Математическое Образованіе.

Журналь Московскаго Математическаго Кружка

Годъ второй.

№ 6.

Октябрь 1913 г.

МОСКВА.

ИЗЪ РЕДАКЦІИ ЖУРНАЛА

Математическое Образованіе‘

можно выписывать портреты:

Анри Пуанкаре, фототипія

Лобачевскаго,

Лагранжа,

л „ фото-тинто-гравюра

С. Ковалевской,

Фермата.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

„Математическое Образованіе"

Октябрь 1913 г. Годъ 2-й. № 6.

СОДЕРЖАНІЕ: Объ одномъ варіантѣ рѣшенія неопредѣленнаго уравненія первой степени съ двумя неизвѣстными въ цѣлыхъ числахъ—Я. Агрономовъ Одинъ изъ практическихъ способовъ упрощенія радикаловъ вида: V А±Ѵ~в.— С. Адамовичъ. Съѣзды преподавателей физики въ Россіи—Н. Москвинъ. Къ ученію объ отношеніяхъ прямолинейныхъ отрѣзковъ и объ ихъ пропорціональности.— Я. Извольскій. Конструктивныя задачи съ неприступными точками—И. Александровъ. Задачи. Рѣшенія задачъ. Подготовительныя работы къ устройству 2-го всероссійскаго Съѣзда преподавателей математики. Библіографическій отдѣлъ. Изъ итоговъ анкеты Оренбургскаго учебнаго округа. Засѣданія Математическаго Отдѣла Педагогическаго Музея Военно-Учебныхъ заведеній 1912—1913 г. Отъ Распорядительнаго Комитета Перваго Всероссійскаго Съѣзда Преподавателей физики, химіи и космографіи. Новыя книги.

Объ одномъ варіантѣ рѣшенія неопредѣленнаго уравненія первой степени съ двумя неизвѣстными въ цѣлыхъ числахъ.

Н. Агрономовъ. Ревель.

Въ настоящей замѣткѣ я позволю себѣ на примѣрахъ изложить одинъ варіантъ рѣшенія неопредѣленнаго уравненія первой степени съ двумя неизвѣстными въ цѣлыхъ числахъ.

Пусть дано уравненіе

із#! -|- 2і#2 — НО (1)

Представимъ его въ такомъ видѣ

13 (хх -\-х2) -f 8#2 — 110 (2)

Положимъ

хі + *2 =*з (3)

Тогда

13#3 + 8х2 = 110 (4)

Представимъ это уравненіе въ слѣдующемъ видѣ

5#3 f 8 (#2 -f х3) = 110 (5)

Полагая здѣсь

Х2 “1“ == (3)

имѣемъ, что

5х3 + 8#! = 110 (7)

Это послѣднее уравненіе представимъ такъ:

5 (х3 х±) + Зя4 = 110 (8)

Полагая

*з + ХІ = > (9)

имѣемъ

5я5 + 3я4= 110 (10)

Это уравненіе напишемъ такъ:

2#б + 3 (^4 + ^5) = 110 (11)

Приравнявъ

*4 +*6 = *6 » (12)

получимъ, что

2хь + Заг6 = 110 (13)

Представляя это уравненіе такъ:

2 (^б 4“ ^в) "Ь ^ НО (14)

и полагая, наконецъ, что

4“ Х6 = Х1 (1^)

мы получаемъ, что

2д:7 —I— а:6 = 110 (16)

Теперь для опредѣленія х1 и х2 имѣемъ слѣдующую цѣпь равенствъ:

Отсюда

Такъ какъ для рѣшенія нашего уравненія въ цѣлыхъ и положительныхъ числахъ, необходимо, чтобы х{ и х2 были бы больше 0, то

Отсюда

а слѣдовательно

Само собою разумѣется, что въ указанный пріемъ можно внести рядъ упрощеній. Приведенныя ниже вычисленія даютъ понятіе о характерѣ этихъ упрощеній

Возьмемъ еще примѣръ

4Lzt 4-153я2 = 347.

Въ этомъ случаѣ, цѣпь равенствъ опредѣляющихъ хг и х2 будетъ слѣдующая

Всматриваясь въ коэффиціенты вторыхъ членовъ и изслѣдуя ихъ происхожденіе, мы легко можемъ заключить, что они получаются при помощи извѣстнаго алгориѳма, употребляемаго въ теоріи непрерывныхъ дробей.

Это мы можемъ провѣрить при помощи слѣдующаго вычисленія

Мнѣ думается, что предлагаемый способъ заслуживаетъ употребленія въ школьной практикѣ.

Одинъ изъ практическихъ способовъ упрощенія радикаловъ вида: √A±√B...I

С. Адамовичъ. Варшава.

Почти во всѣхъ общеизвѣстныхъ учебникахъ элементарной алгебры выводится довольно сложно упрощеніе радикальнаго выраженія вида I.

Сперва приводятъ его къ системѣ уравненій съ двумя неизвѣстными, потомъ къ квадратному уравненію съ однимъ неизвѣстнымъ и наконецъ искомое преобразованіе выражаютъ тождествомъ:

И даже въ одномъ изъ учебниковъ алгебры дается заключеніе слѣдующаго содержанія: „и это единственный способъ преобразованія вида I къ виду II“. Эту сложную формулу нерѣдко заставляютъ выучивать учениковъ наизусть, хотя слѣдовало-бы помнить профессора В. П. Ермакова, который въ своихъ публичныхъ лекціяхъ о преподаваніи алгебры на стр. 40 говоритъ: „я

пришелъ къ убѣжденію, что легче припомнить самый процессъ, при помощи котораго выводится та или иная формула, чѣмъ заучивать самую формулу“. И дѣйствительно ученики очень скоро забываютъ конечный результатъ формулы (II); процессъ вывода его довольно сложный, а между тѣмъ подобное упрощеніе полезно не только въ алгебрѣ, но и въ геометріи.

Я предлагаю поэтому слѣдующій болѣе простой способъ упрощенія радикала вида I.

Положимъ }/ А 4- \/ В = х\ тогда А -f- \/ В = х2 пли (х2—А)2= = (|/б)2; я4 — 2 Ax2 -f- А2 — В = 0. Обозначивъ Я2 — В чрезъ С2, имѣемъ: х4 — 2 Ах2-\- С2 = 0. (III). Лѣвую часть биквадратнаго уравненія разлагаемъ на два квадратныхъ уравненія въ томъ случаѣ, если свободный членъ А2 — В есть полный квадратъ; если-же свободный членъ А2 — В не представляетъ изъ себя полнаго квадрата, то упрощеніе не представляетъ практическаго интереса. Получимъ

а разложивъ разность квадратовъ.

имѣемъ:

Откуда:

Изъ этихъ уравненій найдемъ:

При этомъ xY соотвѣтствуетъ выраженію

Подобный способъ весьма практиченъ при численныхъ значеніяхъ А и В.

Примѣръ 1.

Приравнявъ 1^7 -j- ]/ 40 = х и возведя въ квадратъ, получимъ:

7 -f- ]/40 = х2 или (X2 — 7)2 = (|/40)2; х4 — 14 #2-j- 9 = 0.

Свободный членъ 9 представляетъ изъ себя точный квадратъ, а потому представимъ лѣвую часть въ видѣ разности двухъ квадратовъ:

(х2 — З)2— (]/Та02 = О;

(я2 — 3 + ]/~8 я) (я2 — 3 — у~8 X) = 0;

такъ какъ данный радикалъ со знакомъ -f-, то находимъ корни уравненія ІІ-го, т.-е. изъ уравненія: х2—У 8х— 3 = 0; получимъ

X = У 2 —|— У 2 —J— 3 = У 2 У 5.

Примѣръ 2. і/3 — |/ 5

1/ 3 — |/~5~ 3 — У~5 = х2; ж4-6ж24-4 = 0

Представимъ уравненіе въ видѣ:

( X 2 _ 2 )2 — (х У Т)2 = О , или (я2 — 2 4-ж}/2) (я2 — 2 — я]/ 2 ) = 0.

Изъ перваго множителя находимъ х = — Y.?1.4- 1^+2 =

Примѣръ 3. Имѣемъ:

Изъ перваго уравненія найдемъ:

Примѣръ 4. Полагаемъ:

Изъ перваго уравненія

Итакъ изъ вышеприведенныхъ примѣровъ легко вывести слѣдующее простое правило:

Чтобы упростить радикалъ вида ]/ А +1/ і?, слѣдуетъ приравнять радикальное выраженіе неизвѣстному, освободить полученное уравненіе отъ радикаловъ (возведеніемъ обѣихъ частей въ квадратъ) и если получится такое биквадратное уравненіе, въ которомъ свободный членъ есть полный квадратъ, то въ этомъ случаѣ слѣдуетъ разложить полученное раціональное биквадратное уравненіе на два квадратныхъ уравненія, примѣняя при разложеніи способъ разности двухъ квадратовъ, причемъ корень квадратнаго уравненія, средній членъ котораго со знакомъ -|-, соотвѣтствуетъ выраженію Ѵл-ѵ В, а со знакомъ — для V А + Ѵ В.

Съѣзды преподавателей физики въ Россіи.

Н. Москвинъ.

(Окончаніе).

При обсужденіи вопроса о распредѣленіи уроковъ по классамъ, разсматриваются, главнымъ образомъ, слѣдующія три комбинаціи.

VI VII VIII

3 3 3

2 4 3

2 3 4

Послѣ долгаго обсужденія вопросъ подвергается голосованію: 24 голоса высказываются за 1-ую комбинацію, 12 за 2-ую и 4 за 3-ью.

При обсужденіи вопроса о распредѣленіи курса физики по классамъ разсматривается и принимается слѣдующая программа.

VII. Общія свойства тѣлъ. Силы, простыя машины. Тяготѣніе и тяжесть.

Твердыя, жидкія тѣла и газы. Звукъ.

VII. Теплота, магнитизмъ и электричество.

VIII. Оптика. Ученіе о движеніи. Ученіе объ энергіи. Повтореніе курса.

Попутно высказывается пожеланіе рѣшать задачи по всѣмъ отдѣламъ физики.

Наконецъ, съѣздъ приступаетъ къ обсужденію вопроса о практическихъ занятіяхъ учащихся. При этомъ преподаватель Маріупольской гимназіи Кустовскій, который ведетъ со своими учениками практическія занятія, дѣлаетъ подробное сообщеніе о веденіи ихъ. Съѣздъ посвящаетъ вопросу о практическихъ занятіяхъ цѣлое засѣданіе и, наконецъ, большинствомъ голосовъ рѣшаетъ, что практическія занятія необходимы, но въ нихъ участвуютъ только желающіе ученики. Высказывается также пожеланіе, чтобы каждый недѣльный часъ оплачивался какъ и недѣльный урокъ физики 105 рубл.

Нѣтъ сомнѣнія, что эти два съѣзда имѣли громадное вліяніе на постановку преподаванія физики въ средней школѣ; мало того, общество стало даже сознавать необходимость этихъ съѣздовъ. Мнѣ, какъ участнику Перваго Менделѣевскаго Съѣзда и послѣдняго съѣзда естествоиспытателей и врачей, хорошо помнится, что члены упомянутыхъ съѣздовъ, преподаватели средней школы, а таковыхъ было большинство, выражали между собой сожалѣніе, доводя его также до свѣдѣнія организаторовъ съѣздовъ, что запросамъ средней школы удѣляется такъ мало вниманія и времени.

Благое дѣло, начатое въ Москвѣ, не ограничилось Петербургомъ, но захватило Варшаву.

Въ концѣ того же 1902-ого года, по мысли Варшавскаго Кружка преподавателей физики и математики, при содѣйствіи профессора Зилова и попечителя А. Н. Шварца, устраивается и въ Варшавѣ съѣздъ преподавателей физики и математики. На немъ профессора и преподаватели читаютъ лекціи научнаго содержанія, дѣлаютъ доклады по педагогическимъ вопросамъ и демонстрируютъ опыты по многимъ отдѣламъ физики. Изъ докладовъ по педагогическимъ вопросамъ слѣдуетъ отмѣтить докладъ А. С. Фольфензона о преподаваніи въ Англіи физики, въ которомъ докладчикъ очень подробно знакомитъ съ постановкой преподаванія естественныхъ наукъ и, въ частности, физики въ англій-

скихъ школахъ, а также докладъ Окоемова „Окружной физическій кабинетъ“, въ которомъ докладчикъ рекомендуетъ устроить образцовый физическій музей въ Варшавѣ для нуждъ учебныхъ заведеній Варшавскаго Округа.

Кромѣ этого при съѣздѣ въ залахъ 1-ой мужской гимназіи, отчасти, и въ физическомъ кабинетѣ Университета устраивается фирмами „Берентъ и Плевинскій“, „Кольбе, Краузе, Сименсъ и Гальке“ выставка физическихъ приборовъ. Выставка была открыта ежедневно для членовъ съѣзда.

Но этотъ съѣздъ, какъ видно изъ этого краткаго обзора, существенно отличается по своимъ задачамъ отъ двухъ предыдущихъ. Его задача, говоритъ проф. Зиловъ при открытіи съѣзда, освѣжить и пополнить познанія членовъ съѣзда. Здѣсь не затрагиваются и не обсуждаются существенные педагогическіе вопросы во всей ихъ широтѣ.

Такого же почти характера устраиваются въ 1907 г. каникулярные курсы при университетѣ Св. Владиміра для преподавателей физики Кіевскаго Учебнаго Округа.

Курсы эти были организованы, по иниціативѣ попечителя учебнаго округа г. Зилова, профессорами мѣстнаго университета и продолжались съ 2-го по 5 января указаннаго года.

Предсѣдатель комиссіи по организаціи курсовъ проф. Сусловъ, въ своей рѣчи при открытіи, высказываетъ, что открываемые курсы преслѣдуютъ три главныхъ цѣли: расширеніе познаній слушателей, сообщеніе имъ новыхъ свѣдѣній и, наконецъ, ознакомленіе участниковъ курсовъ съ различными пріемами постановки опытной части, какъ напримѣръ съ устройствомъ демонстрацій, съ организаціей практическихъ занятій.

Изъ докладовъ профессоровъ заслуживаетъ особеннаго вниманія докладъ проф. Де-Метца „О постановкѣ практическихъ занятій по физикѣ въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ“.

Свой интересный докладъ проф. Де-Метцъ резюмировалъ слѣдующими положеніями:

1) практическія упражненія по физикѣ въ средней школѣ должны быть вводимы постепенно, при этомъ они не должны быть обязательны ни для учителей, ни для учениковъ;

2) они должны служить не для расширенія учебной программы, а для углубленія въ изучаемомъ предметѣ;

3) избираемыя задачи должны быть по своему содержанію интересны, какъ въ качественномъ, такъ и въ количественномъ отношеніи;

4) число задачъ не должно быть велико; рѣшенія учениковъ должны быть тщательны, подробно описаны и подсчитаны;

5) практическія занятія должны быть выполняемы параллельно теоретическому курсу;

6) инструменты для этихъ занятій должны отличаться простой конструкціей и наглядностью.

Слушаніе докладовъ смѣнялось посѣщеніемъ физическихъ кабинетовъ какъ высшихъ такъ и среднихъ учебныхъ заведеній, гдѣ демонстрировались различные опыты по всевозможнымъ от-

дѣламъ физики, а въ нѣкоторыхъ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ члены съѣзда знакомились съ постановкой практическихъ занятій для учащихся.

На Пасхальной недѣлѣ 1911 г. съ 11 по 17 апрѣля въ г. Ригѣ, по иниціативѣ управленія Рижскаго учебнаго округа, педагогическимъ персоналомъ г. Риги была устроена выставка. Педагогическая выставка, распредѣленная въ различныхъ учебныхъ заведеніяхъ по отдѣламъ преподаваемыхъ предметовъ въ средней школѣ, показывала отчасти, какъ ведется преподаваніе въ данномъ учебномъ заведеніи и какими* пособіями оно располагаетъ. Отдѣлъ физики находился въ другихъ условіяхъ. Въ организаціонную комиссію выставки этого отдѣла вошелъ кружокъ преподавателей, занимавшійся въ предыдущіе годы разработкой нѣкоторыхъ методическихъ вопросовъ и, между прочимъ, составленіемъ минимума опытовъ, необходимыхъ въ средней школѣ при прохожденіи курса физики.

И вотъ теперь для того, чтобы практически провести образцовый минимумъ опытовъ, устроители, воспользовавшись приборами изъ различныхъ учебныхъ заведеній г. Риги, устроили какъ-бы образцовый физическій кабинетъ. Подъ физику было отведено 6-тиклассное женское учебное заведеніе. Въ большіе, свѣтлые и хорошо обставленные классы была проведена вода, газъ и электричество.

Физическая выставка заняла 10 классовъ и была распредѣлена по слѣдующимъ отдѣламъ: механика, гидростатика, аэростатика, теплота, акустика, оптика, электричество и магнетизмъ. Въ каждой комнатѣ были поставлены опыты по упомянутымъ отдѣламъ. Въ теченіе всей выставки, ежедневно отъ 12 ч. до 5 ч. дня всѣ опыты демонстрировались, и только опыты, требующіе каждый разъ сложной установки, демонстрировались ежедневно въ указанный часъ. Опыты производились не только учителями, но и учениками старшихъ классовъ нѣкоторыхъ учебныхъ заведеній, причемъ давались объясненія.

Ученики съ увлеченіемъ производили опыты и давали объясненія, всегда переполнявшей отдѣлъ, публикѣ.

Каталогъ, составленный для выставки, представляетъ собой списокъ опытовъ, а также необходимыхъ для каждаго даннаго опыта препаратовъ. Такой каталогъ можетъ оказать нѣкоторую услугу преподавателю, какъ указатель минимума необходимыхъ опытовъ и приборовъ.

При секціи были устроены собранія преподавателей физики для обмѣна мнѣній по вопросамъ методическаго характера; кромѣ того, въ теченіе всего времени выставки, были прочитаны лекціи и предложены демонстраціи.

Особое мѣсто было удѣлено ученическимъ работамъ. Эта часть физической выставки была очень интересна. Этотъ отдѣлъ всецѣло былъ отданъ въ распоряженіе учениковъ, предложившихъ самодѣльные приборы для выставки. Изъ всѣхъ отдѣловъ были собраны приборы, сдѣланные учениками. Наибольшее число при-

боровъ относилось къ вопросу объ электричествѣ, вслѣдствіе особаго интереса учащихся къ этому отдѣлу.

Но центръ тяжести выставки, конечно, находился въ той части, гдѣ былъ поставленъ образцовый минимумъ опытовъ, представлявшій собой какъ-бы подобіе образцоваго физическаго кабинета. Этотъ отдѣлъ подчеркнулъ тѣмъ самымъ мысль, что организація образцоваго физическаго кабинета не только желательна, но возможна и доступна при каждомъ учебномъ округѣ.

Наконецъ, такіе большіе съѣзды, какъ естествоиспытателей и Менделѣевскіе, не оставляютъ безъ вниманія назрѣвшихъ вопросовъ, относящихся къ преподаванію физики въ средней школѣ.

Я ограничусь только послѣднимъ Менделѣевскимъ съѣздомъ, бывшемъ въ концѣ 1911 года.

Организаторы этого съѣзда были столь заинтересованы преподаваніемъ физики въ средней школѣ, что учредили при съѣздѣ дидактическую секцію но вопросамъ преподаванія физики въ средней школѣ.

Засѣданіе этой секціи открылось 22 декабря рѣчью проф. Хвольсона, въ которой онъ знакомитъ членовъ съѣзда съ тѣмъ, что иниціатива устройства дидактической секціи исходила отъ членовъ дидактической комиссіи, которая учреждена при отдѣленіи физики Русскаго Физико-Химическаго Общества. Этой комиссіей былъ нѣсколько лѣтъ тому назадъ выработанъ нормальный списокъ приборовъ для физическаго кабинета среднихъ учебныхъ заведеній.

Намѣреваясь приступить затѣмъ къ выработкѣ нормальной программы преподаванія физики, къ работѣ очень сложной, дидактическая комиссія составила, прежде всего, рядъ вопросныхъ пунктовъ, продолжительное и всестороннее обсужденіе которыхъ привело къ ряду тезисовъ. Они и составляли предметъ доклада этого засѣданія члена этой комиссіи Добіаша.

Послѣ этого доклада состоялось обсужденіе указанныхъ выше тезисовъ.

Изъ возраженій многихъ оппонентовъ я приведу характерныя, по моему мнѣнію, замѣчанія трехъ оппонентовъ.

И. И. Соколовъ сообщаетъ нижеслѣдующее.

Комиссіи были ясны недостатки какъ концентрическаго, такъ и радіальнаго расположенія матеріала. Не останавливаясь на критикѣ радіальнаго метода по существу, укажу, что его сравнительная непригодность доказывается повсемѣстными попытками замѣнить много лѣтъ практиковавшійся радіальный методъ концентрическимъ. Между тѣмъ въ своемъ стремленіи устранить недостатки обоихъ пріемовъ и дать нѣчто среднее, комиссія предложила распредѣленіе матеріала, въ которомъ получилъ преобладаніе радіальный методъ, наиболѣе осужденный. Въ предложенномъ распредѣленіи 4 отдѣла приходятся радіально, что не вызывается содержаніемъ этихъ отдѣловъ. Это преобладаніе является главнымъ недостаткомъ предложенія комиссіи, и, если согласованіе можетъ быть произведено только такой цѣной, то

лучше остаться при чистомъ концентрическомъ пріемѣ, примирившись съ его немногими недостатками.

Я. И. Ковальскій выразилъ благодарность комиссіи за ея попытку выработать болѣе раціональныя основанія для постановки преподаванія физики въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ; трудъ комиссіи безспорно вноситъ много новаго въ вопросѣ о преподаваніи физики, но какъ и всякое новое дѣло, этотъ трудъ не свободенъ отъ недочетовъ: не свободенъ онъ уже по тому, что работали вѣдь люди, хотя и желающіе новаго, все же при старомъ режимѣ, который незамѣтно для нихъ вкрался и въ ихъ работу. Только этимъ и можно объяснить, во первыхъ, тотъ фактъ, что возражая противъ радіальной программы, комиссія въ своей программѣ сохранила радіальное распредѣленіе учебнаго матеріала въ предлагаемомъ ею планѣ, во-вторыхъ, что обсуждая вопросъ о болѣе правильной постановкѣ преподаванія физики, комиссія разсматривала этотъ вопросъ независимо отъ учебныхъ плановъ такихъ предметовъ, какъ природовѣдѣніе и географія, а потому и упустила изъ вида вопросъ о природовѣдѣніи. Между тѣмъ не слѣдуетъ забывать, что физика въ общеобразовательномъ учебномъ заведеніи не можетъ разсматриваться независимо отъ другихъ предметовъ. Главное управленіе военно-учебныхъ заведеній приняло во вниманіе эту взаимную связь учебныхъ предметовъ и потому установило три концентра: одинъ для І-го и ІІ-го кл.: это природовѣдѣніе, другой для III и IV—это для подготовки къ систематическому курсу физики и, наконецъ, третій для V, VI и VII—это уже систематическій курсъ.

А. Н. Яницкій изложилъ ту схему концентрическаго расположенія матеріала, какая уже 6 лѣтъ проводится въ коллегіи Павла Галагана (въ Кіевѣ), предложилъ просить дидактическую секцію, буде это возможно, повліять въ такомъ смыслѣ на составителей оффиціальныхъ программъ, чтобы въ этихъ программахъ былъ указанъ лишь тотъ минимумъ, какой нуженъ для средней школы, даже безъ распредѣленія матеріала по классамъ; лишь тогда иниціативѣ преподавателя будетъ предоставлена возможность провести тотъ методъ, какой ему будетъ по душѣ; лишь тогда вопросъ о томъ, какой методъ лучшій, будетъ рѣшенъ правильно на основаніи непосредственнаго опыта.

Собраніе привѣтствуетъ это предложеніе.

24-го декабря въ дидактической секціи преподаватель Тенишевскаго училища г. Знаменскій дѣлаетъ очень интересный докладъ „О постановкѣ практическихъ занятій въ средней школѣ“.

А 27-го декабря состоялось обсужденіе доклада Знаменскаго.

Наибольшее число возраженій вызвали 2 пункта: вопросъ объ обязательности занятій и вопросъ о типѣ—фронтовой типъ или занятія въ разсыпную. При этомъ подъ обязательностью подразумѣвается не обязательность введенія практическихъ занятій во всѣхъ школахъ, но обязательность ихъ для учениковъ въ тѣхъ школахъ, гдѣ они введены. Что касается фронтовой системы, то большинство говорящихъ нашло ее трудно осуществимой на всѣхъ ступеняхъ.

Наконецъ въ 1912 г., по иниціативѣ г. Помощника Попечителя Варшавскаго Учебнаго Округа И. В. Посадскаго, были организованы въ іюнѣ мѣсяцѣ кратковременные курсы для преподавателей физики, математики и естественныхъ наукъ Варшавскаго Учебнаго Округа. Они продолжались съ 8-го по 23 іюня. Для слушанія ихъ собрались почти всѣ преподаватели математики и физики Варшавскаго Учебнаго Округа и многіе преподаватели естественныхъ наукъ.

Время занятій было распредѣлено приблизительно слѣдующимъ образомъ.

Утромъ съ 10 ч. по 3 читались лекціи профессорами Варшавскаго Университета по физикѣ, математикѣ и естествовѣдѣнію.

Вечеромъ съ 6 по 8 дѣлались преподавателями доклады методическаго характера.

Вслѣдствіе-ли неудачно выбраннаго времени или того, что нѣкоторые доклады читались преподавателями на одну и ту же тему, другіе же (доклады) ранѣе читались при Варшавскомъ кружкѣ преподавателей физики и математики, не замѣчалось особеннаго подъема среди членовъ этого съѣзда, что сказывалось въ отсутствіи оживленнаго обсужденія затронутыхъ въ докладахъ педагогическихъ вопросовъ.

При У-ой гимназіи была устроена выставка физическихъ приборовъ, которые были собраны почти изъ всѣхъ варшавскихъ гимназій.

Но такъ какъ эти приборы не были размѣщены по отдѣламъ физики, то трудно было разобраться въ нихъ.

Предъ закрытіемъ Курсовъ было устроено засѣданіе кружка преподавателей физики и математики совмѣстно съ членами курсовъ, на которомъ были вынесены нѣкоторыя пожеланія для улучшенія постановки преподаванія физики въ средней школѣ.

Къ ученію объ отношеніяхъ прямолинейныхъ отрѣзковъ и объ ихъ пропорціональности.

Н. Извольскій. Москва.

(Окончаніе).

III.

Постараюсь теперь изложить возможно короче ученіе объ отношеніяхъ прямолинейныхъ отрѣзковъ въ формѣ, по моему убѣжденію, наиболѣе цѣлесообразной.

Изъ предыдущаго видно, что я принимаю основной взглядъ на отношеніе, данный въ учебникѣ г. Киселева: отношеніе всякой пары отрѣзковъ равно числу, раціональному или ирраціональному. Далѣе слѣдуетъ выдѣлить классъ отношеній съ одинаковыми послѣдующими членами; признакъ для установленія между такими отношеніями соотношеній: „равно“, „больше“ и „меньше“ особенно

простъ и ясенъ: изъ двухъ отношеній съ одинаковыми послѣдующими членами то больше, у котораго больше предыдущій членъ, а если и предыдущіе члены равны, то и сами отношенія равны. Затѣмъ переходимъ къ отношеніямъ съ различными послѣдующими членами. Первою заботою и здѣсь является установленіе признаковъ ихъ равенства или неравенства. Такъ какъ исходный пунктъ устанавливаетъ, что всякое отношеніе равно числу, то обратимся къ помощи знакомыхъ намъ чиселъ — раціональныхъ. Числа могутъ появляться въ различныхъ формахъ. Обычно, чтобы узнать равны ли данныя два числа, или одно изъ нихъ больше другого, мы мѣняемъ форму одного или обоихъ данныхъ чиселъ такъ, чтобы каждое число оставалось равнымъ самому себѣ и чтобы добиться полнаго или частичнаго отождествленія этихъ формъ.

Если удастся оба числа представить въ тождественной формѣ, то эти числа равны, если же удастся добиться лишь частичнаго совпаденія въ формахъ этихъ чиселъ, то, пользуясь основными положеніями о числахъ, устанавливаемъ, что одно число больше другого.

Однако тѣ-же вопросы можно рѣшать и иначе, для чего предварительно рѣшимъ двѣ задачи.

1) Даны два числа — и —. Найти хотя бы одно число, которое было бы меньше одного изъ данныхъ и больше другого (было бы заключено между этими числами).

Для рѣшенія этой задачи приводимъ дроби къ общему знаменателю: —=— и —. Мы видимъ, что найти искомое число въ 36-хъ доляхъ невозможно. Тогда мы раздробляемъ наши числа въ болѣе мелкія доли: —=— и —. Теперь мы находимъ, что одно изъ искомыхъ чиселъ есть Раздробивъ данныя числа въ доли еще мельче, получимъ еще рядъ искомыхъ чиселъ,—ихъ безконечно много.

2) Найти нѣсколько чиселъ, заключающихся между — и

Задача невозможна, ибо ——:=ъ^=и т. д., а также —— = —— = и т. д. Причиною невозможности рѣшенія этой задачи является равенство нашихъ данныхъ чиселъ.

Отсюда возникаетъ возможность установить слѣдующій общій признакъ:

Если даны два числа и если мы убѣдимся какъ-либо, что невозможно найти такое третье число, чтобы оно было больше одного изъ данныхъ и меньше другого, то данныя числа равны; если удастся найти такое третье число, чтобы оно было, напр., больше перваго

изъ данныхъ чиселъ, но меньше второго, то первое данное число меньше второго.

Если числа даны въ такихъ формахъ, что преобразовать ихъ въ желательномъ для сравненія этихъ чиселъ направленіи мы еще не умѣемъ, то остается лишь тотъ путь для установленія, равны ли эти числа или одно изъ нихъ больше другого, какой указанъ только что даннымъ признакомъ.

Теперь у насъ числа появились въ новой формѣ: въ формѣ отношеній паръ отрѣзковъ; мы не знаемъ, какъ преобразовывать эти отношенія, чтобы они оставались равными самимъ себѣ и чтобы добиться отождествленія послѣдующихъ членовъ. Поэтому остается прибѣгнуть къ общему признаку равенства или неравенства и при помощи него установить для дальнѣйшаго формальные, при томъ чисто геометрич. признаки, пользуясь которыми можно было бы судить о равенствѣ или неравенствѣ двухъ отношеній, не прибѣгая всякій разъ къ общему признаку.

Въ виду того, что въ нашей математической литературѣ я не встрѣчалъ достаточно полнаго развитія такихъ признаковъ въ той, по крайней мѣрѣ, формѣ, какая доступна и для средней школы, я позволю себѣ вести здѣсь изложеніе возможно полнѣе.

ІV.

1. Предварительная теорема. Пусть имѣемъ на плоскости двѣ какія-либо прямыя I и II (на чер. 1 даны два варьянта построенія), На одной изъ нихъ отложимъ отрѣзки AB = CD и черезъ концы ихъ построимъ параллельныя прямыя АА' || ВВ' || СС' |І DD'. Каковы отрѣзки получатся на другой прямой, равные или неравные?

Чер. 1.

Рѣшеніе этого вопроса можно дать въ разныхъ формахъ: или свести дѣло къ разсмотрѣнію треугольниковъ, или къ разсмотрѣнію трапецій. Въ виду малой распространенности второго пріема, воспользуемся здѣсь именно имъ. Пусть О есть середина отрѣзка ВС; тогда О есть также середина отрѣзка AB. Построимъ 00' II ВВ'\ тогда 00' есть средняя линія трапеціи В'ВСС' и трапеціи А'ADD' (четыреугольникъ ADD'А' второго варьянта чер-

тежа есть также трапеція, средняя линія которой дѣлитъ пополамъ непараллельныя стороны, параллельна параллельнымъ и равна полуразности послѣднихъ). Отсюда заключаемъ: 1) В?0' = = (УС и 2) А'0' = вычитая изъ второго равенства по частямъ первое, получимъ А'О' — B'0'=0'D'—(УС или А'В' = C'D', т. е. и на другой прямой получаются равные между собою отрѣзки.

2. Признакъ равенства двухъ отношеній (изъ моего курса „Геометрія на плоскости“). Построимъ двѣ пересѣкающіяся прямыя I и II (чер. 2) и на I прямой отложимъ два какихъ-угодно, теперь уже не равныхъ, отрѣзка. Примѣняясь къ привычной формѣ, отложимъ ихъ послѣдовательно одинъ за другимъ отъ точки пересѣченія нашихъ прямыхъ,—пусть эти отрѣзки суть О А и AB, Затѣмъ построимъ параллельныя: АС || BD. Теперь уже отрѣзокъ ОС не равенъ отрѣзку CD. Возникаетъ мысль сравнить отношеніе отрѣзковъ на I прямой, т. е. -j-g или или и т. д. съ отношеніемъ соотвѣтствующихъ отрѣзковъ на II прямой, т. е. съ или или -^-=г и т. д. Остановимся, напр., на отношеніяхъ —— и -рг-г. Не удастся ли наити число, чтобы оно было меньше одного изъ нихъ и больше другого? Станемъ искать это число въ формѣ дроби со знаменателемъ п. Для этого раздѣлимъ отрѣзокъ О А на п равныхъ частей и станемъ откладывать эти части на отрѣзкѣ AB. Тогда согласно аксіомѣ Архимеда, возможно достигнуть того, чтобы т такихъ частей составили отрѣзокъ меньшій AB или равный ему, но уже (т-]-1) такихъ частей составили бы отрѣзокъ, большій AB. Исключимъ случай, когда AB = — О А въ виду его простоты. Тогда найдемъ: 1) Самое большое число со знаменателемъ п, меньшее отношенія j-, есть дробь — и 2) самое малое число со знаменателемъ п, большее отношенія -^—г, есть дробь —'—.

Отложивъ наши части на AB и построивъ рядъ прямыхъ, параллельныхъ АС или BD черезъ точки дѣленія отрѣзка AB, увидимъ, что отрѣзокъ ОС раздѣлится на п равныхъ частей (согласно предварительной теоремѣ) и на отрѣзкѣ CD такихъ частей уложится т съ остаткомъ ED, откуда заключаемъ, что 1) число - меньше также отношенія ( но ) и 2) число ----- больше отношенія т. е.: 1) даже самое большое число

Чер. 2.

Чер. 3.

со знаменателемъ п, меньшее отношенія оказывается также меньше отношенія -уѵп и 2) даже самое малое число со знаменателемъ п, большее перваго отношенія, оказывается также больше и второго отношенія. Такъ какъ число п произвольное, то предыдущее убѣждаетъ насъ, что нельзя найти такое число, чтобы оно было больше одного изъ отношеній и меньше другого, т. е. мы должны признать, что = ууО' Совершенно такія же соображенія могутъ быть примѣнены къ любой парѣ отрѣзковъ на одной прямой и къ соотвѣтствующей парѣ отрѣзковъ на другой.

Еще лучше было бы отказаться отъ привычной формы и расположить данные отрѣзки О А и OB такъ, какъ на чер. 3. Построивъ AG II BD, мы также убѣдимся, что здѣсь слѣдуетъ признать, что ~qJ^ = ~qB'

Теперь мы имѣемъ признакъ равенства двухъ отношеній: если двѣ пары отрѣзковъ отложены на двухъ прямыхъ отъ ихъ точки пересѣченія и если прямыя, соединяющія концы этихъ отрѣзковъ, параллельны, то отношеніе отрѣзковъ на одной прямой равно отношенію соотвѣтствующихъ отрѣзковъ на другой.

3. Признакъ неравенства двухъ отношеній. Пусть теперь на прямой I (чер. 4) отложены отрѣзки О А я. AB и построены черезъ ихъ концы двѣ непараллельныя прямыя АС и BD. Сравнимъ отношеніе отрѣзковъ на I прямой, т.-е. и отношеніе соотв. отрѣзковъ на II прямой, т.-е. (этотъ случай наиболѣе сложенъ). Построимъ СЕ II OB и BE || ЛД тогда СЕ = = AB. Построимъ еще прямую DE и прямыя AF и CG параллельныя DE. Такъ какъ BD не || АС, то БЕ (которая || АС) не совпадаетъ съ BD: DE не можетъ быть параллельна АС, ибо тогда DE была бы продолженіемъ прямой BE, и „ прямая “ BED, опредѣляемая точками В и D, должна была бы совпасть съ прямой BD, но BD по условію не II АС, а слѣдовательно это совпаденіе невозможно. Прямыя AF и ОС ne совпадаютъ съ А С, ибо DE не I) AC, а IF и CG параллельны DE. Поэтому прямыя AF и CG даютъ на I и на II прямой опредѣленные отрѣзки AG и FC. Раздѣлимъ теперь отрѣзокъ CD на столь мелкія равныя части, чтобы каждая изъ нихъ была меньше отрѣзка F С — допустимъ, что для этого потребовалось раздѣлить CD на п равныхъ частей — и станемъ откладывать полученныя части на отрѣзкѣ ОС, начиная отъ О. Тогда, по крайней мѣрѣ, конецъ одного изъ такихъ отрѣзковъ

Чер. 4.

попадетъ куда-либо между точками F и О. Пусть точка К есть конецъ одного изъ этихъ отрѣзковъ, причемъ отъ О до К уложилось т нашихъ я-ыхъ частей отрѣзка CD. Тогда == дроби —*), а съ другой стороны (ибо ОК< ОС); слѣдовательно —< . Построивъ прямую KL || AF, увидимъ, что точка L окажется необходимо гдѣ то между точками А и G. Тогда 0L > О А и слѣд. • Построивъ черезъ точки дѣленія отрѣзка CD и черезъ концы частей, отложенныхъ на ОК, прямыя (на чертежѣ пунктирныя) параллельныя DF, замѣчаемъ, что 1) отрѣзокъ СЕ раздѣлится на п равныхъ частей, но СЕ= АВ\ поэтому каждая часть есть n-ая доля отрѣзка AB и 2) такихъ частей на 0L уложится ш. Поэтому = яо Уже найдено, что ,— слѣд. — (дробь ^ больше отношенія отрѣзка О А къ отрѣзку AB). Итакъ, намъ удалось найти число — , которое меньше одного изъ нашихъ отношеніи и больше другого, т.-е. отношеніе -j-g не равно отношенію -77- . Далѣе изъ того, что —<' ~=~ и что CD и CD заключаем, что vd>JE-

Если бы мы стали сравнивать отношенія у— и (чер. 5), то дѣло упростилось бы: надо построить BE |\ АС и дѣлить отрѣзокъ ОС на равныя части такъ, чтобы каждая изъ нихъ была меньше отрѣзка DE. Также найдемъ, примѣняясь къ чертежу 5, чтоздѣсь ш<ш.

Легко также примѣнить подобныя разсужденія къ расположенію отрѣзковъ, подобному тому, какое дано на чер. 3.

Итакъ, имѣемъ: если на двухъ пересѣкающихся прямыхъ отъ точки ихъ пересѣченія отложить двѣ пары отрѣзковъ, и если прямыя, соединяющія концы этихъ отрѣзковъ не параллельны, то отношеніе отрѣзковъ на одной прямой не равно отношенію отрѣзковъ на другой.

Чер. 5.

*) Рекомендую читать это равенство и ему подобныя въ такой формѣ: „отношеніе отрѣзка ОК къ отрѣзку CD равно дроби (или числу) ~ u и протестую противъ традиціоннаго чтенія: „ОК относится къ CD какъ т къ п",

Если намъ надо узнать равны ли два данныхъ отношенія, или одно изъ нихъ больше другого, то станемъ откладывать отрѣзки данныхъ отношеній въ опредѣленномъ порядкѣ на двухъ пересѣкающихся прямыхъ; напр., выберемъ порядокъ, данный на чер. 4 : О А и AB—предыдущій и послѣдующій члены одного отношенія, ОС и CD — предыдущій и послѣдующій члены другого. Тогда, если прямыя, соединяющія концы этихъ отрѣзковъ параллельны, то данныя отношенія равны, если эти прямыя не параллельны, то отношенія не равны и, какъ легко увидать, большимъ является отношеніе на той прямой, въ направленіи которой непараллельныя прямыя сходятся.

Теорема, данная въ статьѣ г. Киселева (если — = — , то о = с) теперь непосредственно ясна изъ чер. 6: здѣсь AB должна быть параллельна CD. Такъ какъ АОАВ равнобедренный, то (по угламъ) заключаемъ, что и AOCD равнобедренный, откуда слѣдуетъ, что Ъ = с.

Наконецъ необходимо еще добавить сюда:

4. Возможность переставлять средніе члены пропорціи (заимствовано изъ D. Hilbert. Grundlagen der Geometrie. Zweite Auflage. S. 30, 31).

Пусть дана пропорція , гдѣ а, Ъ, с и d суть отрѣзки. Отложимъ эти отрѣзки на двухъ „пересѣкающихся прямыхъ (чер. 7): 0А=ау OB — 6, ОС =с и 0D = d (точка пересѣченія прямыхъ О есть общій конецъ всѣхъ отрѣзковъ). Тогда, построивъ прямыя АС и BD, найдемъ АС 11 ВВ (если бы АС не была параллельна ВВ, то, согласно признаку неравенства отношеній, отношенія jjß и не были бы равны). Отложимъ еще отрѣзки ОС' = ОС — с, OB' = 0D = d и OB' = OB = Ъ и построимъ прямыя AB', C'D, СВ' и D'B'. Тогда / ОСА= / ОВВ (ибо АС\| ВВ) = / OB'В' (ибо А OBD = А О В'В'), откуда слѣдуетъ, что /_ АС В' -(- OB'В' = 2d (ибо /_АСВ' -\- /_ ОСА = 2d, а /_ 0СА= /_ OD'B'), т.-е. точки А, (7, В' и П лежатъ на одномъ кругѣ. Отсюда слѣдуетъ, что /_САВ'= = /_ CD' В' == /_ С'В В (послѣднее изъ равенства треугольниковъ СВ'В'и CDB). Далѣе имѣемъ: / ОВ'А^/_ ОСА— /_ САВ' и /02)С'= = /_ ODB — /_ C'D В. Но уже выяснено, что / ОСА = /_ ОВВ и /_САВ' = С'ВВ; отсюда слѣдуетъ, что OB'А = / 0DC', т.-е. что ÄB' И C'D. Отсюда, на основаніи признака равенства отношеній, имѣемъ: или — = — , т.-е. удалось геометрически установить, что средніе члены пропорціи можно переставлять.

Чер. 6.

Чер. 7.

Послѣ этого теоремы, даваемыя въ статьяхъ гг. Лебединцева и Киселева, могутъ быть выяснены еще проще и, что крайне интересно, уже вовсе пропадаетъ различіе, соизмѣримы - ли или несоизмѣримы отрѣзки каждаго изъ отношеній. Условіями этихъ теоремъ являются пропорціи: 1) — = — и 2) — =; переставивъ ихъ средніе члены, найдемъ: 1) — «= — и 2) — =-г . Такъ какъ всегда — =1, то и ~ = 1, откуда уже необходимо слѣдуетъ, что а = Ъ.

V.

Въ предыдущемъ изложеніи системы ученія объ отношеніяхъ отрѣзковъ я не стремился къ тому, чтобы придать этому изложенію наиболѣе удобную для обученія форму; наоборотъ, мнѣ хотѣлось показать здѣсь извѣстную гибкость такой системы. Для приданія же ей болѣе удобной формы слѣдовало бы, излагая признаки равенства и неравенства отношеній, остановиться на однообразномъ способѣ отложенія отрѣзковъ; напр., каждый отрѣзокъ откладывать отъ точки пересѣченія прямыхъ (какъ на чер. 7). Возможны, конечно, и иныя улучшенія формы.

Исходнымъ пунктомъ изложенной системы является взглядъ, что отношеніе всякихъ двухъ отрѣзковъ равняется числу. Здѣсь нѣтъ нужды въ предварительной алгебраической теоріи ирраціональныхъ чиселъ. Наоборотъ, самый вопросъ объ отношеніи двухъ отрѣзковъ является удобною, и, можетъ быть, наиболѣе удобною, почвою для расширенія взгляда на число. Въ самомъ дѣлѣ, разъ установлено условіе, что отношеніе всякихъ двухъ отрѣзковъ равно числу, то этимъ самымъ числа (раціон. и иррац.) объединяются въ семью равноправныхъ членовъ; кромѣ того, умѣніе выполнять сложеніе и вычитаніе прямолинейныхъ отрѣзковъ ведетъ къ установленію понятій о сложеніи и вычитаніи иррац. чиеелъ. Поэтому совершенно непріемлемой съ моей точки зрѣнія является система, развиваемая въ статьѣ г. Лебединцева, которая хочетъ построить ученіе объ отношеніяхъ „не вводя даже понятія о несоизмѣримомъ (т.-е. объ ирраціональномъ. Н. И.) числѣ“: такимъ образомъ будетъ упущенъ наиболѣе удобный моментъ для введенія этого понятія. Самъ г. Лебединцевъ въ концѣ своей статьи, повидимому, сомнѣвается въ цѣлесообразности той системы, исправленію которой посвящено начало статьи. Да и вообще задача исправить такую систему является крайне неблагодарною. Здѣсь появляется цѣлый рядъ сомнѣній, съ которыми справиться не такъ то легко. Укажу на нѣкоторыя изъ нихъ.

Равенство = 4 , согласно взглядамъ г. Лебединцева, должно имѣть очень сложный смыслъ: можетъ быть 1) отрѣзки а и Ъ соизмѣримы (тогда с и d тоже соизмѣримы), и тогда наше равен-

ство показываетъ, что равны между собою два опредѣленныхъ раціональныхъ числа, можетъ быть 2) отрѣзки а и Ъ (а также с и d) несоизмѣримы, и тогда равенство пріобрѣтаетъ символическій смыслъ, такъ какъ самъ объектъ въ этомъ случаѣ, согласно взглядамъ г. Лебединцева, не существуетъ. Это символическое равенство выражаетъ цѣлый рядъ фактовъ: что долей отрѣзка Ь меньше отрѣзка а на отрѣзокъ меньшій, чѣмъ доля отрѣзка Ъ и въ то же самое время ™ долей отрѣзка d также меньше отрѣзка с на отрѣзокъ меньшій, чѣмъ — доля отрѣзка rf, что — долей отрѣзка Ъ меньше...*).

Возникаетъ вопросъ можно ли изъ этого двойственно-символическаго равенства написать рядъ другихъ: — = — (г. Лебединцевъ пользуется въ своей статьѣ такою перестановкою, не выяснивъ ея законности), — (примѣнимо ли сюда вышеизложенное доказательство Д. Гильберта?)? Далѣе, ясно значеніе неравенства ^ въ случаѣ, если а соизмѣримо съ b и с соизм. съ а, но можно ли писать символическое неравенство — < для случая, когда одна пара отрѣзковъ (напр. а и Ъ) или обѣ пары несоизмѣримы? и, если можно, то каковъ смыслъ этого неравенства? Можетъ быть г. Лебединцевъ желаетъ вовсе не вводить въ курсъ средней школы такія неравенства, но тогда какъ быть съ любознательными учащимися, которые могутъ задать вопросъ, сводящійся къ такому неравенству?

Сдѣлаю краткое резюме настоящей статьи.

Ученіе объ отношеніяхъ прямолинейныхъ отрѣзковъ и о ихъ пропорціональности въ изложеніи учебника г. Киселева, покоясь на правильномъ основномъ взглядѣ, въ дальнѣйшемъ страдаетъ недоразумѣніями и пробѣлами. Корень этихъ недоразумѣній и пробѣловъ кроется въ томъ, что недостаточно развито ученіе о равенствѣ и неравенствѣ отношеній. Уничтожить эти недоразумѣнія введеніемъ ряда теоремъ, подобныхъ тѣмъ, какія даны въ статьяхъ гг. Лебединцева и Киселева, не раціонально,—слѣдуетъ переработать заново статью о равенствѣ и неравенствѣ отноше-

*) Конечно, для установленія этого, какъ уже было выяснено, надо даваемое г. Лебединцевымъ опредѣленіе пропорціональности отрѣзковъ дополнить еще или обратнымъ или отрицательнымъ по отношенію къ нему положеніемъ.

ній. Мнѣ представляется цѣлесообразнымъ, вмѣсто искусственнаго признака равенства г. Киселева ввести общій признакъ равенства двухъ дѣйствительныхъ чиселъ. Моментъ начала знакомства съ отношеніями отрѣзковъ является наиболѣе удобнымъ для расширенія понятія о числѣ и для введенія въ обиходъ учащихся понятія объ ирраціональномъ числѣ. Замѣчу, въ заключеніе, что можетъ быть слѣдуетъ стремиться къ тому, чтобы ввести когда-либо въ будущемъ въ курсъ геометріи чисто геометрическое развитіе ученія о пропорціональныхъ отрѣзкахъ (см. статью Коммереля въ № 3 за 1912 г. Мат. Обр., переведенную О. Цубербиллеръ). Я говорю „въ будущемъ“, потому что полагаю, что въ настоящее время это ученіе еще не достаточно разработано, чтобы могло быть сдѣлано предметомъ школьнаго обученія.

Конструктивныя задачи съ неприступными точками.

И. Александровъ. Москва.

Задачи на построеніе, въ которыхъ участвуютъ неприступныя точки, встрѣчаются въ русской литературѣ очень рѣдко — самое большое ихъ можно насчитать десятка два1). Примѣненіе геометрическихъ методовъ построенія къ этой области не замедлило показать ихъ замѣчательную силу. Оно не только внесло извѣстную правильность въ геометрическій міръ неприступныхъ точекъ, но и показало, что число задачъ съ неприступными точками, при полной гарантіи ихъ теоретическаго рѣшенія, должно превышать число обыкновенныхъ конструктивныхъ задачъ. Руководясь случайными пріемами рѣшенія, едва ли возможно было до этого достигнуть. Все это опредѣляетъ цѣль и характеръ настоящей замѣтки.

Чтобъ приблизить наши построенія къ практикѣ, мы будемъ ихъ разсматривать происходящими на планѣ данной мѣстности или какого нибудь другого мѣста дѣйствія. Затѣмъ мы будемъ разсматривать только тотъ случай, въ которомъ неприступная точка, будучи таковою въ дѣйствительности, находится внѣ плана. Такъ надо потому, что разъ неприступная точка попала на планъ,

1) См., напримѣръ, №№ 137—143 геометріи Давидова, нѣсколько задачъ у Пржевальскаго, №№ 154 и 107, IV Александрова. Кстати сказать, вопреки указанію нѣкоторыхъ любителей, послѣдняя задача рѣшена у меня вполнѣ правильно—изъ этого рѣшенія развилась предлагаемая замѣтка. Обращаемъ также вниманіе читателей на стереометрическія задачи № 149 и 156, IV Александрова. Рѣшеніе этихъ задачъ методомъ подобія на плоскости можетъ имѣть нѣкоторое значеніе при обсужденіи современнаго и крайне интереснаго вопроса о совмѣстномъ изученіи планиметріи и стереометріи.

то можно рѣшить задачу на планѣ — перенести же полученное рѣшеніе на мѣстность и вообще въ дѣйствительность есть дѣло техники. Къ тому же, какъ ниже и показано, можно на планѣ сдѣлать такія построенія, которыя могутъ сдѣлать весьма существенныя указанія, какъ надо вести практическое рѣшеніе вопроса.

Неприступная точка въ задачахъ, конечно, не есть абсолютно неприступная точка; она должна быть такъ или иначе связана съ данными вопроса. Такъ какъ рѣчь идетъ о построеніяхъ, выполняемыхъ только циркулемъ и линейкой, то неприступная точка можетъ быть задана лишь тремя способами:

1) Она есть пересѣченіе двухъ данныхъ прямыхъ (напр., двухъ провѣшенныхъ прямыхъ), которыя не могутъ быть продолжены на планѣ до пересѣченія;

2) она есть пересѣченіе двухъ данныхъ окружностей, продолжать которыя до пересѣченія нѣтъ возможности;

3) она есть пересѣченіе данныхъ прямой и окружности, продолжать которыя до встрѣчи невозможно.

Прежде всего мы покажемъ, что для задачъ на построеніе всѣ три способа заданія неприступной точки безразличны, т. е., каждый способъ можетъ быть сведенъ на два другіе способа. Для этого сначала рѣшимъ двѣ задачи, которыя составляютъ фундаментъ всего этого ученія.

I. Черезъ данную точку М провести прямую, которая проходила бы черезъ неприступную точку встрѣчи отрѣзковъ AB и CD.

Рѣш. (чер. 1). Проведемъ двѣ параллели2), одну черезъ М, встрѣчающую AB и CD въ Е и G, и другую, пересѣкающую AB и CD въ І и 7. На отрѣзкѣ XY найдемъ точку N такъ, чтобъ XN : YN=EM : MG. Прямая MN есть искомая.

Такъ какъ отрѣзокъ MN извѣстенъ, то изъ пропорціи -----= ^легко построить NK, а затѣмъ и МК, т. е., разстояніе данной точки отъ неприступной точки К.

II. Въ извѣстномъ направленіи провести прямую, проходящую черезъ неприступную точку Е пересѣченія отрѣзковъ AB и CD (чер. 2).

Рѣш. Изъ произвольной точки е плана проводимъ прямыя еЕ (I), eN II CD и en, параллельную данному направленію. Произ-

Чер. 1.

2) Согласно предыдущему каждый чертежъ перерѣзанъ прямою QQ, которая представляетъ бортъ плана.

вольная прямая встрѣтитъ проведенныя прямыя и отрѣзокъ CD въ точкахъ М, п, іѴ и Р. Отрѣзокъ Мп умножимъ относительно М на отношеніе МР : MN; тогда точка п перейдетъ въ р, и остается провести рЕ (I). Существуютъ и другія рѣшенія.

Въ частномъ случаѣ эта задача позволяетъ провести и измѣрить разстояніе неприступной точки отъ данной прямой.

Пусть неприступная точка X есть точка пересѣченія двухъ окружностей О и Оѵ которыя пересѣкаются внѣ плана. Въ \0Х01 извѣстны три стороны и, слѣд., построивъ подобный ему треугольникъ, легко опредѣлить его углы. Остается изъ О и 0\ провести двѣ прямыя подъ извѣстными углами къ 00х. Эти двѣ прямыя замѣнятъ данныя окружности.

Пусть неприступная точка X есть пересѣченіе (чер. 3) окружсти О и прямой AB, при чемъ ихъ нельзя продолжать до встрѣчи. Проведемъ ОС || AB и найдемъ разстояніе прямыхъ ОС и AB, равное h. Легко построить Ложе, въ которомъ е = 90°, ох = ОХ и хе = h.

Остается построить /_ YOE=xoe\ тогда данная окружность замѣнится прямою OF3).

Изъ сказаннаго слѣдуетъ, во-первыхъ, что всякое геометрическое построеніе, совершенное циркулемъ и линейкой, можетъ быть сведено къ ряду построеній двухъ отрѣзковъ, а, во вторыхъ, является возможность установить слѣдующія опредѣленія. Данной неприступной точкой называется точка, опредѣляемая пересѣче-

Чер. 2.

Чер. 3.

3) Иногда неприступная точка можетъ быть задана одной прямой, или одною окружностью, при чемъ дается еще одно добавочное условіе. Эти добавочныя условія могутъ быть крайне разнообразны—наиболѣе часто встрѣчающееся въ практикѣ добавочное условіе состоитъ въ томъ, что неприступная точка видна изъ какой нибудь доступной точки, т. е., точки, находящейся на планѣ. Пусть неприступная точка X находится на продолженіи отрѣзка AB и видна изъ точки С. Измѣряемъ / АСХ и строимъ на планѣ равный ему уголъ АСЕ. Тогда X опредѣляется отрѣзками AB и СЕ.

Пусть, наконецъ, точка X лежитъ на окружности О, при чемъ X и центръ О видны изъ нѣкоторой доступной точки А. Измѣряемъ / ОАХ и пусть АХ встрѣчаетъ окружность О во второй разъ въ точкѣ Y. Легко опредѣлить отдѣльнымъ построеніемъ фигуру OXYA или фигуру, подобную ей. Тогда / ХОА станетъ извѣстнымъ и точка X опредѣляется пересѣченіемъ отрѣзковъ ОХ и AYX.

ніемъ двухъ данныхъ отрѣзковъ, продолжать которые до пересѣченія невозможно. Наоборотъ, чтобъ опредѣлить неизвѣстную неприступную точку, надо получить или провести два отрѣзка, на пересѣченіи которыхъ она находится. Отсюда уже ясно, что называется неприступною прямою и неприступнымъ угломъ, и какъ ихъ отыскивать.

Если мы припомнимъ, что отвѣтъ на задачу вообще не можетъ быть болѣе точенъ, чѣмъ данныя задачи, то намъ будетъ понятенъ тотъ своеобразный характеръ, который имѣютъ рѣшенія задачъ съ неприступными точками. Бываетъ, что искомая точка получится на чертежѣ—тогда рѣшеніе будетъ идеальное, которое немедленно можно получить въ дѣйствительности. Но бываетъ, что искомая точка получится неприступною, опредѣляемою двумя проведенными на чертежѣ отрѣзками, продолжать которые до пересѣченія нельзя. Мы должны признать такое рѣшеніе совершеннымъ, хотя иногда окончить его практически невозможно. Ниже приведено еще нѣсколько вѣскихъ соображеній въ пользу этой точки зрѣнія.

Чер. 4.

Сущность дальнѣйшаго исчерпывается слѣдующими задачами—послѣднія двѣ общаго характера.

III. На прямой даны точки А, В и С, изъ которыхъ послѣдняя неприступна. Опредѣлить АС : ВС (чер. 4).

Рѣш. Изъ произвольной точки X плана проводимъ ХС (I) и БУ И АХ до пересѣченія съ СХ въ Y Искомое отношеніе есть АХ : В Y.

ІУ. Изъ данной точки А провести прямую, параллельную неприступной прямой ВС (чер. 5).

Рѣш. Проводимъ AB (I), продолжимъ ВА до Е, проводимъ ЕС (I); беремъ произвольно точку F и проводимъ FС (I). Опредѣляемъ ЕА\ ЕВ (III); проводимъ произвольно GH || ЕС и дѣлимъ GH въ точкѣ I такъ, чтобы QH\GI=EB : ЕА\ FI встрѣчаетъ ЕС въ искомой точкѣ D.

Тутъ же видно, какъ дѣлить въ извѣстномъ отношеніи отрѣзокъ ЕС, соединяющій приступную и неприступную точку.

У. Искомая точка X связана съ данными неприступными точ-

Чер. 5.

нами А и В конечнымъ рядомъ извѣстныхъ построеній4). Построитъ точку X (чер. 6).

Рѣш. Взявъ центръ подобія О, проводимъ О А и OB (I); затѣмъ прямую AB умножаемъ на число, меньшее Оъ : О А (III). Короче, беремъ произвольно на планѣ точку а и проводимъ аЪ || AB (IV); Л АОВ перейдетъ въ А а Ob, сжавшись, но сохранивъ свою форму. Опредѣляемъ точку X, соотвѣтственную точкѣ X. Для этого придется сдѣлать рядъ построеній, опредѣляющихъ точку X въ зависимости отъ А и В. Каждое отдѣльное изъ этихъ построеній, по предыдущему, можно разсматривать, какъ нахожденіе пересѣченія двухъ извѣстныхъ отрѣзковъ, повторенное одинъ или нѣсколько разъ. Тогда могутъ представиться слѣдующіе случаи:

1) Каждое отдѣльное построеніе пары прямыхъ даетъ точку на планѣ, кромѣ послѣдняго, опредѣляющаго точку х внѣ плана. Тогда проводимъ Ox (I). Беремъ произвольно Ос, проводимъ изъ произвольной точки е прямой Ох отрѣзокъ de такъ, чтобы de: Ос^=аО : АО. Точка X опредѣляется прямыми Ох и cd.

Иногда бываетъ выгодно точку х перенести на планъ. Для этого опредѣляемъ отношеніе Оу : Ox (III) и умножаемъ ДаОЪ на число, меньшее Оу : Ох. Тогда точка х перейдетъ въ х1 на планъ.

2) Каждое отдѣльное построеніе пары отрѣзковъ даетъ неприступную точку, хотя пара этихъ отрѣзковъ лежитъ на планѣ. Тогда эту неприступную точку надо перевести на планъ совершенно также, какъ это только что было сдѣлано съ точкою х. При этомъ \аОЪ придется умножать на правильную конечную дробь конечное число разъ и, слѣд., онъ уменьшится, но не можетъ дойти до нуля. Поэтому, построеніе вообще дастъ результатъ навѣрное.

3) Каждое отдѣльное построеніе пары отрѣзковъ можетъ дать одну или двѣ неприступныхъ прямыхъ. Пусть, напр., для какой нибудь прямой получилась неприступная прямая MN, опредѣляемая двумя неприступными точками М и N. Пусть ОМ и ON (I) встрѣчаютъ борта плана въ т и п. Опредѣляемъ ОМ : От и ON : On (III); пусть первое отношеніе есть большее. Тогда Іа Ob

Чер. 6.

4) Напр., точка X должна быть въ извѣстныхъ разстояніяхъ отъ А и В, или дѣлить AB въ извѣстномъ отношеніи, или Д АХВ долженъ имѣть извѣстную форму или площадь и т. д.

надо умножить относительно О на число, меньшее От : ОМ; точки М и N перейдутъ на планъ. Такого рода построенія придется дѣлать конечное число разъ; А а Ob испытываетъ конечное число умноженій на правильную конечную дробь и такимъ образомъ дастъ рѣшеніе.

4) Самая неблагопріятная комбинація произойдетъ тогда, когда предыдущіе два случая соединятся вмѣстѣ, но, очевидно, результатъ будетъ тотъ же.

5) Точка X и X получатся на планѣ—тогда будетъ идеальное рѣшеніе.

VI. Нѣкоторая фигура связана конечнымъ числомъ извѣстныхъ геометрическихъ построеній съ данными неприступными точками А, В и С. Требуется опредѣлитъ на ней точки D, Е и F, связанныя съ этой фигурой конечнымъ числомъ другихъ извѣстныхъ построеній, напр., „на окружности, проходящей черезъ данныя неприступныя точки А, В и С, построить середины дугъ, стягиваемыхъ хордами AB, АС и ВС“.

Рѣш. Выбираемъ центръ подобія м, проводимъ соА, мВ и мС (I), пересѣкающія борта плана вът, п и р. Изъ отношеній со А : com, coi? : con и мС.Ор (III) выбираемъ наибольшее, напр., мА: мт и ДАВС умножаемъ на число, меньшее мт : мА. Тогда онъ преобразуется въ А abc, находящійся на планѣ. Строимъ фигуру, подобную искомой, и на ней опредѣляемъ точки, соотвѣтственныя точкамъ X, У и Z. Тогда могутъ произойти тѣ же случаи, что и въ предыдущей задачѣ, и съ совершенно съ такими же результатами. Ниже помѣщено подробное рѣшеніе.

Задачу легко распространить съ трехъ точекъ на всякое конечное число точекъ.

Изъ сказаннаго вытекаетъ слѣдующій общій способъ рѣшенія задачъ съ неприступными точками. Надо перевести искомую фигуру на планъ, выбравъ на немъ центръ подобія; всѣ данныя точки на планѣ при этомъ перемѣстятся извѣстнымъ образомъ, но не могутъ сойти съ плана, потому что они приблизятся къ центру подобія*). Затѣмъ надо рѣшить задачу въ ея новомъ ма-

*) Идея этого способа.часто встрѣчается въ геодезіи и топографіи, и при томъ въ самыхъ различныхъ формахъ. Такъ, напр., этимъ способомъ ослабляютъ очень интересное явленіе, называемое „невязкой". Пусть требуется нанести на планъ полигонъ AB С DE. Вслѣдствіе несовершенства инструментовъ почти всегда на планѣ получится фигура abcdeav въ которой точка а не совпадаетъ съ аѵ Величина невязки аа^ уничтожается слѣд. образомъ. Изъ точекъ è, с, cl и е проводятъ параллели ааг въ направленіи отъ аг

ломъ масштабѣ; тогда получится рядъ болѣе или менѣе вѣскихъ указаній для практическаго рѣшенія задачи. Эти указанія могутъ имѣть различную силу, иногда рѣшающую все дѣло; иногда же практическое рѣшеніе не можетъ быть достигнуто.

Было бы слишкомъ долго классифицировать задачи съ неприступными точками. Достаточно указать, что стоитъ только взять обыкновенную задачу на построеніе и замѣнить въ ней одну или нѣсколько данныхъ точекъ неприступными точками. Поступая такъ, напр., съ задачей „провести окружность черезъ три точки“ можно получить три задачи „провести окружность черезъ три точки, изъ которыхъ одна (двѣ или всѣ) недоступна“. Изъ этого слѣдуетъ, что число задачъ съ неприступными точками значительно превышаетъ число обыкновенныхъ задачъ на построеніе.

Намъ остается указать, что задачи съ неприступными точками могутъ быть рѣшаемы съ помощью методовъ вращенія около оси, вращенія около точки и параллельнаго перенесенія, такъ какъ, очевидно, этими способами можно неприступную точку перевести на планъ. Если же при этомъ нѣкоторыя данныя точки сойдутъ съ плана, то надо примѣнить умноженіе фигуръ. Приводимъ по одному примѣру на каждый методъ.

VII. Провести окружность черезъ неприступныя точки А, В и С и опредѣлитъ положеніе серединъ дугъ AB, ВС и АС этой окружности (чер. 7).

Рѣш. Взявъ центръ подобія (о, \АВС преобразовываемъ въ АаЪс, какъ въ задачѣ V и VI, и пусть о будетъ центръ описаннаго около него круга, точки же d, е и f суть середины дугъ ab,

Чер. 7.

къ а. Пусть Р будетъ периметромъ фигуры abcde\ тогда на параллеляхъ откладываютъ части ееь ddb ссг и ЬЬ1 по слѣдующему разсчету:

Фигуру можно считать подобной фигурѣ ABCDE, потому что стороны ихъ почти параллельны.

be, ac этой окружности. Точки о, d, е л f мы можемъ считать находящимися на планѣ, потому что, если бы этого не было, то послѣдовательнымъ умноженіемъ Aabc мы перевели бы эти точки на планъ (задачи У и VI). Умножимъ теперь точку о на извѣстное намъ отношеніе Исо : «со (III); она перейдетъ въ искомую точку О. Послѣ этого можетъ быть два случая:

1) точка О окажется на планѣ. Тогда для опредѣленія, напр., точки D имѣемъ двѣ прямыя tod и 0D, перпендикулярную къ ab.

Такъ какъ радіусъ АО = ао. , то въ нѣкоторыхъ случаяхъ мы можемъ описать окружность О на самомъ дѣлѣ; точки JD, Е и F при этомъ могутъ оказаться тоже на планѣ и рѣшеніе будетъ идеальное. Вообще же ADEF будетъ для насъ недоступнымъ, хотя всѣ его части намъ извѣстны (углы, стороны, всѣ линейные элементы, потому что они больше соотвѣтственныхъ элементовъ Aabc въ Ао): шо разъ, площадь этого треугольника и т. д.) — на практикѣ это можетъ оказаться совершенно достаточнымъ для идеальнаго рѣшенія задачи.

2) Точка О находится внѣ плана. Тогда на асо отложимъ части ых и соХ такъ, чтобъ о)Х: ш; = ^4со : асо. Проведемъ изъ X параллели ох и de, Первая параллель и прямая too опредѣлятъ О; вторая параллель и прямая cod опредѣлятъ точку D. Также опредѣляется Е и F. Въ ADEF намъ извѣстно рѣшительно все, что только можно потребовать по величинѣ, и въ этомъ смыслѣ онъ можетъ часто удовлетворить требованіямъ практики; при нѣкоторыхъ условіяхъ мы даже можемъ его построить отдѣльно, но построить его въ дѣйствительномъ, фактическомъ его положеніи можно только въ исключительныхъ случаяхъ.

Методы вращенія около оси или точки и методъ параллельнаго перенесенія, какъ сейчасъ будетъ видно, дѣлаются всесильными лишь въ соединеніи съ умноженіемъ фигуръ. Однако въ отдѣльныхъ случаяхъ они могутъ давать результаты очень быстро, поэтому ими никакъ нельзя пренебрегать. Покажемъ ихъ на слѣд. примѣрахъ, ограничиваясь только благопріятными случаями построенія.

VIII. Изъ данной точки F провести данной длины отрѣзокъ FG, который изъ данной неприступной точки Е виденъ подъ даннымъ угломъ.

Вращеніе около точки (чер. 8). Выбираемъ центръ вращенія Н и повертываемъ около него на извѣстный уголъ прямыя AB и CD, опредѣляющія точку Е. Тогда точки Е, F и G перемѣстятся въ точки е, f и g. Допустимъ, что они придутся на планѣ. Aefg

легко построить по двумъ сторонамъ, cf и fg, и углу feg. Для рѣшенія задачи достаточно провести FE (I), построить уголъ F, равный /, отложить FG=fg и провести GE такъ, чтобъ уголъ G былъ равенъ углу д. Этихъ указаній вполнѣ достаточно для практическаго рѣшенія.

Если хоть одна изъ точекъ е, /*, g не попадаетъ на планъ, тогда ихъ надо перевести на планъ умноженіемъ Aefg. Замѣчаніе это справедливо и для слѣдующихъ двухъ методовъ.

Вращеніе около оси (чер. 9). Прямыя AB и СП, опредѣляющія точку Д обернемъ около оси MN на 180°. Тогда AB и CD въ новомъ своемъ положеніи опредѣляютъ е, новое положеніе точки Е\ точка F перейдетъ въ извѣстное положеніе /*, а точка G въ неизвѣстную точку д. Допустимъ, что точки е и f придутся на планѣ, Agef легко построить. Остальное сходно съ предыдущимъ.

Параллельное перенесеніе (чер. 10).

Прямыя AB и СП, опредѣляющія точку Е , и точку F перенесемъ параллельно по произвольному направленію на такое разстояніе, чтобъ точка Е перешла въ е на планъ, и чтобъ точка F перешла въ f — то же на планѣ. Въ нѣкоторыхъ случаяхъ такое разстояніе опредѣляется очень просто (I). Тогда все остальное будетъ сходно съ предыдущимъ.

Намъ остается сдѣлать два замѣчанія. Все сказанное, какъ мнѣ кажется, имѣетъ несомнѣнный теоретическій интересъ. Что же касается практическаго значенія этой записки, то, прочитавъ нѣсколько курсовъ топографіи и геодезіи, думаю, что оно очень невелико, и, какъ кажется, ограничивается лишь въ нѣкоторыхъ случаяхъ пользой тѣхъ пріемовъ, которые вытекаютъ для практики изъ рѣшенія задачъ. Въ этомъ вопросѣ слово должно принадлежать геодезистамъ практикамъ.

Наконецъ предлагаемая записка составлена почти вполнѣ

Чор. 8.

Чер. 9.

Чер. 10.

самостоятельно; весьма возможно, что все это уже имѣется въ. литературѣ этого предмета — добывать и изучать спеціальные иностранные источники въ г. Москвѣ есть дѣло, обставленное тяжелыми условіями. Я хорошо знаю, что передъ лицемъ науки это не есть доводъ, это—только отговорка, но, практически говоря, истиннымъ друзьямъ науки на это слѣдовало бы обратить вниманіе.

Задачи.

107. Рѣшить уравненіе:

У6 — 6г/4 + уѣ 4- 9у2 — — 1 = о.

Н. Козыревъ (Енисейскъ).

108. Опредѣлить объемъ тѣла, полученнаго отъ вращенія сегмента вокругъ діаметра, параллельнаго его хордѣ, и показать, что этотъ объемъ зависитъ лишь отъ длины хорды.

В. Добровольскій.

109. Опредѣлить геометрическое мѣсто центровъ тяжести площадей треугольниковъ, имѣющихъ данное основаніе и данный уголъ при вершинѣ (въ частности прямой).

Его же.

110. Указать характеристическую особенность треугольниковъ, отличающихся тѣмъ, что периметръ всякаго вписаннаго въ нихъ прямоугольника, двѣ вершины котораго лежатъ на опредѣленной сторонѣ, есть величина постоянная.

И. Александровъ.

111. Доказать подобіе треугольниковъ, имѣющихъ одинаковые В и Ъ : 1%ь.

Его же.

112. Найти наименьшее значеніе цѣлаго положительнаго числа п, для котораго имѣетъ мѣсто неравенство.

гдѣ pk — 1с-ое абсолютно простое число.

Э. Лейнѣкъ.

113. Построить треугольникъ, если даны: высота Лс, отрѣзокъ d ея отъ вершины С до точки пересѣченія высотъ и уголъ а, который образуетъ со стороною с прямая, соединяющая точки пересѣченія высотъ и медіанъ.

М. Зильберштейнъ.

Рѣшенія задачъ.

59. Показать, что при цѣломъ и положительномъ п функція ctgn^lx можетъ быть представлена въ видѣ:

гдѣ В, А0, Ах . . . Ап суть постоянныя количества, и приложить это свойство къ вычисленію интеграла:

Замѣтимъ, что данное въ условіи задачи разложеніе вѣрно при п = 1 и п = 2; дѣйствительно

откуда

Поэтому для доказательства воспользуемся методомъ полной индукціи; именно, допустивъ, что данное разложеніе справедливо для степеней ctgx до (п 1)-й включительно, докажемъ что и ctgH-i-2x выражается аналогичнымъ образомъ. Но дифференцируя данное равенство, мы имѣемъ:

или, замѣняя ^ } его выраженіемъ чрезъ ctgx,

откуда

Замѣняя ctgnx соотвѣтствующимъ разложеніемъ:

и дѣлая приведеніе подобныхъ членовъ, получимъ для ctgn~*~2x выраженіе вида

что и требовалось доказать.

Для вычисленія даннаго интеграла выразимъ ctg3x по формулѣ, приведенной выше; получимъ:

Н. Щетининъ (Москва).

66. Построить прямоугольный треугольникъ по гипотенузѣ и биссектрисѣ остраго угла.

Обозначимъ катетъ искомаго прямоуг. тр-ка чрезъ х, прилежащій къ нему острый уголъ чрезъ а, биссектрису его, данную въ условіи, чрезъ I и гипотенузу с. Тогда для опредѣленія угла а и катета х можно составить уравненія:

Рѣшая это ур., имѣемъ:

и

очевидно, пригоденъ лишь положительный корень этого ур., который представимъ вь видѣ:

слѣдовательно

Для построенія этого рѣшенія, строимъ послѣдовательно линіи т = 2с у 2 ; п — у 12-\-т2 ; р — I -j- п и х = ~^с . Дальнѣйшее построеніе не представляетъ затрудненій.

2-е рѣшеніе. Опишемъ изъ центра О (см. чер.) окружность радіусомъ, равнымъ данной гипотенузѣ с и проведемъ въ ней взаимно-перпендикулярные діаметры AB и MN\ на OB, какъ на діаметрѣ опишемъ изъ центра 0г вторую окружность и, наконецъ, изъ того же центра проведемъ третью окружность, концентрическую съ предыдущей и представляющую геометрическое мѣсто серединъ хордъ, равныхъ данной биссектрисѣ I. Къ этой послѣдней окружности проведемъ изъ А касательную, пересѣкающую 2-ю окружность въ точкахъ G и F (GF = l), а изъ точки А радіусомъ АЕ опишемъ дугу, пересѣкающую нашу первую окружность въ точкѣ С. Наконецъ, изъ С опустимъ перпендикуляръ CD на ОМ:; тогда тр-къ CDO и будетъ искомый.

Для доказательства проведемъ прямую АС и обозначимъ точку пересѣченія ея съ ОМ чрезъ Е\ тогда легко видѣть, что 3-ки АОЕ и АС В — подобны, откуда имѣемъ: АС: АО = AB : АЕ, или

съ другой стороны, по свойству сѣкущихъ, имѣемъ:

AF.AG = AB. АО,

слѣдовательно АС.АЕ = AF.AG и, такъ какъ AC=AF, то АЕ = -= AG. Поэтому AF — AG = АС — ЛЕ или G F = CE — I. Далѣе ОС — с, /_САО = /_Л-СО = /_ ACD\ значитъ СЕ = 1 есть биссектриса угла DC О въ тр-кѣ ODC, который и есть искомый.

В. Ефремовичъ, К. Кульманъ, С. Кузьминъ (Москва), В, Кованько (ст. Струнино).

71. Доказать соотношенія:

Изъ общей теоріи логариѳмовъ извѣстно соотношеніе

примѣння это соотношеніе, получаемъ:

перемноживъ эти равенства и сдѣлавъ сокращеніе, мы и получимъ равенство а). Для доказательства равенства Ъ) поступаемъ аналогично предыдущему:

перемноживъ равенства, получимъ формулу Ъ).

R. Кульманъ, М. Орбекъ, С, Кузьминъ, В. Добровольскій, М. Зильберштейнъ, В. Ефремовичъ, Jï. Щетининъ, iW. Колесика (Москва), И. Бутомо ("Саратовъ), Б. Чичеринъ (Ярославль), Б. Мыць (Полтава), Д. Авдыковичъ (Тула), А. Сердобинскій (Чита), К. Верещагинъ (Козловъ),, В. Лебедевъ (Омскъ), Н. Нейцъ (Самара), Р. Давидовъ (Кишиневъ), Н. Рубачевъ (Шуя), В. Литвинскій (Екатеринославъ), Н. Андреевскій (Умань).

74. Доказать, что выраженія

могутъ быть

представлены въ видѣ t2-\-3u2, а выраженія

въ видѣ 5t2— и2, при чемъ t и и раціонально выражаются чрезъ X и у.

а) Первое изъ данныхъ выраженій

можно представить въ видѣ

Слѣдовательно, первая данная дробь приводится къ виду t6 Зи- подстановкою t =—и и= ——

Точно также легко убѣдиться, что второе выраженіе

принимаетъ видъ t2 -f- Зм2 при подстановкѣ

Приведенныя подстановки—не единственныя, рѣшающія вопросъ. Такъ, представляя первое выраженіе въ видѣ:

мы видимъ, что можно положить

Точно также выраженіе----------— приведется къ указанному виду подстановкой t = —-ППц и и — JLm Отсюда слѣдуетъ, что при

цѣлыхъ хи у оба данныхъ выраженія могутъ быть всегда представлены формою t2 -j- 3и2, при чемъ t и и — числа цѣлыя. Дѣйствительно, если X и у — числа одновременно четныя или нечетныя, то примѣняемъ первую подстановку, если же одно изъ нихъ четное, а другое нечетное — то вторую,

в) Представляя выраженіе

въ видѣ * X

видимъ, что оно приводится къ виду bt2— и2, если положимъ

Аналогично найдемъ, что выраженіе--------— приведется къ той же формѣ bt2—и2 подстановкою t = —— и и=1—-—Ь

Одноко можно достигнуть той же цѣли подстановками въ первомъ случаѣ:

а во второмъ случаѣ

и этотъ способъ удобенъ въ томъ случаѣ, когда х и у цѣлыя и одно изъ нихъ четное, а другое — нечетное, такъ какъ числа t и и будутъ пѣлыя.

К. Кульманъ, Ы. Щетининъ, С. Кузьминъ (Москва), М. Бритманъ (Николаевъ), В. Маловичко (Херсонъ), П. Рубачевъ (Шуя), К. Верещагинъ (Козловъ) В. Лебедевъ (Омскъ), А. Сердобинскій (Чита).

Рѣшить уравненіе

Положимъ \/snx + csx = z, тогда snx -j- cs;r=s2; l-\-sn2x =#4 и, дѣлая подстановку, мы получимъ:

или

т. е.

Отсюда имѣемъ: sinx -)- csx = 1, или snx -f- sn (90° — x) = l, иначе

т. e.

Отсюда получаемъ: x— 45° = 360°. k 45°, слѣдовательно: x1 = 360°. k\x2 = 360°. k -f- 90°, или x2 = 90° (4fc + 1)» гдѣ & — любое цѣлое число.

A. Жилинскій, Ж. Орбекъ, И. Щетининъ, А\ Кульманъ, Ж. Колесина, В. Добровольскій, С. Кузьминъ (Москва), В. Кованько (ст. Струнино), А. Ильинъ (Астрахань), В. Пфейфферъ (Винница), В. Маловичко (Херсонъ), В. Верещагинъ, (Козловъ), В. Мыць (Полтава), Лебедевъ (Омскъ), А. Локуціевскій (ст. Каменская). Д. Авдыковичъ (Тула), В. Нейцъ (Самара), В. Литвинскій (Екатеринославъ), М. Черновъ (Иваново-Вознесенскъ), А. Сердобинскій (Чита), А. Черновъ (Тула), И. Андреевскій (Умань), В. Сѣверный (Тула), И. Рубачевъ (Шуя), А. Бутомо (Саратовъ).

76. Показать, что

и найти значеніе этой постоянной величины.

Обозначивъ данную функцію чрезъ у и дифференцируя ее, найдемъ:

Слѣдовательно у = const. Поэтому для опредѣленія значенія этой постоянной можно положить x равнымъ какому-либо числу въ предѣлахъ отъ 0 до 2. Полагая х=1, получимъ

отсюда у = 2пл 4- —, гдѣ п — любое цѣлое число, z

2-е рѣшеніе. Положимъ х—l=snçp; тогда

поэтому

или

А. Жилинскій, Н. Щетининъ, М. Зильберштейнъ, К. Кульманъ, С. Кузьминъ, М, Орбекъ, А. Черновъ (Москва), В. Мыць (Полтава) В. Сѣверный (Тула), Н. Нейцъ (Самара), Р. Давидовъ (Кишиневъ), В. Кованько (ст. Струнино), А. Сердобинскій (Чита), Н. Рубачевъ (Шуя), К. Верещагинъ (Козловъ), В. Лебедевъ (Омскъ), А. Локуціевскій (ст. Каменская), А. Бутомо (Саратовъ), И. Евдокимовъ (Шуя).

Подготовительныя работы къ устройству 2-го всероссійскаго Съѣзда преподавателей математики.

Съ наступленіемъ учебнаго времени возобновилась дѣятельность Организаціоннаго Комитета 2-го Всероссійскаго Съѣзда преподавателей математики, который долженъ состояться въ Москвѣ на предстоящихъ рождественскихъ вакаціяхъ (адресъ бюро Комитета: Москва, М. Знаменскій пер., реальн. училище К. К. Мазинга). Какъ извѣстно, этотъ Съѣздъ, подобно 1-му, происходившему два года назадъ въ С.-Петербургѣ, имѣетъ своею задачею широкое объединеніе преподавателей математики съ цѣлью обсужденія вопроса о необходимыхъ реформахъ въ современной постановкѣ преподаванія математики и соприкасающихся съ нею наукъ, какова физика, космографія, механика и проч. Въ настоящее время Комитетомъ закончена разработка ряда вопросовъ организаціоннаго характера. Такъ, получено согласіе Директора Московскихъ Высшихъ Женскихъ Курсовъ на устройство засѣданій Съѣзда въ новомъ аудиторномъ зданіи этихъ Курсовъ (на Дѣвичьемъ Полѣ). Въ томъ-же зданіи будетъ устроена и выставка книгъ и учебныхъ пособій по математикѣ, организуемая при Съѣздѣ особою выставочною комиссіей. Отъ начальства нѣсколь-

кихъ Московскихъ учебныхъ заведеній получено согласіе на предоставленіе даровыхъ или удешевленныхъ помѣщеній, гдѣ пріѣзжіе члены Съѣзда могли-бы жить во время его, а частью имѣть и столъ. Постановлено въ непродолжительномъ времени приступить къ печатанію „Бюллетеней“ Съѣзда, первые номера которыхъ должны выйти еще до открытія его и будутъ содержать предварительныя и справочныя свѣдѣнія о Съѣздѣ.

Для освѣдомленія интересующихся лицъ о 2-мъ Съѣздѣ преподавателей математики „Положеніе“ о немъ напечатано въ нѣсколькихъ періодическихъ изданіяхъ, каковы журналы: „Вѣстникъ Опытной Физики“, „Педагогическій Сборникъ“, „Педагогическій Вѣстникъ Моск. Учебнаго Округа“, „Педагогическій Листокъ“, „Для народнаго учителя“, „Математическое Образованіе“ и др. Кромѣ того, по ходатайству Организаціоннаго Комитета Министерство Народнаго Просвѣщенія циркулярно сообщило свѣдѣнія о Съѣздѣ Попечителямъ Учебныхъ Округовъ для рекомендаціи педагогическому персоналу подвѣдомственныхъ имъ учебныхъ заведеній.

Съ цѣлью наилучшаго освѣщенія подлежащихъ обсужденію вопросовъ, Организаціонный Комитетъ обратился къ нѣкоторымъ профессорамъ и извѣстнымъ педагогамъ съ предложеніемъ прочитать доклады на темы, соотвѣтствующія задачамъ Съѣзда и отъ нѣкоторыхъ изъ нихъ уже получены отвѣты о согласіи сдѣлать сообщенія. Въ послѣднее время стали также поступать заявленія о желаніи прочесть рефераты на Съѣздѣ отъ преподавателей и любителей математики. Изъ числа заявленныхъ, а частью и доставленныхъ уже сообщеній назовемъ:

В. В. Бобынинъ „Объ указаніяхъ, получаемыхъ преподаваніемъ математики отъ ея исторіи“.

Н. В. Бодаревскій „Психологическія основанія въ математическихъ ошибкахъ учениковъ“.

Н. А. Извольскій „Комбинаціонная работа, какъ основа преподаванія математики“.

Н.А.Извольскій „Вопросъ объ опредѣленіи длины окружности“.

К. Ѳ. Лебединцевъ „Несоизмѣримыя величины и теоріи предѣловъ въ курсѣ геометріи“.

К. Ѳ. Лебединцевъ „О способахъ контроля и провѣрки знаній учащихся по математикѣ“.

И. Т. Лоховъ „Исторія математики въ средней школѣ“.

Д. Д. Мордухай - Болтовской „Эволюція геометрическаго учебника“.

Д. Д. Мордухай-Болтовской „Объ организаціи математическаго кабинета“.

Р. Б. Невядомскій „Новый методъ разложенія чиселъ на первоначальные множители“.

П. А. Некрасовъ „Промежуточная лицейская ступень между средней и высшей школами“.

М. Д. Осинскій „Направляющіе элементы математическаго изслѣдованія и математическаго творчества“.

H. Г. Плеханова „Письменные отвѣты по математикѣ въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ“.

С. Н. Поляковъ „Вопросъ о реформѣ школьной математики съ методологической точки зрѣнія“.

Д. М. Синцовъ „О дѣятельности международной комиссіи по реформѣ преподаванія математики“.

Д. М. Синцовъ „О преподаваніи аналитической геометріи въ УІІ класѣ реальныхъ училищъ“.

В. Э. Фриденбергъ „Организація внѣклассныхъ занятій по математикѣ“.

Р. В. Чеслевскій „Методъ рѣшенія и изслѣдованія геометрическихъ задачъ“.

I. И. Чистяковъ „О журналахъ по элементарной математикѣ“.

М. Г. Пупруженко „О курсѣ анализа въ средней школѣ“.

Библіографическій отдѣлъ.

В. Г. Фридманъ. Концентрическій учебникъ алгебры ч. I, ц. 1 р. 20 коп.; ч. II, ц. 1 руб. Москва. 1912—13 г.

Разбираемая книга составлена въ духѣ реформы традиціонной системы преподаванія алгебры и отличается отъ книгъ обычнаго типа нѣкоторыми существенными особенностями, обращающими на себя вниманіе читателя.

Какъ отмѣчаетъ и самъ авторъ въ предисловіи, данный учебникъ есть прежде всего учебникъ концентрическій. Обычный матеріалъ, входящій въ программу нашей средней школы, и тѣ новые отдѣлы, введенія которыхъ въ школу добивается современная педагогическая мысль (понятіе о функціи, изученіе свойствъ простѣйшихъ функцій и ихъ графическое изображеніе, основныя свойства производной функціи) — распредѣлены въ учебникѣ на два большихъ концентра, которые въ свою очередь распадаются на пять ступеней. Первый концентръ соотвѣтствуетъ приблизительно курсу алгебры женскихъ гимназій и включаетъ изученіе алгебраическихъ преобразованій, за исключеніемъ нѣкоторыхъ болѣе сложныхъ (такъ напр. возвышеніе многочленовъ въ квадратъ и извлеченіе изъ нихъ кв. корня), относимыхъ ко второй части курса; кромѣ того содержитъ основы ученія объ отрицательномъ и несоизмѣримомъ числѣ, теорію рѣшенія уравненій 1-й и 2-й степени, биквадратныхъ и радикальныхъ уравненій, и ученіе о свойствахъ простѣйшихъ функцій (цѣлыхъ функцій первой и второй степени, показательной функціи) и ихъ графическое изображеніе, и наконецъ ученіе о прогрессіяхъ. Второй концентръ содержитъ вопросы, соотвѣтствующіе приблизительно курсу трехъ старшихъ классовъ мужскихъ гимназій съ нѣкоторыми дополненіями, именно включаетъ изученіе болѣе сложныхъ случаевъ алгебраическихъ преобразованій и рѣшенія уравненій (возвратныя, двучленныя и трехчленныя уравненія и т. п.), изслѣдованіе уравненій, теорію неравенствъ и неопредѣленныхъ уравненій, ученіе о логариѳмахъ съ его практическимъ приложеніемъ, ученіе о комплексномъ числѣ, изслѣдованіе максимальныхъ и минимальныхъ значеній функцій въ связи съ изученіемъ свойствъ производной функціи, наконецъ теорію соединеній въ связи съ понятіемъ о теоріи вѣроятностей, ученіе о биномѣ Ньютона съ приложеніемъ къ приближеннымъ вычисленіямъ, и теорію непрерывныхъ дробей.

Необходимость концентрическаго расположенія матеріала въ курсѣ алгебры средней школы является въ настоящее время общепризнанной; но, конечно, нельзя считать уже рѣшеннымъ вопросъ о границахъ перваго концентра. Г. Фридманъ, заканчивая первую часть своего учебника теоріей прогрессій, руководился, повидимому, желаніемъ приноровить эту часть своей книги къ программамъ женскихъ гимназій; если не разрѣшать вопросъ независимо отъ существующихъ программъ, то естественно было бы отнести къ первому концентру, въ связи съ теоріей прогрессій, также и основы ученія

о логариѳмахъ, а второй концентръ посвятить главнымъ образомъ теоретическому обоснованію важнѣйшихъ ученій элементарнаго курса алгебры—ученія о числѣ и ученія объ уравненіяхъ, и дальнѣйшему расширенію ученія о функціяхъ. Что же касается распредѣленія матеріала перваго концентра въ учебникѣ г. Фридмана на три ступени, а второго на двѣ ступени,— соотвѣтственно пяти годамъ изученія алгебры въ мужскихъ гимназіяхъ,— то нельзя не признать этого распредѣленія нѣсколько произвольнымъ: авторъ настолько увлекся идеей концентрическаго расположенія матеріала, что нашелъ, напр., нужнымъ въ первомъ концентрѣ излагать ученіе объ отрицательныхъ числахъ въ двухъ мѣстахъ, а вопросъ объ извлеченіи квадратнаго корня даже въ трехъ мѣстахъ, хотя такое раздѣленіе матеріала не обусловливаетъ никакихъ преимуществъ въ педагогическомъ отношеніи.

Важнѣйшимъ достоинствомъ учебника г. Фридмана является то, что рѣшеніе уравненій и изученіе функцій выдвинуто въ немъ на первый планъ, а алгебраическія преобразованія играютъ чисто служебную роль и выдвигаются лишь по мѣрѣ надобности, когда тѣ или иныя группы ихъ становятся необходимыми для рѣшенія уравненій. Другимъ достоинствомъ является обиліе историческихъ примѣчаній и иллюстрацій, которыя дѣлаютъ учебникъ интереснымъ и живымъ. Въ общемъ, книга написана легко и сравнительно удобопонятно, и изложеніе вездѣ ведется такъ, что примѣры и задачи предшествуютъ выводу правилъ и служатъ основаніемъ для вывода послѣднихъ, какъ это требуется по существу конкретно-индуктивнаго метода.

Но на ряду съ этими положительными сторонами намъ приходится отмѣтить и нѣкоторые существенные недостатки. Самымъ слабымъ мѣстомъ книги является изложеніе вопроса о несоизмѣримыхъ и отрицательныхъ числахъ. Въ ученіи о несоизмѣримыхъ числахъ мы встрѣчаемъ въ книгѣ г. Фридмана цѣлый рядъ уклоненій отъ требованій логики; напр., онъ доказываетъ (ч. I, стр. 184), что квадратный корень изъ цѣлаго неполнаго квадрата (/28) не можетъ быть равенъ ни цѣлому, ни дробному числу, и тутъ же оперируетъ съ символомъ /28 какъ съ числомъ, обладающимъ всѣми свойствами соизмѣримаго квадратнаго корня. Далѣе, желая показать, что число V 2 служитъ мѣрою діагонали квадрата, сторона котораго принята за единицу, онъ примѣняетъ къ данному случаю (ч. I, стр. 190) теорему Пиѳагора, которая, конечно, была доказана пока только для случая соизмѣримыхъ сторонъ треугольника. Тамъ же находимъ утвержденіе, что „существуетъ гораздо больше ирраціональныхъ чиселъ, чѣмъ раціональныхъ“, хотя сейчасъ же авторъ оговаривается, что даже „число цѣлыхъ раціональныхъ чиселъ безконечно велико“ и что „вся совокупность раціональныхъ чиселъ“, какъ доказалъ Канторъ, „обладаетъ такимъ же числомъ элементовъ, какъ и вся совокупность ирраціональныхъ чиселъ“. Наконецъ, на стр. 256—259, несоизмѣримое число опредѣляется какъ предѣлъ ряда его послѣдовательныхъ приближеній, причемъ изъ предисловія (стр. 9) видно, что авторъ сознательно допускаетъ здѣсь логическій кругъ, считая, что „нельзя предъявлять къ учебной книгѣ такихъ требованій безусловно логичной строгости изложенія, которое можно предъявлять къ научной системѣ; излагать же на этой ступени строго научную теорію ирраціональныхъ чиселъ, хотя бы въ духѣ Дедекиндовской теоріи, было бы большимъ педагогическимъ заблужденіемъ“. Я полагаю однако, что законы логики должны быть соблюдаемы въ учебникѣ для средней школы въ такой же мѣрѣ, какъ и въ университетскихъ курсахъ; а педагогическія соображенія допускаютъ только замѣнять, до поры до времени, дедуктивные выводы какихъ либо истинъ ихъ конкретно-индуктивнымъ изученіемъ, или же устанавливать неполныя опредѣленія, съ тѣмъ, чтобы въ дальнѣйшемъ ихъ пополнять; и даже въ нашей учебной литературѣ можно указать руководства, въ которыхъ ученіе о несоизмѣримомъ числѣ изложено въ соотвѣтствіи съ этими требованіями современной дидактики.

Относительно отрицательныхъ чиселъ г. Фридманъ указываетъ еще въ предисловіи (стр. 7), что онъ „является противникомъ способа изложенія правила дѣйствій надъ положительными и отрицательными числами, основаннаго исключительно на графическихъ примѣрахъ.......; дѣло въ томъ“, говоритъ онъ, „что во 1-хъ такой способъ изложенія вовсе не такъ простъ и нагляденъ, или легокъ, какъ это могло бы казаться съ перваго взгляда, а во вторыхъ, при такомъ изложеніи является необходимость показать, что тѣ от-

рицательныя числа, которыя получаются при рѣшеніи уравненій и вообще при алгебраическихъ преобразованіяхъ, подчиняются тѣмъ же правиламъ дѣйствій, что и графически истолкованныя отрицательныя числа“. Смѣю увѣрить автора на основаніи личнаго опыта преподаванія, что методъ изложенія ученія объ отрицательномъ числѣ на подходящихъ задачахъ и ихъ графическомъ истолкованіи дѣйствительно очень простъ, и нагляденъ, и легокъ для учащихся, и, что самое главное, при немъ отрицательныя числа не вызываютъ у учащихся того недоумѣнія, о которомъ г. Фридману приходится упоминать на стр. 85; они сразу видятъ, что отрицательнымъ числамъ соотвѣтствуетъ цѣлая категорія величинъ, значенія которыхъ могутъ быть этими числами выражены. А сомнѣваться въ тождествѣ отрицательныхъ чиселъ, истолкованныхъ графически, съ таковыми же числами, неистолкованными графически, никому не придетъ въ голову по той простой причинѣ, что всякое отрицательное число и есть дѣйствія надъ нимъ могутъ быть графически истолкованы. Вмѣсто этого простого и яснаго метода г. Фридманъ прибѣгаетъ къ толкованію отрицательнаго числа, какъ разности двухъ положительныхъ, причемъ просто примѣняетъ къ „невозможной“ разности 5 — 7 правило преобразованія „возможной“ разности: 5—7 = 5 — 5 — 2 = (5 — 5) — 2 и т. д. Подобнымъ же способомъ выводятся и правила дѣйствій надъ отрицательными числами (стр. 105—116), и вездѣ авторъ безъ оговорокъ оперируетъ надъ отрицательными разностями по тѣмъ правиламъ, какія были установлены только для положительныхъ разностей (оговорка сдѣлана лишь гораздо дальше, на стр. 302).

Въ теоріи дробей (ч. I, стр. 51—52) не упомянуто, что множить и дѣлить члены дроби на одно и то же количество можно безпрепятственно лишь въ томъ случаѣ, когда это количество не равно нулю. Пренебреженіе этимъ обстоятельствомъ ведетъ къ установленію традиціоннаго понятія о „кажущейся неопредѣленности“ (ч. II, стр. 166—167), которое, какъ извѣстно, представляетъ сплошную логическую ошибку.

Много недочетовъ встрѣчается въ тѣхъ мѣстахъ курса, гдѣ автору приходится говорить о безконечно малыхъ и безконечно большихъ величинахъ и о предѣлахъ. Съ одной стороны, понятіе о безконечно маломъ и терминъ „предѣлъ“ вводятся слишкомъ рано (на первой ступени, т. е. въ курсѣ 3-го класса), такъ что учащіеся, несомнѣнно, не будутъ въ состояніи освоиться здѣсь съ этими важными понятіями. Съ другой стороны, даже на пятой ступени (т. е. въ курсѣ 7-го класса), гдѣ, казалось бы, учащіеся могутъ въ полной мѣрѣ воспринять основы ученія о предѣлахъ, соотвѣтствующія теоремы не излагаются, а дѣлается ссылка, что эти теоремы излагаются обычно въ курсѣ геометріи (ч. II, стр. 177). Вслѣдствіе этого главы XXIY и XXY, включающія ученіе о производной функціи, оказываются висящими, въ воздухѣ; изложеніе ихъ страдаетъ обычными неточностями, напр. невыяснено различіе между „производной для даннаго значенія“ и „производной функціей,“ есть выраженія вродѣ того, что „въ предѣлѣ сѣкущая стремится слиться съ касательной“ (стр. 193), и т. д.

Въ отдѣлѣ логариѳмовъ остается недоказаннымъ существованіе логариѳма, соотвѣтствующаго любому заданному числу. Изъ § 228 первой части, на который имѣется ссылка на стр. 77, ч. II, слѣдуетъ только, что десятичные логариѳмы чиселъ, не изображаемыхъ единицей съ нулями, не могутъ быть равны ни цѣлому, ни дробному числу; но отсюда еще не вытекаетъ, что они выражаются несоизмѣримыми числами. Не находимъ мы соотвѣтствующаго доказательства и въ § 164 второй части, гдѣ говорится о возможности вычисленія приближенныхъ логариѳмовъ. Въ этой же главѣ имѣется странный промахъ на стр. 219: указавъ, что въ системѣ логариѳмовъ Бюрги основаніемъ является число (1,0001) 1000°, авторъ прибавляетъ: можно доказать, что это число есть несоизмѣримое число; съ точностью до 8-го десятичнаго знака оно равно 2,71814593“.

Въ теоріи комплексныхъ чиселъ не отмѣчено, каковы тѣ основныя условія, на которыхъ построена теорія этихъ чиселъ; авторъ считаетъ возможнымъ безъ всякихъ оговорокъ примѣнять къ мнимымъ и комплекснымъ числамъ (стр. 125—126) тѣ правила, которыя были установлены пока только для вещественныхъ чиселъ.

Перечень указанныхъ недочетовъ не является исчерпывающимъ, но и сказаннаго довольно, чтобы составить себѣ представленіе о характерѣ книги.

Автору придется, по моему мнѣнію, подвергнуть это свое сочиненіе основательной переработкѣ, если онъ желаетъ, чтобы его книга оказалась на уровнѣ требованій, предъявляемыхъ современной дидактикой.

К. Л.

Изъ итоговъ анкеты Оренбургскаго учебнаго округа.

Весной текущаго года Попечителемъ Оренбургскаго учебнаго округа была организована по школамъ всѣхъ типовъ обширная анкета, касающаяся самыхъ разнообразныхъ сторонъ учебной жизни. Среди вопросовъ этой анкеты, между прочимъ, мы находимъ нѣсколько пунктовъ, позволяющихъ до нѣкоторой степени судить о постановкѣ преподаванія математики въ средней школѣ округа; таковы напр., пункты объ употребляющихся учебникахъ математики (г.г. преподающіе приглашались при этомъ высказывать хотя бы кратко свое мнѣніе о достоинствахъ и недостаткахъ учебника, по коему они ведутъ преподаваніе), о наглядныхъ пособіяхъ, преподавательскихъ лекціяхъ и ученическихъ рефератахъ по математикѣ и т. д. Результаты анкеты по этимъ вопросамъ мы и хотѣли-бы здѣсь привести. Разсмотримъ прежде всего вопросъ объ учебникахъ. По ариѳметикѣ наиболѣе распространеннымъ оказался Киселевъ—употребляется свыше, чѣмъ въ 75% всѣхъ ср.-уч. заведеній округа. Есть учебныя заведенія, въ коихъ „курсъ ариѳметики“ Киселева царствуетъ безсмѣнно 20, 25 и даже 38 лѣтъ, со дня открытія училища. Преподаватели держатся за него такъ крѣпко потому, что считаютъ, что онъ обладаетъ огромными достоинствами, какъ-то „изложеніе простое, ясное, точное“... Указываются, впрочемъ, и недостатки: „отрывистость изложенія“, „отдѣлы о дѣлителѣ и краткомъ недостаточно связаны съ отдѣломъ о дробяхъ“, „мало интересенъ для старшихъ классовъ“, „отсутствуютъ нѣкоторые пріемы въ рѣшеніи задачъ“ и т. п. Любопытно, при этомъ отмѣтить, что ни одинъ изъ преподавателей давшихъ отзывы, не отмѣтилъ такихъ существенныхъ недочетовъ въ учебникѣ Киселева, какъ отсутствіе разработки понятія о функціональной зависимости, отсутствіе графическаго метода, историческихъ свѣдѣній и т. п. Всѣ теченія современной педагогической мысли какъ будто еще не дошли до математиковъ Оренбургскаго округа, хотя, нужно замѣтить, происходившій зимой съѣздъ директоровъ ср.-уч. заведеній округа, „вполнѣ присоединяясь къ мнѣнію всероссійскаго съѣда преподавателей математики, высказался за необходимость, чтобы „черезъ весь курсъ ср.-уч. заведеній была проведена идея функціональной зависимости и графическій методъ изслѣдованія, методъ координатъ. Прекрасный матеріалъ для выясненія функціональной зависимости даетъ курсъ III класса при изученіи пропорціональныхъ величинъ“... Но и это постановленіе осталось, видимо, безъ замѣтнаго вліянія, хотя общая неудовлетворенность существующими методами и учебниками все-же чувствуется. Такъ, напр., курсъ Малинина и Буренина, когда-то заполнявшій наши школы, теперь сохранился лишь въ одной жен. гимназіи; замѣчаются попытки замѣнить и Киселева кѣмъ нибудь другимъ. Въ 14% учеб. заведеній на смѣну ему введенъ Васильевъ, въ 4%—Чихановъ и въ единичныхъ случаяхъ—Кюрзенъ, Желенъ... Что касается ариѳметическихъ задачниковъ, то первое мѣсто среди нихъ занимаетъ Верещагинъ—65%, Малининъ и Буренинъ—27%, Арбузовъ, Мининъ и Назаровъ—16, Шапошниковъ и Вальцевъ— 13 и Евтушевскій (только въ жен. гимназіяхъ)—9%. По алгебрѣ среди учебниковъ главное мѣсто занимаетъ Киселевъ—въ 79%; Давидовъ, когда-то игравшій большую роль сохранился теперь лишь въ 10% учебн. заведеній. Тихомировъ, Гебель и Пясецкій насчитываютъ за собой по 2 учеб. заведенія, Никульцевъ, Тороповъ и Лебединцевъ—по 1. Одно это разнообразіе именъ уже свидѣтельствуетъ о попыткахъ поисковъ новыхъ путей преподаванія, новыхъ учебниковъ и методовъ. Но сильна еще приверженность старымъ традиціямъ. Мѣстами въ отдѣлахъ преподавателей прямое недовольство „моднымъ направленіемъ“ при изложеніи напр., понятія объ отрицательныхъ числахъ. Изъ задачниковъ по алгебрѣ предпочтеніе отдается Шапошникову и Вальцеву—54% и Бычкову 47%, за ними уже слѣдуютъ: Тихомировъ 13%, Кліоновскій—7 и Гебель—3%. Относительно задачниковъ оренбургскіе педагоги очень не требовательны. Были они и недовольны, напр., задачникомъ

Бычкова, и главнымъ образомъ потому, что „отвѣты разсчитаны на семизначныя таблицы логариѳмовъ“.—По геометріи — властителемъ математическихъ думъ молодого поколѣнія являются все тѣ же Киселевъ—55°/0 и Давидовъ— 38%. Многіе изъ отзывовъ объ этихъ руководствахъ весьма близко подходятъ къ отзыву преподавателя Красноуфимской жен. гимназіи: „достоинство учебника— обиліе матеріала, недостатокъ — много лишняго“... Многіе присоединяютъ сюда еще устарѣлость учебника, отсутствіе послѣдовательности въ изложеніи, несоотвѣтствіе расположенія матеріала курсу и отсутствіе ясности, простоты изложенія... За послѣдніе годы на смѣну этимъ двумъ ветеранамъ пришелъ Глаголевъ—въ 3 учеб. заведеніяхъ; въ жен. гимназіяхъ кое-гдѣ употребляется курсъ Малинина и Егорова, Вулиха, Гика. Что касается геометрическихъ задачниковъ, то таковые, видимо, употребляются далеко не вездѣ. По крайней мѣрѣ, задачники не указаны въ 26% учеб. заведеній, главнымъ образомъ по гимназіямъ, особенно женскимъ, гдѣ почти совсѣмъ не рѣшаются геометрическія задачи не только на построеніе, но и на вычисленіе. Среди задачниковъ наиболѣе распространенъ Рыбкинъ—45% и Мининъ—10%. По тригонометріи изъ 22 реал. училищъ и муж. гимназій пользуются Злотчанскимъ 5, Шапошниковымъ и Рыбкинымъ по 4, Пржевальскимъ и Жилинскимъ по 2, Волковымъ, Глазенапомъ, Ляминымъ, Ребьеромъ, Шмулевичемъ, Чемолосовымъ и Малининымъ по 1 учеб. заведенію. По аналитической геометріи введенъ Рашевскій въ 4 уч. зав., Флоровъ—3, Войновъ—2 и Пеніонжкевичъ— 1; по анализу безконечно-малыхъ: Горячевъ въ 3, Войновъ и Киселевъ и Пеніонжкевичъ въ 2 учеб. заведеніяхъ. Переходя къ вопросу объ обезпеченіи школъ наглядными пособіями по математикѣ, необходимо отмѣтить поразительную бѣдность, а зачастую даже и полное отсутствіе математическихъ кабинетовъ. Почти въ трети всѣхъ ср. учеб. заведеній округа совершенно не имѣется никакихъ наглядныхъ пособій по математикѣ, въ другой трети весь математическій кабинетъ можно унести подъ мышкой, если судить потому, что стоимость каждаго изъ нихъ колеблется отъ 2 до 50 р. и только въ 6% общаго числа всѣхъ среднихъ школъ округа математ. кабинетъ оцѣненъ въ 200—250 р. и можетъ быть признанъ достаточно обставленнымъ. По ариѳметикѣ никакихъ пособій не имѣетъ 35% уч. заведеній. Но и тамъ, гдѣ пособія имѣются, наборъ ихъ еще далеко не вездѣ можетъ быть признанъ достаточнымъ. Необходимѣйшіе при преподаваніи ариѳметики счеты и ариѳметическіе ящики имѣются лишь въ 55% (есть женскія гимназіи, гдѣ методика ариѳметики въ VIII кл. для будущихъ народныхъ учительницъ преподается, очевидно, безъ этихъ приборовъ!). Образцы метрическихъ мѣръ длины имѣются лишь въ 39%; въ 15% ученики имѣютъ возможность познакомиться съ метрическими мѣрами лишь по таблицамъ; въ остальныхъ же учебныхъ заведеніяхъ, составляющихъ почти половину общаго ихъ числа, ученики не видятъ совсѣмъ ни въ натурѣ, ни на таблицахъ ни метра, ни сантиметра (рус. мѣръ длины или таблицы ихъ имѣются тоже лишь въ 53%). Далѣе, метрич. мѣры жидкостей имѣются лишь въ 33% общаго числа среднихъ школъ, разновѣсъ въ русской системѣ—въ 20%, въ метрич. системѣ—въ 13%; вѣсы, какъ учебное пособіе по ариѳметикѣ, показаны въ одномъ реал. училищѣ изъ 20, въ 6 жен. гимназіяхъ изъ 42 и ни въ одной муж. гимназіи. Но одного того, что вѣсы и разновѣсы имѣются въ гимназіяхъ еще далеко не означаетъ, что они, дѣйствительно, являются наглядными учебными пособіями, а не покоятся гдѣ ннбудь въ шкафахъ подъ семью замками. И надо думать, что дѣйствительныя цифры, дающія поводъ думать о возможности хотя-бы урывками примѣнять на урокахъ ариѳметики лабораторную методу преподаванія съ различными измѣненіями, взвѣшиваніями и т. п. должны быть еще меньше. Далѣе, такіе приборы, какъ счетная машина, являются уже положительной роскошью, доступной всего лишь 1 учебному заведенію. Немногимъ лучше обстоитъ дѣло и по части преподаванія геометріи. Достаточно сказать, что въ 29% общаго числа ср.-уч. заведеній (68 учеб. заведеній съ классами, въ коихъ преподается геометрія) не имѣется совершенно никакихъ пособій по геометріи. Пособія по планиметріи имѣются всего лишь въ 3 учебн. заведеніяхъ, геомѳтр. тѣла для преподаванія стереометріи имѣются лишь въ половинѣ учеб. заведеній, разборный шаръ съ сѣченіями въ 12%, приборъ для демонстрированія различныхъ положеній прямыхъ и плоскостей въ пространствѣ лишь въ 8 и стереоскопъ въ 28%, приборъ для ознакомленія съ измѣреніемъ площадей въ 1 уч. заведеніи и объемовъ въ 2 уч. завед. Приборы для класснаго исполне-

нія чертежей на доскѣ, какъ напр., линейка, циркуль, транспортиръ, наугольникъ имѣются только чуть-ли не въ 1/4 всѣхъ учеб. заведеній. Рулетка имѣется всего только въ 1 учебн. заведеніи и, слѣдовательно, говорить о практическихъ работахъ по „землемѣрію“ едва-ли возможно. Клейка и пайка геом. моделей существуетъ лишь въ 6 учеб. заведеніяхъ изъ 68 и то не всѣми учениками, а лишь желающими.

Приведемъ здѣсь еще цифровыя данныя относительно внѣклассныхъ образовательныхъ развлеченій учащихся по математикѣ. За послѣднее пятилѣтіе по даннымъ анкеты преподавателями было прочитано по математикѣ, между прочимъ, 79 лекцій физ.-мат. характера въ 20 ср.-уч. заведеніяхъ; кромѣ того, самими учениками было прочитано за тотъ-же періодъ 30 рефератовъ по математикѣ (изъ общаго числа рефератовъ около 700) въ 7 уч. зав. Рефераты эти читались почти исключительно въ муж. ср. уч. заведеніяхъ; въ женскихъ гимназіяхъ былъ прочитанъ лишь 1 рефератъ по математикѣ (изъ 372). Темы этихъ рефератовъ касались какъ исторіи математики, такъ и отдѣльныхъ теоретическихъ вопросовъ, напр., „о приложеніи алгебры къ рѣшенію треугольниковъ“, „понятіе о комплексныхъ величинахъ въ геометріи“, „значеніе математики какъ науки и какъ общеобразовательнаго предмета“ и т. п. Заслуживаетъ быть отмѣченнымъ также и существованіе въ округѣ двухъ математическихъ ученическихъ кружковъ (при реал. училищахъ), гдѣ предметами занятій служили различныя научныя собранія, рефераты, рѣшенія задачъ, доказательство теоремъ и т. п. Издавались и ученическіе журналы, нѣкоторые изъ коихъ были цѣликомъ посвящены математическимъ вопросамъ; таковы журналъ „Математ. Мысли“ учениковъ Екатеринбургскаго р. уч. и „Записки математ. кружка при Оренбург. реал. уч.“ Въ обоихъ журналахъ помѣщено не мало обстоятельно написанныхъ статеекъ по различнымъ отдѣламъ математики. Но, къ сожалѣнію, какъ эти журналы, такъ и рефераты учениковъ составляютъ крайне рѣдкое явленіе въ жизни нашей средней школы, а потому ие могутъ оказать иа питомцевъ ея значительнаго вліянія.

Н. Р—овъ.

Засѣданія Математическаго Отдѣла Педагогическаго Музея Военно-Учебныхъ заведеній 1912—1913 г.

Засѣданіе 26 Февраля 1913 года

Предсѣдатель: М. Г. Попруженко. Докладъ М. Г. Попруженко: „Мнимыя числа“. Отмѣтивъ существованіе трехъ истолкованій комплекснаго числа (Вессель-Аргана, Гамильтона и Коши), докладчикъ переходитъ къ изложенію послѣдняго пониманія комплексныхъ чиселъ (съ точки зрѣнія функціональныхъ сравненій по модулю (г2+1), хотя изученіе вопроса привело его къ мысли о незначительности педагогической цѣнности даннаго пониманія комплекснаго числа, по крайней мѣрѣ, въ примѣненіи къ средней школѣ. Рѣшая уравненіе вида (х — а) 2+ Ъ2 = 0, мы получаемъ для х два значенія: а it Ы; по подстановкѣ первую часть даннаго уравненія можно представить въ видѣ &2(1-|-î2), то есть въ видѣ нѣкотораго кратнаго (г2—)—1 ); будемъ считать г не равнымъ V — 1, пусть г будетъ произвольнымъ перемѣннымъ дѣйствительнымъ числомъ. Въ виду этого можно поставить вопросъ о рѣшеніи уравненія f(x) = 0 въ измѣненной формѣ: рѣшить уравненіе значитъ найти такое х — а -}- ßi, чтобы первая часть уравненія по подстановкѣ вмѣсто х его значенія была бы кратной (г2 +1). Что касается до г, то у различныхъ авторовъ ему придаютъ различное толкованіе. Лоранъ разсматриваетъ г, какъ перемѣнное, измѣняющееся между — QO и + ОС, Невенгловскій —какъ символъ, Таннери въ однихъ случаяхъ примыкаетъ къ Лорану, въ другихъ къ Невенгловскому. Тутъ во всякомъ случаѣ мы встрѣчаемъ неразработанность теоріи. Далѣе докладчикъ переходитъ къ опредѣленію равенства, одинаковому у всѣхъ упомянутыхъ выше авторовъ, разбираетъ вопросъ объ умноженіи (а -f- Ы) (с + di)] даетъ опредѣленіе сложенія, разсматриваетъ законъ перемѣстительный и распредѣлительный. Въ томъ случаѣ, если і разсматривать какъ символъ, то мы имѣемъ

дѣло какъ бы съ измѣненной теоріей паръ, но измѣненіемъ не въ пользу новой теоріи. Докладчикъ, по приведеніи ряда соображеній, приходитъ къ двумъ слѣдующимъ конечнымъ выводамъ: 1 ) Общее полное развитіе понятія о числѣ средней школѣ не по силамъ. 2) Если полное развитіе понятія о числѣ не возможно, то надо эту задачу школѣ облегчить; при этомъ онъ напоминаетъ, что теорія мнимыхъ чиселъ получила въ своемъ историческомъ развитіи особенно сильное поступательное движеніе 1) тогда, когда представилась возможность представить дѣйствительное подъ мнимымъ видомъ и 2) когда было установлено, что каждое уравненіе имѣетъ столько корней, какъ велика его степень. Эти два указанія исторіи мы должны въ извѣстной мѣрѣ использовать въ преподаваніи. А именно, когда мы вводимъ мнимыя числа, надо указать и выяснить учащимся, что мы создаемъ новое число, подчиняющееся опредѣленнымъ такимъ-то условіямъ. Необходима, быть можетъ, конкретизація мнимаго числа (геометрическимъ путемъ), но ни въ какія подробности пускаться не слѣдуетъ.

Въ преніяхъ приняли участіе: А. П. Киселевъ, В. А. Крогіусъ, Б. А. Марковичъ, П. А. Некрасовъ, Б, Б. Піотровскій. Обсужденію подвергается вопросъ о характерѣ числа г, въ томъ смыслѣ, въ какомъ понимаетъ его теорія, изложенная докладчикомъ, о той или другой формѣ конкретизаціи мнимаго числа въ средней школѣ. П. А. Некрасовъ указываетъ на упрощенія, которыя даетъ подобнымъ образомъ истолковываемое і при интегрированіи уравненій динамики. Что касается до замѣны названія „мнимыхъ“ чиселъ другимъ, то ему больше нравилось бы называть эти числа „составными“. В. А. Крогіусъ считаетъ необходимымъ условіемъ конкретизаціи комплексныхъ чиселъ въ средней школѣ изложеніе какихъ-нибудь примѣненій комплексныхъ чиселъ (напримѣръ выводъ формулы Муавра). Докладчикъ съ этимъ соображеніемъ соглашается и указываетъ только на трудность названнаго примѣненія, которое можно замѣнить, быть можетъ, другимъ, болѣе простымъ. Собраніе, считая вопросъ о комплексныхъ числахъ въ средней школѣ достаточно освѣщеннымъ тремя докладчиками, обращается къ докладчику съ просьбой составить краткую программу того, что подлежало бы изложенію въ средней школѣ при разсмотрѣніи вопроса о комплексныхъ числахъ.

Докладъ П. А. Некрасовъ: „Промежуточная лицейская ступень между средней и высшей школами“.

(Докладъ будетъ напечатанъ въ „Математическомъ Образованіи“).

Отъ Распорядительнаго Комитета Перваго Всероссійскаго Съѣзда Преподавателей физики, химіи и космографіи

Въ мартѣ мѣсяцѣ сего 1913 г. во всѣ среднія учебныя заведенія Россіи были разосланы извѣщенія о Первомъ Всероссійскомъ Съѣздѣ Преподавателей Физики, Химіи и Космографіи, созываемомъ Русскимъ Физико-Химическимъ Обществомъ во время предстоящихъ Рождественскихъ каникулъ въ С. - Петербургѣ. Вмѣстѣ съ этимъ извѣщеніемъ были разосланы листы съ вопросами, касающимися положенія преподаванія Физики, Химіи и Космографіи въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ.

Желая имѣть отвѣты на разосланные листы по возможности своевременно, а также озабочиваясь возможно большею полнотою освѣщенія поставленныхъ вопросовъ, Комитетъ съѣзда обращается съ покорнѣйшей просьбою ко всѣмъ преподавателямъ, получившимъ листы, возвратить листы по возможности скорѣе, а къ тѣмъ преподавателямъ, которые почему либо не получили опросныхъ листовъ, сообщить объ этомъ по адресу секретаріата съѣзда:

С.-Петербургъ. Университетъ, Физическій Институтъ. Секретарю Распорядительнаго Комитета Перваго Всероссійскаго Съѣзда Преподавателей Физики, Химіи и Космографіи.

Новыя книги.

А. И. Жилинскій. Прямолинейная тригонометрія. Курсъ 6-го класса реальн. училищъ. Изд. 2-е. М. 1913. Ц. 35 к.

Живой счетъ въ городской школѣ. Иллюстр. сборникъ ариѳм. задачъ и упражн. для городск. школъ. Вып. I. Ц. 15 к., вып. II. II. 20 к., вып. III. Ц. 25 к. М. 1913.

К. Ферберъ. Ариѳметика. Развитіе понятія числа (для студентовъ и преподавателей). Пер. съ нѣм. Д. А. Бема и Р. Э. Струве подъ ред. А. А. Волкова. М. 1914. Ц. 2 р.

А. Малининъ. Курсъ математической географіи для женскихъ учебныхъ заведеній Изд. 12-е, переработанное и дополненное прив.-доц. А. И. Некрасовымъ. М. 1913. Ц. 80 к.

Н. Г. Лексинъ. Методика ариѳметики. Именованныя числа и обыкновенныя дроби. Казань. 1913. Ц. 2 р.

„Физика“. Журналъ Моск. Общества изученія и распространенія физическихъ наукъ. № 1. М. 1913. Ц. 35 к.

С. Н. Тихановичъ. Объясненія къ практическимъ работамъ по физикѣ. 2-е изд. Спб. Ц. 60 к.

Ф. Н. Индриксонъ. Начальныя работы по физикѣ. IV. Ученіе о магнетизмѣ и электричествѣ. Изд. Т-ва И. Д. Сытина. М. 1914. Ц. 30 к.

Д. Бемъ, А. Волковъ, Р. Струве. Сборникъ упражненій и задачъ по элементарному курсу алгебры. Ч. I. (Курсъ III и IV кл. среди, учеб. заведеній). Изд. Т-ва И. Д. Сытина. М. 1914. Ц. 1 р.

Труды 1-го Всероссійскаго Съѣзда преподавателей математики. Т. II. Спб. 1913. Ц. 2 р. 50 к.

Проф. Д. М. Синцовъ. Интегрированіе обыкновенныхъ дифференціальныхъ уравненій. Харьковъ. 1913. Ц. 2 р. 50 к.

Записки Моск. Отдѣленія Импер. Русскаго Техническаго Общества. Т. XXXVI. М. 1913. № 6.

К. Ѳ. Лебединцевъ. Систематическій сборникъ задачъ по курсу алгебры для среди, учебн. заведеній. Ч. 2-я. Спб.—Кіевъ. 1914. Ц. 50 к.

К. Б. Пеніонжкевичъ. Основанія анализа безконечно-малыхъ. Курсъ 7 кл. реальн. училищъ Съ 795 примѣр. для упр. Изд. 2. Сумы. 1913. Ц. 1 р.

М. Попруженко. Начало анализа. Спб 1913.

Филипсъ и Фишеръ. Элементы геометріи. Пер. подъ ред. В. Мрочека. Спб. 1913. Ц. 2 р.

ОПЕЧАТКИ ВЪ № 5.

Страница строка напечатано надо

Отвѣтственный редакторъ I. И. Чистяковъ

Печатня A. И. Снегиревой Москва Тел. 22-21.

Открыта подписка на 1913-й годъ

на Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

„МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНІЕ

Журналъ выходитъ ежемѣсячно книжками отъ 2 до 3 печатныхъ листовъ за исключеніемъ мая, іюня, іюля и августа мѣсяцевъ.

Циркуляромъ Попечителя Московскаго Учебнаго Округа отъ 23 Марта 1912 года за № 10808 журналъ „Математическое Образованіе" рекомендованъ для выписки въ ученическія и фундаментальныя библіотеки мужскихъ и женскихъ учебныхъ заведеній

Содержаніе журнала 1) статьи по различнымъ отдѣламъ математики оригинальныя и переводныя; 2) статьи по вопросамъ преподаванія математики и соприкасающихся наукъ; 3) очерки по исторіи математики, біографіи и портреты математиковъ; 4) библіографическій отдѣлъ; 5) вопросы и задачи; 6) математическая хроника; 7) Объявленія.

Цѣна 3 рубля въ годъ и 2 рубля на полгода съ доставкой и пересылкой.

Цѣна отдѣльнаго №. 50 к. съ перес. За перемѣну адреса 20 к

ПОДПИСКА ПРИНИМАЕТСЯ ВЪ РЕДАКЦІИ:

Москва, Остоженка 7, кв. 88.

Журналъ за 1912 г.— 2 р. съ перес.

Если объявл. печат. 4 раза уступка 15 °/0. За 8 разъ уступ. 25 °/0.

За разсылку при журналѣ отдѣльныхъ приложеній вѣсомъ не болѣе 1 л. съ каждой 1000 экз. 8 р. За каждый лишній лотъ съ 1000 экз. 4 р. _____

Книжные магазины пользуются 5% съ подписной цѣны.

Печатня A. И. Снегиревой Москва.