Математическое Образованіе.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

Годъ второй.

№ 7.

Ноябрь 1913 г.

МОСКВА.

ИЗЪ РЕДАКЦІИ ЖУРНАЛА

„Математическое Образованіе"

можно выписывать портреты:

Анри Пуанкаре, И. Бернулли,

Л. Эйлеръ,

Лобачевскаго,

Лагранжа,

С. Ковалевской, Фермата.

фототипія

фото-тинто - гравюра

размѣромъ......... 38 X 29 сант.

Цѣна еъ перееылкой заказной бандеролью:

1 портр. —- 60 к. I (Можно почт. марк.).

3 и болѣе по 45 коп. за портретъ.

К. Г. Баше де-Мезиріакъ.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

„Математическое Образованіе“

Ноябрь 1913 г. Годъ 2-й. № 7.

СОДЕРЖАНІЕ: Клодъ-Гаспаръ Баше де Мезиріакъ. (Съ портрет.)—В. В. Бобынинъ. О геометрическомъ мѣстѣ точекъ, равноудаленныхъ отъ двухъ и трехъ прямыхъ въ пространствѣ.—В. В Добровольскій. Одно изъ доказательствъ теоремы Эйлера.— М. С. Бритманъ. Выпуклый многоугольникъ съ безконечно большимъ числомъ сторонъ.—Д. Синцовъ. Исторія математики въ книгѣ г. Мрочека „Прямолинейная тригонометрія и основанія теоріи гоніометрическихъ функцій“.—В. В. Бобынинъ. Замѣтка на ст. г. Н. Извольскаго „Къ ученію объ отношеніяхъ прямолинейныхъ отрѣзковъ и объ ихъ пропорціональности“.—А Киселевъ. Отвѣтъ г-ну А. Киселеву.—Н. А. Извольскій. Общія замѣчанія по поводу письменныхъ работъ оканчивающихъ реальныя училища. (1903—1912 т.).—Д Синцовъ. Промежуточная лицейская ступень между средней и высшей школами.—П. А. Некрасовъ. Задачи. Рѣшенія задачъ. О подготовительныхъ работахъ къ устройству 2-го всероссійскаго Съѣзда преподавателей математики. Библіографическій отдѣлъ. Засѣданія Московскаго Математическаго Кружка 10 октября 1913 года. Отъ Организаціоннаго Комитета I Всероссійскаго Съѣзда по вопросамъ народнаго образованія. Замѣтка по поводу статьи Е. С. Томашевича: „о периметрахъ и площадяхъ правильныхъ многоугольниковъ, вписанныхъ въ кругъ и описанныхъ около него“. (Математическое Образованіе, № 5—1913 г.)—А. А. Дмитровскій. Новыя книги.

Клодъ-Гаспаръ Баше де Мезиріакъ.

По поводу исполнившагося въ 1912 году 300-дѣтія со дня появленія въ свѣтъ его „Problèmes“.

В. В. Бобынинъ. Москва.

Появившись въ Западной Европѣ еще въ Средніе Вѣка, Неопредѣленный Анализъ и его изученіе оставались въ ней безъ сколько-нибудь замѣтнаго движенія впередъ до послѣдней четверти ХУІ вѣка. До этого времени ихъ существованіе въ странахъ, сдѣлавшихся для нихъ позднѣе новымъ отечествомъ, проявлялось только въ болѣе или менѣе удачныхъ рѣшеніяхъ отдѣльныхъ задачъ. Толчекъ къ дальнѣйшему ихъ движенію впередъ, представлявшійся въ началѣ въ скромной формѣ доставленія лицамъ, занимающимся математикою, средствъ для болѣе, чѣмъ прежде, основательнаго ознакомленія съ Неопредѣленнымъ Анализомъ, былъ данъ появленіемъ въ свѣтъ въ 1575 году перваго печатнаго перевода на латинскій языкъ „Ариѳметики“ Діофанта. Честь оказанной этимъ наукѣ важной услуги принадлежала профессору греческаго языка въ Гейдельбергѣ Вильгельму Гольцманну, болѣе извѣстному подъ именемъ Ксиландера. Слѣдующимъ за нимъ первымъ на почвѣ Западной Европы крупнымъ дѣятелемъ въ области Неопредѣленнаго Анализа и притомъ не только въ направленіи общемъ съ Гольцманномъ, но и въ чуждой для послѣдняго дальнѣйшей разработкѣ предмета, былъ ученый, очеркъ жизни и дѣятельности котораго составляетъ предметъ предлагаемой статьи.

Claude Gaspard Bachet, Sieur de Méziriac былъ однимъ изъ образованнѣйшихъ людей Европы первой половины XVII вѣка. „Нѣкоторые умы“, говоритъ одинъ изъ его біографовъ*), „энциклопедичны по природѣ и какова бы ни была стезя въ обширной сѣти человѣческихъ знаній, которую они встрѣчаютъ на своемъ пути, они слѣдуютъ ей безъ колебанія, нисколько не опасаясь заблудиться въ представляющихся имъ многоразличныхъ дорогахъ. Мезиріакъ былъ однимъ изъ нихъ“. Поэтъ, писавшій на языкахъ латинскомъ, французскомъ и итальянскомъ, глубокій алгебраистъ, неутомимый переводчикъ, возстановитель текстовъ, остроумный комментаторъ, серьезный ученый, точный біографъ, онъ обнималъ всю науку и литературу своего времени и если ничего не написалъ по предмету философіи, то тѣмъ не менѣе онъ владѣлъ ею въ ея современномъ ему видѣ вполнѣ. Отъ человѣка и ученаго, располагавшаго такими средствами, можно было съ полнымъ правомъ ожидать достиженія наилучшихъ результатовъ во всемъ, что онъ дѣлалъ предметомъ своихъ работъ и изслѣдованій. Въ той области человѣческаго знанія, которая особенно привлекала его къ себѣ, то есть въ области Неопредѣленнаго Анализа, это именно и наблюдается.

Баше де Мезиріакъ родился 9-го октября 1581 года въ Бургъ анъ Брессъ во Франціи. Въ дѣтствѣ онъ поражалъ окружающихъ раннимъ развитіемъ способности къ творчеству. Въ возрастѣ 10 лѣтъ онъ уже писалъ очень недурные стихи на латинскомъ языкѣ. По окончаніи курса ученія въ одной изъ сосѣднихъ съ его родиною іезуитскихъ коллегій, вѣроятно, въ Ліонской, онъ въ виду ясно выразившагося въ немъ къ этому времени сильнаго влеченія къ научнымъ занятіямъ рѣшилъ посвятить себя профессорской дѣятельности. Въ возрастѣ 20 лѣтъ онъ занялъ въ Миланскомъ Университетѣ каѳедру риторики, но, къ сожалѣнію, оставался на ней очень недолго, такъ какъ дурное состояніе его до крайности слабаго здоровья скоро заставило его отказаться отъ выбраннаго рода дѣятельности. Столь знакомыхъ другимъ дѣятелямъ науки препятствій къ этому для Баше де Мезиріакъ не существовало. Вполнѣ его обезпечивающее наслѣдство, полученное имъ отъ отца, позволяло ему устроить свою жизнь въ полномъ соотвѣтствіи съ требованіями своей природы какъ физической, такъ и духовной. Побывавъ нѣсколько разъ, главнымъ образомъ съ цѣлью пополненія своихъ знаній, въ Парижѣ и Римѣ, проведя нѣкоторое время при французскомъ дворѣ,

*) Kerviler. C.-G. Bachet seigneur de Méziriac. Paris. 1880.

гдѣ его даже хотѣли назначить учителемъ молодого Людовика XIII и, наконецъ, сдѣлавшись позднѣе однимъ изъ сорока основателей въ 1635 году Французской Академіи, онъ возвратился въ возрастѣ 30 лѣтъ въ свой родной Бургъ анъ Брессъ и тамъ поселился. Баше де Мезиріакъ умеръ 26 февраля 1638 года въ возрастѣ 56 лѣтъ, оставивъ послѣ себя семь человѣкъ дѣтей. Передъ смертью онъ работалъ надъ переводомъ Плутарха, который однакоже остался неоконченнымъ.

Первымъ появившимся въ свѣтъ математическимъ произведеніемъ Баше де Мезиріака были напечатанныя въ 1612 году въ Ліонѣ его знаменитыя Problèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres. Книга эта не только имѣла успѣхъ въ свое время, такъ какъ въ 1624 году вышла уже вторымъ изданіемъ, но не утратила интереса даже и въ настоящее время, какъ это слѣдуетъ изъ появленія въ 1874, 1879 и 1884 годахъ ея третьяго*), четвертаго и пятаго изданій. Значеніе между этими изданіями трехъ послѣднихъ усиливается еще тѣмъ обстоятельствомъ, что найти въ настоящее время экземпляръ перваго изданія совершенно невозможно, экземпляры же второго являются рѣдкостью даже во французскихъ библіотекахъ. Причиною предшествовавшаго другимъ математическимъ произведеніямъ автора появленія въ свѣтъ этой книги было, по объясненію его самаго, желаніе какъ испытать свои силы, такъ и угадать заранѣе имѣющія составиться въ будущемъ мнѣнія образованнаго общества о двухъ его сочиненіяхъ, „которыя касаются цѣлаго и совершеннаго знанія чиселъ и которыя онъ готовъ выпустить въ свѣтъ“ подъ заглавіями „Элементы ариѳметики“ и „Комментаріи къ Діофанту“.

Несмотря на свою легкую форму и общедоступность, „Задачи“ Баше де Мезиріака представляютъ очень серьезный математическій трудъ, содержащій въ себѣ много новыхъ доказательствъ, изящныхъ рѣшеній и математическихъ открытій въ настоящемъ смыслѣ слова. Въ немъ авторъ рѣшительнѣе, чѣмъ кто-нибудь до него, проникъ въ рѣшеніе въ цѣлыхъ числахъ задачъ Неопредѣленнаго Анализа и вполнѣ самостоятельно пришелъ къ обнаруженію постояннаго допущенія рѣшеній этого рода уравненіемъ

ax + by = с

при а и Ъ взаимно-первыхъ. Является такимъ образомъ не подлежащимъ никакому сомнѣнію открытіе Баше де Мезиріакомъ употребляемаго нынѣ метода рѣшенія неопредѣленнаго уравненія первой степени съ 2-мя неизвѣстными. До него этотъ ме-

*) Съ этого изд. былъ сдѣланъ русскій переводъ книги Баше, изданн. М. О. Вольфъ, 1877 г.

тодъ, хотя уже и давно изобрѣтенный индусами, никому не былъ извѣстенъ въ Западной Европѣ.

Съ большимъ интересомъ относился авторъ, какъ показываетъ его Предисловіе ко второму изданію, къ высказанному имъ по поводу 5-й задачи 1-го изданія, или 6-й второго, утвержденію: всегда мо;етъ быть найдено наименьшее изъ цѣлыхъ чиселъ кратныхъ одному данному числу и превосходящихъ цѣлое число, кратное другому данному числу, на одно и то же данное третье число при условіи, что два первыя изъ трехъ данныхъ чиселъ суть взаимно-первыя. Лишь высказанное въ первомъ изданіи, это предложеніе явилось вполнѣ доказаннымъ во второмъ, при чемъ для доказательства тамъ же были приведены изъ упомянутыхъ „Элементовъ ариѳметики“ десять предложеній, изъ которыхъ значительнѣйшимъ является слѣдующее: если а, Ъ, с,... числа между собою взаимно-первыя, М ихъ произведеніе и каждое изъ чиселъ nt и п2 меньше М, то остатки а1? fiv yt, ... и соотвѣтственно а2, ß2,y2, получаемые отъ дѣленія каждаго изъ двухъ чиселъ пг и п2 по порядку на а, Ь, с,... составятъ такія двѣ системы, изъ которыхъ первая никогда не можетъ совпасть со второю. Это предложеніе, какъ не трудно видѣть, лежитъ въ основѣ всякаго научнаго изложенія Теоріи чиселъ.

Изъ задачъ, составляющихъ разсматриваемую книгу, нѣкоторыя обращаютъ на себя вниманіе по своей близости къ встрѣчающимся въ произведеніяхъ болѣе раннихъ авторовъ, въ родѣ, наприм., задачи, названной Карданомъ Іосифовой игрою. Въ предисловіи къ второму изданію разсказывается даже исторія ея изобрѣтенія упоминаемымъ въ ея названіи Іосифомъ. Между задачами этого рода встрѣчаются также и обращающія на себя вниманіе пріемами своихъ рѣшеній. Какъ на замѣчательнѣйшія изъ такихъ задачъ можно указать на занимающіяся магическими квадратами, которые строятся но такъ называемому методу террасъ

Кромѣ указанныхъ сейчасъ заслугъ передъ наукой, за „Задачами, Ваше де Мезиріака должна быть признана и еще одна, не уступающая имъ по важности. Она состояла, именно, въ привлеченіи, благодаря представляемому собранными задачами интересу, большаго, чѣмъ прежде, вниманія современниковъ къ предметамъ, къ которымъ эти задачи относились, т.-е. къ Неопредѣленному Анализу и къ Теоріи чиселъ.

„Задачи“ Ваше де Мезиріака доставили ему рядъ подражателей, которые въ лицѣ Лейрехона, Швентера и др. также, какъ и онъ, выступали въ печати съ представлявшими ихъ произведенія сборниками задачъ. Самымъ значительнымъ изъ нихъ былъ

Жакъ Озанамъ (1640—1717), обязанный своею славою, на родинѣ главнымъ образомъ, именно такому составленному имъ сборнику задачъ, который онъ издалъ въ 1694 году въ Парижѣ въ 2 томахъ подъ заглавіемъ Récréations mathématiques et physiques etc. Появленіе въ свѣтъ этого труда, также какъ до и послѣ него другихъ того же рода, и составляло главную, если не единственную причину только при ея наличности и понятнаго отсутствія новыхъ изданій „Задачъ“ Баше де Мезиріака въ теченіе всей четверти тысячелѣтія, раздѣляющей годы 1624-й и 1874-й.

Изъ двухъ названныхъ выше сочиненій Баше де Мезиріака, предшественникомъ которыхъ были „Задачи“, вышли въ свѣтъ только „Комментаріи къ Діофанту“, состоявшіе главнымъ образомъ изъ греческаго текста сочиненій Діофанта и потому напечатанные подъ заглавіемъ „Diophanti Alexandrini arithmeticorum Libri sex et de numeris multangulis Liber unus“. Что же касается „Элементовъ ариѳметики“, то они сохранялись въ рукописи еще въ XVIII вѣкѣ и въ этомъ видѣ разсматривались многими изъ видныхъ ученыхъ, дававшими о нихъ самые лестные отзывы. Не смотря на это, они все-таки напечатаны не были, и въ настоящее время едва-ли не утрачены окончательно.

„Комментаріи къ Діофанту“ были напечатаны въ Парижѣ въ 1621 году и очень скоро послѣ своего появленія въ свѣтъ сдѣлались событіемъ въ ученомъ мірѣ. Въ Германіи ихъ нѣсколько разъ перепечатывали. Многіе же изъ знаменитѣйшихъ математиковъ эпохи и между ними Декартъ и Ферма отзывались о нихъ съ величайшей похвалой. Вышедшее въ 1670 году въ Тулузѣ ихъ новое изданіе не только было подготовлено къ печати при непосредственномъ участіи самаго Ферма, но и заключало въ себѣ написанныя имъ примѣчанія и дополненія. „Комментаріи къ Діофанту“ состояли, кромѣ упомянутаго уже греческаго текста его сочиненій, также и изъ ихъ перевода на латинскій языкъ и многочисленныхъ, часто очень цѣнныхъ, примѣчаній переводчика. Этими послѣдними Баше де Мезиріакъ однако же не ограничился. Онъ сдѣлалъ очень много также и для исправленія испорченнаго переписчиками текста. Текстъ былъ пересмотрѣнъ имъ на основаніи сличенія текстовъ перевода Ксиландера и трехъ рукописей, изъ которыхъ одна принадлежала Ватиканской библіотекѣ, другая Палатинской и третья Королевской Парижской. Въ своемъ „Предисловіи“ къ „Комментаріямъ“ Баше де Мезиріакъ говоритъ, что при пересмотрѣ текста не было ни одного вопроса, котораго не пришлось бы измѣнить, прибавляя или отнимая отъ него что-нибудь. Имъ также было очень много сдѣлано и для

разъясненія всего оставленнаго самимъ Діофантомъ неяснымъ или недосказаннымъ въ своемъ изложеніи заключающихся въ его сочиненіи процессовъ. Онъ сдѣлалъ и еще болѣе, прибавивъ къ своимъ „Комментаріямъ“ сверхъ всего уже указаннаго еще и множество вопросовъ, которыхъ до него никто или не предлагалъ, или не объяснялъ, и которые проливаютъ очень много свѣта на нѣкоторые изъ вопросовъ греческаго математика.

Къ рѣшеніямъ въ цѣлыхъ числахъ неопредѣленныхъ задачъ первой степени, съ которыми, по вышеизложенному, Баше де Мезиріакъ имѣлъ дѣло въ „Задачахъ“, онъ не разъ возвращался и въ своихъ дополненіяхъ къ Діофанту. Важнѣйшимъ изъ представляемыхъ ими случаевъ этого рода является составляющій дополненіе къ 41-й задачѣ IV-й книги Діофанта*). При употребленіи новѣйшаго знакоположенія, которымъ, конечно, Баше де Мезиріакъ не могъ пользоваться, но которое необходимо для краткости изложенія, данное имъ рѣшеніе разсматриваемой въ дополненіи задачи представляется въ слѣдующемъ видѣ. Должны быть рѣшены уравненія

Такъ какъ

то

Но при этомъ

что съ помощью вычитанія приводитъ къ

то есть къ

и, кромѣ того, къ

Всякое значеніе х позволяетъ, слѣдовательно, опредѣлить такія значенія у и #, которыя вмѣстѣ съ нимъ будутъ удовлетворять

*) См. стр. 194—198 по тулузскому изданію 1670 года.

обоимъ предложеннымъ уравненіямъ. Для Діофанта здѣсь было бы достаточно только однихъ положительныхъ рѣшеній. Но Баше де Мезиріакъ идетъ дальше и требуетъ, чтобы эти положительныя рѣшенія представлялись цѣлыми числами. Прежде всего, поэтому,

должно быть положительнымъ и слѣдовательно

или также

Требуемыми Баше де Мезиріакомъ цѣлыми значеніями х, удовлетворяющими этому неравенству, будутъ всѣ цѣлыя числа отъ 1 до 7 включительно. Но цѣлымъ числомъ въ силу того же требованія должно быть также и

для чего, какъ не трудно видѣть, выраженіе

1 —Зд?

должно дѣлиться безъ остатка на 8—условіе, которому изъ всѣхъ найденныхъ цѣлыхъ значеній х удовлетворяетъ только значеніе

X = 5.

Итакъ требуемыми Баше де Мезиріакомъ положительными и цѣлыми рѣшеніями предложенныхъ уравненій будутъ

X —— 5, у — 3, z —- 33.

Допущеннымъ въ приведенной передачѣ изложенія Баше де Мезиріака важнымъ отступленіемъ отъ него является нахожденіе значенія я = 5, которое велось въ немъ длиннымъ, а потому и скучнымъ, путемъ попытокъ.

Послѣднее предложеніе состоящей изъ шести книгъ уцѣлѣвшей части „Ариѳметики“ Діофанта дало Баше де Мезиріаку поводъ къ приведенію ряда задачъ на представляемые цѣлыми

числами прямоугольные треугольники. Изъ этихъ задачъ 20-я касается нахожденія прямоугольнаго треугольника, имѣющаго данную площадь.

Въ заключеніи Предисловія къ „Комментаріямъ къ Діофанту“ содержится указаніе, что, кромѣ „Элементовъ ариѳметики“, Баше де Мезиріакъ думалъ выпустить въ свѣтъ также еще и другое свое сочиненіе, именно очень объемистый трактатъ „О геометрическихъ вопросахъ“, которые могутъ быть рѣшены посредствомъ алгебры. Это сочиненіе, повидимому, постигла та же участь, какъ и „Элементы ариѳметики“.

О геометрическомъ мѣстѣ точекъ, равноудаленныхъ отъ двухъ и трехъ прямыхъ въ пространствѣ.

В. В. Добровольскій. Москва.

Методъ геометрическихъ мѣстъ является однимъ изъ плодотворнѣйшихъ методовъ при рѣшеніи задачъ на построеніе, объединяя въ одну группу большое количество задачъ, приводящихся къ нахожденію точки. Извѣстно, что онъ состоитъ въ отбрасываніи одного изъ условій задачи, вслѣдствіе чего задача становится неопредѣленной, и мы получаемъ цѣлый рядъ точекъ, удовлетворяющихъ остальнымъ условіямъ. Если мы имѣемъ дѣло съ задачами на плоскости, то этотъ рядъ точекъ образуетъ одну или нѣсколько, но во всякомъ случаѣ конечное число линій. Дальнѣйшее отбрасываніе еще одного условія дѣлаетъ задачу совершенно неопредѣленной, такъ что, вообще говоря, всякая точка плоскости удовлетворяетъ оставшимся условіямъ. Не то въ пространствѣ; здѣсь опредѣленность задачи требуетъ большаго числа условій на одно, поэтому, не дѣлая задачу совершенно неопредѣленной, мы можемъ отбросить и одно, и два условія. Въ первомъ случаѣ получаемъ, какъ и на плоскости, геометрическое мѣсто, состоящее изъ конечнаго числа линій; во второмъ—найдемъ поверхность. Ограничиваясь въ элементарной геометріи лишь тѣми геометрическими мѣстами, которыя выражаются прямыми линіями и окружностями на плоскости, и почти не касаясь геометрическихъ мѣстъ въ пространствѣ, чрезвычайно съуживаютъ область примѣненія этого метода, но даже и при такомъ ограниченіи открываются весьма любопытныя и новыя свойства извѣстныхъ уже линій. Кривыя 2-го порядка доставляютъ богатый матеріалъ геометрическихъ мѣстъ на плоскости; включая же въ

разсмотрѣніе поверхности 2-го порядка, мы открываемъ въ нихъ нѣкоторыя свойства, которыя обычно ускользаютъ отъ вниманія.

Задача настоящей замѣтки заключаетея въ опредѣленіи геометрическаго мѣста точекъ, равноудаленныхъ отъ двухъ и трехъ прямыхъ въ пространствѣ. Эту задачу можно было бы рѣшить непосредственно методомъ аналитической геометріи, написавъ выраженія разстояній точки (х, у< ъ) отъ двухъ прямыхъ, данныхъ уравненіями, и приравнявъ эти выраженія. Получается уравненіе поверхности 2-го порядка, но довольно сложнаго вида, затрудняющаго дальнѣйшее изслѣдованіе поверхности. Соотвѣтственнымъ выборомъ координатныхъ осей можно достигнуть того, что это уравненіе приметъ весьма простой видъ. Извѣстно, что для двухъ прямыхъ въ пространствѣ существуетъ единственная третья прямая, пересѣкающая обѣ данныя подъ прямымъ угломъ, прямая, отрѣзокъ которой между данными даетъ ихъ кратчайшее разстояніе. Эту прямую мы примемъ за ось Oz, а начало О выберемъ въ срединѣ этого кратчайшаго разстоянія, обозначая величину послѣдняго чрезъ 2h. Тогда плоскость хОу окажется параллельной даннымъ прямымъ AB и АXBX\ проводя черезъ О линіи ОС У AB и 0Сг II АгВг, находимъ равнодѣлящія угловъ между ними и принимаемъ ихъ за оси Ох и Оу\ если уголъ между данными прямыми равенъ 2а, то углы СОх и Сг Ох равны каждый а. Пусть теперь М есть одна изъ точекъ искомаго геометрическаго мѣста, а МР и МРг — перпендикуляры, опущенные изъ нея на прямыя AB и АгВг (см. черт. 1); тогда, опуская изъ М и изъ Р перпендикуляры ММ1 и PD на плоскость хОу (послѣдній упадетъ на ОС и будетъ къ ней перпендикуляренъ), мы найдемъ, что Ab, а, слѣд., и ОС перпендикулярно къ плоскости MD, что при водитъ къ тому, что AfjD^OC'; если кромѣ того МгМ2_\_ Ох, то ВМ1М2=а. Такъ какъ MXD есть проекція ломаной 0МоМг на направленіе, перпендикулярное къ 0(7, то

Чер. 1.

Съ другой стороны

ММ1 = s, а FD = h,

поэтому МР2 = (у cos а-\-х sin а)2 -f- {h — s)2.

Аналогично получаемъ

МР12 = (у cos а — X sin z)2-\- (h-\-z)2.

Полагая MP = МРІУ получимъ уравненіе, которое послѣ несложныхъ преобразованій принимаетъ видъ

или

гдѣ

Это и есть уравненіе искомаго геометрическаго мѣста; по его виду мы заключаемъ, что мы имѣемъ гиперболическій параболоидъ, отнесеннный къ двумъ образующимъ, проходящимъ черезъ вершину, и къ оси его. На основаніи этого уравненія нетрудно построить поверхность; замѣчая прежде всего, что оси Ох и Оу принадлежатъ ей, строимъ образующія для ряда произвольно выбранныхъ точекъ на оси Ох или Оу, т. е. полагая # = пост. или у = пост.; или, построивши по одной образующей каждой изъ двухъ системъ, остальныя получаемъ извѣстнымъ построеніемъ.

Доказательство того, что искомое геометрическое мѣсто есть гиперболическій параболоидъ, можетъ быть получено чисто геометрическимъ путемъ, безъ обращенія къ уравненіямъ. Для этого прежде всего докажемъ, что линіи Ох и Оу, построенныя вышеуказаннымъ образомъ, принадлежатъ этому мѣсту. Въ самомъ дѣлѣ, если М3 есть одна изъ точекъ Ох, то, проведя MbN Ох и NQ _[_ ОС, найдемъ, что M3ÇJL AB и аналогично -M3Ç J_-4^; но въ прямоугольныхъ треугольникахъ M%NQ и MSN1Q1 имѣемъ MSN=MSN1 и NQ = N1Q1, поэтому MSQ=MSQV Такимъ же образомъ убѣждаемся въ аналогичномъ свойствѣ линіи Оу. Пусть теперь мы имѣемъ точку М, принадлежащую искомому мѣсту и не лежащую ни на Ох, ни на Оу, и пусть ММ2 есть перпендикуляръ, опущенный изъ М на 0х\ докажемъ, что этотъ перпендикуляръ также весь принадлежитъ искомому мѣсту, т. е., сдѣлавши для какой-нибудь его точки К такое же построеніе, какъ

и для М, докажемъ, что KR = KRvJ\nn. этого совмѣстимъ плоскость MDX съ плоскостью MD, вращая ее вокругъ ММЪ и плоскость KGX съ плоскостью KG, вращая ее вокругъ ККг; полученные чертежи проектируемъ на плоскость, перпендикулярную къ AB (они спроектируются въ натуральную величину), на которую также спроектируемъ и линію КММ2 (см. черт. 2).

При этомъ проекція точки М2 совмѣстится съ точками Е и Ег и будетъ дѣлить DDX пополамъ, вслѣдствіе чего линія РЕРг будетъ прямая и будетъ также въ точкѣ Е дѣлиться пополамъ.

Но при указанномъ проектированіи проекціи точекъ R и Р съ одной стороны и Rx и Рх съ другой совпадутъ, и такъ какъ МР = МРѴ то КЕ±РРѴ а слѣд, и КР = КР1.

Итакъ, если точка М принадлежитъ искомому мѣсту, то и весь перпендикуляръ, опущенный изъ нея на Ох ему принадлежитъ. Повторяя то же разсужденіе, найдемъ, что этому мѣсту принадлежитъ также перпендикуляръ, опущенный изъ М на Оу. И такъ какъ точка М выбрана нами произвольно, то, перемѣщая ее вдоль каждаго изъ указанныхъ перпендикуляровъ, найдемъ на нашемъ геометрическомъ мѣстѣ двѣ системы прямолинейныхъ образующихъ, причемъ всѣ образующія одной и той же системы параллельны плоскости yOz и соотв. xOz и пересѣкаютъ каждую образующую другой системы, а это свойство, какъ извѣстно, и характеризуетъ гиперболическій параболоидъ. Построеніе другихъ образующихъ кромѣ тѣхъ, которыя выходятъ изъ точки М, можетъ быть произведено и другимъ извѣстнымъ способомъ пропорціональнаго дѣленія отрѣзковъ образующихъ, способомъ, напоминающимъ построеніе гиперболы по ассимптотамъ и точкѣ. Самая точка М можетъ быть получена пересѣченіемъ двухъ цилиндрическихъ поверхностей произвольныхъ, но равныхъ радіусовъ, описанныхъ вокругъ данныхъ прямыхъ, какъ осей; за точку М можетъ быть взята любая точка этой линіи пересѣченія.

Для частнаго случая двухъ пересѣкающихся прямыхъ наше геометрическое мѣсто обращается въ двѣ плоскости, проходящія черезъ равнодѣлящія угловъ между данными прямыми и перпендикулярныя къ плоскости этихъ прямыхъ.

Переходимъ къ случаю трехъ прямыхъ въ пространствѣ. Послѣ сказаннаго ясно, что это геометрическое мѣсто получимъ въ пересѣченіи двухъ гиперболическихъ параболоидовъ, построенныхъ для двухъ паръ изъ трехъ данныхъ прямыхъ; это пересѣ-

Чер. 2.

ченіе образуетъ кривую 4-го порядка въ пространствѣ, состоящую изъ 4-хъ отдѣльныхъ незамкнутыхъ вѣтвей. Ясно, что эта кривая будетъ также принадлежать и гиперболическому параболоиду, построенному для третьей пары данныхъ прямыхъ. При различномъ относительномъ расположеніи данныхъ прямыхъ здѣсь могутъ представиться слѣдующіе частные случаи:

1) Одна прямая пересѣкаетъ каждую изъ двухъ другихъ. Въ этомъ случаѣ два геометрическихъ мѣста обращаются въ пару плоскостей каждое; они даютъ въ пересѣченіи 4 прямыхъ. Эти 4 прямыхъ, очевидно, суть двѣ пары прямолинейныхъ образующихъ третьяго геометрическаго мѣста.

2) Всѣ три прямыя попарно пересѣкаются, что возможно лишь въ томъ случаѣ, когда всѣ онѣ лежатъ въ одной плоскости. Въ этомъ случаѣ геометрическое мѣсто обращается въ 4 перпендикуляра къ этой плоскости въ центрахъ вписаннаго и трехъ внѣвписанныхъ круговъ въ треугольникъ, образованный данными прямыми. Если прямыя кромѣ того пересѣкаются въ одной точкѣ, то всѣ 4 перпендикуляра сливаются въ одинъ, возстановленный въ этой точкѣ.

3) Всѣ три прямыя пересѣкаются въ одной точкѣ и лежатъ въ разныхъ плоскостяхъ. Геометрическое мѣсто обращается въ 4 прямыя, проходящія черезъ общую точку данныхъ прямыхъ и расположенныхъ внутри 8 трехгранныхъ угловъ, для которыхъ данныя прямыя служатъ ребрами. Принимая общую точку за центръ шара радіуса единицы, найдемъ, что эти 4 прямыя отмѣчаютъ на поверхности шара центры окружностей, описанныхъ вокругъ 8 сферическихъ треугольниковъ, вершины которыхъ отмѣчаются тремя данными прямыми. Если общая точка данныхъ прямыхъ удаляется въ безконечность, т. е. онѣ становятся параллельными, то изъ 4-хъ прямыхъ остается одна, параллельная даннымъ, а другія три удаляются въ безконечность.

Наконецъ, взявши 4 данныхъ прямыхъ, мы получимъ опредѣленную задачу о нахожденіи точки, равноудаленной отъ нихъ, или, что одно и то же, о построеніи шара, касательнаго къ нимъ. Примѣняя для рѣшенія задачи указанныя выше геометрическія мѣста, найдемъ 8 искомыхъ точекъ. Шесть параболоидовъ, которые могутъ быть построены для шести комбинацій данныхъ прямыхъ по двѣ, могутъ быть въ свою очередь разбиты на 4 группы по 3 въ каждой соотвѣтственно 4 комбинаціямъ изъ данныхъ прямыхъ по 3, группы, внутри которыхъ всѣ три параболоида пересѣкаются по одной и той же кривой, а всѣ 4 кривыя имѣютъ 8 общихъ точекъ, принадлежащихъ такимъ образомъ

также и всѣмъ шести параболоидамъ. Опредѣленность этой задачи указываетъ, между прочимъ, на то, что задача о построеніи шара, касающагося реберъ даннаго тетраедра, есть, вообще говоря, задача невозможная и требуетъ для своего рѣшенія нѣкоторыхъ ограничительныхъ условій для взаимнаго положенія шести реберъ тетраедра,—напр. это возможно для правильнаго тетраедра; между тѣмъ вписать и описать шаръ, какъ извѣстно, можно для всякаго тетраедра. Однако, изслѣдованіе этихъ условій уже выходитъ изъ рамокъ настоящей замѣтки.

Въ заключеніе замѣтимъ, что найденный параболоидъ представляетъ указанное геометрическое мѣсто не только для данной пары прямыхъ, но и для безчисленнаго множества другихъ паръ, для которыхъ

какъ это видно изъ уравненія параболоида. Всѣ эти прямыя пересѣкаютъ ось Oz и параллельны плоскости хОу и образуютъ особую линейчатую поверхность, т. наз. коноидъ; одна изъ его направляющихъ, по которой скользитъ образующая, оставаясь параллельной плоскости хОу, есть ось Oz; за другую направляющую можетъ быть принята любая кривая на этой поверхности, пересѣкающая всѣ образующія; удобно, напр., выбрать линію пересѣченія этой поверхности съ круглымъ цилиндромъ, имѣющимъ осью Oz. Если поверхность этого цилиндра развернуть на плоскость, то направляющая развернется въ синусоиду, двѣ волны которой помѣщаются на одной длинѣ развернутой окружности основанія цилиндра.

Одно изъ доказательствъ теоремы Эйлера.

М. С. Бритманъ (гор. Николаевъ).

Здѣсь имѣется въ виду слѣдующая теорема Эйлера: „Разность — 1 дѣлится на р, если а и р числа взаимно простыя и <р(р) означаетъ число всѣхъ чиселъ взаимно простыхъ съ р и не превосходящихъ ри. Изъ этой теоремы вытекаетъ извѣстная теорема Ферма: „Разность а^~1 — 1, при р простомъ и а не дѣлящемся на р, дѣлится на р". Дѣйствительно, если въ теоремѣ Эйлера р будемъ считать простымъ, то она обратится въ теорему Ферма, такъ какъ <р(р)=р — 1 при р простомъ.

Теорема Эйлера, являющаяся обобщеніемъ упомянутой тео-

ремы Ферма, обычно доказывается независимо отъ этой послѣдней. Въ настоящей замѣткѣ предлагается другое доказательство теоремы Эйлера, основанное на теоремѣ Ферма, для которой существуетъ нѣсколько доказательствъ, совершенно независящихъ отъ теоремы Эйлера.

Докажемъ сначала лемму:,, Если х — у дѣлится на nk , то хп —уп дѣлится на

Обозначивъ X — у дерезъ d, будемъ имѣть:

Въ послѣднемъ выраженіи для хп — уп каждый членъ дѣлится на nk + *, а потому и хп — уп дѣлится на 1.

Теорема I. Разность ар{Р ~ —1 при р простомъ и а не дѣлящемся на р дѣлится на р2.

Дѣйствительно, по теоремѣ Ферма, ар ~ 1 — 1 дѣлится на р. Принимая это во вниманіе и замѣчая, что

ар(р -1) _ ! = (аР - У — 1Р,

на основаніи выше доказанной леммы заключаемъ, что аР(Р — !) — 1 дѣлится на р2.

Теорема II. Разность аР*-(Р — 1) — 1 при р простомъ и а не дѣлящемся на р дѣлится на pk + г.

Докажемъ, что если арт{Р~ —1 дѣлится на рт~^\ то арт (р - 1) — I дѣлится на рт 2.

Въ самомъ дѣлѣ, арт —1 = \арт(Р ~~ —1 р и аРт(Р - 1) — ^ по сдѣланному допущенію, дѣлится на рт -+-г. На основаніи выше приведенной леммы заключаемъ, что аРт ](р “1} — 1 дѣлится на рт + 2.

Въ виду этого и принимая во вниманіе, что, по теоремѣ I ар(р-Ѵ—1 дѣлится на р2, находимъ, что

ар\р -1) — I дѣлится на р3, арНр — I) — 1 дѣлится на р4 и, вообще, a,Pk(P -V — 1 дѣлится на pk-*-]-

Теорема Эйлера. Пусть р число составное, равное Ък . с1... hr, гдѣ Ь, с,... ,h различныя между собою простыя числа и пусть а не имѣетъ съ р общихъ дѣлителей (а и р взаимно простыя числа). Въ этомъ случаѣ а<р(&—1 дѣлится на р. Здѣсь ср{р) обозначаетъ число чиселъ взаимно простыхъ съ р и не превосходящихъ р.

Извѣстно, что

(р{р) = Ък~ *(Ъ — 1). с/_1(с— 1)... hr - l(h — 1);

слѣдовательно

а<р(р) — і = [ас'Т1(с-і)--.лг~1 (/,- і]**-Ѵ-і)_ it

откуда, по теоремѣ II, заключаемъ, что ач>№ — 1 дѣлится на Ък. Такъ же можно доказать, что а<р№ — 1 дѣлится порознь на c\...,hr. Далѣе, такъ какъ а ѵ(р) — 1 дѣлится на каждое изъ чиселъ Ьк, с1,..., hr и такъ какъ эти числа попарно взаимно простыя, то ая>{р) — 1 дѣлится на ихъ произведеніе, т. е. на число р.

Примѣчаніе I. Подобнымъ образомъ можно доказать, что ат — 1 дѣлится на р, гдѣ, при прежнихъ значеніяхъ а и р, т обозначаетъ наименьшее общее кратное чиселъ Ь*-1, (Ъ—1), с'-1, (с — 1),.. ,,hr-1 и (h— 1).

Примѣчаніе II. Изложенное доказательство теоремы Эйлера предполагаетъ извѣстной формулу для числа простыхъ чиселъ, не превосходящихъ даннаго числа.

Выпуклый многоугольникъ съ безконечно большимъ числомъ сторонъ.

Д. Синцовъ. Харьковъ.

Въ книжкѣ А. Киселева „Начала дифференціальнаго и интегральнаго исчисленій“ (изд. 2) встрѣчается примѣръ на безпредѣльно возрастающія величины: „сумма внутреннихъ угловъ многоугольника 8= 2d (п — 2) (1) съ возрастаніемъ п до безконечности стремится къ безконечности или безпредѣльно возрастаетъ“.

Формально это, конечно, правильно: всякій выпуклый многоугольникъ разбивается прямыми проведенными къ его вершинамъ изъ точки О внутри его на п треугольниковъ, сумма угловъ коихъ 2nd, уменьшенная на сумму угловъ при 0, т. е., 4d даетъ извѣстную формулу (1), въ которой п можетъ быть сколь угодно велико, и которая при достаточно большомъ п даетъ величину, большую всякой другой сколь угодно большой величины.

И тѣмъ не менѣе этотъ примѣръ мнѣ кажется не подходящимъ въ элементарномъ курсѣ. Въ самомъ дѣлѣ, кромѣ числа S, безпредѣльно возрастающаго вмѣстѣ съ п, въ примѣрѣ фигурируетъ еще и самый многоугольникъ, и обращая вниманіе только на (1), мы забываемъ, что дѣлается съ самымъ многоугольникомъ.

А между тѣмъ, если мы допустимъ, что всѣ стороны многоугольника имѣютъ конечную, отличную отъ нуля величину, то при безпредѣльномъ возрастаніи числа ихъ получится многоугольникъ безконечно большихъ размѣровъ: стороны его при достаточно большомъ п будутъ сколь угодно далеко удалены отъ лежащей внутри на произвольной точки 0, и въ предѣлѣ будутъ лежать всѣ въ безконечности. Въ предѣлѣ нашъ многоугольникъ исчезаетъ.

Возьмемъ другой случай. Конечными остаются одна или нѣсколько сторонъ; можно даже предположить, что онѣ фиксированы и но положенію: AB, CD, BF, HG. Пусть далѣе всѣ остальныя вершины, при возрастаніи числа ихъ остаются внутри нѣкоторой области, напр. внутри круга описаннаго изъ точки О наибольшимъ изъ радіусовъ О А, ОС,... ОН, и разстоянія между сосѣдними вершинами безпредѣльно уменьшаются.

Тогда въ предѣлѣ вершины В и С, F к G, Н л А окажутся соединенными уже не ломанными, а кривыми линіями. (См. чер.).

Хотя многоугольникъ сохранилъ конечную величину, тѣмъ не менѣе говорить о суммѣ его внутреннихъ угловъ представляется затруднительнымъ, ибо эти углы въ криволинейныхъ частяхъ образуются двумя послѣдовательными касательными И хотя самую кривую мы для полученія касательной разсматриваемъ какъ ломанную съ безконечно-большимъ числомъ сторонъ, но самое понятіе слишкомъ сложно, чтобы его не разъяснить. А при этомъ разъясненіи отойдетъ въ сторону н забудется самая цѣль предложеннаго примѣра,—простой фактъ, что Ап -|- В при А^> О можетъ быть сдѣлано сколь угодно большимъ при достаточно большомъ п.

Не поможетъ и упрощающее предположеніе, что беремъ многоугольникъ вписанный въ кругъ: если за точку О примемъ центръ круга, и многоугольникъ вообразимъ правильный; въ

каждомъ треугольникѣ сумма угловъ при основаніи, равна 2d---, ихъ сумма 2du — 4d = 2d(n—2) или т:(п—2), и все же въ этомъ какъ будто ясномъ примѣрѣ дѣло идетъ объ углѣ, образуемомъ двумя хордами или дугами сходящимися въ точкѣ, т. е. о двухъ сосѣднихъ касательныхъ.

Разумѣется, можно поручиться, что ученики не замѣтятъ ничего этого. Но это тѣмъ хуже, и мнѣ кажется такихъ коварныхъ примѣровъ безъ поясненій давать не слѣдуетъ.

Исторія математики въ книгѣ г. Мрочека „Прямолинейная тригонометрія и основанія теоріи гоніометрическихъ Функцій“.

В. В. Бобынинъ. (Москва).

Вслѣдствіе слабаго распространенія въ Россіи изученія Исторіи математики въ русской математической литературѣ развилась печальная привычка къ очень безцеремонному обращенію съ данными и фактами Исторіи математики. Выдача произведеній собственной фантазіи за результаты историко-математическихъ изслѣдованій, заявленія о несуществованіи цѣлыхъ отдѣловъ Исторіи математики только потому, что они неизвѣстны автору, и другія явленія того-же рода въ русской математической литературѣ не представляются исключительными. Изъ русскихъ авторовъ—математиковъ, повинныхъ въ указанной безцеремонности отношеній къ Исторіи математики, едва-ли не далѣе другихъ уходитъ въ соотвѣтствующемъ направленіи г. Мрочекъ. Въ виду этого, а также и въ виду сдѣланнаго имъ въ своемъ предисловіи къ указанному сочиненію заявленія, что предлагаемый имъ здѣсь читателю „Историческій очеркъ представляетъ выдержку изъ его рукописнаго труда по Исторіи математическихъ наукъ остается только выразить пожеланіе, чтобы этотъ трудъ навсегда остался въ своемъ теперешнемъ рукописномъ видѣ. Что авторъ является въ немъ совершенно лишеннымъ сколько-нибудь основательнаго знакомства съ Исторіею математики прямо слѣдуетъ изъ цѣлаго ряда съ замѣчательною развязностью высказываемыхъ имъ ошибочныхъ утвержденій. Для примѣра достаточно привесть слѣдующія:

Въ самомъ началѣ своего „Очерка“, (§ 3) онъ утверждаетъ, что „Египтяне“ дали ему (косинусу) даже особое названіе „seqt“. На самомъ же дѣлѣ подъ этимъ терминомъ подразумѣвалось вообще отношеніе половины одной изъ принадлежащихъ пирамидѣ линій къ цѣлой другой. Въ задачахъ посвященнаго вычисленію пирамидъ отдѣла Папируса Ринда онъ одинаково выражаетъ и косинусъ угла и его тангенсъ*).

*) M. Cantor. Vorlesungen über Geschichte der Mathematik. I. 3-te Auflage. S. 99.

Въ § 7 (стр. IY) авторъ говоритъ: „еще Пиѳагоръ презрительно называлъ ариѳметику „занятіемъ торгашей“. Это мѣсто показываетъ, что автору неизвѣстны: 1) существовавшее у древнихъ Грековъ дѣленіе Науки чиселъ на практическую часть—логистику—и теоретическую—ариѳметику, 2) значеніе числа и его свойствъ въ философіи Пиѳагора и пиѳагорейцевъ и 3) вызванныя этимъ значеніемъ прилежныя занятія Пиѳагора и пиѳагорейцевъ изученіемъ свойствъ чиселъ, то-есть ариѳметикою по ихъ терминологіи и Теоріею чиселъ по новѣйшей*). Приписываемый Пиѳагору отзывъ могъ, слѣдовательно, относиться только къ логистикѣ.

Въ § 8 (стр. Y—YI) діоптра Герона Александрійскаго, являющаяся только очень отдаленнымъ прообразомъ теодолита, выдается за самый теодолитъ и даже болѣе: этотъ послѣдній инструментъ оказывается изобрѣтеннымъ ранѣе Герона, который, по словамъ автора, его „улучшилъ и приспособилъ къ геодезическимъ работамъ“**). Авторъ принимаетъ здѣсь, повидимому, за теодолитъ древне-греческую звѣзду или происшедшую отъ нея римскую грому.

Не зная, что въ Древней Греціи Академіей называлась школа Платона, а собраніе ученыхъ, или, по новѣйшей терминологіи, ихъ сообщество въ Александріи—Музеумомъ, авторъ наивно придаетъ этому послѣднему названію значеніе, пріобрѣтенное имъ только въ Новое Время, какъ это показываетъ слѣдующее мѣсто § 12 (стр. YII): „Здѣсь возникла первая по времени и величію Александрійская Академія... При Академіи открывается музей и библіотека“. Кромѣ указанныхъ ошибокъ, въ этомъ изложеніи оказываются извращенными и самыя отношенія, существовавшія между обоими учрежденіями—библіотекою и Музеумомъ, такъ какъ Музеумъ былъ учрежденъ при библіотекѣ, а не наоборотъ, какъ это представляется авторомъ***).

Въ § 27 (стр. XIX) авторъ, забывая или не зная о трудахъ въ области тригонометріи Мавролика, ученаго, гораздо болѣе крупнаго, чѣмъ Ретикусъ, говоритъ: „Ретикусъ вводитъ въ употребленіе секансъ и создаетъ для него таблицы“. На самомъ же дѣлѣ одновременно съ нимъ и совершенно независимо отъ него тѣмъ-же предметомъ занимался Мавроликъ, выпустившій въ свѣтъ свои таблицы секансовъ только на пять лѣтъ позже Ретикуса, именно въ 1558 году****).

Въ томъ же §, говоря о Бартоломеѣ Питискусѣ, авторъ даетъ своему изложенію форму, свидѣтельствующую объ его взглядѣ на изданныя Питискусомъ тригонометрическія таблицы, какъ на совершенно „новыя“. Въ дѣйствительности же эти табли-

*) Zeller. Geschichte der Philosophie. 1. Th. S. 285 ff—Hamei. Zur Geschichte der Mathematik in Alterthum und Mittelalter. S. 107—110.

**) M. Cantor. Vorlesungen. I. 3Te Aufl. S. 382—383.

***) Ibid. S. 259.

****) Arneth. Die Geschichte der reinen Mathematik. S. 233.

цы были только улучшеннымъ и дополненнымъ изданіемъ таблицъ Ретикуса*).

Число приведенныхъ нами примѣровъ, обнаруживающихъ, чтобы не сказать большаго, крайне слабое знакомство г. Мрочека съ Исторіею математики, могло бы быть значительно увеличено. Но довольно. Перефразируя извѣстный стихъ Некрасова, можно сказать, что такимъ увеличеніемъ незнающихъ Исторіи математики „мы не уменьшимъ въ Россіи,“ а на „знающихъ тоску наведемъ“.

Въ заключеніе остается замѣтить только, что, не смотря на крайнюю скудость своихъ историко-математическихъ знаній, г. Мрочекъ позволяетъ себѣ авторитетнымъ тономъ, съ видомъ знатока, изрекать приговоры и категорическія сужденія въ родѣ слѣдующихъ. „Система, впослѣдствіи воскрешенная Коперникомъ и носящая незаслуженно имя лишь послѣдняго“ (стр. II—III). „Другимъ (послѣ Гиппарха) крупнымъ работникомъ на поприщѣ тригонометріи является Геронъ, обыкновенно называемый Александрійскимъ или Старшимъ“ (стр. У). „Извѣстная ученая Гипатія“ была „руководительницею“ Александрійской школы (стр. VIII). „Съ паденіемъ культуры на югѣ и западѣ (Египетъ и Греція) она переносится на Востокъ“ (стр. IX) и проч.

Замѣтка на ст. г. Н. Извольскаго.

„Къ ученію объ отношеніяхъ прямолинейныхъ отрѣзковъ и объ ихъ пропорціональности.“

(Матем. Образованіе, 1913, №№ 5 и 6).

А. Киселевъ. С.-Петербургъ.

1°. Въ этой статьѣ г. Извольскій, между прочимъ, говоритъ:

„При чтеніи статьи г. Лебединцева (№ 2) меня поразило то обстоятельство, что авторъ, дѣлая ссылки на учебникъ г. Киселева... въ то же время устанавливаетъ основныя положенія, существенно отличающіяся отъ тѣхъ, какія имѣютъ мѣсто въ учебникѣ г. Киселева. Поэтому, когда въ № 4 Мат. Обр. я увидѣлъ статью г. Киселева „По поводу статьи г. Лебединцева“, то я ожидалъ, что здѣсь г. Киселевъ обратитъ вниманіе читателей на это несогласіе основныхъ взглядовъ, имѣющихъ мѣсто въ его учебникѣ и въ статьѣ г. Лебединцева. Однако, къ удивленію, г. Киселевъ не только не упоминаетъ объ этомъ, а даже какъ будто присоединяется къ взглядамъ г. Лебединцева. Неужели же г. Киселевъ не замѣтилъ этого существеннаго отли?“ (мой курсивъ).

Въ дальнѣйшемъ г. Извольскій разъясняетъ, въ чемъ, по его мнѣнію, заключаетея это „существенное отличіе“, затѣмъ подвергаетъ „болѣе детальному разсмотрѣнію изложеніе г. Киселева съ цѣлью яснѣе показать, гдѣ именно это изложеніе страдаетъ не-

*) Ibid.

ясностью и пробѣлами“ и, наконецъ, прилагаетъ въ (№ 6) „ученіе объ отношеніи прямолинейныхъ отрѣзковъ въ формѣ, наиболѣе цѣлесообразной“, по его мнѣнію.

Оставляя въ сторонѣ эту послѣднюю часть статьи г. Извольскаго, я позволю себѣ сдѣлать нѣкоторыя замѣчанія на первыя части.

Ни „существеннаго“, ни какого бы то ни было, „отличія“ между основными взглядами г. Лебединцева и изложеніемъ моего учебника (въ 21-мъ изданіи, о которомъ говорятъ и г. Лебединцевъ, и г. Извольскій) я не усматриваю. Отличіе могло показаться г. Извольскому только въ силу какого-то недоразумѣнія, обусловленнаго, быть можетъ, недостаточною точностью (или ясностью) моего изложенія въ учебникѣ геометріи. Дѣло въ томъ, что во всѣхъ изданіяхъ этого учебника (допослѣдняго 23-го)я стремился, по возможности, обходиться безъ понятія объ ирраціональномъ числѣ и во всякомъ случаѣ ставилъ себѣ цѣлью не основываться на свойствахъ дѣйствій надъ этими числами; вслѣдствіе этого я не опредѣлялъ равенства двухъ несоизмѣримыхъ отношеній (т. е. двухъ отношеній, представляющихъ собою несоизмѣримыя числа) какъ равенство несоизмѣримыхъ чиселъ, а далъ (какъ это указано въ предисловіи къ учебнику) особое опредѣленіе, а именно слѣдующее:

Два несоизмѣримыя отношенія мы будемъ считать равными, если ихъ приближенныя значенія, взяты я оба съ недостаткомъ, или оба съ избыткомъ, и вычисленныя съ одинаковою точностью, равны между собою при всякой степени точности“.

Г-ну Извольскому кажется, что этими словами мною дано не опредѣленіе равенства несоизмѣримыхъ отношеній, а признакъ равенства ихъ; такъ, на стр. 222-й онъ опредѣленно говоритъ: „...въ томъ же § 159 г. Киселевъ даетъ признакъ равенства двухъ отношеній, останавливаясь, какъ это и естественно, на случаѣ отношеній несоизмѣримыхъ отрѣзковъ: „Два несоизмѣримыя отношенія... мы будемъ считать равными...“ и т. д. (повторяется приведенное мною выше опредѣленіе). Ошибочно принимая это опредѣленіе за признакъ, г. Извольскій утверждаетъ далѣе, что мои „приближенныя значенія отношенія двухъ отрѣзковъ“ совсѣмъ не то же самое, что „приближенныя отношенія“ г. Лебединцева, такъ какъ будто бы я установилъ (рѣчь идетъ все о томъ же § 159 моего учебника геометріи, изданіе 21-е и предыдущія), что когда отношеніе двухъ отрѣзковъ есть число ирраціональное, то тогда „можно находить раціональныя числа, которыя могутъ быть называемы приближенными значеніями ирраціональнаго числа“ (мой курсивъ).

На самомъ дѣлѣ, ни въ § 159, ни въ какомъ либо другомъ § моей геометріи, я этого не устанавливалъ. Избѣгая по возможности пользоваться понятіемъ о несоизмѣримомъ числѣ я говорю въ моемъ учебникѣ буквально слѣдующее:

„Если отрѣзки А и В соизмѣримы, то отношеніе ихъ есть соизмѣримое число, цѣлое или дробное; если же эти отрѣзки несоизмѣримы, то при помощи соизмѣримыхъ чиселъ ихъ отно-

шеніе можетъ быть выражено только приближенно, но съ какою угодно степенью точности. Такъ, если хотятъ найти отношеніе А къ В съ точностью до 1/10, то дѣлятъ В на 10 равныхъ частей (черт. 150) и узнаютъ наибольшее содержаніе 1/10 В въ А; если окажется, напр., что х/іо В содержится въ А болѣе 13, но менѣе 14 разъ, то числа 13/10 и 14/10 будутъ приближенныя значенія отношенія А къ В съ точностью до Ѵіо первое—съ недостаткомъ, а второе—съ избыткомъ“.

Тоже самое въ болѣе общемъ видѣ можно выразить такъ: если окажется, 1!п доля В содержится въ А болѣе т, но менѣе т • f-1 разъ, то числа т\п и m-f-1/n будутъ (= называются) приближенными значеніями отношенія А къ В, первое число — съ недостаткомъ, а второе —съ избыткомъ. Таково мое опредѣленіе приближенныхъ значеній несоизмѣримаго отношенія. А вотъ опредѣленіе г. Лебединцева:

„Приближеннымъ отношеніемъ отрѣзка AB къ отрѣзку CD съ точностью до 7п, съ недостаткомъ, наз. отношеніе къ CD наибольшаго отрѣзка, составленнаго изъ w-ыхъ долей CD и не превышающаго AB (а соотвѣтствующимъ приближеннымъ отношеніемъ съ избыткомъ наз. отношеніе къ CD наименьшаго отрѣзка, составленнаго изъ n-хъ долей CD и превышающаго AB)“.

Изъ сопоставленія этихъ словъ съ моими съ очевидностью слѣдуетъ, что „приближенное отношеніе“ г. Лебединцева и „приближенное значеніе отношенія“, о которомъ говорю я, составляютъ одинъ и тотъ же объектъ, а не два разныхъ.

Въ дальнѣйшемъ у г. Извольскаго всѣ разсужденія основаны на его допущеніи, что будто я въ своемъ измѣреніи исхожу изъ равенства несоизмѣримыхъ отношеній, какъ равенства несоизмѣримыхъ чиселъ, а не изъ того особаго опредѣленія, которое было приведено выше и на которомъ строитъ свои замѣчанія и дополненія г. Лебединцевъ. Напр., въ концѣ своей статьи (въ № 5 Мат. Обр.) г. Извольскій удивляется, что я, утверждая предложеніе:

если прибл. значенія отношенія А къ iS, при всякой степени точности, равны прибл. значеніямъ отношенія А1 къ Вг то А:В = А1:Г1,

нигдѣ не устанавливаю обратнаго или противоположнаго предложенія. Но какой же смыслъ устанавливать такое предложеніе, когда прямое предложеніе представляетъ собою (въ моемъ изложеніи) опредѣленіе, а не теорему? Вѣдь если, напр., мы встрѣчаемъ такое предложеніе (см. Д. Селивановъ — Основанія ариѳметики, стр. 29): „Будемъ говорить, что — = если ad— Ъс‘\ то развѣ не само собою разумѣется, что въ этомъ предложеніи логигически включены и обратное предложеніе ^ad = hc, если = и противоположное ф если ad=f=bc |.

2°. Я выше говорилъ, что особое опредѣленіе равенства отношеній несоизмѣримыхъ между собою отрѣзковъ (какъ равенство

приближенныхъ значеній этихъ отношеній при всякой степени точности) дано было въ моемъ учебникѣ только изъ желанія обойти всѣ тѣ затрудненія, которыя связаны съ понятіемъ ирраціональнаго числа. Если же мы не убоимся этихъ затрудненій, если допустимъ, что понятіе объ ирраціональномъ числѣ, о равенствѣ и неравенствѣ такихъ чиселъ, а также и основныя свойства дѣйствій надъ ними учащимся уже извѣстны, то тогда изложеніе отношенія и пропорціональности отрѣзковъ прямой можетъ быть значительно упрощено. Привожу здѣсь схему такого изложенія.

Опредѣленіе. Отношеніемъ отрѣзка А къ отрѣзку В наз. число, измѣряющее А, когда отрѣзокъ В принятъ за 1.

Значитъ, отношеніе соизмѣримыхъ между собою отрѣзковъ есть число соизмѣримое (раціональное), цѣлое или дробное; отношеніе же несоизмѣримыхъ отрѣзковъ есть число несоизмѣримое (ирраціональное).

Слѣдствіе. Въ томъ и въ другомъ случаѣ легко показать, исходя изъ опредѣленія дѣйствія умноженія, что если отношеніе А къ В есть число а, то А = В.а, и обратно, если А = В.а, то отношеніе А къ В есть число а.

Теорема. Если отрѣзки А и В измѣрены при помощи одной и той о/ce единицы С7 при чемъ для Au В получились соотвѣтственно числа т и п, то отношеніе А къ В равно частному т:п.

Дои. Обозначимъ отношеніе А къ В буквой х\ тогда А = Вх. Такъ какъ А = Cm и В — Сп, то Cm = (Сп)х, что, согласно сочетательному свойству умноженія, даетъ:

Ст—С(пх)\ откуда: т = пх7 х = т:п, т. е. отношеніе А къ В — т : п.

Опредѣленіе. Равенство двухъ отношеній составляетъ пропорцію. Такъ, если А: В = ш и А1 : Вх — т, то можемъ написать пропорцію:

Теорема. Если отрѣзки, составляющіе пропорцію, измѣрены одною и тою жe единицею С (точнѣе: если члены 1-го отношенія измѣрены одною единицею С, члены 2-го отношенія — другою единицею Сх), при чемъ для А, В, Аг и Вх получимъ соотвѣтственно числа т, п, тх и пѵ то числа эти образуютъ числовую пропорцію: т: п — т1:п1

Док. Такъ какъ А: В = т:п и А1:В1 = т1:п1, то изъ равенства А : В = Ах : Вх слѣдуетъ:

т : п = тх : пѵ

Слѣдствіе. Изъ этого соотвѣтствія между пропорціональностью 4-хъ отрѣзковъ и пропорціональностью 4-хъ измѣряющихъ ихъ чиселъ, легко вывести, что къ пропорціи отрѣзковъ примѣнимы свойства, доказанныя для числовыхъ пропорцій (въ ариѳметикѣ для чиселъ соизмѣримыхъ, въ алгебрѣ обобщенныя на числа несоизмѣримыя). Напр.:

въ пропорціи можно переставлять средніе члены, крайніе члены и средніе съ крайними;

если въ пропорціи предыдущіе члены равны, то равны и послѣдующіе;

если въ пропорціи послѣдующіе члены равны, то равны и предыдущіе; и т. п.

Напр., послѣднее свойство можно вывести такъ. Пусть въ пропорціи

Измѣривъ члены пропорціи одною и тою же единицею С, получимъ числовую пропорцію а:Ъ = аг:Ъѵ Такъ какъ А = АІ9 то а = аѵ Тогда изъ числовой пропорціи выводимъ: Ь = Ъг и, слѣд., В = ВѴ

3°. Въ заключеніе замѣчу, что въ послѣднемъ, только что вышедшемъ, изданіи (23-мъ) моей „Элементарной геометріи“ я становлюсь на эту точку зрѣнія, т. е. я предполагаю, что учащіеся вынесли изъ курса алгебры представленіе, хотя бы и не полное, объ ирраціональномъ числѣ. Въ этомъ изданіи свойства отношеній излагаются мною нѣсколько иначе, чѣмъ это было въ предыдущихъ изданіяхъ. Такъ, въ § 159 мы теперь имѣемъ:

„Два отношенія считаются равными, если они представляютъ собою одно и то же число“.

„Въ случаѣ несоизмѣримыхъ отношеній равенство между ними узнается по слѣдующему признаку“ (излагается то, что въ прежнихъ изданіяхъ выставлялось опредѣленіемъ). При этомъ въ выноскѣ указывается, что въ алгебрѣ этотъ признакъ доказывается, какъ признакъ равенства самихъ несоизмѣримыхъ чиселъ.

Свойства отношенія изложены приблизительно такъ, какъ я выше указалъ схематически. Добавленъ и новый параграфъ (§ 160,2), излагающій главнѣйшія свойства пропорціи отрѣзковъ.

Отвѣтъ г-ну А. Киселеву.

Н. А. Извольскій. Москва.

Я позволю себѣ привести лишь нѣсколько фактовъ.

1. Въ № 2 Мат. Обр. на стр, 77 и 78 г. Лебединцевъ говоритъ:

„Въ предстоящемъ изложеніи я буду называть (точнымъ) отношеніемъ двухъ отрѣзковъ то цѣлое или дробное число... Это понятіе, очевидно, приложимо только къ соизмѣримымъ отрѣзкамъ; для несоизмѣримыхъ придется ввести понятіе о приближенномъ отношеніи...“.

Въ 21-мъ изданіи своего учебника геометріи г. Киселевъ въ § 159 говоритъ: „Отношеніемъ одного отрѣзка прямой къ другому отрѣзку прямой наз. число, измѣряющее первый отрѣзокъ, когда второй принятъ за единицу“, причемъ еще имѣется добавленіе на стр. 118: „отношеніе отрѣзковъ А къ В въ томъ случаѣ,

когда эти отрѣзки несоизмѣримы, наз. также несоизмѣримымъ (такъ какъ оно представляетъ нѣкоторое несоизмѣримое число)“ — (курсивъ мой).

Итакъ, въ началѣ статьи г. Лебединцева1) проводится мысль, что отношенія (точнаго) несоизмѣримыхъ отрѣзковъ вовсе не существуетъ, а 21-е изданіе учебника г. Киселева опредѣленно говоритъ, что отношеніе любой пары отрѣзковъ есть число. Читатель вправѣ сдѣлать заключеніе о различіи этихъ двухъ взглядовъ и признать это различіе существеннымъ.

2. Не буду спорить съ г. Киселевымъ о различіи понятій „опредѣленіе равенства отношеній“ и „признакъ равенства отношеній“. Укажу лишь факты.

Итакъ, согласно настоящей статьи, г. Киселевъ на стр. 118 своего учебника даетъ „опредѣленіе равенства двухъ отношеній“ (въ случаѣ несоизмѣримости), что должно включать въ себѣ логически и прямое предложеніе, и обратное и противоположное. Странно, однако, почему, не разъясняя этого въ учебникѣ, онъ разъясняетъ это въ своей статьѣ въ № 4 Мат. Обр. на стр. 163 и 164 (слѣдуетъ обратить вниманіе на слова „и наоборотъ“ на стр. 164). Мало того, въ 23-мъ изданіи г. Киселевъ уже пишетъ (на стр. 118): „Въ случаѣ несоизмѣримыхъ отношеній равенство между ними узнается по слѣдующему признаку“ (курсивъ мой). Итакъ здѣсь уже имѣемъ дѣло съ признакомъ; однако г. Киселевъ, устанавливая этимъ признакомъ прямое предложеніе (Два несоизм. отношенія равны, если...), нигдѣ не даетъ ни обратнаго ему, ни противоположнаго предложенія. Ссылка на § 200 учебника алгебры г. Киселева2) не помогаетъ здѣсь, хотя бы уже по одному тому, что этотъ § трактуетъ объ иррац. числахъ, получаемыхъ отъ измѣренія двухъ отрѣзковъ одною и тою же линейною единицею, а этого отнюдь не достаточно для § 159 учебника геометріи г. Киселева.

3. Такъ какъ, согласно учебнику г. Киселева (21 изданіе) отношеніе двухъ отрѣзковъ всегда есть число (см. выше, пунктъ 1), причемъ если отрѣзки несоизмѣримы, то ихъ отношеніе есть число ирраціональное (несоизмѣримое по терминологіи г. Киселева), то отсюда логически слѣдуетъ, что приближенное значеніе отношенія есть приближенное значеніе нѣкотораго иррац. числа.

Г. Киселевъ правъ въ слѣдующемъ: въ одномъ мѣстѣ своей статьи я неправильно употребилъ слово „установилъ“. Я пишу (стр. 222 въ № 5 Мат. Обр.) „г. Киселевъ установилъ уже, что всегда отношеніе двухъ отрѣзковъ равно какому-либо числу, и, если это число ирраціональное, то можно находить раціональныя числа, которыя могутъ быть называемы приближенными значеніями ирраціон. числа“.

Я съ удовольствіемъ измѣняю редакцію этой фразы: г. Киселевъ установилъ уже, что всегда отношеніе двухъ отрѣзковъ

1) Въ концѣ этой статьи г. Лебединцевъ, повидимому, высказывается, что эта точка зрѣнія его неудовлетворяетъ.

2) Я имѣю въ виду 23-е изданіе этого учебника.

равно какому-либо числу, а отсюда логически вытекаетъ: если это отношеніе есть число ирраціональное, то приближенныя значенія такого отношенія, вводимыя г. Киселевымъ, суть приближенныя значенія упомянутаго иррац. числа. Можетъ быть эта редакція доставитъ г. Киселеву удовлетвореніе?

Общія замѣчанія по поводу письменныхъ работъ оканчивающихъ реальныя училища. (1903—1912 г.).

I. Тригонометрія. (Харьк. уч. округъ).

Д. Синцовъ. Харьковъ.

Около десяти лѣтъ тому назадъ въ своемъ (первомъ) отзывѣ о работахъ исполненныхъ въ 1903 г. на окончательныхъ испытаніяхъ въ реальныхъ училищахъ Харьковскаго Учебнаго Округа, я писалъ:

„Обращаясь къ логариѳмическимъ вычисленіямъ“ можно указать слѣдующіе главные недостатки:

1: Неумѣлое расположеніе вычисленій. Ученики не пріучены къ систематическому расположенію вычисленій. Въ черновой работѣ замѣчается крайняя безпорядочность вычисленій, въ бѣловой всѣ логариѳмы выписываются часто въ строку, соединенные знаками + и — . Первое затрудняетъ переписку и ведетъ къ ошибкамъ въ бѣловомъ, второе затрудняетъ повѣрку и заставляетъ полагаться на точность черновика. Правильное расположеніе вычисленій безусловно необходимо, какъ экономія въ мѣстѣ и времени и какъ гарантія легкости повѣрокъ, а стало быть и точности вычисленій. При правильномъ, компактномъ и ясномъ расположеніи вычисленій только и возможны обширныя вычисленія астрономическія, геодезическія и т. д. Поэтому необходимо пріучать учениковъ къ систематичности расположенія вычисленій не только бѣловыхъ, но и черновыхъ. Каждая формула должна вычисляться отдѣльно, логариѳмы отдѣльныхъ множителей надо подписывать аккуратно одинъ подъ другимъ, снабжая каждый указаніемъ, что онъ собою представляетъ.

2. Неудачная схема вычисленія пропорціональныхъ частей (т. е. приращеніе табличнаго логариѳма при интерполированіи). При прохожденіи во время года теоріи логариѳмовъ опредѣленіе логариѳма числа, которого нѣтъ въ таблицахъ, записывается обыкновенно по схемѣ задачъ на простое тройное правило. Въ началѣ такой пріемъ имѣетъ свое педагогическое значеніе; но когда ученики уже освоились съ логариѳмами, необходимо переходить къ сокращенному вычисленію пропорціональныхъ частей,—не доводя, конечно, этихъ сокращеній до зачеркиванія послѣднихъ цифръ выписаннаго логариѳма ближайшаго меньшаго числа и надписыванія сверху окончательныхъ послѣднихъ цифръ логариѳма.

3. Непониманіе степени точности, достигаемой при употребленіи таблицъ пятизначныхъ логариѳмовъ. Ученики по пятизначнымъ логариѳмамъ находятъ и шесть и семь цифръ числа, очевидно не сознавая, что уже шестая цифра не получается точно.

Теперь, читая тѣ же работы изъ года въ годъ и нынѣ закончивъ отчетъ о работахъ 1912 года, я могу лишь усилить сдѣланныя замѣчанія.

Прежде всего надо обращать вниманіе на мелкое, но важное для правильности вычисленій обстоятельство,—на красивое и четкое начертаніе цифръ: очень часто пишутъ такъ, что сами же ученики при перепискѣ смѣшиваютъ 4, 7 и 9 или 6 и 0. Подобные случаи мнѣ встрѣчались и въ работахъ 1912 года. Самъ я припоминаю, какъ при практическихъ занятіяхъ по астрономіи намъ былъ данъ образчикъ красиваго и яснаго начертанія цифръ— если не ошибаюсь, астронома Виннеке.

Относительно самаго расположенія вычисленій этотъ годъ добавилъ еще одинъ новый фактъ, который никоимъ образомъ не ходу ставить какъ образецъ, а скорѣе отмѣчаю какъ курьезъ: вѣроятно, чтобы обезпечить правильность сложеній логариѳмовъ, преподаватель научилъ ихъ составлять своего рода абаки, именно разграфлять вертикальные столбцы и напр. изображать сложеніе log 2, log 3 и log 13 (беру примѣръ на удачу) такъ:

Съ введеніемъ ариѳметики положенія такіе графики совершенно излишни, — нужно только слѣдить, чтобы аккуратно подписывались соотвѣтственныя цифры одна подъ другой:

0,30103

0,47712

0,11394

1,89209

Полезно и можетъ быть даже необходимо выработать извѣстныя схемы нормальнаго расположенія вычисленій*), къ которымъ и пріучать съ первыхъ же шаговъ. Этимъ, можетъ быть, устраняется тотъ странный, но увы замѣчаемый даже среди студентовъ математиковъ, не говоря уже о естественникахъ—страхъ логариѳмическихъ вычисленій, заставляющій перемножать семизначныя числа, не прибѣгая къ логариѳмическимъ таблицамъ изъ опасенія ошибиться**).

*) Ср. А. Н. Крыловъ. Лекціи о приближенныхъ вычисленіяхъ. J. Lüroth Vorlesungen üb. numerisches Rechnen.

**) Не мѣшало бы обучать сокращеннымъ пріемамъ умноженія и пр., а также употребленію счетныхъ машинъ и т. п.

По второму вопросу — о вычисленіи приращенія логариѳмовъ только могу и теперь подтвердить прежнее замѣчаніе. Если даже въ началѣ интерполированіе выполняется какъ задача на тройное правило — и конечно лучше болѣе простымъ способомъ приведенія къ единицѣ — то уже очень скоро слѣдуетъ пріучать обходиться безъ этого, какъ не признается нужнымъ приводить подробности дѣленій. Въ защиту выписыванія подробностей могутъ конечно привести, что такимъ путемъ можно устранить несамостоятельность въ подыскиваніи логариѳмовъ. Но эта цѣль достигается или не достигается и безъ такого вспомогательнаго средства. Дѣйствительно, кто не умѣетъ самъ подыскать вѣрно логариѳма, тотъ уже и безъ того обнаружитъ объемъ своего неумѣнія, умѣющихъ же такія подробности только угнетаютъ. Вычислять надо пріучать такъ, чтобы выйдя изъ школы умѣть примѣнять свои знанія на практикѣ. Поэтому же можно рекомендовать показывать примѣненіе логариѳмической линейки, столь полезной для техники. Во Франціи это уже давно дѣлается. И теперь это проникаетъ въ учебные планы и другихъ странъ.

Ограничусь этими замѣчаніями, чтобы перейти къ третьему вопросу — о точности логариѳмическихъ вычисленій. Въ сущности уже при сложеніи трехъ только логариѳмовъ пятая цифра мантиссы логариѳма произведенія можетъ отличаться болѣе чѣмъ на 1 отъ истинной.

Возьмемъ, напр., числа 6,7500; 6,7604 и 6,8004. Если подыскивать по пятизначнымъ таблицамъ, то найдемъ:

Если же взять семизначные логариѳмы, то

Уже сложеніе всего трехъ логариѳмовъ измѣняетъ на 1 послѣднюю пятую цифру. А между тѣмъ не только ученики находятъ и шестую и седьмую цифру, но случается, какъ мнѣ приходилось отмѣчать, что преподаватель ученику, нашедшему для 2, 86736 соотв. число 736,82, послѣднюю цифру подчеркиваетъ и на поляхъ исправляетъ на 736.817, подчеркиваетъ даже у тѣхъ, кто найдетъ 736,816. Или если по log Ѵ= 4.12305 найдено V = 13275, подчеркиваетъ и приписываетъ 6-й и 7-й знаки: V = 13275,45. Простымъ недоразумѣніемъ, конечно, объясняется, что иногда повидимому ученики думаютъ, что можно брать пять цифръ послѣ запятой: по log 8 = 2,76847 находятъ 8= 586,77143

или же напротивъ по пятизначному же логариѳму Л = 0,000196*).

При этомъ не мѣшаетъ отмѣтить, что усиливая точность выше возможныхъ предѣловъ включеніемъ шестой цифры, преподаватели не обращаютъ часто вниманія на то, чтобы данныя-то величины были опредѣлены съ тою же точностью. Особенно въ этомъ отношеніи характерно, что требуя 6-го знака, въ то же время даютъ тс = 3,14 всего съ 3 знаками. Какое значеніе имѣетъ 6-я цифра если Ідъ такъ взятый есть 0.49693 вм. правильнаго 0,49715. Это послѣднее число и слѣдуетъ давать, а никакъ не 3,14 или 22/7.

Но еще рельефнѣе выступаетъ путаница, когда обращаемся къ логариѳмическимъ вычисленіямъ тригонометрическихъ величинъ. Въ этомъ отношеніи работы 1912 г. даютъ поучительные примѣры. Въ одномъ реальномъ училищѣ дана была тема: рѣшить систему уравненій

Считалось правильнымъ найти сначала х-\-у = 28° 6' 8" и затѣмъ рѣшать систему двухъ этихъ уравненій, откуда х = 20° 28' 24"

у = 7° 37' 44".

Между тѣмъ если воспользоваться формулою tg (х -j-y) = то можно данную систему замѣнить другою:

т. е. tgx и tgy суть корни квадратнаго уравненія ъ1—0.5073я -|- 0,05=0 и м. б. вычислены съ любою точностью. Если ограничиться 5-ью знаками и затѣмъ найти соотв. этимъ тангенсамъ углы, то окажется

х = 20° 28' 30" , у = 7°37' 38".

Т. е. найденныя первымъ пріемомъ значенія отъ истинныхъ отличаются на цѣлыхъ 6".

Или другой примѣръ: въ прямоугольномъ треугольникѣ дана гипотенуза 20,244 и разность катетовъ 1,823. Тогда можно найти острый уголъ = 48°39', если вычислять безъ помощи таблицъ. Ученики же находятъ не только 48°39'3", но и 3",05; 2",95; 2",8: уже 3" явились какъ результатъ неточности логариѳмовъ, а уже десятыя и сотыя доли секунды абсолютно излишни. Слѣдовало бы можетъ быть ограничиваться десятыми долями минуты или въ угловой мѣрѣ брать 12", 24", 30" и т. д., или же 10", 20", 30" и т. д.

4. Мы встрѣтились уже съ темою, гдѣ требуется рѣшить тригонометрическія уравненія. М. б. благодаря тому, что въ про-

*) Сюда же слѣдуетъ отнести и наблюдаемое часто превращеніе 5-тизначныхъ логариѳмовъ въ шестизначные: найдя для числа логариѳмъ ближайшій табличный напр. 0,82997 и приращеніе 2,6 ученикъ пишетъ 0,829996.

граммахъ они стоятъ на первомъ мѣстѣ, тригонометрическія уравненія стали пользоваться особеннымъ вниманіемъ со стороны преподавателей. Въ 1912 году, напр., они фигурировали въ темахъ 10 реальныхъ училищъ Округа (изъ 19). При рѣшеніи ихъ вводится много схоластики, и самый вопросъ нѣсколько раздутъ. Въ самомъ дѣлѣ, алгебраическія уравненія степени выше второй (кромѣ биквадратныхъ и возвратныхъ) ученики рѣшать не умѣютъ, ни по формуламъ, ни численно, ни графически. Даже нахожденіе цѣлыхъ раціональныхъ корней численныхъ уравненій въ курсъ алгебры не вводится. И потому изъ трансцендентныхъ—тригонометрическихъ уравненій являются предметомъ разсмотрѣнія только простѣйшія. Типичнымъ является

aCosx 4- bSnx = с.

Къ нему и сводится большинство. Его можно изслѣдовать, установить случаи возможности и невозможности. Во всякомъ случаѣ, опираясь на то свойство тригонометрическихъ функцій, что Sinx и Cosx раціонально выражаются черезъ tg--, можно всякое уравненіе

F (Cosx , Sinx) = 0

гдѣ F—раціональная функція ея аргументовъ,—выразить какъ алгебраическое уравненіе отъ tg —. Алгебраическое уравненіе надо разрѣшить. Иногда, конечно, уравненіе легко рѣшается и безъ этого предварительнаго преобразованія. Но всегда надо различать двѣ задачи: одна алгебраическая — рѣшеніе уравненія алгебраическаго и другая—нахожденіе всѣхъ значеній дуги, которыя даютъ найденныя значенія тригонометрической функціи. При такомъ порядкѣ все сводится на знаніе общихъ выраженій для дуги, дающей опредѣленное значеніе синусу, косинусу и тангенсу.

Для систематичности обозначеній, конечно, лучше, чтобы писалось или 45° + к. 360° или + 2 к,т., а не смѣшивалось.

Не менѣе вниманія надо однако посвящать и правильному изображенію тригонометрическихъ функцій, которыя пишутъ слишкомъ сокращенно: надо наблюдать, чтобы писали Sin, Cos, tang, а не Sn, Cs, tg.

5, Относительно характера рѣшеній можно сдѣлать слѣдующее замѣчаніе. Попадается—правда только въ отдѣльныхъ реальныхъ училищахъ отсутствіе плана: вмѣсто того, чтобы вывести сначала общія формулы, рѣшить задачу на буквахъ, иногда сразу начинаютъ вычислять по имѣющимся даннымъ отдѣльные элементы фигуры. При этомъ, разумѣется, вычисляется большею частью много лишняго, вычисленія не могутъ быть сжаты и компактны. Съ другой стороны мнѣ пришлось натолкнуться въ одномъ реальномъ училищѣ въ этомъ году на такой фактъ. Была

дана излюбленная сложная задача, гдѣ служащіе для рѣшенія элементы не даны непосредственно, а опредѣляются рѣшеніемъ вспомогательныхъ задачъ (къ сожалѣнію эти задачи еще не вывелись изъ употребленія и фигурировали въ 5 училищахъ Округа). Нѣкоторые ученики начинали свое рѣшеніе съ рѣшенія всѣхъ вспомогательныхъ задачъ, и преподаватель къ этому относился отрицательно, называя это „болѣе длиннымъ путемъ“. Между тѣмъ путь этотъ совершенно правиленъ: только найдя всѣ данныя мы получимъ основную задачу вполнѣ опредѣленную, и имѣемъ возможность выбрать тотъ или иной путь рѣшенія. И какъ разъ въ томъ случаѣ, на который я указываю, такъ и было: уголъ, опредѣленный тригонометрическимъ уравненіемъ, оказался = 90°, треугольникъ оказался прямоугольнымъ, и рѣшеніе его гораздо проще, чѣмъ при рѣшеніи „въ общемъ видѣ“.

At last, but not least, нельзя не обратить вниманіе на пренебреженіе къ чертежамъ. Ихъ или совсѣмъ нѣтъ или они очень плохи. Всегда чертится отъ руки. Ни линейки, ни циркуля никогда не примѣняютъ. О транспортирѣ, вѣроятно, не слыхали. Только этимъ можно напр., объяснить, что при данныхъ углахъ тупоугольнаго треугольника В = 46°40' и С = 24°20'36" даютъ на чертежѣ что-то въ родѣ равнобедреннаго треугольника. Между тѣмъ такое пренебреженіе къ интуиціи, особенно странное въ реальныхъ училищахъ, изъ которыхъ люди идутъ въ техническія заведенія, вредно отзывается и на самомъ рѣшеніи: въ довольно излюбленныхъ задачахъ на тѣла вращенія очень часто невѣрно и неясно представляютъ, что за тѣло получается, вмѣсто суммы берутъ иногда разности или прямо забываютъ нѣкоторые конусы, примѣры чему встрѣчались и въ 1912 г.

7. Въ заключеніе нѣсколько словъ о выборѣ задачъ. Порядокъ выбора особой темы для каждаго реальнаго училища, и при томъ самими преподавателями хорошъ именно тѣмъ, что даетъ возможность принаравливать тему къ силамъ класса. При этомъ одинаково ошибочно какъ предлагать слишкомъ легкую тему, при которой не только нѣтъ неудовлетворительныхъ отмѣтокъ, но даже мало и троекъ, такъ и слишкомъ трудную, при которой процентъ неудовлетворительныхъ отмѣтокъ достигаетъ 33 и даже 50%. Если первый случай заставляетъ сомнѣваться, дѣйствительно ли въ означенномъ р. училищѣ дѣло обстоитъ такъ блестяще, не есть ли блескъ лишь показной, то во второмъ случаѣ ошибка преподавателя имѣетъ гораздо худшія послѣдствія. Задача испытанія не истязаніе, а провѣрка познаній ученика, и потому тема должна дать ему возможность показать себя и свои знанія безъ лишняго обремененія силъ и муки. Поэтому-то такъ наз. сложныя задачи являются мало цѣлесообразными, особенно когда онѣ слишкомъ перегружены вспомогательными опредѣленіями.

II. Перехожу ко второму отдѣлу задачъ, предлагаемыхъ на испытаніи, именно къ задачамъ по спеціальному курсу. Но здѣсь я долженъ прежде всего остановиться на характерѣ того измѣненія, который претерпѣли испытанія съ введеніемъ этого новаго предмета. Прежде предлагались, какъ извѣстно, три задачи—по

алгебрѣ, геометріи и тригонометріи. Геометрія такимъ образомъ преобладала. И задача по геометріи, предлагавшаяся на приложеніе алгебры къ геометріи, являлась какъ бы основною: требовалось не только рѣшить задачу алгебраически, изслѣдовать полученную формулу, но и дать ея построеніе. Иногда требовалось даже вычертить тушью и во всякомъ случаѣ циркулемъ и линейкою.

Послѣднее требованіе, конечно, обременительно на экзаменѣ. Но тѣмъ не менѣе, выполненіе построенія точно хотя бы въ карандашѣ крайне важно.

Теперь, когда такія задачи отпали, чертежи совершенно заброшены. Ихъ почти нѣтъ въ тригонометрическихъ работахъ. Нѣтъ ихъ и въ работахъ по аналитической геометріи. И здѣсь конечно трудно ихъ требовать, ибо вычерчивать болѣе или менѣе правдоподобно коническія сѣченія безъ всякихъ инструментовъ довольно трудно. И при чтеніи работъ приходится видѣть вмѣсто эллипсовъ то овалы Кассини (имѣющія видъ бисквита), то кривыя Ламе (4-го порядка, напоминающія прямоугольники съ притупленными углами). Въ этомъ отношеніи хотѣлось бы ввести въ школу по примѣру англичанъ трафареты вродѣ Mathematical Stencil. Тогда, конечно, мы не имѣли бы и вмѣсто гиперболъ пары полуокружностей, обращенныхъ одна къ другой выпуклостью и т. п.

Относительно содержанія задачъ можно констатировать извѣстную эволюцію. Сначала, когда г.г. преподаватели еще не освоились съ новымъ предметомъ, задачи брались очень простыя и элементарныя, гораздо болѣе простыя чѣмъ предлагавшіяся до него задачи на приложеніи алгебры къ геометріи. Но за то почти не было сложныхъ задачъ. Теперь задачи стали появляться менѣе простыя, но въ значительной степени усложненіе выразилось именно появленіемъ сложныхъ задачъ и по спеціальному курсу. Сталъ и здѣсь вырабатываться извѣстный шаблонъ. Нѣкоторые вопросы какъ будто исчезаютъ. Такъ въ этомъ году не было предложено ни одного вопроса на пресловутое нахожденіе истиннаго значенія неопредѣленныхъ выраженій. И это можно только привѣтствовать. Нѣтъ также и задачъ по интегральному исчисленію. Излюбленнымъ остается вопросъ о наибольшихъ и наименьшихъ значеніяхъ функцій, дѣйствительно одинъ изъ наиболѣе привлекательныхъ и удобныхъ для приложенія. Не всегда удается преподавателю соразмѣрить задачу съ силами учениковъ. Но все же и средняя отмѣтка на экзаменѣ по спеціальному курсу выше (хотя и незначительно) и процентъ неудовлетворительныхъ работъ меньше, чѣмъ по тригонометріи.

Есть цѣлый рядъ мелкихъ дефектовъ, на которыхъ въ такомъ общемъ обзорѣ останавливаться нельзя,—о нихъ можно скорѣе говорить въ связи съ обсужденіемъ программы спеціальнаго курса. Здѣсь я хотѣлъ бы только отмѣтить то, за что я высказался въ первомъ своемъ отчетѣ о работахъ по спеціальному курсу. При отсутствіи дѣйствительно хорошихъ учебниковъ и задачниковъ, отсутствіи объяснительныхъ записокъ по спец. курсу и

методикѣ его, очень важны періодическіе лѣтніе (или вообще вакаціонные) курсы для преподавателей математики, на которыхъ были бы подвергнуты обстоятельному обсужденію вопросы преподаванія сцеціальнаго курса, необходимъ общій пересмотръ его программы и появленіе болѣе продуманныхъ учебниковъ, чѣмъ тѣ, которыми долженъ пользоваться преподаватель въ настоящее время.

Промежуточная лицейская ступень между средней и высшей школами.

П. А. Некрасовъ. С.-Петербургъ.*)

Высота образованія, даваемаго школою прежде, чѣмъ выпустить человѣка на практическое отвѣтственное служеніе государству и родинѣ, вліяетъ на высоту и интенсивность общей культуры въ странѣ. Для поднятія этой высоты докладъ мой предлагаетъ увеличить въ старшемъ возрастѣ средней школы содержательность обученія и тѣмъ самымъ какъ бы умножить число образовательныхъ школьныхъ ступеней, однако же не удлинняя продолжительности школьнаго обученія. Докладъ предлагаетъ создать эту школьную ступень, промежуточную между среднею и высшею школами, въ періодѣ отъ 16-ти до 18-ти лѣтняго возраста.

Задача доклада—выяснить организацію, функцію и строй этой ступени. Но предварительно установлю свой взглядъ на коренное подраздѣленіе типовъ человѣческаго образованія.

Въ основу строя школы нужно положить индивидуализацію образованія, дабы не превысить учебными предметами силы учениковъ и, съ другой стороны, интенсивно обслужить всѣ требованія жизни, предъявляемыя къ наукамъ и образованію.

Современное образованіе по его характеру рѣзко раздѣлилось, дифференцировалось на два слѣдующихъ типа: 1) популярное образованіе, экстенсивное, годное и необходимое для служебнаго обращенія въ широкихъ кругахъ народа, и 2) непопулярное образованіе, ученое, тернистое и горькое по способамъ его усвоенія, но интенсивное и цѣнное по опыту и авторитету его ученой критики въ исправленіи безчисленныхъ ошибокъ популярныхъ техническихъ рецептовъ. Это необходимое образованіе есть высшее по его выправляющему и спасающему назначенію.

Конечно, оба эти типа образованія, различные по причитающимся на ихъ долю задачамъ, имѣютъ въ корнѣ общее образованіе, какъ свѣточъ единой, но все же многообразной истины. Мой докладъ обращаетъ вниманіе на переходъ отъ этого общаго образованія, закладываемаго въ предшествующемъ возрастѣ, къ развѣтвленному высшему образованію. Этому переходу соотвѣтствуетъ подготовительное, но уже также высшее образованіе, которое по моему плану закладывается въ юношескомъ возрастѣ, въ старшей лицейской ступени. Лицейская академическая популяризація развѣтвленнаго высшаго образованія, совершаемая въ

*) Докладъ, читанный директоромъ Тифлисской 3-й гимназіи Б. К. Крамаренко, за автора, на XIII Съѣздѣ Русскихъ Естествоиспытателей и Врачей въ Тифлисѣ, въ секціи педагогическихъ вопросовъ, 19 іюня 1913 г. Тотъ же докладъ читанъ въ отдѣлахъ Педагогическаго Музея военно-учебныхъ заведеній.

этомъ переходѣ, есть вполнѣ необходимое, но вмѣстѣ съ тѣмъ и достаточное оправданіе существованія сѣти среднихъ и высшихъ школъ.

Перечислю главнѣйшія служебныя функціи лицейской ступени между среднею и высшею школами.

Во-первыхъ, эта школьная ступень должна освоить учениковъ съ предметными группами высшаго образованія и выработать вкусъ къ дальнѣйшему факультетскому образованію у людей, жаждущихъ углубленія теоретическаго знанія; она должна быть проводникомъ живой и программной связи средней школы съ высшими учебными заведеніями, коимъ причитается задача служить консерваторіей наукъ и очагомъ подготовки профессоровъ и наставниковъ по всѣмъ отраслямъ человѣческой интенсивной культуры.

Во-вторыхъ, эта ступень должна обслуживать возможность правильнаго индивидуальнаго отбора образованныхъ людей по спеціальностямъ и по вышеупомянутымъ двумъ путямъ: тернистому критическому и популярному, менѣе критическому.

Такъ какъ лицеи не даютъ еще практически законченнаго образованія, то дальнѣйшимъ продолженіемъ ихъ служатъ завершающія школы. Для одной категоріи молодыхъ людей такимъ продолженіемъ служатъ факультеты учено-учебныхъ институтовъ (университетовъ, академій, технологическихъ и политехническихъ институтовъ и пр.); для другой категоріи—одногодичные узко-практическіе курсы, дающіе послѣ практической (семинарской) подготовки право занимать отвѣтственныя въ службѣ государству и обществу должности, для которыхъ лицейская степень теоретическаго высшаго образованія признается достаточною*).

Послѣ этого отступленія перейду къ построенію школьной ступени между среднею и высшею школами.

Въ своемъ проектѣ я предлагаю съ помощью классовъ лицейской промежуточной ступени установить отвѣтвленіе четырехъ подгруппъ учебныхъ предметовъ: А, В, С и Д развившихся изъ двухъ группъ: I) словесная философія и II) математика; при чемъ каждая большая группа I и II этой бифуркаціи еще разъ бифурцируется; получается схема:

I (А и В) и II (С и D),

содержащая четыре указанныя подгруппы.

Чтобы имѣть точку опоры для сужденій, будемъ отправляться отъ опыта Америки и Франціи, подвергая существующую тамъ индивидуализацію учебныхъ плановъ критикѣ. Возьмемъ таблицу числа недѣльныхъ уроковъ, распредѣленныхъ по классамъ (отдѣленіямъ) французскаго средняго образованія (l’enseignement secondaire), продолжающаго начальное образованіе (études primaires).

*) Историческое значеніе школьной выпускной дѣятельности, подобное эмиссіонному дѣлу матеріальной экономіи и удовлетворяющее спросу (голоду) отечества на истинно образованныхъ, просвѣщенныхъ людей, кроется въ персональной экономикѣ на этотъ родъ людей, которую ведетъ Государство. Это значеніе выпускной дѣятельности обрисовано въ моей статьѣ: „Лицейская система связи средняго и высшаго образованія, какъ мѣра упорядоченія нашего школьнаго дѣла“. Статья эта напечатана въ № 233 С.-Петербургскихъ Вѣдомостей за 1912 годъ.

Лицеи Франціи. Возрастъ вступленія въ VI классъ (отдѣл.)--11-й годъ.

Цифры въ скобкахъ обознаютъ необязательные часы.

1) Преподаваніе морали въ подготовительномъ отдѣленіи' не имѣетъ особыхъ часовъ; оно дѣлится между уроками французскаго, исторіи и географіи.

2) Геологія—Г2Х1 час. въ годъ.

3) Курсъ естеств. исторіи заканчивается 12-часовымъ курсомъ гигіены.

4) Нѣмецкій, англійскій, испанскій, итальянскій, русскій по выбору.

Приспособляя эту таблицу къ быту и законамъ Россіи, мы, само собою разумѣется, съ нашей точки зрѣнія, относимся къ ней свободно и, напримѣръ, французскую мораль мы замѣняемъ Закономъ Божіимъ—соотвѣтственно природнымъ вѣроисповѣданіямъ нашихъ учащихся.

Я настаиваю на возможности нынѣ существующіе въ Россіи образовательные курсы средней школы всѣхъ типовъ умѣстить въ семь лѣтъ и притомъ принимая въ теперешніе первые классы учениковъ въ возрастѣ 9 лѣтъ, т.-е. годомъ моложе противъ существующей нормы. Если къ этимъ семи годамъ обученія прибавить два года занятій въ слѣдующей (второй) лицейской ступени, то возрастъ окончанія средней школы вмѣстѣ съ этою добавленною ступенью образованія будетъ 18 лѣтъ, т.-е. это будетъ возрастъ нынѣ оканчивающихъ гимназическій курсъ, не имѣющихъ однако баккалаврской степени образованія и представляющихъ собою матеріалъ, слабо подготовленный и для высшей школы, и для дѣятельности на мѣстахъ въ качествѣ прилично образованныхъ слугъ государства и общества.

Такъ называемое „омоложеніе“ того возраста, какой юноши имѣютъ въ моментъ выхода изъ школы образованными людьми на служеніе, представляетъ важную задачу устройства школьной организаціи государства. Предлагаемая добавочная (промежуточная) школьная ступень не затормозитъ рѣшенія этой задачи, а напротивъ, поможетъ правильному ея рѣшенію.

Возвратимся къ обсужденію устройства старшаго лицейскаго отдѣла. Вѣтви А, В, С и D этого отдѣла исполняютъ великую задачу академической популяризаціи правильно (нормально) дифференцированнаго высшаго образованія. При этомъ курсы А и В рѣшаютъ эту задачу съ помощью, главнымъ образомъ, лингвистики и словесной философіи, а курсы СиD уточняютъ ту же задачу въ ея рѣшеніи съ помощью математическихъ индукцій, дедукцій, исчисленій, измѣреній и научной опытной философіи, считая лингвистику мѣрой необходимой, но недостаточной и неточной.

Въ основѣ таблицы лицеевъ Франціи и Америки положена бифуркація съ дальнѣйшими подраздѣленіями. Математическое образованіе получаетъ себѣ надлежащій просторъ въ учебномъ планѣ курсовъ С. и D. Простая бифуркація лицейскихъ курсовъ представляла лишь первый шагъ индивидуализаціи и дифференціаціи образованія*); она естественно должна развиваться, чтобы обслужить всѣ требованія человѣческой культуры и ея интенсивнаго хозяйства.

Реформою 1902 года Франція превратила простую бифуркацію курса лицеевъ въ четырехчленное развѣтвленіе I (А и В) и II (С и D) и тѣмъ самымъ догнала въ многообразіи видовъ средняго образованія Америку, Англію и Германію, которая съ

*) Свой взглядъ на бифуркацію я выразилъ въ брошюрѣ: „Основы общественныхъ и естественныхъ наукъ въ средней школѣ“ (С.-Петербургъ, 1906) и въ коммиссіяхъ по улучшенію средней школы, въ 1899 и 1900 годахъ. Теперь я не удовлетворяюсь простою бифуркаціей.

середины прошлаго вѣка обогнала Францію въ школьномъ многообразіи.

Вспомнимъ, что въ системѣ русскаго народнаго образованія также сложилось многообразіе типовъ средней школы, не уступающее пестротѣ школьныхъ типовъ Америки, Германіи и Франціи. Въ среднемъ образованіи у насъ насаждены гимназіи съ однимъ и двумя древними языками, духовныя семинаріи, кадетскіе корпуса, коммерческія и техническія училища съ общеобразовательными классами. Однакоже, къ сожалѣнію, мы имѣемъ кучу типовъ, а не согласованное построеніе изъ нихъ. Все это многообразіе возможно и желательно свести къ четыремъ типамъ А, Д С и D, дополняющимъ другъ друга и достаточнымъ въ качествѣ переходной ступени отъ общаго образованія къ развѣтвленному высшему образованію.

Въ виду того, что въ группѣ С учебныхъ предметовъ, соотвѣтствующей учебному плану реальныхъ училищъ Россіи, латинскій языкъ замѣненъ новымъ (живымъ) иностраннымъ языкомъ, я предлагаю слѣдующее отступленіе отъ французскаго учебнаго плана, обозначеннаго вышеприведенною таблицею. Четыре группы А, В, Си!) предлагаю устроить лишь въ двухъ послѣднихъ годахъ обученія; а въ предшествующемъ году обученія группы С и D я сливаю въ одну общую группу, дѣлая въ этомъ году, какъ и въ предшествующемъ году не четыре, а три группы курсовъ: А,' А” и В, какъ показано въ слѣдующей таблицѣ:

Начальное образованіе. Первая ступень. Вторая ступень.

Подготовит. отдѣленіе. Начальное отдѣленіе. IV V IV III II I Классъ.

Философскій. Математическій.

1 2 VIII VII А В А' А" В А' А" В А' А" \ В А в|с D А В С D

Сліянія группъ С и D въ одну въ послѣдующихъ двухъ годахъ второго (старшаго) лицейскаго цикла я не допускаю по причинѣ невозможности возложить всѣ освоительные методы наукъ на индивидуальность одной только группы С учениковъ; эта ноша превысила бы ихъ силы. Потому-то и необходимо многообразіе лицейскихъ отдѣленій и университетскихъ факультетовъ.

(Окончаніе слѣдуетъ).

Задачи.

114. Показать, что при а и b отличныхъ отъ нуля 5а2— 6аЬ + 5б2>0

Л. Закутинскій (Черкасы).

115. Доказать, что число

2« 2. 3“ —|— Ъп — 4

при п цѣломъ и неотрицательномъ кратно 25.

116. Рѣшить уравненіе:

Его же.

Z2 — 8(я + 3)}/з— 1 —|— 22^3 — 7 = 0.

В. Тюнинъ.

117. Доказать, что если т и п — два числа, удовлетворяющихъ условію

т > п > е,

гдѣ е — основаніе неперовыхъ логариѳмовъ, то

тп пт.

А. Сердобинскій (Чита).

118. Доказать, что во всякомъ треугольникѣ діаметръ круга вписаннаго не превышаетъ радіуса описаннаго круга.

Его же.

119. Въ окружности дана хорда AB. Въ извѣстномъ направленіи провести хорду (7Д встрѣчающую AB въ точкѣ Е такъ, что АЕ : CD равно данному числу.

И. Александровъ.

120. Даны: окружность О и въ ней вписанный уголъ ВАМ. Провести въ извѣстномъ направленіи сѣкущую CED G (Си D-на окружности, Е и G на сторонахъ угла) такъ, чтобы CE = DG.

Его же.

121. Найти геометрическое мѣсто точекъ пересѣченія высотъ треугольниковъ, имѣющихъ общее основаніе и равные углы при вершинѣ.

Н. Щетининъ.

Рѣшенія задачъ.

№ 28. Найти цѣлыя положительныя числа N, обладающія тѣмъ свойствомъ, что сумма цифръ числа Nk равна самому числу Ж (* = 1, 2, 3, 4).

Прежде всего замѣтимъ, что сумма цифръ числа Nk не можетъ быть больше 9.fc.n, если предположить, что N есть число n-значное. Рѣшеніе задачи основывается на слѣдующемъ свойствѣ числа N. Если N есть n-значное число, то Nk , вообще, выражается числомъ вида:

Съ другой стороны

Слѣдовательно,

Правая часть равенства дѣлится на 9. Слѣдовательно и лѣвая должна дѣлиться на 9, т.-е. N должно удовлетворять условію:

Nk — N=9p

Въ частности всѣ а, начиная съ ах, могутъ быть нулями. Тогда N удовлетворяетъ равенству

N* — N= 0, N(Nk~ 1 — 1) — 0.

Но изъ этого ур-ія, очевидно, получаются тривіальныя рѣшенія задачи:

N=0 и N —1

Во всемъ дальнѣйшемъ будемъ считать число р отличнымъ отъ нуля.

I Ъ= 1

Сумма цифръ числа Nk , равная N, не больше 9п.

Если п = 1 N < 9 „ п = 2 N <18 „ п = 3 ІѴ <27 и т. д.

Случаевъ п = 3, 4.... изслѣдовать не придется, т. к. въ нихъ сумма цифръ всегда меньше N. Во второмъ случаѣ N—число двузначное—не можетъ быть больше 18. Но сумма цифръ всякаго двузначнаго ^<18 меньше 10. Слѣдовательно, двузначныя числа условію задачи не удовлетворяютъ. Наконецъ, въ случаѣ п = 1 всякое число удовлетворяетъ условію задачи.

Итакъ, имѣемъ девять чиселъ: 1. 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9.

Сумма цифръ числа Nk = N2 не больше 9.2п.

Слѣдовательно, при п = 1 N < 18 „ 71 = 2 36

„ п = 3 < 54 и т. д.

Случаи п = 3, 4... отбрасываемъ, т. к. въ нихъ сумма цифръ N2 всегда меньше N Обращаемся къ случаю п = 1

Получаемъ два равенства или N — 9, или N—1 = 9 (N и N—1, какъ два послѣдовательныхъ цѣлыхъ числа, одновременно на 3 не дѣлятся). Задачѣ удовлетворяетъ число N=9 (92 = 81 8 -f-1 = 9). Изъ второго же равенства слѣдуетъ: N = 10, а по условію N число однозначное.

Здѣсь дѣлаемъ 2 предположенія:

Но число 36 задачѣ завѣдомо не удовлетворяетъ, т. к. 362 оканчивается 6-ю, и, слѣдовательно, сумма цифръ числа N2 (четырехзначнаго) меньше 36. Вычисленіе показываетъ, что и остальныя числа задачѣ не удовлетворяютъ.

Итакъ, имѣемъ два числа: 1, 9.

III к = 3.

Сумма цифръ іУ3 не больше 9.3п

Отбрасываемъ случаи п = 3, 4.

3 предположенія:

Слѣдовательно, jV= 8 удовлетворяетъ условію задачи (замѣтимъ, что никакіе два изъ множителей N, N-\- 1, N-—1, по указанной выше причинѣ, одновременно на 3 не дѣлятся).

Вычисленіе показываетъ, что задачѣ удовлетворяютъ числа 17, 18, 26 и 27. Итакъ, имѣемъ шесть чиселъ: 1, 8, 17, 18, 26, 27.

Сумма цифръ N4 не больше 9,4п

Случаи п = 4,5... отбрасываемъ. Далѣе, 1084 равняется числу девятизначному, сумма цифръ котораго не можетъ быть болѣе 81. То же можно сказать про числа, лежащія между 100 и 108. Слѣдовательно, случай п = 3 также приходится отбросить. Обращаемся къ случаю п = 1:

-число не однозначное.

N должно быть цѣлымъ и положительнымъ; но ясно, что число 36т — 3, дѣлясь на 3, на 9 дѣлиться не будетъ ни при какомъ т. Слѣдовательно, корень изъ 36т — 3 не извлекается, т.-е. изъ условія (с) мы не получимъ ни одного числа, удовлетворяющаго задачѣ.

не можетъ быть.

Отсюда имѣемъ:

N- -j- N + 1 = 3п; 9т2 -|- Зт -f- 1 = Зп. Ясно, что правая часть дѣлится на 3, а лѣвая нѣтъ. Слѣдовательно, изъ условія (е) тоже нельзя опредѣлить числа N;

Полагая m = 1, 2, . . . и принимая во вниманіе неравенство ^<9 получимъ: N = 4, 7;

Итакъ, изъ однозначныхъ чиселъ только число 7 удовлетворяетъ условію задачи.

с) N2 -]- N 1 = 9ш. Это условіе не выполняется ни при какомъ т. (см. выше).

Вычисленіе показываетъ, что отвѣтомъ на задачу являются числа 22, 25, 28, 36. Итакъ, имѣемъ всего шесть чиселъ: 1, 7, 22, 25, 28, 36.

Н. Щетининъ (Москва).

77. Рѣшить уравненіе:

ахъ + (Ь — ас) X4 — Ъсх3 — Ъх2 -f- (Ъс — а) х-\-ас = 0;

Раскрывая скобки и группируя члены, уравненію можно дать слѣдующій видъ:

ах4 (X — с)-\-Ъх3 (х— с) — Ъх (х — с) — а (х— с) = 0, или (х — с) [ах^-\-Ъх3 — Ъх — а] = 0;

т.-е. {х — с) [а (х2-f-1) (х2 — 1 ) -{-Ъх (х2 — 1)] = 0;

отсюда имѣемъ:

(X — с) (х2 — 1) (ах2 -)- Ъх -f- а) — 0, поэтому корни даннаго уравненія будутъ:

_Ъ + л/Ъ2 — 4:а2

х1 — с; х2 — 1, хд — 1; #4,5 —

Е. Л.—Г., 77. Спиридоновъ, М. Зильберштейнъ, М. Орбекъ, Н. Щетининъ, (Москва), В. Чичеринъ (Ярославль), Д. Синцовъ (Харьковъ), И. Коровицкій (Спб.), М. Новикова (Саратовъ), А. Черновъ (Тула), В. Кованько (ст. Струнино), В. Лебедевъ (Омскъ), А, Сердобинскій (Чита), А. Ильинъ (Астрахань), В. Зайцъ (Полангенъ), А. Локуціевскій (Каменская, О. В. Д.), А. Бутомо (Саратовъ), В. Сѣверный (Тула).

82. Внутри прямоуг. 3-ка АВС дана точка О, служащая вершиной равновеликихъ тр-овъ ОАВ, ОАС и ОВС. Доказать, что OB2 -f- ОС2 = ЬОА2 (А—вершина прямого угла).

Опустивъ изъ точки О перпендикуляры ОМ и ON на катеты АС и AB, будемъ имѣть:

АО2 = ОМ2 + ON2; ОС2=ОМ2+МС2; ОВ2= ON2 + NB2. Складывая почленно два послѣднія равенства, получимъ:

ОС2 f ОБ2= ОЖ2+ ON24- MC2 + NB2 (1).

Такъ какъ площадь тр-ка АОВ, по условію задачи, соста-

вляетъ — площади тр-ка АВС, имѣющаго съ нимъ общее основаніе AB, то высота ON= АС, а потому МС = АС—АМ= АС— 0N=20N, и точно также NB = 2МО. Подставляя эти значенія вмѣсто MC и ІѴВ въ равенство (1), найдемъ:

ОС2 4- 0£2 = 5 (ОМ8 + ОІ\Г2),

или, вслѣдствіе равенства Oif2 -)- (Ж2 = А О2, имѣемъ:

ОС2 + OB2 = ЪАО2.

Н. Щетининъ, М. Орбекъ, М. Зильберштейнъ, (Москва), Б. Чичеринъ (Ярославль), Я. Сердобинскій (Чита), В. Зайцъ (Полангенъ), В. Лебедевъ (Омскъ), A. Черновъ (Тула), Б. Кованько (ст. Струнино), Флавіанъ Д, (Спб.), М. Новикова (Саратовъ).

84. Найти геометрическое мѣсто центровъ окружностей, вписанныхъ въ прямоуг. тр-ки, имѣющіе общую гипотенузу.

Пусть О центръ круга, вписаннаго въ треугольникъ В АС съ прямымъ угломъ А. Тогда, какъ извѣстно, точка О находится на пересѣченіи равнодѣлящихъ угловъ 3-ка и потому имѣемъ:

Z ОВС=А/_В, ОСВ=\/_Си /5+/0 = 90°,

поэтому /_ ОВС-\- /_ 0СВ = АЬ°, а /_ В0С= 135°. Такимъ образомъ, гипотенуза видна изъ центра вписаннаго круга подъ угломъ въ 135°, а потому искомое геометрическое мѣсто точекъ есть дуга сегмента, имѣющаго гипотенузу ВС хордою и вмѣщающаго уголъ въ 135°. Эта дуга представляетъ четверть окружности радіуса, равнаго Ѵ2 ВС ]/ 2, проходящей чрезъ точки В и С. На той-же окружности, на дополнительной дугѣ, лежатъ центры внѣвписанныхъ круговъ, соотвѣтствующихъ гипотенузѣ.

Задача допускаетъ обобщеніе: геометрическое мѣсто центровъ круговъ, вписанныхъ въ треугольники, построенные на общемъ основаніи ВС и имѣющіе равные углы А при вершинѣ, есть дуга окружности, имѣющая ВС хордою и вмѣщающая вписанный уголъ 90° —.

В. Добровольскій, Н. Щетининъ, М. Орбекъ (Москва), В Чичеринъ (Ярославль), Флавіанъ Д. (Спб.), Д. Синцовъ (Харьковъ), А. Сердобинскій (Чита), B. Кованько (ст. Струнино), И. Евдокимовъ (Шуя), И. Козловскій (Спб.).

85. Рѣшить уравненіе

х4 -(- 4 Xs--X2 — 10 ж 4 4 = 0.

Данное уравненіе можно представить въ видѣ (х2 -|- 2х)2 — 5 (х2 -f- 2ж) -j- 4 = 0.

Полагая х2 + 2х = у, имѣемъ:

У2 — 5*/ +4 = 0,

откуда найдемъ ^ = 4, ?/2 = 1. Слѣдовательно х‘2-[-2х = 4; или ж2 —)— 2л; = 1.

Отсюда имѣемъ 4 корня уравненія:

хх= — 1 + "|/5; х2 = — 1 — j/ô; ж3 = — 1 -f-1/2; х4 = — 1 — |/2.

Н. Щетининъ (Москва), Д. Синцовъ (Харьковъ), Л. Ильинъ (Астрахань), В. Лебедевъ (Омскъ), В. Сѣверный (Тула), А. Локуціевскій (Каменская О. В . Д)> А. Бутомо (Саратовъ), А. Сердобинскій (Чита).

86. Показать, что система уравненій

допускаетъ въ общемъ случаѣ три системы рѣшеній. Примѣръ. Рѣшить систему уравненій.

Для рѣшенія данной системы уравненій, исключимъ изъ нихъ у\ съ этою цѣлью опредѣлимъ у изъ 1-го уравненія и подставимъ во второе; получимъ:

Не производя всѣхъ вычисленій, легко усмотрѣть, что выраженіе, стоящее въ фигурныхъ скобкахъ, будетъ послѣ упрощенія содержать х въ 1-й степени; слѣдовательно для опредѣленія X получимъ ур-іе 3-й степени. Соотвѣтственно тремъ значеніямъ для X получимъ три значенія для у.

2-е рѣшеніе. Данная система можетъ быть переписана слѣдующимъ образомъ:

Обозначая общее значеніе этихъ отношеній чрезъ £, получимъ три уравненія:

(1).

Условіемъ совмѣстности этихъ уравненій будетъ, какъ извѣстно, равенство нулю детерминанта изъ коэффиціентовъ:

Раскрывая детерминантъ, получимъ уравненіе 3-й степени относительно изъ котораго найдемъ 3 значенія для t; подставляя ихъ поочередно въ ур-ія (1) вмѣсто t и рѣшая эти послѣднія, получимъ по 3 значенія для хи у.

Примѣръ. Для рѣшенія данной системы числовыхъ уравненій, можно воспользоваться какимъ-либо изъ двухъ вышеизложенныхъ способовъ, но проще примѣнить слѣдующій искусственный пріемъ: представимъ второе уравненіе въ видѣ:

у (2х— Ьу-\ 2) = (2х — 5у 4-2) — 2 (у — 1) или (2х — 5г/ —j— 2 —|— 2) (у — 1) = 0.

Приравнивая нулю второго множителя и принимая во вниманіе первое изъ данныхъ уравненій, получимъ систему

X (2х—5у -4~ 2)—2 — X—2у У— 1 — 0;

откуда имѣемъ для опредѣленія х уравненіе

2т2 — 2х = 0,

которое даетъ для х корни х = 0 и х = 1.

Приравнивая нулю второго множителя, подобнымъ же образомъ получимъ систему

2х — by -f- 2 = — 2 X (2х — 57 4-2) = 2 — X — 2у

2х — 5t/ -f- 4 = О — 2# = 2 — X — 2у

откуда найдемъ рѣшенія: х = —2, у = 0. Итакъ, всего будемъ имѣть три системы рѣшеній:

X = 0] х=1; X — — 2

у= 1; у = 1; у = 0-

И. Щетининъ (Москва), Д. Синцовъ (Харьковъ), И. И. Коровицкій (Спб.).

О подготовительныхъ работахъ къ устройству 2-го Всероссійскаго Съѣзда преподавателей математики.

Кромѣ докладовъ, перечисленныхъ въ предыдущемъ № 6 „Матем. Образов.“, въ Организаціонный Комитетъ 2-го Съѣзда поступили заявленія еще о слѣдующихъ докладахъ:

С. Н. Бернштейнъ. Теорія функцій въ средней школѣ.

А. К. Власовъ. 1) Изобразительное искусство въ геометріи. 2) Какія стороны элементарной математики представляютъ цѣнность для общаго образованія?

И. И. Жегалкинъ. Теорія безконечныхъ множествъ и чиселъ.

А. Н. Крыловъ. О приближенныхъ вычисленіяхъ въ средней школѣ.

Б. К. Млодзѣевскій. Геометрія въ средней школѣ.

Б. Б. Піотровскій. 1) Ученіе объ отрицательныхъ числахъ на различныхъ ступеняхъ обученія въ средней школѣ. 2) О повторительныхъ курсахъ. 3) Курсъ тригонометріи въ средней школѣ.

Н. Н. Салтыковъ. О подготовкѣ преподавателей.

Л. Сельскій. О построеніи курса начальной ариѳметики.

П. А. Некрасовъ. Объ учебныхъ особенностяхъ двухъ направленій математическаго курса средней школы.

Организаціонный Комитетъ 2-го Всероссійскаго Съѣзда преподавателей математики извѣщаетъ г.г. членовъ Съѣзда, что въ распоряженіи его имѣются безплатныя и удешевленныя помѣщенія для г.г. иногороднихъ членовъ Съѣзда (мужчинъ и женщинъ). Въ виду этого Комитетъ проситъ лицъ, желающихъ воспользоваться таковыми помѣщеніями, прислать свои заявленія на открыткахъ съ оплаченнымъ отвѣтомъ и написаннымъ своимъ адресомъ въ Бюро Комитета: Знаменка, реальн. уч. Мазинга, Алексѣю Яковлевичу Модестову. При заявленіи Комитетъ проситъ указать мѣсто и родъ службы. Въ виду ограниченнаго числа безплатныхъ помѣщеній Комитетъ проситъ присылать заявленія заблаговременно, не позже 23-го декабря текущаго года. Эти мѣста будутъ Комитетомъ заполняться въ порядкѣ поступленія заявленій отъ г.г. членовъ, уже уплатившихъ членскій взносъ. Какихъ-либо льготъ по проѣзду до Москвы желѣзными дорогами не дано.

Библіографическій отдѣлъ.

Ив. Менделѣевъ. Методъ математики. Логика и гносеологія математич. знаній. Съ предисловіемъ проф. А. В. Васильева. СПБ. изд. Образованіе, ц. 80 к.

Несомнѣнно интересная и глубоко продуманная книга. Центральный вопросъ о математическомъ методѣ въ настоящее время, это вопросъ о томъ, достаточны-ли для обоснованія математики законы логики, или для обоснованія математики необходимо прибѣгнуть къ интуиціи. Въ этомъ запутанномъ спорѣ между представителями логической школы (Peano, Russel и др.) съ одной стороны и Пуанкаре съ другой, г. Менделѣевъ становится на сторону послѣдняго и развиваетъ дальше взгляды французскаго ученаго. Пуанкаре настаивалъ, что математическая индукція, оперирующая надъ безконечнымъ числомъ понятій не можетъ быть сведена къ чисто логической категоріи. Peano вводилъ математическую индукцію въ видѣ постулата въ систему аксіомъ и думалъ такимъ образомъ избѣжать необходимости пользоваться интуиціей. Ив. Менделѣевъ раздѣляетъ мнѣніе Пуанкаре, что въ этомъ случаѣ нельзя доказать непротиворѣчивость аксіомъ математики. Точка зрѣнія Пуанкаре такая. При доказательствѣ непротиворѣчивости обыкновенно приводятъ въ видѣ примѣра группу понятій, относительно которой извѣстно, что къ ней аксіомы системы примѣнимы безъ противорѣчія. Каждая система математическихъ аксіомъ оперируетъ надъ безконечнымъ числомъ частныхъ понятій. Слѣдовательно, для полной убѣдительности группа, приводимая въ видѣ примѣра должна состоять тоже изъ безконечнаго числа элементовъ и слѣдовательно уже для ея образованія пришлось пользоваться интуиціей. Ив. Менделѣевъ, идя далѣе, высказываетъ своеобразный взглядъ на математ. индукцію. Въ математикѣ постоянно приходится на основаніи конечнаго числа понятій, съ которыми вообще только и можетъ оперировать человѣкъ, умозаключать къ общимъ понятіямъ, содержащимъ подъ собой безконечное число понятій. Это возможно по мнѣнію г. Менделѣева только при помощи обыкновенной неполной индукціи, аналогично тому, какъ поступаютъ въ естествознаніи. Но при этомъ въ математикѣ, какъ въ наукѣ болѣе формальной, чѣмъ естествовѣдѣніе, выработанъ особый формальный практическій пріемъ, посредствомъ котораго фактически осуществляется индукція. Этотъ пріемъ (переходъ отъ п къ п-Ѵ 1) и есть математическая индукція. Въ этомъ, по нашему мнѣнію, центральный пунктъ книги, написанной хорошо и ясно. Къ сожалѣнію какъ разъ въ этомъ центральномъ пунктѣ нѣсколько затемнено изложеніе. Авторъ формулируетъ свой принципъ обобщенной математической индукціи въ одной фразѣ, распространенной на 14 строкъ, и если бы мы его привели здѣсь, то онъ понятно показался бы читателю безсмыслицей. По существу же принципъ автора очень интересенъ, такъ какъ вводя его можно, дѣйствительно, какъ показываетъ на примѣрѣ Менделѣевъ, доказать непротиворѣчивость системы аксіомъ. Если принять принципъ господства неполной индукціи въ математикѣ, то возникаетъ вопросъ, касающійся не столько математики, сколько теоріи познанія, какъ оправдать неполную индукцію. На этотъ вопросъ авторъ пытался отвѣтить въ своей книгѣ „Мысли о познаніи“, въ которой авторъ обосновываетъ знаніе на идеѣ вѣроятности, что особенно интересно для математики, такъ какъ теорія вѣроятности при такой концепціи входитъ въ соприкосновеніе съ теоріей познанія.

Въ связи съ разсужденіями автора объ индукціи нельзя не отмѣтить интереснаго примѣчанія въ концѣ его книги о методѣ въ преподаваніи и о методѣ изложенія математики въ научной литературѣ.

Е. Бреневъ.

Засѣданіе Московскаго Математическаго Кружка 10 Октября 1913 года.

По открытіи засѣданія, предсѣдатель Б. К. Млодзѣевскій довелъ до свѣдѣнія собранія о смерти бывшаго члена Отдѣленія преподавателей математики Московскаго Педагогическаго Общества, извѣстнаго педагога, прив.-

доц. П. В. Преображенскаго. По предложенію предсѣдателя, собраніе почтило память П. В. Преображенскаго вставаньемъ.

I. И. Чистяковъ сообщилъ, что циркуляромъ Главнаго Управленія Военно-Учебныхъ заведеній 1913 г. за №12 журналъ Кружка „Математическое Образованіе“ рекомендованъ для обязательнаго пріобрѣтенія въ фундаментальныя библіотеки кадетскихъ корпусовъ и для старшихъ классовъ кадетскихъ корпусовъ.

В. В. Добровольскій сдѣлалъ сообщеніе „О геометрическомъ мѣстѣ точекъ, равноотстоящихъ отъ двухъ и отъ трехъ данныхъ прямыхъ“ (докладъ напечатанъ въ настоящемъ № „Математическ. Образованія“).

М. 0. Бергъ, сдѣлалъ докладъ „О построеніи вписанныхъ и описанныхъ многоугольниковъ по ихъ сторонамъ и угламъ“.

Б. Е. Млодзѣевскій сдѣлалъ небольшее сообщеніе „Объ отношеніи “, причемъ аналитически доказалъ, что названное отношеніе съ возрастаніемъ X убываетъ. А. К. Власовъ предложилъ весьма простое чисто геометрическое доказательство той-же теоремы.

Секретарь I. И. Чистяковъ сообщилъ свѣдѣнія о подготовительныхъ работахъ Организаціоннаго Комитета по устройству 2-го всероссійскаго съѣзда преподавателей математики.

Отъ Организаціоннаго Комитета I Всероссійскаго съѣзда по вопросамъ народнаго образованія.

(Съ 23 декабря 1913 г. по 3 января 1914 г. въ С.-Петербургѣ).

Къ свѣдѣнію членовъ съѣзда.

Согласно утвержденному Мин. Вн. Дѣлъ положенію, членами съѣзда могутъ быть: 1) учащіе начальныхъ училищъ и школъ повышеннаго типа всѣхъ вѣдомствъ, кромѣ учащихъ церковно-приходскихъ школъ; 2) лица, приглашенныя Организаціоннымъ Комитетомъ; 3) лица, не вошедшія въ предыдущія двѣ группы, но доклады которыхъ будутъ приняты Организаціоннымъ Комитетомъ.

Членскій взносъ на съѣздъ—три рубля. Запись въ члены, а равно и членскій взносъ слѣдуетъ направлять по адресу: С.-Петербургъ, Театральная ул.. д. 5, Спб. Общество Грамотности—Организаціонному Комитету съѣзда. По этому же адресу слѣдуетъ направлять всѣ запросы и справки по дѣламъ съѣзда.

Для членовъ съѣзда Комитетомъ подыскиваются безплатныя и дешевыя квартиры, а также принимаются мѣры къ устройству дешевыхъ обѣдовъ.

Комитетомъ возбуждено передъ Министерствомъ Путей Сообщенія ходатайство о разрѣшеніи народнымъ учителямъ—членамъ съѣзда льготнаго проѣзда до С.-Петербурга и обратно въ вагонахъ 3 класса по тарифу 4 класса (скидка въ 50% съ цѣны билета 3 класса). О результатахъ этого ходатайства, а въ случаѣ его удовлетворенія—о правилахъ льготнаго проѣзда, будетъ объявлено особо.

Комитетъ устраиваетъ при съѣздѣ выставку, подробный проспектъ которой будетъ разосланъ въ ближайшемъ будущемъ.

Для членовъ съѣзда Комитетомъ намѣчается планъ экскурсій по Петербургу.

Всѣхъ учителей, предполагающихъ принять участіе въ съѣздѣ, Организаціонный Комитетъ проситъ немедленно прислать свои адреса для высылки имъ всѣхъ имѣющихъ быть выпущенными оповѣщеній о съѣздѣ.

Къ свѣдѣнію докладчиковъ.

1) Срокъ представленія докладовъ—1-е декабря 1913 года.

2) Доклады должны быть представлены комитету въ письменномъ видѣ съ приложеніемъ тезисовъ.

Отступленія отъ этихъ правилъ допускаются съ разрѣшенія Организаціоннаго Комитета.

3) При опредѣленіи размѣра докладовъ, докладчики должны руководствоваться тѣмъ соображеніемъ, что время для прочтенія доклада на съѣздѣ не должно превышать 20 минутъ.

Всѣхъ лицъ, предполагающихъ представить съѣзду докладъ, Комитетъ проситъ прислать свои адреса и заглавія предполагаемыхъ ими докладовъ.

Замѣтка по поводу статьи Е. С. Томашевича: „о периметрахъ и площадяхъ правильныхъ многоугольниковъ, вписанныхъ въ кругъ и описанныхъ около него“. (Математическое Образованіе, № 5—1913 г.)

А. А. Дмитровскій. Москва.

Въ названной статьѣ Е. С. Томашевичъ, между прочимъ, доказываетъ двѣ теоремы о томъ, что при увеличеніи числа сторонъ на единицу периметръ правильнаго вписаннаго въ кругъ многоугольника увеличивается, а периметръ описаннаго уменьшается. Теоремы эти появляются въ математической литературѣ не впервые. Въ 1905 году, въ № 385 „Вѣстника опытной физики и элементарной математики14 мною напечатана статья подъ заглавіемъ: „объ измѣненіи периметровъ правильныхъ вписанныхъ и описанныхъ многоугольниковъ при увеличеніи числа сторонъ на единицуtc; въ этой статьѣ даны доказательства тѣхъ-же двухъ теоремъ.

Новыя книги.

Н. Каменьщиковъ. Сборникъ задачъ по космографіи (начальной астрономіи). Спб. 1913. Ц. 75 к.

А. Малининъ. Руководство космографіи для гимназій и реальныхъ училищъ. Изд. 17-е, перераб. и дополн. прив.-доц. А. И. Некрасовымъ. Изд. Т-ва И. Д. Сытина. М. 1913. Ц. 80 к.

А. П. Нечаевъ. Въ мірѣ міровъ. Картина вселенной, ея настоящаго, прошлаго и будущаго. Съ 71 рис. Изд. т-ва И. Д. Сытина. М. 1914. Ц. 30 к., въ папкѣ 45 коп.

Ив. Менделѣевъ. Методъ математики. Съ предисл. проф. А. В. Васильева. Спб. 1913. Ц. 80 к.

О. Д. Хвольсонъ. Принципъ относительности. Общедоступное изложеніе Спб. 1914. Ц. 50 к.

Отчетъ завѣдывающаго одногодичными курсами для подготовленія учителей и учительницъ среднихъ учебныхъ заведеній при управленіи Варшавскаго Учебнаго Округа за 1912—13 уч. г. Варш. 1913.

Е. И. Игнатьевъ. Начатки ариѳметики. Ч. I. Спб. Ц. 60 к.

Пр. Н. Н. Парѳентьевъ. Нѣсколько словъ по поводу книги Л. Кутюра: „Философскіе принципы математики“. Отд. от. изъ Изв. Физ.-Мат. Общ. при Казан. Унив.

И. Горскій. Начала высшаго анализа. Изд. 2-е исправл. Ташкентъ. 1913. Ц. 45 к.

Н. Рашевскій. Основанія анализа безконечно-малыхъ. Для VII кл. реальн. учил. М. 1913. Ц. 65 к.

В. Мрочекъ. Прямолинейная тригонометрія. 2-е изд. исправл. Спб. 1913. 1 р. 50 коп.

Над. Гернетъ. Объ основной простѣйшей задачѣ варіаціоннаго исчисленія. Спб. 1913.

Отвѣтственный редакторъ I. И. Чистяковъ

Печатня А. И. Снегиревой Москва.

Открыта подписка на 1914-й годъ

на Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

„МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНІЕ".

Журналъ выводитъ ежемѣсячно книжками отъ 2 до 3 печатныхъ листовъ за исключеніемъ мая, іюня, іюля и августа мѣсяцевъ.

Циркуляромъ Попечителя Московскаго Учебнаго Округа отъ 23 Марта 1912 года за № 10808 журналъ „Математическое Образованіе“ рекомендованъ для выписки въ ученическія и фундаментальныя библіотеки мужскихъ и женскихъ учебныхъ заведеній.

Циркуляромъ но военно-учебнымъ заведеніямъ 1913 года за № 12 рекомендованъ для обязательнаго пріобрѣтенія въ фундаментальныя библіотеки кадетскихъ корпусовъ и для ротныхъ библіотекъ старшихъ классовъ кадетскихъ корпусовъ. ~~—:

Содержаніе журнала: 1) статьи по различнымъ отдѣламъ математики: оригинальныя и переводныя; 2) статьи по вопросамъ преподаванія математики и соприкасающихся наукъ; 3) очерки по исторіи математики, біографіи и портреты математиковъ; 4) библіографическій отдѣлъ; 5) вопросы и задачи; 6) математическая хроника; 7) Объявленія.

Цѣна 3 рубля въ годъ и 2 рубля на полгода въ доставкой и пересылкой.

Цѣна отдѣльнаго № 50 к. съ перес. За перемѣну адреса 20 к.

ПОДПИСКА ПРИНИМАЕТСЯ ВЪ РЕДАКЦІИ:

Москва, Остоженка 7, кв. 88.

Журналъ за 1912 г. — 2 р. съ перес.

Если объявл. печат. 4 раза уступка 15 °/в. За 8 разъ уступ. 25 °/0.

За разсылку при журналѣ отдѣльныхъ приложеній вѣсомъ не болѣе 1 л. съ каждой 1000 экз. 8 р. За каждый лишній лотъ съ 1000 экз. 4 р.

Книжные магазины пользуются 5*/. съ подписной цѣны.

Печатня А. И. Снегиревой Москва.