Тогда легко усмотрѣть слѣдующій способъ построенія искомаго треугольника. Строимъ сначала треугольникъ BGM. Въ немъ извѣстны всѣ стороны.

Построивъ треугольникъ В GM продолжаемъ ВМ за точку М на разстояніи МС=ВМ, а заточку G на разстояніи GD= --BG.

Точки С и D соединяемъ прямою и засѣкаемъ эту прямую изъ центра В радіусомъ В А. Получаемъ двѣ точки А и Аъ которыя соотвѣтствуютъ двумъ рѣшеніямъ: АВС и А,ВС.

Задача невозможна, когда BD^>BC или когда АВ<^ВЕ.

Когда AB = BE, то оба рѣшенія совпадаютъ.

2-е рѣшеніе.

Соединимъ М съ точкою D. Тогда полученная линія, какъ средняя линія А С BE будетъ параллельна BE, т. е. перпендикулярна къ АС. Уголъ ^zMDC окажется прямымъ, и поэтому точка D должна лежать на пересѣченіи окружностей: окружности описанной на MC какъ на діаметрѣ, и окружности описанной изъ В радіусомъ ВТ). Треугольникъ ВВС такимъ образомъ легко можетъ быть построенъ. Послѣ этого продолжаемъ линію CD за точку D и засѣкаемъ ее изъ центра В радіусомъ В А. Полученныя двѣ вершины А и At соотвѣтствуютъ двумъ треугольникамъ. При указанномъ способѣ построенія получается еще другая точка D, которая соотвѣтствуетъ треугольнику, симметричному А АВС (или AtBC) относительно прямой ВС.

И. Бирюковъ (Омскъ), К. Верещагинъ (Козловъ), Н. Гольдбуртъ (Вяльяа), А. Дюбюкъ (Владимиръ), В. Кованько, (Вышній Волочекъ), Н. Козыревъ (Енисейскъ), К. Кульманъ (Москва), А. Сердобинскій (Петроградъ), Г. Стороженко (Новгородсѣверскъ), И. Тепловъ (Москва).

Среди математическихъ журналовъ.

Обзоръ 5-ый.

Н. Агрономовъ. Ревель.

Въ 4 № журнала „Supplements al Periodico di matematica“ въ статьѣ „Sulla somma dei quadrati dei lati dei poligoni convessi“ P. Mori мы встрѣчаемся съ большимъ числомъ соотношеній, относящихся къ многоугольнику, и выводимыхъ изъ извѣстной теоремы Эйлера: сумма квадратовъ сторонъ выпуклаго многоугольника равна суммѣ

квадратовъ діагоналей, увеличенной учетвереннымъ квадратомъ отрѣзка, соединяющаго средины діагоналей.

Въ 5 № того-же журнала мы находимъ статью N. Traverso Su alcune transformazioni dell’espressione |/a i|/l) ’ посвященную различнымъ преобразованіямъ выраженія, указаннаго въ заглавіи.

Въ 6 № мы находимъ статью Е. Ріссіоіі „Una questione di aritmetica e alcune sue conseguenze“, посвященную извѣстной задачѣ неопредѣленнаго анализа объ остаткахъ. Далѣе мы встрѣчаемся съ замѣткой G. Bonfantini „Ricerca delle soluzioni intiere dell’equazione x2y2 = 2z2“, относящуюся къ рѣшенію неопредѣленнаго уравненія х2-\-у2 = 2z2. Въ отдѣлѣ задачъ мы находимъ слѣдующую интересную теорему E. Barisien-a: если Н есть ортоцентръ тр-ка АВС; А',В',С' суть основанія высотъ; А",В"С" проэкціи вершинъ А,В,С на В'С', С'А',А'В' и q радіусъ круга вписаннаго въ тр-къ А"В" С", то

Въ 8 № мы имѣемъ двѣ замѣтки. Первая изъ нихъ E. Moschetti „Prodotto dei divisori di un numéro“. Въ ней выводится формула, дающая возможность опредѣлить произведеніе дѣлителей числа ZV, а именно

Во второй замѣткѣ G. Candido „Un spezzamento particolare di am<x авторъ замѣтки занимается вопросомъ о томъ, когда число ат можетъ быть представлено въ видѣ суммы членовъ ариѳметической прогрессіи. Одинъ изъ выводовъ, къ которому онъ приходитъ гласитъ слѣдующее: т-ая степень числа а всегда выражается суммою а послѣдовательныхъ нечетныхъ чиселъ.

Въ томъ-же номерѣ продолжается печатаніемъ сборникъ задачъ E. Barisien-a. Вотъ нѣкоторыя наиболѣе интересныя задачи этого сборника.

№ 206. Рѣшить уравненіе

№ 200. Рѣшить уравненіе

Въ № 9 встрѣчается интересная замѣтка Е. N. Barisien „Bisoluzioni di quattro equazioni notevoli“. Этими замѣчательными уравненіями являются слѣдующія уравненія

Въ послѣднихъ номерахъ журнала L’Intermédiaire des mathématiciensu мы можемъ отмѣтить слѣдующее: въ отвѣтъ на вопросъ Е. Miot о рѣшеніи въ цѣлыхъ числахъ неопредѣленнаго уравненія 2х3 = у3z3и3-\-ѵ3 дается 3 рѣшенія: А. Gérardin, А. Cunningham и N. Agronomof. Gérardin даетъ слѣдующія формулы

гдѣ числа /*, h, fc, Z, и суть какія либо напередъ найденныя рѣшенія этого уравненія. Однимъ словомъ, формулы Gérardin даютъ возможность на основаніи одного рѣшенія уравненія найти другое. Формулы, предложенныя авторомъ обзора, таковы

или

гдѣ а, ß, у произвольныя цѣлыя числа.

Въ томъ же номерѣ дается отвѣтъ на вопросъ В. Niewiadomski о рѣшеніи въ цѣлыхъ числахъ уравненія х- -{- у1 = z2 -f-t2 -f и2. Gérardin даетъ слѣдующія формулы

гдѣ /і, /с, Z, /*, q цѣлыя числа.

Е. Miot даетъ рядъ тождествъ, рѣшающихъ задачу. Примѣры:

Наконецъ, авторъ настоящаго обзора даетъ слѣдующія рѣшенія:

Въ отвѣтъ на вопросъ U. Віпі о рѣшеніи въ цѣлыхъ числахъ неопредѣленнаго уравненія

мы находимъ рядъ тождествъ Е. Miot. Вотъ нѣкоторые примѣры:

Въ отвѣтъ на вопросъ Е. Barisien о томъ, когда одновременно sinx и cosx выражаются раціональными числами, мы находимъ слѣдующій отвѣтъ: sinx и cosx должны имѣть видъ

гдѣ п раціональное число.

Составитель обзоровъ охотно сообщаетъ лицамъ, заинтересовавшимися тѣмъ или инымъ вопросомъ, о подробностяхъ. Адресъ: Ревель, Луизентальская 14, 1.

Библіографическій отдѣлъ.

Д. Л, Волковскій. Дѣтскій міръ въ числахъ. Для начальныхъ школъ. Первый годъ обученія. Изд. Сытина. Москва 1914. Цѣна 20 коп.

To-же. Второй годъ обученія. Москва 1915. Цѣна 20 коп.

Его-же. Руководство къ „Дѣтскому міру въ числахъ“. Часть I. Первый годъ обученія. Для начальныхъ школъ, приготовительнаго класса женскихъ гимназій, дѣтскихъ садовъ и домашняго обученія. Москва 1914. Цѣна 1 р. 50 к.

Появленіе на нашемъ книжномъ рынкѣ вышеназванныхъ книгъ Д. Л. Волковскаго представляетъ собою несомнѣнно отрадное явленіе. Уже одно имя автора, извѣстнаго педагога-практика, и спеціалиста по методикѣ ариѳметики, говоритъ само за себя. Ближайшее-же знакомство съ „Дѣтскимъ міромъ въ числахъ“ и съ „Руководствомъ“ къ нему подтверждаетъ, что въ данномъ случаѣ мы имѣемъ дѣло дѣйствительно съ полезнымъ вкладомъ въ нашу все еще довольно бѣдную хорошими книгами литературу по начальной ариѳметикѣ и ея методикѣ.

По распредѣленію и обработкѣ матеріала и даже, пожалуй, по своему внѣшнему виду книги г. Волковскаго больше всего приближаются къ извѣстнымъ задачникамъ Штеклина и его „Методикѣ ариѳметики“. Сходство это сказывается, напр., въ томъ, что г. Волковскій, какъ и Штеклинъ, старается не впадать въ тѣ крайности, которыя пораждаютъ столь долго длящійся и все еще не законченный споръ между такъ называемыми „счетчиками“ и „монографистами“: по крайней мѣрѣ въ предѣлѣ перваго десятка понятія о

числѣ и о дѣйствіяхъ надъ числами вырабатываются при помощи ряда удачно подобранныхъ упражненій въ наблюденіи надъ группами предметовъ, соединенномъ со счетомъ. Эта попытка найти средній путь между сторонниками и противниками идеи Грубе заслуживаетъ во всякомъ случаѣ вниманія.—Далѣе Д. Л. Волковскій, какъ и Штеклинъ не помѣстилъ вовсе въ своемъ „Дѣтскомъ мірѣ въ числахъ“, предназначенномъ для перваго года обученія, задачъ съ условіями; при этомъ онъ руководился тѣмъ соображеніемъ, что на этой низшей ступени обученія самый процессъ чтенія представляетъ для учащихся большія трудности и не позволяетъ имъ сосредоточить все вниманіе на ариѳметической сторонѣ задачъ; поэтому такимъ задачамъ съ условіями мѣсто не въ ученическомъ сборникѣ, а въ книгѣ, предназначенной для учителя; у г. Волковскаго такія задачи и помѣщены въ большомъ количествѣ въ его „Руководствѣ къ дѣтск. міру въ числахъ“. Можно было бы указать еще многіе случаи совпаденія взглядовъ русскаго и швейцарскаго педагоговъ, но намъ кажется болѣе важнымъ обратить вниманіе на тѣ особенности „Дѣтск. міра въ числахъ“, которыя его выгодно отличаютъ отъ задачниковъ Штеклина. Къ числу этихъ особенностей прежде всего относится удачное распредѣленіе учебнаго матеріала. Совершенно справедливо самъ авторъ въ предисловіи, написанномъ для родителей и учителей, говоритъ: „Впервые въ русской ариѳметической литературѣ проведено такъ строго и послѣдовательно концентрическое распредѣленіе учебнаго матеріала, а особенно ученія объ именованныхъ числахъ и дробяхъ, да и заграницей подобная концентрація встрѣчается только въ американской“... Дѣйствительно матеріалъ, относящійся къ именованнымъ числамъ и дробямъ въ „Дѣтскомъ мірѣ въ числахъ“ не собранъ въ особые отдѣлы, какъ это дѣлалось въ нашихъ прежнихъ задачникахъ и какъ это рекомендуетъ даже Штеклинъ, а распредѣленъ по всему курсу: уже въ первый годъ обученія дѣти должны познакомится съ наиболѣе употребительными мѣрами, съ процессомъ измѣренія и съ простѣйшими долями единицы; въ дальнѣйшіе годы обученія матеріалъ этотъ въ строгой послѣдовательности усложняется и расширяется. Было-бы весьма желательно, чтобы такое концентрическое распредѣленіе матеріала, относящагося къ именованнымъ числамъ и дробямъ, проникло наконецъ и въ нашу среднюю школу, въ которой многіе преподаватели все еще какъ будто боятся знакомить дѣтей съ мѣрами и измѣреніемъ раньше І-го класса и съ дробями—раньше ІІ-аго. Важнымъ преимуществомъ „Дѣтск. міра въ числахъ“ передъ книгами Штеклина является въ нашихъ глазахъ и то обстоятельство, что г. Волковскій изученіе дѣленія начинаетъ съ опредѣленія величины одной изъ равныхъ частей (такъ наз. „дѣленіе на равныя части“), а не съ нахожденія числа равныхъ частей (такъ наз. дѣленія по содержанію). Вообще распредѣленіе матеріала при изученіи 4-хъ дѣйствій и самые пріемы производства этихъ дѣйствій у г. Волковскаго выбраны очень удачно; при этомъ выборѣ онъ считался съ дѣтской психологіей и съ основаніями разумной дидактики гораздо больше, чѣмъ Штеклинъ.— Въ вопросѣ о порядкѣ и послѣдовательности упражненій, имѣющихъ цѣлью выяснить сущность и производство ариѳметическихъ дѣйствій мы только въ одномъ не вполнѣ согласны съ почтеннымъ авторомъ „Дѣтскаго міра въ числахъ“: онъ рекомендуетъ начинать изученіе умноженія и дѣленія уже на первой ступени обученія, въ предѣлѣ перваго десятка; намъ кажется болѣе правильнымъ взглядъ тѣхъ методистовъ, которые находятъ, что для начинающихъ учиться ариѳметикѣ сложеніе и вычитаніе уже представляютъ достаточныя трудности, а съ другой стороны для дѣйствительнаго усвоенія дѣленія и умноженія въ предѣлѣ перваго десятка имѣется ели комъ мало подходящаго матеріала; поэтому знакомство съ умноженіемъ и дѣленіемъ правильнѣе отнести къ слѣдующему концентру (изученіе дѣйствій въ предѣлѣ 2-го десятка).

Всякій опытный преподаватель съумѣетъ, разумѣется, пользоваться въ школѣ „Дѣтскимъ міромъ въ числахъ“ безъ какихъ-либо особыхъ указаній и поясненій. Къ услугамъ неопытнаго, начинающаго учителя имѣется „Руководство къ дѣтскому міру въ числахъ“—солидный томъ почти въ 600 страницъ. Книга эта даетъ точныя, обоснованныя и очень подробныя (порою даже слишкомъ подробныя) указанія, какъ надлежитъ пользоваться „Дѣтскимъ міромъ въ числахъ". Но и независимо отъ сборника задачъ, употребляемаго учащимися, это „Руководство“ имѣетъ для преподающихъ ариѳметику большое значеніе само по себѣ. Не представля собою методики ариѳметики въ настоя-

щемъ смыслѣ этого слова, эта книга даетъ читателю очень много чисто методическаго матеріала, объективно обработаннаго и изложеннаго. Укажемъ здѣсь лишь на статьи о числовыхъ фигурахъ, объ обученіи письму цифръ, о знакомствѣ съ мѣрами и процессомъ измѣренія, о пользованіи картинками и рисунками при обученіи ариѳметики,- о задачахъ въ курсѣ начальной ариѳметики и пр. По каждому изъ этихъ вопросовъ авторъ проводитъ мнѣнія различныхъ русскихъ и иностранныхъ методистовъ, сравниваетъ и подвергаетъ ихъ критической оцѣнкѣ и лишь въ заключеніе высказываетъ и свой собственный взглядъ на данный вопросъ. Наконецъ въ этомъ-же „Руководствѣ“ преподаватель найдетъ и большой выборъ задачъ съ условіями, которыя авторъ, какъ было уже указано выше, не рѣшился помѣстить въ книгу для учащихся. Задачи составлены по большей части очень удачно: содержаніе взято изъ дѣйствительной жизни, изъ областей извѣстныхъ дѣтямъ и могущихъ ихъ заинтересовать.

Однимъ словомъ каждому учителю, имѣющему дѣло съ обученіемъ ариѳметикѣ на первой ступени обученія, по нашему мнѣнію, очень полезно познакомиться съ „Руководствомъ къ Дѣтскому міру въ числахъ“. Мы опасаемся однако, что не всякій учитель, желающій воспользоваться маленькимъ и дешевымъ сборникомъ упражненій для учениковъ, рѣшится пріобрѣтать вмѣстѣ съ нимъ объемистое и дорогое „Руководство“. Поэтому мы позволяемъ себѣ высказать пожеланіе, чтобы при слѣдующемъ изданіи этой книги Д. Л. Волковскій значительно сократилъ ея объемъ. Можно было-бы перенести хоть часть задачъ съ условіями въ книгу для учащихся; можно было-бы значительно сократить и самую большую I главу книги (числа отъ 1 до 10, стр. 89—345), въ которой многое излишне повторяется при изученіи почти каждаго числа. Это сокращеніе можно было-бы провести безъ всякаго ущерба для дѣла, если-бы авторъ, удерживая принципъ монографическаго изученія чиселъ въ предѣлѣ 1-го десятка для выработки въ сознаніи учащихся яснаго и отчетливаго понятія о числѣ, отказался отъ этого принципа расположенія матеріала въ порядкѣ возрастанія числа натуральнаго ряда при переходѣ къ изученію дѣйствій надъ числами перваго десятка. При производствѣ дѣйствій, какъ намъ кажется, на первый планъ должно быть выдвинуто умѣніе считать, а знаніе состава числа изъ единицъ и группъ единицъ, основанное на наблюденіи и непосредственномъ воспріятіи конкретныхъ группъ должно играть лишь подсобную роль, облегчая въ извѣстныхъ случаяхъ нахожденіе результата. Думается, что такой взглядъ не противорѣчитъ и основнымъ идеямъ автора; заключаемъ это изъ того, что на стр. 8 своего „Руководства“ онъ самъ говоритъ, что при изученіи ариѳметическихъ дѣйствій онъ не склоненъ придавать числовымъ фигурамъ (а слѣдовательно, смѣемъ думать, и принципу непосредственнаго воспріятія числа вообще) столь большого значенія, какое придаютъ имъ ихъ поклонники.

Ѳ. Э.

Новыя книги.

А. Н. Желтухинъ. Математика и физика во французскихъ лицеяхъ. Одесса. 1915. Ц. 1 р. 20 к.

Просвѣтительное дѣло въ Азіатской Россіи. Педагогическій журналъ, издаваемый Маньчжурскимъ Педагогическимъ Обществомъ. Т. II. Кн. 1,2,3. Харбинъ, 1914.

А. В. Цингеръ. Начальная физика. 2-я ступень. Механика. М. 1915. Ц. 1 р. 15к.

„Математическій Листокъ“. 1-й г. изд. № 1. Ревель. 1915. Ц. 1 р. 40 к. въ годъ.

А. И. Никитинъ. Первая ступень изъ геометріи. Для начальной школы. 2-е переработ. изд М. 1915. Ц. 30 к.

А. Малининъ. Курсъ физики для женскихъ учебныхъ заведеній. Изд. 21, пересмотр. проф. О. Д. Хвольсономъ. М. 1915. Ц. 1 р. 35 к.

Годичный отчетъ Рязанскаго общественно-педагогическаго Кружка за 1315 г. Рязань. 1915.

Отвѣтственный редакторъ I. И. Чистяковъ.