Математическое Образованіе.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка.

Годъ второй.

№ 8.

Декабрь 1913 г.

МОСКВА.

ИЗЪ РЕДАКЦІИ ЖУРНАЛА

„Математическое Образованіе“

можно выписывать портреты:

Анри Пуанкаре, И. Бернулли,

Л. Эйлеръ,

Лобачевскаго,

Лагранжа,

С. Ковалевской, Фермата.

фототипія

фото-тинто - гравюра

размѣромъ....... 38 X 29 сант.

Цѣна съ пересылкой заказной бандеролью:

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

„Математическое Образованіе“

Декабрь 1913 г. Годъ 2-й. № 8.

СОДЕРЖАНІЕ: О множествѣ раціональныхъ чиселъ.— Б. К Млодзѣевскій. Методъ инверсіи или обратныхъ фигуръ.—И. И. Александровъ. Задача Кастильона — М. А. Орбекъ. Нѣкоторыя замѣчанія о характерѣ работъ, исполненныхъ учениками гимназій на испытаніяхъ зрѣлости въ Харьковскомъ Учебномъ Округѣ за 1907—1913 г.—Ц. Руссьянъ. Промежуточная лицейская ступень между средней и высшей школами.—П. А. Некрасовъ. Задачи. Рѣшенія задачъ. Библіографическій отдѣлъ. Засѣданія Московскаго Математическаго Кружка. Опредѣленія Ученаго Комитета Министерства Народнаго Просвѣщенія. Новыя книги.

О множествѣ раціональныхъ чиселъ.

Б. Млодзѣевскій. Москва.

Съ семидесятыхъ годовъ прошедшаго столѣтія Georg Cantor распространилъ понятіе о численности множества, т. е. собранія отдѣльныхъ вещей—элементовъ этого множества—на множества безконечныя. Безконечными множествами называются множества, превосходящія по количеству своихъ элементовъ всякое натуральное число; таковы множества всѣхъ цѣлыхъ чиселъ, множество всѣхъ дѣйствительныхъ (вещественныхъ) чиселъ, множество всѣхъ точекъ любого отрѣзка прямой или кривой, множество всѣхъ точекъ пространства и многія другія. Чтобы сравнивать между собою численности двухъ безконечныхъ множествъ, необходимо прежде всего распространить на эти множества понятіе равенства. Два безконечныя множества называются равными, или эквивалентными (равносильными), если элементы одного множества могутъ быть приведены во взаимно-однозначное соотвѣтствіе съ элементами другого множества такъ, чтобы ни въ одномъ изъ двухъ множествъ не оставалось лишнихъ, свободныхъ элементовъ. Очевидно, что это опредѣленіе содержитъ въ себѣ и опредѣленіе равенства конечныхъ множествъ, такъ какъ очевидно, что и элементы двухъ равныхъ конечныхъ множествъ,

напр. пальцы обѣихъ рукъ, могутъ быть приведены въ полное взаимнооднозначное соотвѣтствіе. Установивъ понятія равенства, или эквивалентности, безконечныхъ множествъ, мы можемъ распространить на нихъ и понятіе численности. Подобно тому, какъ всѣмъ конечнымъ множествамъ, равнымъ между собою, соотвѣтствуетъ одно и то же натуральное число, такъ всѣмъ безконечнымъ множествамъ, эквивалентнымъ между собою, соотвѣтствуетъ одна и та же мощность, или трансфинитное (количественное) число (трансфинитныя порядковыя числа имѣютъ совершенно другое значеніе).

До введенія понятія о различныхъ мощностяхъ безконечныхъ множествъ, всѣ такія множества не были различаемы между собою по особенностямъ ихъ состава и опредѣлялись только отрицательно, какъ мощности не конечныя, не выразимыя натуральными числами. Съ введеніемъ этого новаго понятія явилась возможность распредѣлить всѣ разнообразныя безконечныя множества на системы множествъ эквивалентныхъ, т. е. такихъ, которымъ соотвѣтствуетъ одна и та же мощность. При этомъ выяснилось, что безконечныя множества обладаютъ существенно различными свойствами, въ зависимости отъ ихъ мощности. Такимъ образомъ создалась, съ одной стороны, теорія безконечныхъ множествъ, а съ другой—теорія трансфинитныхъ чиселъ.

Одна изъ наиболѣе существенныхъ особенностей, которыми безконечныя множества отличаются отъ конечныхъ, состоитъ въ томъ, что тогда какъ конечное множество не можетъ быть равночисленно никакой своей части, въ безконечномъ множествѣ могутъ содержаться части, эквивалентныя ему самому. Одинъ изъ простѣйшихъ и часто встрѣчающихся примѣровъ такой эквивалентности между цѣлымъ множествомъ и его частью — слѣдующій. Возьмемъ безконечное множество всѣхъ натуральныхъ чиселъ

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... .

и выдѣлимъ изъ него множество всѣхъ четныхъ чиселъ

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 ... .

Послѣднее множество, очевидно, представляетъ только часть перваго, и тѣмъ не менѣе, легко видѣть, что оба множества эквивалентны; для этого стоитъ только каждому члену п перваго множества считать соотвѣтствующимъ во второмъ множествѣ число 2п; тогда числу 1 перваго множества будетъ соотвѣтствовать во второмъ число 2, числу 2—число 4 и т. д. Очевидно, что такое

взаимно однозначное соотвѣтствіе между элементами обоихъ множествъ, будетъ полнымъ, т. е. ни въ одномъ изъ множествъ не будетъ свободныхъ элементовъ, а это показываетъ что оба множества, цѣлое и его часть, эквивалентны и имѣютъ одну и ту же мощность, или говоря общежитейскихмъ языкомъ, однихъ четныхъ чиселъ столько же, сколько всѣхъ чиселъ вмѣстѣ, четныхъ и нечетныхъ.

Изъ этого свойства безконечныхъ множествъ слѣдуетъ, что положеніе „цѣлое больше своей части“, вѣрное для конечныхъ множествъ, не всегда вѣрно для множествъ безконечныхъ, такъ какъ для нихъ цѣлое и часть могутъ быть эквивалентными. Невниманіе къ этой особенности безконечныхъ множествъ часто служитъ источникомъ математическихъ ошибокъ и софизмовъ. Въ области безконечныхъ множествъ понятія больше и меньше имѣютъ другое, болѣе широкое, но чисто отрицательное опредѣленіе. Если два безконечныхъ множества не эквивалентны, но второе эквивалентно части перваго, то говорятъ, что первое множество больше второго, или что мощность перваго множества больше мощности второго.

Наименьшая мощность, или наименьшее трансфинитное число, принадлежитъ множеству всѣхъ натуральныхъ чиселъ. Множества эквивалетныя множеству натуральныхъ чиселъ, и слѣдовательно, имѣющія съ нимъ одну и ту же мощность, называются множествами счетными, или исчислимыми. Ихъ особенность, вытекающая изъ самаго ихъ опредѣленія, состоитъ въ томъ, что всѣ элементы счетнаго множества можно перенумеровать, т. е. связать каждый элементъ множества съ нѣкоторымъ натуральнымъ числомъ. Понятно, что элементы каждаго счетнаго множества мы можемъ нумеровать безчисленными способами. Перенумеровавъ однимъ способомъ, мы можемъ затѣмъ переставлять нумера какъ угодно. Канторъ показалъ, что къ счетнымъ множествамъ принадлежатъ множество всѣхъ раціональныхъ чиселъ, и даже множество всѣхъ алгебраическихъ чиселъ, т. е. множество корней всѣхъ алгебраическихъ корней съ цѣлыми коэффиціентами. Напротивъ, множество всѣхъ дѣйствительныхъ чиселъ, какъ раціональныхъ такъ и ирраціональныхъ,—не счетное, а имѣетъ болѣе высокую мощность; оно эквивалентно напр. множеству всѣхъ точекъ прямолинейнаго отрѣзка. Отсюда, между прочимъ, слѣдуетъ, что нѣтъ возможности отмѣтить разными нумерами всѣ точки прямолинейнаго отрѣзка.

Послѣ множества натуральныхъ чиселъ, самымъ простымъ счетнымъ множествомъ является множество всѣхъ раціональныхъ

чиселъ, цѣлыхъ и дробныхъ. На первый взглядъ представляется невѣроятнымъ, чтобы можно было перенумеровать всѣ раціональныя числа, особенно если подумать о томъ, что уже между каждыми двумя послѣдовательными цѣлыми числами содержится безконечное множество дробныхъ чиселъ, Кромѣ того, очевидно, что если бы мы захотѣли нумеровать раціональныя дроби въ порядкѣ ихъ величины, то это оказалось бы невозможнымъ: если бы мы даже произвольно намѣтили первую дробь, то второй бы не нашлось, потому что нѣтъ дроби, которая бы по своей величинѣ непосредственно слѣдовала за данною. Тѣмъ не менѣе, какъ показалъ Канторъ, раціональныя дроби образуютъ счетное множество, ихъ можно перенумеровать, но, конечно, не въ порядкѣ ихъ величины.

Методъ Кантора состоитъ въ слѣдующемъ. Расположимъ всѣ дроби, сократимыя и несократимыя, въ таблицу по порядку возрастанія ихъ числителей и знаменателей, при чемъ будемъ помѣщать въ одной строкѣ дроби съ одинаковыми числителями, а въ одномъ столбцѣ дроби съ одинаковыми знаменателями. Мы получимъ слѣдующую таблицу.

Будемъ теперь размѣщать числа этой таблицы въ рядъ по слѣдующему закону. На первомъ мѣстѣ поставимъ у. Затѣмъ беремъ слѣдующее число первой строки и, опускаясь въ слѣдующую строку по наклонной линіи влѣво, находимъ у. Возвращаемся снова на верхнюю строку, получаемъ —, и опускаясь

по наклонной линіи влѣво, имѣемъ послѣдовательно — и точно также находимъ затѣмъ —, —, —, — и т. д.

Если расположимъ такимъ образомъ всѣ числа въ одинъ рядъ, опустивъ всѣ сократимыя дроби, и помѣстимъ подъ этимъ рядомъ рядъ натуральныхъ чиселъ, то получимъ

Очевидно, что, поступая такимъ образомъ, мы перенумеруемъ всѣ раціональныя числа.

Хотя методъ Кантора и доказываетъ съ полною ясностью счетный характеръ множества раціональныхъ чиселъ, но съ практической стороны онъ неудобенъ. Причина этого неудобства въ томъ, что въ таблицѣ Кантора каждая дробь появляется не только въ своемъ простѣйшемъ, приведенномъ видѣ, но также и въ видѣ сократимыхъ дробей; такъ мы имѣемъ въ этой таблицѣ, кромѣ —, еще ^ и т. д., такъ что, располагая затѣмъ дроби въ одинъ рядъ, мы принуждены выбрасывать всѣ сократимыя дроби, потому что они уже встрѣчались раньте въ другомъ видѣ. Поэтому зависимость между величиною дроби и ея мѣстомъ въ рядѣ, а слѣдовательно и ея нумеромъ, усложняется, и если мы хотимъ узнать, какой нумеръ соотвѣтствуетъ данной дроби въ рядѣ Кантора, то мы должны составить весь рядъ съ начала до тѣхъ поръ, пока не встрѣтимъ этой дроби. Обратно, если мы хотимъ узнать, какая дробь соотвѣтствуетъ данному нумеру, то должны точно также составить весь рядъ Кантора до этого нумера.

Этотъ недостатокъ устранилъ въ 1905 году Faber въ статьѣ, напечатанной въ 60 томѣ журнала Mathematische Annalen. Въ ней онъ далъ очень остроумный методъ нумераціи раціональныхъ чиселъ. По этому методу, раціональныя числа можно перенумеровать такимъ образомъ, что для каждаго раціональнаго числа можно найти его нумеръ непосредственно, не составляя ряда и не вычисляя нумеровъ какихъ нибудь другихъ чиселъ, и обратно, мы можемъ по данному нумеру прямо найти соотвѣтствующее ему число.

Методъ Фабера примѣняется непосредственно къ нумераціи не множества всѣхъ раціональныхъ чиселъ, а множества раціо-

нальныхъ чиселъ, заключающихся между нулемъ и единицею, т. е. множества правильныхъ дробей. Ниже мы увидимъ, какъ этотъ методъ можно приложить и къ нумераціи всѣхъ раціональныхъ чиселъ.

Покажемъ, въ чемъ состоитъ методъ Фабера для нумераціи правильныхъ дробей. Будемъ обозначать черезъ п! произведеніе ряда натуральныхъ чиселъ, или факторіалъ, 1.2.3 .... w. Дробь

будемъ называть факторіальною дробью; факторіальная дробь будетъ называться элементарною факторіальною дробью, если ея числитель а меньше числа п, послѣдняго множителя въ знаменателѣ.

Пусть будетъ х положительная правильная дробь. Докажемъ, что дробь X можетъ быть представлена единственнымъ образомъ, какъ сумма конечнаго числа элементарныхъ факторіальныхъ дробей

причемъ нѣкоторые изъ числителей аг, п2... могутъ быть равны нулю. Будетъ обозначать цѣлую часть числа А черезъ Е(А). Тогда будемъ имѣть

2х = Е(2х) -f* хх

здѣсь Е(2х)—цѣлая часть числа 2х, а хх—правильная дробь или нуль. Такъ какъ я<Д, то 2.r<2, а слѣдовательно и Е{2х)<^2 Поэтому, полагая Е(2х) = а1 будемъ имѣть

Точно также будемъ имѣть

Зхх = Е(3х1) + #2,

или, полагая Е(3х) = х2

Продолжая такимъ образомъ, мы наконецъ представимъ х въ видѣ суммы элементарныхъ факторіальныхъ дробей

Что рядъ, стоящій во второй части будетъ конечнымъ, т. е. что мы непремѣнно дойдемъ до остатка хп равнаго нулю, въ этомъ можно убѣдиться, опредѣляя числителей аѵ а2... «„.^начиная не съ перваго, какъ мы это дѣлали сейчасъ, а съ послѣдняго. Пусть X равно несократимой дроби Среди факторіаловъ «! навѣрное будетъ такой, который будетъ дѣлиться на цѣлое число q. Если q—число простое то это будетъ притг = д, если же q—число составное, то это будетъ и при нѣкоторомъ n<^q. Пусть будетъ п\ наименьшій факторіалъ, дѣлящійся на q. Представимъ х==~ въ видѣ

гдѣ Іп — цѣлое число, очевидно, не дѣлящееся на п, такъ какъ въ противномъ случаѣ мы могли бы сократить дробь на п, и факторіалъ (п — 1)! дѣлился бы на q} что противно предположенію. Дѣля Іп на п, будемъ имѣть

и слѣдовательно

Такимъ образомъ мы разложили х на элементарную факторіальную дробь и на дробь ) ! съ меньшимъ факторіальнымъ

знаменателемъ. Продолжая этотъ процессъ, надъ дробью - ч-. мы, очевидно, разложимъ наконецъ х на сумму конечнаго числа элементарныхъ факторіальныхъ дробей.

Легко видѣть, что всякая правильная дробь можетъ быть разложена на элементарныя факторіальныя дроби только однимъ способомъ. Въ самомъ дѣлѣ, пусть мы имѣемъ

Докажемъ, что а1 = Ъѵ а2 = Ъ2 . . . . ап = Ъп. Помножимъ обѣ части на (п — 1)! Тогда очевидно, что въ обѣихъ частяхъ всѣ дроби, кромѣ послѣднихъ, обратятся въ цѣлыя числа, а послѣд-

нія дроби обратятся въ дроби^^Л, Такъ какъ эти дроби правильныя, а остальныя слагаемыя цѣлыя, то отсюда слѣдуетъ ап^г =Ьп-ѵ Отбрасывая въ общихъ частяхъ равенства равныя дроби — и, повторяя то же разсужденіе, получимъ а* _ 2 = Ь* - 2 и т. д.

Разложимъ, напримѣръ, на элементарныя дроби дробь —.

Имѣемъ

и отсюда

Разсмотрѣвъ разложеніе правильныхъ дробей на факторіальныя, покажемъ теперь, что натуральныя числа могутъ быть такимъ же образомъ разложены на суммы факторіаловъ. Пусть будетъ у натуральное число. Докажемъ, что его можно представить въ видѣ конечной суммы факторіаловъ

У = ~~Ь Ъ2.2! -f- &з . 3! -f- . . . . -|- Ъп _ і . (п — 1)!

причемъ

ЬI 2, Ь2 < 3 . . . Ъп _ j и.

Раздѣлимъ у на 2, и обозначимъ частное черезъ уъ а остатокъ черезъ \\ получимъ

У = \ + 2уу, by <2.

Точно также, дѣля ух на 3, найдемъ У y ~ h + 32/2ï Ь2<3,

и отсюда

у = Ь1-\-Ъ2.2! Д-у2.3!

Поступая такимъ же образомъ дальше, мы получимъ вышеуказанное разложеніе числа у. Оно будетъ несомнѣнно конечнымъ, такъ какъ факторіалъ п\ съ возрастаніемъ п растетъ неограниченно и потому когда нибудь сдѣлается больше у.

Легко видѣть и здѣсь, что каждое натуральное число можетъ быть при указанномъ условіи для коэффиціентовъ Ъ разложено на факторіалы только однимъ способомъ. Если бы мы имѣли

то, дѣля все на 2!, мы найдемъ, что всѣ слагаемыя, кромѣ первыхъ, останутся цѣлыми, а первыя слагаемыя обратятся въ правильныя дроби , откуда слѣдуетъ Ъх = аѵ Отбрасывая эти члены и дѣля предыдущее равенство на 3!, мы такимъ же образомъ найдемъ Ъ2 -= а2 и т. д.

Разложимъ, напримѣръ, 1373. Имѣемъ

1373 = 1 + 2.686, 686 = 2 + 3.228, 228 = 0 + 4.57, 57 = 2 + 5. 1 і,

11 = 5 + 6. 1,

и отсюда

1373 = 1. 1! + 2. 2! + 0. 3! + 2. 4! + 5. 5! + 1. 6!

Переходимъ теперь къ самому методу Фабера.

На основаніи разсмотрѣнныхъ выше разложеній, каждой правильной дроби X соотвѣтствуетъ вполнѣ опредѣленный рядъ цѣлыхъ чиселт

#і, о2 .... (іп — Q>k ■*+ ^ “I- 1

и каждому натуральному числу у также соотвѣтствуетъ опредѣленный рядъ натуральныхъ чиселъ

+ Ъ2 . . . Ь* bk </с+*1.

Отсюда является возможность установить полное взаимно однозначное соотвѣтствіе между правильными дробями и натуральными числами, считая дробь х и натуральное число у взаимно соотвѣтствующими, если ряды аъ а2, ан^.1 и Ьх, Ъ2 ... Ъп-ъ соотвѣтствующіе этимъ двумъ числамъ, будутъ одинаковыми. Такъ, обращаясь къ найденному выше разложенію дроби —, мы найдемъ, что ей соотвѣтствуетъ число

1. 1! + 0. 2! + 3. 3! +1.4! = 43.

Точно также, имѣя выше разложеніе натуральнаго числа 1373, получимъ, что ему соотвѣтствуетъ правильная дробь

На этихъ примѣрахъ ясно видны достоинства метода Фабера. Имѣя дробь, мы по этому методу прямо находимъ соотвѣтствующій нумеръ и обратно, и такимъ образомъ не только убѣждаемся въ томъ, что правильныя дроби образуютъ счетное мно-

жество, но и устанавливаемъ прямую связь между элементами этого множества и натуральными числами.

Вотъ таблица правильныхъ дробей, соотвѣтствующихъ въ системѣ Фабера первымъ десяти числамъ:

Методъ Фабера въ томъ видѣ, въ какомъ онъ данъ его авторомъ, позволяетъ перенумеровать всѣ правильныя дроби; но нетрудно примѣнить этотъ методъ и ко всѣмъ положительнымъ раціональнымъ числамъ, т.-е. установить соотвѣтствіе между этими числами и рядомъ натуральныхъ чиселъ. Пусть будетъ х положительное раціональное число. Положимъ

Очевидно, что х будетъ правильною дробью. Если мы установимъ между правильными дробями х и натуральными числами соотвѣтствіе по методу Фабера, и будемъ теперь приписывать каждому числу х’ тотъ нумеръ, который принадлежитъ соотвѣтствующему числу X, то мы, очевидно, перенумеруемъ всѣ положительныя раціональныя числа.

Напримѣръ, числу х = 6— соотвѣтствуетъ х = —. Разлагая послѣднее число на факторіальныя дроби, получимъ

и отсюда

у = 1. 1! + 2. 2! + 0. 3! + 4. 4! = 101

Такимъ образомъ, по этому методу, числу 6Ѵ2 соотвѣтствуетъ нумеръ 101. Здѣсь первые десять нумеровъ принадлежатъ слѣдующимъ числамъ

Понятно, что при этой нумераціи правильныя дроби получатъ уже не тѣ нумера, какія раньте; легко убѣдиться, что имъ здѣсь будутъ соотвѣтствовать только четные нумера, такъ какъ

если х' есть правильная дробь, то соотвѣтствующее х меньше 1/2. Такъ, когда мы нумеровали одни только правильныя дроби, то числу ж——соотвѣтствовалъ нумеръ г/=1. і! +2. 2! + 1. 3! = 11. Между тѣмъ, если мы нумеруемъ всѣ положительныя раціональныя числа, то числу х'= — соотвѣтствуетъ х= — = 2І~^3! ”^4І~^5Р а этому п°слѣднему нумеръ */= 0.1!+ 2. 3!-f-+ 3.4!+ 1.5! =204.

Наконецъ, мы можемъ примѣнить методъ Фабера и къ нумераціи всѣхъ раціональныхъ чиселъ, положительныхъ и отрицательныхъ, присоединивъ къ нимъ и нуль. Это можно сдѣлать, напримѣръ, слѣдующимъ образомъ. Припишемъ нулю нумеръ 1, Далѣе, если х" есть какое-нибудь раціональное число, положительное или отрицательное, то обозначимъ черезъ х* его абсолютную величину и найдемъ по предыдущему способу нумеръ, соотвѣтствующій этому числу х'. Чтобы затѣмъ найти нумеръ, соотвѣтствующій числу хп, поступимъ такъ: если число х" положительное, то его нумеръ получимъ, удвоивъ найденное число у\ если же хѵ отрицательное, то къ удвоенному у прибавимъ еще единицу. Такимъ образомъ, всѣмъ положительнымъ числамъ будутъ соотвѣтствовать четные нумера, а отрицательнымъ—нечетные. Напримѣръ, мы видѣли выше, что при нумераціи однихъ положительныхъ чиселъ числу х'= 6 Ѵ2 соотвѣтствуетъ у = 101. Поэтому, при нумераціи всѣхъ раціональныхъ чиселъ числу х"=- 6х/2 будетъ соотвѣтствовать нумеръ 202, а числу—6^2 нумеръ 203.

Точно также, напримѣръ, числу—— будетъ соотвѣтствовать нумеръ 409. Здѣсь первые десять нумеровъ будутъ слѣдующіе

Изъ предыдущаго видно, что методъ Фабера не только доказываетъ эквивалентность множества раціональныхъ чиселъ съ множествомъ чиселъ натуральныхъ, но и даетъ простой способъ практическаго осуществленія этой эквивалентности. То обстоятельство, что раціональныя числа, которыхъ, на первый взглядъ, безконечно больше, чѣмъ цѣлыхъ, тѣмъ не менѣе могутъ быть перенумерованы, то-есть поставлены въ однозначное соотвѣтствіе съ цѣлыми числами, объясняется, какъ мы видѣли выше, тѣмъ, что

понятія больше и меньше имѣютъ для безконечныхъ множествъ иной смыслъ, чѣмъ для конечныхъ. Говоря объ множествѣ чиселъ раціональныхъ и чиселъ цѣлыхъ, мы должны сказать, что ни одно изъ нихъ не больше и не меньше другого. Эти два множества эквивалентны и имѣютъ одну и ту же мощность, Въ этомъ смыслѣ можно сказать, что дробныхъ чиселъ столько же, сколько и цѣлыхъ.

Методъ инверсіи или обратныхъ фигуръ1).

И. Александровъ. Москва.

Имѣемъ кривую М и неподвижную точку К—начало или центръ инверсіи. Если возьмемъ на кривой М точку А и на прямой КА (чер. 1) опредѣлимъ точку А1 такъ, чтобъ абсолютное

значеніе КА. КАХ = /е2, гдѣ k есть постоянная длина, то при движеніи точки А по кривой М точка Аг опишетъ новую кривую X. которая называется обратною (инвертированной) кривой М. Кривая М иногда называется основною, точки А, А1 называются соотвѣтственными, 1с2 — степенью инверсіи.

Если начало К—по одну сторону соотвѣтственныхъ точекъ, то степень к2 употребляютъ со знакомъ (-f-); если же начало лежитъ между соотвѣтственными точками, то степень кг употребляютъ со знакомъ ( — ), потому что АК и АХК имѣютъ противные знаки,

Черт. 1.

1) Насколько можно было судить, методъ инверсіи распространенъ у насъ очень мало, даже и среди преподавателей. Между тѣмъ этотъ методъ, помимо своего интереса и силы, даетъ нѣкоторымъ задачамъ рѣшенія почти исключительной красоты, а затѣмъ, какъ уже показываютъ работы Адлера этому методу, по всей вѣроятности, предстоитъ широкая будущность.

Въ частности, ко мнѣ обращались многіе любители за разрѣшеніемъ, напр., задачи Кастильона, но не было возможности удовлетворить ихъ желанію, не сообщая теоріи инверсіи. При составленіи этой записки я пользовался трудами Петерсена, Адлера, Вебера и Rouché’et Comberousse (послѣд. изданіе).

Если точка JL двигается по кривой М, удаляясь отъ начала, то соотвѣтственная ей точка Аг, будетъ двигаться, приближаясь къ началу, и обратно. Затѣмъ очевидно, если точка Аг станетъ двигаться по кривой ІѴ, то, при условіи КА. КАг = к2, точка А станетъ описывать кривую М. Слѣд,, кривыя М и N суть взаимно обратныя кривыя. Легко доказать слѣдующія теоремы, справедливыя для всякой степени, независимо отъ ея знака.

А. Кривая, обратная прямой, проходящей черезъ начало инверсіи, есть сама данная прямая.

B. Кривая, обратная прямой, не проходящей черезъ начало инверсіи, есть окружность, проходящая черезъ начало инверсіи.

Въ самомъ дѣлѣ, если (чер. 2) Л и А1 суть соотвѣтственныя точки, KB _J_ CD и Вг—точка, соотвѣтственная В, то КА.КАг= КВ. КВѴ и А КАВ сг> KAtBv откуда вытекаетъ, что /_ КА1В1 = 90°. Прямыя AB и А1В1 мы будемъ называть антипараллельными.

C. Кривая, обратная окружности, проходящей черезъ центръ инверсіи, есть прямая (обратно съ предыд).

D. Кривая, обратная окружности, не проходящей черезъ центръ инверсіи, есть окружность, при чемъ начало инверсіи совпадаетъ съ центромъ подобія окружностей (внѣшняго или внутренняго). При этомъ соотвѣтственными точками будутъ тѣ, которыя въ ученіи о центрѣ подобія круговъ называются несоотвѣтственными. Въ самомъ дѣлѣ, если имѣемъ (чер. 3) двѣ неподвижныя окружности, О и Oj, и ихъ центръ подобія К, то извѣстно, что АК.А1К=ВК.В1К= CK.C1K=DK. D1K = KL. KL, = постоянной h2. Допустимъ, что точка, обратная точкѣ А, при степени обращенія k2, не лежитъ на окружности О, — сейчасъ же выйдетъ нелѣпость. Замѣтимъ, что центры О и Ог не представляютъ двухъ соотвѣтственныхъ точекъ.

Для черченія обратныхъ кривыхъ употребляется особый приборъ инверторъ (inverseur).

Инверторъ Peaucellier. состоитъ (чер. 4) изъ четырехъ, скрѣпленныхъ шарнирами, равныхъ линеекъ, образующихъ ромбъ

Черт. 2.

Черт. 3.

A1XAY.; къ нимъ на шарнирахъ прикрѣплены равныя линейки КХ и KY. Въ К—остріе, въ А и А1 — карандаши. Если точку К закрѣпить, точку же Ах двигать по кривой BXAX (напримѣръ, по окружности КА1-В1), то А будетъ двигаться по обратной кривой, въ данномъ случаѣ по Aß J^AK, и обратно.

Въ самомъ дѣлѣ АК. А1К=К02— АО2 = КХ1 — АХ2 = постоянной к2. Если Ах перемѣстится въ Вѵ то А перейдетъ въ /У, и будемъ имѣть также КВ. КВ1 = к2. Остальное сходно съ теоремой В.

Въ данномъ случаѣ степень инверсіи равна КХ2 — АХ2. Для того, чтобы ее мѣнять, линейки КХ и KY дѣлаются раздвижными. Легко подобрать длину КХ такъ, чтобъ КХ2 = АХ2 -}■• к2. Инверторъ математика Hart состоитъ изъ четырехъ линеекъ DE=FG и EG =-= DF, скрѣпленныхъ шарнирами D, Æ7, F, — би образующихъ равнобокую трапецію (чер. 4). Карандаши находятся въ и А — точкахъ пересѣченія діагоналей съ воображаемой медіаной КМ; въ точкѣ К—остріе.

Пусть X и Y суть середины воображаемыхъ сторонъ EF и DG. Тогда получаемъ подвижной ромбъ A1XAY и вопросъ сведенъ къ предыдущему1). Степень обращенія КА. КАХ — КХ2 — А1Х2 будетъ въ 4 раза меньше EG2 — DE2.

Е. Если двѣ кривыя пересѣкаются или касаются, то обратныя имъ кривыя пересѣкаются или касаются въ соотвѣтственной точкѣ, потому что общая точка первыхъ кривыхъ должна лежать на

Черт. 4.

1) Замѣчаніе молодого математика М. А. Орбекъ.

обѣихъ обратныхъ кривыхъ. Наоборотъ, непересѣкающіяся кривыя послѣ инверсіи даютъ тоже непересѣкающіяся кривыя, за исключеніемъ того случая, когда обратныя кривыя проходятъ черезъ начало инверсіи. Напр., двѣ параллели послѣ инверсіи превращаются въ двѣ касательныя окружности—точка касанія въ началѣ инверсіи.

G. Уголъ пересѣченія двухъ кривыхъ2) равенъ углу пересѣченія обратныхъ кривыхъ, но противоположенъ ему по знаку. Пусть М и N будутъ данныя кривыя (чер. 5), Мх и Nx—имъ обратныя, А и Аи В и Вг — двѣ пары соотвѣтственныхъ точекъ, дающихъ одинъ лучъ КАВВ1А1. Точка пересѣченія кривыхъ С при инверсіи переходитъ въ Сѵ Отмѣтимъ любопытное явленіе. Въ промежуткѣ С1КМ1 соотвѣтственныя точки кривыхъ М и Мг по мѣрѣ удаленія ихъ отъ С и С\ удаляются другъ отъ друга; соотвѣтственныя точки кривыхъ N и Nx въ томъ же промежуткѣ приближаются другъ къ другу. Это естественно вытекаетъ изъ равенствъ АК. АХК—ВК. В1К=к2. Какъ показано въ теор. В отрѣзки С А СгАг, точно также, какъ СВ и С1ВІ1 антипараллельны, и потому /_КСВ = /_ КВгСІ9 Z КС А = / КА1СІ\ слѣд., / АС В = /_ КВ%СѴ — /_КАХС= /_ В1С1А1. Съ приближеніемъ А и В къ Gj, точки А1 и С\ стремятся безпредѣльно къ Сѵ равенство же угловъ АС В и А1С1В1, въ силу принципа непрерывности, будетъ сохраняться, и перейдетъ въ равенство угловъ между касательными къ кривымъ, проведеннымъ въ точкахъ С и Ct. Далѣе мы видимъ, что хорда СА можетъ перейти въ СВ вращеніемъ около С по направленію, обратному часовой стрѣлкѣ; тогда хорда СХАХ переходитъ въ CtBt вращеніемъ около Сх по обратному направленію; слѣд., /_ АСВ и А[С1В1, какъ и углы между касатель-

Черт. 5.

2) Угломъ пересѣченія двухъ кривыхъ называется уголъ между касательными, проведенными въ точкѣ встрѣчи.

ными, должны имѣть противоположные знаки. И такъ инверсія двухъ кривыхъ не мѣняетъ величины угла, подъ которымъ эти кривыя пересѣкаются; она только мѣняетъ знакъ этого угла. Этотъ фактъ въ нѣкоторыхъ задачахъ пріобрѣтаетъ громадное значеніе.

Н. Четное число инверсій двухъ кривыхъ совершенно не мѣняетъ угла ихъ пересѣченія; нечетное число инверсій двухъ кривыхъ мѣняетъ только знакъ этого угла. Это—слѣдствіе изъ теор. в. Конечно, каждая инверсія при этомъ должна быть сдѣлана для обѣихъ кривыхъ съ одинаковымъ началомъ и степенью.

Пусть имѣемъ фигуру, состоящую изъ прямыхъ и окружностей. Если эту фигуру инвертировать, то прямыя и окружности превратятся въ извѣстныя прямыя и окружности, или въ одни окружности, которыя будутъ пересѣкаться подъ тѣми же углами, какъ и въ данной фигурѣ. Если какая нибудь точка данной фигуры представляла, наприм., вершину какого нибудь угла, то въ обратной фигурѣ она представитъ вообще точку пересѣченія окружностей, пересѣкающихъ подъ тѣмъ же угломъ. Словомъ обратная фигура (ее называютъ отображеніемъ данной фигуры) удерживаетъ до мельчайшихъ деталей своеобразное сходство съ данной фигурой3).

Зная отображенную фигуру и положеніе начала инверсіи, нерѣдко можно легко отгадать форму основной фигуры; что касается ея размѣра, то для этого нужно знать степень инверсіи. Такъ, напр., пусть дана отображенная фигура въ видѣ (чер. 6) равнобедреннаго прямоугольнаго А АВС съ полуокружностями ADC и ADB, діаметры которыхъ равны катетамъ АС и AB, при чемъ центръ инверсіи былъ въ А. Спрашивается, какова была основная фигура?

Прямая ВС была окружностью проходящей черезъ А, діаметръ ея равнялся какому нибудь отрѣзку АЕУ лежащему на AD; равныя

Черт. 6.

3) Необходимо однако помнить, что это характерное сходство во многихъ случаяхъ мы не можемъ выражать числами. Такъ, если въ данномъ А АВС извѣстны углы, периметръ и площадь, то онъ отобразится въ видѣ трехъ пересѣкающихся дугъ. Хорды этихъ дугъ мы можемъ вычислить, какъ показано ниже; но какой длинѣ равна сумма этихъ дугъ и какова будетъ площадь ими ограниченная, средствами элементарной математики вообще нельзя достигнуть. Въ вопросахъ этого рода нужна большая осторожность.

полуокружности AD В и ADC, пересѣкающіяся подъ прямымъ угломъ, очевидно, получились изъ равныхъ отрѣзковъ, пересѣкавшихся подъ прямымъ угломъ и. т. д. Найдемъ, что основной фигурой была окружность съ вписаннымъ въ нее квадратомъ1).

Изъ многихъ приложеній метода инверсіи мы пока остановимся на примѣненіи его къ рѣшенію квадратныхъ задачъ, т. е., задачъ, разрѣшимыхъ циркулемъ и линейкой. Эти задачи можно раздѣлить на три группы.

Первая группа. Въ задачахъ этого рода обратныя кривыя играютъ роль геометрическихъ мѣстъ. Начало и степень инверсіи въ этомъ случаѣ извѣстны.

Напримѣръ.

1. Даны: точка К и двѣ прямыя, AB и ВС (вообще двѣ кривыя). Провести сѣкущую KXY такъ чтобъ КХ. KY — k2 (k — есть данная длина,. чер. 7).

Рѣш. Искомая точка Y есть пересѣченіе ВА съ кривой, обратной ВС, при началѣ К и степени обращенія к2. Поэтому (теор. В) опускаемъ КL _[_ ВС, на ВС отложимъ LN = к и проводимъ MN_]_ LS до пересѣченія съ KL въ точкѣ М. Окружность, описанная на діаметрѣ МК, встрѣтитъ AB въ искомой точкѣ.

Одна изъ данныхъ кривыхъ въ этой задачѣ можетъ быть коническимъ сѣченіемъ и даже, впрочемъ въ очень рѣдкихъ случаяхъ, кривою высшаго порядка. Тогда вторую кривую надо выбирать осторожно, потому что можетъ быть случай неразрѣшимости задачи циркулемъ и линейкой. Напримѣръ:

2. Даны три точки А, В и С, такъ что точка С приходится на данной окружности О. Опредѣлить точку Хтакъ, чтобъ АХ-\- ВХ и СХ. С Y были данной величины (Y есть пересѣченіе GX съ окружностью).

Рѣш. Послѣ инверсіи относительно С данная окружность переходитъ въ прямую, а точки А и В—въ извѣстныя точки Ах

Чер. 7.

1) Вотъ еще примѣръ, который ниже годится для частныхъ случаевъ задачи Аполлонія. Нѣкоторая фигура отобразилась въ видѣ треугольника BCD съ четырьмя окружностями, касающимися его сторонъ; за начало инверсіи была взята точка А, лежащая внѣ /\BCD. Спрашивается, какова была основная фигура?

и Вг; задача приводится къ пересѣченію независимыхъ другъ отъ друга прямой и эллипса, слѣд., она должна рѣшаться циркулемъ и линейкой. Такъ оно и есть (№ 47, 48, ІУ, Александрова). Если же точка С не лежитъ на окружности О, то окружность послѣ инверсіи перейдетъ въ новую окружность (теорема D) и задача вообще не разрѣшима циркулемъ и линейкой.

Вторая группа. Въ задачахъ этой группы инвертируется нѣкоторая часть искомой фигуры (отрѣзокъ, точка или окружность); при этомъ теорія инвесріи, иногда въ соединеніи съ другими методами, часто укажетъ такую зависимость начала инверсіи отъ данныхъ и искомыхъ,, которая позволяетъ рѣшить задачу. Начало и степень инверсіи или даны, или должны быть цѣлесообразно выбраны. Задачи этого рода напоминаютъ третью группу задачъ на вращеніе—эти задачи разрѣшаются, если найти зависимость данныхъ и искомыхъ отъ центра вращенія. Въ выборѣ начала, степени и наконецъ, числа инверсій иногда встрѣчаются затрудненія. Примѣры.

3. Даны точки А, В и С. Черезъ В провести прямую такъ чтобъ разстоянія АХ и СУ отъ этой прямой удовлетворяли равенству АХ2 — СУ2 = к2 (чер. 8).

Чер. 8.

Рѣш. Изъ равенства (АХ-\- СУ) (АХ — СУ) = 1с2 вытекаетъ необходимость ввести въ чертежъ сумму и разность АХ л СУ. Поэтому переносимъ параллельно СУ въ ХСЪ & ВС повертываемъ на 180° около В въ положеніе BD и проводимъ !)^ || ВХ. Тогда ХУ1 = С1Х и АС1.АУ1 = к2. Если взять за начало инверсіи А и за степень ея — /с2, то Сг есть точка окружности, обратной прямой ВУр, діаметръ этой окружности равенъ АСѴ Такъ какъ точки D и J соотвѣтственныя, то AD.AJ =к2, что даетъ возможность

построить точку J. Тогда для опредѣленія точки Сх имѣемъ JUi _]_ AD и окружность, діаметръ которой равенъ АС1).

Лучшимъ типомъ задачъ этого рода служитъ знаменитая задача Кастильона. Существуютъ предубѣжденія относительно трудности этой задачи, но эта трудность не такъ велика, какъ обыкновенно думаютъ. Рѣшенія ея—во второй части оригинальное и, по нашему мнѣнію, болѣе естественное, чѣмъ у Адлера и Петерсена—изложено въ настоящемъ № журнала особою замѣткою авторомъ второй части рѣшенія, М. А. Орбекомъ.

Третья группа. Мы видѣли, что фигура, обратная данной, сохраняетъ до мельчайшихъ подробностей своеобразное сходство съ данной фигурой. Всякая задача на построеніе даетъ нѣкоторую фигуру, при чемъ нѣкоторые элементы этой фигуры неизвѣстны. Инвертируемъ всю эту фигуру. Тогда данныя и искомыя отобразятся извѣстнымъ образомъ, и часто можетъ случиться, что зависимость даннымъ и искомыхъ въ отображенной фигурѣ гораздо проще, чѣмъ въ основной фигурѣ. Тогда надо построить отображенную фигуру. Разъ построена отображенная фигура, то ее надо инвертировать обратно съ тѣми же началомъ и степенью инверсіи, Въ этомъ и состоитъ главная идея метода инверсіи. Разумный выборъ начала инверсіи играетъ существенную роль; есть случаи, которые разрѣшаются только предварительными изысканіями удобнаго положенія начала инверсіи (см. ниже задачу № 6). Степень инверсіи въ этомъ случаѣ обыкновенно бываетъ произвольною.

4. Черезъ данную точку провести окружность, пересѣкающую данныя двѣ окружности подъ опредѣленными углами.

Рѣш. Данную точку возьмемъ за начало инверсіи, степень выберемъ произвольно. Тогда данныя окружности превратятся въ новыя окружности, а искомая окружность превратится въ прямую, которая пересѣкаетъ (теор. 9) двѣ новыя окружности подъ извѣстными углами. Но уголъ прямой и окружности—опредѣляетъ длину хорды ихъ пересѣченія. Поэтому получается обще-

1) Это рѣшеніе принадлежитъ Д. Аитову (Парижъ) и отличается замѣчательною стройностью логики. Но есть другія рѣшенія. Изъ центровъ А л С начертимъ окружности радіусами R и Rt такъ, чтобъ R2 = Rx2 4- № и черезъ В проведемъ сѣкущую, опредѣляющую въ этихъ окружностяхъ равныя хорды (404, II моей книги). Авторъ стѣсняется дать опредѣленный терминъ этому методу, но имъ рѣшаются и другія задачи.

Самое короткое рѣшеніе указалъ М. А. Орбекъ. Продолжимъ (чер. 8) СУ до пересѣченія съ AL Ц ХУ. Тогда BL2 = ВУ2 + УЬ2 = ВС2 — СУ2 + АХ2— = &J2 -f" к2, и для точки L имѣемъ два геометр. мѣста.

извѣстная задача „данныя двѣ окружности пересѣчь прямою, такъ чтобъ въ каждой окружности получилась хорда данной длины". Послѣ рѣшенія1) этой задачи останется полученную прямую инвертировать обратно.

5. Задача Аполлонія. Провести окружность, касательную къ тремъ даннымъ окружностямъ.

Рѣш. Пусть искомая окружность (Х,У)2) и данныя окружности расположены, какъ показываетъ чер. 9. Взять начало инверсіи на искомой окружности такъ же трудно, какъ и рѣшить всю задачу. Если бы далѣе мы взяли центръ инверсіи гдѣ нибудь внѣ данныхъ окружностей, то всѣ четыре окружности отобразились бы въ окружностяхъ, и задача привелась бы сама къ себѣ. Также неудачна попытка взять начало инверсіи на одной изъ данныхъ окружностей—задача привелась бы къ проведенію окружности, касательной

Чер. 9.

1) См. № 166, II Александрова или № 116, р. 125 Давидова.

2) Согласно Адлеру символъ (X, У) обозначаетъ окружпость съ центромъ X, проходящую черезъ точку У; символъ {О,г) обозначаетъ окружность съ центромъ О и радіусомъ г.

къ даннымъ двумъ окружностямъ и прямой. Извѣстно, что можно, не мѣняя центра искомой окружности, концентрически расширять данныя окружности такъ, чтобъ двѣ изъ нихъ О и О, сдѣлались касательными въ с. Тогда третья окружность (Ö2,D) перейдетъ въ (02,Е), а искомая окружность перейдетъ въ (X,Z).

Инвертируемъ теперь всю фигуру, взявъ за начало С при произвольной степени инверсіи. Окружности (О,С), и (О^С) обратятся въ параллельныя прямыя PQ и MNy а окружность (02,£) отобразится въ окружности (£,17); искомая же окружность перейдетъ въ окружность (K,L), которая будетъ касаться къ прямымъ Q и N, а также окружности (5>,L7). Такимъ образомъ задача привелась къ очень легкой задачѣ „провести окружность, касательную къ двумъ параллелямъ и данной окружности“. Обратная инверсія полученной окружности (X,L) не представляетъ затрудненія. Частые случаи задачи Аполлонія разрѣшаются методомъ инверсіи чрезвычайно красиво.

Такъ, если данныя окружности пересѣкаются въ одной точкѣ, то, принявъ эту точку за начало инверсіи, задачу приведемъ къ извѣстной задачѣ „провести окружность, касательную къ сторонамъ даннаго треугольника“. Существуютъ и другія частные случаи, разрѣшающіеся съ большой изящностью. Теперь мы попробуемъ рѣшить задачу, болѣе общую, чѣмъ предыдущая.

6. Даны три непересѣкающіяся окружности. Провести окружность, пересѣкающую данныя окружности подъ данными углами.

Рѣш. Попытки найти надлежащее начало инверсіи въ этой задачѣ гораздо разностороннѣе, но безуспѣшность ихъ далеко не такъ очевидна, какъ въ предыд. задачѣ. Смущенная затрудненіями мысль ищетъ выхода, и представляется, что не лучше ли будетъ съ помощью инверсіи превратить данныя окружности въ равныя окружности. Оказывается, что не трудно подыскать такое начало инверсіи, которое отобразитъ данныя окружности въ извѣстныхъ равныхъ окружностяхъ1) Однако попытки разрѣшить

1) Эта задача рѣшена М. А. Орбекомъ слѣд. образомъ. Разстояніе двухъ инвертированныхъ (чер. 1 и 3) точекъ АДі = (АВ.к2) : [КА.КВ). Пусть двѣ окружности О ч. 01 радіусовъ R и R1 инвертируются въ равныя окружности (о и шІ9 К—начало инверсіи. Проведемъ лучи Кш и Kwv встрѣчающія окружности послѣдовательно въ Мц ATt. N. М и Ри Qb Q, Р. Тогда (MN.k2): (KM.KN) PQ.№:(KP.KQ). Но KM.KN=t2, KP.KQ = l2, гдѣ t и I суть касательныя изъ К къ окружностямъ О и Оѵ Такимъ образомъ R:t2 = R^.l2 и видно что К лежитъ на извѣстной окружности (Пржевальскій, № 512, Ш, р. 116). Если разсматривать двѣ другія окружности, то для точки К получимъ второе геометр. мѣсто. Съ помощью этой теоремы задача Аполлонія № 6 сводится къ проведенію окружности касательной къ тремъ равнымъ окружностямъ.

нашу задачу въ томъ случаѣ, когда данныя окружности равны, пока были безуспѣшны. Тогда появляется мысль—нельзя ли двѣ изъ данныхъ окружностей превратить инверсіей въ концентрическія окружности, — Такъ какъ третья окружность послѣ инверсіи отображается въ окружности, то это направленіе мысли разлагаетъ нашу задачу на слѣдующіе вопросы.

7. Для двухъ данныхъ эксцентрическихъ окружностей подыскать такую инверсію, которая превратила бы ихъ въ концентрическія (чер. 10).

Рѣш. Пусть окружности О и Ох при началѣ инверсіи К и степени k2 превращаются въ концентрическія окружности (со, Mx) и (со, ІѴ^). Пусть касательныя изъ центра инверсіи образуютъ /_ 0КМ = х и /_NK01=y, 001=(1. Тогда KM.KM1=KN.KN1 = k2 или Rctgx. rctgx = Rxctgy rrctgy, или Rctg2x. coK.Sinx = R^tg^y .coKSiny, откуда Rcos2x. Siny — RYcosy2. Sinx = 0, RSiny—RxSinx — RSin2x Siny — RxSin2y. Sinx или RSiny — R1 Sinx = Sinx Siny (RSinx — RpSiny)............................................(1)

Такъ какъ 001 = d, то

Уравненія (1) и (2) даютъ по сокращеніи на Sinx Siny, неравное нулю, d = RSinx — RxSiny.....................(3)

Рѣшеніе уравненій (2) и (3) приводитъ къ уравненію Sin2x-\-

Для непересѣкающихся окружностей это уравненіе всегда имѣетъ одинъ дѣйствительный корень, меньшій единицы.

8. Данныя двѣ концентрическія окружности О пересѣчь новою окружностью X такъ, чтобъ углы между окружностями были данные (чер. 11).

Рѣш. Пусть искомая окружность встрѣчаетъ данныя въ А и В. Углы О А X и ОВХ извѣстны, а І_ХАВ = =!_ХВА; слѣд., въ \АOB извѣстны двѣ стороны и разность противоположныхъ угловъ. Такой треугольникъ легко построить

Чер. 10.

Чер. 11.

(446, II, Алексадрова или 313, Петерсена) и для точки X получается геометрическое мѣсто—окружность (О, X).

9. Даны двѣ концентрическія окружности О и еще окружность 02. Провести окружность X, пересѣкающую всѣ три окружности подъ данными углами.

Рѣги. Задача № 8 опредѣляетъ геом. мѣсто точки X и радіусъ искомой окружности. Геометрическое мѣсто центровъ окружностей даннаго радіуса, пересѣкающихъ окружность 0а подъ даннымъ угломъ, есть новая окружность, и потому точка Х легко опредѣляется. А затѣмъ уже дѣлается яснымъ рѣшеніе задачи № 6.

Я старался выбрать примѣры1) наиболѣе ярко показывающіе всю силу метода инверсіи для задачъ на построеніе. Въ недалекомъ будущемъ я надѣюсь показать примѣненіе инверсіи къ другимъ вопросамъ геометріи.

Задача Кастильона.

М. А. Орбекъ. Москва.

Извѣстная задача Кастильона заключаетея въ слѣдующемъ:

„Вписать въ данную окружность п—угольникъ такъ, чтобы его стороны соотвѣтственно проходили черезъ данныя п точекъ“.

Помощью метода инверсіи задача эта разрѣшается въ самомъ общемъ случаѣ, но вслѣдствіе свойствъ инверсіи приходится отдѣлить случай п четнаго отъ п нечетнаго. При этомъ достаточно будетъ рѣшить задачу для 4-угольника и 3-угольника, а обобщеніе будетъ непосредственно видно.

Прежде чѣмъ перейти къ рѣшенію надо ввести нѣкоторыя обозначенія:

1) Инверсіей около какой-нибудь изъ данныхъ точекъ мы будемъ называть инверсію, имѣющую въ этой точкѣ начало и степень, равную степени этой точки относительно данной окружности.

2) Если мы въ этомъ смыслѣ инвертируемъ какую-нибудь фигуру X, Y, Z,......X, послѣдовательно около нѣкоторыхъ изъ данныхъ точекъ, напримѣръ, а, Ь, с,, то результатъ такого инвертированія естественно обозначать такъ:

(фигура X, Г, Z,.....K) abc

1) Другіе примѣры читатели найдутъ въ новомъ изданіи моей книги „Методы геометрическихъ задачъ на построеніе“, которое уже почти окончено.

3) Легко видѣть, что если мы нѣкоторую фигуру инвертируемъ сперва, напримѣръ, около а,Ъ,с, а затѣмъ результатъ около с, Ъ, а, то получимъ первоначальную фигуру.

Это слѣдуетъ изъ того, что инвертируя точку 2 раза около одного и того же начала и съ той же степенью получимъ первоначальную точку.

Дѣйствительно:

(фигура X, Y, Z......К) а Ь с с Ъ а= [{(фигура X, Y, Z, ... К) а Ь } с с] Ъа,

гдѣ скобки только отдѣляютъ послѣдовательныя инверсіи. Но это есть по предъидущему.

Продолжая такимъ же образомъ, получимъ;

(фигура X, Y, Z,...К) abc с Ъа = фигура X, Y, Z,....К1).

Чер. 1.

1) Знакъ равенства означаетъ тождественность фигуръ.

Замѣчу еще, что при инверсіи около данныхъ точекъ данная окружность переходитъ сама въ себя2).

Перехожу къ рѣшенію задачи.

Случай 4-угольника.

Пусть дана окружность О и точки a,b,c,d (чер. 1). Предположимъ, что задача рѣшена и обозначимъ черезъ А, В, С и D вершины 4-угольника, лежащія соотвѣтственно на сторонахъ, проходящихъ черезъ данныя точки a,bc,d.

Возьмемъ прямую А, (а) bed3) и будемъ инвертировать ее около d, с, Ъ, а. Получимъ:

1-ая инверсія: (прям. А, (a)bcd) d =

= (окружность d, {А) d, (а) b с)

2-ая инверсія: (окружн. d, (A)dy (a)bc)c =

= (окружн. (d) с, (Л) d с, (а) Ъ)

3-ья инверсія: (окружн. (d) с, (А) d с, (а) Ъ)Ъ —

= (окружн. (d)cb,(A)dcb,a)

4-ая инверсія: (окружн. (d) с b, (А) deb, а) а =

= прямой (d) eba, (А) d с Ъ а4).

Но, какъ легко видѣть, (А) d с Ъ а = А; поэтому прямая A,(a)bcd перешла послѣ 4-хъ инверсій въ прямую A,(d)cba.

Такъ какъ данная окружность переходитъ сама въ себя и число инверсій четное, то углы этихъ прямыхъ съ окружностью равны5) не только по абсолютной величинѣ, но и по знаку; слѣдовательно прямыя совпадаютъ6). Отсюда непосредствено видно, что точка А получится въ пересѣченіи данной окружности съ прямой:

(а) bed, (d) с Ъ а, которая данными задачи вполнѣ опредѣлена. Если же точка А найдена, то, очевидно задача рѣшена.

Случай 3-угольника.

Пусть даны точки ауЬу с и окружность О. При этомъ А, В и С имѣютъ такое значеніе, какъ и въ предъидущемъ случаѣ.

2) Это слѣдуетъ изъ самаго опредѣленія инверсіи около одной изъ данныхъ точекъ.

3) А, (а) bed — прямая проходящая черезъ А и точку (а) bed причемъ эта послѣдняя получается изъ а послѣ 3-хъ инверсій около Ь, с, d. На чертежѣ можно прослѣдить эти инверсіи по соотвѣтственному пунктиру.

4) Окружность, проходящая черезъ начало инверсіи — превращается въ прямую

5) Свойства инверсій — см0 статью И. И. Александрова, въ настоящемъ № 8 „Математическаго Образованія".

6) Это съ полной строгостью слѣдуетъ, если уголъ между кривыми опредѣленъ однозначно.

Если мы здѣсь, ло аналогіи со случаемъ 4-угольника, возьмемъ прямую А, (а) h с и будемъ инвертировать его около с, Ь, а, то она перейдетъ въ прямую Л,(с)Ъа; но эти прямыя, какъ переходящія другъ въ друга послѣ нечетнаго числа инверсій, не совпадаютъ, а образуютъ лишь съ данной окружностью углы равные по абсолютной величинѣ, но разнящіеся знакомъ. Чтобы рѣшить задачу въ этомъ случаѣ будемъ искать такую прямую, проходяшую черезъ А, которая послѣ четнаго числа инверсій перешла бы въ прямую же проходящую черезъ А.

Возьмемъ прямую: А, (а) b с ab с и инвертируемъ ее послѣдовательно около: с, Ъ, а, с, Ь, а; получимъ;

(прям. А, (а) Ъ с а Ъ с) с Ъ а с Ъ а = прям. (с) Ь а с Ъ а, А.7).

Но въ данномъ случаѣ число инверсій 6, т. е., четное и значитъ прямыя совпадаютъ8).

Точка А получается, такимъ образомъ, въ пересѣченіи прямой: (іауЬсаЬс, (с)ЪасЪа съ данной окружностью; но эта прямая по условіямъ задачи, вполнѣ опредѣлена, а значитъ точка А найдена9).

Обобщеніе для четнаго числа точекъ: а,Ъ,с.......Тс,1,т

таково: точка А найдется въ пересѣченіи данной окружности съ прямой:

(а) b с.....klm, (т) I к.......сЪа

Для нечетнаго числа точекъ: а,Ь,с......к,1,т,п, точка А

найдется въ пересѣченіи данной окружности съ прямой:

(а) b с . . . кІтпаЪс . . . /с/шп, (n)mlk . . . сЪаптІк . . . сЪа.

Итакъ задача рѣшена въ самомъ общемъ случаѣ10).

Въ заключеніе спѣшу выразить глубокую благодарность учителю моему Ивану Ивановичу Александрову за оказанную мнѣ помощь и указанія.

7) Это, подобно предъидущему, получится если инвертировать послѣдовательно.

8) Совершенно аналогично съ предъидущимъ.

9) Можно доказать, что въ общемъ случаѣ точки (а) b с ab е и (с) b ас b а не совпадаютъ и значитъ опредѣляютъ прямую.

10) Рѣшеніе, приведенное здѣсь, для нечетнаго числа точекъ отлично отъ рѣшеній помѣщенныхъ у Адлера, Rouché et Comberousse и Петерсена, и представляетъ нѣкоторую аналогію съ случаемъ четнаго числа точекъ.

Нѣкоторыя замѣчанія о характерѣ работъ, исполненныхъ учениками гимназій на испытаніяхъ зрѣлости въ Харьковскомъ Учебномъ Округѣ за 1907—1913 г.

Ц. Руссьянъ. Харьковъ.

Въ настоящей краткой статьѣ я хочу сообщить о результатахъ моихъ наблюденій, вынесенныхъ мною изъ разсмотрѣнія работъ по математикѣ, исполненныхъ учениками на испытаніяхъ зрѣлости въ гимназіяхъ Харьковскаго Учебнаго Округа за періодъ времени 1907—1913 г.

Я исхожу изъ того соображенія, что главною цѣлью изученія математики въ средней школѣ общеобразовательнаго типа, какой является гимназія, является не столько знакомство съ самымъ математическимъ матеріаломъ, какъ таковымъ, сколько развитіе при его изученіи способности логически мыслить, и способности обобщать результаты т. е. способности улавливать въ фактахъ общіе законы.

Что касается формальнаго знанія учениками курса, то въ этомъ отношенія дѣло обстоитъ довольно удовлетворительно: по моей оцѣнкѣ отмѣтка Округа по математикѣ колеблется въ предѣлахъ 3.3—3.5. Но что касается указанной мною выше главной цѣли преподаванія математики, она достигается по моему мнѣнію въ довольно слабой степени. О степени достиженія этой цѣли я сужу по степени сознательнаго пониманія изученнаго, и по степени умѣнія сознательно примѣнить изученное, къ рѣшенію отдѣльныхъ вопросовъ. Показателемъ-же этого являются т. н. объясненія учениковъ къ рѣшеніямъ задачъ по алгебрѣ и геометріи.

Вездѣ, гдѣ нужно только повторить соотвѣтствующее мѣсто изъ пройденнаго курса, тамъ обоснованіе производимыхъ операцій еще сносно, а по формѣ часто бываетъ даже излишне многословно; но если нужно проявить нѣкоторую самостоятельность, напр. при рѣшеніи задачи, 'хотя и на курсовыя темы, но не представляющей изъ себя простое повтореніе курсовыхъ теоремъ, тамъ сразу обнаруживается у учениковъ неумѣніе точно умозаключать т. е. выводить заключеніе на основаніи ясно выраженныхъ и достаточныхъ посылокъ. Эти посылки по большей части опускаются или частью, или цѣликомъ. Нужно предположить, что ученикъ или не считаетъ нужнымъ приводить ихъ, если даже ихъ сознаетъ; или же ученикъ ихъ не сознаетъ, а поступаетъ интуитивно, благо что задачи предлагаемыя на экзаменахъ, не выше средней трудности. Въ первомъ случаѣ ученикъ не имѣетъ выработанной привычки точно обосновывать свои умозаключенія, хотя процессъ умозаключенія ему понятенъ; во второмъ случаѣ онъ не усвоилъ сознательно курсового матеріала и не видитъ ясно связи между уже изученнымъ и тѣмъ, что ему предлагается на экзаменѣ. Особенно сильно сказывается этотъ недостатокъ въ работахъ по геометріи: ученикъ долженъ прежде всего сдѣлать чертежъ; за очень

рѣдкими исключеніями чертежи плохи и весьма часто не соотвѣтствуютъ численнымъ даннымъ задачи. Дѣлая построенія геометрическихъ элементовъ, угловъ, высотъ и т. п. въ громадномъ большинствѣ случаевъ ученикъ не скажетъ, что за элементъ имъ построенъ; приходится объ этомъ догадываться. Догадаться, правда, нетрудно, но важно то, что ученикъ не чувствуетъ логической необходимости сдѣлать это. Наконецъ, рѣшая задачу, ученикъ весьма рѣдко точно обосновываетъ свои заключенія: если дѣло идетъ о кубѣ, вписанномъ въ шаръ, положительно никто не сформулируетъ ясно того обстоятельства, что центры ихъ совпадаютъ; если идетъ рѣчь о конусѣ круговомъ прямомъ, вписанномъ въ шаръ, никто никогда не указалъ ясно на то, что ось его проходитъ черезъ центръ шара; если дѣло идетъ о правильной пирамидѣ, почти никто ясно не скажетъ, какими именно свойствами ея, какъ таковой, онъ пользуется; если идетъ рѣчь о линейномъ углѣ двуграннаго, никто абсолютно не скажетъ, почему построенный имъ уголъ есть дѣйствительно линейный двуграннаго и т. п. Если предположить, что такія задачи часто рѣшались въ году и ученики, такъ сказать, привыкли къ нимъ, то тѣмъ болѣе странно, что ученики имѣвши возможность поупражняться въ точномъ умозаключеніи, не дѣлаютъ его. А еще болѣе странно, если г. преподаватель не реагируетъ на этотъ недостатокъ, сводящій почти къ нулю значеніе такой работы. Вѣдь не потому ученикъ рѣшаетъ эту задачу, что ему затѣмъ въ жизни придется вычислять объемъ такого куба или конуса! Работы учениковъ производятъ такое впечатлѣніе, какъ будто для всѣхъ важно только получить результата вѣрный, или по возможности близкій къ вѣрному. Между тѣмъ какъ разъ смыслъ задачи лежитъ не въ этомъ вѣрномъ результатѣ, а въ томъ процессѣ логическомъ, который привелъ къ вѣрному результату.

То-же самое въ алгебрѣ: если нужно мотивировать выборъ корня квадратнаго уравненія, то въ половинѣ случаевъ этой мотивировки нѣтъ, или она неправильна, напр., мотивировка вродѣ того, что число дней не можетъ быть дробнымъ, или что корень, равный нулю, не есть корень, а отсутствіе корня и т. п. Если нужно рѣшить систему неравенствъ, въ особенности если ихъ больше двухъ, почти никто не умѣетъ сдѣлать этого: рѣшаютъ часть системы неравенствъ, а затѣмъ пробами, ощупью находятъ тѣ значенія неизвѣстныхъ, которыя удовлетворяютъ и остальнымъ неравенствамъ. Если нужно найти корни уравненія, лѣвая часть котораго разложена уже на множители, весьма рѣдко можно встрѣтить ученика, который не растеряетъ корней, приравнивая нулю каждый множитель поочередно; въ громадномъ большинствѣ случаевъ ученикъ приравнявъ нулю одинъ множитель, не сочтетъ нужнымъ сдѣлать это съ другимъ и т. д.

Отсутствіе выработанной требовательности къ себѣ, требовательности не дѣлать умозаключенія безъ ясно выраженнаго и достаточнаго основанія, имѣетъ своимъ слѣдствіемъ и слабую способность правильно умозаключать, схватывать связь между отдѣлъ-

ными моментами задачи, дать полную картину взаимоотношеній между отдѣльными частями вопроса.

Отсюда, между прочимъ, происходитъ неумѣніе большинства учениковъ найти наиболѣе простое рѣшеніе, если вопросъ допускаетъ ихъ нѣсколько.

Это неумѣніе точно, логически совмѣстить и дать себѣ отчетъ въ степени важности каждаго момента задачи влечетъ за собой отсутствіе чувства мѣры въ объясненіяхъ.

Часто случается, что моменты менѣе важные сопровождаются многословнымъ, даже очень многословнымъ объясненіемъ, тогда какъ достаточно было-бы простой ссылки на теорему изъ курса, между тѣмъ какъ моменты наиболѣе важные сопровождаются недостаточнымъ объясненіемъ, или просто его нѣтъ. Эти недостатки выражаются ярче въ работахъ по геометріи потому, что тутъ присоединяется еще одно обстоятельство, необходимость воображать пространственныя формы. Всѣмъ извѣстна, я полагаю, слабая способность къ этому учениковъ.

Наконецъ, этотъ недостатокъ отражается и на языкѣ: работы такъ и пестрятъ выраженіями: „фигура“ вм. „объемъ“; „линія“, „кусочекъ“ вмѣсто „отрѣзокъ прямой“, „сторона“; „отбросить знаменатель“ вм. „умножить на знаменатель“; „выраженіе“ вм. „уравненіе“ и т. п. А если приходится ученику характеризовать полученное геометрическое тѣло (обычно тѣло вращенія), то если оно не есть конусъ, цилиндръ, или шаръ, языкъ становится иногда прямо невозможнымъ: рѣчь идетъ о „выемкахъ“, „пустотахъ“, о „конусѣ, посаженномъ на цилиндрѣ“ и т. д. Никогда ученикъ не догадается характеризовать тѣло тѣми поверхностями, которыя его ограничиваютъ.

Что касается второй цѣли проподаванія математики въ средней школѣ, развитія способности къ обобщеніямъ, она достигается путемъ изученія алгебры и приложеніемъ ея къ вопросамъ конкретнымъ напр., въ геометріи.

Въ этой послѣдней всякая задача, коей данные элементы выражены численно, должна быть рѣшена предварительно въ общемъ видѣ. При этомъ преслѣдуется двоякая цѣль: ученикъ, давши рѣшеніе въ общемъ видѣ, усмотрѣлъ общій законъ, связывающій данные н искомые элементы во всѣхъ задачахъ даннаго типа. Если такое рѣшеніе отсутствуетъ, эта связь не найдена и вышеуказанная цѣль не достигается. При этомъ достигается и иная важная цѣль—экономія труда: формула рѣшенія, приведенная методами алгебры къ наиболѣе простому виду, указываетъ minimum тѣхъ операцій, которыя нужны для рѣшенія вопроса. Въ началѣ указаннаго мною періода я замѣчалъ довольно часто отсутствіе такихъ рѣшеній; теперь это встрѣчается рѣже, но все-таки это фактъ прискорбный, въ особенности потому, что нѣкоторые преподаватели мирятся съ такими рѣшеніями и даже оцѣниваютъ такія работы полнымъ балломъ.

Причины указанныхъ выше недостатковъ многообразны: какъ на важнѣйшія я могу указать на неправильную, по моему мнѣнію, постановку преподаванія математики въ низшихъ классахъ,

и на отсутствіе спеціальной подготовки для лицъ, посвящающихъ себя педагогической дѣятельности. Но все таки я думаю, что и при существующемъ порядкѣ вещей гг. преподаватели могли-бы. сдѣлать многое для устраненія этихъ недостатковъ, если-бы они были требовательнѣе къ ученникамъ и къ... себѣ.

Какъ я выше замѣтилъ, изъ работъ по геометріи усматривается, что г.г. преподаватели очень часто не требуютъ чертежей, выполненныхъ не только согласно съ численными данными задачи, но даже просто приличныхъ. Очень часто они просто непозволительны по небрежности и неряшливости. Очень рѣдко встрѣчаются преподаватели, которые требовали - бы объясненій всѣхъ вводимыхъ ученикомъ обозначеній. Далѣе, часто г.г. преподаватели не требуютъ достаточной мотивировки выводовъ; если утвержденіе ученика справедливо, то этого и достаточно. Случаются нерѣдко пс геометріи и по алгебрѣ работы оцѣненныя полнымъ балломъ и не заключающія ни слова объясненія. Какъ одно изъ средствъ улучшить объясненія, я совѣтовалъ-бы г.г. преподавателямъ требовать, чтобы объясненія давались параллельно рѣшенію, но не послѣ него. Въ этомъ послѣднемъ случаѣ объясненія всегда сводятся къ формальному (и нерѣдко по недостатку времени и небрежному) перечисленію произведенныхъ операцій.

Отсутствіе предварительной подготовки преподавателей ведетъ между прочимъ къ одному довольно печальному явленію, къ излишней приверженности къ рекомендованному учебнику, если не къ полному подчиненію ему. А вѣдь учебники не всегда безупречны. Возьмемъ хотя вопросъ объ опредѣленіи т. н. „истинныхъ“ значеній неопредѣленныхъ выраженій. Точное изложеніе этого вопроса было-бы черезчуръ сложно для элементарнаго курса, и его слѣдовало-бы совершенно изъять. Между тѣмъ въ учебникахъ довольствуются суррогатами доказательства („кажущаяся неопредѣленность“, какъ говорится въ одномъ изъ учебниковъ); мало того, этотъ вопросъ нерѣдко встрѣчается на экзаменахъ, слѣдовательно, есть преподаватели, которымъ изложеніе этого вопроса кажется удовлетворительнымъ. Случается, что г.г. преподаватели требуютъ во чтобы то ни стало изслѣдовать корни квадратнаго уравненія прежде чѣмъ рѣшить его. Если это дѣлается съ цѣлью упростить опредѣленіе корня, требуемаго задачей, то это хорошо. Но всегда это изслѣдованіе остается безъ вліянія на ходъ послѣдующихъ вычисленій. Отчего же его требуетъ г. преподаватель? Не потому-ли, что это изслѣдованіе заключаетея въ курсѣ?

Или еще: ни одинъ экзаменъ не обходится безъ задачи на неопредѣленное уравненіе, допускающее и цѣлыя рѣшенія.

Дѣйствительно, этотъ вопросъ одинъ изъ важнѣйшихъ въ элементарной алгебрѣ: здѣсь ученикъ знакомится съ существованіемъ безчисленнаго множества системъ рѣшеній, выражаетъ ихъ въ параметрической формѣ; здѣсь онъ имѣетъ случай примѣнить неравенства для опредѣленія нужныхъ ему цѣлыхъ и положительныхъ рѣшеній; наконецъ, этотъ вопросъ имѣетъ связь съ аналитической геометріей, съ уравненіемъ прямой линіи.

Но способъ рѣшенія этого уравненія излагается такъ, какъ

будто онъ годится только для отысканія цѣлыхъ рѣшеній (параметры Міѵ суть непремѣнно цѣлыя числа), между тѣмъ какъ этотъ пріемъ—общій и результатъ: х = а -j- ht, у = ß —at даетъ всѣ рѣшенія; характеристическая его особенность состоитъ только въ томъ, что а, /2, а, Ь—цѣлыя числа. Я не встрѣтилъ ни одного преподавателя, который внушалъ бы ученикамъ (по скольку можно объ этомъ судить по экзаменаціоннымъ работамъ), что этотъ способъ — общій; напротивъ, часто встрѣчаются преподаватели, которые непремѣнно требуютъ, чтобы ученикъ характеризовалъ количества М1ѵ.. какъ цѣлыя числа, въ противномъ случаѣ понижаютъ баллъ.

Или еще одинъ вопросъ: логариѳмическія вычисленія. Сплошь да рядомъ случается что ученикъ, вычисляя число по его пятизначному логариѳму, беретъ въ немъ 6,7, а то и 11 цифръ вмѣсто нормальныхъ пяти, цифръ; сплошь да рядомъ гг. преподаватели не обращаютъ на это никакого вниманія; мало того, нерѣдко и сами дописываютъ 6-е, 7-е знаки.

Я далекъ отъ мысли, что указанные недостатки принадлежатъ г.г. преподавателямъ спеціально Харьковскаго Учебнаго Округа; я полагаю, что эти недостатки общаго характера и я заканчиваю мою краткую замѣтку пожеланіемъ, чтобы условія дѣятельности г.г. преподавателей измѣнились къ лучшему и она стала болѣе продуктивной*).

Промежуточная лицейская ступень между средней и высшей школами.

П. А. Некрасовъ. С.-Петербургъ.**)

(Окончаніе).

Обращу вниманіе на историческій генезисъ и на необходимость различенія содержанія курсовъ С и Д несмотря на отождествленіе ихъ въ отношеніи обученія иностраннымъ языкамъ и на общность значительной части научныхъ курсовыхъ предметовъ. Школьный типъ С въ Россіи естественно развивается въ исторической послѣдовательности изъ нынѣшнихъ реальныхъ училищъ, а школьный типъ D—изъ среднихъ учебныхъ заведеній, въ сущности общеобразовательныхъ, но носящихъ профессіональные титулы: коммерческія училища, сельско-хозяйственныя училища, кадетскіе корпуса съ военными училищами и пр.

Проектируемый мною учебный планъ самостоятельныхъ и равноправныхъ курсовъ С и D былъ мною кратко обрисованъ въ 1911 — 1912 году въ С.-Петербургѣ, на I всероссійскомъ съѣздѣ

*) Изъ имѣющихся въ редакціи отчетовъ видно, что тѣ недостатки въ работахъ по математикѣ абитуріентовъ среднихъ школъ, которые отмѣчены въ обозрѣніяхъ гг. профессоровъ Руссьяна и Синцова по Харьковскому Учеб. Округу, присущи и работамъ учащихся прочихъ учебныхъ округовъ, а потому мы не помѣщаемъ другихъ матеріаловъ по этому вопросу. Ред.

**) Докладъ, читанный директоромъ Тифлисской 3-й гимназіи Б. К. Крамаренко, за автора, на XIII Съѣздѣ Русскихъ Естествоиспытателей и Врачей въ Тифлисѣ, въ секціи педагогическихъ вопросовъ, 19 іюня 1913 г. Тотъ же докладъ читанъ въ отдѣлахъ Педагогическаго Музея военно-учебныхъ заведеній.

преподавателей математики, въ секціи коммерческихъ училищъ (см. „Труды“ съѣзда и см. журналъ „Математическое Образованіе“, .№ 2, Москва, 1912).

Разницу между учебными планами С и D по содержанію ихъ учебныхъ предметовъ выразимъ слѣдующею сравнительною характеристикой. Въ отдѣленіи С господствуютъ математическіе предметы, развивающіе дедуктивное мышленіе и строго опредѣленный логическій и количественный анализъ, которымъ вычерпываются изъ данныхъ основаній (принциповъ, аксіомъ) непреложныя функціональныя зависимости однихъ величинъ отъ другихъ. Но этихъ важныхъ методовъ для индуктивныхъ описательныхъ наукъ недостаточно, и поэтому въ учебномъ планѣ отдѣленія D на видное мѣсто выдвигаются предметы, развивающіе индуктивное (математико-статистическое) мышленіе и менѣе опредѣленный логическій и числовой анализъ, который восполняетъ недостатокъ основаній (petitio principii) эмпирическими данными (quaestio facti) и довольствуется по формѣ „свободными“ числовыми (аритмологическими) зависимостями, носящими названіе „статистическихъ взаимоотношеній“, или „корреляцій“*), а на дѣлѣ сверхъ того предполагаетъ нравственное существо, обладающее для пополненія невязокъ наличною стойкостью, рѣшительностію характера и творчествомъ**).

Популяризацію терминовъ этого вида зависимости (корреляціи) нужно поставить въ великую заслугу преимущественно англо-американской школѣ (Гальтона, Пирсона, Тейлора, Юля), хотя въ идеѣ за эту школьную популяризацію высказывались сто лѣтъ тому назадъ Лапласъ и Гауссъ, а въ Россіи въ томъ же духѣ высказывались въ серединѣ прошлаго столѣтія академики В. Я. Буняковскій, П. Л. Чебышевъ, А. Ю. Давидовъ, Н. В. Бугаевъ и другіе.

Логико-математическія и графическія схемы коррелятивной „свободной“ зависимости должны цѣниться въ статистикѣ, въ экономикѣ и біологіи, въ антропологіи и въ наукахъ нормативныхъ (юридическихъ, общественныхъ и политическихъ), нравственныхъ, употребляющихъ въ дѣло косвенныя измѣренія, въ коихъ мѣрами являются точное описаніе, книга записей, табличный счетъ, чертежъ (графикъ, діаграмма сложнаго явленія), обязательственное слово, деньги и самъ человѣкъ, его способности и обычаи, правила.

*) См. мои статьи: 1) „Задачи и игры изъ дѣтскаго міра, развивающія понятія по логикѣ и статистической теоріи взаимоотношеній“ (Математическое Образованіе, за 1912 г.), 2) „Философія и логика науки о массовыхъ проявленіяхъ человѣческой дѣятельности“ (Математическій Сборникъ, т. XXIII, за 1902 г. Москва), 3) „Теорія вѣроятностей“, изд. 2, часть III (С.-Петербургъ, 1912) и 4) „Новые методы въ теоріи права“ (Жарналъ Минист. Нар. Просв. за 1913 г., № і) —См. также а) проф. Р. Орженцкій: „Сводные признаки“ (Ярославль, 1910) и б) Е. Е- Слуцкій: „Теорія корреляціи и элементы ученія о кривыхъ распредѣленія“ (Кіевъ, 1912).

**) Насколько учитель касается существа коллидирующихъ во взаимоотношеніи сторонъ, это зависитъ отъ правилъ и программъ, отъ трудностей предмета для ученика йотъ способностей и подготовки самого учителя. Правило: „non multum sed multa“ не бываетъ лишнимъ для средней школы.

Научно-описательный и сравнительный индуктивный методъ (математико-статистическій) въ русской школѣ, средней и высшей, страшно отсталъ отъ его современнаго положенія и значенія въ культурномъ движеніи и обратился почти въ упражненія по беллетристикѣ. Курсомъ D должна быть заполнена эта пропасть (брешь) въ законахъ мышленія, наблюденія, исчисленія и заложена серьезная академическая основа болѣе точнаго индуктивнаго изслѣдованія, направляемаго логикоматематическимъ контролемъ.

Школьный типъ D имѣетъ свою учебную литературу и наклонъ къ опредѣленной группѣ факультетовъ, долженствующихъ слушать голосъ значащихъ фактовъ, научно регистрируемыхъ и предсказывающихъ будущее. Литература для этой академической лицейской популяризаціи существуетъ въ изданіяхъ англо-американской и нѣмецкой школъ (Гаусса, Фехнера, Ранке, Гальтона, Тейлора, Пирсона, Юля), а на русскомъ языкѣ она указывается въ моихъ книгахъ, докладахъ*) и статьяхъ по теоріи вѣроятностей и статистикѣ, въ книгахъ проф. А. А. Чупрова „Очерки по теоріи статистики“, проф. Д. И. Менделѣева („Познаніе Россіи“ и пр.), проф. Р. Орженцкаго („Сводные признаки“), проф. Л. К. Лахтинъ (Матем. Сборникъ, томъ XXIV), д-ра А. Леонтовичъ („Пособіе къ примѣненію методовъ Гаусса и Пирсона“) и др.

Возникаетъ вопросъ, какое соотвѣтствіе должно существовать между группами Л, Д, С и D лицейскихъ курсовъ и, съ другой стороны, факультетами и отдѣленіями высшихъ ученоучебныхъ заведеній. Въ отвѣтъ привожу слѣдующее примѣрное росписаніе этого соотвѣтствія, достаточное для обрисовки вопроса на первое время.

A. Отдѣленіе А готовитъ въ факультеты филологическій, юридическій (отдѣлъ чистаго права) и въ духовныя академіи.

B. Отдѣленіе В готовитъ въ факультеты филологическій (кромѣ отдѣла древней классической филологіи) и юридическій (отдѣлъ чистаго права).

C. Отдѣленіе С готовитъ въ факультеты физико-математическій и медицинскій, въ политехническіе институты и инженерныя училища (отдѣлы механическій, строительный, электро-техническій и путей сообщенія).

D. Отдѣленіе D готовитъ въ факультеты физико-математическій, юридическій (административное и политико-экономическое отдѣленія) и медицинскій, въ институты сельско-хозяйствен-

*) Таковъ мой докладъ относительно новоязычныхъ (по проекту А. Н. Шварца) гимназій г-ну Министру Народнаго Просвѣщенія отъ 15 февраля 1910 г., составленный по результатамъ совѣщанія, состоявшагося подъ моимъ предсѣдательствомъ изъ слѣдующихъ лицъ: профессоровъ А. В. Васильева, И. X. Озерова, Н. И. Шиллера, В. Г. Алексѣева, С. Е. Савича, директоровъ К. В. Фохта, И. П. Шафрановскаго. В. А. Кондратьева, преподавателя счетныхъ наукъ С. В. Мыльникова, а за секретаря былъ дѣлопроизводитель И. О. Араловъ.—Въ настоящее время этотъ докладъ мною заново переработанъ примѣнительно къ плану развѣтвленной лицейской ступени, промежуточной между средней и высшей школами, и обсуждается въ отдѣлѣ математики Педагогическаго Музея военно-учебныхъ заведеній.

ный и коммерческій и въ политехническій институтъ и инженерныя училища (отдѣлы: горный, путей сообщенія, экономическій, меліораціонный, химико-техническій).

Это росписаніе соотвѣтствія направитъ потоки ученичества въ соотвѣтствующія русла по спросу государства и общества на образованныхъ слугъ*). Оно войдетъ постояннымъ факторомъ въ историческую программу отечественной персональной экономіи, вѣдающей и учитывающей выпускаемыхъ въ оборотъ слугъ, какъ цѣнность.

Дѣло лицейской промежуточной ступени, по существу его, нужно освѣтить двухстороннимъ взглядомъ свѣдущихъ людей: съ одной стороны, учителей среднихъ учебныхъ заведеній и, съ другой стороны, профессоровъ высшихъ учебныхъ заведеній. Эти двѣ существенныя точки зрѣнія нужно очистить отъ рѣзкихъ противорѣчій и обдуманно сблизить въ цѣляхъ единообразнаго и единодушнаго преслѣдованія главныхъ идеаловъ школьнаго дѣла. Соотвѣтственно этимъ двумъ точкамъ зрѣнія мною составленъ проектъ вопросныхъ пунктовъ свѣдущимъ лицамъ (см. **) ниже).

Идея бифуркаціи и улучшенной связи программъ средняго и высшаго образованія освѣжилась по почину профессоровъ во время I всероссійскаго съѣзда преподавателей математики (1911— 1912 г.). Я имѣлъ случай повѣрять эти взгляды среди профессоровъ различныхъ факультетовъ. Съ ихъ точки зрѣнія промежуточная лицейская ступень образованія оправдывается многими соображеніями: она, съ одной стороны, подниметъ общій уровень культуры и вмѣстѣ съ тѣмъ подготовленность студентовъ къ факультетамъ, а съ другой стороны явится удобнымъ и цѣлесообразнымъ полемъ дѣятельности для профессорскихъ кандидатовъ, нынѣ не находящихъ своему труду и знанію цѣлесообразнаго приложенія (пока каѳедры заняты) и растериваемыхъ въ другихъ профессіяхъ. Профессорскіе кандидаты усилятъ собою личный составъ преподавателей средней школы въ ея старшемъ лицейскомъ циклѣ.

Наша страна, стремясь не только къ экстенсивной, но и къ интенсивной человѣческой культурѣ, нуждается въ увеличенномъ контингентѣ людей высшаго образованія, прошедшихъ по меньшей мѣрѣ чрезъ лицеи. Откуда взять учителей для лицеевъ?

На этотъ вопросъ отвѣчу такъ: если затруднительно получать профессоровъ для комплекта высшихъ учено-учебныхъ заведеній, то для комплекта лицеевъ, академически популяризую-

*) Статистика выпускной школьной дѣятельности численно взвѣшиваетъ взаимоотношеніе между этими персональными потоками и удовлетвореніемъ жизненному спросу (голоду) отечественной цѣнности на образованныхъ людей.

**) Разумѣя здѣсь лишь категорію свѣдущихъ лицъ собственно въ учебномъ дѣлѣ, въ томъ, какъ, когда и какимъ духовнымъ хлѣбомъ питать нашихъ „Эмилей“ гимназическаго возраста, я, конечно, не игнорирую свѣдущихъ людей другой категоріи, содержащихъ, финансирующихъ питомники, разсадники и имѣющихъ свое право голоса въ законодательномъ порядкѣ. Сейчасъ же я имѣю въ виду и собираю мнѣнія работниковъ школы, совершающихъ ея внутреннюю малозамѣтную, но въ итогѣ великую рауоту.

щихъ въ старшемъ отдѣлѣ лишь основные принципы и методы высшаго образованія, преподаватели подготовляются сравнительно скоро и легко; они набираются изъ среды лицъ, прошедшихъ чрезъ университеты и сдавшихъ надлежащія государственныя испытанія.

Разумное воздѣйствіе высшаго образованія на подготовительную къ нему старшую лицейскую ступень, опредѣляемое по хорошей основной схемѣ программами, уставами и живою связью университетовъ съ лицеями (см. вопросный пунктъ 9), способно вырѣшить опытомъ всѣ частные мелкіе жизненные вопросы, возникающіе по поводу предлагаемой реформы, которую я обрисовалъ лишь общими штрихами.

Въ Россіи идея лицейскихъ отдѣленій для старшаго возраста въ составѣ средняго образованія лелѣялась издавна; у насъ возникло даже нѣсколько экземпляровъ этого школьнаго типа, впрочемъ, экзотическихъ, не привившихся широко на русской почвѣ, ибо идея лицейскихъ отдѣленій признавалась въ Россіи лишь въ очень тѣсномъ кругу; она не встрѣчала отклика въ болѣе широкихъ кругахъ и въ оффиціальномъ кругу руководителей учебными заведеніями Россіи; она не возведена была государствомъ въ достоинство своей системы, связывающей среднюю школу съ высшею и съ спросомъ жизни на просвѣщенныхъ людей.

Даже въ 1898—1901 годахъ, когда впервые былъ рѣшительно поставленъ вопросъ объ улучшеніи среднихъ учебныхъ заведеній Россіи, и въ предположеніяхъ нѣкоторыхъ лицъ возникалъ вопросъ о лицейскихъ отдѣленіяхъ среднихъ учебныхъ заведеній (этотъ вопросъ обсуждался въ совѣщаніяхъ при Московскомъ учебномъ округѣ, что видно изъ „Трудовъ“ этихъ совѣщаній), соотвѣтствующія предположенія были затерты схемами худшаго достоинства. Однако же идея лицейскихъ двухгодичныхъ отдѣленій и лицейской системы связи средняго и высшаго образованія настолько живуча среди педагоговъ и настолько справедлива передъ судомъ исторіи и здравой логики, что нынѣ она опять пробиваетъ себѣ дорогу во взглядахъ преподавателей средней и высшей школы; ибо кромѣ этой схемы нѣтъ другого пути поднять въ нашей странѣ уровень средняго, высшаго, а слѣдовательно и низшаго образованія.

Въ заключеніе прошу свѣдущихъ липъ сообщить мнѣ свои отвѣты на нижецриведенные вопросы, слѣдующіе вопросы реформы средняго образованія въ связи съ высшимъ.

Вопросные пункты свѣдущимъ въ учебномъ дѣлѣ лицамъ о лучшемъ согласованіи плановъ и программъ средней и высшей школы съ помощію лицейской системы*).

Центральные вопросы свѣдущимъ лицамъ по прилагаемому ниже списку—это вопросы 4, 5, би 8; они говорятъ о томъ, какъ

*) Отвѣты свѣдущихъ лицъ прошу сообщать мнѣ по адресу: С.-Петербургъ, Матвѣевская, д. 11, кв. 30, Павлу Алексѣевичу Некрасову. Послѣ надлежащей сводки полученныхъ отвѣтовъ я опубликую тѣ заключенія о желательной реформѣ учебныхъ плановъ и программъ средней школы, кои будутъ вытекать изъ собраннаго матеріала, а также доложу о нихъ г-ну Министру Народнаго Просвѣщенія.

разгрузить высшую школу отъ тѣхъ высшихъ элементовъ, кои находятъ себѣ лучшее помѣщеніе въ лицеѣ, подъ руководительствомъ преподавателей средней школы, и какъ разгрузить излишніе балласты въ существующихъ учебныхъ планахъ и программахъ средней школы, чтобы очистить мѣсто помянутымъ высшимъ элементамъ.

Поставить хорошо вопросы свѣдущимъ лицамъ, выясняющіе обсуждаемую счастливую возможность, значитъ наполовину хорошо рѣшить практическую проблему. Другая же половина рѣшенія задачи должна состоять, по собраніи данныхъ соотвѣтственно схемѣ опроса, въ ихъ сводкѣ и въ выработкѣ практики, идя въ установленномъ порядкѣ и слушая голосъ свѣдущихъ лицъ.

Изслѣдованіе это пойдетъ хорошо, если задача его привлечетъ къ себѣ правительственное вниманіе. Желательна правительственная коммиссія, уполномоченная обращаться къ свѣдующихъ лицамъ съ вопросами, а затѣмъ приступить къ самой реорганизаціи школьнаго дѣла.

Многое въ этой реорганизаціи будетъ осуществимо даже не въ законодательномъ порядкѣ (закономъ должна быть санкціонирована лишь схема лицейскихъ отдѣленій), а главнымъ образомъ въ программномъ и инструктивномъ порядкѣ, т.-е. осуществимо внутреннею дѣятельностью органовъ Министерства Народнаго Просвѣщенія.

Нижеприводимые вопросные пункты суть только примѣрные, они предлагаются на обсужденіе какъ мой проектъ. Собранные по единообразной схемѣ отвѣты, послѣ надлежащей сводки дадутъ прямое, точное освѣщеніе свѣдущими людьми центральныхъ вопросовъ рѣшаемой проблемы.

Дѣло промежуточной лицейской ступени, переходной между среднею и высшею школами, какъ мы уже сказали, по существу его нужно освѣтить двухстороннимъ взглядомъ свѣдущихъ въ учебномъ дѣлѣ людей: съ одной стороны, учителей среднихъ учебныхъ заведеній и, съ другой стороны, преподавателей высшихъ учебныхъ заведеній.

Эти двѣ существенныя въ разбираемой задачѣ точки зрѣнія нужно будетъ, при сводкѣ матеріаловъ, очистить отъ рѣзкихъ противорѣчій и обдуманно сблизить въ цѣляхъ единообразнаго и единодушнаго преслѣдованія главныхъ идеаловъ школьнаго дѣла подъ руководствомъ Министра Народнаго Просвѣщенія и его учебно-академическихъ органовъ. Самые вопросы приспособлены къ сличенію и сближенію помянутыхъ двухъ точекъ зрѣнія.

Вопросные пункты.

1. Имя, отчество и фамилія отвѣчающаго свѣдущаго лица, съ указаніемъ рода его высшаго образованія и его положенія въ учебной службѣ.

2. Въ чемъ замѣчены вами недостатки подготовки молодыхъ людей, поступающихъ изъ среднихъ школъ въ высшія учебныя

заведенія, къ слушанію лекцій и другимъ занятіямъ на вашемъ*) факультетѣ (или въ спеціальномъ высшемъ учебномъ заведеніи).

Примѣніе. Въ отвѣтахъ на этотъ вопросъ различить а) общее духовное развитіе (грамотность, начитанность, устойчивость взглядовъ), б) общее физическое развитіе и в) познанія въ наукахъ и языкахъ.

3) Достаточно ли средняя школа подготовляетъ учениковъ къ элементарнымъ способамъ научнаго обозначенія, наблюденія, исчисленія, графическаго закрѣпленія, измѣренія, обычнымъ въ вашей наукѣ. Не приходится ли вамъ, если вы преподаете въ высшей школѣ, отдавать слишкомъ много времени, чтобы пріучить студентовъ къ этимъ способамъ.

Примѣчаніе. Въ отвѣтахъ на вопросы 2 и 3 имѣть въ виду подготовленность лицъ, вышедшихъ изъ различныхъ существующихъ среднихъ школъ: гимназій съ двумя древними языками, гимназій съ однимъ древнимъ языкомъ, реальныхъ училищъ, коммерческихъ училищъ, кадетскихъ корпусовъ, духовныхъ семинарій.

4. Признаете ли вы возможнымъ и желательнымъ въ цѣляхъ индивидуализаціи образованія и углубленія его содержательности устройство въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ для старшаго возраста двухгодичныхъ лицеевъ съ спеціальными отдѣленіями (см. выше вторую таблицу)? Какова должна быть, по вашему мнѣнію, организація лицеевъ примѣнительно къ существующимъ въ Россіи взаимоотношеніямъ между средними и высшими учебными заведеніями?

Примѣчаніе. При отвѣтѣ на этотъ вопросъ нужно имѣть въ виду опредѣленную схему лицейской системы. Въ проектѣ мы предлагаемъ приспособить къ нашему быту схему заграничныхъ лицейскихъ опытовъ, выполненныхъ въ большомъ масштабѣ, напримѣръ, французскій опытъ (см. выше первую таблицу). Во Франціи декретомъ 1902 года**) установлены четыре лицейскихъ двухгодичныхъ отдѣленія: А, В, Си 5, въ которыхъ предметы спеціальнаго изученія суть:

A. Латинскій языкъ, греческій языкъ.

B. Латинскій языкъ, новые иностранные языки.

C. Математика (физико-математическія науки), латинскій языкъ.

*) Если вы преподаете въ высшемъ учебномъ заведеніи, то „вашимъ“ считается въ вопросахъ 2 и 5 тотъ факультетъ, гдѣ вы преподаете. Если же вы преподаете въ среднемъ учебномъ заведеніи, то „вашимъ“ считается тотъ факультетъ, который далъ вамъ образованіе и педагогическій цензъ по предмету вашего преподаванія.

**) Реформою 1902 года французская лицейская бифуркація перешла въ четырехчлениое лицейское раздѣленіе и приблизилась къ многообразію подраздѣленія типовъ средней школы въ Германіи, Россіи и другихъ государствахъ.

D. Математика (исчисленія, измѣренія, статистическій методъ, науки), новый иностранный языкъ.

Въ нашихъ среднихъ школахъ, наиболѣе приближающихся къ типамъ С и D (таковы наши реальныя училища, коммерческія училища и кадетскіе корпуса съ военными училищами), латинскій языкъ всюду замѣненъ новымъ иностраннымъ языкомъ, преподаваемымъ въ строгой научной разработкѣ*). Къ типу А въ Россіи наиболѣе приближаются гимназіи съ двумя древними языками и духовныя семинаріи; къ типу В наиболѣе приближаются наши гимназіи съ однимъ древнимъ языкомъ.

5. Если лицейскія отдѣленія въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ, по вашему, признаются желательными, то какія именно теоретическія основныя элементарныя части высшихъ наукъ и въ какомъ объемѣ могутъ быть перенесены по вашему факультету въ соотвѣтствующее изъ лицейскихъ отдѣленій А, В, С и D?

6. Не представляется ли возможнымъ, по вашему мнѣнію, лицейскій циклъ предметовъ вмѣстить въ курсъ средней школы такъ, чтобы не увеливать возраста ея окончанія вмѣстѣ съ лицеемъ?

Примѣъаніе. При отвѣтѣ на этотъ вопросъ надо исходить изъ предположенія, что начальный и общеобразовательный циклы предметовъ проходятся въ семь первыхъ годовъ обученія (именно—въ приготовительномъ классѣ и въ I, II, III, IV, V и VI классахъ), послѣ чего слѣдуетъ двухгодичный лицейскій циклъ (VII и VIII классы**)).

7. При обсужденіи указаннаго сейчасъ предположенія, сокращающаго продолжительность прохожденія нынѣшняго общеобразовательнаго курса средней школы до семи лѣтъ (начиная курсъ годомъ раньше, въ возрастѣ нынѣшняго приготовительнаго класса), разъясните, какъ вы смотрите на слѣдующія средства сего сокращенія:

а) Устраненіе расплывчатой многопредметности учебнаго плана средней школы и сосредоточеніе его на основательномъ прохожденіи немногихъ предметовъ, важнѣйшихъ по своему образовательному и воспитательному значенію.

б) Устраненіе излишнихъ подробностей въ предметахъ, включенныхъ въ учебный планъ школы.

в) Улучшеніе распредѣленія матеріаловъ преподаванія по классамъ, напримѣръ: болѣе раннее преподаваніе начальной алгебры ради устраненія нынѣ обычныхъ ариѳметическихъ и геометрическихъ головоломокъ съ помощію алгебраическаго метода.

г) Экономія учебнаго времени (не тратить часы классныхъ занятій непроизводительно и удлинять учебный годъ сокращеніемъ прогульныхъ дней).

*) Эта замѣна, конечно, явилась измѣной строгому классицизму, основы коего суть древніе языки и математика; но эта замѣна уже санкціонирована германскими и русскими реальными училищами, представляющими собою въ сущности новоязычную гимназію. При дополнительныхъ испытаніяхъ, указанныхъ ниже въ вопросѣ 8, для лицеиста отдѣленія А или В латинскій языкъ долженъ зачитываться вмѣсто спеціальнаго изученія одного изъ новыхъ языковъ.

**) Нумерація классовъ здѣсь употреолена русская, а не французская.

д) Употребленіе наглядныхъ пособій при объясненіи новыхъ понятій въ раннемъ возрастѣ.

8) Какое соотвѣтствіе должно, по вашему мнѣнію, существовать между спеціальными отдѣленіями лицейскаго курса и факультетами или отдѣленіями высшихъ учебныхъ заведеній? Какія дополнительныя испытанія нужно назначить лицеисту, прошедшему курсъ даннаго отдѣленія, если онъ поступаетъ въ несоотвѣтственный его лицейскому образованію типъ высшей школы?

Примѣчаніе. Предлагается обсудить слѣдующее примѣрное росписаніе соотвѣтствія спеціальныхъ лицейскихъ отдѣленій А, В, С и D и, съ другой стороны, типовъ высшаго образованія.

A. Отдѣленіе А готовитъ въ факультеты филологическій, юридическій (отдѣлъ чистаго права) и въ духовныя академіи.

B. Отдѣленіе В готовитъ въ факультеты филологическій (кромѣ отдѣла древней классической филологіи) и юридическій (отдѣлъ чистаго права).

C. Отдѣленіе С готовитъ въ факультеты физико-математическій и медицинскій, въ политехническіе институты и инженерныя училища (отдѣлы механическій, строительный, электротехническій и путей сообщенія).

D. Отдѣленіе D готовитъ въ факультеты физико-математическій, юридическій (административное и политико-экономическое отдѣленія) и медицинскій, въ институты сельско-хозяйственный и коммерческій и въ политехническій институтъ и инженерныя училища (отдѣлы: горный, путей сообщенія, экономическій меліораціонный, химико-техническій).

9. Какъ установить живую связь между старшими лицейскими отдѣленіями средней школы и соотвѣтственными факультетами и отдѣленіями высшей школы? Не должны ли профессора посѣщать среднія учебныя заведенія и участвовать въ лицейскихъ экзаменахъ по порученію факультета и учебнаго округа? Не должны ли при этомъ факультеты давать профессорамъ, посѣщающимъ старшія лицейскія отдѣленія средней школы, однообразныя инструкціи для наблюденія уровня лицейской, подготовительной къ факультетамъ, работы?

10. Факультетская подготовка наличнаго состава преподавателей существующихъ среднихъ учебныхъ заведеній достаточна ли, чтобы осуществить по предметамъ ихъ учебной спеціальности лицейское преподаваніе въ предѣлахъ программъ, удовлетворяющихъ факультетскимъ требованіямъ—минимумъ отъ лицейскаго образованія?

11. Не слѣдуетъ ли для завершенія образованія лицъ, не нашедшихъ себѣ, по окончаніи лицея, мѣстъ въ высшихъ учебныхъ заведеніяхъ, учреждать узко-практическіе спеціальные курсы, готовящіе образованныхъ слугъ родины и государства прямо въ жизнь, ставя общею цѣлію высшаго, средняго и низшаго законченнаго практическаго образованія всесторонній обхватъ всѣхъ дѣлъ Россіи по возможности своими внутренними силами?

Задачи.

122. Рѣшить уравненіе: 9х?—6 = 13ж.

М. Орбекъ.

123. Доказать тождество:

1.2 + 2.5 + 3.8 + .... + п(3п —1) = п\п + 1).

Л. Закуминскій.

124. Суммировать рядъ:

125. Черезъ данную точку М провести окружность, пересѣкающую двѣ данныя прямыя подъ данными углами а и ß1).

И. Александровъ.

126. Въ Московскомъ Кремлѣ, какъ извѣстно, имѣется Царь-Пушка; около нея лежатъ 4 сферическихъ ядра: три изъ нихъ лежатъ на плоскости земли, касаясь другъ-друга, а четвертое лежитъ на этихъ трехъ ядрахъ, касаясь всѣхъ ихъ. Если мы проведемъ плоскости, касательныя къ каждымъ тремъ ядрамъ, то получимъ четырегранникъ, описанный около четырехъ шаровъ. Зная радіусъ ядра, построить этотъ четырегранникъ и опредѣлить его объемъ.

Г. Ѳедоровъ.

127. На сторонахъ AB и ВС треугольника АВС взяты соотвѣтственно точки К и L такъ, что АК = CL. Найти геометрическое мѣсто точекъ пересѣченія прямыхъ AL и СК.

В. Шлыгинъ.

128. Доказать, что окружность, описанная около треугольника, не можетъ проходить чрезъ центръ внѣ-вписаннаго круга.

Н. Агрономовъ.

Рѣшенія задачъ.

№ 72. Даны три точки А, В и С и прямая СВ. Найти на этой прямой точку X такъ, чтобы Д АХС— 2 / ВХС.

1) Угломъ между прямой и окружностью называется уголъ этой прямой и касательной, проведенной въ точкѣ пересѣченія.

Положимъ сначала, что точки А и В расположены по одну сторону прямой CD. (см. чер.).

Построимъ: 1) BP J_ CD, 2) кругъ, принимая В за центръ и ВР за радіусъ и 3) касательныя AQ и AQX изъ точки А къ кругу. Точки пересѣченія X и Хг этихъ касательныхъ съ прямой CD суть искомыя точки, если только онѣ расположены внѣ отрѣзка СР (въ случаѣ имѣющемъ мѣсто на чертежѣ точка Х1 даетъ /_ АХ1D = 2BXxD, не соотвѣтствующую требованію задачи). Справедливость рѣшенія ясна: ABXQ = АВХР\ отсюда /_ QXB (или / АХВ) = / ВХР (или / ВХС), откуда / АХС =2 / ВХС.

Задача имѣетъ 2 рѣшенія (причемъ одно изъ нихъ или оба могутъ представлять /_ AXD = 2 /_BXD, а не /_АХС=2 / ВХС), если точка А внѣ круга (т. е. если ВА^> ВР), одно рѣшеніе, если точка А на окружности (т. е. если В А = ВР) и ни одного, если точка А внутри круга (т. е. если ВА<^ВР).

Если точки А и В расположены по разныя стороны прямой CD, то, построивъ точку В’, симметричную съ В относительно прямой CD, рѣшимъ, какъ выше, задачу для точекъ А и В'. Тогда найдемъ точку X, для которой /_ АХС= 2 / ВХС, но / ВХС = /_ ВХС, въ силу симметріи точекъ В' и В относительно CD, поэтому і_ АХС =2 І_ ВХС.

М. Орбекъ, Н. Щетининъ, К. Кульманъ, В. Добровольскій, В. Ефремовичъ (Москва), М. Новикова (Саратовъ), Д. Синцовъ1) (Харьковъ), А. Сердобинскій (Чита), И. Коровицкій (Сііб.), К. Верещагинъ (Козловъ), А. Ройзманъ (Смоленскъ), В. Лебедевъ (Омскъ), Н. Рубачевъ (Шуя), В. Кованько (ст. Струниыо).

№ 73. Даны три концентрическія окружности. Провести сѣкущую, опредѣляющую въ меньшей окружности хорду, равную отрѣзку сѣщей между большей и средней окружностями.

1) Будетъ напечатана замѣтка Д. М. Синцова, изслѣдующая аналитически болѣе общую задачу: даны три точки А, В, С и какая-либо прямая; найти на этой прямой точку X такъ, чтобы /_ АХС = 2 /_ ВХС.

Пусть задача рѣшена (см. чер.) и искомая сѣкущая есть XX {AB = DG = EF); ясно въ такомъ случаѣ, что такихъ сѣкущихъ можно еще построить сколько-угодно и изъ нихъ построимъ еще сѣкущую У У у XX, расположенную на такомъ же разстояніи отъ центра О. Полученная фигура (состоящая изъ трехъ данныхъ круговъ и изъ двухъ параллельныхъ сѣкущихъ XX и У У') имѣетъ ось симметріи: таковою служитъ прямая ZZ', проходящая черезъ центръ О и параллельная прямымъ XX' и УУ' (имѣется и другая ось симметріи, перпендикулярная къ ZZ', но она для рѣшенія задачи не нужна). Поэтому точки пересѣченія прямыхъ XX и УУ9 съ окружностями расположёны попарно на прямыхъ перпендикулярныхъ къ оси симметріи ZZ'; среди нихъ обратимъ вниманіе на точки D и М, а также на В и L. Мы имѣемъ DM _[_ХХ и LBL XX'. Отсюда вытекаетъ: 1) MC есть діаметръ внутренняго круга и 2) \LBA = &MD С, ибо оба они прямоугольные и у нихъ AB = CD по условію и LB = MD, какъ разстоянія между парал.. прямыми. Отсюда заключаемъ, что AL=CM, т. е. на HL, какъ на діаметрѣ, можно построить кругъ, равный внутреннему кругу, и онъ долженъ пройти черезъ точку В.

Теперь ясно рѣшеніе задачи: строимъ, принимая любую точку А внѣшняго круга за центръ, окружность радіусомъ равнымъ СМ (діаметру внутренняго круга); пусть эта окружность пересѣкается съ среднимъ кругомъ, и одна изъ точекъ пересѣченія есть L. Принимая отрѣзокъ AL за діаметръ, строимъ кругъ О', равный внутреннему кругу. Если кругъ Ö пересѣчетъ средній кругъ въ точкѣ В и внѣшній въ точкѣ К, то прямыя AB и KL являются парою параллельныхъ сѣкущихъ, удовлетво-

ряющихъ требованію задачи. Задача возможна, если діаметръ внутренняго круга больше или равенъ разности радіусовъ внѣшняго и средняго круговъ.

М Орбекъ, С. Кузьминъ, В. Ефремовичъ (Москва), А. Сердобинскій (Чита), А. Ройзманъ (Смоленскъ).

Получены также рѣшенія но пріемамъ приложенія алгебры къ геометріи отъ: В. Зайцъ (Полангенъ), К. Верещагинъ (Козловъ), Д. Авдыковичъ (Тула), В. Кованько ст. (Струнино).

№ 80. Кубъ пересѣчь плоскостью такъ, чтобы въ сѣченіи получился правильный п — угольникъ. Показать, что задача возможна только при п= 3, 4, 6.

Такъ какъ кубъ ограниченъ шестью плоскостями, то въ сѣченіи можетъ получиться фигура, имѣющая самое большое шесть сторонъ. Итакъ остаются для разсмотрѣнія случаи п = 3, 4, 5, 6. Легко убѣдиться, что всякая плоскость перпендикулярная къ діагонали куба дастъ въ сѣченіи правильный треугольникъ; точно такъ же всякая плоскость перпендикулярная къ ребру куба дастъ въ сѣченіи квадратъ. Пятиугольникъ могъ бы получиться, если бы сѣкущая плоскость пересѣкала изъ шести граней куба лишь пять. Но среди этихъ пяти непремѣнно окажется хоть одна пара параллельныхъ плоскостей, а потому въ сѣченіи получится пятиугольникъ имѣющій двѣ параллельныхъ стороны, а этого быть не можетъ, если пятиугольникъ правильный.

Чтобы получить правильный шестиугольникъ (см. чер.), стоитъ лишь соединить между собою точки M,N,P,Q,R,S—середины реберъ куба—FG, GH, НС, CD, AD, AF. Легко видѣть, что дѣйствительно всѣ шесть точекъ лежатъ на одной плоскости. Въ самомъ дѣлѣ, MN II FH и равна ——, RQ || АС и равна , но АС=\|= FH, а потому MN=\\=z RQ. Подобнымъ же образомъ убѣдимся, что всѣ стороны нашего плоскаго шестиугольника равны между собою. Изъ чертежа видно, что и діагонали у него будутъ равны между собою, а отсюда, какъ слѣдствіе выходитъ, что нашъ шестиугольникъ правильный. Нетрудно видѣть, что кубъ можно пересѣчь указаннымъ способомъ лишь четырьмя плоскостями.

М. Орбекъ (Москва), И. Коровицкій (С.-Петербургъ).

№ 81. Показать, что къ данной линіи можно провести параллельную черезъ данную точку, лежащую внѣ ея, пользуясь

при этомъ только линейкой съ двумя параллельными сторонами. (Доказательство не должно быть основано на свойствахъ подобныхъ треугольниковъ)

Прикладываемъ линейку къ данной точкѣ Р (см. чер.) и проводимъ по обѣ стороны ея линіи РА и SB, пересѣкающія данную прямую XX въ точкахъ А и В. Затѣмъ приводимъ линію ВС, параллельную SB и удаленную отъ нея на разстояніи равномъ ширинѣ линейки. Соединяемъ точки С и Р прямою линіею. Точку пересѣченія линій СВ и SB обозначаемъ буквою Q. Черезъ Q и А проводимъ линію QA до пересѣченія съ CR въ точкѣ R. Линія RP и будетъ искомая параллельная.

Легко убѣдиться, что QB есть средняя линія въ треугольникахъ ACR и АСР. Поэтому CQ= QP и AQ=QR. Итакъ, въ четыреугольникѣ ACRP діагонали СР и AR дѣлятся пополамъ, а потому четыреугольникъ ACRP параллелограммъ (Геом. Киселева. § 101. Изд. 21-ое). Слѣдовательно, ВР || XX.

В, Орбекъ (Москва), А. Сердобинскій (Чита), В. Кованько (ст. Струнино), В. Чичеринъ (Ярославль).

83. Рѣшить въ цѣлыхъ числахъ уравненіе;

2х2 4х = 2 А- у2.

Прибавивъ къ обѣимъ частямъ ур. по 2, придадимъ ему видъ:

2(х+1)2 = А +у2,

откуда слѣдуетъ, что у должно быть числомъ четнымъ. Поэтому правая, а слѣдовательно и лѣвая часть послѣдняго ур. дѣлятся на 4; отсюда (.r-pl) должно быть числомъ четнымъ. Полагая у = 2и: X + 1 = 2ѵ, гдѣ и и ѵ—числа цѣлыя, придадимъ ур. видъ

Sv2 = 4м2 -f- 4, или и~ — 2ѵ2 = — 1. (1)

Очевидными рѣшеніями ур. (1.) будутъ и — 1, ѵ— 1. Но извѣстно, что зная одну пару цѣлыхъ рѣшеній ур. х2— Ny2 = Hh 1 (а), можно найти безчисленное множество паръ его цѣлыхъ рѣшеній. Дѣйствительно, пусть х = а и y = ß суть цѣлыя рѣшенія ур. (а), тогда

причемъ, когда во 2-й части ур. имѣемъ -[-1, п можетъ имѣть всевозможныя значенія 0, 1, 2... а при—1 число п можетъ быть лишь нечетнымъ: п=1, 3, 5... Итакъ:

или

Полагая

найдемъ

Здѣсь хи у суть цѣлыя и положит. числа при всякомъ N и при п — 0, 1, 2, 3... когда въ правой части ур. (а.) стоитъ —j— 1, или при п = 1, 3, 5..., когда тамъ — 1. Обращаясь къ ур. (1), полагаемъ а = /?=!; тогда и и ѵ выразятся формулами:

и слѣдовательно

гдѣ п—любое нечетное цѣлое число. Полагая

найдемъ пары рѣшеній

Е. Л.-Г., Н. Щетининъ (Москва), А. Черновъ (Тула), А. Сердобинскій (Чита), В. Лебедевъ (Омскъ), И. Коровицкій (Спб.), В. Чичеринъ (Ярославль), Н Рубачевъ (Ростовъ), А. Городецкая (Козельскъ"), И. Евдокимовъ (Шуя).

90. Доказать, что выраженія

могутъ быть

представлены въ видѣ t2 -|-7м2, а выраженія

въ видѣ t2-\-llu2, при чемъ t и и раціонально выражаются чрезъ хи у.

I. Положивъ х = а-\~Ъ и у = а—Ь, будемъ имѣть:

Qß I |/ ßß _ у

Замѣнивъ а чрезъ —Пу и Ь чрезъ —— — , мы получимъ раціональныя выраженія для t и и чрезъ х и у.

Подставивъ (—у) вмѣсто у, подобнымъ же образомъ представимъ ------— въ видѣ t2 4- Іи2.

II. Примѣняя вышеизложенный пріемъ, имѣемъ:

Замѣнивъ здѣсь а чрезъ ——— и Ъ чрезъ -—-— , найдемъ для t и и раціональныя выраженія чрезъ х и у.

Если затѣмъ замѣнимъ у чрезъ (— у), то представимъ -----1— въ видѣ t- + 11“2-

М. С. Бритманъ (Николаевъ).

Библіографическій отдѣлъ.

И. И. Александровъ. Основанія ариѳметики соизмѣримыхъ чиселъ. Курсъ старшаго класса мужскихъ и женскихъ среднихъ учебныхъ заведеній. Третье изданіе. Цѣна 25 коп. 1913.

Небольшая, очень сжато изложенная, но тѣмъ не менѣе весьма подробно касающаяся почти всѣхъ вопросовъ курса теоретической ариѳметики брошюра-учебникъ г. Александрова представляетъ результатъ его многолѣтней педагогической практики. Какъ конспектъ, дающій въ немногихъ словахъ

почти все, что ученику старшихъ классовъ надлежитъ знать по курсу—она можетъ сослужить очень важную службу. Г. Александровъ стремится къ наибольшей отчетливости изложенія, приводитъ доказательства, болѣе руководясь въ ихъ изложеніи принципомъ удобопонятности для ученика, нежели научной аритмологической точности. Оттого немногія теоремы ариѳметики въ его брошюрѣ изложены не -совсѣмъ такъ, какъ это принято обычно въ теоретическихъ курсахъ, болѣе сжато и часто съ аксіоматическими допущеніями такихъ истинъ, которыя, хотя и подлежатъ доказательству, но на самомъ дѣлѣ представляются уму учащихся почти всегда слишкомъ очевидными.

Къ числу дефектовъ курса слѣдуетъ отнести нѣкоторую невыдержанность того стиля доказательствъ, которымъ авторъ пользуется. Нѣкоторыя теоремы онъ доказываетъ алгебраическимъ методомъ, въ общемъ видѣ,— другія же, напримѣръ, теорему о неизмѣняемости произведенія съ измѣненіемъ порядка множителей—посредствомъ нагляднаго метода съ „кубиками“, который едва ли можетъ быть признанъ умѣстнымъ въ старшемъ классѣ. Нелегко согласиться также съ такими опредѣленіями: „если вычитаніе сдѣлано вѣрно, то уменьшаемое должно равняться вычитаемому + разность и т. п. Въ самое понятіе вычитаемаго, уменьшаемаго и разности уже входитъ понятіе вѣрности ихъ полученія. Неясно выраженіе „число единицъ частнаго не зависитъ отъ значенія дѣленія“ (стр. 12). Логически неправиленъ порядокъ хода теоремъ на стр. 15: сначала доказательство теоремы о безконечно— большомъ количествѣ простыхъ чиселъ, а затѣмъ уже теорема 40 (если всѣ слагаемыя, кромѣ одного дѣлятся на одно число, то сумма не дѣлится на это число), на которой основана первая теорема. Всѣ эти дефекты, чисто частнаго характера, не нарушаютъ общаго впечатлѣнія серьезно продуманной и практически осознанной работы. Цѣна книжки, принимая во вниманіе ея значительную содержательность—очень не высока.

Л. С.

Засѣданія Московскаго Математическаго Кружка.

Въ засѣданіи 7-го ноября 1913 года были сдѣланы сообщенія:

И. В. Краснопѣвцевъ. Выводъ формулы объема шарового слоя.

А. А. Волковъ. Педагогическое значеніе работъ по основаніямъ геометріи.

Доклады вызвали оживленныя пренія.

Въ томъ же засѣданіи постановлено было устроить въ декабрѣ мѣсяцѣ совмѣстное засѣданіе съ Московскимъ Обществомъ изученія и распространенія физическихъ наукъ, посвященное вопросу о роли математики въ преподаваніи физики.

Въ засѣданіи 12 декабря 1913 г. были заслушаны доклады:

А. Н. Шапошниковъ. О преподаваніи алгебры послѣ начальной геометріи въ средней школѣ.

А. А. Волковъ. Отношеніе, несоизмѣримость и ирраціональное число въ геометріи.

Кромѣ того, былъ заслушанъ докладъ комиссіи по вопросу о желательныхъ измѣненіяхъ въ преподаваніи математики въ женскихъ гимназіяхъ.

14 декабря 1913 г. въ помѣщеніи Московскаго Педагогическаго Института имени Шелапутина состоялось соединенное засѣданіе Московскаго Математическаго Кружка и Московскаго Общества изученія и распространенія физическихъ наукъ, на которомъ были заслушаны доклады:

А. А. Волковъ. Математика съ точки зрѣнія математиковъ и физиковъ. А. В. Цингеръ. Книга Тимердинга о математикѣ въ учебникахъ фазики.

Опредѣленіе Ученаго Комитета Министерства Народнаго Просвѣщенія.

Департаментъ Народнаго Просвѣщенія увѣдомилъ редактора „Математическаго Образованія“ I. И. Чистякова (11 дек. 1913 г. за № 58739), что Министерство Народнаго Просвѣщенія, по разсмотрѣніи въ Ученомъ Коми-

тетѣ журнала Московскаго Математическаго Кружка: „Математическое Образованіе“ №№ 1—8 М. 1912 г., №№ 1 — 4 М. 1913 г., признало означенные номера вышеозаглавленнаго журнала заслуживающими вниманія при пополненіи ученическихъ библіотекъ среднихъ учебныхъ заведеній.

Новыя книги.

Годичный отчетъ Московскаго Общества изученія и распространенія физическихъ наукъ за 1912—13 г. М. 1913.

Отчетъ о дѣятельности Рижскаго Педагогическаго Общества за 1912—13 уч. годъ. Рига. 1913.

В. Я. Гебель. Систематическій сборникъ алгебраическихъ примѣровъ и задачъ для среднихъ уч. заведеній. Изд. 8-е. М. 1914. Ц. 90 к.

В. Я. Гебель. Основы графической алгебры и собраніе задачъ для ср. учеб. заведеній и высш. нач. училищъ. М. 1914. Ц. 15 к.

Н. Г. Лексинъ. Лабораторный методъ изученія геометріи. Опытъ практ. руководства по методикѣ геометріи. Казань. 1914. Ц. 2 р.

Прив.-доц. С. П. Слугиновъ. Основы теоріи чиселъ. Казань. 1913. Ц. 1 р. 25 к.

А. П. Постниковъ. Учебникъ физики для среди, учебн. заведеній. Ч. III. М. 1913. Ц. 1 р. 25 к.

Успѣхи астрономіи. Сборникъ статей подъ ред. А. Р. Орбинскаго. Изд. Mathesis. Одесса. 1914. Ц. 1 р. 50 к,

Е. Лефреръ. Цифры и цифровыя системы культурныхъ народовъ. Изданіе Mathesis. Одесса. 1914. Ц. 50 к.

П. Штернбергъ. Нѣкоторыя примѣненія фотографіи къ точнымъ измѣреніямъ въ астрономіи. М. 1913.

Сообщенія Харьковскаго Математическаго Общества. Т. ХІ\Г. № 1—2.1913.

С. Богомоловъ. Вопросы обоснованія геометріи. Ч. I. М. 1913. Ц. 1 р. 50 к.

И. Александровъ. Основанія ариѳметики соизмѣримыхъ чиселъ. Изд. 3-е. М. 1913. Ц. 25 к.

В. Снѣгиревъ. Практическій курсъ методики ариѳметики. Саратовъ. 1913. Цѣна 60 коп.

Теръ-Степановъ. Сборникъ ариѳметическихъ задачъ для среди, уч. заведеній, Ч. I. Цѣлыя числа. Спб 1913. Ц. 35 к.

Извѣстія Московскаго Коммерческаго Института. Экономическое отдѣленіе. Книга I. М. 1913.

Н. Извольскій. Начальный курсъ геометріи. М. 1914. Ц. 80 к.—Упражненія по начальному курсу геометріи. М. 1914. Ц. 20 к.

Д. А. Крыжановскій. О максимальныхъ и минимальныхъ свойствахъ плоскихъ фигуръ. Одесса. 1913. Ц. 50 к.

Н. В. Ельчаниновъ. Сборникъ простѣйшихъ опытовъ по природовѣдѣнію. Неживая природа. Руков. для учителей. Изд. 2-е. М. 1914.

Новый путь. Ариѳмет. задачникъ для начальныхъ школъ. 1-й годъ обученія. Сост. I. Мундтъ и перераб. подъ ред. В. И. Романова. М. 1914. Ц. 20 к. -Новый путь. Руков. для преподавателя. М. 1914. Ц. 50 к.

Опечатки въ № 7.

Стр. Стр. напечатано слѣдуетъ

Отвѣтственный редакторъ I. И. Чистяковъ.

Печатня А.И. Снегиревой Москва.

Открыта подписка на 1914-й годъ

на Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

„МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНІЕ“.

Журналъ выходитъ ежемѣсячно книжками отъ 2 до 3 печатныхъ листовъ за исключеніемъ мая, іюня, іюля и августа мѣсяцевъ.

Циркуляромъ Попечителя Московскаго Учебнаго Округа отъ 23 Марта 1912 года за № 10808 журналъ „Математическое Образованіе“ рекомендованъ для выписки въ ученическія и фундаментальныя библіотеки мужскихъ и женскихъ учебныхъ заведеній.

Циркуляромъ по военно-учебнымъ заведеніямъ 1913 года за № 12 рекомендованъ для обязательнаго пріобрѣтенія въ фундаментальныя библіотеки кадетскихъ корпусовъ и для ротныхъ библіотекъ старшихъ классовъ кадетскихъ корпусовъ.

Содержаніе журнала: 1) статьи по различнымъ отдѣламъ математики: оригинальныя и переводныя; 2) статьи по вопросамъ преподаванія математики и соприкасающихся наукъ; 3) очерки по исторіи математики, біографіи и портреты математиковъ; 4) библіографическій отдѣлъ; 5) вопросы и задачи; 6) математическая хроника; 7) Объявленія.

Цѣна 3 рубля въ годъ и 2 рубля на полгода еъ доставкой и пересылкой.

Цѣна отдѣльнаго № 50 к. съ перес. За перемѣну адреса 20 к.

ПОДПИСКА ПРИНИМАЕТСЯ ВЪ РЕДАКЦІИ:

Москва, Остоженка 7, кв. 88.

Журналъ за 1912 г.— 2 р. съ перес.

Если объявл. печат. 4 раза уступка 15 °/„. За 8 разъ уступ. 25 °/0.

За разсылку при журналѣ отдѣльныхъ приложеній вѣсомъ не болѣе 1 л. съ каждой 1000 экз. 8 р. За каждый лишній лотъ съ 1000 экз. 4 р.

Кніжные магазины пользуются 5% съ подписной цѣны.

Печатня А.И. Снегиревой Москва.

Вышли въ свѣтъ и поступили въ продажу новыя книги

И. С. ТЕРЪ-СТЕПАНОВЪ,

инженеръ пут. сообщ.

Сборникъ ариѳметическихъ задачъ ч. I. Цѣлыя числа. СПБ. 1913 г. ц. 35 к.

Опытъ графическихъ упражненій на дроби. (Курсъ пропедевтическій). СПБ. 1914 г. ц, 45 к.

Того же автора имѣются въ продажѣ:

Сборникъ геометрическихъ задачъ на вычисленіе.

Часть I. Планиметрія. 1912 г. СПБ. ц. 80 к.

Ученымъ Комитетомъ Мин. Нар. Просв. допущено въ качествѣ пособія для среди, учебн. зав.

Сборникъ геометрическихъ задачъ на вычисленіе.

Часть II. Стереометрія. 1912 г. СПБ. ц. 70 к.

Ученымъ Комитетомъ Мин'. Нар. Просв. допущено въ качествѣ пособія для среди, учебн. зав.

Сборникъ задачъ на примѣненіе тригонометріи къ геометріи. 1913 г. СПБ. ц. 60 к.

Ученымъ Комитетомъ Мин. Нар. Просв. допущено въ качествѣ пособія для мужск. гимн.

Сборникъ ариѳметическихъ задачъ.

Часть III. Отношенія, пропорціи, правила: тройныя, процентовъ, учета векселей, смѣшенія и пр. 1912 г. СПБ. ц. 40 к.

Ученымъ Комитетомъ Мин. Нар. Просв. допущено въ качествѣ пособія для средн. учебн. зав.

СКЛАДЪ ВЪ КНИЖН. МАГАЗ. КАРБАСНИКОВА.

С.-Петербургъ Гостинный дворъ.

Москва Моховая, д. 24.

Варшава Новый Свѣтъ, д. 69.

Печатня А.И. Снегиревой Москва.