Математическое Образованіе.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка.

Годъ второй.

№ 5.

Сентябрь 1913 г.

МОСКВА.

ИЗЪ РЕДАКЦІИ ЖУРНАЛА

„Математическое Образованіе“

можно выписывать портреты:

Анри Пуанкаре, фототипія

Лобачевскаго, і Лагранжа,

размѣромъ..... 38 X29 сант.

разм. самого портр. 2і7,Х16

Цѣна еъ пересылкой заказной бандеролью:

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

„Математическое Образованіе“

Сентябрь 1913 г. Годъ 2-й. № 5.

СОДЕРЖАНІЕ: Университетъ и средняя школа — Д. М. Синцовъ. Объ аксіомахъ и опредѣленіяхъ.—А. Волковъ. О периметрахъ и площадяхъ правильныхъ многоугольниковъ, вписанныхъ въ кругъ и описанныхъ около него.—Е. Томашевичъ. Къ ученію объ отношеніяхъ прямолинейныхъ отрѣзковъ и объ ихъ пропорціональности.—Н. Извольскій. Задачи. Рѣшенія задачъ. Библіографическій отдѣлъ. Засѣданія Математическаго Отдѣла Педагогическаго Музея Военно-Учебныхъ заведеній 1912—1913 г. Новыя книги.

Университетъ и средняя школа.

Проф. Д. М. Синцовъ. Харьковъ*).

Нынѣшній XIII съѣздъ Русскихъ естествоиспытателей и врачей отличается отъ своихъ предшественниковъ организаціей особой секціи, посвященной вопросамъ преподаванія. Осуществилось, такимъ образомъ, то, о чемъ высказывались настойчивыя заявленія на послѣднихъ съѣздахъ естествоиспытателей, особенно на послѣднемъ Московскомъ съѣздѣ. До сихъ поръ на этихъ съѣздахъ особой секціи математическаго преподаванія не устраивалось, и преподавателямъ математики предоставлялось принимать участіе въ 1-ой секціи — секціи математики, на которой за выдѣленіемъ въ особыя подсекціи механики и астрономіи, занятія сосредоточиваются на докладахъ изъ области высшей,—я бы сказалъ: университетской математики, гораздо меньше говорящей сердцу преподавателя математики средней школы, чѣмъ доклады физической секціи говорятъ преподавателю физики той же средней школы.

Причина этого понятна. Преподаватель физики говорить своимъ ученикамъ о томъ же, о чемъ онъ слушалъ профессора въ университетѣ. Онъ долженъ только сообразно меньшему времени, ему отведенному, ограничиваться наиболѣе крупными явленіями, отбрасывая детали, можетъ быть стѣсненъ въ средствахъ воспроизведенія сложныхъ опытовъ и менѣе вдается въ теоретическія объясненія. Не то совершенно отношеніе преподава-

*) Докладъ, читанный на XIII Съѣздѣ Русскихъ Естествоиспытателей и Врачей въ Тифлисѣ въ секціи педагогическихъ вопросовъ 19 іюня 1913 г.

теля математики въ школѣ средней къ преподаваемой въ университетѣ, такъ называемой высшей, математикѣ. Я не боюсь впасть въ преувеличеніе, если скажу, повторяя кѣмъ-то сказанную фразу, что наше преподаваніе математики въ школѣ средней и школѣ высшей построено по системѣ двойного забвенія: переходя изъ средней школы въ университетъ, студентъ забываетъ то, чему онъ учился въ средней школѣ; кончая университетъ и начиная преподавать, онъ прежде всего забываетъ то, чему онъ учился въ университетѣ. Такое положеніе вещей, конечно, совершенно ненормально.

Вотъ почему я считалъ умѣстнымъ остановить ваше вниманіе на темѣ, которой я позволяю себѣ дать заглавіе, быть можетъ нѣсколько неопредѣленное:

„Университетъ и средня школа“.

Но конечно, самъ математикъ, я и вопросъ этотъ могу трактовать главное съ точки зрѣнія математика.

Вопросъ, о которомъ я хотѣлъ бы говорить—вопросъ, возникшій не вчера, и у насъ въ Россіи имѣющій за собого 100-лѣтнюю исторію. Это вопросъ о взаимномъ отношеніи университета и средней школы. Въ различные періоды исторіи нашей школы вопросъ этотъ рѣшался различно.

Въ первый періодъ жизни университетовъ при уставѣ 1804 г. существовала тѣсная связь между университетомъ и средней школой. Университетъ*) имѣлъ надзираніе за ученіемъ и воспитаніемъ во всѣхъ губерніяхъ, округъ его составляющихъ (ст. 163), для чего ежегодно учреждается училищный комитетъ, по опредѣленію Совѣта составленный, подъ предсѣдательствомъ ректора, изъ шести ординарныхъ профессоровъ (ст. 165). Изъ членовъ комитета ежегодно посылаются визитаторы съ порученіемъ каждому одной или двухъ губерній для осмотра (ст. 169).

Это была трудная задача устроенія учебнаго дѣла, возложенная на университеты, — знакомому съ исторіей университета извѣстно, какъ сильно отвлекали эти визитаціи отъ преподавательской дѣятельности въ университетѣ, напр. проф. Тимковскаго въ Харьковѣ, котораго студенты не видѣли годами. Конечно, это вызывалось необходимостью. Вспомнимъ извѣстный разсказъ фонъ-Визина, какъ онъ получилъ золотую медаль за чистосердечіе,—

*) Цитирую по Е. Шмиду: Исторія среднихъ учебныхъ заведеній въ Россіи, стр. 30.

за то, что откровенно признался что не знаетъ, куда течетъ Волга. Далеко ли ушла отъ этого русская средняя школа въ началѣ XIX столѣтія? Но въ интересахъ самого университета было освобожденіе его отъ непосредственнаго завѣдыванія учебными заведеніями, хотя, конечно, не это послужило причиною коренного пересмотра и измѣненія взаимоотношеній высшей и средней школы въ началѣ царствованія императора Николая I, нашедшихъ себѣ выраженіе въ уставѣ гимназій 1828 г.

Уваровскій университетскій уставъ 1835 г. сохранилъ въ дѣятельности факультетовъ лишь „испытаніе кандидатовъ на учительскія мѣста въ гимназіяхъ и уѣздныхъ училищахъ Округа, если они не снабжены надлежащими для того аттестатами и свидѣтельствами“ (ст. 13), а въ дѣятельности Совѣта (ст. 30 п. 9): „разсужденія по предложеніямъ попечителя о дѣлахъ училищныхъ, требующихъ ученыхъ соображеній, какъ то объ усовершенствованіи преподаванія наукъ, объ учрежденіи дополнительныхъ курсовъ, о принятіи въ руководство книгъ и другихъ учебныхъ пособій“.

Просматривая факультетскіе протоколы того времени, замѣчаешь*), что первая изъ этихъ обязанностей составляла весьма значительную долю въ занятіяхъ факультета (я говорю о II отдѣленіи философскаго факультета, впослѣдствіи физико-математическаго). При дѣйствіи устава 1863 г. за университетами еще остается испытаніе на право преподаванія въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ, испытаніе, сводившееся для лицъ, прошедшихъ университетскій курсъ, почти исключительно къ изготовленію письменнаго отвѣта и пробному уроку въ присутствіи представителя факультета*.

Уставъ 1884 г. уничтожилъ эти испытанія, и лица, сдавшія экзаменъ въ государственной испытательной комиссіи, тѣмъ самымъ стали пріобрѣтать право преподаванія.

Отъ былой связи школъ средней и высшей, когда по крайней мѣрѣ по идеѣ университетъ контролировалъ дѣло подготовки своихъ будущихъ абитуріентовъ, осталась лишь почти фиктивная связь, состоящая въ выборѣ Совѣтомъ университета членовъ въ попечительскій Совѣтъ, разсматривающій только тѣ дѣла, кои въ него вносятся Попечителемъ Учебнаго Округа, и въ чтеніи профессорами письменныхъ работъ, исполненныхъ на окончатель-

*) Составляя исторію каѳедры математики въ Харьковскомъ Университетѣ за 1805 — 1905 гг. я пересмотрѣлъ сохранившіяся факультетскія дѣла за этотъ періодъ.

ныхъ испытаніяхъ въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ Округа,— чтеніи, имѣющемъ въ значительной степени чисто академическое значеніе, ибо отзывы и замѣчанія рецензентовъ остаются часто подъ спудомъ и не доходятъ до тѣхъ, для кого они были бы всего интереснѣе, до преподавателей среднихъ учебныхъ заведеній. И тѣмъ не менѣе естественная связь средней и высшей школы сохранилась: мы получаемъ изъ средней школы слушателей, т.-е. тотъ матеріалъ, съ которымъ должны работать. Средняя школа получаетъ въ преподаватели нашихъ питомцевъ. И вотъ тутъ то сказывается та ненормальность положенія вещей, на которую я уже указалъ въ началѣ.

Мы, профессора, недовольны приходящими къ намъ слушателями. Не говоря о встрѣчающихся болѣе или менѣе часто недостаткахъ общаго образованія, неумѣнія ясно и отчетливо излагать свои мысли устно и письменно, въ особенности слабаго знанія иностранныхъ языковъ, спеціально относительно недочетовъ математической подготовки, въ особенности часто неразвитіе способности геометрическихъ представленій,—способности представленія пространственныхъ формъ (и неумѣнія чертить), стремленіе пользоваться готовыми формулами (при чемъ напр., въ тригонометріи запоминаются лишнія и не нужныя, а часто наиболѣе для насъ нужныя формулы оказываются забытыми), неумѣніе быстро и отчетливо производить логариѳмическія вычисленія, доходящее до уклоненія отъ пользованія ими (не могу не отмѣтить фатальнаго убѣжденія „отрицательныя числа не имѣютъ логариѳмовъ“), наконецъ неумѣнье слушать лекціи и заниматься самостоятельно по книгѣ, ведущее къ тому, что наши аудиторіи быстро пустѣютъ.

Съ другой стороны, окончившіе университетъ и ставшіе преподавателями шлютъ намъ укоры, что того, чему ихъ учили въ университетѣ, имъ не нужно, а тому, что имъ нужно, ихъ не учили.

Эти взаимные упреки свидѣтельствуютъ о существованіи ненормальностей во взаимныхъ отношеніяхъ средней и высшей школъ, которыя надо устранить.

Какъ представителю высшей школы мнѣ естественно остановиться прежде всего на ея недочетахъ и желательныхъ измѣненіяхъ, и при томъ съ точки зрѣнія самой высшей школы.

Прежде всего остановимся на самомъ крупномъ злѣ нашей высшей школы—малой посѣщаемости лекцій, замѣчаемой, впрочемъ, не только въ университетѣ, но и въ высшей технической школѣ, и тамъ даже въ большей степени. Эта малая посѣщае-

мостъ побуждаетъ даже нѣкоторыхъ утверждать о полномъ банкротствѣ лекціоннаго преподаванія. Созданная въ средніе вѣка лекціонная система преподаванія съ развитіемъ книгопечатанія утратила по ихъ мнѣнію смыслъ: зачѣмъ читать профессору и слушать студенту то, что съ большимъ удобствомъ можно прочесть въ книгѣ. (Правда, кромѣ усиленія практическихъ занятій противники лекціонной системы не предлагаютъ въ сущности ничего). И даже не книга замѣняетъ устное преподаваніе, а литографированныя записки, часто весьма неисправныя, заучиваемыя къ экзаменамъ. Панацеи тутъ, конечно, не можетъ быть предложено, и для значительной части нашей учащейся молодежи, которой приходится одновременно съ прохожденіемъ университетскаго курса зарабатывать и средства къ существованію, во всякомъ случаѣ трудно воздержаться отъ облегченія себя въ томъ, въ чемъ можно. Такимъ облегченіемъ и является обычно непосѣщеніе лекцій.

Пониженіе стоимости прохожденія университетскаго курса и въ особенности отмѣна гонорара, этого „сбора въ пользу профессоровъ“ до нѣкоторой степени облегчило бы дѣло. Не надо, однако, думать, что ставши на противоположный путь — затруднивъ доступъ въ университеты для недостаточныхъ, мы усилимъ посѣщаемость. Англійскій студентъ вербуется изъ достаточныхъ классовъ: содержаніе въ колледжѣ, въ Кембриджѣ напр., обходится въ годъ фунтовъ 200, т.-е. на наши деньги около 1900 руб. и тѣмъ не менѣе посѣщаемость и тамъ не велика: въ Кембриджѣ на лекціяхъ знаменитаго физика J. J. Thomson’a изъ 200—300 слушателей, мнѣ говорили, бываетъ человѣкъ 20. Особенно рѣзко это явленіе наблюдается на математическомъ факультетѣ. Обыкновенно на наше отдѣленіе факультета идутъ наиболѣе способные, слѣдовательно, если и они не выдерживаютъ и сбѣгаютъ, тому должны быть серьезныя причины.

Отчасти это, конечно зависитъ отъ обнаружившейся несклонности къ математикѣ. Благодаря разобщенности средней и высшей школы, ученикъ, кончающій гимназію, большею частью не знаетъ, что его ожидаетъ въ высшей и выбираетъ факультетъ наудачу. Совершенная разница между математикой „элементарной“ и математикой „высшей“ приводитъ къ тому, что успѣвавшій въ первой зачастую оказывается малоуспѣшнымъ во второй, наконецъ громадность порціи, въ которой въ университетѣ подносится на первомъ же курсѣ математика,—все это вмѣстѣ является причиной того, что бывшій любитель математики въ университетѣ

теряетъ къ ней вкусъ и оставляетъ оказавшійся негостепріимнымъ факультетъ.

Здѣсь, конечно, должна брать на себя долю участія въ сглаженіи этого скачка средняя школа.

Возможно, нужны радикальныя мѣры, въ родѣ устройства лицейскихъ классовъ. Это большой вопросъ, и его нельзя разрѣшить мимоходомъ*). Мысль выдѣленія старшихъ классовъ средней школы въ особые „колледжи“ — скорѣе въ американскомъ, чѣмъ въ англійскомъ духѣ, подсказывалась и чисто педагогическими соображеніями неудобства держать въ одномъ заведеніи и подвергать одинаковому режиму и ребенка 10-ти лѣтъ и юношу 18—19-ти лѣтъ.

При выдѣленіи этихъ классовъ явилась бы вѣроятно возможность и преподаваніе въ нихъ вести по типу, среднему между урочнымъ и лекціоннымъ пріемами преподаванія и тѣмъ облегчить занятія въ высшей школѣ.

Пока этого нѣтъ, можетъ быть въ выпускномъ классѣ гимназій и добавочномъ (7 или 8-мъ) реальныхъ училищъ можно было бы нѣсколько пріучать учащихся къ слушанію лекцій, знакомить ихъ съ тѣмъ, что ихъ ожидаетъ въ высшей школѣ;—отъ своихъ наставниковъ и руководителей должны кончающіе получать эти свѣдѣнія, а не отъ случайныхъ знакомыхъ студентовъ.

Но, конечно, и на университетѣ лежитъ обязанность изысканія способа борьбы съ указаннымъ зломъ.

Первое зло—это перегрузка перваго курса лекціями. Первокурсники еще не умѣютъ слушать, не умѣютъ усваивать слушаемое. Это тоже искусство, которому надо научиться. Я помню, какъ мой покойный учитель проф. Ѳ. М. Суворовъ говорилъ, что Казанскій физико-математическій факультетъ съ намѣреніемъ ставилъ у математиковъ на первомъ курсѣ только 14 час. недѣльныхъ. Теперь у насъ въ Харьковѣ (со всѣми, правда, необязательными и практическими часами) до 30-ти. Конечно, это не одна математика, тутъ и богословіе, и физика, и химія. Какъ средство борьбы съ этимъ мнѣ представляется, во-первыхъ, сокращеніе общихъ, т.-е. общеобязательныхъ, курсовъ. Вызываемое извѣстнымъ благороднымъ соревнованіемъ стремленіе дать возможно полный и соотвѣтствующій современному состоянію науки курсъ приводитъ къ его разбуханію и въ этомъ повинны мы всѣ. Но второе, и самое, на мой взглядъ, существенное, это ненормальность постановки препода-

*) Этому вопросу посвященъ другой докладъ, поставленный въ программу того же засѣданія и присланный П. А. Некрасовымъ.

ванія математики, ея исключительная теоретичность и разобщенность профессора съ аудиторіей. При всѣхъ каѳедрахъ нашего факультета выросли учебно-вспомогательныя учрежденія, часто недурно обставленныя. Время „Kreidephysik“ прошло давнымъ давно, но „Kreidemathematik“ до сихъ поръ царитъ безраздѣльно, и преподавателю математики приходится преодолѣвать большія трудности.

Наибольшій процентъ уходящихъ послѣ перваго года оказывается именно у насъ—математиковъ.

А между тѣмъ не-математикамъ кажется страннымъ, что и математику тоже нужны учебно-вспомогательныя учрежденія. Я могу привести примѣры изъ личнаго опыта.

Когда я въ 1903 году просилъ у Совѣта Харьковскаго Университета отпустить мнѣ 100 руб. на пріобрѣтеніе нѣкоторыхъ геометрическихъ моделей, нашъ тогдашній ректоръ—юристъ насмѣшливо спрашивалъ меня, (то было въ цѣляхъ сведенія смѣты спеціальныхъ средствъ), не достаточно ли мнѣ 50 руб., ибо чего же мнѣ нужно, кромѣ губки и мѣлу. Когда мой предшественникъ проф. Д. А. Граве при министрѣ Боголѣповѣ поднялъ вопросъ объ учрежденіи математическаго института, тогдашній ректоръ-химикъ, нынѣ покойный, затормозилъ дѣло, прошедшее уже черезъ факультетъ и Совѣтъ, давши Попечителю Округа отвѣтъ, что Правленію нѣтъ возможности дать мѣсто проэктируемому учрежденію. Конечно, дѣло все равно погибло бы въ центральныхъ учрежденіяхъ, какъ цѣлый рядъ другихъ ходатайствъ того времени о расширеніи учебно-вспомогательныхъ учрежденій университета. Но покойный Г. И. Лагермаркъ, я увѣренъ, давалъ свой отзывъ въ искреннемъ убѣжденіи безполезности и ненужности всей этой затѣи. Теперь, благодаря улучшенію спеціальныхъ средствъ университета, въ 1906 — 1910 г.г. удалось кое-что организовать, и я приглашаю тѣхъ членовъ съѣзда, которымъ приведется проѣзжать черезъ Харьковъ, заглянуть къ намъ. Какъ ни велика у насъ тѣснота и жалка обстановка, все же мнѣ кажется начало сдѣлано, а главное можно видѣть, чего можно добиться, при желаніи, даже съ ограниченными средствами.

Математическій институтъ или математическій лабораторіумъ (Sit venia verbo) долженъ состоять изъ библіотеки пособій по математическимъ наукамъ (у насъ это называется математическій кабинетъ) съ читальнею при ней, коллекціи геометрическихъ моделей („геометрическій кабинетъ“)*) и нѣкотораго числа комнатъ-

*) Желательно помѣщеніе для модельной мастерской.

аудиторій, гдѣ можно было бы заниматься не только въ часы, назначенные по расписанію для чтенія лекцій.

Не нуждается въ особыхъ поясненіяхъ цѣль и задача библіотеки и читальни. Но уже геометрическія модели возбуждаютъ споръ, хотя противъ чертежей никто не возражаетъ, а вѣдь это тоже вспомогательныя модели, только двухъ измѣреній. И какъ чертежи нужны каждому для уясненія, такъ нужно бы каждому математику умѣть по мѣрѣ надобности дѣлать самому пространственныя модели.

Этого, однако, мало. Выясняется надобность въ обученіи лабораторнымъ путемъ численнымъ, графическимъ и механическимъ пріемамъ вычисленія. Счетныя машины, линейки выступаютъ на ряду со счетами и таблицами логариѳмовъ. Планиметры, интеграторы и гармоническіе анализаторы постепенно входятъ во всеобщее употребленіе.

Передъ Вами проспектъ учреждаемой въ Эдинбургѣ математической лабораторіи „для практическаго наставленія въ численномъ, графическомъ и механическомъ вычисленіи и анализѣ, соотвѣтственно потребностямъ прикладныхъ математическихъ наукъ и для изслѣдованій, связанныхъ съ математическимъ отдѣломъ.— Лабораторія открывается въ октябрѣ текущаго (1913) года подъ управленіемъ проф. Е. T. Whittaker’a и преподавателей математическаго отдѣла. Проспектъ перечисляетъ курсы, которымъ будутъ практически обучаться въ этой лобораторіи:

„Разности н интерполированіе: вычисленіе съ таблицами логариѳмовъ, логариѳмовъ синусовъ, натуральныхъ синусовъ, произведеній и пр., численное рѣшеніе тригонометрическихъ задачъ.

Контроль точности и правильности вычисленій; цѣль, формы вычисленій.

Методъ наименьшихъ квадратовъ: численное рѣшеніе системъ линейныхъ уравненій; численное нахожденіе опредѣлителей.

Подборъ кривыхъ. Вычисленіе коэффиціентовъ корреляцій. Разложеніе функціи въ рядъ синусовъ и косинусовъ (практическій анализъ Фурье).

Анализъ для раскрытія періодическихъ конституэнтовъ функціи (періодограммный анализъ практическій, сферическій, гармоническій анализъ).

Другіе методы анализа эмпирическихъ данныхъ функцій.

Построеніе кривыхъ поверхностей: сочлененія; рулетты. Проэкціи, фотограмметрія; черченіе картъ, графическое рѣшеніе численныхъ уравненій; графическое и механическое рѣшеніе задачъ сферической тригонометріи; номографія. Приложенія треугольника векторовъ.

Примѣненіе инструментовъ, употребляемыхъ при вычисленіяхъ,

особенно счетныхъ линеекъ, ариѳмометровъ, планиметровъ, интеграфовъ и гармоническихъ анализаторовъ.

Численное нахожденіе опредѣленныхъ интеграловъ.

Численное рѣшеніе дифференціальныхъ уравненій.

Численное нахожденіе корней и пр. трансцендентныхъ уравненій.

* Вычисленія при помощи эллиптическихъ функцій.

* Составленіе и употребленіе таблицъ функцій Лежандра, Бесселя, функціи гамма, функціи ошибокъ и другихъ трансцендентныхъ функцій.

* Построеніе таблицъ новыхъ функцій и функцій безъ предварительно вычисленныхъ таблицъ, въ томъ числѣ функцій аутоморфныхъ, функцій параболическаго и эллиптическаго цилиндровъ".

Для послѣднихъ курсовъ, отмѣченныхъ звѣздочкой, будутъ даваться для незанимавшихся ими достаточныя теоретическія разъясненія.

Такова широкая программа, отмѣчаемая для лабораторіи по математикѣ.

Кромѣ тѣсноты нашихъ помѣщеній есть еще одна причина, при которой организаціонная работа чрезвычайно затруднительна. Когда въ 1907 году проф. А. Schoenflies узналъ отъ меня, что у насъ въ Харьковѣ поступаетъ на первый курсъ математическаго отдѣленія 120 человѣкъ, онъ пришелъ въ ужасъ: „развѣ съ такой массой можно заниматься математикой“. Что бы онъ сказалъ о нашихъ столичныхъ университетахъ, С.-Петербургскомъ и Московскомъ. Но это устранить возможно лишь при увеличеніи числа университетовъ, и здѣсь мы снова выходимъ изъ узкой области преподаванія математики и встаемъ передъ общимъ жгучимъ вопросомъ объ увеличеніи числа нашихъ университетовъ хотя бы до числа университетовъ Германіи, которая при населеніи вдвое меньшемъ имѣетъ вдвое болѣе университетовъ*). Теперь только, съ ограниченіемъ доступа въ университеты такимъ категоріямъ желательныхъ слушателей (я говорю о математическомъ отдѣленіи), какъ реалисты и окончившіе учительскіе институты, мы имѣемъ такое число слушателей, съ которымъ можемъ справиться и при тѣснотѣ нашихъ помѣщеній. Только съ увеличеніемъ числа университетовъ и уменьшеніемъ числа слушателей—математиковъ можно достичь того, что можно назвать лабораторными занятіями по математикѣ, т. е. развитія дѣйствительно практическихъ занятій по математикѣ при участіи кромѣ профессоровъ достаточнаго числа подготовленныхъ помощниковъ (лаборантовъ или ассистен-

*) И тѣмъ не менѣе въ Германіи ратуютъ за открытіе новыхъ университетовъ—во Франкфуртѣ, Гамбургѣ, Дрезденѣ, Кёльнѣ, Helmstedts.

товъ). Такимъ путемъ удастся, можетъ быть, установить болѣе живое общеніе и воздѣйствіе профессора на слушателей, правильнѣе использовать время, проводимое въ университетѣ и студенту лучше подготовить себя къ предстоящей ему по окончаніи практической дѣятельности.

Но конечно это имѣетъ лишь косвенное отношеніе къ запросамъ средней школы, къ ея основному, коренному вопросу, о надлежащей подготовкѣ преподавателей для средней школы. Мнѣнія объ этомъ самыя различныя. Одни считаютъ, что преподавателя нужно (и можно) готовить въ университетѣ или при университетѣ, другіе напротивъ, полагаютъ, что ни коимъ образомъ не въ университетѣ. Но объ этомъ вопросѣ имѣется другой докладъ (А. А. Волкова), и я не буду на немъ останавливаться, разсчитывая вернуться къ нему въ другой разъ.

Какъ бы ни рѣшался, однако, этотъ вопросъ, одно мнѣ представляется безспорнымъ: университету слѣдуетъ считаться съ тѣмъ, что слушатели его съ университетской скамьи пойдутъ въ преподаватели. Это положеніе вызоветъ, можетъ быть, возраженія со стороны тѣхъ представителей университетской науки, которые исключительную задачу университета видятъ въ культивированіи чистой науки, внѣ ея практическихъ приложеній.

Я полагаю однако, что пополненіе обычныхъ рамокъ университетскаго преподаванія такими курсами, которые заполняли бы тотъ рѣзкій скачекъ, который существуетъ между школьной математикой и университетской, только содѣйствовали бы и самому дѣлу научнаго преподаванія, ибо облегчали бы учащимся уяснененіе смысла и значенія самой высшей математики. Таковы курсы элементарной математики съ высшей точки зрѣнія, какіе читаетъ въ Гетингенѣ проф. Ф. Клейнъ, или курсъ энциклопедіи элементарной математики, прочитанной покойнымъ Минковскимъ тамъ же.

Исторія математики, особенно древней и средневѣковой, вплоть до открытія анализа безконечно-малыхъ, основанія геометріи и такъ называемая неевклидова геометрія, ученіе о геометрическихъ построеніяхъ, развитіе понятія о числѣ и теоретическая ариѳметика вообще; ученіе о приближенныхъ вычисленіяхъ, вотъ курсы безусловно полезные для будущаго преподавателя, и въ тоже время вполнѣ умѣстные въ числѣ предметовъ университетскаго преподаванія.

Такимъ образомъ, кромѣ обычно обязательныхъ курсовъ введенія въ анализъ и пр. я считалъ бы необходимымъ сдѣлать

для будущихъ преподавателей обязательнымъ слушаніе и сдачу курсовъ:

1) Исторія математики.

2) Основанія геометріи (ученіе объ аксіомахъ и такъ называемая неевклидова геометрія).

3) Введеніе или избранныя главы элементарной геометріи (теорія геометрическихъ построеній, неразрѣшаемыя циркулемъ и линейкой геометрическія задачи).

Необходимость геометрій проэктивной и начертательной я считаю уже доказанной.

Другая сторона вопроса—желательныя измѣненія курса средней школы, съ моей точки зрѣнія сводящіяся къ введенію въ среднюю школу нѣкоторыхъ элементарныхъ положеній такъ называемой высшей математики. Наши программы классическихъ гимназій также содержатъ не мало такого, чего не знала классическая древность: алгебраическія выраженія, квадратныя уравненія, логариѳмическія таблицы, все это не было извѣстно грекамъ. Но теперь этихъ, уже допущенныхъ добавленій недостаточно.

Основныя понятія о функціи, функціональной зависимости, о графическомъ изображеніи функцій, методъ координатъ и понятіе о производной, какъ предѣлъ отношенія приращенія зависимаго перемѣннаго (функціи) къ приращенію независимаго перемѣннаго, на столько необходимы для современнаго естествознанія и техники, что съ ними должно быть знакомымъ всякому образованному человѣку, какую бы затѣмъ спеціальность онъ себѣ ни избралъ. Вопросъ можетъ быть лишь объ объемѣ этихъ дополненій и о томъ, какъ сдѣлать ихъ возможными безъ обремененія учащихся. И мнѣ думается, что бы ни говорили противники реформы, это вполнѣ возможно, если внимательно пересмотрѣть традиціонный матеріалъ и вычеркнуть изъ него то, что сохраняется только въ силу инерціи.

Я зашелъ бы, однако, слишкомъ далеко, если бы захотѣлъ вдаваться въ детали. Упрощеніе курса ариѳметики, въ особенности за счетъ того, что представляетъ замаскированную алгебру (ученіе о пропорціяхъ, задачи на нахожденіе неизвѣстныхъ и т. д.), оздоровленіе курса алгебры устраненіемъ разныхъ ненужностей въ родѣ „разложенія на множителей“, упрощеніе курса геометріи, дали бы достаточно мѣста для введенія нѣкоторыхъ понятій, подготовляющихъ къ аналитической геометріи и анализу безконечно малыхъ.

Спѣшу оговориться: я не безусловный сторонникъ такъ наз. графикъ, и мнѣ кажется, было бы интересной темой для бесѣды

разборъ злоупотребленій графиками, вреда, причиняемаго ихъ неосмотрительнымъ примѣненіемъ. Но въ то же время я вполнѣ присоединяюсь къ мнѣнію тѣхъ которые говорятъ, что „спеціальный курсъ“ не долженъ быть чѣмъ то инороднымъ, вкрапленнымъ въ сложившееся тѣло элементарной математики, чтобы заполнить нѣкоторую пустоту, а натуральной составной частью курса средней школы вообще (въ томъ числѣ и гимназіи).

И это не утопія. Не буду ссылаться на Францію. Но вотъ вамъ Германія. Послѣдній выпускъ нѣмецкой серіи той грандіозной анкеты, которую вызвала I. М. U. К.*), говоритъ объ указахъ 27, III, 1912 г., дающаго новые учебные планы средней мужской школы въ Вюртембергѣ, и герцогствѣ Баденскомъ 12. УІ, 1912 г. относительно Realgymnasien и Oberrealschulen.

Оба указа представляютъ новый тріумфъ движенія въ пользу реформы преподаванія (Reformbewegung) и стоятъ всецѣло на почвѣ тѣхъ пожеланій, которыя были высказаны въ извѣстныхъ меранскихъ положеніяхъ.

Вотъ какія цѣли ставитъ Вюртембергскій указъ преподаванія счисленія и математики:

Сочетаніе основаннаго на полномъ пониманіи знанія важнѣйшихъ предложеній методовъ и приложеній элементарной математики и частей высшей математики въ различныхъ доляхъ для разныхъ родовъ школъ. Увѣренность и ловкость въ самостоятельномъ рѣшеніи задачъ вычисленіемъ и чертежемъ. Пріученіе къ послѣдовательнымъ умозаключеніямъ въ особенности къ функціональному мышленію. Выработка способности пространственнаго воззрѣнія и геометрическихъ представленій. Воспитаніе правильнаго точнаго изложенія мыслей. Ясный взглядъ на связь математическаго учебнаго матеріала. Пониманіе математики, какъ послѣдовательно развитой науки, и ея значеніе для другихъ наукъ, въ особенности естественныхъ, техники и философіи.

Въ задачу гимназій входятъ понятіе о производной и элементы ученія о коническихъ сѣченіяхъ, являющіеся не ex abrupto, а органически связанные со всѣмъ курсомъ.

Математическое преподаваніе должно примѣняться къ соотвѣтственному духовному развитію учениковъ. Вмѣсто обычнаго до сихъ поръ раздѣльнаго прохожденія отдѣльныхъ вѣтвей математики, внутренне связанныя части должны впредь проходиться въ тѣсной связи, какъ стереометрія и начертательная геометрія.

*) Т. е. Международная Комиссія по преподаванію математики (Internationale Mathematische Unterrichts Kommission).

То, что должно быть заучено и удержано памятью должно быть ограничено самымъ необходимымъ.

Нужно отказаться отъ признанныхъ устарѣлыми или вообще дидактически безплодными матерій, какъ то всѣ задачи на построеніе и вычисленіе, содержащія удаленные заданные элементы, а также такія задачи, которыя могутъ быть рѣшены только искусственными пріемами, неестественныя задачи съ текстомъ.

Преподаваніе должно подкрѣпляться подготовкою учениковъ къ изготовленію моделей, Черезъ все преподаваніе должны проходить соотвѣтствующія сообщенія изъ исторіи математическихъ наукъ и о развитіи отдѣльныхъ важныхъ проблемъ, соотвѣтственно возрасту слушателей и состоянію класса.

Кое-что изъ высшей математики (въ программахъ реальныхъ гимназій и школъ) сокращено. Дифференціальное исчисленіе для гимназій ограничено раціональными функціями, но учителю предоставляется указывать пріемы интегрированія (напр. методъ исчерпанія Архимеда, теорему Cavalieri и т. д.).

Еще интереснѣе, можетъ быть, новые баденскіе планы, касающіеся реальныхъ гимназій и Oberrreal-Schulen.

Здѣсь сумѣли согласовать современныя требованія съ уменьшеніемъ числа учебныхъ часовъ съ 282, 279 (въ Вюртембергѣ такъ и осталось на четырехъ отдѣленіяхъ учебныхъ часовъ 283— 281—283—281—281) сведено къ 274 и 270. Теряютъ реальныя гимназіи: латынь—5 ч., англійскій 1 ч., исторія 1 ч., математика 2 ч., начертательная геометрія (выпадающая какъ самостоятельный предметъ) 6 ч. и рисованіе 2 ч.; прибавляются землевѣдѣніе (Erdkunde) 1 ч., естественнымъ наукамъ 6 ч. и 2 ч. вновь вводимой философіи.

Замѣчательно также дополнительное постановленіе: тамъ, гдѣ благодаря малому числу учениковъ возможно безъ ущерба для цѣлей обученія уменьшеніе числа недѣльныхъ часовъ, таковое уменьшеніе предписывается.

Я не могу, къ сожалѣнію останавливаться долѣе на этихъ замѣчательныхъ планахъ. (Баденскіе принадлежатъ покойному P. Treutlein’y).

Мнѣ хочется только отмѣтить, что основная ихъ идея приводитъ къ тому сближенію средней и высшей школы, которой я стремился посвятить свою рѣчь.

И если мнѣ пришлось прежде всего и главнѣе всего говорить о математикѣ и математическомъ факультетѣ, то причина этого та, что именно здѣсь всего чувствительнѣе пропасть, которую, какъ мнѣ думается, не такъ уже невозможно заровнять.

Въ моей рѣчи былъ одинъ пробѣлъ, на который и было указано по ея окончаніи,—я совершенно не касался женскаго образованія. Да позволено мнѣ будетъ пополнить этотъ пробѣлъ указаніемъ на то, что на женскихъ курсахъ, а также на смѣшанныхъ, въ родѣ высшихъ коммерческихъ курсовъ, приходится устраивать особыя групповыя занятія и курсы по тѣмъ отдѣламъ математики, коими женскія гимназіи отличаются отъ мужскихъ.

Все возрастающее число лицъ женскаго пола стремящихся къ высшему образованію заставляетъ признать указанное явленіе совершенно ненормальнымъ и высказать пожеланіе объ уравненіи курса женскихъ гимназій съ курсомъ мужскихъ гимназій въ области преподаванія математики.

Объ аксіомахъ и опредѣленіяхъ.

А. Волковъ. Москва*).

Вопросъ о значеніи аксіомъ и опредѣленій и о тѣхъ требованіяхъ, которыя слѣдуетъ предъявлять къ формулировкѣ опредѣленій, имѣетъ очень большое значеніе, какъ съ точки зрѣнія строгости изложенія, такъ и съ точки зрѣнія педагогической. Достаточно привести въ качествѣ примѣра хотя бы тѣ опредѣленія, которыя даются въ различныхъ учебникахъ понятію площадь, или тѣ строки, которыми авторъ одного распространеннаго учебника геометріи мотивировалъ введенное имъ въ изложеніе учебника опредѣленіе длины окружности, какъ нѣкотораго предѣла; при этомъ, правда, тѣмъ же авторомъ и въ томъ же отдѣлѣ былъ данъ примѣръ изложенія, изъ котораго видно, что можно быть очень далекимъ отъ строгости и въ томъ случаѣ, когда во имя ея вводятся мало пріемлемыя для учениковъ опредѣленія: давъ опредѣленіе окружности, какъ предѣла, авторъ забылъ, что дать опредѣленіе недостаточно, а необходимо еще доказать, что данному опредѣленію соотвѣтствуетъ нѣкоторое понятіе, т.-е. доказать въ данномъ случаѣ, что такой предѣлъ существуетъ (въ позднѣйшихъ изданіяхъ отмѣченный пробѣлъ былъ составителемъ заполненъ). Книга Шоттена Inhalt und Methode des planimetrischen Unterrichts представляетъ весьма поучительный обзоръ попытокъ опредѣлить основныя геометрическія понятія—попытокъ, по большей части весьма мало удачныхъ, несмотря на то, что авторами нѣкоторыхъ изъ такихъ опредѣленій были весьма крупные математики. Одно это обстоятельство наводитъ на мысль, что задача опредѣленій основныхъ понятій скрываетъ въ себѣ особыя трудности.

Слѣдуетъ замѣтить, что вопросъ о томъ, какіе могутъ быть

*) Докладъ, читанный на XIII Всероссійскомъ Съѣздѣ Естествоиспытателей и Врачей въ іюнѣ 1913 г. въ Тифлисѣ.

виды опредѣленій и о тѣхъ требованіяхъ, которымъ должны удовлетворять опредѣленія, занималъ многихъ ученыхъ. Такъ, еще у логиковъ Поръ-Роялистовъ Арно и Николя высказывается требованіе различать опредѣленіе вещей отъ опредѣленій словъ, требованіе, слѣдствіемъ котораго является дѣленіе опредѣленій на реальныя и номинальныя. Позицію, связанную съ указаннымъ противоположеніемъ опредѣленій реальныхъ и номинальныхъ, занялъ Фреге въ своемъ спорѣ съ Гильбертомъ по поводу его „аксіоматики“, но побѣдителемъ въ спорѣ оказался все-таки Гильбертъ, и думаемъ мы, потому, что различеніе въ математикѣ этихъ двухъ видовъ опредѣленій является въ высшей степени затруднительнымъ, а то и невозможнымъ. Лейбницъ предъявлялъ къ опредѣленію какого-либо понятія требованіе, чтобы опредѣленіе давало исчерпывающее познаніе вещи, такое познаніе, чтобы всѣ свойства вещи либо были указаны въ опредѣленіи, либо являлись слѣдствіями изъ содержанія опредѣленія. Нетрудно видѣть, что тотъ идеалъ, который ставилъ опредѣленію Лейбницъ, очень далекъ отъ того, что обычно оказывается возможнымъ дать въ опредѣленіи. Въ дальнѣйшемъ мы еще будемъ имѣть случай вернуться къ требованіямъ Лейбница.

Чтобы выяснить причины неудачъ и недоразумѣній, имѣвшихъ мѣсто при построеніи опредѣленій въ математикѣ, является необходимымъ изслѣдовать вопросъ о томъ, какіе виды опредѣленій возможны, и объ отношеніи этихъ опредѣленій къ аксіомамъ. Такъ какъ опредѣленія являются діалектической формой характеристики понятій, то прежде всего является важнымъ остановиться на томъ, въ какихъ смыслахъ обычно употребляется слово „понятіе“. Зигвартъ въ своей логикѣ указываетъ три различныхъ смысла термина „понятіе“: понятіе эмпирическое, понятіе метафизическое и понятіе логическое.

Понятіе эмпирическое это понятіе вещи, которое является достаточнымъ въ житейскихъ дѣлахъ, то понятіе вещи, которое возникаетъ и развивается у насъ по мѣрѣ нашего знакомства съ вещью; такое понятіе одной и той же вещи можетъ быть различнымъ у разныхъ людей и даже у одного и того же лица—въ различныя времена. Это понятіе въ періодѣ „становленія“. Ясно, что такое понятіе является мало пригоднымъ въ научномъ отношеніи, такъ какъ въ этомъ случаѣ разныя лица подъ однимъ и тѣмъ же словомъ могутъ разумѣть различныя вещи, а это послѣднее обстоятельство нерѣдко и является причиной ошибокъ и недоразумѣній.

Понятіе метафизическое это такое, которое соотвѣтствуетъ требованіямъ Лейбница; оно соотвѣтствуетъ исчерпывающему познаніе вещи; это понятіе адэкватное самой вещи. Построеніе такого понятія является невозможнымъ уже потому, что мы никогда не можемъ утверждать, что достигли исчерпывающаго познанія вещи.

Понятіе въ логическомъ смыслѣ слова представляетъ возможный компромиссъ между понятіемъ эмпирическимъ и понятіемъ метафизическимъ. Не претендуя на исчерпывающее познаніе вещи,

оно тѣмъ не менѣе включаетъ въ себя такіе признаки, которые позволяютъ терминъ, соотвѣтствующій понятію употреблять всегда въ одномъ и томъ же смыслѣ и не смѣшивать этого понятія съ другими, ему близкими. Такое понятіе какой-либо вещи является вполнѣ достаточнымъ, чтобы имъ можно было пользоваться въ наукѣ.

Установивъ, въ какомъ смыслѣ является возможнымъ употреблять слово понятіе, мы должны теперь, хотя бы кратко, остановиться на томъ какія цѣли можетъ преслѣдовать опредѣленіе понятія и къ чему сводится всякое опредѣленіе.

Мы даемъ опредѣленіе понятія, вопервыхъ, въ томъ случаѣ, когда желаемъ познакомить съ этимъ понятіемъ лицо, которому понятіе не было извѣстно; въ этомъ случаѣ мы объясняемъ смыслъ слова, неизвѣстнаго нашему собесѣднику. Мы устанавливаемъ иногда опредѣленіе и въ тѣхъ случаяхъ, когда понятіе намъ хорошо извѣстно, но намъ желательно провести строгую границу между опредѣляемымъ понятіемъ и другими, ему близкими. Какія бы цѣли мы ни преслѣдовали, и какимъ бы способомъ ни строили опредѣленія, всякое опредѣленіе состоитъ въ процессѣ редукціи, въ сведеніи опредѣляемаго понятія къ извѣстному сочетанію другихъ понятій, болѣе простыхъ. Такъ, опредѣленіе понятія „окружность“ сводится къ сочетанію понятій: „точка“, „геометрическое мѣсто“, „разстояніе“, „плоскость“, „равный“.

Если поставить задачу построенія понятій, входящихъ въ какую-либо науку, то процессъ постепенной редукціи долженъ привести насъ къ такимъ понятіямъ, для которыхъ мы не могли бы подыскать такихъ болѣе простыхъ, которыя можно было бы использовать для ихъ опредѣленія. Это такъ наз. простыя или элементарныя понятія. Какимъ же образомъ оказывается возможнымъ познакомить съ такимъ понятіемъ лицо, которому оно неизвѣстно? что охраняетъ насъ отъ ошибокъ при употребленіи названій этихъ діалектически неопредѣлимыхъ понятій? Вотъ вопросы, отвѣтъ на которые имѣетъ существенное значеніе. Если эти простыя, основныя понятія не допускаютъ словеснаго опредѣленія, то не слѣдуетъ думать, что они не допускаютъ никакого опредѣленія. Если нельзя на словахъ разъяснить смыслъ какого-нибудь новаго слова, то можно показать самую вещь, называемую этимъ словомъ, если нѣтъ вещи, показать картину, на которой она изображена; если и это оказывается невозможнымъ, то иногда бываетъ достаточнымъ для того, чтобы у человѣка явилось правильное понятіе такой вещи, пріучать его правильно употреблять терминъ, соотвѣтствующій этому понятію; это обычный способъ, который примѣняется и сознательно, и безсознательно, когда дѣти учатся говорить; такъ, напримѣръ, мы учимъ учениковъ правильно употреблять слова: „площадь“, „объемъ“, въ результатѣ чего они начинаютъ ясно представлять различіе между этими понятіями, хотя и не могутъ выразить на словахъ этого различія. Такимъ образомъ основныя понятія, не допуская логическаго опредѣленія, могутъ быть опредѣлены иначе: конкретно или психологически.

Въ основѣ всякой науки лежитъ извѣстное количество та-

кихъ основныхъ логически неопредѣлимыхъ понятій. Возникаетъ вопросъ о томъ, какъ сдѣлать эти понятія достояніемъ приступающихъ къ изученію науки; второй вопросъ, какъ сдѣлать эти понятія объектами логической обработки. Постараемся сперва отвѣтить на первый вопросъ. Дѣло въ томъ, что, какъ бы ни была отвлеченна наука, въ основѣ ея лежатъ такія понятія, съ которыми мы связываемъ извѣстную совокупность представленій, такія понятія, основа которыхъ лежитъ въ интуиціи. Въ наукѣ обычно такія понятія являются, такъ сказать, въ очищенномъ видѣ. Они не берутся совершенно въ той формѣ, въ какой они представляются намъ въ обиходномъ представленіи, а подвергаются абстрагированію; результаты такого абстрагированія и представляютъ содержаніе нашей научной интуиціи. Поэтому такія понятія въ дальнѣйшемъ мы будемъ называть интуитивно данными или интуитивно опредѣленными. Если мы желаемъ ознакомить съ этими понятіями лицо, которому они неизвѣстны, то единственный возможный здѣсь путь: продѣлать на глазахъ у этого лица работу абстрагированія, т.-е. указать тотъ наглядный образъ, который послужилъ источникомъ построенія понятія, а затѣмъ указать отъ какихъ признаковъ этого нагляднаго образа слѣдуетъ отказаться, чтобы перейти къ научному понятію. Съ только что изложенной точки зрѣнія, не разъ подвергавшееся довольно жестокой критикѣ, Евклидово опредѣленіе линіи является вовсе не такимъ плохимъ, какъ это принято утверждать. Когда Евклидъ говоритъ, что „линія есть длина безъ ширины“, то этимъ онъ прежде всего указываетъ у читателя представленіе о длинѣ: грубое представленіе длины можетъ отождествлять послѣднюю съ нитью или линіей, проведенной какимъ-либо красящимъ веществомъ на доскѣ, на бумагѣ и т. под.; затѣмъ Евклидъ указываетъ, отъ какихъ признаковъ этого грубаго представленія слѣдуетъ отвлечься, чтобы получить ту научную интуицію линіи, съ которой придется имѣть дѣло въ дальнѣйшемъ изложеніи. Однимъ изъ обычныхъ упрековъ, которымъ подвергается Евклидъ за цитированное опредѣленіе, является то, что приведеннымъ опредѣленіемъ онъ въ изложеніи не пользуется, да и не можетъ пользоваться. Но и это возраженіе едва ли имѣетъ такую силу, какую ему обычно приписываютъ. Если Евклидъ не пользуется въ изложеніи своимъ опредѣленіемъ, то онъ во всякомъ случаѣ постоянно пользуется достигнутымъ при помощи этого опредѣленія интуитивнымъ понятіемъ линіи, какъ непрерывнаго многообразія одного измѣренія. Обращеніе къ интуиціи является въ изложеніи Евклида, при всей его строгости, безусловно необходимымъ, такъ какъ, какъ показали послѣднія работы по основаніямъ геометріи (напр. Гильберта), цѣлый рядъ необходимыхъ для строгаго изложенія геометріи аксіомъ остался въ этомъ изложеніи не формулированнымъ, въ силу чего необходимая съ современной точки зрѣнія ссылка на аксіому замѣнялась призывомъ къ интуиціи.

Теперь мы можемъ перейти къ рѣшенію второго поставленнаго вопроса: какъ сдѣлать интуитивно данныя понятія предме-

томъ логической обработки. Если какое-либо понятіе (или группа понятій) является интуитивно даннымъ, то въ силу интуиціи мы приписываемъ ему (или понятіямъ, входящимъ въ группу) рядъ опредѣленныхъ свойствъ. Мы не можемъ дать такого логическаго опредѣленія этому понятію, которое бы вызвало у нашего собесѣдника тѣ представленія, которыя мы связываемъ съ этимъ понятіемъ; но мы можемъ перечислить тѣ свойства, которыя въ силу интуиціи мы приписываемъ этому понятію. Если мы дадимъ перечень этихъ свойствъ, то нашъ собесѣдникъ, даже и не имѣя того представленія, которое мы связываемъ съ понятіемъ, путемъ лишь однѣхъ логическихъ операцій можетъ вывести все содержаніе тѣхъ имѣющихся въ нашей наукѣ знаній, которыя относятся къ указанному понятію. При этомъ возможны три случая: либо перечень, данный нами, слишкомъ великъ: въ такомъ случаѣ окажется, что нѣкоторые факты, указанные въ перечнѣ, можно вывести изъ остальныхъ, т. е. доказать; въ такомъ случаѣ эти факты могутъ быть вычеркнуты изъ составленнаго списка основныхъ свойствъ; можетъ случиться что списокъ оказывается неполнымъ; въ этомъ случаѣ не все содержаніе соотвѣтственнаго отдѣла науки можетъ быть выведено помощью логическихъ операцій изъ даннаго перечня, и для полученія этихъ недостающихъ предложеній необходимо ввести въ основной списокъ нѣкоторыя новыя данныя нашей интуиціи. Послѣдній случай тотъ, когда названный списокъ содержитъ какъ разъ столько, сколько необходимо, интуитивныхъ данныхъ, относящихся къ неопредѣлимому логически понятію. Въ этомъ послѣднемъ случаѣ для развитія всего содержанія науки мы можемъ пользоваться лишь данными, входящими въ перечень, примѣняя къ нимъ лишь логическія операціи. Данныя, входящія въ такой перечень, называются аксіомами, а самый перечень системой аксіомъ. Въ послѣднемъ указанномъ нами случаѣ, когда система аксіомъ не содержитъ лишнихъ аксіомъ, но позволяетъ вывести все содержаніе науки лишь примѣненіемъ логическихъ операцій къ даннымъ въ нее входящимъ, называется полной (ее можно называть полной и въ первомъ случаѣ). Задача построенія полной системы аксіомъ является весьма важной, такъ какъ лишь при наличности полной системы аксіомъ, изложеніе науки можно считать вполнѣ строгимъ. Слѣдуетъ замѣтить, что выборъ аксіомъ, входящихъ въ систему, въ значительной степени является произвольнымъ; это обусловливается тѣмъ, что интуиція даетъ намъ значительно больше фактовъ, чѣмъ это оказывается необходимымъ для вывода изъ нихъ содержанія науки. Кромѣ того, слѣдуетъ имѣть въ виду, что требованіе наименьшаго числа аксіомъ не является столь важнымъ, какъ требованіе отсутствія пропусковъ аксіомъ въ системѣ.

Для того, чтобы выяснить тѣ отношенія, въ которыхъ аксіомы находятся къ опредѣленіямъ, слѣдуетъ указать на особый видъ опредѣленій, который является весьма распространеннымъ въ математикѣ. Это такъ называемыя формальныя опредѣленія. Отличительнымъ признакомъ ихъ является то, что тотъ, кто не связывалъ съ опредѣленнымъ терминомъ какихъ-либо представленій, и

послѣ знакомства съ такимъ формальнымъ опредѣленіемъ соотвѣтствующаго понятія останется въ прежнемъ положеніи. Эти формальныя опредѣленія получаются, какъ говоритъ Кутюра, пріемомъ „уничтоженія постулатовъ путемъ преобразованія ихъ въ опредѣленія“. Способъ построенія этихъ опредѣленій и является причиной отмѣченнаго выше ихъ характера.

Чтобы дать иллюстрацію высказаннымъ положеніямъ, а также и подготовить нѣкоторые важные для насъ выводы, разсмотримъ хотя бы системы аксіомъ Гильберта и Шура въ ихъ работахъ по основаніямъ геометріи. Гильбертъ считаетъ интуитивно данными понятія точки, прямой и плоскости. Аксіомы въ его изложеніи даютъ описаніе тѣхъ соотношеній между этими понятіями, которыя мы признаемъ въ силу интуиціи, и тѣхъ сочетаній, въ которыя могутъ входить эти понятія. Шуръ вводитъ въ качествѣ единственнго интуитивно даннаго элемента точку; поэтому для прямой онъ даетъ формальное опредѣленіе. Какой характеръ можетъ имѣть такое опредѣленіе? Такъ какъ формальныя опредѣленія относятся къ опредѣленіямъ логическимъ, то опредѣлена прямая можетъ быть при помощи тѣхъ отношеній, которыя она можетъ имѣть къ понятію, принятому за основное, т.-е. къ точкѣ: „прямой называется система точекъ, опредѣляемая парой точекъ“. Всѣхъ свойствъ, которыя мы въ силу интуиціи приписываемъ прямой, такое опредѣленіе указать не можетъ; поэтому за такимъ опредѣленіемъ слѣдуетъ рядъ аксіомъ. Если бы въ формальномъ опредѣленіи можно было выразить всѣ свойства прямой, необходимыя для построенія геометріи, а также дать подобное же исчерпывающее формальное опредѣленіе плоскости (указаніемъ тѣхъ отношеній, въ которыхъ это послѣднее стоитъ къ понятіямъ точки и—опредѣленной ранѣе—прямой), то построенная такимъ способомъ система могла бы не содержать аксіомъ совсѣмъ.

Все изложенное показываетъ, что въ той области, которая относится къ основнымъ понятіямъ, граница между опредѣленіями и аксіомами можетъ быть проведена лишь чисто формально и что между тѣми данными нашей интуиціи, которыя даютъ матеріалъ для аксіомъ и для опредѣленій, различія по существу нѣтъ. Это различіе устанавливается точкой зрѣнія лица излагающаго основы науки: при одной точкѣ зрѣнія извѣстныя предложенія формулируются, какъ аксіомы, при другой какъ опредѣленія. Мало того, можно поставить вопросъ, какъ можно смотрѣть, напр., на систему аксіомъ Гильберта по отношенію къ основнымъ геометрическимъ понятіямъ. Эта система опредѣляетъ тѣ отношенія, которыя существуютъ между интуитивно данными понятіями элементовъ пространства. Совокупность этихъ отношеній позволяетъ намъ сдѣлать указанныя понятія предметомъ научнаго изслѣдованія и вполнѣ достаточна, чтобы не смѣшивать эти понятія съ другими, входящими въ область изслѣдованія той же науки. Такимъ образомъ совокупность аксіомъ и по своему характеру и по той роли, которую она играетъ въ построеніи науки, вполнѣ сходна съ опредѣленіями. Различіе между аксіомами и опредѣленіями будетъ охарактеризовано вполнѣ, если мы назовемъ

аксіомы неявными опредѣленіями. На такой точкѣ зрѣнія стоитъ Энриквесъ въ „Проблемахъ науки“; тѣ же мысли, только менѣе опредѣленно, высказываетъ самъ Гильбертъ въ „Основаніяхъ геометріи“: „Геометрическіе элементы находятся въ извѣстныхъ отношеніяхъ другъ къ другу, для описанія которыхъ мы употребляемъ слова: „лежатъ*, „между“ и т. п., опредѣленіе которыхъ дается въ аксіомахъ“.

Характеръ различія между опредѣленіями и аксіомами можно иллюстрировать однимъ сравненіемъ, идея котораго принадлежитъ Пуанкаре. Допустимъ, что мы рѣшаемъ какую-нибудь задачу: для этого мы составляемъ уравненія, связывающія между собой данныя этой задачи. Допустимъ ради простоты, что число уравненій на единицу меньше числа неизвѣстныхъ. Тогда всѣ перемѣнныя можно разсматривать, какъ неявныя функціи одной изъ нихъ. Если намъ удастся разрѣшить эти уравненія относительно всѣхъ перемѣнныхъ, кромѣ одной, въ функціяхъ этой послѣдней, то неявное указаніе зависимостей между перемѣнными замѣнится явнымъ. „Пріемъ уничтоженія постулатовъ путемъ преобразованія ихъ въ опредѣленія“ является аналогичнымъ пріему разрѣшенія уравненій, приводящему отъ неявныхъ зависимостей между величинами къ явнымъ. Такимъ образомъ опредѣленіе аксіоматическое аналогично опредѣленію зависимостей между величинами при помощи уравненій—въ неявной формѣ; такое построеніе, какое даетъ Шуръ — съ однимъ интуитивно даннымъ элементомъ—аналогично явному опредѣленію зависимости величинъ отъ одной независимой перемѣнной. Высказанное сравненіе можно еще продолжить. Если мы имѣемъ рядъ функцій, скажемъ, одной независимой перемѣнной, данныхъ явно или неявно, безразлично, то, задавая значеніе независимой перемѣнной, мы тѣмъ самымъ опредѣляемъ значенія всѣхъ функцій. Теперь если въ системѣ аксіомъ мы дадимъ произвольное интуитивное истолкованіе (даже и несхожее съ обычнымъ) одному (или единственному), оставленному безъ опредѣленія элементу, то можетъ случиться, что остальные оставленные безъ опредѣленія или формально опредѣленные элементы получать также вполнѣ опредѣленныя интуитивныя истолкованія. Въ такомъ случаѣ мы скажемъ, что наша система допускаетъ конкретное истолкованіе. Такими истолкованіями являются, напр, истолкованіе проективныхъ соотношеній по принципу двойственности, или истолкованіе неевклидовой геометріи плоскости на площади евклидова круга. Въ связи съ изложеннымъ кругомъ идей стоитъ также высказанный Пуанкаре принципъ: если какая-либо система соотношеній допускаетъ одно конкретное истолкованіе, то она допускаетъ еще безчисленное множество такихъ истолкованій.

Если примѣнить теперь полученные выводы къ затронутымъ вначалѣ примѣрамъ, то можно получить рядъ цѣнныхъ въ педагогическомъ отношеніи результатовъ. Спросимъ собя, напр., есть ли какая-либо необходимость въ опредѣленіи понятія „площадь“ для изложенія отдѣла объ измѣреніи площадей. Для изложенія этого отдѣла необходимо указать тѣ свойства площади, въ силу кото-

рыхъ ее можно разсматривать, какъ величину, т.-е. необходимо дать опредѣленіе равенства и неравенства площадей и опредѣленіе суммы (или двойной площади); этого достаточно для построенія всего ученія объ измѣреніи площадей; въ опредѣленіи самаго понятія площадь надобности не встрѣчается. Точно также можно дать вполнѣ строгое изложеніе отдѣла объ измѣреніи длины окружности, не давая опредѣленія окружности, какъ предѣла. Такое опредѣленіе вполнѣ умѣстно въ интегральномъ исчисленіи, гдѣ мы имѣемъ математическое понятіе, значительно болѣе широкое, чѣмъ понятіе длины, площади и т. п., — понятіе интеграла, для котораго всѣ эти понятія могутъ разсматриваться, какъ видовыя. Въ элементарной же геометріи дѣло стоитъ совсѣмъ иначе. Поэтому гораздо цѣлесообразнѣе оставить понятіе длины кривой безъ опредѣленія, какъ всѣмъ интуитивно ясное: но въ такомъ случаѣ для установленія возможности измѣренія кривыхъ линій при помощи прямой, необходимо установить аксіому, опредѣляющую основаніе такого сравненія: аксіому неравенства: „длина дуги кривой, не содержащей точекъ перегиба, больше хорды, стягивающей дугу, и меньше ломаной, образованной касательными въ концахъ дуги (предполагая, что уголъ между касательными меньше 180°).

Изъ изложеннаго ясно, что строгимъ можетъ почитаться не то изложеніе, въ которомъ всѣ понятія опредѣлены, а то, въ которомъ, во-первыхъ, не встрѣчается слово „очевидно“ (вмѣсто ссылки на опредѣленную аксіому), а во-вторыхъ, указывается, какія понятія опредѣляются и какія должны быть оставлены безъ опредѣленія. При этомъ слѣдуетъ имѣть въ виду, что гораздо болѣе вреднымъ является то изложеніе, въ которомъ аксіомы замалчиваются при помощи слова „очевидно“, чѣмъ то, въ которомъ встрѣчаются лишнія аксіомы. Если введеніе такой лишней аксіомы облегчаетъ изложеніе, то внесеніе такой аксіомы въ элементарный учебникъ можно только привѣтствовать. Быть можетъ, распространеніе послѣдней точки зрѣнія, хотя бы отчасти могло смягчить ту психологическую остроту, которая чувствуется многими въ вопросѣ о постулатѣ параллельныхъ и которая является причиной того, что со стороны лицъ, недостаточно знакомыхъ съ вопросомъ или недостаточно опытныхъ въ построеніи математическихъ доказательствъ, мы имѣемъ почти каждый годъ и на русскомъ, и на иностранныхъ языкахъ по одному, а то и по нѣскольку доказательствъ этого постулата. Вѣдь эти попытки въ значительной степени являются результатомъ обычнаго изложенія геометріи, въ которомъ формулировка аксіомъ замѣняется ссылкой на какое-либо „очевидно“, скрывающее за собой аксіому, и въ которомъ число аксіомъ, формулированныхъ такъ ничтожно, что невольно является желаніе свести ихъ всѣ на нѣтъ.

О периметрахъ и площадяхъ правильныхъ многоугольниковъ, вписанныхъ въ кругъ и описанныхъ около него.

Е. Томашевичъ. Москва.

Въ нашихъ учебникахъ геометріи обычно, передъ тѣмъ, какъ говорить о длинѣ окружности и площади круга, предпосылается такъ называемая статья „о предѣлахъ“. Въ статьѣ этой почти сразу исчезаетъ геометрическій элементъ, если не считать кое-какихъ геометрическихъ примѣровъ на перемѣнныя и постоянныя величины, примѣровъ, почти не относящихся къ прямому вопросу. Въ основныхъ теоремахъ о предѣлахъ, доказываемыхъ для достиженія какой-то неясной цѣли, разсматриваются отвлеченныя величины неизвѣстно изъ какой области: не-то мы имѣемъ дѣло съ числовыми равенствами, надъ которыми продѣлываются обычныя операціи, не-то появляется нѣчто новое, необычное, въ прежнія рамки не укладывающееся и потому требующее особой осмотрительности ... А потомъ сами доказательства теоремъ о длинѣ окружности, о постоянствѣ числа л; такъ-ли ужъ они строго логичны и непогрѣшимы, не говоря объ ихъ туманности и громоздкости?

Не удивительно, что статья „о предѣлахъ“ всегда является для учащихся большимъ камнемъ преткновенія и неизмѣнно внушаетъ имъ страхъ, миновать который они рады всякими правдами и неправдами.

На геометрію, какъ учебный предметъ, я держусь такого взгляда: прежде всего надо изучать только исполненныя такъ или иначе фигуры, т.-е. изъ построенныхъ фигуръ извлекать ихъ свойства, которыя самимъ построеніемъ не предусматриваются; затѣмъ разнообразить построеніе и обобщать результаты, и наконецъ уже, самое трудное, отвлекаться отъ чертежа, предоставляя работу воображенію.

При изученіи правильныхъ многоугольниковъ, вписанныхъ въ кругъ и описанныхъ около него, независимо отъ какихъ бы то ни было дальнѣйшихъ цѣлей, надо, между прочимъ, умѣть вычислять ихъ периметры и площади. Задача эта ставится иногда въ учебникахъ, но обыкновенно такъ, что она кажется учащимся не вполнѣ обязательной: формулы выведены, а ужъ вычисленія-то по нимъ какъ будто особеннаго труда не составятъ. На повѣрку обыкновенно выходитъ иное: дѣйствительно,—выполненныя учениками вычисленія по неуклюжимъ, неупрощеннымъ форму-

ламъ сплошь и рядомъ начинаютъ принимать фантастическій характеръ. И жаль становится труда, потраченнаго на выводъ и усвоеніе формулъ, пользованіе которыми даетъ учащимся лишній разъ показать, что вычислять-то по нимъ они вообще говоря не умѣютъ! Не лучше-ли будетъ въ такомъ случаѣ повести дѣло иначе: сначала хорошо вычертить большой кругъ со вписанными и описанными правильными многоугольниками, а затѣмъ примѣнить къ нимъ миллиметровый масштабъ. У большинства учениковъ результаты будутъ по началу навѣрняка точнѣе вычислительныхъ; но точности этихъ результатовъ скоро наступаетъ предѣлъ; тогда-то выдвинется могущество вычислительнаго способа, отодвигающаго предѣлъ по желанію; говорить въ то же время еще о безграничномъ приближеніи къ чему-то, т.-е. говорить о томъ предѣлѣ, понятіе о которомъ желаютъ привить ученику, значитъ тратить время по нустому; не научившись такъ или иначе достигать намѣченнаго предѣла, мы не научимся понимать предѣла логическаго.

Цѣль настоящей статьи—указать такія свойства правильныхъ многоугольниковъ, которыя безъ особыхъ ухищреній, безъ какихъ бы то ни было отвлеченныхъ теоремъ „о предѣлахъ“ дали бы возможность вполнѣ строго и быстро рѣшить вопросъ о длинѣ окружности и площади круга.

И если найдутся убѣжденные сторонники необходимости въ элементарномъ курсѣ геометріи статьи „о предѣлахъ“, то вѣдь ничто не мѣшаетъ имъ итти далѣе въ желательномъ направленіи: установленный геометрическій фактъ дастъ неоспоримое право на отвлеченныя разсужденія о томъ, что въ обычной дѣйствительности недостижимо.

Въ своемъ изложеніи я постараюсь быть краткимъ и буду останавливаться лишь на вопросахъ, въ учебникахъ не затрагиваемыхъ. Оговорюсь при этомъ, что законность операцій надъ отношеніями, какъ числами, и надъ неравенствами считаю установленной.

Извѣстно, что съ удвоеніемъ числа сторонъ периметръ правильнаго вписаннаго въ кругъ многоугольника увеличивается, а периметръ описаннаго уменьшается. Но удвоеніе не обязательно: достаточно увеличить число сторонъ на 1, и съ периметрами произойдетъ то же самое.

На чертежѣ 1-мъ AB—сторона прав. вписаннаго п—уголь-

Черт. 1.

ника, CD сторона (n -j-1) — угольника, расположенная параллельно AB.

Если Е общая средина дугъ AB и CD, то ^ВЕ=-^— окружности, ^ СЕ=~ — окружности, и стало быть ^ ВС==~^— окр. — —,—-г-— окр. = ———J—ѵ- окр., т.-е. — ВС заключаетея п разъ въ дугѣ СЕ и 2п разъ въ ^ CD. Раздѣлимъ ^ CD на 2п равныхъ частей и изъ точекъ дѣленія проведемъ на AB перпендикуляры. Въ прямоугольныхъ треугольникахъ CFS и СВК, имѣющихъ равныя гипотенузы, l_CFS^> І__ВСКУ и потому CS>BK, иначе KL^>BK; написавъ неравенства КЬ^>ВК, L М > BK, MN^> ВК и т. д. и сложивъ ихъ почленно, получимъ

т.-е. для одного и того же круга периметръ правильнаго вписаннаго (n-j-1)— угольника больше периметра вписаннаго п —угольника.

На черт. 2-мъ AB—половина стороны правильнаго описаннаго п—угольника и А С— половина стороны описаннаго (n -f 1)—угольника.

Замѣтивъ, что ^ DE =------, раздѣлимъ^ЕА на п равныхъ частей, черезъ точки дѣленія проведемъ радіусы до встрѣчи съ AB, а черезъ С касательную CF, пересѣкающую OB въ И.

Въ треугольникѣ ВСН внутренній уголъ Н > угла JB, т. к.

слѣд. ВС^НС, но изъ равныхъ треугольниковъ О CG и ОСН имѣемъ CG = ПС; стало быть

Точно также можно доказать, что BC>GK, и т. д.

Черт. 2.

Суммируя отрѣзки, получаемъ неравенство

п. ВС'у АС,

которое, подобно предыдущему, дастъ

2 (п + 1) АС^> 2 п Aß,

т.-е. для одного и того же круга периметръ прав. описаннаго (п -4- 1)—угольника меньше периметра описаннаго п—угольника.

Извѣстно еще, что для одного и того же круга периметръ правильнаго описаннаго многоугольника болѣе периметра одноименнаго правильнаго вписаннаго многоугольника.

Поставимъ себѣ задачей найти для даннаго круга два такихъ одноименныхъ правильныхъ многоугольника, разность периметровъ которыхъ была бы менѣе даннаго малаго отрѣзка к. Этому требованію легко удовлетворить, если сторона вписаннаго многоугольника будетъ равна или меньше и если признать въ то же время, что Архимедова аксіома непрерывности къ данному случаю примѣнима.

Периметры вписан. и описан. многоугольниковъ будемъ обозначать буквами р и Р съ соотвѣтствующими индексами.

Такъ какъ отрѣзокъ к долженъ быть во всякомъ случаѣ достаточно малъ, то придется взять 4, ибо Р4—р±^>2В. Въ самомъ дѣлѣ, изъ способа находить несоизмѣримое съ единицею отношеніе діагонали квадрата къ его сторонѣ слѣдуетъ, что a±=R-\-d (остатокъ) и R = 2d d, (второй остатокъ); отсюда d =--—— и а±= — R-----т.-е. а4< — R] слѣд. р4 < 6 Р, а такъ какъР4 = 8 Ä, то Р4 — > 2 R.

Если aw, сторона правильнаго вписаннаго п — угольника, меньше—, и п>4, то 4

Такъ какъ R — h (апоѳема) < то

а такъ какъ, по доказанному выше, Р4>Ри,

что и требовалось доказать*).

Стало быть—разность периметровъ одноименныхъ правильныхъ многоугольниковъ, описаннаго и вписаннаго, будетъ всегда менѣе даннаго малаго отрѣзка /с, если сторона вписаннаго многоугольника равна или меньше —.

Назовемъ соотвѣтственными тѣ части периметровъ одноименныхъ вписанныхъ и описанныхъ правильныхъ многоугольниковъ, которые имѣютъ общими концами двѣ послѣдовательныя вершины вписаннаго многоугольника и разсмотримъ чертежъ 3, составленный изъ соотвѣтственныхъ частей периметровъ. Для краткости обозначимъ AB = а, AD = Ъ\ BE = g. Изъ подобія треугольниковъ А DE и А CD имѣемъ DE : AD = AE : АС или Ь=—а: Р; отсюда

Черт. 3.

Если бы мы пожелали имѣть два такихъ одноименныхъ вписанныхъ и описанныхъ многоугольника, у которыхъ g было бы менѣе даннаго отрѣзка Z, то для стороны описаннаго многоугольника пришлось бы взять такой отрѣзокъ х, чтобы I : х = х : 4 R.

Но произвольно малая величина для g еще не даетъ права считать периметры одноименныхъ многоугольниковъ совпадающими всѣми своими точками.

*) Иное рѣшеніе того же вопроса можно найти въ § 23, 6, тома II, кн. 1. Энциклопедіи элементарной математики Вебера и Вельштейна и въ Систематическомъ курсѣ геометріи Долгушина, стр. 105.

Если напр. въ черт. 4. будемъ уменьшать радіусы малыхъ окружностей, имѣющихъ центры на постоянной окружности, то всѣ точки волнистой линіи могутъ быть расположены такъ близко къ точкамъ основной окружности, что мы, какъ будто, имѣли бы право считать линіи сливающимися всѣми своими точками. Однако это, очевидно, не такъ.

Для одноименныхъ периметровъ имѣетъ мѣсто нѣчто другое: всегда можно построить такіе два одноименные многоугольника, чтобы отрѣзокъ g былъ произвольно малъ по отношенію къ сторонѣ а, другими словами чтобы отношеніе g : а было безконечно малымъ числомъ.

Вышенаписанная пропорція указываетъ, что для этого сторона Ъ должна быть произвольно малой (безконечно малой) по отношенію къ 4 Л (или просто къ R).

Если, стало быть, стороны одноименныхъ многоугольниковъ будутъ по отношенію къ радіусу круга безконечно малыми величинами 1-го порядка, то взаимное удаленіе точекъ соотвѣтственныхъ частей периметровъ будетъ безконечно малой величиною 2-го порядка. Изъ сказаннаго заключаемъ, что съ увеличеніемъ числа сторонъ одноименныхъ многоугольниковъ, вписанныхъ и описанныхъ, точки соотвѣтственныхъ частей не только могутъ, но и должны быть признаны приближающимися къ полному ихъ сліянію. Едва ли послѣ этого нужно еще говорить о томъ, что мы будемъ разумѣть подъ длиною окружности, которая всѣми своими точками лежитъ между тѣми и другими многоугольниками.

Переходимъ къ сравненію площадей вписанныхъ и описанныхъ многоугольниковъ. Вводимъ обозначенія 5 и 8 съ индексами для площадей вписанныхъ и описанныхъ многоугольниковъ, h для апоѳемы вписаннаго.

Такъ какъ рп + х>Ѵп и h„ + 1>h„,

(знакъ умноженія вводится для обозначенія площади).

Слѣд.

т.-е. для одного и того же круга площадь прав. вписаннаго (п 1) — угольника больше площади вписаннаго п—угольника.

Площади правильныхъ описанныхъ многоугольниковъ съ

Черт. 4.

увеличеніемъ числа сторонъ уменьшаются, ибо уменьшаются периметры, апоѳема же многоугольника остается безъ измѣненія: Ä +і< Sn-

Для того, чтобы найти для даннаго круга два такихъ одноименныхъ правильныхъ многоугольника, разность площадей которыхъ была бы менѣе даннаго малаго квадрата со стороною /с, достаточно взять вписанный многоугольникъ со стороною равною или меньшею к.

Въ самомъ дѣлѣ

В2 — h2 = (показатель 2 введенъ для обозначенія площади квадрата);

слѣдовательно

Вопросъ о площади круга послѣ этого уже не представляетъ затрудненій...

Я полагаю, что всѣ вышеизложенныя свойства правильныхъ многоугольниковъ представляютъ собою конкретный матеріалъ, вполнѣ достаточный для перехода къ отвлеченнымъ понятіямъ о предѣлѣ длины и площади, а въ частности и о безконечно-малыхъ величинахъ разныхъ порядковъ.

Къ ученію объ отношеніяхъ прямолинейныхъ отрѣзковъ и объ ихъ пропорціональности.

Н. Извольскій. Москва.

I.

Въ №№ 2 и 4 Матем. Образ. за 1913 г. напечатаны статьи К. Лебединцева и А. Киселева, имѣющія цѣлью устранить нѣко-

торые пробѣлы въ ученіи о пропорціональности прямолинейныхъ отрѣзковъ, для чего въ этихъ статьяхъ доказываются теоремы: 1) если — = то а = о и 2) если то о=с, гдѣ а, b п с суть прямолинейные отрѣзки. Обѣ статьи имѣютъ въ виду изложеніе учебника геометріи А. Киселева, на ХХІ-ое изданіе котораго и дѣлаются ссылки. Въ дальнѣйшемъ и мнѣ придется ссылаться на этотъ учебникъ.

Мнѣ представляется, что авторы указанныхъ статей смотрятъ на дѣло съ чисто формальной стороны, сущность же тѣхъ недоразумѣній и пробѣловъ, какіе имѣютъ мѣсто въ статьяхъ о пропорціональности прямолин. отрѣзковъ и о подобіи треуг-ковъ и многоуг-ковъ учебника г. Киселева, авторами этихъ статей не выяснена. Самостоятельнаго значенія вышеприведенныя теоремы не имѣютъ и содержаніе ихъ сдѣлалось бы само собою яснымъ, если бы ученіе объ отношеніи двухъ отрѣзковъ было введено въ курсъ геометріи въ болѣе полномъ видѣ, чѣмъ это имѣетъ мѣсто въ учебникѣ г. Киселева.

Прежде чѣмъ приступить къ самому предмету настоящей статьи, мнѣ хотѣлось бы обратить вниманіе читателей на слѣдующій, чисто внѣшній, однако наводящій на размышленія, фактъ.

При чтеніи статьи г. Лебединцева (№ 2) меня поразило то обстоятельство, что авторъ, дѣлая ссылки на учебникъ г. Киселева и говоря о традиціонномъ способѣ изложенія разбираемыхъ ученій (подъ именемъ „традиціонное изложеніе“ г. Лебединцевъ, повидимому, понимаетъ изложеніе учебника г. Киселева), въ тоже время устанавливаетъ основныя положенія, существенно отличающіяся отъ тѣхъ, какія имѣютъ мѣсто въ учебникѣ г. Киселева. Поэтому, когда въ № 4 Мат. Обр. я увидѣлъ статью г. Киселева „По поводу статьи г. Лебединцева“, то я ожидалъ, что здѣсь г. Киселевъ обратитъ вниманіе читателей на это несогласіе основныхъ взглядовъ, имѣющихъ мѣсто въ его учебникѣ и въ статьѣ г. Лебединцева. Однако, къ удивленію, г. Киселевъ не только не упоминаетъ объ этомъ, а даже какъ будто присоединяется къ взглядамъ г. Лебединцева и даетъ заполненіе еще одного пробѣла, изложенное въ соотвѣтствіи со взглядами г. Лебединцева. Неужели же г. Киселевъ не замѣтилъ этого существеннаго отличія?

§ 159 учебника г. Киселева начинается опредѣленіемъ понятія объ отношеніи двухъ отрѣзковъ: „Отношеніемъ одного отрѣзка прямой ( А) къ другому отрѣзку прямой (В) называется число, измѣряющее первый отрѣзокъ (А), когда второй (В) принятъ за единицу“. Авторъ, какъ видимъ, не дѣлаетъ никакого различія для случаевъ, когда А соизмѣримъ съ В и когда А несоизмѣримъ съ В. Вышеуказанное опредѣленіе устанавливаетъ, что всякій разъ, когда имѣемъ два отрѣзка, ими опредѣляется новый объектъ: „отношеніе этихъ отрѣзковъ“, который равняется числу, измѣряющему первый отрѣзокъ вторымъ, а это число можетъ

оказаться раціональнымъ или ирраціональнымъ*) (конецъ § 158 указываетъ это). И нельзя не согласиться съ основательностью такого именно взгляда на отношеніе двухъ отрѣзковъ,—въ дальнѣйшемъ я буду имѣть возможность подкрѣпить этотъ взглядъ. Между тѣмъ г. Лебединцевъ въ своей статьѣ даетъ совершенно иное опредѣленіе понятія объ отношеніи двухъ отрѣзковъ: онъ различаетъ случай соизмѣримости и случай несоизмѣримости данныхъ отрѣзковъ; въ первомъ случаѣ его опредѣленіе совпадаетъ съ опредѣленіемъ г. Киселева, а для послѣдняго случая онъ, отказываясь отъ понятія „отношеніе“, вводитъ новое понятіе: „приближенное отношеніе двухъ отрѣзковъ (съ недостаткомъ или съ избыткомъ)“.

Далѣе въ томъ же § 159 г. Киселевъ даетъ признакъ равенства двухъ отношеній, останавливаясь, какъ это и естественно, на случаѣ отношеній несоизмѣримыхъ отрѣзковъ: „Два несоизмѣримыхъ отношенія (правильнѣе: отношенія двухъ паръ несоизмѣримыхъ отрѣзковъ. Н. И) мы будемъ считать равными, если ихъ приближенныя значенія, взятыя оба съ недостаткомъ, или оба съ избыткомъ, и вычисленныя съ одинаковою точностью, равны между собою при всякой степени точности“. Г. Лебединцевъ даетъ иное опредѣленіе: будемъ называть четыре отрѣзка пропорціональными, если отношеніе двухъ изъ нихъ равно отношенію двухъ другихъ, или если равны другъ другу любыя приближенныя отношенія отрѣзковъ одной и другой пары, вычисленныя съ произвольной, одинаковой для обѣихъ паръ степенью точности.

„Приближенныя значенія отношенія двухъ отрѣзковъ“ г. Киселева совсѣмъ не тоже самое, что „приближенныя отношенія“ г. Лебединцева: г. Киселевъ установилъ уже, что всегда отношеніе двухъ отрѣзковъ равно какому-либо числу, и если это число ирраціональное, то можно находить раціональныя числа, которыя могутъ быть называемы приближенными значеніями ирраціональнаго числа; г. Лебединцевъ вовсе отказывается признать, что существуетъ число, которое выражаетъ отношеніе двухъ несоизмѣримыхъ отрѣзковъ и оперируетъ въ этомъ случаѣ надъ иными отрѣзками, извѣстнымъ образомъ получаемыми изъ данныхъ и соизмѣримыми между собою,—тогда г. Лебединцевъ и получаетъ „приближенныя отношенія“.

Въ виду такого существеннаго отличія въ основныхъ взглядахъ г. Лебединцева и г. Киселева, по крайней мѣрѣ имѣющихъ мѣсто въ ХХІ-мъ изданіи его учебника, полагаю, что всѣ тѣ замѣчанія и дополненія, какія дѣлаетъ г. Лебединцевъ въ своей статьѣ, относятся не къ системѣ изложенія г. Киселева, а къ собственной г. Лебединцева системѣ изложенія. Еще разъ повторяю:

*) Считаю умѣстнымъ здѣсь протестовать противъ терминологіи, почему то въ послѣднее время получившей распространеніе въ нашей учебной литературѣ: вмѣсто „раціональное или ирраціональное число“ говорятъ „соизмѣримое или несоизмѣримое число“. Во всякомъ случаѣ термины „соизмѣримое“ и „несоизмѣримое“ требуютъ дополненія: „съ чѣмъ“. Приходилось бы говорить „несоизмѣримое съ единицею число“.

странно, что г. Киселевъ въ своей статьѣ не обратилъ вниманія на это обстоятельство, а наоборотъ далъ новое пополненіе къ системѣ изложенія г. Лебединцева.

II.

Присоединяясь къ основному взгляду учебника г. Киселева (всякое отношеніе двухъ отрѣзковъ = числу), я долженъ подвергнуть болѣе детальному разсмотрѣнію дальнѣйшее изложеніе г. Киселева съ цѣлью яснѣе показать, гдѣ именно это изложеніе страдаетъ, по моему мнѣнію неясностью и пробѣлами.

Выше я привелъ признакъ равенства двухъ отношеній (изъ § 159 учебника г. Киселева). Попробуемъ раскрыть его содержаніе возможно полнѣе. Что значитъ „приближенныя значенія отношенія двухъ несоизмѣр. отрѣзковъ“? Какъ ихъ находить? Отвѣтъ, хотя и недостаточно развитый и недостаточно опредѣленный можно найти въ §§ 158 и 159 учебника. Въ послѣднемъ § г. Киселевъ даетъ примѣръ: „числа ^ и ^ будутъ приближенныя значенія отношенія А къ В съ точностью до первое—съ недостаткомъ, а второе—съ избыткомъ“. Причиною, почему именно эти числа суть приближенныя значенія, является, какъ это можно увидать изъ § 158 и изъ чертежа 150, то обстоятельство, что — В<^А, но — А. Однако, читатель, безъ всякой попытки со стороны автора помочь ему въ этомъ, долженъ здѣсь самостоятельно развить соображенія, подобныя нижеслѣдующимъ: Рѣчь идетъ о нахожденіи приближеннаго значенія для объекта который въ разбираемомъ случаѣ, какъ это уже установлено, выражается ирраціональнымъ числомъ, но это совсѣмъ иное, чѣмъ вопросъ о замѣнѣ отрѣзка А, несоизмѣримаго съ J5, другимъ отрѣзкомъ, соизмѣримымъ съ В и отличающимся отъ А меньше, чѣмъ на отрѣзокъ = ^ В. Если требуется найти приближенныя значенія для ирраціон. числа, обозначаемаго символомъ то надо стремиться къ тому, чтобы найти два раціон. числа, изъ которыхъ одно было бы меньше числа g-, а другое больше его, притомъ разность этихъ рац. чиселъ равнялась Очевидно, г. Киселевъ считаетъ число и число —>-75. Однако онъ вовсе не выясняетъ причины этого. Если читатель самъ не догадается объ этомъ, то онъ съ такимъ же правомъ можетъ считать любыя

два числа, разнящіеся на —, искомыми приближенными значеніями. § 158 даетъ возможность догадаться, хотя г. Киселевъ не помогаетъ въ этомъ читателю, что здѣсь дѣло обстоитъ слѣдующимъ образомъ. Мы можемъ построить „множество“ отрѣзковъ, можемъ сочетать ихъ попарно, — получимъ „множество“ отношеній, каждое изъ которыхъ можетъ быть выражено числомъ, раціон. или иррац.; возникаетъ потребность примѣнять къ объектамъ этого „множества“ понятія больше, меньше, равно*), На первый планъ здѣсь выступаетъ тотъ классъ отношеній, въ которыхъ послѣдующіе члены одинаковы, и естественнымъ признаккомъ здѣсь является положеніе: отношеніе — ==—, смотря по тому, что отрѣзокъ а=Ь. И, очевидно, г. Киселевъ пользуется этимъ признакомъ въ вышеуказанномъ примѣрѣ. Почему же онъ обходитъ этотъ существенный вопросъ полнымъ молчаніемъ?

Оставляю въ сторонѣ вопросъ, нужно ли для полной обработки вопроса со стороны логики, выяснять, что этотъ признакъ не нарушаетъ аксіомъ о равенствѣ и неравенствѣ и не ведетъ къ противорѣчію съ предыдущимъ, или это явится излишнимъ, такъ какъ первоисточникомъ этихъ аксіомъ являются равные и неравные прямолинейные отрѣзки.

Итакъ, г. Киселевъ, умалчивая объ этомъ, пользуется вышеуказаннымъ признакомъ неравенства двухъ отношеній однако лишь для случая, когда членами одного изъ отношеній являются соизмѣримые отрѣзки считается меньше ^ потому, что отрѣзокъ состоящій изъ — частей В, соизмѣримый съ В, оказался меньше отрѣзка А). Если бы г. Киселевъ не умолчалъ объ этомъ, то вѣроятно, замѣтилъ бы, что нѣтъ основаній, препятствующихъ распространить этотъ признакъ и на тотъ случай, когда оба отрѣзка а и Ъ, если отношенія суть — и —, несоизмѣримы съ отрѣзкомъ с, т. е. другими словами распространить этотъ признакъ на любыя два отношенія съ одинаковыми послѣдующими членами. Если бы это было сдѣлано, то отсюда непосредственно вытекала бы теорема, данная въ статьѣ г. Лебединцева: если — = —, то а не можетъ быть ни больше, ни меньше Ъ, такъ какъ тогда и отношенія ^ и ^ не были бы равны, т. е. необходимо а = Ъ.

*) Возможно поставить дѣло иначе: установить, что каждому раціон. или иррац. числу соотвѣтствуетъ опредѣленный отрѣзокъ, отношеніе котораго къ другому отрѣзку, напередъ данному, равно этому числу. Тогда можно въ поставленномъ вопросѣ „множество“ отношеній замѣнить областью дѣйствительныхъ чиселъ.

Что касается отношеній съ различными послѣдующими членами, то для нихъ въ учебникѣ г. Киселева сдѣлано очень мало : данъ лишь вышеприведенный признакъ равенства двухъ отношеній, притомъ въ формѣ довольно искусственной, но не упоминается о возможности соединять такія отношенія знаками больше и меньше, не установлено даже положенія, обратнаго вышеприведенному признаку равенства отношеній двухъ паръ несоизмѣримыхъ отрѣзковъ. Что мудренаго, что при столь неполной разработкѣ основъ ученія объ отношеніи, въ дальнѣйшемъ появляются недоразумѣнія въ родѣ тѣхъ, какія указаны въ статьяхъ гг. Лебединцева и Киселева. Если заботиться о безупречной логикѣ, то вѣдь и теоремы, данныя въ статьяхъ гг. Лебединцева и Киселева, стремящихся къ такой логикѣ, въ сущности недоказаны (да ихъ и нельзя доказать за недостаточностью основныхъ положеній). Разберемъ, напр., доказательство теоремы „если въ пропорціи А:В = А1:В1 послѣдующіе члены равны (В:ВХ), то равны и предыдущіе Л = Л1)и,—я выписываю эту теорему изъ статьи г. Киселева, но она же имѣется и въ статьѣ г. Лебединцева; доказательство ея обоими авторами дается одинаковымъ по существу, но различающимся по формѣ. Доказательство основано на томъ, что если имѣемъ

то это значитъ, что

гдѣ п можетъ быть любымъ цѣлымъ числомъ.

Но вѣдь въ сущности г. Киселевъ не имѣетъ права этого утверждать на основаніи своего § 159 (а г. Лебединцевъ на основаніи даваемаго въ его статьѣ признака пропорціональности четырехъ отрѣзковъ). Вѣдь эти признаки (выше онѣ мною выписаны) утверждаютъ лишь слѣдующее: если мы убѣдимся, что приближенныя значенія отношеній двухъ паръ несоизмѣримыхъ отрѣзковъ А, В и Аѵ Bt (или приближенныя отношенія) при всякой степени точности равны, то имѣемъ право написать равенство

= тЛ но въ нихъ нигдѣ нѣтъ намека на возможность обратнаго заключенія*). Нельзя слѣд. въ ученіи объ отношеніяхъ обойтись лишь однимъ основнымъ положеніемъ, необходимо добавить другое или обратное первому, или отрицательное по отношенію

*) Въ своей статьѣ г. Киселевъ устанавливаетъ два основныхъ положенія, изъ которыхъ одно обратно другому. Онъ однако не поясняетъ, что одно изъ нихъ является новымъ, сравнительно съ § 159 его учебника.

къ первому, напр., въ такой формѣ: если мы убѣдимся, что при извѣстной степени точности приближенное значеніе (напр. съ недостаткомъ) одного отношенія не равно приближенному значенію (тоже съ недостаткомъ) другого отношенія, то эти отношенія мы не считаемъ равными. Такое добавленіе болѣе важно, чѣмъ, напр., введеніе въ курсъ теоремы, обратной теоремѣ, выражающей свойство биссектрисы внутренняго угла треуг-ка. Г. Лебединцевъ говоритъ, что современная методика не допускаетъ недомолвокъ, а допускаетъ ли она использовать извѣстное положеніе и въ прямомъ и въ обратномъ смыслѣ, благодаря лишь тому, что это положеніе выражено въ нѣсколько сложной формѣ?

(Окончаніе слѣдуетъ).

Задачи.

100. Показать, что произведеніе 4 послѣдовательныхъ цѣлыхъ чиселъ, увеличенное единицею, есть точный квадратъ.

101. Рѣшить систему уравненій

а{х + у — ъ) = х(у — z) b(y-{-z — x)=y(z — x)

(а + 6) (з + X — y)=z(x — ij).

102. Рѣшить уравненіе

Xs + Vх + 9 = 0,

если извѣстно, что р* = 27(q-\- 1).

Э. Лейнѣкъ.

103. Найти сумму п членовъ ряда

12а -f- 32а2 + 52а3 + 72а4 4- • • • • -f(2к—\)2ак-\- • • • •

Его же.

104. Данъ острый уголъ и двѣ точки; построить равнобедренный треугольникъ, основаніе котораго лежало-бы на одной сторонѣ угла, вершина—на другой, а боковыя стороны проходили-бы чрезъ данныя точки.

105. Суммировать ряды:

а) cosec а -J- cosec 2 а -f- coscc 4 «+••••+ cosec 2wa; b) tga ~f— 2tg 2a —|— 4ty 4a —J— • —|—2ntg 2na.

106. Построить треугольникъ по суммѣ двухъ сторонъ 6-f c=s, высотѣ hc и медіанѣ тс стороны с.

В. Кованько.

Рѣшенія задачъ.

9. Если четыреугольникъ можетъ быть одновременно вписанъ въ одинъ кругъ и описанъ около другого, то между радіусами

круговъ R и г и разстояніемъ ихъ центровъ d существуетъ соотношеніе:

(R + d)-2 + (R — d)~2 =- г-2.

10. Если между радіусами двухъ круговъ и разстояніемъ ихъ центровъ существуетъ соотношеніе, данное въ предыдущей задачѣ (напр. R = 35, г = 24 и d = 5), то число четыреугольниковъ одновременно вписуемыхъ и описуемыхъ неограничено и произведеніе діагоналей такихъ четыреугольниковъ есть величина постоянная.

Пусть О—центръ описаннаго круга около четыреугольника ABCD, а Ох—центръ круга, въ него вписаннаго (см. чер.); тогда 001 = d. Проведемъ діагональ BD этого четыреугольника и перпендикулярный къ ней діаметръ описаннаго круга ТОТх\ наконецъ, соединимъ точки Т!, и (7; тогда прямая Т, С, какъ биссектриса угла (7, пройдетъ чрезъ Ог. Пусть чрезъ точки О и Ох проходитъ діаметръ описаннаго круга, (не проведенный на чертежѣ); тогда, по свойству хордъ, пересѣкающихся въ точкѣ 0t, имѣемъ:

(1);

съ другой стороны, изъ 3-ка ТОхТ, въ которомъ 001 есть медіана, имѣемъ:

Отсюда

Но изъ (1) слѣдуетъ, что

замѣняя, получимъ

или, такъ какъ

а это послѣднее соотношеніе равносильно съ доказываемымъ равенствомъ

Для доказательства обратнаго положенія, проведемъ изъ произвольной точки А большого круга касательныя AB и AD къ меньшему кругу, затѣмъ проведемъ діаметръ ТОТх перпендикулярный къ BD и хорду Т101С и докажемъ, что прямыя CD и СВ будутъ касаться малаго круга. Дѣйствительно, какъ и ранѣе, мы будемъ имѣть:

Но по условію слѣдовательно,

а такъ какъ

слѣдовательно, перпендикуляры изъ 0Ÿ на ВС и CD равны г и, значитъ, ABCD есть четыреугольникъ, описанный около внутренняго круга.

Наконецъ, для доказательства, что произведеніе діагоналей даннаго четыреугольника AC. BD=const., замѣтимъ, что по теоремѣ Птоломея

Но AB = AM -f- МВ, гдѣ M—точка прикосновенія стороны AB къ внутреннему кругу. Поэтому

Точно также.

слѣдовательно,

Замѣчая, что

найдемъ:

слѣдовательно,

Замѣняя здѣсь Sn А и SnB при помощи соотношеній

получимъ:

откуда уже видно, что AC.BD = const. Обозначая эту постоянную чрезъ К. получаемъ для ея опредѣленія уравненіе:

изъ котораго

слѣдовательно

Л. Гамперъ, Н. Щетининъ (Москва).

51. Въ данный эллипсъ вписанъ прямоугольникъ, вершинами котораго служатъ точки, обладающія тѣмъ свойствомъ, что разстояніе каждой изъ нихъ до центра эллипса есть среднее пропорціональное между разстояніями ея-же до фокусовъ. Вычислить площадь этого прямоугольника и сравнить ее-же съ площадью наибольшаго прямоугольника, который можетъ быть вписанъ въ данный эллипсъ.

Пусть уравненіе эллипса, отнесеннаго къ главнымъ осямъ, р=1. Обозначимъ координаты одной изъ вершинъ прямоугольника хг, у1л тогда разстоянія ея отъ фокусовъ г и г, будутъ, какъ извѣстно

слѣдовательно,

По условію,

съ другой стороны, изъ уравненія эллипса

поэтому, имѣемъ уравненіе:

которое послѣ упрощеній даетъ:

отсюда

и искомая площадь прямоугольника

Съ другой стороны, пусть (х,у) — координаты одной изъ вершинъ прямоугольника, имѣющаго наибольшую площадь М\ очевидно, М=4:ху. Найдемъ maximum этой функціи, для чего возьмемъ отъ нея первую производную:

Приравнивая М' нулю, найдемъ ж== + ^-^. Не трудно убѣдиться, взявъ Ж", что х = соотвѣтствуетъ maximum'y М. Да-

лѣе найдемъ у = -У— и 8 = ^ху = 2яЬ, т. е. прямоугольникъ, имѣющій наибольшую площадь, есть именно тотъ, вершины котораго обладаютъ свойствомъ, указаннымъ въ условіи задачи.

А. Н. Жилинскій, Н. Щетининъ, М, С. Зильберштейнъ (Москва), Н. Несторовичъ (Влодава), А. Сердобинскій (Чита), В. Кованько (ст. Струнино).

62. Показать, что произведеніе двухъ чиселъ, изъ которыхъ каждое есть сумма п квадратовъ, можетъ быть представлено въ видѣ суммы (1 -f- СУ), квадратовъ.

Пусть мы имѣемъ два числа

изъ которыхъ каждое есть сумма, п квадратовъ. Составимъ ихъ произведеніе въ видѣ слѣдующей таблицы:

(1)

и дополнимъ многочленъ

(2)

который составленъ изъ членовъ, стоящихъ по діагонали таблицы, до полнаго квадрата, прибавивъ и вычтя въ правой части равенства (1) сумму удвоенныхъ произведеній, составленныхъ изъ количествъ:

Такъ какъ всѣхъ членовъ, стоящихъ по упомянутой діагонали, м, то такихъ удвоенныхъ произведеніи будетъ Cw- или ———.

и

Тогда многочленъ (2) въ суммѣ съ многочленомъ

(3)

дастъ полный квадратъ:

При вычитаніи же удвоенныхъ произведеній (3) въ правой части равенства (1), каждая пара членовъ симметричныхъ относительно упоминавшейся діагонали дастъ съ отрицательнымъ удвоеннымъ произведеніемъ по полному квадрату, и число всѣхъ такихъ квадратовъ будетъ Сн2. Такимъ образомъ, произведеніе NN± дѣйствительно представится въ видѣ суммы 1 -f* Сп2 квадратовъ:

С. Кузьминъ.

69. Представить произведеніе

(а2+1) Ф2+ 1) (с2+1)

въ видѣ суммы двухъ квадратовъ.

Примѣняя къ данному произведенію два раза равенство, выведенное въ рѣшеніи предыдущей задачи № 62, будемъ имѣть:

измѣняя порядокъ множителей, а также перемѣняя знаки въ каждомъ слагаемомъ, можно придать результату и другія формы.

2-е рѣшеніе. Представляя каждый изъ данныхъ двучленовъ въ видѣ произведенія двухъ комплексныхъ множителей, будемъ имѣть:

К. Кульманъ, В. Ефремовичъ, В. Добровольскій, Н. Щетининъ (Москва), Д. С. (Харьковъ), В. Маловичко (Херсонъ), В. Мьщь (Полтава), В. Чичеринъ

(Ярославль), А. Ильинъ (Астрахань), В. Зайцъ (Полангенъ), Д. А. Авдыковичъ (Тула), А. Сердобинскій (Чита), А. Верещагинъ (Тамбовъ), С. Кузьминъ, А. Черновъ.

65. Провести въ данномъ направленіи прямую такъ, чтобы разность квадратовъ ея разстояній отъ данныхъ точекъ А и В была-бы равна квадрату даннаго отрѣзка к. (Рѣшеніе требуется чисто геометрическое).

Подберемъ два радіуса R и В1 такъ, чтобы R2 — R12 = k2 {R,R1 и к суть стороны прямоугольнаго треугольника). Опишемъ изъ центровъ А л В окружности радіусами R и Rv а затѣмъ проведемъ въ данномъ направленіи сѣкущую, дающую въ этихъ окружностяхъ равныя хорды. (См. рѣш. зад. № 64 въ № 4 „Мат. Образ.“)* Эта сѣкущая и будетъ искомая.

Дѣйствительно, обозначая длину каждой изъ хордъ 2а, a разстоянія ихъ отъ сѣкущей соотвѣтственно d и dl9 имѣемъ d2 = R2 — а2 и d12 = Ä12— а2; отсюда

d2 — d12 = R2 — R12 = k2.

Радіусы R л R1 можно подобрать достаточно большими.

Задача имѣетъ или одно рѣшеніе, или ни одного.

Н. Щетининъ, А. Мазингъ, В. Ефремовичъ, Af. С. Зильберштейнъ, Af. Орбекъ (Москва), И. Ильинъ (Астрахань), А. Сердобинскій (Чита), Б. Кованько (ст. Струнино), if. Несторовичъ (Влодава).

67. Доказать, что на направленіи равнодѣйствующей двухъ сходящихся силъ существуетъ точка, обладающая тѣмъ свойствомъ, что при поворотѣ этихъ силъ около ихъ точекъ приложенія на одинъ и тотъ-же произвольный уголъ, равнодѣйствующая ихъ всегда будетъ проходить чрезъ эту точку (теорема Мёбіуса).

Пусть даны двѣ силы Р и Q ? приложенныя въ точкахъ А л В.

(См. черт.). Чтобы построить ихъ равнодѣйствующую, отложимъ на сторонахъ угла ихъ пересѣченія отъ его вершины К отрѣзки КМ и KN, соотвѣтственно равные Р и §, и чрезъ точки А/ и N проведемъ параллели сторонамъ КМ и KN\ тогда діагональ KR полученнаго параллелограмма KMRN и будетъ искомая равнодѣйствующая. При поворотѣ силъ Р и Q на одинъ и тотъ-же

уголъ ß величина угла АКБ не измѣнится, потому что на сколько увеличится одинъ изъ угловъ КАВ и КВА, на столько-же уменьшится другой и потому сумма (I КАВ 4- / КВА), а слѣдовательно и / АКБ = 180° — (7 ДГ.А.В 4- / КВА) сохранитъ свою величину. Значитъ, и параллелограммъ KNRM при указанномъ вращеніи перемѣстится, сохраняя размѣры всѣхъ своихъ элементовъ, причемъ вершина его К перемѣстится по дугѣ АКБ сегмента, вмѣщающаго уголъ АКБ. Пусть дуга дополнительнаго сегмента AFB пересѣкается съ равнодѣйствующей KR въ точкѣ F. Такъ какъ углы AKF и FKB, какъ и всѣ прочіе элементы параллелограмма, сохраняютъ при вращеніи свою величину, то и дуги AF и FB, половинами которыхъ они измѣряются, остаются постоянными, т. е. точка F, въ которой равнодѣйствующая силъ Р и Q пересѣкаетъ окружность, описанную около треугольника АКБ, не мѣняетъ своего положенія; иначе,—равнодѣйствующая силъ Р и Q, при поворотѣ ихъ на одинъ и тотъ-же уголъ ß въ одну и ту-же сторону, проходитъ чрезъ постоянную точку.F.

А. Сердобинскій (Чита), И. Ильинъ (Астрахань), В. Кованько (ст. Струнино).

70. Опредѣлить х изъ уравненія:

3*а[32(*4-і) — 1] = з* . 6552.

Замѣтивъ, что 6552 = 32.(36—1), представимъ данное уравненіе въ видѣ:

З*2 . [З2^о — 1] = 3**я. (З6 — 1).........(1)

Найдемъ цѣлыя значенія х. Такъ какъ множители, заключенные въ скобкахъ, не дѣлятся на 3, то при цѣломъ х необходимо, чтобы одновременно удовлетворялись уравненія

З*2 = 3*+а и з2(*+1> — 1 = 36— 1, или х* = х-\-2 и 2(ж-[-1) = (>-

Эти уравненія имѣютъ общій корень 2. Далѣе можно убѣдиться, что при X >2 лѣвая часть ур. (1) болѣе правой, а при я<2 —менѣе правой. Поэтому х = 2 есть единственное рѣшеніе даннаго уравненія.

М. Орбекъ, М. С. Зильберштейнъ, К. Кульманъ, В. Ефремовичъ, Н. Щетининъ, М. Колесина, М. В. Новикова (Москва), А. Сердобинскій (Чита), В. Маловичко (Херсонъ), Д. А. Авдыковичъ (Тула), В. П. Литвинскій (Екатеринославъ), А. Ильнъ (Астрахань), К. А. Верещагинъ (Тамбовъ), В. В. Пфейфферъ (Винница), В. Сѣверный (Тула), С. Кузминъ, А. Черновъ, В. Михайлова (Владиміръ).

Библіографическій отдѣлъ.

Физико-Математическій сборникъ. №№ 1 — 4. 1909—1913. Тифлисъ. Изданіе Кавказскаго учебнаго округа. Цѣна выпуска 50 коп.

№№ 1-й и 2-й этого изданія вышли въ Тифлисѣ въ 1909 году подъ заглавіемъ: „Физико-Математическое приложеніе къ Циркулярамъ по Управленію Кавказскимъ Учебнымъ Округомъ“. Изъ предисловія къ № 1 видно, что мысль объ изданіи органа, въ которомъ помѣщались-бы статьи по элементарной математикѣ и физикѣ какъ научнаго, такъ и педагогическаго содержанія, давно назрѣла среди кавказскихъ педагоговъ, и въ 1902 г. была даже сдѣлана попытка практическаго ея осуществленія, но затѣмъ, къ сожалѣнію, дѣло надолго заглохло. Лишь въ 1908 г., благодаря сочувствію и энергичной поддержкѣ Попечителя Кавказскаго'Учебнаго Округа, изданіе „Сборника“ было поставлено на твердую почву. Въ предисловіи къ № 1 приведенъ планъ изданія, согласно которому въ немъ помѣщаются статьи, посвященныя преподаванію математики и физики и научнымъ трудамъ въ области этихъ наукъ; очерки для учащихся, преслѣдующіе цѣль въ доступной и интересной формѣ расширить кругозоръ ихъ за рамки оффиціальной программы и пополняющіе ее и, наконецъ, задачи и рѣшенія. Разсмотрѣніе содержанія вышедшихъ выпусковъ „Сборника“ свидѣтельствуетъ, что этотъ планъ выполняется въ общемъ весьма успѣшно. Помѣщаемыя статьи методическаго и научнаго характера, частью оригинальныя, а отчасти заимствованныя изъ иностранныхъ журналовъ, несомнѣнно интересны для педагоговъ и учащихся. Имѣется библіографическій отдѣлъ, въ которомъ даются отзывы о новыхъ книгахъ; въ отдѣлѣ хроники находимъ свѣдѣнія о съѣздахъ и конгрессахъ математиковъ и результатахъ ихъ работы, о педагогическихъ выставкахъ и т. п. Отдѣлъ для учащихся, содержащій главнымъ образомъ задачи, (отчасти заимствованныя изъ иностранныхъ журналовъ), въ № 4 „Сборника“ выдѣленъ въ отдѣльное Приложеніе. Намъ кажется, что этотъ отдѣлъ дѣйствительно цѣлесообразнѣе издавать отдѣльно, и даже желательно превратить его въ самостоятельный математическій журналъ для учащихся, на подобіе издающихся, напр. во Франціи.

Принимая во вниманіе то важное значеніе, которое всегда имѣли математическіе журналы для прогресса и распространенія математическихъ знаній, нельзя не пожелать, чтобы дѣло изданія „Физико-Математическаго Сборника“ не остановилось, а продолжало-бы развиваться, и чтобы онъ скорѣе превратился въ періодическое изданіе, посвященное вопросамъ популяризаціи и преподаванія физико-математическихъ наукъ; крайне желательно, также, чтобы и въ другихъ областяхъ Россіи, кромѣ Кавказа создались органы, аналогичные по цѣлямъ „Физико-Математическому Сборнику“.

І. Ч.

Засѣданія Математическаго Отдѣла Педагогическаго Музея Военно-Учебныхъ заведеній 1912—1913 г.

Засѣданіе 27 ноября 1912 года

Предсѣдатель: М. Г. Попруженко. Донладъ С. И. Шохоръ-Троцкаго: „О четырехъ первообразныхъ единицахъ анализа“. Докладчикъ указываетъ на характеръ тѣхъ опредѣленій, какими приходится пользоваться при сложеніи комплексныхъ чиселъ, когда мы истолковываемъ ихъ какъ нѣкоторыя пары чиселъ. Отмѣтивъ различіе между опредѣленіями въ естественныхъ наукахъ и опредѣленіями въ математикѣ, отмѣтивъ возможность пользованія нѣкоторыми опредѣленіями, относящимися къ такимъ понятіямъ, которыя нами еще не опредѣлены (напримѣръ, возможность установленія опредѣленія равенства площадей до того, какъ опредѣлено само понятіе площади, и т. д.), докладчикъ переходитъ къ установленію опредѣленій равенства, неравенства и умноженія другъ на друга особыхъ многократно-именованныхъ чиселъ (вида А0 = а0 е0 + а1 е1 + а2 е2 + • . • ) и не носящихъ однако характера кватер-

ніоновъ, бикватерніоновъ и т. п. При установленіи опредѣленій мы пользуемся въ выборѣ ихъ совершенной свободой и останавливаемся на томъ или другомъ опредѣленіи л ишь только для достиженія нѣкоторой конечной цѣли. Итакъ въ этомъ смыслѣ наши опредѣленія совершенно произвольны. Въ этомъ то и состоитъ логическая тонкость. Но разъ мы даемъ опредѣленіе равенства, сложенія и умноженія, то опредѣленіе дѣленія уже не произвольно. Соотвѣтственно тому, что мы будемъ понимать подъ умноженіемъ нашихъ комплексныхъ чиселъ (цѣлыхъ, дробныхъ и т. д.) мы будемъ получать тѣ или иныя значенія для нашихъ основныхъ (какъ у Вейерштраса) единицъ. Ни одна изъ единицъ (е0, еі> е2> • • •) не равна нулю, и не можетъ быть получена одна изъ другой посредствомъ умноженія на нѣкоторый тенсоръ, это — единицы гетерогенныя. Перемножая два комплексныхъ числа указаннаго выше вида А0, В0, образовываемъ произведеніе А0 В0, составляя это произведеніе изъ А0 такъ, какъ В0 составлено изъ первообразныхъ единицъ. Дѣлаемъ мы это не въ силу какой-либо причины, а для опредѣленной цѣли, а именно для созданія четырехъ единицъ, которыми мы пользуемся въ анализѣ. Исходя изъ этого произведенія, мы путемъ соотвѣтственныхъ опредѣленій создаемъ четыре единицы: —|— 1, — 1,4-і, — і, подчиненныхъ закону „перманентности“. Трудности логическаго характера, съ какими мы здѣсь имѣемъ дѣло по существу не отличаются отъ тѣхъ, съ какими приходится имѣть дѣло при изложеніи комплексныхъ чиселъ съ точки зрѣнія ученія о парахъ, только въ докладѣ эти трудности болѣе ясно выступаютъ, такъ какъ задача съ какой приходится имѣть дѣло поставлена въ немъ въ болѣе широкой формѣ, что, однако, позволяетъ понять, насколько малодоступно для учащихся средней школы изложеніе главы о комплексныхъ числахъ съ точки зрѣнія ученія о парахъ. Въ эту главу курса алгебры не слѣдуетъ вносить въ средней школѣ логическія трудности.

Въ преніяхъ приняли участіе: П. А. Некрасовъ, Б. А. Марковичъ, М. Г. Попруженко, Б. Б. Піотровскій, Д. Э. Теннеръ, А. Р. Кулишеръ.

Предъ началомъ преній предсѣдателемъ указывается возможность изложенія комплексныхъ чиселъ съ трехъ точекъ зрѣнія: 1) съ точки зрѣнія векторіальной 2) съ точки зрѣнія теоріи паръ 3) въ видѣ нѣкоторыхъ функціональныхъ сравненій по модулю г2+і-

П. А. Некрасовъ. Соглашаясь съ послѣднимъ указаніемъ докладчика, высказываетъ соображеніе о томъ, что сама логика находится въ состояніи перестроенія. Мы уже теперь встрѣчаемъ не аристотелевы логики и являемся созидателями новыхъ логическихъ системъ. Всякому созиданію новаго комплекснаго числа соотвѣтствуетъ созиданіе новой неаристотелевой логики. Къ созданію же комплексныхъ чиселъ ведутъ разнаго рода задачи теоретическаго и прикладного характера. Оппоненту пришлось встрѣтиться съ примѣненіемъ комплексныхъ чиселъ при изученіи одного вида дифференціальныхъ уравненій механики, а также въ математической статистикѣ.

Б. Б. Піотровскій. Внести кое-что изъ области логики въ курсъ послѣдняго класса необходимо. Надо дать учащимся возможность усмотрѣть нѣчто общее между числами разнаго рода, надо поставить дроби, числа отрицательныя и ирраціональныя въ связь съ числами натуральными. А то ученики числа отрицательныя и еще болѣе числа ирраціональныя и за число не почитаютъ. Настаиваетъ не на теоріи паръ, но на необходимости какъ-либо связать воедино всѣ роды чиселъ получаемыхъ въ школѣ.

Б. А. Марковичъ. Отстаиваетъ тотъ способъ изложенія комплексныхъ чиселъ въ школѣ, какой указывается историческимъ путемъ ихъ созиданія, то есть главнымъ образомъ то истолкованіе, какое далъ этимъ числамъ напримѣръ Арганъ (см. Мат. Образованіе, 1913, №2, отчетъ о предшествующемъ засѣданіи).

Д, Э. Теннеръ. Отмѣчаетъ то обстоятельство, что у Б. Б. Піотровскаго какъ бы входятъ двѣ различныя теоріи и потому онъ не увѣренъ въ томъ, что въ концѣ концовъ у учащихся получится цѣлостное представленіе о числѣ.

А. Р. Кулишеръ. Находитъ возможнымъ внесеніе логическаго элемента въ данный отдѣлъ курса въ послѣднемъ классѣ, но каждый разъ лишь въ томъ случаѣ, когда преподаватель всѣмъ построеніемъ предшествующаго курса на протяженіи цѣлаго ряда лѣтъ подготавливалъ эту возможность.

Числа того характера, какъ приведены докладчикомъ встрѣчались и до Вейерштрасса, наприм. у Галуа.

С. И. Шохоръ-Троцкій. Находитъ, что чисто логическая точка зрѣнія возможна лишь въ университетскомъ курсѣ основоначалъ. Присоединяясь въ извѣстной мѣрѣ къ Б. Б. Піотровскому, онъ пользовался бы однако въ средней школѣ не однимъ путемъ, а нѣсколькими путями для того, чтобы въ концѣ концовъ сказать учащимся, что есть и общее построеніе.

Предсѣдатель резюмируетъ пренія и указываетъ, что къ рѣшенію практическаго вопроса о преподаваніи комплексныхъ чиселъ въ средней школѣ, отдѣлъ приступитъ по заслушанія третьяго доклада на ту же тему.

Докладъ Я. В. Іодынскаго. „Курсъ теоретической ариѳметики въ средней школѣ“.

Докладчикъ обстоятельно разсматриваетъ въ предлагаемомъ имъ курсѣ законы дѣйствій надъ цѣлыми числами и показываетъ, какъ распространяются эти законы на дроби. Докладчикъ выясняетъ также путь, какимъ можно выяснить самую технику дѣйствій, основываясь лишь на разсмотрѣнныхъ раньше законахъ. Такимъ образомъ „законъ перманентности“ оправдывается на числахъ разнаго рода, и учащіеся пріобрѣтаютъ нѣкоторую общую точку зрѣнія; въ то же время они сводятъ въ одно цѣлое всѣ раньше пріобрѣтенныя ими свѣдѣнія о числѣ. Въ докладѣ отведено также мѣсто разсмотрѣнію десятичной системы счисленія. Пренія въ виду поздняго времени отложены до ближайшаго засѣданія.

Засѣданіе 4 декабря 1912 года.

Предсѣдатель: П. А. Некрасовъ.

Пренія по докладу Я. В. Іодынскаго: „Курсъ теоретической ариѳметики въ средней школѣ“.

Б. Б. Піотровскій: напоминаетъ о трехъ путяхъ, которыми можно слѣдовать при построеніи курса теоретической ариѳметики. При томъ пониманіи курса, о которомъ онъ говоритъ въ своемъ докладѣ на съѣздѣ, на первый планъ выдвигаются не ариѳметическія дѣйствія, но созиданіе новаго рода чиселъ, чиселъ отрицательныхъ и ирраціональныхъ, въ чемъ онъ видитъ введеніе въ курсъ логическаго философскаго элемента. Вторую точку зрѣнія проводилъ на съѣздѣ I. И. Чистяковъ. Наконецъ, возможенъ курсъ обычнаго характера, содержащій вопросы объ общемъ наибольшемъ дѣлителѣ о наименьшемъ кратномъ и т. д. Быть можетъ, курсы послѣдняго характера вовсе не нужны. Курсъ Я. В. Іодынскаго не даетъ новыхъ идей и можетъ быть пріемлемъ только, какъ занятія, ведущія къ повторенію уже раньше изученнаго. Съ закономъ перемѣстительнымъ надо закончить уже въ 3-ьемъ классѣ; напримѣръ, обратныя дѣйствія могутъ дать учащимся новыя точки зрѣнія. Хорошо у докладчика то, что онъ выдвинулъ „принципъ перманентности“— это важное обобщеніе. Но если говорить о повтореніи, то не лучше ли ввести, вмѣсто него, сокращенныя вычисленія?

Я. В. Іодынскій. Отстаиваетъ мнѣніе о важности упорядоченія всего того, что сдѣлано въ данной области въ младшихъ классахъ. Отмѣчаетъ вновь тѣ обобщенія въ пониманіи дѣйствій, которыя вноситъ его курсъ. Останавливается въ частности на вопросѣ о суммѣ и сложеніи.

В. Р. Мрочекъ. Считаетъ курсъ теоретической ариѳметики роскошью, недопустимой теперь, когда въ программахъ математики нѣтъ еще многаго насущнаго. Напоминаетъ, какъ смотрятъ на понятіе о числѣ въ средней школѣ составители Меранской программы и приводитъ справки изъ Гёфлера. Различнаго рода истолкованія дѣйствій надъ дробями — для насъ представляютъ цѣнность, а для учениковъ являются чѣмъ-то фокуснымъ.

А. Р. Кулишеръ. Считаетъ болѣе близкимъ себѣ курсъ Б. Б. Піотровскаго, который однако можно проводить лишь при большомъ интересѣ къ даннымъ вопросамъ самого преподавателя и при достаточномъ предварительномъ подготовленіи учащихся. Въ данное же время считаетъ совершенно законнымъ и умѣстнымъ проведеніе такого рода занятій, какія указаны докладчикомъ.

Д. Э. Теннеръ. Склоняется къ той формѣ курса, какую предлагаетъ докладчикъ, потому что тутъ рѣчь идетъ уже о томъ, дать ли все, какъ у

Б. Б. Піотровскаго, или не дать ничего, чуть не отказаться совсѣмъ отъ курса теоретической ариѳметики.

С. И. Шохоръ-Троцкій. Всѣ жанры хороши, кромѣ скучнаго. Надо строить курсъ такъ, чтобы онъ былъ интересенъ. Основоначала—это вопросъ не школьный, для ученика не интересный, обычный курсъ теоретической ариѳметики, если ставить его строго, ученикамъ, не интересующимся математикой не нуженъ, а о другомъ курсѣ теоретической ариѳметики можно говорить въ университетѣ или въ лицеѣ. Часто относятся ученики къ обычному курсу съ отвращеніемъ.

П. А. Некрасовъ. Выступаетъ съ горячей защитой курса теоретической ариѳметики и отмѣчаетъ, что ученіе о цѣломъ числѣ—есть основа цѣлаго міросозерцанія въ анализѣ. Настаиваетъ на лучшей постановкѣ преподаванія, при которой станетъ невозможнымъ отвращеніе къ наукѣ о числѣ, къ этой царицѣ наукъ. Надо бороться съ недостаткомъ времени и неумѣньемъ преподавателей

А. П. Киселевъ. Указываетъ на важность въ преподаваніи не столько количества знаній, сколько ихъ глубины, ихъ качества. Въ этомъ отношеніи курсъ теоретической ариѳметики имѣетъ большое значеніе, давая учащимся ощущеніе полнаго обладанія всѣми тѣми знаніями, которыя были сообщены имъ въ предыдущіе года. Считаетъ этотъ курсъ болѣе существеннымъ, чѣмъ, напримѣръ, курсъ безконечно-малыхъ; присоединяется къ соображеніямъ докладчика.

Б. Б. Піотровскій. Признаетъ обобщающее значеніе за курсомъ докладчика. Но уже въ 7-омъ классѣ можно, не измѣняя количества учебнаго матеріала, углублять его качество. Останавливается въ частности на опредѣленіи сложенія по Грассману и опредѣленіи сложенія, приведенномъ Я. В. Іодынскимъ.

Обмѣнъ мнѣній по этому частному вопросу заключаетея указаніемъ /7. А. Некрасова на разницу между опредѣленіемъ суммы скалярнымъ и опредѣленіемъ суммы кардинальнымъ.

Я. В. Іодынскій указываетъ, что скуки ученики не испытываютъ, они становятся хозяевами области соотвѣтствующей по трудности ихъ развитію. Матеріалъ таковъ, что ученики могутъ проявить свою самодѣятельность.

Въ своемъ резюме предсѣдатель указываетъ на значеніе разсматриваемаго курса, на сохраненіе имъ необходимаго минимума; въ настоящее время улучшеніе преподаванія можетъ выразиться въ составленіи болѣе совершеннаго учебника.

Отзывъ Д. Э. Теннера „о стереоскопическихъ таблицахъ А. Трусевича“.

Таблицы исполнены хорошо, насколько объ этомъ субъективно можетъ судить докладчикъ, но онъ не беретъ смѣлости сказать, что онѣ одинаково хороши для каждаго глаза. Серія картинъ съ 50 очками стоитъ 12 рублей. Для иллюстраціи теоремъ пособіе полезно.

Въ обсужденіи пособія принимаютъ участіе А. В. Крогіусъ, А. Р. Кулишеръ, П. А. Литвинскій, В. Р. Мрочекъ, С. И. Шохоръ - Троцкій, Н. А. Томилинъ.

Указываются слѣдующіе недочеты принципіальнаго характера— различные дефекты глазъ (астигматизмъ, недочеты цвѣтового воспріятія, ахроматопсія, и т. п.), меньшее значеніе его по сравненію съ моделями, которыя можно разсматривать съ различныхъ сторонъ и даже сдѣлать подвижными. Какъ недочеты даннаго пособія указываетъ—выборъ ихъ содержанія (отсутствіе круглыхъ тѣлъ); неправильное пользованіе пунктирными линіями, недочеты въ мѣстахъ переложенія линій, наличность аналогичныхъ болѣе удачныхъ пособій Ришара и Вибера.

Тѣмъ не менѣе почти всѣ, принявшіе участіе въ обсужденіи, находятъ пособіе полезнымъ и присоединяются къ предложенію докладчика о допущеніи картинъ при преподаваніи геометріи.

Засѣданіе 22 января 1913 года.

Предсѣдатель: Б. Б. Піотровскій.

Донладъ Н. А. Томилина. „Соотношеніе между курсомъ аналитической геометріи и изученіемъ графикъ простѣйшихъ функцій въ курсѣ алгебры“.

Общія соображенія докладчика касаются слѣдующихъ сторонъ дѣла:

выраженія зависимости между координатами точки одной и той же кривой въ различныхъ системахъ координатъ (прямоугольной и косоугольной), изученія кривыхъ въ пространствѣ, а не только на плоскости, изученія линейчатыхъ поверхностей. Учащіеся должны умѣть тщательно вычерчивать кривыя, такъ какъ на основаніи хорошо вычерченной кривой можно дѣлать дальнѣйшія умозаключенія; они должны умѣть опредѣлить, имѣя вычерченную кривую, что они имѣютъ предъ собой, скажемъ циклоиду, а не эллипсъ. Они должны владѣть пріемами построенія тѣхъ или другихъ кривыхъ при помощи различныхъ приспособленій; не слѣдуетъ ограничиваться одной стереометріей. Докладчикъ далѣе подробно разсматриваетъ матеріалъ, который въ той или другой формѣ можетъ быть введенъ въ курсъ отдѣльныхъ классовъ*). А именно: 2-ой классъ (10 — 12 часовъ за годъ изъ общаго числа 110 — 130 час. при 4-хъ часахъ въ недѣлю) изображеніе численнаго соотношенія между различными величинами въ видѣ прямолинейныхъ отрѣзковъ, секторовъ круга, площадей прямоугольниковъ, прямоугольныхъ параллелепипедовъ съ квадратными основаніями. Примѣненіе квадрата, раздѣленнаго на 100 квадратиковъ, для графическаго изображенія процентнаго состава. Эмпирическіе и статистическіе графики. Примѣры: увеличеніе роста и вѣса ребенка. Ростъ народонаселенія. Суточный и годовой ходъ температуры и давленія. Графическое интерполированіе п экстраполированіе.

3- ій классъ. (14 часовъ за годъ). Законъ прямой пропорціональности. Графическая таблица для перевода однихъ мѣръ въ другія (градусовъ Реомюра въ градусы Цельзія, фунтовъ въ килограммы, верстъ въ километры, нѣмецкихъ марокъ въ рубли). Графическое изображеніе росписанія движенія поѣздовъ. Изображеніе на одномъ и томъ же графикѣ двухъ равномѣрныхъ движеній одной и той же быстроты. Параллелизмъ между формулой и графикомъ. Каждому символу въ формулѣ долженъ соотвѣтствовать извѣстный образъ на графикѣ. Физическій смыслъ коэффиціента пропорціональности. Тангенсъ угла, образованнаго прямой съ горизонтальной осью. Графическая таблица тангенсовъ. Непропорціональность угловъ и тангенсовъ. Законъ обратной пропорціональности. Примѣры: зависимость между сторонами прямоугольника, имѣющаго постоянную площадь. Удѣльный объемъ и плотность.

4- ый классъ (15 часовъ за годъ). Законъ прямой линіи. Примѣры: Плата за телеграмму въ зависимости отъ числа словъ. Доходъ фабрики въ зависимости отъ числа рабочихъ. Тепловое расширеніе тѣлъ. Графическое рѣшеніе системы двухъ уравненій 1-ой степени съ двумя неизвѣстными.

Положеніе прямой по отношенію къ координатнымъ осямъ въ зависимости отъ значенія параметровъ а и Ь въ уравненіи у = ax -f- Ь. Кругъ. Зависимость между сторонами прямоугольнаго треугольника. Переходъ отъ формулы къ графику и обратно. Рѣшеніе задачъ на прямыя и круги. Графическое изслѣдованіе системы двухъ уравненій 1-ой степени еъ двумя неизвѣстными. Параболическій законъ. Примѣры: зависимость площади круга отъ длины радіуса. Равномѣрно ускоренное движеніе. Плоскія сѣченія пирамиды и конуса. Графическіе пріемы рѣшенія квадратнаго уравненія и системы квадратныхъ уравненій съ двумя неизвѣстными. Площадь параболы.

Въ 5-омъ классѣ докладчикъ удѣляетъ подобнаго рода занятіямъ 7 часовъ, въ 6-омъ классѣ—10 часовъ, въ 7-омъ классѣ — 32 часа. Докладъ былъ иллюстрированъ рядомъ чертежей.

Донладъ Б. А. Марковича: „Должна ли имѣть мѣсто аналитическая геометрія въ средней школѣ, какъ отдѣльный предметъ?"

Докладчикъ сообщаетъ нѣкоторые факты, относящіеся къ построенію даннаго курса въ западной школѣ (Германіи, Франціи, Швейцаріи), указываетъ на вопросъ предварительной подготовки къ курсу аналитической геометріи путемъ „вкрапливанія" въ курсы алгебры, геометріи и тригонометріи ряда свѣдѣній изъ области аналитич. геометріи, въ особенности введенія изслѣдованія простѣйшихъ аналитическихъ зависимостей—это первый кругъ изученія аналистической геометріи.

*) Мы ограничились здѣсь для краткости указаніемъ матеріала лишь для 2-го, 3-яго и 4-аго класса. Число часовъ, которые можно удѣлить въ томъ или другомъ классѣ изъ общаго числа уроковъ математики, было сообщено авторомъ вскорѣ послѣ доклада.

Необходимо, однако, впослѣдствіи добавить не подробный, но систематическій и научный курсъ аналитической геометріи, который потребуетъ около -ІО уроковъ. Сюда войдетъ, напримѣръ, изслѣдованіе общаго уравненія 2-ой степени съ двумя перемѣнными. Безъ такого отдѣльнаго курса нѣтъ логическаго завершенія долголѣтней работы учениковъ и преподавателей, нѣтъ нужныхъ обобщеній. Нужное время можно съэкономить изъ времени отводимаго на математику, если 1) выбросить нѣсколько устарѣлыхъ отдѣловъ элементарнаго курса, 2) перераспредѣлить его матеріалъ, 3) нѣсколько сократить число задачъ.

Въ преніяхъ приняли участіе: К. В. Пеніонжкевичъ, Я. В. Іодынскій и А. Р. Кулишеръ. К. Б. Пеніонжкевичъ возражаетъ противъ предложенія Б. А. Марковича выключить изъ курса математики непрерывныя дроби. А. Р. Кулишеръ указываетъ на желательность нѣкоторыхъ болѣе детальныхъ указаній. Я. В. Іодынскій ставитъ вопросъ о характерѣ изученія коническихъ сѣченій. Пренія не закончены и въ виду важности вопроса переносятся на слѣдующее засѣданіе.

Демонстрація коллекцій, пособій преподавателей И. А. Сигова и М. Д. Яковлева. Поясненіе даетъ И. А. Сиговъ.

Цѣль коллекціи дать приборы простой конструкціи, часть которыхъ могла бы быть выполнена по имѣющимся у преподавателя образцамъ самими учащимися. Значительнаго упрощенія достигли составители коллекціи, напримѣръ, при изготовленіи подвижныхъ пособій, носящихъ характеръ извѣстныхъ моделей Винеке, моделей изъ папки и дерева. Другія пособія должны имѣться въ училищѣ, хотя выполненіе ихъ самими учащимися было бы затруднительно; разнаго рода деревянныя модели тѣлъ, цинковыя полыя модели, приборы для измѣреній на мѣстности, упрощенная центробѣжная машина для демонстраціи тѣлъ вращенія съ наборомъ добавочныхъ моделей. Пособія для демонстраціи зеркальной симметріи (выполнены художникомъ Я. А. Гахровымъ) и т. д.

Собраніе выразило благодарность докладчику за интересную демонстрацію пособій, обсужденіе которыхъ въ этомъ засѣданіи не состоялось.

Новыя книги.

Э. А. Маркусъ. Наглядная геометрія. Спб. 1913. Ц. 1 р.

В. Г. Фридманъ. Учебникъ ариѳметики. Курсъ III кл. мужскихъ или IV кл. женскихъ гимназій. М. 1913. Ц. 40 к.

Ю. Сажере. Г. Пуанкаре. Пер. съ фр С. Слугинова. Казань. 1913. Ц. 35 к.

С. П. Слугиновъ. Криволинейные интетралы и ихъ развитіе. Казань. 1913. Ц. 40 к.

Ф. Н. Индриксонъ Начальныя работы по физикѣ. Вып. I. Первонач. измѣренія и вычисленія. Ц. 25 к. Вып. II. Ученіе о жидкостяхъ и газахъ. Ученіе о теплотѣ. Ц. 25 к. Вып. Ш. Движеніе тѣла подъ вліяніемъ силы. Ученіе о свѣтѣ. Ц. 30 к. Изд И. Д. Сытина М. 1913 г.

И. С. Теръ-Степановъ. Сборникъ ариѳметическихъ задачъ для среднихъ уч. заведеній. Курсъ III кл. Спб. 1912. Ц. 40 к.

Л. Сельскій. Нѣкоторыя простѣйшія графики, примѣнимыя къ изложенію начальной ариѳметики и др. статьи. Варшава. 1913. Ц. 30 к.

Д. Л. Волковскій. Дѣтскій міръ въ числахъ. Для начальныхъ школъ. 1-й годъ обученія. Съ рис М. 1913. Ц. 20 к.

А. Малининъ и К. Буренинъ Ариѳметика. Изд 32-е, пересмотрѣнное. М. 1913. Ц. 75 к.

А. П. Охитовичъ. По вопросу о трисекціи угла. Отвѣтъ проф. Д. М. Синцову и др. критикамъ. Казань. 1913. Ц. 20 к.

Матеріалы по вопросу объ улучшеніи постановки преподаванія математики въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ Кавказскаго Учебнаго Округа. Тифлисъ. 1913. Ц. 50 к.

Физико Математическій сборникъ. № 4. Изд. Кавказскаго Учеб. Округа. Тифлисъ. 1913. Ц. 50 к.

С. Адамовичъ. Самоучитель по алгебрѣ. 1911. Ц. 40 к.

Отвѣтственный редакторъ I. И. Чистяковъ.

Печатня А. И. Снегиревой Москва.

Въ напечатанной статьѣ А. А. Волкова въ № 5—1913 г. къ сожалѣнію вкрались неточности въ цитатахъ и ссылкахъ на Гильберта и Шура; цитаты эти читаются слѣдующимъ образомъ (содержаніе этихъ цитатъ въ ихъ правильной редакціи нисколько не вліяетъ на выводы автора въ смыслѣ ихъ измѣненія).

Цитата изъ Гильберта:

„Мы мыслимъ точки, прямыя, плоскости въ извѣстныхъ взаимоотношеніяхъ и обозначаемъ эти отношенія словами въ родѣ „лежать“, „между“, „параллельный“, „конгруентный“, „непрерывный“; точное и вполнѣ достаточное для математическихъ цѣлей описаніе этихъ отношеній достигается при помощи аксіомъ геометріи .

Ссылка на Шура:

Шуръ конструируетъ понятіе прямой довольно сложнымъ образомъ (а не такъ просто, какъ можно думать на основаніи текста статьи), исходя изъ понятія отрѣзка, которое онъ опредѣляетъ слѣдующимъ образомъ (при чемъ называетъ свое опредѣленіе постулатомъ): „Любыя двѣ различныя между собой точки однозначно опредѣляютъ безконечное множество точекъ, къ которому онѣ сами принадлежатъ и которое будетъ называться отрѣзкомъ“.

Открыта подписка на 1913-й годъ

на Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

„МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНІЕ“.

Журналъ выходитъ ежемѣсячно книжками отъ 2 до 3 печатныхъ листовъ за исключеніемъ мая, іюня, іюля и августа мѣсяцевъ.

Циркуляромъ Попечителя Московскаго Учебнаго Округа отъ 23 Марта 1912 года за № 10808 журналъ „Математическое Образованіе“ рекомендованъ для выписки въ ученическія и фундаментальныя библіотеки мужскихъ и женскихъ учебныхъ заведеній

Содержаніе журнала 1) статьи по различнымъ отдѣламъ математики оригинальныя и переводныя; 2) статьи по вопросамъ преподаванія математики и соприкасающихся наукъ; 3) очерки по исторіи математики, біографіи и портреты математиковъ; 4) библіографическій отдѣлъ; 5) вопросы и задачи; 6) математическая хроника; 7) Объявленія.

Цѣна 3 рубля въ годъ и 2 рубля на полгода съ доставкой и пересылкой.

Цѣна отдѣльнаго №. 50 к. съ перес. За перемѣну адреса 20 к

ПОДПИСКА ПРИНИМАЕТСЯ ВЪ РЕДАКЦІИ:

Москва, Остоженка 7, кв. 88.

Журналъ за 1912 г.— 2 р. съ перес.

Если объявл. печат. 4 раза уступка 15 °/0. За 8 разъ уступ. 25 °/0.

За разсылку при журналѣ отдѣльныхъ приложеній вѣсомъ не болѣе 1 л. съ каждой 1000 экз. 8 р. За каждый лишній лотъ съ 1000 экз. 4 р. _____

Книжные магазины пользуются 5% съ подписной цѣны.

Печатня А. И. Снегиревой Москва.