Математическое Образованіе.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка.

Годъ третій.

№ 5.

Сентябрь 1914 г.

МОСКВА.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

„Математическое Образованіе"

Сентябрь 1914 г. Годъ 3-й. № 5.

СОДЕРЖАНІЕ: Портретъ. Жизнь и труды Галилея. Н. С. Голубъ.—Галилей и борьба за новую систему міра. Б. II. Герасимовичъ. — Объ одной геометрической теоремѣ. Прив.-доц. А. И. Бачинскій.—Вторая (баккалаврская) ступень въ составѣ будущей средней школы. П. А. Некрасовъ.—Задачи. Рѣшенія задачъ.—Среди математическихъ журналовъ. Н. Агрономовъ.—Библіографическій отдѣлъ. Засѣданія Московскаго Математическаго Кружка. Математическій Кружокъ слушательницъ Московскихъ Высшихъ Женскихъ Курсовъ. Новыя книги. Опечатки. Объявленіе.

Жизнь и труды Галилея.

По поводу 350-лѣтія со дня рожденія 15 февраля 1564 года*).

I. Галилео Галилей.

(Біографія).

Н. С. Голубъ. Харьковъ.

До сихъ поръ сохранился брачный контрактъ, сообщающій о томъ, что флорентійскій гражданинъ Винчензо Галилей былъ помолвленъ, 5 іюля 1562 г. съ Юліей изъ дома Амманати, при чемъ братъ (онъ-же опекунъ) невѣсты обезпечивалъ ей приданое въ 100 скуди (около 250 р.), каковую сумму онъ обязался уплатить деньгами, полотномъ и шерстяной матеріей1).

15 февраля 1564 г. у нихъ родился первый сынъ—Галилео Галилей. До 10-ти лѣтняго возраста онъ жилъ съ матерью въ Пизѣ, а съ 1574 г.—во Флоренціи. Свѣдѣнія о дѣтствѣ Галилея очень скудны и къ тому-же сплошь переплетены легендой. Первое документальное извѣстіе относится къ 5 сентября 1580 г. Въ этотъ день Галилей былъ внесенъ въ списки студентовъ Пизанскаго Университета. Онъ поступилъ въ университетъ для изученія медицины; но его учебныя дѣла пошли плохо, и до изученія меди-

*) Слѣдующія ниже статьи были доложены въ Механическомъ Семинарѣ Харьковскаго Университета въ засѣданіи 6 февраля 1914 года, посвященномъ памяти Галилея.

Проф. Н. Н. Салтыковъ.

1) Документъ напечатанъ въ Ореге di Galileo Galilei, Edizione Nazionale. XIX. p. 14—18. Цитирую по E. Wohlwill. Galilei und sein Kampf für die Copernicanische Lehre. Bd. 1. Leipzig u. Hamburg. 1909. p. 46.

цинскихъ наукъ онъ не дошелъ, задержавшись на пропедевтическихъ курсахъ философіи, физики и началъ математики.

Во Флоренціи и до сихъ поръ хранятся листики, на которыхъ Галилей собственноручно записалъ нѣкоторыя университетскія лекціи2). По этимъ старымъ листкамъ можно отчетливо представить себѣ, насколько интересно было сидѣть въ пизанскихъ аудиторіяхъ. Вотъ, напримѣръ, (вѣроятно, многочасовая) лекція „Вселенная и небо“, въ которой профессоръ разбираетъ такіе вопросы: 1 „Является-ли Богъ вмѣстѣ со вселенной болѣе совершеннымъ, чѣмъ Онъ одинъ безъ вселенной“? 2. „Можетъ-ли Богъ создать въ этомъ мірѣ существа болѣе совершенныя, чѣмъ тѣ, которыя онъ создалъ въ дѣйствительности“? 3. „Если-бы Богъ создалъ другіе міры,—что онъ безъ сомнѣнія можетъ сдѣлать,— то можетъ-ли Онъ создать ихъ совершенно сходными съ нашимъ міромъ“? и т. и. И все это изслѣдуется не спѣша, длинно, основательно, подтвержается цитатами изъ Библіи, постановленій соборовъ, твореній отцовъ церкви и ученыхъ, теперь уже никому невѣдомыхъ. Врядъ-ли многіе студенты могли выдержать напоръ этой учености,—ме выдержалъ и Галилей. Говорятъ, онъ дѣломъ своимъ занимался неровно, бросался отъ одного предмета къ другому, ходилъ по церквамъ, чтобы послушать духовную музыку, которую страстно любилъ. Легенда гласитъ, что однажды въ пизанскомъ соборѣ онъ замѣтилъ изохронность колебаній лампады.

Въ университетѣ считали Галилея плохимъ студентомъ, докучливымъ спорщикомъ по научнымъ вопросамъ и озорникомъ въ его отношеніи къ университетскимъ авторитетамъ. Къ тому-же дѣла отца пошатнулись, прошеніе его объ освобожденіи Галилея отъ платы за ученіе, повидимому, не было удовлетворено, и Галилею пришлось оставить университетъ въ 1585 г.

На свободѣ онъ познакомился съ сочиненіями Евклида и съ увлеченіемъ сталъ изучать Архимеда. Изученіе книги Архимеда „О плавающихъ тѣлахъ“ привело Галилея къ идеѣ построить гидростатическія вѣсы. Эту мысль онъ изложилъ письменно и доставилъ рукопись извѣстному въ то время знатоку механики, маркизу Гвидубальдо-даль-Монте. Маркизъ даль-Монте скоро убѣдился въ талантливости Галилея и настолько настойчиво рекомендовалъ его герцогу тосканскому, что уже въ 1589 г. Галилей былъ назначенъ профессоромъ Пизанскаго же университета съ жалованьемъ въ 60 скудій въ годъ. (Насколько скромно было это

2) Ed. Naz. 1. р. 15—177. Wohwill. 1. р. 70—72.

жалованье,—видно изъ того, что нѣкоторые профессора медицины получали въ то время до 2000 скудій).

Въ эту пору Галилей изслѣдовалъ законы паденія тѣлъ, бросая съ Пизанской башни, наклонившейся въ незапамятныя времена, различныя тѣла и наблюдая ихъ движеніе. Пизанскіе профессора смѣялись надъ этими опытами и лишь, изъ снисхожденія къ молодости ученаго, представляли ему серьезныя возраженія, указывая на то, что тѣла различнаго вѣса падаютъ все-же съ различною скоростью въ то время, какъ по новой теріи всѣ они должны были-бы падать съ совершенно одинаковой скоростью. Указанія Галилея на вліяніе сопротивленія воздуха не удовлетворяли ученыхъ старой школы.

Интересно отмѣтить, что какъ разъ около этого времени (въ 1591 г.) вышла объемистая книга „О движеніи“ бывшаго пизанскаго профессора Буонамичи. По словамъ людей, перелистовавшихъ всю тысячу страницъ этой книги, является по истинѣ изумительнымъ, какъ много могъ человѣкъ наговорить о предметѣ, о которомъ онъ почти ничего не знаетъ!3).

Этихъ—тружениковъ науки очень забавляло, что Галилей пытался потревожить вѣковые авторитеты швыряніемъ съ башни металлическихъ и каменныхъ шариковъ.

Отношенія Галилея съ профессорами не налаживались, были непріятности и съ нѣкоторыми представителями тосканскаго двора, къ тому-же его трудъ оплачивался крайне скудно; поэтому Галилей сталъ подумывать о другомъ мѣстѣ. Маркизъ даль-Монте опять помогъ ему и, благодаря его энергіи, Галилей получилъ въ 1592 г. приглашеніе Венеціанской республики занять кафедру математики въ Падуанскомъ университетѣ.

Съ первой-же лекціи, которую одинъ изъ учениковъ знаменитаго Тихо Браге называетъ блестящей, начался огромный преподавательскій успѣхъ Галилея. Его лекціи, читанныя имъ въ Падуѣ въ теченіе 18-ти лѣтъ, всегда собирали многочисленныхъ слушателей. Характерно, что по учебному плану, сохранившемуся и понынѣ, лекціи Галилея были назначены въ 4 ч. дня, когда студенты медики и филологи были свободны отъ своихъ спеціальныхъ занятій и имѣли возможность собираться въ аудиторіяхъ Галилея. Въ исключительныхъ случаяхъ приходили студенты всѣхъ факультетовъ. По разсказу самого Галилея на лекціяхъ о новой звѣздѣ 1604 г. присутствовало свыше 1000 слушателей,

3) Wohlwill. I. р. 69,

а весной 1610 г. на его доклады о телескопическихъ открытіяхъ собирался „весь университетъ“.

Въ то время Падуанскій университетъ—въ противоположность Пизанскому—жилъ очень интенсивно и въ ученомъ, и въ учебномъ отношеніи. Многіе кафедры были заняты первокласными учеными. Учащіеся съѣзжались со всѣхъ концовъ Западной Европы. Въ аудиторіи Галилея перебывало не мало высокопоставленныхъ и коронованныхъ особъ. Они оказали своему учителю существенную поддержку, когда судьба стала посылать ему всякія непріятности, и когда отъ него отвернулись даже нѣкоторые друзья.

Въ научномъ отношеніи падуанскій періодъ былъ самымъ плодотворнымъ въ жизни Галилея. Въ Падуѣ онъ много и успѣшно работалъ надъ принципами динамики и теоріей паденія тѣлъ; результаты этихъ изслѣдованій онъ изложилъ,—уже въ глубокой старости,—въ своихъ знаменитыхъ—Discorsi.

Въ началѣ 1600-ыхъ гг. распространился слухъ, что въ Голландіи построили изумительный иструментъ, при помощи котораго можно видѣть далекіе предметы такъ же отчетливо, какъ если-бы они были вблизи. Галилей занялся этимъ вопросомъ и въ результатѣ самостоятельно построилъ телескопъ. Онъ отправился въ Венецію и 21 августа 1609 г. демонстрировалъ свой инструментъ въ присутствіи венеціанскихъ патриціевъ. Прокураторъ Антоніо Пріули впослѣдствіи съ очаровательной наивностью описалъ свои впечатлѣнія. Собрались они на колокольнѣ св. Марка, „чтобы посмотрѣть чудеса и замѣчательныя дѣйствія подзорной трубы господина Галилея“. Приложишь трубу къ одному глазу,—разсказываетъ далѣе Пріули,—а другой закроешь, и отчетливо видно колокольню, и купола, и фасадъ церкви S. Giustina въ Падуѣ; ясно видишь входящихъ и выходящихъ у церкви S. Giacomo въ Мурано; видишь, какъ садятся въ гондолу люди, переѣзжающіе della Colona, и множество другихъ достойныхъ удивленія подробностей на лагунѣ и въ городѣ4).

За изобрѣтеніемъ телескопа слѣдуетъ длинный рядъ замѣчательныхъ астрономическихъ открытій. Галилей открылъ на лунѣ горы, наблюдалъ и объяснилъ пепельный свѣтъ луны, показалъ что нѣкоторыя небесныя туманности представляютъ скопленіе звѣздъ, открылъ четырехъ спутниковъ Юпитера, а спустя нѣкоторое время, замѣтилъ странную форму Сатурна и открылъ фазы Венеры. Свои астрономическія открытія Галилей изложилъ въ

4) Выдержки изъ хроники Пріули напечатаны въ Ed. Naz. XIX. 587—588.

знаменитомъ Nuncius Sidereus, отдѣльные экземпляры котораго онъ разослалъ виднѣйшимъ ученымъ Европы. На Кеплера Nuncius Sidereus произвелъ столь сильное впечатлѣніе, что онъ сейчасъ-же выпустилъ эту книгу въ Прагѣ особымъ изданіемъ. Любопытно письмо Кеплера, написанное Галилею по поводу этого изданія: „Я напечаталъ вашу книгу на свой счетъ, а между тѣмъ флорентійскій издатель посылаетъ въ Германію экземпляры своего изданія. Однако я имѣю привилегію и, если во Флоренціи признаютъ власть императора, то я имѣю право жаловаться“. Впрочемъ, эти вожделѣнія Кеплера, какъ оказывается изъ дальнѣйшихъ его словъ, не слишкомъ притязательны: „Вашъ издатель хорошо поступилъ-бы, если-бы прислалъ мнѣ въ вознагражденіе хорошее выпуклое стекло съ двѣнадцати-футовымъ фокуснымъ разстояніемъ, потому что здѣсь чрезвычано трудно достать такое стекло“5)...

Здѣсь-же въ Падуѣ Галилей окончательно сталъ убѣжденнымъ сторонникомъ ученія Коперника о движеніи земли. Но въ эту пору онъ тщательно скрывалъ свои коперниканскія убѣжденія. Ему было извѣстно, что въ тюрьмѣ томится Джордано Бруно, къ числу смертныхъ грѣховъ котораго принадлежала и его пламенная проповѣдь идей Коперника и своей собственной идеи о существованіи многихъ міровъ подобныхъ нашему. Въ 1600 г. въ Римѣ въ присутствіи множества зрителей Бруно былъ сожженъ; прочтенная при этомъ сентенція римской инквизиціи упоминаетъ среди нечестивыхъ и еретическихъ ученій, въ которыхъ былъ повиненъ осужденный, и ученіе о множественности міровъ.

Около этого времени Галилей писалъ Кеплеру: „... я давно уже раздѣляю воззрѣнія Коперника. Я нашелъ въ его идеяхъ объясненіе весьма многихъ явленій природы, которыя иначе были-бы необъяснимы. Я все это написалъ, но опасаюсь обнародовать... Я дѣйствовалъ-бы смѣлѣе, если-бы было больше людей подобныхъ вамъ ".—„Будьте смѣлѣе, Галилей“,—отвѣчалъ Кеплеръ,— „я убѣжденъ, что большая часть математиковъ послѣдуетъ за нами. Если въ Италіи нельзя будетъ издать ваши сочиненія, то, можетъ-бытъ, это удобнѣе сдѣлать въ Германіи, а если вы не хотите издавать, то сообщите мнѣ, по крайней мѣрѣ, частнымъ образомъ все, что вы найдете подтверждающее теорію Коперника“6). Очевидно, въ то время даже съ элементами астрономіи нужно было обращаться конспиративно.

5) Бертранъ. Галилей etc. Заграничный Вѣстникъ. 1865 г. № 6, стр. 259.

6) Бертранъ, стр. 253.

И Галилей былъ конспиративенъ. Установлено7), что въ своихъ лекціяхъ о началахъ астрономіи,—„О сферѣ или о космографіи“,—онъ не уклонялся отъ стараго ученія. Была только одна особенность: въ то время, какъ на лекціяхъ и въ книгахъ другихъ астрономовъ ясно чувствовалось, что авторы сами безраздѣльно преданы излагаемому ими старому ученію,—Галилей лишь глухо упоминалъ, что это ученіе признаютъ всѣ „философы и астрономы“. Однако наблюдая въ телескопъ небесныя явленія, онъ могъ найти объясненіе ихъ только въ идеяхъ Коперника. И вотъ, когда ему приходилось опубликовывать и объяснять свои наблюденія, въ его объясненіяхъ невольно стали проглядывать,—и часто довольно отчетливо,—идеи Коперника. При объясненіи пепельнаго свѣта луны, Галилей въ первый разъ,—правда, вскользь, но зато публично,—произнесъ страшныя слова: „земля движется, какъ планета“. Въ связи съ послѣдующими открытіями онъ сталъ уже болѣе пространно и болѣе прозрачно выдавать свои коперниканскія убѣжденія. Въ церковныхъ и реакціонныхъ ученыхъ кругахъ стали слѣдить за Галилеемъ, затѣмъ нѣкоторые представителя этихъ круговъ, уловили основной тонъ въ рѣчахъ Галилея, рѣзко отозвались о немъ, онъ отвѣтилъ, и мало—по малу разгорѣлась рѣзкая, пламенная, злая полемика. Въ пылу полемики Галилей высказывался болѣе рѣзко и открыто, чѣмъ было свойственно его осторожному характеру, и имъ было сказано много такого, чего уже нельзя было загладить.

Впрочемъ, врядъ-ли ему могла грозить серьезная опасность если-бы онъ продолжалъ жить на территоріи Венеціанской республики. Правда, иногда случалось, что и Венеціанское правительство дѣлало уступки требованіямъ Рима. Такъ, оно допустило арестъ и высылку въ Римъ Джордано Бруно. Но въ вопросахъ, касающихся свободы преподаванія республика противодѣйствовала церкви съ непоколебимой стойкостью. Исторія сохранила много фактовъ, иллюстрирующихъ эту стойкость; приведу одну изъ нихъ.

Товарищъ Галилея по Падуанскому университету профессоръ— Цезарь Кремонини, какъ-то получилъ изъ Рима предложеніе объявить въ своихъ сочиненіяхъ и лекціяхъ нѣкоторыя ученія антицерковными. Кремонини отвѣтилъ, что это не совмѣстимо съ его обязанностями. Вскорѣ венеціанскому нунцію было поручено произвести разслѣдованіе о противныхъ вѣрѣ поступкахъ Кремонини. Свидѣтели показали, что подсудимый не только плохой христіанинъ, но даже атеистъ. Однако разслѣдованіе не имѣло

7) Wohlwill. I. р. 208.

никакихъ послѣдствій; только республика, вскорѣ послѣ процесса, увеличила жалованье профессору, мотивируя свое постановленіе тѣмъ, что Цезарь Кремонини—„гордость университета“.

Этотъ и многіе другіе факты согласно говорятъ за то, что Галилей, вѣроятно, не пережилъ-бы всѣхъ несчастій второй половины своей жизни, если-бы остался въ Падуѣ. Но на бѣду его потянуло во Флоренцію,—столицу тосканскаго герцогства. Есть основанія думать8), что Галилея мучилъ неудачный, затянувшійся романъ съ венеціанкой Мариной Гамба и что онъ хотѣлъ его оборвать переѣздомъ во Флоренцію. Самъ-же онъ говорилъ, что уѣзжаетъ изъ Падуи, вслѣдствіе крайняго утомленія университетскими и частными лекціями. Во Флоренціи ему предложили званіе „перваго математика и философа“ великаго герцога Тосканскаго, нѣсколько больше, чѣмъ въ Падуѣ, жалованья, и почти полную свободу отъ преподавательскихъ обязанностей. Галилей согласился и въ сентябрѣ 1610 г. переселился во Флоренцію. Республиканскіе круги въ Венеціи почувствовали себя оскорбленными этимъ поступкомъ. Между прочимъ, самъ Пріули, который съ дѣтскою радостью смотрѣлъ въ телескопъ на колокольнѣ св. Марка, заявилъ, что теперь онъ не хочетъ даже слышать имени Галилея. Друзья же Галилея обращали его вниманіе еще и на другое обстоятельство. „Здѣсь“,—пишетъ его лучшій другъ Carpego,—„вы никому не служили,—только самому себѣ, какъ если-бы вы были властителемъ міра... А то обстоятельство, что вы теперь живете въ городѣ, въ которомъ,—какъ говорятъ,— отцы общества Іисуса пользуются огромнымъ уваженіемъ,—очень сильно тревожитъ меня“9)... Дѣйствительно, очень скоро послѣ переселенія во Флоренцію Галилея втянули въ полемику, о которой упоминалось выше. Открытіе имъ пятенъ на солнцѣ еще подлило масло въ огонь. Дошло до того, что противъ Галилея (стали произносить страстные проповѣди съ амвона, а нѣсколько позже во Флоренціи и Пизѣ была основана „Лига“ перипатетиковъ, для борьбы съ Галилеемъ. Кураторъ Пизанскаго Университета, Артуро д’Ельчи, повидимому, принадлежавшій къ „Лигѣ“, писалъ по поводу сочиненій Галилея: „Господа перепатетики! теперь не время шутить. Съ развѣвающимся знаменемъ шествуетъ авторъ впередъ, чтобы дерзко штурмовать скалу перипатетическаго ученія, которая до сихъ поръ была неприступна и стояла озаренная славой... Кто знаетъ, сколько юношей, охваченныхъ стремле-

8) Wohlwill. 1. р. 340.

9) Wohlwill. I. 342—343.

ніемъ къ разнообразному знанію, будетъ увлечено новизной ученія и неосторожно уклонится отъ гладкаго и надежнаго пути перипатетической философіи“.

Галилею пришлось вести борьбу на нѣсколько фронтовъ, и научная работа была почти совершенно оставлена. Наконецъ, появились зловѣщіе признаки. Инквизиціи была доставлена копія письма Галилея къ Кастелли, которому онъ сообщалъ свои взгляды объ отношеніи библіи къ естественнымъ наукамъ и въ особенности къ ученію Коперника.

Всѣ эти особенности флорентійской жизни заставляли Галилея много разъ ѣздить въ Римъ, чтобы завязать тамъ необходимыя связи и парализовать по мѣрѣ возможности интриги своихъ враговъ. Поѣздки Галилея сопровождались огромнымъ успѣхомъ въ высшихъ церковныхъ и свѣтскихъ кругахъ Рима. Ему удалось завязать тѣсныя и даже дружескія отношенія со многими высшими представителями церкви; онъ много разъ былъ принятъ папой, и при томъ весьма милостиво. Вечерами у маркиза Чези или въ саду кардинала Бандини вокругъ телескопа Галилея собиралось высшее римское общество, присутствовали и кардиналы; Галилей показывалъ спутниковъ Юпитера, звѣздныя скопленія, горы на лунѣ и своими остроумными, блестящими объясненіями приводилъ въ восхищеніе высокопоставленныхъ слушателей. Но, повидимому, не всѣ кардиналы раздѣляли общее восхищеніе,— нѣкоторые думали свою думу, нашедшую выраженіе въ маленькой замѣткѣ, сдѣланной въ это время въ протоколахъ инквизиціоннаго трибунала: „Посмотрѣть: не встрѣчается-ли имя профессора философіи и математики Галилея въ процессѣ Доктора Цезаря Кремонини“10)...

Въ слѣдующій пріѣздъ Галилея, въ 1616 г., стостоялось постановленіе конгрегаціи индекса о запрещеніи книги Коперника „О вращеніи небесныхъ тѣлъ“. Галилей хотѣлъ воспользоваться своими связями, чтобы помѣшать приведенію въ исполненіе этого постановленія. Но эта попытка окончилась лишь тѣмъ, что кардиналъ Белларминъ по порученію папы оффиціально предупредилъ Галилея, что „ученіе Коперника противно Священному Писанію и что не слѣдуетъ ни придерживаться, ни защищать его“. Вернувшись во Флоренцію, Галилей сталъ крайне осторожнымъ и на нѣсколько лѣтъ совершенно умолкъ. Въ эту пору онъ писалъ въ одномъ интимномъ писаніи: „Я думаю, на свѣтѣ не

10) Напеч. въ Ed. Xaz. XIX. р. 275.

существуетъ большей ненависти, какъ ненависть невѣжества къ знанію “...

Въ 1623 г. на римскій престолъ вступилъ кардиналъ Барберини, подъ именемъ Урбана VIII. Галилей ободрился. Съ кардиналомъ Барберини онъ былъ давно и очень близко знакомъ, былъ съ нимъ почти въ дружескихъ отношеніяхъ. Сохранилось множество писемъ Барберини къ Галилею, изъ которыхъ, быть-можетъ наиболѣе характерно слѣдующее письмо, присланное вмѣстѣ съ собственными стихами кардинала: „Глубое уваженіе мое къ вашей особѣ и многочисленнымъ вашимъ заслугамъ внушило мнѣ прилагаемое при семъ стихотвореніе. Если оно и не достойно васъ, то пусть послужитъ, по крайней мѣрѣ, доказательствомъ моего благорасположенія; искренно желаю, чтобы блескъ вашего славнаго имени отразился и на моей поэзіи“11).

Галилей отправился въ Римъ, чтобы добиться отъ своего высокаго почитателя отмѣны декрета 1616 г. Урбанъ VIII ласково принялъ его, много и долго бесѣдовалъ съ нимъ въ частныхъ аудіенціяхъ о теоріи Коперника. Папа возражалъ противъ этого ученія и, — какъ впослѣдствіи оказалось, — возражалъ подчасъ очень неумѣло и даже забавно. Галилей отвѣчалъ тогда мягко и любезно, но для себя запомнилъ неудачныя возраженія папы и спустя нѣкоторое время,—на свое несчастье,—изпользовалъ ихъ. Въ главномъ пунктѣ Урбанъ былъ твердъ,—декретъ 1616 г. остался въ силѣ. Но Галилей ободренный ласковымъ отношеніемъ папы, рѣшилъ, что пришло, наконецъ, время выступить съ систематической, исчерпывающей защитой идей Коперника, и началъ обрабатывать свои знаменитые „Діалоги о двухъ важнѣйшихъ системахъ міра—Птоломея и Коперника“. Діалоги ведутся тремя лицами: два изъ нихъ—дѣйствительныя лица—друзья Галилея Сапредо и Сальвіати, третье — вымышленное лицо Симплиціо. Послѣдній возражаетъ противъ ученія Коперника; Сапредо и Сальвіати разбиваютъ его возраженія и разрѣшаютъ его сомнѣнія. Галилей имѣлъ неосторожность вложить въ уста Симплиціо и тѣ смѣшныя возраженія, которыя онъ слышалъ отъ папы, а Сапредо и Сальвіати не постѣснялись отвѣтить на нихъ надлежащимъ образомъ. Около 1628 г. Діалоги были закончены, а затѣмъ начались почти четырехлѣтнія цензурныя мытарства. Галилею пришлось прибѣгнуть къ разнымъ уловкамъ и даже написать крайне двусмысленное предисловіе къ діалогамъ, послѣ чего книга была выпущена въ свѣтъ (въ 1692 г.).

11) Р. Процессъ Галилея. Русскій Вѣстникъ. 1876. Стр. 142.

Діалоги сразу подняли въ церковныхъ и ученыхъ кругахъ настоящую бурю. Кажется, не было такого монаха, который не кричалъ-бы, что церковь въ опасности. Нашлись, кромѣ того, догадливые люди, которые въ нѣкоторыхъ рѣчахъ Симплиціо узнали самого Урбана VIII и немедленно донесли ему объ этомъ. Отъ тосканскаго посланника въ Римѣ Никколини, въ высшей степени расположеннаго къ Галилею, стали поступать самыя тревожныя донесенія. „Для меня вполнѣ ясно“,—писалъ Никколини,—„что хуже и нельзя быть настроеннымъ къ бѣдному синьору Галилею, чѣмъ настроенъ святѣйшій отецъ“.

Въ Римѣ была составлена спеціальная комиссія для разсмотрѣнія Діалоговъ. Комиссія очень скоро окончила свои занятія, Галилей былъ преданъ суду инквизиціи, и его потребовали въ Римъ. Никколини сталъ просить папу, чтобы, въ виду глубокой старости и болѣзненности подсудимаго, ему разрѣшено было дать свои показанія флорентійскому инквизитору. Если-бы Никколини былъ представителемъ венеціанской республики, то у него, несомнѣнно, нашлись-бы другіе слова и другіе доводы, и очень вѣроятно, что старику не пришлось-бы предстать предъ римскимъ трибуналомъ. Просьбы-же тосканскаго посланника уважены не были, и въ февралѣ 1632 г. Галилей прибылъ въ Римъ, въ домъ Никколини.

„Синьоръ Галилей надѣется“,—сообщалъ Никколини своему правительству,—„что ему удастся оправдать свою книгу солидными аргументами, но я убѣждалъ его отказаться отъ этого намѣренія, чтобы не затягивать процесса, и выразить совершенную покорность тому, что будетъ ему заявлено относительно движенія земли. Увѣщанія мои въ этомъ смыслѣ повергли его въ глубокое уныніе и со вчерашняго дня онъ опустился до такой степени, что я серьезно опасаюсь за его жизнь“12).

Наконецъ, Галилея потребовали на процессъ въ зданіе инквизиціоннаго трибунала, и съ допроса онъ уже не вернулся. Посланникъ получилъ разрѣшеніе посылать арестованному обѣдъ. Никколини, конечно, зналъ, чему при случаѣ подвергаются заключенные въ зданіи инквизиціи, и когда получилось извѣстіе, что Галилей внезапно заболѣлъ и слегъ въ постель,—Никколини съ чрезвычайной настойчивостью сталъ умолять папу, чтобы старику разрѣшили жить у него въ домѣ и являться только на допросы. Урбанъ УШ спокойно отвѣтилъ посланнику, что въ зданіи инквизиціи сиживали даже коронованныя особы, и съ ними тоже не шу-

12) Процессъ Галилея, стр. 454.

тили. Впрочемъ, впослѣдствіи, въ перерывахъ между допросами, Галилея стали отпускать въ домъ Никколини.

Протоколы засѣданій трибунала описываютъ одинъ изъ допросовъ слѣдующимъ образомъ13).

Инквизиторы упорно добивались, чтобы Галилей сознался, что онъ дѣйствительно придерживается ученія Коперника, и что Діалоги написаны имъ въ цѣляхъ защиты и распространенія этого ученія.

— Я написалъ свои Діалоги вовсе не потому, что склонялся въ пользу Коперника; съ совершенно благимъ намѣреніемъ пришла мнѣ въ голову мысль изложить аргументы приверженцевъ обѣихъ системъ, чтобы доказать, какъ мало убѣдительны и тѣ, и другіе; отсюда прямой выводъ: въ подобныхъ вопросахъ необходимо искать опоры въ болѣе возвышенномъ ученіи.

— Если такъ, если ты не хочешь сказать правду, то чтобы вынудить ее отъ тебя, будетъ приступлено къ средствамъ, установленнымъ закономъ.

— Повторяю, я не держусь и не держался ученія Коперника послѣ того, какъ получилъ приказаніе отказаться отъ него. Впрочемъ, я здѣсь въ вашихъ рукахъ: поступайте со мной, какъ хотите.

Галилею пригрозили пыткой.

— Я нахожусь здѣсь для того, чтобы повиноваться,—воскликнулъ старикъ,—но вѣдь не могу же я говорить, что я былъ защитникомъ системы Коперника послѣ того, какъ состоялось о немъ рѣшеніе духовной власти.

„Ничего болѣе отъ него нельзя было добиться; онъ приложилъ свою подпись и былъ отведенъ въ свое помѣщеніе (in locum suum)“,—такъ заканчивается протоколъ. Вопросъ о томъ, дѣйствительно-ли Галилей подвергался пыткѣ,—кажется, и до сихъ поръ остался невыясненнымъ. Косвенныхъ указаній на пытку—очень много, прямыхъ—нѣтъ совершенно.

22 іюня 1632 г. Галилея привели въ церковь S. Maria, и здѣсь въ присутствіи кардиналовъ и прелатовъ ему, стоявшему на колѣняхъ, прочли сентенцію, содержавшую обвинительный актъ, приговоръ и отчасти исторію процесса. Сентенція содержитъ, между прочимъ и такія слова: „Такъ какъ намъ казалось, что ты не высказалъ всю правду, то мы сочли нужнымъ прибѣгнуть къ строгому допросу (examen rigorosum), на которомъ ты отвѣ-

13) Процессъ Галилея, стр. 460—461.

чалъ, какъ подобаетъ католику“. Всѣ историки инквизиціи согласно утверждаютъ, что examen rigorosum—всегда сопровождался пыткой, все-же прямыхъ указаній на пытку въ опубликованныхъ документахъ—нѣтъ.

По прочтеніи сентенціи Галилей, стоя на колѣняхъ, произнесъ слѣдующія слова (привожу выдержки): „Я, Галилео Галилей, сынъ покойнаго Винчензо Галилея, 70 лѣтъ отъ роду, преклоняя колѣни предъ святѣйшими кардиналами и генералъ-инквизиторами, касаясь рукой святаго Евангелія,—клянусь, что нынѣ вѣрю, всегда вѣрилъ и съ помощью Божіею буду вѣрить всему, чему учитъ и что повелѣваетъ апостольская римско-католическая церковь. Но такъ какъ я написалъ и распорядился напечатаніемъ книги, въ которой осужденное уже ученіе разсматривалъ и приводилъ въ его пользу важныя доказательства, то вслѣдствіи этого я былъ заподозрѣнъ въ ереси, а именно въ томъ, что я защищалъ и вѣрилъ, будто солнце находится въ центрѣ вселенной и неподвижно, а земля не есть центръ вселенной и движется. Чтобы снять съ себя предъ вашими свѣтлостями и каждымъ католическимъ христіаниномъ это тяжкое и справедливо возникшее противъ меня подозрѣніе, клянусь на будущее время ни устно, ни письменно не говорить и не утверждать ничего такого, что могло-бы снова породить подобное относительно меня подозрѣніе; напротивъ, если встрѣчу еретика, то обязуюсь донести на него священной инквизиціи. Если бы случилось,—отъ чего сохрани Богъ,—измѣнить какому-либо изъ этихъ моихъ обѣщаній, заявленій и клятвъ, то заранѣе подвергаю себя всѣмъ карамъ, изрекаемымъ канонами и другими постановленіями противъ подобныхъ преступниковъ. Да поможетъ въ этомъ Богъ и святое Евангеліе, котораго касаюсь рукой“14).

Извѣстія объ этомъ событіи передавались изъ устъ въ уста и волновали общество; а такъ какъ точныхъ свѣдѣній не было, то исторія процесса и сцена отреченія стали объектомъ коллективнаго творчества, сходнаго съ народнымъ творчествомъ, создавшимъ старыя народныя легенды. Подобно тому, какъ въ народныхъ сказаніяхъ любимый герой, послѣ перенесенныхъ страданій и униженій, побѣждаетъ лютыхъ враговъ и возстанавливаетъ свое достоинство,—точно такъ же и коллективный авторъ легенды о Галилеѣ не могъ допустить, чтобы легенда оканчивалась непоправимымъ униженіемъ ея героя. Потому молва утверждала, что по прочтеніи отреченія Галилей поднялся, гнѣвно топнулъ ногой

14) Процессъ Галилея, стр. 462—463.

и крикнулъ: „А все-таки вертится!“ Трезвая мысль разрушаетъ старыя сказки,—не пощадила она и этой легенды. Когда стали появляться точныя свѣдѣнія о процессѣ, каждому стало ясно, что если-бы это было такъ, то Галилей не ушелъ-бы живымъ изъ рукъ инквизиторовъ. Поэтому въ дальнѣйшихъ редакціяхъ легенды картина тускнѣетъ, Галилей не топаетъ ногой и не кричитъ, а просто произноситъ эти слова, затѣмъ онъ лишь шепчетъ ихъ, а въ настоящее время умолкъ совершенно.

Изъ церкви осужденнаго отвели въ тюрьму, но благодаря неотступнымъ просьбамъ Никколини, его очень скоро освободили и послѣ долгихъ мытарствъ ему разрѣшили жить близъ Флоренціи, въ виллѣ Арчетри, при чемъ ему строжайше было запрещено показываться въ городѣ.

Въ Арчетри Галилей вернулся къ своимъ прежнимъ работамъ по механикѣ и изложилъ результаты ихъ въ Discorsi е demonstraziodi matematiche etc. Ни одна типографія не рѣшалась печатать эту книгу, и ее пришлось издать въ Лейденѣ въ 1639 г. По отношенію-же къ ученію Коперника онъ сталъ необычайно остороженъ и даже въ частныхъ письмахъ избѣгалъ излагать свои взгляды. Въ Арчетри-же онъ написалъ, по предложенію Голландскаго правительства, проектъ опредѣленія долготъ для мореплавателей. Голландія предполагала командировать къ Галилею своего ученаго Гортензія для переговоровъ о нѣкоторыхъ деталяхъ проекта. Галилей просилъ не дѣлать этого. По этому поводу онъ писалъ Дадіати: „Несчастная судьба моя устроила такъ, что священная инквизиція провѣдала о моихъ переговорахъ съ голландскимъ правительствомъ, а это могло навлечь на меня большія непріятности. Безконечно обязанъ я вамъ, что вы—убѣдивъ Гортензія не ѣздить во Флоренцію,—отстранили отъ меня опасность. Совершенно справедливо ваше замѣчаніе, что подобные переговоры, возникшіе изъ законныхъ и просвѣщенныхъ побужденій, должны были принести мнѣ скорѣе честь и славу, чѣмъ огорченія, но только въ томъ случаѣ, если бы мое положеніе было таково, какимъ пользуются обыкновенно всѣ другіе смертные“15)... Впослѣдствіи, голландскіе мореплаватели прислали Галилею въ знакъ благодарности и уваженія адресъ и золотую цѣпь. Галилей,—въ это время уже ослѣпшій на оба глаза и тяжело больной,—выслушалъ адресъ, ощупалъ цѣпь, но отказался принять ее.

Галилей умеръ 8 января 1642 г. почти 78 лѣтъ отъ роду. Ученики и сынъ его спрятали оставшіяся рукописи и такимъ

15) Процессъ Галилея, стр. 472.

образомъ спасли ихъ отъ инквизиторовъ. Но часть рукописей, перешедшая по наслѣдству къ внуку Галилея, принявшему монашество, была сожжена имъ въ припадкѣ религіознаго изступленія. Въ заключеніе нужно прибавить, что церковное запрещеніе, наложенное на „Діалоги“, оставалось въ силѣ 200 лѣтъ и было снято лишь въ 1835 г.

II. Галилей и борьба за новую систему міра.

Б. П. Герасимовичъ. Харьковъ.

Къ концу среднихъ вѣковъ господствовала идея центральнаго положенія человѣка ва вселенной, или такъ называемаго антропоцентризма. Въ это время она утратила свой первобытный характеръ; съ ней тѣсно сплелись понятія классической философіи и христіанской теологіи; ихъ своебразное сочетаніе опредѣляло собой средневѣковое геоцентрическое миросозерцаніе, которое ставило землю въ центръ всей вселенной. Христіанская философія природы сводилась къ толкованію явленій природы, какъ символовъ, поставленныхъ Богомъ предъ человѣчествомъ для тѣхъ или иныхъ провиденціальныхъ цѣлей. Эти цѣли, не могли, конечно, служить предметомъ научнаго изслѣдованія; поэтому христіанская философія не оказывала непосредственнаго вліянія на развитіе средневѣковой науки. Но въ соединеніи со смутными отзвуками числоваго символизма пиѳагорейцевъ, носившаго научный характеръ, христіанская философія часто указывала пути для толкованія явленій природы.

Религіозная символика сплеталась съ идеей центральнаго положенія человѣка во вселенной. „Видимый міръ—по словамъ Альберта Великаго (XIII стол.)—сотворенъ ради человѣка, чтобы изучая его человѣкъ достигалъ познанія Бога“. Однако, несмотря на все значеніе теологическаго элемента, онъ далъ идеѣ антропоцентризма только форму, содержаніе же всей системы было заимствовано у древнихъ. Сначала запретнымъ путемъ, потомъ— легальнымъ, идеи античныхъ философовъ, главнымъ Аристотеля, проникли въ узкій кругъ понятій, которыми руководствовалась церковь, и опредѣлили собой все содержаніе средневѣковой науки. Научныя идеи Аристотеля явились плодомъ коллективнаго творчества античнаго міра и, конечно, не носили догматическаго характера. Это были положенія, появившіяся при свѣтѣ свободнаго обсужденія, т. е. именно того фактора, который считался весьма опаснымъ во времена Галилея. Средніе вѣка, по своему,

воспользовались идейнымъ наслѣдствомъ древнихъ. То, что у Аристотеля имѣло значеніе научной или метафизической догадки, а у Птоломея—гипотезы, удовлетворительно объясняющей наблюденія, приняло, подъ вліяніемъ теологическаго элемента, характеръ нерушимаго догмата.

Антропоцентризмъ имѣлъ значеніе не только метафизическое но и теоретико-познавательное. Онъ былъ выраженіемъ существовавшаго въ то время пониманія природы—антропоморфизма, переносившаго человѣческія свойства на существа и явленія неодушевленной природы. Стремленіе понять эти явленія, надѣляя ихъ человѣческими чертами, объяснить факты внѣшняго хміра, исходя изъ основныхъ свойствъ человѣческаго бытія, вообще присуще нашему уму. Поэтому слова Гёте, что „человѣкъ никогда не узнаетъ, насколько онъ антропоморфистъ“ останутся еще долго справедливыми. Въ настоящее время наука свободна отъ подобныхъ представленій, и они могутъ быть введены въ нее только безсознательно. Но въ средніе вѣка надѣленіе тѣлъ природы человѣческими свойствами и желаніями было возведено въ принципъ и считало законнымъ методомъ изслѣдованія. Поэтому серіознымъ возраженіемъ противъ ученія Коперника считалось соображеніе, что, еслибъ земля двигалась вокругъ солнца, то она давно устала бы и остановилась.

Движенія планетъ, еще со временъ стоиковъ, объяснялось тѣмъ, что каждая планета имѣетъ душу, управляющую ея движеніями. Насколько сильно было это убѣжденіе свидѣтельствуетъ тотъ фактъ, что его раздѣлялъ даже Кеплеръ. Но помимо такого грубаго антропоморфизма, существовалъ болѣе тонкій его видъ.

Для современнаго человѣка, понять явленіе—значитъ найти его причины или, вѣрнѣе, условія возникновенія, найти функціональную зависимость между разсматриваемымъ явленіемъ и другими явленіями. Но для средневѣковаго послѣдователя Аристотеля—перипатетика, этого было недостаточно—нужно было еще найти цѣль явленія въ общей гармоніи міра. Понятіе цѣли принесло несомнѣнный вредъ развитію точнаго знанія. Вводя лишнее условіе, которому должно было удовлетворять объясненіе факта, стремясь навязать факту то, что ему было несвойственно, средневѣковые ученые непроизводительно тормозили свою работу.

Антропоцентрическое міросозерцаніе покоилось на всей совокупности идеологическихъ фактовъ средневѣковья, а антропоцентрическая наука—почти исключительно на астрономическихъ наблюденіяхъ. Въ настоящее время каждое астрономическое от-

крытіе имѣетъ обще-философскій интересъ только въ томъ отношеніи, что представляетъ собой новую провѣрку современныхъ методовъ мышленія, и астрономическая философія, сама по себѣ не имѣетъ смысла для существованія. Но въ средніе вѣка астрономія занимала иное положеніе. Она была единственной точной наукой и успѣхъ или неуспѣхъ каждаго метафизическаго воззрѣнія тѣсно связывался со всѣмъ ходомъ развитія астрономіи. Достаточно вспомнить хотя бы то обстоятельство, что идею вѣчности и безконечности вселенной философія возрожденія почерпнула изъ астрономіи.

Какъ извѣстно, непосредственныя астрономическія наблюденія даютъ намъ не истинныя мѣста свѣтилъ и ихъ прямолинейныя координаты, но лишь видимыя направленія на свѣтила— ихъ сферическія координаты, съ неопредѣленнымъ радіусомъ. Создать теорію астрономическихъ явленій—значило дать геометрическое построеніе, при помощи котораго положенія свѣтилъ могли быть найдены для любого не слишкомъ отдаленнаго момента времени. Эту цѣль и имѣлъ въ виду Птоломей, создавая свою систему міра. Только впослѣдствіи, въ соединеніи съ Аристотелевой физикой и метафизикой, теорія Птоломея утратила свой геометрическій характеръ и стала научнымъ воплощеніемъ антропоцентрическаго міросозерцанія.

Птоломеева теорія эпициклоидальныхъ движеній планетъ, слагавшихся изъ элементарныхъ круговыхъ, сохраняла въ неприкосновенности пиѳагорейскій принципъ кругового равномѣрнаго движенія планетъ. Вмѣстѣ съ тѣмъ, эта теорія, при введеніи достаточнаго числа эпицикловъ, позволяла удовлетворительно объяснить любое неравенство въ движеніи планеты.

Великое упрощеніе Коперника, съ чисто геометрической точки зрѣнія, состояло въ томъ, что, при надлежащемъ перенесеніи начала координатъ, оказалось возможнымъ уничтожить эпициклы верхнихъ планетъ и деференты нижнихъ. Благодаря этому разрушалась громоздкая и сложная система эпицикловъ, при помощи которой объяснялись вновь открываемыя планетныя неравенства. Коперникъ доказалъ то основное положеніе, что, исходя изъ идеи движенія земли вокругъ солнца, можно проще и яснѣе объяснить планетныя неравенства, чѣмъ на основаніи геоцентральной предпосылки. Все сочиненіе Коперника посвящено геометрической теоріи планетныхъ неравенствъ; что же касается обоснованія движенія земли, то Коперникъ или не могъ, или не осмѣливался его дать, ограничиваясь разсужденіями, построенными по типу схемъ Аристотеля. Помимо этого Коперникъ,

въ значительной степени, оставался на старой точкѣ зрѣнія; не будучи въ состояніи порвать съ пиѳагорейскимъ принципомъ равномѣрныхъ круговыхъ движеній, онъ, для объясненія неравенства синодическихъ оборотовъ, оставилъ такъ называемый эпициклъ „экванта“. Не представляя себѣ возможности сложенія вращательнаго и поступательнаго движенія свободнаго шара, съ сохраненіемъ параллелизма оси вращенія, Коперникъ ввелъ третье движеніе земной оси — коническое, заставлявшее земную ось сохранять постоянное направленіе въ пространствѣ и объяснявшее, какъ онъ полагалъ, прецессію.

Однако, какъ бы ни упрощались астрономическія теоріи геліоцентрической гипотезой, новая система міра нуждалась въ болѣе наглядныхъ и убѣдительныхъ доказательствахъ. Нужны были новые факты и нужна была ихъ новая систематизація. Но кромѣ того была необходима настойчивость въ проведеніи новой идеи, такъ какъ новая система представляла переворотъ, далеко выходившій за предѣлы астрономической науки. Такая задача была не по силамъ и не по характеру созерцательному Копернику; для этого нуженъ былъ человѣкъ возрожденія, съ рѣзкостью и особой убѣдительностью сужденій. Эту задачу выполнилъ Галилей.

Въ настоящее время взгляды на значеніе Галилея, какъ астронома, нѣсколько измѣнились. Если раньше видѣли его величіе въ изобрѣтеніи зрительной трубы и послѣдовавшимъ за этимъ открытіяхъ, то теперь историческая критика заставляетъ насъ дать этому нѣсколько иное освѣщеніе. Несомнѣнно, и это было уже давно извѣстно, идея зрительной трубы принадлежитъ во всякомъ случаѣ не Галилею. Еще за два года до изобрѣтенія Галилеемъ его „Cannocchiale“, голландскія трубы были извѣстны въ Сѣверной Европѣ; весь вопросъ сводится только къ тому, какимъ образомъ и на основаніи какихъ свѣдѣній, полученныхъ отъ парижскаго знакомаго, Галилей построилъ свою трубу. Точно также не Галилей первый направилъ зрительную трубу на небо— въ этомъ отношеніи онъ былъ предваренъ англичаниномъ Harriot, который при самыхъ неблагопріятныхъ обстоятельствахъ занимался наблюденіями луны. Кромѣ Harriot, можно указать еще на нѣсколько лицъ, могущихъ, съ равнымъ правомъ, раздѣлить съ Галилеемъ славу первыхъ наблюденій вооруженнымъ глазомъ. Однако, то, что для другихъ было только интересной и непонятной новинкой, у Галилея пріобрѣло значеніе факта первостепенной важности, имѣвшаго глубокое философское значеніе—новаго довода противъ старой системы міра. Такъ, напримѣръ, открывъ

горы на лунѣ, Галилей прежде всего отмѣчаетъ, что вновь открытый фактъ идетъ вразрѣзъ съ мнѣніемъ философовъ-перипатетиковъ объ идеальной гладкости и сферичности небесныхъ тѣлъ1). Сдѣланное открытіе, конечно, могло сыграть роль лишь косвеннаго доказательства противъ старой системы. Первымъ прямымъ аргументомъ явилось открытіе фазъ Венеры и Марса, на отсутствіе которыхъ уже давно ссылались противники Коперника. Галилей совершенно вѣрно объяснилъ вновь открытое явленіе, допускавшее впрочемъ и иное толкованіе. Въ самомъ дѣлѣ, фазы планетъ не могли служить доказательствомъ движенія земли—онѣ указывали только то, что уголъ между землей, планетой и солнцемъ измѣняется періодически опредѣленнымъ образомъ.

Это измѣненіе могло быть столь же хорошо объяснено какъ движеніемъ планеты вокругъ солнца, а солнца вокругъ земли (въ духѣ идей Тихо Браге), такъ и совмѣстнымъ движеніемъ планеты и земли.

Открытіе спутниковъ Юпитера имѣло также огромное значеніе. Прежде всего это были свѣтила, неизвѣстныя Птоломею; ихъ открытіе подрывало его безусловный авторитетъ и наглядно показывало, что Птоломей, прозванный „divinus Claudius“, былъ все таки человѣкомъ съ присущей человѣческой природѣ ограниченностью сужденій. Благодаря открытію Галилея, планетная система усложнилась—въ нее вошли планеты, совершающіе сложное движеніе и описывающіе траэкторіи, аналогичныя той, которую, по Копернику, должна была описывать въ теченіе года луна и невозможность которой служила раньше рѣшающимъ доводомъ въ пользу перипатиковъ. Движеніе маленькихъ свѣтилъ вокругъ мощнаго Юпитера наглядно демонстрировало значеніе массы въ распредѣленіи тѣлъ планетной системы и указывало такимъ образомъ солнцу болѣе подходящее центральное положеніе.

Однако, когда дедукція, подкрѣпленная элементомъ вѣры, разбивается фактомъ, на сцену выступаютъ аргументы, носящіе тотъ же дедуктивный характеръ. „Богъ не творилъ ничего даромъ и міръ сотворенъ для человѣка. Зачѣмъ существовали бы эти крошечныя Медицейскія звѣздочки? Невидимыя, ничтожныя по своей массѣ, онѣ оставались бы праздными членами планетной системы“. Этимъ теологическій аргументъ не только соотвѣтствовалъ разсматриваемой эпохѣ—но, подобное же возраженіе

1) Nuncius Sidereus. Firenze 1718 г. стр. 7.

ставилось въ самомъ началѣ XIX вѣка сторонникамъ существованія звѣздныхъ спутниковъ. Противъ Галилея выдвигались кромѣ того доводы символическаго характера. „Существуетъ лишь семь металловъ, подсвѣчникъ храма Соломонова имѣлъ семь вѣтвей, въ головѣ семь отверстій, какъ можетъ быть болѣе семи планетъ?“1). Эти аргументы, не слѣдуетъ забывать, были очень серьезны для той эпохи, такъ какъ являлись логическимъ выводомъ изъ всей средневѣковой системы мышленія. Не согласиться съ ними—значило поставить фактъ впереди дедукціи, наблюденіе впереди символики чиселъ, т. е. возстать противъ всего того, на чемъ основывалось современное міросозерцаніе.

Анализируя астрономическія открытія Галилея, мы видимъ, что ни одно изъ нихъ въ отдѣльности не можетъ служить прямымъ доказательствомъ въ пользу теоріи Коперника; но взятыя въ цѣломъ эти открытія создавали ясную, а главное простую и наглядную картину геліоцентрической планетной системы. Однако, они не колебали тѣхъ аргументовъ противъ теоріи Коперника, которые носили механическій характеръ. Противъ перваго аргумента перипатетиковъ, указывавшихъ на необходимость возникновенія при вращеніи земли силы, которую мы называемъ центробѣжной, и которая, по ихъ мнѣнію, была бы способна срывать зданія съ фундаментовъ, Галилей не могъ выставить возраженій, основанныхъ на расчетѣ центробѣжной силы, такъ какъ какъ законъ ея дѣйствія былъ неизвѣстенъ. Зато Галилей разсѣялъ всѣ тѣ возраженія, которыя покоились на незнаніи истиннаго закона сложенія скоростей. Онъ первый установилъ принципъ относительности въ механикѣ, показавъ, что при прямолинейномъ равномѣрномъ движеніи системы, всѣ явленія съ. механической точки зрѣнія проходятъ въ ней такъ, какъ еслибы вся система находилась въ покоѣ.

Несмотря на все это, противъ теоріи Коперника оставался въ силѣ основной аргументъ, заимствованный еще у античныхъ писателей—отсутствіе годичныхъ параллаксовъ неподвижныхъ звѣздъ. И здѣсь Галилей не остался на почвѣ повторенія избитыхъ догадокъ, о несоизмѣримо огромныхъ, сравнительно съ радіусомъ земной орбиты, разстояній неподвижныхъ звѣздъ. Онъ не переставалъ думать объ открытіи параллаксовъ и далъ удобный для этого методъ наблюденій—тотъ самый методъ „относительныхъ параллаксовъ“, который черезъ 250 лѣтъ далъ блестящіе результаты.

1) J. Bertrand. Les fondateurs de l’astronomie moderne p. 209.

Для перипатетиковъ, остававшихся все время на почвѣ чистой логики, указанныхъ данныхъ было недостаточно.—Галилею необходимо было доказать незаконность тѣхъ понятій, на которыхъ основывались перипатетики. Средневѣковая наука заимствовала у Аристотеля вредное въ научномъ отношеніи раздѣленіе качествъ на естественныя, присущія самому тѣлу и „насильственныя“, чуждыя ему и поэтому временныя. Исходя изъ этихъ предпосылокъ можно было съ одинаковымъ успѣхомъ обосновать любую научную теорію. Достаточно было приписать гипотетическому свойству характеръ естественности, и тогда являлась возможность выводить рядъ слѣдствій изъ этого основного постулата. Такъ Аристотель, исходя изъ прямолинейнаго паденія тѣлъ на поверхность земли постулировалъ „естественность“ ея неподвижности. Коперникъ, оставаясь, въ отношеніи логическихъ пріемовъ, на почвѣ аристотелизма, изъ „естественности“ вращенія земли выводилъ невозможность чрезмѣрнаго вліянія на поверхность земли того, что мы называемъ теперь центробѣжной силой1). Съ тонкой ироніей приводитъ Галилей къ абсурду подобные логическіе пріемы: „Если то, что „насильственно“ не можетъ длиться вѣчно, то и наоборотъ, то что не можетъ длиться вѣчно не „естественно“. Но въ такомъ случаѣ нѣтъ „естественныхъ“ движеній, ибо нѣтъ движеній, которыя длились бы вѣчно2).

Въ чисто логическихъ доводахъ за новую систему міра проявилось все величіе ума Галилея3). Какими только аргументами не пользуется онъ для обоснованія новой системы: тутъ и чисто физическія разсужденія и соображенія вѣроятности и аргументы изъ Священнаго Писанія. Въ Словахъ Галилея звучатъ иронія, и гнѣвъ, и пафосъ пропагандиста новыхъ научныхъ цѣнностей, которые чередуются со спокойными доказательствами математика. Послѣ „Діалоговъ о двухъ системахъ“ немыслимъ былъ возвратъ къ научнымъ теоріямъ средневѣковья. Предразсудки были уничтожены, почва для научныхъ работъ была расчищена и, какъ мы знаемъ, дала въ томъ же столѣтіи обильный урожай.

Развивъ такъ полно и такъ ясно геліоцентрическую систему міра, Галилей также предусматривалъ существованіе закона,

1) De revolutionibus corporum coelestium. Нѣмецк. изд. 1879 г. стр. 19.

2) „Dialogo delli due massimi Sistemi“. Нѣмецк. изд. 1891 г. стр. 140.

3) Правда, въ своихъ доказательствахъ Галилей не всегда былъ правъ, какъ, напримѣръ, въ объясненіи приливовъ и отливовъ морей, на основаніи суточнаго движенія земли, и въ объясненіи явленія прецессіи, съ Птоломеевой точки зрѣнія (см. Dialogo, стр. 382).

управляющаго движеніями планетъ: онъ указывалъ, что такой законъ, общій для всѣхъ членовъ солнечной системы, несомнѣнно существуетъ. Вотъ характерное въ этомъ отношеніи мѣсто изъ „Діалоговъ“1).

„Сальвіати. Я утверждаю, что причина движенія земли „нѣсколько подобна тому, что заставляетъ двигаться Марса и „Юпитера; если же онъ (представитель птоломеевой теоріи) „требуетъ отъ меня, чтобъ я объяснилъ ему, какова причина „движенія небесныхъ тѣлъ, то и я требую, чтобъ онъ сказалъ мнѣ, что движетъ землю. Больше того, я отвѣчу на „его вопросъ, если только онъ объяснитъ мнѣ, почему ча„стицы на землѣ падаютъ внизъ.

„Симплицій. Причина общеизвѣстна; это—тяжесть.

„Сальвіати. Вы ошибаетесь. Надо сказать: общеизвѣстно, „что она называется тяжестью. О сущности же тяжести вы „знаете не больше, чѣмъ я о сущности принципа движенія земли“2).

Галилею было ясно, что законъ, общій для всѣхъ планетъ, существуетъ. Но въ изслѣдованіе его сущности онъ не входилъ. Правда, въ одномъ мѣстѣ онъ осторожно говоритъ, что „Линцейскій академикъ (т. е. Галилей) еще вернется къ этому вопросу“; однако это обѣщаніе осталось невыполненнымъ. Въ отношеніи осторожности сужденій интересно сравнить Галилея съ Кеплеромъ. Кеплеръ, нетерпѣливо стремившійся проникнуть въ тайну планетныхъ движеній, зналъ, что сила, заставляющая планету описывать эллиптическую траэкторію, центральна. Онъ полагалъ ее даже обратно пропорціональной разстоянію отъ солнца. И однако, подойдя почти вплотную къ рѣшенію задачи, онъ бросался въ другую сторону—вводилъ магнитныя силы, полагая, что притяженіе можетъ перейти въ отталкиваніе и т. д. Галилей былъ трезвѣе и осторожнѣе Кеплера, и не дѣлалъ тѣхъ ошибокъ, которыя подсказывалъ Кеплеру его нетерпѣливый умъ. Галилею была чужда любовь къ безплоднымъ спекуляціямъ, столь распространенная въ то время.

Галилей былъ истиннымъ основателемъ описательной астрономіи.

1) Dialogo... стр. 249.

2) Это мѣсто изъ „Діалоговъ“ вызвало рядъ статей въ „Observatory“ за 1910 г., о содержаніи которыхъ говоритъ ихъ заглавіе „Newton or Galileo“. Споръ былъ рѣшенъ въ пользу Ньютона, какъ создателя закона всемірнаго тяготѣнія.

Въ основѣ средневѣковой науки лежало раздѣленіе всего эмпирическаго міра на двѣ, кореннымъ образомъ различныя, части. Съ одной стороны представлялась земля, съ ея физическими соотношеніями и съ ограниченными измѣняющимися и разнородными тѣлами. Другою отличною областью являлся міръ небесныхъ свѣтилъ, совершающихъ свои движенія по небесному своду въ опредѣленномъ геометрическомъ порядкѣ; они вѣчно нерушимо сохраняли свои неизмѣнныя, идеальныя геометрическія формы. Вполнѣ понятно, что къ этому послѣднему міру могъ быть примѣненъ только чисто геометрическій методъ изслѣдованія: точки или идеальные диски планетъ становились объектомъ научныхъ изслѣдованій ровно постольку, поскольку онѣ, или ихъ центры, опредѣляли собой вершины сферическихъ треугольниковъ. Эта двойственность, непонятная для насъ, воспитанныхъ на идеѣ единства законовъ и матеріи, представляла собой основной фактъ научной мысли средневѣковья. Поколебать его, показать, что небесныя свѣтила представляютъ тѣла, въ подлинномъ смыслѣ этого слова, убѣдить, что вселенная формально однородна—значило сломить все зданіе средневѣковой науки, и открыть безконечное поле для научныхъ изслѣдованій. Эта заслуга принадлежитъ безспорно Галилею. Горы на лунѣ подорвали вѣру въ строгую сферичность небесныхъ тѣлъ; пятна на солнцѣ, открытыя Галилеемъ, считавшимъ ихъ разнородными, безформенными образованіями въ атмосферѣ солнца, сложная система Юпитера, странный видъ Сатурна, рожденіе и гибель новыхъ звѣздъ, относимыхъ къ orbis fixarum: все это говорило за то, что міръ формально однороденъ, что небесныя свѣтила не только вершины сферическихъ треугольниковъ, но индивидуальныя тѣла преходящія и ограниченныя1). Галилей не могъ показать матеріальнаго единства въ строеніи космоса, для этого нуженъ былъ спектроскопъ,—онъ показалъ только его формальное единство, установивъ такимъ образомъ принципъ однородности опытнаго міра.

Галилей не занимался точной астрометріей. Систематическія наблюденія его мало увлекали; и если онъ въ теченіе долгаго времени наблюдалъ спутниковъ Юпитера, то въ этомъ, вѣроятно, большую роль сыгралъ призъ, назначенный Голландскими Штатами за наилучшій способъ опредѣленія долготъ. Точно также Галилей занялся систематическими наблюденіями солнечныхъ пятенъ въ противовѣсъ Шейнеру, книга котораго о солнцѣ въ свое время принесла немало огорченій авторскому самолюбію Галилея.

1) Dialogo... стр. 50—56.

Онъ не былъ астрономомъ въ узкомъ смыслѣ этого слова; мы не найдемъ у Галилея точнѣйшихъ экспериментальныхъ изысканій; однако онъ сдѣлалъ для науки неизмѣримо много. Появившись въ критическую эпоху исторіи науки, когда накопившіеся и вновь открытые факты уже не охватывались старыми принципами и формами, Галилей посвятилъ всю массу своихъ трудовъ и изслѣдованій обоснованію идеи новой системы міра. Усвоивъ себѣ эту идею, онъ посвятилъ ей всю свою долгую жизнь, полную борьбы за новыя истины въ области міровыхъ явленій. Изъ этой борьбы Галилей вышелъ побѣдителемъ, раскрывъ сложное строеніе мірозданія, создавъ новые принципы научнаго мышленія, и положилъ такимъ образомъ основаніе современной наукѣ.

Объ одной геометрической теоремѣ.

Прив.-доц. А. И. Бачинскій. Москва.

Пусть чрезъ точку О проходятъ три прямыя, лежащія въ одной плоскости (см. черт. 1); четвертая прямая пересѣкаетъ ихъ въ точкахъ А, С, В. По теоремѣ синусовъ будемъ имѣть:

откуда умноженіемъ находимъ

или:

Сложеніемъ соотвѣтственныхъ членовъ найдемъ:

Чер. 1.

но легко доказать, что:

поэтому окончательно имѣемъ слѣдующую теорему:

Теорема эта весьма богата слѣдствіями. Примѣнимъ ее къ треугольнику ОАБ, дѣлая о немъ различныя предположенія.

1) Замѣчая, что по теоремѣ синусовъ

представимъ пропорцію (1) въ видѣ:

Пусть a — ß. Тогда отсюда получаетъ извѣстное свойство биссектрисы:

2) Пусть ОС дѣлитъ А В въ данномъ отношеніи—. Тогда изъ (3) имѣетъ:

*) Въ самомъ дѣлѣ, sind = sin (/?+Ç) = sinß cos'Ç, -4 cosß smÇ; slay = sin (a 4- e) = since case 4 cosa sins:

помножая соотвѣтственно на since и на sinß, складывая почленно и при этомъ замѣчая, что cose = — cosÇ, sine = sint, найдемъ:

since sind + sinß siny = (since cosß + cosce sinß) sins,

откуда вытекаетъ требуемое.

**) Эти равенства могутъ быть написаны въ болѣе симметричномъ видѣ если условимся означать каждую прямую одной буквой (напримѣръ а, с, Ъ, к,), а каждый уголъ — двумя буквами, соотвѣтствующими его сторонами. Тогда получится:

если т = п, получаемъ свойства медіаны:

3) Пусть треугольникъ О AB равнобедренный, именно АО= OB. Тогда изъ (3):

4) Пусть уголъ АОВ — прямой, и ОС перпендикулярна къ гипотенузѣ AB. Тогда, замѣчая, что а = 6, ß = y, и что sind: siny: 1= ОА: OB: AB, получаемъ изъ (2):

т. e. извѣстное свойство катета, какъ средняго пропорціональнаго.

5) Въ какомъ-нибудь треугольникѣ АВС (черт. 2) возьмемъ внутреннюю точку О, проведемъ черезъ нее прямыя Аа, ВЪ, Сс. Примѣняя теорему (3) къ каждой изъ трехъ группъ прямыхъ:

получимъ:

Изъ этихъ равенствъ выберемъ нижеслѣдующія и перемножимъ почленно:

Чер. 2.

получимъ:

(5).

но легко доказать, что

sina. siny. sine=sinfi. sind. sinÇ;*)

поэтому (5) даетъ намъ теорему Чевы:

ЛЪ. Вс. Са= Лс. Ва. СЪ.

6) Пусть Аа и ВЪ будутъ перпендикулярны къ сторонамъ ВС и АС, такъ что sina = sM = l. На основаніи равенства (4) пишемъ:

имѣя въ виду что —— = ВС, —— = AB, —— = АС, и перемножая почленно, находимъ:

sin с= 1.

Этимъ доказывается теорема: три высоты треугольника пересѣкаются въ одной точкѣ.

7) Но самое замѣчательное примѣненіе теоремы (2) состоитъ въ томъ, что при помощи ея весьма просто доказывется теорема о точкѣ приложенія равнодѣйствующей параллельныхъ силъ. Сначала возьмемъ (черт. 3) двѣ непараллельныя силы Ри Q, лежа-

Чер. 3.

*) Въ самомъ дѣлѣ, по теоремѣ синусовъ имѣемъ:

и отсюда умноженіемъ находимъ:

щія въ одной плоскости, приложенныя въ Л и В, и построимъ ихъ равнодѣйствующую по правилу параллелограмма. Найдемъ точку С пересѣченія этой равнодѣйствующей съ прямою AB.

Такъ какъ -f—^ = то (1) даетъ намъ:

Сдѣлаемъ теперь силы Р и Q параллельными какому-нибудь направленію. Тогда sin у = sin â, и мы получаемъ:

Вторая (баккалаврская) ступень въ составѣ будущей средней школы*).

П. А. Некрасовъ (С.-Петербургъ).

Организаціонному Комитету II Всероссійскаго Съѣзда преподавателей математики угодно было поставить на обсужденіе Съѣзда мой докладъ, уже прочитанный на съѣздѣ въ Тифлисѣ и отпечатанный въ Журналѣ Министерства Народнаго Просвѣщенія и въ журналѣ „Математическое Образованіе“ (см. ноябрь 1913 г.), Организаціонный Комитетъ тѣмъ самымъ придалъ значеніе мыслямъ и построеніямъ, содержащимся въ этомъ докладѣ.

Я не буду долго останавливать Ваше вниманіе на томъ, что уже содержится въ отпечатанномъ матеріалѣ. Напомню лишь, что главнымъ педагогическимъ принципомъ намѣчаемой реформы средняго образованія должно считать тотъ принципъ, который дозволяетъ въ старшемъ гимназическомъ возрастѣ индивидуализировать образованіе человѣческой личности и въ то же время поднимать образованность въ соотвѣтствующихъ направленіяхъ, для которыхъ проектомъ устанавливается лицейскій баккалаврскій цензъ и сцеціальныя лицейскія отдѣленія, съ началами высшихъ наукъ. Въ моемъ построеніи баккалаврской ступени въ составѣ будущей средней школы проектированы четыре отдѣленія А, В, С и Д, подготовляющія молодыхъ людей къ факультетамъ высшей школы и къ жизни. Отдѣленія эти непосредственно примыкаютъ къ первой ступени, какъ показано въ слѣдующей таблицѣ:

*) Дополненіе къ статьѣ: „Промежуточная лицейская ступень между среднею и высшею школами“, доложенное 2 января 1914 года въ соединенномъ засѣданіи 2-го Всероссійскаго Съѣзда преподавателей математики, въ Москвѣ.

Начальное образованіе.

Первая ступень.

Вторая ступень.

Подготовительное отдѣленіе.

Начальное отдѣленіе.

VI кл.

V кл.

IV классъ.

III классъ.

II классъ.

I классъ.

Классъ.

Философскій.

Математическій.

1 |2

£

А В

А

В

А'

А" В

А'! А" В

А’ А"

В

А

В

с

D

А В

С

D

Возрастъ вступленія въ VI классъ 11-й годъ.

Между отдѣленіямя А, В, С и Д и факультетами высшей школы устанавлививается опредѣленное соотвѣтствіе. Эта связь средней и высшей школы ослабитъ теперешнюю слишкомъ частую ошибку зачисленія молодыхъ людей на факультеты, не соотвѣтствующіе ихъ среднему образованію и индивидуальнымъ талантамъ, что и понижаетъ уровень факультетскихъ занятій.

Не входя въ повтореніе напечатанной части доклада, я дополню ее разъясненіемъ значенія предлагаемой реформы средней школы для развитія въ Россіи повышеннаго математическаго образованія.

Русская средняя школа вотъ уже 15 лѣтъ ждетъ такой реформы, которая открыла бы необходимое русло математическому образованію, развивающему мыслительныя способности человѣка, формальныя и реальныя. Докладъ мой разрѣшаетъ этотъ застарѣлый вопросъ образованія въ утвердительномъ смыслѣ. Въ моемъ проектѣ реформы математическому образованію отводится въ средней школѣ вполнѣ достаточное мѣсто и время.

Отдѣленія, насаждающія повышенное математическое образованіе, строятся по примѣру Франціи во второй ступени, но нѣсколько иначе, чѣмъ въ современныхъ французскихъ лицеяхъ, преобразованныхъ декретомъ 1902 года изъ старыхъ бифурцированныхъ лицеевъ. Современная французская школа, выпускающая баккалавровъ, сама колеблется въ установкѣ программъ математическаго курса, она, сокративъ въ 1902 году важныя въ образовательномъ отношеніи отдѣлы математики, послѣ этого уже два раза пересматривала эти программы: въ 1905 и 1909 гг.

Ошибку свою французская школа вѣроятно скоро исправитъ, ибо въ противномъ случаѣ Франція окажется позади другихъ культурныхъ странъ

Въ построеніи математическаго курса приходится взять кое что изъ другихъ образцовъ, напримѣръ, изъ англійскихъ, итальянскихъ, нѣмецкихъ, шведскихъ, швейцарскихъ.

Что касается современныхъ французскихъ программъ, въ которыхъ все еще много поучительнаго, то недаромъ такой математикъ, какъ покойный Пуанкаре, былъ недоволенъ реформой 1902 года, онъ считалъ эту реформу порчей многихъ математическихъ цѣнностей, кои существовали до 1902 года въ программахъ французскихъ лицеевъ. Весьма важныя части программы математики были ошибочно сокращены благодаря этой реформѣ. Такъ, французская программа 1902 года ослабила комбинаторный анализъ, важный по тому, что онъ непосредственно ведетъ къ понятію множествъ, къ понятію вѣроятности, къ законамъ большихъ чиселъ, къ индуктивному методу статистики, ведетъ надежнѣйшими путями къ сотрудничеству и къ синтезу, формальнологическому и реальному, хочется сказать, химическому въ переносномъ, а иногда и въ собственномъ смыслѣ слова; французская средняя школа ослабила понятіе о томъ, что называется терминами: „комбинаторика“, „статистическая индукція“ и „корреляція“1), ослабила соотвѣтствующія традиціи Декарта, Фермата, Я., Н. и Д. Бернулли, Лапласа, Араго, Карно и другихъ. Отзвукъ этого увлеченія сказался и въ программахъ русскихъ реальныхъ училищъ, а также въ общественномъ мнѣніи русскихъ преподавателей математики, напримѣръ, въ проектѣ Кіевскаго физико-математическаго общества (см. сборникъ г. Щербины: Математика въ средней школѣ. Кіевъ, 1908).

Англійскій здравый смыслъ, напротивъ, крѣпко держится въ математическомъ образованіи не только аналитическаго, но и синтетическаго направленія, онъ донесъ принципы комбинаторнаго мышленія отъ великихъ ученыхъ (Бэкона, Ньютона, Гершеля, Уэвелля, Гамильтона, Милля, Буля, Джевонса, Карла Пирсона) до классной комнаты. Англійскій юноша штудируетъ не только анализъ, логическій и математическій, но и комбинаторику.

Русская высшая школа въ лицѣ вождей математическаго знанія, названная мною по именамъ въ другомь докладѣ2), дала много основнаго матеріала для высшаго преподаванія въ средней школѣ началъ числовой закономѣрности и коррелятивной зависимости, обобщающей понятіе функціональной связи,—и долгъ средней школы употребить въ дѣло этотъ умственный капиталъ, который заграницей уже употребляютъ. Тѣсная связь между среднею и высшею школою, между учителями и университетскими профессорами есть одна изъ главныхъ тенденцій моего проекта; она есть и необходимое условіе поднятія образовательнаго уровня средней школы.

Обширность математическаго образованія и разносторонность его жизненнаго приложенія заставляютъ насъ подумать надъ устройствомъ не одного, а двухъ отдѣленій С и Д для этого образованія. Идея этой бифуркаціи, вычерпываемая изъ многообразія и опыта англійскихъ, нѣмецкихъ, русскихъ, швейцарскихъ, швед-

1) См. мой секціонный докладъ: „Объ учебныхъ особенностяхъ двухъ направленій математическаго курса средней школы“.

2) См. тамъ же.

скихъ, итальянскихъ и американскихъ школъ, вызывается педагогическою необходимостью считаться съ силами учениковъ и индивидуализировать возлагаемую на нихъ долю бремени. Бифуркація эта имѣетъ въ своемъ основаніи извѣстной единство, отъ котораго начинается раздвоеніе цѣлаго по слѣдующимъ двумъ направленіямъ: въ школѣ С преобладаетъ изученіе математической и логической дедукціи и функціональной связи величинъ, а въ школѣ Д преобладаетъ изученіе индукціи, комбинаторнаго анализа и коррелятивной связи, выясняемой и познаваемой эмпирически и статистически.

Болѣе подробно идея этой зарождающейся бифуркаціи разъяснена мною въ секціонномъ докладѣ, которому дано заглавіе: „Объ учебныхъ особенностяхъ двухъ направленій математическаго курса средней школы

Въ школахъ С и Д живые языки являются важнымъ образовательнымъ элементомъ, дѣлающимъ эти учрежденія гуманитарными. Мы присваиваемъ лицамъ, оканчивающимъ школы С и Д, баккалаврскій цензъ наравнѣ съ оканчивающими лингвистическія отдѣленія А и В. Живые языки оставятъ достаточно времени для математическаго образованія, являющагося теоретическимъ и практическимъ фундаментомъ обширнаго цикла наукъ, связанныхъ въ одно цѣлое. Къ этому циклу я отношу не одно только научное естествознаніе, т. е. астрономію, физику, химію, механику, біологію, географію и пр., но и статистику, этнографію, экономику, жизненно-страховое право и пр.

Школамъ С и Д нынѣ присвоены титулы реальныхъ и профессіональныхъ училищъ. Эту терминологію мы отбрасываемъ, какъ несоотвѣтствующую характеру школъ С и Д, задача которыхъ есть прежде всего дѣло образованія просвѣщенной личности, не предрѣшающее пока ея узкой профессіи.

Профессіональному образованію мы, конечно, придаемъ весьма существенное значеніе для жизни нашего Отечества, но оно является уже узко-практическимъ завершеніемъ школьнаго образованія личности, продолжаемымъ и за порогомъ школы, въ жизни— до полнаго совершенства. Профессіональному образованію посвященъ послѣдній вопросный пунктъ въ спискѣ отпечатанныхъ вопросовъ1). Высшее профессіональное образованіе всѣхъ родовъ, даваемое спеціальными высшими учебными заведеніями, только выиграетъ отъ предлагаемой реформы, но отнюдь не проиграетъ, а благодаря профессіональнымъ курсамъ (семинаріямъ) шире распространится въ нашемъ Отечествѣ.

(Окончаніе слѣдуетъ).

1) Здѣсь разумѣются вопросы свѣдующимъ лицамъ, приложенные к ь статьѣ: „Промежуточная лицейская ступень между среднею и высшею школами“.

Задачи.

159. Найти число въ три раза меньшее квадрата суммы его цифръ.

160. Найти числа, представляющія собою точные кубы и имѣющія видъ ІЪр —|— 1, гдѣ р — абсолютно простое число.

161. Въ углѣ С треугольника ЛВС провести сѣкущую ХУ (X на А С и У на ВС) такъ, чтобы: а) СХ = ХУ= ВУ\ Ъ) СХ=ХУ и АХ = СУ.

В. Кованько.

162. Построить корни уравненій

не рѣшая самыхъ уравненій {к, т и п — данные отрѣзки).

И. Александровъ.

163. Въ двухъ пересѣкающихся окружностяхъ провести сѣкущую ABCD (А и С—на одной, В и D — на другой окружности) такъ, чтобы AB = ВС = СВ.

Его-же.

164. Данный треугольникъ расположить вершинами на ребрахъ даннаго трехграннаго прямого угла.

В. Добровольскій.

165. Доказать обобщенную теорему Симсона: основанія наклонныхъ, проведенныхъ изъ какой-либо точки окружности подъ равными и одинаково направленными углами къ сторонамъ вписаннаго треугольника, лежатъ на одной прямой.

А. Сергѣевъ.

Рѣшенія задачъ.

46. Основаніемъ пирамиды SABCD служитъ прямоугольникъ AB CD, а длины реберъ SA, SB, SC и SD измѣряются цѣлыми числами. Найти общія выраженія для этихъ чиселъ.

Называя высоту пирамиды h, разстоянія основанія ея отъ AD л ВС чрезъ х и у, а отъ AB и CD чрезъ s и и, получимъ выраженія:

откуда

или

т. e. задача сводится къ нахожденію общаго вида такихъ четырехъ цѣлыхъ чиселъ, чтобы сумма квадратовъ двухъ изъ нихъ равнялась суммѣ квадратовъ двухъ другихъ. Изъ (1) находимъ:

Такъ какъ сумма и разность двухъ цѣлыхъ чиселъ одновременно могутъ быть либо обѣ четныя, либо обѣ нечетныя, а въ пропорціи изъ цѣлыхъ чиселъ не могутъ быть оба крайніе члены четные, когда оба средніе нечетные, то члены нашей пропорціи либо всѣ четные, либо всѣ нечетные. Въ первомъ случаѣ для членовъ пропорціи необходимо и достаточно положить:

гдѣ а, Ь, т, п — произвольныя цѣлыя числа. Отсюда имѣемъ:

Во второмъ случаѣ необходимо и достаточно положить:

гдѣ всѣ числа а, Ъ, т, п — нечетныя; отсюда

Послѣдній результатъ можно было-бы предвидѣть изъ предыдущихъ выраженій, которыя даютъ для реберъ пирамиды четныя числа въ томъ случаѣ, когда всѣ числа а, 6, т, п—нечетныя, и, слѣдовательно, они могутъ быть всѣ раздѣлены на 2. Не трудно убѣдиться, что при данныхъ выраженіяхъ для реберъ, другихъ общихъ дѣлителей для нихъ, кромѣ 2, которые не были-бы въ то-же время общими дѣлителями чиселъ а и Ъ или т и п, быть не можетъ. Такимъ образомъ, указанныя выраженія имѣютъ общій видъ. Нетрудно убѣдиться, что

(то. -(- пЬ)2 -j- (mb — па)2 = (та — пЪ)2 -f- (mb 4- па)2.

В. Добровольскій (Москва).

95. Показать, что при цѣломъ п

Пусть п—четное число; обозначая данную сумму Sn% имѣемъ:

Отсюда, вычитая, находимъ:

и, слѣдовательно,

Аналогично подобное равенство можно, вывести и для п нечетнаго. Изъ него послѣдовательно имѣемъ:

Перемножая эти равенства почленно, дѣлая сокращенія и принимая во вниманіе, что S1 = 1, найдемъ:

2. 3. 4_п. SM = 1. 3. 5. 7_(2 п — 1),

откуда

Н. Фуксъ (Москва).

116. Рѣшить уравненіе

Преобразуемъ лѣвую часть даннаго ур-ія.

Данное ур-іе можетъ быть переписано въ слѣдующемъ видѣ:

Выраженіе въ скобкахъ можетъ быть представлено въ свою очередь въ видѣ (2—\]z—і)2, а. потому данное ур-іе приметъ окончательную форму

Отсюда имѣемъ,

Итакъ, данное ур-іе имѣетъ четырехкратный корень z = 5.

А. Бутомо (Богодуховъ), Н. А. Б. (Херсонъ), К. Верещагинъ (Козловъ), Н. Галановъ (Москва), И. Евдокимовъ (Шуя), В. Кованько (ст. Струнино), В. Лебедевъ (Омскъ), В. Лебедевская (Москва), С. Леви (Николаевъ), В. Литвинскій (Екатеринославъ), А. Локуціевскій (ст. Каменская), Е. Назаревскій (Саратовъ), М. Орбекъ (Москва), А. Сергѣевъ (Москва), Д. Синцовъ (Харьковъ), II. Спиридоновъ (Москва), В. Сѣверный (Тула), Н. Фуксъ (Москва), В. Чичеринъ (Ярославль), Н. Щетининъ (Москва), А. Сердобинскій (Чита).

117. Доказать, что если ш и п—два числа, удовлетворяющхъ условію

m > п > е,

гдѣ е—основаніе натуральныхъ логариѳмовъ, то

Извѣстно, что для всякаго положительнаго числа а имѣемъ мѣсто неравенство

Такъ какъ по условію то величина-----^>0. Подста вимъ въ написанное неравенство вмѣсто а величину —-—

Будемъ имѣть

отсюда, принимая во вниманіе что т — п>0, получимъ

Такъ какъ по условію п^>е, то пт~п ет~п или, умножая обѣ части на положительную величину пп

Изъ неравенствъ (1) и (2) выводимъ

К. Верещагинъ (Козловъ), И. Евдокимовъ (Шуя), В. Кованько (ст. Струнино), U. Косминковъ (Егорьевскъ), М. Орбекъ (Москва), А. Сергѣевъ (Москва), Д. Синцовъ (Харьковъ), Н. Фуксъ (Москва), Н. Щетининъ (Москва).

118. Доказать, что во всякомъ треугольникѣ діаметръ круга вписаннаго не превышаетъ радіуса описаннаго круга.

Обозначая радіусъ описаннаго круга чрезъ і?, вписаннаго—г и разстояніе между ихъ центрами d, имѣемъ по теоремѣ Эйлера: d2 — R- — 2 Er, или d* = R(R — 2r)

Такъ какъ d‘22>0 и R^> 0. то Ä^>2r, что и требовалось доказать.

2-е рѣшеніе. Пользуясь обычными обозначеніями для элементовъ треугольника и примѣняя теорему о среднемъ ариѳметическомъ двухъ чиселъ, имѣемъ:

или

Точно также

Перемножая всѣ три неравенства почленно, найдемъ:

или, умножая обѣ части на р,

аЪс. р^> 8 S'2.

гдѣ 8—площадь треугольника. Далѣе пользуясь извѣстными соотношеніями р = — и abc = 4R.S, найдемъ г

откуда R^2r, что и требовалось доказать:

Н". Щетининъ, А, Сергѣевъ (Москва), і>. Кованько (ст. Струнино), it. Верещагинъ (Козловъ), И. Косминковъ (Егорьевскъ), И. Евдокимовъ (Шуя).

119. Въ окружности дана хорда AB. Въ извѣстномъ направленіи провести хорду CD, встрѣчающую AB въ точкѣ Е такъ, что АЕ : CD равно данному числу.

Пусть данное число задано въ видѣ отношенія двухъ отрѣзковъ т и п, а искомая хорда должна быть параллельна прямой PQ (см. чер. 1). Проведемъ хорду AH\\PQ, а чрезъ ея середину К проведемъ діаметръ KOS X АН. На данной хордѣ AB отложимъ А F = т и проведемъ прямую FG11 АН, отъ точки пересѣченія L этой прямой съ діаметромъ KS отложимъ отрѣзокъ LM = затѣмъ соединимъ точки К и М прямой, которую продолжимъ до пересѣченія съ окружностью въ точкѣ С. Наконецъ, чрезъ С проведемъ хорду CD\\PQ, которая и будетъ искомой.

Для доказательства положимъ, что CD пересѣкаетъ KS въ точкѣ N, и проведемъ ANX11KN; пусть эта прямая пересѣкается съ F G въ L1. Тогда изъ пособія треугольниковъ KLM и KNC слѣдуетъ:

а изъ подобія тр-ковъ

но ALX = KL и AN1 = KN, слѣдовательно

иначе

Очевидно, что задача не всегда возможна.

А. Сергѣевъ, М. Орбекъ (Москва), К. Верещагинъ (Козловъ), В. Кованько (ст. Струнино).

120. Даны окружность О и въ ней вписанный уголъ БАМ. Провести въ извѣстномъ направленіи сѣкущую CEDG (С и D—на окружности, Е и G—на сторонахъ угла, такъ, чтобы CE=DG.

Опустимъ изъ центра круга О (см. чер. 2) перпендикуляръ OR на данное направленіе 88 и продолжимъ его до пересѣченія въ точкѣ Т съ продолженіемъ линіи МА, а изъ точки Т проведемъ къ кругу сѣкущую TZL такъ, чтобы /_ МТО = /_ LT0. Продолжимъ прямыя LT и В А до взаимнаго пересѣченія въ точкѣ N и проведемъ въ углѣ LNB прямую NP, дѣлящую пополамъ всѣ отрѣзки, проведенные въ немъ параллельно направленію 88.

Пусть С есть точка пересѣченія этой прямой съ окружностью; линіяKCEDG, проходящая параллельно SS будетъ искомая. Дѣйствительно, по построенію КС = СЕ, но по симметріи фигуры, очевидно, KC=DG; слѣдовательно, CE=DG.

А. Сергѣевъ, М. Орбекъ, М. Щетининъ (Москва), В. Кованько (ст. Струнино), К. Верещагинъ (Козловъ).

121. Найти геометрическое мѣсто точекъ пересѣченія высотъ треугольниковъ, имѣющихъ общее основаніе и равные углы при вершинѣ.

Пусть ЛВС—одинъ изъ треугольниковъ, имѣющихъ общее основаніе АС и равные углы В при вершинѣ; проведемъ высоты АЕ и CD, которыя пересѣкаются въ точкѣ НИзъ треугольника DBEH имѣемъ: /^DHE-^ 360°—(90°-f- 90°-|-Б) = 180° — В\ но /_ АН С = /_ DHE\ слѣдовательно, этотъ уголъ постояненъ и гео-

метрическое мѣсто точекъ Н есть дуга круга, вмѣщающая уголъ 180° — В и построенная на АС.

М. Орбекъ, А. Сергѣевъ, В. Добровольскій (Москва), Д. Синцовъ (Харьковъ), В. Кованько (ст. Струнино), А. Сердобинскій (Чита), И. Евдокимовъ (Шуя), К. Верещагинъ (Козловъ).

122. Рѣшить уравненіе 9#2 — 6 = 13#.

Данное уравненіе можно представить въ видѣ:

9х3— 4# = 9#+ 6, или (9#2— 4) х = 3 (3# -f- 2),

иначе (Зх + 2) (Зх — 2) х = 3 (3# + 2)

или-же (3# + 2) [х (Зх — 2) — 3] = 0;

Отсюда имѣемъ: 3# -f- 2 = 0, т. е. хх = — —

и Зх2 — 2# — 3 = 0,

откуда

И. Галановъ, А. Сергѣевъ (Москва), В. Кованько (ст. Струнино), В. Лебедевъ (Омскъ), В. Чичеринъ (Ярославль), А. Сердобинскій (Чита), А. Дюбюкъ (Владимиръ), А. Локуціевскій (ст. Каменская), В. Сѣверный (Тула), И. Тейковцевъ (Владимиръ), К. Верещагинъ (Козловъ), В. Маловичко (Херсонъ), И. Евдокимовъ (Шуя).

123. Доказать тождество:

Общій fc-й членъ ряда въ лѣвой части равенства /с(3/с — 1) можно представить въ видѣ 3к2 — к. Поэтому сумма п членовъ ряда выразится такъ:

что и требовалось доказать.

А. Сергѣевъ (Москва), А. Сердобинскій (Чита), В. Лебедевъ (Омскъ), В. Кованько (ст. Струнино), В. Маловичко (Херсонъ), К. Верещагинъ (Козловъ), В. Сѣверный (Тула), И. Евдокимовъ (Шуя), А. Бутомо (Богодуховъ), В. Чичеринъ (Ярославль).

Среди математическихъ журналовъ.

Н. Агрономовъ. Ревель.

Первую часть нашего обзора мы посвящаемъ разсмотрѣнію содержанія вышедшихъ въ 1914 г. тетрадей „Journal de mathématiques élémentaires“.

Въ №№ 6 и 7 мы находимъ статью М. О. „Remarques géométriques sur la toupie“. Въ ней разсматривается свойство тѣла (волчка), образованнаго шаромъ и конусомъ, описаннымъ около этого шара. Очевидно, что это тѣло вполнѣ опредѣляется радіусомъ ОМ = г и высотой SM = Н (см. черт.). Авторъ статьи доказываетъ слѣдующія свойства этого тѣла: 1°, плоскость AB дѣлитъ въ одномъ и томъ-же отношеніи радіусъ ON и высоту SM; 2°, объемъ нашего тѣла равенъ произведенію его поверхности на треть высоты; 3°, если G есть центръ тяжести объема, а g—центръ тяжести поверхности, то -^-=—; 4 центръ тяжести G находится въ плоскости, перпендикулярной къ оси и дѣлящей поверхность нашего тѣла пополамъ.

Въ № 8 въ статьѣ А. Dechily, „Aire du triangle podaire d’un point par rappot a un triangle“ мы находимъ слѣдующую интересную теорему: если черезъ точку М въ плоскости треугольника проведемъ параллели къ сторонамъ ВС, С А, AB, то эти прямыя встрѣтятъ стороны (ВС, АС) (ВС, В А), (CÂ, СВ) въ точкахъ (а, а'), (Ъ, Ь') (с, с') такихъ, что Ma. Ma'МЪ. МЪ' Мс. Мс'—[г, есть степень точки М по отношенію къ описанной окружности.

Въ № 9 R. Goormaghtigh посвящаетъ небольшую статью свойствамъ точки Фейербаха (точка касанія вписаннаго круга съ окружностью Эйлера).

Въ № 10 R. Goormaghtigh, выводя формулу площади подарнаго1) треугольника, даетъ между прочимъ такую тоорему: если X, У, Z три точки на сторонахъ ВС, CA, AB тр-ка АВС, и ВХ = а, ХС = о!, СУ = ß, Y А = ß', AZ = у, LB = у', то площадь треугольника XYZ равна (ißy -f- afß'y') *2), гдѣ R радіусъ описаннаго круга. Отмѣтимъ мимоходомъ, что площадь подарнаго треугольника точки М равна —4^2—"і гд^ ® растояніе точки М отъ центра описаннаго круга.

1) Подарнымъ треугольникомъ точки М въ плоскости тр-ка АВС называется треугольникъ, имѣющій вершинами проэкціи М на стороны тр-ка.

2) Доказательство этой теоремы можно встрѣтить въ февральской книжкѣ журнала „Zeitschrift fur Matern, und natur. Unterricht“.

Въ томъ же номерѣ М. Jngelraus доказываетъ, что площадь наклоннаго подарнаго треугольника3) равна ^ 9 ^-п 0 /, гдѣ г уголъ наклона.

Въ отдѣлѣ задачъ мы встрѣчаемъ рядъ весьма интересныхъ теоремъ. Рѣшенія этихъ задачъ часто достигаютъ размѣровъ цѣлыхъ статей. Приведемъ наиболѣе изъ нихъ интересныя.

№ 7876. Теорема G. Alizi. Если даны двѣ пересѣкающіяся въ точкахъ В и С окружности съ центрами О и О', то прямыя, соединяющія произвольную точку окружности О съ точками В и С встрѣчаютъ окружность 0' въ точкахъ В' и 0', обладающихъ слѣдующими свойствами: 1° центръ круга описаннаго около т-ка АВ'С лежитъ на окружности, имѣющей центромъ О' и радіусомъ О А; 2°, ортоцентръ тр-ка АВ'С' лежитъ на окружности, имѣющей центромъ О'.

№ 7890. Теорема R. Manen-а. Если черезъ точку встрѣчи прямыхъ, соединяющихъ вершины тр-ка АВС съ точками касанія сторонъ треугольника со вписанной окружностью провести произвольную прямую, то

гдѣ а, /?, у суть разстоянія этой прямой отъ вершины тр-ка АВС, снабженные знаками -(- или — въ зависимости отъ того, по какую сторону отъ прямой лежатъ вершины А, В, С.

Аналогичная теорема доказывается и для внѣ вписанныхъ окружностей. Въ примѣчаніяхъ къ рѣшенію задачи приводится обобщеніе R. Goormaghtigh, позволяющее замѣнить точку, взятую Manen-омъ, любой другой точкой; конечно, при этомъ условіи формула Manen-а нѣсколько мѣняется.

№ 7877. Теорема R. Reshat-a. Во всякомъ треугольникѣ

(6- -J- с2) sin 2 А 4- (с2 -\- а2) sin 2 В -\- (а2 -|- Ъ2) sin 2 С = 12 S,

гдѣ а, 6, с, s стороны и площадь тр-ка.

№ 7383. Пусть а, /?, у суть средины сторонъ тр-ка АВС, А',В',С' точки касанія этихъ сторонъ съ вписаннной окружностью, О центръ описаннаго Круга и I центръ вписаннаго круга.

1°. Прямая, симметричная съ перпендикуляромъ, опущеннымъ изъ точки А' на 01 по отношенію къ биссектриссѣ угла В'А'С', проходитъ черезъ точку Фейербаха (см. выше).

2°. Прямая, симметричная съ перепендикуляромъ, опущеннымъ изъ а на 01 по отношенію къ биссектрисѣ угла ßay проходитъ черезъ точку Фейербаха.

3°. Если изъ точекъ а, ß, у опустить перепендикуляры на 01 и взять прямыя, симметричныя сторонамъ тр-ка по отношенію къ соотвѣтствующимъ перпендикулярамъ, то эти прямыя пере-

3) Если изъ точки М провести къ сторонамъ тр-ка АВС прямыя подъ угломъ і, то точки встрѣчи этихъ прямыхъ со сторонами тр-ка АВС суть вершины наклоннаго подарнаго треугольника.

сѣкаются на окружности девяти точекъ4) въ такой точкѣ, что перпендикуляръ изъ этой точки на прямую 01 проходитъ черезъ точку Фейербаха.

№ 7899. Теорема Rouquié Malgouzou. Если вписанный кругъ касается сторонъ тр-ка В А, С А въ точкахъ Е и F и М есть средина отрѣзка, заключеннаго между ортоцентромъ и вершиной А, то прямая соединяющая М съ точкой встрѣчи прямыхъ EF и 10 проходитъ черезъ точку Фейербаха (О, і—центры вписаннаго и описаннаго круговъ).

Заканчивая обзоръ „Journ. d. mathém. élém.“, считаю необходимымъ отмѣтить, что этотъ журналъ за послѣдніе годы въ большемъ размѣрѣ занимается вопросами геометріи тр-ка. Темой дня является точка Фейербаха и ея свойства и свойства подарнаго треугольника.

Въ февральской книжкѣ „Supplemento al Periodico di Mathematica“ мы находимъ статью T. Ghezzi „Sulla construzione approsimata dei poligoni regolari“. Въ ней авторъ занимается слѣдующимъ способомъ приближеннаго дѣленія окружности на равныя части, предложеннымъ проф. Frizzo: дѣлятъ діаметръ AB окружности на п (п > 8) равныхъ частей. На діаметрѣ AB строятъ равностосторонній тр-къ АВС и соединяютъ точку С со второй точкой D дѣленія, начиная съ А. Прямая CD встрѣчаетъ окружность въ двухъ точкахъ Р и Р1. Если точка Р лежитъ въ той полуокружности, которая противолежитъ (7, тодуга АР представляетъ изъ себя —-ую часть окружности. Для хорды АР авторъ находитъ слѣдующее значеніе

При п = 3, 4, 6 эта формула даетъ совершенно точныя значенія сторонъ треугольника, четыреугольника и шестиугольника.

Въ отдѣлѣ задачъ мы находимъ слѣдующую задачу С. Alsasia: „найти соотношеніе между коэффиціентами многочлена

могущаго быть представленнымъ въ видѣ суммы четвертыхъ степеней двухъ линейныхъ функцій х и у“. Такое соотношеніе выражается формулой

Въ февральской книжкѣ „Zeischrift fur mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht“ мы встрѣчаемъ статью Ph. Maen-

4) Окружностью девяти точекъ называется окружность, проходящая черезъ средины сторонъ и основанія высотъ тр-ка.

nghen „Lösungen und Löser der grossen Fermathehen Problems“. Въ ней мы находимъ интересный обзоръ наивныхъ попытокъ, направленныхъ къ доказательству великой теоремы Фермата, вызванныхъ объявленіемъ преміи Вольфскеля среди лицъ, имѣющихъ весьма отдаленное отношеніе къ математикѣ. Въ ней же мы встрѣчаемъ и исторію серьезныхъ изслѣдованій въ томъ-же направленіи. Въ заключеніе дается нѣсколько теоремъ, относящихся къ теоріи уравненій Фермата.

Въ отдѣлѣ задачъ не лишена интереса теорема Fischer-a. Если на сторонахъ ВС, С А, AB тругольника АВС взять точки MNP и соединить А съ М, В съ N, С съ Р и обозначить точки пересѣченія прямыхъ BN и СР, СР и AM, AM и BN черезъ D, Е, Н то площадь треугольника DEH равна

гдѣ S есть площадь тр-ка ABC; G — BP. CN + CN. АР AN. BP; Н=ВР. СМ+СМ. АР + АР. BM;J=BM.CN+CM.AN+AN. ВМ. (Подобная задача была предложена проф. В. Ермаковымъ въ „Вѣстникѣ Оп. Физ. и элем. мат.).

Въ отвѣтъ на задачу (№ 445) предложенную Gaedecke, дается слѣдующая формула для вычисленія числа точекъ пересѣченія діагоналей выпуклаго многоугольника:

Въ мартовской книжкѣ помѣщена статья W. Lietzmann-a „Die Einführung der Elemente der Differential—und Integralrechnuug in die höheren Schulen“, посвященная вопросамъ преподаванія высшаго анализа въ средней школѣ.

Тамъ-же Е. Müller въ статьѣ „Ein neuer Beweis des Eulerschen Satzes даетъ доказательство теоремы Эйлера, относящейся къ многогранникамъ.

Въ отдѣлѣ „Kleine Mitteilungen“ заслуживаетъ вниманія замѣтка

W. Tschuppik-a о построеніи перпендикуляра къ данной прямой въ данной точкѣ. Пріемъ слѣдующій: пусть на прямой g дана точка Р; на этой прямой, какъ на діаметрѣ описываемъ полукружность, встрѣчающую прямую g въ точкахъ А и В.\ Изъ точки В, какъ изъ центра, радіусомъ ВА описываемъ окружность к; изъ той же точки В, какъ изъ центра, радіусомъ ВР описываемъ другую окружность, встрѣчающую окружность AB въ точкѣ D; прямая BD встрѣчаетъ окружность К въ точкѣ S такой что SP ±д.

Въ отдѣлѣ задачъ мы находимъ рядъ задачъ Habenicht-a, посвященныхъ треугольникамъ съ однимъ изъ угловъ, равнымъ 60°. Въ рѣшеніи ихъ дается формула, позволяющая найти треугольники подобнаго рода съ сторонами, выражаемыми цѣлыми числами. (Примѣры 3, 7, 8; 8, 13, 15).

Библіографическій отдѣл.

Новый путь. Ариѳметическій задачникъ для начальныхъ школъ. 1-й годъ обученія. Составленъ I. Мундтомъ и переработанъ съ 205 изд. для русскихъ школъ подъ редакціей преподав. Москов. город. университета Шанявскаго В. И. Романова. М. 1914 г. Стр. 80 Ц. 20 к.

Новый путь. Руководство для преподавателя къ пользованію задачникомъ „Новый путь“. (Методика начальной ариѳметики). 1-й годъ обученія. Составлено I. Мундтомъ и переработано для русскихъ школъ подъ редакціей преп. Москов. город. унив. Шанявскаго В. И. Романова. М. 1914 г. Стр. 148. Ц. 50 к.

Сравнивая названныя сочиненія Мундта въ нѣмецкомъ подлинникѣ и въ русскомъ переводѣ, мы не нашли въ нихъ никакого новаго пути сравнительно не только съ нѣмецкой и иностранными литературами, но и съ русской, равно какъ не нашли основанія и къ тому, чтобы признать эту книгу „переработанной“. Это не „переработка“ книги, а обычный переводъ съ сохраненіемъ даже мельчайшихъ особенностей нѣмецкой методической литературы.

Взявъ на себя смѣлость озаглавить книжки „новымъ путемъ“, редакторъ, казалось бы, долженъ былъ оправдать это отвѣтственное заглавіе, тѣмъ болѣе, что въ нѣмецкомъ оригиналѣ ничего подобнаго такому заглавію нѣтъ.

Однако г. Романовъ этого не сдѣлалъ, да и не могъ сдѣлать, ибо планъ и пріемы разработки матеріала во всемъ существенномъ ничѣмъ не отличаются отъ другихъ нѣмецкихъ книжекъ, подобныхъ этимъ.

Правда, г. Романовъ, въ своемъ „предисловіи“ заявляетъ, что „на ряду съ общепринятыми пріемами преподаватель найдетъ въ ней и новые, напр. при дѣленіи на 2, на 3 и. т. д., введеніе дробныхъ частей: половина, треть и т. д. (Стр. 51—55 задачника) и мн. др.“ (см. стр. 2 „Руководства“). Но это заявленіе свидѣтельствуетъ о недостаточномъ знакомствѣ г. Романова съ иностранной методической литературой, ибо всѣ эти „новые“ пріемы есть и въ другихъ книжкахъ. Для примѣра назовемъ. Einheitliche Rechenaufgaben. Ausgabe А für Stadtschulen. Erstes Heft K. 0. Beetz'a; zweite, verbesserte Auflage, S. 10, 16, 18. Правда, у Мундта, въ качествѣ нагляднаго пособія, при объясненіи дѣленія являются прямыя вертикальныя палочки, а у Бетца—кружки, квадратики и др. Но это въ данномъ случаѣ второстепенный вопросъ, во всякомъ случаѣ не такой, чтобы изъ-за него можно было назвать всю книгу новымъ путемъ1).

Что же касается введенія дробныхъ частей—половины, трети и т. д. въ 1-й годъ обученія, то въ американской и русской литературѣ этотъ вопросъ разработанъ въ методическомъ отношеніи лучше. См., напр., ..Первоначальную ариѳметику“ Уэнтуорта и Рида, перев. съ англійскаго, изд. Сытина, стр. 18, 30, 39 и др.; „Primary arithmetic“ D. E. Smith'a, p. 17, 18, 19, 24, 25 и др.; „New elementary arithmetic“ Wentworth'a, 1907, p. 29, 31. Правда, введеніе дробей въ младшее отдѣленіе начальной школы въ современной нѣмецкой методической литературѣ встрѣчается весьма рѣдко. Но это введеніе дробей не новость для названной литературы, ибо еще Грубе, а въ слѣдъ за нимъ, напр., и Зальберга вводили дроби даже въ область чиселъ 1-го десятка.

Говоря вообще, г. Романовъ переоцѣниваетъ значеніе книжекъ Мундта, вопреки заявленію самого автора. Такъ, напр., г. Романовъ въ „Предисловіи“ кь „Методикѣ“ заявляетъ, что цѣль этой „Методики“ дать не только „разработанный во всѣхъ подробностяхъ планъ“ (курсивъ нашъ), но и указанія, какъ вести преподаваніе въ каждомъ отдѣльномъ случаѣ“ (курсивъ нашъ), т.-е., говоря иначе, дать подробныя указанія относительно обученія ариѳметикѣ. Между тѣмъ, самъ авторъ заявляетъ, что „настоящее руководство не имѣетъ въ виду служить полнымъ (курсивъ нашъ) наставленіемъ въ дѣлѣ начальнаго преподаванія ариѳметики, оно даетъ только... нѣкоторыя указанія (курсивъ нашъ) относительно способа преподаванія“ (см. стр. 4 а, оригинала стр. 5).

Но, называя переведенныя книжки Мундта „Новымъ путемъ“, г. Романовъ, можетъ быть, имѣлъ въ виду русскую начальную школу?

Но и въ этомъ случаѣ онъ не правъ, ибо все существенное въ планѣ, изложеніи и методѣ содержится и въ нѣкоторыхъ русскихъ задачникахъ. Я

1) Подобный же пріемъ дѣленія (но только на равныя части, а не „по содержанію“) встрѣчается у Бэме. (А. Böhmes Rechenbücher bearbeitet von К. Schaffer n G. Weidenhammer. Leipzig, 1905. Erstes Heft. S. 20. 21) и др.

не говорю уже про переводную русскую литературу, какъ, напр., „Методику ариѳметики“ и „Ариѳметическіе задачники“ Штёклина.

Единственно что особеннаго и, можно сказать, новаго въ„Методикѣ ариѳметики“ Мундта, такъ это то, что въ ней, кромѣ только дополнительнаго матеріала къ ученическому задачнику, содержится полностью ученическій задачникъ

Но это, во-первыхъ, новость для русской учебной литературы, но не нѣмецкой, гдѣ подобныя методики встрѣчаются2), а во-вторыхъ, это чисто внѣшняя сторона дѣла, неимѣющая непосредственнаго отношенія къ методикѣ ариѳметики.

Но если нельзя было оправдать названія „новаго пути“, то желательно было бы и даже необходимо указать, въ чемъ же состояла „переработка“ книжекъ Мундта. Однако, и этого нѣтъ. Тщательно сличивъ русское изданіе съ оригиналомъ, мы нашли въ первомъ нѣсколько измѣненій сравнительно съ послѣднимъ. Такъ, напр., марки и пфенинги замѣнены рублями и копейками, литры — бутылками.

Есть нѣсколько задачъ, въ которыхъ встрѣчается несущественное измѣненіе текста, числовыя же данныя оставлены тѣ же. Напр., ср. оригиналъ „задачника“, стр. 56, № 3, и русское изданіе стр. 69, № 3.

Встрѣчается нѣсколько задачъ, въ которыхъ измѣненъ не только текстъ, но и числовыя данныя. Напр., см. оригиналъ задачника, стр. 58, № 13 и русское изд., стр. 48, 13; стр. 62, №№ 41—42 оригинала и стр. 77, №№42—43 перевода „задачника“; стр. 64, №№ 18 — 19 оригинала и стр. 78, №№ 17—18 перевода „задачника“.

Есть нѣсколько слегка измѣненныхъ рисунковъ (ср. стр. 4 оригинала и 6 стр. русскаго изд. задачника).

Есть 2—3 непереведенныхъ задачи (см., напр., стр. 31 № 20 и стр. 37, № 8 нѣмецкаго задачника).

Но всѣ эти измѣненія такого рода, подобныя которымъ встрѣчаются въ каждой переведенной книжкѣ для начальныхъ школъ, а особенно для перваго года обученія.

Правда, есть болѣе важное отступленіе отъ подлинника, а именно пропущены примѣры на умноженіе въ предѣлѣ десяти (см. стр. 18, №№ 7 — 8 нѣмецкаго задачника и стр. 44 нѣмецкой методики). Но, во-первыхъ, этихъ примѣровъ мало, а во-вторыхъ, они не такого рода, чтобы называть книжки „переработанными“.

Съ другой стороны, что дѣйствительно слѣдовало бы измѣнить сравнительно съ подлинникомъ, то осталось безъ измѣненія.

Такъ, множимое всюду поставлено на 2-мъ мѣстѣ, а множитель на 1-мъ, какъ въ нѣмецкомъ оригиналѣ. Между тѣмъ въ русской литературѣ принято обратное обозначеніе, т.-е. множимое на 1-мъ мѣстѣ, а множитель на 2-мъ.

Точно также не принято въ русской ариѳметической литературѣ такое, напр., обозначеніе дѣленія:

1 въ 4= 4 раза.

(см. „Задачникъ“ стр. 50, № 4; стр. 51, №№ 4—5, № 4, и др.); или же такое:

2 въ 20 = 10 X ?

(см. стр. 77 русск. перев. „Задачника“).

Теперь укажемъ болѣе существенные промахи дидактическаго характера.

Такъ, совсѣмъ неумѣстно въ книжкѣ для учениковъ 7—8 лѣтъ давать опредѣленіе дѣленія (см. стр. 49 задачника).

Едва-ли кто въ Россіи измѣряетъ вмѣстимость бочки бутылками (см. „Задачникъ“, стр. 71, № 28)? При томъ, едва-ли есть въ Россіи такія бочки, которыя вмѣщаютъ въ себѣ 60—70 бутылокъ воды (см. „Задачникъ“, стр. 71 и „Методику“, стр. 133).

Преждевременно при изученіи перваго десятка знакомить дѣтей съ разностнымъ сравненіемъ чиселъ (см. „Руководство“, стр. 5, 46 и др.).

Едва-ли понятна для русскихъ дѣтей, а особенно сельскихъ, игра въ кегли (см. стр. 43 „Руководства“)? А если ужъ вводить ее, то надо было объяснить, какъ пользоваться ею.

Нельзя одобрить манеры ставить математическіе знаки между рисунками (см. стр. 29 ,75 и др. „Руководства“).

2) Для примѣра назовемъ „Rechenbuch für Volkschulen“ Genau и Pieper'a. Ausgabe für den Lehrer). Berl. 1900.

Нельзя признать удачнымъ названіе такъ называемаго бѣглаго счета „,мѣрнымъ счетомъ“ (Taktrechnen).

Слово „задача“ (Aufgaben) въ нѣмецкой ариѳметической литературѣ употребляется въ нѣсколько иномъ смыслѣ, чѣмъ въ русской ариѳметической литературѣ. Поэтому лицу, взявшемуся „переработать“ книжки, слѣдовало бы оговорить это, а еще лучше придать этому термину такое значеніе, какое принято въ нашей, русской, литературѣ.

Нѣтъ достаточнаго основанія вводить, при изученіи 1-го десятка, „выдуманныя“ нѣмцами упражненія на такъ называемыя разложеніе (Zersetzung) и дополненіе (Ergänzung) чиселъ, ибо эти упражненія, вмѣсто пользы, приносятъ вредъ на даннной ступени.

Изъ сказаннаго видно, что г. Романовъ измѣнилъ въ русскомъ изданіи сравнительно съ нѣмецкимъ менѣе существенное, а болѣе важное оставилъ безъ измѣненія, сохранивъ даже специфическія особенности нѣмецкой ариѳметической литературы, чуждыя русской начальной школѣ.

Кромѣ того, встрѣчается неудачная редакція задачъ. Такова, напр., задача № 4 на стр. 74.

Есть неудачныя выраженія, какъ напр.: „переходъ на первый десятокъ“ (стр. 49 „Методики“); „знаешь-ли ты часы“ (стр. 80 „задачника“ и стр. 148 „Методики“).

Есть грубыя ошибки (см. стр. 68; № 8 „Задачника“; въ нѣмецкомъ оригиналѣ задача формулирована вѣрно, см. стр. 55, № 7).

Точно также встрѣчается грубая ошибка въ задачѣ № 9 на стр. 64 „Задачника“. Или точнѣе говоря, ошибку въ послѣдней задачѣ лучше назвать опечаткой, ибо въ нѣмецкомъ оригиналѣ числовыя данныя выбраны вѣрно (см. стр. 52, № 8 внизу).

Не удачно „дѣленіе по содержанію“ называется „содержимостью“ (стр. 101 „Методики).

В. И. Романовъ видитъ въ книжкахъ Мундта „особенно высокія достоинства“, основывая это на томъ, что въ Германіи „Задачникъ“ выдержалъ болѣе 200 изданій. Но это основаніе не изъ весьма прочныхъ, ибо намъ извѣстно немало математическихъ книгъ съ высокими достоинствами какъ въ заграничной, такъ и въ русской литературѣ, которыя, однако, мало распространены, а съ другой стороны есть не мало такихъ книгъ въ этой области, которыя пора сдать въ архивъ, но которыя, тѣмъ не менѣе, очень распространены. Это зависитъ, съ одной стороны, отъ „вкуса“ публики, вкусъ же этотъ не всегда доброкачественный, а съ другой—отъ рутины нѣкоторыхъ педагоговъ, съ которой бороться болѣе, чѣмъ трудно.

Вызываетъ возраженіе и то сообщеніе г. Романова, что задачникъ Мундта „принятъ повсемѣстно въ начальныхъ школахъ Германіи“ (см. „Предисловіе“ къ задачнику), ибо какъ же съ этимъ согласить то явленіе, что въ Германіи есть нѣсколько другихъ задачниковъ, которые выдержали около 200 и болѣе изданій.

Мы указали далеко не всѣ недостатки разматриваемыхъ книжекъ, но и сказаннаго достаточно, чтобы утверждать, что г. Романовъ не достаточно критически и вдумчиво отнесся къ предпринятой имъ работѣ, да, повидимому, онъ и не очень знакомъ какъ съ литературой предмета, такъ и съ практической постановкой обученія въ начальной школѣ.

Съ внѣшней стороны русское изданіе хуже чѣмъ нѣмецкое.

Д. Волковскій.

Засѣданія Московскаго Математическаго Кружка.

Въ засѣданіи 20 февраля 1914 г. былъ заслушанъ и утвержденъ прочитанный секретаремъ А. А. Волковымъ отчетъ о дѣятельности Кружка за 1913-й годъ и произведены выборы членовъ Правленія Кружка, причемъ избранными оказались: предсѣдателемъ—Б. К. Млодзѣевскій, его товарищемъ—А. К. Власовъ, секретарями—Л. И. Лебель и А. А. Волковъ.

Б. К. Млодзѣевскій довелъ до свѣдѣнія собранія, что Харьковское Математическое Общество не нашло возможнымъ принять на себя устройство Третьяго Съѣзда преподавателей математики, и что поэтому Организаціоннымъ Комитетомъ Второго Съѣзда отправлено письмо на имя Педагогиче-

скаго Музея Военно-Учебныхъ заведеній и его Отдѣла Математики съ предложеніемъ принять на себя организацію 3-го Съѣзда.

I. И. Чистяковъ сообщилъ о состоявшемся между организаціоннымъ Комитетомъ 2-го Съѣзда и редакціей „Математическаго Образованія“ соглашеніи относительно изданія сборника докладовъ, читанныхъ на Съѣздѣ, и разсылки его безплатно или за плату всѣмъ членамъ Съѣзда. Постановлено просить редакцію „Математическаго Образованія“ напечатать въ ближайшемъ номерѣ журнала обращеніе къ авторамъ съ просьбой прислать рукоциси прочитанной ими докладовъ не позже 1-го мая.

A. К. Власовъ сдѣлалъ сообщеніе: По поводу одной задачи, помѣщенной въ „Математическомъ Образованіи“.

Въ журналѣ, подъ № 91 была помѣщена задача:

Найти геометрическое мѣсто центровъ круговъ, проходящихъ чрезъ данную точку и отсѣкающихъ на данной прямой хорды данной длины: въ № 1 за 1914-й г. было напечатано и рѣшеніе этой задачи методомъ аналитической геометріи. Докладчикъ изложилъ чисто геометрическое рѣшеніе задачи, основанное на свойствахъ системъ круговъ.

I. И. Чистяковъ сдѣлалъ докладъ: 2-й Всероссійскій Съѣздъ преподавателей математики. Референтъ остановился въ своемъ докладѣ на оцѣнкѣ работъ 2-го Съѣзда и на сравненіи тѣхъ особенностей, которыя были характеристичными для 1-го и 2-го Съѣздовъ. Отмѣченныя особенности отразились и на содержаніи самыхъ резолюцій Съѣздовъ.

Въ засѣданіи 20 марша 1914 года Н. Г. Богуславская сдѣлала докладъ: „Нѣкоторые результаты использованія на урокахъ ариѳметики жизненнаго матеріала“. Докладчица остановилась прежде всего на анализѣ понятія „жизненная задача“; нѣкоторые опредѣляютъ „жизненныя задачи“ какъ такія, которыя заимствованы изъ жизни. Но не все, что можетъ быть заимствовано изъ жизни, является жизненнымъ для учащихся; поэтому чтобы задача вызывала интересъ въ ученикѣ, необходимо, чтобы тотъ матеріалъ, который въ нее входитъ, имѣлъ жизненный интересъ для самого ученика. Такой матеріалъ содержатъ задачи изъ жизни школы: задачи, связанныя съ измѣреніемъ роста и вѣса учениковъ, ихъ силы; задачи, связанныя съ устройствомъ школьныхъ праздниковъ, экскурсій,—съ событіями, извѣстными изъ газетъ и могущими заинтересовать учащихся, напр. со сборомъ на пострадавшихъ отъ урагана, продажей бѣлаго цвѣтка“ и пр. По мнѣнію докладчицы, ощущается большая потребность въ такихъ книгахъ, въ которыхъ были-бы даны, во первыхъ, свѣдѣнія справочнаго характера, а во вторыхъ, имѣлись-бы статьи, въ которыхъ быль-бы обрисованъ математическій цѣнный матеріалъ, входящій въ тотъ или иной кругъ вопросовъ, сообщаемыхъ ученикамъ въ школѣ.

B. В. Добровольскій сдѣлалъ докладъ: „О взаимно-фокальныхъ свойствахъ коническихъ сѣченій“. Докладчикъ показалъ, что разсматривая семейство конусовъ, сѣченія которыхъ представляютъ данный эллипсъ и вершины которыхъ находятся въ плоскости, перпендикулярной плоскости эллипса и проходящей чрезъ его большую ось, нетрудно показать, что геометрическимъ мѣстомъ точекъ, сумма разстояній отъ любой пары изъ которыхъ для всѣхъ точекъ эллипса является постоянной, оказывается гипербола, лежащая въ указанной выше плоскости и имѣющая вершины въ фокусахъ, а фокусы въ вершинахъ: обратно, любыя двѣ точки эллипса являются фокусами построенной гиперболы.

Математическій Кружокъ слушательницъ Московскихъ Высшихъ Женскихъ Курсовъ.

Осенью прошлаго года началъ свою дѣятельность Математическій Кружокъ Слушательницъ М. В. Ж. К., поставившій себѣ цѣлью объединеніе слушательницъ на почвѣ научныхъ и педагогическихъ интересовъ и развитіе среди нихъ научной иниціативы. Въ дѣятельность Кружка входитъ устройство собраній съ докладами и сообщеніями на научныя и педагогическія темы.

Въ теченіе двухъ семестровъ были прочитаны слѣдующіе доклады и сообщенія: „Многогранники Пуансо“. „Многоугольники особаго рода“. „О конхоидѣ и циссоидѣ и рѣшеніе нѣкоторыхъ задачъ съ помощью ихъ“ (съ

демонстраціей двухъ приборовъ для черченія конхоиды). „Методъ подобія въ механикѣ“. „Задача о пчелиной ячейкѣ“. „Замѣтка о рѣшеніи неопредѣленныхъ уравненій“. „О прерывныхъ функціяхъ“. „Методъ инверсіи“. „Преобразованіе прикосновенія на плоскости“. „Линейныя подстановки на плоскости мнимаго перемѣннаго“. „О приближенномъ представленіи функціи помощью многочленовъ“. „О наглядномъ методѣ преподаванія математики“. „Примѣрный урокъ по геометріи“ (глава о многогранникахъ). „О выставкѣ наглядныхъ пособій при II всероссійскомъ съѣздѣ преподавателей Математики“.

Кромѣ того, преподаватель Курсовъ I. И. Чистяковъ прочиталъ два доклада о Второмъ Всероссійскомъ съѣздѣ преподавателей математики.

Нѣкоторые изъ перечисленныхъ докладовъ явились продолженіемъ занятій слушательницъ въ семинаріяхъ. Обычно доклады вызывали рядъ вопросовъ и сопровождались собесѣдованіями, въ которыхъ принимали участіе и преподаватели В. Ж. Курсовъ. Весной Кружку удалось организовать педагогическую секцію, которая поставила себѣ цѣлью разработку вопросовъ педагогическаго характера, веденіе примѣрныхъ уроковъ, ознакомленіе съ учебниками и постановкой преподаванія математики въ средней и низшей школѣ, а также осуществленіе анкеты съ цѣлью выясненія запросовъ и потребностей преподавательницъ, математики, касающихся ихъ научной и педагогической подготовки.

Кромѣ того, Кружокъ приступилъ къ составленію собственной библіотеки, къ изданію лекцій и серіи открытокъ съ портретами математиковъ.

Новыя книги.

Д. Д. Галанинъ. Л. Ф. Магницкій и его ариѳметика. Вып. II. М. 1914. Ц. 2 р.

В. Фридманъ. Періодическая система элементовъ Д. И. Менделѣева въ графическомъ изображеніи М. 1914. Ц. 20 к.

Инж. С. И. Александровскій. Станціи малой мощности, ихъ постройка и эксплоатація при русскихъ условіяхъ. Изд. „Электричество и жизнь“. Николаевъ 1914.

Инж. С. И. Минцловъ. Періодическія и конечныя десятичныя дроби и дѣйствія надъ ними. Сиб. 1914. Ц. 45 к.

С. Г. Петровичъ. Курсъ теоретической механики Ч. IV. Динамика твердаго тѣла. Спб. 1914. Д. 2 р. 50 к.

С. П. Репьевъ. Краткій очеркъ фабричнаго законодательства въ Россіи. Для промышленныхъ училищъ. Казань 1914. Ц. 1 р 20 к.

Н. Г. Лексинъ. Методика начальной ариѳметики въ духѣ воспитывающаго обученія. Казань. 1914. Ц. 1 р. 20 к.

И. Б. Вольфсонъ. Ординальныя основы теоріи функцій вещественныхъ перемѣнныхъ. Харьковъ. 1914.

С. Богомоловъ. Различные пути для обоснованія геометріи. Спб. 1914.

Дж. В. А. Юнгъ. Какъ преподавать математику. Изд. 2-ое. Вып. 1. Спб. 1914. Ц. 1 р. 50 к.

Н. Е. Кутузовъ. Сборникъ ариѳметическихъ задачъ. 2-е переработ. изд. М. 1914. Ц. 20 к.

І. Штеклинъ. Методика ариѳметики. Ч. III. Перев. А. С. Долговой, подъ ред. Д. Л. Волковскаго. Изд. И. Д. Сытина. М. 1914. Ц. I р. 60 к.

І. Штеклинъ. Ариѳметическій задачникъ. Перев. А. С. Долговой, подъ ред. Д. Л. Волковскаго. Изд. И. Д. Сытина. М. 1914. Вып. VII. Дѣн. 15 к., вып VIII. Ц. 20 к.

Кубанская школа Общественно-педагогическій журналъ. № 1. 1914. Ц. за годъ 2 р. 50 к. Екатеринодаръ.

Опечатки.

На стр. 103, въ зад. № 142 напечатано sn2x. cos х, слѣд. 2sn2x csx.

На стр. 201, въ зад. № 154 напечатано S'y слѣдуетъ Sy

Отвѣтственный редакторъ I. Чистяковъ.