Математическое Образованіе.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка.

Годъ второй.

№ 2.

Февраль 1913 г.

МОСКВА.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

„Математическое Образованіе“

Февраль 1913 г. Годъ 2-й. № 2.

СОДЕРЖАНІЕ: О славянской нумераціи.—Л. Филипповъ. Соотношенія между произведеніями діагоналей и противоположныхъ сторонъ четыреугольника.—В. М. Шлыгинъ. Формула Эйлера для правильныхъ многогранниковъ.—Г. Свѣшниковъ. Къ рѣшенію задачи Л? 39.—А. Волковъ. По поводу одной книги.—Д. Синцовъ. Къ вопросу о подобіи треугольниковъ въ систематическомъ курсѣ геометріи.— К. Лебединцевъ. Алгориѳмъ Бине и его употребленіе въ древности. — В. Бобынинъ. Задачи. Рѣшенія задачъ. Библіографическій отдѣлъ. Засѣданія Математическаго Отдѣла Педагогическаго Музея Военно-Учебныхъ Заведеній. 1912—1913 г. Уставъ Московскаго Общества изученія и распространенія физическихъ наукъ.

О славянской нумераціи.

А. Филипповъ. Могилевъ-Подольскій.

Тысячи тысячъ служили Ему и тьмы темъ предстояли предъ Нимъ. (Даніилъ, 7, 10).

1. Идіографія.

Изобрѣтеніе символовъ для передачи мыслей относятъ къ древнѣйшимъ временамъ. Первоначальное пиктографическое письмо состояло изъ изображеній вещей. Упрощеніе картиннаго письма дало идіограммы—символы понятій. Конечно, системы идіограммъ въ первобытномъ видѣ совершенно произвольны, фантастичны и сложны, чему примѣромъ можетъ служить система китайскихъ гіероглифовъ, служащая дня народовъ азіатскаго востока „всемірнымъ языкомъ“. Звуковыя азбуки смѣнили эти системы. Однако исторія развитія математическихъ наукъ показываетъ намъ, что постепенное созданіе научнаго всемірнаго языка есть задача, которая рѣшается по мѣрѣ развитія и расчлененія понятій. Въ этой статьѣ мы займемся однако не этимъ весьма интереснымъ вопросомъ о созданіи общей идіографіи, вопросомъ ясно формулированнымъ еще Лейбницемъ и нынче изучаемымъ школой Пеано, а изслѣдуемъ лишь процессъ возникновенія, развитія, расцвѣта и гибели одной частной идіографической системы—славянской нумераціи.

2. Совершенная идіографія класса.

Всякая нумерація представляетъ изъ себя идіографическую систему одного класса—натуральныхъ чиселъ. Изъ этой

системы, по мѣрѣ расширенія понятія о числѣ, создаются обозначенія болѣе общихъ понятій — чиселъ раціональныхъ, вещественныхъ и т. д. Какъ всякое созданіе человѣческой мысли нумерація можетъ въ большей или меньшей мѣрѣ удовлетворять тѣмъ идеальнымъ требованіямъ, которыя мы можемъ поставить всякому цѣлесообразному творенію.

Эти идеальныя требованія по отношенію ко всякой идіографіи класса могутъ быть формулированы слѣдующимъ образомъ:

(I) . Всѣ символы идіографіи должны быть однозначны.

(II) . Идіографія должна быть полной.

(III) . Индивидуумы классовъ,» обозначаемыхъ данной идіографіей, должны быть обозначаемы только однимъ символомъ.

(IV) . Число основныхъ символовъ идіографіи должно быть возможно меньшимъ.

(V) . Число основныхъ символовъ, входящихъ въ каждое соединеніе, должно быть возможно меньшимъ.

(VI) . Начертаніе каждаго символа должно быть яснымъ и отчетливымъ.

(VII) . Соединенія должны составляться изъ основныхъ символовъ такъ, чтобы основные символы писать рядомъ, въ одномъ направленіи.

3. Свойства аддитивной нумераціи.

Вышеуказанныя требованія (I)—(VIII) должны соблюдаться, по мѣрѣ возможности, каждой идіографіей, поэтому и каждой системой нумераціи. Нѣкоторые принципы, которымъ подчиняется нумерація, пользующаяся аддитивнымъ методомъ, могутъ быть легко выведены, какъ слѣдствія вышеуказанныхъ общихъ требованій или какъ способы, посредствомъ которыхъ человѣчество пыталось удовлетворить этимъ требованіямъ.

Аддитивный методъ, какъ извѣстно, состоитъ въ томъ, что при помощи нѣсколькихъ основныхъ символовъ:

Яц ••••

всякое число представляется въ видѣ соединенія:

CLр CLq Сіу ... CLt,

которые имѣютъ значеніе:

ар 4* Zq “Ь Яг -f- ••• + at •

Такимъ образомъ, при аддитивномъ методѣ число можно изображать различными способами. Каждая изъ комбинацій, въ свою очередь, можетъ имѣть различный видъ, благодаря тому или иному порядку элементовъ. Поэтому требованіе (III) нарушается. Чтобы обойти это неудобство необходимы нѣкоторыя правила, въ силу которыхъ изъ всѣхъ возможныхъ комбинацій употреблялась бы одна опредѣленная, закрѣпляющая нѣкоторый выборъ и порядокъ элементовъ, а остальныя дѣлались бы неупотребительными, чѣмъ достигалась бы полная единственность символа.

Въ силу (У) требованія таковой комбинаціей должна быть признана одна изъ комбинацій наименьшаго состава. Напримѣръ для 11 одна изъ слѣдующихъ комбинацій:

для 110: для 200:

Среди различныхъ комбинацій наименьшаго состава есть одна, всѣ элементы которой принадлежатъ къ единицамъ разныхъ разрядовъ:

S Г, рГ, с.

Для чиселъ, содержащихъ только единицы одного какого-нибудь разряда, таковая комбинація есть единственная наименьшаго состава. Отсюда вытекаетъ требованіе:

(IX). Составлять числа только изъ единицъ различныхъ разрядовъ.

Независимо отъ этого требованія изъ (III) вытекаетъ требованіе опредѣленнаго порядка элементовъ, входящихъ въ соединеніе.

4. Принципъ Ганкеля.

Вотъ какъ излагаетъ сущность этого принципа Cantor, (Vorlesungen überGeschichte der Mathematik, Leipzig 1894, p. 13—14):

„Одинъ принципъ изображенія чиселъ завоевалъ себѣ всюду право существованія, причемъ открытіе этого принципа дѣлаетъ тѣмъ болѣе чести остроумію Ганкеля, что не смотря на крайнюю простоту этого принципа, его долгое время совсѣмъ упускали

изъ виду. Принципъ этотъ — законъ о рядѣ величинъ состоитъ въ томъ, что:

(X) . При соединеніи чиселъ посредствомъ сложенія всегда числа большей величины предшествуютъ числамъ меньшей величины.

Само собою разумѣется, что при этомъ слѣдуетъ не упускать изъ виду направленія письма, такъ что, въ то время, какъ въ письмѣ народовъ западныхъ принято придерживаться направленія слѣва направо, у семитическихъ народовъ дѣло обстоитъ какъ разъ наоборотъ, а у китайцевъ, которые пишутъ сверху внизъ письмо расположено вертикальными столбцами“.

Принимая во вниманіе (IX) требованіе, принципъ Ганкеля можно формулировать такъ:

(XI) . При составленіи чиселъ посредствомъ сложенія единицы высшихъ разрядовъ предшествуютъ единицамъ нисшихъ разрядовъ. (IX) принципъ есть необходимое слѣдствіе изъ (III) и (Y). Принципъ же (X) есть одинъ изъ способовъ удовлетворенія (III) требованію.

5. Литература.

Предлагаемый вниманію читателя очеркъ не представляетъ историческаго самостоятельнаго изслѣдованія. Авторъ собралъ матеріалы изъ различныхъ источниковъ. Цѣлью его работы было познакомить математиковъ съ тѣмъ матеріаломъ, который собрали историки и филологи и освѣтитъ его съ математической точки зрѣнія. При составленіи нашей статьи мы пользовались слѣдующими сочиненіями:

1. В. В. Бобынинъ. „Очерки исторіи развитія физико-математическихъ знаній въ Россіи“. Выпускъ I, Москва, 1886 г.

2. Матеріалы для исторіи письменъ, собранные Буслаевымъ, Москва, 1855.

3. Востоковъ. „Описаніе рукописей Румянцевскаго музея“.

4. Карскій. „Очеркъ славянской кирилловской палеографіи“, 1901.

5. И. Срезневскій. „Древніе памятники русскаго письма и языка“, 1863.

6. И. Срезневскій. Свѣдѣнія и замѣтки о малоизвѣстныхъ и неизвѣстныхъ памятникахъ, 1867.

7. В. В. Бобынинъ. Состояніе математическихъ знаній въ Россіи до XVI вѣка (Ж. М. Н. П. Апрѣль 1884, стр. 193—194).

6. Греческая алфавитная нумерація.

Славянская нумерація ведетъ свое происхожденіе отъ алфавитной греческой, окончательно установившейся къ ІV вѣку до P. X.

Греческая алфавитная система нумераціи содержитъ 27 символовъ: 24 буквы греческаго алфавита и 3 вышедшихъ изъ употребленія старинныхъ буквы, называемыхъ еріsеmon:

именующихся соотвѣтственно:

Таблица I.

Тысячи изображались посредствомъ 9 буквъ, служащихъ для изображенія единицъ, при чемъ съ лѣвой стороны прибавлялась черта въ видѣ запятой.

Напримѣръ:

1000 = ,я, 5000 = ,s и т. д.

Тысячи изображались иногда безъ помощи вспомогательныхъ символовъ, такъ какъ предполагалось, что принципъ (XI) соблюденъ.

Напримѣръ:

2831 = ;3a)Äa.

Для отличія чиселъ отъ буквъ надъ послѣдними проводилась черта.

Отклоненія отъ (X) принципа встрѣчались часто. Въ Сициліи и у малоазіатскихъ грековъ вслѣдствіе особаго склада языка меньшее число предшествовало большему; напримѣръ: тіъсара т£трзхб(7'« éSaxiaX&Xta TrsvTaxiajrîpia талаѵта = 56404 таланта.

Также были найдены надписи, въ которыхъ ряды величинъ взаимно чередовались въ обоихъ направленіяхъ (|Зоизтро^Г|£бг>).

Напримѣръ:

і'тоос Çvcp бтггр—jj£p£Tatcu tг = 557 годъ мѣсяца гиперберетайона день 15.

Явленіе это легко объяснить, если вспомнить, что (X) принципъ можно разсматривать какъ одинъ изъ способовъ удовлетворенія (III) требованію. Наиболѣе простой порядокъ, соотвѣтствующій (X) принципу, долженъ быть распространеннѣе другихъ.

Десять тысячъ (миріада) обозначалось посредствомъ му или просто м. Числовой коэффиціентъ въ этомъ случаѣ могъ принимать троякое положеніе: либо слѣва передъ дц либо справа, либо на верху. Напримѣръ:

30000= 7м = Уѵ = У = М*

Если коэффиціентъ ставился слѣва, то знакъ М замѣнялся иногда точкой. Такимъ образомъ:

ß. со X а =20831.

Система вспомогательныхъ символовъ въ алфавитной греческой нумераціи мало развита и при изображеніи чиселъ многозначительныхъ неудобна.

Что касается принципа (IX), то а priori можно сказать, что онъ долженъ строго соблюдаться греческой алфавитной нумераціей, ибо онъ носитъ характеръ необходимаго слѣдствія и есть единственный способъ удовлетворенія (III) и (У) требованіямъ.

Замѣтимъ еще, что начертаніе чиселъ у византійцевъ (унціальное, уставное письмо) совершенно тожественно со славянскимъ, даже титла одной и той же формы.

7. Славянская кирилловская нумерація.

Славянская кирилловская нумерація вначалѣ представляла точную копію византійской.

Подобно византійской—система славянской нумераціи имѣла 27 основныхъ символовъ для обозначенія единицъ, десятковъ и сотенъ.

Таблица III.

Относительно обозначенія чиселъ 6, 90 и 900 замѣтимъ слѣдующее.

1) Въ древнѣйшихъ памятникахъ употреблялось s для обозначенія 6 (Остромирово Евангеліе, Изборникъ Святослава, Саввина Книга, Апостолъ 1220 г.).

У южныхъ славянъ съ древнѣйшихъ временъ употреблялось S (Надпись Самуила 993 г.), перешедшее къ намъ и употреблявшееся до XIV вѣка. Затѣмъ получило преобладаніе s^ которое вошло въ печать.

2) Число 90 обозначалось двумя символами

(греческая холла) и у • Въ остромировомъ Евангеліи употребляется символъ Въ Евангеліи 1393 г. символъ .

Затѣмъ въ силу сходства y вытѣсняетъ .

3) 900 обозначали символами д и у. Обозначеніе д болѣе древнее, чѣмъ ц. Въ спискѣ Патерика 1406 г. имѣемъ запись.

клѣ. ^5.Ж.ді.

Въ глаголицкой азбукѣ число 900 изображалось символомъ V ~Ц. Отсюда проникло въ кириллицу обозначеніе 900 че-

резъ Въ русскомъ памятникѣ ц—900 встрѣчается впервые въ южнорусскомъ Евангеліи 14 *2 7 г.

Кромѣ этихъ особенностей встрѣчаются еще нѣкоторыя. Напримѣръ, въ Кормчей XIII в. (Румянцевскій музей, № 230, л. 63) вмѣсто s употребляется ъ:

подобдгсть же вѣдѣтн ілко семъін

скоръ БЫ КЛѢ ^s.c.c.iT.

Иногда, въ особенности въ рукописяхъ юго-славянскаго происхожденія, употреблялись вмѣсто цифръ тѣ кирилловскія буквы, которыя соотвѣтствовали глаголицкимъ. Такъ н въ значеніи 70.

(Въ глаголицкой азбукѣ ; численное значеніе послѣдней буквы было 70).

Таблица IV.

8. Высшіе разряды.

Кромѣ основныхъ алфавитныхъ символовъ славянская нумерація имѣла весьма оригинальную систему вспомогательныхъ символовъ для обозначенія единицъ высшихъ размѣровъ.

Таблица V.

Тысяща или Хиліада. 103

Тьма. 104

Легіонъ или Несвѣдь. 105

Леодръ. 106

Воронъ. 107

Колода. 108

? ?

Эта система выработалась постепенно и окончательное ея развитіе принадлежитъ сравнительно позднимъ эпохамъ.

Для обозначенія тысячъ употреблялся значекъ:

Часто этотъ значекъ совершенно сливался съ основнымъ символомъ.

Остальные символы для обозначенія единицъ высшихъ разрядовъ суть точно также вспомогательные знаки, сами по себѣ не имѣющіе численнаго значенія.

(Окончаніе слѣдуетъ).

Соотношенія между произведеніями діагоналей и противоположныхъ сторонъ четыреугольника.

В. М. Шлыгина.

1. Пусть данъ четыреугольникъ ABGD со сторонами АВ = а, ВС^Ъ, CD = с, AD = d и діагоналями

Полагая

будемъ имѣть:

(1)

(2)

Вычитая изъ второго уравненія системы (2) первое и изъ четвертаго уравненія—третье, складывая результаты и принимая во вниманіе (1), получимъ:

и слѣдовательно:

Такъ какъ площадь S четыреугольника AB CD равна

то будемъ имѣть:

(3)

2. Полагая

получимъ:

(4)

и

(5)

Вычитая изъ четвертаго уравненія системы (5) третье и изъ второго уравненія первое, складывая результаты и принимая во вниманіе (4), найдемъ:

и, такимъ образомъ:

Назовемъ разность площадей треугольниковъ AOD и В ОС че резъ S'. Изъ чертежа видно, что

или

Замѣнивъ въ послѣднемъ равенствѣ Sin çp его значеніемъ получимъ:

(6)

3. Если обозначимъ:

то подобно предыдущему найдемъ формулы:

(7)

4. Изъ треугольниковъ АВС и ADC имѣемъ: 2S = ab Sin В-{-cd Sin D, или, по возвышеніи въ квадратъ:

откуда

(8)

Изъ тѣхъ же треугольниковъ имѣемъ:

или

и слѣдовательно

Возвышая въ квадратъ послѣднее равенство, получимъ:

откуда

(9)

Изъ равенствъ (8) и (9) находимъ:

Изъ равенствъ (10) и (3) исключаемъ 4S2. Послѣ упрощеній будемъ имѣть:

(11)

Такъ какъ

то формула (11) можетъ имѣть видъ:

5. Введемъ обозначенія для угловъ АDB, АСВ, DAC и ВВСУ опирающихся на стороны а и с:

Изъ треугольниковъ ADB и АСВ находимъ:

Съ другой стороны ясно, что

Такимъ образомъ:

откуда

и

(12)

Изъ тѣхъ же треугольниковъ имѣемъ:

Отсюда получаемъ:

и

или, по возвышеніи въ квадратъ:

откуда

(13)

Сопоставляя (12) и (13), получимъ:

(14)

Исключивъ 4S'2 изъ равенствъ (6) и (14), послѣ упрощеній будемъ имѣть:

(15)

Изъ чертежа видно, что

Отсюда Такъ какъ

то формула (15) можетъ имѣть видъ:

6. Обозначивъ углы BDC, В AC, ACD и ABD, опирающіеся на стороны Ь и d, соотвѣтственно черезъ ßi, р2, 5і и 02, найдемъ подобно предыдущему:

(16)

или въ виду

7. Легко показать, что каждая изъ суммъ:

равна л. Это обстоятельство, въ связи съ формулами (11), (15) и (16), показываетъ, что произведенія противоположныхъ сторонъ и произведеніе діагоналей четыреугольника по величинѣ и направленію представляютъ собою три стороны нѣкотораго треугольника.

Пусть В + D < л. Тогда углы треугольника будутъ:

Противъ стороны cf ... . В 4- JD.

8. Пользуясь соотношеніями между элементами указаннаго треугольника, можно получить и другія формулы, устанавливающія ту или иную связь между произведеніями сторонъ четыреугольника и произведеніемъ его діагоналей. Такъ, по теоремѣ синусовъ имѣемъ:

Въ частномъ случаѣ, когда В + D = л-, указанный треугольникъ обращается въ прямую линію. Формула (11) получаетъ видъ:

ef=ac-\-bd (17)

и представляетъ собою классическую теорему Птоломея о произведеніи діагоналей вписаннаго четыреугольника. Такъ какъ вообще

ef<iac-\-bd

(сумма двухъ сторонъ треугольника больше третьей стороны), то изъ (17) слѣдуетъ, что при данныхъ сторонахъ четыреугольника наибольшее произведеніе діагоналей имѣетъ четыреугольникъ вписанный.

Если В + D — , т.-е. треугольникъ прямоугольный, то изъ

и

соотношенія (11) будемъ имѣть:

e2f2 = а2с2 -f- Wd2

Эта формула была дана G. Bellavitis'омъ въ сочиненіи „Sposizione del metodo delle eguipollenze“. Modena, 1854.

При B -f- D = ^ находимъ:

а при B -f D = —:

При ef = ac=bd, т.-е. въ случаѣ изодинамическаго четыреугольника*), будемъ имѣть, очевидно:

£ + D = a2-a, = ?2-?t=|.

Формула Эйлера для правильныхъ многогранниковъ.

Г. Свешниковъ. Москва.

Эйлеръ установилъ важную зависимость между числами граней, реберъ и вершинъ многогранника. Если обозначить черезъ F число граней, чрезъ S число вершинъ и черезъ А число реберъ, то формула Эйлера даетъ: F -f- 8 = А-\-2.

*) См. „Новая геометрія треугольника“ Д. Ефремова, VIII. 83.

Въ случаѣ многогранника правильнаго эта формула можетъ быть получена такими простыми соображеніями. Пусть каждая грань нашего многогранника есть правильный п — угольникъ, а въ каждой вершинѣ пусть сходится т реберъ. Такъ какъ каждое ребро принадлежитъ двумъ гранямъ и каждая грань ограничена п ребрами, то : 2. А = п. F. Съ другой стороны каждое ребро соединяетъ двѣ вершины, и потому: 2.А — ш. S . — Впишемъ теперь нашъ многогранникъ въ сферу, радіусъ которой примемъ за единицу; тогда поверхность сферы будетъ 4jt, а площадь сферическаго треугольника будетъ равна избытку суммы его угловъ надъ л.— Спроектируемъ изъ центра сферы на ея поверхность ребра вписаннаго многогранника. Тогда вся поверхность сферы разобьется на F правильныхъ сферическихъ п — угольниковъ, ограниченныхъ дугами большихъ круговъ. Опустимъ затѣмъ изъ центра сферы перпендикуляры на грани, продолжимъ ихъ до пересѣченія со сферой и полученныя точки соединимъ дугами большихъ круговъ съ вершинами сферическихъ правильныхъ многоугольниковъ. Тогда каждый такой многоугольникъ разобьется на п равнобедренныхъ сферическихъ треугольниковъ. Опредѣлимъ ихъ углы. При вершинѣ уголъ очевидно будетъ: — . Уголъ многоугольника равенъ —, потому что въ вершинѣ многогранника сходится ш реберъ; слѣдовательно уголъ при основаніи треугольника будетъ ~ . Разъ такъ, то площадь каждаго равнобедреннаго треугольника есть: ~ ~г ~ — л > и мы получаемъ такое равенство:

или:

Примѣняя здѣсь полученныя выше равенства:

получаемъ:

или:

S ф- F = А -(- 2 , что и требовалось вывести.

Къ рѣшенію задачи № 39.

А. Волковъ. Москва.

Въ № 1 „Математическаго Образованія“ помѣщено рѣшеніе задачи объ изслѣдованіи функціи у = х — Ід10х. Ничего не возражая противъ него съ точки зрѣнія правильности рѣшенія, мы думаемъ, что при простотѣ самаго вида подлежащей изслѣдованію функціи, можно было бы самому изслѣдованію придать болѣе простой и наглядный характеръ, особенно, если принять во вниманіе требованіе построить кривую, изображающую теченіе функціи. Покажемъ, какъ это можно сдѣлать. Какъ и авторъ напечатаннаго рѣшенія, исходимъ изъ формулъ:

Замѣчаемъ, что линіи, опредѣляемыя уравненіями

У =х (1)

У = lgl0 X (2), а, слѣдовательно, и

У= — ід,охС21)

У=1 (3)

У — (4), а, слѣдовательно, г

хорошо извѣстны и представляютъ:

(1) биссектрису нормальнаго угла,

(2) логариѳмику, а (21) кривую, ей симметричную относительно оси X,

(3) прямую, параллельную оси X,

(4) равностороннюю гиперболу, лежащую въ I и III четвертяхъ, а (41)—во II и ІУ четвертяхъ.

Въ виду этого поступаемъ слѣдующимъ образомъ:

Строимъ линіи (1) и (21). Тогда графикъ искомой кривой получается сложеніемъ ординатъ линіи (1) и (21).

Чтобы узнать имѣетъ ли изслѣдуемая функція maxima или minima или точки перегиба, строимъ линіи (3) и (41) и такимъ

же сложеніемъ ординатъ получаетъ графику производной. Такъ какъ послѣдняя представляетъ равносторонню гиперболу ух = = — ІдІОе, лежащую въ II и IV четвертяхъ и поднятую въ направленіи положительныхъ ординатъ, то правая вѣтвь ея (которая насъ лишь и интересуетъ за отсутствіемъ дѣйствительнаго логариѳма у отрицательнаго числа) должна пересѣчь ось х въ одной точкѣ: вторая точка пересѣченія съ осью X лежитъ въ безконечности, а самая кривая лежитъ частью въ области положительныхъ ординатъ, частью въ области отрицательныхъ. Касательныхъ параллельныхъ оси х, соотвѣтствующихъ конечнымъ абсциссамъ, наша гипербола не имѣетъ, такъ какъ параллельная оси х касательная есть асимптота; отсюда видно, что вторая производная [являющаяся угловымъ коэффиціентомъ касательной къ кривой У въ НУЛЬ не обращается, а, слѣдовательно, кривая не имѣетъ точекъ перегиба.

Итакъ изслѣдуемая функція имѣетъ minimum или maximum при 1----— 0, т.-е. при X = Ід10е. Такъ какъ и У = х и У=— Ід10х а, слѣдовательно, и у = х — Ід10х въ предѣлахъ измѣненія отъ 0 до оо (исключая границъ) непрерывны, а при х = О У =х — Ід10х имѣетъ значеніе оо, и при измѣненіи х отъ 0 до х = 1д1йе, убываетъ (графика производной лежитъ въ области отрицательныхъ ординатъ), а при дальнѣйшемъ измѣненіи х возрастаетъ (у'^> 0), то при х = 1д10е изслѣдуемая функція имѣетъ minimum. Нетрудно видѣть, что при дальнѣйшемъ возрастаніи х ордината изслѣдуемой кривой неограниченно возрастаетъ, такъ какъ, если х давать значенія членовъ какой-либо возрастающей геометрической прогрессіи, абсолютная величина —Ід10х будетъ расти въ ариѳметической прогрессіи, и, слѣдовательно, при достаточно большомъ X разность х — Ід10 х можетъ быть больше любого числа.

Самое построеніе кривой получается слѣдующимъ образомъ. Строимъ линіи:

(1)

(21)

(41)

Если прямую У = — 1 принять за ось Х\ то построенная гипербола (41) дастъ графику производной. Ея пересѣченіе съ

прямой У = — 1 опредѣляетъ абсциссу minimum’a изслѣдуемой функціи.

Проводя чрезъ эту точку параллель къ оси У, складываемъ соотвѣтственныя ординаты кривыхъ (1) и (21) и получаемъ минимальную ординату искомой кривой; проводимъ въ построенной точкѣ прямую параллельную оси X — касательную въ точкѣ, соотвѣтствующей minimum’у функціи.

Сложеніемъ ординатъ получаемъ любое число точекъ искомой графики. Послѣдняя пересѣкаетъ прямую У = х въ точкѣ (1, 1), такъ какъ Ід 1 = 0. Такимъ образомъ графика изслѣдуемой функціи въ интервалѣ 0....Ід10е по своему виду довольно похожа на кривую у = — Ід10х, но въ отличіе отъ нея имѣетъ касательную параллельную оси х въ точкѣ съ абсциссой х — Zg10e; въ интервалѣ ІдІОе.... 1 она лежитъ внутри тупого угла, образованнаго этой касательной и прямой у = х, а въ интервалѣ 1... оо внутри смежнаго ему остраго угла.

По поводу одной книги.

Д. Синцовъ. Харьковъ.

В. Мрочекъ и Ф. Филипповичъ. Педагогика математики. Историческіе и методическіе этюды. Томъ І-й. Съ 76 рисунками и чертежами (часть цвѣтныхъ). Книгоиздательство О. Богдановой. Спб. 1910. УІ + 380 стр.

Книга подъ этимъ интереснымъ заглавіемъ появилась уже болѣе двухъ лѣтъ и даже вызвала нѣкоторую полемику на страницахъ „Вѣстника Опытной Физики“: оставшись недовольны оцѣнкою рецензента г. Лебединцева (№ 524), авторы напечатали пространныя возраженія въ № 529, на которыя г. Л. отвѣчалъ въ № 531. Послѣ этого могло бы казаться излишнимъ появленіе еще новой статьи. Въ оправданіе укажу слѣдующее. Съ внѣшней стороны книжка издана прекрасно: изящная обложка, хорошая бумага, четкій шрифтъ, удобный форматъ, обиліе рисунковъ и чертежей и сравнительно невысокая цѣна (1 р. 50 к. за 380 стр.) подкупаютъ заранѣе читателя, а бойкое изложеніе еще болѣе располагаетъ въ пользу книги, и можно думать, что не только все изданіе въ количествѣ 4000 экземпляровъ разойдется, но и обѣщанный 2-й томъ не замедлитъ появиться въ свѣтъ. Поэтому не лишнее предостеречь русскую математическую публику. Кромѣ того, въ своей отповѣди авторы указываютъ, что рецензентъ „ни словомъ не обмолвился о гл. I, II, III, У первой части“,—„вѣроятно онъ не могъ найти въ нихъ ошибокъ“, а во 2-й части таковы главы VІ, VІІ, VIII, X, XI, XIII. Мнѣ такимъ образомъ остается еще не мало матеріала для пересмотра.

Книгу свою авторы цѣнятъ не низко: „Настоящая книга и по характеру и по содержанію неразрывно связана съ тѣмъ об-

щественнымъ, научнымъ и педагогическимъ фономъ, на которомъ развернулись событія послѣдняго десятилѣтія“. И далѣе: „Съѣзды послѣднихъ лѣтъ показали, на сколько укрѣпилось въ массѣ учительства недовольство настоящимъ и сознаніе необходимости реформы. Но этому движенію недостаетъ литературы, недостаетъ знамени. Цѣль настоящей книги — заполнить эти пробѣлы“...*). Пожалуй такая самооцѣнка немного нескромна. Но тѣмъ любопытнѣе посмотрѣть, что же будетъ далѣе. Правда, между первымъ и вторымъ изъ выписанныхъ заявленій встрѣчаемъ утвержденіе, что западное движеніе въ пользу реформы преподаванія математики есть слѣдствіе... русскаго освободительнаго движенія: „Эпоха Толстого и Делянова, смѣнившая весну 60-хъ годовъ, въ свою очередь уступила мѣсто эпохѣ 1905 г., выдвинувшей устами передовой демократіи необходимость коренной ломки старой школы... И волна общественнаго подъема, своимъ лозунгомъ „къ жизни и для жизни!“ заставила присоединиться къ реформаторскому движенію и представителей науки. Междун. Матем. Комиссія 1908 г., избранная ІV Междун. Мат. Конгресомъ, своею дѣятельностью показываетъ, что математики всѣхъ странъ сознали, наконецъ, уродливость существующаго школьнаго образованія и принялись за рѣшительныя реформы“. Это сопоставленіе ввергаетъ въ нѣкоторое недоумѣніе. Но пойдемъ дальше. Въ первыхъ двухъ главахъ авторы излагаютъ на 50 страничкахъ „Эволюцію педагогики математики“ „отъ Ромула до нашихъ дней“, причемъ не замыкаясь въ сухую спеціализацію сообщаютъ попутно массу интересныхъ свѣдѣній. Мы узнаемъ, что въ католическихъ семьяхъ „лишь недавно вывелся обычай сѣчь по пятницамъ дѣтей въ воспоминаніе муки Господней“ (стр. 13), что „прежде существовавшій путь черезъ Аденъ и Красное Море закрылся послѣ завоеванія Египта магометанами“ (прим. на стр. 19), что въ началѣ XVI в. „техника инструментовъ и часовъ достигла изумительной степени совершенства въ Нюренбергѣ“, „а стеклянное производство (очки, зрительные приборы) сосредоточилось въ Италіи, особенно въ Венеціи съ ея знаменитыми заводами на островѣ Мурано“, что „arbeiten oder untergehen“ значитъ „работать или—вонъ!“ (стр. 37), что П. Лавровъ— „Сократъ въ густыхъ эполетахъ“, и что Писаревъ недостаточно оцѣненъ до сихъ поръ Россіей (стр. 49), а министръ Норовъ далъ самъ себѣ характеристику, подписавъ подъ портретомъ: „Безъ дѣла и безъ скуки—сижу, сложа я руки“ (стр. 48). Ученаго аппарата—бездна,—не даромъ авторы два года работали въ библіотекѣ Педагогическаго Музея и въ русскомъ и иностранномъ отдѣленіи Спб. Публичной библіотеки (предисл. с. VI). Мы узнаемъ, что „Согласно Діогену Лаэртскому“ надо читать не „Академія“, а „Экадемія“ (стр. 6); авторамъ извѣстны годы рожденія и смерти Евклида (330—275), неизвѣстные М. Cantor у, Heiberg'y и Heath’y, автору новѣйшаго капитальнаго труда, посвященнаго „Элементамъ“ Евклида. На протяженіи только первыхъ 25 страницъ авторы цитируютъ Фигье Свѣтила науки,

*) Предисловіе стр. IV, V.

Лапшинъ Исторія педагогическихъ теорій, Birt Das antike Buchwesen, Богдановъ Краткій курсъ экономической науки, Плутархъ, Жизнь Марцелла, Любимовъ, Исторія физики, Marx Elend d. Philosophie, Paulsen Geschichte d. gelehrt. Untervichtis in Deutscland, E. Wasmann 8. 1. Die moderne Biologie u. die Entwicklungstheorie и пр. И эта масса матеріала настолько увлекаетъ авторовъ, что на долю математики остается въ первыхъ главахъ сравнительно немного. Но и въ этомъ немногомъ со многимъ нельзя согласиться. Начнемъ съ 1-ой же страницы. Выписка изъ рѣчи E. Du Bois Reymond „О границахъ познанія“ увлекаетъ авторовъ на установленіе такой концепціи положенія математики какъ науки и какъ предмета обученія: „Періодъ напряженной работы геніевъ миновалъ; крупныя открытія стали достояніемъ уже многихъ; богатство накопившагося матеріала и отсутствіе законченной классификаціи его затрудняютъ знакомство съ этими сокровищами знанія. Наступилъ моментъ, когда общество вправѣ потребовать и свою долю въ умственномъ пиру, вправѣ сказать: дайте намъ то, что такъ долго хранилось подъ спудомъ.—На зарѣ XX столѣтія какъ это отчасти уже бывало не разъ и раньте, появилась громадной важности задача: классифицировать собранный математическій матеріалъ, отдѣлить общедоступные элементы отъ предметовъ роскоши, найти средства и пути для сообщенія этихъ элементовъ наибольшему числу лицъ цри наименьшей затратѣ индивидуальныхъ усилій ума и воли“. Не смотря на авторитетъ Du Bois Reymond’a это совершенно невѣрно, и самъ Du Bois Reymond ни тогда ни теперь, черезъ 40 лѣтъ, ничего подобнаго о математикѣ не сказалъ бы. Къ математикѣ совершенно не примѣнимо то, что сказано было 40 лѣтъ назадъ о естествознаніи. Если угодно великихъ открытій, равныхъ по силѣ съ Дарвиновой теоріей эволюціи нѣтъ въ математикѣ со времени Ньютона и Лейбница. Можетъ быть, мы наканунѣ великихъ открытій,—предсказывать трудно, но съ тѣхъ поръ и донынѣ идетъ не революція, а эволюція, развитіе по пути указанному этими геніями. Характеръ работы послѣдняго полувѣка,—это стремленіе къ углубленію основъ, критикѣ основныхъ положеній. И на послѣднемъ конгрессѣ въ Кембриджѣ математикъ-философъ Энрикесъ нашелъ нужнымъ даже доказывать, что это увлеченіе аксіоматикой не вредитъ прогрессу науки. Школьная же математика осталась по содержанію и объему еще въ до-Ньютоновскомъ періодѣ*), и стремленіе представителей науки и сторонниковъ реформы заключаетея въ томъ, чтобы убѣдить педагоговъ и общество въ необходимости давать нѣкоторую дозу такъ называемой „высшей математики“ еще въ средней школѣ. И хотя въ передовыхъ странахъ это удается въ большей или меньшей степени, но и тамъ это движеніе встрѣчаетъ еще противниковъ. Если представители науки довольствуются относительно

*) Еще недавно въ своей интереснѣйшей книжкѣ Die Mathematik in den physikalischen Lehrbüchern, принадлежащей къ серіи изданной германскимъ отдѣломъ Международной Комиссіи по преподаванію математики Тимердингъ показалъ, что за отсутствіемъ преподаванія началъ высшей математики въ учебникахъ физики примѣняютъ пріемы до-Ньютоновскаго періода.

небольшой порціей, то не потому, чтобы они хотѣли скрыть сокровища знанія отъ непосвященныхъ, а потому, что опасаются упрека въ перегрузкѣ учебнаго матеріала и не хотятъ требовать введенія того, что еще не показуется общимъ состояніемъ науки и культуры. Съ тою же цѣлью, признается необходимымъ пересмотрѣть учебный матеріалъ, чтобы устранить старую ветошь, часто сохраняемую по традиціи и связаннымъ съ нею воспоминаніямъ. И здѣсь представителямъ науки протягиваютъ руку педагоги-сторонники новыхъ идей, говорящіе о необходимости измѣненія характера и методовъ преподаванія. Но объ этомъ въ другой разъ, а теперь вернемся къ книжкѣ гг. Мрочека и Филипповича. Въ ней они съ такою увѣренностью говорятъ обо всемъ, что сначала нападаетъ сомнѣніе,—кто же ошибается—они, или читатель. Чтобы не ходить далеко, беремъ ту же стр. 2 и на ней находимъ утвержденіе, что съ Ѳалеса пошла догматическая метода обученія, и „фраза „аиго; ïça“—учитель такъ сказалъ— сдѣлалась единственной основой доказательства“. Извѣстное изреченіе учениковъ Пиѳагора приписано Ѳалесу... На слѣдующей страницѣ характеристика Пиѳагора выписана изъ старенькой книжки Л. Фигье „Свѣтила науки“ (русск. пер. 1869 г.), изъ которой люди моего возраста поучались еще гимназистами. Пропустимъ это. Отмѣтимъ мимоходомъ, что на стр. 6 въ заслугу Платону ставится то, что ему мы обязаны методомъ доказательства отъ противнаго, столь часто примѣняемымъ въ геометріи“, и не отмѣчена признаваемая теперь логическая неубѣдительность и нежелательность этого метода, частое пользованіе которымъ признается однимъ изъ существенныхъ недостатковъ изложенія Евклида. Перейдемъ на стр. 8. Здѣсь мы читаемъ нѣчто невѣроятное. „12. Ростовщики и сутяги, Римляне естественно заботились о юриспруденціи и пренебрегали математикой... изнѣженные свободные граждане, греки и римляне, презрительно относясь къ физическому труду, не могли—въ силу вѣковой психики,—разрабатывать прикладную науку. Этимъ объясняется отсутствіе опыта у древнихъ, отсутствіе практической механики и математики“. И въ подтвержденіе приводится... Архимедъ! Архимедъ, который является для всѣхъ вѣковъ примѣромъ соединенія теоріи и практики, этотъ величайшій математическій геній, сдѣлавшій, однако, столько въ области прикладной науки. Авторы цитируютъ Плутарха жизнь Марцелла: Арх. „на всѣ механическія приспособленія, вообще на всякое искусство, служащее житейскимъ потребностямъ, смотрѣлъ, какъ на низменную работу ремесленника“. Я не знаю, по какому переводу цитировали г.г. Мрочекъ и Филипповичъ. У меня въ рукахъ Les vies des hommes illustres de Plutarque, traduites en français par D. Ricard, Paris 1830 r., t. У. Ha стр. 179 читаемъ: XXII. Au reste, Archimède avait une âme si élevée, un esprit si profond, et une si grande richesse de théories géométriques, qu’il ne voulu jamais rien laisser par écrit sur la construction de ces machines qui lui avaient acquis tant de gloire, et lui avaient fait attribuer, non une science humaine, mais une intelligence divine; regardant la mécanique, et en général tout art qu’on exerée pour le besoin, comme

des arts vils et obscurs, il ne se livra qu’aux sciences dont la beauté et la perfection ne sont liées à aucune nécessité, et avec lesquelles toutes les autres ne sauraient entrer en comparaison и т. д. Не доказываетъ ли эта цитата будучи приведена полностью не только существованіе практической механики, но и преклоненіе современниковъ передъ Архимедомъ именно за его труды въ этой области.

Все предыдущее взято только изъ первой главы. Не менѣе интереснаго доставляетъ и гл. II. На стр. 27 развѣнчивается Фр. Бэконъ въ пользу Роджера Бэкона („обыкновенно Фр. Бэкона (1564— 1626) считаютъ родоначальникомъ эмпиризма, забывая, что онъ не такъ глубокъ, какъ его несчастный предшественникъ Роджеръ Бэконъ (1214—1294), истинный проповѣдникъ опытной науки, и что творенія Фрэнсиса болѣе напыщены, чѣмъ содержательны“), здѣсь къ сожалѣнію сноски какъ разъ и нѣтъ въ подкрѣпленіе, а позволительно усумниться, что авторы успѣли проштудировать творенія того и другого въ оригиналѣ. На слѣдующей стр. 28 читаемъ: „геометрія, напротивъ, представляла законченное цѣлое, систему, стройность которой не вызывала сомнѣній до Лобачевскаго и Гаусса (XIX в.), съ одной стороны, и до аксіоматиковъ послѣднихъ 30 лѣтъ—съ другой“. А комментаріи греческіе Птоломея, Прокла, Паппа, затѣмъ арабскіе (Нафъ-Эд - Динъ) въ средніе вѣка Клавій, позднѣе Saccheri, наконецъ Лежандръ! Но это можетъ быть просто „зигзагъ пера“, а вотъ на стр. 39 читаемъ: „27. Намъ могутъ возразить: все это происходило въ Западной Европѣ, но не въ Россіи; тамъ утилитаризмъ XVIII в. смѣнился классицизмомъ XIX в.; у насъ же сразу ввели такой типъ школы и потому ваши выводы непримѣнимы. Дѣйствительно, исторія школъ въ Россіи до сихъ поръ неизвѣстна почти всѣмъ, не исключая и педагоговъ. Дѣйствительно, принято думать, будто въ Россіи начали съ классицизма и лишь въ послѣднее время стали ему измѣнять. Однако достаточно будетъ прочесть слѣдующія страницы, чтобы это укоренившееся заблужденіе рухнуло. Читатели съ удивленіемъ увидятъ, что и въ области педагогики математики Россія сказала нѣкогда первое слово—и теперь, 100 лѣтъ спустя, эхо его приходитъ въ Россію обратно изъ-за границы“ (стр. 39 — 40). Ну на счетъ перваго слова авторы сами себя опровергаютъ,—на стр. 74 оказывается, что „дѣятели этой эпохи (Фуссъ, Румовскій, Озерецковскій и др.) находились подъ вліяніемъ французскихъ педагоговъ“, но мнѣ поразительна первая половина заявленія. Неужели авторы думаютъ, что они сообщаютъ намъ что-то новое. Вѣдь съ п. 28 у нихъ идетъ изложеніе учебныхъ плановъ 1803—4 гг. Раскрываю книгу Е. Шмида Исторія среднихъ учебныхъ заведеній въ Россіи, пер. съ нѣм. А. Ѳ. Нейлисовъ Спб. 1878 и на первой страницѣ жирнымъ шрифтомъ напечатано „Періодъ первый. Царствованіе Императора Александра I (съ 12 марта 1801 до 20-го ноября 1825). Уставъ учебныхъ заведеній 1804 года“ и здѣсь нахожу всю ту Америку, которую гг. Мрочекъ и Филипповичъ открываютъ изумленнымъ читателямъ на стр. 40—44 своего труда. И пикантнѣе всего то, что немного далѣе на стр. 47 они сами ссылаются на эту самую „Исторію среднихъ учебныхъ заведеній въ Россіи“ Е. Шмида!

Глава III („наглядная и лабораторная методы“) содержитъ тоже не мало любопытнаго. На стр. 53 находимъ, напр., двѣ выписки изъ двухъ авторитетовъ: В. Мрочекъ, Прямолинейная тригонометрія ч. I Историческій очеркъ, стр. X и Cuvier. Histoire des sciences naturelles, I, 381. Первая занимается сопоставленіемъ Индусовъ съ греками. „Мелкій, разсчетливый и опутанный софизмами умъ грека вѣчно боялся ловушки“ и т. д. „Тамъ, гдѣ грекъ исписывалъ страницы сухихъ отвлеченныхъ разсужденій, индусъ помѣщалъ чертежъ и вмѣсто всѣхъ доказательствъ подписывалъ единственное слово „смотри!“—Все сочувствіе авторовъ на сторонѣ индуса, и это словечко такъ нравится имъ, что они повторяютъ его на стр. 211 относительно теоремы Пиѳагора.

Но „Попытки ввести наглядность въ преподаваніе однако были сдѣланы не скоро. Въ этомъ виноваты арабы, перенявшіе отъ грековъ методъ изложенія и превзошедшіе даже своихъ учителей. Заслуга арабовъ громадна: они сохранили древнюю науку; но въ то же время ихъ собственный научный вкладъ невеликь благодаря, главнымъ образомъ, тому, что они совершенно не допускали опыта въ естественныхъ наукахъ и не признавали рисованія“. Слѣдуетъ выписка изъ Кювье. Но я не стану дѣлать дальнѣйшихъ выписокъ изъ этой главы, приведу только одно цитируемое авторами (стр. 69) положеніе Песталоцци, которое — правда въ нѣсколько переносномъ смыслѣ—я бы поставилъ эпиграфомъ на всей ихъ книгѣ: Знаніе безъ умѣнія составляютъ, можетъ быть, страшнѣйшій даръ, который принесенъ нашему вѣку злѣйшимъ геніемъ“. Но разбирать эту главу по существу очень трудно, — столько здѣсь путаннаго и о Россіи, — гдѣ по мнѣнію авторовъ „къ концу 50-хъ годовъ наглядность исчезаетъ даже въ университетахъ при прохожденіи естественныхъ наукъ, и о Франціи, гдѣ тоже 1905 г. оказывается поворотнымъ пунктомъ, и гдѣ Meray оказывается апостоломъ наглядности, а Ecole primaire supérieure— среднимъ учебнымъ заведеніемъ. Въ гл. IV „Психологія, педагогика и школа“ нельзя обойти сообщенія, что „съ 1892 г. въ Мюнхенѣ устроена постоянная выставка пособій по математикѣ, физикѣ и механикѣ“ (очевидно, въ рукахъ авторовъ былъ печатный каталогъ выставки 1892 г. при съѣздѣ Нѣм. Естеств. и Врачей), да и весь соотв. абзацъ: „математика прибѣгаетъ къ лѣпнымъ работамъ для нагляднаго изученія кривыхъ поверхностей, о которыхъ трактуетъ высшая геометрія“. „Съ тою же цѣлью пользуются моделями Брилля, Плюкера, Клебша, Клейна, ф. Дика и др.“ (стр. 92). Но что это въ сравненіи съ чуднымъ афоризмомъ: „Разумное и прилежное культивированіе мускуловъ у человѣка ведетъ къ развитію широты мысли столько же, какъ и къ развитію широты плечъ“ (стр. 154). Къ сожалѣнію авторъ его не указанъ. Глава V посвящена „основнымъ принципамъ педагогики математики44. Здѣсь п. 1 резюмируетъ сущность и цѣль науки: „Вся совокупность существующаго есть велика и неявная функція многихъ перемѣнныхъ“ ."Но ужъ изъ слѣдующаго параграфа узнаемъ, какъ плохо стоитъ дѣло съ классификаціей научныхъ отдѣловъ. Познакомивъ на одной (109-й) страницѣ съ классификаціями

О. Конта, Ампера („о его (Спенсера) классификаціи, равно какъ и о системѣ Гегеля распространяться не будемъ“), Вундта, Беркгейма и Навилля, авторы заявляютъ: „этихъ примѣровъ достаточно. Они иллюстрируютъ тотъ хаосъ, который царитъ пока среди классификаторовъ и. вѣроятно, прекратится не скоро“. Но по отношенію къ наукамъ математическимъ авторы намъ помогутъ. Они даютъ слѣдующее основаніе для ихъ классификаціи. „Для вывода силлогизма необходимо имѣть двѣ посылки, большую и меньшую. Если въ качествѣ большей посылки принять, что А = А (т.-е. принять на вѣру законы формальной логики), а въ качествѣ меньшей гипотезу объ абстрактной величинѣ, то мы въ состояніи будемъ построить ариѳмологію. Присоединяя гипотезу о пространствѣ, получаемъ геометрію; новая гипотеза—о времени—даетъ намъ механику, гипотеза о силѣ—астрономію, еще новая—о матеріи—физику и химію и т. д.“ Здѣсь бы можно остановиться. Но не могу отказать себѣ въ удовольствіи привести и послѣдующія строки: „Ясно, что чѣмъ меньше гипотезъ, тѣмъ достовѣрнѣе окончательные выводы. Вотъ почему ариѳмологія стоитъ во главѣ наукъ. Эта точка зрѣнія, повидимому, въ неявномъ видѣ раздѣлялась многими, особенно защитниками чистой геометріи и кинематики. Дѣйств., созданіе синтетической геометріи какъ бы снимало съ очереди гипотезу о пространствѣ; но попытки Штаудта, Кэли (Cayley), Клейна и др. остаются попытками, такъ какъ вмѣсто гипотезъ объ измѣряемомъ пространствѣ молчаливо принимается гипотеза о проэктивномъ пространствѣ“ (стр. 113). „Какъ бы то ни было, сейчасъ геометрія входитъ въ чистую математику и мы ее оставимъ тутъ; вопросъ объ ея происхожденіи и аксіоматизаціи будетъ разсмотрѣнъ въ главахъ „Статика и динамика въ геометріи“. (Д. б. во II томѣ!). Можно не останавливаться на слѣдующимъ за симъ „перечнѣ отдѣловъ чистой математики“, который „является по возможности наиболѣе полнымъ“ (въ немъ за геометріей дифференціальной идетъ какая-то геометрія „im Grossen“ стр. 114) и на объясненіи, почему авторамъ пришлось писать всю эту главу („большинство, видите-ли, не представляетъ конкретно содержанія высшей математики, и „университетская наука (особенно жалкая въ Россіи) кажется имъ вѣнцомъ человѣческой премудрости стр. 115); лишь вскользь отмѣчу, что „не такъ давно уравненія съ корнемъ, равнымъ нулю, считали невозможными“ (21,—стр. 122). Но какъ не привести цѣликомъ пророчества авторовъ о значеніи проповѣдуемой ими реформы математики: „18. Выиграетъ ли человѣчество отъ школьной революціи въ области математики? Безусловно—да! До сихъ поръ математика совершенно обособлена въ ряду другихъ наукъ: ей отводятъ первое мѣсто, ее ставятъ на пьедесталъ, признаютъ ея неоспоримыя заслуги—но работаютъ въ ея области единичные изслѣдователи. Такъ называемые „интеллигенты“—круглые невѣжды по части математики. Пора низвергнуть подобный строй образованія; пора ознакомить всѣхъ съ методомъ математическаго изслѣдованія, научить рѣшать вопросы практическаго жизненнаго характера; пора раскрыть глаза на истинное значеніе мате-

матики для жизни и будущаго прогресса. Тогда число работниковъ увеличится въ сотни и тысячи разъ, тогда математика расширится и углубится настолько, что ея свѣтъ прорѣжетъ тьму другихъ наукъ и освѣтитъ всѣ пока неизвѣстные намъ уголки таинственной природы. И тогда быть можетъ осуществится мечта Ляпляса объ одной всеобъемлющей формулѣ движенія—и міровъ и легчайшихъ атомовъ“ (стр. 130).

А пока мы до такой степени далеки отъ полноты познанія, что даже „основы ариѳметики до сихъ поръ окончательно не установлены“ (стр. 225, прим.). И авторы берутся во второй части своей книги за громадный трудъ обоснованія при этихъ условіяхъ начальнаго курса ариѳметики, геометріи, тригонометріи и алгебры. Этому и посвящены остальныя 240 страницъ ихъ книги. Трудъ немалый, но онъ облегчается черпаніемъ широкою рукою изъ источниковъ. Глава 17 содержитъ большія выписки изъ работъ по первобытной культурѣ (источникъ къ сожалѣнію не указанъ) и заканчивается обширною выпискою (с. 159 —163) изъ труда проф. Бубнова („Ариѳметическая самостоятельность европейской культуры“), которому такъ не посчастливилось отъ отзыва В. В. Бобынина. Въ срединѣ главы (стр. 145—146) мы съ удивленіемъ узнаемъ, что по мнѣнію авторовъ направленіе Грубе въ методикѣ ариѳметики „осталось совершенно незамѣченнымъ въ Россіи“, то направленіе, примѣненія котораго не привелось, я думаю, избѣжать ни одному русскому человѣку, котораго обучали мальчикомъ ариѳметикѣ въ семидесятые годы.—Я не хочу еще болѣе затягивать свой разборъ и потому останавлюсь еще лишь на двухъ—трехъ пунктахъ. Въ гл. IX „Цѣлыя и дробныя числа въ г. 15 трактуется о графикахъ. Авторы различаютъ три этапа; первый—нахожденіе суммы простыхъ рядовъ, построенія статистическихъ данныхъ въ видѣ столбиковъ и т. д., второй—„ломаныя“ графики—температурныя и т. п., наконецъ третій этапъ—непрерывныя графики, гдѣ уже рекомендуется пользоваться миллиметровой бумагой. Матеріалъ для задачъ, говорятъ авторы, можно черпать въ изобиліи отовсюду,... все, что измѣняется, можетъ быть представлено графически простыми и общедоступными пріемами.

И приводятся примѣры въ видѣ табличекъ:

1) Длина рѣкъ ср. Европы (расположены въ алфавитномъ порядкѣ; 2) длины діаметровъ планетъ (расположены въ порядкѣ удаленія отъ солнца); 3) пространство и населеніе Россіи (перечисляются губерніи и области и для каждой даютъ а) пространство, Ь) число жителей), 4) важнѣйшія пищевыя вещества (для каждаго наименованія дается число питательныхъ единицъ а) въ 1 ф., Ь) сколько можно получить за 50 коп.). Я совершенно не понимаю, какъ подготовляютъ учащихся эти графики къ познанію функціональной зависимости (стр. 327).

Далѣе рекомендуется ознакомлять при помощи графикъ съ прямолинейной системой координатовъ въ общемъ видѣ, и вотъ затѣмъ какъ въ гл. XIII учатъ авторы примѣнять графики къ рѣшенію уравненій (стр. 327—8). „Дана задача: „Мальчикъ получилъ на Новый Годъ въ подарокъ копилку и въ концѣ каж-

дой недѣли кладетъ въ нее 7 коп. Представить графически и аналитически состояніе копилки въ концѣ мѣсяца? года?“ Для рѣшенія авторы предлагаютъ наносить рядъ дѣленій на горизонтальной оси и такой же рядъ дѣленій на вертикальной; на первой считать приростъ денегъ (по 7 коп.), на второй — приростъ недѣль (по 7 дней) и утверждаютъ будто „получаемая при этомъ графика имѣетъ видъ прямой“. Но вѣдь это совершенно невѣрно: истинная графика имѣетъ видъ ступенчатой линіи. А между тѣмъ дальше авторы заявляютъ, что „для вывода аналитической зависимости достаточно обратить вниманіе учащихся, что полученная прямая дѣлитъ грань между осями пополамъ. Тогда обозначая горизонтальную ось черезъ х, вертикальную черезъ у, находимъ искомую зависимость : у —х. Если оставить безъ вниманія безграмотность выраженія, то все же это совершенно невѣрно, а между тѣмъ авторы полагаютъ, что „пользуясь полученнымъ равенствомъ, мы можемъ подчеркнуть его важное значеніе, а именно показать, что въ любое время года можно вычислить состояніе копилки, не прибѣгая болѣе къ чертежу“. Конечно, вычислить его можно, но не съ помощью ихъ зависимости у = х. Возьмемъ, напр., что покажетъ настоящая графика и эта зависимость къ 1 апрѣля. Съ начала года прошло 31 + 28 + 31 = 90 дней, если годъ былъ простой. Графика гг. Мрочека и Филипповича даетъ 90 — X7 коп- = 90 коп. На самомъ же дѣлѣ въ копилкѣ будетъ столько разъ 7 копѣекъ, сколько прошло съ начала года недѣль, т.-е, 12 X 7 = 84 к. Въ концѣ перваго мѣсяца въ копилкѣ будетъ 28 коп., а по графикѣ 31 коп. И чѣмъ болѣе разбирать численные примѣры въ духѣ авторовъ, тѣмъ болѣе затуманены будутъ мозги учениковъ.

Приведемъ еще примѣръ заботливости, съ которою авторы отмѣчаютъ свои собственныя открытія. На стр. 361 въ примѣчаніи къ изложенію способа Berard’a рѣшенія квадратнаго уравненія построеніемъ читаемъ: „Обобщеніе пріема Берара на случай мнимыхъ корней принадлежитъ намъ“. Перевертываемъ страницу и узнаемъ, въ чемъ дѣло. Въ способѣ Berard’a описывается окружность радіусомъ R достаточно большимъ, чтобы ея діаметръ былъ больше какъ р, такъ и а-)-6 (гдѣ q= ab и q^> 0). Помѣстивъ въ этой окружности хорды D Е=р и AB = а -f- Ь (АС = а, СВ = Ъ) описываемъ изъ того же центра окружность радіусомъ ОС. Точка встрѣчи этой окружности съ DE дѣлитъ эту хорду на части равныя корнямъ. „Обобщеніе“ же гг. Мрочекъ и Филипповича состоитъ вотъ въ чемъ: „если корни не вещественны, а мнимы, то это обнаружится при построеніи; въ этомъ случаѣ вторая окружность не пересѣчетъ хорды DE..“

У Андерсена есть очень милая сказка о домовомъ, который ночью вынимаетъ говорильный аппаратъ у лавочницы и приставляетъ поочередно ко всѣмъ предметамъ въ лавкѣ; очередь доходитъ и до кадки со старыми газетами,—выговоривъ все, что въ нихъ было, кадка перевертывается и вываливаетъ все содержимое. Въ кадкѣ гг. Мрочека и Филипповича, кромѣ старыхъ газетъ и

брошюръ есть много очень хорошихъ книгъ и изреченій. Не всегда они помнятъ, откуда что взято. Но они очень добросовѣстно вывалили все въ свою книгу, снабдивъ при томъ собственными добавленіями и разъясненіями, не всегда какъ мы видѣли удачными.

Поэтому я не считалъ бы возможнымъ ни рекомендовать эту книгу, ни тѣмъ болѣе признать ее знаменемъ сторонниковъ реформы, къ которымъ я имѣю, мнѣ кажется, право себя причислять.

Къ вопросу о подобіи треугольниковъ въ систематическомъ курсѣ геометріи.

К. Лебединцевъ. Москва.

Въ традиціонномъ изложеніи систематическаго курса геометріи считается вполнѣ допустимымъ безъ оговорокъ приписывать четыремъ пропорціональнымъ отрѣзкамъ всѣ свойства членовъ числовыхъ пропорцій. Вотъ напр. какъ изложено въ геометріи Киселева (21-е изд.) доказательство второго признака

подобія треугольниковъ (треугольники подобны, если двѣ стороны одного пропорціональны двумъ сторонамъ другого, а углы, заключенные между этими сторонами, равны):

„Пусть въ тр-кахъ АВС и А1В1С1 дано:

Чер. 1.

(1)

Требуется доказать, что такіе тр-ки подобны. Отложимъ... часть BD, равную А1В[, и проведемъ DE || АС. Тогда получимъ вспомогательный А BDE, подобный Д АВС. Докажемъ, что онъ равенъ А А1ВІС1. Изъ подобія тр-ковъ DBE и АВС слѣдуетъ: Сравнивая этотъ рядъ равныхъ отношеній съ даннымъ рядомъ (1), замѣчаемъ, что первыя отношенія обоихъ рядовъ одинаковы (DB = А1В1^ по построенію); слѣдовательно, остальныя отношенія этихъ рядовъ также равны, т.-е.

откуда

Теперь видимъ, что тр-ки DBE и АХВХ имѣютъ по равному углу (В — В^, заключенному между равными сторонами; значитъ, эти тр-ки равны. Но A DBE подобенъ А AB С\ поэтому и А Ах Bt Сѵ подобенъ /\АВСи. (стр. 145—146; такимъ же образомъ ведется и доказательство третьяго признака подобія треугольниковъ).

Совершенно ясно, что равенство BtCt = BE (которое является ключомъ къ доказательству) вытекаетъ изъ пропорціи - „ ==т——, если мы предположимъ, что символы В(7, BtCt, BE обозначаютъ числа, выражающія длину отрѣзковъ въ одинаковыхъ единицахъ, т.-е. если мы заранѣе допустимъ, что соотвѣтствующія стороны нашихъ треугольниковъ соизмѣримы. Если же соотвѣтствующія стороны данныхъ треугольниковъ несоизмѣримы, то подобное заключеніе является недостаточно обоснованнымъ, такъ какъ въ этомъ случаѣ пропорція - = , согласно раньше принятому условію (§ 159, стр. 118), обозначаетъ, что равны другъ другу приближенныя отношенія отрѣзковъ ВС къ BtCx и ВС къ BE, вычисленныя съ произвольной, но одинаковой степенью точности (и притомъ оба съ недостаткомъ или оба съ избыткомъ); а равны ли вслѣдствіе этого самые отрѣзки В1С1 и БЕ—это требуетъ доказательства.

Очевидно, здѣсь мы имѣемъ дѣло съ однимъ изъ тѣхъ скрытыхъ допущеній, которыми изобилуютъ традиціонные курсы геометріи въ вопросѣ о несоизмѣримыхъ величинахъ. Современная методика, какъ извѣстно, признаетъ такія недомолвки недопустимыми, и приходится поэтому поставить такой вопросъ: возможно ли непосредственно устранить указанную нелогичность въ разсужденіи, или же нужно совершенно отказаться отъ традиціоннаго способа доказательства признаковъ подобія треугольниковъ и изыскать иные методы, пріемлемые съ логической точки зрѣнія.

Я постараюсь прежде всего показать, что устранить указанный пробѣлъ возможно, не отступая существенно отъ традиціонной системы и даже не вводя понятія о несоизмѣримомъ числѣ, какъ (точномъ) отношеніи несоизмѣримыхъ величинъ. Прежде всего условлюсь въ терминологіи. Въ предстоящемъ изложеніи я буду называть (точнымъ) отношеніемъ двухъ отрѣзковъ то цѣлое или дробное число, которое показываетъ, сколько разъ нужно взять второй отрѣзокъ цѣликомъ или указанную его долю, чтобы получить отрѣзокъ, равный первому. Это понятіе, очевидно, приложимо только къ соизмѣримымъ отрѣзкамъ; для несоизмѣри-

мыхъ придется ввести понятіе о приближенномъ отношеніи, опредѣляемое такъ: приближеннымъ отношеніемъ отрѣзка AB къ отрѣзку CD съ точностью до — , съ недостаткомъ, — называется отношеніе къ CD наибольшаго отрѣзка, составленнаго изъ w-хъ долей CD и не превышающаго AB (а соотвѣтствующимъ приближеннымъ отношеніемъ съ избыткомъ—наз. отношеніе къ CD наименьшаго отрѣзка, составленнаго изъ n-хъ долей CD и превышающаго AB). Далѣе, я буду называть четыре отрѣзка пропорціональными, если отношеніе двухъ изъ нихъ равно отношенію двухъ другихъ, или если равны другъ другу любыя приближенныя отношенія отрѣзковъ одной и другой пары, вычисленныя съ произвольной, но одинаковой для обѣихъ паръ степенью точности. Зная все это, можно доказать такую вспомогательную теорему:

Если (точныя или любыя соотвѣтственныя приближенныя) отношенія двухъ отрѣзковъ къ одному и тому же третьему равны, то и данные два отрѣзка должны быть равны другъ другу.

Если данные отрѣзки соизмѣримы съ третьимъ, то теорема почти очевидна. Пусть напр. даны отрѣзки AB vl CD и пусть отношенія ихъ къ третьему отрѣзку KL равны; если каждое изъ этихъ отношеніи равно числу — , то выйдетъ, что для построенія AB нужно взять п-ю долю отрѣзка KL и отложить ее подрядъ т разъ; и отрѣзокъ CD такимъ же образомъ составляется изъ KL. Слѣд. AB = CD.

Если же данные отрѣзки AB и CD несоизмѣримы съ KL, то теорема доказывается отъ противнаго. Предположимъ, что AB > CD (см. чертежъ; на немъ отрѣзокъ CD представленъ отложеннымъ на отрѣзкѣ AB), и раздѣлимъ отрѣзокъ KL на такія доли, каждая изъ которыхъ была бы менѣе DB (т.-е. менѣе разности отрѣзковъ AB и CD); пусть такихъ долей въ отрѣзкѣ KL будетъ п. Будемъ откладывать теперь n-ю долю отрѣзка KL на АВ\ пусть она уложилась на отрѣзкѣ CD всего т разъ (до точки X); тогда, отложивъ ее еще одинъ разъ, мы получимъ отрѣзокъ СУ, большій чѣмъ CD и содержащій нашу мѣру т 1 разъ. При этомъ точка У должна лежать между D и В, такъ какъ по условію наша мѣра (n-я доля отрѣзка KL) меньше отрѣзка DB. Теперь ясно, что приближенное отношеніе CD къ KL, взятое съ точностью

Чер. 2.

до — съ недостаткомъ—равно отношенію СХ къ ІГД или же числу — ; а приближенное отношеніе AB къ KL, взятое съ той же точностью, съ недостаткомъ—должно быть равно - или болѣе т +-1 (послѣднее въ томъ случаѣ, если остатокъ УВ болѣе л-й доли EL). Слѣдовательно мы нашли, что приближенныя отношенія отрѣзковъ AB и CD къ EL, вычисленныя съ данной точностью — и притомъ оба съ недостаткомъ, не равны другу; а по условію должны быть равны другъ другу любыя соотвѣтствующія приближенныя отношенія данныхъ отрѣзковъ. Поэтому предположеніе AB>CD невѣрно. Подобнымъ же образомъ отвергается предположеніе, что AB < CD, и остается единственно возможный выводъ, что AB = CD.

Эта вспомогательная теорема даетъ возможность разсуждать при доказательствѣ признаковъ подобія треугольниковъ совершенно строго. Нужно только въ условіи и въ разсужденіи брать отношенія сторонъ въ такомъ порядкѣ, чтобы можно было сослаться на вспомогательную теорему; именно мы должны придти къ равенству . Будутъ ли здѣсь подразумѣваться точныя отношенія соизмѣримыхъ отрѣзковъ или соотвѣтствующія приближенныя отношенія несоизмѣримыхъ отрѣзковъ, все равно изъ записанной пропорціи будетъ вытекать равенство BlCi= BE, и доказательство дѣлается обоснованнымъ.

Соотвѣтственнымъ образомъ можно видоизмѣнить и традиціонный выводъ теоремы о периметрахъ подобныхъ треугольниковъ и многоугольниковъ. При доказательствѣ этой теоремы обыкновенно ссылаются на теорему о рядѣ равныхъ отношеній, извѣстную изъ алгебры (если имѣемъ рядъ равныхъ отношеній, то сумма всѣхъ предыдущихъ относится къ суммѣ всѣхъ послѣдующихъ, какъ каждый изъ предыдущихъ къ своему послѣдующему); но эта теорема можетъ быть примѣнена къ многоугольникамъ съ незоизмѣримыми сторонами лишь въ томъ случаѣ, если въ курсѣ алгебры она была доказана не только для соизмѣримыхъ, но и для несоизмѣримыхъ чиселъ, и если притомъ длина каждой стороны многоугольника выражена соизмѣримымъ или несоизмѣримымъ числомъ. Если же мы поставимъ себѣ цѣлью изложить

ученіе о подобіи треугольниковъ и многоугольниковъ, не прибѣгая къ понятію о несоизмѣримомъ числѣ, то теорему о периметрахъ можно будетъ доказать слѣдующимъ образомъ.

Пусть имѣемъ, напр., два подобныхъ треугольника АВС и XYZ, соотвѣтственныя стороны которыхъ соизмѣримы, и пусть отношеніе соотвѣтствующихъ сторонъ (AB къ ХУ, ВС къ 7Z и т. д.) равно числу ~ • Это значитъ, что отрѣзокъ AB равенъ долямъ отъ ХУ, отрѣзокъ ВС равенъ — долямъ отъ УХ, и т. д.; слѣдовательно сумма AB -f- ВС-\-АС, или периметръ перваго треугольника Р, содержитъ — долей отъ ХУ, отъ yz и отъ XZ, или, что все равно, содержитъ долей отъ суммы ХУ-^yZ-}-XZ, т.-е. отъ периметра второго треугольника Рх. А если периметръ Р содержитъ — долей периметра Рѵ то отношеніе Р къ Pt равно ^ , что и требовалось доказать.

Если соотвѣтствующія стороны треугольниковъ несоизмѣримы, то пусть приближенныя отношенія ихъ сторонъ (съ точностью до , съ недостаткомъ) равны числу . Это значитъ, что

Складывая эти неравенства почленно, находимъ, что — долей периметра Pt < Р <—^— доля периметра Рѵ а это значитъ, что приближенное отношеніе Р къ Рг (съ точностью до -і- , съ недостаткомъ) равно числу — , и теорема доказана. Само собою разумѣется, что это доказательство приложимо и къ многоугольникамъ съ любымъ числомъ сторонъ.

Такимъ образомъ, логическіе пробѣлы, допускаемыя при традиціонномъ изложеніи вопроса о подобіи треугольниковъ, могутъ быть устранены; но будетъ ли этотъ способъ, хотя и освобожденный отъ логическихъ промаховъ, наиболѣе пригоднымъ съ точки зрѣнія педагогической? Рѣшеніе этого вопроса зависитъ, во 1-хъ, отъ того, какъ распланированъ курсъ геометріи, и во 2-хъ, отъ того, какъ обстоитъ дѣло съ понятіемъ о несоизмѣримомъ числѣ въ курсѣ алгебры. Если геометрія излагается вообще традиціоннымъ способомъ, т.-е. безъ предварительнаго индуктивнаго курса, и если въ алгебру не введено понятіе о несоизмѣримомъ числѣ,—то можно считать указанныя здѣсь поправки цѣлесообразными: во всякомъ случаѣ онѣ освобождаютъ теорію подобія треугольниковъ отъ ея логическихъ недочетовъ и дѣлаютъ ее болѣе удобопонятной для учащихся. Но если, какъ это признается теперь необходимымъ, систематическому курсу геометріи предшествуетъ курсъ „наглядный“, индуктивный, а въ алгебрѣ учащіеся знакомятся своевременно съ понятіемъ о несоизмѣримомъ числѣ,—то изученіе подобія фигуръ распредѣляется совершенно иначе и располагается по двумъ или тремъ концентрамъ. Уже въ курсѣ „наглядной“ геометріи учащіеся чисто опытнымъ путемъ могутъ убѣдиться, что соотвѣтственное равенство угловъ у треугольниковъ влечетъ за собою пропорціональность сторонъ и наоборотъ (между прочимъ, этотъ вопросъ принадлежитъ къ разряду тѣхъ вопросовъ, при изученіи которыхъ учащіеся, въ виду неизбѣжныхъ ошибокъ въ измѣреніяхъ, могутъ съ особенной силой ощутить потребность въ точномъ, логическомъ доказательствѣ открываемыхъ ими на опытѣ геометрическихъ истинъ). Затѣмъ въ систематическомъ курсѣ геометріи эти и другіе признаки подобія треугольниковъ будутъ доказаны логически, но сперва лишь для случая соизмѣримыхъ сторонъ; и наконецъ, эти доказательства будутъ распространены и на случай несоизмѣримыхъ сторонъ тогда, когда въ алгебрѣ учащіеся ознакомятся съ понятіемъ о несоизмѣримомъ числѣ. Отношеніе несоизмѣримыхъ отрѣзковъ они будутъ разсматривать тогда, какъ несоизмѣримое число, опредѣляемое слѣдующимъ условіемъ: менѣе его считается всякое приближенное отношеніе данныхъ отрѣзковъ, взятое съ недостаткомъ (и всякое число, меньшее одного изъ этихъ отношеній); а болѣе его считается всякое приближенное отношеніе данныхъ отрѣзковъ, взятое съ избыткомъ (и всякое число, большее одного изъ этихъ отношеній); равенство отношеній несоизмѣримыхъ отрѣзковъ будетъ доказано тогда, если окажется, что равны другъ другу любыя соотвѣтствующія приближенныя отно-

шенія этихъ отрѣзковъ. Что касается теоремъ, требующихъ перемноженія отношеній (напр. теоремы о площадяхъ подобныхъ треугольниковъ и многоугольниковъ), то онѣ могутъ быть распространены на случай несоизмѣримыхъ сторонъ тогда, когда установлено понятіе объ умноженіи несоизмѣримыхъ чиселъ.

Этими указаніями я и ограничусь въ настоящее время, такъ какъ подробный разборъ вопроса о несоизмѣримыхъ величинахъ въ геометріи не входитъ въ задачу настоящей замѣтки.

Алгориѳмъ Бине и его употребленіе въ древности.

В. Бобынинъ. Москва.

Эвклидовскій алгориѳмъ, названный такъ по своему приложенію въ Элементахъ Эвклида къ нахожденію общаго наибольшаго дѣлителя двухъ (наприм. т и п) и нѣсколькихъ чиселъ*), представляется, какъ извѣстно, совокупностью уравненій

(1)

Если всѣ составляющія эвклидовскій алгориѳмъ дѣленія или часть ихъ замѣнить дѣленіями, дающими увеличенныя 1-цею частныя и въ соотвѣтствіи съ этимъ отрицательные остатки, то получатся измѣненные эвклидовскіе алгориѳмы, представляемые вообще совокупностью уравненій

(2)

въ которыхъ для однообразія въ обозначеніяхъ положено п = ѵ и кромѣ того выражены черезъ k,k{, . . . ky цѣлыя числа, черезъ ѵЛ, г?2, . . . ѵу уменьшающіяся положительныя цѣлыя числа и, наконецъ, черезъ et, е2, . . . еу взятыя по произволу положительныя или отрицательныя единицы.

Если брать дѣлимымъ число т не только для перваго изъ дѣленій, составляющихъ измѣненный эвклидовскій алгориѳмъ,

*) Elemente VII, 2 и 3.

но и для всѣхъ остальныхъ, то получится слѣдующая представляющая алгориѳмъ Бине*) совокупность уравненій

(8)

Въ этихъ уравненіяхъ обозначены: 1) буквами еп е2, . . . или вообще е/ взятыя по произволу положительныя или отрицательныя единицы; 2) буквами ft, к19 ft2, . . . вообще ft; цѣлыя числа и, наконецъ, 3) буквами ѵѵ д2, . . . или вообще Ѵі уменьшающіяся положительныя цѣлыя числа. Также какъ въ эвклидовскомъ въ алгориѳмѣ Бине всякій общій дѣлитель чиселъ т и п=ѵ будетъ также дѣлителемъ и ѵу. Само же это число ѵу хотя по послѣднему изъ уравненій (3) является всегда дѣлителемъ числа т можетъ однако же и не содержаться въ числѣ п и слѣдовательно не всегда бываетъ общимъ наибольшимъ дѣлителемъ чиселъ т и п. Вообще можно сказать, что законы, которымъ слѣдуетъ алгориѳмъ Бине, хотя и отклоняются отъ законовъ эвклидовскаго алгориѳма, но все-таки имъ подобны.

Интереснѣйшимъ изъ случаевъ, представляемыхъ алгориѳмомъ Бине, особенно въ виду предмета настоящей статьи, является тотъ, въ которомъ каждая изъ единицъ в; принимается равною 4- 1. Примѣромъ этого случая алгориѳма Бине можетъ служить слѣдующій исходящій изъ дѣленія 41 на 17.

Частными ft; будутъ такимъ образомъ въ послѣдовательномъ порядкѣ числа 3, 5, 5, 11, 14, 41, а остатками г?; числа—10,—9,

*) J Р. М. Binet. Sur une nouvelle méthode pour trouver le plus grand commun diviseur des nombres entiers. Comptes rendus. 1841. XIII.—P. Bachmann. Niedere Zahlentheorie. Erster Teil. S. 118—121.

—4,—3,—1. Самъ же алгориѳмъ представляется совокупностью тождествъ

При указанномъ выборѣ значеній е£ легко выводится изъ первыхъ і уравненій (3) при посредствѣ исключенія и1? ѵіг.. соотношеніе

(4)

или при і=5!y соотношеніе

(5)

Если, принимая во вниманіе послѣднее изъ уравненій, составляющихъ алгориѳмъ (3), то-есть т — ку ѵу, раздѣлить обѣ части уравненія (5) на т и на произведеніе ку—t ку—2 ... к{ fc, то получится формула

(6)

Эта формула даетъ возможность всякую произвольно взятую правильную положительную дробь представить въ видѣ суммы дробей, имѣющихъ числителемъ 1-цу. Производимое при выводѣ этой формулы дѣленіе на произведеніе ку—іку—2 . . . к\ к возможно во всѣхъ случаяхъ, когда числа k1kh...Jcy—l не равны нулю, то-есть когда т п = и, а слѣдовательно и вообще, когда т > ѵ£

Примѣромъ приложенія формулы (6) можетъ служить слѣдующее произведенное по ней разложеніе

Предложеніе, выражающее формулу (6), было найдено Ламбертомъ во второй половинѣ XVIII вѣка*) и потому получило употребляемое нерѣдко названіе „предложеніе Ламберта“. Что же касается составляющихъ его предметъ разложеній, то ихъ упо-

*) Lagrange Essai de l’analyse numérique, sur la transformation des fonctions. Journal de l’Ecole polytechnique. Cahier V. Année IV. Lambert. Verwandlung der Brüche, Beyträge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung, 2. Theil, Berlin 1770. S. 54 ff.

требленіе въ практикѣ вычисленій и притомъ очень широкое восходитъ къ глубокой древности, именно къ стадіи счисленія отвлеченныхъ дробей съ 1-цею въ числителѣ, для которой оно было совершенно необходимымъ. Древнѣйшимъ изъ извѣстныхъ памятниковъ математической литературы эпохъ, обнимаемыхъ упомянутою стадіею, является Папирусъ Ринда, составленный за 1700 лѣтъ до Р. Хр. Но въ немъ разложенія, совпадающія съ доставляемыми предложеніемъ Ламберта, почти не встрѣчаются. Да и въ тѣхъ немногихъ, которыя есть, совпаденія являются чисто случайными.

Обусловленными самою природою приводящихъ къ нимъ методовъ, а потому и совершенно неслучайными, совпаденія разсматриваемаго рода являются во времена, значительно болѣе позднія, именно въ написанномъ въ VІІ — VIII вѣкахъ послѣ Р. Хр. акмимскомъ папирусѣ*). Методомъ порождающимъ въ немъ эти совпаденія, является употребляемая имъ форма того метода, который пользуется для разложенія дробей дѣйствіемъ дѣленія и потому можетъ быть названъ короче методомъ дѣленія. Этотъ методъ состоялъ въ продолженіи дѣленія за остатокъ, меньшій дѣлителя, или при посредствѣ примѣненія того-же процесса этого дѣйствія, который употреблялся до полученія упомянутаго остатка или при посредствѣ выработавшагося еще въ стадіи счисленія именованныхъ чиселъ приведенія остатка, а также и дѣлимаго, меньшаго дѣлителя, въ такія подраздѣленія единицы, которыя содержатся въ немъ въ количествѣ, превосходящемъ дѣлителя.

Первое изъ этихъ двухъ средствъ образовало употребляемую въ Папирусѣ Ринда первую или древнѣйшую форму метода дѣленія, второе — его позднѣйшія формы. Изъ этихъ послѣднихъ употребляемая въ акмимскомъ папирусѣ отличалась отъ другихъ тѣмъ, что изъ упомянутыхъ подраздѣленій единицы всегда избирала наибольшее. Другими словами, знаменатель к избираемаго подраздѣленія единицы или, что то-же самое, число, на которое умножается остатокъ или дѣлимое, меньшее дѣлителя, должно быть наименьшимъ изъ чиселъ, произведенія которыхъ на тотъ же остатокъ превосходятъ дѣлителя.

Если, говоря вообще, частное отъ дѣленія на дѣлителя произведенія остатка на число к всегда должно превосходить единицу, то при избраніи наименьшаго изъ значеній числа к содержащимся въ упомянутомъ частномъ наибольшимъ цѣлымъ числомъ постоянно будетъ 1-ца. При обозначеніи дѣлителя черезъ т и дѣ-

*) Такъ называется греческій математическій папирусъ, найденный въ Верхнемъ Египтѣ въ 80-хъ годахъ прошлаго столѣтія въ одной изъ могилъ некрополя Акмимъ, въ древности Панополисъ, мѣстными жителями феллахами, отъ которыхъ онъ перешелъ въ Музей Гизеха. Здѣсь онъ былъ изученъ членомъ Французской Археологической Миссіи въ Каирѣ, г. Баллье, посвятившимъ ему занимающую 1-й выпускъ IX тома. Mémoires publiés par les membres de la Mission archéologique française au Caire (Paris, 1892) обширную статью Le papyrus mathématique d’Akhmîm. Въ русской литературѣ тому же предмету посвящена статья В. В. Бобынина „Греко-египетскій математическій папирусъ изъ Акмима" (Физико-Математическія Науки въ ихъ настоящемъ и прошедшемъ. Т. ХП. Стр. 301—340).

лимаго, меньшаго, чѣмъ дѣлитель, или такого же остатка черезъ п число к на основаніи сказаннаго должно удовлетворять неравенству.

(7)

изъ котораго слѣдуетъ, что

(8)

Такъ какъ въ случаѣ выбора изъ значеній числа 1с, опредѣляемыхъ послѣднимъ неравенствомъ, наименьшаго цѣлымъ числомъ, содержащимся въ частномъ — будетъ 1-ца, то при обозначеніи остатка черезъ у выраженіемъ полнаго частнаго будетъ слѣдующее:

(9)

Если остатокъ /= 1, то разложеніе ~ на дроби съ 1-цею въ

числителѣ закончится. Въ противномъ случаѣ, когда остатокъ у > 1, надъ этимъ остаткомъ для продолженія разложенія должны производиться тѣ-же дѣйствія, которыя были произведены надъ дѣлимымъ. Также должно поступать и со слѣдующими остатками до тѣхъ поръ пока не получится, наконецъ, остатокъ, равный единицѣ или содержащійся множителемъ въ дѣлителѣ.

(Окончаніе слѣдуетъ).

Задачи.

77. Рѣшить уравненіе:

ахъ + (Ь — ас) я4 — Ъсх3 — Ъх2 -f- (Ьс — а)х-\-ас = 0.

78. Рѣшить систему уравненій:

79. Даны три точки А, В и С. Отыскать точку X такъ, чтобы суммы (или разности) АХ + ВХ и ВХ + СХ имѣли данныя значенія.

И. Александровъ.

80. Кубъ пересѣчь плоскостью такъ, чтобы въ сѣченіи получился правильный п—угольникъ. Показать, что задача возможна только при п = 3; 4; 6.

Э. Лейнѣкъ.

81. Показать, что къ данной линіи можно провести параллельную чрезъ данную точку, лежащую внѣ ея, пользуясь при этомъ только линейкой съ двумя параллельными сторонами. (Доказательство не должно быть основано на свойствахъ подобныхъ тр—ковъ).

Его-же.

82. Внутри прямоуг. тр —ка АВС дана точка О, служащая вершиной равновеликихъ тр—ковъ О AB, О АС и ОВС. Доказать, что OB2 ОС2 = 5 О А2 (А—вершина прямого угла).

А. Мазингъ.

83. Рѣшить въ цѣлыхъ числахъ уравненіе:

2х2 -j- 4х = 2 + у2.

П. Казачкинъ.

84. Найти геометрическое мѣсто центровъ окружностей, вписанныхъ въ прямоуг. тр—ки, имѣющіе общую гипотенузу.

К. Виноградовъ и В. Ефремовичъ.

Рѣшенія задачъ.

№ 47. Въ данный кругъ вписать треугольникъ такъ, чтобы двѣ его стороны проходили черезъ двѣ данныя точки (обѣ внутри или обѣ внѣ круга), изъ которыхъ третья сторона была бы видна надъ одинаковыми углами.

Пусть данъ кругъ О и точки N и Р внутри его (сдѣл. чер.). Построимъ: 1) прямую NP, 2) діаметръ АА! \__NP, 3) прямыя АР и AN, которыя пересѣкутъ еще окружность въ точкахъ В и С. 4) прямую ВС. Тогда Д АВС искомый. Въ самомъ дѣлѣ, построивъ еще касательную АК къ кругу О въ точкѣ А, мы получимъ /_KAN= /_ ANP (ибо AK\\NP) и /_ KAN = /_АВС (ибо первый изъ этихъ угловъ составленъ касательною и хордою и внутри его лежитъ ^ АС, на которую опирается вписанный въ кругъ /_АВС); отсюда заключаемъ, что /ANP = /_В, т.-е. точки В, P, N и С лежатъ на одной окружности, а слѣдовательно изъ точекъ Р и N сторона ВС видна подъ одинаковыми углами.

Если вмѣсто точки А, возьмемъ точку А!, то получимъ другое рѣшеніе этой задачи.

Построеніе остается такимъ же, если обѣ точки даны внѣ круга.

Л. Гамперъ (Москва), А. Войтовъ (Вильна), И. Ильинъ (Астрахань).

Г. В. Кованько (ст. Струнино ) предлагаетъ иное рѣшеніе задачи, сводящееся къ построенію геом. мѣста точекъ, разность квадратовъ разстояній которыхъ отъ двухъ данныхъ точекъ извѣстна.

Однако это геометрическое мѣсто представляетъ изъ себя діаметръ даннаго круга АА', который былъ построенъ въ вышеприведенномъ рѣшеніи,— въ этомъ легко убѣдиться.

Г. II. Александровъ (Москва) и Г. А. Сердобинскій (Чита) сводятъ эту задачу къ извѣстной задачѣ Сгаіпег’а, рѣшенной въ 1776 году СавШІоп’омъ (итальянскій геометръ 1708—1791): „Вписать въ данную окружность треугольникъ, стороны котораго проходили бы черезъ три данныхъ точки“.

Слѣдуетъ замѣтить, что рѣшеніе этой задачи значительно сложнѣе рѣшенія задачи № 47. Такъ, напр., приходится при выполненіи рѣшенія строить отрѣзки, удовлетворяющіе пропорціи х : а = а :Ь.

49. Рѣшить уравненіе:

(snx— 5) cs*x— 4 (3 snx — 5) cs2x-1— 16 (snx—1) = 0.

Замѣняя cs2x чрезъ 1 —sn2x и полагая затѣмъ Sinx — z, представимъ yp. въ видѣ:

(я — 5) (1— z2)2 — 4 (Зя — 5) (1 — z2) -f- 16я — 1 = 0

или, послѣ упрощенія,

я5 — 5 я4 -(- 10я3 — ІО#2 -f- 5# — 1 = 0,

т.-е. (я—і)б = о.

Отсюда 2 = 1, т.-е. Snx= 1 и, слѣдовательно,

М. Орбекъ, Л. Александровскій, Н. Дуве, К. Кульманъ, М. Зильберштейнъ (Москва), А. Ильинъ (Астрахань), В. Полякова (с. Павлово), А. Локуціевскій (ст. Каменская), А. Бутомо (Саратовъ), В. Мыць (Полтава), И. Коровицкій (Спб.), Д. Рѣдько (Полтава), Ф. Меріакри (Ростовъ на Д.) И. Несторовичъ (Влодава), В. Сѣверный (Тула), А. Сердобинскій (Чита), К. Кульманъ.

52. Рѣшить уравненіе:

х‘д — х2-\-х — а3 — 2 а2 — 2 а — 1=0

Лѣвая часть уравненія можетъ быть представлена въ видѣ:

или

Отсюда находимъ:

и

что даетъ корни:

Н. Дуве, Л. Александровскій, If. Зильберштейнъ, Л. Щетининъ, А. Городецкая, М. Орбекъ, Л. Мазингъ (Москва), В. Сѣверный (Тула), Л. Бутомо (Саратовъ),

В. Маловичко (Херсонъ), Н. Несторовичъ (Влодава): Л. Сердобинскій (Чита).

53. Рѣшить уравненіе:

Представивъ ур. въ видѣ:

и полагая

найдемъ:

или

иначе

Корни этого ур. суть:

Подставляя ихъ послѣдовательно вмѣсто ъ въ ур. (1), получимъ 4 уравненія для опредѣленія х, изъ которыхъ найдемъ;

Изъ этихъ корней ^ и #.2 суть посторонніе для нашего ур. (они удовлетворяютъ уравненію 9х-— 12# -J- 2 — ]/4 — 3#‘2 = 0). Остальные корни удовлетворяютъ данному уравненію.

Р. Струве, Л. Александровскій, Н. Дуве, И. Орбекъ, Н. Щетининъ (Москва), В. Маловичко (Херсонъ), Н. Несторовичъ (Влодава), Л. Бутомо (Саратовъ), В. Кованько (ст. Струнино), В. Сѣверный (Тула), К. Бялозоръ (Ейскъ), IL Коровицкій (Спб.), Л. Сердобинскій (Чита), К. Кульманъ.

56. Найти предѣлъ выраженія

при х = 0.

Представимъ данное выраженіе въ видѣ:

или

тогда, принимая во вниманіе, что предѣлъ каждаго изъ отношеній и —— при а = о есть 1, заключаемъ, что предѣлъ даннаго выраженія есть-----— .

М. Орбекъ, Н. Щетининъ, М. Зильберштейнъ (Москва), А. Сердобинскій (Чита), И. Ильинъ (Астрахань), В. Кованько (ст. Струнино), А. Бутомо (Саратовъ), В. Сѣверный (Тула), В. Маловичко (Херсонъ), И. Несторовичъ (Влодава), И. Коровицкій (Спб.), К. Кульманъ.

Библіографическій отдѣлъ.

Е. Пржевальскій. Собраніе алгебраическихъ задачъ для учениковъ старшихъ классовъ среднихъ учебныхъ заведеній.

Часть 1. Задачи на преобразованія и уравненія. IY+371. М. 1908. Цѣна 1 р. 60 к.

Часть II. Задачи на пропорціональность величинъ, пропорціи, прогрессіи, соединенія, биномъ и мономъ, неравенства, наибольшія и наименьшія величины и непрерывныя дроби. IY+183. М. 1912. Цѣна 1 р. 25 к.

Часть ІII. Смѣшанныя задачи на предыдущіе отдѣлы. IY+260. М. 1912. Цѣна 2 руб.

Три книги, выпущенныя г. Е. Пржевальскимъ подъ указавшемъ выше заглавіемъ, въ высшей степени интересны. Въ нихъ собраны 1970 задачъ, помѣщенныхъ въ различныхъ иностранныхъ (по преимуществу англійскихъ) руководствахъ и журналахъ, и даны ихъ подробныя рѣшенія. Первыя двѣ книги содержатъ семь отдѣловъ, изъ которыхъ каждый посвященъ особой статьѣ элементарной алгебры. Третья книга (отдѣлъ YIII) представляетъ сборникъ задачъ на всѣ отдѣлы алгебры.

Всѣ задачи рѣшаются элементарнымъ путемъ, но для рѣшенія ихъ требуется не только основательное знаніе обычнаго курса элементарной алгебры, но въ нѣкоторыхъ случаяхъ и расширеніе его. Такъ, наприм., въ рѣшеніи задачъ I и II отдѣловъ играетъ большую роль знаніе многихъ свойствъ цѣлаго раціональнаго многочлена, являющихся слѣдствіями теоремы Bézout

о его дѣлимости; въ отдѣлахъ III и IV нужно знаніе гармоническихъ пропорціи и прогрессіи; въ отдѣлѣ VI предполагается извѣстнымъ соотношеніе между среднимъ ариѳметическимъ и среднимъ геометрическимъ п (п>2) положительныхъ чиселъ. Кромѣ того для рѣшенія весьма многихъ задачъ требуется еще остроуміе и находчивость въ примѣненіи теоріи. Въ видѣ примѣра укажу на задачи 419, 454, 459, 481 отдѣла II и задачи 292 и 352 отд. VIII.

Все это заставляетъ думать, что г. Е. Пржевальскій не совсѣмъ правильно указалъ въ заглавіи назначеніе своего новаго собранія задачъ: ученики старшихъ классовъ среднихъ учебныхъ заведеній могутъ извлечь пользу изъ этого собранія задачъ только при наличности опытнаго руководителя, который помогъ бы имъ оріентироваться въ массѣ задачъ указаніями на возможность группировки нѣкоторыхъ изъ нихъ и на ихъ связь съ изслѣдованіями въ различныхъ областяхъ математики (см., напр., IV отд. зад. 68— 91, отд, VIII зад. 296; зад. 419 и 422).

Разсматриваемыя три книги могутъ служить прекраснымъ пособіемъ для преподавателей математики какъ при прохожденіи систематическаго курса алгебры, такъ, въ особенности, при повторительномъ курсѣ. Я разумѣю здѣсь надлежащимъ образомъ поставленный повторительный курсъ, цѣлью котораго служитъ не пережевываніе пройденнаго и рѣшеніе задачъ типа „macédoine à tous fruits,“ а расширеніе, углубленіе и приведеніе во взаимную связь различныхъ отдѣловъ элементарной математики. Для такого курса собраніе задачъ г. Е. Пржевальскаго доставляетъ обильный, разнообразный и интересный матеріалъ.

Недостатки разсматриваемыхъ трехъ книгъ заключаются въ невѣрномъ заглавіи второй главы V отдѣла и неточной или неловкой формулировкѣ нѣкоторыхъ задачъ и рѣшеній. Указанная глава озаглавлена такъ: „биномъ и мономъ“. Изъ содержанія ея ясно, что дѣло идетъ о задачахъ на тѣ теоремы, которыя въ англійскихъ учебникахъ носятъ названія: „binomial theorem" и „multinomial theorem“. Первая изъ нихъ въ русскихъ руководствахъ называется формулой бинома Ньютона, а для второй особаго названія не существуетъ. Если стремиться къ краткости въ заглавіяхъ, то вмѣсто слова: „мономъ" слѣдовало бы поставить слово: „полиномъ“.

Неточность въ формулировкѣ заключаетея по преимуществу въ неправильныхъ указаніяхъ на значенія буквъ, являющихся данными задачи, или въ полномъ отсутствіи такихъ указаній (см., напр., зад. 32 и 33 отд. I, зад. 7 и 280 отд. VIII.

Въ задачахъ 167 и 168 отд. VIII выраженіе „истинное значеніе" слѣдовало бы замѣнить выраженіемъ: „предѣльно е значеніе“.

Внѣшность изданія хороша; опечатокъ немного.

Богатство и интересъ собраннаго г. Е. Пржевальскимъ матеріала позволяютъ смѣло рекомендовать его новое собраніе алгебраическихъ задачъ вниманію преподавателей и любителей элементарной математики.

С, Виноградовъ.

Засѣданія Математическаго Отдѣла Педагогическаго Музея Военно-Учебныхъ Заведеній. 1912—1913 г.

Предсѣдатель отдѣла: М. Г. Попруженко. Товарищъ предсѣдателя: Б. Б. Піотровскій. Секретарь А. Р. Кулишеръ.

I. Засѣданіе 16 октября 1912. г. состоялось подъ предсѣдательствомъ З. А. Макшеева. Предсѣдатель отмѣтилъ участіе Отдѣла въ истекшемъ году въ 1-мъ Всероссійскомъ Съѣздѣ Преподавателей Математики и въ Международной Выставкѣ по устройству и оборудованію школы, гдѣ присуждена была Педагогическому музею В. Учебн. Завед. большая золотая медаль. Затѣмъ В. И. Шиффъ прочла на основаніи написаннаго ею раньше обзора учебниковъ по аналитической геометріи докладъ, въ который вошла только незначительная часть разсмотрѣннаго матеріала, отмѣчая лишь наиболѣе характерныя погрѣшности нѣкоторыхъ очень распространенныхъ руководствъ а также книгъ, недавно вышедшихъ въ свѣтъ, и останавливая вниманіе главнымъ образомъ на выясненіи того, чѣмъ собственно долженъ быть курсъ аналитической геометріи въ средней школѣ.

По мнѣнію докладчицы, 1) надо выдвинуть на первый планъ ту часть работы, которая сообщила бы учащимся основательное знакомство съ идеями аналитической геометріи; 2) можно выпустить многое изъ имѣющихся теперь руководствъ, которыя для постановки предмета, какъ предмета общеобразовательнаго, даютъ мало; такъ напримѣръ, въ виду наличности курса анализа б. м. (тамъ, гдѣ таковой имѣется) можно опустить вопросъ о касательныхъ діаметрахъ и т. д. (или ограничиться частными случаями); слѣдуетъ опустить статью о кривыхъ 2-го порядка какъ сѣченіяхъ конуса плоскостью; но надо сообщить учащимся умѣніе опредѣлять уравненіе на основаніи свойствъ кривой, умѣніе различать примѣнимость того или другого вида координатъ, удѣлить мѣсто изложенію съ помощью проекцій; 4) надо принять въ разсчетъ пользованіе въ младшихъ классахъ такъ называемыхъ „графическимъ методомъ“. 5) Не слѣдуетъ ограничиваться плоскостью; полезно расширить курсъ нѣсколькими простыми вопросами пространства 3-хъ измѣреній.

Въ преніяхъ приняли участіе: А. П. Киселевъ, Б. А. Марковичъ, П. А. Некрасовъ, В. Р. Мрочекъ, Б. Б. Піотровскій, Д. Э. Теннеръ, Н. А. Томилинъ. Въ высказанныхъ соображеніяхъ болѣе детально опредѣлялись рамки той или другой главы курса, выяснялась примѣнимость того или иного курса въ зависимости отъ характера школы и числа часовъ, отводимыхъ на курсъ; результатомъ преній, сверхъ того, явилось внесеніе въ бюро предложеній членовъ отдѣла о рядѣ новыхъ докладовъ посвященныхъ вопросу о конкретномъ осуществленіи высказанныхъ докладчицей оріентирующихъ указаній и соображеній.

Въ томъ же засѣданіи А. Р. Кулишеръ прочелъ рефератъ о книгѣ Беллюстина: Очерки по методикѣ геометріи (въ предѣлахъ начальнаго курса геометріи); на основаніи заслушаннаго сообщенія и дополнительныхъ указаній, предсѣдатель характеризовалъ книгу, какъ работу, съ которой полезно познакомиться преподавателямъ.

II. Засѣданіе 6 ноября 1912 г. Предсѣдатель: М. Г. Попруженко. Предсѣдатель указываетъ на желательность подготовленія отдѣломъ докладовъ къ предстоящему 2-му Всероссійскому Съѣзду Преподавателей Математики и перечисляетъ рядъ вопросовъ общаго характера и вопросовъ алгебры, геометріи, тригонометріи, ариѳметики, аналитической геометріи и анализа б. м., разсмотрѣніе которыхъ заслуживало бы ближайшаго вниманія (всѣхъ вопросовъ 32; отпечатанъ перечень ихъ на отдѣльныхъ листкахъ и разосланъ членамъ отдѣла и другимъ преподавателямъ СПБ. Учебн. Заведеній въ цѣляхъ привлеченія возможно большаго числа къ подготовленію матеріала для 2-го Всероссійск. Съѣзда Преподават. Математ.).

Слѣдуетъ докладъ Б. Б. Піотровскаго. Докладчикъ останавливается 1) на связи „графическаго метода“ съ аналитической геометріей 2) на роли въ курсѣ той части его, которую можно отвести геометріи въ пространствѣ, 3) на вопросѣ о проекціяхъ, 4) на томъ, является ли необходимымъ пользованіе ученіемъ о направленныхъ отрѣзкахъ и другихъ направленныхъ величинахъ и полагаетъ, что исключеніе направленныхъ величинъ въ данномъ курсѣ мало чѣмъ оправдывается (уже изъ алгебры они ученику не чужды, въ физикѣ входятъ въ формѣ векторовъ и. т. п.) и, сверхъ того не даетъ ученику понятіи о сколько нибудь обобщающей предметъ постановкѣ дѣла. Учитель обыкновенно ограничивается самымъ легкимъ частнымъ случаемъ, а остальные—требующіе въ сущности примѣненія направленныхъ величинъ предоставляетъ усмотрѣнію ученика, тогда какъ это послѣднему обычно не подъ силу (взять хоть бы выводъ уравненія прямой по отрѣзкамъ на осяхъ , гдѣ не проводится обыкновенные изслѣдованіе относительно 2-й и 3-й четверти и. т. д.).

2) При выборѣ матеріала докладчикъ предлагаетъ всесторонне во многихъ формахъ изслѣдовать уравненіе прямой и прежде всего въ нормальной его формѣ (тутъ вступаетъ въ свои права пользованіе проекціями); можно опустить общее уравненіе кривой 2-го порядка и ограничиться частными случаями эллипса, гиперболы и параболы. Б. Б. Піотровскій детально излагаетъ, какъ распредѣлить время чтобы изучить нужную часть теоріи проекцій въ б—8 часовъ, отмѣчая значительно бблыную потерю времени, обусловливаемую тѣмъ, что учащіеся во многихъ мѣстахъ курса математики лишены

отчетливаго знанія элементовъ ученіи о проекціяхъ (теорема сложенія въ тригонометріи, различные вопросы физики и. т. п.).

3) Изъ вопросовъ геометріи пространства 3-хъ измѣреній главнымъ образомъ слѣдуетъ выяснить, что уравненіе содержащее х, у, z уже характеризуетъ образъ пространственный.

Въ преніяхъ приняли участіе: В. А. Крогіусъ, Б. А. Марковичъ, К. Б. Пеіонжкевичъ г. Цинзерлингъ, В. I. Шиффъ, С. И. Шохоръ-Троцкій.

По предложенію Предсѣдателя собраніе постановило признать крайне желательнымъ опытъ введенія теоріи проекцій въ курсъ математики средней школы и подѣлиться взаимно результатами опыта.

Донладъ Б. А. Марковича. „Комплексныя числа (вида а-\-Ы) въ средней школѣ“ сводится къ слѣдующимъ положеніямъ 1) надо устранить недочеты терминологіи и „величины мнимыя“ называть не иначе какъ комплексными числами. 2) Устранить изъ руководствъ рядъ безполезныхъ и сложныхъ примѣровъ примѣненія комплексныхъ чиселъ, такъ какъ тѣ же примѣры легче разрѣшаются безъ примѣненія сказанныхъ чиселъ. 3) Придать символу V—1 конкретный смыслъ, иллюстрируя этотъ символъ геометрической интерпретаціей, придающей ему характеръ множителя, поворачивающаго помножаемое число на уголъ равный — ; желательна геометрическая интерпретація чиселъ вида а -4- Ы. 4) Всего удобнѣе начинать на практикѣ съ основъ геометрическаго ученія о векторахъ. 5) Установить, что выраженія вида а + Ы суть числа особаго рода и выяснить ихъ связь съ другими числами, дробными и отрицательными.

Въ преніяхъ приняли участіе: В. А. Крогіусъ, А. Р. Кулишеръ, М. Г. Попруженко, С. И. Шохоръ-Троцкій. Высказанныя замѣчаніи относились къ выясненію законности и полезности примѣненія сказанной геометрической интерпретаціи въ средней школѣ. Въ свою очередь, этотъ докладъ вызвалъ новые доклады, посвященные этой же главѣ алгебры.

Перечень вопросовъ, разработка которыхъ признана желательной въ засѣданіяхъ отдѣла Математики Педагогическаго Музея военно-учебныхъ заведеній.

I. Вопросы общаго характера.

1) „Реформаторское“ движеніе въ преподаваніи математики, работы международной комиссіи по реформѣ преподаванія математики. Результаты опыта проведенія тѣхъ или иныхъ новыхъ началъ въ практикѣ преподаванія.

2) Бифуркація въ средней школѣ; спеціальные классы математики.

3) Математическая хрестоматія, какъ пособіе для средней школы; основныя требованія, которымъ подобное пособіе должно удовлетворять.

4) Историческій элементъ въ курсѣ математики средней школы.

5) Элементъ логики въ курсѣ математики средней школы.

6) Итоги работъ перваго всероссійскаго съѣзда преподавателей математики.

II. Алгебра.

1) Отрицательныя числа—различныя исходныя положенія въ построеніи теоріи отрицательныхъ чиселъ.

2) Ирраціональныя числа.

3) Комплексныя числа.

4) Дѣйствіи съ нулемъ.

5) Геометрическія иллюстраціи въ курсѣ алгебры.

6) Графики простѣйшихъ функцій въ курсѣ средней школы.

7) Понятіе о предѣлѣ перемѣннаго и его примѣненіе въ различныхъ отдѣлахъ курса математики средней школы.

8) Логическій элементъ въ курсѣ алгебры.

III. Геометрія.

1) Нуженъ ли отдѣльный пропедевтическій курсъ геометріи?

2) Сокращеніе того матеріала школьнаго курса геометріи, который представляетъ собою, приспособленное для школы, изложеніе началъ Евклида.

3) Обновленіе матеріала школьнаго курса геометріи.

4) Фюзіонизмъ (нераздѣльное изложеніе геометріи на плоскости и въ пространствѣ).

5) Элементы движенія въ курсѣ геометріи.

6) Вопросы, связанные съ измѣреніемъ геометрическихъ протяженій.

7) Функціональность въ геометріи.

8) Элементы начерт. геом.

9) Аксіомы въ курсѣ геометріи ср. школы.

IV. Тригонометрія.

1) Значеніе понятія о проекціи при построеніи курса тригонометріи.

2) Элементы тригонометріи въ курсѣ геометріи.

V. Аналитическая геометрія.

1) Должна ли имѣть мѣсто аналитическая геометрія въ средней школѣ, какъ отдѣльный предметъ.

2) Соотношеніе между курсомъ аналитической геометріи и изученіемъ графикъ простѣйшихъ функцій въ курсѣ алгебры.

3) Значеніе теоріи проекцій при изложеніи основныхъ вопросовъ курса аналитической геометріи.

4) Построеніе статьи о кривыхъ второго порядка въ курсѣ аналитич. геометріи средней школы.

VI. Анализъ безконечно-малыхъ.

Содержаніе курса и характеръ разработки матеріала.

VII. Ариѳметика.

1) Что раньше—десятичныя дроби или обыкновенныя?

2) Курсъ теоретической ариѳметики въ средней школѣ.

Членомъ отдѣла математики педагогическаго музея военно-учебн. заведеній можетъ быть каждый, преподающій математику въ среднемъ учебномъ заведеніи, какъ военно-учебнаго вѣдомства, такъ и всѣхъ другихъ вѣдомствъ.

Для поступленія въ члены отдѣла достаточно заявить о своемъ желаніи и сообщить свой адресъ, въ канцелярію Музея (Фонтанка, 10), или секретарю отдѣла, Б. Б. Піотровскому—Верейская ул. № 5, кв. 3.

Никакихъ денежныхъ взносовъ не требуется.

Уставъ Московскаго Общества изученія и распространенія физическихъ наукъ.

V. Собранія Общества.

§ 19. Собранія Общества бываютъ: а) годичныя; б) очередныя и в) чрезвычайныя.

Примѣчаніе 1. Собранія Общества по постановленію Правленія могутъ быть закрытыми и публичными.

Примѣчаніе 2. По утвержденіи устава Общества учредителями его созывается первое собраніе, на которомъ устанавливается организація Общества и производятся выборы должностныхъ лицъ.

§ 20. Годичное Собраніе созывается Правленіемъ разъ въ годъ не позднѣе 2 мѣсяцевъ отъ начала отчетнаго года повѣстками, разсыпаемыми всѣмъ членамъ Общества за недѣлю до дня Собранія.

§ 21. Предметы вѣдѣнія Годичнаго Собранія: а) утвержденіе годичнаго отчета и смѣты, представляемыхъ Правленіемъ, б) опредѣленіе размѣра членскаго взноса по § 14 устава, в) избраніе почетныхъ членовъ, г) избраніе должностныхъ лицъ, д) избраніе Ревизіонной комиссіи, е) измѣненіе устава Общества.

§ 22. Вопросы о выборѣ почетныхъ членовъ и объ измѣненіи устава рѣшаются большинствомъ не менѣе 2/з голосовъ присутствующихъ въ Собра-

ніи членовъ, всѣ остальные вопросы—простымъ большинствомъ. Выборы производятся закрытой баллотировкой.

§ 23. Очередныя Собранія созываются Правленіемъ въ сроки, заранѣе имъ опредѣляемые, и посвящаются осуществленію цѣлей Общества, выраженныхъ въ § 2 устава, а также выбору дѣйствительныхъ членовъ и комиссій при Обществѣ, учреждаемыхъ по § 45 устава.

§ 24. Чрезвычайныя Собранія созываются по усмотрѣнію Предсѣдателя Общества, по требованію, предъявленному Правленію Ревизіонной комиссіей, или по письменному мотивированному заявленію не менѣе 15 лицъ, пользующихся правами дѣйствительныхъ членовъ, и имѣютъ предметами вѣдѣнія: а) предложеніе объ измѣненіи устава или ликвидаціи Общества, б) выборы членовъ Правленія въ случаѣ, предусмотрѣнномъ § 31 устава, в) исключеніе членовъ по § 18 устава, г) разсмотрѣніе всѣхъ вопросовъ, требующихъ немедленнаго рѣшенія и выходящихъ изъ предѣловъ вѣдѣнія Правленія.

Примѣчаніе 1. Если Чрезвычайное Собраніе созывается по требованію Ревизіонной комиссіи или группы членовъ въ указанномъ выше количествѣ, оно должно быть созвано Правленіемъ не позже 2 недѣль со дня заявленія.

Примѣчаніе 2. Способъ оповѣщенія Членовъ и рѣшенія вопросовъ для Чрезвычайнаго Собранія такой же, какъ и для Годичнаго Собранія.

Примѣчаніе 3. Если на Чрезвычайное Собраніе вносится предложеніе объ исключеніи кого-либо изъ членовъ Общества, то фамилія предлагаемаго къ исключенію на повѣстку не ставится.

§ 25. Для дѣйствительности Годичнаго или Чрезвычайнаго Собранія требуется присутствіе на немъ не менѣе Vs числа членовъ, живущихъ въ Москвѣ.

§ 26. Если первое Собраніе не состоится за неприбытіемъ установленнаго числа членовъ, то не позже недѣли созывается для рѣшенія только тѣхъ же дѣлъ второе, дѣйствительное при всякомъ числѣ членовъ.

Примѣчанье. Если на такое вторичное Собраніе прибудетъ менѣе установленнаго предыдущимъ параграфомъ числа членовъ, то рѣшенію этого Собранія не могутъ подлежать вопросы объ исключеніи кого-либо изъ членовъ Общества и о закрытіи Общества.

§ 27. Способъ оповѣщенія объ Очередныхъ Собраніяхъ устанавливается Правленіемъ. Очередныя Собранія дѣйствительны при всякомъ числѣ членовъ. VI.

VI. Управленіе дѣлами Общества.

§ 28. Веденіе дѣлъ Общества возлагается на Правленіе, имѣющее мѣстопребываніе въ Москвѣ и состоящее изъ предсѣдателя, товарища предсѣдателя, секретаря, товарища секретаря, казначея, товарища казначея и 3-хъ членовъ.

Примѣчаніе. Число членовъ Правленія съ развитіемъ Общества можетъ быть увеличено по постановленію Годичнаго Собранія Общества.

§ 29. Члены Правленія избираются на 2 года изъ числа дѣйствительныхъ и почетныхъ членовъ на Годичномъ Собраніи Общества закрытой баллотировкой простымъ большинствомъ голосовъ.

§ 30. Въ 1-ый годъ выбываютъ по жребію 5 членовъ Правленія, въ послѣдующіе же года члены Правленія выбываютъ по времени ихъ избранія.

§ 31. Въ случаѣ выхода кого-либо изъ членовъ Правленія изъ состава Правленія до окончанія срока, на который онъ былъ избранъ, производятся на Чрезвычайномъ Собраніи выборы новаго члена на остающійся срокъ.

§ 32. На Правленіе возлагается: а) веденіе всѣхъ дѣлъ Общества, б) ближайшее наблюденіе за расходами Общества, в) пріемъ предложеній и заявленій, вносимыхъ членами Общества, г) разработка плана ближайшей дѣятельности Общества, вносимаго на Общія Собранія, д) составленіе годичнаго отчета и смѣты.

Примѣчаніе. Отчетный годъ считается съ перваго сентября.

§ 33. Засѣданія Правленія созываются Предсѣдателемъ и считаются состоявшимися при наличности 4 членовъ, считая въ томъ числѣ и Предсѣдателя.

§ 34. Дѣла въ Правленіи рѣшаются открытымъ голосованіемъ простымъ

большинствомъ голосовъ, при чемъ при равенствѣ голосовъ перевѣсъ даетъ голосъ Предсѣдателя.

Засѣданіямъ Правленія ведется журналъ, подписываемый всѣми присутствующими членами.

§ 35. Предсѣдатель Правленія состоитъ въ то же время и Предсѣдателемъ Общества и предсѣдательствуетъ на всѣхъ засѣданіяхъ Правленія и на всѣхъ Общихъ Собраніяхъ Общества, кромѣ тѣхъ частей послѣднихъ, когда разсматриваются отчеты Правленія и доклады Ревизіонной комиссіи. Для предсѣдательствованія въ этихъ случаяхъ Общимъ Собраніемъ избирается Предсѣдатель изъ числа присутствующихъ членовъ за исключеніемъ лицъ, входящихъ въ составъ Правленія или Ревизіонной комиссіи.

§ 36. Предсѣдатель Общества является представителемъ Общества ьо всѣхъ его внѣшнихъ сношеніяхъ.

§ 37. Товарищъ предсѣдателя въ отсутствіе послѣдняго исполняетъ всѣ его обязанности. Въ случаѣ невозможности для Товарища предсѣдателя вступить въ должность, его обязанности возлагаются Предсѣдателемъ на одного изъ членовъ Правленія.

§ 38. Секретарь ведетъ журналы засѣданій Правленія и Общества, завѣдуетъ всею письменной частью, хранитъ дѣла и печать Общества, составляетъ годовой отчетъ и скрѣпляетъ исходящія отъ Общества бумаги.

§ 39. Казначей принимаетъ денежныя поступленія, выдавая въ нихъ квитанціи за своею подписью, производитъ согласно постановленіямъ Правленія расходы, ведетъ отчетныя и приходо-расходныя книги и составляетъ годичный денежный отчетъ.

§ 40. Правленію предоставляется приглашать на свои засѣданія съ правомъ совѣщательнаго голоса какъ членовъ Общества, такъ и постороннихъ лицъ, участіе которыхъ при разрѣшеніи тѣхъ или другихъ вопросовъ имъ будетъ признано желательнымъ.

VII. Комиссіи учреждаемыя Обществомъ.

§ 41. Общество ежегодно избираетъ на Общемъ Собраніи Ревизіонную комиссію въ составѣ 3-хъ членовъ и 3-хъ кандидатовъ къ нимъ.

§ 42. Члены Ревизіонной комиссіи на 1-мъ своемъ засѣданіи, созываемомъ предсѣдателемъ Общества не позже мѣсяца со дня Годичнаго Собранія, избираютъ изъ своей среды на весь годъ Предсѣдателя.

§ 43. Члены Ревизіонной комиссіи не могутъ быть членами Правленія.

§ 44. Ревизіонная комиссія въ полномъ составѣ имѣетъ право во вся кое время провѣрять денежныя суммы, имущество, книги и документы Общества, контролировать правильность веденія счетоводства и дѣлопроизводства; она разсматриваетъ годовой отчетъ Правленія, представляемый въ комиссію не позже, какъ за одинъ мѣсяцъ до Годичнаго Собранія, и даетъ о немъ свое заключеніе, которое вмѣстѣ съ объясненіями Правленія докладывается Годичному Собранію одновременно съ обревизованнымъ отчетомъ.

§ 45. Для завѣдыванія учрежденіями, поименованными въ пп. в, г, д, е, ж, з. § 2 устава, Общество выбираетъ отдѣльныхъ лицъ или организуетъ комиссіи, составъ, полномочія и функціи которыхъ опредѣляются инструкціями, вырабатываемыми Правленіемъ и утверждаемыми Общимъ Собраніемъ Общества.

VIII. Закрытіе Общества.

§ 46. Настоящій уставъ во всякое время и въ любой своей части можетъ быть измѣненъ въ установленномъ закономъ порядкѣ и съ соблюденіемъ §§ 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27 настоящаго устава.

§ 47. Въ случаѣ закрытія Общества имущество его, по постановленію Общаго Собранія передается въ какое-либо просвѣтительное учрежденіе, для чего Общее Собраніе можетъ избрать Ликвидаціонную комиссію.

Адресъ Правленія Московскаго Общества изученія и распространенія физическихъ наукъ: Москва, Лобковскій пер., Реальное училище Н. Г. Бажанова. Телефонъ 2-09.

Отвѣтственный редакторъ I. И. Чистяковъ.

Печатня А. И. Снегиревой Москва. Тел. 22-21.

ИЗЪ РЕДАКЦІИ ЖУРНАЛА

„Математическое Образованіе“

можно выписывать портреты:

Анри Пуанкаре, фототипія

Лобачевскаго, Лагранжа,

размѣромъ..... 38 сант.

разм. самого портр. 211/,Х16 «

Цѣна съ пересылкой заказной бандеролью:

Открыта подписка на 1913-й годъ

на Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

„МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНІЕ“.

Журналъ выходитъ ежемѣсячно книжками отъ 2 до 3 печатныхъ листовъ за исключеніемъ мая, іюня, іюля и августа мѣсяцевъ.

Циркуляромъ Попечителя Московскаго Учебнаго Округа отъ 23 Марта 1912 года за № 10808 журналъ „Математическое Образованіе“ рекомендованъ для выписки въ ученическія и фундаментальныя библіотеки мужскихъ и женскихъ учебныхъ заведеній.

Содержаніе журнала 1) статьи по различнымъ отдѣламъ математики, оригинальныя и переводныя; 2) статьи по вопросамъ преподаванія математики и соприкасающихся наукъ; 3) очерки по исторіи математики, біографіи и портреты математиковъ; 4) библіографическій отдѣлъ; 5) вопросы и задачи; 6) математическая хроника; 7) Объявленія.

Цѣна 3 рубля въ годъ и 2! рубля на полгода съ доставкой и пересылкой.

Цѣна отдѣльнаго №. 50 к. съ перес. За перемѣну адреса 20 к.

ПОДПИСКА ПРИНИМАЕТСЯ ВЪ РЕДАКЦІИ:

Москва, Остоженка 7, кв. 88,

и въ книжныхъ магазинахъ К. И. Тихомирова (Кузнецкій Мостъ), Н. П. Карбасникова и Т-во М. О. Вольфъ (Моховая).

Журналъ за 1912 г. —2 р. съ перес.

Если объявл. печат. 4 раза уступка 15 °/0. За 8 разъ уступ. 25 °/0.

За разсылку при журналѣ отдѣльныхъ приложеній вѣсомъ не болѣе 1 л. съ каждой 1000 экз. 8 р. За каждый лишній лотъ съ 1000 экз. 4 р. _____

Книжные магазины пользуются 5% съ подписной цѣны.

Печатня А. И. Снегиревой Москва.