Математическое Образованіе.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка.

№ 6.

Октябрь 1912 г.

МОСКВА.

А. И. Гольденбергъ.

1837 — 1902.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

„Математическое Образованіе“

Октябрь 1912 г.

№ 6.

СОДЕРЖАНІЕ: Портретъ Ал. Ив. Гольденберга.—Памяти Александра Ивановича Гольденберга.—Д. Волковскій. Многогранники Пуансо.—Ел. Бартъ. Задачи и игры изъ дѣтскаго міра, развивающія понятія по логикѣ и статистической теоріи взаимоотношеній.—Я. А. Некрасовъ. Михаилъ Евсевіевичъ Головинъ.— В. Бобынинъ. Задачи. Рѣшенія задачъ. Библіографическій отдѣлъ. XIII съѣздъ русскихъ естествоиспытателей и врачей въ гор. Тифлисѣ. Засѣданіе Московскаго Математическаго Кружка 27 сентября 1912 г. Списокъ книгъ, поступившихъ въ редакцію и въ библіотеку Математическаго Кружка съ 1 августа 1912 г.

Памяти Александра Ивановича Гольденберга.

Д. Волковскій. Москва.

19-го іюня текущаго года исполнилось 10 лѣтъ со дня смерти извѣстнаго педагога-математика Александра Ивановича Гольденберга.

10 лѣтъ—срокъ достаточный въ наше богатое смѣной впечатлѣній время, чтобы забыть дорогихъ для насъ людей, но, не взирая на это, память о покойномъ жива и долго еще будетъ сохраняться среди всѣхъ тѣхъ, кому дороги интересы педагогики— математики, но особенно дорого имя А. И. для тѣхъ, съ которыми покойный бесѣдовалъ „не только хартіею и черниломъ, но и лицомъ къ лицу“. Передъ ними долженъ вновь возстать во всемъ величіи нравственный обликъ покойнаго не только какъ педагога, но и какъ человѣка. Какъ сейчасъ, ясно вспоминается его смѣлая, увѣренная, искренняя, авторитетная, убѣдительная и доказательная рѣчь, невольно заставляющая предполагать, что все сказанное имъ было не сочинено и выдумано „въ просторной пустотѣ отвлеченной мысли“, а куплено кровью сердца, выношено въ душѣ, вытекало изъ сильной привязанности къ горячо любимому дѣлу. Сумма всѣхъ этихъ свойствъ духовной природы покойнаго вмѣстѣ съ его благородствомъ заставляли почти каждаго, при встрѣчѣ или бесѣдѣ съ нимъ, невольно „выпрямляться душою“.

Чтя память покойнаго, мы въ настоящей статьѣ дадимъ краткія біографическія свѣдѣнія о немъ и попытаемся сдѣлать характеристику его литературно-педагогической и общественной дѣятельности.

I.

А. И. Гольденбергъ родился въ Москвѣ въ 1837 г. Отецъ его былъ извѣстнымъ въ свое время въ Москвѣ врачемъ гомеопатомъ. А. И. учился въ 3-й Московской реальной гимназіи и въ Москов-

скомъ университетѣ на физико-математическомъ факультетѣ по отдѣлу чистой математики. Въ гимназіи, благодаря директору П. Н. Погорѣльскому, магистру математики и выдающемуся педагогу, преподаваніе математики было поставлено на надлежащую высоту, а въ университетѣ профессорами были такіе выдающіеся для своего времени въ Россіи ученые и дѣятели математической литературы, какъ Зерновъ, Брашманъ и молодой тогда Давидовъ.

Подъ вліяніемъ такихъ наставниковъ, какъ о гимназіи, такъ и объ университетѣ покойный сохранилъ пріятныя воспоминанія на всю жизнь.

Благодаря домашнему воспитанію, А. И. съ раннихъ лѣтъ освоился съ нѣмецкимъ и французскимъ языками, что дало ему возможность впослѣдствіи основательно изучить иностранную математическую литературу и быть европейски образованнымъ человѣкомъ.

Благодаря домашнему же воспитанію, А. И. серіозно изучилъ музыку и прекрасно игралъ на рояли, сумѣвъ соединить „сухіе законы числа со свободной гармоніей звуковъ“. Онъ игралъ съ такимъ вдохновеніемъ, что своей игрой увлекалъ всѣхъ. Этотъ „священный даръ“ вдохновляться озарялъ душу А. И. и тогда, когда онъ преподавалъ математику: покойный былъ въ преподаваніи „Моцартомъ, а не Сальери“. „Не будетъ преувеличеніемъ сказать, — свидѣтельствуетъ московскій педагогъ К. К. Мазинга, знавшій А. И. въ теченіе 30 лѣтъ, — что Александръ Ивановичъ не далъ въ своей жизни двухъ уроковъ, тождественныхъ между собою“.

Все свое дѣтство и юность, до поступленія въ Артиллерійскую академію, А. И. провелъ почти безвыѣздно въ Москвѣ. Не удивительно, поэтому, что онъ не любилъ деревни. Но это не мѣшало ему любить природу, хотя и своеобразно. „Она,—говоритъ К. К. Мазинга, — ему не давала ощущеній наслажденія, но его умъ приходилъ въ восторгъ отъ правильности, цѣлесообразности и красоты линій, очертаній и красокъ. Онъ восхищался красотою листка, цвѣтка, снѣжинки, звѣзднаго неба, но при этомъ восхищался болѣе искусствомъ мастера, чѣмъ произведеніемъ“.

Будучи еще гимназистомъ, А. И. съ любовью занимался ботаникой и даже составилъ гербарій московской флоры, который подарилъ своей гимназіи.

По окончаніи курса въ Московскомъ университетѣ по физико-математическому факультету въ 1858 г., со званіемъ кандидата математическихъ наукъ, А. И. поступилъ на военную службу— фейерверкеромъ въ сводную артиллерійскую батарею. Въ 1859 г. онъ сдалъ экзаменъ при артиллерійскомъ отдѣленіи военно-учебныхъ заведеній на производство въ офицеры, а черезъ годъ поступилъ въ Михайловскую артиллерійскую академію. Здѣсь за выдающіеся успѣхи въ наукахъ А.И. былъ произведенъ въ поручики въ 1864г. Въ томъ же году онъ былъ прикомандированъ къ окружному артиллерійскому управленію Московскаго военнаго округа, а въ 1865 г. былъ назначенъ преподавателемъ математики во вторую Московскую военную гимназію. Въ 1867 г. по домашнимъ обстоятельствамъ

А. И. былъ уволенъ отъ военной службы съ чиномъ штабсъ-капитана, поселился въ Москвѣ и жилъ въ ней до 1884 г.

Во все время своего пребыванія въ отставкѣ въ Москвѣ, А. И. всецѣло предался педагогической дѣятельности, состоя преподавателемъ математики въ нѣскольскихъ частныхъ мужскихъ и женскихъ учебныхъ заведеніяхъ. Въ началѣ 70-хъ годовъ, по предложенію Московскаго губернскаго земства, онъ занялъ должность директора земской учительской семинаріи въ селѣ Поливановѣ, Московской г., Подольскаго уѣзда. Будучи завзятымъ сторонникомъ земства, А. И. съ особенною энергіею посвятилъ себя педагогической дѣятельности въ этомъ учрежденіи. Но эта его дѣятельность продолжалась недолго: черезъ годъ Поливановская учительская семинарія перешла въ вѣдомство Министерства Народнаго Просвѣщенія, и А. И. оставилъ въ ней службу. За время пребыванія директоромъ А. И. снискалъ всеобщую любовь своихъ учениковъ. Вотъ какъ, напр., отзывается о немъ одинъ изъ его питомцевъ: „А. И. развивалъ въ насъ жажду знанія, любовь къ труду и показалъ намъ на собственномъ, примѣрѣ, что значитъ быть наставникомъ. Отрадно вспомнить объ отношеніяхъ А. И. къ намъ своимъ воспитанникамъ. Удивительная простота обращенія, доступность, участливость А. И. влекла къ нему всѣ сердца. Каждый изъ насъ смѣло обращался къ своему директору за совѣтомъ и помощью всякаго рода, и никто никогда не слышалъ отъ него отказа. Многимъ изъ насъ онъ доставилъ впослѣдствіи хорошія мѣста, инымъ помогъ продолжать образованіе въ другихъ учебныхъ заведеніяхъ, а инымъ нерѣдко оказывалъ и матеріальную поддержку“ („Русскія Вѣдомости“, 1902 г., № 255).

А. И. нѣсколько лѣтъ читалъ методику ариѳметики на педагогическихъ курсахъ при Московскомъ Обществѣ воспитательницъ и учительницъ, кромѣ того, читалъ математику на Лубянскихъ женскихъ курсахъ, а также прочелъ рядъ публичныхъ лекцій по исторіи математики въ Московскомъ политехническомъ музеѣ.

Затѣмъ съ 1884 г. педагогическая дѣятельность И. А. переносится изъ Москвы въ Петербургъ, въ которомъ онъ прожилъ послѣднія 18 лѣтъ. Здѣсь такъ же, какъ и въ Москвѣ, онъ состоялъ преподавателемъ математики въ нѣсколькихъ учебныхъ заведеніяхъ, а именно: въ Александровскомъ корпусѣ, въ нѣсколькихъ женскихъ гимназіяхъ, въ Петербургской земской учительской школѣ и на курсахъ Лесгафта.

Такая усиленная преподавательская дѣятельность быстро пошатнула здоровье А. И. Врачи совѣтовали ему оставить эту службу. Но онъ, не взирая на ихъ предостереженія, и въ послѣдній годъ своей жизни преподавалъ ариѳметику въ Николаевскомъ корпусѣ.

Будучи преподавателемъ столь долгое время и въ столь многочисленныхъ и разнообразныхъ учебныхъ заведеніяхъ, А. И. былъ педагогомъ по призванію, педагогомъ въ лучшемъ, благородномъ и идеальномъ значеніи этого слова, всецѣло, всею душею преданнымъ своему дѣлу.

А. И. такъ любилъ преподавать математику, что даже и въ послѣднія минуты своей жизни, измученный тяжкою и продолжительною болѣзнью, въ предсмертномъ бреду, едва внятнымъ голосомъ, объяснялъ воображаемымъ ученикамъ дроби.

Неудивительно, поэтому, что онъ пользовался искреннею любовью учащихся и съ успѣхомъ проповѣдывалъ свои педагогическіе идеалы.

Чувствуя въ себѣ педагогическихъ „силъ избытокъ“ и будучи безкорыстнымъ труженикомъ, А. И. никогда не отказывался отъ занятій вслѣдствіе отсутствія гонорара. Такъ, онъ состоялъ членомъ совѣщательнаго комитета по школамъ Императорскаго женскаго Патріотическаго общества, гдѣ подъ его непосредственнымъ руководствомъ вырабатывались программы по ариѳметикѣ, а также экзаменовались оканчивающія курсъ; преподавалъ методику ариѳметики на педагогическихъ курсахъ при училищѣ глухонѣмыхъ, работалъ въ различныхъ коммиссіяхъ по математикѣ въ педагогическомъ музеѣ военно-учебныхъ заведеній; а затѣмъ, когда въ Петербургскомъ педагогическомъ обществѣ открылись общеобразовательные курсы, то А. И. завѣдывалъ въ нихъ отдѣломъ математики и читалъ геометрію.

Съ развитіемъ въ послѣднее время учительскихъ курсовъ, А. И. ежегодно получалъ нѣсколько приглашеній отъ различныхъ земствъ быть руководителемъ по ариѳметикѣ. Такъ, онъ велъ бесѣды въ Москвѣ (нѣсколько разъ), въ Александровѣ Владимірской г., въ Твери, Саратовѣ, Вяткѣ, Тулѣ, Перми. Лѣтомъ 1902 г., онъ былъ приглашенъ руководителемъ на курсы въ Тулу, Уфу и Звенигородъ Московской г., но болѣзнь не допустила его до этого. Его блестящія лекціи, покоящіяся на твердыхъ научно-математическихъ и психо-педагогическихъ данныхъ и отличающіяся простотою и ясностью, производили сильное впечатлѣніе на слушателей, а его практическіе уроки по своей содержательности, цѣлесообразности и занимательности всецѣло приковывали ихъ вниманіе. Сознавая, что на отведенныхъ для бесѣдъ урокахъ далеко нельзя исчерпать всего того, что должно высказать, А. И. весьма часто бесѣдовалъ въ неурочное время съ курсистами, удовлетворяя ихъ математической любознательности; а его честность, искренность, прямолинейность и высокая образованность*) давали возможность обращаться къ нему не только съ методическими сомнѣніями, а и съ болѣе широкими школьными и общекультурными вопросами. Нѣкоторые изъ его слушателей вели съ нимъ

*) А. И. былъ большой библіофилъ. Послѣ него осталась весьма цѣнная бибіотека, часть которой пожертвована въ отдѣленіи физическихъ наукъ Общества Любителей Естествознанія, а часть—въ библіотеку Тульскаго губернскаго земства, чтобы ею пользовались всѣ земскіе учителя и учительницы Тульской губ., съ которыми у него установились самыя теплыя и самыя искреннія отношенія, и которые были слушателями его „лебединой пѣсни“.

По желанію вдовы покойнаго А. И. Гольденберга, Е. П. Гольденбергъ, право пользованія математическою библіотекою покойнаго, хранящеюся въ Московскомъ Политехническомъ Музеѣ и состоящею въ завѣдываніи Общества Любителей Естествознанія, предоставлено Московскому Математическому Кружку.

переписку, обращаясь за совѣтами по различнымъ педагогическимъ вопросамъ. А. И. всегда съ полною готовностью, при первой возможности, считалъ своимъ долгомъ отвѣтить на письмо и дать соотвѣтствующія указанія и наставленія.

II.

Уже изъ сказаннаго видно, какъ была широка и плодотворна педагогическая дѣятельность А. И. Но не въ этой практической дѣятельности главная его заслуга, а въ его теоретической дѣятельности, въ его сочиненіяхъ какъ оригинальныхъ, такъ и переводныхъ.

Его перу принадлежитъ много статей, замѣтокъ и рецензій по исторіи, методикѣ и по разнымъ отдѣламъ и вопросамъ математики, напечатанныхъ въ различныхъ педагогическихъ журналахъ, а именно: въ „Семьѣ и Школѣ“ (теперь уже не существующемъ), „Вѣстникѣ опытной физики и элементарной математики“, „Педагогическомъ Сборникѣ“, „Педагогическомъ Листкѣ“ и „Народномъ Образованіи“, а также въ нѣкоторыхъ французскихъ и англійскихъ математическихъ журналахъ. Перу же А. И. принадлежитъ составленіе программы обученія счисленію въ церковно - приходскихъ школахъ вѣдомства православнаго исповѣданія.

Онъ былъ также редакторъ перваго въ Россіи популярнаго математическаго журнала Математическій Листокъ, просуществовавшаго, къ сожалѣнію, самое короткое время (1879 — 82 г.) и остановившагося на 9-мъ номерѣ ІІ-го тома. Подъ его же редакціей производилось обозрѣніе русской учебной литературы по математикѣ (см. 1-й т. „Учебно-воспитательной библіотеки“, изд. учебнаго отдѣла Московскаго общества распространенія техническихъ знаній. М., 1877 г.). Въ послѣдніе годы своей жизни онъ весьма часто печаталъ въ „Педагогическомъ Сборникѣ“ остроумныя задачи по алгебрѣ и геометріи. Изъ переводныхъ цѣнныхъ трудовъ его слѣдуетъ отмѣтить русскій переводъ извѣстнаго учебника геометріи французскаго математика Руше.

Изъ всѣхъ математическихъ дисциплинъ онъ удѣлялъ болѣе всего вниманія ариѳметикѣ. Изъ многихъ критическихъ его статей по ариѳметикѣ особенно обстоятельной и цѣнной является рецензія на извѣстную методику ариѳметики Евтушевскаго. По выдержанности тона, объективности и обстоятельности это лучшая рецензія изъ всѣхъ многочисленныхъ рецензій на эту книгу. Также выдающейся слѣдуетъ считать рецензію А. И. на „ариѳметику“ Воленса помѣщенную въ № 196 „Русскихъ Вѣдомостей“ за 1880-й г. подъ заглавіемъ: „Нѣмецкія измышленія въ русской школѣ“. Это былъ его первый рѣдкій по своей рѣшительности и плодотворности походъ противъ „грубеизма“.

Гораздо большею извѣстностью пользуются его задачники для начальныхъ школъ (два выпуска), выдержавшіе въ теченіе 25 лѣтъ около 40 изданій и разошедшіеся болѣе, чѣмъ въ милліонѣ экземпляровъ. По своей точности, ясности, краткости и содержательности—это и доселѣ, несмотря на недостатки, при-

знанные и самимъ составителемъ, одни изъ лучшихъ задачниковъ.

Но самымъ цѣннымъ и извѣстнымъ трудомъ его, по справедливости, считается „Методика начальной ариѳметики“. Краткость, мѣткость, точность, ясность и простота языка, строгая послѣдовательность въ сужденіяхъ—вотъ несомнѣнныя достоинства этого сочиненія. Въ этой методикѣ онъ явился сильнымъ и авторитетнымъ апологетомъ такъ называемаго „метода изученія дѣйствій замѣнившаго собою „методъ изученія чиселъ“, „со властью пропагандируемый извѣстнымъ педагогомъ Евтушевскимъ. Правда,, А. И. не былъ творцомъ этого новаго метода, а также не былъ и первымъ, равно какъ и одинокимъ врагомъ стараго метода: ему „волею судебъ“ пришлось идти по дорогѣ, уже проложенной и обслѣдованной другими. Но зато никто, какъ онъ, съ такимъ достоинствомъ и совершенствомъ, не вступая ни въ полемику, ни въ усиленную и продолжительную критику, не раскрылъ положительныхъ достоинствъ и несомнѣнныхъ преимуществъ этого метода предъ методомъ Грубе. И такимъ путемъ онъ способствовалъ уничтоженію стараго метода и водворенію новаго въ гораздо большей степени, чѣмъ такіе авторитетные педагоги, какъ гр. Л. Н. Толстой и С. А. Рачинскій, стоявшіе хотя и на твердой почвѣ, но на критической, необходимости въ которой тогда уже не ощущалось. Методика А. И. подверглась авторомъ всего одному, хотя и значительному измѣненію во второмъ изданіи, послѣдовавшемъ вскорѣ послѣ перваго. Хотя съ тѣхъ поръ прошло болѣе 20 лѣтъ, однако методика его не только не устарѣла, а и доселѣ остается однимъ изъ лучшихъ пособій во всей методической русской литературѣ; и на рабочемъ столѣ педагога эта книга должна занять мѣсто не подлѣ другихъ подобныхъ сочиненій, а впереди ихъ. Правда, въ ней есть недостатки, которые ясно сознавалъ самъ авторъ, и объ этомъ неоднократнно заявлялъ открыто; но, по независящимъ отъ него обстоятельствамъ, къ сожалѣнію, не могъ ихъ исправить, о чемъ не разъ говорилъ съ ощутительною болью въ сердцѣ. Впрочемъ эти недостатки могутъ быть устранены бесѣдами, веденными А. И. въ Саратовѣ на земскихъ курсахъ и напечатанными особой книгой подъ заглавіемъ Бесѣды по счисленію (Изданіе Саратовскаго губернскаго земскаго книжнаго склада. Стр. 256. Цѣна 1 р. 25 к.), а также „Уроками счисленія въ начальной школѣ“, изданными Тульскимъ губернскимъ земскимъ книжнымъ складомъ (изд. 2-е, 27 стр., цѣна 10 коп.).

Съ 1895-го г. А. И. занялся составленіемъ задачниковъ по ариѳметикѣ для среднихъ учебныхъ заведеній (гимназій и реальныхъ училищъ). Вышли три выпуска: 1) курсъ приготовительнаго класса (цѣна 25 коп.), 2) курсъ перваго класса (цѣна 25 коп.), 3) курсъ второго класса (цѣна 40 коп.), Эти задачники составляютъ одну изъ самыхъ крупныхъ и самыхъ цѣнныхъ работъ А. И. за послѣдніе годы. По своимъ внутреннимъ и внѣшнимъ достоинствамъ они стоятъ выше его извѣстныхъ задачниковъ для начальныхъ школъ. Курсъ приготовительнаго класса можно рекомендовать для средняго отдѣленія начальныхъ школъ. Краткость,

содержательность, естественность, жизненность и послѣдовательность задачъ—вотъ неотъемлемыя достоинства этихъ задачниковъ. Въ нихъ вы не встрѣтите той искусственности, схоластичности и казуистики, которую нерѣдко можно найти во многихъ распространенныхъ задачникахъ, нѣтъ въ нихъ, далѣе, „многоэтажныхъ“ задачъ, выраженныхъ такою протяженно - сложенною рѣчью, что прежде, чѣмъ рѣшать ихъ, надо перевести на русскій языкъ, доступный дѣтскому пониманію и согласный со здравымъ смысломъ; и, наконецъ, также не найдете задачъ „головоломокъ“, задачъ, надъ которыми учащимся пришлось бы безрезультатно ломать по нѣсколькимъ часамъ головы и проводить иногда безсонныя ночи. Нѣтъ спору, что и въ этихъ задачникахъ есть очень трудныя задачи, но тутъ же, подъ задачами, авторомъ сдѣланъ намекъ на ихъ рѣшеніе. Въ общемъ это такія задачи, которыя рѣшающему ихъ даютъ чувствовать, что занятіе ариѳметикой есть трудъ, но трудъ серіозный и плодотворный, могущій доставить наслажденіе занимающемуся, а не отнять у него всякую энергію и внушить ту нелѣпую мысль, что ариѳметика есть удѣлъ избранныхъ*).

Будучи на Саратовскихъ земскихъ курсахъ въ 190-мъ г., А. И. занимался разборомъ своей брошюрки „Уроки счисленія въ начальной школѣ“, въ которой заключалась программа младшаго и средняго отдѣленія. На Тульскихъ курсахъ въ 1901-мъ г. онъ нѣсколько измѣнилъ и дополнилъ эту брошюрку, включивъ въ нее программу старшаго отдѣленія начальной школы. Теперь эта новая программа вышла уже вторымъ изданіемъ въ Тулѣ. По своимъ достоинствамъ она стоитъ выше какъ министерской, такъ и всѣхъ остальныхъ программъ, предложенныхъ другими методистами**). Она допущена Ученымъ Комитетомъ въ школы.

Издатель задачниковъ для начальныхъ школъ и методики г. Полубояриновъ предложилъ А. И. составить новый, согласный съ этой программою, задачникъ для начальныхъ школъ и для него же краткое методическое руководство. А. И. взялся съ энергіею за это дѣло, обязавшись задачникъ представить въ декабрѣ 1902 года, но простуда, полученная имъ въ мартѣ во время поѣздки въ Москву, создала тяжкую болѣзнь, длившуюся два мѣсяца и три недѣли и унесшую его преждевременно въ могилу.

III.

Дѣлая общую характеристику математическихъ трудовъ А. И., слѣдуетъ сказать, что онъ принадлежалъ къ числу такихъ людей,

*) Подробный разборъ этихъ задачниковъ данъ нами въ статьяхъ: „Реформа въ курсѣ ариѳметики средней школы“ (Русская Школа, 1903 г., №NS 5 — 6) и „Ариѳметическіе сборники А. И. Гольденберга“ (Русскія Вѣдомости., 1903 г, №№ 195 и 196).

**) Подробная оцѣнка этой программы сдѣлана нами въ статьѣ: „По поводу новой программы ариѳметики въ начальной школѣ“, (Русская Школа, 1903 г., №№ 10-12).

Существеннымъ дополненіемъ къ этой программѣ является посмертная брошюра А. И.: „Программа обученія счисленію въ начальной школѣ. Четвертый годъ обученія“ (28 стр., ц. 10 коп., изданіе Т-ва И. Д. Сытина). Эта брошюра весьма полезна не только для начальной школы, но и для младшихъ классовъ среднихъ учебныхъ заведеній, въ которыхъ проходится курсъ дробей.

которые приступаютъ къ составленію своихъ сочиненій съ солидной подготовкой и серіозною мыслью объ отвѣтственности за печатное слово. Афоризмъ Гоголя „со словомъ нужно обращатся честно“ можетъ быть девизомъ его сочиненій.

Вслѣдствіе такого взгляда на печать и такого отношенія къ своимъ сочиненіямъ, А. И. не остался въ долгу у читателей: во всемъ, за что онъ ни брался, онъ являлся полнымъ хозяиномъ не оставивъ неудовлетвореннымъ почти ни по одному изъ затронутыхъ имъ вопросовъ большинство педагоговъ.

Въ своихъ трудахъ онъ занимался болѣе разработкой положительннхъ началъ методики и математики, чѣмъ критикой и полемикой.

Но, вступая, хоть изрѣдка, и въ критику, онъ былъ на высотѣ своего призванія: онъ никогда не кривилъ душею изъ-за личнаго самолюбія или партійнаго интереса и всегда въ полной мѣрѣ отдавать справедливость и личнымъ, и идейнымъ врагамъ своимъ> выдвигая противъ ихъ не столько argumenta ad hominen, сколько argumenta ad rem.

Отъ его остраго и любознательнаго математическаго взгляда не могли скрыться—ни одно сочиненіе, ни одна журнальная статья, ни одна бѣглая замѣтка: со всею литературою своего предмета онъ считалъ долгомъ познакомиться не любопытства ради, а для того, чтобы быть „въ курсѣ дѣла“ и въ своихъ работахъ по тому или другому вопросу не дѣлать „открытій во второй разъ“.

По вопросу объ оригинальности его собственныхъ сочиненій можно сказать слѣдующее: они оригинальны не только въ узкомъ смыслѣ этого слова, какъ сочиненія не переводныя, а въ другомъ, въ смыслѣ самобытности. Точное констатированіе математико-педагогическихъ фактовъ; обстоятельное объясненіе ихъ; правильные выводы изъ нихъ; искусство превращать въ собственную плоть и кровь все, добытое изъ многочисленной литературы своего предмета, умѣнье сказать чужое „по своему“—вотъ что цѣнно и самобытно въ его трудахъ. А. И. своими сочиненіями несомнѣнно внесъ новую струю въ преподаваніе ариѳметики,

Что касается отношенія А. И. къ другимъ людямъ, то онъ, какъ добрый человѣкъ, не принадлежалъ къ числу тѣхъ, которые въ обращеніи съ ближними „бываютъ застегнуты на всѣ пуговицы“, другихъ,—говоря языкомъ Пушкина,—„почитая лишь нулями, а единицами себя“; напротивъ, А. И. отличася рѣдкой скромностью, стараясь внушить ее и своимъ ученикамъ: „Помните,— говорилъ онъ имъ, — что только тотъ думаетъ, что онъ много знаетъ, кто ничего не знаетъ“ („Русскія Вѣдомости“, 1902 г., № 255).

Живой, общительный и благородный характеръ А. И. привлекалъ къ нему рѣшительно всѣхъ, кто по тѣмъ или инымъ причинамъ приходилъ съ нимъ въ соприкосновеніе.

Никогда не становясь на почву узкой исключительности, А. И. не раздѣлялъ людей на согласныхъ и несогласныхъ съ его взглядами, а смотрѣлъ на вещи глубже и шире. Во всякомъ онъ искалъ прежде всего честности, искренности и убѣжденности и

былъ необыкновенно радъ, когда находилъ въ человѣкѣ, чуждомъ ему по развитію и направленію, черты, достойныя уваженія. Обширный кругъ его знакомыхъ никогда не былъ окрашенъ въ однообразный цвѣтъ, и въ людяхъ честныхъ и благородныхъ, хотя бы и противоположныхъ воззрѣній, онъ видѣлъ не враговъ, а лишь стойкикъ противниковъ. Естественно, поэтому, что онъ пользовался большими симпатіями и широкою популярностью въ различныхъ кругахъ Московскаго и Петербургскаго общества. Вотъ почему, несмотря на каникулярное время, на отпѣваніи А. И. въ Петербургѣ собрались многіе почитатели и друзья покойнаго, возложившіе на гробъ нѣсколько вѣнковъ, а директоръ частной гимназіи и частнаго реальнаго училища Я. Г. Гуревичъ произнесъ прочувствованную рѣчь. Такое же горячее слово сказалъ въ Москвѣ, при опусканіи тѣла въ могилу въ Алексѣевскомъ монастырѣ, директоръ слесарно - ремесленнаго училища В. Я. Гебель; тѣ же изъ почитателей, друзей и учениковъ А. И., которые почему либо не могли присутствовать на его похоронахъ, прислали вдовѣ покойнаго много писемъ, трогающихъ до слезъ и характеризующихъ его, какъ человѣка, педагога и общественнаго дѣятеля.

IV:

Имѣя въ виду вышеизложенное, смѣло можно сказать, что А. И. Гольденбергъ, какъ крупная педагогическая величина, въ исторіи русской педагогики займетъ одно изъ большихъ и почетныхъ мѣстъ, и имя его,—по выраженію отдѣленія физическихъ наукъ Императорскаго Общества любителей естествознанія, будетъ „незабвенно для русской науки и педагогіи“. Педагогическіе и нѣкоторые другіе журналы, а также лучшія газеты посвятили ему сочувственныя и горячія статьи. 20-го сентября 1902 г. въ Москвѣ, въ залѣ правленія университета, было первое послѣ лѣтняго перерыва засѣданіе отдѣленія педагогическаго Общества по математикѣ, въ которомъ были прочитаны два доклада, посвященные памяти А. И., К. К. Мазингомъ и Н. В. Сомовымъ. К. К. Мазингъ остановился на оцѣнкѣ А. И., какъ общественнаго дѣятеля, „явившагося родоначальникомъ собраній учителей математики“ и какъ талантливаго математика, „внесшаго въ систему преподаванія новые методы, болѣе свойственные живому усвоенію отвлеченной науки“. Н. В. Сомовъ охарактеризовалъ покойнаго, какъ человѣка, „который обладалъ ясностью духа, вѣрой въ людей и надеждой на лучшее будущее“. Предсѣдатель математическаго отдѣленія проф. Б. К. Млодзѣевскій выяснилъ цѣнное значеніе „Математическаго Листка“,—ежемѣсячнаго журнала, почти всецѣло созданнаго А. И. и представляющаго теперь „библіографическую рѣдкость, драгоцѣнную для каждаго педагога“. Кромѣ того проф. Млодзѣевскій упомянулъ о томъ, съ какою готовностью и удовольствіемъ А. И. всегда помогалъ совѣтомъ и указаніями молодымъ математикамъ. I. И. Чистяковъ передъ чтеніемъ своего реферата „О биквадратныхъ уравненіяхъ“ указалъ на выдающій интересъ статьи А. И. „Объ уравненіяхъ четвертой степени“, по-

мѣщенной въ „Вѣстникѣ Опытной Физики и Элементарной математики“.

9-го ноября 1902 г. въ торжественноиъ соединенномъ засѣданіи педагогическаго Общества при Московскомъ Университетѣ, отдѣленія физическихъ наукъ Общества любителей естествознанія, и учебнаго отдѣла Общества распространенія техническихъ знаній памяти А. И. было посвящено нѣсколько докладовъ, давшихъ обстоятельную и рельефную характеристику общественной, литеретурно-педагогической и журнальной дѣятельности покойнаго. Назовемъ эти доклады: „Изъ личныхъ воспоминаній объ А. И. Гольденбергѣ“ К. К. Мазинга, („Русская Школа“, 1903 г., №№ 5—6), „О библіотекѣ А. И. Гольденберга“ П. В. Преображенскаго („Русская Школа“, 1903 г., №№ 5 — 6), „Что сдѣлалъ А. И. Гольденбергъ для преподаванія ариѳметики“ Ѳ. И. Егорова („Русская Школа“, 1903 г., №№ 7—В) и „Дѣятельность А. И. Гольденберга въ области спеціальной математической журналистики“ В. В. Бобынина. („Русская Школа“, 1903 г., № 9)*).

Осенью того же года о покойномъ былъ сдѣланъ докладъ въ Кіевскомъ физико-математическомъ Обществѣ директоромъ Кіевскаго кадетскаго корпуса М. Г. Попруженко.

Въ ту же осень памяти А. И. было посвящено особое засѣданій въ Петербургѣ, въ Соляномъ городкѣ.

Чтобы увѣковѣчить имя А. И., одинъ изъ друзей покойнаго, М. Г. Попруженко, возбудилъ вопросъ объ. изданіи „Математической хрестоматіи“ посвященной памяти А. И., въ которую были бы включены его печатные труды, какъ вышедшіе отдѣльнымъ изданіемъ, такъ и разсѣянные по разнымъ журналамъ. Къ сожалѣнію, эта мысль и доселѣ не осуществлена.

Кромѣ того, учащими начальныхъ народныхъ школъ Тульской губ. былъ сдѣланъ взносъ въ редакцію „Русскихъ Вѣдомостей“ на учрежденіе стипендіи имени А. И. съ цѣлью дать возможность крестьянскому мальчику получить образованіе. Впослѣдствіи мысль объ учрежденіи стипендіи была замѣнена мыслью объ устройствѣ народной сельской школы имени Александра Ивановича.

Многогранники Пуансо.

Ел. Бартъ. Нижній Новгородъ.

(Окончаніе).

Теорема двойственная 2-ой. Если имѣемъ систему плоскостей, такъ расположенныхъ, что онѣ не заходятъ въ нѣкоторую конечную область, то существуетъ одинъ и только одинъ выпуклый многогранникъ перваго порядка, грани котораго суть

*) Болѣе подробная оцѣнка журнальной дѣятельности А. И. Гольденберга сдѣлана В. В. Бобынинымъ въ статьѣ: „Первый русскій элементарноматематическій журналъ“, вапечатанной въ издававшемся и редактировавшемся журналѣ: Физико-математическія науки въ ходѣ ихъ развитія“, (1902 г., томъ 1-й, № 10).

плоскости данной системы, и во внутреннюю область котораго не заходитъ ни одна изъ плоскостей.

Возьмемъ произвольную точку въ указанной конечной области и будемъ двигать ее по направленію къ даннымъ плоскостямъ до совпаденія хотя бы съ одною изъ нихъ. Далѣе будемъ двигать ее въ этой плоскости до тѣхъ поръ, пока она не совпадетъ еще хотя бы съ двумя другими плоскостями, причемъ мы получимъ вершину многогранника. Плоскости, проходящія черезъ найденную вершину, не заходятъ въ нѣкоторую коническую область. Строя многогранный уголъ по способу, изложенному въ теоремѣ, двойственной теоремѣ 1-ой, мы получимъ уголъ искомаго многогранника. Будемъ теперь двигать точку изъ найденной вершины по нѣкоторому ребру угла до тѣхъ поръ, пока она намъ не дастъ новую вершину многогранника. Продолжая подобнымъ образомъ мы можемъ построить весь искомый многогранникъ. Нетрудно видѣть, что онъ выпуклый и перваго порядка.

Теорема. Вершины правильнаго многогранника порядка выше перваго совпадаютъ съ вершинами нѣкотораго правильнаго многогранника перваго порядка.

Возьмемъ правильный многогранникъ высшаго порядка. Обозначимъ его черезъ М. Разсмотримъ систему точекъ его вершинъ и построимъ для нея по теоремѣ 2-ой выпуклый многогранникъ перваго порядка, который обозначимъ черезъ т. Такъ какъ вершины М всѣ лежатъ на нѣкоторомъ шарѣ, то всѣ онѣ будутъ также и вершинами т. Докажемъ, что т есть правильный многогранникъ. Возьмемъ многогранникъ ЛГ, тождественный съ М. Многогранникъ перваго порядка, имѣющій общія вершины съ N, обозначимъ черезъ п. Совмѣстимъ многогранники М и N\ сольются при этомъ и т съ », такъ какъ они тождественны и сольются ихъ вершины. Многогранники М и N правильные, и потому они сливаются всѣми своими частями при совмѣщеніи любыхъ двухъ смежныхъ многогранныхъ угловъ одного съ любыми двумя смежными многогранными углами другого; слѣдовательно т и п обладаютъ тѣмъ свойствомъ, что любые два смежные многогранные углы одного могутъ быть совмѣщены съ любыми двумя смежными многогранными углами другого, причемъ многогранники сливаются всѣми своими частями, но въ такомъ случаѣ т — правильный многогранникъ, и теорема доказана.

Теорема двойственная. Плоскости граней правильнаго многогранника порядка выше перваго сливаются съ плоскостями нѣкотораго правильнаго многогранника перваго порядка.

Возьмемъ правильный многогранникъ высшаго порядка Ж Разсмотримъ систему плоскостей его граней и построимъ для нея, по теоремѣ двойственной теоремѣ 2-ой, выпуклый многогранникъ перваго порядка, который обозначимъ черезъ т. Такъ какъ плоскости граней М всѣ касаются нѣкоторой сферы, то всѣ они будутъ и плоскостями граней т. Докажемъ, что т есть правильный многогранникъ. Возьмемъ многогранникъ ІѴ, тождественный съ М. Соотвѣтствующій ему многогранники перваго порядка обозначимъ черезъ п. Совмѣстимъ многогранникъ М и N, при этомъ и т сольется съ п, такъ какъ они тождественны, и сольются плоскости ихъ граней. М и N правильны и потому сольются всѣми своими частями при совпаденіи любыхъ двухъ смежныхъ граней одного съ любыми двумя смежными гранями другого; слѣдовательно, съ любыми двумя смежными гранями т могутъ быть совмѣщены любыя двѣ смежныя грани ю, но, въ такомъ случаѣ, ш правильный многогранникъ, и теорема доказана.

Докажемъ теперь, что существуютъ только четыре правильныхъ многогранника порядка выше перваго.

Чтобы найти указанные многогранники, мы будемъ поступать слѣдующимъ образомъ. Возьмемъ любой многогранникъ перваго порядка и будемъ изъ какой нибудь его вершины проводить прямыя къ вершинамъ, равно удаленнымъ отъ взятой. Возьмемъ плоскость, опредѣляемую любыми двумя изъ проведенныхъ прямыхъ.

Если на ней можетъ быть построенъ правильный многоугольникъ, вершины котораго суть вершины нашего многогранника, а двѣ взятыя нами прямыя— его стороны, и если черезъ взятыя прямыя проходятъ по двѣ плоскости съ такими равными между собою многоугольниками, то многоугольники эти суть грани нѣкотораго правильнаго многогранника перваго или высшаго порядка.

и разсмотримъ прямыя пересѣченія плоскости какой нибудь его грани съ плоскостями граней равно къ ней наклоненныхъ. Возьмемъ точку пересѣченія любыхъ двухъ изъ разсматриваемыхъ прямыхъ. Если она есть вершина нѣкотораго правильнаго многограннаго угла, грани котораго суть плоскости граней нашего многогранника, а взятыя нами прямыя—его ребра, и если на взятыхъ прямыхъ лежатъ вершины двухъ такихъ равныхъ между собой угловъ, то многогранные углы эти суть углы нѣкотораго правильнаго многогранника перваго или высшаго порядка.

Разсмотримъ послѣдовательно всѣ многогранники перваго порядка, при чемъ и найдемъ четыре новыхъ многогранника порядка выше перваго.

1. Проведемъ изъ вершины правильнаго четырехгранника (тетраедра) прямыя къ остальнымъ тремъ его вершинамъ и черезъ любыя двѣ изъ нихъ плоскости. Мы получимъ грани того-же тетраедра. Новаго многогранника мы не получимъ.

2. Разсмотримъ правильный шестигранникъ или кубъ.

а) Прямыя проведенныя изъ одной вершины къ ближайшимъ тремъ опредѣляютъ тотъ же кубъ;

в) прямыя же, проведенныя къ болѣе удаленнымъ тремъ вершинамъ опредѣляютъ тетраедръ; наконецъ,

с) данная вершина съ вершиною ей противуположной даетъ лишь одну прямую.

1. Возьмемъ прямыя пересѣченія плоскости одной грани правильнаго четырехвершинника (тетраедра) съ остальными тремя гранями. Точка пересѣченія любыхъ двухъ прямыхъ дастъ намъ вершину той же пирамиды. Новаго многогранника мы не получимъ.

2. Разсмотримъ правильный шестивершинникъ (восьмигранникъ).

а) Прямыя пересѣченія плоскости одной его грани съ плоскостями граней, пересѣкающими ее подъ однимъ и тѣмъ же наибольшимъ угломъ, суть ребра того же шестивершинника;

в) прямыя же пересѣченія плоскости граней съ плоскостями другихъ трехъ граней, пересѣкающими ее подъ меньшими равными углами, опредѣляютъ тетраедръ; наконецъ, с) плоскость данной грани съ плоскостью грани ей противуположной даетъ лишь одну прямую.

Такимъ образомъ новаго многогранника мы не получимъ.

3. Точно такъже не трудно видѣть, что правильный восьмигранникъ не дастъ намъ новаго многогранника.

4. а) Проводя изъ нѣкоторой вершины правильнаго двѣнадцатигранника прямыя къ ближайшимъ тремъ вершинамъ, мы, проводя затѣмъ опредѣляемыя

3. Точно такъ же не трудно видѣть, что правильный восьмивершинникъ (кубъ) не дастъ намъ новаго многогранника.

4. а) Разсмотримъ прямыя пересѣченія плоскости одной грани двѣнадцативершинника съ плоскостями трехъ граней, образующихъ съ нею наибольшіе

ими плоскости, получимъ грани того же двѣнадцатигранника.

в) Проведемъ прямыя къ слѣдующимъ шести вершинамъ. На плоскости, проходящей черезъ двѣ смежныя, лежащія въ плоскости одной и той же грани прямыя, мы имѣемъ правильный пятиугольникъ второго порядка; но двѣ смежныя прямыя, не лежащія въ плоскости одной и той же грани такого многоугольника не даютъ, и потому правильнаго многогранника мы не получимъ. Проводя плоскости общія двумъ прямымъ, взятытъ черезъ одну, мы найдемъ грани куба. Въ каждой вершинѣ двѣнадцатигранника лежатъ вершины двухъ такихъ кубовъ; ихъ всѣхъ слѣдовательно

Плоскость общая двумъ прямымъ, взятымъ такъ, что между ними лежатъ еще по двѣ, дастъ намъ правильный пятиугольникъ, но черезъ каждую прямую проходитъ плоскость лишь одного такого пятиугольника.

с) Проведемъ прямыя къ шести слѣдующимъ вершинамъ. Двѣ смежныя прямыя не даютъ правильнаго многоугольника. Двѣ прямыя, лежащія черезъ одну, даютъ тетраедръ. Двѣнадцатигранникъ опредѣляетъ десять подобныхъ пирамидъ. Двѣ

другранные углы. Онѣ суть ребра многограннаго угла того же двѣнадцативершинника.

в) Разсмотримъ прямыя, которыя даютъ намъ плоскости слѣдующихъ шести граней. Двѣ прямыя, проходящія черезъ одну и ту же вершину многогранника, суть ребра правильнаго пятиграннаго угла второго порядка; двѣ же смежныя прямыя (т. е. прямыя, лежащія въ плокостяхъ двухъ смежныхъ граней), не проходящія черезъ одну и ту же вершину, суть ребра трехграннаго угла, и потому правильнаго многогранника мы не получимъ. Точки пересѣченія двухъ прямыхъ, взятыхъ черезъ одну, даютъ вершины правильнаго шестивершинника. Съ плоскостью каждой грани двѣнадцативершинника сливаются плоскости граней двухъ такихъ шестивершинниковъ; ихъ всѣхъ слѣдовательно Точки пересѣченія двухъ прямыхъ, взятыхъ такъ, что между ними лежатъ еще по двѣ прямыя, даютъ вершины правильнаго пятиграннаго угла, но на каждой изъ прямыхъ лежитъ вершина лишь одного такого угла.

с) Возьмемъ прямыя пересѣченія плоскости грани со слѣдующими шестью. Двѣ смежныя прямыя не даютъ правильнаго многограннаго угла. Двѣ прямыя лежащія черезъ одну, даютъ тетраедръ. Двѣнадцативершинникъ опредѣляетъ десять подоб-

прямыя, взятыя черезъ двѣ, не даютъ правильнаго многоугольника.

а) Проведемъ прямыя къ слѣдующимъ тремъ вершинамъ. На плоскости, проходящей черезъ двѣ изъ нихъ, мы имѣемъ правильный пятиугольникъ второго порядка, и черезъ каждую прямую проходятъ двѣ плоскости съ такими же многоугольниками. Правильный многогранникъ, образованный указанными пятиугольниками не есть многогранникъ перваго порядка, это есть одинъ изъ звѣздчатыхъ многранниковъ Пуансо. Онъ изображенъ на черт. 2. Онъ имѣетъ 20 трехгранныхъ угловъ и —-— = 12 граней, которыя суть пятиугольники второго порядка. Найденный многранникъ мы для краткости будемъ обозначать символомъ ЛГ7, въ которомъ цифра, стоящая наверху справа, указываетъ порядокъ многогранника,

ныхъ пирамидъ. Двѣ прямыя, взятыя черезъ двѣ, не даютъ правильнаго многограннаго угла.

d) Возьмемъ прямыя пересѣченія плоскости взятой грани со слѣдующими тремя. Точка пересѣченія любыхъ двухъ изъ нихъ есть вершина правильнаго пятиграннаго угла второго порядка, и на каждой прямой лежатъ по двѣ вершины такихъ угловъ. Правильный многогранникъ, образуемый этими углами, не есть многогранникъ перваго порядка, это есть одинъ изъ звѣздчатыхъ многогранниковъ Пуансо. Онъ изображенъ на черт. 3. Онъ имѣетъ 20 треугольныхъ граней и-----= 12 пятигранныхъ угловъ второго порядка. Найденный многогранникъ мы для краткости будемъ обозначать символомъ -М7, въ которомъ цифра, стоящая наверху справа, указываетъ порядокъ многогранника, цифра 52, стоящая внизу послѣ буквы М, показываетъ,

Черт. 2.

Черт. 3.

цифра 52, стоящая внизу передъ буквой М, указываетъ, что грани даннаго многогранника суть пятиугольники второго порядка, а цифра 3—что его многранные углы суть трехгранные углы.

5. Разсмотримъ правильный двадцатигранникъ.

а) Проведемъ прямыя изъ одной его вершины къ пяти ближайшимъ. Плоскости, проходящія черезъ двѣ смежныя прямыя, даютъ грани того же двадцатигранника. На плоскостяхъ же, проходящихъ черезъ двѣ не смежныя прямыя, лежатъ правильные пятиугольники перваго порядка. Совокупность этихъ пятиугольниковъ образуетъ при взятой вершинѣ пятигранный уголъ второго порядка. Опредѣляемый отсюда многогранникъ естъ звѣздчатый многогранникъ Пуансо (черт. 4). Онъ имѣетъ двѣнадцать пятигранныхъ угловъ второго порядка и —^— = 12 пятиугольниковъ пер-

что многогранные углы даннаго многогранника суть пятигранные углы второго порядка, а цифра 3—что его грани суть треугольники.

5. Разсмотримъ правильный двадцативершинникъ.

а) Возьмемъ прямыя пересѣченія плоскости одной его грани съ плоскостями пяти граней, образующими съ данной наибольшіе двугранные углы. Точка пересѣченія двухъ смежныхъ прямыхъ есть вершина многограннаго угла даннаго двадцативершинника. Точки же пересѣченія двухъ несмежныхъ прямыхъ даютъ вершины правильныхъ пятигранныхъ угловъ перваго порядка. Полученныя вершины даютъ на плоскости взятой грани правильный пятиугольникъ второго порядка. Полученный отсюда многогранникъ есть звѣздчатый многогранникъ Пуансо (черт. 5). Онъ имѣетъ двѣнадцать пяти-

Чер. 4.

Черт. 5.

ваго порядка. Аналогично предыдущему мы обозначимъ его символомъ М*.

Ъ) Проведемъ прямыя изъ взятой вершины къ слѣдующимъ пяти вершинамъ двадцатигранника. Плоскости, проходящія черезъ двѣ смежныя прямыя, суть плоскости граней правильнаго звѣздчатаго многограника (черт. 5). Многогранникъ этотъ имѣетъ двѣнадцать пятигранныхъ угловъ перваго порядка, и ——-=12 пятиугольниковъ второго порядка. Найденный многогранникъ обозначимъ символомъ М3.

Проводя же плоскости черезъ двѣ несмежныя прямыя, мы получимъ правильные треугольники. Совокупность ихъ при данной вершинѣ даетъ пятигранный уголъ второго порядка, принадлежащій звѣздчатому многраннику, имѣющему 12 вершинъ и —-— = 20 граней. Это уже полученный нами М1 (черт.3).

угольниковъ второго порядка и —-— = 12 пятигранныхъ угловъ перваго порядка. Аналогично предыдущему мы обозначимъ его символомъ М3.

Ь) Возьмемъ прямыя пересѣченія плоскости взятой грани со слѣдующими пятью. Точки пересѣченія двухъ смежныхъ прямыхъ суть вершины нѣкотораго правильнаго звѣздчатаго многогранника (черт. 4). Многогранникъ этотъ имѣетъ двѣнадцать пятиугольниковъ перваго порядка; углы же его суть пятигранные углы второго порядка.

Число угловъ есть

Найденный многогранникъ мы уже обозначили символомъ М3.

Точки же пересѣченія двухъ несмежныхъ прямыхъ даютъ вершины правильныхъ трехгранныхъ угловъ. Совокупность вершинъ, лежащихъ въ плоскости данной грани, опредѣляютъ правильный пятиугольникъ второго порядка, принадлежащій многограннику, имѣющему 12 граней и —-— = 20 вершинъ. Это уже полученный нами М7 (черт. 2).

Такимъ образомъ мы нашли четыре новыхъ правильныхъ многогранника, изъ которыхъ мы каждый получили двумя путями. Иныхъ правильныхъ многогранниковъ не существуетъ. Путемъ изложеннымъ справа шелъ Коши, изложеннымъ слѣва— Бертранъ.

Обратимъ вниманіе на то, что если многогранникъ Пуансо имѣетъ трехгранные углы, то онъ имѣетъ двадцать вершинъ, если

же пятигранные, то—двѣнадцать. Точно также, если грани его суть треугольники, то ихъ всѣхъ двадцать, если же пятиугольники, то—двѣнадцать. Замѣтивъ это, мы можемъ сразу опредѣлять по символу многогранника его важнѣйшія свойства. Разсмотримъ для примѣра Ж7. Это есть многогранникъ седьмого порядка; грани его суть треугольники, многогранные углы—пятигранные углы второго порядка; онъ имѣетъ двадцать граней, которыя совпадаютъ съ гранями правильнаго двадцатигранника, и двѣнадцать вершинъ, совпадающихъ съ вершинами правильнаго двадцатигранника.

Изъ непосредственнаго разсмотрѣнія многранниковъ М1 и J\P мы легко видимъ, что площади съ двойными точками ихъ граней образуютъ многогранники перваго порядка.

Многогранники, полученные двойственнымъ путемъ, двойственны. М1 двойственъ М7, многогранникъ J\P—многограннику ЪР. Мы видимъ, что символы двухъ двойственныхъ многогранниковъ отличаются между собою лишь мѣстами ихъ нижнихъ указателей. Если одинъ изъ нихъ имѣетъ трехгранные углы, то грани другого суть треугольники, если пятигранные, то—пятиугольники, причемъ порядокъ соотвѣтствующихъ частей двойственныхъ многогранниковъ всегда долженъ быть однимъ и тѣмъ же. Въ послѣднемъ легко убѣдиться слѣдующимъ образомъ. Пусть грани одного многогранника суть пятиугольники второго порядка. Покажемъ, что фигура двойственная пятиугольнику второго порядка есть пятигранный уголъ также порядка второго. Каждая изъ сторонъ пятиугольника второго порядка имѣетъ во внутренней области описанной около него окружности, не считая точекъ лежащихъ на самой окружности, еще по двѣ точки пересѣченія съ его сторонами; слѣдовательно, каждое ребро двойственнаго ему пятиграннаго угла опредѣляетъ съ другими его ребрами, не считая касательныхъ къ вписанному конусу плоскостей*), еще по двѣ плоскости, не заходящія во внутреннюю область послѣдняго; но это, слѣдовательно, есть пятигранный уголъ второго порядка, что и требовалось доказать. Точно также очевидно, что если грани одного суть многоугольники перваго порядка, то углы другого суть многогранные углы также перваго порядка, и обратно.

*) Мы здѣсь подъ касательными плоскостями разумѣемъ плоскости, имѣющія съ конусомъ двѣ общія слившіяся прямыя.

Докажемъ теперь, что, дѣйствительно, двойственные многогранники М1 и Мп суть многогранники седьмого порядка, двойственные же многогранники М3 и М3—третьяго.

1. Разсмотримъ М1. Будемъ проектировать нѣкоторую грань его ах а2 а3 а4 а5 (черт. 6) изъ его центра на двѣнадцатигранникъ, имѣющій съ нимъ общія вершины; площадь грани его Ьх Ь2 63 54 Ь5 мы примемъ за единицу площади. Прямая ах а2 проектируется въ ломанную^ кх аѵ причемъ дѣлитъ пополамъ отрѣзокъ а4 Принимая во вниманіе двойныя точки площади пятиугольника аха2----а», а также и то, что пл. находимъ площадь проекціи пятиугольника въ выбранныхъ единицахъ; она равна 2-f 2 —. 5-|---5=7. Отсюда порядокъ многогранника есть ——= 7.

2. Возьмемъ М7. Спроектируемъ площадь одного изъ его треугольниковъ ах а% а3 изъ его центра на имѣющій съ нимъ общія вершины двадцатигранникъ (чер. 7). Отрѣзокъ ах а2 проектируется въ ломанную ах к, а2, причемъ Ьх кх = = к{Ъ2. Принимая площадь треугольника двадцатигранника за единицу, найдемъ для площади проекціи треугольника ах а2 а3 величину . Отсюда порядокъ многогранника есть = 7.

3. Разсмотримъ Мг. Поступая аналогично предыдущему, имѣемъ для площади проекціи пятиугольника ах а2 а3 ак а5 (черт. 8)

Чер. 6.

Чер. 7.

на описанный двадцатигранникъ величину:

Отсюда порядокъ многогранника есть

4. Точно также получимъ для площади проекціи пятиугольника нѣкоторой грани ЛР на описанный двадцатигранникъ величину 5, и отсюда порядокъ его есть

Чер. 8

Пуансо, опредѣляя порядокъ правильныхъ многогранниковъ, не принималъ во вниманіе двойныхъ точекъ его граней. При такомъ опредѣленіи двойственные многогранники не имѣютъ уже одного и того же порядка. Принимая же во вниманіе двойныя точки, мы получили для двойственныхъ многогранниковъ одинъ и тотъ же порядокъ. Интересно разсмотрѣть, является ли это случайнымъ, или это было бы справедливо и въ томъ случаѣ, если бы звѣздчатыхъ многогранниковъ существовало не четыре, а сколько угодно. Мы докажемъ, что данное свойство вытекаетъ изъ сущности двойственныхъ правильныхъ многогранниковъ и изъ опредѣленія ихъ порядка.

Предварительно выведемъ формулу, связывающую число и порядки элементовъ многогранника.

Будемъ въ многогранникѣ обозначать черезъ:

F—число граней,

Е—число вершинъ, п—число сторонъ отдѣльной грани,

V —число граней каждаго многограннаго угла, а—порядокъ грани, а—порядокъ многограннаго угла А—порядокъ многогранника.

Выведемъ соотношеніе, связывающее числа F, Е, п, ѵ, а, а и А въ правильномъ многогранникѣ. Будемъ проектировать грани послѣдняго изъ его центра на описанную сферу. Мы получимъ на ней правильные сферическіе многоугольники, стороны которыхъ суть большіе круги. Проектируя центръ грани, получимъ центръ сферическаго многоугольника. Разложимъ этотъ многоугольникъ на сферическіе треугольники, проводя изъ его центра къ его вершинамъ дуги большихъ круговъ. Постановимъ измѣрять уголъ

между дугами двухъ большихъ круговъ площадью сферическаго треугольника, ограниченнаго указанными дугами и дугою большого круга, по отношенію къ которому вершина даннаго угла есть полюсъ. Примемъ за единицу прямой уголъ; при этомъ площадь всей сферы равна 8. Опредѣлимъ площадь сферическаго треугольника. Пусть внутренніе углы его суть а, ß и у а внѣшніе—а\ ß' и / (черт. 9). Обозначимъ площадь треугольника черезъ і.

Мы имѣемъ:

Откуда:

гдѣ і0 есть сумма внутреннихъ угловъ сферическаго треугольника. Отсюда площадь I сферическаго многоугольника есть:

1 = — 2 п.

Далѣе имѣемъ

2w = W 4- 4а,

гдѣ W есть сумма угловъ многоугольника. Отсюда:

1= W—2п -|- 4а.

Обозначивъ черезъ t любой уголъ нашего правильнаго сферическаго многоугольника, имѣемъ:

W^=nt,

откуда:

I=nt — 2п-[-4а.

Проекція F граней многогранника покрываетъ описанную сферу А разъ, слѣдовательно:

F(ïit — 2п —J— 4а) = QA-

Далѣе имѣемъ:

Чер. 9.

Откуда получаемъ искомое соотношеніе:

Для многогранниковъ перваго порядка формула принимаетъ видъ:

(2)

Пусть имѣемъ два правильныхъ двойственныхъ многогранника. Пусть, согласно нашему обозначенію, F, Е, п, г, а, а, А суть элементы одного, F\E',n\ ѵ',а',а', А!—соотвѣтствующіе элементы другого. Такъ какъ многогранники двойственны, то

Подставляя эти равенства въ уравненіе (1), имѣемъ:

Но такъ какъ

(3).

Формула (3) есть, написанное для второго многогранника, соотношеніе (1), въ которомъ лишь А' замѣнено черезъ А, слѣдовательно А=А\ т. е. два двойственныхъ многогранника имѣютъ одинъ и тотъ же порядокъ.

Замѣтимъ еще, что, такъ какъ любому правильному многограннику двойственъ многогранникъ также правильный, то и любому свойству, общему всѣмъ правильнымъ многогранникамъ, соотвѣтствуетъ свойство ихъ ему двойственное. Свойству же многогранниковъ высшихъ порядковъ соотвѣтствуетъ свойство ему двойственное многогранниковъ также высшихъ порядковъ. Примѣромъ могутъ служить теорема, доказывающая, что вершины правильнаго многогранника высшаго порядка совпадаютъ съ вершинами правильнаго многогранника перваго порядка, и теорема ей двойственная.

Приведемъ еще два двойственныхъ свойства правильныхъ многогранниковъ.

1. Конечныя точки реберъ, выходящихъ изъ одной вершины правильнаго многогранника, даютъ вершины правильнаго многоугольника.

Дѣйствительно, указанныя точки лежатъ на одной и той же окружности, отрѣзки же прямыхъ ихъ соединяющихъ и лежащихъ на граняхъ взятаго многограннаго угла, равны между собою.

2. Плоскости граней, смежныхъ любой грани правильнаго многогранника, образуютъ правильный многогранный уголъ.

Дѣйствительно, каждая изъ плоскостей указанныхъ граней имѣетъ по двѣ слившихся прямыхъ съ однимъ и тѣмъ же конусомъ, двугранные же углы между ними, ребра которыхъ проходятъ черезъ вершины взятой нами грани, равны между собою.

Такъ, напримѣръ, конечныя точки реберъ, выходящихъ изъ любой вершины многогранника М3 и прямыя, ихъ соединяющія и лежащія на граняхъ взятаго многограннаго угла, даютъ правильный пятиугольникъ перваго порядка; плоскости же граней, прилежащихъ къ любой его грани, вмѣстѣ съ прямыми ихъ пересѣченія, проходящими черезъ вершины указанной грани, даютъ правильный пятигранный уголъ второго порядка. Двойственно этому, разсматривая многогранникъ Л/3, найдемъ съ одной стороны правильный пятиугольникъ второго порядка, съ другой — правильный пятигранный уголъ перваго порядка.

Задачи и игры изъ дѣтскаго міра, развивающія понятія по логикѣ и статистической теоріи взаимоотношеній.

(Новое слово по вопросамъ преподаванія математики въ средней школѣ).

П. А. Некрасовъ. С.-Петербургъ.

„Міръ управляется числомъ“. Пиѳагоръ.

( Окончаніе).

Тутъ строгая дедуктивная логика должна призвать на помощь себѣ законы большихъ чиселъ, какъ въ простѣйшей формѣ теоремы Я. Бернулли, такъ и въ усложненной формѣ теоремы Чебышева*).

Вотъ главные контуры этого критическаго разслѣдованія.

Пусть Рж, Е есть вѣроятность совпаденія данныхъ значеній т и Е при какомъ либо изъ будущихъ опытовъ сдачи; а Ѵт, е пусть представляетъ статистическую частость этого совпаденія при s прошлыхъ подсчитанныхъ опытахъ сдачи. Теоретически можно вообразить число s возрастающимъ до неограниченно большого предѣла со . Тогда по теоремѣ Я. Бернулли и ея слѣдствіямъ, относящимся къ свойствамъ математическихъ ожиданій (см. „Теор. в.“, стр. 282—285), въ предѣлѣ съ достовѣрностью будемъ имѣть:

(12)

(13)

*) Теорема Чебышова легче всего доказывается сначала для одного перемѣннаго X, т. е. въ формѣ слѣдующей леммы Пусть Х0 и G будутъ математическія ожиданія величинъ X и (X—Х0)2. Вѣроятность Р того, что будутъ имѣть силу неравенства:

должна при произвольномъ положительномъ числѣ т удовлетворить неравенствамъ:

Доказательство этой леммы по способу, указанному на стр. 298—299 „Твор. в.“ чрезвычайно элементарно. Если затѣмъ въ леммѣ положимъ Х=-^-(Л,-}-“Ь * * ' + то получимъ теорему Чебышева; при чемъ слагаемыя могутъ быть какъ назависимыми, такъ и зависимыми перемѣнными явленіями. Изъ этой общей теоремы получаются всѣ простые и усложненные типы закона большихъ чиселъ, а также условія, служащія признаками парадоксальныхъ и катастрофальныхъ положеній событія, когда законъ большихъ чиселъ обрывается.

гдѣ w/0, Е0, g/2, с/2 и Д' суть соотвѣтственно математическія ожиданія величинъ:

исчисляемыя исключительно дедукціей, съ помощію вѣроятностей Рт, Е и по условіямъ задачи 2. Напримѣръ,

(14)

гдѣ двойная сумма кЗкЗ распространяется на всѣ возможныя значенія Е при всѣхъ возможныхъ значеніяхъ т.

Соотношеніе (9) въ предѣлѣ получитъ видъ:

(15)

Теперь возможно доказать, что отбрасываніемъ въ соотношеніи (15) величины А будутъ дѣлаться въ приблизительныхъ сужденіяхъ каждаго отдѣльнаго опыта погрѣшности, но что средняя погрѣшность А0 для весьма большого ряда s будущихъ опытовъ сдачи удовлетворитъ вышеуказанному признаку приблизительной закономѣрности. Въ самомъ дѣлѣ, изъ равенства (15) и изъ обозначеній È'0 и т'0 слѣдуетъ, что

мат. оэісид. А = 0 и мат. ож. 2 А = 0.

Потомъ съ помощію равенства (15) и остальныхъ обозначеній возможно установить, что

мат. ож. Д2 —а2'2 (1 --г'2) и мат. ож. 2 А2 = s. а'22 (1 —г'2)

Эти результы и теорема Чебышева покажутъ, что вѣроятность Р, осуществленія неравенствъ (15), удовлетворитъ неравенствамъ:

(16)

Если здѣсь положимъ:

(16')

то при весьма большомъ s вѣроятность Р будетъ почти достовѣрностью, а т будетъ почти нулемъ; т. е. дѣйствительно признакъ приблизительной достовѣрности имѣетъ силу.

Вотъ и еще отсюда получаемый выводъ. Если банкъ берется выкупать каждую положительную погрѣшность А въ ряду s опы-

товъ, положимъ, за А копѣекъ, то для этой „банкирской операціиu съ достовѣрностюю будетъ достаточенъ запасъ кассы въ размѣрѣ s. т копѣекъ, чтобы съ честью покрыть свое обязательство.

Изъ равенства (15) слѣдуетъ:

Ѵ = г'--}т® + 4а. (17)

гдѣ хи у суть перемѣнныя (варьирующіяся въ апріорномъ сужденіи) среднія величины вида:

x=-Z(m- m'0)и у = \ 2 (Е— (17')

Такъ какъ величины г, с\ и о'2 при весьма большомъ s могутъ быть замѣнены приблизительно статистическими моментами г, jj и а2, а средняя погрѣшность Л0, по доказанному, ничтожна и можетъ быть отброшена, то равенство (17) приводитъ къ статистическому закону въ формѣ уравненія:

У(=) ~ X, (18)

гдѣ (=) есть знакъ приблизительнаго уравненія.

Теперь заданная цѣль нашего критическаго изслѣдованія достигнута; дедукція оправдала индукцію.

Замѣтимъ, что многіе законы физики имѣютъ характеръ статистическихъ законовъ типа (18); напримѣръ, законъ Маріотта въ теоріи газовъ. Метеорологія переполнена законами этого типа; напримѣръ, законами осадковъ, выводимыми для каждаго пункта земной поверхности и играющими важную роль въ сельскомъ хозяйствѣ, зависящемъ отъ оборота атмосферныхъ, почвенныхъ и растительныхъ водъ*). Моральная статистика открываетъ въ своей сферѣ законы типа (18),—напримѣръ, связь между цѣною пуда ржи и числомъ кражъ (см. „Теор. в.“ стр. 107).

Величина г' называется коэффиціентомъ связи совмѣстимыхъ явленій X и у. Если эта связь окажется нулемъ, то явленія х и у оказываются независимыми. Если г'>0, то связь оказывается положительною, т.- е. увеличеніе х сопровождается увеличеніемъ у. Если г'<0, то связь между х и у оказывается отрицательною, увеличеніе х вызываетъ уменьшеніе у (см. „Теор. в.“, стр. 433).

Полезно отмѣтить, что при взглядѣ на взаимоотношеніе (18), какъ на логическое сужденіе съ подлежащимъ х, сказуемымъ у и отброшенною погрѣшностью 4(), возможна слѣдующая логическая метаморфоза. Возможно строить обращенное предложеніе, дѣлая у сказуемымъ и х подлежащимъ. Окажется, что при со-

*) См. „Сборникъ трудовъ“, исполненныхъ при Метеорологической Обсерваторіи Имп. Юрьевскаго Университета. Томъ IV*—1911. Стр. 42—43.

храненіи прежняго метода стройки обращенное сужденіе представится приблизительнымъ уравненіемъ:

(18')

Это уравненіе по алгебраическому составу не тождественно съ первымъ; на первый взглядъ это можетъ показаться абсурдомъ, но въ дѣйствительности это зависитъ отъ погрѣшностей того и другого сужденія, при чемъ если сличить „законъ погрѣшности" Д0 для уравненія (18) и аналогическій „законъ погрѣшности для. уравненія (18'), то эти законы будутъ нѣсколько отличными другъ отъ друга, но будутъ съ одинаковою добросовѣстностью подсказывать способъ выкупа соотвѣтствующаго изъяна. Понятіе „закона погрѣшности“ сужденія и понятіе числовой оцѣнки ея стоимости принадлежатъ къ числу весьма цѣнныхъ понятій теоріи и практики взаимоотношеній, раскрывающихся въ самомъ бытѣ людей.

Если г' = О (или близко къ нулю), то вообще говоря, тутъ можно улавливать связи нелинейныя, болѣе точныя, напримѣръ, связи вида:

и проч. (см. „Теор. в.“, стр. 82—83). Но усложненій этого рода не будемъ обсуждать здѣсь.

§ 6. При детальной тарификаціи выкупа погрѣшностей возникаетъ вопросъ о вѣроятности Р,„е каждаго значенія погрѣшности Д, какъ формы опредѣленной въ зависимости отъ Е и по формулѣ (15). Такъ называемый „законъ погрѣщности“ въ полныхъ изслѣдованіяхъ опредѣляютъ таблицей или же діаграммой вѣроятности Рт,£. Если при этомъ число Д есть предвидимый законный барышъ, то стоимость его по теоріи вѣроятностей оцѣнивается нормальной формулой А. Рш,£ (см. „Теор. в.“, стр. 288— 290), представляющей математическое ожиданіе даннаго опредѣленнаго А, соотвѣтствующаго ожиданію совпаденія опредѣленныхъ же значеній т и Е.

Намѣтимъ контуры детальнаго разслѣдованія „закона погрѣшности“ А.

Назовемъ пару чиселъ т и п, могущихъ совмѣстно явиться въ томъ или другомъ опытѣ сдачи колоды, статистической точкой (т, п) плоскости прямоугольныхъ координатъ т и п или, иначе говоря, двухмѣрной таблицы возможныхъ совпаденій чиселъ т и п, представленной ниже. Въ клѣткахъ таблицы I записывается вѣроятность Р(ш. п) выхода точки (иі, п) при будущей сдачѣ колоды. Въ клѣткахъ аналогической таблицы II записывается статистическая частость t?(wf, п) выхода точки (га, п) при состоявшихся s опытахъ сдачи; если выходъ этой точки, положимъ, состоялся s(w, я) разъ, то частость ея выхода будетъ:

При построеніи таблицъ числовыхъ функцій п) и v(Wf п) нужно примѣтить, что скалы перемѣнныхъ чиселъ т и п будутъ имѣть ограниченные размѣры; ибо изъ условій игры видно, что числа т и п могутъ имѣть лишь слѣдующіе ряды значеній:

(20).

Таблица I (вѣроятности).

Таблица II (частости).

Замѣтимъ, что при данныхъ т и п будетъ Е-=К, и въ силу доказаннаго взаимоотношенія (5) будемъ имѣть:

Р*пчЕ ==:Рмчп И ѴтіЕ (21)

гдѣ Е =п-\-13.(т—4),а Рм,е и Ѵм,е суть вѣроятность и частость выхода точки (т, Е) плоскости прямоугольныхъ координатъ т и Е. Равенства (21) даютъ возможность написать двухмѣрныя таблицы величинъ Рт,Е и Ѵт,£у не приведенныя здѣсь въ наличности потому, что онѣ заняли бы, по длинѣ скалы перемѣннаго Е, много мѣста. Скала эта наполняется цѣлыми числами, содержащимися въ предѣлахъ 0 и 108*). Въ этихъ таблицахъ нѣтъ надобности, ибо искомый „законъ погрѣшности“ Д достаточно опредѣленъ таблицами I и II и равенствами (21).

При весьма большомъ s имѣетъ силу система приблизительныхъ индуктивныхъ уравненій:

■Р(ж)я) == ѴтіпУ (22)

т = 4, 5, . . . , 12 и п = 0, 1, ... , 12.

Поэтому таблица II при большомъ s почти также хорошо выражаетъ „законъ погрѣшности“, какъ и таблица I. Въ усложненныхъ задачахъ (напримѣръ, въ игрѣ съ большою колодою или съ усложненными правилами счета очковъ) лѣвую часть уравненія (22) бываетъ дедуктивно трудно учесть, но правую часть учесть можно чисто эмпирически при трудолюбіи въ дѣлѣ наблюденія. Въ примѣненіи къ явленіямъ природы и народнаго хозяйства такое трудолюбіе цѣнно, какъ выводящее изъ темнаго хаоса незнанія къ свѣту достовѣрности и къ исправленію валовыхъ погрѣшностей. Вѣковыми наблюденіями выясняются многіе „законы погрѣшности“ и фиксируются запасы противъ бѣдствій, зависящихъ какъ отъ стихійной игры природы, такъ и отъ накопленія погрѣшностей.

§ 7. Перейдемъ теперь къ задачѣ 3 и взаимоотношенію (3) между тремя варьирующимися явленіями: ш, п и L.

Связь (3) отличается отъ связи (1), или (5), своею неопредѣленностію (ибо Д" вообще не нуль), а отъ связи (2), или (9) своею усложненностію, ибо взаимоотношеніе (3) связываетъ не два, а три явленія.

Но по методу опытное изслѣдованіе взаимоотношеній (2) и (3) сходно. При установленіи взаимоотношенія (3) можно пользоваться тѣми же опытами сдачи колоды s разъ, кои выше обсуждались; придется только каждый разъ регистровать число L

*) Скалы I и II и скала Е уменьшились бы при игрѣ съ уменьшенною колодою картъ; тогда всѣ дедукціи, индукціи и вычисленія упростились бы до уровня пониманія даже малаго ребенка.

задачи 3 или, еще лучше, число I очковъ первой изъ нераспредѣленныхъ п картъ, при чемъ будемъ имѣть:

L = K+l = n + 13.(ш—4) Н- I (23)

Тутъ надо принять за правило считать I нулемъ при п = 0. Скала I обнимаетъ значенія 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Опредѣленіе неизвѣстныхъ коэффиціентовъ е, /*, g уравненія (3) изъ сдѣланныхъ наблюденій подчинимъ тому доброкачественному условію, чтобы сумма сводилась къ нулю, а сумма 2Д"2 обращалась въ минимумъ. Этимъ условіемъ и матеріалами наблюденія названные коэффиціенты опредѣляются вполнѣ; они выразятся такъ:

(24)

(25)

Тутъ индуктивное опредѣленіе коэффиціентовъ е, f и g сведено къ статистическимъ моментамъ, а въ предѣлѣ, когда s безгранично увеличится, коэффиціенты эти выразятся предѣлами статистическихъ моментовъ, т. е. математическими ожиданіями. Взаимоотношеніе (3) теперь представится такъ:

(26)

Дедуктивнымъ же способомъ можно обнаружить, что „законъ погрѣшности“ А", какъ формы, зависящей отъ /, т и п, тутъ складывается благопріятно; теорема Чебышева распространяетъ взаимоотношеніе (26) на будущій рядъ s сдачъ; она удостовѣряетъ, что для этого будущаго ряда средняя погрѣшность

будетъ ничтожная, пренебрегаемая величина. Будемъ достовѣрно имѣть приблизительное соотношеніе:

(27)

гдѣ

При детальномъ обсужденіи „закона погрѣшности“ Л" придется разсматривать трехмѣрныя таблицы III и ІУ вѣроятности Рж, и, /. и частости ѵт, п, / совпаденія каждыхъ трехъ данныхъ, значеній варьирующихся чиселъ т, п и I. Таблицу III можно записать въ пространствѣ трехъ взаимно перпендикулярныхъ скалъ rw, n, принятыхъ за оси. Черезъ точки дѣленія каждой скалы проводятся перпендикулярныя къ ней плоскости; три системы такихъ плоскостей раздѣляютъ пространство на объемныя клѣтки (кубы), въ которыхъ и размѣстятся записи значеній вѣроятности Рт, и) / соотвѣтственно координатамъ точки (w, ю, I). Таблица статистическихъ частостей Л, / будетъ имѣть аналогическое объемное построеніе.

§ 8. Полезно взглянуть на взаимоотношенія (18), (18') и (27), какъ на предложенія или сужденія логики индуктивныхъ и дедуктивныхъ наукъ. Лѣвыя части этихъ взаимоотношеній можно назвать подлежащими (субъектами) логическихъ предложеній, знакъ (=) связкой, а правыя части—сказуемыми (предикатами) (см. „Теор. вѣр.“, стр. 484—436).

Сужденіе (18) будетъ простымъ. Сужденіе же (27) будетъ усложненнымъ по составу сказуемаго; сказуемое тутъ будетъ двучленнымъ, а не одночленнымъ, какъ въ простомъ сужденіи. Понятіе усложненнаго предиката затрогиваетъ основные законы (догмы) логики. Обычныя системы логики исповѣдуютъ догму, что усложненныя (трехчленныя, не считая связки) логическія предложенія (тріады) всегда сводятся къ простымъ (двучленнымъ) предложеніямъ (діадамъ). Но эта догма неправильна для такого міропорядка, въ которомъ существуетъ множественность (болѣе 2) самостоятельныхъ причинныхъ факторовъ.

Въ міропорядкѣ существуетъ очень много неустранимыхъ усложненныхъ взаимоотношеній (см. „Теор. в.“, предисловіе). Достаточно упомянуть множество видовъ неустранимо усложненнаго экономическаго обмѣна благами, что и приводитъ къ деньгамъ, какъ всеобщему техническому, инструментальному мѣрилу экономическихъ благъ въ посредственномъ обмѣнѣ ими, а также къ составнымъ идеальнымъ числамъ („Теор. вѣр.“, стр. 287).

§ 9. Въ исчисленіи вѣроятностей Pw, и и Рж, / играетъ огромную роль комбинаторный анализъ (теорія сочетаній), который нынѣ остается въ курсѣ математики безъ приложеній, несмотря на его огромную важность въ установкѣ основаній логики индуктивныхъ и дедуктивныхъ наукъ и въ изслѣдованіи явленій природы и духовной культуры.

Съ помощью комбинаторнаго анализа, элементарно разработаннаго въ книжкѣ проф. В. П. Ермакова по теоріи вѣроятностей, можно послѣдовательно находить члены Рж,5 таблицы I, начиная съ ея первой строки. Это упражненіе можно предложить ученикамъ. Облегчая ихъ работу, можно для опытовъ и для дедукцій дать имъ неполную колоду картъ или какой либо другой инструментъ метанія жребія, содержащій въ себѣ загадку, нѣчто скрытое, познаваемое лишь посредствомъ „большой индукціи“, большого числа наблюденій.

Но еще лучше, если послѣ нѣсколькихъ пропедевтическихъ къ научной работѣ, искуственныхъ игръ учитель подведетъ ученика къ настоящему, не игрушечному лабораторному опыту, напримѣръ, измѣрительному по физикѣ, по химіи, по метеорологіи своего края, по хозяйственнымъ оборотамъ мѣстныхъ жителей, поставленнымъ въ правильныя культурныя и технологическія условія. Объ этомъ я распространяюсь въ брошюрѣ: „Основы общественныхъ и естественныхъ наукъ въ средней школѣ“ (С.-Петербургъ, 1907).

§ 10. Скажемъ нѣсколько словъ о некритичности популярныхъ формулъ и объ опасностяхъ смѣлаго, но некритическаго эмпиризма.

Выучиться регистраціи явленій въ связи съ ихъ причинами и графической обработкѣ хорошо зарегистрированныхъ явленій можно у англійскихъ эмпиристовъ, умѣющихъ слушать голосъ фактовъ по упрощеннымъ для работы, популярнымъ, но критически иногда не слишкомъ строго обоснованнымъ схемамъ испытанія.

Эмпиризмъ англійскихъ математиковъ имѣетъ цѣлію благонамѣренную популяризацію науки и ея изслѣдованій въ области естествознанія, народной экономіи и государственнаго хозяйства. „Бѣдность индукціи“ можно побѣдить помощію популярныхъ рабочихъ формулъ и вербовки работниковъ науки въ большомъ кругу людей. Выдающійся представитель современнаго математическаго познанія явленій природы и общественности, Карлъ Пирсонъ, говоритъ: „популяризація науки, въ лучшемъ и обширнѣйшемъ значеніи этого слова, есть и вполнѣ достаточное, но вмѣстѣ съ тѣмъ и вполнѣ необходимое оправданіе ея существованія съ точки зрѣнія общественности“.

Пирсоновская школа біологовъ беретъ изъ математической теоріи вѣроятностей главнымъ образомъ основныя части, сближающія умозрительныя понятія вѣроятности и ожиданія съ представленіями (въ цифрахъ и чертежахъ) статистической частости и статистическихъ моментовъ (т. е. статистическихъ среднихъ значеній), полученными изъ добытаго фактическаго матеріала.

Вмѣстѣ съ тѣмъ помянутые англійскіе эмпиристы дѣлаютъ по извѣстнымъ схемамъ небольшой подмѣнъ таблицъ или рядовъ во имя выравниванія (стилизаціи) соотношеній съ помощію математическаго анализа, упрощающаго большія вычисленія; пунктиры и полигоны, точечныя тѣла и многогранники приблизительно под-

мѣниваются сплошными аналитическими конфигураціями, съ помощію интерполяціонныхъ формулъ.

Съ своей стороны я въ „Теоріи вѣроятностей“ (изд. 2) примѣнилъ къ различнымъ рабочимъ популярнымъ формуламъ какъ Пирсоновской школы, такъ и школъ болѣе раннихъ (Лапласа, Кетле, Пуассона, Лексиса, Ад. Вагнера и пр.) строгій критическій методъ; я обнаружилъ въ этихъ рабочихъ формулахъ тѣневыя стороны (и даже черноту опасныхъ парадоксовъ) рядомъ съ свѣтлыми сторонами. Эту черезполосицу свѣта и тѣней можетъ обсуждать строгая научная критика, на необходимость которой всегда обращала вниманіе Давидовская и Бугаевская школа математиковъ.

Однѣ интерполяціонныя формулы Пирсоновскихъ „кривыхъ вѣроятности“ теперь можно считать теоретически обоснованными съ помощію нашей критики; другія же формулы оказываются сомнительными, парадоксальными, наводящими на подводные камни. Критика помогаетъ застраховаться отъ накопленія лжи въ работахъ смѣлаго некритическаго эмпиризма, необходимаго въ предпріятіяхъ. Критицизмъ не долженъ удерживать смѣлыхъ своею скептическою рефлексіей, но долженъ быть достаточенъ для прикрытія смѣлыхъ ревнителей и старателей.

П. Ф. Флоровъ, авторъ многихъ статей, напечатанныхъ въ журналѣ: „Вѣстникъ Опытной Физики и Элементарной Математики“, недавно сообщилъ мнѣ, что для выставки, устраиваемой Харьковскимъ Учебнымъ Округомъ, онъ готовитъ докладъ подъ названіемъ: „Теорія вѣроятностей, какъ учебный предметъ средней школы“. Планъ этого преподаванія былъ намѣченъ П. Ф. Флоровымъ еще въ 1901 году и конспективно изложенъ на страницѣ 394 Дневника XI Съѣзда русскихъ естествоиспытателей и врачей въ С. Петербургѣ. Моя настоящая статья расширяетъ этотъ планъ. Возможно популяризовать не только краеугольную теорему Я. Бернулли, но и общую краеугольную теорему Чебышева о среднихъ величинахъ, а вмѣстѣ съ нею и статистическую теорію взаимоотношеній, основную въ вопросахъ антропологіи, біологіи, соціологіи и экономіи.

Популяризація методовъ теоріи вѣроятностей и математической статистики представляетъ важную задачу образованія, надъ которою трудились успѣшно какъ русскіе математики (академики П. Л. Чебышевъ, В. Я. Буняковскій, А. Ю. Давидовъ, Н. Б. Бугаевъ, В. П. Ермаковъ и другіе), такъ и англійскіе (К. Пирсонъ) и нѣмецкіе (А. Ранке) математики.

Чтобы уяснить крупное гносеологическое значеніе статистической теоріи взаимноотношеній, достаточно, напримѣръ сказать, что она изъ наблюденія торговыхъ циркуляцій вскрываетъ среднія отношенія цѣнностей единицъ различныхъ экономическихъ благъ и устанавливаетъ формулу бинарной (въ частности биметаллической) финансовой системы; она, слѣдовательно, занимаетъ центральное положеніе въ историческихъ задачахъ финансоваго правомѣрія и экономической политики. Для поясненія роли тео-

ріи взаимоотношеній въ установкѣ бинарной (хлѣбной и золотой) финансовой системы отсылаемъ читателей къ нашей статьѣ: „Упорядоченіе вывозной хлѣбной торговли и бумажныя деньги“ (см.

149, 158, и 186 „С.-Петербургскихъ Вѣдомостей“. (Эта статья трактуетъ извѣстный внесенный въ Госуд. Думу хлѣбный закопроектъ).

Михаилъ Евсевіевичъ Головинъ.

В. Бобынинъ. Москва.

(Продолженіе).

Нужда и даже настоятельная въ такой книгѣ, какъ составленная Головинымъ, несомнѣнно живо чувствовалась въ практикѣ преподаванія тригонометріи въ Россіи. До Головина на ея удовлетвореніе обратилъ дѣятельное вниманіе „Публичный ординарный профессоръ Логики, Метафизики и чистой Математики“ въ Московскомъ Университетѣ Дмитрій Сергѣевичъ Аничковъ. Въ 1765 году имъ была издана въ собственномъ переводѣ съ латинскаго языка Дог. Фридерика Вейдлера плоская Тригонометрія“*). Позднѣе онъ же приступилъ почти одновременно съ Головинымъ къ составленію собственнаго и притомъ болѣе обширнаго, чѣмъ книга Вейдлера, сочиненія, вышедшаго въ свѣтъ въ 1780 году подъ заглавіемъ „Теоретическая и практическая Тригонометрія, въ пользу и употребленіе не токмо юношества, но и тѣхъ, Кои упражняются въ Землемѣріи, Фортификаціи и Артиллеріи, изъ разныхъ авторовъ собранная. Съ пріобщеніемъ гравированныхъ таблицъ на двенатцати таблицахъ, Императорскаго Московскаго Университета Публичнымъ Ординарнымъ Профессоромъ и Московскаго Россійскаго Собранія при томъ же Университетѣ Членомъ Дмитріемъ Аничковымъ“**). Сочиненіе Аничкова вышло такимъ образомъ въ свѣтъ, когда книга Головина была еще въ рукописи. Но это нѳ исключало необходимости немедленнаго печатанія послѣдней уже по одному отсутствію въ первомъ сферической тригонометріи. Не прошло, дѣйствительно, и семи лѣтъ, какъ уже почти одновременно вышли въ свѣтъ два новыя сочиненія по тригонометріи: 1) магистровъ Эдинбургскаго Университета В. П. Никитина и П. И. Суворова „Тригонометрій двѣ книги, содержащія плоскую и сферическую тригонометрію“***) и 2) „Теоретическаго и практическаго курса Чистой Математики часть третія Содержащая въ себѣ Полную и Сокращенную Тригонометрію съ практикою, и описаніемъ составленія и употребленія пропорціональнаго Циркула или Сектора, въ пользу и употребленіе юношества и упражняющихся въ математикѣ. Сочиненная Артиллеріи Штыкъ-юнкеромъ и партикулярнымъ въ Москвѣ благороднаго юношества

*) Печатана при Императорскомъ Московскомъ Университетѣ. 8°; 51стр. съ гравированною таблицею.

**) Печатана въ Университетской Типографіи у Н. Новикова 1780 года. 8°; 123 стр. и 12 таблицъ чертежей.

***) Въ Санктпетербургѣ. При Морскомъ Шляхетномъ Кадетскомъ Корпусѣ, 1787 года. 8°; 149 стр. и 2 таблицы чертежей.

Учителемъ математики Ефимомъ Войтяховскимъ“*). Оба полновластные командира Академіи Наукъ, т.-е. два слѣдовавшіе одинъ за другимъ ея директора Сергѣй Домашневъ и княгиня Дашкова, какъ допустившіе при указанныхъ обстоятельствахъ, не смотря на постановленіе Академіи, единственно по своей небрежности, а можетъ быть и по личной непріязни къ автору, 9-лѣтнюю отсрочку окончанія печатанія его „Тригонометріи“, должны быть считаемы въ данномъ случаѣ по меньшей мѣрѣ не стоящими на высотѣ своего положенія, которое обязывало ихъ всѣми зависящими отъ нихъ мѣрами содѣйствовать развитію наукъ въ Россіи.

Слѣдующими за „Тригонометріею“ самостоятельными и притомъ уже чисто учеными произведеніями Головина были два мемуара, изъ которыхъ одинъ относился къ оптикѣ, а другой— къ математической физикѣ и именно къ части ея, посвященной акустикѣ. Первый, имѣвшій заглавіемъ „Примѣчанія надъ плоскими зеркалами“ и представленный Академіи въ засѣданіи 1-го февраля 1781 года, былъ прочтенъ въ слѣдующемъ же засѣданіи 5-го февраля по болѣзни автора профессоромъ Иноходцовымъ. Такъ какъ онъ не былъ напечатанъ въ академическихъ изданіяхъ, то изъ самаго этого факта слѣдуетъ, что Академія не признала его вносящимъ что нибудь новое въ науку.

Второй мемуаръ Головина былъ представленъ Академіи подъ заглавіемъ Applicatio tentaminis de sono campanarum. Auct. L. Eulero. Nov. Comment. Tom. X inserti ad sonos scypliorum vitreorum, qui sub nomine Instrumenti harmonici sunt cogniti. Auct. M. Golovin. По отсутствію автора, приславшаго вмѣстѣ съ мемуаромъ письменное извиненіе въ невозможности прочесть его самому, онъ былъ прочтенъ въ засѣданіи 22-го декабря 1783 года профессоромъ Крафтомъ. Затѣмъ почти черезъ годъ, именно въ протоколѣ засѣданія 13-го декабря 1784 года, въ числѣ мемуаровъ, назначенныхъ для помѣщенія во второй части X тома изданія „Acta Academiae Scientiarum Imperialis Fetropolitanae pro Anno 1781“, былъ названъ также и мемуаръ Головина. Здѣсь, дѣйствительно, въ слѣдующемъ 1785 г. онъ и появился на стр. 176—184 подъ прежнимъ своимъ заглавіемъ.

Въ своемъ качествѣ занимающагося приложеніемъ изслѣдованія Эйлера о колокольномъ звонѣ къ звукамъ, издаваемымъ стеклянными стаканами, составляющими инструментъ, извѣстный у современниковъ подъ именемъ гармоническаго, трудъ Головина представляетъ не болѣе какъ продолженіе работы учителя въ случаѣ, имъ самимъ не разсмотрѣнномъ. Какъ не обнаруживающій притомъ никакихъ проблесковъ оригинальной мысли и способности не только къ проложенію въ наукѣ новыхъ путей, но даже къ самостоятельному не пользующемуся указаніями мастеровъ науки выбору предметовъ изслѣдованій, этотъ трудъ является въ полномъ смыслѣ трудомъ зауряднаго ученаго, не способнаго оставить сколько-нибудь замѣтный слѣдъ въ исторіи науки, хотя и обладающаго, какъ показываетъ тотъ же трудъ, вполнѣ удовле-

*) Въ Москвѣ 1787 года. 8°; 314 стр. и 12 таблицъ чертежей.

творительною математическою подготовкою. Эта послѣдняя выражается въ немъ главнымъ образомъ въ обнаруживаемомъ авторомъ умѣньѣ пользоваться при изслѣдованіи средствами, доставляемыми анализомъ безконечно-малыхъ и въ частности дифференціальнымъ исчисленіемъ. Въ заключеніе можно сказать, что положеніе, занятое Головинымъ въ наукѣ при вступленіи въ адъюнкты, не измѣнилось затѣмъ и во все послѣдующее время. Способнымъ работать въ наукѣ только по указаніямъ ея мастеровъ, содержащимся притомъ въ ихъ работахъ второстепеннаго значенія, явился Головинъ въ своемъ мемуарѣ, представленномъ имъ для полученія званія адъюнкта; такимъ же является онъ и въ разсматриваемомъ теперь главномъ своемъ мемуарѣ.

Указанное положеніе, занимаемое Головинымъ въ наукѣ, уже само по себѣ должно было сдѣлать для него пребываніе въ Академіи очень тягостнымъ. Нахожденіе же во главѣ Академіи такихъ неспособныхъ понять и оцѣнить по существу соотношенія между ея членами, какъ Сергѣй Домашневъ и княгиня Дашкова, еще болѣе увеличивало трудности дѣла. Первый для увеличенія недостаточнаго, по его мнѣнію, числа представляемыхъ академиками и адъюнктами мемуаровъ постановилъ, чтобы съ начала 1780 года по крайней мѣрѣ въ одно изъ двухъ происходящихъ еженедѣльно по понедѣльникамъ и пятницамъ засѣданій читался мемуаръ по установленной заранѣе между академиками и адъюнктами очереди. Постановленіе вошло въ силу съ 20-го января 1780 года, какъ это можно заключить изъ появленія съ этого дня въ началѣ протоколовъ засѣданій по понедѣльникамъ, указанія лица, на которое по упомянутой очереди выпадаетъ обязанность прочесть въ теченіе наступающей недѣли мемуаръ. До выхода Головина изъ числа активныхъ членовъ Академіи очередь читать мемуары выпадала на него 12 разъ. Такъ какъ, по вышеизложенному, были представлены и прочитаны всего только два его мемуара, то въ десяти случаяхъ онъ оказался не исполнившимъ наложенной на него обязанности, что, конечно, не могло не уронить его въ мнѣніи какъ Домашнева, такъ и не отмѣнившей его постановленія, а слѣдовательно и вполнѣ согласной съ нимъ, княгини Дашковой. Чтеніе собственныхъ мемуаровъ Головинъ старался, когда представлялась возможность, замѣнить чтеніемъ мемуаровъ, принадлежащихъ другимъ. Такъ имъ были прочтены: мемуаръ Румовскаго Modus investigandi integrale aequationis dp(l—p) (nn — ss) -f- ds (nn -f- p3 + ps -f- pps)= 0 въ засѣданіи 4-го марта 1784 г. и два мемуара Иноходцова: Summarium observationum astronomicarum pro definiendo situ geographico urbis Kursk, anno 1783 habitarum въ засѣданіи 27-го мая 1784 года и De situ geographico urbis Woronesch deducto ex observationibus astronomicis anno 1783 habitis въ засѣданіи 24-го января 1785 года.

Сергѣй Домашневъ, занятый постоянною борьбою съ оппозиціею Академіи его стремленіямъ къ самовластію, выражающимся иногда въ грубо-начальническихъ выходкахъ, не могъ, конечно, для выраженія своего недовольства заниматься однимъ Головинымъ, отдѣльно отъ другихъ. Ему пришлось, поэтому, ограни-

читься въ отношеніи послѣдняго только тѣмъ, что въ своихъ предположеніяхъ о карахъ противъ непокорныхъ онъ распространялъ ихъ дѣйствіе также и на него. Такъ, задумавъ лишить нѣкоторыхъ особенно неугодныхъ ему членовъ Академіи медалей, которыя они должны были получить вмѣстѣ съ другими петербургскими чиновниками по случаю открытія конной статуи Петра Великаго, онъ присоединилъ къ ихъ числу и Головина. Болѣе энергичныя наступательныя дѣйствія противъ Головина повела, какъ это будетъ скоро показано, княгиня Дашкова, которая, благодаря присущей ей, какъ придворной дамѣ, ловкости, не была связана столкновеніями съ Академіей въ лицѣ ея вліятельныхъ членовъ. Уже черезъ полтора мѣсяца послѣ своего вступленія въ должность директора Академіи она приняла въ отношеніи Головина мѣру, до нѣкоторой степени предопредѣлившую ея дальнѣйшій образъ дѣйствій. На представленное имъ въ засѣданіи 10-го марта 1783 года просительное письмо на имя Конференціи о возведеніи его въ званіе академика княгиня Дашкова послѣ сравнительно благопріятнаго для него голосованія Конференціи отвѣтила обращеннымъ къ нему предложеніемъ или получить награду сейчасъ или сдѣлаться экстраординарнымъ профессоромъ черезъ нѣсколько мѣсяцевъ. Не подозрѣвая скрытаго въ этихъ предложеніяхъ желанія отсрочить рѣшеніе вопроса, Головинъ согласился на второе предложеніе, потерявъ черезъ это непосредственныя выгоды, доставляемыя первымъ, и не достигнувъ обѣщаннаго осуществленія втораго.

Принятіе Головинымъ дѣятельнаго участія въ изданіи Академіею Наукъ календарей было прямымъ послѣдствіемъ предшествовавшихъ привлеченій его къ занятіямъ астрономіею и гидрологіею.

Въ виду необходимости для Академіи имѣть астрономическую обсерваторію лучше расположенную, лучше устроенную и болѣе обширную, чѣмъ существующая, директоръ Домашневъ въ засѣданіи 21-го іюня 1779 года, предложилъ астрономамъ и математикамъ Академіи обсудить между собою вопросъ о болѣе удобномъ, въ городѣ или внѣ города, мѣстѣ для новой обсерваторіи и кромѣ того набросить по общему соглашенію эскизъ ея зданія. При этомъ директоръ выразилъ также желаніе, чтобы при обсерваторіи были построены дома для удобнаго помѣщенія въ нихъ двухъ астрономовъ, двухъ адъюнктовъ и достаточнаго количества учениковъ (elèves) Академіи, т.-е. студентовъ академическаго университета. Для приведенія этихъ предложеній въ исполненіе математики и астрономы Академіи образовали 25-го іюня частное собраніе, въ составъ котораго вошли Котельниковъ, Румовскій, Крафтъ, Лекселль, Иноходцовъ, Фуссъ, Головинъ и Эйлеръ—сынъ, какъ Непремѣнный Секретарь Академіи. Выработанные этимъ собраніемъ проекты остались, однако, по недостатку денегъ безъ практическаго осуществленія.

Въ 1780 году правительство вновь обратило вниманіе на поставленную Академіи Наукъ съ самаго ея основанія задачу опредѣленія географическаго положенія различныхъ мѣстъ Рос-

сійской Имперіи. Императрицѣ былъ представленъ проектъ отправленія съ этою цѣлью трехъ новыхъ экспедицій, который она и подписала, назначивъ для покрытія расходовъ по этому предпріятію значительную денежную сумму. Начальниками экспедицій предполагалось назначить профессора Иноходцова, адъюнкта Головина и геодезиста Чернаго, а избранный Академіею 16-го ноября и 3-го декабря 1780 года для организаціи предпріятія Комитетъ долженъ былъ собраться 19-го марта 1781 года для составленія инструкцій начальникамъ экспедицій и для назначенія какъ лицъ, которыя должны ихъ сопровождать, такъ и инструментовъ и другихъ вещей, въ которыхъ могла для нихъ представиться надобность. Такъ далеко, повидимому, зашедшее дѣло организаціи предположенныхъ экспедицій потерпѣло, однако, значительныя измѣненія подъ вліяніемъ авторитетнаго мнѣнія Эйлера.

(Продолженіе въ слѣд. №).

Задачи.

42. Показать, что при N цѣломъ и большемъ 2

ДГЛ'-м > (ху+ 1 )ЛГ.

П. Козачкинъ.

43. Обозначая діаметръ круга чрезъ D, а стороны правильныхъ вписаннаго въ него и описаннаго около него п — угольниковъ соотвѣтственно чрезъ а« и Ън, доказать соотношенія:

44. Въ вершинахъ четыреугольника ABCD приложены силы равныя, параллельныя и дѣйствующія въ одну сторону, а въ точкѣ пересѣченія О его діагоналей приложена пятая сила, равная и параллельная предыдущимъ, но дѣйствующая въ противоположную сторону. Показать, что равнодѣйствующая этихъ силъ проходитъ чрезъ центръ тяжести площади четыреугольника.

П. Мейеръ.

45. Найти числа, оканчивающіяся на цифру а (а = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) — и обладающія такимъ свойствомъ, что если послѣднюю цифру переставить въ начало числа, то оно увеличится во столько разъ, сколько единицъ въ переставляемой цифрѣ.

Р. Невядомскій.

46. Основаніемъ пирамиды SABCD служитъ прямоугольникъ AB CD, а длины реберъ SA, SB, SC и SD измѣряются цѣлыми числами. Найти общія выраженія для этихъ чиселъ.

В. Шлыгинъ.

47. Въ данный кругъ вписать треугольникъ такъ, чтобы двѣ его стороны проходили чрезъ двѣ данныя точки (обѣ внутри или

обѣ внѣ круга), изъ которыхъ третья сторона была бы видна подъ одинаковыми углами.

Н. Извольскій.

48. Рѣшить уравненіе

В. Тюникъ.

49. Рѣшить уравненіе

(snx — 5) cslx — 4 (3 snx — 5) cs^x -[-16 (snx — 1) = 0.

Его-же.

50. Опредѣлить всѣ системы дѣйствительныхъ значеній х и у, при которыхъ выраженіе (х-^-уі)* дѣйствительно и болѣе 8, и, проведя прямоугольныя оси координатъ, построить точки, для которыхъ эти значенія служатъ координатами.

51. Въ данный эллипсъ вписанъ прямоугольникъ, вершинами котораго служатъ точки, обладающія тѣмъ свойствомъ, что разстояніе каждой изъ нихъ до центра эллипса есть среднее пропорціональное между разстояніями ея же до фокусовъ. Вычислить площадь этого прямоугольника и сравнить ее съ площадью наибольшаго прямоугольника, который можетъ быть вписанъ въ данный эллипсъ.

Рѣшенія задачъ.

22. Стороны AB л ВС треугольника АВС пересѣчь окружностью, проходящей чрезъ В и пересѣкающей AB и ВС въ X л У такъ, чтобы отношенія АХ.ВУ и ВХ :СУ имѣли данныя значенія.

Пусть АХ : ВУ = т : п и ВХ : СУ=р : q; отложимъ отъ точки А на сторонѣ треугольника AB отрѣзокъ AF и отъ В на сторонѣ ВС отрѣзокъ BE такъ, чтобы AF : BE = т :п, точно также отложимъ отъ точки В на сторонѣ В А отрѣзокъ BD и отъ С на сторонѣ СВ отрѣзокъ CG такъ, чтобы BD : CG =p :q. Принимая А и В, F и Е за соотвѣтственныя точки, строимъ обычнымъ способомъ центръ вращенія О прямыхъ AF и BE при углѣ поворота, равномъ (180°— АВС); затѣмъ находимъ центръ вращенія О, прямыхъ BD и CG при томъ же углѣ поворота, принимая за соотвѣтственныя точки С и В, G и D. Кругъ проходящій чрезъ точки J5, О и Оѵ опредѣлитъ въ пересѣченіи со сторонами В А и ВС искомыя точки X и У Дѣйствительно, А BOxD ьо ЬСО^, отсюда

BD : CG = В0І : OlC = p :q (1); точно также АХОхВ <^> А СОхУ, откуда ВХ : СУ = ВОх : 0ХС (2); изъ (1) и (2)

BD:CG = BX:Cy=p:q;

такъ же можно доказать, что АХ:ВУ =т:п.

В. Кованько (ст. Струнино). Л. Гамперъ (Москва).

23. Въ треугольникѣ АВС провести отрѣзокъ ХУ, параллельный АС, такъ, чтобы ВХ ± СУ была данной длины. Точка X — на AB, рѣшеніе требуется безъ помощи алгебры.

a) Пусть ВХ -f- СУ = ш; легко видѣть, что задача возможна лишь когда Л В < m < ВС или ЛВ > m > ВС. Въ первомъ случаѣ продолжаемъ сторону 2? Л до точки D такъ, чтобы BD = *м; внутри угла DAC проводимъ чрезъ Л прямую, параллельную ВС и откладываемъ на ней АЕ= AD; затѣмъ чрезъ D л Е проводимъ прямую и продолжаемъ ее до пересѣченія съ АС въ точкѣ F. Линія ВХ, параллельная ВО, опредѣлитъ своимъ пересѣченіемъ съ AB точку X искомой прямой ХУ. Дѣйствительно, 3-къ BXF, подобный 3-ку DAE, есть равнобедренный, и DX = XF=Cy, но BX-j-XB = m, слѣдовательно, ВХ-\- СУ =т. Во 2-мъ случаѣ построеніе ведется совершенно такъ же, но точка D упадетъ между В и Л, и точку Е на линіи АЕ, параллельной ВС, прійдется отложить въ направленіи, противоположномъ предыдущему.

b) Пусть ВХ— СУ = d; при этомъ d < ЛВ. Отложивъ ВВ = d, проведемъ чрезъ Л прямую, параллельную 5 С, отложимъ на ней АЕ = AD и проведемъ прямую чрезъ точки D и Е] пусть она пересѣчетъ АО въ точкѣ F. Проведя FX || ВС, найдемъ на ЛВ точку X, а затѣмъ получимъ и прямую ХУ || АС, которая будетъ искомой. Дѣйствительно, вслѣдствіе подобія 3-ковъ EAD и FXD, изъ которыхъ первый равнобедренный, имѣемъ: FX = DX = «КС, но ВХ — ВХ = ВВ = d, слѣдовательно, ВХ — СУ = d.

27 Бернштейнъ, «Z7 Гамперъ, М, Орбекъ (Москва), 7. 77. Каширинъ (Ржевъ), /7. 77 Сергачовъ (Ковровъ), В. Кованько (ст. Струнино).

26. Рѣшить уравненіе:

xk -f- #3 — 4х2 — 4х -[- 1 = 0.

Умноживъ обѣ части уравненія на 4, получимъ:

или

т.-е.

Разлагая лѣвую часть на множителей, получимъ

Отсюда имѣемъ два уравненія:

изъ которыхъ первое дастъ корни

а второе дастъ:

2-й способъ. Положимъ x = z — 1, тогда

или, послѣ упрощеній,

т.-е. получили возвратное ур. 4-й степени. Представляя его въ видѣ:

и дѣлая з----= £, получимъ:

откуда найдемъ

это приведетъ къ двумъ уравненіямъ:

изъ которыхъ найдемъ 4 значенія для я, а затѣмъ и для х.

В. Н. Сѣверный (Тула), I. И. Каширинъ (Ржевъ).

33. Разложить на множителей выраженіе:

аЗ + а*(Ь —Ь*4 2) + аЬ(2 — Ъ — Ь2) + Ь4 — 2Ь\

Данное выраженіе можно представить въ видѣ а3 Д-(2 — Ь2) (а2-\-аЪ — Ъ^-^-а^Ь — ab2 или (2 — Ъ2) (а2-\-аЬ — Ъ2) 4- а(а2 ab — Ь2)

т.-е. оно равно произведенію

(а2-\-аЪ — Ь2) (а-\-2 — Ь2).

В. Г. Фридманъ, М. Орбекъ, М. С. Зильберштейнъ, Архангельскій, М. 3. Тадб (Москва), Б. Мыць (Полтава), А, Ильинъ (Астрахань), Н. Несторовичъ (Влодава), В. Кованько (ст. Струнино^, В. Чистякова (Духовщина^), А. Бутомо (Саратовъ), 7. Захаровичъ (Духовщина^ В. Колосовскій (Москва), 77. Коровицкій (Спб.)

Библіографическій отдѣлъ.

П. А. Долгушинъ. Систематическій курсъ геометріи для среднихъ учебныхъ заведеній. Спб.—Кіевъ. 1812 г. Цѣна 1 р.

Въ послѣднее время наша учебная математическая литература обогатилась цѣлымъ рядомъ новыхъ учебниковъ, въ которыхъ довольно сильно проглядываетъ тенденція дать нѣчто новое, отличающееся отъ установившихся шаблонныхъ курсовъ. Въ этомъ отношеніи геометріи, пожалуй, повезло даже больше, чѣмъ остальнымъ отдѣламъ математики: на протяженіи короткаго времени появились учебники Рашевскаго, Ройтмана, Шохоръ-Троцкаго, Извольскаго, Горста, Гебеля и самымъ послѣднимъ—Кіевскаго педагога II. А. Долгушина. Прежде чѣмъ перейти къ послѣднему учебнику, позволю себѣ сдѣлать одно общее замѣчаніе. Несмотря на то, что геометрія уже слишкомъ двѣ тысячи лѣтъ тому назадъ сложилась въ стройную научную дисциплину, однако врядъ ли какой-нибудь другой предметъ школьнаго преподаванія вызывалъ и вызываетъ у насъ и заграницей столько вопросовъ какъ относительно постановки его, такъ и объема содержанія: чтобы убѣдиться въ этомъ, стоитъ только просмотрѣть программы и объяснительныя записки къ нимъ различныхъ только нашихъ учебныхъ заведеній во второй половинѣ прошлаго и начала этого столѣтія и статьи по этому предмету въ педагогическихъ журналахъ. Въ одномъ, однако, сходились всѣ составители объяснительныхъ записокъ,—это въ признаніи огромнаго значенія геометріи, какъ учебнаго предмета, для умственнаго, въ частности формально-логическаго, развитія учащихся. Но съ другой стороны, если прислушаться къ мнѣнію нашихъ современниковъ, получившихъ общее среднее образованіе, то въ большинствѣ случаевъ придется услышать, что школьная геометрія—наука довольно безцѣльная, представляющая наборъ теоремъ и задачъ, не связанныхъ органически, доказательства и построенія которыхъ приходится заучивать и помнить съ большимъ трудомъ, и врядъ ли все это благотворно подѣйствовало на ихъ развитіе. Не лучшее впечатлѣніе, повидимому, выносятъ и тѣ лица, которымъ на экзаменахъ и практическихъ занятіяхъ въ высшихъ учебныхъ заведеніяхъ приходится имѣть дѣло съ окончившими среднія учебныя заведенія и рѣшившими посвятить себя дальнѣйшимъ занятіямъ математикой: неумѣнье разбираться въ самыхъ простыхъ геометрическихъ вопросахъ, отсутствіе геометрическаго представленія и припоминаніе доказательствъ—

почти обычное явленіе. Какъ далеко все это отъ оптимистическихъ взглядовъ составителей объяснительныхъ записокъ!

А между тѣмъ изъ біографій многихъ выдающихся людей, не только математиковъ, но и философовъ, естествоиспытателей и литератаровъ писателей, извѣстно, что они въ юности съ большою любовью занимались Началами Евклида и видѣли въ этихъ занятіяхъ, помимо непосредственнаго наслажденія, великій источникъ, изъ которыхъ обильно черпали свои умственныя силы. Намъ теперь, говоря искренно, даже мало понятенъ смыслъ надписи Платона, что „не знающій геометріи не долженъ переступать порога“ его академіи, и показалось бы въ высшей степени комичнымъ, если бы какой-нибудь профессоръ-философъ объявилъ, что незнающій гимназическаго курса геометріи пусть не приступаетъ къ занятіямъ его предметомъ.

Въ чемъ же дѣло? Развѣ геометрія, какъ наука, въ наше время понизилась, упала?—Наоборотъ, въ наше время она достигла огромнаго развитія; она еще тѣснѣе стала къ философіи и логикѣ; въ свои изысканія она включила глубочайшіе вопросы теоріи познанія, другими словами, нашего бытія. Основы геометріи теперь одинаково интересуютъ и философа и математика.

Слѣдователно, дѣло, ясно, не въ геометріи самой по ссбѣ, а въ чемъ-то другомъ. Въ чемъ же?—Дѣло—въ постановкѣ преподаванія геометріи, начавшейся съ легкой руки блестящаго однако математика Лежандра, курсъ элементарной геометріи котораго, написанный въ 1794 году, послужилъ образцомъ для учебниковъ геометріи почти во всѣхъ европейскихъ странахъ и въ частности у насъ въ Россіи. Но, конечно, недостатки курса Лежандра въ менѣе талантливыхъ и умѣлыхъ рукахъ составителей учебныхъ книгъ впослѣдствіе еще въ значительной степени усилились, особенно въ послѣднее время. Недостатки въ постановкѣ преподаванія геометріи можно охарактеризовать двумя на первый взглядъ, какъ бы исключающими другъ-друга обстоятельствами: съ одной стороны, переоцѣнка молодыхъ силъ, — навязываніе учащимся неподходящаго матеріала, и, съ другой стороны, на ряду же съ этимъ игнорированіе этихъ силъ, — стремленіе не давать имъ развиваться мало-мальски самостоятельно. Вѣдь геометрія, какъ наука,—наука чисто формальная: исходя изъ основныхъ положеній (аксіомъ) и опредѣленій (дающихъ объекты изслѣдованія), она чисто логическимъ путемъ конструируетъ свои положенія и выводы. Въ послѣдніе сто лѣтъ, когда возникъ вопросъ еще о тѣхъ основныхъ истинахъ, изъ которыхъ исходитъ геометрія, и господствующая система оказалась не единственной, логически возможной, геометрія, какъ наука, сдѣлалась болѣе строгой и, прибавимъ, болѣе деликатной. Но съ другой стороны, на ряду съ научной геометріей, существуетъ геометрія, которую назовемъ интуитивной; въ ней тоже изучаются свойства пространственныхъ образовъ, простѣйшихъ и конструктивныхъ, но широко пользуются особой созерцательностью способностью ума — интуиціей, вовсе не задаваясь вопросомъ о количествѣ, достаточности и взаимоотношеніи основныхъ положеній, принимаемыхъ нами или явно или безсознательно-интуитивно; само собой разумѣется, такая геометрія не можетъ претендовать на названіе формальной, строгой въ смыслѣ логической системы, но вмѣстѣ съ тѣмъ она и не ненаучная, такъ какъ покоится тоже на началахъ, освященныхъ вѣками вѣковъ человѣчества. Наконецъ возможна и третья геометрія— чисто наглядная, покоющаяся на непосредственномъ наблюденіи геометрическихъ формъ—посредствомъ моделей и окружающихъ предметовъ.

Такимъ образомъ, по существу, имѣются какъ бы три геометріи—собственно говоря, три способа изученія пространственныхъ формъ: наглядная геометрія—доступная для дѣтей (учениковъ младшихъ классовъ), интуитивная — для юношескаго возраста (учениковъ среднихъ и отчасти старшихъ классовъ) и научная — доступная во всемъ своемъ объемѣ только тѣмъ, умъ которыхъ способенъ къ строгому формальному мышленію, а способносгь эта проявляется вообще не рано,—во всякомъ случаѣ не раньше 17 — 18 лѣтъ. Заставлять подростка изучать научную геометрію или ребенка интуитивную— значитъ насиловать природу и въ лучшемъ случаѣ пріучать повторять слова и фразы, ничего молодому уму не говорящія.

Отсюда, между прочимъ, слѣдуетъ, что нельзя создать по одному плану учебника геометріи, одинаково пригоднаго какъ для учениковъ III или IY классовъ, такъ и для почти взрослыхъ учениковъ VII или VIII классовъ. Такой учебникъ всегда будетъ грѣшить или противъ науки, или противъ

понятности и не удовлетворитъ ни тѣхъ, ни другихъ. Несомнѣнно, напр., что аксіоматика и вся теорія предѣловъ и связанные съ ней вопросы объ измѣреніи, должны быть исключительно отнесены къ старшимъ классамъ. Хуже еще то, что учебный матеріалъ обыкновенно располагается не по степени трудности для усвоенія, а въ традиціонномъ порядкѣ, создавшемся еще тогда, когда обученіе было такъ сказать личное, а не организованное по классамъ годъ за годомъ, какъ теперь. Сначала въ извѣстномъ порядкѣ и исчерпывающимъ образомъ проходится планиметрія, потомъ стереометрія, хотя въ послѣдней есть много отдѣловъ болѣе легкихъ, и доступныхъ, чѣмъ въ первой.

Второй недостатокъ нашихъ учебниковъ—это стремленіе все дать въ готовомъ видѣ. Въ геометріи, какъ и во всякой наукѣ, имѣются болѣе существенныя положенія, дающія или что нибудь новое или представляющія важный моментъ въ развитіи какой-нибудь идеи, и менѣе существенныя, могущія разсматриваться какъ слѣдствія или сопровождающія обстоятельства. Несомнѣнно, первыя положенія должны даваться и исчерпывающимъ образомъ доказываться; что же касается вторыхъ, то на нихъ вполнѣ достаточно только указать, обратить вниманіе и въ крайнихъ случаяхъ намекнуть, на какой теоремѣ или теоремахъ выводъ ихъ основывается. Пусть ученикъ самъ думаетъ надъ ними; это заставитъ его получше вникнуть и въ тѣ главныя теоремы, какія онъ прошелъ. Онъ самъ будетъ тогда вычерчивать, вырѣзывать изъ бумаги, складывать изъ спичекъ тѣ образы, которые ему нужны. Такимъ образомъ онъ постепенно привыкнетъ самъ разбираться, а не заучивать наизусть готоваго текста съ готовыми чертежами, да и не будетъ теряться въ массѣ теоремъ и слѣдствій. Можно запутаться и въ небольшомъ лѣсу, густо поросшемъ кустарникомъ. Въ этомъ отношеніи грѣшатъ всѣ учебники наши—и старые, и новые одинаково; послѣдніе даже въ большей степени

Обратимся теперь къ учебнику П. А. Долгушина.

Кромѣ двухъ общихъ недостатковъ нашихъ учебниковъ вообще, о которыхъ говорилось выше, отмѣтимъ въ немъ еще слѣдующіе.

Авторъ вполнѣ правильно не соглашается съ тѣми, которые начинаютъ систематическій курсъ геометріи разсужденіями объ аксіомахъ, опредѣленіяхъ, теоремахъ, и самъ начинаетъ его такъ: „Чертежи и модели служатъ только для выраженія нашей мысли и для уясненія понятія о пространствѣ, которое постепенно развивается въ насъ, начиная съ ранняго дѣтства“. Какой же мысли и какого понятія о пространствѣ?

На той же страницѣ послѣ опредѣленія словъ: фигура и геометрія (разсматриваетъ свойства фигуръ) жирнымъ шрифтомъ безъ всякаго поясненія напечатана фраза: „Существуютъ движенія, при которыхъ фигура не измѣняется“. Что говоритъ эта фраза ученику 13—14 лѣтъ? Какая фигура? Въ какомъ смыслѣ не измѣняется? Если начинающему нужна аксіома пространства, то почему ее надо было выразить въ такой таинственной для него формѣ?

Сомнѣваюсь, чтобы хорошо было для начинающаго: „всякая точка прямой дѣлитъ ее на двѣ равныхъ полупрямыхъ“; „всякая прямая плоскости дѣлитъ ее на двѣ равныхъ полуплоскости“; „плоскость дѣлитъ пространство на два (равныхъ—не прибавлено) полупространства“.

Уголъ (§ 16) опредѣляется такъ: „плоскимъ угломъ называется плоская фигура, образованная двумя полупрямыми“, и сейчасъ же прибавлено, что уголъ съ вершиной А нельзя считать по произволу ВАС или САВ, а нужно прежде читать ту сторону, которую раньше встрѣтитъ прямая ХА, вращаясь около А противъ стрѣлки часовъ. Выходитъ, для чтенія угла нужна совсѣмъ другая точка зрѣнія на него, чѣмъ для его опредѣленія? И почему „противъ“ стрѣлки часовъ? ученикъ несомнѣнно будетъ недоумѣвать. Впрочемъ, въ слѣд. § разрѣшается читать и наоборотъ, „такъ какъ со входящими углами въ элементарной геометріи встрѣчаемся чрезвычайно рѣдко“.

Далѣе авторъ широко пользуется выпрямленнымъ угломъ, т.-е. предѣльной формой,, которая, собственно говоря и не есть уголъ, что, впрочемъ, и самъ признаетъ, исключивъ его изъ „всякихъ угловъ“ въ § 26.

Отмѣчу одну маленькую деталь, довольно характерную однако для разбираемаго учебника. Въ геометріи, какъ извѣстно, уцѣлѣли нѣкоторыя устарѣвшія выраженія; къ нимъ принадлежатъ, между прочимъ,—возставить перпендикуляръ и опустить перпендикуляръ. Но оказывается, что „опустить изъ точки внѣ прямой на прямую перпендикуляръ—значитъ взять на полу-

прямой, проведенной изъ данной точки А перпендикулярно къ данной прямой, отрѣзокъ АО (отъ данной точки до основанія перпендикуляра)“.

Въ главѣ III формулировка почти всѣхъ теоремъ не точная: „равнымъ проекціямъ соотвѣтствуютъ равныя наклонныя“, „большей проекціи соотвѣтствуетъ большая наклонная“ и т. д.

Въ IY гл., посвященной „теоретическимъ выводамъ“, про опредѣленія сказано, что это „толкованіе отдѣльныхъ словъ и выраженій“.

Въ главѣ Y дано слѣдующее опредѣленіе треугольника: это „фигура, ограниченная тремя отрѣзками прямыхъ, соединяющими три точки плоскости“. Что же здѣсь ограничено?—Грамматически—„фигура“. Что же такое фигура?— Это „совокупность точекъ, линій, поверхностей и тѣлъ“ (§ 8). Очевидно, слово „ограниченная“ авторъ употребилъ ошибочно или просто сбился на привычное Давидовское опредѣленіе: часть плоскости, ограниченная и т. д. Подобныя же неправильныя опредѣленія даются еще много разъ: §§ 244, 263, 268,... Далѣе, точки соединяются прямыми, а не отрѣзками прямыхъ. Тремъ отрѣзкамъ не всегда соотвѣтствуютъ три точки плоскости.

Въ тр—кѣ АВС сторона ВС лежитъ „противъ вершины A“, а не противъ угла А, какъ принято всѣми говорить; впрочемъ 6-ью строками дальше уже встрѣчается, по старому, „противолежащій,ѵ уголъ, а еще дальше (49)— „противъ большаго угла лежитъ большая сторона“.

Значеніе и необходимость аксіомы Евклида (гл. IX) совсѣмъ невыяснены. Не ясно также, почему, какъ это сказано въ предисловіи, „совершенно искажается понятіе о значеніе XI аксіомы и становится невозможнымъ сравненіе Евклидовой геометріи съ геометріей (ями) Лобачевскаго и Римана“, если статья о параллельныхъ линіяхъ будетъ предшествовать статьѣ о свойствахъ треугольниковъ. Развѣ приложеніе 2, гдѣ говорится о геометріяхъ Лобачевскаго и Римана предназначаются для учениковъ IY класса?

Не оговаривается, что изложенныя свойства многоугольниковъ (гл. X) относятся лишь къ многоугольникамъ перваго порядка, простѣйшимъ, между тѣмъ какъ намеки на многоугольники высшихъ порядковъ имѣются—въ §§ 131 и 178. Далѣе, дѣленіе многоугольниковъ на четыреугольники, пятиугольники и т. д. „по числу угловъ", правильное въ грамматическомъ смыслѣ, неправильно по существу, у насъ слово угольникъ, употребляется въ смыслѣ вершинникъ (нѣмецкое—Y iereck, Fünfeck, ...). Двойственный образъ съ п— угольникомъ будетъ п —сторонникъ,-двойственные элементы точка и прямая, а не уголъ и прямая.

Въ § 116, говоря объ отношеніи дугъ, авторъ прямо говоритъ „по принципу Архимеда“; такъ какъ этотъ принципъ встрѣчается здѣсь въ первый разъ, то слѣдовало бы пояснить, въ чемъ онъ заключаетея. Можетъ быть лучше было бы предварительно пояснить его въ примѣненіи къ отрѣзкамъ прямой, а не къ дугамъ круга.

Очень ужъ неуклюжа мнемоническая фраза для числа п „кто и шутя и скоро пожелаетъ пи узнать число, ужъ знаетъ“.

Въ приложеніи заключаются 3 статьи: 1) Основанія теоріи площадей и объемовъ, 2) Объ основаніяхъ геометріи; геометрія Евклида, Лобачевскаго, Римана и 3) Теорія предѣловъ въ связи съ теоріей ирраціональныхъ чиселъ (поср. сѣченія Дедекинда).

Изъ нихъ представляется наименѣе удавшеюся статья вторая, хотя внѣшнимъ образомъ и блестяще написанная. Связки круговъ на плоскости, проходящихъ черезъ одну недоступную точку, ортогональныхъ къ основному кругу и діаметральныхъ къ основному кругу, въ сущности не даютъ системъ геометріи, а служатъ лишь условнымъ графикомъ для изображенія этихъ системъ. Что же могутъ графики, изображающіе итоги, дать учащимся, которые этихъ системъ вовсе не знаютъ? Системы геометріи относятся къ вопросамъ чисто формальнымъ—къ возможности построенія логической системы, исходя изъ тѣхъ или другихъ основныхъ положеній, не находящихся другъ съ другомъ въ противорѣчіи и не заключающихъ другъ-друга въ себѣ. Вопросъ очень сложный и трудный и врядъ ли доступный учащимся. Можетъ быть было бы полезнѣе нѣсколько остановиться на судьбѣ аксіомы параллельности и указать учащимся тотъ пунктъ, на которомъ дороги могутъ разойтись. Безуспѣшность попытокъ лучшихъ умовъ въ теченіе двухъ тысячъ лѣтъ доказать эту аксіому и указаніе на возможность логическаго построенія геометріи безъ этой аксіомы, осуществленнаго Н. А. Лобачевскимъ, произвело бы боль-

шее впечатлѣніе на учащихся, въ смыслѣ интереса, конечно, чѣмъ символическія связки. Что касается указанія на результаты работы геометра Ли, сдѣланнаго въ концѣ этого приложенія, то само по себѣ, оно, очевидно, останется учащимися совершенно непонятнымъ.

До сихъ поръ, хотя и бѣгло, я указывалъ на недостатки книги, но долженъ обратить вниманіе читателя и на то, что въ ней имѣется масса и достоинствъ: самое важное изъ нихъ—это довольно большое количество задачъ на построеніе, рѣшенныхъ въ текстѣ и предлагаемыхъ для самостоятельнаго рѣшенія учащимся, причемъ не мало задачъ стереометрическихъ; вообще рѣшенію задачъ на построеніе отведено въ книгѣ вполнѣ подобающее значенію ихъ мѣсто*). Далѣе, включеніе въ учебникъ такихъ статей, какъ проектированіе плоскихъ фигуръ и сферы съ ея сѣченіями, сѣченія круглаго конуса плоскостью, можно только искренно привѣтствовать. Нельзя, наконецъ, не отмѣтить ясности и простоты, съ которыми изложены большинство доказательствъ.

Ал. Гт.

XIII съѣздъ русскихъ естествоиспытателей и врачей въ гор. Тифлисѣ.

Съ 16 по 24 іюня 1913 года въ гор. Тифлисѣ имѣетъ быть XIII съѣздъ русскихъ естествоиспытателей и врачей, на слѣдующихъ основаніяхъ.

1. XIII съѣздъ русскихъ естествоиспытателей и врачей въ гор. Тифлисѣ имѣетъ цѣлью: содѣйствовать ученой и учебной дѣятельности на поприщѣ естественныхъ наукъ, направлять эту дѣятельность, главнымъ образомъ, на ближайшее изслѣдованіе Россіи и, въ частности, Кавказа и доставлять русскимъ естествоиспытателямъ и врачамъ возможность непосредственнаго ознакомленія съ разнообразной природой Кавказа.

2. Членомъ съѣзда можетъ быть всякій, научно-занимающійся естествознаніемъ; но правомъ рѣшающаго голоса на съѣздѣ пользуются: ученые; лица напечатавшія самостоятельно сочиненіе или изслѣдованіе по естественнымъ наукамъ, и члены съѣзда изъ лицъ, получившихъ высшее образованіе по предметамъ, входящимъ въ программу съѣзда.

Никакого диплома на званіе члена XIII съѣзда не выдается.

3. Засѣданія съѣзда бываютъ общія и частныя; въ общихъ засѣданіяхъ читаются доклады, имѣющіе общій интересъ и обсуждаются вносимые Распорядительнымъ Комитетомъ вопросы, касающіеся всего съѣзда; въ частныхъ засѣданіяхъ (по отдѣльнымъ или соединеннымъ секціямъ) сообщаются и разбираются изслѣдованія и наблюденія, имѣющія болѣе спеціальное значеніе для одной изъ отраслей естествознанія и составляющія предметъ занятій секцій настоящаго съѣзда.

4. Секціи съѣзда слѣдующія:

1) Секція математики съ подсекціями: а) чистой математики, б) механики и в) астрономіи.

2) Физики съ подсекціей электротехники.

3) Физической географіи и метеорологіи съ подсекціями: а) сейсмологіи б) воздухоплаванія.

4) Химіи съ подсекціей технической химіи.

5) Минералогіи и геологіи съ подсекціями: а) минералогіи, петрографіи и кристаллографіи, б) геологіи съ подотдѣломъ прикладной геологіи и в) палеонтологіи.

6) Ботаники съ подсекціями: а) анатоміи и физіологіи растеній, б) морфологіи и систематики растеній и ботанической географіи.

7) Зоологіи.

8) Анатоміи и физіологіи (со включеніемъ медицинской химіи, эмбріологіи II гистологіи).

9) Географіи, этнографіи и антропологіи, съ подсекціями: а) географіи, б) этнографіи и антропологіи, в) лингвистики, г) статистики.

*) Должно быть случайно пропущена въ числѣ рекомендуемыхъ пособій для изученія задачъ на построеніе извѣстная книжечка Штейнера, „Геометрическія построенія“, имѣющаяся въ переводѣ на русск. яз. подъ ред. проф. Синцова.

10) Агрономіи съ подсекціями: а) почвовѣдѣнія, б) растеніеводства, в) лѣсоводства, г) зоотехніи.

11) Научной медицины съ подсекціей маляріи,

12) Научной гигіены съ подсекціей бальнеологіи и климатотерапіи.

13) Научной ветеринаріи и

14) Педагогическихъ вопросовъ съ подъотдѣлами по высшему, среднему и низшему образованію.

Примѣчаніе 1. Кромѣ секцій организуются слѣдующія бюро: Хозяйственно-Административное, Редакціонное, Экскурсіонное.

Примѣчаніе 2. При секціяхъ могутъ быть организованы выставки. Къ участію на этихъ выставкахъ могутъ привлекаться не только учрежденія, но и промышленныя фирмы и отдѣльныя лица, какъ русскія, такъ и заграничныя. Устроителями же выставокъ являются бюро секцій; организація выставокъ регулируется особыми правилами, устанавливаемыми Распорядительнымъ Комитетомъ.

5. Члены Академіи Наукъ, профессора и преподаватели учебныхъ заведеній, желающіе принять участіе въ трудахъ съѣзда, могутъ получать для этой цѣли командировки, срокомъ отъ двухъ до четырехъ недѣль, смотря по разстоянію ихъ мѣстожительства отъ Тифлиса.

6. Каждый членъ XIII съѣзда вноситъ въ его кассу, по примѣру прошлыхъ съѣздовъ, три рубля, исключительно для научныхъ цѣлей и на нужды съѣзда.

7. Продолжительность дѣйствія XIII съѣзда обычная — въ теченіе недѣли, не считая дня открытія и закрытія съѣзда; общій порядокъ XIII съѣзда предполагается такой: а) 16 іюня 1913 года—открытіе съѣзда и первое общее собраніе для выбора должностныхъ лицъ съѣзда, 20 іюня второе общее собраніе, 24 іюня третье заключительное общее собраніе и закрытіе съѣзда; 17, 18, 19, 21, 22 и 23 іюня происходятъ секціонныя частныя засѣданія.

Примѣчаніе. 15 іюня вечеромъ предположено предварительное собраніе для взаимнаго ознакомленія членовъ и разъясненія вопроса о выборѣ 16 іюня должностныхъ лицъ съѣзда.

8. Для предварительныхъ работъ по устройству съѣзда въ гор. Тифлисѣ образованъ Распорядительный Комитетъ, утвержденный Намѣстникомъ Его Императорскаго Величества на Кавказѣ. Въ составъ Комитета вошли:

Предсѣдатель Распорядительнаго Комитета XIII съѣзда Попечитель Кавказскаго учебнаго округа Н. Ф. Рудольфъ (онъ же завѣдующій секціей педагогическихъ вопросовъ); представители: Кавказскаго учебнаго округа, высшихъ женскихъ курсовъ въ Тифлисѣ, Тифлисскаго городского самоуправленія, Дворянства Тифлисской губерніи, ученыхъ обществъ, имѣющихъ свои отдѣленія на Кавказѣ и отдѣльныя лица, а также представители правительственныхъ учрежденій.

9. Собранія общія и частныя (секціонныя) руководствуются слѣдующими правилами:

а) при обсужденіи научныхъ и учебныхъ вопросовъ, какъ въ общихъ, такъ и въ частныхъ засѣданіяхъ всѣ члены съѣзда пользуются совершенно одинаковыми правами голоса, но при баллотировкахъ право рѣшающаго голоса принадлежитъ только лицамъ, удовлетворяющимъ второму раздѣлу п. 2 настоящихъ правилъ;

б) для внесенія членами будущаго XIII съѣзда докладовъ и сообщеній необходима заблаговременная присылка въ Распорядительный Комитетъ заглавія. а если возможно, то и краткаго содержанія тѣхъ научныхъ сообщеній и, вообще, работъ, съ которыми они предполагаютъ познакомить съѣздъ; если таковыя заявленія не будутъ доставлены Комитету до 15 мая 1913 года, то и самыя сообщенія могутъ оказаться за недостаткомъ времени, не внесенными въ списокъ;

в) всѣ постановленія секцій и заявленія отдѣльныхъ членовъ съѣзда, имѣющія быть внесенными на утвержденіе общихъ собраній, должны быть доставляемы въ Распорядительный Комитетъ XIII съѣзда на предварительное заключеніе.

10. Съѣздъ на своихъ собраніяхъ руководствуется временными правилами о собраніяхъ, Высочайше утвержденными 4 марта 1906 г.

Адресъ Распорядительнаго Комитета по организаціи XIII съѣзда русскихъ естествоиспытателей и врачей: Тифлисъ, канцелярія Попечителя Кавказскаго Учебнаго Округа.

Завѣдующій секціей математики XIII съѣзда Михаилъ Григорьевичъ Коніевъ, обращается къ читателямъ „Математическаго Образованія“ съ покорнѣйшей просьбой не отказать намѣтить для бюро секціи тѣ вопросы, по которымъ желательно было бы получить доклады. Адресъ М. Г. Коніева: Тифлисъ, ул. Броссе, д. № 6.

Засѣданіе Московскаго Математическаго Кружка 27 сент. 1912 г.

Засѣданіе, за отъѣздомъ изъ Москвы предсѣдателя Кружка Б. К. Млодзѣевскаго, происходило подъ предсѣдательствомъ А. Ф. Гатлиха. Были заслушаны: отношеніе предсѣдателя распорядительнаго комитета предстоящаго XIII Съѣзда русскихъ естествоиспытателей и врачей въ Тифлисѣ и письмо завѣдующаго Секціей математики этого Съѣзда М. Г. Коніева съ предложеніемъ Кружку принять участіе въ Съѣздѣ. Собраніе, сочувственно принявъ это предложеніе, постановило детали вопроса разработать въ слѣдующихъ засѣданіяхъ. Затѣмъ Д. Д. Галанинъ прочелъ сообщеніе: „Система математическаго образованія академика Гурьева“ (1801 г.). Существенныя дополненія къ докладу Д. Д. Галанина сдѣлалъ В. В. Бобынинъ. А. К. Власовъ сдѣлалъ сообщеніе: „Элементарные пріемы для вычисленія числа пи. Докладъ А. К. Власова представляетъ часть его статьи „Квадратура круга и циркулятура квадрата“, печатающейся въ „Матем. Образованіи“.

Списокъ книгъ, поступившихъ въ редакцію и въ библіотеку Математическаго Кружка съ 1 августа 1912 года.

С. П. Виноградовъ. Краткій курсъ аналитической геометріи и дифференціальнаго и интегральнаго исчисленій. М. 1912. Ц. 2 р. 20 к.

R. Niewiadomski. Analyse de l’équation = Varsovie. 1909.

P. B. Невядомскій. Свойства рядовъ Фибонацци. Новый методъ разложенія чиселъ на первоначальные множители. М. 1912. Ц. 1 р.

А. М. Мануйловъ. Систематическій сборникъ астрономическихъ вопросовъ н задачъ. 3-е изд. Кишиневъ 1912. Ц. 25 к.

Савиньи. Научныя развлеченія. Вып. 1. М. 1912. Ц. 30 к.

Ѳ. А. Эрнъ. Очерки по методикѣ ариѳметики. Рига, 1912. Ц. 80 к.

Сборникъ ариѳметическихъ задачъ въ предѣлахъ 1-й сотни. Составила группа учащихъ въ начальн. школахъ г. Москвы. М. 1913. Ц. 15 к

Ариѳметика и сборникъ задачъ для торговыхъ классовъ, торг. школъ и др. учебн. заведеній. Сост. преподаватели торговыхъ классовъ М. О. Р. К. Обр. М. 1912. Ц. 45 к.

Живой счетъ. Ч. III. Составили А. Бернашевскій и Г. Васильевъ подъ ред. Звягинцева. М. 1912. Ц. 20 к.

Д. Галанинъ. Начальная алгебра въ связи съ пропедевтическимъ курсомъ геометріи. М. 1912. Ц. 75 к.

Отчетъ объ одногодичныхъ курсахъ для подготовки учителей и учительницъ среднихъ уч. заведеній при Московскомъ Уч. Округѣ. Сост. Вл. Исаенковъ. М. 1912.

I. Штёклинъ. Ариѳметическій задачникъ. Вып. IV. Пер. Д. Волковскаго. М. 1913. Ц. 10 к.

С. И. Шохоръ-Троицкій. Геометрія на задачахъ. Вып. 1-й. Изд. 2-е. М. 1913. Ц. 90 к.

Е. И. Игнатьевъ. Букварь-задачникъ по ариѳметикѣ. М. 1913. Ц. 30 к.

А. М. Никольскій, инжен. О борьбѣ за геометрическій методъ въ „новѣйшей исторіи“. М. 1912.

Н. Извольскій. Сборникъ алгебраическихъ задачъ. Ч. I. Изд. 2-е, псрераб. М. 1912.

А. А. Ляминъ. Физико-Математическая хрестоматія. T. I. М. 1912. Ц. 1 р. 25 к.

Отвѣтственный редакторъ I. И. Чистяковъ.

Печатня А.И.Снегиревой Москва

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНІЕ

выходитъ ежемѣсячно книжками отъ 2 до 3 печати ныхъ листовъ за исключеніемъ мая, іюня, іюля и августа мѣсяцевъ.

Содержаніе журнала: 1) статьи но различнымъ отдѣламъ математики, оригинальныя и переводныя; 2) статьи по вопросамъ преподаванія математики и соприкасающихся наукъ; 3) очерки по исторіи математики, біографіи и портреты математиковъ; 4) библіографическій отдѣлъ; 5) вопросы и задачи; 6) математическая хроника; 7) Объявленія.

Цѣна 3 рубля въ годъ и 2 рубля на полгода съ доставкой и пересылкой.

Цѣна отдѣльнаго номера 50 к. съ пересылкой.

За перемѣну адреса уплачивается 20 коп.

Объявленія принимаются съ платою: 1 страница—15 р., 7* стр. 8 р., 7« стр.—4 р. и т. д.

Подписка принимается въ редакціи:

Москва, Остоженка, 7, кв. 88,

и въ книжныхъ магазинахъ К. И. Тихомирова (Кузнецкій мостъ), Н. П. Карбасникова и Т-во М. О. Вольфъ (Моховая).

Печатня А.И.Снегиревой Москва