№ 26.

Математическое Образованіе.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

Годъ четвертый.

№ 2.

Февраль 1915 г.

МОСКВА

Н. А. Умовъ. 1846-1915.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

„Математическое Образованіе“

Февраль 1915 г. Годъ 4-й. № 2.

СОДЕРЖАНІЕ: Николай Алексѣевичъ Умовъ (съ портр.). А. I. Бачинскій.—Математическія замѣтки. Н. Агрономова.—Истина въ математикѣ. Джузеппе Веронезе.— Объ одной системѣ линейныхъ уравненій. С. II. Виноградовъ.—Классификація ариѳметическихъ задачъ. И. Александрово.-- Идея движенія въ современной геометріи и область ея примѣнимости въ курсѣ средней школы. А. Р. Кулишеръ.—Задачи. Рѣшенія задачъ. — Засѣданія Московскаго Математическаго Кружка. Новыя книги. Объявленія.

Николай Алексѣевичъ Умовъ.

(f 2 января 1915 года).

А. І. Бачинскій. Москва.

Николай Алексѣевичъ Умовъ родился 23 января 1846 г. въ Симбирскѣ. Отецъ его былъ врачемъ и занимался естественными науками, какъ любитель и коллекціонеръ. Подъ руководствомъ отца впервые почувствовалъ тягу къ естествознанію и Николай Алексѣевичъ. Среднюю и высшую школу Н. А. проходилъ въ Москвѣ: въ 1-й гимназіи (которую окончилъ съ отличіемъ) и въ университетѣ. Математическое отдѣленіе физико-математическаго факультета, куда поступилъ Н. А., обладало въ то время рядомъ блестящихъ профессоровъ и преподавателей; таковы были: А. Ю. Давидовъ и В. Я. Цингеръ—по математикѣ, Ѳ. А. Бредихинъ— по астрономіи, Ѳ. А. Слудскій—по механикѣ. Профессоромъ физики былъ Н. А. Любимовъ, извѣстный изобрѣтатель длиннаго ряда остроумныхъ и оригинальныхъ опытовъ и приборовъ, историкъ физики и авторъ замѣчательнаго учебника физики.

Въ 1867 году Николай Алексѣевичъ блестяще окончилъ университетъ, вскорѣ былъ оставленъ проф. Любимовымъ при университетѣ и въ 1870 году сдалъ магистерскій экзаменъ. Въ направленіи научной дѣятельности Н. А. особо важную роль сыгралъ профессоръ чистой математики Н. В. Бугаевъ: по его совѣту Н. А. сталъ изучать сочиненія знаменитыхъ физико-математиковъ того времени—Ламе, Клебша, Клаузіуса; это положило отпечатокъ на первыя научныя работы Н. А., которыя относились къ теоріи упругости и къ термодинамикѣ. Непродолжительное время Н. А. преподавалъ физику во 2-й Московской женской гимназіи и читалъ лекціи на женскихъ Лубянскихъ курсахъ; но уже въ 1871 г., защитивъ магистерскую диссертацію, онъ былъ выбранъ доцентомъ физики въ новороссійскомъ университетѣ и оставилъ Москву. Диссертація Н. А. имѣла загла-

віе „Теорія термомеханическихъ явленій въ твердыхъ упругихъ тѣлахъ“. Эта работа носила чисто-теоретическій характеръ; вообще, всѣ болѣе раннія работы Н. А. относились къ физикѣ математической. Молодой авторъ обнаружилъ въ нихъ глубокую освѣдомленность въ трудныхъ вопросахъ теоретической физики, любовь къ сжатому, изящному изложенію и большой математическій талантъ. Въ особенности это послѣднее качество отмѣчалось въ тѣ времена представителями Московской математической школы, которые проявляли живое участіе къ научной карьерѣ Николая Алексѣевича, какъ его бывшіе учителя и какъ оппоненты на его диспутахъ. Въ январѣ 1872 года Н. А. началъ читать въ Одессѣ курсъ математической физики. Первая часть этого курса была посвящена оптикѣ; въ „Запискахъ Новороссійскаго университета“ Н. А. напечаталъ свою вступительную лекцію, содержащую историческій очеркъ теоріи свѣта.

Въ 1874 году Н. А. напечаталъ работу, которая послужила ему диссертаціей на степень доктора: „Уравненія движенія энергіи въ тѣлахъ“. Это сочиненіе представляетъ собою небольшую брошюру въ 56 страницъ крупнаго шрифта; но содержаніе ея настолько замѣчательно, что ея одной было бы достаточно, чтобы увѣковѣчить имя автора въ исторіи науки. На значеніи этой работы мы должны остановиться подробнѣе.

Основное опредѣленіе энергіи, какъ извѣстно, гласитъ: энергія матеріальнаго тѣла есть механическій эквивалентъ тѣхъ внѣшнихъ дѣйствій, которыя осуществляются, когда разсматриваемое тѣло изъ даннаго состоянія переходитъ въ нѣкоторое состояніе, которое мы по произволу называемъ „нормальнымъ“. Это основное опредѣленіе носитъ въ высшей степени абстрактный характеръ. По смыслу этого опредѣленія энергія матеріальнаго тѣла (или системы тѣлъ) есть просто нѣкоторое число—число эрговъ или килограмметровъ; это — нѣкоторая математическая функція (Wirkungsfunktion по Кирхгофу).

Попробуемъ поставить вопросъ: гдѣ находится энергія такого-то тѣла? Тогда тотъ, кто строго держится вышеуказаннаго опредѣленія, скажетъ: нигдѣ, ибо гдѣ же можетъ находиться число? Если хотите,—на доскѣ, на бумагѣ. Въ крайнемъ случаѣ, если мы будемъ слишкомъ настойчивы въ своемъ желаніи локализировать энергію, то пожалуй, намъ это удастся, но только весьма парадоксальнымъ образомъ: а именно, естественно допустить, что энергія находится тамъ, гдѣ она проявляется; но она проявляется внѣшними дѣйствіями; итакъ выходитъ, что энергія тѣла имѣетъ мѣстопребываніе внѣ этого тѣла.—Но можно понижать энергію иначе. Извѣстно, что энергія системы тѣлъ не зависитъ отъ вида того превращенія, посредствомъ котораго система переходитъ отъ состоянія даннаго къ состоянію нормальному. Это—такъ наз. принципъ Майера-Гельмгольца. Изъ этого принципа вытекаетъ, что энергія системы за время происходящаго въ ней превращенія уменьшается на величину, равную механическому эквиваленту произведенныхъ внѣшнихъ дѣйствій; а если за время превращенія никакихъ внѣшнихъ дѣйствій не про-

изошло (значитъ, происходили лишь внутреннія), то энергія системы остается безъ перемѣны. Это—законъ сохраненія энергіи; и онъ открываетъ возможность, такъ сказать, конкретизировать энергію. Мы можемъ разсматривать энергію тѣла, какъ нѣкоторый запасъ, который имѣетъ мѣстопребываніе внутри этого тѣла (а не внѣ), который можетъ тратиться на производство внѣшнихъ дѣйствій и можетъ возрастать на счетъ извѣстнаго прихода извнѣ. Такое пониманіе является чрезвычайно простымъ и удобнымъ, благодаря аналогіи съ матеріей, которая также обладаетъ этимъ свойствомъ. Можно продолжить эту аналогію дальше; можно поставить вопросъ о законахъ движенія энергіи въ пространствѣ. Это и сдѣлалъ впервые въ общей формѣ Н. А. Умовъ въ 1874 году. Вторая ступень въ развитіи этого вопроса была сдѣлана въ 1884 г. англійскимъ физикомъ Пойнтингомъ, авторомъ извѣстной теоремы о движеніи энергіи въ электромагнитномъ полѣ; наконецъ, третья ступень, въ формѣ ученія объ атомахъ энергіи или такъ наз. квантахъ, развивается въ наше время.

Мы видимъ, что первая ступень отдѣляется отъ второй промежуткомъ въ 10 лѣтъ, вторая отъ третьей—промежуткомъ въ четверть вѣка; понятно, что вопросъ никакъ не могъ назваться назрѣвшимъ въ то время, когда Н. А. Умовъ выдвинулъ его и далъ частичное рѣшеніе его. Изъ этого, въ свою очередь, легко объяснить, что работа Н. А. Умова въ свое время встрѣтила отрицательное отношеніе. Московскіе физики и математики, стоя на точкѣ зрѣнія Кирхгофа и видя въ энергіи не субстанцію, а просто нѣкоторую математическую функцію, спорили противъ самой возможности физическаго вопроса о движеніи энергіи (хотя признавали блестящую математическую разработку Н А. Умовымъ своихъ идей); докторскій диспутъ молодого ученаго вышелъ весьма продолжительнымъ и страстнымъ; и критика, которой здѣсь подверглись идеи Николая Алексѣевича, надолго оставила въ немъ горькое чувство.

Каникулами 1874—1876 годовъ Н. А. ѣздилъ за границу, былъ въ Германіи, Франціи и Англіи. Тамъ онъ свелъ знакомство съ научными свѣтилами того времени, между прочими съ Кирхгофомъ, который былъ тогда на вершинѣ своей славы и только-что перешелъ изъ Гейдельберга въ Берлинъ. Въ сношеніяхъ съ нимъ имѣлъ мѣсто довольно непріятный для Николая Алексѣевича эпизодъ. Въ іюнѣ 1875 г. онъ представилъ Кирхгофу работу, въ которой имъ рѣшался вопросъ о стаціонарномъ движеніи электричества въ проводящей пластинкѣ произвольной формы. Нужно сказать, что болѣе легкій вопросъ, объ электрическомъ токѣ въ плоской пластинкѣ, былъ рѣшенъ Кирхгофомъ задолго до того; но въ самой общей формѣ задачу рѣшилъ въ первый разъ Н. А. Умовъ. Вскорѣ Кирхгофъ опубликовалъ въ протоколахъ Берлинской академіи найденные Н. А. Умовымъ результаты, давъ имъ лишь иное доказательство. Въ итогѣ чего авторомъ рѣшенія считается въ физической литературѣ не Н. А., какъ слѣдовало бы, а Кирхгофъ. Добродушно разсказывая объ

этомъ фактѣ и припоминая другіе извѣстные ему случаи того же рода, Н. А. впослѣдствіи въ бесѣдахъ любилъ предостерегать своихъ учениковъ отъ излишняго довѣрія къ нѣмецкимъ ученымъ, хотя бы и знаменитымъ.

Но возвращеніи въ Одессу, Н. А. въ теченіе слѣдующихъ лѣтъ публикуетъ рядъ работъ по механикѣ, термодинамикѣ, оптикѣ и электричеству. Эти работы, подобно предыдущимъ, носятъ главнымъ образомъ теоретическій характеръ. Въ то же время онъ, вскорѣ послѣ полученія докторской степени, дѣлается экстраординарнымъ, потомъ (въ 1880 г.) ординарнымъ профессоромъ; въ связи съ этимъ улучшается его матеріальное положеніе, бывшее до тѣхъ поръ весьма не блестящимъ.

Годы, проведенные въ Одессѣ, вообще являются наиболѣе свѣтлой и неомраченной эпохой въ жизни Николая Алексѣевича. Его ясная и кроткая душа, его высокія умственныя качества снискали ему здѣсь цѣлый рядъ друзей, близкихъ и просто добрыхъ знакомыхъ. Здѣсь начались его дружескія связи съ нашими знаменитыми учеными: физіологомъ И. М. Сѣченовымъ, зоологомъ А. О. Ковалевскимъ и нынѣ здравствующимъ И. И. Мечниковымъ. Къ этой же эпохѣ относится начало теплыхъ, до самой его кончины продолжавшихся отношеній съ Н. Д. Зелинскимъ, А. С. Посниковымъ, Н. П. Кондаковымъ и др. Спокойная научная работа, семейныя радости украшали его жизнь*).

Въ 1893 г. Н. А. Умовъ былъ переведенъ въ московскій университетъ на каѳедру физики, освободившуюся за выслугою срока проф. А. Г. Столетовымъ. Но здѣсь въ первые годы дѣятельность его была поставлена въ чрезвычайно неблагопріятныя условія: онъ не получилъ даже физической лабораторіи, а въ преподаваніи вынужденъ былъ ограничиться лишь чтеніемъ теоретической физики студентамъ старшихъ курсовъ (кромѣ того медицинскій факультетъ пригласилъ его читать физику студентамъ-медикамъ).

Съ переходомъ Н. А. въ Москву совпадаетъ нѣкоторое измѣненіе въ направленіи его научной дѣятельности. До сихъ поръ его работы, какъ было уже сказано, имѣли главнымъ образомъ теоретическій характеръ. Въ Москвѣ его интересы привлекаетъ къ себѣ экспериментъ. Однако, не имѣя въ своемъ распоряженіи лабораторіи, Н. А. былъ чрезвычайно стѣсненъ въ осуществленіи своихъ идей. Заинтересовавшись лучами Рентгена (открытыми въ 1895 году), онъ совмѣстно съ А. Ф. Самойловымъ (нынѣ профессоромъ казанскаго университета) производитъ экспериментальное изслѣдованіе электрическаго поля Круксовой трубки. Для этой работы онъ воспользовался любезностью проф. Л. З. Мороховца, завѣдывавшаго тогда физіологическимъ институтомъ университета и предоставившаго ему мѣсто и приборы.

*) Много интереснаго изъ тогдашней жизни одесскихъ университетскихъ дѣятелей можно прочесть въ замѣчательныхъ „Автобіографическихъ запискахъ“ И. М. Сѣченова (изданы отдѣльной книгой).

Лѣтомъ 1896 года Н. А. ѣздилъ въ Гласго, на торжественное празднованіе 50-лѣтняго юбилея профессорской дѣятельности лорда Кельвина, въ качествѣ делегата отъ Московскаго Университета и отъ Общества Испытателей Природы. Гласгоскій университетъ избралъ тогда Н. А. своимъ почетнымъ членомъ, причемъ въ числѣ мотивовъ избранія была указана работа Н. А. о движеніи энергіи.

Весною 1896 г. умеръ проф. Столѣтовъ, и съ осени Н. А. сталъ читать экспериментальную физику математикамъ и естественникамъ II курса (I курсу читалъ проф. А. II. Соколовъ). Лекціи Николая Алексѣевича были чрезвычайно обильны содержаніемъ, не только опытнымъ, но и теоретическимъ; чтобы слѣдить за ними и усвоить ихъ, надо было много напряженія и труда; но кто ихъ усвоилъ, тотъ дѣлался обладателемъ огромнаго умственнаго сокровища.

Въ томъ же 1896 г. Н. А., наконецъ, получаетъ возможность имѣть лабораторію, но ему приходится устроить ее самому. Университетомъ было отведено для этой цѣли помѣщеніе чрезвычайно неудобное: тѣсное, низкое и темное. Тѣмъ не менѣе здѣсь скоро были устроены всѣ главнѣйшія приспособленія, и работа закипѣла. Мало было внѣшнихъ удобствъ, совсѣмъ не было офиціальной чопорности, но много было труда и одушевленія какъ со стороны руководителей, такъ и со стороны занимавшихся. Лица, бывшія въ то время студентами и работавшія въ „лабораторіи при физическомъ кабинетѣ“ (какъ называлась эта лабораторія офиціально), навѣрно сохранили теплое воспоминаніе о часахъ, здѣсь проведенныхъ.

Въ 1897—1899 годахъ мнѣ довелось слушать у Николая Алексѣевича теоретическую (или математическую) физику (которая тогда—не такъ, какъ нынѣ—была обязательна лишь для спеціалистовъ-физиковъ). Онъ читалъ этотъ трудный и многообъемлющій предметъ съ замѣчательнымъ искусствомъ; изложеніе было точное, но сжатое,—все въ цѣляхъ уложить какъ можно больше матеріала въ отведенное время; въ свой курсъ Н. А. вводилъ изложеніе результатовъ свѣжихъ научныхъ изслѣдованій. Слушать его было истиннымъ наслажденіемъ.

Въ 1900 году Н. А. прочелъ нѣсколько публичныхъ лекцій „О жидкомъ воздухѣ“ и „О свѣтѣ“. Эти лекціи привлекали въ бывшую физическую аудиторію Новаго университета огромное количество слушателей и производили неизгладимое впечатлѣніе. Подборомъ эффектныхъ и поучительныхъ опытовъ, рѣдкимъ умѣньемъ выдвинуть общія точки зрѣнія и очертить широкія научныя переспективы, энтузіазмомъ естествоиспытателя, непоколебимо вѣрующаго въ могущество науки, Н. А. захватывалъ вниманіе своей аудиторіи.

Съ началомъ XX вѣка преподаваніе физики и физическая научная работа въ московскомъ университетѣ попадаютъ въ совершенно новыя условія. Вмѣсто прежняго небольшого и неприспособленнаго двухъэтажнаго зданія строится огромный четырехъэтажный, спеціально приспособленный корпусъ; бюджетъ физи-

ческаго института увеличивается во много разъ, и Н. А. получаетъ въ свое завѣдываніе—правда, относительно небольшую— часть физическаго института.

Въ это время Николай Алексѣевичъ заинтересовывается земнымъ магнетизмомъ. Поводомъ къ тому было случайное обстоятельство. Въ 1899 году проф. Э. Е. Лейстъ напечаталъ диссертацію „О географическомъ распредѣленіи нормальнаго и анормальнаго геомагнетизма“. Н. А. былъ назначенъ однимъ изъ оппонентовъ. Изучая съ обычною для него тщательностью новую для себя тему, онъ пришелъ къ нѣкоторымъ соображеніямъ, которыя, постепенно развиваясь, занимали его около четырехъ лѣтъ. Результаты, добытые имъ, представляютъ огромный интересъ какъ физическій, такъ и математическій. Ему удалось дать сравнительно простое геометрическое толкованіе законовъ земного магнетизма. Эти результаты изложены имъ въ двухъ работахъ, представляющихъ превосходный образецъ того, что можетъ быть достигнуто совмѣстнымъ примѣненіемъ знанія, терпѣнія и фантазіи. Эти работы онъ самъ цѣнилъ очень высоко.

Вскорѣ послѣ того, въ 1905 году, Н. А. открываетъ новое оптическое явленіе. Пучокъ поляризованныхъ свѣтовыхъ лучей, падающій на разсѣивающую поверхность тѣла, болѣе или менѣе деполяризуется по отношенію къ тѣмъ лучамъ, которые пропускаются тѣломъ; наоборотъ, лучи, наиболѣе поглощаемые, обнаруживаютъ наибольшую поляризацію. Если падающій свѣтъ не поляризованъ, то въ разсѣиваемомъ пучкѣ лучей опять-таки оказывается всего сильнѣе поляризованнымъ тотъ сортъ лучей, который всего болѣе поглощается тѣломъ. Это замѣчательное явленіе слѣдуетъ, по справедливости, звать „умовскимъ явленіемъ“.

Въ теченіе ряда лѣтъ Н. А. съ любовью и тщаніемъ изучалъ детали этого открытаго имъ явленія, для чего построилъ спеціальный приборъ. Выработанный Н. А. методъ можетъ имѣть примѣненія какъ техническія (къ изслѣдованію природы красящихъ веществъ), такъ и космическія (къ изслѣдованію поверхности планетъ). Въ послѣднее время жизни Н. А. былъ занятъ математической теоріей явленія; она излагается въ не напечатанной еще большой статьѣ: „Спектрополярископическій методъ изслѣдованія абсорбціи свѣта“. Онъ, однако, не успѣлъ выполнить всѣхъ своихъ предположеній.

Въ 1911 году, послѣ увольненія Министерствомъ Народнаго Просвѣщенія университетскаго президіума, Н. А. прекратилъ преподаваніе въ университетѣ, сложилъ съ себя завѣдываніе физическимъ институтомъ и выѣхалъ изъ институтской своей квартиры.. Однако, несмотря на преклонный возрастъ, онъ продолжалъ много и неутомимо работать. Въ особенности много трудился онъ по званію товарища предсѣдателя Общества содѣйствія успѣхамъ опытныхъ наукъ и ихъ практическихъ примѣненій имени X. С. Леденцова.—Онъ былъ однимъ изъ главныхъ организаторовъ этого Общества, которое за непродолжительное время своего существованія успѣло уже сдѣлать очень много на

пользу русской науки. Такъ, ушедшій изъ университета одновременно съ Н. А. проф. П. Н. Лебедевъ имѣлъ возможность продолжать работы свои и своихъ учениковъ, благодаря щедрой денежной помощи со стороны Общества имени X. С. Леденцова.

Чисто-научная работа Николая Алексѣевича въ это время не только не затихала, но, напротивъ, шла еще болѣе быстрымъ темпомъ, и въ большемъ числѣ направленій, чѣмъ прежде. Н. А. съ юношескою воспріимчивостью слѣдитъ за новыми идеями, которыя въ такомъ обиліи возникаютъ въ физикѣ XX вѣка, изучаетъ появляющіяся во множествѣ работы и самъ берется за перо, чтобы со своей, всегда оригинальной и носящей общій характеръ, точки зрѣнія освѣтить смыслъ воззрѣній, еще не вполнѣ кристаллизовавшихся. Сюда относятся его статьи о принципѣ относительности (1910—1912) и о теоріи квантъ (1913).

Уже за нѣсколько лѣтъ до своей кончины Н. А. сталъ по временамъ жаловаться на боли въ области желудка; но будучи отъ природы человѣкомъ очень крѣпкаго здоровья, онъ не любилъ обращаться къ медицинской помощи и, такъ сказать, не умѣлъ лѣчиться. Въ сентябрѣ 1914 года ему сдѣлалось худо; потребовалось усиленное врачебное вмѣшательство. Однако, скоро Н. А. почувствовалъ себя лучше и снова, какъ ни въ чемъ не бывало, сталъ попрежнему работать, поздно возвращаясь домой и не соблюдая предписаннаго ему режима. Въ концѣ ноября его посѣтилъ сильнѣйшій припадокъ кровавой рвоты. Н. А. слегъ. Дальнѣйшіе дни его жизни были быстрымъ угасаніемъ. Непродолжительное кажущееся улучшеніе смѣнилось новымъ долгимъ и мучительнымъ припадкомъ, и въ ночь съ 1-го на 2-е января, въ 2 */2 часа, Н. А. сомкнулъ глаза навѣки, послѣ почти 69-лѣтней трудовой и славной жизни. Онъ умеръ, сохраняя до послѣднихъ дней полную интеллектуальную мощь; на смертномъ одрѣ записывалъ приходившія въ голову мысли и сдѣлалъ нѣкоторыя распоряженія. Истинный характеръ его болѣзни остался неразъясненнымъ.

Сказанное въ этомъ краткомъ очеркѣ составляетъ лишь малую часть обширнаго жизненнаго подвига Николая Алексѣевича. Здѣсь, во-первыхъ, не упомянутъ цѣлый рядъ его научныхъ трудовъ. Во-вторыхъ, здѣсь не упомянуты его популярно-научныя статьи и рѣчи, касающіяся разнообразнѣйшихъ предметовъ знанія, насыщенныя глубокими и оригинальными идеями, проникнутыя этическимъ настроеніемъ научнаго подвижничества и блещущія несравненною художественностью изложенія1). Въ русской

1) Сюда относятся, между прочимъ, слѣдующія рѣчи: ..Вопросы познанія въ области точныхъ наукъ“ (произнесена въ общемъ собраніи IX съѣзда русскихъ естествоиспытателей и врачей, 4-го января 1894 г. въ Москвѣ). „Эволюція міровоззрѣній въ связи съ ученіемъ Дарвина“ (читана въ годичномъ засѣданіи Имп. Общества Испытателей Природы, 3-го октября 1908 г.). „Характерныя черты и задачи современной естественно-научной мысли“ (произнесена на общемъ собраніи II Менделѣевскаго съѣзда 21-го декабря 1911 г. въ Петроградѣ); „Культурная роль физическихъ наукъ“ (читана при открытіи Московскаго Общества изученія и распространенія физическихъ наукъ,

литературѣ нелегко найти что-нибудь равное этимъ превосходнымъ созданіямъ научнаго и эстетическаго творчества; но, конечно, значеніе ихъ второстепенно, но сравненію съ значеніемъ чисто-научныхъ трудовъ Николая Алексѣевича. Въ-третьихъ, здѣсь не сказано о литографированныхъ и печатныхъ изданіяхъ его университетскихъ курсовъ, которые неоднократно издавалися Одесскими и Московскими студентами подъ редакціей Н. А. За нѣсколько лѣтъ до кончины онъ принялся за окончательную обработку для печати своего экспериментальнаго курса, но успѣлъ подготовить только первую половину. Въ-четвертыхъ, здѣсь почти не говорится о гигантской работѣ, которую понесъ Н. А. въ различныхъ московскихъ обществахъ: въ Императорскомъ Обществѣ Испытателей Природы, гдѣ онъ въ теченіе 17-тилѣтъ (1897—1915) состоялъ президентомъ; въ Обществѣ имени Леденцова, которое создалось по его мысли; въ бывшемъ Педагогическомъ Обществѣ; въ Обществѣ изученія и распространенія физическихъ наукъ. Въ-пятыхъ, здѣсь не указаны его организаціонные труды по случаю различныхъ съѣздовъ (напримѣръ, XII съѣзда русскихъ естествоиспытателей и врачей 1909 года въ Москвѣ), его работы въ различныхъ комиссіяхъ (напримѣръ, въ Комиссіи по улучшенію преподаванія физики въ средней школѣ: эта комиссія функціонировала при Московскомъ учебномъ округѣ около 1899 года). Въ-шестыхъ, здѣсь не упомянуты его редакторскіе труды по журналу „Научное Слово“ и по „Временнику“ Общества имени Леденцова. Наконецъ, въ-седьмыхъ, я ничего не сказалъ здѣсь о его общественной дѣятельности на почвѣ коопераціи и филантропіи; дѣятельности этого рода онъ посвящалъ много труда въ первый Московскій и Одесскій періоды своей жизни.

Въ заключеніе нѣсколько словъ о личномъ характерѣ Николая Алексѣевича. Характеръ его былъ идеальнымъ совмѣщеніемъ душевнаго благородства, чистоты и мягкости. Однако, во избѣжаніе недоразумѣній надо сказать, что его мягкость не имѣла ничего общаго со слабостью. Мягкость Николая Алексѣевича выражалась въ томъ, что онъ былъ органически неспособенъ совершить насиліе надъ чужою личностью. Но онъ былъ въ высшей степени твердъ въ своихъ принципахъ, и никакая сила, никакія соображенія не могли бы заставить его измѣнить своимъ убѣжденіямъ и своему долгу. Безупречный въ нравственномъ отношеніи, вѣрный исполнитель долга, онъ желалъ видѣть тѣ же качества и въ другихъ, особенно въ близкихъ ему людяхъ, и въ деликатной формѣ, но строго по существу осуждалъ замѣчаемыя уклоненія.—За свою долгую трудовую жизнь Н. А. много мыслилъ и дѣйствовалъ на широкомъ поприщѣ русской культуры и жизни; и никто не говорилъ о немъ дурно, за исключеніемъ развѣ немногихъ непоправимо-дурныхъ людей.

18-го ноября 1912 года); „Эволюція физическихъ наукъ и ея идейное значеніе“ (читана въ общемъ собраніи I всероссійскаго съѣзда преподавателей физики, химіи и космографіи, 29-го декабря 1913 года въ Петроградѣ; это была послѣдняя публичная рѣчь Николая Алексѣевича и др.).

Не часто возникаютъ личности, столь высоко организованныя въ умственномъ и душевномъ отношеніи, каковъ былъ покойный Николай Алексѣевичъ. Долгъ русскаго общества—достойнымъ образомъ оцѣнить и ознаменовать его память.

Прим. ред. Редакція „Математическаго Образованія“ имѣла высокую честь считать Н. А. Умова въ числѣ сотрудниковъ журнала; въ № 8 за 1912 г. имъ была помѣщена въ нашемъ журналѣ вышеупомянутая рѣчь: „Культурная роль физическихъ наукъ“.

Математическія замѣтки.

Н. Агрономовъ. Ревель.

I.

Объ одномъ пріемѣ рѣшенія квадратнаго уравненія.

Въ обычномъ пріемѣ рѣшенія квадратнаго уравненія

первые два члена этого уравненія разсматриваются какъ первые два члена квадрата бинома ^ х -J- Однако можно съ успѣхомъ разсматривать два послѣднихъ члена уравненія какъ два послѣднихъ члена квадрата бинома ах-\-Ъ съ неопредѣленными пока а и Ъ. Чтобы ихъ опредѣлить необходимо, очевидно, положить

Отсюда слѣдуетъ, что

Вслѣдствіе этого наше уравненіе можно написать такъ

или

или

По извлеченію квадратнаго корня изъ обѣихъ частей мы находимъ, что

Отсюда

или

что представляетъ изъ себя обычную формулу для рѣшенія квадратнаго уравненія.

II.

О нѣкоторыхъ свойствахъ чиселъ, у которыхъ всѣ цифры суть 9.

Е. Баризьенъ (Mathesis, 3 s., t. VIII) замѣтилъ, что

и вообще, что

Легко, однако, замѣтить, что

и вообще, что

Равнымъ образомъ

и вообще

Изъ сравненія всего полученнаго мы можемъ заключить, что вообще

гдѣ а2, «з, а4,... суть цифры числа 9" . Какъ доказать эту теорему читатель едвали затруднится.

III.

Объ одномъ способѣ для быстраго возвышенія числа въ квадратъ.

Въ „Мат. Обр.“ № 1 (1912) былъ данъ способъ для быстраго возвышенія въ квадратъ чиселъ, оканчивающихся 5. Однако, легко дать способъ быстраго возвышенія въ квадратъ и чиселъ кончающихся двумя пятерками.

Мы имѣемъ, что

Всматриваемся въ эту таблицу, мы замѣчаемъ, что три послѣднихъ мѣста занимаютъ цифры 0 2 5. На четвертомъ мѣстѣ стоитъ число сотенъ, увеличенное тремя; пятое же и шестое мѣсто занимаютъ цифры числа, получившагося отъ умноженія числа сотенъ на число, единицей большее числа сотенъ.

Примѣръ

Изъ второго примѣра видно, что въ случаѣ: если число сотенъ, увеличенное 3, болѣе 9, то вторая цифра полученнаго числа записывается надъ первой справа цифрою произведенія, полученнаго отъ умноженія числа сотенъ на число, единицей большее числа сотенъ.

Теоретическое обоснованіе этого правила покоится на слѣдующей формулѣ.

Истина въ математикѣ.

Джузеппе Веронезе1).

(Перев. съ итальянскаго Е. I. Борткевичъ. Петроградъ).

Вопросомъ объ истинѣ въ мысли и въ природѣ занимаются издавна философы и натуралисты: философы стремятся узнать то, что присуще дѣятельности ума внѣ прямого вліянія внѣшнихъ предметовъ; натуралисты пытаются разобрать то, что относится къ внѣшнему міру, законы котораго они изучаютъ; но законы чистой логической мысли общи тѣмъ и другимъ, и математика есть ничто иное, какъ ихъ слѣдствіе.

Понятія о числѣ, о протяженіи и о движеніи въ ихъ примитивныхъ формахъ свойственны даже низшимъ животнымъ, которыя, благодаря инстинкту, узнаютъ ширину оврага, или условія прочности гнѣзда и строятъ ячейки улья въ гексагональной формѣ, или же, едва выйдя изъ яйца, движутся съ поразительной ловкостью. Ребенокъ также скоро начинаетъ отличать понятіе единицы отъ множества, предыдущее отъ послѣдующаго и по прямой линіи неувѣренно направляетъ первые свои шаги къ матери, которая, улыбаясь, одобряетъ его и любовно протягиваетъ ему на встрѣчу руки. Отсюда ясно, что наши первыя математическія понятія возникли изъ потребностей обыденной жизни н изъ желанія приводить въ извѣстный порядокъ, считать и мѣрить

1) Вступительная рѣчь произнесенная въ Падуанскомъ Университетѣ ноября 1905 г.

предметы, данные намъ наблюденіемъ. Греки, руководимые Пиѳагоромъ и Платономъ, первые признали господство числа и протяженія въ природѣ и положили начало собственному и независимому существованію математики. Она вошла въ исторію человѣческаго познанія, какъ точная наука, и для того, чтобы этотъ ея характеръ пріобрѣлъ большее значеніе, она становилась все болѣе и болѣе отвлеченной, въ то время какъ науки естественныя, въ которыхъ съ самаго начала оспаривались гипотезы, исходящія изъ неплодотворныхъ споровъ метафизики, превращались въ науки наблюденія и опыта. Итакъ, чистая математика сдѣлалась прикладной логикой и, если логика учитъ насъ не ошибаться при разсужденіи, то математика учитъ находить истину.

Но мнѣнія относительно ея значенія различны: кто превозноситъ ее, какъ Платонъ, кто считаетъ ее простымъ механизмомъ, какъ Шопенгауэръ; большинство-же уважаетъ ее на почтительномъ разстояніи и цѣнитъ ее по стольку, поскольку она полезна для матеріальныхъ потребностей жизни. Однако, она—не только самая идеальная, но и самая точная изъ наукъ, потому что она является наиболѣе высокимъ и точнымъ выраженіемъ истины. И если она кажется многимъ только сухимъ толкованіемъ символовъ или геометрическихъ фигуръ, такъ какъ чувство истины не есть такое непосредственное и общее, какъ чувство прекраснаго и добраго, тѣмъ не менѣе она доставляетъ радость тѣмъ немногимъ ея жрецамъ, чуждымъ рукоплесканій толпы, которые благодаря ей облагораживаютъ свой собственный умъ и находятъ въ ней чудесное и могучее орудіе для изученія природы и раскрытія ея тайнъ.

Спрашивается, однако, дѣйствительно-ли истина въ математикѣ есть истина, или же она можетъ, быть, какъ въ другихъ наукахъ, опровергнута или измѣнена? Вѣрить всему или сомнѣваться во всемъ, какъ говоритъ Пуанкарэ, два удобныхъ рѣшенія, такъ какъ одно и другое лишаютъ насъ возможности разсуждать. Въ теченіи многихъ вѣковъ Элементы Евклида служили математическому воспитанію юношества, и никто никогда не усомнился въ непоколебимости основъ этого замѣчательнаго памятника греческой мудрости. Но появилась критика, какъ могучее средство современнаго научнаго изслѣдованія. Въ математическія науки она проникла послѣ удивительнаго открытія Ньютономъ и Лейбницомъ исчисленія безконечно-малыхъ и нашла широкое поле въ неминуемыхъ ошибкахъ, возникшихъ въ самомъ началѣ изъ-за неопредѣленности въ понятіяхъ безконечнаго и безконечно-малаго.

Подъ вліяніемъ критики и споровъ между философами и математиками по поводу новыхъ гипотезъ, зародилось сомнѣніе въ томъ, что математика точная наука, какъ бы въ утѣшеніе тѣмъ поклонникамъ другихъ наукъ, которые въ оправданіе себя отъ сомнѣній, вызываемыхъ ихъ теоріями, охотно ссылались на споры, относящіеся къ принципамъ математики. Утѣшеніе это однако незаконно: математическая наука сама по себѣ точна, и не въ ней лежитъ причина, того, что она не можетъ придать своимъ основаніямъ окончательной формы.

Ошибка зависитъ или прямо отъ математика, или происходитъ отъ неопредѣленности нѣкоторыхъ основныхъ понятій, каково напр., понятіе объ актуальномъ безконечно-маломъ Лейбница, впослѣдствіи оставленное имъ, но приведшее къ нескончаемымъ спорамъ; или же исходитъ изъ неудавшагося доказательства логической возможности нѣкоторыхъ новыхъ гипотезъ, или изъ неподходящаго ихъ толкованія. Чтобы истина была дѣйствительно найдена, критика должна вѣрно опредѣлить принципы, на которыхъ она основывается, и для этого эти принципы должны быть всѣми признаны необходимыми для нашего разсужденія, и чѣмъ они будутъ проще и меньше числомъ, тѣмъ лучше будетъ достигнута эта цѣль.

Критика, добиваясь этого, нашла съ одной стороны вѣрныя основы для науки, съ другой стороны открыла новые пути для изслѣдованій. Она дала также другое преимущество: уменьшеніе, если не полное изчезновеніе того класса душевно - больныхъ, которые желаютъ доказать невозможное, какъ квадратуру круга, и которые считаютъ себя... непризнанными геніями. Но дологъ былъ путь въ этомъ направленіи, такъ какъ новыя идеи сталкивались съ вѣрованіями глубоко-вкоренившимися и поддерживаемыми авторитетомъ крупныхъ математиковъ, или съ равнодушіемъ тѣхъ, которые, чтобы не затруднять себя, исключали такія изслѣдованія изъ математическаго поля, или же наконецъ съ сопротивленіемъ тѣхъ, для кого новые мыслители были революціонерами науки. И чтобы затемнить зарождающійся свѣтъ новыхъ математическихъ истинъ, къ нимъ примкнули философы, вѣрные извѣстнымъ имъ ранѣе математическимъ принципамъ, видѣвшіе или желавшіе видѣть въ новыхъ идеяхъ посягательство на новыя гипотезы въ познаніи и толкованіи природы, хотя изъ новаго пересмотра принциповъ, вызываемаго и поддерживаемаго новыми фактами, могла-бы извлечь пользу не только математика, но и сама философія.

Однако необходимо, чтобы новое обоснованіе математическихъ принциповъ не оказалось безжизненнымъ, искусственнымъ методомъ или игрой символовъ, хотя бы и полезной, но соотвѣтствовало бы логическому и болѣе простому развитію математическихъ идей и стало бы философскимъ.

Мы должны различать по характеру и по значенію истины двѣ большія области въ наукѣ: первая—это чистая математика, предметы которой не имѣютъ для нея изображенія внѣ мысли, но построены при помощи принциповъ чистой логики актами нашего ума, нужными для нашего сужденія и для прогресса науки. Она въ свою очередь распадается на двѣ важныя вѣтви: науку о числѣ и науку объ отвлеченномъ протяженіи, которую не слѣдуетъ смѣшивать съ наукой о пространствѣ. Второй большой областью точныхъ математическихъ наукъ является та, въ которой предметы изученія даются намъ опытомъ: наука о пространствѣ, или геометрія, наука о движеніи, или механика

Чистая математика для насъ точна. Истина въ чистой наукѣ вытекаетъ изъ различныхъ актовъ нашей мысли, и свобода духа

въ его построеніяхъ ограничена только принципомъ противорѣчія. Отсюда слѣдуетъ, что гипотеза возможна только тогда, когда нѣтъ противорѣчія между посылками и заключеніями. Математикъ часто уподобляется путнику, которому при встрѣчѣ на его дорогѣ двухъ развѣтвленій, нужна гипотеза для рѣшенія вопроса, по какому пути ему слѣдуетъ направиться.

Если математикъ начинаетъ съ принциповъ, съ дѣйствій, съ законовъ мысли и опыта, всемірно признанныхъ, и, основываясь на нихъ, строитъ свои первыя положенія, независимо отъ разнообразныхъ философскихъ гипотезъ, оспаривающихъ поле, окружающее теорію генезиса этихъ принциповъ, этихъ дѣйствій и этихъ законовъ, то онъ долженъ отбросить тѣ гипотезы и философскія дедукціи, которыя противорѣчатъ посылкамъ и ихъ слѣдствіямъ. Чистая математика не только отбрасываетъ невѣрное, но и ея доказательство сложности гипотезы или вывода должно быть математическимъ, или, другими словами, должно исходить изъ посылокъ и изъ примѣненія принципа противорѣчія; она не можетъ основываться на той или другой философской гипотезѣ, относящейся къ генезису тѣхъ-же посылокъ. И если математикъ, какъ мы сказали, долженъ слѣдовать философскому методу въ построеніи своихъ основныхъ формъ потому, что такой методъ болѣе плодотворенъ и естествененъ, нежели другіе, то философія съ своей стороны несетъ обязанность въ признаніи новыхъ матетатическихъ идей, созданныхъ критикой, уже не на развалинахъ, но возлѣ стараго зданія или высоко надъ нимъ.

Съ другой стороны, благодаря новому толкованію математическихъ идей, можетъ быть освѣщена сама теорія познанія. Конечно разнообразныя формы числа и отвлеченнаго протяженія, какъ формы безконечнаго, не ощущаются нами. Онѣ, однако, являются комбинаціями понятія о неограниченной послѣдовательности съ актами нашей мысли, при помощи которыхъ мы разсматриваемъ эту послѣдовательность, какъ цѣлое, данное намъ самой-же мыслью. Но нельзя однако сказать, что законъ мысли, по которому мы составляемъ понятіе безпредѣльнаго, и изъ него понятіе безконечно-большого и безконечно-малаго (потенціальнаго и актуальнаго) въ ихъ разнообразныхъ формахъ, былъ выведенъ только опытнымъ путемъ, подобно тому, какъ тѣмъ-же путемъ, не можетъ быть выведено и неограниченное физическое пространство. Мы можемъ опредѣлить при помощи телескопа громадныя разстоянія, а при помощи микроскопа и самыя маленькія, даже меньшія одной четырехтысячной части миллиметра, и опытный наблюдатель можетъ нашими усовершенствованными приборами опредѣлить время до одной сотой доли секунды, но тѣмъ не менѣе мы всегда имѣемъ дѣло съ величинами конечными. Точно также, прибавляя къ числу единицу и къ полученному опять единицу и т. д., приходимъ всегда къ числу конечному!

Мы можемъ избѣжать вопроса о происхожденіи неограниченнаго и безконечнаго при помощи соотвѣтствующихъ опредѣленій или соглашеній, для установленія съ достовѣрностью понятій, насколько это нужно математику, хотя такимъ образомъ вопросъ

познанія скрывается, но не рѣшается. Однакоже законъ безконечнаго необходимъ для прогресса науки, т. к. безъ него и его слѣдствій нельзя было бы построить ариѳметики.

Такъ, въ сужденіи, что двѣ величины равны между собою, мы не видимъ ясно, какая часть его подлежитъ опыту, а которая мысли. Я не знаю исчерпывающаго отвѣта, и не посмѣлъ бы дать такового.

(Окончаніе въ слѣд. №).

Объ одной системѣ линейныхъ уравненій.

С. П. Виноградовъ. Москва.

(Докладъ, сдѣланный въ Московскомъ Математическомъ Кружкѣ 27-го ноября 1914 г.).

1. Въ курсѣ алгебры Нивенгловскаго1) въ главѣ о рѣшеніи системы линейныхъ уравненій помѣщена слѣдующая задача: рѣшить систему уравненій:

(1)

показать, что детерминантъ системы равенъ р, если и и V суть взаимно простыя числа, и равенъ нулю въ противномъ случаѣ (р<іп).

Система (1) представляетъ нѣкоторый интересъ съ исторической точки зрѣнія. Историкъ теоріи детерминантовъ Мюръ указываетъ ее въ числѣ другихъ системъ, вызвавшихъ изученіе такихъ детерминантовъ, которые въ настоящее время извѣстны подъ названіемъ циклическихъ детерминантовъ или циркулянтовъ2).

Въ первый разъ эта система разсматривалась Каталаномъ, который показалъ, что она есть система опредѣленная въ случаѣ п и р взаимно простыхъ, а въ противномъ случаѣ либо неопредѣленная, либо несовмѣстная. Онъ показалъ также, что въ первомъ случаѣ детерминантъ системы равенъ р.

1) В. Niewenglowski. Cours d’algèbre. Tome I, p. 215.

2) Thomas Muir. The theory of determinants in the historical order of development. Vol. II, ch. XIV.

Кромѣ того система (1) не лишена и педагогическаго интереса: разсмотрѣніе частныхъ случаевъ ея, соотвѣтствующихъ небольшимъ значеніямъ п и р, можетъ служить хорошимъ упражненіемъ для учащихся средней школы при изученіи статьи объ изслѣдованіи рѣшенія системы линейныхъ уравненій.

Разсмотримъ -сначала общій случай.

2. Детерминантъ

(2)

системы (1) есть частный случай циклическаго детерминанта

(3)

въ которомъ а со значками обозначаютъ произвольныя числа. Не трудно показать, что

гдѣ ©J, со2, . . . cdw суть корни уравненія

Xм —1 = 0,.......................(4)

а f (#) = clj -j— (X2 X —J— £ïg x~ -j- . . . —j— ciH xil~ ■*.

Дѣйствительно, обозначимъ черезъ ö степенной детерминантъ, составленный изъ корней уравненія (4), т.-е. положимъ

и составимъ произведеніе â. А, комбинируя строки со строками. Первымъ, вторымъ, . . . . , ю-ымъ элементами первой строки детерминанта - произведенія будутъ соотвѣтственно слѣдующія выраженія:

Элементы второй, третьей,......., ю-ой строкъ получаются изъ этихъ выраженій замѣною ш, соотвѣтственно черезъ со2, со3, . . . , о)и . Произведеніе 6. А представится въ слѣдующемъ видѣ:

или

Отсюда, принимая во вниманіе, что 6 ф 0, находимъ:

(о)

3. Приложимъ теперь формулу (5) къ вычисленію детерминанта В.

Въ этомъ случаѣ

Если п и р не взаимно простыя числа, то между корнями уравненія (4) существуютъ комплексные корни, удовлетворяющіе уравненію

%Р — 1 = 0

и, слѣд., уравненію /,(ш) = 0. Поэтому детерминантъ В въ этомъ случаѣ равенъ нулю.

Въ случаѣ п и р взаимно простыхъ ни одинъ изъ множителей, на которые разлагается детерминантъ D, не обращается въ нуль. Если п есть нечетное число, то уравненіе (4) имѣетъ одинъ вещественный корень, равный 1, если же п есть четное число, то уравненіе (4) имѣетъ два вещественныхъ корня, а именно 1 и —1; остальные корни въ томъ и другомъ случаѣ суть сопряженныя комплексныя числа. Легко видѣть, что

Ді)=і>, А—і) = і...................(6)

Поэтому вычисленіе детерминанта В приводится къ вычисленію произведенія П' /,(ш/- ), распространеннаго на комплексные корни уравненія (4).

Такъ какъ функція f имѣетъ вещественные коэффиціенты, то множители этого произведенія суть попарно сопряженныя ком-

*) О циклическихъ детерминантахъ или циркулянтахъ см. Е. Pascal, Die Determinanten, § 20 и Th. Muir, 1. с.

плексныя числа, а произведеніе каждой пары равно квадрату ихъ модуля. Слѣдовательно,

гдѣ о)х, со2, . . . , суть не сопряженные комплексные корни уравненія (4); число т равно (п—2)12 при п четномъ и (п—1)/2 при п нечетномъ.

Такъ какъ

то

слѣд.,

Докажемъ, что вторая часть этого равенства равна 1. Для этого каждое изъ чиселъ jp, 2р, . . , тр раздѣлимъ на п. Обозначивъ частныя и остатки соотвѣтственно черезъ qu q2, . . . , qm и гъ гѵ . . . , гт , получимъ слѣдующій рядъ равенствъ:

Каждое изъ чиселъ г меньше п; кромѣ того не трудно убѣдиться, что всѣ они между собою различны. Если какой-нибудь изъ остатковъ г больше т, то увеличивая соотвѣтственное частное на 1, можно замѣнить его отрицательнымъ остаткомъ, абсолютное значеніе котораго не превышаетъ т. Поэтому въ предыдущихъ равенствахъ можно считать абсолютныя значенія остатковъ числами ряда: 1, 2, . . . , т.

Такъ какъ

то

Изъ этого слѣдуетъ, что вторая часть равенства (7) равна 1.

Итакъ,

(8)

Детерминантъ D въ случаѣ п нечетнаго выражается произведеніемъ f( 1) И' ), а въ случаѣ п четнаго произведеніемъ —1) ГР /-(<*>,• )• Принимая во вниманіе формулы (6) и (8), мы находимъ, что въ томъ и другомъ случаѣ Z) равенъ р.*). Зная значеніе детерминанта Z), можно сдѣлать заключеніе о характерѣ системы (1): при п и р взаимно простыхъ система (1) есть система опредѣленная, въ противномъ же случаѣ—либо несовмѣстная, либо неопредѣленная.

4. Изъ частныхъ случаевъ системы (1) можно указать на случай р = 2, какъ на представляющій интересъ по связи съ задачей о нахожденіи точекъ касанія сторонъ описаннаго около круга многоугольника.

Если число сторонъ описаннаго многоугольника равно п, а стороны его суть аг, а2, . . . аи, то, обозначая отрѣзки, на которые дѣлится сторона а,- черезъ x-L и хі+г (x„+L = Ху), для опредѣленія этихъ отрѣзковъ получимъ систему:

(9)

Если п есть нечетное число (т.-е. взаимно простое съ 2), то написанная система имѣетъ единственное рѣшеніе; если же ѣ есть четное число, то система или не имѣетъ рѣшенія, или имѣетъ безчисленное множество рѣшеній. Выяснимъ условія, при которыхъ имѣетъ мѣсто то и другое.

Пусть п = 2ш. Удержимъ тотъ порядокъ уравненій, который указанъ въ системѣ (9) и составимъ новое уравненіе черезъ почленное сложеніе всѣхъ уравненій съ нечетными нумерами и вы-

*) Во время бесѣды по поводу доклада Б. К. Млодзѣевскій указалъ на возможность вычисленія детерминанта D безъ помощи общей теоремы о циклическихъ детерминантахъ.

читаніе всѣхъ уравненій съ четными нумерами, за исключеніемъ послѣдняго. Получимъ уравненіе:

Изъ сравненія этого уравненія съ послѣднимъ уравненіемъ системы (9) слѣдуетъ, что система (9) совмѣстна только при выполненіи условія:

S агк-і= £ ....................(10)

Но изъ самаго способа полученія этого условія ясно, что при выполненіи его число независимыхъ уравненій системы меньше числа неизвѣстныхъ, и что, слѣд., система имѣетъ въ этомъ случаѣ безчисленное множество рѣшеній.

Если условіе (10) не выполняется, то система (9) не имѣетъ рѣшеній.

При п = 4 условіе (10) даетъ извѣстное свойство сторонъ описаннаго четыреугольника, при п = 6 свойство сторонъ описаннаго шестиугольника и т. д.

Классификація ариѳметическихъ задачъ.

(ЧАСТЬ ВТОРАЯ).

И. Александровъ (Москва).

Какъ и въ предыдущей статьѣ мы будемъ говорить о задачахъ на всѣ дѣйствія1) съ цѣлыми и дробными числами, незави-

1) Не надо думать, что задачи на одно дѣйствіе и даже на простой счетъ даются легко. Среди этихъ задачъ встрѣчаются такія, которыя трудны только для объясненія, но бываютъ и такія, которыя могутъ затруднить концепцію ученика своимъ содержаніемъ, общая картина котораго получается не сразу. Вотъ три соотвѣтственныхъ примѣра.

1. Въ одной семьѣ каждая сестра имѣетъ на 3 брата больше, чѣмъ сестеръ. На сколько братьевъ больше, чѣмъ сестеръ?

2. Московскій поѣздъ, выходя изъ Москвы въ 6 часовъ утра, встрѣчаетъ въ 11 часовъ утра Саратовскій поѣздъ въ Рязани. Однажды Московскій поѣздъ опоздалъ на часъ и вслѣдствіи этого встрѣтилъ Саратовскій поѣздъ въ 35 верстахъ отъ Рязани. Спрашивается, гдѣ былъ Московскій поѣздъ въ 11 часовъ утра, если поѣздъ изъ Саратова прибываетъ въ Москву въ 4 часа пополудни? Оба поѣзда двигаются равномѣрно.

3. Изъ Москвы ежечасно отправляются поѣзда въ Петроградъ; въ тѣ же часы отправляются поѣзда изъ Петрограда въ Москву. Если выѣхать изъ Москвы въ Петроградъ съ какимъ-нибудь поѣздомъ, то сколько поѣздовъ попадется на встрѣчу, считая, что каждый поѣздъ проходитъ все разстояніе въ 24 часа?

Всѣхъ подобнаго рода задачъ на одно дѣйствіе я имѣю до сорока. Прямого отношенія къ ариѳметикѣ эти задачи не имѣютъ, но нельзя не признать за ними очень большого воспитательнаго значенія, и кто желаетъ болѣе или менѣе свободно рѣшать трудныя ариѳметическія задачи, тотъ не долженъ затрудняться этими маленькими упражненіями.

симо отъ количества дѣйствій и отъ размѣра чиселъ. Тогда ариѳметическія задачи можно раздѣлить на три большихъ класса, изъ которыхъ каждый дѣлится на двѣ категоріи, а и Ъ.

I. Задачи на вычисленіе.

a) Въ задачахъ этого рода прямо указано, какія дѣйствія надо сдѣлать съ данными числами; порядокъ дѣйствій тоже указанъ непосредственно.

Напримѣръ:

1. Къ половинѣ суммы чиселъ 177 и 349 прибавить двѣ трети разности чиселъ 972 и 171, а результатъ раздѣлить на 7.

b) Въ задачахъ этой рубрики дѣйствія съ данными числами указаны косвенно; эти дѣйствія болѣе или менѣе замѣтны по смыслу и матеріальной природѣ каждаго даннаго числа. Кто продѣлалъ достаточно условныхъ задачъ на каждое отдѣльное дѣйствіе, тому не трудно замѣтить каждый шагъ рѣшенія; при этомъ, конечно, предполагается, что рѣшающій болѣе или менѣе точно знакомъ съ той матеріальной обстановкой, съ которой связано условіе задачи. Примѣръ:

2. Купецъ купилъ 728 пудовъ товара по 3 руб. нудъ. Четверть товара испортилась и не пошла въ продажу, а остальное продано по 4 руб. 20 коп. пудъ. Сколько получено прибыли?

Алгебраическая форма2) этого класса есть x~f(a,b,c,....,/с), гдѣ а, 5, с, ... & суть данныя числа и f— какая-нибудь раціональная алгебраическая функція.

II. Задачи на методъ обратности3).

а) Въ задачахъ этого рода съ неизвѣстнымъ числомъ сдѣлано одно какое нибудь вполнѣ опредѣленное дѣйствіе. Съ результатомъ этого перваго дѣйствія, при помощи извѣстныхъ чиселъ и безъ участія того же неизвѣстнаго числа, произведенъ цѣлый рядъ новыхъ дѣйствій, конечный результатъ которыхъ данъ. Такимъ образомъ неизвѣстное число отъ насъ скрыто цѣлымъ рядомъ дѣйствій, при чемъ во всѣхъ дѣйствіяхъ кромѣ перваго, участвуютъ только данныя числа. Очевидно, чтобъ опредѣлить неизвѣстное, нужно съ конечнымъ результатомъ сдѣлать обратныя 2 3

2) Я держусь того мнѣнія, что алгебраическіе методы не должны въ преподаваніи поглащать чисто ариѳметическіе методы. Фактически такое поглощеніе невозможно, потому что есть очень много геометрическихъ и алгебраическихъ задачъ, которыя не могутъ быть разрѣшены средствами одной алгебры. Всѣ три метода (алгебры, ариѳметики и геометріи) должны быть во взаимодѣйствіи другъ съ другомъ, а не въ противорѣчіи. Подробности въ моей статьѣ „Современныя требованія отъ ариѳметическихъ задачниковъ“ — см. Педагогическій Вѣстн. изд. Московс. учеб. округ., 1915 г.

3) Ниже виденъ смыслъ этого названія, встрѣчающагося въ геометрическихъ методахъ Дюгамеля. Не дурно также названіе „задачи, рѣшаемыя съ конца“.

дѣйствія и въ обратномъ порядкѣ. Тогда искомое будетъ освобождено отъ дѣйствій его скрывшихъ, и сдѣлается явнымъ4).

Примѣръ.

3. Я задумалъ число. Если его упятерить, къ результату прибавить 125 и все, что получится, раздѣлить на 6, то выйдетъ 115. Какое число я задумалъ?

Рѣш. Если бы дѣленія на 6 не было, получилось бы не 115, а 115,6 = 690. Если бы не прибавляли 125, то вышло бы не 690, а 565 и т. д.

Ь) Задачи этой категоріи отличаются отъ предыдущей только тѣмъ, что рядъ дѣйствій, закрывающихъ искомое, не указанъ такъ прямо и рѣшительно, какъ, напр., въ № 3; однако этотъ рядъ дѣйствій легко открыть, вглядываясь въ фактическій смыслъ данныхъ чиселъ. Словомъ разница категорій а и Ъ второго класса такая же, какъ рубрикъ а и. Ь перваго класса. Беремъ примѣръ съ двумя неизвѣстными.

4. А и В играютъ на слѣдующемъ условіи: когда А проигрываетъ партію, то В получаетъ 40 руб.; когда же В проигрываетъ партію, то А получаетъ втрое болѣе, чѣмъ самъ имѣетъ. Изъ шести партій А проигралъ первую, третью и пятую, а остальныя выигралъ. Послѣ этого у А оказалось 224 руб., а у В—32 руб. Каковы были ихъ первоначальныя деньги?

Рѣш. Будемъ разматывать клубокъ дѣйствій, скрывшихъ отъ насъ искомыя числа. До шестой партіи А имѣлъ, очевидно, 56 руб.; слѣд., В имѣлъ 56.3 + 32 = 200 руб. До пятой партіи А имѣлъ 96 руб., а В—160 руб. и т. д. Мы очень быстро придемъ къ результату5).

Алгебраическая форма задачъ второго класса есть

гдѣ знакъ плюсъ можетъ быть замѣненъ по произволу знакомъ вычитанія, умноженія или дѣленія.

Задачи на простое тройное правило6) относятся къ задачамъ второго класса—ихъ форма х : а = Ъ:с или х:а = к. Ихъ, конечно,

4) Для разъясненія этого дѣла я придумалъ примѣръ, который мои слушатели находили очень хорошимъ. Пусть врачу нужно посмотрѣть, въ какомъ положеніи у больного рана, которая уже забинтована. Тогда онъ долженъ сдѣлать рядъ дѣйствій, обратныхъ тѣмъ дѣйствіямъ, которыя скрыли рану, кончая сдуваніемъ іодоформа, который былъ насыпанъ на рану передъ ея бинтованіемъ.

5) Рѣшеніе этой задачи съ помощью уравненій, безъ всякаго сомнѣнія, гораздо труднѣе.

6) Терминъ „сложное тройное правило“ слѣдовало бы оставить. Мнѣ не приходилось встрѣчать задачъ на это правило, которыхъ нельзя было бы предварительнымъ преобразованіемъ данныхъ свести на простое тройное правило. И, если это вѣрно, то и терминъ „простое тройное правило“, какъ и всякое подобное „правило“, слѣдуетъ уничтожить. Въ сущности эти задачи представляютъ частный случай задачъ, содержащихъ въ себѣ только пропорціональныя величины.

можно рѣшать также, какъ только что указано. Однако гораздо лучше, какъ уже почти установлено практикой, помѣщать ихъ въ первый классъ категоріи Ъ и предоставить учащимся свободу въ ихъ рѣшеніи способами приведенія къ единицѣ, приведенія къ общей мѣрѣ или способомъ отношеній7). Нѣтъ никакой надобности выдѣлять этихъ задачъ въ особую рубрику.

III. Задачи на различные методы.

Въ задачахъ №№ 3 и 4 неизвѣстное число было отъ насъ скрыто рядомъ дѣйствій; въ отдѣльныхъ результатахъ этихъ дѣйствій неизвѣстное участвовало лишь постольку, поскольку оно участвовало въ первомъ дѣйствіи. Но можетъ случиться, что неизвѣстное вновь участвуетъ во всякомъ или въ какихъ-нибудь послѣдующихъ дѣйствіяхъ. Тогда алгебраическая форма задачи будетъ f (#, а, Ь, с,..к) = ш, гдѣ f есть цѣлая раціональная функція х\ степень этой функціи есть единица и только въ рѣдкихъ случаяхъ можетъ равняться двумъ. Если же неизвѣстныхъ два, то алгебраическая форма такихъ задачъ будетъ

f (х, у, а, 6, с,_к) = т и F (ж, у, Ач В,---, К) = М.

Затѣмъ уже понятно, что задачи этого класса, какъ и задачи первыхъ двухъ классовъ, глядя по силѣ замаскированія дѣйствій, могутъ дѣлиться на двѣ категоріи вида а и Ъ. Ниже читатель найдетъ достаточно примѣровъ.

Почти всѣ задачи этого класса не могутъ быть рѣшены методомъ обратности. Всѣ они рѣшаются слѣдующими двумя методами; только иногда приходится пользоваться пріемами, обозначенными буквами а, /?, ѵ.

IV. Методы исключенія неизвѣстныхъ проявляются въ пяти формахъ:

а) соединенія нѣсколькихъ условій въ одно:

5. Путешественникъ, выйдя изъ города, шелъ пѣшкомъ 6 часовъ и ѣхалъ на лошадяхъ 5 часовъ; всего онъ удалился отъ города на 80 верстъ. Въ другой разъ онъ, выѣхавъ изъ города, съ тѣми же скоростями проѣхалъ на лошадяхъ 11 часовъ, затѣмъ

7) Приведеніе къ единицѣ допускаетъ двѣ дороги. Въ задачѣ „7 фунтовъ муки стоятъ 56 коп.; сколько фунтовъ дадутъ на 88 коп.“ можно начать такъ: „на копѣйку даютъ восьмую часть фунта, на 88 коп. и т. д.“, но можно и иначе „1 фунтъ стоитъ 8 коп.; слѣд., на 88 коп. и т. д.“ Второй способъ я назвалъ обратнымъ приведеніемъ къ единицѣ. Идея способа отношеній состоитъ въ томъ, что соображаютъ, во сколько разъ искомое больше или меньше одного изъ данныхъ. Напр., въ предыд. задачѣ во второй разъ денегъ больше въ нѣсколько разъ, слѣд., и муки дадутъ больше 7 фун. и т. д.

Безъ всякаго сомнѣнія, учащіеся должны различать эти три способа и хорошо ими владѣть. Что касается названій этихъ способовъ, то этотъ вопросъ, какъ и въ другихъ подобныхъ случаяхъ, имѣетъ второстепенное значеніе. Полагаемъ однако, что три слова запомнить нетрудно.

шелъ въ обратную сторону 6 часовъ и очутился въ 64 верстахъ отъ города. Опредѣлить часовую скорость лошадей.

Здѣсь два неизвѣстныхъ — часовая скорость лошадей и часовая скорость пѣшехода. Одно надо исключить.

Соединимъ оба пути вмѣстѣ. Тогда 6 часовъ пути пѣшкомъ впередъ покроютъ 6 часовъ пути пѣшкомъ назадъ, и въ 16 часовъ путникъ проѣзжаетъ на лошадяхъ 144 версты и т. д.

ß) сравненія двухъ условій вычитаніемъ:

6. За 7 топоровъ и 9 сохъ заплачено 41 руб., а за 5 топоровъ и 9 сохъ по тѣмъ же цѣнамъ заплачено 37 руб. Почемъ топоръ и соха?

Сравнивая обѣ покупки, видимъ, что 2 топора стоятъ 4 руб. и т. д.

Иногда способы а и ß употребляются вмѣстѣ:

7. А и В имѣли 200 руб., В л С имѣли 150 руб.; сколько денегъ у каждаго, если А и С имѣли оба 220 руб.?

Сумма 200 + 150 + 220 = 570 руб. представляетъ двойную общую сумму всѣхъ трехъ лицъ. Слѣд., всѣ трое имѣли 570:2 = 285 руб. Отнимая отъ послѣдней суммы 220 руб., находимъ, что у В было 65 руб.

у) Замѣны одного неизвѣстнаго другимъ:

8. Смѣшано 9 фунт. орѣховъ 1-го сорта съ 11 фунт. 2-го и 7 фунт. 3-го сорта. Сколько стоилъ фунтъ каждаго сорта, если вся смѣсь стоила 6 руб. 61 коп., а фунтъ 1-го сорта дороже на 15 коп. фунта 2-го сорта и на 17 коп.—фунта 3-го сорта?

Замѣнимъ орѣхи перваго и второго сорта орѣхами третьяго сорта; тогда цѣна смѣси понизится на 17.9 + 2.11 = 175 коп. и будетъ равна 661—175=486 коп. Поэтому 27 фунт. третьяго сорта стоятъ 486 коп. и т. д.

cf) уравниванія неизвѣстныхъ:

9. На трехъ полкахъ 548 книгъ: на верхней 19-ю книгами меньше, чѣмъ на средней, а на средней на 129 книгъ меньше, чѣмъ на нижней. Сколько книгъ на каждой полкѣ?

Здѣсь три неизвѣстныхъ—сдѣлаемъ ихъ равными. Для этого съ нижней полки снимемъ 129 книгъ и изъ этихъ 129 книгъ положимъ 19 на верхнюю полку. Тогда на трехъ полкахъ останется 438 книгъ, на всѣхъ поровну; слѣд., на каждой осталось 438 : 3 = 146 книгъ. На верхнюю полку мы положили 19 книгъ; теперь ихъ надо снять и т. д.

s) уравниванія данныхъ:

Этотъ способъ дѣлится на двѣ вѣтви, смотря потому, являются ли неизвѣстныя множимыми или множителями.

Въ первомъ случаѣ уравниваютъ повторяемость неизвѣстнаго въ двухъ различныхъ случаяхъ, съ цѣлью примѣнить способы а и ß. Напримѣръ:

10. Торговецъ продалъ 9 грушъ и 2 яблока за 96 коп. Въ другой разъ онъ продалъ 8 грушъ и на полученныя въ этотъ разъ деньги купилъ 5 яблокъ, при чемъ ему дали сдачи 65 коп. Почемъ продавалъ онъ груши и яблоки, если цѣны въ оба раза были одинаковы и торговецъ не бралъ барыша?

Неизвѣстная цѣна яблока повторяется въ первой покупкѣ 2 раза, а во второй—5 разъ. Надо сдѣлать такъ, чтобы яблокъ было поровну въ оба раза.

Увеличимъ первый оборотъ въ 5 разъ, а второй—въ 2 раза, и соединимъ ихъ вмѣстѣ. Тогда сумма, вырученная за яблоки въ первый разъ, покроетъ сумму, истраченную за яблоки во второй разъ, и выйдетъ, что 61 груша проданы за 610 кон. Слѣд., одна груша стоила 10 коп., а яблоко стоило (96—90) : 2 и т. д.

11. Куплено на равныя суммы индѣекъ, по 1 р. 50 к. штука, и гусей—по 1 р. 20 коп.; первыхъ было на 10 больше. Сколько тѣхъ и другихъ? Купимъ еще 10 индѣекъ; тогда онѣ будутъ дороже гусей на 15 руб. Слѣд., всѣхъ ихъ было въ этомъ случаѣ 1500 : 30 = 508).

Во второмъ случаѣ уравниваютъ два данныхъ съ такимъ разсчетомъ, чтобъ были видны послѣдствія этого уравниванія.

Первымъ примѣромъ можетъ служить задача № 11, если ее рѣшать такъ:

Пустимъ каждаго гуся по 1 р. 50 коп. Тогда цѣна гусей противъ цѣны индѣекъ увеличится на 15 руб.; въ тоже время цѣна гусей увеличится противъ прежней въ 1,25 раза, т.-е., увеличится своей четвертью. Поэтому четверть цѣны гусей, пущенныхъ по 1 р. 50 к., равна 15 р. и т. д.

Вотъ второй, очень характерный примѣръ.

12. Купецъ продалъ нѣсколько аршинъ синяго сукна по 7 руб. и нѣсколько аршинъ чернаго сукна по 3 руб.—всего на сумму 175 руб.; въ другой разъ онъ продалъ столько же синяго сукна по 5 руб. аршинъ и столько же (сколько въ первый разъ) чернаго сукна по 6 руб. аршинъ, и получилъ за все 260 руб. Сколько онъ продалъ каждаго сукна?

Пустимъ въ оба раза синее сукно, напр., по рублю аршинъ; тогда черное сукно придется въ первый разъ продавать въ 7 разъ дешевле, а во второй разъ—въ 5 разъ дешевле; соотвѣтственныя выручки будутъ 25 и 52 руб. Разница 27 руб. зависитъ оттого, что во второй разъ на аршинъ чернаго сукна набавили——— =— руб.; поэтому аршинъ чернаго сукна было 35.

У. Методъ подобія9).

Задачи, рѣшаемыя этимъ методомъ дѣлятся на двѣ категоріи. Къ первой относятся тѣ задачи, къ которымъ можно при-

8) Начиная съ № 11, нѣкоторыя задачи имѣютъ и другія рѣшенія. Вообще я старался указывать рѣшенія, имѣющія наибольшую сферу вліянія.

9) Этотъ замѣчательно широкій методъ вполнѣ отвѣчаетъ геометрическому методу подобія. У простого народа онъ носитъ названіе „примѣрнаго разсчета“.

мѣнить методъ подобія сейчасъ же, т -е. безъ всякихъ предварительныхъ преобразованій. Общій типъ этихъ задачъ слѣдующій „одни изъ данныхъ суть отношенія искомыхъ; другое данное, будучи выражено черезъ одно неизвѣстное, мѣняется пропорціонально этому неизвѣстному. Опредѣлить неизвѣстныя“. Ко второй категоріи принадлежатъ тѣ задачи, которыя требуютъ извѣстной отдѣлки, извѣстныхъ преобразованій, послѣ которыхъ задача приводится къ типу первой категоріи. Такія преобразованія дѣлаются главнымъ образомь пріемами а — е. Примѣры:

13. Нѣкто раздѣлилъ свой капиталъ на три части въ отношеніи 10:11:15 и помѣстилъ ихъ въ различныя предпріятія на сроки, соотвѣтственно равные 6, 12 и 11 годамъ. Послѣ этого его капиталъ обратился въ 7380 руб. Каковъ былъ его первоначальный капиталъ, если предпріятія давали соотвѣтственно 5,5°/0, 5°/о и 2 V

Пусть первая часть равнялась 100 руб. (вообще произвольному числу); тогда другія части были равны 110 и 150 руб. Первая часть дала дохода 5,5.6 — 33 руб., вторая—5.12.110 :100=66 р., третья—2.11 .150 : 100 = 33 руб. Весь капиталъ съ доходомъ составилъ бы 100—[-110—]—150-f-33—|—66—[-33 = 492 руб.; на самомъ дѣлѣ капиталъ обратился въ 7380 руб.; слѣдовательно, каждую долю мы взяли меньше, чѣмъ слѣдуетъ, въ 7380:492 — 15 разъ. Поэтому искомый капиталъ въ 15 разъ больше выбраннаго капитала и равенъ (100—|—110-[-150). 15 = 5400 руб.

14. Путникъ прошелъ — своего пути и еще 20 верстъ; затѣмъ ему осталось пройти — всей дороги безъ 59 верстъ. Какъ великъ его путь?

Путникъ въ оба раза (а) прошелъ — всего пути безъ 39 верстъ; слѣд. — всего пути превышаетъ весь путь на 39 верстъ10). Замѣчаемъ, что число 39 мѣняется пропорціонально неизвѣстному—и въ этомъ часто заключается трудность примѣненія метода подобія. Теперь получилась задача, первой категоріи на методъ подобія. Пусть весь путь равенъ 28 верстъ. Тогда — всего пути превышаетъ весь путь вмѣсто 39 на 13 верстъ, и потому искомое въ 3 раза больше 28.

Для указанныхъ преобразованій бываютъ еще важны слѣдующіе пріемы, которые, впрочемъ, и вообще имѣютъ большое педагогическое значеніе и подчасъ рѣшающую силу:

/) Разложеніе трудной задачи на рядъ подготовительныхъ задачъ, которыя должны быть передѣланы предварительно. Напримѣръ:

10) Далѣе здѣсь намѣренно выбранъ, быть можетъ, не самый краткій путь.

15. Летѣло два стада гусей. Если изъ перваго стада перелетитъ во второе 16 гусей, то въ нихъ будетъ поровну. Если же изъ второго въ первое перелетитъ 4 гуся, то въ первомъ будетъ въ 5 разъ болѣе. Сколько гусей въ каждомъ стадѣ?

Эта довольно трудная задача сдѣлается совсѣмъ легкой, если овладѣть слѣдующими задачами:

1) Если изъ одного кармана переложить въ другой 16 коп., то въ нихъ будетъ поровну. На сколько въ одномъ болѣе, чѣмъ въ другомъ?

2) Одно число больше другого на 32. Какова будетъ разность этихъ чиселъ, если отъ меньшаго отнять 4, а къ большому прибавить 4?

3) Одно число больше другого въ 5 разъ; разность этихъ чиселъ равна 40. Найти эти числа (V).

[і) Приведеніе неизвѣстныхъ къ такимъ значеніямъ, при которыхъ становится извѣстнымъ ихъ отношеніе; послѣ этого задача обыкновенно рѣшается методомъ подобія.

16. Три брата получили 995 руб. Старшій получилъ втрое больше младшаго и еще 85 руб., а средній въ 4 раза болѣе младшаго безъ 50 руб. Сколько получилъ каждый?

Сдѣлаемъ такъ, чтобъ старшій получилъ ровно въ 3 раза болѣе младшаго, а средній ровно въ 4 раза болѣе младшаго. Для этого у старшаго возьмемъ 85 руб. и изъ этихъ денегъ дадимъ среднему 50 руб. Тогда общая сумма станетъ 960 руб., и задача легко рѣшается методомъ подобія.

Въ самомъ дѣлѣ пусть младшій получитъ 10 руб.; тогда другіе получатъ 30 и 40, а всѣ вмѣстѣ 80 руб., т.-е., въ 16 разъ меньше, чѣмъ слѣдуетъ и т. д.

ѵ) Есть задачи, въ которыхъ отвѣтъ не зависитъ отъ размѣра той или другой величины, участвующей въ задачѣ. Въ такомъ случаѣ часто выгодно дать этой величинѣ произвольное численное значеніе.

17. Пароходъ проходитъ нѣкоторое разстояніе по теченію въ 10 часовъ, а противъ теченія—въ 20 часовъ. Во сколько вре мени проплываетъ это разстояніе щепка, брошенная въ воду такой же скорости?

Довольно ясно, что отвѣтъ не зависитъ отъ величины разстоянія, потому что увеличеніе разстоянія не измѣнитъ времени, если во столько же разъ увеличить скорости вверхъ и внизъ.

Пусть разстояніе равно 40 вер. (произвольное число, которое надо выбирать повыгоднѣе). Тогда часовая скорость парохода внизъ равна 4 вер., а вверхъ—двѣ версты. Часовая скорость теченія равна (4—2) : 2 ===== 1 вер., и искомое равно 40.

Не существуетъ задачъ первой степени, взятыхъ изъ какой угодно области, которыя бы не разрѣшались разобранными здѣсь способами (методы подобія и исключенія неизвѣстныхъ, пріемы а—V и, на выборъ, приведенія къ единицѣ и способъ отношеній— всего два метода и девять пріемовъ рѣшенія). По крайней мѣрѣ, авторъ, при всемъ своемъ стараніи, не могъ отыскать такихъ задачъ. Но нельзя того же утверждать относительно тѣхъ задачъ

второй степени, которыя въ частныхъ случаяхъ приводятъ къ уравненію первой степени—такого рода задачи рѣшаются иногда съ очень большими затрудненіями и, весьма вѣроятно, нѣкоторыя изъ нихъ недоступны ариѳметикѣ. Здѣсь можно было бы уже кончить, потому что достигнутый результатъ нельзя считать маловажнымъ. Однако, какъ ниже видно, будетъ лучше вкратцѣ указать еще два метода рѣшеній задачъ.

VI. Методъ пропорціональнаго дѣленія—общеизвѣстенъ.

VIII. Методъ нахожденія частей

дѣлится на двѣ категоріи. Въ первой категоріи разыскиваются различныя части неизвѣстнаго, пока не нападутъ на такую дробь искомаго, которая выражена даннымъ числомъ; тогда останется нахожденіе цѣлаго по данной части. Примѣры общеизвѣстны; однимъ изъ нихъ можетъ служить задача № 14, если измѣнить конецъ ея рѣшенія.

Вторая категорія этихъ задачъ состоитъ изъ вопросовъ, отвѣтъ на которые не зависитъ отъ размѣра той или другой величины, которая участвуетъ въ условіи. Тогда разыскиваютъ различныя части этой величины до тѣхъ поръ, пока не получатся такія дроби этой величины, которыя обнаруживаютъ рѣшеніе. Примѣромъ можетъ служить задача № 17, если ея рѣшать слѣдующимъ образомъ:

Пароходъ по теченію проходитъ въ часъ всего разстоянія, противъ теченія ^ того же пути. Слѣд., часовая скорость теченія равна |—— — ):2=—-, и искомое равно 1 : —-.

Если читатель попробуетъ рѣшать задачи №№ 13, 14 и 16, замѣнивъ методъ V методомъ VI или VII, то онъ быстро убѣдится, что задачи безъ труда рѣшаются, иногда труднѣе, иногда легче. Тоже явленіе имѣетъ мѣсто во всякой задачѣ, въ рѣшеніи которой играетъ роль методъ подобія. Съ другой стороны, я многократно искалъ или пытался составить задачу на методъ подобія, но такъ, чтобъ она не рѣшалась методами VI и VII; эти попытки не имѣли успѣха. Въ чемъ тутъ дѣло? Отчего это такъ происходитъ?

Не оттого ли, что методы V, VI и VII, будучи ариѳметически различны11), въ сущности тождественны, что широкая ма-

11) Ариѳметичность метода опредѣляется, по моему мнѣнію, слѣдующими признаками: 1) невозможность вычесть изъ меньшаго большее; 2) необходимость строго считаться съ порядкомъ умноженія въ томъ случаѣ, когда множимое именованное; этимъ обусловливается, напримѣръ, существенная разница въ рѣшеніи задачъ №№ 10 и 12, и имъ подобныхъ; 3) сохраненіе разницы между дѣленіемъ на равныя части и дѣленіемъ въ смыслѣ содержанія и 4) увеличеніе и уменьшеніе только въ цѣлое число разъ или въ цѣлое съ дробью.

тематическая ихъ логика одинакова, тогда какъ методъ ІУ и пріемы {I представляютъ нѣчто совсѣмъ другое? Оказывается, что оно такъ и есть.

Сущность метода VI состоитъ, говоря вообще, въ томъ, что мы опредѣляемъ размѣръ каждой доли, зная ихъ число12).

Сущность метода подобія состоитъ въ томъ, что, зная размѣръ каждой доли, мы опредѣляемъ ихъ общее число, а потомъ уже смотримъ, выходитъ ли это число надлежащимъ по величинѣ. Получается такая же разница, какъ между дѣленіемъ на равныя части и дѣленіемъ въ смыслѣ содержанія. Но эта разница съ болѣе широкой точки зрѣнія уничтожается. И такъ методы V и VJ въ сущности тождественны.

Въ методѣ YII мы опредѣляемъ части неизвѣстнаго (или цѣлаго, отъ величины котораго отвѣтъ не зависитъ) до тѣхъ поръ пока не получимъ дробей, дающихъ возможность рѣшать задачу. Совершенно очевидно, что если мы дадимъ неизвѣстному (или вышеупомянутому цѣлому) произвольное значеніе и будемъ находить части этого значенія въ томъ же порядкѣ, то мы получимъ одно или нѣсколько чиселъ, указывающихъ на рѣшеніе. Слѣд., методомъ YII рѣшаются задачи, которыя можно рѣшать методомъ У и пріемомъ ѵ.

Методы УІ и VII не могутъ разниться по существу и по своей силѣ, потому что они вытекаютъ изъ одного корня. Если два числа пропорціональны двумъ и тремъ, то первое число составляетъ двѣ трети второго. Слѣд., всякому дѣйствію въ методѣ УІ соотвѣтствуетъ опредѣленное дѣйствіе въ методѣ VII.

Изъ этого мы заключаемъ, что методы У, УІ и УІІ по своей математической сущности тождественны. Отсюда однако не слѣдуетъ, что одинъ изъ этихъ методовъ надо игнорировать, во-первыхъ, потому, что никоимъ образомъ не слѣдуетъ стѣснять свободу мысли и игру ума, часто проявляющуюся въ этихъ методахъ въ изящной формѣ, а, во вторыхъ, потому что каждый методъ иногда ведетъ къ цѣли скорѣе и проще другого.

И такъ для рѣшенія ариѳметическихъ задачъ необходимы только: методъ ІУ вмѣстѣ съ пріемами а, ß, ѵ. . , , ѵ (8 пріемовъ), затѣмъ еще одинъ изъ пріемовъ (приведеніе къ единицѣ или способъ отношеній) и одинъ изъ трехъ методовъ V, УІ, УІІ—и того два метода и 8—9 пріемовъ. Относительно возможности сокращенія этихъ 8—9 пріемовъ, авторъ находится въ состояніи сильнаго подозрѣнія, и, хотя этому подозрѣнію имѣются фактическія основанія, однако ничего положительнаго пока сказать невозможно.

12) Для ясности рѣшимъ обычнымъ способомъ задачу „раздѣлить 1000 на части, пропорціональныя 2 и 3“, а затѣмъ рѣшимъ ее методомъ подобія, измѣнивъ порядокъ дѣйствій. Пусть первая часть равна 100; тогда каждая доля этой части равна 50. Общее число долей равно 1000 : 50 = 20, тогда какъ на самомъ дѣлѣ оно должно равняться 10. Слѣд., первая часть въ два раза болѣе ста. Такое измѣненіе порядка дѣйствій допустимо для всякой задачи на методъ подобія.

Идея движенія въ современной геометріи и область ея примѣнимости въ курсѣ средней школы.

(Докладъ читанный на 2-мъ Всероссійскомъ Съѣздѣ Преподавателей Математики 29/ХІІ 1913 г.).

А. Р. Кулишеръ. Петроградъ.

(Продолженіе).

Весьма интересенъ, по нашему мнѣнію, вопросъ о математическихъ законахъ, связывающихъ между собою эти двѣ теоріи, т.-е. о законахъ, которые одни были бы достаточно для перехода отъ извѣстнаго даннаго пріема обработки помощью токарнаго станка къ другому соотвѣтственному.

Задача эта пугала насъ значительными трудностями, но потомъ привела насъ къ одному въ высшей степени простому закону двойственности, изъ котораго, во-первыхъ, вытекаетъ теорія токарнаго станка и, во-вторыхъ, получается средство описывать помощью этого инструмента всѣ тѣ кривыя, которыя до сихъ чертились обыкновенно посредствомъ подвижного острія. Этотъ способъ полученія кривыхъ основывается на слѣдующемъ началѣ:

Если плоская кривая перемѣщается въ своей плоскости, то каждая точка ея описываетъ кривую. Движеніе фигуры опредѣляется нѣкоторыми постоянными соотношеніями ея съ неподвижными точками и линіями на плоскости. Совокупность этихъ точекъ и линій представляетъ вторую фигуру, которая остается неподвижной во время движенія первой фигуры.

Разсмотримъ первую фигуру въ одномъ изъ ея положеній и сдѣлаемъ ее неподвижною; вторую же фигуру заставимъ двигаться такъ, чтобы сохранялись прежнія условія въ ея относительномъ положеніи къ первой фигурѣ.

Тогда неподвижное острее, помѣщенное въ какой-нибудь точкѣ первой фигуры, будетъ чертить на подвижной плоскости второй фигуры кривую линію, тождественную съ той (за исключеніемъ положенія), которую описывала бы взятая точка первой фигуры, если бы эта фигура продолжала двигаться.

Это и есть то единственное начало, которое связываетъ между собою два способа образованія плоскихъ кривыхъ посредствомъ подвижнаго и неподвижнаго острея.

Чтобы показать приложеніе этого начала разсмотримъ черченіе эллипса помощью точки, представляющей собой вершину неизмѣняемаго треугольника, двѣ другія вершины котораго движутся по двумъ неподвижнымъ прямымъ.

Здѣсь подвижная фигура есть треугольникъ; двѣ же данныя прямыя представляютъ фигуру неподвижную. На основаніи нашего начала мы должны перемѣщать эти прямыя такъ, чтобы онѣ постоянно проходили черезъ тѣ двѣ вершины треугольника, которыя первоначально скользили по нимъ. Отсюда выводимъ слѣдующую теорему:

Если стороны подвижного угла постоянной величины опираются на двѣ неподвижныя точки, то неподвижное острее, помѣщенное въ какой угодно точкѣ, будетъ чертить на движущейся плоскости этого угла эллипсъ.

И мы, дѣйствительно, замѣчаемъ, что механизмъ при токарномъ станкѣ для выдѣлки оваловъ имѣетъ цѣлью сообщить плоскости такое движеніе, при которомъ стороны угла, находящагося въ этой плоскости постоянно проходили бы черезъ двѣ неподвижныя точки. Это, слѣдовательно, и есть геометрическое основаніе сказаннаго механизма, изобрѣтеннаго знаменитымъ живописцемъ Леонардо - да - Винчи...“ Мы привели только часть этого богатаго содержаніемъ отрывка. Ея, однако, достаточно для поясненія нашей мысли о желательности разсмотрѣнія нѣкоторыхъ положеній кинематической геометріи въ систематическомъ курсѣ нашего предмета въ средней школѣ. Неразрывно съ этимъ связано вычерчиваніе кривыхъ посредствомъ движенія острея (кругъ, эллипсъ, гипербола22), спираль23). Въ то же время нами отмѣченъ не только новый, по сравненію съ указаннымъ раньше, примѣръ примѣнимости идеи движенія, но и одинъ изъ общихъ путей изложенія вопросовъ, входящихъ въ прочія главы.

Выше мы упомянули о желательности включенія инверсіи23) въ занятія учащихся средней школы (въ возрастѣ 15—17 лѣтъ). Помимо изученія самого метода преобразованія въ томъ или иномъ объемѣ въ зависимости отъ времени, которымъ располагаетъ преподаватель, рѣшенія съ его помощью задачъ на построеніе, изготовленія учащимися моделей24) одного или нѣсколькихъ инверсоровъ, можно воспользоваться этимъ случаемъ для дальнѣйшаго укрѣпленія понятія объ одно-однозначныхъ преобразованіяхъ. Съ этой послѣдней точки зрѣнія, а также въ цѣляхъ болѣе совершенной подготовки учащихся къ курсамъ физики и космографіи и друг. умѣстны вычерчиванія нѣкоторыхъ анаморфозъ и изученіе вопроса о стереографической проекціи.

Наконецъ, кинематическими пріемами можно пользоваться для изложенія курса тѣхъ или другихъ областей.

Выше мы опредѣленно высказались о необходимости выключенія движенія изъ доказательствъ при разсмотрѣніи нѣсколькихъ существенныхъ вопросовъ предмета съ той цѣлью, чтобы учащіеся могли отчетливо выяснить сравнительную цѣнность и важность тѣхъ пріемовъ доказательства, которыя не основываются на движеніи. Но разъ это выяснено, преподаватель въ правѣ пользоваться время отъ времени движеніемъ. Мы знаемъ, какъ широко это дѣлалъ Клиффордъ25), который прибѣгалъ къ движенію какъ для

22) См. Клиффордъ. Здравый смыслъ точныхъ наукъ. М. 1910. Стр. 189.

23) См. Клиффордъ, 1. с. Стр. 196.

24) Что касается до примѣненія инверсоровъ, то въ послѣднее время инверсіи и инверсорамъ начали удѣлять въ педагогической литературѣ больше вниманія, нежели прежде.

См., напримѣръ, кромѣ книги Адлера: Теорія геометрическихъ построеній, статьи И. Александрова. Мат. Образов. 1913. № 8 и А. Филиппова. Вѣстн. Оп. ф. и Эл. Мат., 1914, № 610.

25) См. Клиффордъ. „Здравый смыслъ точныхъ наукъ“, стр. 97—111.

возсозданія новыхъ геометрическихъ образовъ (коническія сѣченія, кривыя третьяго и высшаго порядка, поверхности второго порядка), такъ и для вывода формулъ площадей и объемовъ. Мы встрѣчаемъ у него такія наименованія главъ, содержаніе которыхъ соотвѣтствуетъ заголовку: „О площадяхъ; ихъ растяженіе и сжатіе“26), „О площадяхъ; сдвигъ“27). Растяженіями и сдвигами Клиффордъ пользуется при разсмотрѣніи объемовъ прямоугольныхъ и косоугольныхъ параллелепинедовъ. При томъ мы имѣемъ здѣсь дѣло не съ грубо-популярными пріемами изложенія, вызванными желаніемъ быть понятнымъ людямъ, мало подготовленнымъ къ даннымъ занятіямъ, а какъ разъ съ тѣми самыми пріемами, которыми Гамильтонъ и Клиффордъ работаютъ въ алгебрѣ и геометріи комплексныхъ чиселъ (кватерніоны, бикватерніоны)28), и въ разнаго рода теоретическихъ соображеніяхъ въ области сопоставленій евклидовой и не евклидовыхъ геометрій29). Нельзя также не напомнить о сочиненіи Мерэ30) съ его примѣненіями движенія. Итакъ подведемъ итогъ сказанному: въ систематическомъ курсѣ геометріи слѣдуетъ избѣгать вульгаризаціи доказательствъ путемъ неудачнаго (излишняго) примѣненія движенія въ его динамическомъ или кинематическомъ истолкованіи, но отсюда не слѣдуетъ, что двиэ/сенгю не должно быть отведено мѣсто въ цѣломъ рядѣ случаевъ, отчасти нами выше названныхъ. Выборъ-же мѣста и времени примѣненія движенія—дѣло преподавательскаго такта.

Мы переходимъ теперь къ наиболѣе трудному вопросу, а именно къ выясненію по отношенію къ средней школѣ возможности или невозможности примѣненія движенія, разсматриваемаго явно или неявно съ точки зрѣнія теоріи группъ преобразованій. Вопросъ этотъ въ настоящую минуту нисколько не носитъ характера теоретическаго, такъ какъ именно въ этомъ духѣ написаны курсъ геометріи Бурлè, являющійся однимъ изъ учебниковъ имѣющихъ доступъ въ среднюю школу во Франціи. Но вліяніе, съ одной стороны, идей Мерэ, съ другой стороны,— работъ С. Ли, Ф. Клейна и Пуанкаре согласно которымъ, геометрія есть ничто иное, какъ изученіе той или иной группы движеній, настолько значительно, что съ ними долженъ теперь такъ или иначе считаться любой преподаватель геометріи. Отсылаемъ лицъ, интересующихся творчествомъ и взглядами Пуанкаре въ данной области и желающими ознакомиться въ сжатомъ видѣ и критическомъ освѣщеніи хотя бы съ наиболѣе важными для насъ выводами, къ недавно вышедшей въ свѣтъ превосходной книгѣ С. А. Богомолова31), въ частности

26) 1. с. Стр. 133.

27) 1. с. Стр. 141—149.

28) 1. с. Стр. 225, стр. 243—244.

29) 1. с. „Приложеніе“: Предварительный очеркъ бикватерніоновъ, стр. 326-337.

30) См. нашъ „Обзоръ нѣкоторыхъ руководствъ по геометріи“ Труды 1-го съѣзда преподавателей математики, т. II.

31) С. Богомоловъ. Вопросы обоснованія геометріи. М. 1913. Особенно важны для насъ статья первая (см. стр. 50—54, стр. 217—243

къ приложенію къ этой книгѣ, насящему названіе ..Философія математики въ работахъ А. Пуанкаре“. Не безполезными окажутся также соотвѣтственныя страницы имѣющагося въ русскомъ переводѣ сочиненія Л. Кутюра „Философскіе принципы математики“32). Мы же остановимъ теперь наше вниманіе главнымъ образомъ на учебникѣ Бурлè, какъ конкретномъ примѣрѣ приложенія идея движенія, разсматриваемаго съ точки зрѣнія точечныхъ преобразованій, на разборѣ этого курса французски ми преподавателям и, имѣвшемъ мѣсто въ 1907 году, и на небольшой книжкѣ Ришара. „О философіи геометріи“33). Итакъ обратимся къ курсу Бурле34). Въ его подготовительной части (стр. 1—62), большинство страницъ которой занято разнородными чертежными упражненіями на плоскости (орнаменты, арабески, паркеты, буквы и т. п.) мы находимъ разсматриваемое на моделяхъ понятіе о „скольженіи прямой вдоль по ней самой“, о „вращеніи прямой вокругъ нея самой“, далѣе о перенесеніи отрѣзковъ, о „скольженіи плоскости вдоль нея самой“, поясняемое примѣрами скольженія книги по столу, линейки по доскѣ и т. п.; движеніе рейшины вдоль по краю чертежной доски, проведеніе параллельныхъ прямыхъ съ помощью передвигаемаго вдоль по линейкѣ чертежнаго треугольника35). Ботъ тотъ матеріалъ, которымъ ограничивается авторъ въ первой главѣ, подготовляя учащихся къ пользованію движеніемъ, какъ основнымъ понятіемъ дальнѣйшаго систематическаго курса. На двухъ первыхъ страницахъ, мы находимъ краткія указанія относительно цѣли геометріи, относительно такихъ понятій, какъ предложеніе, аксіома, постулатъ, теорема и ея доказательство и т. п., вмѣстѣ съ оговоркой, что въ дальнѣйшемъ не всѣ поименованныя въ курсѣ теоремы будутъ доказываться: доказываться не будутъ теоремы въ тѣхъ случаяхъ, когда доказательство очень трудно, а также тогда, когда въ справедливости разсматриваемаго положенія можно сразу убѣдиться при помощи какихъ-либо пріемовъ, обращающихся къ нашей интуиціи. Но уже въ концѣ второй страницы мы встрѣчаемъ опредѣленіе и поясненія неизмѣняемости фигуръ при перемѣщеніи и указаніе (стр. 64—65), что въ геометріи мы будемъ имѣть въ нашихъ разсужденіяхъ дѣло только съ такими фигурами, которые при движеніи остаются неизмѣняемыми. Въ слѣдующемъ затѣмъ раздѣлѣ параграфа перваго авторъ говоритъ (стр. 65). „Изученіе свойствъ фигуръ основывается

и др.). Тамъ же приведена литература предмета на русскомъ н другихъ языкахъ.

32) Кутюра. 1. с. Спб. 1913. Стр. 164—170, стр. 186—198 (ансамбль, группа).

33) L. Richard, Sur la Philosophie de la Géométrie. Шатору, 1911.

34) Carlo Bourlet. Cours abrégé de géométrie. I et II. Парижъ, 1908.

35) Мы не останавливаемся въ этомъ обзорѣ матеріала подготовительной части книги Бурле на тѣхъ страницахъ, гдѣ авторъ знакомитъ учащихся съ углами, плоскими фигурами и указаніями, необходимыми при выполненіи чертежныхъ работъ.

на сравненіи послѣднихъ. Это сравненіе обыкновенно выполняется съ помощью перемѣщеній, въ силу этого перемѣщенія играютъ преобладающую роль въ геометріи.

Мы изучимъ сначала два простѣйшихъ вида перемѣщеній; параллельныя перенесенія и вращенія. Первый параграфъ заканчивается слѣдующимъ опредѣленіемъ понятія траекторіи: когда точка движется, она описываетъ линію. Эту-то линію и называютъ траекторіей точки. Различныя положенія одной и той же точки на ея траекторіи образуютъ то, что мы будемъ называть точками.

Въ параграфѣ второмъ (Параллельное перенесеніе.—Параллельныя прямыя) прежде всего изъ примѣровъ знакомаго по подготовительной части скольженія рейшины вдоль края доски и чертежнаго треугольника вдоль линейки выводится первое основное общее понятіе прямолинейнаго перенесенія.

Пусть Р—неподвижная плоскость, D—неподвижная прямая проведенная на этой плоскости. Вообразимъ вторую плоскость р и начерченную на ней прямую d. Наложимъ плоскость р на неподвижную плоскость Р такъ, чтобы прямая d совпала съ прямой D. Мы можемъ заставить скользить подвижную плоскость р по неподвижной плоскости Р такимъ образомъ, чтобы прямая d, называемая подвижной направляющей скольженія скользила бы по прямой Z), именуемой неподвижной направляющей скольженія; такимъ путемъ мы осуществляемъ то движеніе, которое носитъ названіе прямолинейнаго перенесенія.

Два чертежа (на одномъ изъ нихъ показана въ двухъ положеніяхъ (Тх и Т2) рейшина, скользящая вдоль края доски, на другомъ—также въ двухъ различныхъ положеніяхъ (Ег и Б2) чертежный треугольникъ, скользящій вдоль линейки, поясняютъ различные термины, входящіе въ основное понятіе прямолинейнаго перенесенія, или, по просту перенесенія какъ мы далѣе будемъ его называть; начерченный на продолговатой части рейшины небольшой треугольникъ F1? и начерченный на чертежномъ треугольникѣ пятиугольникъ Fv изображены также, какъ неизмѣнно связанные по своему расположенію съ нашими движущимися чертежными приборами, также во вторыхъ положеніяхъ репшины (Т%) и чертежнаго треугольника (F2). Эти два расположенія (начерченныхъ на приборахъ) треугольника и пятиугольника поясняютъ общее соображеніе относительно перенесенія фигуры начерченной на подвижной плоскости р, когда эта послѣдняя прямолинейно переносится, скользя по неподвижной плоскости Р, и относительно взаимно-обратныхъ перенесеній фигуры. Раздѣлъ, въ которомъ высказанъ постулатъ о возможности замѣны двухъ прямолинейныхъ перенесеній равносильнымъ имъ единственнымъ третьимъ поясненъ тремя чертежами; на одномъ изъ нихъ изображенъ пятиугольникъ въ трехъ различныхъ положеніяхъ (F\, F2, F3) возникшихъ благодаря двумъ послѣдовательнымъ

прямолинейнымъ перенесеніямъ въ плоскости сначала изъ Fx въ F2, потомъ изъ F2 въ F3, (соотвѣтственные вершины паръ и F2, F2 и F3, Fy и F3 соединены пунктиромъ; на двухъ другихъ чертежахъ изображены въ трехъ расположеніяхъ рейшина и чертежный треугольникъ.

За этимъ раздѣломъ высказывается (безъ доказательства) слѣдующее положеніе, заслуживающее нашего вниманія: при каждомъ прямолинейномъ перенесеніи любая точка подвижной плоскости (или подвижной фигуры) вычерчиваетъ прямую, и эта прямая будетъ направляющей скольэ/сенгя. Такія прямыя были обозначены въ предыдущемъ раздѣлѣ пунктирными линіями, показывающими слѣдъ движенія (траекторіи) вершинъ пятиугольника.

Дополнительно это положеніе поясняется чертежемъ, на которомъ показано, какъ любая точка одного края линейки, прилегающей противоположнымъ краемъ къ другой неподвижной линейкѣ и скользящей вдоль послѣдней, описываетъ прямую линію, являющуюся одной изъ многихъ равновозможныхъ направляющихъ скольженія.

На основаніи разсмотрѣннаго нами матеріала и на непосредственно къ нему примыкающемъ опредѣленіи параллельныхъ прямыхъ (двѣ прямыя, расположенныя въ одной и той же плоскости, называются параллельными, когда одна изъ нихъ получается изъ другой посредствомъ перенесенія) авторомъ строится доказательство ряда слѣдующихъ теоремъ.

1. Двѣ параллельныя прямыя, имѣющія общую точку, совпадаютъ (доказывается съ помощью понятія о направляющей скольженія).

Въ примѣчаніи приведено соображеніе о безконечной множественности перенесеній, обусловливающихъ совпаденіе прямой съ другой прямой, ей параллельной.

2. Двѣ различныя параллельныя прямыя не совпадаютъ.

3. Двѣ прямыя, параллельныя третьей, параллельны (на основаніи предыдущей) другъ другу (доказывается на основаніи выше указаннаго постулата о замѣнѣ двухъ перенесеній равносильнымъ третьимъ).

4. Черезъ каждую точку плоскости можно провести прямую, параллельную прямой данной въ этой плоскости, и при томъ единственную (доказывается на основаніи понятія о перенесеніи и теоремы 1-й).

5. Если двѣ прямыя параллельны, то всякая прямая, пересѣкающая одну изъ нихъ, пересѣчетъ и другую (доказывается на основаніи понятія о перенесеніи, о направляющей скольженія и теоремы 1). Пропустимъ теперь 6 страницъ и перейдемъ къ § 3 (стр. 79), въ которомъ говорится о вращеніи вокругъ точки, объ измѣреніи угловъ, о симметріи относительно центра. Вотъ первыхъ два раздѣла этого параграфа (стр. 79—80; чертежи 73 и 74).

I. Вращеніе полу-прямой. Возьмемъ на плоскость полупрямую ОА и заставимъ ее вращаться около ея начала О;

пусть это точка О—неподвижна. Любая точка М этой полу-прямой очевидно опишетъ окружность радіуса ОМ, такъ какъ ея разстояніе ОМ отъ точки О остается постояннымъ.

Если мы пріостановимъ вращеніе полу-прямой ОА (когда она будетъ находиться въ нѣкоторомъ ея положеніи OB), то она опишетъ уголъ АОВ а точка М опишетъ соотвѣтственную дугу окружности.

Такъ какъ вершина О угла АОВ служитъ центромъ круга, то этотъ уголъ называется центральнымъ угломъ круга36).

II. Вращеніе вокругъ точки плоскости, скользящей по другой плоскости. Возьмемъ неподвижную плоскость Р и точку О на этой плоскости. Помѣстимъ на эту плоскость Р вторую (подвижную) плоскость р, которая могла бы скользить по первой и укрѣпимъ плоскость р въ О. Подвижная плоскость р можетъ вращаться вокругъ О, скользя по Р.

На практикѣ это мы можемъ осуществить слѣдующимъ образомъ: положимъ на чертежную доску листъ бумаги и приколемъ его въ средней точкѣ булавкой къ доскѣ; листъ бумаги и будетъ тогда той подвижной плоскостью р, которая можетъ скользить по чертежной доскѣ Р, вращаясь вокругъ булавки.

Разъ это такъ, вообразимъ, что на плоскости р начерчена фигура /*; при чемъ пусть F, будетъ первоначальнымъ положеніемъ фигуры f на плоскости Р. Если мы будемъ вращать подвижную плоскость р вокругъ неподвижной точки О, то каждая изъ точекъ фигуры опишетъ (согласно предыдущему раздѣлу) дугу круга и фигура f перейдетъ въ новое положеніе Р2. Мы говоримъ, что мы повернули фигуру Fx вокругъ точки О, или иначе, что фигура F1 совершила вращеніе вокругъ точки О, перейдя изъ положенія F{ въ положеніе F2.

III. Теорема. Кругъ при вращеніи вокругъ центра скользитъ по самому себѣ (доказывается путемъ разсмотрѣнія одной изъ дугъ вращающагося круга въ двухъ ея положеніяхъ).

IV. Теорема. Каждый діаметръ раздѣляетъ кругъ на двѣ равныя части (доказывается путемъ разсмотрѣнія полу-окружности вращающагося круга въ двухъ ея противоположныхъ положеніяхъ по отношенію къ одному и тому же діаметру).

Сдѣланныхъ выписокъ изъ книги Бурле достаточно, для того, чтобы понять тѣ соображенія, о которыхъ будетъ итти рѣчь ниже, когда мы попробуемъ отдать себѣ отчетъ въ мнѣніяхъ, высказанныхъ по поводу даннаго курса французскими преподавателями. Само собой разумѣется, однако, что приведенныя нами

36) Мелкимъ шрифтомъ въ книгѣ Бурле здѣсь напечатано далѣе указаніе на конкретный примѣръ, получающійся если отождествить лучъ О А съ стрѣлкой часовъ, движущейся по окружности циферблата.

страницы, при всей ихъ важности, какъ для характеристики самой работы Бурлè, такъ и для пониманія нашей точки зрѣнія на роль движенія, какъ нѣкотораго точечнаго преобразованія, не только не исчерпываютъ особенностей книги, во многихъ частяхъ оригинально написанной, но и не даютъ представленія о ея достоинствахъ, а потому мы считаемъ себя обязанными здѣсь же упомянуть о прекрасномъ и удачномъ включеніи въ различныя главы элементовъ начертательной геометріи, объ интересномъ выборѣ многочисленныхъ задачъ, распредѣленныхъ по обѣимъ частямъ книги, о болѣе или менѣе оригинальномъ соединеніи чертежныхъ работъ съ курсомъ геометріи, не говоря уже о тщательной и часто весьма ясной и цѣлесообразной обработкѣ прочихъ главъ (симметрія, подобіе), отвѣчающей требованіямъ такъ называемыхъ реформистовъ.

Вспомнимъ мы теперь опредѣленія нѣсколькихъ понятій, которыми намъ придется въ послѣдующемъ изложеніи пользоваться. Мы имѣемъ въ виду понятіе о преобразованіи и понятіе о группѣ преобразованій.

Подъ преобразованіемъ мы подразумѣваемъ одно-однозначное сопряженіе между нѣкоторой совокупностью (элементовъ) и той же совокупностью. Примѣромъ такого преобразованія можетъ служить преобразованіе пространства само въ себя. Интересны въ частности точечныя преобразованія, возникающія при проектированіи, инверсіи и построеніяхъ на основѣ симметріи. Дѣйствительно, если мы возьмемъ двѣ плоскости и изъ точки, находящейся внѣ ихъ, проведемъ рядъ прямыхъ, то пересѣченіе каждаго изъ лучей37) съ двумя плоскостями дастъ двѣ точки, находящіяся въ о дно-однозначномъ соотвѣтствіи, или другими словами „преобразовываетъ“ точку одной плоскости въ точку другой плоскости. При этомъ можно „преобразовать“ какъ первую плоскость сплошь во вторую плоскость, такъ и какой-бы то ни было контуръ или площадь фигуры, находящейся въ первой плоскости въ контуръ или въ площадь соотвѣтственной прямолинейной и криволинейной фигуры во второй плоскости (напримѣръ, въ общемъ случаѣ кругъ въ элипсъ38) и обратно, или одинъ кругъ въ другой кругъ, когда плоскости другъ другу параллельны. Мы не забудемъ также о красивыхъ точечныхъ преобразованіяхъ съ помощью инверсіи посредствомъ которыхъ можно преобразовать одну сферу въ другую сферу, или сферу въ плоскость и т. п., объ о дно-однозначныхъ преобразованіяхъ въ силу симметріи, четное число которыхъ позволяетъ получить тѣло или фигуру, равную данной, нечетное же—тѣло или фигуру, симметричную тѣлу или фигурѣ, послужившимъ для насъ исходнымъ образомъ.

(Окончаніе слѣдуетъ).

37) Въ томъ случаѣ, если центръ связки будетъ находиться между плоскостями одно-однозначное сопряженіе соотвѣтственныхъ точекъ на нихъ будетъ осуществляться каждый разъ двумя лучами, образующими одну прямую.

38) См. Клиффордъ 1. с. стр. 96 и слѣд.

Задачи.

Подъ редакціей Э. Ю. Лейнѣка.

195. Доказать, что сумма всѣхъ чиселъ, большихъ чѣмъ 10и-/ и изображенныхъ при помощи п цифръ ах, а2, . . . ап , равна

При этомъ ни въ одномъ числѣ цифра ak не повторяется.

{к = 1,2 . . . - и)

Найти соотвѣтствующую формулу для того случая, когда одна изъ цифръ равна 0.

Е. П.

196. Найти сумму ряда

Разсмотрѣть случай, когда N= 10” .

Н. Агрономовъ.

197. Найти четырехзначное число, зная что оно является точнымъ квадратомъ, и что цифры его распадаются на двѣ пары, состоящія изъ равныхъ цифръ.

198. Вершина А треугольника АВС соединена съ центромъ / вписаннаго въ треугольникъ круга, а изъ центра О описаннаго около треугольника круга проведенъ радіусъ 0L, перпендикулярно къ сторонѣ ВС и пересѣкающій ее въ точкѣ D. Доказать соотношеніе

DL. AI2 = 2R.r-

199. Рѣшить треугольникъ по

200. Дана пряма я MN и точка А. По прямой MN катится извѣстной величины кругъ. Привести его въ такое положеніе, чтобы произведеніе касательныхъ AB и А С (В и С на MN) имѣло данное значеніе к2.

Д. Аитовъ и И. Александровъ.

201. Данъ треугольникъ АВС. Провести въ извѣстномъ направленіи сѣкущую такъ, чтобы перепендикуляры къ сторонамъ треугольника, возставленные изъ точекъ пересѣченія съ сѣкущей, пересѣкались въ одной точкѣ.

А. Сергѣевъ.

Рѣшенія задачъ.

159. Найти число въ три раза меньшее квадрата суммы его цифръ.

Пусть Рп искомое число, имѣющее п цифръ. Полагая п = 1 имѣемъ 3Рг = Рх2, а такъ какъ можемъ принять Рх ф 0, то имѣемъ Р1 = з. Полагая п = 2 имѣемъ Р2 = 10 х -f У, гдѣ х и у положительныя цѣлыя числа, меньшія 10.

Изъ условія задачи выводимъ уравненіе:

Подкоренное количество обращается въ точный квадратъ при 0<ж<10 лишь въ двухъ случаяхъ: х=г 2, х = 4.

Соотвѣтственныя значенія у будутъ 7,8, а потому имѣемъ:

Р* = 27, Р2 = 48.

Полагая w = 3 имѣемъ Р3 = ІООж -f- Юу -)- z, гдѣ х, у, ъ положительныя цѣлыя числа, меньшія 10.

Имѣемъ: ЗР3 = (ж-)-і/-)-2)2<(9 + 9-(-9)2 т. е.

ЗР3< 729, откуда Р3<243

Но изъ всѣхъ трехзначныхъ чиселъ интервалла 100 ... . 243 наибольшую сумму цифръ имѣетъ 199, такъ что

ЗР3<(1 + 9 + 9)2

Отсюда выводимъ

Р3 < 120

Изъ всѣхъ чиселъ интервалла 100 .... 120 наибольшую сумму имѣетъ 119. Значитъ

ЗР3< (1 + 1 + 9)2 откуда

Р3^40, тогда какъ по условію Р3> 100.

Итакъ при п = 3 рѣшеній не имѣемъ.

Докажемъ, что при п J> 4 задача также не имѣетъ рѣшеній.

Дѣйствительно, полагая Р4 = 1 ОООя 100// -f-10z -f- и имѣемъ

тогда какъ Р4 > 1000.

Мы видимъ, что при п = 4 можемъ удовлетворить неравенству

10"-1 >27. и2.........................(1)

Воспользуемся методомъ полной индукціи и докажемъ что это неравенство справедливо и при п > 4.

Умножимъ обѣ части (1) на 10.

10" > 27.10.п2 или

10" > 5.27.2.п2 или, такъ какъ*)

2п- > п1 -f - 2n -f-1

то имѣемъ:

10" > 5.27 (п- —(— 2>г —1 )

Отсюда, à fortiori

10" > 27 (п- + 2п -f- 1) т. е,

10 (И і)“г > 27 (п + I)2

Такимъ образомъ при 4 всегда имѣетъ мѣсто неравенство

10"-1>27п2

а такгь какъ съ другой стороны Рп > 10"-1, то неравенство Р„ ^ 27п2, вытекающее изъ условія задачи, не имѣетъ мѣста.

Значитъ, единственными рѣшеніями задачи будутъ числа 3, 27, 48.

К. Верещагинъ (Козловъ), і/. Евдокимовъ (Шуя), В. Кованько (ст. Струнино), II. Козачкинъ (Москва), Н. Козыревъ (Енисейскъ), В. Литвинскій (Екатеринославъ), А. Сергѣевъ (Москва), В. Тейковцевъ (Владимиръ).

160. Найти числа, представляющія собой точные кубы и имѣющія видъ lap 4~ 1, гдѣ р—абсолютно простое число.

*) Ясно, что при п > 1 имѣемъ п (п— 2) > 1 или

По условію задачи имѣемъ:

X3 — ІЗр + 1 или х3 — 1 = 13р.

Но Xs — 1 = (х — 1) (X2 -f" X + 1),

Поэтому

(х—1) (х 2 + # + 1) = 13р.

Но число 13р допускаетъ лишь единственное разложеніе на простые множители, а потому либо

X— 1 = 13, либо х1 1 = 13.*)

Изъ перваго уравненія имѣемъ

X = 14

Изъ второго находимъ

хі = — 4, х2 = 3, а потому искомыми числами являются

2744 = 143 = 13.211 + 1 — 64 = (—4)3 = 13 . —5 + 1 27 = 33= 13.2 + 1

К. Верещагинъ (Козловъ), А. Дюбюкъ (Владиміръ), И. Евдокимовъ (Шуя), Н. Козыревъ (Енисейскъ), В. Лебедевъ (Омскъ), А. Сергѣевъ (Москва), А, Сердобинскій (Петроградъ), И. Тепловъ (Москва).

161. Въ углѣ С треугольника АВС провести сѣкущую ХУ (X на АС и У на ВС) такъ, чтобы:

а) СХ=ХУ=ВУ;Ъ) СХ = ХУиАХ = СУ.

а) Разсмотримъ треугольникъ АВС, пересѣченный указаннымъ образомъ прямою ХУ.

Соединивъ точки Хи В будемъ имѣть два равнобедренныхъ треугольника СХУ и ХУ В.

Отсюда выводимъ:

*) Случай х=19 р=0 не разсматриваемъ.

Отсюда слѣдуетъ построеніе:

При точкѣ В строимъ прямую, образующую съ ВС уголъ равный— С. Изъ точки пересѣченія X этой прямой со стороною АС радіусомъ ХС дѣлаемъ засѣчку на сторонѣ СВ. Полученную точку У соединяемъ еъ точкою X. Прямая ХУ, какъ легко убѣдиться, будетъ искомою.

Ь) Пусть АС^>ВС.

Продолжимъ сторону СВ за точку В до В такъ, чтобы CD = С А.

Тогда имѣемъ

Отсюда: СУ -f- УВ = СХ + ХА

Но СУ= ХА, а потому СХ = УІ) т.-е.

мы пришли къ случаю а), если заданный треугольникъ примемъ треугольникъ ACD.

Отсюда построеніе:

Продолжаемъ СВ до D такъ, чтобы CD = С А.

При точкѣ D строимъ прямую, образующую съ CD уголъ ~ С. Изъ точки пересѣченія X этой прямой со стороною АС засѣкаемъ сторону СВ радіусомъ СХ.

Прямая ХУ—искомая.

Пусть теперь АС<^ВС.

Возьмемъ на сторонѣ СВ точку D такъ, чтобы CD = С А и соединимъ ее съ А.

Тогда, какъ не трудно видѣть, CX=AD и мы приведены къ случаю а), если за данный треугольникъ примемъ треугольникъ А CD.

2-е рѣшеніе.

а) Возьмемъ на сторонѣ С А произвольную точку К, изъ точки К радіусомъ КС засѣкаемъ сторону СВ въ точкѣ L и изъ L тѣмъ же радіусомъ засѣкаемъ вторично СВ въ точкѣ М. Точки К и М соединяемъ и черезъ В проводимъ ВХ (X на прямой А С) параллельно МК. Прямая ХУ, проведенная черезъ X параллельно KL будетъ искомою. Справедливость этого построенія слѣдуетъ изъ разсмотрѣнія подобныхъ треугольниковъ:

CKL ^ С ХУ и KLM ^ ХУ В.

Изъ подобія выводимъ: СХ = ХУ=УВ.

Ь) На сторонѣ С А отложимъ произвольный отрѣзокъ СК, изъ К радіусомъ КС засѣкаемъ СВ въ точкѣ L и на С А отъ точки К отложимъ КМ = CL. Точки L и М соединяемъ и черезъ А проводимъ АУ У ML. Прямая УХ, проведенная черезъ У, параллельно LK будетъ искомою.

Въ справедливости этого заключенія убѣждаемся разсматривая подобные треугольники:

CKL СХУ и MKL ^ АХУ.

Задача а) возможна, если С < ^ или С > А Если С = то У совпадаетъ съ С, а X находится на АС (или на продолженіи АС за точкою А, если АС<^СВ) и отстоитъ отъ вершины С на разстояніи СВ.

Въ случаѣ АС=СВ точка X совпадаетъ съ А.

Задача Ь) возможна, если С<і~ или Если С=^г, то У совпадаетъ съ С, а X съ А.

Въ случаѣ — точка X будетъ находиться на продолженіи АС за точкою С, а У на СВ (для задачи а) или А" на АС, а У на продолженіи СВ за точкою С (для задачи Ь).

Построеніе точекъ Хи У въ этихъ случаяхъ аналогично вышеприведенному.

К. Верещагинъ (Козловъ), Е. Верещагина-Мальта (Козловъ),// Козыревъ (Енисейскъ), В. Лебедевъ (Омскъ), А. Сергѣевъ (Москва), А. Сердобинскій (Петроградъ), И. Тепловъ (Москва), В. Тейковцевъ (Владимиръ).

164. Данный треугольникъ расположить вершинами на ребрахъ даннаго трехграннаго прямого угла.

Опишемъ на сторонахъ даннаго треугольника, какъ на діаметрахъ три сферы и обозначимъ одну изъ двухъ точекъ пересѣченія сферъ буквою М. Соединивъ М съ вершинами АВС получимъ прямой трехгранный уголъ МАВС (его плоскіе углы прямые, какъ опирающіеся на діаметры AB. ВС, С А. Пирамиду МАВС мы можемъ помѣстить въ данномъ прямомъ трехгранномъ углѣ такъ, чтобы М попало въ его вершину S, а ребра МА, МВ, MC пошли по ребрамъ трехграннаго угла. Такимъ образомъ треугольникъ АВС помѣстится вершинами на ребрахъ даннаго прямого трехграннаго угла.—Положеніе точекъ АВС на ребрахъ трехграннаго угла можно найти еще слѣдующимъ образомъ: спроектировавъ S на плоскость АВС мы получимъ точку S', которая, какъ легко убѣдиться естъ ничто иное, какъ ортоцентръ треугольника АВС. Отрѣзки SA, SB, SC могутъ быть построены, какъ гипотенузы прямоугольныхъ треугольниковъ» у которыхъ извѣстны катеты S'A, S'B, S'С. Что касается катета SS', то его можно построить воспользовавшись однимъ изъ треугольниковъ SS'ASS'В', SS'С' (А', В', С' — центры нашихъ сферъ). Это все прямоугольные треугольники съ извѣстными гипотенузами — радіусами сферъ и извѣстными катетами S'A', S'B', S'(>. Построивъ такимъ образовъ точки А, В, С мы проведемъ черезъ эти точки плоскость, которая въ сѣченіи съ трехграннымъ угломъ дастъ искомый треугольникъ АВС. Чтобы задача была вполнѣ опредѣлена надо еще указать на какомъ ребрѣ должна лежать каждая изъ вершинъ.

2-е рѣшеніе.

Обозначивъ отрѣзки SA, SB, SC черезъ х, у, z будемъ имѣть:

Отсюда выводимъ

Построивъ величины у, z будемъ знать положеніе тачекъ А, /7, (7.

3-е рѣшеніе.

Развернемъ пирамиду 8AB С на плоскость SBC, вращая грани АВ8 и соотвѣтственно около реберъ ВС, SB, SC.

Опредѣлимъ положеніе точки 8, какъ пересѣченіе перпендикуляра изъ А на, ВС съ полуокруженностью описанной на ВС, какъ на діаметрѣ. Засѣкаемъ изъ В радіусомъ В А прямую С8 въ Ап. (Отрѣзки 8Аг или SAn, SB и SC опредѣлятъ положеніе вершинъ на ребрахъ трехграннаго угла.

4- е рѣшеніе.

Развернемъ пирамиду SABC на плоскость АВС. Изъ чертежа легко усмотрѣть, что

Отсюда ВС2-ЛС2= BS'*—AS"2= BS'"2—AS'"'2. Значитъ S'" и С находятся на одномъ перпендикулярѣ къ AB. Подобнымъ же образомъ найдемъ, что S" и В находятся на одномъ перпендикулярѣ къ AC, а S' и А къ ВС. Отсюда такое построеніе. На сторонахъ АВС описываемъ какъ на діаметрахъ полуокружности, не пересѣкающія А АВС\ изъ вершинъ опускаемъ перпендикуляры на противоположныя стороны; пересѣченіе ихъ съ полуокружностями—8, S" S'" опредѣляетъ искомые отрѣзки

К. Верещагинъ (Козловъ), И. Евдокимовъ, (Шуя), В. Кованько (Вышній-Волочекъ), Н. Козыревъ (Енисейскъ), А. Сергѣевъ (Москва), А. Сердобинскій (Петроградъ), И. Тепловъ, (Москва).

165. Доказать обобщенную теорему Симсона: основанія наклонныхъ, проведенныхъ изъ какой либо точки окружности подъ равными и одинаково направленными углами къ сторонамъ вписаннаго треугольника, лежатъ на одной прямой.

Пусть АСВ данный треугольникъ, М точка на окружности описанной около него и МА', MB', MC' три прямыя, проведенныя къ сторонамъ треугольника подъ однимъ и тѣмъ же угломъ а. Соединимъ М съ точками В и С и разсмотримъ четыреугольникъ ВМА'С'. Легко видѣть, что около этого четыреугольника можно описать окружность, ибо <£ ВС'М = ВА'М = а.

Подобнымъ же образомъ убѣждаемся, что и около четыреугольника МВСА' можно описать окружность, ибо

Тогда имѣемъ:

^.ВМС ==^zBA'Cf (опираются на ВС') .

СМВ' = <^С С А'В' (опираются на СВ')

Далѣе, треугольники ВМС и В'СМ имѣютъ по два равныхъ угла:

ВС'М=<$: СВ'М = а

и <f№BC' = <)zMCß' (на основаніи извѣстнаго свойства вписаннаго четыреугольника). Въ такомъ случаѣ и

<£ ВМС =<£СМВ'..........(2)

Сравнивая (1) и (2) выводимъ:

^ВА'С' = ^:В'А'С т. е.

C'A' и А'В' являются продолженіемъ другъ друга.

2-е рѣшеніе.

Проводимъ изъ точки М описаннаго круга прямыя МА', MB', MC' подъ однимъ и тѣмъ же угломъ а и въ одномъ направленіи къ сторонамъ треугольника ВС, СЛ, AB. Соединяемъ точку М съ вершинами треугольника АВС. Тогда у насъ получаются три пары подобныхъ треугольниковъ

Изъ подобія слѣдуетъ рядъ пропорцій

Перемноживъ почленно эти пропорціи получимъ:

Поэтому, на основаніи извѣстнаго свойства сѣкущей (см. напр. А. Давидовъ, Геометрія, 1900. § 74) заключаемъ, что А', В', 6" лежатъ на одной прямой.

К. Верещагинъ (Козловъ), В. Кованько (Вышній Волочекъ^, Н. Козыревъ (Енисейскъ), А. Сердобинскій (Петроградъ), И. Тепловъ (Москва).

Засѣданія Московскаго Математическаго Кружка.

Въ засѣданіи 27 ноября 1914 г. было доложено извѣщеніе отъ Математическаго Кружка въ Палермо о смерти учредителя и редактора „Извѣстій“ этого Кружка проф. Гуччіа. Постановлено послать письмо съ выраженіемъ соболѣзнованія.

С. П. Виноградовъ сдѣлалъ докладъ „Объ одной системѣ линейныхъ уравненій“. Докладъ помѣщенъ въ настоящемъ № 2 „Математическаго Образованія“.

I. И. Чистяковъ сдѣлалъ сообщеніе „Объ одной группѣ признаковъ дѣлимости“ (помѣщено въ „Матем. Образованіи“ № 8, 1914 г. и № 1, 1915 г.).

Б. К. Млодзѣевскій изложилъ свое доказательство теоремы: „Периметръ вписаннаго въ кругъ правильнаго многоугольника увеличивается, если число сторонъ увеличивается на единицу“.

Новыя книги.

С. И. Шохоръ-Троцкій. Методика ариѳметики для учителей начальныхъ школъ въ двухъ частяхъ. Изд. 8-е Ч. I. М. 1915. Ц. 1 р. 10 к.

Его-же. Новый ариѳметическій задачникъ для учителей начальныхъ школъ. М. 1915. Ц. 1 р. 50 к.

С. Будаевскій. Ариѳметика. Теоретическій курсъ и приложенія. 5-ое изд. Петроградъ 1914. Ц. 1 р.

Его-же. Прямолинейная тригонометрія. 3-е изд. Петроградъ 1914. Ц. 1 р.

В. В. Добровольскій. Техническая механика въ элементарномъ изложеніи. Руководство для учащихся и для самообразованія. Петроградъ Ч. I. 1912. Ц. 2 р. Ч II. 1913. Ц. 3 р.

Отвѣтственный редакторъ I. И. Чистяковъ.