Математическое Образованіе.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка. Годъ третій.

№ 8.

Декабрь 1914 г.

МОСКВА.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

„Математическое Образованіе“

Декабрь 1914 г. Цодъ 3-й. № 8.

СОДЕРЖАНІЕ: О нѣкоторыхъ признакахъ дѣлимости. I. И. Чистяковъ - Направляющіе элементы математическаго изслѣдованія. М. Осинскій.—О Фокальныхъ коническихъ сѣченіяхъ. В. Добровольскій. — О фокусахъ коническаго сѣченія, вписаннаго въ треугольникъ. В. Добровольскій.—Діагонали ромба, составленнаго изъ двухъ равностороннихъ треугольниковъ, несоизмѣримы. Е. Томашевичъ.— О недостаткѣ времени на каждый отдѣльный предметъ въ средней школѣ. И. Александровъ,—Задачи. Рѣшенія задачъ.—Среди математическихъ журналовъ. Н. Агрономовъ.— 50-лѣтній юбилей „Педагогическаго Сборника“. Ред.—Засѣданія Московскаго Математическаго Кружка. Опечатки. Оглавленіе.

О нѣкоторыхъ признакахъ дѣлимости.

І. И. Чистяковъ. Москва.

1. Изложеніе статьи о признакахъ дѣлимости въ современныхъ курсахъ ариѳметики отличается большимъ однообразіемъ и рутиной. По традиціи, въ учебникахъ и руководствахъ въ этой статьѣ неизмѣнно помѣщается одинъ и тотъ-же матеріалъ, содержащій выводъ признаковъ дѣлимости на нѣкоторыя, весьма немногія и простѣйшія, числа, причемъ обычно изложеніе не сопровождается никакими упражненіями. Такое содержаніе названной главы ариѳметики мало соотвѣтствуетъ современному состоянію математической науки и, въ частности, элементарной теоріи чиселъ, въ которой вопросъ о дѣлимости чиселъ давно получилъ блестящую и исчерпывающую разработку. Отсутствіе-же упражненій еще болѣе понижаетъ цѣнность этого отдѣла ариѳметики въ педагогическомъ отношеніи. Настоящая замѣтка имѣетъ своею цѣлью пополнить обычно излагаемое теоретическое содержаніе статьи о признакахъ дѣлимости чиселъ, а также намѣтить нѣкоторый матеріалъ для соотвѣтствующихъ упражненій учащихся, которымъ этотъ отдѣлъ ариѳметики нерѣдко кажется скучнымъ, тогда какъ онъ можетъ представить большой интересъ.

2. Пусть число N изображается по десятичной системѣ счисленія цифрами . ... d с Ь а, т.-е.

УѴ= л 10lb -j- 102с -J- 103d -f . . , . (1).

Обычно, въ основаніе при выводѣ признаковъ дѣлимости кладется теорема объ остаткахъ: остатокъ отъ дѣленія

суммы на какое-нибудь число равенъ суммѣ остат-

ковъ отъ дѣленія отдѣльныхъ слагаемыхъ на т о-ж е число. Если остатки отъ дѣленія степеней ІО1, ІО2, ІО3, ІО4. . . . (такъ называемые степенные вычеты числа 10) на число р будутъ соотвѣтственно равны к, I, т, п .... , то остатокъ отъ дѣленія N на р будетъ равенъ а-\-кЪ -\-lc-\- md . . . . , и признакомъ дѣлимости N на р будетъ условіе:

а + кЪ + Іс + md -)-....= кратн. р.

Средняя школа пользуется этой теоремой для вывода признаковъ дѣлимости почти исключительно въ тѣхъ случаяхъ, когда к, I, т, п ... . равны 1 или 0. Между тѣмъ, разсмотрѣніе другихъ значеній степенныхъ вычетовъ числа 10 часто даетъ возможность получить удобные и интересные признаки дѣлимости на другія числа, кромѣ указываемыхъ въ руководствахъ, или на тѣ-же, но въ иной формѣ. Напр., полагая р = 4, замѣчаемъ, что при дѣленіи на 4 степеней 101, ІО2, ІО3 ... . соотвѣтствующіе остатки будутъ 2, 0, 0 .... , поэтому признакомъ дѣлимости N на 4 будетъ: а + 26 = крат. р, т.-е. если цифра единицъ числа, сложенная съ удвоенною цифрою его десятковъ, даетъ сумму, дѣлящуюся на 4, то и все число раздѣлится на 4.

Аналогично, такъ какъ при р = 8 степени 101, ІО2, ІО3, ІО4. . . . даютъ остатки 2, 4, 0, 0 . . . , то признакомъ дѣлимости Лт на 8 будетъ: а +- 2b 4с = крат. 8.

При дѣленіи на р = 6, всѣ степени ІО1, ІО2, ІО3. . . . даютъ остатокъ 4, а потому признакомъ дѣлимости на 6 будетъ:

а+4 (Ь-\-с-\-d-\- . . . .)= кр. 6.

Для р— 12 аналогично найдемъ признакъ

(л —{— 106) —|— 4 (с -ь d -j'- . . . .) = кр. 12.

Для р = 15 имѣемъ при дѣленіи степеней ІО2, ІО3, ІО4. , . . остатокъ 10, а потому признакъ дѣлимости на 15 есть

ÖK —I— 10 (6—|— с—|— d—J-. . . .) = крат. 15,

т.-е. если сумма цифры единицъ числа съ удесятеренной суммой прочихъ цифръ дѣлится на 15, то и все число раздѣлится. Напр., по этому признаку 23115дѣлится на 15, такъ какъ 5 -f- 10 (2 + 3 -)- 1 + 1) = 75.

Подобнымъ-же образомъ, не трудно вывести признаки дѣлимости на числа 18, 45 и др.

3. Пользованіе отрицательными остатками, которое въ нашихъ учебникахъ примѣняется лишь для вывода признаковъ дѣлимости на 11, можетъ еще болѣе расширить группу легко получаемыхъ признаковъ дѣлимости. Такъ, замѣчая что прир=7, степени 10°, 101, ІО2, ІО3, ІО4, ІО5, ІО6. . . . даютъ соотвѣтственно остатки 1, 3, 2,—1,—3,—2, 1, . . . , получаемъ признакъ дѣлимости на 7 въ видѣ

(<і —I- 3Ь -j— 2с) — (d —|— Зв —|— 2/*) —J—. . . .= кр. 7,

т.-е. испытуемое число надо раздѣлить на грани отъ правой руки къ лѣвой по 3 цифры въ каждой, причемъ вторую цифру надо утроить, а третью удвоить, и изъ суммы цифръ граней, стоящихъ на нечетныхъ мѣстахъ, вычесть сумму цифръ граней, стоящихъ на четныхъ мѣстахъ; если разность раздѣлится на 7, то и все число раздѣлится на 7. Напр., испытывая указаннымъ образомъ число 84523341, имѣемъ:

(1 —|— 3. 4 -(— 2. 3) — (3 —j— 2. 3 —J— 5. 2) —{— (4 -j— 8. 3) = 28,

значитъ, взятое число дѣлится на 7.

4. Изложенный способъ вывода признаковъ дѣлимости, основанный на разложеніи (і.) числа N по степенямъ основанія 10, можетъ быть обобщенъ, если примемъ за основаніе какую-нибудь степень 10, напр., 10™ . Дѣйствительно, пусть

N= А + 10™ В+102™ <7 + ІО3™ D+. . . .

и пусть при дѣленіи на р степени 10™ , Іо2™ , ю3™ .... даютъ соотвѣтственно остатки (/, г, s. . . . , тогда остатокъ отъ дѣленія N на р будетъ равенъ

А Bq -f- Ст -f- Ds -f-. . . . и признакомъ дѣлимости N на р будетъ

А -f- Bq -f- Cr -|~ Ds -f-. . . . = крат. p.

Напр., замѣчая, что при т = 3, ІО3 = 1000 даетъ при дѣленіи на 27 и 37 въ остаткѣ 1, и представляя число N въ видѣ:

N = А + 103£ + Ю6.(7+ .... (3)

получаемъ условіе дѣлимости N на 27 и 37 въ видѣ:

. . . = кр. 27 или кр. 37,

т.-е. число надо раздѣлить на грани отъ правой руки къ лѣвой по 3 цифры въ каждой и сложить сумму

полученныхъ граней; если сумма раздѣлится на 2 7 или 37, то и все число раздѣлится.

Подобнымъ же образомъ для сужденія о дѣлимости числа на 101 надо раздѣлить его на грани по 4 цифры въ каждой и разсмотрѣть дѣлимость на 101 суммы полученныхъ граней; (такъ какъ 104= 10000 даетъ при дѣленіи на 101 въ остаткѣ 1); для дѣлителей 41 и 271 нужно взять сумму граней, составленныхъ по 5 цифръ и проч.

5. Пользуясь тѣмъ-же разложеніемъ (3.) числа Ат и имѣя въ виду, что при дѣленіи на числа 7, 11 и 13 степени ІО3, ІО6, ІО9. . . . даютъ остатки—1, + 1,—1 и т- Д-> получимъ условіе дѣлимости N на эти числа въ видѣ: А—В + С — і) + . . . = кр. 7, или 11, или 13. Слѣдовательно, нужно раздѣлить число награни отъ правой руки къ лѣвой по 3 цифры въ каждой и изъ суммы граней, стоящихъ на нечетныхъ мѣстахъ, вычесть сумму граней, стоящихъ на четныхъ мѣстахъ; если разность раздѣлится на какое-либо изъ чиселъ 7, 11 или 13, то и все число раздѣлится. Напр., испытывая дѣлимость на 7 числа 84523341, получимъ

523—(341 + 84) = 98,

т.-е. оно дѣлится на 7. Отсюда, какъ слѣдствіе, вытекаетъ, что число, изображенное какими-нибудь 6 цифрами, причемъ первыя три цифры соотвѣтственно одинаковы съ тремя слѣдующими, дѣлится одновременно на 7, 11, 13, а слѣдовательно и на произведенія изъ этихъ чиселъ. Такъ, числа 128128, 534534, 61061 и т.п. дѣлятся на 7, 11, 13, 77, 91, 143, 1001.

Аналогично, замѣчая, напр., что при дѣленіи ІО4, ІО8, ІО12. . . на 137 получаются остатки—1,+ 1,—1 и т. д., видимъ, что для этого дѣлителя прійдется дѣлить число на грани по 4 цифры въ каждой и разсмотрѣть разность между суммою граней, стоящихъ на четныхъ и нечетныхъ мѣстахъ. Напр., число 21454885 раздѣлится на 137, такъ какъ 4885 — 2145 =2740 число, дѣлящееся на 137.

6. Какъ было уже упомянуто въ § 2, полезно при разсмотрѣніи степенныхъ вычетовъ числа 10 по отношенію къ какому-либо дѣлителю не ограничиваться тѣми случаями, когда они равны +1 или 0, но разсматривать и другія ихъ числовыя значенія, когда они малы. Этимъ путемъ получается слѣдующій способъ для вывода признаковъ дѣлимости.

Пусть какая - нибудь степень 10w прн дѣленіи на р даетъ сравнительно малый остатокъ г. Представимъ наше число

въ видѣ суммы двухъ слагаемыхъ:

Л7=а+1016+. . . . +10m~1qf + 10w ($+Ш + 102w + . . . .)

тогда остатокъ отъ дѣленія N на р можетъ быть представленъ въ видѣ:

Nt = а + LO1?) +. . . . -f- 10w_1g + r(s + Ш + Ю2м+. . . .);

слѣдовательно, для полученія остатка нужно число, выражаемое т первыми отъ правой руки цифрами даннаго числа, прибавить къ числу, стоящему влѣво отъ него и умноженному на г. Если это новое число будетъ еще довольно велико, съ нимъ можно опять поступить такъ-же, и т. д., пока не придемъ къ остатку меньшему, чѣмъ р.

Замѣчая, напр., что 100 при дѣленіи на 97 даетъ въ остаткѣ 8, заключаемъ, что число N раздѣляется на 97, если сумма числа, выражаемаго двумя послѣдними цифрами N и утроеннаго числа, выраженнаго прочими цифрами, дѣлится на 97.

Напр., испытывая этимъ способомъ дѣлимость на 97 числа 852824, послѣдовательно получимъ:

8528.3 + 24 = 25584 4- 24 = 25608

256.3 + 8 = 768 + 8 = 776;

7.3 + 76 = 21 + 76 = 97,

т.-е. данное число дѣлится на 97.

Найдемъ еще по этому способу остатокъ отъ дѣленія 1000000 на 97.

Получимъ : 1000000

30000 900 27

т.-е. остатокъ будетъ 27.

Подобнымъ-же образомъ, такъ какъ 100 = 47.2 + 6, убѣждаемся, что число раздѣлится на 47, если сумма числа, выражаемаго его двумя послѣдними цифрами, и ушестереннаго прочаго числа дѣлится на 47 и т. и.

Учащіеся сами могутъ увеличить число подобныхъ примѣровъ признаковъ дѣлимости.

(Окончаніе въ слѣд. №).

Направляющіе элементы математическаго изслѣдованія.

М. Осинскій. Варшава.

(Окончаніе).

Вотъ что пишетъ Пуанкаре: „Я былъ занятъ запутанными вычисленіями и съ трудомъ добрался до результата; мой трудъ не будетъ оплаченъ, если я, благодаря ему, не достигну умѣнія предвидѣть результаты другихъ аналогичныхъ вычисленій и справляться съ ними, избѣгая работы ощупью, какъ это было въ первый разъ. И наоборотъ, я не потеряю своего времени, если сама работа ощупью кончится тѣмъ, что для меня вскроется глубокое сходство только что рѣшенной задачи съ гораздо болѣе обширнымъ классомъ другихъ задачъ; если эта работа покажетъ мнѣ вдругъ и сходства и различія, если, однимъ словомъ, благодаря ей, мнѣ удастся предвидѣть возможность обобщенія. Стало быть я добуду не новый результатъ, но новую власть“.

Та же точка зрѣнія у Декарта, Лейбница и у другихъ изслѣдователей. Эта мысль имѣетъ глубокіе корни во всѣхъ областяхъ излѣдованія. Гёте, напримѣръ, говоритъ; „Мнѣ ненавистно все то, что лишь увеличиваетъ мои познанія, не дѣлая меня вмѣстѣ съ тѣмъ способнѣе къ дѣятельности, не переходя непосредственно въ жизнь“.

Изученіе искусства изслѣдованія, какъ и изученіе всякаго другого, дѣйствуетъ на эстетическое чувство и способствуетъ его развитію. Эмоціональный факторъ такимъ образомъ приводится въ дѣятельное состояніе, а вслѣдствіе этого приводятся въ соприкосновеніе и поддерживаютъ другъ друга въ своемъ развитіи самыя разнородныя душевныя способности, которыя служатъ опорой для творческой дѣятельности. Изучая искусство изслѣдованія, мы ведемъ наше развитіе по пути, указанному намъ самой природой, которая вложила въ насъ многія способности не раздѣленными между собой, какъ предметы въ комнатѣ, а органически связанными. Идеальная цѣль, которую мы можемъ себѣ поставить—это гармоническое ихъ развитіе.

Общими методами, на которые опирается искусство изслѣдованія является синтезъ, анализъ и приведеніе къ абсурду.

Синтезъ и приведеніе къ абсурду приносятъ пользу въ самыхъ простыхъ случаяхъ; главная же роль принадлежитъ анализу. Анализъ состоитъ изъ двухъ элементовъ — во-первыхъ построеніе гипотезъ, т. е. нахожденіе отдѣльныхъ теоремъ, черезъ которыя приходится проходить, идя отъ нѣкотораго извѣстнаго положенія къ тому, которое нужно доказать, или же нахожденія отдѣльныхъ задачъ, черезъ которыя приходится идти отъ задачи, рѣшеніе которой намъ извѣстно, къ задачѣ предложенной. Эта часть анализа самая важная—она требуетъ таланта. Вторымъ элементомъ анализа является построеніе выводовъ изъ гипотезъ— послѣдній ходъ разсужденій есть синтезъ. Такимъ образомъ син-

тетическій методъ является составной частью анализа, метода болѣе общаго. Таково соотношеніе этихъ методовъ.

Вотъ что пишетъ Галуа по поводу синтеза и анализа.

„Такъ какъ всякая новооткрытая теорема, тѣмъ самымъ, что она доказана, связана уже съ первоначальными аксіомами, то кажется, что ее можно было бы вывести изъ этихъ аксіомъ. Но такъ оно кажется лишь тѣмъ, кто смотритъ на уже готовую науку, а не на науку только еще дѣлающуюся. Аналисты скрываютъ это отъ себя—они не выводятъ, они комбинируютъ, они сравниваютъ; они достигаютъ истины, предварительно постучавшись и потолкавшись съ разныхъ сторонъ“.

Декартъ пишетъ: „Я замѣтилъ, что въ логикѣ ея силлогизмы и большинство другихъ ея предписаній служатъ болѣе къ тому, чтобы изъяснить другому то, что намъ извѣстно, или даже, чтобы говорить безъ собственнаго разсужденія о томъ, чего не знаешь, а не къ тому, чтобы что-либо изучать. Правда логика содержитъ не мало правилъ, очень вѣрныхъ и очень хорошихъ, но къ нимъ примѣшано столько вредныхъ и лишнихъ, что раздѣлить ихъ столь же почти трудно, какъ вызвать Діану или Минерву изъ необдѣланнаго еще куска мрамора“.

Переходя теперь къ изложенію основныхъ правилъ, которыми руководится изслѣдованіе, замѣчу, что нужно различать среди нихъ общія правила и частныя—послѣднія относятся къ отдѣльнымъ классамъ вопросовъ, а также нужно отличать правила, которыми руководятся при доказательствахъ теоремъ, или, говоря точнѣе и въ болѣе общей формѣ, при провѣркѣ гипотезъ.

Изложу сначала правила, которыми руководятся при провѣркѣ гипотезъ.

I. „Нужно подставлять опредѣленія вмѣсто терминовъ“.

Это правило Паскаль положилъ въ основаніе всей логики.

Дѣйствительно мыслить въ научныхъ понятіяхъ и постоянно раскрывать содержаніе понятій не есть прирожденное свойство нашего ума—это привычка, которая должна быть выработана постоянной практикой.

Примѣры: 1) Доказать, что разсматриваемый уголъ прямой, значитъ доказать, что онъ равенъ своему смежному.

2) Доказать, что разсматриваемыя прямыя параллельны, значитъ доказать, что онѣ лежатъ въ одной плоскости и при продолженіи не встрѣчаются и т. д.

II. „Приступая къ доказательству теоремы нужно точно выяснить гипотезу теоремы и заключеніе“.

Точное выясненіе гипотезы теоремы и заключенія помимо того, что заставляетъ концентрировать вниманіе на данномъ и искомомъ, представляетъ хорошее упражненіе въ правилѣ Паскаля, ибо для указаннаго выясненія необходима подстановка вмѣсто терминовъ, входящихъ въ формулировку вопроса, ихъ опредѣленій.

Примѣры: 1) Въ равнобедренномъ треугольникѣ АВС медіана основанія BD дѣлить уголъ при вершинѣ В пополамъ и перпендикулярна къ основанію.

Выясненная гипотеза AB = ВС и AD = DC.

Выясненное заключеніе /_ ADB= /_BDC и /_ABD — /_[CBD.

2) Двѣ параллельныя плоскости Р и Q пересѣкаются третьей плоскостью по линіямъ AB и CD параллельнымъ.

Выясненная гипотеза. Плоскость Р не встрѣчаетъ плоскости Q.

Выясненное заключеніе. AB не встрѣчаетъ CD и AB въ одной плоскости съ CD.

Въ виду сказаннаго понятно, почему нужно пріучать учениковъ точно выяснять и записывать на доскѣ то, что дано и что требуется найти, причемъ записаны должны быть выясненная гипотеза и выясненное заключеніе.

III. „Нужно преобразовать гипотезу теоремы“.

Это значитъ, что изъ данной гипотезы выводятъ ближайшія очевидныя слѣдствія и такимъ образомъ замѣняютъ данную гипотезу другой, изъ которой можетъ оказаться легче вывести заключеніе данной теоремы. Нужно однако замѣтить, что преобразованіе гипотезы приноситъ пользу въ сравнительно простыхъ случаяхъ.

Примѣръ. Во всякомъ вписанномъ 4-кѣ ABCD сумма противуположныхъ угловъ равна = 2d.

Выясненная гипотеза углы А, В, С, D суть вписанные.

Заключеніе /_А -f- /_С = 2d.

Преобразованная гипотеза:

а отсюда уже легко получаемъ

заключеніе предложенной теоремы.

IV. „Нужно преобразовать заключеніе данной теоремы“.

Это значитъ мы должны найти предложеніе, изъ котораго дедуктивно вытекаетъ заключеніе предложенной теоремы: при этомъ можетъ оказаться, что указанное предложеніе легче вывести изъ гипотезы данной теоремы.

Преобразованіе заключенія есть самый важный и надежный путь изслѣдованія, — онъ очевидно тождественъ съ анализомъ, тогда какъ преобразованіе гипотезы тождественно съ синтезомъ. Обыкновенно бываетъ такъ, что пользуются обоими методами параллельно; насколько сразу очевидно, преобразовываютъ гипотезу, а затѣмъ, встрѣтивъ на этомъ пути непреодолимыя препятствія, преобразовываютъ заключеніе и такъ поступаютъ до тѣхъ поръ, пока преобразованная гипотеза и преобразованное заключеніе не будутъ сближены настолько, что синтетическій путь отъ первой ко второй не станетъ ясенъ.

Примѣръ. Четыреугольникъ AB CD въ которомъ противуположныя стороны равны и параллельны есть параллелограмъ.

1) Гип. AB — CD и AB I) CD.

2) Закл. AD || ВС.

3) Преобраз. гип. AB -- CD, X^ACD—XBAC и /XJDB=X_ABD.

4) Преобраз. гип. AB = CD, СО = OH, OB = 0Z>.

5) Преобраз. закл. JSCH = /CAD,

Синтетическій путь отъ (4) къ (5) ясенъ.

Изложенныя мной сейчасъ правила мы находимъ въ курсѣ геометріи Hadamard’a, равно какъ у него же находимъ еще одно правило, данное Абелемъ, которое я помѣщаю немного далѣе, ибо въ такомъ случаѣ его легче будетъ объяснить.

Теперь я предложу Вашему вниманію нѣсколько правилъ, которыми я самъ пользуюсь и которыми я постоянно руководился въ элементарной геометріи при доказательствахъ геометрическихъ теоремъ и при рѣшеніи задачъ въ самыхъ сложныхъ случаяхъ. Упомяну, напр., о задачахъ изъ сборниковъ Лезана, включая сюда и элементарную теорію коническихъ сѣченій. Правила эти суть частныя, ибо касаются извѣстныхъ классовъ вопросовъ.

Ихъ я провожу вмѣстѣ съ вышеизложенными правилами при преподаваніи геометріи

V. „Равенство угловъ и отрѣзковъ доказывается изъ равенства треугольниковъ, въ которые они входятъ.“

Примѣръ. Діагонали параллелограмма взаимно дѣлятся пополамъ.

VI. „Равенства второй степени доказываются изъ подобныхъ треугольниковъ, при этомъ, если отрѣзки, входящіе въ равенство, не образуютъ подобныхъ треугольниковъ, то послѣдніе нужно построить, опуская нѣкоторые перпендикуляры или вообще проводя линіи подъ равными углами къ даннымъ“.

Примѣры. 1) Произведеніе отрѣзковъ хордъ AB и CD, проходящихъ черезъ постоянную точку О внутри окружности, есть величина постоянная.

АО . OB = СО . 0D.

Эта равенство доказывается изъ подобныхъ треугольниковъ. А ОС и BOD или же изъ треугольниковъ СОВ и AOD.

2) Въ прямоугольномъ треугольникѣ АВС квадратъ катета равенъ произведенію гипотенузы на прилежащій отрѣзокъ гипотенузы.

AB- = АС .AD, ВС2 = AC. DC.

Первое равенство доказывается изъ подобныхъ треугольниковъ ABD и АВС, а второе изъ треугольниковъ BCD и АВС.

VII. Равенство указываетъ, что нужно сдѣлать для его доказательства.

Примѣръ. 1) Въ прямоугольномъ треугольникѣ АВС.

А С2 — AB2 -|- ВС2.

Это равенство указываетъ, что нужно найти AB2, затѣмъ ВС2 и полученныя равенства сложить.

2) Во вписанномъ четыреугольникѣ ABCD.

AC. BD = AB . CD -f- ВС . AD.

Это равенство показываетъ, что нужно найти AB . CD, затѣмъ ВС . AD и полученныя выраженія сложить..

УIII. Если равенство двухъ величинъ не удается доказать непосредственно, то одну изъ нихъ или обѣ замѣняютъ имъ равными и доказываютъ равенство послѣднихъ.

Примѣръ. Если черезъ середину М хорды AB проведемъ двѣ произвольныхъ хорды CD и EF, и затѣмъ проведемъ хорды СЕ и DF, то послѣднія отсѣкутъ на хордѣ AB равные отрѣзки РМ и MQ.

Построимъ къ хордамъ СЕ и DF перпендикуляры ÖR и 0S изъ центра.

Равенство отрѣзковъ РМ и MQ можно доказать изъ равенства прямоугольныхъ треугольниковъ ОМР и OMQ, равенство же послѣднихъ будетъ доказано, если мы докажемъ равенство угловъ РОМ и QOM; равенство послѣднихъ непосредственно доказать нельзя. Замѣнимъ ихъ равными имъ углами и докажемъ равенство послѣднихъ. Разсмотримъ четыреугольники MORP и MOSQ; около каждаго изъ нихъ можно описать окружность, ибо /_ РМО = — / PRO = d и /_ QMO = /_ QSO = d, слѣд. / РМО + £PRO=2d и /_ QMO -)- /_ QSO = 2d. Изъ этихъ четыреугольниковъ находимъ что

Равенство угловъ PRM и QSM легко усматривается изъ подобныхъ треугольниковъ ЕМС и DM F, ибо послѣдніе углы суть углы при медіанахъ, проведенныхъ изъ сходственныхъ вершинъ подобныхъ треугольниковъ.

IX „При нахожденіи доказательствъ теоремъ и при рѣшеніи задачъ нужно пользоваться аналогіями съ доказательствами извѣстныхъ теоремъ и съ рѣшеніями извѣстныхъ задачъ“.

Прекрасные примѣры для упражненія въ аналогіяхъ даетъ элементарная теорія коническихъ сѣченій, хотя и въ курсѣ геометріи средней школы есть много примѣровъ для проведенія аналогій.

X. „Чтобы доказать, что нѣкоторая геометрическая фигура (точка, линія...), обладающая данными свойствами, обладаетъ также еще новымъ свойствомъ, достаточно доказать, что фигура, обладающая послѣднимъ свойствомъ и всѣми изъ данныхъ кромѣ одного, обладаетъ также и этимъ свойствомъ“.

Предполагается, конечно, что существуетъ только одна фигура, имѣющая всѣ эти свойства. Указанное правило даетъ возможность преобразовать форму вопроса, при чемъ одна изъ этихъ формъ обыкновенно окажется самой удобной для разрѣшенія вопроса,

Теорема. Въ равнобедренной трапеціи точка встрѣчи діагоналей и прямой, соединяющей середины основаній лежатъ на одной прямой, перпендикулярной къ основаніямъ.

Различныя формы этой теоремы.

1. Прямая, проходящая черезъ середины основаній, проходитъ черезъ точку встрѣчи діагоналей и перпендикулярна къ основаніямъ.

II. Прямая, проходящая черезъ середину одного основанія и черезъ точку встрѣчи діагоналей, проходитъ черезъ середину другого основанія и перпендикулярна къ основаніямъ.

III. Прямая, проходящая черезъ середину одного изъ основаній и перпендикулярная къ нему, проходитъ черезъ точку встрѣчи діагоналей и черезъ середину другого основанія.

IV. Прямая, проходящая черезъ точку встрѣчи діагоналей и перпендикулярная къ основанію, проходитъ черезъ середины основаній.

Послѣдняя форма теоремы самая удобная для доказательства.

XI. „Проблемѣ нужно дать такой видъ, чтобы всегда можно было рѣшить ее“.

Это правило Абеля. Предыдущій примѣръ уяснилъ смыслъ этого правила.

Разумѣется форма преобразованія, указанная правиломъ предшествующимъ правилу Абеля, не единственная.

Этимъ я и заканчиваю правила, относящіяся къ доказательству теоремъ.

Приведу теперь еще одно правило, которымъ пользуюсь при рѣшеніи задачъ.

XII. „Чтобы найти геометрическое мѣсто подвижной точки, или же найти обвертку подвижной прямой, нужно найти постоянную фигуру, съ которой эта точка или прямая связана, а также постоянные элементы, на которые указанная фигура опирается во время движенія.

Примѣръ. Найти геометрическое мѣсто точки, отношеніе разстояній которой до двухъ данныхъ точекъ А и В есть величина постоянная. Указанная подвижная точка, какъ легко убѣдиться, лежитъ въ вершинѣ прямого угла, стороны котораго проходятъ черезъ двѣ постоянныя точки D и (7, дѣлящія отрѣзокъ AB, одна внутренне, а другая внѣшне въ данномъ отношеніи.

Здѣсь я позволю себѣ замѣтить, что при отысканіи геометрическихъ мѣстъ точекъ, а также при отысканіи постоянныхъ элементовъ нѣкоторой перемѣнной фигуры, нужно обязательно пріучать учениковъ производить или построеніе искомаго геометрическаго мѣста по точкамъ, или строить частныя положенія подвижной фигуры. Это съ одной стороны даетъ имъ въ руки во многихъ случаяхъ единственное средство къ рѣшенію задачи, ибо укажетъ форму геометрическаго мѣста и его положеніе; доказательство же послѣ этого не трудно уже провести. Съ другой стороны привьетъ ученикамъ взглядъ на геометрію, какъ на естественнонаучную систему съ абсолютно строгой математической

теоріей, каковой взглядъ будетъ служить важнымъ факторомъ въ дѣлѣ творческаго развитія.

Большинство правилъ Декарта представляетъ направляющіе элементы изслѣдованія, остальныя содержатъ указанія относительно направленія вниманія и облегченія ему работы, а также говорятъ о воспитаніи ума.

Декартъ вовсе не думалъ, что достаточно каждому примѣнить его правила и открытіе истины будетъ обезпечено, какъ это многими было понято. Методъ, по его словамъ, не учитъ производить акты интуиціи и дедукціи, а учитъ только ими управлять. Свои правила Декартъ поэтому и называетъ „Regulae ad directionem ingenii“. Они представляютъ первую попытку созданія теоріи искусства изслѣдованія, которой послѣ занимались Паскаль, Лейбницъ, Ньютонъ, Абель и другіе.

Вотъ что говоритъ Декартъ по поводу своихъ правилъ: „Я замѣтилъ, что достигаю истины не такъ, какъ другіе—неопредѣленными и слѣпыми исканіями, болѣе помощью удачи, чѣмъ помощью искусства, а пользуясь нѣкоторыми постоянными правилами, найденными долгимъ опытомъ, весьма полезными при подобномъ изученіи. Открывая каждый день при помощи моей методы истины важныя на мой взглядъ и обыкновенно неизвѣстныя другимъ людямъ, я проникся такимъ чувствомъ удовлетворенія, что все остальное для меня какъ бы не существовало. Я упражнялся въ своей методѣ и пріобрѣлъ въ познаніи истины болѣе, чѣмъ сколько доставило бы мнѣ чтеніе книгъ и посѣщеніе ученыхъ людей. Но особенно доволенъ я былъ въ этой методѣ тѣмъ, что при ней я во всемъ пользовался умомъ моимъ, если не въ совершенствѣ, то по крайней мѣрѣ какъ могъ лучше. Кромѣ того я чувствовалъ, прилагая ее, что мой умъ привыкаетъ мало-по-малу представлять предметы отчетливо и раздѣльно. Мнѣ представляется, что высшіе умы уразумѣли методу, будучи руководимы своей природой. Изученіе безъ порядка и разныя темныя размышленія только мутятъ естественный свѣтъ и погружаютъ умъ во мракъ.

Правила Декарта.

I. „Нельзя раздѣлять наукъ, но нужно охватывать всѣ вмѣстѣ, ибо онѣ выясняются одна другой; заниматься одной значитъ подвергаться ошибкѣ“.

Это правило кажется банальной истиной, но достаточно намъ будетъ, напримѣръ, припомнить, что сравнительно недавно и только благодаря педагогическимъ съѣздамъ установлена необходимость вести преподаваніе такъ, чтобы науки алгебра, геометрія, физика и космографія доставляли матеріалъ другъ другу, для проведенія аналогій и для взаимнаго выясненія, какъ мы принуждены будемъ сказать, что на протяженіи почти 3-хъ столѣтій въ педагогикѣ было въ забвеніи 1-ое правило Декарта. Мысль, выраженную Декартомъ въ первомъ правилѣ, мы находимъ у Либиха въ такой формѣ: „Подобно тому какъ силы природы ни-

когда не производятъ дѣйствія сами по себѣ, а всегда въ соединеніи съ другими силами, точно также и человѣкъ можетъ сдѣлать цѣннымъ то, къ чему онъ чувствуетъ природное расположеніе, лишь въ томъ случаѣ, когда онъ кромѣ этого изучилъ еще и другое многое, что ему дается быть можетъ съ большимъ трудомъ, чѣмъ другимъ“.

II. „Нужно исключить авторитетъ и гипотезу и держаться очевидности интуиціи и дедукціи“.

Развѣ такъ ужъ давно заговорили, напримѣръ, о наглядности въ преподаваніи и дерзнули поднять руку на „Начала Эвклида“, которыя считались и еще и теперь многими считаются какъ лучшая система преподаванія геометріи несмотря на то, что повседневный опытъ насъ учитъ, что чистая дедукція не удовлетворяетъ даже взрослыхъ людей, хорошо знакомыхъ съ формальной логикой, а не то чтобы она составляла естественную пищу для ребенка въ возрастѣ 13—14 лѣтъ.

Забываютъ, однимъ словомъ, ІІ-е правило Декарта.

III „Если, послѣ того, какъ мы узнали простыя истины съ помощью интуиціи, мы будемъ выводить изъ нихъ заключенія, хорошо прикрѣпить вторыя къ первымъ, охватывая ихъ сразу однимъ взглядомъ“.

Это правило касается укрѣпленія памяти.

Ту же мысль мы находимъ у Дюпена.

„Повидимому“, пишетъ онъ, „въ настоящемъ состояніи математическихъ наукъ единственное средство препятствовать, чтобы ихъ область не сдѣлалась слишкомъ обширной для нашего пониманія,—это обобщать все болѣе и болѣе теоріи, которыя охватываютъ эти науки, чтобы такимъ образомъ малое число общихъ и плодотворныхъ истинъ были въ головѣ людей сокращеннымъ выраженіемъ возможно большаго разнообразія частныхъ фактовъ“.

II. „Методъ необходимъ для отысканія истины. Каждый методъ состоитъ въ расположеніи предметовъ нашего изслѣдованія. Нужно замѣнить предложенія сложныя предложеніями простыми и отъ этихъ возвратиться къ первымъ“.

Въ настоящее время, напримѣръ, всѣ говорятъ о необходимости реформы преподаванія, говорятъ, что русская школа очень отстала отъ европейской. Но путь реформы можетъ быть намѣченъ только тогда, когда лучшіе наши педагоги дадутъ солидный матеріалъ - опытомъ провѣренную учебную литературу, на почвѣ которой только и можетъ быть проведена реформа, а вѣдь этого какъ разъ мы и не имѣемъ. Снять копію съ нѣмецкой или французской школы было бы большой ошибкой, ибо въ нихъ тѣ же промахи, что и въ нашихъ школахъ, что съ достаточной ясностью констатировано на съѣздахъ, и новыя идеи какъ у нихъ, такъ и у насъ недостаточно окристаллизовались въ соотвѣтствующей литературѣ.

Взять хотя бы вопросъ о преподаваніи геометріи.

Во французскихъ школахъ мы имѣемъ двѣ крайности: преподаваніе по Borel'ю и по Hadamard’y. Въ Германіи въ погонѣ за

научностью преподаванія добрались до системы аксіомъ Гильберта.

Но вмѣстѣ съ тѣмъ мы встрѣчаемъ здѣсь учебникъ Henrici und Trentlein‘a счастливо соединяющій достоинства и недостатки курсовъ Hadamard’a и Бурле. Но все это книги хорошія для учителя, но не для учениковъ и не для преподаванія по нимъ.

V. „Чтобы достигнуть полнаго знанія нужно съ одной точки зрѣнія охватить всѣ элементы предмета и дать имъ достаточный перечень и расположеніе по классамъ “.

Этимъ правиломъ подтверждается возможность такъ называемыхъ экономизирующихъ идей, каковы, напримѣръ, идеи о функціональной зависимости, о соотвѣтствіи и т. д. Указывается также польза принциповъ и всякихъ обобщеній, однимъ словомъ всего, что способствуетъ систематизаціи, открываетъ пшрокое поле зрѣнія.

VI. „Если въ ряду изслѣдованій намъ встрѣтится пунктъ, котораго мы не понимаемъ, то нужно остановиться“.

VII. „Нужно дробить каждую изъ трудностей, которыя мы разбираемъ, на столько частей, на сколько можно, чтобы ихъ лучше разрѣшить“.

VIII. „Нужно концентрировать нашъ умъ на вещахъ самыхъ простыхъ и легкихъ до тѣхъ поръ, пока мы не пріучимся воспринимать истину отчетливо“.

Приведу нѣсколько примѣровъ, какъ это правило формулируется другими изслѣдователями въ отдѣльныхъ областяхъ знанія. Рамсей говоритъ: „Творческая мысль знаетъ, что открытіе новыхъ фактовъ обыкновенно является изъ разсмотрѣнія мелкихъ и незамѣтныхъ элементовъ. Поэтому-то всегда съ величайшей добросовѣстностью изслѣдовали эти скрытыя отъ глазъ детали и никогда не останавливались передъ созданіемъ особыхъ гипотезъ и спеціальныхъ предпосылокъ необходимыхъ для объясненія этихъ мелкихъ фактовъ“.

Либихъ разсказываетъ, что онъ часто заставлялъ себя не отводить глазъ отъ какого-нибудь предмета, пока не находилъ въ немъ что либо интересное.

Эрмитъ пишетъ: „Въ томъ-то, я думаю, и состоитъ польза изученія частныхъ функцій, что оно намъ показываетъ цѣль, къ которой нужно стремиться при разысканіяхъ болѣе общаго характера“.

Джонъ Рёскинъ говоритъ, что съ юности привыкъ самымъ подробнымъ образомъ разглядывать самые невзрачные предметы.

IX. „Чтобы усовершенствовать нашъ умъ нужно упражняться въ повтореніи открытій, которыя уже были сдѣланы другими. Изслѣдовать по порядку открытія самыя простыя и въ особенности тѣ, которыя предполагаютъ и проявляютъ употребленіе метода открытія. Въ объясненіи этого правила Декартъ пишетъ: „Стремясь открыть самые простые пріемы человѣческой ловкости, мы разсматриваемъ множество методовъ открытія, которыхъ практика составляетъ почти всю проницательность человѣка. Существенно слѣдовать плану во всѣхъ изслѣдованіяхъ. Если бы даже достигли

результатовъ скорѣе, ища неудачу, то все таки было бы ошибочно выбрать этотъ путь, ибо онъ портитъ умъ“.

X. „Если вопросъ вполнѣ понятъ, нужно освободить его отъ всякаго излишняго представленія, дать ему самое простое выраженіе и раздѣлить съ помощью перечисленія на столько частей, насколько это возможно“.

XI. „Полезно чертить фигуры и предлагать ихъ чувствамъ, чтобы помочь вниманію“.

Правило указываетъ необходимость опоры въ интуиціи, необходимость наглядности.

XII. „Элементы вопроса, которые не требуютъ дѣйствительнаго вниманія, но которые однако необходимы для заключенія, должны представляться скорѣе очень сокращенными символами, чѣмъ цѣлыми фигурами“.

Это правило касается облегченія работы вниманія.

XIII. „Нужно пробѣгать въ прямомъ порядкѣ предложенную трудность, не дѣлая различія между членами извѣстными и неизвѣстными и слѣдя съ помощью истинной дедукціи ихъ взаимную зависимость; при чемъ нужно искать столько величинъ, выраженныхъ двумя различными способами, сколько неизвѣстныхъ взято за извѣстныя, а это даетъ такое же число уравненій“.

XIV. „Нужно употребить всѣ средства ума, воображенія, чувствъ и памяти, чтобы достигнуть либо отчетливой интуиціи, либо сопоставленія задачъ съ истинами уже извѣстными и, съ помощью этого средства, рѣшенія этихъ задачъ“.

Изъ всѣхъ правилъ, которыми руководился Декартъ при своихъ изслѣдованіяхъ въ различныхъ областяхъ знанія, онъ выбралъ только тѣ, которыми пользовался во всѣхъ изучаемыхъ имъ наукахъ, а вслѣдствіе этого естественно были опущены правила, примѣняемыя только въ отдѣльныхъ наукахъ. Приведенныя мною раньше 12 правилъ относятся только къ математикѣ и дополняютъ нѣсколько правила Декарта. Послѣднія могутъ быть приложены ко всей математикѣ, какъ въ высшей такъ и къ. низшей, тогда какъ указанныя 12 правилъ должны быть еще пополнены правилами, касающимися элементарной алгебры и высшей математики. Мнѣ, кажется, что одной изъ важныхъ задачъ для математиковъ является отысканіе тѣхъ правилъ, которыя Декартъ упустилъ, но которыя дополнили бы его правила и такимъ образомъ дали бы математическому изслѣдованію возможно болѣе полную и совершенную технику. Этимъ я и заканчиваю вопросъ о направляющихъ элементахъ изслѣдованія.

Въ заключеніе укажу еще на одно важное обстоятельство въ дѣлѣ творческаго воспитанія. Наша школа никакого вниманія не обращаетъ пока на то, какія душевныя и умственныя способности даннаго ученика нужно развивать главнымъ образомъ и прежде всего.

Сравнительно недавно заговорили о томъ, что нужно создать такую школу, въ которой каждый ученикъ могъ бы выбрать матеріалъ по своему расположенію и способностямъ. А вѣдь, что можетъ быть естественнѣе, лучше и цѣлесообразнѣе, какъ не то, чтобы силы каждаго ученика развивались на томъ мѣстѣ, гдѣ

самой природой заложена наибольшая способность развитія. Человѣкъ, у котораго нѣтъразвитого центра какъ растеніе безъ корней. Онъ никогда не будетъ имѣть собственныхъ мнѣній и вкусовъ, и никогда не будетъ самобытной и цѣльной личностью.

О фокальныхъ коническихъ сѣченіяхъ.

В. Добровольскій. Москва.

Фокальными коническими сѣченіями называются эллипсъ и гипербола, расположенные въ двухъ взаимно-перпендикулярныхъ плоскостяхъ такъ, что фокусы эллипса служатъ вершинами гиперболы и обратно (см. фиг. 1). Эти линіи обладаютъ многими замѣчательными свойствами, изъ которыхъ мы остановимся на одномъ, открытомъ Dupin’омъ и тѣснѣйшимъ образомъ связанномъ съ ихъ названіемъ.

Фиг. 1.

Возьмемъ какую-нибудь точку Sx на гиперболѣ и соединимъ ее съ вершинами Ах и А2 эллипса. Кругъ, вписанный въ треугольникъ касается АХА2 въ точкѣ Fv фокусѣ эллипса;

это видно изъ того, что, если мы точку касанія этого круга съ АХА2 обозначимъ черезъ В, а со сторонами АХ8Х и A2S2 черезъ С и D, то АХС — А, В, A2D = А2В и SxG—SxD, а слѣд. 8ХА2— — 8ХАІ = ВА2— ВАХ, т. е. точка В лежитъ на гиперболѣ и потому совпадаетъ съ Fv Изъ этого слѣдуетъ также, что кругъ, внѣвписанный въ треугольникъ А^А^, касается АХА2 въ другомъ фокусѣ F2, такъ какъ F2A2 — FXAV а это свойство и принадлежитъ какъ разъ упомянутой точкѣ касанія. Вращая съ обоими кругами вокругъ биссектриссы угла 8Х получимъ конусъ вращенія съ двумя вписанными тарами, причемъ эллипсъ окажется расположеннымъ на этомъ конусѣ; въ самомъ дѣлѣ, если Мх есть одна изъ точекъ сѣченія конуса плоскостью эллипса, то МХКХ = Мх F у, какъ касательныя къ одному шару, MXNX — MXF2, какъ касательныя къ другому шару (точка Хх касанія образующей SXMX къ другому шару на чертежѣ не указана), но KXNX есть величина постоянная для всѣхъ образующихъ, какъ отрѣзокъ между двумя сѣченіями конуса, перпендикулярными къ его оси (сѣченія эти суть круги касанія конуса съ шарами); слѣд., MXFX + Мх F2 = Ах А2, т. е. точка Мх принадлежишь эллипсу, имѣющему фокусами точки Fx и F2, а вершинами Ах и А2, т. е. именно нашему эллипсу.

Такъ какъ точка 8Х взята на гиперболѣ произвольно, то отсюда мы получаемъ между прочимъ замѣчательное проективное свойство фокальныхъ линій: изъ любой точки гиперболы эллипсъ проектируется при помощи конуса вращенія, иначе говоря: гипербола есть геометрическое мѣсто вершинъ конусовъ вращенія, проходящихъ черезъ эллипсъ. Это свойство взаимное, такъ что и гипербола проектируется изъ любой точки эллипса также при помощи конуса вращенія, но на этомъ мы останавливаться не будемъ, а перейдемъ непосредственно къ нашей цѣли.

Посмотримъ другой конусъ съ вершиной S2 на другой вѣтви гиперболы и проведемъ образующую его 82Мх ; если точка К2 есть точка аналогичная Кх на 8ХМ\, то МХК2 = MXF2, а, слѣд.г MXSX + Мх S2 = МХКХ + -ВД.+ КХ8Х + К282 = ЗД + М{ Г2 + Кх Sx + + K2S2 = АхА2 -f- KXSX -f- K282 = пост, для всѣхъ точекъ эллипса,, напр. равно M2Si-\- М282, а это означаетъ что точки Sx и S2 играютъ роль фокусовъ по отношенію къ эллипсу, хотя и не лежатъ въ его плоскости; это относится ко всѣмъ точкамъ гиперболы,., слѣд., любая пара точекъ, лежащихъ на разныхъ вѣтвяхъ одной и

той же гиперболы, служитъ парой фокусовъ фокальнаго эллипса (въ обобщенномъ выше смыслѣ).

Если возьмемъ точку £3 на той же вѣтви, то найдемъ

MXSX — Л/Д = пост.,

т. е. эллипсъ является здѣсь въ роли гиперболы съ фокусами Sx и S9.

Если мы возьмемъ на эллипсѣ Мх и М2 и зафиксируемъ ихъ, я станемъ мѣнять точки на гиперболѣ, то найдемъ:

М%8% — МД = М2ЬХ — МХКХ = M2FX MVFX = пост.

а также:

МД — МД = МХК2 — М2Ь2 = MXF2 — M2F2 = прежн. пост., слѣд. не только точки Ах и А2, но любыя двѣ точки эллипса служатъ фокальной гиперболѣ фокусами.

Итакъ, фокальное свойство нашихъ коническихъ сѣченій взаимно. Если одинъ изъ фокусовъ, напр. А2 удалится въ безконечность, то вмѣстѣ съ нимъ уйдетъ въ безконечность и точка F2, и оба коническихъ сѣченія обратятся въ фокальныя параболы, для которыхъ остаются въ силѣ лишь гиперболическія свойства, т. е. любая пара точекъ одной параболы служитъ парой фокусовъ для другой въ смыслѣ фокусовъ гиперболы.

Существованіе у эллипса фокусовъ, не лежащихъ въ его плоскости, можно обнаружить еще слѣдующимъ образомъ. Вращая эллипсъ вокругъ большой оси, получимъ удлиненный эллипсоидъ вращенія, всѣ точки котораго даютъ постоянную сумму разстояній до фокусовъ образующаго эллипса; пересѣкая этотъ эллипсомъ любою плоскостью, получимъ въ сѣченіи эллипсъ, точки котораго обладаютъ тѣмъ-же свойствомъ, т. е. имѣютъ своими фокусами тѣ-же точки, хотя послѣднія, вообще говоря, и не лежатъ въ его плоскости. Аналогично можно поступить и съ гиперболой. Исходя изъ этого аналитическимъ или чисто геометрическимъ путемъ можно рѣшить задачу о нахожденіи геометрическаго мѣста всѣхъ фокусовъ даннаго эллипса или гиперболы. Читатель найдетъ рѣшеніе самъ, если это представитъ для него интересъ.

О фокусахъ коническаго сѣченія, описаннаго въ треугольникъ.

В. Добровольскій. Москва.

Фокусы коническаго сѣченія, вписаннаго въ данный треугольникъ, не могутъ быть назначены вполнѣ произвольно,—это

можетъ быть сдѣлано лишь для одного изъ нихъ, послѣ чего положеніе другого опредѣляется вполнѣ. Вмѣстѣ съ тѣмъ опредѣляется полностью и само коническое сѣченіе.

Въ самомъ дѣлѣ, пусть данъ треугольникъ АВС (см. черт.) и точка Fj, которая должна быть по нашему предположенію однимъ изъ фокусовъ вписаннаго коническаго сѣченія; какъ извѣстно, фокусы коническаго сѣченія обладаютъ тѣмъ свойствомъ, что проекціи ихъ на касательныя лежатъ на одной и той же окружности, концентрической съ конич. сѣч.; радіусъ этой окружности для эллипса равенъ его большой полуоси, для гиперболы—ея дѣйствительной полуоси; для параболы окружность обращается въ прямую, касательную къ параболѣ въ ея вершинѣ. Отсюда вытекаетъ слѣдующее простое построеніе другого фокуса: находимъ проекціи F1 на три стороны треугольника—пусть это будутъ точки Di, Е\ и —и проводимъ чрезъ эти точки окружность, пересѣкающую вторично стороны треугольника въ точкахъ jD2, Е2 и G2; перпендикуляры, возставленные къ сторонамъ треугольника въ двухъ изъ. этихъ точекъ, даютъ второй фокусъ F2; легко видѣть,

что проекція F2 на третью сторону лежитъ на той-же окружности, слѣд. всѣ три перпендикуляра, возставленные въ т. D2,E2 и 6г2, пересѣкаются въ одной точкѣ, т.-е. мы имѣетъ извѣстную въ геометріи треугольника теорему:

„Если окружность пересѣкаетъ стороны треугольника ВС, С А и AB въ точкахъ Ах и Л2) В1 и В2) Сг и С2 и если перпендикуляры къ этимъ сторонамъ въ Аъ Вѵ С1 пересѣкаются въ одной точкѣ Мѵ то перпендикуляры къ тѣмъ же сторонамъ въ точкахъ А2, В2, С2 также пересѣкаются въ одной точкѣ (М^)1).

Это построеніе годится для эллипса и гиперболы и не годится для параболы, т. к. въ послѣднемъ случаѣ проекціи фокуса на три касательныя лежатъ на одной прямой; но, какъ извѣстно, проекціи точки на стороны треугольника лишь тогда лежатъ на одной прямой, когда сама точка лежитъ на описанномъ кругѣ (см. напр. Rouché et Comberousse, Traité de Géométrie); прямая называется .въ этомъ случаѣ прямой Симсона, а парабола оказывается внѣвписанной (вообще вписаннымъ въ треугольникъ въ узкомъ смыслѣ слова можетъ быть лишь эллипсъ, какъ не имѣющій безконечно удаленныхъ дѣйствительныхъ точекъ).

Итакъ, фокусы всѣхъ параболъ, внѣвписанныхъ въ данный треугольникъ, лежатъ на описанномъ кругѣ, а оси этихъ параболъ перпендикулярны къ соотвѣтствующимъ этимъ фокусамъ прямымъ Симсона.

Узнавъ изъ указаннаго построенія другой фокусъ, центръ и большую ось, можно построить все конич. сѣч. Точки касанія его со сторонами треугольника получаемъ, соединяя одинъ изъ фокусовъ съ точками, симметричными другому но отношенію къ сторонамъ и находя точки пересѣченія этихъ линій съ соотвѣтствующими сторонами; это слѣдуетъ изъ того свойства точки касанія, въ силу котораго она является единственной точкой на касательной, для которой сумма разстояній до фокусовъ наименьшая.

Выбирая первый фокусъ внутри треугольника АВС, мы получили второй фокусъ также внутри его—конич. сѣч. оказывается вписаннымъ эллипсомъ; при одномъ изъ фокусовъ на сторонѣ треугольника получаемъ другой фокусъ въ противоположной вершинѣ—конич. сѣч. обращается въ прямолинейный отрѣзокъ внутри треугольника и два луча внѣ треугольника,—случай переходный къ гиперболѣ, которая получается, если одинъ изъ фокусовъ выбрать между стороной треугольника и соотвѣтствующей дугой описаннаго круга; другой фокусъ въ этомъ случаѣ получится въ

1) Ефремовъ, Новая геометрія треугольника, стр. 16.

углѣ, вертикальномъ съ противоположнымъ угломъ треугольника; при выборѣ фокуса на описанномъ кругѣ получаемъ, какъ упомянуто выше, параболу, другой фокусъ которой, какъ извѣстно, находится въ безконечности; эта парабола является переходомъ отъ гиперболы къ внѣвписанному эллипсу, который получится при выборѣ фокуса за описаннымъ кругомъ внутри одного изъ угловъ треугольника. Замѣтимъ въ заключеніе, что выбирая фокусъ въ одной изъ вершинъ треугольника, получаемъ любое положеніе второго фокуса на противоположной сторонѣ—единственный случай неопредѣленности въ нашей задачѣ (онъ же является и предѣльнымъ случаемъ, когда конич. сѣч. вырождается въ прямую).

Такимъ образомъ между точками плоскости треугольника АВС существуетъ попарно взаимно-однозначное соотвѣтствіе причемъ по отношенію къ этому соотвѣтствію плоскость разбивается на области, соотвѣтствующія другъ другу, или, какъ говорятъ, преобразовывающіяся одна въ другую. Изъ предыдущаго слѣдуетъ, что область внутри треугольника, а также внѣ его между описаннымъ кругомъ и продолженіями сторонъ преобразуются сами въ себя, каждая-же изъ трехъ областей между описаннымъ кругомъ и периметромъ треугольника преобразуется въ одну изъ трехъ областей внутри угловъ, вертикальныхъ съ углами треугольника и обратно.

Посмотримъ, во что преобразовываются прямыя, проходящія черезъ вершины треугольника; для всѣхъ точекъ такой прямой имѣемъ, какъ извѣстно, постоянное отношеніе разстоянія до сторонъ треугольника, сходящихся въ данной вершинѣ; для сопряженныхъ точекъ имѣемъ такое-же обратное отношеніе на основаніи извѣстнаго свойства фокусовъ конич. сѣч. о постоянствѣ произведенія перпендикуляровъ изъ нихъ на касательную для всѣхъ касательныхъ; слѣдовательно, точки, сопряженныя точкамъ нашей прямой, лежатъ тоже на прямой, проходящей черезъ ту же вершину и составляющей со сторонами треугольника такіе-же углы, что и данная прямая, но въ обратномъ порядкѣ; такія двѣ прямыя называются изогональными. Изъ этого, между прочимъ, слѣдуетъ, что биссектрисы какъ внутреннихъ такъ и внѣшнихъ угловъ треугольника сами себѣ изогональны и, слѣд., преобразуются сами въ себя. (Прямыя, не проходящія черезъ вершины треугольника, преобразуются въ гиперболы).

Итакъ, прямыя, соединяющія оба фокуса съ одной и той же вершиной треугольника, изогональны, слѣдовательно, прямыя, изогональныя тремъ прямымъ, проходящимъ черезъ вершины треуголъ-

пика и пересѣкающимся въ одной точкѣ, также пересѣкаются въ одной точкѣ. (Ефремовъ, 1. с. стр. 120). Такимъ образомъ, наше преобразованіе совпадаетъ съ извѣстнымъ въ геометріи треугольника изогональнымъ преобразованіемъ (Ефремовъ, 1. с. стр. 123). Всѣ свойства изогонально - сопряженныхъ фигуръ могутъ быть выведены изъ свойствъ фокусовъ вписаннаго коническаго сѣченія, напр.

Произведенія разстояній изогональныхъ точекъ тр-ка отъ каждой изъ его сторонъ равны. (Тамъ же, стр. 121).

Проекціи изогональныхъ точекъ тр-ка на его стороны расположены на одной окружности, центръ которой находится въ срединѣ разстоянія между этими точками. (Тамъ же, стр. 121).

Точки, симметричныя съ одной изъ изогональныхъ точекъ относительно сторонъ тр-ка, равно отстоятъ отъ другой изогональной точки. (Тамъ же, стр. 122).

Такъ какъ основанія высотъ тр-ка и средины его сторонъ лежатъ на одной окружности, (окружность Эйлера), то ортоцентръ и центръ описаннаго круга суть фокусы вписаннаго эллипса, центръ котораго совпадаетъ съ центромъ окружности Эйлера, а точки, симметричныя съ ортоцентромъ относительно сторонъ тр-ка, лежатъ на описанномъ кругѣ.

Въ заключеніе упомяну объ одной задачѣ, приводящейся къ вписанію конич. сѣч. съ данными фокусами въ данный треуг-къ: Данъ треуг-къ и точка въ его плоскости, представляющая точку касанія къ этой плоскости шара, произвольнаго радіуса; требуется опредѣлить геометрическое мѣсто точекъ пересѣченія трехъ касательныхъ плоскостей къ этому шару, проходящихъ черезъ стороны тр-ка. (Обобщеніе задачи, предложенной въ Мат. Обр. за Л? 147). Вписавъ въ данный тр-къ конич. сѣч. съ фокусомъ въ данной точкѣ, найдемъ, что искомое геом. м. есть геом. м. вершинъ конусовъ вращенія, проходящихъ черезъ это конич. сѣч., а это, какъ извѣстно, есть второе конич. сѣч., фокальное съ даннымъ, т. е. лежащее въ плоскости, перпендикулярной къ плоскости даннаго и проходящей черезъ его большую (фокальную) ось, причемъ вершинами новаго конич. сѣч. служатъ фокусы даннаго, а фокусами вершины даннаго.

Діагонали ромба, составленнаго изъ двухъ равностороннихъ треугольниковъ, несоизмѣримы.

Е. Томашевичъ. Москва.

Въ нѣкоторыхъ учебникахъ геометріи приводятся примѣры несоизмѣримости отрѣзковъ прямой и при этомъ чаще всего оста-

навливаются на отысканіи отношенія діагонали квадрата къ его сторонѣ. Въ своей учебной практикѣ я, въ качествѣ обязательнаго упражненія, предлагаю ученикамъ найти отношеніе діагоналей ромба, составленнаго изъ 2 равностороннихъ треугольниковъ. Для вычерчиванія такого ромба достаточно построить 2 равныя окружности такъ, чтобы разстояніе ихъ центровъ равнялось взятому радіусу, и затѣмъ провести необходимыя для задачи прямыя; особенно удобны окружности съ радіусомъ 10 см.

Обычнымъ послѣдовательнымъ отложеніемъ отрѣзковъ ученики находятъ для требуемаго отношенія числа ~ или —, рѣже ^ или иныя, болѣе точныя; если эти отношенія выразить десятичными дробями, то онѣ будутъ мало отличаться одна отъ другой.

Въ заключеніе ученики измѣряютъ въ миллиметрахъ обѣ діагонали и находятъ для искомаго отношенія число 1,73. Впослѣдствіи, познакомившись съ числовыми теоремами треугольника, учащіеся узнаютъ, что отношеніе діагоналей ромба выражается числомъ ^

Несоизмѣримость этого числа съ единицею или, что тоже, несоизмѣримость діагоналей взятаго ромба можетъ быть обнаружена геометрическими пріемами.

Разсмотримъ треугольникъ А OB, составляющій половину ромба, причемъ А О = О В = меньшей діагонали (непроведенной на чертежѣ), AB—большая діагональ.

На AB отложимъ А С— АО] остатокъ СВ меньше нежели А О, т. к. АВ<^ АО-Y OB.

Чтобы отложить СВ на АО или на 0/>, проводитъ изъ С перпендикуляры: CD къ ОС до встрѣчи съ OB въ D, и CG къ OD. Если обозначить буквою d прямой уголъ, то для угловъ, отмѣченныхъ на чертежѣ послѣдовательными цифрами, получимъ слѣдующія величины:

Изъ А OCD слѣдуетъ, что OD = 2бгСг, а изъ А CBG съ угломъ въ-^d имѣемъ СВ = 2CYï; слѣ>д. OD=CB.

Отрѣзокъ D#, лежащій въ А BCD противъ очевидно, меньше СВ; стало быть СВ можетъ быть отложенъ на OB лишь одинъ разъ съ остаткомъ І)В;

Проводимъ DF У О А. Тогда, видя что /_ DFB — ^-d, заключаетъ, что CF = FD = DB.

Треугольникъ FDB имѣетъ тѣ же углы, что и А АОВ. Поэтому, отложивъ FE — CF = DB, мы можемъ написать СВ = — 2DB -f- ЕВ и повторить о А FDB то-же самое, что сказано о А АОВ.

Въ результатѣ составляется періодическая запись:

АВ= AO-hCB: AO=OB=CB + DB] СВ = 2DB+EB; DB = = ЕВ -j- остатокъ и т. д.

Запись эта можетъ быть представлена еще слѣдующими равенствами.

Или, окончательно, въ связанной формѣ:

Для краткости обозначимъ ^ черезъ х\

тогда

отсюда

Положительный корень этого уравненія есть

я = Ѵ'зі

Это и есть искомое отношеніе діагоналей ромба.

О недостаткѣ времени на каждый отдѣльный предметъ въ средней школѣ.

И. Александровъ. Москва,

Извѣстный дѣятель по народному образованію, покойный В. Б. Струве, имѣвшій многолѣтній опытъ очень широкаго масштаба, часто говаривалъ: „никогда въ жизни, ни въ засѣданіяхъ, ни въ частной бесѣдѣ, я не слыхалъ, чтобы спеціалистъ преподаватель заговорилъ о необходимости затрачивать на свой предметъ меньше времени — всѣ единогласно настаивали, чтобъ имъ дали уроковъ больше, а не меньше противъ существующей нормы — здѣсь кроется большое недоразумѣніе“. Пишущій эти строки въ теченіи долгихъ лѣтъ былъ свидѣтелемъ того же явленія. Въ особенности ярко выразилось это теченіе на съѣздахъ различныхъ преподавателей-спеціалистовъ, и, быть можетъ, всего интенсивнѣе на съѣздѣ математиковъ въ 1911 году. Въ послѣднемъ случаѣ описываемое теченіе встрѣтило сильныхъ противниковъ въ лицѣ В. В. Струве, С, С. Григорьева и др.

Въ послѣднее время, Н. А. Извольскій свою весьма продуманную статью „О правилахъ въ курсѣ математики“ (Матем. Вѣст. 1914 г., № 2) оканчиваетъ слѣд. образомъ: „если мы хотимъ, чтобъ обученіе математикѣ (геометріи или алгебрѣ) было поставлено на болѣе прочныя основанія, чѣмъ тѣ, какія представляютъ собою правила, запоминаемыя для механическаго слѣдованія имъ, мы должны громко заявлять о недостаткѣ времени для этихъ курсовъ. Дайте намъ больше времени!“

Если такъ выражается компетентный педагогъ, то чего же мы будемъ ожидать отъ заурядной педагогической единицы? Въ виду недостатка достаточно широкаго опыта, мы пока оставимъ въ сторонѣ то очень важное обстоятельство, что всякое улучшеніе метода преподаванія даетъ значительный выигрышъ во времени,

и что тѣ же пріемы преподаванія, на которые указываетъ г. Извольскій въ своей статьѣ, въ результатѣ, при прочихъ равныхъ обстоятельствахъ, могутъ дать не проигрышъ, а выигрышъ во времени*).

Тогда выписанное заключеніе г. Извольскаго, взятое само но себѣ, т. е., независимо отъ того, гдѣ мы будемъ брать нехватающее для дѣла время, будетъ вполнѣ справедливо. Однако совсѣмъ другое можетъ получиться, если мы зададимся вопросомъ, откуда заимствовать нужное преподавателю время.

Ниже я привожу соображенія, высказанныя по этому поводу различными лицами, и присоединяю къ нимъ свои собственныя. Вышеприведенная статья г. Извольскаго до нѣкоторой степени указываетъ, что не лишнимъ будетъ вновь повторить эти соображенія, хотя они уже не представляютъ собою чего либо новаго.

1. Ученикъ имѣетъ ограниченныя силы и ограниченное время, слѣд., возможность идти путемъ увеличиванія уроковъ хотя бы но нѣкоторымъ предметамъ отпадаетъ.

2. При существующихъ чрезвычайно разнообразныхъ требованіяхъ жизни и при чрезмѣрно ускоренномъ жизненномъ темпѣ, школа не можетъ и не должна за ними гнаться, а должна идти ровною дорогою; единое ея спасеніе заключается никакъ не въ увеличеніи времени занятій и объема программъ, а въ установленіи правильнаго minimum’а времени ученія по каждому отдѣльному предмету, а также minimum’a программы, при чемъ эти minimum’ы должны быть выработаны въ органической связи и въ взаимодѣйствіи всѣхъ предметовъ обученія.

3. Главною цѣлью преподаванія должно быть поставлено общее развитіе способностей ученика. Эта цѣль должна объединить методы преподаванія всѣхъ предметовъ и исключить противорѣчивыя требованія различныхъ каѳедръ одной школы отъ ихъ ученика.

4. На мой взглядъ противорѣчащія, исключающія другъ друга требованія, предъявляемыя къ одному и тому же ученику различными преподавателями одной школы, составляютъ одно изъ главныхъ золъ современной школы, одно изъ тѣхъ золъ, которыя преимущественно порождаютъ несомнѣнную нудность, ту неудобоваримость школы, которыя часто воздвигаютъ стѣну между жизнью, семьею и школой. За недостаткомъ мѣста я привожу свои положенія безъ доказательствъ. Но на этотъ разъ для разъясненія дѣла я прибѣгну къ примѣру.

Математикъ требуетъ отъ ученика ясности представленій, отчетливаго пониманія каждаго термина и согласія между тер-

*) Автору этой замѣтки не одинъ разъ пришлось пройти планиметрію въ казенномъ учебномъ заведеніи по плану, въ основѣ котораго лежала слѣдующая идея: „ученикъ долженъ оперировать лишь съ тѣми геометрическими образами, которые онъ можетъ построить циркулемъ и линейкой“. Ученики сначала какъ будто отставали, но за тѣмъ быстро обгоняли своихъ товарищей, веденныхъ по обычному пути. Вообще же изъ моего опыта всегда выходило, что правильное развитіе способностей ученика представляетъ главный рычагъ въ выигрышѣ времени.

миномъ и представленіемъ. Между тѣмъ, напр., по разряду словесности среднихъ школъ въ послѣднее десятилѣтіе стало развиваться изученіе литературныхъ произведеній, не только по ихъ содержанію, а главнымъ образомъ въ связи съ эпохой, въ которую эти произведенія были написаны, и съ точки зрѣнія тѣхъ литературныхъ теченій, которыя характеризуютъ данную эпоху. Нельзя не признать значительности этого метода; конечно, онъ очень интересенъ и, при наличности нѣкоторыхъ данныхъ, можетъ быть весьма продуктивнымъ. Мы оставимъ въ сторонѣ то очень важное обстоятельство, что сами спеціалисты словесности и исторіи часто много спорятъ о границахъ и характеристическихъ признакахъ той или другой эпохи, того или другого общественнаго теченія. Да для насъ это и не важно. Важно то, что въ 16—17 лѣтъ весьма нелегко понимать, что такое эпоха, а тѣмъ болѣе трудно ясно вообразить себѣ, что это такое эпоха по отношенію литературныхъ и творческихъ теченій. Я склоненъ утверждать, что подобнаго рода вещи ясно себѣ представляютъ только или спеціалисты, не одинъ годъ занимавшіеся этимъ дѣломъ, а всего скорѣе лица, на себѣ пережившія и перечувствовавшія какую нибудь эпоху. Въ громаднѣйшемъ большинствѣ подобныхъ случаевъ учащіеся замѣняютъ представленіе и его ясность словами, звукомъ; преподаваніе же зачастую оканчивается тѣмъ, что ученики не знаютъ ни содержанія произведенія, ни его отношенія къ той или другой эпохѣ. Словесникъ же и математикъ вступаютъ тутъ не во взаимодѣйствіе другъ съ другомъ, а въ открытую борьбу. И такихъ примѣровъ можно привести очень много.

5. Если объединить методы преподаванія всѣхъ предметовъ средней и низшей школы вышеуказанными идеями, то мы не видимъ ни одного предмета, который бы, по надлежащей его постановкѣ, можно было исключить изъ современной средней школы. Вообще же въ этомъ дѣлѣ нужна крайняя осторожность и осмотрительность. Дѣло въ томъ, что если математика главнымъ образомъ учитъ логично мыслить, пріучаетъ насъ къ ясности представленія и къ согласію термина и представленія, то другіе предметы развиваютъ не менѣе, если не болѣе важные, элементы ума и психики ребенка. До какой степени важно развитіе качествъ, какъ, кажется, наименѣе зависящихъ отъ математики, можетъ дать яркій примѣръ исторія авіаціи.

Теоретическія изысканія механики не разрѣшили проблему авіаціи. Но другія качества человѣческаго генія разрѣшили этотъ вопросъ блестящимъ образомъ, и человѣкъ овладѣлъ воздухомъ такъ же, какъ водой. Пусть въ числѣ этихъ качествъ иногда присутствовали озорство и меркантильность духа, но въ общемъ это громадное завоеваніе, все значеніе котораго для науки во всей своей широтѣ пока еще не опредѣлилось, думается, совершено свѣтлыми сторонами человѣческаго духа. Далѣе безполезно было бы доказывать, что беззавѣтная преданность дѣлу, вѣра, того или другого рода сильная привязанность, наконецъ нравственныя

стремленія и психическія настроенія во многихъ случаяхъ дѣлали то, чего не могли сдѣлать никакіе точные разсчеты.

6. Изъ всего сказаннаго вытекаетъ, что экономіи времени въ дѣлѣ преподаванія надо искать, во первыхъ, въ усовершенствованіи методовъ преподаванія, во вторыхъ, въ сокращеніи программъ по каждому предмету до извѣстнаго Виттинга, характеръ котораго выше указанъ, и, въ третьихъ, въ устраненіи противорѣчій въ направленіи и въ духѣ преподаванія отдѣльныхъ предметовъ, въ согласованіи ихъ и въ ихъ взаимодѣйствіи. Лишь общая картина преподаванія, объединенная извѣстнымъ внутреннимъ направленіемъ, можетъ дать въ этомъ вопросѣ солидныя и вѣскія указанія. И въ этомъ направленіи уже давно пора начать дружно и согласно работать. По выработкѣ методовъ каждаго отдѣльнаго предмета сдѣлано уже довольно много, но въ желаемомъ направленіи, насколько мнѣ извѣстно, за исключеніемъ работъ, стоящихъ особнякомъ, мы знаемъ вообще очень мало; что же касается сокращенія программъ, хотя бы и по математикѣ, то при желаніи это легко выполнить, жертвуя своими личными вкусами въ пользу блага нашихъ дѣтей**).

Мы видимъ, что умѣть преподавать одинъ предметъ въ наше сложное время есть дѣло вообще еще недостаточное. И если не представляется необходимымъ преподавателю быть до извѣстной степени энциклопедистомъ, по крайней мѣрѣ, настолько, чтобъ ясно судить о противорѣчіяхъ въ требованіяхъ тѣхъ или другихъ предметовъ, то является настоятельная необходимость въ другомъ, пожалуй, труднѣе достижимомъ качествѣ преподавателя, именно, въ желаніи, по мѣрѣ надобности, жертвовать своимъ предметомъ въ пользу другого предмета.

Что такое желаніе свойственно учителю, любящему общее дѣло воспитанія и образованія не на словахъ, а на дѣлѣ, безполезно указывать.

Мнѣ было бы чревычайно пріятно, если бы я ошибался, но все, что я видѣлъ въ области русской педагогіи, далеко меня не убѣдило въ томъ, что учителя склонны къ общей гармонической работѣ. Думаю, чтобъ вмѣсто того, чтобы каждому по отдѣльности требовать себѣ больше времени, пора объединиться на другомъ девизѣ „давайте дружно и сообща работать по всѣмъ предметамъ вмѣстѣ“.

**) Позволю себѣ сдѣлать одно частное замѣчаніе. Въ теченіе моей 37-лѣтней службы въ казенныхъ и частныхъ среднихъ школахъ мнѣ много разъ приходилось сильно урѣзывать и совсѣмъ выбрасывать нѣкоторые отдѣлы изъ курса математики. Съ г.г. начальниками заведеній и съ педагогическими совѣтами бывали иногда сильныя тренія. Однако отъ ревизующихъ лицъ, по представленіи моихъ соображеній, я не имѣлъ рѣшительно никакихъ непріятностей.

Задачи.

Подъ редакціей Э. Ю. Лейнѣка.

180. Разложить на линейные множители выраженіе

х(у2 -f Z- — X2) + у (Ъ2 + X2 — y2) + z (X2 4 у2 — Z2) — 2хуъ

181. Найти число, имѣющее четное число 2п цифръ и равное суммѣ чиселъ, составленныхъ его послѣдними п цифрами, первыми п цифрами и произведеніемъ этихъ двухъ чиселъ.

При перенесеніи послѣдней цифры на первое мѣсто долженъ получиться точный квадратъ.

А. Сергѣевъ.

182. Построить равнобедренный треугольникъ, если дана боковая сторона его и извѣстно, что проэкція ея на другую равна основанію треугольника.

(Рѣшеніе требуется чисто геометрическое).

183. Найти геометрическое мѣсто центровъ квадратовъ, вписанныхъ въ треугольники, имѣющіе общее основаніе А С и одинаковые углы В при вершинѣ.

184. Съ помощью одного циркуля найти въ плоскости треугольника съ VIломъ въ ÿ такую точку, чтобы ея разстояніе отъ

вершины этого угла было среднимъ пропорціональнымъ между разстояніями ея отъ другихъ вершинъ треугольника.

Н. Козыревъ.

185. Равносторонній треугольникъ опирается своими вершинами на три концентрическихъ окружности. Выразить длину его стороны въ зависимости отъ радіусовъ гѵ г2, г3 упомянутыхъ окружностей. Частный случай: ^=11, г.2 = 91, г3 = 96.

И. Александровъ.

186. Изъ точки S, лежащей на поверхности даннаго шара проведены три взаимно перпендикулярныхъ хорды SA, SB, SC. Доказать, что при поворотѣ системы лучей SA, SB, SC около точки S плоскость АВС поворачивается около нѣкоторой постоянной точки, лежащей на діаметрѣ SS'.

(SA, SB, SC остаются все время взаимно перпендикулярными).

187. Найти два числа, зная ихъ сумму 1008 и сумму ихъ общаго наибольшаго дѣлителя и наименьшаго кратнаго 3312.

Рѣшенія задачъ

144. Найти сумму п членовъ ряда.

1. Общій членъ даннаго ряда ( — і)-”-1. гг—^—, если п>2, можетъ быть представленъ въ слѣдующей формѣ:

Въ самомъ дѣлѣ, приводя дроби къ общему знаменателю будемъ имѣть

Сравнивая выраженія числителей, замѣчаемъ, что вездѣ указатели понизились на единицу и у всего выраженія измѣнился знакъ. Повторяя это пониженіе указателей п — 3 раза будемъ имѣть:

но такъ какъ

то послѣднее выраженіе даетъ намъ:

Замѣняя въ формулѣ (1) п послѣдовательно числами 3, 4... п и складывая всѣ п — 2 равенствъ будемъ имѣть:

Прибавляя къ обѣимъ частямъ этого равенства по получимъ:

2-е рѣшеніе.

Вычисляя послѣдовательно суммы первыхъ двухъ, трехъ7 четырехъ и т. д. членовъ нашего ряда, замѣчаемъ что

и т. д. Отсюда, по аналогіи заключаемъ, что Sn =—~і.

Справедливость этой формулы докажемъ по методу полной индукціи.

но по извѣстному свойству членовъ ряда и0, Со U2......имѣемъ Un 2= Un-i. Un+ г + ( — 1 )п . (См. напр. А. Васильевъ, Введеніе въ анализъ I. 1904 г. стр. 22, (3).

Поэтому наша формула для .SM+X приметъ видъ Sn+X= —

т. е. наша формула доказана для любого цѣлаго, положительнаго п.

Нетрудно опредѣлить S = lim Sn при « =.- оо . Законъ составленія чиселъ S2, S3 ... совершенно аналогиченъ закону нахожденія послѣдовательныхъ подходящихъ дробей непрерывной дроби (0; 1. 1, 1, 1,...).

Поэтому lim Sn равенъ предѣлу нашей непрерывной дроби, который, какъ извѣстно является положительнымъ корнемъ уравненія X = —т- е* S = Um SnJ}^——

H. Козыревъ (Енисейскъ). R. M. (Екатеринославъ), А. Сергѣевъ (Москва), Я. Щетининъ (Москва). 145

145. Даны два отрѣзка. Измѣнить ихъ на такую длину чтобы произведеніе ихъ стало равно /с2, гдѣ к есть новый данный отрѣзокъ. (Рѣшеніе требуется чисто геометрическое).

Разобьемъ задачу на двѣ: 1. Даны два отрѣзка а и Ъ. Увеличить или уменьшить ихъ на такую длину чтобы произведеніе ихъ стало равно к2; 2. Даны два отрѣзка а л Ь. Увеличить одинъ

и уменьшить другой на такую длину, чтобы произведеніе ихъ стало равно к2.

1. Наложимъ меньшій отрѣзокъ Ь на большій а такъ, чтобы одинъ конецъ у нихъ совпалъ и черезъ точки Р и q проведемъ произвольнымъ радіусомъ окружность. Въ произвольной точкѣ М полученной окружности проведемъ касательную и отложимъ на ней длину MN = к. Изъ центра О радіусомъ ON опишемъ окружность, которая пересѣчетъ продолженіе PQ въ точкахъ R и Rx Тогда RQ и RP будутъ измѣненные требуемымъ образомъ отрѣзки а и 6.

Въ самомъ дѣлѣ, по свойству касательной имѣемъ RP . Rq — NM2 — k2 ибо отрѣзки касательныхъ къ меньшей окружности, заключенные между обѣими окружностями имѣютъ постоянную длину к.

Далѣе, по условію а — b = PQ, а изъ чертежа имѣемъ RQ — RP=PQ; слѣдовательно а — b = RQ—RP или, а RQ = 6 — RP.

Значитъ, если мы отъ а и Ъ отнимемъ (прибавимъ) по равному отрѣзку а — RQ и Ъ — RP, (RQ- а и RP—Ъ) то получимъ два отрѣзка RQ и RP, обладающіе указаннымъ въ задачѣ свойствомъ.

Кромѣ точки R построеніе даетъ еще точку Ri и отрѣзки RXQ и RyP, которые по абсолютной величинѣ равны RP и RQ и отличаются лишь направленіемъ.

2. Приложимъ одинъ отрѣзокъ къ другому и черезъ концы Р и Q проведемъ произвольнымъ (большимъ чѣмъ 2к) радіусомъ окружность; отложимъ въ этой окружности хорду NM = 2к и опишемъ изъ О концентрическую окружность касающуюся хорды NM. Пусть эта окружность пересѣкаетъ PQ въ точкахъ R и Rx тогда RQ и RP будутъ измѣненные требуемымъ образомъ отрѣзки. На основаніи свойства хордъ, пересѣкающихся въ точкѣ R имѣемъ

Далѣе, по условію а -j--f- b = PQ, a изъ чертежа PR -|- RQ = PQ отсюда имѣемъ

a 4- b = PR + RQ или a—RQ = PR — b

Значитъ, если мы отъ а отнимемъ (прибавимъ), а къ b прибавимъ (отнимемъ) по равному отрѣзку а — RQ (RQ — а) и PR — b

(b — PR), то получимъ два отрѣзка ЕР и RQ, обладающіе указаннымъ въ задачѣ свойствомъ.

Кромѣ точки R построеніе даетъ еще точку Rx и отрѣзки jUXQ и Rx] величины ихъ таковы же, какъ величины отрѣзковъ RP и RQ.

Рѣшеній и здѣсь два, но какъ видно изъ построенія задача не всегда возможна, а именно въ случаѣ 2fc > а -f- Ъ малая окружность не пересѣкается съ хордою PQ.

2-е рѣшеніе (см. чер.).

Разберемъ лишь первый изъ вышеуказанныхъ случаевъ. Приложимъ отрѣзки а и b одинъ къ другому и изъ общаго ихъ конца возставимъ перпендикуляръ на которомъ отложимъ величину ВМ=к. Изъ середины АС опишемъ окружность радіусомъ ОМ.

Эта окружность, пересѣкаясь съ линіею ХУ дастъ двѣ точки А' и С\ открѣзки А'В и С'В будутъ искомыми ибо А'В.ВС — = МВ2 = к2 и А'В— АВ = ВС' — ВС.

К. Верещагинъ (Козловъ), Н. Козыревъ (Енисейскъ), В. Кованько (Вышній Волочекъ), А. Сергѣевъ (Москва),А. Сердобинскій (Чита), Н. Щетининъ (Москва).

146. Въ данный Л АВС вписать четыреугольникъ ХУ ZU съ данными углами такъ, чтобы УZ = ХУZU.

Такъ какъ углы четыреугольника мы знаемъ, то знаемъ направленія линій ХУ,У Z,ZU по отношенію къ сторонамъ даннаго треугольника. Въ углѣ В проводимъ подъ извѣстнымъ намъ угломъ къ ВС линію МР (точка М взята произвольно на сторонѣ ВС) и изъ точки Р проводимъ въ извѣстномъ направленіи (параллельно YZ) линію PN = МР. Аналогичное построеніе дѣлаемъ въ углѣ С.

Соединяемъ точку N съ В, а точку N съ С. Оба проведенныхъ луча дадутъ точку О. Проводимъ черезъ О отрѣзокъ УZ\ PN, затѣмъ ХУ\\МР и ZU\\M'P'. Четыреугольникъ XyZU будетъ искомымъ. Легко убѣдиться, что УО = УХ, ZO—ZU ипоэтомуЛ^ — = ХУZU, Въ самомъ дѣлѣ, изъ подобныхъ треугольниковъ BMP и BXY имѣемъ Т7т7= т>Лг

Изъ подобныхъ треугольниковъ ВРХ и ВУО выводимъ

Сравнивая эти пропорціи имѣемъ

но РМ выбрано равнымъ NP, а потому

УХ = У О.

Подобнымъ же образомъ докажемъ равенство отрѣзковъ Z0 и ZC .

2-е рѣшеніе.

Строимъ четыреугольникъ XiyiZ1ü{ подобный искомому и описываемъ около него треугольникъ А1В1С1ог) АВС. Полученную фигуру измѣняемъ въ отношеніи А1В1 : AB. Четыреугольникъ X, Ух Zx U, переходитъ при этомъ въ искомый четыреугольникъ ХУ ZU-

Чтобы построить четыреугольникъ Хх Уг U± поступаемъ слѣдующимъ образомъ. Строимъ произвольной величины четыреугольникъ ХхУх Ulx имѣющій данные углы. На сторонѣ yxZu откладываемъ У10=У1Х, а на сторонѣ ZxlUn отрѣзокъ F. = ZUD и соединяемъ D съ F. Прямая DF пересѣчетъ сторону Хх Ри въ точкѣ Ux, Проведя U1Z1\\U{1Z11 получимъ Х1У1^іиі такой, что y\zx = ХхУг zxUxy т. е. подобный искомому.

Примѣчаніе. Построеніе надо нѣсколько измѣнить, если точки X и У лежатъ соотвѣтственно на сторонахъ AB и АС.

К. Верещагинъ (Козловъ), Н. Козыревъ (Енисейскъ), В. Кованько (ст. Струнино), А. Сергѣевъ (Москва), А. Сердобинскій (Петроградъ), Н. Щетининъ (Москва).

147. Данъ отрѣзокъ и точка на немъ. Найти геометрическое мѣсто точекъ пересѣченія касательныхъ проведенныхъ изъ концовъ отрѣзка къ кругу, касающемуся его въ данной точкѣ. Разсмотрѣть случай, когда точка дана на продолженіи отрѣзка.

1. Пусть сначала точка К дана на самомъ отрѣзкѣ AB. Проводя изъ точекъ А и В касательныя къ какому нибудь кругу, касающемуся AB въ точкѣ X, получимъ точку пересѣченія ихъ М.

Принимая во вниманіе равенство касательныхъ, проведенныхъ изъ одной точки имѣемъ:

AM — ВМ = AS + SM — ВТ— TM — Aß ВТ = AK— ВК= const,

т. e. искомое геометрическое мѣсто есть гипербола, фокусы которой находятся въ точкахъ А и В. а дѣйствительная ось равна АК— ВК. Одна изъ вершинъ находится въ точкѣ К.

2. Пусть теперь точка К взята на продолженіи отрѣзка AB.

Изъ чертежа имѣемъ.

АМ + МВ= AS-MS+BT-tMT = AS-^BT=AK + BK = const, т. е. искомымъ геометрическимъ мѣстомъ является эллипсъ съ фокусами въ А и В и большою осью равною АК -(- ВК: одна изъ его вершинѣ находится въ точкѣ К.

Изслѣдуемъ нѣсколько подробнѣе найденное геометрическое мѣсто.

1. Когда радіусъ q круга равенъ, нулю точка М находится въ К: по мѣрѣ возрастанія радіуса точка М описываетъ дугу гиперболы, принадлежащую ея правой вѣтви; при нѣкоторомъ опредѣленномъ значеніи радіуса линіи AM и ВМ станутъ параллельными а точка М уйдемъ безконечно далеко (легко видѣть, что q = \/ АК.ВК). При дальнѣйшемъ увеличеніи радіуса, точка М, находясь уже на лѣвой вѣтви гиперболы, будетъ приближаться въ AB и при безконечно большомъ значеніи радіуса окажется въ вершинѣ К' разсматриваемой гиперболы.

Оставшаяся часть гиперболы будетъ заполнена точками, которыя получаются, когда разсматриваемъ положенія касательнаго круга по другую сторону прямой AB.

Въ случаѣ когда К находится въ серединѣ отрѣзка AB искомымъ геометрическимъ мѣстомъ будетъ служить прямая линія, перпендикулярная къ AB и проходящая черезъ точку К.

2. При увеличеніи радіуса круга отъ нуля до безконечности точка М опишемъ половину эллипса отъ точки К до точки К\ симметричной точкѣ К относительно середины отрѣзка AB.

Вторая половина эллипса соотвѣтствуетъ положенію касательнаго круга по другую сторону прямой AB.

Въ обоихъ случаяхъ при отдаленіи точки А отъ В на безконечно большое разстояніе, геометрическое мѣсто точки М будетъ парабола, имѣющая фокусъ въ В и директрису, совпадающую съ перпендикуляромъ, возставленнымъ къ AB въ точкѣ В\ симметричной точкѣ В относительно точки К.

Въ случаѣ, когда точка К совпадаетъ съ однимъ изъ концовъ отрѣзка AB искомое геометрическое мѣсто будетъ прямая, проходящая черезъ А и В.

2-е рѣшеніе.

Возьмемъ начало координатъ въ серединѣ отрѣзка и примемъ линію AB за ось X - овъ, а перпендикуляръ черезъ середину AB за ось У. Пусть координаты концовъ будутъ (а,0), (—а,0), a координаты точки К—(g,0); уравненіе круга будетъ (х — s)2-f-“Ь (У — г)2 = г2і гдѣ г перемѣнный радіусъ круга.

Уравненія касательныхъ къ кругу изъ точекъ А и В будутъ, какъ легко убѣдиться, имѣть видъ:

Координаты точки пересѣченія касательныхъ:

Искомое геометрическое мѣсто получимъ исключая изъ двухъ послѣднихъ равенствъ параметръ г \

Очевидно, это будетъ эллипсъ, если |g|>*a т. е. точка прикосновенія лежитъ на продолженіи отрѣзка, и гипербола, когда !£!<<*

К. Верещагинъ (Козловъ), И. Евдокимовъ (Шуя), Н. Козыревъ (Енисейскъ), А. Сергѣевъ (Москва), А. Сердобинскій (Петроградъ), Н. Щетининъ (Москва).

149. Найти сумму п членовъ ряда

и опредѣлить предѣлъ суммы при п = со .

Каждый изъ членовъ даннаго ряда представимъ въ другомъ

видѣ, воспользовавшись формулою

Замѣнимъ въ этой формулѣ а на 2К а. Будемъ имѣть:

или, по раздѣленіи обѣихъ частей равенства на 4*

Давая здѣсь k послѣдовательно значенія 0, 1, 2, .... п—1

будемъ имѣть п равенствъ, сложивъ которыя получимъ

Отсюда имѣемъ послѣ преобразованія:

Такъ какъ sin 2” а I <Г 1, а lim---= О, то заключаемъ, что

2-е рѣшеніе.

Исходимъ изъ легко доказываемаго тождества:

Даемъ здѣсь к послѣдовательно значенія 1, 2, 3, ... п и складываемъ всѣ п равенствъ. Происходитъ рядъ сокращеній и въ результатѣ имѣемъ

отсюда, какъ и раньше заключаемъ, что

И. Евдокимовъ (Шуя), Н. Козыревъ (Енисейскъ). А. Сердобинскій (Чита), Я. Щетининъ. (Москва).

150. Показать (безъ помощи тригонометріи), что сумма перпендикуляровъ, опущенныхъ изъ центра круга описаннаго около треугольника, на его стороны, равна суммѣ радіусовъ круговъ вписаннаго въ него и описаннаго.

Пусть треугольникъ АВС остроугольный. Пусть О центръ вписаннаго круга и Ä, В', С' основанія перпендикуляровъ, опущенныхъ изъ центра О на стороны ВС, AG, AB. Такъ какъ у четыреугольниковъ AB'ОС', ВС'О А' и СА'ОВ' сумма двухъ противоположныхъ угловъ равна л, то около нихъ можно описать окружности т. е. они являются вписанными въ окружность четыреугольниками и къ нимъ поэтому примѣнима теорема Птоломея.

Обозначая перпендикуляры ОА\ OB', ОС' соотвѣтственно буквами Рі> Рп Рз> будемъ имѣть:

Складывая эти три равенства, будемъ ммѣть:

Но — —2 --—2 есть не что иное, какъ площадь с треугольника АВС. Пользуясь извѣстнымъ соотношеніемъ S = rp мы полученное равенство представимъ въ слѣдующемъ видѣ:

Сокращая на р и перенося г въ другую часть равенства имѣемъ:

R + r = p1 +р2-\~Ря-

Въ случаѣ, когда одинъ изъ угловъ треугольника прямой, напр., А = ~ наша формула приметъ видъ:

Ä-j-r = p2-f ps.

Если же А ^> -, то будемъ имѣть R-\-r=p1 — р% или,

если считать перпендикуляръ р3 отрицательнымъ, т. е.

Рз = ~Рз, EJrr = Pl+ Р-2 +

К. Верещагинъ (Козловъ), И. Козыревъ (Енисейскъ), В. Кованько (ст. Струнило), Н. М. (Екатеринославъ), А. Сергѣевъ (Москва), А. Сердобинскій (Петроградъ), В. Фесенко (Харьковъ), Н. Шемяновъ (Владимиръ), Н. Щетининъ (Москва).

Среди математическихъ журналовъ.

Обзоръ 4-ый.

Н. Агрономовъ. Ревель.

Съ особенной грустью составитель настоящаго обзора приступаетъ къ изложенію содержанія послѣднихъ, вышедшихъ передъ войной книжекъ бельгійскаго журнала „Mathesis“.

Въ майской книжкѣ этого журнала мы находимъ замѣтку G. Bisman’a, посвященную магическимъ квадратамъ, замѣтку Е. Ваrisien’a „Quleques triangles ayant certains éléments en nombres entier“. Въ послѣдней мы находимъ примѣры треугольниковъ съ многими элементами, выражаемыми цѣлыми числами (а = 6545, 6 = 5780, с = 6375, ha = 5100, h ь — 5775, hc = 5236, £=33379500, 2Ä=7225, г = 1785, ra = 5950, rb = 4675, rc = 5610 и т. д.). Въ той-же книжкѣ мы встрѣчаемъ статью R. Goormaghtigh „Sur les cercles podaires et sur l’orthopôle“, посвященную свойствамъ ортополюса, замѣтку N. Agronomof „Sur une suite récurrente“. Въ послѣдней замѣткѣ разсматриваются свойства ряда чиселъ, въ коемъ каждый членъ, начиная съ четвертаго, равенъ суммѣ трехъ предшествующихъ членовъ. Въ отдѣлѣ задачъ мы находимъ рѣшеніе системы N. Agronomof. Тамъ же дается доказательство слѣдующей теоремы Ѵіскега: если вписанный кругъ касается сторонъ тр—ка АВС въ точкахъ L, М, N и если (р есть точка касанія круга вписаннаго съ окружностью Эйлера, то точки, симметричныя съ <р по отношенію къ сторонамъ тр—ка LMN, лежатъ на прямой, соединяющей центры круговъ, описанныхъ около треугольниковъ АВС, LMN.

Въ іюньской книжкѣ встрѣчаемъ статью G. Goormaghtigh, представляющую продолженіе его изслѣдованій объ ортополюсѣ, Статья называется „Note sur l’orthopole“. Изъ этой статьи мы можемъ привести нѣсколько наиболѣе интересныхъ теоремъ.

1. Ортополюсъ прямой Лемуана принадлежитъ прямой Эйлера.

2. Ортополюсъ ортоцентрической оси принадлежитъ прямой, соединяющей ортоцентръ съ точкой Лемуана.

3. Ортополюсъ прямой Симсона какой-либо точки описанной около треугольника окружности есть проэкція ортоцентра на прямую Симсона діаметрально противоположной точки.

Іюльская книжка была послѣдней, которую мы получили. Вѣроятно, на ней на долгое время прервалось изданіе „Mathesis“. Тѣмъ не менѣе хочется вѣрить, что съ наступленіемъ мира, снова возродится раздавленный грубымъ солдатскимъ сапогомъ вмѣстѣ съ другими культурными цѣнностями и этотъ прекрасный математическій журналъ.

Въ январьской книжкѣ англійскаго журнала „The mathematical gazette“ мы находимъ замѣтку G. Osborn „Fractional and negative values of n in Arithmetical Progressions“. Въ этой статьѣ выясняется значеніе извѣстной формулы дробныхъ и отрицательныхъ значеніяхъ п. Если п = —- , то s =

т. е. s есть сумма нѣкоторой новой прогрессіи съ первымъ членомъ — — — + —~2 и разностью

т. е. s снова

есть сумма нѣкоторой новой прогрессіи съ первымъ членомъ d—а и разностью d. Въ томъ же номерѣ А. Dixon въ замѣткѣ „Proof of Feuerbac’s theorem“ даетъ 4 доказательства теоремы о томъ, что вписанный и внѣвписанный круги касаются окружности Эйлера.

Въ іюльской книжкѣ того же журнала G. Osborn даетъ слѣдующее рѣшеніе неопредѣленнаго уравненія

Въ № 2 журнала „Intermédaire des mathématiciens“ мы находимъ слѣдующую интересную теорему японскаго математика Т. Ono: точка треугольника, обладающая тѣмъ свойствомъ, что площадь подарнаго ея треугольника есть максимальная для площадей подарныхъ треугольниковъ, совпадаетъ съ центромъ описаннаго круга.

Въ № 5 того же журнала мы встрѣчаемся съ чрезвычайно интересной теоремой другого японскаго математика Какеуа: абсолютныя значенія всѣхъ корней уравненія:

апхп + ап_г % п-1 + ... + ахх + а0 = О,

гдѣ а„, сія_1...а1, а0— вещественныя и положительныя числа, заключены между наибольшей и наименьшей изъ дробей

Въ томъ же номерѣ въ отвѣтѣ на вопросъ № 1880 мы встрѣчаемся съ формулой

Въ № 6 мы встрѣчаемся съ слѣдующимъ рѣшеніемъ неопредѣленнаго уравненія: 2хп —- iß -f- + w3 -j- ѵ3, предложеннаго J. Svoboda

гдѣ ß есть цѣлое число.

Въ послѣднихъ №№ 16—20 тетрадяхъ „Journal de methématiques élémentaires“ отмѣтимъ слѣдующее: въ № 16 помѣщена статья М. Jngerlan, посвященная геометріи треугольника, подъ названіемъ „Note de géométrie“. Въ ней мы находимъ теоремы: 1) прямыя, симметричныя какой-нибудь прямой, параллельной OJ (линіи центровъ треугольника), по отношенію къ сторонамъ дополнительнаго треугольника, образуютъ треугольникъ, центръ вписаннаго круга коего есть точка Фейербаха; 2) прямыя, симметричныя какой-нибудь прямой, параллельной OJ, по отношенію къ сторонамъ треугольника, имѣющаго вершинами точки касанія сторонъ треугольника съ вписанной окружностью, образуютъ треугольникъ, центръ вписаннаго круга коего есть точка Фейербаха.

Въ № 17 мы находимъ рѣшеніе слѣдующаго неопредѣленнаго уравненія

гдѣ и, ѵ, tv суть цѣлыя простыя числа, а А общій наибольшій дѣлитель числителей дробей, представляющихъ X, у, я, t.

Въ этомъ же номерѣ мы находимъ интересную теорему V. Thébault: въ треугольникѣ АВС прямая, соединяющая центръ J вписаннаго круга съ центромъ тяжести G треугольника, встрѣчаетъ сторону ВС въ М; прямая, проходящая черезъ М и параллельная СА встрѣчаетъ внутреннюю биссектрису угла А въ точкѣ Р; прямая ВР перпендикулярна къ линіи JO, соединяющей центръ вписаннаго круга съ центромъ описаннаго круга.

Въ № 19 помѣщено доказательство слѣдующей теоремы R. Goormaghtigh: если а, Ь, с средины сторонъ тр—ка АВС и Въ Сх точки встрѣчи какого-нибудь діаметра 6 со сторонами АС и AB, то точки, гдѣ перпендикуляры, проведенные черезъ Вх и Сі къ

ВС, встрѣчаютъ соотвѣтственно ab и ас, лежатъ на прямой, проходящей черезъ ортополюсъ 3.

Въ томъ - же номерѣ мы находимъ слѣдующую теорему J. Smirnof: въ треугольникѣ АВС проведены три пересѣкающіяся въ одной точкѣ прямыя АА\ ВВ\ СС', встрѣчающія стороны ВС, С А, AB въ точкахъ А', В', С'; въ треугольникѣ А'В'С проведены три пересѣкающіяся прямыя А'а, £'/?, С'/, встрѣчающія стороны В’С, С'А\ А'В' въ а, /?, у: прямыя Аа, Б/9, С/ пересѣкаются въ одной точкѣ.

P. S. Составитель обзоровъ охотно даетъ болѣе подробныя справки лицамъ, заинтересовавшимся тѣмъ или другимъ вопросомъ, отмѣченнымъ въ обзорахъ. Адресъ: Ревель, Луизентальская, 14, 1.

50-лѣтній Юбилей „Педагогическаго Сборника“.

Въ текущемъ году исполнилось 50 лѣтъ, со времени выхода въ свѣтъ первой книжки журнала „Педагогическій Сборникъ“, издаваемаго при Главномъ Управленіи военно-учебныхъ заведеній.

Журналъ былъ основанъ въ царствованіе Александра II, въ эпоху великихъ реформъ при участіи военнаго министра знаменитаго графа Д. А. Милютина. Первымъ редакторомъ журнала былъ извѣстный H. X. Вессель (съ 1864 г. по 1882 г.); издатель въ свое время небезъизвѣстнаго журнала „Учитель“, вторымъ редакторомъ былъ извѣстный педагогъ и, между прочимъ, авторъ Матеріаловъ по методикѣ геометріи А-ѣй Ник. Острогорскій (съ 1882 г. по 1910 г.); въ настоящее время редакторомъ состоитъ полковникъ И. С. Симоновъ (съ 1910 г.), который остается вѣренъ завѣтамъ первыхъ 2 редакторовъ и которому удалось сплотить вокругъ редакціи крупныя педагогическія силы.

Обслуживая нужды главнымъ образомъ военно-учебныхъ заведеній, „Педагогическій Сборникъ“, благодаря умѣлому руководительству редакторовъ, значительно расширилъ рамки своей полезной дѣятельности, сдѣлавшись однимъ изъ самыхъ распространенныхъ общихъ педагогическихъ русскихъ журналовъ.

Заслуги журнала громадны не только для военно-учебныхъ заведеній, но и для всего педагогическаго міра Россіи, ибо за указанный періодъ въ журналѣ было помѣщено не мало какъ отдѣльныхъ статей, такъ и цѣлыхъ сочиненій, которыя представляли, а частью представляютъ и теперь весьма цѣнный вкладъ въ русскую педагогическую литературу. Для примѣра достаточно указать на то, что въ журналѣ печатался рядъ статей „отца русской педагогики“ К. Д. Ушинскаго, которыя потомъ вошли въ знаменитое его сочиненіе „Человѣкъ, какъ предметъ воспитанія“.

Для преподавателей математики этотъ журналъ особенно дорогъ, ибо „Педагогическій Сборникъ“ является единственнымъ

изъ общихъ педагогическихъ журналовъ, который отводилъ и отводитъ мѣсто статьямъ по разнымъ отдѣламъ математики и ея преподаванія и за 50 лѣтъ много содѣйствовалъ усовершенствованію математическаго образованія гланымъ образомъ въ нашей средней школѣ. Въ немъ помѣщались статьи, посвященныя какъ общимъ, такъ и частнымъ вопросамъ преподаванія математическихъ предметовъ въ школѣ, разбирались программы по математикѣ, давалась отзывы объ учебникахъ, пособіяхъ и математическихъ журналахъ, сообщались свѣдѣнія о съѣздахъ и проч. Авторами статей и замѣтокъ часто были извѣстные русскіе педагоги-математики, какъ Евтушевскій, В. Латышевъ, В. Стрекаловъ, проф. Ермаковъ, И. Долбня, С. Будаевскій, А. Гольденбергь, С. Бернштейнъ, М. Попруженко и мн. др.

Необходимо отмѣтить, что журналъ даетъ массу цѣннаго матеріала при весьма дешевой подписной цѣнѣ (5 руб. въ годъ). Отъ души желаемъ ему дальнѣйшаго успѣха и самаго широкаго распространенія.

Ред,

Засѣданія Московскаго Математическаго Кружка.

Въ засѣданіи 2-го октября 1914 г. I. И. Чистяковъ сообщилъ о напечатаніи 10 листовъ „Докладовъ, читанныхъ на 2-мъ Всероссійскомъ Съѣздѣ преподавателей математики“ и обратилъ вниманіе собранія на затрудненія, возникающія для своевременнаго окончанія этого изданія, стоящія въ связи съ тѣмъ, что, во-первыхъ, еще не всѣ докладчики доставили рукописи своихъ сообщеній, и во-вторыхъ, что сейчасъ условія для этой дѣятельности Кружка въ связи съ обстоятельствами военнаго времени крайне не благопріятны. По тѣмъ-же причинамъ запаздываютъ выходомъ и послѣднія книжки „Математическаго Образованія“.

А. П. Поляковъ сдѣлалъ докладъ: „Съѣздъ Международной Комиссіи по преподаванію математики въ Парижѣ въ апрѣлѣ 1914 г. (по личнымъ впечатлѣніямъ/4. Докладъ напечатанъ въ № 6 „Математ. Образованія“ с. г.

А. А. Волковъ сдѣлалъ сообщеніе: „Объ оцѣнкѣ погрѣшности результатовъ вычисленій съ логариѳмами“. Указавъ тѣ немногія свѣдѣнія изъ теоріи приближенныхъ вычисленій, которыя, по его мнѣнію, нужно сообщить ученикамъ, докладчикъ показалъ, какъ изъ разсмотрѣнія логариѳмическихъ таблицъ можно установить существованіе пропорціональности между абсолютной погрѣшностью логариѳма и относительной погрѣшностью соотвѣтствующаго этому логариѳму числа, а также опредѣлить и коэффиціентъ этой пропорціональности; далѣе докладчикъ показалъ, какъ можно, пользуясь этимъ коэффиціентомъ, быстро получить значеніе относительной, а потомъ и абсолютной погрѣшности результата логариѳмическихъ вычисленій.

Въ засѣданіи 30 октября 1914 г. Ѳ. И. Егоровъ сдѣлалъ докладъ „О начальномъ преподаваніи ариѳметики (систематики)“. Въ своемъ обзорѣ преподаванія ариѳметики въ начальныхъ школахъ Германіи членъ Международной Комиссіи по преподаванію математики Литцманнъ называетъ именемъ „систематиковъ“ представителей того методическаго направленія въ преподаваніи начальной ариѳметики, которое выдвигаетъ на первый планъ образованіе чиселъ по десятичной системѣ счисленія. Представителями этого направленія въ Германіи являются Гаазе и Вилькъ. Вилькъ различаетъ четыре рода чиселъ: 1) основныя числа: 1—9; 2) единицы системы счисленія; 3) совокупности основныхъ единицъ; 4) многочленныя (много-

значныя) числа. Самое обученіе счету Вилькъ дѣлитъ на слѣдующія четыре ступени: \) отъ 1 до 10; 2) числа отъ 10 до 100, 3) числа до 1000, 4) числа любой величины, совершенно исключая изъ разсмотрѣнія въ качествѣ особой ступени область чиселъ, образующую т н. второй десятокъ. Первый-же десятокъ Вилькъ дѣлитъ на двѣ группы: числа отъ 1 до 5 и числа отъ 6 до 10. При обученіи Вилькъ пользуется счетомъ на пальцахъ, римской нумераціей, а также употребляетъ придуманные имъ счетные приборы, представляющіе видоизмѣненіе русскихъ счетовъ.

И. А. Извольскій сдѣлалъ докладъ „Объ одномъ свойствѣ трапеціи” (докладъ помѣщенъ въ предыдущемъ № „Математическаго Образованія“).

Замѣченныя опечатки.

Стр. 247 16 стр. снизу передъ словомъ „есть“ пропущено /и.

Стр. 249 9 стр. снизу напечатано А0, должно быть а0.

Стр. 298 16 стр. сверху передъ словами „перпендикулярна“ пропущено „съ центромъ вписаннаго круга“.

Стр. 299 4 стр. снизу напечатано „a^l“, должно быть аф 1.

Стр. 316 14 строка снизу напечатано 62/3 слѣдуетъ читать 63/Г)

Стр. 317 12 строка снизу напечатано 2,1416 слѣдуетъ читать 3,1416 Стр. 319 10 строка св. напеч. х = 4 Cos 3t + 3 Sut сл. чит. х = 4 Cos 3t -f- 3 Sn 3t Стр. 322 14 строка сверху напечатано Выписать слѣдуетъ читать Вычислить Стр. 319 Въ зад. 8 послѣ словъ „на 13 миль“ пропущено условіе: „Пѣшкомъ онъ можетъ дѣлать 4 мили въ часъ, а въ лодкѣ 3 мили въ часъ“.

Математическое Образованіе.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

Годъ третій.

1914.

МОСКВА

ПЕЧАТНЯ А. И СНЕГИРЕВОЙ

ОСТОЖЕНКА. Савеловскій пер. Соб. д.

1914.

Оглавленіе.

Статьи и замѣтки.

Стр.

Рѣчь Предсѣдателя Организаціоннаго Комитета проф. Б. К. Млодзѣевскаго при открытіи 2-го Всероссійскаго Съѣзда преподавателей математики................................................ 1

Докладъ о Международной Комиссіи по преподаванію математики. Д. Синцовъ..................................... 5

Какія стороны элементарной математики представляютъ цѣнность для общаго образованія? А. Власовъ........................ 20

Объ организаціи подготовки преподавателей средней школы. Н. Салтыковъ....................... . ................... 30

Величины и числа. О. Штольцъ, пер. Р. Гольцбергъ. . . . 43, 98, 136

Принципъ экономіи въ математикѣ. А Васильевъ, . . . . 65

Объ указаніяхъ, получаемыхъ преподаваніемъ математики отъ ея исторіи. В. Бобынинъ. ............................ 76

Запросы преподавателя физики въ области математики. .4. Бачинскій. .,................................................ 83

О подготовкѣ преподавателей математики. Д, Синцовъ . . 89

О суммѣ цифръ всѣхъ чиселъ по N включительно. Н. Агрономовъ................................................... 93

О преподаваніи аналитической геометріи въ средней школѣ. Д. Синцовъ . . ..................... . . ................ 113

Объ иностранныхъ журналахъ по математикѣ для учащихъ и учащихся. I. Чистяковъ. . . . ......................... 120

Объ учебныхъ особенностяхъ двухъ направленій математическаго курса средней школы. П. Некрасовъ................. 126

Преподаваніе математическихъ наукъ во французскихъ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ. Н. Салтыковъ............... 146, 181

Яковъ I Бернулли и теорія вѣроятностей. В. Бобынинъ . . 161

Понятіе о функціи въ средней школѣ. С. Бернштейнъ. . . 169

Систематическое распредѣленіе и послѣдовательное прохожденіе геометрическихъ задачъ на построеніе въ математическомъ преподаваніи въ нѣмецкой средней школѣ. А. Рорбергъ, пер. А. К. Сушкевича...................................... 175

Построенія Штейнера и построенія съ помощью двусторонней линейки, прямого или остраго угла. И. Александровъ.... 190

Жизнь и труды Галилея. Н. Голубъ и В. Герасимовичъ. . . 209

Объ одной геометрической теоремѣ. А. Бачинскій. . . . 231

Вторая (баккалаврская) ступень въ составѣ будущей средней школы. П. Некрасовъ. . . ........................ . . . 235, 268

Международная конференція по преподаванію математики, состоявшаяся въ Парижѣ съ 1 по 4 апр. 1914 г. А. Поляковъ. . .

О развитіи представленій о соотношеніяхъ въ пространствѣ. М. Воскресенскій...................... . ...........'. . 270

Объ одной спирали. В. Добровольскій................. 277

Задачи и вопросы по математикѣ, предлагаемые на экзаменахъ по курсу средней школы. С. Острейко.................. 280, 315

О двухъ варіантахъ рѣшенія полнаго квадратнаго уравненія. Н. Агрономовъ. ................. . ........ . . 305

Вопросъ о реформѣ щкольной математики съ методологической точки зрѣнія. С. Поляковъ.......................... 309

По поводу новаго взгляда на значеніе условныхъ выраженій. Е. Кедринъ.................................................. 328

Объ одномъ свойствѣ трапеціи, Н. Извольскій....... 333, 358

Направляющіе элементы математическаго изслѣдованія. М. Осинскій............................... . . ...... 335

О нѣкоторыхъ признакахъ дѣлимости. L Чистяковъ. . . . 353

О фокальныхъ коническихъ сѣченіяхъ. В Добровольскій. . 368

О фокусахъ коническаго сѣченія, вписаннаго въ треугольникъ. В. Добровольскій........................................... 370

Діагонали ромба, составленнаго изъ двухъ равностороннихъ треугольниковъ, несоизмѣримы. Е. Томашевичъ...................... 374

О недостаткѣ времени на каждый отдѣльный предметъ въ средней школѣ. И. Александровъ.......................... 374

Задачи.

№№ 129—136 ....................................................... 52

137—143 ................................................... 102

144—150 .................................................. 149

151—158 ................................................... 201

159 -165 .................................................. 239

166-172 ................................................... 289

173—179 .......................................... 338

180—187 . ................................................ 381

Рѣшеніе задачъ.

32, 79, 87, 88, 89, 91, 92 ........................ 53

93, 94, 96, 97, 99, 100, 101, 102, 103 ............. 103

78, 98, 105, 107, 108, 112 ................................. 150

104, 106. 109. 110, 111, 113, 114, 115 . ........... 201

46, 95, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123 ..... 239

124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132................. 290

133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143 ...... 339

144, 145, 146, 147, 149, 150.............................. 382

Библіографическій отдѣлъ.

Филипсъ и Фишеръ. Элементы геометріи. Пер. В. Р. Мрочека А. Волковъ................................................ 62

Библіографическая замѣтка. Д. Синцовъ....................... 64

Ариѳметика Магницкаго. Изд. П. Баранова. I. Ч. 110

Опредѣленіе Учебнаго Комитета при Канцеляріи по учрежденіямъ Императрицы Маріи о журналѣ „Математическое Образованіе“......................................................... 112

Новый журналъ „Математическій Вѣстникъ“. . . 160

Новый Путь. Ариѳметическій задачникъ для начальныхъ школъ, составленный I. Мундтомъ. Д. Волковскій . ........ 251

А. I. Бачинскій. Ученіе о силахъ и о движеніи съ предисл. Н Е. Жуковскаго. В. Писаревъ............................ 302

Среди математическихъ журналовъ, Н. Агрономовъ................................................ 156,247, 297,390

50-лѣтній юбилей „Педагогическаго Сборника“........

Новыя книги........................ 64, 112, 160, 208, 255, 304, 352

Жизнь и дѣятельность ученыхъ обществъ и кружковъ.

2-й Всероссійскій Съѣздъ преподавателей математики I. Чистякова..................................................... 48

Резолюціи 2-го Всероссійскаго Съѣзда преподавателей математики.......................................................... 50

Отъ Организаціоннаго Комитета 2-го Съѣзда . ............... 112

Засѣданія Московскаго Математическаго Кружка . . . 110,253,352, 395

Составъ Московскаго Матем. Кружка въ 1914 г............... 302

Математическій Кружокъ слушательницъ Московскихъ Высшихъ Женскихъ Курсовъ............................................ 254

Отвѣтственный редакторъ I. И. Чистяковъ.