Математическое Образованіе.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка.

№ 5.

Сентябрь 1912 г.

МОСКВА.

Анри Пуанкаре. 1854—1912.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

„Математическое Образованіе“

Сентябрь 1912 г.

№ 5.

СОДЕРЖАНІЕ: Анри Пуанкаре.—І. Ч. Многогранники Пуансо.—Ел. Бартъ. Международная Комиссія по преподаванію математики,—Проф. Д. М. Синцова. Михаилъ Евсевіевичъ Головинъ.—В. Бобынинъ. Замѣтки по преподаванію геометріи.— Н. А. Извольскій. Задачи и игры изъ дѣтскаго міра, развивающія понятія по логикѣ и статистической теоріи взаимоотношеній.—И. А. Некрасовъ. Задачи. Рѣшенія задачъ. Библіографическій отдѣлъ. Дѣятельность математическихъ кружковъ и обществъ. О предстоящемъ второмъ всероссійскомъ съѣздѣ преподавателей математики. Положеніе о 2-мъ Всероссійскомъ Съѣздѣ преподавателей математики.

Анри Пуанкаре.

4-го іюля текущаго года наука понесла величайшую утрату: въ Парижѣ, послѣ неудачной операціи, скончался въ полномъ разцвѣтѣ силъ и таланта А. Пуанкаре, геніальный ученый, обогатившій математическія науки длиннымъ рядомъ трудовъ первостепеннаго значенія и достоинства. Подобно другимъ великимъ математикамъ,—Ньютону, Эйлеру, Лапласу—Пуанкаре въ равной мѣрѣ занимался и интересовался какъ чистой, такъ и прикладной математикой: механикой, физикой и астрономіей и во всѣхъ этихъ областяхъ оставилъ глубокія и цѣнныя изслѣдованія, которыя долго будутъ служить основаніемъ для научныхъ работъ ученыхъ послѣдующихъ поколѣній. Кромѣ того, онъ былъ выдающимся философомъ и написалъ рядъ интересныхъ работъ, посвященныхъ вопросамъ логики, методологіи наукъ, сущности математическаго творчества и пр.

А. Пуанкаре родился въ 1854 г. въ Нанси; въ 1873 году онъ выдержалъ одновременно конкурсный экзаменъ въ Политехническую и Высшую Нормальную школы въ Парижѣ. Онъ предпочелъ поступить въ Политехническую школу, по окончаніи которой прошелъ еще курсъ Горнаго института и въ 1879 году получилъ званіе горнаго инженера. Однако, склонность къ теоретическимъ вопросамъ и изысканіямъ взяла верхъ: послѣ непродолжительной службы въ качествѣ горнаго инженера, Пуанкаре получилъ степень доктора математики и сдѣлался профессоромъ физико-математическаго факультета въ Канѣ. Оттуда въ 1881 году онъ былъ приглашенъ въ Парижъ, гдѣ въ университетѣ сталъ преподавать теоретическую механику, а въ Политехнической школѣ— анализъ. Въ 1886 году онъ былъ назначенъ профессоромъ Парижскаго университета по кафедрѣ математической физики и теоріи вѣроятностей, а съ 1889 г. читалъ еще и небесную механику. Уже въ 1887 году Пуанкаре за свои научныя заслуги былъ избранъ членомъ Французской Академіи Наукъ. За одну изъ работъ по механикѣ, относящуюся къ извѣстной задачѣ о трехъ тѣлахъ, онъ получилъ большую премію короля Оскара Шведскаго; неодно-

кратно онъ получалъ и другія почетныя награды и отличія въ различныхъ странахъ. За его блестящіе философскіе труды Пуанкаре въ 1908 г. былъ избранъ членомъ Французской Академіи, т. е. вошелъ въ число такъ называемыхъ „сорока безсмертныхъ“.

Въ краткой замѣткѣ невозможно перечислить и охарактеризовать многочисленныя и замѣчательныя работы великаго ученаго. Укажемъ только, что въ области чистой математики онѣ относятся къ теоріи функцій, дифференціальнымъ уравненіямъ, теоріи чиселъ, неэвклидовой геометріи и нѣкоторымъ другимъ отдѣламъ. Труды его по математической физикѣ, отличающіеся особеннымъ разнообразіемъ и богатствомъ идей, обыкновенно были посвящены математической обработкѣ новѣйшихъ физическихъ теорій, таковы его курсы, читанные въ Сорбоннѣ: „Theorie mathématique de la lumière“, „Électricité et optique“, „Les oscillations électriques“, „Thermodynamique“, „Théorie analytique de la propagation de la Chaleur“, „Capillarité“ „La théorie de Maxwell et les oscillations hertziennes“ и мн. др. По астрономіи его работы касаются вопросовъ теоріи приливовъ и отливовъ, формъ равновѣсія жидкихъ вращающихся тѣлъ, движенія планетъ и ихъ спутниковъ и пр. Въ замѣчательномъ трудѣ по небесной механикѣ: „Les méthodes nouvelles de la Mécanique Céleste“ Пуанкаре, указывая новые методы для изслѣдованій, въ то-же время подвергаетъ тщательному анализу математическія вычисленія, на которыхъ основывались выводы его предшественниковъ и часто вноситъ въ нихъ существенныя исправленія.

Необыкновенное богатство идей и оригинальность взглядовъ, которыми отличаются сочиненія Пуанкаре, объясняются нѣкоторыми замѣчательными особенностями его математическаго таланта, о которыхъ отчасти онъ самъ говоритъ въ своемъ психологическомъ этюдѣ: „О математическомъ творчествѣ“. Главнѣйшая изъ этихъ особенностей—это поразительное богатство интуиціи, которымъ едва-ли обладалъ когда-нибудь какой-либо другой математикъ, и благодаря которому Пуанкаре улавливалъ замѣчательныя аналогіи между фактами, какъ будто совершенно далекими другъ отъ друга, какъ напр. мысль о тождествѣ преобразованій, служащихъ для опредѣленія фуксовыхъ функцій, съ преобразованіями неэвклидовой геометріи. Вмѣстѣ съ тѣмъ, онъ обладалъ въ величайшей степени даромъ широкаго и плодотворнаго обобщенія математическихъ идей, что позволяло ему далеко раздвигать границы ранѣе достигнутыхъ познаній въ различныхъ областяхъ чистой и прикладной математики.

Философскія произведенія Пуанкаре, къ числу которыхъ принадлежитъ вышеупомянутый очеркъ его о математическомъ творчествѣ, заслуживаютъ, по нашему мнѣнію, особеннаго вниманія читателей „Математическаго Образованія“; поэтому приводимъ списокъ извѣстныхъ намъ переводовъ ихъ на русскій языкъ:

Наука и гипотеза. (Нѣсколько переводовъ).

Цѣнность науки. Пер. подъ ред. А. Бачинскаго и Н. Соловьева. М. 1910.

Наука и методъ. Пер. И. К. Брусиловскаго подъ рѳд. В. Ѳ. Кагана. Изд. Mathesis. 1910.

Математическое творчество. Пер. Е. Г. Руницкой подъ ред. М. Г. Ребиндера. Юрьевъ. 1909.

Новая механика. Пер. I. В. Яшунскаго. Спб. 1911.

Пространство и время съ точки зрѣнія механики. Э. Конъ и Г. Пуанкаре. Подъ ред. „Вѣстника Оп. Физики и Элем. Матем.“ Изд. Mathesis. 1912.

Въ настоящемъ номерѣ мы помѣщаемъ портретъ А. Пуанкаре въ послѣдніе годы его жизни. Для тѣхъ, кто пожелалъ-бы ближе познакомиться съ психикой покойнаго великаго математика, можно рекомендовать интересную книгу: D-r Toulouse. Henri Poincaré. Paris.

Многогранники Пуансо.

Ел. Бартъ. Нижній Новгородъ.

Въ 1809 году Пуансо присоединилъ къ пяти извѣстнымъ въ то время правильнымъ многогранникамъ перваго порядка правильнымъ четырех—, шести—, восьми—, двѣнадцати и двадцати— гранникамъ, еще четыре правильныхъ, такъ называемыхъ звѣздчатыхъ, многогранника. Далѣе Коши и Бертранъ показали, что иныхъ правильныхъ многогранниковъ не существуетъ.

Я постараюсь въ дальнѣйшемъ указать на то значеніе, которое имѣетъ принципъ двойственности въ теоріи звѣздчатыхъ многогранниковъ. Доказывая ихъ существованіе, Коши и Бертранъ шли двумя двойственными путями; я приведу здѣсь оба доказательства. При чемъ я буду считать извѣстными основныя теоремы изъ теоріи многоугольниковъ, многогранныхъ угловъ и многогранниковъ перваго порядка и основныя теоремы принципа двойственности1).

Вспомнимъ слѣдующія теоремы и опредѣленія.

Теорема. Около и внутри правильнаго многогранника можно описать и вписать сферы. Центры послѣднихъ совпадаютъ и даютъ центръ многогранника.

Такъ какъ доказательство этой теоремы основывается лишь на опредѣленіи правильнаго многогранника, то, слѣдовательно, она справедлива и для звѣзчатыхъ многогранниковъ Пуансо.

Теорема. Два тождественныхъ правильныхъ многогранника сливаются всѣми своими частями при совмѣщеніи любой грани и прилежащаго къ ней двуграннаго угла одного съ любою гранью и любымъ къ ней прилежащимъ двуграннымъ угломъ другого, а

1) Желающіе могутъ ознакомиться по слѣд. сочиненіямъ: Wilner. Leber Vielecke und Vieflache. Brückner. Vielecke und Vielflache.

также — при совмѣщеніи любого многограннаго угла и къ нему принадлежащаго ребра одного съ любымъ многограннымъ угломъ и любымъ къ нему принадлежащимъ ребромъ другого. Справедливо и обратное, именно: если два тождественныхъ многогранника обладаютъ тѣмъ свойствомъ, что любая грань и къ ней прилежащій двугранный уголъ одного могутъ быть совмѣщены съ любою гранью и прилежащимъ къ ней двуграннымъ угломъ другого, или же— любой многогранный уголъ и къ нему принадлежащее ребро одного съ любымъ многограннымъ угломъ и къ нему принадлежащимъ ребромъ другого, то многогранники правильны и при указанныхъ совмѣщеніяхъ сливаются всѣми своими частями.

Вспомнимъ опредѣленія порядка правильныхъ многоугольниковъ, многогранныхъ угловъ и многогранниковъ.

Пусть имѣемъ правильный многоугольникъ. Будемъ проектировать конечные отрѣзки его сторонъ изъ его центра на описанную окружность. Если проекція покрываетъ послѣднюю а разъ, то а есть порядокъ даннаго правильнаго многоугольника.

Черезъ любую точку площади многоугольника проходятъ к проектирующихъ лучей, гдѣ 1 <Л<,а. Въ зависимости отъ значеніи к данная точка называется простой, двойной, тройной, и т. д. Площадь же правильнаго многоугольника равна суммѣ площадей треугольниковъ, вершины которыхъ лежатъ въ центрѣ многоугольника, основанія же суть конечные отрѣзки его сторонъ.

Такъ въ правильномъ пятиугольникѣ второго порядка abcde (черт. 1) точки площади Imnpq суть двойныя точки, площадь же пятиугольника равна суммѣ площадей треугольниковъ аМЪ, ЪМс, cMd, dMe и eikfa*).

Пусть имѣемъ правильный многогранный уголъ. Если проекція площадей его плоскихъ угловъ изъ его центральной оси на описанный конусъ покрываетъ послѣдній а разъ, то а есть порядокъ многограннаго угла.

Многогранный уголъ есть фигура двойственная многоугольнику. Интересно прослѣдить, какіе элементы соотвѣтствуютъ другъ другу въ многоугольникѣ и многогранномъ углѣ. Нетрудно видѣть, что центру многоугольника соотвѣтствуетъ плоскость, проходящая черезъ вершину многограннаго угла и перпендикулярная къ его оси; описанной около многоугольника окружности соотвѣт-

Черт. 1.

*) Точка М—въ центрѣ круга.

ствуетъ вписанный въ уголъ конусъ и обратно: вписанной окружности — описанный конусъ. Точкамъ, лежащимъ во внутренней области описанной окружности соотвѣтствуютъ плоскости, проходящія черезъ вершину угла и не заходящія во внутреннюю область вписаннаго конуса. Предоставляемъ читателю самому разобрать, какія прямыя соотвѣтствуютъ прямымъ, проектирующимъ конечные отрѣзки сторонъ многоугольника, какія плоскости—точкамъ его площади.

Разсмотримъ правильный многогранникъ. Будемъ проектировать площади его граней изъ его центра на описанную сферу. Если проекція ихъ покрываетъ сферу А разъ, то А есть порядокъ даннаго многогранника. Далѣе мы увидимъ, что правильнаго многогранника, имѣющаго болѣе пяти вершинъ на каждой грани не существуетъ, и, слѣдовательно, грани его не могутъ быть многоугольниками порядка выше второго, такъ какъ пяти — угольниковъ порядка выше второго не существуетъ. При опредѣленіи порядка многогранника будемъ считать, что двойныя точки площадей его граней даютъ и двойную проекцію на описанную сферу. Замѣтимъ также, что многогранникъ порядка выше перваго не можетъ имѣть и грани, и углы одновременно перваго порядка.

Для правильныхъ многогранниковъ число А одно и то же для любой точки описанной сферы. Въ этомъ не трудно убѣдиться слѣдующимъ образомъ: представимъ себѣ лучъ, проектирующій точки граней и будемъ его двигать, наблюдая за точкой его пересѣченія съ какою-либо одной изъ пересѣкаемыхъ имъ граней. Пройдя сторону послѣдней лучъ, встрѣтитъ грань ей смежную и дастъ съ нею снова одну точку пересѣченія. Спрашивается, однако, не встрѣчалъ ли нашъ лучъ одновременно обѣ смежныя грани, и не сойдетъ ли онъ одновременно съ обѣихъ изъ нихъ, пройдя ихъ общее ребро? Нетрудно видѣть, что этого быть не можетъ, такъ какъ всѣ грани правильнаго многогранника равно отстоятъ отъ его центра. Если же лучъ первоначально проектировалъ двойную точку грани, то, пройдя ея сторону, онъ встрѣтитъ въ смежной грани точку также двойную, такъ какъ, какъ мы въ этомъ убѣдимся въ послѣдствіи, въ обоихъ существующихъ правильныхъ многогранникахъ, имѣющихъ гранями пятиугольники второго порядка, площади двойныхъ точекъ послѣднихъ образуютъ правильные многогранники перваго порядка. Принимая во вниманіе все сказанное, мы видимъ, что число А, дѣйствительно одно и то же для любой точки описанной сферы.

Приведенное опредѣленіе порядка многогранника имѣетъ мѣсто лишь для многогранниковъ правильныхъ. Мы ограничимся

имъ, какъ болѣе простымъ и нагляднымъ, такъ какъ въ дальнѣйшемъ будемъ заниматься лишь правильными многогранниками.

Любому многограннику мы можемъ построить многогранникъ ему двойственный, имѣющій столько вершинъ, сколько первый граней и обратно. Многогранникъ, двойственный правильному, также правильный; дѣйствительно: если мы имѣемъ два тождественныхъ правильныхъ многогранника, то любыя двѣ смежныя грани однако могутъ быть совмѣщены съ любыми двумя смежными гранями другого; двойственные имъ два тождественныхъ многогранника обладаютъ, слѣдовательно, тѣмъ свойствомъ, что любые два смежные многогранные угла одного могутъ быть совмѣщены съ любыми двумя смежными углами другого, слѣдовательно, они правильные.

Замѣтимъ кстати, что центру многогранника въ многогранникѣ ему двойственномъ соотвѣтствуетъ безконечно удаленная плоскость, внутренней же области сферы, описанной около одного, соотвѣтствуетъ внѣшняя область сферы, вписанной въ другой.

Докажемъ теперь существованіе четырехъ правильныхъ многогранниковъ порядка выше перваго, для чего предварительно докажемъ слѣдующія теоремы.

Теорема 1. Если мы имѣемъ систему точекъ, расположенныхъ въ конечной области плоскости, то существуетъ одинъ и только одинъ выпуклый многоугольникъ перваго порядка, вершины котораго суть точки данной системы, и который всѣ данныя точки заключаетъ во внутренней своей области и на конечныхъ отрѣзкахъ своихъ сторонъ.

Дадимъ способъ построенія указаннаго многоугольника, чѣмъ и докажемъ его существованіе.

Возьмемъ произвольную прямую внѣ области, заключающей данныя точки, и будемъ двигать ее по направленію къ послѣднимъ. Въ нѣкоторый моментъ прямая совпадетъ съ одной или нѣсколькими изъ данныхъ точекъ; во второмъ случаѣ она дастъ сторону искомаго многоугольника; въ первомъ же случаѣ будемъ вращать ее около указанной точки до совпаденія ея еще съ одной или нѣсколькими точками, причемъ мы также получимъ сторону многоугольника. Будемъ вращать теперь прямую около одной, крайней изъ лежащихъ на ней точекъ, въ такомъ направленіи, чтобы всѣ данныя точки оставались по одну сторону отъ нея, будемъ вращать до совпаденія ея еще хотя бы съ одною изъ остальныхъ точекъ. При этомъ прямая дастъ намъ вторую сторону искомаго многоугольника. Продолжая подобное построеніе, мы получимъ весь искомый многоугольникъ. Не трудно видѣть, что

шъ, дѣйствительно, выпуклый и перваго порядка, и что иного многоугольника, обладающаго указанными свойствами, не существуетъ.

Теорема, двойственная 1-ой. Если мы имѣемъ нѣкоторую систему плоскостей одной связки, такъ расположенныхъ, что есть нѣкоторая коническая область той же связки, въ которую онѣ не заходятъ, то существуетъ одинъ и только одинъ простой выпуклый многогранный уголъ перваго порядка, грани котораго суть плоскости данной системы и во внутреннюю область котораго не заходитъ ни одна изъ плоскостей.

Дадимъ построеніе искомаго угла. Возьмемъ произвольный лучъ связки, лежащій въ упомянутой области, и будемъ вращать его около центра связки придвигая къ даннымъ плоскостямъ до совпаденія его хотя бы съ одною изъ нихъ. Если лучъ совпадетъ съ двумя или болѣе плоскостями, то онъ дастъ ребро искомаго угла; если же онъ совпадетъ лишь съ одною плоскостью, то мы будемъ его вращать въ ней до совпаденія еще съ одною или нѣсколькими плоскостями, причемъ онъ дастъ положеніе ребра. Далѣе будемъ вращать лучъ въ той плоскости, проходящей черезъ найденное ребро, которая всѣхъ ближе подходитъ къ конической области и въ такомъ направленіи, что-бы онъ оставался съ нею по одну сторону отъ предыдущей плоскости. При этомъ лучъ опишетъ плоскій уголъ искомаго угла. Когда лучъ встрѣтитъ еще плоскость системы, то снова дастъ ребро угла. Продолжая такимъ образомъ мы можемъ построить весь искомый многогранный уголъ. Не трудно видѣть, что онъ, дѣйствительно, выпуклый и перваго порядка.

Теорема 2. Если мы имѣемъ систему точекъ, расположенныхъ въ конечной области пространства, то мы можемъ построить одинъ и только одинъ простой выпуклый многогранникъ перваго порядка, вершины котораго суть точки, принадлежащія данной системѣ, и который заключаетъ всѣ данныя точки во внутренней своей области, на своихъ граняхъ и ребрахъ.

Возьмемъ произвольную плоскость внѣ указанной области и будемъ двигать ее по направленію къ даннымъ точкамъ до совпаденія ея хотя бы съ одною изъ нихъ. Далѣе приведемъ плоскость въ такое положеніе, чтобы она совпадала по крайней мѣрѣ съ тремя точками и чтобы всѣ остальныя точки лежали по одну отъ нея сторону. При этомъ плоскость дастъ одну грань искомаго многогранника. Точки системы, лежащія на найденной плоскости (ихъ не менѣе трехъ), лежатъ въ нѣкоторой конечной ея области, и мы, слѣдовательно, можемъ, по теоремѣ 1-ой, построить вы-

пуклый многоугольникъ перваго порядка съ вершинами въ данныхъ точкахъ и заключающій всѣ остальныя. Проведемъ черезъ одну изъ сторонъ полученнаго многоугольника произвольную плоскость такъ, чтобы по одну сторону отъ нея не лежало бы данныхъ точекъ, и будемъ вращать плоскость около взятой стороны до совпаденія ея еще хотя бы съ одной точкой системы. При этомъ получимъ положеніе второй грани многогранника. Поступая аналогично съ каждой изъ сторонъ всѣхъ получаемыхъ многоугольниковъ, мы построимъ весь искомый многогранникъ. Нетрудно видѣть, что онъ выпуклый и перваго порядка.

(Продолженіе слѣдуетъ).

Международная Комиссія по преподаванію математики.

(Очеркъ дѣятельности).

Д. М. Синцовъ. (Харьковъ).

9—16 августа этого года соберется въ Кембриджѣ Ѵ-й Международный Математическій Конгрессъ*). Умѣстно и своевременно поэтому попытаться подвести нѣкоторые итоги той работѣ, которая сдѣлана со времени ІV (Римскаго) Конгресса 1908 года и отчетъ о которой долженъ былъ быть доложенъ Кембриджскому Конгрессу.

Я говорю о дѣятельности Международной Комиссіи по преподаванію Математики, которая была создана на ІV Международномъ Конгрессѣ въ Римѣ по почину и предложенію D. Е. Smith’a и которая получила за это время такое развитіе, какого можетъ быть не ожидалъ самъ иниціаторъ и во всякомъ случаѣ не предполагали тѣ, кто вотировалъ это предложеніе въ засѣданіи 4-ой секціи 9 и 11 апрѣля 1908 года.

Мнѣ уже приводилось не одинъ разъ давать отчеты о дѣятельности Комиссіи, начиная съ отчета о Римскомъ съѣздѣ**), затѣмъ о Брюссельскомъ собраніи 1910 года***) и о Миланскомъ 1911 г.****).

Я поэтому былъ очень радъ, когда съ одной стороны Организаціонный Комитетъ I всер. съѣзда Преподавателей Математики, съ другой редакція „Математическаго Образованія“ предложили мнѣ дать очерки дѣятельности Комиссіи. Я чувствую себя въ долгу передъ русскою математическою публикой, ибо по нѣкоторымъ обстоятельствамъ не могъ сдѣлать предположеннаго доклада на съѣздѣ. Этотъ съѣздъ въ свою очередь не могъ не оказать вліянія на характеръ настоящаго очерка: если раньте я имѣлъ нѣкоторыя основанія сомнѣваться въ интересѣ русскихъ педагоговъ-матема-

*) Статья проф. Д. М. Синцова доставлена въ редакцію до начала Конгресса, который состоялся 9—16 августа текущаго года. Ред.

**) В. Оп. Ф. № 460.

***) Ib. № 524. 525.

****) Ib. № 550.

тиковъ къ вопросамъ такъ называемой „реформы“ математическаго преподаванія, то теперь послѣ съѣзда я знаю, что если она имѣетъ противниковъ, то она имѣетъ и сторонниковъ, убѣжденныхъ въ ея необходимости. И это даетъ мнѣ больше смѣлости писать снова о дѣятельности Международной Комиссіи по преподаванію математики.

Но вліяніе Съѣзда на эту статью сказывается еще и въ другомъ отношеніи,—на выборѣ матеріала, въ изобиліи собраннаго Комиссіей, исчерпать котораго въ журнальной статьѣ невозможно. Я убѣдился изъ прочитанныхъ на съѣздѣ докладовъ, что съ дѣятельностью Комиссіи въ Германіи, тѣсно связанной съ именемъ проф. Ф. Клейна, стоящаго во главѣ движенія въ пользу реформы и составляющаго душу самой дѣятельности Комиссіи, у насъ въ Россіи сравнительно знакомы. Равнымъ образомъ положеніе преподаванія во Франціи затрогивалось въ рѣчахъ на съѣздѣ проф. К. А. Поссе и В. Б. Струве. Тотъ матеріалъ, который я самъ собралъ для предполагавшагося доклада Съѣзду, мною также отчасти уже использованъ въ моей статьѣ: „Докладъ по вопросу объ объединеніи программъ средней и высшей школы“. (Матем. Образованіе № 4). Но на Съѣздѣ шла рѣчь о преподаваніи математики въ Швеціи, и такъ какъ въ трудахъ Международной Комиссіи томъ, посвященный Швеціи, занимаетъ одно изъ выдающихся мѣстъ, то я и хочу остановиться подробнѣе именно на Швеціи.

Выло бы, конечно, интересно говорить о постановкѣ преподаванія математики въ Италіи, Англіи и Америкѣ, но труды національныхъ подкомиссій этихъ странъ полностью еще не опубликованы, и потому говорить о нихъ умѣстнѣе впослѣдствіи.

На римскомъ Конгрессѣ предложеніе D. S. Smitha’ и Archenhold’a сдѣланое въ засѣданіи IV секціи 9 апр. вылилось въ засѣданіи 11 апрѣля въ форму слѣдующаго постановленія принятаго въ тотъ же день всѣмъ Конгрессомъ въ заключительномъ общемъ собраніи того же числа.

„Конгрессъ, признавая важность сравнительнаго изученія программъ и методовъ преподаванія математики въ среднихъ школахъ у различныхъ націй, поручилъ Клейну, Грингиллю и Феру дѣло организаціи Международнаго Комитета, который изучилъ бы вопросъ и представилъ отчетъ ближайшему Конгрессу“.

Такъ организовалось это международное бюро, въ которомъ представитель Германіи проф. Ф. Клейнъ сталъ предсѣдателемъ, маститый Sir George Greenhill (Лондонъ)—товарищемъ предсѣдателя и проф. H. Fehr (Женева) секретаремъ, а редактируемый послѣднимъ журналъ „Enseignement Matématique“ сдѣлался оффиціальнымъ органомъ Комиссіи.

Въ сентябрѣ того же года члены Комитета собрались въ Кёльнѣ и приняли предварительный докладъ объ организиціи Комиссіи и объ общемъ планѣ ея работы.

Ими было рѣшено организовать въ каждой странѣ*), которая

*) Эти страны, называемыя участвующими, суть Германія, Австрія, Сѣв.-Ам. Соед. Штаты, Франція, Венгрія, Великобританія, Италія, Россія и

была достаточнымъ образомъ представлена на Международныхъ математическихъ Конгрессахъ (имѣла не менѣе 10 представителей), особыя національныя подкомиссіи, съ особыми делегатами, членами Международной Комиссіи во главѣ, которыя взяли бы на себя организацію составленія отчетовъ каждыя въ своей странѣ, кооптировали бы по мѣрѣ надобности новыхъ членовъ себѣ, которые однако являются лишь членами національныхъ подкомиссій, но не самой Комиссіи (на практикѣ впрочемъ это различіе малоощутительно).

Бюро составило Центральный Комитетъ, объединяющій дѣятельность національныхъ подкомиссій и на первыхъ порахъ занявшійся прежде всего ихъ организаціей. На эту предварительную организацію ушелъ первый годъ дѣятельности. Предварительный докладъ, напечатанный въ Enseignement Mathématique 15, XI, 1908, былъ переведенъ и переизданъ въ рядѣ странъ, участвующихъ въ Комиссіи. Въ Россіи, делегацію которой составили Предсѣдатель Ученаго Комитета Министерства Народ. Просв. академикъ И. Я. Сонинъ (предсѣдатель Русской Подкомиссіи) и члены Ученаго Комитета проф. Б. М. Кояловичъ и директоръ 2 СПБ. реальнаго училища К. В. Фохтъ, онъ былъ переведенъ и помѣщенъ въ журналѣ Мин. Нар. Просв. 1909 г. и перепечатанъ въ Московскомъ Мат. Сборникѣ т. 27 № 1, Кіевскихъ Университетс. Извѣстіяхъ 1909 г. № 11, Техническомъ и Коммерческомъ Образованіи 1909 г. № 3 и др., а также разосланъ во всѣ ученыя Общества и учрежденія, имѣющія отношенія къ преподаванію математики. Такимъ образомъ этотъ докладъ можетъ считаться достаточно знакомымъ русской математической публикѣ. Тѣмъ не менѣе трудно обойти его совершенно, и не остановиться на его содержаніи, ибо онъ характеризуетъ тѣ взгляды съ которыми руководители дѣятельности Комиссіи приступали къ работѣ, чего они хотѣли, ибо только при сравненіи съ этимъ можно оцѣнить то чего они достигли.

Соотвѣтственно заданію Римскаго Конгресса, Предварительный докладъ главную цѣль Комиссіи полагаетъ въ томъ, чтобы произвести анкету и опубликовать общій отчетъ о современныхъ тенденціяхъ математическаго преподаванія въ различныхъ странахъ. Необходимо обратить вниманіе не только на методы преподаванія и на учебные планы, но и на самую организацію обученія, не вдаваясь въ изложеніе ея историческаго развитія и статистическія свѣдѣнія. Работа Комиссіи должна скорѣе стремиться выставить общіе принципы, которыми долженъ вдохновляться преподаватель, чѣмъ устанавливать единообразіе въ деталяхъ или вырабатывать программы, пригодныя для учебныхъ заведеній различныхъ странъ. Желательно, чтобы главные пункты докладовъ подверглись предварительному обсужденію въ собраніяхъ профессоровъ и въ обществахъ научныхъ, техническихъ и иныхъ, которыя интересуются успѣхами преподаванія математики. Предполагалось, что отчеты

Швейцарія, имѣютъ по три делегата. Бельгія, Данія, Испанія, Греція, Голландія, Норвегія, Португалія, Румынія, Швеція и позже присоединенная Японія имѣютъ по 1 делегату.

національныхъ подкомиссій будутъ доставлены генеральному секретарю, проф. Феру, въ началѣ 1911 года и что на пасхальныхъ каникулахъ 1911 года Комиссія соберется, чтобы сдѣлать общій обзоръ вопросовъ, поднятыхъ въ предварительномъ докладѣ, и установить основанія общаго доклада.

Первоначальное заданіе Римскаго Конгресса Центральный Комитетъ въ своемъ докладѣ значительно расширилъ, — рѣшивъ не ограничивать своей работы преподаваніемъ математики въ средней школѣ, но распространить ее на всю совокупность математическаго обученія, съ первыхъ шаговъ до высшаго образованія, при томъ не ограничиваясь общеобразовательными учебными заведеніями, но изучая преподаваніе и въ школахъ техническихъ и профессіональныхъ.

Доклады національныхъ Подкомиссій, по мысли Комитета, въ первой своей части должны давать: обзоръ современной организаціи обученія математикѣ, системы испытаній, методовъ преподаванія и подготовки преподавательскаго персонала.—Лишь послѣ этого можно будетъ изучить и ясно представить современныя тенденціи преподаванія часто обнаруживающіяся въ характерѣ реформъ, принятыхъ въ послѣднее время,— чему должна быть посвящена вторая часть отчетовъ. Соотвѣтственно этому Комитетъ намѣчалъ общій планъ ихъ въ такой схемѣ: I. Различные типы школъ. II. Цѣль преподаванія математики и отдѣлы ея, преподаваемые въ школѣ. III. Экзамены. IY. Методы преподаванія. Y. Подготовка кандидатовъ въ преподаватели. Тѣ же подраздѣленія намѣчены и для второй части отчетовъ, но уже съ новымъ содержаніемъ; здѣсь должны найти мѣсто: I. Современныя идеи, относящіяся къ организаціи школы, новые типы школъ, вопросъ о совмѣстномъ обученіи половъ. II. Современныя тенденціи, относящіяся къ цѣлямъ математическаго образованія и къ предметамъ преподаванія: указаніе новыхъ отдѣловъ или главъ, которыми слѣдовало бы замѣнить отдѣлы, безполезные для дальнѣйшихъ частей науки или малозначащіе, но сохраняемые по традиціи. Было бы полезно выяснить, въ какой мѣрѣ можно считаться съ требованіями введенія началъ анализа—безконечномалыхъ и аналитической геометріи, нѣкоторыхъ понятій по начертательной и проэктивной геометріи, а также изученія физики съ математической точки зрѣнія, и введеніи нѣкоторыхъ болѣе спеціальныхъ понятій (какъ понятія о функціи, о группѣ, объ ансамбляхъ или множествахъ). III. Проэкты преобразованія существующей системы экзаменовъ, а также и полнаго ихъ устраненія. IV. Современныя идеи относительно методовъ преподаванія на различныхъ ступеняхъ и въ школахъ различныхъ типовъ (роль подготовительнаго преподаванія, необходимо ли предпосылать теоретическому курсу интуитивный пропедевтическій, и съ какого момента долженъ получать преобладающее значеніе чисто-логическій элементъ,—напр., въ геометріи и дифференціальномъ и интегральномъ исчисленіи). Практическія приложенія (складываніе бумаги, работы на открытомъ воздухѣ, практическіе и приближенные методы вычисленія, графики въ алгебрѣ, клѣт-

чатая бумага; вопросъ о математическихъ лабораторіяхъ и моделяхъ, изготовляемыхъ учащимися). Связь между различными отдѣлами математики (насколько возможно стереть условныя границы между геометріей и алгеброй,—алгеброй и анализомъ безконечно—малыхъ, между евклидовой и аналитической геометріей, между геометріей и тригонометріей; въ частности мѣсто наглядной геометріи по отношенію къ алгебрѣ, сліяніе планиметріи со стереометріей, болѣе тѣсное единеніе дифференціальнаго исчисленія съ интегральнымъ). Связь математики съ другими отраслями знанія—геометрическимъ и техническимъ черченіемъ и рисованіемъ, прикладными науками, съ физикой, химіей, зоологіей, географіей и проч., съ философіей и съ практическою жизнью. Возможность и желательность сообщенія въ школѣ свѣдѣній по исторіи математики. V. По отношенію къ подготовкѣ преподавательскаго персонала анкета должна выяснить, что долженъ изучить по математикѣ кандидатъ въ преподаватели, насколько знакомятся они съ пріемами научнаго изслѣдованія, какъ лучше излагать имъ теоретическую и практическую науку о воспитаніи; полъ преподавателя на различныхъ ступеняхъ обученія, время, которое слѣдовало бы удѣлять ознакомленію съ исторіей математики, исторіей ея преподаванія, математическимъ развлеченіямъ; общей литературѣ о математическомъ образованіи. Въ заключеніе Комитетъ приглашаетъ, подчеркнувъ характерныя черты предлагаемыхъ реформъ, указывать и опасности, которыхъ слѣдуетъ избѣгать, и тѣ возраженія и аргументы, которые выставляются ихъ противниками. Такъ: желаніе сдѣлать изложеніе привлекательнымъ не должно понижать серьезности преподаванія; психологія, плохо понятая, могла бы привести или къ преувеличенному выдвиганію логическихъ основъ математики, или наоборотъ къ не менѣе вредному пренебреженію абстрактной стороной ея; сліяніе такихъ отдѣловъ, какъ алгебра и геометрія, можетъ повести къ утратѣ специфическихъ преимуществъ того и другого отдѣла.

Такимъ образомъ, намѣтивъ широкую программу, охватывающую всѣ вопросы математическаго преподаванія и математическаго образованія, Комитетъ желалъ бы возможной объективности, безъ излишнихъ увлеченій новшествами, но съ подведеніемъ итоговъ и констатированіемъ всего, что было прежде и что внесено въ новѣйшее время въ область математической педагогики.

Конечно, вторая часть программы представляетъ и наибольшія трудности. Выяснить наилучшіе методы и способы преподаванія, наиболѣе отвѣчающіе научнымъ требованіямъ и запросамъ жизни, если и возможно, то полученные отвѣты неизбѣжно будутъ имѣть лишь относительное, временное значеніе.

Прогрессъ науки и измѣненія условій человѣческаго существованія будутъ ставить все новыя задачи воспитанію и образованію вообще, и преподаванію и роли математики въ немъ въ частности. И въ этомъ отношеніи даже для такой точной науки, какъ математика, возможны различныя воззрѣнія, возможны различные взгляды на то, что можно и должно преподавать, и на то, какъ можно и . должно преподавать.

Національныя различія играютъ здѣсь можетъ-быть меньшую роль; если сила традиціи или культурная отсталость осуждаютъ въ иной странѣ математику на подчиненную роль въ школьномъ образованіи, это не можетъ мѣшать отдѣльнымъ просвѣщеннымъ представителямъ націи держаться наиболѣе прогрессивныхъ воззрѣній и стоять на одномъ уровнѣ съ представителями наиболѣе передовыхъ націй. Съ другой стороны цѣлый рядъ намѣченныхъ вопросовъ, хотя бы вопросъ объ экзаменахъ или о значеніи совмѣстнаго обученія мальчиковъ и дѣвочекъ, выходитъ за предѣлы только преподаванія математики. Это вопросы обще-педагогическіе, и по отношенію къ нимъ компетентны педагоги вообще.

Понятно поэтому, что дѣятельность Комиссіи сосредоточилось главнымъ образомъ на первой задачѣ. Первый годъ ушелъ на подготовительную организаціонную работу, на образованіе національныхъ подкомиссій. Центральному Комитету приходилось прибѣгать къ дипломатическому посредничеству.

Собравшись въ Карлсруэ 5—6-го апрѣля 1909 г. Комитетъ подвелъ итоги сдѣланному въ различныхъ странахъ. Изъ 18 участвующихъ странъ делегаціи были уже организованы въ 16 (кромѣ Бельгіи и Великобританіи*).

Но на собраніи въ Базелѣ 28-го декабря того же года**) Центральный Комитетъ могъ уже констатировать организацію дѣла и въ этихъ двухъ странахъ: въ Бельгіи роль делегата принялъ на себя проф. Льежскаго Университета J. Neuberg, одинъ изъ основателей геометріи треугольника и соредакторъ журнала Mathesis,—который и сорганизовалъ бельгійскую подкомиссію. Въ Англіи сэру Дж. Гринхиллю удалось заручиться содѣйствіемъ Board of Education, учрежденія, не вполнѣ соотвѣтствующаго нашимъ оффиціальнымъ учрежденіямъ, не столько завѣдывающаго народнымъ образованіемъ, сколько играющаго роль центральнаго статистическаго комитета по дѣламъ народнаго образованія.

Въ настоящее время состояніе работъ отдѣльныхъ подкомиссій представляется въ слѣдующемъ видѣ.

Вполнѣ закончены и отпечатаны доклады подкомиссій Французской, Бельгійской, Голландской, Шведской, Швейцарской. Очень много сдѣлала Германская подкомиссія подъ личнымъ руководствомъ проф. Ф. Клейна: ею уже опубликовано 20 выпусковъ изъ числа проэктированныхъ пяти томовъ***). Но значительное разнообразіе постановки преподаванія въ различныхъ автономныхъ единицахъ, входящихъ въ составъ Германской Имперіи, очень умножаютъ число отдѣльныхъ отчетовъ, а стремленіе дать выраженіе различнымъ сторонамъ дѣла, такъ или иначе связаннымъ съ преподаваніемъ, значительно увеличили первоначально проэктированное число рефератовъ. Это выяснилось уже на Ми-

*) См. Циркуляръ Комитета № 1 Enseignement math. 15. У. 1909.

**) Циркуляръ № 2. Enseign. Math. 15. III. 1910.

***) Распредѣленіе матеріала въ нихъ таково: I. Среднія школы въ Сѣверной Германіи, II. Среднія школы Южной и Средней Германіи, III. Отдѣльные вопросы математическаго преподаванія, ІV. Математика въ техническихъ школахъ, У. Математика въ народныхъ школахъ и учительскихъ институтахъ.

ланскомъ съѣздѣ, гдѣ проф. Клейнъ сообщилъ намъ, что Германской Подкомиссіи останется работы еще на годъ послѣ Кембриджскаго съѣзда.

Германская система публикаціи отдѣльными выпусками принята и въ Австріи, національная подкомиссія которой также выпустила рядъ отчетовъ (до сего времени 20 отчетовъ въ 11 тетрадяхъ),—которые въ цѣляхъ болѣе широкаго распространенія среди австрійскихъ педагоговъ безплатно прилагаются къ двумъ австрійскимъ педагогическимъ журналамъ „Zeitschrift für d. österreichische Gymnasien“ и „Zeitschrift für das Realschulwesen“.

Той же системѣ слѣдуетъ и Венгрія, опубликовавшая пока четыре изъ предположенныхъ 12 отчетовъ.

Но французская система опубликованія отчетовъ не отдѣльными выпусками, а цѣлыми томами оказалась для своевременнаго завершенія дѣла лучшею. То, что на Брюссельской конференціи (авг. 1910 г.) было обѣщано отъ имени французской подкомиссіи ея представителемъ С. Bourlet, къ Миланскому съѣзду, въ сентябрѣ 1911 года оказалось и выполненнымъ. И маститый предсѣдатель французской подкомиссіи А. de St. Germain съ чувствомъ законной гордости представилъ собранію вполнѣ готовые и отпечатанные всѣ пять томовъ французскаго отчета*). Отчеты эти въ высшей степени интересны и поучительны, особенно томы, касающіеся средняго и высшаго образованія. Но излагая хорошо, сжато, безъ лишняго многословія современное положеніе дѣла преподаванія математики, какъ оно сложилось послѣ реформы 1902—1905 г.г., и вкратцѣ давая даже историческую перспективу, эти отчеты сравнительно мало мѣста удѣляютъ 2-й части программы. Отвѣты на поставленные въ ней вопросы, пожалуй, даже и есть, но они разбросаны въ видѣ отдѣльныхъ замѣчаній, и можно, пожалуй, согласиться, что къ пяти томамъ хорошо бы прибавить еще шестой, дающій общіе выводы, которые невольно напрашиваются при чтеніи того или другого тома и его сравненіи съ предварительнымъ докладомъ.

Но и система работы усвоенная германской подкомиссіей имѣетъ свою хорошую сторону. Конечно, при ней попадаетъ въ печать кое что лишнее и малоинтересное, но за то получается не мало интереснѣйшихъ детальныхъ изслѣдованій, которымъ не нашлось бы мѣста, будь вся работа уложена въ строго размѣренныя рамки. Достаточно указать въ качествѣ примѣра работу Timerding'а: „Математика въ учебникахъ физики“, въ которой онъ показываетъ, какъ необходимость пользованія понятіями такъ называемой высшей математики и невозможность опираться на нихъ заставляетъ физиковъ въ качествѣ суррогата прибѣгать къ методамъ, существовавшимъ до изобрѣтенія анализа безконечно малыхъ; укажемъ далѣе на интересную монографію Р. Шиммака о движеніи въ пользу реформы преподаванія математики въ

*) T. I. Начальное образованіе, ред. Ch. Bioche. II. Среднее образованіе ред. Ch. Bioche. Ш. Высшее образованіе, ред. de St. Germain. IV. Техническое образованіе, ред. Р. Rollet. V. Женское образованіе, ред. M-le Amieux. Изд. фирмы Hachette въ Парижѣ.

Германіи; поучительны обзоры учебной математической литературы, составленные Лицманомъ для среднихъ школъ Пруссіи и для начальныхъ школъ. А его же организація математическаго преподаванія въ среднихъ мужскихъ учебныхъ заведеніяхъ Пруссіи даетъ интересные примѣры примѣненія системы объѣздовъ референтомъ интересныхъ въ томъ или другомъ отношеніи учебныхъ заведеній.

Весьма интересна и своеобразна организація дѣятельности американской національной подкомиссіи. Американская делегація—D. Е. Smith, W. Osgood, J. W. A. Joung, избрала президентомъ D. E. Smith’a, организовала особый при себѣ Совѣтъ въ составѣ настоящаго комиссара по народному образованію (United States Comissioner of Education), настоящаго и бывшихъ предсѣдателей Американскаго Математическаго Общества и Американской Федераціи преподавателей математическихъ и естественныхъ наукъ и президентовъ трехъ большихъ американскихъ университетовъ Гарвардскаго (Кембриджъ, Масе.), Чикагскаго (Chicago) и Колумбійскаго (New Iork. City), въ качествѣ совѣщательнаго органа для обсужденія болѣе важныхъ вопросовъ. Составлена обширная организація, распредѣляющая работу на 16 комитетовъ, подраздѣляющихся въ свою очередь на подкомиссіи, въ общемъ числѣ 77, для разработки отдѣльныхъ вопросовъ намѣченныхъ въ предварительномъ докладѣ; значительная часть посвящена изученію различныхъ типовъ школъ. Изъ остальныхъ отмѣтимъ 4. Подкомиссія отдѣла о подготовкѣ преподавателей: „Ошибки въ методахъ преподаванія, ихъ природа, причина и средства ихъ устраненія“. Ком. XI: вліянія улучшающія работу преподавателя: 1. Періодическія изданія, 2. Ассоціаціи учителей, въ томъ числѣ кружки для чтенія. 3. Учительскіе институты, 4. Надзоръ за учителями со стороны Государства, 5. Работы издателей и ихъ агентовъ. Отчеты подкомиссій и комитетовъ, дающіе представленіе о современномъ положеніи дѣла и объ измѣненіяхъ заявленныхъ достаточнымъ числомъ преподавателей, могутъ однако выражать и собственныя пожеланія комиссій и подкомиссій. Они направляются въ національную подкомиссію послѣ, если возможно, обсужденія на съѣздахъ и въ періодическихъ изданіяхъ. Бъ настоящее время всѣ эти предварительные отчеты готовы, общій же отчетъ будетъ изданъ Bureau of Education. Изъ отдѣльныхъ отчетовъ 3 появилось въ Бюллетенѣ Американскаго Матем. Общества (Подготовка къ научнымъ изслѣдованіямъ и степень доктора математики; Подготовка инструкторовъ по математикѣ для колледжей и университетовъ; Университетскіе курсы математики и степень магистра).— Говорить о нихъ подробнѣе лучше однако послѣ появленія всѣхъ работъ Американской Подкомиссіи.

Изъ законченныхъ отчетовъ значительный интересъ представляетъ отчетъ Шведской Подкомиссіи изданный пр. Helgi von Koch и Oberlehr Е. Görasson'омъ. Какъ говорятъ они въ вступительной статьѣ, вопросъ о цѣли математическаго преподаванія въ школѣ и въ связи съ этимъ изысканіе наиболѣе подходящаго способа организаціи этого преподаванія давно уже дебатируется въ

педагогическихъ кругахъ Швеціи. Были и есть въ Швеціи представители мнѣнія, что математика должна играть главнымъ образомъ служебную роль, должна служить орудіемъ для практической жизни и для извѣстныхъ искуствъ и наукъ, и что поэтому изъ учебнаго плана надо исключить всѣ тѣ части, которыя не служатъ этой цѣли. Но было въ Швеціи достаточно представителей и противоположнаго воззрѣнія,—что главнѣйшею задачею математики въ школѣ является развитіе мыслительной способности ученика, какъ въ формальномъ такъ и въ реальномъ отношеніи. Сторонники этого взгляда трудились надъ преобразованіемъ преподаванія въ этомъ направленіи.

Эти противоположныя теченія увѣнчивались поперемѣннымъ успѣхомъ, и въ настоящее время дѣло стоитъ въ общемъ такъ, что обѣ точки зрѣнія нашли извѣстное признаніе въ постановкѣ преподаванія въ разнаго рода школахъ. Какъ особенно важное съ указанныхъ точекъ зрѣнія, выставляютъ совершенно справедливо, говорятъ Н. v. Koch и С. Görasson, понятіе о функціи вмѣстѣ съ соотвѣтствующими графическими представленіями, и въ послѣднее время въ Швеціи, какъ и въ другихъ культурныхъ странахъ, обращено вниманіе на значеніе этого понятія для всего міросозерцанія и посредственно на развитіе характера юношества. Указывается, что это понятіе является основнымъ для пониманія явленій природы и ихъ взаимной связи и слѣд. въ извѣстной степени для пониманія самихъ явленій человѣческой жизни.

Швеція не осталась въ сторонѣ отъ могучаго реформаціоннаго движенія, захватившаго въ настоящее десятилѣтіе всю Европу—тому свидѣтельство новые учебные классы, примѣчательные во многихъ отношеніяхъ, которые установлены для реальныхъ училищъ и для гимназій. Существенная ихъ особенность—введеніе понятія о функціи, а для реальныхъ гимназій, и началъ анализа безконечно-малыхъ. Затруднительный вопросъ о томъ, въ какой мѣрѣ надо ограничить и переработать другія части предмета, чтобы дать мѣсто этимъ новшествамъ, намѣченъ этимъ учебнымъ планомъ, но такое рѣшеніе не считается шведскими педагогами окончательнымъ, такъ какъ нехватаетъ еще достаточнаго опыта. И отчетъ не ограничивается констатированіемъ фактическаго положенія вещей, но и указываетъ по всѣмъ пунктамъ, въ какихъ направленіяхъ намѣчаются желательныя измѣненія.

Я оставляю въ сторонѣ вопросъ о математикѣ въ народной школѣ Швеціи, хотя отмѣчу мимоходомъ, что кромѣ ариѳметики проходится и геометрія, при чемъ планиметрія не отдѣляется отъ стереометріи, но въ каждый изъ двухъ лѣтъ ученія проходятъ нѣкоторыя плоскія фигуры и пространственныя, которыя на нихъ опираются; курсъ этотъ эмпирическаго характера, съ практическою цѣлью „чертить, описывать и измѣрять" и соединяется съ курсомъ линейнаго черченія. Что же касается народныхъ школъ высшаго разряда—высшихъ народныхъ школъ (Отчетъ называетъ ихъ Fortsetzungtschulen),—немногихъ по числу (въ 1909 ихъ было 31 съ 1000 учениками и ученицами), но важныхъ по положенію въ системѣ, а также по задачѣ и хорошему въ общемъ устройству,

то ихъ курсъ совпадаетъ приблизительно съ курсомъ реальныхъ училищъ. Я остановлюсь главнымъ образомъ на среднихъ учебныхъ заведеніяхъ.

Съ 1904 г. общеобразовательныя среднія учебныя заведенія Швеціи раздѣлены на гимназіи и реальныя училища, и школы болѣе низшаго типа преобразованы въ реальныя училища. Реальное училище состоитъ изъ 6 одногодичныхъ классовъ, съ 5 уроками математики во 2, 3, 4 и 6 классахъ и 4 уроками въ 1-мъ и 5-мъ. Реальное училище имѣетъ цѣлью, выходя изъ области дѣятельности народной школы, давать общее образованіе для среднихъ классовъ. Въ учебномъ планѣ цѣлью преподаванія математики ставится дать учащимся знаніе и умѣнье производить ариѳметическія дѣйствія, въ особенности въ приложеніи къ задачамъ обыденной жизни, а также освоенность съ элементарными понятіями и методами геометріи въ объемѣ, соотвѣтствующемъ требованіямъ общаго буржуазнаго образованія и въ тоже время достаточномъ для подготовки къ тѣмъ заведеніямъ для продолженія образованія, которыя примыкаютъ къ реальному училищу. Въ ариѳметикѣ очень рано начинается счетъ съ децималями (Dezimalen),—тогда не говорить еще о дробяхъ вообще; правило тройное самымъ учебнымъ планъ ограничивается легкими примѣрами, для которыхъ оно является дѣйствительно методомъ рѣшенія; правило процентовъ въ 7-мъ классѣ должно ограничиваться примѣрами, гдѣ разыскивается процентъ. Понятіе объ ирраціональномъ числѣ, если время позволитъ, вводится въ пятомъ, въ противномъ случаѣ въ 6-мъ классѣ. Учебный планъ подчеркиваетъ, что планиметрическія задачи на вычисленіе составляютъ естественный исходный пунктъ для введенія ирраціональныхъ чиселъ, указывая въ противоположность предложеніямъ Комиссіи 1902 г., что безъ квадратичныхъ ирраціональностей область преподаванія была бы слишкомъ съужена; однако вмѣсто обычнаго пріема извлеченія квадратныхъ корней предлагается пользоваться таблицами*), для объясненія которыхъ предлагается, чтобы ученики сами вычислили рядъ корней изъ чиселъ графическимъ путемъ при помощи діаграммы у = Xа, можетъ быть съ примѣненіемъ теоремы Пиѳагора, и такимъ путемъ составили бы сами часть таблицы квадратныхъ корней. Это новшество вызвало очень мало возраженій при анкетѣ организованной Шведской подкомиссіей; поступило только 2 возраженія при чемъ въ одномъ случаѣ требовалось полное устраненіе ученія объ ирраціональныхъ числахъ изъ школы, мотивированное плохими результатами обнаруженными на экзаменахъ, зависящими отъ недостатка хорошихъ учебниковъ и неспособности учителей отрѣшиться отъ привычныхъ пріемовъ преподаванія и перейти къ новымъ. Относительно геометріи отчетомъ отмѣчается, что Швеція едва ли не раньше другихъ странъ еще съ 1820 г.—ввела пропедевтическій курсъ—имѣвшій цѣлью подготовить учениковъ къ систематическому курсу, сдѣлавъ имъ

*) Такія таблицы изданы Hagströn’омъ 1907, Hedström-Rebhndahl, 1910, Malmborg-Norén 1910.

знакомыми основныя геометрическія понятія, но выродившійся въ отдѣльный отъ геометріи курсъ Anschaungslehre и линейнаго черченія. Въ настоящее время этотъ пропедевтическій курсъ сопровождается упражненіями въ измѣреніяхъ и проч., въ различномъ объемѣ въ различныхъ заведеніяхъ, и изъ 60 отвѣтовъ анкеты по этому вопросу только два отзываются отрицательно, большая же часть считаетъ его единственно правильнымъ методомъ начальнаго преподаванія геометріи и указываетъ на вызываемый имъ интересъ. Въ дальнѣйшемъ ходѣ занятій учебнымъ планомъ помимо точныхъ построеній рекомендуется вычерчиваніе діаграммъ и проч. Интересно отмѣтить, что подчеркивая въ преподаваніи геометріи развитіе полнаго пространственнаго воззрѣнія, учебный планъ предоставляетъ преподавателю устанавливать въ зависимости отъ состава класса тотъ объемъ, въ которомъ онъ пройдетъ обязательный для 6-го класса курсъ началъ стереометріи. Нельзя обойти также молчаніемъ, что новый учебный планъ сдѣлалъ то, чего не могли подѣлать всѣ разсужденія на протяженіи всего 19 столѣтія: державшееся въ силу вѣковой традиціи преподаваніе по „Началамъ“ Евклида быстро исчезаетъ (хотя учебный планъ и даетъ указанія какъ это дѣлать), и если въ 1904/5 въ 60 школахъ пользовались Евклидомъ, а только въ 15 новыми книгами, то черезъ четыре года въ 1908/9 г. цифры почти обратныя.

Переходимъ теперь къ гимназіямъ, имѣющимъ за собою въ Швеціи долгую исторію,—первая основана была Густавомъ II Адольфомъ въ 1620 году. Въ настоящее время, въ результатѣ послѣдней реформы учащійся продѣлываетъ 5 первыхъ лѣтъ въ реальномъ училищѣ, гдѣ преподаваніе свободно отъ латинскаго языка, и лишь затѣмъ начинается бифуркація: или ученикъ переходитъ въ 6-й классъ реальнаго и въ немъ оканчиваетъ, или же переходитъ въ гимназію—реальную или латинскую, въ которой и остается еще четыре года, при чемъ въ латинской гимназіи онъ можетъ съ 3-го класса обратиться къ чисто-классическому отдѣленію, безъ математики и рисованія, но съ греческимъ языкомъ*). Число часовъ, посвящаемыхъ математикѣ, таково:

*) Вотъ схема взаимоотношенія:

Реальное училище

Реальная гимназія

безъ латыни.

Латинская гимн.

Чисто-класс.

Съ греч. яз.

I. II. III. IV. Итого. До реф.

Реальная гимназія. . . 1 7 6 6 6 25 26

Латинская гимназія. . 5 4 4 5 18 18

Классич. отд 5 4 0 0 9 16

Такимъ образомъ число часовъ при произведенной реформѣ не увеличено, а даже уменьшено. Тѣмъ не менѣе въ алгебрѣ дается примѣненіе прямоугольныхъ координатъ для графическаго изображенія и изученія простыхъ функцій; съ 3-го класса реальной гимназіи вводится сверхъ того понятіе о производной и аналитико-геометрическое изученіе кривыхъ 2-го порядка. Понятіе объ интегралѣ въ учебномъ планѣ не фигурируетъ, но во многихъ гимназіяхъ оно было введено съ успѣхомъ и примѣнялось къ вычисленію площадей и объемовъ и къ задачамъ динамики.

Но я не буду останавливаться долѣе на интересномъ отчетѣ шведской подкомиссіи, который умѣло соединяетъ въ небольшомъ сравнительно объемѣ не только очеркъ современнаго положенія вещей въ связи съ прошлымъ преподаванія математики, но и указываетъ, какъ мы видѣли, и тѣ измѣненія, какія находятъ желательными шведскіе педагоги.

До извѣстной степени даютъ это послѣднее и другіе отчеты; напр., въ Бельгійскій отчетъ включена въ качествѣ заключительной статья. H. Ploumen, Inspecteur de l’Enseignement moyen: „Les tendances actuelles de l’énseignemeut mathématique en Belgique et leur influence sur les méthodes et les programmes“.

Но если бы международная Комиссія выполнила одну только первую часть задачи,—дала бы только обстоятельно составленный компетентными лицами обзоръ того, какъ и въ какомъ объемѣ преподается математика въ различныхъ культурныхъ странахъ, то и тогда, дѣло Комиссіи надо было бы признать большимъ и въ высшей степени полезнымъ. Уже одна возможность сравненія положенія преподаванія въ своей странѣ съ тѣмъ, что сдѣлается у сосѣдей, вызываетъ соревнованіе и освѣщаетъ путь, которому должно слѣдовать.

Но работа Комиссіи будетъ и при этомъ имѣть значеніе, конечно, и для второй части программы. Практика ея дѣятельности показала невыполнимость первоначальнаго заданія Римскаго Конгресса. Этотъ общій отчетъ, который долженъ былъ подвести итоги, очень интриговалъ первое время дѣятелей Комиссіи, и даже на Брюссельскомъ собраніи о немъ еще говорили, хотя пожалуй болѣе неопредѣленно. На Миланскомъ съѣздѣ стало ясно, что такого отчета по крайней мѣрѣ Кембриджскому Конгрессу представлено не будетъ, вмѣсто этого предсѣдателемъ Комиссіи будетъ внесено предложеніе продолжить до слѣдующаго конгресса работу Комиссіи, но для меня лично ясно, что такого

общаго отчета, какъ резюме всей дѣятельности Комиссіи, не будетъ и вообще. Будутъ закончены отчеты отдѣльныхъ національныхъ подкомиссій, и всякій желающій будетъ изъ нихъ черпать свѣдѣнія о фактическомъ положеніи преподаванія въ различныхъ странахъ. Матеріалъ этотъ будетъ несомнѣнно пополняться и освѣжаться регистраціей новыхъ мѣропріятій въ области учебнаго дѣла вообще и учебныхъ плановъ математики въ частности.

Но вмѣсто общихъ отчетовъ жизнь выдвинула другое,— періодическіе съѣзды дѣятелей Комиссіи, или вѣрнѣе лицъ, интересующихся вопросомъ преподаванія математики во всемъ его объемѣ.

Такихъ съѣздовъ было уже два—въ Брюсселѣ и въ Миланѣ. Успѣхъ этихъ опытовъ показываетъ, что и въ дальнѣйшемъ этимъ именно путемъ можно будетъ прійти къ хорошимъ результатамъ и въ области подведенія итоговъ. Вопросъ о томъ, какой методъ преподаванія той или другой математической дисциплины лучше, рѣшается не статистическимъ путемъ, какъ нельзя получить типичный портретъ математика, накладывая хотя бы сто портретовъ математиковъ одинъ на другой. Напротивъ живой обмѣнъ мнѣній по вопросу, заранѣе намѣченному, можетъ дать несравненно больше.

Такими вопросами на Миланскомъ съѣздѣ были:

I. Строгость въ математическомъ преподаваніи средней школы. Въ какой степени можно въ средней школѣ придерживаться систематическаго изложенія математики.

II. Вопросъ о сліяніи различныхъ вѣтвей математики въ средней школѣ.

III. Каково должно быть математическое образованіе, теоретическое и практическое для физиковъ и натуралистовъ.

На Кембриджскомъ Конгрессѣ послѣдній вопросъ будетъ обсуждаться снова въ отношеніи въ частности физиковъ (математика въ университетскихъ занятіяхъ физиковъ). Другой вопросъ, поставленный на порядокъ для—интуиція и опытъ въ преподаваніи въ средней школѣ*).

Да позволено будетъ въ заключеніе остановиться на отношеніи работы Международной Комиссіи къ Россіи. Русская подкомиссія къ Кембриджскому съѣзду почти закончитъ свою работу: изъ предположенныхъ 16 отчетовъ 10 уже отпечатаны, остается отпечатать еще 6 отчетовъ, которые уже представлены. Въ своей совокупности они даютъ представленіе, какова въ настоящее время организація преподаванія математики, каковы учебные планы и программы ея въ учебныхъ заведеніяхъ различныхъ типовъ. Этимъ заканчивается обязательная часть работы, то, что Россія должна сдѣлать для заграницы. Но намъ самимъ можетъ быть важнѣе другое,—важно использовать возможно болѣе полно работу Комиссіи для насъ самихъ, для чего нужно прежде всего болѣе детальное знакомство русской математической публики съ

*) См. Enseignement Math. 15. III. 1012, гдѣ приведены и опросные циркуляры С. Runge и W. Lietzmann’a.

результатами дѣятельности Комиссіи, съ постановкою и особенностями преподаванія математики въ различныхъ странахъ. Краткіе отчеты, въ родѣ настоящаго доклада, для этого не достаточны,— нужно что-нибудь болѣе детальное.

Во-вторыхъ опытъ Международной Комиссіи необходимо использовать въ томъ отношеніи, чтобы по примѣру нѣкоторыхъ странъ выполнить нѣкоторыя работы безусловно необходимыя.

Таковъ напр., вопросъ объ обзорѣ существующихъ учебниковъ: для русскихъ педагоговъ было бы въ высшей степени полезно имѣть работу подобную работѣ Лицманна, можетъ быть въ нѣсколько иномъ духѣ, скорѣе критико-библіографическаго характера, указатель наличной учебной литературы.

Было бы желательно организовать и у насъ анкету, подобную той, которую устроила Шведская подкомиссія. Словомъ, есть цѣлый рядъ работъ, которыя могутъ быть осуществлены лишь при дружной коллективной работѣ, блестящій примѣръ которой даетъ намъ Международная Комиссія по преподаванію математики.

Михаилъ Евсевіевичъ Головинъ.

В. Бобынинъ. Москва.

Въ засѣданіи 13 августа 1781 года академикъ Штелинъ прочелъ и затѣмъ передалъ Конференціи адресованное на его имя генералъ-маіоромъ Безбородко письмо, при которомъ препровождались по повелѣнію Императрицы въ Академію для испытанія и отзыва изобрѣтенная придворнымъ часовщикомъ Робертомъ Гайнамомъ машина и ея описаніе, которое также было прочтено Штелиномъ въ нѣмецкомъ переводѣ. Назначеніе машины состояло въ опредѣленіи скорости звука и разстоянія, съ котораго онъ распространяется. Производство опытовъ надъ нею при непремѣнномъ условіи присутствія при нихъ изобрѣтателя Академія возложила на Коммиссію, въ составъ которой были избраны академикъ Краффтъ, адъюнкты Фуссъ и Головинъ и Непремѣнный Секретарь. О результатахъ работъ этой Коммиссіи извѣстно также мало и по тѣмъ же причинамъ, какъ и въ предыдущихъ случаяхъ. Только объ изобрѣтателѣ можно сказать, что онъ продолжалъ заниматься тѣмъ же предметомъ и послѣ. Такъ въ засѣданіи Академіи 25 августа 1783 года было заявлено, что придворный часовщикъ Тайнамъ проситъ позволенія представить въ публичномъ собраніи Академіи изобрѣтенный имъ инструментъ для производства новыхъ опытовъ надъ скоростью звука. По мнѣнію Конференціи просьбу слѣдовало удовлетворить, а проф. Краффтъ предложилъ и тѣмъ взялъ на себя обязательство дать въ этомъ публичномъ собраніи отчетъ о механизмѣ и употребленіи инструмента Гайнама, а также и о томъ, что уже найдено о скорости звука и что еще остается сдѣлать по этому предмету, особенно въ отношеніи вліянія большихъ холодовъ на распространеніе звука.

Въ „Протоколахъ засѣданій Конференціи Академіи“ не содержится никакихъ свѣдѣній о томъ, продолжали ли Головинъ

и Фуссъ, заниматься составленіемъ мемуаровъ Эйлера, послѣ того какъ сдѣлались адъюнктами. Опредѣленнымъ образомъ сообщается въ „Протоколахъ“ только о представленіи, а иногда и о чтеніи, въ засѣданіяхъ Академіи Головинымъ или Фуссомъ по порученію Эйлера его мемуаровъ. Однимъ Головинымъ были представлены Академіи съ 24 апрѣля 1776 по 20 марта 1780 года 78 мемуаровъ Эйлера. Изъ нихъ въ засѣданіяхъ Академіи имъ были прочитаны 29. Между этими послѣдними 13 принадлежали чистой математикѣ и 16 прикладной. Превосходство второго числа надъ первымъ обнаруживаетъ, какъ, впрочемъ, и вся ученая дѣятельность Головина, большее по сравненію съ чистою математикою тяготѣніе его къ прикладной. Засѣданіе 4 ноября 1779 года было послѣднимъ, въ которомъ Головинъ выступалъ передъ Академіей съ чтеніемъ мемуаровъ Эйлера. Что же касается Фусса, то онъ продолжалъ ихъ представленіе Академіи почти до дня смерти автора. Послѣдній мемуаръ онъ прочелъ именно 14 августа 1783 г. Можно, поэтому, думать, что въ отношеніяхъ между Головинымъ и Эйлеромъ съ 1780 года произошла какая-то перемѣна.

Учено-литературная дѣятельность Головина въ то время, когда онъ состоялъ въ числѣ активныхъ членовъ Академіи Наукъ, слагалась, во-первыхъ, изъ занятій переводами, во-вторыхъ, изъ сочиненія оригинальныхъ произведеній и, въ-третьихъ, изъ составленія и редактированія главнаго или „большаго“ изъ издаваемыхъ Академіею на русскомъ и частью на нѣмецкомъ языкахъ многихъ календарей.

За единственнымъ исключеніемъ всѣ переводы Головина во время его адъюнктства были сдѣланы имъ не по собственному почину, а по предложенію начальства. Число ихъ, если не считать упомянутыхъ уже выше вызванныхъ участіемъ Головина въ комиссіяхъ по разсмотрѣнію и оцѣнкѣ представляемыхъ въ Академію изобрѣтеній, равнялось четыремъ или даже пяти. Изъ нихъ на первомъ мѣстѣ по своему значенію цѣннаго вклада въ возникающую русскую ученую литературу долженъ быть поставленъ порученный Головину по приказанію Директора Академіи Домашнева въ засѣданіи 21 августа 1780 года переводъ на русскій языкъ сочиненія, увѣнчаннаго отъ Академіи назначенною на этотъ годъ преміею.

Темою, предложенною для соисканія упомянутой преміи, была слѣдующая: Quelle est la nature et le caractère des sons des voyelles, si essentiellement différens entr’eux? Si l’on ne pourrait pas construire des instrumens semblables aux tuyaux de ce jeu d’Anche connû sous le nom de voix humaine, qui imitassent parfaitement les différentes voyelles a, e, i, o. u, moyennant quelques changemens apportés à la figure du tuyau, du noyau, de l’echalotie, ou de quelque autre partie essentielle, qui influe sur le genre et la qualité du son, et donne au jeu mentionné cette harmonie si agréable et si différente de celle des autres jeux? Послѣ объявленія въ заключеніе публичнаго собранія Академіи Наукъ 18 октября 1777 года Непремѣннымъ Секретаремъ этой темы вмѣстѣ съ относящимися къ ней разъясненіями она была напечатана въ № 86 отъ 27 октября издаваемой Академіею

газеты St. Petersburgische Zeitung и въ Actis Academiae (1777, pars posterior, p. IX—X). Премія состояла изъ золотой медали, цѣною въ 100 дукатовъ. Сочиненія, составляющія отвѣты на предложенную для ея соисканія тему, могли быть написаны на латинскомъ, русскомъ, французскомъ или нѣмецкомъ языкахъ. Крайнимъ срокомъ ихъ представленія Академіи было назначено 31 декабря 1779 года.

Отвѣтомъ на призывъ Академіи было доставленіе ей двухъ работъ по предмету предложенной темы. Изъ нихъ представленною ранѣе, именно въ засѣданіи 9 декабря 1779 года, была принадлежащая очень искусному петербургскому мастеру музыкальныхъ инструментовъ Киршнику. Она состояла изъ запертаго и запечатаннаго ящика, содержащаго въ себѣ органныя трубы, которыя при посредствѣ мѣха и расположенныхъ снаружи клавишей издавали звуки, подобные пяти гласнымъ буквамъ человѣческаго голоса. Хотя академики нашли, что доставляемое инструментомъ выраженіе гласныхъ буквъ, и въ особенности і, а, е, не на столько отчетливо, на сколько этого можно было бы желать, они однако постановили отдать остроумный инструментъ на храненіе въ академическій архивъ до дня того публичнаго засѣданія, въ которомъ состоится присужденіе преміи. Второю изъ двухъ упомянутыхъ работъ былъ представленный Академіи въ засѣданіи 23 декабря 1779 года мемуаръ о природѣ гласныхъ буквъ подъ девизомъ Plus ultra и заглавіемъ „Dissertatio de generi et artificiali imitatione vocalium“ съ присоединеніемъ запечатаннаго пакета и устроеннаго авторомъ органчика, произносящаго гласныя буквы. Произведенное въ засѣданіи 24 августа 1780 года сравненіе этого послѣдняго съ инструментомъ Киршника сдѣлало несомнѣннымъ его значительное превосходство въ отношеніи отчетливости произношенія. Академіи въ виду этого, а также и достоинствъ самаго мемуара, не осталось ничего другого, какъ присудить автору искомую имъ премію въ полномъ размѣрѣ. Что же касается инструмента Киршника, то ему, какъ вполнѣ заслуживающему почетнаго отзыва, были присуждены второстепенная награда и академическая серебрянная медаль. Послѣ окончательнаго утвержденія всѣхъ этихъ рѣшеній въ засѣданіи 11 сентября 1780 года директоръ Академіи вскрылъ запечатанный пакетъ и провозгласилъ имя автора труда, увѣнчаннаго преміей. Этимъ авторомъ оказался профессоръ опытной физики въ Копенгагенскомъ Университетѣ Христіанъ Готтлибъ Кратценштейнъ. Въ послѣдовавшемъ затѣмѣ публичномъ засѣданіи Академіи 19 сентября 1780 года всѣ изложенные результаты конкурса на премію 1780 года были объявлены во всеобщее свѣдѣніе, при чемъ присутствующіе слышали также и игру обоихъ представленныхъ на конкурсъ инструментовъ.

Мемуаръ Кратценштейна, какъ увѣнчанный преміею, былъ напечатанъ Академіею Наукъ отдѣльнымъ изданіемъ, вышедшимъ въ Петербургѣ въ слѣдующемъ 1781 году подъ заглавіемъ „Tentamen resolvendi problema ab Academia scientiarum Imperiali Petropolitana ad annum 1780 publice propositum: 1) Qualis sit natura et character sonorum litterarum vocalium a, e, i, o, u, tarn insigniter inter

se diversorum. 2) An non construi queant instrumenta ordini tuborum organicorum, sub termino vocis humanae noto, similia, quae litterarum vocalium a, e, i, o, u, sonos exprimant. In publico Academiae conventu die XIX septembris MDCCLXXX praemio coronatum (4°; 47 стр., и 2 таблицы чертежей). Упомянутый уже выше русскій переводъ этого сочиненія былъ напечатанъ въ части VI (мѣсяцъ октябрь) выходящаго при Академіи Наукъ періодическаго изданія на русскомъ языкѣ, полное заглавіе котораго слѣдующее: „Академическія Извѣстія на 1780 годъ. Содержащія въ себѣ Исторію наукъ и новѣйшія открытія оныхъ; извлеченія изъ дѣяній славнѣйшихъ Академій въ Европѣ; примѣчанія Физическія и изъ Естественной Исторіи, особенно до Россіи касающіяся; новыя изобрѣтенія, опыты въ Естественной Исторіи, Химіи, Физикѣ, Механикѣ и въ относящихся къ онымъ художествахъ; отличнѣйшія произведенія въ письменахъ во всей Европѣ; Академическія задачи; любопытныя и странныя тяжбы и другія примѣчанія достойныя произшествія“. Полное заглавіе перевода было слѣдующе: „Опытъ рѣшенія предложенной въ публичномъ собраніи на 1780 годъ отъ Санктпетербургской Императорской Академіи Наукъ слѣдующей задачи: I. Какое свойство и характеръ столь различныхъ между собою въ разсужденіи выговора гласныхъ буквъ а, е, і, о, u. II. Не можно ли сдѣлать орудія органическимъ трубамъ извѣстнымъ подъ именемъ человѣческаго голоса подобныя, кои бы произносили гласныя буквы а, е, і, о, и. Часть I. О произхожденіи гласныхъ буквъ. Часть II. О дѣланіи дудокъ, произносящихъ гласныя буквы а, е, і, о, и. Сочиненіе Крацен-штейна. Переведено Адъюнктомъ Михаиломъ Головинымъ. Съ двумя таблицами, содержащими 14 чертежей“.

Самымъ крупнымъ по своимъ размѣрамъ изъ всѣхъ переводовъ Головина во время его адъюнктства былъ порученный ему отъ имени Академіи ея директоромъ Домашневымъ переводъ сочиненія знаменитаго французскаго астронома де ла Ланда Abrégé de l’Astronomie*). Изложенная въ Предисловіи автора цѣль сочиненія состояла въ передачѣ Головина въ слѣдующемъ: „Астрономія изданная мною въ 1764 году въ двухъ, а въ 1771 году въ трехъ томахъ въ четвертку назначена была не только для начинающихъ учиться сей Наукѣ, но и для самыхъ Астрономовъ; тамъ описаны всѣ употребляемые Астрономами способы, открытія вновь учиненныя, наблюденія и употребительныя выкладки и помѣщены изправныя Астрономическія таблицы. Но издавая сіе сочиненіе не зналъ я, что большая часть любителей Астрономіи найдутъ оное весьма пространнымъ и неудобнымъ къ употребленію при слушаніи Наукъ въ университетахъ, по сему надлежало сдѣлать сокращеніе!“ Относительно изложенія предмета въ сочиненіи авторъ въ томъ же Предисловіи говоритъ: „Главное мое намѣреніе состояло въ томъ, что бы толкованія сдѣлать удобовразумительными. Я приводилъ себѣ на память тѣ трудности, кои мнѣ самому

*) Paris 1774; 8°; многократно выходило новыми изданіями и переводилось на разные иностранные языки.

встрѣчались нѣкогда; я ихъ разбиралъ, разрѣшалъ и описывалъ со всякою подробностію и со всевозможною ясностію “. Цѣлью иниціаторовъ перевода этого сочиненія на русскій языкъ было, слѣдовательно, доставленіе учебной книги по астрономіи для изучающихъ эту науку студентовъ русскихъ университетовъ, которыхъ было тогда два: состоящій при Академіи Наукъ и Московскій. Головинъ представилъ свой переводъ Академіи Наукъ въ засѣданіи 22-го октября 1781 года. Постановленіе объ его печатаніи состоялось тогда же и тѣмъ не менѣе появленіе книги въ свѣтъ заставило себя очень долго ждать. Главную причину этого едва ли не слѣдуетъ видѣть въ оставленіи Домашневымъ въ концѣ 1782 года должности директора Академіи Наукъ. Какъ бы то ни было, но переводъ Головина вышелъ въ свѣтъ только въ 1789 году цодъ заглавіемъ „Сокращеніе Астрономіи или Звѣздозаконія г. де ла Ланда, Королевскаго чтеца въ Маѳематикѣ, члена Академій наукъ, Королевской, Парижской, Лондонской, Санктпетербургской, Стокгольмской, Бологнской и проч. и Королевскаго ценсора. Съ Французскаго на Россійской языкъ преложилъ Михайло Головинъ, Надворный Совѣтникъ, Академіи Наукъ членъ и учительской Семинаріи Профессоръ. Въ Санктпетербургѣ, при Императорской Академіи Наукъ 1789 года (8°; 694 стр. и 16 таблицъ).

Послѣ окончанія печатанія этой книги Головинъ прислалъ съ приложеніемъ одного ея экземпляра въ Академію письмо, прочтенное въ засѣданіи Конференціи 30-го апрѣля 1789 года академикомъ Иноходцовымъ. Въ немъ Головинъ просилъ о назначеніи ему вознагражденія за переводъ. Принятою въ Конференціи формою просимаго вознагражденія была выдача просителю экземпляровъ его перевода въ числѣ, опредѣленіе котораго предоставлялось „щедрости“ директора Академіи княгини Дашковой. Эта „щедрость“ не пошла однако же далѣе назначенія 12 экземпляровъ, о чемъ и было объявлено въ засѣданіи 4-го мая.

Третьимъ по времени переводомъ былъ сдѣланный Головинымъ по порученію Конференціи переводъ съ нѣмецкаго языка на русскій написаннаго Непремѣннымъ Секретаремъ отъ лица всѣхъ академиковъ и адъюнктовъ отвѣта на обращенное къ нимъ письмо Генералъ-Прокурора князя Вяземскаго отъ 14-го января 1782 года. Оно было вызвано поданнымъ Императрицѣ прошеніемъ Директора Академіи Домашнева по поводу академическихъ дѣлъ вообще и происшедшихъ между нимъ и членами Академіи несогласій и даже столкновеній въ частности. Въ своихъ отношеніяхъ къ тѣмъ, и другимъ Головинъ не былъ на сторонѣ Директора, что слѣдуетъ какъ изъ его подписи подъ общимъ письмомъ, такъ и изъ приложеннаго имъ къ этому письму еще и своего отдѣльнаго мнѣнія, хотя и по предмету частнаго характера, именно по затронутому Директоромъ въ его упомянутомъ прошеніи вопросу объ общей топографіи Россійской Имперіи.

Четвертымъ изъ переводовъ разсматриваемаго рода былъ порученный Головину въ іюнѣ 1783 года новымъ директоромъ Академіи княгиней Дашковой переводъ какого-то элементарнаго

сочиненія. Свѣдѣній о предметѣ этого сочиненія не имѣется. Несомнѣнно только, что порученіе было спѣшное, такъ какъ его исполненіе не позволило Головину присутствовать на засѣданіи 12-го іюня 1783 года, на что онъ и указывалъ въ своемъ оправдательномъ по поводу этого отсутствія письмѣ въ Академію.

Также, повидимому, вслѣдствіе предложенія начальства, хотя по этому предмету и не имѣется прямыхъ указаній, были сдѣланы Головинымъ для помѣщенія въ календаряхъ, на 1779 годъ русскіе переводы 1) du Mémoire sur les diverses méthodes inventées jusqu’à présent pour garantir les édifices d’incendie, publié, à Bruxelles par Mr. Mann и 2) du Mémoire sur un Rouet à filer des deux mains à la fois, inventé par Mr. de Berniers, Ecuyer. Представленные въ засѣданіи 21-го сентября 1778 года, они были переданы завѣдующему изданіемъ календарей профессору Протасову для помѣщенія въ печатаемыхъ на слѣдующій 1779 годъ. По характеру своего содержанія они нашли себѣ мѣсто въ „Мѣсяцословѣ съ наставленіями на 1779 годъ“, при чемъ второй изъ нихъ сопровождаемый двумя гравированными на мѣди рисунками имѣлъ заглавіемъ „Способъ прясть обѣими руками вдругъ“ (11 стр. 139—150)*).

Переводомъ, сдѣланнымъ Головинымъ во время его адъюнктства по собственному почину, былъ, повидимому, только одинъ, именно представленный Академіи въ засѣданіи 8-го января 1781 года переводъ на русскій языкъ первыхъ шести главъ трактующаго о кривыхъ линіяхъ второго тома сочиненія Эйлера Introductio in Analysin infinitorum**). Назначеніемъ этого перевода по мысли переводчика было служить желающимъ основательно изучить коническія сѣченія. Его разсмотрѣніе и представленіе о немъ рапорта было возложено Академіей на профессора Котельникова, который и представилъ свой рапортъ въ засѣданіи 12-го марта. Вслѣдствіе выраженнаго Котельниковымъ полнаго одобренія труду Головина Конференція постановила немедленно приступить къ его печатанію. По неизвѣстнымъ причинамъ это постановленіе не было исполнено и разсматриваемый переводъ Головина, не смотря на всю свою важность, въ свѣтъ не появился.

Первымъ самостоятельнымъ сочиненіемъ, написаннымъ Головинымъ, былъ представленный Академіи въ засѣданіи 15-го іюня 1780 года „полный“, по выраженію протокола, „трактатъ плоской и сферической тригонометріи на русскомъ языкѣ“. Въ виду того, что до этого времени полнаго русскаго сочиненія по тригонометріи еще не было, авторъ просилъ Академію напечатать, если это будетъ признано необходимымъ, представляемый имъ трудъ. По постановленію Конференціи, рукопись Головина была передана для разсмотрѣнія и отзыва профессору Иноходцову, давшему

*) Перепечатано въ части VIII (Спб. 1792) „Собранія сочиненій, выбранныхъ изъ мѣсяцослововъ на разные годы“ стр. 419—428 и таблица съ 2 фигурами.

**) 2 vol.; 4°; Lausanne 1748. Нѣмецкій переводъ J. А. С. Michelsen’s въ 2 томахъ вышелъ въ 1788—90 г.г. въ Берлинѣ.

ей въ слѣдующемъ же засѣданіи 19-го іюня очень благосклонную оцѣнку. Рукопись Головина была отправлена вслѣдствіе этого для напечатанія въ завѣдующую этимъ дѣломъ академическую Комиссію. Но эта послѣдняя отнеслась къ ней по неизвѣстнымъ пока причинамъ также какъ и къ переводу „Сокращенія Астрономіи“ де ла Ланда, т.-е. выпустила ее въ свѣтъ только въ 1789 году подъ заглавіемъ „Плоская и сферическая тригонометрія съ алгебраическими доказательствами, собранными Михаиломъ Головинымъ, Надворнымъ Совѣтникомъ, Академіи Наукъ Членомъ и учительской семинаріи Профессоромъ“*).

(Продолженіе въ слѣд. №).

Замѣтки по преподаванію геометріи.

Н. А. Извольскій. Москва.

(Окончаніе**))

Нельзя не высказать сожалѣнія, что этотъ признакъ „выдѣленіе части плоскости или пространства“ въ нашемъ курсѣ геометріи занялъ главенствующее мѣсто, такъ что въ нашихъ учебникахъ геометріи мы постоянно встрѣчаемся съ опредѣленіями „многоугольникомъ назыв. часть плоскости....“, „многогранникомъ назыв. часть пространства....“, „тѣломъ назыв. ограниченная со всѣхъ сторонъ часть пространства“. Такая точка зрѣнія, быть можетъ, единственно возможная до возникновенія новой или проэктивной геометріи теперь должна быть замѣнена иною, основанною на томъ, что элементами геометріи являются точки, линіи и поверхности, а остальные сложные геометр. объекты являются комбинаціями основныхъ. Полагаю, что въ томъ обновленіи курса математики въ средней школѣ, которое является цѣлью движенія, во главѣ котораго стоитъ Ф. Клейнъ (см. характеристику этого движенія въ русскомъ переводѣ ариѳметики и алгебры Э. Бореля подъ редакціею В. Ф. Кагана, стр. XIV, XV и д.), долженъ занять подабающее мѣсто новый взглядъ на геометр. объекты, согласованный съ развитіемъ геометрическаго знанія въ XIX и XX столѣтіяхъ.

Правда, уже давно въ нѣкоторыхъ учебникахъ геометріи сталъ устанавливаться взглядъ на многоугольникъ, какъ на комбинацію прямол. отрѣзковъ, а не на часть плоскости, но почему-то въ тѣхъ же самыхъ учебникахъ все еще продолжаетъ значиться опредѣленіе: „Многогранникомъ назыв. часть пространства....“.

Въ противоположность мнѣнію, широко распространяющемуся въ послѣднее время, я позволяю себѣ здѣсь высказать сомнѣніе въ пользѣ такъ называемаго пропедевтическаго курса геометріи, по крайней мѣрѣ въ томъ его видѣ, который рекомендуется для городскихъ училищъ или имѣетъ мѣсто въ учебникахъ Кутузова, Астряба и др. Можетъ быть даже такой курсъ принесетъ вредъ:

*) Въ Санктпетербургѣ, при Императорской Академіи Наукъ, 1789 года. 8°; II + 64 стр. и 3 таблицы чертежей.

**) См. „Мат. Образ.“ № 4.

въ самомъ дѣлѣ накопленіе фактовъ геометрически—эмпирическаго характера безъ достаточнаго углубленія въ изученіе этихъ фактовъ создаетъ въ сознаніи учащагося нѣкоторый хаосъ, упорядочиваніе котораго откладывается почему-то на долгое время, когда уже и не явится желанія разбираться въ накопленныхъ фактахъ,—вѣдь факты интересными являются въ самый моменть ихъ воспріятія сознаніемъ и неиспользованіе этого момента являются крупною педагогическою ошибкою. Быть можетъ возможенъ пропедевтическій курсъ геометріи, который оказался бы полезнымъ и для выработки основнымъ геометрич. образовъ и для осуществленія изъ нихъ болѣе простыхъ комбинацій и даже для изученія послѣднихъ, но такой курсъ долженъ прежде всего освободиться отъ двухъ ошибокъ: 1) курсъ не долженъ начинаться съ разсмотрѣнія какого-то искуственнаго физическаго предмета, именуемаго кубомъ, для созданія котораго требуется уже извѣстный запасъ знанія основныхъ элементовъ и извѣстный навыкъ въ ихъ комбинированіи; курсъ можно было бы начать, смотря по возрасту и развитію дѣтей, или съ наблюденій надъ внѣшнимъ міромъ, изъ которыхъ можно было бы придти къ необходимости воображать линіи какъ бы существующими (линія горизонта, береговая и т. п.) и съ опытовъ, которые ведутъ за собою положеніе, что существуетъ простѣйшая линія, прямая, положеніе которой опредѣляется двумя точками, или, если развитіе дѣтей это позволяетъ, съ установленія положенія: я умѣю строить прямую линію; 2) курсъ не долженъ стремиться, какъ это обычно дѣлается, охватить большую долю матерьяла геометріи; здѣсь должно ограничиться выработкою только основныхъ образовъ, ихъ простѣйшими комбинаціями и изученіемъ послѣднихъ, причемъ неизбѣжно пользоваться самыми простыми проявленіями логики. Почему бы напр. изъ факта однозначности построенія треу-ка по двумъ сторонамъ и углу между ними не придти къ заключенію о справедливости соотвѣтств. признака равенства треуг-ковъ? Почему бы найденными признаками равенства треуг-ковъ не воспользоваться при изученіи нѣкоторыхъ фигуръ?

Оставляя въ сторонѣ вопросъ о выполнимости такого начальнаго курса геометріи, обратимся къ обычному курсу геометріи нашей средней школы. Ничтожность результатовъ, достигаемыхъ этимъ курсомъ и повлекла за собою мысль о необходимости раздѣленія обученія геометріи на пропедевтич. и систематическій курсы.

Но можетъ быть слѣдуетъ приняться за дѣло съ другой стороны, быть можетъ слѣдуетъ кореннымъ образомъ измѣнить курсъ геометріи въ средней школѣ? И достаточно ясно, въ какомъ направленіи надо переработать этотъ курсъ: слѣдуетъ отказаться отъ двухъ положеній прежней методики геометріи, а именно 1) давать словесныя опредѣленія каждому геометр. объекту и 2) все, что не аксіома, доказывать словесными разсужденіями. Взамѣнъ этого надо въ основу положить созданіе образовъ геометр. объектовъ и убѣждать въ справедливости ихъ свойствъ не только словесными разсужденіями, но и наглядными представленіями (можетъ

быть даже послѣднимъ слѣдуетъ отвести доминирующую роль). Не мало есть мѣстъ въ курсѣ геометріи, гдѣ можно, пользуясь нагляднымъ представленіемъ, открыть тѣ свойства, которыя теперь только доказываются. Напр. пусть двѣ палочки изображаютъ двѣ стороны треуг-ка: я держу ихъ въ рукѣ такъ что два ихъ конца соединены вмѣстѣ, указываю что третья сторона вполнѣ опредѣлена, а именно она является прямолинейнымъ отрѣзкомъ, соединяющимъ свободные концы палочекъ. Если я стану увеличивать уголъ между двумя сторонами (палочками), я увижу, что и третья сторона увеличивается. Затѣмъ тѣмъ ученикамъ, которымъ это посильно, можетъ быть предложено и логическое доказательство соотвѣт. теоремы. Можетъ быть даже вовсе слѣдуетъ удалить изъ курса слова „опредѣленіе“, „теорема“, „доказать“, и замѣнить ихъ выраженіями: „я умѣю осуществить (построить) такой-то объектъ“, „я сравниваю его со знакомыми ранѣе объектами и вижу то или другое“, „здѣсь возникаетъ слѣдующій вопросъ“ и т. д.

Планъ разработки какой либо отдѣльной статьи представляется въ такомъ видѣ:

Прежде всего для первоначальнаго ознакомленія съ очереднымъ объектомъ необходимо научиться осуществлять образъ этого объекта, причемъ въ курсѣ элементарной геометріи осуществленіе сводится къ построенію, но кромѣ этого необходимо, когда это возможно, изготовленіе соотвѣтствующей модели. Затѣмъ должно слѣдовать изученіе осуществленнаго объекта, направляемое сопоставленіемъ его съ изученными ранѣе объектами. Затѣмъ должны слѣдовать упражненія на построеніе, причемъ подъ этимъ именемъ я понимаю не задачи на построенія, а упражненія, которыя охватывали бы варьяціи этого образа въ зависимости какъ отъ исходныхъ пунктовъ построенія, такъ и отъ имѣющаго здѣсь мѣсто произвола. Наконецъ, если угодно, можно дать мѣсто чисто логическимъ упражненіямъ: составлять различныя опредѣленія изучаемаго объекта и, пользуясь признаками перечисляемыми въ опредѣленіи, выводить изъ нихъ логически остальные.

Для примѣра разсмотрю изученіе параллелограмма: Первоначальное знакомство съ параллеограммомъ получается при рѣшеніи задачи „построить 2 пары параллельныхъ прямыхъ“ — учащіеся умѣютъ строить пораллельныя прямыя. Затѣмъ разбирается составъ полученной фигуры (4 прямыя, попарно параллельныя и ихъ 4 точки пересѣченія), выясняется, какія изъ прежде разученныхъ фигуръ (фигура съ моей точки зрѣнія есть комбинація основныхъ элементовъ) входятъ въ составъ параллелограмма (прямолинейные отрѣзки, углы); затѣмъ учащіеся упражняются въ построеніи парал-ма циркулемъ и линейкою, а также рисованіемъ отъ руки. Затѣмъ надо обратить вниманіе, что кромѣ сторонъ парал-мъ опредѣляетъ еще два отрѣзка—діагонали; послѣ ихъ построенія получаемъ 8 треугольниковъ*). Выясняются равенства среди этихъ треуг-ковъ, изъ которыхъ вытекаютъ свойства

*) Интересно замѣтитъ, что учащіеся видятъ сначала только 4 „малыхъ“ треуг-ка, но невидятъ четырехъ „большихъ“.

угловъ, сторонъ и діагоналей парал-ма. Отсюда вытекаютъ различные способы построенія парал-ма; среди нихъ самымъ удобнымъ является построеніе 4— угольника, выдѣляющаго опредѣленную часть плоскости, чтобы его противоположныя стороны были равны. Далѣе идутъ упражненія на построенія: построить парал-мъ, если дана одна его вершина, двѣ вершины, 3 вершины, на данной сторонѣ, на данномъ углѣ и т. д.

При этихъ построеніяхъ необходимо подчеркнуть степень произвола въ каждомъ отдѣльномъ случаѣ. Сюда присоединяется дѣленіе отрѣзка пополамъ при помощи параллел-ма. Наконецъ возможны логическія упражненія: напр., составляютъ опредѣленіе парал-ма въ видѣ „парал-мъ есть 4—угольникъ, у котораго діагонали дѣлятся въ точкѣ пересѣченія пополамъ“; исходя изъ этого опредѣленія выясняется параллельность сторонъ и т. п. Замѣчу, что въ дальнѣйшемъ, при изученіи ромба и прямоугольника, удобно направить это изученіе явленіями среди указанныхъ выше 8 треуголъ-никовъ: при разсмотрѣніи парал-ма равными оказываются только противоположные малые треуг-ки и сосѣдніе большіе, въ случаѣ ромба новыхъ равенствъ среди большихъ не обнаруживается, но малые всѣ 4 равны между собою, въ случаѣ прямоугольника всѣ 4 равны между собою, а среди малыхъ только по прежнему равны противоположные. Особыя свойства ромба и прямоугольника открываются изъ разсмотрѣнія только новыхъ, не имѣвшихъ мѣста въ случаѣ паралл-ма, равенствъ.

Для второго примѣра разсмотрю начало стереометріи, гдѣ трактуется о параллельности и перпендикулярности въ пространствѣ. Въ обычномъ изложеніи этотъ отдѣлъ состоитъ изъ доказательствъ ряда теоремъ, неизвѣстно почему возникшихъ, и возбуждаетъ у учащихся чувство скуки. Между тѣмъ этотъ отдѣлъ можетъ и долженъ быть сдѣланъ интереснымъ, такъ какъ онъ имѣетъ дѣло съ рядомъ обобщеній, исходнымъ пунктомъ которыхъ является взаимное расположеніе двухъ прямыхъ на плоскости; здѣсь обобщаются идея параллельности, перпендикулярности, идея угла.

Планъ развитія этого отдѣла представляется желательнымъ построить аналогично слѣдующему примѣрному плану:

Сначала развивается идея параллельности (повидимому, важно, чтобы развитіе одной идеи не переплеталось бы съ развитіемъ другой): изучается вопросъ, какъ построить прямую, параллельную данной, черезъ данную точку пространства; далѣе возникаетъ вопросъ, возможно ли въ пространствѣ расположенія прямой и плоскости, аналогичное расположенію двухъ параллельныхъ прямыхъ. Оказывается возможнымъ построить прямую, не пересѣкающую данную плоскость, для чего слѣдуетъ лишь построить прямую, параллельную любой прямой этой плоскости. Возникаетъ вопросъ, сколько такихъ прямыхъ (параллельныхъ плоскости) можно построить черезъ данную точку; здѣсь же является возможнымъ разсмотрѣть 3 прямыя, попарно параллельныя. Далѣе имѣетъ мѣсто слѣдующій рядъ соображеній и возникающихъ изъ нихъ вопросовъ, на которые надо дать

отвѣты: 1) Черезъ точку внѣ плоскости можно построить безчисл. множество прямыхъ, параллельныхъ плоскости; если мы построимъ только двѣ такихъ прямыя, то ими опредѣлятся положеніе новой плоскости. Нѣтъ ли особенности въ расположеніи этой новой плоскости по отношенію къ данной? (Выяснить, что эти плоскости не пересѣкаются, а потому назыв. параллельными), 2) Такъ какъ черезъ точку внѣ плоскости можно построить множество паръ прямыхъ параллельныхъ данной плоскости, то ими опредѣляется множество плоскостей. Возникаетъ вопросъ: различны ли эти плоскости или всѣ совпадаютъ? (Для отвѣта на этотъ вопросъ необходимо установить предварительно, что если построены двѣ парал. плоскости, то онѣ пересѣкаютъ третью по парал. прямымъ). 3) Далѣе необходимо остановиться на случаѣ трехъ плоскостей попарно параллельныхъ, на углахъ съ парал. сторонами въ пространствѣ.

Далѣе идетъ развитіе идеи перпендикулярности. Въ пространствѣ, также какъ и на плоскости, имѣютъ мѣсто два основныхъ вопроса: 1) дана прямая и точка на ней; можно ли (какъ это сдѣлать?) построить другую прямую черезъ данную точку, перпендикулярную къ первой? и, если можно, то сколько? 2) такіе же вопросы въ случаѣ, если точка дана не на прямой. Изъ того факта, что къ данной прямой черезъ опредѣленную ея точку можно построить безчисл. множество перпендикуляровъ возникаетъ вопросъ, какъ располагаются эти перпендикуляры. Рѣшеніе этого вопроса можно дать или только съ помошью интуиціи (учебникъ Э. Бореля) или провѣрить его еще логическими разсужденіями (курсъ I. henriсі und P. Treutlein; мой курсъ „Геометрія въ Пространствѣ"). Когда такъ или иначе учащіеся освоются съ представленіемъ, что эти перпендикуляры всѣ располагаются въ одной плоскости, то эта особая по отношенію къ данной прямой плоскость можетъ быть названа перпендикулярною къ данной прямой. Изъ того факта, что положеніе плоскости опредѣляется двумя пересѣкающимися прямыми, здѣсь вытекаетъ признакъ перпендикулярности плоскости къ данной прямой или наоборотъ признакъ перпендикулярности прямой къ плоскости. Далѣе возникаютъ 4 основныхъ задачи (въ планиметріи ихъ только 2): 1) къ данной прямой построить перпендикулярную плоскость черезъ точку на прямой, 2) къ данной прямой построить перпендикулярную плоскость черезъ точку внѣ прямой, 3) къ данной плоскости построить перпендикулярную прямую черезъ точку на этой плоскости и 4) къ данной плоскости построить перпендикуляръ черезъ точку внѣ этой плоскости. Здѣсь во всѣхъ этихъ задачахъ имѣютъ мѣсто вопросы: можно ли? и сколько? Рѣшеніе послѣдней задачи требуетъ построенія параллельныхъ прямыхъ, и поэтому здѣсь само собою дѣлается переходъ къ фигурамъ, въ которыхъ сочетаются параллельные и перпендикулярные элементы. Первая изъ такихъ фигуръ, получаемая при рѣшеніи 4-ой задачи, состоитъ изъ двухъ параллельныхъ прямыхъ и перпендикулярной къ нимъ обѣимъ плоскости. Возникаетъ вопросъ о различныхъ способахъ ея осуществленія; при рѣшеніи 4-ой задачи она осуществлялась

въ порядкѣ: къ данной плоскости изъ любой ея точки строимъ перпенд. къ ней (3-ья задача) и черезъ данную внѣ плоскости точку строимъ прямую, параллельную этому перпендикуляру, послѣ чего выясняемъ, что она также перпендикулярна къ плоскости. Другими способами ея осуществленія могутъ быть: 1) строимъ два перпендикуляра къ данной плоскости; параллельны ли они? 2) строимъ 2 прямыя, параллеленыя между собою и перпендик. къ одной изъ нихъ плоскость,—перпендикулярна ли она къ другой?

По аналогіи съ разсматриваемой фигурою возникаетъ вопросъ: нельзя ли построить такую фигуру, въ которой сочетались бы 2 параллельныя плоскости и перпендикулярная къ нимъ обѣимъ прямая? Какими способами ее можно осуществить?

Въ такой формѣ этотъ отдѣлъ стереометріи пріобрѣтетъ ту связность изложенія, которой такъ не хватаетъ ему въ обычномъ курсѣ.

Необходимо отмѣтить, что существуютъ два препятствія, мѣшающія обучить геометріи такъ, какъ это устанавливаются предыдущими примѣрами. Изъ этихъ примѣровъ прежде всего явствуетъ, что ученики должны учиться геометріи главнымъ образомъ въ классѣ; домашняя работа ихъ должна быть сведена къ minimum’y и должна состоять только въ приведеніи въ порядокъ разученнаго въ классѣ; сюда еще могутъ быть присоединены упражненія и можеть быть обдумываніе наиболѣе способными изъ учащихся новыхъ вопросовъ, не затронутыхъ въ классѣ. Для того, чтобы эта большая классная работа могла быть выполнена въ строгой системѣ, для того чтобы учащіеся всѣ принимали въ ней участіе и усвоили ея результаты, прежде всего необходимо много времени, гораздо больше, чѣмъ его теперь отводятъ на геометрію. Затѣмъ вся эта классная работа совершенно не укладывается въ ту внѣшнюю схему преподаванія, которая установилась въ нашей школѣ. Эта схема распадается на 4 момента:

1) преподаватель объясняетъ урокъ, состоящій изъ одной или изъ ряда теоремъ, 2) объясненное задается къ слѣдующему разу, 3) въ одинъ изъ слѣдующихъ уроковъ преподаватель спрашиваетъ заданное и разученное дома (центръ обученія такимъ образомъ падаетъ на домашнюю работу), 4) отвѣтъ учащагося оцѣнивается балломъ.

Вышеизложенный планъ обученія переноситъ центръ обученія на классную работу и поэтому здѣсь не можетъ быть рѣчи о моментахъ характеризуемыхъ словами „задается“ и „спрашивается“, понимаемыми въ смыслѣ нашей установишейся схемы преподаванія. Тѣмъ болѣе здѣсь не можетъ быть рѣчи о томъ, чтобы отвѣтъ урока оцѣнивался балломъ.

Здѣсь пріятно отмѣтить, что въ журналѣ, издаваемомъ при Московскомъ Учебномъ Округѣ „Педагогическій Вѣстникъ Московскаго Учебнаго Округа“ въ статьѣ Я. Кетковича „О преподаваніи математики въ прусскихъ гимназіяхъ“ (№ 5—6 Вѣстника 1911 г.) подчеркивается нѣсколько разъ преимущество системы преподаванія безъ „опросовъ “.Авторъ пересказывая ходъ уроковъ

въ нѣкоторыхъ классахъ говорить, напр.: на стр. 39-ой „Въ теченіе всего часа ни одинъ ученикъ не былъ вызванъ къ доскѣ“, (учитель писалъ на доскѣ самъ все, что было нужно). „Благодаря этому, ученики все время были въ полномъ активномъ вниманіи, ожидая вопроса“. Далѣе авторъ указываетъ особенности этой системы преподаванія (въ общемъ эти особенности согласуются съ вышеизложеннымъ планомъ: Урокъ ведется въ формѣ искусно подобранныхъ вопросовъ, повторяется много разъ пройденное ранѣе, имѣющее отношеніе къ данному вопросу, количественно дѣлается мало, но матеріалъ разрабатывается подробно и тщательно, устраняется возможность механическихъ отвѣтовъ и курсъ связывается въ стройную систему) и замѣчаетъ, что на этомъ урокѣ ученики соблюдали полный порядокъ и всѣ были вовлечены въ работу, при чемъ не было никакой подавленности или принужденности: внѣшняя дисциплина нарушалась напр. тѣмъ, что нѣкоторые ученики, уставъ сидѣть, вставали, потягивались и т. п.

О другомъ урокѣ авторъ говоритъ, что сначала были вызваны два ученика, которые отвѣчали заданный урокъ,—остальные вяло слушали; затѣмъ началось объясненіе урока отчасти по лекціонной системѣ, отчасти по эвристической, съ большимъ преобладаніемъ послѣдней (это былъ урокъ въ старшемъ классѣ),— къ этому ученики отнеслись гораздо живѣе (стр. 40).

Такое же отношеніе автора къ внѣшней схемѣ преподаванія можно видѣть и на стр. 41 при описанія урока геометріи въ III классѣ.

Будемъ надѣяться, что не такъ уже далеко то время, когда средняя школа освободится отъ этой губящей дѣло преподаванія схемы, которая характеризуется словами „задается“ и „спрашивается“.

Задачи и игры изъ дѣтскаго міра, развивающія понятія по логикѣ и статистической теоріи взаимоотношеній.

(Новое слово по вопросамъ преподаванія математики въ средней школѣ).

П. А. Некрасовъ. С.-Петербургъ.

„Міръ управляется числомъ“.

Пиѳагоръ.

По вопросу объ улучшеніи матеріаловъ преподаванія въ средней школѣ высказываются мнѣнія, содержащія много увлеченій, не достаточно провѣренныя и сопряженныя иногда съ ломкою установившихся разумныхъ педагогическихъ традицій. Польза такихъ нововведеній мною оспаривается. Но введеніе въ курсъ средней школы игръ и задачъ, упомянутыхъ въ заглавіи настоящей статьи, желательно и полезно; оно сдѣлало бы огромный шагъ въ развитіи понятій учениковъ средней школы по логикѣ, какъ формальной (дедуктивной), такъ и развѣдочной (ин-

дуктивной, въ смыслѣ хорошаго собиранія фактическихъ свѣдѣній).

Надо помнить, что математическая статистика съ ея индукціями и математическая дедукція лежатъ въ основѣ всего естествознанія и опытныхъ положительныхъ общественныхъ наукъ.

§ 1. Комбинаторныя (сочетательныя) связи между различными комплексами типическихъ явленій выражаются формулами такъ называемой статистической теоріи взаимоотношеній*).

Вопросы этой теоріи заслуживаютъ включенія въ кругъ образовательныхъ задачъ средней школы, ибо даже на простѣйшихъ задачахъ этого рода, доступныхъ дѣтямъ, можно разъяснить связь дедукціи съ индукціей и развить богатый запасъ понятій, необходимыхъ въ научномъ изслѣдованіи окружающихъ, насъ явленій

Популяризація теоріи взаимоотношеній представляла когда-то дѣло, весьма трудное. Но теперь, благодаря русскимъ математикамъ школы Чебышева, Бугаева и Давидова и англійскимъ математикамъ школы Пирсона**), дѣло этой популяризаціи значительно облегчилось. Долгъ средней школы—осуществить эту популяризацію на дѣлѣ преподаванія, вводя соотвѣтствующія упражненія въ игры и задачи учащихся.

Въ настоящей статьѣ я намѣчу главные контуры теоріи взаимоотношеній, оперируя съ помощію простѣйшихъ задачъ, взятыхъ изъ дѣтскихъ игръ. Первая изъ этихъ задачъ сообщена мнѣ одною изъ Московскихъ почтенныхъ дамъ, любящихъ дѣтскій мірокъ. Подобныя задачки заслуживаютъ собиранія и включенія въ математическія хрестоматіи.

§ 2. Вышепомянутыя комбинаторныя связи между различными комплексами типическихъ явленій принадлежатъ по формальному своему образованію (по формальной истинности) къ двумъ логическимъ типамъ: 1) связи по формѣ сужденія совершенно опредѣленныя, вполнѣ достовѣрныя, представляемыя постулатами и опредѣленными уравненіями, и 2) связи, несовершенно опредѣленныя по формѣ сужденія, нуждающіяся въ неопредѣленномъ анализѣ, въ гипотезѣ и разгадкѣ, въ наблюдательности, въ употребленіи записи и индуктивныхъ графическихъ мѣръ исчисленія вѣроятностей и въ компенсаціи или выкупѣ валовыхъ погрѣшностей разгадокъ.

Связи второго типа чрезвычайно важны, ибо они весьма широко распространены въ природѣ вещей; въ этихъ ослабленныхъ, несовершенныхъ связяхъ вѣроятность, какъ воззрѣніе мысли (умозрѣніе) и какъ мѣрило ожиданій, опытныхъ понятій и фактическихъ воспріятій, есть существенный психологическій и логи-

*) Karl Е. Ranke: Die Theorie der Korrelation. (Archiv für Antropologie — Neue Folge, Band IV, Heft 2 und 3. Braunschweig. 1906).—П. А. Некрасовъ: Теорія вѣроятностей. Изданіе 2-е. С.-Петербургъ. 1912. Часть Ш.—Въ ссылкахъ на эту книгу будемъ ниже обозначать ее такъ: „Теор. в.“.

**) G. Udny Yule: An Introduction to Theory of Statistics. London, 1911.-— Отмѣтимъ здѣсь одинъ характерный фактъ. Новѣйшія статистическія теоріи явились въ Россіи не позже, а отчасти даже ранѣе, чѣмъ въ Англіи и Германіи, благодаря вышепомянутой русской школѣ. Но стали объ этихъ теоріяхъ говорить лишь послѣ того, какъ онѣ пришли въ Россію изъ Германіи и Англіи (см. А. А. Чупровъ. Очерки по теоріи статистики. С.-Петербургъ 1909).

ческій элементъ. Эти связи господствуютъ между такими факторами жизни, гдѣ есть жребій скрытой судьбы, игра природы, случайность,

Въ формахъ языка, въ сужденіяхъ логики, въ разговорной рѣчи, въ письменныхъ договорахъ и въ самомъ бытіи связи перваго типа и связи второго типа бываютъ перемѣшаны какъ свѣтъ и тѣни; а потому взаимоотношенія могутъ имѣть то менѣе, то болѣе опредѣленный характеръ. Пояснимъ это на рядѣ задачекъ, кои вмѣстѣ съ тѣмъ послужатъ для разъясненія формальныхъ основъ всей теоріи взаимоотношеній.

Задача 1. (Е. М. Кохманской). Полная колода картъ послѣдовательною сдачею распредѣляется на кучки при соблюденіи слѣдующихъ формальныхъ точныхъ правилъ*): число очковъ первой карты + число остальныхъ картъ каждой кучки составляютъ въ суммѣ 12. Если при этомъ останутся нераспредѣленныя карты, то число очковъ первой изъ нихъ + число остальныхъ картъ <12. По договору игры число очковъ фигуры приравнивается нулю, число очковъ туза приравнивается 1.

Отгадчику А съ завязанными глазами сообщается число п нераспредѣленныхъ картъ и число т кучекъ и предлагается угадать сумму К очковъ первыхъ картъ всѣхъ кучекъ.

Вмѣстѣ съ этою задачею будемъ разсматривать ея видоизмѣненія, напримѣръ:

Задача 2. При сохраненіи всѣхъ условій и данныхъ задачи 1, отгадчику А предлагается угадать сумму Е очковъ первыхъ картъ всѣхъ кучекъ (по вышедшему числу т кучекъ), скрывая отъ него число п нераспредѣленныхъ картъ.

Задача 3. При сохраненіи всѣхъ условій и обоначеній задачи 1, отгадчику А по даннымъ тип предлагается угадать сумму L очковъ первыхъ картъ всѣхъ т кучекъ, увеличенную числомъ очковъ первой изъ нераспредѣленныхъ п картъ, если п^> 0.

Во всѣхъ этихъ задачахъ имѣется элементъ случайности. Но онѣ имѣютъ, какъ увидимъ, различный характеръ.

Числа К и L будутъ функціями двухъ перемѣнныхъ, чиселъ т и п; число Е будетъ функціей объявляемаго одного числа т. Эти функціи опредѣлимъ по теорія взаимоотношеній, примѣняя: 1) неопредѣленный анализъ (когда онъ нуженъ) и 2) опытъ. Въ простѣйшей своей конструкціи теорія взаимоотношеній пытается

*) Карты берутся въ качествѣ инструмента для метанія жребія. Прекраснымъ инструментомъ служатъ также урны (закрытые сосуды съ помѣченными шарами или билетами), употребляемыя въ теоріи вѣроятностей. Но карты, какъ инструментальное пособіе, дешевле, доступнѣе. Въ цѣляхъ упрощенія и педагогическаго приспособленія къ возрасту возможно измѣнить предлагаемую здѣсь задачу 1, а именно—сдавать неполную колоду картъ (менѣе 52), условившись въ счетѣ очковъ каждой карты. Возможно отпечатать колоды изъ N мастей по М картъ въ каждой масти для разныхъ значеній М и X, удовлетворяющихъ условіямъ: М<^ 13 и j\7<4. Игры съ жребіемъ, скрывающимъ рѣшеніе или судьбу, при хорошемъ цѣлесообразномъ руководствѣ могутъ получить въ школѣ важное образовательное значеніе, объясняющее 1) формальные, 2) нормальные и 3) естественные законы явленій.

выразить эти функціи черезъ перемѣнныя съ помощію формулъ типа:

(1)

(2)

(3)

гдѣ АГ, А и А" суть погрѣшности; далѣе

суть пока неизвѣстные постоянные коэффиціенты, открываемые послѣ ряда наблюденій съ помощью нижеуказаннаго интерполяціоннаго правила, стремящагося ослабить роль погрѣшностей А, А и А", изслѣдовать „законы погрѣшностей“, чтобы имѣть возможность по крайней мѣрѣ застраховаться отъ накопленія ихъ въ валовомъ итогѣ.

§ 3. Но въ первой задачѣ погрѣшность А' исключается вполнѣ, что и удивляетъ дѣтей, пока они не найдутъ общаго способа выключить эту погрѣшность.

Игра съ дѣтьми, соотвѣтствующая задачѣ 1, состоитъ въ томъ, что лицо А разъигрываетъ роль „ясновидящаго “ съ завязанными глазами; оно безошибочно опредѣляетъ число К по вышедшимъ при каждомъ данномъ испытаніи числамъ т и п.

Это всегда безошибочное отгадываніе числа К наводитъ на гипотезу, что въ соотношеніи (1) при надлежащемъ подборѣ неизвѣстныхъ а, Ъ и с всегда бываетъ А' = 0. Исходя изъ этой гипотезы, легко опредѣлить неизвѣстныя а, Ъ и с формулы (1); они могутъ быть найдены съ помощію только трехъ опытовъ сдачи колоды, дающихъ наблюдателю три различныхъ группы значеній К, т и п. Если значенія эти будутъ:

то формула (1) приведетъ къ тремъ уравненіямъ:

(4)

Три простѣйшихъ опыта даютъ:

Тутъ въ опытѣ первой сдачи первыя карты всѣхъ четырехъ кучекъ суть фигуры; въ опытѣ второй сдачи первыя карты у трехъ кучекъ суть фигуры, а у четвертой кучки—тузъ; наконецъ, въ опытѣ третьей сдачи первыя карты у трехъ кучекъ суть фи-

гуры, у четвертой кучки—тройка и у пятой кучки—десятка. При этихъ данныхъ опыта уравненія (4) получатъ видъ:

0 = а + 4Ь; 1 = а + 46 + с; 13 = а -[— 5Ь.

Отсюда находимъ неизвѣстныя а, Ъ и с, именно: а = — 52, Ъ= 13, с = 1.

Равенство (1) получаетъ видъ:

= ть —j—13. (ш — 4). (5)

Эта формула опредѣленная; но вообще она недостаточно доказана, не оправдана еще гипотеза, что всегда, при всѣхъ сдачахъ въ соотношеніи:

К = п-\- 13. (т— 4) -j- А

будетъ zf' = 0. Для совершеннаго обоснованія взаимоотношенія нужно его доказать независимо отъ индуктивнаго метода.

Это доказательство ведется слѣдующимъ порядкомъ.

Обозначимъ числа очковъ на первыхъ картахъ каждой кучки при какой либо сдачѣ, символами:

1 ^25 * * * I Ет.

Будемъ имѣть вообще:

К = Ег Е2-\- • • • +Ет.

Сверхъ того сосчитывая число всѣхъ картъ колоды по кучкамъ, получимъ общее уравненіе:

52 = (13 — Et) -j- (13 — Е2) -)- • . .+(13 —Ет) + п.

Отсюда слѣдуетъ неизмѣнная формула: 52 = 13. т—іГ+п, вполнѣ оправдывающая взаимоотношеніе (5), которымъ пользуется въ игрѣ нашъ „ясновидящій“ съ завязанными глазами.

§ 4. Иначе обстоитъ дѣло съ соотношеніемъ (2). Тутъ имѣетъ мѣсто „нехватка“ данныхъ, объявляемыхъ отгадчику; нашъ „ясновидящій“ + зная только т и не зная и, будетъ всегда колебаться и, принужденный къ отвѣту, онъ часто будетъ ошибаться, развѣ случайно скажетъ правду.

Не требуя безошибочности отвѣта, вообразимъ, что субъектъ А обязанъ отвѣчать, какъ честный человѣкъ, по правиламъ статистической теоріи, приспособляющей формулу (2) къ задачѣ честнаго посредника, согласующаго личную свою способность ошибаться („законъ погрѣшности") съ объективною достовѣрностью того, что средняя ариѳметическая изъ всѣхъ погрѣшностей Д при множествѣ s независимыхъ опытовъ сдачи колоды будетъ колебаться въ чрезвычайно узкихъ предѣлахъ, притомъ около нуля*).

*) Попутно ученикамъ можно разъяснить, что подобный способъ опредѣленія узкихъ предѣловъ колебанія средней погрѣшности употребляется

Предположимъ, что элементарныя понятія о вѣроятностяхъ и теорема Чебышева о среднихъ величинахъ пропедевтически сообщены ученикамъ*). Тогда имъ будетъ понятна та достовѣрность, которой обязанъ добиваться „честный маклеръ“, руководясь слѣдующимъ планомъ вычисленія искомыхъ коеффиціентовъ а и ß.

Пусть s опытовъ сдачи привели къ слѣдующимъ значеніямъ Е и т\

Пара чиселъ тк и Ek соотвѣтствуетъ опыту за № к\ погрѣшность Д формулы (2) для этого опыта будетъ:

(6)

Сумма этихъ погрѣшностей будетъ:

Выберемъ а такъ, чтобы сумма 2 А* была нулемъ. Этотъ подборъ сводитъ на нуль валовой итогъ ошибокъ сужденія о явленіяхъ съ помощію уравненія (2). Такое хорошее значеніе а будетъ:

(7)

гдѣ Е0 и ш0 суть статистическія среднеариѳметическія значенія наблюденныхъ чиселъ Е и т**).

Сумма квадратовъ погрѣшностей будетъ:

Изъ различныхъ значеній ß выберемъ то, для котораго 2 J*2 обращается въ минимумъ***). Этотъ интерполяціонный подборъ

страховыми банками, напримѣръ, противъ недорода. Природа, посылая въ разные годы различную погоду, играетъ съ земледѣльцами какъ бы въ сдачу, ведущую къ различному урожаю, предвидимому лишь съ погрѣшностью. Для множества частныхъ хозяйствъ большой страны валовая погрѣшность однако можетъ быть достовѣрно опредѣлена въ узкихъ предѣлахъ

*) Для доказательства общей теоремы Чебышева нужно знать изъ алгебры лишь правило умноженія двухъ многочленовъ. Поэтому нынѣ теоремы Чебышева, Пуассона и Я. Бернулли, обосновывающія статистическій методъ, могутъ быть сдѣланы достояніемъ средняго гимназическаго возраста. Но послѣдующій планъ требуетъ умѣнья находить минимумъ трехчлена второй степени, каковая задача посильна старшему возрасту.

**) Понятіе объ этихъ статистическихъ среднихъ дано въ моей „Теоріи вѣроятностей“ на стр. 283—284 и 439—440.

***) Этотъ индуктивный способъ называется „интерполяціоннымъ способомъ наименьшихъ квадратовъ“ („Теор. в.“, стр. 82—84; его не слѣдуетъ смѣшивать по смыслу съ двумя другими видами способа наименьшихъ квадратовъ: 1) Лапласовскаго способа, упрощаемаго при помощи теоремы Чебышева („Теор. вѣр.“, стр. 309 — 314) и 2) Гауссовскаго способа („Теор. вѣр“, стр. 401—426).

благопріятно вліяетъ на уменьшеніе ошибокъ сужденія о явленіяхъ съ помощію уравненія (2). Такое доброкачественное (хорошее) значеніе ß будетъ;

(8)

(8е)

Здѣсь величины бх, о2 и г также выражаются съ помощію статистическихъ среднихъ или „статистическихъ моментовъtt. Взаимоотношеніе (2) получаетъ видъ:

(9)

§ 5. Теперь соотношеніе (2) хорошо опредѣлилось съ помощію статистическихъ данныхъ и интерполяціоннаго способа наименьшихъ квадратовъ, приведшаго къ формуламъ (7), (8), (8') и (9). Но пока еще не доказано, что это взаимоотношеніе, найденное заднимъ числомъ (для явленій прошедшаго времени), способно и для будущаго ряда 5 сдачъ колоды опять давать результаты, если не съ строго нулевымъ валовымъ итогомъ X Л, то съ такимъ итогомъ, для котораго выполняется вышеуказанное требованіе, чтобы при весьма большомъ s величина:

(10)

называемая среднею погрѣшностью, достовѣрно оказывалась достаточно близкою къ нулю, т. е. удовлетворяла, неравенствамъ вида:

—*<4)<+г> (11)

гдѣ. г есть положительная весьма малая величина, стремящаяся къ нулю при возрастаніи s до со . Эту-то достовѣрность и надо еще доказать, чтобы независимо отъ индукціи оправдать цѣнность знанія соотношенія (2) или (9). Достовѣрныя условія (11) при весьма маломъ г назовемъ „признакомъ приближенной закономѣрности."

(Окончаніе въ слѣд. №)

Задачи.

Прим. ред. Начиная съ настоящаго номера, въ журналѣ, кромѣ задачъ изъ области элементарной математики, будутъ помѣщаться также вопросы и задачи по спеціальному курсу высшей математики, введенному въ послѣдніе годы въ реальныхъ училищахъ, кадетскихъ корпусахъ и нѣкоторыхъ другихъ учебныхъ заведеніяхъ; рѣшеніе этихъ задачъ полезно и для учащихся въ высшихъ учебныхъ заведеніяхъ и вообще для всѣхъ лицъ, изучающихъ основы высшей математики.

33. Разложить на множителей выраженіе:

34. Рѣшить уравненіе:

я6 + Sx* + 28a;4 + 56sc3 + 68л;2 + 48a; +16 = 0.

B. Тюникъ (Самара).

35. Рѣшить уравненіе:

(Его-же).

36. Опредѣлить безъ помощи тригонометріи площадь и углы равнобедренной трапеціи, діагональ которой равна 2 дюйм. и составляетъ съ боковыми сторонами углы соотвѣтственно равные 102°24'16" и 47°35'44".

37. Показать, что если число представляетъ собою сумму четырехъ квадратовъ, то квадратъ его можно представить въ видѣ суммы четырехъ квадратовъ и въ видѣ суммы пяти квадратовъ.

38. Рѣшить уравненіе:

8 snkx — 8 sn2x — snx +1=0.

39. Изслѣдовать измѣненія функціи

У — х — Ід10х

и построить соотвѣтствующую кривую.

40. Дано уравненіе:

tgy — ctgy = я* + Зя;

показать, что производная ^ есть раціональная функція отъ х.

41. Въ эллипсѣ, уравненіе котораго относительно прямоугольныхъ осей координатъ есть — + у2 = і, провести параллельно большой оси AB хорду CD такъ, чтобы трапеція ACDB имѣла наибольшую площадь.

Рѣшенія задачъ.

17. Даны двѣ окружности О и 0Х, на нихъ по точкѣ А и В, и еще внѣшняя точка С. Отыскать на окружностяхъ еще по точкѣ X и У такъ, чтобы дуги АХ и ВУ были подобны и чтобы /_ СУХ былъ данной величины.

Опредѣлимъ центръ вращенія Р такъ, чтобы равныя по числу градусовъ дуги АХ и ВУ совмѣщались вращеніемъ (для этого

надо построить два какихъ-либо равныхъ угла АОМ и BOtN и на прямыхъ AB и MN описать дуги, вмѣщающія уголъ вращенія, т. е. уголъ между радіусами АО и В0Х). Тогда треугольники АРВ и ХРУ будутъ подобны и, слѣдовательно, /_ РУХ = /_ РВА=/?, т. е. этотъ уголъ будетъ опредѣленъ. Но такъ какъ /_ СУХ данъ, /_ СУХ = а, то уголъ СУР будетъ извѣстенъ: /_ СУР = а — ß (или ß — а, или-же ß -f- а, смотря по положенію точки С.) Отсюда, для построенія точки У слѣдуетъ описать на СР дугу, вмѣщающую уголъ СУР; построивъ затѣмъ /_ СУХ —а, найдемъ точку X. (Ср. „Методы рѣшенія геометрическихъ задачъ на построеніе“, И. Александрова, зад. № 486, чер. 83).

В. Кованько (ст. Струнино).

18. Даны три параллели и на нихъ по точкѣ А,ВиС. Отыскать на нихъ еще по точкѣ І,7и Z такъ, чтобы отношенія АХ: ВУ) В У: CZ и уголъ XYZ имѣли данныя значенія.

Пусть D и Е представляютъ соотвѣтственно точки пересѣченія прямыхъ AB и ХУ, ВС и ZF. Такъ какъ отношеніе АХ: ВУ дано, то отношеніе AD: BD извѣстно, и, слѣдовательно положеніе точки D опредѣлено. Точно также съ помощью пропорціи ВУ: CZ= ЕВ: ЕС опредѣлится положеніе точки Е. По условію, /_ XyZ долженъ имѣть данную величину, напр. а; отсюда, для опредѣленія положенія точки У слѣдуетъ на линіи DE построить дугу, вмѣщающую уголъ 180° — а, если точки D и Е лежатъ по одну сторону данныхъ прямыхъ, и уголъ а, если по разныя стороны.

В. Кованько (ст. Струнино).

20. Рѣшить уравненіе:

Перенеся всѣ члены ур. въ лѣвую сторону, можно придать ему слѣд. видъ:

приравнивая нулю перваго множителя, имѣемъ:

(При данныхъ частныхъ значеніяхъ

Приравнивая нулю второго множителя, найдемъ:

Ьх—I"|/ (с—яЬ*)*-1’ —1 = (с аЪх)х~~1.

Это ур. имѣетъ очевидный корень х2 = 1. Исключая его, мы можемъ послѣднему ур. придать видъ:

откуда

При данныхъ числовыхъ значеніехъ

Л. Александровскій, А. II Жилинскій, В. Г. Фридманъ, А. А. Мазингъ, И. Н. Виноградовъ, Н. В. Дуве, И. Берштейнъ, М. Орбекъ (Москва), Д. Рѣдько .(Миргородъ), А. Ильинъ (Астрахань), Е. Бялозоръ (Ейскъ), Вл. Сѣверный (Тула), М. Добровольскій (Сердобскъ), И. Сергачовъ, (Ковровъ), Ф. Меріакри (Ростовъ на Д.), В. Кованько (ст. Струнино), I. И. Каширинъ (Ржевъ), И. И. Коровицкій (Спб.), Н. Несторовичъ (Влодава).

№ 24. Найти такія числа N и k, чтобы Nk и kN изображались одними и тѣми-же цифрами, но въ обратномъ порядкѣ. Числа N и k будемъ считать цѣлыми и положительными. Докажемъ предварительно двѣ леммы:

Лемма 1-я. Если 2, а k >2 или, если 2, а /с >2, то

N*>Nk.....................(1)

Для доказательства достаточно обнаружить, что (iV'-f-l)fc, если 1, а /с>2 или, если Л7^> 1, а /с^>2.

Дѣйствительно,

Каждый членъ правой части послѣдняго равенства не менѣе единицы; кромѣ того К ^ — АТ2>>1.

Поэтому (A7-f- 1)*> kNк, что и треб. доказать. Полагая N=2, и к > 2, будемъ имѣть:

2*>2к.....................(Г)

Слѣдствіе. Если А7^>2, а к^> 2 или, если N>2, а х^>2, и если числа А7* и кіѴ изображаются одними и тѣми-же цифрами, но въ обратномъ порядкѣ, то А7*“1 < 9к.

Въ самомъ дѣлѣ, число kN не можетъ оканчиваться нулемъ, такъ какъ въ противномъ случаѣ, написавъ цифры этого числа въ обратномъ порядкѣ, мы получили-бы число меньшее kN, а это противорѣчитъ неравенству (1). Если число не оканчивается нулемъ, то, написавъ цифры этого числа въ обратномъ порядкѣ, мы получимъ новое число, отношеніе котораго къ первому числу всегда меньше 9-ти, такъ какъ оба числа изображаются тѣмъ-же числомъ цифръ и первыя ихъ цифры не могутъ различатся болѣе, чѣмъ на 8.

Итакъ <С 9 или

N*-1 <9 к...................(2)

Если N= 2, а к>2, то будемъ имѣть:

2*-1 < 9х..................(2')

Лемма 2-я. Если при а^>0, к>1 и У> 2 имѣемъ то и Nk^>a (к-h 1).

Умноживъ обѣ части неравенства Nk~l > ак на У, получимъ:

Nk > ак N. .... (*);

но ак N = ак (N— 1) ак\

слѣд. anN^>au{N—1) + а- Поэтому и подавно акУ> ак + а.

Принявъ во вниманіе послѣднее неравенство и неравенство (*), получимъ:

У*>а(к+1)...................(3).

Переходя къ рѣшенію задачи, замѣтимъ, что, по условію ея ни одно изъ чиселъ Nk и kN не можетъ быть однозначнымъ. Поэтому число N не можетъ равняться единицѣ.

a) Предположимъ, что к= 1. Въ этомъ случаѣ Nk—N и kN=N. Поэтому условіямъ задачи удовлетворяютъ всѣ числа Лт, въ изображеніи которыхъ, цифры, одинаково удаленныя отъ начала и конца равны. Напримѣръ 11, 121, 74247 и т. д.

b) Предположимъ, что N= 2.

Такъ какъ kN не можетъ быть однозначнымъ, то к>4. Замѣтивъ, что 27-"а>9.7 и принявъ во вниманіе лемму 2-ую и неравенство (2'), заключаемъ, что к< 7.

Такимъ образомъ для к остается два значенія: 5 или 6. Но эти числа не даютъ рѣшенія задачи.

c) Предположимъ, что N^> 2, к> 2.

Замѣтимъ, что У5-1 ^>9.5 при всякомъ N большемъ 2-хъ. Поэтому, на основаніи леммы 2-ой, принявъ во вниманіе нера-

венство (2), заключаемъ, что должно выполняться неравенство: к<5. Поэтому остается разсмотрѣть отдѣльно случаи: а) к = 2.

Неравенство (2) даетъ: N<C18. Поэтому, кЛ^Зб; такъ какъ и Nk должно быть двузначнымъ, то должно выполняться неравенство: N< 10. Кромѣ того, N^> 5, такъ какъ kN не можетъ быть однозначнымъ и не можетъ оканчиваться нулемъ. Остается найти численныя значенія выраженій Nk и полагая

к = 2; ^=6, 7, 8, 9. Получимъ:

N* = 36, 49, 64, 81 kN = 12, 14, 16, 81.

Отсюда видно, что въ этомъ случаѣ существуетъ единственное рѣшеніе:

J N= 9 \ к = 2

/9) к = 3.

Неравенство (2) даетъ: N2<^27. Слѣд. Лг<6. Такъ какъ Nk не можетъ быть однозначнымъ, то ІѴ^З; поэтому N можетъ равняться или 4 или 5. Ни одно изъ этихъ чиселъ не даетъ рѣшенія задачи.

у) к = 4.

Неравенство (2) даетъ; ^<36. Слѣд. 4; такъ какъ Nk не можетъ быть однозначнымъ, то N^> 2; поэтому N можетъ равняться только числу 3.

Но это число не даетъ рѣшенія задачи.

Итакъ, если исключить случай, когда к = 1, то задача имѣетъ единственное рѣшеніе:

) N—9 \ к = 2

Д. Рѣдько (Миргородъ).

25. Рѣшить уравненіе

Замѣняя cs2x чрезъ 1 — sn2x, перенося всѣ члены уравненія въ лѣвую часть и раздѣляя ихъ на |/ 2, получимъ:

или

Приравнивая нулю перваго множителя, получаемъ для snx непригодное значеніе; приравнивая нулю 2-го множителя, найдемъ:

Изъ этихъ значеній для snx пригодно лишь послѣднее; представляя его подъ видомъ:

snx = 4sn45°snl8°

и вычисляя по пятизначнымъ таблицамъ, найдемъ:

я = 60°55'52" и общее рѣшеніе: #=180°тга-|-( — 1)ж60055'52".

А. А. Мазингъ (Москва), И. И. Коровицкій (Спб.), М. Добровольскій (Сердобскъ), Д, Рѣдько (Миргородъ), Ф. Меріакри (Ростовъ на Д.), В. Сѣверный (Тула), Н. Несторовичъ (Влодава).

Библіографическій отдѣлъ.

П. Аппель и С. Дотевиль. Курсъ теоретической механики (введеніе въ изученіе физики и прикладной механики), перев. съ франц. подъ редак. и съ примѣч. С. О. Шатуновскаго, прив.-доц. Импер. Новоросс. Унив., изд. Mathesis въ двухъ выпускахъ (стр. 385+359), Одесса, 1912. Цѣна каждаго выпуска 2 р. 50 к.

Проф. Парижскаго Университета Paul Appell—одинъ изъ виднѣйшихъ представителей современной французской школы математиковъ. И въ западной, и въ русской математической наукѣ имя этого первокласснаго ученаго пользуется выдающейся извѣстностью.

Авторъ цѣлаго ряда прекрасныхъ большихъ курсовъ по чистой и прикладной математикѣ, Appell въ высокой степени владѣетъ даромъ блестящаго математическаго изложенія. Простотою и ясностью отличается его безукоризненно-точный, изящно-сжатый языкъ.

Обширный трехтомный курсъ АрреИ’я по механикѣ—Traité de Mécanique rationnelle—переработанъ имъ совмѣстно съ С. Дотевилемъ, профессоромъ Ун-та въ Монпелье, въ однотомный курсъ подъ заглавіемъ: Précis de Mécanique rationnelle. Introduction à l’étude de la Physique et de la Mécanique appliquée, à l’usage des candidats aux certificats de licence et des élèves écoles techniques superiéures. Въ результатѣ этой сокращенной переработки получился „маленькій Appell“—учебникъ университетскаго характера, обнимающій весь университетскій курсъ теоретической механики и построенный но тому же плану, какъ и Traité.

Выпущенный фирмою Mathesis переводъ этой книги, вообще, отличается правильностью и исполненъ хорошимъ языкомъ, хотя мѣстами несвободенъ отъ шероховатостей. Такъ, малоупотребительное прилаг. intrinsèque вездѣ неудачно переведено словомъ „внутренній“, напр., „внутреннее (?) опредѣленіе“ (§ 31); „внутреннія выраженія“ (§ 40); „внутреннія ур-ія равновѣсія нити“ (§ 136) и пр.*) Излишнимъ балластомъ кажутся намъ такіе неологизмы, какъ: „реперы движенія“ (§ 28—достаточно было бы одного главнаго термина „система сравненія“); „спонтанныя (вм. свободныя) оси“ (§ 224). Далѣе можно еще встрѣтить такіе неупотребительные термины, какъ напр., въ § 343—(флюиды) вм. (fluides, жидкости вообще); въ §248—„натуральныя (вм. физическія) тѣла“. Въ § 66 вмѣсто „промышленныя единицы“ (unités industrielles) лучше сказать „прикладныя единицы“, такъ-какъ, въ сущности, подразумѣваются различныя практическія приложенія вообще.

*) Можно было бы сказать" „Непосредственный способъ“; „проекціи ускоренія на касательную и главную нормаль“; „такъ называемыя естественныя уравненія равновѣсія нити“.

Переводъ заключительныхъ строкъ стр. 107 можетъ быть нѣсколько улучшенъ.

Въ примѣчаніи § 45 про угловую скорость земли говорится, что она немного болѣе половины угловой скорости секундной стрѣлки часовъ. У подлинника—petite aiguille. Конечно, здѣсь слѣдуетъ сказать—„часовой стрѣлки“.

Вышеуказанные недочеты носятъ, какъ видимъ, характеръ второстепенный. Они почти не вредятъ хорошимъ качествамъ перевода. Книга читается легко, а также своимъ внѣшнимъ видомъ производитъ благопріятное впечатлѣніе. Она вполнѣ можетъ послужить очень хорошимъ пособіемъ на русскомъ языкѣ для изучающихъ теоретическую механику на математическихъ факультетахъ и въ высшихъ спеціальныхъ техническихъ школахъ.

Первый выпускъ заключаетъ въ себѣ механику точки и геометрію массъ (теорія векторовъ; кинематика; принципы механики; масса, сила, работа; силовая функція, силовое поле, элементарная статика, динамика точки и моменты инерціи).

Во второй выпускъ входятъ динамика системъ вообще, основы динамики твердаго тѣла, общія начала и уравненія динамики, теорія притяженія и потенціала, начала гидростатики и гидродинамики. Задачи на различные отдѣлы курса, предлагавшіяся на испытаніяхъ по теоретической механикѣ*).

В. Писаревъ.

Дѣятельность математическихъ кружковъ и обществъ.

Засѣданіе Московскаго Математическаго Кружка 12 апрѣля 1912 года.

Предсѣдатель Б. К. Млодзѣевскій сообщилъ собранію свѣдѣнія о результатахъ работы особой комиссіи изъ членовъ Кружка по вопросу объ устройствѣ въ декабрѣ 1913 г. въ Москвѣ 2-го всеросійскаго съѣзда преподавателей математики. Кромѣ того, прочли сообщенія: Б. К. Млодзѣевскій „О дѣйствіяхъ надъ отношеніями отрѣзковъ“; С. И. Лапшинъ—„О примѣненіи непрерывныхъ дробей въ машиностроительной практикѣ“ и А. А. Волковъ— „Работы нѣмецкой делегаціи въ международной комиссіи по реформѣ преподаванія математики“.

Циркуляромъ г. Попечителя Московскаго Учебнаго Округа отъ 23 марта 1912 года за № 10808 журналъ Московскаго Математическаго Кружка „Математическое Образованіе“ рекомендованъ для выписки въ ученическія и фундаментальныя библіотеки мужскихъ и женскихъ учебныхъ заведеній.

О предстоящемъ второмъ всеросійскомъ съѣздѣ преподавателей математики.

Какъ извѣстно, на первомъ всеросійскомъ съѣздѣ преподавателей математики въ Спб. было признано необходимымъ созвать второй съѣздъ въ декабрѣ 1913 года въ Москвѣ и организацію его поручить Московскому Математическому Кружку**). Во исполненіе этого постановленія, особой комиссіей изъ членовъ Московскаго Математическаго Кружка былъ разработанъ проектъ положенія о 2-мъ всероссійскомъ съѣздѣ преподавателей математики и возбуждено ходатайство о разрѣшеніи съѣзда предъ Министерствомъ Внутреннихъ Дѣлъ. Прошеніе о разрѣшеніи съѣзда подписали: заслуженный профессоръ Московскаго Университета К. А. Андреевъ; членъ отъ Мин. Нар. Просвѣщенія въ Москов-

*) Въ заключеніе добавимъ, что большой курсъ Ареll'я-Traité de Mécanigue rationnelle—также весь переведенъ на русскій яз. А. Т. Безруковымъ съ послѣдняго (2) франц. изданія.

**) См. „Мат. Обр." № 2, стр. 88.

скомъ губернскомъ училищномъ совѣтѣ, бывшій директоръ Моск. учительскаго института Ѳ. И. Егоровъ; бывшій окружный инспекторъ Моск. Учебнаго Округа С. М. Зегеръ; ординарный пррфессоръ, деканъ физико-математическаго факультета Мос. Университета Л. К. Лахтинъ и заслуженный профессоръ Б. К. Млодзѣевскій. Въ послѣднее время, по имѣющимся свѣдѣніямъ уже послѣдовало разрѣшеніе съѣзда Министерствомъ Внутреннихъ Дѣлъ. Поэтому приводимъ положеніе о 2-мъ съѣздѣ, выработанное упомянутой комиссіей; дальнѣйшія свѣдѣнія объ устройствѣ съѣзда будутъ своевременно помѣщаться въ „Мат. Образованіи“.

Положеніе о 2-мъ Всероссійскомъ Съѣздѣ преподавателей математики.

§ 1. 2-й Всероссійскій Съѣздъ преподавателей математики созывается въ Москвѣ Организаціоннымъ Комитетомъ при ближайшемъ участіи Московскаго Математическаго Кружка.

§ 2. Съѣздъ открывается 27 декабря 1913 года и продолжается по 3 января 1914 года включительно.

§ 3. Съѣздъ имѣетъ цѣлью:

1) обсужденіе научныхъ вопросовъ, имѣющихъ отношеніе къ элементарной математикѣ;

2) разсмотрѣніе современной постановки преподаванія математики въ учебныхъ заведеніяхъ различныхъ типовъ, преимуществено—въ среднихъ;

3) обсужденіе вопросовъ о желательной постановкѣ преподаванія математическихъ наукъ;

4) обсужденіе вопросовъ о методахъ и пріемахъ преподаванія математики и соприкасающихся съ нею наукъ и о способахъ провѣки знаній учащихся;

5) обсужденіе вопроса о подготовленіи преподавателей матиматики.

§ 4. Для непосредственнаго завѣдыванія дѣлами Съѣзда Организаціонный Комитетъ избираетъ изъ своей среды предсѣдателя, товарищей предсѣдателя, секретарей и казначея. Въ случаѣ надобности Организаціонный Комитетъ можетъ пополнить свой составъ новыми членами.

§ 5. Организаціонный Комитетъ устраиваетъ секціи Съѣзда по отдѣльнымъ группамъ вопросовъ и избираетъ изъ своей среды завѣдующихъ этими секціями.

§ 6. Членами Съѣзда могутъ быть профессора, преподаватели и преподавательницы математическихъ наукъ; члены математическихъ и педагогическихъ обществъ и кружковъ, а также лица, заявившія себя печатными трудами въ области математики и общей педагогики. Всѣ прочія лица, интересующіеся дѣятельностью Съѣзда, могутъ вступать въ число его членовъ, но безъ права рѣшающаго голоса.

§ 7. Лица, желающія вступить въ число членовъ Съѣзда, заявляютъ объ этомъ Организаціонному Комитету, прилагая членскій взносъ въ размѣрѣ трехъ рублей.

§ 8. При Съѣздѣ организуется выставка учебныхъ и наглядныхъ пособій по математикѣ. Лица, не состоящія членами Съѣзда, допускаются къ осмотру выставки за особую плату.

§ 9. Лица желающія сдѣлать доклады, заявляютъ объ этомъ въ Организаціонный Комитетъ не позже 1-го декабря 1913 года съ приложеніемъ или подлинныхъ докладовъ, или краткаго изложенія ихъ содержанія. Не доставленныя къ этому сроку сообщенія могутъ быть прочитаны только съ особаго разрѣшенія Организаціоннаго Комитета. Порядокъ и продолжительность докладовъ устанавливаются Организаціоннымъ Комитетомъ.

§ 10. Организаціонный Комитетъ выпускаетъ дневникъ Съѣзда. Для редактированія изданій Съѣзда Организаціонный Комитетъ избираетъ особое лицо.

§ 11. Организаціонный Комитетъ, на основаніи постановленій какъ общихъ, такъ и секціонныхъ собраній Съѣзда вноситъ въ заключительное общее собраніе проекты резолюцій по вопросамъ, обсуждавшимся на Съѣздѣ, для голосованія. Соотвѣтствующія резолюціи принимаются или отвергаются безъ преній простымъ большинствомъ голосовъ.

Списокъ книгъ, поступившихъ въ редакцію и въ библіотеку Математическаго Кружка съ 1-го апрѣля 1912 года.

Живыя числа. Наглядн. ариѳм. задачникъ, составленный подъ ред. Н. И. Лаврова. Вып. 1. М. 1912 г. Ц. 20 к.

Н. Аменицкій и И. Сахаровъ. Новый сборникъ ариѳметическихъ задачъ. Вып. 1. М. 1912. Ц. 50 к.

П. Свѣшниковъ. Способъ опредѣленія положительныхъ корней численныхъ кубическихъ уравненій. Уфа. 1912. Рѣшеніе уравненій высшихъ степеней. Уфа. 1912.

B. М. Ипатовъ. Основанія анализа безконечно-малыхъ и собраніе задачъ. М. 1912. Ц. 1 р.

Живой счетъ. Иллюстрированный сборникъ ариѳм. задачъ и упражненій для сельскихъ школъ. Подъ ред. Е. А. Звягинцева. М. 1912. Д. 16 к.

А. А. Волковъ. Математическія основанія номографіи. М. 1911. Ц. 40 к.

П. А. Зажаевъ. Элементы тригонометріи для городскихъ по положенію 1872 г. училищъ. Екатеринодаръ. 1912. Ц. 25 к.

П. А. Долгушинъ. Вычисленія по приближенію. Кіевъ. 1912. Ц. 30 коп. Систематическій курсъ геометріи. Спб.—Кіевъ. 1912. Ц. 1 р.

C. Адамсонъ. Самоучитель по алгебрѣ. Вып. 1. Спб. 1911. Ц. 40 к.

Д. Д. Галанинъ. Образованіе и обученіе. М. 1912. Ц. 40 к.

Изд. „Mathesis“: Дж. Пойнтингъ. Давленіе свѣта. П. 50 к. Э. Конъ и Г. Пуанкаре. Пространство и время съ точки зрѣнія физики. Ц. 40 к. 0. Лоджъ. Міровой эфиръ. Пер. Д. Хмырова. Ц. 80 к. Проф. Вихертъ. Введеніе въ географію. Ц. 35.

А. Власовъ. Введеніе въ высшую математику. М. 1912. Д. 5 р. 50 коп.

П. А. Некрасовъ. Теорія вѣроятностей. Изд. 2-е. Спб. 1912. Ц. 5 р.

Его-же. Общій основной методъ теоріи производящихъ функцій. М. 1912.

П. Аппель. Руководство теоретической (раціональной) механики. Томы I, II и III. Пер. А. Безрукова. М. 1911.

М. Шаль. Руководство высшей геометріи. Пер. А. Безрукова. М. 1910.

Сборникъ задачъ и примѣровъ для обученія ариѳметикѣ въ сельской школѣ. Вып. I. Состав. кружкомъ преподавателей подъ ред. Н. И. Лаврова. М. 1912. Ц. 15 к.

А. В. Сатаровъ. Живая ариѳметика въ часы досуга. Кн. 1, 2, 3. М. 1912. Цѣна по 15 к.

Дж. В. А. Юнгъ. Какъ преподавать ариѳметику? Пер. А. Р. Кулишеръ. Вып. П. Спб. 1912. Ц. 1 р. 50 к.

Отвѣтственный редакторъ I. И. Чистяковъ.

Печатня А.И. Снегиревой Москва

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНІЕ

выходитъ ежемѣсячно книжками отъ 2 до 3 печати ныхъ листовъ за исключеніемъ мая, іюня, іюля и августа мѣсяцевъ.

Содержаніе журнала: 1) статьи по различнымъ отдѣламъ математики, оригинальныя и переводныя; 2) статьи по вопросамъ преподаванія математики и соприкасающихся наукъ; 3) очерки по исторіи математики, біографіи и портреты математиковъ; 4) библіографическій отдѣлъ; 5) вопросы и задачи; 6) математическая хроника; 7) Объявленія.

Цѣна 3 рубля въ годъ и 2 рубля на полгода съ доставкой и пересылкой.

Цѣна отдѣльнаго номера 50 к. съ пересылкой.

За перемѣну адреса уплачивается 20 коп.

Объявленія принимаются съ платою: 1 страница—15 р., V* стр. 8 р., V, стр.—4 р. и т. д.

Подписка принимается въ редакціи:

Москва, Остоженка, кв. 88,

и въ книжныхъ магазинахъ К. И. Тихомиірова (Кузнецкій мостъ), H. П. Карбасникова и Т-во М. О. Вольфъ (Моховая).

Печатня А.И. Снегиревой Москва