Математическое Образованіе.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

Годъ третій.

№ 7.

Ноябрь 1914 г.

МОСКВА.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

„Математическое Образованіе“

Ноябрь 1914 г. Годъ 3-й. № 7

СОДЕРЖАНІЕ: О двухъ варіантахъ рѣшенія полнаго крадратнаго уравненія. Н. Агрономовъ.— Вопросъ о реформѣ школьной математики съ методологической точки зрѣнія. С. Н. Поляковъ. — Задачи и вопросы по математикѣ, предлагаемые въ Англіи на экзаменахъ по курсу средней школы. С. Острейко. — По поводу новаго взгляда на значенія условныхъ выраженій въ математикѣ. Е. Кедринъ.— Объ одномъ свойствѣ трапеціи. Н. Извольскій. —Направляющіе элементы математическаго изслѣдованія. М. Осинскій.— Задачи. Рѣшенія задачъ.—Засѣданія Московскаго Математическаго Кружка. Новыя книги. Объявленія.

О двухъ варіантахъ рѣшенія полнаго квадратнаго уравненія.

Н. Агрономовъ. Ревель.

I.

Допустимъ, что у насъ имѣется полное квадратное уравненіе

ах2 Ьх с = О

съ цѣлыми коэффиціентами а, Ъ, с. Путемъ подстановки х =—-

мы можемъ привести наше уравненіе къ слѣдующему виду

г/2 + 2by -f- 4ас = 0 (1)

Положимъ на время Ъ числомъ отрицательнымъ и раздѣлимъ трехчленъ у2 -f- 2by -)- 4ас на у—1. Полученное же отъ этого дѣленія частное раздѣлимъ снова на у—1.

Вслѣдствіе этого уравненіе (1) перепишется такъ

или, полагая у — 1 = г/,, такъ:

Съ уравненіемъ (2') поступимъ также, какъ и съ уравненіемъ (1). Получимъ, что

ІІ22 + 2(f> +2)2/2 + (4 + 4Ь + 4 ас) = 0 (3)

гдѣ у2 = уг — 1 = гу — 2.

Продолженіе этой операціи далѣе даетъ намъ слѣдующую цѣпь уравненій:

y32 + 2(f> + %3 + (94-6f> + 4aC)==0 ; ys = y — S. (4)

2/4‘2 + 2(Ь + 4)у4 + (16 +8Ь + 4ас) = 0 ; гу± = у — 4: (5)

Остается выяснить характеръ коэффиціента при неизвѣстномъ первой степени и свободнаго члена въ каждомъ изъ этихъ уравненій. Законъ образованія коэффиціента при неизвѣстномъ первой степени весьма простъ, чтобы о немъ говорить. Свободный же членъ n-го уравненія образуется изъ трехчлена (п — 1)-го уравненія путемъ подстановки туда вмѣсто уп-\ единицы. Но еще легче замѣтить, что свободный членъ всегда имѣетъ форму

п- + 2пЬ 4ас.

Итакъ

уп + 2(f) + гі)уп + (п2 + 2пЪ + 4ас) = 0 ; уп = у—п. (6)

Методъ математической индукціи даетъ намъ возможность совершенно строго доказать, какой видъ имѣетъ n-ое уравненіе нашего ряда.

Въ виду того, что Ъ число цѣлое и притомъ отрицательное, при п равномъ „ -Ьи уравненіе (6) лишится второго члена и приметъ видъ

или или

Слѣдовательно

Такимъ образомъ уравненіе

ах- -(-* Ъх -f- с == 0

имѣетъ слѣдующіе корни

Чтобы рѣшить то же самое уравненіе при Ъ положительномъ, достаточно въ уравненіи

ах2 -|~ Ъх -\- с — 0

замѣнить X черезъ „— ххи. Тогда получимъ уравненіе

ахх2 (— Ъ) хх -р с — 0,

корни коего по предыдущему опредѣляются формулой (7) т. е.

Отсюда

Итакъ мы доказали для всѣхъ случаевъ, что корни уравненія ах2-|-Ъх -)- с = 0

выражаются формулой

Нѣтъ необходимости пояснять, что излагаемый способъ не претендуетъ на школьное употребленіе, но какъ иллюстрація къ теоремѣ Безу о дѣлимости полиномовъ имѣетъ нѣкоторое значеніе.

II.

Допустимъ, что N есть нѣкоторое число положительное или отрицательное. Всегда можно найти А и В такіе, чтобы

N=A2 + ß-

Легко провѣрить слѣдующее тождество:

Подставляя въ знаменатель правой части вмѣсто

его значеніе

получаемъ

Продолжая ту-же операцію далѣе, получаемъ, что

I.

Путемъ довольно сложнаго доказательства можно вполнѣ строго доказать это равенство.

Теперь возьмемъ квадратное уравненіе ах2 + Ъх-\-с — 0.

Изъ него мы получаемъ, что

Замѣняя въ правой части х его значеніемъ, получаемъ

Вообще

Отсюда

II.

Сравнивая это разложеніе съ (I) мы заключаемъ, что А и В соотвѣтствуютъ и „—аси. Слѣдовательно

откуда вытекаетъ извѣстная формула для корня квадратнаго уравненія.

Вопросъ о реформѣ школьной математики съ методологической точки зрѣнія.

Докладъ читанный на 2-мъ Съѣздѣ 2-го января 1914 г.

С. Н. Поляковъ. Юзовка.

1. Методологическое значеніе математики.

М. Г.!

Въ началѣ нашихъ засѣданій проф. А. К. Власовъ въ своемъ интересномъ докладѣ отмѣтилъ недочеты двухъ направленій школьной математики, а именно стараго формально-логическаго и новаго практическаго. Я позволю остановить ваше вниманіе на иной, отличной отъ этихъ направленій, точкѣ зрѣнія—методологической. Методологическая точка зрѣнія выдвигаетъ на первый планъ методологическую цѣнность учебныхъ предметовъ; отъ учебной работы она требуетъ развитія навыковъ къ элементарнымъ процессамъ научнаго мышленія и изслѣдованія; цѣлью общаго образованія это направленіе ставитъ не столько міропониманіе, сколько методы міропознаванія. Въ 1906 г., на 2-мъ съѣздѣ дѣятелей средней школы, я имѣлъ честь болѣе подробно обосновать и характеризовать методологическую точку зрѣнія; съѣздъ внесъ соотвѣтствующую поправку въ формулу задачъ общаго образованія. Указанное направленіе въ школьной математикѣ, какъ и формально-логическое, на первый планъ выдвигаетъ формальныя задачи общаго образованія, но въ отличіе отъ послѣдняго оно требуетъ развитія не общихъ логическихъ способностей, а специфическихъ особенностей нашего мышленія, связанныхъ съ методами математическаго изслѣдованія, оно требуетъ развитія особенныхъ навыковъ и въ математической интуиціи, и въ математическомъ анализѣ, и въ математической дедукціи. Методологическое направленіе, съ другой стороны, не совпадаетъ и съ лабораторно-практическимъ направленіемъ; это послѣднее прежде всего интересуется результатомъ математическихъ изслѣдованій и ихъ примѣненіемъ къ явленіямъ жизни; методологическое направленіе выдвигаетъ процессы математическаго мышленія, культивируетъ навыки къ этимъ процессамъ, а потому чисто-математическія обоснованія ставитъ во главу учебной работы; прикладная математика даетъ здѣсь только широкое поле для приложеній, а не для обоснованій. Я не считаю себя достаточно компетентнымъ для детальной разработки вопроса о методологическомъ направленіи,—я въ своемъ докладѣ хочу только сдѣлать нѣкоторыя замѣчанія по этому вопросу. Я попытаюсь здѣсь выдвинуть для разрѣшенія слѣдующіе вопросы: 1) какое значеніе имѣетъ математика въ развитіи методологическихъ задачъ школьнаго обученія? 2) Какіе спеціальные методы должны быть выдвинуты въ курсахъ математики? 3) каковы условія и границы такъ называемой „лабораторной методы“ при обученіи математикѣ?

Первый вопросъ легко разрѣшается: математика какъ основа и ключъ количественнаго сравненія, глубоко проникаетъ во всѣ методы научнаго изслѣдованія и мышленія—мѣрой и числомъ въ процессы воспріятія (при наблюденіи и опытѣ), а формулировкой функціональной зависимости въ процессъ научнаго творчества (при установленіи законовъ и гипотезъ). „Кажется,—писалъ въ 1834 г. великій Н. И. Лобачевскій,—нельзя сомнѣваться ни въ истинѣ того, все въ мірѣ можетъ быть представлено числомъ, ни въ справедливости того, что всякая въ немъ перемѣна и отношеніе выражается аналитической функціей“. Поэтому современныя авторитетные педагоги и математики (Киршенштейнеръ, Клейнъ и др.) настаиваютъ на развитіи у учащихся „функціональнаго мышленія“, какъ центральной задачи преподаванія математики въ среднихъ школахъ и какъ начала, объединяющаго весь матеріалъ учебной математики. 1-й всероссійскій съѣздъ преподавателей математики „призналъ своевременнымъ провести черезъ курсъ и ярко освѣтить идею функціональной зависимости, а также ознакомить учащихся съ простѣйшими и несомнѣнно доступными имъ идеями аналитической геометріи и анализа“.

2. Элементарные методы математическаго мышленія.

Здѣсь мы подошли ко второму, поставленному нами, вопросу,—мы должны теперь намѣтить послѣдовательный путь развитія функціональнаго мышленія, разложивъ это сложное явленія на отдѣльные моменты въ соотвѣтствіи съ основной задачей преподаванія, а также въ соотвѣтствіи съ психологіей возраста и съ указаніемъ дидактики.

Мнѣ думается, можно принять безспорнымъ, что кардинальными моментами „функціональнаго мышленія“ будутъ: число, мѣра, пространственныя представленія, функціональная зависимость и непрерывность. Около постепеннаго развитія въ сознаніи учащихся этихъ понятій и ихъ конкретныхъ приложеній и должны быть сгруппированы главные методы функціональнаго мышленія.

I. Въ младшихъ классахъ, при наличности у дѣтей конкретнаго мышленія,—1) числовой анализъ, а именно усвоеніе механизма дѣйствій надъ цѣлыми и дробными числами, обычные и сокращенные пріемы вычисленій, приложеніе 4 дѣйствій къ рѣшенію задачъ (анализъ задачъ, систематическій способъ, способъ пропорціональныхъ измѣненій); 2) измѣренія вѣса, линій, площадей, объемовъ и угловъ (наглядная геометрія безъ увлеченія эмпирическими выводами формулъ); 3) въ предыдущихъ упражненіяхъ, помимо усвоенія мѣры, числа и пространственныхъ представленій, заключается и первый концентръ усвоенія функціональной зависимости—пропорціональность величинъ.

II. Въ среднихъ классахъ, на. границѣ отроческаго и юношескаго возраста, когда у учащихся наблюдается пробужденіе отвлеченнаго мышленія1), съ другой стороны, когда у учащихся

1) Гауппъ. Психологія ребенка. 120 стр.

есть запасъ усвоеннаго наглядно матеріала для дальнѣйшаго развитія математическаго мышленія,— 1) геометрическая дедукція; 2) математическая логика (алгебраическія преобразованія безъ увлеченія сложными искусственными примѣрами)1); 3) методъ уравненій съ надлежащимъ обоснованіемъ пріемовъ преобразованія ихъ; 4) приближенныя вычисленія преимущественно при геометрическихъ упражненіяхъ (указанія точности результатовъ и небольшія вычисленія съ требуемой точностью); 5) способъ предѣловъ.

III. Въ старшихъ классахъ — расцвѣтъ „функціональнаго мышленія“ послѣ систематической подготовки въ среднихъ классахъ, послѣ надлежащаго обоснованія при помощи математичеческой дедукціи геометрическихъ истинъ, преобразованія уравненій и способъ предѣловъ,—1) гоніометрія, 2) логариѳмы, 3) методъ координатъ и 4) элементы счисленія безконечно - малыхъ величинъ. Всѣ эти отдѣлы объединяются тѣмъ или инымъ отношеніемъ къ изслѣдованію функцій.

3. Математическія упражненія.

Усвоеніе методовъ математическаго мышленія несомнѣнно требуетъ широкаго развитія самодѣятельности учащихся, широкой упражняемости въ конкретныхъ примѣненіяхъ методовъ, широкаго распростаненія трудового начала и „лабораторной методы“, наибольшаго сближенія математики съ другими областями человѣческаго знанія. Только необходимо установить условія, средства и границы упражняемости и „лабораторной методы“ въ преподаваніи математики.

Условія массоваго школьнаго воспитанія, естественно, вносятъ въ упражняемость учащихся или одностороннюю отрывочность при раздѣленіи труда, или искусственность примѣрныхъ упражненій; если принять во вниманіе, что практически-нужныя работы при городскихъ условіяхъ въ среднихъ школахъ трудно, а по возрасту и не возможно организовать, то наиболѣе распространенными работами останутся искусственныя примѣрныя упражненія. Практическая безцѣльность этихъ упражненій должна искупаться интересомъ самодѣятельности, на подобіе активнаго экспериментированія въ дѣтскихъ играхъ,—дѣти и юноши, какъ мнѣ приходилось наблюдать, еще далеки отъ практицизма, они не могутъ еще отличать въ самостоятельныхъ упражненіяхъ нѣкоторую искусственность подбора матеріала отъ практически полезныхъ работъ, дѣти и юноши въ громадномъ большинствѣ случаевъ идеалисты2), ихъ творческое воображеніе создаетъ недостающую обстановку. Необходимо только поставить практическія работы въ условія активнаго интереса къ процессу труда, заразить дѣтей активнымъ вниманіемъ, пробудить ихъ работоспособность.

1) Обоснованіе алгебраическихъ преобразованій, мнѣ думается, должно вытекать изъ основныхъ свойствъ суммы и произведенія. (ІІед. Сбор. 1904 г. № 3).

2) Сикорскій. Душа ребенка. 1901 г. 94 стр.

Мы, педагоги, во имя высокаго призванія науки, во имя чистоты научнаго творчества, во имя неприкосновенности научныхъ построеній, — мы должны горячо протествовать противъ въѣвшагося въ наше учебное дѣло контрольнаго направленія, кондуитной педагогики“; теперь ради контроля мы раздѣляемъ весь курсъ на объясненіе и спросъ, разрываемъ весь курсъ на мелкіе опросные куски, уснащаемъ упражненія искусственными наслоеніями ради контроля, а не ради усвоенія матеріала. Цѣлесообразность школьныхъ работъ должны покоиться нс на задачахъ контроля ученической работы и не на практической результатности ихъ, а на сознательномъ интересѣ къ математическимъ задачамъ науки, на зараженіи учащихся процессомъ научнаго творчества. Работы и упражненія отвлеченнаго характера одинаково, какъ и чисто-практическія занятія, необходимы и отвѣчаютъ началамъ активности и лабораторности,—въ нихъ элементъ творчества обладаетъ началомъ активности мышленія, а сопровождающая ихъ индукція или дедукція толкаетъ учащихся на путь лабораторныхъ конкретныхъ изысканій.

4. Лабораторность въ математикѣ.

Съ установленной точки зрѣнія, математическія упражненія,— если только они связаны съ методологическими задачами,—обладаютъ самодовлѣющимъ интересомъ, правомъ на самостоятельное существованіе, несвязанное съ какими-либо практическими работами по геодезіи, техникѣ и т. п. Лабораторія математическая не въ классѣ ручного труда, не при землемѣрныхъ работахъ,—она находится при класной доскѣ и при тетрадяхъ учениковъ; какъ Архимедъ при осадѣ Сиракузъ, математическая лабораторія руководитъ лабораторіями другихъ наукъ, выноситъ чудодѣйственныя рѣшенія въ практику жизни, а не на ихъ данныхъ строитъ свои выводы. Только въ младшихъ классахъ изъ данныхъ наблюденія и опыта образуются математическія понятія учащихся, или вѣрнѣе образуется запасъ представленій, необходимый для образованія понятій.

Для руководства другими лабораторіями надо не забывать свое методологическое призваніе, надо брать матеріалъ для упражненій изъ жизни и природы; не надо забывать свое дедуктивное происхожденіе, но не надо забывать и цѣль своего назначенія; другія лабораторіи должны давать математикѣ матеріалъ не для выводовъ, а для упражненій. Математика не является прикладнымъ знаніемъ къ практическимъ работамъ, она глубоко воспитываетъ нашу спекулятивную мысль, она исправляетъ и укорачиваетъ путь человѣческаго мышленія при познаніи и утилизаціи великой книги природы и жизни, она свои выводы несетъ въ другія лабораторіи, но добываетъ ихъ самостоятельнымъ путемъ. Таково свидѣтельство исторіи нашей науки и ея вліяній на развитіе научнаго творчества,

Учебная математика индуктивна при усвоеніи математическихъ понятій и основныхъ законовъ, но дедуктивна въ построе-

ніи теоріи и въ обоснованіи своихъ спеціальныхъ методовъ. Въ младшихъ классахъ усвоеніе математическихъ понятій и методовъ вытекаетъ изъ конкретныхъ упражненій, изъ наблюденія и опыта, но съ среднихъ классовъ обоснованія методовъ должны предшествовать примѣненію ихъ; конечно, и здѣсь иллюстрація дедуктивнаго изложенія „интуитивными“ приборами, „конкретными“ упражненіями можетъ только способствовать болѣе рѣзкому закрѣпленію основныхъ математическихъ идей, законовъ, гипотезъ, правилъ и фактовъ, но центръ тяжести развитія математическаго мышленія въ работѣ творческой мысли надъ отвлеченнымъ матеріаломъ; это опредѣляетъ условія и границы „лабораторной методы“, (принципа производительнаго и самостоятельнаго труда).

И такъ на первомъ планѣ изученія математики должно быть воспитаніе мышленія, но воспитаніе не формально-логическое, но творческо-методологическое, при чемъ упражненія остаются до нѣкоторой степени отвлеченными и искусственными, но они неуклонно должны преслѣдовать методологическія задачи, должны считаться съ методологической цѣнностью разрабатываемаго матеріала, должны содѣйствовать усвоенію математическихъ методовъ научнаго изслѣдованія. Не мѣсто въ учебной математикѣ многоэтажнымъ упражненіямъ, искусственно-сложнымъ задачамъ, задачамъ загадочнаго характера; упражненія и задачи должны быть просты, отвѣчать реальнымъ соотношеніямъ и освѣщать какой-либо изъ пріемовъ математическаго изслѣдованія.

5. Обоснованіе методовъ.

Съ вышеустановленной точки зрѣнія, крайне нежелательны и суррогаты математическихъ методовъ, каковыми въ нашихъ учебникахъ являются, напр., изложенія вопроса о несоизмѣримыхъ отношеніяхъ, способа предѣловъ, теоріи трехчлена 2-й степени и др. Съ другой-же стороны, нежелательно и нарушеніе цѣлостности обоснованія того или другого метода. Крайне серьезное значеніе имѣетъ постепенное взращиваніе въ сознаніи учащихся основныхъ идей и методовъ „функціональнаго мышленія“, необходимо, чтобы учащіеся усваивали одновременно представленія, понятіе идей, а не оперировали-бы только съ словами и отвлеченными понятіями1); но въ условіи методовъ роль интуиціи должна быть подчинена цѣнности математической дедукціи и особенно наивозможному углубленію математическихъ методовъ, которое прежде всего зависитъ отъ цѣлостности обоснованія ихъ; здѣсь на первый планъ надо выдвинуть не случайное или послѣдовательное развитіе индуктивнаго мышленія, а сознательное усвоеніе стройнаго комплекса представленій, идей и понятій, ле-

1) Докладъ С. И. Шохоръ-Троцкаго на 1-мъ всероссійскомъ съѣздѣ математиковъ (79 стр.).

жащихъ въ основѣ каждаго изъ методовъ изслѣдованія; способы интуитивнаго усвоенія не противорѣчатъ этому, но отступаютъ на второй планъ, какъ вспомогательныя орудія, какъ дидактическіе пріемы. Вотъ почему, мнѣ думается, не слѣдуетъ разрывать теорію алгебраическаго счисленія рѣшеніемъ уравненій различнаго типа; можно рядомъ конкретныхъ упражненій освоить мысль учащагося съ идеей алгебраическихъ преобразованій, но затѣмъ необходимо дать убѣдительное широкое обоснованіе этихъ преобразованій, углубить мысль учащихся дедуктивнымъ построеніемъ теоріи. По той-же причинѣ не слѣдуетъ, я-бы сказалъ, профанировать въ курсѣ математики методъ координатъ; употребленіе графикъ для эмпирическихъ функцій въ другихъ учебныхъ предметахъ можно только привѣтствовать, но учебная математика должна разсматривать методъ координатъ, какъ одно изъ орудій математическаго анализа при изученіи алгебраическихъ функцій, а не какъ одинъ изъ пріемовъ наглядности. Чѣмъ шире и глубже обоснованія методовъ, тѣмъ прочнѣе устои ихъ, тѣмъ основательнѣе усвоеніе, ихъ, тѣмъ глубже и шире „функціональное мышленіе“.

Въ заключеніе я позволю себѣ сдѣлать нѣкоторыя замѣчанія по поводу выдвигаемыхъ въ послѣднее время вопросовъ о введеніи наглядной геометріи и объ изложеніи гоніомеріи. Считая крайне необходимымъ пропедевтическій курсъ геометріи для усвоенія геометрическихъ понятій и для развитія пространственнаго мышленія у дѣтей, я сомнѣваюсь въ цѣлесообразности упражненій, въ результатѣ которыхъ должны быть эмпирически установлены геометрическія истины; не говоря уже о погрѣшностяхъ измѣреній, я подчеркну въ особенности, что эмпирическіе пріемы нерѣдко будутъ мѣшать усвоенію дедуктивныхъ пріемовъ, разовьютъ у учащихся увлеченіе наглядностью и сдѣлаютъ такимъ путемъ ихъ болѣе легкомысленными въ примѣненіяхъ дедукціи. Что-же касается гоніометріи, мнѣ кажется совершенно ненужнымъ выдѣлять пропедевтическій курсъ, посвященный рѣшенію треугольниковъ, такъ какъ учащіеся приступаютъ къ тригонометріи уже достаточно изощренными и въ области дедуктивнаго мышленія, и въ области „функціональнаго мышленія". Вообще наблюдаемое въ послѣднее время движеніе къ легкой математикѣ „свидѣтельствуетъ о необходимости и цѣлесообразности введенія“ „функціональнаго мышленія“ въ обиходъ среднихъ школъ, на доступность методовъ математическаго изслѣдованія, но не всегда оно указываетъ вѣрный путь для „лабораторной методы“; здѣсь, въ этихъ исканіяхъ есть не мало увлеченій; на существенныя изъ нихъ я и пытался указать; надѣюсь, что въ такомъ важномъ вопросѣ, какъ вопросъ о реформѣ учебной математики, будутъ имѣть значеніе и мои посильныя замѣчанія.

Задачи и вопросы по математикѣ, предлагаемые въ Англіи на экзаменахъ по курсу средней школы.

С. Острейко. Москва.

(Окончаніе).

Геометрія.

22 іюля, отъ 9 ч. до 10 ч. 30 м. утра.

1. Провести двѣ прямыя линіи АО В и С 01). Нѣкоторая точка Р, находящаяся на разстояніи 7 см. отъ О, равно удалена отъ AB и CD; точка же Q, отстоящая отъ О на разстояніи 4 см., также равно удалена отъ AB и CD. Показать на чертежѣ всѣ возможныя положенія, какія могутъ занимать точки Р и Q и измѣрить разстоянія между ними.

2. Провести прямую AB длиною 12 см. и геометрическимъ построеніемъ раздѣлить ее на части въ отношеніи 2:3:5.

Пусть эти части будутъ АС, CD, DB; найти положеніе точки, которая была бы равна удаленной отъ С и D и отстоящей на 6 см. отъ А Измѣрить въ миллиметрахъ ея разстояніе отъ В.

3. Доказать, 1) что каждая діагональ параллелограмма дѣлитъ другую діагональ пополамъ;

2) что, если діагонали параллелограмма равны, то параллелограммъ долженъ быть прямоугольнымъ.

4. Относительно двухъ прямыхъ утверждаютъ, что онѣ параллельны. Указать два способа провѣрить справедливость этого утвержденія.

АВС—нѣкоторый треугольникъ; на АС взять точку Р такъ, чтобы СР=СВ; на продолженіи ВС взять точку Q такъ, чтобы CQ= С А. Доказать, что ВР параллельна AQ.

5. Изложить способъ построенія касательной къ окружности изъ данной внѣшней точки и доказать правильность его.

6. Вычислить длину хорды, которая отстоитъ на 3,25 см. отъ центра круга, котораго діаметръ имѣетъ длину 42,5 см.

7. Доказать, что около четыреугольника можетъ быть описана окружность, если сумма противуположныхъ угловъ въ немъ равна суммѣ другой пары угловъ.

8. На окружности, центръ которой лежитъ въ О, взяты три точки А, В и С\ пусть прямыя АО, ВО и СО при продолженіи пересѣкаютъ окружность въ точкахъ D, Е F; доказать, что треугольникъ DEF равенъ треугольнику АВС.

Элементарная алгебра.

23 іюня отъ 9 ч. до 10 ч. 30 м. утра.

1. Раздѣлить X4 -f- 2х2у2 9î/4 на х2 — 2ху-\-Зу-.

2. Поверхность S шара, котораго радіусъ г, выражаетсь формулой S = 4лг2. Найти радіусъ шара, котораго поверхность содержитъ 3850 кв. дюймовъ, если л = —.

3. Упростить

4. Рѣшить слѣдующія уравненія и провѣрить рѣшенія:

5. Мужъ и жена должны уплатить вмѣстѣ по векселю 1 ф. ст. 9 шилл. Мужъ можетъ уплатить эту сумму, если жена дастъ ему 2/3 своихъ денегъ, а жена можетъ уплатить, если мужъ дастъ ей 3/4 своихъ. Сколько денегъ имѣли мужъ и жена вмѣстѣ?

6. Возвести въ квадратъ а 3—7 —(- а 1 и провѣрить отвѣтъ принявъ а = 1.

7. Найти f (х-\-1) въ простѣйшей формѣ, если f(x) = 2x2 -\--f- X — Іи рѣшить уравненіе f (х -f- 1) = 0.

8. Мальчикъ бѣжитъ полъ-мили съ нѣкоторой скоростью и затѣмъ не останавливаясь бѣжитъ вторую полумилю со скоростью на 1 ярдъ въ секунду большей; онъ пробѣгаетъ милю такимъ образомъ въ 62/3 минуты. Узнать, по скольку ярдовъ въ секунду онъ бѣжалъ первую половину мили.

9. Извѣстно, что длина окружности пропорціональна радіусу ея. Считая даннымъ, что окружность діаметра 2 дюйма имѣетъ длину приблизительно 6,3 дюйма, начертитъ графикъ, показывающій отношеніе длины окружности къ діаметру для діаметровъ отъ 0 до 3 дюймовъ. Отмѣтить на графикѣ діаметръ круга, у котораго окружность имѣетъ длину 5,7 дюймовъ.

На клѣтчатой бумагѣ принять пять дѣленій за единицу для X и пять для у. Отмѣтить единицы на осяхъ.

Алгебра курса повышеннаго типа.

25 іюля, отъ 9 ч. до 10 ч. 45 м. утра.

1. Составить уравненіе, каждый изъ корней котораго будетъ на 2 больше корней уравненія ах2-\-Ьх-\-с = 0.

2. Рѣшить уравненія

3. Найти сумму х членовъ и до безконечности ряда 1 —j— — —[—

—-f-... и иллюстрировать отвѣтъ графикомъ, въ которомъ единицы для у въ десять разъ больше единицъ для х.

4. Статуя 6 ф. вышины вѣситъ 4 тонны 18 центн. 3 кварт. 10 ф.; сколько будетъ вѣсить модель этой статуи изъ такого же матеріала, но только 2 ф. вышиною?

5. Найти въ простѣйшей формѣ среднее пропорціональное выраженій -----1-и ------—.

6. Сколько различныхъ чиселъ большихъ 20000 можно составить. изъ цифръ числа 12104, ставя ихъ въ различномъ порядкѣ?-

7. Найти коэффиціентъ при yls въ разложеніи (ху — у'2)10 по формулѣ бинома.

8. (1) Доказать, что lgax = xlga

(2) При помощи таблицъ найти съ точностью до 3-го десятичнаго знака значеніе --з—-------------

9. Примѣнить теорему о разложеніи въ рядъ ах къ доказательству того, что

Измѣрительная геометрія (Mensuration).

21 іюля, отъ 9 ч. 45 м. до 11 ч. 15 м. утра.

(Вычисленія д. б. произведены по четырехзначнымъ логариѳмическимъ таблицамъ и отвѣты даны съ соотвѣтственной точносью; л принимать равнымъ 2,1416).

1. Построить пятиугольникъ ABC DE по слѣдующимъ даннымъ: CD — 3 дюйм., С А = AD = 2 дюйм.; В А = АЕ = 1,5 дюйм., а разстоянія В и Е отъ CD каждое равно 1 дюйму. Вычислить площадь пятиугольника въ квадр. дюйм.

2. Круглый свинцовый дискъ толщиною въ 3 дюйма и 12 дюймовъ въ діаметрѣ переплавленъ въ 600,000 сферическихъ дробинокъ одного и того же радіуса. Найти радіусъ каждой дробинки выраженный десятичными долями дюйма.

3. Площадь основанія конуса равна поверхности шара радіуса 6 дюйм., а объемъ этого конуса равенъ объему упомянутаго шара. Найти въ квадратныхъ футахъ боковую поверхность конуса.

4. Человѣкъ ростомъ 6 фут. стоитъ къ W. отъ уличнаго фонаря, имѣющаго вышину 12 ф., а мальчикъ ростомъ 4 ф. стоитъ къ S. отъ этого фонаря. Тѣни отъ человѣка и мальчика имѣютъ соотвѣтственно длину 24 и 9 футовъ. Вычислить разстояніе человѣка и мальчика отъ фонаря и другъ отъ друга.

5. Построить планъ по даннымъ замѣткамъ при измѣреніи на мѣстности (данныхъ этихъ не привожу, т. к. записи измѣреній производятся по извѣстной условной схемѣ).

Плоская тригонометрія.

25 іюля, отъ 2 ч. до 3 ч. 30 м. попол.

1. Назвать тѣ тригонометрическія функціи угла, которыхъ числовыя значенія никогда не могутъ быть больше 1 и тѣ, которыхъ значенія не могутъ быть меньше 1.

Найти по таблицамъ уголъ, котораго Ctg равенъ 3 и уголъ, котораго Sec равенъ 2.

2. Начертить отъ руки графикъ 2Snx и Ctgx.

Показать, что графически можетъ быть найденъ уголъ удовлетворяющій уравненію 2Snx = Ctgx.

3. Построить инструментами уголъ, котораго Cos равенъ — 0,7.

Вычислить Тд его до 2-го десятичнаго знака и выразить уголъ въ градусахъ. Если есть между 0° и 360° больше одного значенія угла, то указать ихъ.

4. Выразить Cos (А В) черезъ Sn и Cos угловъ А и В при условіи, что А, В и А-\- В суть острые углы.

Найти Cos (А — В), если дано, что ТдА = 3І±, CsB = '°tlb(A и В положительные углы не превосходящіе 180°).

5. Показать, что въ плоскомъ треугольникѣ с = aCosB-\-bCosA, какъ въ томъ, когда АъВ оба острые углы, такъ и въ томъ, когда одинъ изъ изъ нихъ тупой.

Доказать тождество

6. Найти значенія х между 0° и 180°, для которыхъ

Со&х -]- Snx = О

7. Башня въ 80 фт. вышины стоитъ на вершинѣ горы; наблюдатель видитъ верхушку башни подъ угломъ 22°, а основаніе подъ угломъ 18° съ горизонтомъ; найти высоту горы и горизонтальное разстояніе наблюдателя отъ башни.

8. Одинъ уголъ прямоугольнаго треугольника 42°30', длина прилежащаго катета 75 футовъ; найти гипотенузу и другой катетъ.

Дифференціальное исчисленіе.

19 іюля, отъ 9 ч. 15 м. до 10 ч. 45 м. утра.

1. (1) Продифференцировать Sn*(2x -(- а) ueasnx по отнош. къ.

(2) Геометрическимъ методомъ найти значеніе ——.

2. Провѣрить формулу

3. (1) Найти второй дифференціальный коэффиціентъ

(2) Доказать, чтс

гдѣ р и q суть постоянныя.

4. Точка движется по оси х и когда она находится на разстояніи X отъ начала, она имѣетъ скорость ѵ, причемъ ѵ2 = 2ах + Ь; доказать, что ускореніе точки имѣетъ постоянную величину.

5. Положеніе точки оси х во время t выражается формулой X = 4:Cos3t -f- 3Sn t. Доказать, что точка отклоняется на равныя разстоянія по обѣ стороны отъ начала и найти скорость, съ которой она проходитъ черезъ начало.

6. Выразить — черезъ хи у, если есть постоянная величина.

Бильярдный шаръ радіуса х дюймовъ обтачивается равномѣрно такъ, что радіусъ его дѣлается равнымъ 59/60 х дюймовъ. Найти процентное уменьшеніе объема его съ точностью до второго десятичнаго знака.

7. Если f(x)=[x-\-2)(х — З)3, найти корни уравненій f(x)"О,

Опредѣлить на основаніи этого maximnm и minimum ординаты кривыхъ у = f(x) и y — f\x).

8. Человѣкъ находящійся въ лодкѣ на разстояніи 5 миль отъ берега, желаетъ достичь возможно скорѣе дома, стоящаго на берегу и отстоящаго отъ лодки на 13 миль. Гдѣ онъ долженъ пристать? Доказать, что кратчайшій срокъ, въ теченіе котораго онъ можетъ достигнуть дома составляетъ 4 час. 6 мин. (приблизит.) [Принять, что берегъ представляетъ прямую линію; логариѳмич. табл, міжно пользоваться].

9. Положеніе точки во время t дано формулами х = 401, //==501 Ißt2; найти tg угла между осью и направленіемъ движенія точки при t = 3.

Старшіе кандидаты.

Ариѳметика.

24 іюля, отъ 9 ч. до 10 ч. 15 м. утра.

1. Выразить 0,0125 отъ 5 ф. ст. + 3,0057 отъ 15 шилл. —0,15 отъ 8 пенс. въ десятичныхъ доляхъ фунта стерл.

2. Раздѣлить 37/8 — 4Ѵ3 + 2Ѵ12 на 9Ѵ36 — 719/27.

3. На основ. нижеслѣдующихъ статистическ. данныхъ показать, что Индійская Имперія болѣе чѣмъ въ 13 разъ гуще населена, чѣмъ Персія.

Плошадь въ квадр. миляхъ. Населеніе.

Индійская Имперія 1,800,000 294,000,000.

Персія 6,50,000 8,000,000.

4. Найти наибольшее и наименьшее изъ четырехзначныхъ чиселъ кратныхъ числа 39.

5. Найти съ точностію до 1 пенса сложные проценты съ 617 ф. стерл. 4 шилл. 2 пенс. за три года, считая по 6% годовыхъ.

6. Нѣкто купилъ 450 предметовъ по 2 ф. ст. 6 шилл. 8 пенс. за штуку и 100 по 2 ф. ст. 10 шилл. каждый. Онъ продалъ ихъ всѣ по 2 ф. ст. 17 шилл. 6 пенс. за штуку. Найти съ точностью до двухъ десятичныхъ знаковъ процентъ полученной имъ прибыли.

7. Найти съ точностью до 1 франка стоимость окраски открытаго бассейна длиною 4 метра 60 см., шириною 2 метра 25 см. и глубиною 1. 50 см. по цѣнѣ 4 фр. 75 снтм. за квадр. метръ.

8. Если кирпичъ съ нужнымъ количествомъ известковаго раствора занимаетъ пространство 9 дм. въ длину, 4Ѵ2 дм. въ ширину и 3 дм. въ толщину, то сколько кирпичей потребуется, чтобы окружить квадратный садикъ со стороной 18 ярдовъ стѣной вышиною въ 6 футовъ и толщиною 9 дм., если стѣна будетъ построена безъ фундамента, окаймляя снаружи садикъ.

Геометрія.

22 іюля, отъ 9 час. до 10 ч. 45 м. утра.

1. Доказать, что внѣшній уголъ треугольника равенъ суммѣ внутреннихъ угловъ несмежныхъ съ нимъ.

АВС — треугольникъ; внутренній биссекторъ угла А встрѣ^ чаетъ внѣшній биссекторъ угла В въ точкѣ О; доказать, что уголъ АО В равенъ половинѣ угла С.

2. Доказать, что площадь треугольника равна половинѣ площади прямоугольника съ такими же основаніемъ и высотой.

Доказать, что прямая, соединяющая середины сторонъ тр-ка, параллельна третьей сторонѣ.

3. Доказать, что, если квадратъ, построенный на одной сторонѣ тр-ка, равенъ суммѣ квадратовъ, построенныхъ на другихъ сторонахъ его, то треугольникъ прямоугольный.

4. AB—нѣкоторая прямая, на которю опираются два равныхъ угла съ вершинами въ Р и Q, лежащими по одну сторону прямой AB. Доказать, что окружность, проведенная черезъ А,В и Р, пройдетъ черезъ Q.

Провести прямую AB длиною въ 5 см. Найти вершину Р угла въ 54°; опирающагося на AB и притомъ такого, что АР= 4 см. Измѣрить разстояніе PB.

5. Двѣ параллельныя хорды окружности имѣютъ длины 6 и 10 см., а разстояніе между ними 1 см.; вычислить до 1 см. радіу съ окружности и провѣрить вычисленіе построеніемъ фигуры по размѣрамъ.

6. Доказать, что сторона правильнаго 6 угольника описаннаго около окружности относится къ діаметру его, какъ 1 : ]/з.

7. Дать опредѣленіе подобныхъ треугольниковъ.

Доказать, что перпендикулярт^ опущенный изъ вершины прямоугольнаго тр-ка на гипотенузу дѣлитъ тр-къ на два тр-ка, которые подобны.

8. Данъ тр-къ АВС. Требуется вписать въ этотъ тр-къ равносторонній тр-къ, одна сторона котораго параллельна AB, противуположная вершина лежитъ на AB. Показать, какъ это сдѣлать, пользуясь свойствами подобныхъ треугольниковъ.

Алгебра.

23. іюля, отъ 9 ч, до 10 ч. 45 м. утра.

1. Вычесть (2а—Ъ-\-с) (2а-\-Ъ—с) изъ (а—3Ъ—с) (а ЗЬ4-с)

2. Упростить

3. (а) Если —-f- — — 1 = г--}- — —1, показать, что х = у и найти числовое значеніе хи у, обращающее каждое изъ этихъ выраженій въ 4.

(Ь) Рѣшить

4. Показать что

имѣетъ при х =

такое же значеніе, какъ и при

Написать значенія х, удовлетворяющія уравненію

приведя основанія своему отвѣту.

5. Двое отправляются въ одно и то же время въ городъ отъ станціи на 75 миль, одинъ на велосипедѣ, другой на моторѣ. ѣдущій на моторѣ дѣлаетъ въ часъ на 10 миль болѣе, чѣмъ велосипедистъ, pi достигаетъ станціи на 2 часа 40 мин. раньше его. Найти скорость, съ какою ѣдетъ каждый.

6. Дано, что а = х1 , Ь = хт и с = хп ; выразить дробь — степенью х.

Если X = 3, а дробь —— = I/ 243, показать что Ір + mq —

7. Найти f(x -j- 1), если f(x) = (2х -J- 1) (2х — 1) — (# — 1) и рѣшить уравненіе f(x-{- 1) = 0.

8. Пользуясь теоремой бинома найти значеніе (1,005)10 съ точностію до двухъ десятичныхъ знаковъ.

9. Построить графикъ для у = (х — 2) (ж + З) между ж = -|-3 и X = — 4 и пользуясь графикомъ найти приближенно корни ур-ія 4х2 -j- 4х — 11 = 0.

Объяснить построеніе и дать основанія для заключеній.

(Принять два дѣленія клѣтчатой бумаги за единицу для х и два дѣленія за единицу для у, отмѣтить единицы на осяхъ).

Плоская тригонометрія.

25 іюля, отъ 11 ч. 30 мин. до 1 по пол.

1. Дать опредѣленіе радіану.

Если уголъ содержитъ А секундъ и имѣетъ линейную мѣру а, доказать что А 206265 а (приблизительно).

2. Построить уголъ, котораго Sec равенъ 2,6 и измѣрить его транспортиромъ.

3. Выписать возможныя значенія

4. Представить графически значенія Тдх отъ х = 0 до х — -- и показать, какъ при помощи графика найти значеніе х въ этихъ предѣлахъ, которое удовлетворяетъ уравненію Тдх = 2 — Ъх.

5. Доказать, что

6. Съ вершины маяка вышиною 200 фут. корабль А наблюдается по направл. къ югу на 4°30' ниже горизонта, а корабль В къ востоку на 2°12' ниже горизонта; найти разстояніе AB въ ярдахъ.

7. Доказать, что разстояніе точки пересѣченія высотъ тр-ка АВС отъ А выражается черезъ DCosA, гдѣ D діаметръ описаннаго около тр-ка круга.

Стороны тр-ка 78,84 и 90 фут., найти радіусъ вписаннаго круга.

Геометрія курса повышеннаго типа.

25 іюля, отъ 5 час. 30 мин. до 7 ч. 30 м. попол.

(Можно пользоваться, какъ алгебраическими, такъ и геометрическими методами).

1. Какъ измѣрить уголъ между двумя пересѣкающимися плоскостями?

*) По нашему обозначенію A=arc Tgj^,

Изъ точки А, взятой на пересѣченіи двухъ плоскостей, проводится линія НВ на одной плоскости. Доказать, что острый уголъ, который эта прямая образуетъ съ другой плоскостью, не можетъ быть больше остраго угла между плоскостями.

2. Доказать, что геометрическое мѣсто серединъ прямыхъ, которыхъ концы лежатъ на двухъ непересѣкающихся и непараллельныхъ прямыхъ, есть плоскость параллельная двумъ даннымъ прямымъ, которая при этомъ дѣлитъ пополамъ кратчайшее разстояніе между данными прямыми, будучи перпендикулярной къ нему.

3. Найти объемъ сферическаго сегмента высотою h, отсѣченнаго отъ шара радіуса г.

Чашка, имѣющая видъ полушара, наполнена водой, а затѣмъ наклонена на уголъ 45°. Доказать, что выльется около 88°/0 воды.

4. Найти уголъ между двумя прямыми 7х-\-8у—9 = 0 и 8х — Згу Д- 4 = 0.

Найти также уравненіе прямой, проходящей черезъ точку пересѣченія ихъ перпендикулярно къ первой изъ нихъ.

5. Какова длина перпендикуляра опущеннаго изъ точки (3, 4) на прямую (х—3) Cosa -I- (у — 4) Sna =- 5.

Показать, что для всѣхъ значеній а эта прямая касается нѣкоторой окружности, проходящей черезъ начало, и найти уравненіе касательной въ началѣ^.

6. Найти соотношеніе, которое существуетъ между ті и т2, если прямая, соединяющая точки (ш^, 2аш1) и (аж22, 2ат2) на параболѣ у2 = 4:ах стягиваетъ прямой уголъ при вершинѣ.

Если Р и Q суть такія двѣ точки, доказать, что геометрическое мѣсто пересѣченія касательныхъ въ Р и Q есть прямая, разстояніе которой отъ вершины равно удвоенному параметру параболы.

7. Провести двѣ прямыя AB и CD пересѣкающія въ Т и помѣстить точку S на разстояніи около дюйма отъ AB. Найти точку касанія CD съ коническимъ сѣченіемъ, которое можетъ быть проведено такъ, чтобы оно касалось CD и имѣло AB директрисой, а S соотвѣтствующимъ фокусомъ. Найти также второй фокусъ и другую какую нибудь точку коническаго сѣченія.

8. Найти уравненіе касательной и нормали въ точкѣ (ЗаГ2,2а£3) на кривой 'lay2 = 4.x3.

Показать, что касательная къ этой кривой въ точкѣ (6а ,4а у 2) будетъ нормалью къ первой въ точкѣ

Алгебра курса повышеннаго типа.

26 іюля, отъ 9 ч. до 11 ч. утра.

Объяснить способъ доказательства, извѣстный подъ именемъ математической индукціи и примѣнить его къ доказательству,

2. Доказать, что число однородныхъ произведеній r-го измѣренія, которыя могутъ быть составлены лзъ п буквъ а, Ь, с... при условіи, что каждая буква можетъ быть взята какое угодно число разъ, равно Cl%njrr_1

Найти число способовъ, которыми 12 монетъ по одному пенсу могутъ быть розданы 6 мальчикамъ такъ, чтобы каждый получилъ по крайней мѣрѣ одинъ пенсъ.

3. Если дано, что (1 — х)п = 1 -f- аѵх -f- й2х2 4- а3ж3 + ... , доказать, что сумма 1 + % + «о -ь....+ а>’ = (—1Г (п — 1)! / г(п —

Найти п й членъ и сумму п членовъ ряда, котораго первые 4 члена суть 1, 7, 37 и 175.

4. Привести текстъ теоремы де-Моавра и доказать, что при п положительномъ и цѣломъ

При помощи таблицъ найти три значенія кубичнаго корня изъ 100-[-75 V — 1 съ точностью до второго десятичн. знака.

5. Разложить на множители 1 — 2xCosb х1 и отсюда получить разложеніе Ig (1 — 2xCosQ + х2) въ рядъ косинусовъ дугъ кратныхъ Ö.

Вывести дифференцированіемъ или доказать какъ нибудь иначе, что

6. Изъ основныхъ положеній вывести дифференціальный коэффиціентъ Тд~хх.

Продиффенцировать

7. Сосудъ извѣстнаго даннаго объема долженъ быть построенъ изъ тонкихъ металлическихъ листовъ въ формѣ цилиндра (съ металлическимъ основаніемъ) и покрытъ куполомъ въ видѣ полусферы. Доказать, что для того, чтобы израсходовать возможна меньше металла, общая высота должна быть сдѣлана равной діаметру основанія.

Знанія относящіяся къ обыденной жизни.

25 іюля, отъ 11 ч. 30 м. до 1 ч. попол.

(Отвѣтить не болѣе чѣмъ па 5 изъ прилагаемыхъ ниже вопросовъ. Отвѣты, если возможно, слѣдуетъ иллюстрировать діаграммами).

1. Описать лактометръ простой формы и объяснить, какъ имъ пользоваться. Въ какой мѣрѣ лактометръ является средствомъ для опредѣленія натуральности молока?

2. Разобрать обстоятельно слѣдующія средства для оживленія въ каминѣ огня, когда онъ почти потухъ:

a) держать противъ него развернутый большой листъ бумаги;

b) дуть на него мѣхами;

c) посыпать сахарнымъ пескомъ;

(і) поставить кочергу противъ него, направивъ ее въ трубу;

е) вложивъ въ него кочергу, приподнять уголь.

3. Отъ чего происходитъ гніеніе мяса? Какими опытами можно подтвердить правильность вашего отвѣта? Какія средства примѣняются, чтобы предохранить мясо и рыбу отъ гніенія при перевозкѣ? Указать, насколько они дѣйствительны.

4. Дать точное описаніе, какъ стали бы вы а) печь хлѣбъ, Ь) отваривать баранью ногу, с) готовить рисовый пудингъ. Объяснить основанія вашихъ дѣйствій и разобрать, какое вліяніе оказываетъ готовка на удобоваримость входящихъ въ эти блюда веществъ.

5. Описать опытъ, показывающій, что воздухъ плохой проводникъ тепла. Какъ этимъ обстоятельствомъ пользуются при производствѣ матерій для теплой одежды.

На чемъ основано устройство сосудовъ Термосъ?

6. Описать опыты, обнаруживающіе свойства либо амміака либо соды, употребляющейся для стирки. Указать, какъ изъ этихъ опытовъ сдѣлать заключеніе о случаяхъ, въ которыхъ то или другое вещество будетъ а) полезно, Ь) вредно, если его прибавить къ водѣ при мытьѣ.

Насколько вашъ собственный опытъ подтверждаетъ заключенія? Дать опредѣленные примѣры случаевъ, гдѣ вы примѣняли амміакъ или соду и описать результаты.

7. Въ чемъ по вашему мнѣнію заключаются причины:

a) лопанія трубъ зимою,

b) взрыванія лампъ,

c) взрывовъ котловъ,

cl) возникновенія пожаровъ въ печныхъ трубахъ,

е) тресканія стакановъ при наливаніи въ нихъ горячей воды.

Указать, какъ въ каждомъ случаѣ предотвратить эти явленія.

Отъ просмотра приведенныхъ вопросовъ и задачъ получается очень опредѣленное впечатлѣніе относительно того, какіе результаты обученія особенно цѣнятся и провѣряются у англичанъ на экзаменѣ. Мнѣ думается, что я не ошибусь, если скажу, что прежде всего цѣнятся навыки въ отчетливой и аккуратной работѣ въ данной области. Въ самомъ дѣлѣ: вопросы по теоріи относятся къ самымъ основнымъ частямъ курса, задачи несложны и не требуютъ никакой изобрѣтательности, но для того, чтобы отвѣтить на всѣ вопросы въ назначенной для каждой письменной работы срокъ (сроки для исполненія отмѣчены на каждой темѣ), нужно, чтобы познанія въ основныхъ частяхъ курса были совершенно отчетливы и тверды,—такъ, чтобы отвѣты на каждый вопросъ давались безъ всякихъ колебаній краткіе, сжатые, но точные и полные, чтобы рѣшенія задачъ и вычисленія производились увѣренно, отчетливо и безъ ошибокъ. Иначе,—при отсутствіи отчетливыхъ познаній и навыковъ въ аккуратной и увѣреной работѣ, заданіе не можетъ быть выполнено въ назначенный

срокъ. На такія требованія отъ экзаменующихся есть и прямыя указанія въ правилахъ: „старательно слѣдовать указаніямъ въ томъ случаѣ, если сказано дать отвѣтъ кратко; въ такихъ случаяхъ длинные отвѣты влекутъ потерю времени и пониженіе балловъ; орѳографія и качество письма принимается во вниманіе при оцѣнкѣ всѣхъ экзаменныхъ работъ; стараться писать хорошимъ языкомъ съ правильной пунктуаціей: небрежность въ слогѣ и письмѣ повлечетъ за собою существенную сбавку балловъ". На это же указываетъ и характеръ задачъ по геометріи; между ними есть и такія, въ которыхъ точность отвѣта, находится въ зависимости отъ качества исполненія чертежа. Чертежи по геометріи, если особо не оговорено, должны быть выполняемы чертежными инструментами. Работы исполняются экзаменующимися прямо начисто, но для черновыхъ замѣтокъ выдаются особые листки бумаги.

Требованія къ качеству исполненія работъ предъявляются, очевидно, очень высокія. Объ этомъ можно судить по тому, что число лицъ успѣшно сдающихъ экзаменъ по математикѣ сплошь и рядомъ не превышаетъ 50°/0 числа всѣхъ подвергавшихся испытаніямъ по этому предмету1). Если принять во вниманіе, что экзаменующійся можетъ выбрать для экзамена предметы, въ которыхъ онъ чувствуетъ себя наиболѣе сильнымъ и затѣмъ то, что, выбравъ въ числѣ ихъ математику, онъ можетъ, если не претендуетъ на „отличія", ограничиться курсомъ небольшого объема, приходится думать, что столь высокій процентъ неуспѣшности вызывается серьезными требованіями къ качеству исполненія письменныхъ работъ.

Что касается объема курса математики, изучаемыхъ въ среднихъ школахъ, то по приведеннымъ темамъ видно, что ученики, ограничивающіеся на экзаменѣ сдачей того курса, который въ экзаменныхъ заданіяхъ идетъ подъ названіемъ просто математики, проходятъ курсъ меньшій по сравненію съ нашимъ гимназическимъ курсомъ математики и во всякомъ случаѣ менѣе подробный и удѣляющій меньше вниманія теоретической сторонѣ предмета. Тѣ же ученики, которые сдаютъ математику по программѣ курса повышеннаго типа, проходятъ довольно обширный курсъ,- большій и болѣе основательный, чѣмъ тотъ, который установленъ новыми программами нашихъ реальныхъ училищъ.

Обращаетъ на себя вниманіе тенденція приблизить курсъ математики къ жизни, выдвинуть въ немъ то, что можетъ имѣть примѣненіе въ жизни и въ практическихъ вопросахъ другихъ наукъ. Это проглядываетъ и въ условіяхъ задачъ и въ такомъ напр. фактѣ, какъ выдѣленіе чисто вычислительныхъ задачъ по геометріи и черченія плановъ по даннымъ отъ измѣреній на мѣстности въ особый отдѣлъ испытанія подъ названіемъ Mensuration (за неимѣніемъ у насъ подходящаго термина я переводилъ это слово „измѣрительная геометрія"), причемъ отъ экзаменующихся

1) Hawkins, Examinations from the School Point of View.

требуется, чтобы они имѣли навыки въ оцѣнкѣ погрѣшностей вгь приближенныхъ вычисленіяхъ.

Въ заключеніе нѣсколько словъ по поводу соображеній, но которымъ англичане считаютъ возможнымъ выдавать свидѣтельства молодымъ людямъ, которые могли совсѣмъ не экзаменоваться по одному и даже нѣсколькимъ изъ такихъ предметовъ, какъ родной языкъ и литература, математика, исторія, географія и т. п., что вытекаетъ изъ свободы выбора у нихъ экзаменующимся предметовъ для испытаній. Хотя свидѣтельства, выдаваемые испытательными комитетами, формально не даютъ никакихъ правъ и премуществъ за исключеніемъ развѣ того, что многіе университеты принимаютъ къ зачету нѣкоторые изъ предметовъ, сданные на мѣстныхъ испытаніяхъ, при вступительныхъ экзаменахъ, но все же эти свидѣтельства являются своего рода дипломами о среднемъ образованіи и отсутствіе извѣстнаго цикла обязательныхъ предметовъ такъ расходится съ нашими прочно установившимися школьной практикой традиціями, что я считаю нелишнимъ привести соображенія, которыми они руководятся, заимствуя аргументацію изъ названной ранѣе брошюры Hawkins’a „Экзамены съ точки зрѣнія школы“, представляющей одинъ изъ выпусковъ серіи изданій англійскаго Министерства Народнаго Просвѣщенія для Международной Комиссіи по преподаванію математики. Англичане исходятъ изъ того положенія, что способность воспріятія у каждаго интеллекта имѣетъ извѣстныя границы. Для юноши среднихъ способностей нѣкоторые изъ предметовъ даже на уровнѣ требованій средней школы могутъ ставить уже предѣлъ тому, что интеллектъ можетъ воспринять безъ особыхъ усилій. Обученіе предмету за такимъ предѣломъ для даннаго интеллекта англичане считаютъ не имѣющимъ образовательнаго значенія, потому что въ такихъ случаяхъ отъ ученика можно добиться натаскиваніемъ того, что онъ будетъ повторять требуемыя отъ него фразы, но онъ не будетъ оцѣнивать содержащейся въ нихъ сущности; онъ будетъ даже въ состояніи отвѣчать самостоятельно на вопросы, которые ему могутъ быть предложены на экзаменѣ, но эти вещи окажутся только на поверхности его сознанія и не проникнутъ въ глубь его настолько, чтобы оказать вліяніе на его умственное развитіе. Затраченныя на это усилія они считаютъ не только непроизводительными, но даже въ извѣстной мѣрѣ вредными, потому что такое ученіе не укрѣпляетъ и не формируетъ умъ, а напротивъ ослабляетъ, пріучая оперировать надъ словами и терминами вмѣсто мыслей и понятій, которыя не могли стать внутреннимъ достояніемъ даннаго интеллекта. Поэтому они считаютъ нужнымъ предоставить такому ученику ограничиться въ этой области самымъ необходимымъ, что имъ безъ труда можетъ быть усвоено и дать возможность за то подвинуться значительно дальше въ тѣхъ областяхъ знанія, въ которыхъ онъ способенъ это сдѣлать; усвоеніе этихъ познаній будетъ имѣть для него образовательный и формирующій умъ характеръ и эти познанія будутъ представлять дѣйствительное пріобрѣтеніе, которому онъ можетъ найти примѣненіе и въ жизни. Если же жизнь предъ-

явитъ ему запросы на тѣ познанія, которыя затрудняли его въ школѣ, то онъ будетъ въ состояніи скорѣе и съ меньшей затратой силъ пополнить пробѣлы тогда, когда умъ его сформируется и окрѣпнетъ на подходящей для его интеллекта работѣ. Вотъ въ краткихъ словахъ тѣ соображенія, по которымъ экзаменующемуся на свидѣтельство о среднемъ образованіи предоставляется предложить экзаменаторамъ не болѣе 7—8 предметовъ и для полученія свидѣтельства выдержатъ успѣшно экзаменъ не менѣе чѣмъ по 5 изъ нихъ.

По поводу новаго взгляда на значенія условныхъ выраженій въ математикѣ.

Докладъ, прочитанный на 2-мъ Съѣздѣ преподавателей математики 2-го Января 1914 г.

Е. Кедринъ. Самара.

Вслѣдствіе ограниченности назначеннаго мнѣ времени я долженъ былъ значительно измѣнить и содержаніе и цѣль своего доклада, совершенно выпустивъ всѣ разсужденія относительно самого научнаго взгляда и сохранивши въ докладѣ только одни методическія соображенія. Благодаря этому теперь единственною моею цѣлью является поставить на обсужденіе собранія вопросъ о томъ, на сколько новый взглядъ пригоденъ съ методической точки зрѣнія, и какъ слѣдуетъ смотрѣть въ школьномъ преподаваніи на тѣ условныя выраженія, которыя употребляются въ математикѣ, какъ напр. а. О, а0, а. (~ Ь), произведеніе при дробномъ множителѣ и много другихъ.

Въ прежнихъ учебникахъ на всѣ эти выраженія смотрѣли, какъ на выраженія, прямо вытекающія изъ нашихъ первоначальныхъ понятій и слѣд. имѣющія свой вполнѣ опредѣленный смыслъ, для насъ обязательный и не зависящій отъ нашего произвола. Такимъ образомъ прежде считалось, что мы обязаны признать, что напр. а. 0 = 0, что ( + а)- ( — Ь)=—(аЪ), что умноженіе на дробь есть нахожденіе этой дроби отъ множимаго и тому подобное.

Замѣчу, что такъ-же, мнѣ кажется, смотрѣли на это и тѣ ученые, которые впервые вводили въ науку всѣ эти понятія.

Теперь же въ школьно-учебную литературу все болѣе и болѣе проникаетъ тотъ взглядъ, сообразно съ которымъ всѣ эти выраженія логически не вытекаютъ изъ нашихъ первоначальныхъ опредѣленій и слѣд. сами по себѣ не имѣютъ никакого опредѣленнаго смысла, а потому относительно ихъ значеній мы можемъ дѣлать тѣ или иныя произвольныя соглашенія, но лишь бы они были для насъ цѣлесообразны. Такъ Веберъ, разсматривая выраженіе а. ( — b), говоритъ: „Но если множитель есть число отрицательное, то предыдущее опредѣленіе теряетъ всякій смыслъ, и отъ насъ зависитъ приписать ему то или иное значеніе. Мы

выразимъ опредѣленіе умноженія для тѣхъ случаевъ, когда множитель отрицателенъ, слѣдующими соотношеніями: а. ( — Ь ) = — (аЪ) и ( — а). ( — Ь) = аЪ. Формула а. ( — Ь) = — (ab) необходимо вытекаетъ изъ формулы ( — а). Ь — — (ab), если мы поставимъ себѣ задачей сохранить законъ перемѣстительности".

Подобно этому выраженіе а. О, согласно съ новымъ взглядомъ, само по себѣ не имѣетъ никакого опредѣленнаго значенія, и мы сами произвольно считаемъ его равнымъ 0 только для того, чтобы сохранить для этого выраженія законъ перемѣстительности, такъ какъ тогда а. О будетъ равно 0. а. И этотъ произволъ распространяется и на такое выраженіе, какъ а. 1. „Согласно опредѣленію“, говоритъ Веберъ, „1. а = а\ мы положимъ также а. 1 = а, такъ какъ это въ предыдущемъ опредѣленіи не содержится“. Другими словами: смыслъ выраженія а. 1 не вытекаетъ изъ нашего первоначальнаго опредѣленія умноженія, а потому отъ насъ зависитъ, какое значеніе придать этому выраженію, и мы только въ видѣ особаго соглашенія полагаемъ его равнымъ a для того, чтобы сохранить равенство а. 1 = 1. а.

Теперь возникаетъ вопросъ: на сколько пригоденъ этотъ взглядъ съ методической точки зрѣнія? Допустимо ли подобное изложеніе въ средней школѣ? И этотъ вопросъ въ данное время является однимъ изъ самыхъ важныхъ методическихъ вопросовъ для насъ, преподавателей средней школы, такъ какъ за послѣднее время учебники алгебры строятся именно на этихъ новыхъ началахъ.

Напр. алгебра Киселева съ начала до конца испещрена совершенно произвольными условіями. По этому учебнику ученикъ читаетъ: „условились разность между двумя равными числами считать равной 0.

Напр. 7 — 7 = О“. „Условились произведеніе считать равнымъ 0, если одинъ изъ сомножителей равенъ 0“. „Условились произведеніе двухъ сомножителей брать со знакомъ ~р, если сомножители имѣютъ одинаковые знаки“ и т. д., и т. д.

При этомъ всѣ эти условія преподносятся ученикамъ во-первыхъ безъ всякаго объясненія ихъ условности и нашего права на произволъ, и во-вторыхъ безъ всякаго указанія, почему именно тѣ, а не иныя условія для насъ выгодны и цѣлесообразны А между тѣмъ, я думаю, надо признать безспорнымъ, что все то, что преподносится ученику, должно быть ему выяснено, и должно быть имъ понято. Мы обязаны добиться, чтобъ ученикъ вполнѣ убѣдился, что смыслъ всѣхъ этихъ выраженій зависитъ отъ нашихъ соглашеній. Мало того, мы должны дальше разъяснить ему, почему мы выбираемъ то, а не иное значеніе, т. е. повести бесѣду о цѣлесообразности нашихъ допущеній.

Но возможно-ли все это выяснить ученику? Я думаю, что это сдѣлать не удастся. Какъ бы вы ни старались убѣдить его, что а. 0 мы можемъ считать за то, что найдемъ для себя цѣлесообразнымъ, онъ все равно вамъ не повѣритъ. Онъ, можетъ быть, самъ сразу и не скажетъ, чему это выраженіе равно, но онъ все таки будетъ убѣжденъ, что оно чему-то должно равняться

и при этомъ чему-то вполнѣ опредѣленному и оіъ нашего произвола независящему. Едва-ли можно убѣдить ученика въ необходимости дѣлать условіе, чтобы имѣть право сказать, что напр. |/ 5 >2, но <С 3. Ни одинъ ученикъ никогда не повѣритъ, что относительно а. 1 можно и надо дѣлать какое-либо условіе.

Такъ мнѣ часто приходилось слышать отъ постороннихъ учениковъ, проходившихъ алгебру по этому новому методу, такой вопросъ: „а какъ доказать, что произведеніе положительнаго числа на отрицательное есть число отрицательное“? Вѣдь разъ ученикъ задаетъ такой вопросъ, то значитъ онъ не вѣритъ тому, чему его учила алгебра Киселева; онъ не повѣрилъ и не понялъ, что этого доказать нельзя, что это есть наше произвольное соглашеніе, а не необходимый выводъ. А разъ онъ этого не понялъ, то значитъ этотъ способъ изложенія оказался совершенно безплоднымъ для умственнаго развитія ученика, даже болѣе онъ только внесъ въ его сознаніе полное непониманіе и мучительную неудовлетворительность. И если сейчасъ все же не получается никакихъ особыхъ недоразумѣній, то только потому, что ни учителя, ни ученики не обращаютъ почти никакого вниманія на эту произвольность.

Ученики заучиваютъ эти произвольныя соглашенія, свыкаются съ ними, внутренно остаются убѣжденными, что иначе и быть не можетъ, и, забывъ о произвольности и о возможности иныхъ допущеній, свободно продолжаютъ пользоваться установленными условіями. Но если бы учителя болѣе строго и упорно обращали вниманіе учениковъ на то, что всѣ эти значенія зависятъ отъ нашихъ произвольныхъ соглашеній, то это неминуемо привело бы учениковъ къ очень печальнымъ послѣдствіямъ. Дѣйствительно, прослѣдимъ, что должно получаться въ сознаніи ученика при такомъ изложеніи.

Ученикъ читаетъ: „«— а условились считать равнымъ 0“. Получается естественная мысль: „могли бы условиться эту разность считать равной не 0; значитъ эта разность сама по себѣ не имѣетъ никакого значенія, т. е. изъ а нельзя отнять а“. Отсюда выходитъ, что, имѣя въ карманѣ напр. 5 копѣечныхъ монетъ, ученикъ не въ состояніи будетъ купить 5-копеечную булку, а если мучимый голодомъ, онъ все же рискнетъ на это, и продавецъ самъ у него отсчитаетъ 5 копеекъ, то онъ не будетъ знать, сколько у него осталось, и можетъ условиться, что у него осталось въ карманѣ напр. хотя бы 10 копеекъ.

Далѣе ученикъ читаетъ: „а. (—Ъ) условились считать равнымъ—(аЪ). Такъ какъ могли бы условиться этому выраженію придавать и другое значеніе, то ученикъ имѣетъ полное право, забывши это условіе, писать, что а. (— Ь) = (а Ъ) или даже (а -J- Ъ) или ^ и т. д.

„а. 0 условились считать за 0. Слѣд. могли бы считать и иначе, напр. принимать, что а. 0 = а, но это конечно привело бы ученика къ выводу, что можно бы было 0 считать числомъ равно-

значнымъ 1, хотя подъ нулемъ уже раньше условились считать отсутствіе объектовъ. Дѣлая различныя иныя допущенія, ученикъ конечно наталкивался бы на новыя, очень мучительныя и для него неразрѣшимыя недоумѣнія.

„а. 1 условились считать равнымъ а“. Значитъ могли бы считать равнымъ чему-нибудь другому. Представимъ себѣ, что черезъ 2, 3 недѣли ученику въ задачѣ встрѣчается 5 умножить на 1. По собственному убѣжденію онъ хочетъ написать 5, но на свою бѣду онъ вспоминаетъ, что 2 недѣли тому назадъ онъ училъ, что относительно этого умноженія ученые сдѣлали какое-то условіе, но какое оно—онъ забылъ. И вотъ ученикъ, очень возможно, будетъ разсуждать такъ: „если бы ученые считали 5. 1 равнымъ 5, то тогда бы и не нужно было дѣлать никакого условія: это и безъ условія ясно. А разъ ученые сдѣлали его, то конечно ужъ не въ томъ смыслѣ, какой выходитъ и безъ него. Чему же условились они считать равнымъ выраженіе 5. 1? Да должно быть единицѣ“, и ученикъ пишетъ 1, а учитель, хотя совершенно несправедливо, но тоже ставитъ 1.

И подобные факты, я убѣжденъ, будутъ вполнѣ возможны именно тогда, когда произвольность этихъ значеній будетъ подчеркиваться болѣе строго, чѣмъ это дѣлается сейчасъ.

И это модное увлеченіе условностями въ школьномъ преподаваніи за послѣднее время переходитъ всякія границы допустимыхъ нововведеній. Такъ въ началѣ этого съѣзда одинъ изъ докладчиковъ предлагалъ намъ ввести въ геометрію такое условіе: условились дугу считать больше своей хорды. Выходитъ, что могли бы дугу считать меньше своей хорды. Не знаю, на сколько обосновано подобное условіе съ научной точки зрѣнія, но съ методической оно мнѣ представляется не только совершенно безполезнымъ, но и мучительнымъ для сознанія учениковъ. Такимъ образомъ, я думаю, что новый способъ изложенія вноситъ очень печальное и вредное несоотвѣтствіе между научными положеніями и сознаніемъ учениковъ: учебникъ излагаетъ науку, такъ сказать, по методу произвольныхъ соглашеній, и ученики, внутренно не вѣря этому взгляду, сами кое-какъ стараются создать для себя хотя какія-нибудь логическія подтвержденія этимъ многочисленнымъ допущеніямъ.

И, наконецъ, подобное изложеніе противорѣчитъ историческому ходу развитія математики, а между тѣмъ большинство ученыхъ — педагоговъ считаютъ необходимымъ въ школьномъ преподаваніи сообразоваться съ тѣмъ путемъ, по которому развивалось человѣческое познаніе. По мнѣнію Пуанкаре, да и многихъ другихъ ученыхъ, этотъ путь, по которому шли наши предки въ усвоеніи какихъ-либо понятій, указываетъ на истинное происхожденіе этихъ понятій, а слѣд. и на ихъ природу. А вѣдь всѣ значенія условныхъ выраженій исторически создавались, какъ логически-связанныя съ нашими первоначальными понятіями. Прежніе ученые, создававшіе всѣ эти обобщенія, вовсе не опирались на цѣлесообразность и, выясняя смыслъ напр. умноженія на дробное или отрицательное число, едва-ли имѣли въ виду

сохраненіе закона перемѣстительности. Этотъ законъ у нихъ оказывался ужъ самъ собою сохраненнымъ.

Новый же взглядъ о произвольности всѣхъ этихъ понятій появился ужъ послѣ того, какъ смыслъ этихъ понятій былъ раньше установленъ другимъ, непроизвольнымъ путемъ. Такимъ образомъ современный ученый вводитъ свои соглашенія, уже впередъ зная, къ какимъ выводамъ они приведутъ, т. е. получаетъ не выводы изъ соглашеній, а, наоборотъ, свои соглашенія устанавливаетъ по готовымъ выводамъ. Но каково положеніе ученика, который впервые встрѣчается съ этими понятіями и который совершенно не представляетъ себѣ, къ какимъ послѣдствіямъ могутъ привести тѣ или другія допущенія! Какое мучительное недоумѣніе должно возникать у него: почему устанавливается именно это, а не иное соглашеніе?!

Принимая во вниманіе все выше-указанное, я думаю, что, если бы даже прежнее изложеніе и являлось съ строго-научной точки зрѣнія не вполнѣ состоятельнымъ, то все же изъ методическихъ соображеній оно должно быть безусловно сохранено: тѣмъ болѣе, что добиться полной логики въ школьномъ преподаваніи никогда не удастся, вѣдь эта щепетильно-научная логичность все равно будетъ ускользать отъ сознанія учениковъ, и потому очень страннымъ является опасеніе, что для учениковъ будутъ недостаточно логичны тѣ разсужденія, которыя удовлетворяли даже великихъ ученыхъ. Наоборотъ: я думаю, что очень и очень часто приходится завѣдомо отступать отъ научной строгости, когда эта строгость, не давая уму ученика сознанія высшей логичности, вмѣстѣ съ этимъ только препятствуетъ ясному усвоенію вопроса. Само собой понятно, что для дѣтей нельзя давать тѣ же опредѣленія и тѣ же разсужденія, какія удовлетворяютъ ученыхъ. „Для философа или для ученаго“, говоритъ Пуанкаре, „хорошимъ опредѣленіемъ будетъ то опредѣленіе, которое приложимо ко всѣмъ опредѣляемымъ предметамъ и только къ нимъ. Но при преподаваніи дѣло обстоитъ иначе. Здѣсь хорошимъ опредѣленіемъ будетъ то, которое понято учениками“.

Но если все это не такъ, и если дѣйствительно необходимо ввести въ школу новый методъ изложенія, то во всякомъ случаѣ онъ долженъ быть введенъ серьезно и обстоятельно, а не такъ поверхностно, какъ онъ проводится сейчасъ; только ради формы, только ради отданія чести этому новому взгляду. Въ такомъ видѣ, какъ онъ преподносится ученикамъ, напр. по учебнику Киселева, онъ положительно не допустимъ: не давая никакихъ поясненій, онъ только возбуждаетъ въ сознаніи учениковъ мучительную неудовлетворенность и заставляетъ ихъ самихъ подбирать для себя кое-какія объясненія для всѣхъ этихъ допущеній въ произвольность которыхъ ученики конечно не вѣрятъ. Такимъ образомъ этотъ новый способъ въ данное время не только не достигаетъ своей цѣли—соблюденія полной логичности, но, наоборотъ, закладываетъ въ сознаніи учениковъ еще большую, и при этомъ скрытую отъ нашего контроля, дѣйствительную нелогичность.

Объ одномъ свойствѣ трапеціи.

Н. Извольскій. Москва.

Извѣстно слѣдующее свойство трапеціи: прямая, соединяющая середины параллельныхъ сторонъ трапеціи, проходитъ черезъ точку пересѣченія ея непараллельныхъ сторонъ и черезъ точку пересѣченія ея діагоналей.

Мнѣ всегда хотѣлось ввести это свойство трапеціи въ курсъ средней школы. И хотѣлось это сдѣлать по двумъ причинамъ: 1) казалось страннымъ, почему останавливаютъ вниманіе учащихся на свойствѣ прямой, соединяющей середины непараллельныхъ сторонъ трапеціи, почему иногда, въ видѣ упражненія, выясняютъ, что прямыя, соединяющія середины сосѣднихъ сторонъ 4-угольника образуютъ параллелограммъ, но почему въ то же время обходятъ полнымъ молчаніемъ свойство прямой, соединяющей середины параллельныхъ сторонъ трапеціи? 2) Указанное свойство трапеціи для геометріи имѣетъ существенное значеніе: на немъ основаны знаменитыя Штейнеровскія построенія при помощи одной линейки. Возникаетъ поэтому вопросъ, какъ ввести это свойство въ курсъ средней школы.

Обычно указанное свойство выясняется или на основаніи ученія о гармоническихъ лучахъ, причемъ чисто геометрическое изложеніе этого ученія требуетъ знанія теоремы Дезарга, строго геометрическое доказательство которой возможно лишь изъ разсмотрѣнія извѣстнаго пространственнаго образа, или, какъ слѣдствіе нѣкоторыхъ операцій надъ пропорціями, получаемыми изъ разсмотрѣнія нѣсколькихъ паръ подобныхъ треугольниковъ. Оба способа мнѣ не представлялись подходящими для курса средней школы. Первый способъ требуетъ предварительнаго изученія статьи о гармоническихъ рядахъ и пучкахъ, чтб ни по развитію учащихся, ни по времени, отводимому для курса геометріи, невозможно. Второй способъ обладаетъ нѣкоторымъ недостаткомъ: указанное свойство является результатомъ ряда выкладокъ алгебраическаго характера, а хотѣлось бы поставить дѣло такъ, чтобы это свойство трапеціи становилось бы сразу яснымъ, какъ результатъ разсмотрѣнія того геометрическаго образа, который воспроизводится соотвѣтствующимъ построеніемъ.

Мнѣ удалось найти желаемый способъ выясненія этого свойства. Слѣдуетъ, какъ это часто бываетъ, замѣнить выкладки алгебраическаго характера надъ пропорціями разсмотрѣніемъ тѣхъ площадей (я понимаю этотъ терминъ въ чисто-геометрическомъ смыслѣ слова: куски плоскости), которыя получаются при соотвѣтственномъ построеніи. Однако, цѣлесообразною такая постановка дѣла окажется лишь тогда, когда въ курсъ геометріи будутъ введены упражненія на преобразованіе площадей въ болѣе широкихъ размѣрахъ, чѣмъ это дѣлается обычно. Въ частности, для цѣли подхода къ разсматриваемому свойству трапеціи необходимо чисто геометрически, не прибѣгая Къ измѣреніямъ, вы-

яснить: 1) что треугольники съ равными основаніями и равными высотами равновелики, 2) (слѣдствіе предыдущаго) что медіана треугольника дѣлитъ его площадь пополамъ и 3) что прямая, соединяющая середины параллельныхъ сторонъ трапеціи, дѣлитъ ея площадь пополамъ.

Чер. 1.

Чер. 2.

Послѣднее свойство возможно выяснить, напр., такъ: пусть имѣемъ трапецію AB CD (чер. 1) и пусть М и N середины ея параллельныхъ сторонъ. Построивъ прямую MN, получимъ 2 трапеціи ABMN и NMCD. Легко показать, что онѣ равновелики. Для этого соединимъ точку М со серединами Р и Q ея непараллельныхъ сторонъ и продолжимъ эти прямыя до пересѣченія со стороною AD трапеціи въ точкахъ Е и F. Тогда А РВМ = А РАЕ и слѣд. трап. ABMN равновелика А EMN\ также А QCM = А QDF и слѣд. трап. NMCD равновелика ANMF. Но EN= NF (ибо каждый изъ этихъ отрѣзковъ= — Лі)—Поэтому А EMN и А NMF равновелики, а слѣд. и трапеція ABMN равнов. трапец. NMCD.

Необходимо еще добавить слѣдующее замѣчаніе: если въ трапеціи AB CD (чер. 2) построить діагонали АС и BD, пересѣкающіяся въ точкѣ О, то А AB О и А OCD (опирающіеся на непараллельныя стороны) равновелики. Это ясно: А ABD равновеликъ А ACD, слѣд. и А AB О равновеликъ А OCD.

Послѣ этого выясненіе разсматриваемаго свойства трапеціи чрезвычайно просто. Пусть имѣемъ трапецію ABCD (чер. 3). Продолжимъ ея стороны AB и CD до пересѣченія въ точкѣ О. Пусть М и N середины паралл. сторонъ трапеціи. Соединимъ ихъ между собою и съ точкою О. Если предыдущія упражненія учащи-

Чер. 3. Чер. 4.

мися продѣланы, то теперь имъ должно быть сразу ясно, что прямыя OM, ON и MN не могутъ располагаться такъ, какъ на чертежѣ 3-мъ вѣдь (площ. ОВМ-{-площ. ABMN) должна равняться половинѣ площ. Л aOD, т.-е. AON.

Это возможно лишь при условіи, что ОМ и MN расположены на одной прямой и совпадаютъ съ ON. Также точно сразу ясно, что послѣ соединенія точки Ох пересѣченія діагоналей трапеціи съ точками М и N (чер. 4) не можетъ получиться расположенія, даннаго на чер. 3, ибо здѣсь нѣтъ равенства: площ. Ох ВМ-)~ площ. 0г AN = площ. ABMN.

Направляющіе элементы математическаго изслѣдованія.

М. Осинскій. Варшава.

Докладъ, читанный на 2-мъ Съѣздѣ преподавателей математики 28 дек. 1913 г.

Въ настоящее время замѣчаемъ, что все болѣе и болѣе раздаются голоса о томъ, что современная система преподаванія въ средней школѣ губитъ творческія силы учащихся и что нужна реформа, которая создала бы школы, могущія оберегать и развивать дарованія, поручаемыхъ имъ дѣтей. Знаменательнымъ является тотъ фактъ, что въ Германіи, гдѣ педагогическое дѣло поставлено очень высоко, мы слышимъ и самую рѣзкую критику постановки преподаванія въ среднихъ школахъ.

Я говорю объ Оствальдѣ, который во всеоружіи своего авторитета осуждаетъ современную среднюю школу и подписываетъ ей, такъ сказать, смертный приговоръ, какъ учрежденію, которое можетъ способствовать развитію дарованій своихъ воспитанниковъ.

Приведу подлинныя его слова.

„Школа всегда оказывается упорнымъ и неумолимымъ врагомъ геніальнаго дарованія, и если бываетъ иначе, то это случается вопреки общему плану школы, и мы должны радикально измѣнить нашу систему преподаванія для того, чтобы сдѣлать ее свободной отъ упрека въ томъ, что именно она заглушаетъ или разрушаетъ самые драгоцѣнные ростки народа. Передъ нами встаетъ картина столь неслыханнаго насилія надъ молодыми умами, что только долголѣтнее притупленіе, порожденное привычкой, можетъ закрыть передъ нашими глазами средневѣковый обликъ средней школы. Школа въ ея современномъ видѣ представляетъ скорѣе аппаратъ для уничтоженія будущихъ оригинальныхъ мыслителей, чѣмъ для ихъ развитія“.

Слова Оствальда рѣзко выражаютъ тотъ взглядъ, который все глубже проникаетъ въ широкіе слои общества, ибо въ настоящее время мы все чаще и чаще слышимъ о необходимости постановки школьнаго дѣла въ духѣ творческаго воспитанія. Имѣя въ виду посильно способствовать выясненію послѣдняго вопроса, я избралъ для своего реферата указанную тему.

Важную часть доклада будетъ составлять изложеніе идей Декарта, касающихся вопроса о направляющихъ элементахъ математическаго изслѣдованія. Эти идеи недостаточно оцѣнены и въ настоящее время; имъ суждено было вынести нападки легкомысленной критики, но драгоцѣнное содержаніе, которое въ нихъ вложено, отъ этого не погибло и мы видимъ какъ въ послѣдующія со времени Декарта 3 столѣтія его идеи оживаютъ одна за другой въ сочиненіяхъ то одного, то другого изъ передовыхъ ученыхъ и получаютъ признаніе.

Но перехожу къ темѣ своего доклада.

Всякій, кому приходилось останавливаться передъ рѣшеніемъ какой-нибудь задачи, или передъ доказательствомъ какой-нибудь теоремы, знаетъ какъ наша мысль иногда безпомощна и наугадъ бродитъ въ поискахъ за связью данной задачи или теоремы съ извѣстными уже намъ задачами и теоремами въ особенности, когда стоящій передъ нами вопросъ болѣе или менѣе сложенъ. Всякій вообще сложный вопросъ, который можетъ быть несравненно легче намъ извѣстныхъ, уже потому, что содержитъ процессы, непривычные нашему уму, для насъ труденъ, и мы только медленно и шагъ за шагомъ можемъ его переработать. Каждый, несомнѣнно, думалъ надъ тѣмъ, какъ бы познать пріемы, которыми мы сознательно и шагъ за шагомъ подвигали бы наши изслѣдованія съ возможно меньшими уклоненіями отъ истиннаго пути. Каждый искалъ дорогу творчеству, ибо никогда ни одинъ человѣкъ не доходилъ до такого сознанія своего собственнаго ничтожества, чтобы отрицать въ себѣ какіе бы то ни было слѣды творческаго таланта. Вопросы творчества всегда волновали и будутъ волновать людей.

Позволю себѣ сначала сказать нѣсколько словъ о процессѣ творчества и объ условіяхъ творчества. Въ процессѣ творчества мы различаемъ два дѣятеля—творческое воображеніе и разумъ. Воображеніе доставляетъ новыя комбинаціи идей, разумъ ихъ провѣряетъ. Цѣнность геніальнаго дарованія въ силѣ и въ качествахъ творческаго воображенія. Либихъ въ 1865 году въ одной изъ своихъ рѣчей о дедукціи и индукціи говоритъ такъ:

„Какъ въ наукѣ такъ и въ повседневной нашей жизни, умственныя операціи не совершаются по правиламъ логики, а доказательству всегда предшествуетъ представленіе нѣкоторой истины, созерцаніе какого-либо процесса или причины явленія; вы не приходите къ заключительному выводу отъ предпосылокъ, а, наоборотъ, этотъ выводъ имъ предшествуетъ, предпосылки же его впослѣдствіи разыскиваются какъ доказательства“. Далѣе Либихъ говоритъ: „мнѣ приходилось бесѣдовать съ однимъ знаменитымъ французскимъ математикомъ (о комъ идетъ рѣчь, онъ не упоминаетъ) о вліяніи, которое оказываетъ на научныя работы наша сила воображенія. Мой собесѣдникъ высказалъ тотъ взглядъ, что огромное большинство математическихъ истинъ было получено не дедукціей, а силой воображенія или эмпирическимъ путемъ. Математикъ, какъ и естествоиспытатель, безъ художественнаго дарованія ничего не можетъ сдѣлать для чистой науки“.

Эти слова подтверждаютъ, что наличность творческаго воображенія и наличность чувства математической красоты, является необходимымъ условіемъ математическаго творчества.

Работа творческаго воображенія идетъ не во всякихъ условіяхъ.

Гельмгольцъ пишетъ; „Счастливыя догадки никогда не приходили усталому мозгу или за письменнымъ столомъ...

Послѣ того какъ прошла усталость отъ предварительной работы, долженъ пройти часъ полной свѣжести и спокойнаго самочувствія пока придутъ хорошія догадки. Часто онѣ дѣйствительно оказываются по утрамъ, какъ замѣчалъ также Гауссъ, но охотнѣе всего онѣ появляются при спокойномъ восхожденіи по лѣсистымъ горамъ въ солнечную погоду.

Пуанкаре констатируетъ появленіе новыхъ идей по утрамъ и во время прогулокъ. Одной свѣжести ума для работы воображенія недостаточно, нуженъ еще для этого жизненный приливъ крови къ мозгу. Это физіологическое средство выбирается или сознательно, или безсознательно. Декартъ, напримѣръ, до конца жизни сохранилъ привычку размышлять по утрамъ, лежа въ кровати, закутаясь иногда съ головой подъ одѣяломъ и поднимаясь только для того, чтобы сдѣлать наброски своихъ мыслей. Лейбницъ имѣлъ ту же привычку, а иногда проводилъ по 3-е сутокъ въ креслѣ, почти безъ движенія. Отмѣтимъ еще одно важное условіе работы творческаго воображенія. Очень часто самыя выдающіяся работы молодыхъ геніевъ совпадаютъ съ ихъ помолвкой или бракосочетаніемъ. Это указываетъ, что съ дѣятельностью основной потребности организма связана также чрезвычайная потребность мозга. Такъ было, напримѣръ, съ Гельмгольцемъ, Майеромъ и Фарадеемъ.

Все сказанное выше я привелъ не для того, чтобы повторять извѣстныя вещи, но для того, чтобы обратить Ваше вниманіе на утреннее время, играющее очень большую роль въ процессѣ творчества. Предварительная сознательная и напряженная умственная дѣятельность учениковъ происходитъ по вечерамъ. Утреннее время, какъ время наибольшей свѣжести ума, должно быть вообще предоставлено самостоятельной дѣятельности учащихся, чтобы ихъ творческія силы развивались въ наилучшихъ уловіяхъ. Въ утренніе часы никакъ не допустимы занятія, требующія главнымъ образомъ упражненія памяти. Къ таковымъ будутъ относиться занятія языками, исторіей, географіей, и это нужно имѣть въ виду при составленіи расписанія уроковъ. Первые часы могутъ быть использованы для письменныхъ работъ, для практическихъ занятій по разнымъ предметамъ или же, наконецъ, для уроковъ такъ составленныхъ, чтобы они возбуждали въ ученикахъ возможно большую самодѣятельность. Ни въ какомъ предметѣ не слѣдуетъ на утренніе часы относить пассивное воспріятіе или же работу, по преимуществу опирающуюся на память, а нужно давать матеріалъ, который развиваетъ творческое воображеніе при широкомъ пользованіи аналогіями и интуиціей. Мои наблюденія заставляютъ меня думать такъ, какъ я это написалъ. Съ другой стороны увѣ-

ренъ, что наблюденія другихъ преподавателей во многомъ дополнятъ то, что здѣсь сказано и, можетъ быть, во многомъ и опровергнутъ, но я нисколько не сомнѣваюсь въ томъ, что педагогамъ придется серьезно посчитаться съ условіями творческой дѣятельности.

Наличность творческаго воображенія и знаніе методовъ науки не являются достаточными условіями творческой дѣятельности. Нужно сдѣлать еще большой шагъ для того, чтобы овладѣть искусствомъ пользоваться методами. Послѣднее искусство, какъ и всякое другое, имѣетъ свои техническіе пріемы и требуетъ соотвѣтствующаго таланта. Геніальные математики — это геніальные художники въ области геометрическихъ и числовыхъ соотношеній. Поэтому школа, которая поставитъ цѣлью способствовать развитію творческихъ силъ въ своихъ воспитанникахъ, направитъ главное вниманіе на обученіе искусству пользоваться методами, а не на увеличеніе количества матеріала, какъ это мы имѣемъ въ нашей школѣ, и что было, къ большому сожалѣнію, предложено отдѣльными лицами на І-мъ Всероссійскомъ Съѣздѣ Преподавателей Математики.

Для освѣщенія этой мысли полезно взглянуть на работу изслѣдователя.

(Окончаніе слѣдуетъ).

Задачи.

Подъ редакціей Э. Ю. Лейнѣка.

173. Доказать что произведеніе двухъ логариѳмовъ не измѣняется, когда переставимъ числа или основанія, т. е.

lg«! N1 lg«2 N2 = lg®i N2 lg02 = lg«2 ^1 lg«l N2

Обобщить теорему на случай нѣсколькихъ множителей.

Г. Барховъ (Юрьевъ).

174. Доказать, что прямая, симметричная съ одною изъ сторонъ треугольника относительно биссектриссы противолежащаго угла, перпендикулярна къ радіусу описаннаго круга, проведеннаго въ вершину этого же угла.

В. Добровольскій.

175. Въ данный равнобедренный треугольникъ вписать равносторонній треугольникъ, имѣющій сторону данной длины.

Н. Козыревъ.

176. Равносторонній треугольникъ двумя своими вершинами скользитъ по сторонамъ неподвижнаго прямого угла. Опредѣлить геометрическое мѣсто третьей вершины.

И. Козыревъ.

177. Найти число, равное суммѣ квадратовъ его цифръ, умноженной на число цифръ безъ одной.

Н. Щетининъ.

178. Суммировать безконечный рядъ:

179. Доказать, что частное отъ дѣленія ‘2^”1 — 1 на р будетъ точнымъ квадратомъ при простыхъ р лишь въ случаяхъ р = 2, 3, 7.

Рѣшенія задачъ.

133. Въ данный шаръ вписать и около него описать четыре другихъ, равныхъ между собою и взаимнокасающихся шара и опредѣлить ихъ радіусъ по радіусу даннаго шара В.

Пусть въ данный шаръ радіуса В вписаны четыре равныхъ взаимно касающихся шара. Черезъ четыре точки касанія этихъ шаровъ съ даннымъ шаромъ проведемъ касательныя плоскости

Изъ симметричнаго расположенія шаровъ слѣдуетъ, что четыре проведенныхъ плоскости дадутъ правильный тетраэдръ. Замѣтимъ, что тотъ же тетраэдръ получится, когда будемъ разсматривать четыре взаимнокасающихся шара, описанныхъ около даннаго шара. Проведя плоскости черезъ центръ даннаго шара (или что

то же — центръ тетраэдра) и каждое ребро тетраэдра, увидимъ, что каждый изъ нашихъ четырехъ шаровъ окажется вписаннымъ въ одинъ изъ образовавшихся четырехъ тетраэдровъ, а каждый изъ четырехъ описанныхъ шаровъ окажется внѣвписаннымъ со стороны грани, противоположной общей вершинѣ. Пересѣчемъ теперь всю систему плоскостью проходящей черезъ одно изъ реберъ тетраэдра и середину противоположнаго ребра. Въ сѣченіи получимъ фигуру изображенную выше. Здѣсь AB ребро тетраэдра, С середина противоположнаго ребра, О центръ даннаго шара. D общая точка касанія даннаго тара и двухъ искомыхъ, центры которыхъ находятся въ точкахъ 01 (для вписаннаго) и 02 (для описаннаго); Е точка касанія двухъ вписанныхъ шаровъ, F двухъ описанныхъ. Такъ какъ ВС высота равносторонняго треугольника, сторона котораго AB, то BC — -^-ABŸ 3 и такъ какъ Л С'СВ Л DCO, то заключаемъ, что ОС = OD ]/3 = В |/ 3-

Отсюда слѣдуетъ простое построеніе центровъ Ох и 02.

Изъ центра даннаго шара проводимъ прямую и откладываемъ на ней сторону правильнаго треугольника, вписаннаго въ его большой кругъ. Изъ полученной точки С проводимъ касательную къ шару. Точка касанія есть точка D. Въ плоскости COD извѣстнымъ образомъ строимъ окружность, касающуюся прямыхъ СО и OD и одной изъ нихъ въ точкѣ D. Такихъ окружностей двѣ: одна изъ нихъ съ центромъ 01 даетъ большой кругъ внутренняго искомаго шара, другая съ центромъ въ 02 внѣшняго.

Для опредѣленія радіусовъ 01D = r1 и 02D = r2 замѣтимъ

и наконецъ Поэтому

Отсюда непосредственно получаемъ

Подобнымъ же образомъ изъ треугольника 020F находимъ

К. Верещагинъ (Козловъ), Е. Карповичъ (Сѣдлецъ), А. Сергѣевъ (Москва), А. Сердобинскій (Петроградъ), Г. Ѳедоровъ, Н. Щетининъ (Москва).

134. Показать, что Е(3 -|- ]/ 5)и -f-1 при цѣломъ и положительномъ дѣлится безъ остатка на 2м .

Приведенная теорема получается какъ слѣдствіе слѣдующей болѣе общей теоремы.

Теорема. Если N, М и п цѣлыя положительныя числа, причемъ ІѴ>М>0 и п^> 0, то

Е(2 -V + 1 + +1

дѣлится безъ остатка на 2п.

Такъ какъ N^> М, то 4 Л72 -)- 4М -+1 < (2N -J- I)2, а потому можемъ написать слѣдующее неравенство

2N< j/4iVr2+4M + l < 2N+ 1.

Изъ этого неравенства выводимъ, что 23Г—|— 1—|/4Л72-|-4Ж^-1 есть правильная дробь. Обозначая величину этой дроби черезъ г можемъ сказать, что 0 <*<!

Разсмотримъ теперь выраженіе для гп. Раскладывая эю выраженіе по формулѣ бинома и замѣтивъ, что всѣ члены, содержащіе радикалъ, входятъ въ разложеніе съ знакомъ —, будемъ имѣть:

ги = (22Ѵ-1- 1 — ]/4ЛТ'2+- 4М-+-1)" = „-Q п . у4ЛГ2+Т¥+1 (1)

гдѣ Рп и Qn цѣлыя положительныя числа.

Разсматривая сопряженную величину можемъ написать:

(2N + 1 -f Ÿ Ш*+Ш+\)п = Рп + Q„ Т (2)

Изъ формулы (1) выводимъ

Qn /4JP+4M+T =Р„ — гп , а такъ какъ 0 << гп << 1

то имѣемъ

Е(Q„ J/4.V2+4M+1) 1 (3)

Прибавляя къ обѣимъ частямъ (3) по Рп будемъ имѣть

ЩРп +Qn V4ІѴ2 + 4Ж+1) = 2 1 (4)

Подставляя вмѣсто Рп +- Qn 4ІЧ72 —4ІЬГ —1 его значеніе изъ (2) получимъ

E(2N+ 1 -+ j/4#2+4M+ir + 1 = 2 Рп (5)

и теорема будетъ доказана, если удастся доказать, что Рп дѣлится на 2”“1. Это послѣднее докажемъ методомъ полной индукціи.

Пусть Рп =2п~1.рп , Qn==2H~1qn и пустьрп и qn два цѣлыхъ положительныхъ числа одинаковой четности (т.-е. оба или четныя или нечетныя). Докажемъ что эти условія влекутъ за собою заключеніе подобнаго же характера для указателя n-f-1.

Имѣемъ:

Итакъ, имѣемъ:

Qn^y = Qn (2Лт -f- 1) -|~ Рп или, принимая во вниманіе равенства:

гдѣ величина рп^—цѣлое число, ибо pn-\-qn дѣлится на 2, на основаніи сдѣланнаго допущенія (рп и q„ числа одинаковой четности). Подобными же преобразованіями убѣдимся, что

Замѣтимъ, что и рп+\ и qn^ суть числа одинаковой четности. Въ справедливости этого замѣчанія убѣдимся, разсматривая разность

Рп+1—qn ы = N (рн — qn ) + 2N2qn + 2Mqn

Такъ какъ всѣ три слагаемыя четныя, то и сумма т.-е. р,і-\-і — qn-\-1 четное число, что убѣждаетъ насъ въ справедливости сдѣланнаго замѣчанія. Въ случаѣ и=1 имѣемъ

-А = 2 1. Q, = 1;Рі = 2 2Ѵ+ 1, 7і = 1; Р, = 2°.^, = 2".7!

и 9і числа одинаковой четности. Такимъ образомъ условія необходимыя для примѣненія полной индукціи на лицо и поэтому можемъ утверждать, что Рп дѣлится на 2И_1. (w>0).

Обращаясь къ формулѣ (5) видимъ, что

дѣлится на

Задача № 140 получается отсюда какъ частный случай, полагая N= 1, М= 0: Е(3 -|-1/5 )п -j- 1 дѣлится на 2й .

.4. Сергѣевъ (Москва), И. Евдокимовъ (Шуя), А. Сердобинскій (Петроградъ).

135. Найти предѣлъ произведенія

Полагая

получимъ

Отсюда выводимъ:

Итакъ,

а потому

К. Верещагинъ (Козловъ), Е. Карповичъ (Сѣдлецъ), В. Кованько (ст. Струнино), Н. Козыревъ (Енисейскъ), В. Павловъ (с. Ворсма), А. Сергѣевъ (Москва), А. Сердобинскій (Чита), Г. Стороженко (Новгородсѣверскъ), В. Сѣверный (Тула), А. Черновъ (Тула), Н. Щетининъ (Москва).

136. Въ пространствѣ расположены шаръ и прямая; черезъ прямую проводятъ плоскости, дающія въ пересѣченіи съ шаромъ окружности. Найти геомертическое мѣсто центровъ этихъ окружностей.

Проведемъ черезъ центръ даннаго шара плоскость препендикулярную къ данной прямой и примемъ ее за плоскость чер-

тежа. Пусть А слѣдъ данной прямой на этой плоскости. Пучекъ плоскостей, проходящихъ черезъ данную прямую дастъ въ пересѣченіи съ нашею плоскостью пучекъ прямыхъ съ центромъ А, Данный шаръ дастъ въ сѣченіи большой кругъ. Такъ какъ плоскости пучка перпендикулярны къ плоскости чертежа, то перпендикуляры, опущенные изъ центра шара на плоскости пучка будутъ лежать въ плоскости чертежа, Центры окружностей, образованныхъ пересѣченіемъ шара съ плоскостями пучка, будутъ служить основаніями только что упомянутыхъ перпендикуляровъ и задача сводится къ отысканію геометрическаго мѣста этихъ основаній, которое, какъ легко видѣть, есть окружность, описанная, какъ на діаметрѣ, на разстояніи отъ точки А до центра даннаго шара.

Замѣтимъ, что искомымъ гееметрическимъ мѣстомъ является полная окружность, независимо отъ относительнаго положенія прямой и шара, хотя дѣйствительныя сѣченія получаются для всѣхъ плоскостей лишь въ томъ случаѣ, когда данная прямая пересѣкаетъ шаръ или касается его. Въ томъ случаѣ, когда данная прямая не имѣетъ общихъ точекъ съ шаромъ, часть плоскостей даетъ мнимыя сѣченія съ дѣйствительными центрами, заполняющими ту часть геометрическаго мѣста, которая находится внѣ шара.

2-е рѣшеніе.

Данную прямую примемъ за ось Z, точку А за начало координатъ, плоскость ХОУ проведемъ черезъ центръ шара и ось X направимъ въ центръ шара. Тогда уравненіе шара будетъ имѣть видъ:

(х- а)2 -)- у2 -|- z1 = г- (1)

Ур-іе какой-либо плоскости нашего пучка будетъ у = тх ... (2)

Рѣшаемъ совмѣстно (1) и (2):

( 1 -)— m1)x2--2ax-\-z1=r2--a2 ... (3)

Преобразуемъ ур-іе (3) къ плоской системѣ координатъ Х1ОХ1, гдѣ ось Zt совпадаетъ съ осью Z, а ось Хх съ прямою пересѣченія плоскостей ХОУ и проведенной: z = , xL2 = х2-\-у2 =

= x2(l y m1).

Ур-іе (3) приметъ видъ:

Это же есть ур-іе окружности съ центромъ въ точкѣ

Центръ расположенъ въ плоскости ХУ. Чтобы опредѣлить геометрическое мѣсто центровъ, исключимъ т изъ ур-ій (2) и (5); будемъ имѣть:

т.-е. окружность съ центромъ въ серединѣ перпендикуляра опущеннаго изъ центра шара на данную прямую и діаметромъ равнымъ длинѣ этого перпендикуляра.

И. В—дь (Москва), К. Верещагинъ (Козловъ), В. Добровольскій (Москва), И. Евдокимовъ (Шуя), Е. Карповичъ (Сѣдлецъ), В. Кованько (ст. Струнино), Н. Козыревъ (Енисейскъ), В. Павловъ (с. Ворсма), А, Сергѣевъ (Москва), Г. Ѳедоровъ, И. Щетининъ (Москва).

137. Рѣшить уравненіе.

2.x2

Прибавивъ къ обѣимъ частямъ равенства по —0-—— мы обратимъ лѣвую часть въ квадратъ двучлена --------—~\------ и поэтому данное ур-іе можетъ быть переписано слѣдующимъ образомъ:

или, что тоже

По отношенію къ неизвѣстному у насъ получилось квадратное ур-іе, корни котораго сразу находятся (аг -f- а2 = —Р, «1«2 = 9)-

Итакъ, имѣемъ

Рѣшая первое изъ двухъ получившихся уравненій находимъ:

Рѣшая второе имѣемъ:

А, Бутомо (Богодуховъ), К. Верещагинъ (Козловъ), В. Добровольскій (Москва), И. Евдокимовъ (Шуя), А. Ильинъ (Кіевъ), В. Кованько (ст. Струнино), Н. Козыревъ (Енисейскъ), К. Кульманъ (Москва), Б. Лебедевъ (Омскъ), В. Литвинскій (Екатеринославъ), И. М. (Екатеринославъ), В. Павловъ (с. Ворсма), С. Савостьянова (Москва), А. Серггъевъ (Москва), А. Сердобинскій (Чита), В. Сѣверный (Тула), М. Флоринскій (Москва), А. Черновъ (Тула), В. Чичеринъ (Ярославль), И. Щетининъ (Москва), Л. Савватѣевъ (Торжокъ), В. Тейковцевъ (Владимиръ) .

138. Рѣшить систему уравненій

Складывая всѣ три уравненія получаемъ

(1)

Вычитая изъ перваго уравненія второе, изъ второго третье и изъ третьяго первое будемъ имѣть:

Возводимъ эти уравненія въ квадратъ и складываемъ

или, на основаніи (1)

отсюда имѣемъ:

(2)

Складывая (і) и (2) будемъ имѣть:

откуда имѣемъ:

(3)

Вычитая изъ (3) второе, третье и первое изъ данныхъ уравненій получимъ:

Извлекая изъ обѣихъ частей равенства (2) квадратный корень находимъ X -f- у -f- z, послѣ чего изъ только что полученной системы выводимъ:

Во всѣхъ трехъ формулахъ должны быть взяты, какъ это слѣдуетъ изъ приведеннаго рѣшенія, одновременно или верхніе или нижніе знаки.

А. Бутомо (Саратовъ), Н. В—дъ (Москва), К. Верещагинъ (Козловъ), Р. Гольцбергъ (Минскъ), В. Добровольскій (Москва), В. Кованько (ст. Струнино), В. Лебедевъ (Омскъ), К. М. (Екатеринославъ), А. Сергѣевъ (Москва), Н. Щетининъ (Москва),

139. Доказать, что число, представляющее сумму цифръ всѣхъ чиселъ отъ 1 до ^=10" имѣетъ сумму цифръ равную 9/с —1, гдѣ k нѣкоторое цѣлое число.

Число, представляющее сумму цифръ всѣхъ чиселъ отъ 1 до N—10” обозначимъ символомъ S (10й).

Тогда, какъ извѣстно, (см. М. О. 1914, № 2, стр. 94, (5)).

£(10") = 45п10и“1+ р

Изъ этой формулы слѣдуетъ:

S (10й) = 9(5п10*--) -f-1 = 9Ä 4-1, гдѣ J = önl0”-1 цѣлое число. Отсюда заключаемъ, что наше число $(10и) удовлетворяетъ сравненію £(10и)=1 (mod. 9).

Такъ какъ въ десятичной системѣ счисленія всякое число равноостаточно съ суммою его цифръ по модулю 9, то и сумма

цифръ числа S( 10й) равноостаточна съ единицею но модулю 9, т. е. имѣетъ видъ 9Ä-J-1, гдѣ к нѣкоторое цѣлое число.

К. Всрегцагинъ (Козловъ), В. Павлово (с. Ворсма), А. Сергѣевъ (Москва). А. Сердобинскій {Петроградъ).

140. На сторонѣ AB треугольника АВС дана точка М. Опредѣлить на 5С точку X такъ, чтобы сумма разстояній Ми X отъ АС была бы равна MX.

Пусть А ВС данный треугольникъ, М данная точка и положимъ, что MX искомая линія. Построимъ точку N симметричную точкѣ М относительно прямой АС и проведемъ черезъ нее прямую параллельную АС. Изъ точекъ В и X опустимъ на проведенную линію перпендикуляры ВІ и XY, продолжимъ сторону ВС до пересѣченія съ линіею NY въ точкѣ D, соединимъ 7) съ М и черезъ вершину В проведемъ ВЕ\\ ХМ.

Изъ подобія треугольниковъ DMX и DEB находимъ

Изъ подобія треугольниковъ DXY и DBI выводимъ

Сравнивая обѣ пропорціи имѣемъ:

а такъ какъ по условію задачи МХ = ХУ, то отсюда заключаемъ:

Отсюда такое построеніе:

Строимъ точку N, симметричную точкѣ М относительно АС и черезъ X проводимъ ND || АС. Опустивъ изъ В перпендикуляръ ВІ на ND, описываемъ изъ В, какъ изъ центра, радіусомъ равнымъ ВІ дугу, пересѣкающую MD въ точкахъ Е и Е1. Прямыя, проведенныя черезъ М параллельно BE и ВЕХ и будутъ искомыми прямыми.

Задача допускаетъ, вообще говоря, два рѣшенія: точка X лежитъ на сторонѣ ВС и точка Хх лежитъ на продолженіи стороны ВС (точки Ех и Хг на чертежѣ не указаны).

2-е рѣшеніе.

Опустимъ изъ точекъ М и X перпендикуляры ММ' и XX' на основаніе Л С и опишемъ радіусами ММ' и XX' изъ центровъ М и X двѣ окружности. Такъ какъ МХ=ММ'-\- хх', то обѣ окружности имѣютъ общую точку N на линіи центровъ, т. е. касаются. Одна изъ нихъ извѣстна, такъ какъ извѣстенъ центръ М и радіусъ ММ'. Задача сведена такимъ образомъ къ нахожденію центра X окружности, касающейся данной окружности и сторонъ данаго угла АСХ"= 2АСВ. Построеніе такой окружности общеизвѣстно. (См. напр. А. Давидовъ, Геометрія, 1900, стр. 334, задача № 133).

И. Бирюковъ (Омскъ), К. Верещагинъ (Козловъ), В. Кованько (ст. Струнимо), Н. Козыревъ (Енисейскъ). А. Сергѣевъ (Москва), А. Сердобинскій (Чита).

141. Въ углѣ В треугольника АВС въ извѣстномъ направленіи провести трансверсаль ХУ такъ, чтобы произведеніе перпендикуляровъ XD и УЕ на АС было равно ХУ2.

Пусть АВС данный треугольникъ и Х'У' произвольная линія, проведенная въ данномъ направленіи. Изъ точки У' опустимъ перпендикуляръ на сторону АС, а изъ точки X' перпендикуляръ X'Z на УЕ". Легко построить два отрѣзка X'D' и УЕ' такъ, чтобы Х'В'.У'Е'=Х'У'2 и У'Е'— У'В' V—y'Z. Для этого на сторонахъ прямого угла откладываемъ два отрѣзка а= Х'У'иЪ = —У'Х и, принимая конецъ послѣдняго отрѣзка за центръ, описываемъ окружность, проходящую черезъ точку X'. Эта окружность, пересѣкаясь съ продолженіемъ стороны Ь, дастъ двѣ точки Е' и D'. Отрѣзки У'Е' и У'В' будутъ обладать желаемымъ свойствомъ, т. е. произведеніе ихъ окажется равнымъ Х'У'2, а разность y,rL. (Чертежъ не приведенъ).

Опустимъ изъ X' и У' перпендикуляры и отложимъ на нихъ Х'П и У'Е' соотвѣтственно равные двумъ только что найденнымъ отрѣзкамъ. Прямыя BD' и BE' встрѣтятъ основаніе въ двухъ точкахъ D и Еу перпендикуляры изъ которыхъ, возставленные къ сторонѣ АС, встрѣтятъ боковыя стороны въ двухъ искомыхъ точкахъ X и У.

Справедливость приведеннаго построенія слѣдуетъ изъ такихъ соображеній:

(1)

(2)

(3)

Изъ (1), (2), (3) выводимъ т т- е- ХУ и

слѣдовательно, линія ХУ имѣетъ данное направленіе.

Изъ тѣхъ же треугольниковъ, изъ которыхъ были выведены (1), (2), (3) выводимъ:

Составляя производную пропорцію получимъ:

а такъ какъ X D'. У'Е' Х'У'2, то и ХВ.УЕ = ХУ2.

К. Верещагинъ (Козловъ), В. Кованько (ст. Струнино), Н. Козыревъ (Енисейскъ), А. Сергѣевъ (Москва).

142. Рѣшить уравненіе

cos4 X — 8cos2 X -f- 2sin 2х . cos х — 8sin х -f- 8 = 0.

Замѣняя sin 2х черезъ 2sinх cos х и выражая cos2x и cosxx черезъ sin2x, представимъ лѣвую часть ур-ія въ слѣдующемъ видѣ:

(1 — sin2x)2 — 8(1 — sin2x) -j- 4sm х(1 — sin2x) — 8sinx -|- 8,

что послѣ упрощенія дастъ уравненіе

Отсюда выводимъ заключеніе, что ур-іе имѣетъ четырехкратный корень

А. Бутомо (Саратовъ), А. Сергѣевъ (Москва), Я. Щетининъ (Москва). Правильныя рѣшенія задачи нѣсколько отличной отъ только что приведенной (не исправлена опечатка см. М. О. № 5,. стр. 255) прислали гг. К. Верещагинъ (Козловъ), А. Ильинъ (Кіевъ\ А. Сердобинскій (Петроградъ).

143. Въ каждый изъ двухъ треугольниковъ, на которые разсѣкается прямоугольный треугольникъ высотою, опущенною на гипотенузу, вписана окружность. Показать, что имѣетъ мѣсто зависимость

гдѣ г—радіусъ вписаннаго круга, гг и г2 радіусы упомянутыхъ окружностей, h—длина высоты, опущенной изъ вершины прямого угла.

Для рѣшенія задачи воспользуемся извѣстною формулою для радіуса круга вписаннаго въ прямоугольный треугольникъ:

гдѣ Ь и с катеты, а а гипотенуза. Пусть h длина перпендикуляра, опущеннаго изъ вершины прямого угла на гипотенузу, а т и п отрѣзки гипотенузы, отсѣкаемые упомянутымъ перпендикуляромъ. Примѣняя къ каждому изъ двухъ получившихся треугольниковъ выше приведенную формулу будемъ имѣть:

Складывая всѣ три равенства для г, гѵ г2 и помня что т —п = а будемъ имѣть

И. Бирюковъ (Омскъ), А. Бутомо (Богодуховъ), Н. В-дъ (Москва), Е. Верещагинъ (Козловъ), В. Добровольскій (Москва), И. Евдокимовъ (Шуя), В. Кованько (ст. Струнино), И. Козыревъ (Енисейскъ), К. Кульманъ (Москва), В. Лебедевъ (Омскъ), Н. М. (Екатеринославъ), В. Павловъ (с. Ворсма), А. Сергѣевъ (Москва), А. Сердобинскій (Чита), В. Фесенко (Xарьковъ), М. Флоринскій (Москва), А. Черновъ (Тула), В. Чичеринъ (Ярославль), Я. Щетининъ (Москва).

Засѣданія Московскаго Математическаго Кружка.

Въ засѣданіи 24 апрѣля 1914 г. былъ подвергнутъ обсужденію вопросъ о ликвидаціи паеваго капитала, собраннаго при основаніи журнала „Математическое Образованіе“ въ качествѣ фонда на его изданіе. Согласно заявленію редакціи „Мат. Образ.“, благодаря тому сочувствію, которое встрѣтилъ журналъ, ей не пришлось прибѣгать къ позаимствованіямъ изъ этого капитала, и два первые года изданія журнала кончились съ нѣкоторымъ остаткомъ отъ суммъ, собранныхъ по подпискѣ. Въ виду этого, Кружокъ постановилъ возвратить паи всѣмъ членамъ которые заявятъ о своемъ желаніи получить ихъ до 1-го января 1915 г.; не востребованныя до этого срока деньги будутъ считаться поступившими въ собственность журнала.

I. И. Чистяковъ сдѣлалъ докладъ объ изданіи журнала „Математическое Образованіе“ за первые 2*/2 года его существованія. Докладчикъ напомнилъ, что при обсужденіи предложеній объ изданіи журнала высказывались опасенія, что можетъ оказаться недостатокъ какъ въ матеріалѣ для журнала, такъ и въ подписчикахъ. Дѣйствительность, однако, не оправдала этихъ опасеній, что подтверждается какъ постояннымъ возрастаніемъ числа подписчиковъ, такъ и увеличеніемъ объема журнала вмѣсто предположенныхъ 2—21/2 листовъ до 3 и иногда 4 листовъ.

Далѣе докладчикъ вкратцѣ охарактеризовалъ тѣ отдѣлы, на которые дѣлится въ настоящее время журналъ, сообщилъ статистическія свѣдѣніи о составѣ подписчиковъ, а также отмѣтилъ, что журналъ рекомендованъ четырьмя вѣдомствами, вѣдающими учебное дѣло въ Россіи, для выписки въ библіотеки среднихъ учебныхъ заведеній.

По окончаніи доклада, предсѣдатель проф. Б. К. Млодзѣевскій отмѣтивъ, что въ такой сравнительно короткій промежутокъ времени, какъ 21/2 года, организація дѣла изданія журнала достигла значительной высоты, что этимъ дѣломъ редакція „Матем. Образованія“ оказала большую службу какъ Математическому Кружку, такъ и дѣлу математическаго образованія въ Россіи, предложилъ собранію выразить редакціи глубокую признательность отъ имени Кружка. Затѣмъ были произведены выборы редактора журнала и казначея редакціи на предстоящее четырехлѣтіе, причемъ оказались единогласно избранными: редакторомъ—I. И. Чистяковъ и секретаремъ—Ѳ. В. Гусевъ.

Б. К. Млодзѣевскій сообщилъ собранію, что, какъ выяснилось въ настоящее время, 3-й Всероссійскій Съѣздъ Преподавателей Математики можетъ быть организованъ въ Петроградѣ, и что тамъ уже принимаются мѣры къ его подготовкѣ; при этомъ, однако, Съѣздъ, повидимому, будетъ отсроченъ на годъ.

I. И. Чистяковъ сообщилъ собранію списокъ журналовъ, посвятившихъ 2-му Съѣзду отдѣльныя статьи и замѣтки и передалъ вкратцѣ нѣкоторые изъ напечатанныхъ тамъ отзывовъ объ этомъ Съѣздѣ.

М. О. Бергъ сдѣлалъ сообщеніе: „Отвлеченные и конкретные способы расширенія понятія о числѣ и о дѣйствіяхъ надъ числами“.

Новыя книги:

Н. Е. Кутузовъ. Сборникъ ариѳметическихъ задачъ для пригот. классовъ среднихъ учебн. зав. и приготов. школъ. 2-е перер. изд. М. 1914 г. Ц. 20 к.

Н. Е. Кутузовъ. Наглядная геометрія. 2-е испр. изд. М. 1915. Ц. 70 к.

А. Бемъ, А. Волковъ, Р. Струве. Сборникъ упражненій и задачъ по элемент. курсу алгебры. Ч. II. М. 1915. Ц. 1 р. 15 к.

Е. Игнатьевъ и А. Цингеръ Начальный задачникъ по ариѳметикѣ. Изд. Т-ва И. Д. Сытина. Ч. I, II и III. М. 1915 Ц. каждой части 20 к.

А. И. Гольденбергъ. Бесѣды по счисленію. 2-е посм. изд. Сарат. губерн. земства, исправл. и дополн. подъ ред. Д. Л. Волковскаго. Саратовъ. 1914. Ц. 1 р.

И Флеровъ. Элементарныя функціи и ихъ графическое изображеніе. М. 1915. Д. 50 к.

Отвѣтственный редакторъ I. И. Чистяковъ.