Математическое Образованіе.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка.

Годъ третій.

№ 3.

Мартъ 1914 г.

МОСКВА.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

„Математическое Образованіе“

Мартъ 1914 г. Годъ 3-й. № 3.

СОДЕРЖАНІЕ: О преподаваніи аналитической геометріи въ средней школѣ Д. Синцовъ. Объ иностранныхъ журналахъ по математикѣ для учащихъ и учащихся. I. И. Чистяковъ. Объ учебныхъ особенностяхъ двухъ направленій математическаго курса средней школы. П. А. Некрасовъ. Величины и числа. О. Штольцъ, пер. Р. Гольцбергъ, подъ ред. А. П. Пшеборскаго. Преподаваніе математическихъ наукъ во французскихъ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ. Проф. Н. Н. Салтыковъ. Задачи. Рѣшенія задачъ. Среди математическихъ журналовъ. Н. Агрономовъ. Библіографическій отдѣлъ. Новыя книги.

О преподаваніи аналитической геометріи въ средней школѣ1).

Д. Синцовъ. Харьковъ.

1. Преподаваніе началъ т. наз. высшей математики въ средней школѣ находится у насъ въ Россіи въ стадіи развитія. Первый крупный шагъ—учебные планы реальныхъ училищъ, утвержденные Министромъ Народнаго Просвѣщенія 26 VI. 1906 г. и введенные въ дѣйствіе съ 1906—7 уч. года, а для 7-го класса— съ 1907— 8 уч. года, ввели въ число обязательныхъ предметовъ „спеціальный курсъ“—начала аналитической геометріи на плоскости и анализа безконечно-малыхъ.

Затѣмъ эти предметы введены въ учебные планы кадетскихъ, корпусовъ (новые планы, выработанные комиссіей 1909 г. вводятъ вновь анализъ безконечно-малыхъ, что-же касается аналитической геометріи, то какъ и въ планѣ 1903 г., фигурировавшее въ планахъ 1898 г. „общее изслѣдованіе коническихъ сѣченій“, исключено). Остаются лишь классическія гимназіи, и надо надѣяться что и въ нихъ соотвѣтствующія преобразованія—дѣло недалекаго будущаго.

Но на пути укорененія этихъ преобразованій и ихъ плодотворнаго развитія лежитъ рядъ препятствій.

Помимо принципіальныхъ предубѣжденій, раздѣляемыхъ, надѣемся, лишь меньшинствомъ преподавательскаго персонала, тормазомъ является введеніе спеціальнаго курса сепаратною мѣ-

1) Эта статья составляла вступленіе и первый параграфъ посвященной тому же вопросу болѣе обширной статьи, изъ которой для доклада 2 му Съѣзду преподавателей математики я выбралъ обзоръ состава министерской программы и возможной его группировки. Въ такомъ сжатомъ видѣ я редактировалъ ее уже послѣ съѣзда и потому не могъ отрѣшиться отъ выслушанныхъ на съѣздѣ замѣчаній, и внесъ свои соображенія по ихъ поводу въ текстѣ статьи. Но все же статья эта по содержанію близка къ тому, что я докладывалъ на съѣздѣ. Самая программа, какь я ее понимаю, была напечатана въ „Дневникѣ“ Съѣзда.

рою безъ общаго пересмотра всего учебнаго плана и согласованія съ новыми отдѣлами всего предыдущаго курса. Приходилось по этому поводу слышать даже отъ преподавателей мнѣніе, что спеціальный курсъ введенъ былъ потому, что освободивъ 7-й классъ отъ приложенія алгебры къ геометріи и пр., надо было чѣмъ-нибудь его заполнить. На самомъ дѣлѣ однако приходится теперь слышать другое, — что въ 7-омъ классѣ приходится проходить слишкомъ много разнородныхъ предметовъ помимо спеціальнаго курса. Несогласованность этого новаго предмета съ остальнымъ школьнымъ строемъ проявляется и въ томъ, что этотъ предметъ не входитъ въ составъ конкурсныхъ испытаній, а это отражается неизбѣжно на отношеніи къ нему учениковъ 7-го класса, поглощенныхъ мыслію о предстоящихъ испытаніяхъ.

Не мало трудностей доставила на первыхъ порахъ и новизна предмета, за время преподаванія основательно забытаго и далекаго отъ всего того, съ чѣмъ приходилось имѣть дѣло преподавателю. И тѣмъ болѣе поэтому затрудненій доставило и доставляетъ отсутствіе хорошихъ учебниковъ и задачниковъ по спеціальному курсу и еще болѣе отсутствіе подробныхъ инструкцій.

Хотя Министерство и объявляло темою на премію Петра В. составленіе такихъ учебниковъ, но нельзя сказать, чтобы явившіяся въ результатѣ учебныя пособія вполнѣ отвѣчали своей цѣли. Это въ лучшемъ случаѣ лишь сокращенія учебниковъ аналитической геометріи на плоскости для высшей школы, приноровленныя къ министерскимъ программамъ, которыя сами не совершенны.

Новые планы не сопровождались объяснительною запискою и методическими указаніями (инструкціей). Между тѣмъ это было особенно важно въ виду того, что предметъ являлся совершенно новымъ и методика предмета—въ русской литературѣ—совершенно не разработана. Иностранная литература преподавателю и мало доступна, да и тамъ въ сущности методикѣ аналитической геометріи посвящено не слишкомъ много сочиненій.

Старая книга Duhamel'я: Méthodes dans les sciences de raisonnement и F. Dauge: Cours de méthodologie mathématique 2 e ed. 1896, вотъ почти все, что можно назвать1).

1) Въ составленной D. E. Smith’oмъ и Ch. Goldziher’oмъ библіографіи (Bibliography of the teaching of Mathematics 1900—1912) только 12 номеровъ посвящены преподаванію аналитической геометріи.

Baumgartner, А. А parabola mödszeres târgyalâsa. Methodische Behandlung der Parabel. Kôzépisk. Math. Lapok 17 (1910), 18 (1911).

Carver, W. B Some topics of School mathematics of special importance the students who expect to study analytic geometry and calculus. Mathematics Teacher. 4 (1911 12): 21.

Durell, С. V. A school course in advanced geometry. Отчеты британской подкомиссіи Межд. Ком. по Преп. Мат.

Fiser, P. R. Rationale Zahlen in der analytischen Geometrie der Ebene. Progr. Braunau (1907—08).

Heinrich, M. Vereinfachter Lehrgang des Anfangsuntegrichts in Planimetrie, analytischer Geometrie und Trigonometrie. Progr. Luisèn-Gymn. Berlin. 1911.

Kemlein. G. Zum Unterricht in der analytischen Geometrie an den humanistischen Gymnasien Bayerns. Progr. Hum. Gymn. Ludwigshafen a. Rh., 1905.

Поэтому можетъ быть не лишнимъ явятся нижеслѣдующія соображенія, поводъ къ которымъ подали лекціи, прочитанныя мною по приглашенію В. В. Шихова на краткосрочныхъ курсахъ для преподавателей среднихъ учебныхъ заведеній Харьковскаго Учебнаго Округа, организованные при педагогической выставкѣ, бывшей въ Харьковѣ лѣтомъ 1913 года.

Я затронулъ тотъ же вопросъ въ моемъ докладѣ на II Съѣздѣ преподавателей математики въ Москвѣ, но коснулся главнымъ образомъ состава программы. Сдѣланныя мнѣ возраженія (См. Дневникъ Съѣзда) подали мнѣ поводъ къ нѣкоторымъ добавочнымъ соображеніямъ, но не могу сказать, чтобы измѣнили мой взглядъ на дѣло по существу. Мнѣ было указано на значеніе программъ при отсутствіи инструкцій, но я думаю, что дѣло именно въ этихъ инструкціяхъ.

И трудности, встрѣчаемыя при преподаваніи спеціальнаго курса, коренятся можетъ быть не столько въ недостаткахъ программъ, сколько въ отсутствіи методической разработки предмета и отсутствіи подробныхъ компетентныхъ указаній на то, какъ должно понимать программу.

Сознаніе этого и побудило меня поднять вопросъ объ изданіи Сборника программъ преподаванія математики, осуществить который удалось къ Съѣзду1).

Въ нихъ мы видимъ, какъ, напр., въ Вюртембергѣ для различныхъ типовъ школъ дается по нѣкоторымъ, общимъ всѣмъ типамъ школъ, отдѣламъ математики, одна и та-же программа, а въ инструкціяхъ указывается, что хотя программа одна и та-же, но вести преподаваніе надо различно, имѣя въ виду различныя задачи, которыя ставятся тѣмъ, что въ школѣ одного типа преподаваніе основъ анализа и аналитической геометріи вводится въ большихъ размѣрахъ, въ школѣ другого типа—въ значительно меньшихъ. Или въ Австріи существенныя измѣненія, вносимыя новыми планами 1908 и 1909 гг., „заключаются не столько въ измѣненіи фактическаго содержанія программъ, которое остается почти тѣмъ же, а въ измѣненіи методовъ преподаванія и цѣлей, которыя оно себѣ ставитъ“.

Koppner, К. Ausgewählte Kapitel aus der analytischen Geometrie in methodischer Behandlung. Lehrp. und Lehrg. 23 (1907): 194; 24 (1908): 298.

Müller, H. Unvollkommere Darstellungen in Lehr, der analytischen Geometrie und die mathematichen Ursachen derselben. Zschr. math. natw. Unt , 41 (1910): 529.

Rose T. Sur l’enseignement de la géométrie analytique plane dans les écoles secondaires. L’Eus, math. 11 (1909): 190.

Schoute, P. Une leçon de géométrie analytique. L’Enseign. mathem, 5 (1903): 106.

Seidler, H. Die Verwendung des Krümmungsradius im Mittelschulunterricht. Zeitschr. fur das Realschulwesen. 30 (1905): 149.

White. H. S. How should the college teach analytical geometry? Bulletin of the American Mathematical Society 12 (1906): 493.

Всего 12 номеровъ, изъ коихъ къ тому же одинъ на венгерскомъ языкѣ и потому совершенно не доступенъ.

1) Матеріалы по вопросу о реформѣ преподаванія математики. Вып. 1. Сборникъ программъ и инструкцій по преподаванію математики въ Западной Европѣ Изд. Т-ва И. Д. Сытина. Москва 1914.

2. Аналитическая геометрія отличается введеніемъ метода координатъ дающимъ возможность сводить рѣшеніе геометрическихъ проблемъ, выполняемое въ чистой геометріи (т. наз. элементарной и синтетической или проэктивной) посредствомъ построеній, т. е. операцій непосредственно надъ геометрическими образами, на вычисленія—на операціи надъ числами и буквенными символами. Это введеніе метода координатъ заключаетъ въ себѣ двѣ идеи:

Первая—опредѣленіе положенія точки плоскости посредствомъ пары чиселъ, ея координатъ, замѣна точки совокупностью двухъ чиселъ—ея координатъ въ нѣкоторой системѣ. Вторая—выраженіе линій посредствомъ уравненій или замѣна линій уравненіемъ между опредѣляющими точки ея числами по отношенію къ нѣкоторой системѣ координатъ.

Понять и усвоить эти идеи можно на приложеніи къ прямой линіи и кругу, и это должно составить по моему первую и главную часть курса аналитической геометріи въ средней школѣ.

Но помимо этого курсу аналитической геометріи ставятся еще добавочныя задачи.

Во-первыхъ необходимо ознакомить съ основными свойствами коническихъ сѣченій. Встрѣчаясь въ физикѣ и космографіи, эллипсъ и парабола должны быть извѣстны учащимся.

Разумѣется можно было бы давать чисто геометрическую ихъ теорію. Но сочиненіе Аполлонія Пергійскаго не стало такимъ популярнымъ, какъ „Начала“ Евклида, и никому изъ древнихъ не приходило въ голову выдержки изъ сочиненій Аполлонія присоединять къ „Началамъ“. Поэтому и не привилось, вѣроятно, включеніе основныхъ понятій о коническихъ сѣченіяхъ въ кругъ вѣдѣнія элементарной геометріи, и теорія ихъ вошла всецѣло въ аналитическую геометрію. Въ университетскомъ курсѣ аналитической геометріи теорія коническихъ сѣченій стала главною частью, поглотившею все остальное. Обычно даже о кругѣ говорится лишь нѣсколько словъ мимоходомъ, а все вниманіе сосредоточивается на теоріи кривыхъ 2-го порядка.

О чисто-геометрической теоріи коническихъ сѣченій не говорится почти ничего, или самое большее выводится, что кривыя 2-го порядка суть плоскія сѣченія прямого кругового конуса и что эллипсъ можно разсматривать, какъ ортогональную проэкцію круга или какъ сѣченіе прямого кругового цилиндра, наклонною къ оси его плоскостью.

Въ элементарномъ курсѣ аналитической геометріи на плоскости, какой можетъ быть данъ въ средней школѣ, этотъ отдѣлъ долженъ занять совершенно иное, скорѣе подчиненное, придаточное положеніе. Его цѣлью должно быть лишь первоначальное ознакомленіе съ нѣкоторыми, наиболѣе важными для приложеній, свойствами этихъ кривыхъ, и если позволяетъ время, то ознакомленіе это можетъ быть выполняемо параллельно и аналитическимъ и элементарно-геометрическимъ цутемъ (въ духѣ Аполлонія), болѣе привычнымъ для учащихся.

Такова вторая часть курса аналитической геометріи для средней школы (или, если угодно, вторая и третья часть). Этимъ не исчерпывается однако ни содержаніе курса, какъ его намѣчаетъ министерская программа, ни задача его въ связи съ потребностями курса анализа безконечно-малыхъ и съ точки зрѣнія подготовки къ высшей школѣ.

Давая возможность примѣнять графическій методъ для изображенія хода измѣненія любой функціи, аналитическая геометрія является на помощь при выработкѣ самаго понятія о функціи. И понятіе производной, быть можетъ, всего проще и нагляднѣе связывается съ геометрическимъ ея построеніемъ, какъ тангенса угла касательной.

Поэтому естественнымъ переходомъ отъ аналитической геометріи къ анализу безконечно-малыхъ является отдѣлъ о графическомъ изображеніи функцій, расширяющій понятіе о кривой и знакомящій съ нѣкоторыми наиболѣе важными, теоретически и технически, кривыми.

Здѣсь же найдетъ себѣ мѣсто и примѣненіе полярныхъ координатъ (по программѣ онѣ введутся уже во время прохожденія свойствъ коническихъ сѣченій) къ уравненіямъ Архимедовой спирали, коническихъ сѣченій и т. д.

3. Устанавливая такой порядокъ, я разумѣется имѣю въ виду логическое развитіе самаго курса аналитической геометріи, внѣ связи съ потребностями преподаванія.

Во время преній мнѣ было указано, что такой порядокъ изложенія сильно сокращаетъ время, которое можетъ быть отведено для прохожденія курса анализа безконечно-малыхъ. Въ свое время, въ Екатеринославскомъ Высшемъ Горномъ Училищѣ я самъ держался того порядка, чтобы изложеніе дифференціальнаго изложенія вести параллельно съ изложеніемъ аналитической геометріи. Однако я все же думаю, что понятіе о функціи и функціональной зависимости лучше всего выводится при помощи графическихъ иллюстрацій и методовъ аналитической геометріи, и самое опредѣленіе производной очень удобно связывать съ угловымъ коэффиціентомъ касательной. Но конечно, при изложеніи возможно перемѣнить мѣсто этой четвертой главы и главъ II и III, посвященныхъ кривымъ 2-го порядка.

Важно, чтобы, приступая къ графическому изображенію функцій, учащіеся уже освоились бы съ прямою линіей и съ какою-нибудь кривою линіей,—и конечно, проще всего это ознакомленіе начинать съ круга. Съ этимъ запасомъ можно съ гораздо большимъ удобствомъ заняться выясненіемъ понятія функціи.

4. Но конечно, „общую идею координатъ“ давать здѣсь было бы довольно затруднительно, и мнѣ казалось желательнымъ совершенно выпустить этотъ вопросъ изъ обязательной программы. Отдѣлъ этотъ, какъ это ни странно, сравнительно заброшенъ и въ лучшихъ университетскихъ и подробныхъ курсахъ аналитической геометріи обходится почти совершенно.

Обыкновенно считается достаточнымъ сказать приблизительно

слѣдующее1): „число системъ координатъ безконечно. Вообще, опредѣляютъ положеніе точки на плоскости пересѣченіемъ двухъ линій на этой плоскости. Пусть (черт.) А', А", /Г"... первый рядъ линій одного и того же рода, соотвѣтствующій различнымъ значеніямъ перемѣнной и и В", В'".... второй рядъ линій одного и того же рода, соотвѣтствующій различнымъ значеніямъ ѵг?", г/".... перемѣнной ѵ\ какая-либо точка плоскости опредѣляется двумя линіями, проходящими черезъ эту точку, и значенія, которыя нужно дать перемѣннымъ и и V, чтобы имѣть эти двѣ линіи, называются координатами точки. Совокупность этихъ двухъ рядовъ линій составляетъ систему координатъ“. Далѣе слѣдуетъ разъясненіе, какъ съ этой точки зрѣнія являются координаты декартовы (прямолинейныя), полярныя, биполярныя и биангулярныя.

Такое изложеніе является, конечно, совершенно недостаточнымъ, и врядъ ли оно понятно для ученика. Для меня, когда оно

1) Я беру учебникъ Briot et Bouquet Leçons de géométrie analytique, которое именно содержитъ Idée générale des systèmes de coordonnées, a непосредственно передъ этимъ дается понятіе о координатахъ биполярныхъ (и указываются ихъ неудобства) . Мнѣ думается, что именно этимъ учебникомъ вдохновлялся составитель русской программы. Тоже самое и тѣми же почти словами сказано и въ гораздо болѣе обширномъ учебникѣ Е. Pruvost. Leçons de géométrie analytique à l’usage des élèves de la, classe de mathématiques spéciales et des candidats à l’Ecole Normale Supérieure et à l’Ecole polytechnique. Paris Duport 18‘34. I—II géométrie plane p. 703, III. Géométrie dans l’espace p. 437.

Этотъ вопросъ совсѣмъ не затрагивается:

B. П. Ермаковъ. Аналитич. геометрія 2-хъ измѣреній. Кіевъ. 1900.

C. Range. Analytische Géométrie der Ebene. 1908.

G. Papetier. Précis de géométrie analitique à l’usage du élèves de mathématiques spéciales. Paris 1907.

G. Salmon. Traité de géométrie analytique â deux dimensions. Trad, franç. Resal et Vaucheret. 2-ème édit, franç. par Vauchevet, 1884.

I. Gundelfinger. Vorleunngen über analytische Geometeri der Kegelschnitte. 1895.

H. Алексѣевъ. (Аналитическая геометрія на плоскости. Вып. I. М. 1866) говоритъ только: „координатами вообще называютъ величины, служащія къ опредѣленію геометрическихъ протяженій” (теор. 2).

К А. Андреевъ въ своемъ курсѣ: Основной курсъ аналитической геометріи, изд. 3-е пишетъ (стр. 1). (Цитирую по 3-му изданію) „Аналитич. геометрія, будучи наукою о протяженіи въ самомъ широкомъ смыслѣ, характеризуется особеннымъ способомъ изслѣдованія, состоящимъ въ однообразномъ и методическомъ примѣненіи алгебраическаго анализа къ изученію формъ пространства. Основаніемъ этого способа служитъ понятіе о координатахъ, которое въ первоначальномъ, простѣйшемъ его видѣ и въ примѣненіи къ изученію формъ плоскихъ, т. е. фигуръ, помѣщающихся на плоскости, можетъ быть составлено слѣдующимъ образомъ“... И далѣе идетъ описаніе прямоугольныхъ декартовыхъ координатъ. Затѣмъ на стр. 14 § 3 говорится: „способъ опредѣлять положеніе точки посредствомъ прямолинейныхъ координатъ не есть единственный, служащій для этой цѣли. Основываясь на одной и той же основной мысли, можно предложить безконечное множество подобныхъ способовъ. Наиболѣе употребительный, кромѣ изложенныхъ, есть способъ координатъ полярныхъ".

было мною прочтено въ университетѣ на первомъ курсѣ, оно казалось очень мало вразумительнымъ и я, помню, прошелъ просто мимо него. — Конечно, на это могутъ мнѣ замѣтить, что это не дѣлаетъ чести моей тогдашней пытливости. Но во всякомъ случаѣ даже въ университетѣ на 1-омъ курсѣ нельзя еще изложить общей идеи координатъ во всей ея общности.

На этомъ слѣдуетъ остановиться подробнѣе; при этомъ можно выяснить также и другую сторону дѣла, которая была побудительною причиною для внесенія этого вопроса въ программу,—именно, что форма уравненія данной кривой линіи тѣсно связана съ избранной системой координатъ, и потому не только одна и та же кривая въ различныхъ системахъ координатъ выражается различными уравненіями, но и обратно, данное уравненіе, если въ немъ координаты считать взятыми въ различныхъ системахъ, можетъ выражать самыя разнообразныя кривыя.

Но какъ ни привлекательна съ философской точки зрѣнія эта идея, съ дидактической стороны для меня все же является спорнымъ, насколько осуществимо такое обобщеніе идеи относительности уравненія кривой, и не можетъ-ли оно до извѣстной степени повредить усвоенію метода аналитической геометріи: ученикъ долженъ еще переварить идею, что объектомъ изученія вмѣсто кривой является ея уравненіе, которое кривую замѣняетъ и представляется чѣмъ-то вполнѣ ей эквивалентнымъ и въ то же время характернымъ для данной кривой; а ему тутъ же приходится узнавать, нѣтъ, для кривой можно дать какой угодно формы уравненіе,—нужно лишь подобрать соотвѣтственную систему отнесенія.

5. Не буду останавливаться теперь, какъ сдѣлалъ въ своемъ докладѣ, на введеніи въ началѣ самой системы декартовыхъ координатъ при помощи подбора житейскихъ примѣровъ (планъ, шахматная доска, рисованіе по клѣткамъ, вышиваніе по канвѣ). Какъ было указано моими оппонентами, самая идея координатъ усваивается очень легко и не нуждается въ очень подробныхъ разъясненіяхъ. Кромѣ того, можно сказать, что это ознакомленіе можетъ быть выполнено ранѣе—въ младшихъ классахъ. Я не буду останавливаться здѣсь на этомъ вопросѣ, т.-е. на вопросѣ о томъ, насколько и въ какой мѣрѣ возможна предварительная подготовка къ аналитической геометріи (иные думаютъ, что можно аналитическую геометрію цѣликомъ растворить въ алгебрѣ—для меня, однако, это вопросъ спорный). Не буду останавливаться и на разборѣ содержанія частей курса, относящихся къ прямой и кругу, и замѣчаніяхъ о нихъ методическаго характера. Къ этому я надѣюсь вернуться особо и подробнѣе.

Я хочу указать еще только одно, на желательность связать съ аналитической геометріей вопросъ о рѣшеніи неопредѣленныхъ уравненій.

Ученики часто выносятъ изъ средней школы убѣжденіе, что такія уравненія имѣютъ только цѣлыя рѣшенія. Надо указать, что этого нѣтъ, что они имѣютъ безчисленное множество рѣшеній, но цѣлыхъ только ограниченное количество. И это удобнѣе

всего сдѣлать въ связи съ методомъ координатъ, указавъ, что всякое неопредѣленное уравненіе можно графически изобразить прямою относительно нѣкоторой системы прямоугольныхъ координатъ, и цѣлыя рѣшенія суть тѣ, точки которыхъ имѣютъ обѣ координаты цѣлыя, — и лежатъ въ вершинахъ сѣти, если взята графленая бумага.

Объ иностранныхъ журналахъ по математикѣ для учащихъ и учащихся.

Докладъ, читанный на 2-мъ Всероссійскомъ съѣздѣ преподавателей математики 2-го Января 1914 года.

І. И. Чистяковъ. Москва.

М. Г.! „Учитель не можетъ долго оставаться съ достоинствомъ на высотѣ своей задачи, если онъ не работаетъ безпрестанно надъ расширеніемъ своего горизонта и не пріобрѣтаетъ познаній выше программы своего учебнаго заведенія и шире педагогической практики своей страны“. Такъ говорятъ въ одной изъ редакціонныхъ статей руководители одного изъ лучшихъ современныхъ журналовъ, посвященныхъ вопросамъ математическаго образованія „L’Enseignement mathématique“, Лэзанъ и Феръ. Нельзя, конечно, не согласиться со справедливостью высказанной ими мысли. Но является вопросъ, какимъ-же образомъ преподаватель математики можетъ у насъ удовлетворить естественно возникающему въ немъ стремленію быть въ курсѣ современныхъ научныхъ и педагогическихъ вопросовъ и теченій? Учительскіе съѣзды и курсы, на которыхъ преподаватели могли-бы освѣжать свои научныя и педагогическія свѣдѣнія, у насъ пока являются большою рѣдкостью. Книжная учебная и научно-популярная математическая литература нерѣдко значительно отстаетъ отъ современнаго уровня науки и ея преподаванія, да она у насъ и не богата. При такихъ условіяхъ естественнымъ остается обратиться къ иностранной математической журналистикѣ и въ ней искать отвѣтовъ на интересующіе вопросы.

Извѣстно, какую важную роль съиграли въ развитіи математической науки математическіе журналы. Научные органы, издаваемые различными учебными обществами и высшими учебными заведеніями, а также напр. журналы Крелля, Ліувилля, Acta Mathematica, Mathematische Annalen и пр,. впродолженіе долголѣтняго существованія, оказали неоцѣнимыя услуги прогрессу и распространенію математическихъ знаній. Однако, я буду говорить не объ этихъ чисто научныхъ журналахъ. Съ половины прошлаго XIX вѣка на Западѣ стали возникать журналы, имѣющіе своею цѣлью не столько преуспѣяніе самой математической науки, сколько пропаганду ея въ широкихъ слояхъ общества. Ознакомленіе съ этими журналами можетъ представить глубокій интересъ и принести большую пользу учащимъ и учащимся.

Состоя давнишнимъ подписчикомъ и читателемъ иностранныхъ журналовъ этого рода, я и предполагаю сдѣлать краткій обзоръ тѣхъ изъ нихъ, которые, по моему мнѣнію, заслуживаютъ наибольшаго вниманія. Отмѣчу, что чтеніе математическихъ статей на иностранныхъ языкахъ вообще весьма легко; оно требуетъ лишь незначительнаго запаса словъ и свѣдѣній. Кромѣ того, журналы, вообще говоря, не дороги.

На первое мѣсто по значенію и интересу для преподавателей я поставлю уже упомянутый журналъ „L’Enseignement Mathématique“. Онъ издается въ Швейцаріи, на французскомъ языкѣ. Ежегодно выпускается 6 номеровъ, размѣромъ въ 5 печатныхъ листовъ. Съ пересылкою въ Россію онъ стоитъ 15 франковъ въ годъ. (Если подписываться чрезъ наши книжные магазины, то выписка обойдется дороже: такъ, книжный магазинъ Тастевена въ Москвѣ взимаетъ 8 руб. въ годъ, а съ пересылкою въ другіе города—9 р.). Какъ было упомянуто, журналъ редактируется Лезаномъ и Феромъ при сотрудчествѣ цѣлаго ряда выдающихся ученыхъ 3. Европы, Америки, Японіи, между прочимъ при участіи и нѣкоторыхъ русскихъ профессоровъ. L’Enseignement mathématique посвященъ вопросамъ математическаго образованія въ самомъ широкомъ смыслѣ слова. Главное мѣсто удѣляется въ немъ вопросамъ методологіи, теоріи и практики преподаванія математики на всѣхъ ступеняхъ. На ряду со статьями, разрабатывающими вопросы о наилучшей постановкѣ преподаванія университетскихъ математическихъ дисциплинъ, можно встрѣтить статью, посвященную пропедевтикѣ счета дѣтямъ отъ 1 до 6 лѣтъ. Важное мѣсто отведено вопросамъ философіи математики,—каковы связь математики съ логикой, соціальная роль математической науки, вопросы о происхожденіи аксіомъ, о неэвклидовой геометріи и пр.,—а также вопросамъ о психологіи математическаго знанія и творчества. Интересны историческіе очерки, біографіи математиковъ, статьи и мелкія замѣтки чисто математическаго содержанія, изложеніе нѣкоторыхъ вопросовъ изъ физики и теоретической механики и пр. Въ каждомъ номерѣ имѣется обширное обозрѣніе книжной и журнальной математической литературы. Но особенно внимательно журналъ, слѣдуя своему международному назначенію, слѣдитъ за организаціей преподаванія математики въ различныхъ странахъ. Со времени возникновенія Международной Комиссіи по реформѣ преподаванія математики L’Enseigneinent mathématique сдѣлался ея оффиціальнымъ органомъ и помѣщаетъ массу свѣдѣній о постановкѣ преподаванія математики въ различныхъ государствахъ и о ходѣ въ нихъ реформы. Всѣ статьи обычно пишутся лучшими спеціалистами, отличнымъ языкомъ, живо и интересно. Въ отдѣлѣ хроники даются свѣдѣнія о математическихъ конгрессахъ, съѣздахъ учителей, о курсахъ, читаемыхъ въ высшихъ учебныхъ заведеніяхъ и даже о перемѣнахъ въ личномъ составѣ академій и университетовъ. Здѣсь, пожалуй, есть даже и излишняя полнота: журналъ нерѣдко упоминаетъ даже о смерти третьестепенныхъ ученыхъ, или о назначеніи приватъ-доцента— профессоромъ. Но,

быть можетъ, въ этомъ проявляется то уваженіе къ людямъ науки, которое такъ распространено на Западѣ, но еще не совсѣмъ обычно у насъ...

Журналъ Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht“, основанный въ 1869 г. Гофманомъ, издается на нѣмецкомъ языкѣ въ Берлинѣ и выходитъ 8 разъ въ годъ, книжками по 5 листовъ». Стоитъ онъ 12 марокъ (въ Москвѣ, у Тастевена 7 р. 20 к. для городскихъ и 8 р. 20 к. для иногор. подписчиковъ). Хотя въ программѣ этого журнала значатся вопросы естественно-научнаго обученія, имъ отводится въ немъ лишь очень немного мѣста и вниманія, и большая часть его посвящается математикѣ. Въ журналѣ 2 части: научная и педагогическая. Въ первой помѣщаются статьи и замѣтки, большія и маленькія, научнаго характера изъ области математики, не очень, однако, удаляющіяся отъ курса среднихъ учебныхъ заведеній, а также задачи и рѣшенія ихъ по алгебрѣ, геометріи, тригонометріи, аналитической геометріи, теоріи чиселъ. Рѣшенія даются краткія, большею частью безъ чертежей. Во 2-ой части—педагогической—помѣщаются учебные планы и программы по преподаванію математики, свѣдѣнія по школьной статистикѣ, выдержки изъ отчетовъ учебныхъ заведеній, обширный библіографическій отдѣлъ и проч. Со времени начала работъ Международной Комиссіи по реформѣ преподаванія математическихъ наукъ, Zeitschrift сдѣлался какъ-бы ея органомъ для Германіи и помѣщаетъ не мало соотвѣтствующихъ матеріаловъ.

Бельгійскій журналъ „Mathesis“ основанъ въ 1881 г. и является до нѣкоторой степени продолженіемъ журнала „Nouvelle Correspondance mathématique, основаннаго въ 1874 г. извѣстнымъ ученымъ Каталаномъ. Mathesis издается въ Гентѣ, подъ редакціей ученыхъ Mansion'a и Neuberg’a и выходитъ ежемѣсячно въ размѣрѣ 2 листовъ. Цѣна въ годъ 9 франковъ (въ моск. магаз. 4 р. 50 к. и 5 р. 50 к.), Журналъ имѣетъ своею цѣлью популяризовать нѣкоторые, болѣе простые, новые для преподавателей отдѣлы элементарной математики, каковы синтетическая геометрія, новая геометрія треугольника, введеніе въ анализъ, теорія детерминантовъ и др., а также наиболѣе серьезные вопросы математической методологіи, каковы вопросы о числахъ отрицательныхъ, мнимыхъ, ирраціональныхъ, теорія предѣловъ и пр. Поэтому въ Mathesis помѣщаются статьи и замѣтки по наиболѣе труднымъ вопросамъ элементарной математики, а также по не особенно сложнымъ вопросамъ изъ области введенія въ анализъ аналитической геометріи, дифференціальнаго и интегральнаго исчисленій, теоріи чиселъ. Большую часть мѣста занимаютъ, однако, задачи изъ названныхъ отдѣловъ математики и ихъ рѣшенія. Задачи, въ общемъ, подбираются умѣло и интересно, но онѣ отличаются большою трудностью и скорѣе по силамъ учащихъ, чѣмъ учащихся. Для этихъ послѣднихъ за то очень подходятъ такъ называемые экзаменные вопросы, questions d’examen, помѣщаемые въ каждомъ номерѣ и представляющіе не трудные, но интересные примѣры и задачи изъ теоретической ариѳметики, алгебры.

геометріи и тригонометріи. Журналъ имѣетъ небольшой библіографическій отдѣлъ, а въ приложеніи иногда помѣщаются спеціальныя научныя статьи изъ области теоріи вѣроятностей, дифференціальной геометріи, исторіи математики и проч.

Съ журналомъ Mathesis имѣетъ близкое сходство итальянскій журналъ „Periodieo di Mathematica“, издаваемый въ Ливорно подъ ред. извѣстнаго геометра и педагога проф. Lazzari. Журналъ выходитъ разъ въ два мѣсяца, тетрадями въ 3 печатныхъ листа; цѣна ему внѣ Италіи 9 лиръ въ г. (въ моск. магаз. 4 р. 50 к. и 5 р. 50 к.). Periodico предназначается для преподавателей математики среднихъ учебныхъ заведеній и для студентовъ физико-математическихъ факультетовъ и высшихъ техническихъ учебныхъ заведеній. Въ журналѣ помѣщаются статьи и замѣтки изъ переходныхъ областей между элементарной и высшей математикой. Имѣется также отдѣлъ задачъ, которыя не отличаются большой трудностью и сложностью и берутся изъ элементарной математики, аналитической геометріи на плоскости, теоріи чиселъ, высшей алгебры и пр. При журналѣ съ 1897 г. издается особое прибавленіе „Supplemento al Peridico di Mathematica“, спеціально предназначенное для учащихся, въ размѣрѣ одного печатнаго листа. Въ немъ печатаются небольшія замѣтки по ариѳметикѣ, алгебрѣ, геометріи и тригонометріи, а также по 10—12 задачъ изъ тѣхъ-же отдѣловъ. Рѣшенія задачъ обыкновенно содержатъ изслѣдованіе ихъ. Supplemento выходитъ 9 разъ въ годъ; цѣна ему внѣ Италіи 2Ѵ2 лиры.

Англійскій журналъ „Educational Times представляетъ собою ежемѣсячный журналъ для преподавателей, выходящей въ объемѣ 5 листовъ (цѣна въ моск. магаз. 5 р. и 6 р.) Этотъ органъ имѣетъ своею задачею разработку вопросовъ о преподаваніи всѣхъ вообще предметовъ средней школы; математикѣ при этомъ отводится сравнительно немного мѣста, и тѣмъ не менѣе его слѣдуетъ рекомендовать вниманію преподавателей благодаря большому количеству помѣщаемыхъ въ немъ задачъ. Въ каждомъ номерѣ помѣщается 20 - 30 задачъ изъ элементарной математики, аналитической геометріи п анализа. Нѣкоторыя изъ нихъ отличаются огромной трудностью. Рѣшенія помѣщаются краткія, но обстоятельныя, съ хорошими чертежами, а не рѣдко и съ историческими справками. Большая часть задачъ доступна скорѣе для преподавателей, чѣмъ для учащихся, но нѣкоторыя, безъ сомнѣнія, по силамъ наиболѣе успѣвающимъ ученикамъ.

До сихъ поръ я говорилъ объ иностранныхъ журналахъ, подходящихъ преимущественно для учителей. Ранѣе чѣмъ перейти къ журналамъ, предназначеннымъ спеціально для учащихся, я упомяну еще о двухъ журналахъ, которые, не преслѣдуя педагогическихъ цѣлей, могутъ быть очень интересны для нашихъ преподавателей и любителей математики. Журналъ Bibliotheca Mathematica посвященъ спеціально исторіи математическихъ наукъ. Хотя это органъ чисто-научный, тѣмъ не менѣе многія статьи въ немъ могутъ представить интересъ для педагоговъ.

Изъ рѣчи В. В. Бобынина мы знаемъ какъ много полезныхъ указаній для преподавателя даетъ знакомство съ исторіей математики; оно освѣщаетъ намъ логическое развитіе науки и можетъ вызвать къ жизни новые методы, способные облегчить педагогическую задачу и закрѣпить въ умѣ учащихся научныя истины. Статьи въ Bibliotheca Mathematica касаются исторіи развитія различныхъ вѣтвей математики у разныхъ народовъ и въ различныя эпохи; помѣщаются также жизнеописанія ученыхъ, библіографическія замѣтки и проч. Журналъ издается въ Лейпцигѣ, а редактируется Enestrom’омъ въ Стокгольмѣ; каждый томъ изъ 4 выпусковъ стоитъ 20 мар.—Журналъ L’Intermédiaire des Mathématiciens—(Математическій посредникъ)—имѣетъ своею задачею облегчить общеніе математиковъ на научной почвѣ. Эта цѣль достигается путемъ наведенія справокъ, библіографическихъ и иныхъ по поводу вопросовъ, предлагаемыхъ всѣми желающими. Большинство вопросовъ заключаетъ въ себѣ задачи, рѣшеніе которыхъ авторамъ неизвѣстно. Задачи могутъ быть предлагаемы изъ всевозможныхъ отдѣловъ математики и самой различной степени трудности. По мѣрѣ полученія отвѣтовъ и указаній на рѣшеніе, редакція помѣщаетъ ихъ, дополняя своими разъясненіями и справками. Журналъ выходитъ въ Парижѣ ежемѣсячно, объемомъ въ 1 печатный листъ; цѣна ему 6 франковъ въ годъ (въ Москвѣ, чрезъ магаз.—4 р. 25 к. и 5 р. 25 к.).

Изъ математическихъ журналовъ, предназначаемыхъ для учащихся, заслуживаютъ особеннаго вниманія французскіе журналы, издаваемые въ Парижѣ Vuibert’омъ. Этихъ журналовъ три; наиболѣе старымъ изъ нихъ является Journal de mathématiques élémentaires, который Vuibert началъ издавать въ 1877 году, будучи еще студентомъ университета. Первоначальною цѣлью этого журнала, который сначала издавался въ литографированномъ видѣ, было опубликованіе задачъ, предлагавшихся на различныхъ экзаменахъ съ ихъ рѣшеніями. Слѣдуетъ замѣтить, что во Франціи поступающимъ какъ въ университетъ, такъ и въ спеціальныя учебныя заведенія производится конкурсный экзаменъ, причемъ испытанія по математикѣ бываютъ письменныя и устныя. При этомъ предлагаемыя задачи нерѣдко отличаются большою трудностью; въ особенности трудныя задачи предлагаются на вступительныхъ испытаніяхъ въ знаменитыхъ французскихъ высшихъ школахъ—Политехнической и Высшей Нормальной. Кромѣ того, во Франціи издавна существуетъ особое педагогическое мѣропріятіе, не имѣющее для себя аналогіи у насъ, такъ называемые конкурсы для учащихся. Именно, въ концѣ года всѣ желающіе участвовать, напр., въ конкурсѣ по математикѣ, собираются вмѣстѣ въ какомъ-либо учебномъ заведеніи и имъ предлагаются задачи для рѣшенія; отличившимся выдаются награды при торжественной обстановкѣ. Вотъ всѣ упомянутыя задачи и рѣшенія ихъ и составляли, а отчасти и до сихъ поръ составляютъ главное содержаніе „журнала элементарной математики“ Vuibert’a. Но кромѣ нихъ редакція предлагаетъ и сама массу интересныхъ задачъ такого-же типа, а также помѣщаются различныя небольшія статьи и замѣтки изъ области

алгебры, геометріи, тригонометріи, начертательной геометріи, физики, механики, космографіи и химіи. Рѣшенія задачъ тщательно редактируются, сопровождаются изслѣдованіемъ и обильно снабжаются чертежами. Функціональная зависимость между величинами выражается кривыми, которыя тщательно вычерчиваются. Приводятся и безъ рѣшенія списки задачъ и вопросовъ, предложенныхъ въ разныхъ учебныхъ заведеніяхъ на экзаменахъ. Фамиліи рѣшившихъ задачу печатаются, причемъ число ихъ нерѣдко превышаетъ сотню, что свидѣтельствуетъ о распространеніи журнала и притомъ не только во Франціи, но и за границей. Journal Je mathématiques élémentaires выходитъ съ октября по іюль; 1-го и 15-го числа каждаго мѣсяца, въ размѣрѣ одного печатнаго листа; цѣна ему во Франціи 5 фр., а внѣ Франціи 6 франковъ въ годъ. (У насъ въ Москвѣ берутъ 3 р., а съ пересылкою въ города 4 р. въ годъ).

Успѣхъ „Журнала Элементарной Математики“ давно уже побудилъ’ энергичнаго редактора его Vuibert’a расширить дѣло и приступить къ изданію и другихъ журналовъ. Такъ имъ былъ созданъ ежемѣсячный журналъ Revue de Mathématiques spéciales (цѣна внѣ Франціи 11 р. въ годъ) Этотъ журналъ, существующій уже 24-й годъ, содержитъ статьи, замѣтки и задачи по высшей математикѣ—изъ области аналитической геометріи, высшей алгебры и анализа,—а также по физикѣ, механикѣ и химіи. Онъ приспособленъ для студентовъ французскихъ высшихъ учебныхъ заведеній, преимущественно спеціальныхъ, гдѣ математика поставлена на большую высоту. Каждый № выходитъ въ объемѣ 2 печатныхъ листовъ и раздѣляется на двѣ части съ болѣе и менѣе труднымъ содержаніемъ. Въ этомъ журналѣ помѣщаются, между прочимъ, съ рѣшеніями задачи, которыя предлагаются на конкурсныхъ испытаніяхъ для лицъ, желающихъ получить должности преподавателей математики въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ (concours d’agrégation). Задачи эти отличаются огромной трудностью и свидѣтельствуютъ о высотѣ требованій, предъявляемыхъ во Франціи къ кандидатамъ на учительскія должности.

Наиболѣе элементарнымъ но содержанію изъ журналовъ Vuibert’a и иностранныхъ математическихъ журналовъ вообще является L’Éducation Mathématique. Область, которую онъ затрогиваетъ—ариѳметика, алгебра и геометрія; нѣкоторое мѣсто удѣляется еще физикѣ и химіи. Въ журналѣ помѣщаются вопросы и задачи. Первые обыкновенно представляютъ очень не сложныя упражненія, требующія лишь знанія курса. Вторыя требуютъ для рѣшенія нѣкоторой находчивости и сообразительности. Въ помѣщаемыхъ рѣшеніяхъ указываются различные способы рѣшенія, дѣлается сравнительная оцѣнка присланныхъ рѣшеній и указываются наиболѣе распространенныя погрѣшности въ нихъ. Журналъ издается въ томъ же объемѣ и по той-же цѣнѣ, какъ и Journal de mathématiques élémentaires.

Заканчивая свое краткое обозрѣніе иностранной математической журналистики, я позволю себѣ выразить пожеланіе, чтобы иностранные журналы получили возможно болѣе широкій доступъ

въ русскую школу. Это несомнѣнно способствовало-бы повышенію интереса къ наукѣ и уровня математическихъ знаній. Но еще болѣе желательно, чтобы у насъ возникли и достаточно окрѣпли и собственные математическіе журналы различныхъ типовъ, имѣющіе задачей распространеніе математическихъ знаній среди широкой массы лицъ сремящихся къ образованію.

Объ учебныхъ особенностяхъ двухъ направленій математическаго курса средней школы.

П. А. Некрасовъ. С.-Петербургъ.

Докладъ 2-му Всероссійскому Съѣзду преподавателей математики въ Москвѣ, прочитанный 28 декабря 1913 года въ секціи А.

Состояніе педагогической науки и привычка къ традиціи довольно долго держали преподаваніе математики въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ въ границахъ опредѣленныхъ программъ. Но затѣмъ положеніе дѣла стало измѣняться, во всемъ образованномъ мірѣ программы математическаго курса средней школы переживаютъ, какъ извѣстно, періодъ движенія, измѣненія. Эта эволюція началась около 15 лѣтъ тому назадъ и еще не завершилась: она совершается различно въ разныхъ странахъ. Въ Россіи эволюція программъ математики состоитъ въ перенесеніи понятій и началъ такъ называемой высшей математики въ среднюю школу. Нельзя не привѣтствовать этого движенія. Но другія государства, какъ Франція, переживаютъ другую стадію эволюціи преподаванія математики; тамъ начала высшей математики уже давно проникли въ одну изъ двухъ вѣтвей бифурцированнаго лицея и къ концу прошлаго столѣтія перегрузили программу для баккалавровъ свыше мѣры человѣческихъ силъ.

Поэтому Франція пережила въ 1902 году крупную перемѣну въ перестроеніи программъ математики, вызванную недовольствомъ общества лицеями.

Въ лицеяхъ Франціи господствовало натаскиваніе баккалавровъ къ конкурснымъ испытаніямъ по перегруженнымъ программамъ, и преподаваніе велось слишкомъ однообразно, безъ всякаго оживленія дѣла индивидуальными чертами. Общественное мнѣніе Франціи этимъ было недовольно, и подъ его давленіемъ Франція пришла къ реформѣ 1902 года, существенно измѣнившей програмныя требованія отъ лицъ, получающихъ баккалаврскій цензъ. Перемѣна произошла въ направленіи болѣе дробной индивидуализаціи преподаванія, распредѣленнаго въ четырехъ лицейскихъ отдѣленіяхъ А, В, С и D.

Современная французская школа, выпускающая баккалавровъ, сама пока еще колеблется въ установкѣ программъ математическаго курса; съѣздъ знаетъ изъ доклада проф. Д. М. Синцова, что она послѣ 1902 года уже два раза пересматривала эти программы: въ 1905 и 1909 гг. Недаромъ такой математикъ, какъ

покойный Пуанкаре, былъ недоволенъ реформой 1902 года, онъ считалъ эту реформу порчей многихъ математическихъ цѣнностей, кои въ программахъ французскихъ лицеевъ существовали до 1902 года и потомъ были удалены изъ программъ ради разгрузки и подъ предлогомъ принципа „концентраціи преподаванія“; программы очищались отъ вещей, не имѣющихъ, будто бы, ни практическаго жизненнаго значенія, ни чисто-научнаго. Въ эту категорію отверженныхъ цѣнностей вошла, напримѣръ, теорія соединеній съ биномомъ Ньютона, могущественная основа синтетическаго мышленія.

Отзвукъ этого увлеченія сказался и въ общественномъ мнѣніи русскихъ преподавателей математики, напримѣръ, въ программахъ математики, выработанныхъ Кіевскимъ Физико-Математическимъ Обществомъ (см. сборникъ г. Щербины: Математика въ средней школѣ. Кіевъ, 1908) и ослабившихъ ради проведенія началъ анализа и аналитической геометріи ариѳметическую комбинаторику, цѣнность которой не ниже цѣнности анализа безконечно малыхъ величинъ.

Увлекавшіеся сокращеніями теоріи сочетаній съ биномомъ Ньютона забываютъ, что комбинаторный анализъ, биномъ Ньютона и ему подобные ряды, соединяясь съ исчисленіемъ вѣроятностей и производящихъ причинъ, являются основой математикостатистическаго міровоззрѣнія, на которомъ покоится обширная группа наукъ, физико-химическихъ, біологическихъ, экономическихъ и юридическихъ. Эти науки не могутъ шагу ступить безъ комбинаторнаго анализа и синтеза, какъ формально-логическаго, такъ и реальнаго.

Спасая въ измѣняемыхъ программахъ по математикѣ направленіе, соотвѣтствующее статистическому міросозерцанію и имѣющее на ряду съ геометрическимъ созерцаніемъ (интуиціей) великую образовательную силу, отъ стремленія его обезцѣнить и „сократить“ и развивая далѣе это направленіе преподаванія до того уровня, въ какомъ оно должно стоять и въ самомъ дѣлѣ стоитъ, напримѣръ, въ англійской школѣ, я поднимаю вопросъ о концентраціи математическаго курса въ двухъ направленіяхъ А и В; ибо педагогическія соображенія о разгрузкѣ программъ не позволяютъ возложить бремя обоихъ направленій безъ всякаго сокращенія на плечи одного и того же баккалавра. Реальныя училища и коммерческія училища являются нынѣ существующими представителями этихъ двухъ направленій. Тѣ и эти училища буду называть новоязычными гимназіями, предполагая ихъ реформу.

Не буду говорить о моихъ давнишнихъ выступленіяхъ въ защиту задачъ съ содержаніемъ изъ статистики, напомню лишь, что объ этомъ я говорилъ еще въ 1898—1899 г.г. на окружномъ съѣздѣ преподавателей математики и физики въ Москвѣ. Теперь я говорю о поднятіи уровня этого преподаванія въ новоязычной гимназіи. Объ этомъ я высказывался уже въ одной изъ секцій 1-го Всероссійскаго Съѣзда преподавателей математики (см. „Труды“, томъ II, стр. 332—333 и 335—336) и въ мемуарѣ „Про-

межуточная лицейская ступень между среднею и высшею школами “(Журналъ Министерства Народнаго Просвѣщенія за ноябрь 1913 года и журналъ „Математическое Образованіе“ за ноябрь и декабрь).

Прошу замѣтить, что вышеупомянутую бифуркацію математическаго курса, вынуждаемую педагогическими соображеніями, я въ своемъ проектѣ отношу лишь къ самому концу средняго образованія, сохраняя единство математическаго курса въ предшествующихъ годахъ обученія.

Такъ какъ математическій курсъ перваго направленія, обнимающій начала анализа и аналитической геометріи, хорошо разработанъ для средней школы Франціей, то его я могу оставить въ сторонѣ. Защитники второго изъ двухъ направленій математики, забываемаго и вытѣсняемаго, должны выяснить учебный планъ и программу этого второго направленія. Главную особенность этого учебнаго плана должно составлять преподаваніе математическихъ основъ комбинаторнаго анализа и статистическаго метода. Содержаніе этого преподаванія обнимаетъ слѣдующія части алгебры: 1) теорія соединеній и перемѣщеній, 2) теорія вѣроятностей съ логическою классификаціей признаковъ и причинъ и съ законами большихъ чиселъ, 3) статистическая теорія взаимоотношеній или (по англійской терминологіи) корреляцій, включающая способъ наименьшихъ квадратовъ и вырабатывающая аксіомы и теоремы или постулаты физико-химическихъ, біологическихъ и экономическихъ наукъ.

Научная литература, пригодная для извлеченія изъ нея содержанія учебныхъ руководствъ этого направленія, существуетъ. По желанію Математическаго Отдѣла Педагогическаго Музея военно-учебныхъ заведеній я составилъ списокъ этихъ научнолитературныхъ источниковъ. Привожу этотъ списокъ, немного пополненный.

Списокъ литературныхъ матеріаловъ по математической теоріи вѣроятностей и математической статистикѣ съ ихъ задачами и планами. 1) Проф. В. П. Ермаковъ: Теорія вѣроятностей. 2) Академикъ П. Л. Чебышевъ: О среднихъ величинахъ (см. сочиненія Чебышева, томъ 1). 3) С. П. Ярошенко: Къ теоріи способа наименьшихъ квадратовъ (Одесса, 1892). 4) П. А. Некрасовъ: а) Задачи и игры изъ дѣтскаго міра, развивающія понятія по логикѣ и статистической теоріи взаимоотношеній (см. „Математическое Образованіе“ за 1912 г.); б) Теорія вѣроятностей. Изд. 2, С.-Петербургъ, 1912 г.; в) Математическая статистика, хозяйственное право и финансовые обороты. С.-Петербургъ, 1909 г. 5) G. Udny Jule: An Jntroduction to Theory of Statistics. London, 1911. с) Е. Е. Слуцкій: Теорія корреляціи и элементы ученія о кривыхъ распредѣленіяхъ (Кіевъ, 1912). 7) А. Леонтовичъ: Элементарное пособіе къ примѣненію методовъ Гаусса и Пирсона при оцѣнкѣ ошибокъ въ статистикѣ и біологіи. Часть III. Вспомогательныя таблицы. Кіевъ, 1911). 8) Академикъ В. Я. Буняковскій: Основанія математической теоріи вѣроятностей. 9) А. Ю. Давидовъ: „Теорія среднихъ въ приложеніи къ составленію таблицъ смертности. 10) Н.

Laurent: Statistique mathématique. Paris, 1908. 11) Р. Орженцкій: Сводные признаки. Ярославль, 1910. 12) А. А. Чупровъ: Очерки по теоріи статистики. Изд. 2. 1911 г. 13) Забудскій: Теорія вѣроятностей. 14) С. Ю. Витте: Принципы тарифовъ по перевозкѣ грузовъ. Третье дополненное изданіе, стр. 87—107. С.-Петербургъ, 1910.

Въ этомъ спискѣ указаны вклады въ популяризацію науки со стороны математиковъ разныхъ странъ, со стороны русскихъ (Чебышевъ, Буняковскій, Давидовъ, Ермаковъ, Ярошенко, Витте, упомяну и о себѣ), англійскихъ (Юль, послѣдователь школы К. Пирсона) съ ихъ русскими послѣдователями (Р. Орженцкій, А. Леонтовичъ, Е. Е. Слуцкій), французскихъ (Лоранъ), нѣмецкихъ (Чупровъ, ученикъ Лексиса). Въ области приложеній эти литературные источники подготовляютъ къ наукамъ біологическимъ, экономическимъ, юридическимъ и физико-химическимъ. Конечно, изъ этого списка нужно черпать для средней школы лишь эламентарное и наиболѣе образовательное. Это вычерпываніе составляетъ задачу составителей учебныхъ руководствъ, требующую поощренія преміями и пособіями на изданія. Указанная въ этомъ спискѣ книга по введенію въ теорію статистики англійскаго математика Юля, одного изъ представителей школы Карла Пирсона, могла бы, какъ учебное пособіе, исчерпать программу по элементарной теоріи вѣроятностей. Русская научная литература, какъ видно изъ вышеприведеннаго списка, также богата источниками по элементамъ теоріи вѣроятностей, принадлежащими такимъ авторамъ, какъ П. Л. Чебышевъ, В. П. Ермаковъ и другіе. Въ этомъ направленіи работаютъ и преподаватели средней школы.

Изъ числа русскихъ педагоговъ П. С. Флоровъ, директоръ Урюпинскаго реальнаго училища съ выдающимся успѣхомъ вычерпываетъ изъ научной литературы по теоріи вѣроятностей цѣнности, пригодныя для средней школы. П. С. Флоровъ еще съ 1901 года занятъ былъ вопросомъ о преподаваніи теоріи вѣроятностей въ средней школѣ. Часть его дидактическихъ изысканій была опубликована имъ въ „Трудахъ XI съѣзда русскихъ естествоиспытателей и врачей“ (С.-Петербургъ. 1901—1902) и въ журналѣ „Вѣстникъ опытной физики и элементарной математики“ за 1912 годъ (Одесса).

Въ послѣднее время П. С. Флоровъ составилъ подходящее учебное руководство и сдѣлалъ въ 1913 году на XIII съѣздѣ естествоиспытателей и врачей (въ Тифлисѣ) и на педагогической выставкѣ (въ Харьковѣ) докладъ объ этомъ преподаваніи, съ подробною программою, расчитанною на разное число недѣльныхъ уроковъ (на два урока, на три урока и на четыре урока въ недѣлю). Докладъ этотъ былъ доставленъ авторомъ мнѣ и я представилъ его Г. Министру Народнаго Просвѣщенія съ своими замѣчаніями и съ заключеніемъ о необходимости включенія элементарнаго курса теоріи вѣроятностей въ курсъ учебныхъ предметовъ средней школы.

Извлеченіе изъ доклада П. С. Флорова, съ моими примѣчаніями отпечатано въ небольшомъ числѣ экземпляровъ, какъ записка подъ заглавіемъ: „Теорія вѣроятностей, какъ учебный предметъ средней школы“. Нѣсколько экземпляровъ этой печатной записки имѣю честь предложить вниманію Съѣзда, прося напечатать ее въ трудахъ Съѣзда приложеніемъ къ настоящему докладу моему.

Примѣчанія мои къ докладу П. С. Флорова нѣсколько пополнили его прекрасно разработанную программу, введя въ нее: 1) Пирсоновское видоизмѣненіе теоремы Якова Бернулли, представляющее цѣнный варіантъ закона большихъ чиселъ*), и 2)теорему Чебышева о среднихъ величинахъ, на которой можетъ и должна быть раціонально обоснована достовѣрность статистической теоріи корреляцій (взаимоотношеній), относящаяся къ закономѣрностямъ, какъ существованія и сотрудничества, такъ и хронологической послѣдовательности.

Благодаря моимъ примѣчаніямъ къ труду П. С. Флорова, получилось двѣ близкихъ программы: 1) первоначальная' (П. С. Флорова) и 2) видоизмѣненная моими замѣчаніями. Обѣ программы напечатаны въ концѣ записки: „Теорія вѣроятностей, какъ учебный предметъ средней школы“. Изъ оживленной переписки моей съ П. С. Флоровымъ видно, что онъ соглашается внести въ свою программу предложенныя мною измѣненія. Получается слѣдующая примѣрная программа, раздѣленная на двѣ части.

Теорія соединеній и теорія вѣроятностей съ приложеніями въ статистикѣ.

I. Двухчасовый основной курсъ.

1) Теорія соединеній. 2) Понятіе о вѣроятности. 3) Биномъ Ньютона. 4) Теорема Я. Бернулли. 5) Видоизмѣненіе теоремы Я. Бернулли (теорема К. Пирсона!

II. Дополненія вводимыя въ четырехчасовый курсъ.

6) Перемноженіе вѣроятностей. 7) Сложеніе вѣроятностей. 8) Задача Гюйгенса. 9) Сличеніе статистическихъ ариѳметическихъ серединъ и математическихъ ожиданій. Теорема Чебышева о среднихъ величинахъ. Статистическія взаимоотношенія. 10) Теорема Байеса. 11) Свидѣтельскія показанія. 12) Задача Бюффона. 13) Задача о разореніи игроковъ. 14) Нѣкоторыя приложенія понятія математическаго ожиданія. Цѣны. 151 Страхованіе жизни.

Въ своей первой (основной) части курсъ этотъ должент, входить въ общую программу математики, т.-е. долженъ принадлежать роднику обоихъ направленій А и В бифурцированнаго математическаго курса, а не одному изъ нихъ. Вторая же часть

*) См. стр. 519—520 въ моей книгѣ: ,Теорія вѣроятностей“, изд. 2-е. С.-Петербургъ, 1912.

составитъ видовую особенность математическаго курса, развиваемаго въ направленіи В.

„Преподаваніе первой части курса въ среднихъ школахъ возможно—говоритъ П. С. Флоровъ—безъ повышенія математическаго ценза учащихся, достигаемаго учениками реальныхъ училищъ въ шестомъ классѣ, а учениками и ученицами гимназій въ седьмомъ классѣ“. Эту часть курса, по моему, желательно немедленно допустить въ гимназіи и реальныя училища. Образовательное значеніе этого нововведенія огромное. Прежде всего въ глазахъ учениковъ сразу оживетъ, пріобрѣтетъ не только формальное, но и реальное значеніе теорія соединеній, перемѣщеній, сочетаній.

Главнымъ пунктомъ этой части курса должна быть теорема Я. Бернулли. Выводъ ея, предложенный П. С. Флоровымъ, удивительно простъ, необременителенъ по его сокращенности. П. С. Флоровъ отъ понятія сочетаній немедленно переходитъ къ понятію вѣроятности, а отъ этого понятія сразу переходитъ къ биному Ньютона и теоремѣ Я. Бернулли, минуя теоремы сложенія и умноженія вѣроятностей. Тотъ же выводъ естественно прилагается и къ Пирсоновскому видоизмѣненію теоремы Я. Бернулли, которое не будетъ лишнимъ грузомъ въ этой программѣ.

Законообразность массовыхъ случайныхъ явленій, взаимно зависимыхъ и взаимно независимыхъ, будетъ для учащихся цѣлымъ откровеніемъ. Схемы опытовъ, соотвѣтствующія теоремамъ Я. Бернулли и К. Пирсона, сдѣлаются для нихъ символически общими примѣрами, научно-философскими притчами и научно-практическими робинзонадами, истолковывающими порядокъ эскурсій и отвѣтственной предпріимчивости въ царствахъ случайности, у нормированной страховымъ правомъ, приближенными исчисленіями и юридическими числами, простыми и сложными или составными (комплексными), введенными въ оцѣночные обычаи, въ правила оцѣнки предпріимчивости, творчества, его плодовъ и въ познаніе исторической неизмѣнности, или перманентности среднихъ величинъ и золотыхъ серединъ, ихъ историческаго „statu quo“, Эти научно - философскія притчи и научныя робинзонады раскроютъ юношамъ значеніе научнаго опыта въ жизни, объяснятъ смыслъ множества окружающихъ насъ природныхъ явленій и, съ другой стороны, объяснятъ смыслъ исторіи, творческую эволюцію, въ которую вкрапливаются, съ одной стороны, цѣли и законъ, какъ юридическая и нравственная норма поведенія, а съ другой стороны стихія случайности съ ея статистическими (явочными) законами большихъ чиселъ или, говоря иначе, естественными законами. При этомъ законы естественные и законы, какъ нормы долга, нравственнаго и гражданскаго, явятся въ качествѣ двухъ параллельныхъ предопредѣленій въ исторической перспективѣ.

Гимназическій курсъ теоріи сочетаній, перемѣщеній и вѣроятностей долженъ содержать образцовыя задачи съ такимъ разсчетомъ, чтобы статистическое міровоззрѣніе имѣло возможность обозрѣвать и связывать въ цѣлое разныя частныя науки и

различныя профессіональныя дисциплины, коими впослѣдствіи заканчивается образованіе личности. При этомъ теоремы Я. Бернулли, Пуассона, К. Пирсона и Чебышева обезпечатъ достовѣрность или истинность результатовъ опыта и вывода, представляющую главную цѣнность, которую ученики пріобрѣтутъ цѣною изученія комбинаторнаго анализа, теоріи вѣроятностей и статистическаго метода.

Въ упомянутой запискѣ: „Теорія вѣроятностей, какъ учебный предметъ средней школы“ указано, какое богатство понятій связано съ совмѣстнымъ примѣненіемъ нѣсколькихъ изъ числа упомянутыхъ сейчасъ четырехъ теоремъ къ собирательнымъ субстанціямъ (терминъ „субстанція“ я употребляю въ англійскомъ смыслѣ).

Такъ, теорема Я. Бернулли и К. Пирсона совмѣстно приводятъ къ понятіямъ о движеніи, отливѣ, приливѣ (или оборотѣ) и накопленіи собирательной цѣнности того или другого рода.

Примѣры оборота разныхъ капиталовъ должны быть даны въ раннемъ курсѣ ариѳметики и счетоводства и въ алгебрѣ, вмѣстѣ съ понятіемъ о процентномъ ростѣ и убыткѣ; но въ теоріи вѣроятностей кредитное обращеніе и исчисленіе стоимости денегъ въ отношеніи къ другимъ экономическимъ предметамъ ставятся на основы научной и жизненной достовѣрности. При этомъ средняя школа сниметъ съ себя справедливый упрекъ, содержащійся въ извѣстныхъ очеркахъ по народному образованію академика И. И. Янжула, вмѣняющаго въ вину русскимъ гимназіямъ и реальнымъ училищамъ (по сравненію съ заграничными) то, что школы эти не заботятся научить юношей исчисленіямъ, стоящимъ на стражѣ отечественной предпріимчивости и бережливости, народной и государственной, относящейся къ деньгамъ, какъ къ пластической крови, двигаемой центральнымъ органомъ (сердцемъ) и ремонтирующей по частямъ все тѣло въ изношенныхъ частяхъ, по нормамъ жизни и законамъ. Четырехчасовый курсъ окажетъ великую услугу не только въ коммерческомъ и юридическомъ образованіи, но и въ образованіи народныхъ учителей въ учительскихъ семинаріяхъ и институтахъ и въ VIII педагогическомъ классѣ женскихъ гимназій. Такіе педагоги, какъ бар. Корфъ, авторъ книги для народнаго чтенія „Нашъ Другъ“, и такіе люди науки, какъ авторъ очерковъ по народному образованію академикъ И. И. Янжулъ настаиваютъ на привитіи чрезъ народную школу навыковъ и дисциплинъ народной бережливости; важно ознакомить самихъ учителей съ понятіями бережливости и съ соотвѣтствующими исчисленіями.

Итакъ, обсуждаемое направленіе математическаго курса имѣетъ огромное значеніе, чисто научное и жизненно-практическое, нужное для успѣха множества дѣлъ и профессіональныхъ дисциплинъ.

Остановлю затѣмъ вниманіе на развитіи мыслительныхъ способностей и логическихъ ученій съ помощію этого курса. Это развивающее значеніе кроется въ томъ обстоятельствѣ, что теорія вѣроятностей, какъ интуитивная функція сознанія, называемая

здравымъ смысломъ, неразрывно связана своими сомнѣніями и воззрѣніями съ самимъ субъектомъ, картезіански утверждающимъ свое мышленіе и достовѣрность своего сосуществованія съ внѣшнею реальностію. Математическая теорія вѣроятностей перебрасываетъ среди всѣхъ сомнѣній надежнѣйшій мостъ отъ субъекта черезъ частный и общечеловѣческій опытъ къ внѣшней реальности. При этомъ теорія вѣроятностей интенсивно упражняетъ учениковъ въ индуктивной логикѣ, параллельной апріори обдуманному опыту.

Уже въ двухчасовомъ курсѣ теоріи вѣроятностей содержатся всѣ благопріятныя данныя, чтобы упражнять учениковъ въ логикѣ классовъ и въ логикѣ тождества А = А, принимая операцію отождествленія то въ узкомъ (аристотелевскомъ) смыслѣ, то въ широкомъ (лейбницевскомъ, джевонсовскомъ и миллевскомъ) смыслѣ точной аналогіи, допускающемъ морфологическое преобразованіе, замѣщеніе. Законы логики классовъ и законы логики тождества суть абстракціи отъ тѣхъ правилъ движенія и оборота классифицированной собирательной субстанціи, кои трактуются въ теоремахъ Я. Бернулли, Пуассона, К. Пирсона и Чебышева. Разсмотрѣніе въ умѣ и чувственное наблюденіе циркуляцій собирательной субстанціи А, частицы которой подлежатъ классификаціи по признакамъ и исчисленію, предполагаетъ разсмотрѣніе и сличеніе циркулирующаго предмета въ моменты до и послѣ оборота, съ заключительнымъ отождествленіемъ обсуждаемаго предмета съ самимъ собою для того и другаго момента. Такія отождествленія бываютъ in concreto; отвлеченія же отъ нихъ суть абстрактно-логическія отождествленія, причемъ отвлеченію принадлежитъ то общее и существенное, что остается въ умѣ за вычетомъ всѣхъ конкретныхъ различій и о чемъ позволительно мыслить группами, категоріями, какъ въ законѣ большихъ чиселъ, а не единичными фактами. Законы большихъ чиселъ и законы логики при этомъ вступаютъ въ тѣсную научно-философскую ассоціацію.

Болѣе богатый матеріалъ упражненія по индуктивной логикѣ содержится въ четырехчасовомъ курсѣ теоріи вѣроятностей. Этотъ курсъ даетъ алгебраическую форму синтетическаго сужденія, пригодную для количественнаго опредѣленія связи подлежащаго и сказуемаго и окрещенную нынѣ терминомъ „корреляція“, или „статистическое взаимоотношеніе“; этотъ курсъ распространяетъ математическое содержаніе англійскаго и итальянскаго логическаго ученія о количественномъ опредѣленіи сказуемаго. Надо сказать, что понятіемъ „корреляція“ статистическое міровоззрѣніе (называемое, по терминологіи Н. В. Бугаева, „аритмологическимъ“) рѣзко отличается отъ болѣе узкаго механическаго міровоззрѣнія; послѣднее есть только часть перваго, отыскивающая въ природѣ лишь совершенно опредѣленныя функціональныя зависимости или связи величинъ. Но коррелятивныя зависимости не суть совершенно опредѣленныя; они допускаются эволюціею въ нѣкоторыхъ предѣлахъ. Динамика живыхъ организмовъ, разумное творчество и правосознаніе могутъ быть всегда уложены въ формы коррелятивной связи и устанавливающаго стати-

стическаго міросозерцанія; но эти понятія не могутъ быть уложены въ формы исключительно крѣпостной несвободной функціональной связи механическаго міропониманія1).

Теорія корреляцій есть ученіе объ однозначномъ соотвѣтствіи множествъ, конечныхъ и трансфинитныхъ, съ примѣсью случайности и съ необходимостью эмпирической (статистической) интуиціи при нехваткѣ данныхъ; въ то же время эта теорія есть продуктъ теоремы умноженія и сложенія вѣроятностей и ученія о среднихъ величинахъ. Между законами большихъ чиселъ, обнимающими два, три и болѣе комплексовъ, и теоріей соотвѣтственныхъ множествъ (совокупностей) устанавливается аналогія и тѣсная логическая и психологическая ассоціація. Понятія о числовыхъ закономѣрностяхъ и статистической интуиціи могутъ быть даны въ старшемъ возрастѣ въ научномъ видѣ, развивающемъ здравый смыслъ сужденій и исчисленій.

Возникаетъ вопросъ о мѣстѣ для математической теоріи корреляцій въ программѣ по теоріи вѣроятностей и по комбинаторному анализу.

Подъ вліяніемъ моей статьи: „Задачи и игры, развивающія понятія по логикѣ и статистической теоріи взаимоотношеній“ П. С, Флоровъ включилъ элементы теоріи корреляцій въ свою программу и даже отвелъ ей мѣсто, по ея важности, въ своемъ двухчасовомъ основномъ курсѣ, который желательно осуществить немедленно въ средней школѣ, хотя бы въ видѣ опыта. Однакоже я по недостатку въ двухчасовомъ курсѣ времени, едва хватающаго для прохожденія теоремъ Я. Бернулли и К. Пирсона, отвожу для теоріи корреляцій мѣсто лишь въ четырехчасовомъ курсѣ, каковой курсъ нынѣ осуществимъ въ коммерческихъ училищахъ, въ учительскихъ институтахъ и на математическомъ отдѣленіи VIII (педагогическаго) класса женскихъ гимназій.

Какъ я уже сказалъ, результаты дидактическихъ изслѣдованій П. С. Флорова вмѣстѣ съ моимъ варіантомъ его программы были представлены Министерству Народнаго Просвѣщенія; они возбудили къ себѣ настолько серьезное вниманіе, что нынѣ начатъ опросъ свѣдущихъ спеціалистовъ относительно практическаго осуществленія преподаванія теоріи вѣроятностей въ средней школѣ. Содержащіеся въ опросномъ листѣ вопросные пункты подраздѣлены на двѣ части; первая часть относится къ двухчасовому основному курсу теоріи вѣроятностей съ теоріей соединеній, намѣченному въ печатной запискѣ: „Теорія вѣроятностей, какъ учебный предметъ средней школы “ и предлагаетъ опрашиваемымъ лицамъ слѣдующіе вопросы:

1. Находите ли Вы означенный выше двухчасовой элементарный курсъ, обнимающій теорію сочетаній, биномъ Ньютона и теорію вѣроятностей, осуществимымъ въ VII или VIII классѣ гимназіи (въ VI или дополнительномъ классѣ реальнаго училища)? *)

1) См. мой мемуаръ: „Философія и логика науки о массовыхъ проявленіяхъ человѣческой дѣятельности. Критика основаній соціальной физики Кетле“ (Математическій Сборникъ, т. ХХШ).

2. Находите ли Вы нужнымъ для проведенія этого курса исключить изъ существующей программы гимназіи нѣкоторыя менѣе важныя теоріи и упражненія по математикѣ, и какія именно?

3. Какъ смотрите Вы на образовательное значеніе этого курса теоріи вѣроятностей?

Что касается четырехчасового курса, то такому болѣе обширному курсу было бы умѣстно существовать нетолько въ коммерческихъ училищахъ и въ школахъ народныхъ учителей (см. выше), но и въ томъ типѣ реальныхъ училищъ или, лучше сказать, новоязычныхъ гимназій, кои даютъ образованіе, приноровленное къ экономическимъ и біологическимъ факультетамъ политехникумовъ и къ другимъ высшимъ учебнымъ заведеніямъ, гдѣ важное значеніе имѣютъ описательный и сравнительный индуктивный методъ, базирующійся на математической статистикѣ и теоріи вѣроятностей.

Въ учебномъ планѣ этой гимназіи должно найти себѣ мѣсто второе изъ двухъ направленій математическаго курса средней школы. Этому направленію будетъ данъ просторъ; въ его программу войдутъ расширенная теорія вѣроятностей (4 часа), основы математической статистики, законовѣдѣніе, введеніе въ экономическія науки. Примѣнительно къ этимъ предположеніямъ вышепомянутый опросный листъ содержитъ еще слѣдующіе вопросы:

4. Находите ли Вы намѣченный П. С. Фроловымъ четырехчасовый элементарный курсъ, обнимающій теорію сочетаній, биномъ Ньютона и теорію вѣроятностей съ важнѣйшими изъ рѣшающихся ею задачъ, осуществимымъ въ гимназіи съ учениками возраста отъ 16-ти до 18-ти лѣтъ?

5. Какъ Вы смотрите на проектъ гимназіи, въ которой будутъ введены четырехчасовый курсъ теоріи вѣроятностей, введеніе въ экономическія науки, законовѣдѣніе и предметы, способные освоить учениковъ съ исчисленіями, стоящими на стражѣ отечественной бережливости и предпріимчивости и подготовляющими учениковъ къ экономическому факультету?

Имѣющихъ возможность отвѣтить на эти вопросы прошу сообщить отвѣты мнѣ1), и я воспользуюсь ими при сводкѣ.

Записка „Теорія вѣроятностей, какъ учебный предметъ средней школы“ является приложеніемъ къ настоящему докладу. Въ началѣ этой записки выдвинуты тезисы.

Этими тезисами утверждается педагогическая пріемлемость этой разновидности математическаго курса, служба котораго велика въ задачахъ мышленія и созиданія, основываемаго не на пескѣ, а на достовѣрности.

М. Г., надо помнить то, что это направленіе математическаго курса, начатое великими математиками двѣсти лѣтъ тому назадъ, связываетъ математику не только съ геометріей и естествознаніемъ, но и съ творчествомъ, сотрудничествомъ и съ науками

1) Отвѣты прошу сообщать по адресу: С.-Петербургъ, Матвѣевская, д. 11, кв. 30, Павлу Алексѣевичу Некрасову.

нормативными, т. е. юридическими и общественными. А по своему образовательному достоинству это творческое направленіе принадлежитъ къ тѣмъ математическимъ цѣнностямъ, о необходимости которыхъ для образованія человѣческой личности не можетъ быть двухъ мнѣній.

Предложеніе моего доклада въ концѣ концовъ сводится къ слѣдующему: 1) первую часть курса, намѣченнаго вышеозначенною программой, рекомендовать ввести теперь же въ среднія учебныя заведенія, какъ дополненіе главы алгебры о соединеніяхъ и биномѣ Ньютона, и 2) вторую часть теперь же рекомендовать для учительскихъ семинарій, для VIII педагогическаго класса женскихъ гимназій и для коммерческихъ училищъ; при реформѣ средней школы вторую часть ввести въ старшій концентръ, допуская бифуркацію математическаго курса по педагогическимъ соображеніямъ.

Величины и числа.

О. Штольцъ.

Пер. Р. Гольцбергъ, подъ ред. А. П. Пшеборскаго.

(Окончаніе).

Сегодня, однако, я не могу заниматься этими новыми величинами, такъ какъ я еще даже не привелъ всѣхъ родовъ чиселъ, встрѣчающихся въ общей ариѳметикѣ1).

Уже у индійца Бгаскара встрѣчается замѣчаніе, что квадратъ какъ положительнаго, такъ и отрицательнаго числа есть число положительное, что, слѣдовательно, квадратнаго корня изъ отрицательнаго числа не существуетъ. Несмотря на это коссисты2) 16-го столѣтія, а именно, Кардано и Бомбелли1), писали квадратные корни изъ отрицательныхъ чиселъ; они ихъ называли, правда, невозможными. Уже упомянутый Жираръ выступилъ и здѣсь рѣшительно на ряду съ дѣйствительными рѣшеніями уравненій принимая во вниманіе и невозможныя. Допуская ихъ, онъ пришелъ къ предложенію, что всякое алгебраическое уравненіе имѣетъ столько корней, сколько единицъ въ его степени. Декартъ называлъ положительные и отрицательные корни уравненія „дѣйствительными“, а невозможные—„мнимыми“, потому-что первые можно построить, какъ отрѣзки, послѣднимъ же никакія отрѣзки не соотвѣтствуютъ3).

1) М. Cantor, въ ук. м. стр. 531.

2) Коссисты-алгебраисты (1) Fink въ ук. м. стр. 78.

3) Ср. Descartes Geometria какъ въ р. 76. Это мѣсто гласитъ: Caeterum radices tarn verae quam falsae non semper sunt reales, sed aliquando tantum imaginariae etc. Этотъ темный оборотъ былъ почти дословно повторенъ Ньютономъ (Arithm. univ. р. 182).

Великій вычислитель Эйлеръ, которому исчисленіе безконечно-малыхъ, несмотря на недостаточное обоснованіе имъ послѣдняго, обязано многочисленными стимулами, также много занимался невозможными числами и съ ихъ помощью смогъ открыть тѣсную связь между степенями и тригонометрическими функціями. Позже Гауссъ также пользовался ими въ изслѣдованіяхъ по теоріи чиселъ. Отъ него происходитъ названіе „комплексное число“ для суммы дѣйствительнаго числа и квадратнаго корня изъ отрицательнаго числа1).

Комплексными числами называются числа, которыя образуются отъ соединенія двухъ или болѣе родовъ дѣйствительныхъ чиселъ различнаго наименованія. Собственно говоря, къ комплекснымъ числамъ принадлежатъ уже сложныя именованныя числа, съ которыми насъ знакомитъ обученіе счисленія въ народной школѣ. 7 флориновъ 3 крейцера есть, напр., комплексное число, потому что число, стоящее на первомъ мѣстѣ 7, мы относимъ къ флоринамъ, а стоящее на второмъ мѣстѣ число 3, мы относимъ къ крейцерамъ, какъ къ единицѣ. Обѣ эти единицы, правда, находятся между собой въ самомъ простомъ отношеніи, какое можно себѣ представить, первая есть кратное второй, а вторая—точная часть первой. Въ дѣйствительности наши сложныя именованныя числа назывались еще сто лѣтъ назадъ комплексными числами2). Гауссъ впервые яснымъ образомъ высказалъ, что соединеніе чиселъ различнаго наименованія въ одну систему чиселъ можетъ быть значительно обобщено3). Къ этому приводятъ насъ слѣдующія соображенія:

Зададимся вопросомъ, какимъ образомъ мы можемъ однозначно опредѣлить точку плоскости, напр. прямоугольнаго пола комнаты. Исходимъ изъ угла, вершину котораго мы назовемъ нулевой точкой координатъ, доходимъ по сторонѣ пола до основанія перпендикуляра, опущеннаго на эту сторону изъ разсматриваемой точки, и отсюда направляемся къ послѣдней по этому перпендикуляру. Измѣреніемъ этихъ двухъ взаимно перпендикулярныхъ отрѣзковъ мы получаемъ два числа, посредствомъ которыхъ мы во всякое время въ состояніи опять найти данную точку. Первый отрѣзокъ называется абсциссой точки, второй ея аппликатой или ординатой, оба вмѣстѣ—со времени Лейбница— ея координатами. Изъ этихъ объясненій ясно, что нужно пони-

1) Gauss. Verke II, стр. 102.

2) Ср. Be'zout, Cours de Math. 1767, I p. 105, Klügel, Lexicon II, стр. 734.

3) Gauss Werke, II стр. 174.

мать подъ точкой 7-и метровъ въ направленіи длины, или абсциссъ, и 3-хъ метровъ въ направленіи ширины, или ординатъ. Эта точка можетъ также быть обозначена черезъ комплексное число, а именно черезъ 7 м. длины+ 3 м. ширины. Если за единицу абсциссъ примемъ просто 1, а за единицу ординатъ—г, то комплексное число 7-f - 3 і вполнѣ опредѣлитъ разсматриваемую точку. Такимъ образомъ каждой точкѣ на плоскости, на которой выбраны, какъ основныя направленія, двѣ перпендикулярныхъ прямыхъ, соотвѣтствуетъ при помощи ея координатъ #, у комплексное число X + VI, и, обратно, мы безъ дальнѣйшихъ разсужденій умѣемъ построить точку, соотвѣтствующую такому числу. Полученныя такимъ образомъ посредствомъ плоскости комплексныя числа отличаются отъ сложныхъ именованныхъ чиселъ низшей ариѳметики только тѣмъ, что между положенными въ основаніе единицами 1 и г нѣтъ никакого численнаго отношенія. Вмѣсто того, чтобы подчинять точкѣ #, ?/, комплексное число х + VI, можно принять, что ему соотвѣтствуетъ отрѣзокъ между этой точкой и нулевой точкой координатъ; понятно, что при этомъ нужно принять во вниманіе не только длину, но и направленіе этого отрѣзка. Отрѣзокъ въ этомъ смыслѣ называется въ англійской литературѣ векторомъ.

Но система чиселъ устанавливается не ради нихъ самихъ, а для того, чтобы при помощи ихъ вести счетъ. Къ суммѣ двухъ комплексныхъ чиселъ мы приходимъ прямо посредствомъ правилъ сложенія сложныхъ именованныхъ чиселъ: мы складываемъ одноименныя составныя части обоихъ чиселъ и соединяемъ эту сумму частей въ новое комплексное число. Напр., числа 7-ЬЗг и 4 ~і- 5г даютъ сумму 11+ 8г. Какъ всякое комплексное число, такъ и сумма двухъ комплексныхъ чиселъ можетъ быть представлена векторомъ на плоскости. И существуетъ при томъ удобный геометрическій методъ для построенія суммы двухъ векторовъ: изъ конечной точки одного вектора проводятъ векторъ, равный другому, т.-е. линію, имѣющую съ нимъ одинаковыя длину и направленіе, и соединяютъ конечную точку этой линіи съ нулевой точкой. Это построеніе, которое производится точно такъ-же, какъ построеніе равнодѣйствующей двухъ силъ помощью параллелограмма, называется геометрическимъ сложеніемъ. Изъ него легко выводится вычитаніе двухъ векторовъ. Ие такъ просто, какъ опредѣленіе суммы, опредѣленіе произведенія двухъ комплексныхъ чиселъ. Прежде всего нужно помнить, что и это произведеніе должно принадлежать къ той же системѣ чиселъ, а не представлять собой что-нибудь отличное отъ нихъ. Можно было бы ду-

мать, что, такъ какъ 1 означаетъ единицу длины на оси абсциссъ, 1.1 должно быть единицей поверхности. Но это предположеніе здѣсь непримѣнимо вслѣдствіе только что упомянутаго требованія. Мы полагаемъ поэтому 1.1 = 1 и принимаемъ, какъ въ теоріи дѣйствительныхъ чиселъ, что умноженіе на единицу не измѣняетъ другого множителя, такъ что, напр., г. 1 = 1. г = і. Но что значитъ і. г? Пусть пока г. і будетъ какое-нибудь дѣйствительное или комплексное число g + hi. Разъ уже установлены произведенія единицъ 1 и г самихъ на себя и другъ на друга, то мы получаемъ произведеніе двухъ какихъ угодно комплексныхъ чиселъ, примѣняя правило умноженія двухъ суммъ и для суммъ, представленныхъ этими числами. По этому правилу мы составимъ произведеніе означенныхъ чиселъ такимъ образомъ, что умножимъ каждую изъ обѣихъ составныхъ частей одного на каждую составную часть другого числа и сложимъ полученныя при этомъ частныя произведенія.

Чтобы умножить а-\-Ъі на другое комплексное число c-\-di, нужно, поэтому, раньте составить произведенія (а. 1) (с. 1), (al) (di), (Ы) (ci), (bi) (di). Каждое изъ нихъ замѣщается числомъ, которое такъ относится къ произведенію, встрѣчающихся въ немъ единицъ, какъ произведеніе обоихъ коэффиціентовъ относится къ численной единицѣ 1. Такъ на мѣсто перваго является ас, на мѣсто второго (ad) г, на мѣсто третьяго (Ьс) і и наконепъ на мѣсто четвертаго (bdg) + (bdh) і. Слѣдовательно, мы находимъ, что

(а 4- Ъі). (с -|- di) = (ас -)- bdg) -{- (ad -f- Ьс f- bdh) i.

Полученный этимъ путемъ результатъ—еще слишкомъ общій Мы попытаемся ближе опредѣлить новое произведеніе требованіемъ, чтобы въ немъ удовлетворялись, если возможно, извѣстныя правила общей ариѳметики объ умноженіи двухъ чиселъ. Изъ нихъ уже имѣетъ мѣсто теорема, что А. В. = В. А. Но о другихъ теоремахъ, напр., что трехчленное произведеніе (А. В.). С = Л. (В. С\), этого сказать еще нельзя. Изслѣдованія Вейерштрасса показываютъ, что всѣ системы комплексныхъ чиселъ, умноженіе которыхъ подчиняется всѣмъ тѣмъ законамъ, что и умноженіе дѣйствительныхъ чиселъ, получатся только въ томъ случаѣ, если для і. і выбрать одно изъ чиселъ 1,0 и—1. Мы стоимъ, такимъ образомъ, передъ тремя системами комплексныхъ чиселъ, которыя одинаково относятся къ тремъ дѣйствіямъ—сложенію, вычитанію и уможенію. Но онѣ отличаются другъ отъ друга по отношенію къ четвертому дѣйствію, дѣленію. Въ первыхъ двухъ системахъ, именно, находятся числа, которыя, если

раздѣлить на нихъ нуль, даютъ частное, отличное отъ нуля, между тѣмъ какъ въ третьей системѣ каждое частное, дѣлимое котораго—нуль, а дѣлитель отличенъ отъ нуля, есть 0. Другими словами: только для чиселъ третьей системы имѣетъ мѣсто извѣстное ариѳметическое предложеніе: „если произведеніе двухъ чиселъ равно нулю, то по крайней мѣрѣ одно изъ нихъ должно быть равно нулю“. Поэтому только вычисленія съ комплексными числами 3-й системы представляютъ глубокую аналогію съ таковыми же дѣйствіями надъ дѣйствительными числами. А эти комплексныя числа вполнѣ совпадаютъ съ комплексными числами общей ариѳметики, о которыхъ рѣчь была раньте. Среди нихъ именно находится одно, і, квадратъ котораго равенъ — 1. Общія комплексныя числа, такимъ образомъ ни въ коемъ случаѣ не невозможны; напротивъ они столь же наглядно могутъ быть изображены, какъ дѣйствительныя числа, только для этого недостаточно прямой, а требуется геометрическій образъ двухъ измѣреній, плоскость.

Легко найти геометрическія изображенія какъ для произведенія, такъ и для частнаго двухъ векторовъ. Ради краткости, однако, мы отъ этого воздержимся. Для насъ достаточно замѣчанія, что векторы на плоскости образуютъ систему величинъ, съ которыми можно вычислять по тѣмъ же правиламъ, какимъ учитъ насъ общая ариѳметика. Каждому такому вычисленію соотвѣтствуетъ геометрическое построеніе, какъ и наоборотъ, многія геометрическія задачи могутъ быть рѣшены помощью векторовъ удивительно простымъ образомъ. Употребленіе векторовъ приводитъ къ настоящему геометрическому исчисленію на плоскости, при помощи котораго искомыя въ задачахъ точки непосредственно могутъ быть найдены.

Для пространства было бы еще важнѣе, чѣмъ для плоскости, исчисленіе, которое давало бы не только числовыя значенія длинъ, но и всѣ искомые элементы построенія, т.-е. ихъ положеніе по отношенію къ даннымъ длинамъ. Оно было бы для насъ желательно уже потому, что вообще трудно даже только представлять себѣ пространственныя фигуры, болѣе или менѣе сложныя.

Если мы попытаемся распространить на пространство результаты, получаемые нами для плоскости, то должны будемъ раньше всего замѣтить, что для опредѣленія точки въ пространствѣ нужны три координаты. Если, на самомъ дѣлѣ, въ залѣ дана точка, то представимъ себѣ, что изъ нея опущенъ перпендикуляръ на полъ. Его основаніе можетъ быть характеризовано, какъ всякая другая точка на плоскости, абсциссой и ординатой. Но на перпендику-

лярѣ, который изъ этой точки опущенъ на плоскость, каждая точка опредѣляется разстояніемъ отъ плоскости, т.-е. высотой надъ поломъ. Длина этого разстоянія съ его знакомъ представляетъ третью координату ъ. Если примемъ одну точку въ пространствѣ за нулевую точку координатъ, проведемъ черезъ нее три перпендикулярныхъ другъ къ другу направленія и означимъ единицы длинъ на нихъ черезъ 1, г, /с, то любая точка пространства можетъ быть представлена комплекснымъ числомъ х-\-VI-\- з/с, составленнымъ изъ трехъ единицъ 1, г, к. Можно также толковать это число, какъ отрѣзокъ или векторъ, соединяющій нулевую точку съ точкой (я, у, z). Мы стоимъ, такимъ образомъ, передъ системой векторовъ въ пространствѣ, которые являются комплексными числами съ тремя единицами.

Что касается вычисленій при помощи этихъ векторовъ, то сложеніе ихъ мы можемъ произвести точно такъ же, какъ и на плоскости, но невозможно такое ихъ умноженіе, которое подчинилось бы законамъ общей ариѳметики. Векторы въ пространствѣ, какъ Гауссъ впервые замѣтилъ въ 1831 г.1), не являются допустимымъ въ общую ариѳметику родомъ величинъ. Но этимъ еще не кончается. Дѣйствительно правила счисленія общей ариѳметики, не образуютъ цѣлаго въ томъ смыслѣ, что съ каждымъ изъ нихъ необходимо связаны всѣ остальныя.

Если не удается обыкновеннымъ образомъ счисленіе при помощи пространственныхъ векторовъ, то мы должны еще изслѣдовать, нельзя ли создать изъ нихъ годное для геометріи вспомогательное средство черезъ измѣненіе правилъ умноженія.

При этомъ изслѣдованіи мы должны уяснить себѣ, какимъ образомъ правила обыкновенннаго умноженія зависятъ одно отъ другого. Вся ихъ совокупность можетъ быть приведена къ тремъ независящимъ другъ отъ друга формальнымъ законамъ: сочетательному, перемѣстительному и распредѣлительному. Законъ сочетательный, котораго старые учебники едва касаются, относится къ произведенію 3-хъ или болѣе производителей. Для образованія такого произведенія нужно, вообще, раньте перемножить между собой 2 изъ данныхъ чиселъ, потомъ помножить ихъ произведеніе на третье число и т. д. до тѣхъ поръ, пока не исчерпаны всѣ производители. И этотъ процессъ можетъ еще совершаться различнымъ образомъ, если мы представимъ себѣ, что производители приведены въ извѣстный порядокъ. Если, напр., у насъ имѣются три производителя и, именно, въ порядкѣ АВС,

1) Gauss Werke, П стр. 178.

то я могу еще составить оба произведенія (AB). С и А. (ВС). Что они между собой равны, составляетъ самый простой случай закона сочетательнаго, влекущій, впрочемъ, за собой примѣнимость этого закона и для произведеній болѣе чѣмъ трехъ множителей. Только существованіе этого закона даетъ намъ право просто говорить о произведеніяхъ АВС, AB CD..' и т. д. Болѣе извѣстны оба остальныхъ закона обыкновеннаго умноженія. Подъ перемѣстительнымъ закономъ понимается цредложеніе, что произведеніе не измѣняется отъ перемѣны порядка производителей. Въ соединеніи съ закономъ сочетательнымъ уже простѣйшій случай закона перемѣстительнаго т.-е. предложеніе, что А. В. = В. А.— достаточенъ для того, чтобы доказать общую примѣнимость послѣдняго. Если наконецъ вспомнимъ, что для умноженія суммы на число мы должны умножить на это число каждую изъ ея составныхъ частей и сложить полученныя произведенія, то мы здѣсь и будемъ имѣть передъ собою содержаніе закона распредѣлительнаго. Если высказать его въ совершенно общемъ видѣ, то нужно еще различить, является ли сумма множимымъ или множителемъ.

Такимъ образомъ, мы получаемъ такъ называемыя „обѣ стороны“ закона распредѣлительнаго, которыя имѣютъ мѣсто уже вообще, если онѣ примѣнимы только къ двучленнымъ суммамъ, т.-е. если вѣрны соотношенія:

(А -[- В). С = АС-\- ВС, А (В + С)= AB + АС.

Отъ существованія обоихъ раньше упомянутыхъ законовъ для сложенія и всѣхъ трехъ для умноженія зависитъ легкость и удобство употребительнаго счисленія. Чѣмъ меньше мы изъ нихъ оставимъ въ силѣ, тѣмъ сложнѣе становятся вычисленія, тѣмъ большей внимательности они отъ насъ требуютъ. Но не всѣ три закона—одинаковой важности. При дѣйствительныхъ опытахъ легко убѣдиться, что по своему значенію для вычисляющаго законъ распредѣлительный стоитъ впереди обоихъ другихъ, а изъ этихъ послѣднихъ законъ сочетательный стоитъ впереди закона перемѣстительнаго. Если отказаться только отъ послѣдняго закона, будь это при сложеніи или умноженіи, то все еще получаются операціи вычисленія, пригодныя къ практическому примѣненію.

Съ 1833 года англійскій мыслитель и физикъ сэръ Вильямъ Рованъ Гамильтонъ занимался опытами съ цѣлью установить умноженіе для пространственныхъ векторовъ, такъ чтобы эта система чиселъ могла бы сдѣлаться годной для изслѣдованія и рѣшенія геометрическихъ задачъ. Только послѣ десяти-лѣтнихъ трудовъ онъ достигъ удовлетворительныхъ результатовъ. Новыя

числа, оказавшіяся пригоднымъ вспомогательнымъ средствомъ для геометріи и механики, состоятъ изъ четырехъ единицъ, вслѣдствіе чего Гамильтонъ назвалъ ихъ кватерніонами. Первая единица есть чистая единица, 3 остальныхъ суть отрѣзки въ единицу длины на трехъ перпендикулярныхъ другъ къ другу направленіяхъ xyz, напр., на ребрахъ прямоугольнаго треграннаго угла. Эти единицы—векторы обозначаются по Гамильтону черезъ г, j, к. Кватерніоны заключаютъ въ себѣ три рода чиселъ: во первыхъ „скаляры“, или дѣйствительныя числа, которыя получаютъ выраженіе въ фигурѣ только посредственно, какъ отношенія двухъ длинъ; затѣмъ векторы, т.-е. выходящіе изъ нулевой точки отрѣзки съ численнымъ выраженіемъ хі -)- yj -j- zk, и наконецъ, собственно—кватерніоны: суммы чиселъ и векторовъ, по обозначенію Гамильтона: скаларъ векторъ (w -J- хі yj -{- zk).

При геометрическомъ представленіи элементами кватерніона, которыми онъ характеризуется, являются: его плоскость, его уголъ и его тензоръ, послѣдній—число абсолютное. Изъ элементовъ плоскости разсматривается только ея положеніе въ пространствѣ,— параллельныя плоскости при этомъ считаются равнозначущими. Этотъ опредѣляющій элементъ зависитъ, такимъ образомъ, только отъ двухъ угловъ, такъ-что кватерніонъ въ цѣломъ содержитъ только 4 перемѣнныхъ части. Если представимъ себѣ, что черезъ нулевую точку 0 проведена произвольная плоскость и на ней начерченъ треугольникъ АО В, то мы имѣемъ изображеніе собственнаго кватерніона, или если угодно, самъ кватерніонъ. Кватерніонъ, однако, не измѣняется, т.-е. переходитъ въ равный, если мы замѣнимъ этотъ треугольникъ другимъ, подобнымъ ему въ его плоскости. Въ треугольникѣ АОВ существенны только уголъ АОВ и отношеніе сторонъ OB : О А: первый называется угломъ, второе тензоромъ кватерніона1). Если уголъ AB О— прямой, то только-что данное истолкованіе кватерніона не упо-

1) Чтобы дойти до численнаго представленія упомянутаго въ текстѣ кватерніона, представимъ себѣ сначала, что черезъ 0 проведенъ перпендикуляръ къ его плоскости и одно изъ направленій этого перпендикуляра принять на ней за положительную нормаль п. При помощи ея мы опредѣляемъ положительное направленіе вращенія плоскости такимъ образомъ, что за таковое мы принимаемъ вращеніе, которое, если смотрѣть изъ положительной нормали, является направленнымъ справа налѣво (противъ движенія часовой стрѣлки). Соотвѣтственно этому долженъ быть построенъ данный уголъ <р = АОВ, который заключается между —180° и 180°. Если далѣе, ?.[лѵ суть

требительно, такъ какъ кватерніонъ переходитъ тогда въ векторъ, перпендикулярный къ его плоскости. Произведеніе двухъ векторовъ только тогда векторъ, когда они взаимно перпендикулярны, и тогда онъ перпендикуляренъ къ плоскости обоихъ производителей. Такъ і) = &, напротивъ j. і = — к; далѣе, j. к = г, к. j. = — г, к. г= j, г. /е =—j. При этомъ умноженіи законъ перемѣстительный, такимъ образомъ, не имѣетъ мѣста. Квадраты i.i,j.j,k.k— не векторы, а каждый изъ нихъ принятъ равнымъ — 1. Единица 1 играетъ и въ системѣ кватерніоновъ роль модуля умноженія, т. е., если одинъ изъ двухъ производителей равенъ 1, то произведеніе равно другому. Умноженіе кватерніоновъ подчиняется законамъ распредѣлительному и сочетательному, но не перемѣстительному.

Насъ завело-бы слиткомъ далеко, если-бы мы захотѣли прослѣдить отдѣльные шаги, которые Гамильтонъ долженъ былъ сдѣлать, пока пришелъ къ изобрѣтенію кватерніоновъ. Онъ сообщаетъ объ этомъ въ предисловіи къ объемистому сочиненію Lectures on Quaternions (1853), цѣль котораго состоитъ не только въ развитіи ихъ теоріи, но и въ томъ, чтобы показать ихъ примѣнимость въ геометріи. Книга составилась изъ лекцій, которыми Гамильтонъ ввелъ теорію кватерніоновъ въ академическое преподаваніе,

И нѣмцы имѣютъ заслуги въ этой теоріи. Г. Ганкель1) переса-

косинусы угловъ направленія п съ положительными направленіями осей х у z, то пусть

нѣкоторый векторъ А; самъ кватерніонъ есть тогда число

{)6S(f -f- (QSin(p)n,

гдѣ положительное число q означаетъ его тензоръ. Ху ѵ можно, какъ извѣстно, слѣдующимъ образомъ выразить черезъ косинусы направленій О А,О В, которые пусть означены а, /9, у и соотвѣтств. а $ у.

8 равенъ -j- 1 или — І смотря по тому, равны-ли углы осей ху, zx, yz + 90° или —90°.

1) cp. Hankel Theorie der complexen Zahlensysteme (1867) стр. 141—196. Въ концѣ находится изложенное здѣсь обозрѣніе работъ Гамильтона о кватерніонахъ. Книга эта переведена на русскій языкъ подъ ред. проф. П. П. Парфентьева.

дилъ ее въ 1867 г. на материкъ тѣмъ, что далъ сжатую обработку названныхъ Lectures. Этотъ трудъ Ганкеля, какъ и всѣ остальныя его работы, свидѣтельствуетъ о ясности его пониманія и объ его необыкновенномъ искусствѣ въ изложеніи математическихъ предметовъ.

Истинное значеніе кватерніоновъ Гамильтона впервые призналъ Фробеніусъ1). Онъ поставилъ себѣ задачей опредѣлить всѣ системы комплексныхъ чиселъ — съ какимъ угодно числомъ единицъ—, умноженіе которыхъ удовлетворяетъ слѣдующимъ условіямъ. Оно должно быть распредѣлительно и сочетательно; въ системѣ, далѣе, должно находиться число, которое, будучи однимъ изъ двухъ сомножителей произведенія, дѣлаетъ послѣднее равнымъ другому сомножителю, и, наконецъ, должно имѣть мѣсто предложеніе: если произведеніе двухъ чиселъ равно нулю, то по крайней мѣрѣ одинъ изъ производителей равенъ нулю. И Фробеніусъ показалъ, что эта задача допускаетъ только два рѣшенія, именно: систему комплексныхъ чиселъ общей ариѳметики и систему кватерніоновъ. Это въ высшей степени замѣчательно. Мы можемъ взять сколько угодно единицъ для образованія комплексныхъ чиселъ, — никогда не повторяются отношенія, подобныя тѣмъ, которыя представляютъ обѣ означенныхъ системы. Послѣднія, такимъ образомъ, должны быть разсматриваемы предпочтительно передъ другими. Дѣйствительно, только съ одними общими комплексными числами можно вычислять такъ же, какъ съ дѣйствительными. Общая ариѳметика, какъ высказалъ Гауссъ уже въ 1831-мъ году, заключаетъ въ самой себѣ свое завершеніе, такъ что нечего ни ожидать, ни опасаться ея дальнѣйшаго обогащенія. За ней слѣдуетъ теорія кватерніоновъ, хотя по значенію не достигающая ея, но замѣчательная, какъ памятникъ геніальнаго остроумія, и драгоцѣнная для геометрическихъ и механическихъ изслѣдованій. Господа коммилитоны! я позволилъ себѣ прочесть передъ Вами согласно традиціи изслѣдованіе, принадлежащее представленной мною спеціальности. Это—предметъ, котораго, по его природѣ, должны касаться многія книги Между тѣмъ только изъ немногихъ можно узнать, сколько размышленій она требуетъ и какую тонкость разграниченій она вызвала. Какъ монета стирается отъ обращенія и дѣлается наконецъ неузнаваемой, точно такъ-же происходитъ съ понятіями и предложеніями науки, когда они доходятъ до широкихъ массъ. Поэтому пусть-же каждый, который стремится пріобрѣсти основательное знаніе и научное образованіе,

1) Borchardt, Journal der Mathematik. 81 т. стр. 63.

обратится къ сочиненіямъ творцовъ науки, или, если это невозможно, пусть онъ выберетъ себѣ руководителя, который повелъ-бы его къ источникамъ и оригиналамъ.

Преподаваніе математическихъ наукъ во французскихъ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ*).

Проф. Н. Н. Салтыковъ. Харьковъ.

Начало XX вѣка ознаменовалось во Франціи преобразованіемъ преподаванія въ среднихъ школахъ. Произведенная реформа подготовлялась въ продолженіи многихъ лѣтъ, и на осуществленіе ея имѣла рѣшающее значеніе парламентская комиссія, произведшая въ 1899 году весьма подробное обслѣдованіе среднихъ учебныхъ заведеній.

Произведенная реформа распространила на всѣ среднія учебныя заведенія преподаваніе, которое раньше представляло особое преимущество преподаванія въ такъ называемыхъ „современныхъ“ школахъ („Модернъ“).

Программы преподаванія математическихъ наукъ во французскихъ школахъ представляютъ значительныя особенности и выдающійся интересъ по своему содержанію. Со времени своего введенія эти программы оказали вліяніе на постановку преподаванія математическихъ наукъ во всѣхъ странахъ, вызвали живой интересъ также и у насъ въ Россіи, и даже, въ нѣкоторой степени, были использованы частично въ русскихъ реальныхъ и коммерческихъ училищахъ. Не только оригинальны разсматриваемыя программы по своему содержанію и распредѣленію въ нихъ всего матеріала, но онѣ являются также замѣчательными по тѣмъ руководящимъ идеямъ, которыя легли въ основаніе всего преподаванія математическихъ наукъ.

Къ сожалѣнію мнѣ пришлось однако убѣдиться, что эти идеи и программы преподаванія математическихъ наукъ во Франціи далеко не пользуются у насъ въ Россіи такою извѣстностью, которую онѣ заслуживаютъ.

Послѣднее обстоятельство и побуждаетъ меня выступить съ настоящимъ докладомъ.

*) Настоящая статья представляетъ докладъ, прочитанный мною въ педагогическомъ засѣданіи Харьковскаго Математическаго Общества 20 февраля 1910 года. Съ тѣхъ поръ многое измѣнилось въ настроеніи преподавателей математики. Я съ удовольствіемъ долженъ былъ констатировать, что нѣкоторые изъ преподавателей, возражавшихъ раньше противъ цѣлесообразности введенія началъ высшей математики въ курсъ средней школы, измѣнили теперь свое мнѣніе на діаметрально противоположное и говорили на 2-омъ съѣздѣ преподавателей математики въ Москвѣ о необходимости этой реформы, единогласно принятой съѣздомъ.

Вмѣстѣ съ тѣмъ на этомъ съѣздѣ поставленъ на очередь вопросъ о способѣ введенія элементовъ высшей математики въ программу преподаванія математики въ средней школѣ. Этому именно вопросу былъ посвященъ мой настоящій докладъ 4 года тому назадъ. Поэтому я нахожу теперь своевременнымъ его опубликовать.

Долженъ однако оговориться, что мое вниманіе главнымъ образомъ сосредоточивается на введеніи элементовъ высшаго анализа въ преподаваніе средней школы. Въ связи съ этимъ и будутъ отмѣчены ниже особенности преподаванія математики.

Чтобы яснѣе представить распредѣленіе преподаванія математическихъ наукъ во. французскихъ школахъ, необходимо предпослать нѣсколько словъ объ ихъ организаціи.

Низшая и средняя школа находятся въ непосредственной связи. Нормальная продолжительность ученія въ низшей школѣ равняется четыремъ годамъ.

Продолжительность прохожденія курса средней школы составляетъ семъ лѣтъ, при чемъ этотъ періодъ времени разбивается на два срока, „цикла“, или, другими словами на два курса I и II, или младшій и старшій.

Первый циклъ (младшій курсъ) обнимаетъ первыхъ четыре года обученія въ средней школѣ и вмѣстѣ съ низшей школой даетъ на столько законченное образованіе, что имъ могутъ удовлетвориться нѣкоторые изъ учениковъ, которые прекращаютъ свои школьныя занятія этимъ первымъ цикломъ.

Второй циклъ (старшій курсъ) средней школы заключаетъ послѣднихъ три года ученія въ ней.

Дальнѣйшее подраздѣленіе средней школы представляется слѣдующей схемой, разъясненіе которой дается непосредственно за этой схемой:

Дѣтскій садъ.

Низшая школа.

(Классы 10, 9, 8, 7).

Средняя школа.

I. Первый циклъ (классы 6, 5, 4, 3).

Отд. А

Обяз. латинск. языкъ.

Отд. В

Безъ лат. яз.; расшир. програм. математики, физики и химіи.

II. Второй циклъ (классы 2, 1, мат. или фил.).

Отд. А Отд. В Отд. С Отд. D

Отд. А

Отд. В

Отд. С

Отд. D

Лат. и Греч. языки.

Лат. и Новые языки.

Латинск. и Естествознаніе.

Естествозн. и Новые языки.

Кл. философіи.

Кл. математики.

А

в

А

в

Первый циклъ средней школы подраздѣляется на два различныхъ отдѣленія А и В. Разница между этими отдѣленіями А и В заключается въ томъ, что въ отдѣленіи А обязательно изученіе латинскаго языка; вмѣсто него въ отдѣленіи В установлено въ расширенномъ видѣ преподаваніе математики, физики и химіи.

Второй циклъ, въ теченіи первыхъ двухъ лѣтъ, подраздѣляется на четыре отдѣленія А, Д С и D. Первыхъ два отдѣленія, А и В. являются продолженіемъ отдѣленія А перваго цикла. Отдѣленія С и D представляютъ продолженіе отдѣленія В перваго цикла, при чемъ въ С преподается обязательно латинскій языкъ, отъ обязательнаго изученія котораго освобождаются ученики въ отдѣленіи D. Наконецъ, послѣдній третій годъ второго цикла распадается на два подраздѣленія: классъ философіи, А и В, и классъ математики, А и В.

Существенная разница послѣднихъ классовъ заключается въ слѣдующемъ:

Въ классѣ философіи предназначается 1 часъ въ полугодіе на космографію и всего 2 часа въ недѣлю на математику (изученіе которой является однако необязательнымъ по послѣднимъ постановленіямъ), философія же преподается 8—9 часовъ въ недѣлю.

Между тѣмъ въ классѣ математики отводится 8 часовъ въ недѣлю на преподаваніе математики, и всего 3 часа въ недѣлю предназначается для преподаванія философіи. Кромѣ того въ классѣ математики два часа въ недѣлю ведутся практическія занятія по естественнымъ наукамъ, и сверхъ двухъ обязательныхъ часовъ геометрическаго черченія вводится два необязательныхъ часа для рисованія орнаментовъ. Наконецъ, подраздѣленія А и В различаются между собой, но не значительнымъ образомъ, въ отношеніи преподаванія языковъ.

Я не стану вдаваться въ детальныя подробности распредѣленія часовъ во всѣхъ классахъ, характеризующія особенности каждаго частичнаго подраздѣленія средней школы. Различіе выражается въ большемъ или меньшемъ числѣ часовъ, предназначенныхъ для преподаванія математики, физики и химіи. Эти свѣдѣнія лучше всего получить изъ таблицъ распредѣленія занятій во всѣхъ классахъ1).

Изъ приведенныхъ краткихъ указаній ясно, что въ средней школѣ строго проводится спеціализація, которая ярко выражается въ послѣднемъ седьмомъ классѣ, распадающемся на двѣ спеціальности.

Главная цѣль настоящей статьи заключается въ обсужденіи преподаванія математическихъ наукъ въ средней школѣ и тѣхъ идей, которыя въ него положены.

1) Интересно отмѣтить фактъ, что, несмотря на спеціализацію, вездѣ проводится идея совмѣстнаго преподаванія предметовъ для учениковъ различныхъ отдѣленій, или во время всего прохожденія программы или даже тѣхъ частей программъ, которыя совпадаютъ для различныхъ отдѣленій. Этимъ достигается нѣкоторая денежная экономія.

Интересно и важно отмѣтить, что весь духъ, господствующій во французской школѣ, создаетъ условія особенно благопріятныя для преподаванія и изученія точныхъ математическихъ наукъ.

Начиная съ первоначальныхъ ступеней обученія для дѣтей, отъ 4-хъ лѣтняго до предѣльнаго 7-лѣтняго возраста, введены такъ называемые предметные урока (leçons des choses). Цѣль ихъ познакомить ребенка съ самыми элементарными практическими свѣдѣніями и побуждать дѣтей замѣчать, наблюдать и сравнивать. Уроки эти продолжаются всѣ четыре года низшей школы, постепенно расширяя умственный кругозоръ ребенка. При этомъ преподавателю вмѣняется въ обязанность пріучать ребенка къ порядку и послѣдовательности въ разсмотрѣніи и изученіи предложенныхъ его вниманію предметовъ. На урокахъ рисованія, начиная съ дѣтскаго сада, ребенку предлагаются такія заданія, которыя должны возбуждать его любознательность и развивать наблюдательность.

При такой благопріятной обстановкѣ, ребенокъ начинаетъ, съ дѣтскаго сада учиться счету въ умѣ на сложеніе и вычитаніе, въ предѣлахъ первой сотни, и тремъ первымъ ариѳметическимъ дѣйствіямъ, на бумагѣ, надъ двухзначными числами. Ребенокъ вмѣстѣ съ тѣмъ знакомится съ цѣлыми мѣрами: метръ, франкъ, литръ и упражняется въ наглядныхъ способахъ самыхъ простыхъ измѣреній. Одновременно ребенокъ чертитъ прямыя линіи и самыя простыя упражненія на клѣтчатой бумагѣ.

Съ такой подготовкой ребенокъ переходитъ въ низшую школу, въ которой остается четыре года до предѣльнаго возраставъ 11— 13 лѣтъ. Въ теченіи своего пребыванія здѣсь, ученикъ постепенно учится, главнымъ образомъ практически, четыремъ ариѳметическимъ дѣйствіямъ надъ числами, десятичнымъ и простымъ дробямъ, изучаетъ метрическую систему съ ея кратными и дробными подраздѣленіями, простое тройное правило и правило простыхъ процентовъ. Характерно, что, въ программахъ, всѣ предыдущія свѣдѣнія не носятъ названія, ариѳметика или математика, но понимаются подъ однимъ словомъ, счетъ (calcul).

(Продолженіе слѣдуетъ).

Задачи.

144. Найти сумму п членовъ ряда.

145. Даны два отрѣзка. Измѣнить ихъ на такую длину, чтобы произведеніе ихъ стало равно &2, гдѣ k есть новый данный отрѣзокъ. (Рѣшеніе требуется чисто геометрическое).

И. Александров].

146. Въ данный кАВС вписать четыреугольникъ ХУ ZU съ данными углами такъ, чтобы yZ=XY + ZU.

Его-же

147. Данъ отрѣзокъ и точка на немъ. Найти геометрическое мѣсто точекъ пересѣченія касательныхъ проведенныхъ изъ концовъ отрѣзка къ кругу, касающемуся его въ данной точкѣ. Разсмотрѣть случай, когда точка дана на продолженіи отрѣзка.

В. Добровольскій.

148. Данный листъ бумаги въ формѣ квадрата разрѣзать на возможно меньшее число частей такь, чтобы ими можно было оклеить кубъ, полная поверхность котораго равновелика площади даннаго квадрата.—Рѣшить ту-же задачу, если листъ бумаги данъ въ формѣ правильнаго шестиугольника или равносторонняго треугольника.

А. Сергѣевъ

149. Найти сумму п членовъ ряда

и опредѣлить предѣлъ суммы при п = оо.

Его-же.

150. Показать (безъ помощи тригонометріи), что сумма перпендикуляровъ, опущенныхъ изъ центра круга описаннаго около треугольника, на его стороны, равна суммѣ радіусовъ круговъ вписаннаго въ него и описаннаго.

С. Кудинъ.

Рѣшенія задачъ.

78. Рѣшить систему уравненій.

Пусть X = X2, у = У2, а = Z-. Поставляя эти значенія х, у, въ уравненія и извлекая изъ обѣихъ частей каждаго уравненія квадратный корень получимъ

(1)

(2)

(3)

Знаки въ правыхъ частяхъ уравненій можно комбинировать различнымъ образомъ. Разсмотримъ сначала систему уравненій съ положительными правыми частями. Складывая ур. (1) со (2) и (2) съ (3), а затѣмъ всѣ три уравненія, получимъ систему:

откуда

Комбинируя различнымъ образомъ уравненія (I) и (II) съ (III) и (IV) и присоединяя ур. (V), получимъ 4 различныхъ системы уравненій 1-ый степени, рѣшенія которыхъ будутъ слѣдующія:

рѣшенія же данной систамы будутъ соотвѣтственно:

Беря въ правыхъ частяхъ ур. (1), (2) и (3) другія комбинаціи знаковъ, получимъ новыя системы, отличающіяся отъ разсмотрѣнной знаками у коэффиціентовъ а, Ъ. с. Легко видѣть, что и соотвѣтствующія рѣшенія могутъ быть получены изъ найденныхъ перемѣною знаковъ у а, 5, с. Но это не вліяетъ на значенія ж, у, я, такъ что найденными значеніями этихъ неизвѣстныхъ исчерпываются всѣ системы рѣшеній данной системы уравненій.

В. Кованько (ст. Струнино), Н. Щетининъ (Москва),

98. Показать, что при х и с положительныхъ функція у = і———\ возрастаетъ при возрастаніи х.

Составимъ производную функціи у. Прологариѳмируемъ обѣ части равенства.

дифференцируя имѣемъ:

Отсюда имѣемъ

Множитель I-----I положителенъ при положительныхъ с и X. То же самое можно сказать о величинѣ ^ ^х)—. Но величина есть величина отрицательная. Покажемъ, что все выраженіе, заключенное въ квадратныхъ скобкахъ есть величина положительная. Мы представимъ эти выраженіе въ слѣдующемъ видѣ.

Если докажемъ, что 1, то отсюда будетъ слѣдовать, что

іс Х)Х

Разложимъ е въ рядъ и ограничимся тремя первыми членами.

Отбрасывая положительные члены мы уменьшаемъ величину суммы ряда. Итакъ,

Взявъ — вмѣсто— мы еще болѣе уменьшимъ правую часть, слѣдовательно

Правая часть можетъ быть преобразована.

Отсюда слѣдуетъ, что производная у’ >> 0, т.-е. функція у возрастаетъ съ возрастаніемъ х и убываетъ съ убываніемъ х.

И. Евдокимовъ (Шуя). Д. С. (Харьковъ), Н. Щетининъ, Н. Фуксъ (Москва)..

105. Суммировать ряды

а) Изъ тождества

находимъ

Слѣдовательно:

Складывая почленно эти тождества, находимъ:

в) Изъ тождества

находимъ

слѣдовательно:

Складывая почленно эти тождества, найдемъ:

А. Бутомо (Богодуховъ), В. Литвинскій (Екатеринославъ), А. Сергѣевъ (Москва), И. Коровицкій (Спб.), В. Кованько (ст. Струнино), Н. Фуксъ (Москва). Е. (Харьковъ).

107. Рѣшить уравненіе

Представивъ данное ур. въ видѣ:

и полагая гу3 — 3у = х, получаемъ ур.

Слѣдовательно, данное ур. распадается на два:

Рѣшая первое ур., замѣтимъ, что поэтому имѣемъ:

или

откуда

Приравнивая нулю перваго множителя, найдемъ:

Приравнивая нулю второго множителя, получимъ

или по упрощеніи

Поступая аналогично со вторымъ изъ уравненій (А), найдемъ еще три рѣшенія:

2-е рѣшеніе. Кубическія уравненія (А) допускаютъ еще тригонометрическое рѣшеніе. Дѣйствительно, замѣчая, что

и положивъ въ ур. (А) y = 2cs(p, будемъ имѣть:

Acs3<p— Scstp = cs 72° и 4:CS3q) — 3cs<p = csl44°, иначе cs3 w — es 72°; cs3 <p = es 144°.

Изъ этихъ уравненій легко найти значенія <р, а затѣмъ и

у = 2cs<p.

К. Верещагинъ (Козловъ), М. Гребенча (Николаевъ), В. Лебедевъ (Омскъ), А. Колесина, М. Орбекъ, А. Сергѣевъ (Москва), Д. Синцовъ (Харьковъ), В, Сѣверный (Тула), Флавіанъ Д.. (Спб.), Н. Щетининъ (ТѴІосква).

108. Опредѣлить объемъ тѣла, полученнаго отъ вращенія сегмента вокругъ діаметра, параллельнаго его хордѣ, и показать, что этотъ объемъ зависитъ лишь отъ длины хорды.

Обозначимъ радіусъ круга чрезъ І2, а длину вращающейся хорды чрезъ 2/е; тогда разстояніе той-же хорды отъ центра круга будетъ У R1 — к2. Опредѣляемый объемъ равенъ объему шара радіуса Я безъ суммы объемовъ цилиндра, описываемаго хордой,

и двухъ прилегающихъ къ цилиндру шаровыхъ сегментовъ. Вычисляя по извѣстнымъ формуламъ объемы всѣхъ названныхъ тѣлъ, найдемъ, что искомый объемъ равенъ:

что послѣ упрощеній дастъ

т.-е. искомый объемъ равновеликъ объему шара, имѣющаго данную хорду діаметромъ, и, слѣдовательно, онъ не зависитъ отъ радіуса вращающагося круга.

К. Верещагинъ (Козловъ), М. Гребенча (Николаевъ), И. Евдокимовъ (Шуя), В. Кованько (ст. Струнино), М. Колесина (Москва), В. Лебедевъ (Омскъ), В. Литвинскій (Екатеринославъ), М. Орбекъ (Москва), А. Ройзманъ (Смоленскъ,), А. Сергѣевъ (Москва), Флавіанъ Д. (Спб.), Н. Щетининъ (Москва). В. Чичеринъ (Ярославль), Н. Фуксъ (Москва).

112. Найти наименьшее значеніе цѣлаго положительнаго числа п, для котораго имѣетъ мѣсто неравенство Pkn^>Pk^-ъ гдѣ Pt — Jc-oe абсолютно простое число.

Такъ какъ между pk и 2pk, согласно теоремѣ Чебышева, всегда имѣется абсолютно простое число, т.-е. pk <iPk-и <С %Pk и такъ какъ Pk1 > 2Bk, то Pk2 Pk-ti- Слѣдовательно наименьшее значеніе для п = 2.

А. Сергѣевъ (Москва).

Среди математическихъ журналовъ.

Н. Агрономовъ. Ревель.

На послѣднемъ съѣздѣ преподавателей математики I. И. Чистяковъ, въ своемъ докладѣ объ иностранныхъ математическихъ журналахъ, отмѣтилъ то значеніе, которое имѣютъ указанные журналы для преподавателя средней школы. Но, къ сожалѣнію, не всякій въ состояніи по многимъ причинамъ слѣдить за этими журналами. Своими обзорами составитель ихъ намѣренъ придти на помощь преподавателю математики въ этомъ отношеніи.

Въ этихъ обзорахъ въ возможно краткой формѣ будетъ излагаться все наиболѣе интересное, появляющееся въ тѣхъ журналахъ, которые могутъ быть интересны для преподавателя математики.

Въ январьской книжкѣ журнала „Mathesis“ мы находимъ статью J. Neuberg-a „Sur un théorème de Casey“. Въ ней доказывается слѣдующая теорема: На нѣкоторой прямой даны четыре точки A,B,C,D, находящіяся въ гармоническомъ отношеніи.

Если на отрѣзкахъ AB и CD опишемъ, какъ на діаметрахъ, двѣ окружности AB и CD и обозначимъ черезъ а уголъ между двумя этими окружностями, то

Эта теорема была предложена безъ доказательства Casey.

Въ отдѣлѣ „Notes mathématiques“ интересно тождество Е. N. Barisien-a.

а4 + М + (а + Ь)4 = (а2 + аЪ + Ъ2)2 + аѢ2 + а2 (а + Ь)2 -+ 62 (а + Ь)2,

дающее возможность рѣшить въ цѣлыхъ числахъ неопредѣленное уравненіе

^ + ^ + ^ = 11*4 ѵ2 + ю2-\ Г2

Въ томъ-же отдѣлѣ мы находимъ слѣдующую теорему Jangulescu: „Если п-\- 3 послѣдовательныхъ члена алгебраическаго уравненія имѣютъ коэффиціентами

Дм«), А«1 ), -ЯИя + 2),

гдѣ Дгб) обозначаетъ цѣлую функцію «-ой степени, а м,, «2,... нѣкоторыя числа, то уравненіе имѣетъ не одни только вещественные корни“.

Въ отдѣлѣ задачъ мы находимъ рѣшеніе слѣдующей интересной задачи Sanjana: „на сторонахъ ВС, С А, AB треугольника АВС можно всегда опредѣлить три точки Ах, Вх, Сх, такія, что треугольники АВХСХ, ВСХАХ, САУВХ имѣютъ одну и ту же площадь. Требуется найти огибающія прямыхъ ВХСХ, СХАХ, АХВХ и геометрическія мѣста центровъ описанныхъ круговъ тр-ковъ АВХСХ, ВС,АХ, САХВХ, АХВХС" Огибающими оказываются три параболы (Артца), геометрическими мѣстами центровъ—три прямыя и кривая 3-го порядка съ одной двойной точкой. Кромѣ того, ортоцентры тр-ковъ АВХСх, ВСХАХ, САХВХ, описываютъ директриссы трехъ упомянутыхъ параболъ.

Изъ № 1 журнала „Intermédiaire des matématiciens“ интересно слѣдующее. Въ отвѣтъ на вопросъ 3762 сообщается, что W. Meissner нашелъ рѣшеніе сравненія

2пЛ — 1=0 (modn2),

а именно п = 1093.

Въ отвѣтъ на вопросъ 4264 дается слѣдующее тождество Е. Fauquembergue

(2а2 — 15 aß — 4£2)4-f (4а2-|-15 aß — 2/22)4 = (4а2 4- 9а/? + 4/92)4 + (4а4 + -f- 132a2ß -f 17а2#2 -f- 132aß2 + 4/?4)2

позволяющее рѣшить уравненіе х* -\-у* = х14 ~f- .Ѵі4 въ цѣлыхъ числахъ, при условіи выбора а и ß такими, чтобы послѣдній полиномъ обращался въ полный квадратъ.

Въ отвѣтъ на вопросъ 4265 мы находимъ слѣдующее рѣшеніе L. Aubry. Уравненіе xm-\-yni = zn всегда разрѣшимо, если т и п числа взаимно простыя. Въ самомъ дѣлѣ, въ этомъ случаѣ по— ши = 1, гдѣ о и и нѣкоторыя числа. Пусть х = Аиа, у = АиЪ, z=Av, при условіи, что ат-\-Ът = А Тогда .х, у, ъ будутъ рѣшеніями нашего уравненія.

Въ отвѣтъ на вопросъ 4271 J. Maurin даетъ рѣшеніе слѣдующей системы уравненій: хъ—5y2=z2\ х2-\-Ъу2=Ь2\ именно х = -f- 25гц4;

гдѣ aq —41/c; y1 = l2k] z1 = 31k, tx = 49/c (aq, yx, z1, ^ суть также рѣшенія системы). Аналогично рѣшается и система ,х2— ny2 = z2; X2 -f Mt/2 — £2.

Въ отвѣтъ на вопросъ 4299 G. Métrod указываетъ, что при всякомъ X числа ах Ь\ а'х + Ъ' суть взаимно простыя при всякой системѣ счисленія, если

ab' — a'b = it-1.

Въ январьскомъ номерѣ журнала „Supplemento al periodico di matematica“ мы должны отмѣтить нѣкоторыя уравненія изъ печатаемаго сборника задачъ Е. Barisien-a. Всѣ эти уравненія путемъ раскрытія скобокъ и несущественныхъ преобразованій приводятся къ простому виду. Таковы уравненія:

I) (4ж4 + 2а V2 — За4)2 + (4х4 — 2аV2 — За4)2 + (2ах)2 — (2я2)4 = Ь8 Это ур-ніе приводится къ уравненію (За4)2 (4я4 — За4)2 = 58

II) - -9 J---і—о— = (х2 -ц а-) (х — а)2 Ь4 -f- а4#4

Это ур-ніе приводится къ ур-нію (х2 -|- а2) (# — а)2 [(#—а) (я3 -)- а3)—

— 54] = 0

III) (х2 4- ах)2 -j- (ах + а2)2 -f- а2х2 = ІА По раскрытіи скобокъ получаемъ (х2 -[- ox -f- а2)2 = 54 IV) а3(х3 -f- а3)3 -j- #3(#3 — а3)3 -f- а3(2ж3 а3)3 = О

По раскрытіи скобокъ получаемъ х3 (;х3 -f- 2а3) = О Въ томъ-же номерѣ помѣщено рѣшеніе конкурсной задачи:

рѣшить уравненіе х6 ря3 -f- q#2 + ~ = О (V. Correnti). Полагая X — и -|- V, имѣемъ для опредѣленія х систему уравненій и3 -f- ѵ3 =

Въ отдѣлѣ рѣшенія задачъ заслуживаетъ вниманія теорема (№ 1308) В. Manenti: обозначая черезъ А площадь треугольника со сторонами а, Ь, с и черезъ \ площадь треугольника, имѣющаго вершинами точки, симметричныя съ ортоцентромъ по отношенію къ сторонамъ, имѣемъ, что

Тамъ же дается рѣшеніе слѣдующей задачи (№ 1323) С. Zarafirescu: треугольникъ АВС, описанный около круга съ центромъ О, измѣняется подъ условіемъ, что О А. OB. ОС=р3. Найти геометрическое мѣсто центра круга, описаннаго около треугольника АВС. Искомое геометрическое мѣсто есть кругъ съ центромъ О и радіусомъ1^ (Р3 — 8г3)р.

Въ № 1 журнала „Zeitschrift für mathematischen und natiirvissenschaftlichen Unterricht“ напечатаны двѣ статьи методическаго содержанія по математикѣ, анализъ коихъ не входитъ въ задачу нашихъ обзоровъ, и рѣшеніе задачи по аналитической геометріи, не представляющей особаго интереса.

Въ февральской книжкѣ журнала „ Ma thesis“ мы находимъ статью Е. Lienard „А propos d’un théorème d’algèbre“ Она посвящена слѣдующей теоремѣ Lemoyne: радикальныя оси подарныхъ круговъ каждой изъ точекъ М какой нибудь трансверсали t по отношенію къ треугольнику А1А2А3, проходятъ черезъ постоянную точку w.

Тамъ же помѣщена статья Agronomof-a, цосвященная геометріи треугольника „Sur quelques triples de cercles“. Въ ней разсматриваются свойства круговъ, связанныхъ съ точкой М треугольника АВС и параллелями къ сторонамъ, проведенными черезъ эту точку.

Въ отдѣлѣ задачъ мы встрѣчаемъ рядъ интересныхъ теоремъ. Такова, напримѣръ, теорема Goormaghtigh: точки нѣкоторой окружности, обладающія тѣмъ свойствомъ, что произведеніе разстояній ихъ отъ діаметра AB и касательной къ А есть maximum, суть двѣ точки С и В, образующія съ точкой А равносторонній треугольникъ. P. de Lepiney принадлежитъ такая теорема

Въ отдѣлѣ „Questions d’examen“ интересна теорема С. М. Ross: если

Библіографическій отдѣлъ.

Новый журналъ. Съ Сентября 1914 года Въ Москвѣ предполагается изданіе новаго журнала „Математическій Вѣстникъ“.

Этотъ журналъ ставитъ своею цѣлью: 1) разработку вопросовъ методики какъ ариѳметики въ начальной школѣ, такъ и алгебры и геометріи, имѣя въ виду городскія и имъ подобныя училища и отчасти среднія учебныя заведенія, 2) сообщеніе читателямъ въ формѣ, доступной для лицъ и не обладающихъ высшимъ математическимъ образованіемъ, матеріала для пополненія и углубленія ихъ математическихъ знаній.

Программа: 1) Вопросы о постановкѣ курса математики въ начальной и средней школахъ и вопросы методики математики. 2) Вопросы и задачи математическаго содержанія. 3) Свѣдѣнія о книгахъ по математикѣ и ея методикѣ. 4) Математическая хроника. 5) Объявленія.

Журналъ будетъ выходить 8 разъ въ годъ (по 4 книжки въ полугодіе), объемомъ каждая книжка 1Ѵ2—2 листа.

Подписная цѣна на годъ 2 руб., на Ѵ2 года 1 руб., а для гг. учащихъ въ начальныхъ школахъ, при условіи непосредственнаго обращенія въ редакцію, на 1 годъ 1 руб. 70 к. и на 1/2года 85 коп. Цѣна отдѣльнаго номера 30 коп. Адресъ редакціи: Москва, Гороховскій пер. д. 23, кв. 9. Редакторъ-издатель Н. А. Извольскій.

Новыя книги:

Сборникъ программъ и инструкціи по преподаванію математики въ З. Европѣ. Вып. I подъ ред. проф. Д. М. Синцова. Изд. И. Д. Сытина. М. 1914. Ц. I р. 25 к.

Проф. Г. Тимердингъ. Математика въ учебникахъ физики. М. 1914. Изд. И Д. Сытина. Ц. 60 к.

С. Н. Поляковъ. О значеніи математики какъ основы мышленія и общаго образованія. Серг. Пос. 1914. Ц. 25 к.

Прив.-доц. С. Слугиновъ. Фюзіонистское теченіе въ геометріи. Казань. 1914. Ц. 20 к.

А. В. Туфановъ. Практическое руководство по ариѳметикѣ и геометріи въ 1-й годъ обученія. Спб.-Варшава. 1914 Ц. 30 к.

А. А. Эйхенвальда Акустика и Оптика (Конспектъ лекцій). М. 1914. Ц. 2 р. Ариѳметика Магницкаго. Точное воспроизведеніе подлинника. Вып. I. Изд. П. Баранова. М. 1914. Д. 80 к.

Русскій астрономическій календарь-ежегодникъ на 1914-й г Нижній-Новгородъ. Ц. 60 к.

А. П. Павловъ. Методика нагляднаго обученія счисленію простыхъ дробей. Изд. 2-еиспр. и доп. Тифлисъ. 1914. Ц. 50 к.

Д. А. Крыжановскій. Обобщенное опредѣленіе предѣла и его приложенія. Одесса. 1914.

А. Н. Динникъ. О колебаніи струны перемѣнной плотности. Екатеринославъ. 1914.

„Временникъ“ Общества содѣйствія успѣхамъ опытныхъ наукъ и ихъ практическихъ примѣненій имени Х. С. Леденцова. М. 1910—1913.

Сельскохозяйственное образованіе. Журналъ, издаваемый Уч. Бюро Ученаго Комитета Главнаго Управл. Землеустройства и Земледѣлія. Спб. 1914. № 1.

А. Д. Агура, прив.-доц. Новороссійск. Унив Курсъ алгебры для среди, уч. заведеній. Ч. I. Одесса. 1911. Ц 75 к.

К. Ѳ. Лебединцевъ. Методъ обученія математикѣ въ старой и новой школѣ. Собраніе статей по вопросамъ преподаванія математики. М. 1914 Ц. 55 к.

Коммерческая школа и жизнь. Органъ, посвященный вопросамъ коммерч. образованія и общественно-экономической жизни Спб. 1913—14. №№ 1 и 2.

Отвѣтственный редакторъ I. Чистяковъ.