Математическое Образованіе.

Журналъ Московскаго Матгматическаго Кружка

Годъ третій.

№ 2

Февраль 1914 г.

МОСКВА.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

„Математическое Образованіе“

Февраль 1914 г. Годъ 3-й. № 2.

СОДЕРЖАНІЕ: Принципъ экономіи въ математикѣ.—А. В. Васильевъ. Объ указаніяхъ, получаемыхъ преподаваніемъ математики отъ ея исторіи. — В. В. Бобынинъ. Запросы преподавателя физики въ области математики.—А. I. Бачинскій. О подготовкѣ преподавателей математики —А. Синцовъ. О суммѣ цифръ всѣхъ чиселъ по N включительно.—Н. Агрономовъ. Величины и числа.—Отто Штольцъ; пер. Р. Гольцбергъ Задачи. Рѣшенія задачъ. Библіографическій отдѣлъ. Засѣданіе Московскаго Математическаго Кружка 23 января 1914 года. Опредѣленіе Учебнаго Комитета при Канцеляріи по учрежденіяхъ Императрицы Маріи. Отъ Организаціоннаго Комитета 2-го всероссійскаго съѣзда преподавателей математики. Новыя книги.

Принципъ экономіи въ математикѣ.

А. В. Васильевъ. С.-Петербургъ.

Докладъ, читанный въ, общемъ собраніи 2-го Съѣзда преподавателей математики 31 декабря 1913 г.

Исторія математической мысли, разсматриваемая въ ея цѣломъ, представляетъ собою побѣдное шествіе обобщающей и стремящейся впередъ способности человѣческаго духа. Это одинаково справедливо, будемъ-ли мы разсматривать исторію ученія о числѣ, или-же исторію геометріи. Ариѳметика цѣлыхъ чиселъ и дробей съ числителемъ 2 или 1, которую мы находимъ въ извѣстномъ папирусѣ Ahmes, превращается у греческихъ геометровъ въ ученіе о величинахъ вообще (соизмѣримыхъ и несоизмѣримыхъ); въ эпоху возрожденія къ этому ученію присоединяется ученіе о величинахъ, направленныхъ въ двѣ противоположныя стороны и тогда-же вводятся мнимыя или комплексныя числа, теорія которыхъ и заканчивается въ началѣ XIX вѣка. XIX вѣкъ создаетъ теорію чиселъ гиперкомплексныхъ и полагаетъ начало теоріи трансфинитныхъ, безъ которыхъ невозможно построеніе общей теоріи роста функцій. Такое-же стремленіе къ обобщенію показываетъ намъ и исторія другой вѣтви математики-геометріи. Изъ ученія объ измѣреніи площади прямолинейныхъ фигуръ и объемовъ нѣкоторыхъ простыхъ тѣлъ, которое находимъ въ томъ-же учебникѣ Ahmes’a, она превращается съ одной стороны въ ученіе объ измѣреніи площадей криволинейныхъ фигуръ и объемовъ круглыхъ тѣлъ, съ другой стороны—въ ученіе о формахъ. Она объединяетъ введеніемъ мнимыхъ и безконечныхъ элементовъ, формы различныя между собою. Введеніемъ понятія объ абсолютѣ она дѣлаетъ всю геометрію мѣры частнымъ случаемъ общей геометріи положенія или проективной, объединяетъ съ одной общей точки зрѣнія гипотезы остраго, прямаго и тупаго угла или другими словами геометріи Лобачевскаго, Евклида и Риманна. Изу-

ченіе группъ проективныхъ преобразованій обобщается въ изученіе общей теоріи группъ съ одной стороны, съ другой стороны, привычный элементъ пространства —точка—замѣняется элементомъ плоскость или прямая и получается принципъ дуализма; но обобщеніе понятія объ элементахъ на этомъ не останавливается. Плюкеръ беретъ въ пространствѣ за элементъ прямую линію, Софусъ Ли—шаръ. И наконецъ въ извѣстномъ учебникѣ Вебера-Велльштейна или въ трудахъ нашего знаменитаго геометра и кристаллографа Е. С. Ѳедорова, въ Клебшевской теоріи коннексовъ Вы можете познакомиться съ тѣмъ, какое широкое значеніе придается въ настоящее время понятію геометрическаго элемента. Послѣдовательное обобщеніе ученія о числахъ съ одной стороны, геометріи съ другой, приводитъ наконецъ къ созданію дисциплинъ, которыя объединяютъ обѣ доктрины. Такими объединяющими дисциплинами являются ученіе о группахъ, ученіе Риманна и Грассмана о многообразіяхъ (небольшой участокъ котораго составляетъ наша геометрія), Канторовское ученіе о множествахъ.

Но мнѣ кажется, г-да, я не ошибусь, если скажу, что это шествіе впередъ является результатомъ дѣйствія двухъ силъ, дѣйствующихъ въ противоположномъ направленіи — полета математической обобщающей фантазіи и сдерживающей эту фантазію силы, которую можно назвать, говоря языкомъ современной физической химіи, силою пассивнаго сопротивленія. Математическая фантазія не знаетъ предѣловъ. .„Auch wir sind Dichter“—и мы — поэты—любилъ говорить мой незабвенный учитель Леопольдъ Кронекеръ. Онъ даже сочинилъ стихи:

Nonne mathematici veri natique poetae

Sunt, sed quod fingunt hosce probare decet!

Но кромѣ этой необходимости доказывать истины подсказанныя фантазіей, дѣйствуетъ и та другая потребность, которая и сопротивляется слишкомъ большому и смѣлому уклоненію въ область фантазіи: потребность связать новое со старымъ, воспользоваться памятью стараго, чтобы лучше запечатлѣть новое. Вотъ этой тенденціи по возможности сохранить старое, тенденціи экономизировать нашу память и наши умственныя силы, не слишкомъ часто ставить ихъ на новые рельсы — два изъ ученыхъ XIX столѣтія придали значеніе общихъ апріорныхъ принциповъ, какъ бы нормативныхъ законовъ человѣческаго мышленія въ области математики и назвали ее „принципъ перманентности математическихъ или формальныхъ законовъ или отношеній“. Эти два ученые пришли къ своему взгляду, работая въ двухъ совершенно различныхъ областяхъ—Понселе—изучая построенія, можно сказать, элементарной геометріи и Пикокъ стремясь обосновать по возможности болѣе строго основанія алгебры.

Организаціонному Комитету угодно было предложить мнѣ взять темою докладъ—принципъ перманентности формъ Пикока-Ганкеля, но я позволилъ себѣ обобщить указанную тему—и привлечь Ваше вниманіе на нѣсколько минутъ къ вопросу болѣе

общему — принципу экономіи, ибо для меня несомнѣнно, что принципъ перманентности, стремящійся удержать по возможности старое и связать новое со старымъ, составляетъ ничто иное, какъ частный случай приципа экономіи.

Прежде всего позвольте сказать нѣсколько словъ о принципѣ экономіи вообще, какъ общемъ принципѣ научнаго мышленія. Какъ многія новыя идеи подтверждаютъ собою чей-то афоризмъ: новое то, что хорошо позабыто, такъ и идея принципа экономіи не очень нова. Когда извѣстный схоластикъ: Вильямъ Оккамъ говорилъ: „Entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem“, когда также мысли о необходимости ограничивать число гипотезъ и предположеній развивалъ Ньютонъ въ предисловіи къ Principia mathematica philosophiae naturalis, когда Лейбницъ примѣрялъ къ построенію научныхъ системъ то правило, по которому, какъ онъ думалъ, построенъ Божественною Силою міръ—minimo sumptu maximus effectus — они несомнѣнно имѣли въ виду принципъ экономіи, т. е. руководящее начало сбереженія памяти и умственныхъ силъ, которымъ также руководится мысль ученаго, какъ руководится стремленіемъ возможно болѣе сработать при наименьшей затратѣ силъ ремесленникъ или механикъ при конструкціи машины. И даже самое слово экономія — въ примѣненіи къ научному мышленію было еще за тридцать, по крайней мѣрѣ, лѣтъ до появленія интересныхъ статей Вѣнскаго физика и философа Маха, употреблено Огюстомъ Контомъ въ его Положительной Философіи. Но Маху принадлежитъ несомнѣнно заслуга болѣе точно формулировать и освѣтить принципъ экономіи и, что въ особенности интересно, привести его въ связь съ другими явленіями жизни представить его какъ слѣдствіе геніальныхъ мыслей Дарвина объ эволюціи организмовъ, о приспособленіи ихъ къ средѣ. Само открытіе Дарвина является примѣромъ, можетъ быть изъ наиболѣе поразительныхъ, того-же принципа экономіи. Въ чемъ заключается сущность принципа экономіи вообще? Въ стремленіи искать единое въ разнообразномъ, найти нѣчто постоянное въ мелькающемъ калейдоскопѣ явленій или въ разнообразіи математическихъ формулъ т. к. познать одно и подъ это одно подвести многое и съ виду разнообразное—значитъ быть экономнымъ, сохранить время и избавиться отъ лишней траты умственной энергіи. Поэтому-то наиболѣе важными моментами въ исторіи научнаго мышленія были тѣ моменты въ которыхъ находилась идея, охватывающая наиболѣе разнообразныя явленія съ новой точки зрѣнія. Такимъ моментомъ было открытіе закона большихъ чиселъ, опубликованнаго ровно двѣсти лѣтъ тому назадъ. — Такимъ-же моментомъ было появленіе сочиненій Дарвина, въ которыхъ идея эволюціи подтверждалась многочисленными фактами и эволюція объяснялась не особенною творческою силою организованной матеріи, но постоянно дѣйствующей способностью приспособленія. Законъ большихъ чиселъ объяснилъ правильность, наблюдаемую въ массовыхъ явленіяхъ самаго разнообраз-

наго характера отъ явленій хаотическаго движенія молекулъ до явленій соціальной жизни; идеи Дарвинизма охватили всю многосложную и разнообразную область явленій жизни. Должно было пройти болѣе 150 лѣтъ для того, чтобы значеніе закона большихъ чиселъ было достаточно понято и оцѣнено. Идеи Дарвина скоро проявили свое вліяніе. Великою заслугою Эрнста Маха и было примѣненіе идей Дарвинизма къ явленіямъ умственной жизни... Съ этой точки зрѣнія знаніе и наука, представляясь однимъ изъ проявленій жизни, представляютъ развитіе біологическаго явленія приспособленія и какъ дѣятельность всякаго организма, такъ и дѣятельность научно-организованнаго мышленія, идетъ въ направленіи, указываемомъ принципомъ экономіи. — Я ограничиваюсь только этими бѣглыми указаніями, отсылая васъ ко многимъ сочиненіямъ и статьямъ, въ которыхъ Махъ неоднократно разъяснялъ сущность принципа, къ его „Механикѣ“, къ его „Познанію и заблужденію“ и его популярнымъ очеркамъ.

Въ чемъ-же заключается принципъ экономіи въ математикѣ?

Экономія въ математикѣ проявляется прежде всего въ томъ-же, въ чемъ она проявляется во всѣхъ наукахъ—въ употребленіи логическихъ выводовъ.

Но математика не совпадаетъ вполнѣ со всякимъ дедуктивнымъ выводомъ изъ посылокъ (опредѣленіе, которое ей даетъ въ послѣднемъ изданіи Encyclopedia Brittanica въ статьѣ Уайтхэда). Она отличается отъ другихъ дедуктивныхъ выводовъ употребленіемъ символовъ, и вотъ это употребленіе символовъ и является прекрасною иллюстраціею принципа экономіи...

Въ элементарной ступени школы педагоги должны постараться выяснить это великое экономическое значеніе цифръ и символа 0, введеніе котораго такъ далеко хронологически отстояло отъ введенія прочихъ цифръ. За этими символами, необходимыми для дѣйствій надъ опредѣленными числами, слѣдуютъ символы, обозначающія какія-либо величины, и безъ которыхъ невозможны теорія операцій надъ числами и величинами. Какой видъ имѣла бы алгебра если-бы формула

(a-f Ь)2 = а2 + 2аЬ + Ь2

выражалась-бы безъ символовъ. И поэтому задолго до изобрѣтенія символовъ алгебры уже имѣлись символы иного рода. Индійскіе математики нарисовавши геометрическій чертежъ выражающій ту или другую теорему прибавляли внизу слова „смотри“.— Это крайнее проявленіе интуиціи, недавно еще приводившее въ умиленіе такого крупнаго мыслителя, какъ Шопенгауера. Въ сочиненіи появившемся нѣсколько лѣтъ тому назадъ, восхищающемъ однихъ, возмущающемъ другихъ даже самымъ своимъ кощунственнымъ завлавіемъ: „Principia mathematica“, Рессель и Уайтхедъ даютъ опредѣленіе единицы, выражающееся цѣлою строчкою и съ употребленіемъ 10 различныхъ символовъ. — Это

крайнее проявленіе логики. Между этими двумя крайностями много промежуточныхъ степеней, и вотъ на одну изъ такихъ я всегда считалъ своею обязанностью обращать вниманіе своихъ слушателей и думаю, что хорошо поступалъ. Тѣ преподаватели, которые при изложеніи основанія алгебры или при изученіи измѣренія прямоугольниковъ познакомятъ учениковъ съ 2-ою книгою Евклида — этою алгеброю древнихъ, облеченною въ геометрическую форму, гдѣ символами произвольной величины являются прямолинейные отрѣзки, а символами ихъ произведеній— являются площади прямоугольниковъ, гдѣ формула

{а 4- Ъ)2 = а2 -|- 2ab -|- b2 и подобныя являются въ наглядной формѣ, рѣзко отпечатлѣвающейся въ памяти.

Но на этой первой ступени не остановилось развитіе математической символистики даже у Грековъ. Такъ у Діофанта мы уже имѣемъ символическое обозначеніе неизвѣстной и ея степеней опредѣленными словами (нѣчто подобное мы имѣемъ даже въ упомянутомъ выше Египетскомъ Папирусѣ, гдѣ неизвѣстная всегда обозначалась словомъ hau—(куча). Интересно, что въ то же самое время въ логическихъ сочиненіяхъ, напр. въ Аналитикахъ Аристотеля, объекты мысли уже обозначались не словами, а буквами. Отсюда близокъ былъ переходъ къ великому открытію французскаго математика Віеты, который въ концѣ ХVI столѣтія сталъ числа обозначать буквами. Что Віета понималъ все значеніе своего нововведенія, видно изъ того, что онъ рѣзко отдѣлилъ двѣ науки: Logistica numerosa и Logistica speciosa. Первая имѣетъ дѣло съ вычисленіями надъ опредѣленными числами и есть ариѳметика. Вторая имѣетъ дѣло со species—формами, которыя могутъ принимать тѣ или другія конкретныя численныя значенія.

Около того же времени были введены и символы операцій и равенствъ, т.-е. почти была установлена современная алгебраическая символистика. Декарту можно было подчинить этому готовому символическому аппарату законы геометрическихъ формъ. Геометрія вошла какъ часть въ науку о количествахъ и числахъ. Интересно, какъ глубоко понималъ самъ Декартъ значеніе своей научной революціи, какъ ее называлъ О. Контъ. Сохранилось въ его дневникѣ слѣдующее любопытное мѣсто: „Науки въ ихъ настоящемъ видѣ ходятъ замаскированными; чтобы онѣ явились въ полной своей красотѣ, нужно сорвать съ нихъ маску и тогда цѣпь наукъ представится рядомъ чиселъ“. Я считаю излишнимъ останавливаться дальше какъ на алгебраической символистикѣ, такъ и на символистикѣ ученія о функціяхъ. Везъ этой символистики невозможна была бы величайшая гордость человѣческаго ума—математическое естествознаніе, помогшее намъ въ эти послѣдніе годы проникнуть не только въ зернистое строеніе веществъ, но и самыя зерна разложить на скопленія электроновъ. Чему въ самомъ дѣлѣ мы обязаны одновременнымъ опредѣленіемъ отношенія заряда электрона къ массѣ и скорости, съ которою движется электронъ, какъ не тому, что мы можемъ написать два совмѣстныхъ уравненія, въ которыхъ всѣ величины, кромѣ этихъ двухъ, извѣстны, т. е. доступны непосредственному измѣренію.

Я не буду поэтому останавливаться на вычисленіи экономическаго значенія понятія о функціи, о связанныхъ съ нимъ символахъ, тѣмъ болѣе, что вчера въ своемъ докладѣ приватъ-доцентъ С. Н. Бернштейнъ останавливался на табличномъ характерѣ функціи. Дѣйствительно, что такое функція Sinx, какъ не сокращенное символическое обозначеніе, замѣняющее цѣлый томъ таблицъ, гдѣ каждому значенію х противостоитъ соотвѣтствующее значеніе Sinx

Я тороплюсь перейти къ новой ступени символистики, гдѣ знаки операцій, обычные знаки операцій алгебры примѣняются въ болѣе общемъ значеніи чѣмъ то, которое они имѣютъ, когда дѣло идетъ о сложеніи или умноженіи двухъ величинъ—скалярныхъ величинъ, выражаясь точнѣе. Именно эта ступень символистики находится въ тѣсной связи съ тѣмъ частнымъ случаемъ принципа экономіи, который носитъ названіе приципа перманентности формъ математическихъ законовъ или короче формальныхъ законовъ. Если великою заслугою Декарта является подчиненіе геометрическихъ формъ числовымъ законамъ, подобно тому какъ Галилей подчинилъ числовому закону движеніе падающаго тѣла; если Декартъ, стоя на своей точкѣ зрѣнія, могъ видѣть въ знаменитой теоремѣ Дезарга какъ бы шагъ назадъ, „метафизику геометріи“, какъ онъ выразился въ своемъ письмѣ къ Мерсенню 9 янв. 1639, то идея о математикѣ болѣе общей, чѣмъ ученіе о величинахъ и ихъ функціональныхъ зависимостяхъ, идея объ общихъ операціяхъ, отличныхъ и по существу и по свойствамъ отъ операцій сложенія и умноженія, принадлежитъ всецѣло великому Лейбницу. Декартъ признавалъ только ясныя и раздѣльныя идеи; ихъ ясность очевидна для насъ, которые мечтаютъ о томъ, чтобы знакомить среднюю школу съ основными идеями Декарта. Идеи Лейбница часто туманны по своей общности; онъ самъ сознавалъ это, но онъ пророчески чувствовалъ, что во многихъ вопросахъ даже математики, какъ ученія о величинахъ, нужно что-то иное, новое, для чего недостаточно алгебраическихъ преобразованій. Прекрасный примѣръ этого представляетъ одно мѣсто въ Nouveaux essais, гдѣ онъ критикуетъ методы для рѣшенія уравненій 3 и 4 степ., говоритъ о „недостаточности идей ясныхъ и раздѣльныхъ“ и указываетъ на необходимость чего-то новаго. Этимъ новымъ и явилась теорія группъ перемѣщеній, которой основаніе положилъ Лагранжъ, которую завершилъ Галуа и которая даетъ намъ истинную природу алгебраическаго рѣшенія уравненій 3-ей и 4-ой ст. и выясняетъ почему таковое рѣшеніе невозможно для уравненій степеней 5-ой и высшихъ.

Весь ходъ умственнаго развитія Лейбница подготовлялъ его къ широкимъ творческимъ завѣтамъ, которыхъ даже частичное выполненіе было совершено почти черезъ іѴ2 столѣтія послѣ его смерти и дало намъ новыя отрасли науки. Я говорю о математической логикѣ Буля и о теоріи протяженности (Ausdehnugslehre) Грассмана.

*) Correspondance ed. Adam Tannery.

Еще 12 лѣтнимъ мальчикомъ онъ погрузился во всѣ тонкости формальной классической логики Аристотеля и схоластиковъ; 19 лѣт. онъ пишетъ свое сочиненіе De arte combinatoria и тогда уже у него явилась мысль о наукѣ, цѣль которой не только считать число перемѣщеній, сочетаній и т. п., но и проникать въ самую сущность группировокъ. Теорія группъ перемѣщеній, о которой я только что упоминалъ, которая, напримѣръ, изъ общаго числа 24 перемѣщеній 4 буквъ выдѣляетъ подгруппы въ 12, 8, 4 перемѣщеній есть осуществленіе этой идеи Лейбница и въ то же время частный случай науки еще болѣе общей, науки о порядкѣ. Изученіе логики привело его къ мысли обозначить всѣ понятія особенными символами, составить „азбуку человѣческихъ мыслей“ и комбинируя ихъ получить общую науку: „Scientia generalis“, „mathematica Universalis“.

По отношеніи къ этой общей наукѣ и логика древнихъ и математика новыхъ представляютъ только частные случаи, и именно этимъ объясняется аналогія между ними прибавлю, что и великій авторъ „закона большихъ чиселъ“ посвятилъ также въ 1684 г. отдѣльный мемуаръ параллелизму между разсужденіемъ логическимъ и разсужденіемъ алгебраическимъ.—Parallelismus ratiocinii algebraici et ratiocinii logici (opera collecta t. 1).

Даже занятія юридическими науками, которыя интересовали Лейбница какъ дипломата и интимнаго совѣтника многихъ нѣмецкихъ князей, приводило его къ тѣмъ-же самымъ мыслямъ. Въ восьмидесятыхъ годахъ XVII ст. умираетъ одинъ изъ польскихъ королей, тронъ свободенъ, сеймъ долженъ избрать новаго короля. Покровители Лейбница обращаются къ нему съ просьбою написать по этому поводу мемуаръ; собрать всѣ аргументы въ пользу избранія одного нѣмецкаго принца; въ этомъ мемуарѣ „Pro electione regis Polonorum“ мы вдругъ неожиданно встрѣчаемъ развитіе мысли, что аргументы могутъ быть складываемы и перемножаемы. Мысль эта получила свое развитіе и объясненіе только въ символической логикѣ Буля, введеніемъ въ логику операцій сложенія и умноженія понятій.

Съ своей точки зрѣнія общей науки, непосредственно оперирующей надъ понятіями, Лейбницъ критически относился къ методу координатъ. Онъ мечталъ создать геометрію положенія „Analysis situs“, гдѣ символами непосредственно обозначаются сами фигуры, отрѣзки прямыхъ линій и т. п.

Наконецъ ни до Лейбница, ни позже никто не понималъ болѣе Лейбница важное экономическое значеніе символовъ. Извѣстно значеніе, которое онъ придавалъ бинарной ариѳметикѣ, какъ средству доказать атеистамъ съ одной стороны и китайцамъ съ другой, какъ все разнообразіе явленій можетъ быть одною всемогущею силою, символически представляющеюся 1, создано изъ ничего или 0. Ему несомнѣнно принадлежитъ введеніе символовъ a,k и начала теоріи опредѣлителей, представляющей такое экономическое сокращеніе труда. Наконецъ, удачно выбранные знаки d и / оказали громадную услугу быстрому развитію

анализа безконечно—малыхъ и даже англійскій шовинизмъ въ тридцатыхъ годахъ XIX столѣтія долженъ былъ оставить Ньютоновскія точки и ввести символы Лейбница.

Какъ я сказалъ, геніальныя, широкія мысли должны были ждать почти полтора столѣтія для того, чтобы принять болѣе опредѣленную, конкретную, болѣе плодотворную, но за то и болѣе узкую форму.

Частичнымъ осуществленіемъ мыслей Лейбница о геометріи независимой отъ алгебры и отъ координатныхъ осей, т. е. основанной не на методѣ Декарта, явилась та геометрія Положенія, однимъ изъ первыхъ важныхъ результатовъ которой была теорема Дезарга, развитіемъ которой была начертательная геометрія Монжа и геометрія положенія Carnot, къ которымъ непосредственно примыкаютъ и работы того молодого французскаго офицера, который, послѣ сраженія при Красномъ, доженъ былъ жить въ плѣну въ Саратовѣ и тамъ развилъ ученіе о проективныхъ свойствахъ фигуръ, почти въ то-же самое время когда въ Казани талантливый русскій юноша начиналъ сомнѣваться въ возможности доказать постулатъ Евклида. Я говорю о Понселе и созданной имъ проективной геометріи или, говоря языкомъ теоріи группъ, объ ученіи о группахъ проективныхъ преобразованій.

Но еще болѣе осуществленіемъ идей Лейбница явились для геометріи теорія протяженностей или Ausdehnungslehre Грассмана, появившаяся въ 1844 г., для логики—логическое исчисленіе Буля, опубликованное имъ въ 1854 г. Обоими—независимо отъ Лейбница, идеи котораго заключаются во многихъ томахъ его рукописей, хранящихся въ Ганноверской библіотекѣ были тогда еще неизвѣстны—руководили также широкіе взгляды на математику.

„Сущность математики не въ изученіи однихъ только идей числа и количества“ говоритъ Буль въ одномъ мѣстѣ. „Математика должна разсматривать операціи сама по себѣ независимо отъ тѣхъ различныхъ объектовъ, къ которымъ онѣ могутъ быть примѣнены“, говоритъ онъ въ другомъ мѣстѣ.

Совершенно подобныя-же мысли высказываетъ и Грассманъ въ своемъ сочиненіи. Я не буду подробно останавливаться на этихъ мѣстахъ т. к. онѣ сдѣлались теперь доступными широкимъ кругамъ русскихъ математиковъ. Въ первомъ выпускѣ редактируемыхъ мною „Новыя идеи въ математикѣ“ помѣщено между прочимъ предисловіе Грассмана къ его Ausdehnungslehre 1844 г. Ограничусь только указаніемъ на его выдѣленіе двухъ формальныхъ наукъ изъ общаго круга всѣхъ наукъ—логику—ученіе объ общемъ и математику—ученіе о частномъ,

Обѣ доктрины созданныя Булемъ и Грассманомъ имѣютъ то общее, что новыя операціи, ими введенныя, не вполнѣ подчиняются оперативнымъ законамъ алгебры. Операціи логическаго сложенія и умноженія подчиняются законамъ ассоціативности и коммутативности алгебры. Въ нихъ имѣетъ мѣсто и дистрибутивный законъ алгебры: а (b -j- с) — ab -f- ас, но для нихъ имѣетъ

мѣсто и симметричный законъ дистрибутивности, который въ обыкновенной алгебрѣ является невѣрнымъ:

а -f- Ъс = (а + Ъ) (а -f- с).

Вѣрность этого закона для математической логики есть слѣдствіе специфическаго закона математической логики, который въ частномъ случаѣ

а. а = а

еще предчувствовался Лейбницемъ, и который можетъ быть написанъ въ общемъ видѣ

а ab = а.

Математическая логика не имѣетъ степеней, но существованіе двухъ дистрибутивныхъ законовъ придаетъ всѣмъ ея формуламъ особую прелесть симметріи или дуализма, которой лишена наша алгебра.

Подобно этому и Грассманъ принужденъ въ своемъ второмъ умноженіи (векторіальномъ) допустить существованіе закона умноженія.

aß = — ßa.

Грассманъ и Буль оба были не исключительно математиками спеціалистами, но и тотъ и другой подобно Лейбницу и Якову Бернулли были и математиками и логиками. Болѣе половины книги Буля составляетъ обширный логическій трактатъ „о законахъ мысли“. Грассманъ также получилъ широкое философское образованіе. Но до Грассмана и до Буля важный матеріалъ для болѣе общей математики, для теоріи операцій был ь подготовленъ учеными, стоявшими на почвѣ исключительно интересовъ математики какъ ученія о величинахъ, и развившими одну и ту-же важную математическую доктрину въ двухъ различныхъ направленіяхъ. Доктрина, о которой я говорю, есть ученіе о комплексныхъ числахъ а -[- Ы.

Съ комплексными числами, какъ съ корнями уравненія 2-ой степени встрѣтились итальянскіе алгебраисты XVI вѣка, между прочимъ Карданъ. Въ теченіе всего XVII и XVIII в. они являлись загадкою для математиковъ, вызывая споры,—имѣвшіе большую важность для развитія ихъ теоріи, какъ напр. знаменитый споръ Эйлера и Іоанна Бернулли о логариѳмахъ отрицательныхъ чиселъ. Наконецъ датчанинъ Вессель въ концѣ XVIII в. и французы Арганъ и Франсуа въ началѣ XIX в. дали геометрическое представленіе комплексныхъ чиселъ Каждому комплексному числу соотвѣтствуетъ точка на плоскости или иначе говоря векторъ соединяющій точку съ началомъ координатъ. Введеніе комплексныхъ чиселъ въ алгебру и анализъ, громадныя услуги ими оказанныя и той и другой вѣтви математики, поставили два существенно важные вопросы. Первый вопросъ таковъ: если каждому вектору на плоскости соотвѣтствуетъ комплексное число и благо-

даря этому такая важная операція, какъ нахожденіе равнодѣйствующей двухъ силъ или двухъ скоростей, Сводится на сложеніе двухъ комплексныхъ чиселъ, то не являются ли необходимостью для успѣха механики и математической физики, имѣющихъ дѣло съ явленіями въ пространствѣ, а не на плоскости, новыя числа, которыя соотвѣтствовали бы векторамъ въ пространствѣ. Этотъ вопросъ былъ рѣшенъ однимъ англійскимъ ученымъ Sir William Rowan Hamilton изобрѣвшимъ такъ называемыя кватерніоны. Второй вопросъ состоялъ въ томъ, чтобы ввести комплексныя числа въ алгебру не какъ математическій фактъ, не какъ случайно встрѣтившихся гостей, но органически связать ихъ съ цѣлымъ Алгебры. Этотъ вопросъ былъ также рѣшенъ другимъ англійскимъ ученымъ, виднымъ Кэмбриджскимъ математикомъ, однимъ изъ той молодой тройки деистовъ, какъ ихъ называли, которые ввели Лейбницевскія d вмѣсто Ньютоновскихъ точекъ, Пикокомъ.

Пикокъ—авторъ двухъ изданій алгебры: одного, появившагося въ 1830 г. въ одномъ томѣ и другого двухтомнаго, появившаго въ 1840 г.*). Это второе сочиненіе въ двухъ томахъ, одинъ изъ которыхъ носитъ названіе алгебры ариѳметической, другой алгебры символической. Въ предисловіи къ этому второму тому Peacock и высказываетъ свой принципъ перманентности математическихъ эквивалентныхъ формъ.

Этотъ принципъ изложенъ теперь въ нѣкоторыхъ, доступныхъ русскому читателю, изданіяхъ. Упомяну, что въ прошломъ году студенческій математическій Кружокъ Казанскаго Университета издалъ подъ редакціею проф. Парфентьева, сочиненіе Ганкеля „Теорія комплексныхъ числовыхъ системъ“, которое сдѣлало общедоступнымъ принципъ Пикока, который иногда несправедливо называютъ принципомъ Ганкеля.

Ранѣе Пикока подъ тѣмъ-же почти названіемъ былъ высказанъ Понселе подобный-же принципъ, но въ примѣніи къ совершенно иному вопросу. Я говорилъ выше о его работахъ надъ проективною геометріей или, какъ мы теперь говоримъ, надъ группою проективныхъ преобразованій. Въ этихъ изслѣдованіяхъ онъ пришелъ къ убѣжденію въ необходимости ввести безконечнодалекіе и мнимые элементы. Работы Понселе, подобно работамъ другихъ основателей синтетической геометріи Штаудта и Штейнера, въ извѣстномъ смыслѣ составляютъ возвращеніе къ методамъ древнихъ геометровъ Аполлонія Пергійскаго или Паппуса; но на нихъ не могло не отразиться вліяніе всего развитія чистой математики до начала XIX ст. и прежде всего анализа безконечно-малыхъ и ученія о непрерывнсти. Вотъ почему Понселе и объединяетъ посредствомъ своего принципа перманентности или непрерывности математическихъ законовъ перемѣнныхъ величинъ такія фигуры, такіе случаи, которые, по методу древнихъ, требо-

*) Между этими двумя годами стоитъ 1834 г. годъ появленія Алгебры пли вычисленія конечныхъ нашего Лобаческаго. Мы знаемъ, что и онъ, подобно Пикоку, искалъ строгости въ первоначальныхъ понятіяхъ, и можетъ быть предметъ интересной работы сравненіе этихъ почти одновременно появившихся подробныхъ трактатовъ алгебры.

вали-бы отдѣльнаго разсмотрѣнія. Возьмемъ простой случай: два круга не пересѣкаются, существуетъ такъ называемая радикальная ось. Въ случаѣ двухъ пересѣкающихся круговъ радикальная ось замѣняется хордою пересѣченія. Принципъ непрерывности или перманентности Понселе позволяетъ отъ одного случая переходить къ другому. Подобнымъ-же образомъ теоремы, относящіяся къ эллипсу

X2 -|~ еу2 = 1.

обращаются при непрерывномъ измѣненіи отъ € положительнаго къ s отрицательному, въ теоремы, относящіяся къ гиперболѣ. Понселе всю жизнь придавалъ громадное значеніе найденному имъ въ годы плѣна принципу, въ первый разъ опубликованному въ 1818 г.—За нѣсколько лѣтъ до своей смерти въ 1864 г. онъ издаетъ сочиненіе „Applications d’Analyse et de Géométrie“, весь почти второй томъ котораго посвященъ принципу непрерывности и полемикѣ съ докладомъ, который знаменитый математикъ Коши представилъ въ 1820 г. Французской Академіи по поводу работъ Понселе и между прочимъ по поводу принципа непрерывности. Я жалѣю, что не имѣю времени ближе остановиться какъ на работахъ Понселе, такъ и на критикѣ Коши. Возраженія Коши интересны, потому что они легко примѣняются и къ другому принципу перманентности — принципу Пикока. Принципъ Понселе, говоритъ Коши, есть только индукція, правда сильная (une forte induction); нельзя видѣть въ ней, какъ желаетъ этого Понселе, обязательный законъ мысли и природы. Принципъ вѣрный для однихъ случаевъ, въ однихъ предѣлахъ, можетъ оказаться невѣрнымъ въ другихъ. Исторія скоро подтвердила вѣрность мысли Коши. Черезъ два года послѣ того какъ Пикокъ утверждалъ, что законы операцій алгебры, т.-е. ассоціативность, коммутативность и дистрибутивность должны оставаться на основаніи принципа перманентности неизмѣнными, что бы ни означали символы (whatever symbols denote), Гамильтонъ началъ публиковать свои знаменитыя излѣдованія о кватерніонахъ, т.-е. числахъ съ 4-мя единицами 1, г, к. причемъ

ji =— fc, к) =— г, ік -=— j, Въ силу этихъ не коммутативныхъ законовъ умноженія единицъ и общая операція умноженія кватерніоновъ теряетъ характеръ коммутативности. Какъ я уже имѣлъ случай указать, и Грассманъ разсматриваетъ два рода умноженія, изъ которыхъ умноженіе векторіальное также не имѣетъ характера коммутативности.

Мы видимъ такимъ образомъ на всемъ протяженіи исторіи математической мысли борьбу тѣхъ двухъ силъ, о которыхъ я говорилъ выше, принципа перманентности или экономіи, старающагося удержать по возможности старое, и стремленія человѣческаго духа къ свободѣ, къ независимости отъ этого стараго „Das Wesen der Mathematik besteht in Jhrer Freiheit“. Но въ прин-

ципѣ перманентности, какъ одномъ изъ проявленій болѣе общаго принципа экономіи лежитъ и глубокая истина. Это доказывается всѣмъ формалистическимъ или аксіоматическимъ направленіемъ послѣднихъ годовъ, съ которымъ мы знакомимся въ трудахъ итальянскихъ и англійскихъ авторовъ и въ извѣстныхъ работахъ Hilbert’a и его учениковъ. Его основная идея состоитъ въ изученіи операцій или соотношеній независимо отъ объектовъ. Онѣ составляютъ постоянную форму, въ которую могутъ быть вставлены, употребляя выраженіе Пуанкаре, слова или того или другого лексикона. Двѣ точки опредѣляютъ прямую, но двѣ точки опредѣляютъ и кругъ, ортогональный къ опредѣленной прямой линіи. И всѣ слѣдствія вытекающія изъ положеній „двѣ вещи а и S опредѣяютъ вещь А“ равно примѣнимы къ тому и другому случаю. Развѣ это не высшее проявленіе начала экономіи?

Господа! Я принужденъ кончить, и я кончаю извиненіемъ, что я отвлекъ на время Ваше вниманіе отъ болѣе близкихъ и насущныхъ вопросовъ Вашей педагогической дѣятельности и остановилъ его на нѣкоторыхъ доктринахъ, далекихъ отъ школьной математики. Но я разсчитываяю на ваше извиненіе, потому что, вдумываясь въ сущность принципа экономіи, Вы можете извлечь изъ него полезныя и необходимыя указанія для Вашей педагогической дѣятельности. Развѣ она не должна постоянно имѣть въ виду принципы Лейбница—minimo sumptu maximus effectus, развѣ она не должна имѣть главнымъ дѣломъ развить въ юношѣ способность къ логическому мышленію, въ которомъ болѣе чѣмъ въ чемъ-либо проявляется экономическая сторона науки, развѣ нравственное вліяніе школы не должно имѣть своею цѣлью пріучить учениковъ къ экономному пользованію временемъ, помня другой принципъ того-же Лейбница: Pars vitae, quoties perditur hora, perit. Съ каждымъ потеряннымъ безцѣльно часомъ теряется часть жизни.

Объ указаніяхъ, получаемыхъ преподаваніемъ математики отъ ея исторіи*).

В. В. Бобынинъ. Москва.

Въ настоящее время въ начальномъ школьномъ изученіи ариѳметики придается, очень мало значенія таблицамъ и ихъ изученію. Изъ большаго числа многоразличныхъ таблицъ соотвѣтствующихъ родовъ, которыя могли бы найти мѣсто въ начальномъ преподаваніи ариѳметики, въ немъ пользуются теперь только одною таблицею умноженія цѣлыхъ чиселъ, да и то въ тѣсныхъ предѣлахъ такъ-называемой пиѳагоровой таблицы умноженія.

*) Рѣчь, произнесенная 31 дек. 1913 г. во второмъ Общемъ Собраніи Съѣзда.

Въ указанномъ своемъ отношеніи къ таблицамъ въ начальномъ преподаваніи ариѳметики наше время изъ извѣстныхъ намъ народовъ древности всего болѣе приближается къ Римлянамъ. По свидѣтельству Горація въ его Ars poetica въ римскихъ школахъ временъ императоровъ изучалась таблица сложенія. Гораздо большее значеніе придавалось въ нихъ, по свидѣтельствамъ другихъ писателей, которымъ не противорѣчитъ и Горацій, таблицѣ умноженія, заучиваніе которой наизустъ составляло по этимъ свидѣтельствамъ, одинъ изъ главныхъ предметовъ ученія въ начальной римской школѣ. Производилось это изученіе посредствомъ пѣнія всѣми учениками вмѣстѣ составляющихъ таблицу умноженія предложеній въ родѣ, наприм., bis bina quatuor дважды два четыре. Не смотря на вниманіе, которое, по сказанному, обращалось на изученіе таблицы умноженія, одного заучиванія ея вмѣстѣ съ предшествующимъ, ему заучиваніемъ таблицы сложенія, оказывалось однако недостаточнымъ для сколько-нибудь значительнаго развитія числовой памяти, Слабость же этой послѣдней у Римлянъ прежде всего и проявлялась именно въ непрочности результатовъ заучиванія наизустъ таблицы умноженія. Не смотря на понесенные римскими школьниками по этому предмету въ школѣ труды, результаты послѣднихъ оказывались на столько неудовлетворительными, что при пользованіи таблицею умноженія и особенно второю ея половиною въ практикѣ Римлянамъ приходилось обращаться за помощью къ пальцевому счету, какъ объ этомъ свидѣтельствуетъ, наприм., употребляемый даже въ настоящее время въ Валахіи простымъ народомъ способъ полученія на пальцахъ произведеній, составляющихъ вторую половину таблицы умноженія.

Совершенную противоположность указаннымъ отношеніямъ Римлянъ къ таблицамъ и развитію числовой памяти составляютъ отношенія къ тѣмъ же предметамъ Индусовъ какъ въ древности, такъ и въ настоящее время. Въ ихъ туземныхъ школахъ, находящихся въ завѣдываніи брамановъ, послѣ достигаемаго путемъ заучиванія наизустъ усвоенія Pare, то-есть таблицы умноженія первыхъ 10 чиселъ на такія же числа до 30 и даже до 100, шло въ послѣдовательномъ порядкѣ такое же заучиваніе Pouke таблицы четвертей, затѣмъ nimke таблицы половинъ и Роипке таблицы трехъ четвертей. Далѣе слѣдовали: Sawake или таблица для I—, Dvike или таблица для 1 ^-.Arizke или таблица для и Outkc или таблица для 3^- Вообще къ этимъ таблицамъ присоединялись еще Лкагке или таблица для 11 и таблица квадратныхъ чиселъ, обозначаемая названіемъ Ekotri. При заучиваніи наизустъ всѣ эти таблицы читались и повторялись учениками громкимъ голосомъ въ слѣдующемъ, наприм., видѣ

Только послѣ достиженія ученикомъ знанія всѣхъ этихъ таблицъ въ совершенствѣ онъ допускался къ заучиванію также наизустъ вѣсовъ и мѣръ, а затѣмъ, наконецъ, и правилъ ариѳметическихъ дѣйствій.

Цѣли, преслѣдуемыя туземною индусскою школою при употребленіи описаннаго способа изученія элементарной ариѳметики и состоящія въ доставленіи учащимся основательнаго и прочнаго знанія этой науки и въ развитіи памяти вообще и числовой въ частности, достигались вполнѣ. Изъ всѣхъ странъ древности и болѣе поздняго времени до самаго ХVIІ вѣка послѣ Р. Хр. ариѳметика и теорія чиселъ въ Индостанѣ достигли наивысшей степени развитія, оставившаго далеко позади себя всѣ народы соотвѣтствующихъ эпохъ, не исключая изъ ихъ числа также и древнихъ Грековъ. Что же касается развитія памяти у Индусовъ, то по свидѣтельствамъ наблюдателей, заслуживающихъ полнаго довѣрія, память у Индусовъ превосходная, близко подходящая къ памяти феноменальныхъ счетчиковъ. Они оказываются въ состояніи производить многія ариѳметическія дѣйствія, не пользуясь ничѣмъ, кромѣ только одной памяти. „Я видѣлъ“, говоритъ Дельбо*), „между ними такихъ, которые могли мысленно рѣшать задачи на сложное тройное правило въ чрезвычайно короткое время. Что-же касается сложеній и вычитаній дробей, то только крайне рѣдко можно встрѣтить образованнаго Индуса, который бы не могъ производить ихъ мысленно“.

Достигаемое Индусами указаннымъ путемъ высокое развитіе памяти должно было имѣть очень большое значеніе и для ихъ геометріи и притомъ не только въ общемъ смыслѣ, но и въ спеціальномъ особенномъ. Греческій геометръ въ лицѣ, наприм., Эвклида даетъ изложеніе теоремы, подготовленіе къ ея доказательству, состоящее въ построеніи соотвѣтствующаго чертежа, и, наконецъ, самое доказательство, заканчивающееся всегда торжественнымъ реченіемъ: „что и требовалось доказать“. Что же касается индусскаго геометра, то онъ послѣ изложенія теоремы и построенія соотвѣтствующаго чертежа ограничивается только однимъ словомъ „смотри“. Что скрываетъ за собою это слово? Приглашеніе-ли читателя къ производству эмпирическимъ путемъ повѣрки справедливости высказаннаго предложенія при помощи построеннаго чертежа? Или дѣлаемое ему предложеніе обратиться къ мысленному усмотрѣнію, состоящему въ такомъ комбинированіи передъ умственнымъ взоромъ всего извѣстнаго какъ о самомъ предметѣ теоремы, такъ и о соприкасающихся съ нимъ предметахъ, которое дѣлало бы для этого взора совершенно

*) Léon Delbos. Les mathématiques aux Indes orientales. Paris. 1892. 8°.

ясною истинность разсматриваемой теоремы. И если принять во вниманіе высоту, достигнутую Индусами въ Теоріи Чиселъ, въ философіи, и въ созданныхъ ими религіозно-философскихъ системахъ, то нельзя будетъ не признать изъ указанныхъ двухъ возможныхъ рѣшеній поставленнаго вопроса болѣе вѣроятнымъ второе. Но, какъ не трудно видѣть по самой природѣ мысленнаго усмотрѣнія въ представленной его формѣ, необходимымъ условіемъ успѣшности его примѣненій является развитіе памяти, далеко превосходящее свои обыкновенные размѣры.

Едва ли можно серьезно спорить не только противъ существованія, но даже и противъ общеизвѣстности факта затрудненій, встрѣчаемыхъ въ настоящее время учениками низшей и средней школы при ознакомленіи съ системами счисленія и тѣмъ болѣе при усвоеніи законовъ выраженія въ нихъ чиселъ. Создаваемая недостаточнымъ преодолѣніемъ этихъ затрудненій слабость упомянутаго усвоенія съ особенною яркостью проявляется въ трудности для очень многихъ учениковъ, если не для большинства, во-первыхъ, рѣшенія задачъ, имѣющихъ дѣло съ приложеніемъ законовъ образованія чиселъ въ системѣ счисленія, и, во-вторыхъ, усвоенія такихъ по существу легкихъ предметовъ, какъ счисленіе десятичныхъ дробей вообще и процессы ариѳметическихъ дѣйствій надъ ними въ частности.

Причину всѣхъ указанныхъ сейчасъ печальныхъ и, повидимому, даже странныхъ явленій едва-ли можно видѣть въ чемъ-нибудь другомъ, кромѣ несоотвѣтствующаго природѣ предмета веденія его преподаванія. И дѣйствительно совсѣмъ не такъ, какъ теперь, шло дѣло изученія того-же предмета всѣмъ человѣчествомъ.

Ознакомленіе съ системою счисленія и съ законами выраженія въ ней чиселъ началось въ человѣчествѣ съ перваго появленія передъ его сознаніемъ счисленія дробныхъ чиселъ, что совершилось въ ту отдаленную и громадную по своей продолжительности эпоху, когда область счисленія цѣлыхъ чиселъ ограничивалась въ сознаніи первобытнаго человѣчества только двумя опредѣленными представленіями единицы и два и однимъ неопредѣленнымъ много. Первою появившеюся передъ сознаніемъ человѣка въ эту эпоху дробью была половина. Но половина какого-нибудь предмета могла быть также раздѣлена пополамъ, на двѣ полъ-половины. Каждая изъ этихъ послѣднихъ въ свою очередь могла быть раздѣлена пополамъ на двѣ пол-пол-половины и т. д. до предѣла, устанавливаемаго посторонними предмету внѣшними обстоятельствами. Наприм. въ русскихъ землемѣрныхъ рукописяхъ до-петровскихъ временъ число повтореній приставки пол къ слову половина доходило до 8, 9 и даже до 10, то-есть до дробей —— ——— За дробью половина появились такимъобразомъ передъ сознаніемъ первобытнаго человѣка въ послѣдовательномъ порядкѣ единицы порядковъ двоичной системы счисленія въ той ея части, которая посвящена дробнымъ числамъ, а вмѣстѣ съ ними и сама двоичная система счисленія вмѣстѣ съ

законами выраженія въ ней чиселъ, хотя и въ въ приложеніи ихтз только къ дробнымъ числамъ. Что же касается ихъ приложенія къ цѣлымъ числамъ, то оно въ видѣ всеобщераспространеннаго въ первобытномъ человѣчествѣ счета парами появилось въ распоряженіи того же первобытнаго человѣчества только значительно позже. Вызванное, благодаря естественному, созданному самою природою дѣла, ходу развитія счисленія цѣлыхъ чиселъ въ сознаніи человѣчества, знакомство послѣдняго съ натуральными системами счисленія, 5-ричной, 10-тичной и 20-ричной и притомъ главнымъ образомъ въ ихъ приложеніяхъ къ цѣлымъ числамъ, на столько поддержало и укрѣпило усвоеніе законовъ выраженія чиселъ въ системѣ счисленія, что передовая часть человѣчества въ лицѣ халдейской жреческой касты оказалась въ состояніи совершенно самостоятельно, то-есть внѣ упомянутаго естественнаго хода развитія счисленія, создать шестидесятиричную систему счисленія. Очень важнымъ для представленнаго сейчасъ изображенія развитія знакомства первобытныхъ людей съ системою счисленія является фактъ первоначальнаго приложенія этой системы только къ той группѣ дробей, которыя по ней и получили названіе шестидесятиричныхъ.

Позднее появленіе въ распоряженіи человѣчества приложенія законовъ выраженія чиселъ въ десятичной системѣ счисленія въ его полномъ развитіи къ дробнымъ числамъ не находится въ противорѣчіи съ указанными въ предыдущемъ выводами изъ приведенныхъ фактовъ. Если употребленіе десятичныхъ дробей въ полномъ ихъ развитіи и началось только съ конца XVI вѣка, то это произошло не потому, что передовые представители человѣчества въ прошломъ не были въ состояніи это сдѣлать, а потому что послѣ появленія двоичной и натуральныхъ системъ счисленія, 5-ричной, 10-чной и 20-чной, новыя системы зарождались исключительно на почвѣ метрологіи, въ которой до появленія въ свѣтъ метрической системы преобладающее значеніе имѣли число 12 и его кратныя, какъ на это согласно указываютъ метрологическія таблицы, шестидесятиричныя дроби и дроби римской ситемы минуцій.

Большія трудности встрѣчаются въ настоящее время учащимся въ низшей и средней школѣ при изученіи счисленія дробей вообще. Усвоеніе этого счисленія очень многими изъ нихъ, какъ не преодолѣвшими упомянутыхъ трудностей, совсѣмъ не достигается. Свѣдѣнія о дробяхъ, выносимыя ими изъ школы, являются вслѣдствіе этого смутными и болѣе, чѣмъ недостаточными. Причиною всего этого, какъ и въ предыдущемъ случаѣ, являетзя не соотвѣтствующее природѣ предмета веденіе его преподаванія, какъ это съ совершенною ясностью обнаруживается изъ доставляемыхъ Исторіею ариѳметики указаній.

Съ выдѣленіемъ изъ неопредѣленнаго представленія множества опредѣленныхъ представленій послѣдовательныхъ цѣлыхъ чиселъ было тѣсно связано появленіе передъ сознаніемъ первобытнаго человѣка представленій соотвѣтствующихъ подраздѣленій конкретной единицы или, другими словами, дробей съ 1-цею въ

числителѣ и съ соотвѣтствующимъ изъ вновь познанныхъ цѣлыхъ чиселъ въ знаменателѣ. Послѣ этого своего начала счисленіе дробей прошло въ своемъ развитіи три стадіи: стадію счисленія именованныхъ чиселъ, стадію счисленія дробей съ 1-цею въ числителѣ и, наконецъ, въ качествѣ послѣдней, заключившей собою все развитіе, стадію счисленія дробей съ числителями какъ равными 1-цѣ, такъ и превосходящими ее. Изъ этихъ стадій современное намъ преподаваніе ариѳметики признаетъ только одну послѣднюю, которою одною, поэтому, и ограничивается исключительно. Что же касается счисленія именованныхъ чиселъ, то хотя оно и не исключено изъ новѣйшаго преподаванія ариѳметики, но излагается въ немъ не въ своихъ отношеніяхъ къ счисленію дробей, а какъ приложеніе счисленія цѣлыхъ чиселъ къ метрологіи. Въ еще болѣе печальномъ видѣ представляются отношенія новѣйшаго преподаванія ариѳметики ко второй стадіи развитія счисленія дробей, которая не только не затрагивается имъ, но и игнорируется и при томъ въ такой высокой мѣрѣ, что бывшіе ученики новѣйшей школы оказываются даже способными отрицать самое существованіе второй стадіи развитія счисленія дробей въ случаяхъ, когда имъ о ней говорятъ. Намъ пришлось разъ бесѣдовать съ однимъ математикомъ, бывшимъ тогда профессоромъ математической физики, который отказывался, не смотря на приводимые факты, даже вѣрить въ возможность существованія второй стадіи развитія счисленія дробей.

Въ преподаваніи элементарной геометріи уже давно пришли къ убѣжденію въ необходимости для успѣха дѣла предпосылать научному курсу курсъ подготовительный или пропедевтическій, Но взгляды на содержаніе и строеніе этого послѣдняго были очень различными, такъ какъ при ихъ образованіи исходили обыкновенно изъ принциповъ, неспособныхъ вслѣдствіе своей произвольности и субъективности получить общее признаніе. Вслѣдствіе этого являющіяся ихъ результатами попытки построенія пропедевтическаго курса элементарной геометріи были неудачными и если нѣкоторыя изъ нихъ и пользовались относительнымъ успѣхомъ, то только временнымъ.

Указаніями Исторіи геометріи ни одна изъ упомянутыхъ попытокъ составленія пропедевтическаго курса элементарной геометріи не пользовалась, что не помѣшало однако-же нѣкоторымъ изъ нихъ ввесть въ этотъ курсъ измѣренія и тѣмъ подойти болѣе или менѣе близко, хотя и совершенно неумышленно, къ главнѣйшему изъ указаній Исторіи геометріи. По этому указанію содержаніе пропедевтическаго курса элементарной геометріи должны составить измѣренія линій, поверхностей и объемовъ въ томъ видѣ и при употребленіи тѣхъ-же пріемовъ и средствъ, которыми пользовалась при тѣхъ-же измѣреніяхъ геометрія донаучнаго періода развитія наукъ математическихъ. Выражаясь короче, можно сказать слѣдовательно, что именно эта геометрія въ главныхъ своихъ частяхъ и должна составить содержаніе пропедевтическаго курса элементарной геометріи. Для учащихся, какъ не трудно видѣть, послѣдствія прохожденія такого курса очень важны, а

пріобрѣтаемыя ими при этомъ разнообразныя знанія очень цѣнны и сами по себѣ и по своему значенію для изученія въ будущемъ научной геометріи. Какъ на главнѣйшія изъ послѣдствій и пріобрѣтеній разсматриваемаго рода можно указать на слѣдующія. Въ сознаніи учащихся разовьются и уяснятся основныя геометрическія понятія. Будетъ доставлено ознакомленіе съ первоначальными геометрическими предложеніями. Пріобрѣтется знаніе землемѣрія въ тѣхъ его простыхъ первоначальныхъ формахъ, которыя пользовались индусскою веревкою, древне-греческою звѣздою, римскою громою и только въ заключеніе діоптрою Герона Александрійскаго. Произойдетъ, кромѣ того, ознакомленіе и съ другими отдѣлами практической геометріи, въ родѣ, наприм., визирнаго искусства. Пріобрѣтутся навыки въ первоначальныхъ пріемахъ рѣшенія землемѣрныхъ задачъ, въ числѣ которыхъ передъ учащимися предстанетъ задача квадратуры круга вмѣстѣ съ первоначальными способами ея рѣшенія. Пройдутъ передъ учащимися также и пиѳагорова теорема, раціональные прямоугольные треугольники, несоизмѣримыя линіи и вообще идея ирраціональности, а за ними производство надъ плоскими фигурами ариѳметическихъ дѣйствій, превращеніе этихъ фигуръ и ихъ разложеніе. Преподавателю придется при этомъ встрѣтиться съ характеристичнымъ для донаучнаго періода развитія геометріи ложнымъ ученіемъ о равенствѣ площадей фигуръ при равенствѣ лхъ периметровъ, съ ученіемъ, черезъ которое на соотвѣтствующихъ ступеняхъ развитія проходило все человѣчество. Онъ долженъ будетъ обратить на обнаруженіе передъ учениками ложности этого ученія такое-же серьезное вниманіе, какое обращалъ на него въ I вѣкѣ послѣ Р. Хр. Маркъ Фабій Квинтиліанъ въ своихъ Institutiones oratoriae подъ вліяніемъ стремленія къ уничтоженію существованія того-же ложнаго ученія если не въ римскомъ простомъ народѣ, то по крайней мѣрѣ въ римскомъ образованномъ обществѣ.

Нельзя не упомянуть еще и о производимомъ указаннымъ построеніемъ пропедевтическаго курса геометріи введеніи историческаго элемента въ самый строй преподаванія математики, какъ о предметѣ, имѣющемъ важное значеніе для преподаванія не только элементарной геометріи, но и всей элементарной математики вообще.

Указанія Исторіи математики разсмотрѣннаго сейчасъ рода еще очень недавно совершенно игнорировались. Въ лучшемъ случаѣ на нихъ смотрѣли только какъ на любопытныя историческія справки, свидѣтельствующія о томъ, что въ грубомъ прошломъ человѣчества пріобрѣтеніе и усвоеніе математическихъ знаній совершались совсѣмъ не такъ, какъ къ вящей славѣ настоящаго просвѣщеннаго времени они совершаются въ немъ теперь. Нельзя признать однако-же такія отношенія правильными. Путь развитія, которымъ шло человѣчество въ пріобрѣтеніи научныхъ знаній въ древности, привелъ его къ созданію того величественнаго зданія, которое представляется новѣйшею наукою. Результаты, къ какимъ способны привести новые пути развитія, пред-

лагаемые на мѣсто испытаннаго древняго, въ лучшихъ случаяхъ еще не опредѣлились, а въ худшихъ не являются особенно привлекательными. Въ виду этого для раціональной постановки преподаванія математики необходимо, чтобы во всякомъ данномъ случаѣ мнѣнія о непріемлемости или непригодности того или другого изъ указаній Исторіи математики были строго обоснованы.

Запросы преподавателя физики въ области математики.

А. І. Бачинскій. Москва.

Докладъ, читанный въ общемъ собраніи 2-го Съѣзда преподавателей математики 3-го января 1914 г.

Милостивыя Государыни и Милостивые Государи.

Между педагогами-математиками и педагогами-физиками выросло нѣкоторое взаимное недовольство. Физики упрекаютъ математиковъ въ томъ, что послѣдніе, проводя свое преподаваніе въ черезчуръ абстрактныхъ тонахъ, мало принимаютъ въ разсчетъ „примѣнимую“ математику; въ частности, нѣкоторые изъ физиковъ выдвигаютъ противъ преподавателей математики тяжелое обвиненіе, будто бы эти послѣдніе не сообщаютъ своимъ ученикамъ прочнаго умѣнья производить ариѳметическія дѣйствія. Съ другой стороны, математики корятъ физиковъ тѣмъ, что встрѣчающіеся въ курсѣ физики математическіе выводы излагаются физиками недостаточно строго, причемъ иногда этотъ недостатокъ строгости переходитъ, такъ сказать, въ научную недобросовѣстность; такимъ образомъ— по мнѣнію математиковъ—уроки физики могутъ въ извѣстномъ смыслѣ подрывать въ ученикѣ чувство истиннаго математическаго стиля.

Если вдуматься, то обвиненія эти должны бы направляться прежде всего не противъ лицъ, а противъ учебныхъ программъ и противъ нѣкоторыхъ учебниковъ. Да, вѣрно, что программы по математикѣ построены такъ, что добросовѣстно занимающійся ученикъ среднихъ классовъ можетъ оказаться забывшимъ дѣйствія надъ дробями; да, вѣрно, что изложеніе математическихъ опредѣленій и выводовъ во многихъ учебникахъ физики не выдерживаеть критики.

Спрашивается, какія же измѣненія въ гимназическомъ курсѣ должны бы быть произведены, въ цѣляхъ устраненія замѣчаемыхъ ненормальностей? А ужъ если поднимается вопросъ о реформѣ, то нельзя не стать на болѣе радикальную почву и не вспомнить, что наши гимназическія программы имѣютъ сорокалѣтнюю давность; что за эти сорокъ лѣтъ утекло много воды,— еще больше притекло новаго, свѣжаго,—и это свѣжее,—особенно въ области физики, ломится, такъ сказать, въ двери общеобразовательной средней школы.

Попробуемъ, прежде всего, опредѣлить, изъ какихъ элементовъ слагается тотъ, если можно такъ выразиться, математическій инструментарій, который нуженъ физику для правильнаго преподаванія, соотвѣтствующаго духу средней школы и требованіямъ современности.

Здѣсь, для ясности, нужно сказать нѣсколько словъ о двухъ вѣтвяхъ физики. Дѣло въ томъ, что физическая наука, взятая въ цѣломъ, не есть что-нибудь въ логическомъ смыслѣ цѣльное или единое: напротивъ, она но существу двойственна. И крайне интересно, что эта двойственность обозначилась уже тогда, когда зародилась и сама физика.

Въ VI вѣкѣ до P. X. греческій мудрецъ Ѳалесъ высказалъ мысль, что всякая матерія оживляется неразрывно связаннымъ съ ней нематеріальнымъ началомъ. Тотъ же Ѳалесъ производилъ первыя научныя наблюденія надъ электрическими и магнитными притяженіями. Эти два факта показываютъ, что движеніе научной мысли началось какъ въ области теоріи, такъ и въ области эксперимента на тѣхъ самыхъ двухъ траекторіяхъ, которыя черезъ 2 Ѵ2 тысячелѣтія привели: одна—къ энергетическому міровоззрѣнію; другая—къ взгляду на электромагнитизмъ, какъ на основную силу природы. Итакъ Ѳалесъ былъ въ истинномъ смыслѣ слова зачинателемъ физики экспериментальной, которая исходитъ изъ воспроизведенія явленій природы и заканчивается установленіемъ общихъ точекъ зрѣнія на ихъ ходъ.

Приблизительно въ одно время съ Ѳалесомъ жилъ Пиѳагоръ, по ученію котораго основа и корень всего существующаго имѣетъ математическую природу; поэтому всѣ соотношенія въ мірѣ могутъ быть выражены съ помощью чиселъ*). (Замѣчу въ скобкахъ, что несомнѣнно подъ вліяніемъ Пиѳагора былъ родоначальникъ нашей математической физики, Галилей, когда высказалъ свою знаменитую фразу: „математическіе символы, это—тѣ знаки, которыми начертана книга природы“). Во всякомъ случаѣ, мы имѣемъ право видѣть въ Пиѳагорѣ провозвѣстника физики математической, цѣль которой заключается въ томъ, чтобы подчинить явленія природы числовымъ законамъ. Конечно, и физика экспериментальная никоимъ образомъ не чужда изысканію числовыхъ соотношеній; но они носятъ здѣсь эпизодическій характеръ, и касаются лишь установленія наличности тѣхъ или иныхъ функціональныхъ зависимостей. Математическая же физика по содержанію и изложенію своему есть въ сущности отрасль математики, имѣющая тотъ специфическій признакъ, что разсматриваемыя ею соотношенія воспроизводятся въ сферѣ величинъ, измѣримыхъ физическими методами. Главная задача математической физики состоитъ въ томъ, чтобы, установивъ минимальное число положеній, принимаемыхъ за физическія аксіомы, вывести изъ нихъ аналитическимъ путемъ всѣ тѣ соотношенія, къ какимъ приво-

*) Это воззрѣніе приписывается Пиѳагору древнимъ преданіемъ. По мнѣнію историко-философской критики, оно принадлежитъ не самому Пиѳагору, а его послѣдователямъ (Филолаю).

дитъ и приведетъ физика экспериментальная. Изъ различныхъ вѣтвей математической физики всего раньте стала на ноги теоретическая механика; и ею же достигнуто наиболѣе совершенное, логически удовлетворяющее состояніе.

Понятно, насколько труднѣе и сложнѣе методъ Пиѳагора, чѣмъ методъ Ѳалеса. Зато несравненно выше и та степень интеллектуальнаго удовлетворенія, которую онъ можетъ доставить; понятно то благоговѣйное отношеніе, которымъ среди представителей науки окружаются высочайшія созданія идейныхъ послѣдователей Пиѳагорейскаго метода. Къ такимъ созданіямъ относятся напримѣръ Principia Ньютона;—или электромагнитная теорія Максуела, свое отношеніе къ которой знаменитый Больцманъ выразилъ Гетевскимъ стихомъ:

„War es ein Gott, der diese Zeichen schrieb?“

Съ другой стороны, методъ Ѳалеса проще, доступнѣе для пониманія. Его послѣдователи обыкновенно останавливаютъ свое вниманіе на какой-нибудь болѣе или менѣе узкой области изслѣдуемыхъ явленій. И такъ какъ природа заключаетъ въ своемъ лонѣ совершенно неисчерпаемое количество въ высшей степени удивительныхъ фактовъ, то дѣятельность экспериментальнаго физика имѣетъ свойство особенно сильно поражать умы такъ называемой „большой публики“; примѣръ—открытіе радія. Большая публика такъ и подразумѣваетъ подъ словомъ „физика“—физику экспериментальную или физику Ѳалеса.

И въ средне-школьномъ преподаваніи фигурируетъ главнымъ образомъ Ѳалесова физика. Къ физикѣ Пиѳагорейской относятся лишь механическія свѣдѣнія, да самое незначительное число несложныхъ вопросовъ не механическаго содержанія (именно: выводъ уравненія состоянія идеальнаго газа изъ закона Маріота и закона Гей-Люсака; законы изображеній въ сферическихъ зеркалахъ и линзахъ).

Скромная степень участія пиѳагорейской физики въ курсѣ средней школы имѣетъ здравыя основанія. Эта область слиткомъ трудна для неподготовленнаго ума, чтобы въ сколько-нибудь широкихъ предѣлахъ войти въ среднешкольный курсъ. Однако, механика (точнѣе, механика матеріальной точки) составляетъ исключеніе. Основныя механическія истины такъ просты и въ то же время такъ жизненны, такъ часто находятъ себѣ примѣненіе въ фактахъ природы и техники—отъ паденія камня до полета аэроплана,—что элементарное, но въ то же время основательное, логически строгое знакомство съ ними является совершенно необходимымъ въ курсѣ средняго образованія.

Поэтому вполнѣ правильно поступаютъ напр. гимназическія офиціальныя программы, когда онѣ, помѣщая экспериментальную физику главнымъ образомъ въ курсъ 6—7 классовъ, отодвигаютъ механику въ 8 классъ. Зато довольно страннымъ является соединеніе въ курсѣ этого класса механики въ одно созвѣздіе съ метеорологіей; тѣмъ болѣе, что основныя метеорологическія понятія

вполнѣ доступны ученикамъ 6—7 классовъ, и должны бы естественно быть включены въ соотвѣтствующія главы оптики, электричества и теплоты.

Во всякомъ случаѣ, я приму за основное положеніе, что средняя школа можетъ и должна сообщить первоначальное знакомство съ обоими методами познанія космоса—методомъ Ѳалеса и методомъ Пиѳагора.

Теперь въ отдѣльности разсмотримъ объемъ нужныхъ для этого математическихъ свѣдѣній.

Что касается физики Ѳалеса, то ея математическіе запросы довольно скромны. Прежде всего ей необходимо, чтобы учащіеся были привычны къ счету и умѣли (въ простыхъ случаяхъ) находить степень точности результата, зная степень точности данныхъ чиселъ. Это—слабое мѣсто современнаго преподаванія; приближенныя вычисленія совершенно не упоминаются въ офиціальныхъ программахъ; общія руководства и задачники, обыкновенно рабски слѣдующіе программамъ, также почти игнорируюсь этотъ важный вопросъ (исключеніе составляетъ недавно появившійся прекрасный алгебраическій задачникъ Бема, Волкова, Струве). Изъ этого получается, что когда ученику во время лабораторныхъ занятій по физикѣ приходится опредѣлить объемъ прямоугольнаго параллелепипеда, ребра котораго онъ измѣрилъ съ точностью до десятыхъ долей миллиметра и нашелъ равными, скажемъ, 99,7; 100,4; 99,8 миллиметрамъ, то, перемножая эти числа обычнымъ способомъ, онъ получаетъ 993981,084 куб. миллиметра— результатъ, въ которомъ большая половина знаковъ съ правой руки не имѣетъ никакого смысла. У преподавателя физики нѣтъ времени, чтобы достаточно основательно пройти важный вопросъ о дѣйствіяхъ надъ числами, имѣющими извѣстное приближеніе; такъ этотъ вопросъ и остается безъ прочной почвы. Между тѣмъ областью примѣненія этого вопроса является, мнѣ кажется, прежде всего геометрія; и экспериментальныя задачи на опредѣленіе поверхностей и объемовъ посредствомъ измѣренія, подобныя вышеупомянутой, должны бы, при правильной постановкѣ дѣла, выполняться не въ физическомъ, а въ математическомъ лабораторномъ курсѣ.

Далѣе экспериментальная физика нуждается въ томъ, чтобы учащіеся имѣли прочное пониманіе пропорціональной зависимости между перемѣнными величинами. Здѣсь особенно важны слѣдующіе частные случаи: прямая и обратная пропорціональность между двумя величинами; прямая и обратная пропорпіональность между одной величиной и квадратомъ другой величины; прямая пропорціональность между одной величиной и двумя другими величинами; прямая пропорціональность нѣкоторой величины по отношенію къ одной величинѣ и обратная пропорціональность ея по отношенію къ другой. Всѣ эти случаи осуществляются въ рядѣ важныхъ законовъ, принадлежащихъ къ разнымъ отдѣламъ физики (законы паденія тѣлъ, законъ Гука, законъ Маріота, законъ тяготѣнія, законы освѣщенія, законы электрическаго тока).

Далѣе весьма желательно, чтобы ученики въ курсѣ матема-

тики возможно раньте освоились съ идеей функціональной зависимости между двумя величинами и съ методомъ графическаго изображенія такой зависимости. Ученикъ долженъ знать, что уравненіе у = а-\-Ъх изображается прямою линіей, что кривая, изображаемая уравненіемъ s = а -(- Ы + et2, называется параболою, а кривая рѵ = с гиперболою. Въ этомъ отношеніи опять нельзя не упомянуть съ чувствомъ истинной радости о задачникѣ Бема-Волкова-Струве, гдѣ на раннихъ ступеняхъ изученія алгебры вводится и послѣдовательно проводится координатный методъ.

Вотъ, собственно, и все, чего желаетъ отъ математики физика экспериментальная. Ясно, что небольшими дополненіями къ традиціонному курсу эти запросы легко могутъ быть удовлетворены.

Теперь переходимъ къ потребностямъ физики Пиѳагорейской. Можно впередъ ожидать, что эти потребности уже менѣе скромны.

Выше было принято за основное положеніе, что изъ всѣхъ отдѣловъ математической физики въ курсъ средней школы входитъ въ замѣтной дозѣ только одинъ—а именно теоретическая механика. Спрашивается,—какъ велика эта доза?... Несомнѣнно, что объемъ механическихъ свѣдѣній, намѣчаемыхъ существующими программами, является не совсѣмъ достаточнымъ. Возможнымъ здѣсь минимумомъ я считаю содержаніе параграфовъ, отпечатанныхъ крупнымъ шрифтомъ въ моемъ учебникѣ, озаглавленномъ: „Ученіе о силахъ и о движеніи“. Съ другой стороны, максимумомъ, который уже приближается къ университетскому курсу „механической части физики“, представляется мнѣ содержаніе того же учебника въ цѣломъ (т. е. крупный и мелкій шрифтъ).— И вотъ, если возьмемъ даже минимумъ, то сейчасъ же не можемъ не установить, что введеніе основъ анализа безконечно-малыхъ въ курсъ общеобразовательной средней школы есть дѣло назрѣвшей необходимости. Въ самомъ дѣлѣ, нельзя дать правильнаго опредѣленія скорости движенія точки безъ того, чтобы не подойти вплотную къ понятіямъ диференціала и производной. Можно съ полнымъ правомъ сказать, что если преподаватель, какъ слѣдуетъ, разсказалъ своимъ ученикамъ, что такое называется скоростью точки, — если они усвоили его изложеніе, то тѣмъ самымъ они знаютъ основную формулу диференціальнаго исчисленія — и въ то же время сами не знаютъ, что они ее знаютъ. Нормаленъ ли такой порядокъ? — Но помимо этого, понятія диференціала и производной такъ важны, такъ глубоки, и въ то же -время такъ просты, такъ жизненны, открываютъ такіе широкіе горизонты, что лишенная ихъ общеобразовательная школа въ XX вѣкѣ можетъ не удивлять насъ только въ силу застарѣлой привычки. — То же надо повторить, конечно, и о понятіи интеграла.

Необходимо подчеркнуть, что даже при весьма расширенномъ курсѣ механики вовсе не потребовалось бы особенно широкихъ свѣдѣній изъ такъ-называемой „высшей математики“. Немного аналитической геометріи: система прямоугольныхъ координатъ на плоскости и въ пространствѣ; преобразованіе координатъ; уравненіе прямой; уравненіе эллипса, имѣющаго центръ въ началѣ коорди-

натъ; уравненіе параболы. — Затѣмъ изъ диференціальнаго исчисленія: опредѣленіе первой и второй производной отъ функціи одного перемѣннаго; диференцированіе цѣлой степени перемѣннаго независимаго; диференцированіе синуса и косинуса; диференцированіе многочлена; диференцированіе сложной функціи; изъ геометрическихъ приложеній — уравненіе касательной, диференціалъ дуги.—Наконецъ изъ интегральнаго исчисленія: понятіе о интегралѣ неопредѣленномъ и опредѣленномъ; изображеніе интеграла площадью; значеніе произвольнаго постояннаго; интегрированіе степени перемѣннаго независимаго; интегрированіе многочлена: вотъ все, что нужно для механики.—

Конечно, при введеніи въ гимназическій курсъ элементовъ аналитической геометріи и анализа безконечно-малыхъ нельзя было бы ограничиться вопросами, перечисленными здѣсь; надо было бы придать вновь вводимому отдѣлу болѣе полный и цѣльный строй. Все же это могло бы быть осуществлено безъ увеличенія числа часовъ, отводимыхъ въ теченіе гимназическаго курса на всѣ отдѣлы математики. Достаточно было бы сократить (если не упразднить вовсе) практикуемое нынѣ подъ давленіемъ экзаменныхъ требованій, скучное для учителя и для учениковъ повтореніе всего курса,—да еще выкинуть изъ курса рядъ статей, не имѣющихъ практическаго примѣненія, а въ теоретическомъ смыслѣ стоящихъ изолированно, внѣ связи съ общимъ строемъ математическаго обученія. Къ такимъ статьямъ я причисляю: биномъ Ньютона; непрерывныя дроби; пожалуй, также неопредѣленныя уравненія. Зато было бы въ высшей степени желательно ввести въ курсъ элементы теоріи вѣроятностей. Законы случая, изученіемъ которыхъ занимается она, не только играютъ важную роль во множествѣ явленій обыденной жизни; они составляютъ также одинъ изъ основныхъ камней, на которыхъ зиждется укладъ современной Пиѳагорейской физики. Безъ теоріи вѣроятностей немыслимо изложеніе одной изъ основъ современнаго физическаго міровоззрѣнія—кинетической теоріи вещества; помимо понятія вѣроятности нельзя передать—хотя бы въ самыхъ общихъ чертахъ — современныя физическія представленія о ходѣ мірового процесса.

Теперь, господа, я готовъ уже окончить свою рѣчь, и мнѣ лишь хочется еще разъ остановиться на томъ, съ чего я началъ. Вы помните, я говорилъ о нѣкоторой розни между математиками и физиками. Мнѣ, господа, эта рознь представляется фактомъ, не только подлежащимъ устраненію, но и легко устранимымъ. Я отмѣтилъ нѣсколько такихъ точекъ соприкосновенія двухъ наукъ—или вѣрнѣе—двухъ предметовъ обученія, гдѣ, по моему мнѣнію, замѣтны нѣкоторыя тренія; я позволилъ себѣ также указать, какими измѣненіями программъ можно было бы уменьшить эти тренія. Всѣ эти измѣненія касались математическаго курса: но, господа, не истолкуйте это въ томъ смыслѣ, что физиковъ и ихъ преподаваніе я считаю безупречными. Нѣтъ; я просто исходилъ изъ той мысли, что о перемѣнахъ въ физическомъ преподаваніи нужно обращаться къ физикамъ. И если бы мнѣ случи-

лось выступить съ такимъ обращеніемъ, то я прежде всею сталъ бы указывать на огромную важность математическаго метода для физики; на все, чѣмъ физика обязана математикѣ; на то бережное отношеніе, которое физики должны проявлять къ математическимъ элементамъ, проходящимъ черезъ ихъ руки. Словомъ, я развивалъ бы незабываемыя слова Канта: „во всякой вѣтви естествознанія можно встрѣтить лишь столько истинной науки, сколько тамъ встрѣчается математики“*).

О подготовкѣ преподавателей математики**).

Д. Синцовъ. Харьковъ.

Интересъ, вызванный докладомъ пр. Н. Н. Салтыкова, посвященнымъ этому же вопросу, побуждаетъ и меня высказать свои взгляды на этотъ вопросъ.

Причины, меня побуждающія, двоякого рода. Во-первыхъ, будучи не согласенъ съ моимъ коллегой, я явился въ то же время до нѣкоторой степени виновникомъ осуществленія этого доклада, внесъ въ свое время въ Организаціонный Комитетъ предложеніе просить Н. Н. изложить на Съѣздѣ свои взгляды по этому вопросу: я былъ знакомъ съ ними по тому оживленному обсужденію, которому они подвергались въ физико-математическомъ факультетѣ нашего Харьковскаго университета въ связи съ предложеніемъ Попечителя Округа, организовать при факультетѣ или при содѣйствіи факультета временные педагогическіе курсы. Факультетъ всталъ тогда на ту точку зрѣнія, что мы, профессора, какъ таковые, не можемъ взять на себя эту задачу. Если мы можемъ указать, что можно и должно преподавать, въ особенности принимая во вниманіе научныя требованія и желательность той или иной подготовки университетскихъ слушателей, то мы не можемъ взять на себя задачу научить, какъ надо преподавать.

Но я не намѣренъ полемизировать съ моимъ почтеннымъ коллегой, взгляды котораго теперь къ тому же нѣсколько эволюціонировали. Я хотѣлъ подчеркнуть только принципіальную разницу нашихъ взглядовъ.

Мнѣ хотѣлось бы скорѣе остановиться на вопросѣ о подготовкѣ преподавателей математики по другой причинѣ. Дѣло въ томъ, что я силою вещей долженъ былъ принять въ этомъ дѣлѣ фактическое участіе, и вотъ объ этомъ-то я и хотѣлъ бы сказать нѣсколько словъ.

Уже третій годъ я числюсь руководителемъ занятій по математикѣ на курсахъ, организованныхъ при Харьковскомъ учебномъ

*) Metaphysische der Naturwissenschaft, Vorrede.—Не мѣшаетъ привести эту фразу въ подлинникѣ „...in jeder besonderen Naturlerhe nur so viele eigentliche Wissenchaft an getroffen werden könne, als darin Mathematik anzutreffen ist“.

**) Докладъ, прочитанный на 2-мъ всероссійскомъ съѣздѣ преподавателей математики 29 дек. 1913 г.

округѣ, согласно недавнему закону, прошедшему, насколько мнѣ помнится, въ порядкѣ думской иниціативы.

Первый годъ я согласился взять на себя лишь руководительство занятіями по спеціальному курсу. Но подвергши испытанію тѣхъ (всего 2-хъ) лицъ, которые изъявили согласіе слушать, и убѣдившись въ ихъ совершенной неподготовленности по части высшей математики, я заявилъ имъ, что не считаю возможнымъ заниматься съ ними при этихъ условіяхъ и сообщилъ объ этомъ завѣдывающему курсами. Второй годъ я не могъ принять никакого участія по состоянію своего здоровья. Но въ этомъ году мнѣ пришлось заняться этимъ дѣломъ. Слушателей было очень немного, всего 5, и даже 4, потому что одинъ былъ допущенъ лишь къ концу полугодія.

Дѣло было организовано такимъ образомъ.

Отъ даванія курсистами пробныхъ уроковъ въ учебныхъ заведеніяхъ рѣшено было отказаться, потому что они слишкомъ нарушаютъ ходъ учебныхъ занятій. Въ замѣнъ этого курсистамъ предложено было посѣщать уроки въ одной изъ гимназій съ тѣмъ, чтобы возникающіе при этомъ вопросы подвергались затѣмъ ими обсужденію съ преподавателемъ.

Что касается до меня, то я въ это полугодіе взялъ на себя занятія по геометріи.

Надо сознаться, что геометрія въ ея цѣломъ въ нашемъ высшемъ преподаваніи находится въ загонѣ. Обязательна только аналитическая геометрія, читаемая на 1 - омъ курсѣ; дифференціальная геометрія является лишь въ формѣ геометрическихъ приложеній диффер. исчисленія. Проэктивную геометрію и начертательную въ минимальныхъ размѣрахъ удалось ввести только съ введеніемъ предметной системы, и при томъ на секціи чистой математики, но не физики и астрономіи (я имѣю въ виду нашъ Харьковскій университетъ). Элементарная геометрія не читается вовсе (если не считать читаннаго мною раза два или три курса „Введенія въ геометрію“ съ нѣсколько иною программой). Поэтому мнѣ казалось полезнымъ расширить научный кругозоръ курсистовъ, и самое мое участіе не лишнимъ. Вотъ по какой программѣ занятія у насъ велись. Указавъ въ началѣ задачи и цѣли нашихъ занятій, какъ я ихъ понимаю, я предложилъ моимъ „слушателямъ“ рядъ темъ, по которымъ и предложилъ написать рефераты, въ чтеніи и до нѣкоторой степени обсужденія которыхъ и заключались затѣмъ наши занятія. Эти темы были слѣдующія.

1) Наглядный курсъ геометріи, какъ первая ступень ея преподаванія. Въ качествѣ основной канвы я предложилъ прекрасный докладъ А. Р. Кулишера на 1-мъ Съѣздѣ преподавателей математики и какъ pièce de résistance книгу P. Treutlein’a: Ueb. d. geometrischen Anschaungsunterricht des zweistufigen geometr. Unterricht. Приэтомъ я имѣлъ возможность познакомить слушателей съ имѣющеюся у насъ коллекціей моделей Р. Treutlein’a (хотя еще не полной).

Теперь это вопросъ очередной, и я находилъ нужнымъ въ первую голову ознакомить курсистовъ съ этими тенденціями.

Конечно, „новое есть лить хорошо позабытое старое“, и о наглядности и приложеніяхъ говорилъ еще Petr. Ramus.

2) На второе мѣсто я поставилъ рефератъ о логическомъ элементѣ въ геометріи, и такъ какъ я полагаю, что переходъ отъ нагляднаго курса къ строго логическому, систематическому курсу слиткомъ рѣзокъ, я предложилъ для ознакомленія еще старый, но прекрасный курсъ Clair aut: Eléments de géométrie*).

Мнѣ думается, что наиболѣе цѣлесообразна австрійская система трехъ цикловъ въ преподаваніи геометріи.

3) Въ качествѣ третьяго реферата я нашелъ нужнымъ познакомить своихъ слушателей съ исторіей „Началъ“ Евклида, т.-е. ихъ подготовкой, исторіей текста и содержаніемъ, при чемъ обратилъ вниманіе на нѣкоторыя особенности изложенія, какъ напр. постулатъ о кругѣ, о томъ, какъ Евклидъ получаетъ перенесеніе отрѣзковъ и т. д.

4) Четвертый реф. былъ посвященъ исторіи теоріи параллельныхъ линій (по Р. Бонола), послѣ чего была изложена

5) Система постулатовъ Гильберта по Grundlagen der Geometrie.

Наконецъ послѣдній рефератъ былъ посвященъ 6) методамъ геометрич. построеній (по Адлеру).

Онъ не совсѣмъ отвѣчалъ заданію, ибо мнѣ хотѣлось главное дать понятіе о возможности геометрическихъ построеній, т.-е. разрѣшимости геометрическихъ задачъ при помощи циркуля и линейки.

Какъ бы то ни было, этою программой мнѣ казалось завершеннымъ тотъ циклъ вопросовъ главнымъ образомъ научнаго характера, съ которыми необходимо быть знакомымъ преподавателю.

Въ области ариѳметики и алгебры подобной необходимости не существуетъ: вопросы, относящіеся къ основамъ ариѳметики и алгебры, служатъ предметомъ университетскаго курса введенія въ анализъ.

Поэтому мною представленъ въ настоящее время завѣдывающему курсами рапортъ, въ которомъ, давъ отчетъ о занятіяхъ въ этомъ полугодіи, я указываю, что на слѣдующее полугодіе занятія въ педагогическомъ семинарѣ должны носить болѣе практическій характеръ, темы ихъ должны стоять ближе къ курсу средняго учебнаго заведенія, а потому и руководителемъ должно состоять лицо, ближе стоящее къ дѣлу преподаванія; и я указалъ на того преподавателя, посѣщеніе уроковъ котораго уже рекомендовано курсистамъ. За собою я предполагалъ сохранить лишь консультаціонное значеніе, для совмѣстнаго обсужденія программы рефератовъ, въ родѣ темъ о тригонометрическихъ уравненіяхъ, о степени точности логариѳмическихъ вычисленій, опредѣленія длины окруж-

*) Мимоходомъ я замѣчу по адресу одного изъ докладчиковъ: „по Борелю“ во Франціи не преподаютъ: какъ засвидѣтельствовалъ на одномъ изъ Съѣздовъ М. К. Bouriet: „Бореля читаютъ, о немъ говорятъ, но его не покупаютъ, потому что по нему не преподаютъ“...

ности и т. д.*). Не скажу, чтобы я былъ удовлетворенъ своимъ отвѣтомъ. Прежде всего 2 часа въ недѣлю въ теченіе одного года слишкомъ мало. Но мнѣ думается все же, что въ той или иной формѣ рѣшеніе о подготовкѣ преподавателей должно лежать именно въ сферѣ взаимодѣйствія преподавателей обѣихъ школъ и средней и высшей. И было бы ошибкою сосредоточить все дѣло въ однихъ только рукахъ тѣхъ или другихъ.

И это взаимодѣйствіе станетъ еще болѣе натуральнымъ и естественнымъ, когда введеніемъ началъ высшей математики въ среднюю школу возстановится органическая связь искусственно разобщенныхъ частей, и установится правильная перспектива тѣхъ или иныхъ „предметовъ“ и теорій.

Но здѣсь является одинъ осложняющій моментъ. Откуда взять слушателей для такихъ курсовъ. Въ провинціальныхъ университетахъ математиковъ ежегодно кончаетъ немного, и всѣ они очень быстро получаютъ мѣста. Если ихъ не станутъ пускать въ преподаватели, скажемъ, въ Харьковскомъ Округѣ, ихъ сейчасъ же возьмутъ къ себѣ Оренбургскій, Ташкентскій, Кавказскій.

Если же допускать на курсы лицъ безъ университетскаго образованія, то хотя я и не сторонникъ монополіи университета въ дѣлѣ подготовки преподавателей, я нахожу, и съ этимъ согласится каждый, не два часа и не одинъ годъ надо будетъ заниматься съ такими лицами и на педагогическихъ курсахъ.

Что же касается до лицъ, не бывшихъ на курсахъ, то для нихъ въ особенности важны тѣ мѣры, которыя такъ или иначе облегчаютъ дѣло преподаванія. Таковы напр., вакаціонные краткосрочные курсы, съѣзды преподавателей, на которыхъ желательно внесеніе извѣстной планомѣрности путемъ намѣчанія впередъ темъ для обсужденія, какъ это принято въ съѣздахъ М К., а также установленіе путемъ предварительнаго опроса преподавателей тѣхъ темъ, на которыя было бы желательно имѣть доклады, организація въ центрахъ округовъ педагогическихъ библіотекъ и музеевъ наглядныхъ пособій и улучшеніе педагогическихъ библіотекъ при самыхъ учебныхъ заведеніяхъ.

Еще одно замѣчаніе. Психологи теперь говорятъ,—правда пока въ приложеніи къ экономической жизни,—о полезности извѣстнаго испытанія пригодности человѣка къ той или иной профессіи. И если Münsterberg находитъ, что не всякій можетъ быть трамвайнымъ вагоновожатымъ или телефонной барышней, то конечно странно думать, чтобы трудное дѣло преподаванія было доступно каждому. Я не думаю, что педагогомъ нужно родиться. Но нужно хотѣть быть имъ, нужно любить свое дѣло и хорошо относиться къ учащимся. Дѣти и юношество очень чутки и дарятъ своею любовью даже не особенно умѣлыхъ преподавателей, въ которыхъ чувствуютъ благожелательное, справедливое и ровное на себѣ отношеніе. А самимъ намъ нужно всегда помнить

*) Эти предположенія однако не получили осуществленія. Вмѣсто меня руководительство на курсахъ по приглашенію завѣдующаго курсами принялъ цроф. Н. Н. Салтыковъ. (Позднѣйшее примѣчаніе).

двѣ, я бы сказалъ, заповѣди. Одна—изреченіе P. Treutlein’a: „Нѣтъ ученика, абсолютно неспособнаго къ математикѣ; надо только умѣть за него взяться“. Другая—проф. Ф. Клейна, который предостерегаетъ: „Aber seien Sie nimmer absolut longweilig!“

О суммъ цифръ всѣхъ чиселъ по N включительно.

(Вторая статья).

Н. Агрономовъ. Ревель.

1° Въ № 7 „Математическаго Образованія“ за 1913 г. мною была дана формула, позволявшая въ нѣкоторыхъ случаяхь довольно легко опредѣлить сумму всѣхъ цифръ по ^включительно.

Таковыми были тѣ случаи, когда число N представлялось въ видѣ числа, состоящаго изъ множителей а и 10 й, или когда число N изображалось п разъ взятой одной и той-же цифрой. Вычисленіе-же суммы цифръ всѣхъ чиселъ до N включительно при N какого-либо иного вида представляло большія затрудненія. Настоящая статья имѣетъ цѣлью пополнить этотъ пробѣлъ и, кромѣ того, сдѣлать нѣкоторыя существенныя дополненія. Итакъ пусть

разсматриваемое число. Пусть S(N) сумма всѣхъ цифръ чиселъ до N включительно. Составимъ разность 10 й) — S(N). По данной въ статьѣ, № 7 формулѣ имѣемъ

Послѣ обширныхъ сокращеній имѣемъ

т. e.

S (N-{-10”) — S(N) = 4conlO” “1+1+Ar (4)

Но изъ цитируемой моей статьи извѣстно, что

Я (10 ") = 45 п 10 * -1 + 1 (5)

Слѣдовательно

S(AT+ 10 й) = 5 (10 и) + АГ+ 5 (А7) (6)

2° Т. о., чтобы вычислить 5(22), мы поступаемъ слѣдующимъ образомъ:

S (22) = S (10) -j- S (12) -4-12

или

5(22) = 46+ 51 + 12 = 119,

что совершенно согласно съ непосредственнымъ подсчетомъ. Отсюда, мы можемъ получить S (32), S (42) и т. д.

Возьмемъ еще примѣръ: найти 5(78).

Складывая почленно эти равенства, получаемъ

5(78) = 7. 5(10) + 5(8) + 266 =7. 46 + 36 + 266 = 624.

Подобно тому, какъ мы вывели формулу (6), мы можемъ вывести рядъ такихъ формулъ

гдѣ А+ А" 2 и т. д. соотвѣтственно равны

3° Наличность такихъ формулъ, какъ формулы (6) и (7), даютъ намъ въ руки удобный способъ опредѣленія 5(А7). Примѣры: 1) найти 5(345)

Отсюда

£ (345) = £ (45) -j— 3 S (100) —j- 435 (a )

На основаніи формулы (7)

Отсюда

S (45) = 4. S (10) + S (5) + 80 Ho, S (b) = 5. S (1) +10.

Слѣдовательно,

2) Найти S (998).

Изъ приведенныхъ двухъ примѣровъ мы видимъ, что вычисленіе S(N) сводится къ опредѣленію членовъ двоякаго рода. Къ первому роду относятся всѣ члены, включающія въ свой составъ 8 (10 *); ко второму роду относятся члены, образованные изъ N слѣдующимъ образомъ. Изъ числа N вычитаютъ наивысшую возможную степень 10. Это будетъ первый членъ второго рода. Изъ этого члена опять вычитаютъ наивысшую степень 10. Получается второй членъ второго рода. Со вторымъ членомъ поступаемъ также. Получаемъ третій членъ. Дальнѣйшее продолженіе этой операціи даетъ намъ всѣхъ членовъ второго рода. Сумму этихъ членовъ обозначимъ буквой Т. Тогда для опредѣленія S (ІѴ) имѣемъ слѣдующее правило: сумма цифръ всѣхъ чиселъ поА7=—а0 + а1Ю + . . .+аи 10й опредѣляется формулой

S(Л)=Т+аnS(10n)aft^.1S(10и“ -1) +. . . . + a0S(l) (8)

Въ виду того значенія, какое играютъ въ вычисленіи S (N) числа 8( 1), 8 (10), S(100), £(1000) и т. п., я считаю не лишнимъ дать нѣкоторыя значенія этихъ чиселъ

4°. Формула (6) даетъ намъ возможность сдѣлать весьма интересное заключеніе. Пусть число N и число 8 (Л7) дѣлятся на 5 или 9. Т. к. S (10м) тоже дѣлится на 5 или 9, то отсюда мы заключаемъ, что и Sj^+lO”) дѣлится на 5 или 9.

5°. Повторимъ всѣ разсужденія, приведенныя нами относительно числа N= а 0 + ах 10 + а 2 10 2 + . . . + а п 10 и, относительно числа

Лг=«о + аіа + а2с:2+- + (10)

написаннаго по системѣ счисленія съ основаніемъ а.

Эти разсужденія приведутъ насъ къ выводу такихъ формулъ:

Sa(N-\-au ) = Sa(aM) + ІѴ 4" Sa (N)*) (11)

Scc(N+a”-') = Scc(a”-1) + N± + &(Л) (12)

и т. д., гдѣ NIV Лт2, .... суть соотвѣтственно равны

а Q-\~ а а п — 1 а п ““ 1 (13)

а0-\-ага-\-. . .4-«п-2«и_2 (14)

И т. д.**)

Примѣръ: Найти S3 (22)

Имѣемъ:

Слѣдовательно :

S3 (22) « 2 S3 (10) + 12 + 2 + S3 (2) (17)

или

S3 (22) = 2.11 + 12 + 2 + 10 = 200 = (18) 10. (18)

6° Изъ приведенныхъ вычисленій мы видимъ, что при опредѣленіи S«(Л) большую роль играютъ числа Sa(«M). Вычисленіе этихъ чиселъ можетъ быть совершено по слѣдующей формулѣ, аналогичной и аналогично выводимой съ формулой (12) (М. Обр. 1912 г. стр. 313).

Sa(a*)-=a. a"-1, п + 1, (19)

гдѣ 6=1 + 2 + 34-... + (a—1)

Если всѣ вычисленія формулы (19) производить по десятичной системѣ счисленія, то мы будемъ имѣть.

*) —сумма цифръ чиселъ, написанныхъ по системѣ счисленія съ основаніемъ а, до N включительно.

**) Всѣ вычисленія ведутся по системѣ счисленія съ основаніемъ а.

Примѣръ: Найти сумму цифръ всѣхъ чиселъ написанныхъ по троичной системѣ до числа (27) 10. Вторая изъ формулъ (20) дастъ намъ:

8* (З3) = 82

7°. Такъ какъ вычисленіе суммы цифръ всѣхъ чиселъ, написанныхъ по системѣ съ основаніемъ а, до числа N включительно, анологично процессу, изложенному въ 3°, то мы, оставляя этотъ процессъ въ сторонѣ, перейдемъ къ разсмотрѣнію свойствъ S2 (N). Пусть Л7 можетъ быть представлено въ видѣ.

(21)

(22)

и т. д. Наконецъ,

Слѣдовательно:

Примѣръ. Найти сумму цифръ всѣхъ чиселъ до (1001)2 = (9)10 Будемъ имѣть

что можно провѣрить непосредственнымъ подсчетомъ.

Нѣкоторый интересъ представляетъ таблица позволяющая вычислять суммы цифръ всѣхъ чиселъ до двоичнаго числа, начинающагося съ одной единицы, съ двухъ, съ трехъ и т. д. Двоичныя

числа начинающіяся одной, двумя, тремя и т. д. единицами имѣютъ видъ

Формула (23) дастъ намъ для этихъ случаевъ слѣдующія выраженія:

Примѣръ

Величины и числа.

Пер. Р. Гольцбергъ, подъ ред. А. П. Пшеборскаго.

Харьковъ.

(Продолженіе).

Отрицательныя и ирраціональныя числа были чужды грекамъ; ихъ впервые встрѣчаютъ на христіанскомъ западѣ вѣроятно въ началѣ 13-го столѣтія у Леонарда Пизанскаго (Фибоначчи). Они, какъ полагаютъ, дошли, какъ и десятичная система счисленія, при посредствѣ арабовъ изъ далекой Индіи. Но отрицательныя числа еще считаются „числами, которыя не одобряются людьми“ (у индійца Бискара)1) или совсѣмъ numeri absurdi (у Стифеля). Отрицательные корни уравненія называются aestimationes falsae или fictae (значенія ложныя или воображаемыя)2). Вычисленія съ нулемъ и отрицательными числами начинаются лишь въ первой половинѣ 17-го столѣтія. Нидерландецъ Альбертъ Жираръ (ум. въ 1633) и Декартъ оказали въ этомъ отношеніи наибольшія услуги алгебрѣ, первый—своимъ сочиненіемъ, вышедшимъ въ свѣтъ въ 1629-мъ году и справедливо носящимъ названіе „Invention nouvelle en l’Algèbre etc.“, второй— * 2

1) M. Cantor въ указ. соч. I, стр. 528—31.

2) К. Fink. Kurzer Abriss е. Gesch. d. Elementarmathematik 1890 стр. 77.

своей „Géométrie“. (1637)1). Оба геометрически истолковываютъ отрицательные корни, какъ отрѣзки, направленіе которыхъ противоположно направленію отрѣзковъ, соотвѣтствующихъ положительнымъ корнямъ2). Но въ то время, какъ у Жирара находится только замѣчаніе: „отрицательное рѣшеніе представляется геометрически, какъ движеніе назадъ“ („Іа solution par moins s’explique en géométrie en rétrogradant“)3), Декартъ на дѣлѣ воспользовался этой мыслью въ цѣломъ рядѣ задачъ. Что Ферматъ, другой творецъ аналитической геометріи, который еще до Декарта открылъ возможность представленія уравненій между координатами—кривыми, пользовался только что упомянутымъ толкованіемъ отрицательныхъ корней, не вполнѣ, видно изъ его сочиненій.

Такъ-же, какъ съ отрицательными числами, дѣло обстояло и съ ирраціональными4). До 18-го столѣтія они назывались по Леонарду Пизанскому numeri surdi, что, вѣроятно, представляетъ собой переводъ арабскаго искусственнаго слова, долженствовавшаго передать греческое адуцтоя или аЛоуод5). Только Штифель впервые объяснилъ въ своей „Arithmetica integra“ (1544), что ирраціональныя числа суть собственно числа, и подробно занимался ими6). И по отношенію къ пониманію ирраціональныхъ чиселъ Géométrie Декарта образуетъ точку поворота. Декартъ, правда, производилъ вычисленія надъ линіями, какъ таковыми, т. е. отожествлялъ извѣстныя геометрическія построенія съ четырьмя дѣйствіями ариѳметики. При этомъ Декартъ пользовался появившимся уже до него, самимъ по себѣ неважнымъ, но имѣвшимъ рѣшительное вліяніе на дальнѣйшее развитіе геометріи, нововведеніемъ — обозначать каждый отрѣзокъ только одной буквой, а не двумя—обозначеніями его конечныхъ точекъ, какъ это находимъ у древнихъ. Изъ отрѣзковъ онъ, однако, выбиралъ одинъ впрочемъ произвольный, который называлъ единицей и большей частью обозначалъ 1. Онъ, называлъ при этомъ произведеніемъ двухъ отрѣзковъ тотъ отрѣзокъ, который, такъ относится къ одному изъ нихъ, какъ другой—къ единицѣ:

1) Klugel, Lexicon I стр. 52 ff.

2) Kliigel, въ указ. соч. стр. 57. Декартъ, Geometria, изд. Schooten р. 87.

3) Suter, Gesch. d. math. Wissenschaften, II, стр. 19.

4) По Эвклиду, элем. X опр. 6, „слѣдуетъ называть раціональными и квадратные корни изъ раціональныхъ чиселъ“.

5) Baltzer, Elemente der Mathematik, I., 5-ое изд. стр. 105.

6) Gerhardt, Gesch. d. Math, in Deutschland стр. 69.

это произведеніе есть, такимъ образомъ четвертое (геометрическое) пропорціональное къ двумъ отрѣзкамъ и къ единицѣ. Однако отрѣзокъ вообще не является у Декарта числомъ, коего счетъ съ отрѣзками приводитъ къ пониманію всѣхъ отрѣзковъ, какъ чиселъ, при выборѣ одного опредѣленнаго за единицу. Мы встрѣчаемъ этотъ взглядъ во всякомъ случаѣ уже у Ньютона, который говоритъ1): „подъ числомъ мы разумѣемъ отношеніе одной величины къ другой, однородной съ ней и принятой за единицу“. Хотя подъ этимъ онъ подразумѣваетъ только абсолютное, т. е. положительное число, но самъ въ другихъ мѣстахъ употребляетъ выраженія: отрицательное число и даже „невозможное“ число2).

Странно, что Ньютонъ не показываетъ, какъ нужно произвести четыре дѣйствія надъ общими ирраціональными числами; гакъ, мы не находимъ у него, напр., объясненія произведеній ирраціональныхъ чиселъ по два. Вѣроятно, онъ былъ того мнѣнія, что только-что сообщенное правило умноженія Декарта относится къ области геометріи. Между тѣмъ, съ теченіемъ времени, пріемъ связывать ирраціональныя числа съ измѣреніемъ пространственныхъ величинъ дополнялся въ намѣченномъ направленіи3).

Ирраціональныя числа дѣлаютъ лишними „отношенія“ древнихъ и повели, какъ замѣчено, къ открытію аналитической геометріи; открытое Лейбницемъ и Ньютономъ исчисленіе безконечно малыхъ указало „новую дорогу“ къ выполненнымъ Архимедомъ квадратурамъ и кубатурамъ4). Исторія этой новой науки разсказываетъ о недоразумѣніяхъ и противорѣчіяхъ въ основныхъ понятіяхъ, въ чемъ отчасти были виною открывшіе ее, именно, Ньютонъ, который, можетъ быть, не хотѣлъ вполнѣ ра-

1) Newton. Arithmetica universalis изд, Gravesude 1732 стр. 1.

2) Newton въ ук. м. стр. 180, 182.

3) Дополненія геометрической теоріи ирраціональныхъ чиселъ встрѣчаются въ двухъ формахъ; одну можно найти у J. Н. Fr. Müller, Lehrbuch d. alg. Arith. 2 изд. 73 ff., другую въ Traités d’Arithmétique и d’AIgebre J. Bertrand. Къ простымъ построеніямъ произведенія и частнаго двухъ ирраціон. чиселъ послѣ Декарта никто видно, не возвращался; они являются особыми случаями соотв. объясненій геометрическихъ отношеній, которыя даны въ моихъ „Лекціяхъ общей ариѳметики“ I, стр. 95.

4) Къ исторіи основныхъ понятій исчисленія безконечно-малыхъ ср. дополненія J. K. F. Hauff'a къ его переводу Carnot „Reflexions sur la théorie du calcul infinitésimal“ (1800) и Mansion’a „Exquisse de l’histoire du calcul infinitésimal въ его Cours d’Analyse infinitésimal. 1887.

зоблачить тайну своего метода. Вліяніе ихъ предшественниковъ— Кеплера, Кавальери, Григорія изъ St. Vincent’a, Pоберваля, также, вѣроятно, содѣйствовало тому, что дифференціальное и интегральное исчисленіе преимущественно было основываемо на актуальныхъ1) безконечно-малыхъ величинахъ (quantitates infinitesimae). Какая неувѣренность царила при этомъ, можетъ показать, лучше длинныхъ изъясненій, одинъ анекдотъ. Боссю (Bossut) разсказываетъ въ своей исторіи математики, что онъ попросилъ у знаменитаго геометра Фонтеня разъясненій по поводу нѣкоторыхъ утвержденій о безконечно-малыхъ величинахъ и получилъ отъ него отвѣтъ: „принимайте безконечно-малыя, какъ гипотезу, изучайте примѣненіе ихъ, и вѣра у васъ появится“. Трудно въ самомъ дѣлѣ понять, какъ выдающіеся математики, напр. Іоаннъ Бернулли и его ученикъ маркизъ де Л’Опиталь, даже еще самъ Пуассонъ могли выставить положеніе, что бываютъ величины, отличныя отъ нуля и вмѣстѣ съ тѣмъ меньшія всякой величины, которая только можетъ быть дана. Поэтому должно существовать среднее между нулемъ и конечной величиной, между „ничто“ и „чѣмъ нибудь“. Тому, кто не хочетъ съ этимъ согласиться, остается только объявить величину, которая меньше всякой, могущей быть заданной величины, „ничѣмъ или нулемъ“. Такъ и дѣлаетъ Эйлеръ. Но когда онъ продолжаетъ: хотя каждые два нуля равны между собою, ихъ геометрическое отношеніе можетъ быть отличнымъ отъ отношенія равенства, то онъ дѣлаетъ громадную ошибку тѣмъ, что въ одномъ и томъ-же изслѣдованіи смотритъ на тѣ-же самыя двѣ величины и какъ на равныя, и какъ на неравныя. Неудивительно, что послѣ такихъ требованій, предъявленныхъ къ здравому человѣческому разуму, пожелали возврата къ ясности и непротиворѣчивости древней геометріи! Нѣкоторые думали, что новой теоріи недостаетъ для строгости только внѣшней формы, и попытались изложить ее въ духѣ древнихъ. Ученый гражданинъ Вероны Джузеппе Торелли обнародовалъ въ 1758 году двѣ книги de nihilo geometrico, въ которыхъ, какъ онъ полагалъ, онъ строго подражалъ древнимъ. Онъ противопоставилъ nihilo metaphysico, т. e. отрицанію самому по себѣ, отрицаніе конкретнаго предмета, какъ nihil geometricum, т. е., такъ сказать, воспоминаніе о предметѣ, который пересталъ существовать, или его тѣнь, если воспользоваться сравненіемъ изъ классической миѳологіи. Мы не можемъ, однако, признать, что серьезныя старанія Торелли увѣн-

1) Cp. Hauff, въ указ. м.

чались желаннымъ успѣхомъ. Хотя онъ и ссылается на пятую книгу Евклида, но не придерживается изложенныхъ въ ней основныхъ положеній. Онъ не исходитъ изъ того, чтобы объяснить, при какихъ обстоятельствахъ нужно двѣ его „несущности“ считать равными между собой, а довольствоваться только опредѣленіемъ, математически ничего не выражающимъ: „сравненіе есть сопоставленіе двухъ какихъ-либо вещей“ (Comparatio est duorum quorundam collatio).

Нужно вообще удивляться тому, что мысли, лежащія въ основаніи 5-ой книги „Элементовъ“ Евклида, были или неточно поняты, или недостаточно использованы какъ разъ почитателями древней геометріи. Этотъ отдѣлъ „Элементовъ“, принадлежащій, вѣроятно, Евдоксу, даетъ именно методъ, при помощи котораго могутъ быть созданы въ математикѣ новыя величины; вмѣстѣ съ тѣмъ онъ представляетъ едва-ли не болѣе, чѣмъ всякое другое мѣсто изъ сохранившихся отъ древняго міра математическихъ сочиненій, нетлѣнный памятникъ остроумія Эллиновъ и ихъ дарованій въ точныхъ наукахъ. Столь многими математиками 19-го столѣтія этотъ методъ былъ, безъ сомнѣнія открытъ самостоятельно. Имъ пользуются новыя ариѳметическія теоріи ирраціональныхъ чиселъ1); помощью его удалось въ наши дни установить свободныя отъ противорѣчій реальныя безконечно-большія и безконечно-малыя величины2). Конечно, при этомъ пришлось отказаться отъ многихъ свойствъ абсолютныхъ чиселъ.

(Продолженіе слѣдуетъ).

Задачи.

Подъ редакціей Э. Ю. Лейника.

137. Рѣшить уравненіе

1) Рѣчь идетъ о теоріяхъ ирраціон. чиселъ Вейерштрасса, Дедекинда Кантора.

2) Здѣсь рѣчь идетъ о трансфинитныхъ числахъ Г. Кантора и о провозглашенныхъ Р. Veronese новыхъ infiniti и infinitesimi attuali (Mem. della Асс. clei Lincei ser 4 vol VI р. 603); далѣе объ установленныхъ мною по даннымъ P. du Bois-Reymond’a двухъ системахъ безконечно-малыхъ и безконечно-большихъ величинъ (ср., напр., Math. Annalen 31 т. стр. 601).

138. Рѣшить систему уравненій

#2 + У2 — z(x+- у) = а у2-{-я2 — х(у *4- z) = Ъ Ъ2 -j- X2 — у(ъ -|-х)~С

Л. Закуминскій.

139. Даказать, что число, представляющее сумму цифръ всѣхъ чиселъ отъ 1 до ^=10”, имѣетъ сумму цифръ равную 97с —J— 1, гдѣ h нѣкоторое цѣлое число.

Н. Агрономова.

140. На сторонѣ AB треугольника АВС дана точка М. Опредилить на ВС точку X такъ, чтобы сумма растояній М и X отъ АС была бы равна MX.

И. Александровъ.

141. Въ углѣ В треугольника АВС въ извѣстномъ направленіи провести трансверсаль ХУ такъ, чтобы произведеніе перпендикуляровъ XD и УЕ на АС было равно ХУ2.

И. Александровъ.

142. Рѣшить уравненіе

cos*x — 8 cos2x -j- sin 2x cos x — 8 sin x -*f- 8 = 0

B. Тюнинъ.

143. Въ каждый изъ двухъ треугольниковъ, на которые разсѣкается прямоугольный треугольникъ высотою, опущенною на гипотенузу, вписана окружность. Показать, что имѣетъ мѣсто зависимость.

r + r1-\-r2 = h, гдѣ

г — радіусъ вписаннаго круга, гг и г2 радіусы упомянутыхъ окружностей, h—длина высоты, опущенной изъ вершины прямого угла.

Рѣшенія задачъ.

93. Не пользуясь окружностью, показать, что изъ всѣхъ треугольниковъ, имѣющихъ одинаковыя основанія и высоту, наибольшій уголъ противъ основанія принадлежитъ равнобедренному треугольнику.

Пусть АВС и АВС два треугольника, имѣющіе общее основаніе АС и равныя высоты т. е. ВВ || АС. Пусть треугольникъ АВС равнобедренный — AB = ВС. Разсмотримъ точку А', симметричную съ А, относительно PQ. Точки А', В, С, какъ извѣстно, лежатъ на одной прямой. (См. чер.).

По условію <£ В АС = <£; ВС А, далѣе, DA С << BAC, а <£; DCA > <)zBCA, слѣдовательно <£; DCA > <£ DAC, a потому

AD>DC; AD = A'D, а потому A'D>DC и изъ треугольника A'DC имѣемъ: <^A'CD >> CAD или, что то же <$zOCD > О AD. Въ треугольникахъ AOD и COD имѣемъ при точкѣ О пару равныхъ угловъ, уголъ при точкѣ (\ по только что доказанному, больше угла при точкѣ А, а потому уголъ при точкѣ D долженъ быть меньше угла при точкѣ В.

Если бы мы взяли точку D по другую сторону отъ точки В, то слѣдовало бы разсматривать точку С', симметричную съ С относительно PQ.

Л. Гамперъ (Москва), И. Евдокимовъ (Шуя), А. Ройзманъ (Смоленскъ), А. Сердобинскій (Чита).

94. Даны точка А и двѣ окружности О и Оѵ Черезъ точку А провести сѣкущую, отрѣзокъ которой между окружностями дѣлился бы пополамъ радикальною осью данныхъ окружностей.

Положимъ такой отрѣзокъ СЕ найденъ. Проведемъ изъ точки В касательныя къ окружностямъ О и 01. Тогда имѣемъ:

BC.BD — ВМ2, BE.BF=BN\

но ВМ = BN (ибо В лежитъ на радикальной оси), а потому

В С. BD — BE.BF.

Отсюда заключаемъ, что BD = BF\ вычитая изъ обѣихъ частей равенства равныя величины ВС и BE имѣемъ: DC'= EF и задача приведена къ слѣдующей задачѣ: Провести черезъ точку А сѣкущую, опредѣляющую въ кругахъ равные отрѣзки. Для рѣшенія задачи перенесемъ кругъ О такъ, чтобы равные отрѣзки DC и EF совмѣстились. Тогда центръ О перемѣстится въ 0.2 и положеніе его можно будетъ легко опредѣлить. Въ самомъ дѣлѣ,

.Jr 00,0, = Л-, ибо 00, II AF и 0,0, J_ AF. Проведемъ изъ точки А касательная къ кругамъ 0t и 02. Тогда, какъ извѣстно, AG=AH. Въ прямоугольномъ треугольникѣ АН02 извѣстны оба катета АН= АО, и —радіусъ круга О. Слѣдовательно, будемъ знать гипотенузу -402. Описавъ на OOt, какъ на діаметрѣ кругъ и пересѣкая его дугою радіуса А02у описанною изъ точки А, будемъ имѣть точку 02. Кругъ описанный изъ 02, радіусомъ круга О, дастъ въ пересѣченіи искомыя точки Е и F.

Можно также провести изъ А сѣкущую AEF, параллельную OOo-

В. Кованько (ст. Струнино), А. Ройзманъ (Смоленскъ).

96. Показать, что въ треугольной пирамидѣ, плоскіе углы которой при вершинѣ прямые, квадратъ площади основанія равенъ суммѣ квадратовъ площадей трехъ ея боковыхъ граней.

Пусть при точкѣ О всѣ три плоскіе углы прямые. Пусть вершины основанія обозначены буквами А, В, С. Проведемъ въ плоскости основанія BD АС и соединимъ точку О съ D. Тогда по теоремѣ о проекціи наклонной будемъ имѣть ODJ_AC.

Далѣе имѣемъ; АО2 + СО2 = АС2. Умножаемъ обѣ части на OB2.

Поэтому имѣемъ

Дѣля на 4 обѣ части равенства и замѣчая, что

будемъ имѣть

Черезъ Sa, Sb, Sc обозначены площади граней пирамиды, лежащихъ соотвѣтственно противъ угловъ А, В, С.

А. Бутомо (Саратовъ), В. Добровольскій (Москва), В% Кованько (ст. Струнино), И. Коровицкій (Спб.), М. Любомудровъ (Тула), А. Ройзманъ (Смоленскъ), А. Сердобинскій (Чита), Д. С. (Харьковъ), В. Фесенко (Харьковъ), Н. Щетининъ (Москва).

97. Доказать, что вообще въ треугольной пирамидѣ квадратъ площади какой либо грани равенъ суммѣ квадратовъ площадей трехъ остальныхъ граней безъ удвоенной суммы произве-

деній площадей каждыхъ двухъ изъ нихъ на косинусъ двуграннаго угла между ними.

Пусть имѣемъ пирамиду ABCD. Примемъ грань АВС за основаніе и опустивъ изъ вершины 1) перпендикуляръ ВО на грань АВС, соединимъ точку О съ вершинами АВС. Площадь треугольника АВС разобьется на три площади AB О, В СО, CAO. Каждая изъ этихъ площадей является проекцій одной изъ боковыхъ граней—ABD, BCD, CAD. Поэтому каждая изъ этихъ площадей будетъ соотвѣтственно равна проектируемой боковой грани, умноженной на косинусъ угла между нею и плоскостью основанія.

Введемъ теперь слѣдующія обозначенія: площади граней ВВС', CAD, DBA, АСВ

черезъ А, В, С, D

двугранные углы при ребрахъ ВС, С А, AB, AD, BD, CD черезъ a, Ь, с, aï, V, с'.

На основаніи только что сдѣланнаго замѣчанія можемъ теперь написать четыре равенства.

Умножая каждое изъ равенствъ соотвѣтственно на А, В, С, D получимъ

Складывая три какихъ-нибудь изъ этихъ четырехъ равенствъ и вычитая четвертое будемъ имѣть послѣ сокращенія.

или, наконецъ,

Л. Гамперъ (Москва), В. Добровольскій (Москва), В. Кованько (ст. Струнино), А. Ройзманъ (Смоленскъ), А, Сердобинскій (Чита).

99. Найти предѣлъ выраженія

Имѣемъ

Обозначимъ

Тогда будемъ имѣть:

ОС

Такъ какъ lim п = lim cotg2—— =оо, то выраженіе, заключенное въ скобкахъ, въ предѣлѣ стремится къ —, показатель же въ предѣлѣ будетъ

данное выраженіе вь предѣлѣ, при т = оо, будетъ

В. Кованько (ст. Струнино), А. Сердобинскій (Чита). Д. С. (Харьковъ), Н. Щетининъ (Москва), іГ. Евдокимовъ (Шуя).

100. Показать, что произведеніе четырехъ послѣдовательныхъ цѣлыхъ чиселъ, увеличенное единицею, есть точный квадратъ.

Пусть четыре послѣдовательныхъ цѣлыхъ числа обозначены соотвѣтственно черезъ и—1, w, п-]—1, п-\-2. Произведеніе ихъ выразится слѣдующимъ образомъ

Прибавивъ къ полученному многочлену 1, увидимъ, что полученная сумма есть квадратъ многочлена п‘24-п—1.

Итакъ, имѣемъ

(п—1) п (w —|— 1) (п -f- 2) + 1 = (п2-^- п—I)2.

К. Боборыкинъ (Бобруйскъ), А. Бутомо (Саратовъ), Л, Гамперъ (Москва), И. Евдокимовъ (Шуя), В. Кованько (ст. Струнино), И. Коровинскій (Спб.), В. Лебедевъ (Омскъ), В. Литвинскій (Екатеринославъ), М. Любомудровъ (Тула), М. Орбекъ (Москва), В. Полякова (Н. Новгородъ), В. Пфейфферъ (Винница), А. Сергѣееъ (Москва), Л. Сердобинскій (Чита), В. Сѣверный (Тула), Флавіанъ Д. (Спб.), В. Чичеринъ (Ярославль), II. Щетининъ (Москва).

101. Рѣшить систему уравненій

Сложивъ почленно всѣ три уравненія, будемъ имѣть:

Полученное значеніе z подставимъ въ первое и второе ур-я. Будемъ имѣть:

Опредѣляемъ у изъ ур-ій (2) и (3) к полученные результаты приравниваемъ другъ другу:

Это уравненіе послѣ упрощенія представится въ слѣдующемъ видѣ.

X J X2 (а- —|— ab —|— ab2) -|-х (аЪ) (Ъ2 — а2 — ab) — 2ab2 (а-\-Ъ) } =0.

Отсюда имѣемъ #,=0, х2 = а', х3 = а", гдѣ а! и а" корни уравненія, получающагося отъ приравниванія нулю выраженія, заключеннаго въ фигурныхъ скобкахъ. Зная х можно опредѣлить изъ (1) величину #, а изъ (2) или (3)—у.

В. Кованько (ст. Струнино), А. Сергѣевъ (Москва), Н. Щетининъ (Москва),

102. Рѣшить уравненіе

x3-\-px-\-q=0, если извѣстно, что рд=27 (ç+1).

Такъ какъ q = — — 1, то уравненіе можно переписать слѣдующимъ образомъ.

Обозначимъ —-— 1 черезъ п. Тогда мы представимъ уравненіе въ слѣдующемъ видѣ:

Изъ перваго уравненія имѣемъ х = — п= 1 — ^. Рѣшая второе уравненіе получимъ:

Итакъ,

И. Евдокимовъ (Шуя), В. Кованько (ст. Струнино), И. Коровицкій (Спб.), В. Лебедевъ (Омскъ), М. Орбекъ (Москва), А. Сергѣевъ (Москва), А. Сердобинскій (Чита), Флавіанъ Д. (Спб.), В. Чичеринъ (Ярославль), Н. Щетининъ (Москва).

103. Найти сумму п членовъ ряда.

12а -f- 32а2 -\- о2а3 -J- 72а4 (2k — 1 )2nk -\-

Обозначимъ сумму п членовъ нашего ряда буквою S.

S = 12а -f- 32а2 -f- 52а3 -|- 72а4 -|- (2п— 1 )■%* .

Умножимъ обѣ части этого равенства на а и вычтемъ почленно изъ перваго равенства второе. Будемъ имѣть

S—aS=-a—(2п—I)2 ап~*]-\-8а2 [1-р2а-{-За2-}-4а34- (п—1) ап~~2\ (1)

Сумму стоящую въ скобкахъ обозначимъ черезъ S'. Поступая съ нею такимъ же образомъ, какъ съ суммою S будемъ имѣть

откуда

Подставляя это значеніе S' въ формулу (1) будемъ имѣть:

Отсюда имѣемъ:

А. Бутомо (Саратовъ), И. Евдокимовъ (Шуя), В. Кованько (ст. Струнино), И. Коровіцкій (Сиб.), В. Литвинскій (Екатеринославъ), М. Орбекъ (Москва), А, Сергѣевъ (Москва), А. Сердобинскій (Чита), В. Сѣверный (Тула), Н. Щетининъ (Москва).

Библіографическій отдѣлъ.

Ариѳметика Магницкаго. Точное воспроизведеніе подлинника. Съ приложеніемъ статьи П. Баранова (біографическія свѣдѣнія о Магницкомъ и историческое значеніе его ариѳметики). Вып. 1-й. Изд. П. Баранова. М. 1914. Ц. 80 к.

„Ариѳметика“ Магницкаго, упоминаемая въ біографіи М. В. Ломоносова, была, какъ извѣстно, одной изъ первыхъ математическихъ книгъ, напечатанныхъ въ Россіи. Она написана на славянскомъ языкѣ и издана въ 1703 г. по повелѣнію Петра В.; благодаря своимъ высокимъ качествамъ, она получила широкое распространеніе и болѣе 50 лѣтъ была главнымъ русскимъ учебникомъ по математикѣ, такъ какъ въ ней, кромѣ ариѳметики, излагаются свѣдѣнія по алгебрѣ, геометріи, тригонометріи и прикладнымъ математическимъ наукамъ, съ массою примѣровъ и задачъ. Въ настоящее время экземпляры „Ариѳметики“, а также рукописные списки ея, встрѣчаются весьма рѣдко и цѣнятся очень дорого, а потому нельзя не быть благодарнымъ г. П. А. Баранову, предпринявшему новое изданіе столь замѣчательнаго памятника въ исторіи русскаго математическаго образованія.

Слѣдуетъ замѣтить, однако, что подзаголовокъ „точное воспроизведеніе подлинника“ въ изданіи П. А. Баранова не вполнѣ отвѣчаетъ дѣйствительности. Въ подлинникѣ „Ариѳметика“ Магницкаго представляетъ огромный томъ большого формата, изданный чрезвычайно роскошно; точное воспроизведеніе ея, fac simile, конечно, было-бы весьма желательно, но трудно осуществимо въ виду большой стоимости. Изданіе П. А. Баранова даетъ книгу въ форматѣ, уменьшенномъ до современнаго обычнаго размѣра, при чемъ первыя двѣ страницы воспроизведены цинкографически, остальныя же сдѣланы наборомъ. При этомъ, однако, приняты всѣ мѣры къ достиженію возможно болѣе близкаго сходства новаго изданія съ оригиналомъ, и слѣдуетъ признать, что оно, дѣйствительно, до мельчайшихъ подробностей напоминаетъ подлинникъ.

Изложенію текста „Ариѳметики“ предшествуютъ, кромѣ предисловія, двѣ статьи издателя: объ авторѣ ея Л. Ф. Магницкомъ и о значеніи ея въ исторіи русскаго просвѣщенія. Эти очерки составлены очень содержательно, но нѣсколько сжато и сухо. Отмѣчаемъ, однако, утвержденіе, что „гдѣ родился Л. Ф. Магницкій и кто были его родители—неизвѣстно“. Изысканія Тверской Ученой Архивной Комиссіи проливаютъ свѣтъ на этотъ вопросъ, и на основаніи ихъ можно заключить, что Л. Ф. Магницкій родился въ крестьянской семьѣ, въ одной слободѣ близъ г. Осташкова, Тверской губ.1)

1) См., напр., прот. В. П. Успенскій: „О прошломъ города Осташкова" Тверь, 1893, стр. 28.

Въ свѣдѣніяхъ, приводимыхъ о книгѣ, было бы не лишнимъ упомянуть, что въ Московской Синодальной библіотекѣ сохранился рукописный оригиналъ „Ариѳметики“. Было-бы полезно также въ томъ-же очеркѣ дать характеристику книги Магницкаго съ математической стороны.

Въ изданномъ 1-мъ выпускѣ книги помѣщены ея оглавленіе, стихотворное и прозаическое предисловія, выясняющія значеніе математики и задачи автора, а также статьи о первыхъ трехъ дѣйствіяхъ — сложеніи, вычитаніи и умноженіи. Болѣе естественно было-бы, конечно, закончить этотъ выпускъ дѣленіемъ, тѣмъ болѣе, что для этого дѣйствія Магницкій указываетъ особый и не употребляемый въ настоящее время пріемъ, производство же первыхъ трехъ дѣйствій не отличается у него отъ современнаго. Тѣмъ не менѣе, и помѣщенный въ первомъ выпускѣ матеріалъ можетъ представить крупный интересъ для современныхъ читателей. Уже самое изложеніе математическихъ истинъ на славянскомъ языкѣ, наивныя опредѣленія, необычные термины, напр., именованіе нуля „цыфрою“, или латинскія названія дѣйствій,— привлекаютъ къ книгѣ неослабное вниманіе. Отсутствіе современныхъ знаковъ дѣйствій, не употребляемый нынѣ способъ повѣрки результатовъ числомъ 9, курьезныя старинныя задачи житейскаго содержанія, догматическій тонъ изложенія и проч. — представляютъ крайне любопытныя особенности книги по сравненію съ современными учебниками. Въ главѣ объ умноженіи авторъ даетъ мѣсто своего рода математическимъ развлеченіямъ: „Аще хощеши дабы произведеніе во умноженіи было съ нѣкоимъ удивленіемъ, сирѣчь чтобы имѣло единицы 111111, или 222222, или 333383, и даже до 9; и ты возьми перечень 777 и множи чрезъ 143, и будетъ единица“ и проч. Подобнаго рода отступленія, имѣющія цѣлью заинтересовать читателя, встрѣчаются и въ другихъ мѣстахъ книги Магницкаго и выгодно отличаютъ ее отъ страдающихъ крайней сухостью многихъ современныхъ руководствъ. Оживляютъ изложеніе и многочисленныя стихотворенія, выясняющія значеніе излагаемаго матеріала, напр., таблицы умноженія.

Въ общемъ „Ариѳметика“, въ ея цѣломъ представляетъ сочиненіе исключительное и выдающееся по интересу и значенію. Она можетъ служить превосходнымъ матеріаломъ для математическихъ бесѣдъ съ учащимися и ихъ внѣклассныхъ занятій. Поэтому остается горячо пожелать, чтобы П. А. Барановъ успѣшно довелъ до конца свое полезнѣйшее начинаніе по переизданію знаменитаго труда, который когда-то М. В. Ломоносовъ называлъ „вратами своей учености“.

Засѣданіе Московскаго Математическаго Кружка 23 января 1914 года.

А. А. Волковъ сдѣлалъ докладъ: Несоизмѣримость, отношеніе и ирраціональное число въ геометріи (второе сообщеніе). Въ дополненіе къ докладу, прочитанному 12 декабря и въ отвѣтъ на сдѣланныя тогда замѣчанія докладчикъ указалъ, что при формально-геометрическихъ опредѣленіяхъ равенства отношеній, суммы отношеній и произведенія необходимо доказать, что опредѣленія эти однозначны, т. е., напр., что изъ формальнаго опредѣленія равенства двухъ отношеній слѣдуетъ, что два отношенія, порознь равныя третьему, равны между собой; чтобы избѣжать такихъ доказательствъ, приходится формально-геометрическія опредѣленія замѣнять ариѳметическими. Далѣе докладчикъ показалъ, какъ можно дать опредѣленіе двухъ отношеній, если потребовать, чтобы отношеніе площадей двухъ прямоугольниковъ выражалось произведеніемъ отношеній соотвѣтственныхъ сторонъ, какъ это имѣетъ мѣсто въ случаѣ соизмѣримости. Въ преніяхъ по докладу приняли участіе: Б. К. Млодзѣевскій, Н. А. Извольскій, И. В. Краснопѣвцевъ и А. Н. Шапошниковъ.

В. В. Добровольскій сдѣлалъ сообщеніе: Объ отношеніи Х-; докладчикъ показалъ, что указанное отношеніе, если его умножить на R, даетъ разстояніе центра тяжести дуги 2Rx отъ центра дуги; изъ указаннаго механическаго смысла отношенія--------ясно, что при увеличеніи дуги, т. е. при

возрастаніи х, отношеніе это должно убывать; затѣмъ докладчикъ указалъ интересныя свойства кривой г = ^. Въ преніяхъ приняли участіе В. К. Млодзѣевскій, М. Ѳ. Бергь и А. Н. Шапошниковъ.

Въ заключеніе происходила педагогическая бесѣда на тему, предложенную Б. К. Млодзѣевскимъ: необходимо-ли рядомъ съ умноженіемъ на относительное число въ алгебрѣ говорить объ умноженіи и на абсолютное число? Въ бесѣдѣ приняли участіе 10 членовъ Кружка.

Въ виду исполняющагося 9 февраля 1914 года пятидесятилѣтія Педагогическаго Музея В. У. 3. въ Петербургѣ постановлено привѣтствовать Музей телеграммою.

Опредѣленіе Учебнаго Комитета при Канцеляріи по учрежденіямъ Императрицы Маріи.

Собственная Его Императорскаго Величества Канцелярія по учрежденіямъ Императрицы Маріи отношеніемъ отъ 10 февраля 1914 года за № 5163 увѣдомила отвѣтственнаго редактора журнала „Математическое Образованіе44, что журналомъ Учебнаго Комитета, состоящаго при названной Канцеляріи, утвержденнымъ Г. Главноуправляющимъ, постановлено журналъ Московскаго Математическаго Кружка „Математическое Образованіе44 рекомендовать для фундаментальныхъ библіотекъ среднихъ учебныхъ заведеній и для библіотекъ педагогическихъ классовъ институтовъ и гимназій Вѣдомства Императрицы Маріи.

Отъ Организаціоннаго Комитета 2-го всероссійскаго съѣзда преподавателей математики.

Желая дать членамъ 2-го съѣзда возможно полное собраніе читанныхъ на съѣздѣ докладовъ, Организаціонный Комитетъ вошелъ въ соглашеніе съ редакціей „Математическаго Образованія44 и проситъ гг. членовъ 2-го съѣзда доставить прочитанные ими доклады для напечатанія въ редакцію „Мат. Образованія44 не позднѣе 1-го мая 1914 г. Доклады эти будутъ редакціей напечатаны и въ видѣ отдѣльнаго сборника разосланы всѣмъ членамъ 2-го съѣзда или безплатно, или за небольшую плату.

Новыя книги.

А. Р. Кулишеръ. Учебникъ геометріи. Ч. I. Курсъ подготовительный. Спб. 1914. Ц. 90 к.

Д. Д. Галанинъ. Леонтій Филипповичъ Магницкій и его ариѳметика. Вып. I. М. 1914. Ц. 50 к.

Р. Киричинскій. Математическій словарь. Кіевъ. 1914. Ц. 2 р.

WeKtor. Czasopismo matematyczno-fizyczne. 1913. №№ 1—6. Warszawa.

М. П. Воскресенскій. М. В. Ломоносовъ, какъ естествоиспытатель. Николаевъ. 1912. Ц. 15 к.

Н. П. Слетовъ. Сборникъ тригонометрическихъ задачъ и упражненій. Спб.— Кіевъ. 1914.

Л. Залѣсскій. Методическія замѣтки къ систематическому курсу ариѳметики цѣлыхъ чиселъ. Кіевъ. 1913. Ц. 80 к.

Проф. С. Г. Петровичъ. Курсъ теоретической механики. Часть II. Динамика точки. Спб. 1912. Ц. 2 р. 75 к. Часть III. Динамика системы. Спб. 1913. Ц. 3 р. 25 к.

П. Курилко. Сборникъ задачъ къ элементарному курсу гоніометріи и тригонометріи. Книга I. Одесса 1912. Ц. 60 к.

Д. Л. Волковскій. Руководство къ „Дѣтскому міру въ числахъ“. Ч. I. М. 1914. Ц. 1 р. 50 к.

Педагогическая академія въ С.-Петербургѣ. Отчетъ за 1910 — 1912 гг. Спб. 1913. II. 20 к.

Отвѣтственный редакторъ I. И. Чистяковъ.