Математическое Образованіе.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

Годъ третій.

№ 6.

Октябрь 1914 г.

МОСКВА.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

„Математическое Образованіе“

Октябрь 1914 г. Годъ 3-й. № 6.

СОДЕРЖАНІЕ: Международная конференція по преподаванію математики, состоявшаяся въ Парижѣ съ 1 по 4 апрѣля (нов. стиля) 1914 года. А. Поляковъ.— Вторая (баккалаврская) ступень въ составѣ будущей средней школы. П. А. Некрасовъ.—О развитіи представленій о соотношеніяхъ въ пространствѣ. М. Воскресенскій. — Объ одной спирали. В. Добровольскій. — Задачи и вопросы по математикѣ, предлагаемые въ Англіи на экзаменахъ по курсу средней школы. С. Острейко. — Задачи. Рѣшенія задачъ.—Среди математическихъ журналовъ. Н. Агрономовъ.—Библіографическій отдѣлъ. Составъ Московскаго Математическаго Кружка. Новыя книги.

Международная конференція по преподаванію математики, состоявшаяся въ Парижѣ съ 1 по 4 апрѣля (нов. стиля) 1914 года.

А. Поляковъ. Москва.

Настоящая конференція была организована Центральнымъ Комитетомъ Международной Комиссіи по преподаванію математики. Комиссія эта была учреждена въ 1908 году по постановленію IV-го Международнаго математическаго Конгресса въ Римѣ. Ей было предоставлено обслѣдовать методы и программы преподаванія математики въ различныхъ странахъ. Организація Комиссіи была поручена 3-мъ лицамъ, вошедшимъ въ составъ Центральнаго Комитета: F. Klein (Германія), G. Greenhill (Англія) и H. Fehr (Швейцарія)1); состоитъ онъ въ настоящее время изъ 44 делегатовъ 26 странъ; оффиціальнымъ органомъ ея служитъ журналъ „L’Enseignement mathématique“2). Делегаты въ свою очередь организовали національныя подкомиссіи, которыя и публикуютъ отчеты о своихъ странахъ3). Кромѣ того, почти ежегодно происходятъ международныя конференціи по вопросамъ преподаванія математики. Занятія конференціи организованы очень продуктивно: по каждой изъ намѣченныхъ для нихъ темъ производится заблаговременно международная анкета, результаты которой поступаютъ къ избраннымъ центральнымъ Комитетамъ лицамъ, доклады которыхъ раздаются передъ тѣми засѣданіями, на которыхъ они обсуждаются. Послѣ прочтенія доклада слово дается представителямъ странъ въ алфавитномъ порядкѣ для поясненій и замѣчаній, какія они найдутъ нужнымъ сдѣлать по поводу его. Только послѣ этого начинаются пренія по докладу.

1) Въ настоящее время въ составъ Центральнаго Комитета, кромѣ указанныхъ лицъ, входятъ; D. Е. Smith (Соединенные Штаты), G. Castelnuovo (Италія), Е. Czuber (Австрія) и J. Hadamard (Франція).

2) Отчетамъ парижской Конференціи посвящены номера этого журнала отъ 15-го мая и отъ 15 іюля 1914 года.

3) Ко времени открытія парижской Конференціи было напечатано около 300 отчетовъ.

Для парижской Конференціи были намѣчены двѣ темы:

А. Результаты введенія курса дифференціальнаго и интегральнаго исчисленій въ старшіе классы средней школы. В. Математическая подготовка инженеровъ въ различныхъ странахъ. Хотя время для конференціи было выбрано не совсѣмъ удобное, благодаря чему даже многіе делегаты не могли прибыть въ Парижъ, все-таки важность поставленныхъ вопросовъ привлекла большое число участниковъ (болѣе 160 лицъ изъ 17 странъ). Делегатомъ отъ Россіи былъ заслуженный профессоръ С.-Петербургскаго Университета К. А. Поссе; въ занятіяхъ конференціи принимали участіе: членъ Государственнаго Совѣта инженеръ-генералъ Н. П. Петровъ, отъ Военнаго Министерства генералъ-лейтенантъ М. Г. Попруженко, отъ Министерства Путей Сообщенія пишущій эти строки, затѣмъ лица, командированныя въ Парижъ для научныхъ занятій; между ними приватъ-доценты Д. А. Билимовичъ, Н. Н. Лузинъ и В. В. Голубевъ. Всего русскихъ, участниковъ конференціи, было 10 человѣкъ1).

Открытіе засѣданій конференціи было назначено на 2-ое апрѣля2), а закрытіе на 4-ое апрѣля, но обмѣнъ мыслей по поставленнымъ на ней вопросамъ происходилъ въ теченіе болѣе продолжительнаго срока. Личная бесѣда даетъ часто гораздо больше, чѣмъ самое детальное ознакомленіе съ печатнымъ матеріаломъ. Такъ, много интереснаго вынесъ я изъ разговоровъ съ членами Германской національной подкомиссіи Thaer’омъ во время совмѣстнаго переѣзда отъ Кельна до Парижа. Затѣмъ съ 30 марта по 14 апрѣля происходили неоднократныя свиданія делегатовъ съ различными участниками конференціи; благодаря любезности проф. К. А. Поссе, въ этихъ бесѣдахъ удалось участвовать и мнѣ. Особенно много интереснаго пришлось услышать отъ докладчиковъ Е. Веке, Ch. Bioche и F. Staeckel’я. Наконецъ, самыя засѣданія конференціи проходили очень оживленно, растягиваясь на весь день съ небольшими перерывами.

1-го апрѣля днемъ происходили засѣданія3) сперва центральнаго Комитета, а затѣмъ делегатовъ преимущественно по вопросамъ организаціоннаго характера. Взаимное ознакомленіе членовъ конференціи состоялось въ тотъ же день вечеромъ на засѣданіи Математическаго Общества, начавшемся обмѣномъ привѣтствій и закончившемся, послѣ двухъ докладовъ научнаго характера, дружеской бесѣдой.

2-го апрѣля утромъ состоялось открытіе Конференціи подъ предсѣдательствомъ представителя французскаго министерства народнаго просвѣщенія непремѣннаго секретаря парижской Академіи Наукъ G. Darboux; присутствовали представители и другихъ министерствъ. Первымъ привѣтствовалъ собравшихся на конференціи почетный предсѣдатель французской подкомиссіи Г. Appell,

1) По количеству участниковъ Россія занимала 5-е мѣсто. Отъ Франціи было 82 человѣка, отъ Венгріи 15, отъ Германіи 14, отъ Швейцаріи 12.

2) Вездѣ указывается новый стиль.

3) Помѣщенія для засѣданій были предоставлены въ Сорбоннѣ.

помянувшій въ концѣ своей рѣчи теплыми словами С. Bourlet, смерть котораго представляетъ собою незамѣнимую утрату, какъ это въ теченіе конференціи неоднократно отмѣчали и другіе ораторы.

Вторымъ говорилъ членъ центральнаго Комитета Castelnuovo отъ имени отсутствовавшаго по болѣзни предсѣдателя Комитета F. Klein’а: послѣднему была послана привѣтственная телеграмма. Въ своей рѣчи Castelnuovo отмѣтилъ, что главная цѣль работы Комиссіи облегчить каждому государству пользованіе опытомъ другихъ и что представляется совершенно нежелательнымъ внесеніе полнаго единообразія въ преподаваніи математики во всѣхъ странахъ. Затѣмъ Castelnuovo отмѣтилъ причину избранія Парижа мѣстомъ Конференціи: во Франціи еще въ 1902 году была произведена реформа преподаванія математики въ средней школѣ въ духѣ новыхъ идей и уже болѣе столѣтія ею было сдѣлано много въ области математической подготовки инженеровъ. Заслуживаетъ вниманія высказанный Castelnuovo взглядъ, что разработка вопросовъ преподаванія является для дѣятелей науки ихъ общественнымъ долгомъ.

Послѣ Castelnuovo говорилъ Darboux, отмѣтившій прежде всего важное значеніе хорошей постановки преподаванія и подчеркнувшій затѣмъ, что естествознаніе и математика дожны занять въ системѣ образованія положеніе, подобающее ихъ значенію въ современной жизни. Въ виду того, что курсъ средней школы все расширяется, бифуркація является неизбѣжной; во Франціи она введена еще во времена второй имперіи и послѣ реформы 1902 г.1) представляется въ такомъ видѣ. Первый циклъ, продолжительностью въ 4 года, состоитъ изъ двухъ отдѣленій: въ отдѣленіи А изучается латинскій языкъ, а въ отдѣленіи В остающееся свободнымъ отъ латинскаго языка время посвящается математикѣ, естествознанію и новымъ языкамъ. Во второмъ циклѣ, продолжительностью въ 3 года, 4 отдѣленія: А—греческій и латинскій, В—латинскій и новые языки, С—латинскій и естествознаніе, D—естествознаніе и новые языки. Въ заключеніе Darboux отмѣтилъ основныя черты реформы 1902 года въ отношеніи математики: введены дифференціальное и интегральное исчисленія въ среднюю школу, болѣе подробно излагаются приложенія къ вопросамъ, взятымъ изъ жизни, въ виду чего исключены задачи, не имѣющія отношенія къ дѣйствительности; обращено, наконецъ, вниманіе на такую постановку преподаванія, при которой получала бы возможно болѣе широкое развитіе личная инціатива каждаго изъ учащихся.

Въ сообщеніи на тему: „О постановкѣ преподаванія въ средней школѣ на уровнѣ, соотвѣтствующемъ успѣхамъ знанія“

1) Въ 1905 году были сдѣланы измѣненія въ программахъ 1902 года; послѣднія были введены съ такой поспѣшностью, что не были запрошены мнѣнія даже преподавателей средней школы. Отмѣтимъ нѣкоторыя перемѣны: кинематика перенесена изъ перваго (во Франціи счетъ обратный) класса въ классъ математики, въ расположеніе курса Анализа внесена большая послѣдовательность. Такъ, понятіе о производной перенесено изъ программы второго класса въ первый.

E. Borel, помощникъ директора высшей Нормальной Школы, развивалъ ту мысль, что съ одной стороны невозможно оставлять неизмѣннымъ преподаваніе въ средней школѣ, а съ другой стороны необходимо производить реформы осторожно, такъ какъ всякая ломка въ дѣлѣ преподаванія приноситъ въ первой своей стадіи вредъ. Стоитъ отмѣтить обращеніе Borel'я къ членамъ Конференціи: „будемъ рѣшительно настаивать на томъ, чтобы возможно скорѣе въ среднюю школу всѣхъ типовъ были введены дифференціальное и интегральное исчисленія—эти удивительныя дисциплины, одновременно болѣе полезныя для учениковъ и болѣе развивающія ихъ, чѣмъ всякая другая вѣтвь математики“.

Второе сообщеніе на тему: „О роли математики въ техникѣ“ сдѣлалъ извѣстный авторъ обширныхъ трудовъ по Номографіи инженеръ путей сообщенія М. d’Ocagne. Основная мысль этого сообщенія можетъ быть выражена словами Васоп’а: „опытъ, которымъ не руководитъ теорія, слѣпъ: теорія, не поддержанная опытомъ, вводитъ въ обманъ“. Въ подтвержденіи своей мысли d’Ocagne привелъ рядъ примѣровъ, показывающихъ, между прочимъ, что даже такія новѣйшія математическія теоріи, какъ интегро-дифференціальныя уравненія находятъ примѣненія въ разработкѣ вопросовъ техническаго характера. Вмѣстѣ съ такими авторитетами, какъ Resal, Luiggi и др., d’Ocagne въ весьма рѣзкихъ выраженіяхъ высказался противъ пользованія чисто эмпирическими формулами, встрѣчающимися въ большомъ числѣ въ настоящее время въ справочникахъ безъ указанія ни на способъ ихъ полученія, ни на область ихъ примѣнимости. Въ заключеніе d’Ocagne указалъ на крайнюю важность дать хорошее математическое образованіе возможно большему числу инженеровъ, въ такомъ размѣрѣ, чтобы они были въ состояніи слѣдить за ходомъ развитія научной техники и, въ случаѣ надобности, умѣли приспособить для практическихъ цѣлей полученные теоретическіе результаты.

Дневное засѣданіе 2-го апрѣля и заключительное утреннее 4-го апрѣля были посвящены вопросу А. Подробно излагать очень обстоятельный докладъ Е. Веке и послѣдовавшія за нимъ пренія не представляется возможнымъ; отмѣчу только наиболѣе интересныя мѣста.

Въ текущемъ столѣтіи почти во всѣхъ странахъ, гдѣ состоялась реформа средней школы, въ программы ея введены въ меньшихъ или большихъ размѣрахъ понятіе о функціи, графическое представленіе ея и основы Анализа. Обращаетъ вниманіе на себя опредѣленно формулированное въ новыхъ итальянскихъ планахъ по математикѣ требованіе одинаково избѣгать въ преподаваніи грубаго эмпиризма и утонченнаго критицизма.

Вообще цѣлью дидактики является размѣнъ крупныхъ научныхъ цѣнностей на мелкую монету, чтобы ученикъ могъ постепенно собирать свое научное богатство. Къ сожалѣнію, замѣчаетъ докладчикъ, очень часто этотъ размѣнъ приводитъ къ тому, что въ обращеніе поступаетъ много фальшивыхъ монетъ.

Что касается объема курса Анализа тамъ, гдѣ онъ введенъ въ среднюю школу, то почти вездѣ разсматривается функція

только одного перемѣннаго: далѣе всюду проходится дифференцированіе раціональныхъ функцій, а въ большинствѣ странъ, кромѣ того, показательныхъ, логариѳмическихъ, тригонометрическихъ и круговыхъ. Точно такъ же въ большинствѣ странъ дается понятіе интеграла. Изложеніе ряда Тейлора признается недоступнымъ для средней школы. Методы Анализа всюду примѣняются къ задачамъ на максимумъ и минимумъ, а въ большинствѣ странъ и къ вопросимъ физики1), скорость, ускореніе, а иногда центръ тяжести, моментъ инерціи и т. д. Наибольшую услугу въ смыслѣ упрощенія изложенія вопросовъ элементарной математики оказываетъ интегральное исчисленіе именно въ отдѣлѣ геометріи, посвященномъ опредѣленію площадей и объемовъ. Несмотря на это, продолжаютѣ часто пользоваться и прежними методами, въ особенности принципомъ Cavalieri.

Далѣе слѣдуетъ отмѣтить мнѣніе, высказываемое нѣкоторыми профессорами, что преподаваніе математики приноситъ скорѣе вредъ, чѣмъ пользу, при отсутствіи строгой научности въ изложеніи курса. Съ своей стороны преподаватели средней шкоды признаютъ по педагогическимъ соображеніямъ это отступленіе отъ „строгости“ необходимымъ; конечно, для самого учителя обязательно знакомство съ современнымъ строго-научнымъ изложеніемъ дифференціальнаго и интегральнаго исчисленій, но ученикамъ онъ долженъ сообщать первоначальныя понятія Анализа, опираясь на представленія геометріи и механики; только постепенно при дальнѣйшемъ изложеніи можно порывать съ интуиціей. Что касается современнаго положенія этого вопроса въ средней школѣ, то слѣдуетъ отмѣтить, что понятіе ирраціональнаго числа вводится почти вездѣ попутно при прохожденіи отдѣла объ извлеченіи корня; понятіе о предѣлѣ дается всюду, понятіе же о дифференціалѣ въ большинствѣ школъ опускается, что докладчикъ считаетъ самымъ благоразумнымъ. Болѣе того, онъ вообще высказываетъ пожеланіе, которое, по его мнѣнію, должны раздѣлять всѣ члены конференціи, чтобы сбивчивое метафизическое представленіе безконечно малой величины совершенно было изъято изъ курса средней школы.

Понятія Анализа нигдѣ, за исключеніемъ Россіи, не вводятся въ видѣ посторонняго придатка къ курсу „элементарной математики“. Для переработки этого курса въ духѣ новыхъ идей существуютъ различные планы2). Для примѣра докладчикъ привелъ выдержки изъ плана, выработаннаго преподавателями одного реальнаго училища въ Будапештѣ: во 2-мъ и 3-мъ классахъ ученики составляютъ эмпирическія таблицы и строятъ ихъ графическія изображенія (температура, восходъ и заходъ солнца и т. п.),

1) Заслуживаетъ вниманія высказанное докладчикомъ убѣжденіе, что интересы средней школы настоятельно требуютъ, чтобы новыя идеи, проводимыя въ преподаваніи математики, вполнѣ проникли и въ преподаваніе физики. Смотр. также: Timerding, Die Mathematik in den physikalischen Lehrbürchern.

2) См. извѣстную Меранскую программу, а также оффиціальные баварскіе. вюртембергскіе, баденскіе, французскіе, итальянскіе и австрійскіе планы.

въ 4-мъ строятъ графики цѣлыхъ функцій 1-й и 2-й степени, а также нѣкоторыхъ простыхъ раціональныхъ функцій; въ 5-мъ классѣ изучаютъ графику уравненія ах + Ъу = с, пользуясь частнымъ разностей и рѣшаютъ графически систему линейныхъ уравненій съ двумя неизвѣстными. Точно такимъ же способомъ изслѣдуютъ функцію 2-й степени. Въ 6-мъ классѣ изучаютъ функціи ІО* и Іодх\ при помощи ихъ графикъ устанавливаютъ, что эти функціи обратныя. Графиками пользуются также для линейной интерполяціи и при изученіи тригонометрическихъ функцій. Въ 7-мъ классѣ ставится задача о касательной, что приводитъ къ дифференцированію сперва многочленовъ, а затѣмъ, послѣ опредѣленія понятія о предѣлѣ, къ нахожденію производныхъ тригонометрическихъ функцій; затѣмъ переходятъ къ понятіямъ начальной функціи и опредѣленнаго интеграла; въ видѣ приложенія, вычисляютъ объемы, опредѣленіе которыхъ входитъ въ программу этого класса. Наконецъ, въ 8-мъ классѣ, къ программѣ котораго относятся элементы аналитической геометріи, для опредѣленія касательной къ коническому сѣченію примѣняется пріемъ, который въ общемъ случаѣ приводитъ къ дифференцированію неявной функціи. При этомъ считается само собой очевиднымъ, что сообщаемыя ученикамъ доказательства должны быть строгими, если же почему-либо это не возможно для какой-либо теоремы, то слѣдуетъ давать ее безъ доказательства, съ единственнымъ условіемъ оговаривать это. Докладчикъ считаетъ главнымъ достоинствомъ этого плана то, что онъ охватываетъ небольшую часть дифференціальнаго и интегральнаго исчисленій, но это немногое можетъ быть изучено основательно, такъ какъ хорошо распредѣлено, пояснено на приложеніяхъ и тѣсно связано съ остальной частью программы.

Въ заключеніе слѣдуетъ отмѣтить высказанную въ концѣ доклада мысль, что реформа преподаванія математики въ средней школѣ должна разсматриваться не съ точки зрѣнія интересовъ будущихъ математиковъ или техниковъ, а съ точки зрѣнія интересовъ общей культуры. Въ средней школѣ изученіе математики и естествознанія должно содѣйствовать образованію человѣка. Эти науки въ своемъ родѣ тоже гуманитарныя въ широкомъ смыслѣ этого слова.

Дополненіемъ къ докладу Беке служилъ докладъ Bioche, профессора парижскаго лицея Людовика Великаго, „Объ организаціи преподаванія дифференціальнаго и интегральнаго исчисленій во французскихъ лицеяхъ и о полученныхъ результатахъ“. Докладъ этотъ былъ составленъ по предложенію центральнаго Комитета въ виду обнаруженнаго многими делегатами интереса къ тому, что сдѣлано по этому вопросу во Франціи съ 1902 года. Въ виду того, что на эту тему существуетъ статья профессора Н. Н. Салтыкова1), я ограничусь немногимъ. Прежде всего укажу въ основыхъ чертахъ на распредѣленіе матеріала по классамъ.

1) Смотр. № 3 и № 4 „Математическаго образованія“ за 1911 годъ.

Во второмъ классѣ (возрастъ отъ 14 до 15 лѣтъ) ученики, чтобы освоиться съ понятіями измѣненія и графическаго представленія его, изучаютъ функціи ах-\-Ь, ах1 Ъх -(- с, и —причемъ они не пользуются понятіемъ производной. Этотъ пропедевтическій курсъ облегчаетъ въ первомъ классѣ изложеніе основныхъ принциповъ дифференціальнаго исчисленія. При этомъ преподавателю рекомендуется широко пользоваться интуиціей и избѣгать тонкостей, которымъ мѣсто только при строгомъ изложеніи теоріи1). Наконецъ въ классѣ математики (la classe de Mathématiques spéciales) настолько основательно изучаются дифференціальное и интегральное исчисленія, что ученики въ состояніи пользоваться методами Анализа при разсмотрѣніи несложныхъ вопросовъ механики и физики. Такъ напримѣръ, авторъ доклада изслѣдуетъ со своими учениками различныя формы кривой Ванъ-деръ-Ваальса2). Заслуживаетъ также вниманія заключительныя часть доклада, въ которой говорится, что введеніе начальныхъ понятій дифференціальнаго и интегральнаго исчисленій въ среднюю школу является очень полезной мѣрой при двухъ условіяхъ: если эти понятія вводятся постепенно и если ими пользуются возможно скорѣе для приложеній.

Послѣ доклада Bioche были сдѣланы замѣчанія делегатами, а затѣмъ начались пренія, изъ которыхъ, между прочимъ, выяснилось, что введеніе въ среднюю школу началъ Анализа встрѣтило, въ общемъ, благожелательное къ себѣ отношеніе. Заслуживаетъ вниманія взглядъ Castelnuovo на объемъ курса Анализа въ средней школѣ: слѣдуетъ дать ясное представленіе о тѣхъ принципахъ, которые необходимы для пониманія курсовъ по естествознанію или по соціальнымъ наукамъ. Въ связи съ поднятымъ Castelnuovo вопросомъ К. А. Поссе указалъ на учебникъ Tannery „Notions de Mathématiques“, содержащій прекрасное изложеніе того минимума знаній по математикѣ, который должна дать средняя школа. Оригинальное мнѣніе высказалъ Hadamard, такъ много сдѣлавшій въ области ряда Тейлора; онъ думаетъ, что изученіе этого ряда, когда онъ данъ непосредственно, представляетъ незначительный интересъ не только для средней школы, но и вообще; съ этимъ мнѣніемъ до нѣкоторой степени согласился и Darboux.

1) Задача, данная въ первомъ классѣ отдѣленія С : „Изслѣдовать измѣненія функціи у X2 — 2х2 -fx-1-l и построить ея графику. Указавъ число корней уравненія для у = т, гдѣ т данное произвольное число“.

2) Задача, на рѣшеніе которой дано въ классѣ математики 21/2 часа: „Тѣло состоитъ изъ конуса SAA' и цилиндра АВВ'А', образующія которыхъ SA и AB одинаковой длины а. Пусть х высота SH тѣла. 1°. Выразить объемъ г тѣла черезъ а и х. 2°. Найти значенія х, для которыхъ объемъ максимальный; послѣдній выразить въ гектометрахъ для того случая, когда а равно метру. 3°. Построить графику функціи у = —-, принявъ а за единицу длины. 4° Вычислить площадь между кривой и хордой, абециссы концовъ которой 1 и 2. 5° Опредѣлить изъ разсмотрѣнія кривой число значеній ж, для которыхъ у принимаетъ данное значеніе. Опредѣлить значенія а?, соотвѣтствующія у = 3".

Засѣданія 3-го апрѣля были цѣликомъ посвящены вопросу В. Въ своемъ докладѣ Staeckel отмѣтилъ прежде всего двѣ наиболѣе распространенныя въ настоящее время системы подготовки инженеровъ. Въ большинствѣ странъ существуютъ самостоятельныя высшія техническія школы—техническіе университеты, носящіе въ Германіи названіе Technische Hochschulen и раздѣляющіеся обычно на нѣсколько факультетовъ: при этомъ изученію какой-либо спеціальности на томъ или другомъ факультетѣ предшествуетъ прохожденіе теоретическихъ предметовъ. Другая система состоитъ въ томъ, что при обыкновенныхъ университетахъ открываются техническіе факультеты. Такъ дѣло обстоитъ и въ нѣкоторыхъ университетахъ Франціи, Швейцаріи, Италіи и Соединенныхъ штатовъ. Совершенно особое мѣсто занимаетъ Политехническая Школа въ Парижѣ, цѣль которой дать солидную теоретическую подготовку молодымъ людямъ, желающимъ впослѣдствіи получить техническое образованіе.

Что касается предварительной подготовки молодыхъ людей, поступающихъ въ высшія техническія школы, то въ теченіе XIX столѣтія сложилось и окрѣпло убѣжденіе, что спеціалистъ долженъ получить общее среднее образованіе, соотвѣтствующее современному уровню культуры1); это общее образованіе не можетъ ставить себѣ тѣхъ спеціальныхъ цѣлей, которыми задаются теоретическіе курсы въ высшихъ техническихъ школахъ; поэтому эти курсы являются необходимыми. Что касается характера ихъ, то профессора-математики и большинство инженеровъ признаютъ, что должны преслѣдоваться цѣль общаго математическаго развитія студентовъ, но на ряду съ этимъ слѣдуетъ по возможности принимать во вниманіе ихъ спеціальные интересы; послѣднее указаніе нѣкоторые истолковываютъ неправильно въ томъ смыслѣ, будто въ курсѣ математики должны излагаться вопросы техническаго характера; это невозможно уже по одному тому, что, благодаря сильному развитію техники, въ настоящее время приходится сокращать число часовъ, отводимыхъ на математику2); это сокращеніе только отчасти можно компенсировать путемъ улучшенія подготовки поступающихъ въ высшую школу. Съ другой стороны то-же развитіе техники требуетъ отъ инженеровъ все болѣе и болѣе солидной математической подготовки3), тогда какъ прежде было достаточно владѣть только тѣми методами, классическое изложеніе которыхъ далъ еще Эйлеръ. Отчасти по той же причинѣ въ настоящее время придаютъ большое значеніе организаціи упражненій по математикѣ, стараясь ихъ индивидуализировать. Что касается характера изложенія курса, то онъ долженъ быть строго-научнымъ въ томъ смыслѣ, что слѣдуетъ

1) Этимъ объясняется почти полное исчезновеніе въ Германіи школъ, замѣнявшихъ общеобразовательную подготовку спеціальной.

2) Несмотря на это сокращеніе, въ Россіи все-таки отводится наименьшее число часовъ на математику, какъ это было отмѣчено докладчикомъ.

3) Для примѣра можно указать номографію, графическіе и числовые методы приближеннаго вычисленія, въ частности интегрированія дифференціальныхъ уравненій и т. д.

точно устанавливать всѣ допущенія, принятыя безъ доказательства, но совершенно нѣтъ никакой необходимости стараться свести эти допущенія къ наименьшему числу аксіомъ. По поводу учебниковъ по математикѣ для высшихъ техническихъ школъ слѣдуетъ отмѣтить, что они начали появляться въ большомъ количествѣ только послѣ 1900 года; цѣль ихъ облегчить преподаваніе, но ни въ какомъ случаѣ не замѣнить его. Наконецъ, по послѣднему вопросу о подготовкѣ профессоровъ, занимающихъ каѳедры математики въ высшихъ техническихъ школахъ, выяснилось, что въ настоящее время, за немногими исключеніями, профессора эти получаютъ спеціально математическое образованіе. По многимъ причинамъ едва ли можно ждать, что въ ближайшее время въ этомъ отношеніи произойдетъ какая либо перемѣна. Слѣдовало бы все-таки требовать отъ будущихъ профессоровъ прохожденія предварительнаго стажа въ видѣ руководства упражненіями по математикѣ, а также чтенія необязательныхъ курсовъ для студентовъ, желающихъ пополнить свое математическое образованіе.

Въ заключеніе докладчикъ высказалъ мысль, что въ настоящее время развитіе математики происходитъ въ двухъ направленіяхъ, на первый взглядъ противоположныхъ. Съ одной стороны математика ариѳметизируется, т. е. ея истины, полученныя интуитивнымъ путемъ, подвергаются логической обработкѣ, съ другой стороны область ея приложеній безгранично растетъ; несмотря на это, какъ вѣрно замѣтилъ какъ-то Bourlet, области чистой и прикладной математики не могутъ быть разграничены, такъ какъ обѣ находятся въ постоянномъ взаимодѣйствіи. Въ духѣ этихъ идей и должно вести преподаваніе математики въ высшемъ техническомъ учебномъ заведеніи.

Послѣ доклада Staeckel’я былъ сдѣланъ рядъ замѣчаній представителями различныхъ странъ. Слѣдуетъ отмѣтить указаніе профессора политехникума въ Мюнхенѣ Dyck’a, что въ Германіи продолжительность нормальнаго учебнаго плана высшихъ техническихъ школъ разсчитана на четыре года, изъ которыхъ два отведены на теоретическіе курсы, и что инженеры-практики считаютъ недопустимымъ растягивать курсъ на большее число лѣтъ. О насущной необходимости омолодить составъ кончающихъ высшія спеціальныя школы пришлось слышать во время конференціи и отъ французскихъ инженеровъ; раздавались голоса даже въ пользу такой радикальной мѣры, какъ сокращеніе срока обученія въ средней школѣ. Въ самомъ дѣлѣ, каждый инженеръ въ началѣ практической дѣятельности долженъ пройти стажъ выучки, безъ которой трудно обзавестись столь необходимымъ практическимъ „чутьемъ“ (le flair de l’ingénieur) и которая тѣмъ труднѣе дается, чѣмъ старше человѣкъ. Заслуживаетъ также вниманія замѣчаніе d’Ocagne, что Политехническая Школа въ Парижѣ совмѣстно съ высшими техническими школами, получающими отъ нея часть своихъ слушателей, представляетъ въ сущности техническій университетъ; внѣшнимъ образомъ это обстоятельство находитъ себѣ выраженіе въ томъ, что въ составъ находящагося при Политехнической Школѣ Совѣта усовершенствованія (le conseil

de pertectionnement) входятъ представители различныхъ областей техники.

Начавшіяся пренія продолжались и вечеромъ въ засѣданіи Общества гражданскихъ Инженеровъ Франціи (la Société des Ingénieurs civiles de France), на которое были приглашены члены конференціи, въ виду чего пренія по этому вопросу удобнѣе излагать одновременно. Прежде всего стоитъ отмѣтить замѣчаніе d’Ocagne’n, что математика едина и нѣтъ „спеціально инженерной математики“, но что, конечно, точка зрѣнія, съ которой излагается курсъ, можетъ измѣняться въ зависимости отъ поставленныхъ цѣлей; можно, напримѣръ, удѣлять больше вниманія тѣмъ теоріямъ, которыя понадобятся для приложеній1), хотя и въ этомъ отношеніи нужно быть очень осторожнымъ, потому что, какъ часто случается, иная математическая теорія, считающаяся слишкомъ абстрактной, оказывается впослѣдствіи очень важной при разрѣшеніи практическихъ вопросовъ. Много дебатовъ вызвалъ вопросъ объ отношеніи высшей технической школы къ университету; главнымъ доводомъ за сліяніе ихъ выставлялась необходимость болѣе тѣснаго общенія теоретиковъ и практиковъ, что одинаково полезно тѣмъ и другимъ.

По вопросу о введеніи курса Анализа въ среднюю школу цѣлый рядъ профессоровъ высшихъ техническихъ школъ высказалъ тотъ взглядъ, что введеніе дало отрицательные результаты: поступающіе студенты обладаютъ только поверхностными знаніями по высшей математикѣ и забываютъ элементарную. Выходъ изъ этого положенія былъ намѣченъ Fehr’омъ и Hadamard’омъ: курсъ Анализа средней школы долженъ быть не великъ, но проходить его нужно основательно; полузнаніе хуже незнанія. Fehr предлагалъ даже не называть курсъ Анализа въ средней школѣ дифференціальнымъ и интегральнымъ исчисленіями, а, по примѣру Франціи, исчисленіемъ производныхъ и начальныхъ функцій.

Были поставлены на очередь дня еще два дополнительныхъ вопроса, къ сожалѣнію, почти не дебатировавшихся за недостаткомъ времени 1) О мѣстѣ математики въ учебномъ планѣ высшихъ спеціальныхъ школъ; 2) Инженеры-практики и инженеры-теоретики2). По первому вопросу мнѣніе большинства склонялось, насколько мнѣ представляется, къ тому, чтобы читать теоретическіе и техническіе курсы, по возможности, одновременно; по второму вопросу, чтобы при преподаваніи принимались во вниманіе интересы инженеровъ той и другой категоріи.

Въ заключеніе остается сказать нѣсколько словъ о томъ, насколько французскіе инженеры глубоко проникнуты сознаніемъ важности солидной теоретической подготовки для техника. Сознаніе это находило себѣ выраженіе въ рѣчахъ, произносившихся

1) Въ этомъ отношеніи интересна розданная членамъ конференціи новая программа курса Анализа въ Петербургскомъ электро-техническомъ институтѣ.

2) По опредѣленію Castelnuovo, первые прилагаютъ на практикѣ уже установленные въ наукѣ результаты, вторые-же содѣйствуютъ дальнѣйшему развитію техническихъ наукъ.

въ упомянутомъ засѣданіи Общества гражданскихъ Инженеровъ; сущность этихъ рѣчей была кратко формулирована Президентомъ Общества Gall'емъ цитатой изъ доклада Staeckel’я: „Математика является однимъ изъ самыхъ могучихъ орудій господства человѣческаго духа надъ косной матеріей“.

Прекраснымъ дополненіемъ къ докладу Staeckel’я и дебатамъ по поводу его дослужило для меня посѣщеніе Института Инженеровъ Путей Сообщенія (Ecole Nationale des Ponts et Chaussées), состоявшееся благодаря содѣйствію члена Государственнаго Совѣта И. И. Петрова. Крайне любезно отнеслись директоръ Института А. Kleine и инспекторъ F. Launau, которые сами давали разъясненія по интересовавшимъ вопросамъ.

Благодаря увеличенію во Франціи срока отбыванія воинской повинности на одинъ годъ, продолжительность цикла, посвященнаго въ Институтѣ спеціальнымъ предметамъ, сокращена въ 1913—1914 учебномъ году съ трехъ лѣтъ до двухъ1); кромѣ того, существуютъ одногодичные подготовительные курсы, на которыхъ читается, между прочимъ, и математика. Программа по этому предмету очень близко подходитъ къ соотвѣтствующимъ программамъ русскихъ высшихъ спеціальныхъ учебныхъ заведеній2); обращаетъ только на себя вниманіе прохожденіе графическихъ пріемовъ приближенныхъ вычисленій и интегрированія, а также введеніе въ разностное исчисленіе. Практическія занятія по математикѣ считаются настолько важными, что число часовъ, отведенныхъ на нихъ, немногимъ меньше числа лекціонныхъ часовъ; это обстоятельство получаетъ особое значеніе, если принять во вниманіе, что на подготовительномъ отдѣленіи всего 25 студентовъ3). Кстати слѣдуетъ отмѣтить, что студенты обязаны вести запись лекцій и упражненій; эти записи просматриваются соотвѣтствующими профессорами; еще одна характерная деталь: у каждаго студента нумерованное мѣсто въ аудиторіи; за пять минутъ до начала занятій инспекторъ переписываетъ пустые номера; если число записей какого-либо номера достигаетъ извѣстнаго предѣла, студентъ увольняется4).

По поводу конференціи остается упомянуть о состоявшемся днемъ 4-го апрѣля заключительномъ собраніи делегатовъ5). На этомъ засѣданіи разсматривался планъ занятій ближайшей международной конференціи, которая должна состояться въ Мюнхенѣ въ августѣ 1915 года по вопросу о подготовкѣ преподавателей математики:

1) Изъ бесѣды выяснилось, что едва ли возможно фактически произвести такое сокращеніе.

2) Аналитическая геометрія и сравнительно значительная часть Анализа требуются программами конкурсныхъ экзаменовъ еще при поступленіи на подготовительное отдѣленіе.

3) Число всѣхъ студентовъ въ Институтѣ не превышаетъ 150.

4) Обученіе въ Институтѣ безплатное.

5) О происходившемъ на засѣданіи делегатовъ мнѣ любезно сообщилъ проф. Н. Fehr.

A. —Для среднихъ школъ.

B. —Для среднихъ профессіональныхъ школъ.

C. —Для низшихъ школъ.

Докладчикомъ по вопросу А избранъ профессоръ университета въ Генуѣ Gino Loria; докладчики по остальнымъ вопросамъ пока еще не были намѣчены. Затѣмъ разсматривался вопросъ объ отчетѣ, который нужно представить въ 1916 году Шестому Международному математическому Конгрессу въ Стокгольмѣ въ виду окончанія къ этому времени срока полномочій Комиссіи.

Вечеромъ того же 4 апрѣля состоялся пріемъ у члена Парижской Академіи Наукъ принца Бонапарта. Большинство членовъ конференціи осталось въ Парижѣ и послѣ закрытія ея съ цѣлью принять участіе въ Конгрессѣ по философіи математики, который состоялся съ 6 по 8 апрѣля новаго стиля. Этотъ конгрессъ представлялъ большой интересъ, какъ первая попытка въ этомъ направленіи. На меня лично онъ произвелъ нѣсколько блѣдное впечатлѣніе, мнѣ думается, главнымъ образомъ потому, что сближеніе философовъ и математиковъ началось сравнительно недавно, и не всегда удавалось найти общій языкъ. Кромѣ того, не пріѣхало много крупныхъ ученыхъ. Во всякомъ случаѣ на этомъ конгрессѣ было положено начало очень симпатичному дѣлу: основано международное общество по философіи математики, которое и возьметъ на себя организацію слѣдующихъ конгрессовъ.

Вторая (баккалаврская) ступень въ составѣ будущей средней школы.

П. А. Некрасовъ (С.-Петербургъ).

(Окончаніе).

Что касается профессіональнаго образованія, вырабатывающаго болѣе простыхъ мастеровъ и ремесленниковъ, то оно явится пристройкой надъ школами различныхъ порядковъ, не дающими баккалаврскаго ценза; въ эти пристройки совершается отливъ молодыхъ силъ, прошедшихъ начальную школу и лишь первую ступень средней школы.

Благодаря этому отливу, постройка школьной системы будетъ съуживаться вверху какъ пирамида.

На всѣхъ ступеняхъ профессіональныхъ знаній математика сохранитъ значеніе руководителя и связующаго фактора. Части многообразнаго профессіональнаго знанія способны сталкиваться въ противорѣчіяхъ, деморализоваться и распадаться, и лишь у обобщающихъ мѣръ математики и логики профессіональныя знанія могутъ получить такой цементъ, такую научно-философскую канонизацію, которая выправляетъ противорѣчія, ибо схватываетъ

многообразіе профессіональныхъ знаній и проблемъ въ общемъ методѣ, въ общей формулѣ и въ общемъ итогѣ.

Возвращусь къ школамъ, подготовляющимъ баккалавровъ.

Школы С к Д, являясь проводниками повышеннаго математическаго образованія, послужатъ расцвѣту большого цикла наукъ и искусствъ, возводимаго на фундаментѣ хорошаго математическаго образованія, недостатокъ котораго до сихъ поръ является причиною, обусловливающею культурную и экономическую отсталость Россіи.

Насажденіе хорошаго математическаго образованія съ его многообразною формальною и реальною культурою является, надо сказать, дѣломъ не только общественной, но и государственной важности.

Нельзя закрывать глаза на то, что противъ повышательныхъ стремленій въ образованіи просвѣщенной личности, предлагаемыхъ проектомъ улучшенія средней школы, жизнью будутъ выдвинуты многія сопротивленія и возраженія. Однако же эта оппозиція будетъ основана на чистомъ недоразумѣніи, ибо проектъ реформы средней школы отнимаетъ у этой оппозиціи всякія сколько нибудь серьезныя основанія, такъ какъ проектомъ усвоена индивидуализація повышенныхъ требованій, педагогически облегчающая непосильное для юношей бремя.

Проектъ хотя и поднимаетъ уровень образованія на высшую ступень, но для каждаго отдѣльно лишь въ избранномъ излюбленномъ направленіи. Эти направленія должны строго соотвѣтствовать спросу Отечества на просвѣщенныхъ образованныхъ людей, а совокупность этихъ направленій должна соотвѣтствовать итогу всѣхъ нуждъ Отечества въ образованныхъ слугахъ.

Индивидуализація образованія устраняетъ одно изъ серьезнѣйшихъ возраженій, могущее идти со стороны семьи, ея младшихъ членовъ и части общества и дѣйствующее на пониженіе образовательнаго ценза, даваемаго средними школами.

Но есть другое, обычно предъявляемое возраженіе; оно касается самихъ преподавателей, ихъ научнаго ценза, ихъ подготовленности къ тому, чтобы взять на себя дѣло преподаванія теоретическихъ руководящихъ основъ высшаго образованія, хотя бы и не слишкомъ большого, не переходяшаго за предѣлы того, что теперь преподаютъ младшимъ курсамъ университетскихъ факультетовъ. Достаточенъ ли научный цензъ учителей для осуществленія этого просвѣтительнаго предпріятія—вотъ вопросъ. Я отвѣчаю на этотъ вопросъ утвердительно по слѣдующимъ соображеніямъ. Положительный отвѣтъ объясняется существующими достаточно высокими научными требованіями программъ государственнаго испытанія въ университетскихъ коммиссіяхъ, да и на дѣлѣ университетскія испытательныя коммиссіи не дѣлаютъ поблажекъ, это я утверждаю по личному опыту и говорю, что большинство преподавателей среднихъ учебныхъ заведеній съ университетскимъ образованіемъ удовлетворяютъ вышепомянутому научному цензу, необходимому для преподаванія научныхъ основъ высшаго образованія въ старшей лицейской ступени, подготовляющей баккалав-

ровъ. Недостатокъ у оканчивающихъ физико-математическіе факультеты если и существуетъ, то въ ихъ спеціально педагогической подготовкѣ. Этотъ недостатокъ однако же устраняется педагогическими институтами и курсами, о которыхъ говорятъ доклады Н. Н. Салтыкова и Д. М. Синцова и замѣчанія Д. Э. Теннера.

Наконецъ, возникаетъ третье сомнѣніе, касающееся учебныхъ пособій, соотвѣтствующихъ теоретическимъ основамъ высшихъ знаній и приспособленныхъ къ возрасту отъ 16 до 18 лѣтъ. Существуетъ ли возможность изготовить такія пособія. Отвѣчаю утвердительно. Подходящая учебная литература существуетъ на русскомъ и иностранныхъ языкахъ, ее не трудно будетъ приспособить къ программамъ, кои сложатся у насъ. Составы ученическихъ библіотекъ и лабораторій, соотвѣтствующихъ новоязычнымъ гимназіямъ С и Д, выработаны если не у насъ, то заграницей, а иногда и у насъ, и заграницей.

Задача доклада подготовить наше время и наши настроенія къ проведенію намѣченной реформы, способной широко разлить свѣтъ формальнаго и реальнаго знанія и дать максимумъ пользы нашему Отечеству.

Внутренняя задача реформы сводится къ перенесенію части образовательныхъ матеріаловъ университета на болѣе ранній возрастъ, на годы старшихъ классовъ гимназіи. Надо привлечь поколѣнія къ образовательному свѣту въ болѣе раннемъ ихъ возрастѣ, въ лучшую пору юношеской воспріимчивости къ высшимъ научнымъ обобщеніямъ, образующимъ личность просвѣщенную и пригодную для интенсивной работы.

Мм. гг.! Своими слабыми силами я произвожу опросъ свѣдущихъ въ учебномъ дѣлѣ лицъ относительно устройства второй (баккалаврской) ступени въ составѣ будущей средней школы, „вопросные пункты" моей анкеты помѣщены въ статьѣ: „Промежуточная лицейская ступень между среднею и высшею школами“. Но силъ моихъ недостаточно для этой огромной коллективной работы. Поэтому въ заключительной части своихъ настоящихъ объясненій я ищу поддержки осуществленію этой анкеты. Поддержка эта можетъ осуществиться порученіемъ особой коммиссіи собирать отвѣты на эти вопросные пункты. Коммиссія эта могла бы быть составною частью той коммиссіи, которая предложена докладомъ Н. Н. Салтыкова о подготовкѣ преподавателей средней школы и сочувственно встрѣчена 28 декабря въ соединенномъ засѣданіи секцій Съѣзда.

О развитіи представленій о соотношеніяхъ въ пространствѣ.

Докладъ, читанный на II съѣздѣ преподавателей математики 29 дек. 1913 г.

М. Воскресенскій. Кострома.

Больнымъ мѣстомъ преподаванія геометріи въ средней школѣ является неумѣнье абитуріентовъ школы разбираться въ относительномъ положеніи линій и плоскостей въ пространствѣ: по

словамъ проф. Д. М. Синцова студенты математическаго факультета затрудняются представить конкретно пространственныя фигуры. Въ данномъ случаѣ вина, какъ мнѣ кажется, ложится на среднюю школу въ очень небольшой степени. Преподаватель въ большинствѣ случаевъ не имѣетъ подъ руками никакихъ пособій, которыя позволили бы ему самому восполнить пробѣлы университетскихъ курсовъ. Въ относительно богатой выставкѣ книгъ и пособій по математикѣ, которыя пришлось видѣть на I и на II съѣздахъ преподавателей математики, и на выставкѣ математическаго кружка во время XII съѣзда естествоиспытателей и врачей отсутствовали главныя пособія по данному вопросу нѣмецкой литературы: 1) Holzmüller, Einführung in das Stereometrische Leiehnen, Teubner 1886 и 2) Müller und Pressler, Leitfaden der Projectionslehre Aufgabe A. Teubner 1903. Долженъ сказать, что и на русскомъ языкѣ имѣются пособія, позволяющія оріентироваться въ вопросѣ: I) А. Ѳ. Маккавѣевъ 1) курсъ геометрическаго черченія вып. 2. вольная перспектива, 2) Азбука графической грамотности. II) Межеричеръ: Черченіе съ натуры (составленіе эскизовъ частей машинъ). Нѣкоторыя указанія можно встрѣтить у А. Н. Глаголева. Собраніе геометрическихъ задачъ и краткій курсъ геометріи. Москва. 1892 г.

Раньше чѣмъ приступить къ самому докладу пользуюсь случаемъ выразить мою глубокую благодарность проф. А. Ѳ. Маккавѣеву, который послѣ III съѣзда по техническому образованію любезно согласился просмотрѣть чертежи моихъ учениковъ и своими указаніями побудилъ меня разрабатывать тѣ мысли, которыя зародились у меня при знакомствѣ съ вышеупомянутыми его сочиненіями.

Извиняясь за эти отступленія, перехожу къ самому докладу.

Въ настоящее время замѣчается нѣкоторое увлеченіе стереоскопомъ въ его примѣненіи къ изученію стереометрическихъ формъ,—мы имѣемъ цѣлый рядъ стереоскопическихъ рисунковъ и крупныхъ классныхъ таблицъ, выполненныхъ по способу анаглифовъ (хотя первыя работы были опубликованы слишкомъ 40 л. тому назадъ. Steinhäuser 1870 г.), но цѣлью преподаванія въ средней школѣ является выучить ученика не только видѣть на готовомъ чертежѣ ту или другую пространственную форму, но и умѣть воспроизвести ее на чертежѣ, не копируя образцовъ, а представивъ умственнымъ взоромъ соотвѣтствующую фигуру выполнить чертежъ по тѣмъ, или другимъ заданіямъ.

Итакъ вопросъ распадается на двѣ части 1) заставить читать готовый чертежъ, 2) выучиться самому исполнять чертежи тѣхъ или другихъ пространственныхъ формъ.

Начиная урокъ стереометріи я обыкновенно обращаю вниманіе учениковъ на то, что правильно выполненный рисунокъ передаетъ прекрасно впечатлѣніе, производимое предметомъ, но обладаетъ тѣмъ неудобствомъ, что по рисунку, сдѣланному по правиламъ центральной перспективы опредѣлить размѣры предмета довольно трудно; наоборотъ по чертежу ортогональной проекціи легко найти истинные размѣры предмета, но безъ извѣст-

наго навыка не всегда легко представить себѣ предметъ; въ качествѣ примѣра я предлагаю извѣстный эпюръ цилиндрическаго клина (см. чер. 1) и предлагаю воспроизвести тѣло, которое безъ зазора можетъ заполнить три отверстія: круглое, прямоугольное и треугольное.

Чер. 1.

Чер. 2.

Между этими двумя крайностями существуетъ средній путь— косоугольной параллельной проекціи, по правиламъ которой и строятся обыкновенно стереометрическіе чертежи.

Послѣ этого введенія я предлагаю построить правильный шестиугольникъ и провести діаметры черезъ его вершины, а затѣмъ на томъ же чертежѣ найти... кубъ (см. чер. 2). Нѣкоторые ученики находятъ кубъ сразу, для другихъ приходится утолстить нѣкоторыя ребра. Итакъ въ зависимости отъ усилія воображенія одинъ и тотъ же чертежъ представляетъ или плоскую фигуру— шестиугольникъ, или пространственную—кубъ. Затѣмъ даю нѣсколько другихъ примѣровъ: карнизъ и лѣсенку, отрѣзокъ усѣченной пирамиды съ основаніемъ въ вертикальной плоскости, который въ зависимости отъ воображенія представляется вогнутой или выпуклой и т. п.

Чер. 3.

Чер. 4.

Затѣмъ, пользуясь системой прямоугольныхъ осей координатъ, мы чертимъ изометрическую косоугольную проекцію куба (уголъ хоу = со; со = 45°, 30°, или со = arctg 1/2). Чертежи 3 и 4 представляютъ повидимому прямоугольный параллелипедъ съ

квадратнымъ основаніемъ, растянутый по оси гу\ когда это выяснится, предлагаю сократить отрѣзки параллельные оси у въ 1/2 или въ Ѵз. Чертежи дѣлаются похожими на чертежи куба.

Указавъ выгоду такого пріема и условность величины угла хоу и сокращенія по оси г/, разбираю подробно чертежъ куба (чер. 5). Очевидно, что квадратъ, лежащій въ плоскости xoz (картинной), или въ плоскости, параллельной картинной передается на чертежѣ безъ искаженій; квадратъ, лежащій въ горизонтальной плоскости хоу, или въ профильной уоъ представляются на чертежѣ параллелограммами, при чемъ прямыя параллельныя оси х, или оси z не сокращаются, а прямыя параллельныя оси у сокращаются въ данномъ отношеніи.

Чер. 5.

Чер. 6.

Чтобы по возможности сократить работу учениковъ, я пользуюсь обыкновенной клѣтчатой бумагой (тетради для ариѳметики) и такимъ образомъ мы имѣемъ готовую систему, координатъ х и з; направленіе оси у мы беремъ такъ, чтобы tngco = 1/2 ( со = Д хоу) т. е. ось у совпадаетъ съ діагональю прямоугольника, составленнаго изъ двухъ клѣтокъ; уголъ въ 45° тоже почти имѣется готовымъ на клѣтчатой бумагѣ, уголъ въ 30° (чер. 6) имѣется на большинствѣ чертежныхъ треугольниковъ. Очень легко строится и уголъ въ 20° (точнѣе 19°,2)—хорда, равная '/g радіуса, стягиваетъ уголъ въ 19°,2. Выборъ угла со болѣе, или. менѣе произволенъ, но иногда при углѣ въ 30°, 45° получаются покрытія однихъ прямыхъ другими и тогда приходится брать уголъ въ 20°. Сокращеніе во всѣхъ случаяхъ ради простоты беремъ 1/2, хотя конечно строятся легко и сокращенія въ 1/3.

Разсматривая кубъ мы вмѣстѣ съ этимъ получаемъ правила, какъ, имѣя изображеніе какой нибудь фигуры въ картинной плоскости, въ которой фигура изображается безъ искаженій, перенести эту фигуру въ профильную, или горизонтальную плоскость и наоборотъ, имѣя изображеніе въ горизонтальной или профильной плоскости получить изображеніе той же фигуры въ картинной плоскости.

Дѣйствительно пусть Л АВС (чер. 7) лежитъ въ картинной плоскости, причемъ для простоты А совпадаетъ съ началомъ координатъ, а Ад лежитъ на оси х. При совмѣщеніи картинной плоскости съ горизонтальной, точки А и В, какъ лежащія на оси вращенія, остаются неподвижными, точка С перемѣщаясь въ плоскости перпендикулярной къ оси х опишетъ 1/і окружности и зай-

метъ положеніе С ; (опускаемъ перпендикуляръ СС0 на ось х, проводимъ изъ точки С0 прямую параллельную оси у и строимъ С0С = 1/2СС0, если сокращеніе у= Ѵ2; слѣдовательно треугольникъ АВС въ горизонтальной плоскости изобразится треугольникомъ АВС. Подобнымъ же образомъ для перенесенія Л АВС въ профильную плоскость 7іОУ совмѣщаемъ картинную плоскость съ профильной, вращая около оси OZ, точка А остается на мѣстѣ, точки В и С переходятъ въ точки В" и С” причемъ С”С0 = 1UCC0 и AB” = Ч2АВ.

Чер. 7. Чер. 8.

Произведя тѣже построенія въ обратномъ порядкѣ мы рѣшимъ задачу, какъ по изображенію фигуры въ профильной, или картинной плоскости получать изображеніе ея въ картинной плоскости т. е. получить фигуру въ натуральную величину.

Учениками эти перенесенія фигуръ усваиваются легче, если представить плоскости проекпій, какъ грани куба и считать что Л АдС лежитъ на задней грани куба.

Въ качествѣ второго тѣла мы обыкновенно разсматриваемъ правильный октаэдръ (чер. 8), у котораго оси совпадаютъ съ осями координатъ. Въ картинной плоскости чертится квадратъ AgCD, причемъ діагонали квадрата служатъ осями ZZ' и XX', совмѣщеніемъ квадрата AgCD съ горизонтальной плоскостью получаемъ еще двѣ вертикали Е и F октаэдра причемъ oE-—oF — og.

Затѣмъ мы чертимъ четыреугольную прямую пирамиду по (см. чер. 9) заданному прямоугольнику основанія и высотѣ: въ картинной плоскости зачерчивается прямоугольникъ основанія въ натуральную величину, который затѣмъ переносится въ горизонтальную плоскость, и по оси z откладывается высота; затѣмъ та же пирамида съ сѣченіемъ параллельнымъ основанію, съ сѣче-

Чер. 9.

ніемъ параллельнымъ одному изъ реберъ основанія и т. п., всѣ пирамиды чертятся съ разверткой и склеиваются. Позволяю себѣ разобрать подробнѣе построеніе пирамиды съ сѣченіемъ параллельнымъ одному изъ реберъ основанія. Въ картинной плоскости чертится прямоугольникъ основанія, который затѣмъ переносится въ горизонтальную плоскость (четыреугольникъ AB CD), по оси z откладывается данная высота SO, соединивъ точку S съ точками А, В, С, D, получимъ чертежъ пирамиды; затѣмъ строимъ сѣченіе EFGH по тѣмъ или другимъ заданьямъ: очевидно что стороны сѣченія EF и HG параллельны BD. Для полученія развертки (чер. 10) необходимо имѣть величину ребра пирамиды SD и отрѣзки SH, SG, SF, SE въ натуральную величину: строимъ SD, какъ гипотенузу прямоугольнаго треугольника съ катетами SO и ОD0, гдѣ 0П2 діагональ прямоугольника AGCD совмѣщеннаго съ картинной плоскостью; проведя черезъ середины отрѣзковъ HG и EF прямыя параллельныя оси х, мы опредѣлимъ на SD, отрѣзки равные SH и SE. Радіусомъ SD = SD, (чертежъ развертки) зачерчиваемъ окружность и послѣдовательно нанося хорды, равныя сторонамъ прямоугольника основанія, получаемъ развертку боковой поверхности пирамиды, присоединяемъ основаніе и на соотвѣтствующихъ ребрахъ откладываемъ отрѣзки ES, SF, SG, SH получаемъ развертку. Я считаю почти необходимымъ построеніе развертки и склеиваніе моделей четыреугольныхъ пирамидъ потому что ученики только на собственноручно выполненныхъ моделяхъ осваиваются съ стереометрическими тѣлами.

Послѣднимъ изъ тѣлъ которыя я разбираю въ этомъ курсѣ введенія въ стереометрическое черченіе является правильный тетраэдръ. Построеніе его не представляетъ особыхъ затрудненій (чер. 11) въ картинной плоскости чертится равносторонній треугольникъ АВС, который затѣмъ вмѣстѣ съ его двумя медіанами переносится въ горизонтальную плоскость; точка пересѣченія ме-

Чер. 10.

діанъ О при перенесеніи въ горизонтальную плоскость займетъ положеніе D01 = 1l2DO; на вертикальной прямой проходящей черезъ точку О, откладываемъ высоту тетраэдра SO, равную АР, гдѣ АР катетъ прямоугольнаго треугольника APQ; PQ = а ребру тетраэдра, и .4$--= .40.

Чер. 11.

Чер. 12.

Закончивъ разборомъ построенія чертежей этихъ тѣлъ я перехожу къ задачамъ, причемъ въ началѣ беру кубъ съ различными сѣченіями, октаэдръ и т. п.; желающимъ рекомендую построеніе чертежей въ болѣе крупномъ масштабѣ и построеніе моделей; вотъ напримѣръ одна изъ задачъ: въ кубѣ съ ребромъ а вписанъ правильный тетраэдръ, въ послѣдній вписанъ октаэдръ, а въ октаэдрѣ шаръ; опредѣлить радіусъ шара. (На приложенномъ чертежѣ 12, нѣтъ шара, такъ какъ мы его вычерчиваемъ разсѣкая октаэдръ по высотамъ боковыхъ граней).

Позволю себѣ добавить, что считая задачи съ тарами вписанными и касающимися другъ съ другомъ очень важными для развитія стереометрическихъ представленій, я теоремы о сѣченіи шара плоскостью и о касательныхъ къ шару плоскостяхъ прохожу сейчасъ же послѣ многогранныхъ угловъ до теоремъ объ измѣреніи объемовъ, кромѣ того основныя задачи по опредѣленію относительнаго положенія точекъ и прямыхъ въ пространствѣ мы разбираемъ на модели большого проволочнаго куба и ихъ вычерчиваемъ въ нашихъ условныхъ чертежахъ, причемъ очень часто пользуемся сѣченіями и разрѣзами.

На курсъ введенія въ технику стереометрическаго черченія уходитъ уроковъ 5—6, но такая, повидимому, значительная потеря времени окупается съ избыткомъ развитіемъ пространственнаго воображенія у учениковъ и многія теоремы изъ второй половины курса усваиваются очень легко, потому что ученики осязательно видятъ тѣ линіи, о которыхъ приходится говорить при доказательствѣ теоремъ объ объемахъ пирамидъ.

На основаніи всего сказаннаго я позволю себѣ поставить слѣдующіе тезисы:

1) желательно ввести учениковъ средней школы въ технику стереометрическаго черченія.

2) Преподаватель долженъ еще въ высшемъ учебномъ заведеніи получить возможность ознакомиться съ методами начертательной геометріи и не только ортогональной, но и аксонометрической проекціи и центральной перспективы, а то приходится самому разыскивать пути къ рѣшенію вопроса, какъ выучиться чертить чертежи въ стерометріи и если не обладаешь способностями къ рисованью, затратить непроизводительно массу времени и труда.

Объ одной спирали.

В. Добровольскій. Москва.

Функція у=——- часто встрѣчается въ математическихъ изслѣдованіяхъ и обладаетъ многими замѣчательными свойствами. Весьма удобно изслѣдовать ее при помощи ея полярнаго графика = Q —, представляющаго нѣкоторую спираль. Построеніе ея могло бы быть выполнено, вычисляя различныя значенія функціи для разныхъ <р, но цѣль нашей замѣтки какъ разъ обратная—указать два геометрическихъ свойства спирали, служащихъ для ея построенія и для сужденія о свойствахъ самой функціи.

Чер. 1.

1. Представимъ себѣ, что мы выпрямляемъ дугу круга такъ, что она остается все время цѣликомъ дугою круга и касается одной и той же прямой въ одной своей конечной точкѣ, остаю-

щейся неподвижной. Тогда другой конецъ дуги опишетъ нѣкоторую траекторію, которую легко построить по точкамъ, пользуясь тѣмъ, что при разной кривизнѣ дуги длина ея должна оставаться постоянной. Свертывая дугу, т. е. уменьшая ея радіусъ, продолжимъ построеніе и въ другую сторону; на чер. I выполнено это построеніе, въ результатѣ котораго получилась спираль, дѣлающая безчисленное множество петель, касающихся полярной оси ОА въ полюсѣ. Спираль имѣетъ вторую, симметрическую съ первой половину по другую сторону О А (при отрицательныхъ ф). Съ другой стороны, составляя полярное уравненіе этой спирали, найдемъ.

откуда

принимая длину дуги а за единицу длины, получимъ

т. е. найденная спираль представляетъ полярный графикъ нашей функціи.

Сравнивая сегменты, образованные перемѣнный хордой ОМ и дугой перемѣннаго радіуса, но постоянной длины, находимъ изъ простыхъ геометрическихъ соображеній, что съ уменьшеніемъ радіуса дуги до превращенія ея въ полную окружность, слѣд., съ увеличеніемъ <р до л, хорда, т. е. q уменьшается—важное свойство функціи q = ———; аналитическое доказательство котораго довольно сложно, Изъ того же факта, что при стремленіи <]Р къ 0, длина хорды имѣетъ своимъ предѣломъ длину дуги, принятую нами за единицу, непосредственно слѣдуетъ:

2. Изъ механики извѣстно, что разстояніе центра тяжести дуги отъ ея геометрическаго центра равно радіусу, уменьшенному въ отношеніи хорды къ дугѣ. Обозначая центральный уголъ этой дуги черезъ 2çp, находимъ, что указанное разстояніе

Такъ какъ при увеличеніи дуги (путемъ прибавленія одинаковыхъ дугъ съ обѣихъ сторонъ) до полной окружности, а, слѣд., <р до л, ея ц. т. приближается къ ея геометрическому центру, то ясно, что функція при этомъ уменьшается. Съ приближеніемъ <р къ 0, ц. т. дуги неограниченно приближается къ окружности; поэтому опять имѣемъ

Полагая г = 1 въ уравненіи ц = г - и отличая ц. т. дугъ при различныхъ и при одномъ и томъ же началѣ дуги, найдемъ, что геометрическое мѣсто этихъ ц. т. представляетъ полярный графикъ, функціи . Эта связь даетъ прежде всего простое построеніе графика; пусть точка М есть ц. т. дуги АКгК (на черт. 2 эта дуга равна полуокружности, для которой разстояніе ОМ вычисляется очень просто), тогда точка Мг пересѣченія перпендикуляра къ ОМ въ М и биссектрисы угла АОМ есть ц. т. половины прежней дуги, т. е. ц. т. дуги АКг; это видно изъ того, что центры тяжести дугъ АКѴ КХК и АКХК должны лежать на одной прямой. Это построеніе можетъ быть

Чер. 2.

продолжено дальше для дугъ, равныхъ половинѣ предыдущей, а также въ другую сторону для двойныхъ дугъ. Центры тяжести дугъ, превышающихъ окружность, находятся, какъ центры параллельныхъ силъ, приложенныхъ одна въ центрѣ окружности, другая—въ центрѣ тяжести избыточной дуги, напр., ц. т. дуги въ 450° лежитъ на ОМг въ разстояніи ОЛт1=^- ОМѵ ц. т. дуги въ 640°—въ N, причемъ 0^=^ ОМ и т. д.

Разсмотримъ еще направленіе касательной въ какой-нибудь точкѣ, напр. Мг\ это направленіе получимъ, если дадимъ дугѣ АКХ безконечно-малое приращеніе и найдемъ вызванное этимъ безконечно-малое премѣщеніе ц. т. этой дуги. Новый ц. т. будетъ лежать на прямой, соединяющей прежній ц. т. съ ц. т. приращенія; направленіе этой прямой безконечно мало отличается отъ направленія MXKX, а слѣд., это послѣднее направленіе есть предѣльное направленіе указанной прямой, т. е. это и есть направленіе касательной въ точкѣ Мх, Итакъ, касательная къ геометрическому мѣсту центра тяжести перемѣнной дуги, проходитъ черезъ подвижной конецъ этой дуги. Для точки Л\ на томъ же лучѣ ОМх (послѣ полнаго его оборота) получаемъ, что касательная въ этой точкѣ проходитъ черезъ ту же точку Кѵ Итакъ, касательныя, проведенныя въ точкахъ спирали q = —-—, лежащихъ на одномъ и томъ-же лучѣ, пересѣкаются въ одной точкѣ, лежащей на окружности постояннаго радіуса О А съ центромъ въ полюсѣ О.

Задачи и вопросы по математикѣ, предлагаемые въ Англіи на экзаменахъ по курсу средней школы.

С. Острейко. Москва.

Полагаю, что преподавателямъ и вообще лицамъ, интересующимся постановкой учебнаго дѣла въ средней школѣ, небезъинтересно будетъ ознакомиться съ характеромъ задачъ и вопросовъ по математикѣ, предлагаемыхъ въ Англіи на испытаніяхъ по курсу средней школы и съ краткимъ очеркомъ организаціи этихъ испытаній, который необходимо предпослать приведеннымъ ниже образцамъ задачъ и вопросовъ для надлежащаго отношенія къ нимъ.

Извѣстно, что въ Англіи внутренній строй школъ, ихъ программы и методы преподаванія не регулируются нормами,

устанавливаемыми центральными учрежденіями. Сложился такой порядокъ, нигдѣ въ подобной мѣрѣ не осуществляющійся на континентѣ, главнымъ образомъ отъ того, что дѣло устройства школъ всѣхъ ступеней было раньше и остается теперь предоставленнымъ частной и общественной иниціативѣ, а роль государства сводится къ матеріальной поддержкѣ, которую оно въ извѣстныхъ случаяхъ оказываетъ общественнымъ организаціямъ. Нужно впрочемъ замѣтить, что государство оказываетъ матеріальную помощь только въ сферѣ начальнаго образованія, среднее же можно сказать всецѣло предоставлено частной и общественной самодѣятельности. При такихъ условіяхъ, при которыхъ каждая школа можетъ учить чему угодно и какъ угодно, естественна потребность въ организаціи независимыхъ и достаточно авторитетныхъ въ глазахъ общества учрежденій, которыя могли бы провѣрять познанія учащихся пріобрѣтаемыя ими въ школахъ. Такія учрежденія нужны не только родителямъ учащихся, которымъ важно удостовѣреніе со стороны компетентнаго и стоящаго внѣ самой школы учрежденія, что ихъ дѣти пріобрѣли извѣстный уровень познаній; въ нихъ заинтересованы и сами школы: репутація школы въ Англіи устанавливается и поддерживается главнымъ образомъ тѣмъ, сколько ея питомцевъ прошло успѣшно черезъ тѣ или другія испытанія и сколько изъ нихъ при этомъ удостоились почетныхъ отзывовъ и отличій (honours and distinctions).

Эта потребность въ компетентной провѣркѣ познаній лицъ, какъ обучающихся въ школахъ, такъ и обучающихся дома подъ руководствомъ домашнихъ учителей и воспитателей, удовлетворяется испытательными комитетами, организованными рядомъ учрежденій, напр. Оксфордскимъ и Кембриджскимъ университе-. тами, обществомъ учителей (College of Preceptors), Шотландскимъ департаментомъ просвѣщенія (Scotch Education Department), Ирландскимъ управленіемъ по среднему образованію (Intermediate Education Board of Ireland) и друг. Къ этой же категоріи можетъ быть отнесенъ вступительный экзаменъ въ Лондонскій университетъ, такъ какъ очень распространенъ обычай подвергаться этому экзамену не въ цѣляхъ поступленія въ этотъ университетъ, а только для полученія удостовѣренія въ сдачѣ его, какъ свидѣтельства о среднемъ образованіи.

Такъ какъ приведенные ниже вопросы и задачи по математикѣ взяты изъ отчета о „мѣстныхъ экаменахъ“ испытательнаго комитета Оксфордскаго университета (за іюльскую сессію 1913 г.), то свѣдѣнія о порядкахъ и правилахъ испытаній даны относительно испытаній комитетовъ Оксфордскаго и Кембриджскаго университетовъ, чтобы не останавливаться на отличіяхъ въ требованіяхъ и правилахъ другихъ испытательныхъ коллегій; нужно впрочемъ сказать, что въ общемъ характеръ ихъ, равно какъ и характеръ задачъ и вопросовъ болѣе или менѣе одинаковъ во всѣхъ нихъ.

Мѣстные экзамены (Local Examinations) производятся испытательными комитетами Оксфордскаго и Кембриджскаго университетовъ обычно дважды въ годъ, въ іюлѣ и декабрѣ, въ одни

и тѣ же числа во всѣхъ пунктахъ, гдѣ они назначены, и продолжаются дней 7 — 9. Для того, чтобы въ любомъ городѣ или вообще поселеніи въ Англіи, (и даже въ колоніяхъ, но для нихъ особыя условія), былъ назначенъ такой экзаменъ нужно, чтобы набралось человѣкъ 25 — 30, (собственно, чтобы комитету была обезпечена плата за экзаменъ не менѣе 25 фунтовъ ст.), желающихъ подвергнуться экзаменамъ и чтобы организовался мѣстный комитетъ, отъ котораго и поступаетъ заявленіе въ испытательный комитетъ Оксфордскаго или Кембриджскаго университета о внесеніи даннаго мѣста въ списокъ пунктовъ, въ которомъ въ ближайшемъ году будутъ произведены мѣстные экзамены1). На обязанности мѣстнаго комитета лежитъ забота о подысканіи помѣщенія для экзамена и подготовкѣ на мѣстѣ вообще всего нужнаго для производства экзаменовъ. Университетскій же испытательный комитетъ присылаетъ въ каждый пунктъ делегата экзаминатора, подъ наблюденіемъ котораго производится экзаменъ. Экзамены всѣ только письменные; исключеніе составляютъ только новые языки, по которымъ кромѣ письменныхъ экзаменовъ можетъ быть устраиваема по особому соглашенію съ испытательнымъ комитетомъ провѣрка умѣнія владѣть живой рѣчью. Делегатъ привозитъ съ собой печатные вопросы по всѣмъ предметамъ испытаній, на которые экзаменующіеся должны дать письменные отвѣты, не переписывая самихъ вопросовъ. Вопросы одни и тѣ же для всѣхъ пунктовъ; вотъ почему отвѣты по каждому предмету пишутся экзаменующимися въ одинъ и тотъ же день и часъ во всѣхъ пунктахъ. Собранные со всѣхъ пунктовъ отвѣты разсматриваются въ испытательномъ комитетѣ экзаминаторами соотвѣтственныхъ спеціальностей и затѣмъ комитетомъ присуждаются экзаменующимся свидѣтельста, причемъ наиболѣе успѣшные по совокупности испытаній помѣщаются въ особые разрядные списки (honours), а за выдающіяся работы присуждаются „отличія“ (distinctions) по отдѣльнымъ предметамъ. Экзаменамъ могутъ подвергаться какъ мальчики, такъ и дѣвочки, но послѣднія экзаменуются въ отдѣльныхъ отъ мальчиковъ помѣщеніяхъ. Съ экзаменующихся взимается плата около 10 руб. въ пользу испытательнаго комитета и сверхъ того нѣкоторая сумма, устанавливаемая мѣстнымъ комитетомъ, на оплату мѣстныхъ расходовъ по организаціи экзаменовъ.

Экзамены по курсу средней школы установлены 3 ступеней: 1) предварительные (Preliminary) экзамены для дѣтей не старше 16 лѣтъ; къ этому экзамену лица, переросшія указанный возрастъ, не допускаются, причемъ въ разрядные списки могутъ быть помѣщены только тѣ изъ нихъ, которые не старше 14 лѣтъ; такое же ограниченіе въ возрастѣ по этой категоріи экзаменовъ и для полученія отличій; 2) экзамены младшихъ кандидатовъ и 3) экза-

1) Напр. на іюль и декабрь 1914 г. Кембриджскимъ университетомъ назначены экзамены въ 381 пунктахъ, изъ которыхъ 39 въ колоніяхъ, — Индіи, на островѣ Цейлонѣ, въ Трансвалѣ, Канадѣ и т. п.

мены старшихъ кандидатовъ1). Для двухъ послѣднихъ категорій экзаменовъ не установлено предѣльнаго возраста, — этимъ экзаменамъ могутъ подвергаться и взрослые, но эти послѣдніе исключаются изъ распредѣленія по разрядамъ по успѣшности и не получаютъ отличій: въ соревнованіи на то и другое участвуютъ только тѣ младшіе кандидаты, которыхъ возрастъ не превышаетъ 17 лѣтъ, и тѣ старшіе кандидаты, которыхъ возрастъ не превышаетъ 19 лѣтъ ко времени начала испытаній.

Программы испытаній включаютъ въ себѣ отъ 17 до 23 предметовъ; число предметовъ колеблется въ этихъ предѣлахъ въ зависимости отъ того, какой ступени экзаменъ и затѣмъ нѣсколько разнятся по числу предметовъ программы испытаній Оксфордскаго и Кембриджскаго университетовъ.

Для примѣра привожу перечень предметовъ программы испытаній для старшихъ кандидатовъ Оксфордскаго комитета. I. Ариѳметика. 2. Законъ Божій. 3. Исторія. 4. Англійскій языкъ и литература. 5. Географія. 6. Политическая экономія и элементы логики, или историческая географія2). 7. Латинскій языкъ. 8. Греческій языкъ. 9. Французскій языкъ. 10. Нѣмецкій языкъ. II. Итальянскій языкъ. 12. Испанскій языкъ. 13. Математика. 14. Математика курса повышеннаго типа. 15. Ботаника. 16. Химія. 17. Физика. 18. Знанія, относящіяся къ обыденной жизни3) (Domestic Science) и гигіена. 19. Музыка. 20. Бухгалтерія. 21. Кройка и шитье. 22. Естественныя науки. 23. Рисованіе и черченіе.

Относительно предметовъ подъ номерами 15 — 19 имѣется указаніе, что по нимъ необходимо обнаружить не одно книжное, но и опытное знакомство съ содержаніемъ этихъ наукъ.

Но это не значитъ, что каждый экзаменующійся долженъ сдавать экзамены по всѣмъ предметамъ; напротивъ экзаменующійся въ одну сессію не можетъ записываться на экзамены болѣе, чѣмъ по 7—8 предметамъ по своему выбору, причемъ для полученія свидѣтельства необходимо, чтобы его познанія были удовлетворительными не менѣе чѣмъ по 5 предметамъ. Въ выборѣ предметовъ есть нѣкоторыя ограниченія, таковы напр.: 1) въ число 5 предметовъ, по которымъ необходимо успѣшно сдать экзаменъ для полученія свидѣтельства, не можетъ входить болѣе одного изъ предметовъ подъ номерами 20, 21, 22, 23; 2) предметы подъ номерами 21 и 22 только для лицъ женскаго пола.

1) Имѣется еще 4-я ступень,—высшіе мѣстные экзамены (Higher Local Examinations), но программа ихъ захватываетъ области, относящіяся у насъ къ университетскому преподаванію, поэтому я ихъ не касаюсь.

2) По исторической географіи экзаменующійся долженъ дать отвѣтъ или а) по содержанію „Исторической географіи Британской имперіи“ Джорджа, причемъ познанія его не должны ограничиться содержаніемъ этой книги, но пополнены изъ другихъ источниковъ, или б) по исторіи изслѣдованія и колонизаціи Африки Европейскими государствами.

3) Это предметъ столь необычный у насъ въ качествѣ общеобразовательнаго и вмѣстѣ съ тѣмъ столь любопытный и характерный для тенденціи англичанъ сблизить науку съ жизнью, что я, чтобы дать понятіе о его содержаніи, привелъ и по этому предмету вопросы, предложенные въ ту же экзаменную сессію, хотя это и не относится къ предмету моей статьи.

Этими условіями достигается прежде всего то, что услугами испытательныхъ комитетовъ могутъ пользоваться среднія школы самыхъ разнообразныхъ типовъ, а затѣмъ такого рода экзаменныя требованія не налагаютъ тяжелой нивеллирующей руки на интеллектъ учащагося, предоставляя ему выбрать для экзамена тѣ предметы, въ которыхъ онъ чувствуетъ себя наиболѣе сильнымъ съ тѣмъ, чтобы въ нихъ показать возможно большую основательность познаній. Такой характеръ экзаменныхъ требованій является естественнымъ слѣдствіемъ и завершеніемъ того широкаго примѣненія принципа индивидуализаціи преподаванія, который проводится въ школахъ Англіи.

Соотвѣтственно этому заданія для испытаній по математикѣ имѣются двухъ типовъ: просто по ариѳметикѣ, алгебрѣ и геометріи и затѣмъ по тѣмъ же предметамъ съ добавленіемъ слова „высшая“. Такъ какъ по русской терминологіи выраженія высшая алгебра, высшая геометрія представляютъ спеціальные термины, выражающіе названія особыхъ отдѣловъ математики, то я выраженія такія, какъ Higher Algebra, переводилъ „алгебра курса повышеннаго типа“.

Слѣдуетъ замѣтить, что алгебра и геометрія не составляютъ отдѣльныхъ предметовъ, онѣ входятъ какъ составныя части въ предметъ математики. Для старшихъ кандидатовъ математика курса повышеннаго типа (Higher Mathematics) составляетъ отдѣльный предметъ1) отъ просто математики, а для младшихъ кандидатовъ и въ предварительномъ экзаменѣ вопросы по „высшей“ алгебрѣ и геометріи входятъ въ одинъ предметъ, — математику, причемъ относительно составныхъ частей экзамена по математикѣ существуютъ особыя условія, такъ напр. для младшихъ кандидатовъ изъ 6 темъ по математикѣ, именно по а) геометріи, Ь) элементарной алгебрѣ, с) алгебрѣ курса повышеннаго типа, d) измѣрительной геометріи (Mensuration), е) плоской тригонометріи, f) элементамъ дифференцальнаго исчисленія, поставлены такія условія: 1) для успѣшности экзамена по математикѣ необходимо, чтобы были исполнены успѣшно по меньшей мѣрѣ тема а) и одна изъ двухъ Ь) или с); 2) для полученія отличія по математикѣ необходимо исполнить вполнѣ успѣшно по крайней мѣрѣ три темы; 3) тотъ, кто записывается на исполненіе болѣе четырехъ изъ перечисленныхъ 6 темъ по математикѣ, не можетъ брать изъ всѣхъ остальныхъ предметовъ испытанія болѣе 6 предметовъ.

Что касается ариѳметики, то въ правилахъ испытаній комитета Кембриджскаго университета этотъ предметъ является обязательнымъ для всѣхъ трехъ ступеней экзаменовъ и вмѣстѣ съ англійскимъ диктантомъ для первыхъ двухъ ступеней не входитъ въ счетъ избираемыхъ экзаменующимся предметовъ; въ правилахъ же комитета Оксфордскаго университета ариѳметика поставлена наравнѣ со всѣми остальными предметами.

1) Это относится только къ правиламъ Оксфордскаго комитета, котораго темы приведены ниже; въ правилахъ Кембриджскаго комитета дѣленія математики на элементарную и „высшую“ нѣтъ.

Замѣчу еще, что лица, уже обладающія свидѣтельствами младшихъ или старшихъ кандидатовъ, могутъ въ послѣдующія сессіи сдавать экзамены по любымъ другимъ предметамъ той же ступени сверхъ тѣхъ, по которымъ ими сданы экзамены при полученіи свидѣтельствъ.

Темы по ариѳметикѣ и алгебрѣ содержатъ предупрежденіе: „Всѣ необходимыя выкладки должны быть показаны; не будетъ никакого довѣрія къ отвѣтамъ безъ надлежащихъ вычисленій“. Темы по геометріи съ предупрежденіемъ: „Прямыя и дуги, проводимыя при построеніяхъ не стирать“. Чертежи выполняются твердымъ карандашемъ, а буквы на нихъ должны быть поставлены чернилами. Въ тѣхъ темахъ, гдѣ имѣются заданія съ построеніемъ графиковъ, сказано, что „каждому экзаменующемуся будетъ выданъ одинъ листокъ клѣтчатой бумаги“. Логариѳмическія вычисленія производятся по четырехзначнымъ таблицамъ.

Предварительный экзаменъ.

Элементарная ариѳметика.

22 іюля, отъ 9 ч. до 10 ч. 15 м. утра.

1. Если 201 ф. стерл. 9 шилл. Ьг/2 пенс. раздѣлить поровну между 43 лицами, по скольку получитъ каждое?

2. Вычислить (1Ѵ2 -f- 22/3) : (ЗѴ4 — 5/6).

3. Найти квадратъ 0,217.

4. Разложить 5005 и 8778 на первоначальные множители и затѣмъ найти всѣ числа, на которыя дѣлятся оба числа 5005. и 8778.

5. Найти стоимость 15 центнеровъ 3 квартер. 14 фунт. металла по цѣнѣ 2 ф. стерл. 2 шилл. 6 пенс. за центнеръ.

6. Если занявшій 437 фунт. стерл. 10 шилл. долженъ платить проценты за 4 мѣсяца 10 фунт. ст. 4 шилл. 2 пенса, то пи скольку процентовъ годовыхъ былъ сдѣланъ заемъ?

7. Сколько акровъ земли содержитъ ферма, которая занимаетъ площадь 2Ѵ4 квадр. дюйма на картѣ, на которой длина въ 6 дюйм. изображаетъ милю?

Ариѳметика курса повышеннаго типа.

24 іюля отъ 3 ч. 45 м. до 5 час. попол.

1. Если 1 ф. стерл. стоитъ 25 франковъ 12 сант., то сколько франковъ и сантимовъ я получу за 7 фунт. ст. 13 шилл. 9 пенс.?

2. Цистерна на 2/3 свой вмѣстимости наполнена водой; если изъ нея взять 24 галлона, то вода въ ней будетъ заполнять ‘2/7 ея вмѣстимости; сколько галлоновъ вмѣщаетъ эта цистерна, когда вся наполнена водой?

3. Найти квадратный корень изъ

a) 2^^ простой дробью;

b) 0,5 десятичной дробью точной до 4-го знака.

4. Если ламповое масло, купленное но 1 ф. ст. 6 шилл. 8 пенс. за 40 галлонную бочку, продается по 11/4 пенса за пинту, то сколько процентовъ составитъ прибыль?

5. Нѣкто помѣщаетъ 1000 ф. стерл. въ Индійской 31//20/0 рентѣ по курсу 967/8. Дивидендъ выплачивается по четвертямъ года, причемъ подоходный налогъ въ размѣрѣ 1 шилл. 2 пенсовъ на 1 ф. стерл. удерживается при каждой уплатѣ дивиденда. Вычислить до пенса, сколько онъ получаетъ съ своего капитала каждую четверть года.

6. Скорый поѣздъ, идущій со скоростью 52 мили въ часъ, догоняетъ товарный, идущій въ томъ же направленіи по параллельному пути со скоростью 16 миль въ часъ. Узнать длину каждаго изъ поѣздовъ, если товарный поѣздъ въ 1Ѵ2 раза длиннѣе, чѣмъ скорый, и притомъ извѣстно, что скорому поѣзду нужно 121/2 секундъ на то, чтобы пройти полностью мимо товарнаго.

Элементарная геометрія.

22 іюля, отъ 2 ч. до 3 ч. 15 м. попол.

(Въ отвѣтахъ на вопросы 1, 5, 6 должна быть отчетливо указана словами послѣдовательность построеній).

1. Доказать, что, если въ треугольникѣ двѣ стороны неравны, то уголъ противъ большей стороны больше угла противъ меньшей стороны.

2. Доказать, что, если продолжить какую нибудь сторону треугольника, то получившійся внѣшній уголъ равенъ суммѣ двухъ внутреннихъ угловъ несмежныхъ съ нимъ.

3. Высота треугольника 3,7 см., а углы при основаніи 48° и 71°; построить треугольникъ и измѣрить его наибольшую сторону.

4. Провести прямую AB длиною 4 см. На Aß какъ на сторонѣ построить три параллелограмма, имѣющихъ площадь 28 кв. см. каждый.

5. Дано, что одна сторона и два угла одного треугольника равны одной сторонѣ и двумъ угламъ другого треугольника. Какія заключенія изъ этого можно сдѣлать относительно треугольниковъ? Пояснить отвѣтъ чертежами.

6. Провести двѣ прямыя О А и 0В, заключающія уголъ въ 54°; найти положеніе точки, разстояніе которой отъ 0А равно 4,5 см., а отъ OB 3,7 см. Измѣрить разстояніе ея отъ О въ миллиметрахъ.

Геометрія курса повышеннаго типа.

22 іюля, отъ 5 ч. 80 м. до 6 ч. 30 м. попол.

1. Начертить произвольный четыреугольникъ и построить треугольникъ, имѣющій одинаковую съ нимъ площадь; объяснить построеніе.

2. Начертить кругъ радіуса 4 см.; взять точку Р на разстояніи 7 см. отъ центра; провести двѣ касательныя изъ Р съ объясненіемъ построенія; измѣрить уголъ между касательными.

3. Доказать, что, если х и у суть какія нибудь два числа, то треугольникъ, котораго стороны содержатъ х2 4- у2, 2 х у и X2 — у2 дюймовъ, будетъ прямоугольнымъ; привести текстъ теоремы, на которой основывается этотъ выводъ.

4. Доказать, что, если въ кругѣ проведены двѣ неравныя хорды, то большая изъ нихъ ближе къ центру.

5. На прямой AB длиною 6,5 см., какъ на діаметрѣ описать окружность; изъ А провести хорду АС длиною 6 см., указавъ способъ построенія. Измѣрить длину ВС.

6. Дать опредѣленіе шару и объяснить, почему плоскость пересѣкающая шаръ даетъ въ сѣченіи кругъ.

Элементарная алгебра.

23 іюля, отъ 10 ч. 15 м. до 11 ч. 30 м. утра.

1. Если у = Sx2 — 4.x — 9, то каково значеніе у при х=1и каково при х= — 2?

2. Умножить Зх3 — 8 х2у—10 х у2-\- 4 у6 7 на Зх — 2 у.

3. Рѣшить слѣдующія уравненія и провѣрить отвѣты

4. Найти въ множителяхъ общее наименьшее кратное Xs — 2 X2 — X 2 и X2 — 3 X -f- 2.

5. Вычесть —-— изъ Х ъ

6. Если а листовъ бумаги каждый х дюймовъ длины и у дюймовъ ширины вѣсятъ Ъ фунтовъ, то каковъ вѣсъ 1 кв. дюйма бумаги и сколько будутъ вѣсить h листовъ такой бумаги, каждый листъ которой имѣетъ длину р дюймовъ и ширину q дюймовъ?

7. Каковы цѣны фунта грушъ и фунта яблокъ, если 3 фунта грушъ стоятъ столько, сколько 7 фунт. яблокъ, а 7 ф. грушъ стоятъ на 1 шилл. 8 пенсовъ больше, чѣмъ 3 ф. яблокъ.

Алгебра курса повышеннаго типа.

28 іюля, отъ 12 ч, до 1 ч. попол.

1. Упростить

2. Каково значеніе

3. Извлечь квадратный корень изъ

4. Найти значенія х точныя до двухъ десятичныхъ знаковъ, которыя удовлетворяютъ уравненію х2-\-Зх-\-1 = 0.

5. Въ лодкѣ проплываютъ въ Зх/2 часа 5 миль внизъ по теченію и 5 миль противъ теченія. Если скорость теченія въ рѣкѣ 11/ о мили въ часъ, то какова скорость движенія этой лодки въ стоячей водѣ?

6. Какой изъ корней уравненія х1-\-х = Ъ дѣлаетъ хд равнымъ X + 6?

Младшіе кандидаты.

Ариѳметика.

24 іюля отъ 9 ч. до 10 ч. 15 м. утра.

1. Сумма въ 84 ф. ст. 2 шилл. 9 пенсовъ подлежитъ распредѣленію между нѣкоторымъ числомъ лицъ и каждый долженъ получить 2 ф. ст. 14 шилл. 6 пенс. Сколько лицъ могутъ получить эту сумму и сколько получится въ остаткѣ?

2. Раздѣлить 2Ѵб—1Ѵ6 на 32/3 — 24/5.

3. На сколько короче вѣрной мѣра ярда въ магазинѣ, въ которомъ покупатель, купившій 171/2 ярдовъ коленкору получилъ его на 4,375 дюйма меньше?

4. Нѣкто занялъ 5 ф. ст. и обязался платить проценты по 1 шилл. 3 пенса въ недѣлю Сколько процентовъ годовыхъ будетъ онъ платить по этому займу?

5. Узнать стоимость (до 1 франка) гравія, который потребуется, чтобы покрыть дорожку длиною 86,5 метра, шириною 2,2 метра слоемъ толщиною въ 7,5 см., если его купить по 4 франка за кубическій метръ?

6. Торговецъ терпитъ б1///^ убытку, продавая каменный уголь по 18 шилл. 9 пенс. за тонну; по какой цѣнѣ онъ долженъ продавать его, чтобы имѣть прибыли?

7. Какой годовой доходъ можно получать, помѣстивши 1386 ф. ст. въ 21/2°/0 консоли по курсу 77? Какую сумму слѣдуетъ помѣстить въ 3% ренту по курсу 86, чтобы имѣть такой же доходъ?

8. Если 8 мущинъ и 5 мальчиковъ могутъ сработать столько же, сколько 5 мущинъ и 18 мальчиковъ, то сколько мальчиковъ сработаетъ столько, сколько 9 мущинъ?

9. У дѣвочки, истратившей V* своихъ денегъ въ одной лавкѣ и 7/8 остатка въ другой, осталось 9 пенсовъ. Сколько истратила она въ той и другой лавкѣ?

(Окончаніе слѣдуетъ).

Задачи.

166. Рѣшить уравненіе.

х4 + Зх3 — 8 = 0.

Н. Щетининъ.

167. Рѣшить систему уравненій.

X4 -f- х2у2 -|- у4 = а X2 — ху-\- У' = Ъ.

Л. Закуминскій.

168. Разность между суммами кубовъ п первыхъ четныхъ и п первыхъ нечетныхъ чиселъ равна 2240. Найти п.

169. Пользуясь обычными обозначеніями для элементовъ треугольника, доказать, что

170. Найти геометрическое мѣсто вершинъ равностороннихъ треугольниковъ, имѣющихъ одну вершину въ данной точкѣ, а другую на данной окружности.

171. Опредѣлить геометрическое мѣсто вершинъ треугольниковъ, у которыхъ основаніе общее, а медіана, проведенная къ основанію, есть среднее геометрическое къ двумъ боковымъ сторонамъ.

Н. Козыревъ.

172. Построить треугольникъ А ВС, зная AB, ВС и отрѣзокъ ВТ), проекція котораго на А С равна отрѣзку DC (точка D лежитъ на АС).

И. Александровъ.

Рѣшенія задачъ.

124. Суммировать рядъ

Представимъ данный рядъ въ слѣдующемъ видѣ

Въ первой квадратной скобкѣ стоитъ ничто иное какъ

а во второй

Припоминая, что

мы можемъ написать

Внося эти выраженія въ формулу для 8 получимъ:

Раскрывая скобки и дѣлая всѣ упрощенія получимъ

it. Верещагинъ (Козловъ), В. Сѣверный (Тула), П. Щетининъ (Москва).

125. Черезъ данную точку М провести окружность, пересѣкающую двѣ данныя прямыя подъ данными углами а и ß.

Пусть АС и ВС двѣ данныя прямыя (С точки ихъ пересѣченія). Построимъ окружность произвольнаго радіуса В, пересѣкающую эти прямыя подъ углами, соотвѣтственно равными а и ß. Для этого при произвольной точкѣ Н прямой АС строимъ уголъ 90°—а, на сторонѣ его откладываемъ отрѣзокъ R и черезъ конецъ отрѣзка проводимъ линію параллельную АС. Аналогичное построеніе производимъ на прямой ВС (строимъ уголъ 90°—ß). Описавъ изъ точки пересѣченія О' двухъ полученныхъ линій окружность радіуса 11 мы тѣмъ самымъ построимъ окружность пересѣкающую данныя прямыя подъ углами соотвѣтственно равными а и ß. Принимая точку С за центръ подобія строимъ лучъ СМ, который пересѣкаясь съ полученною окружностью дастъ двѣ точки Мг и Ж2, опредѣляющія направленія 0'М1 и О'М2. Проведя черезъ данную точку М линіи МОг и М09, соотвѣтственно параллельныя радіусамъ МхО' и М20' получимъ въ точкахъ пересѣченія ихъ съ осью подобія СО' два искомыхъ центра. Принимая точку С за внутренній центръ подобія получимъ такимъ же путемъ два другихъ центра.

Правильность приведеннаго построенія слѣдуетъ изъ разсмотрѣнія подобныхъ треугольниковъ.

Въ случаѣ, когда обѣ данныя линіи параллельны, построеніе упрощается, такъ какъ всѣ круги пересѣкающіе двѣ параллельныя линіи подъ углами а и ß имѣютъ одинъ и тотъ же радіусъ.

it. Верещагинъ (Козловъ), В. Зайцъ (Полангенъ), В. Кованько (ст. Струнино), А. Сергѣевъ (Москва), А. Сердобинскій (Чита).

126. Въ Московскомъ Кремлѣ, какъ извѣстно, имѣется Царь-пушка; около нея лежатъ 4 сферическихъ ядра: три изъ нихъ

лежатъ на плоскости земли, касаясь другъ друга, а четвертое лежитъ на этихъ ядрахъ, касаясь всѣхъ ихъ. Если мы проведемъ плоскости, касательныя къ каждымъ тремъ ядрамъ, то получимъ четырехгранникъ, описанный около четырехъ шаровъ. Зная радіусъ ядра построить этотъ четырехгранникъ и опредѣлить его объемъ.

Центры шаровъ являются вершинами правильнаго тетраэдра, ребро котораго имѣетъ величину 2R, гдѣ R радіусъ даннаго шара. Связь между длиною ребра а и высотою h правильнаго тетраэдра, какъ извѣстно выражается формулою h —а ^ или a = h J/5-, а поэтому для вычисленія объема имѣемъ формулу V = " = —!г~ Четырехгранникъ о которомъ идетъ рѣчь въ задачѣ, будетъ правильнымъ тетраэдромъ, такъ какъ его грани параллельны соотвѣтственнымъ гранямъ тетраэдра, вершины котораго находятся въ центрахъ шаровъ. Чтобы по радіусу R построить искомый тетраэдръ поступаемъ, слѣдующимъ образомъ. Строимъ равносторонній треугольникъ со стороною 2R и изъ центра его возставляемъ къ плоскости треугольника перпендикуляръ. На перпендикулярѣ беремъ точку, отстоящую отъ вершинъ треугольника на 2R (или отъ плоскости треугольника на 2R Проведя черезъ полученную точку и стороны треугольника три плоскости получаемъ правильный тетраэдръ, подобный искомому. Чтобы получить искомый тетраэдръ надо провести четыре плоскости параллельныя гранямъ полученнаго тетраэдра и отстоящія отъ нихъ на разстояніи равномъ R. Къ этому же тетраэдру придемъ сразу, если построимъ плоскость параллельную одной какой либо грани маленькаго тетраэдра, отстоящую отъ нея на разстояніи равномъ 4R и затѣмъ продолжимъ три другихъ грани его до пересѣченія съ проведенною плоскостью.

Чтобы вычислить объемъ полученнаго тетраэдра воспользуемся формулою V — 1 -- -- - . Въ данномъ случаѣ hx = h -f- 4R, a такъ какъ h и a связаны между собою соотношеніемъ h = а^ > то принимая во вниманіе, что а = 2R получимъ

Слѣдовательно,

К. Верещагинъ (Козловъ), Я. Киричинскій (м. Молчадь), Н. Щетининъ (Москва), А. Сергѣевъ. (Москва), И. Кованько (ст. Струнино), А. Сердобинскій (Петроградъ).

127. На сторонахъ AB и ВС треугольника АВС взяты соотвѣтственно точки К и L такъ, что АК = CL. Найти геометрическое мѣсто точекъ пересѣченія прямыхъ AL и СК. — Возможны два случая: 1° точки К и L лежатъ по одну сторону отъ линіи АС и 2° К и L лежатъ по разныя стороны отъ линіи АС. Ограничимся разсмотрѣніемъ перваго случая, такъ какъ второй аналогиченъ первому. Пусть О точка пересѣченія прямыхъ AL и АК. Черезъ точки С и А проведемъ линіи CD || AB и DA || ВС. Соединимъ точки D и О и обозначимъ буквами Е и F точки пересѣченія полученной линіи со сторонами AB и ВС данннаго треугольника.

Изъ треугольника BEF пересѣченнаго прямыми AL и СК имѣемъ по теоремѣ Менелая (отвлекаясь отъ знака)

ЕО. FL. В А = FO. BL. ЕА EK. F О. ВС = F С. ВК. ЕО

Изъ подобія треугольниковъ FDC и DE А имѣемъ

Ш)= Т§ или АЕ■ CF = AD GD = Ба АВ (2)

Перемноживъ равенства (1) раздѣлимъ обѣ части на ЕО. FО и на ЕА. FC, равное по (2) произведенію В А. ВС.

Получимъ FL. ЕК = BL. ВК (3)

Равенство (2) можетъ быть представлено въ слѣдующемъ видѣ

(АК+ КЕ) (CL -f LF) = (BL + LC) (AK+ KB)

откуда, принимая во вниманіе, что АК = CL, можно получить

АК (КЕ — КВ — BL + LF) = BL. KB — LF. КЕ

или на основаніи (3)

АК (КЕ—КВ — BL + LF) = О

Откуда имѣемъ КЕ—KB = BL — LF т. е. BE = BF

Это показываетъ, что <$cBFE = <$zBEF=*$z — = *$z-— т. е.

Такимъ образомъ, искомое геометрическое мѣсто предоставляетъ собою биссектрису угла D.

Точно такъ же можно доказать, что въ случаѣ 2° искомымъ геометрическимъ мѣстомъ будетъ служить биссектриса угла л—D.

2-е рѣшеніе.

Примемъ AB за ось Х-овъ, ВС за ось У-овь. Положимъ, что AK—CL = m\ ур—іе прямой СК будетъ имѣть видъ -—= 1, а ур-іе прямой AL-------1---— = 1 (а и с стороны треугольника ВС и В Л) Умножимъ первое уравненіе на а(с — т), а второе на с(а — т) и вычтемъ одно изъ полученныхъ ур-ій изъ другого, послѣ сокращенія на ш получимъ х — у = с— а.

Полученный результатъ показываетъ, что искомое геометрическое мѣсто есть прямая параллельная биссектриссѣ угла В.

К. Верещагинъ (Козловъ), И. Кованько (ст. Струнино), А. Сергѣевъ Н. Щетининъ, А. Кульманъ (Москва), А. Сердобинскій (Петроградъ). Н. Козыревъ (Енисейскъ).

№ 128. Доказать, что окружность, описанная около треугольника не можетъ проходить чрезъ центръ внѣвписаннаго круга. Пусть около треугольника АВС описана окружность и допустимъ, на ней лежитъ точка Оа центръ внѣвписаннаго въ треугольникъ круга. Такъ какъ эта точка лежитъ на пересѣченіи биссектрисъ угловъ А, л — В, л — С, то длины перпендикуляровъ ОаЛ1: ОаВ1, ОаСх, должны быть равны, но это невозможно, такъ какъ точки А1В1С1 лежатъ на прямой — прямой Симпсона, построенной для точки О А-

2-е рѣшеніе.

Величины dA (разстояніе между центрами О а и О), R и qa связаны между собою слѣдующимъ соотношеніемъ (формула Euler’a)

d/r = B (R-\-2qa) = R2 + 2Rqa t. e. dA2^> B~, такъ какъ отсюда имѣемъ что доказываетъ теорему.

К. Верещагинъ (Козловъ), А. Дюбюкъ (Владимиръ), В. Добровольскій (Москва), И. Кованько (ст. Струнино), В. Маловичко (Херсонъ), А. Сергѣевъ (Москва), Ольга P., Н. Щетининъ (Москва).

129. Даны двѣ окружности; провести въ извѣстномъ направленіи сѣкущую, опредѣляющую въ окружностяхъ двѣ хорды, которыя находились бы въ данномъ отношеніи.

Пусть О и 01 данныя окружности SS' данное направленіе, ABGD искомая сѣкущая, такъ что^— = — Построивъ ОѲ J_ SS' и 01H_[_SS' будемъ имѣть:

АЕ2 = В2 — х2 (OE=R, ОЕ = х)

CF2 = R12—01F2 {01C = R1)

Дѣля первое равенство на второе имѣемъ

Далѣе, 01F2 = y2— а2 (О^—у, EF=a). Подставляя эту величину въ только что полученную пропорцію, получимъ

Отсюда выводимъ: т2у2 — п2х2 = т1 _йх2 = т2а2 — п2 R2 = к2, гдѣ к извѣстная величина. Наша задача приведена къ слѣдующей: даны двѣ точки О и Ох и прямая OG, найти на прямой OG такую точку Е, чтобы т2. ОхЕ2 — п2. ОЕ2 = к2. Это геометрическое мѣсто, какъ извѣстно, (см. Пржевальскій, „Собраніе геометрическихъ задачъ и теоремъ44 III, № 420) есть окружность. Построивъ эту окружность получимъ точку Е и построивъ черезъ точку Е прямую параллельную SS' будемъ имѣть искомую сѣкущую.

И. Кованько (ст. Струнино).

130. Построить треугольникъ по суммѣ двухъ сторонъ 6-4-c*=s, углу А и биссектрисѣ ßA угла А.

Пусть АВС искомый треугольникъ. Отложимъ отъ вершины даннаго угла А на сторонахъ его отрѣзки равные — & и изъ кон-

цовъ ихъ возставимъ перпендикуляры, которые, какъ извѣстно пересѣкутся на биссектриссѣ угла А; пусть точка ихъ пересѣченія будетъ Т.

Соединивъ Г съ В и С получимъ два равныхъ прямоугольныхъ треугольника ТВЕ и TCF (ТЕ= TF, BE=CF =—).

Изъ равенства этихъ треугольниковъ выводимъ, что^БГІ?= = <$zCTF, прибавляя къ обѣимъ частямъ равенства по углу ЕТС получаемъ <$zBTC= 180° — А.

Поэтому имѣемъ <£: DBT = 90° — ^

Отсюда выводимъ такое построеніе. На сторонахъ даннаго угла откладываемъ отрѣзки ^-s. Строимъ точку Т и откладываемъ на AT биссектрису ßA = AD. На отрѣзкѣ DT строимъ дугу, вмѣщающую уголъ —. Пересѣченіе дуги съ AB опредѣлитъ вершину В, а пересѣченіе ВІ) съ АС вершину С. Задача имѣетъ, вообще говоря два рѣшенія, оба треугольника расположены симметрично относительно биссектрисы ßA.

И. Бирюковъ (Омскъ), К. Верещагинъ (Козловъ), В. Зайцъ (Полангенъ), В. Павловъ (с. Ворсма), А. Сердобинскій (Чита), П. Козыревъ (Енисейскъ).

131. Построить треугольникъ АВС по основанію АС, если извѣстно положеніе на немъ двухъ точекъ, черезъ которыя проходятъ высота и биссектриса угла В.

Пусть АС данное основаніе и на немъ Е основное биссектрисы и D основаніе высоты. Какъ извѣстно, стороны треугольника находятся въ такомъ же отношеніи, какъ и отрѣзки основанія отсѣкаемыя на немъ биссектрисой т. е. АЕ:ЕС=АВ:ВС. Итакъ, вершина В должна лежать на кругѣ Апполонія. (Геометрическое мѣсто точекъ, разстоянія которыхъ отъ двухъ данныхъ точекъ А и С находятся въ постоянномъ отношеніи). Построивъ этотъ кругъ (см. Киселевъ, Геометрія § 228) мы примемъ за вершину В точку пересѣченія его съ перпендикуляромъ, возставленнымъ изъ точки D къ линіи Е.

Задача возможна лишь, когда D лежитъ на меньшемъ изъ двухъ отрѣзковъ АЕ л ЕС. Въ случаѣ когда Е лежитъ въ серединѣ АС, а точка D не совпадаетъ съ Е задача невозможна; если совпадаетъ — неопредѣленна.

Н. В-дъ (Москва), К. Верещагинъ (Козловъ), Е. Карповичъ (Сѣдлецъ), II. Кованько (ст. Струнино), В. Павловъ (с. Ворсма).

132. Найти сумму п членовъ слѣдующаго ряда:

12 + I2 + 22 + З2 52 . г/и2, если ип = ип-г -f ип_2

Такъ какъ ип = ин_г -j- ип__2, то можемъ написать слѣдующую группу равенствъ:

Умножимъ эти равенства соотвѣтственно на и2, щ, и±. . . %ип и полученные результаты сложимъ. Будемъ имѣть:

ип-fl Мп = и22 4 U32 4“ и±2 4“ * * ин2 + U1 W2

Но такъ какъ и± = м2 = 1 = up2, то вмѣсто послѣдняго слагаемаго можемъ поставить и±2 и такимъ образомъ будемъ имѣть

Ul2 “h и22 4” и32 4~ 4" * * * 4“ = и» Мп+1

Е Карповичъ (Сѣдлецъ), И. Кованько (ст. Струнино), В. Павловъ (с.Ворсма). Н. Щетининъ. (Москва), Н. Козыревъ (Енисейскъ).

Среди математическихъ журналовъ.

Н. Агрономовъ. Ревель.

Въ мартовской книжкѣ „Mathesis“ заслуживаетъ быть отмѣченнымъ слѣдующее: въ статьѣ „Théorème d'arithm etique“ R. P. Willaert доказываетъ слѣдующую теорему: для того чтобы f(n) = (іАап 4- Ьп 4~ с при цѣлыхъ А, а, а, Ъ, с и п. дѣлилась на D, каково бы ни было п, необходимо и достаточно, чтобы f(0), f( 1), f(2), дѣлились на І)". Въ статьѣ „Théorèmes de géométrie“ I. N. Yisschers доказываетъ рядъ теоремъ, изъ которыхъ мы отмѣтимъ слѣдующія: 1) на сторонахъ треугольника АВС построены треугольники А'ВС', AB'С, АВС' такіе, что стороны AB' и АС, ВС' и

BA', CA' и СВ' соотвѣтственно симметричны но отношенію биссектрисъ АІ,ВІ,СІ угловъ тр-ка АВС, прямыя AÄ, ВВ', С С' пересѣкаются въ одной точкѣ; 2) прямыя, соединяющія вершины треугольника АВС съ какой нибудь точкой Р описанной окружности, встрѣчаютъ противоположныя стороны а,Ъ,с соотвѣтственно въ точкахъ А',В',С'\ три прямыя, соединяющія проэкціи Ä на Ъ и с, В' на с и а, Су на а и Ъ параллельны прямой Симсона точки Р; 3) Треугольникъ АВС будетъ остроугольнымъ, прямоугольнымъ или тупоугольнымъ въ зависимости отъ того, будетъ ли а2_|_ 5*2 _j_ er — 8В2 положительно, равно нулю или отрицательно.

Небольшая замѣтка „Sur le triangle dans lequel За = b-f-c“, посвящена свойствамъ треугольника, обладающими слѣдующими соотношеніями между сторонами: За = Ь+-с. Приведемъ эти свойства: 1) S = ага; 2) га = 2г; 3) = + 4) Вг = -Ъс:

5) cos ^(Б — С) = 3 sinі А;6) tg^Btg 7) линія соединяющая центръ тяжести, перпендикулярна ВС (Е. Barisien) и т. д.

Въ отдѣлѣ задачъ мы находимъ слѣдующую интересную теорему Е. Barisien’a: въ кругѣ съ центромъ О проведены двѣ прямоугольныя хорды А PB и CPD\ существуетъ 8 круговъ, касающихся сразу круга и хордъ; сумма радіусовъ внѣшнихъ круговъ, уменьшенная суммой радіусовъ внутреннихъ круговъ равна увеличенному въ 8 разъ радіусу нашего круга.

Въ отдѣлѣ „Questions d’examen“ интересна слѣдующая теорема I. Neuberga: пусть АВС и А В'С параллельныя сѣченія треграннаго угла съ вершиной S\ если V, Ѵ\ У", V"', обозначаютъ объемы

Апрѣльская книжка Mathesis’a включаетъ въ свое содержаніе статью I. Neuberg „Generalization of „the orthopole“ and allied theoreme“. Она посвящена комментарію на статью Third, помѣщенную въ „Proceedings of the Edinburg Mathematical Soicety“. Въ виду того, что въ этой статьѣ вводятся новые термины геометріи треугольника, я считаю не лишнимъ дать ихъ опредѣленіе: 1) пусть L,M,N три точки, лежащія на сторонахъ треугольника В<, С А, AB: окружности AMN, BNL, CLM встрѣчаются въ одной токѣ Р, называемой изоклиналью точекъ Ь,Ж,/Ѵ, и обладающей тѣмъ свойствомъ, что прямыя LP, MP, NP равнонаклонены къ соотвѣтственнымъ сторонамъ тр-ка АВС: 2) если провести черезъ вершины тр-ка ЛВС три паралелли, встрѣчающія прямую ХУ въ точкахъ А',В',С' подъ угломъ Ѳ, то прямыя, проведенныя черезъ А',В',С, и образующія съ ВС, С А, AB уголъ т: — Ѳ пересѣкаются въ точкѣ Р: точка Р есть изополюсъ ХУ, а ХУ есть изополяра Р.

Въ отдѣлѣ задачъ мы встрѣчаемъ задачу, посвященную треугольнику съ угломъ С = 60° и снабженную многочисленными примѣчаніями. Оказывается, что въ такомъ треугольникѣ 1 ) центръ I вписаннаго круга равноудаленъ отъ центра О описаннаго круга

и ортоцентра Н; 2) точки А,0,І,Н,В лежатъ на одной окружности (Böttscher); 3) эта окружность отсѣкаетъ на сторонахъ С А, СВ отрѣзки равныя разности этихъ сторонъ; 4) прямая Эйлера перпендикулярна биссектрисѣ угла С; 5) точка Фейербаха, находясь на равномъ разстояніи отъ вершины С и отъ центра вписаннаго круга, лежитъ на биссектрисѣ С; 6) разстояніе ортоцентра отъ центра описанного круга равно ВС—СА\ (R. Goormaghtigh).

Въ январской книжкѣ журнала „Unterrichtsblätter für Mathematik und Naturwissenschaften“ мы находимъ замѣтку R. Winderlich „Gemeinsame Taugenten zweir Kreise“. Въ ней дается доказательство слѣдующей теоремы: средина линіи центровъ двухъ непересѣкающихся круговъ отстоитъ на равномъ разстояніи отъ точекъ касанія внутреннихъ (внѣшнихъ) касательныхъ къ этимъ кругамъ. Изъ этой теоремы авторъ выводитъ способъ построенія общей касательной къ двумъ кругамъ.

Тамъ же мы находимъ небольшую замѣтку prof. Hesse озаглавленную такъ: „Einige diophantische Gleichungen höheren Grades“. Изъ тождества

авторъ выводитъ рѣшеніе неопредѣленнаго уравненія

х2 + У2 — 3м

въ цѣлыхъ числахъ.

Въ небольшомъ итальянскомъ трехмѣсячникѣ „II Pitagora“ въ февральской книжкѣ заслуживаетъ вниманія статья С. Alazia Dimostrazione elementare di alcuni theoremi sul triangolo“. Въ ней между прочимъ содержится доказательство теоремы: если соединимъ ортоцентръ треугольника съ точкой описанной окружности, то средина этого отрѣзка лежитъ на окружности Эйлера. Авторъ примѣняетъ эту теорему къ выводу ряда другихъ соотношеній въ треугольникѣ. Въ небольшой замѣткѣ Propriété notevole delle mediane“ prof. D. Fellini даетъ доказательство слѣдующей теоремы: въ треугольникѣ АВС существуетъ соотношенія

гдѣ М есть средина ВС.

Въ отдѣлѣ задачъ мы встрѣчаемъ слѣдующія теоремы: 1) точки пересѣченія противоположныхъ сторонъ выпуклаго четыреугольника равно отстоятъ отъ прямой соединяющей средины діагоналей; 2) если

Въ вышедшихъ за послѣднѣе время №№ 11 — 15 журнала „Journal de mathématiques élémentaires“ мы находимъ цѣлый рядъ интересныхъ статей и задачъ.

Въ № 12 помѣщена статья Malgouzou „Note de géométrie“. Въ ней доказываются слѣдующія теоремы:

1) Прямая соединяющая точку пересѣченія соотвѣтственныхъ сторонъ ортоцентрическаго треугольника и тр-ка основаній медіанъ съ основаніемъ соотвѣтственной высоты проходитъ черезъ ортополюсъ1) прямой Эйлера2).

2) Коническое сѣченіе касающееся сторонъ тр-ка АВС въ основаніяхъ высотъ проходитъ черезъ ортополюсъ прямой Эйлера.

3) Равносторонняя гипербола описанная около треугольника АВС и имѣющая центромъ точку Фейербаха проходитъ черезъ точки Жергона3) даннаго треугольника и треугольника основаній медіанъ и черезъ точку Нагеля4).

4) Прямая, соединяющая центръ тяжести треугольника со срединой разстоянія между точками Жергона и Нагеля, проходитъ черезъ ортополюсъ прямой Эйлера.

Въ редакціонномъ примѣчаніи къ этой статьѣ даются слѣдующія теоремы: 1) коническое сѣченіе, проходящее черезъ середины сторонъ треугольника, и черезъ точки касанія вписаннаго круга со сторонами треугольника, проходитъ черезъ точку Фейербаха; 2) коническое сѣченіе, проходящее черезъ средины сторонъ треугольника и черезъ основанія внутреннихъ биссектрисъ проходитъ черезъ точку Фейербаха; 3) коническое сѣченіе, которое проходитъ черезъ средины сторонъ треугольника и черезъ точки касанія внѣ вписанныхъ окружностей со сторонами треугольника, проходитъ также черезъ точку Фейербаха.

Въ № 14 мы находимъ статью В. Goormaghtigh „Sur orthopole d’un diamètre du cercle circonscrit a un triangle“, посвященная свойствамъ ортополюса діаметра описаннаго круга и обобщающая въ нѣкоторомъ родѣ теоремы предыдущей статьи.

Изъ задачъ мы отмѣтимъ задачу № 7914. L. Bickart: если (Р) и (Р') два гомотетичныхъ мнотоугольника и л есть третій многоугольникъ, описанный около перваго и вписанный во второй многоугольникъ, то площадь его есть среднее пропорціональное между площадями двухъ первыхъ многоугольниковъ.

Интересна задача № 7921 (Abramescu). Если стороны треугольника АВС раздѣлены въ точкахъ АѴВ1,С1 такъ, что

1) Если изъ вершинъ А,В,С треугольника АВС опустить перпендикуляры АА% ВВ', СС на какую нибудь прямую х у, то перпендикуляры изъ точекъ А',В',С', на стороны ВС, С А, AB встрѣчаются въ одной точкѣ, называемой ортополюсомъ прямой ху.

2) Прямой Эйлера называется прямая, соединяющая центръ тяжести съ центромъ описаннаго круга.

3) Точкой Жергона называется точка пересѣченія прямыхъ, соединяющихъ вершины треугольникъ съ точками касанія противоположныхъ сторонъ съ вписаннымъ кругомъ.

4) Точкой Нагеля называется точка пересѣченія прямыхъ, соединяющихъ вершины треугольника съ точками касанія противоположныхъ сторонъ съ внѣвписанными кругами.

то отношеніе площади тр-ка А1В1 Сх къ площади треугольника АВС равно — , - —г-.

Въ примѣчаніи къ этой задачѣ Françonnet даетъ слѣдующую формулу для площади 8, треугольника, образованнаго пересѣченіемъ прямыхъ, АА1,ВВ1,СС1:

(8 площадь тр-ка АВС).

Въ рѣшеніи задачи Л? 7932 интересно слѣдующее обобщеніе: Вг и Сг суть точки гдѣ діаметръ 6 описанного круга треугольника АВС встрѣчаетъ АС и AB. Прямая QR соединяющая основанія перпендикуляровъ, опущенныхъ изъ Вх на AB и изъ Сг на АС проходитъ черезъ ортополюсъ 6.

Въ рѣшеніи задачи № 7942 встрѣчается слѣдующая теорема: въ треугольникѣ АВС, прямая AN, соединяющая вершины А съ точкой Нагеля встрѣчаетъ противоположную сторону въ точкѣ D' и вписанный кругъ въ точкѣ Dx, діаметрально противоположной точкѣ В касанія вписаннаго круга и стороны ВС и точки Dx и D' таковы, что АВХ = ND’

Въ рѣшеніи задачи № 7931 дается такое обобщеніе: если два гомологическихъ треугольника АВС и А'В'С' вписаны въ коническое сѣченіе 2, то всякая прямай А, проходящая черезъ центръ гомологіи /, встрѣчаетъ стороны ВС, С А, AB въ точкахъ (I. Ь, с, такихъ, что прямыя аА',ЬВ',сС' пересѣкаются въ одной точкѣ на 2. Кромѣ того въ примѣчаніяхъ къ этой теоремѣ дается еще рядъ весьма интересныхъ теоремъ о коническихъ сѣченіяхъ и треугольникахъ.

Въ январской книжкѣ журнала „Periodico di matematica“ мы находимъ статью X. Traverso „Su alcune notevoli formole di analisi coinbinatoria“ Здѣсь выводятся слѣдующія формулы:

Библіографическій отдѣлъ.

А. I. Бачинскій. Ученіе о силахъ и о движеніи (механическій отдѣлъ физики) съ предисл. Н. Е. Жуковскаго, М. 1914. Ц. 1 р.

Вопросъ объ отношеніи элементовъ прикладной математики къ общеобразовательному курсу средней школы въ настоящее время тѣсно связывается съ реформой основныхъ принциповъ преподаванія элементарной математики. Въ виду этого намъ кажется умѣстнымъ отмѣтить на страницахъ „Математическаго Образованія“ появленіе названнаго учебника, заключающаго въ себѣ хорошее изложеніе элементовъ теоретической механики въ объемѣ, соотвѣтствующемъ механическому отдѣлу физики средней школы.

Логически стройное и удобопонятное изложеніе этого учебника имѣетъ еще ту особенность, что вопреки традиціи, установившейся въ преподаваніи элементовъ теоретической механики, въ немъ значительная роль отведена обобщенію. Такъ, стремясь къ установленію общихъ точекъ зрѣнія, авторъ дѣлаетъ удачную попытку изложить динамическій принципъ Даламбера и примѣняетъ его непосредственно къ рѣшенію нѣкоторыхъ задачъ. Авторъ вообще нерѣдко прибѣгаетъ къ поясненію механическихъ понятій и истинъ какъ при помощи задачъ, сопровождаемыхъ рѣшеніями, такъ и посредствомъ ссылокъ на знакомыя конкретныя явленія (съ этою цѣлью, напр., на стр. 126 приведенъ превосходный отрывокъ изъ знаменитыхъ „Діалоговъ“ Галилея). Въ этомъ отношеніи можно было бы пожелать даже еще большаго поясненія основныхъ механическихъ понятій и истинъ со стороны ихъ богатаго конкретнаго содержанія. Правда, вопросъ, поставленный во всей своей полнотѣ, является новымъ для нашей средней школы, но тѣмъ не менѣе едва-ли можно не признать, что въ широкомъ научномъ освѣщеніи изученіе элементовъ прикладной математики могло бы оказаться весьма плодотворнымъ въ общеобразовательномъ курсѣ средней школы и вмѣстѣ съ тѣмъ послужить естественнымъ звеномъ, широко сближающимъ основной курсъ математики съ физикой.

Преимущества, связанныя съ примѣненіемъ элементовъ аналитической геометріи, дифференціальнаго и интегральнаго исчисленій, выступаютъ въ учебникѣ чрезвычайно наглядно. При этомъ слѣдуетъ упомянуть, что изложеніе нѣкоторыхъ вопросовъ ведется двоякимъ способомъ: сначала безъ упомянутыхъ методовъ, а затѣмъ—съ примѣненіемъ ихъ.

Благодаря многочисленнымъ дополненіямъ и замѣчаніямъ (мелкій шрифтъ) учебникъ можетъ служить введеніемъ въ университетскій курсъ физики (напр., въ немъ подробно изложена глава о колебательныхъ движеніяхъ, объ интерференціи колебаній и пр.).

В. Писаревъ.

Составъ Московскаго Математическаго Кружка въ 1914 году.

Предсѣдатель: Млодзѣевскій, Волеславъ Корнеліевичъ.

Товарищъ предсѣдателя: Власовъ, Алексѣй Константиновичъ, Волковъ, Александръ Александровичъ.

Лебель, Лидія Игнатьевна.

Редакторъ журнала Чистяковъ, Іоасафъ Ивановичъ.

Казначей редакціи: Гусевъ, Ѳедоръ Васильевичъ.

Завѣдующая библіотекой: Цвѣткова, Анастасія Николаевна.

Александровъ Иванъ Ивановичъ.

Алмоевъ Амаякъ Карапетовичъ.

Алферова Александра Самсоновна.

Андреевъ Константинъ Алексѣевичъ.

Андреевъ Алексѣй Константиновичъ.

Асафовъ Борисъ Михаиловичъ.

Барановъ Петръ Алексѣевичъ.

Безруковъ Алексѣй Герасимовичъ.

Бергъ Мартинъ Федоровичъ.

Бобынинъ Викторъ Викторовичъ.

Богдановъ Романъ Николаевичъ.

Бондаревъ Сергѣй Ивановичъ.

Бородкина Зинаида Викторовна.

Бреневъ Евгеній Константиновичъ.

Бугославская Наталья Григорьевна.

Бутягинъ Алексѣй Сергѣевичъ.

Бухаринъ Иванъ Гавриловичъ.

Бюшгенсъ Сергѣй Сергѣевичъ.

Бѣлоруссова Наталья Васильевна.

Васильевъ Александръ Васильевичъ.

Виноградовъ Корнелій Никитичъ.

Виноградовъ Сергѣй Петровичъ.

Воиновъ Александръ Даниловичъ.

Волковскій Дмитрій Лукичъ.

Воронецъ Александръ Митрофановичъ.

Воскресенскій Михаилъ Петровичъ.

Вяземская Любовь Орестовна.

Галанинъ Дмитрій Дмитріевичъ.

Гаряевъ Николай Петровичъ.

Гебель Валерьянъ Яковлевичъ.

Гильвегъ Владимиръ Карловичъ.

Глаголева Александра Александровна.

Глаголевъ Николай Дмитріевичъ.

Глаголевъ Сергѣй Александровичъ.

Голубевъ Владимиръ Васильевичъ.

Горстъ Анатолій Михайловичъ.

Гойлевичъ Іосифъ Георгіевичъ.

Грасмикъ Людвигъ Людвиговичъ.

Губкина Анна Сергѣевна Гурвицъ Юлій Осиповичъ.

Давыдовъ Владимиръ Савичъ.

Дасмановъ Сергѣи Петровичъ.

Дмитровскій Арсеній Арсеньевичъ.

Добродѣева Ольга Васильевна.

Добровольскій Владимиръ Владимиров.

Домбровскій Владимиръ Родіоновичъ.

Донде Абрамъ Моисеевичъ.

Егоровъ Дмитрій Ѳедоровичъ.

Егоровъ Ѳедоръ Ивановичъ.

Ермолова Ольга Всеволодовна.

Еше Татьяна Федоровна.

Ефремовичъ Василій Порфирьевичъ.

Жегалкинъ Иванъ Ивановичъ.

Жилинскій Александръ Ивановичъ.

Жукова Наталья Алексѣевна.

Запольская Любовь Николаевна.

Зегеръ Сергѣй Матвѣевичъ.

Зерчениновъ Николай Тимофеевичъ.

Ивановъ Петръ Михайловичъ.

Ивановъ Николай Федоровичъ.

Игнатовъ Алексѣй Андреевичъ.

Извольскій Николай Александровичъ.

Каганъ Веніаминъ Ѳедоровичъ.

Казанская Лариса Александровна.

Казачкинъ Павелъ Степановичъ.

Карасевъ Павелъ Алексѣевичъ.

Каспарьянцъ Василій Вартановичъ.

Кашинъ Николай Владиміровичъ.

Когбетліевъ Эрвандъ Георгіевичъ.

Константиновъ Георгій Ивановичъ.

Коробкинъ Ѳедоръ Семеновичъ.

Королевъ Георгій Герасимовичъ.

Котовичъ Владимиръ Ильичъ.

Косминковъ Алексѣй Павловичъ.

Краснопѣвцевъ Иванъ Васильевичъ.

Кудрявцевъ Всеволодъ Александровичъ.

Кузнецовъ Владиміръ Николаевичъ.

Кулишеръ Александръ Рувимовичъ.

Куренинъ Ѳедоръ Константиновичъ.

Крыжановскій Димитрій Антоновичъ.

Лаврова Наталья Алексѣевна.

Лавровъ Вячеславъ Михаиловичъ.

Лаврентьевъ Сергѣй Сергѣевичъ.

Лапшинъ Сергѣй Ивановичъ.

Лариковъ Романъ Васильевичъ.

Лебединцевъ Константинъ Феофановичъ.

Левитусъ Давидъ Моисеевичъ.

Лейнѣкъ Эдгаръ Юрьевичъ.

Либерманъ Александръ Августовичъ.

Липингъ Иванъ Ивановичъ.

Лобовиковъ Георгій Ивановичъ.

Лубны-Герцыкъ Елизавета Александровна.

Лузинъ Николай Николаевичъ.

Лѣтнинъ Александръ Львовичъ.

Ляминъ Александръ Александровичъ.

Мазингъ Евгеній Карловичъ.

Мазингъ Карлъ Карловичъ.

Мазингъ Александръ Александровичъ.

Макшеевъ Захаръ Андреевичъ.

Мансбахъ Фелиція Францевна.

Марчевская Елена Николаевна.

Масленникова Варвара Васильевна.

Масленниковъ Николай Петровичъ.

Мейеръ Навелъ Константиновичъ.

Млодзѣевскій Анатолій Болеславовичъ.

Морозова Ольга Константиновна.

Морошкинъ Александръ Ивановичъ.

Михайлова Софья Петровна.

Модестовъ Алексѣй Яковлевичъ.

Наумовъ Сергѣй Ильичъ.

Невядомскій Романъ Викентьевичъ.

Недачина Анна Павловна.

Некрасовъ Александръ Ивановичъ.

Немыцкій Владимиръ Васильевичъ.

Ненсбергъ Владимиръ Оттоновичъ.

Никитинъ Владимиръ Васильевичъ.

Никольскій Василій Николаевичъ.

Ольсенъ Ольга Оскаровна.

Орлицкій Николай Людвиговичъ.

Острейко Семенъ Павловичъ.

Павлова Анастасія Ивановна.

Печковскій Валеріанъ Константиновичъ.

Писаревъ Владимиръ Петровичъ.

Піотровскій Борисъ Брониславовичъ.

Плескачевскій Николай Павловичъ.

Плеханова Надежда Григорьевна.

Побѣдинъ Алексѣй Андреевичъ.

Погодицкій Вячеславъ Артемьевичъ.

Подпалый Александръ Ѳедоровичъ.

Поллакъ Іосифъ Ѳедоровичъ.

Полетаевъ Иванъ Ивановичъ.

Поляковъ Алексѣй Петровичъ.

Поповъ Павелъ Ивановичъ.

Попруженко Михаилъ Григорьевичъ.

Поссе Константинъ Александровичъ.

Потоцкій Павелъ Ивановичъ.

Пржевальскій Евгеній Михайловичъ.

Рашевскій Константинъ Николаевичъ.

Репманъ Альбертъ Христіановичъ.

Рисъ Людвигъ Ѳедоровичъ.

Рыбкинъ Николай Александровичъ.

Ряднова Таисія Николаевна.

Сагинова Надежда Николаевна.

Сапожникова Тамара Аркадьевна.

Сахаровъ Дмитрій Ивановичъ.

Сваричевскій Тарасъ Ѳедоровичъ.

Свѣнцицкій Владимиръ Павловичъ.

Севастьяновъ Леонидъ Степановичъ.

Синцовъ Дмитрій Матвѣевичъ.

Ситарская Нина Адріановна.

Соколовъ Александръ Васильевичъ.

Соколовъ Митрофанъ Александровичъ.

Соловьевъ Александръ Васильевичъ.

Софроновъ Сергѣй Александровичъ.

Сперанскій Евгеній Венедиктовичъ.

Струве Рудольфъ Эрнестовичъ.

Сухарникова Анна Михайловна.

Теннеръ Дмитрій Эдуардовичъ.

Теодоровичъ Иванъ Григорьевичъ.

Терентьевъ Петръ Никитичъ.

Томашевичъ Евгеній Станиславовичъ.

Финиковъ Сергѣй Павловичъ.

Флеровъ Иванъ Александровичъ.

Фриденбергъ Викторъ Эрнестовичъ.

Фридманъ Владимиръ Георгіевичъ.

Цубербиллеръ Ольга Николаевна.

Чистяковъ Іосафъ Ивановичъ.

Чулицкій Николай Николаевичъ.

Шаблинскій Василій Семеновичъ.

Шапошниковъ Александръ Николаевичъ.

Шатуновскій Самуилъ Осиповичъ.

Шишкина Ольга Ивановна.

Шлыгинъ Василій Михайловичъ.

Шохоръ-Троцкій Семенъ Ильичъ.

Эренфестъ Татьяна Алексѣевна.

Новыя книги:

И. Александровъ. Методы рѣшеній геометрическихъ задачъ на построеніе и сборникъ геометрическихъ задачъ. Изд. 14-е, переработ. и дополнен. М. 1914. II. 1 р. 25 к.

С. И. Шохоръ-Троцкій. Новый ариѳметическій задачникъ для учениковъ начальныхъ школъ. Ч. I. Изд. И. Д. Сытина. М. 1914. Ц. 1Б к.

Шестое присужденіе преміи имени Н. И. Лобачевскаго (22 окт.—4 ноября 1912 г.) Физико-математическимъ Обществомъ при Императорскомъ Казанскомъ университетѣ. Казань, 1914.

Проф. А. К. Власовъ. Курсъ высшей математики. T. I. Аналитическая геометрія, диффер. и интегр. исчисленія. М. 1914. Ц. 3 р. 75 к.

А. Минервинъ и М. Таратущенко. Усовершенствованные способы коммерческихъ и математическихъ вычисленій на счетахъ. М. 1915. Ц. 75 к.

С. Я. Красильниовъ. Элементарный курсъ вычисленій на счетахъ. Тамбовъ. 1914. Ц. 40 к.

Е. И. Игнатьевъ. Математическая хрестоматія. Кн. 2-я. Алгебра и общая ариѳметика. М. 1915. Ц. 1 р. 80 к.

Математическій Вѣстникъ. № 1. Сентябрь 1914. Москва.

Н. А. Извольскій. Къ вопросу объ опредѣленіи длины окружности. М. 1914. 35 к.

П Никульцевъ. Ариѳметика. Изд. 11-е М. 1915. Ц. 70 к.

Д. Л. Волковскій. Дѣтскій міръ въ числахъ. 2-й годъ обученія. Изд. И. Д. Сытина. М. 1915. Ц. 20 к.

A. Алмоевъ. Сборникъ задачъ, предложенныхъ въ 1913—14 г. на выпускныхъ экзаменахъ въ гимназіяхъ и реальныхъ училищахъ 16 уч. округовъ. М. 1914. Ц. 75 к.

Н. Извольскій. Геометрія на плоскости. 2-е изд., исправл. и дополн. М. 1915. Ц. 1 р. 20 к.

В. Кондратьевъ. Систематическій сборникъ алгебраическихъ задачъ. Курсъ среднихъ учебн. заведеній. Петроградъ. 1914. Ц. 65.

Е. Пржевальскій. Пятизначныя таблицы логариѳмовъ. Изд. 22-е. М. 1914. Ц. 75 к.

Отвѣтственный редакторъ I. И. Чистяковъ.