Математическое Образованіе.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка.

№ 8.

Декабрь 1912 г.

МОСКВА.

Математическое Образованіе.

Журналъ Московскаго Математкческаго Кружка.

Годъ первый.

1912.

МОСКВА

ПЕЧАТНЯ А. Н. СНЕГИРЕВОЙ

1912.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

„Математическое Образованіе“

Декабрь 1912 г.

№ 8.

СОДЕРЖАНІЕ: Культурная роль физическихъ наукъ.—Н. Умовъ. О превращеніи треугольника въ треугольникъ симметричный съ даннымъ.—Э. Лейнѣкъ. Элементарный- способъ вычисленія приближенныхъ логариѳмовъ, пригодный для педагогической практики.—К. Лебединцевъ. Михаилъ Евсевіевичъ Головинъ.—В. Бобынинъ. Задачи. Рѣшенія задачъ. Библіографическій отдѣлъ. Открытіе Московскаго Общества изученія и распространенія физическихъ наукъ. А. О. Гатлихъ Ред.

Культурная роль физическихъ наукъ.

Н. Умовъ. Москва.

(Рѣчь произнесенная при открытіи Московскаго Общества изученія и распространенія физическихъ наукъ 18 ноября 1912 г.).

М. Г.

Мы собрались здѣсь объединенные задачей изученія и распространенія физическихъ наукъ. Задача имѣетъ высокую важность по многимъ причинамъ: физическія науки даютъ основы приспособленія силъ природы къ повышеннымъ потребностямъ людей и ставятъ краеугольные камни міропониманію. Но захватъ такого обширнаго круга матеріальныхъ и духовныхъ интересовъ человѣчества могъ осуществиться лишь благодаря обычаямъ и навыкамъ, развившимся подъ сѣнью естествознанія. Эти обычаи и навыки имѣютъ особую привлекательность для насъ, педагоговъ, и необходимо отмѣтить ихъ высокую цѣнность, такъ какъ въ нихъ залогъ прочности культурныхъ завоеваній. Успѣхи физическаго знанія находятся въ тѣсной связи съ использованіемъ основныхъ факторовъ экономической жизни народовъ—источниковъ энергіи, подчиненныхъ человѣку въ данную эпоху. Раскрытіе этой связи дастъ намъ матеріалъ для сужденія о культурной роли физическихъ наукъ, предметъ нашей краткой бесѣды.

Я долженъ исключить изъ разсмотрѣнія тѣ источники энергіи, которые присущи всѣмъ временамъ и всѣмъ націямъ: сюда относятся энергія свободныхъ людей и энергія животныхъ. Припомнимъ условія цѣнности источника энергіи. Она опредѣляется во первыхъ—способностью къ перемѣщенію, перемѣшаемостью сообразно экономическимъ и географическимъ условіямъ; во вто-

рыхъ—его гибкостью и податливостью волѣ человѣка, въ особенности въ механизмахъ связанныхъ съ преобразованіемъ силъ и скоростей; въ третьихъ — его постоянствомъ или отсутствіемъ случайныхъ перерывовъ въ его пользованіи; въ четвертыхъ—его мощностію.

Источниками энергіи въ древности были—сила воды, вѣтра и институтъ рабства.

На землѣ водяная сила заключаетъ въ себѣ громадные запасы мощности, но наиболѣе значительные изъ нихъ географически распредѣлены совершенно несоотвѣтственно экономическимъ потребностямъ населенія. Широкое использованіе ихъ стало возможнымъ только въ настоящее время благодаря открытію электрической передачи силы, сообщившей перемѣщаемость водянымъ мощностямъ. Въ древности отсутствовали всѣ условія благопріятныя ихъ пользованію, къ неблагопріятнымъ присоединялась еще неустойчивость и измѣнчивость географическихъ границъ народностей.

Водяные двигатели, въ формѣ подливныхъ колесъ, имѣли очень малое распространеніе, они ставились въ рѣкахъ или каналахъ подводившихъ воду, приспособлялись къ незначительнымъ паденіямъ воды. Устройство было несовершенно и примѣненіе къ размолу зерна ограничено, въ виду болѣе дешеваго и производительнаго труда животныхъ и рабовъ. При подсчетѣ источниковъ энергіи въ древности, мы оставимъ по этимъ причинамъ въ сторонѣ водяную силу.

Переходя къ силѣ вѣтра, мы должны исключить ея примѣненія на сушѣ въ формѣ вѣтряныхъ двигателей. Вѣтряныя мельницы были неизвѣстны ни древнимъ азіатскимъ народамъ, ни древнимъ грекамъ и римлянамъ. Остатковъ старыхъ мельницъ не имѣется на востокѣ. Сила вѣтра находила себѣ примѣненіе въ передвиженіи по большимъ воднымъ поверхностямъ, въ плаваніи по рѣкамъ и морямъ. Отмѣтимъ прежде всего случайность этой силы и особенности древняго мореплаванія. Оно происходило по преимуществу вдоль береговъ и притомъ днемъ; на ночь судно вытаскивалось обыкновенно на берегъ. Эти обстоятельства требовали употребленія веселъ и человѣческаго труда. Кромѣ купеческихъ триремъ имѣвшихъ три яруса веселъ, гиганты древности, суда Герона Сиракузскаго съ водоизмѣщеніемъ въ 2700 тонъ, имѣли по три мачты и по 20 ярусовъ веселъ. Въ виду исключительности примѣненія силы вѣтра въ далеко не обширной въ то время отрасли народнаго хозяйства, мы также не введемъ ее въ нашъ подсчетъ. Такимъ образомъ фундаментомъ экономическаго про-

гресса древности является энергія рабовъ. Она и наиболѣе удовлетворяетъ тѣмъ условіямъ, которыя должны выполняться источниками энергіи. Какую энергію можетъ дать человѣкъ-машина?

Остановимся на человѣкѣ средней силы. Пища имъ принимаемая въ теченіе дня развиваетъ въ тѣлѣ отъ 3000 до 4000 большихъ калорій, что эквивалентно около полутора милліонамъ килограммометрамъ. Свободный человѣкъ въ 10-ти часовой рабочій день можетъ произвести работу въ 290000 килограмметровъ, что соотвѣтствуетъ 8 килограмметрамъ въ 1" или мощности въ 1/10 лошадиной силы. Полезное дѣйствіе или экономическій коеффиціентъ машины-человѣка представится отношеніемъ произведенной работы къ потребленной энергіи; оно равно 19%. Сравнительно съ современнымъ состояніемъ техники это—въ высокой степени совершенный двигатель; полезное дѣйствіе въ 19% является почти предѣломъ для лучшихъ паровыхъ двигателей. Древность и современность въ этомъ отношеніи стоятъ одинаково. Наукой установленная норма для мертвой машины и свободнаго человѣка считается недостаточной для раба и изъ него выколачивается повышеніе коеффиціента полезнаго дѣйствія. Этимъ опредѣляются и способы управленія энергіей въ древности, ничего общаго съ наукой и современной техникой не имѣющія. Энергія въ древности не привлекала научнаго ума для изученія ея законовъ; она привлекала неистощимый арсеналъ насилій.

Благодаря спеціальному характеру главнаго источника энергіи въ древней физикѣ и отсутствовало то ученіе, которое составляетъ основный фонъ физическихъ теорій нашего времени и обусловило ихъ расцвѣтъ—ученіе объ энергіи. Не подымался и вопросъ, встающій съ неудержимой императивностью въ настоящее время: вопросъ объ истощимости запасовъ энергіи на землѣ. Рабовъ непрерывно рождали природа и война.

Рабство какъ институтъ, постепенно чахло и наконецъ пало. Но что сдѣлало возможнымъ это паденіе, и не вернется ли когда нибудь позорное учрежденіе на нашу землю? Отвѣты на эти вопросы можетъ дать только современное развитіе физическихъ наукъ и ихъ намѣчающееся будущее.

Оцѣнимъ мѣркою древняго міра, мѣркою раба, результаты пользованія современными намъ источниками энергіи, наукою подчиненными волѣ человѣка.

Я говорилъ о морскихъ гигантахъ древности въ 2700 тоннъ водоизмѣщенія съ 3-мя мачтами и 20-ю ярусами веселъ. Наибольшее современное намъ морское судно „ИМПЕРАТОРЪ“, заканчивающееся своей постройкой, въ 1/4 версты длиною, имѣетъ 65000

тоннъ водоизмѣщенія, машины въ 70000 лошадиныхъ силъ, принимаетъ 4100 пассажировъ и обслуживается экипажемъ въ 1100 человѣкъ. Если бы паръ мы хотѣли замѣнить рабами, численность послѣднихъ должна простираться до 700000 человѣкъ. Энергія рабовъ менѣе податлива чѣмъ энергія пара въ преобразованіяхъ силъ и скоростей и для перевода медленной работы рукъ человѣческихъ въ работу быстро вращающихся мореходныхъ винтовъ, нужно было бы устроить по меньшей мѣрѣ 70 заводовъ по 10000 человѣкъ въ каждомъ. Такой громоздкій механизмъ поглотитъ не малую долю энергіи и число рабовъ должно быть значительно увеличено. Чтобы держать въ повиновеніи это населеніе нуженъ экипажъ не въ 1000 человѣкъ. Для заводовъ, тюремъ, помѣщенія населенія со стражей и администраціей, магазинами для запасовъ пищи и т. д. нуженъ не корабль, а нѣчто такое, что по своей колоссальности не могло бы быть приведено въ движеніе своимъ населеніемъ, если бы даже было построено. Мы можемъ вообще утверждать, что задачи современной техники не разрѣшимы безъ привлеченія силъ мертвой природы.

Какъ поступилъ бы современный инженеръ, если бы ему пришлось демонстрировать воскресшему мудрецу древности Маллетовскій локомотивъ, развивающій до 3000 лошадиныхъ силъ, а временна и до 4000? Чтобы быть понятнымъ, онъ скажетъ: вотъ машина, приводимая въ двименіе 30000 рабовъ, несущихся съ головокружительной скоростью экспрессовъ.

Предложимъ далѣе вниманію мудреца проектъ электрической передачи мощности въ 250000 лошадиныхъ силъ отъ водопадовъ рѣки Замбези на разстояніе 1100 километровъ въ мины Наталя и Трансвааля электрическимъ токомъ въ 150000 вольтъ напряженія. На чертежахъ проэкта инженеръ укажетъ металлическую проволоку, по которой моментально на 1000 верстъ переносятся 2,5 милліона рабовъ со всѣмъ запасомъ пищи необходимымъ для ихъ труда.

Въ этихъ разсказахъ мудрецъ усмотритъ кощунство надъ истиной и воскликнетъ въ праведномъ гнѣвѣ: это буйство мысли, перешедшей всѣ предѣлы разумности и очевидности. Дѣйствительно—разумъ естествознанія есть буйство мысли передъ судомъ спокойнаго разума древности!

Еще нѣсколько штриховъ, характеризующихъ эту буйную мысль. Механическая энергія, потребляемая въ настоящее время человѣчествомъ соотвѣтствуетъ мощности 225 милліоновъ лошадиныхъ силъ или 2 Ѵ4 милліардамъ рабовъ, трудящихся за совѣсть. Но населеніе всего земного шара считаетъ только 1V, мил-

ліарда людей. Обративъ все это населеніе въ рабовъ, прекративъ всѣ другіе виды дѣятельности, мы не получимъ той механической мощности, которая дается техникой, созданной современнымъ физическимъ знаніемъ.

Географы и историки, подсчитывающіе населеніе государствъ древности включаютъ въ него и рабовъ. Будемъ же послѣдовательны и опредѣлимъ современное населеніе не въ 1*/2, а въ З3 4 милліарда. Это совершенно точный подсчетъ съ точки зрѣнія техника, который въ человѣкѣ усматриваетъ только рабочую единицу. Въ теченіе милліоновъ вѣковъ природа довела населеніе земли до ІѴ2 милліардовъ, а буйный разумъ физическихъ наукъ въ полтора столѣтія создалъ человѣчеству почти вдвое большее число сотрудниковъ. Съ какимъ удовольствіемъ я перечертилъ бы тѣ карты, по которымъ географы учатъ нашихъ школьниковъ, принявши за единицу разстоянія не старосвѣтскую единицу длины, а современную единицу человѣческой дѣятельности—единицу времени. Измѣнятся очертанія материковъ и океановъ. Сократятся размѣры высококультурныхъ странъ, свидѣтельствуя о чрезвычайномъ ростѣ единенія людей, о томъ, что уму потребно не пространство, а время. И растянутся границы тѣхъ, которыя мало причастны культурному движенію человѣчества.

Какимъ образомъ все это совершилось? Открытіемъ въ теплотѣ источника энергіи. Но первыя примѣненія пара къ полученію механическихъ мощностей около начала 18-го столѣтія дали только 3/10% полезнаго дѣйствія, а въ настоящее время въ наиболѣе совершенныхъ машинахъ этотъ коеффиціентъ доходитъ до 18%. Успѣхъ повышенія коеффиціента преобразованія тепловой энергіи въ механическую былъ обусловленъ постепеннымъ раскрытіемъ свойствъ тепловой энергіи, изученіемъ управляющихъ ею законовъ, открытіемъ цикла Карно, законовъ сохраненія и разсѣянія энергіи, построеніемъ термодинамики. Эти знанія, раскрывая природу тепловыхъ процессовъ, дали возможность управлять ими сообразно этой природѣ и только этимъ путемъ извлекать изъ нихъ наибольшую пользу. Методика управленія источникомъ экономическаго преуспѣянія стала діаметрально противоположной той, которая практиковалась въ древности. Вмѣсто произвола—изученіе и наука, вмѣсто насилія—закономѣрность и сообразованіе съ природой явленія. Такіе пріемы мы называемъ культурными и ихъ лучшая оцѣнка въ достигнутыхъ ими колоссальныхъ успѣхахъ. Я долженъ отмѣтить здѣсь великую этическую сторону общенія человѣка съ мертвой природой. Свободная,

подчиненная своимъ вѣчнымъ законамъ, она склоняется только передъ тѣмъ, кто соблюдаетъ эти законы: она вынуждаетъ человѣка къ ихъ изученію и внѣдряетъ въ него культурные навыки. Мы начинаемъ признавать истину, что силы природы оплодотворяютъ ниву жизни человѣческой лишь въ томъ случаѣ, когда мы сообразуемъ свою волю съ ихъ же закономѣрностями. Рѣзкимъ диссонансомъ звучитъ недостаточное признаніе этой истины въ примѣненіи къ явленіямъ той же природы, но живой. И въ результатахъ, и въ прививаемыхъ людямъ духовныхъ навыкахъ открывается глубокій смыслъ работы и ученій физическихъ наукъ— борьба за культуру человѣчества. Остановимся еще на другихъ духовныхъ навыкахъ утверждаемыхъ въ насъ физическими науками. Закрываютъ ли они возможность проявленія какимъ либо свойствамъ природы, кладутъ ли ихъ подъ спудъ, уменьшаютъ ли количественно и качественно переживанія человѣческаго ума? Нѣтъ, нѣтъ, и нѣтъ.

Физическія науки придаютъ высокую цѣну каждому свойству природы и тому, что создается этими свойствами. Они знаютъ, что все рождаемое природой при отношеніи къ нему согласномъ съ его законами, можетъ быть обращено на благо человѣчества. Не довольствуясь тѣмъ, что уже есть, наши науки пробуждаютъ къ жизни дремлющія силы и своимъ могучимъ творчествомъ наслаиваютъ одинъ на другой новые міры. Они даютъ уму океанъ переживаній и въ его буряхъ и волнахъ звучитъ призывъ къ богатству жизни во всѣхъ сферахъ человѣческой дѣятельности.

Мы неизмѣнно убѣждаемся въ громадномъ контрастѣ между изобиліемъ раскрывающихся свойствъ природы и скудостью запаса представленій человѣческаго ума, изъ которыхъ должны быть построены модели связей природы. Мы высоко цѣнимъ поэтому всякую новую мысль, какъ бы колюча и остра она не была.

Ей предоставляется возможность свободнаго развитія. Воздвигая ему препятсвія мы нанесли бы ущербъ тому освѣщенію, которое необходимо разуму, ищущему истины. Физическія науки не знаютъ страха передъ мыслью. Этому безстрашію мы обязаны разработкой представленія объ электромагнитной массѣ и теоріи относительности, кореннымъ образомъ противорѣчащихъ установившимся воззрѣніямъ на вещи и соверщающееся.

Физическія науки и содержаніемъ и обычаями высоко поднялись надъ обыденнымъ уровнемъ мысли и настолько прикоснулись къ существеннымъ интересамъ человѣчества, что для нихъ афоризмъ „наука для науки“ потерялъ свой смыслъ. Какъ бы ни

были спеціальны идеи, экспериментъ и измѣреніе, они, помимо намѣреній работника знанія, послужатъ или міропониманію или матеріальному успѣху.

Физическія науки увеличили народонаселеніе земли. Но трудящіеся требуютъ пищи. Допуская что приростъ нашихъ механическихъ сотрудниковъ будетъ итти даже болѣе медленнымъ темпомъ, чѣмъ въ послѣднее десятилѣтіе, черезъ 1000 лѣтъ имъ предстоитъ голодная смерть. Въ этотъ срокъ должны истощиться залежи каменнаго угля, дающіе одну изъ двухъ составныхъ частей ихъ пищи—угля и кислорода. Мы знаемъ, что оставшееся въ живыхъ населеніе не будетъ въ состояніи произвести потребной для своей жизни механической мощности. Не наступитъ ли крахъ культуры и не двинется ли исторія человѣчества назадъ?

Въ вопросахъ такой капитальной важности и выступаетъ цѣнность богатствъ накопленныхъ въ нашихъ наукахъ естественнымъ, не испытавшимъ стороннихъ вліяній, процессомъ ума. Такіе процессы какъ будто управляются безсознательною предусмотрительностію, благодаря которой въ моментъ опасности имѣются въ наличности всѣ средства къ ея устраненію. Къ тому моменту когда ученіе о превращеніи теплоты въ механическую энергію отливалось въ свои послѣднія формы, въ другой области энергіи— электромагнитной—закладывались основы, которыя къ нашему времени даютъ отвѣтъ на мучительный вопросъ—какъ быть дальше? На первый разъ спасеніе открывается въ умѣньи превращать механическую энергію въ электромагнитную и обратно, и въ электрической передачѣ силы.

Да, теперь, мы можемъ использовать громадныя водяныя мощности земли, разносить ихъ сообразно экономическимъ потребностямъ населенія, высоко поднять цѣнность странъ, не имѣвшихъ ранѣе экономическаго значенія. Водяная мощность опредѣляется приблизительно въ 600 милліоновъ лошадиныхъ силъ, что, по человѣческой мѣркѣ, соотвѣтствуетъ приросту населенія въ 6 милліардовъ, т. е. въ 4 раза болѣе наличнаго и притомъ, что особенно важно, населенія обезпеченнаго пищей на все время, пока надъ землею будетъ свѣтить солнце.

Такъ стоитъ дѣло удовлетворенія спроса на механическую энергію. Но запасы угля истощатся къ указанному выше сроку не только благодаря ему. На механическую мощность идетъ только половина всей добычи угля на землѣ. Остальная половина потребляется отопленіемъ, металлургическими и другими промышленными производствами. Съ истощеніемъ залежей угля подымается вопросъ не только о снабженіи человѣчества механической

энергіей, но вообще энергіей, потребной для его жизни. Водяныя мощности соотвѣтствуютъ только половинѣ энергіи потребляемой на землѣ, они даны и не подлежатъ измѣненію.

Нужно искать новыхъ источниковъ. Энергіи получаемыя изъ живого міра, водяной силы, горѣнія, вѣтра, представляютъ собою уловленную и запасаемую естественными процессами земли энергію солнечныхъ лучей. Оставляя въ сторонѣ энергію космическаго происхожденія, объявляющуюся на землѣ приливной и отливной волнами, какъ мало поддающуюся использованію, и энергію распада атомовъ, какъ чрезвычайно медленно раскрывающуюся, мы можемъ сказать, что развитіе физическихъ наукъ прошло двѣ стадіи: первую — параллельную пользованію по преимуществу энергіей процессовъ живого міра, и вторую—пользованію энергіей всѣхъ процессовъ земли, какъ ея живой такъ и мертвой природы. Этотъ послѣдній періодъ охватываетъ немного времени, но подъемъ его такъ высокъ, что уже предвидится частью конецъ потребленія, частью недостаточность энергій процессовъ на нашей планетѣ.

Остается одинъ выходъ, нужно подняться на слѣдующую, третью ступень—исканій энергіи не въ запасахъ земли, а въ сокровищницахъ небесныхъ пространствъ—космоса! Этотъ выводъ будетъ убійственнымъ, будетъ смертнымъ приговоромъ нашей культуры, если въ физическихъ наукахъ мы не найдемъ обнадеживающихъ отвѣтовъ.

Оказывается, что такіе отвѣты уже подготовлены. Матеріальная частица классической механики, считающаяся только съ себѣ подобной, безучастня къ лучистой энергіи и ея носительницѣ—пустотѣ, оказалась грубымъ отвлеченіемъ отъ дѣйствительности. Ея мѣсто занялъ электронъ, связавшій матерію съ той пустотой, которую она игнорировала, простирающій свои щупальцы— силовыя нити—во всѣ страны вселенной. Вселенная явилась въ величественномъ образѣ электромагнитнаго поля, въ которомъ развертывается двигатель жизни—излученіе. Изученіе свойствъ и законовъ лучистой энергіи привлекаетъ передовые умы и является злобою дня. Начинается постройка моста отъ процессовъ земли къ процессамъ космоса, моста, по которому пойдутъ ловцы космической энергіи на спасеніе культуры человѣчества.

Какими же новыми способностями долженъ человѣкъ одарить свою природу?

Свое зрѣніе онъ сдѣлалъ острѣе зрѣнія птицы, проникнувъ имъ въ неопредѣлимыя глубины пространствъ; быстрѣе орлинаго

полета несется его мысль черезъ океаны; въ силѣ мышцъ и быстротѣ бѣга съ нимъ не сравняется ни одинъ звѣрь когда либо жившій на землѣ Что же еще нужно человѣку?

Далеко оставивъ за собой міръ животныхъ, человѣкъ потянулся за способностью растительнаго міра непосредственно улавливать своими аппаратами энергію солнечныхъ лучей. Постъ человѣка впереди всѣхъ царствъ природы!

Количество энергіи приносимой солнечными лучами одному квадратному метру поверхности къ нимъ перпендикулярной и отстоящей отъ солнца на разстояніи земли, соотвѣтствуетъ 2,6 лошадинымъ силамъ. Изъ этого количества часть поглощается атмосферой, преимущественно водяными парами, угольной кислотой, облаками, пылью и т. д. Подъ широтой 45 градусовъ до земли доходитъ около одной лошадиной силы на квадратный метръ ея поверхности. Принимая все это во вниманіе, географическое положеніе, продолжительность инсоляціи, можно подсчитать, что на одну Сахару въ теченіе года падаетъ количество энергіи въ 10000 разъ превышающее всю энергію, потребляемую современнымъ человѣчествомъ.

Использованіе солнечной энергіи пріемами практикуемыми въ нашихъ паровыхъ машинахъ, сосредоточивая лучи солнца зеркалами на паровыхъ котлахъ, стоитъ на неправильномъ пути. Обращеніе въ механическую мощность только что указанныхъ колоссальныхъ количествъ энергіи возможно лишь при утилизаціи громаднаго паденія температуры отъ 5000 градусовъ на солнцѣ до ничтожной температуры земли. Этотъ температурный промежутокъ, величинѣ котораго пропорціональна производительность двигателя, не можетъ быть использованъ никакимъ чисто термическимъ процессомъ въ тѣлахъ нашей планеты.

Пріемы должны быть иные; солнечный лучъ есть электромагнитное явленіе, и его энергія должна быть уловлена въ электромагнитной формѣ, быть можетъ путемъ термоэлектрическихъ процессовъ. На рѣшеніе задачи у насъ впереди еще тысяча лѣтъ.

Уважаемое собраніе!

Въ той картинѣ, которая прошла передъ вашими глазами, вы усматриваете, что не только земля тяготѣетъ къ солнцу, но и жизнь земная и разумъ человѣка. Въ дружномъ единеніи, въ путь дорогу къ животворящему свѣтилу!

16. XI. 1912 г.

О превращеніи треугольника въ треугольникъ, симметричный съ даннымъ.

Э. Лейнѣкъ. Москва.

Въ настоящей работѣ мы будемъ заниматься слѣдующимъ вопросомъ: найти всѣ случаи, когда данный плоскій, прямолинейный треугольникъ АВС можетъ быть разрѣзанъ по прямой линіи на двѣ такія части, изъ которыхъ можно составить треугольникъ At Bt С{, симметричный съ даннымъ.

Этотъ вопросъ, въ нѣсколько иной формулировкѣ, былъ помѣщенъ въ качествѣ задачи № 7 въ Мат. Образ. № 1, стр. 38.—

Докажемъ слѣдующую теорему, являющуюся отвѣтомъ на задачу «N5 7.

Всякій плоскій треугольникъ можно двумя прямолинейными разрѣзами разбить на три части, изъ которыхъ можно сложить новый треугольникъ, симметричный съ даннымъ.

Пусть имѣемъ треугольникъ АВС, всѣ углы котораго различны между собою. Пусть уголъ ß при вершинѣ В наибольшій изъ угловъ. Опустимъ изъ В перпендикуляръ BD на основаніе АС и точку D соединимъ съ серединою Р стороны AB и съ серединою Q стороны ВС. Линіи DP и DQ осуществляютъ требуемое разбіеніе треугольника АВС. Въ самомъ дѣлѣ, передвинувъ Д DQC налѣво такъ, чтобы С упало въ D и A APD направо такъ, чтобы А упало въ D, а линіи DC и AD составили бы продолженіе одна другой, мы повернемъ еще около точки О фигуру PDQB на уголъ л. Тогда, какъ не трудно убѣдиться, у насъ получится треугольникъ, симметричный съ даннымъ.

Въ такой постановкѣ вопросъ, какъ и рѣшеніе его не представляютъ ничего новаго*). Нижеслѣдующее изложеніе посвящено изслѣдованію того случая, когда число требуемыхъ разрѣзовъ можетъ быть понижено на единицу, и установленію всѣхъ типовъ треугольниковъ, допускающихъ, подобнаго рода разбіеніе.

Черт. 1.

*) См. напр. Д. Горячевъ и А. Воронецъ. Задачи, вопросы и софизмы. Москва 1903. стр. 23. № 84. Въ этой работѣ даются и другія рѣшенія разбираемаго вопроса.

При изслѣдованіи этого вопроса можемъ ограничиться по понятнымъ причинамъ случаемъ, когда треугольникъ АВС не равнобедренный.

Далѣе, мы можемъ представить его расположеннымъ такъ, что наибольшая сторона направлена горизонтально.

Для опредѣленности во всемъ дальнѣйшемъ будемъ считать, что по величинѣ углы а, /9, у расположены слѣдующимъ образомъ â^> а Двѣ фигуры, на которыя треугольникъ АВС разбивается разсматриваемою линіею, будемъ обозначать черезъ М и N. Ясно, что мы не сузимъ задачи, если будемъ одну изъ фигуръ М и N считать неподвижной, а двигать будемъ лишь другую. Во всемъ дальнѣйшемъ неподвижная фигура вездѣ обозначена буквою ІѴ, а подвижная фигура—буквою М***).

Послѣ этихъ предварительныхъ замѣчаній переходимъ къ самому изслѣдованію вопроса. Можно сдѣлать два предположенія:

1. Отрѣзокъ прямой, осуществляющей требуемый разрѣзъ, лежитъ однимъ концомъ на какой-либо сторонѣ треугольника, а другой конецъ его совпадаетъ съ противоположной вершиною.

2. Оба конца разсматриваемаго отрѣзка лежатъ на двухъ сторонахъ треугольника.

Мы разберемъ оба предположенія.

I.

1. Пусть разсматриваемая прямая проведена изъ вершины наибольшаго угла*). Тутъ возможны три случая: наша трансверсаль**) совпадаетъ съ высотою В В' или же она пересѣкаетъ основаніе треугольника въ какой-либо точкѣ D между основаніемъ высоты В' и вершиною большаго угла А, или же, наконецъ, пересѣкаетъ основаніе въ какой-нибудь точкѣ D между основаніемъ высоты В' и вершиною меньшаго угла С. Эти три основныхъ случая разсмотримъ отдѣльно.

2. Пусть треугольникъ N остается неподвижнымъ, а треугольникъ М перемѣщается. Возможны нѣсколько случаевъ: мы можемъ пытаться прикладывать М къ а или стороною с, или V или ft; точно также мы можемъ пытаться прикладывать М къ V

Черт. 2.

*) Два другихъ случая разобраны въ 5. и 6.

**) Трансверсаль—линія пересѣкающая треугольникъ.

***) Подвижная фигура вездѣ заштрихована.

и опять таки по порядку каждою стороною и, наконецъ, для полноты можно говорить еще о прикладываніи М къ А, но ясно, что въ этомъ послѣднемъ случаѣ это намъ не удастся, ибо с > А; сторона Ь\ конечно, можетъ оказаться равною А, но полученная фигура будетъ имѣть два угла, сумма которыхъ больше л, а въ треугольникѣ это, какъ извѣстно, не можетъ имѣть мѣста. Подобнымъ же образомъ нельзя будетъ приложить М къ а, ибо по условію а > с, a такъ какъ с > Л и с^>Ь', то, слѣдовательно, и а>А и а >5'. Что же касается стороны Ь", то и къ ней нельзя будетъ приставить Ж стороною 6', потому что тогда мы имѣли бы Ъ' = Ь", и нашъ треугольникъ Лі?(7 оказался бы равнобедреннымъ, а этотъ случай нами исключенъ изъ разсмотрѣнія въ самомъ началѣ. Нельзя будетъ также приложить М сторонами А или с къ Ъп, потому что въ обоихъ этихъ случаяхъ получается фигура, имѣющая два угла сумма которыхъ больше л.

Итакъ, первый основной случай разобранъ нами до конца и невозможность разбіенія треугольника высотою на двѣ части, обладающія свойствомъ упомянутымъ въ условіи задачи, строго доказана.

3. Пусть трансверсаль пересѣкаетъ основаніе треугольника АВС въ точкѣ I), лежащей между основаніемъ высоты В' и вершиною большаго угла А.

Попрежнему считаемъ N неподвижнымъ треугольникомъ.

Ясно, что М нельзя ни одною изъ его сторонъ приложить къ а, ибо всѣ онѣ меньше а: с по условію, a р и Ъ', какъ отрѣзки меньшіе с*).

Посмотримъ, что можно сказать относительно М и стороны Ъ". Ясно, что Ь' и Ь" нельзя совмѣстить, ибо они неравны. Нельзя будетъ также приложить М стороною с къ Z/', ибо тогда бы у насъ получился четыреугольникъ. Остается разобрать случай (р, b"). Для этого необходимо, во-первыхъ, чтобы р = Ь" и, такъ какъ при этомъ способѣ прикладыванія D совпадетъ съ (7, то для возможности задачи далѣе необходимо, чтобы ВС и DA (послѣ приложенія) составили бы одну прямую линію, а для этого надо, чтобы ? + у = л; но изъ треугольника DBG слѣдуетъ ф = 2/, значитъ, 2у-\-у = л, откуда у = ~ и треугольникъ DBC равносторонній;

Черт. 3.

*) См. Киселевъ, Геометрія. Изд. 21-ое § 59,3.

слѣдовательно, на долю со приходится , а такъ какъ со по отношенію къ а внѣшній уголъ, то со; но со = уу а значитъ а < у, что противорѣчитъ условію а>/.

Треугольникъ М можно еще попытаться приставить къ сторонѣ р треугольника DBG либо стороною с, либо Ь'*).

Такъ какъ с^>р, то надо изслѣдовать лишь случай (Ъ\р). Здѣсь, во-первыхъ, необходимо, чтобы 6'=р, т.-е. треугольникъ ABD долженъ быть равнобедреннымъ. Такъ какъ стороны СВ треугольника DBG и DB — треугольника DBA должны составить продолженіе одна другой, то, значитъ, у>-{- <р = л, но со-{-<р = л, значитъ, со — гр, т.-е. треугольникъ DBG равнобедренный**). Далѣе, со = 2а, какъ внѣшній уголъ равнобедреннаго треугольника ABD. Подсчитывая сумму угловъ треугольника DBC, получаемъ 2а-\-2а -\-у = л = а-{-@-\-у, откуда За = /9 (1).

Итакъ, во второмъ основномъ случаѣ для возможности задачи получаемъ необходимое условіе ß = За, т.-е. средній по величинѣ уголъ даннаго треугольника АВС долженъ равняться одной трети его наибольшаго угла.

4. Остается разсмотрѣть третій случай, когда трансверсаль пересѣкаетъ основаніе даннаго треугольника въ точкѣ D, лежащей между основаніемъ высоты В' и вершиною меньшаго угла С.

Принимаемъ опять N за неподвижный треугольникъ.

Будемъ прикладывать сначала М каждою изъ его сторонъ къ а. Комбинаціи (с,а) и (р,а) отпадутъ, ибо р<а и по условію.

Комбинація (Ь',а) также невозможна, ибо въ этомъ случаѣ мы имѣли бы не треугольникъ, а четыреугольникъ.

Будемъ прикладывать М къ сторонѣ р треугольника N. Возможны три комбинаціи

Первая изъ нихъ соотвѣтствуетъ тривіальному случаю; вторая приводитъ къ слѣдующимъ равенствамъ:

Черт. 4.

*) Ясно, что (р, р) соотвѣтствуетъ тривіальному случаю.

**) (p = ^ZDBC.

Выражая сумму угловъ треугольника ВВС получимъ со-f- у -|- /9 — ß' = л-

Такъ какъ послѣ приложенія линіи СВ и AD должны образовать у точки В уголъ л, то заключаемъ, что

а-\- ß — ß' =- л.

Изъ послѣднихъ двухъ равенствъ получаемъ а = со -\-у т. е. со = ос— у.

Выше мы имѣли со = л— а а потому

а — у = л— а = ß -\-у т. е. a = ß + 2y

Итакъ, а>>/9 что невозможно, ибо по условію ß^>a.

Третья комбинація приводитъ насъ къ заключенію, что р = Ѵ или а = /9'.

Далѣе, при точкѣ В долженъ образоваться уголъ /9, а потому а -j- со = /9, но со = 2а, какъ внѣшній уголъ треугольника АВВ.

Итакъ, За = /9 (1').

Остается разсмотрѣть, что будетъ, когда будемъ приставлять М къ сторонѣ Ъп. Возможны три комбинаціи (Ь', Ь"), (р, Ъ") и (с, 5"). Нетрудно убѣдиться, что первая комбинація соотвѣтствуетъ случаю, когда треугольникъ АВС прямоугольный.

Въ самомъ дѣлѣ, послѣ того, какъ мы приложимъ треугольникъ М стороною Ь' къ сторонѣ Ь" треугольника N, между сторонами а и с окажется уголъ у + а, тогда какъ въ данномъ треугольникѣ между упомянутыми сторонами лежитъ /9. Отсюда слѣдуетъ ß = у <х = л — ß или /9 = ~ т.-е. нашъ треугольникъ оказался прямоугольнымъ.

Разсмотримъ комбинацію (р, 5"). Въ этомъ случаѣ, чтобы полученная фигура дѣйствительно была треугольникомъ, необходимо, чтобы а>-|-/9'=л, но такъ какъ и со -\- <р = л, то, слѣдовательно, имѣемъ /9' = ср, т.-е. треугольникъ АВВ будетъ равнобедреннымъ, равно какъ и треугольникъ ВВС. Разсматривая теперь <р какъ внѣшній уголъ можемъ написать:

ср=2у или — = 2/, т--е. ß-\-y=±y отсюда имѣемъ ß = 3y (2).

Наконецъ, для возможности задачи въ послѣднемъ случаѣ (с,Ь"), мы должны имѣть с = Ь", а затѣмъ, чтобы полученная фигура была дѣйствительно треугольникомъ, нужно, чтобы а -f- со = л;

но <р со = л

откуда заключаемъ а = <р, т.-е. треугольникъ ABD равнобедренный. Отсюда выводимъ

Ф = 2у или а = 2у (3).

Итакъ, для возможности задачи въ третьемъ основномъ случаѣ получаемъ необходимыя условія

/9 = 3у или а = 2у,

т.-е. наименьшій уголъ даннаго треугольника долженъ равняться одной трети наибольшаго или же половинѣ средняго по величинѣ угла этого же треугольника.

5. Мы предполагали все время, что трансверсаль выходитъ изъ вершины наибольшаго угла /9, и въ этомъ предположеніи исчерпали всѣ могущіе представиться случаи.

Остается посмотрѣть, нельзя-ли осуществить требуемый разрѣзъ при помощи какой-нибудь трансверсали, выходящей изъ вершины угла а или у.

Итакъ, пусть трансверсаль, осуществляющая требуемый разрѣзъ, выходитъ изъ вершины угла а. Ясно, что треугольникъ М нельзя будетъ приставить ни одною изъ его сторонъ къ сторонѣ Ь треугольника ІѴ, такъ какъ всѣ онѣ по своей величинѣ отличны отъ Ь: такър < Ь, с < Ь по условію, но по условію, поэтому и а'<Ь. Далѣе, нельзя будетъ приставить треугольникъ М ни одною изъ его сторонъ и къ сторонѣ р треугольника N.

Въ самомъ дѣлѣ, если бы, напримѣръ, а' = р, то мы имѣли бы /9 = а' и, такъ какъ сс'<я, то /9<а, что противорѣчитъ условію ß>cc.

Точно такъ же комбинація (с, р), хотя с и можетъ оказаться равнымъ р, все же рѣшенія не дастъ, потому что получающаяся фигура будетъ имѣть у точки А уголъ aff-f-/9^>/9, а искомый треугольникъ можетъ имѣть лишь углы а, /9, у при чемъ /9 наибольшій изъ нихъ.

Черт. 5.

Пусть теперь мы приставили М одною какою-либо стороною къ а" и пусть мы находимся въ наиболѣе благопріятныхъ условіяхъ, когда получившаяся фигура есть дѣйствительно треугольникъ. Полученная фигура будетъ имѣть однимъ изъ своихъ угловъ уголъ а" и такъ какъ углы ея могутъ быть равны лишь а, ß, /, то или а" = а, или а" = ß или а" = у. Но а", какъ часть а, не можетъ быть равенъ ему; а" не можетъ быть равенъ и £, ибо ßXx^>a'\ Значитъ, необходимо, чтобы а" = 7 т.-е., чтобы треугольникъ ADC оказался равнобедреннымъ, а потому имѣемъ а''=р.

Далѣе, а' не можетъ быть равенъ а" потому, что тогда изъ равенствъ а — а" и а" =р слѣдовало бы равенство а =р, невозможность котораго только что была доказана. Итакъ, комбинація (а', а") невозможна.

Случаи (с, а") и (р, а") вполнѣ возможны. Въ первомъ случаѣ имѣемъ равенство с = а", кромѣ того уже имѣли раньше р = ап, откуда выводимъ с=р, т.-е. б = £, но изъ треугольника ADC имѣемъ 6 = 27.

Итакъ, получаемъ

£ = 27 (4)

Чтобы во второмъ случаѣ имѣть дѣйствительно треугольникъ, необходимо имѣть а' = б, другими словами, треугольникъ ABD долженъ быть равнобедренный. Отсюда выводимъ:

л — ß .

б = —-— = 27 или а 7 = 47

и

т.-е. а = З7 (5),

6. Что касается трансверсали изъ меньшаго угла 7, то легко показать, что она не можетъ дать рѣшенія задачи.

Въ самомъ дѣлѣ, треугольникъ М не можетъ быть приставляемъ къ сторонѣ сп треугольника JV, потому что получающаяся фигура будетъ имѣть уголъ у" <7, т.-е. меньшій наименьшаго изъ угловъ даннаго треугольника

Но М не можетъ быть приставляемъ и къ 5, ибо всѣ его стороны отличны отъ Ь, такъ Ъ>а по условію, и с<^Ъ по условію, значитъ и с'<^Ъ и, наконецъ, р<іЪ.

Точно также М не можетъ быть приставленъ къ сторонѣ р треугольника N ни стороною с' ни о, потому что с, какъ сторона

Черт. 6.

лежащая противъ /' <С 7 ßj меньше стороны р, лежащей противъ угла ß. Сторона же а будетъ, вообще говоря, отлична отъ р, но и въ случаѣ р == а мы не получимъ рѣшенія, потому что получающаяся фигура будетъ у точки С имѣть уголъ ß-f*/" > ß, а такъ какъ искомый треугольникъ можетъ имѣть лишь углы а, ß, причемъ ß наибольшій изъ нихъ, то ясно, что мы здѣсь не имѣемъ рѣшенія.

Нетрудно было бы убѣдиться, что получившаяся фигура есть четыреугольникъ.

II.

7. Перейдемъ теперь къ изслѣдованію того случая, когда прямая, производящая требуемое разбіеніе, пересѣкаетъ двѣ стороны треугольника. Такъ какъ нашъ треугольникъ имѣетъ по условію всѣ углы неравные между собою, то возможны три случая: прямая пересѣкаетъ стороны большаго угла ß, или стороны меньшаго по величинѣ угла /, или же стороны средняго по величинѣ угла, т.-е. а.

Нетрудно убѣдиться, что искомая прямая не можетъ пересѣкать сторонъ большаго угла ß.

Въ самомъ дѣлѣ, пусть наша прямая пересѣкаетъ линіи AB л ВС соотвѣтственно въ точкахъ Р и Q; тогда мы имѣемъ треугольникъ PBQ = М и четыреугольникъ APQC = N.

Возьмемъ теперь треугольникъ М и будемъ пытаться приставлять его всѣми возможными способами къ каждой изъ сторонъ четыреугольника. Что касается стороны PQ, то сразу видно, что если бы даже удалось треугольникъ М приставить къ ней такъ, что новая фигура есть опять таки треугольникъ, то этотъ треугольникъ никогда не можетъ быть симметриченъ съ даннымъ, а будетъ конгруэнтенъ съ нимъ, потому, что сторона Ь и углы а и / остались въ такомъ же расположеніи, какъ и раньше. Подобнымъ же образомъ нельзя будетъ приставить М къ сторонѣ Ь, потому что въ лучшемъ случаѣ получится четыреугольникъ, а то и пятиугольникъ, но никоимъ образомъ не треугольникъ. Что же касается сторонъ АР и CQ, то и къ нимъ нельзя будетъ приставить М потому, что если бы это можно было сдѣлать, то мы имѣли бы треугольникъ, одна изъ сторонъ котораго больше АС — наибольшей изъ сторонъ разсматриваемаго треугольника. Итакъ, случай, когда наша прямая пересѣкаетъ стороны большаго

Черт. 7.

угла, разобранъ со всѣми подробностями и мы можемъ перейти къ слѣдующему случаю: прямая PQ пересѣкаетъ стороны меньшаго угла /.

8. Мы можемъ и тутъ говорить о четырехъ возможныхъ способахъ приставленія треугольника М къ четыреугольнику N. Ясно, что къ сторонѣ с нечего и пытаться приставлять, потому что мы имѣли бы опять или четыреугольникъ, или пятиугольникъ. Въ этомъ можно легко убѣдиться разсужденіями, уже неоднократно примѣнявшимися выше.

Точно также нельзя говоритъ о приставленіи М къ сторонѣ PÇ, потому что въ этомъ случаѣ новый треугольникъ всегда будетъ конгруэнтенъ съ даннымъ. Остаются такимъ образомъ лишь два случая М......а', М..V.

Разсмотримъ по порядку оба эти случая. Пусть, слѣдовательно, треугольникъ М приставили къ а' и получили новый треугольникъ А1ВІ Сѵ симметричный съ даннымъ. Такъ какъ въ данномъ треугольникѣ уголъ а заключенъ между сторонами с и Ь, то и въ новомъ должно имѣть мѣсто то же. Отсюда выводимъ равенство

Ь' = с.

Далѣе, такъ какъ въ данномъ треугольникѣ къ сторонѣ с прилегаютъ углы а и ß, то то же будетъ и въ новомъ.

Итакъ, имѣемъ

Такимъ образомъ положеніе искомой прямой PÇ, производящей требуемый разрѣзъ, вполнѣ опредѣлено. Она должна быть проведена черезъ точку Р, лежащую на сторонѣ А G и отстоящую отъ А на разстояніи равномъ с. При этомъ уголъ ея наклона къ АР долженъ равняться углу ß. Весь вопросъ теперь въ томъ, можно ли, а если можно то когда, приставить М къ а' такъ, чтобы полученная фигура была бы треугольникомъ. Отсюда и получатся нужныя намъ необходимыя условія.

Обозначимъ для простоты стороны треугольникъ PQC буквами jp, g, г. Мы должны разсмотрѣть комбинаціи (а', р), (а', g), (а', г). Комбинація (а', р) должна быть отброшена, такъ какъ она приводитъ насъ къ абсурду у -f ß = л.

Черт. 8

Комбинація (а', q) позволяетъ намъ написать равенства ір-\-^ = л и ф = откуда имѣемъ

но (p-L-tp = x — у, а потому

Случай (а', г) подобнымъ же образомъ приводитъ насъ къ соотношеніямъ :

Отсюда выводимъ ф = гр = - ^, что въ связи съ первымъ соотношеніемъ даетъ намъ

Такимъ образомъ мы пришли къ слѣдующимъ двумъ соотношеніямъ:

(6)

(7)

9. Мы разобрали только одинъ изъ двухъ возможныхъ способовъ приставленія М къ N\ посмотримъ, что намъ дастъ другой случай, когда приставляемъ М къ сторонѣ Ь' четыреугольника ABQP.

Совершенно такими же разсужденіями какъ выше придемъ къ заключенію, что а' = с и 4: BQP = а. Повторяя для этого случая все сказанное въ первомъ случаѣ, мы точно такъ же придемъ къ заключенію, что

Черт. 9.

Послѣднее соотношеніе должно быть отброшено потому, что изъ него слѣдовало бы а > ß, тогда какъ на самомъ дѣлѣ ß > а. Итакъ, мы имѣемъ для случая, когда прямая PQ пересѣкаетъ стороны меньшаго угла, три равенства:

Черт. 10.

а = 2у, ß = 2/, ß = 2y + « (9)

10. Переходимъ, наконецъ, къ послѣднему случаю, когда прямая PQ пересѣкаетъ стороны средняго по величинѣ угла а. Повторяя тѣ же разсужденія, какія мы употребили при разборѣ предыдущаго случая, мы изъ четырехъ, представляющихся на первый взглядъ равновозможныхъ случаевъ, должны будемъ откинуть три, а не два, какъ это было выше. Причина этого кроется въ томъ, что выше мы откладывали на АС отъ точки А отрѣзокъ равный с и находили точку Р; въ другой разъ мы откладывали этотъ же отрѣзокъ отъ точки Б на ВС и находили точку Q. Оба раза можно было упомянутое отложеніе совершить, такъ какъ с было наименьшею изъ сторонъ.

Въ разсматриваемомъ же теперь случаѣ можно будетъ отложить лишь а на Ь, но нельзя будетъ отложить а на с, ибо с < а. Если бы мы сдѣлали и въ этомъ случаѣ то же построеніе, что и раньте, т.-е. изъ точки Qv находящейся на продолженіи В А и отстоящей отъ В на разстояніи а, провели бы сѣкущую подъ угломъ у къ Q{B, то эта прямая пересѣкла бы стороны меньшаго изъ угловъ—*/. Въ справедливости сказаннаго можно убѣдиться крайне простыми разсужденіями. Такимъ образомъ мы пришли бы къ случаю уже разсмотрѣнному.

Продолжая примѣнять упомянутый методъ къ изслѣдованію оставшагося послѣдняго случая, мы получили бы соотношенія.

ß = 2а и ß — 2а -f- / (10)

Собирая теперь всѣ полученныя нами необходимыя условія, получимъ таблицу

Полученныя десять равенствъ распредѣлимъ въ три группы. Формулы 1, 2, 5 образуютъ первую группу. Формулы 6, 8, 9, а также и 3, 4 составятъ вторую группу. Оставшіяся двѣ формулы 7 и 10 образуютъ послѣднюю группу. Ясно, что каждая группа характеризуетъ опредѣленнаго вида треугольникъ. Такъ, первая группа соотвѣтствуетъ треугольнику, у котораго одинъ уголъ втрое больше другого; вторая группа соотвѣтствуетъ треугольнику, у котораго одинъ уголъ вдвое больше другого и, наконецъ, послѣдняя группа соотвѣтствуетъ треугольнику, имѣющему уголъ равный суммѣ одного изъ остальныхъ угловъ съ удвоеннымъ другимъ угломъ*).

Легко было бы убѣдиться, что полученныя нами условія не только необходимы, но и достаточны, т. е. при выполненіи ихъ треугольникъ можно разбить однимъ разрѣзомъ на двѣ части, изъ которыхъ можно составить треугольникъ, симметричный съ даннымъ. Мы приходимъ такимъ образомъ къ окончательному результату.

Существуетъ лишь четыре вида треугольниковъ, для которыхъ возможно разбіеніе по прямой линіи.

1. Прямоугольные треугольники.

2. Треугольники сь углами (р, 3<р, л— 4<р.

3. Треугольники съ углами <ру 2<jp, л — 3<р.

4. Треугольники съ углами <р, гр, гр-2<р.

Для треугольниковъ перваго вида линія, производящая требуемое разбіеніе, совпадаетъ съ медіаною проведенной къ гипотенузѣ.

Для треугольниковъ второго вида искомою линіею является прямая, дѣлящая уголъ 3ç> на части <р и 2<р такъ, чтобы получились два равнобедренныхъ треугольника.

Для треугольниковъ двухъ послѣднихъ видовъ искомая линія можетъ быть построена слѣдующимъ образомъ: проводимъ биссектриссу угла л — 3<р или гр и перегибаемъ треугольникъ по этой биссектрисѣ; мы получаемъ новый треугольникъ, пересѣченный нѣкоторою трансверсалью. Эта послѣдняя и является искомою прямою, осуществляющей требуемое разбіеніе**).

Заканчивая настоящую статью позволю себѣ обратить вни-

*) Стороны такихъ треугольниковъ связаны между собою замѣчательными соотношеніями; по этому поводу см. работу Н. Агрономова въ Вѣстн. Оп. Физ. ХХХІУ с., 1905 г. стр. 109.

**) Для треугольниковъ, соотвѣтствующихъ формуламъ 3 и 4 нашей таблицы, можно требуемое разбіеніе произвести и другимъ способомъ. Это слѣдуетъ изъ сказаннаго выше въ 3, 4, 5 и 6.

маніе читателей на то, что задача аналогичная разобранной можетъ быть поставлена и по отношенію къ сферическимъ треугольникамъ. Понятно, что тамъ все будетъ гораздо сложнѣе, такъ какъ соотношеніе а -f- ß -f- у = л для сферическихъ треугольниковъ не имѣетъ мѣста*). Не лишенъ интереса на мой взглядъ и вопросъ о разбіеніи тетраэдра.

Элементарный способъ вычисленія приближенныхъ логариѳмовъ, пригодный для педагогической практики.

(Докладъ, читанный въ засѣданіи Московскаго Математическаго кружка 23 февр. 1912 г.).

К. Лебединцевъ. Москва.

Когда учащіеся знакомятся съ ученіемъ о логариѳмахъ и съ употребленіемъ логариѳмическихъ таблицъ, они обыкновенно весьма интересуются вопросомъ о томъ, какимъ образомъ могутъ быть вычислены табличные логариѳмы. Разумѣется, было бы крайне неудобно оставлять этотъ вопросъ учащихся безъ отвѣта; поэтому въ разное время предлагались различные способы элементарнаго вычисленія логариѳмовъ, болѣе или менѣе доступные пониманію учащихся. Еще въ старыхъ учебникахъ алгебры**) указывается, что логариѳмы могутъ быть вычисляемы съ любой степенью точности путемъ послѣдовательнаго нахожденія среднихъ ариѳметическихъ и среднихъ геометрическихъ между нѣкоторыми числами; но способъ этотъ теперь оставленъ педагогической практикой, такъ какъ онъ требуетъ многократнаго извлеченія квадратныхъ корней и сопровождается очень сложными вычисленіями. Далѣе возможно опредѣленіе приближенныхъ логариѳмовъ съ помощью непрерывныхъ дробей; но этотъ способъ (также давно извѣстный) доступенъ учащимся въ полной мѣрѣ только послѣ ознакомленія съ непрерывными дробями, да и по существу неудобенъ, такъ какъ требуетъ возвышенія дробныхъ чиселъ въ довольно большія степени.

Въ послѣднее время предложены для элементарнаго вычисленія логариѳмовъ болѣе совершенные способы. Одинъ изъ нихъ былъ указанъ М. Ф. Бергомъ въ докладѣ, читанномъ въ засѣданіи Московскаго Математическаго Кружка 5 дек. 1908 г.***); этотъ способъ основанъ на разысканіи степеней даннаго числа, близкихъ къ степенямъ 10, и можетъ быть вполнѣ доступенъ для учащихся, приступающихъ къ изученію логариѳмовъ (погрѣш-

*) Много интереснаго по вопросамъ аналогичнаго характера можно найти въ диссертаціи Р. Mahlo. Topologische Untersuchungen über Zerlegung in ebene und sphaerische Polygone. Halle, 1908.

**) Малининъ и Буренинъ. Руководство алгебры. Никульцевъ. Алгебра, ч. I.

***) См. „Вѣстникъ оп. физ. и элѳм. математики, XLI сем., № 483, стр, 66—68.

ность получаемаго результата, какъ указывается въ докладѣ, можетъ быть еще уменьшена, но уже помощью соображеній, основанныхъ на разложеніи логариѳмовъ въ ряды). Другой способъ изложенъ въ брошюрѣ Шуберта*), переведенной на русскій языкъ А. В. Петровымъ; онъ основанъ на нѣсколькихъ простыхъ зависимостяхъ между логариѳмами трехъ, четырехъ и пяти послѣдовательныхъ цѣлыхъ чиселъ, причемъ зависимости эти выводятся элементарнымъ путемъ съ примѣненіемъ формулъ (а + Ь) (а — Ь), (а — 5)2, (а — Ь)3, (а — 6)4, извѣстныхъ учащимся изъ предыдущаго курса алгебры.

Я имѣю въ виду предложить здѣсь свой способъ рѣшенія того же вопроса, по моему мнѣнію наиболѣе пригодный для цѣлей педагогической практики. Этотъ способъ вытекаетъ изъ слѣдующихъ соображеній.

Если я желаю опредѣлить десятичный логариѳмъ числа а съ точностью до — (гдѣ а и п обозначаютъ цѣлыя положительнныя числа), то мнѣ достаточно знать, между какими послѣдовательными цѣлыми степенями числа 10 заключаетея число ап. Дѣйствительно, если мы имѣемъ неравенство

то изъ него вытекаетъ, что

т.-е. искомый логариѳмъ равенъ —- съ точностью до — (съ недостаткомъ).

Приложимъ теперь эти соображенія къ опредѣленію Ід 3 съ точностью до —; для этой цѣли намъ необходимо будетъ узнать между какими послѣдовательными степенями 10-ти заключаетея число З100.

Непосредственнымъ умноженіемъ находимъ, что З5 = 243, З10 = 2432 = 59049; отсюда ясно, что число З10 заключаетея между 59000 и 60000, или

59.ІО3 < З10 < 60.ІО3.............(1)

Возвышая каждое изъ этихъ чиселъ въ квадратъ, найдемъ:

3481.ІО6 < З20 < 3600.10е или, по закругленіи результата:

34. ІО8 < З20 < 36.ІО8............(2)

*) Германъ Шубертъ. Элементарное вычисленіе логариѳмовъ. Перевелъ съ нѣмецкаго А. Петровъ. Изд. К. Тихомирова, Москва, 1906 г., ц. 30 к.

Возвышая каждое число снова въ квадратъ, получаемъ: 1156.ІО16 < З40 < 1296.ІО16, или послѣ закругленія

11.1018< 340<13.Ю18...............(3)

Послѣ новаго возвышенія въ квадратъ имѣемъ:

121ЛО36 < З80 < 169.ІО36..........(4)

Если теперь перемножимъ почленно неравенства (2) и (4), то найдемъ

34.121.ІО44 < З100 < 36.169.ІО44

Замѣнимъ теперь произведеніе 34.121 меньшимъ числомъ 10.100, т.-е. ІО3, а произведеніе 36.169 большимъ числомъ 50.200, т.-е. ІО4; тогда неравенство не нарушится, и мы найдемъ:

ІО3. 1044<3100<104,Ю44, или 1047<3100<Ю48,

откуда Ю°-47< 3 < ІО0’48.

Такимъ образомъ искомый Zg 3 = 0,47 съ точн. до 0,01.

Вычислимъ еще Ід 61 съ точностью до 0,01; намъ придется для этого узнать, между какими послѣдовательными степенями 10-ти заключаетея число 61100.

Путемъ непосредственнаго умноженія, или еще лучще съ помощью пріемовъ приближенныхъ вычисленій, находимъ, что число 615 заключаетея между 84 и 85 десятками милліоновъ:

84.107< 615 < 85.ІО7

Отсюда по возвышеніи въ квадратъ найдемъ

7056.1014<6110< 7225.1014 или послѣ закругленія

70.1016< 6110< 73.ІО16............(1)

Возвышая каждое число снова въ квадратъ, получимъ

4900.ІО32 < 6120 < 5329.ІО32

или по закругленіи

49.1034< 6120< 54.1034 ...........(2)

Послѣ новаго возвышенія въ квадратъ будетъ имѣть 2401.1068< 6140 < 2916. ІО68

или 24.1070< 6140<ЗО.Ю70 ...........(3)

Возвышая еще разъ въ квадратъ, найдемъ

576.ІО140 < 6180 < 900.10140

или 5.10142<6180<9.Ю142................(4)

Перемножая теперь почленно неравенства (2) и (4), мы получимъ 245. ІО176 < 61100 < 486.ІО176, или 10178< 61100< ІО179,

откуда 101‘78< 61 < ІО1»79.

Слѣд. искомый Zg 61 = 1,78 съ точностью до 0,01 (съ нед.).

Въ разобранныхъ примѣрахъ мы могли при закругленіи результатовъ ограничиваться первыми двумя ихъ цифрами; но, конечно, это не всегда возможно, и если бы напр. мы должны были опредѣлить 61 съ точностью до

то сохраняя повсюду только первыя двѣ цыфры, мы не могли бы подъ конецъ заключить число 611000 между двумя послѣдовательными степенями 10-ти, и показатели 10-ти въ послѣднихъ границахъ разошлись бы болѣе, чѣмъ на одну единицу. Для достиженія желаемой цѣли намъ пришлось бы, по крайней мѣрѣ въ началѣ вычисленія, принимать во вниманіе первыя три цифры получаемыхъ результатовъ; здѣсь приведены тѣ послѣдовательныя неравенства, которыя мы при этомъ получали бы послѣ производства дѣйствій и закругленія результатовъ:

844.ІО6 <615 < 845.ІО6 712.ІО15 < 6110 < 715.ІО15 506.ІО33 <6120 <512.1033 256.ІО69 < 6140< 263. ІО69 655.ІО140 < 6180 < 692.ІО140

Перемножая далѣе неравенства, ограничивающія числа 6180 и 6120, и ограничиваясь при закругленіи результатовъ уже только двумя цыфрами, имѣемъ

33.ІО177 < 61100 < 36.ІО177

далѣе 10357< 61200< ІЗ.Ю356

10714< 61400< 17.ІО713 101428 < 6 1 800 < 29.ІО1427

и наконецъ, перемножая неравенства, ограничивающія числа 6 1 800 и 6 1 200, находимъ

ІО1785 < 611000 < 377.ІО1783 или ІО1785 < 611000 < ІО1786

откуда іо1»785 <61 < іо1»786

Слѣд. искомый Ід 61 = 1,785 съ точностью до 0,001 (съ нед.).

При производствѣ дѣйствій необходимо, конечно, пользоваться пріемами приближенныхъ и сокращенныхъ вычисленій. Полезно также ограничиться вычисленіемъ одной только мантиссы искомаго логариѳма; напр. въ данномъ случаѣ могли бы вмѣсто Ідб 1 опредѣлять 6,1 и наше первое неравенство замѣнилось бы такимъ:

844.10 <6,15< 845.10,

а затѣмъ получали бы послѣдовательно прежніе результаты, но съ меньшими показателями у числа 10; въ концѣ концовъ нашли бы, что

ІО785 < 6,11000 < ІО786,

откуда Ід 6,1 = 0,785 и 61 = 1,785.

Подобнымъ образомъ можно опредѣлить десятичный логариѳмъ любого цѣлаго числа съ напередъ заданной степенью точности. Вычисленія будутъ болѣе или менѣе сложными въ зависимости отъ заданнаго числа десятичныхъ знаковъ въ искомомъ логариѳмѣ, причемъ мы должны всегда остерегаться, чтобы не взять слишкомъ грубаго закругленія, иначе придется возвращаться назадъ и повторять вычисленіе съ большимъ числомъ цифръ. Чтобы показать, что эти вычисленія не дѣлаются непомѣрно трудными даже при отысканіи пяти десятичныхъ знаковъ логариѳма, я приведу здѣсь вычисленіе Ід 3 съ точностью до 1 стотысячной.

Выше было найдено, что 310 = 59049; отсюда находимъ 320 = 590492 = 3486784401, и далѣе будемъ имѣть послѣдовательно такія неравенства:

Отсюда получаемъ ^3 = 0,47712 съ точн. до 0,00001.

Необходимо теперь выяснить, какъ можетъ быть использованъ этотъ способъ въ педагогической практикѣ. Съ этой цѣлью мнѣ придется сдѣлать нѣкоторое отступленіе и указать тотъ прі-

емъ, которымъ я пользуюсь при выясненіи учащимся идеи логариѳмическихъ вычисленій*). Именно, какъ только установлено понятіе о логариѳмѣ, я предлагаю учащимся вычислить таблицу степеней числа 2 до 25-й степени включительно:

Съ помощью этой таблицы учащіеся продѣлываютъ такія, напр., вычисленія:

и на подобныхъ примѣрахъ убѣждаются, что умноженіе и дѣленіе чиселъ могутъ быть соотвѣтственно замѣнены сложеніемъ и вычитаніемъ показателей (т.-е. логариѳмовъ), а возвышеніе въ степень и извлеченіе корня—умноженіемъ и дѣленіемъ показателей. Послѣ этого для нихъ становится ясно, что для упрощенія разныхъ вычисленій было бы весьма полезно имѣть такую таблицу, съ помощью которой можно было бы представить всѣ числа, входящія въ вычисленіе, въ видѣ степеней одного и того же основанія. Вскорѣ выясняется, что за основаніе удобнѣе всего принять число 10, причемъ логариѳмы чиселъ 1, 10, 100, 1000.... вычисляются легко, а затѣмъ возникаетъ вопросъ о вычисленіи логариѳмовъ промежуточныхъ чиселъ, напр. числа 2.

Не трудно выяснить, что Ід 2 не можетъ быть цѣлымъ числомъ; затѣмъ доказывается, что Ід 2 не можетъ быть выраженъ и никакой дробью (если предположимъ, что Ід 2 = — , гдѣ х и у цѣлыя и положительныя числа, то имѣемъ 10^ = 2, или 10 * = 2у \ но это равенство невозможно, такъ какъ лѣвая часть его дѣлится на 5, а правая не дѣлится). Послѣ этого должно быть введено понятіе о приближенномъ логариѳмѣ, для чего я обращаюсь снова къ вышеупомянутой таблицѣ степеней числа 2.

*) Пріемъ этотъ по существу не новъ (онъ изложенъ напр. въ алгебрѣ Никульцева), но, повидимому, мало распространенъ въ школьной практикѣ.

Такъ какъ изъ нея видно, что 2* 10 *= 1024, то заключаемъ, что Ю3<210< ІО4; а извлекая изъ каждаго числа корень 10-й степени, имѣемъ ІО0’3 <2 < ІО0»4*). Этихъ показателей 0,3 и 0,4 мы называемъ приближеннымъ логариѳмами числа 2 (при основаніи 10) съ точностью до 1 десятой, съ недостаткомъ и избыткомъ (и вообще вводимъ условіе считать числа — и —приближенными логариѳмами числа у при основаніи а съ точностью до если у заключаетея между соотвѣтствующими степенями а:

ап<Су<Са п )• Подобнымъ образомъ имѣемъ по таблицѣ, что

225 = 33554432, т.-е. 107 < 225 < ІО8; отсюда Ю25 < 2 < ІО25, т.-е. приближенный Ід 2 съ точностью до — = — (съ нед.), и т. д. Теперь ясно, что мы будемъ знать приближенный Ід 2 съ точностью до —, если сможемъ заключить число 2100 между двумя послѣдовательными цѣлыми степенями 10-ти; а это нетрудно сдѣлать: мы видѣли въ таблицѣ, что 225 = 33554432; слѣд. число 225 заключаетея между 33 и 34 милліонами:

33.ІО6 < 225 < 34.ІО6

Возводя каждое изъ этихъ чиселъ въ квадратъ, мы получимъ 1089.ІО12 < 250 < 1156.ІО12, или послѣ закругленія:

ІО15 < 250< 2.ІО15

Отсюда послѣ новаго возвышенія въ квадратъ найдемъ

ІО30 < 2100 < 4. ІО30

или ІО30 < 2100 < ІО31

или ІО0’30 < 2 <С ІО0»31,

т.-е. приближенный Ід 2 съ точн. до 0,01=0,30 (съ нед.).

Выяснивъ такимъ образомъ идею вычисленія приближенныхъ логариѳмовъ, слѣдуетъ продѣлать съ учащимися еще нѣсколько подобныхъ примѣровъ съ точностью до 1 сотой или тысячной; полезно дать имъ вычислить нѣсколько подобныхъ логариѳмовъ совершенно самостоятельно на дому, причемъ для этихъ

*) Замѣчу, что если учащіеся знакомы съ понятіемъ о несоизмѣримыхъ корняхъ, то это неравенство вытекаетъ изъ опредѣленія смысла чиселъ ІО0’3 и ІО0»4, въ противномъ случаѣ они должны подразумѣвать подъ числами ІО0,3 и ІО0»4 приближенные корни 10-й степени изъ 103 и 10*, первый разъ съ недостаткомъ, а второй—съ избыткомъ.

упражненій слѣдуетъ, конечно, выбирать небольшія числа, и ограничиваться точностью въ или найдутся любители, которые поведутъ вычисленія и дальше, но для всѣхъ вообще достаточно понять, что подобнымъ способомъ можно найти приближенный логариѳмъ даннаго числа съ любой степенью точности.

Если учащіеся знакомы съ несоизмѣримыми числами, то въ заключеніе имъ нужно выяснить, что числа, не имѣющія точныхъ соизмѣримыхъ логариѳмовъ, имѣютъ несоизмѣримые логариѳмы; напр. логариѳмомъ 2 при основаніи 10 будетъ несоизмѣримое число, опредѣляемое слѣдующимъ условіемъ: меньшимъ его считается всякій приближенный Ід 2 съ недостаткомъ (и всякое число, меньшее одного изъ этимъ приближенныхъ логариѳмовъ); а большимъ его считается всякій приближенный Ід 2 съ избыткомъ (и всякое число, большее одного изъ этихъ приближенныхъ логариѳмовъ), и т. д. Но этотъ вопросъ уже выходитъ изъ рамокъ настоящей статьи.

Михаилъ Евсевіевичъ Головинъ.

В. Бобынинъ. Москва.

(Окончаніе).

Вслѣдствіе исходящихъ иногда отъ директора Академіи Домашнева напоминаній академикамъ и адъюнктамъ о необходимости исполненія ими § 14 академическаго регламента, требующаго отъ нихъ ежегоднаго представленія записокъ о предполагаемыхъ занятіяхъ на текущій годъ, Головинъ два раза представлялъ такія записки, именно въ 1781 году 29 января и въ 1782 году 8 апрѣля.

Наконецъ, какъ много времени отнимали у Головина работы по составленію и изданію обыкновеннаго календаря можно видѣть изъ того, что въ своемъ извинительномъ письмѣ къ Секретарю онъ указываетъ на нихъ, какъ на причину невозможности для него составить мемуаръ, который онъ долженъ былъ прочесть на своей очередной недѣлѣ, начинающейся съ 26 августа 1784 года.

Обида, нанесенная Головину княгиней Дашковой, была такъ глубока, что, не смотря на стремленіе Академіи къ его удержанію въ своей средѣ, онъ рѣшилъ прервать съ нею почти всѣ отношенія. Вмѣстѣ съ упомянутымъ уже выше прошеніемъ о возведеніи его въ званіе профессора въ томъ же засѣданіи 6 февр. 1786 г. отъ него были получены, во-первыхъ, находившійся въ распоряженіи его, какъ составителя Календаря на 1787 годъ, экземпляръ Connaissance du Temps pour 1787 и, во-вторыхъ, вычисленное имъ уже начало Календаря на 1787 годъ для передачи Румовскому. Отступленіе отъ принятаго рѣшенія онъ допустилъ только въ отношенія изданія сочиненій своего знаменитаго дяди, такъ какъ присоединилъ къ своему только что упомянутому про-

шенію заявленіе о томъ, что веденіе изданія сочиненій Ломоносова по-прежнему оставляетъ за собою.

Представляясь въ указанномъ сейчасъ случаѣ способнымъ принесть дѣло личнаго самолюбія въ жертву уваженію памяти родственника, Головинъ оказывался также и благодарнымъ сыномъ своей далекой сѣверной родины, заботящимся при случаѣ объ ея интересахъ. Такъ въ засѣданіи 1 сент. 1785 г. имъ было представлено отъ имени автора, мѣщанина города Архангельска Василія Крестинина, его сочиненіе „Историческій опытъ о сельскомъ старинномъ домостроительствѣ Двинскаго народа въ сѣверѣ“. Такъ какъ это сочиненіе было продолженіемъ труда того же автора, представленнаго въ засѣданіи 7 янв. 1782 г. адъюнктомъ Озерецковскимъ подъ заглавіемъ „Историческіе Начатки о Двинскомъ народѣ древнихъ, среднихъ, новыхъ и новѣйшихъ временъ“ и затѣмъ напечатаннаго по одобренію и на счетъ Академіи, то Конференція постановила передать это сочиненіе академику Протасову для представленія доклада о немъ директору Академіи княгинѣ Дашковой. Сочиненіе было напечатано Академіей въ томъ же 1785 году, а въ слѣдующемъ 1786 г. 2 октября авторъ его былъ уже избранъ въ члены — корреспонденты Академіи.

Распространеніе грамотности и просвѣщенія въ Россіи составляло предметъ заботъ Иператрицы Екатерины II съ самаго начала ея царствованія. По представленному ей по ея желанію проекту академика Эпинуса, взявшаго при его составленіи за образецъ австрійскую учебную систему, элементарныя и среднія школы должны были представлять три послѣдовательно возвышающіеся типа, изъ которыхъ первый заключалъ въ себѣ начальныя школы, назначенныя для обученія Закону Божію, чтенію, письму и правиламъ четырехъ основныхъ ариѳметическихъ дѣйствій, второй—главныя школы, въ курсъ которыхъ, кромѣ дальнѣйшаго развитія предметовъ начальной школы, входили еще геометрія, механика, архитектура, естествовѣдѣніе, географія, исторія, сельское хозяйство и элементы латинскаго языка, и, наконецъ, третій—нормальныя школы, назначенныя для приготовленія учителей школъ, главнымъ образомъ второго типа, такъ какъ приготовленіе учителей школъ перваго типа предполагалось возложить на школы второго типа. Позднѣе, при осуществленіи проекта Эпинуса на практикѣ, школы перваго типа были названы малыми народными училищами, второго—главными народными училищами и третьяго—учительскими семинаріями или гимназіями.

Въ сентябрѣ 1782 года была учреждена по повелѣнію Императрицы Коммисія объ учрежденіи училищъ, въ составъ которой вошелъ и академикъ Эпинусъ. Свою дѣятельность эта Коммиссія начала съ устройства главнаго народнаго училища въ Петербургѣ и съ учрежденія при немъ учительской семинаріи. Первое должно было служить образцомъ для подобныхъ же учрежденій въ другихъ городахъ, а вторая, кромѣ того, и источникомъ снабженія ихъ подготовленными учителями. Петербургское Главное Народное Училище открылось въ іюлѣ 1783 года.

Въ немъ же было организовано и начавшееся съ января 1784 года приготовленіе учителей. Учительская семинарія появилась такимъ образомъ въ началѣ тѣсно соединенною съ Главнымъ Народнымъ Училищемъ. Раздѣленіе ихъ на два самостоятельныя учебныя заведенія послѣдовало только въ іюлѣ 1786 года.

Не находя въ русской учебной литературѣ сочиненій, способныхъ удовлетворить требованіямъ предположенныхъ учебныхъ плановъ, Коммиссія объ учрежденіи училищъ должна была взять на себя также и заботу о составленіи соотвѣтствующихъ упомянутымъ требованіямъ сочиненій. Въ числѣ компетентныхъ лицъ, къ содѣйствію которыхъ въ этомъ важномъ дѣлѣ обратилась скоро послѣ своего учрежденія Коммиссія, былъ и Головинъ. Завязавшіяся такимъ образомъ, повидимому еще въ 1783 году, его отношенія къ Коммиссіи имѣли своимъ слѣдствіемъ занятіе имъ по всей вѣроятности немедленно послѣ оставленія Академіи должности преподавателя математики въ Учительской Семинаріи. Вступленіе его въ эту должность въ указанное время, слѣдовательно до отдѣленія Учительской Семинаріи отъ главнаго Народнаго Училища, не должно считаться стоящимъ въ противорѣчіи съ его высокимъ образовательномъ цензомъ, такъ какъ и до него тамъ уже былъ преподавателемъ русскаго языка и словесности бывшій профессоръ Московскаго Университета Евгеній Сырейщиковъ. Къ тому-же, существованіе указаннаго несоотвѣтствія не было и продолжительнымъ, такъ какъ немедленно послѣ преобразованія Учительской Семинаріи въ самостоятельное учебное заведеніе, то-есть въ томъ же 1786 году, Головинъ уже былъ возведенъ въ званіе ея профессора. Ея поднятіе надъ уровнемъ средней школы выразилось въ разсматриваемое время также и во вступленіи въ число ея преподавателей еще и новыхъ лицъ съ такимъ же образовательнымъ цензомъ, какимъ обладалъ Головинъ. Этими лицами были адъюнктъ Академіи класса физическихъ наукъ Василій Зуевъ, занявшій въ Учительской Семинаріи должность преподавателя естественной исторіи, и бывшій прежде адъюнктомъ по предмету Исторіи почетный членъ Академіи Наукъ Гакманнъ, взявшій на себя въ Учительской Семинаріи преподаваніе географіи.

По порученію Коммиссіи объ учрежденіи училищъ, Головинъ составилъ для главныхъ народныхъ училищъ два учебника. Изъ нихъ первымъ вышло въ свѣтъ въ 1786 году „Краткое руководство къ геометріи, издано для народныхъ училищъ Россійской Имперіи по высочайшему повелѣнію царствующія Императрицы Екатерины вторыя“. (Въ Санктпетербургѣ. 8°. 8 + 202 стр. и 6 таблицъ чертежей). Второй вышелъ въ свѣтъ въ 1789 году подъ заглавіемъ: „Краткое руководство къ гражданской Архитектурѣ или зодчеству изданное для народныхъ училищъ Россійской Имперіи по Высочайшему повелѣнію царствующія Императрицы Екатерины Вторыя“. (Въ Санктпетербургѣ. 8°. 6 + 137 стр. и 7 таблицъ чертежей). „Геометрія“ была раздѣлена на три отдѣленія, посвященныя соотвѣтственно „Измѣренію долготъ (Лонгиметріи)“, „Измѣренію поверхностей (Планиметріи)“ и „Измѣренію тѣлъ

(Штереометріи)“; „Архитектура“ состояла изъ четырехъ частей, предметами которыхъ соотвѣтственно были: „твердость зданія“, „удобность зданія“, „красота зданія“, „чертежи Архитектурные и строеніе зданія“.

Особенно интересными съ исторической точки зрѣнія представляются въ обоихъ сочиненіяхъ предисловія къ нимъ, какъ занимающіяся вопросомъ о пользѣ соотвѣтствующей науки и излагающія методъ ея преподаванія. Какъ показываетъ самый фактъ изложенія здѣсь этихъ методовъ, они должны разсматриваться какъ принятые Коммиссіею объ учрежденіи училищъ и въ то же время какъ употребляемые по всей вѣроятности въ своемъ преподаваніи и самимъ авторомъ.

Методъ преподаванія геометріи въ изложеніи Головина состоялъ съ сохраненіемъ его правописанія въ слѣдующемъ. „Учитель проходя Геометрію по сей книжкѣ долженъ заставлять учениковъ прочитывать каждый періодъ; по томъ изъяснить оной, тотъ часъ спрашивать, какъ они изтолкованное поняли, а не подаваться далѣе до тѣхъ поръ, пока большая часть учениковъ не уразумѣли хорошо прочитаннаго. При задачахъ доказательства требующихъ надлежитъ съ начала изтолковать самое предложеніе, по томъ приступить къ доказательству. При чемъ должно напоминать ученикамъ, въ какомъ случаѣ задачу сію въ общежитіи употреблять можно. Если ученикъ сдѣлалъ одну такую задачу, то задавать и больше на ее примѣровъ такихъ, кои можно употребить дѣйствительно въ общежитіи съ пользою. Практическія задачи можно разрѣшать на ровномъ столѣ булавками и нитками, изъ коихъ первые заступятъ мѣсто кольевъ, а другіе цѣпей; при томъ училище снабдено должно быть упоминаемыми въ сей книжкѣ орудіями, какъ то Астролябіею, компасомъ и проч. съ коими учителю вмѣстѣ съ учениками надлежитъ въ лѣтнее время выходить на поле, и тамъ на дѣлѣ показать рѣшеніе практическихъ задачь, кои въ классахъ, по теоріи или посредствомъ булавокъ и нитокъ разрѣшены были. Если дойдено будетъ до тѣлъ, то должно сдѣлать ихъ изъ толстой бумаги, показать ученикамъ и стараться довести ихъ до того, чтобъ они и сами сдѣлали то же: однимъ словомъ дѣлать все то, что служитъ къ лучшему и легчайшему преподаваемыхъ предметовъ уразумѣнію“.

Съ изложеннымъ методомъ преподаванія геометріи совпадалъ во всемъ существенномъ и методъ преподаванія гражданской архитектуры, какъ это можно видѣть изъ слѣдующаго его изложенія, даннаго Головинымъ: „Книга сія опредѣлена для учащихся въ четвертомъ Классѣ въ народныхъ училишахъ. Учитель заставляетъ учениковъ читать оную по параграфамъ, объясняя имъ напередъ предмѣты, и испытывая при каждомъ же параграфѣ, какъ они изтолкованное поняли. При преподаваніи практической части науки сея, долженъ онъ показывать способы черченія по геометрическимъ правиламъ, сперва на черной доскѣ, употребляя къ тому циркуль и линѣйку, и заставляя учениковъ повторять тожъ самое какъ на черной же доскѣ, такъ и на ас-

пидныхъ, а по томъ приступить уже долженъ къ порядочному черченію вышереченныхъ чертежей и на бумагѣ

При рѣшеніи вопроса о пользѣ, приносимой наукою, Головинъ, какъ представитель русской математической науки XVIII вѣка, стоящей еще на переходѣ отъ донаучнаго періода къ научному, могъ оцѣнивать эту пользу только съ точки зрѣнія интересовъ практической жизни. Такъ онъ, дѣйствительно, и поступаетъ, высказывая при разсмотрѣніи вопроса о пользѣ геометріи слѣдующія соображенія: „Сколько знаніе Геометріи полезно и нуждно въ общежитіи, никто спорить не можетъ: Землемѣріе, Архитектура гражданская и военная, Мореплаваніе, Физика, Механика и проч. словомъ всѣ наиполезнѣйшія для людей науки служатъ явнымъ тому доказательствомъ. Самыя художества и рукодѣлія не мало въ свою пользу отъ ней заимствовать могутъ: такъ живописцу поможетъ она въ изправномъ рисованьѣ; инструментальщику въ дѣланіи вѣрныхъ орудій; столарю и плотнику въ проведеніи прямыхъ и горизонтальныхъ линѣй, дѣланіи угловъ, и наблюденіи во всемъ надлежащей соразмѣрности; каменьщику въ складываніи стѣнъ; самому даже хлѣбопашцу сдѣлаетъ пользу при означеніи межъ въ случаѣ споровъ, при раздѣленіи полей во время посѣва, при строеніи овиновъ, закромовъ и проч.“.

Очевидность практическаго значенія архитектуры позволила Головину ограничить его изображеніе однимъ повтореніемъ общеизвѣстныхъ вещей. „Кромѣ того“, говоритъ онъ, „что цвѣтущее состояніе Архитектуры или Зодчества служило всегда явнымъ доказательствомъ гражданскаго благоустройства и очищеннаго вкуса, какъ у древнихъ, такъ и нынѣшнихъ народовъ, ученіе ея столько нужно и полезно, что нѣтъ нужды разпространяться здѣсь о томъ. Она сберегаетъ насъ отъ зноя лѣтняго, жестокости зимней, ненастья весны и бурь осеннихъ. Укрываетъ индѣ отъ алчности звѣрей и безпокойства гадовъ, доставляя и трудамъ нашимъ покой и самому покою мѣсто“.

Преподавательская дѣятельность Головина была непродолжительна. 8 іюня 1790 года онъ умеръ отъ злокачественной лихорадки. Академія Наукъ была извѣщена объ этомъ въ засѣданіи 20 іюня академикомъ Иноходцовымъ, ограничившимъ свое сообщеніе только очень краткимъ сухимъ перечнемъ положеній, занимаемыхъ Головинымъ въ Академіи въ разные періоды его жизни. Также кратка и суха была состоящая только изъ нѣсколькихъ строкъ некрологическая замѣтка о Головинѣ въ періодическомъ изданіи Академіи Наукъ Nova Acta Academiae seientiarum Imperialis Petropolitanae*). Не отличались полнотою и посвященныя Головину замѣтки въ различныхъ энциклопедическихъ изданіяхъ послѣдующаго времени.

Вся недолгая жизнь Головина была посвящена изученію физико-математическихъ наукъ и ихъ распространенію въ отечествѣ какъ черезъ сочиненія и переводы, такъ и устно путемъ

*) Tomus VIII. (Petropoli 1794). Historia ejusdem Academiae ad annum 1790. P. 14.

преподаванія. Скорѣе и яснѣе, чѣмъ въ чемъ-нибудь другомъ, сказались плоды дѣятельности Головина въ успѣхахъ того высшаго учебнаго заведенія, которому онъ посвятилъ послѣдніе годы своей жизни, то-есть Учительской Семинаріи. Она доставила въ теченіе первыхъ лѣтъ своего существованія такого крупнаго для Россіи разсматриваемой эпохи дѣятеля науки, какъ учитель Остроградскаго профессоръ Осиповскій*) и такихъ видныхъ для той же эпохи дѣятелей средней школы, какъ бывшіе въ ней учителями Тимофей Воскресенскій**) и Михаилъ Розинъ***). Къ Головину въ виду кратковременности его жизни вполнѣ можетъ быть приложенъ стихъ его знаменитаго дяди".

„Науки юношей питаютъ

Задачи.

60. Показать, что если а, Ъи с—числа, большія 1, то

(а 4-1) (Ь + 1) (a-f-c) (Ь + с)>16аЬс.

61. Рѣшить уравненіе

z4 —2z* (і/34-1)-|-16z—12— 2/3”= 0

Н. Несторовичъ.

*) В. В. Бобынинъ. Осиповскій, Тимофей Ѳедоровичъ. Біографическій Словарь, издаваемый Русскимъ Историческимъ Обществомъ. Стр. 384—388.

**) Окончилъ курсъ Учительской Семинаріи въ 1788 году и былъ назначенъ учителемъ математики въ открытое въ 1789 г. Тобольское Главное Народное Училище. Въ началѣ XIX вѣка занималъ ту же должность въ Тульской Гимназіи. Авторъ и переводчикъ многихъ преимущественно беллетристическихъ произведеній, опъ печаталъ ихъ, а также и произносимыя имъ въ Училищѣ рѣчи, въ современныхъ періодическихъ изданіяхъ. Трудами его по своей научной спеціальности были: „Выписка изъ записокъ читанныхъ во французской королевской академіи наукъ о воздушныхъ явленіяхъ 17 іюля 1771 года“. (Иртышъ, превращающійся въ Иппокрену. 1791. 24 маяѣ „Слово о пользѣ физики, говоренное во время испытанія въ тобольскомъ главномъ народномъ училищѣ 1793 года іюля 12 дня“. (Библіотека ученая, экономическая, нравоучительная, историческая и увеселительная въ пользу и удовольствіе Всякаго званія Читателей. 1793—1794 г. Тобольскъ. УИІ часть. 8°. Стр. 15—37).

***) По окончаніи курса въ Учительской Семинаріи былъ назначенъ лѣтомъ 1786 года учителемъ наукъ математическихъ въ учреждаемое въ Ярославлѣ главное народное училище, при открытіи котораго 22 сентября произнесъ рѣчь, напечатанную въ „Уединенномъ Пошехонцѣ“ (часть И, мѣс. Ноябрь, стр. 655—664). На учено-литературное поприще выступилъ еще въ Петербургѣ помѣщеніемъ въ „Растущемъ Виноградѣ, ежемѣсячномъ сочиненіи, издаваемомъ отъ Главнаго народнаго училища города Святаго Петра“ трехъ слѣдующихъ статей по физикѣ: „О замерзаніи воды и о явленіяхъ при ономъ примѣчаемыхъ“ (мартъ; стр. 75—871; „Физическое наблюденіе“ (іюнь; стр. 46—53); „Изображеніе льда“ (іюль; стр. 83—86). Его трудами, появившимися въ видѣ отдѣльныхъ книгъ, были: „Система міра славнаге Ламберта изданная г. Меріаномъ. Перевелъ съ Французскаго Михаила Розинъ“ (Спб. 1797. 8°. 4 + 255 + 1 стр.) и „Начальныя основанія теоретической и практической Геометріи. Составленныя въ пользу и употребленіе обучающагося юношества Михаиломъ Розинымъ (Спб. 1797. 8°. 12 + 308 + 3 стр. и 8 таблицъ). Этотъ учебникъ составился, по словамъ автора, изъ „объясненій“, даваемыхъ имъ ученикамъ въ теченіе девятилѣтняго преподаванія.

62. Показать, что произведеніе двухъ чиселъ, изъ которыхъ каждое есть сумма п квадратовъ, можетъ быть представлено въ видѣ суммы (1 + С„2) квадратовъ.

Его же.

63. Рѣшить въ цѣлыхъ числахъ уравненіе

“Ь У к Н~ 2 = 4ху.

64. Провести въ данномъ направленіи къ двумъ даннымъ окружностямъ сѣкущую, опредѣляющую въ окружностяхъ двѣ равныя хорды.

И. Александровъ.

65. Провести въ данномъ направленіи прямую такъ, чтобы разность квадратовъ ея разстояній отъ данныхъ точекъ А и В была равна квадрату даннаго отрѣзка fc. (Рѣшеніе требуется чисто геометрическое).

Его-же.

66. Построить прямоугольный треугольникъ по гипотенузѣ и биссектрисѣ остраго угла.

Ѳ. Гусевъ.

67. Доказать, что на направленіи равнодѣйствующей двухъ сходящихся силъ существуетъ точка, обладающая тѣмъ свойствомъ, что при поворотѣ этихъ силъ около ихъ точекъ приложенія на одинъ и тотъ-же произвольный уголъ, равнодѣйствующая ихъ всегда будетъ проходить чрезъ эту точку (теорема Мёбіуса).

В. Гебель.

68. Найти производную функціи

у = arcsnx -f- arctg -----

и объяснить результатъ.

Рѣшенія задачъ.

7. Данный треугольникъ раздѣлить на возможно меньшее число частей такъ, чтобы, сложивъ ихъ въ другомъ порядкѣ, можно было-бы получить треугольникъ, симметричный съ даннымъ. Для какихъ треугольниковъ достаточно разрѣзать треугольникъ на двѣ части по прямой линіи?

Рѣшеніе см. въ статьѣ Э. Ю. Лейнѣка: „О превращеніи треугольника въ треугольникъ, симметричный съ даннымъ“ въ настоящемъ № „Мат. Обр.“

Вѣрныя, но неполныя рѣшенія доставили И. И. Коровицкій (Спб.) Н. Несторовичъ (Влодава).

36. Опредѣлить безъ помощи тригонометріи площадь и углы равнобедренной трапеціи, діагональ которой равна 2 дюйм. и составляетъ съ боковъми сторонами углы, соотвѣтственно равные 102°24'16" и 47°35'44"/.

Пусть въ трапеціи ABCD меньшее основаніе есть ВС, а большее AD. Проведя діагонали АС и BD, пересѣкающіяся въ точкѣ О, находимъ, что каждый изъ угловъ АОВ и COD равенъ 180°—(102°24'16"-)-47035,44")=300; отсюда вытекаетъ, что каждый изъ угловъ при основаніи равнобедреннаго тр—ка АОВ равенъ 15°, и слѣдовательно, углы трапеціи равны:

/_А = 15° —47°35'44" = 62°35'44";

/ В= 15° + 102°24'16" = 117°24'16".

Для опредѣленія площади трапеціи, опредѣлимъ отдѣльно площади тр—ковъ АВС и А CD; съ этою цѣлью въ первомъ тр—кѣ опустимъ изъ В высоту BE на ВС, а во второмъ—высоту DF на продолженіе ВС; тогда ВЕ = ~ ВО и DF=OD. Слѣдовательно, площ. Д АВС= АС. -^ВО и пл. A ACD = А С. ^rDO. Складывая, имѣемъ: площ. ABCD=АС.(ВО j- OD) =.4С. BD = -і- Л(72, т. е. площадь трапеціи равна 1 кв. дюйм.

М. Орбекъ, Вл. Колососскііі, Архангельскій (Москва), В. Кованько (ст. Струнино), Н, Несторовичъ (Влодава), В. Мыць (Полтава), В. ІОньевъ (Вологда), II. И. Коровицкій (Спб.), А. Дюбюкъ (Владимиръ), С. Ржаницынъ (Оханскъ).

37. Показать, что если число представляетъ собою сумму четырехъ квадратовъ, то квадратъ его можетъ быть представленъ въ видѣ суммы четырехъ квадратовъ и въ видѣ суммы пяти квадратовъ.

Пусть N = а2 -J- Ъ2 -f- с2 H- d2, тогда Л2 = (а2 -4- Ъ2 -f- с2 4- d2)2, или ІѴ2=а4+ b4+c4-fd4+2«2 Ь2 + 2а2 с2 + 2a2d2 2Ь2с2 2b2d2 + 2сЧ1. (I.).

Вычитая и прибавляя въ правой части по (4a2b2-f-4a2c2-f-4a2d2), придадимъ тому-же выраженію видъ:

N'2 = а4 + Ь4 + с4 -f d4 — 2а2 Ь2 — 2а2 с2—2а2 d2 -f 2Ь2 с2 + 2b2 d2+ +2c2d2+ 4а2 Ь2+4а2 с2+4а2 d2 — (а2 — Ь2—с2 — d2)2 + (2 аЬ)2+( 2 ас)2+ (2ad)2, т. е. АГ2 представлено въ видѣ суммы четырехъ квадра-

товъ. Если-же мы вычтемъ и прибавимъ въ правой части равенства (I.) по (4а2 с2 -f- 4а2 d2 -|- 4б2 с2 -j- 462 d2) то получимъ:

N2 = а4 -f 64 -h с4 + d4 4- 2а2 62—2а2 с2—2а2 d2 — 2б2 с2 — 2б2 d2 + 2с2 d2 + 4а2 с2 + 4а2 d2 + 4б2 с2 + 462 d2,

или N2 = (а2 -j- 62 — с2 — d2)2 + (2ас)2 + (2ad)2 + (26с)2 -f (26d)2,

т. e. ^2 представлено въ видѣ суммы пяти квадратовъ. Приведенныя разложенія не являются единственно возможными, и задача можетъ быть рѣшена многими способами. N2 можетъ быть представлено еще и въ видѣ суммы трехъ квадратовъ, напр. слѣд. образомъ;

N2 = (а2 + 62 — с2 — d2)2 + [2(6с + ad)]2 -f [2(6d — ас)]2.

В. Г. Фридманъ (Москва), Н. Несторовичъ (Влодава).

38. Рѣшить уравненіе.

8sn4# — 8sn2x — snx —|- 1 = 0.

Представимъ уравненіе въ видѣ

1 — 8sn2x (1 — sn2x) = snx,

или 1 — 2Asn2x cs2x = snx;

иначе 1 — 2sn22x = snx, или-же cslx = snx.

Замѣняя cs4:X чрезъ sn дополнительнаго угла, получимъ

snx = sn (90° — 4ж);

отсюда найдемъ: 1) х = 360°. /с -f- 90° — 4#

или, 2) X = 360°.fc [180° — (90° — 4я)].

Первое ур. дастъ Ъх = 360°./с 4~ 90°, т. е. # = 18°. (4& 4" 1)» а второе Зя = — 360°.& — 90°, откуда ж = — 30° (4к 4- 1), гдѣ к любое цѣлое число.

Данное уравненіе еще можетъ быть рѣшено при помощи разложенія на множителей, такъ какъ его можно представить въ видѣ:

(snx — 1) (2snx 4-1) (4sn2x 4" 2snx — 1) = 0.

M. Орбекъ, М. С. Зильберштейнъ, Вл. Колосовскій, А. Городецкая, Архангельскій, А. Мазингъ (Москва), В. Мыць (Полтава), И. IL Коровицкій (Спб.), Я. Несторовичъ (Влодава), Вл. Сѣверный (Тула), В. Юньевъ (Вологда), А. Ильинъ (Астрахань), В. С. Полякова (с. Павлово), А• Бутомо (Саратовъ).

40. Дано уравненіе

показать, что производная есть раціональная функція отъ х.

Замѣняя ctgy чрезъ ----- , можно данному уравненію придать видъ:

иначе — 2 ctg2y = х3 -f- 3#, откуда

Дифференцируя, найдемъ:

или

отсюда, подставляя вмѣсто ctg‘2y его выраженіе чрезъ #, получимъ:

или

т. е. производная функціи у есть раціональная функція отъ х. 2-й способъ.

Беря дифференціалы обѣихъ частей даннаго уравненія, получимъ:

или

слѣдовательно

Но возводя обѣ части даннаго уравненія въ квадратъ, найдемъ:

ід2у -f ctg2y - 2 = (Sx + я3)2,

отсюда

2 + ід-у + ctg2 у = (Sx + я3)2 + 4;

подставляя это выраженіе, найдемъ;

dy = 3(1-fa:2)

dx (Зх -\-х3)2 4 *

Вл. Колосовскій, М Орбекъ, М. З. Таль, М. С. Зильберштейнъ, А. Мазингъ, А. Городецкая (Москва), Н. С. Косминковъ (Егорьевскъ), Н. Несторовичъ (Влодава), Л. Бутомо (Саратовъ), if. Н. Коровицкій (Спб.), В. Кованько (ст. Струнино).

Библіографическій отдѣлъ.

А. А. Ляминъ. Физико-математическая хрестоматія. Томъ I. Ариѳметика. Цѣна 1 руб. 25 коп. Москва. Изданіе фирмы „Сотрудникъ школъ“ А. К. Залѣсской. 1912. Въ 8 д. л. 280 стр.

Что такое хрестоматія? Казалось бы, что всякому прошедшему курсъ средней школы значеніе этого термина должно быть хорошо извѣстно, такъ какъ его занятія языками и ихъ литературами не могли обходиться безъ назначенныхъ для нихъ пособій этого рода. Подъ хрестоматіей, какъ прежде, такъ и теперь, всегда разумѣлся систематически расположенный въ соотвѣтствіи съ преслѣдуемою составителемъ цѣлью сборникъ отрывковъ лучшихъ произведеній по соотвѣтствующему предмету и на ряду съ ними такихъ же отдѣльныхъ статей.

Достаточно однако бѣглаго взгляда не только на книгу г. Лямина, но даже на одно ея оглавленіе, чтобы видѣть, что она съ указаннымъ опредѣленіемъ термина „хрестоматія“ не имѣетъ ничего общаго. По своему содержанію. какъ показываетъ упомянутый бѣглый взглядъ, она оказывается вполнѣ подходящею подъ тотъ совершенно опредѣленный и давно уже, начиная съ Ваше Мезиріака, сложившійся типъ математическихъ сборниковъ, обозначаемыхъ названіями „увеселительныя и пріятныя задачи“, какъ у Баше Мезиріака, „математическія рекреаціи“, какъ у Люкас’а, „забавная ариѳметика“ и проч. Пробѣлъ учебной математической литературы, который и у насъ и на Западѣ состоитъ въ отсутствіи математическихъ хрестоматій и необходимость устраненія котораго сознается въ послѣднее время все яснѣе и яснѣе, остается и послѣ появленія книги г. Лямина незаполненнымъ. Своимъ присвоеніемъ непринадлежащаго ей имени эта книга можетъ вызвать только горькое разочарованіе въ довѣрчивомъ читателѣ, который, положившись при ея пріобрѣтеніи на заглавіе, найдетъ въ ней совсѣмъ не то, чего онъ можетъ быть съ большимъ интересомъ ожидалъ.

Статьями, сколько-нибудь, хотя и очень отдаленно, подходящими подъ понятіе „хрестоматіи“, въ книгѣ г. Лямина являются только слѣдующія: „Изъ исторіи развитія ариѳметики“ (стр. 5—14); „Числовыя суевѣрія древнихъ народовъ“ (стр. 15—20); „Изъ исторіи развитія ариѳметики въ Россіи“ (стр. 141 — 145); „Стевинъ и открытіе десятичныхъ дробей“ (стр. 163—164) и „Счетныя машины“ (стр. 264—275). Но что это за статьи? Всѣ онѣ не отрывки лучшихъ произведеній по соотвѣтствующимъ предметамъ, а творенія самаго составителя, за исключеніемъ развѣ только четвертой, о которой въ ея полномъ заглавіи говорится, какъ о „заимствованной изъ исторіи элементарной математики Кэджори“.

При составленіи первой изъ названныхъ статей авторъ имѣлъ несчастіе пользоваться сочиненіями, въ которыхъ исторія донаучнаго періода развитія

наукъ математическихъ совсѣмъ отсутствуетъ, замѣняясь немногими относящимися къ ней отрывочными фактами, случайно и часто безъ всякой связи другъ съ другомъ сдѣлавшимися достояніемъ авторовъ. Искать, поэтому, въ разсматриваемой статьѣ чего-нибудь цѣльнаго, представляющаго развитіе предмета, хотя въ какой-нибудь одной его части, трудъ напрасный. Такой способъ изложенія предмета какъ въ разсматриваемой статьѣ, такъ и въ послужившихъ для нея образцами и источниками, крайне вреденъ уже потому, что способствуетъ распространенію въ публикѣ и вообще между лицами, не имѣющими глубокихъ свѣдѣній въ исторіи математики, убѣжденія въ томъ, что исторіи первоначальнаго развитія ариѳметики еще не существуетъ и что ее можетъ создавать каждый обладающій для этого досугомъ и нѣкоторою способностью къ фантастическимъ безпочвеннымъ построеніямъ. Нѣтъ въ той же статьѣ недостатка также въ промахахъ и ошибкахъ. Смѣшивая, напримѣръ, физическое развитіе человѣка съ духовнымъ, г. Ляминъ смотритъ на антропологію, какъ на источникъ матеріаловъ для исторіи развитія счета (стр. 6). Папирусъ Ринда, по его утвержденію, написанъ за 3000 лѣтъ до Р. Хр. (стр. 11). Леонарду Пизанскому приписывается „первое возрожденіе математики на христіанской почвѣ“ (стр. 13) и т. д.

Во второй изъ названныхъ статей, представляющей даже по словамъ самого автора, заимствованіе „въ нѣкоторыхъ своихъ частяхъ“ изъ лекціи проф. Васильева о „числовыхъ суевѣріяхъ“, обращаетъ на себя вниманіе по своей легкомысленности категорическое утвержденіе: „съ Запада числовая мистика всякаго рода перешла и къ намъ въ Россію, гдѣ также держалась весьма долго“ (стр. 19). Въ дѣйствительности эта мистика переходила въ Россію не только съ Запада, но также и можетъ быть даже въ большей степени съ Востока и изъ Византіи. Она же, кромѣ того, имѣла источники своего происхожденія и развитія и въ самой Россіи: въ древнихъ религіозныхъ вѣрованіяхъ народа и въ его еще болѣе древней общей всѣмъ арійскимъ народамъ старинѣ.

Третья статья начинается совершенно невѣрнымъ утвержденіемъ, по которому будто бы „самыя раннія“ изъ старинныхъ рукописей, дающихъ указанія о состояніи математическихъ знаній въ Россіи, „относятся только къ началу ХVІ1 вѣка“ (стр. 141). Говорить такъ значитъ не имѣть прежде всего никакого понятія объ обширной, говоря относительно, древне-русской литературѣ по предмету Пасхаліи. Древнѣйшимъ изъ произведеній этой литературы было написанное въ XII вѣкѣ новгородскимъ монахомъ Кирикомъ. Неизвѣстны г. Лямину также и ариѳметическія вычисленія, находящіяся въ „Русской Правдѣ“ Ярослава Мудраго. Если бы онъ потрудился ознакомиться съ литературою предмета, за изложеніе котораго такъ развязно взялся, то, не говоря уже о первоисточникахъ, свѣдѣнія объ указанныхъ сейчасъ предметахъ онъ могъ бы найти въ статьѣ В. В. Бобынина „Состояніе математическихъ знаній въ Россіи до XVI вѣка“ (Журналъ Министерства Народнаго Просвѣщенія за 1884 годъ). Не имѣетъ понятія г. Ляминъ также и о произведеніяхъ народной ариѳметики, представляемыхъ далеко превосходящими по своей древности даже рукописи XII вѣка загадками числоваго характера и народными задачами.

Если бы также свое ознакомленіе съ литературою исторіи десятичныхъ дробей г. Ляминъ не ограничилъ однимъ сочиненіемъ Кэджори, а потрудился бы заглянуть еще и въ другія по тому же предмету, то онъ увидѣлъ бы. что Стевину принадлежитъ „честь“ не изобрѣтенія десятичныхъ дробей, а только введенія ихъ во всеобщее употребленіе. Въ упоминаемомъ въ его же „Библіографическомъ указателѣ къ I тому“ журналѣ „Физико-Математическія Науки“ онъ нашелъ бы статью „Симонъ Стевинъ“*), которая предохранила бы его отъ высказаннаго имъ съ такою увѣреннностью заблужденія.

Наконецъ въ началѣ пятой статьи подъ видомъ исторіи инструментальнаго счета вмѣсто результатовъ изслѣдованій, относящихся къ предмету, предлагаются собственныя измышленія автора, исходящія изъ совершеннаго незнакомства даже съ такими крупными фактами, какъ узловой счетъ и порожденное имъ узловое письмо, достигшее наивысшей степени своего разви-

*) 2-я серія, томъ І-й, стр. 167—180.

тія въ перуанскомъ квипусѣ. Только этимъ незнакомствомъ и можетъ быть объяснено замѣчательное по безцеремонности обращенія съ истиною утвержденіе, что китайскій суанъ-панъ и русскіе счеты суть разновидности абака (стр. 266).

Въ заключеніе остается замѣтить, что приложенный къ книгѣ „Библіографическій указатель“ (стр. 276—277) можетъ служить примѣромъ того, какъ не должны составляться произведенія этого рода. Для читателей библіографическій указатель только тогда можетъ представлять цѣнность, когда въ немъ заглавія сочиненій переданы полно и точно и когда, кромѣ того, сообщены такія болѣе важныя библіографическія свѣдѣнія, какъ указанія года и мѣста изданія, его формата и чиселъ составляющихъ его томовъ и страницъ. Всѣ эти указанія въ „Указателѣ“ г. Лямина совсѣмъ отсутствуютъ. Что же касается передачи заглавій, то о ней можно судить по слѣдующимъ двумъ примѣрамъ: „Günter.—Vermischte Untersuchungen“ вмѣсто „Günther.—Vermischte Untersuchungen zur Geschichte der mathematischen Wissenschaften“ и „Шаль.— Исторія математики“ вмѣсто „Шаль.—Исторія геометріи“. А между тѣмъ доставленіе указанныхъ библіографическихъ свѣдѣній крайне важно и для самого составителя, такъ какъ только оно можетъ избавить его отъ естественно зарождающагося въ читателѣ сомнѣнія въ томъ, не получены ли приводимыя авторомъ сообщенія о книгахъ не путемъ его личнаго знакомства съ ними, а по слухамъ, или, говоря вообще, изъ вторыхъ рукъ.

В. В. Бобынинъ.

Дж. В. А. Юнгъ. Какъ преподавать математику? Перев. А. Р. Кулишера. В. II. Спб. 1912 г. „Общественная польза“. (См. рец. въ № 2 „Мат. Образ.“).

Недавно появился второй (и послѣдній) выпускъ русскаго перевода книги Юнга. На содержаніи ея мы имѣли случай подробно остановиться въ № 2 „Мат. Образованія“. Поэтому въ настоящей замѣткѣ мы имѣемъ въ виду остановиться на дополненіяхъ, которыя переводчикъ счелъ необходимымъ сдѣлать, а также сказать нѣсколько словъ о качествѣ перевода. Первое изъ дополненій принадлежитъ перу проф. Маріо Векки. Авторъ даетъ вкратцѣ довольно правильную картину эволюціи содержанія учебной геометрической литературы въ Италіи. Слѣдуетъ только замѣтить, что онъ какъ будто выражаетъ сожалѣніе по поводу совершившагося въ Италіи въ шестидесятыхъ годахъ возвращенія отъ схемы изложенія Лежандра къ схемѣ Евклида;—возвращенія, оставившаго глубокій слѣдъ на содержаніи италіанскихъ учебниковъ геометріи, въ силу котораго эти учебники (къ сожалѣнію, мало извѣстные), оказываются много выше современныхъ имъ руководствъ, изданныхъ на другихъ языкахъ. Если въ настоящее время педагогическая мысль ставитъ другую задачу—выработки курса начальной геометріи, освобожденнаго отъ недоступной начинающимъ „кристаллической строгости“ Евклида,—то въ свое время возвращеніе къ Евклиду было во всякомъ случаѣ факторомъ прогресса и научнаго пробужденія учебной литературы.

Во второмъ приложеніи переводчикъ высказываетъ рядъ мыслей по поводу начальнаго преподаванія ариѳметики и геометріи. Если съ нѣкоторыми изъ нихъ нельзя не согласиться, то во всякомъ случаѣ приходится возражать противъ введенія въ начальное преподаваніе умноженія именованнаго числа на именованное и дѣленія разнородныхъ количествъ: не все то, что не можетъ вызывать возраженій съ научной точки зрѣнія, является умѣстнымъ съ педагогической. Дополненіе III содержитъ указатель литературы на русскомъ и иностранныхъ языкахъ. Безспорно, очень трудно составить такой литературный указатель, который бы не страдалъ пропусками. Есть они и въ составленномъ г. Кулишеромъ. Слѣдуетъ замѣтить, правда, что въ отношеніи полноты приложенный указатель значительно выше, напр. указателя, составленнаго подъ редакціей г. Филипповича къ Первому Всероссійскому съѣзду преподавателей математики. Являются нелишними и сдѣланныя переводчикомъ примѣчанія.

Что касается качества перевода, то послѣдній выполненъ во второмъ выпускѣ значительно лучше, чѣмъ въ первомъ. Правда, встрѣчаются и здѣсь нѣкоторые недочеты. Такъ, на стр. 298 полный четыреугольникъ названъ четырехсторонникомъ. Но слѣдуетъ замѣтить, что такіе недочеты встрѣчаются очень рѣдко. Кромѣ того, переводчикъ принялъ мѣры къ исправленію неточностей перевода, допущенныхъ въ первомъ выпускѣ и приложилъ боль-

шой списокъ исправленій. Остались безъ исправленія лишь нѣкоторыя корректурныя ошибки. Встрѣчаются подобныя и во второмъ выпускѣ. Во всякомъ случаѣ въ томъ окончательномъ видѣ, который получила книга Юнга, ее можно смѣло рекомендовать читателямъ.

А. Волковъ.

Открытіе Московскаго Общества изученія и распространенія Физическихъ наукъ.

18 ноября въ 1 ч. дня въ залѣ 1-го Московскаго реальнаго училища состоялось первое собраніе вновь учрежденнаго Московскаго Общества изученія и распространенія физическихъ наукъ. На открытіе общества собралось до 120 человѣкъ. Предсѣдателемъ Собранія былъ избранъ А. В. Цингеръ. Послѣ произнесенія и прочтенія ряда привѣтствій вновь возникшему обществу отъ другихъ Московскихъ ученыхъ обществъ и нѣкоторыхъ отдѣльныхъ лицъ, слово было предоставлено одному изъ учредителей новаго общества, Н. П. Леонову, который произнесъ слѣдующую рѣчь о возникновеніи Общества изученія и распространенія физическихъ наукъ:

М. Г. Быть можетъ—многимъ изъ Васъ еще памятны тѣ засѣданія Физическаго Отдѣленія Педагогическаго Общества при Московскомъ Университетѣ, которыя всегда собирали многочисленную аудиторію Московскихъ физиковъ и вносили въ ихъ среду животворящій духъ научнаго прогресса, знакомя съ новѣйшими открытіями въ области физическихъ знаній и вызывая оживленный обмѣнъ мнѣній между присутствовавшими!

Нечего и говорить, какой огромный пробѣлъ, въ жизни физиковъ, въ особенности среди педагоговъ средней школы—внесло закрытіе Физическаго Отдѣленія Педагогическаго Общества. Поэтому еще 4 года тому назадъ начались попытки создать въ Москвѣ новое общество физиковъ. На призывъ нѣкоторыхъ лицъ помочь его организаціи горячо откликнулся глубокоуважаемый профессоръ Н. А. Умовъ, предоставившій для предварительнаго собранія по обсужденію этого вопроса аудиторію Физическаго Института Московскаго Университета. Однако по многимъ причинамъ, о которыхъ позволю себѣ умолчать, вопросъ о созданіи Общества Физиковъ на нѣкоторое время заглохъ и только въ прошедшую весну получилъ наконецъ желаемое разрѣшеніе.

19-го марта этого года въ Реальномъ Училищѣ Н. Г. Бажанова состоялось первое засѣданіе тѣхъ лицъ, по почину которыхъ созвано настоящее учредительное собраніе и разработанъ уставъ Московскаго Общества изученія и распространенія физическихъ наукъ. Составъ собравшихся былъ слѣдующій: М. Ф. Бергъ, В. М. Войновъ, Н. В. Кашинъ, Т. П. Кравецъ, Н. П. Леоновъ, А. И. Морошкинъ, М. В. Пономаренко, И. И. Соколовъ и А. В. Цингеръ. Собраніе избрало изъ своей среды предсѣдателя и секретаря, возложивъ исполненіе обязанности перваго на Н. П. Леонова, второго—на И. И. Соколова.

На первомъ-же засѣданіи выяснилось единодушное убѣжденіе всѣхъ присутствовавшихъ въ томъ, что для Москвы необходимо учрежденіе такого общества, въ которомъ могли-бы объединяться какъ препадаватели физическихъ наукъ средней школы, такъ и другія лица, научно работающія въ той-же сферѣ. Правда, возникали опасенія, не будетъ-ли созданіе новаго общества излишнимъ ввиду того, что въ Москвѣ существуетъ уже Физическое Общество имени П. Н. Лебедева; однако эти опасенія, по мнѣнію учредителей, едва-ли должны считаться основательными ввиду того, что вышеупомянутое Общество преслѣдуетъ главнымъ образомъ чисто научныя цѣли и задачи Университетскаго преподаванія, тогда какъ для средней школы аналогичнаго учрежденія нѣтъ!

Высказывались также сомнѣнія, имѣютъ-ли право собравшіяся брать на себя иниціативу по разработкѣ устава, не будучи на то уполномочены всей корпораціей. Но и эти опасенія пришлось признать не имѣющими рѣшающаго значенія, такъ какъ легче выработать и провести какой либо уставъ чрезъ надлежащія учрежденія при малочисленномъ составѣ учредителей, чѣмъ при большомъ ихъ числѣ, да кромѣ того по § 46-му настоящій уставъ во всякое время и въ любой своей части можетъ быть измѣненъ въ установленномъ закономъ порядкѣ!

При составленіи проекта устава комиссія учредителей естественно остановилась прежде всего передъ вопросомъ, какое было-бы лучше всего дать ему наименованіе. Послѣ довольно продолжительныхъ преній но этому поводу рѣшено было наконецъ единогласно остановиться на слѣдующемъ названіи: „Московское Общество преподавателей физическихъ наукъ“. Однако почти наканунѣ подачи прошенія въ особое Особое Городское по дѣламъ объ Обществахъ Присутствіе учредителямъ стало извѣстно, что при подобной формѣ названія уставъ не могъ бы быть утвержденъ Городскимъ Присутствіемъ; надлежало-бы или его направить на утвержденіе въ Министерство Народнаго Просвѣщенія, которое только по сношеніи съ другими Вѣдомствами въ свою очередь могло бы его утвердить или отвергнуть, или-же измѣнить наименованіе, чтобы избѣжать потери времени. Учредители рѣшились на послѣднее въ надеждѣ, что, если въ будущемъ члены новаго общества пожелали-бы его переименовать, то послѣднее всегда возможно было-бы выполнить на основаніи постановленія общаго собранія.

Представленный подъ новымъ названіемъ въ надлежащую инстанцію проектъ устава не былъ однако немедленно утвержденъ изъ за несоблюденія нѣкоторыхь несущественныхъ для дѣятельности Общества формальностей! По выполненію таковыхъ новая редакція устава получила наконецъ, утвержденіе 4-го октября сего года.

Какъ видно изъ § 1-го Устава, цѣли и права Общества весьма широкія; все, что касается научной разработки физическихъ наукъ, понимая подъ послѣдними родственныя физикѣ дисциплины, какъ напр. въ средней школѣ химію, астрономію, механику и т. д.,—все, касающееся методики преподаванія этихъ наукъ и популяризаціи физическихъ знаній входитъ въ кругъ дѣятельности нашего Общества. Для достиженія своихъ научныхъ и методическихъ цѣлей Общество имѣетъ право устраивать засѣданія, публичныя лекціи, открывать курсы, созывать съѣзды лицъ, работающихъ въ области физическихъ наукъ; Обществу предоставляется право открывать библіотеки, кабинеты, лабораторіи, музеи учебныхъ пособій, выставки, и т. п.; оно можетъ издавать научные труды своихъ членовъ, назначать конкурсы и присуждать преміи за лучшія сочиненія на разрабатываемыя имъ научныя и педагогическія темы; ему предоставляется право организовывать научныя экспедиціи и научно-образовательныя экскурсіи; оно можетъ выдѣлять изъ среды своихъ сочленовъ цѣлый рядъ комиссій для разработки спеціальныхъ научныхъ и педагогическихъ темъ и пр.

Не задаваясь вопросомъ о томъ, какъ разовьется жизнь Общества въ ближайшемъ будущемъ, не касаясь его культурныхъ цѣлей, о чемъ Вы, милостивые государи, услышите многое сегодня-же отъ лицъ, болѣе меня компетентныхъ, я, кажется, могу однако безъ преувеличенія на основаніи уже имѣющихся на лицо фактовъ и наблюденій сказать, что при самомъ своемъ зарожденіи Общество изученія и распространенія физическихъ наукъ вызвало къ себѣ живой интересъ среди педагоговъ и привлекло симпатіи ученаго міра, залогомъ чему служатъ тѣ давно пользующіяся въ наукѣ и педагогическомъ мірѣ почетныя имена, которыя уже теперь украсили собою списокъ членовъ-учредителей Общества.

Затѣмъ заслуженный профессоръ Н. А. Умовъ произнесъ рѣчь: „Культурное значеніе физическихъ наукъ“. (Рѣчь эта помѣщена въ настоящемъ № 8 „Математическаго Образованія“). По окончаніи рѣчи собраніе устроило Н. А. Умову шумную овацію.

Послѣ перерыва происходили выборы должностныхъ лицъ Общества. Предсѣдателемъ единогласно былъ избранъ Н. А. Умовъ, товарищемъ предсѣдатель А. В. Цингеръ, секретаремъ И. И. Со-

коловъ и казначеемъ М. Ѳ. Вергъ; кромѣ того, было избрано 6 членовъ Правленія, 3 члена ревизіонной Комиссіи и 3 кандидата къ нимъ.

По предложенію Правленія, собраніе избрало въ почетные члены Общества: Н. А. Умова, Б. К. Млодзѣевскаго, Н. Е. Жуковскаго, С. А. Чаплыгина, А. А. Эйхенвальда и И. Ф. Усагина—въ Москвѣ, проф. О. Д. Хвольсона—въ Спб., берлинскаго педагога Ф. Поске и гамбургскаго Э. Гримзель. Членскій взносъ на текущій годъ опредѣленъ въ размѣрѣ 3 рублей.

Засѣданіе закончилось рѣчью А. В. Цингера о планахъ ближайшей дѣятельности Общества. Референтъ указалъ на желательность установленія живой связи съ другими передовыми научными и научно-педагогическими обществами Москвы въ цѣляхъ болѣе успѣшнаго достиженія задачъ, которыя ставитъ себѣ Общество. Изъ ближайшихъ задачъ, предстоящихъ Обществу, А. В. Цингеръ болѣе подробно остановился на вопросахъ объ изданіи собственнаго органа, а также ряда книгъ по физикѣ, объ устройствѣ публичныхъ лекцій и временныхъ курсовъ для преподавателей физики, объ организаціи возможно полной спеціальной библіотеки и музея учебныхъ пособій и проч.

А. Ѳ. Гатлихъ f.

Настоящій номеръ заканчивался печатаніемъ, когда Московскій Математическій Кружокъ и редакція „Математическаго Образованія“ понесли тяжкую и незамѣнимую утрату: 7 текущаго декабря скончался послѣ непродолжительной, но тяжкой болѣзни Александръ Ѳедоровичъ Гатлихъ, товарищъ предсѣдателя Московскаго Математическаго Кружка и одинъ изъ дѣятельнѣйшихъ сотрудниковъ нашего журнала. Въ ближайшемъ номерѣ „Математическаго Образованія“ мы предполагаемъ помѣстить портретъ нашего незабвеннаго сотоварища и очеркъ его жизни и дѣятельности.

Ред.

Опечатки. Въ № 7 „Математическаго Образованія“

на стр. 295, 13 ст. сн. вм. ихъ периметра, слѣд. его периметра

Отвѣтственный редакторъ I. И. Чистяковъ.

Содержаніе

Статьи и замѣтки.

Стр.

Отъ редакціи.................................................... 3

О степени точности логариѳмическихъ вычисленій Б. Млодзѣевскаго ........................................................... 6

Квадратура круга и циркулятура квадрата. А. Власова.........11, 293

Свойства ряда нечетныхъ чиселъ и ихъ примѣненіе. I. Чистякова. 21

Способы для быстраго возведенія чиселъ въ квадратъ.............. 23

Методъ обученія математикѣ въ старой и новой школѣ. К. Лебединцева ...................................................24, 72

А. Ю. Давидовъ, (съ портретомъ) А. Гатлиха............... . . 30

Первая русская печатная математическая книга. П. Баранова. . . 36

Обозрѣніе преподаванія математики въ Московскихъ высшихъ учебныхъ заведеніяхъ въ 1911—12 г............................. 39

Объ одномъ алгебраическомъ неравенствѣ С. Виноградова. . . . 49

О построеніи параллелограммовъ. И. Александрова.................... 61

Площадь вписаннаго четыреугольника и треугольника. В. Соллертинскаго ....................................................... 66

О представленіи числа въ видѣ суммы послѣдовательныхъ цѣлыхъ чиселъ. Н. Агрономова............................................. 70

О необходимыхъ отдѣлахъ математики для экономическихъ наукъ. П. Некрасова................................................. 79

Первый всероссійскій съѣздъ преподавателей математики. I. Чистякова ..................................................... 81

Резолюціи 1-го всероссійскаго съѣзда преподавателей Математики. . . 86

Чисто геометрическое обоснованіе ученія о пропорціяхъ и о площадяхъ. К. Коммерелль, пер. О. Цубербиллеръ.......................97, 145

Къ статьѣ К. Коммерелля. Б. Млодзѣевскаго.......................109

О послѣдней теоремѣ Фермата. Р. Бернштейна..................111, 150

Спорные вопросы въ методикѣ ариѳметики. Ѳ. Эрна.............115, 157

О согласованіи программъ въ средней и высшей школахъ. К. А. Поссе. 122

Къ вопросу о согласованіи программъ математики въ средней и высшей школѣ. В. Б. Струве......................................... 127

Памяти В. Б. Струве. И. Александрова............................ 134

Объ элементарномъ вычисленіи объемовъ нѣкоторыхъ тѣлъ. Д. Казаринова ................................................... 151

Докладъ по вопросу о согласованіи программъ средней и высшей школы. Д. Синцова................................................. 166

Замѣтки по преподаванію геометріи. Н. Извольскаго........... 174, 223

Михаилъ Евсевьевичъ Головинъ. В. Бобынина. . .179, 217, 278, 313, 369

Анри Пуанкаре (съ портретомъ). I. Ч................................198

Многогранники Пуансо. Ел. Бартъ............................. 199, 254

Международная комиссія по преподаванію математики. Д. Синцова. 204

Задачи и игры изъ дѣтскаго міра, развивающія понятія по логикѣ и статистической теоріи взаимоотношеній П. Некрасова. . . 229, 268

Памяти А. И. Гольденберга, (съ портретомъ) Д. Волковскаго. . . 245

О суммѣ всѣхъ цифръ по N включетельно. Н. Агрономова. . . . 309

25-лѣтіе педагогической дѣятельности А. Ѳ. Гатлиха. I. Ч........323

Культурная роль физическихъ наукъ. Н. Умова........................341

О превращеніи треугольника въ треугольникъ, симметричный съ даннымъ. Э. Лейнѣка...........................................350

Элементарный способъ вычисленія логариѳмовъ. К. Лебединцева. 362

Задачи.

№№ 1—11............................................................ 38

№№ 12—18........................................................... 89

№№ 19—25.......................................................... 136

№№ 26—32 ...................................................185

№№ 33—41 ................................................... 235

№№ 42—51 ................................................... 282

№№ 52—59 ...................................................328

№№ 60—68 .......................................................

Рѣшенія задачъ.

№№ 1, 2, 8, 11..................................................... 89

№№ 3, 4, 5, 6.....................................................137

№№ 12, 13, 14, 15, 16, 19....................................... 186

№№17, 18, 20, 24, 25 ......................................... 236

№№ 22, 23, 26, 33 ............................................. 283

№ 27, 29, 30. 31, 34, 35 ....................................... 328

№ 7, 36, 37, 38, 40 ..........................................

Библіографическій отдѣлъ.

В. Лермантовъ. Курсъ примѣнимой Алгебры К. Л.................... 41

D. Behrendsen und D-r Е. Gotting. Lehrbuch der Mathematik nach modernen Grundsätzen. К. Л................................

Дж. В. А. Юнгъ. Какъ преподавать матемематику? В. I. Hep. А. Р. Кулишера. М.Симонъ. Дидактика и методика математики въ средней школѣ. Пep. I. В. Яшунскаго. II. Трейтлейнъ. Методика геометріи. Пер. подъ ред. Ф. В. Филипповича А. Волкова. 91

Д. Граве. Энциклопедія математики Ал. Гт........................141

А. Годневъ. Элементарная геометрія. К. Л........................190

П. Аппель и С. Дотевиль. Курсъ теоретической механики. В. Писарева ................. ....................................242

П. А. Долгушинъ. Систематическій курсъ геометріи. Ал. Гт. . . 286

Проф. Ф. Клейнъ. Вопросы элементарной и высшей математики. Ч. I. С. В. . . ..........................................333

А. А. Ляминъ. Физико-математическая хрестоматія. T. I. В. Бобынина. 379

Дж. В. А. Юнгъ. Какъ преподавать математику? В. II. Пер. А. Р. Кулишера. А Волкова..........................................381

Обзоръ иностранныхъ математическихъ журналовъ................ 192, 334

Списокъ книгъ, поступившихъ въ редакцію и въ библіотеку Матем. Кружка.............................. 44, 94, 195, 244, 292, 340, 384

Жизнь и дѣятельность ученыхъ обществъ и кружковъ.

Составъ Московскаго Математическаго Кружка. :....................... 1

Отчеты о засѣданіяхъ Московскаго Математическаго Кружка. 45, 95, 143, 196, 242, 292

Обзоръ дѣятельности Математическаго отдѣленія Рижскаго Педагогическаго общеста.............................................. 47, 338

Математическій Кружокъ окончившихъ М. В. Ж. Курсы.................. 47

Уставъ Московскаго Математическаго Кружка..........................141

Дѣятельность Орловскаго Физико-Математическаго Кружка..............196

О предстоящемъ 2-мъ всероссійскомъ съѣздѣ преподавателей математики. 242

Положеніе о 2-мъ всероссійскомъ съѣздѣ преподавателей математики. 243

XIII съѣздъ русскихъ естествоиспытателей и врачей въ г. Тифлисѣ. . 290

Открытіе Московскаго Общества изученія и распространенія физическихъ наукъ..................................................382

Объявленія.

Открыта подписка на 1913-й годъ

на Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНІЕ.

Журналъ выходитъ ежемѣсячно книжками отъ 2 до 3 печатныхъ листовъ за исключеніемъ мая, іюня, іюля и августа мѣсяцевъ.

Циркуляромъ Попечителя Московскаго Учебнаго Округа отъ 23 марта 1912 года за № 10808 журналъ „Математическое Образованіе“ рекомендованъ для выписки въ ученическія и фундаментальныя библіотеки мужскихъ и женскихъ учебныхъ заведеній.

Содержаніе журнала 1) статьи по различнымъ отдѣламъ математики, оригинальныя и переводныя; 2) статьи по вопросамъ преподаванія математики и соприкасающихся наукъ; 3) очерки по исторіи математики, біографіи и портреты математиковъ; 4) библіографическій отдѣлъ; 5) вопросы и задачи; 6) математическая хроника; 7) Объявленія.

Цѣна 3 рубля въ годъ и 2 рубля на полгода въ доставкой и пересылкой.

Цѣна отдѣльнаго номера 50 к. съ пересылкой.

За перемѣну адреса уплачивается 20 коп. Подписка на 1912-й годъ продолжается.

Объявленія принимаются съ платою: 1 страница—15 р., 7а стр.—8 р., 7» стр.—4 р. и т. д.

Подписка принимается въ редакціи:

Москва, Остоженка, 7, кв. 88,

и въ книжныхъ магазинахъ К. И.Тихомирова (Кузнецкій мостъ), H. П. Карбасникова и Т-во М. О. Вольфь (Моховая).

Печатня А.И. Снегиревой Москва.