Математическое Образованіе.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка.

№ 7.

Ноябрь 1912 г.

МОСКВА

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

„Математическое Образованіе“

Ноябрь 1912 г.

№ 7

СОДЕРЖАНІЕ: Квадратура круга и циркулятура квадрата.—А. Власовъ. О суммѣ цифръ всѣхъ чиселъ по N включительно.—Н. Агрономовъ. Михаилъ Евсевіевичъ Головинъ.—В. Бобынинъ. 25-лѣтіѳ педагогической дѣятельности А. Ѳ. Гатлиха.— I. Ч. Задачи. Рѣшенія задачъ. Библіографическій отдѣлъ. Обзоръ иностранныхъ математическихъ журналовъ. О дѣятельности Математическаго Отдѣленія Рижскаго Педагогическаго Общества за 1911—1912 годъ. Списокъ книгъ, поступившихъ въ редакцію и въ библіотеку Математическаго Кружка съ 1-го сент. 1912 г.

Квадратура круга и циркулятура квадрата.

(Окончаніе).

А. Власовъ. (Москва).

5. Геометрическое рѣшеніе циркулятуры квадрата, т. е. построеніе круга равновеликаго данному квадрату безъ предварительнаго вычисленія ж, основывается на слѣдующихъ теоремахъ.

Теорема 3. При удвоеніи числа сторонъ правильнаго многоугольника и сохраненіи его площади радіусъ и апоѳема многоугольника, т. е. радіусы его описаннаго и вписаннаго круговъ, опредѣляются слѣдующими формулами:

(8)

гдѣ Rn радіусъ n-угольника и гп его апоѳема.

Доказ. 1. Радіусами и апоѳемами правильный п-угольникъ разбивается на 2п прямоугольныхъ треугольниковъ (чер. 5).

Превращая каждый изъ этихъ треугольниковъ въ равновеликій равнобедренный треугольникъ съ тѣмъ же острымъ угломъ при центрѣ многоугольника, мы тѣмъ самымъ превратимъ и данный правильный многоугольникъ въ равновеликій ему правильный же многоугольникъ съ удвоеннымъ числомъ сторонъ.

Пусть АОВ (чер. 5) одинъ изъ прямоугольныхъ треугольниковъ между радіусомъ и апоѳемой, а OLM равновеликій ему равнобедренный треуголь-

Черт. 5.

никъ. Боковая сторона ОL или ОМ этого треугольника и будетъ радіусомъ 2п - угольника, а высота его апоѳемой:

OB = гп, ОА = Вп, 0L= ОМ — В2п, ОР = г2п.

Такъ какъ треугольникъ 0^/5 и ОІЖ равновелики и имѣютъ общій уголъ при вершинѣ О, то:

0L. 0М= OB. О А,

или

В*2п ==

откуда и получаемъ первое искомое соотношеніе:

В2п =-= |/ .

Апоѳему ОР == г.;м можно опредѣлить изъ прямоугольнаго треугольника (ЖР, у котораго уголъ МОР равенъ

или

(9)

Но

откуда

Подставляя въ равенство (9) найденное выраженіе для Cos — , мы и получимъ второе соотношеніе:

или

(8")

Послѣднюю формулу можно вывести, не прибѣгая къ тригонометріи. Дѣйствительно, биссектриса 0Q раздѣляетъ площадь треугольникъ OB А на двѣ части OBQ и OQA, отношеніе которыхъ

равно отношенію BQ и QA или, по теоремѣ о биссектрисѣ, отношенію боковыхъ сторонъ:

откуда

(10)

Съ другой стороны mi. ОВА = ті. OLM=2im. OLP., а треугольникъ OLP и OBQ подобны и потому площади ихъ относятся какъ квадраты соотвѣтственныхъ сторонъ:

(и)

Сравнивая пропорціи (10) и (11), находимъ

откуда и получаемъ формулу (8"):

(8")

Теорема 4. При удвоеніи числа сторонъ правильнаго многоугольника и сохраненіи ихъ периметра, радіусъ и апоѳема многоугольника опредѣляются слѣдующими формулами:

(12)

гдѣ Rh и гп радіусъ и апоѳема правильнаго и-угольника первоначально даннаго, а К2п и г'2н радіусъ и апоѳема многоугольника, полученнаго при удвоеніи числа сторонъ съ сохраненіемъ периметра.

Доказ. При каждомъ удвоеніи числа сторонъ правильнаго многоугольника и сохраненіи его периметра стороны уменьшаются вдвое. Разсмотримъ опять треугольникъ ОБА (чер. 5, 6) заключенный между сосѣдними апоѳемой и радіусомъ первоначально даннаго правильнаго многоугольника. Опишемъ около этого треугольника кругъ, радіусомъ котораго очевидно будетъ

половина радіуса начальнаго многоугольника. Проведемъ діаметръ этого круга черезъ середину С отрѣзка AB. Этотъ діаметръ пересѣчетъ кругъ въ точкахъ U и V. Равнобедренный треугольникъ UAB имѣетъ при вершинѣ U такой же уголъ, какъ и треугольникъ ОАВ при вершинѣ О, равный и потому около точки U укладывается 2п такихъ треугольниковъ, которые и образуютъ правильный 2п-угольникъ съ тѣмъ же самымъ периметромъ, какъ и данный. UA будетъ радіусомъ Л'2и, а НСапоѳемой г'2п этого многоугольника. Для опредѣленія апоѳемы UC разобьемъ ее на двѣ части S С и SU, гдѣ S центръ круга, описаннаго около треугольника ОАВ и UAB:

но

Чер. 6.

Слѣдовательно,

(12').

Далѣе изъ прямоугольнаго треугольника UAV имѣемъ

или

откуда

или

(12")

6. Циркулятура квадрата. Предыдущія формулы (8) и (12) даютъ возможность рѣшить задачи, обратныя квадратурѣ круга и выпрямленію окружности. Пусть требуется построить

равновеликій данному квадрату (чер. 7) кругъ. Перенесемъ апоѳему квадрата OB на радіусъ его ОА^.

Чер. 7.

Обозначимъ середину отрѣзка АІВІ черезъ С4 и опишемъ два полукруга на діаметрахъ АІВІ и ВІСІ.

Касательныя къ этимъ кругамъ изъ центра О и будутъ радіусомъ и апоѳемой равновеликаго квадрату восьмиугольника.

Перенося эти касательныя на радіусъ ОАх, получимъ двѣ точки А8 и В8. Съ ними поступаемъ также, какъ и съ точками АкВѵ т. е. находимъ середину С8 отрѣзка А8В8 и касательныя къ полуокружностямъ, построеннымъ на діаметрахъ ASBS и BSCH. Эти касательныя равны радіусу и апоѳемѣ равновеликаго квадрату 16-угольника и т. д. Точка Л2п и В2п становятся скоро настолько близкими, что безъ большой графической погрѣшности можно взять промежуточную точку и ея разстояніе отъ центра принять за радіусъ равновеликаго круга и тѣмъ самымъ рѣшить (приближенно) циркулятуру квадрата (чер. 7).

7. Задача, обратная выпрямленію окружности. Пользуясь формулами (12') и (12") можно построить кругъ, окружность котораго равна данному отрѣзку. Для этого предварительно построимъ квадратъ (чер. 8), периметръ котораго равенъ данному отрѣзку. Перенеся апоѳему OB на радіусъ OAt\ и обозначивъ середину отрѣзка АцВГі черезъ і?8, по формулѣ (12') будемъ имѣть:

т. е. найдемъ апоѳему изопериметрическаго восьмиугольника, а построивъ полукругъ на діаметрѣ АЛВ8 и проведя къ нему изъ центра О касательную и перенеся касательную на радіусъ OAk, получимъ и радіусъ этого восьмиугольника 0А8. Съ точками А8,В8 поступаемъ также, какъ и съ АІВІ. Построивъ по другую сторону діагонали полукруги на діаметрахъ АкВ^ и А8В8, и т. д.

Чер. 8.

полукруги, не имѣющіе конструктивнаго значенія, составимъ изъ нихъ спираль, соединяющую послѣдовательно точки В1А1, BsA9 ,...., и ведущую асимптотически къ концу искомаго радіуса круга, окружность котораго ровна данному отрѣзку.

8. Вычисленіе л. Для вычисленія л мы прежде всего воспользуемся формулами первой группы, устанавливающими соотношеніе между площадями правильныхъ вписанныхъ и описанныхъ многоугольниковъ.

(1)

Начиная съ площадей вписаннаго и описаннаго квадрата и полагая радіусъ квадрируемаго круга равнымъ единицѣ, можно такимъ образомъ вычислить постепенныя приближенныя значенія л. По формуламъ (7)*) мы могли бы разсчитать напередъ, при какомъ числѣ сторонъ многоугольниковъ площади ихъ во всякомъ случаѣ не будутъ отличаться одна отъ другой въ желаемомъ числѣ первыхъ десятичныхъ знаковъ и такимъ образомъ могли бы узнать, когда получится значеніе л съ желаемою степенью точности.

Но эти формулы даютъ слиткомъ щедрую оцѣнку изслѣдуеемаго числа. Вмѣсто нихъ можно вывести другую формулу, болѣе стѣсняющую этотъ расчетъ. Въ самомъ дѣлѣ, треугольники ADG и АНЕ (чер. 1)**) составляютъ одинаковыя доли разностей S2n —s2n и SM —s,г , а потому

Пользуясь прежними обозначеніями и сравнивая треугольники ADC, DCE и АНЕ, будемъ имѣть:

откуда

или

*) Мат. Обр. № 1, стр. 17.

**) Мат. Обр. № 1, стр. 14.

Множители произведенія во второй части предыдущаго равенства составляютъ постоянную сумму, равную единицѣ и

потому наибольшее значеніе этого произведенія равно—; но при всякомъ п слѣдовательно,

Примѣняя эти неравенства нѣсколько разъ, начиная съ вписаннаго и описаннаго квадратовъ, будемъ имѣть:

Желая вычислить л съ ш точными десятичными знаками и принимая во вниманіе, что S„ — sM = 2, будемъ имѣть:

При т = 4 получимъ

откуда

т. е. вычисляя площади вписаннаго или описаннаго многоугольника, число сторонъ котораго не ниже 1024, получимъ во всякомъ случаѣ четыре точныхъ десятичныхъ знака для л. Такимъ образомъ для намѣченной точности пришлось бы сдѣлать 8 вычисленій по формулѣ

S2n = \/S« . Sn

и 8 вычисленій по формулѣ

Если Sn и Sn вычислены приближенно съ одинаковою точностью, то каждая изъ предыдущихъ формулъ для вычисленія s*n и Su вво-

дитъ ошибку, меньшую 2 единицъ послѣдняго разряда. Поэтому 16 примѣненій этихъ формулъ введетъ погрѣшность, не превышающую 4 единицъ предпослѣдняго разряда и, слѣдовательно, для полученія четырехъ точныхъ знаковъ при вычисленіи л, нужно вычисленіе площадей s« и 8п вести съ шестью десятичными знаками. Но 16 такихъ вычисленій были бы утомительны. Можно достигнуть тѣхъ же результатовъ болѣе простымъ путемъ, если принять во вниманіе, что при малой разности двухъ чиселъ ихъ среднее геометрическое и среднее гармоническое очень мало отличаются отъ средняго ариѳметическаго.

Пусть а и Ъ два числа, разность которыхъ а — b = ^ достаточно мала. Изслѣдуемъ вопросъ, какую ошибку вводитъ замѣна ихъ средняго геометрическаго и средняго гармоническаго среднимъ ариѳметическимъ. Исходя изъ тождества:

(а -f- b)-2 — 4ab = (а — Ь)-,

будемъ имѣть,

(14)

(15)

Кромѣ того имѣемъ

откуда, принимая во вниманіе равенство (14), получимъ:

(16)

Эти формулы и дадутъ намъ возможность опредѣлить степень точности такой замѣны. Въ примѣненіи къ разсматриваемому случаю будемъ имѣть:

Такъ какъ при п^8 имѣемъ

то вмѣсто предыдущихъ равенствъ можно составить слѣдующія неравенства:

(14')

(15').

Мы увидимъ, что на основанія этихъ формулъ непосредственное вычисленіе площадей вписанныхъ и описанныхъ правильныхъ многоугольниковъ можетъ быть значительно сокращено, ибо нужно довести его лишь до тѣхъ поръ, пока s или €t не будетъ на столько мало, чтобы —— или , при намѣченной точности для jr, было меньше

откуда

Можно напередъ подсчитать, при какомъ числѣ сторонъ многоугольниковъ разность площадей ихъ будетъ удовлятворять этому неравенству:

откуда

Такимъ образомъ при

п ]> 4.28 = 32

вычисленіе площадей многоугольниковъ можно вести способомъ среднихъ ариѳметическихъ, не вліяя на четвертый десятичный знакъ результата, т. е. нужно сдѣлать лишь 6 непосредственныхъ вычисленій по формуламъ (1), вводя такимъ образомъ

ошибку вслѣдствіе неточности данныхъ не болѣе единицы*) предпослѣдняго десятичнаго знака, а ошибку отъ замѣны средняго геометрическаго и средняго гармоническаго среднимъ ариѳметическимъ ошибку, увеличивающую результатъ мы расчитаемъ потомъ. Чтобы имѣть вполнѣ опредѣленное сужденіе о томъ, что результаты приближенныхъ вычисленій превосходятъ истинныя значенія, мы будемъ и результаты вычисленій по формуламъ (1) брать съ избыткомъ, даже быть можетъ съ излишнимъ избыткомъ увеличивая каждый разъ послѣдній знакъ результата, рискуя этимъ увеличить лишь пятый десятичный знакъ въ окончательномъ результатѣ не болѣе какъ на двѣ единицы. Итакъ имѣетъ:

Теперь мы имѣемъ разность достаточно малую:

SM—ss, = 0,030...

а слѣдующія разности будутъ становиться все меньше и меньше и потому дальнѣйшее вычисленіе можно продолжать способомъ среднихъ ариѳметическихъ:

*) Изъ 6 примѣненій формулъ (1) лишь 4 вводятъ ошибку.

Такъ какъ четыре знака $1в24 и S312 одинаковы, то дальнѣйшее вычисленіе уже излишне и потому можно положить съ точностью до 0,0001

Дѣйствительно, погрѣшность вычисленія $32 и S32 не превосходитъ дроби 0,00002, первое примѣненіе способа среднихъ ариѳметическихъ увеличиваетъ результатъ не болѣе какъ на —, а второе на -1— , гдѣ

а дальнѣйшія примѣненія вводятъ погрѣшность лишь въ слѣдующихъ десятичныхъ знакахъ и потому можно считать, что общая погрѣшность не превосходитъ дроби 0,00009. Вслѣдствіе увеличенія пятаго знака мы и получили приближенное значеніе л съ избыткомъ.

Какъ видно изъ предлагаемаго способа вычисленія л, затрудненіе въ смыслѣ утомительности можетъ лишь представить непосредственное вычисленіе площадей правильныхъ вписанныхъ и описанныхъ многоугольниковъ по формуламъ (1). Вычисленіе среднихъ ариѳметическихъ требуетъ столько времени, сколько нужно для написанія результатовъ вычисленія. Но и это время можно сократить, рѣшивъ вопросъ о пердѣлѣ ряда чиселъ, получаемыхъ по способу среднихъ ариѳметическихъ изъ двухъ первоначально данныхъ, ибо въ примѣненіи къ разсматриваемому случаю при намѣченной точности для л первая четыре десятичныхъ знака этого предѣла и будутъ искомыми десятичными знаками для л.

Пусть а и Ъ два данныхъ числа. Составимъ рядъ чиселъ Іп (п= 1, 2, 3, . . . .) по такому правилу:

Къ какому предѣлу стремится это перемѣнное число? Оказывается предѣлъ этого числа имѣетъ очень простое выраженіе:

Дѣйствительно, будемъ составлять среднее ариѳметическое какъ сумму половинъ двухъ предшествующихъ чиселъ:

Обобщая эти формулы будемъ имѣть при п нечетномъ

а при п четномъ:

Оба эти выраженія имѣютъ одинъ и тотъ же предѣлъ:

откуда и получимъ:

(16)

Такимъ образомъ полагая а = sS2 = 3,121446..., Ь = £за = 3,151728..., будемъ имѣть

и слѣдовательно,

Непосредственныя вычисленія по формуламъ (1) даютъ для *64 и 8и слѣдующіе результаты съ шестью точными десятичными знаками

s64 = 3,136548..., £в4 = 3,144118...

Такъ какъ $64—s64 = 0,00 7 5 7..., то способъ среднихъ ариѳметическихъ въ первомъ примѣненіи дастъ погрѣшность меньшую 0,000003

а въ дальнѣйшихъ въ слѣдующихъ десятичныхъ знакахъ и можно считать, что общая погрѣшность не превзойдетъ 0,000004, т. е. такое вычисленіе дастъ 5 десятичныхъ знаковъ для л. Вмѣсто постепенныхъ вычисленій среднихъ ариѳметическихъ примѣнимъ выведенную формулу предѣла этихъ среднихъ:

Слѣдовательно, съ точностью до 0,00001

Интересно отмѣтить, что Гюйгенсъ, исходя конечно изъ иныхъ соображеній, примѣняетъ для вычисленія л теорему, содержаніе которой въ конечномъ итогѣ совпадаетъ съ содержаніемъ формулы (16), примѣненной къ площадямъ правильныхъ вписанныхъ и описанныхъ многоугольниковъ. Вотъ эта теорема Гюйгенса*):

Теорема VI. Всякій кругъ меньше двухъ третей описаннаго около него равносторонняго многоугольника, увеличенныхъ на одну треть площади подобнаго ему описаннаго многоугольника.

*) Рудіо: О квадратурѣ круга; перев. подъ ред. прив. доц. С. Бернтейна. (Mathesis). Одесса 1911; стр. 89.

Тотъ выводъ формулы (16), который предложенъ въ настоящей статьѣ, соединяетъ содержаніе теоремы Гюйгенса съ точнымъ послѣдовательнымъ вычисленіемъ площадей правильныхъ вписанныхъ и вписанныхъ многоугольниковъ, иначе —съ постепеннымъ приближеніемъ къ числу л и кромѣ того, самая постановка вопроса, приводящая къ этой формулѣ, даетъ какъ мы видѣли и оцѣнку допускаемой ею ошибки. Дѣйствительно, если примемъ

то общая погрѣшность не превзойдетъ суммы

Въ этой суммѣ лишь первыя два слагаемыхъ имѣютъ значеніе, ибо

или, принимая во вниманіе отношеніе разностей (S4„ — s4„) и 0S2*--s2w), будемъ имѣть

Тотъ же способъ среднихъ ариѳметическихъ можно примѣнить и къ формуламъ циркулятуры правильныхъ многоугольниковъ и тѣмъ самымъ приближенно вычислить л. Удобнѣе воспользоваться изопериметрической циркулятурой:

(12)

такъ какъ радіусъ вписаннаго круга многоугольника съ удвоеннымъ числомъ сторонъ уже точно выражается среднимъ ариѳметическимъ радіусовъ предшествующихъ многоугольниковъ. Но за то при такомъ способѣ вычисленія л мы имѣемъ меньшую выгоду

въ степени точности замѣны средняго геометрическаго, опредѣляемой дробью

Ибо при данномъ периметрѣ равномъ 6, радіусы а и Ъ равны приблизительно 1 и знаменатель будетъ меньше 2.

Вычислимъ непосредственно по формуламъ (12) рядъ приближенныхъ значеній съ избыткомъ радіусовъ гп и і2'и, начиная съ г\ и полагая периметръ равнымъ 6:

Разность Е\н — г'96< 0,0011; слѣдовательно, замѣна при вычисленіи і2'96 средняго геометрическаго среднимъ ариѳметическимъ введетъ ошибку

При дальнѣйшемъ вычисленіи способомъ среднихъ ариѳметическихъ ошибка будетъ нарастать, но въ дальнѣйшихъ десятичныхъ знакахъ, такъ что общая погрѣшность не будетъ больше 0,0000007, т.-е. 6 десятичныхъ знаковъ навѣрное будутъ точны.

Кромѣ того, опять мы можемъ сократить вычисленія, находя предѣлъ среднихъ ариѳметическихъ по формулѣ (16)

Итакъ

а такъ какъ то

Но

Итакъ

Съ точностью до 0,00001.

Вычисленіе л съ двумя десятичными знаками этимъ способомъ не представляетъ никакихъ затрудненій. Дѣйствительно, вычисляя г'е = ----- ~ 0,86602..., и зная, что Д'б = 1, легко вы числить и г\2 = -6—-—— = 0,93301... Такъ какъ разность

то общая погрѣшность при способѣ, среднихъ ариѳметическихъ при вычисленіи Іітгп не превзойдетъ 0,004, ибо при одномъ примѣненіи этого способа имѣемъ:

а при дальнѣйшихъ погрѣшность будетъ нарастать въ слѣдующихъ, начиная съ четвертаго, десятичныхъ знакахъ.

Такимъ образомъ можно вычислить л съ двумя точными десятичными знаками:

9. Заканчивая свою статью, я ставлю себѣ вопросъ, нужно ли было возвращаться съ элементарными средствами къ знаменитой и всесторонне выясненной задачѣ о квадратурѣ круга и стоитъ ли примѣнять элементарные способы вычисленія тамъ, гдѣ высшій анализъ даетъ гораздо лучшіе методы. Въ самомъ дѣлѣ, не лучше-ли дать ученику средней школы готовые отвѣты на вопросы, рѣшеніе которыхъ онъ узнаетъ въ школѣ высшей? Я думаю, что нѣтъ. Вѣдь не каждый оканчиваюшій среднюю школу идетъ на математическій факультетъ, а образовательное значеніе курса математики въ средней школѣ должно оцѣниваться одинаковою пригодностью для всѣхъ. Значеніе математики въ этомъ отношеніи можетъ быть сведено въ сущности къ поучительности двухъ вопросовъ: какъ построить и какъ вычислить. Охватывая и теорію и приложимость ея, эти вопросы всего скорѣе возбуждаютъ къ самодѣятельности мысль изучающаго—къ самодѣятельности, охраняющей ее отъ опасной привычки брать на вѣру готовые результаты науки.

О суммѣ цифръ всѣхъ чиселъ по N включительно.

Н. Агрономовъ. Ревель.

Пусть число N есть число вида.

ан10* + ІО”"1-}-. ...+«! 10 + а0.

Чтобы опредѣлить сумму цифръ всѣхъ чиселъ по N включительно, разобьемъ эту сумму на нѣсколько слагаемыхъ. Первое слагаемое будетъ сумма всѣхъ цифръ, стоящихъ на первомъ мѣстѣ у всѣхъ чиселъ по N включительно справа, второе слагаемое— есть сумма всѣхъ цифръ стоящихъ на второмъ мѣстѣ и т. д.

Сумма цифръ, стоящихъ на первомъ мѣстѣ справа слагается изъ двухъ частей. Сюда во-первыхъ входитъ сумма всѣхъ цифръ 1, 2, 3,... а0 послѣдняго неполнаго десятка и сумма (1 —Н 2 —|— 3 —}-

_|_ 4 -j- • • . -г 9) = 45 повторенная столько разъ, сколько десятковъ, очевидно, содержитъ наше число.

Сумма всѣхъ цифръ, стоящихъ на второмъ мѣстѣ слагается изъ трехъ частей. Сюда, во первыхъ входитъ ах, повторенное столько разъ сколько разъ входитъ въ наше число цифра а0, увеличенная единицей, во вторыхъ, сюда входитъ сумма цифръ, стоящихъ на второмъ мѣстѣ въ послѣдней неполной сотнѣ, и, наконецъ, сумма (1 —2 —J— 3 —• • • -J- 9) повторенная слагаемымъ столько разъ, сколько въ нашемъ числѣ сотенъ, и это послѣднее произведеніе увеличивается еще въ 10 разъ, т. к. въ каждой сотнѣ цифры 1, 2, 3 и т. д. повторяется по 10 разъ, если онѣ стоятъ на второмъ мѣстѣ.

Продолжая это разсужденіе далѣе, мы имѣетъ для искомой суммы SN слѣдующее выраженіе

гдѣ въ каждой строкѣ записана сумма цифръ стоящихъ на мѣстѣ, номеръ котораго равень номеру строки.

Послѣ не существенныхъ преобразованій, мы имѣемъ, что сумма цифръ 8N всѣхъ чиселъ, по число N= У, 10* включильтельно равняется

(1)

Отъ этой весьма общей формулы перейдемъ къ случаямъ болѣе конкретнымъ.

l,N= 2^10* = а 2 10й, т. е. предположимъ, что N написано одной и той же цифрою а. Тогда на основаніи формулы (1),

Вычислимъ входящія въ это выраженіе суммы.

Умножая это выраженіе на 10 получимъ.

Вычитая почленно равенство (3) изъ равенства (4) и суммируя полученную прогрессію, находимъ, что.

(5)

Сумма 2 Ю*=------------------на основаніи формулы для суммы членовъ ариѳметической прогрессіи, а 2 (п— Л) 10* суммируется тѣмъ же способомъ, что и первая наша сумма. Подставивъ всѣ найденныя значенія въ формулу (2), мы получемъ слѣдующій результатъ: сумма цифръ всѣхъ чиселъ по N включительно равняется.

если N есть число, написанное (п + 1) разъ взятой цифрой а.

Въ томъ случаѣ когда а есть число нечетное, мы имѣемъ предложеніе: сумма цифръ всѣхъ чиселъ по N включительно дѣлится на а, если а есть число нечетное и N есть число написанное только цифрой а, ибо въ этомъ случаѣ всѣ члены суммы (6) дѣлятся на а.

Извѣстно, что

(7')

(7")

(Mathesis 1911, 205). Пусть теперь N, есть число написанное одними единицами, ІѴ5— пятерками, N,—шестерками, N2—двойками, ІѴ3 — тройками и Ат7 семерками, при этомъ N„ ІѴ5, ІѴ6, ІѴ2, Nv Nn имѣютъ одно и тоже и тоже число знаковъ.

Тогда основываясь на формулѣ (6) имѣемъ слѣдующее замѣчательное соотношеніе.

SN, + SN, + SN, = SN2 + SN3 + SNT (8)

Аналогично имѣемъ.

SN, + SN, + S Ns = SN2 + SN, + SN,.

Отмѣтимъ мимоходомъ разность между двумя SN и SN,, если N есть число, написанное (п + 1) разъ взятою цыфрою а, a N, есть число, написанное п разъ взятою цыфрою а:

(9)

Наиболѣе интересными частными случаями формулы (6) являются тѣ, въ которыхъ опредѣляется сумма цифръ всѣхъ чиселъ по N включительно, при чемъ N написано или п разъ взятою единицею, или п разъ взятою девяткою. Въ первомъ случаѣ:

(10)

во второмъ случаѣ

SN= 45.10й (п -[-I) (11)

Основываясь на формулѣ (11) легко заключить, что сумма цифръ всѣхъ чиселъ до Лг=10и-4"1 включительно равняется

SN= 45. 10й (п + 1) + 1 (12).

Такимъ образомъ сумма цифръ до 10 включительно равняется 46, до 100—901, до 1000—13501, до 10000—180001 и т. д.

Изъ формулы (12) легко вывести еще одну формулу, а именно сумму цифръ чиселъ написанныхъ п цифрами. Для этого составимъ разность $10” — $10”-1. Тогда будемъ имѣть, что сумма всѣхъ цифръ всѣхъ чиселъ написанныхъ п цифрами каждое равна

45. ІО”-2 (9n+ 1) (13)

(См. Mathesis 1908, 129). Отсюда видно, что сумма цифръ всѣхъ чиселъ, написанныхъ п цифрами каждое, дѣлится на 9ю -f- 1

Пусть теперь ап = а, а0 —- ах = а2 = а3 = . . ■ = 0. Тогда пользуясь нашей основной формулой, мы получимъ, что сумма цифръ всѣхъ чиселъ до числа N =а. 10” включительно равняется

Sa 10” =-= 45« а. 10”_1 + —^—— І0”+а; (14)

и

кромѣ того, по виду формулы (14) заключаемъ, что сумма цифръ всѣхъ чиселъ до чиселъ N — а10” включительно кратна а, если а есть число нечетное.

Легко замѣтить, что при а = 1, мы получаемъ изъ формулы (14) формулу (13).

Михаилъ Евсевіевичъ Головинъ.

В. Бобынинъ. Москва.

(Продолженіе).

Въ засѣданіи 19-го апрѣля 1781 года Румовскій сообщилъ Конференціи, что по мнѣнію Эйлера отправить до 1783 года три астрономическія экспедиціи по плану, намѣченному въ ихъ инструкціяхъ, значитъ потерять время и безполезно израсходовать деньги. Въ случаѣ же существованія обстоятельствъ, не допускающихъ продожительной отсрочки, онъ совѣтуетъ начать съ Херсона и такъ какъ особенно важно точно опредѣлить географическое положеніе этого мѣста, то туда слѣдуетъ послать даже двухъ наблюдателей (Иноходцова и Головина), предписавъ имъ не

оставлять этотъ городъ до тѣхъ поръ, пока они не сдѣлаютъ двѣнадцати наблюденій погруженій въ тѣнь и выходовъ изъ тѣни спутниковъ Юпитера вмѣстѣ со всѣми покрытіями, которыя произойдутъ въ этотъ промежутокъ времени. Въ то же время третій наблюдатель (г. Черный) могъ бы отправиться въ ближайшія къ Херсону мѣста юга Россіи и постараться точно опредѣлить тамъ долготы и вмѣстѣ съ тѣмъ собрать для этихъ мѣстностей топографическіе матеріалы. Предложенное Непремѣннымъ Секретаремъ послѣ сообщенія Румовскаго голосованіе по выдвинутымъ имъ вопросамъ дало слѣдующіе результаты: нѣсколько академиковъ въ интересахъ и самихъ астрономовъ и денежнаго хозяйства Академіи высказались согласно съ первымъ предложеніемъ Эйлера за отсрочку экспедицій до 1783 года; профессоръ Иноходцовъ объявилъ, что ему было бы пріятнѣе употребить свое время съ пользою въ Петербургѣ, чѣмъ почти совершенно потерять его, отправляясь съ текущаго года въ мѣста, географическое опредѣленіе которыхъ ему поручено. Также и адъюнктъ Головинъ выразилъ сожалѣніе о времени, которое онъ долженъ былъ бы провесть въ мѣстахъ, гдѣ ему пришлось бы сдѣлать только немногія наблюденія. Наконецъ остальные академики въ приближеніи ко второму предложенію Эйлера высказались за отправленіе на югъ только одной экспедиціи и за предоставленіе остальныхъ сѣверу въ годъ болѣе удобный для этого. На основаніи мнѣнія Эйлера, а также и изложенныхъ результатовъ голосованія, Директоромъ Академіи было объявлено въ слѣдующемъ же засѣданіи 23-го апрѣля черезъ Непремѣннаго Секретаря слѣдующее принятое имъ окончательное рѣшеніе: профессору Иноходцову и геодезисту Черному немедленно ѣхать на югъ; адъюнкту Головину оставаться до тѣхъ поръ въ Петербургѣ, пока большая высота Юпитера не позволитъ и ему присоединиться къ Иноходцову для успѣшнаго наблюденія погруженій въ тѣнь и выходовъ изъ тѣни спутниковъ Юпитера въ мѣстахъ, расположенныхъ на сѣверѣ. Въ ожиданіи же наступленія этого времени онъ долженъ посѣщать академическую обсерваторію и подъ руководствомъ Румовскаго совершенствоваться въ практической астрономіи. О точномъ исполненіи Головинымъ этого постановленія было сообщено Конференціи въ засѣданіи 28-го мая, при чемъ она узнала также, что въ своихъ занятіяхъ практическою астрономіею Головинъ обращаетъ главное вниманіе на наблюденія на полѣ, что Академія оказываетъ ему помощь во всемъ, въ чемъ онъ имѣетъ надобность, и что съ того времени, когда ему ночи позволятъ, онъ будетъ производить наблюденія такъ, какъ если бы былъ въ дорогѣ. Изъ инструментовъ, назначенныхъ первоначально исключительно для занятій Головина, Румовскій въ своемъ рапортѣ объ астрономическихъ инструментахъ, принятыхъ имъ послѣ смерти Лекселля, упоминаетъ астрономическій маятникъ de le Paute. Въ октябрѣ 1781 года подготовительныя къ участію въ астрономической экспедиціи занятія Головина закончились и онъ началъ собираться къ отъѣзду. По его заказу были уже сдѣланы три ящика для упаковки инструментовъ, которые должны были

отправиться съ нимъ въ дорогу, и тѣмъ не менѣе его ожидаемое и имъ самимъ и Академіею отправленіе въ экспедицію по неизвѣстнымъ теперь причинамъ не осуществилось. Въ засѣданіи 18-го октября состоялось только постановленіе Конференціи объ уплатѣ ему 3 руб. 50 коп., израсходованныхъ на упомянутые три ящика для упаковки инструментовъ.

Привлеченіе Головина къ занятіямъ гидрологіею произошло вслѣдствіе увольненія въ годовой отпускъ для поправленія разстроеннаго здоровья проф. Лекселля, завѣдующаго гидрологическими наблюденіями надъ Невою. Въ засѣданіи 6 іюля 1780 г. Директоръ Академіи Домашневъ возложилъ на Головина на все время отсутствія Лекселля попеченіе о записываніи количествъ дождя и высоты воды въ Невѣ и сообщеніе затѣмъ этихъ наблюденій Конференціи. Въ цѣляхъ дальнѣйшаго развитія гидрологическихъ наблюденій надъ Невою именно для опредѣленія паденія воды въ Невѣ и скорости ея теченія Домашневымъ въ засѣданіи 21 августа 1780 года былъ назначенъ особый комитетъ, въ составъ котораго вошли Краффтъ, Фуссъ, Головинъ и Непремѣнный Секретарь Академіи Эйлеръ—сынъ. Завѣдываніе этимъ Комитетомъ и руководство его дѣятельностью были тогда же поручены Эйлеру—отцу.

Главнымъ результатомъ гидрологическихъ наблюденій Головина была таблица прибыли и убыли воды въ Невѣ, составленная имъ по наблюденіямъ, производимымъ три раза въ день съ 12 іюля до 6 ноября 1780 г. безъ всякихъ перерывовъ. Эту таблицу онъ представилъ Академіи въ засѣданіи 13 ноября, при чемъ объяснилъ, что продолженію ея за указанный срокъ помѣшалъ ледъ. Онъ просилъ Конференцію, въ случаѣ если она найдетъ желательнымъ, чтобы эти наблюденія продолжались и зимою. При согласіи на это онъ просилъ ее также сдѣлать распоряженіе объ ежедневномъ освобожденіи отъ льда какъ самой сваи, на которой находилась шкала высотъ воды, такъ и пространства вокругъ нея. Вполнѣ согласившись съ предложеніями Головина, Конференція постановила обратиться къ академической комиссіи съ тѣмъ, чтобы эта послѣдняя приказала одному изъ солдатъ, находившихся въ ея распоряженіи, ломать ледъ около упомянутой сваи такъ часто, какъ это окажется нужнымъ. Наблюденія Головина надъ прибылью и убылью воды въ Невѣ продолжались до декабря 1782 г., когда онъ былъ вынужденъ отъ нихъ отказаться. Въ засѣданіи 2 декабря онъ донесъ Конференціи, что не можетъ болѣе наблюдать высоту воды въ рѣкѣ, такъ какъ не имѣетъ людей, которые ломали бы по утрамъ ледъ около шкалы и очищали бы отъ него и самую шкалу. Это заявленіе Головина вмѣстѣ съ содержащимъ его письмомъ Конференція сообщила академической Комиссіи, но, повидимому, безуспѣшно.

Изъ издаваемыхъ Академіей Наукъ ежегодно календарей главнымъ былъ выходившій на русскомъ и нѣмецкомъ языкахъ подъ заглавіемъ „Мѣсяцословъ на лѣто отъ Рождества Христова... (наприм. 1783), которое есть простое, содержащее въ себѣ 365 дней, сочиненный на знатнѣйшія мѣста Россійской Имперіи“ (8°).

Занятія Головина ежегоднымъ изданіемъ этого календаря начались съ 1782 г., когда по приказанію директора Академіи Домашнева онъ долженъ былъ взять на себя составленіе календаря на 1783 годъ. Въ виду новизны для него вычисленій, требуемыхъ этою работою, Академія въ засѣданіи 23 мая постановила потребовать возможно скорой передачи этихъ вычисленій на предварительное передъ печатаніемъ разсмотрѣніе Румовскаго. Въ исполненіе этого требованія Головинъ представилъ уже въ слѣдующее засѣданіе 27 мая вычисленія, относящіяся къ 12 мѣсяцамъ календарнаго года, обѣщая при этомъ все остальное представить въ теченіе будущей недѣли. Это обѣщаніе однако же имъ исполнено не было и остальную часть вычисленій онъ представилъ Академіи только въ засѣданіи 8 іюля. Румовскій оказался болѣе внимательнымъ къ требованіямъ Академіи. Свой рапортъ о календарѣ вмѣстѣ съ нимъ самимъ онъ представилъ Академіи въ засѣданіи 11 іюля. Въ рапортѣ онъ сообщалъ, что при повѣркѣ нѣкоторыхъ изъ вычисленій Головина въ нихъ не оказалось ошибокъ; календарь, поэтому, можетъ быть отданъ въ печать. Предварительно должна быть только расширена и исправлена таблица разстояній между городами Имперіи на основаніи документовъ и матеріаловъ, которые могутъ быть доставлены Академическою Комиссіею. Рапортъ такого авторитетнаго въ Академіи лица, какъ Румовскій, привелъ ея Конференцію въ томъ же засѣданіи, въ которомъ онъ былъ представленъ, къ слѣдующимъ постановленіямъ: 1) послать календарь въ Коммиссію и просить ее о доставленіи вышеупомянутыхъ документовъ Головину, такъ какъ ему поручается подвергнуть таблицу разстояній передѣлкѣ; 2) возвратиться къ той старой формѣ календаря, которая употреблялась еще въ Календарѣ на 1779 годъ, какъ уже сдѣлавшейся привычною для публики, а потому и предпочитаемой ею той, которая была принята въ три послѣдніе года; 3) признать необходимымъ поручить адъюнкту Головину составленіе календарей и на будущіе годы съ тѣмъ, чтобы онъ началъ тотчасъ же вычисленіе календаря на 1784 годъ, такъ какъ для разсмотрѣнія этой работы послѣ ея окончанія и для отзыва о ней нужно время и, наконецъ, 4)назначить Головину вознагражденіе въ 100 рублей не только за составленный имъ уже календарь на 1783 годъ, но также и за тѣ, которые имъ будутъ вычислены впослѣдствіи.

Календарь на 1783 годъ во время печатанія былъ подвергнутъ, вѣроятно по распоряженію Домашнева, новому пересмотру. Результатомъ послѣдняго, какъ потребовавшаго значительныхъ исправленій и измѣненій въ трехъ предпослѣднихъ листахъ, была такая задержка въ печатаніи, которая сдѣлала невозможнымъ выходъ Календаря въ свѣтъ до Новаго Года. Неудобства такого способа веденія изданія необходимой для публики справочной книги въ соединеніи съ незначительностью поводовъ къ упомянутымъ исправленіямъ и измѣненіямъ заставили Академію обратиться черезъ своего Непремѣннаго Секретаря къ Директору съ соотвѣтствующимъ письменнымъ представленіемъ, которое тотъ даже не удостоилъ отвѣта. Въ виду этого Конференція въ засѣ-

даніи 14 ноября поручила Головину лично явиться къ Домашневу для повторенія ему вышеупомянутаго представленія Академіи, а также и для полученія отъ него приказаній относительно листа Г русскаго календаря, который вслѣдствіе сдѣланныхъ въ немъ очень существенныхъ поправокъ и прибавленій подлежалъ немедленной перепечаткѣ. Объ исполненіи этого порученія Головинъ доложилъ Конференціи въ слѣдующемъ же засѣданіи 18 ноября. Въ отвѣтъ на свое сообщеніе Головинъ услышалъ отъ Директора, что календари не касаются Конференціи и что отвѣтственъ за нихъ, а также и за непоявленіе ихъ въ свѣтъ, только одинъ директоръ. Въ виду такого заявленія Головинъ просилъ Конференцію освободить его отъ обязанности торопиться съ выпускомъ календарей въ свѣтъ. Собраніе согласилось на это, какъ на просьбу, законность которой не допускаетъ отказа. Въ тотъ самый моментъ, когда это рѣшеніе было принято, въ залу засѣданія вошелъ директоръ. Взявъ на себя предсѣдательство, онъ обратился къ секретарю съ вопросомъ о томъ, что было внесено до его прихода въ протоколъ засѣданія. По выслушаніи требуемаго, директоръ сталъ упрекать Конференцію въ томъ, что она вмѣшивается въ дѣла, абсолютно ея не касающіяся, а также и въ томъ, что она препятствуетъ печатанію Календаря. Затѣмъ слово было предоставлено согласно просьбѣ проф. Лекселлю, предложившему предсѣдателю вопросъ, въ чемъ состояли препятствія, причиненныя Конференціей печатанію Календаря? Отвѣтомъ на этотъ вопросъ со стороны директора было требованіе не перебивать его и молчать. Лекселль возразилъ на это, что онъ никого не перебивалъ, а молчать не будетъ. Тогда предсѣдатель повышеннымъ тономъ произнесъ: taisez vous. Послѣ такого небывалаго обращенія съ академикомъ Лекселль всталъ и ушелъ изъ залы. Со стороны директора эта тяжелая сцена была закончена тѣмъ, что, продиктовавъ по-русски какую-то записку академику Протасову, онъ и самъ удалился изъ залы засѣданія. Тогда собраніе поручило секретарю занесть все происшедшее въ протоколъ и попросить Лекселля возвратиться въ засѣданіе. Подчинившись приглашенію, Лекселль снова занялъ свое мѣсто, при чемъ попросилъ Секретаря предложить каждому изъ присутствующихъ вопросъ: „перебивалъ ли онъ, Лекселль, господина директора?“ Всѣ отвѣтили „нѣтъ“, за исключеніемъ академика Протасова и адъюнкта Зуева, которые разошлись въ своихъ впечатлѣніяхъ не только съ другими, но и между собою. Первый говорилъ, что Лекселль попросилъ слова, когда директоръ едва только успѣлъ кончить свою рѣчь, а второй утверждалъ, что директоръ обратился къ Секретарю и что отвѣчать нужно было этому послѣднему, а не Лекселлю. Затѣмъ, согласно новому требованію Лекселля, Секретарь спросилъ академика Протасова: бывалъ ли кто-нибудь изъ членовъ Конференціи когда нибудь въ типографіи для того, чтобы препятствовать печатанію Календаря? Академикъ Протасовъ отвѣтилъ, что онъ этого не видѣлъ и ни о чемъ подобномъ ему не доносили.

Скоро послѣ описаннаго засѣданія, являющагося въ Исторіи С.-Петербургской Академіи Наукъ XVIII столѣтія очень характер-

нымъ, Домашневъ въ декабрѣ того же 1782 года оставилъ должность директора Академіи, занятую послѣ него въ январѣ слѣдующаго 1783 года княгинею Дашковою.

Матеріалы для порученныхъ Головину исправленій и дополненій таблицы разстояній между городами Россійской Имперіи доставлялись ему не только Академической Комиссіей, но и частными лицами. Такъ въ засѣданіи Академіи 16 декабря 1782 г. Фуссъ представилъ отъ имени ярославскаго хирурга Фриса очень точный списокъ 19 городовъ Вологодской губерніи съ указаніями ихъ разстояній отъ С.-Петербурга, Москвы и Вологды и, кромѣ того, еще списокъ 14 городовъ, расположенныхъ на дорогѣ отъ Москвы до Архангельска съ указаніемъ ихъ разстояній отъ Москвы. Оба эти списка были переданы Головину съ тѣмъ, чтобы, по минованіи въ нихъ надобности, онъ передалъ ихъ въ академическій архивъ.

Въ исполненіе вышеприведенныхъ постановленій Конференціи о времени доставленія ей составляемыхъ вновь календарей для предварительнаго передъ печатаніемъ разсмотрѣнія Головинъ представилъ свой Календарь на 1784 годъ въ засѣданіи 10 февраля 1783 г. Какъ и въ предыдущемъ году, этотъ Календарь былъ переданъ для просмотра и отзыва Румовскому. Не найдя ошибокъ въ провѣренныхъ имъ нѣсколькихъ вычисленіяхъ, послѣдній могъ отмѣтить только одинъ недостатокъ въ трудѣ Головина, именно отсутствіе опредѣленія съ достаточною точностью начала солнечнаго затмѣнія 5 августа, видимаго въ Петербургѣ скоро послѣ восхода солнца. Онъ счелъ себя обязаннымъ указать на это, чтобы Конференція поручила Головину вычислить указанный моментъ со всею требуемою точностью. Конференція одобрила это замѣчаніе Румовскаго и постановила его исполнить. Вслѣдствіе утвержденія 26 мая княгинею Дашковою упомянутаго уже выше мнѣнія Конференпіи о пользѣ возвращенія календарей къ ихъ прежней формѣ на Головина было возложено еще и другое порученіе. Онъ долженъ былъ передать Календарь на 1784 годъ въ типографію только послѣ сообщенія ему указанной формы.

Издаваемые Академіею календари, какъ предметъ изъ всей ея дѣятельности можетъ быть единственно доступный новому директору Академіи княгинѣ Дашковой, стали обращать на себя особенное ея вниманіе почти съ самаго вступленія въ должность директора. Такъ въ засѣданіи 26 мая 1783 г. редактированіе обыкновеннаго календаря на нѣмецкомъ языкѣ было возложено ею на Платцманна. Редактированіе это сводилось главнымъ образомъ къ одновременному съ печатаніемъ русскаго календаря его переводу на нѣмецкій языкъ. Въ этомъ же засѣданіи она указала и подтвердила многими примѣрами существованіе многочисленныхъ ошибокъ и неточностей въ „Придворномъ Календарѣ“ на текущій годъ. Обративъ вниманіе академиковъ и адъюнктовъ на это явленіе, она предложила имъ на будущее время заботиться о томъ, чтобы этотъ календарь былъ болѣе исправнымъ. Для доставленія этому своему предложенію фактическаго значенія она приказала разсылать циркулярно всѣмъ академикамъ и адъюнк-

тамъ экземпляръ Придворнаго Календаря со вклеенными въ него листами бѣлой бумаги для того, чтобы каждый могъ записывать на нихъ свои поправки и замѣчанія. Въ засѣданіи 25 августа княгиня Дашкова приказала помѣстить въ „Мѣсяцословѣ съ наставленіями“ на будущій годъ въ случаѣ, если обѣщанная для него статья Палласа не займетъ его всего, одинъ изъ русскихъ мемуаровъ, читанныхъ въ засѣданіяхъ Конференціи академикомъ Озерецковскимъ. Такъ какъ, по заявленію Палласа, его статья могла занять только небольшое число страницъ, то изъ упомянутыхъ мемуаровъ Озерецковскаго было постановлено напечатать въ Календарѣ рекомендованное для этого имъ самимъ „Описаніе моржоваго промысла“, представленное имъ Академіи 22 февр. 1781 г. Въ этомъ же засѣданіи 25 августа согласно выраженному ассессоромъ Бакмейстеромъ желанію на него было возложено доставленіе для обыкновеннаго календаря хронологическаго обозрѣнія замѣчательныхъ событій и редактированіе генеалогической таблицы послѣ введенія въ нее указанныхъ княгиней Дашковой измѣненій и исправленій. Исполненіе принятой такимъ образомъ на себя обязанности Бакмейстеръ началъ съ представленія Академіи въ томъ же засѣданіи начала упомянутаго хронологическаго обозрѣнія подъ заглавіемъ Fortsetzung des chronologischen Verzeichnisses der vornehmsteu Begebenheiten im Jahr 1782 и 1783. Въ своемъ вниманіи къ издаваемымъ Академіею календарямъ княгиня Дашкова доходила даже до личнаго участія въ распредѣленіи ихъ экземпляровъ. Такъ въ засѣданіи 15 дек. 1783 г. академическою Канцеляріею были присланы отъ имени княгини Дашковой экземпляры календарей: обыкновеннаго, съ наставленіями и историческаго для помѣщенія и храненія ихъ въ архивахъ Конференціи.

Какъ и въ два предыдущіе года, Головинъ долженъ былъ прежде печатанія представить свои вычисленія для Календаря на 1785 годъ на предварительное разсмотрѣніе въ Конференцію, что онъ и сдѣлалъ въ засѣданіи 5 іюля 1784 г. Въ этомъ же засѣданіи состоялось также, по взаимному соглашенію, раздѣленіе между академикомъ Озерецковскимъ и адъюнктами Зуевымъ и Головинымъ редакціи и корректированія трехъ издаваемыхъ Академіею русскихъ календарей, именно „Мѣсяцослова историческаго и географическаго“, „Мѣсяцослова съ наставленіями“ и Календаря обыкновеннаго. Что же касается редакціи двухъ остальныхъ русскихъ календарей, издаваемыхъ Академіею, именно Придворнаго*) и Адреснаго**), то рѣшеніе о ней было отложено до другого времени.

Въ теченіе лѣтнихъ каникулъ, продолжавшихся съ 8 іюля по 12 августа, Головинъ представилъ Непремѣнному Секретарю на этотъ разъ уже полную рукопись обыкновеннаго календаря на 1785 г., которую тотъ передалъ сперва для разсмотрѣнія Румовскому, а потомъ, послѣ полученія отъ него одобренія, сдалъ

*) Придворный мѣсяцословъ на лѣто отъ Рождества Христова и т. д.

**) Мѣсяцословъ съ росписью чиновныхъ особъ въ государствѣ на лѣто отъ Рождества Христова и т. д.

въ печать, распорядившись притомъ, чтобы первая корректура была послана Головину, а послѣдняя—Румовскому. Послѣ доклада Непремѣннаго Секретаря о всѣхъ этихъ своихъ дѣйствіяхъ Конференціи въ засѣданіи 12 августа Головинъ внесъ отъ себя предложеніе объ исключеніи изъ обыкновеннаго календаря VІІ статьи, представляющей списокъ городовъ, планы которыхъ получили утвержденіе Императрицы, и о замѣнѣ ея таблицею географическихъ положеній главныхъ мѣстъ Россійской Имперіи. Конференція одобрила это предложеніе, но приведеніе его въ исполненіе, также какъ и нѣкоторыхъ другихъ менѣе значительныхъ измѣненій, предложенныхъ Головинымъ, обусловила согласіемъ начальства.

Въ 1785 году энергія, съ которою Головинъ относился къ возложенному на него составленію обыкновеннаго календаря, начала замѣтно ослабѣвать. Къ началу іюля имъ уже не были, какъ прежде, доставлены Конференціи календарныя вычисленія. Непремѣнному Секретарю пришлось вслѣдствіе этого въ засѣданіи 7 іюля напомнить Конференціи о безотлагательной необходимости подумать о календаряхъ на 1786 годъ. Рѣшено было, поэтому, немедленно же послать къ Головину за сдѣланными имъ календарными вычисленіями. Но получить ихъ и вообще всю астрономическую и хронологическую часть Календаря на 1786 г. отъ него удалось только въ засѣданіи 18 августа. Для предварительнаго разсмотрѣнія этой части Румовскимъ уже не оставалось времени и потому она была прямо сдана въ печать съ тѣмъ, чтобы Румовскій взялъ на себя послѣднюю корректуру листовъ, послѣ которой ихъ должны были передать адъюнкту Платцманну для перевода на нѣмецкій языкъ съ цѣлью составленія изъ нихъ нѣмецкаго календаря. Въ засѣданіи 3 октября Головинъ обратилъ вниманіе Конференціи на неполноту и неточность обыкновенно помѣщаемой въ большомъ или обыкновенномъ календарѣ таблицы разстояній городовъ Россійской Имперіи. Нѣкоторыхъ изъ показанныхъ въ ней городовъ болѣе нѣтъ и напротивъ въ ней отсутствуютъ созданные вновь. Въ виду этого и въ ожиданіи результатовъ ходатайствъ, предпринятыхъ о томъ же предметѣ Академическою Канцеляріею по порученію княгини Дашковой, Конференціею было постановлено въ календарѣ на 1786 годъ помѣстить новые города, хотя бы и безъ указанія ихъ разстояній, и отмѣтить особыми значками имена мѣстъ, переставшихъ быть городами. Что же касается упомянутыхъ ходатайствъ Академической Канцеляріи, то первымъ отвѣтившимъ на нихъ вѣдомствомъ было почтовое. Изъ доставленныхъ имъ свѣдѣній обнаружилась необходимость нѣкоторыхъ измѣненій въ разстояніяхъ, печатавшихся до сихъ поръ въ большомъ календарѣ. Сводъ этихъ измѣненій, доставленный Конференціи Канцеляріей въ засѣданіи 24 окт. 1785 г., былъ затѣмъ переданъ Головину для введенія въ печатаемый Календарь.

Въ отношени Календаря на 1786 годъ заботливость княгини Дашковой достигла едва-ли не наибольшей степени своего развитія. Ею былъ отданъ приказъ Академической Канцеляріи о

доставленіи ей на разсмотрѣніе экземпляра, этого Календаря послѣ окончанія его печатанія и прежде выхода въ свѣтъ. Получивъ требуемый экземпляръ, она замѣтила въ мемъ „непростительныя“, по ея словамъ, „неправильности“, заставившія ее послѣ собственноручнаго ихъ исправленія возвратить экземпляръ обратно въ Канцелярію для перепечатанія. При болѣе подробномъ изложеніи дѣла, которое ей пришлось дать въ своемъ переданномъ черезъ Непремѣннаго Секретаря въ засѣданіи 7 ноября заявленіи, она однако-же ограничилась указаніемъ всего только одной ошибки. Содержащее это указаніе мѣсто протокола засѣданія 7 ноября является на столько характеристичнымъ какъ для самой княгини Дашковой, такъ и для ея отношеній къ календарямъ и къ Академіи, что приведеніе его здѣсь является болѣе, чѣмъ умѣстнымъ: „Онъ (календарь) въ астрономическихъ вычисленіяхъ говорилъ, что въ этомъ году мы будемъ имѣть пять затмѣній, а позднѣе въ концѣ книги на послѣдней страницѣ находится родъ примѣчанія, въ которомъ говорится о шестомъ затмѣніи. Вслѣдствіе этого княгиня Дашкова стерла число 5 и замѣнила его 6, при чемъ подъ указаніями моментовъ времени, относящихся къ пятому затмѣнію, помѣстила соотвѣтствующіе моменты для шестого. Это могъ бы вполнѣ сдѣлать и адъюнктъ Головинъ. Не исправивъ же этой ошибки, онъ сдѣлалъ своимъ нерадѣніемъ положеніе Академіи смѣшнымъ и постыднымъ, что и поставило Директора-княгиню въ необходимость сообщить объ этомъ Конференціи черезъ ея Секретаря съ тѣмъ, чтобы въ будущемъ адъюнктъ Головинъ приносилъ Академіи не вредъ, а пользу, допуская менѣе небрежности къ обязанностямъ своей должности. Такъ какъ г. Головинъ не присутствовалъ въ этомъ засѣданіи, то Конференція послала ему копію касающейся его части протокола“*).

Не удовольствовавшись найденнымъ недосмотромъ по части астрономіи, княгиня Дашкова обратилась для разысканія ошибокъ въ другой области къ таблицѣ разстояній. Здѣсь жатва оказалась болѣе богатою, чего и слѣдовало ожидать въ виду свойствъ и характера указанныхъ отчасти уже выше источниковъ, которыми приходилось пользоваться при составленіи этой таблицы. „Различныя“ ошибки, найденныя здѣсь княгинею Дашковою, состояли или въ необозначеніи губерній, въ которыхъ находятся нѣкоторыя изъ указываемыхъ мѣстъ, или въ неправильномъ приписываніи нѣкоторымъ намѣстничествамъ непринадлежащаго имъ званія губерніи. Ставя Конференціи въ ея засѣданіи 22 декабря 1785 г. на видъ всѣ эти ошибки, княгиня Дашкова предписывала ей принять къ предотвращенію возможности повторенія этихъ ошибокъ въ календаряхъ на слѣдующіе годы всѣ находящіяся въ ея распоряженіи мѣры, изъ которыхъ, какъ на главнѣйшую, указывалось на обращеніе въ географическій департаментъ, гдѣ эти ошибки могли быть исправлены на основаніи новой генеральной карты, надъ которою тамъ работали въ разсматриваемое вре-

*) Протоколы засѣданій Конференціи Императорской Академіи Наукъ съ 1725 по 1803 года. T. III. Стр. 843.

мя. Вслѣдствіе этого сообщенія Директора Конференція поручила Непремѣнному Секретарю сообщить адъюнкту Головину, какъ неприсутствовавшему въ засѣданіи 22 декабря, соотвѣтствующее извлеченіе изъ протокола послѣдняго.

Вполнѣ достойнымъ отвѣтомъ Головина на направленныя противъ него выходки Директора - княгини, по своей рѣзкости совершенно не соотвѣтствующія значенію допущенныхъ имъ недосмотровъ. была подача имъ прошенія объ отставкѣ, о которомъ княгиня Дашкова сообщила Конференціи въ засѣданіи 26 января 1786 г., какъ уже о принятомъ ею. Дѣло увольненія Головина изъ Академіи оказалось однако не на столько простымъ, на сколько оно можетъ быть представлялось княгинѣ Дашковой. Сперва самъ Головинъ обратился къ Конференціи въ засѣданіи 6 февраля 1786 г. съ просьбою о повышеніи его въ званіе профессора прежде, чѣмъ онъ оставитъ Академію, а потомъ, повидимому, и въ ней самой былъ поднятъ вопросъ объ удержаніи его при Академіи, хотя бы въ видѣ посторонняго члена. Княгинѣ Дашковой пришлось уступить и въ засѣданіи 13 февраля Непремѣнный Секретарь заявилъ объ ея согласіи на причисленіе Головина къ классу постороннихъ адъюнктовъ. Такъ какъ такой классъ не полагался по статутамъ Академіи, допускавшимъ постороннихъ членовъ только въ одномъ видѣ, именно какъ почетныхъ членовъ, то и Головина пришлось возвесть въ это званіе, хотя и не съ особенною охотою, какъ это можно видѣть изъ того, что въ ХVIІІ вѣкѣ его предпочитали въ Академіи называть Associé libre вмѣсто membre honoraire.

Неотступившее даже передъ необходимостью возведенія Головина въ званіе, которое доставлялось до сихъ поръ, по крайней мѣрѣ для простыхъ смертныхъ, только крупными научными заслугами, стремленіе къ удержанію Головина при Академіи показываетъ, что здѣсь смотрѣли на него, какъ на очень полезную рабочую силу, хотя, конечно, и не въ отношеніи творческой дѣятельности въ наукѣ. Направленныя противъ Головина дѣйствія княгини Дашковой были актами не только простой несправедливости, но и полной нерасчетливости, представлявшей яркое обнаруженіе отсутствія въ Директорѣ Академіи сколько-нибудь яснаго представленія объ ея пользахъ и нуждахъ. И въ этой неясности представленій указаннаго рода княгиня Дашкова оставила позади себя даже своего предшественника Домашнева. Чтобы въ полной мѣрѣ оцѣнить размѣры потери, понесенной Академіею въ лицѣ Головина послѣ оставленія ея имъ, къ сообщеннымъ уже свѣдѣніямъ о болѣе крупныхъ изъ его работъ остается присоединить еще и свѣдѣнія о сравнительно мелкихъ предметахъ его занятій.

Въ срединѣ 1778 г. академики были извѣщены Директоромъ Домашневымъ о разрѣшеніи Императрицею постройки для Академіи новаго зданія. Вмѣстѣ съ тѣмъ они получили отъ него приглашеніе представить свои мнѣнія о наиболѣе необходимыхъ и желательныхъ для Академіи квартирахъ и другихъ помѣщеніяхъ. Вслѣдствіе этого приглашенія были доставлены Директору

письменныя мнѣнія академиковъ Румовскаго, Вольфа, Палласа, Лаксманна, Краффта и Лекселля. Всѣ эти мнѣнія Директоръ передалъ въ засѣданіи 6 іюля Котельникову, Иноходцову и Головину для составленія ихъ свода и присоединенія къ нему также и бумагъ о томъ, въ чемъ нуждалась бы Академія для такихъ своихъ учрежденій, какъ книжный магазинъ, типографія и разные департаменты, въ томъ случаѣ, если бы всѣ существующія деревянныя зданія были уничтожены, а все помѣщающееся въ нихъ должно было бы найти мѣсто въ проектируемомъ новомъ зданіи.

Въ 1780 г. Головинъ былъ привлеченъ къ участію въ составленіи проектовъ темы, которую Академія должна была предложить на соисканіе очередной преміи 1783 года. Имъ были предложены двѣ темы: 1) вмѣстѣ съ проф. Краффтомъ: Quaeritur theoria pressionis atmosphaerae prout vaporibus majus minusve est onusta, unde explicari queat quomodo ascensus et descensus mercurii in barometro cum variis tempestatibus cohaereat? и 2) вмѣстѣ съ академиками Краффтомъ, Лекселлемъ, Иноходцовымъ, адъюнктомъ Фуссомъ и Непремѣннымъ Секретаремъ Эйлеромъ „Desideratur plenior explicatio structurae oculi, unde intelligi queat, cur non obstante radiorum diversa refrangibilitate et insigni campo quem oculus simul intuetur, imagine in fundo oculi, nihilminus distincte ac sine coloribus iridis repraesententur? Вмѣстѣ съ этими двумя проектами было предложено еще пять. Выбраннымъ же изъ нихъ Директоромъ Академіи Домашневымъ для постановки на конкурсъ оказался слѣдующій, предложенный академиками Краффтомъ и Непремѣннымъ Секретаремъ Эйлеромъ: Cum ѵі ignis ѵеі potius vaporum tantum praestari queat, quaeritur theoria ejusmodi machinarum, quae vi ignis vel vaporum moventur? или во французской передѣлкѣ: Exposer une théorie des machines qui se meuvent par la force du feu ou des vapeurs?

Въ 1784 году было предприняго новое изданіе собранія сочиненій Ломоносова. Выборъ и распредѣленіе этихъ сочиненій, по томамъ, начиная со второго, были поручены сенаторомъ Стрекаловымъ въ засѣданіи Конференціи 26 авг. 1784 г. академикамъ Румовскому, Лепехину и Озерецковскому, а завѣдываніе типографскою частью изданія и просмотръ корректуръ адъюнкту Головину. Академическая Канцелярія должно была доставлять матеріалы для изданія въ видѣ имѣющихся въ ея распоряженіи рукописей Ломоносова н другихъ относящихся къ нему бумагъ.

Въ засѣданіи 24 февраля 1785 г. Конференціей было постановлено согласно представленію проф. Краффта просить директора Академіи княгиню Дашкову о приказѣ адъюнкту Головину взять на себя просмотръ корректуръ 2-й части Экспериментальной физики Краффта, переведенной на русскій языкъ и нынѣ находящейся уже въ печати.

(Окончаніе въ слѣд. №).

25-лѣтіе педагогической дѣятельности А. Ѳ. Гатлиха.

26 октября сего года исполнился 25-лѣтній юбилей педагогической дѣятельности товарища предсѣдателя Московскаго Математическаго Кружка, Александра Ѳедоровича Гатлиха. А. Ѳ.

уклонился отъ какого-либо чествованія или празднованія по этому поводу, но „Математическое Образованіе“ не можетъ не отмѣтить 25-лѣтія его неутомимой и плодотворной работы на научно-педагогическомъ поприщѣ. Приводимъ, поэтому, краткія свѣдѣнія о жизни и дѣятельности А. Ѳ. Гатлиха.

А. Ѳ. окончилъ курсъ Физико-Математическаго факультета Московскаго Университета однимъ изъ первыхъ кандидатовъ въ 1887 году. При окончаніи курса ему было предложено остаться при университетѣ для приготовленія къ профессорскому званію, но имѣя влеченіе къ педагогической дѣятельности, онъ не воспользовался этимъ предложеніемъ. Однако, первые шаги его на педагогическомъ пути были очень тяжелы. Первое время ему пришлось преподавать математику въ Московскомъ частномъ реальномъ училищѣ И. М. Хайновскаго, впослѣдствіи закрытомъ. Учащіеся старшихъ классовъ, куда поступилъ преподавателемъ А. Ѳ., отличались почтеннымъ возрастомъ,—нѣкоторые изъ нихъ были ровесниками А. Ѳ.,—но не могли похвалиться успѣхами и хорошимъ поведеніемъ; заинтересовать ихъ математикой и вообще вести ихъ обученіе было весьма трудно. Только чрезъ 4 года удалось А. Ѳ. Гатлиху перейти изъ этого учебнаго заведенія преподавателемъ въ Александровское Коммерческое училище. Директоромъ этого училища былъ тогда профессоръ Московскаго Университета В. Я. Цингеръ, человѣкъ огромныхъ дарованій, извѣстный своею научною дѣятельностью и своимъ замѣчательнымъ преподаваніемъ въ Университетѣ и создавшій цѣлую школу русскихъ геометровъ. Бесѣды съ нимъ на научныя темы имѣли большое вліяніе на А. Ѳ. Гатлиха, который подъ вліяніемъ ихъ возобновилъ свои научныя занятія, причемъ въ особенности сталъ заниматься геометріей и механикой. Одновременно все расширялась и педагогическая дѣятельность А. Ѳ. Вмѣстѣ съ покойнымъ педагогомъ А. Н. Глаголевымъ онъ былъ однимъ изъ учредителей и первыхъ преподавателей Алексѣевскаго Коммерческаго училища, преподавалъ также нѣкоторое время въ Московской Практической Академіи Коммерческихъ Наукъ, принималъ участіе въ организаціи женскаго коммерческаго училища Л. О. Вяземской, преобразованнаго впослѣдствіи въ женскую гимназію и пр. Съ 1906 г. А. Ѳ. Гатлихъ состоитъ инспекторомъ классовъ женскаго Института, учрежденнаго Московскимъ Дворянствомъ.

Съ 1902 г. началась преподавательская дѣятельность А. Ѳ. Гатлиха въ высшихъ учебныхъ заведеніяхъ г. Москвы. Онъ началъ читать лекціи и вести упражненія по различнымъ отдѣламъ математики на Московскихъ Высшихъ Женскихъ Курсахъ, въ Московскомъ Инженерномъ Училищѣ и на Коммерческихъ Курсахъ. Это послѣднее учебное заведеніе первоначально имѣло своею задачей подготовленіе преподавателей спеціальныхъ предметовъ для коммерческихъ учебныхъ заведеній. Однако, въ такомъ видѣ Коммерческіе Курсы просуществовали не долго и въ 1904 году, одновременно съ другими нѣкоторыми Московскими учебными заведеніями для взрослыхъ, закрылись, убѣдивъ А. Ѳ. Гатлиха, между прочимъ, въ томъ, что такіе курсы ни по своей цѣли, ни

по объему преподаванія не жизненны. Онъ пришелъ къ убѣжденію, что нужно подготовлять не преподавателей Коммерческихъ Наукъ для коммерческихъ училищъ, которыя въ сущности весьма мало отличаются отъ обыкновенныхъ реальныхъ училищъ, а необходимо создать кадры людей, которые, вооруженные научными знаніями, могли-бы приносить пользу русской торговлѣ, промышленности и финансамъ. Въ Россіи до сихъ нѣтъ своихъ достаточно образованныхъ работниковъ на поприщѣ банковой, страховой, промышленной и т. п. дѣятельности. Почти вся подобная работа у насъ ведется по готовымъ иностраннымъ или традиціоннымъ трафаретамъ, безъ всякаго научнаго освѣщенія и безъ достаточнаго изслѣдованія дѣйствительныхъ условій. Исходя изъ этихъ основныхъ положеній, А. Ѳ. Гатлихъ, въ сотрудничествѣ съ прив.-доц. И. А. Кистяковскимъ и при сочувствіи предсѣдателя Общества распространенія Коммерческаго Образованія А. С. Вишнякова, создалъ уставъ и планъ высшаго коммерческаго учебнаго заведенія подъ названіемъ Высшихъ Коммерческихъ Курсовъ, переименованныхъ вскорѣ въ Коммерческій Институтъ. Московскій Коммерческій Институтъ просуществовалъ какъ частное учебное заведеніе съ 1906 по 1912 годъ, привлекая общія симпатіи своей постановкою преподаванія и огромное количество слушателей. Въ сентябрѣ настоящаго 1912 г. Коммерческій Институтъ получилъ полныя права высшаго учебнаго заведенія и новый уставъ. А. Ѳ. Гатлихъ читалъ въ Коммерческомъ Институтѣ первоначально общій курсъ высшей математики—аналитическую геометрію, дифференціальное и интегральное исчисленія,—впослѣдствіи же сосредоточился на теоріи вѣроятностей и математической статистикѣ. Въ качествѣ приложенія своихъ свѣдѣній въ этихъ наукахъ, А. Ѳ. Гатлихъ занимался вопросами пенсіонированія и принималъ участіе въ учрежденіи и постановкѣ пенсіонныхъ кассъ при Московскомъ Городскомъ Общественномъ Управленіи, въ Московскомъ земствѣ и въ нѣкоторыхъ частныхъ учрежденіяхъ.

На Московскихъ Высшихъ Женскихъ Курсахъ А. Ѳ. читалъ и читаетъ преимущественно геометрію — элементарный курсъ и нѣкоторые спеціальные курсы. Вообще геометрія и теорія вѣроятностей являются наиболѣе любимыми науками А. Ѳ., и его работы относятся преимущественно къ этимъ наукамъ. Изъ его трудовъ назовемъ слѣдующіе:

Задачникъ для воскресныхъ школъ (вышелъ 4-мя изданіями)—плодъ занятій втеченіе 10 лѣтъ въ воскресныхъ школахъ 1889—1899 г.г.

Начальныя свѣдѣнія изъ теоріи вѣроятностей съ приложеніемъ къ страхованію (курсъ читанный въ 1902 г. въ Торговыхъ классахъ).

Записки по элементарной геометріи. 1904 г. — курсъ, читанный на В. Ж. Курсахъ, переизданъ въ 1906 г.

Аналитическая геометрія на плоскости. 1904г.— курсъ читанный на Коммерческихъ Курсахъ.

Записки по исчисленію вѣроятностей съ приложеніемъ къ статистикѣ. 1910 г.

Синтетическая теорія коническихъ сѣченій. 1911 г.

Кромѣ того, А. Ѳ. редактировалъ переводы нѣкоторыхъ элементарныхъ курсовъ геометріи: Кэра, Герхера и проч.

Изъ общихъ педагогическихъ вопросовъ А. Ѳ. Гатлиха интересовалъ вопросъ объ образованіи взрослыхъ, которому онъ и посвятилъ нѣсколько замѣтокъ въ педагогическихъ журналахъ. Но особенно А. Ѳ. Гатлихъ всегда интересовался вопросами математическаго образованія. Со времени учрежденія Педагогическаго Общества при Московскомъ Университетѣ, А. Ѳ. Гатлихъ сдѣлался членомъ Отдѣленія преподавателей математики, причемъ принималъ участіе въ обсужденіи вопросовъ о преподаваніи математическихъ наукъ, а также прочелъ въ засѣданіяхъ этого Отдѣленія нѣсколько докладовъ. Таковы были его сообщенія: „Евклидъ и Джонъ Валлисъ“, „Н. И. Лобачевскій“, „О задачахъ на срочные взносы, уплаты и ренты“ и др. Когда Педагогическое Общество въ 1905 г. прекратило свою дѣятельность, и возникла мысль объ учрежденіи Московскаго Математическаго Кружка, то А. Ѳ. Гатлихъ принялъ участіе въ выработкѣ устава Кружка и въ хлопотахъ о его легализаціи. При избраніи Правленія Кружка въ 1907 г. А. Ѳ. Гатлихъ былъ единогласно избранъ товарищемъ предсѣдателя и съ тѣхъ поръ неизмѣнно переизбирался на эту должность. Принимая участіе въ занятіяхъ Правленія Кружка и въ веденіи засѣадній, А. Ѳ. неоднократно выступалъ и какъ докладчикъ. Такъ, имъ были прочитаны сообщенія: „О программѣ математики въ средней школѣ“, „О рѣшеніи геометрическихъ задачъ на построеніе при помощи одного циркуля“, „Объ учебникѣ геометріи Веронезе“ и др. Приведемъ положенія 1-го изъ этихъ докладовъ, прочитаннаго въ 1906 году и выражающаго взгляды А. Ѳ. Гатлиха на желательную постановку преподаванія математики:

1. Наше „среднее образованіе“, покоясь на сплошномъ фонѣ народнаго невѣжества и не имѣя надлежащей оцѣнки со стороны общества, стоитъ въ сторонѣ отъ требованій жизни и представляетъ искусственно созданныя системы.

2. Средняя школа, въ виду продолжительности своего курса, захватываетъ три образовательныя ступени: а) низшую (8—12 л.), среднюю (12—16 л.) и высшую (16—19 л.). Изъ этихъ ступеней наиболѣе неудовлетворительной является высшая, слишкомъ мало захватывающая умственные интересы юношества въ періодъ наиболѣе воспріимчиваго возраста; между тѣмъ статистика показываетъ, что даже теперь, когда въ университеты идутъ не только за образованіемъ, но и за дипломами съ привилегіями, только А/10 часть изъ оканчивающихъ среднюю школу получаетъ высшее образованіе, слѣдовательно значительное большинство непосредственно вступаетъ въ жизнь. Такимъ образомъ все усиліе должно быть направлено на лучшую постановку высшей ступени средней школы.

3. Средняя школа должна давать учащимся съ одной стороны рядъ практическихъ навыковъ и знаній, съ другой—извѣстное умственное развитіе, заключающееся въ усвоеніи методовъ мышленія. Математика (какъ предметъ преподаванія) должна удовлетворять тѣмъ же требованіямъ, причемъ въ смыслѣ сообщенія методовъ мышленія занимаетъ исключительное положеніе: процессъ умозаключенія, анализъ, синтезъ, индукція и дедукція находятъ въ ней яркое и наиболѣе чистое выраженіе.

4. Исходя изъ этихъ основаній, можно предложить слѣдующую программу математики для различныхъ образовательныхъ ступеней „средней школы“.

A. Низшая ступень. Дѣйствія съ цѣлыми числами и конечными десятичными дробями. Простѣйшія простыя дроби. Мѣры русскія и метрическія. Знакомство съ употребительнѣйшими плоскими и пространственными геометрическими фигурами и способами ихъ измѣренія. Этотъ курсъ (calcul) имѣетъ цѣлью—дать твердый навыкъ въ производствѣ четырехъ дѣйствій и въ рѣшеніи задачъ, требующихъ непосредственнаго приложенія способовъ вычисленій.

B. Средняя ступень. Обыкновенный систематическій курсъ ариѳметики (исключивъ статьи: періодическія дроби, ариѳметическ. пропорціи, математ. учетъ векселей и т. п.). Буквенное вычисленіе. Возвышеніе во 2-ю и 3-ю степени. Извлеченіе квадратнаго и кубичнаго корня. Сложные проценты. Таблицы для вычисленія сложныхъ процентовъ. Основной курсъ элементарной геометріи съ рѣшеніемь задачъ на построеніе.

Тригонометрическія величины угловъ до 180°. Натуральныя тригонометрическія таблицы. Знакомство съ угломѣрными инструментами; съемка и чтеніе плановъ.

C. Высшая ступень. Теорія дѣйствій надъ числами цѣлыми, дробными и отрицательными (законы перемѣстительный, собирательный распредѣлительный). Алгебрическое выраженіе, одночленъ, многочленъ, степень, алгебраич. дробь. Дальнѣйшее обобщеніе понятія о числѣ — ирраціональныя числа. Несоизмѣримыя величины. Отношенія несоизмѣримыхъ величинъ Несоизмѣримость въ геометріи.

Величины перемѣнныя и постоянныя. Функціи перемѣнныхъ величинъ. Непрерывность. Графическое изображеніе функцій. Методъ координатъ. Періодичность функцій. Уравненія (1 и 2 степени). Графическій методъ рѣшенія числовыхъ уравненій. Методъ приближенія Ньютона. Уравненіе прямой и нѣкоторыхъ кривыхъ, опредѣляемыхъ геометрически.

Теорія предѣловъ. Скорость, касательная, производная. Дифференцированіе простѣйшихъ функцій. Понятіе о рядахъ. Ряды Тайлора и Макъ-Лорена. Maxima и minima функціи одного перемѣннаго. Вычисленіе площадей. Основанія интегральнаго исчисленія. Вычисленіе нѣкоторыхъ объемовъ.

Замѣтимъ, что въ качествѣ товарища предсѣдателя Математическаго Кружка А. Ѳ. Гатлиху неоднократно приходилось замѣнять предсѣдателя въ важные моменты жизни Кружка. Такъ, въ 1910 г., во время имѣвшаго мѣсто въ Москвѣ XII всероссійскаго съѣзда естествоиспытателей и врачей, за болѣзнью предсѣдателя профессора Б. К. Млодзѣевскаго, А. Ѳ. Гатлиху пришлось руководить дѣятельностью Кружка, организовавшаго для пріѣзжихъ членовъ Съѣзда экстренныя засѣданія Кружка и выставку учебныхъ пособій по математикѣ. На 1-мъ всероссійскомъ Съѣздѣ преподавателей математики въ С.-Петербургѣ въ концѣ 1911 г. онъ былъ представителемъ группы членовъ М. Матем. Кружка и пр.

Когда въ 1911 г. среди членовъ Математическаго Кружка возникло стремленіе осуществить давно назрѣвшую мысль объ изданіи Кружкомъ собственнаго органа, посвященнаго вопросамъ математическаго образованія, А. Ѳ. Гатлихъ отнесся къ этому начинанію съ горячимъ сочувствіемъ и совѣтами и дѣломъ содѣйствовалъ его осуществленію. Когда-же изданіе журнала „Математическое Образованіе“ было разрѣшено и онъ началъ выходить, А. Ѳ. сдѣлался однимъ изъ дѣятельныхъ сотрудниковъ журнала. И редакція „Математическаго Образованія“ выражаетъ А. Ѳ. Гатлиху горячее пожеланіе, чтобы, плодотворная во всѣхъ отношеніяхъ его научно-педагогическая дѣятельность продолжалась еще долгіе и долгіе годы.

I. Ч.

Задачи.

52. Рѣшить уравненіе:

х3 —х2Агх— а8— 2а2 — 2а— 1=0.

53. Рѣшить уравненіе

9z4 — 12ж2 + 2 + У4 — 3л2=0.

А. И. Жилинскій.

54. Дана окружность и два радіуса О А и OB. Провести сѣкущую xyzt такъ, чтобы xy:yz:zt = 1:2:3, гдѣ ж и ( точки пересѣченія xytz съ окружностью, 2/ и я съ СМ и Off.

Б. Тюнинъ.

55. Рѣшить систему уравненій :

Его-же.

56. Наити предѣлъ выраженія

при х = 0.

57. Рѣшить въ цѣлыхъ числахъ уравненіе:

X2 — г/8 = 1.

В. Шлыгинъ.

58. Опредѣлить безъ помощи таблицъ sn 3° и соз30.

59. Показать, что при цѣломъ и положительномъ п функція ctg"4"1 X можетъ быть представлена въ видѣ:

гдѣ 2?, і40, Аѵ... Л„суть постоянныя количества, и приложить это свойство къ вычисленію интеграла

J*[ctg3x -f- ctgx) dx.

Рѣшенія задачъ.

27. Доказать, что стороны треугольника, имѣющаго вершинами центры тяжести треугольниковъ АВП, ВСН, CL4ff, гдѣ ff— какая угодно точка въ плоскости треугольника АВС со сторонами а, о и с, соотвѣтственно равны —> — и —.

Пусть AD и CD будутъ соотвѣтственно медіанами треугольниковъ ABU и ВСН\ Gt и Ga положеніе центровъ тяжести тѣхъ-же треугольниковъ на этихъ медіанахъ. Тогда, какъ извѣстно, DGt =~—hDG2=-—- Отсюда слѣдуетъ, что треугольники ADC, и GlDGi подобны, CrjCrj У АС и GiGi — ^, или, обозначая АС чрезъ bt GtG2 = Точно также докажемъ, что GVG*=^ и6г2Сг3=-^-

Отсюда видно, что каждому положенію точки Н соотвѣтствуетъ новое положеніе треугольника GtG2G3 и что вершины этого треугольника перемѣщаются по линіямъ, параллельнымъ между собою.

Л. Гамперъ, М. Орбекъ (Москва), II. Н. Сергачовъ (Ковровъ), I. И. Каширинъ Ржевъ), Н. Несторовичъ (Влодава), В. Захаровъ (Камышинъ).

Прим. 1. Не трудно видѣть, что теорема вѣрна и тогда, когда точка II лежитъ внѣ плоскости АВС; доказательство аналогично предыдущему.

А. А. Волковъ (Москва).

Прим. 2. Теорема можетъ быть обобщена слѣдующимъ образомъ: Пусть въ вершинахъ треугольника АВС помѣщены массы, равныя каждая т; въ произвольной точкѣ Н плоскости треугольника АВС помѣщена масса п. Обозначимъ чрезъ Д,, В|, С\ центры тяжести массъ, помъщенныхъ въ вершинахъ тр-ковъ ВСН, САН. АВН; тогда длины сторонъ тр-ка А{ВХС\ отличаются отъ длинъ сторонъ 3-ка АВС множителемъ ———

II. И. Б. (Харьковъ).

29. Опредѣлить число равнобедренныхъ треугольниковъ, которые могутъ быть составлены съ помощью отрѣзковъ длиною въ 1, 2, З....П дюймовъ.

Пусть основаніе равнобедр. тр—ка равно а дюйм., тогда боковыя стороны его должны быть каждая болѣе ~ дюйм. Поэтому, если основаніе тр—ка выражается четнымъ числомъ 2k или слѣдующимъ за нимъ нечетнымъ числомъ 2А —|— 1, въ обоихъ случаяхъ изъ данныхъ отрѣзковъ можно составить одинаковое число п — h равнобедр. тр—ковъ, именно треугольники съ боковыми сторонами /с —|— 1, k -h 2, п дюйм. Всего-же съ основаніемъ 1 д. можетъ быть построено п равнобедр. тр—ковъ, съ основаніями 2 и 3 д.— (п— 1) тр—ковъ, съ основаніями 4 и 5 д.—(п— 2) тр—ковъ и т. д.

Пусть п четное число, п = 2р, тогда число всевозможныхъ равнобедр. тр—ковъ съ основаніями отъ 1 до 2р д. будетъ:

суммируя, получимъ:

или, такъ какъ р =—- то Jy == —— .

Если-же п = 2р-|-1, то такъ-же найдемъ:

или-же, подставляя р = —-—, получимъ JS =-----------—

Н. Несторовичъ (Влодава).

30. Даны двѣ параллели MN и PQ и точки А и В внѣ ихъ. Провести ломаную AXVZUVWB такъ, чтобы точки изгибовъ лежали поочередно на данныхъ параллеляхъ и каждый изъ отрѣзковъ между параллелями имѣлъ данное направленіе, сумма-же AX-\-BW имѣла-бы данное значеніе (въ частности minimum).

Пусть А и В лежатъ по разныя стороны данныхъ параллельныхъ прямыхъ, причемъ А лежитъ со стороны прямой MN. Такъ какъ длина каждаго изъ отрѣзковъ ломаной линіи, очевидно, извѣстно, то легко провести ломаную Ayzuvw, звенья которой соотвѣтственно равны и параллельны звеньямъ искомой ломаной XyZUVW. Задача сведется тогда къ отысканію на линіи PQ точки W такого свойства, чтобы wW А- BW равнялась данной длинѣ ш. Съ этою цѣлью изъ w проведемъ окружность радіусомъ равнымъ ш, затѣмъ построимъ точку Bt симметричную съ В относительно прямой PQ и проведемъ чрезъ В и Вх окружность, касательную къ предыдущей окружности. Тогда центръ этой послѣдней окружности и представить на линію PQ искомую точку W. Проведя изъ нея ломаную линію WVUZYX, равную и параллельную wvuzyA, и соединивъ А съ X, получимъ искомую ломаную. Дѣйствительно, wW + BW = m, но вслѣдствіе равенства р и УЖ, имѣемъ Ww — Уу\ далѣе, такъ какъ Ау || ХУ, то Уу = АХ) значитъ, АХ + BW = т. Въ случаѣ minimum’a ломаная wWB вытягивается въ прямую линію.

В. Кованько (ст. Струнино).

31. Построить треугольникъ АВС, зная AB, ВС и сумму В -f- 2(7 = 2т.

1 способъ. Пусть BD есть равнодѣлящая угла В; тогда /_BDC= 180° — ф. На произвольной прямой откладываемъ отрѣзки ad и de такъ, чтобы ad:dc = AB : ВС и чертимъ окружность, точки которой отъ а и с находятся въ разстояніяхъ, пропорціональныхъ AB и ВС. Изъ точки d проводимъ прямую подъ угломъ 180° — <р къ de до пересѣченія съ окружностью въ Ъ. Треугольникъ abc надо умножить на AB : ab.

2 способъ. Пусть въ 3-кѣ АВС уголъ А болѣе С, тогда имѣемъ 1) ^4. -f-^ С = 180°; 2)В -{-2С = 2(р; отсюда, чрезъ вычитаніе получимъ: А — (7=180° — 2<jp. Повернемъ 3-къ АВС въ симметричное положеніе около оси, проходящей чрезъ середину А С и къ ней перпендикулярной; тогда .онъ займетъ положеніе ADC. Соединивъ точки В и D прямой, найдемъ, что въ 3-кѣ DCB намъ извѣстны: уголъ BCD = A — (7=180° — 2<р, сторона ВС и сторона DC=AB. Поэтому А BCD легко построить; затѣмъ изъ точки D описываемъ дугу радіусомъ, равнымъ ВС, а изъ В дугу радіусомъ, равнымъ AB] пересѣченіе этихъ дугъ и дастъ вершину искомаго 3-ка А, которую и соединяемъ съ В и С.

Л. Гамперъ (Москва). В. Кованько (ст. Струнино).

34. Рѣшить уравненіе:

жб 8хъ 28я4 + 56#3 + 68#2 -f 48# 16 = 0.

Представляемъ уравненіе въ видѣ:

(х2 + 2х + 2) (ж4 + 6#3 + 14я2 -f 16а? + 8) = 0.

Отъ приравниванія перваго множителя нулю получимъ корни: хг = — 1 4" іу х2 = — 1 — і.

Оставшееся уравненіе:

представимъ въ видѣ:

откуда получимъ корни х3 = х1 = — 1 4“ h хі = х2 = — 1 — *î

2-й способъ. Умноживъ лѣвую часть уравненій на х2, будемъ имѣть:

я8 -f 8ж7 + 28х6 + 56х5 + 68х4 + 48х3 4-16х2 = О;

прибавляя и вычитая въ лѣвой части многочленъ 2х4 + 8.x3 -f 12х2 + 8х + 2, придадимъ уравненію видъ:

X8 -f 8х7 + 28х6 -f 56.x5 + 70х4 + 56х3 + 28х2 + 8х -f 2 -— (2х4 + 8х3 4 12х2 + 8х 4" 2) = О или: (а? 4-1)8 —2 (х4- і)44-1 = 0;

полная (х 4 1) = z, дадимъ ур. видъ:

z8— 2я44-1 = 0 или (г4—1)2 = 0, иначе (г2—|— I)2 (z2— I)2 = О.

Отсюда имѣемъ 4 пары равныхъ корней для z:

и соотвѣтственно 4 пары равныхъ корней для х:

Послѣднюю пару рѣшеній мы должны отбросить, какъ корни посторонніе для нашего уравненія, введенные при умноженіи его на X2.

Архангельскій, М. Орбекъ (Москва), А. Г. Бутомо (Саратовъ), В. Юньевъ (Вологда), //. И. Коровицкій (Спб.), В. Несторовичъ (Влодава).. 4. Ильинъ (Астрахань), В. С. Полякова (с. Павлово), С. Ржаницынъ (Оханскъ), 4. Городецкая (Москва).

35. Рѣшить уравненіе

Приводя члены ур. къ общему знаменателю, можемъ придать ему видъ:

Отсюда слѣдуетъ, что ур. имѣетъ единственный корень ъ — 0.

Архангельскій. В. Г. Фридманъ, М. Орбекъ, А. Мазингъ (Москва), В. Мыць (Полтава), В. Кованько (ст. Струнино), А. Ильинъ (Астрахань), И. II. Коровицкій (Спб.), Н. Несторовичъ (Влодава), А. Бутомо (Саратовъ), С. Ржаницынъ (Оханскъ).

Библіографическій отдѣлъ.

Проф. Ф. Клейнъ. Вопросы элементарной и высшей математики. Лекціи, читанныя въ Геттингенскомъ университетѣ. Часть I. Ариѳметика, алгебра и анализъ.

Переводъ съ нѣмецкаго Д. А. Крыжановскаго подъ редакціей приватъ-доцента В. Ф. Кагана. Изд. „Mathesis“. Одесса. 1912. XXII + 486 стр. Цѣна 3 р.

Подъ выписаннымъ выше заглавіемъ появился переводъ лекцій проф. Клейна: Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus. Teil. I. [Leipzig, 1908 (изд. перв.), литограф.].

Эти лекціи были читаны проф. Клейномъ въ Геттингенѣ въ зимній семестръ 1907/8 учебнаго года для будущихъ преподавателей математики въ гимназіяхъ и реальныхъ училищахъ.

Онѣ состоятъ изъ трехъ отдѣловъ: первый посвященъ ариѳметикѣ, второй—алгебрѣ, третій—анализу. Къ первому отдѣлу присоединенъ очеркъ о современномъ развитіи и строеніи математики вообще, а въ концѣ книги имѣются два приложенія, изъ которыхъ въ первомъ приведены доказательства трансцендентности чиселъ е и л, а во второмъ изложены основанія ученія о комплексахъ (множествахъ).

Лекціи не представляютъ собою ни исчерпывающаго учебника по отдѣльной части математики, ни руководства по методикѣ предмета. Цѣлью ихъ служитъ уничтоженіе той двойной прерывности, которая замѣчается и до сихъ поръ между математикой средней школы и университетской математикой. Эту двойную прерывность Клейнъ характеризуетъ слѣдующимъ образомъ: „вступая въ высшую школу, молодой студентъ оказывается лицомъ къ лицу съ такими задачами, которыя совершенно не напоминаютъ ему того, чѣмъ онъ до сихъ поръ занимался; естественно, что все это онъ быстро и основательно забываетъ. Когда же онъ заканчиваетъ университетское образованіе и становится преподавателемъ, то онъ вынужденъ въ качествѣ учителя преподавать традиціонную математику; не будучи въ состояніи самостоятельно связать эту задачу съ тѣмъ, что онъ слышалъ въ высшей школѣ, онъ быстро усваиваетъ старую традицію; университетское же образованіе остается у него только въ видѣ болѣе или менѣе пріятнаго воспоминанія, не оказывающаго никакого вліянія на его преподованіе“. (Введеніе, стр. 1).

Однимъ изъ средствъ для достиженія указанной цѣли служитъ, по мнѣнію проф. Клейна, введеніе въ число университетскихъ курсовъ научныхъ обзоровъ, въ которыхъ указывалась бы взаимная связь между вопросами отдѣльныхъ дисциплинъ и ихъ отношеніе къ вопросамъ математики въ средней школѣ. Лекціи проф. Клейна представляютъ одинъ изъ такихъ обзоровъ.

Помимо чисто научнаго интереса, возбуждаемаго этимъ блестящимъ обзоромъ идей современной математики, лекціи проф. Клейна представляютъ большой интересъ съ педагогической точки зрѣнія: 1) онѣ содержать указанія на тѣ реформы, которыя желательны въ постановкѣ преподаванія математики въ средней школѣ; 2) онѣ даютъ много историческихъ и литературныхъ указаній по вопросамъ элементарной математики; 3) въ нихъ выясняются требованія, которымъ, по мнѣнію проф. Клейна, долженъ удовлетворять преподаватель математики въ средней школѣ.

Чтеніе лекцій проф. Клейна требуетъ значительной математической подготовки.

Къ русскому переводу редакторъ его присоединилъ предисловіе, имѣющее цѣлью выяснить характеръ и построеніе всей книги, и два дополненія, изъ которыхъ въ первомъ онъ даетъ планъ второго отдѣла лекцій („Алгебра“), какъ наиболѣе труднаго для недостаточно опытныхъ читателей, а во второмъ приводить тѣ свѣдѣнія о поверхностяхъ Римана, которыя необходимы при чтеніи второй главы этого отдѣла. Выдающіяся достоинства лекцій проф. Клейна и прекрасно выполненный переводъ ихъ позволяютъ усиленно рекомендовать „Вопросы элементарной и высшей математики“ какъ преподавателямъ математики, такъ и для пріобрѣтенія въ библіотеки учебныхъ заведеній.

С. В.

Обзоръ иностранныхъ математическихъ журналовъ.

1. Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht. (Hoffmann’s). Leipzig—Berl. 43. Jahrg. 4, 5, 6. Hefte. (1912).

№ 4. Lanner. Beiträge zur Didaktik des mathematischen Unterrichts. (Авторъ имѣетъ въ виду не столько спеціальную методику какого-либо предмета, а дидактику всѣхъ предметовъ математическаго цикла, построенную на психологической основѣ). Meyer. Für oder wider die Dreieckskonstruktionen. (Замѣтка по поводу рѣшенія одной задачи на построеніе въ сборникѣ автора)—Meyer. Lunulae Hippocratis (Замѣтка).—Hein. Die Diagonaltangenten der Ellipse. (Авторъ предлагаетъ способъ приближеннаго построенія эллипса по парѣ сопряженныхъ діаметровъ, основанный на пользованіи „діагональными касательными“). — Wieleitner. Ein Grenzfall des Ptolemâischén Lehrsatzes. (Авторъ предлагаетъ пріемъ доказательства теоремы AB. CD + AD. ВС = AC. BD въ случаѣ, когда А, В, С, D лежатъ на прямой). — Happach. Lehrsätze über die Fusspunkte der Höhen der von vier Punkten gebildeten Dreiecke. (Теоремы объ основаніяхъ высотъ треугольниковъ, опредѣляемыхъ четырьмя данными точками).— Berichte und Mitteilungen, veranlasst durch IMUK. Vorbereitungen für die Versammlung in Cambridge. Schriften des Deutschen Aussschusses f. d. mathematischen und natur— wissenschaftlichen Unterricht. — Zur Geometrographie K. Hagge. Auflösungen.— Задачи.— Рецензіи. Schwab—Lesser Mathematisches Unterrichtswerk, Geometrie, BD II, T. IT, III.—Walckling. Besprechung von Lehrmitteln. Physik. (Обзоръ учебныхъ пособій по физикѣ).—Библіографія.—Обзоръ журналовъ. — Sprechsaal— Preisausschreiben d. Deutschen Meteorologischen Gesellschaft.—Aus Natur und Geisteswelt (Katalog. Teubner). — Versammlungen. Verein zür Förderung d. math, u. natw. Unterrichts. Progr. d. Pfinsterversammlung 1912.—Anhang Selbstanzeiger. Gscheidlen An der Werkbank. — Hamei. Elementare Machanik—Marcolongo Theoretische Mechanik.—Markoff. Wahrscheinlichkeitsrechnung. — Petzold. Das Weltproblem vom Standpunkte des relativistischen Positivismus.

№ 5. Pffaf. Zur Verallgemeineruug der Sätze von der Eulerschen Geraden und vom Feuerbachschen Kreise. (Обобщеніе относящихся къ этимъ вопросамъ теоремъ на коническія сѣченія).—Johnsen. Ein Beweis des Satzes lim X- =1.

(Искомый предѣлъ равенъ предѣлу отношенія периметра вписаннаго правильнаго многоугольника къ окружности). - Lind. Zur Auflösung kubischer Gleichungen. (Новый пріемъ рѣшенія кубичнаго ур-ія) Schumacher. Ueber die Auflösung eines Gleichungssysthems. (Авторъ разбираетъ вопросъ о рѣшеніи симметричной относительно неизвѣстныхъ системы уравненій съ тремя неизвѣстными, въ которыхъ неизвѣстныя входятъ лишь въ парныхъ комбинаціяхъ вида x + у и ху).—Подъ редакціей Lietzmann’a: Zur Reformbewegung auf dem Gebiete des mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterrichts. (Рядъ мелкихъ сообщеній).—Zur Geometrographie. (Построеніе правильнаго семнадцатиугольника).—Задачи. — Рецензіи. Grimsel. Lehrbuch d. Physik. — Besprechung der Lehrmitteln. Botanik.—Библіографія. — Обзоръ журналовъ. — Sprechsaal.-Versammlungen. Съѣздъ нѣмецкихъ естествоиспытателей и врачей въ Мюнстерѣ въ сентябрѣ 1912 (программа).—Anhang. Selbstanzeiger. Auerbach. Physik in graphischen Darstellungen. Hoffman. Mathematische Himmelskunde und niedere Geodäsie an. d. höh. Schulen.—Frischeisen—Köhler Wissenschaft und Wirklichkeit.

№ 6. Meyer. Diametralzahlen und pythagoreische Dreiecke. (Діаметральное число по M. Штифелю есть произведеніе двухъ чиселъ, сумма квадратовъ которыхъ равна квадрату раціональнаго числа. Авторъ вноситъ поправку въ

установленныя М. Штифелемъ (1544) условія, опредѣляющія діаметральныя числа.—Richter. Elementare Reihenentwicklungen ohne Benutzung des Binomischen Satzes. (Авторъ предлагаетъ довольно простой и пригодный по его мнѣнію для средней школы методъ полученія разложенія въ ряды lg(l-}-x), ех, lg (1 — х)—Pleskot. Ein elementarer Beweis des Pascalschen Satzes für den Kreis. (Доказательство основывается на свойствахъ „степеней“ (Potenz) точекъ плоскости относительно круга).—ОШ. Zu der von Richter behandelten Maximalaufgabe aus d. darstellenden Geometrie in Heft 11/12 42.— Задачи. — Besprechung von Lehrmitteln. Zoologie.—Рецензіи.—Библіографія. Обзоръ журналовъ. — Sprechsaal.— Versammlungen. Y международный математическій конгрессъ въ Кэмбриджѣ (программа). — Anhang. Selbst anleig er. Sassenfeldt. Aus dem Luftmeer.— Timerding. Die Erzieung d. Anschauung. — Wieleitner. Die sieben Rechnungsarten mit allg- Zahlen. — Behrendsen - Gotting Lehrbuch d. Mathematik nach modernen Gundzatzen. Ausg. А. B.

№ 2. Jahresbericht der Mathematiker-Vereinigug. 21 Bd. 2-7 H. (1912).

H. 2—3. Salkowski. Zur Theorie der Kurven im eliptischen Raum (продолженіе). Neuberg. Ueber drei Sätze von R. Memke. (Теоремы относительно равнодѣлящихъ .угловъ пространственныхъ многоугольниковъ). Memke. Bemerkungen zu dem Aufsatz des Herrn Neuberg. (Замѣчаніе по поводу предыдущей статьи) — Brill. Das Relativitätsprincip. (Принципъ относительности. Лекціи на пасхальныхъ каникулахъ. Издано также отдѣльной брошюрой—Teubner).— Schürer. Ueber die Nullpunkte linearer Aggregate der Funktionen (О нуляхъ линейныхъ аггрегатовъ функцій). Angelegenheiten d. Deutsch. Mat-Vereinigung. Программа съѣзда въ Мюнстерѣ — сентябрь 1912. — Измѣненія въ составѣ членовъ D. М. V.—Обзоръ докладовъ въ засѣданіяхъ математическихъ обществъ.—Назначеніе Zermelo частичной преміи WolfskePn. — Обзоръ университетскихъ курсовъ въ лѣтнемъ семестрѣ 1912.—Академическія новости. Notizen, Besprechungen und Selbst anzeig er. Объявленіе о выходѣ новыхъ выпусковъ французскаго изданія Математической Энциклопедіи.—Полемика^ W allenberg и Perron по поводу „Theorie d. lin. Differentengleichungen“ von Wallenberg und Guldberg. — Sterzinger. Zur Logik und Naturphilosophie der Wahrscheinlichkeitslehre.—Bennenberg. Die graphische Statik der starren Système.—Nilsen. Elemente der Funktionentheorie.—Kowalewski. Die Komplexen Veränderlichen und ihre Funktionen.—Noodt. Mathematische Experimentiermappe.— Vahlen, Konstructionen und Appoximationen.—Petzoldt. Das Weltprobleme v. Standpunkte d. rel. Positivismus.—Heiberg. Naturvissenschaften und Mattematik im klassischen Altertum.— Festscrift, Heinrich Weber. — Markoff. Wahrscheinlichkeitsrechnung.— Czuber. Vorlesungen ü. Differential—u. Integralrechnung. —Auerbach. Phyzik in graphischen Darstellungen.—Prasad. A text—book of Differential Calculus. A textbook of Integral Calculus.—Lietzmahn. Stoff und Methode d. Rechenunterrichts^ in Deutschland (IMUK). — Marcolongo. Theoretische Mechanik. — Scheidner. Populäre Astrophysik.—Kränke. Taschenbuch zum Abstäcken v. Kurven auf Eisenbahn —u. Wegelinien. Обзоръ новыхъ книгъ и журналовъ. Каталоги. Книги, поступившія въ редакцію.

Н. 4—5. Schürer. Ueber die Nullpunkte etc. (Продолженіе).— Study. Quaternionen und Kinematik. (Кватерніоны и кинематика). — Haentzschel. Johann Andreas Christian Michelsen. (Михельсону обязаны своимъ распространеніемъ въ Германіи идеи Эйлера; М. же принадлежитъ переводъ на нѣмецкій языкъ Tntroductio in analisin infînitesimorum). Varicàk. Ueber die nichteuklidische Interpretation der Relativtheorie. (О неевклидовой интерпретаціи теоріи относительности).—Angelegenheiten d. D. М. V. Измѣненія въ составѣ членовъ. Radio. Zur Eulerausgabe: Die Dioptrik. Mitteilungen und Nachrichten. Программа V международнаго математическаго конгресса въ Кэмбриджѣ. — Обзоръ докладовъ въ засѣданіяхъ математическихъ обществъ.—Аotizen, Besprechungen und Selbstanzeiger. Новые выпуски французскаго изданія Математической Энциклопедіи. Hermann Grassmann gesammelte mathematische und physikalische Werke.— Изд. IMUK. Нѣмецкая подкомиссія. Bd IV4, Bd Vt, Bd I1I4.— Frischeisen-Köhler. Wissenschaft und Wirklichkeit. Websber. Dynamics of partiels and of rigid, elastic and fluid bodies. - Voigdt. Mathematische Theorie d. Tarifwesens. — Müller. Das Problem d. absoluten Raumes und seine Bezieungzum allgemeinen Raumproblem.— Timerding. Die Erzieung d. Anschanung.-Flotow. Einleitung in d. Astronomie.— Wieleitner. D. sieben Rechnungsarten. - Обзоръ книгъ и журналовъ. Каталоги, книги, поступившія въ редакцію.

H. 6 — 7. Stäckel. Die mathematisch—natur wissenschaftliche Ausbildung d. Ingenieure. (Математическое и естественно-научное образованіе инженеровъ. NB.Первая страница статьи въвып.4—5).—Zu denVerhandlungen betreffend automorphe Funktionen, Karlsruhe an 27. September 1911. (Рефераты объ аутоморфныхъ функціяхъ Klein, Brouwer, Коеbе, Bierbach и Hilb’a),—Lichtenstein. Bemerkungen zur Theorie d. ebenen Kurven. (Замѣтки къ теоріи плоскихъ кривыхъ,).—Котmerell. Der Sylvestersche Plagiograph und die Proportionenlehre. (Статья находится въ тѣсной связи съ напечатанной въ Мат. Обр. въ переводѣ О. Н. Цубербиллеръ статьей Коммереля и заключаетъ упрощенія доказательства нѣкоторыхъ теоремъ,).—Anlegenheitcn d D. М. V. Программа съѣзда въ Мюнстерѣ. Измѣненія въ составѣ членовъ. D. М. V.—Alfred Ackermann -Teubner—Gedächtnispreis zur Forderung der Mathematischen Wissenschaften. (Положеніе о фондѣ).—Обзоръ докладовъ въ засѣданіяхъ математическихъ обществъ. — Preisaufgaben und Preischriften.—Обзоръ университетскихъ курсовъ въ зимнемъ семестрѣ 1912/13 г. Академическія новости.—Notizen, Besprechungen und Selbstanzeiger. Boggendorffs biographisch—litterarisches Lexikon.—Darboux. Eloges academiques et discours.— Abhandlungen und Berichte über technisches Schulwesen. — Обзоръ книгъ и журналовъ. Каталоги. Книги, поступившія въ редакцію.

3. Bibliotheca Mathematica. Leipzig, 12 Bd. 2-3. Hefte (1912).

H. 2. Björnbo. Die mathematischen S. Marcohandschriften in Florenz (Codices S. Marci Florent).— Cajori. On the Spanich symbol U for „thousands“. (Относительно испанскаго символа и для обозначенія „тысячъ“). — EnestrÖm. Zur Geschichte der unendlichen Reihen um die Mitte des siebzehnten Jahrhunderts. (Статья посвящена разбору сочиненія Pietro Mengoli. Novae quadraturae Arithmeticae, 1658, представляющее мало извѣстный и первый по времени трактатъ по теоріи рядовъ).—Eneström. Kleine Bemerkungen zu letzte Auflage von Cantors „Vorlesungen über Geschichte der Mathematik“ (относительно послѣдняго изданія Исторіи Математики Кантора). Рецензіи. Smith and Karpinski. The hindu— arabic numerals. — Обзоръ новой исторической литературы. — Академическая хроника.

Н. 3. Björnbo. Die mathematischen S. Marcohandschriften in Florenz. (Продолженіе).—Mikami. The rectification of the ellipse by lapanese mathematicians. (Спрямленіе дуги эллипса у японскихъ математиковъ).—Eneström. Die ersten Untersuchungen Eulers über höhere lineare Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten. (Авторъ указываетъ, что Эйлеръ независимо отъ Лагранжа и Даламбера свелъ интеграцію линейнаго дифференціальнаго уравненія съ правой частью къ интеграціи такого же безъ правой части).—Eneström. Kleine Bemerkungen z. letzten Auflage von Cantors Vorlesungen (см. H. 2).—Рецензіи. Sturm. Geschichte der Mathematik bis zum Anfänge des 18. Jahrhunderts. Göschen.— Nallino Ta’rikh’ilm al-folok’ind al-’arab fi’l-quriln al-wustä. (Geschichte der Astronomie bei den Araben im Mittelalter).—Обзоръ новой исторической литературы. Академическая хроника.

4. L’enseignement mathématique (Genève) XIV Année. №№ 3,4 (1912).

№. 3. Laisant. Emile Lemoine (1840—1912, некрологъ, съ портретомъ).— Aubry. Les fractions continus dans la théorie élémentaire des nombres. (Авторъ пользуется свойствами числителей и знаменателей подходящихъ дробей (continuants) для доказательства ряда теоремъ изъ теоріи чиселъ, напр., доказываетъ теорему Фермата о разложимости всякаго числа вида Ап -)- І при п цѣломъ на сумму двухъ квадратовъ).—Turriére. Courbes transcendantes et interscendentes. (Согласно опредѣленію, данному Лейбницемъ, интерсцендентными кривыми называются такія, которыя опредѣляются ур-іями вида S(x.y) = о, гдѣ S представляетъ многочленъ относительно х и у, въ которомъ хотя бы одинъ членъ имѣлъ при х или у ирраціональный показатель, напр.; у = х V 2. Авторъ предлагаетъ болѣе общее опредѣленіе интерсцендентной кривой и указываетъ, какое значеніе въ теоріи кривыхъ должны имѣть интерсцендентныя кривыя).—СотЬеЫас. Nouvelle note sur les fonctions de mesure. (Замѣтка имѣетъ цѣлью доказательство одного утвержденія автора въ замѣткѣ того же заглавія въ Ens. math., 1911, р. 388; къ замѣткѣ приложены Errat а, относ. къ той же статьѣ).—Melanges et correspondance. D’Ocagne. Sur l’expression du rayon de courbure d’une courbe plane en coordonnées tangentielles (о выраженіи радіуса кривизны плоской кривой въ тангенціальныхъ координатахъ). — Chronique. Commission internationale de l’Enseignement mathématique. Réunion de Cambridge—

août 1912. (Программа занятій Международной комиссіи по преподаванію математики—(1MUK); на Ѵ-омъ Международномъ математическомъ конгрессѣ въ Кэмбриджѣ. Списокъ новыхъ изданій комиссіи). — Le premier congrès des professeurs de Mathématiques en Russie. Краткій отчетъ о І-омъ Всероссійскомъ Съѣздѣ преподавателёй математики, составленный Д. М. Синцовымъ).—Nouvelles diverses. Nominations et distinctions.—Nécrologie (f Arzela (Bologne), Färber (Berlin), Pillet (Paris) — Notes et documents. Обзоръ новыхъ работъ 1MUK.— Библіографія. Broggi. Yersicherungsmathematike; Chwolson. Traité de Physique. Ш. T. G. - M. Exercices de Géométrie; Halsted. Géométrie rationelle. (Французскій переводъ работы англійскаго математика, написанный подъ вліяніемъ Grundlagen der Geometrie Гильберта); Isvolski. Géométrie plane; Géométrie dans l’espace. Извольскій. Геометрія на плоскости; Геометрія въ пространствѣ — Рареііег). Loria. Poliedri, Curve е Superficie secondo i metodi delle Geometria descrittiva. 1. Mangoldt. EinfQrung in die höhere Mathematik. 1. Neuendorff. Praktische Mathematik. I. Tannery. Leçons d’arithmetique théorique et practique. — Bulletin bibliographique. 1. Publications périodiques. 2. Livres nouveaux.

№ 4. Tiueedie. Sur la génération des courbes unicursales. Авторъ разсматриваетъ свойства уникурсальныхъ плоскихъ кривыхъ первыхъ четырехъ порядковъ, относящіяся къ образованію этихъ кривыхъ при помощи связанныхъ проективнымъ соотвѣтствіемъ рядовъ и пучковъ и указываетъ, какъ его пріемы могутъ быть примѣнены въ случаѣ уникурсальной кривой въ пространствѣ 3 и п измѣреній).—Burali—Forti et Marcolongo. Sur les dyads et les dyadics de Gibbs. (Авторы подвергаютъ критикѣ введенную Гиббсомъ въ векторномъ счисленіи теорію діадъ). — Schuepp. Définition des fonctions trigonométriques par leur théorème d’addition. (Авторъ даетъ элементарное доказательство теоремы: „Не существуетъ другихъ функцій, кромѣ snix и cos,x которыя бы обладали теоремой сложенія, справедливой для этихъ функцій ‘.— Pasternak. Nouveau procédé pour le développement des fractions décimais périodiques simples. (Предлагаемый авгоромъ методъ отысканія періода безконечной десятичной дроби основывается на теоремѣ: „Если знаменатель дроби—— имѣетъ видъ 10т — 1 (т цѣлое), то послѣдовательность цифръ періода совпадаетъ съ послѣдовательностью цифръ единицъ въ остаткахъ, получаемыхъ при обычномъ способы обращенія простой дроби въ десятичную“).—Mélanges et correspondance. Combebiac. Sur l’axiome planaire d. M. Peano. (Авторъ имѣетъ въ виду аксіому, относящуюся къ расположенію въ порядкѣ точекъ на плоскости, аналогичную аксіомѣ Паша (см. Hilbert. Grundlagen d. Geometrie), и указываетъ, что одно изъ утвержденій аксіомы Пеано есть слѣдствіе двухъ другихъ). — Loria. Sur la topologie des courbes intersoendantes. (Замѣтка no поводу статьи Turrièr’a въ № 3. Ens.).—Hantos. Une démonstration élémentaire du théorème fondamental de la collinéation centrale. ("Доказательство теоремы о томъ, что двѣ коллинеарныхъ фигуры, лежащихъ въ различныхъ плоскостяхъ, останутся въ коллинеарномъ соотвѣтствіи, если одну изъ плоскостей повернуть на произвольный уголъ около линіи пересѣченія плоскостей). — Mirimanoff. Sur un certain déreloppement en fraction continue (замѣтка по поводу статьи. Baatard въ № 1. Enseign.).— Chronique. JMUK. Reunion de Cambridge. (Программа занятій; списокъ новыхъ изданій комиссій.—5те Congrès international des mathématiciens. (Программа занятій Ѵ-го Международнаго Математическаго конгресса).—А propos des congrès internationaux des mathématiciens. Felir. Замѣтка по поводу исторіи международныхъ математическихъ конгрессовъ). Association allemande pour l’avancement dans l’enseignement des sciences mathématiques et naturelles. (Краткій отчетъ о XXI съѣздъ Ассоціаціи). — Machine à écrire pour mathématiciens et ingénieurs. (Пишущая машина для математиковъ—фирмы Kleyer)—Nouvelles diverses—Nominations et distinctions.— K. von der Mühll. (Некрологъ). Nécrologie (t André (Lyon), Fagnart (Gand), Weber (Zurich). — Notes et documents. Обзоръ новыхъ работъ IMUK. Библіографія. Catalogue international de la littérature scientifique. I. Mathématiques.—Mathematische Bibliothek. Löffler. Ziffern und Ziffernsysteme. Wieleitner. Der Begriff der Zahl, Lietzmann. Der pythagoreische Lehrzatz. Meissner Wahrscheinlichkeitsrechnung. (Издательствомъ Mathesis готовится къ печати русскій переводъ выпусковъ этой „библіотеки“).—Evans. The Teaching of High School Mathematics. Gautier. Mesure des angles.— Whit ford. The Pell Equation. Bulletin bibligraphique.

О дѣятельности Математическаго Отдѣленія Рижскаго Педагогическаго Общества за 1911—1912 годъ.

Въ 1911—1912 году состоялось всего 7 засѣданій отдѣленія: 3-го и 17-го ноября, 1-го и 12-го декабря, 10-го февраля, 1-го марта и 18-го апрѣля. Въ среднемъ на каждомъ засѣданіи присутствовало около 25 человѣкъ.

На годичномъ собраніи 3-го ноября послѣ прочтенія и утвержденія отчета о дѣятельности отдѣленія за предыдущій годъ, было избрано бюро отдѣленія въ слѣдующемъ составѣ: предсѣдатель: Ѳ. А. Эрнъ, товарищъ предсѣдателя Н. Н. Слетовъ, секретарь В. И. Быстровъ; товарищи секретаря: г-жа А. В. Стацевичъ, М. К. Третьяковъ и С. М. Милошенскій.

Затѣмъ обсуждался вопросъ объ участіи отдѣленія въ I Всероссійскомъ Съѣздѣ преподавателей математики въ С.-Петербургѣ въ декабрѣ 1911 г. Ѳ. А. Эрнъ прочелъ докладъ о дѣятельности математическаго отдѣленія за всё время его существованія, составленный имъ по порученію бюро отдѣленія для представленія на съѣздъ. Докладъ оканчивается предложеніемъ создать организацію, которая объединяла-бы на почвѣ общихъ интересовъ всѣ кружки и общества преподавателей математики, существующія въ разныхъ городахъ Россіи.

Послѣ обсужденія этого доклада и измѣненія нѣкоторыхъ его частей, докладъ былъ собраніемъ утвержденъ и Ѳ. А. Эрну было поручено прочесть его на предстоящемъ съѣздѣ.

Делегатами на этотъ съѣздъ отъ математическаго отдѣленія постановлено считать всѣхъ членовъ бюро, которые будутъ присутствовать на съѣздѣ.

Засѣданіе 17-го ноября состоялось подъ предсѣдательствомъ товарища предсѣдателя, Н. П. Слетова. Г. предсѣдательствующій сообщилъ собранію, что предложеніе математическаго отдѣленія возбудить на предстоящемъ съѣздѣ вопросъ объ основаніи центральной организаціи, которая объединяла-бы отдѣльные кружки преподавателей математики, Организаціоннымъ Комитетомъ Съѣзда принято и будетъ включено въ программу съѣзда.

Затѣмъ Н. П. Слетовъ доложилъ собранію о полученномъ имъ письмѣ Московскаго преподавателя К. Ѳ. Лебединцева, заключающемъ предложеніе математическому отдѣленію и членамъ его въ отдѣльности принять участіе въ сотрудничествѣ въ новомъ математическомъ журналѣ, который съ начала 1912 года будетъ издаваться Московскимъ Математическимъ Кружкомъ. Собраніе постановило привѣтствоватъ новое изданіе и обѣщать свое посильное сотрудничество.

Далѣе обсуждался вопросъ о роли учебника при преподаваніи математики. Докладчикъ, М. К. Третьяковъ ограничился разсмотрѣніемъ даннаго вопроса по отношенію къ учебникамъ ариѳметики. По мнѣнію М. К. Третьякова учебники теоріи ариѳметики въ начальной школѣ и въ младшихъ классахъ средней школы безполезны или даже вредны: вся теорія ариѳметики должна явиться выводомъ изъ рѣшенія задачъ и численныхъ примѣровъ, а не усваиваться путемъ заучиванія правилъ и точныхъ логическихъ опредѣленій. Въ рукахъ у учащихся долженъ быть только сборникъ задачъ и примѣровъ; при этомъ для домашнихъ упражненій учащимся слѣдуетъ давать преимущественно численные примѣры; задачи съ условіемъ на первыхъ ступеняхъ обученія должны быть рѣшаемы въ классѣ подъ руководствомъ учителя.—Во время преній, въ которыхъ приняли участіе гг. Машотасъ, Слетовъ, Скворцовъ, Третьяковъ и Шикснисъ, были выдвинуты вопросы: 1) если отказаться отъ употребленія въ младшихъ классахъ учебниковъ по теоріи ариѳметики, то какъ быть съ учениками, пропустившими по той или другой причинѣ рядъ уроковъ? 2) какъ работать безъ учебника неопытному, начинающему преподавателю? Вопросы эти были разрѣшены въ такомъ смыслѣ: 1) при прохожденіи новаго матеріала учитель долженъ постоянно возвращаться къ пройденному и это можно дѣлать такъ умѣло, что повтореніе не потеряетъ интереса и для лучшихъ учениковъ и 2) неопытному преподавателю нуженъ не учебникъ теоріи, а хорошее методическое руководство практическаго характера.

Въ заключеніе собраніемъ были приняты резолюціи въ общемъ согласныя съ положеніями и пожеланіями докладчика.

Засѣданіе 1-го декабря было посвящено докладу А. Б. Стацевичъ: „Значеніе опыта въ знаніи“. Современный жгучій вопросъ о введеніи индуктивнаго метода въ преподаваніе заставилъ докладчицу изучить глубже понятія „опытъ“ и „индукція“, при чемъ оказалось, что въ наукѣ нѣтъ установившагося взгляда на эти понятія. Вслѣдствіе этого и индуктивный методъ преподаванія можетъ быть понимаемъ различно. Представивъ затѣмъ краткій очеркъ исторіи человѣческаго знанія, референтка остановилась на взглядахъ проф. Челпанова, Введенскаго, Авенаріуса, Эр. Маха и Вундта по интересующему ее вопросу. Въ концѣ доклада г-жа Стацевичъ нашла возможнымъ сдѣлать и нѣкоторые выводы практическаго характера относительно преподаванія математики въ школѣ. Оппоненты (И. А. Челюсткинъ и В. И. Скворцовъ) отмѣчали главнымъ образомъ отсутствіе тѣсной связи между исторической частью доклада и окончательными выводами методическаго характера.

Въ засѣданіи 12-го декабря обсуждался вопросъ о курсѣ анализа и аналитической геометріи въ курсѣ VII кл. реальныхъ училищъ. Находя въ принципѣ возможнымъ и желательнымъ прохожденіе началъ аналитич. геометріи и анализа безконечно-малыхъ въ послѣднемъ классѣ реальныхъ училищъ, собравшіеся единодушно подчеркивали, что прохожденіе сколько нб. цѣльнаго курса этихъ отдѣловъ высшей математики нынѣ крайне затруднительно по ограниченности времени, которое имъ можетъ быть удѣлено.

Въ видахъ улучшенія положенія дѣла предлагалось нѣкоторыя статьи курса YII кл. перенести въ предыдущій, освободивъ одновременно нынѣ обязательный курсъ математики отъ нѣкоторыхъ отдѣловъ, потерявшихъ уже свое значеніе.

Къ перенесенію изъ курса VII кл. намѣчалось: рѣшеніе ур—ій двучленныхъ, возвратныхъ и неопредѣленныхъ. Къ исключенію — непрерывныя дроби и спеціальныя правила въ курсѣ ариѳметики. Кромѣ того признано цѣлесообразнымъ при рѣшеніи особыхъ случаевъ треугольниковъ ограничиться менѣе сложными случаями и вовсе исключить ариѳметику изъ курса VII кл.

При невозможности облегчить курсъ YII кл. на счетъ другихъ отдѣловъ, собравшіеся склонились къ мысли ограничиться въ спеціальномъ курсѣ аналитической геометріей, какъ дающій нѣчто болѣе цѣльное, чѣмъ анализъ,

Въ засѣданіи 10-го февраля Ѳ. А. Эрнъ сдѣлалъ докладъ о I Всероссійскомъ Съѣздѣ преводавателей математики. Остановившись въ началѣ кратко на составѣ и внѣшней организаціи съѣзда (число членовъ, подраздѣленіе на секціи и пр.), Ѳ. А. Эрнъ перешелъ затѣмъ къ общей характеристикѣ съѣзда, стараясь, по возможности, выдѣлить рельефно тѣ теченія въ области реформированія преподаванія математики, которыя обнаружились на съѣздѣ, и отмѣтить наиболѣе характерные доклады. Болѣе подробно докладчикъ остановился на тѣхъ сообщеніяхъ и рефератахъ, которые касались вопросовъ о необходимости на первыхъ ступеняхъ обученія пользоваться способностью учащихся дѣлать выводы изъ непосредственныхъ наблюденій и опытовъ, а на высшихъ ступеняхъ пріучать ихъ къ логическому отвлеченному мышленію, о желательности поставить преподаваніе математики въ старшихъ классахъ средней школы вполнѣ научно и уст ановить болѣе прочную связь между средней и высшей школой, объ ознакомленіи учащихся съ идеей функціональной зависимости, о наглядности преподаванія и наглядныхъ пособіяхъ, о характерѣ курса математики съ точки зрѣнія запросовъ жизни и пр.—Указавъ въ заключеніе на нѣкоторые дефекты въ организаціи съѣзда, вызванные главнымъ образомъ тѣснотой помѣщенія и огромнымъ наплывомъ членовъ, Ѳ. А. Эрнъ высказался въ томъ смыслѣ, что первый съѣздъ преподавателей математики сдѣлалъ большое и полезное дѣло. т. к. онъ способствовалъ объединенію преподавателей на почвѣ общихъ интересовъ и показалъ, что и у насъ въ Россіи намѣчаются довольно сильныя теченія въ сторону реформированія преподаванія метематики.

Затѣмъ М. Е. Волкобинскій подѣлился съ собравшимися своими впечатлѣніями о съѣздѣ, а г-жа Стацевичъ прочла резолюціи, принятыя на съѣздѣ въ послѣднемъ засѣданіи. Изъ этихъ резолюцій между прочимъ явствуетъ, что съѣздъ отнесся очень сочувственно къ предложенію математ. отдѣленія о созданіи центральной организаціи, объединяющей всѣ кружки

и общества преподавателей математики, но не видно, кому поручено осуществить это предположеніе. Собраніе поручило Ѳ. А. Эрну навести по этому вопросу справки въ Организаціонномъ Бюро Съѣзда и въ Московскомъ Математическомъ Кружкѣ.

Въ засѣданіи 1-го марта былъ прочитанъ г. Бернштейномъ докладъ „о послѣдней теоремѣ Фермата“ (напечатанъ въ №№ 3 и 4 журнала Математическое Образованіе).

Въ томъ-же засѣданіи г-жа Стацевичъ сдѣлала сообщеніе объ учебникѣ математики для женскихъ гимназій Бередзена и Геттинга.

Наконецъ въ послѣднемъ засѣданіи 18-го апрѣля Н. И. Караушъ выступилъ съ докладомъ „о рѣшеніи численныхъ ур—ій высшихъ степеней по способу Греффе“. Докладчикъ основывался главнымъ образомъ на статьѣ В. Витковскаго (Топографическій и геодезическій журналъ 1911 г.). Были указаны двѣ основныя теоремы, на которыхъ основанъ способъ Греффе, именно: 1) f(x) разлагается на произведеніе множителей, представляющихъ разности между х и всѣми отдѣльными корнями ур—ія f(x) = 0 и 2) коэффиціенты ур—ія суть цростыя функціи его корней.—Основная мысль способа Греффе заключаетея въ преобразованіи даннаго ур -ія въ другое, корни котораго весьма высокія степени корней даннаго. Тогда при высокихъ степеняхъ, на основаніи второй теоремы, всѣ члены функціи, выражающей коэффиціенты преобразованнаго ур—ія будутъ ничтожно малы по сравненію съ первымъ, и ими можно пренебречь. Слѣд. коэффиціенты преобразованнаго ур—ія дадутъ возможность получить корни даннаго дѣленіемъ и извлеченіемъ корней. Было показано, какъ находить коэффиціенты преобразованнаго ур—ія, постепенно переходя отъ ур—ія съ первыми степенями корней къ ур—іямъ со вторыми степенями, затѣмъ четвертыми степенями и т. д. Наконецъ было разсмотрѣно нахожденіе корней въ случаяхъ равныхъ и мнимыхъ корней.

Докладчику оппонироваль г. Бернштейнъ, находившій, что способъ Греффе не имѣетъ большихъ преимуществъ передъ другими способами; г. Волкобинскій наоборотъ поддерживалъ докладчика.

Списокъ книгъ, поступившихъ въ редакцію и въ библіотеку Математическаго Кружка съ 1-го сент. 1912 г.

С. П. Виноградовъ. Курсъ прямолинейной тригонометріи. М. 1912 г. Ц. 70 к.

Е. И. Игнатьевъ. Наука о небѣ и о землѣ, общедоступно изложенная. Спб. 1912 г.

С. И. Шохоръ-Троцкій. Геометрія на задачахъ. Книга для учителей. Изд. 2-е. М. 1913. Ц. 2 руб.

I. Штеклинъ. Ариѳметическій задачникъ. Пер. Д. Л. Волковскаго. Выпуски У и VI, М. 1913. Ц. по 10 к. выпускъ.

I. Штеклинъ. Методика ариѳметики. Ч. 2-я. Пер. А. Долгова подъ ред. Д. Л. Волковскаго. М. 1913. Ц I р. 75 к.

Ж. Таннери. Курсъ теоретической и практической ариѳметики. Пер. А. А. Котляревскаго подъ ред. Д. Л. Волковскаго. М. 1913. Ц. 2 р. 60 к.

А. Глаголевъ. Сборникъ ариѳметическихъ задачъ. Изд. 2. М. 1913. Ц. 70 к.

Его же. Элементарная геометрія и собраніе геометрическихъ задачъ. Изд. 5-е. М. 1913. Ц. 75 коп.

О началахъ геометріи. Текстъ Н. И. Лобачевскаго, примѣчанія А. Н. Желтухина. Спб. 1908. Ц. 80 к.

А. Н. Желтухинъ. Уравненія кривыхъ 2-го порядка въ геометріи Н. И. Лобачевскаго. Казань. 1912.

Н. А. Рыбкинъ. Сборникъ геометрическихъ задачъ на вычисленіе. Часть Планиметрія. Изд. 8-е. М. 1912. Ц. 65 к. Часть П. Стереометрія. 7-е изд. М. 1913. Ц. 60 к.

А. А. Раевскій. Начальная книжка по геометріи. Спб. 1903. Ц. 50 к.

Окт. Вржесневскій. Борьба за 5-й постулатъ. М. 1912 Ц. 30 к.

А. В. Цингеръ. Задачи и вопросы по физикѣ. М. 1913. Ц. 1 р. 25 к.

Опечатка. Въ № 6, на стр. 269, 6 стр. снизу, напечатано: 0 < о -—-I, слѣдуетъ 0 ^Со-

Отвѣтственный редакторъ I. И. Чистяковъ.

Печатня А.И. Снегиревой Москва, Тел. 22-21.

Открыта подписка на 1913-й годъ

на Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

„МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНІЕ“.

Журналъ выходитъ ежемѣсячно книжками отъ 2 до 3 печатныхъ листовъ за исключеніемъ мая, іюня, іюля и августа мѣсяцевъ.

Циркуляромъ Попечителя Московскаго Учебнаго Округа отъ 23 марта 1912 года за № 10808 журналъ „Математическое Образованіе“ рекомендованъ для выписки въ ученическія и фундаментальныя библіотеки мужскихъ и женскихъ учебныхъ заведеній.

Содержаніе журнала 1) статьи по различнымъ отдѣламъ математики, оригинальныя и переводныя; 2) статьи по вопросамъ преподаванія математики и соприкасающихся наукъ; 3) очерки по исторіи математики, біографіи и портреты математиковъ; 4) библіографическій отдѣлъ; 5) вопросы и задачи; 6) математическая хроника; 7) Объявленія.

Цѣна 3 рубля въ годъ и 2 рубля на полгода въ доставкой и пересылкой.

Цѣна отдѣльнаго номера 50 к. съ пересылкой.

За перемѣну адреса уплачивается 20 коп. Подписка на 1912-й годъ продолжается.

Объявленія принимаются съ платою: 1 страница—15 р., 7а стр.—8 р., 7» стр.—4 р. и т. д.

Подписка принимается въ редакціи:

Москва, Остоженка, 7, кв. 88,

и въ книжныхъ магазинахъ К. И. Тихомирова (Кузнецкій мостъ), Н. П. Карбасникова и Т-во М. О. Вольфь (Моховая).

Печатня А.И. Снегиревой Москва.