Математическое Образованіе.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка.

Годъ второй.

№ 1.

Январь 1913 г.

МОСКВА.

Ж. В. Понселе.

1788—1867.

ФОТ. П. ПАВЛОВА

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

„Математическое Образованіе“

Январь 1913 г. Годъ 2-й. № 1.

СОДЕРЖАНІЕ: В. Понселе—геніальный плѣнникъ 1812 г. (Съ порт.)—В. И.Лебедеъъ. По поводу статьи Э. Лейнѣка „О превращеніи треугольника въ треугольникъ, симметричный съ даннымъ“.—Н. Извольскій. Какъ распространялись въ Россіи арабскія цифры.— П. Барановъ. Нѣкоторыя свойства символа С”.—В. Богомоловъ. О сліяніи планиметріи со стереометріей.—В. М. Фесенко. Первые шаги курса геометріи.— Н. Извольскій. Объ одномъ способѣ умноженія цѣлыхъ чиселъ.— П. Казачкинъ. Задачи. Рѣшенія задачъ. Библіографическій отдѣлъ. Засѣданіе Организаціоннаго Комитета 2-го всероссійскаго съѣзда преподавателей математики. Уставъ Московскаго Общества распространенія физическихъ наукъ.

В. Понселе—геніальный плѣнникъ 1812 г.*)

В. И. Лебедевъ. Москва.

Въ 1812 г. съ 3-го по 6-ое ноября подъ г. Краснымъ, Смоленской губ.: произошелъ тотъ знаменитый въ исторіи четырехдневный бой, за который фельдмаршалъ Кутузовъ получилъ титулъ „князя Смоленскаго“, а Платовъ—графское достоинство.

Французы оставили въ рукахъ русскихъ 116 пушекъ, 26 тысячъ плѣнныхъ и огромный обозъ.

Среди плѣнныхъ находился поручикъ сапернаго батальона, по фамиліи Poncelet.

Въ битвѣ подъ Краснымъ Понселе былъ на волосокъ отъ смерти. Подъ нимъ была убита лошадь. Всѣ товарищи по батальону были или убиты, или тяжело ранены. Командиръ батальона полковникъ Рувье, видя храбрость молодого поручика Понселе, невольно далъ обѣщаніе представить его къ ордену Почетнаго Легіона. Полковникъ Рувье не могъ, однако, исполнить своего обѣщанія; онъ былъ убитъ черезъ какой-нибудь часъ.

Командованіе батальономъ перешло къ Понселе.

Когда маршалъ Ней, дождавшись ночи, двинулъ свой отрядъ вправо, и, переправившись по льду черезъ Днѣпръ, направился къ Оршѣ, поруч. Понселе не могъ исполнить приказанія Нея слѣдовать за нимъ. Былъ густой туманъ, и вслѣдствіе невѣрныхъ донесеній, отрядъ Понселе заблудился и былъ взятъ въ плѣнъ.

*) Докладъ, читанный 14 октября 1912 г. въ Педагогическомъ Институтѣ имени П. Г. Шелапутина на торжественномъ засѣданіи въ память Отечественной войны.

Событіе это, ничтожное само по себѣ, но оказавшее большое вліяніе на дальнѣйшую военную карьеру Понселе, въ высокой степени интересно по своимъ послѣдствіямъ.

* * *

Партія плѣнныхъ, въ которой находился несчастный поручикъ, была направлена въ Саратовъ:

Біографы Понселе Didion*) и Dupin**) рисуютъ ту обстановку, при которой пришлось ему совершить переходъ отъ г. Краснаго до Саратова въ слѣдующихъ краскахъ:

Пѣшкомъ, при 26° мороза, почти нагой, питаясь хлѣбомъ русскаго мужика, Понселе долженъ былъ пройти все разстояніе, которое отдѣляетъ г. Красный отъ Саратова. Больше 4-хъ мѣсяцевъ шли плѣнные. Не всѣ вынесли трудности перехода. Многіе умерли по дорогѣ. Понселе спасло крѣпкое тѣлосложеніе. Однако, по прибытіи въ Саратовъ онъ тяжко заболѣлъ.

Выздоровленіе шло медленно. Живя по 4 человѣка въ жалкихъ комнатушкахъ, офицеры подвергались не только физическому, но и нравственному страданію. На каждомъ шагу оскорблялись ихъ патріотическія чувства, ихъ любовь къ императору.

Бѣдный Саратовскій плѣнникъ оправился только въ апрѣлѣ, когда потеплѣло.

Попавъ въ плѣнъ, Понселе лишился всего. Блестящій мундиръ офицера смѣнили жалкіе лохмотья плѣнника. Русскаго языка Понселе абсолютно не зналъ. Перекидываться словами саратовскій плѣнникъ могъ только со своими товарищами по несчастью. Скоро и они его покинули. Дѣло въ томъ, что многіе русскіе помѣщики предлагали плѣннымъ офицерамъ стать воспитателями ихъ дѣтей. Конечно многіе съ радостью принимали такое предложеніе.

„Если бы, говоритъ Didion***), Понселе имѣлъ характеръ менѣе гордый и менѣе независимый, онъ тоже могъ бы принять такое предложеніе, но Понселе не хотѣлъ итти на компромиссъ со своими патріотическими чувствами“.

Понселе остался совершенно одинъ. По необходимости онъ ушелъ весь въ себя.

*) Didion. Notice sur la vie et les ouvrages du Gen. Poncelet. Стр. 19.

**) Rebière. La vie des savants modernes. Стр. 148.

***) Didion. ibid. Стр. 21.

* * *

Понселе родился въ 1788-мъ году въ городѣ Метцѣ. Отецъ его—адвокатъ, въ силу какихъ-то обстоятельствъ воспитывалъ сына въ чужой семьѣ въ Сенъ-Авольдъ. Уже ребенкомъ Понселе проявлялъ большую самодѣятельность. Учился сначала онъ въ Лицеѣ г. Метца, а затѣмъ по конкурсу былъ принятъ въ Политехническую школу. Здѣсь Понселе обращалъ на себя вниманіе профессоровъ, но почему то не посвятилъ себя научной дѣятельности, а поступилъ въ Инженерное Военное Училище. Его онъ окончилъ, когда ему было 23 года, въ 1811 году.

Постоянныя войны, которыя вела тогда Франція, заставляли преподавателей училища вести занятія ускореннымъ темпомъ.

Молодые инженеры—офицеры не имѣли времени подъ руководствомъ своихъ учителей приложить свои знанія на практикѣ, такъ какъ по окончаніи весь выпускъ немедленно назначался на театръ военныхъ дѣйствій.

То же самое, было и съ Понселе. Сначала онъ былъ посланъ на островъ Вальхеренъ, а 17 іюня 1812 года ему былъ врученъ приказъ присоединиться къ арміи, выступающей въ походъ противъ Россіи.

Въ іюлѣ, августѣ и сентябрѣ 1812 г. мы видимъ Понселе участвующимъ съ одной стороны въ постройкѣ мостовъ черезъ Нѣманъ, Зап. Двину... на пути арміи Наполеона, съ другой—въ устройствѣ цѣлаго ряда укрѣпленій на протяженіи отъ Минска до Смоленска.

Будучи зачисленъ въ отрадъ маршала Нея при отступленіи арміи Наполеона, Понселе и оказался такимъ образомъ участникомъ въ битвѣ подъ г. Краснымъ. Дальнѣйшая судьба Понселе намъ извѣстна. Понселе попалъ въ плѣнъ, былъ приведенъ въ Саратовъ, болѣлъ и теперь покинутый друзьями остался одинъ.

* * *

Одинъ, безъ друзей, которые могли бы его утѣшить, безъ книгъ, которыя могли бы его развлечь, началъ Понселе припоминать то, что когда-то училъ по математикѣ въ Политехнической школѣ. Три года прошло съ тѣхъ поръ, какъ онъ ее покинулъ. Три года достаточно для того, чтобы забыть многое.

Разсказывая впослѣдствіи о своемъ пребываніи въ плѣну въ Саратовѣ, Понселе отмѣчаетъ, что творенія Эйлера, Бернулли, Лагранжа, Лежандра, Лапласа, даже Монжа, его учителя, почти совершенно изгладились изъ памяти.

Конечно, сохранились общеизвѣстныя элементарныя теоремы математики и ихъ несложныя приложенія. Но методы, способы доказательствъ, обобщенія, совершенно изгладились изъ памяти. Нужны были книги для занятій по математикѣ, по меньшей мѣрѣ—бумага и чернила.

Повидимому, та обстановка, въ которой находился Понселе, должна была бы заставить его отказаться отъ какихъ-либо занятій по математикѣ, не говоря уже о занятіяхъ научныхъ.

Но не таковъ былъ Понселе.

Несмотря на скудность средствъ, полагавшихся плѣнному офицеру, Понселе скоро удалось раздобыть грубой бумаги. Чернила, для большей экономіи, онъ приготовилъ самъ.

Отсутствіе учебниковъ не было препятствіемъ для занятій.

Понселе вновь возсоздалъ алгебру, геометрію, тригонометрію.

Просматривая записи Понселе, можно заключить, что именно отсутствіе учебниковъ было причиной открытія тѣхъ идей и тѣхъ методовъ, которые были изложены впослѣдствіи въ главномъ трудѣ Понселе: „Traité des propriétés projectives des figures“.

Мы имѣемъ такимъ образомъ единственный примѣръ въ исторіи не только математики, но и науки вообще.

Плѣнникъ, въ удивительной обстановкѣ, дѣлаетъ открытія, которыя затѣмъ цѣлое столѣтіе питаютъ математическую мысль. Безъ преувеличенія можно сказать, что война 1812 года оказалась благодѣтельной для математики!

Съ сожалѣніемъ приходится констатировать, что дневникъ, который велъ Понселе, не изданъ,—онъ былъ бы хорошимъ матеріаломъ для психологіи открытій, а также добавленіемъ къ тѣмъ научнымъ запискамъ Понселе, которыя были напечатаны только въ 1864 году подъ заглавіемъ: „Applications d’ Analyse et de Géométrie“ 1864—1869 (2 тома). Примѣчаніе къ одной изъ главъ этого сочиненія показываетъ намъ, что многія тетради Понселе не были напечатаны только потому, что были имъ отданы товарищамъ по несчастью для пользованія въ качествѣ руководства при обученіи молодыхъ саратовскихъ помѣщиковъ.

Интересно также отмѣтить, что одна изъ главъ „Applications“ представляетъ изъ себя резюме всѣхъ предшествующихъ тетрадей и является первой редакціей уже упомянутаго выше труда Понселе: „Traité des proporiétés projectives des figures“.

Это резюме саратовскій плѣнникъ намѣревался представить въ Петербургскую Академію Наукъ и этимъ нѣсколько облегчить свое существованіе.

Понселе, быть можетъ, тогда съ тріумфомъ покинулъ бы Саратовъ, но миръ 1814 года помѣшалъ этому. И тетради съ математическими изслѣдованіями были увезены имъ во Францію.

* * *

Я не буду останавливаться на дальнѣйшей дѣятельности Понселе, какъ профессора и какъ ученаго. Свыше 50 лѣтъ продолжалась эта дѣятельность. Понселе умеръ въ 1867 году. За это время Понселе помѣстилъ множество статей въ „Annales Mathématiquesu по математикѣ; имъ былъ написанъ также курсъ по прикладной механикѣ, классическій по своей простотѣ и ясности*).

Въ 1834 г. Понселе былъ избранъ членомъ Парижской Академіи Наукъ.

Тѣ идеи, которыя зародились въ головѣ саратовскаго плѣнника еще въ 1813 году, окончательно вылились только въ 1822 г. въ главномъ, уже упомянутомъ выше трудѣ Понселе:

„Traité des propriétés projectives des figures“.

Идеи эти просты и понятны для всѣхъ. Главной цѣлью этого сочиненія является установленіе связи между двумя фигурами, находящимися въ перспективномъ расположеніи, что позволяетъ изученіе свойствъ многихъ фигуръ свести къ разсмотрѣнію фигуръ, болѣе простыхъ; напр. многія свойства кривыхъ 2-го порядка (эллипса, гиперболы, параболы) вывести изъ свойствъ окружности.

Этимъ сочиненіемъ было положено основаніе всей проэктивной геометріи.

Современники, однако, не могли оцѣнить всей важности идей Понселе.

„Они нашли въ немъ не ученаго, говоритъ Bertrand**) а скорѣе учителя, который открылъ имъ истины, интересныя скорѣе для школы, чѣмъ для академіи. Они его признали и старались ободрить, не привѣтствуя и не угадывая въ немъ предтечу новой геометріи и основателя великой школы. Считая идеи Понселе интересными и даже имѣющими значеніе, Коши въ своемъ докладѣ, представленномъ Академіи, указывалъ на расплывчатость его теоріи и въ то же время основательность доказательствъ и, упрекая въ излишней смѣлости, онъ его въ одно и то же время уничижалъ и возвеличивалъ. Методы Понселе были объявлены слишкомъ смѣ-

*) Полный списокъ трудовъ Понселе можно имѣть у Didion. Notice sur la vie et les ouvrages du gen. Poncelet.

**) Rebiêre. Ibid. Стр. 150.

лыми и находящимися подъ подозрѣніемъ. Его идеи, наиболѣе достойныя удивленія, были поставлены внѣ научно обоснованной геометріи“.

Исторія математики показываетъ намъ, однако, что идеи, зародившіяся въ головѣ саратовскаго плѣнника еще въ 1813 году, обратили на себя вниманіе такихъ математиковъ, какъ Гамильтонъ, Мёбіусъ, Сальмонъ и др. только въ 60-хъ годахъ.

Въ настоящее время значеніе Понселе въ исторіи математики вполнѣ выяснено.

Въ 1904 году на конгрессѣ въ Сенъ-Луи, французскій математикъ Gaston Darboux, дѣлая историческій очеркъ развитія геометріи за послѣднія 100 лѣтъ восклицаетъ:

„Въ Саратовѣ, въ плѣну зародилась новѣйшая геометрія“.

Снѣга Россіи, являясь могилой военной славы Наполеона, оказались колыбелью новой геометріи.

По поводу статьи Э. Лейнѣка „О превращеніи треугольника въ треугольникъ, симметричный съ даннымъ“.

Н. Извольскій. Москва.

Указанная статья, очень интересная по своему содержанію, напечатана въ № 8 „Матем. Образов.“ При ея чтеніи для меня выяснилась возможность получить тѣ же результаты инымъ, значительно болѣе краткимъ путемъ.

Пусть имѣемъ 2 симметричныхъ треугольника АВС и А'В'С' (чер. 1); „симметричныхъ“,—это значитъ, что всѣ элементы этихъ треугольниковъ попарно равны (AB = А'В', ВС = В'С, С А = C'A'), но они не могутъ быть совмѣщены другъ съ другомъ безъ переварачиванія одного треугольника другою стороною плоскости. Задача, рѣшенная въ статьѣ г. Лейнѣка, состоитъ въ томъ, чтобы изыскать условія, которымъ долженъ удовлетворятъ А АВС, чтобы его можно было однимъ прямолинейнымъ разрѣзомъ превратить въ А А' В'С, не переварачивая ни одной части площади А АВС, а лишь передвигая ихъ по плоскости.

Чер. 1.

Если эта задача имѣетъ рѣшеніе, то площадь каждаго изъ треугольниковъ АВС и А'В'С' можетъ быть разрѣзана прямою линіею на 2 части, и мы можемъ наложить (безъ переворачиванія) ЛА'В'С' на А АВС такъ, чтобы одна изъ частей площади А АВ’О совмѣстилась съ соотвѣтствующею частью площади А АВС, а другая часть площади А А'В'С' была бы такова, что ее лишь передвиженіемъ можно было бы совмѣстить съ другою частью площади А АВС. Такое наложеніе возможно выполнить лишь двумя способами (чер. 2); иные способы наложенія (одинъ изъ нихъ данъ на чер. 3) не позволять вовсе говорить о конгруэнтности несовмѣщенныхъ частей (на чер. 3 такія части суть площадь ABDC и площадь 4-угольника A'B'D'A).

Разсмотримъ сначала расположеніе I чертежа 2. Здѣсь для возможности рѣшенія задачи надо, чтобы /SADC могъ быть только перемѣщеніемъ, безъ переварачиванія, совмѣщаемъ съ А А DB, а это возможно лишь тогда, когда А ADC равнобедренный. Здѣсь возможны три случая:

1) AD = DC. Ясно, что DC=DB\ поэтому AD = В В = DC, т. е. А АВС прямоугольный (/__ C — d) и разрѣзъ CD совпадаетъ съ медіаною этого треугольника.

2) DC = АС. Тогда l_ADC=2$ (/_ Б треугольника АВС называемъ черезъ ji) и /_ A — !__ADC—2% а слѣд. I АС В = л— — 23, т. е. въ этомъ случаѣ углы твеугольника АВС выражаются формулами: ;J;2;i и л— 3;5. (Способъ разрѣза ясенъ: DC=AC).

Чер. 2.

Чер. 3.

3) AD = AC. Тогда l_ADC = 2$ и/ ACD — l_ADC =2$, а слѣд. i_C=3$ и l_A = л— (ß —f— 3ß) = — 4j3, т. e. въ этомъ случаѣ углы А АВС выражаются формулами $,3$ и л— 4^; способъ разрѣза ясенъ (AD — АС).

Въ 1-мъ случаѣ разрѣзъ идетъ по медіанѣ, идущей къ гипотенузѣ, во 2-мъ случаѣ разрѣзъ идетъ изъ вершины того угла, который выражается формулою л — 3ß, а въ третьемъ случаѣ изъ вершины угла, выражающагося формулою 3/9.

Обращаемся теперь къ расположенію II чертежа 2-го. Здѣсь AADC' долженъ, для возможности рѣшенія задачи, быть совмѣщаемымъ безъ переварачиванія съ А A'D С, а для этого необходимо, чтобы А А'DC былъ равнобедренный. Опять возможны три случая:

1) DA'— DC. Такъ какъ DA = DA' и BD есть биссектрисса угла В, то заключаемъ, что здѣсь AD—DC, а слѣд. BD есть также медіана А АВС, т. е. А АВС равнобедренный; этотъ случай долженъ быть исключенъ, ибо равнобедренный треугольникъ совмѣщается съ симметричнымъ ему безъ разрѣзовъ.

2) DÄ= А'С. Назовемъ /_ С черезъ /; тогда І__ А — /_ DA'В — = 2у (ибо здѣсь l_D = !__C) и І_ В = л — \_А — /_ С-^л — 3/, т. е. въ этомъ случаѣ углы треугольника А ВС выражаются формулами у, 2у и л — 3/. Способъ разрѣза DA' ясенъ: точка D есть конецъ биссектриссы BD, а точка А' получается построеніемъ В А'— В А. Выше мы имѣли другое рѣшеніе для этого же случая.

3) DC = С А'. Называя І_В черезъ ß, имѣемъ /_ С = /__(?= у, l_DA'C = ß-\-y и !_А — l__ DA' В = І__С + l_CDA'= І_С + -J- l_DA' С = у ß -L-у = ß -Аг2у, т. е. здѣсь углы треугольника выражаются формулами ß ,у и ß-\-2y, причемъ ß-\-y-\-ß-\-2y = л или 2ß + Зу = л. Способъ разрѣза DÄ ясенъ: точка D есть конецъ биссектриссы BD и точка Ä получается построеніемъ СА'= CD.

Эти случаи и исчерпываютъ возможность рѣшенія задачи.

Какъ распространялись въ Россіи арабскія цифры.

(Историческая замѣтка).

П. Барановъ. Москва.

На страницахъ этого журнала мы въ свое время говорили о первой русской печатной математической книгѣ „Считаніе удобное“, вышедшей въ Москвѣ въ 1682 г.*). Эта книга, представляю-

*) См. „Математическое Образованіе“ за 1912 г. № 1, статью: „Первая русская печатная математическая книга“.

щая собою Пиѳагорову таблицу умноженія, распространенную до случая умноженія 100 на 100, была напечатана, какъ извѣстно, церковно-славянскими цифрами.

То обстоятельство, что въ счетной таблицѣ, предназначенной служить пособіемъ при простѣйшихъ житейскихъ расчетахъ, мы видимъ церковно-славянскія цифры, показываетъ намъ, что въ Россіи въ концѣ 17-го столѣтія арабскія цифры еще не успѣли получить достаточнаго распространенія среди лицъ, обладающихъ элементарной грамотностью.

Дѣйствительно, если мы обратимся къ стариннымъ русскимъ печатнымъ книгамъ, которыя главнымъ образомъ и могли знакомить грамотныхъ людей съ арабскими цифрами, то увидимъ, что эти цифры проникали въ книги робко и медленно.

Такъ, вначалѣ арабскія цифры употребляются въ печатныхъ книгахъ только изрѣдка для нумераціи страницъ и помѣтки гравюръ.

Первой книгой съ такой нумераціей страницъ, выпущенной русской типографіей, была Псалтирь, отпечатанная въ 1638 году въ мѣстечкѣ Евье (близъ г. Вильны), въ типографіи Виленскаго братства св. Духа.

Послѣ этого начинаютъ пользоваться арабскими цифрами Кіевская и Львовская типографіи, отмѣчая ими года, въ которые были вырѣзаны нѣкоторыя гравюры. Наконецъ, съ 1647 года появляются арабскія цифры и въ книгахъ Московской типографіи, первымъ опытомъ которой въ этомъ направленіи была книга: „Ученіе и хитрость ратнаго строенія пѣхотныхъ людей“. Въ этой книгѣ многіе чертежи помѣчены арабскими цифрами; тѣ же цифры встрѣчаются и въ текстѣ при ссылкахъ на чертежи. За нею послѣдовали и нѣкоторыя другія*).

Какъ орудіе вычисленія арабскія цифры появляются въ русской печатной книгѣ впервые почти уже на рубежѣ 17-го и 18-го столѣтій вмѣстѣ съ первой печатной русской ариѳметикой. Эта ариѳметика, имѣвшая заглавіе: „Краткое и полезное руковеденіе во аритметыку, или во обученіе и познаніе всякаго счоту, въ сочтеніи всякихъ вещей“ была составлена Ильей Копіевскимъ и

*) Болѣе подробныя свѣдѣнія о славяно-русскихъ печатныхъ книгахъ 17-го столѣтія съ арабскими цифрами см.: В. В. Бобынинъ. „Очерки исторіи развитія физико-математическихъ знаній въ Россіи“. Выпускъ I, стр. 44. См. также: П. Пекарскій. „Наука и литература въ Россіи при Петрѣ Великомъ“, т. I, стр. 268.

отпечатана въ Амстердамской типографіи Яна Тессинга въ 1699 году*).

Ариѳметика Копіевскаго, составленная неудачно, не могла удовлетворить несомнѣнно существовавшей въ то время въ Россіи потребности въ печатномъ руководствѣ по ариѳметикѣ и не получила большого распространенія. Поэтому ей не было суждено стать проводникомъ ариѳметическихъ знаній, а вмѣстѣ съ этимъ и арабскихъ цифръ, въ широкое русское грамотное общество: эту роль выполнила отпечатанная въ Москвѣ въ 1703 году „Аріѳметіка, сирѣчь наука числителная“ составленная Леонтіемъ Магницкимъ „ради обученія мудролюбивыхъ россійскихъ отроковъ, и всякаго чина и возраста людей“. Ариѳметика Магницкаго, представлявшая собою серьезный и цѣнный для своего времени трудъ, широко распространилась, прослуживъ главнымъ учебнымъ математическимъ руководствомъ болѣе полустолѣтія.

Такъ обстояло дѣло съ распространеніемъ арабскихъ цифръ черезъ печатныя книги. Если же мы обратимся къ дошедшимъ

Рис. 1. Страница математическаго сборника второй половины 17-го столѣтія

(2/3 натур. величины).

*) Типографія была заведена амстердамскимъ негоціантомъ Яномъ Тессингомъ по желанію Петра I для печатанія для Россіи полезныхъ книгъ различнаго содержанія, кромѣ только книгъ церковныхъ.

до насъ стариннымъ рукописнымъ книгамъ, которыя не могли, конечно, имѣть такого широкаго распространенія, какъ печатныя, то увидимъ, что задолго до появленія печатной ариѳметики, въ Россіи уже пользовались арабскими цифрами какъ орудіемъ вычисленія, но пользовались, разумѣется, только тѣ немногіе избранные, которымъ удавалось получить начатки просвѣщенія.

Въ сказанномъ убѣждаютъ насъ дошедшія до насъ рукописи математическаго содержанія, относящіяся къ 17-му вѣку. Въ большинствѣ этихъ рукописей мы встрѣчаемъ, помимо прочаго, цѣлый курсъ ариѳметики, состоящій въ изложеніи множества правилъ, сопровождаемыхъ значительнымъ количествомъ примѣрныхъ задачъ съ рѣшеніями. Эти курсы ариѳметики представляютъ собою болѣе или менѣе близкіе списки одного и того же оригинала, происхожденіе котораго относится, какъ полагаютъ, къ 16-му столѣтію*).

Рис. 2 Страница математическаго сборника конца 17-го столѣтія. (2/3 натур. величины).

На рис. 1 дано фотоцинкографическое воспроизведеніе страницы одного изъ подобныхъ списковъ, относящагося ко второй половинѣ 17-го столѣтія. На этой страницѣ мы имѣемъ текстъ и рѣшеніе задачи изъ отдѣла „Статья дѣловая“ (пропорціональное

*) О математическихъ рукописяхъ 17-го столѣтія см. изслѣдованіе В. В. Бобынина „Очерки исторіи развитія физико-математическихъ знаній въ Россіи“. Вып. I и II.

дѣленіе). Мы видимъ, что здѣсь рядомъ съ цифрами арабскими параллельно идетъ, какъ бы для поясненія, обозначеніе чиселъ и цифрами церковно-славянскими. Только самое вычисленіе ведется на однихъ арабскихъ цифрахъ. Такой порядокъ изображенія чиселъ, проведенный во всей ариѳметической части данной рукописи, отчасти свидѣтельствуетъ о томъ, что она представляетъ собого списокъ съ одной изъ раннихъ редакцій рукописной ариѳметики.

На рисункѣ 2 мы имѣемъ снимокъ со страницы ариѳметической части математическаго сборника самаго конца 17-го вѣка, болѣе поздней редакціи, сильно отличающейся отъ редакціи предыдущей рукописи, но все-таки имѣющей несомнѣнную связь съ упомянутымъ выше оригиналомъ рукописной ариѳметики. На взятой нами страницѣ мы видимъ рѣшеніе 4-хъ задачъ изъ отдѣла „Субстракціо или вычитаніе“. Здѣсь (и въ остальныхъ задачахъ сборника) мы совсѣмъ не видимъ церковно-славянскихъ цифръ: къ этому времени арабскія цифры стали уже болѣе привычными.

Слѣдуетъ упомянуть еще о томъ, что въ актахъ дипломатическихъ сношеній Москвы съ Западомъ уже въ І-й половинѣ 17-го столѣтія употреблялись арабскія цифры.

Такимъ образомъ мы видимъ, что арабскія цифры начали постепенно распространяться въ Россіи, по крайней мѣрѣ, съ 17-го вѣка, или даже ранѣе, но общимъ достояніемъ грамотныхъ людей становятся только уже съ 18-го столѣтія.

Нѣкоторыя свойства символа Cmn.

В. Богомоловъ. Ст. Усть-Медвѣдицкая.

Обозначая символомъ Ст число сочетаній изъ т элементовъ по п и символомъ Nm число членовъ, получаемыхъ послѣ возвышенія въ п — ю степень полинома, содержащаго т членовъ, покажемъ, что между этими символами существуютъ соотношенія

(1)

(2)

гдѣ т и п обозначаютъ цѣлыя положительныя числа, а к = пу если п < т, и к = ш, если п^> т, и разсмотримъ вытекающія отсюда слѣдствія.

Замѣтимъ при этомъ, что здѣсь говорится о числѣ членовъ, которое получается послѣ приведенія подобныхъ членовъи условимся, что С°т = 1 при всякомъ цѣломъ значеніи т.

Одною изъ основныхъ формулъ въ теоріи сочетаній является слѣдующая

(3)

Примѣняя эту формулу послѣдовательно нѣсколько разъ, не трудно получить слѣдующія формулы

(4)

(5)

Пользуясь формулой (4) мы докажемъ соотношеніе (1), а формулой (5) — соотношеніе (2).

Справедливость соотношенія (1) для случаевъ, когда т = 1 и ш = 2 непосредственно вытекаетъ изъ равенствъ

На случаи, когда т = 3, т = 4 и т. д., это соотношеніе можно распространить по способу математической индукціи.

Допуская, что соотношеніе (1) имѣетъ мѣсто при какомъ угодно цѣломъ значеніи п для полинома

докажемъ, что оно имѣетъ мѣсто также для полинома

Изъ равенства

выводимъ, что

(6)

Отсюда въ силу сдѣланнаго нами допущенія и формулы (4) слѣдуетъ, что

И такъ соотношеніе (1) имѣетъ мѣсто при какихъ угодно цѣлыхъ и положительныхъ значеніяхъ т и п.

Это соотношеніе даетъ возможность переходить отъ символа къ символу С* и наоборотъ и такимъ образомъ обнаруживать различныя свойства ихъ.

Для примѣра разсмотримъ равенство

гдѣ X и У обозначаютъ полиномы

Если раскроемъ въ правой части этого равенства скобки по правиламъ бинона Ньютона, распространеннаго на многочлены, то увидимъ, что подобныхъ членовъ тамъ не окажется; слѣдовательно

Употребляя знакъ 2? напишемъ это сокращенно

(7)

Отсюда съ помощью соотношенія (1) находимъ, что

(8)

гдѣ к принимаетъ послѣдовательно всѣ цѣлыя значенія отъ 0 до п, а тх и т2 — цѣлыя положительныя числа.

Полагая здѣсь тх — I = т2 — 1 = т, получимъ

Полагая тл — 1 = т и т2 — 1 = 1, получимъ

(10)

Полученныя равенства по формулѣ

(11)

можно написать слѣдующимъ образомъ

(12)

(13)

Въ частномъ случаѣ, когда т1 — 1 = т — п и т2 = 1, равенство (8) обращается въ (4).

Разсуждая относительно к различныхъ полиномовъ подобно тому, какъ мы разсуждали относительно двухъ полиномовъ Хт и У^2 можно констатировать такого рода формулу

и одновременно съ этимъ

(15)

гдѣ каждая изъ буквъ пѵ п2, ... nk принимаетъ всѣ цѣлыя значенія отъ 0 до « при томъ условіи, что

а буквы шп ш2, . . . mk имѣютъ цѣлыя положительныя значенія одинаковыя для всѣхъ членовъ суммы 2, при чемъ

Приведемъ еще два примѣра. Формулы (11) и (3) посредствомъ замѣны въ нихъ символа С черезъ символъ N” и легкихъ преобразованій приводятъ насъ къ слѣдующимъ свойствамъ символа Nт

(17)

Перейдемъ теперь къ доказательству соотношенія (2). При возвышеніи полинома.

Хт = xt -f- х% -|- • • • -f- хт

въ n-ю степень получаются члены, содержащія одну или нѣсколько буквъ хх, х2, . . . хт, при чемъ всѣ члены будутъ имѣть первое измѣреніе относительно этихъ буквъ.

Число членовъ, содержащихъ только одну изъ этихъ буквъ, равно т или Ст или Un_lCm.

Члены, содержащія двѣ какія-либо буквы, напр., хх и х2, имѣютъ видъ а? . Число такихъ членовъ равно п — 1. Такое же число получается для всякаго другого сочетанія изъ ш элементовъ a?t, х2, . . . хт по два. Слѣдовательно число всѣхъ чле новъ, содержащихъ двѣ буквы равно (п — 1 )Ст или Сп_^Ст.

Число членовъ, содержащихъ три какія-либо буквы, напр. X,, х2 и xk опредѣляетъ слѣдующимъ образомъ. Разбивая эти члены на группы по степенямъ буквы xt, находимъ, что первую степень содержатъ п — 2 или члена, вторую степень хх содержатъ п — 3 или Сп_% члена и т. д., наконецъ, п — 2-ю степень xt содер жить одинъ или С1 членъ.

Суммируя по формулѣ (5), находимъ, что искомое число членовъ равно Сп_ Для всякаго другого сочетанія изъ т элементовъ хѵ х2, . . . хт по три получается такое же число. Слѣдовательно, число всѣхъ членовъ, содержащихъ три буквы, равно С . Ст.

Подобнымъ образомъ, разбивая на группы члены, содержащія четыре какія-либо буквы, напр. xt, х2, д3 и х4, находимъ, что первую степень хх содержатъ членовъ, вторую степень хх содержатъ Си_з членовъ и т. д., наконецъ, п — 3-ю степень хх содержитъ одинъ или С2 членъ. Но на основаніи формулы (5) имѣемъ.

Также точно выражается число членовъ, содержащихъ четыре изъ т элементовъ хІ9 х2 . . . хт въ другомъ какомъ-либо сочетаніи. Слѣдовательно число всѣхъ членовъ, содержащихъ четыре буквы равно С вСм%

И вообще, переходя отъ членовъ содержащихъ к буквъ къ членамъ, содержащимъ (/с-1-1) буквъ, убѣждаемся въ томъ, что если число первыхъ равно С 1л Ст то число вторыхъ равно

Примемъ еще во вниманіе, что наибольшее число различныхъ буквъ xt , х2, ... хт , входящихъ въ одинъ членъ, будетъ п , если п<^т и т, если п > т .

Такимъ образомъ мы приходимъ къ соотношенію (2). Сопоставляя между собой соотношенія (1) и (2), получаемъ слѣдующія формулы:

(18) С° & С2+... + Сп~1 Сп = (Г .

V/ я — I w I я — 1 я* I * п — \т я т яі — J

если п<[ш и.

(19)

если п^т.

Преобразуемъ формулу (18) слѣдующимъ образомъ. Увеличивая значеніе w на 1, имѣемъ

Если вычтемъ отсюда формулу (18), то, пользуясь формулой (3), получимъ

Предполагая, что увеличимъ здѣсь значеніе п на 1. Слѣдствіемъ этого служитъ формула

(20)

которая при т = п получаетъ видъ

(21)

Исходя изъ формулы (20) можно вывести еще двѣ интересныя формулы, по отношенію къ которымъ формула (20) является частнымъ случаемъ.

Увеличимъ съ этой цѣлью въ формулѣ (20) значеніе w на 1 и вычитаемъ изъ полученнаго равенства формулу (20). Въ результатѣ получается

Съ этимъ равенствомъ поступаемъ точно также. Получимъ

Повторяя эту операцію послѣдовательно к разъ, находимъ формулу

(22)

Подобно этому, уменьшая въ формулѣ (20) значеніе w на 1 и вычитая полученное равенство изъ формулы (20), получаемъ формулу (18), Поступая съ ней также, получимъ

Повтореніе этой операціи к разъ даетъ формулу

Предполагая, что n-f /с<[т, увеличимъ значеніе п на к. Отъ этого формула (28) приметъ болѣе изящный видъ

(24)

Путемъ преобразованій формулы (19), въ которой можно увеличивать значеніе п и уменьшать значеніе т, получаются формулы, равносильныя формуламъ (20), (22) и (24). Это обстоятельство указываетъ на то, что формулы (18) и (19), несмотря на ихъ внѣшнее различіе, также равносильны между собой, ибо они могутъ быть преобразованы одна въ другую.

О сліяніи планиметріи со стереометріей.

(Очеркъ развитія идеи фюзіонизма)*).

В. М. Фесенко. Харьковъ.

Мысль о сліяніи геометріи на плоскости и геометріи въ пространствѣ не нова: еще великій геометръ G. Monge въ своемъ классическомъ сочиненіи (1798 г.) „Traité de géométrie descriptive“ блестяще показалъ это, рѣшивъ задачу проведенія касательной плоскости къ тремъ даннымъ по величинѣ и положенію сферамъ. Здѣсь онъ указываетъ именно, какую тѣсную связь имѣетъ теорема d’ Alembert’a о центрахъ внѣшняго подобія трехъ круговъ на плоскости взятыхъ попарно съ предложеніемъ о проведеніи касательной плоскости къ тремъ шарамъ, если эти круги разсматривать какъ большіе круги данныхъ шаровъ, а касательныя къ нимъ, какъ образующія коническихъ поверхностей, имѣющихъ съ данными шарами попарно внѣшнее касаніе.**).

Эта задача можетъ служить однимъ изъ лучшихъ образцовъ сліянія плоской геометріи съ геометріей въ пространствѣ.

Другой примѣръ не менѣе интересный и важный представляетъ собою теорія коническихъ сѣченій, разсматриваемыхъ какъ сѣченія конуса плоскостью. Quetelet и Dandelin показали свойства фокусовъ коническихъ сѣченій, разсматривая эти фокусы, какъ точки касанія сѣкущей плоскости съ вписанными въ этотъ конусъ шарами. Шары эти такъ и получили названіе шаровъ Dandelin’a***). Наконецъ, еще можно указать на замѣчательно простое и изящное стереометрическое доказательство теоремы о гомологическихъ треугольникахъ, расположенныхъ въ одной и той же плоскости****).

Многіе геометры, между которыми первое мѣсто принадлежитъ Brianchon’y, Poncelet и von Staudt’y, слѣдуя методу Монжа, способствовали быстрому развитію проективной геометріи, въ которой сліяніе плоской геометріи со стереометріей имѣетъ самое широкое примѣненіе; элементарная же геометрія находилась въ полномъ забвеніи, отчасти отъ того, какъ я уже сказалъ, что ученые были увлечены этимъ быстрымъ развитіемъ высшей геометріи, отчасти же объясняется это рутиной, отъ которой даже и теперь трудно отрѣшиться. Въ Англіи напр. геометрія преподавалась, какъ извѣстно, по Эвклиду.

Въ 1825 году Gergonne первый поднялъ вопросъ о томъ, что обыкновенное дѣленіе геометріи на геометрію на плоскости и въ пространствѣ неестественно и дурно отзывается на умственномъ развитіи, но мысли Gergonn’a остались безъ всякихъ послѣдствій,

*) Докладъ, сдѣланный въ Харьковскомъ Математическомъ Обществѣ и предназначенный авторомъ для прочтенія на I всероссійскомъ съѣздѣ преподавателей математики, но не вошедшій въ окончательную программу съѣзда.

**) G. Monge. Darstellende Geometrie. Ostwalds Klassiker etc... Стр. 67, 68, 69 и 70.

M. Chasles. Géométrie supérieure. 1880 г. Стр. 579.

***) Holzmüller. Elemente der Stereometrie. Часть I стр. 331.

****) Тамъ же. Стр. 168.

и только черезъ 19 лѣтъ, а именно въ 1844 г. появилось въ свѣтъ сочиненіе А. Mahistre’a, озаглавленное такъ: „Les analogies de géométrie élémentaire, ou la géométrie dans l’espace ramenée a la géométrie plane“.

Въ томъ же 1844 году Bretschneider опубликовалъ свою работу подъ заглавіемъ „Lehrgebäude der niederen Geometrie für den Unterricht am Gymnasien“. Въ этой книгѣ, которая, какъ говоритъ извѣстный итальянскій геометръ G. Loria, можетъ быть еще и до сихъ поръ полезною, несмотря на то, что за послѣднія 50 лѣтъ геометрія сдѣлала большіе успѣхи, Bretschneider высказываетъ слѣдующія мысли:

1° Очень вредно молодой умъ ученика долго задерживать на изученіи плоской геометріи, такъ какъ отъ этого замедляется развитіе пространственнаго представленія, а отъ этого и развитіе вообще и 2° методъ обученія геометріи, основанный на отдѣленіи планиметріи отъ стереометріи, какъ показываетъ опытъ, не даетъ тѣхъ результатовъ какихъ можно достигнуть помощью метода сліянія. (Замѣчательно, что Bretschneider какъ-бы предчувствовалъ противниковъ своего метода, и приложилъ къ своей книгѣ порядокъ изложенія, которымъ могли пользоваться несогласные съ его методомъ).

Идеи Bretschneider’a подверглись той же участи, какой подверглись идеи Gergonne’a и Mahistre’a; только одного онъ имѣлъ послѣдователя въ лицѣ датскаго педагога А. Steen’a*), который написалъ учебникъ геометріи въ духѣ идей Bretschneider’a очень распространенный въ Даніи. Даже Baltzer, который высоко цѣнилъ всѣ труды Bretschneider’a, не обратилъ никакого вниманія на этотъ его трудъ. Нужно замѣтить, что Baltzer былъ однимъ изъ главныхъ въ Германіи сторонниковъ преподаванія геометріи по Эвклиду. У насъ въ Россіи сторонникомъ преподаванія геометріи по Эвклиду является профессоръ Кіевскаго университета Ващенко-Захарченко. Вторымъ выразителемъ идей Bretschneider’a нужно считать французскаго ученаго, проф. Дижонскаго университета Ch. Mérav’a, опубликовавшаго свой трудъ въ 1874 году подъ заглавіемъ: „Nouveaux éléments de géométrie“. Трудъ Méray’a имѣлъ не лучшую участь, чѣмъ трудъ Bretschneider’a, не только педагоги того времени отнеслись къ идеямъ Méray’a съ большимъ недовѣріемъ, но даже университетская администрація, по словамъ С. А. Laisant’a, пришла въ ярость**), и только черезъ 30 лѣтъ новый методъ былъ введенъ во многихъ начальныхъ школахъ и повсюду даетъ замѣчательные результаты; среднее же образованіе осталось до 1905 года закрытымъ для него.

Тѣ 30 лѣтъ, которые протекли со времени появленія въ свѣтъ труды Méray’a могутъ быть охарактеризованы стремленіемъ геометровъ разъяснить принципы геометріи и критически разобрать „Начала“ великаго Александрійскаго ученаго.

*) А. Steen. Oversigt over Hovedformerne i Rummet som lnlending til Geometrien. Kjobenhavn 1868.

**) C.-A. Laisant. Initiation mathématique Deuxième edition p. 160. 1907 r.

Цѣлый рядъ ученыхъ въ Италіи, ясно сознававшихъ неудовлетворительную постановку преподаванія геометріи въ среднихъ школахъ, на что еще въ 1867 году указали профессоръ Миланскаго университета L. Cremona и Неаполитанскаго—Battagllim состоя членами спеціальной комиссіи по вопросу о постановкѣ преподаванія геометріи въ Италіи, съ жаромъ принялись за изученіе новыхъ идей и распространеніе ихъ въ среднихъ школахъ, гдѣ преподаватели и ученики дремали надъ „элементами“ Эвклида. Показателемъ такого стремленія ученыхъ явился въ 1884 году трудъ по геометріи, въ которомъ строго и систематически проведена идея сліянія планиметріи со стереометріей, имѣвшая въ виду не только чисто педагогическія соображенія—оживленіе въ преподаваніи геометріи и достиженіе плодотворности ея изученія— но и чисто научныя: уменьшеніе числа постулатовъ геометріи, ихъ ясность, простота и строгость доказательства теоремъ и, наконецъ, выясненіе тѣсной связи между нѣкоторыми отдѣлами геометріи. Трудъ, о которомъ я сейчасъ упомянулъ, есть „элементы геометріи“ итальянскаго профессора R. De Paolis’a. Въ своемъ трудѣ De Paolis совмѣстно излагаетъ ученіе о линейныхъ и двугранныхъ углахъ; о многоугольникахъ и многогранникахъ, о кругѣ и шарѣ и, гдѣ возможно и полезно, пользуется стереометрическими свойствами для доказательства свойствъ планиметрическихъ. Мотивы, которыми онъ руководствовался при проведеніи этого метода, онъ ясно излагаетъ въ предисловіи къ своей книгѣ: „Много аналогій существуетъ, говоритъ онъ, между нѣкоторыми плоскими фигурами и фигурами пространственными. Изучая ихъ отдѣльно однѣ отъ другихъ, мы отказываемся видѣть то, что даетъ полная аналогія между ними и должны возвращаться къ излишнимъ повтореніямъ. Кромѣ того, какимъ образомъ мы можемъ найти свойства линіи или поверхности, не пользуясь геометрическими элементами расположенными внѣ этой линіи или поверхности? Мы ограничиваемъ такимъ образомъ свои силы и добровольно отказываемся отъ научнаго матеріала, помощью котораго можно упрощать построенія и доказательства. Какъ въ самомъ дѣлѣ, данный отрѣзокъ прямой раздѣлить пополамъ не выходя изъ предѣловъ самого отрѣзка? Пользуясь геометрическими элементами, расположенными въ той же плоскости, мы легко можемъ выполнить построеніе необходимое для рѣшенія данной задачи. Какъ построить равнобедренный треугольникъ, у котораго два угла, лежащіе противъ равныхъ сторонъ, вдвое больше третьяго, не прибѣгая, ни къ теоріи равновеликости фигуръ, ни къ пропорціямъ? Между тѣмъ эта задача оказывается очень легкою, если станемъ пользоваться геометрическими элементами, расположенными внѣ той плоскости, въ которой лежитъ треугольникъ. Я могъ бы привести еще больше примѣровъ, указывающихъ, какъ можно упрощать доказательства и построенія, изучая плоскія и въ то же время пространственныя фигуры. По моему мнѣнію—грубая ошибка отдѣлять планиметрію отъ стереометріи, если не находится еще достаточно много примѣровъ такого рода въ элементарной геометріи. Мнѣ могутъ возразить,

что начинающему изучать геометрію несравненно легче постигнуть линейный уголъ, чѣмъ двугранный, треугольникъ — чѣмъ трехгранный уголъ, но это справедливо только для тѣхъ дѣтей, которыхъ мы съ самаго начала изученія геометріи задерживаемъ надъ вычерчиваніемъ плоскихъ фигуръ; для тѣхъ же, кто занимается вычерчиваніемъ пространственныхъ фигуръ, это не представляетъ никакого затрудненія“*).

Трудъ De Paolis’a былъ встрѣченъ большинствомъ педагоговъ и профессоровъ уже не такъ, какъ труды его предшественниковъ. Послѣдователемъ его явился его же ученикъ G. Lazzeri; который, состоя профессоромъ морской академіи въ Ливорно, съ разрѣшенія директора, прочелъ курсъ геометріи въ 1887 году, придерживаясь метода своего учителя. Трудъ G. Lazzeri и его сотрудника А. Bassani вышелъ вторымъ изданіемъ въ 1898 году: онъ оказался болѣе приспособленнымъ къ средней школѣ, нежели трудъ De-Paolis’a, отличается сжатостью изложенія и скорѣе можетъ быть пособіемъ для учителей. Въ одномъ изъ отрывовъ о книгѣ G Lazzeri и А. Bassani между прочимъ говорится: „Методъ сліянія двухъ геометрій еще не такъ давно казался утопіей, теперь-же онъ подаетъ большія надежды не въ далекомъ будущемъ стать классическимъ методомъ преподаванія элементарной геометріи“.

Трудъ этотъ возбудилъ въ Италіи большой интересъ среди педагоговъ и профессоровъ. Недавно возникшее тогда общество педагоговъ среднихъ школъ „Mathesis“, поставившее своею цѣлью улучшеніе преподаванія въ среднихъ школахъ, занялось обсужденіемъ вопроса о полезности проведенія метода сліянія планиметріи со стереометріею въ средней школѣ. Одинъ изъ убѣжденныхъ сторонниковъ этого метода профессоръ Е. de Amicis въ своемъ докладѣ „Pro fusione“, помѣщенномъ въ Periodico di matematica 13 anno 1898 года стр. 49—72, горячо его отстаиваетъ.

По почину того же общества „Mathesis“ этотъ вопросъ обсуждался профессорами и преподавателями математики въ Sondrio (14 марта 1898 года), въ Milan’ѣ (8 апр. 1898 года); въ Bologne (15 апр. 1898 года), въ Lassari (7 апр. 1898 года); Recanoti (28 и 29 іюня 1898 года) и въ Turin’ѣ (21 и 22 сент. 1898 г.).

На всѣхъ засѣданіяхъ, исключая Миланскаго, единогласно было постановлено: предоставить преподавателю полную свободу въ выборѣ того или другого метода преподаванія геометріи.

Въ Milan’ѣ же всѣ профессора во главѣ съ профессоромъ Retali высказались противъ этого метода**).

Въ Германіи вопросъ о сліяніи двухъ геометрій также уже поднимаемся, судя по докладу Dr. Rhon’a, сдѣланному имъ на 44 съѣздѣ филологовъ въ Dresden’ѣ отъ 29 сентября по 2 октября 1897 года***).

*) De Paolis. Elementi di geometria. Prefazione Torino 1884.

**) L’enseignement mathématique 1-re année 1899 года стр. 204—215.

***) Zeitschrift für mathematischen und natursvissenschaftlichdn Unterricht 8 Heft 1897 года стр. 630.

Въ томъ же журналѣ: Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht за 1908 г. (Heft 7, 8 стр. 442—447) помѣщена статья профессора Schülke подъ заглавіемъ: „Какія цѣли нужно ставить при обученіи геометріи?“, въ которой онъ указываетъ на большой недостатокъ обученія геометріи, происходящій отъ раздѣленія планиметріи и стереометріи. Наконецъ, отмѣтимъ, что въ прошломъ 1911 году вышеупомянутый трудъ Lazzeri е Bassani вышелъ въ нѣмецкомъ переводѣ, сдѣланномъ извѣстнымъ педагогомъ Р. Treutlein’омъ, который, отмѣчая въ предисловіи значеніе этого сочиненія, высказываетъ надежду, что эта книга доставитъ въ Германіи новыхъ друзей идеѣ сліянія обѣихъ геометрій.

Что касается Америки, то какъ указываетъ D. Е. Smith въ своемъ докладѣ на ІV международномъ съѣздѣ математиковъ въ Римѣ*) тамъ никогда не замѣчалось такого сильнаго движенія къ реформамъ средняго образованія, какъ въ настоящее время. Оттуда постоянно посылаются молодые люди въ Германскіе университеты, американскіе преподаватели серьезно знакомятся съ Европейскими школами, критически изучаются программы всѣхъ странъ свѣта. Послѣдній годъ, какъ говоритъ онъ, студенты той школы, въ которой онъ состоитъ профессоромъ подробно знакомились и изучали методъ Méray’a во Франціи и дѣятельность итальянскихъ школъ.

Въ исторіи науки рѣдко новыя идеи находятъ большое число поборниковъ; въ большинствѣ случаевъ вокругъ провозвѣстниковъ этихъ идей группируется небольшое число учениковъ, которые проникаются новою идеей и становятся ея поборниками, и, если эта идея здоровая, если въ ея основѣ лежитъ истина, то они разрушаютъ возраженія и прокладываютъ путь новому ученію. То же самое, какъ мы можемъ видѣть изъ краткой исторіи интересующаго насъ вопроса, произошло и съ идеей сліянія планиметріи и стереометріи.

Идеи Gergonne’a, Mahistre’a, Bretschneider’a и Méray’a не только не имѣли поборниковъ, но даже „приводили въ ярость“ противниковъ по словамъ Laisant’a.

Съ появленіемъ же труда de Paolis’a число поборниковъ быстро стало возрастать повсюду и въ недалекомъ будущемъ, какъ говоритъ извѣстный итальянскій ученый и историкъ геометріи G. Loria, имя имъ будетъ легіонъ.

Источники:

1) G. Loria. La fusione della planimetria con la stereometria, Periodico 15 (1900).

2) De Paolis. Elementi di geometria Torino 1884.

3) G. Lazzeri e A. Bassani. Elementi di geometria. Livorno 1898. Seconda edizione.

4) Lazzeri und Bassani. Elemente der Geometrie (unter Versch-

*) L’enseignement mathématique X annè № 4, 1908 года.

melzung von ebener und räumlicher Geometrie). Übersetzt von P. Treutlein. Leipzig 1911.

5) M. Симонъ. Дидактика и методика математики въ средней школѣ. Переводъ Яшунскаго 1912 г. стр. 173 и слѣд.

6) Р. Treutlein. Der geometrische Anschaungsunterricht. 1911 г. стр. 208.

7) Проф. Д. Синцовъ. Вѣстникъ опытной физики и элемент. математики. Математика на выставкѣ въ Брюсселѣ. №№ 524—5.

Первые шаги курса геометріи.

Н. Извольскій. Москва.

Неудовлетворительность результатовъ, достигаемыхъ въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ по геометріи, повлекли за собою въ настоящее время стремленіе ввести въ начальныя школы, или въ младшіе классы среднихъ учебныхъ заведеній пропедевтическіе курсы геометріи, и на этой почвѣ стали появляться оригинальные или переводные учебники для такого начальнаго курса геометріи. Я уже имѣлъ случай высказываться по поводу этихъ учебниковъ на страницахъ „Математическаго Образованія“*). Относясь отрицательно къ образцамъ тѣхъ пропедевтическихъ курсовъ, которые даются упомянутыми учебниками, я въ то же время полагаю, что можно учить геометріи дѣтей даже съ самаго младшаго возраста, причемъ, въ зависимости отъ развитія учащихся, курсъ геометріи долженъ варьироваться. Въ настоящей статьѣ я разсмотрю два небольшихъ отдѣла изъ курса геометріи, которые по своему содержанію доступны даже и въ начальной школѣ (въ 4-ый годъ обученія), а второй изъ этихъ отдѣловъ является существенною частью всякаго курса геометріи и проходится во всѣхъ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ. Можетъ быть тѣ методическія указанія, какія здѣсь будутъ сдѣланы, окажутся не лишенными интереса.

I.

Равнобедренный треуг-къ и его изученіе.

Основное положеніе, которое должно быть положено, по моему мнѣнію, въ основу каждаго курса геометріи, таково:

Прежде всего надо научить осуществлять тѣ фигуры, какія подлежатъ изученію.

Осуществленіе фигуры, въ зависимости отъ развитія учащихся, должно быть понимаемо различно: въ курсѣ средней школы осуществленіе надо понимать преимущественно въ смыслѣ построенія циркулемъ и линейкою; въ курсѣ для дѣтей младшаго возраста (напр. для 3-го или 4-го года обученія въ начальной школѣ, или для младшихъ классовъ средней школы) осуществленіе

*) На стр. 223 и 223 № 5 Матем. Образ.

должно быть въ очень многихъ случаяхъ сводимо къ устройству модели и уже потомъ къ построенію при помощи этой модели (въ дальнѣйшемъ будутъ указаны примѣры).

Основные геометрическіе образы усваиваются, по моему плану, дѣтьми въ слѣдующемъ порядкѣ.

1. (Исходное положеніе). Мы умѣемъ строить прямую линію. Прямая можетъ быть продолжена безъ конца въ обѣ стороны.

2. Мы умѣемъ строить точки. Построивъ прямую и на ней сначала одну, а потомъ двѣ точки, ознакомимся съ геометрическими образами „лучъ“ и „прямолинейный отрѣзокъ“.

3. Сравненіе отрѣзковъ. Сложеніе и вычитаніе отрѣзковъ.

(Здѣсь въ зависимости отъ времени, которымъ располагаетъ преподаватель для курса геометріи, можно поставить дѣло двояко: а) ограничиться лишь моделями, причемъ моделью отрѣза служитъ тонкая деревянная палочка; b) проработа въ указанные въ этомъ пунктѣ вопросы на моделяхъ-палочкахъ, можно тѣ же задачи рѣшать построеніемъ на доскѣ, въ тетрадяхъ: для отложенія равныхъ отрѣзковъ можно пользоваться или бумажною лентою, на которой карандашемъ отмѣчаютъ концы отрѣзковъ, подлежащихъ переносу съ одного мѣста плоскости — доски на другое, или циркулемъ, который желательно ввести въ обходъ учащихся возможно ранѣе).

4. Мы умѣемъ строить уголъ (построить точку и два, исходящихъ изъ нея, луча).

5. Уголъ дѣлитъ плоскость на 2 части: одна лежитъ внутри угла, а другая—внѣ угла. Вырѣзываніе изъ бумаги модели угла, вмѣстѣ съ его внутреннею областью (вмѣстѣ съ частью плоскости, лежащей внутри угла).

6. Сравненіе угловъ; сложеніе и вычитаніе угловъ.

(Здѣсь также можно или ограничиться моделями, или выполнять предлагаемыя упражненія черченіемъ, причемъ построеніе угла равнаго данному должно выполняться при помощи модели, т. е. вырѣзаннаго изъ бумаги угла).

7) Выпрямленный уголъ. Изготовленіе модели выпрямленнаго угла изъ бумаги, перегибаніемъ любого куска бумаги.

Интересно отмѣтить слѣдующій фактъ. Для первоначальнаго ознакомленія съ выпрямленнымъ угломъ я поступалъ такъ: показывалъ уголъ изъ двухъ палочекъ, затѣмъ предлагалъ наблюдать, не увидятъ ли учащіеся чего-либо особеннаго, если я стану видоизмѣнять этотъ уголъ, вращая одну изъ палочекъ около вершины. Дѣти начальныхъ образцовыхъ школъ (3-го и 4-го отдѣленія), въ которыхъ мнѣ приходилось неоднократно заниматься на педагогическихъ лѣтнихъ курсахъ, давали, послѣ двухъ- или трехъ-кратнаго выполненія этого вращенія, правильный отвѣтъ: „видимъ; стороны угла составляютъ теперь прямую линію“. Я пробовалъ сдѣлать такой же опытъ съ болѣе взрослыми учащимися, съ тѣми, которые уже когда-либо учились геометріи по на-

шимъ традиціоннымъ учебникамъ, или ознакомились съ нѣкоторыми геометрическими понятіями на урокахъ черченія, рисованія. Здѣсь мнѣ обычно приходилось получать неправильный отвѣтъ: „видимъ; теперь сталъ прямой уголъ“. Конечно, я не могъ получить отъ дающихъ такой отвѣтъ никакихъ разъясненій какова же именно особенность того угла, который былъ ими названъ именемъ „прямой уголъ“.

8. Дѣленіе угла пополамъ (бумажная модель угла перегибается такъ, чтобы стороны угла совпали). Прямой уголъ; его модель получается перегибаніемъ пополамъ бумажной модели выпрямленнаго угла. Черченіе прямого угла при помощи модели, сдѣланной самими учащимися.

Большинство изъ тѣхъ упражненій, какія выше перечислены, съ пользою могутъ быть введены и въ курсъ геометріи средней школы; такъ полагаю, что обязательно должны быть введены въ начало курса геометріи—безразлично вѣдь, гдѣ это начало приходится въ начальной ли школѣ, въ младшихъ ли классахъ средней школы, въ 4-мъ ли классѣ мужской гимназіи или въ 5-мъ классѣ женской гимназіи—бумажныя модели угловъ и упражненія съ ними. Исключеніе представляетъ лишь послѣдній 8-ой пунктъ. Мнѣ представляется, что нѣтъ никакой надобности спѣшить со введеніемъ понятія о прямомъ углѣ, отложивъ его до того момента, когда онъ можетъ быть воспроизведенъ построеніемъ (напомню, что съ моей точки зрѣнія въ курсѣ средней школы осуществленіе фигуры должно главнымъ образомъ сводиться къ построенію циркулемъ и линейкою). Если, какъ это явствуетъ изъ вышеприведеннаго факта, самими учащимися будетъ сказано названіе „прямой уголъ“, то нѣтъ, конечно, нужды бояться этого, но и нѣтъ нужды вводить его въ дѣло, основываясь только на томъ, что учащіеся знаютъ это названіе и могутъ отличать углы, похожіе на прямые, отъ другихъ угловъ. Возможно поставить даже дѣло такъ: попросить построить (циркулемъ и линейкою) прямой уголъ тѣхъ учениковъ, которые упомянули это названіе, и, послѣ неудачныхъ ихъ попытокъ въ этомъ направленіи, указать, что дѣйствительно прямые углы являются существенною частью курса геометріи, но изученіе ихъ должно быть отложено до того момента, когда можно будетъ выяснить особенности этого угла и научиться строить такой уголъ, съ увѣренностью въ томъ, что построенъ именно уголъ обладающій этими особенностями. Въ курсѣ начальной школы осуществленіе должно, главнымъ образомъ, сводится къ моделированію и къ черченію при помощи моделей, а потому здѣсь пунктъ 8-ой вполнѣ умѣстенъ.

Итакъ учащіеся теперь могутъ изъ куска бумаги осуществить модель прямого угла (см. чертежъ 1).

Черт. 1.

Построимъ на бумагѣ, изъ которой свернута эта модель прямую AB, пересѣкающую стороны этого прямого угла; затѣмъ разрѣжемъ все ножницами по прямой AB и оставшуюся фигуру развернемъ вновь—при точкѣ О получится выпрямленный уголъ. Тогда получимъ модель равнобедреннаго треугольника АВС (черт. 2). Ясно: 1) АВ = АС, ибо эти два отрѣзка раньте совпадали, 2) /_ В = /_ С, ибо эти углы также раньте были совмѣщены, 3) ОАС= /_ О AB (О А есть прямая перегиба), 4) OB = ОС, ибо эти отрѣзки раньше были совмѣщены, 5) /_ АОВ = /_ ЯОб=прямому углу.

Отсюда мы выведемъ свойства равнобедреннаго треугольника: 1) углы при основаніи равны, 2) прямая, дѣлящая уголъ при вершинѣ равнобедреннаго треугольника дѣлитъ пополамъ основаніе его и составляетъ съ нимъ прямые углы (перпендикулярна къ основанію) Здѣсь же возможно, если впередъ обратить вниманіе на то, что въ полученномъ послѣ развертыванія треугольникѣ, углы В и С равны (этою цѣлью и слѣдуетъ тогда мотивировать разрѣзъ AB чертежа 1), выяснить, что въ треугольникѣ противъ равныхъ угловъ лежатъ и равныя стороны.

Полученными свойствами равнобедреннаго треугольника желательно воспользоваться, особенно въ народной школѣ, для землемѣрнаго дѣла. При помощи веревокъ можно осуществить такой треугольникъ на мѣстности, и тогда можно рѣшать задачи: на мѣстности построить перпендикуляръ къ данной прямой черезъ точку данную на этой прямой или внѣ ея.

II.

Методъ наложенія и два признака равенства треугольниковъ.

Въ самомъ началѣ курса геометріи доказываютъ наложеніемъ двѣ теоремы: 1) если двѣ стороны и уголъ между ними одного треугольника равны соотвѣтственно двумъ сторонамъ и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны, 2) если два угла и сторона между ними одного треугольника равны соотвѣтственно двумъ угламъ и сторонѣ между ними другого треугольника, то эти треугольники равны. Часто, какъ это показываетъ мой опытъ, встрѣчаются ученики и ученицы, которые не понимаютъ доказательствъ этихъ теоремъ. Такъ, напримѣръ, приходится слышать, что ученикъ, при пересказѣ этого доказательства, говоритъ: „сторона А'В' пойдетъ по сторонѣ AB вслѣдствіе равенства этихъ сторонъ“. Чтобы уменьшить число этихъ „непонимающихъ“ и чтобы лучше иллюстрировать методъ

Черт. 2.

наложенія, мнѣ представляется полезнымъ этотъ отдѣлъ курса геометріи вести въ слѣдующемъ порядкѣ.

Предполагаю, что учащіеся знакомы съ вырѣзываніемъ изъ бумаги моделей угловъ и могутъ для всякаго начерченнаго на доскѣ (или въ тетрадяхъ) угла вырѣзать соотвѣтствующую модель и при ея помощи построить уголъ, равный данному, въ иномъ мѣстѣ плоскости, а также уголъ большій или меньшій даннаго.

Строимъ 2 треугольника: А АВС и А DE F (чер. 3) такъ:

1) чтобы /_А= /_D, AB<^DF и AC^>DF

3) чтобы /_А= Z_D, AB DE и AC <^DF

2) чтобы AB = DE и AC<^DF (или AC>DF).

Во всѣхъ этихъ случаяхъ задается вопросъ, какъ расположится ADEF, если наложить его на А АВС, чтобы ихъ равные углы совпали. Необходимо требованіе нарисовать отъ руки (лучше цвѣтнымъ мѣломъ) новое расположеніе переносимаго треугольника. Послѣ этого, наконецъ, приходимъ къ упражненію: 4) Какъ расположится А DEF, если его наложить на АВС, если при этомъ А DEF будетъ построенъ такъ, чтобы /_ A=/_D, AB=DE и AC=DF. Такимъ образомъ, будетъ» найдено одна необходимая и достаточная для равенства треугольниковъ совокупность условій.

Далѣе имѣемъ аналогичный второй рядъ упражненій:

Для каждаго случая опять ставится требованіе нарисовать отъ руки (лучше цвѣтнымъ мѣломъ), какъ расположится А DE F, если его наложить на А АВС, чтобы равныя стороны AB и DE совпали. Этими упражненіями достаточно уясняется содержаніе и второй теоремы о равенствѣ треугольниковъ.

Полагаю, что такія упражненія необходимы не только въ средней школѣ, но и въ другихъ учебныхъ заведеніяхъ, гдѣ желательно пройти статью о равенствѣ треугольниковъ. Считаю еще необходимымъ замѣтить, что при рѣшеніи вышепоставленныхъ вопросовъ учащимися пользованіе моделями (вырѣзанные изъ бумаги площади треугольниковъ) врядъ ли желательно, и можетъ быть введено въ дѣло лишь въ случаѣ крайняго затрудненія: вѣдь цѣль этихъ упражненій состоитъ въ томъ, чтобы учащійся по соотношеніямъ между углами двухъ треугольниковъ и между ихъ сторонами сообразилъ, какъ здѣсь будетъ дѣло при наложеніи одного треугольника на другой. Поэтому надо отрицательно отнестись къ указаніямъ нѣкоторыхъ руководствъ начальнаго (пропедевтическаго) курса геометріи, предлагающимъ ученикамъ убѣдиться въ справедливости двухъ указанныхъ теоремъ именно наложеніемъ моделей двухъ треугольниковъ.

Въ заключеніе считаю необходимымъ высказать одно соображеніе по поводу вышеизложеннаго. Несомнѣнно, проработать

статью о равенствѣ треугольниковъ такъ, какъ это изложено выше потребуетъ значительно большаго времени, чѣмъ обычно примѣняемый пріемъ: преподаватель объясняетъ (иногда при помощи вопросовъ и отвѣтовъ) обѣ теоремы и задаетъ ихъ выучить къ слѣдующему разу. Несомнѣнно также, что многіе другіе отдѣлы курса геометріи потребуютъ разработки можетъ быть даже болѣе продолжительной, чѣмъ отдѣлъ о равенствѣ треугольниковъ. Но несомнѣнно также, что надо, если мы хотимъ достигнуть того, чтобы занятія геометріею оказывали развивающее дѣйствіе на большинство учащихся и доставляли бы имъ чувство удовлетворенія, а не сводились къ заучиванію заданныхъ теоремъ по учебнику, рѣшиться на то, чтобы затратить на многіе отдѣлы курса геометріи значительно больше времени, чѣмъ это дѣлается теперь. По этому, полагаю, мы должны всякій разъ, когда представится возможность, повторять: времени на изученіе геометріи отведено слишкомъ мало; если вамъ дороги интересы учащихся дѣтей, то дайте на геометрію больше, значительно больше, времени!

Объ одномъ способѣ умноженія цѣлыхъ чиселъ.

П. Казачкинъ. Москва.

Въ одномъ изъ американскихъ спеціальныхъ журналовъ*) недавно появилась замѣтка о слѣдующемъ оригинальномъ способѣ умноженія двухъ чиселъ: множитель послѣдовательно дѣлится на два, и цѣлыя частныя отъ этихъ дѣленій вмѣстѣ съ первоначальнымъ значеніемъ множителя составляютъ первый рядъ чиселъ; множимое послѣдовательно умножается на два и такимъ образомъ получается второй рядъ; члены обоихъ рядовъ подписываются одинъ подъ другимъ, затѣмъ берется сумма тѣхъ чиселъ второго ряда, которыя подписаны подъ нечетными числами перваго, что и составляетъ искомое произведеніе. Напримѣръ, составимъ произведеніе 27.83; примѣняя изложенный способъ, получимъ:

83 41 20 10 5 2 1.

27 54 108 216 432 864 1728

1728 + 432 + 54 + 27 = 2241.

И дѣйствительно, 27.83 = 2241.

Приписывая практику этого метода малограмотнымъ русскимъ крестьянамъ, авторъ замѣтки не дѣлаетъ ннкакой попытки обосновать его и ограничивается лишь замѣчаніемъ, что многочисленные опыты подтверждаютъ правильность такого способа умноженія.

*) „Nature“, № 2226: 1912.

Между тѣмъ теоретическое обоснованіе указаннаго пріема весьма просто и сводится къ вопросу объ умноженіи чиселъ, выраженныяхъ по различнымъ системамъ счисленія.

Пусть нужно умножить М на А, причемъ множитель А предварительно изображается не по той системѣ нумераціи, по которой выражено множимое М. Обозначивъ черезъ а основаніе этой новой системы счисленія, имѣемъ рядъ равенствъ:

полагая qn < а, получимъ еще

Послѣдовательными подстановками мы представимъ число А въ видѣ такой суммы:

А = г„ап-\-г„_, а”-1-|-ги_2 а”-2+ • • • - + г, а2 +я-f-r, (1),

вообще.

(1')

Правыя части равенствъ (1) или (1') и представляютъ изображеніе числа А по системѣ нумераціи съ основаніемъ а. Различныя значенія г* суть цифры этого новаго изображенія, а соотвѣтствующіе имъ множители ак — помѣстныя значенія ихъ.

Нѣкоторые изъ остатковъ rk., а вмѣстѣ съ ними и соотвѣтствующія произведенія rk а*, могутъ обращаться въ нуль, что будетъ имѣть мѣсто всякій разъ когда qk~\ есть кратное а, какъ то показываютъ равенства (I).

Теперь результатъ умноженія М на А представится въ слѣдующемъ видѣ:

(2)

вообще:

(2')

Пусть число М изображено по системѣ нумераціи съ основаніемъ Ъ. Если произвести дѣйствія, указанныя во второй части

равенства (2) или (2') по правиламъ, соотвѣтствующимъ этой системѣ, то въ результатѣ получится произведеніе МА, выраженное по системѣ счисленія съ основаніемъ Ь.

Примѣръ 1. Умножимъ 38 на 202, изобразивъ предварительно множимое по семиричной системѣ, а множителя по пятиричной.

Чтобы представить 202 по пятиричной системѣ, нужно произвести рядъ дѣленій, указанныхъ равенствами (I). Мы произведемъ ихъ такъ: послѣдовательныя частныя будемъ писать рядомъ, а остатки помѣщать надъ соотвѣтственными дѣлимыми

2 0 3 1

202 40 8 1 0 (3)

Слѣдовательно 202 = 1302(5) .

Подъ числами ряда (3) подписываемъ соотвѣтственныя произведенія (Mak ), т.-е. 38, 38.5, 38.52 и т. д., предварительно выполнивъ указанныя умноженія по правиламъ семиричной системы.

Составляемъ сумму 2J (.Мак) rk для всѣхъ значащихъ цифръ rk.

53(7). 1302(5) = (53.2)г7) + (2525.3)(7) + 16564(7) = 136(7) + 11211(7) +

16564(7) =31244(7).

Итакъ, 38. 202 = 31244(7) = 4 +4.7 +2.49+ 1.343+ 3.2401 = = 4 + 28 + 98 + 343 + 7203 = 7676.

Примѣръ 2. (а<+). Умножить 200.197, выразивъ множимое по шестиричной а множителя по девятиричной системѣ счисленія.

200 = 6.33 + 2 33 = 6. 5 + 3 о = 6. 0 —j— э\ 200 = 532(б)

8 3 2

197 21 2 0 197 = 238,9)

Замѣтивъ, что 9 = 13(6) и 8 = 12(6), составимъ произведенія Mak по шестиричной системѣ.

(532.13)(6) = 12200,6)

(12200.13)^6) = 203000(6)

8 3 2

197 21 2 0

532(6) 12200(б) 203000(6)

200.197 = 532(6) .238(9) = (532.12.)(6) + (12200.3)(6) + (203000.2),6) = 11224(6) 41000,6) + 410000(6) = 502224(6) = 4 + 2.6 + 2.36 + 2.216 + 5.7776 = 4 + 12 + 72 -f 432 + 38880 = 39400.

Примѣръ 3. (6 = 10,* а = 4). Умножить 45 на 39.

45.39 = 45.3 + 180.1 + 720.2 = 135 + 180 + 1440 = 1755.

Теперь не трудно видѣть, что „методъ малограмотныхъ“ есть не что иное, какъ разсмотрѣнный пріемъ умноженія при Ъ = 10 и а = 2. Числа второго ряда суть соотвѣтственныя значенія произведеній (Mak), всѣ значащіе rk суть единицы и помѣщаются надъ нечетными числами перваго ряда.

Задачи.

69. Представить произведеніе

въ видѣ суммы двухъ квадратовъ.

70. Опредѣлить х изъ уравненія

71. Доказать соотношенія:

a) ......Ід9$ • ^109

b) tyÄ10=ty23 . ty34..lgs9 .Z&10.

Н. Несторовичъ.

72. Даны три точки А, Б и С и прямая DC. Найти на этой прямой точку X такъ, чтобы І_АХС = /_ВХС.

И. Александровъ.

73. Даны три концентрическія окружности. Провести сѣкущую, опредѣляющую въ меньшей окружности хорду, равную отрѣзку между большей и средней окружностью.

Его-же.

74. Доказать, что выраженія

могутъ быть

представлены въ видѣ t2-\-3u*, а выраженія

въ видѣ Ы2 — и2, причемъ t и и раціонально выражаются чрезъ хи у.

Р. Невядомскій.

75. Рѣшить уравненіе

В. Тюнинъ.

76. Показать, что

и найти значеніе этой постоянной величины.

Э. Лейнѣкъ.

Рѣшенія задачъ.

42. Показать, что при N цѣломъ и большемъ 2

NN+1>(N + 1)дг •

Представимъ отдѣльно лѣвую и правую части доказываемаго неравенства въ видѣ суммы:

Первые два члена въ обѣихъ суммахъ равны, но начиная съ 3-го члена слагаемыя второго ряда, при N^>2, будутъ менѣе соотвѣтствующихъ слагаемыхъ перваго на нѣкоторое цѣлое число. Поэтому, хотя во 2-й суммѣ имѣется сравнительно съ первой одно лишнее слагаемое, именно 1, она оказывается менѣе первой, начиная съ Лт=3.

2-е рѣшеніе. Раздѣливъ обѣ части доказываемаго неравенства на ЛТЛТ, придадимъ ему видъ

Правая часть этого неравенства, какъ извѣстно, при N^> 2 заключаетея междѣ 2 и 3 и при безконечномъ возрастаніи N стремится къ предѣлу

Лѣвая-же часть уже при N= 3 оказывается болѣе предѣла правой, откуда справедливость даннаго неравенства очевидна.

М. Орбекъ, А. Мазингъ, Архангельскій, М. Шульманъ, М. Зильберштейнъ, А. Городецкая (Москва), Д. Рѣдько (Полтава), В. Кованько ст. (Струнино), Д. С. (Харьковъ), А. Сердобинскій (Чита), Н. Косминковъ (Егорьевскъ), Нестеровичъ (Влодава).

43. Обозначая діаметръ круга чрезъ D, а стороны правильныхъ вписаннаго въ него и описаннаго около него п—угольниковъ соотвѣтственно чрезъ ап и Ъп доказать соотношенія:

Пользуясь для выраженія Ъ2„ извѣстными формулами:

получимъ

или, послѣ упрошеній.

Съ другой стороны, преобразуя первое изъ данныхъ въ условіи задачи выраженій для b2w, найдемъ:

Слѣдовательно, 1-я изъ приведенныхъ въ условіи формулъ доказана. Преобразуя затѣмъ 2-ю формулу, найдемъ:

т. е. и вторая формула доказана.

2-е рѣшеніе. Пусть въ кругѣ, имѣющемъ центръ О и рад. г, проведена хорда ап = АВ, въ концахъ ея касательныя AS и US, равныя каждая а въ точкѣ пересѣченія К линіи 0S, равной V —, съ окружностью,--касательная А'КВ' которая пересѣкаетъ AS и BS соотвѣтственно въ точкахъ Ä и В'. Тогда, очевидно, А'В'\\АВ, А'В' = Ъ.2п и А'К =-%>п. Проведемъ еще радіусъ А О и обозначимъ чрезъ L точку пересѣченія линіи 0S съ хордою AB, тогда AL — . Изъ подобія прямоуг. 3-ковъ AS О и Л'б’А

имѣемъ

Но

поэтому

или

(1).

Далѣе, изъ подобія треугольниковъ ASL и AS0, имѣемъ: AS : SO = AL : АО, или

отсюда

Подставляя это выраженіе въ формулу (1.) найдемъ.

(2)

что и требовалось доказать.

И. Коровицкій (Спб.), В. Мыць (Полтава), А. Бутомо (Саратовъ), Н. Несторовичъ (Влодава).

44. Въ вершинахъ четыреугольника А BCD приложены силы равныя, параллельныя и дѣйствующія въ одну сторону, а въ точкѣ пересѣченія О его діагоналей приложена пятая сила, равная и параллельная предыдущимъ, но дѣйствующая въ противоположную сторону. Показать, что равнодѣйствующая этихъ силъ проходить чрезъ центръ тяжести четыреугольника.

Пусть М — масса площади треугольника АВС, (см. чер.)а М' масса площади 3-ка ADC. Можно замѣнить М тремя массами, равными каждая ^ и помѣщенными въ вершинахъ А, В и С, а Ы' — тремя массами —— помѣщенными въ вершинахъ AD, и С.

Тогда будемъ имѣть: въ А — массу , въБ — массу ^ въ С — массу и въ D массу . Массы, помѣщенныя

Черт. 1.

въ В и D могутъ быть замѣнены ихъ суммою ----------- помѣщенною въ точкѣ F, въ разстояніи В F отъ В, равномъ DO, ибо

и, кромѣ того, такъ что откуда

и BF=DO. Такимъ образомъ, имѣемъ три массы, равныя каждая ^ ^ и помѣщенныя въ точкахъ А, С и F. Эти три массы могутъ быть замѣнены одною, равною ихъ суммѣ М -}- М' и помѣщенною на медіанѣ I G треугольника AFC) въ точкѣ Н, отстоящей отъ G на разстояніи G ff, равномъ — . Точка ff и есть центръ тяжести 4—ка А В CD.

Съ другой стороны, двѣ равныя силы f\ приложенныя въ точкахъ А и G, даютъ равнодѣйствующую 2/*, приложенную въ G. Точно также, двѣ другія силы fy приложенныя въ В и D даютъ свою равнодѣйствующую 2/, приложенную въ точкѣ J, серединѣ OF. Эта послѣдняя равнодѣйствующая, сложенная съ пятою силою (—/), приложенною въ точкѣ О, даетъ равнодѣйствующую f съ точкою приложенія въ F. Въ конечномъ результатѣ сила /*, приложенная въ F, складываясь съ силою 2/*, приложенной въ G, даетъ общую равнодѣйствующую 3/*, точка приложенія которой совпадаетъ съ Н, центромъ тяжести четыреугольника.

В. Гебель (Москва), И. Ильинъ (Астрахань), А. Сердобинскій (Чита).

45. Найти числа, оканчивающіяся на цифру а (а = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) — и обладающія тѣмъ свойствомъ, что если послѣднюю цифру переставить въ начало числа, то оно увеличится во столько разъ, сколько единицъ въ переставляемой цифрѣ.

Обозначимъ искомое число ху а его послѣднюю цифру а, тогда то-же число безъ послѣдней цифры выразится чрезъ

Новое число, которое получится послѣ перенесенія въ числѣ X послѣдней цифры на первое мѣсто, можно представить въ видѣ

По условію, имѣемъ:

или

Отсюда видно, что для полученія искомаго числа х нужно дѣлить число, выраженное цифрою а съ неопредѣленнымъ количествомъ нулей, на 10а — 1 до тѣхъ поръ, пока въ остаткѣ не получится числа а. Этимъ результатомъ можно и ограничиться, хотя можно продолжать дѣленіе до полученія того же остатка во 2-й, 3-й и т. д. разъ, т. е. можно полученное въ 1-й разъ частное написать подъ рядъ сколько угодно разъ. Давая а различныя значенія, увидимъ, что наименьшее х получится при а = 4, именно #=- 102564. При а — 5 въ числѣ будетъ 42 цифры, при а = 7 — 22 цифры и проч.

Н. Щетининъ, М. Зильберштейнъ (Москва), И. Коровицкій (Спб.), А. Сердобинскій (Чита), Д. Рѣдько (Полтава).

48. Рѣшить уравненіе:

Обозначимъ Ѵу-\~ 1 чрезъ х, тогда уравненіе можетъ быть представлено въ видѣ:

или

Это равенство, какъ легко видѣть, возможно лишь при равенствѣ числителя нулю; полагая въ немъ 2х = t, получимъ:

М. Орбекъ, Н. Дуве, Архангельскій, К. Кульманъ, М. Коростелевъ, Л. Александровскій, Н. Виноградовъ (Москва), Н. Несторовичъ (Влодава), II. Коровицкій (Спб.), Д. Рѣдько (Полтава), А. Бутомо (Саратовъ), В. Любовичъ (Ямбургъ), А. Сердобинскій (Чита), В. Мыць (Полтава), А. Ильинъ (Астрахань), В. Сѣверный (Тула), А. Локуціевскій (ст. Каменская), В. Полякова (с Павлово), Н. Тейковцевъ, Н. Шемяновъ (Владимиръ), Е. Введенская (Ростовъ на Д.), В. Кованько (ст. Струнино).

39. Изслѣдовать измѣненія функціи

и построить соотвѣтствующую кривую.

Такъ какъ lg[0x не имѣетъ дѣйствительныхъ значеній при X < 0, то будемъ давать х рядъ числовыхъ значеній начиная отъ О и составимъ таблицу соотвѣтствующихъ значеній для Ідх и для у:

Изъ этой таблицы усматриваемъ, что функція у сперва убываетъ до нѣкотораго предѣла, меньшаго 1, а потомъ снова начинаетъ возрастать; при этомъ minimum функціи соотвѣтствуетъ нѣкоторому значенію заключающемуся между ж = 0,1 и х= і. Для точнаго опредѣленія измѣненія функціи у составимъ ея первую производную:

Черт. 2.

Эта производная отрицательна, пока x<^lgxoc; обращается въ 0 при x = lgxoe и становится положительной при x^>lgl%e. Слѣдовательно, функція у убываетъ при возрастаніи х отъ 0 до X = Ідхое == 0,43429 ..., достигаетъ наименьшаго значенія при X = Ід10е, причемъ это наименьшее значеніе равно

и возрастаетъ при х^>1ді0е. Это возрастаніе идетъ съ увеличеніемъ X до безконечности, такъ какъ

и, слѣдовательно, lim і/ = оо.

По этимъ даннымъ не трудно построить искомую кривую (см. чер.). Она вся лежитъ въ первомъ (нормальномъ) координатномъ углѣ XOY, имѣетъ ось О Y ассимптотою и обращена выпуклостью къ оси ОХ. Наименѣе удаленной отъ оси ОХ является точка съ координатами

X = 0,43429 ..., у == 0,79651 ....

затѣмъ вѣтвь кривой поднимается надъ осью ОХ и съ возрастаніемъ X уходитъ въ безконечность.

Н. Несторовичъ (Влодава), И. Коровицкій (Спб.), В. Кованько (ст. Струнино).

Библіографическій отдѣлъ.

Ѳ. А. Эрнъ. Очерки по методииѣ ариѳметики. Рига. 1912 гстр. VIII +181 Цѣна 80 коп.

Эта книга,—по заявленію автора,—„имѣетъ цѣлью служить пособіемъ для ученицъ VIII педагогическаго класса женскихъ гимназій, для учениковъ учительскихъ семинарій и другихъ учебныхъ заведеній, въ которыхъ изучается методика ариѳметики“ (см. „Предисловіе“, стр. III).

Какъ пособіе, „Методика“ г. Эрна отличается нѣкоторыми особенностями отъ весьма многихъ однородныхъ съ ней работъ.

Одна изъ важныхъ особенностей этой книжки заключаетея въ томъ, что авторъ обращаетъ главное вниманіе на общіе теоретическіе вопросы методики ариѳметики—на вопросы о числѣ, объ ариѳметическихъ дѣйствіяхъ, о задачахъ, о цѣли обученія ариѳметикѣ, о методахъ „преподаванія“ (обученія?) и др., дѣлая иногда экскурсіи въ область психологіи, логики и философіи математики. Правда, нѣкоторые изъ этихъ вопросовъ, какъ, напр., вопросы о задачахъ, о цѣли обученія, разсматриваются въ большинствѣ русскихъ методикъ, но ни въ одной изъ нихъ эти два вопроса, а особенно вопросъ о цѣли обученія ариѳметикѣ, не излагаются съ такою подробностью, какъ въ „Методикѣ“ г. Эрна.

Вторая особенность состоитъ въ томъ, что въ то время, какъ въ другихъ методикахъ, при подробномъ разсмотрѣніи вопроса о томъ, какъ слѣдуетъ обучать ариѳметикѣ, говорится весьма мало, (а въ нѣкоторыхъ и ничего не говорится) о томъ, почему и зачѣмъ надо пользоваться тѣми, а не иными пріемами обученія, почему надо проходить изучаемый матеріалъ въ той, а не въ другой послѣдовательности,—въ это время г. Эрнъ обращаетъ главное свое вниманіе именно на эти важные „почему“ и „зачѣмъ“. И въ этомъ одно изъ весьма цѣнныхъ достоинствъ „Методики“ г. Эрна, ибо это даетъ возможность изучающимъ методику ариѳметики болѣе сознательно и глубже отнестись къ спеціальной чисто практической сторонѣ ея. Но если, съ одной стороны, разсмотрѣніе общихъ теоретическихъ вопросовъ методики ариѳме-

тики является однимъ изъ достоинствъ книги г. Эрна, то, съ другой стороны, повидимому, оно же не дало возможности автору подробнѣе заняться вопросомъ о томъ, какъ слѣдуетъ обучать ариѳметикѣ въ начальныхъ школахъ, между тѣмъ это одинъ изъ самыхъ главныхъ вопросовъ методики начальнаго обученія ариѳметики.

Сдѣлаемъ еще нѣсколько общихъ замѣчаній.

Во-первыхъ, при изложеніи различныхъ методическихъ взглядовъ, г. Эрнъ почему-то изъ иностранныхъ методистовъ ограничивается одними только нѣмецкими, не упоминая напр., объ американскихъ. Правда, родина методики ариѳметики въ Германіи, и методическія идеи нѣмцевъ имѣли громадное вліяніе на развитіе методики ариѳметики не только въ Европѣ, но и въ Америкѣ. Тѣмъ не менѣе у американцевъ есть кое-что особенное сравнительно съ нѣмцами, чему слѣдовало бы поучиться не только русскимъ, но и нѣмцамъ. Такъ, напр., говоря вообще, дѣло обученія въ начальныхъ нѣмецкихъ школахъ слишкомъ теоретично, систематично и нерѣдко педантично и въ нихъ нерѣдко методическая техника беретъ перевѣсъ надъ сущностью изучаемаго предмета, а потому оно не всегда психологично и педагогично. Чтобы убѣдиться въ этомъ, достаточно сослаться на работы К. О. Beetz'a: „Anleitung fur einen einheitlichen Rechenunterricht“ (ч. I и II, особенно первая), „Typenrechnen auf psychophysischer Grundlage“, „Das Wesen der Zahl als Eintheits-prinzip im elementaren Rechenunterricht“ (часть I и 11); на работы F. Heiland’a и K. Muthesius’a: „Rechenbuch für Volksschulen“, (изданіе для учителя), ч. I—III, (Weimar 1895) и мн. др., гдѣ нѣкоторыя страницы нельзя читать безъ улыбки. Этого педантизма не избѣгъ даже такой, въ общемъ чуждый крайностей, методистъ нѣмецкой Швейцаріи, какъ Штёклинъ (см. 1-й и 2-й тт. его „Методики ариѳметики“. Москва, 1912 г ). У американскихъ же методистовъ, въ противовѣсъ нѣмецкимъ, многіе вопросы методики ариѳметики разработаны психологично, жизненно и практично*).

Кромѣ того, у многихъ американскихъ методистовъ имѣется разработка вопроса о связи ариѳметики съ геометріей; вопрось же этотъ имѣетъ какъ принципіальное, такъ и педагогическое значеніе.

Затѣмъ у г. Эрна не вполнѣ достаточно представлена историческая часть нѣкоторыхъ вопросовъ методики ариѳметики, между тѣмъ въ исторіи методики ариѳметики не только нѣмецкой, но и русской, особенно въ 70-хъ и въ 80-хъ годахъ прошлаго столѣтія, есть много поучительнаго и интереснаго.

Наконецъ, въ „Очеркахъ по методикѣ ариѳметики“, къ сожалѣнію, нѣтъ ни обзора, ни указателя литературы предмета. Между тѣмъ это имѣетъ большое значеніе, особенно для начинающихъ педагоговъ, въ особенности по отношенію къ русской литературѣ.

Таковы общія замѣчанія относительно „Очерковъ по методикѣ ариѳметики“ г. Эрна. Теперь перейдемъ къ разсмотрѣнію нѣкоторыхъ частныхъ вопросовъ.

По нашему мнѣнію, у автора недостаточно разсмотрѣно число съ психологической точки зрѣнія. Имѣя въ виду по этому вопросу извѣстныя работы проф. Э. Меймана, и вышеупомянутое сочиненіе о психологіи числа американскихъ педагоговъ—можно было бы удѣлить этому вопросу больше вниманія, какъ онъ того заслуживаетъ.

Далѣе, по нашему мнѣнію, едва-ли психологически возможна для ребенка 8—10 лѣтъ та описанная г. Эрномъ сложная „умственная работа, которую долженъ произвести ребенокъ, чтобы установить, какимъ дѣйствіемъ рѣшается“ такая, напр., задача: „Сколько стоятъ 15 фунтовъ товару, фунтъ котораго стоитъ 6 коп?“ (см. „Очерки по методикѣ ариѳметики“, стр. 132—133).

И такое предъявленіе требованій къ ребенку тѣмъ болѣе странно, что на стр. 167 своей „Методики“ г. Эрнъ осуждаетъ это требованіе при рѣшеніи другой задачи, одного типа съ выше приведенной. Или, пожалуй, точнѣе сказать, въ указанныхъ мѣстахъ авторъ неудачно выразилъ свою мысль, въ общемъ правильную (ср. стр. 173).

*) См., напр.. проф. D. Е. Smith: „Hadbook to Smith’s arithmetics, (New York, 1905); McLellan и Dewey: „The Psychology of number and its applications to methods of teaching arithmetic, (New York, 1908); McMurry: „Special method in arithmetic, (London, 1907), и др.

На стр. 180-й не вѣрно утвержденіе г. Эрна, что изъ русскихъ методистовъ „только (курсивъ нашъ) Шохоръ-Троцкій и Мукалова не выдѣляютъ изученія именованныхъ чиселъ въ особую статью, ибо такого же взгляда держался Л. Н Толстой еще въ 1874 г. (см. его „Руководство для учителя44, кн. XII. СПБ.. 1874 г., стр. 185); дѣйствія съ составными именованными числами не составляютъ особаго отдѣла курса въ „Ариѳметикѣ и сборникѣ ариѳметическихъ задачъ для начальныхъ училищъ“ Ѳ. И. Егорова (изданіе 6-е, Москва, 1901 г., ц. 40 к.); далѣе,—осмѣлимся заявить,—подобный взглядъ высказывали и мы раньше г. Мукалова (См. „Русск. Школу“ за 1902 г., №№ 10, 11 и 12). Въ частности, не вполнѣ справедливо утвержденіе г Эрна относительно А. И. Гольденберга, что у него „изученіе именованныхъ чиселъ и дѣйствій надъ ними выдѣлены въ особый отдѣлъ, проходимый въ самомъ концѣ курса“ (стр. 180 „Очерковъ44). Такого взгляда А. И. Гольденбергъ держался раньше, впослѣдствіи же онъ отказался отъ него (см. его „Бесѣды по счисленію“, 1906 г., стр. 42,132 и др ). При окончательной же оцѣнкѣ мнѣній того или другого автора, приходится считаться съ эволюціей его взглядовъ и отдавать предпочтеніе взглядамъ автора послѣдняго времени.

Точно также не вѣрно заявленіе г. Эрна, что изъ русскихъ методистовъ „лишь (курсивъ нашъ) гг. Шохоръ-Троицкій и Мукаловъ опредѣленно настаиваютъ на томъ, чтобы задачи на такъ называемыя спеціальныя правила не составляли особаго отдѣла, проходимаго въ концѣ курса (стр. 181', ибо гораздо раньше не только г. Мукалова, но и г. Шохоръ-Троцкаго высказывались противъ этого мнѣнія многія лица*).

Не справедливо, далѣе, утвержденіе г. Эрна, что изъ русскихъ методистовъ стоятъ за то, чтобы начинать обучать дѣленію съ дѣленія по содержанію „только (курсивъ нашъ) гг. Мрочекъ и Филипповичъ“, которые впрочемъ, признаютъ только одно дѣленіе, дѣленіе по содержанію (см. стр. 71 „Очерковъ“), ибо за то, чтобы начинать обучать дѣленію съ такъ называемаго дѣленія по содержанію, а не дѣленія на равныя части, стоятъ лица, писавшія объ этомъ ранѣе гг. Мрочека и Филипповича Для примѣра сошлемся на „Записки по методикѣ ариѳметики“, В. М. Куперштейнъ, (Елисаветградъ: ч. I, стр. 32, 33, 34 и др.)? которыя появились въ свѣтѣ въ 1909 г., а „Педагогика математики“ гг. Мрочека и Филипповича, на которую ссылается г. Эрнъ, вышла изъ печати въ 1910 г.

Посвятивъ въ І-й главѣ не мало страницъ (см. стр. 44 и далѣе), второстепенному вопросу о числѣ дѣйствій (считать ли 4, или 6, или 8 дѣйствій), г. Эрнъ не счелъ нужнымъ коснуться, пусть и въ другомъ мѣстѣ, довольно важнаго въ педагогическомъ и практическомъ отношеніи вопроса о томъ, слѣдуетъ ли при прохожденіи перваго десятка Изучать 4 главныхъ дѣйствія—

*) Напр. К. К. Мазингъ (см. въ „Учебно-воспитательной библіотекѣ“, т. II, за 1878 г., въ отдѣлѣ „математики“ статью: „Чему не слѣдуетъ учить въ ариѳметикѣ?44 (стр. 22 и слѣд.); П. Гурьевъ (см. его „Руководство къ преподаванію ариѳметики малолѣтнимъ дѣтямъ“, ч. I. СПБ, 1839 г., стр. 210 и слѣд ); Л. Н. Толстой (см. „Руководство для учителя“, кн. XII. СПБ., 1874 г., стр. 185, 228); г. Латышевъ (см. его „Руководство къ преподаванію ариѳметики“, М. 1896 г., стр. 135); Н. Соколовъ (см. въ „Педагогическомъ Сборникѣ“ за 1895, № 1, его статью: „Одинъ изъ остатковъ схоластики въ современныхъ учебникахъ ариѳметики“; подъ тѣмъ же заглавіемъ статья эта была напечатана въ „Вѣстникѣ опытной физики и элементарной математики“ за 1896 г. №№ 219, 220); А. Ф. Гатлихъ (см. изданный подъ его редакціей „Сборникъ ариѳметическихъ задачъ для воскресныхъ школъ, вечернихъ и повторительныхъ классовъ“, изд. 2-е, Москва, 1899 г.); Ѳ. И. Егоровъ (см. его „Ариѳметику и сборникъ ариѳметическихъ задачъ для начальныхъ школъ“, изд. 6-е, Москва, 1901 г., въ „задачникѣ“ же для школъ съ полнымъ курсомъ ариѳметики (изд. 3-е, М., 1900 г.) г. Егоровъ не рѣшился сдѣлать такого шага); А. И. Гольденбергъ (см. его „Бесѣды по счисленію“, стр. 200— 202, а особенно его „Сборники ариѳметическихъ упражненій для гимназій и реальныхъ училищъ“, курсы приготовительнаго, 1-го и 2-го классовъ); собраніе на XI съѣздѣ русскихъ естествоиспытателей и врачей въ секціи чистой математики и механики (см. Вѣстн, оп. физ. и элем. матем.“, № 178, ХУ сем. № 10, стр. 262), и друг.

сложеніе, вычитаніе, умноженіе и дѣленіе, (если только ихъ можно назвать дѣйствіями въ собственномъ смыслѣ на данной ступени), или только ограничиться двумя основными дѣйствіями—сложеніемъ и вычитаніемъ, относя умноженіе съ дѣленіемъ къ слѣдующпму концентру,—вопроса, имѣющаго, такъ сказать, свою исторію въ нѣмецкой и русской методической литературѣ и не разрѣшеннаго надлежащимъ образомъ и доселѣ.

Для точности и полноты статьи о концентрическомъ построеніи курса ариѳметики начальной школы (см. стр. 178—179 „Очерковъ“ г. Эрна) было бы не лишнимъ упомянуть, что не мало среди какъ иностранныхъ, такъ и русскихъ методистовъ такихъ, которые выдѣляютъ въ особый концентръ область чиселъ 1—5. Для примѣра изъ русскихъ методистовъ назовемъ по памяти гг. Мартынова и Геде (см. ихъ „Методики ариѳметики“), а изъ иностранныхъ проф. Чикагскаго университета Дж. В .А. Юнга (см. его книгу: „Какъ преподавать математику“, переводъ А. Р. Кулишера, СПБ., 1912 г. Вып. II, стр. 255). Замѣтимъ еще, что г. Эрнъ иногда безъ надобности останавливается или на малозначительныхъ вопросахъ, какъ, напр., на вопросѣ о числѣ дѣйствій, или же на такихъ, относительно которыхъ существуетъ полное согласіе почти всѣхъ современныхъ методистовъ, а потому нѣтъ необходимости дѣлать большую, чѣмъ слѣдуетъ, экскурсію въ область исторіи вопроса. Таковъ, напр., вопросъ о цѣли изученія начальной ариѳметики (см. гл. II, стр. 121—136). Благодаря этому у г. Эрна получилась нѣкоторая несоразмѣрность частей его работы.

Мы указали нѣкоторые недочеты и пробѣлы „Очерковъ по методикѣ ариѳметики“ Ѳ. А. Эрна. Тѣмъ не менѣе, говоря вообще, мы считаемъ работу г. Эрна очень цѣнной, и надо отдать ему справедливость, что онъ въ общемъ весьма удачно уловилъ новѣйшія теченія въ области методики ариѳметики и отнесся къ нимъ критически, давъ имъ умѣлое изложеніе. Въ виду этого нельзя не привѣтствовать этого труда и не пожелать ему широкаго распространенія.

Д. Волковскій.

А. А. Раевскій. Начальная книжка по геометріи. Спб. 1913. Ц. 50 к.

Прежде всего возникаетъ вопросъ, для кого предназначается „Начальная Книжка“ для учащихся, или учащихъ. Слова предисловія: „конечно, какъ и всякій учебникъ, настоящая книжка не замѣнитъ учителя...“, а также „Въ виду практическаго характера настоящей книжки, она можетъ быть пригодна и т. д.“ указываютъ какъ бы на то, что „книжка“ должна быть въ рукахъ учащихся. Но содержаніе очень часто не согласуется съ такимъ отвѣтомъ на вопросъ. Вотъ примѣры, подтверждающіе это:

На стр. 6 „11. Усвоить хорошо, что значатъ выраженія: измѣрить линію съ точностью до десятыхъ долей дюйма...“ Если бы книжка предназначалась для учащихся, то, вмѣсто совѣта усвоить хорошо, слѣдовало бы прежде всего пояснить (на примѣрахъ), что же въ самомъ дѣлѣ значатъ такія выраженія.

На стр. 11. „Объяснить, на сколько возможно, понятіе о геометрическомъ мѣстѣ“. Конечно, разъ этого не дѣлаетъ авторъ учебника, то объяснять придется учителю.

На стр 25 и стр. 34 находимъ рядъ вопросовъ, которые требуютъ нѣкоторыхъ подготовительныхъ шаговъ, прежде чѣмъ могутъ быть предложены учащимся (вопросъ о суммѣ угловъ многоугольника, объ условіяхъ равенства двухъ правильныхъ многоугольниковъ).

Краткость указаній вообще характерна для „Нач. Кн.“, а поэтому врядъ ли она удовлетворитъ учащихся.

Поэтому мнѣ представляется единственно возможнымъ смотрѣть на „Начал. Кн.“, какъ на пособіе для учителя, дабы не надо было затруднять себя выборомъ матеріала и изысканіемъ методовъ его изученія.

Теперь возникаютъ два вопроса: 1) тотъ ли матеріалъ указанъ въ „Нач. Кн.“, который дѣйствительно необходимъ для ознакомленія съ началами геометріи? и 2) насколько пріемлемы тѣ методы, которыми обрабатывается данный матеріалъ?

На первый вопросъ слѣдуетъ дать вообще удовлетворительный отвѣтъ. Имѣется лишь рядъ отдѣльныхъ сомнѣній: 1) на стр. 7 дано очень хорошее упражненіе „Взять 3, 4, 5 точекъ и соединить ихъ попарно. Найти число прямыхъ и число точекъ пересѣченія“. Здѣсь прежде всего заданіе выражено въ

несовсѣмъ правильной формѣ: надо было оговориться, что никакія 3 изъ данныхъ точекъ не расположены на одной прямой; кромѣ того и отвѣтъ о числѣ точекъ пересѣченія можетъ видоизмѣняться въ зависимости отъ того, окажутся ли, или нѣтъ среди тѣхъ прямыхъ, какія нужно построить, пары параллельныхъ. Затѣмъ, и это самое существенное, указанное упражненіе въ книжкѣ изолировано, а вѣдь такъ казалось бы естественно перейти отсюда къ возсозданію въ сознаніи учащихся образовъ многоугольниковъ (полныхъ и простыхъ) въ видѣ совокупности точекъ и попарно соединяющихъ ихъ прямыхъ; конечно, тогда уже слѣдовало бы отказаться, чего не дѣлаетъ авторъ „Начальной Книжки“ (см. стр. 24), отъ устарѣвшаго воззрѣнія на многоугольникъ и на фигуру, какъ на часть плоскости.

Далѣе, на той же стр. 7 имѣется странный пропускъ: авторъ не даетъ ни упражненій, ни даже словесныхъ поясненій для понятій „равные отрѣзки“, „одинъ отрѣзокъ больше другого“, а сразу даетъ упражненія на построеніе суммы и разности двухъ отрѣзковъ. Кстати здѣсь также проявилось нежеланіе автора отказаться отъ путаннаго традиціоннаго термина „прямая“: этимъ имелемъ авторъ называетъ и безконечную прямую, и часть ея между двумя точками.

На стр. 11 авторъ въ первый разъ разсматриваетъ уголъ. Изъ поясненій автора вовсе нельзя понять, какое же образное представленіе для этого понятія „уголъ“ желаетъ авторъ вкоренить учащимся: часть ли плоскости, описанную вращающейся прямой, либо какое иное? Неопредѣленность здѣсь должна быть устранена. Нельзя довольствоваться какимъ-то смутнымъ представленіемъ, какъ это, къ сожалѣнію, часто дѣлается, что вращеніе прямой около точки или пересѣченіе двухъ прямыхъ приводитъ къ чему то новому, къ какому то новому объекту. Эта неопредѣленность должна же когда-нибудь быть устраненною изъ курса геометріи; авторъ „Нач. Кн.“ не дѣлаетъ никакихъ шаговъ въ этомъ направленіи. Пусть образъ „Угла“ сложится въ сознаніи учащихся въ видѣ части плоскости, или въ видѣ двухъ лучей, исходящихъ изъ одной точки (послѣднее представленіе, по моему мнѣнію, ближе къ истинѣ), но во всякомъ случаѣ неопредѣленность и туманность въ представленіи этого основного геометр. образа „уголъ“ должна быть устранена.

Далѣе непонятно, зачѣмъ на стр. 14 дано указаніе, что „уголъ, которому соотвѣтствуетъ сумма или разность двухъ дугъ окружности, равенъ суммѣ или разности угловъ, соотвѣтствующимъ этихъ дугамъ“. Это положеніе нужно лишь тогда, когда желательно дать ученіе о величинѣ, но въ „Книжкѣ“ нѣтъ и слѣдовъ (кромѣ цитируемаго мѣста) этого ученія.

Не буду останавливаться на упражненіяхъ механическсго характера, къ числу которыхъ относится большинство содержанія четырехъ приложенныхъ, таблицъ; однако и здѣсь возникаютъ сомнѣнія: 1) неужели возможно, напр. въ двухклассномъ министерскомъ училищѣ, для которыхъ между прочимъ авторъ предназначаетъ свой учебникъ, использовать тотъ матеріалъ, какой данъ во 2-й и 3-й таблицахъ и 2) не помѣшаетъ ли эта масса механическихъ упражненій той постепенно развивающейся работѣ мысли и воображенія учащихся, безъ которой нѣтъ возможности говорить объ изученіи геометріи.

Перехожу затѣмъ къ тѣмъ методамъ, которыми обрабатывается выбранный авторомъ матеріалъ. И здѣсь отъ „Начал. Книжки“ получается въ общемъ отрицательное впечатлѣніе.

Прежде всего меня не удовлетворяютъ тѣ пріемы, которыми осуществляются разсматриваемые объекты: иногда осуществленіе того объекта, съ которыми знакомятся учащіеся, откладывается на много впередъ (напр. построеніе прямого угла дано на 17 стр., а понятіе о прямомъ углѣ на 12), въ большинствѣ случаевъ указывается какъ выполнить построеніе, но ничего не предпринимается для вселенія въ учащихся увѣренности въ правильности выполненія (напр. раздѣлить уголъ пополамъ, построить перпендикуляръ,— стр 37). Иногда даются задачи, рѣшеніе которыхъ врядъ ли подъ силу учащимся, но указаній для рѣшенія не дѣлается. Напр. на 26 стр. „Постройте правильный пятиугольникъ, сторона котораго была бы равна 4 см.“

Свойства геометрическихъ фигуръ почти всегда предлагаются въ формѣ опытной повѣрки: на стр. 14 „Опишемъ однимъ и тѣмъ же радіусомъ нѣсколько окружностей; отложимъ на нихъ равныя дуги и построимъ при центрѣ углы (центральные), соотвѣтствующіе этимъ дугамъ. Если эти углы (секторы) вырѣзать и наложить другъ на друга, то увидимъ, что они равны.

Отсюда.... На стр. 19 „При измѣреніи транспортиромъ или циркулемъ будетъ видно, что противоположные углы, образуемые двумя пересѣкающимися прямыми, равны между собого“ (здѣсь замѣчаніе: не смѣшиваетъ ли авторъ два понятія „измѣрить“ и „сравнить“? можно ли имѣя только циркуль измѣрить каждый изъ двухъ данныхъ угловъ?) На стр. 25 рекомендуется транспортиромъ измѣрить углы треугольника и сложить результаты измѣреній, а также помощью циркуля построить сумму угловъ треугольника,— „Вы всегда найдете, что сумма трехъ угловъ всякаго треугольника будетъ равна двумъ прямымъ“. Такихъ примѣровъ множество.

Нѣтъ, не въ такомъ видѣ мнѣ представляется правильно поставленный начальный курсъ геометріи. Прежде всего слѣдуетъ большее вниманіе обратить на осуществленіе тѣхъ геометрическихъ объектовъ, которые падлежатъ изученію. Если ввести въ дѣло осуществленіе при помощи моделей, то можно поставить дѣло такъ, чтобы учащіеся сами для себя изготовляли такія модели и чтобы при помощи нихъ сдѣлались бы ясными, и притомъ съ увѣренностью въ ихъ непреложности, тѣ свойства, которыя авторъ „Начал. Книж.“ сообщаетъ учащимся въ сущности догматически, рекомендуя лишь ихъ опытную повѣрку. Можетъ быть вовсе безъ послѣдней обойтись нельзя, но во всякомъ случаѣ и злоупотреблять ею не слѣдуетъ.

Н. Извольскій.

Засѣданіе Организаціоннаго Комитета 2-го всероссійскгао съѣзда преподавателей математики.

22-го ноября 1912 года въ помѣщеніи Московскаго реальнаго училища К. К. Мазинга состоялось первое засѣданіе Организаціоннаго Комитета 2-го съѣзда преподавателей математики. Были прочитаны: бумага Министерства Внутреннихъ Дѣлъ о разрѣшеніи съѣзда и Положеніе о съѣздѣ (текстъ его напечатанъ въ № 5 „Математическаго образованія“ 1912 г., стр. 243). Затѣмъ происходили выборы должностныхъ лицъ Комитета, причемъ были избраны: предсѣдателемъ—Б. К. Млодзѣевскій, товарищами предсѣдателя—С. М. Зегеръ и А. К. Власовъ, казначеемъ М. Ѳ. Бергь и секретарями—А. А. Волковъ, А. П. Поляковъ и I. И. Чистяковъ. Признавая крайне желательнымъ пополненіе Организаціоннаго Комитета иногородними дѣятелями, собраніе единогласно избрало въ члены Комитета: А. В. Васильева, З. А. Макшеева и М. Г. Попруженко въ С.-Петербургѣ, Д. М. Синцова— въ Харьковѣ, В. Ѳ. Кагана — въ Одессѣ и Ѳ. А. Эрна—въ Ригѣ. Адресъ Организаціоннаго Комитета 2-го съѣзда—Москва, Знаменскій пер., реальное училище К. К. Мазинга.

Засѣданіе Московскаго Математическаго Кружка 29 ноября 1912 г.

Засѣданіе, вслѣдствіе болѣзни Предсѣдателя и Товарища Предсѣдателя Кружка, происходило подъ предсѣдательствомъ А. К. Власова. Секретарь I. И. Чистяковъ довелъ до свѣдѣнія собранія о послѣдовавшемъ разрѣшеніи 2-го всероссійскаго съѣзда преподавателей математики и о первомъ засѣданіи Организаціоннаго Комитета этого съѣзда (см. выше). А. А. Волковъ сдѣлалъ сообщеніе: „Аксіома порядка (теорема Мора)“. Докладъ будетъ напечатанъ въ „Математическомъ Образованіи“. Затѣмъ состоялась педагогическая бесѣда о характерѣ курса математики въ средней школѣ, именно о преподаваніи ариѳметики. Вступленіе въ бесѣду сдѣлалъ А. К. Власовъ, познакомившій собраніе съ результатами работы по названному вопросу особой группы изъ 6 членовъ Математическаго Кружка. Обсужденіе сосредоточилось на вопросѣ о цѣляхъ преподаванія ариѳметики въ средней школѣ. Бесѣду постановлено продолжать въ слѣдующемъ засѣданіи.

Засѣданіе Московскаго Общества распространенія и изученія физическихъ наукъ 5 декабря 1912 года.

5 декабря 1912 г. въ помѣщеніи Педагогическаго Института имени П. Г. Шелапутина состоялось второе засѣданіе вновь учрежденнаго Общества изученія и распространенія физическихъ наукъ. Засѣданіе происходило подъ предсѣдательствомъ Н. А. Умова и отличалось большимъ многолюдствомъ. Были прочитаны доклады. Н. Е. Успенскимъ: „Интерференція рентгеновскихъ лучей“, проф. Ю. В. Вульфомъ — „Интерференція рентгеновскихъ лучей и молекулярная структура кристалловъ“ и Н. В. Кашинымъ — „Практическія занятія по физикѣ въ средней школѣ“. Первые два доклада касались интересной работы мюнхенскаго физика Laue, давшей возможность обнаружить при помоши рентгеновскихъ лучей внутреннее строеніе кристаллическаго вещества. Третій докладчикъ описалъ постановку практическихъ занятій по физикѣ въ среднихъ школахъ Англіи, Франціи и Германіи и высказалъ рядъ пожеланій относительно постановки практическихъ занятій по физикѣ въ русской средней школѣ. Кромѣ того, въ засѣданіи обсуждались вопросы объ организаціи при Обществѣ комиссій: библіотечной, издательской, лабораторной и финансовой.

Адресъ Правленія Общества распространенія и изученія физическихъ наукъ: Москва, Лобковскій пер., реальное училище П. Г. Бажанова.

Приводимъ тезисы доклада Н. В. Кашина: „Практическія занятія въ средней школѣ“.

I. При распредѣленіи курса физики только на три старшіе класса, при 10-часовой недѣльной нормѣ уроковъ, послѣдовательное проведеніе лабораторнаго метода невозможно безъ существеннаго ущерба серіозности экспериментальнаго курса физики.

II. Необходимо въ теченіе курса физики ввести учащихся въ практику физическихъ измѣреній, для чего ученики должны продѣлать немногія основныя измѣренія изъ всѣхъ отдѣловъ физики; такія занятія должны быть обязательны для всѣхъ, происходить на урокахъ физики и итти на одинъ фронтъ.

III. Кромѣ того, во всѣхъ реальныхъ училищахъ, а гдѣ можно и въ гимназіяхъ необходимо организовать внѣурочныя, необязательныя лабораторныя занятія для желающихъ такъ, чтобы въ теченіе 21/2 лѣтъ учащіеся могли пройти болѣе или менѣе полный курсъ по всѣмъ отдѣламъ физики; нѣкоторыя изъ этихъ работъ могутъ быть довольно серіозны, приближаясь по своему характеру къ задачамъ университетскаго типа.

IV. Такъ какъ необходимы средства для осуществленія этихъ пожеланій, то слѣдуетъ имѣть въ виду распоряженіе, помѣщенное въ сентябрьской книжкѣ Журнала Министерства Народнаго Просвѣщенія за 1909 годъ, гдѣ установленъ минимумъ расхода на физическую лабораторію средняго учебнаго заведенія въ 300 р. въ годъ*); кромѣ того, необходимо ходатайствовать передъ гг. начальниками учебныхъ заведеній объ отпускѣ, если возможно, суммъ изъ спеціальныхъ средствъ на организацію и развитіе практическихъ знаній по физикѣ, въ виду важности этого дѣла для осуществленія тѣхъ цѣлей, которыя ставитъ себѣ школа, вводя въ свой учебный планъ изученіе основъ естествознанія.

Уставъ Московскаго Общества распространенія физическихъ наукъ.

I. Цѣль Общества.

§ 1. Московское Общество изученія и распространенія физическихъ наукъ учреждается въ Москвѣ, имѣетъ райономъ дѣятельности городъ Москву и ставитъ своею цѣлью: а) общеніе членовъ Общества на почвѣ ихъ научной и педагогической дѣятельности въ области физическихъ наукъ; б) совмѣстную разработку научныхъ и педагогическихъ вопросовъ въ этой же области и в) широкое распространеніе физическихъ знаній.

*) Тамъ же указано, что при физическомъ кабинетѣ долженъ быть отдѣльный служитель.

§ 2. Общество для достиженія своихъ цѣлей:

а) устраиваетъ засѣданія для чтенія и обсужденія докладовъ по физикѣ, химіи, механикѣ, астрономіи и другимъ близкимъ дисциплинамъ физическихъ наукъ, а также по вопросамъ, относящимся къ методикѣ этихъ наукъ;

б) устраиваетъ публичныя лекціи научнаго и научнопопулярнаго содержанія по вопросамъ, входящимъ въ кругъ интересовъ Общества;

в) организуетъ временные курсы для членовъ Общества для ознакомленія съ новыми работами въ наукѣ и методикѣ преподаванія;

г) созываетъ съѣзды лицъ, работающихъ въ области физическихъ наукъ;

д) устраиваетъ библіотеку, кабинетъ, лабораторію, постоянный и подвижной музей учебныхъ пособій, временныя выставки ихъ и т. и.;

е) издаетъ какъ въ формѣ періодическихъ изданій, такъ и отдѣльными выпусками сочиненія, соотвѣтствующія задачамъ Общества;

ж) назначаетъ конкурсы и присуждаетъ преміи за сочиненія на темы, входящія въ кругъ интересовъ Общества, и

з) организуетъ научныя экспедиціи и научно-образовательныя экскурсіи.

Примѣчаніе. Для осуществленія цѣлей, указанныхъ въ пп. б, в, г.

Общество испрашиваетъ предварительное разрѣшеніе подлежащей власти согласно существующимъ правиламъ.

II. Права Общества.

§ 3. Общество имѣетъ право на основаніи общихъ законовъ пріобрѣтать необходимое для его цѣлей движимое и недвижимое имущество, отчуждать и закладывать это имущество и вообще пользуется всѣми правами юридическаго лица.

§ 4. Публичныя лекціи, курсы и другія свои учрежденія, поименованныя въ пп. б, в, г, д, е § 2, Общество имѣетъ право устраивать какъ безплатными, такъ и платными.

§ 5. Общество имѣетъ печать съ надписью: „Московское Общество изуненія и распространенія физическихъ паукъ“.

III. Средства Общества.

§ 6. Средства Общества составляются изъ:

а) членскихъ взносовъ;

б) пожертвованій;

в) доходовъ съ лекцій, курсовъ, выставокъ, музея и т. и.:

г) доходовъ съ изданій;

д) процентовъ на капиталъ Общества;

е) прочихъ случайныхъ поступленій въ пользу Общества.

§ 7. Средства Общества расходуются Правленіемъ согласно смѣтѣ, утверждаемой ежегодно Общимъ собраніемъ

§ 8. Порядокъ храненія и управленія имуществомъ Общества устанавливается инструкціями Правленію, утверждаемыми Общимъ собраніемъ.

IV. Составъ Общества.

§ 9. Общество состоитъ изъ: а) почетныхъ членовъ, б) дѣйствительныхъ членовъ и в) членовъ-сотрудниковъ.

§ 10. Почетные члены избираются по предложенію Правленія на Годичномъ Собраніи закрытой баллотировкой большинствомъ не менѣе */3 голосовъ, участвующихъ въ баллотировкѣ, изъ лицъ, выдающихся своею научною или педагогическою дѣятельностью въ области физическихъ наукъ, а также изъ лицъ, оказавшихъ особыя услуги Обществу.

§ 11. Почетные члены освобождаются отъ обязательныхъ членскихъ взносовъ, но пользуются всѣми правами дѣйствительныхъ членовъ.

§ 12. Дѣйствительными членами Общества могутъ быть лица, научно работающія въ области поименованныхъ въ п. а § 2 наукъ и въ методикѣ ихъ преподаванія, за исключеніемъ несовершеннолѣтнихъ (кромѣ имѣющихъ классные чины), воспитанниковъ учебныхъ заведеній, состоящихъ на дѣйствительной службѣ воинскихъ нижнихъ чиновъ и лицъ, подвергшихся ограниченію правъ по суду.

§ 13. Предложеніе объ избраніи въ дѣйствительные члены вносится на очередное засѣданіе Обшества за подписью по крайней мѣрѣ двухъ членовъ Общества. Самое же избраніе производится закрытой баллотировкой простымъ большинствомъ голосовъ на засѣданіи, слѣдующемъ за тѣмъ, на которомъ было внесено предложеніе объ избраніи.

Примѣчаніе. Лица, подписавшія проектъ настоящаго устава, до учредительнаго собранія считаются учредителями Общества и вступаютъ безъ баллотировки въ число дѣйствительныхъ членовъ.

§ 14. Всѣ дѣйствительные члены Общества дѣлаютъ ежегодно въ его кассу членскій взносъ, размѣръ котораго устанавливается Общимъ Собраніемъ и который не можетъ быть менѣе 1 руб.

Примѣчаніе. По постановленію Правленія дѣйствительные члены, полезные Обществу своею дѣятельностью, могутъ быть освобождены отъ обязательныхъ членскихъ взносовъ, сохраняя за собою всѣ права дѣйствительныхъ членовъ.

§ 15. Члены-сотрудники избираются Правленіемъ Общества изъ числа лицъ, могущихъ оказать своимъ трудомъ услуги Обществу.

Примѣчаніе. Въ число членовъ сотрудниковъ могутъ входить и учащіеся обоего пола въ высшихъ учебныхъ заведеніяхъ, если не Представляется препятствій со стороны вышеозначенныхъ учрежденій.

§ 16. Члены-сотрудники не дѣлаютъ обязательныхъ членскихъ взносовъ и имѣютъ право только совѣщательнаго голоса въ собраніяхъ Общества.

§ 17. Дѣйствительные члены Общества считаются выбывшими изъ него: а) въ случаѣ письменнаго ихъ о томъ заявленія: б) въ случаѣ неуплаты въ установленный срокъ членскихъ взносовъ. Въ послѣднемъ случаѣ выбывшіе члены Общества могутъ быть вновь приняты въ Общество безъ баллотировки подъ условіемъ погашенія числящихся за ними взносовъ.

Примѣчаніе. Вновь избранные члены уплачиваютъ членскій взносъ не позднѣе 3 мѣсяцевъ со дня извѣщенія ихъ объ избраніи.

§ 18. Исключеніе изъ числа членовъ Общества производится по представленію Правленія или письменному заявленію не менѣе 15 лицъ, пользующихся правами дѣйствительныхъ членовъ, въ Чрезвычайномъ Собраніи закрытой баллотировкой большинствомъ не менѣе 2/3 голосовъ присутствующихъ въ Собраніи членовъ, съ соблюденіемъ §§ 24 и 26.

(Окончаніе въ слѣд. №).

Новыя книги.

Е. И. Игнатьевъ. Астрономическіе досуги. Изд. Т-ва И. Д. Сытина. М. 1912. Ц. 1 р. 50 к.

С. Острейко. Опытъ построенія системы для рѣшенія задачи составленія (Іосписанія уроковъ для учебнаго заведенія. М. 1913. Ц. 1 р. 25 к.

М. Б. Кюрзенъ. Систематическій курсъ ариѳметики для среднихъ учебныхъ заведеній. Изд. 4. М. 1913. Ц. 80 к.

Д. Д Галанинъ. Наглядныя пособія въ преподаваніи ариѳметики. М. 1912. Ц. 35 к.

В. Г. Фридманъ. Концентрическій учебникъ алгебры. Ч. I. М. 1912. Ц. 1 р. 20 к. Учебныя программы для начальныхъ училищъ Юхновскаго уѣзда съ 4-годичнымъ курсомъ. Юхновъ 1911.

П. Самохваловъ. Къ постановкѣ курса анализа въ кадетскихъ корпусахъ. Спб. 1912.

Ж. Таннери. Введеніе въ теорію функцій съ одной перемѣнной. Т. 1-й и 2-й. Перев. А. Безрукова. Ц. но 5 р. за т.

М Попруженко. Матеріалы по методикѣ анализа безконечно-малыхъ въ средней школѣ. Изд. „Педагогическаго Сборника“. Спб. 1912 Ц. 1 руб.

Кн Б. Голицынъ. Лекціи по сейсмометріи. Спб. 1912. Ц. 3 р. 60 к.

Н. А. Шапошниковъ. Критическія замѣтки по вопросамъ математики въ связи съ преподаваніемъ ея. М., 1912.

Р. Невядомскій. Новая гипотеза мірозданія Мультона. Спб. 1910. Ц. 60 к. Новыя идеи въ математикѣ. Сборникъ № 1. Подъ ред. засл. проф. А. В. Васильева. Спб. 1913. Ц. 80 к.

К. 0. Лебединцевъ. Концентрическое руководство алгебры для среднихъ учебныхъ заведеній Ч. I. Спб. Кіевъ. 1913. Д. 90 к.

Изд. Харьковской Математической библіотеки;

№ 2—3. Н. И. Лобачевскій. Новыя начала геометріи съ полной теоріей параллельныхъ. Со вступ. статьей и примѣчаніями проф. Д. М. Синцова. Харьковъ. 1912. Д. 1 р.

Серія В. № 1. Эмиль Пикаръ. О развитіи за послѣднія сто лѣтъ нѣкоторыхъ основныхъ теорій математическаго анализа. Пер. пр.-доц. С. Н. Бернштейнъ. Ц. 50 к. П. Никульцевъ. Ариѳметика. Изд. 10. М Ц 70 к.

РЕДАКЦІЯ

„Математическое Овразованіе“

предпринимаетъ изданіе портретовъ знаменитыхъ математиковъ и физиковъ.

Въ настоящее время изъ этой серіи изданъ портретъ Анри Пуанкаре

Фототипія разм. 38 сант.

разм. самаго портр. 211ДХ1(5 »

Цѣна съ пересылкой заказной бандеролью:

1 портр. — 60 к.

2 1р. —

3 „ 1 „ 35 к. (Можно почт. марк.).

Въ ближайшемъ будущемъ будутъ выпущены портреты Лобачевскаго, Э. Пикара и др.

Открыта подписка на 1913-й годъ

на Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

„МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНІЕ“.

Журналъ выходитъ ежемѣсячно книжками отъ 2 до 3 печатныхъ листовъ за исключеніемъ мая, іюня, іюля и августа мѣсяцевъ.

Циркуляромъ Попечителя Московскаго Учебнаго Округа отъ 23 Марта 1912 года за № 10808 журналъ „Математическое Образованіе“ рекомендованъ для выписки въ ученическія и фундаментальныя библіотеки мужскихъ и женскихъ учебныхъ заведеній.

Содержаніе журнала 1) статьи по различнымъ отдѣламъ математики, оригинальныя и переводныя; 2) статьи по вопросамъ преподаванія математики и соприкасающихся наукъ; 3) очерки по исторіи математики, біографіи и портреты математиковъ; 4) библіографическій отдѣлъ; 5) вопросы и задачи; 6) математическая хроника; 7) Объявленія.

Цѣна 3 рубля въ годъ и 2 рубля на полгода съ доставкой и пересылкой.

Имѣются экземпляры журнала за 1912-й годъ.

Цѣна отдѣльнаго номера 50 к. съ пересылкой.

За перемѣну адреса уплачивается 20 коп.

ПОДПИСКА ПРИНИМАЕТСЯ ВЪ РЕДАКЦІИ:

Москва, Остоженка 7, кв. 88,

и въ книжныхъ магазинахъ К. И. Тихомирова (Кузнецкій Мость), Н. П. Карбасникова и Т-во М. О. Вольфъ (Моховая).

Если объявл. печат. 4 раза уступка 15 °/в. За 8 разъ уступ. 25 °/0.

За разсылку при журналѣ отдѣльныхъ приложеній вѣсомъ не болѣе 1 л. съ каждой 1000 экз. 8 р. За каждый лишній лотъ съ 1000 экз. 4 р. ____

Книжные магазины пользуются 5% съ подписной цѣны.