Математическое Образованіе.

Журналъ Московскаго Матгматическаго Кружка

Годъ третій.

№ 4.

Апрѣль 1914 г.

МОСКВА.

Яковъ Бернулли.

1654—1705.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

„Математическое Образованіе“

Апрѣль 1914 г. Годъ 3-й. № 4.

СОДЕРЖАНІЕ: Портретъ. Яковъ I Бернулли и теорія вѣроятностей. В. В. Бобынинъ. Понятіе функціи въ средней школѣ. С. Н. Бернштейнъ. Систематическое распредѣленіе и послѣдовательное прохожденіе геометрическихъ задачъ на построеніе въ математическомъ преподаваніи въ нѣмецкой средней школѣ. А. Рорбергъ, пер. А. К. Сушкевича. Преподаваніе математическихъ наукъ во французскихъ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ. Проф. И. Н. Салтыковъ. Построенія Штейнера и построенія съ помощью двусторонней линейки, прямого или остраго угла. И. Александровъ. Задачи. Рѣшенія задачъ. Новыя книги.

Яковъ I Бернулли и теорія вѣроятностей.

(Съ портретомъ).

По поводу исполнившагося въ 1913 году 200-лѣтія со дня появленія въ свѣтъ книги „Ars conjectandi“.

В. В. Бобынинъ. Москва.

Семейство Бернулли представляло, хотя и не единичный, но все-таки замѣчательный по своей рѣдкости, случай появленія въ нѣсколькихъ послѣдовательныхъ поколѣніяхъ ряда болѣе или менѣе выдающихся дарованій одного и того-же рода. Въ трехъ слѣдующихъ одно за другимъ поколѣніяхъ оно дало именно восемь выдающихся математиковъ, изъ которыхъ три вполнѣ могутъ быть названы знаменитыми. Каѳедра математики въ университетѣ родного для этихъ поколѣній города, Базеля, въ теченіе 105 лѣтъ была занимаема кѣмъ-нибудь изъ нихъ. Знаменитѣйшія изъ академій и ученыхъ обществъ Европы считали какъ-бы своимъ долгомъ имѣть Бернулли въ числѣ своихъ членовъ и въ Парижской Академіи Наукъ съ самаго учрежденія въ ней въ 1699 году восьми креселъ для знаменитѣйшихъ изъ иностранныхъ ученыхъ два кресла тотчасъ же были заняты членами семейства Бернулли и послѣ смерти старшаго изъ нихъ, Якова I, одно кресло до самаго 1790 года оставалось за семействомъ Бернулли. Въ Петербургской Академіи Наукъ съ ея основанія въ 1725 году сначала въ теченіе 8 мѣсяцевъ двѣ каѳедры, а потомъ до 1733 года и съ 1786 по 1789 годъ одна, были заняты членами семейства Бернулли.

Настоящимъ отечествомъ Бернулли былъ Антверпенъ. Оставить его имъ пришлось вслѣдствіе религіозныхъ гоненій герцога Альбы, вынудившихъ главу семьи, Якова, переселиться во Франкфуртъ на Майнѣ, гдѣ онъ и умеръ въ 1583 году. Одинъ изъ его внуковъ, по имени то же Яковъ (род. въ 1598 году, умеръ въ 1634), переѣхалъ въ Базель и въ 1622 году сдѣлался гражданиномъ города. Его сынъ Николай (род. въ 1623 году, умеръ въ

1708) и былъ отцомъ поколѣнія, состоявшаго изъ четырехъ сыновей, изъ которыхъ два, Яковъ и Іоаннъ, были математиками и притомъ знаменитыми. Какъ къ старшимъ изъ математиковъ семьи Бернулли, къ ихъ именамъ и присоединяется цифра I.

Яковъ 1 Бернулли родился въ Базелѣ 27 декабря 1654 года. По желанію отца, стремившагося сдѣлать изъ него служителя алтаря, онъ долженъ былъ заниматься изученіемъ богословія, хотя рано опредѣлившееся призваніе влекло его къ занятіямъ математикою и астрономіею. Вполнѣ самостоятельному веденію этихъ занятій тайно отъ отца онъ и предавался наряду съ занятіями богословіемъ. По окончаніи изученія послѣдняго онъ въ 1676 году отправился въ долговременнное путешествіе, въ которомъ особенно долго оставался въ Женевѣ и во Франціи. Возвратившись въ 1682 году на родину въ Базель, онъ получилъ предложеніе занять мѣсто проповѣдника въ Страссбургѣ. Это предложеніе имъ было отвергнуто и онъ окончательно рѣшилъ посвятитъ себя своему призванію, именно физическимъ и математическимъ наукамъ. Вышедшими въ свѣтъ въ это время его первыми сочиненіями были: Neu erfundene Anleitung, wie man den Lauff eines Cometen nach sicheren Voraussagen kann (Basel 1681); Conamen novi systematis Cometarum etc. (Amstel. 1682); Dissertatio de gravitate Aetheris (тамъ-же 1683); Nova ratio aëris ponderandi (Acta Eruditorum 1685); Demonstratio rationum, quas habent series numerorum naturali progressione se insequentium (тамъ-же 1686) и нѣсколько статей въ Journal des Savans 1683—1885 годовъ.

Съ 1687 года Яковъ I Бернулли сдѣлался профессоромъ математики въ Базельскомъ университетѣ, гдѣ въ числѣ его учениковъ былъ и его младшій братъ Іоаннъ I, родившійся въ 1667 году (27 іюля). Ученикъ, бывшій также и сотрудникомъ учителя, продолжалъ трудиться совмѣстно съ нимъ надъ разработкою математики и послѣ окончанія своего ученія. Какъ на главнѣйшій изъ ихъ совмѣстныхъ трудовъ можно указать на отвѣтъ въ 1690 году на задачу объ изохронахъ, въ которомъ Яковъ I Бернулли представилъ дифференціальное уравненіе изохроны въ видѣ

при чемъ отъ равенства составляющихъ уравненіе выраженій заключилъ и къ равенству ихъ интеграловъ

Слово „интегралъ“ было употреблено имъ при этомъ въ наукѣ впервые и къ тому же независимо отъ Іоанна I, хотя тотъ позднѣе въ своей автобіографіи и заявлялъ на этотъ терминъ свои права.

Свою посвященную изложенному сейчасъ предмету статью въ Actis Eruditorum Яковъ I Бернулли заключилъ предложеніемъ геометрамъ для рѣшенія задачи „найти видъ гибкой свободно повѣшенной въ двухъ точкахъ веревки“. Геометрами, ее рѣшив-

шими, были Лейбницъ, Гюйгенсъ и Іоаннъ I Бернулли. Послѣдній посвятилъ своему рѣшенію свою первую печатную статью, написанную къ тому-же вполнѣ самостоятельно и независимо отъ брата, подъ заглавіемъ Solutio problematis funicularii (Acta Eruditorum 1691). За нею послѣдовалъ и рядъ другихъ статей, совершенно или въ большей или меньшей мѣрѣ независимыхъ отъ брата Якова. Такъ продолжалось до окончательнаго разрыва между братьями, превратившаго существовавшія между ними дружескія отношенія въ непріязненныя.

Начало открытой вражды между братьями послѣдовало очень скоро послѣ переѣзда Іоанна I Бернулли въ 1695 году изъ Базеля въ Гренингенъ, куда онъ былъ приглашенъ на должность профессора математики и физики въ университетъ. Первый поводъ къ ея проявленію былъ данъ Яковомъ I Бернулли, который въ нѣсколькихъ послѣдовательныхъ статьяхъ дѣлалъ все болѣе и болѣе чувствительные уколы для самолюбія брата. Въ началѣ этотъ послѣдній ограничивался выраженіемъ вызываемаго ими раздраженія только въ своихъ письмахъ къ Лейбницу. Настоящая-же распря между братьями и уже въ печати возгорѣлась послѣ предложенія Іоанномъ въ іюнѣ 1696 года въ Acta Eruditorum задачи о брахистохронѣ, вызвавшей со стороны Якова въ посвященной ея рѣшенію статьѣ предложеніе задачи объ изопериметрическихъ кривыхъ. Наибольшей, высоты своего развитія распря между братьями достигла въ 1698 году, когда Яковъ I Бернулли заявилъ въ Journal des Savans о томъ, что рѣшеніе задачи объ изопериметрическихъ кривыхъ, данное Іоанномъ, вслѣдствіе заключающейся въ немъ ошибки не вполнѣ соотвѣтствуетъ истинѣ. Іоаннъ согласился съ этими указаніями брата только послѣ его смерти, именно въ 1718 году.

Изъ многочисленныхъ заслугъ передъ наукою, принадлежащихъ Якову I Бернулли, особенно значительными были оказанныя имъ развитію Анализа безконечно-малыхъ, ученію о рядахъ и теоріи вѣроятностей. Первыя не разъ заставляли Лейбница говорить, что анализъ безконечно-малыхъ также много обязанъ братьямъ Бернулли, Якову и Іоанну, какъ и ему самому.

Ученію о рядахъ были посвящены пять мемуаровъ Якова I Бернулли, разсматриваемыхъ авторомъ какъ части цѣлаго, которыя при общемъ для нихъ всѣхъ заглавіи Propositions Arithmeticae de Seriebus infinitis eorumque summa finita обозначались, начиная со второго мемуара, еще частными названіями: pars altera, tertia, quarta, quinta. Каждый изъ этихъ мемуаровъ, какъ диссертацію, авторъ дѣлалъ въ свое время предметомъ происходившаго подъ его предсѣдательствомъ диспута. Защитниками диссертацій на этихъ диспутахъ и годами ихъ защиты соотвѣтственно были: Фритцъ въ 1689 году, Бекъ въ 1692, Германнъ въ 1698, Гаршеръ въ 1695 и Николай I Бернулли въ 1704. Въ изданіи собранія сочиненій Якова I Бернулли, вышедшемъ въ свѣтъ въ 1744 году въ Базелѣ въ двухъ томахъ подъ заглавіемъ Jacobi Bernoulli Ваsiliensis Opera, эти мемуары занимаютъ соотвѣтственно страницы 373—402 и 517—542 въ Ітомѣ, 745—764, 849—867 и 955—975 во

ІІ-мъ. Особенно важнымъ изъ нихъ по содержащимся въ немъ изслѣдованіямъ и ихъ результатамъ является первый мемуаръ, въ которомъ между прочимъ разсматривается гармоническій рядъ, дающій безконечно-большую сумму

Что-же касается остальныхъ мемуаровъ, то они не только гораздо менѣе значительны по своему содержанію, но и заключаютъ въ себѣ иногда утвержденія на столько ошибочныя и ложныя, что съ трудомъ вѣрится, чтобы ихъ могъ дѣлать авторъ перваго мемуара.

Въ 1699 году Яковъ I Бернулли былъ избранъ въ иностранные члены Парижской Академіи Наукъ. Какъ таковой, онъ помѣстилъ въ ея Mémoires слѣдующія статьи: Section indéfinie des arcs circulaires en telle raison, qu’on voudra avec la manière d’en déduire, les sinus etc. (1702); Démonstration générale du centre de balancement ou d’osallation etc. (1703); Application de sa règle du centre de balancement à toutes sortes des figures (1703); Démonstration du Principe de Mr. Huygens touchant le centre de balancement et de l’identité avec celui de percussion (1704); Véritable hypothèse de la résistance des solides etc. (1705). Кромѣ Mémoires Парижской Академіи Яковъ I Бернулли выступалъ во французской печати еще и въ 1698 году въ Journal des Savans. Всего въ этомъ изданіи вмѣстѣ съ упомянутыми ранѣе было помѣщено семь его сочиненій.

Къ своимъ замѣчательнымъ, доставившимъ автору много славы, изслѣдованіямъ по теоріи вѣроятностей, Яковъ I Бернулли приступилъ послѣ 1679 года по меньшей мѣрѣ лѣтъ за 20 до своей смерти, послѣдовавшей 16 августа 1705 года. Начало ихъ должно быть отнесено, слѣдовательно, самое позднее къ 1685 году. Рѣшивъ ввести ихъ въ составъ задуманнаго имъ учебника Теоріи вѣроятностей, онъ не сообщалъ о нихъ въ печати никакихъ свѣдѣній. Несмотря на продолжительность времени, въ теченіе котораго составлялся этотъ учебникъ, названный авторомъ Ars сопjectandi, то-есть искусствомъ угадыванія, онъ и въ годъ смерти автора не былъ вполнѣ законченъ. Въ такомъ, не достигшемъ окончательнаго завершенія, видѣ онъ и былъ изданъ въ свѣтъ въ 1713 году въ Базелѣ ученикомъ и племянникомъ автора Николаемъ I Бернулли. Довести при этомъ сочиненіе до конца въ намѣченномъ авторомъ направленіи однако-же не взялись ни начавшій изданіе Іоаннъ I Бернулли, ни давшій его Николай I Бернулли. Послѣдній, въ своемъ предисловіи къ изданію, ограничился только обращеннымъ къ другимъ приглашеніемъ сдѣлать это и вообще продолжать работу автора. Этими другими были два крупнѣйшіе изъ современныхъ дѣятелей въ той-же области, Моавръ и авторъ Essai d’Analyse sur les Jeux de Hazard Монтмортъ. Самъ-же Николай I, какъ и Іоаннъ I Бернулли, подъ разными предлогами отъ этого уклонился.

Къ своему изданію Николай I Бернулли присоединилъ и

еще одинъ трудъ дяди по теоріи вѣроятностей, именно его написанное на французскомъ языкѣ письмо объ игрѣ въ мячи, извѣстной подъ именемъ Jeu de paume1).

Ars conjectandi раздѣлена на четыре части. Первая (р. 1—71) состоитъ изъ сочиненія Гюйгенса объ игрѣ въ кости, примѣчаній къ нему составителя и изъ дополненія. Понятіе о примѣчаніяхъ могутъ дать, во-первыхъ, содержащееся въ одномъ изъ нихъ доказательство оставленнаго Гюйгенсомъ недоказаннымъ предложенія о томъ, что одно бросаніе и костей однозначаще съ п бросаніями одной кости, и, во-вторыхъ, произведенныя составителемъ въ двухъ примѣчаніяхъ обобщенія, состоящія въ нахожденіи общихъ, выраженныхъ буквами, рѣшеній вопросовъ, содержащихъ у Гюйгенса опредѣленныя частныя числовыя величины. Такія обобщенія, понятно, приводили изслѣдованіе къ совершенно другимъ взглядамъ на способы образованія окончательныхъ чиселъ. Предметомъ дополненія также является въ значительной степени повтореніе комментируемаго сочиненія. Такъ изъ пяти заканчивающихъ сочиненіе Гюйгенса задачъ, изъ которыхъ авторъ присоединилъ числовые отвѣты, хотя и безъ всякихъ объясненій, только къ 1-й, 3-й и 5-й, Яковъ I Бернулли подробно разсматриваетъ всѣ, кромѣ 4-й, какъ относимой имъ къ IIІ части своего сочиненія, гдѣ она дѣйствительно и рѣшается. Относительно 2-й задачи онъ указываетъ въ томъ же дополненіи причину, заставившую Гюйгенса оставить ее безъ рѣшенія. Этою причиною является допускаемая входящими въ задачу словами возможность различныхъ ея толкованій, изъ которыхъ каждое приводитъ уже не къ тѣмъ числамъ, которыя даются другими. Въ задачѣ оказываются такимъ образомъ скрывающимися нѣсколько задачъ.

Вторая часть (рр. 72—137) посвящена перестановкамъ и сочетаніямъ. Терминъ „перестановка“ принадлежитъ самому автору, употреблявшему его въ томъ-же значеніи, какое онъ имѣетъ и въ настоящее время. Сказанное, за исключеніемъ развѣ только признанія права на изобрѣтеніе, можетъ быть отнесено также и къ термину „сочетаніе“. Какъ на своихъ предшественниковъ въ изслѣдованіяхъ, относящихся къ важному для всѣхъ наукъ ученію о соединеніяхъ, авторъ указываетъ на Шоотена, Лейбница, Валлиса, Престе (Prestet). Въ то же время, какъ это ни странно, онъ, какъ кажется, не былъ знакомъ съ пролагающими новые пути работами Паскаля, за исключеніемъ развѣ только тѣхъ, которыя нашли себѣ мѣсто въ письмахъ къ Ферма. Не безполезно замѣтить при этомъ, что первыя имѣлись въ продажѣ уже съ съ 1665 года. Слѣдствіемъ указаннаго явленія было, напримѣръ, то, что къ открытію метода полной индукціи, то-есть доказательства отъ и къ п + 1, онъ долженъ былъ придти вполнѣ самостоятельно, при чемъ впервые онъ пользовался имъ въ статьѣ Demonstratio rationum, quas habent series numerorum naturali progressione se insequentium etc.2). Въ Ars conjectandi онъ употреблялъ

1) Epistola Gallice scripta de Ludo pilae reticularis.

2) Acta Eruditorum 1686. Opera I, 282—283.

его уже довольно часто. Все это, конечно, не лишало Паскаля правъ на его открытіе, но все-таки не могло не имѣть такихъ послѣдствій, какъ приписываніе въ теченіе долгаго времени открытія метода полной индукціи Якову I Бернулли и даже обозначеніе метода его именемъ. При разсматриваніи перестановокъ авторъ различаетъ, какъ возможные, два случая: одинъ, когда всѣ элементы различны, и другой, когда они частью равны между собою. Выводъ формулы числа перестановокъ въ томъ случаѣ, когда всѣ элементы различны, производится при посредствѣ разсмотрѣнія 1, 2, 3,... элементовъ, привлекаемыхъ къ нему по порядку. Въ дальнѣйшихъ своихъ изслѣдованіяхъ авторъ приходитъ между прочимъ и къ выводу чиселъ, получившихъ позднѣе названіе бернулліевыхъ. Далѣе слѣдуетъ операція, которой авторъ справедливо придаетъ особенное значеніе, именно образованіе сочетаній вмѣстѣ съ ихъ перестановками. Посвящая ей главу VII подъ заглавіемъ De Combinationibus et Permutationibus mixtim spectatis, онъ ищетъ здѣсь число ихъ формъ какъ въ предложеніи всѣхъ элементовъ различными, такъ и при допущеніи ихъ повтореній, при чемъ въ послѣднемъ случаѣ изслѣдованію подвергаются сочетанія какъ съ ограниченной, такъ и съ безграничной повторяемостью. Ближайшимъ и очень важнымъ приложеніемъ въ этомъ послѣднемъ случаѣ является предложеніе о степени многочлена.

III-ья часть (рр. 138—209) занимается приложеніями теоріи соединеній къ вопросамъ теоріи вѣроятностей. Между содержащимися здѣсь задачами встрѣчаются и очень трудныя, за которыя авторъ берется съ большою ловкостью.

Неоконченною осталась ІV-ая часть (рр. 210—239), которая, какъ показываетъ ея заглавіе, должна была имѣть предметомъ изслѣдованіе теоріи вѣроятностей въ ея приложеніяхъ къ гражданскимъ, нравственнымъ и хозяйственнымъ отношеніямъ1). Значеніе подготовительной статьи или введенія имѣетъ въ ней І-ая глава, трактующая о достовѣрности вѣроятности, необходимости и случайности вещей2). Вѣроятность разсматривается здѣсь, какъ степень достовѣрности, отличается отъ нея какъ часть отъ цѣлаго. Слѣдующія главы посвящены изложенію ученія о вѣроятностяхъ, не содержащему вычисленій, при чемъ главное вниманіе сосредоточивается на предметахъ, разсматриваемыхъ въ IV части. Предметы эти однако-же совершенно другого рода, чѣмъ обыкновенныя азартныя игры. Въ случаяхъ, представляемыхъ явленіями природы или человѣческаго духа, а также и жизни тѣла, бываетъ невозможно заранѣе пересчитать всѣ возможные благопріятные или неблагопріятные событію случаи. Но чего нельзя вывѣдать а priori, то можетъ быть узнано по меньшей мѣрѣ а posteriori, то-есть изъ того, что наблюдается въ примѣрахъ подобнаго рода

1) Pars quarta tradens usum et applicationem praecedentis Doctrinae in Civilibus, Moralibus et Oeconomicis.

2) Caput I. Praeliminaria quaedam de Certitudme, Probabilitate, Necessitate et contingentia Rerum.

въ многочисленныхъ случаяхъ. Новымъ здѣсь является не этотъ пріемъ, какъ правильно употребляемый въ обыденной жизни, а также и не стремленіе основываться на возможно большемъ числѣ опытовъ, потому что этимъ уменьшается возможность уклоненія отъ цѣли. Ново здѣсь только доказательство, что все это необходимо слѣдуетъ изъ основныхъ законовъ науки. Но можно было-бы идти и еще далѣе, о чемъ можетъ быть даже никто и не думалъ. Можно было бы изслѣдовать не возрастаетъ-ли при накапливаніи наблюденій вѣроятность открыть истинное отношеніе благопріятныхъ случаевъ къ неблагопріятнымъ до того, что превосходитъ наконецъ всякую данную вѣроятность или, другими словами не имѣетъ-ли эта задача какъ бы своей асимптоты, то-есть не будетъ-ли при какомъ угодно увеличеніи числа наблюденій все-таки существовать непревосходимая степень вѣроятности, представляющая то истинное отношеніе случаевъ, нахожденіе котораго требуется. Во всѣхъ этихъ своихъ разсужденіяхъ Яковъ I Бернулли, какъ не трудно видѣть, раскрываетъ законъ большихъ чиселъ, но не впервые, такъ какъ этотъ законъ уже съ достаточною ясностью былъ выраженъ въ ХVI столѣтіи Карданомъ въ его статьѣ De ludo aleae1). Совершенно новымъ и вполнѣ принадлежащимъ Якову I Бернулли было только данное имъ здѣсь-же впервые математическое доказательство закона большихъ чиселъ, попытокъ найти которые до него, повидимому, совсѣмъ не дѣлалось. Это доказательство основывается на разложеніи степени бинома, а не на болѣе близкихъ къ предмету свойствахъ биноміальныхъ коэффиціентовъ и въ особенности среднихъ, слѣдствіемъ чего явилась запутанность доказательства и обусловленная этимъ его непригодность къ воспроизведенію въ короткой статьѣ. Ученые, занимавшіеся дальнѣйшею разработкою теоріи вѣроятностей, значительно упростили доказательство, данное Яковымъ I Бернулли, и тѣмъ поставили справедливость закона большихъ чиселъ внѣ всякаго сомнѣнія.

Въ вышеупомянутомъ письмѣ Якова I Бернулли, приложенномъ къ Ars conjectandi его издателемъ, игра въ мячи, какъ зависящая отъ ловкости, разсматривается въ предположеніи произведеннаго предварительно путемъ многочисленныхъ испытаній опредѣленія ловкости каждаго изъ игроковъ. Это есть, слѣдовательно, опять вѣроятность а posteriori, для обозначенія которой авторъ письма этимъ терминомъ и пользуется, какъ онъ это дѣлалъ въ Ars conjectandi и какъ это затѣмъ вошло и въ науку. Примѣромъ вѣроятности а posteriori служила при этомъ неизвѣстная по своему составу въ количественномъ отношеніи смѣсь бѣлыхъ и черныхъ билетовъ, помѣщенныхъ въ мѣшочкѣ, изъ котораго они вынимаются по одному, затѣмъ снова бросаются въ мѣшочекъ, при чемъ каждый разъ старательно перемѣши-

1) Cardani Opera (Lyon 1663; in—fol.), 1, p. 262 — 276. Въ особенности на стр. 267. въ словахъ in infinito numéro iactuum id eontingere proxime necesse est, inagnitudo enim circuitus est temporis longitudo, quae omnes formas ostendit.

ваются. Можно было бы доказать, говорится въ письмѣ, что отношеніе чиселъ вытягиваемыхъ указаннымъ образомъ билетовъ обоихъ цвѣтовъ въ концѣ концовъ не будетъ совсѣмъ отклоняться отъ дѣйствительно существующаго отношенія между ними, такъ что равенство отношеній—дѣйствительно существующаго и доставляемаго опытомъ—становится нравственною достовѣрностью.

Въ Германіи въ упомянутыхъ уже выше Acta Eruditorum были напечатаны 47 статей и мемуаровъ Якова I Бернулли, изъ которыхъ, кромѣ названныхъ ранѣе, достаточно еще указать слѣдующіе: Solutio algebraica problematis de quadrisectione trianguli scaleni per duas normales rectas (1687); Nova ratio metiendi altitudinis nubium (1688); De invenienda cujusque plani declinatione, ex unica observatione projectae a stylo umbrae (1689); Vera constructs problematum solidorum et hypersolidorum per rectas lineas et circulos (1689); Novum Theorema pro doctrina sectionum conicarum (1689); Observatio de inventione lineae descensus a corpore gravi percurrendae uniformiter etc. (1690); Specimen circuli differentialis in dimensione parabolae helicoidis (1691); Demonstratio centri oscillationis ex natura vectis (1691); Additamentum ad solutionem curvae causticae, una cum meditatione de natura evolutarum et variis osculationum generibus (1692); Lineae cycloidales, evolutae, antevolutae, causticae, pericausticae, spira mirabilis etc. (1692); Curvaturâ veli (1692); Aenigmati florentini solutiones variae infinitae (1692); Solutio problematis de minimo crepusculo (1692); De lineis cycloidalibus (1692); Curvae diacausticae earumque relatio ad evolutas (1693); Curvatura laminae elasticae (1694); Solutio problematis Leibnitiani de curva accessus et recessus aequabilis a puncto dato (1694); De methodo tangentium inversa etc. (1694); Constructs curvae accessus et recessus aequabilis etc. (1694); De curva elastica isochrona, paracentrica, velaria etc. (1695); De dimensionibus curvarum (1696); Constructs generalis omnium Curvarum transcendentium ope simplicioris tractoriae et logarithmicae (1696); Complanatio superficierum conoidicarum et sphaeroidicarum (1696); Problema Beaunianum universalius conceptum (1696 et 1697); De infinitis cvcloidibus (1698); Solutio sex Problematum fraternorum (1698); Circinus proportionum nauticus scala loxodromica instructus 1698); Quadratura zonarum cycloidalium demonstrata (1699); Solutio propria problematis isoperimetrici (1700); Nova methodus expedite determinandi radios osculi seu curvaturae in curvis quibusvis algebraicis (1700); Quadratura zonarum cycloidalium promota etc. (1700); Analysis magni problematis isoperimetrici (1701).

Къ числу указанныхъ ранѣе отдѣльно изданныхъ сочиненій Якова I Бернулли остается еще наконецъ присоединить Epistola ad Joh. Bernoulli, cum annexa solutione problematis isoperimetrici (Базель, 1700). Вызвано оно было, какъ и нѣкоторыя другія, распрею автора съ братомъ.

Понятіе функціи въ средней школъ.

С. Н. Бернштейнъ (Харьковъ).

Сообщеніе, прочитанное на 2-мъ Съѣздѣ преподавателей математики 30 декабря 1913 года

М. Г.!

Организаціонный Комитетъ Съѣзда предложилъ мнѣ сдѣлать Съѣзду докладъ на тему: „Понятіе функціи въ средней школѣ“. Высоко цѣня оказанную мнѣ честь, я не безъ колебаній принялъ это предложеніе, т. к. далеко не считаю себя достаточно компетентнымъ въ этомъ вопросѣ. Въ средней школѣ, а именно въ старшихъ классахъ реальнаго училища, мнѣ пришлось преподавать лишь одинъ годъ, 1907-й, когда впервые были введены основанія высшаго анализа; такимъ образомъ опытъ мой не великъ, и я не возьму на себя смѣлости давать вамъ здѣсь какіе-бы то ни было практическіе совѣты. Задача моя болѣе скромная; я хочу ограничиться только нѣсколькими замѣчаніями теоретическаго характера, о различныхъ опредѣленіяхъ и о связи и взаимоотношеніи ихъ между собой. Разумѣется, я не думаю, что всѣ тѣ вопросы, которыхъ я намѣренъ коснуться въ своей бесѣдѣ, могутъ быть разъяснены въ средней школѣ, но мнѣ кажется, что всякому преподавателю необходимо остановить на нихъ свое вниманіе для того, по крайней мѣрѣ, чтобъ избѣгать поводовъ внесенія излишней путаницы понятій въ умы учениковъ. Къ сожалѣнію, теорія функцій лишь недавно получила доступъ въ наши университеты, а вмѣстѣ съ тѣмъ и учебники анализа для реальныхъ училищъ являются весьма ненадежной опорой для учителя. Чтобы указать какой-нибудь примѣръ тѣхъ печальныхъ недоразумѣній, которыя встрѣчаются на страницахъ этихъ сочиненій, я позволю себѣ процитировать одного очень почтеннаго автора, нѣкоторые учебники котораго даже одобрены Ученымъ Комитетомъ. Авторъ чувствуетъ необходимость не ограниниваясь обычными задачами на предѣлы и правилами дифференцированія различныхъ функцій, давать общія опредѣленія и классификаціи, но дѣлаетъ это такъ неудачно, что приходится пожалѣть тѣхъ учениковъ, которые захотятъ удержать въ памяти эти удивительные образцы свободнаго творчества. Вотъ, напр., какъ автору угодно опредѣлить аналитическую функцію: „Если зависимость между функціей и ея аргументомъ выражается математической формулой, то такую функцію называютъ аналитической“. „Или точнѣе“, добавляетъ авторъ, не вполнѣ удовлетворенный этимъ опредѣленіемъ, „аналитической функціей называется такая однозначная въ данномъ промежуткѣ функція, которая для всѣхъ точекъ этого промежутка имѣетъ опредѣленную производную“. Оба эти опредѣленія не только не имѣютъ ничего общаго съ понятіемъ аналитической функціи, но находятся между собою въ явно непримиримомъ противорѣчіи.

Нѣкоторые авторы избѣгаютъ такого рода затрудненій, уклоняясь отъ открытаго разсмотрѣнія общихъ вопросовъ, но при устномъ, живомъ преподаваніи, необходимо, мнѣ кажется, считаться съ возможностью возникновенія этихъ вопросовъ со стороны учащихся. Дѣйствительно, въ основаніи понятія функціи (для простоты я ограничиваюсь однозначной функціей) лежатъ три логически разнородныя опредѣленія, которыя для краткости можно назвать оперативнымъ, табличнымъ и графическимъ опредѣленіями функціи. Первое — это старое опредѣленіе Эйлера: Functio quantitatis variabilis est expressio analytica quomodo cunque composite ex ilia quantitate variabili et numeris seu quantitatibus constantibus; по этому опредѣленію функція считается данной, если мы имѣемъ математическое выраженіе, указывающее опредѣленный конечный или сходящійся безконечный рядъ ариѳметическихъ операцій, которыя нужно произвести надъ каждымъ значеніемъ перемѣннаго, чтобы вычислить соотвѣтствующее значеніе функціи. Табличное опредѣленіе—это извѣстное опредѣленіе Дирикле, по которому у называется функціей ж, если для каждаго даннаго значенія х, у получаетъ опредѣленное значеніе. Наконецъ, графическое опредѣленіе отождествляетъ функцію съ произвольно начерченною линіей. Всѣ эти способы опредѣленія функціи естественно находятъ себѣ мѣсто въ средней школѣ. Опредѣленіе оперативное можетъ быть дано при самомъ началѣ алгебры и, въ сущности, только оно вполнѣ осмысливаетъ и уясняетъ значеніе введенія буквъ на мѣсто чиселъ въ ариѳметикѣ. Тутъ-же естественно дать табличное опредѣленіе функціи, предложивъ ученикамъ подставляя въ данное алгебраическое выраженіе различныя численныя значенія перемѣнной, составить таблицу соотвѣтствующихъ значеній функціи. Впрочемъ, табличное опредѣленіе функціи могло-бы быть введено и раньше, на нѣкоторыхъ конкретныхъ примѣрахъ, въ связи съ графическимъ изображеніемъ. Я не буду останавливаться на моментѣ введенія графикъ, Замѣчу только, что вполнѣ удовлетворительное разъясненіе того, что законъ пропорціональности выражается прямой линіей, предполагаетъ нѣкоторое предварительное знаніе геометріи; поэтому, при отсутствіи пропедевтическаго курса геометріи, примѣненіе графическаго метода для рѣшенія ариѳметическихъ задачъ легко можетъ принести больше вреда, чѣмъ пользы. Какъ-бы то ни было, но въ У—VI классѣ ученику уже должны быть извѣстны всѣ три опредѣленія функціи, при чемъ одновременно съ опредѣленіемъ чиселъ, какъ предѣловъ, естественно дополнить оперативное опредѣленіе функціи указаніемъ того, что въ число вычислительныхъ операцій для полученія значенія функцій слѣдуетъ включить и переходъ къ предѣлу, т. е. напр. и прежде всего разсмотрѣніе безконечныхъ сходящихся рядовъ. Такимъ образомъ, если мы согласимся, что въ средней школѣ необходимо освѣщеніе понятія функціи со всѣхъ трехъ точекъ зрѣнія, а съ этимъ врядъ-ли можно спорить, то передъ преподавателемъ стоитъ неотложная задача разобраться во взаимоотношеніи между только что приведенными опредѣленіями. Этотъ

вопросъ возникъ уже болѣе 200 лѣтъ тому назадъ и глубоко волновалъ многихъ математиковъ и философовъ.

И дѣйствительно, вопросъ о томъ, могутъ-ли всѣ разнообразныя графическія или эмпирическія функціи быть выражены посредствомъ математическихъ оперативныхъ функцій, имѣетъ большое теоретикопознавательное значеніе, т. е. если-бы отвѣтъ на него былъ отрицателенъ, нужно было-бы отказаться отъ мысли подчинить математическому анализу всю область человѣческаго знанія, между тѣмъ какъ благодаря тому, что отвѣтъ оказывается положительнымъ, мы можемъ быть увѣрены, что математическая символика достаточно богата, чтобы изобразить все многообразіе функціональныхъ соотношеній, которыя могутъ встрѣтиться въ природѣ. Не останавливаясь на исторіи этого вопроса, которая изложена въ общихъ чертахъ въ моемъ докладѣ, напечатанномъ въ 3-мъ томѣ трудовъ І-го Съѣзда преподавателей математики, я формулирую только въ нѣсколько дополненномъ видѣ теорему Вейерштрасса, дающую отвѣтъ на него. Всякая функція, непрерывная или имѣющая конечное число точекъ разрыва въ нѣкоторомъ промежуткѣ, можетъ быть выражена въ видѣ сходящагося ряда многочленовъ, такъ что для всякаго значенія перемѣнной, можно получить значеніе функціи со сколь-угодно большой точностью, если взять многочленъ, составляющій сумму достаточно большаго числа членовъ ряда. Но то., что мы называемъ графической или эмпирической функціей, можно всегда разсматривать какъ несовершенное осуществленіе одной или нѣсколькихъ непрерывныхъ функцій: дѣйствительно, значеніе перемѣнной, какъ и функціи, всегда бываетъ дано съ нѣкоторой погрѣшностью, погрѣшностью нашихъ измѣрительныхъ приборовъ: поэтому, если-бъ неизмѣримо-малымъ измѣненіямъ аргумента, соотвѣтствовали-бы значительныя измѣненія зависимой перемѣнной, мы не стали-бы смотрѣть на нее какъ на функцію даннаго аргумента, ибо мы не наблюдали-бы соотвѣтствія между численными значеніями обѣихъ перемѣнныхъ. Напр. отмѣчая ростъ и вѣсъ нѣсколькихъ тысячъ новобранцевъ, мы несомнѣнно не разъ отмѣтимъ при одномъ и томъ-же ростѣ различный вѣсъ, и никто не скажетъ, что вѣсъ является функціей одной независимой перемѣнной—роста, не смотря на то, что можно было-бы допустить, что различія къ вѣсѣ объясняются неизмѣримо-малыми измѣненіями роста. Такимъ образомъ вслѣдствіе несовершенства нашихъ измѣрительныхъ приборовъ и органовъ чувствъ, тѣ соотношенія, которыя мы называемъ экспериментальными функціями, сводятся всегда къ непрерывнымъ функціямъ, и на основаніи только что упомянутой теоремы Вейерштрасса мы можемъ выразить ихъ математической формулой.

Я считалъ-бы полезнымъ обратить вниманіе учениковъ старшаго класса на этотъ важный результатъ, для того, чтобы вселить въ нихъ сознаніе того, что математическая символика не только способна изобразить всѣ, наблюдаемыя въ природѣ, количественныя соотношенія, но что міръ математическій безконечно богаче міра экспериментальнаго, и вслѣдствіе этого при

математическихъ выводахъ не слѣдуетъ слиткомъ полагаться на наглядное представленіе. Напримѣръ, если на основаніи непосредственнаго представленія мы склонны заключить, что всѣ кривыя имѣютъ касательныя, то на основаніи сказаннаго мы вправѣ сказать ученику, что всякая кривая, которую онъ можетъ себѣ представить, ничѣмъ не отличается для его чувствъ отъ алгебраической кривой, которая дѣйствительно имѣетъ касательную, и потому обобщеніе его во всякомъ случаѣ, для неалгебраическихъ кривыхъ, не законно. Дѣйствительная-же причина того, что мы видимъ касательную въ каждой точкѣ представляемой нами кривой, заключается, конечно, въ свойствахъ нашего зрѣнія; и не трудно сдѣлать интуитивно-подобнымъ фактъ существованія математическихъ непрерывныхъ линій, не имѣющихъ касательныхъ, если построить зигзагообразную кривую и смотрѣть на нее издали и вблизи или черезъ увеличительное стекло; во всѣхъ случаяхъ мы въ каждой точкѣ припишемъ ей опредѣленную касательную, но положеніе касательной будетъ зависѣть отъ мѣста и условій наблюденій. Такимъ образомъ можно отдать себѣ отчетъ въ томъ, что при все болѣе обостряющемъ зрѣніи, когда мы станемъ различать возрастающее число точекъ на кривой, у насъ могутъ получаться все разныя касательныя, которыя не стремятся ни къ какому опредѣленному предѣлу.

Я думаю, что послѣ моихъ послѣднихъ словъ никто не причислитъ меня къ противникамъ интуиціи въ математикѣ, но во избѣжаніе недоразумѣнія, заканчивая свои главнѣйшія заключенія о графической функціи, которая, какъ мы видѣли, является лишь несовершеннымъ изображеніемъ непрерывной оперативной функціи, я вкратцѣ формулирую свое отношеніе съ интуиціи: логическое доказательство достовѣрности истины является, по моему мнѣнію, не болѣе важнымъ, чѣмъ нахожденіе тѣхъ интуитивныхъ образовъ, которыя дѣлаютъ истину правдоподобной. Теперь намъ остается еще разсмотрѣть взаимоотношеніе между табличнымъ и оперативнымъ опредѣленіемъ функціи. На практикѣ табличное опредѣленіе функціи обыкновенно сводится къ тому, что мы знаемъ ея значенія для нѣкотораго конечнаго числа значеній аргумента. Если, какъ это бываетъ иногда въ теоріи чиселъ или въ статистикѣ, функція, по своей природѣ, лишена смысла для другихъ значеній аргумента, то въ такомъ случаѣ никакого труда не представляетъ дать болѣе или менѣе сложное математическое выраженіе или интерполирующую функцію, которая позволитъ намъ вычисленіемъ получить всѣ значенія функціи, указанныя въ таблицѣ. Само собой понятно, что въ случаѣ, когда интерполируемая, т. е. данная, функція имѣетъ опредѣленный смыслъ и для значеній аргумента не вставленныхъ въ таблицѣ, то для этихъ послѣднихъ значеній она не будетъ совпадать съ данной. Это послѣднее обстоятельство, т. е. несовпаденіе интерполируемой и интерполирующей функціи вообще представится и тогда, когда мы будемъ безконечно увеличивать число значеній, данныхъ на конечномъ отрѣзкѣ, если только мы не наложимъ нѣкотораго ограниченія на природу данной функціи.

Допустимъ поэтому, чтобы разсмотрѣть наиболѣе вѣрный случай, что функція непрерывна. Ясно, что данныя значенія функціи будутъ теперь не вполнѣ произвольны, а именно, разность между ними будетъ стремиться къ нулю, вмѣстѣ съ разностью между значеніями аргумента. Въ числѣ интерполируемыхъ функцій простѣйшей будетъ тогда ломанная линія, вписанная въ кривую, изображающую данную функцію, и не трудно доказать, что при безконечномъ возрастаніи числа сторонъ, ломанная линія будетъ имѣть предѣломъ данную кривую. Хотя всякая ломанная линія представляетъ собой не особенно сложную оперативную функцію и на практикѣ прямолинейное интерполированіе является большею частью самымъ удобнымъ, но съ теоретической, по крайней мѣрѣ, точки зрѣнія, интересно разсмотрѣть вопросъ объ интерполированіи при помощи многочленовъ. Несомнѣнно, взявши многочленъ достаточно высокой степени р и опредѣляя его условіемъ, чтобы онъ въ (п+1) точкѣ совпадалъ съ данной функціей, мы можемъ достигнуть того, чтобъ разность между интерполирующимъ многочленомъ и нашей функціей стремились къ нулю, когда р и (п+1) безконечно возрастаютъ и такой многочленъ будетъ между прочимъ однимъ изъ тѣхъ Вейерштрассовскихъ многочленовъ, о которыхъ я говорилъ раньше, имѣющихъ предѣломъ данную непрерывную функцію. Однако, если мы возьмемъ, какъ это обычно дѣлается на практикѣ, многочленъ возможно низкой степени, совпадающій въ (w-j-1) точкѣ съ нашей функціей, т. е. положимъ степень его р = п, и воспользуемся, слѣдовательно, классической формулой интерполированія Ньютона или Лагранжа, то мы во многихъ случаяхъ натолкнемся на парадоксальный фактъ: чѣмъ больше общихъ точекъ у интерполирующаго многочлена съ интерполируемой функціей, тѣмъ менѣе удовлетворительна формула Ньютона, такъ какъ разность между многочленомъ и функціей вмѣсто того, чтобы стремиться къ нулю и для всѣхъ промежуточныхъ значеній, будетъ для этихъ значеній безгранично возрастать. Сопоставленіе этого важнаго результата, открытаго Геттингенскимъ математикомъ Рунге, съ геніально смѣлымъ заблужденіемъ Тэйлора, который посредствомъ совершенно недопустимыхъ переходовъ къ предѣлу вывелъ изъ формулы Ньютона свою строку Тэйлора, является очень поучительнымъ и яркимъ указателемъ огромнаго пути, пройденнаго математикомъ за 200 лѣтъ, отдѣляющихъ насъ отъ Тэйлора и его великихъ современниковъ. Чтобы получить свою строку, Тэйлоръ не только предположилъ, что число (n+1) данныхъ значеній безконечно возрастетъ, но вмѣсто того, чтобы распредѣлить ихъ по всему отрѣзку, онъ сжалъ всѣ значенія въ безконечно малый промежутокъ около одной точки и такимъ образомъ пользовался формулой Ньютона не для интерполированія, а для экстраполированія, т. е. для опредѣленія функціи внѣ даннаго отрѣзка. Замѣчательно, что дѣйствительно существуетъ весьма важный классъ функцій, для которыхъ разсужденіе Тэйлора можетъ быть сдѣлано вполнѣ строгимъ, это—аналитическія функціи. Продолжая изслѣдованія, начатыя Рунге, можно доказать, кромѣ

того, что и интерполированіе при безконечномъ увеличеніи числа данныхъ точекъ, допустимо вообще только въ тѣхъ случаяхъ, когда законно Тэйлоровское экстраполированіе. Аналитическія функціи являются такимъ образомъ единственными, которыя, съ точки зрѣнія интерполированія, обладаютъ свойствомъ, которое здравый смыслъ былъ-бы, можетъ быть, склоненъ приписать, какъ нѣчто очевидное, всякой непрерывной функціи, а имепно, что интерполированіе тѣмъ точнѣе, чѣмъ болѣе общихъ точекъ у интерполируемой функціи и интерполирующаго многочлена. Я не буду утомлять вниманія почтеннаго собранія разсмотрѣніемъ другихъ важныхъ свойствъ аналитическихъ функцій, въ родѣ того, къ которому мы пришли здѣсь, исходя изъ задачи интерполированія, связанной съ табличнымъ опредѣленіемъ. Обзору этихъ свойствъ, на которыя я указывалъ и въ своемъ докладѣ прошлому Съѣзду, можно было-бы посвятить цѣлую спеціальную лекцію, но теперь я хочу только обратить ваше вниманіе на исключительно важную роль аналитическихъ функцій въ современномъ анализѣ, которая отнюдь не умаляется значительнымъ развитіемъ общей теоріи функцій вещественной перемѣнной, являющейся естественнымъ продолженіемъ теоріи аналитическихъ функцій.

Во всякомъ случаѣ въ средней школѣ, никакія функціи кромѣ аналитическихъ не могутъ встрѣтиться и, вслѣдствіе вышесказаннаго, я рекомендовалъ-бы вмѣсто болѣе или менѣе сложныхъ техническихъ задачъ на дифференцированіе знакомить учащихся съ теоремой Тэйлора, которая даетъ, между прочимъ, такое изящное выраженіе для тригонометрическихъ функцій и объединяетъ весь матеріалъ, изученный ученикомъ въ средней школѣ.

Для того, чтобы закончить мои замѣчанія о табличныхъ функціяхъ, которыя въ одномъ частномъ случаѣ привели насъ къ аналитическимъ, мы должны, однако, отмѣтить, что табличное опредѣленіе теоретически несомнѣнно общѣе оперативнаго; дѣйствительно, знаменитый философъ и математикъ Георгъ Канторъ показалъ, что мыслимы такія функціи, удовлетворяющія опредѣленію Дирикле, которыя никоимъ образомъ не могутъ быть выражены оперативно, т. е. не могутъ, въ конечномъ счетѣ быть сведены къ многочленамъ. Но въ дополненіе къ этому выводу я долженъ замѣтить, что, насколько мнѣ извѣстно, до сихъ поръ никто не указалъ опредѣленной, не оперативной функціи, которую можно было-бы вполнѣ опредѣлить и отличить отъ другихъ, подобныхъ ей, функцій; вотъ простой примѣръ не оперативной, но табличной функціи, указанный Гр. Ал. Грузинцевымъ: на данномъ отрѣзкѣ выдѣляемъ всѣ ирраціональныя точки £0, обладающія свойствомъ, что разность между ними не раціональна: тогда всякая точка отрѣзка отстоитъ на раціональномъ разстояніи у только отъ одной изъ точекъ S0; опредѣляемъ затѣмъ нашу функцію условіемъ, что у и будетъ соотвѣтствующимъ значеніемъ функціи, такъ что напр. въ частности во всѣхъ точкахъ S0 она равна нулю, въ другихъ-же точкахъ принимаетъ опредѣленныя раціональныя значенія. Ни одна изъ этихъ функцій не можетъ быть выражена оперативно, но съ другой стороны мы не имѣемъ

возможности опредѣлить совокупность S0, а слѣдовательно не можемъ дать ей значеній во всякой точкѣ отрѣзка. Не знаю, является-ли фатальной эта невозможность вполнѣ опредѣлить функцію при помощи конечнаго числа словъ, если она не можетъ быть выражена оперативно. Я, лично, не считаю продуктивнымъ заниматься подобными вопросами, но думаю, что во всякомъ случаѣ всѣ вы со мною согласитесь, что анализъ еще долго можетъ удовлетворяться оперативными функціями, если я укажу вамъ въ заключеніе примѣръ, иллюстрирующій разнообразіе функцій, которыя мы умѣемъ выражать аналитически. При помощи тройного ряда многочленовъ можно выразить функцію, которая сколь угодно приближается ко всякому положительному или отрицательному значенію, въ то время, какъ аргументъ стремится къ опредѣленному предѣлу; такая функція, будучи представлена при помощи сколь угодно точныхъ графическихъ приборовъ, занимаетъ всю полосу между прямыми х = О и х= 1. Вы видите, какъ чрезмѣрно скроменъ былъ Эйлеръ, когда онъ сомнѣвался, что произвольно начерченная линія можетъ быть выражена аналитически.

Итакъ, я полагаю, что на первый планъ слѣдуетъ выставить оперативное опредѣленіе функціи и, какъ его простѣйшій, хотя и очень частный примѣръ, аналитическую функцію, т. е. строку Тэйлора; но, разумѣется, оба другія опредѣленія также должны занять значительное мѣсто въ средней школѣ, и именно потому, что необходимо съ трехъ точекъ зрѣнія разсмотрѣть понятіе функціи, я считалъ небезполезнымъ высказать здѣсь нѣкоторыя соображенія о взаимооотношеніяхъ между этими точками зрѣнія.

Систематическое распредѣленіе и послѣдовательное прохожденіе геометрическихъ задачъ на построеніе въ математическомъ преподаваніи въ нѣмецкой средней школѣ.

А. Рорбергъ (Берлинъ). Пер. А. К. Сушкевича.

Въ Германіи оцѣнивали значеніе геометрическихъ задачъ на построеніе самымъ разнообразнымъ образомъ; ихъ признавали и ядромъ преподаванія планиметріи, и совершенно лишней, побочной вешыо. Само собою разумѣется, что оба сужденія неправильны. Задачи на построеніе не являются цѣлью преподаванія, но онѣ помогаютъ ученику усвоить преподаваемое, облегчая ему уясненіе, запоминаніе и укрѣпленіе въ памяти выученнаго. Равнымъ образомъ,—и это еще гораздо важнѣе,—онѣ пробуждаютъ въ ученикахъ интересъ къ работѣ. Въ преподаваніи математики можно легко привести учениковъ къ тому, чтобы они сами находили рѣшенія маленькихъ и простыхъ проблемъ, и это относится въ особенности къ задачамъ на построеніе. Поэтому, если такія задачи искусно вплести въ ходъ преподаванія, то онѣ мо-

гутъ не только способствовать пробужденію и сохраненію интереса къ изучаемому, но также и побуждать къ собственной дѣятельности. Это послѣднее должно было бы всегда быть основной мыслью при прохожденіи задачъ на построеніе.

Кромѣ того геометрическія задачи на построеніе являются отличной подготовкой къ задачамъ тѣхъ отдѣловъ математики, которые слѣдуютъ за планиметріей, какъ напр. тригонометрія и стереометрія. Для этой цѣли особенно хорошо должна быть развита способность геометрическаго представленія у дѣтей. Въ этомъ отношеніи геометрія можетъ подать руку другому математическому отдѣлу, который, къ сожалѣнію, проходится въ достаточномъ объемѣ только въ немногихъ (главнымъ образомъ въ южно-германскихъ) школахъ; это—начертательная геометрія.

Задача на построеніе въ послѣднее время часто входить въ число самихъ пріемовъ преподаванія; въ этомъ выражается стремленіе по возможности уменьшить число тѣхъ теоремъ, которыя сообщаются въ обычной формѣ: условіе—заключеніе—доказательство, — и всѣ менѣе важныя предложенія излагать въ формѣ задачъ.

Въ первый разъ задача на построеніе встрѣчается, когда при доказательствѣ первой теоремы о равенствѣ треугольниковъ нужно срисовать треугольникъ. Полезно сначала скопировать треугольникъ, какъ цѣлое (хотя бы при помощи папиросной бумаго), чтобы усвоить понятіе совпаденія. Такое копированіе ученики, конечно, должны производить сами. Послѣ второй теоремы о равенствѣ треугольниковъ приходится равнобедренный треугольникъ. При его построеніи въ первый разъ выступаетъ понятіе о геометрическомъ мѣстѣ, которое впрочемъ можно пока и не называть этимъ именемъ; въ данномъ случаѣ можно ввести это понятіе слѣдующимъ образомъ: намъ дана длина боковой стороны треугольника, но неизвѣстно, въ какомъ направленіи слѣдуетъ провести эту боковую сторону отъ одного изъ концовъ основанія; предположимъ, поэтому, что мы провели отрѣзки данной длины по всевозможнымъ направленіямъ; мы получили бы тогда большой, наполненный чернилами кругъ; такъ какъ съ нимъ ничего нельзя предпринять, то нарисуемъ только ограничивающую его линію.

Равнобедренный треугольникъ представляетъ при разсмотрѣніи его линіи симметріи превосходный случай для усвоенія понятій: условіе и заключеніе. Свойства линіи симметріи (она проходитъ чрезъ вершину и чрезъ средину основанія, дѣлитъ пополамъ уголъ при вершинѣ и перпендикулярна къ основанію) могутъ быть четырьмя способами распредѣлены такъ, чтобы два изъ нихъ находились въ условіи, а остальныя два—въ заключеніи. Для каждаго изъ этихъ четырехъ предложеній строится фигура строго сообразно условію.

Теперь только можно взяться за такъ называемыя основныя построенія (напр., дѣленіе пополамъ отрѣзка прямой, возставленіе перпендикуляра и т. п.)—до задачи: провести чрезъ данную точку прямую, параллельную данной прямой,—съ которой можно

подождать до прохожденія параллелограмма, гдѣ эта задача дѣйствительно имѣетъ примѣненіе.

Этимъ заканчивается подготовительная часть для собственныхъ задачъ на построеніе; она должна быть хорошо усвоена учениками, ибо она даетъ умственныя и техническія средства, безъ которыхъ задачи на построеніе не могутъ быть рѣшаемы.

Простѣйшія построенія треугольниковъ тѣ, при которыхъ даются стороны и углы. Это—задачи, получаемыя изъ четырехъ теоремъ о равенствѣ треугольниковъ; къ нимъ еще присоединяется важная вслѣдствіе двузначности ея рѣшенія задача: построить треугольникъ по даннымъ двумъ сторонамъ и углу, лежащему противъ меньшей изъ нихъ. Однозначность рѣшеній задачъ, соотвѣтствующихъ теоремамъ о равенствѣ треугольниковъ, можетъ служить для лучшаго уразумѣнія этихъ теоремъ. Подобнымъ образомъ двузначность рѣшенія послѣдней изъ названныхъ задачъ, можетъ служить для объясненія необходимости формы четвертой теоремы о равенствѣ треугольниковъ.

На прохожденіе этой группы задачъ, слѣдуетъ употребить возможно больше времени: задачи эти принесутъ въ изобиліи плоды при всемъ дальнѣйшемъ преподаваніи геометріи. Такъ какъ эти задачи очень легки, то ученики лучше всего усваиваютъ при прохожденіи и методъ ихъ разсмотрѣнія и форму изложенія. Въ заключеніе ученики должны быть въ состояніи наизусть изложить всѣ рѣшенія и мысленно произвести построенія: конечно, это не должно быть безотчетнымъ заучиваніемъ: ученики должны развить въ себѣ способность представлять себѣ отчетливо возникающую передъ ихъ умственнымъ взоромъ картину. Наконецъ, весь матеріалъ долженъ быть систематизированъ, напр.: 1-й случай,—даны 3 стороны; 2-й случай,—даны 2 стороны и уголъ, который можетъ быть: а) между данными сторонами;

Ь)—противъ большей изъ данныхъ сторонъ; и т. д. Это подраздѣленіе ученикъ также долженъ знать наизусть: такое знаніе дастъ ему ободряющее сознаніе возможности самому ставить себѣ эти задачи.

Ученики должны при этихъ задачахъ привыкнуть также къ хорошему изложенію: они не должны употреблять лишнихъ словъ; изложеніе должно состоять изъ просто построенныхъ главныхъ предложеній. Нахожденіемъ рѣшенія задачи не долженъ исчерпываться весь интересъ къ ней: дѣйствительное выполненіе построенія также требуетъ руководительства. Чистое выполненіе чертежа требуетъ нѣкотораго навыка, который пріобрѣтается только съ теченіемъ времени и приноситъ пользу и въ другихъ случаяхъ. Кромѣ того хорошо исполненный чертежъ представляетъ осязаемый результатъ потраченнаго труда, а это имѣетъ большое психологическое значеніе. Наконецъ, очень большое значеніе имѣетъ изслѣдованіе задачи, такъ какъ при этомъ разсматриваются различныя условія рѣшимости и многозначности рѣшенія. Оно отлично и при этомъ совершенно безыскусственнымъ путемъ знакомитъ ученика съ понятіями измѣняемости и функціи. Изъ сказаннаго не слѣдуетъ, что эти научныя названія должны

быть сейчасъ же сообщены: понятія, ими опредѣляемыя, должны быть усвоены такъ, чтобы когда эти научныя названія въ первый разъ встрѣтятся, они были бы только новыми именами для давно извѣстныхъ представленій. Если не желательно, чтобы понятіе измѣняемости было упущено въ изслѣдованіи задачи, то не должно въ задачѣ задавать отрѣзки съ опредѣленной длиной, такъ какъ, напр. сторону длиною въ 4 сант. нельзя себѣ представить уменьшающеюся или возрастающею; иное дѣло—отрѣзокъ а.

При прохожденіи этой группы задачъ, учитель долженъ убрать съ пути ученика всѣ формальныя и методическія трудности, такъ, чтобы единственной трудностью оставалась трудность самого предмета: она будетъ для ученика достаточно большой. Разнообразіе и основательность знанія доставляются построеніемъ спеціальныхъ треугольниковъ; такія построенія заставляютъ ученика привести на помощь нѣкоторыя, болѣе отдаленныя свѣдѣнія, почему они въ особенности годятся для письменныхъ испытаній въ классѣ.

Въ слѣдующей группѣ задачъ кромѣ сторонъ и угловъ задаются также биссектриссы, медіаны и т. д. При этомъ слѣдуетъ обратить вниманіе на практическій способъ обозначенія этихъ линій, который разъ навсегда долженъ быть сохраненъ, чтобы облегчить ученику представить себѣ мысленно чертежъ. Въ этой группѣ задачъ ученики должны видѣть, что они въ сущности не учатъ ничего новаго, такъ какъ здѣсь строится извѣстнымъ уже способомъ по даннымъ сторонамъ и угламъ, если и не весь искомый треугольникъ, то вспомогательный треугольникъ, составляющій часть искомаго; трудность состоитъ только въ томъ, чтобы найти подходящій вспомогательный треугольникъ. Поэтому при этихъ задачахъ долженъ быть введенъ анализъ: ученикъ долженъ представить себѣ искомый треугольникъ найденнымъ; онъ составляетъ соотвѣтствующій чертежъ и уясняетъ себѣ на немъ различіе между данными и искомыми величинами. Первое правило состоитъ въ томъ, что всѣ данныя величины должны быть дѣйствительно нарисованы; при соблюденіи этого условія вспомогательный треугольникъ долженъ образоваться само собою—безъ проведенія особыхъ вспомогательныхъ линій. Учитель всегда долженъ составить себѣ заранѣе чертежъ для анализа, чтобы при черченіи на доскѣ не получилось неблагопріятныхъ расположеній линій. Задача, которой анализъ не можетъ сдѣлаться умственнымъ достояніемъ учениковъ, должна быть отброшена, какъ слишкомъ трудная. При болѣе высокой подготовленности класса, самого построенія послѣ хорошаго анализа можно и не производить. Изслѣдованіе, которое въ первой группѣ задачъ было очень просто, теперь дѣлается болѣе сложнымъ, а поэтому и болѣе цѣннымъ, почему на него слѣдуетъ обратить особенное вниманіе. Во многихъ задачахъ можетъ даже случиться, что изслѣдованія нельзя произвести исчерпывающимъ образомъ,— что приходится довольствоваться выраженіями въ родѣ: „не очень велико“, „не очень мало“. Этотъ пробѣлъ въ знаніи не вредитъ

ученику и способствуетъ впослѣдствіи при изученіи тригонометріи поучительному обзору прошлаго.

И этого рода задачи, какъ задачи первой группы, ученикъ можетъ самъ себѣ ставить во многихъ комбинаціяхъ. Онѣ даютъ также много матеріала для классныхъ работъ. Задача для письменнаго класснаго испытанія должна быть составлена такъ, чтобы для ученика, всегда исполнявшаго домашнія работы, она по существу не представляла затрудненій. Онъ можетъ тогда употребить все свое стараніе на описаніе анализа и на выполненіе построенія. Конечно, эти задачи должны быть не просто воспроизведеніями уже пройденныхъ задачъ, а легкими видоизмѣненіями ихъ.

Слѣдующими задачами являются построенія четырехугольниковъ, которыя сводятся къ построеніямъ треугольниковъ. Ученики должны видѣть, почему для построенія общаго четырехугольника необходимо имѣть пять данныхъ величинъ, а для построенія спеціальнаго четырехугольника достаточно меньшее ихъ количество. Первыя задачи просто сводятся къ построенію двухъ треугольниковъ съ общей стороной, а затѣмъ вводятся и болѣе трудныя соотношенія. Если возвратиться опять къ треугольникамъ, то мы придемъ къ задачамъ, которыя очень неудобно могутъ быть рѣшаемы методомъ вспомогательныхъ треугольниковъ. Поэтому теперь время ввести понятіе о геометрическомъ мѣстѣ. Входящая при этомъ измѣняемость должна быть ясно выдѣлена. Можно объяснить понятіе о геометрическомъ мѣстѣ на частномъ примѣрѣ слѣдующимъ образомъ: если одно изъ условій для третьей вершины треугольника уничтожается, то эта, до сихъ поръ неподвижная вершина, сдѣлается теперь подвижной; но остающееся для этой вершины условіе дѣлаетъ для нея возможнымъ двигаться не въ любомъ направленіи, а только по нѣкоторому вполнѣ опредѣленному пути, который есть или кругъ, или прямая линія; этотъ путь называется геометрическимъ мѣстомъ. Для полнаго опредѣленія положенія третьей вершины нужны два такихъ мѣста. Чтобы показать ученикамъ, что съ этимъ понятіемъ можно работать удобнѣе, чѣмъ безъ него, можно рѣшить подходящую задачу по старому и по новому методу.

Слѣдующую ступень по степени трудности составляютъ задачи, въ которыхъ требуемые вспомогательные треугольники образуются только послѣ проведенія вспомогательныхъ линій. Правила относительно того, какія именно вспомогательныя линіи нужно провести, конечно не могутъ быть установлены; это должно быть предоставлено сообразительности ученика. Однако задачи этого рода должны быть всегда такъ составлены, чтобы вспомогательная линія, которую надо провести, могла быть безъ большого труда найдена ученикомъ съ средними способностями. Познанія, пріобрѣтенныя этими задачами, могутъ быть использованы и для построеній четырехугольниковъ,

Къ прохожденію окружности примыкаютъ построенія треугольниковъ, въ которыхъ, какъ данныя величины, входятъ радіусы круговъ описаннаго, вписаннаго и внѣписанныхъ, а также

величины

Эти задачи не очень поучительны, такъ какъ съ нахожденіемъ вспомогательнаго треугольника уже преодолѣваются всѣ трудности. Можно поэтому ограничиться очень небольшимъ количествомъ этихъ задачъ. За то слѣдуетъ обратить особое вниманіе на построенія самихъ круговъ, касательныхъ и сѣкущихъ, чтобы въ достаточной степени усвоить всѣ эти новыя понятія. Наконецъ, сюда относятся задачи на вписанные и описанные четырехугольники и построенія правильныхъ многоугольниковъ.

Матеріалъ для упражненій слѣдующей группы доставляется ученіемъ о равновеликихъ фигурахъ. Въ задачахъ на превращенія, основанныхъ на теоремѣ Пиѳагора, ученики должны быть въ концѣ концовъ приведены къ тому, чтобы по возможности упрощать построенія. Это, кажется, первый случай для примѣненія въ преподаваніи основныхъ принциповъ геометріи. Заключеніе составляютъ построенія треугольниковъ, которыхъ площадь есть одна изъ данныхъ величинъ.

Послѣдняя большая глава начинается задачами, въ кототорыхъ примѣняется ученіе о пропорціональности. Ученіе о подобіи треугольниковъ приводитъ къ методу подобныхъ фигуръ, который состоитъ въ томъ, что сначала строятъ треугольникъ, подобный искомому, и приводятъ его затѣмъ къ требуемымъ размѣрамъ. По этому методу не нужно рѣшать слишкомъ много примѣровъ, потому что пріемъ, заключающійся въ построеніи подобнаго треугольника, скоро усваивается учениками, и больше въ этихъ примѣрахъ ничего новаго не остается. Нужно обратить вниманіе учениковъ на то, что отношенія могутъ быть заданы въ видѣ чиселъ и въ видѣ отрѣзковъ; если послѣднее имѣетъ мѣсто, то нужно предостеречь учениковъ отъ употребленія этихъ данныхъ въ задачѣ и представляющихъ только отношенія отрѣзковъ, какъ отрѣзковъ для построенія. Къ этимъ задачамъ примыкаетъ алгебраическій анализъ. Рядомъ съ упражненіями въ этомъ новомъ пріемѣ продолжаются упражненія въ предыдущихъ пріемахъ, гдѣ также примѣняется вновь выученное, такъ что въ концѣ концовъ возникаетъ смѣшанный анализъ. Такимъ образомъ получается планомѣрное движеніе впередъ, въ которомъ отдѣльныя ступени оживляются непосредственнымъ примѣненіемъ выученнаго и въ связи другъ съ другомъ непрерывно сохраняются въ сознаніи ученика.

При большомъ выборѣ задачъ для средней ступени, рекомендуется, чтобы пройти возможно большее ихъ количество, не всѣ задачи заставлять разрабатывать письменно: вычерчиваются только фигуры, обо всемъ же остальномъ ученикъ долженъ разсказывать устно.

Послѣ многолѣтняго упражненія въ формѣ и методѣ на средней ступени, становится легкимъ изученіе задачъ на построеніе на высшей ступени. Сюда относятся задачи, рѣшаемыя при помощи теоремы Аполлонія, задачи о гармоническихъ дѣленіяхъ и многія

другія. Превосходною главою является задача Аполлонія о построеніи окружности, касающейся трехъ данныхъ окружностей,-не столько вслѣдствіе красоты ея построенія, сколько потому, что она съ своими десятью случаями представляетъ прекрасный примѣръ исчерпывающей систематики. Изслѣдованіе отдѣльныхъ случаевъ доставляетъ ученикамъ превосходный матеріалъ для геометрическихъ соображеній.

Этимъ заканчивается собраніе задачъ на построеніе, которыя обыкновенно проходятся въ нѣмецкихъ школахъ. Новѣйшія стремленія заключаются въ томъ, чтобы разсматривать эти задачи не какъ нѣчто замкнутое въ себѣ, но связывать ихъ съ другими областями, напр. съ алгеброй или съ тригонометріей.

Преподаваніе математическихъ наукъ во французскихъ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ.

Проф. Н. Н. Салтыковъ. Харьковъ.

(Окончаніе).

Кромѣ того въ низшую школу вводится наглядная геометрія (géométrie intuitive). Ученикъ изучаетъ видъ простѣйшихъ плоскихъ геометрическихъ фигуръ и главнѣйшихъ тѣлъ, при помощи наглядныхъ моделей, и научается измѣрять, опытнымъ путемъ, площади и простѣйшіе объемы: параллелепипедъ, кубъ, призма, цилиндръ.

Интересно отмѣтить, что математическія познанія ребенка значительно пополняются на урокахъ черченія, гдѣ онъ учится дѣлить отрѣзки на равныя части, опредѣлять отношеніе различныхъ отрѣзковъ, строить и измѣрять углы, чертить окружности, правильные многоугольники, а также отличныя отъ окружности кривыя, какъ эллипсы и спирали. Кромѣ того ученикъ пріобрѣтаетъ первоначальныя понятія объ изображеніи предметовъ въ ихъ дѣйствительныхъ размѣрахъ и въ перспективѣ.

Съ такимъ хорошимъ запасомъ математическихъ знаній главнымъ образомъ практическаго характера, ученикъ оставляетъ низшую школу и переходитъ въ среднюю.

Здѣсь происходитъ первое раздѣленіе программы преподаванія, въ отдѣленіяхъ А и В. Главнѣйшее различіе обоихъ отдѣленій заключается, во-первыхъ, въ нѣкоторомъ запаздываніи программъ отдѣленія А, сравнительно съ В, и во-вторыхъ, въ меньшемъ развитіи программъ А, сравнительно съ Б. Это сокращеніе программъ состоитъ въ исключеніи тѣхъ дополнительныхъ свѣдѣній, которыя бываютъ полезны и необходимы для лицъ, посвящающихъ себя дальнѣйшему изученію математическихъ наукъ, но являются излишними для тѣхъ, кому достаточны только основныя свѣдѣнія изъ математики, полезныя въ виду практическихъ приложеній или необходимыя для законченности философскаго обра-

зованія. Въ теченіи первыхъ двухъ лѣтъ, въ классахъ тестомъ и пятомъ А, математика продолжаетъ изучаться подъ названіемъ счетъ (calcul). При этомъ преподавателю рекомендуется избѣгать теоретичности, а учить производить правильно вычисленія и ясно представлять себѣ ихъ значеніе. Всякія опредѣленія должны сопрождаться конкретными примѣрами. Изучаются дѣйствія надъ дробями, приведеніе ихъ къ одному знаменателю, десятичныя дроби, метрическая система, вычисленіе длинъ, площадей, объемовъ (правила опредѣленія площади прямоугольника и объема прямого параллелепипеда), вѣса, плотности, счисленіе монетъ, времени, скорости, преобразованіе единицъ, тройное правило, проценты, учетъ, рента, смѣси и сплавы. Преподаватель долженъ пріучать учениковъ, при объясненіяхъ, къ буквеннымъ обозначеніямъ и къ простѣйшимъ формуламъ. Рѣшеніе задачъ приводится къ составленію уравненій, но для рѣшенія ихъ допускаются преобразованія, соотвѣтствующія даннымъ частнымъ условіямъ.

Въ четвертомъ и третьемъ классахъ А вводятся дальнѣйшія развитія ариѳметики и начала алгебры (дѣйствія надъ многочленами и численныя уравненія первой степени). Изученіе геометріи начинается съ примѣненій циркуля, линейки, угольника и транспортира. Не останавливаясь на подробностяхъ, отмѣчу только введеніе въ третьемъ классѣ А, въ отдѣлѣ геометріи о подобныхъ треугольникахъ, понятій sin, cos, tg и cotg угла. Что касается второго отдѣленія перваго цикла, то о немъ будетъ рѣчь дальше.

Предыдущія занятія продолжаются во второмъ циклѣ, во второмъ и первомъ классѣ отдѣленій А и В. Эти занятія должны подготовлять къ изученію физики. Теоретическія соображенія должны всегда сопровождаться численными упражненіями. При приблизительныхъ вычисленіяхъ долженъ указываться предѣлъ погрѣшности. Характерная особенность преподаванія заключается въ изученіи, начиная со второго класса, измѣненій функцій ax -f- 6, 0 1 ах 4- Ь ѵ ихъ графическомъ представленіи и изученіи движеній равномѣрнаго и равномѣрно перемѣннаго.

Въ первомъ классѣ, при изученіи геометріи, опредѣляются также sin, cos и tang угловъ, заключающихся между 0 и двумя прямыми, разсматривается синусоида, метрическія зависимости въ треугольникѣ и окружности, а также рѣшаются прямоугольные треугольники.

Этимъ преподаваніемъ заканчивается обязательное изученіе математики на разсматриваемомъ отдѣленіи средней школы. Оно можетъ быть дополнено изученіемъ въ первомъ классѣ необязательнаго курса математики, въ которомъ дается опредѣленіе производной, ея геометрическаго значенія и разсматривается приложеніе къ изученію измѣненія функцій, а также изучается тригонометрія въ объемѣ программы перваго класса отдѣленій С и D, исключая вопросовъ о дѣленіи дугъ.

Однако особенный интересъ представляетъ преподаваніе въ послѣднемъ классѣ философіи А и В втораго цикла средней школы въ слѣдующемъ отношеніи.

Здѣсь происходитъ окончательный разрывъ со старыми традиціями средней школы, въ смыслѣ введенія спеціализаціи преподаванія. Законодатель нашелъ возможнымъ освободить учениковъ послѣдняго класса отъ обязательнаго изученія математики, сосредоточивъ его вниманіе на изученіи философіи. Однако желающимъ предоставляется возможность изучить нѣкоторые изъ основныхъ вопросовъ высшей математики, ограничивающіеся графическимъ представленіемъ измѣненія величинъ въ явленіяхъ, зависящихъ отъ одной перемѣнной (температура, давленіе, статистика). Понятіе о функціи, графическое представленіе простѣйшихъ функцій, построеніе прямой данной уравненіемъ. Примѣненіе клѣтчатой бумаги, рѣшеніе системы двухъ числовыхъ уравненій первой степени съ двумя неизвѣстными, при помощи пересѣченія прямыхъ. Производная. Дифференцированіе суммы, произведенія, дроби и квадратнаго корня отъ функціи. Измѣненіе функцій, представляющихъ отношеніе двухъ многочленовъ второй степени, или многочленовъ третьей степени, съ числовыми коэффиціентами. Скорость прямолинейнаго перемѣннаго движенія.

Кромѣ того дѣлаются упражненія на числовыя вычисленія площадей и объемовъ правильныхъ геометрическихъ фигуръ и тѣлъ. Изучаются элементарныя свойства эллипса, гиперболы и параболы. Рѣшаются треугольники при помощи тригонометріи. Впрочемъ, въ виду необязательности преподаванія, преподавателю предоставляется право вносить измѣненія и даже сокращенія въ указанную программу, принимая во вниманіе составъ, подготовку и преслѣдуемые цѣли его учениками.

Необходимо отмѣтить, что въ такой формѣ преподаваніе введено только въ самое послѣднее время и представляетъ реакцію сравнительно съ тѣмъ обязательнымъ преподаваніемъ математики въ классѣ философіи, которое было учреждено со времени введенія реформы средней школы.

Разсматривая первоначальную программу этихъ предполагавшихся ранѣе обязательныхъ занятій, какъ одинъ изъ возможныхъ плановъ преподаванія, я считаю поэтому полезнымъ привести его также здѣсь. Полагаю однако, что предполагавшееся по расписанію время въ два годовыхъ часа, съ возможнымъ прибавленіемъ въ одномъ семестрѣ еще одного часа, является все-таки недостаточнымъ, въ виду значительно болѣе развитой программы сравнительно съ указанной выше. Эта послѣдняя входила только какъ одна составная часть въ первоначальную программу и дополнялась изученіемъ болѣе сложныхъ функцій и уравненій, а также построеніемъ простѣйшихъ кривыхъ, опредѣляемыхъ геометрически, и составленіемъ ихъ уравненій.

Кромѣ того въ программу входило приближенное вычисленіе площадей, ограниченныхъ кривыми, начерченными на клѣтчатой бумагѣ и опредѣленіе предѣловъ погрѣшностей въ зависимости отъ размѣровъ клѣтокъ. Вычислялись площади треугольника и пораболы какъ предѣлы суммъ. Изучалось интегрированіе какъ дѣйствіе обратное дифференцированію (первообразныя функціи) и такимъ образомъ вычислялись также предыдущія площади.

Наконецъ, методъ исчисленія безконечно малыхъ прилагался къ вычисленію объемовъ и площадей тѣлъ, разсматриваемыхъ въ элементарной геометріи.

Какъ и раньше преподавателю рекомендовалось не отвлекаться въ сторону теоретичности; общія понятія должны непосредственно вытекать на основаніи обстоятельно разобранныхъ частныхъ примѣровъ. Наконецъ, изложенныя свѣдѣнія должны являться пособіемъ для изученія физики. Вмѣстѣ съ тѣмъ на усмотрѣніе преподавателя представляется развитіе предыдущихъ общихъ указаній программы, въ зависимости отъ того интереса, который проявляется со стороны учениковъ.

Особенно рекомендуется приводить историческія справки па поводу методовъ исчисленія у древнихъ (Евклида и Архимеда) и пріобрѣтенія дифференціальнаго и интегральнаго исчисленія.

Приведенная краткая программа можетъ представить захватывающій интересъ, имѣя въ виду выясненіе метода исчисленія безконечно-малыхъ величинъ и послѣдующаго затѣмъ введенія сокращенныхъ символовъ этого исчисленія: дифференціала и интеграла. Можно рекомендовать всѣмъ желающимъ познакомиться подробнѣе съ замѣчательнымъ выполненіемъ приведенныхъ вкратцѣ элементарныхъ программъ въ хорошо всѣмъ извѣстныхъ руководствахъ Бореля и курса Таннери — Notions de Mathématiques, появившагося также въ нѣмецкомъ переводѣ. Послѣднее сочиненіе представляетъ развитіе приведенной первоначальной обязательной программы класса философіи. Программа эта представляетъ несомнѣнный значительный интересъ, хотя и можно было бы сдѣлать по поводу ея рядъ критическихъ замѣчаній въ интересахъ ея болѣе детальной разработки и выясненія времени необходимаго для ея усвоенія.

Я перехожу теперь къ разсмотрѣнію еще болѣе интереснаго, въ виду большаго его развитія, преподаванія математики въ отдѣленіи В перваго цикла и въ отдѣленіяхъ С и D, второго цикла, а также послѣдняго класса математики второго цикла средней школы.

Изученіе математики начинается здѣсь съ пятаго класса подъ общепринятыми названіями: ариѳметика, алгебра, геометрія. Уже въ шестомъ классѣ вводятся буквенныя обозначенія и простѣйшія формулы. Ариѳметика пополняется коммерческими вычисленіями. Изученіе геометріи въ пятомъ классѣ дополняется геометрическимъ вычерчиваніемъ простѣйшихъ упражненій и получаемыхъ геометрическихъ задачъ, относящихся къ курсу геометріи. По геометріи, въ четвертомъ классѣ, послѣ изученія подобныхъ треугольниковъ, опредѣляются sin, cos и tang угла. Кромѣ того вводится построеніе геометрическихъ мѣстъ, а также вычерчиваются различныя кривыя. По алгебрѣ, уже въ третьемъ классѣ вводится изученіе измѣреній выраженій ax -j- 6, х2, ^ и ихъ графическое изображеніе. Изученіе геометріи пополняется съемкой плановъ, землемѣріемъ и нивеллировкой.

Что касается второго цикла С и D, то во второмъ классѣ продолжается изученіе измѣненій и графическаго представленія болѣе сложныхъ выраженій сравнительно съ предыдущимъ классомъ. По первоначальному плану преподаванія, въ этомъ классѣ, уже давалось понятіе о производной и ея геометрическомъ значеніи и эти понятія прилагались къ изученію измѣненія простѣйшихъ функцій, разсмотрѣнныхъ раньше.

Однако въ самое послѣднее время введеніе этихъ понятій перенесено въ слѣдующій первый классъ.

Въ этомъ классѣ вводятся начала начертательной геометріи и теоріи тѣней; вводятся круговыя функціи sin, cos, tang, cotg въ зависимости между ними и изучается тригонометрія до рѣшенія прямоугольныхъ треугольниковъ включительно и пользованія логарифмическими таблицами, разсматриваются и изслѣдуются также простѣйшія тригонометрическія уравненія и зависимости между сторонами и углами треугольниковъ.

Наконецъ, при изученіи алгебры, въ разсматриваемомъ первомъ классѣ вводится понятіе о производной и ея геометрическомъ значеніи. Опредѣленіемъ знака производной пользуются для разсмотрѣнія измѣненія функцій; и эти свѣдѣнія прилагаются къ изученію функцій, съ числовыми коэффиціентами, слѣдующаго вида

Изучается движеніе равномѣрное и равномѣрно перемѣнное; при помощи производныхъ опредѣляются скорость и ускореніе прямолинейнаго движенія.

Интересно отмѣтить, что при черченіи дѣлаются съемки съ натуры простѣйшихъ деталей машинъ, а также выполняются эпюры по начертательной геометріи и теоріи тѣней.

Что касается послѣдняго класса математики А и В, второго цикла, то его математическая программа весьма обширна. Не останавливаясь на ариѳметическихъ теоремахъ о дѣлимости и ученіи объ абсолютныхъ и относительныхъ погрѣшностяхъ вычисленій, переходимъ къ алгебрѣ и геометріи. Къ отдѣлу алгебры относится ученіе о координатахъ, выводъ уравненія прямой и обратная задача ея построенія по уравненію. Развитіе ученія объ измѣненіи простѣйшихъ функцій, ихъ maxima и minima, производныя суммы, произведенія, частнаго, квадратнаго корня, круговыхъ функцій sinx, cosx, tgx, cotgx, производная площади кривой, разсматриваемой какъ функція абсциссы, принимая извѣстнымъ понятіе о площади. При этомъ преподавателю предлагается не затрагивать тѣхъ изысканныхъ вопросовъ, когорые возникаютъ при строгихъ теоретическихъ изслѣдованіяхъ въ области дифференціальнаго исчисленія; необходимо останавливать главное вниманіе на приложеніяхъ и стремиться къ наглядности изложенія.

Въ области геометріи пополняются свѣдѣнія изъ тригонометріи, и начертательной геометріи и, на что слѣдуетъ особенно

обратить вниманіе, вводится ученіе о коническихъ сѣченіяхъ. Изучаются эллипсъ, гипербола и парабола, ихъ видъ, задачи на касательныя, уравненія, отнесенныя къ осямъ, ихъ общее опре дѣленіе на основаніи свойствъ конусовъ и директрисъ. Наконецъ, эти кривыя разсматриваются какъ сѣченія кругового конуса и цилиндра.

Математическое образованіе въ классѣ математики заключаетъ также весьма обстоятельный, для средней школы, курсъ механики, въ объемѣ кинематики точки и твердаго тѣла, динамики точки и статики твердаго тѣла, а также ученіе о простыхъ машинахъ въ состояніи равновѣсія и движенія. Программа послѣдняго курса подробно развита въ извѣстномъ руководствѣ Appell et Chapuis—leçons de mécanique élémentaires, или въ учебникѣ G. Guichard.—Traité de Mécanique.

Эти свѣдѣнія пополняются изученіемъ космографіи, со включеніемъ ученія о законахъ Кеплера и силѣ всемірнаго тяготѣнія Ньютона.

Приведенное краткое перечисленіе особенностей программъ преподаванія математическихъ наукъ отняло уже достаточно много времени.

Программа занятій черченіемъ представляется дальнѣйшимъ развитіемъ занятій въ предыдущихъ классахъ.

Наконецъ, интересно отмѣтить, что первый отдѣлъ курса философіи класса математики, объ основахъ философіи естествознанія, заключаетъ также ученіе о методахъ математическихъ наукъ.

Чтобы яснѣе представить постановку преподаванія математическихъ наукъ во французской средней школѣ, необходимо къ предыдущему дополнить слѣдующее: весь курсъ математики проникнутъ общей идеей, сообщать ученику рядъ практическихъ свѣдѣній, объясняющихъ и оживляющихъ отвлеченную теорію. Развитіе преподаванія основано не. на какихъ либо искусственныхъ логическихъ умозаключеніяхъ, но согласовано съ историческимъ естественнымъ ходомъ развитія математическихъ наукъ. Такое естественное изложеніе значительно облегчаетъ ученику изученіе математическихъ наукъ и дѣлаетъ его увлекательнымъ. Благодаря этому облегчается возможность осуществлять новую программу преподаванія математики, несмотря на ея обширность, какъ было констатировано не только во Франціи, но и въ Германіи, увлеченной французской реформой преподаванія и вводящей ее у себя*). Конечно, жизнь привела къ необходимости нѣкотораго уменьшенія размѣровъ преподаванія, и очень возможны еще и другія видоизмѣненія. Но важно отмѣтить плодотворность основной идеи, положенной во всю систему преподаванія.

По этому поводу интересно привести слова одного изъ французскихъ преподавателей, Г. Маротта, изъ его доклада Les récentes ré for aies de Venseignement des Mathématiques dans renseignement secondaire français, напечатаннаго въ 13 томѣ Jahresbericht der Deutschen Mathematiker— Vereinigung за 1904 годъ. Онъ говоритъ, что основная

*) L’Enseignement Mathématiques, 1910, № 1.

мысль и главная цѣль произведенной реформы заключается въ приспособленіи средняго образованія къ жизни современнаго общества и къ экономическимъ условіямъ его существованія. Дать молодымъ людямъ ясное представленіе о вселенной, въ которой они должны жить и дать необходимый запасъ знанія для развитія ихъ дѣятельности — въ этомъ заключается двойная цѣль, преслѣдуемая среднимъ образованіемъ, которое должно быть поэтому одновременно и общимъ и утилиторнымъ.

Такимъ образомъ создалась необходимость ввести въ среднюю школу преподаваніе элементовъ ученія о непрерывныхъ величинахъ и анализа безконечно-малыхъ. Реформа, вызывавшая раньше возраженія, пріобрѣтаетъ все большее и большее число сторонниковъ. Такъ, вслѣдъ за Франціей, послѣдовало введеніе элементовъ анализа въ среднія женскія учебныя заведенія въ Пруссіи. Россія страна скептицизма. Мнѣ приходилось, при обмѣнѣ мнѣній на предпослѣднемъ XII съѣздѣ естествоиспытателей и врачей въ Москвѣ, слышать неблагопріятные отзывы о результатахъ опыта новыхъ программъ реальныхъ и коммерческихъ училищъ. Правда, одни объясняли это неудачнымъ сочетаніемъ старой программы съ новыми идеями, другіе же думали, что наши преподаватели оказались неподготовленными къ новому преподаванію. Послѣднее обстоятельство весьма существенное. Мы видимъ, что Пруссія также оказалась въ критическомъ положеніи, вслѣдствіе недостаточности числа преподавательницъ математики. Но конечно германскіе университеты выйдутъ съ честью изъ создавшагося положенія, послѣдовавъ примѣру Геттингенскаго Университета. Это послѣднее обстоятельство я детально разбиралъ въ своей статьѣ — Къ вопросу объ учрежденіи курсовъ для подготовки преподавателей среднихъ учебныхъ заведеній*) и указывалъ, что русскіе университеты могутъ также восполнить отмѣченный пробѣлъ въ подготовкѣ преподавателей среднихъ школъ. Я не сомнѣваюсь, конечно, что эта задача будетъ вполнѣ разрѣшена нашими университетами.

Возможно предвидѣть еще другое возраженіе, вытекающее изъ критики приведенныхъ мною программъ. Составитель ихъ рекомендуетъ преподавателю не затрагивать тѣхъ изысканныхъ, рафинированныхъ вопросовъ, которые возникаютъ при строгихъ теоретическихъ изслѣдованіяхъ въ области исчисленія безконечномалыхъ величинъ. У скептиковъ можетъ возникнуть по этому поводу предубѣжденіе, что новыя программы, стремясь къ наглядности и простотѣ изложенія, могутъ грѣшить противъ математической точности и строгости, безъ которой, для насъ, не мыслима современная наука. Но я не могу раздѣлять такихъ опасеній. Въ самомъ дѣлѣ, разсматриваемыя программы предостерегаютъ преподавателя отъ общности, они заставляютъ сосредоточивать вниманіе ученика на приложеніяхъ. Поэтому опытный преподаватель всегда сумѣетъ выбрать достаточно подходящіе примѣры для

*) См. Записки Императорскаго Харьковскаго Университета за 1910 годъ, а также Математическое Образованіе № 1 за 1914 г. стр. 30.

того, чтобы установить строго предѣлы, въ которыхъ всѣ прилагаемыя имъ разсужденія были бы безусловно точны и строги и чтобы самыя условія, устанавливающія необходимые предѣлы, не носили бы слѣдовъ тѣхъ рафинированныхъ изысканій, которыя стремятся установить точность разсужденій въ возможно болѣе широкихъ предѣлахъ и самыхъ общихъ предположеніяхъ. Напротивъ, преподаватель, отмѣтивъ предѣлы, доступные пониманію учениковъ, установивъ необходимость условій предѣльности въ разсужденіяхъ, тѣмъ самымъ окажетъ наилучшую услугу дѣлу преподаванія и заложить крѣпкое основаніе математическаго мышленія и развитія ученика.

Наконецъ, можетъ возникнуть опасеніе, что увлеченіе изученіемъ формальныхъ правилъ дифференцированія и отчасти интегрированія можетъ скрыть отъ ученика истинный смыслъ метода исчисленія безконечно-малыхъ, созданнаго Архимедомъ и, можно сказать, доведеннаго до совершенства Ньютономъ. Но по этому поводу слѣдуетъ замѣтить, что на долю математиковъ выпадаетъ не только приложенія вычисленій, которыя съ особенной наглядностью выясняютъ методъ исчисленія безконечно-малыхъ, но также и изученіе отвлеченныхъ законовъ счисленія. Предохранить отъ программъ и математическаго преподаванія въ одну какую-либо сторону, въ ущербъ другой, можетъ только согласованіе идей и программъ преподаванія различныхъ предметовъ, изучаемыхъ въ школѣ. Въ этомъ отношеніи механика, космографія, физика и химія даютъ богатый матеріалъ для приложеній метода исчисленія безконечно-малыхъ величинъ къ изученію явленій природы. Въ этихъ приложеніяхъ выясняется сущность разсматриваемаго метода, а также истиннаго значенія символическихъ правилъ и законовъ дифференціальнаго и интегральнаго исчисленій.

При ясно выраженномъ согласованіи отмѣченныхъ сторонъ преподаванія математическаго анализа, ученикъ можетъ и долженъ овладѣть какъ методомъ исчисленія, такъ и его формальными правилами, конечно въ тѣхъ предѣлахъ, которые должны быть ему доступны.

До сихъ поръ, главнымъ образомъ, шла рѣчь о преподаваніи въ средней школѣ какъ самостоятельномъ научномъ учрежденіи, при чемъ указывалось значеніе въ этомъ отношеніи новыхъ программъ по математическимъ предметамъ.

Необходимо также принять во вниманіе, что кромѣ самостоятельнаго значенія, средняя школа является еще подготовительницей молодыхъ людей, которые продолжаютъ затѣмъ научныя занятія въ высшей школѣ. Для тѣхъ, кто избираетъ техническія или математическія науки, приведенныя программы, конечно, представляютъ идеалъ, который является въ нашихъ мечтахъ какъ нѣчто недостижимое. Однако въ смыслѣ подготовки по математикѣ французская средняя школа идетъ еще гораздо дальше. Для молодыхъ людей, которые желаютъ поступить на математическій факультетъ или въ техническія высшія школы, при французскихъ среднихъ школахъ, существуютъ еще такъ называемые

спеціальные классы. Въ этихъ классахъ преподается аналитическая геометрія, исчисленіе безконечно-малыхъ и механика. Чтобы дать понятіе о программахъ этого преподаванія достаточно сказать, что изученіе аналитической геометріи заканчивается вполнѣ въ спеціальномъ классѣ средней школы и не преподается въ спеціальныхъ учебныхъ заведеніяхъ и въ университетѣ для математиковъ, По исчисленію безконечно-малыхъ изучаются большинство положеній дифференціальнаго исчисленія, основные пріемы интегрированія функцій, геометрическія приложенія простыхъ опредѣленныхъ интеграловъ и, наконецъ, что особенно важно, интегрированіе обыкновенныхъ дифференціальныхъ уравненій перваго порядка, раздѣляющихъ перемѣнныя и линейныхъ, линейныхъ второго порядка съ постоянными коэффиціентами однородныхъ и неоднородныхъ, въ простѣйшихъ случаяхъ.

Послѣднее обстоятельство весьма существенное. Оно показываетъ установившее мнѣніе во Франціи, что приступить къ изученію математическихъ наукъ въ университетѣ можетъ только тотъ, кто владѣетъ основами исчисленія безконечно-малыхъ величинъ до интегрированія простѣйшихъ обыкновенныхъ дифференціальныхъ уравненій включительно.

Мы не станемъ настаивать въ настоящемъ докладѣ на всѣхъ дальнѣйшихъ выводахъ, которые можно было бы сдѣлать изъ всего сказаннаго. Намъ казалось интереснымъ прослѣдить развитіе введенія элементовъ такъ называемой высшей математики въ преподаваніе средней школы. Особенно интересно отмѣтить, что способъ этого введенія не единственный и разсмотрѣнныя соображенія показываютъ, какъ возможно его осуществить, имѣя въ виду различныя цѣли, въ зависимости отъ спеціальности отдѣленія средней школы и размѣровъ преподаванія.

Слѣдуетъ съ грустью констатировать, что каждый истекшій годъ будетъ насъ оставлять все дальше и дальше въ культурномъ развитіи отъ нашихъ западныхъ сосѣдей. „Преподаваніе, которое не соотвѣтствуетъ требованіямъ современности какъ по своему содержанію такъ и по направленію“, говоритъ Ліаръ, „не является безвреднымъ анахронизмомъ, но представляетъ національное бѣдствіе“.

Вступивъ на путь научнаго преподаванія математики, западно-европейская средняя школа будетъ продолжать и далѣе эволюціонировать по законамъ развитія и совершенствованія человѣческой мысли и науки. Постепенно новые научные факты, на основаніи ихъ детальнаго изученія, представляясь въ болѣе простомъ и элементарномъ видѣ, становятся достояніемъ многихъ. Наконецъ, они войдутъ въ преподаваніе средней школы. Аналогично тому какъ теперь, на западѣ, аналитическая геометрія и исчисленіе безконечно-малыхъ становятся достояніемъ средней школы, такъ со временемъ, съ дальнѣйшимъ развитіемъ науки, новые научные факты будутъ переходить изъ области университетскаго преподаванія въ среднюю школу. Такимъ образомъ создаются условія дальнѣйшаго культурнаго развитія, котораго мы лишены въ Россіи въ настоящее время.

Но объ этомъ много говорилось. Нашей средней школѣ недостаетъ того живого слова, о которомъ краснорѣчиво говорилъ еще Пироговъ: „Дайте же юности живое слово, а она отдастъ вамъ всю себя,—пойдетъ за вами, превратитъ жизнь въ сплошное богослуженіе, въ служеніе Богу, любви и правдѣ“.

Построенія Штейнера и построенія съ помощью двусторонней линейки, прямого или остраго угла.

И. Александровъ (Москва).

Теперь мы разсмотримъ рѣшеніе задачъ проведеніемъ только однихъ прямыхъ линій, при чемъ на чертежѣ иногда уже имѣется начерченной какая-нибудь одна вспомогательная фигура. Изъ всѣхъ такихъ способовъ наиболѣе сильными являются рѣшенія съ помощью:

Б. Двусторонней линейки (два параллельные отрѣзка, разстояніе которыхъ неизмѣнно); другіе инструменты при этомъ не допускаются.

Г. Прямого или остраго угла, сдѣланнаго изъ дерева или металла—другіе инструменты не допускаются.

Ж. Односторонней линейки, при чемъ на чертежѣ уже имѣется начерченной окружность съ извѣстнымъ центромъ (вспомогательная окружность Штейнера)1)—другіе инструменты не допускаются.

Далѣе, всякая невспомогательная окружность считается данною, если извѣстно положеніе ея центра и длина радіуса, заданная гдѣ нибудь начерченнымъ отрѣзкомъ. Однако ни одна точка такой окружности не считается данною и, если мы желаемъ

1) Яковъ Штейнеръ „Geometrishe Konstruktionen...“ Berlin, 1833—въ русскомъ переводѣ издано Харьковской математической библіотекой за № 1, Харьковъ, 1910. Я, впрочемъ, не слѣдовалъ буквально ни Штейнеру, ни Адлеру, подробно изложившему этотъ вопросъ въ своей „Теоріи геометрическихъ построеній“, пер. на русс., Одесса, 1910. Встрѣчаются построенія другихъ авторовъ и мои собственныя. Пропущены слѣдующіе простѣйшіе приборы и способы построенія: 1) съ помощью односторонней линейки и подвижнаго отрѣзка постоянной длины, 2) съ помощью биссектора—вообще приборы Фельдблюма, 3) съ помощью односторонней линейки, если на рисункѣ уже имѣется начерченнымъ ромбъ или квадратъ, 4) съ помощью одного или двухъ циркулей съ постояннымъ растворомъ. Рѣшеніе квадратныхъ задачъ однимъ циркулемъ читатели найдутъ въ моей запискѣ „Построенія Маскерони“ (Вѣстн. Оп. Физики 1914 года).

опредѣлить на этой окружности точку какого нибудь свойства, то должны ограничиться проведеніемъ только прямыхъ линій.

Мы знаемъ, что рѣшеніе всякой квадратной задачи сводится къ слѣдующимъ четыремъ основнымъ построеніямъ:

1) Указать, сколько угодно, точекъ, лежащихъ на прямой, проходящей черезъ данныя двѣ точки.

2) Опредѣлить точку пересѣченія двухъ данныхъ прямыхъ.

3) Опредѣлить точку пересѣченія данной прямой и данной (въ вышеуказанномъ смыслѣ) окружности.

4) Опредѣлить точку пересѣченія двухъ данныхъ окружностей.

Первыя двѣ основныя задачи рѣшаются способами Б, Г и Ж непосредственно—одной линейкой. Наша цѣль показать, что двѣ другія основныя задачи рѣшаются тѣми же тремя способами, которые, не смотря на видимую ограниченность своихъ средствъ, рѣшаютъ такимъ образомъ всякую квадратную задачу.

Возможны разнообразныя системы изложенія этого вопроса— ниже выбрана, повидимому простѣйшая изъ нихъ. Рѣшимъ предварительно нѣсколько задачъ проведеніемъ однихъ прямыхъ линій (односторонней линейкой).

I. Даны два параллельныхъ отрѣзка AB и CD. Раздѣлить ихъ пополамъ.

Пересѣченіе AD и ВС соединимъ съ Е (чер. 1).

Если перемножить пропорціи АР : PB = CQ : DQ и АР : PB = = DQ: CQ, то получимъ АР=РВ, а затѣмъ и CQ—DQ.

II. Зная середину отрѣзка AB, провести ему параллель изъ данной точки С (чер. 1).

Чер. 1. Чер. 2.

Беремъ на АС произвольно точку Е, опредѣляемъ Пересѣченіе РЕ съ ВС, и затѣмъ пересѣченіе ЕВ и AM.

III. На рисункѣ данъ параллелограммъ ABCD. Провести черезъ его центръ параллель одной изъ сторонъ.

На AD беремъ произвольно L (чер. 2), проводимъ DM\\AC

и CK\\BD (задача II); получается точка Y и прямая EY— искомая.

IV. На рисункѣ данъ параллелограммъ ABGD. Черезъ данную точку Р провести параллель данной прямой G.

Черт. 2.

Продолженія AD, EY и ВС (чер. 2.) опредѣлятъ на G точки F, Н и N такъ, что FH=HN, и задача приведена къ задачѣ II.

Способами Б, Г и Ж легко построить вспомогательный параллелограммъ2); поэтому задачи III и IV рѣшаются этими способами, каждая — каждымъ способомъ въ отдѣльности.

Чер. 3. Чер. 4.

V. На данной прямой отъ данной точки D отложить отрѣзокъ, равный данному отрѣзку AB.

Б. Строимъ параллелограммъ ÄBCD (IV); проводимъ СР || BE (чер. 3) и строимъ ромбъ MCNL, прикладывая линейку одинъ разъ—къ CD, а другой разъ—къ СР. Прямая CL опредѣлитъ искомую точку Е.

2) Это совершенно очевидно для способовъ Б и Г. Въ способѣ Ж всякій діаметръ окружности даетъ отрѣзокъ и его середину—останется примѣнить задачу II и повторить это построеніе. Еще проще начертить въ данной окружности прямоугольникъ.

Можно бы показать, что построеніе ромба MCNL легко выполняется пріемами Г и Ж, но лучше разобрать рѣшеніе нашей задачи каждымъ способомъ отдѣльно, потому что эти рѣшенія чрезвычайно изящны и характерны.

Г. Если данный уголъ прямой, то строятъ два параллелограмма AB DC и ABDK (чер. 4); затѣмъ двигаютъ прямой уголъ вершиною по прямой—в до тѣхъ поръ, пока его бока не будутъ проходить черезъ К и С.

Если же имѣемъ въ рукахъ острый уголъ а, то (чер. 5) строимъ параллелограммъ ABCD и ромбъ DCNM.

Двигаемъ затѣмъ нашъ уголъ вершиною по прямой G до тѣхъ поръ, пока его стороны не пройдутъ черезъ М и С (или обратно). Очевидно, получается окружность (D, DC), и, слѣд., DE=DC. Ж. Проводимъ G1\\G, строимъ (чер. 6) параллелограммъ АВКО и KZ\\XY\ наконецъ строимъ параллелограммъ ZODE. VI. Черезъ данную точку провести перпендикуляръ къ данной прямой. Изъ двухъ случаевъ, на которые распадается задача, одинъ сводится на другой проведеніемъ параллелей (задача IV), и, потому достаточно разсмотрѣть одинъ какой нибудь случай.

Чер. 5.

Чер. 6. Чер. 7.

Б. Приставляютъ линейку къ данной точкѣ С два раза и проводятъ по обоимъ бокамъ линейки параллели; получаютъ (чер. 7) точки А и В. Затѣмъ переворачиваютъ линейку такъ, чтобъ А и С были на ея бортахъ и опять проводятъ двѣ параллели. CD—искомая.

Г. Если D—данная точка, то прямымъ угломъ задача рѣшается непосредственно, а острымъ угломъ, какъ показываетъ (чер. 7).

Чер. 8.

Чер. 9.

Ж. Проводятъ діаметръ ВС, параллельный данной (чер. 8) прямой G. Данную точку А соединяютъ съ В и С л чертятъ DC л BE. AF—искомая, потому что высоты треугольника пересѣкаются въ одной точкѣ. Теперь мы можемъ перейти къ рѣшенію двухъ главныхъ задачъ, рѣшающихъ нашъ вопросъ.

VII. Третья главная задача. Опредѣлить точку пересѣченія данной прямой G и окружности, заданной положеніемъ центра О, и длиной радіуса, равной данному отрѣзку AB.

Б. Строимъ 01C\\G, такъ чтобъ Ot С = AB (задача У), и проводимъ Gl\\G, такъ чтобъ разстояніе этихъ параллелей равно ширинѣ линейки а (чер. 9). Взявъ произвольную сѣкущую OxFD, проводимъ FE\\CD. Если теперь помѣстить линейку такъ, чтобъ бока ея проходили черезъ Ох и Е, то опредѣлятся искомыя точки X и Y.

Чер. 10. Чер. 11.

Замѣтимъ, что прямая G1 можетъ занимать положеніе болѣе удаленное отъ Ох, чѣмъ прямая G.

Г. Если данный уголъ прямой, то строимъ ОіС\\АВ и OtD = 01С — AB (чер. 10). Затѣмъ, оставляя стороны прямого

угла на точкахъ D и (7, передвигаемъ его до тѣхъ поръ, пока вершина не придетъ на прямую G.

Если имѣемъ острый уголъ а, то строимъ ромбъ DxOCE (чер. 11) такъ, чтобъ 0{С=АВ и OxC\\G. Двигаемъ теперь вершину угла а по G до тѣхъ поръ, пока его стороны не пройдутъ черезъ D и С — получимъ требуемое.

Ж. Построимъ (чер. 12) параллелограммъ ОхАВС и проведемъ изъ центра О вспомогательной окружности 0D \\ 0ХС. Тогда К есть центръ подобія круговъ О и (0Х, С). Пусть СОх встрѣчаетъ G въ М, а DO встрѣчаетъ КМ въ Мх\ черезъ Ых проводимъ Gx II G.[Прямыя КХх и KY{ опредѣлятъ на G искомыя точки Хи Y.

Чер. 12. Чер. 13

VIII. Четвертая главная задача. Опредѣлить точку пересѣченія двухъ окружностей, заданныхъ положеніемъ центровъ Ох и 02 и длиною радіусовъ, равныхъ даннымъ отрѣзкамъ rt = AB и r2—CD.

Чтобъ рѣшить эту задачу, построимъ радикальную ось заданныхъ окружностей — тогда задача приведется къ предыдущей. Съ этой цѣлью надо опредѣлить на прямой 0о0х точку X такъ, чтобъ ОхХ* 2— 02Х2 = г^ — г22.

На перпендикулярахъ къ 0201 (задачи VI и У) откладываемъ (чер. 13) ОхЕ = г2 и 02Е=гг\ изъ середины ЕЕ возставимъ НХ±0102.1) Тогда ЕХ = FX и потому ОхХ'2-\-г22 = 02Х2 + гг* или ОхХ2—02Х2 = г{2 — г22, и вопросъ приведенъ къ задачѣ VI.

И такъ мы убѣдились, что слѣдующіе очень простые инструменты: линейка съ параллельными краями, прямой или острый уголъ2) изъ какого нибудь матеріала, наконецъ односторонняя

1) Раздѣлить отрѣзокъ пополамъ очень легко съ помощью задачъ I и IV, начертивъ вспомогательный параллелограммъ.

2) Сторона, лежащая противъ прямого или острого угла, не имѣетъ значенія и можетъ быть кривою или зазубренною.

линейка съ вспомогательною окружностью Штейнера позволяютъ рѣшить всякую квадратную задачу на построеніе. Однако было бы большимъ заблужденіемъ, если бы къ рѣшенію каждой задачи означенными инструментами мы стали бы подходить слѣдующимъ образомъ: вообразили бы задачу рѣшенною циркулемъ и линейкой и каждый шагъ построенія стали бы выполнять согласно указаннымъ задачамъ I—VIII. Напротивъ того, каждый изъ этихъ способовъ имѣетъ свои характерныя особенности и въ каждомъ частномъ случаѣ, при тщательномъ разсмотрѣніи задачи, каждый инструментъ можетъ дать рѣшеніе, иной разъ болѣе простое, чѣмъ циркуль и линейка. Отчасти мы уже это видѣли въ задачахъ V и VI. Вотъ еще примѣръ этого характера.

XI. Данъ отрѣзокъ AB. Съ помощью односторонней линейки построить третью, четвертую, пятую и. т. д. часть этого отрѣзка, если на чертежѣ уже имѣется отрѣзокъ CD, параллельной AB.

Бріаншонъ даетъ этой задачѣ слѣд. чрезвычайно изящное рѣшеніе (чер. 14). F есть середина AB (задача I). Легко доказать, что AM = ~§АВ, AN = -і-AB и т. д.

Чер. 14.

Имѣемъ

отсюда

Дальше для доказательства всего легче выбрать методъ отъ п къ п+1.

Теперь мы покажемъ, что изъ всѣхъ показанныхъ инструментовъ, считая циркуль и линейку, наибольшую мощь имѣетъ прямой уголъ.

Построеніе корней уравненія третьей и четвертой степени.

Уравненіе ж4 ахд Ъх2 -|- ex -f- d = о (1)

подстановкой х = у — обращается въ

t + Ay* + By+C=0 (2)

Если положить 2у = и + ѵ + w

и'2 -J-- ѵ~ -(- w2 = — 2 А

UVW = — В,

то и2, V2 и го2 оказываются корнями уравненія

з3-Ь2^з2 + (А2-- 4С) z — B2=0 (3).

Уравненіе (3) называется резольвентою уравненія (1); его корни jgrj, s2, связаны съ корнями уравненія (2) слѣдующими равенствами:

Поэтому, если резольвента разрѣшается въ квадратныхъ радикалахъ, то въ нихъ же разрѣшается и уравненіе (1). Съ другой стороны, если съумѣемъ построить корни уравненія (3), то уже легко построить корни уравненія (1) вышеразсмотрѣнными инструментами, а также циркулемъ и линейкой. Оказывается, что съ помощью двухъ прямыхъ угловъ можно построить дѣйствительный корень всякаго кубичнаго уравненія. Разъ найденъ одинъ корень, то легко уже найти другіе корни, а, слѣд., есть возможность построить корни и уравненія 4-ой степени, если они дѣйствительны.

Для построенія корней уравненія а0 хгалх2-f а2х -\- а8=о поступаютъ слѣд. образомъ (чер. 15 и 16). Строятъ прямоугольную ломаную ABODE, отрѣзки которой послѣдовательно равны: а0, ах, а2, а3, сообразуясь со знаками этихъ коэффиціентовъ слѣд. образомъ:“ если параллельные отрѣзки имѣютъ разные знаки, то ихъ откладываютъ въ одну сторону (на чер. 15 отрѣзки а0 и а2, аг и а8— разныхъ знаковъ); если же параллельные отрѣзки имѣютъ одинаковый знакъ, то ихъ откладываютъ въ противоположномъ напра-

вленіи (на чер. 15 отрѣзки а0 и а.>— разныхъ знаковъ, ах и а3 имѣютъ одинъ и тотъ же знакъ).

Построимъ при А уголъ а и проведемъ прямоугольную ломаную AFGH; пусть tga — x. Тогда

Чер. 15. Чер. 16.

Если уголъ а подобранъ такъ, что ER обратится въ нуль, то X = tga будетъ корнемъ нашего уравненія. Но чтобы ЕН обратилось въ нуль, необходимо, чтобы послѣдній отрѣзокъ ломаной AFGH прошелъ черезъ точку Е. Такую разрѣшающую ломаную легко построить, имѣя два прямыхъ угла изъ твердаго матеріала. Въ самомъ дѣлѣ будемъ передвигать прямые углы 1 и II такъ, чтобъ они соприкасались катетами и чтобъ вершина перваго угла двигалась по прямой 13(7, вершина второго — по прямой CD. Тогда довольно легко найти такое положеніе угловъ, при которомъ другія, не соприкасающіяся, стороны угловъ пройдутъ, одна—черезъ А, другая черезъ Е.1) Такимъ образомъ получится разрѣшающая ломаная АХУЕ на обоихъ чертежахъ.

Начертивъ разрѣшающую ломаную мы получимъ x—tga по абсолютному значенію; въ каждомъ частномъ случаѣ надо убѣдиться, съ какимъ знакомъ надо взять tga.

1) Кстати сказать, что это есть единственная возможность сдѣлать правильный чертежъ, если уже начерчена ломаная А ВС DE.

Теперь мы можемъ указать цѣлый рядъ извѣстныхъ съ древности задачъ, которыя, будучи неразрѣшимы циркулемъ и линейкой, легко рѣшаются другими средствами.

Делійская задача1) приводитъ къ уравненію х3 = 2 или х= 3\/ 2, корни котораго легко, какъ мы видѣли, построить, имѣя два прямыхъ угла.

Задача Паппа2) приводитъ къ пересѣченію конхоиды (кривая 4-го порядка) съ прямою, а потому придется строить корни уравненія 4-ой степени, что опять возможно выполнить, имѣя въ распоряженіи два прямыхъ угла.

Трисекція угла3) приводитъ къ уравненію третей степени и построеніе можно выполнить двумя прямыми углами,

Послѣднія двѣ задачи можно еще рѣшить съ помощью двусторонней линейки (бумажной полоски съ параллельными краями), если отложить на ней отрѣзокъ данной длины4); для трисекціи угла нужно еще провести одну окружность. Вотъ эти вполнѣ точныя рѣшенія.

Чер. 17. Чер. 18.

Пусть (чер. 17) на борту бумажной полоски отложенъ отрѣзокъ CD данной длины, А — данный уголъ и В — данная точка. Передвигаемъ полоску такъ, чтобъ точка С оставалась на сторонѣ АС л точка В оставалась на борту бумажки. Тогда легко найти такое положеніе бумажки, при которомъ Си D придутъ въ X и У.

Пусть далѣе имѣемъ уголъ DOE (чер. 18) и окружность (0,0D). Если AB = BC=Oß=OD и //ВАО = а, то, очевидно,

1) Построить кубъ, объемъ котораго вдвое болѣе объема даннаго куба.

2) Даны уголъ А н точка В (чер. 17). Черезъ точку В провести трансверсаль ХУ данной длины.

3) Данный уголъ раздѣлить на три равныя части.

4) Это легко сдѣлать безъ циркуля пріемами В и Г% если съумѣемъ отложить отрѣзокъ данной длины гдѣ нибудь на бумажной полоскѣ. Наконецъ для этого можно употребить циркуль, построить на бумажной полоскѣ параллелограммъ и продолжить его стороны.

j/DOE = За. Ha основаніи этого отложимъ на борту бумажки отрѣзокъ AB, равный радіусу, и будемъ ее двигать такъ, чтобъ точка А оставалась на прямой ОЕ, а край бумажки проходилъ черезъ D. Тогда точка В опишетъ конхоиду, и не трудно опредѣлить искомое положеніе точекъ А и В. Останется нанести /_ВАО на данный уголъ.

Такъ какъ /^ОСВ = 90° — а, то OCJ^AO; слѣд., построеніе можно сдѣлать иначе. Проведемъ OCJ_AO, отложимъ на борту бумажки АС = 20D и будемъ ее передвигать такъ, чтобъ точки А и С оставались на сторонахъ прямого угла О. Наконецъ бумажка приметъ такое положеніе, при которомъ точка D придетъ на бортъ бумажки и положеніе точки А будетъ искомое.

Построеніе правильныхъ семиугольника и девятиугольника приводятъ къ кубичнымъ уравненіямъ; построеніе корней этихъ уравненій недоступно для циркуля и линейки1), но легко выполняется двумя прямыми углами.

Замѣтимъ, что построеніе правильнаго девятиугольника требуетъ угла въ 20°. Но такъ какъ это есть третья часть угла въ 60°, то вопросъ приводится къ трисекціи угла и потому рѣшается двусторонней линейкой.

Въ заключеніе считаемъ не лишнимъ сказать слѣдующее. Мы не касались построеній съ помощью коническихъ сѣченій и инструментовъ, которые чертятъ трансцедентныя кривыя и рѣшаютъ задачи въ родѣ квадратуры круги. Затѣмъ, поставивъ себѣ главною цѣлью доказать, что способы Б, Г и Ж рѣшаютъ всякую квадратную задачу, мы не обращали особаго вниманія на двѣ очень важныя вещи: экономичность построенія и точность его результатовъ. Методы къ опредѣленію того и другого мы уже имѣемъ, а равно и методы опредѣленія того, рѣшается ли данная задача какимъ нибудь инструментомъ. Весьма вѣроятно, что въ недалекомъ будущемъ мы будемъ рѣшать каждую задачу, даже и въ средней школѣ, тѣми инструментами, которыми это слѣдуетъ дѣлать. Такъ представляется будущность задачъ на построеніе.

Что же касается изложеннаго, то здѣсь мы очень и очень приблизились къ точному пониманію словъ Henriquest’a „каждая геометрическая задача можетъ быть рѣшена построеніемъ, но не— всякими инструментами, такъ что существуютъ только относительно неразрѣшимыя задачи на построеніе“.

1) Эти уравненія суть

Задачи.

151. Обозначая корни квадратнаго уравненія х2 рх -f- q = О, чрезъ а и ß, найти такія цѣлыя числа для р и g, чтобы а4 -(- /?4 = = р4 + g4.

152. Вершина 7? треугольника ДВС съ постояннымъ основаніемъ АС движется по прямой, параллельной основанію. Найти геометрическое мѣсто точекъ пересѣченія высотъ треугольника.

В. Шлыгинъ.

153. Зная положеніе центра даннаго круга, вписать въ него равносторонній треугольникъ съ помощью только линейки.

(„Educational Times“.)

154. Доказать неравенства

гдѣ Л,В, С—углы треугольника.

В. Шлыгинъ.

155. Даны двѣ параллели, точка А — на одной изъ нихъ и точка В — внѣ ихъ. Провести сѣкущую ВУХ такъ, чтобы АХ.АУ было данное (точки А и X — на одной параллели).

И. Александровъ.

156. Доказать, что сумма разстояній отъ любой точки основанія правильной пирамиды до ея боковыхъ граней есть постоянная величина.

В. Добровольскій.

157. Въ окружности проведенъ діаметръ А В, на которомъ дана точка М. Провести хорду CD параллельно Aß такъ, чтобы она была видна изъ точки М подъ даннымъ угломъ а.

В. Кованько.

158. Построить треугольникъ по радіусамъ внѣ вписанныхъ круговъ его гя, гь и гс.

С. Кудинъ.

Рѣшенія задачъ.

104. Данъ острый уголъ и двѣ точки; построить равнобедренный треугольникъ, основаніе котораго лежало-бы на одной сторонѣ угла, вершина—на другой, а боковыя стороны проходили бы черезъ данныя точки.

Пусть LOM данный уголъ, А и В двѣ данныя точки черезъ которыя должны проходить стороны ХУ и XZ искомаго равнобедреннаго треугольника XVZ. Построимъ точку А' симметричную точкѣ А относительно данной прямой ОМ и соединимъ Асъ X и В.

Изъ треугольника XYZ имѣемъ

^AXB = üi — 'l^XyZ, ибо<£X7Z = <açXZr

Изъ треугольника ОУХ выводимъ

<$zxyz=<$:Xoy+^yxo

Подставляя это въ предыдущее равенство будемъ имѣть *$:АХВ = л — 2^:ХОУ—2<$: УХО

Но ^АХВ = ^А'ХВ — 2 УХО, а потому заключаемъ <£ А’ХВ = л — 2 ХОУ

Отсюда слѣдуетъ построеніе: Строимъ точку А\ симметричную данной точкѣ А относительно данной прямой ОМ. Соединяемъ точку А' съ другою данною точкою В и на полученномъ отрѣзкѣ ÄB строимъ сегментъ, вмѣщающій уголъ, дополняющій удвоенный данный уголъ ХОУ до л. Вершина X искомаго равнобедреннаго треугольника опредѣлится пересѣченіемъ дуги этого сегмента съ данною прямою ОМ; двѣ другія вершины У и Z опредѣлятся пересѣченіемъ прямыхъ АХ и ВХ съ данною прямое 0L.

Нетрудно видѣть, что положеніе точки X на прямой ОМ независитъ отъ того, съ какой точки А или В начато указанное построеніе.

Если обѣ точки Ли В взяты внутри угла L0M, то задача рѣшается совершенно такимъ же способомъ. Нѣкоторыя незначительныя видоизмѣненія приведеннаго построенія будутъ имѣть мѣсто въ случаѣ, когда обѣ точки А и В лежатъ по обѣ стороны даннаго угла.

В. Кованько (ст. Струнино), М. Орбекъ, (Москва), А. Сергѣевъ (Москва), А. Сердобинскій (Чита), Н. Фуксъ (Москва), В. Чичеринъ (Ярославль), Н. Щетининъ ^Москва). Н. Рубачевъ (Шуя).

106. Построить треугольникъ по суммѣ двухъ сторонъ b-j- c = s, высотѣ hс и медіанѣ тс стороны с.

Пусть треугольникъ ЛВС искомый. Отложимъ на продолженіи AB отрѣзокъ АС' равный АС и, обозначивъ буквами N и М середины отложеннаго отрѣзка и стороны ЛВ, разсмотримъ треугольникъ NCM. Въ этомъ треугольникѣ извѣстны: высота CD = hc, СМ= тс и ІѴМ = —, ибо

Итакъ, треугольникъ NCM можно будетъ построить. Изъ двухъ подобныхъ треугольниковъ NKA (NKАС) и CAD слѣдуетъ NK = Въ самомъ дѣлѣ, имѣемъ пропорцію.

Отсюда слѣдуетъ, что точку А можно будетъ найти, если опишемъ изъ окружность радіусомъ равнымъ — и проведемъ изъ точки С къ ней касательную. Точка пересѣченія проведенной касательной и отрѣзка NM и будетъ вершиною А. Зная вершину Л, найдемъ вершину В, отложивъ на продолженіи NM отрѣзокъ МВ = AM.

Задача допускаетъ и второе рѣшеніе, которое получимъ, если при построеніи треугольника NCM отрѣзокъ NM отложимъ отъ точки м въ сторону противоположную той, которая указана на чертежѣ.

Задача возможна, если удовлетворяется условіе s^>mc> hc.

Примѣчаніе. Г. Сергѣевымъ прислано рѣшеніе болѣе общей задачи, по отношенію къ которой только что рѣшенная является частнымъ случаемъ. Задача эта можетъ быть формулирована слѣдующимъ образомъ:

Построить треугольникъ по суммѣ двухъ сторонъ Ь -|— с = $, высотѣ hc и линіи Іс, проходящей черезъ вершину С и дѣлящей сторону с въ отношеніи т : п.

М. Зильберштейнъ (Москва), М. Орбекъ (Москва), А. Сергѣевъ (Москва), Н. Фуксъ (Москва), Н. Щетининъ (Москва), Рубачевъ (Шуя).

109. Опредѣлить геометрическое мѣсто центровъ тяжести площадей треугольниковъ, имѣющихъ данное основаніе и данный уголъ при вершинѣ (въ частности прямой).

Пусть АВС одинъ изъ разсматриваемыхъ треугольниковъ, АС—данное основаніе, В данный уголъ. Какъ извѣстно, вершины всѣхъ треугольниковъ, имѣющихъ то же основаніе и тотъ же уголъ В, расположатся на окружности описаннной около А АВС. Пусть ВМ медіана А АВС и точка G на ней центръ тяжести площади А АВС, т. е. GM= — ВМ. Проведемъ G А' У В А и GO II ВС. Очевидно, <$zABG = «Зс А'GO и А'М = MC' = AM. Итакъ, положенія точекъ Ä и О на сторонѣ АС вполнѣ опредѣлены и не зависятъ отъ положенія вершины В на дугѣ АВС. Каждой вершинѣ В соотвѣтствуетъ своя точка G такая, что изъ нея отрѣзокъ А'О виденъ подъ постояннымъ угломъ В. Слѣдовательно, искомое геометрическое мѣсто точекъ G есть дуга круга описанная на отрѣзкѣ А'О и вмѣщающая данный уголъ В. (АА' — А'О = ОСА.

Въ частномъ случаѣ, когда треугольникъ прямоугольный, искомое геометрическое мѣсто точекъ есть полуокружность, описанная изъ середины гипотенузы радіусомъ равнымъ одной шестой части ея.

К. Верещагинъ (Козловъ), Флавіанъ Д. (Спб.), И. Евдокимовъ (Шуя), В. Кованько (ст. Струнино), М. Орбекъ (Москва), А. Ройзманъ (Смоленскъ), А. Сергѣевъ (Москва), Д. Синцовъ (Харьковъ), Н. Фуксъ (Москва), Н. Щетининъ (Москва), Н. Рубачевъ (Шуя).

110. Указать характеристическую особенность треугольниковъ, отличающихся тѣмъ, что периметръ всякаго вписаннаго въ нихъ

прямоугольника, двѣ вершины котораго лежатъ на опредѣленной сторонѣ, есть величина постоянная.

Пусть MNPQ и M'N'P'Q' два прямоугольника, обладающіе указаннымъ свойствомъ.

Разсмотримъ ихъ полупериметры. Имѣемъ.

M'N' -f NT' = MN+ NP или MN+ BN' -f- NP — NK = MN +- NP (NK || PP)

Отсюда имѣемъ

HN' — NK= 0 T. é. HN' — NK

Итакъ, въ треугольникѣ NN'K высота N'H равна основанію NK, а такъ какъ А АВС ос А NNK, то тѣмъ же свойствомъ будетъ обладать и треугольникъ AB С. Мы получаемъ такимъ образомъ необходимое условіе BD — АС.

Легко убѣдиться что это же условіе является достаточнымъ.

Итакъ, характеристическая особенность указаннаго класса треугольниковъ заключается въ томъ, что сторона на которой постоянно лежатъ двѣ вершины разсматриваемыхъ треугольниковъ, должна равняться высотѣ, опущенной на нее изъ противоположной вершины.

М. Гребенча (Николаевскъ), Флавіанъ Д. (Спб.), И. Евдокимовъ (Шуя), В. Кованько (ст. Струнино), М. Колесина (Москва), М. Орбекъ (Москва), А. Ройзманъ (Смоленскъ), А. Сергѣевъ (Москва), Н. Фуксъ (Москва), Н. Щетининъ (Москва). Н. Рубачевъ (Шуя), В. Чичеринъ (Ярославль).

111. Доказать подобіе треугольниковъ, имѣющихъ одинаковые В и Ъ: 1ц.

Разсмотримъ два треугольника АВС и А'В'С', о которыхъ извѣстно, что ^сВ = ^В' Иу = у Построимъ новый, вспомогательный треугольникъ А"В"С", имѣющій сторону А"С" = Ь и подобный треугольнику А' В'С'. Легко убѣдится, что у треугольника А" В'С" высота А'Ѵ будетъ равна высотѣ hb треугольника АВС. Въ самомъ дѣлѣ, изъ подобія треугольниковъ А"В" С" и А!В’О имѣемъ = ^

Изъ условія задачи имѣемъ

Итакъ, -г~- = -~ и такъ какъ Ь" выбрано подъ условіемъ то заключаемъ, что hnb„ = hb.

Кромѣ того = (\A"B"C"cs>\A'B'G') и ^Bf = ^B (по условію), слѣдовательно <£І?" = ^сВ.

Если теперь наложимъ Д А"В"С" на ААВС такъ, чтобы совмѣстились равныя основанія Ъ" и Ъ, то вершины В" и В или совпадутъ, или окажутся расположенными симметрично относительно перпендикуляра, возставленнаго изъ середины основанія АС. Какъ въ томъ, такъ и въ другомъ случаѣ &АВС равенъ \А"В"С", а такъ какъ &А"В"С" c/o \А'В'С\ то заключаемъ, что и кАВСсп А А'В'С'.

Флавіанъ Д. (Спб.), В. Кованько (ст. Струнино), М. Орбекъ ("Москва), Л. Ройзманъ (Смоленскъ), А. Сергѣевъ (Москва), К. Фуксъ (Москва), П. Щетининъ (Москва).

113. Построить треугольникъ, если даны: высота Лс, отрѣзокъ d ея что вершины С до точки пересѣченія высотъ и уголъ а, который образуетъ со стороною с прямая, соединяющая точки пересѣченія высотъ и медіанъ.

Построеніе искомаго треугольника основано на двухъ свойствахъ треугольника.

1. Точка пересѣченія медіанъ, точка пересѣченія высотъ и центръ описаннаго круга лежатъ на одной прямой.

2. Разстояніе отъ какой либо вершины треугольника до точки пересѣченія высотъ вдвое больше разстоянія отъ центра описаннаго круга до соотвѣтствующей стороны (см. напр. А. Давыдовъ, Геометрія, 1904 г. § 120, § 122).

Для построенія искомаго треугольника беремъ двѣ взаимно перпендикулярныя прямыя MN и PQ. На одной изъ нихъ откладываемъ отъ точки С' въ одну и туже сторону отрѣзки С'С = hc, С Я = d, С'К = Черезъ' точку Н проводимъ прямую HF подъ угломъ а къ PQ, a черезъ точку К проводимъ прямую параллельную PQ. Эта прямая пересѣкаясь съ И F дастъ точку О—центръ описаннаго круга.

Описавъ изъ точки О радіусомъ ОС окружность найдемъ двѣ другія вершины А и В искомаго треугольника—точки пере-

сѣченія построенной окружности и прямой PQ. Другое рѣшеніе получимъ, если при построеніи точки Н отложимъ отрѣзокъ СН отъ точки С въ сторону противоположную той, которая указана на чертежѣ. Дальнѣйшія построенія аналогичны только что разсмотрѣннымъ.

Задача невозможна въ случаѣ а = 0 и неопредѣленна въ случаѣ а = во всѣхъ другихъ случаяхъ задача возможна и имѣетъ два рѣшенія.

В. Кованько (ст. Струнино), М. Колесина (Москва), В. Лебедевская (Москва) М. Орбекъ (Москва), А. Ройзманъ (Смоленскъ), А. Сергѣевъ (Москва), Н. Фуксъ (Москва), Н. Щетининъ (Москва), Н, Рубачевъ (Шуя).

114. Показать, что при а и Ь отличныхъ отъ нуля

5а?— 6 ab + 5Ь2 > 0.

Данное выраженіе можетъ быть представленно въ одномъ изъ слѣдующихъ видовъ 2 (а2 b2) + 3 (а — Ь)2, (а + Ъ)2 -f- 4 (а — Ь)2. Въ этихъ суммахъ, при а ф 0, Ъ ф 0, слагаемыя одновременно въ нуль обращатья не могутъ, а такъ какъ они являются квадратами дѣйствительныхъ величинъ, то это будутъ количества положительныя. Итакъ, наше выраженіе 5а2— 6ab-\-bb2 всегда положительно, т.-е.

Ъа2 — ßab -f- ob2 ^> 0.

2-е рѣшеніе. Изъ алгебры извѣстно, что если дискриминантъ Д = аиа22 — а122 выраженія апх2-\-2а12ху-\-а22у2 больше нуля, то оба крайнихъ коэффиціента имѣютъ одинъ и тотъ же знакъ и этотъ же знакъ сохраняетъ и все выраженія при всѣхъ дѣйствительныхъ хи у. Въ данномъ случаѣ какъ разъ и имѣетъ мѣсто приведенная теорема, ибо А = 5.5 — 32 = 16, т.-е. Д>0.

А. Бутомо (Богодуховъ). К. Верещагинъ (Козловъ), И. Евдокимовъ (Шуя), В. Зайцъ (Полангенъ), В. Кованько (ст. Струнино), И. Косминковъ (Егорьевскъ)? В. Лебедевъ (Омскъ), В. Литвинскій (Екатеринославль), Е. Назаревскій (Саратовъ), М. Орбекъ (Москва), Д. С. (Харьковъ), А. Сергѣевъ (Москва), В. Сѣверный (Тула), В. Чичеринъ (Ярославль), Н. Фуксъ (Москва), Н. Щетининъ (Москва), ІГ. Рубачеъ (Шуя).

115. Доказать, что число

2*-t2 3”-f5w — 4

при п цѣломъ и неотрицательномъ кратно 25.

Данное выраженіе Ап = 2И+2.3И -]- Ъп — 4 при п = 0 само обращается въ нуль, т.-е. А0 = 0; подставляя вмѣсто п — 1 имѣемъ А± = 25. Итакъ, при п = 0 и п = 1, А„ дѣлится на 25. Пусть теперь цѣлое, положительное число, подчиненное условію п> 2.

Имѣемъ Ап = 4.6й -)- Ъп — 4 = 4 ( 1 -f* 5)w -f- Ъп — 4

разлагая (1 -f- Ъ)п и собирая члены, начиная съ третьяго въ одну группу будемъ имѣть

(1 -f- Ъ)п = 1 -f" Ъп -|- 52 N

Внося это выраженіе въ Ап будемъ имѣть:

Ап = 4 (1 -f- Ъп + 25ЛТ) + Ъп — 4 — 25л -f- 4.25-ЛГ т. е.

Ап = 25 (n-j-4AT)

Итакъ, и при п> 2, кратно 25.

2-е рѣшеніе.

Положимъ, что теорема доказана для п = к и докажемъ ее для случая 7і = /с —|— 1.

Имѣемъ

Полученное равенство показываетъ, что Ak+i дѣлится на 25, если Ak дѣлится на 25. Но для случая к = 0 убѣждаемся непосредственно въ справедливости высказаннаго положенія, слѣдовательно, теорема вѣрна для любого цѣлаго положительнаго п.

К. Верещагинъ ("Козловъ), И. Евдокимовъ (Шуя), В. Кованько (ст. Струнино), II Косминковъ (Егорьевскъ^ Б. Лебедевъ (Омскъ), М. Орбекъ (Москва), А. Сергѣевъ (Москва), В. Чичеринъ (Ярославль), Н. Фуксъ (Москва), Н. Щетининъ (Москва).

Новыя книги:

С. И. Ростовцевъ. Органическая химія. Для коммерч. и технич. училищъ. Изд. И. Д. Сытина. М. 1914. Ц. 60 к.

М. Васнецовъ. Солнечное затменіе 8 авг. 1914 г. Изд. И.Д. Сытина М.1914. Ц. 35 к.

К. Баевъ и А. Высотскій. Атласъ картинъ по астрономіи съ объяснительнымъ текстомъ. Изд. И. Д. Сытина. Ц. 2 р. 50 к.

Аэродинамическій институтъ въ Кучинѣ 1904—1914. М. 1914.

Проф. А. Н. Динникъ. Приложеніе функцій Весселя къ задачамъ теоріи упругости. Ч. I. Статика. Новочеркасскъ 1913.

И. С. Теръ-Степановъ. Сборникъ ариѳметическихъ задачъ для среднихъ учебныхъ заведеній. Ч. II. Дроби. Спб. 1914. Д. 40 к.

Дж. Б. Педлъ. Построеніе и примѣненіе номограммъ. Пер. Е. Куколевской подъ ред. Р. Полякова. М. 1914 Ц 2 р, 25 к.

Отвѣтственный редакторъ I. Чистяковъ.