Математическое Образованіе.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

Годъ второй.

№ 4.

Апрѣль 1913 г.

МОСКВА.

ИЗЪ РЕДАКЦІИ ЖУРНАЛА

„Математическое Образованіе“

можно выписывать портреты:

Анри Пуанкаре, фототипія

Лобачевскаго, Лагранжа,

размѣромъ..... 38 X29 сант.

разм. самого портр. 2і73Х16

Цѣна съ пересылкой заказной бандеролью:

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

„Математическое Образованіе“

Апрѣль 1913 г. Годъ 2-й. № 4.

СОДЕРЖАНІЕ: Составъ Московскаго Математическаго Кружка въ 1913 г.—Ѵ-іі Международный Математическій Конгрессъ въ Кембриджѣ.—Д. Синцовъ. Двѣ замѣтки.—В. Соллертинскій. По поводу статьи г. К. Лебединцева: „Къ вопросу о подобіи треугольниковъ въ систематическомъ курсѣ геометріи“.—Л. Киселевъ Алгориѳмъ Бине и его употребленіе въ древности.—В. Бобынинъ. Аксіомы порядка (теорема Моора).—А. Волковъ. Пятидесятилѣтіе педагогической дѣятельности Е. М. Пржевальскаго. Съѣзды преподавателей физики въ Россіи.—Я. Москвинъ. Задачи. Рѣшенія задачъ. Библіографическій отдѣлъ. Отъ организаціоннаго Комитета 2-го Всероссійскаго Съѣзда Преподавателей Математики. Краткій отчетъ о засѣданіяхъ Московскаго Математическаго Кружка. Новыя книги

Составъ Московскаго Математическаго Кружка въ 1913 г.

Предсѣдатель: Млодзѣевскій, Болеславъ Корнеліевичъ.

Товарищъ предсѣдателя: Власовъ, Алексѣй Константиновичъ.

Секретари: Волковъ, Александръ Александровичъ.

Лебель, Лидія Игнатьевна.

Редакторъ журнала: Чистяковъ, Іоасафъ Ивановичъ.

Казначей редакціи: Гусевъ, Ѳедоръ Васильевичъ.

Завѣдующая библіотекой: Цвѣткова, Анастасія Николаевна.

Члены:

Александрова, Олимпіада Николаевна.

Александровъ, Иванъ Ивановичъ.

Алмоевъ, Амаянъ Карапетовичъ.

Алферова, Александра Самсоновна.

Андреевъ, Алексѣй Константиновичъ.

Андреевъ, Константинъ Алексѣевичъ.

Баевъ, Константинъ Львовичъ.

Барановъ, Петръ Алексѣевичъ.

Безруновъ, Алексѣй Герасимовичъ.

Бергъ, Мартинъ Ѳедоровичъ.

Бобынинъ, Викторъ Викторовичъ.

Богдановъ, Романъ Николаевичъ.

Бондаревъ, Сергѣй Ивановичъ.

Бородкина, Зинаида Викторовна.

Бреневъ, Евгеній Константиновичъ.

Бубликъ, Гавріилъ Григорьевичъ.

Бугославская, Наталья Григорьевна.

Бутягинъ, Алексѣй Сергѣевичъ.

Бухаринъ, Иванъ Гавриловичъ.

Бюшгенсъ, Сергѣй Сергѣевичъ.

Бѣлоруссова, Наталья Васильевна.

Васильевъ, Александръ Васильевичъ.—Спб.

Виноградовъ, Корнелій Никитичъ.

Виноградовъ, Сергѣй Петровичъ.

Воиновъ, Александръ Даниловичъ — Павловскъ, Ворон. губ.

Волковскій, Димитрій Лукичъ.

Волковъ, Александръ Александровичъ.

Воронецъ, Александръ Митрофановичъ.

Воскресенскій, Михаилъ Александровичъ.

Вяземская, Любовь Орестовна.

Галанинъ, Димитрій Димитріевичъ.

Гаряевъ, Николай Петровичъ.

Гильвегъ, Владимиръ Карловичъ — Зарайскъ, Ряз. губ.

Глаголева, Александра Александровна.

Глаголевъ, Николай Димитріевичъ.

Глаголевъ, Сергѣй Александровичъ.

Голубевъ, Владимиръ Васильевичъ.

Горстъ, Анатолій Михайловичъ.

Гойлевичъ, Іосифъ Георгіевичъ.

Грасмикъ, Людвигъ Людвиговичъ.

Губкина, Анна Сергѣевна.

Гурвицъ, Юлій Осиповичъ.

Давыдовъ, Владимиръ Савичъ.

Дасмановъ, Сергѣй Петровичъ.

Дмитровскій, Арсеній Арсеньевичъ.

Добродѣева, Ольга Васильевна.

Домбровскій, Владимиръ Родіоновичъ.

Донде, Абрамъ Моисеевичъ.

Егоровъ, Димитрій Ѳедоровичъ.

Егоровъ, Ѳедоръ Ивановичъ.

Ермолова, Ольга Всеволодовна.

Еше, Татьяна Ѳедоровна.

Ефремовичъ, Василій Порфиріевичъ.

Жегалкинъ, Иванъ Ивановичъ.

Жилинскій, Александръ Ивановичъ.

Запольская, Любовь Николаевна.

Зегеръ, Сергѣй Матвѣевичъ.

Зерчениновъ, Николай Тимофеевичъ.

Зотикова, Екатерина Евгеньевна.

Ивановъ, Петръ Михайловичъ.

Игнатовъ, Алексѣй Андреевичъ.

Извольскій, Николай Александровичъ.

Каганъ, Веніаминъ Ѳедоровичъ—Одесса.

Казанская, Лариса Александровна.

Казачкинъ, Павелъ Степановичъ.

Карасевъ, Павелъ Алексѣевичъ.

Каспарьянцъ, Василій Вартановичъ.

Кашинъ, Николай Владимировичъ.

Константиновъ, Георгій Ивановичъ.

Коробкинъ, Ѳедоръ Семеновичъ.

Королевъ, Георгій Герасимовичъ.

Котовичъ, Владимиръ Ильичъ.

Косминковъ, Алексѣй Павловичъ.

Краснопѣвцевъ, Иванъ Васильевичъ.

Кудрявцевъ, Всеволодъ Александровичъ.

Кузнецовъ, Владимиръ Николаевичъ.

Крыжановскій, Димитрій Антононичъ.

Лаврова, Наталья Алексѣевна.

Лавровъ, Вячеславъ Михайловичъ.

Лапшинъ, Сергѣй Ивановичъ.

Лариковъ, Романъ Васильевичъ.

Лебединцевъ, Константинъ Феофановичъ.

Левитусъ, Давидъ Моисеевичъ—Спб.

Лейнѣкъ, Эдгаръ Юрьевичъ.

Либерманъ, Александръ Августовичъ.

Липингъ, Иванъ Ивановичъ.

Лобовиковъ, Георгій Ивановичъ.

Лубны-Герцыкъ, Елисавета Александровна.

Лузинъ, Николай Николаевичъ.

Лѣтникъ, Александръ Львовичъ.

Ляминъ, Александръ Александровичъ.

Мазингъ, Евгеній Карловичъ.

Мазингъ, Карлъ Карловичъ.

Макшеевъ, Захаръ Андреевичъ-Спб.

Мансбахъ, Фелиція Францевна.

Марчевская, Елена Николаевна—Харьковъ.

Масленникова, Варвара Васильевна.

Масленниковъ, Николай Петровичъ.

Мейеръ, Павелъ Константиновичъ.

Млодзѣевскій, Анатолій Болеславовичъ.

Морозова, Ольга Константиновна.

Морошкинъ, Александръ Ивановичъ.

Наумовъ, Сергѣй Ильичъ.

Невядомскій, Романъ Викентьевичъ.

Недачина, Анна Павловна.

Некрасовъ, Александръ Ивановичъ.

Немыцкій, Владимиръ Васильевичъ.

Ненсбергъ, Владимиръ Оттоновичъ.

Никитинъ, Владимиръ Васильевичъ.

Никольскій, Василій Николаевичъ.

Острейко, Семенъ Павловичъ.

Ольсенъ, Ольга Оскаровна.

Орлицкій, Николай Людвиговичъ — Харьковъ.

Павлова, Анастасія Ивановна.

Петровъ, Александръ Васильевичъ.

Печковскій, Валерьянъ Константиновичъ.

Писаревъ, Владимиръ Петровичъ.

Піотровскій, Борисъ Брониславовичъ — Спб.

Плескачевскій, Николай Павловичъ.

Плеханова, Надежда Георгіевна.

Побѣдинъ, Алексѣй Андреевичъ.

Погодицкій, Вячеславъ Артемьевичъ.

Подпалый, Александръ Ѳедоровичъ.

Полетаевъ, Иванъ Ивановичъ.

Поллакъ, Іосифъ Ѳедоровичъ.

Поляковъ, Алексѣй Петровичъ.

Поповъ, Павелъ Ивановичъ.

Попруженко, Михаилъ Григорьевичъ—Спб.

Поссе, Константинъ Александровичъ — Спб.

Потоцкій, Павелъ Ивановичъ.

Пржевальскій, Евгеній Михайловичъ.

Рашевскій, Константинъ Николаевичъ.

Репманъ, Альбертъ Христіановичъ.

Рисъ, Людвигъ Ѳедоровичъ.

Рыбкинъ, Николай Александровичъ.

Ряднова, Таисія Николаевна.

Сагинова Надежда Николаевна.

Сапожникова, Тамара Аркадьевна.

Сваричевскій, Тарасъ Ѳедоровичъ.

Свѣнцицкій, Владимиръ Павловичъ.

Севастьяновъ, Леонидъ Степановичъ.

Синцовъ, Димитрій Матвѣевичъ — Харьковъ.

Ситарская, Нина Адріановна.

Соколовъ, Иванъ Ивановичъ.

Соколовъ, Митрофанъ Александровичъ.

Соловьевъ, Александръ Васильевичъ.

Софроновъ, Сергѣй Александровичъ.

Сперанскій, Евгеній Венедиктовичъ.

Струве, Рудольфъ Эрнестовичъ.

Сухарникова, Анна Михайловна—Вязьма, Смол. губ.

Теодоровичъ, Иванъ Григорьевичъ.

Терентьевъ, Петръ Никитичъ.

Томашевичъ, Евгеній Станиславовичъ.

Финиковъ, Сергѣй Павловичъ.

Флеровъ, Иванъ Александровичъ.

Фриденбергъ, Викторъ Эрнестовичъ.

Фридманъ, Владимиръ Георгіевичъ.

Цубербиллеръ, Ольга Николаевна.

Чулицкій, Николай Николаевичъ.

Шаблинскій, Василій Семеновичъ.

Шапошниковъ, Александръ Николаевичъ.

Шатуновскій, Самуилъ Осиповичъ—Одесса.

Шишкина, Ольга Ивановна.

Шохоръ-Троцкій, Семенъ Ильичъ—Спб.

Эренфестъ, Татьяна Алексѣевна—Спб.

V-й Международный Математическій Конгрессъ въ Кембриджѣ.

(21—28 августа н. ст. 1912 г.).

Д. Синцовъ. Харьковъ.

Мною уже напечатанъ краткій отчетъ о Кембриджскомъ съѣздѣ на страницахъ „Вѣстника Опытной Физики и Элементарной Математики“ (№ 569). Когда редакторъ „Математическаго Образованія“ выразилъ пожеланіе, чтобы мною былъ данъ отчетъ и на страницахъ этого журнала, проще всего было бы перепечатать тотъ мой отчетъ. Но съ тѣхъ поръ появился подробный отчетъ о съѣздѣ, составленный Н. Fehr’омъ (Enseignement mathématique) [номеръ отъ 15, XI, 1912] и посвященный засѣданіямъ секціи IV (преподаваніе математики). Въ немъ помѣщены интереснѣйшія пренія по докладамъ С. Runge и D. Е. Smith’a. Вотъ почему лучше написать другую статью, тѣмъ болѣе, что въ „Математическомъ Образованіи“ умѣстно сдѣлать нѣкоторое сравненіе съ двумя другими съѣздами, которымъ въ „Вѣстникѣ Опытной Физики“ были въ свое время посвящены отдѣльныя статьи.

I.

21—28 августа н. ст. истекшаго года состоялся международный математическій конгрессъ въ Кембриджѣ, по счету 5-й. Первый былъ въ Цюрихѣ въ 1896 г., второй—въ Парижѣ въ 1900 г., третій—въ Гейдельбергѣ въ 1904 г., 4-й—въ Римѣ въ 1908 г. По личному впечатлѣнію я могу судить только о конгрессахъ Парижскомъ и Римскомъ,—на Цюрихскомъ и Гейдельбергскомъ мнѣ быть не привелось.

Поэтому только съ этими двумя я могу сравнивать, но зная Цюрихъ и Гейдельбергъ, можно мнѣ кажется сказать, что именно съ этими двумя съѣздами Кембриджскій долженъ былъ имѣть наибольшее сходство.

Дѣйствительно, конгрессы, пріурочиваемые къ такимъ міровымъ столицамъ, какъ Парижъ и Римъ, пріобрѣтаютъ совсѣмъ иной характеръ. Слишкомъ сильное впечатлѣніе оказываетъ самый городъ, слишкомъ много вниманія отдается ему; вниманіе разбивается, и въ концѣ не знаешь, чему больше отдавался—съѣзду или городу. Въ Парижѣ при томъ была въ 1900 году всемірная выставка, привлекавшая и поражавшая умѣньемъ французовъ сдѣлать привлекательнымъ и поучительнымъ это всемірное тор-

жище, этотъ самый усовершенствованный типъ рекламы, до какой додумался капиталистическій строй. Французы, надо отдать имъ справедливость, съумѣли отвести благамъ духовнымъ не меньшее мѣсто, чѣмъ матеріальнымъ: независимо отъ обширнаго и интереснѣйшаго отдѣла образованія, они устроили еще цѣлый рядъ самыхъ различныхъ конгрессовъ,—что конечно съ другой стороны не мало содѣйствовало и матеріальному успѣху выставки. Но на математическомъ конгрессѣ это отозвалось не особенно благопріятно: втиснутый между Congrès des Sourds-Muets и Congrès des pompiers, онъ и залу для торжественныхъ засѣданій получилъ на самомъ верху и секціонныя засѣданія происходили въ 3-ьемъ этажѣ Сорбонны. Но здѣсь насъ принималъ весь цвѣтъ французской математической науки съ Poincaré и Darboux во главѣ; секретаремъ былъ тогда еще совсѣмъ молодой, но уже прославившійся Е. Borei, и мы, русскіе, тогда и не предполагали, что именно онъ будетъ руководителемъ въ занятіяхъ парижскихъ стипендіатовъ русскаго Министерства Народнаго Просвѣщенія.

Совсѣмъ иной характеръ носилъ съѣздъ въ Римѣ. Въ стѣнахъ вѣчнаго города насъ приняли очень радушно. На открытіи присутствовалъ итальянскій король, насъ принимали и угощали и въ Капитоліи и Палатинѣ. Для засѣданій намъ отвели прекраснѣйшій Palazzo Corsini. А прогулки по Forum Romanum, въ Колизеѣ, по Via Appia. Итальянцы устроили конгрессистамъ даже удешевленный проѣздъ по круговымъ поѣздкамъ по всей Италіи, прибавивъ только предусмотрительно, что требуется непремѣнно заѣхать въ Римъ въ началѣ Конгресса. Въ этомъ, конечно, надобности, можетъ быть и не было для математиковъ, но это устраняло злоупотребленіе постороннихъ.—Итальянцы сдѣлали однако еще больше: они постарались намъ показать воочію результаты своего научнаго Risorgimento, совпадающаго съ политическимъ. Всѣ наиболѣе видные итальянскіе математики приняли дѣятельнѣйшее участіе въ работахъ конгресса. Любезные хозяева, они усердно ухаживали за своими гостями, особенно французами, наиболѣе хорошо представленными. И чувствовалось, что культурно итальянцы все же ближе съ Франціей, чѣмъ съ Германіей, своей политической союзницей. Къ тому же нѣмцы, многочисленные на Парижскомъ Конгрессѣ, въ Римѣ были представлены сравнительно слабо.

Въ сравненіи съ этими блестящими Конгрессами Кембриджскій Конгрессъ производилъ разумѣется впечатлѣніе нѣсколько сѣрое. Не было оффиціальной помпы; не было и роскошныхъ декорацій. Это былъ дѣловой съѣздъ. Сыграло роль и англійское небо, на эту недѣлю сѣрое и хмурое, часто мочившее насъ дождемъ. И переѣздъ черезъ Ламаншъ былъ для многихъ памятенъ, особенно для тѣхъ жителей Континента, для которыхъ это былъ первый переѣздъ по морю. Но послѣ этого перваго искуса, знакомство, хотя и бѣглое съ Лондономъ, настраивало на новый ладъ. Британскій Музей, Національная Галлерея, Вестминстерское аббатство, церковь Св. Павла промелькнули какъ въ калейдоскопѣ, и мы снова въ поѣздѣ несущемъ насъ вдаль отъ столичнаго шума,

въ тихій университетскій городъ. Кембриджъ и Оксфордъ, вотъ два имени, которые приходятъ Вамъ въ голову, когда рѣчь заходитъ объ университетахъ Англіи. Это два наиболѣе типичныхъ для старо-англійскаго дѣйствительно университетскаго строя.

Намъ русскимъ болѣе знакомы германскіе университеты, и когда говорятъ о маленькихъ университетскихъ городахъ, существующихъ университетомъ и для университета, то въ голову приходятъ именно германскіе университетскіе города въ родѣ Гёттингена.

Но еще въ гораздо большей степени таковъ Кембриджъ. Университетъ, его многочисленные колледжи—это все. Остальное— это то, что служитъ университету и потребностямъ его и его персонала. Не всегда, конечно, такъ было, и въ старину городъ имѣлъ самостоятельное значеніе—пограничной крѣпости и ярмарочнаго пункта, задолго до возникновенія въ немъ первыхъ скромныхъ зачатковъ того, что стало съ теченіемъ времени Кембриджскимъ Университетомъ. Не существуетъ опредѣленной даты, къ которой можно было бы отнести основаніе университета, и неизвѣстно въ какое время образовалось въ Кембриджѣ первое ядро преподавательской корпораціи. Первыя историческія свѣдѣнія относятся къ царствованію Генриха III (1216—1272), сына Іоанна Безземельнаго и университетъ выступаетъ уже тогда какъ сложившаяся сильная корпорація*). Но англійскій университетъ сложился совершенно своебразно. На частныя пожертвованія возникли полумонастырскаго характера общежитія—колледжи, въ которыхъ въ значительной мѣрѣ и проходятъ занятія студента. Колледжи соединяются между собою и приглашаютъ лекторовъ и преподавателей, которые и подготовляютъ студентовъ къ экзаменамъ.

Благодаря этому до самаго послѣдняго времени объединяющимъ элементомъ, собственностью всего университета были университетская библіотека и Examination Hall. Только съ развитіемъ естественныхъ наукъ необходимость устраивать лабораторіи оказывается не по средствамъ отдѣльнымъ колледжамъ, и возникаютъ—въ 1872 г Cavendish Laboratory — физическая лабораторія, построенная на средства герцога Девонширскаго, въ 1888 закончена химическая лабораторія, въ 1894 открыта лабораторія практической механики и инженернаго искусства (for Mechanic and Engineering).

Совершенно своеобразная жизнь англійскаго студенчества, въ общемъ принадлежащаго къ сравнительно зажиточнымъ классамъ, заслуживала бы особаго описанія.

И одною изъ привлекательныхъ сторонъ съѣзда было то, что мы имѣли возможность прожить недѣлю въ обстановкѣ англійскаго колледжа, и до нѣкоторой степени познакомиться съ его внутреннею жизнью.

Конечно одного элемента—студентовъ—не хватало, но только

*) Первое упоминаніе относится къ 1229 году. Права студентамъ даны въ 1231 г.

благодаря этому намъ и могли быть открыты двери этихъ современныхъ монастырей науки.

Перехожу однако къ работамъ самаго съѣзда.

Его открылъ своею привѣтственною рѣчью предсѣдатель организаціоннаго Комитета и Кембриджскаго Философскаго Общества сэръ Дж. Дарвинъ, сынъ знаменитаго естествоиспытателя. Свою рѣчь онъ посвятилъ воспоминаніямъ и оцѣнкѣ того, кто бы долженъ быть президентомъ съѣзда—А. Пуанкаре. Увы, не много прошло съ тѣхъ поръ времени, и самъ онъ сошелъ уже въ могилу.

Работы съѣзда распадались на три части, какъ и всегда.

Во-первыхъ рѣчи на общихъ собраніяхъ, произносимыя видными представителями науки на заранѣе намѣченныя темы, далѣе частныя сообщенія и доклады, заслушиваемые на секціонныхъ засѣданіяхъ и въ третьихъ обсужденіе предложеній, внесенныхъ вновь или разрабатывавшихся въ промежуткѣ между двумя съѣздами. Я остановлюсь главнымъ образомъ на послѣдней части работы Съѣзда.

Я остановлюсь особенно на третьей части и лишь вкратцѣ коснусь двухъ первыхъ сторонъ дѣятельности съѣзда.

Рѣчь Ф. Енрикеса, (Fed. Enriques, Болонья) „Значеніе критики въ развитіи математическихъ наукъ“. Критика принциповъ занимаетъ вниманіе математиковъ. Анализъ понятій предѣла и функцій, изысканія вытекающія изъ теоріи параллельныхъ и не-евклидовой геометріи, новѣйшія изслѣдованія относительно основаній геометріи проэктивной и „Analysis Situs“, относительно многообразій многихъ измѣреній, относительно преобразованій и ихъ группъ; наконецъ теорія множествъ (ансамблей) и разсужденія о безконечномъ и актуальномъ безконечномаломъ подняли массу вопросовъ и привлекаютъ философскіе умы. И встаетъ вопросъ, каково же по существу значеніе критики принциповъ и какое мѣсто принадлежитъ ей въ успѣхахъ нашей науки. И на рядѣ примѣровъ проф. Энрикесъ доказывалъ, что критическое направленіе отнюдь не вредитъ прогрессу науки и всегда сопровождало ея историческое развитіе. Онъ говорилъ о континуумѣ и методахъ безконечно-малыхъ у грековъ, объ основаніи исчисленія безконечно-малыхъ, о критикѣ его основныхъ понятій и о новѣйшемъ развитіи варіаціоннаго исчисленія, произвольныхъ функціяхъ и современной разработкѣ понятія о континуумѣ, объ уравненіяхъ и воображаемыхъ числахъ, теоріи алгебраическихъ функцій Риманна и критикѣ принциповъ геометріи, и на этихъ примѣрахъ доказывалъ справедливость своего тезиса*).

Другіе доклады: Е.— W. Brown'a (Yale University): періодичность въ солнечной системѣ, которые докладчикъ закончилъ свидѣтельствованіемъ уваженія памяти А. Пуанкаре, Е. Landau: рѣшенныя и не рѣшенныя проблемы изъ теоріи распредѣленія про-

*) Рѣчь была произнесена Ф. Энрикесомъ по итальянски; присутствующимъ раздавался французскій текстъ ея, напечатанный въ журналѣ Sciéntia. т. 6.

стыхъ чиселъ и риманновой функціи—зета. Докладчикъ, выпустившій недавно обширное двухтомное сочиненіе, посвященное этой теоріи, далъ обзоръ начиная съ простѣйшихъ понятій и кончая еще не рѣшенными вопросами въ этой области. Академикъ кн. Б. Голицынъ прочелъ по англійски докладъ по инструментальной сейсмологіи, основная задача которой—опредѣленіе истиннаго движенія почвы въ данный промежутокъ и требуетъ примѣненія математическихъ методовъ. Въ заключеніе докладчикъ воздалъ должное заслугамъ англійскихъ ученыхъ въ этой области.

На 3-ьемъ общемъ собраніи Е. Bord прочелъ рѣчь: опредѣленіе и область существованія функцій моногенныхъ однозначныхъ. Напомнивъ происхожденіе идеи функціи Борель изложилъ различныя точки зрѣнія аналитическія и геометрическія, на которыя становились при изученіи теоріи аналитическихъ функцій. Онъ отмѣтилъ различія между функціями моногенными и функціями аналитическими и въ заключеніе указалъ на аналогію между теоріей функцій комплекснаго перемѣннаго и теоріей потенціала.

Болѣе общій характеръ носилъ докладъ сэра Вильяма Уайта (Will. Н. White). Мѣсто математики въ инженерной практикѣ. Математика—первая между науками, обширными познаніями въ которыхъ долженъ обладать инженеръ. Съ теченіемъ времени математики и инженеры научились лучше понимать другъ друга, а потому и быть болѣе полезными одни другимъ. Но между тѣми и другими существенное различіе: математикъ разсматриваетъ работу инженера съ научной точки зрѣнія, стараясь сдѣлать математику полезной для инженера, вырабатывая теоріи и разыскивая формулы; инженеръ имѣетъ своею главною задачей дѣйствительное выполненіе работъ стремясь осуществить насколько возможно условія прочности, экономіи и коммерческаго успѣха. Помощь, которую математикъ приноситъ инженеру, заключаетея въ развитіи математическихъ теорій, основанныхъ на гипотезахъ, подтверждаемыхъ наблюденіями и практикой прошлаго. Ранѣе люди науки полагали, что чистая математика сама по себѣ можетъ руководить работою инженера. Теперь это уже признано недостаточнымъ,—лучшія услуги математиковъ инженеру въ томъ, чтобы внушить ему наилучшія методы экспериментальнаго изслѣдованія, установить общіе принципы, основанные на анализѣ и опытѣ и выработать практическія правила, основываясь на этихъ научныхъ принципахъ. Характерная иллюстрація разницы методовъ прошлаго и настоящаго— сравненія работъ Д. Бернулли (XVIII в.) и В. Фроуца (XIX в.) о движеніи судовъ по волнамъ. Д. Бернулли получившій въ 1757 г. премію въ Парижской Академіи былъ прекраснымъ математикомъ, но очень мало зналъ море и корабли; его мемуаръ— математическій трактатъ, но его практическія правила, основанныя на гипотезахъ, не соотвѣтствующихъ дѣйствительности, были неправильны. В. Фроудъ былъ опытный инженеръ, обладавшій хорошими математическими познаніями и математическимъ ду-

хомъ, но имѣвшій кромѣ того большое знаніе моря и кораблей и крупные таланты экспериментатора. Онъ взялся за тотъ же вопросъ, основывая свои математическія изслѣдованія на опытѣ и наблюденіи и ему удалось достичь полезныхъ результатовъ для практики кораблестроенія. Многое уже сдѣлано благодаря совмѣстной работы математика и инженера. Еже больше можно ожидать впредь, когда взаимныя отношенія математики и инженернаго искусства будутъ лучше поняты.

Дальнѣйшія доклады въ общихъ собраніяхъ:

М. Bôcher (Harvord Univ.): задачи при границахъ въ одномъ измѣреніи. Дж. Ларморъ (Кембриджъ). Динамика радіаціи. Такимъ образомъ какъ и подобало Кембриджу, гдѣ жилъ и воспитывался Ньютонъ, главное мѣсто въ этихъ докладахъ было отдано прикладной математикѣ.

Не буду перечислять названій докладовъ по отдѣльнымъ секціямъ*) какъ носившихъ спеціальный характеръ.

Ограничусь лишь четвертой секціей и въ частности ея подсекціей, посвященной преподаванію математики, засѣданія которой происходили совмѣстно съ собраніями Международной Комиссіи по преподаванію математики и составляли какъ бы ІІ-ой международный съѣздъ по преподаванію математики, организованный по тому же плану что и первый устроенный Комиссіей въ сентябрѣ 1911 года въ Миланѣ.

II.

Предсѣдатель Центральнаго Комитета проф. Ф. Клейнъ не могъ пріѣхать на конгрессъ, и по порученію Центральнаго Комитета его товарищъ предсѣдателя, маститый Сэръ Дж. Гринхиль (G. Greenhill) выступилъ на первомъ общемъ собраніи 22, VIII съ краткимъ заявленіемъ о томъ, въ какомъ положеніи находится дѣло, возложенное на Комиссію, и сообщилъ, что въ заключительномъ засѣданіи Конгресса Комиссія имѣетъ въ виду выступить съ предложеніемъ продолжить ея полномочія.

Послѣ засѣданія центральнаго Комитета 21. VIII въ 9 ч. и засѣданія делегатовъ того же числа въ 3 ч. дня, на которомъ генеральный секретарь представилъ финансовый отчетъ за 1908—1912 гг. и вышеупомянутаго выступленія проф. Гринхилля на общемъ собраніи 22. VIII первое засѣданіе Комиссіи совмѣстно съ секціей IV в. состоялось 23. VIII въ 9Ѵ2 утра, открытое С. Godfrey’eмъ президентомъ секціи предложившимъ вниманію собравшихся программу занятій и передавшимъ предсѣдательство D. Е. Smit’y. Послѣ обычныхъ привѣтствій того и другого и посылки телеграм-

*) Ихъ было 4 (а считая и подсекціи 6).

I. Ариѳметика, алгебра, Анализъ.

II. Геометрія.

ІІІа. Механика, математическая физика, астрономія.

ІІІb. Экономическія науки, страхованіе, статистика.

ІVa. Философія и исторія математики.

ІVb. Преподаваніе математики.

мы проф. Клейну секретарь Комиссіи проф. H. Fehr доложилъ общій отчетъ объ организаціи и дѣятельности Комиссіи за 1908— 1912 гг., затѣмъ делегаты отдѣльныхъ странъ доложили о состояніи работъ ихъ родины; за отсутствовавшихъ докладывалъ также проф. Fehr. Закончены и представлены отчеты 9 странъ: Швеціи, Голландіи, Франціи, Швейцаріи, Австріи, Японіи, Соединенныхъ Штатовъ, Великобританіи (2 тома) и Даніи. Еще не закончены, но уже въ печати отчеты въ 8 странахъ: Германіи, опубликовано 25 тетрадей изъ предположенныхъ 36, Бельгіи*), Испаніи, Венгріи, Италіи, Норвегіи, Румыніи и Россіи.—Такимъ образомъ, въ Соединенныхъ Штатахъ вопреки мнѣніямъ скептиковъ работа оказалась законченной.

Интересный докладъ о немъ сдѣлалъ J. W. А. Joimg (Chicago).

Отчетъ Соед. Штатовъ состоитъ изъ общаго отчета, дающаго общій очеркъ цѣлаго и 20 спеціальныхь отчетовъ, трактующихъ отдѣльныя области и въ совокупности дающіе полный очеркъ математическаго преподаванія въ Соед. Штатахъ. Его значительная однородность обусловливается не законодательствами, предоставляющими организацію народнаго образованія вѣдѣнію отдѣльныхъ Штатовъ, а однородности мысли и жизни на всей территоріи Соединенныхъ Штатовъ. Нормально ученикъ проходитъ по порядку, а) дѣтскій садъ (Kindergarten) 3 года (отъ 3 до 6 л.), элементарную школу 8 л. (отъ 6-лѣтняго возраста); средняя школа (secondary School) 4 года (поступленіе въ 14 л. возрастѣ), колледжъ или учрежденіе того же типа 4 года (возрастъ поступленія—18 лѣтъ); университетъ или учрежденіе того же типа— 3 или болѣе лѣтъ (возрастъ поступленія—22 года). Одна изъ важнѣйшихъ задачъ Американскаго преподаванія математики— отъ низшихъ до высшихъ ступеней — надлежащая подготовка преподавательскаго персонала. Въ настоящее время 415 учителей элементарныхъ школъ — женщины, и при томъ лишь немногія остаются въ школѣ на болѣе продолжительный срокъ. Задача подготовки такой арміи учительницъ, большая часть которыхъ по истеченіи сравнительно короткаго срока уходятъ, было и есть одною изъ большихъ трудностей, и вліяніе этого на Американское образованіе вообще и на элементарную математику въ частности весьма серьезно.— Вопросъ объ улучшеніи преподаванія ариѳметики очень волновалъ въ послѣдніе годы, и это имѣло хорошіе результаты: устраненіе большей части устарѣлыхъ приложеній изъ курса ариѳметики, введеніе въ значительномъ процентѣ современнаго матеріала въ задачахъ, лучшая группировка ариѳметическаго матеріала съ цѣлью возбуждать интересъ и идти на встрѣчу непосредственнымъ нуждамъ ребенка, считаясь съ его психологіей, въ третьихъ приспособленіе задачъ къ мѣстнымъ условіямъ, признанное важнымъ самими учителями и со-

*) Пользуюсь случаемъ исправить сдѣланную въ предыдущей статьѣ ошибку: Бельгійскій отчетъ не исчерпывается опубликованнымъ томомъ. Долженъ появиться еще второй томъ съ двумя очерками: Математика въ промышленныхъ и профессіональныхъ школахъ—Rombaux и преподаваніе математики въ университетахъ и высшихъ учебныхъ заведеніяхъ—J. Neuberg.

кращеніе (благодаря устраненію устарѣлаго матеріала) времени отводимаго на ариѳметику съ введеніемъ въ замѣнъ того года алгебры и геометріи. Ростъ городовъ и промышленности приводитъ къ замѣнѣ сельскохозяйственныхъ задачъ задачами изъ городской и промышленной жизни.—Средняя школа распадается на общую и техническую,—послѣдняя выросла за послѣднія десятилѣтія и слишкомъ разнообразна по типамъ, и приспособленіе курса математики средней школы къ разнообразнымъ потребностямъ технической—очередная задача, привлекающая къ себѣ вниманіе американскихъ педагоговъ. Что касается до средней школы общаго типа, то интересъ къ преобразованію ея курса математики возбудился въ послѣднее время подъ вліяніемъ дѣятельности Международной Комиссіи. Курсъ математики средней школы съ 4-хъ лѣтнимъ курсомъ въ большинствѣ случаевъ мало уклоняется отъ такой схемы:

1- й годъ: Первый курсъ алгебры.

2- й годъ: Планиметрія—начинается и оканчивается.

3- й годъ: 1-ое полугодіе: второй курсъ алгебры (включая квадратныя уравненія).

2-ое полугодіе: Стереометрія—начинается и оканчивается.

4- й годъ: 1-ое полугодіе: Третій курсъ алгебры.

2-ое полугодіе: Плоская тригонометрія.

Курсы первыхъ двухъ лѣтъ обязательны, двухъ послѣднихъ,— обыкновенно факультативны.—Есть стремленія съ одной стороны къ упрощенію преподаванія, съ другой къ перераспредѣленію матеріала—чтобы алгебра и геометрія преподавались одновременно. Это связано съ подготовкою преподавателей, и признается, что при легкомъ измѣненіи преподаванія въ колледжахъ можно бы требовать такой минимальной подготовки для преподаванія въ среднихъ школахъ:

a) тригонометрія, алгебра („College algebra“), аналитическая геометрія;

b) низшая геодезія или начертательная геометрія, или элементарная астрономія (космографія);

c) дифференціальное и интегральное исчисленіе съ приложеніями къ геометріи, механикѣ и физикѣ;

d) современная геометрія (проэктивная);

e) основанія аналитической механики;

f) основанія теоретической и опытной физики;

g) алгебра съ современной точки зрѣнія;

h) одинъ или нѣсколько курсовъ вводящихъ въ важныя области современной математики;

i) одинъ или нѣсколько курсовъ по исторіи математики;

j) одинъ или нѣсколько курсовъ по преподаванію математики.

Опускаю дальнѣйшія замѣчанія докладчика о преподаваніи въ колледжахъ и въ высшихъ учебныхъ заведеніяхъ. Здѣсь же умѣстно упомянуть, что Bureau of Education издаетъ составленную D. Е. Smith'ом и С. Goldzilier (Budapest) библіографію препо-

даванія математики, содержащую до 2000 заглавій за 1900—1912 гг. Первоначальный матеріалъ содержалъ 5000 заглавій, съѣздъ въ своемъ засѣданіи 27 VIII призналъ желательнымъ опубликованіе этой библіографіи полностью. Но для этого понадобится сотрудничество представителей различныхъ странъ.

Крупный интересъ представляетъ двухтомный отчетъ, опубликованный англійскою делегаціей. Но я не имѣю возможности на немъ здѣсь останавливаться, чтобы не затянуть чрезмѣрно своего и безъ того уже разростающагося отчета, въ которомъ я еще не коснулся быть можетъ наиболѣе интересныхъ для читателей „Математическаго Образованія“ пунктовъ съѣзда.

Второе засѣданіе 27 августа было цѣликомъ посвящено докладу С. Runge: Объ анкетѣ устроенной по вопросу о математической подготовкѣ для избирающихъ своею спеціальностью физику.

Вопросникъ анкеты, выработанный С. Runge, былъ таковъ:

1. Каковы тѣ вѣтви математики, которыя должны входить въ составъ регулярнаго обученія физика? Дѣлается ли въ математической подготовкѣ физика разница въ зависимости отъ того, спеціализируется ли онъ по опытной или по теоретической физикѣ? Принимаютъ ли профессора математики въ соображеніе нужды физиковъ? Есть ли курсы математики спеціально предназначенные для физиковъ? Въ какой мѣрѣ и съ какой точки зрѣнія принимаютъ математики участіе въ курсахъ а) механики, б) въ другихъ курсахъ, въ особенности такихъ, которыя относятся къ современной области математической физики?

2. Въ какой мѣрѣ распространены въ университетахъ современные графическіе методы интеграціи и номографіи? Рекомендуется ли изучающимъ физику изучать начертательную геометрію, численный счетъ, численное рѣшеніе дифференціальныхъ уравненій и методъ наименьшихъ квадратовъ?

Обучаются ли они обращенію съ математическими инструментами, какъ то счетной линейкой, счетной машиной и планиметрами, существуютъ ли для этого особые курсы или это дѣлается на практическихъ занятіяхъ по физикѣ?

3. Какова организація математическихъ упражненій, предназначенныхъ для физиковъ? Организованы ли они по обычному методу лабораторій? Существуетъ ли личное общеніе профессора или его ассистентовъ съ отдѣльными студентами? Вотъ главные вопросы, поставленные С. Runge. На основаніи отвѣтовъ, поступившихъ изъ Италіи, Австріи, Германіи, Швейцаріи, Голландіи, Англіи и Соединенныхъ Штатовъ составилъ Runge свой отчетъ. Онъ указываетъ, что довольно трудно производить сравненіе, ибо одинъ и тотъ же терминъ, напр., „аналитическая геометрія“ въ разныхъ мѣстахъ означаетъ различныя вещи. Выясняется все же, что предметы преподаванія приблизительно одинаковы, и курсъ математики, проходимый физиками, не имѣетъ никакого прямого отношенія къ ихъ спеціальности, профессора математики мало считаются съ потребностями физиковъ, и никакого различія между изучающими теоретическую и опытную физику, не дѣлается. Runge говоритъ о жалобахъ его корреспондентовъ, что профессора ма-

тематики отдаютъ много времени логическому обоснованію анализа, мало обращаютъ вниманія на то, что нужно для физиковъ (теоремы Грина и Стокса, болѣе примѣнимое на практикѣ трактованіе теоремы Фурье, векторный анализъ). Но главное нужно болѣе тѣсное единеніе математиковъ и физиковъ и измѣненіе духа математическаго преподаванія въ сторону большей практичности и примѣнимости къ физическимъ проблемамъ,—разрывъ теперь широкъ и не стремится съузиться. Графическіе методы распространены, за исключеніемъ Франціи, очень мало, за исключеніемъ начертательной геометріи, которая если ее не сдерживать имѣетъ тенденцію переростать и вытѣснять изъ вниманія студента всѣ остальныя математическія дисциплины; какъ ни важна начертательная геометрія, но очень мало математическихъ изслѣдованій могутъ быть сдѣланы съ ея помощью, и графическое представленіе измѣненій функцій одной или нѣсколькихъ перемѣнныхъ имѣетъ по меньшей мѣрѣ то же значеніе для изучающихъ натуральную философію. Эмпирическія функціи, часто встрѣчающіяся физику, гораздо удобнѣе и легче поддаются графическимъ методамъ, чѣмъ аналитическимъ, и инженеры давно этимъ пользуются, но только съ Massau (Бельгія) и М. d’Ocagne (Парижъ) методы эти разработаны систематически и стали вѣтвью математики, которой однако только во Франціи отдается должное вниманіе преподавателями. Методы графическаго интегрированія данной функціи вещественной или комплексной перемѣнной, обыкновенныхъ дифференціальныхъ уравненій и нѣкоторыхъ уравненій въ частныхъ производныхъ должны бы стать существенною частью интегральнаго исчисленія. Графическіе методы имѣютъ то преимущество, что дѣлаютъ интегрированіе болѣе доступнымъ чѣмъ дифференцированіе и тѣмъ возстановляютъ естественный порядокъ. Численные методы старше графическихъ и потому болѣе извѣстны, но и они слишкомъ заброшены въ математическомъ образованіи студента-физика. Причина та, что большинство профессоровъ математики не чувствуютъ къ нимъ склонности и не имѣютъ вкуса и привычки къ численнымъ выкладкамъ. Еще способъ наименьшихъ квадратовъ читается, но исчисленіе конечныхъ разностей, численное рѣшеніе уравненій, численное нахожденіе интеграловъ и численное рѣшеніе дифференціальныхъ уравненій были бы очень полезны для физиковъ, равно какъ и умѣнье обращаться съ математическими инструментами,—счетной линейкой, интеграфомъ, планиметромъ, счетной машиной. Но для этого необходимы занятія лабораторнаго типа, какія пока привились только по начертательной геометріи. Но по такому же плану занятія должны вестись и по численнымъ и по графическимъ вычисленіямъ, да и по общимъ математическимъ упражненіямъ. Трудность въ математическихъ занятіяхъ студента не столько въ томъ, чтобы понять доказательство математической теоремы, а въ томъ, чтобы схватить ее содержаніе, чтобы видѣть приложимость ея въ разнообразныхъ случаяхъ, чтобы умѣть примѣнить ее. Для изучающихъ физику или инженерное дѣло первѣйшую важность имѣетъ способность примѣнять свои математическія познанія.

которыя безъ этого совершенно не нужны. Но эта способность достигается только упражненіями. По однимъ лекціямъ такъ же нельзя изучить математику, какъ нельзя научиться играть на фортепьяно только слушая игру піаниста. Только при лабораторныхъ занятіяхъ возможна индивидуализація обученія. Кромѣ того графики и употребленіе математическихъ инструментовъ надо показать каждому студенту въ отдѣльности и заставить нѣкоторое время попрактиковаться на глазахъ учителя.

Докладъ вызвалъ оживленныя пренія. Нѣкоторые изъ ораторовъ (напримѣръ, Штеккель) настаивали, что опасно было бы пренебрегать логическою стороною преподаванія; утилитарная сторона не должна доминировать. Другіе указывали, что все сказанное было бы полезно и для спеціализирующихся по чистой математикѣ, и время для этого легко было бы найти за счетъ практическихъ занятій но физикѣ, число которыхъ по признанію самихъ физиковъ*) иногда преувеличено, достаточно было бы отказаться отъ нѣкоторыхъ манипуляцій, мало интересныхъ и не имѣющихъ ни теоретическаго ни практическаго значенія.

Bourlet пообѣщалъ, что французская подкомиссія по этому вопросу издастъ цѣлый томъ.

Е. Borel всецѣло присоединился къ мнѣніямъ выраженнымъ Bunge. Sir Greenhill заявилъ, что онъ вполнѣ подписывается подъ тѣмъ, что сказано о начертательной геометріи, Lanchester (Birmingham) въ своихъ замѣчаніяхъ выступилъ на защиту начертательной геометріи.

Засѣданіе 27 августа было посвящено докладу D. Е. Smith'а по анкетѣ объ интуиціи и экспериментѣ въ математическомъ преподаваніи въ средней школѣ**). Циркулярное обращеніе было составлено D. W. Lietzmann’oмъ, секретаремъ германской подкомиссіи. Оно ограничивало предметъ анкеты ролью того и другого въ высшихъ классахъ средней школы. Отвѣты поступили отъ Dintzl’я (Вѣна), Godfrey (Осборнъ Англія), Bioche (Парижъ, Франція), P. Treutlein’a и W. Lietzmann’a (Германія), H. Fehr’a (Швейцарія), D. Е. Smith и J. W. А. Joung (Соед. Штаты).

Въ Англіи придерживаются мнѣнія, что этимъ методамъ мѣсто въ среднихъ и низшихъ классахъ, но не въ высшихъ. Въ Соединенныхъ Штатахъ за послѣднія 10 лѣтъ было сдѣлано не мало опытовъ начиная съ крайней лабораторной методы съ минимумомъ математики и кончая самымъ абстрактнымъ изложеніемъ въ которомъ интуиція и опытъ не играютъ никакой почти роли.

Переходя затѣмъ къ отдѣльнымъ пунктамъ списка вопросовъ Лицманна, D. Е. Smith изложилъ вкратцѣ общіе результаты, отлагая детальное изложеніе для печати. Мы и ограничимся приведеніемъ этихъ общихъ результатовъ.

Въ дѣлѣ измѣренія и оцѣнки (Mesure et estimation des grandeurs, Messen und Schätzen) болѣе практическая форма повидимому находится въ стадіи развитія, особенно въ Австріи, Германіи и

*) J. J. Thomson.

**) Докладъ напечатанъ полностью бъ „Вѣстникѣ Оп. Физ.“ № 570, 572—3.

Швейцаріи. Англія, Франція и Соединенные Штаты удѣляли повидимому меньше вниманія этимъ вопросамъ или по крайней мѣрѣ получили менѣе опредѣленные результаты. Элементарная тригонометрія обычно начинается въ болѣе раннемъ періодѣ въ первыхъ трехъ странахъ, и это даетъ возможность производить работу на открытомъ воздухѣ съ простыми инструментами на болѣе ранней ступени.

Въ дѣлѣ геометрическаго черченія и графическаго представленія различныя страны находятся въ переходномъ состояніи отъ прежняго положенія, когда этимъ вѣдалъ учитель рисованія, къ тому, когда это относится къ области математики, общая тенденція—разсматривать эти предметы какъ часть математики, но самое содержаніе, даже и терминъ „начертательная геометрія“ еще не установилась. Въ общемъ преподаваніе ведется въ реальныхъ школахъ и не ведется въ гимназіяхъ.

Графическіе методы изображенія функцій становятся всеобщими въ послѣднемъ поколѣніи. Отъ представленія линіей уравненія происходитъ переходъ къ графическому представленію функціи, но все находится еще въ стадіи эксперимента; о значеніи миллиметровой бумаги споровъ нѣтъ, ей даже злоупотребляютъ, слишкомъ растягивая прохожденіе уравненій и доказывая очевидное.

Сокращенные методы вычисленій, усиленно рекомендовавшіеся 50 лѣтъ назадъ, не дѣлаютъ успѣховъ,—чувствуется что они не практичны. Примѣненіе логариѳмовъ напротивъ возрасло, счетная линейка вошла въ фаворъ въ техническихъ школахъ. Графическое вычисленіе и приближеніе корней высшихъ уравненій (по методамъ Runge напримѣръ) не нашло еще себѣ доступа въ школу и трудно сказать, найдетъ ли.

Въ общемъ признаніе роли интуиціи и эксперимента въ математикѣ средней школы сдѣлало большіе успѣхи въ Австріи Германіи и Швейцаріи, чѣмъ въ Англіи, Франціи и Соединенныхъ Штатахъ.

Наиболѣе важными являются однако вопросы о природѣ геометріи и о трактованіи понятія функціи.

Первый изъ этихъ вопросовъ таковъ, насколько геометрія въ средней школѣ должна быть индуктивна и насколько дедуктивна. Немногіе готовы будутъ утверждать въ настоящее время что всего лучше начинать геометрію съ Евклида или Лежандра. Должна быть подготовительная ступень, характеризуемая интуиціей и экспериментомъ. Но сколько времени (lVj, 2 и 3 года) отдавать этому подготовительному курсу, каково должно быть его содержаніе и въ какой мѣрѣ должна интуиція замѣнять Евклидову дедукцію*) на эти и другіе вопросы трудно дать научно-обоснованный отвѣтъ.

Можно сказать вообще, что въ тевтонскихъ странахъ стре-

*) Smith отсылаетъ читателей къ книжкамъ. Р. Treutlein. Der geometrische-Anschauungsunterricht als Unterstufe des zweistufigen geometrischen Unterricht Leipzig. Teubner. 1911. (есть русскій переводъ). H. E. Timerding. Die Erziehung der Anschauung. 1812.

мятся соединить интуитивное изложеніе съ дедуктивнымъ, а во Франціи и теперь въ Англіи индуктивный циклъ предшествуетъ дедуктивному. Въ Соединенныхъ Штатахъ только еще начинаютъ говорить объ этомъ, но замѣтна склонность къ Англо-французскому плану.

Второй важный вопросъ относится къ тому, какъ излагать понятіе о функціи. Если анализъ безконечно-малыхъ уже вводится въ среднюю школу, то его нужно вводить не ex abrupto. Понятія предѣла, измѣняемости, ея мѣры, функціи, графики должны вводиться постепенно и стать настолько ясными, что когда приступимъ къ анализу, они явились бы старыми друзьями. Какъ достичь этого возможно экономичнѣе, одна изъ проблемъ наглядной (интуитивной) математики.

Одинъ изъ интересныхъ фактовъ современной педагогики тотъ, что преподаватели требуютъ исключенія несоизмѣримыхъ чиселъ изъ геометріи, съ тѣмъ только, чтобы встрѣтиться лицомъ къ лицу съ требованіемъ ихъ же для изученія предѣловъ, функцій, и мѣры измѣненія. Движеніе въ пользу выработки понятія функціи еще слишкомъ ново, чтобы судить объ устойчивости его въ средней школѣ,—возникши во Франціи лѣтъ двадцать назадъ и съ силою поддерживаемое лѣтъ десять въ Германіи оно въ разумныхъ границахъ имѣетъ за себя многое*).

Послѣдовавшія за докладомъ пренія частію вносили нѣкоторыя поправки и иллюстраціи къ положенію дѣла въ различныхъ странахъ частію носили общій характеръ.

Такъ С. А. Lаіsаnt выразилъ сожалѣніе, что подкомиссія ограничила изслѣдованіе вопроса среднимъ образованіемъ, а не захватила его во всей широтѣ, отъ перваго знакомства ребенка съ математикою. Thaer, признавая вѣрность характеристики данной D. Е. Smith’омъ положенія дѣла въ Германіи, посвятилъ нѣсколько теплыхъ словъ памяти внезапно скончавшагося поборника наглядности въ геометріи—P. Treutlein’a; указалъ далѣе на тенденцію сначала къ составленію искусственныхъ наглядныхъ пособій, которую смѣнило затѣмъ стремленіе брать матеріалъ изъ окружающаго, чтобы ученикъ пріучался абстрагировать математическія понятія изъ окружающей обстановки и снова къ ней ихъ примѣнять. Примѣненіе черченія кривыхъ и графическихъ рѣшеній по мнѣнію многихъ въ Германіи уже преувеличено. Въ особенности статистическія кривыя часто могутъ скорѣе затемнить понятіе функціи, чѣмъ раскрыть его. Въ географіи онѣ конечно полезны, но въ математикѣ только тогда, когда онѣ приводятъ къ установленію функціональной зависимости. Напримѣръ колебанія курса акцій какой-нибудь промышленной компаніи едва ли могутъ быть въ этомъ полезны, напротивъ вліяніе количества добываемаго золота и серебра на цѣну серебра, поскольку она не измѣняется биржевою спекуляціей, можетъ оцѣнить ученикъ среднихъ классовъ.

*) См. R. Schimmak. Die Entwickelung der mathematischen Unterrichtsreform in Deutschland.

E. Dintzl (Вѣна) говорилъ о положеніи дѣла въ Австріи. Онъ привелъ воззрѣнія проф. Соботка (чеш. унив. въ Прагѣ): „эксперименты (демонстраціи моделей, графическія изображенія и пр.) слѣдуетъ производить учителю и ученику, но только постольку, поскольку онъ помогаетъ самостоятельному постиганію и выработкѣ способности къ пространственному воззрѣнію, заставляетъ обдумывать, или способствуетъ открытію въ изслѣдуемомъ предметѣ новыхъ сторонъ, т.-е. какъ пособіе, а не какъ исключительное средство для достиженія цѣли.

Вотъ наиболѣе интересные моменты преній по поводу доклада D. Е. Smith’a.

Отмѣтимъ въ заключеніе, что въ заключительномъ засѣданіи дѣятельность международной комиссіи продолжена до слѣдующаго VI конгресса, который соберется въ Стокгольмѣ. Въ промежуткѣ предполагается съѣздъ дѣятелей Комиссіи въ Парижѣ въ началѣ апрѣля 1914 г. На порядокъ дня предположено поставить вопросъ о математикѣ въ высшемъ техническомъ образованіи.

Лѣтомъ 1915 г. предполагается съѣздъ въ Гёттингенѣ или Галле, который будетъ посвященъ вопросу о теоретической и практической подготовкѣ преподавателей математики.

Двѣ замѣтки.

В. Соллертинскій. С.-Петербургъ.

I. Интересная статья г. Шлыгина (М. О. 1913 г. стр. 57 — 63) имѣла въ виду доказать существованіе треугольника, стороны котораго пропорціональны произведеніямъ противоположныхъ сторонъ и діагоналей четыреугольника. Но предложеніе это и указанныя въ статьѣ слѣдствія его нѣсколько проще и нагляднѣе выводятся чисто геометрическимъ путемъ.

Положимъ, что окружность АВС (фиг. 1) встрѣчаетъ прямыя DA, DB, DC въ точкахъ А',В',С. Будетъ ли точка D внутри или внѣ круга, по свойствамъ вписанныхъ угловъ треугольники DAB

и DB'А' подобны; а изъ подобія ихъ слѣдуетъ:

откуда

т.-е., отношеніе любой стороны треугольника А'В'С' къ произведенію одноименной съ нею стороны треугольника АВС на разстояніе противолежащей вершины отъ точки D есть величина постоянная; ибо, по извѣстнымъ теоремамъ о хордахъ или сѣкущихъ, проходящихъ чрезъ одну точку, произведеніе DA'. DA зависитъ только отъ положенія точки D относительно круга. Стало-быть

(1)

Итакъ, окружность, проходящая чрезъ три вершины четыреугольника, встрѣчаетъ прямыя, соединяющія ихъ съ четвертою, въ вершинахъ треугольника, стороны котораго пропорціональны произведеніямъ противоположныхъ сторонъ и діагоналей даннаго четыреугольника.

Треугольника не будетъ лишь въ томъ случаѣ, если окружность АВС пройдетъ чрезъ D, т.-е. если четыреугольникъ—вписанный. Оно и понятно; ибо тогда произведеніе діагоналей равно суммѣ произведеній противоположныхъ сторонъ (теор. Птоломея), а въ треугольникѣ каждая сторона должна быть меньше суммы остальныхъ.

Если точка D находится внѣ круга АВС, то уголъ D = а если D внутри круга, то уголъ В = (180°—Б) + (180° — В'), откуда В' = 360° — (£4-D) = i-f С, т.-е. уголъ треугольника, противолежащій сторонѣ, соотвѣтствующей произведенію діагоналей, всегда равенъ суммѣ противоположныхъ угловъ четыреугольника (конечно —той изъ двухъ, которая меньше 180°). Поэтому, если сумма противоположныхъ угловъ четыреугольника равна прямому, то, по теоремѣ Пиѳагора, А'С'2 = А'В'2АГ В'С'2 ; а если сумма эта равна 60° или 120°, то, по теоремамъ о квадратѣ стороны, противолежащей острому или тупому углу треугольника,

ибо, при указанной величинѣ угла В', проекція одной изъ сторонъ его на другую равна половинѣ проектируемой. Остается теперь подставить въ полученныя равенства значеніе сторонъ треугольника ÂB'C\ опредѣляемое равенствами (1), и сократить на к2: тогда и найдемъ приведенныя на стр. 63 соотношенія.

Наконецъ, чтобы построить четыреугольникъ, произведенія противоположныхъ сторонъ котораго и произведеніе діагоналей были бы всѣ равны между собою, достаточно вписать въ кругъ равносторонній треугольникъ А'В'С' и взять точку D въ одномъ изъ его вертикальныхъ угловъ: тогда въ пересѣченіи прямыхъ DA’, DB\ jD С' съ окружностью получатся остальныя три вершины искомаго четыреугольника.

II. Затронутая въ томъ же нумерѣ журнала г. Свѣшниковымъ формула Эйлера (стр. 63—64) можетъ быть разъяснена еще слѣдующимъ образомъ.

Положимъ, намъ надо сосчитать число реберъ {А) и вершинъ (S) многогранника, ограниченнаго F многоугольниками. Станемъ считать, начиная съ какой-нибудь грани AB CD (фиг. 2): на ней столько же реберъ, сколько вершинъ. Но если присоединить слѣдующую грань AEFGHB, то равенство нарушится, ибо концы названной ломаной уже вошли въ счетъ; а если у несомкнутой ломаной не считать концовъ, то число сторонъ ея на единицу больше числа вершинъ. Слѣдовательно, для возстановленія равенства, придется къ числу вершинъ прибавить единицу. Третья грань даетъ новую ломаную HKLC, концы которой тоже сосчитаны; а потому, для возстановленія равенства между найденнымъ числомъ реберъ и числомъ вершинъ, надо ко второму придать еще единицу. Продолжая такъ идти кругомъ, мы должны будемъ съ каждой новой гранью прибавлять и новую единицу къ насчитанному числу вершинъ, пока не дойдемъ до послѣдней грани, которая не дастъ ни одного новаго ребра и ни одной новой вершины. Итакъ, число вершинъ сравняется съ числомъ реберъ лишь въ томъ случаѣ, если прибавимъ къ нему столько единицъ, сколько граней безъ двухъ (безъ первой и безъ послѣдней), т.-е.,

S-\-{F—2) = А, откуда FS = А-(-2.

По поводу статьи г. К. Лебединцева: „Къ вопросу о подобіи треугольниковъ въ систематическомъ курсѣ геометріи“.

А. Киселевъ. С. Петербургъ.

Въ статьѣ этой (въ № 2 „Матем. Образованія“, 1913 г.) г. Лебединцевъ, излагая содержаніе приведеннаго въ моей „Эле-

ментарной Геометріи“ доказательства второго признака подобія треугольниковъ, справедливо говоритъ:

„Совершенно ясно, что равенство В,С,=ВЕ вытекаетъ изъ пропорціит 5-^ если мы предположимъ, что символы ВС, ВХСѴ BE обозначаютъ числа, выражающія длину отрѣзковъ въ одинаковыхъ единицахъ, т. е. если мы заранѣе допустимъ, что соотвѣтствующія стороны нашихъ треугольниковъ соизмѣримы. Если же онѣ несоизмѣримы, то подобное заключеніе является недостаточно обоснованнымъ, такъ какъ въ этомъ случаѣ пропорція согласно раньше принятому условію (§ 159, стр. 118), обозначаетъ, что равны другъ другу приближенныя отношенія отрѣзковъ ВС къ ВХС{ и ВС къ J5E, вычисленныя съ произвольной, но одинаковой степенью точности (и притомъ оба съ недостаткомъ или оба съ избыткомъ); а равны ли вслѣдствіе этого самые отрѣзки ВХСХ и BE—это требуетъ доказательства“.

Затѣмъ г. Лебединцевъ показываетъ, какъ возможно устранить указанный имъ пробѣлъ, „не отступая существенно отъ традиціонной системы и даже не вводя понятія о несоизмѣримомъ числѣ, какъ (точномъ) отношеніи несоизмѣримыхъ величинъ“. Доказательство приводимое имъ убѣждаетъ насъ однако не въ томъ, что если то и В. О. = BE, а въ томъ, что если -Л-J = —— , то В\ Сх = BE. Между тѣмъ эти двѣ истины различны и, будучи одинаково цѣнны, требуютъ каждая особаго доказательства.

Мнѣ представляется, что изложеніе этого вопроса (безъ помощи несоизмѣримыхъ чиселъ) можно было бы вести такъ (или приблизительно такъ):

Пусть дано равенство двухъ несоизмѣримыхъ отношеній:

Согласно приведенному выше опредѣленію такого равенства, это значитъ, что если приближенное отношеніе съ точностью до Ѵп, взятое съ недостаткомъ, есть —’то и приближенное отношеніе —^ съ точностью до Ѵп, взятое съ недостаткомъ, есть

тоже — при всякихъ цѣлыхъ значеніяхъ т и п. Другими словами, равенство — = означаетъ, что

Замѣтивъ это, выведемъ слѣдующія два слѣдствія равенства несоизмѣримыхъ отношеній, понимаемаго въ этомъ смыслѣ:

I. Если въ пропорціи А: В = At: Вх послѣдующіе члены равны (B = Bt), то равны и предыдущіе (A = At).

Доказательство то самое, которое приведено г. Лебединцевымъ Мы его изложимъ нѣсколько иначе и безъ помощи чертежа.

Предположимъ противное, т. е. что А не равно Аі. Пусть,. напр„ А > Аі; тогда можно положить А = Ах -f- d. Вообразимъ цѣлое число п настолько большое, чтобы іІп. доля В (=Bt) оказалась меньше d (что возможно, какъ легко вывести изъ аксіомы Архимеда, § 154 моей геометріи). Пусть эта доля содержится въ А{ болѣе w, но менѣе m-f-1 разъ; тогда въ суммѣ Ai + d =• А эта доля будетъ, очевидно, содержаться болѣе т -f- 1 разъ, а не менѣе т-\-1 разъ, какъ это должно быть согласно условленному нами смыслу равенства несоизмѣримыхъ отношеній At: Bt и А: В. Значитъ, нельзя допустить, что А^> Ах\ такъ же докажемъ, что и пр.

II. Если въ пропорціи А: B = At : Вх предыдущее члены равны (А = А^), то равны и послѣдующіе (B = Bj).

Доказательство. Предварительно замѣтимъ, что если цѣлое число п (долей, на которыя мы дѣлимъ В и Вх) мы будемъ неограниченно увеличивать, то тогда будетъ также неограниченно увеличиваться и цѣлое число т (означающее наибольшее число разъ содержанія 1jn доли В въ А и г/п доли Bt въ Аі). Если, напр., 1/t0 доля В содержитъ въ А болѣе 9, но менѣе 10 разъ, то 1/100 доля В содержится въ А болѣе 90 разъ, 1/1000 доля В содержится въ А болѣе 900 разъ, и т. д.

Предположимъ теперь, что В не равно Вг Пусть, напр., B>Bj; тогда можно положить, что В — Bt=d. Вообразимъ цѣлое число п настолько большое, чтобы соотвѣтствующее число т

могло удовлетворить неравенству: md > Вх (что возможно, согласно аксіомѣ Архимеда). Тогда мы будемъ имѣть:

Откуда:

Но по условію А>В. — ; значитъ, и подавно:

что противорѣчитъ условленному нами смыслу равенства несоизмѣримыхъ отношеній.

Слѣд., нельзя допустить, что В^>ВХ\ такъ же докажемъ, что предположеніе В<^ВХ невозможно; значитъ, В = В\.

P. S. Я нисколько не хочу сказать, что такъ именно и слѣдуетъ излагать этотъ вопросъ въ классѣ. Моя цѣль только заполнить логическій пробѣлъ (лучше сказать—одинъ изъ логическихъ пробѣловъ) въ систематическомъ изложеніи отношеній безъ помощи несоизмѣримыхъ чиселъ.

Алгориѳмъ Бине и его употребленіе въ древности.

В. Бобынинъ. Москва.

(Окончаніе).

Для примѣра процесса разложенія, представляемаго формулою (9), полезно въ интересахъ сравненій воспользоваться его приложеніемъ къ той же дроби — » разложеніе которой было уже произведено по формулѣ Ламберта. Изъ неравенства

видно, что наименьшимъ изъ цѣлыхъ значеній 1с будетъ 3. Какъ пользующійся этимъ значеніемъ числа k въ началѣ и опредѣли-

емыми по той же формулѣ (8) послѣ, процессъ разложенія дроби — представится въ слѣдующемъ видѣ

Получается такимъ образомъ то-же разложеніе

которое было доставлено ранѣе алгориѳмомъ Бине.

Сравненіе приведеннаго сейчасъ примѣра съ даннымъ выше частнымъ случаемъ алгориѳма Бине показываетъ, что всѣ употребленныя въ первомъ послѣдовательныя значенія числа Je суть доставляемыя вторымъ въ томъ же порядкѣ частныя к; и также, что остатки, полученные въ первомъ, являются одновременно и въ томъ же порядкѣ остатками гг, находимыми во второмъ. Причина встрѣчающихся въ акмимскомъ папирусѣ совпаденій нѣкоторыхъ изъ данныхъ въ немъ разложеній съ разложеніями по формулѣ Ламберта становится такимъ образомъ вполнѣ ясною. Она состоитъ въ томъ, что процессъ разложенія по методу акмимскаго папируса есть не болѣе какъ алгориѳмъ Бине въ измѣненномъ видѣ.

Чтобы ближе разсмотрѣть измѣненіе, которому подверглась въ настоящемъ случаѣ основная форма алгориѳма Бине, достаточно обратить вниманіе на то, что въ процессѣ разложенія по

методу акмимскаго папируса постояннымъ является не дѣлимое, какъ въ основной формѣ алгориѳма Бине, а дѣлитель. Дѣленія въ процессѣ разложенія по методу акмимскаго папируса должны быть, слѣдовательно, обращеніями дѣленій, составляющихъ алгориѳмъ Бипе. И дѣйствительно если произвесть такія обращенія въ уравненіяхъ (3), то совокупность этихъ уравненій представится въ слѣдующемъ видѣ.

(10)

Этотъ измѣненный видъ алгориѳма Бине и будетъ тою его формою, которая употреблялась въ акмимскомъ папирусѣ. Выводъ изъ нея предложенія Ламберта является даже болѣе простымъ, чѣмъ выводъ того-же предложенія изъ основной формы алгориѳма, такъ какъ требуетъ только послѣдовательныхъ подстановокъ въ первое изъ уравненій (10) значенія —изъ втораго, въ полученный результатъ значенія — изъ третьяго, въ новый результатъ значенія — изъ четвертаго и т. д. до подстановокъ значенія т изъ предпослѣдняго уравненія и, наконецъ, значенія — изъ послѣдняго. Окончательнымъ результатомъ всѣхъ этихъ подстановокъ будетъ формула Ламберта

члены которой имѣютъ теперь то же расположеніе, какое имѣли въ предыдущемъ примѣрѣ члены разложенія, произведеннаго по методу акмимскаго папируса.

Итакъ употребленіе въ акмимскомъ папирусѣ алгориѳма Бине, хотя и въ измѣненномъ видѣ, можетъ считаться вполнѣ доказаннымъ. Какъ въ элементахъ Эвклида эвклидовскій алгориѳмъ появился въ видѣ своего приложенія къ нахожденію общаго наибольшаго дѣлителя двухъ чиселъ, такъ и въ акмимскомъ папирусѣ алгориѳмъ Бине представляется въ видѣ его приложенія

къ разложенію правильной несократимой дроби на дроби съ 1-цею въ числителѣ. Алгориѳмъ Бине могъ-бы быть поэтому названъ акмимскимъ алгориѳмомъ съ такимъ же правомъ, съ какимъ получилъ свое названіе эвклидовскій алгориѳмъ, если бы этому не мѣшала стоящая внѣ всякаго сомнѣнія независимость произведеннаго Бине открытія своего алгориѳма отъ акмимскаго папируса. Это открытіе предшествовало, дѣйствительно, появленію въ печати вышеупомянутаго мемуара г. Баллье, представлявшаго первое изслѣдованіе акмимскаго папируса, болѣе, чѣмъ, на полстолѣтіе*).

Аксіомы порядка (теорема Моора).

А. Волковъ. Москва.

§ 1. Гильбертъ въ первомъ изданіи своихъ Grundlagen der Geometrie среди аксіомъ ІІ-й группы (Аксіомъ порядка) помѣстилъ слѣдующую:

II. 4. Если даны четыре точки прямой, то всегда возможно обозначить ихъ буквами А, В, С, D такимъ образомъ, чтобы точка, обозначенная посредствомъ В, лежала между А и С, а также между А и В, а точка, обозначенная посредствомъ С, лежала между Au В, а также между В и D.

Въ третьемъ томѣ Transactions of the American Mathematical Society (1902 г. стр. 142—152) появилась статья Moore’a, въ которой авторъ указалъ что предложеніе 11,4 (приведенное выше) можетъ быть доказано на основаніи аксіомы 11,5 (обозначаемой въ новыхъ изданіяхъ Grundlagen какъ 11,4) и остальныхъ аксіомъ группъ I и II. Содержаніе аксіомы II,5 (II,4) (т. н. аксіомы Паша) слѣдующее:

Если даны три точки А,В,С, не лежащія на одной прямой, и прямая а въ плоскости АВС, не проходящая ни черезъ одну изъ точекъ А,В,С, и если эта прямая а проходитъ черезъ какую-нибудь точку отрѣзка AB, то она непремѣнно проходитъ либо

*) При этомъ не безполезно замѣтить, что употребляемая въ акмимскомъ папирусѣ форма метода дѣленія осталась для г. Баллье неизвѣстною. Она была найдена спустя два года послѣ появленія въ свѣтъ его мемуара авторомъ предлагаемаго изслѣдованія, приведеннымъ къ ней разсмотрѣніемъ доставленныхъ ею разложеній, данныхъ въ папирусѣ безъ всякихъ объясненій. Первыя свѣдѣнія о ней были сообщены тѣмъ же авторомъ какъ въ его вышеуказанной статьѣ объ акмимскомъ папирусѣ, такъ и въ его же появившейся въ свѣтъ въ 1899 году статьѣ. „Développement des procédés servants à décomposer le quotient en quantièmes" (Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik. IX. Heft. S.l—13).

черезъ нѣкоторую точку отрѣзка ВС, либо черезъ точку отрѣзка АС, (фиг. 1).

Если при формулировкѣ системы аксіомъ имѣть цѣлью выполненіе того требованія, чтобы послѣдующія аксіомы не являлись слѣдствіями предшествующихъ, а не того, чтобы всѣ аксіомы были другъ отъ друга вполнѣ независимы, то и послѣ указанія Moore’а аксіома о расположеніи въ порядкѣ четырехъ точекъ прямой могла бы сохранить свое мѣсто въ системѣ, такъ какъ эта аксіома линейная, а аксіома Паша плоскостная, а плоскостныя аксіомы у Гильберта формулируются обычно послѣ линейныхъ. Но, какъ видно изъ § 10 Grundlagen, Гильбертъ имѣлъ въ виду удовлетвореніе требованія, чтобы всѣ аксіомы одной и той же группы были другъ отъ друга независимы. Поэтому въ послѣдующихъ изданіяхъ своей работы онъ аксіому 11,4 переименовалъ въ теорему, а подъ номеромъ 11,4 напечаталъ аксіому Паша и въ примѣчаніи указалъ на причины такого переименованія.

Слѣдуетъ замѣтить, что Moore въ своемъ изложеніи допустилъ ошибку, уничтожающую силу его доказательства, но мысль, которую онъ высказалъ: доказуемость предложенія о расположеніи въ порядкѣ четырехъ точекъ прямой на основаніи аксіомы Паша, является совершенно справедливой, какъ это видно изъ слѣдующихъ разсужденій.

§ 2. Теорема 1*) (фиг. 2). Если имѣемъ на прямой четыре точки A,B,C,D, и В лежитъ между А и С, а С лежитъ между В и D, то В лежитъ между А и D, точно такъ же, какъ и С лежитъ между А и D.

Фиг. 1.

Фиг. 2.

*) Доказательство теоремъ 1-ой и 2-ой представляетъ упрощеніе доказательства Моора и свободно отъ допущенныхъ имъ ошибокъ. Послѣ того какъ это доказательство было найдено авторомъ этой статьи, онъ встрѣтилъ аналогичныя доказательства у Halsted’a въ Géométrie rationnelle и у Veblen’a въ Joung’s Monographs on topics of modern mathematics. См. также Killing и Hovestadt.

По аксіомѣ 1,3*) въ плоскости а, которую можно провести (1,6) черезъ прямую, содержащую точки A,B,C,D, существуетъ по крайней мѣрѣ одна точка Е, не лежащая на этой прямой; по 1,1 эта точка Е съ каждою изъ точекъ А,В,С,В опредѣляетъ по прямой, лежащей (1,6) въ плоскости а. На прямой ED на основаніи 11,2 есть по крайней мѣрѣ одна точка F\ не лежащая на отрѣзкѣ ED, т.-е. для него внѣшняя. Точка F вмѣстѣ съ точкой С опредѣляютъ (ІД) нѣкоторую прямую а, лежащую (1,6) въ плоскости а. Прямая а встрѣчаетъ сторону ED треугольника BDE во внѣшней точкѣ F, а сторону BD (второе условіе теоремы) во внутренней точкѣ С, слѣдовательно, (акс. Паша) сторону BE она должна встрѣтить въ нѣкоторой внутренней точкѣ G. Въ треугольникѣ АВЕ прямая а встрѣчаетъ сторону AB во внѣшней (первое условіе теоремы и 11,3) для отрѣзка AB точкѣ С, а сторону BE во внутренней точкѣ G. Слѣдовательно, (акс. Паша) третью сторону АЕ она должна встрѣтить въ нѣкоторой внутренней точкѣ J. Въ треугольникѣ AED прямая а встрѣчаетъ сторону DE во внѣшней точкѣ F, сторону АЕ во внутренней точкѣ J. Слѣдовательно (акс. Паша), та точка, въ которой а встрѣчаетъ прямую AD, должна быть внутренней точкой этой прямой. Но эта точка есть С. Слѣдовательно, С лежитъ между А и D. Такъ какъ въ условіи теоремы А входитъ на равныхъ правахъ съ D, а В съ (7, то ясно, что такимъ же путемъ доказывается и то, что В лежитъ между А и D.

Теорема 2. Если имѣемъ четыре точки па прямой A,B,C,Dy и В лежитъ между А и С, а С лежитъ между А и D, то С лежитъ между В и D.

Доказательство совершенно аналогично предыдущему. Точка Е, лежащая внѣ (1,3) прямой, проходящей черезъ A,B,C,D, опредѣляетъ (1,1) съ каждой изъ точекъ А,В,С,В прямую въ (1,6) плоскости а. Ha DE есть (11,2) внѣшняя точка F\ она съ точкой С (1,1) опредѣляетъ прямую а; прямая а проходитъ черезъ внѣшнюю точку F стороны DE треугольника ADE и черезъ внутреннюю (второе условіе теоремы) точку С стороны AD. Слѣдовательно, (акс. Паша) сторону АЕ она встрѣчаетъ въ нѣкоторой внутренней точкѣ J. Въ треугольникѣ АВЕ прямая а встрѣчаетъ сторону АЕ во внутренней точкѣ «7, а сторону AB во внѣшней

*) Ссылки на аксіомы имѣютъ въ виду третье изданіе Grundlagen der Geometrie Гильберта. Въ изложеніи доказательства при каждомъ утвержденіи въ скобкахъ указанъ N соотвѣтственной аксіомы, на основаніи которой указанное утвержденіе дѣлается.

точкѣ (7, (первое условіе теоремы и 11,3); слѣдовательно, (акс. Паша) сторону BE она встрѣчаетъ въ нѣкоторой внутренней точкѣ G; въ треугольникѣ BDE прямая а встрѣчаетъ сторону BE во внутренней точкѣ G, а сторону DE во внѣшней точкѣ F\ слѣдовательно, точка (7, въ которой она встрѣчаетъ ßß, лежитъ между В и D.

Изъ этихъ теоремъ и вытекаетъ возможность расположенія четырехъ точекъ AfB,C,D въ порядкѣ. Въ самомъ дѣлѣ, изъ предположенія, что В лежитъ между А и (7, а С между А и D, слѣдуетъ на основаніи теоремы (2), что С лежитъ между 5 и D; но изъ того, что В лежитъ между А и (7, а С лежитъ между В и D, слѣдуетъ на основаніи теоремы (1), что 5 лежитъ между А л D. Такимъ образомъ, заданіемъ порядка точекъ въ тройкахъ АВС и А CD устанавливается единственный порядокъ расположенія въ остальныхъ тройкахъ, которыя можно образовать изъ четырехъ точекъ A,B,C,D.

§ 3. Слѣдующій примѣръ имѣетъ цѣлью показать, что можно придать такое толкованіе слову „между“, что изъ условій: „ß лежитъ между А и Су а С лежитъ между В и D“, не будетъ вытекать, что С лежитъ между А и D. Пусть имѣемъ прямую а и на ней точки Хи У, которыя на этой прямой ограничиваютъ отрѣзокъ X У. Точки (фиг. 3) X и У будемъ считать принадлежащими этому отрѣзку.

Часть прямой а до точки X (влѣво неограниченно продолжающуюся) назовемъ областью I, отрѣзокъ ХУ—областью II, часть прямой а (неограниченно продолжающуюся вправо) за точкой У областью III. Условимся въ слѣдующемъ толкованіи слова „между“: если три точки принадлежатъ одной области, то къ нимъ примѣняется слово „между“ въ обычномъ смыслѣ этого слова: то же имѣетъ мѣсто, если три точки принадлежатъ двумъ смежнымъ (смежными областями мы называемъ I по отношенію ко II и обратно, и II по отношенію къ III и обратно) областямъ. Такъ же будемъ понимать слово „между“, если три точки принадлежатъ соотвѣтственно тремъ различнымъ областямъ. Но если точки принадлежатъ только частью области III, частью области I, то крайними точками отрѣзка, содержащаго внутри себя третью точку, пусть являются: въ области I та изъ точекъ этой области, которая ближе къ X, а въ области III та, которая ближе къ точкѣ У.

Такъ (см. фиг. 3): изъ трехъ точекъ:

Фиг. 3.

Понятіе о „внутренней“ области отрѣзка при такомъ опредѣленіи совпадаетъ съ обычнымъ для отрѣзковъ, концы которыхъ принадлежатъ одной и той же области или двумъ смежнымъ областямъ. Но, когда концы отрѣзка принадлежатъ областямъ I и III, то „внутренняя“ область такого отрѣзка, напр. отрѣзка BD будетъ состоять изъ слѣдующихъ частей: 1) части, простирающейся неограниченно вправо отъ точки D, 2) части, простирающейся неограниченно влѣво отъ точки В и 3) отрѣзка ХУ (включая и точки Хи У). Очевидно, что доказательство выполнимости всѣхъ предшествующихъ аксіомъ Гильберта необходимо лишь для послѣдняго случая.

Постараемся сдѣлать это.

Аксіома 11,1: Если А,В,С суть точки прямой и В лежитъ между А и С, то В лео/ситъ между С и А. Аксіома эта опредѣляетъ равноправность точекъ А и С по отношенію къ В и понятію „между“. Въ условномъ, данномъ нами, толкованіи термина „между“ такая равноправность концовъ отрѣзка соблюдена. Слѣдовательно, аксіома имѣетъ мѣсто и въ этомъ случаѣ.

Аксіома 11,2. Если А и С двѣ точки нѣкоторой прямой, то имѣется по крайней мѣрѣ одна точка J5, лежащая между А и С, и одна такая точка D, что С лежитъ между А и D. Какъ бы близко ни лежали къ точкамъ X и У концы отрѣзка, у послѣдняго всегда имѣются внѣшнія области, а, слѣдовательно, всегда можно указать какую-либо точку, удовлетворяющую второй части аксіомы; первая же часть теоремы выполняется уже потому, что по введенному опредѣленію „между“ внутренняя область является какъ бы еще богаче точками, чѣмъ при обычномъ пониманіи этого слова.

Аксіома 11,3. Изъ какихъ угодно трехъ точекъ прямой есть всегда одна и только одна такая, которая лежитъ между двумя остальными. Такъ какъ въ новомъ толкованіи слова „между“ указано для любого расположенія трехъ точекъ, какую изъ нихъ считать „между“ двумя остальными, то этимъ и обусловлено выполненіе аксіомы 11,3.

Нетрудно видѣть теперь, что заданіе порядка для двухъ троекъ точекъ съ общей парой точекъ при указанномъ смыслѣ слова „между“ не всегда влечетъ за собой установленіе соотвѣтствующаго теоремѣ Моора порядка въ остальныхъ тройкахъ точекъ, которыя можно составить изъ элементовъ данныхъ троекъ. Такъ (фиг. 2), В лежитъ между А и С; С лежитъ между В и Д но В не лежитъ между А и D (сравн. теор. I), а какъ разъ напротивъ—А лежитъ между В и D.

§ 4. Постараемся теперь выяснить значеніе аксіомы Паша. Прежде всего можно привести примѣры поверхностей, на которыхъ она можетъ и не имѣть мѣста. Такими являются всѣ неодносвязныя поверхности. Возьмемъ, напримѣръ, поверхность, опредѣляемую уравненіемъ z = lg]/х2> получаемую вращеніемъ кривой z = Ідд — вращеніемъ логариѳмической линіи около ея асимптоты (см. фиг. 4) и имѣющую на себѣ, какъ видно изъ рисунка, бездонный колодецъ. Прямыя линіи плоскости на кривыхъ поверхностяхъ замѣняются т. н. геодезическими линіями. Фиг. 4 показываетъ, что геодезическая пересѣкающая сторону АС треугольника АВС, не пересѣкаетъ ни одной изъ остальныхъ сторонъ треугольника, благодаря тому, что попадаетъ въ колодецъ, лежащій внутри треугольника.

Переходя къ выясненію значенія аксіомы Паша, мы можемъ сказать слѣдующее: эта аксіома устанавливаетъ смыслъ выраженія: „прямая проходитъ между точкой и отрѣзкомъ“, слѣдовательно, служитъ опредѣленіемъ понятія „между“ на плоскости по отношенію къ точкѣ и отрѣзку. Само собой понятно, что въ приведенномъ примѣрѣ (фиг. 4), самое слово „между“ не имѣетъ смысла въ примѣненіи къ прямой а по отношенію къ точкѣ А и отрѣзку ВС: нельзя сказать, что а лежитъ между А и ВС, но можно лишь утверждать, что а лежитъ между А и С.

Замѣчательнымъ является то, что, какъ видно изъ приведенныхъ теоремъ 1 и 2, установленіе свойствъ плоскости, вытекающихъ изъ опредѣленія понятія „между“ для точки и отрѣзка, имѣетъ слѣдствіемъ установленіе порядка всѣхъ точекъ прямой, какъ только заданъ порядокъ для этихъ точекъ по три въ наименьшемъ числѣ независимыхъ комбинацій.

§ 5. Остается выяснить значеніе тѣхъ условій, при помощи которыхъ обычно устанавливается порядокъ точекъ напрямой.

Фиг. 4.

Обычнымъ средствомъ для этого является разсмотрѣніе движенія точки при сохраненіи направленія движенія. Чтобы слово „между“ можно было понимать такъ, какъ мы его понимаемъ по отношенію къ точкамъ прямой, необходимо, кромѣ того, разсматривать прямую, какъ незамкнутую линію. Но движеніе можно разсматривать какъ средство приведенія точекъ прямой въ соотвѣтствіе съ элементами другого множества — времени, множества, которое мы мыслимъ, какъ непрерывное и упорядоченное. Отсюда ясно, что, чтобы возможно было говорить о движеніи, необходимо ранѣе признать множество точекъ на прямой упорядоченнымъ и непрерывнымъ. При этомъ слѣдуетъ имѣть въ виду, что упорядоченность есть условіе необходимое, но еще недостаточное для того, чтобы множество могло быть непрерывнымъ. Такъ, множество раціональныхъ чиселъ является множествомъ упорядоченнымъ, но не непрерывнымъ. Изъ сказаннаго ясно, что для возможности движенія, а также непрерывности той мыслимой системы элементовъ, которая служитъ формальнымъ отображеніемъ нашего геометрическаго представленія прямой, ранѣе должны быть установлены аксіомы порядка, чѣмъ и обусловливается то мѣсто, которое занимаютъ аксіомы порядка въ системѣ Гильберта.

§ 6. Изъ приведенныхъ примѣровъ, а также изъ характера самыхъ аксіомъ порядка у Гильберта нетрудно усмотрѣть, что понятіе „между“ относится къ числу понятій Analysis situs. Въ аксіомахъ Гильберта этотъ топологическій характеръ ясно виденъ въ аксіомѣ III 2, устанавливающей незамкнутость прямой. Примѣръ § 3 показываетъ, что невыполненіе теоремы Моора дѣлается возможнымъ, благодаря нарушенію связности прямой. Въ примѣрѣ § 4 фигурируетъ двусвязная поверхность. Изъ сказаннаго ясно, что аксіомы порядка въ формулировкѣ Гильберта справедливы не только для плоскости, но и для всякой односвязной поверхности, на которой черезъ каждую точку проходитъ только одна геодезическая линія; слѣдовательно, онѣ имѣютъ мѣсто, напр., для гиперболическаго параболоида (такъ какъ на односвязной поверхности отрицательной кривизны двѣ геодезическія, выходящія изъ одной точки, не пересѣкаются), если подъ именемъ прямыхъ разумѣть геодезическія линіи, но, имѣя мѣсто на любой односвязной части однополостнаго гиперболоида, не оказываются справедливыми для этой поверхности въ цѣломъ.

Пятидесятилѣтіе педагогической дѣятельности Е. М. Пржевальскаго.

20 февраля текущаго года исполнился полувѣковой юбилей неутомимой и плодотворной работы на педагогическомъ и учебнолитературномъ поприщѣ извѣстнаго педагога-математика, генералъ-лейтенанта Евгенія Михайловича Пржевальскаго. Столь продолжительная и успѣшная педагогическая дѣятельность представляетъ у насъ въ Россіи крайне рѣдкое явленіе, и мы считаемъ необходимымъ хотя вкратцѣ охарактеризовать жизнь и дѣятельность одного изъ заслуженнѣйшихъ русскихъ педагоговъ.

Е. М. Пржевальскій происходитъ изъ дворянъ Смоленской губерніи, гдѣ у его родителей было имѣніе. Оставшись сиротою въ очень раннемъ возрастѣ, онъ получилъ первоначальное образованіе подъ руководствомъ матери, а въ 1854 г. поступилъ въ Смоленскую гимназію, гдѣ учились его братья: Николай, извѣстный впослѣдствіи изслѣдователь Центральной Азіи и Владиміръ, впослѣдствіи московскій общественный дѣятель и присяжный повѣренный. Вскорѣ, однако, Е. М. вышелъ изъ гимназіи, такъ какъ былъ принятъ на казенный счетъ въ Александринскій Сиротскій кадетскій корпусъ (нынѣ Александровское военное училище). Въ первомъ классѣ, а также въ старшихъ классахъ корпуса Е. М. учился математикѣ у извѣстнаго преподавателя того времени, впослѣдствіи профессора Варшавскаго Университета, Николая Николаевича Алексѣева. Замѣтивъ у Е. М. любовь и способности къ математикѣ, Н. Н. Алексѣевъ всячески содѣйствовалъ его математическому развитію и образованію. Нерѣдко Н. Н. Алексѣевъ заставлялъ своего талантливаго ученика излагать товарищамъ проходимый курсъ, причемъ поправлялъ, гдѣ было нужно, и давалъ указанія относительно самой передачи излагаемаго. При такихъ условіяхъ, Е. М. рано пріобрѣлъ педагогическіе навыки и опытность и постоянно объяснялъ товарищамъ затруднявшіе ихъ вопросы по математикѣ. Въ послѣднихъ двухъ классахъ корпуса, т.-е. въ 1-мъ и 2-мъ спеціальныхъ классахъ, Е. М. все свободное время употреблялъ на изученіе математики, а также физики, геодезіи и механики. По праздникамъ онъ ходилъ въ отпускъ къ Н. Н. Алексѣеву, которому давалъ отчетъ о своихъ занятіяхъ и отъ котораго получалъ указанія для дальнѣйшихъ работъ. Эти занятія повели къ тѣсной дружбѣ между учителемъ и ученикомъ, и на память о нихъ Алексѣевъ подарилъ Е. М. экземпляръ своего извѣстнаго труда „Интегральное исчисленіе“ съ надписью „Любезному другу Е. М. Пржевальскому на память отъ автора“.

Окончивъ училище, Е. М. былъ произведенъ въ старшіе прапорщики и прикомандированъ къ штабу 2-го армейскаго корпуса для приготовленія къ поступленію въ геодезическое отдѣленіе академіи Генеральнаго штаба. Однако, Е. М. не поступилъ въ академію, а, интересуясь математикой, зачислился вольнослушателемъ въ Московскій Университетъ по физико-математическому

факультету и ревностно предался изученію математическихъ наукъ. 20 февраля 1863 г., по выдержаніи спеціальнаго испытанія, онъ былъ допущенъ къ преподаванію математики во 2-мъ Московскомъ кадетскомъ корпусѣ. Чтобы получить право преподаванія математики во всѣхъ военно-учебныхъ заведеніяхъ, Е. М. долженъ былъ прочесть пробныя лекціи на спеціальныя математическія темы въ Инженерной академіи, что онъ и исполнилъ съ блестящимъ успѣхомъ.

Въ августѣ 1863 г. послѣдовало преобразованіе кадетскихъ корпусовъ въ военныя гимназіи. Эта реформа благопріятно отразилась на преподаваніи въ военно-учебныхъ заведеніяхъ и вызвала общій подъемъ интереса къ педагогическому дѣлу среди преподавателей того времени. Въ частности тогда впервые начались въ Москвѣ собранія преподавателей математики. Живымъ и дѣятельнымъ участникомъ этихъ собраній явился извѣстный впослѣдствіи педагогъ А. И. Гольденбергъ, поступившій преподавателемъ во 2-й Московскій кадетскій корпусъ годомъ позже Е. М. Пржевальскаго. При полномъ почти отсутствіи учебныхъ пособій по математикѣ, участники упомянутыхъ бесѣдъ извлекали большую пользу изъ взаимнаго общенія, обмѣниваясь взглядами по вопросамъ преподаванія математики, составляя совмѣстно задачи и проч.

Въ 1864 г. Е. М. Пржевальскій былъ приглашенъ въ Александровское военное училище, сперва въ качествѣ репетитора но математикѣ, курсъ которой читалъ Н. Н. Алексѣевъ, а затѣмъ, послѣ ухода Алексѣева и по его рекомендаціи—штатнымъ преподавателемъ математики. Въ Александровскомъ училищѣ Е. М. встрѣтился съ такими преподавателями, которыми гордилось бы любое учебное заведеніе и имена которыхъ извѣстны всей Россіи. Въ училищѣ читали лекціи и вели репетиціи профессора Московскаго Университета: С. М. Соловьевъ, Н. М. Капустинъ, И. К. Бабстъ, Н. Э. Лясковскій, докторъ богословія Иванцовъ-Платоновъ, Н. Н. Стороженко, Н. П. Кондаковъ, В. И. Герье, А. И. Чупровъ, В. О. Ключевскій и др. Такая среда благотворно дѣйствовала на Е. М. Пржевальскаго и содѣйствовала развитію его педагогическихъ взглядовъ и дарованій. Съ полнымъ успѣхомъ оолѣе сорока лѣтъ Е. М. Пржевальскій читалъ математику въ Александровскомъ военномъ училищѣ» вплоть до своего выхода въ отставку въ 1907 г., причемъ неизмѣнно пользовался любовью учащихся и уваженіемъ товарищей.

Читая лекціи въ училищѣ, Е. М. Пржевальскій занялся составленіемъ руководствъ и сборниковъ задачъ по элементарной математикѣ. Такъ, имъ написаны: „Элементарная алгебра“, обширный курсъ, вышедшій въ 1908 г. 4-мъ изданіемъ; „Собраніе алгебраическихъ задачъ“ (7582 задачи)—7-е изд., „Начальная геометрія“, „Собраніе геометрическихъ теоремъ и задачъ“ (3100 теоремъ и задачъ)—9-е изд., .Прямолинейная тригонометрія и собраніе тригонометрическихъ задачъ“ (3000 задачъ)—8-е изд., „Аналитическая геометрія“ (на плоскости и въ пространствѣ) и собраніе задачъ изъ аналитической геометріи“ (1100 задачъ)—5-е изд. и

пр. Учебныя руководства Е. М. Пржевальскаго отличаются полнотою и ясностью изложенія, а его сборники задачъ—большимъ количествомъ интереснаго и разнообразнаго матеріала, который авторъ черпалъ большею частью изъ иностранныхъ, преимущественно англійскихъ источниковъ.

Въ послѣдніе годы Е. М. Пржевальскимъ издано обширное „Собраніе алгебраическихъ задачъ для учениковъ старшихъ классовъ среднихъ учебныхъ заведеній“, въ 3 частяхъ (см. отзывъ объ нихъ въ „Матем. Образов.“ 1913 г., № 2, стр. 90). Въ настоящее время Е. М. подготовляетъ еще выпускъ этого интереснаго собранія задачъ, которое онъ составилъ путемъ долголѣтней и тщательной работы, пользуясь иностранными математическими журналами.

Въ самое послѣднее время Е. М. Пржевальскій выпустилъ новое (20-е) изданіе его общеизвѣстныхъ пятизначныхъ таблицъ логариѳмовъ. Слѣдуетъ отмѣтить, что Е. М. Пржевальскій былъ однимъ изъ первыхъ сторонниковъ перехода отъ семизначныхъ таблицъ логариѳмовъ къ пятизначнымъ. Въ новомъ изданіи таблицъ, по сравненію съ предыдущими, улучшены бумага и шрифтъ, а также прибавленъ рядъ важныхъ справочныхъ вспомогательныхъ табличекъ, что дѣлаетъ таблицы образцовымъ и полезнѣйшимъ пособіемъ для учащихся.

Отдаваясь педагогическому дѣлу, Е. М. Пржевальскій не чуждался и общественной дѣятельности. Такъ, съ 1883 г. онъ состоитъ депутатомъ дворянства Моск. губ., Верейскаго уѣзда; съ 1895 по 1900 г. былъ вице-президентомъ Московскаго Общества сельскаго хозяйства, которое за его заслуги предъ Обществомъ избрало его своимъ почетнымъ членомъ. Онъ же былъ однимъ изъ учредителей Московскаго Отдѣленія Императорскаго русскаго техническаго общества и проч. Въ 1906 г. Е. М. Пржевальскій былъ избранъ Московскимъ дворянствомъ на должность члена правленія только что открытаго дворянскаго института Императора Александра III въ память Императрицы Екатерины II, гдѣ инспекторомъ классовъ состоялъ безвременно скончавшійся А. Ѳ. Гатлихъ. Бывая въ институтѣ, Е. М. часто совѣщался съ А. Ѳ. Гатлихомъ о постановкѣ учебнаго дѣла въ новомъ институтѣ и о разныхъ педагогическихъ вопросахъ.

Почти съ самаго возникновенія Московскаго Математическаго Кружка Е. М. состоитъ его членомъ, а также принимаетъ участіе въ журналѣ Кружка „Математическое Образованіе“ по отдѣлу задачъ. Такимъ образомъ, послѣ 50-лѣтней неустанной дѣятельности Е. М. Пржевальскій продолжаетъ бодро трудиться на пользу математическаго образованія въ Россіи, что такъ рѣдко можно встрѣтить среди работниковъ на трудномъ педагогическомъ поприщѣ.

I. Ч.

Съѣзды преподавателей физики въ Россіи.

Н. Москвинъ. Варшава.

Первый большой съѣздъ преподавателей физико-химическихъ наукъ у насъ въ Россіи былъ устроенъ въ Москвѣ 1899 г. притомъ исключительно для московскаго учебнаго округа. Съѣздъ этотъ былъ созванъ по мысли членовъ педагогическаго общества при Московскомъ университетѣ. Руководящую роль въ организаціи московскаго съѣзда приняло на себя состоящее при педагогическомъ обществѣ отдѣленіе преподавателей физико-химическихъ наукъ.

Назначенное для съѣзда время было очень коротко: дѣловыя засѣданія происходили въ теченіе четырехъ дней съ 27-ого по 30-ое декабря. Задача съѣзда была широкая.

Въ программу его занятій вошло:

a) обсужденіе вопросовъ, касающихся преподаванія физико-химическихъ наукъ въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ;

b) ознакомленіе съ методами учебныхъ демонстрацій, соотвѣтствующихъ программѣ среднихъ учебныхъ заведеній.

c) ознакомленіе съ новѣйшими научными открытіями въ области физико-химическихъ наукъ.

Обсужденія преимущественно на этомъ съѣздѣ касались физики и химіи, такъ какъ въ нашихъ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ первенствующее мѣсто во всей группѣ физико-химическихъ наукъ отведено этимъ двухъ указаннымъ предметамъ.

Съѣздъ, приступая къ обсужденію важныхъ въ педагогическомъ отношеніи вопросовъ, прежде всего установилъ необходимость поставить въ основѣ преподаванія физики—опытъ.

Эта мысль постепенно развивается, выражаясь въ необходимости ограничить роль математики при элементарномъ изложеніи физическихъ явленій, въ признаніи наиболѣе цѣлесообразнымъ для преподаванія физико-химическихъ наукъ концентрическаго расположенія учебнаго матеріала и наконецъ, что особенно важно, въ почти единогласномъ желаніи ввести обязательныя практическія упражненія учащихся по физикѣ и химіи.

Конечно, мысль о значеніи опыта, какъ основы преподаванія физико-химическихъ наукъ, не представляя по существу чего-либо новаго въ педагогической практикѣ, характерна въ данномъ случаѣ, какъ мнѣніе огромнаго большинства собравшихся на этотъ съѣздъ педагоговъ.

Эта мысль была высказана въ рефератѣ А. Ѳ. Бердникова „О преподаваніи физики въ реальныхъ училищахъ

Основная мысль реферата (необходимость поставить преподаваніе физики такъ, чтобы въ ней было изучено все то, что можетъ быть въ этой наукѣ введено и объяснено при посредствѣ элементарной математики) встрѣтила энергичный отпоръ среди членовъ съѣзда.

По мнѣнію съѣзда, введеніе математики въ курсъ физики можетъ быть допущено или съ цѣлью выяснить на немногихъ при-

мѣрахъ значеніе математики, какъ орудія дедуктивнаго изслѣдованія физическихъ явленій, или съ цѣлью рѣшать задачи и практическіе вопросы. Такимъ образомъ, здѣсь смотрятъ на математику не какъ на орудіе, которымъ можно пользоваться при элементарномъ изложеніи физическихъ явленій, а какъ на дисциплину.

Съѣздъ отнесся также несочувственно къ мнѣнію нѣкоторыхъ членовъ, которые признали необходимымъ расширить существующую программу введеніемъ, какъ обязательныхъ главъ, теоріи тепла, свѣта, электричества съ его приложеніями и разныхъ интересныхъ научныхъ новинокъ.

Характерно относительно этого замѣчаніе профессора Н. А. Умова, что „надо же и ученикамъ внушить мысль, что не всѣ знанія можно усвоить въ 16—17 лѣтъ, что есть знанія, которыя нужно пріобрѣтать въ теченіе всей жизни“.

Напротивъ, очень сочувственно были встрѣчены мысли референта В. А. Герна „Къ реформѣ курса физики въ гимназіяхъ и реальныхъ училищахъ“, какъ по отношенію къ вопросу о концентрическомъ преподаваніи, такъ и къ введенію практическихъ занятій для учащихся по физикѣ.

Высказываясь одобрительно о концентрическомъ методѣ, съѣздъ сочувственно отнесся къ предложенію ввести, какъ необходимую составную часть преподаванія физики, практическія упражненія для учащихся. Кромѣ Герна по этому вопросу сдѣлано сообщеніе Д. Д. Галанинымъ и Е. В. Жадовскимъ, Сверхъ того для ознакомленія съ положеніемъ этого вопроса въ совѣщаніяхъ, происходившихъ въ 1899 г. при Московскомъ учебномъ округѣ, членамъ съѣзда была предложена примѣрная программа практическихъ занятій съ объяснительной къ ней запиской, составленной В. Ѳ. Давыдовскимъ и принятая въ этихъ совѣщаніяхъ но вопросамъ о средней школѣ для нѣкоторыхъ типовъ школъ.

Вопросъ о практическихъ занятіяхъ учащихся по физикохимическимъ наукамъ и въ частности по физикѣ принадлежитъ къ числу особенно важныхъ педагогическихъ вопросовъ.

Сознаніе необходимости практическихъ занятій для учениковъ гимназій и реальныхъ училищъ по физикѣ и химіи, говоритъ Б. А. Гернъ въ своемъ докладѣ, получило на Западѣ значительное распространеніе.

Въ Америкѣ половина времени, назначеннаго на преподаваніе физики и химіи, идетъ на практическія занятія учащихся по этимъ предметамъ. У насъ же вопросъ о практическихъ занятіяхъ учащихся по физикѣ остается еще до сихъ поръ не вполнѣ рѣшеннымъ, если не принять во вниманіе добровольныхъ попытокъ нѣкоторыхъ изъ преподавателей сдѣлать что-либо въ этомъ направленіи.

А между тѣмъ физика, какъ основа знаній о природѣ въ циклѣ наукъ средней общеобразовательной школы, должна быть поставлена въ такія условія, которыя давали бы возможность использовать все, что можно отъ нея получить важнаго въ образовательномъ и воспитательномъ отношеніи. Считать такими условіями преподаваніе физики безъ самостоятельнаго общенія уча-

щихся съ природой изучаемыхъ ими явленій есть дѣло простого не доразумѣнія. Въ такомъ смыслѣ отнеслись докладчики къ вопросу о практическихъ занятіяхъ учащихся по физикѣ на этомъ съѣздѣ. Члены съѣзда послѣ оживленнаго и всесторонняго обсужденія вопроса о важности практическихъ занятій вынесли постановленіе объ обязательности практическихъ занятій.

Послѣ внесенія А. Н. Реформатскимъ предложенія объ обязательности практическихъ занятій по химіи, съѣздъ огромнымъ большинствомъ принялъ „считать желательнымъ введеніе обязательныхъ практическихъ упражненій по физикѣ и химіи во всѣхъ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ съ соотвѣтственнымъ увеличеніемъ числа часовъ по данному предмету“.

Въ виду того, что вопросъ о правильной организаціи практическихъ занятій учащихся находится въ тѣсной связи съ той школой, которую проходятъ лица, избравшіе профессіей стать преподавателемъ физико-химическихъ наукъ, съѣздомъ было обращено серіозное вниманіе и на этотъ вопросъ.

Для ознакомленія съѣзда съ положеніемъ этого дѣла за-границей проф. Н. А. Умовъ сдѣлалъ спеціальный докладъ о статьѣ Швальбе „Практическіе курсы для подготовки и дальнѣйшаго образованія преподавателей естественныхъ наукъ“.

Докладъ этотъ даетъ возможность познакомиться съ подробностями организаціи подготовки преподавателей физики и химіи въ Берлинѣ, гдѣ королевско-прусское министерство просвѣщенія учредило для этой цѣли спеціальные курсы.

По отношенію къ потребностямъ нашей средней общеобразовательной школы съѣздъ признаетъ необходимымъ устроить при каждомъ учебномъ округѣ особое учрежденіе въ формѣ образцоваго физическаго кабинета и химической лабораторіи для практическихъ занятій лицъ, имѣющихъ званіе преподавателей физики и химіи въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ, а также для занятій преподавателей тѣхъ же заведеній.

Рядомъ съ этимъ А. В. Цингеромъ былъ возбужденъ весьма важный практическій вопросъ, неразрывно связанный съ подготовкой преподавателей. Въ нашей учебной литературѣ не существуетъ совершенно руководствъ къ выполненію учебныхъ демонстрацій. Съѣздъ, имѣя это въ виду, призналъ по мысли А. В. Цингера существенно необходимымъ составить совмѣстнымъ трудомъ практическое руководство къ выполненію школьныхъ демонстрацій.

Что касается химіи, съѣздъ, признавая за ней совершенно самостоятельное общеобразовательное и воспитательное значеніе, считаетъ желательнымъ выдѣлить ее въ самостоятельный учебный предметъ изъ курса физики.

Относительно космографіи, съѣздъ высказался въ томъ смыслѣ, чтобы оживить преподаваніе этого предмета.

Попутно съѣздомъ были затронуты многіе другіе вопросы второстепеннаго характера и значенія.

Изъ этого краткаго обозрѣнія надъ работой московскаго съѣзда видно насколько интенсивны и продуктивны были занятія

перваго окружнаго съѣзда преподавателей физико - химическихъ наукъ.

Благой починъ Москвы не заглохъ. Едва прошло три года, какъ подобный съѣздъ собрался въ Петербургѣ. Съѣздъ этотъ былъ организованъ по иниціативѣ Г. Попечителя Петербургскаго Округа. Засѣданія его продолжались съ 2-го по 10-ое января 1902 г. и членами его были преподаватели физики не только Петербургскаго Учебнаго Округа, а и другихъ округовъ.

Съѣздъ этотъ имѣлъ цѣлью организовать всестороннее ознакомленіе съ приборами, которые служатъ на урокахъ физики въ средней школѣ для демонстрированія опытовъ, разсмотрѣть вопросъ о нормальномъ распредѣленіи курса физики по классамъ и о практическихъ занятіяхъ учащихся.

Завѣдывалъ съѣздомъ проф. О. Д. Хвольсонъ, дѣятельное участіе принимали въ съѣздѣ проф. И. И. Боргманъ, А. И. Садовскій и Лермантовъ.

Для достиженія намѣченной устроителями съѣзда цѣли во 2-омъ этажѣ Физическаго Института Петербургскаго Университета была устроена богатая выставка физическихъ приборовъ. Здѣсь были представители всѣхъ лучшихъ русскихъ и заграничныхъ фирмъ.

Распредѣленіе занятій съѣзда было слѣдующее: съ 10 ч. до 12 дня демонстраціи приборовъ, съ 1Ѵ2 до 3 ч. посѣщеніе учебныхъ заведеній, вечеромъ съ 7 часовъ читались доклады и обсуждались разные вопросы.

Всѣ утреннія засѣданія были посвящены демонстрированію приборовъ, причемъ всѣ приборы были показаны по отдѣламъ. Выборъ приборовъ производился г. членами съѣзда наканунѣ при обходѣ выставки. Кромѣ того показывались приборы разныхъ фирмъ и указывались ихъ достоинства и недостатки.

На первомъ же вечернемъ засѣданіи обсуждался вопросъ объ устройствѣ физическаго кабинета.

Основными положеніями устанавливается:

Классъ долженъ быть устраиваемъ отдѣльно отъ кабинета, гдѣ хранятся приборы и долженъ быть снабженъ всѣмъ необходимымъ: столомъ, экраномъ, водой, газомъ и электрическимъ токомъ. При кабинетѣ и классѣ полагается особый служитель.

Для исправленія и пополненія новыми приборами съѣздъ выноситъ постановленіе о необходимости ассигновать ежегодно на физическій кабинетъ 500 рб.

Считая что преподаватели физики должны подготовлять опыты къ урокамъ, собраніе полагаетъ выдавать преподавателю физики, кромѣ платы за недѣльный урокъ, еще добавочное вознагражденіе за приготовленіе опытовъ къ урокамъ физики по 45 рубл. въ годъ за каждый недѣльный урокъ.

Разсматривая вопросъ о пріобрѣтеніи приборовъ, съѣздъ находитъ, что нѣкоторые приборы изготовляются только заграницей, при томъ цѣны многихъ заграничныхъ приборовъ гораздо ниже цѣнъ русскихъ. Считая, поэтому, выписку приборовъ изъ заграницы необходимой, съѣздъ рѣшаетъ ходатайствовать о безпошлинной выпискѣ приборовъ изъ заграницы.

При обсужденіи вопросовъ о методахъ преподаванія физики, Петербургскій съѣздъ разошелся съ Московскимъ. Здѣсь не видно ревностныхъ поклонниковъ концентрическаго курса. Членъ съѣзда г. Ковальскій находитъ, что для физики желателенъ неполный концентрическій курсъ, необходимо ознакомить въ VI классѣ учениковъ съ главными явленіями изъ разныхъ отдѣловъ физики, а въ VII и VIII классахъ долженъ быть систематическій курсъ.

А. И. Садовскій считаетъ необходимымъ проходить систематически курсъ физики, такъ какъ при концентрическомъ въ случаѣ смѣны преподавателей для учениковъ будутъ встрѣчаться большія затрудненія.

Индриксонъ находитъ, что въ VI классѣ надо знакомить съ явленіями и показывать возможно болѣе опытовъ, преподаваніе можно вести систематически, все же трудное должно быть отнесено на другіе классы.

Хвольсонъ находитъ, что едва ли возможно при 9 урокахъ составить 2 полныхъ концентра. При такомъ числѣ уроковъ лучше проходить курсъ систематически, оставляя на послѣдній годъ трудное.

Послѣ преній по этому вопросу собраніе рѣшаетъ проходить курсъ систематически, причемъ наиболѣе трудные вопросы программы откладывать на послѣдній годъ.

(Окончаніе слѣдуетъ).

Задачи.

92. Рѣшить уравненіе:

X3 — 4я ( X— I)1’5 -j- Зж2 — 8æ -j- 4 = 0.

В. Тюникъ.

93. Не пользуясь окружностью, показать, что изъ всѣхъ треугольниковъ, имѣющихъ одинаковыя основанія и высоту, наибольшій уголъ противъ основанія принадлежитъ равнобедренному треугольнику.

И. Александровъ.

94. Даны точка А и двѣ окружности, О и Ог Черезъ точку А провести сѣкущую, отрѣзокъ которой между окружностями дѣлился-бы пополамъ радикальною осью*) данныхъ окружностей.

Его же.

95. Показать, что при цѣломъ п

96. Показать, что въ треугольной пирамидѣ, плоскіе углы ко-

*) Радикальная ось двухъ окружностей есть геометрическое мѣсто точекъ, касательныя изъ которыхъ къ окружностямъ равны.

торой при вершинѣ—прямые, квадратъ площади основанія равенъ суммѣ квадратовъ площадей трехъ ея боковыхъ граней.

М. Минковскій (уч. X Моск. гимн.).

97. Доказать, что вообще въ треугольной пирамидѣ квадратъ площади какой-либо грани равенъ суммѣ квадратовъ площадей трехъ остальныхъ граней безъ удвоенной суммы произведеній площадей каждыхъ двухъ изъ нихъ на косинусъ двуграннаго угла между ними.

Его же.

98. Показать, что при х и с положительныхъ функція

возрастаетъ при возрастаніи х.

Н. Дуве.

99. Найти предѣлъ выраженія

М. Орбекъ.

Рѣшенія задачъ.

50. Опредѣлить всѣ системы дѣйствительныхъ значеній х и у, при которыхъ выраженіе {х-\-уі)3 дѣйствительно и болѣе 8 и, проведя прямоугольныя оси координатъ, построить точки, для которыхъ эти значенія служатъ координатами.

Упрощая данное выраженіе, имѣемъ:

(х -|- уг)3 = х3 — Зху2 -f- (Зх2 — у2) уі.

Условія, которымъ должны удовлетворять х и ?/, выражаются уравненіемъ:

(За:2 — г/4) (1.)

и неравенствомъ

х3 — Зху2>8 (2.)

Но ур. (1.) распадается на два:

г/ = 0 (а.); Зж2 — (<?.).

Сопоставляя неравенство (2) и ур. (а.) найдемъ: у = 0: іс3>8; т. е. х >2,

т. е. получимъ систему х> 2, у = 0. Геометрически этимъ значеніямъ X и г/ удовлетворяютъ всѣ точки, лежащія на оси абсцисса вправо отъ начала на разстояніи, большемъ 2.

Сопоставляя далѣе ур. (<?.) и неравенство (2.), имѣемъ: у2 = 3 X2; а:3 — 9а:3 > 8, т. е. х< — 1; у — х±\/~з.

Геометрически послѣднее ур. представляетъ пару прямыхъ, проходящихъ чрезъ начало координатъ и образующихъ соотвѣтственно съ положительнымъ и отрицательнымъ направленіемъ оси абсциссъ углы въ 60°, Но въ силу условія х<— 1 изъ точекъ этихъ прямыхъ задачѣ удовлетворяютъ лишь тѣ, которыя лежатъ въ II и III четвертяхъ и абсциссы которыхъ < — 1.

К. Кульманъ, А. И. Жилинскій, М. Орбекъ, М. С. Зильберштейнъ, Н. Щетининъ (Москва), А. Г. Бутомо (Саратовъ), А. Городецкая (Козельскъ), Д. Рѣдько (Полтава), А. 0. Сердобинскій (Чита), Н. Несторовичъ (Влодава), В. Минь (Полтава), И. IL Коровицкій (Спб.).

60. Показать, что если а, Ъ и с—числа, большія 1, то

Такъ какъ средняя ариѳметическая величина двухъ неравныхъ величинъ болѣе ихъ средней геометрической, то

Перемножая эти неравенства почленно, мы и получимъ

откуда и вытекаетъ справедливость заданнаго неравенства.

Н. Щетининъ, (Москва,), А. Сердобинскій (Чита), Н. Несторовичъ (Влодава), С. Кузьминъ.

61. Рѣшить уравненіе:

Складывая данное уравненіе почленно съ тождествомъ

послѣ упрощеній, получимъ:

или

(я2 + 1 — ]/"з )2 = [2 (а — 2)]2,

Это послѣднее уравненіе распадается на два квадратныхъ уравненія:

Первое ур. даетъ даетъ два мнимыхъ рѣшенія:

второе же даетъ два дѣйствительныхъ рѣшенія:

Н. Щетининъ (Москва,), Д. Сердобинскій (Чита), і?. Кованько (ст. Струнино), С. Кузьминъ.

63. Рѣшить въ цѣлыхъ числахъ уравненія:

х4 + У4 + 2 = 4 ху.

Уравненіе можно представить въ видѣ (х* — у*)*+ 2 (ху — 1)2 = 0.

Отсюда слѣдуетъ, что въ отдѣльности

X2 — У2 = 0 и ху—1 = 0.

Этимъ уравненіямъ удовлетворяютъ только двѣ системы дѣйствительныхъ значеній х и у:

X = у = -j- 1 и х = у = — 1.

.4. Жилинскій, П. Казачкинъ, А. Мазингъ, (Москва), И. Коровицкій (Спб.), А. Сердобинскій (Чита), Д. Бутомо (Саратовъ), Н. Несторовичъ (Влодава).

64. Провести въ данномъ направленіи къ двумъ даннымъ окружностямъ сѣкующую, опредѣляющую въ окружностяхъ двѣ равныя хорды.

Опустимъ изъ центровъ О и О, данныхъ окружностей перпендикуляры ОК и на какую-нибудь прямую KL, параллельную данному направленію и перенесемъ одну изъ окружностей, напр. 0Ѵ такъ чтобы центръ ея, перемѣщаясь по прямой 01 Ог, параллельной KL, занялъ положеніе 02 на перпендикулярѣ ОК. Тогда, если построенная окружность пересѣкается съ окружностью

О въ точкахъ А и В, то эти точки и опредѣлятъ положеніе искомой сѣкущей AB CD и образуемый ею въ обоихъ кругахъ хорды AB и CD будутъ равны, какъ одинаково удаленныя отъ центровъ въ двухъ равныхъ кругахъ. Задача возможна лишь при условіи, что данная окружность О и вспомогательная Ог пересѣкаются, т. е. при условіи

-йі -)-В^> 002>Ві — R,

гдѣ Ві и R радіусы данныхъ окружностей.

ІГ. Кульманъ, В. Ефремовичъ, А. Мазингъ, Н. Щетининъ (Москва), Н. Несторовичъ (Влодава), В. Кованько (ст. Струнино) И. Ильинъ (Астрахань).

68. Найти производную функціи

и объяснить результатъ.

Составляя требуемую производную, находимъ

Отсюда заключаемъ, что у—величина постоянная. Дѣйствительно, полагая arcsnx=(p, имѣемъ х ■= sny и, слѣдовательно,

гдѣ k любое цѣлое число. Слѣдовательно

А. Жилинскій, М. Зильберштейнъ, А. Мазингъ, А. Городецкая, Н. Щепининъ, М. Шульманъ (Москва), И. Коровицкій (Спб.), Н. Несторовичъ (Влодава), //, Ильинъ (Астрахань), А. Бутомо (Саратовъ), А. Сердобинскій (Чита), С. Кузьминъ, В. Кованько (ст. Струнино), Н. Нейцъ (Самара).

Библіографическій Отдѣлъ.

Н. Томилинъ. Курсъ физики. Второй концентръ. Томъ первый. Спб. 1911 г., ц. 2 руб.

Въ предисловіи авторъ говоритъ, что „въ русской учебной литературѣ существуетъ много руководствъ по начальной физикѣ, но сравнительно мало было сдѣлано попытокъ правильно поставить и удовлетворительно разрѣшить вопросъ о второмъ концентрѣ“; вотъ почему авторъ счелъ цѣлесообразнымъ восполнить этотъ пробѣлъ и выпустить въ свѣтъ сразу второй концентръ курса физики.

Данное руководство написано независимо отъ дѣйствующихъ программъ средней школы и составлено въ духѣ реформы традиціоннаго преподаванія физики; авторъ стремится съ одной стороны сблизить изложеніе физики съ обыденной жизнью и техникой, съ другой—внести въ изученіе физики возможно ббльшую научность и даже—на послѣдней ступени второго концентра— „дать учащимся почувствовать единство физической картины міра и помочь имъ выработать правильное физическое міросозерцаніе“. Но такъ какъ сколько нибудь научное усвоеніе физики невозможно безъ примѣненія во многихъ случаяхъ методовъ высшей математики, и такъ какъ съ другой стороны традиціонный курсъ математики въ средней школѣ не даетъ учащимся почти никакого понятія объ элементахъ высшей математики,—то авторъ включилъ въ свой курсъ тѣ чисто математическія свѣдѣнія, которыя необходимы ему для основной цѣли, т.-е. для научнаго и удобопонятнаго изложенія физики. Значительную часть вышедшаго перваго тома и занимаетъ изложеніе основъ аналитической геометріи и дифференціальнаго и интегральнаго исчисленія; авторъ даетъ необходимыя свѣдѣнія о координатахъ, о графическомъ изображеніи функціональныхъ зависимостей, о прямой линіи и коническихъ сѣченіяхъ, о дифференціалѣ и производной, объ интегралѣ неопредѣленномъ и опредѣленномъ, о дифференцированіи и интегрированіи простѣйшихъ алгебраическихъ и трансцендентныхъ функцій, и даже о дифференціальныхъ уравненіяхъ, встрѣчающихся въ механикѣ. Изъ числа вопросовъ физики въ разбираемомъ первомъ томѣ изложены: вопросъ о физическихъ измѣреніяхъ, введеніе въ механику и начатки аэродинамики.

Уже это краткое содержаніе руководства указываетъ, насколько оно интересно какъ для физиковъ, такъ и для математиковъ, тѣмъ болѣе, что авторъ стремится излагать математическіе вопросы не отвлеченно, а въ тѣсной связи съ ихъ приложеніями къ физикѣ. Безспорно, слѣдуетъ привѣтствовать какъ общій планъ автора, такъ и стремленіе его использовать всѣ средства математическаго метода для истолкованія явленій природы; но нельзя при этомъ не пожалѣть, что въ изложеніи чисто-математическихъ вопросовъ допущены довольно значительные недочеты.

Основнымъ недостаткомъ изложенія является то обстоятельство, что авторъ оперируетъ надъ безконечно малыми величинами, совершенно не опредѣляя, что обозначаетъ этотъ терминъ, и даже не указывая, каково различіе между понятіями „очень малое“ и „безконечно малое“. Благодаря этому, онъ впадаетъ въ цѣлый рядъ неясностей, неточностей и натяжекъ именно тамъ, гдѣ примѣненіе математическаго метода должно бы сдѣлать изложеніе физическихъ вопросовъ яснымъ и научнымъ.

Такъ напр. на стр. 116—121 авторъ выводитъ формулу пути, проходимаго точкой при равноускоренномъ движеніи (7 = -1- at2), при чемъ примѣняетъ графическій методъ, изображая пройденные пути въ видѣ прямоугольниковъ на координатной бумагѣ, и разсматриваетъ искомый результатъ, какъ предѣлъ суммы этихъ прямоугольниковъ. При этомъ сначала онъ показываетъ на рядѣ примѣровъ, что „дробленіемъ времени на все ббльшее число промежутковъ мы достигаемъ все большей точности“ (стр. 120), а затѣмъ говоритъ такъ: „Но очевидно, что идеальной точности мы достигнемъ лишь тогда, когда разобьемъ время на безконечно большое число безконечно малыхъ элементовъ (курсивъ вездѣ мой. К. Л.) Постараемся себѣ представить, какой видъ приметъ тогда нашъ чертежъ. По мѣрѣ увеличенія числа прямоугольниковъ они будутъ становиться все уже и въ предѣлѣ заполнятъ все пространство, заключенное между осью абсциссъ, линіей, изображающей крайнее значеніе скорости и прямой ОР. Обратимъ еще вниманіе на то обстоятель-

ство, что при возрастаніи числа элементовъ заштрихованные треугольники... будутъ становиться ничтожно малыми даже въ сравненіи съ безконечно малыми площадями элементарныхъ прямоугольниковъ. Эти кусочки можно назвать безконечно малыми второго порядка, и для полученія точнаго результата мы слѣдовательно должны пренебречь безконечно малыми второго порядка“ (стр. 120—121 ).

Правда, этотъ выводъ дается ранѣе главы, содержащей элементы дифференціальнаго исчисленія, но вотъ въ этой послѣдней главѣ авторъ снова возвращается къ вопросу о равноускоренномъ движеніи и говоритъ: „преимущество анализа безконечно малыхъ состоитъ въ томъ, что благодаря его примѣненію оба упомянутыхъ вопроса (о вычисленіи пройденнаго пути и скорости точки въ любой моментъ) рѣшаются вполнѣ точно и весьма быстро“ (стр. 223); а затѣмъ вычисленіе скорости для любого даннаго момента ведется слѣдующимъ образомъ: въ формулѣ, выражающей пройденный пут (I = -і- at2) времени t дается „какое нибудь очень малое приращеніе At и вычисляется средняя скорость ѵт = ^ = at + —a.At. Далѣе читаемъ: „Чтобы перейти отъ средней скорости къ скорости въ данный моментъ, необходимо вычислить скорость, соотвѣтствующую безконечно малому промежутку времени, слѣдующему за разсматриваемымъ моментомъ. При всемъ напряженіи нашей фантазіи мы не можемъ себѣ представить, во что превратится отношеніе — , если числитель и знаменатель этого отношенія будутъ величинами безконечно малыми. Но формула ^ = at -4- ~ а. At оказывается въ данномъ случаѣ болѣе могущественной, чѣмъ наше представленіе и даетъ абсолютно точный результатъ тамъ, гдѣ послѣднее оказывается несостоятельнымъ... чѣмъ меньше будетъ At. тѣмъ меньше будетъ значеніе средней скорости отличаться отъ искомой нами скорости въ данный моментъ ( vt ). Приравнивая второй членъ въ правой части нашего равенства нулю, получимъ vt = предѣлу, къ которому стремится отношеніе безконечно малаго пути къ безконечно малому промежутку времени = at, или короче vt = пред. I —- ) или еще короче * = ÿ = ai. Въ послѣдней формулѣ символы (дифференціалъ I) и dt (дифференціалъ t) означаютъ безконечно малыя приращенія пути и времени. Итакъ общее выраженіе для скорости движенія должно быть представлено не отношеніемъ пути ко времени > а отношеніемъ безконечно малаго пути к безконечно малому промежутку времени " (стр. 228—229). На слѣдующей страницѣ дается графическая иллюстрація скорости посредствомъ касательной къ параболѣ, причемъ авторъ говоритъ такъ: „Представимъ себѣ теперь, что точка все ближе и ближе подвигается по кривой къ точкѣ М. Въ такомъ случаѣ направленіе сѣкущей все меньше будетъ отличаться отъ направленія касательной, проведенной къ кривой въ точкѣ М и въ предѣлѣ сѣкущая сольется съ касательной (стр. 230—231).

Далѣе авторъ указываетъ, что „для правильнаго обращенія съ безконечно малыми“ необходимо соблюдать нѣкоторыя правила, при чемъ эти правила (о суммѣ, произведеніи, частномъ безконечно малыхъ и т. п.) даются вполнѣ догматично и среди нихъ встрѣчается и такое: „во всѣхъ уравненіяхъ, гдѣ наряду съ конечными величинами встрѣчаются члены безконечно малые, послѣдніе можно отбросить, не нарушая равенства (стр. 231—232). Затѣмъ говорится о дифференціалахъ, причемъ авторъ опять считаетъ ихъ просто безконечно малыми приращеніями и находитъ возможнымъ въ равенствѣ dy = = 2xdx 4- (dx)2 „пренебречь“ послѣднимъ членомъ, какъ безконечно малой величиной 2-го порядка; отсюда онъ получаетъ равенство ^ = 2х и устанавливаетъ понятіе о производной, опредѣляя ее, какъ „отношеніе безконечно малаго приращенія функціи къ безконечно малому приращенію независимой пере-

мѣнной"; но черезъ нѣсколько строкъ говорится уже, что „производная будетъ предѣломъ, къ которому стремится выраженіе —-—-—----— при приближеніи Дх къ нулю“ (стр. 233).

Примѣровъ подобныхъ неточностей и натяжекъ можно было бы привести еще немало, и очевидно, что подобный методъ изложенія принятъ авторомъ сознательно, такъ какъ на стр. 231 онъ находитъ возможнымъ утверждать, что „при оперированіи съ безконечно малыми величинами философскій (?) вопросъ о дѣйствительной ихъ величинѣ ...не играетъ ровно никакой роли“. Я же полагаю, что подобный способъ изложенія основъ анализа совершенно недопустимъ ни въ высшей, ни въ средней школѣ, такъ какъ съ одной стороны точный смыслъ понятій о безконечно маломъ, о предѣлѣ, о производной и т. д. уже прочно установленъ въ математической наукѣ, съ другой стороны неточное и даже прямо невѣрное изложеніе основъ высшей математики не только не способствуетъ лучшему усвоенію учащимися этихъ понятій, а наоборотъ—можетъ только затруднить имъ знакомство съ математикой и физикой. Конечно, объединеніе математики и физики въ школьномъ курсѣ крайне необходимо въ интересахъ обоихъ предметовъ, но оно можетъ быть правильно осуществлено только при двухъ условіяхъ: если математики откажутся отъ обыкновенія производить свои теоретическія построенія, хотя бы и вполнѣ логичныя, внѣ всякой связи съ естествознаніемъ и жизнью; а физики отрѣшатся отъ привычки смѣшивать „безконечно малое“ съ „очень малымъ“ и вносить мистическіе элементы въ совершенно ясныя и опредѣленныя понятія математическаго анализа. Къ сожалѣнію, въ книгѣ г. Томилина мы не находимъ поворота къ лучшему въ этомъ послѣднемъ отношеніи.

К. Л.

Отъ организаціоннаго Комитета 2-го Всероссійскаго Съѣзда Преподавателей Математики.

На первомъ Всероссійскомъ Съѣздѣ Преподавателей Математики, состоявшемся въ С.-Петербургѣ въ декабрѣ 1911—январѣ 1912 года, было постановлено созвать 2-й Всероссійскій Съѣздъ Преподавателей Математики во время рождественскихъ вакацій 1913—1914 года, и выражено пожеланіе, чтобы организацію этого Съѣзда принялъ на себя Московскій Математическій Кружокъ. Во исполненіе этого постановленія, весною 1912 года, особо составленнымъ Организаціоннымъ Комитетомъ былъ разработанъ проектъ Положенія о 2-мъ Всероссійскомъ Съѣздѣ Преподавателей Математики и возбуждено ходатайство о его разрѣшеніи предъ Министерствомъ Внутреннихъ Дѣлъ. Осенью 1912 года послѣдовало разрѣшеніе на устройство 2-го Съѣзда и одобрено Положеніе о немъ, выработанное Организаціоннымъ Комитетомъ.

Доводя о семъ до всеобщаго свѣдѣнія, Организаціонный Комитетъ 2-го Съѣзда приглашаетъ профессоровъ, преподавателей и преподавательницъ математическихъ наукъ и вообще всѣхъ лицъ, интересующихся вопросами преподаванія математики и близкихъ къ ней наукъ, принять участіе въ Съѣздѣ вступленіемъ въ число его членовъ, а также чтеніемъ на немъ докладовъ и рефератовъ и доставленіемъ экспонатовъ на имѣющую быть при немъ выставку учебныхъ пособій.

Для непосредственнаго завѣдыванія дѣломъ устройства Съѣзда Органиизаціоннымъ Комитетомъ избрано бюро Съѣзда въ слѣдующемъ составѣ:

Предсѣдатель: проф. Б. К. Млодзѣевскій.

Товарищи предсѣдателя: С. М. Зегеръ,

проф. А. К. Власов.

Казначеи: М. Ѳ. Бергъ,

А. Я. Модестовъ.

Секретари: А. А. Волковъ,

А. П. Поляковъ,

I. И. Чистяковъ.

Адресъ бюро Организаціоннаго Комитета 2-го Всероссійскаго Съѣзда Преподавателей математики:

Москва, М. Знаменскій пер., Реальное училище К. К. Мазинга.

Заявленія о желаніи вступить въ члены Съѣзда должны быть направляемы по этому адресу вмѣстѣ съ членскими взносами на имя казначея Съѣзда Алексѣя Яковлевича Модестова. По тому-же адресу должны быть присылаемы заявленія о желаніи сдѣлать доклады (съ приложеніемъ или подлинныхъ докладовъ, или краткаго изложенія ихъ содержанія). При этомъ Комитетъ покорнѣйше проситъ упомянутыя заявленія дѣлать, по возможности, ранѣе, въ виду необходимости заблаговременно опредѣлить хотя бы приблизительно число членовъ Съѣзда и число предполагаемыхъ сообщеній. Эти свѣдѣнія Комитету желательно имѣть, между прочимъ, въ виду его намѣренія исхлопотать для пріѣзжихъ членовъ Съѣзда удешевленныя помѣщенія, а также для опредѣленія необходимаго для печатанія количества экземпляровъ „Бюллетеней“ Съѣзда. Первые выпуски означенныхъ „Бюллетеней“, содержащіе свѣдѣнія о ходѣ работъ Организаціоннаго Комитета, предполагается разсылать лицамъ, записавшимся въ члены Съѣзда, еще до его открытія.

Положеніе о 2-мъ Всероссійскомъ Съѣздѣ преподавателей математики.

§ 1. 2-й Всероссійскій Съѣздъ преподавателей математики созывается въ Москвѣ Организаціоннымъ Комитетомъ при ближайшемъ участіи Московскаго Математическаго Кружка.

§ 2. Съѣздъ открывается 27 декабря 1913 г. и продолжается по 3 января 1914 года включительно.

3. Съѣздъ имѣетъ цѣлью:

1) обсужденіе научныхъ вопросовъ, имѣющихъ отношеніе къ элементарной математикѣ;

2) разсмотрѣніе современной постановки преподаванія математики въ учебныхъ заведеніяхъ различныхъ типовъ, преимущественно—въ среднихъ;

3) обсужденіе вопросовъ о желательной постановкѣ преподаванія математическихъ наукъ;

4) обсужденіе вопросовъ о методахъ и пріемахъ преподаванія математики и соприкасающихся съ нею наукъ и о способахъ провѣрки знаній учащихся;

5) обсужденіе вопроса о подготовленіи преподавателей математики.

§ 4. Для непосредственнаго завѣдыванія дѣлами Съѣзда Организаціонный Комитетъ избираетъ изъ своей среды предсѣдателя, товарищей предсѣдателя, секретарей и казначея. Въ слу-

чаѣ надобности Организаціонный Комитетъ можетъ пополнить свой составъ новыми членами.

§ 5. Организаціонный Комитетъ устраиваетъ секціи Съѣзда по отдѣльнымъ группамъ вопросовъ и избираетъ изъ своей среды завѣдующихъ этими секціями.

6. Членами Съѣзда могутъ быть профессора, преподаватели и преподавательницы математическихъ наукъ; члены математическихъ и педагогическихъ обществъ и кружковъ, а также лица, заявившія себя печатными трудами въ области математики и общей педагогики. Всѣ прочія лица, интересующіяся дѣятельностью Съѣзда, могутъ вступать въ число его членовъ, но безъ права рѣшающаго голоса.

§ 7. Лица, желающія вступить въ число членовъ Съѣзда, заявляютъ объ этомъ Организаціонному Комитету, прилагая членскій взносъ въ размѣрѣ трехъ рублей.

§ 8. При Съѣздѣ организуется выставка учебныхъ и наглядныхъ пособій по математикѣ. Лица, не состоящія членами Съѣзда, допускаются къ осмотру выставки за особую плату.

§ 9. Лица, желающія сдѣлать доклады, заявляютъ объ этомъ въ Организаціонный Комитетъ не позже 1-го декабря 1913 года съ приложеніемъ или подлинныхъ докладовъ, или краткаго изложенія ихъ содержанія. Не доставленныя къ этому сроку сообщенія могутъ быть прочитаны только съ особаго разрѣшенія Организаціоннаго Комитета. Порядокъ и продолжительность докладовъ устанавливаются Организаціоннымъ Комитетомъ.

§ 10. Организаціонный Комитетъ выпускаетъ дневникъ Съѣзда. Для редактированія изданій Съѣзда Организаціонный Комитетъ избираетъ особое лицо.

§ 11. Организаціонный Комитетъ, на основаніи постановленій какъ общихъ, такъ и секціонныхъ собраній Съѣзда вноситъ въ заключитальное общее собраніе проекты резолюцій по вопросамъ, обсуждавшимся на Съѣздѣ, для голосованія. Соотвѣтствующія резолюціи принимаются или отвергаются безъ преній простымъ большинствомъ голосовъ.

Краткій отчетъ о засѣданіяхъ Московскаго Математическаго Кружка.

Въ январьскомъ засѣданіи Кружка Н. А. Извольскимъ было прочитано сообщеніе „Объ основаніяхъ высотъ треугольниковъ, вписанныхъ въ кругъ“ (докладъ будетъ помѣщенъ въ „Математическомъ Образованіи“), а также состоялась педагогическая бесѣда о характерѣ курса математики въ средней общеобразовательной школѣ. Секретарь Кружка I. И. Чистяковъ заявилъ объ оставленіи имъ должности секретаря въ виду недостатка у него свободнаго времени. Постановлено произвести выборы товарища предсѣдателя и секретаря Кружка въ слѣдующемъ засѣданіи.

Въ засѣданіи Кружка 14 февраля 1913 г. былъ утвержденъ отчетъ о дѣятельности Кружка за 1912 г., а также произведены выборы товарища предсѣдателя Кружка и секретаря, причемъ на первую должность былъ избранъ проф. А. К. Власовъ, а на вторую А. А. Волковъ. Бывшему секретарю I. И. Чистякову былъ поднесенъ благодарственный адресъ. Затѣмъ П. А. Барановъ сдѣлалъ сообщеніе: „Къ вопросу о вычисленіи стороны правильнаго вписаннаго въ кругъ многоугольника“. А. А. Волковъ сообщилъ о выходѣ въ свѣтъ

русскаго перевода перваго тома сборника статей по основаніямъ геометріи, изданнаго подъ редакціи и при участіи Enriques’a. I. И. Чистяковъ сообщилъ о выходѣ въ изданіи Харьковской Математической библіотеки подъ редакціей проф. Д. М. Синцова труда Н. И. Лобачевскаго „Новыя начала геометріи съ полной теоріей параллельныхъ“, бывшаго въ послѣднее время недоступнымъ русскимъ читателямъ въ виду того, что. юбилейное изданіе сочиненій Лобачевскаго давно уже стало библіографической рѣдкостью. Кромѣ того I. И. Чистяковъ сообщилъ свѣдѣнія и о другихъ изданіяхъ Харьковской Математической библіотеки. Въ послѣдовашей педагогической бесѣдѣ обсуждались вопросы о приближенномъ вычисленіи и приближенномъ измѣреніи и о томъ ариѳметическомъ матеріалѣ, который служитъ подготовкой къ введенію понятія ирраціональнаго числа.

Экстренное засѣданіе 3 марта 1913 г. было посвящено памяти покойнаго товарища предсѣдателя Крѵжка А. Ѳ. Гатлиха (см. „Матем. Образованіе“ № 3, 1913 г.).

Въ засѣданіи 14 марша 1913 г. А. А. Волковъ прочелъ сообщеніе: „Объ аксіомахъ и опредѣленіяхъ“ (докладъ будетъ напечатанъ въ „Математическомъ Образованіи“). Л. С. Севастьяновъ сдѣлалъ небольшое сообщеніе „По поводу вывода формулы квадратнаго уравненія“. А. Н. Шапошниковъ сдѣлалъ докладъ: „По поводу теоріи извлеченія квадратныхъ корней“.

Въ засѣданіи 2-го апрѣля 1913 г. были сдѣланы сообщенія. И. В. Краснопѣвцевымъ—„Нѣсколько словъ по поводу одной рутины въ учебникахъ геометріи“ и Р. В. Невядомскимъ—„Новый методъ разложенія чиселъ на простые множители“. (Способъ, предлагаемый Р. В. Невядомскимъ, изложенъ имъ въ брошюрѣ: „Свойства рядовъ Фибонапца. Новый методъ разложенія чиселъ на первоначальные множители“, М. 1912).

Новыя книги.

А. П. Постниковъ. Учебникъ физики для среднихъ учебныхъ заведеній. Ч. II. М. 1913, Ц. 1 р. 25 к.

B. Грэнвиль. Элементы дифференціальнаго и интегральнаго исчисленій. Пер. съ англ. Н. Маракуева. М. 1912. Ц. 3 р. 50 к.

Записки математическаго кружка при Оренбургскомъ реальномъ училищѣ. № 8. Оренбургъ. 1913. II. 50 к.

И. Теръ-Степановъ. Сборникъ геометрическихъ задачъ на вычисленіе. Ч. I. Планиметрія. Ц. 80 к. Ч. II. Стереометрія. Ц. 70 к. Спб. 1912.

Е. Фурре. Геометрическіе головоломки и паралогизмы. Изд. Mathesis. Одесса. 1912. Ц. 30 к.

Его же. Очеркъ исторіи элементарной геометріи. Изд. Mathesis. Одесса. 1912. Ц. 30 к.

А. А. Сахаровъ. Основной курсъ международнаго языка эсперанто. М.1913. Ц. 5 к.

Отчетъ о дѣятельности Бѣлостокскаго Педагогическаго Общества за 1911— 1912 г.

В. Каганъ. О преобразованіи многогранниковъ. Изд. Mathesis. Одесса. 1913. Ц. 35 к.

Т. П. Кравецъ. Абсорбція свѣта въ растворахъ окрашенныхъ веществъ. М. 1912 г.

Фр. Фребель. Педагогическія сочиненія. T. II. Дѣтскій садъ. Пер. Н. Н. Соколова подъ ред. Д. Н. Королькова. М. 1913. Ц. 3 р;

Е. И. Игнатьевъ. Математическая хрестоматія. Книга I. Ариѳметика. М. 1913. Д. 1 р.

А. А. Михайловъ. Звѣдный атласъ. Изд. Моск. Общества Любителей Астрономіи. М. 1913. Ц. 90 к.

Е. Пржевальскій. Пятизначныя таблицъ логариѳмовъ чиселъ и тригонометрическихъ величинъ. 20-е изд. М. 1913. Ц. 75 коп.

Адольфъ Дистервегъ. Руководство для нѣмецкихъ учителей. Пер. съ нѣм. А. Ѳ. Гретманъ, съ предисл. и подъ ред. Д. Н. Королькова. М. 1913. 1 р. 50 к.

В. Г. Фридманъ. Концентрическій учебникъ алгебры. Ч. П. М. 1913. Ц. 1 р. К. Н. Рашевскій. Элементарная геометрія. Изд. 2-е. М. 1911. Ц. 1 р. 25 к.

Отвѣтственный редакторъ /. И. Чистяковъ.

Печатня А. И. Снегиревой Москва.

Открыта подписка на 1913-й годъ

на Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

„МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНІЕ“.

Журналъ выходитъ ежемѣсячно книжками отъ 2 до 3 печатныхъ листовъ за исключеніемъ мая, іюня, іюля и августа мѣсяцевъ.

Циркуляромъ Попечителя Московскаго Учебнаго Округа отъ 23 Марта 1912 года за № 10808 журналъ „Математическое Образованіе" рекомендованъ для выписки въ ученическія и фундаментальныя библіотеки мужскихъ и женскихъ учебныхъ заведеній,

Содержаніе журнала 1) статьи по различнымъ отдѣламъ математики оригинальныя и переводныя; 2) статьи по вопросамъ преподаванія математики и соприкасающихся наукъ; 3) очерки по исторіи математики, біографіи и портреты математиковъ; 4) библіографическій отдѣлъ; 5) вопросы и задачи; 6) математическая хроника; 7) Объявленія.

Цѣна 3 рубля въ годъ и 2 рубля на полгода съ до* ставкой и пересылкой.

Цѣна отдѣльнаго №. 50 к. съ перес. За перемѣну адреса 20 к

ПОДПИСКА ПРИНИМАЕТСЯ ВЪ РЕДАКЦІИ:

Москва, Остоженка 7, кв. 88.

Журналъ за 1912 г.— 2 р. съ перес.

Если объявл. печат. 4 раза уступка 15 °/0. За 8 разъ уступ. 25 °/0.

За разсылку при журналѣ отдѣльныхъ приложеній вѣсомъ не болѣе 1 л. съ каждой 1000 экз. 8 р. За каждый лишній лотъ съ 1000 экз. 4 р. _____

Книжные магазины пользуются 5% съ подписной цѣны.

Печатня А. И. Снегиревой Москва.