Математическое Образованіе.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

Годъ третій.

№ 1.

Январь 1914 г.

МОСКВА.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

„Математическое Образованіе“

Январь 1914 г. Годъ 3-й. № 1.

СОДЕРЖАНІЕ: Рѣчь Предсѣдателя Организаціоннаго Комитета проф. Б. К. Млодзѣевскаго, при открытіи 2-го всероссійскаго Съѣзда преподавателей математики, Докладъ о Международной Комиссіи по преподаванію математики.—ІІроф Д. М. Синцовъ. Какія стороны элементарной математики представляютъ цѣнность для общаго образованія?—Проф. А. К. Власовъ. Объ организаціи подготовки преподавателей средней школы. — Проф. И. Н. Салтыковъ. Величины и числа.— Отто Штольцъ; пер. Р. Гольцбергъ, подъ ред. 2-й Всероссійскій Съѣздъ преподавателей математики.—I. И. Чистяковъ. Резолюціи ІІ-го Всероссійскаго Съѣзда преподавателей математики. Задачи. Рѣшенія задачъ. Библіографическій отдѣлъ. Библіографическая замѣтка. Новыя книги.

Рѣчь Предсѣдателя Организаціоннаго Комитета проф. Б. К. Млодзѣевскаго при открытіи 2-го Всероссійскаго Съѣзда преподавателей математики.

Какъ предсѣдатель Организаціоннаго Комитета, объявляю открытымъ второй Всероссійскій Съѣздъ Преподавателей Математики. Отъ имени Организаціоннаго Комитета сердечно привѣтствую господъ членовъ Съѣзда и благодарю нашихъ гостей, отозвавшихся на наши приглашенія и почтившихъ своимъ присутствіемъ настоящее собраніе.

Ровно два года тому назадъ, 27-го декабря 1911 года, въ Петербургѣ открылся первый Съѣздъ Преподавателей Математики. Онъ былъ обязанъ своимъ созывомъ главнымъ образомъ кружку педагоговъ и математиковъ, объединявшихся около Педагогическаго Музея военно-учебныхъ заведеній. Успѣхъ съѣзда какъ по числу участниковъ, такъ и по результатамъ его занятій, былъ блестящій, и тогда-же на Московскій Математическій Кружокъ было возложено порученіе организовать въ Москвѣ второй съѣздъ преподавателей математики въ декабрѣ 1913 года. Кружокъ немедленно выдѣлилъ изъ своего съѣзда Организаціонный Комитетъ, который и является сегодня передъ вами, исполнивъ возложенное на него порученіе.

Организаціонный Комитетъ считаетъ долгомъ отмѣтить съ глубокою признательностью то сочувствіе, которое онъ встрѣтилъ со всѣхъ сторонъ. Какъ только положеніе о Съѣздѣ получило утвержденіе, Министерство Народнаго Просвѣщенія разрѣшило подвѣдомственнымъ ему учебнымъ заведеніямъ командировать на Съѣздъ своихъ преподавателей съ назначеніемъ имъ денежныхъ пособій. Министерство торговли и промышленности назначило Съѣзду пособіе въ 500 рублей. Такое же пособіе постановила назначить Съѣзду Московская Городская Дума.

Благодаря сочувствію лицъ, завѣдующихъ музеями и другими правительственными и общественными учрежденіями,

а также и многихъ частныхъ лицъ, явилась возможность широко организовать для членовъ съѣзда экскурсіи, на которыхъ они получатъ возможность познакомиться съ нѣкоторыми изъ образцовыхъ школъ Москвы, а такжъ съ самимъ городомъ и его достопримѣчательностями. Наконецъ мы обязаны благодарностью тѣмъ начальникамъ учебныхъ заведеній, которыя предоставили г. членамъ Съѣзда у себя помѣщенія.

Всякаго, кто наблюдаетъ русскую общественную жизнь, поразить то, какое значеніе получили въ ней за послѣднее время Съѣзды. Чтобы это видѣть достаточно отмѣтить, что въ настоящее время въ Москвѣ и въ Петербургѣ работаетъ одновременно не менѣе шести съѣздовъ разнаго рода, изъ которыхъ три посвящены особенно близкимъ нашему Съѣзду вопросамъ научно-учебнымъ и педагогическимъ. Быстрый ростъ съѣздовъ наблюдается не только у насъ; онъ существуетъ вездѣ. Этотъ ростъ представляетъ естественное слѣдствіе значительнаго увеличенія числа лицъ; работающихъ въ различныхъ областяхъ человѣческой дѣятельности; для нихъ съѣзды уже давно служатъ незамѣнимымъ средствомъ болѣе широкаго и правильнаго общенія на почвѣ ихъ профессіональныхъ интересовъ. Достаточно припомнить колосальный ростъ Британской Ассоціаціи, существующей уже болѣе восьмидесяти лѣтъ, Съѣзды Общества германскихъ естествоиспытателей и врачей съ ихъ 90-лѣтнимъ существованіемъ и наши Съѣзды Русскихъ Естествоиспытателей и Врачей, возникшіе въ 1867 году.

Если такимъ образомъ во всѣхъ странахъ наблюдается ростъ съѣздовъ, то въ Россіи были для этого и особыя причины. Обширность страны, сравнительно слабое развитіе городской жизни и связанная съ этимъ двумя условіями большая разъединенность культурныхъ дѣятелей дѣлаетъ у насъ съѣзды еще болѣе важнымъ факторомъ общественной жизни, чѣмъ у нашихъ западныхъ сосѣдей и нѣтъ ничего удивительнаго, что при томъ подъемѣ общественнаго самосознанія, какой мы наблюдаемъ въ послѣднее время, число съѣздовъ всякаго рода достигло весьма значительныхъ размѣровъ.

Въ частности Съѣзды математиковъ собирались уже давно частью при различныхъ съѣздахъ Естествоиспытателей, частью и самостоятельно. Таковы Deutsch. Math. Verein. 1867. Затѣмъ Межд. Съѣзды математиковъ: 1. Цюрихъ 1897. 2. Парижъ 1900. 3. Гейдельбергъ 1904. 4. Римъ 1908. 5. Кембриджъ 1912.

Лицамъ, не стоящимъ близко къ преподаванію математики, легко можетъ показаться, что преподаватели математики всего менѣе нуждаются въ общеніи.

Обыкновенно думаютъ, что уже давно—въ геометріи едва ли не съ Евклида,—содержаніе элементарной математики опредѣлилось съ такою ясностью и облеклось въ такія точныя и строгія формы, что преподавателямъ математики остается только вести своихъ учениковъ по прямой и ровной дорогѣ къ совершенно точно намѣченной цѣли. Къ нашему величайшему счастію, на самомъ дѣлѣ это далеко не такъ. Къ счастію потому, что если-бы

это было вѣрно, то это значило-бы, что математическія науки, какъ учебный предметъ, умерли, что изученіе ихъ въ школахъ имѣло-бы своимъ основаніемъ не сознаніе ихъ огромнаго и непрерывно растущаго значенія для духовныхъ и матеріальныхъ успѣховъ человѣчества, а только почтительное уваженіе къ ихъ прошлому. Математики знаютъ, что на самомъ дѣлѣ это совсѣмъ не такъ. Именно, въ послѣднія десятилѣтія въ математикѣ сдѣланы такія открытія, которыя не только измѣнили кореннымъ образомъ наши воззрѣнія по цѣлому ряду основныхъ вопросовъ, но и вызвали въ связи съ этимъ коренной переворотъ въ методикѣ математики. Вотъ нѣсколько небольшихъ примѣровъ. Въ геометріи теперь, трудами главнымъ образомъ итальянскихъ и нѣмецкихъ ученыхъ, вопросъ о системѣ геометрическихъ аксіомъ и о ихъ взаимоотношеніяхъ можно считать окончательно выясненнымъ. Вмѣстѣ съ этимъ всталъ на очередь и подвергся тщательному изученію вопросъ о роли логики и интуиціи въ геометріи. Съ другой стороны въ области ариѳметики и анализа мы имѣемъ такія грандіозныя пріобрѣтенія, какъ ученіе о трансфинитныхъ числахъ и о безконечныхъ множествахъ, устанавливающія совершенно новыя точки зрѣнія на природу числа и величины. Вмѣстѣ съ тѣмъ идея преобразованія, какъ основной операціи, обнимающей не только математическія, но и другія, болѣе широкія отношенія, проникла во всѣ отдѣлы нашей науки и сдѣлалась важнѣйшимъ основаніемъ систематизаціи. Всѣ эти пріобрѣтенія и многія другія, не менѣе значительныя, на которыхъ я не имѣю возможности здѣсь останавливаться, заставили пересмотрѣть многія положенія, казавшіяся ранѣе совершенно общими и безспорными. Такъ, мы теперь знаемъ, что часть не всегда меньше цѣлаго, а можетъ быть и равной ему, что во всемъ пространствѣ столько-же точекъ, сколько и на самомъ маломъ отрѣзкѣ прямой, что возможна непрерывная кривая линія, занимающая собою цѣлый квадратъ и т. д. И надо замѣтить, что всѣ эти невѣроятныя вещи не суть проявленія математическаго декадентства; напротивъ, они выражаютъ собою крупные успѣхи въ области математическаго умозрѣнія, сравнимые съ наиболѣе значительными пріобрѣтеніями прошедшихъ временъ.

Вполнѣ естественно, что успѣхи въ области основныхъ вопросовъ математики отразились и на постановкѣ ея преподаванія. Выяснилось, что точность и строгость выводовъ, считавшаяся особенностью геометріи, съ одной стороны не обладаетъ тою степенью совершенства, какая ей приписывалась; что основныя положенія этой науки требуютъ такого сложнаго анализа, какой совершенно недоступенъ учащимся; отсюда выяснилась необходимость того, что при преподаваніи геометріи интуиціи должно быть отведено значительно большее мѣсто, чѣмъ это дѣлалось до сихъ поръ.

Наоборотъ, въ области алгебры, явилась возможность изложить болѣе строго основные вопросы ученія о величинахъ, а также и многіе другіе главные отдѣлы. Рядомъ съ этимъ успѣхи естествознанія и техники выдвинули вопросъ о введеніи въ среднюю школу вопросовъ, изучаемыхъ теперь обыкновенно въ высшей

школѣ; стало очевиднымъ, что въ настоящее время основныя понятія исчисленія безконечно малыхъ, аналитической геометріи и теоріи вѣроятностей должны быть достояніемъ каждаго образованнаго человѣка. Вмѣстѣ съ тѣмъ явилась необходимость пересмотрѣть самые объемъ и пріемы преподаванія, чтобы воспользоваться новыми пріобрѣтеніями науки, очистить программы отъ накопившагося за прежнее время, устарѣвшаго и сдѣлавшагося ненужнымъ матеріала и замѣнить его болѣе соотвѣтствующимъ современнымъ условіямъ.

Такъ, въ области геометріи вопросы о пропедевтическомъ курсѣ геометріи, о сліяніи планиметріи съ стереометріей стоятъ на очереди и ждутъ своего рѣшенія. Сознаніе необходимости въ коренномъ пересмотрѣ всей постановки преподаванія математики въ средней школѣ вызвало въ рядѣ странъ движеніе въ пользу такого пересмотра. Особенно ярко выразилось это движеніе въ Германіи, гдѣ подъ вліяніемъ знаменитаго геттингенскаго профессора Клейна, такъ называемое Reformbewegung уже привело къ положительнымъ результатамъ. Программы и постановка преподаванія математики въ государствахъ германскаго союза постепенно измѣняются въ духѣ новыхъ требованій. Наконецъ нельзя не отмѣтить учрежденіе на четвертомъ Съѣздѣ математиковъ въ Римѣ международной комиссіи по преподаванію математики, которой было поручено представить къ слѣдующему съѣзду въ 1912 году докладъ о современныхъ теченіяхъ въ преподаваніи математики въ различныхъ странахъ. Эта комиссіи образовала подсекціи въ различныхъ странахъ. Въ частности такая подсекція работаетъ и въ Россіи. У насъ потребность общенія математиковъ вызывается еще разобщеніемъ преподавателей между собой и съ высшей школой, такъ что съѣздъ въ столичномъ городѣ поможетъ разобраться въ массѣ можетъ быть и простыхъ обыденныхъ вопросовъ, возникаюшихъ при преподаваніи и выясненіи истинъ математики.

Изъ того, что было здѣсь сказано, можно видѣть, что въ вопросахъ школьной математики подъ тихою, на взглядъ посторонняго зрителя, поверхностью идетъ живая и горячая работа.

Настоящее собраніе показываетъ, что среди нашихъ преподавателей не мало лицъ, которыя не остановились ни передъ немалыми денежными затратами, ни даже передъ отказомъ отъ отдыха, столь необходимаго въ трудномъ и отвѣтственномъ дѣлѣ, чтобы своимъ участіемъ въ трудахъ съѣзда помочь успѣху преподаванія математики въ нашихъ школахъ. Позвольте же мнѣ закончить мое привѣтствіе Съѣзду пожеланіемъ полнаго успѣха 2-му Всероссійскому Съѣзду Преподавателей Математики, на пользу и благо нашей школы и дорогой намъ всѣмъ науки!

Докладъ о Международной Комиссіи по преподаванію математики.

Проф. Д. М. Синцовъ.

Милостивыя Государыни и Милостивые Государи!

На мою долю выпала высокая честь произнести первую рѣчь-докладъ на этомъ Съѣздѣ. Я вижу въ этомъ проявленіе того широкаго гостепріимства, которое всегда отличало Москву и москвичей и которое предоставило первое слово мнѣ, представителю провинціи.

Но помимо этого мнѣ думается, что честь эта объясняется еще и тѣмъ, что я долженъ говорить Вамъ, М-я Г-ни и М-е Г-ри, о явленіи первостепенной важности въ области преподаванія математики—о томъ пересмотрѣ и радикальномъ обновленіи традиціоннаго матеріала, который идетъ повсемѣстно въ культурныхъ странахъ и который нашелъ себѣ выраженіе не только въ оживленнѣйшемъ журнальномъ обсужденіи, но и въ рядѣ оффиціальныхъ распоряженій и правительственныхъ актовъ и который является объясненіемъ тѣхъ грандіозныхъ размѣровъ, которые приняла анкета по преподаванію математики, организованная Международною Комиссіей по преподаванію математики. Дѣятельности этой послѣдней, по скольку она служитъ выраженіемъ этого общаго состоянія стремленія къ реформѣ, и хотѣлъ бы я посвятить свой очеркъ.

Комиссія получила свое начало въ памятномъ засѣданіи ІV-й секціи IV (Римскаго) Конгресса 9-го апрѣля 1908 года, когда проф. Teacher’s College Колумбійскаго Университета (Нью-Іоркъ) D.Е. Smith въ заключеніе своего доклада о преподаваніи математики въ среднихъ школахъ въ Соединенныхъ Штатахъ (The teaching of Mathematics in the secondary Schools of the United States) высказалъ пожеланіе объ организаціи международной комиссіи, которая занялась бы изслѣдованіемъ нѣкоторыхъ вопросовъ, относящихся къ среднему образованію. Онъ указалъ, что различныя страны не могутъ имѣть однообразныя учебные планы, школьныя системы и методы обученія, но вліяніе Международнаго Конгресса можетъ быть большою помощью для тѣхъ, кто серьезно стремится къ улучшенію преподаванія математики. Онъ привелъ рядъ вопросовъ, которые могли бы быть разсмотрѣны и которые занимаютъ серьезно мысль американскихъ преподавателей:

1) Каковы результаты попытокъ устранить баррьеръ между такими предметами, какъ алгебра и геометрія, или преподавать ихъ совмѣстно, и готовы ли мы теперь что-нибудь рекомендовать въ этомъ отношеніи?

2) Каковы результаты попытокъ преподавать наглядную геометрію до алгебры? Если они благопріятны, какова природа геометріи, наиболѣе приспособленной къ этой повидимому психологически обоснованной послѣдовательности?

3) Каково мнѣніе безпристрастныхъ наблюдателей о дѣйствіи геометріи Méray во Франціи и сочиненій, подобныхъ труду De Paolis’a въ Италіи,—въ отношеніи сліянія плоской и пространственной геометріи?

4) Что сдѣлано въ различныхъ странахъ для объединенія плоской геометріи съ тригонометріей?

5) Что сдѣлано въ пользу введенія начальныхъ идей анализа безконечно-малыхъ въ элементарную алгебру?

6) Каковъ благопріятный minimum Евклидовой геометріи, исчисленія безконечно-малыхъ и механики?

7) Какъ установить благопріятное соотношеніе между математикою средней школы и физикой?

8) Какую позицію должна занять математика средней школы въ отношеніи природы приложеній и отношеній прикладной математики къ чистой?

9) Каковъ долженъ быть сравнительный характеръ школъ, для тѣхъ, кто по окончаніи не намѣревается идти въ Университетъ, и для тѣхъ, кто намѣренъ?

И пр. Смизсъ выразилъ желаніе, чтобы Конгрессъ учредилъ Международную Комиссію для разсмотрѣнія вопросовъ подобнаго рода. Не соглашеніе существенно, а обмѣнъ взглядовъ и мыслей.

Поддержанное Dr. Archenhold'омъ (дир. частной обсерваторіи въ Treptow'ѣ) оно было принято, и въ засѣданіи Секціи 11-го апрѣля выдилось въ слѣдующее постановленіе секціи, принятое въ тотъ же день Общимъ Собраніемъ:

„Признавая важность обстоятельнаго изслѣдованія программъ и методовъ преподаванія математики въ среднихъ школахъ различныхъ націй Конгрессъ поручаетъ профессорамъ F. Klein’у (Германія), G. Greenhill’ю (Англія) и H. Fehr’y (Швейцарія) организовать Международную Комиссію для изученія вопроса и для доклада слѣдующему Конгрессу“.

Таково было начало этого дѣла. Предсѣдатель Комитета проф. Ф. Клейнъ, тов. пред. пр. Greenhill и секретарь H. Fehr, редактируемый которымъ органъ Enseignement mathématique сталъ оффиціальнымъ органомъ Комиссіи, выработали и приняли на собраніи въ Кёльнѣ въ сентябрѣ того же года планъ дальнѣйшей дѣятельности Комиссіи и составили тотъ „предварительный докладъ объ организаціи Комиссіи и общемъ планѣ ея работъ“, который явился своего рода манифестомъ Комиссіи и легъ въ основу ея работъ.

Въ каждой изъ странъ, которыя были достаточнымъ образомъ представлены на первыхъ четырехъ Международныхъ Математическихъ Конгрессахъ1), и которыя называются участвующими, организуется національная делегація. Центральный Комитетъ, которому какъ мы упомянули, и поручено Конгрессомъ дѣло организаціи,

1) Это: 1) Германія, 2) Австрія, 3) Соед. Штаты, 4) Франція, 5) Венгрія, 6) Великобританія, 7) Италія, 8) Россія и 9) Швейцарія. Они получили по 3 делегата. Кромѣ того по одному делегату имѣютъ 10) Бельгія. 11) Данія, 12) Испанія, 13) Греція, 14) Голландія, 15) Норвегія, 16) Швеція, 17) Португалія, 18) Румынія и позже присоединенная 19) Японія.

обращался къ кому-либо изъ выдающихся представителей математической науки, отъ которыхъ можно было предполагать въ то же время интересъ и къ вопросамъ математическаго преподаванія, съ просьбою организовать какъ самую делегацію, такъ затѣмъ при ней и вокругъ нея—національную подкомисссію. На эту организаціонную работу и ушелъ весь 1909 г., къ концу котораго—на своемъ засѣданіи въ Базелѣ 28. XII. 1909 г. Центральный Комитетъ могъ уже констатировать, что Національныя Комиссіи организованы во всѣхъ 18 странахъ.

Не буду останавливаться на любопытныхъ подробностяхъ организаціи дѣла въ различныхъ странахъ, въ которыхъ сказывались національныя особенности2).

Скажу только нѣсколько словъ о Россіи. Выборъ Центральнаго Комитета остановился на академикѣ Н. Я. Сонинѣ, предсѣдателѣ Ученаго Комитета М. Н. Пр., который кооптировалъ въ члены делегаціи пр. Б. М. Кояловича и дир. 2 СПБ. р. уч. К. В. Фохта (теперь скончавшагося и замѣщеннаго проф. К. А. Поссе) и обратился въ ученыя (Математическія) Общества и Физико-Математическіе Факультеты Университетовъ съ предложеніемъ избрать представителей (по 2) въ русскую національную подкомиссію (такимъ образомъ вошли по выбору Харьковскаго Математическаго Общества и Физико-Математическаго Факультета проф. Н. Н. Салтыковъ и Вашъ покорный слуга).

Съ тѣхъ поръ и началась дѣятельность національной подкомиссіи по составленію отчетовъ о своихъ странахъ. Но ко времени Кембриджскаго Съѣзда не вездѣ эта работа оказалась законченной, и дѣятельность и полномочія Комиссіи продолжены до слѣдующаго VI Стокгольмскаго Конгресса.

Тогда были закончены работы въ слѣдующихъ странахъ:

Франція, Англія, Соед. Штаты, Швеція, Данія, Швейцарія, Австрія, Венгрія (общій очеркъ), Голландія, Японія.

Не закончены: Германія (готовы 31 вып., остается 7), Бельгія 1 т. (4 отч.), остается ІІ-й т. (2 отч.), Испанія I т. съ 8 отч., Италія 10 отч.

Общее число отпечатанныхъ ко времени Кембриджскаго съѣзда отчетовъ достигло 280, въ 150 вып,, составляющихъ болѣе 9000 стр. in 8°.

На ряду съ этимъ въ дѣятельности Комиссіи проявилось новое направленіе: Центральный Комитетъ сталъ организовывать періодическіе съѣзды ея дѣятелей и вообще лицъ, интересующихся преподаваніемъ математики, при чемъ на очередь дня ставятся опредѣленныя темы, по которымъ производится международная анкета, и результаты ея сводятся воедино заранѣе намѣченнымъ докладчикомъ, — послѣ доклада котораго и обсуждаются на съѣздѣ.

2) Я коснулся ихъ отчасти въ своей статьѣ (Мат. Обр. 1912 г. и труды I Съѣзда Преп. Мат. вып. III): Международная Комиссія по преподаванію Математики. Очеркъ дѣятельности.

Таковы были съѣзды въ Брюсселѣ въ августѣ 1910 года, Миланѣ въ сентябрѣ 1911г., тотъ же характеръ носили засѣданія, соединенныя со съѣздомъ въ Кембриджѣ въ августѣ 1912 г. Таковъ слѣдующій съѣздъ, который будетъ происходить въ 1914 г. въ апрѣлѣ въ Парижѣ, и въ 1915 г. въ Мюнхенѣ.

Въ Брюсселѣ мы имѣли докладъ Bourlet (нынѣ, увы! уже погибшаго): „Взаимное проникновеніе чистой и прикладной математики въ среднемъ образованіи“. Въ нѣмецкомъ отдѣлѣ выставки насъ познакомили съ преподаваніемъ точныхъ наукъ въ Германіи. Отмѣчу въ особенности докладъ Р. Treutlein’а о преподаваніи геометріи, демонстрировавшаго намъ свою коллекцію.

Въ Миланѣ темою дня были:

A. Вопросъ о систематичности и сліяніи (въ какой мѣрѣ нужно въ средней школѣ придерживаться систематичности въ изложеніи математики? Вопросъ о сліяніи (fusion) различныхъ частей математики въ среднемъ образованіи).

B. Математическое образованіе, теоретическое и практическое, которое надо давать изучающимъ науки физическія и естественныя.

Въ Кембриджѣ этими темами были:

A. Математическое обученіе физики въ университетѣ.

B, Интуиція и экспериментъ въ обученіи математикѣ въ средней школѣ.

Въ Парижѣ этими вопросами будутъ:

A. Результаты достигнутые введеніемъ дифференц. и интегральнаго исчисленія въ старшихъ классахъ средней школы?

B. Мѣсто и роль математики въ высшемъ техническомъ образованіи.

Въ 1915 г. въ Мюнхенѣ предполагается сосредоточиться на вопросѣ о подготовкѣ преподавателей математики для различныхъ ступеней обученія.

Общаго доклада не было сдѣлано Кембриджскому Конгрессу, и я почти увѣренъ, не будетъ сдѣлано и въ Стокгольмѣ. И это прежде всего потому, что нельзя предложить единаго вездѣ приложимаго метода преподаванія, единаго непогрѣшимаго плана. Если онъ для даннаго момента былъ бы составленъ, оказалось бы, что съ одной стороны нѣкоторыя страны до него еще не доросли, и можно безошибочно ручаться, другія скоро и его переростутъ. И потому важенъ не общій докладъ, а важно самое дѣло, начатое сперва какъ будто ради этого доклада, но далеко переросшее эту первоначальную задачу.

Теперь мы имѣемъ по ряду странъ сдѣланную съ большою любовью и тщательностью сводку матеріала, свѣжаго и провѣреннаго, который даетъ возможность судить о характерѣ математическаго образованія въ странѣ, даетъ возможность сравнивать, оцѣнивать современныя тенденціи и выносить заключенія о степени большей или меньшей пригодности тѣхъ или иныхъ мѣропріятій, въ иномъ мѣстѣ уже испробованныхъ. И это имѣетъ громадное значеніе особенно въ области преподаванія математики, которая кажется постороннимъ чѣмъ-то застывшимъ, мертвымъ, сухимъ и холоднымъ.

Мнѣ припоминается изъ временъ моей юности фигура одного педагога, долголѣтняго директора одной изъ казанскихъ гимназій, имѣвшаго репутацію прекраснаго преподавателя математики. Высокій, худой, съ выбритымъ лицомъ медали Екатеринскихъ временъ, съ густою сѣдою шевелюрою, аккуратно зачесанною назадъ, онъ въ свои преклонные годы выстаивалъ не пошевельнувшись длинныя великопостныя службы. Мнѣ особенно памятно одно засѣданіе Казанскаго Ф.-М. О-ва, въ которомъ зашла рѣчь о педагогическихъ вопросахъ, объ обсужденіи программъ математики средней школы. Надо было видѣть О. А., какъ отри цательно отнесся онъ къ самой возможности подобныхъ вопросовъ: „Программы утверждены, методы выработаны, ихъ мѣнять ни въ чемъ нельзя и не нужно“...

И возьмите Францію, гдѣ крупнѣйшія математическія силы не переводятся, которая потеряла Poincaré, но въ которой живы Darboux, Picard, Painlevé, Borel, Hadamard.

Тамъ программы совсѣмъ не представляютъ чего-нибудь незыблемаго, подвергающагося измѣненію разъ въ десятки лѣтъ. Какъ поучительна исторія послѣднихъ учебныхъ плановъ, разсказанная въ трудахъ Французской подкомиссіи.

Реформа средняго образованія во Франціи была произведена въ 1902 году. Программы 1902 г. были реакціей противъ увлеченій предшествовавшихъ программъ, отличавшихся введеніемъ духа строгости и систематизаціи, которая доходила до того, что устранялась даже геометрическая иллюстрація понятія о производной. „Реформа 1902 г. была слѣдствіемъ преобразованій, которыя во всѣхъ отрасляхъ внесло чрезвычайное развитіе наукъ естественныхъ и ихъ приложеній. Образованіе на основѣ преимущественно словесной рѣшено было замѣнить системою образованія, въ которой естественнымъ наукамъ отводилось бы болѣе широкое мѣсто; можетъ быть, можно было бы болѣе легкою рукою коснуться той системы, которая хотя и перестала отвѣчать современнымъ потребностямъ, но въ свое время оказала дѣйствительныя услуги; но реакція противъ прежнихъ гуманитарныхъ наукъ, свойственная не одной нашей странѣ, была слишкомъ сильна, чтобы можно было ограничиться простыми передѣлками программъ“1). (Тогда и введена система двухъ цикловъ съ двумя подотдѣленіями въ первомъ и четырьмя во ІІ-мъ).

Но программы 1902 г. были составлены учеными, безспорно выдающимися въ научномъ отношеніи, но не имѣвшими практики преподаванія въ средней школѣ, и потому онѣ вызвали оживленную критику со стороны педагоговъ. Результатомъ былъ созывъ учебною администраціей конференцій въ педагогическомъ музеѣ въ началѣ 1904 г. Вотъ что сказалъ Blutei (тогда délégué des agrégés de mathématiques au Conseil Supérieur de Г instruction publique; теперь онъ inspecteur général de Г Enseignement Secondaire).

1) Отчетъ A. Grvy, послужившій основою измѣненій (см. статья Bioche Sur la place et P importance des Mathématiques dans P Enseignement secondaire en France. Rapport. T. J, c. 10.

„Банкротство нѣкоторыхъ сторонъ нашего преподаванія мнѣ кажется неизбѣжнымъ, если дѣйствующія программы будутъ сохранены въ цѣлости. Если мы не можемъ этому помѣшать, убѣдивъ принять тѣ исправленія, которыя мы находимъ справедливыми, будемъ имѣть по крайней мѣрѣ заслугу, что мы его предвидѣли, и сложимъ съ себя отвѣтственность. Это будетъ для насъ небезполезно въ тотъ день, когда будетъ подведенъ балансъ предпріятія, въ которомъ мы работали бы съ большею радостью (я не говорю—съ большимъ рвеніемъ), если бы нашего содѣйствія искали, а не регламентировали“.

Администрація обратилась къ содѣйствію преподавателей средней школы, и общій пересмотръ программъ математики былъ сдѣланъ безъ замедленія, и измѣненія утверждены въ 1905 году. Въ 1909 г. былъ произведенъ новый пересмотръ программъ математики словесныхъ классовъ 2-го цикла (цир. 5. VIII. 1909).

Но этимъ дѣло не кончилось: оказалось, что новыя программы все-таки перегружены, и потому согласно указаніямъ практики были облегчены программы математики, физики, химіи и естественныхъ наукъ.

Приведемъ эти измѣненія, по скольку они касаются математики:

6В: уничтожается геометрическое черченіе.

5А: измѣнена инструкція (conseils généraux) вм. прежней фразы „en conséquence, la vérification des résultats obtenus devra toujours être faite“ слѣдовавшей за: L’ enseignement donné dans cette classe ne comporte aucune théorie des équations“ теперь подробнѣе указано, какъ надо поступать:

„Преподаватель долженъ пріучать учениковъ составлять упражненія, говоря только о конкретныхъ количествахъ и при рѣшеніи долженъ объяснять преобразованія, становясь всегда на конкретную точку зрѣнія“.

5В: опускаются: „измѣреніе угловъ въ геометріи“; въ геометрическомъ черченіи опущено: „геом. чертежи, въ которые входятъ прямыя линіи и круги, заимствованные изъ мотивовъ украшенія плоскихъ поверхностей; паркеты, мостовыя, мозаика:, застекленіе, залитіе тушью и краскою нѣкоторыхъ изъ этихъ чертежей“.

4А: въ ариѳметикѣ опущено: ^произведеніе суммы или разности на число“... „пропорціи“... въ геометріи „измѣреніе угловъ“.

4В: въ геометріи: „пантографъ“... „построеніе нѣкоторыхъ простыхъ кривыхъ, какъ-то циссоиды, конхоиды и т. д.“ по геометрическому черченію опущено тоже, что и въ предыдущемъ классѣ.

ЗА. Опущено: „отношенія и пропорціи“ въ ариѳметикѣ; въ алгебрѣ: „тожество х3—а3=(х—а)(х2-\-ах-\-а2)... „неравенства 1-ой степени съ однимъ неизвѣстнымъ“, въ геометріи: „пантографъ“.

ЗВ: опущено: „тожество хт—ат~(х—а) (хм~г -f- ахт~2... а”*-1). Слова „измѣненія трехчлена 2-й степени, функціи ; графи-

ческое изображеніе“ замѣняются словами: „измѣненія #2, графическое изображеніе“.

Въ геометріи опущено: „проэкція круга, тѣни плоской фигуры на плоскости въ геометріи съ отмѣтками“... „Проэкціи; тѣни собственныя и отброшенныя на плоскость“—„Описанные конусъ и цилиндръ. Поверхность вращенія“. „Тѣни собственныя и отброшенныя на плоскость“... „Указанія, облегчающія выполненіе тушевки“.

Въ качествѣ программы геометрическаго черченія вводится приведенное выше опущенное въ 5В взамѣнъ слѣдующей программы:

„Тѣни обычныя и объяснительная практика растушевокъ (собственныя тѣни, тѣни отброшенныя). Растушевка простѣйшихъ поверхностей вращенія.

Чертежъ и растушевка машинъ. Простѣйшія детали машинъ.— Воспроизведеніе по отмѣткамъ этихъ деталей и ихъ геометральное (géométrale) изображеніе въ опредѣленномъ масштабѣ. Нѣкоторые изъ этихъ рисунковъ растушевываются“.

Классы 2 С и D. Опущено:

Алгебра: „тожество хт—ам=(х—а) (хт~1-\-ахт~2-\-ат~г).

Понятіе производной; геометрическое значеніе производной. Знакъ производной указываетъ смыслъ измѣненія; приложенія къ численнымъ примѣрамъ и въ частности къ заранѣе изученнымъ функціямъ “.

Геометрія: перемѣщеніе плоской фигуры неизмѣняемой. Вращеніе около точки. Всякое перемѣщеніе плоской неизмѣняемой фигуры въ ея плоскости сводится къ вращенію или перенесенію“... „пятиугольника“. Программа геом. черченія не измѣняется, но когда возможно, его преподаваніе поручается каждый разъ преподавателю математики соотвѣтственнаго класса.

Я опускаю измѣненія необязательныхъ программъ классовъ I А и В и остановлюсь еще только на сокращеніяхъ произведенныхъ въ I кл. секціи С и D.

Геометрія. Опущено:... „Перенесеніе. Вращеніе около оси“..., „подобные многогранники“... „Общія понятія о симметріи куба и правильнаго октаэдра.—„Отношеніе объемовъ подобныхъ многогранниковъ“ замѣнено „отношеніемъ объемовъ гомотетическихъ многогранниковъ“.

Начертательная геометрія: уничтожается „приложеніе къ задачамъ о тѣлахъ и плоскихъ сѣченіяхъ призмъ и пирамидъ“... „приложеніе къ построенію простыхъ многогранниковъ“. „Призмы и плоскія сѣченія“.

Тригонометрія: „Выраженіе вида а Cos (cot-\-a)-[ b Cos (cot-r-ß), гдѣ t означаетъ перемѣнную.

Послѣ „Соотношенія между сторонами и углами треугольника“ вм. „Рѣшеніе треугольниковъ“ поставлено въ скобкахъ: эквивалентностью системъ заниматься не надо.

Алгебра. Программа передѣлана совершенно. Уравненія 2-й степени, гдѣ перемѣнная — тригоном. линія, ограничены численными примѣрами.

Внесено: „Понятіе о производной; геометрическое значеніе производной. Знакъ производной указываетъ смыслъ измѣненія; приложенія къ измѣненію функцій ах1 + Ъх 4- с, ах 4- Ъ + — и къ измѣненію функціи адр-\гЪх*-\-сх -j- d съ численными коэффиціентами.

Нѣсколько измѣнена и редакція примыкающихъ сюда вопросовъ кинематики.

Эти измѣненія введены циркуляромъ 4. V. 1902.

Французы т. о. ничуть не останавливаются передъ основательнымъ измѣненіемъ того, что сдѣлано въ 1902 и передѣлывалось уже въ 1905 и 1909 г.. И хотя послѣднія измѣненія до нѣкоторой степени затронули именно приложенія, но болѣе близкое и тѣсное отношеніе преподаванія геометрическаго черченія къ геометріи еще болѣе укрѣпляетъ ту хорошую подготовку въ графическомъ отношеніи, которая по свидѣтельству D. Е. Smith’a выносится изъ французской школы по преимуществу передъ всѣми другими.

Въ результатѣ сами нѣмцы признаютъ, что въ области математики французы стоятъ выше. Но посмотримъ, что дѣлается въ Германіи.

Тамъ связанное тѣсно съ именемъ проф. Ф. Клейна Reformbewegung, исторіи котораго посвященъ одинъ изъ наиболѣе интересныхъ выпусковъ1) трудовъ германской подкомиссіи (принадлежащій перу одного изъ дѣятельныхъ учениковъ и сотрудниковъ проф. Ф. Клейна, Руд. Шиммака, нынѣ уже покойнаго).

Получившее начало еще раньше это движеніе пріобрѣло особенную силу послѣ реформы средняго образованія во Франціи въ 1902 году. И осуществлявшіе требованія реформы учебники Бореля (Arithmétique suivie de notions d’Algèbre, Algèbre premier cycle; Algèbre 2-d Cycle); Бурле — этого дѣятельнаго члена французской подкомиссіи, погибшаго въ этомъ году (Cours abrégé d’Arithmétique, Précis d’Algèbre), J. Tannery (Notions de Mathématiques), появившіеся въ 1903 г. воочію показывали, читателю: „вотъ какъ можно во всѣхъ школахъ, и въ гимназіяхъ въ томъ числѣ, дойти въ преподаваніи до началъ исчисленія безконечно-малыхъ“ (Шиммакъ 1. с. Стр. 38).

Вѣдь весь смыслъ „реформы“ и заключается именно въ этомъ,—во введеніи начальныхъ понятій анализа безконечно-малыхъ въ кругъ преподаванія средней школы, что кратко и ясно сформулировано Ф. Клейномъ въ его лекціи на вакаціонныхъ курсахъ въ Гёттингенѣ: „Подготовительное изложеніе понятія о функціи и первое введеніе въ аналит. геометрію съ началами диф. и инт. исчисленія должно бы быть общимъ всѣмъ видамъ школъ. Уже въ 1904 г. на ежегодномъ собраніи GeserllschaftDeutscher Naturforscher und Aerzte въ Бреславлѣ была избрана комиссія по

1) Die Entwickelung der mathematischen Unterrichtsreform in Deutschland L. 1911 I. M. U. K. Abhandlungen B. III. H. 1.

вопросамъ преподаванія (которая получила въ своемъ кругу краткое наименованіе Breslauer Kommission и уже въ слѣдующемъ 1906 г. ею внесены на Съѣздѣ въ Меранѣ т. наз. Меранскія предложенія.

Смыслъ ихъ тотъ, что безъ ущерба для значенія математики въ цѣляхъ логическаго развитія можно ставить ея преподаванію еще двѣ главныя задачи: укрѣпленіе способности пространственныхъ представленій (Anschauungsvermögens) и воспитаніе привычки къ функціональному мышленію (funktionales Denken).

Послѣднее выраженіе стало съ тѣхъ поръ настоящимъ лозунгомъ, сначала отталкивающимъ, но потомъ настолько привившимся, что оно уже не рѣжетъ ухо. Въ русскомъ переводѣ получило оно право гражданства и у насъ.

Съѣзду въ Дрезденѣ 1907 г. былъ уже представленъ отчетъ о дѣятельности бреславльской комиссіи и выработанные ею проэкта См. Die Tätigkeit d. U-kn d. G. D. N. u. A. hrsg. v. Gutzmer 1908 г. p. 322, и съѣздомъ былъ организованъ болѣе широкій по составу D. Ausschuss f. d. math. u. naturw. Unterricht (DAMNU), въ составъ котораго вошли представители 19 ученыхъ Обществъ, и который развилъ подъ предсѣдательствомъ Гуцмера энергичную дѣятельность.

Еще въ 1905 г. прусское Министерство Н. Пр. предоставило произвести опытъ преподаванія согласно новымъ стремленіямъ въ нѣсколькихъ учебныхъ заведеніяхъ. (Гимназіи въ Гёттингенѣ и Ганноверскомъ Мюнденѣ, Oberrealschule въ Кенигсбергѣ и Килѣ и реальной гимназіи въ Дюренѣ).

Обходя молчаніемъ дебаты по вопросамъ преподаванія на рядѣ съѣздовъ, столь многочисленныхъ и частыхъ въ Германіи, мы приходимъ теперь къ открытію дѣятельности Германской подкомиссіи, которая по настоящее время выпустила 9 тетрадей (217 стр.) своихъ отчетовъ и 31 выпускъ своихъ трудовъ (3153 стр.) представляющихъ монографіи по отдѣльнымъ вопросамъ, относящимся до преподаванія математики.

Что касается мужскихъ учебныхъ заведеній, о которыхъ я здѣсь и говорю главнымъ образомъ, то прусскіе учебные планы (1901 г.) признали аналитическую геометрію и теорію коническихъ сѣченій; въ гимназіяхъ въ программахъ старшаго класса говорится: понятіе о координатахъ съ примѣненіемъ къ коническимъ сѣченіямъ (м. б. проходимо и синтетически, говоритъ инструкція), въ реальныхъ гимназіяхъ и училищахъ помимо введенія нѣкоторыхъ понятій проэктивной геометріи (гармоническія точки и лучи) фигурируетъ уже синтетич. теорія конич. сѣченій и аналитическая геометрія плоскости.

О понятіи функціи и анализѣ безк.-малыхъ въ программахъ и учебныхъ планахъ нѣтъ ни слова, но планы такъ разсчитаны, что учителю есть возможность въ теченіи курса не только подготовлять къ понятію о функціи, но даже знакомить съ производными.

И Литцманнъ въ своей работѣ Die Organisation des mathematischen Unterrichts an den höheren Knabenschulen in Preussen. 1910 подсчитываетъ, что изъ свыше 600 пересмотрѣнныхъ имъ про-

граммъ августа 1909 г. проникновеніе понятія функціи въ преподаваніе можно констатировать приблизительно въ 100 учебныхъ заведеніяхъ (24 гимназіи, 35 реальныхъ гимназій, 34 Oberrealschulen и 5 Realschulen).

И теперь число это благодаря неустанной пропагандѣ несомнѣнно возрасло.

Несравненно рѣшительнѣе выступаютъ новые учебные планы Вюртемберга и Бадена (1912), которые надо разсматривать какъ крупный успѣхъ движенія.

То, что въ Пруссіи разрѣшается дѣлать отдѣльнымъ заведеніямъ, здѣсь приведено въ форму правительственнаго распоряженія, обязательнаго для всѣхъ.

Болѣе подробно желающіе могутъ ознакомиться по изданному по иниціативѣ Организаціоннаго Комитета Сборнику программъ1). Здѣсь достаточно указать въ отношеніи учебныхъ плановъ, что ариѳметическое (здѣсь разумѣется и алгебра) преподаваніе имѣетъ своимъ исходомъ и завершеніемъ исчисленіе безконечно-малыхъ, подготовленное заранѣе подчеркиваніемъ понятія и функціи, что преподаваніе геометріи съ самаго начала имѣетъ въ виду развитіе интуиціи (Anschauung), наконецъ, что согласно выраженію Меранскихъ предложеній, die Einsicht in die Bedeutung der Mathematik für die exakte Naturerkenntniss und die moderne Kultur überhaupt“ является важною цѣлью старшихъ классовъ

Другое характерное свойство вюртембергскихъ плановъ это то, что однимъ и тѣмъ же указомъ созданы учебные планы для всѣхъ 5 типовъ мужскихъ среднихъ учебныхъ заведеній (I. Гимназія. II. Reformgymnasium, III. Реальная гимназія. IV. Reformrealgymnasium и V. Oberrealschule), для которыхъ и вводятся начала высшей математики въ различныхъ, дозахъ. Цѣлью преподаванія математики во всѣхъ и ставится сообщеніе основаннаго на полномъ пониманіи знанія важнѣйшихъ предложеній, методовъ и примѣненій элементарной математики и части высшей математики „abgestuften nach den verschiedenen Schulgattungen“, далѣе „Anleitung zu folgerichtiger Scblussweise, insbesondere zu funktionalem Denken“.

Самое различеніе пяти типовъ совпадаетъ съ послѣдними учебными планами—1909 г.—другой родственной Германіи страны: Австріи, организація учебнаго дѣла въ которой и ранѣе была интересна проведеніемъ раздѣленія средней школы на двѣ ступени, два отдѣленія, учебный планъ которыхъ 1900 г. являлся завершеніемъ работы послѣдняго 50-ти лѣтія и научныя и педагогическія достоинства инструкцій котораго отмѣчаетъ проф. Ф. Клейнъ въ своихъ лекціяхъ о математическомъ преподаваніи.

Оживленная журнальная полемика (въ Австріи издаются два спеціальныхъ журнала посвященныхъ среднему образованію Zeitschrift für österreichische Gymnasien и Zeitschrift für das Realschulwesen) вызвала въ 1909 г. изданіе новыхъ учебныхъ плановъ, кото-

1) Матеріалы по вопросу о реформѣ преподаванія математики. Вып. I. Сборникъ программъ и инструкцій по преподаванію математики въ Западной Европѣ. Изд. И. Д. Сытина.

рые въ отношеніи фактическаго учебнаго матеріала не вносятъ радикальныхъ измѣненій, а касаются главнымъ образомъ мето^ довъ преподаванія. Эти измѣненія циркуляромъ 8. IV 1909 характеризуются, какъ „zeitgemässe Weiterentwicklungen in Rahmen der bisherigen Organisation d. Realschulen durch welche haupzsächlicli die wiederholt und dringend verlangte Entlastung der Schüler herbeigeführt werden soll“. Въ особенности цѣлью было: 1. приспособленіе къ соотвѣтствующему духовному развитію учениковъ. 2. упрощеніе преподаванія тѣснѣйшимъ соединеніемъ внутренне связанныхъ ученій, въ особенности на всѣхъ ступеняхъ между ариѳметикой и геометріей. 3. Всестороннее приспособленіе учебнаго матеріала по математикѣ къ соотвѣтствующимъ спеціальностямъ 4, Выясненіе функціональныхъ соотношеній при всякомъ случаѣ во время преподаванія математики. 5. Забота о развитіи интуиціи при помощи соотвѣтственной дѣятельности: приготовленія моделей, измѣреній и т. д. 6. Устраненіе устарѣвшаго или дидактически непригоднаго матеріала, пожертвованіе неимѣющими значенія подробностями, устраненіе многихъ повтореній, перестановка отдѣльныхъ частей учебнаго плана Облегчены и задачи: классныхъ работъ 3 вм. 4.

Число часовъ уменьшено и распредѣлено иначе (1-я цифра ариѳметика, 2-я геометрія, 3-я геометр. черченіе).

I II IIII IV V VI VII

Итого на ариѳмет. и геометрію 1899 г. 30Ѵ2 и 31/2 геом. чер.

„ „ „ „ „ 1909 г. 251/о и 4 геом. чер.

Очень сокращено время преподаванія ариѳметики, на что и жалуется авторъ соотвѣтств. отчета Fr. Bergmann (Der mathematische Unterricht an den Realschulen).

Измѣненія относительно гимназій выразились въ аналогичномъ пересмотрѣ плановъ и еще въ раздѣленіи вмѣсто 2-хъ ступеней на три.

Unterstufe . . . I—III 3 года.

Mittelstufe . . . IV—Л" 2 года.

Oberstufe . . . VI—VIII 3 года.

Въ Италіи послѣднее время даетъ намъ созданіе lісео moderno, и составитель проэкта программы и инструкціи проф. Кастельнуово пишетъ въ поясненіе своего проэкта:

„Иные коллеги, вѣрные традиціямъ нашего средняго математическаго преподаванія найдутъ введеніе новыхъ идей неблагопріятнымъ и опаснымъ. Я могъ бы отвѣтить ссылкою на постановленіе Mathesis, на примѣры среднихъ школъ многихъ другихъ странъ, на стремленіе ф.-м. факультетовъ Италіи начинать преподаваніе анализа б.-малыхъ съ 1 курса“ (я передаю сокращенно). Но наиболѣе важный въ глазахъ Кастельнуово аргументъ—тотъ фактъ, что „понятія функціи, графическаго изображенія, производной принадлежатъ уже къ общей культурѣ съ большимъ правомъ, чѣмъ извѣстныя предложенія элементарной геометріи или раціональной ариѳметики. Юноши, выходящіе изъ нашей средней школы и поступающіе на факультеты юридическій и медицинскій, встрѣтятъ эти понятія при своихъ занятіяхъ статистикой, политической экономіей и біологіей. Не будутъ ли они въ правѣ поставить въ упрекъ средней школѣ, что она не дала имъ тѣхъ познаній, которыя имъ необходимы для углубленія ихъ спеціальныхъ занятій“.

А вотъ что пишетъ Н. ѵ. Koch, редакторъ шведскаго отчета: D. mathematische Unterricht in Schweden. Указавъ на существованіе въ Швеціи представителей діаметрально противоположныхъ взглядовъ на значеніе и роль математики въ образованіи, онъ говоритъ: особенно важнымъ является понятіе о функціи съ соотв. графическими изображеніями, и въ Швеціи, какъ и въ другихъ культурныхъ странахъ, оцѣниваютъ его значеніе для всего міровоззрѣнія, и то мощное движеніе, которое въ послѣднее десятилѣтіе охватило всю Европу,, отразилось и на послѣднихъ шведскихъ планахъ 1905 г.; существенный признакъ его — введеніе понятія о функціи, а въ реальной гимназіи и первыхъ началъ исчисленія безк.-малыхъ.

Новые учебные планы вводятся въ Венгріи, Норвегіи, спроэктированы въ 1911 г. въ Голландіи, захватывая такимъ образомъ постепенно все болѣе широкую область.

Захватываетъ это движеніе и Россію. Введеніе началъ высшей математики состоялось уже по отношенію къ тремъ типамъ школъ: реальнымъ училищамъ, среднимъ техническимъ и военнымъ (кадетскимъ корпусамъ). Остаются лишь гимназіи, мужскія и женскія; въ послѣднихъ въ особенности курсъ математики долженъ быть повышенъ хотя бы до уровня нынѣшнихъ гимназій.

Повышеніе уровня женскаго образованія есть также фактъ послѣдняго времени въ рядѣ странъ какъ Германія (Пруссія, планъ 1908 г.).

Въ особенности можетъ быть интересно для друзей женскаго образованія то, что pr. J. Schröder въ своемъ отчетѣ Die neuzeitliche Entwicklung des mathematischen Unterrichts an den höheren Mädchenschulen Deutschlands, insbesondere Norddeutschlands посвящаетъ особый отдѣлъ своего труда (доведеннаго до 1912 г.) вопросу о способности къ математикѣ у дѣвочекъ, по которому онъ произвелъ

нѣчто въ родѣ анкеты. Большинство на основаніи опыта примѣненія новыхъ плановъ высказываетъ, что нѣтъ никакого различія по способностямъ между мальчиками и дѣвочками въ отношеніи пониманія и усвоенія не только математики (меньшинство высказывалось, что дѣвочки болѣе „rezeptiv“, чѣмъ „produktiv“, но берутъ затѣмъ прилежаніемъ), но и другихъ предметовъ. Даже можно установить по словамъ Шрёдера приблизительно численно, что Ѵ5 дѣвочекъ обладаетъ хорошими способностями, 3/5 нормальными и Ѵб слабыми. Особенно выдающіяся дарованія встрѣчаются, какъ отвѣчаетъ ему одинъ изъ спрошенныхъ, между дѣвочками, какъ и между мальчиками только, какъ исключительный случай. Съ похвалою отмѣчается живой интересъ, большая охота и хорошее пониманіе дѣвочекъ, у которыхъ часто замѣчается даже болѣе быстрое схватываніе, чѣмъ у мальчиковъ. Тормозящимъ образомъ дѣйствуетъ у дѣвочекъ чаще чѣмъ у мальчиковъ мысль, что то, что онѣ безъ особаго труда усвоили логически, не найдетъ практическаго примѣненія.

И большинство, высказывая удовлетвореніе успѣхами, стоитъ за увеличеніе числа часовъ математики съ 16 до 26—28.

Такое же пожеланіе о повышеніи числа часовъ высказываетъ на основаніи опыта по поводу 2-го цикла французскихъ лицеевъ и М-ше Baudeuf. (Rapports Y. V. Enseignement des jeunes filles).

Я ничего не говорилъ до сихъ поръ о трехъ странахъ: С.-Ам. Соедин. Штатахъ, Англіи и Швейцаріи. Отсутствіе централизаціи народнаго образованія дѣлаетъ характеристику соотв. отношеній для этихъ странъ болѣе трудной. Возьмемъ, напр., тотъ же вопросъ о преподаваніи началъ анализа безк.-малыхъ. (Въ Швейцаріи нѣтъ единаго учебнаго плана ни для гимназій ни для реальныхъ училищъ). Изъ 33 гимназій Швейцаріи его ввели 7 (т. е. 21°/0), а изъ 25 реальн. училищъ 21 (т. е. 84°/0); болѣе распространено введеніе понятія о функціи, (обязательное по обоимъ швейц. регламентамъ: 1. Verordnung betr. den Maturitätsausweis für die Kandidaten der medizinischen Berufsarten. 2. Regulativ für die Aufnahme von regulären Schülern u. Zuhörern an die eidgen. Polytechnische Schule“): „Приложеніе метода координатъ, и графическихъ изображеній простыхъ функцій и элементарныхъ зависимостей механическихъ и физическихъ величинъ“. 2-ой кромѣ, того: Elemente die Functionsbegriffs.

И авторъ отчета Brandenberger нашелъ 3 гимназіи и 1 реальное училище, которыхъ программы не говорятъ совсѣмъ о функціяхъ. О нихъ, конечно, говорятъ и въ тригонометріи и въ аналитической геометріи, но въ центръ математическаго преподаванія понятіе функціи здѣсь, конечно, не поставлено.

Интересна анкета. Изъ 50 отвѣтовъ на вопросъ о взглядѣ на введеніе началъ исчисленія безк. - малыхъ въ среднюю школу 10°/0 отвѣтили противъ (за введеніе въ реальныхъ училищахъ основательнаго прохожденія понятія о функціи, но противъ диф. и инт. исч.; „для гимназіи диф. исч. не нужно“). 10°/0 не имѣютъ опредѣленнаго мнѣнія, желая еще систематическихъ опытовъ, 30°/0 — за введеніе понятія дифференціальнаго коэффиці-

ента и интеграла, 50%—за введеніе съ тою же терминологіей какъ и въ высшей школѣ, за счетъ непрерывныхъ дробей, неопредѣленныхъ уравненій ариѳметическихъ рядовъ высшихъ порядковъ, фигурныхъ чиселъ, алгебраическаго и тригонометрическаго рѣшенія уравн. 3 и 4 степени, элементарнаго изученія рядовъ и maxima-minima.

Въ Англіи „попытка включить исчисленіе б.-м. какъ составную часть обычнаго Syllabus’a старшихъ классовъ сдѣлана въ значительномъ числѣ школъ“.

Вотъ итоги, къ которымъ приходитъ авторъ составленнаго отчета С. S. Jackson.

1. Обученіе исчисленію б.-м. средняго мальчика отъ 16 до 18 лѣтъ находится въ стадіи эксперимента. Нужда превыше всего въ томъ, чтобы для учителей явилось болѣе возможности сравнивать ихъ взгляды и прійти къ соглашенію относительно систематическаго испытанія различныхъ методовъ.

2. Введеніе исчисленія б.-м. съ обильными простыми приложеніями въ число занятій для мальчиковъ выше чѣмъ среднихъ способностей было очень успѣшно. Ихъ оцѣнка математики и ихъ готовность приняться за новую задачу, вмѣсто того, чтобъ только смотрѣть на нее, выросли неизмѣримо.

3. Насколько тотъ же эффектъ можетъ быть полученъ при попыткѣ обучать тому же способныхъ мальчиковъ 13 —14 лѣтъ1) или всѣхъ мальчиковъ 16 лѣтъ, надо считать вопросомъ открытымъ, такъ какъ есть нѣкоторыя свидѣтельства въ пользу отрицательнаго отвѣта.

4. Новыя идеи должны подготовляться предыдущими занятіями, которыя не должны однако отнимать столько времени, чтобы ученикъ утомился прежде, чѣмъ достигнетъ чего нибудь реальнаго. Классъ любитъ доходить до дѣла.

5. Приложенія къ измѣренію, механикѣ и другимъ конкретнымъ вещамъ должны быть проведены выпукло черезъ весь курсъ, всегда съ достаточнымъ вниманіемъ къ тому, чтобы трудности брать по одной и не иллюстрировать obscurun per obscurius. Геометрическія приложенія должны занимать скорѣе подчиненное мѣсто. Измѣренія объемовъ—полезное введеніе къ интегрированію. Какъ только возможно, надо вещь, подготовленную конкретной иллюстраціей, вводить и саму, и какъ только введена формально теорія или процессъ, польза ихъ для подобныхъ или другихъ конкретныхъ цѣлей должна быть немедленно показана на примѣрахъ.

6. Каждая вещь, имѣющая свое названіе, какъ напр., функція, предѣлъ, дифференціальный коэффиціентъ, интегралъ, должны быть представлены конкретными примѣрами, прежде чѣмъ будетъ названа, но названія не должны быть скрываемы, если сами вещи извѣстны. Напр., понятіе предѣла существенно, и названіе его должно быть дано.

7. Извѣстная степень строгости и въ опредѣленіяхъ и въ

1) Какъ хочетъ проф. Ferry.

доказательствахъ существенна. Ученики быстро открываютъ, что аргументъ не основателенъ, хотя можетъ быть и не вь состояніи указать ошибку. Иногда чувство неловкости, что что-то невѣрно, мѣшаетъ имъ дѣлать дальнѣйшіе успѣхи.

8. Чрезмѣрная строгость способна задержать успѣхи, производя впечатлѣніе порожденія ненужныхъ трудностей и погони за безпокойствомъ. Самое разумное, можетъ быть, давать не полное доказательство и въ надлежащее время внушать сомнѣніе. Должно объяснить, что сомнѣнію подвергается доказательство, а не результатъ.

9. Всѣ соглашенія и условія требуютъ подробнаго объясненія. Соглашенія относительно знака часто способны запутать такъ же, какъ обычай однимъ и тѣмъ же символомъ или буквою обозначать то число, то количество измѣренное числомъ въ извѣстныхъ единицахъ.

10. Очень желательно, чтобы учитель зналъ кое-что по исторіи своего предмета, но повидимому нѣтъ опытныхъ данныхъ для оцѣнки значенія попытокъ вносить нѣкоторыя детали или общій очеркъ исторіи въ курсъ преподаванія. Повидимому очевидно, что историческое изложеніе должно повысить цѣнность предмета для общаго образованія.

11. Интуиціи сравнительно мало мѣста въ занятіи исчисленіемъ безконечно малыхъ; быть можетъ трудность, вообще, въ томъ, что дѣлать при отсутствіи интуиціи, какъ открыть ея отсутствіе и какъ исправить ошибочную интуицію. На практикѣ утвержденіе учителя часто сходитъ за интуицію ученика. Это соображеніе имѣетъ значеніе для того, кто вполнѣ оцѣниваетъ превосходство подлиннаго интуитивнаго убѣжденія надъ согласіемъ съ результатомъ дедукціи, но не для того, кто считаетъ, что путь къ достиженію въ заключеніе интуиціи ведетъ черезъ дедукцію.

Таковы выводы англійскаго педагога. Во многомъ они характерны именно для англійскаго практическаго и трезваго ума. Сравнивая ихъ съ предыдущими сужденіями, мы должны, мнѣ думается, признать, что при всѣхъ національныхъ различіяхъ во всемъ чувствуется большое сходство, почти тожество основныхъ стремленій.

Отмѣтимъ еще то большое сочувствіе, которымъ въ Швейцаріи пользуется вопросъ о совмѣстномъ обученіи мальчиковъ и дѣвочекъ. (Встрѣчающіяся возраженія указываютъ главнымъ образомъ, что для болѣе слабаго организма дѣвочекъ слишкомъ тяжелы 35 уроковъ въ недѣлю).

Тоже надо сказать и о результатѣ анкеты по тому же вопросу въ Соед. Штатахъ (Ком. III. IV. Стр. 141). Общій выводъ тотъ, что разница въ умственныхъ чертахъ мальчиковъ и дѣвочекъ и въ ихъ способности къ различнымъ сторонамъ математического преподаванія, правда, замѣчается, но значительное большинство не считаетъ эту разницу достаточно большой, чтобы вызывать необходимость отдѣльнаго обученія.

Подводя итоги, можно сказать: курсъ математики общеобразовательной средней школы долженъ быть дополненъ тѣми основными

понятіями такъ наз. высшей математики, которыя уже стали достояніемъ общей культуры. Простое добавленіе новаго предмета къ числу уже существующаго не достаточно. Надо съ одной стороны устранить устарѣлое и дидактически непригодное (на счетъ того, что занести, въ эту категорію, возможны, конечно, мнѣнія самыя разнообразныя), но можетъ быть даже важнѣе устранить средостѣніе между различными „предметами“—учить не ариѳметикѣ, алгебрѣ и и т. д., а математикѣ. Въ начальной стадіи сліяніе ариѳметики съ пропедевтическимъ курсомъ геометріи безъ излишняго расширенія послѣдняго; сліяніе ариѳметики и алгебры какъ можно ранѣе; введеніе систематическаго изложенія геометріи лишь на той ступени развитія ученика, когда онъ въ состояніи оцѣнить значеніе логическаго элемента; постепенная подготовка къ понятію о функціи при всякомъ удобномъ случаѣ, но безъ принужденія и насилія, широкое пользованіе графиками, но съ соблюденіемъ необходимой осторожности. Въ отношеніи организаціи— раздѣленіе на два цикла и на секціи, уравненіе курса мужскихъ и женскихъ учебныхъ заведеній. Все это, какъ мы видимъ, во многихъ мѣстахъ уже дѣлается; должно дѣлаться и у насъ.

И если мы познакомимся ближе съ программами преподаваній различныхъ націй, это не только вызоветъ у насъ стремленіе усвоить и себѣ то, въ чемъ онѣ ушли впередъ, но дастъ и утѣшительное сознаніе, что кое-что и у насъ дѣлается не такъ уже плохо. И напр., схоластики въ преподаваніи ариѳметики въ Германіи и Австріи и по сейчасъ едва-ли не больше чѣмъ у насъ. Всѣ эти Durchsclmittsregel, Knieregel und Kettensatz и т. д. y насъ уже отброшены.

Надо только ясно сознать, что нужно дѣлать и въ какомъ направленіи. И это мнѣ кажется уже есть. Позвольте же закончить прекрасными словами.

„La vérité est en marche et rien ne l’arrêtera“.

Какія стороны элементарной математики представляютъ цѣнность для общаго образованія?*)

Проф. А. К. Власовъ.

Мм. Гг. Мысль о реформѣ преподаванія математики сдѣлалась въ настоящее время всеобщей и широкой волной захватила не только педагогическіе круги, непосредственно заинтересованные въ дѣлѣ и предметѣ преподаванія, но и административныя сферы, заинтересованныя въ дѣлѣ народнаго просвѣщенія. Въ различныхъ странахъ вырабатываются или уже введены новые учебные планы съ новыми тенденціями. Съ другой стороны замѣчается всюду значительное оживленіе и въ учебной литературѣ.

Работы Международной Комиссіи по преподаванію матема-

*) Рѣчь, произнесенная 27 дек. 1913 г. въ 1-мъ общемъ собраніи Съѣзда.

тики, о которыхъ мы только что выслушали съ большимъ интересомъ докладъ высокоуважаемаго проф. Д. М. Синцова, направляютъ это могучее движеніе въ одно общее русло. Этимъ работамъ поставлена задача прежде всего дать обзоръ существующей организаціи преподаванія математики въ школахъ различныхъ типовъ, различныхъ странъ; подвергнуть тщательной разработкѣ и критикѣ всѣ возможныя здѣсь направленія и принципы, чтобы выяснить, какая реформа могла бы привести къ дѣйствительному прогрессу.

Несомнѣнно тѣ заключенія, къ которымъ придетъ Международная Комиссія, будутъ имѣть значительный авторитетъ. Но, мнѣ думается, и раньше, чѣмъ будетъ вынесено такое заключеніе, было бы интересно подвергнуть обсужденію поставленные вопросы, хотя бы и не во всей ихъ общности и жгучести, обсудить, хотя бы и не располагая тѣмъ матеріаломъ, который собираетъ Международная Комиссія.

Одинъ изъ такихъ вопросовъ я и ставлю темой своего доклада первому собранію членовъ 2-го Всероссійскаго Съѣзда преподавателей математики. Я хотѣлъ-бы выяснить, какія стороны элементарной математики представляютъ цѣнность для общаго образованія.

Я не сомнѣваюсь, каждый преподаватель имѣетъ свое собственное мнѣніе въ этой оцѣнкѣ, основанное на его знаніяхъ и опытѣ. Мысли, которыя я предполагаю развить въ своемъ докладѣ, подвергались обсужденію и критикѣ въ небольшомъ кружкѣ моихъ друзей въ теченіи послѣднихъ пяти лѣтъ, поочередно собиравшихся другъ у друга. Въ этихъ оосужденіяхъ участвовали М. Ѳ. Бергъ, преподаватель Высшихъ Женскихъ Курсовъ и директоръ гимназіи при Реформатской церкви; С. П. Виноградовъ, доцентъ Коммерческаго Института и преподаватель Высшихъ Женскихъ Курсовъ; вашъ покорнѣйшій слуга; А. А. Волковъ, преподаватель Московскаго Института Путей Сообщенія и Высшихъ Женскихъ Курсовъ; А. А. Дмитровскій, прив.-доц. Московскаго Университета и преподаватель нѣкоторыхъ женскихъ гимназій г. Москвы и уже отошедшій въ тотъ міръ къ глубокому прискорбію всѣхъ насъ и всѣхъ его знавшихъ А. Ѳ. Гатлихъ, который беззавѣтно былъ преданъ дѣлу любовнаго преподаванія математики.

Я долженъ признать, что наша общая дружеская работа наложила и должна была наложить свою печать на тѣ мысли, которыя теперь мнѣ выпала честь за собственною отвѣтственностью изложить передъ высокоуважаемымъ собраніемъ.

Переходя къ темѣ моего доклада, я прежде всего ставлю вопросъ, да нужна-ли математика всякому образованному человѣку и просто человѣку. Вопросъ этотъ, по моему, не праздный. На него давались въ различныя эпохи или въ различныхъ обществахъ и различные отвѣты. Вспомнить только гордую надпись при входѣ въ академію Платона: prjâal; àyscophQrjToi аібіхсо роѵ т)]ѵ oréyrjv (никто незнающій геометріи да не войдетъ подъ мой кровъ), или совсѣмъ противоположнаго характера мнѣніе нашей русской старины: богомерзостенъ передъ Богомъ всякъ, любяй

геометрію. Да и въ одномъ и томъ же обществѣ различные члены его держатся часто различнаго мнѣнія въ этомъ сужденіи.

Мнѣ вспоминается парадоксъ, высказанный однимъ теперь уже давно покойнымъ художникомъ, который защищалъ свою профессію, нападая на профессію преподавателя научныхъ предметовъ: мы, художники, учимъ своихъ учениковъ, какъ писать картины, которыя будутъ разсматривать всѣ, кто интересуется искусствомъ, наслаждаясь ими или критикуя ихъ; а вы, преподаватели научныхъ предметовъ, чему и для чего учите? чтобы ваши ученики сдѣлались учителями ц стали учить тому же, чему учили вы? чтобы ученики учениковъ вашихъ въ свою очередь сдѣлались учителями и стали учить тому же, чему и вы, и такъ до безконечности. Есть-ли смыслъ въ такомъ направленіи преподаванія?

Я имѣю свидѣтельства остраго ума этого художника; несомнѣнно онъ высказалъ это мнѣніе какъ парадоксъ, быть можетъ съ горечью подчеркивая, что иногда этотъ парадоксъ недалекъ отъ правды. Выяснить, какія стороны элементарной математики представляютъ цѣнность для общаго образованія, и значитъ найти выходъ изъ этого заколдованнаго круга.

Уже въ оффиціальныхъ объяснительныхъ запискахъ къ различнымъ программамъ дается рѣшеніе поставленнаго вопроса примѣрно въ такомъ видѣ: задача средней школы — дать учащимся общее научное образованіе. Изъ этого положенія выводится, что цѣль преподаванія математики—развитіе строго логическаго мышленія. Средствомъ достиженія этой цѣли является изученіе способовъ доказательствъ математическихъ истинъ и систематическое изложеніе предмета.

Но что значитъ дать общее научное образованіе? энциклопедическое? или верхи знанія? Я думаю ни то, ни другое. Часто, хотя и невольно, злоупотребляютъ этимъ словомъ „общее образованіе“, и я не берусь точно опредѣлить это понятіе; но можно свести его къ другому, которое, быть можетъ, вызоветъ болѣе опредѣленное представленіе. Я думаю, всѣ согласятся, что нельзя считать имѣющимъ общее образованіе того, у кого ограниченный кругозоръ. Одними простыми свѣдѣніями, какъ бы ни были они обширны, нельзя расширить своего кругозора, нельзя достичь общаго образованія. Надо эти свѣдѣнія пережить, надо, чтобы въ этомъ переживаніи что-то въ прежнемъ кругозорѣ уступило послѣ борьбы мѣсто чему-то новому, приводящему уже пріобрѣтенное раньше въ большую гармонію. Общее образованіе въ цѣломъ не можетъ быть получено въ средней школѣ; средняя школа лишь закладываетъ основаніе ему, подготовляетъ воспріимчивость ученика къ расширенію кругозора.

Задачу средней школы, такимъ образомъ, можно было бы опредѣлить такъ — дать образованіе, возбуждающее работу мысли и интересъ къ знанію въ различныхъ областяхъ наукъ, результаты которыхъ сдѣлались общимъ достояніемъ.

По вышеизложенной оффиціальной точкѣ зрѣнія преподаваніе математики является средствомъ развитія строго логическаго

мышленія. Говорить о строго логическомъ мышленіи какъ цѣли независимо отъ содержанія этого мышленія, по моему, едва ли возможно. Человѣкъ, привыкшій дѣлать правильныя заключенія въ области математики, едва ли сдѣлаетъ правильный выводъ въ непривычной ему области, напр., въ юридическихъ или общественныхъ наукахъ, а вѣдь и тамъ тоже говорятъ о строгой логикѣ. Можно изучить въ совершенствѣ формальную логику и все таки не умѣть сдѣлать правильнаго вывода въ той области, содержаніе и характеръ которой не передуманы, не пережиты, не усвоены. Поэтому не изученіе способовъ доказательствъ математическихъ истинъ составляетъ главную задачу изученія математики, само содержаніе ея, содержаніе того, что доказывается, представляетъ большую цѣнность. Перри, извѣстный авторъ книгъ по математикѣ одного изъ новыхъ направленій, тенденціи котораго я далеко не раздѣляю, разсказываетъ, что онъ знавалъ многихъ молодыхъ людей, которые хорошо умѣли доказывать, но только не знали, что они доказывали.

Наконецъ, вызываетъ у меня сомнѣніе и послѣдній тезисъ изложенной точки зрѣнія — систематичность изложенія предмета. Подъ систематичностью, можетъ быть, и не разумѣется здѣсь система самаго предмета, которую можно усмотрѣть лишь въ цѣломъ, лишь въ концѣ изученія и которая можетъ быть различно построена. Но, при нѣкоторыхъ условіяхъ, и систематичность изложенія отдѣльныхъ частей предмета, ведущая по строго опредѣленной тропѣ, не сбивающейся, въ стороны, можетъ совершенно убить самостоятельность мысли, можетъ обратиться въ шаблонъ. Пріучаясь итти по проторенной дорогѣ, едва ли мы пріобрѣтаемъ навыкъ не сбиваться вообще съ дороги. Нечего бояться скачковъ мысли или даже ошибокъ ея: въ самыхъ ошибкахъ мысли, если только не утрачена привычка самостоятельно мыслить, заключается цѣнный моментъ, обостряющій само мышленіе, настораживающій вниманіе, если во время и критически или въ видѣ сомнѣнія указана ошибка.

Другое мнѣніе о преподаваніи математики высказывается въ учебникахъ новаго направленія.

„Мы дожили до того, что умѣнье примѣнять выводы наукъ стало нуо/сно всякому образованному человѣку. Надо начинать изученіе наукъ съ сообщенія самыхъ нужныхъ умѣній, на наукахъ основанныхъ“, такъ высказывается Перри, о которомъ было упомянуто раньше. „Учить надо только полезному, но слово это надо понимать не въ узкомъ смыслѣ, а въ смыслѣ всего, что увеличиваетъ работоспособность ученика“, говоритъ авторъ другого учебника О. Лоджъ. Ближайшею цѣлью элементарнаго обученія математикѣ Перри считаетъ сообщеніе умѣнья дѣлать нужные разсчеты. Въ другомъ мѣстѣ къ такому утилитарному направленію преподаванія вносится поправка: „ученикъ долженъ переоткрыть для себя всякій преподаваемый ему научный фактъ“.

И эта точка зрѣнія, кромѣ развѣ только послѣдняго пункта, возбуждаетъ цѣлый рядъ вопросовъ. Можно ли сообщить умѣнье дѣлать нужные расчеты безъ пониманія содержанія того,

надъ чѣмъ дѣлаются расчеты? Простое умѣнье примѣнять не всегда обусловливаетъ пониманіе примѣняемаго. Можетъ быть иногда въ этомъ и нѣтъ большой бѣды. Возьмемъ для примѣра московскаго обывателя, стоящаго въ сторонѣ отъ научныхъ интересовъ. Что сдѣлалось съ представленіемъ и рѣчью его съ введеніемъ электрическаго освѣщенія и трамвайнаго движенія? Онъ освоился съ этими прежде для него чуждыми фактами, понимаетъ ихъ по своему и сообразуетъ съ ними свое поведеніе. Мнѣ какъ-то пришлось слышать въ трамваѣ разговоръ мальчика лѣтъ пяти со своею матерью, который разсказывалъ ей, какъ наканунѣ онъ въ трамваѣ ѣхалъ съ тетей и вагонъ ихъ около Никитскихъ воротъ вдругъ остановился,—и знаешь почему? прибавилъ онъ,— прекратился токъ. Пожалуй скажутъ, что онъ говорилъ совсѣмъ безъ пониманія. Ну, а еслибы онъ разсказывалъ про своего товарища Колю, который играя съ нимъ упалъ, потому что споткнулся, — то развѣ тоже нужно сказать, что онъ говоритъ безъ пониманія только потому, что онъ не знаетъ законовъ тяготѣнія и равновѣсія?

Непониманіе тѣхъ или иныхъ моментовъ въ сложной логической схемѣ не всегда и не совсѣмъ исключаетъ пониманіе цѣлаго. Я даже готовъ признать возможность логики и въ неполномъ пониманіи.

Умѣнье и навыкъ могутъ представлять практическую цѣнность. Но конечно есть разница между умѣньемъ механическимъ, умѣньемъ рутиннымъ, ремесленнымъ и умѣніемъ съ пониманіемъ. Логическое усвоеніе предмета не всегда обезпечиваетъ пріобрѣтеніе навыка или умѣнья. Съ другой стороны предварительно пріобрѣтенное умѣнье можетъ при извѣстныхъ условіяхъ способствовать логическому усвоенію—это правда; но, если навыкъ обратился уже въ рутину, онъ можетъ явиться и препятствіемъ къ логическому усвоенію, такъ какъ при такомъ условіи можетъ отсутствовать самая потребность въ логическомъ обоснованіи, отсутствуетъ скепсисъ.

Понять — первая стадія усвоенія; формальная логика есть средство привести въ порядокъ понятое, а умѣнье и навыкъ необходимое завершеніе процесса усвоенія, закрѣпленіе правъ на неотъемлемость усвоеннаго.

Сравнивая обѣ разсмотрѣнныя точки зрѣнія, я бы сказалъ: цѣнность для общаго образованія представляетъ не просто хорошо подготовленный логическій аппаратъ и не простое умѣнье или навыкъ, а содержаніе логически обработанное и пріобрѣтенные при этой обработкѣ умѣнье и навыкъ. Ложно будетъ поставлена задача образованія, если тотъ или иной предметъ преподаванія разсматривать только какъ средство формальнаго развитія, не обращая особаго вниманія на жизненную цѣнность самого содержанія. Если такова будетъ главная задача, то содержаніе постепенно можетъ быть видоизмѣнено, подмѣнено другимъ малоцѣннымъ или даже неимѣющимъ никакой цѣны. Такое явленіе наблюдается, напр., въ эволюціи содержанія задачъ по математикѣ. Я не говорю уже о такъ называемыхъ шитыхъ задачахъ, но тоже можно

сказать и о многихъ другихъ, которыя не продуманы до конца въ своемъ содержаніи, въ которыхъ выдвигается лишь математическій скелетъ ихъ, которыя отвѣчаютъ лишь на заданіе формальнаго развитія ума учащихся, а между тѣмъ задача должна быть жизнью, какъ и жизнь является задачей.

Критика разсмотрѣнныхъ точекъ зрѣнія не даетъ конечно положительнаго и полнаго отвѣта на поставленный вопросъ, какія стороны элементарной математики представляютъ цѣнность для общаго образованія. Для такого отвѣта нужно было бы опредѣлить предварительно задачи математики какъ науки, прослѣдить ихъ генезисъ и исторію ихъ развитія. Конечно нѣтъ возможности при данныхъ условіяхъ сдѣлать полный анализъ этихъ новыхъ вопросовъ, но, можетъ быть, и нѣтъ настоятельной нужды въ такомъ полномъ анализѣ. Достаточно отмѣтить, что математическое мышленіе является средствомъ познанія міра со стороны, во-первыхъ, множественности и величины и во-вторыхъ, со стороны формы, строенія сложнаго, пространственныхъ представленій. Это раздвоеніе математической мысли, которое можно характеризовать какъ аналитическое и геометрическое мышленіе, всегда сопровождало ее. Этотъ дуализмъ коренится въ нашихъ первоначальныхъ навыкахъ, являющихся первоисточникомъ всякаго математическаго знанія—въ нашемъ умѣньѣ считать и въ нашей потребности представлять, изображать, строить изъ элементарныхъ представленій болѣе сложныя. По выраженію Пуанкаре число и вычисленіе съ одной стороны, пространственная интуиція и построеніе съ другой это два прожектора, направленныхъ на два чуждыхъ другъ другу міра, но я бы сказалъ иначе—два различныхъ прожектора, освѣщающихъ различно одинъ и тотъ же міръ. Тенденцію современнаго критическаго и аксіоматическаго направленія въ математикѣ вытѣснить интуицію элементарныхъ понятій и навыковъ, свести ее на нѣтъ, заковывая ея содержаніе въ опредѣленія или аксіомы, можно охарактеризовать не только какъ стремленіе къ строгости, но и какъ стремленіе уничтожить дуализмъ математической мысли, установить монизмъ, сведя аналитическое и геометрическое мышленіе къ одному—логическому.

Но въ такой тенденціи мы не можемъ видѣть отвѣта на поставленный вопросъ о цѣнныхъ сторонахъ элементарной математики для общаго образованія. Здѣсь одна изъ новѣйшихъ поставленныхъ проблемъ математики, математики какъ научной конструирующейся дисциплины, проблема для математиковъ и философовъ, но не задача математики какъ конструированной системы въ цѣломъ, математики какъ предмета преподаванія. Тенденція эта необходимо, неизбѣжно должна предполагать наличность дифференцированнаго математическаго мышленія, какъ аналитическаго, такъ и геометрическаго, между тѣмъ какъ цѣли преподаванія такой наличности не предполагаютъ, а наоборотъ въ томъ и заключаются, чтобы вызвать въ изучающемъ такое мышленіе.

Я и полагаю, что цѣль преподаванія математики, хотя бы и элементарной, заключается въ томъ, чтобы вызвать въ учащемся математическое мышленіе соотвѣтственно корнямъ этого мышле-

нія, какъ аналитическое такъ и геометрическое, какъ относящееся къ числу и вычисленію, такъ и относящееся къ пространственному представленію и построенію, мышленіе, которое могло бы служить для него орудіемъ познанія міра какъ со стороны множественности и величины, такъ и со стороны формъ, строенія сложнаго, пространственныхъ представленій. Такое мышленіе можетъ быть различныхъ степеней, начиная отъ элементарныхъ, интуитивныхъ навыковъ и восходя до сложныхъ математическихъ концепцій. Гдѣ бы оно для даннаго лица ни кончалось, оно представляетъ для него цѣнность. Поэтому возраженіе, что такое мышленіе доступно только математикамъ, а не всѣмъ, отпадаетъ.

Съ этимъ критеріемъ я и перейду къ обзору различныхъ отдѣловъ математики.

Число и вычисленіе—вотъ что является лозунгомъ, основой одной стороны математическаго дуализма. Ариѳметика, алгебра и математическій анализъ постепенно и соотвѣтственнымъ образомъ развиваютъ эти понятія, воспитывая въ изучающемъ способность къ аналитическому, въ смыслѣ математическомъ, мышленію. Главная задача ариѳметики и состоитъ въ томъ, чтобы научить отчетливому и сознательному счету, довести до сознанія основныя свойства дѣйствій въ цѣляхъ достиженія отчетливости въ образованіи понятій числа и вычисленія. Вычисленіе на этой ступени является лишь комбинированнымъ счетомъ. Здѣсь я становлюсь явно на сторону такъ называемыхъ счетчиковъ среди методистовъ ариѳметики: счетъ является прототипомъ всякаго вычисленія. Такъ называемые интуитивисты, монографисты, выдвигающіе понятіе числа какъ образъ и изъ свойствъ этого образа выводящіе понятіе о дѣйствіи, о вычисленіи, преслѣдуютъ, по моему, и достигаютъ иной цѣли, нисколько не противорѣчащей цѣли счетчиковъ, развиваютъ быстроту, смѣтливость, живость числоваго воображенія; все это также обогащаетъ математическое мышленіе, но все это скорѣе относится къ другой его сторонѣ, скорѣе къ пространственному представленію и не является нервомъ, проводящимъ идею вычисленія по всѣмъ стадіямъ ея развитія.

Но задача ариѳметики не заключается конечно въ одномъ только искусствѣ вычисленія, а и въ примѣненіи этого искусства къ величинамъ, ихъ измѣренію и изученію хотя бы простѣйшихъ зависимостей между ними. Это примѣненіе вноситъ новый моментъ въ вычисленіе: вычисленіе должно соотвѣтствовать условіямъ примѣненія, давать ни больше, ни меньше того, что требуется характеромъ данныхъ. Поэтому приближенное измѣреніе, приближенное вычисленіе, оцѣнка точности измѣренія и вычисленія, понятіе объ абсолютной и относительной погрѣшности— все это должно входить въ задачу ариѳметики и все это цѣнныя стороны ея для общаго образованія.

Во многихъ случаяхъ, напр., въ низшихъ школахъ ограничиваются и можно ограничиться этими предѣлами математическаго мышленія, относящагося къ числу и вычисленію. Но если математическое мышленіе должно развиваться дальше, то въ

ариѳметикѣ можно усмотрѣть два пункта, которые связуютъ ее съ алгеброй и высшимъ анализомъ. Первое—различеніе конечнаго процесса и безконечнаго. Вычисленіе въ первоначальномъ смыслѣ слова обозначаетъ, какъ уже было мною отмѣчено, просто комбинированный счетъ. Но и на этой стадіи могутъ быть поставлены такого рода задачи—какъ, напр., обращеніе простой дроби въ десятичную или нахожденіе чиселъ, квадраты которыхъ близко подходятъ съ той и другой стороны къ данному числу,—которыя приводятъ къ безконечному процессу, къ понятію предѣла, къ расширенію понятія числа, къ ирраціональному числу, расширяютъ понятіе вычисленія. Самый фактъ различенія конечнаго и безконечнаго процесса я считаю очень цѣнною стороной математическаго мышленія и расширяющимъ кругозоръ, если онъ, этотъ фактъ, правильно понятъ.

Второе,—что ведетъ изъ ариѳметики въ алгебру и дальше— это комплексъ дѣйствій какъ объектъ мысли. Отсюда буквенное вычисленіе, въ которомъ больше вниманія обращается не на число, а на зависимость чиселъ между собою. Число какъ бы отступаетъ на второй планъ, часто дается неявнымъ, т. е. обозначеннымъ буквой или кредитованнымъ въ результатѣ невыполненныхъ дѣйствій. Отсюда дѣленіе чиселъ на извѣстныя и неизвѣстныя, уравненія и неравенства, опредѣляющія неизвѣстныя числа, связанное съ этимъ расширеніе понятія числа и вычисленія. Неполная система уравненій приводитъ къ дѣленію чиселъ или соотвѣтствующихъ величинъ на постоянныя и перемѣнныя, къ идеѣ соотвѣтствія, зависимости перемѣнныхъ величинъ, къ понятію функціи, къ фукціональному, по выраженію проф. Клейна, мышленію. Функціональное мышленіе становится необходимымъ орудіемъ познанія міра, какъ только жизнь и потребности жизни, по скольку дѣло идетъ о вычисленіи, становятся сложнѣе, запутаннѣе, требующими для своего выясненія не простой только пропорціональности.

Идея безконечнаго процесса, комплексъ невыполненныхъ дѣйствій какъ объектъ мысли и функціональное мышленіе все это цѣнныя стороны математики, какъ образовательнаго предмета. Развитіе этихъ понятій можетъ быть остановлено на любой стадіи: отъ этого они не перестаютъ быть цѣнными. Не нужно смотрѣть на установленіе ихъ какъ на подготовку къ чему-то дальнѣйшему: самый фактъ ихъ образованія и усвоенія расширяетъ кругозоръ, представляетъ цѣнность.

Другая сторона математическаго дуализма имѣетъ своей основой пространственное представленіе и построеніе, построеніе изъ элементарныхъ представленій болѣе сложныхъ. Такимъ образомъ естественною школой развитія такого мышленія является геометрія. Я не хочу здѣсь сказать, что аналитическое мышленіе не имѣетъ отношенія къ геометріи. Поскольку дѣло идетъ объ измѣреніи, величинахъ и зависимостяхъ между ними, аналитическое мышленіе, въ частности и функціональное, распространяется и на геометрію. Но характернымъ для чисто геометрическаго является все-таки построеніе. Этотъ другой путь математи-

ческаго познанія стремится ту или иную математическую мысль воплотить въ какой либо геометрической формѣ, созидаемой путемъ построенія соотвѣтственно взаимоотношеніямъ различныхъ сторонъ воплощаемой мысли.

Пространство является объектомъ геометріи. Слово пространство означаетъ въ сущности три различныхъ вещи1):

1. Обычно понимаемое интуитивное пространство, свойства его даются намъ, какъ принято думать, интуиціей (intueor—сморю на), воззрѣніемъ, представленіемъ; другими словами мы видимъ эти свойства, конечно, внутреннимъ взоромъ.

2. Физическое или эмпирическое пространство, свойства котораго познаются нами изъ опыта, наблюденія путемъ воспріятія ихъ нашими внѣшними чувствами.

3. Геометрическое или абстрактное пространство — понятіе, возникающее изъ понятія интуитивнаго пространства путемъ отвлеченія, идеализированія, обобщенія; основныя свойства этого пространства постулируются, а остальныя доказываются.

Только третье понятіе, абстрактное пространство составляетъ объектъ геометріи какъ науки, объектъ примѣненія логическихъ операцій съ цѣлію извлеченія свойствъ этого пространства, которыя даютъ возможность отраженно судить до опыта и о свойствахъ физическаго, а при нѣкоторой простотѣ и представлять ихъ интуитивно. Сложныя свойства едвали могутъ умѣститься въ нашей интуиціи какъ таковой: они превосходятъ физіологическія и психологическія данныя интуиціи. Интуиція какъ таковая безъ помощи геометріи, безъ помощи сознательнаго разсужденія безсильна охватить ту совокупность образовъ, которые въ отдѣльности, быть можетъ, и воспринимаются интуитивно. Но въ чемъ же состоятъ разсужденія въ геометріи, къ чему сводятся эти разсужденія? Ссылка просто на логическія схемы едва ли дастъ отвѣтъ на этотъ вопросъ.

Чтобы дать начало, базисъ разсужденіямъ, геометрія исходитъ изъ опредѣленій, аксіомъ и постулатовъ. Еще Проклъ въ своихъ комментаріяхъ къ элементамъ Евклида пытается выяснить разницу между аксіомами и постулатами. Изъ этихъ объясненій интересны слѣдующія два2): а) Постулаты утверждаютъ возможность построенія, которое не можетъ быть сведено къ другому, принятому какъ выполнимое; аксіомы выражаютъ свойство, которое безъ доказательства приписывается фигурѣ, построимость которой уже постулирована или доказана. Ь) Аксіомы имѣютъ значеніе сами по себѣ, т. е. на основаніи значенія встрѣчающихся въ нихъ выраженій; постулаты не выявляются съ необходимостью изъ опредѣленій входящихъ въ нихъ выраженій. Новѣйшая критика показала, что и аксіомы выражаютъ требованія, которыя должны быть выполнены и потому въ нѣкоторомъ смыслѣ тоже могутъ быть разсматриваемы какъ постулаты, а въ абстрактно логическомъ своемъ направленіи эта

1) Encyklop. III. А. В. 1.

2) Encykl. Ill AB 1.

критика имѣетъ тенденцію разсматривать всю совокупность логическихъ отношеній, выражаемыхъ въ постулатахъ, какъ скрытыя неявныя опредѣленія основныхъ понятій. Эти новѣйшія тенденціи, какъ я уже сказалъ, не могутъ имѣть опредѣляющаго значенія, для цѣнности элементарнаго преподаванія; онѣ суть проблемы математики какъ конструирующейся науки, проблемы для математиковъ и философовъ. Для образованія элементарнаго геометрическаго мышленія имѣетъ большее значеніе мнѣніе Прокла. Въ постулатахъ Евклида отмѣчены элементарныя построенія, которыя въ то же время не отдѣлимы отъ интуиціи. Въ дальнѣйшемъ геометрическое мышленіе сводится къ построенію и созиданію новыхъ болѣе сложныхъ образовъ. Сложный образъ представляетъ совокупность элементарныхъ, связанныхъ построеніемъ и разсужденіемъ, объединенныхъ какимъ-либо разсматриваемымъ свойствомъ. Если эту познанную совокупность образовъ, совокупность цементированную, такъ сказать, разсужденіемъ, мы будемъ разсматривать какъ образъ и этотъ сложный образъ поставимъ на одну доску съ интуитивно представляемымъ элементарнымъ образомъ, то тѣмъ самымъ мы расширяемъ пониманіе слова „интуиція“.

Такимъ образомъ можно будетъ сказать, что геометрія какъ дѣятельность построенія обостряетъ интуицію, обостряетъ нашъ внутренній взоръ увеличиваетъ ёмкость представленія. Представленіе въ этомъ расширенномъ смыслѣ есть сокращенное разсужденіе и построеніе, разсужденіе сдѣлавшееся образомъ.

Въ этомъ и заключается цѣнная сторона изученія геометріи. Помимо практическаго значенія тѣхъ образовъ, которыми обогащается представленіе, самое расширеніе способности представленія увеличиваетъ въ то жо время способность сужденія, и, если дѣятельный моментъ построенія введенъ въ элементарное представленіе изучающаго, то цѣль обученія достигнута, независимо отъ объема геометрическаго матеріала.

Милостивые государи, сегодня же въ нашихъ секціонныхъ собраніяхъ начнется кипучая работа обсужденія и освѣщенія различныхъ сторонъ математики, какъ тѣхъ, которыя имѣютъ цѣнность для общаго образованія, такъ и тѣхъ, которыя преслѣдуютъ болѣе спеціальныя цѣли; будутъ высказаны разнообразные взгляды соотвѣтственно разнообразію опыта участниковъ обсужденія. Но я не сомнѣваюсь—одна мысль будетъ звучать во всемъ разнообразіи мнѣній: мы должны научить идущія намъ на смѣну поколѣнія мыслить тѣми понятіями и образами, которые составляютъ математическія свѣдѣнія и которые независимо отъ ихъ объема цѣнны на всѣхъ ступеняхъ знанія; мы должны воспитать въ молодыхъ умахъ математическое мышленіе и тѣмъ самымъ подготовить работниковъ на различныхъ поприщахъ русской жизни и русской науки.

Объ организаціи подготовки преподавателей средней школы1).

Проф. Н. Н. Салтыковъ (Харьковъ).

Многоуважаемые товарищи! Не безъ колебаній принялъ я приглашеніе организаціоннаго комитета 2-ого съѣзда преподавателей математики, говорить Вамъ о подготовкѣ преподавателей.

Я согласенъ съ организаціоннымъ комитетомъ, что тема предложеннаго мнѣ доклада охватываетъ весьма разнообразные и широкіе вопросы. Поэтому передо мною встаетъ трудная задача, въ краткихъ словахъ, установить руководящія идеи, на которыхъ должна быть основана подготовка преподавателей, и вывести изъ нихъ заключенія, какимъ образомъ эта подготовка должна быть осуществлена на практикѣ.

Мое положеніе усложняется еще болѣе тѣмъ обстоятельствомъ, что мы, выражаясь словами профессора Клейна, вполнѣ примѣнимыми также и къ русской жизни „живемъ въ эпоху усиленной педагогической дѣятельности, когда со всѣхъ сторонъ выдвигаются вопросы, связанные съ подготовкой преподавателей“2) Въ самомъ дѣлѣ, эти вопросы оживленно дебатируются на съѣздахъ. Ежегодно, во многихъ мѣстахъ Россіи, устраиваются временные педагогическіе курсы, а законъ 10 іюня 1909 года вызвалъ къ жизни педагогическіе курсы, для преподавателей средней школы, въ университетскихъ городахъ. Каждые изъ этихъ курсовъ имѣютъ свою отличительную особенность. Но мы не будемъ ни входить въ ихъ оцѣнку, ни подвергать критикѣ идеи, положенныя въ основаніе тѣхъ или другихъ учрежденій, для подготовки преподавателей. Для этого слѣдуетъ по справедливости выждать еще время, когда будетъ возможно подвести болѣе точные итоги ихъ дѣятельности. Мы переживаемъ эпоху созиданія, характеризующуюся неустановившимися еще воззрѣніями. Поэтому позвольте мнѣ взглянуть на мою задачу съ самой общей точки зрѣнія и остановиться прежде всего на томъ, какъ разрѣшается интересующій насъ теперь вопросъ на Западѣ.

Во Франціи вопросъ о подготовкѣ преподавателей средней школы получилъ съ давнихъ поръ весьма удачное рѣшеніе, развивающееся и теперь по обычнымъ законамъ эволюціи и совершенствованія человѣческой жизни. Въ томъ же направленіи движется Германія. Здѣсь можно констатировать опредѣленно сложившееся мнѣніе, какова должна быть подготовка преподавателей средней школы. Это мнѣніе на столько устойчиво, что основываясь на немъ раздаются голоса славнѣйшихъ представителей германской науки, требующіе развитія основной идеи въ примѣненіи ея не только къ подготовкѣ преподавателей средней школы

1) Настоящая статья представляетъ докладъ, прочитанный на первомъ соединенномъ засѣданіи секцій 2-го съѣзда препод. математики, 28 дек, 1914 г.

2) F. Klein. - Aktuelle Probleme der Lehrerbildung, S. 1. Leipzig, Teubner, 1911.

но также и къ занятіямъ преподавателей низшей школы, чтобы дать имъ возможность дальнѣйшаго развитія своей дѣятельности.

Несомнѣнно къ тому же заключенію рано или поздно придемъ и мы въ Россіи, послѣ нѣкоторыхъ сомнѣній и колебаній изъ стороны въ сторону. Волна могущественнаго возрожденія человѣческой жизни, отразившаяся на всѣхъ ея проявленіяхъ, поставила на очередь и разрѣшила во Франціи въ правильномъ направленіи разсматриваемую задачу болѣе 100 лѣтъ тому назадъ. Это развитіе духовной жизни человѣчества, распространившееся далеко за предѣлы Франціи, приведетъ къ однообразному разрѣшенію многихъ вопросовъ общественной и научной жизни во всѣхъ культурныхъ странахъ.

* * *

Разверните обильную фактическимъ матеріаломъ книгу Симона-Дидактика и методика математики въ средней школѣ. Вы найдете въ ней интересныя свѣдѣнія о преподавателяхъ математики 16-го и 17-аго вѣка. Какъ ни интересна эта исторія, но наше вниманіе прежде всего приковывается однимъ изъ старѣйшихъ научныхъ учрежденій и едва ли не самымъ выдающимся для подготовки преподавателей, Ecole Normale Supérieure, Высшей Нормальной Школой. Эта Школа учреждена Національнымъ Конвентомъ въ Парижѣ, въ концѣ XVIII-аго столѣтія съ опредѣленной цѣлью подготовки учителей для народнаго образованія. Школа существуетъ до сихъ поръ, и въ ней подготовляются преподаватели по математическимъ, естественнымъ и историко-филологическимъ наукамъ. Въ школу принимаются по конкурсу (въ виду большого числа желающихъ) ученики, прошедшіе спеціальные классы лицеевъ. Каждый ученикъ остается въ школѣ три года, посѣшая лекціи и практическія занятія въ Парижскомъ Университетѣ (Сорбоннѣ) и кромѣ того участвуя также въ практическихъ занятіяхъ въ школѣ.

Послѣ нѣкоторыхъ несущественныхъ видоизмѣненій съ 1907 г., установилась слѣдующая программа занятій въ школѣ. Ученики, подготовляющіеся къ дѣятельности преподавателей чистой математики лицеевъ, изучаютъ въ теченіи перваго года (оба семестра), вмѣстѣ съ студентами Университета:

1) Дифференціальное и интегральное исчисленія,

2) Общій курсъ физики, съ двумя практичекими занятіями въ недѣлю,

3) Какой-либо, по произвольному выбору каждаго ученика, общій курсъ изъ области естественныхъ наукъ, читаемый въ Университетѣ и сопровождаемый практическими занятіями. Этотъ курсъ введенъ съ опредѣленной цѣлью, чтобы математики, углубляясь въ отвлеченныя математическія дисциплины, не утрачивали бы соприкосновенія съ дѣйствительными объектами реальнаго внѣшняго міра. Такой курсъ преслѣдуетъ опредѣленную цѣль общаго развитія и не вноситъ диссонанса въ занятія въ виду того, что въ средней школѣ, въ особенности новаго типа,

называемаго во Франціи, „Модернъ“, большое вниманіе обращено на изученіе естественныхъ наукъ.

Начиная со второго года пребыванія въ школѣ ученики, по отдѣлу математики, занимаются исключительно чистой и прикладной математикой.

Второй годъ посвящается изученію:

1) раціональной механики,

2) Обязательно одного какого-либо изъ слѣдующихъ предметовъ, преподающихся въ Сорбоннѣ, который каждый изъ учениковъ выбираетъ уже по собственному желанію: или Высшую Геометрію, Высшій Анализъ, Математическую физику, Небесную механику, Механику физическую и опытную, или же расширенный курсъ астрономіи.

Слѣдуетъ замѣтить однако, что ученики изучаютъ обыкновено два изъ этихъ курсовъ, при чемъ однимъ изъ нихъ является большею частью излюбленный курсъ Высшей Геометріи Дарбу.

Изученіе курсовъ сопровождается практическими занятіями, для рѣшенія задачъ и отвѣтовъ на вопросы по пройденному курсу. Начиная со второго года, руководитель практическихъ занятій вводитъ своихъ слушателей въ область приложеній изучаемыхъ теорій, даетъ дополнительныя поясненія къ прослушаннымъ лекціямъ, а иногда прочитываетъ по нѣсколько дополнительныхъ лекцій по болѣе интереснымъ вопросамъ курсовъ.

Занятія по росписанію не отнимаютъ большую часть времени; они должны оставлять еще свободное время, когда ученикъ предоставляется самому себѣ, въ видахъ развитія собственной иниціативы въ области научныхъ занятій. Это время ученикъ посвящаетъ или чтенію по своему выбору, размышленію надъ интересующими вопросами или рѣшенію задачъ по собственной склонности.

Третій годъ посвящается подготовкѣ къ конкурсному экзамену на званіе учителя „agrégation“, въ которомъ могутъ принимать участіе не только исключительно ученики школы, но также и студенты университетовъ, не занимающіеся въ школѣ. Экзаменъ состоитъ изъ четырехъ письменныхъ работъ на рѣшеніе задачъ по четыремъ отдѣламъ математики, а именно: элементарной, спеціальной (курсъ спеціальнаго класса), дифференціальнаго съ интегральнымъ исчисленіемъ и раціональной механики; изъ составленія эпюры начертательной геометріи и числовыхъ вычисленій; наконецъ, экзаменъ заканчивается чтеніемъ двухъ пробныхъ лекцій, послѣ 3—4 часовъ предварительнаго обдумыванія, безъ пособій. Отдѣлы программы, изъ которыхъ будутъ предложены темы пробныхъ лекцій, опубликовываются за годъ до экзамена.

Подготовка къ послѣднему экзамену въ Нормальной школѣ состоитъ въ рѣшеніи задачъ, одинъ разъ въ недѣлю, подъ руководствомъ преподавателя, изъ числа окончившихъ раньше учениковъ школы. Больше вниманія сосредоточивается на подготовкѣ къ пробнымъ лекціямъ, успѣхъ которыхъ опредѣляетъ мѣсто конкурента на экзаменѣ и вмѣстѣ съ тѣмъ обезпечиваетъ

ему лучшее служебное положеніе. Подготовительныя занятія къ пробнымъ лекціямъ ведутся, по меньшей мѣрѣ, тремя преподавателями въ общемъ всего отъ 5 до 6-ти разъ въ недѣлю. Они заключаются въ совмѣстномъ обсужденіи различныхъ темъ лекцій, въ чтеніи лекцій и ихъ критикѣ. Наконецъ, за двѣ недѣли передъ пасхальными каникулами, ученики школы замѣняютъ преподавателей лицеевъ въ Парижѣ и даютъ вмѣсто нихъ уроки въ классахъ. Экзаменъ „d’agrégation“ установленъ съ давнихъ поръ, когда государство желая привлечь къ преподаванію наилучшія силы, предоставляло достойнѣйшимъ также наилучшія преподавательскія мѣста. Сохраненіе экзамена до сихъ поръ обусловливается причинами и особенностями французской жизни, гдѣ борьба за существованіе и за лучшія условія жизни достигаетъ крайняго напряженія.

Было бы далеко недостаточно, чтобы судить о занятіяхъ въ школѣ, если бы я ограничился только что сказаннымъ. Для составленія точнаго сужденія я хочу воспользоваться отчетами и изданіями о дѣятельности Школы, а также своими личными впечатлѣніями, вынесенными изъ посѣщенія и своихъ занятій въ Школѣ въ концѣ прошлыхъ 90-ыхъ годовъ. Чтобы подробнѣе охарактеризовать сущность указанныхъ занятій, выяснимъ, въ чемъ именно руководители школы видятъ подготовку своихъ учениковъ къ преподавательской дѣятельности.

Не слѣдуетъ думать, что цѣль занятій въ школѣ сводится исключительно къ подготовкѣ къ заключительному конкурсному экзамену. Напротивъ того, руководящая идея организаціи преподаванія въ школѣ состоитъ въ изученіи науки съ чисто научной точки зрѣнія. Даже на третьемъ году пребыванія въ школѣ, когда предстоящій экзаменъ не можетъ не налагать извѣстнаго отпечатка на работу учениковъ, старанія руководителей школы направлены къ тому, чтобы подготовка къ экзамену не служила въ ущербъ продолженію научныхъ занятій. И въ этомъ году ученикамъ рекомендуется изученіе въ Сорбоннѣ какого-либо спеціальнаго математическаго курса, наиболѣе соотвѣтствующаго ихъ индивидуальнымъ склонностямъ.

Господствовавшая почти всегда съ основанія школы руководящая мысль состояла въ томъ, что склонность къ научному изслѣдованію не вредитъ образованію преподавателя средней школы; напротивъ того, руководители школы стремятся развивать въ ученикахъ эту склонность. Правда, иногда наступали періоды реакціи противъ такого направленія занятій въ школѣ, но они бывали непродолжительны. Для наглядности достаточно сказать, что до сихъ поръ еще сохранилось въ школѣ воспоминаніе о слѣдующемъ фактѣ. Въ 1854 году директоръ школы сдѣлалъ выговоръ Méray, извѣстному впослѣдствіи ученому, за то, что тотъ, будучи ученикомъ школы, представилъ свою статью Парижской Академіи Наукъ.

Если взглянуть на прилагаемый схематическій планъ распредѣленія занятій въ школѣ, то невольно приходится обратить

Семестры

предметы;

1

Диф. и интеральн. исчисл.

Общій курсъ физики съ практ. зан.

Какой-либо курсъ по естествознанію съ практ. зан.

2

і Практ. упраж. и зан. въ Сорбоннѣ и Школѣ.

3

Рац. механика.

Обязат. одинъ изъ курсовъ въ Сорбоннѣ по чист. или прикладн. мат. Реком второй курсъ.

4

Практ. упраж. и зан. въ Сорбоннѣ и Школѣ.

5

1. Реком. одинъ изъ кур. въ Сорбоннѣ.

2. Практ. упраж. въ Школѣ.

3. Подготовка къ пробн. лекціямъ.

6

вниманіе на минимальное количесто обязательныхъ занятій и на общую продолжительность ихъ три года.

По этому поводу необходимо имѣть въ виду ту серіозную научную подготовку, которая дается въ лицеяхъ и ихъ спеціальныхъ классахъ.

Не слѣдуетъ удивляться также, что въ планѣ занятій въ школѣ нѣтъ указаній на преподаваніе предметовъ, о которыхъ мы привыкли думать, что они представляютъ какъ бы неотъемлемую принадлежность подготовки къ преподавательской дѣятельности, какъ-то элементарная математика, ея методика и дидактика, педагогика1). Исключеніе этихъ предметовъ изъ распредѣленія обязательнаго преподаванія въ Школѣ явилось слѣдствіемъ опыта, пріобрѣтеннаго болѣе чѣмъ за столѣтнюю интенсивную жизнь школы. Вопросъ этотъ представляетъ большую важность.

1) Слѣдуетъ замѣтить, что въ лицеяхъ преподаются начатки гигіены, а также философія съ начатками психологіи въ классѣ математики, 3 годовыхъ часа. Привожу здѣсь оффиціальную программу части послѣдняго курса, а именно отдѣлы:

Начала научной философіи:

Введеніе. Знаніе въ обыденной жизни и научное.

Наука. Классификація и іерархія наукъ.

Методъ математическихъ наукъ: Опредѣленія, аксіомы, постулаты, доказательства.

Методъ естественныхъ наукъ: Опытъ, методы наблюденія и экспериментированія.

Гипотеза, теорія. — Значеніе индукціи и дедукціи въ естествознаніи.

Классификація.

Методъ въ наукахъ моральныхъ и общественныхъ: Элементы психологіи.— Взаимоотношеніе наукъ историческихъ и общественныхъ.

Поэтому позвольте мнѣ здѣсь обратиться къ подлиннымъ документамъ2), представляющимъ изданіе Министерства Народнаго Просвѣщенія въ Парижѣ, 1900 года, Ecole Normale Supérieure, гдѣ дается опредѣленный отвѣтъ на поставленный вопросъ въ слѣдующихъ словахъ:

„Въ школѣ не преподается спеціальнаго, теоретическаго курса педагогики. Нерѣдко по этому поводу высказывалось удивленіе. Безъ сомнѣнія, Нормальной Школѣ хорошо извѣстно, что исторія и критика различныхъ системъ педагогики представляютъ значительный интересъ. Эти свѣдѣнія, однако, студенты могутъ почерпнуть изъ лекцій на историко-филологическомъ факультетѣ въ университетѣ. Въ Школѣ же студенты настолько заняты, что совершенно нежелательно обременять ихъ еще однимъ новымъ курсомъ, который отнялъ бы у нихъ много времени.

Но кромѣ всего указаннаго мы полагаемъ еще, что нѣтъ надобности молодымъ людямъ, для подготовки къ преподавательской дѣятельности, изучать педагогику въ видѣ особаго курса. Правда, раньше въ школѣ преподавался курсъ педагогики, но онъ былъ затѣмъ упраздненъ, по представленію самого преподавателя. Да и въ самомъ дѣлѣ, все преподаваніе въ Школѣ проникнуто педагогическими идеями, и эти идеи находятъ постоянное практическое примѣненіе. Съ перваго года своего поступленія въ Школу, ученики въ своихъ рефератахъ и пробныхъ лекціяхъ, которыя они читаютъ во время занятій, научаются излагать свои мысли въ строгомъ порядкѣ яснымъ, удобопонятнымъ языкомъ, пользуясь для этого руководящими указаніями преподавателя и замѣчаніями своихъ товарищей. Такого рода упражненія продолжаются три года...

Такимъ образомъ на практикѣ усваивается все то, что можно изучить въ педагогикѣ. Что же касается умѣнія хорошо преподавать, то оно зависитъ отъ самообладанія преподавателя и его увѣренной рѣчи, что, въ свою очередь, является непремѣннымъ слѣдствіемъ основательнаго знанія и энергичнаго характера. Изученіе и знаніе педагогики не принесетъ пользы преподавателю, который не обладаетъ достаточно основательными знаніями и не имѣетъ силы воли; такой преподаватель никогда не сумѣетъ овладѣть вниманіемъ класса учениковъ или аудиторіи взрослыхъ слушателей“...

Опытъ Школы и ясность приведенныхъ логическихъ умозаключеній весьма убѣдительны.

Однако часто приходится слышать, что педагогическіе курсы должны разрѣшать практическіе вопросы преподаванія. Для этого рекомендуется преподавать на курсахъ методику, дидактику и педагогику. Мы не можемъ, однако, согласиться съ тѣмъ, что такая постановка преподаванія можетъ вести къ удовлетворительному разрѣшенію вопроса о подготовкѣ учителей.

2) Подробныя свѣдѣнія о школѣ находятся въ изданіяхъ: Le Centenaire de l'Ecole Normale. Paris. 1895. Ecole Normale Supérieure (Exposition Universelle de 1900. Ministère de L’Instruction publique).

Школа должна развивать самодѣятельность и иниціативу въ своихъ ученикахъ. Для этого учитель долженъ быть образованнымъ человѣкомъ, въ области преподаваемаго имъ предмета. Если же ограничить подготовку учителя изученіемъ методики и педагогики, то это значитъ стремиться научить его только практическимъ пріемамъ преподаванія, вложить въ его уста чужія мысли и слова, а не подготовить его къ самостоятельной творческой дѣятельности.

Каждое учебное заведеніе, даже преслѣдующее исключительно практическія знанія, должно сообщать своему ученику только знаніе. Ни одна школа не можетъ дать той практической опытности и сноровки, которыя вырабатываются столкновеніемъ человѣка съ дѣйствительностью. Назначеніе школы вооружить ученика живымъ знаніемъ и вложить въ него увѣренность, что онъ сумѣетъ приложить свои знанія при тѣхъ затрудненіяхъ, которыя поставитъ ему жизнь.

Стремиться же сообщить будущему учителю только рядъ практическихъ свѣдѣній и пріемовъ преподаванія, значитъ заботиться о его, такъ сказать, только внѣшнихъ достоинствахъ.

Итакъ, выводъ который мы можемъ сдѣлать изъ всего сказаннаго заключается въ томъ, что подготовка преподавателей средней школы не должна носить узкаго профессіональнаго характера, но должна быть основана па чисто научной организаціи преподаванія.

Это—руководящая мысль постановки преподаванія въ Высшей Нормальной Школѣ въ Парижѣ. Той же идеей проникнута организація подготовки преподавателей въ Геттингенскомъ Университетѣ, какъ видно изъ опубликованнаго имъ соотвѣтствующаго учебнаго плана. Наиболѣе ранній планъ, который былъ въ моемъ распоряженіи, опубликованъ 20 лѣтъ тому назадъ, въ 1894 году, за подписью Рике, Шеринга, Фойгта, Клейна, Шура и Вебера. Этотъ учебный планъ предостерегаетъ лицъ, готовящихся къ преподавательской дѣятельности, отъ изученія многихъ спеціальностей, что можетъ послужить въ ущербъ основательности самыхъ знаній. Вмѣстѣ съ тѣмъ рекомендуется болѣе подробное изученіе одной какой-либо области знаній, такъ какъ и оффиціальныя программы экзаменовъ на званіе учителя средней школы требуютъ основательное знакомство съ важнѣйшими ученіями высшей геометріи, высшаго анализа и аналитической механики. Разсматриваемый учебный планъ рекомендуетъ обращать вниманіе на связь изучаемаго съ предметами гимназическаго преподаванія и на значеніе математики и физики для современной культуры Расширяя такимъ образомъ свой умственный кругозоръ, будущіе преподаватели оживятъ свое преподаваніе и достигнутъ такимъ образомъ лучшихъ результатовъ въ своей дѣятельности. Этотъ учебный планъ рекомендуетъ изученіе дополнительныхъ предметовъ изъ области естествознанія, на младшихъ семестрахъ, а также участіе вь практическихъ занятіяхъ и семинарахъ, благодаря которымъ пріобрѣтается не только знаніе, но и умѣніе примѣнять эти знанія.

Однако, въ отличіе отъ Парижской школы, геттингенскій

планъ рекомендуетъ студентамъ, готовящимся къ преподавательской дѣятельности, изученіе исторіи философіи, логики, психологіи и педагогики. Такимъ образомъ, не имѣя спеціальной организаціи для практическаго подготовленія къ преподавательской дѣятельности, по образцу Нормальной Школы, Геттингенскій Университетъ ограничивается рекомендаціей теоретической подготовки.

Приведенный учебный планъ получилъ дальнѣйшее развитіе на Дрезденскомъ съѣздѣ естествоиспытателей и врачей, въ сентябрѣ 1907 года, въ постановленіяхъ его о подготовкѣ преподавателей математики и естествознанія.

Результатъ этой работы имѣетъ весьма важное значеніе въ виду того, что въ ней принимали участіе выдающіе представители германской науки. Выполненная ими коллективная работа безъ сомнѣнія будетъ принята во вниманіе оффиціальнымъ законодательствомъ . Отсылая интересующихся постановленіям и съѣзда къ книгамъ: Universität und Schule. Vorträge F. Klein, P. Wendland, Al. Brandi, Ad. Hormack, опубликованной въ 1907 году, или А. Gutzmer —Die Tätigkeit der Unterrichtskommission der Gesellschaft Deutscher Naturforscher und Aerzte, 1908 г., я приведу здѣсь только схематическую таблицу университетскихъ занятій для приготовленія къ преподавательской дѣятельности по отдѣлу Математики—физики.

Семестры

ПРЕДМЕТЫ.

Математическіе.

Общіе.

1

Диф. исчисл. Интегр. 1.

Упражненія, ГІрг

Аналитит.

Геометрія.

LKT. Зан., Семинарі

Опытная Физика 1.

л.

о

Диф. Исчисл. Интегр. 11.

Уиражв

Начертат. и ІІроект. Геомет.

[енія, Практ. Зан.,

Опытная Физика И.

Семинары.

3

4

Диф. уравненія. 1 Упражн

I Элемент. Механ. съ граф и числ. вычисленіями.

енія, Практ. зан.,

Введеніе въ химію.

Семинары.

Алгебра и теорія чиселъ.

Упражне

Кривыя и поверхности.

нія, Практ. зан., С

Аналитическая

механика.

Семинары.

Истор. философіи. Педагогика.

5

Теорія функцій.

Упражн

Способъ наим. квадратовъ. Теор. вѣроятност.

енія, Практ. Зан.,

Теоретич. физика I.

Семинары.

Логика.

1

6

Общ. курсы. Обобщ. знанія.

Упражне

Астрономія.

Геофизика.

нія, Практ. зан., С

Теоретич. физика II.

еминары.

Психологія.

Приведенный учебный планъ предлагаетъ не больше 3 — 4 часовъ ежедневныхъ обязательныхъ занятій для старшихъ семестровъ и меньшее число часовъ для младшихъ семестровъ, считая необходимымъ предоставить свободное время для пополненія знаній по собственному выбору студентовъ. Съ тою же цѣлью занятія сгруппированы въ три года съ такимъ расчетомъ, что студентъ, остающійся въ Университетѣ отъ 8 до 10 семестровъ, имѣетъ возможность пополнить обязательныя занятія другими, избранными соотвѣтственно своимъ индивидуальнымъ склонностямъ.

Изъ разсматриваемаго учебнаго плана видно, что особенное вниманіе удѣляется упражненіямъ, практическимъ занятіямъ и семинарамъ. Это обстоятельство отмѣчено въ особомъ пожеланіи объ усиленіи практическаго направленія въ преподаваніи. Съ этою цѣлью практическія занятія и семинары должны вестись съ начала университетскаго преподаванія, чтобы пріучать учащихся къ самодѣятельности. Кромѣ того должны быть предоставлены для занятій особыя рабочія помѣщенія и коллекціи математическихъ моделей. Для изученія прикладной математики должны быть предоставлены соотвѣтствующія пособія, въ видѣ чертежныхъ залъ, коллекцій таблицъ, картъ и инструментовъ.

Въ дополненіе къ математическимъ предметамъ рекомендуется изученіе философской пропедевтики, географіи и основъ гигіены.

Наконецъ, высказывается пожеланіе, чтобы университетскія лекціи, посвященныя философіи, логикѣ и психологіи не ограничивались отвлеченными разсужденіями, но выясняли бы каждому кандидату значеніе изучаемой имъ спеціальности среди совокупности научныхъ знаній. Для изученія педагогики рекомендуются занятія въ соотвѣтствующихъ университетскихъ семинарахъ или въ спеціальныхъ педагогическихъ семинарахъ, устраеваемыхъ какъ въ Пруссіи при нѣкоторыхъ среднихъ школахъ и преслѣдующихъ цѣль практической подготовки преподавателей.

Въ приведенныхъ организаціяхъ подготовки преподавателей средней школы господствуетъ идея, что эта подготовка, основанная на изученіи науки, должна совершаться въ университетахъ. Раціональность такой организаціи очевидна. Если сущность подготовки къ преподавательской дѣятельности состоитъ въ научныхъ занятіяхъ, не заключенныхъ въ узкія рамки профессіональной спеціальности, но наоборотъ поощряющихъ развитіе индивидуальныхъ способностей въ области научнаго мышленія и развитія научнаго творчества, то единственнымъ мѣстомъ, предназначеннымъ для подготовки преподавателей, является Университетъ. Онъ обладаетъ всѣми необходимыми для того средствами и способами преподаванія въ самомъ широкомъ смыслѣ этого понятія. Въ помощь, рядомъ съ университетомъ желательны вспомогательныя учрежденія, представляющія удобства для научныхъ занятій и подготовка къ преподавательской дѣятельности, въ лицѣ осо-

быхъ руководителей и въ отношеніи приспособленности помѣщеній, какъ это имѣетъ мѣсто въ Высшей Нормальной Школѣ въ Парижѣ.

* * *

Насъ интересуетъ главнымъ образомъ вопросъ о подготовкѣ преподавателей средней школы, которые проходятъ черезъ высшія учебныя заведенія.

Однако я сдѣлалъ бы упущеніе, если бы не упомянулъ также о томъ значеніи, которое могутъ представлять такіе научные центры какъ Университеты, для подготовки другихъ круговъ преподавателей, именно низшей школы. Болѣе 40 лѣтъ тому назадъ, Саксонское королевство открыло доступъ въ Университеты преподавателямъ низшей школы, прошедшимъ черезъ такъ называемыя германскія учительскія семинаріи. Въ послѣднее время этому примѣру послѣдовали великое герцогство Саксонское, Гессенъ, Баварія и Вюртембергъ. Я не буду останавливать Ваше вниманіе на подробномъ разсмотрѣніи этого вопроса, который сама жизнь выдвинула на очередь. Я хочу рекомендовать Вамъ увлекательныя статьи Клейна, посвященныя этому вопросу: Zur Beratung des Kultusetats im Preussischen Herrenliausse и Aktuelle Probleme der Lehrerbildung, представляющія его рѣчи въ Прусской высшей палатѣ депутатовъ и на собраніи Мюнстерскаго Общества развитія физико-математическаго образованія.

Съ неотразимой убѣдительностью въ нихъ доказывается необходимость пойти на встрѣчу интересамъ преподавателей низшей школы, въ цѣляхъ ихъ научнаго усовершенствованія. Констатируя ихъ стремленіе къ Университету, нельзя закрывать глаза на трудности, которыя при этомъ возникаютъ для Университета. Но существуетъ также способъ выйти изъ этого затрудненія. Достаточно открыть въ Университетахъ особыя подготовительныя лекціи, которыя позволили бы затѣмъ прошедшимъ нхъ принять болѣе близкое участіе въ Университетскихъ занятіяхъ. Выражаясь словами Клейна, въ этой „демократизаціи“ Университета заключается истинное раскрытіе принципа „Академической свободы преподаванія“: дать возможность каждому человѣку, въ зависимости отъ его способностей и склонностей, получить индивидуальное развитіе, чтобы сдѣлаться полезнымъ сочленомъ общества.

Господа! Мы находимся съ Вами въ городѣ, гдѣ эти гуманные принципы получили свое осуществленіе на дѣлѣ, въ „Московскомъ Народномъ Университетѣ имени Шанявскаго“. Пожелаемъ дальнѣйшаго успѣшнаго развитія этого большого значенія начинанія. Мы твердо вѣримъ, что жизнь позволитъ ему исполнить во всей полнотѣ свои задачи. Мы также хотѣли бы видѣть, въ стѣнахъ народнаго Университета осуществленіе намѣченныхъ задачъ подготовки преподавателей русской школы.

* * *

Мнѣ остается теперь подойти къ самому трудному и вмѣстѣ съ тѣмъ интересному вопросу — обсужденію организаціи на практикѣ задачи подготовки преподавателей средней школы въ Россіи.

По правиламъ 1868 года, званіе учителя и воспитателя прогимназій и гимназій пріобрѣтается сдачей установленныхъ испытаній, безъ прохожденія университетскихъ занятій. Конечно, такой способъ пріобрѣтенія права преподаванія находится въ полномъ противорѣчіи со всѣми изложенными выше соображеніями. Слѣдуетъ однако замѣтить, что большинство преподавателей проходятъ черезъ Университетъ, въ которомъ и должны получить научную подготовку и развитіе. Въ необходимости послѣднихъ врядъ-ли можетъ явиться сомнѣніе, послѣ всего сказаннаго объ идеяхъ, положенныхъ въ основу подготовки преподавателей средней школы на западѣ. Законъ 10 іюня 1909 года объ устройствѣ временныхъ педагогическихъ курсовъ, для подготовки преподавателей среднихъ учебныхъ заведеній, имѣетъ въ виду пополнить пробѣлъ, наблюдающійся въ подготовкѣ преподавателей. Поэтому ставится на очередь вопросъ, достаточна ли та научная подготовка, которую получаютъ будущіе преподаватели средней школы въ Университетѣ. Если создается необходимость усовершенствованія подготовки, то причина этого лежитъ не въ недостаткахъ нашего Университетскаго преподаванія, но въ глубокомъ разобщеніи средней и высшей школы, въ новыхъ запросахъ, предъявляемыхъ средней школѣ со стороны нашего прогрессирующаго культурнаго развитія и, наконецъ, въ совершенной недостаточности средствъ нашихъ Университетовъ. Наличное число преподавателей далеко недостаточно; нѣтъ также и матеріальныхъ средствъ, необходимыхъ для дальнѣйшаго развитія университетскаго преподаванія.

Отмѣченные запросы были давно сознаны на Западѣ, и университеты пошли имъ на встрѣчу, въ развитіи указанныхъ выше формъ преподаванія, особенно въ развитіи практическихъ занятій и семинаровъ. Въ ихъ средѣ успѣшнѣе всего могутъ развиваться индивидуальныя умственныя способности будущихъ преподавателей средней школы.

Спѣшу однако замѣтить, что иногда авторитетные голоса возстаютъ противъ развитія практическихъ занятій въ нашемъ Университетѣ. Ихъ опасенія вполнѣ понятны. Очень часто формальное приведеніе въ исполненіе даже плодотворныхъ идей обращается во вредъ дѣлу истиннаго просвѣщенія. Поэтому приходится иногда отказываться отъ проведенія хорошихъ начинаній, чтобы предохранить школу отъ новыхъ потрясеній.

Настаивая на своемъ предложеніи, я долженъ оговориться, что развитіе обсуждаемыхъ сторонъ Университетскаго преподаванія должно быть всецѣло предоставлено на рѣшеніе ученыхъ университетскихъ коллегій. Въ ихъ распоряженіе должна быть предоставлена возможность привлеченія новыхъ преподавателей по ихъ выбору, а также и отпущены необходимыя средства изъ государственнаго казначейства.

При этихъ условіяхъ, не должно быть мѣста опасеніямъ, что развитіе преподавательской дѣятельности нашихъ Университетовъ, согласно возникающимъ современнымъ требованіямъ жизни, можетъ послужить къ умаленію достоинства Университетскаго преподаванія.

Вспомнимъ, что послѣ понесеннаго пораженія семидесятыхъ годовъ во Франціи наступила эпоха усиленнаго устроительства школы. Особенное вниманіе было удѣлено развитію принциповъ научнаго изслѣдованія въ преподаваніи Высшей Школы и для этого также были расширены практическія занятія.

При этомъ имѣлось въ виду установить связь между преподавателями и учениками1), которая является необходимымъ залогомъ успѣшнаго развитія преподаванія.

Въ германскихъ университетахъ съ давнихъ поръ осуществлялось болѣе тѣсное общеніе между преподавателями и учениками въ средѣ семинаровъ, учрежденіе которыхъ относится еще къ 18-ому столѣтію2).

Было бы заблужденіемъ думать, что практическія занятія должны служить для непосредственнаго облегченія самостоятельнаго труда студента, безъ котораго онъ долженъ умѣть обходиться. Раздѣляя взгляды сторонниковъ предоставленія студенту полной свободы въ своихъ занятіяхъ, я говорю, что не для облегченія своего труда онъ нуждается въ практическихъ занятіяхъ.

Участвуя въ этихъ занятіяхъ, а затѣмъ въ семинарахъ, студентъ подготовляется къ самостоятельной научной дѣятельности, знакомясь подъ руководствомъ профессора и его ассистентовъ съ опредѣленными научными вопросами.

Научное развитіе человѣческаго мышленія совершается путемъ аналогій и обобщеній. Поэтому естественнѣе всего предоставить человѣку возможность развить научное мышленіе, привлекая его къ совмѣстной научной работѣ. Для этого преподаватель долженъ войти въ болѣе тѣсное общеніе съ ученикомъ. Форма этого общенія и выливается въ видѣ практическихъ занятій и семинаровъ.

Какъ использовать это преподаваніе для подготовки преподавателей, мы видѣли на примѣрѣ дѣятельности Высшей Нормальной Школы въ Парижѣ. Цѣнныя руководящія указанія даетъ также Клейнъ. Не слѣдуетъ сосредоточивать вниманіе учащагося на одномъ какомъ-либо научномъ вопросѣ съ цѣлью его дальнѣйшей самостоятельной разработки; необходимо также избѣгать энциклопедичности программъ. Желательно сосредоточивать вниманіе учащихся на тѣхъ отдѣлахъ науки, которые соприкасаются со школьнымъ преподаваніемъ. Цѣль занятій—выработка фундамента, необходимаго для предстоящей самостоятельной дѣятельности.

1) М Appell, P. L’enseignement Supérieur des Sciences. Revue Générale des Sciences, 30 mars, 1904, p. 288.

2) Фр. Паульсена Германскіе Университеты. Переводъ съ нѣмецкаго Гроссмана. Петербургъ. 1904 г.

Пусть наши Университеты получатъ возможность осуществить обсуждаемое преподаваніе. Цѣлесообразность его заключается въ чисто научной сторонѣ, соотвѣтствующей идеѣ университетскаго преподаванія.

На университетское преподаваніе въ Россіи ложится обязанность дать нашему студенту многое изъ того, что лежитъ, на Западѣ, на обязанности средней школы. Поэтому врядъ ли будетъ возможно русскому студенту, готовящемуся .къ преподавательской дѣятельности, одновременно участвовать въ университетскихъ занятіяхъ и на педагогическихъ курсахъ, соотвѣтственно учебному плану Парижской Нормальной Школы, Такимъ образомъ продолжительность его занятій должна увеличиться и подготовка на педагогическихъ курсахъ можетъ быть отнесена на время послѣ окончанія университетскаго курса.

Однако я не могу согласиться съ тѣмъ, чтобы заставлять на этихъ курсахъ изучать отдѣлы элементарной математики въ той формѣ, которая предлагается въ Германіи лицамъ допущеннымъ въ университеты изъ учительскихъ семинарій. Не подлежитъ сомнѣнію, что занятія элементарной математикой должны соотвѣтствовать подготовкѣ лицъ, окончившихъ университетъ и получившихъ такимъ образомъ высшую научную культуру. Послѣ университетскихъ занятій достаточно одного года, для подготовки къ преподавательской дѣятельности на курсахъ. Во время пребыванія на нихъ могутъ быть также пополнены пробѣлы преподаванія нашихъ школъ изъ области философіи и гигіены, если только онѣ не были восполнены учащимися раньше. Что касается педагогическихъ вопросовъ, то мы имѣемъ двѣ различныхъ точки зрѣнія, соотвѣтствующія французскому и германскому учебнымъ планамъ подготовки преподавателей. Сложившіяся весьма благопріятно условія долголѣтней дѣятельности Парижской школы создаютъ въ ней совершенно иныя условія занятій. Поэтому, намъ въ Россіи, особенно въ первое время организаціи подготовки преподавателей на курсахъ, придется идти по среднему пути, пользуясь долголѣтнимъ опытомъ Нормальной Школы и прислушиваясь къ новымъ запросамъ еще не сложившейся жизни, безъ установившихся исторически традицій, безъ собственнаго опыта, и быть поэтому болѣе теоретичными при преподаваніи педагогики.

Изъ всѣхъ вопросовъ преподаванія, вопросъ о подготовкѣ преподавателей является однимъ изъ наиболѣе существенныхъ. Дѣло идетъ о подготовкѣ лицъ, которымъ ввѣряется забота о подрастающемъ поколѣніи страны, т.-е. ея будущность.

На насъ лежитъ отвѣтственность за рѣшеніе этого вопроса передъ обществомъ, оно ждетъ нашего заключенія, чтобы сдѣлать его затѣмъ своимъ.

Нашъ коллективный трудъ по обсуждаемому вопросу едва-ли можно считать законченнымъ на этомъ 2-мъ съѣздѣ. Поэтому вношу предложеніе, учредить комиссію, для составленія плана подготовки преподавателей математики, къ слѣдующему 3-ьему съѣзду,

когда этотъ планъ долженъ быть подвергнутъ обсужденію; къ участію въ трудахъ комиссіи необходимо пригласить также представителей науки и университетовъ.

Величины и числа.

Рѣчь, произнесенная 2го- марта 1891-го года д-ромъ Отто Штольцемъ, какъ ректоромъ Иннсбрукскаго университета, по случаю торжественнаго объявленія о рѣшеніи задачъ на премію.

Пер. Р. Гольцбергъ, подъ ред. А. П. Пшеборскаго.

Харьковъ.

Высокоуважаемое собраніе!

Сорокъ лѣтъ протекло со времени послѣдняго ректорства въ этомъ университетѣ математика, оказавшаго ему такъ много услугъ, профессора д-ра Антона Баумгартена. Какъ разъ этотъ промежутокъ времени имѣетъ необыкновенное значеніе для развитія математики. Ея пышный ростъ и быстрое развитіе ведетъ начало главнымъ образомъ съ первой половины столѣтія, на которую вполнѣ или, во всякомъ случаѣ, большей своею частью падаетъ дѣятельность Гаусса, Коши, Абеля, Якоби, Дирикле. Эти люди оставили намъ въ наслѣдство не только творенія капитальнаго значенія, но и задачи, пути къ рѣшенію которыхъ они лишь намѣтили, и мысли, значеніе которыхъ не получило полнаго выраженія въ ихъ сочиненіяхъ. Ихъ изслѣдованія и, еще болѣе, цѣли, которыя они поставили дальнѣйшему развитію математики, указали, какъ на неизбѣжную необходимость, на новое и глубокое изученіе ея основаній. Такимъ образомъ мы видимъ, что въ продолженіи помянутаго сорокалѣтняго промежутка лучшія силы въ области математики наряду съ широко-охватывающими работами, имѣющими цѣлью двигать впередъ эту науку, не пренебрегаютъ возвращаться къ ея основнымъ понятіямъ для того, чтобы твердо установить ихъ съ точностью, до тѣхъ поръ не практиковавшейся. Такъ послѣ того, какъ уже Риманъ сдѣлалъ нѣкоторыя относящіяся къ этому вопросу высокой важности замѣчанія, Вейерштрассъ и Кронекеръ поставили себѣ цѣлью улучшеніе основъ математики. Они пришли однако, при этомъ не къ согласнымъ между собою воззрѣніямъ. Вейерштрассъ создалъ новую опирающуюся на ариѳметическія соображенія теорію ирраціональныхъ чиселъ, которая составляетъ существенную составную часть его мощной системы теоріи функцій. Кронекеръ, напротивъ, хочетъ совершенно

удалить изъ анализа ирраціональныя и мнимыя числа и помѣщаетъ ихъ въ геометрію и механику, откуда они, по его мнѣнію, явились въ ариѳметику1).

По его мнѣнію, именно „геометрія и механика“ съ одной стороны, и всѣ другія математическія дисциплины съ другой— представляютъ собою принципіально различныя науки.

Для меня не было-бы ничего ближе, чѣмъ говорить о болѣе точномъ пониманіи основныхъ понятій анализа, которое появилось въ послѣднія сорокъ лѣтъ послѣ почти двухсотлѣтней практики. Но такое изложеніе потребовало-бы больше времени, чѣмъ находится у меня теперь въ распоряженіи. Къ тому же я полагаю, что чистая математика не выиграла въ общедоступности отъ углубленія въ самое себя, которому она теперь предается. Поэтому я попробую только представить передъ вами элементы математическаго изложенія въ сравнительномъ разсмотрѣніи. Это, какъ извѣстно, величины и числа.

Понятіе „величина“ ведетъ начало изъ греческой геометріи, но не объясняется въ ней ясно и точно. Во всякомъ случаѣ это слово служитъ общимъ обозначеніемъ для ограниченныхъ пространственныхъ образованій (линій, угловъ, плоскостей, тѣлъ). Однако, въ понятіе это издавна вкладывали болѣе общій смыслъ; является даже цѣлесообразнымъ впредь удержать только одинъ изъ тѣхъ признаковъ, которые древніе придавали своимъ величинамъ. При популярномъ изложеніи мы сказали-бы: „величиной называется всякій объектъ, который имѣетъ величину“. Для математики, однако, это опредѣленіе было-бы, какъ оно на самомъ дѣлѣ и есть, слиткомъ неопредѣленно; мы должны рѣзче выразить признакъ большого и малаго, и намъ, слѣдуетъ установить только, что вещи заключающіяся въ одномъ и томъ же понятіи величины, напр., въ понятіи отрѣзка, допускаютъ сравненіе между собой; выражаясь точнѣе, что каждые два изъ нихъ могутъ быть отмѣчены равными или неравными. Математическое разсмотрѣніе начинается съ того, что по отношенію къ подлежащимъ ему объектамъ одного рода—безразлично, взяты-ли они изъ дѣйствительности или только выдуманы—устанавливается, при какихъ обстоятельствахъ два изъ нихъ должны считаться равными или неравными. Однородныя ощущенія, напр., ощущенія боли, хотя различны по степени, но они до тѣхъ поръ не будутъ величинами въ нашемъ смыслѣ, пока нельзя будетъ достигнуть соглашенія относительно того, что нужно разумѣть

1) Kronecker, Journal für Mathem. т. 101 стр. 339 и 345.

подъ равными болями и что нужно разумѣть подъ большей изъ двухъ различныхъ болей. Въ такихъ соглашеніяхъ, если ихъ вообще возможно сдѣлать, можетъ оставаться нѣкоторая произвольность; мы требуемъ только, чтобы они оставались неизмѣнными во время опредѣленнаго изслѣдованія. Въ геометріи называются равными такія двѣ фигуры, которыя могутъ совпасть другъ съ другомъ или которыя можно разбигь на такія части, что каждой части одной фигуры соотвѣтствуетъ могущая совпасть съ ней часть другой и наоборотъ. Это объясненіе, однако, не всегда достаточно, потому-что, если мы пожелаемъ имъ ограничиться, мы должны отказаться отъ сравненія криволинейной фигуры съ многоугольникомъ, напр. съ квадратомъ. Въ такихъ случаяхъ греки, напередъ допускали возможность сравненія и клали тогда въ основаніе слѣдующее предложеніе: „двѣ однородныя величины А, Ь равны между собой, если можно показать, что при предположеніи А > В, разность А — jS, а при предположеніи Б^>А разность В — А будетъ меньше всякой однородной съ А и В величины“. На этомъ именно предложеніи основываются тонкія изслѣдованія Архимеда, между тѣмъ какъ Эвклидъ дѣлаетъ иногда нѣсколько замысловатое употребленіе своего ученія объ отношеніяхъ. Названный принципъ, на который нужно смотрѣть, какъ на сущность метода исчерпанія, заключаетъ еще въ себѣ, впрочемъ, предположеніе, что меньшая изъ двухъ однородныхъ величинъ можетъ быть отнята отъ большей, что отнюдь не понятно само по себѣ при разсмотрѣніи плоскостей или тѣлъ какого угодно строенія. Для проведенія этого принципа Архимедъ долженъ былъ, далѣе, принять, что если одна величина меньше другой, то всегда можно найти такое кратное первой, которое было-бы больше второй. Вмѣстѣ съ этимъ мы перечислили важнѣйшіе изъ признаковъ, которые древніе придавали своимъ величинамъ. Для нашей настоящей цѣли, намъ нѣтъ надобности дольше останавливаться на этомъ. Достаточно замѣтить, что разсмотрѣнные древними виды величинъ принадлежатъ особому роду выше установленнаго общаго понятія „величина“—роду, который я называю абсолютной величиной (въ болѣе тѣсномъ смыслѣ) и къ которому надо причислить не только абсолютныя числа, но и выдѣленныя древними въ особую категорію отношенія ихъ величинъ.

О послѣднихъ здѣсь будетъ умѣстно сказать нѣсколько словъ. Подъ этими отношеніями не нужно подразумѣвать обычное въ настоящее время ученіе объ отношеніяхъ и пропорціяхъ, которое въ ариѳметикѣ, въ сущности, излишне, а въ геометріи

недостаточно. Оно, кромѣ имени, имѣетъ мало общаго съ замѣчательнымъ ученіемъ, которое заключается въ пятой книгѣ „Элементовъ “ Евклида и которое развиваетъ уже раньше упомянутый методъ образованія величинъ. При этомъ методѣ уже съ самаго начала принимается во вниманіе то обстоятельство, что могутъ быть пары несоизмѣримыхъ величинъ, т. е. такихъ, у которыхъ общая мѣра невозможна. Такую пару образуютъ, напр., сторона и діагональ квадрата. Для того, чтобы и такіе случаи включить въ свою теорію, Евклидъ сначала устанавливаетъ только, что одна изъ каждыхъ двухъ величинъ непремѣнно находится въ нѣкоторомъ отношеніи къ другой. Понятіе „отношеніе“, которое является здѣсь еще совершенно неопредѣленнымъ, получаетъ содержаніе лишь вслѣдствіе объясненія того, какія отношенія должны называться равными и какое изъ двухъ различныхъ отношеній должно называться большимъ. 6-ое и 8-ое опредѣленія пятой книги Евклида гласятъ: „въ одномъ и томъ-же отношеніи находятся величины, первая ко второй и третья къ четвертой, если при увеличеніи ихъ въ какое угодно число разъ, одинаковыя кратныя первой и третьей одновременно или больше, или равны, или меньше одинаковыхъ кратныхъ второй и четвертой“. „Большее-же отношеніе, чѣмъ между третьей и четвертой, существуетъ между первой и второй, если изъ упомянутыхъ одинаковыхъ кратныхъ, кратное первой превосходитъ кратное второй, а кратное третьей не превосходитъ кратнаго четвертой“. Совсѣмъ не трудно было-бы объяснить, какимъ образомъ древніе должны были притти къ этимъ, по виду запутаннымъ опредѣленіямъ. Но объ этомъ я могу и не говорить, такъ-какъ я хочу только освѣтить природу „отношеній“ у древнихъ. Если Архимедъ въ сочиненіи „объ измѣреніи круга“ доказываетъ, что отношеніе площади круга къ квадрату діаметра только немногимъ меньше отношенія 11:14, то онъ подразумѣваетъ подъ первымъ отношеніемъ не четвертую часть Лудольфова числа jr, какъ мы, а чисто отвлеченный объектъ. Истинный же смыслъ самаго неравенства нужно искать во второмъ изъ приведенныхъ опредѣленій.

Греческая геометрія, основныя понятія которой только что разобраны, издавна была прославлена за ея строгость и правильные выводы. Мы удивляемся въ ней, кромѣ того, классическому спокойствію и точности изложенія,—точности, простирающейся до мелочей. Древнихъ геометровъ порицаютъ, однако, за то, что они, будто, не высказывали отчетливо и ясно свои основныя мысли и не вполнѣ замѣтили связи между найденными ими предложеніями. Первый упрекъ кажется мнѣ необоснован-

нымъ, второй же отпадаетъ самъ собой, если подумать, что методъ, который проливаетъ свѣтъ на связь между этими предложеніями, былъ выработанъ только въ началѣ текущаго столѣтія.

Впрочемъ, если мнѣнія математиковъ о геометріи древнихъ были до самаго послѣдняго времени согласны между собой, то это теперь не должно было-бы имѣть мѣста. Нѣкоторые найдутъ недостатки въ идеальной природѣ понятій: точка, линія и поверхность, другіе нападутъ на основаніе ученія объ отношеніяхъ, потому что никто до сихъ поръ не сумѣлъ указать пути, на которомъ могъ-бы быть разрѣшенъ вопросъ, равны-ли между собой или неравны два произвольно данныхъ отношенія А : В и С : 7), Послѣднимъ я-бы возразилъ, что разъ уже установлено, что два отношенія должны быть равны между собой или неравны, бъ каждомъ отдѣльномъ случаѣ остается только сказать, имѣетъ-ли мѣсто то или другое. Этого вѣдь требуетъ законъ противорѣчія или „законъ исключеннаго третьяго“ (lex exelusi tertii); какъ „третье“ нужно было-бы допустить невозможность различать, имѣетъ-ли мѣсто то или другое.

Съ твореніями Аполлонія Пергійскаго во второмъ столѣтіи до P. X. древняя геометрія достигла своего высшаго пункта. Къ его сочиненію о коническихъ сѣченіяхъ и тѣмъ недостаточнымъ даннымъ, которыя сохранились въ другихъ его сочиненіяхъ, снова примыкаютъ геометры 16-го столѣтія. Въ промежуточное время съ математикой произошла большая перемѣна. Не только ариѳметика значительно расцвѣла и развилась вслѣдствіе введенія десятичной системы, но и вслѣдстіе расширенія понятія о числѣ, происшедшаго за тысячелѣтіе, были устранены препятствія, лежавшія на пути развитія алгебры, т. е. счисленія при помощи знаковъ общаго значенія. Декартъ, творецъ аналитической геометріи, видѣлъ значеніе алгебры для геометріи въ томъ, что въ геометріи могутъ быть примѣнены основныя дѣйствія ариѳметики. Открытый имъ методъ не вполнѣ, однако, совпадаетъ съ методомъ современной аналитической геометріи, потому-что послѣдній покоится, какъ мы сейчасъ увидимъ, на менѣе отвлеченномъ основаніи. Изъ-за этого мы видимъ въ Декартѣ и основателя формальной алгебры.

Различные виды чиселъ, о которыхъ мы въ послѣдующемъ услышимъ, являются подчиненными, какъ особые случаи, раньше установленному общему понятію о величинѣ.

Классическая древность знала изъ чиселъ безусловно только раціональныя, т. е. цѣлыя и дробныя числа. Счетъ съ ними былъ уже высоко развитъ. Какъ мы узнаемъ изъ комментарія Теона

Александрійскаго къ Альмагесту1), не только выполнялись всѣ четыре дѣйствія, но и извлекались квадратные корни въ томъ смыслѣ, что умѣли находить раціональныя числа, квадраты которыхъ отличались-бы какъ угодно мало отъ даннаго числа. Методъ, который употреблялся для рѣшенія послѣдней задачи, отличается отъ употребляемаго нынѣ только тѣмъ, что вмѣсто десятичныхъ дробей пользовались вавилонскими 60-иричными. То обстоятельство, что недоставало систематическаго письменнаго обозначенія для натуральныхъ чиселъ, затрудняло, правда, вычисленія, но не могло существенно вліять на развитіе теоріи.

(Продолженіе слѣдуетъ)

2-й Всероссійскій Съѣздъ преподавателей математики.

І. И. Чистяковъ. Москва.

Постановленіе о созывѣ 2-го Всероссійскаго Съѣзда преподавателей математики было сдѣлано на 1-мъ Съѣздѣ, состоявшемся на рождественскихъ вакаціяхъ 1911—12 г. въ Петербургѣ; именно, пунктъ 18-й резолюцій, принятыхъ 3-го Января 1912 года въ общемъ заключительномъ собраніи 1-го Съѣзда, гласитъ: „Съѣздъ признаетъ необходимымъ созвать 2-й Всероссійскій Съѣздъ преподавателей математики въ Москвѣ въ декабрѣ 1913 года и проситъ Московскій Математическій Кружокъ, въ виду выраженной предсѣдателемъ и присутствующими членами его готовности организовать 2-й Съѣздъ, взять на себя выполненіе этой задачи“. Это порученіе было въ точности исполнено Моск. Математическимъ Кружкомъ, и на минувшихъ рождественскихъ вакаціяхъ въ Москвѣ состоялся 2-й Всероссійскій Съѣздъ преподавателей математики. Не смотря на обиліе одновременно происходившихъ педагогическихъ Съѣздовъ въ Петербургѣ, изъ которыхъ Съѣзды преподавателей физики и народныхъ учителей должны были въ особенности много отвлечь членовъ отъ Московскаго Съѣзда, онъ все-же оказался очень многолюднымъ и привлекъ 1061 участника, въ томъ числѣ не мало профессоровъ и видныхъ преподавателей математики, столичныхъ и провинціальныхъ.

Засѣданія Съѣзда начались 28 декабря; всѣ они происходили въ новомъ удобномъ зданіи М. Высшихъ Женскихъ Курсовъ на Дѣвичьемъ Полѣ. Предсѣдателемъ Съѣзда, согласно предложенію Организаціоннаго Комитета, былъ избранъ М. Г. Попруженко, бывшій товарищъ предсѣдателя Организаціоннаго Комитета 1-го Съѣзда преподавателей математики. Занятія Съѣзда состояли изъ общихъ собраній, соединенныхъ засѣданій двухъ устроенныхъ секцій А и В и отдѣльныхъ секціонныхъ засѣданій.

1) М. Cantor; Gesh. d. Math. I, стр. 418. Сочиненія Птоломея: MrjyccArj ovvxa^LQ.

На общихъ собраніяхъ было прочитано 7 докладовъ—рѣчей, не сопровождавшихся преніями. Въ соединенныхъ засѣданіяхъ обѣихъ секцій было заслушано и обсуждено 14 докладовъ; наконецъ въ секціяхъ было сдѣлано и обсуждено 29 сообщеній; такимъ образомъ, общее число всѣхъ прочитанныхъ сообщеній достигаетъ 50.

При Съѣздѣ была устроена выставка книгъ и учебныхъ пособій по математикѣ, въ которой приняли участіе многія учебныя заведенія, торговыя фирмы и отдѣльныя лица. На выставкѣ давались объясненія представленныхъ коллекцій; кромѣ того, отдѣльно демонстрировались нѣкоторые изъ выставленныхъ приборовъ. Большое вниманіе Организаціонный Комитетъ удѣлилъ также устройству экскурсій. На этихъ экскурсіяхъ члены Съѣзда имѣли возможность ознакомиться съ нѣкоторыми образцовыми учебными заведеніями, музеями и различными достопримѣчательностями Москвы, причемъ въ большинствѣ случаевъ участники экскурсій имѣли и руководителей, дававшихъ объясненія. Всего было устроено 45 осмотровъ и экскурсій, причемъ въ нихъ приняли участіе около 900 членовъ Съѣзда.

Изъ сообщеній, сдѣланныхъ на Съѣздѣ, наибольшее вниманіе его участниковъ привлекли рѣчи, прочитанныя на общихъ собраніяхъ. Ихъ было 7, а именно: вступительная рѣчь при открытіи Съѣзда предсѣдателя Организаціоннаго Комитета Б. К. Млодзѣевскаго; Д. М. Синцовъ: О дѣятельности Международной Комиссіи по реформѣ преподаванія математики; А. К. Власовъ: Какія стороны элементарной математики представляютъ цѣнность для общаго образованія? Б. К. Млодзѣевскій: Успѣхи элементарной геометріи въ XIX вѣкѣ; А. В. Васильевъ: Принципъ экономіи въ математикѣ; В. В. Бобынинъ: Объ указаніяхъ, получаемыхъ преподаваніемъ математики отъ ея исторіи, и А. I. Бачинскій: Запросы преподавателя физики въ области математики. Составленные глубокими спеціалистами предмета, изложенные нерѣдко въ увлекательной формѣ, доклады эти вызывали у членовъ Съѣзда подъемъ интереса къ научнымъ вопросамъ, соприкасающимся съ областью преподаванія.

Доклады въ соединенныхъ засѣданіяхъ обѣихъ секцій касались наиболѣе важныхъ сторонъ и общихъ вопросовъ постановки преподаванія математики въ средней школѣ. Таковы были доклады профессоровъ Н. Н. Салтыкова и Д. М. Синцова по вопросу о подготовкѣ преподавателей математики, Д. Д. Галанина и К. Ѳ. Лебединцева—объ экзаменахъ по математикѣ, М. Г. Попруженко, Д. М. Синцова и С. Н. Бернштейна— о преподаваніи элементовъ высшей математики въ средней школѣ, П. А. Некрасова—о промежуточной лицейской ступени между средней и высшей школами, Б. Б. Піотровскаго—о повторительныхъ курсахъ, В. П. Писарева—о желательныхъ измѣненіяхъ въ постановкѣ преподаванія математики въ женскихъ гимназіяхъ, Т. А. Эренфестъ—о результатахъ анкеты по вопросу о преподаваніи математики въ средней школѣ, Ѳ. И. Егорова—о новыхъ теченіяхъ въ преподаваніи матема-

тики и др. Доклады эти вызывали оживленный обмѣнъ мнѣній среди членовъ Съѣзда.

Наконецъ, сообщенія, читанныя въ секціонныхъ засѣданіяхъ, касались преимущественно вопросовъ методики преподаванія наиболѣе трудныхъ отдѣловъ математики, какъ напр. ученіе о числахъ отрицательныхъ и несоизмѣримыхъ, теорія предѣловъ, измѣреніе длины окружности, приближенныя вычисленія, новое изложеніе курса тригонометріи и проч. Были также затронуты вопросы о письменныхъ работахъ по математикѣ, о внѣклассныхъ занятіяхъ учащихся, о развитіи у учащихся пространственныхъ представленій, о наглядныхъ пособіяхъ по геометріи и ариѳметикѣ и мн. др. Большая часть докладовъ на эти темы съ интересомъ выслушивались участниками Съѣзда и вызывали оживленныя пренія, которыя нерѣдко продолжались среди отдѣльныхъ труппъ членовъ и по закрытіи засѣданія. Въ общемъ встрѣчались съ неизмѣннымъ сочувствіемъ всѣ предложенія докладчиковъ, клонящіяся къ обновленію школьныхъ учебныхъ плановъ болѣе современнымъ математическимъ содержаніемъ, а также указанія на возможность введенія различнаго рода упрощеній, новыхъ методовъ и наглядности въ преподаваніи.

Въ результатѣ обсужденія всѣхъ затронутыхъ вопросовъ и высказанныхъ пожеланій, Съѣздъ принялъ, по предложенію Организаціоннаго Комитета, резолюціи, приведенныя ниже.

Всѣ свѣдѣнія о ходѣ занятій Съѣзда, пренія, и нѣкоторыя изъ прочитанныхъ сообщеній были помѣщены въ №№ 1—8 „ Дневника“ Съѣзда, регулярно выходившаго ежедневно во время засѣданій. Послѣдніе, заключительные №№ 9—10 „Дневника“ будутъ выпущены въ февралѣ мѣсяцѣ. Не имѣя въ своемъ распоряженіи достаточныхъ средствъ для изданія „Трудовъ“ Съѣзда, Организаціонный Комитетъ поручилъ редакціи журнала Московскаго Математическаго Кружка принять мѣры къ возможно полному напечатанію прочитанныхъ докладовъ на страницахъ этого журнала. Въ настоящее время большинство авторовъ докладовъ уже дало свое любезное согласіе на помѣщеніе читанныхъ ими сообщеній въ „Математическомъ Образованіи“.

Резолюціи 2-го Всероссійскаго Съѣзда преподавателей математики.

Второй Всероссійскій Съѣздъ преподавателей математики, выслушавъ и обсудивъ доклады и пренія по вопросамъ, относящимся къ программѣ Съѣзда, вынесъ слѣдующія постановленія:

I. Признавая необходимымъ условіемъ успѣшнаго преподаванія математики правильную постановку подготовки преподавателей, а также созданіе такихъ условій, при которыхъ лицамъ, уже состоящимъ преподавателями, была бы предоставлена возможность освѣжать и пополнять свои познанія, Съѣздъ находитъ крайне желательнымъ осуществленіе слѣдующихъ мѣръ:

а) Чтобы лица, приступающія къ преподаванію, обладали подготовкой какъ научной, такъ и общепедагогической;

б) чтобы на физико-математическихъ факультетахъ высшихъ учебныхъ заведеній читались курсы, освѣщающіе съ научной точки зрѣнія основные вопросы элементарной математики;

в) чтобы устраивались районные съѣзды преподавателей математики;

д) чтобы организацію такихъ курсовъ, кромѣ учрежденій, устраивающихъ ихъ въ настоящее время, приняли на себя высшія учебныя заведенія, а также математическіе кружки и общества, объединяющіе преподавателей.

II. Признавая, что успѣшное преподаваніе математики можетъ быть осуществлено лишь при дружной работѣ всѣхъ заинтересованныхъ въ немъ круговъ и что для правильной постановки его имѣютъ большое значеніе не только общія мѣропріятія органовъ управленія, но и личный починъ отдѣльныхъ преподавателей (какъ это подтверждается примѣрами Германіи), Съѣздъ признаетъ крайне желательнымъ осуществленіе слѣдующихъ мѣръ:

а) чтобы педагогическимъ совѣтамъ было предоставлено право разрѣшать преподавателямъ отступать отъ существующихъ программъ подъ условіемъ представленія проектовъ измѣненій на утвержденіе совѣта;

б) чтобы осуществленіе пересмотра программъ и плана преподаванія математики въ средней школѣ было произведено въ цѣломъ, а не путемъ частичныхъ измѣненій; при выработкѣ такого плана необходимо не только внесеніе новыхъ отдѣловъ, но и освобожденіе курса отъ отдѣловъ, утратившихъ свое значеніе;

в) чтобы преподаваніе математики въ женскихъ гимназіяхъ было организовано на одинаковыхъ началахъ съ мужскими;

г) чтобы къ совмѣстной работѣ по выработкѣ плана и программы преподаванія привлекались представители науки и преподаватели средней школы.

III. Съѣздъ признаетъ начала аналитической геометріи и анализа необходимыми въ курсѣ средней школы всѣхъ типовъ. Для повышенія успѣшности результатовъ, достигаемыхъ въ дѣлѣ преподаванія аналитической геометріи и анализа, желательны слѣдующія мѣры:

а) пересмотръ программъ аналитической геометріи и анализа;

б) назначеніе на эти предметы достаточнаго количества времени;

в) установленіе связи анализа съ предыдущими частями курса;

г) болѣе правильная методическая постановка преподаванія аналитической геометріи и анализа.

IY. Для скорѣйшаго проведенія въ жизнь изложенныхъ постановленій, Съѣздъ признаетъ необходимымъ учредить комиссію по вопросу о постановкѣ преподаванія математики и просить Михаила Григорьевича Попруженко, Захарія Андреевича Макшеева, Болеслава Корнеліевича Млодзѣевскаго, Алексѣя Константиновича Власова, Дмитрія Матвѣевича Синцова и Николая Николае-

вича Салтыкова принять на себя организацію означенной комиссіи съ тѣмъ, чтобы послѣдняя, выдѣливъ изъ себя соотвѣтственныя подкомиссіи, представила къ третьему Съѣзду доклады по слѣдующимъ вопросамъ:

а) постановка подготовки преподавателей математики;

б) общія основанія постановки и планы преподаванія математики въ общеобразовательной средней школѣ; при этомъ необходимо обратить особое вниманіе на разработку вопросовъ о пропедевтическихъ курсахъ, курсахъ аналитической геометріи и анализа, и вопросовъ о продолжительности курса средней школы, о способахъ оцѣнки, о переводныхъ, выпускныхъ и конкурсныхъ экзаменахъ.

V. Съѣздъ признаетъ весьма важнымъ для успѣшности работы дальнѣйшихъ съѣздовъ установленіе преемственности и тѣсной связи между работой ихъ организаціонныхъ комитетовъ. Для осуществленія такой преемственности онъ находитъ необходимымъ учрежденіе „Постояннаго Бюро Съѣздовъ Преподавателей математики“ и постановляетъ, чтобы изъ состава членовъ Организаціонныхъ Комитетовъ Второго и предстоящаго Третьяго Съѣздовъ была образована комиссія. На эту комиссію возлагается порученіе представить Третьему Съѣзду докладъ объ организаціи „Постояннаго Бюро Съѣздовъ Преподавателей Математики“.

VI. Съѣздъ признаетъ желательнымъ созвать Третій Всероссійскій Съѣздъ Преподавателей Математики въ Харьковѣ въ декабрѣ 1915 года и проситъ Харьковское Математическое Общество взять на себя выполненіе этой задачи.

VII. Съѣздъ поручаетъ своему Организаціонному Комитету сообщить настоящія свои постановленія Министрамъ и Главноуправляющимъ, въ вѣдѣніи которыхъ находятся среднія учебныя заведенія.

Задачи.

Подъ редакціей Э. Ю. Лейнѣка.

129. Даны двѣ окружности; провести въ извѣстномъ направленіи сѣкущую, опредѣляющую въ окружностяхъ двѣ хорды, которыя находились бы въ данномъ отношеніи.

И, Александровъ.

130. Построить треугольникъ по суммѣ двухъ сторонъ Ъ + с = s, углу А и биссекрисѣ ß^ угла А.

В. Кованько.

131. Построить треугольникъ АВС по основанію АС, если извѣстно положеніе на немъ двухъ точекъ, чрезъ которыя проходятъ высота и биссектриса угла В.

Ѳ. Гусевъ.

132. Найти сумму п членовъ слѣдующаго ряда:

12 + l2+22 + 32 + 52-f 82+ 132+.. .. + мя2, если = м„_, +

Н. Агрономовъ.

133. Въ данный шаръ вписать и вокругъ него описать четыре другихъ, равныхъ между собою и взаимнокасающихся шара и опредѣлить ихъ радіусъ по радіусу даннаго шара В.

В. Добровольскій.

134. Показать, что Е(3 + ]/bj" +1 при п цѣломъ и положительномъ дѣлится безъ остатка на 2й.

135. Найти предѣлъ произведенія

136. Въ пространствѣ расположены піаръ и прямая; черезъ прямую проводятъ плоскости, дающія въ пересѣченіи съ шаромъ окружности. Найти геометрическое мѣсто центровъ этихъ окружностей.

Э. Л.

Рѣшенія задачъ.

32. Пусть будетъ zp = ар + ibp комплексное количество, гдѣ р любое цѣлое положительное число и 0<#<1.

Пусть будутъ Іъ 12, /3,.. . Ір-і, цѣлыя числа, удовлетворяющія условіямъ Іг > 0, 12 > О, 13 > 0,.... Ір_г > 0. Показать, что модуль разности^^ -j- l2z2 -f- l3zs --^/)_1 — fy] всегда больше нѣкотораго положительнаго количества (имѣетъ нижнюю границу, отличную отъ нуля) при всѣхъ значеніяхъ іі и р, связанныхъ равенствомъ

Разсмотримъ значенія коэффиціентовъ Ар и Вр. Положимъ вообще

При у = 0 и у — оо мы имѣемъ А = 0; кромѣ того А имѣетъ maximum при у — |/3, когда А = Что касается J5, то при возрастаніи у отъ 0 до X, коэффиціентъ В постоянно убываетъ отъ У 2 до 0.

Положимъ для краткости

Тогда можемъ написать:

Очевидно, что или, иначе,

Разсмотримъ полупрямую ОХ и расположимъ на ней массы Z3, 2Z2,... (р—1) Ір-г на разстояніяхъ соотвѣтственно равныхъ Вѵ jB2, В3__Вр-і отъ точки О этой прямой. Обозначимъ черезъ g координату центра тяжести полученной системы массъ. Тогда предыдущее неравенство можно представить въ видѣ:

Нетрудно видѣть, что наименьшее значеніе разности g—Вр будетъ при такомъ расположеніи массъ, когда 11 = Ір_1 = 1,

Слѣдовательно мы получимъ

Количество ^{Вр^х — Вр ) всегда конечно и положительно, такъ какъ можетъ быть представлено въ видѣ:

слѣдовательно всегда:

Но Вх — В2 = (4я2 — x2)tgco = 3хЧдсо, гдѣ со есть уголъ прямой, проходящей черезъ точки (Вѵ х2) и (Ва, 4æ2) съ осью х. Для tgco не трудно найти tgco = 4-... Л

Такимъобразомъ

_ЕГ. Щетининъ (Москва).

79. Даны три точки 4, 7?, (7. Отыскать точку X такъ, чтобы суммы (или разности) АХ ВХ и ВХ-{- СХ имѣли данныя значенія.

1. Пусть даны АХ-\-ВХ — 8г и ВХ-{- СХ= S2. Изъ точекъ А и (7, какъ изъ центровъ опишемъ двѣ окружности радіусами равными 8г (изъ точки А) и *S2 (изъ точки С) и построимъ окружность, проходящую черезъ точку В и касающуюся двухъ только что построенныхъ окружностей. Центръ этой окружности и будетъ искомая точка X. Въ самомъ дѣлѣ, точки А) X и Е лежатъ на одной прямой, какъ два центра и точка касанія; по той же причинѣ лежатъ на одной прямой точки (7, X, D. Итакъ,

2. Пусть даны АХ — ВХ = dl5 СХ— ВХ = d2. Рѣшеніе задачи подобно только что приведенному. Изъ точки А радіусомъ dx они-

сываемъ окружность, а изъ точки С окружность радіусомъ равнымъ d2. Затѣмъ проводимъ окружность проходящую черезъ точку В и касающуюся двухъ построенныхъ окружностей. Центръ этой окружности и будетъ искомая точка X.

Въ самомъ дѣлѣ, АХ—ВХ = АХ—EX = d1,

СХ — ВХ = СХ — ПК = d2

Для нахожденія искомой точки X, какъ въ случаѣ р такъ и 2, надо построить окружность, проходящую черезъ данную точку и касающуюся двухъ данныхъ окружностей.

Рѣшеніе этой задачи общеизвѣстно. (См. напр. И. Александровъ, II, 336 или, Е. Пржевальскій, III, 248).

В. Кованько (ст. Струнино).

87. Доказать теорему: если их есть цѣлая раціональная функція перемѣннаго х степени т, то 2их (гдѣ п натуральное число) есть цѣлая раціональная функція перемѣннаго п степени т.

Разсмотримъ выраженіе Sk = lk + 2* + 3* -f* . . . nk = X xk .

Въ курсахъ алгебры выводится слѣдующая формула:

см. напр. Алгебра А. Давидова, изд. 1897 г. § 405).

Эта формула показываетъ, что Sk есть цѣлая раціональная функція аргумента п, степени /с —1. Коэффиціенты суть числа независящія отъ п.

Обозначимъ теперь черезъ их цѣлую раціональную функцію т-ой степени перемѣннаго ж, т.-е. положимъ

их = А0хт + Аххт-Х + А2хм~2 -)—.+ Ат ,

гдѣ А0, Аѵ . . . Ауп—коэффиціенты, независящіе ни отъ ж, ни отъ т причемъ А0-/“0, и составимъ сумму Хих .

Такъ какъ по вышесказанному Sm цѣлая функція аргумента п сте-

пени m + 1, а А0фО, то заключаемъ, что 2 их— цѣлая функція отъ п степени w-f-1.

Примѣры.

И. Евдокимовъ (Шуя), II. Коровицкій (Спб.), А, Сердобинскій (Чита), Д. Синцовъ (Харьковъ), И. Щетининъ (Москва).

№ 88. По даннымъ центрамъ квадратовъ, внѣ построенныхъ на сторонахъ треугольника, построить самый треугольникъ.

Рѣшеніе ясно изъ анализа этой задачи. Пусть имѣемъ*) ЬАВС, на сторонахъ котораго построены внѣшніе квадраты, центры которыхъ суть А!, В' и С'. Построимъ прямыя AD, BE и, опредѣливъ середину М стороны AB, еще прямыя МА' и MB'. Тогда:

1) МВ' II BE и равна BE (средняя линія &ВАЕ); также МА! ||ПІ>

и

и равна ^AD (средняя линія \ABD)\ 2) 1ВСЕ = \DCA (ибо ВС —DC, СЕ=СА и фВСЕ = !__ACD), откуда BE = AD\ кромѣ того, такъ какъ для совмѣщенія Л ВСЕ съ Л DCA надо А ВСЕ повернуть на прямой уголъ около точки С, то BE J_ AD. Отсюда, принимая во вниманіе пунктъ 1), заключаемъ, что MB'J_MA' и что МВ' = МА!, т. - е. А'МВ' — прямоугольный равнобедренный треуг-къ. Точки Ä и В' намъ даны; поэтому легко построить точку М (напр. построивъ на А!В' полукругъ, какъ на діаметрѣ, и взявъ середину этой полуокружности — эта полуокружность

*) См. чер. на слѣд. стр.

должна лежать по одну сторону съ данной точкой С' отъ AB'). Итакъ, будетъ найдена середина стороны Л В: также найдемъ середины двухъ другихъ сторонъ, и задача сведется къ элементарной задачѣ: построить треугольникъ, зная середины его сторонъ.

В. Кованько (ст. Струнино). А. Сердобинскій. (Чита).

89. Найти три цѣлыхъ положительныхъ числа, удовлетворяющихъ уравненію

Полагая — = tga) — — tgß, — = tgß, найдемъ по извѣстной формулѣ.

откуда

(1)

При рѣшеніи уравненія (1) въ цѣлыхъ положительныхъ числахъ возможны 4 предположенія:

Случай X = у = Z. Изъ уравненія (1) получаемъ:

Здѣсь уравненіе д; —|— 1 = 0 даетъ непригодный корень х = — 1, а ур-ніе X2 — 4х 1 = 0 совсѣмъ не имѣетъ раціональныхъ корней. Слѣдовательно, случай x = y — z не даетъ рѣшеній.

Случай х^>у = ъ. Ур-ніе (1) приводится къ виду:

(2)

Слѣдовательно:

Если у2 въ лѣвой части замѣнить черезъ ху и 2у замѣнить черезъ 2х, то подавно будемъ имѣть:

Или

(3)

Такъ какъ по смыслу уравненія arctg ^-\-2artcg — — j имѣемъ

у^> 1, то, подставляя въ лѣвую часть неравенства (3) вмѣсто у — два, получимъ

Путемъ подстановки этихъ значеній у въ уравненіе (2) убѣждаемся, что лишь значеніе у = 3 даетъ для х цѣлое положительное рѣшеніе х = 7.

Случай x = y>z. Уравненіе (1) приводится къ виду

X2 + 2xz -f- 2х -f- z = x2z 1 (4)

откуда

X2 -f- 2xz -f- 2x-\- z^> x2z

Замѣнивъ въ лѣвой части z черезъ х, будемъ имѣть подавно

Зх2 -]- Зх > x2z

или

Такъ какъ x^>z^> 2, то подставляя х = 3 въ неравенствѣ (5), получимъ

4>з, откуда Z — 3, 2.

Путемъ подстановки этихъ значеній z въ уравненіе (4) убѣждаемся, что для X раціональныхъ рѣшеній не находится.

Случай x^>y^>z. Получивъ изъ ур-нія (1) неравенство:

ху 4- XZ 4- yz 4- X 4- у + z > xyz

переходимъ къ неравенству

3ху 4~ Зх > xyz

или

з +1>Z(6)

Такъ какъ у^>ъ^2, то очевидно z <4, откуда z=3 и z = 2. Случай z = 3. Уравненіе (1) получаетъ видъ:

2х-\-2у = ху — 1. (7)

Отсюда переходимъ къ неравенству:

\х 4* 1 > ху

или

4+è>y (8)

Такъ какъ x^>y^>z = 3, то единственное значеніе у есть у = 4. Подставляя его въ ур-ніе (я), не находимъ для х цѣлаго рѣшенія. Случай z = 2. Уравненіе (1) получаетъ видъ:

Зх-\-Зу = ху—1. (9)

Отсюда

Зх 4~ 1 > ху и

Слѣдовательно у = 6, 5, 4, 3. Путемъ подстановки этихъ значеній въ ур-ніе (9) получаемъ лишь при у = 5 х — 8 и при у = 4 # = 13. Такимъ образомъ, полная таблица рѣшеній есть:

X У Z

7 3 3

8 5 2

13 4 2

М. Зильберштейнъ, Н. Щетининъ (Москва), А. Черновъ (Тула), Н. Рубачевъ (Ростовъ), В. Мыць (Полтава).

91. Найти геометрическое мѣсто центровъ окружностей, проходящихъ черезъ данную точку и отсѣкающихъ на данной прямой отрѣзки данной длины.

Примемъ данную прямую за ось #-овъ, а перпендикуляръ опущенный изъ данной точки В на нее, за ось у-овъ.

Пусть М центръ одной изъ окружностей, отсѣкающихъ на данной прямой отрѣзокъ АС данной длины 2а. Обозначая длину отрѣзка OB буквою Ъ составляемъ уравненіе окружности М.

(Ж-|)24 -(У — *7)а =-К® == g3-ь (*7 — Ь)а

или

X2 — 2х§4-у2 — 2уу = Ъ2— 2Ъг\ (g,?? — координаты точки М).

Полагая у = 0, имѣемъ уравненіе для опредѣленія координатъ точекъ А и С

X2 — 2х£ — Ъ2 -)- 2Ът] =0,

откуда выводимъ

хі + х2 = 2g, х1 .х2 = — (Ъ2 — 2 brj)

Исходя изъ тождества

(хг — х2У = (xt х2)2 — 4ххх2

и замѣчая, что

I xt—х2 I = 2л,

имѣемъ:

или g2 — 2 brj = a2 — b2

Итакъ, искомое геометрическое мѣсто есть парабола съ параметромъ Ь, ось которой совпадаетъ съ осью у-овъ.

Въ частномъ случаѣ, когда данная точка лежитъ на данной прямой, т.-е. Ъ = 0, ур-іе геометрическаго мѣста обращается въ £2— а2 = 0, т.-е. въ ур-іе пары прямыхъ линій, что видно непосредственно и изъ чертежа.

В. Добровольскій (Москва), И. Евдокимовъ (Шуя), В% Кованько (ст. Струнино), И. Коровицкій (Спб.), М. Новикова (Саратовъ), А. Сердобинскій (Чита), Д. Синцовъ (Харьковъ), В, Чичеринъ (Ярославль), Н. Щетининъ (Москва).

92. Рѣшить уравненіе

х3-\-4:х(х — 1)1,б-|--3ж2— 8х-|-4 = 0.

Перепишемъ ур-іе въ слѣдующемъ видѣ:

Xs 3 X2 — 8х -|- 4 = 4.x]/ (х — I)3

Многочленъ х3-\-Зх2— 8х + 4 при х — 1 обращается въ нуль, а потому мы можемъ выдѣлить множитель х—1.

Ур-іе перепишется такимъ образомъ:

(X — 1)(х2 4х — 4) = 4х(х — 1)]/ X — 1

или

(X — 1) [х2 — 4х|/ X — 1 р4(ж — 1) ] = 0

или

(х — 1) (х — 2]/ — I)2 = 0

Приравнивая нулю перваго множителя, имѣемъ корень х=1. Приравнивая нулю вторую скобку, имѣемъ

X = 2]/ X — 1 ,

отсюда

#2 = 4(х—1), т.-е. (х — 2)2 = 0.

Итакъ, данное ур-іе имѣетъ простой корень х = 1 и кратный корень х = 2.

Н. А. Б. (Херсонъ), И. Евдокимовъ (Шуя), В. Кованько (ст. Струнино), //. Коровицкій (Спб.), В. Лебедевъ (Омскъ), Д. С. (Харьковъ), А. Сердобинскій (Чита), Г. Стороженко (Новгородсѣверскъ), В. Сѣверный (Тула), В. Чичеринъ (Ярославль), Н. Щетининъ (Москва).

Библіографическій отдѣлъ.

Филипсъ и Фишеръ. Элементы геометріи. Переводъ съ послѣдняго американскаго изданія подъ редакціей В. Р. Мрочека съ приложеніемъ его статьи „Къ методикѣ систематическаго курса геометріи. Замѣтки для преподавателей“. Курсъ среднеучебныхъ заведеній. Спб. 1913. Ц. 2 руб.

Книга Филлипса и Фишера обладаетъ нѣкоторыми особенностями, на которыхъ полезно остановиться прежде, чѣмъ говорить о выпущенномъ книгоиздательскимъ товариществомъ „Просвѣщеніе“ ея переводѣ на русскій языкъ. Наиболѣе бросающейся въ глаза особенностью является ея иллюстративная часть: мы имѣемъ въ виду рисунки, которыми снабжены доказательства теоремъ по стереометріи; въ этомъ отношеніи „Элементы геометріи“ Филлипса

и Фишера не имѣютъ себѣ ничего подобнаго. Имѣющіяся въ книгѣ иллюстраціи къ доказательствамъ стереометрическихъ теоремъ состоятъ не только изъ схематическихъ чертежей, но рядомъ съ такими чертежами онѣ даютъ прекрасно исполненныя цинкографическимъ путемъ копіи съ фотографій моделей, схематизацію которыхъ чертежи и представляютъ. Мысль воспользоваться фотографіями съ моделей, какъ средствомъ для развитія привычки „читать“ условный стереометрическій чертежъ, является наиболѣе оригинальною особенностью разбираемой книги. Въ остальномъ учебникъ двухъ составителей отличается отъ общепринятыхъ руководствъ сравнительно мало,, внося въ изложеніе лишь частичныя улучшенія и содержа нѣкоторыя интересныя добавленія; какъ примѣръ послѣднихъ можно привести главу о т н. новой геометріи, нѣкоторыя замѣчанія (очень краткія, какъ и должно быть въ такомъ курсѣ) о геометріи Лобачевскаго; слѣдуетъ отмѣтить также способъ примѣняемый авторами при изложеніи доказательствъ: послѣ каждаго промежуточнаго заключенія въ скобкахъ мелкимъ шрифтомъ напечатана та теорема или аксіома, на основаніи которой сдѣлано это заключеніе; послѣднее облегчаетъ усвоеніе самаго доказательства и, благодаря самому способу печати, не отвлекаетъ вмѣстѣ съ тѣмъ вниманія читателя отъ главной мысли. Можно было бы отмѣтить еще нѣкоторыя детали, но самымъ главнымъ достоинствомъ книги, изданной въ подлинникѣ очень изящно, являются прекрасныя иллюстраціи, дающія возможность, не прибѣгая къ моделямъ, воспитывать и развивать пространственное представленіе.

Въ виду всего сказаннаго переводъ книги Филлипса и Фишера можно было бы признать весьма полезнымъ. Но первое, что бросается въ глаза человѣку, знакомому съ англійскимъ подлинникомъ, это внѣшность изданія, очень далекая отъ изящества подлинника: нѣкоторыя изъ цинкографій воспроизведены настолько плохо, что для ихъ пониманія въ русскомъ изданіи приходится продѣлывать путь какъ разъ обратный тому, какой имѣли въ виду авторы: для пониманія того, что изображено на цинкографіи, приходится обращаться къ имѣющемуся рядомъ схематическому чертежу; чтобы не быть голословными, укажемъ, напр. на стр. 293, 340. Такимъ образомъ приходится признать, что внѣшность изданія перевода несравнима съ внѣшностью подлинника, а, въ виду выясненнаго уже значенія вѣшности для разбираемой книги, возникаетъ вопросъ, стоило ли ее издавать, если по техническимъ условіямъ оказалось невозможнымъ сохранить достоинство иллюстрацій. Сомнѣнія въ полезности такого изданія перевода, какое дало Т-во ,,Просвѣщеніе“ еще усиливаются при переходѣ отъ бѣглаго просмотра къ болѣе внимательному чтенію. Прежде всего приходится остановиться на качествѣ перевода. Редакторъ въ своихъ примѣчаніяхъ указываетъ на нѣкоторыя отступленія отъ обычнаго способа выраженія и приводитъ нѣкоторые мотивы для этого; но съ мотивировкой его не всегда можно согласиться; напр. выраженіе „боковая площадь“ едва ли лучше общепринятаго „боковая поверхность“; но получается уже совсѣмъ странное впечатлѣніе, когда редакторъ, такъ сказать, полемизируетъ самъ съ собой. Такъ на стр. 517 онъ выясняетъ всю неумѣстность но его мнѣнію выраженія „произведеніе на“, а на етр. 132 и 133 говоритъ о „произведеніи одной изъ сторонъ треугольника на проекцію другой“. Относительно перевода слѣдуетъ сказать, что. иногда переводъ чрезмѣрно дословенъ, напр. „длина окружности выпуклой замкнутой кривой“, или „боковая площадь усѣченнаго конуса вращенія равна окружности сѣченія на половинѣ (?) между основаніями, умноженной на боковую высоту“; но нерѣдко тамъ гдѣ близость къ подлиннику охранила бы переводчика отъ искаженія смысла, она далеко не вездѣ на лицо; напр. на стр. 1. g 17 имѣется „опредѣленіе“: „Острый уголъ меньше прямого, тупой больше прямого“, тогда какъ дословный переводъ опредѣленія былъ бы понятнѣе по формѣ: „острый уголъ—уголъ меньшій прямого“... и т. д.: встрѣчаются и еще болѣе грубые промахи такъ, на стр. 79 читаемъ“. Если перемѣнная величина х можетъ стать сколь угодно малой, то опа можетъ быть также раздѣлена на постоянную величину к, вмѣсто: „то такою же (т. е. сколь угодно малой)*) можетъ стать и х, раздѣленное на произвольное постоянное число k“.

Отъ перевода перейдемъ къ тѣмъ измѣненіямъ и добавленіямъ, которыя редакторъ счелъ необходимымъ внести въ русское изданіе сравнительно съ подлинникомъ. Ихъ, какъ и указываетъ самъ редакторъ, немного. Прежде всего приложена статья „Къ методикѣ систематическаго курса геометріи“;

*) Поясненіе въ скобкахъ наше.

затѣмъ введено понятіе о „степени точки“, которое у Филлипса и Фишера явно не встрѣчалось; кромѣ того, „добавлены кое-гдѣ примѣчанія или дополнены авторскія замѣтки“ (такихъ добавленій указано восемь); но добавленія эти таковы, что много лучше было бы, если бы ихъ совсѣмъ не было. Чтобы убѣдиться въ послѣднемъ, достаточно познакомиться съ примѣчаніемъ на стр. 119; еще хуже обстоитъ дѣло съ введеннымъ редакторомъ понятіемъ -„степени точки“, такъ, въ § 324 имѣются слѣдующія задачи, внесенныя, повидимому, для уясненія новаго понятія: “Задача II. Степень точки равна абсолютному*) значенію разности между квадратомъ разстоянія этой точки отъ центра и квадратомъ радіуса“. Въ третьей же задачѣ предлагается показать, что степень внутренней точки отрицательна, а внѣшней положительна. Спрашивается, какъ же примирить содержаніе этихъ задачъ. Но самымъ убійственнымъ является примѣчаніе на стр. 504, объясняющее, что называется псевдосферой: „Если шаровая поверхность обращена къ наблюдателю своей вогнутой стороной, то она называется псевдосферической. Примѣрами такихь поверхностей являются: сѣдло, бокалъ для шампанскаго“, Трудно понять, какъ можно написать такую нелѣпость, особенно, когда рядомъ на стр. 505 имѣются, правда, потерявшіе въ своемъ изяществѣ, но все же достаточно разборчиво исполненные снимки съ псевдосферическихъ поверхностей.

Въ виду всего сказаннаго, вмѣсто того, чтобы привѣтствовать Т-во „Просвѣщеніе“ съ выступленіемъ на путь математическаго издательства, приходится лишь выразить сожалѣніе, что первые его шаги на этомъ пути оказались столь неудачными.

А. Волковъ.

Библіографическая замѣтка.

По поводу интересной статьи И. И. Александрова („Мат. Обр.“ № 6. 1913): „Конструктивныя задачи съ неприступными точками“, мнѣ хотѣлось бы обратить вниманіе любителей геометріи на одинъ изъ послѣднихъ выпусковъ издаваемой W. Lietzmann’oмъ и А. Witting’омъ серіи „Mathematische Bibliothek“, именно: Р. Zühlke Konstruktionen in begrenzter Ebene, L. 1913, въ которой авторъ разсматриваетъ аналогичныя задачи. Библіографіи онъ въ ней, сочиненьицѣ популярномъ, не приводитъ, отсылая къ своей болѣе ранней работѣ: Ausführung elementargeometrischen Konstructionen bei ungünstigen Lageverhältnissen. Leipzig. 1906.

Пользуюсь случаемъ, чтобы обратить вниманіе и еще на одну очень интересную книжечку этой серіи: W. Lietzmann и. V. Trier: Wo steckt der Fehler? Первая часть ея посвящена ложнымъ выводамъ (Trugschlüsse) или софизмамъ и обработана Лицманномъ, вторая, обработанная Trier’омъ, даетъ собраніе ошибокъ, дѣйствительно сдѣланныхъ учениками. И то и другое очень поучительно и часто забавно. Цѣль, конечно,—по крайней мѣрѣ первой части,—аналогична Обреимовскимъ—„Математическимъ софизмамъ“.

Д. Синцовъ.

Новыя книги.

В. Каспарьянцъ. Учебникъ теоретической ариѳметики. Изд. 2-е, исправл. М. 1913.

Н. Извольскій. Геометрія въ пространствѣ (стереометрія). Изд. 2-е. М. 1913. Ц. 65 к.

Нижегородскій Кружокъ любителей физики и астрономіи. 1883— 1913. Нижн.-Новг. 1913.

И. Теръ-Степановъ. Опытъ графическихъ упражненій на дроби (курсъ пропедевтическій). Спб. 1914. Ц. 45 к.

А. Казаровъ. Сборникъ задачъ по аналитической геометріи на плоскости (примѣнительно къ курсу сред. учеб зав.) Изд. 3-е. Ейскъ. 1913. Ц. 50 к.

Проф. Э. Гримзель. Избранныя работы по физикѣ для учениковъ средн, школы. Пер. Е. и Н. Кашины. Изд. И. Д. Сытина. М. 1914. Ц. 30 к.

А. I. Бачинскій. Ученіе о силахъ и о движеніи. Съ предисл. проф. Н. Е. Жуковскаго. Изд. И. Д. Сытина. М. 1914. Ц. 1 р.

Г. Дресслеръ. О наглядныхъ пособіяхъ по математикѣ. Пер. подъ ред. и съ дополн. А. А. Волкова. Изд. И. Д. Сытина. М. 1914. Ц. 50 к.

С. П. Виноградовъ. Повторительный курсъ алгебры (для старшихъ классовъ среди, учеб. завед.) Изд. И. Д. Сытина. М. 1914. Ц. і р. 50 к

Физика. Журналъ Моск. Общ. изученія и распространенія физич. наукъ. М. 1913. №№ 2 и 3.

*) Курсивъ нашъ.

Отвѣтственный редакторъ I. И. Чистяковъ