№ 25.

Математическое Образованіе.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

Годъ четвертый.

№ 1.

Январь 1915 г.

МОСКВА.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

„Математическое Образованіе“

Январь 1915 г. Годъ 4-й. № 1.

СОДЕРЖАНІЕ: По поводу одного неравенства. Б. К. Млодзѣевскій. — Объ отношеніи А. К. Власовъ.—О нѣкоторыхъ признакахъ дѣлимости. I. И. Чистяковъ Классификація ариѳметическихъ задачъ. И. Александровъ. - Объ одномъ счетномъ приборѣ, построеніе котораго можетъ быть полезнымъ упражненіемъ для учащихся. С. Острейко.—Идея движенія въ современной геометріи и область ея примѣнимости въ курсѣ средней школы. А. Р. Кулишеръ.—Задачи. Рѣшенія задачъ.—Библіографическій отдѣлъ. Новыя книги.

По поводу одного неравенства.

Б. К. Млодзѣевскій. Москва.

Во многихъ вопросахъ элементарной и высшей математики имѣетъ значеніе свойство отношенія-----, состоящее въ томъ, что это отношеніе при возрастаніи х отъ 0 до — постоянно убываетъ. Хотя это свойство непосредственно вытекаетъ изъ замѣчанія, что производная разсматриваемаго отношенія, равная ------2-----» или ------~^2——— при 0 < X < — всегда отрицательна, тѣмъ не менѣе мнѣ казалось интереснымъ получить это важное предложеніе элементарнымъ путемъ. Несмотря на то, что А. К. Власовъ далъ еще болѣе простой геометрическій выводъ того же соотношенія, я все же думаю, что и предлагаемый мною аналитическій выводъ, хотя и болѣе сложный, заслуживаетъ вниманія, въ особенности потому, что пріемъ, мною здѣсь примѣняемый, можетъ оказаться полезнымъ и въ другихъ аналогичныхъ случаяхъ.

Пусть будутъ я, Ъ двѣ положительныхъ дуги, меньшихъ^-, при чемъ а > Ъ. Докажемъ справедливость неравенства

Изъ извѣстнаго неравенства

имѣемъ

или

Съ другой стороны

или

Такъ какъ —^—;>о, то cös —^о; кромѣ того, первый множитель правой части, по предыдущему, меньше единицы. По этому правая часть меньше, чѣмъ 1. cos Ь, и мы имѣемъ

Такимъ образомъ

Извѣстно, что если мы имѣемъ два не равныхъ отношенія

гдѣ /?, ß' положительны, то отношеніе

больше перваго и меньше второго отношенія. Примѣняя это къ нашему случаю, будемъ имѣть

или

что и требовалось доказать.

Объ отношеніи sinx/x

А. К. Власовъ. Москва.

Измѣненіе отношенія ——— при увеличеніи х отъ О до j можно свести къ измѣненію отношенія хорды постоянной длины къ перемѣнной стягиваемой дугѣ. Дѣйствительно, пусть черезъ концы какого-либо отрѣзка NM проведена дуга NAM круга съ центромъ въ точкѣ О (черт.). Если дуговая мѣра половины центральнаго угла ѵОМ этой дуги равна х, то будемъ имѣть

Слѣдовательно,

Оставляя хорду NM неизмѣнной и перемѣщая лишь центръ О въ ту или другую сторону по перпендикуляру иѵ, возстановленному изъ середины отрѣзка NM, мы тѣмъ самымъ будемъ измѣнять уголъ X и дугу NAM. Если точка О при томъ расположеніи, какъ представлено на чертежѣ, опишетъ прямую иѵ слѣва направо, то уголъ х будетъ постоянно увеличиваться, оставаясь всегда заключеннымъ между предѣльными значеніями 0 и л. Въ это время дуга NAM, при достаточно удаленномъ влѣво положеніи центра О сколь угодно мало отличающаяся отъ хорды NM, также постоянно увеличивается и увеличивается безгранично, ибо, во-первыхъ, для всякаго положенія предыдущая дуга {NAM) является выпуклой объемлемой по отношенію ко всѣмъ послѣдующимъ {NAXM, NA2M,...) и, во-вторыхъ, радіусъ дуги вмѣстѣ съ увеличеніемъ центральнаго угла 2х отъ л (когда О совпадаетъ съ L) до 2л безгранично увеличивается. Такимъ образомъ имѣемъ

Слѣдовательно, отношеніе———, равное отношеніе NM : NAM съ постояннымъ предыдущимъ и безгранично увеличивающимся

послѣдующимъ, при измѣненіи х отъ 0 до л, постоянно убываетъ, измѣняясь отъ 1 до 0:

О нѣкоторыхъ признакахъ дѣлимости.

І. И. Чистяковъ. Москва.

(Продолженіе).

6. До сихъ поръ мы выводили признаки дѣлимости исходя изъ разсмотрѣнія даннаго числа N съ помощью разбіенія его различными способами на десятичные разряды. Перейдемъ теперь къ болѣе общему способу полученія признаковъ дѣлимости, состоящему въ томъ, что число N замѣняютъ рядомъ другихъ, постепенно уменьшающихся чиселъ, легко получаемыхъ изъ даннаго и обладающихъ по отношенію къ дѣлимости на р такими-же свойствами, какъ и число N. Виды примѣненія этого способа довольно разнообразны; начнемъ съ простѣйшаго случая, причемъ р будемъ считать числомъ, взаимно простымъ съ 10*).

Пусть опять

AT=« + 101b+102c+103d+......... (1).

подберемъ для числа 10 такого множителя х, чтобы

10æ=1 +• крат. р. (2).

Очевидно, что подобный множитель всегда можетъ быть найденъ, такъ какъ задача розысканія его равносильна рѣшенію въ цѣлыхъ числахъ неопредѣленнаго уравненія

ІОх—ру = 1,

которое при взаимно простыхъ 10 и р всегда возможно. Пусть наименьшее положительное число, которое удовлетворяетъ ур. (2) есть X = т, т. е. 10т = 1 -f- кр. р, тогда

Юпт = а -f- кр. р.

*) Излагаемый способъ для вывода признаковъ дѣлимости иногда приписывается Loir’y, который дѣйствительно формулировалъ частный его видъ въ Comptes rendus de l’Acad. de Sciences de Paris, 9 avr. 1888. Несомнѣнно, однако, что тотъ-же способъ для частныхъ случаевъ былъ извѣстенъ ранѣе. Между прочимъ, онъ съ полной общностью былъ изложенъ профессоромъ Н. В. Бугаевымъ въ „Математическомъ Сборникѣ*, т. VIII, 1877 г.

Замѣнимъ въ выраженіи N число а чрезъ 10am, тогда получимъ новое число Nl9 которое одновременно съ N дѣлится или не дѣлится на р:

Такъ какъ р — число взаимно простое съ 10, то если выраженіе въ скобкахъ дѣлится на р, то и Nv а слѣдовательно и N раздѣлится на р. Представляя Nx въ видѣ

2^ = Ю[ат +(6+ 101c+i02d + •••)],

заключаемъ, что для сужденія о дѣлимости числа ІѴ на р, нужно въ немъ отдѣлить цифру единицъ, умножить ее на т и произведеніе приложить къ остальному числу; если сумма раздѣлится на р, то и N раздѣлится. Если полученная сумма довольно велика, то это дѣйствіе можно повторить еще одинъ или нѣсколько разъ, пока не придемъ къ достаточно малому числу, дѣлимость или недѣлимость котораго на р очевидна. Замѣтимъ, что остатокъ отъ дѣленія Nx на р вообще не будетъ равенъ остатку отъ дѣленія N на р. Число ш, которое какъ мы видѣли, оказывается вполнѣ опредѣленнымъ, мы будемъ называть характеристическимъ числомъ для р.

Разсмотримъ примѣры. Пусть р — 19, тогда изъ ур. Юх = = 1 + кр. 19, легко усматриваемъ, что характеристическимъ числомъ для 19 является 2. Поэтому, чтобы узнать, дѣлится-ли число на 19, нужно цифру единицъ его удвоить и прибавить къ остальному числу, съ полученнымъ результатомъ поступить снова такъ-же и т. д., если придемъ къ числу, дѣлящемуся на 19, то и данное число раздѣлится на 19. Примѣняя, напр. этотъ способъ къ числу 185231, послѣдовательно получимъ:

18523 + 2 = 18525; 1852+ 10= 1862; 186 + 4 = 190,

слѣдовательно, данное число дѣлится на 19.

Аналогично находимъ, что для 13 характеристическимъ числомъ будетъ 4, ибо 10.4 = 1+ крат. 13. Слѣдовательно, чтобы судить о дѣлимости числа на 13, надо учетверить послѣднюю цифру и прибавить къ предшествующему числу и т. д. Напр., поступая такъ съ числомъ 448721, послѣдовательно найдемъ

448721 — 44876 — 4511 — 455 — 65,

т. е. число дѣлится на 13.

Для 7, такъ-же, какъ и для 49, характеристическое число есть 5, ибо 10.5 = 49 -f-1, для 29—число 3 и т. д. Наиболѣе просто этотъ признакъ выражается, очевидно, для числа 9, такъ какъ здѣсь характеристическое число есть 1, ибо 10.1 = 9 —|— 1. Слѣдовательно, чтобы судить о дѣлимости числа на 9, нужно послѣднюю цифру прибавить къ предшествующему числу, съ результатомъ поступить такъ-же и т. д. Очевидно, это равносильно обычному признаку дѣлимости на 9.

7. При нахожденіи числа га, удовлетворяющаго основному ур. Ю#=1-|-кр. р, можетъ оказаться, что абсолютная величина наименьшаго положительнаго его корня болѣе, чѣмъ наименьшаго отрицательнаго; тогда за характеристическое число для даннаго дѣлителя удобнѣе принять именно этотъ послѣдній корень уравненія. Такъ, напр. для р = 1 можно взять х = о и х = — 2, но послѣднее число менѣе по абсолютной величинѣ и его удобнѣе принять за характеристическое. Соотвѣтствующій признакъ дѣлимости на 7 выразится при этомъ такъ: нужно удвоить послѣднюю цифру числа и вычесть ее изъ предшествующей, если полученная разность раздѣлится на 7, то и все число раздѣлится. Названное дѣйствіе можно повторить нѣсколько разъ, пока не получится достаточно малое число. Напр. испытывая дѣлимость на 7 числа 192843, послѣдовательно получимъ:

192843 — 19278 — 1911 — 189 — 0,

т. е. число раздѣлится на 7.

Аналогично можно убѣдиться, что для 31 характеристическое число есть—3, для 41 число—4, для 17 найдемъ—5 и пр. Проще всего выражается этимъ способомъ характеристическое число для 11, именно оно равно—1, такъ какъ 10. — 1 = 1 —кр. 11. Отсюда, для опредѣленія дѣлимости числа на 11, нужно послѣднюю цифру его вычесть изъ предыдущаго числа, съ остаткомъ поступить такъ-же и т. д., пока не дойдемъ до числа, явно дѣлящагося или не дѣлящагося на 11. Напр., примѣняя этотъ признакъ къ числу 67749, получимъ:

67749 — 6765 — 671 — 66,

т. е. оно дѣлится на 11.

8. Замѣтимъ, что для полученія характеристическихъ чиселъ для различныхъ дѣлителей нѣтъ надобности всякій разъ рѣшать неопредѣленное ур. ІОх = 1 кр. р, а можно пользоваться готовыми формулами, которыя легко могутъ быть получены.

Въ самомъ дѣлѣ, такъ какъ мы разсматриваемъ дѣлители р взаимно простые съ 10, то они могутъ быть только слѣдующихъ четырехъ видовъ:

1 On —j- 9, 10 n —7, 1 On —J— 3 и 1 On —j— 1.

Рѣшимъ основное yp. 10# = 1 ~|- кр. p во всѣхъ этихъ случаяхъ.

а) Полагая р = 10п -f- 9, мы получаемъ ур-іе \0х = 1 —[- (10п —|— 9)t, гдѣ і любое цѣлое число. Отсюда

Наименьшее значеніе £, удовлетворяющее этому ур-ію есть 1, и тогда х=~п-\-1. Итакъ, для дѣлителей вида р = 10n-j- 9 характеристическія числа имѣютъ видъ т=п-1— 1. Поэтому для чиселъ 9, 19, 29, 39, 49.... характеристическими числами будутъ 1, 2, 3, 4, 5.

Ь) Полагая = 10п-{-7, аналогично найдемъ:

Здѣсь наименьшее значеніе £, удовлетворяющее уравненію, есть t — — 3 и, слѣдовательно, х = — (3n -f- 2). Поэтому для чиселъ:

7, 17, 27, 37, 47. характеристическими будутъ — 2, — 5, — 8, — 11,-14....

с) При р=10п-|-3 получимъ:

Наименьшее значеніе для числа t здѣсь £ = 3, и тогда х = Зп-\-\. Такимъ образомъ, для чиселъ 3, 13, 23, 33, 43...... характеристическими числами будутъ 1, 4, 7, 10, 13.............

d) При р= lOw-j-1, имѣемъ:

слѣдовательно, надо положить t = — 1, и тогда х = — п. Поэтому для чиселъ 11, 21, 31, 41, 51.... получимъ характеристическія числа: — 1, — 2, — 3, — 4, — 5.

Полученные результаты можно представить въ видѣ слѣдую щей таблицы:

Дѣлители:

характер. числа:

Изъ этой таблицы усматриваемъ, что для дѣлителей вида lOn-f-9 и 10w-)-3 слѣдуетъ пользоваться прикладываніемъ послѣдней цифры, умноженной на характеристическое число, а для дѣлителей вида 10/г —]— 7 и 10п -4- 5 — способомъ вычитанія.

9. Пользуясь характеристическими числами, можно вывести и другого рода признаки дѣлимости на данное число р. Разсмотримъ два случая.

а) Пусть ур-ію \0х = 1 + кр. р удовлетворяетъ положительное характеристическое число т и пусть опять

N= а -f- 10lb + 102c-f- ІОЫ -f- • • •

или ^=«4-10(5 4-10^ f-102d4-.........)

или, короче, N=a-\- 10В.

Раздѣлимъ В на т, пусть въ частномъ получится q и въ остаткѣ г; т. е.

В = mq 4 г,

тогда N= а 4-10{mq 4- г);

прибавляя и отнимая въ правой части q, получимъ:

N = а 4 10 (mq 4'г) ~\~ Я — 9

или N=q-\- (lOr 4а) -\-q(10m — 1).

Такъ какъ 10/?г — 1 есть число кратное р, то послѣднее слагаемое дѣлится на р и остатокъ отъ дѣленія N на р будетъ одинаковъ съ остаткомъ отъ дѣленія числа Nx =q-\-(10r а). Этотъ результатъ можно формулировать слѣдующимъ образомъ: въ испытуемомъ числѣ нужно отдѣлить послѣднюю цифру справа, а число представляемое предшествующими ей цифрами, раздѣлить на характеристическое число т\ если сумма полученнаго частнаго и числа, получающагося отъ приписыванія къ остатку отъ этого дѣленія послѣдней цифры числа N дѣлится на р, то и Лт раздѣлится на р.

Напр., зная, что для 19 характ. число есть 2 и примѣняя изложенный пріемъ къ числу 185231, получимъ:

т. е. число дѣлится на 19. Подобнымъ-же образомъ зная, что для р = 13 хар. число ш = 4, и испытывая дѣлимость числа 448721 на 13, получимъ:

слѣдовательно, число дѣлится на 13.

Найдемъ еще по этому способу остатокъ отъ дѣленія 2000000 на 49. Такъ какъ здѣсь т = 5, то получимъ:

2000000 — 40000 — 800 — 16, т. е. остатокъ равенъ 16.

Ь) Пусть ур-ію \0х = 1 -)- кр. р, удовлетворяетъ отрицательное характеристическое число х = — ш и слѣдовательно, 10m-f-1 = = кр. р\ дѣля опять В на т и поступая вообще совершенно также, какъ въ предыдущемъ случаѣ, будемъ имѣть:

N= а + 10(mq -f- г) = а -f-10(mq -j- г) -f- q — q или N= (lOr 4- a) — q q(10m + 1).

Такъ какъ (10m -f-1) дѣлится на p, то остатокъ отъ дѣленія N на р будетъ одинаковъ съ остаткомъ отъ дѣленія числа Л^=(10r-\-a)—q или Nx— — [q — (lOr-(- «)]• Слѣдовательно, въ этомъ случаѣ, нужно, отдѣливъ въ N послѣднюю цифру, раздѣлить полученное число на m и изъ частнаго вычесть число, которое получается чрезъ приписываніе къ остатку отъ упомянутаго дѣленія послѣдней цифры даннаго числа; если разность раздѣлится на р, то и все число раздѣлится. Испытывая напр. дѣлимость числа 84523341 на 7, гдѣ т — — 2, получимъ:

т. е. число раздѣлится на 7.

Подобнымъ-же образомъ, зная, что для р = 17 число т = — 5 и испытывая число 32538, получимъ:

650 — 38 = 612; 12 — 12 = О,

слѣдовательно, это число раздѣлится на 17.

Замѣтимъ, что при опредѣленіи остатка по этому способу, если дѣйствіе производится нечетное число разъ, то слѣдуетъ у послѣдняго результата измѣнить знакъ. Напр., опредѣляя остатокъ отъ дѣленія 865431 на 17 по этому способу, найдемъ:

слѣдовательно остатокъ равенъ -4-12. Находя-же остатокъ отъ дѣленія 50000000 на 17, будемъ имѣть:

10000000

200000

400

8

т. е. въ данномъ случаѣ будетъ положительный остатокъ -\-8.

(Окончаніе въ слѣд. №).

Классификація ариѳметическихъ задачъ.

И. Александровъ, Москва.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.

Прежде чѣмъ предлагать свою собственную манеру классифицировать ариѳметическія задачи, конечно, сначала лучше показать, что общепринятая классификація, по которой расположены наши задачники, совершенно неудовлетворительна. Такъ это и будетъ сдѣлано.

Въ дальнѣйшемъ рѣчь пойдетъ только о задачахъ на всѣ ариѳметическія дѣйствія съ цѣлыми и дробными числами, и главнымъ образомъ, о такихъ же задачахъ съ условіями. При этомъ мы будемъ говорить только о задачахъ, представляющихъ одно органическое цѣлое, оставивъ безъ вниманія тѣ кашеобразныя задачи, которыя справедливо осуждаются многими и которыя, къ сожалѣнію, не выходятъ изъ употребленія въ школахъ и до сего времени.

Задачи въ нашихъ ариѳметическихъ задачникахъ и учебникахъ. независимо отъ размѣра чиселъ и отъ числа дѣйствій съ

ними, до сихъ поръ распредѣляются по матеріальнымъ признакамъ тѣхъ предметовъ и дѣйствій, о которыхъ говоритъ задача1). Такимъ образомъ получаются рубрики: процентовъ, смѣшенія, вычисленія пробы, товарищества, курьеровъ и т. п.2).

Двадцать пять лѣтъ я уже указываю, что такая классификація задачъ совершенно нелѣпа3). Если собрать вмѣстѣ эти указанія и сдѣлать ихъ болѣе подробными, то получатся слѣдующіе сильные доводы противъ этой классификаціи.

А. Если какое-пибудь лице не знаетъ главныхъ способовъ рѣшенія задачъ (ниже мы увидимъ, что ихъ вовсе не много), то оно естественно и часто бываетъ безсильно въ рѣшеніи задачи.

Если же это лице знаетъ методы рѣшеній, то, при прочихъ равныхъ обстоятельствахъ, оно имѣетъ то значительное преимущество, что можетъ послѣдовательно примѣнить къ рѣшенію всѣ извѣстные ему методы, и тогда рѣшеніе обнаружится.

Въ справедливости этой мысли каждый можетъ убѣдиться самъ на себѣ. Передѣлавъ и составивъ множество ариѳметическихъ задачъ самого разнообразнаго содержанія, я уже давно убѣдился, что ариѳметическіе методы дѣлаются до нѣкоторой степени безсильными, именно, тамъ, гдѣ это и слѣдовало ожидать, т.-е., въ задачахъ первой степени, которыя представляютъ частный случай задачъ второй степени4). Необходимо однако замѣтить, что множество такихъ задачъ свободно рѣшаются чисто

1) Ариѳметической задачей называется вопросъ, взятый изъ какой угодно области и разрѣшимый счетомъ и четырьмя основными дѣйствіями ариѳметики.

2) Въ нѣкоторыхъ новѣйшихъ сочиненіяхъ, наприм., въ весьма обстоятельномъ сочиненіи Д. Волковскаго, „Руководство къ дѣтскому міру въ числахъ, Москва, 1911 г.“,мы встрѣчаемъ группировку задачъ по тѣмъ уравненіямъ, къ которымъ приводитъ задача. Такъ возникаютъ задачи типа ах-\-Ъ=с, ах—Ъ=с и т. п. Эта идея не можетъ быть признана удачной, потому что, при крайнемъ разнообразіи ариѳметическихъ задачъ, ею нельзя исчерпать всѣ типы задачъ (въ особенности задачъ со многими неизвѣстными). Съ другой стороны, ставить ариѳметическіе пріемы рѣшеній въ полную зависимость отъ алгебры невозможно, потому что, какъ и въ геометріи, существуютъ задачи, которыя легко рѣшаются ариѳметикой, но съ трудомъ или совсѣмъ не поддаются алгебрѣ (№ 102 „Методы рѣшеній ариѳм. задачъ“, И. Александровъ, 7-е изданіе). Между прочимъ этого рода систему классификаціи задачъ я давно уже старался упростить, но неудачно (см. примѣчаніе тамъ же).

3) Предисловіе къ „Методамъ рѣшеній ариѳметическихъ задачъ“, И. Александрова, изд. I—VII, 1887—1914 г. Идею классификаціи задачъ по методамъ рѣшенія я взялъ изъ геометріи. Нѣсколько позднѣе я нашелъ ту же идею въ „Методахъ рѣшеній ариѳметическихъ задачъ“, Киричинскаго. У меня сохранилось впечатлѣніе, что авторъ недостаточно развилъ свои мысли, самая же его работа стала теперь библіографическою рѣдкостью. Отдѣльныя замѣтки г. Киричинскаго на ту же тему, оказывается, были помѣщены въ журналѣ „Гимназія“, Рига, 80-е годы. Краткія указанія на распредѣленіе задачъ по методамъ рѣшенія были также въ ариѳметич. задачникѣ Стеблова.

4) Вотъ типъ подобнаго рода задачъ съ однимъ неизвѣстнымъ: „Если длину квадратнаго листа увеличить на 1 верш., а ширину уменьшить на столько же, то получится такая же площадь, какую получимъ, увеличивая длину того же квадратнаго листа на 5 верш. и уменьшая ширину на 3 верш. Какова сторона квадратнаго листа?“

Ариѳметическими пріемами эта задача рѣшается съ большимъ трудомъ.

ариѳметическими пріемами, и что даже встрѣчаются квадратныя задачи, которыя вполнѣ доступны ариѳметикѣ5).

В. Существуетъ множество задачъ, которыя рѣшаются совершенно одинаково, хотя ихъ матеріальная оболочка совершенно различна. Для простѣйшихъ задачъ это совершенно очевидно. Вотъ нѣсколько болѣе сложныхъ примѣровъ. Беремъ три задачи, повидимому, изъ различныхъ областей (рубрикъ).

I. Въ саду были фазаны и кролики, которые всѣ вмѣстѣ имѣли 40 головъ и 100 ногъ. Сколько было тѣхъ и другихъ?

Такъ какъ фазановъ и кроликовъ безъ всякаго ущерба можно замѣнить фунтами чаю (или чего угодно) извѣстной цѣны, или фунтами извѣстной пробы, или ведрами кислоты извѣстной крѣпости, лишь бы была извѣстна окончательная средняя проба или крѣпость, и такъ какъ послѣ этого для средней пробы (или крѣпости) возможны дробныя числа, то мы выберемъ слѣдующій путь рѣшенія.

Въ среднемъ каждая голова окончательно имѣетъ 2*/2 ноги. Каждый фазанъ даетъ Ѵ2 ноги недостатка, а кроликъ—1Ѵ2 ноги лишнихъ. Поэтому фазановъ должно быть въ 11/2:1/2 = 3 раза болѣе кроликовъ и т. д.

II. У купца было 40 пуд. товара; одну часть онъ продавалъ съ уступкою въ ЗЗѴ^/о, а ДРУГУЮ съ прибылью въ 331/3°/0, въ общемъ же онъ получилъ 162/3°/0 убытка. Сколько было пудовъ въ каждой части?

Въ первомъ случаѣ съ каждой сотни купецъ имѣлъ 162/3 руб. недостатка до желаемаго результата; во второмъ случаѣ съ каждой сотни онъ имѣлъ лишку 50 руб. Изъ этого слѣдуетъ, что первая партія товара была въ 50:162/З = 3 раза болѣе второй.

III. Учтены математически два векселя, оба вмѣстѣ на сумму 3650 руб.; 1-ый вексель учтенъ по 9°/0 за 8 мѣс. до срока, 2-ой—по 6°/0 за 6 мѣс. до срока. Найти обѣ вексельныя суммы, если сумма учетовъ равна 150 руб.

Рѣш. Съ каждаго рубля первой валюты сбрасывается — руб; с каждаго рубля второй валюты скидывается - руб., въ среднемъ же съ рубля сбрасывается ^ руб. Одинъ рубль первой валюты сверхъ желаемаго даетъ —— — = 53^73 руб. избытка; одинъ рубль второй валюты даетъ ———-= -- - - — * Чтобъ уравнять излишекъ и недостатокъ, надо на каждые —— руб. первой валюты брать —руб. второй валюты, и потому вторая валюта

5) См. пунктъ D этой запискѣ, а также стр. 36 „Мет. ариѳ. задачъ“.

болѣе первой въ (2.103) : (3.53) раза. Получимъ 1590 и 2060 руб. для обѣихъ валютъ; учеты же равны 90 и 60 руб.

Разсматривая рѣшенія задачъ I—III, убѣждаемся, что они тождественны. И это очень понятно, потому что математическая зависимость данныхъ и искомыхъ во всѣхъ этихъ задачахъ одна и та же6), только наружная матеріальная форма въ нихъ различная. Вотъ еще довольно сильный примѣръ изъ области метода подобія и нахожденія частей. Разсмотримъ двѣ задачи:

ІУ. Первый курьеръ проѣзжаетъ отъ А къ В въ 12 дней, второй отъ В къ А — въ 24 дня. Если они выѣдутъ одновременно, то черезъ сколько дней они встрѣтятся7).

Первый проѣзжаетъ въ день 1/12 разстоянія AB, второй — 1/24 разстоянія AB, а потому они встрѣтятся черезъ 1 : дней. Можно сдѣлать иначе.

Пусть курьеры встрѣтятся черезъ 6 дней. Тогда они пройдутъ — + -— = — всего разстоянія, а, слѣдовательно, искомое больше шести въ 1г/4 раза.

Ѵ. Учтены два векселя съ равными валютами, первый—по 6°/0 за 6 лѣтъ до срока, второй—но 8% за 4 года до срока. Во сколько разъ каждая валюта больше суммы обоихъ учетовъ?

Если учетъ коммерческій, то первый учетъ составляетъ —- первой валюты, второй----ея же, и искомое равно 1:1-h — ).

Можно сдѣлать иначе.

Пусть валюта вдвое болѣе суммы учетовъ. Тогда цѣлая валюта должна равняться (-----------) . 2 =— самой себя, и потому искомое число меньше двухъ въ — раза, т.-е. равно ——.

6) Въ самомъ дѣлѣ, съ точки зрѣнія ариѳметики всѣ три задачи можно выразить такъ „Число а берется нѣсколько разъ, число Ъ берется иное число разъ, среднее же ариѳметическое всѣхъ чиселъ равно с. Сколько разъ брали число а и сколько разъ брали число Ь, если сверхъ того дана сумма неизвѣстныхъ чиселъ“?

Съ точки зрѣнія алгебры всѣ три задачи приводятъ къ уравненіямъ вида ах + Ъу=с и X -f- у =з(1. Здѣсь кстати замѣтить, что въ вопросѣ о видѣ уравненія существенное значеніе для ариѳметики имѣетъ то обстоятельство, играютъ ли неизвѣстныя роль множимыхъ или множителей. Такъ, напр., задача: „Куплено 5 аршинъ сукна и 3 арш. бархата за 39 руб. Почемъ аршинъ того и другого, если аршинъ бархата и аршинъ сукна стоятъ вмѣстѣ 11 руб.?“— какъ кажется, не рѣшается нахожденіемъ средняго ариѳметическаго, хотя, легко рѣшается другими пріемами

Иныя способы рѣшенія задачъ 1—III указаны въ № 21 „Мет. ариѳ. задачъ“.

7) Вмѣсто курьеровъ можно взять бассейнъ и краны, его наполняющіе, работниковъ, выполняющихъ одну и ту же работу, двухъ мальчиковъ, которые ѣдятъ кашу, черепаху и собаку, движущихся навстрѣчу другъ другу, и т. д. безъ конца. Замѣтимъ, что вмѣсто равенства числа дней, истраченныхъ каждымъ курьеромъ на путь до встрѣчи, можно дать ихъ отношеніе. То же касается и задачи № 5. Рѣшеніе сохраняетъ свою силу.

Мы опять получили тождественныя рѣшенія. Подобныхъ примѣровъ можно привести сколько угодно, и, думается мнѣ, читатель легко замѣтитъ технику составленія подобныхъ задачъ. Безъ всякаго труда можно составить задачи съ одинаковымъ рѣшеніемъ, одну—на учетъ векселей или проценты, а другую на знаменитое цѣпное правило. Но я думаю, что вопросъ и безъ того выясненъ.

Если же однимъ и тѣмъ же способомъ можно рѣшить множество задачъ самой разнообразной матеріальной формы, то, очевидно, дѣленіе задачъ по общепринятымъ рубрикамъ представляетъ пустую трату времени, которую можно сильно сократить, изучая способы рѣшенія задачъ, какъ это и сдѣлано въ геометріи.

C. Ни въ какой школѣ мы не можемъ изучать хотя бы незначительную часть предметовъ и дѣйствій, встрѣчающихся въ практической жизни. И это особенно справедливо при современномъ, крайне быстромъ темпѣ практической жизни. И если бы кому-нибудь и удалось это сдѣлать, то завтра же жизнь его обгонитъ, открывая все новые и новые термины. Громадное развитіе всякаго рода техники, широкое развѣтвленіе страховой и банкирской дѣятельности, быстрые успѣхи авіаціи, военнаго искусства и т. п. намъ за это ручаются. Удивительно, какъ люди не желаютъ этого видѣть. Выучите меня ариѳметикѣ, сообщите мнѣ въ нѣкоторомъ объемѣ общіе пріемы рѣшенія задачъ, сдѣлайте мои способности развитыми—тогда я, самъ познакомившись съ опредѣленной частью практической жизни (скажемъ, напр., съ дѣятельностью банковъ), самъ и разрѣшу каждую представленную мнѣ ариѳметическую задачу.

D. Не малое и подчасъ курьезное затрудненіе представляла номенклатура рубрикъ задачъ, классифицированныхъ по матеріальной природѣ предметовъ, о которыхъ говоритъ задача. Если располагать задачи по методамъ ихъ рѣшенія, то, какъ и въ конструктивныхъ задачахъ, получается около 16 рубрикъ, и это— при самомъ подробномъ проникновеніи въ дѣло. Для учащагося достаточно ихъ половины. Если бы при этомъ названіе какого-нибудь метода подобралось неудачно, то съ теченіемъ времени всегда найдется болѣе подходящее названіе, и дѣло кончено. Совсѣмъ другое, если вы будете дѣлить задачи по предметамъ, потому что тогда число рубрикъ въ зависимости отъ пожеланій авторовъ, сдѣлается неограниченнымъ.

Въ задачникѣ гг. Борисова и Сатарова задачи въ родѣ № IV отнесены къ типу „встрѣча“. Ужъ не отнести ли къ этой категоріи задачу „Нѣсколько человѣкъ, встрѣтились и обмѣнялись рукопожатіями, такъ что вышло 420 рукопожатій. Сколько было всего народа“?, которая, кстати сказать, представляетъ одну изъ рѣдкихъ задачъ, приводящихся къ квадратнымъ уравненіямъ, но рѣшающихся ариѳметикой? Какъ бы то ни было, типъ „встрѣча“ въ силу измѣненія знака скорости вызываетъ новый типъ „одинъ догоняетъ другого“. Но нѣкоторые авторы, конечно, знали, что та же задача рѣшается совершенно такъ же, если замѣнить курь-

еровъ работниками, выполняющими опредѣленную работу. Чтобъ выйти изъ этого затрудненія, создается новый типъ задачъ „одинъ воспособляетъ другому“8). При замѣнѣ въ той же задачѣ № IV работниковъ кранами бываетъ, что одинъ кранъ наливаетъ, а другой кранъ выливаетъ. Какъ же тутъ быть? Очень просто— появляется новый типъ задачъ „одинъ противодѣйствуетъ другому“. Было бы очень интересно, подъ какой рубрикой поставили бы задачу № V этой записки? А между тѣмъ подобнаго рода задачи можно составить изъ какой угодно области практическаго міра.

Въ томъ же задачникѣ гг. Борисова и Сатарова задачи типа № 1 этой записки находится подъ рубрикой „предположеніе“. Что обозначаетъ это единственное слово? Оказывается, что нужно всѣхъ животныхъ предположить двуногими. Но неужели авторамъ неизвѣстенъ методъ подобія (въ практикѣ—методъ примѣрнаго разсчета), въ которомъ одному изъ неизвѣстныхъ дается произвольное значеніе? Вѣдь, въ этомъ очень широкомъ методѣ то же дѣлается предположеніе. Наконецъ, многія задачи рѣшаются очень легко, предположивъ неизвѣстныя равными. Многія задачи рѣшаются иными предположеніями, напримѣръ, измѣненіемъ или сравненіемъ двухъ условій задачи, приведеніемъ условій въ нѣкоторый порядокъ и т. п.

Впрочемъ, многіе новые русскіе задачники, напр., задачникъ пяти авторовъ, гг. Егорова, Жукова, Карасева, Либермана и Потоцкаго, задачникъ г. Тэръ-Степанова и проч., оставаясь относительно рубрикъ въ рамкахъ задачника Малинина, свободны отъ указаннаго шаржа.

Е. Установившееся распредѣленіе задачъ по предметамъ, участвующимъ въ задачѣ, было, по крайней мѣрѣ отчасти, причиной появленія различнаго рода и другихъ педагогическихъ ошибокъ, имѣющихъ иногда не малые размѣры и крайне нежелательное направленіе. Еще давно стали смѣшивать ариѳметику съ ея практическимъ примѣненіемъ. Результатомъ этого было включеніе въ руководства ариѳметическихъ статей объ именованныхъ числахъ. Что это заблужденіе и что достаточно въ этомъ вопросѣ имѣть въ ариѳметикѣ самыя краткія указанія, въ настоящее время можно считать едва ли не вполнѣ установившимся. Классификація ариѳметическихъ задачъ по предметамъ поддерживала это направленіе; въ руководствахъ стали появляться рѣшенія задачъ на векселя, смѣшеніе и проч. Когда же стали открываться коммерческія училища, то появилась „коммерческая ариѳметика“. Между тѣмъ коммерческой ариѳметики на свѣтѣ не существуетъ; существуетъ только одна единая ариѳметика и примѣненіе ея къ практикѣ, въ томъ числѣ и къ коммерціи.

Я не сталъ бы объ этомъ говорить, еслибъ дѣло шло только о названіи, т.-е. о томъ, что вмѣсто термина „коммерческая ариѳ-

8) Извиняюсь, что я забылъ фамилію автора задачника, изъ котораго взята эта рубрика. Это дѣло было въ 1900—1903 году. Но за достовѣрность самого факта я могъ бы ручаться.

метика“, слѣдовало бы употребить терминъ „примѣненіе ариѳметики къ коммерціи“. Но дѣло въ томъ, что, по нѣкоторымъ имѣющимся даннымъ, стали обращать больше вниманія на, такъ сказать, чисто коммерческую часть ариѳметики вмѣсто самой ариѳметики.

Вотъ, напр., передъ нами книга „Руководство къ изученію коммерческой ариѳметики“, Пауфлера, Москва, 1914.

Работа написана съ полнымъ знаніемъ своего спеціальнаго дѣла. Сочиненіе испещрено коммерческими терминами: фусти, рабатъ, леккажъ, декортъ, амбалажъ и т. п. Но въ немъ нѣтъ совсѣмъ ариѳметики; есть только практическія указанія, и то очень краткія, какъ дѣлать механически дѣйствія съ числами и какъ механически пользоваться lg-мами. По усвоеніи терминовъ, оказывается, что съ математической стороны, кромѣ логариѳмовъ, книга доступна ученику 3 класса, но очень бѣдна столь свойственными ариѳметикѣ комбинаціями и ничтожна со стороны ариѳметической логики. Безъ всякаго сомнѣнія, содержаніе книги практически очень нужно, но только этотъ предметъ и изучать надо единственно практически. Пока же у васъ въ рукахъ только одна книга, пока вы не связаны съ нею вашими ежедневными интересами, до тѣхъ поръ ее невозможно выучить, до того она суха и скучна; ее можетъ одолѣть лишь тотъ, кто заранѣе себя обрекъ быть машиной, а не человѣкомъ. Насколько таковыя цѣли должны входить въ разсчеты образованія и воспитанія, упоминать безполезно.

F. Рѣшеніе условныхъ задачъ съ помощью составленія и рѣшенія уравненій не можетъ быть свободно и изящно выполнено безъ знанія главнѣйшихъ ариѳметическихъ методовъ, по тому что основу, фундаментъ для составленія уравненій создаютъ, кромѣ четырехъ дѣйствій, ариѳметическіе методы. Разсмотримъ, напримѣръ, слѣдующую задачу.

YI. Бассейнъ наполняется одной трубой въ 10 часовъ, а другой—въ 20 часовъ. Дѣйствуя одна послѣ другой, обѣ трубы наполнили бассейнъ въ 15 часовъ. Сколько часовъ дѣйствовала каждая труба отдѣльно?9).

Такъ какъ отвѣтъ не зависитъ отъ размѣра бассейна, то даемъ бассейну произвольные размѣры—пусть его вмѣстимость равна 60 ведеръ10). Тогда первая труба даетъ въ часъ 6 ведеръ, а вторая—3 ведра, обѣ же трубы вмѣстѣ (въ среднемъ) даютъ 4 ведра въ часъ. Тогда задача, съ точки зрѣнія ариѳметики, рѣшается совершенно также, какъ задачи №№ I—111. Алгебра же даетъ уравненія х -|~ у = 15, 6х + 3у = 60, простота которыхъ вызвана чисто ариѳметическимъ способомъ.

Обычное рѣшеніе приводитъ къ уравненіямъ х + у = 15 и -—j-^- = l. Но какимъ образомъ получилось второе уравненіе?

9) Изъ ариѳ. задачника г. Теръ-Степанова.

10) На этотъ пріемъ мнѣ многократно приходилось указывать. Онъ часто облегчаетъ и рѣшеніе задачи, и изложеніе рѣшенія.

Оно получилось потому, что мы догадываемся разсматривать части бассейна, наполняемыя каждой трубой отдѣльно въ часъ, т.-е., оно получилось по методу нахожденія частей, который рѣшаетъ весьма многочисленный классъ задачъ. Мы замѣчаемъ, какъ важно напередъ знать методы рѣшеній, и, если нашимъ ученикамъ такъ называемыя задачи на бассейны даются съ трудомъ, то это зависитъ отчасти оттого, что они незнакомы съ чисто ариѳметическими методами11).

Въ заключеніе я укажу одинъ косвенный, но очень сильный доводъ въ пользу единственно правильной классификаціи задачъ по методамъ ихъ рѣшенія. Зависимость расположенія задачъ отъ величины чиселъ и отъ количества численныхъ операцій я попрежнему опускаю, потому что этотъ вопросъ можно считать рѣшеннымъ, если не окончательно, то вполнѣ удовлетворительно. Сравнивая чисто ариѳметическіе методы съ чисто геометрическими методами рѣшенія задачъ на построеніе, нельзя не замѣтить ихъ полной аналогіи, порою полной ихъ тождественности12).

Слишкомъ тридцать лѣтъ тому назадъ, по иниціативѣ Ю. Петерсена за границей и по моей — въ Россіи, стали изучать конструктивныя задачи по методамъ ихъ рѣшенія. Правильный путь не замедлилъ привести къ результату. Въ настоящее время чрезвычайно изящное зданіе теоріи геометрическихъ построеній трудами цѣлаго ряда ученыхъ можетъ считаться окончательнымъ. Мы знаемъ теперь, что для насъ нѣтъ неразрѣшимыхъ задачъ на построеніе; существуютъ неразрѣшимыя задачи только для опредѣленнаго инструмента, и мы знаемъ, какого рода задачи доступны или недоступны извѣстной совокупности инструментовъ. Но какъ же это было сдѣлано?

Не входя въ подробности, можно сказать, что это было сдѣлано всестороннимъ изученіемъ чисто геометрическихъ методовъ и, главное, не подчиненіемъ геометрическихъ методовъ алгебрѣ, или наоборотъ, а, именно, взаимодѣйствіемъ этихъ методовъ.

Я высказываю увѣренность, что то же самое случится и съ ариѳмеметическими задачами, если мы станемъ ихъ изучать по методамъ рѣшенія. Въ противномъ случаѣ дѣло будетъ стоять неподвижно, какъ оно и есть на самомъ дѣлѣ въ теченіе уже 40 лѣтъ. Законченное же рѣшеніе занимающаго насъ вопроса едва ли можетъ быть выполнено трудами одного лица, какъ и показалъ опытъ съ геометрическими задачами на построеніе.

11) Есть другая, можетъ быть, болѣе сильная причина—это отсутствіе наглядности въ преподаваніи. Лѣтъ тридцать тому назадъ я устроилъ для ученицъ 8-го класса сосудъ Маріотта, вытекающій однимъ краномъ въ 6 минутъ, а другимъ—въ 3 минуты. Этотъ сосудъ показывалъ намъ наглядно всѣ перипетіи рѣшенія задачи „Во сколько времени выльется бассейнъ, если открыть одновременно двѣ трубы, при чемъ одна можетъ опорожнить бассейнъ въ 6 минутъ, а другая—въ 3 минуты?“ Затѣмъ этотъ сосудъ служилъ ученицамъ для ихъ пробныхъ уроковъ въ младшихъ классахъ. Я иногда встрѣчаю своихъ прежнихъ ученицъ—до сихъ поръ они помнятъ эту задачу.

12) Въ 7-мъ изданіи „Метод. рѣшен. ариѳм. задачъ“ я указалъ №№ задачъ, иллюстрирующихъ эту аналогію и тождество. Въ будушемъ я надѣюсь этотъ предметъ разобрать подробнѣе въ особой статьѣ.

Объ одномъ счетномъ приборѣ, построеніе котораго можетъ быть полезнымъ упражненіемъ для учащихся.

С. Острейко. Москва.

Если построить прямоугольный треугольникъ съ острымъ угломъ х, удовлетворяющимъ уравненію г=—Csx, то гипотенуза такого треугольника будетъ имѣть длину равную четверти окружности, описанной радіусомъ равнымъ катету прилежащему къ углу X. Такой треугольникъ (см. черт.) легко приспособить въ качествѣ счетнаго прибора для опредѣленія длины четверти окружности по данному радіусу. Для этого нужно только катетъ ВС раздѣлить на 10 равныхъ частей (удобно практически эти части взять равными 1 дюйму или 2 cm.) и провести черезъ точки дѣленій прямыя параллельныя катету АС, затѣмъ дѣленія на ВС и получившіяся дѣленія на AB подраздѣлить на 10 частей каждое. Тогда для нахожденія Ѵ4 длины окружности напр. при радіусѣ 6,3 нужно только измѣрить длину отрѣзка BL, соотвѣтствующаго дѣленію 6,3 масштабомъ тѣхъ единицъ, которыя отложены на ВС. Если теперь на внѣшней сторонѣ прямой AB нанести дѣленія тѣхъ размѣровъ, какія имѣются на Bf', то дѣло сведется къ отсчету числа дѣленій на внѣшней сторонѣ прямой AB, соотвѣтствующаго тому или другому числу дѣленій на внутренней ея сторонѣ. Ясно, что слѣдуетъ поступать наоборотъ при рѣшеніи обратнаго вопроса,—нахожденіи длины радіуса по данной длинѣ четверти окружности.

Подобно этому въ прямоугольномъ треугольникѣ съ острымъ угломъ у, опредѣляемымъ изъ уравненія лт2= ■ , гипотенуза представляетъ сторону квадрата равновеликаго кругу, радіусъ котораго равенъ катету прилежащему къ углу у. Способомъ совершенно подобнымъ предыдущему этотъ треугольникъ превращается въ счетный приборъ для опредѣленія числа, квадратъ котораго выражаетъ площадь круга даннаго радіуса, а также для рѣшенія обратнаго вопроса.

Эти два примитивныхъ счетныхъ прибора могутъ быть соединены вмѣстѣ построеніемъ одного косоугольнаго треугольника съ вышеуказанными углами ж = 50°27'36" и у = 55°39'14"; проведя высоту, разобьемъ его на два предыдущихъ треугольника.

Отъ описанныхъ приборовъ прямой переходъ къ устройству самими учащимися счетной линейки обычнаго типа для нахожденія длины четверти окружности и стороны квадрата равновеликаго кругу даннаго радіуса и рѣшенія обратныхъ вопросовъ. Учащіеся сейчасъ же замѣтятъ, что при пользованіи приборомъ сами треугольники роли никакой не играютъ, что важны дѣленія нанесенныя вдоль нѣкотораго масштаба, размѣры которыхъ въ одномъ случаѣ находятся въ отношеніи-^, а въ другомъ въ отношеніи |/ л къ дѣленіямъ масштаба и что поэтому удобнѣе построить приборъ, расположивъ рядомъ три параллельныя прямыя: средняя изъ нихъ будетъ играть роль масштаба, а на двухъ боковыхъ должны быть нанесены дѣленія, увеличенныя въ указанныхъ отношеніяхъ по сравненію съ дѣленіями масштаба. Получится такимъ образомъ приборъ вида счетной линейки, къ которому для удобства отсчетовъ учащіеся не затруднятся приспособить несложной конструкціи Läufer.

Полагаю, что построеніе описанныхъ приборовъ самими учащимися при томъ условіи, что имъ должна быть дана только идея, а всѣ геометрическія построенія, вычисленія и затрудненія, какія имъ могутъ встрѣтиться, они должны преодолѣть сами, будетъ для нихъ весьма поучительнымъ. Не говоря о томъ, что подобная работа служитъ наилучшей подготовкой къ пониманію устройства существующихъ разсчетныхъ линеекъ, построеніе и пользованіе этими приборами вводитъ учащагося въ самую суть вопросовъ объ измѣреніи и о точности получаемыхъ при этомъ результатовъ. Такъ напримѣръ, пробуя при помощи этого прибора получить результаты болѣе точные,—оцѣнивая на глазомѣръ доли десятыхъ частей дѣленій, онъ замѣтитъ, что неточность получаемыхъ результатовъ зависитъ въ той же мѣрѣ отъ неточности отсчета (измѣренія) данныхъ, въ какой отъ неточности отсчета искомыхъ; изъ того факта, что при нахожденіи напр. длинъ четвертей окружности при радіусахъ 630, 63, 6.3, 0.63 ему придется пользоваться однимъ и тѣмъ же отсчетомъ по шкалѣ, онъ увидитъ, что точность числового результата опредѣляется номеромъ мѣста отъ первой значущей цифры независимо отъ того, будемъ ли мы называть послѣднюю точную цифру результата десятками, единицами, десятыми, сотыми и т. д. Далѣе, при построеніи треугольниковъ онъ увидитъ, что значеніе для л--=22/7 обладаетъ точностью, требуемой условіями точности прибора,— чтобы вполнѣ ясно были различимы десятыя доли основныхъ дѣленій, а болѣе точнаго значенія л чертежъ взятаго масштаба не даетъ возможности выразить. При построеніи второго треугольника, гдѣ отношеніе гипотенузы къ катету выражается числомъ |/ л, придется значеніе этого числа взять тоже съ точ-

ностью, соотвѣтствующей практическимъ условіямъ прибора. Здѣсь умѣстно воспользоваться непрерывными дробями для того, чтобы это отношеніе выразить несложной простой дробью, но обладающей необходимой степенью точности; это облегчитъ выполненіе чертежа, особенно въ томъ случаѣ, когда придется строить уже счетную линейку. Много и другихъ поводовъ представится тутъ учащемуся активно войти въ суть вещей, по которымъ скользитъ его вниманіе, когда онъ пассивно воспринимаетъ соотвѣтственныя мѣста въ теоретическихъ курсахъ.

Послѣ изготовленія указанной мною счетной линейки будетъ какъ разъ своевременнымъ показать продажную линейку для возведенія въ квадратъ и кубъ чиселъ (имѣются на логариѳмическихъ линейкахъ Вихмана); эта линейка будетъ дополнять ихъ самодѣльный приборъ для вычисленія площади круга по данному радіусу. Совершенно естественный вопросъ о томъ, не могли ли бы они сами изготовить и такую линейку или вмѣсто нея линейку, позволяющую отсчитывать прямо площади круга по данному радіусу, побудитъ ихъ самостоятельно обдумать вопросъ о томъ, въ какой мѣрѣ осложнилась бы работа ихъ при болѣе сложной функціональной зависимости двухъ величинъ. Послѣ такой практической подготовки ученики съ большимъ интересомъ и вполнѣ сознательно отнесутся къ устройству и способу пользованія логариѳмической счетной линейкой, съ которой, мнѣ думается, необходимо знакомить учащихся уже въ средней школѣ.

Идея движенія въ современной геометріи и область ея примѣнимости въ курсѣ средней школы.

(Докладъ читанный на 2-мъ Всероссійскомъ Съѣздѣ Преподавателей Математики 29/ХІІ 1913 г.).

А. Р. Кулишеръ. Петроградъ.

Съ понятіемъ о движеніи у различныхъ лицъ соединяются далеко неодинаковыя, существенно различныя представленія.

Очень многіе при мысли о движеніи представляютъ себѣ перемѣщеніе нѣкотораго матеріальнаго „твердаго“ тѣла, по формѣ своей въ отдѣльныхъ случаяхъ напоминающаго какъ бы „плоскую“ фигуру, имѣющую толщину, правда, толщину очень незначительную; другіе при этомъ имѣютъ въ виду не „плоскую фигуру“, а линію —„нить“ или движущуюся „точку“; послѣднюю воображеніе склонно часто рисовать въ видѣ чрезвычайно малаго тѣла.

При достаточной зрѣлости лица, говорящаго о движеніи, наряду съ представленіемъ о перемѣщеніи тѣла безъ вращенія невольно напрашивается мысль о возможности вращенія тѣла или о возможности одновременнаго соединенія этихъ двухъ видовъ движенія.

Но какъ бы то ни было, во всѣхъ перечисленныхъ случаяхъ въ обыденное представленіе о движеніи привходитъ явно или неявно представленіе о силѣ, вызывающей перенесеніе тѣла или его вращеніе, или то и другое вмѣстѣ.

Условимся называть это пониманіе движенія механическимъ (точнѣе динамическимъ).

Черезъ нѣсколько минутъ я поясню сказанный путь пониманія движенія, равно какъ и другіе виды его истолкованія, на нѣсколькихъ важныхъ въ дидактическомъ отношеніи примѣрахъ, имѣющихъ прямую связь съ вопросами, разбираемыми ниже.

Во всякомъ случаѣ слова „механическій“ или „динамическій“ употреблены мною лишь, какъ термины, какъ своего рода ярлыки, которые позволятъ намъ впослѣдствіи безъ потери времени съ ясностью отличить этотъ видъ пониманія движенія отъ другихъ.

Иной болѣе высокой, болѣе отвлеченной точкѣ зрѣнія можно условно присвоить названіе точки зрѣнія кинематической1).

При кинематическомъ2) пониманіи движеній послѣднія освобождены отъ представленій о силахъ, вызывающихъ эти движенія.

Къ числу соображеній „кинематическаго“ характера можно отнести тѣ разсужденія, какими у Евклида доказывается равенство ДД-овъ (сюда привходитъ понятіе о равенствѣ отрѣзковъ прямыхъ и о равенствѣ угловъ), обычныя въ курсахъ геометріи доказательства равновеликости параллелограммовъ прямоугольникамъ, имѣющимъ то же основаніе и ту же высоту, что и соотвѣтственный параллелограмъ, доказательства равновеликости наклонныхъ призмъ нѣкоторымъ прямымъ призмамъ, образованіе тѣлъ вращенія и нахожденія ихъ объемовъ и поверхностей и т. п.

Мы видимъ уже изъ приведенныхъ примѣровъ (число можно было бы увеличить), что пріемами „кинематическаго“ характера въ распространенныхъ курсахъ элементарной геометріи неоднократно пользовались и при томъ пользуются при изложеніи весьма существенныхъ вопросовъ.

На болѣе высокихъ ступеняхъ подобныя или видоизмѣненныя соображенія являются источникомъ кинематической геометріи3) съ ея важными примѣненіями въ теоретической и прикладной механикѣ, физикѣ и другихъ отдѣлахъ естествознанія.

Считаю, однако, нужнымъ оговориться, что этотъ послѣдній терминъ (я имѣю въ виду кинематическую геометрію) я съ большой неохотой приложилъ бы къ такого рода курсу геометріи, какъ учебникъ, составленный Бурле, учебникъ, построенный, такъ сказать, на движеніи, хотя лица, подвергавшіе эту работу крити-

1) Въ преніяхъ по данному докладу проф. Д. Д. Мордухай-Болтовскій напомнилъ о другомъ умѣстномъ здѣсь терминѣ,—о терминѣ „форономическій“.

2) Конечно, въ томъ смыслѣ, въ какомъ мы здѣсь этимъ словомъ пользуемся.

3) Въ общепринятомъ въ механикѣ смыслѣ.

ческому разбору4), не разъ присваивали ей именно это наименованіе.

Причины такого моего нерасположенія къ пользованію этимъ терминомъ въ примѣненіи къ курсу Бурле обнаружатся ниже.

Наконецъ, перехожу къ третьему пути истолкованія движенія, согласно которому движеніе понимается какъ совокупность нѣкоторыхъ точечныхъ преобразованій, какъ группа преобразованій; здѣсь почти совсѣмъ отсутствуютъ какіе-либо кинематическія представленія и лишь въ отдѣльныхъ очень рѣдкихъ случаяхъ могутъ привходитъ въ самой отдаленной формѣ ослабленныя и очищенныя работой отвлеченной мысли представленія динамическія.

Здѣсь мы вступаемъ въ область мышленія въ наиболѣе высокомъ значеніи этого слова, и подготовленію возможности такого мышленія для молодыхъ людей въ возрастѣ 16—17 лѣтъ и выше можетъ много помочь цѣлесообразное5) проведеніе подготовительнаго и систематическаго курса геометріи въ классахъ, гдѣ находятся учащіеся младшаго и средняго возраста — я имѣю въ виду, стало быть, учащихся въ возрастѣ, примѣрно, отъ 9—16 лѣтъ.

Подобное утвержденіе съ моей стороны обязываетъ намѣтить хотя бы въ немногихъ, но опредѣленныхъ чертахъ относящіяся сюда соображенія и я постараюсь посильно это сдѣлать, какъ ни трудна подобная задача, принимая во вниманіе краткость доклада.

Для того, чтобы въ дальнѣйшемъ отчетливо распознавать указанныя мною при истолкованіи движенія остановимся на слѣдующихъ примѣрахъ работъ6), взятыхъ изъ области подготовительнаго курса геометріи изъ разныхъ его частей.

Остановимся на работѣ, взятой изъ середины курса: (см. рис. 1): расположить три тесьмы такъ, чтобы они были другъ другу параллельны.

4) L’Enseignement de la Géométrie. (Séance 21 Mars, 1907. Thèse: M. C. Bourlet. Discussion: M M. Borel, Lalande, Marotte, Pécaut, Ogereau, Sorel. Bullet de la Société' française, 1907, № 6); ниже въ ссылкахъ отчетъ о собраніи будетъ называемъ „L’Enseignement de la Géométrie“.

5) Отсюда ни въ какомъ случаѣ не слѣдуетъ, что подготовительный или систематическій курсъ надо строить какъ-либо особенно только для того, чтобы впослѣдствіи имѣть возможность завершить курсъ изложеніемъ тѣхъ или другихъ вопросовъ на основѣ ученія о группѣ преобразованій. Это было бы большой ошибкой въ особенности по отношенію къ подготовительному курсу, имѣющему свои опредѣленныя задачи, и еще болѣе по отношенію къ дѣтямъ, этотъ курсъ изучающимъ. Подготовительный курсъ долженъ быть основой дальнѣйшихъ занятій, но въ то же время предусматриваемая имъ работа является самоцѣлью. Съ точки зрѣнія автора, излагавшаго свои соображенія относительно подготовительнаго курса геометріи на 1-мъ Всероссійскомъ Съѣздѣ Преподавателей математики (См. Труды Съѣзда, т. I, стр. 376—412, а также стр. 450—451) равноцѣнныхъ и при томъ различныхъ подготовительныхъ курсовъ можетъ быть нѣсколько, но всѣ они должны удовлетворять нѣкоторымъ критеріямъ (см. 1. с., стр. 409). Цѣлесообразно построенный и разумно проведенный подготовительный курсъ открываетъ рядъ возможностей, въ заключительныхъ ступеняхъ курса геометріи средней школы въ томъ числѣ и возможность обзора нѣкоторыхъ частей изученнаго курса на основѣ движенія, какъ группы преобразованій.

6) На съѣздѣ были показаны соотвѣтственные діапозитивы, здѣсь воспроизведено только 4 снимка изъ числа 10 показанныхъ.

Въ какомъ бы порядкѣ7) ни слѣдовали предшествующія занятія, позволяющія приступить къ разсматриваемой работѣ, тутъ возможны слѣдующія „механическія“ преобразованія, выполняемыя группами учащихся (которыя стоятъ посреди класса прямо на полу):

I) Расположить двѣ тесьмы („прямыя“) параллельно другъ другу.

II) Сохраняя неизмѣннымъ направленіе параллельности (см. предшествующее упражненіе) измѣнить въ томъ или иномъ смыслѣ ихъ взаимное разстояніе.

III. „Провести“ плоскость черезъ двѣ параллельныя прямыя (пояснить расположеніе этой плоскости: а) соотвѣтственными движеніями рукъ; Ь) при помощи листовъ бумаги (см. рис. 1).

Рис. 1.

IV. Измѣнить направленіе параллельныхъ прямыхъ не измѣняя разстоянія между ними.

V. Расположить три тесьмы параллельно другъ другу:

a) въ одной плоскости.

b) не въ одной плоскости и т. д.

7) Въ подготовительномъ курсѣ, составленномъ авторомъ доклада (учебникъ геометріи Курсъ подготовительный. СПБ. 1914 г.) принятъ такой путь: перпендикуляръ къ плоскости -з* параллельныя плоскости -> полосы —> параллельныя линіи —► призматическія трубы->призмы, но возможенъ и иной порядокъ работъ, предшествующихъ даннымъ. Въ промежуткѣ между упражненіемъ IV и V желательны и умѣстны соотвѣтственныя чертежныя работы.

Мы видимъ, что при всѣхъ перенесеніяхъ и перемѣщеніяхъ какъ глазу, такъ и мышцамъ рукъ, и самимъ учащимся приходится участвовать въ этихъ перемѣщеніяхъ; роль мышечнаго и обязательнаго чувства при сообщеніи тесьмамъ надлежащаго расположенія относительно другъ друга стѣнъ, пола и потолка класса здѣсь не трудно распознать, и потому представленіе о движеніи тутъ возникающемъ мы относимъ къ числу „динамическихъ“.

Значительно ранѣе только что описанныхъ упражненій учащимся придется (если въ томъ конечно, ощутитъ надобность лицо, проводящее подготовительный курсъ) еще въ первый годъ занятій выполнить работу, изображенную на рисункѣ второмъ.

Рис, 2.

Тутъ придется двѣ тесьмы расположитъ такъ чтобы онѣ пересѣкались подъ прямымъ угломъ, а потомъ придать то или другое расположеніе деревяннымъ планкамъ, вѣсомость которыхъ отчетливо ощущается рукой, рядъ такихъ положеній, при которыхъ всѣ четыре планки сразу образовывали бы „ромбъ“; діагоналями „ромба“ являются только что упомянутыя тесьмы. Не входя въ обсужденье подробностей даннаго упражненія, мѣста его въ подготовительномъ курсѣ—все это вопросы, относящіеся къ дидактикѣ предмета—я упомяну лишь о томъ, что первой изъ натянутыхъ тесьмъ придается произвольное расположеніе въ классѣ, а остальныя части „фигуры“ размѣщаются такъ или иначе уже соотвѣтствено положенію первой тесьмы; что фигуру въ цѣломъ можно „перемѣстить“, что въ ней самой возможны „движенія“, измѣняющія размѣры угловъ ромбовъ, но оставляющія неизмѣнной длину его сторонъ и т. п.

Болѣе тонкіе случаи представлены на рисункахъ 3 и 4; послѣдніе иллюстрируютъ часть несложныхъ упражненій, дающихъ многое8) въ смыслѣ выработки отчетливыхъ представленій о перпендикулярности прямой къ плоскости, и перпендикулярности плоскости къ прямой. (Тутъ мы встрѣчаемся какъ съ вращеніемъ, такъ и съ моментомъ исключенія какого бы то ни было движенія.

Рис. 3.

Если вспомнимъ упражненія, основанныя на вращеніи, приводящія къ образованію представленій о сравнительной величинѣ угла9), образованіе пучка10) и связки прямыхъ11), окрашиваніе сплошь и штрихами различныхъ фигуръ, ихъ совмѣщеніе, сгибаніе бумаги, изготовленіе моделей, а также преобразованіе фигуръ, раздѣленныхъ на части и т. п.—то увидимъ, что во многихъ изъ упомянутыхъ упражненій понятіе о движеніи въ значительной мѣрѣ связывается съ представленіеми „динамическими“.

Въ подготовительномъ курсѣ, если къ тому же въ главныхъ своихъ чертахъ онъ удовлетворяетъ здравымъ требованіямъ общей дидактики12), могутъ найти мѣсто сказанныя упражненія.

12) См. докладъ автора. Труды 1-го Всероссійскаго Съѣзда Препод. Математики, т. I, стр. 409—412.

8) Авторъ доклада отводитъ имъ однако не первое по времени мѣсто.

9) См. А. Р. Кулишеръ. Учебникъ геометріи. Курсъ подготовительный. СПБ. 1914 г. стр. 9, 10, 11.

10) 11) Тамъ же, стр. 34., 80, 126, 127, 128.

Тутъ на этой ступени обученія какъ нельзя болѣе умѣстны тѣ вращенія, которыя приходится выполнять при раскрываніи книги на тотъ или другой уголъ (см. рис. 5) или при сопоставленіи двухъ фигуръ симметричныхъ, тутъ допустимо сгибаніе бумаги, сначала чаще, потомъ все рѣже и рѣже примѣняемое. Здѣсь должно быть достигнуто бѣглое и отчетливое исполненіе разнообразныхъ чертежей, необходимыхъ для воспроизведенія плоскихъ и трехмѣрнопространственныхъ образовъ, тутъ должно быть воспитано пространственное воображеніе, здѣсь найдутъ мѣсто воспитаніе глаза и мышечно-осязательнаго чувства, значительному развитію котораго способствуетъ между прочимъ окрашиваніе чертежей цвѣтными карандашами13), здѣсь очень умѣстны первыя работы въ области геодезическихъ измѣреній14).

Но характернымъ отличіемъ подготовительнаго курса нашихъ дней (такихъ равноцѣнныхъ курсовъ, какъ я пробовалъ выяснить въ упомянутомъ выше докладѣ, прочитанномъ на 1-омъ съѣздѣ,

Рис. 4.

13) Въ данномъ случаѣ очень цѣнно само усиліе, требующееся при покрываніи площадей цвѣтными карандашами (сплошь и штрихомъ). Окрашиваніе акварелью, давая тѣ же внѣшніе результаты въ смыслѣ отчетливости чертежа, требуетъ значительно меньшаго усилія руки и потому нами здѣсь не примѣняется.

14) См. напр. Поль Беръ, Начатки Опытной геометріи. М. 1910. Стр. 15, 26 и др. А. Кулишеръ. Учебникъ геометріи. Курсъ подг. Стр. 7 и 100.

можетъ быть нѣсколько) будетъ то обстоятельство, что теперь учащійся всемѣрно участвуетъ въ изученіи новыхъ пространственныхъ образовъ и ихъ возникновеніи, что онъ все время умозаключаетъ, что ему не показываютъ пособія, но наоборотъ пособія являются по преимуществу какъ бы отвѣтомъ на явно выраженную потребность ищущей мысли ребенка15). Сверхъ того, пособіе обычно является исходной точкой новыхъ вопросовъ.

Рис. 5.

Результатомъ разумно поставленной работы на этой стадіи преподаванія геометріи, является владѣніе большой совокупностью связанныхъ другъ съ другомъ продуманныхъ и приложимыхъ въ жизни геометрическихъ фактовъ, относящихся къ кругу идей равенства, неравенства, равновеликости, симметріи, порядка и т. п., владѣніе многими другими познаніями, цѣнными для формированія мышленія подростка и обогащенія представленіями, являющимся немаловажнымъ вкладомъ въ общее эстетическое образованіе. Для ознакомленія съ содержаніемъ занятій этого рода можно обратиться къ тому или другому подходящему руководству подготовительнаго курса геометріи, составленному на основахъ ли сліянія стереометріи и планиметріи, или какъ-нибудь иначе.

Я лично являюсь сторонникомъ сліянія этихъ двухъ областей [требующаго, замѣчу, при осуществленіи его на дѣлѣ большого вниманія къ каждому шагу работы], при чемъ завершая курсъ (но не занятія послѣдняго года) доказательствомъ какой-либо геометрической теоремы, считаю возможнымъ, хотя, конечно,

15) Мы уже имѣли возможность высказаться относительно качества нужныхъ наглядныхъ пособій (см. напр. предисловіе къ „Учебнику геометріи“). При всей желательности дальнѣйшаго творчества въ области уже немалочисленныхъ наглядныхъ пособій по геометріи, въ каждомъ отдѣльномъ подготовительномъ курсѣ слѣдуетъ избѣгать обилія наглядныхъ пособій: ихъ должно быть только въ мѣру.

необязательнымъ, выбрать для этой цѣли одно изъ предложеній стереометріи.

Въ тѣхъ случаяхъ, гдѣ до начала систематическато курса, не было курса подготовительнаго, полезно и, быть можетъ, даже необходимо, внести въ часы занятій, отводимые, согласно учебному плану на курсъ систематическій, изъ курса подготовительнаго (лучше всего—по частямъ—не сразу) въ числѣ другихъ работъ также тѣ, которыя предусматриваютъ воспитаніе понятія о движеніи на основѣ представленій динамическихъ, но надо сдѣлать это съ достаточной осмотрительностью, принявъ въ разсчетъ болѣе зрѣлый возрастъ учащихся а также измѣненіе цѣлей самого курса.

Какъ ни важны „динамическія“ представленія, надо слѣдить за тѣмъ, чтобы на урокахъ систематическаго курса не произошло не оговореннаго случайнаго подмѣна разсужденія болѣе или менѣе расплывчатыми соображеніями, основанными на воспріятіяхъ зрѣнія и мышечнаго чувства.

Тутъ на этой ступени неправильное примѣненіе механическихъ представленій можетъ быть осуждено, такъ какъ оно имѣетъ свою поучительную исторію въ школахъ различныхъ странъ, въ томъ числѣ и Россіи.

Какъ же поступать преподавателю въ вопросахъ систематическаго курса, обычно разсматриваемыхъ при помощи движенія въ его кинематическомъ пониманіи? Удовлетворительный отвѣтъ на этотъ вопросъ уже данъ въ учебникахъ итальянскихъ авторовъ: они полагаютъ, что либо слѣдуетъ предварительно обосновать тѣми или другими постулатами движеніе геометрическихъ образовъ, приписавъ послѣднимъ какъ бы свойства твердыхъ тѣлъ, либо совершенно выключить движеніе, замѣнивъ его важной идеей однооднозначнаго соотвѣтствія16).

Изложенію, основанному на постулатахъ движенія, или изложенію, въ которомъ движеніе было бы вполнѣ выключено, я предпочелъ бы такое изложеніе, въ которомъ было бы удѣлено мѣсто какъ той, такъ и другой точкѣ зрѣнія. Во всякомъ случаѣ, нѣкоторыя главы систематическаго курса, обычно излагаемыя при помощи движенія, слѣдовало бы, думается, излагать, выключивъ понятіе о движеніи; тогда учащіеся могутъ вполнѣ уразумѣть важность этого послѣдняго пути доказательствъ.

Мы не предполагаемъ, однако, здѣсь входить въ разсмотрѣніе деталей построенія самаго17) курса и останавливаемъ наше вниманіе на немъ лишь постольку, поскольку это необходимо для выясненія идеи движенія, основывающейся на представленіяхъ „кинематическихъ“ и области ея примѣнимости на данной ступени занятій геометріей, а также для постановки вопроса о возможности исключенія движенія: доказательство равенства двухъ тре-

16) См. Юнгь. Какъ преподавать математику. Вып. II, стр. 390 и слѣд.; Труды 1-го Всероссійск. Съѣзда Преп. Матем,, т II, стр. 40, 41, 49, 41—52; см. также 1. с. стр 44 и 47.

17) Съ деталями вопроса отчасти можно познакомиться изъ доклада, упомянутаго въ предыдущемъ примѣчаніи.

угольниковъ, доказательство равенства линейныхъ угловъ одного и того же двуграннаго угла18) и т. п.

Наряду съ подобнымъ истолкованіемъ движенія здѣсь вступаетъ въ свои права кинематическая геометрія уже въ томъ смыслѣ слова, какъ его понимаетъ механика. Учащіеся здѣсь должны знакомиться съ употребленіемъ пантографа и различнаго вида инверсоровъ и, быть можетъ, примѣненіями кинематической геометріи въ той или другой области машиностроенія. Мы считаемъ полезнымъ вспомнить здѣсь слѣдующее примѣчаніе изъ книги Шаля19) 20): „Между различными способами преобразованія, на которыхъ основываются важнѣйшія ученія новой геометріи, мы особенно должны отличить способъ, приводящій къ математическому закону двойственности. Не говоря уже о выводахъ этого способа, какъ средства для открытій, мы замѣчаемъ, что начало, служащее ему основаніемъ, представляетъ постоянное соотношеніе, при помощи котораго связываются попарно всѣ геометрическія истины, и вслѣдствіе этого являются, если можно такъ выразиться, два рода геометріи. Эти двѣ геометріи отличаются другъ отъ друга обстоятельствомъ, на которое весьма важно обратить вниманіе. Въ одной—единицей, элементомъ, или, такъ сказать, атомомъ для составленія всѣхъ другихъ формъ пространства служитъ точка; такое воззрѣніе лежитъ въ основаніи философіи древнихъ и аналитической геометріи. Въ другой за единицу для образованія другихъ формъ пространства принимается прямая линія или плоскость, смотря по тому, относятся ли изслѣдованія къ одной плоскости или ко всему пространству.

Это раздѣленіе всѣхъ свойствъ пространства на два класса, основанное на двухъ существенно различныхъ исходныхъ началахъ, имѣетъ, повидимому, весьма значительное вліяніе на геометрію, какъ это ясно показали Жергоннъ и Понселе20). Но по нашему мнѣнію, это вліяніе распространяется также и на многіе другіе отдѣлы математическихъ знаній, и намъ кажется, что въ нихъ мы можемъ притти къ подобнымъ же заключеніямъ, если будемъ основываться на прекрасномъ законѣ двойственности и руководствоваться тѣмъ дуализмомъ, который можно считать основнымъ началомъ и исходной точкой геометріи.

Примѣръ этой двойственности можно видѣть въ изданномъ нами сочиненіи21) о новой аналитической геометріи, которая подобна геометріи Декарта, но въ которой роль точки играетъ плоскость.

Та же идея двойственности можетъ найти приложеніе и въ механикѣ. Въ самомъ дѣлѣ, первоначальный элементъ тѣла, къ которому прилагаются первыя основанія этой науки, также,

18) См., напр., Ф. Энрикесъ. Вопросы элементарной геометріи. IІ. 1913. Стр. 128, 132.

19) Шаль. Историческій обзоръ происхожденія и развитія геометрическихъ методовъ. М. 1883. т. II, стр. 415.

20) Annales des Mathématiques, t. XVI, p. 209; t. XVII, p. 265.

21) Основныя начала этой новой системы, координатъ мы изложили кратко въ Correspondance Mathématique par Quetelet, t. VI, p. 81.

какъ и въ древней геометріи, — есть математическая точка. Не въ правѣ ли мы ожидать, что, принявъ за элементъ протяженія, не точку, а плоскость, мы придемъ къ новымъ теоріямъ, составляющимъ, такъ сказать, новую науку? И если найдется единственный пріемъ для перехода отъ этой новой науки къ старой, подобно теоремѣ геометріи о взаимности свойствъ пространства,— то онъ послужитъ основнымъ началомъ двойственности въ наукѣ о движеніи тѣлъ.

Два вышеуказанные примѣра двойственности основываются на двойственномъ способѣ представлять себѣ тѣло, какъ совокупность или точекъ, или плоскостей. Но въ различныхъ отдѣлахъ математики могутъ найтись другіе законы двойственности, основанные на иныхъ началахъ; и я думаю, что этимъ путемъ мы приведены будемъ къ воззрѣнію, уже высказанному нами по поводу опредѣленія геометріи (въ примѣчаніи Y), т.-е. къ убѣжденію, что постоянная двойственность есть великій законъ природы, господствующій во всѣхъ частяхъ знанія, во всѣхъ проявленіяхъ человѣческаго духа.

Ограничиваясь здѣсь только областью геометріи, мы для подтвержденія высказанныхъ идей, укажемъ еще на два различные примѣра двойственности.

Первый примѣръ представляется при выдѣлкѣ формъ помощью токарнаго станка.

Для всякой формы, выдѣлываемой токаремъ, мы можемъ представить двоякій способъ обработки: мы можемъ укрѣпить матеріалъ и заставить орудіе вращаться, или можемъ, какъ поступаетъ токарь на самомъ дѣлѣ, укрѣпить орудіе и сообщить вращательное движеніе матеріалу.

Такимъ образомъ мы видимъ въ пріемахъ этого искусства ясно выраженную и постоянную двойственность. Притомъ знаемъ, что эти пріемы во всякомъ случаѣ основываются на геометрическихъ началахъ; поэтому и въ теоріяхъ этихъ двухъ способовъ обработки будетъ существовать также постоянная двойственность.

(Окончаніе слѣдуетъ).

Задачи.

Подъ редакціей Э. Ю. Лейнѣка.

188. Найти два цѣлыхъ числа, зная сумму ихъ квадратовъ 468 и сумму ихъ общаго наибольшаго дѣлителя и наименьшаго кратнаго 42.

189. Рѣшить уравненіе

190. Доказать, что острый уголъ ю, удовлетворяющій уравненію

удовлетворяетъ также уравненію

sin*co = sin(A — со) . sin(B — со). sin( С — со), гдѣ А-\~ В С = л

191. Доказать, что аЬ(ах — 54) при цѣлыхъ и нечетныхъ значеніяхъ а и Ь всегда дѣлится на 240.

М. Огородовъ.

192. По данному отрѣзку AB, принятому за единицу и отрѣзку MN = а, (а < 1) построить отрѣзокъ, имѣющій численную величину ап , гдѣ п данное цѣлое положительное число.

А. Соколовъ.

193. Опредѣлить геометрическое мѣсто середины отрѣзка О А, если О произвольная точка взятая внутри даннаго круга, а А точка перемѣщающаяся по окружности.

194. Пользуясь формулою Гаусса*) для вычисленія Пасхи, опредѣлить ближайшій послѣ 1915 годъ, когда Пасха будетъ 22 марта.

Рѣшенія задачъ.

148. Данный листъ бумаги въ формѣ квадрата разрѣзать на возможно меньшее число частей такъ, чтобы ими можно было оклеить кубъ, полная поверхность котораго равновелика площади даннаго квадрата. — Рѣшить ту же задачу, если листъ бумаги данъ въ формѣ правильнаго шестиугольника или равносторонняго треугольника.

Задача будетъ очевидно, рѣшена, если намъ удастся разрѣзать данный листъ бумаги на части, изъ которыхъ можно составить одну изъ приведенныхъ развертокъ куба, такъ какъ сгибая чертежъ по пунктирнымъ линіямъ, мы покроемъ бумагой всю поверхность куба. Ходъ рѣшенія поэтому таковъ: перекраиваемъ данный листъ бумаги сначала въ прямоугольникъ съ отношеніемъ сторонъ 3:2, а затѣмъ этотъ прямоугольникъ перекраиваемъ въ одну изъ развертокъ куба. Мы разсмотримъ по порядку всѣ три случая.

*) Формула Гаусса для вычисленія Пасхи имѣетъ слѣдующій видъ:

(22 (I + е) марта, гдѣ

(I—остатокъ отъ дѣленія 19а + 15 на 30, е остатокъ отъ дѣленія 2Ь + 4с 6(і -f б на 7, а величины я, Ь, с обозначаютъ по порядку остатки, полученные отъ дѣленія года на 19, 4, 7. (см. С. F. Gauss, Werke, Bd VI. S. 78).

1. Данный листъ бумаги имѣетъ форму квадрата.

Обозначая сторону даннаго квадрата (см. черт. 4 и черт. 6) черезъ а, a ребро куба черезъ х имѣемъ 6х2 = а2, х =-^. На сторонѣ MN беремъ точку R такъ, чтобы MR:RN= 3:1 и изъ точки R радіусомъ RM засѣкаемъ NP въ точкѣ S. Проводимъ MS и QT_[_MS. Тогда имѣемъ:

Перенесемъ теперь треугольникъ MN8 такъ, чтобы MN совпало съ QP, а затѣмъ перенесемъ треугольникъ MTQ такъ, чтобы M.Q совпало съ SS'. Полученная фигура, какъ въ этомъ легко убѣдиться, будетъ прямоугольникомъ, у котораго стороны имѣютъ соотвѣтственно величины MS и QT т.-е. находятся въ отношеніи 3:2. Отложимъ теперь QU = QT и QV = ^ QT и проведемъ черезъ точки U и V линіи соотвѣтственно параллельныя TQ и QS' до ихъ пересѣченія въ точкѣ W. Полученный прямоугольникъ VQUW перенесемъ и приложимъ стороною VQ къ сторонѣ ТУS' такъ, чтобы совпали точки Q и S'. Мы получили теперь фигуру TVWUU'W'VT подобную разверткѣ куба.

Замѣчая, что расположеніе треугольниковъ MTQ (въ квадратѣ) л ST'S' (въ полученной фигурѣ), равно какъ и VQY и VS'У' одинаково, мы видимъ, что разрѣза VQ можно не производить и въ результатѣ квадратъ окажется разрѣзаннымъ на четыре части, какъ это указано на чертежѣ 5.

Черт. 1.

2. Пусть сторона даннаго шестиугольника ABCDEF***)—а, ребро куба X. Тогда имѣемъ соотношеніе ^ У-— == 6 х2, откуда выводимъ 2х = у а . а j/~3.

Это равенство показываетъ, что 2х является среднею пропорціональною между отрѣзками а и а |/~з. Помня, что діагональ правильнаго шестиугольника имѣетъ одну изъ двухъ величинъ а |/~з и 2а, мы строимъ отрѣзокъ 2х слѣдующимъ образомъ. Проводимъ АС и на продолженіи откладываемъ AU = а. На отрѣзкѣ UС какъ на діаметрѣ описываемъ полуокружность и продолжаемъ А F до встрѣчи съ полуокружностью въ точкѣ 6г. Тогда, какъ легко видѣть, AG л будетъ искомою величиною 2х. Это слѣдуетъ изъ того, что по самому построенію АС = а |/з, AU = а и /_САЕ =Затѣмъ изъ точки А радіусомъ AG дѣлаемъ засѣчку К на сторонѣ FE. Проводимъ линіи АК и AD и переносимъ многоугольникъ ABCD въ положеніе EDA^F*), а треугольникъ AFK въ A1FlK1. Послѣ этихъ построеній нашъ шестиугольникъ окажется перекроеннымъ въ параллелограммъ АКК1А1 со стороною 2х. Этотъ параллелограммъ надо превратить въ одну изъ развертокъ куба. Выберемъ для нашей цѣли третью изъ вышеприведенныхъ развертокъ (см. черт. 3).

Проведемъ ломанную A^LMNPQ**), причемъ A1L = LM = =MN—NP=PQ, и A^L, MN, PQ, перпендикулярны къ А1К1, а линіи

черт. 2.

черт. 3.

*) Точки А и В совмѣщаемъ съ точками Е и D.

**) Точка Q лежитъ на прямой АК.

***) Чертежъ не приведенъ.

ML и PN параллельны А1К1. Многоугольникъ AAXLMNPQA переносимъ параллельно самому себѣ такъ, чтобы сторона AAt совмѣстилась со стороною ККѴ Тогда, какъ легко убѣдиться, полученная фигура и будетъ представлять изъ себя развертку куба. При этомъ построеніи шестиугольникъ окажется разбитымъ на 5 частей.

3. Пусть теперь данъ треугольникъ АВС, сторона котораго пусть обозначена черезъ 2а. Изъ условія задачи выводимъ зависимость 6хг =----— ;

Отрѣзокъ Sx опять можетъ быть легко построенъ, какъ средняя пропорціональная двухъ отрѣзковъ — и аѴ з, изъ которыхъ послѣдній есть ничто иное, какъ высота даннаго треугольника. Отсюда слѣдуетъ построеніе.

Проводимъ высоту BD и на продолженіи ея беремъ точку К такъ, чтобы Т)К = — а. Описавъ на полученномъ отрѣзкѣ КВ полуокружность и продолживъ DA до пересѣченія съ нею въ точкѣ L, будемъ имѣть отрѣзокъ DL = Sx. Тогда для дальнѣйшаго производимъ слѣдующій рядъ построеній: 1) Черезъ точку D проводимъ DF [] AB и повернемъ Л DCF около F въ положеніе EBF. 2) Радіусомъ DL сдѣлаемъ засѣчку М на линіи AB и перенесемъ Л ADM параллельно самому себѣ такъ, чтобы AD совпало съ BE и обозначимъ новое положеніе М буквою Мѵ 3) Проведемъ FU DM и повернемъ Л DFU около точки F въ положеніе EFU1. 4) Проведемъ NP J_ ЕМг {N середина отрѣзка MMt) и повернемъ

черт. 4. черт. 5.

A NPMX около N въ положеніе NPXM. Послѣ этихъ построеній данный равносторонній треугольникъ окажется превращеннымъ въ прямоугольникъ съ отношеніемъ сторонъ 2:3. Превратить этотъ прямоугольникъ въ развертку куба уже не представляетъ труднымъ.

Выберемъ ту же форму развертки, какую употребляли въ случаѣ квадрата. Для полученія этой развертки проведемъ черезъ середину F отрѣзка UUX линію FSX параллельную t^P, а черезъ точку Т, находящуюся на Pf/j и отстоящую отъ Ux на разстояніи равномъ UXF, линію параллельную LXF: полученный квадратъ UXFSXT повернемъ около F такъ, чтобы FUX совпало съ FU. То же самое продѣлаемъ съ другою стороною РРХ прямоугольника. Послѣ этого у насъ окажется фигура, которая является разверткою куба.

Замѣтимъ, что на самомъ дѣлѣ придется разбить треугольникъ лишь на пять частей:

CDTSF, TSFBM, G.Q.M, ADQXGXNXRXH{ и HXRXNX.

Приведенное рѣшеніе принадлежитъ автору задачу г. А. Сергѣеву. Кромѣ того были получены два рѣшенія отъ г г. if. Евдокимова (Шуя) и В. Кованько (ст. Струнино), но эти рѣшенія значительно сложнѣе приведеннаго, такъ какъ требуютъ разбіенія фигуръ на большее число частей.

черт. 6.

Замѣтимъ, что и въ приведенномъ рѣшеніи не доказывается, что указаннымъ методомъ получаемъ наименьшее число частей фигуръ, но полученныя числа 4,5,5 заставляютъ съ очень большою вѣроятностью предполагать что если мы и не имѣемъ наименьшаго числа частей, то подошли во всякомъ случаѣ къ нему очень близко.

152. Вершина В треугольника АВС съ постояннымъ основаніемъ АС движется по прямой параллельной основанію. Найти геометрическое мѣсто точекъ пересѣченія высотъ треугольника.

Пусть высоты равнобедреннаго треугольника АВ0С пересѣкаются въ точкѣ Н, высоты же другого треугольника АВСУ имѣющаго съ нимъ общее основаніе АС и одинаковую высоту В0Е = BL пересѣкаются въ точкѣ М. Обѣ точки Н и М принадлежатъ искомому геометрическому мѣсту. Треугольники ARE и В0СЕ, какъ имѣющіе соотвѣтственно перпендикулярныя стороны, подобны; точно также и треугольники CLM и ABL. Изъ подобія имѣемъ:

откуда, замѣчая, что

имѣемъ:

Отложимъ на высотѣ В0Е въ обѣ стороны отъ точки Н отрѣзки HD = HF равные В0Е, черезъ D проведемъ DK || AL и соединимъ М съ F.

Изъ чертежа имѣемъ:

Подставляя сюда вмѣсто ML и ЕН ихъ выраженія по только что вычисленнымъ формуламъ и замѣчая, что DH = В0Е найдемъ:

или.

откуда

(2)

черт. 7. терт. 8.

Съ другой стороны изъ трапеціи FDKM, прямоугольной въ D и К получаемъ

или, замѣчая, что найдемъ

но вслѣдствіе (2) выраженіе въ скобкахъ обращается въ нуль, и наше равенство принимаетъ видъ:

т.-е. точка М отстоитъ на равныхъ разстояніяхъ отъ прямой DK и точки F, другими словами, точка М лежитъ на параболѣ, фокусъ которой есть F, а директриса DR. Эта парабола и является искомымъ геометрическимъ мѣстомъ.

2-е рѣшеніе.

Примемъ точку Е за начало координатъ, ось X направимъ отъ Е къ F, а ось У отъ Е къ L.

Обозначимъ высоту В0Е черезъ h, а основаніе АС черезъ 2а. Изъ подобія треугольниковъ CLM и ABL (см. выше) имѣемъ:

Отсюда видимъ, что искомое геометрическое мѣсто есть парабола съ осью, направленною по EF. Перенесемъ начало координатъ, не мѣняя направленіе осей, въ точку Я. Формулы перехода будутъ: у = rj, X = g — НЕ Но выше мы имѣли

Итакъ,

Ур—іе нашей кривой приметъ видъ rj2 = h§.

Итакъ, параметромъ нашей параболы является величина h —, другими словами параметръ не зависитъ отъ величины основанія АС и для треугольниковъ, имѣющихъ другое основаніе А'С\ но вершину В, лежащую на той же прямой В0В, искомымъ геометрическимъ мѣстомъ будетъ служить парабола, конгруэнтная полученной : rf = üg.

3-е рѣшеніе.

Пусть Вѵ, В2, Вд, .., суть различныя положенія вершины В указаннаго треугольника, а Нѵ Я2, Я3..... соотвѣтственныя положенія ортоцентровъ. Пользуясь основными понятіями проективной геометріи, можно рѣшить задачу слѣдующимъ образомъ.

Пучекъ лучей А (ВІ9 В2, Я3,.....) проективенъ пучку лучей С (Вѵ В2, В%... ), ибо оба пучка опираются на одинъ и тотъ же рядъ точекъ.

Итакъ, А(Ви В2, В„ ...) д С В2, В3.) (1)

Далѣе, А ( ВѵВ2, Вь.) д С ( j, Я2, Н3.....), ибо каждый лучъ пучка С {Щ Н2, Я3......) перпендикуляренъ къ соотвѣтственному лучу пучка А (Вѵ В2, Вд,....) т.-е. CHn J АВП.

Аналогично С {Вх, В2, Я3...) Д А (Нѵ Я2, Я3....)

Поэтому на основаніи (1) заключаемъ, что

А(НѴ Я2, Я3....)7\С(НП Но, Я3....)

т. е. пучки А (Нѵ Я2, Я3.....) и С (Я,, Я2, Я3....) проективны.

причемъ лучу АС перваго пучка соотвѣтствуетъ лучъ второго пучка, не совпадающій съ СА.

Далѣе, по извѣстной теоремѣ проективной геометріи, геометрическимъ мѣстомъ точекъ пересѣченія соотвѣтственныхъ лучей двухъ проективныхъ пучковъ, не имѣющихъ самосоотвѣтствующаго луча, будетъ коническое сѣченіе: гипербола, парабола или эллипсъ, смотря по, тому сколько имѣется безконечно удаленныхъ точекъ: двѣ, одна или ни одной.

Искомое геометрическое мѣсто, какъ не трудно усмотрѣть, обладаетъ одной безконечно далекой точкой, отброшенной въ направленіи перпендикулярномъ основанію АС и поэтому будетъ параболой, проходящей черезъ А и С и имѣющей діаметральное направленіе, перпендикулярное къ АС. Указанными особенностями и одной изъ точекъ Пп парабола будетъ вполнѣ опредѣлена.

И. Евдокимовъ, (Шуя), Флавіанъ Д. (Петроградъ), В. Кованько (ст. Струнино), Н. Козыревъ ( Енисейскъ), К. Кульманъ (Москва), В. Павловъ (с. Ворсма), А. Сергѣевъ (Москва), А. Сердобинскій (Петроградъ).

153. Зная положеніе центра даннаго круга вписать въ него равносторонній треугольникъ съ помощью только линейки.

Задача распадается на три элементарныхъ задачи:

1) Построеніе двухъ взаимно перпендикулярныхъ діаметровъ.

2) Дѣленіе радіуса пополамъ.

3) Проведеніе черезъ полученную точку линіи параллельной другому діаметру.

1. Проведемъ черезъ центръ произвольный діаметръ АО В. Возьмемъ на окружности произвольную точку (7, соединимъ ее съ А и В и на продложеніи А С за точкою С возьмемъ произвольную точку D, которую соединимъ съ точками О л В. Прямая DO пересѣчетъ прямую СВ въ точкѣ Е. Соединяемъ А съ Е и продолжаемъ до пересѣченія съ DB въ F, тогда прямая CF окажется параллельною AB (см. Мат. Обр. 1914, стр. 191, II).

Соединяемъ А съ G*), и черезъ точки О л К (пересѣченіе AG и СВ) проводимъ діаметръ PQ. Легко видѣть, что PQ^AB.

При этомъ построеніи намъ пришлось провести 9 прямыхъ.

2. Раздѣлимъ радіусъ АО пополамъ.

Проводимъ СО и AL (L точка пересѣченія CF и DO) и черезъ точку ихъ пересѣченія А и D прямую Ат£), которая пересѣчетъ радіусъ АО въ М—въ серединѣ отрѣзка АО (см. Мат. Обр. 1914, стр. 191, I).

При этомъ построеніи намъ пришлось провести 3 новыхъ линіи.

*) G точка пересѣченія CF съ окружностью.

3. Черезъ точку М проведемъ прямую параллельную PQ.

Для этого соединяемъ М и Q и на продолженіи полученной прямой за точкою М беремъ точку £7, соединяемъ £7 съ О и Р и соединяемъ М и Р, черезъ точку пересѣченія £70 и МР и черезъ Ç проводимъ прямую до пересѣченія съ UP въ точкѣ Р. Проведя наконецъ МѴ мы получимъ искомую прямую, которая пересѣкаетъ окружность въ точкахъ и Р2.

При этомъ построеніи намъ пришлось провести 6 новыхъ прямыхъ.

Соединяя Вг и В2 съ точкою В получаемъ искомый равносторонній треугольникъ Вх В2 В.

Итакъ, все построеніе требуетъ проведенія 9 + 3 + 6 4- 2 т. е. 20 прямыхъ линій.

И. Евдокимовъ (Шуя), Флавіанъ Д. (Петроградъ), В. Кованько (ст. Струнино), Н. Козыревъ (Енисейскъ), А. Сергѣевъ (Москва), А. Сердобинскій (Петроградъ).

154. Доказать неравенства

гдѣ JL, В, (7, углы треугольника.

Въ случаѣ тупоугольнаго или прямоугольнаго треугольника т. е. въ случаѣ, когда одинъ изъ cosinus’овъ отрицателенъ или равенъ нулю—первое предложенное неравенство очевидно.

Переходя къ случаю остроугольнаго треугольника имѣемъ:

cos А. = cos ( 1800 — В — С) = — cos (В С) -= sin В sin С — cos В cos С

откуда

cos А + cos В. cos С = sin В. sin С

по возведеніи въ квадратъ и замѣнѣ sinus’овъ черезъ cosinus’ы найдемъ:

cos2 А -f- cos2 В + cos2 С 4” 2 cos А. cos В. cos С= 1 Отсюда слѣдуетъ:

Такимъ образомъ:

Выраженія въ скобкахъ суть двучлены видъ а -f- —, гдѣ а положительная величина. Извѣстно, что такого рода двучлены всегда больше или равны 2 т. е. а ^2.

Легко видѣть, что знакъ равенства соотвѣтствуетъ равностороннему треугольнику.

Второе неравенство докажемъ слѣдующимъ образомъ.

По извѣстной формулѣ имѣемъ: cos А-\- cos В cos С — 1 =

Далѣе, такъ какъ

такъ какъ

Извлекая изъ обѣихъ частей квадратный корень, будемъ имѣть:

(Корень беремъ со знакомъ ибо sin— величина положительная). Аналогично имѣемъ еще двѣ формулы:

Внося эти значенія въ наше неравенство будемъ имѣть:

2-е рѣшеніе. Такъ какъ углы треугольника связаны равенствомъ А + В С = л:, то задача сводится къ опредѣленію maximum’а функцій 1) cos А. cos В. cos (л — А— В) и 2) cos Аcos В-\~ -j-cos^n—А—В). Пусть уголъ А*) имѣетъ нѣкоторое постоянное значеніе, а уголъ В перемѣнная величина, которую обозначимъ черезъ х. Разсмотримъ функцію F{x) = cos А. cos х, cos(т: — А — х) = — cos А. cos X. cos (А -f- х).

Составимъ производную F\x).

Приравнивая F'(x) нулю и рѣшая получившееся уравненіе находимъ A-j-2x = кл, гдѣ к произвольное цѣлое число.

Принимая же во вниманіе, что А и х углы треугольника найдемъ, что о <Дс < 2, откуда к = 1 и х = 31 ^

Вторая произвольная F"{x) — 2 cos А. cos (А-\-2х) при х=^—— равна F" j= — 2. cos А, слѣдовательно при х = F(x) имѣетъ maximum, такъ такъ cos А > 0.

Другими словами, произведеніе cos А. cos х. cos ('ll — А — х) имѣетъ наибольшее значеніе въ томъ случаѣ, если треугольникъ равнобедренный / углы: А,—-—, ъ — А-------— = —-— )

Разсмотримъ теперь, какой изъ равнобедренныхъ треугольниковъ имѣетъ наибольшее произведеніе cosinus’овъ угловъ.

Дадимъ А перемѣнное значеніе у и разсмотримъ функцію

*) Уголъ А будемъ предполагать острымъ.

Этому условію мы всегда можемъ удовлетворить, такъ какъ у треугольника всегда найдется хоть одинъ острый уголъ. Его и обозначимъ черезъ А.

Составивъ производную найдемъ:

Приравнивая нулю и рѣшая получившееся уравненіе <р'(у) = О получимъ два равенства:

отсюда:

но 0 поэтому имѣемъ:

отсюда к = 0 к' = 0 или —1.

Полагая к = 0 находимъ у = о.

Полагая к' = 0 и — 1 находимъ у = ^ и л.

Составимъ вторую производную;

внося сюда три полученныхъ значенія для у получимъ:

Это показываетъ, что мы имѣемъ maximum при у = ~.

Слѣдовательно, треугольникъ, имѣющій наибольшее произведеніе cosinusовъ угловъ—равносторонній. Такъ какъ величина cos- = -,то для всякаго треугольника

Совершенно аналогично доказывается и второе неравенство. Полагая F(x) = cos А-\- cos x-\-cos{n — А — х), гдѣ А нѣкоторое постоянное, найдемъ:

/ А \ А.

Полагая F\x) = 0 имѣемъ cos -j- х j = 0 т. е. ——\- х = /ft7 I л (2/с -|- 1)л — А = (2к-\-1). —, х=---1--------, такъ какъ х заключенъ между 0 и л, то для & получаемъ лишь одно значеніе к—0, х= ^ F" / —-—J = — 2 sm . sin —, а такъ какъ sin —> О, то F —-— ) < 0 значитъ, при # = —-— имѣемъ maximum. Такимъ образомъ изъ всѣхъ треугольниковъ, имѣющихъ общій уголъ J., наибольшую сумму cosinus’овъ угловъ будетъ имѣть равнобедренный треугольникъ.

Разсмотримъ теперь, какой изъ равнобедренныхъ треугольниковъ имѣетъ наибольшую сумму cosinus'овъ угловъ.

Полагая уголъ при вершинѣ равнымъ у разсмотримъ

Составляя производныя получимъ:

Полагая <р'(у) = 0 найдемъ

Такими же разсужденіями, какъ выше, убѣдимся, что к можетъ равняться 0, а к' = 0.

Эти значенія к и к' даютъ для у соотвѣтственно

Внося эти значенія у въ <р'\у) будемъ имѣть

Итакъ, maximum имѣемъ при у = —, т. е. въ случаѣ равносторонняго треугольника. Такъ какъ cos — = —, то для всякаго треугольника имѣемъ

И. Евдокимовъ (Шуя), Н. Козыревъ (Енисейскъ), А. Сергѣевъ (Москва), А. Сердобинскій (Петроградъ).

156. Доказать, что сумма разстояній отъ любой точки основанія правильной пирамиды до ея боковыхъ граней есть постоянная величина.

Пусть S вершина данной пирамиды, Аъ А2, Ап вершины ея основанія, М взятая точка, МНХ, МН2,... МНп перпендикуляры опущенные изъ этой точки на боковыя грани.

Соединимъ точку И со всѣми вершинами данной пирамиды. Тогда данная пирамида разобьется на п пирамидъ, имѣющихъ по равной грани (боковая грань данной пирамиды). Очевидно, что сумма объемовъ всѣхъ этихъ пирамидъ равна объему данной пирамиды. Поэтому обозначая черезъ о площадь боковой грани пирамиды, имѣемъ:

откуда выводимъ:

т. е. разсматриваемая сумма есть постоянная величина.

2-е рѣшеніе. Опустимъ изъ точки М перпендикуляры МНХ, МН2... МНп на боковыя грани, а на стороны основанія перпендикуляры МКХ, МК2, MKS...... МКп . Въ полученныхъ п прямо-

угольныхъ треугольникахъ MHkKk уголъ при точкѣ Kk одинъ и тотъ же—уголъ наклоненія боковой грани къ плоскости основанія. Отсюда имѣемъ:

Суммируя эти равенства получимъ:

Сумму 2 МКк легко найти, если обратимся къ выраженію площади многоугольника А1 А2 .А3... Ап:

(іа—величина стороны основанія)

отсюда имѣемъ:

а потому

Замѣтивъ, что 2 8 = п. а . г (г апоѳема основанія), будемъ имѣть:

а такъ какъ г sin а есть ничто иное, какъ длина перпендикуляра, опущеннаго изъ центра основанія на боковую грань, то можемъ заключить, что наша сумма перпендикуляровъ равна суммѣ перпендикуляровъ опущенныхъ на боковыя грани изъ центра основанія.

Замѣтимъ, что въ первоначальной формулировкѣ теорема остается справедливой и для неправильной пирамиды, если только у нея всѣ грани равновелики. Справедливость этого утвержденія слѣдуетъ изъ перваго рѣшенія задачи.

И. Евдокимовъ (Шуя), В. Кованько (ст. Струнино), Н. Козыревъ (Енисейскъ), А. Сергѣевъ (Москва), А. Сердобинскій (Петроградъ).

Библіографическій отдѣлъ.

С. П. Виноградовъ. Основанія теоріи детерминантовъ. Изд. Т-ва И. Д. Сытина. М. 1915. Ц. въ переплетѣ 75 к.

Теорія детерминантовъ, или опредѣлителей, является весьма важной частью математической науки и знакомство съ нею совершенно необходимо

для всякаго лица, приступающаго къ изученію высшей математики. Какъ извѣстно, зарожденіе ея относится еще къ концу 17-го вѣка (Лейбницъ), затѣмъ она была возсоздана и разработана во 2-й половинѣ 18-го вѣка Крамеромъ и др. математиками, а въ трудахъ знаменитыхъ геометровъ 19-го вѣка получила уже полное и блестящее развитіе. Представляя значительный интересъ и по своему содержанію, эта теорія особенно важна по ея приложеніямъ въ самыхъ различныхъ отдѣлахъ чистой и прикладной математики, такъ какъ пользованіе детерминантами чрезвычайно упрощаетъ и облегчаетъ сложныя вычисленія и изслѣдованія и позволяетъ представить полученные результаты въ сжатомъ, удобномъ для запоминанія и изящномъ видѣ.

Въ виду важнаго прикладного значенія теоріи детерминантовъ, изложеніе основъ ея можно встрѣтить въ курсахъ различныхъ другихъ математическихъ наукъ, напр., на русскомъ языкѣ: Высшей Алгебры -пр. М. Тихомандрицкаго, Серре; Аналитической Геометріи—пр. К. Андреева; анализа— Э. Чезаро и пр., а также въ нѣкоторыхъ курсахъ по введенію въ Анализъ, Теоріи чиселъ и др. (нѣкоторыя элементарныя свѣдѣнія приведены въ элементарной алгебрѣ Давидова). Эти изложенія, однако, конечно не могутъ замѣнить самостоятельнаго учебника по теоріи детерминантовъ. Между тѣмъ, книгъ, спеціально посвященныхъ этой теоріи на русскомъ языкѣ крайне мало, и онѣ представляютъ собою почти исключительно университетскіе курсы, рѣдко встрѣчающіеся въ общей продажѣ, не всегда подходящіе для первоначальнаго знакомленія съ предметомъ и не содержащіе упражненій. Однимъ изъ лучшихъ современныхъ учебниковъ по теоріи опредѣлителей можно признать книгу Нетто: „Начала теоріи опредѣлителей“, пер. С. О. Шатуновскаго, но и она нѣсколько трудна для начинающихъ и не содержитъ упражненій.

Въ виду всего сказаннаго, нельзя не привѣтствовать появленія книги С. П. Виноградова „Основанія теоріи детерминантовъ“. По словамъ автора, въ предисловіи, она именно имѣетъ цѣлью служить пособіемъ для учащихся при изученіи теоріи детерминантовъ и содержитъ изложеніе этой теоріи и собраніе задачъ, ее иллюстрирующихъ.

Разсмотрѣніе учебника г. Виноградова показываетъ, что поставленная имъ цѣль достигнута весьма удачно, и что въ его книгѣ наша учащаяся молодежь дѣйствительно получаетъ теперь надлежащее пособіе для изученія теоріи опредѣлителей.

Книга раздѣлена на 6 главъ. Изъ нихъ первыя двѣ являются вступительными и содержатъ нѣкоторыя предварительныя необходимыя свѣдѣнія изъ теоріи соединеній, а также разсмотрѣніе простѣйшихъ детерминантовъ 2-го и 3-го порядковъ, получающихся при рѣшеніи системъ уравненій 1-й степени съ 2 и 3 неизвѣстными. Въ главѣ III обобщаются полученные результаты, выводится общее понятіе о детерминантѣ 4-го порядка и излагаются его свойства, вытекающія изъ разложенія его по элементамъ какого-нибудь ряда. Въ главѣ IV дѣлается дальнѣйшее расширеніе введенныхъ понятій и даются свѣдѣнія о минорахъ какого угодно порядка, о матрицѣ, являющейся обобщеніемъ детерминанта, а также излагается основная въ теоріи опредѣлителей теорема Лапласа и приложеніе ея къ умноженію детерминантовъ. Глава V посвящена симметрическимъ детерминантамъ различныхъ видовъ; наконецъ, глава VI содержитъ приложеніе теоріи детерминантовъ къ рѣшенію и изслѣдованію системъ линейныхъ уравненій.

Изложеніе вездѣ отличается стройнымъ планомъ и научной строгостью, но въ то-же время ясностью и простотой. Для поясненія теоріи въ текстѣ разбирается много буквенныхъ и числовыхъ примѣровъ. Но особеннымъ достоинствомъ книги является большое количество примѣровъ для самостоятельныхъ упражненій учащихся, интересно подобранныхъ и снабженныхъ отвѣтами.

Книга тщательно издана и прокорректирована: послѣднее является очень важнымъ для учебника по детерминантамъ въ виду пользованія индексами. Изъ недосмотровъ мы отмѣтимъ лишь опечатку въ условіи задачи № 16 на стр. 40, гдѣ два послѣдніе столбца детерминанта, очевидно, должны быть слиты въ одинъ, и пропускъ въ зад. № 46 на стр. 45, гдѣ не указано, что означаетъ п.

Какихъ-либо существенныхъ недочетовъ въ книгѣ мы не нашли и ограничимся по поводу ея только слѣдующими пожеланіями, которыя могутъ быть осуществлены въ слѣдующихъ изданіяхъ.

Она совсѣмъ лишена историческихъ указаній, между тѣмъ они въ этой теоріи особенно могутъ быть полезны и интересны для учащихся. Полезно было бы также дать хотя бы краткія библіографическія указанія для тѣхъ лицъ, которыя заинтересовавшись предметомъ, пожелали бы съ нимъ ознакомиться болѣе подробно (списокъ важнѣйшихъ современныхъ курсовъ по теоріи детерминантовъ, служившихъ пособіями автору при составленіи книги, приведенъ въ предисловіи).

Далѣе, въ виду того, что книга предназначается для начинающихъ, было бы желательно показать что многія извѣстныя учащемуся соотношенія изъ ранѣе изученныхъ отдѣловъ элементарной математики могутъ быть представлены и примѣняемы подъ видомъ детерминантовъ.

Таково, напр., равенство, выражающее свойство членовъ геометрической пропорціи, формулы, выражающія теорему сложенія тригонометрическихъ функцій, выраженіе площади треугольника по тремъ сторонамъ и пр Для той же цѣли—установить связь между ранѣе пройденными отдѣлами и детерминантами—было бы полезно въ число упражненій ввести примѣры детерминантовъ, элементами которыхъ являются члены ариѳметической и геометрической прогрессій, числа Паскалева треугольника и т. п.

Для теоремы объ умноженіи детерминантовъ, кромѣ полученія ея изъ теоремы Лапласа, желательно было бы дать еще какой-либо болѣе простой выводъ (отчасти это выполнено въ примѣрахъ 3 и 4 на стр 71).

Символы QQ «-/>, 00 2 (Стр. 93, 104) и т. п., по ихъ отвлеченности, мало доступны для начинающихъ и ихъ лучше было бы опустить.

Въ общемъ книга г. Виноградова удачно заполняетъ важный пробѣлъ въ нашей учебной математической литературѣ.

Опредѣленіе Учебнаго Комитета при Святѣйшемъ Синодѣ о журналѣ „Математическое Образованіе“.

Учебнымъ Комитетомъ при Святѣйшемъ Синодѣ журналъ „Математическое Образованіе“ допущенъ въ библіотеки духовныхъ семинарій и училищъ и женскихъ епархіальныхъ училищъ. („Церковныя Вѣдомости“, 1914 г., № 50).

Новыя книги:

„Педагогическій Сборникъ" за пятьдесятъ лѣтъ (1864—1914). Краткій историч. очеркъ. Сост. И. С. Симоновъ. Петроградъ 1914 г.

В. Каврайскій. Графическое рѣшеніе астрономическихъ задачъ. Спб. 1913—14. Ц. 1 р. 50 к.

И. Александровъ. Методы рѣшеній ариѳметическихъ задачъ. 7-е дополненное изданіе. М. 1915. Ц. 40 к.

С. П. Виноградовъ. Основанія теоріи детерминантовъ. Изд. Т-ва И. Д. Сытина. М. 1915. Ц. въ перепл. 75 к.

Леженъ-Дирикле, Риманнъ, Липшицъ. Разложеніе функцій въ тригонометрическіе ряды. Пер. Г. А. Грузинцева и С. Н. Бернштейна. Харьковская математическая библіотека. Сер В. № 2. Харьковъ. 1914 г. Ц. 50 к.

С. В. Орловъ. Основанія аналитической геометріи на плоскости. Курсъ VII кл. реальныхъ училищъ. М. 1914. Ц. 80 к.

ІІроф. Д. Д. Мордухай-Болтовскій. Второй всероссійскій съѣздъ преподавателей математики. Варшава. 1914.

Русскій астрономическій календарь-ежегодникъ на 1915 г. Нижег. Кружка любителей физики и астрономіи. Н.-Н. 1915. Перемѣнная часть. Ц. 60 к.

Опечатка.

Въ № 7 за 1914 г., стр. 339, напечатано: р = 2, 3, 7, слѣдуетъ: 1> = 3,7.

Отвѣтственный редакторъ I. И. Чистяковъ.