Математическое Образованіе.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка.

№ 4.

Апрѣль 1912 г.

МОСКВА.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

„Математическое Образованіе“

Апрѣль 1912 г.

№ 4.

СОДЕРЖАНІЕ: Чисто геометрическое обоснованіе ученія о пропорціяхъ и о площадяхъ.— К. Коммерель. О послѣдней теоремѣ Фермата.—Р. Бернштейнъ. Объ элементарномъ вычисленіи объемовъ нѣкоторыхъ тѣлъ.—Д. Казариновъ. Спорные вопросы въ методикѣ ариѳметики.—Ѳ. Эрнъ. Докладъ по вопросу о согласованіи программъ средней и высшей школы.—Д. Синцовъ. Замѣтки по преподаванію геометріи.—Н. Извольскій. Михаилъ Евсевіевичъ Головинъ.—В. Бобынинъ. Задачи. Рѣшеніе задачъ. Библіографическій отдѣлъ. Дѣятельность Математическихъ обществъ и кружковъ.

Чисто геометрическое обоснованіе ученія о пропорціяхъ и о площадяхъ.

К. Коммерель*).

Окончаніе.

Переводъ О. Н. Цубербиллеръ. Москва.

ГЛАВА II.

О площадяхъ.

Мы не будемъ вводить никакихъ измѣненій въ изложеніе §§ 18 и 19 „Основаній“ Гильберта, такъ какъ мы предполагаемъ лишь освободить отъ исчисленія отрѣзковъ ученіе о мѣрѣ площади, данное въ „Основаніяхъ“. Главное затрудненіе въ ученіи о площадяхъ представляетъ доказательство теоремы, что два равновеликіе треугольника съ одинаковыми основаніями имѣютъ и равныя высоты. Для доказательства этой теоремы Гильбертъ пользуется тѣмъ положеніемъ, вытекающимъ изъ его исчисленія отрѣзковъ, что половина произведенія (символическаго) основанія треугольника на его высоту не зависитъ отъ того, которая изъ сторонъ принята за основаніе, и слѣдовательно является для треугольника характеризующимъ отрѣзкомъ. Можетъ показаться нѣсколько страннымъ, что Гильбертъ принимаетъ этотъ отрѣзокъ за характеристику площади треугольника; самъ по себѣ онъ могъ бы играть такую же роль и для периметра треугольника. Лишь дальнѣйшія изслѣдованія показываютъ, что всѣмъ равновеликимъ (а не изопериметрическимъ) треугольниикмъ соотвѣтствуетъ одинъ

*) См. „Математическое Образованіе“, № 3.

и тотъ же такой отрѣзокъ, который и былъ названъ мѣрою площади. Однако въ дальнѣйшемъ, мы будемъ называть мѣрою площади треугольника равновеликій ему прямоугольникъ, сторона котораго имѣетъ вполнѣ опредѣленную длину. Такимъ образомъ удастся сохранить „измѣренія14. Во всемъ остальномъ мы будемъ держаться возможно близко образцоваго изложенія Гильберта.

§ 5.

Теоремы о площадяхъ.

Теорема 1. Если касательная къ кругу и сѣкующая пересѣкаются, то квадратъ, построенный на отрѣзкѣ касательной, равновеликъ прямоугольнику, сторонами котораго служатъ отрѣзки сѣкущей, считая отъ точки ея пересѣченія съ касательной.

Доказательство. Пусть (черт. 5.) CD представляетъ касательную, С А — сѣкущую, CDGH—квадратъ, построенный на касательной, и BCFE—прямоугольникъ, построенный на отрѣзкахъ сѣкущей, то есть FC=AC. Для доказательства равновеликости вышеназваннаго квадрата и прямоугольника, продолжаемъ прямую GH до ея пересѣченія въ точкѣ К съ продолженіемъ стороны EF\ далѣе пусть прямая DB пересѣчетъ прямую DK въ J и прямую ЕК въ точкѣ L. Проведемъ еще прямыя HF, СК и AD. Мы покажемъ сначала, что CK\\DL. Если мы повернемъ треугольникъ А CD вокругъ точки С на прямой уголъ, то онъ совпадетъ съ треугольникомъ FCH. Отсюда слѣдуетъ, что

(1) .............^:HFC = ^:DAC = EV

Такъ какъ кромѣ того ^ СНК = <£: CFK=d, то около четыреугольника CHFK можно описать кругъ и слѣдовательно

(2) .............<£ = НКС=ЕѴ

Далѣе, вслѣдствіе параллельности GJ и CD:

(3) ............<£: GJD = -=£: JDC =ЕГ

Изъ (2) и (3) легко видѣть, что ^cHKC=^zGJD и значитъ дѣйствительно CK\\DJ. Прямоугольникъ BCFE равновеликъ параллелограмму BCKL, который равновеликъ параллелограмму

Черт. 5.

DJKC, а этотъ послѣдній равновеликъ квадрату СВѲН; мы заключаемъ это изъ того, что каждые два слѣдующіе другъ за другомъ параллелограмма имѣютъ равныя основанія и высоты.*) Отсюда слѣдуетъ, что квадратъ CGDH равновеликъ прямоугольнику BCFE.

Если мы проведемъ изъ точки С вторую сѣкущую СВІАІ и примѣнимъ къ ней первую теорему, то получимъ:

Теорема 2. Если изъ точки лежащей внѣ круга проведены двѣ сѣкущія, то прямоугольникъ, построенный на отрѣзкахъ одной сѣкущей, равновеликъ, прямоугольнику построенному на отрѣзкахъ другой сѣкущей, причемъ отрѣзки всегда считаются отъ общей точки сѣкущихъ.

Изъ этого положенія и изъ второй теоремы § 4 непосредственно слѣдуетъ:

Главная теорема 3. Прямоугольникъ, построенный на среднихъ членахъ соотвѣтствія отрѣзковъ, равновеликъ прямоугольнику, построенному на крайнихъ членахъ его.

Теперь мы можемъ иначе формулировать всѣ теоремы § 4; но прежде всего замѣтимъ, что вторая теорема остается справедливой и въ томъ случаѣ, когда точка пересѣченія сѣкущихъ лежитъ внутри круга.

Изъ четвертой теоремы § 4 и изъ главной теоремы вытекаетъ

Теорема 4. Во всякомъ прямоугольномъ треугольникѣ квадратъ, построенный на одномъ изъ катетовъ, равновеликъ прямоугольнику, сторонами котораго служатъ гипотенуза и проэкція этого катета на гипотенузу.

Изъ пятой теоремы § 4 и главной теоремы можетъ быть получена:

Теорема 5. Во всякомъ прямоугольномъ треугольникѣ квадратъ, построенный на высотѣ, равновеликъ прямоугольнику, сторонами котораго служатъ проэкціи обоихъ катетовъ на гипотенузу.

Наконецъ изъ четвертой теоремы легко выводится;

Теорема 6. (Теорема Пиѳагора). Во всякомъ прямоугольномъ треугольникѣ квадратъ, построенный на гипотенузѣ, равновеликъ суммѣ квадратовъ, построенныхъ на катетахъ.

Примѣчаніе. Вполнѣ понятно, что четвертая и пятая теоремы могли бы быть непосредственно выведены изъ пер-

*) Равновеликость такихъ паллелограммовъ доказана безъ исчисленія отрѣзковъ. См. Гильбертъ §§ 18 и 19: на русскомъ языкѣ: Веберъ и Велльштейнъ Энц. Элемент. мат. стр. 294.

вой и второй, подобно тому, какъ въ § 4 были доказаны теоремы 4 и 5. Справедливость теоремы второй для того случая, когда точка лежитъ внутри круга, можетъ быть обнаружена, если отложить соотвѣтствующимъ образомъ одни отрѣзки хордъ на другихъ: тогда получится вписанный четыреугольникъ, къ которому можно примѣнить теорему 2, такъ какъ точка пересѣченія сѣкущихъ будетъ лежать уже внѣ круга.

§ 6.

Мѣра площади.

Для теоремъ предшествующаго параграфа нельзя составить обратныхъ теоремъ, не сдѣлавъ, подобно Эвклиду, допущенія, что у двухъ равновеликихъ прямоугольниковъ съ одной общей стороной, необходимо совпадаютъ и двѣ другія стороны. Остается даже подъ вопросомъ, не равновелики ли всѣ многоугольники между собой*). При этомъ главное затрудненіе представляетъ доказательство теоремы: равновеликіе треугольники съ одинаковыми основаніями имѣютъ равныя высоты.

Для того чтобы преодолѣть эту трудность, нужно ввести понятіе о мѣрѣ площади.

Съ этой цѣлью превратимъ всѣ треугольники, полученные при разложеніи многоугольниковъ, въ прямоугольники, имѣющіе всѣ опредѣленную, хотя и произвольно выбранную сторону е, которую будемъ считать неизмѣнною въ теченіе всего дальнѣйшаго изслѣдованія.

Будемъ преобразовывать каждый отдѣльный треугольникъ слѣдующимъ образомъ: обозначимъ черезъ а одну изъ его сторонъ и черезъ h соотвѣтствующую высоту; опредѣлимъ затѣмъ отрѣзокъ 2 f, удовлетворяющій соотвѣтствію.

(1).....................е, а ~ fe, 2 /.

Этотъ отрѣзокъ, какъ извѣстно изъ четвертой теоремы § 2, опредѣлится однозначно. Изъ главной теоремы § 5 заключаемъ, что прямоугольникъ со сторонами е и 2f равновеликъ прямоугольнику со сторонами а и h. Отсюда слѣдуетъ, что прямоугольникъ со сторонами е и f равновеликъ треугольнику, основаніемъ котораго служитъ а и высотою—h. Мы будемъ называть этотъ прямоугольникъ мѣрою площади треугольника.**) Можно построить

*) Hilbert, Grundlagen, § 19.

**) По Гильберту мѣрою площади является отрѣзокъ f.

отрѣзокъ f пользуясь второй теоремой § 5 или проще: отложимъ отъ вершины В любого угла на одной его сторонѣ отрѣзки BE = е и ВС==а, а на другой сторонѣ отрѣзокъ BD = й; проведя затѣмъ черезъ точку С прямую параллельную ED, которая пересѣчетъ BD въ нѣкоторой точкѣ jF, получимъ В F = 2 f.*)

Нужно еще показать, что мѣра площади не зависитъ отъ выбора основанія. Обозначимъ ах другую сторону треугольника и черезъ ht соотвѣтствующую высоту; тогда, аналогично предыдущему, опредѣляется отрѣзокъ 2 fv удовлетворяющій соотвѣтствію

(2) .................«, а, ~Л„ 2/;.

Требуется доказать, что f=f\- Изъ разсмотрѣнія подобныхъ треугольниковъ, легко можно получить:

(3) .................я, «і ~ hv h.

Примѣняя къ (2) и (3) седьмую теорему § 4, находимъ:

(4) .................e,a~Ä,2/;.

Сравнивая соотвѣтствія (1) и (4) дѣйствительно убѣждаемся, что f=fv

Слѣдуя Гильберту**), мы дадимъ еще одно опредѣленіе.

Опредѣленіе. Прямая, соединяющая вершину треугольника съ любой точкой противулежащей стороны, называется трансверсалью треугольника; она дѣлитъ его на два треугольника, которые имѣютъ общую высоту и основанія которыхъ расположены на одной прямой; такое дѣленіе называется трансверсальнымъ разложеніемъ треугольника.

Разсуждая аналогично Гильберту („Основанія“, стр. 34), можно доказать, что мѣра площади любого треугольника равна суммѣ мѣръ площадей двухъ треугольниковъ, полученныхъ при любомъ трансверсальномъ разложеніе даннаго треугольника. При этомъ слѣдуетъ пользоваться тѣмъ построеніемъ мѣры площади, которое приведено въ подстрочномъ примѣчаніи этого параграфа. Остальныя доказательства можно найти въ §§ 20 и 21 „Основаній“ Гильберта.

*) Взявъ въ частности прямой уголъ, легко обнаружить, независимо отъ положеній § 5, что прямоугольникъ со сторонами е и f дѣйствительно равновеликъ треугольнику съ основаніемъ а и высотою h.

**) Hilbert, Grundlagen, § 20.

О послѣдней теоремѣ Фермата.

(Окончаніе*)).

Р. Бернштейнъ. Рига.

8. Если рѣчь идетъ о томъ, представляетъ ли число ъп — Ьп п — ую степень раціональнаго числа, мы должны знать, какую роль играетъ 6, роль х или у? (ибо въ рав. (1) у^>х). Для этого замѣтимъ, что изъ рав. ъп = хп -j- уп слѣдуетъ:

или

(6**)).

Отсюда видно, что если Log z — Log b < — . 0,30103, то Ъ играетъ роль у\ въ противномъ случаѣ Ъ = х.

9. Если дѣлить уп-\-хп (при любомъ цѣломъ п) на у — ж, то въ остаткѣ, по теоремѣ Безу, получаетъ 2хпоэтому общій наибольшій дѣлитель чиселъ уп -\-хп и у — х равенъ общему наибольшему дѣлителю чиселъ у — х и 2хп\ но у — х и хп суть числа взаимно простыя (ибо у и х—предполагаются взаимно простыми); если у и X нечетны, то у — х есть число четное, тогда общій наибольшій дѣлитель чиселъ уп-\-хп и у — х есть 2. Если при этомъ у — X дѣлится безъ остатка на 4, то, очевидно, уп -f- хп = 2Л7, гдѣ N нечетное число, откуда слѣдуетъ, что 2N не есть степень раціональнаго числа.

10. При дѣленіи х2р -f- у2р на х-\-у въ остаткѣ получается 2у2Р\ слѣд., если х-\-у есть число четное, общій наибольшій дѣлитель чиселъ х?*-\-у2р и х-\-у есть 2; если при этомъ х-\-у дѣлится безъ остатка на 4, то х2Р -j- у2р = 2Л7, гдѣ N нечетное число, т. е. 2N не есть степень раціональнаго числа.

11. Остатокъ отъ дѣленія z2pJrl —х2р+г на z-\-x есть — — 2х*р+1 , т. е. въ случаѣ четности z-\-x числа z2pJtl —х2р+} и ъ-\-х имѣютъ общимъ наибольшимъ дѣлителемъ число 2. Пусть z-\-х дѣлится безъ остатка на 4, тогда z2p+' —xap+l = 2ІѴ, гдѣ

*) См. „Мат. Образов.“, № 3, стр. 111.

**) Log10 2 = 0,30103.

N нечетное число, откуда слѣдуетъ, что 2N не равно никакой степени раціональнаго числа.

12. Равенство

xJp f1 у2р +1 = z2p +1

требуетъ:

Остатокъ отъ дѣленія <р на х ~|- у равенъ:

откуда видно, что если х + у и 2р -f- 1 числа взаимно - простыя, то ср и X -|- у также взаимно простыя, вслѣдствіе чего х-\-у должно равняться 2р+1-ой степени раціональнаго числа (см. стр. 113 „Мат. Образ.“ № 3, Мартъ).

Резюмируя доказанное, въ связи съ пунктомъ 4 этой статьи, заключаемъ:

Г7 тл я — #/ Т ^ 0,30103 \

7. Если*) —I гдѣ Log ъ — Log х ^>--------1 есть взаимно простое съ числомъ п и не равно м-ой степени раціональнаго числа, ъп — хп не есть п-ая степень раціональнаго числа.

8. Если число — дѣлится безъ остатка на 4, хп-\-уп не можетъ равняться (никакой) степени раціональнаго числа.

9. Если—f— дѣлится безъ остатка на 4, то х2р \-у2р не можетъ быть степенью раціональнаго числа.

10. Если дѣлится безъ остатка на 4, то разность ъар+х—х2р +‘ не можетъ быть степенью раціональнаго числа.

11. Если не равное 2р4-1-ой степени раціональнаго числа, есть взаимно простое съ числомъ 2р-\-1, то х2р+1 -\-у2р+1 не можетъ быть 2р-|-1~ою степенью раціональнаго числа.

Объ элементарномъ вычисленіи объемовъ нѣкоторыхъ тѣлъ.

Д. Казариновъ. Москва.

Въ трудахъ 3-го международнаго математическаго конгресса напечатанъ докладъ Finsterbusch’a подъ заглавіемъ: „Über eine

*) б' = общ. наиб. дѣл. X и z. ô = общ. наиб. дѣл. хи у.

neue einfache und vor allem einheitliche Methode, die Rauminhalte der Körper zu bestimen, deren Querschnittsfunktion den dritten Grad nicht übersteigt und ihre Verallgemeinerung“*). Однако послѣдній носитъ настолько общій характеръ, что едва-ли соотвѣтствуетъ заглавію, которое, пожалуй, относится только къ одному изъ слѣдствій**) установленныхъ теоремъ. Мы предлагаемъ элементарное доказательство этого слѣдствія, не зависящее отъ общаго изслѣдованія Finsterbusch’a.

Въ цѣляхъ дальнѣйшаго изложенія является не лишнимъ сказать нѣсколько словъ о такъ называемомъ „призматоидѣ“, тѣмъ болѣе что въ нашей учебной литератугѣ о немъ обычно не упоминается***). Подъ призматоидомъ разумѣютъ такой многогранникъ, вершины котораго—вершины двухъ многоугольниковъ, лежащихъ въ параллельныхъ плоскостяхъ, двѣ его грани — эти многоугольники, а остальныя, слѣдовательно,—или треугольники, или параллелограммы, или трапеціи. Первыя двѣ грани обыкновенно называютъ основаніями, прочія же — боковыми гранями.

Замѣтимъ, кстати, что призма, усѣченная и полная пирамиды, обелискъ и проч. являются частными случаями призматоида.

Чтобы найти объемъ призматоида, беремъ гдѣ-либо въ плоскости средняго сѣченія (равноотстоящаго отъ основаній) точку Т (черт. 1) и соединяемъ ее со всѣми вершинами призматоида. Тогда послѣдній распадается на рядъ полныхъ пирамидъ. Взятая нами точка служитъ вершиною пирамидъ, а грани призматоида ихъ основаніями. Объемы тѣхъ двухъ пирамидъ, основанія которыхъ являются основаніями призматоида, соотвѣтственно равны (гдѣ Н—высота призматоида, а А и В—площади его

Черт. 1.

*) Verhandlungen des dritten internationalen mathematiker Kongresses in Heidelberg vom 8 bis 13 August 1904. Verlag von ß. G. Teubner 1905. Страницы 687—706.

**) Ibid, страница 705.

***) Какъ исключеніе, мнѣ извѣстенъ только „Сборникъ геометрическихъ задачъ на построеніе и краткій курсъ элементарной геометріи“ А. Н. Глаголева.

основаній). Разсматривая пирамиду T(CDE), видимъ, что ея объемъ въ 4 раза болѣе объема пирамиды T(DKL), такъ какъ А CDE = 4. \ DKL, ибо KL параллельна СЕ и равна Считая теперь за основаніе пирамиды T(DKL) тр—къ KLT, находимъ, что T(DKL) = ?. А KLT. Слѣдовательно, T{CDE) = ^. 4 А KLT. Подобно этому вычислимъ: T(DEF) = —. 4 ДІМТи т. д. Такимъ образомъ объемъ призматоида равенъ

Обращаясь къ чертежу, замѣчаемъ, что выраженіе стоящее въ малыхъ скобкахъ, есть не что иное, какъ площадь средняго сѣченія, и потому объемъ призматоида равенъ — (А -|— В 4- 4 С), (гдѣ С—площадь средняго сѣченія)*).

Покажемъ, что формула объема призматоида примѣнима также къ значительному классу тѣлъ ограниченныхъ кривыми поверхностями. Послѣднее видно изъ слѣдующей теоремы:

Формула Ѵ=— (А + В Н- 4 С) оказывается справедливой для объема всякаго тѣла, заключеннаго между двумя параллельными плоскостями, если площадь его сѣченія имъ параллельнаго выражается цѣлой функціей не выше третьей степени относительно разстоянія сѣченія отъ одной изъ этихъ плоскостей.

Для доказательства этой теоремы необходимо познакомиться сначала съ одной леммой.

Пусть мы имѣемъ тѣло (черт. 2), ограниченное двумя параллельными плоскостями и нѣкоторою выпуклою кривою по-

Черт. 2.

*) Внѣ всякаго сомнѣнія, что выводъ не измѣнится, если нѣкоторыя боковыя грани параллелограммы или трапеціи, такъ какъ такія грани мы можемъ разсматривать какъ пары тр—никовъ.

верхностью. Раздѣливъ его высоту на п равныхъ частей, проводимъ черезъ точки дѣленія плоскости параллельно основаніямъ и проектируемъ каждое сѣченіе, начиная со второго, на предшествующее. Понятно, что мы получимъ рядъ цилиндрическихъ слоевъ, основаніями которыхъ служатъ поперечныя (параллельныя основаніямъ) сѣченія SH, S2H, (индексы при S указываютъ на разстоянія сѣченій отъ основанія), а высотой Сумма объемовъ этихъ слоевъ будетъ

Ясно, что съ увеличеніемъ п наши цилиндрическіе слои будутъ утоньшаться, а сумма ихъ объемовъ будетъ болѣе и болѣе приближаться къ объему тѣла и имѣетъ его своимъ предѣломъ при п = ос*). Такимъ образомъ объемъ нашего тѣла равенъ

Обращаясь теперь къ доказательству высказанной выше теоремы, положимъ, что площадь сѣченія проведеннаго на разстояніи I отъ основанія, выражается формулой:

S/=aZ3 4- Wa + <?Z-|-d, гдѣ а, Ь, cud постоянныя числа. Тогда

Складывая, имѣемъ

*) Признаніе этого факта очевиднымъ равносильно такъ называемому принципу Cavalieri.

Помножая обѣ части этого равенства на — получимъ:

Отсюда:

Если бы теперь намъ удалось показать, что эта формула и формула V — (А —|— В —4С)*) равносильны, то наша цѣль была бы достигнута. Но показать это не трудно. Въ самомъ дѣлѣ, замѣтивъ, что

мы можемъ написать:

Ч. И. Т. Д.

Въ заключеніе примѣнимъ доказанную теорему для опредѣленія объемовъ нѣкоторыхъ тѣлъ.

I. Ясно, что шаръ удовлетворяетъ условію теоремы и такъ какъ для него П — 2Д, А = В = 0 и С = лЕ2, то его объемъ равенъ —jri?3, что и нужно было ожидать.

*) Формула эта извѣстна также подъ именемъ формулы Simpson’a.

II. Пусть прямой круглый цилиндръ пересѣкается плоскостью ABN (черт. 3), проходящей черезъ діаметръ основанія и требуется опредѣлить объемъ его меньшей части ABMN. Легко убѣдиться, что сѣченіе этого тѣла плоскостью, перпендикулярною къ діаметру AB, даетъ прямоугольный тр—никъ, площадь котораго есть функція второй степени относительно разстоянія сѣченія отъ центра круга О.

Черт. 3.

Дѣйствительно: А 0{ MXNX = . 0ХМі = 0ЫХ—, (гдѣ а — уголъ наклоненія сѣкущей плоскости къ плоскости основанія). Поэтому искомый объемъ равенъ — т. е. онъ равенъ — части объема описанной около цилиндра правильной 4-ной призмы.

III. Вычислимъ наконецъ объемъ тѣла, ограниченнаго двумя одинаковыми цилиндрическими поверхностями (черт. 4), оси которыхъ AB и ('D пересѣкаются и взаимно перпендикулярны. Пересѣкая это тѣло плоскостью,параллельною плоскости осей, мы получаемъ квадратъ Q Кх Lx Мх Nx. Его площадь = KXLX% = 4. HOt2 •-= 4 (OA2 — ООх2). Слѣдовательно объемъ нашего тѣла равенъ, или, иначе, онъ равенъ 2/3 объема куба, построеннаго на діаметрѣ кругового сѣченія любого изъ цилиндровъ.

Послѣдніе два результата были извѣстны еще Архимеду, но къ сожалѣнію его доказательства ихъ утеряны*).

Черт. 4.

*) См. Heiberg J. L. Новое сочиненіе Архимеда. Изданіе „Mathesis“ 1909.

Спорные вопросы въ методикѣ ариѳметики*).

Ѳ. Эрнъ. Рига.

(Окончаніе).

Спорные вопросы въ методикѣ ариѳметики не ограничиваются, конечно, областью ариѳметическихъ дѣйствій; ихъ очень много и во всѣхъ другихъ отдѣлахъ. Большинство методистовъ, напр., признаютъ, что главнымъ содержаніемъ элементарнаго курса ариѳметики должно быть рѣшеніе задачъ, что задача должна являться исходнымъ пунктомъ при изученіи каждаго новаго отдѣла, при выясненіи каждаго новаго понятія и рѣшеніе-же задачъ должно дать учащимся возможность примѣнить къ дѣлу пріобрѣтенныя ими теоретическія свѣдѣнія. И тѣмъ не менѣе въ вопросахъ о выборѣ задачъ, о ихъ формѣ и содержаніи, и пріемахъ ихъ рѣшенія, даже о роли задачъ въ курсѣ ариѳметики еще много невыясненнаго, спорнаго и неопредѣлившагося. Взять хотя-бы вопросъ о такъ наз. распредѣленіи задачъ по типамъ. Во многихъ задачникахъ новѣйшаго происхожденія**) такое расположеніе задачъ усиленно рекомендуется и какихъ только, подъ часъ въ высшей степени странныхъ, типовъ здѣсь не встрѣчается. Съ другой стороны многіе видные методисты энергично выказываются противъ рѣшенія задачъ по типамъ, такъ какъ такое рѣшеніе пріучаетъ дѣтей къ пользованію шаблономъ и возвращаетъ насъ почти въ обстановку средневѣковой школы съ ея задачами на ложное, дѣвичье и пр. правила.—Къ типичнымъ задачамъ близко примыкаютъ задачи такъ наз. алгебраическаго характера. И въ этой области тоже достаточно спорныхъ пунктовъ. Прежде всего въ методикѣ не установлены точно признаки, по которымъ задачи алгебраическаго характера отличаются отъ чисто-ариѳметическихъ. Затѣмъ далеко не одинаково оцѣнивается и роль этихъ задачъ въ курсѣ ариѳметики. Большинство методистовъ, принимая во вниманіе искуственность задачъ алгебраическаго характера, ихъ оторванность отъ жизни, предлагаетъ совсѣмъ исключить ихъ изъ курса ариѳметики или перенести въ курсъ алгебры, тѣмъ болѣе что составленіемъ уравненій задачи этого рода рѣшаются гораздо проще, чѣмъ искусственнымъ ариѳметич. путемъ. Съ другой стороны, однако, именно за послѣднее время начинаютъ въ большомъ количествѣ появляться сборники задачъ алгебраическаго характера или даже задачъ—загадокъ, требующихъ для своего рѣшенія особаго рода сметливости и соображенія. Такого типа задачи, разумѣется, могутъ интересовать учащихся и побудить ихъ заняться самостоятельно рѣшеніемъ задачъ, но съ ариѳ-

*) См. № 3 „Мат. Образов.“, стр. 115.

**) См. „Сборникъ ариѳметич. задачъ и примѣровъ, составленный кружкомъ учителей московскихъ городскихъ школъ подъ ред. Ѳ. Борисова и В. Сатарова“, „Новый ариѳметическій задачникъ сост. группой учащихъ народн. школъ подъ редакціей Н. И. Соколова и Ив. П. Сахарова“ и др.

метикой, какъ таковой, задачи эти въ большинствѣ случаевъ имѣютъ мало общаго*).—Наконецъ и пріемы рѣшенія такъ наз. сложныхъ ариѳметическихъ задачъ нельзя считать окончательно установленными. Въ нѣмецкой литературѣ на этотъ вопросъ, на сколько мнѣ извѣстно, обращено вообще мало вниманія, наши-же русскіе методисты или совсѣмъ отрицаютъ необходимость ознакомленія учащихся съ такъ наз. аналитическимъ пріемомъ рѣшенія задачъ или вѣрнѣе, составленія плана рѣшенія, или отодвигаютъ это ознакомленіе на высшія ступени обученія, когда ученики уже вполнѣ освоятся съ обычнымъ синтетическимъ пріемомъ.

Упомяну еще о разногласіяхъ относительно именованныхъ чиселъ и дробей. Для статьи объ именованныхъ числахъ все еще не найдено опредѣленнаго мѣста въ курсѣ ариѳметики. Многіе нѣмецкіе методисты рекомендуютъ разсматривать дѣйствія надъ именованными числами параллельно съ дѣйствіями надъ отвлеченными, но затѣмъ въ особомъ отдѣлѣ еще разъ изложить систематически всё, что относится къ именованнымъ числамъ. Среди русскихъ преподавателей и авторовъ по методикѣ въ этомъ вопросѣ тоже нѣтъ единогласія. Г.г. Шохоръ-Троцкій и Мукаловъ, напр. не выдѣляютъ изученія именованныхъ чиселъ въ особую статью, предлагая знакомить учащихся съ мѣрами и дѣйствіями надъ именованными числами постепенно, начиная съ первыхъ ступеней обученія и пріурочивая раздробленіе именованныхъ чиселъ къ изученію умноженія, а превращеніе—къ изученію дѣленія. Егоровъ относитъ ознакомленіе съ именованными числами къ изученію дѣйствій въ предѣлѣ первой сотни, а ознакомленіе съ метрической системой къ ІІІ-ему концентру (числа любой величины) ; наконецъ у Арженикова и Гольденберга изученіе именованныхъ чиселъ и дѣйствій надъ ними выдѣлены въ особый отдѣлъ, проходимый въ самомъ концѣ курса.

Я не стану говорить о всѣмъ извѣстныхъ разногласіяхъ при построеніи теоретическаго курса дробей (вопросы объ умноженіи и дѣленіи на дробь и пр.), а остановлюсь лишь на распредѣленіи матеріала и прежде всего на вопросѣ о томъ, должно-ли изученіи быкновенныхъ дробей предшествовать изученію десятичныхъ или наоборотъ.

У насъ, въ русскихъ школахъ, до сихъ поръ десятичныя дроби разсматривались, какъ частный случай обыкновенныхъ дробей и потому изучались послѣ обыкновенныхъ. Въ нѣмецкой методикѣ уже давно наблюдается другое теченіе. Д-ръ Гартманъ и

*) Въ самомъ дѣлѣ, какое практическое значеніе могутъ имѣть, напр. задачи: „Написать число 4 тремя тройками“ или „арабъ, умирая, оставилъ 17 верблюдовъ своимъ тремъ сыновьямъ и завѣщалъ первому верблюдовъ, второму—-g-) третьему—-g- Какъ имъ подѣлиться“? А между тѣмъ послѣдняя задача рекомендуется г.г. Мрочекомъ и Филипповичемъ среди многихъ другихъ, „матеріалъ коихъ позаимствованъ изъ жизни и наукъ о природѣ“. Пед. матем. стр. 270.

многіе другіе методисты*) исходятъ изъ того положенія, что десятичныя дроби, относясь по своей структурѣ къ десятичной системѣ счисленія, гораздо ближе стоятъ къ цѣлымъ числамъ, чѣмъ къ обыкновеннымъ дробямъ. Поэтому они предлагаютъ разсматривать десятичныя дроби не какъ частный случай обыкновенныхъ дробей, а какъ особый видъ такъ называемыхъ десятичныхъ чиселъ, т. е. чиселъ составленныхъ по десятичной системѣ. Исходя изъ ознакомленія учащихся съ метрическою системою мѣръ, они распространяютъ принципы устной и письменной нумераціи цѣлыхъ чиселъ и на десятичныя дроби и такимъ образомъ выводятъ правила для производства дѣйствій надъ десятичными числами вообще и надъ десятичными дробями въ частности. Однако и среди нѣмецкихъ методистовъ существуетъ довольно много противниковъ такого построенія курса дробей. Генчель, Рэтеръ, Симонъ и др. совершенно справедливо указываютъ на то, что понятіе о десятой, сотой, тысячной доляхъ гораздо труднѣе выяснить дѣтямъ, чѣмъ понятія о половинѣ, трети, четверти, которыя могутъ быть получены непосредственнымъ нагляднымъ дѣленіемъ отдѣльнаго предмета на равныя части. Съ другой стороны и въ практической жизни несравненно чаще приходится встрѣчаться съ дробями, выраженными въ половинахъ, четвертяхъ и восьмыхъ, чѣмъ съ такими мелкими долями какъ сотыя и тысячныя. Наконецъ, основывая все производство дѣйствій надъ десятичными числами только на десятичномъ составѣ этихъ чиселъ и на принципахъ десятичной нумераціи, можно, конечно, научить производить дѣйствія надъ десятичными дробями, но смыслъ и сущность нѣкоторыхъ изъ этихъ дѣйствій (напр. умноженія и дѣленія на дробь) останутся при этомъ совершенно невыясненными. Въ виду всѣхъ этихъ соображеній эти методисты высказываются за прохожденіе обыкновенныхъ дробей передъ десятичными, а десятичныя рекомендуютъ разсматривать, какъ частный случай обыкновенныхъ.

Въ Австріи со времени введенія метрической системы мѣръ стали десятичныя дроби проходить раньше обыкновенныхъ. Въ 1884-омъ году, однако, было опубликовано оффиціальное предписаніе измѣнить этотъ порядокъ на обратный. Предписаніе это вызвало очень энергичный протестъ учителей и въ 1892 году было отмѣнено. Новые учебные планы Австріи 1908 года устанавливаютъ такой порядокъ: 1) десятичныя числа, 2) обыкновенныя дроби, 3) десятичныя дроби.

Приблизительно такого-же порядка придерживаются и многіе представители новѣйшаго реформаторскаго направленія. Такъ Ал. Гефлеръ предлагаетъ въ средней школѣ распредѣлить курсъ дробей въ такой послѣдовательности: 1-ый годъ обученія (дѣти 10—11 лѣтъ): дѣйствія надъ цѣлыми числами и десятичными дробями, разсматриваемыми какъ десятичныя числа; знакомство съ прос-

*) Къ этому направленію примыкаютъ д-ръ Рейнъ, Танкъ, Бюттнеръ, Адамъ, Штернеръ и др. См. очень обстоятельный разборъ всѣхъ этихъ мнѣній въ книгѣ д-ра Гартмана „Der Rechenunterricht in der deutschen Volksschule“ стр. 117—141.

тѣйшими обыкновенными дробями (какъ съ именованными числами); дѣйствія надъ дробными десятичными числами, какъ надъ дробями. 2-ой годъ обученія (дѣти 11—12 лѣтъ) Систематическій курсъ обыкновенныхъ дробей.

За послѣднее время и въ русской литературѣ все чаще раздаются голоса, требующіе перераспредѣленія матеріала въ курсѣ дробей, при чемъ курсъ обыкновенныхъ дробей (теорія) могъ-бы быть значительно сокращенъ, а десятичнымъ дробямъ могло-бы быть отведено болѣе видное мѣсто. Такъ г. Мукаловъ*) въ курсѣ начальной школы рекомендуетъ распредѣлить изученіе дробей по концентрамъ: въ то время, когда дѣти знакомятся съ дѣйствіями надъ числами въ предѣлѣ 1-ой сотни и 1-ой тысячи, они вмѣстѣ съ тѣмъ проходятъ элементарный, пропедевтическій курсъ обыкновенныхъ дробей, безъ всякой теоріи; вопросы умноженія и дѣленія на дроби изъ этого курса опускаются. Въ слѣдующемъ концентрѣ (цѣлыя числа любой величины) учащіеся изучаютъ нумерацію цѣлыхъ чиселъ и десятичныхъ дробей, а затѣмъ знакомятся съ каждымъ дѣйствіемъ, производя его сначала надъ цѣлыми числами, потомъ надъ десятичными дробями. Въ заключеніе повторяется курсъ обыкновенныхъ дробей и дается понятіе объ умноженіи и дѣленіи на дробь. Г.г. Мрочекъ и Филипповичъ предлагаютъ и для средней школы почти такую-же систему: они подраздѣляютъ все изученіе дробей на 3 цикла, причемъ къ 1-му относится ознакомленіе съ простѣйшими случаями дробленія конкретныхъ единицъ и наглядное изученіе дѣйствій надъ простѣйшими обыкновенными дробями; во II циклѣ проходятся дѣйствія надъ конечными десятичными дробями, какъ надъ десятичными числами; въ Ш-мъ излагается не теорія обыкновенныхъ дробей, а лишь „условныя опредѣленія оперированія съ символами - и ~**). Учебниковъ и сборниковъ задачъ построенныхъ по этому плану у насъ, однако, еще не существуетъ и вообще вопросъ о распредѣленіи матеріала въ курсѣ дробей ждетъ еще своего рѣшенія***).

Чтобы покончить со спорными вопросами, возникающими при установленіи объема и характера курса ариѳметики, необходимо упомянуть о тѣхъ сокращеніяхъ въ курсѣ ариѳметики и его дополненіяхъ, которыя предлагаются съ разныхъ сторонъ. Почти нѣтъ разногласія относительно необходимости исключить изъ курса ариѳметики такія статьи, какъ нахожденіе общаго наибольшаго дѣлителя способомъ послѣдовательнаго дѣленія; періодическія дроби; цѣпное правило и учетъ векселей; но многіе методисты идутъ въ этомъ направленіи еще дальше и думаютъ, что изъ курса ариѳ-

*) К. Мукаловъ „Записки по методикѣ ариѳметики“. Изд. 2-ое. Кіевъ. Одесса 1910.

**) Педагогика математики стр. 247 и 248.

***) Очень интересный и обстоятельный докладъ на тему „Вопросъ о дробяхъ въ курсѣ ариѳметики“ прочелъ К. Ѳ. Лебединцевъ на I всероссійскомъ съѣздѣ преподавателей математики.

метики безъ ущерба для дѣла могутъ быть удалены вся статья о дѣлимости чиселъ, всѣ задачи на такъ наз. спеціальныя правила и почти всё, что относиться къ теоріи дробей. Эти требованія новѣйшихъ реформаторовъ въ методикѣ ариѳметики многими считаются слишкомъ радикальными и отсюда возникаетъ новый рядъ разногласій.

Взамѣнъ выпускаемыхъ изъ курса ариѳметики статей, различные авторы предлагаютъ ввести въ этотъ курсъ различныя дополненія. Одни рекомендуютъ элементарное изученіе прогрессій при помощи графикъ и различныхъ наглядныхъ пособій, другіе обращаютъ особое вниманіе на приближенныя и сокращенныя вычисленія; третьи высказываются за широкое примѣненіе „графическаго метода“ въ области ариѳметики. Къ числу такихъ-же дополненій нужно отнести и пропедевтическій курсь геометріи, который нѣкоторые методисты хотятъ неразрывно связать съ курсомъ ариѳметики; за послѣднее время было сдѣлано даже предложеніе перенести изъ курса алгебры въ ариѳметику понятіе объ отрицательномъ числѣ и понятіе объ уравненіи*). Разногласія во взглядахъ на цѣли обученія ариѳметики, на характеръ и объемъ курса, само собою разумѣется, должны отразиться и на выборѣ надлежащаго метода обученія. И дѣйствительно въ вопросѣ о методахъ и пріемахъ преподаванія у насъ еще много спорныхъ пунктовъ. Правда, со временъ Песталоцци непоколебимо установленъ принципъ наглядности; но установленъ и не возбуждаетъ споровъ именно только самый принципъ; относительно-же примѣненія этого принципа къ дѣлу среди современныхъ методистовъ существуютъ еще весьма большія разногласія. Направленію, выдвигающему наглядность преподаванія на первый планъ и требующему, чтобы даже учащіеся старшихъ классовъ пользовались всяческими наглядными пособіями и приходили къ отвлеченнымъ понятіямъ, начиная съ изученія конкретныхъ предметовъ, совокупностей и ихъ свойствъ, противополагается другое направленіе, которое полагаетъ, что наглядности у насъ придается слишкомъ большое значеніе, что учащіеся, привыкая познавать только то, что наглядно, не научаются отвлеченному мышленію и т. д.

Въ послѣдніе годы многіе видные педагоги высказываются въ томъ смыслѣ, что пріемы нагляднаго обученія на извѣстной ступени обученія необходимы, но недостаточны для достиженія всѣхъ намѣчаемыхъ при обученіи ариѳметикѣ цѣлей. Наглядность преподаванія должна быть дополняема такъ наз. лабораторными занятіями учащихся, которыя такъ широко развились въ нѣкоторыхъ школахъ Западной Европы и особенно Америки. Педагогическое обоснованіе лабораторнаго метода занятія ариѳметикой заключается, какъ извѣстно, въ томъ, что при такого рода занятіяхъ учащіеся принимаютъ болѣе активное участіе въ работѣ, чѣмъ при обычномъ способѣ преподаванія, когда они являются лишь пассивными наблюдателями. Для того, чтобы учащіеся проявляли

*) См. брошюру Л. В. Глаголевой. Преподаваніе ариѳметики лабораторнымъ методомъ. Годъ первый. 1910.

при обученіи самодѣятельность и творчество, чтобы они принимали дѣйствительное участіе въ открытіи новыхъ для нихъ ариѳметическихъ истинъ, нужно, чтобъ они не только разсматривали наглядныя пособія, но и сами экспериментировали съ ними, а еще лучше сами создавали эти пособія. Каждый ученикъ или небольшая группа учащихся должны получить въ свое распоряженіе нѣкоторыя простѣйшія пособія и матеріалъ для изготовленія другихъ пособій; классъ превращается въ лабораторію; каждый ученикъ при помощи этихъ пособій самъ считаетъ, измѣряетъ, производитъ ариѳметическія дѣйствія въ ихъ элементарной формѣ, дѣлаетъ надлежащіе выводы и обобщенія и т. д. Введеніе лабораторныхъ занятій въ курсъ ариѳметики оправдывается и съ точки зрѣнія новѣйшихъ ученій психологіи, согласно которымъ наше мышленіе тѣсно соприкасается съ областью ощущеній и впечатлѣній. Чѣмъ больше органовъ чувствъ участвуютъ въ воспріятіи ощущеній при соприкосновеніи съ внѣшнимъ міромъ, тѣмъ отчетливѣе, яснѣе и ярче возникающія въ нашемъ сознаніи представленія, тѣмъ легче переходъ отъ представленій къ общимъ понятіямъ, тѣмъ правильнѣе происходитъ процессъ мышленія. При лабораторномъ способѣ обученія ариѳметикѣ учащіеся при счетѣ, измѣреніи, приготовленіи самихъ пособій примѣняютъ не только зрѣніе, какъ при обычномъ пользованіи наглядными пособіями, но и осязаніе и мускульное чувство; слѣд. и съ этой точки зрѣнія лабораторной методѣ слѣдуетъ отдать предпочтеніе передъ чисто „наглядной“. И все таки находятся методисты, относящіеся нѣсколько скептически къ лабораторнымъ занятіямъ и думающіе, что излишнее увлеченіе этой методой можетъ вредно отразиться на преподаваніи ариѳметики. Соображенія этихъ скептиковъ по большей части, практическаго характера; лабораторныя занятія требуютъ прежде всего большой затраты матеріальныхъ средствъ, совершенно непосильной большинству нашихъ начальныхъ школъ; они требуютъ много мѣста въ классѣ и, пожалуй, устройства особой классной мебели (столы съ горизонтальными, а не покатыми верхними досками); на самостоятельныя работы учениковъ въ классѣ затрачивается масса времени; наконецъ всѣ упражненія и занятія, предлагаемые сторонниками лабораторнаго метода, если ихъ не разнообразить постоянно, могутъ скоро также наскучить ученикамъ, какъ и всякія другія повторяемыя изо дня въ день упражненія.

Говоря о разногласіяхъ относительно методовъ и пріемовъ преподаванія, нельзя обойти молчаніемъ отношеніе современныхъ методистовъ къ индукціи и дедукціи. Въ доброе старое время ариѳметика преподавалась чисто дедуктивнымъ путемъ: прежде всего учащимся сообщались общія истины, опредѣленія и правила, которыя учениками и заучивались, часто безъ надлежащаго пониманія; затѣмъ отъ учениковъ требовали, чтобы они принмѣняли эти общія истины къ частнымъ случаямъ, къ рѣшенію задачъ и вычисленію примѣровъ. Въ настоящее время такой архаическій пріемъ преподаванія, противорѣчащій основнымъ принципамъ психологіи и здравой педагогики, осужденъ (по крайней

мѣрѣ, въ теоріи) всѣми преподавателями ариѳметики. Но зато выдвигается другая крайность: встрѣчаются методисты, утверждающіе, что при обученіи ариѳметики можно и должно пользоваться только индукціей, т. е. отъ разсмотрѣнія частнаго во всѣхъ его многообразныхъ проявленіяхъ переходить къ общему. Разумѣется при этомъ, говоря объ обученіи ариѳметикѣ, думаютъ о выработкѣ общихъ ариѳметическихъ понятій, открытіи новыхъ законовъ, формулировкѣ общихъ правилъ, однимъ словомъ о пріобрѣтеніи тѣхъ или другихъ ариѳметическихъ знаній; въ этой области, дѣйствительно, мысль учащихся должна итти преимущественно индуктивнымъ путемъ. Но, вѣдь, обученіе ариѳметикѣ должно дать не только знаніе, но и умѣніе приложить это знапіе къ дѣлу; а для этого надо умѣть подводить частные случаи подъ общія категоріи, т. е. пользоваться дедукціей. Впрочемъ, многіе полагаютъ, что дедуктивнымъ ходомъ мысли можно пользоваться не только при примѣненіи хорошо усвоенныхъ общихъ истинъ къ тѣмъ или другимъ частнымъ случаямъ, но и при открытіи и установленіи этихъ общихъ истинъ. Дѣло въ томъ, что при обученіи ариѳметикѣ открытіе и усвоеніе общихъ истинъ (теорія ариѳметики) и примѣненіе этихъ истинъ (практика) тѣсно соприкасаются и переплетаются между собой; поэтому можетъ случиться, что частный фактъ, подводимый подъ извѣстную общую истину-категорію, самъ вмѣстѣ съ тѣмъ становится общимъ правиломъ и получаетъ значеніе общей истины. Такъ, напр., примѣняя общее перемѣстительное свойство умноженія къ частнымъ случаямъ умноженія на 10, 100, 1000 и т. д., т. е. идя дедуктивнымъ путемъ, учащіеся находятъ общее правило умноженія на разрядную единицу.

Все вышеизложенное, думается мнѣ, въ достаточной степени доказываетъ, что методика ариѳметики въ ея современномъ состояніи не можетъ считаться вполнѣ установившейся и опредѣлившейся дисциплиной. Мы здѣсь вращаемся въ цѣломъ лабиринтѣ спорныхъ вопросовъ и противорѣчій. Указать для всѣхъ этихъ спорныхъ вопросовъ правильное рѣшеніе, установить вѣрную точку зрѣнія, не входитъ въ мою задачу. Мнѣ хотѣлось лишь констатировать самый фактъ существованія разногласій между методистами и преподавателями различныхъ направленій и вкратцѣ коснуться причинъ этихъ разногласій. А причинъ этихъ, несомнѣнно, много. Здѣсь сказываются и историческія вліянія средневѣковой схоластики; кладетъ свой отпечатокъ на пріемы преподаванія и весь строй современной школы съ ея экзаменами, отмѣтками за успѣхи и пр.; много разногласій и споровъ возникаетъ, вѣроятно, благодаря присущему человѣку стремленію къ движенію впередъ и отвращенію къ рутинѣ и застою, которые, разумѣется, для дѣла преподаванія вреднѣе, чемъ тысячи разногласій взятыхъ вмѣстѣ. Но среди этихъ многихъ причинъ причина указанная когда-то Беетцомъ—отсутствіе единаго принципа, изъ котораго всѣ положенія методики ариѳметики могли-бы быть выведены чисто дедуктивнымъ путемъ, по моему

мнѣнію, не имѣетъ почти никакого значенія. Наоборотъ, мнѣ кажется, что построеніе современной методики ариѳметики страдаетъ излишней теоретичностью; я думаю, что многія разногласія и противорѣчія потому и возникаютъ, что мы слиткомъ охотно дѣлаемъ выводы изъ одного основного положенія научно не установленнаго и не провѣреннаго на опытѣ.—Когда-то Песталоцци счелъ нужнымъ положить въ основу обученія ариѳметики принципъ формальнаго развитія и въ теченіи многихъ десятилѣтій на этомъ принципѣ строилась вся методика ариѳметики; въ настоящее время считаютъ полезнымъ подчинить формальныя цѣли обученія ариѳметики матеріальнымъ и въ зависимости отъ этого измѣняются и объемъ курса и характеръ его и методъ преподаванія. Лѣтъ 70 тому назадъ появился Грубе и возвѣстилъ міру, что ариѳметика должна опираться исключительно на всестороннее изученіе чиселъ; и новый принципъ сразу пріобрѣлъ множество горячихъ сторонниковъ, принявшихъ его безъ всякой критики, безъ всякаго научнаго обоснованія; изъ Германіи „метода“ монографическаго изученія чиселъ была занесена и къ намъ и мы ревностно стали обучать нашихъ школьниковъ по приснопамятнымъ руководствамъ Евтушевскаго, Паульсона, Воленса и пр. Въ 80-ыхъ годахъ работы Книллинга и Танка въ Германіи и труды нашихъ методистовъ А. И. Гольденберга и С. И. Шохоръ-Троцкаго подвергли рѣзкой критикѣ ученіе Грубе и, хотя принципъ изученія чиселъ не былъ научно опровергнутъ, онъ былъ— у насъ, по крайней мѣрѣ,—заброшенъ, какъ ненужная ветошка, а на его мѣстѣ водрузились принципы изученія ариѳметическихъ дѣйствій и цѣлесообразно - подобранныхъ задачъ. Но вотъ появляются работы д-ра Лайя и его послѣдователей и принципъ изученія чиселъ (хотя-бы и въ небольшомъ предѣлѣ чиселъ) снова воскресаетъ, и вся методика начальнаго преподаванія ариѳметики снова перестраивается на новый ладъ.

Въ томъ-то и бѣда наша, что мы, требуя при преподаваніи въ школѣ строго индуктивнаго метода, при выработкѣ методики ариѳметики часто идемъ путемъ дедукціи, строя чисто теоретически весь курсъ на одной идеѣ и выводя изъ одного основного принципа всѣ положенія методики ариѳметики. Такой монизмъ оказался не особенно пригоднымъ въ области философіи, соціальныхъ и естественныхъ наукъ; можетъ быть онъ также непригоденъ и при построеніи курса ариѳметики.—Я говорю: „можетъ быть“, потому что я въ этомъ не увѣренъ и допускаю, что методика ариѳметики можетъ быть построена и на одномъ основномъ принципѣ, но для этого прежде всего необходимо, чтобы этотъ принципъ былъ научно установленъ и провѣренъ цѣлымъ рядомъ наблюденій и опытовъ. А такого научнаго и опытнаго обоснованія началъ методики ариѳметики у насъ до сихъ поръ и не было. Я предвижу возраженія: мнѣ могутъ указать, что за послѣднее время отдѣльные методисты становятся именно на путь научнаго изслѣдованія; работы д-ра Лайя, Шнейдера, Вальземана и др. основаны, вѣдь, на цѣломъ рядѣ опытовъ и наблюденій, произведенныхъ надъ учащимися. Я признаю, конечно, за работами

названныхъ ученыхъ очень большое значеніе, но во первыхъ такихъ научныхъ работъ пока очень немного, во вторыхъ большинство нзъ нихъ касались одного частнаго вопроса о характерѣ и видѣ наглядныхъ пособій, наконецъ очень многія изъ этихъ изслѣдованій производились въ условіяхъ довольно рѣзко отличающихся отъ условій дѣйствительной классной жизни и обстановки. Такіе научно-поставленные опыты и наблюденія надъ учащимися, разумѣется, желательны и даже необходимы, но ихъ однихъ для правильнаго развитія методики ариѳметики, по моему мнѣнію, не достаточно. Нужно и къ обработкѣ науки о преподаваніи ариѳметики примѣнить, такъ сказать, лабораторный методъ. До сихъ поръ масса учителей усваивала методику ариѳметики только нагляднымъ способомъ или даже часто догматически, принимая безъ надлежащей провѣрки тѣ пріемы и методы обученія, то распредѣленіе учебнаго матеріала, которые указывались въ томъ или другомъ авторитетномъ для читателя сочиненіи по методикѣ. Мнѣ думается, что пора и намъ, учителямъ средней и начальной школы принять болѣе активное участіе въ построеніи методики ариѳметики. Пусть каждый учитель въ своемъ классѣ будетъ не только преподавателемъ, но и изслѣдователемъ, пусть онъ испытываетъ и пробуетъ различные пріемы обученія, различныя наглядныя пособія и аккуратно регистрируетъ добытые при этомъ результаты, пусть производитъ опыты надъ введеніемъ новыхъ отдѣловъ, пусть безбоязненно сокращаетъ съ его точки зрѣнія лишнее, пусть внимательно отмѣчаетъ все то, что возбуждаетъ интересъ въ учащихся, вызываетъ въ нихъ самодѣятельность, способствуетъ лучшему усвоенію матеріала. Разумѣется, въ такой работѣ отдѣльнаго учителя возможны, или лучше сказать, неизбѣжны ошибки и уклоненія въ ту или другую стороны. Но, если такихъ изслѣдованій будетъ произведено много, если каждый учитель внесетъ свою долю труда и опыта въ это дѣло, то изъ сравненія всѣхъ результатовъ должна выясниться истина и это будетъ истина взятая не на вѣру, а добытая коллективною работою всѣхъ преподавателей ариѳметики.

Но для возможности такой коллективной работы нужны, разумѣется, особыя условія. Для этого нужно прежде всего, чтобы всякіе съѣзды преподавателей, педагогическія выставки, общества и кружки учителей, анкеты, затрагивающія вопросы преподаванія, учительскіе курсы и пр. перестали быть у насъ исключительными явленіями и получили возможность самаго широкаго распространенія.

Только тогда, когда съ одной стороны отдѣльные ученые будутъ научно изслѣдовать основы методики ариѳметики, а коллективная работа всѣхъ учителей будетъ съ другой стороны и давать матеріалъ для этихъ изслѣдованій и провѣрять на опытѣ ихъ результаты, только тогда, думается мнѣ, методика ариѳметика вступитъ на вѣрный путь, идя по которому она сдѣлаетъ преподаваніе ариѳметики для нашихъ дѣтей не только полезнымъ, но и легкимъ и интереснымъ.

Докладъ по вопросу о согласованіи программъ средней и высшей школы*).

Д. Синцовъ. Харьковъ.

Вопросъ о согласованіи программъ школы средней и школы высшей можно понимать въ широкомъ смыслѣ и въ смыслѣ болѣе узкомъ. Въ широкомъ его можно понимать, какъ вопросъ о взаимномъ отношеніи школы высшей и школы средней,—какъ вопросъ о томъ, какъ сдѣлать, чтобы были соблюдены оба основныхъ требованія: 1) средняя школа должна давать законченное образованіе, 2) средняя школа должна подготовлять къ высшей.

Если стать на эту точку зрѣнія, то вопросъ расширится далеко за предѣлы простого сравнительно вопроса о преподаваніи математики и, конечно, тогда долженъ быть взятъ во всей широтѣ: постановка учебнаго дѣла должна быть такова, чтобы начинающему учиться была обезпечена возможность пойти такъ далеко, какъ это требуютъ его способности и насколько позволяютъ его жизненныя условія. Только тогда, когда каждому Ломоносову обезпечена будетъ возможность дойти до Академіи Наукъ, и каждому, вынужденному оставлять образованіе на томъ или другомъ этапѣ, пройденный путь будетъ давать достаточно общаго образованія для послѣдующей его дѣятельности, будетъ школьное обученіе доставлять наибольшую возможную пользу всѣмъ его получающимъ. Этой цѣли наша система, конечно, отвѣчаетъ лишь въ весьма слабой степени. Къ ней стремятся въ странахъ передовыхъ, напр. во Франціи. Несомнѣнно, только такая система отвѣчаетъ интересамъ и потребностямъ страны, въ особенности такой страны, какъ Россія. Возможность для лучшихъ учениковъ низшей школы продолжать образованіе въ средней, раздѣленіе средней школы на два цикла, дающіе каждый законченное образованіе, сокращеніе курса классической гимназіи на 1 годъ и обращеніе 8-го кл. въ дополнительный, (можетъ быть, прибавка въ реальныхъ училищахъ одного года для уравненія тѣхъ и другихъ въ ихъ общемъ образованіи),—эта, такъ сказать, французская система встрѣтитъ, конечно, не менѣе противниковъ, чѣмъ сторонниковъ, и можетъ быть удобнѣе на этомъ 1-омъ съѣздѣ не тратить времени на дебаты, а избрать комиссію, которая подготовила бы по этому вопросу докладъ къ слѣдующему съѣзду.

Перехожу къ болѣе узкой постановкѣ вопроса: насколько и какъ возможно согласовать курсъ средней и высшей школы, не производя коренной ломки существующаго школьнаго строя,— что возможно при измѣненіи программъ и методовъ преподаванія.

Можно утверждать, что согласованіе есть; но это согласованіе такъ сказать вынужденное: высшая школа получаетъ извѣстный матеріалъ, студенты являются съ извѣстной подготовкой. Мы

*) Докладъ былъ составленъ проф. Д. М. Синцовымъ для 1-го всероссійскаго Съѣзда преподавателей математики, но не былъ прочитанъ на Съѣздѣ.

принимаемъ ихъ такими, каковы они есть, и соотвѣтственно этому строимъ свои программы. Но и при условіи, что курсы математики, читаемые студентамъ 1-го семестра, не предполагаютъ никакихъ знаній сверхъ тѣхъ, которыя значатся въ утвержденныхъ программахъ, не всегда наши курсы оказываются понятными. Не всегда поступающіе въ Университетъ даже на математическій факультетъ знаютъ хорошо математику. По личному опыту я убѣдился, что изъ 100 поступающихъ на 1-ый курсъ на второй переходятъ, или лучше—остаются на 2-ой годъ на математическомъ отдѣленіи не свыше 60. Для 40 человѣкъ изъ 100 этотъ первый годъ оказывается въ значительной степени потеряннымъ. А если оцѣнивать въ 600 руб. стоимость этого года (если принять въ расчетъ то, что затрачивается государствомъ на каждаго учащагося въ высшемъ учебномъ заведеніи, то надо цифру эту можетъ быть удвоить), то это дастъ на 100 студентовъ потерю въ 24000 руб. Считая въ Петербургѣ 800, Москвѣ 600, Кіевѣ 300, Одессѣ, Казани, Харьковѣ, Юрьевѣ, Варшавѣ по 100, это дастъ 2200 поступающихъ и, слѣдовательно, матеріальную потерю около 500000 руб. Не поддается оцѣнкѣ психологическое значеніе этой потери.

Отчего же это происходитъ? Здѣсь, конечно, не столь существенно, что студенты—даже хорошіе ученики—обыкновенно не помнятъ именно тѣхъ формулъ и соотношеній, которыя нужны намъ (напр., ).

Важнѣе отсутствіе геометрическаго воображенія. Еще въ плоскихъ чертежахъ и фигурахъ студенты болѣе или менѣе разбираются, но пространственныя формы всегда для нихъ камень преткновенія. Но я бы сказалъ, что еще болѣе существенное значеніе имѣетъ полное отсутствіе представленія о томъ, что такое высшая математика, благодаря полной разобщенности и даже извѣстному антагонизму средней и высшей школъ.

Какъ часто такъ называемые хорошіе математики средней школы, переходя черезъ порогъ Университета, разочаровываются въ себѣ и въ математикѣ вообще. Вину за это нельзя возлагать на одну высшую школу: рѣзкость перехода должна быть сглажена съ обѣихъ сторонъ. Разгруженіе 1-го курса, можетъ быть нѣкоторый контроль за занятіями студентовъ (во Франціи въ университетѣ существуютъ спрашиванія — interrogations), введеніе нѣкоторыхъ курсовъ, которыя служили бы соединительнымъ звеномъ между средней и высшей школой, какъ то: введеніе въ анализъ; избранныя главы элементарной геометріи, какъ введеніе въ геометрію, — исторія математики, преимущественно элементарной, — это во власти высшей школы и можетъ быть ею сдѣлано (я говорю объ Университетѣ). Но часть переработки въ сторону взаимнаго объединенія должна взять на себя и средняя школа. Она должна сдѣлать шагъ къ сближенію съ высшей школой и согласиться на расширеніе своихъ программъ. Различеніе элементарной или низшей математики и неэлементарной или высшей чисто искусственное; историкъ математики скажетъ вамъ, господа, что было время, когда ваша элементарная математика была высшей, такой

высшей, что даже умноженіе цѣлыхъ чиселъ считалось доступнымъ только мудрецамъ. И не дѣтскимъ занятіемъ было изученіе. „Началъ Евклидовыхъ“. И легче они, конечно, не стали оттого, что ихъ начинаютъ изучать не въ 18, а въ 14 лѣтъ. Въ исторіи вы не ограничиваете программу сверженіемъ Ромула—Августула, въ физикѣ не находите нужнымъ сообщать ученіе о теплородѣ, въ исторіи словесности русская литература не оканчивается на Тредьяковскомъ. Только въ математикѣ ставятся границы доступнаго дѣтскому и юношескому уму тамъ, гдѣ начинается новая исторія математики. Только въ древнихъ языкахъ, языкахъ мертвыхъ, отбрасывается, какъ недостойное изученія, то, что написано послѣ золотого вѣка римской или греческой литературы. Но тамъ вѣдь наступилъ упадокъ, тамъ подъ вліяніемъ напора варваровъ произошло постепенное паденіе культуры, мѣсто изящной прозы и поэзіи заняла кухонная латынь. Этого нѣтъ въ исторіи математики. Не упадокъ ея начинается съ Декарта, Лейбница и Ньютона, а новая жизнь, имѣющая корень въ старой, не выбрасывающая ее за бортъ, а оживляющая и оплодотворяющая ее новыми идеями. Но школа консервативна. Отъ абака и дѣйствій съ нимъ мы почти отказались,—мы отправили его въ приготовительный классъ, гдѣ господа преподователи приготовительнаго класса и обучаютъ дѣтишекъ искусству дѣйствій на счетахъ. Но сколько еще осталось дорогихъ покойниковъ въ курсѣ средней школы. Дорогого сердцу Магницкаго „гусинаго“ и „дѣвичьяго“ правила уже нѣтъ ни въ одномъ русскомъ учебникѣ, но когда 35 лѣтъ назадъ я покупалъ ариѳметику Малинина и Буренина, нашъ учитель заставлялъ насъ вычеркивать напечатанное въ ней всѣми буквами „цѣпное правило“. Теперь его можетъ быть нѣтъ—не знаю; можетъ быть оно перешло въ курсъ коммерческой ариѳметики и заняло тамъ почетное мѣсто. [Надо сказать, что мы, математики, очень грѣшимъ тѣмъ, что совершенно не занимаемся этимъ отдѣломъ, который выросъ въ цѣлую науку]. Но этого слишкомъ мало.

Когда мы въ небольшомъ кружкѣ готовились къ съѣзду и толковали о предстоящихъ докладахъ, намъ рисовалась возможность цѣлаго ряда докладовъ, обосновывающихъ то или другое сокращеніе, казавшееся можетъ быть намъ самимъ нѣсколько смѣлымъ. Но когда я сталъ просматривать затѣмъ отчеты французской коммиссіи по преподованію математики, я убѣдился, что то, о чемъ мы только мечтали, во Франціи уже принято.

Вотъ что говоритъ Guiton, Prof, au lycée Henri—IV въ Парижѣ въ своей статьѣ Rapport sur l’algèbre во II томѣ Rapports de la souscommisson française de la Commisson Internationale de l’Ens. Math., посвященномъ среднему образованію: „Такъ какъ плавная трудность въ обученіи алгебры заключаетея въ пріученіи къ буквенному счету, то чѣмъ раньше начинать, тѣмъ лучше. Въ 5-мъ [т. е. нашемъ 2-мъ] классѣ изучаютъ дѣйствія надъ числами; изображая ихъ буквами, переводятъ на языкъ формулъ найденныя правила, дальнѣйшее обученіе покажетъ перманентность этихъ формулъ.

Начинаютъ со свойствъ суммы: позднѣе скажутъ, что сложеніе есть операція коммутативная и ассоціативная. Потомъ являются правила сложенія, вычитанія или умноженія суммы; приложеніе представляетъ разложеніе квадрата (а-|-Ь). Наконецъ произведенія множителей и возвышеніе въ степень доставляютъ новыя формулы, которыя возвращаются въ теченіе всего хода занятій. Ученики уже въ состояніи разрѣшать уравненія 1-ой степени съ цѣлыми коэффиціентами, лишь бы рѣшенія были цѣлыя и не приходилось встрѣчаться съ невозможными вычитаніями. Позднѣе они будутъ рѣшать подобные вопросы механическими пріемами; но на первой стадіи обученія нужно подтверждать правило, каждый разъ, какъ его примѣнять. Когда ученикъ написалъ уравненія задачи, онъ далъ только осязательный образъ условій задачи. Онъ можетъ тотчасъ же естественными пріемами получить при нихъ рѣшеніе. Метода настолько проста, что для того, чтобы сдѣлать труднѣе нѣкоторые экзамены, на которыхъ фигурируютъ ариѳметическіе вопросы, допускаютъ только „ариѳметическія“ рѣшенія, какъ будто мы выходимъ изъ области ариѳметики, изображая число буквою. Когда нельзя употреблять буквъ, простыя задачи становятся часто настоящими головоломками и требуютъ они отъ кандидатовъ продолжительной тренировки: ихъ время могло бы быть употреблено болѣе полезнымъ образомъ“.

И принято это не гдѣ-нибудь, а именно во Франціи, гдѣ преподаваніе математики стоитъ высоко, настолько высоко, что даже нѣмцы при всемъ ихъ, можно сказать, шовинизмѣ тѣмъ не менѣе говорятъ: “In der Mathematik die Franzosen sina uns überlegen“. И я полагаю, что тѣ измѣненія, то взаимное проникновеніе и сліяніе, о которомъ говоритъ Guitton, вполнѣ осуществимы и сберегутъ массу времени и силъ. Надо раздѣлить ариѳметику на двѣ части: практическую ариѳметику и ариѳметику теоретическую, и въ младшихъ классахъ сохранить только первую. Алгебраическія обозначенія вводить, какъ можно, раньше,—все это положенія, возражать противъ которыхъ можно, но которыя представляются совершенно натуральными; на ряду съ этимъ уже въ ариѳметику надо вводить простыя геометрическія понятія—интуитивную, наглядную геометрію, безъ которой вся метрическая система, все ученіе о мѣрахъ становится совершенно безцѣльнымъ. И это французами уже сдѣлано. Въ высшей степени интереснымъ являются не только самыя программы и планы, и тѣ замѣчанія, которыя имъ посвящены въ обзорахъ А. Levy, Guitton и Rousseau, но и самыя руководства, составленныя примѣнительно къ этимъ планамъ.

Такова напр. коллекція, издаваемая подъ общимъ именемъ: Collection Bourlet книгоиздательской фирмы Hachette, которой вышло уже 16 томиковъ.—Примѣръ французской школы убѣждаетъ насъ, что при надлежащей группировкѣ матеріала можно достичь введенія началъ такъ называемой высшей математики безъ обремененія учащихся, если только ограничиться введеніемъ ея въ умѣренной дозѣ, полезной для всѣхъ, какова бы ни была ихъ спеціальность. Эта доза опредѣляется прежде всего тѣмъ, что нужно для другихъ предметовъ, которые въ средней школѣ уже препо-

даются и куда высшая математика прокралась контрабандой („гони природу въ дверь, она влетитъ въ окно“):

a) Графики, графическое изображеніе хода температуры, давленія, работы паровой машины, пути падающей точки, записаннаго на вращающемся цилиндрѣ.

b) Коническія сѣченія, параболическія зеркала; движеніе планетъ въ космографіи.

c) Начало ученія о производныхъ (скорость и ускореніе; касательная, и т. д.) Передъ опредѣленіемъ площадей я останавливаюсь, хотя графическое опредѣленіе работы паровой машины, коэффиціента полезнаго дѣйствія и т. п. достаточно убѣдительно говорятъ за необходимость и этого понятія.

Если обратиться теперь къ этому пополненію съ точки зрѣнія запросовъ высшей школы, главнымъ образомъ технической, то разумѣется, чѣмъ болѣе высшей математики даетъ средняя школа, тѣмъ для высшей лучше: для университета, для математическаго факультета—тѣмъ, чтобы получать болѣе сознательныхъ слушателей на математическомъ отдѣленіи и отбросить элементарныя части высшей математики; но и для естественнаго отдѣленія физико-математическаго факультета, и для медицинскаго факультета, и даже для юридическаго—понятіе о функціи, производной, о графическомъ изображеніи, я бы сказалъ, прямо необходимо.

Абсолютно не нужно развѣ для филологовъ; но ихъ такъ немного, что не бѣда, если и они получатъ новое интересное понятіе, которое иногда можетъ быть пригодится и имъ. И французы въ этомъ отношеніи довольно радикальны: послѣ пересмотра плановъ и усиленія началъ высшей математики въ Ecole des Beaux Arts въ Парижѣ каѳедра математики была уничтожена, какъ ненужная болѣе, и соотвѣтствующія требованія перенесены въ программу вступительныхъ конкурсныхъ экзаменовъ. У насъ этого не придется дѣлать. Послѣ того, какъ введено будетъ болѣе полное преподаваніе началъ высшей математики въ средней школѣ, останется еще много работы для математики въ технической школѣ.

Достаточно указать на книгу А. Н. Крылова: „Лекціи о приближенныхъ вычисленіяхъ“ чтобы убѣдиться въ справедливости этого. Придется обратить больше вниманія на дифференціальную геометрію, на вычисленіе безконечно-малыхъ различныхъ порядковъ, словомъ дать въ системѣ то, что теперь каждый прикладной математикъ дѣлаетъ у себя и часто недостаточно строго и правильно. Систематизировать этотъ матеріалъ значило бы заполнить ту пропасть, которая теперь существуетъ въ высшихъ техническихъ учебныхъ заведеніяхъ между курсомъ высшей математики и курсомъ практической механики и пр., и которая имѣетъ результатомъ заучиваніе первой только для экзамена, чтобы послѣ него основательно забываться.

Что касается Classe de Mathématiques Spéciales, который часто приводится у насъ, для пущаго посрамленія нашей отсталости въ математическомъ отношеніи, то конечно это одно изъ рѣшеній вопроса о преподаваніи высшей математики въ средней школѣ, и при томъ на первый взглядъ самое простое. Но при ближай-

темъ разсмотрѣніи возникаютъ нѣкоторыя сомнѣнія въ желательности именно такого рѣшенія вопроса.

Прежде всего это явленіе чисто французское, связанное съ преобладающимъ значеніемъ, которое во Франціи занимаетъ Политехническая школа: ежегодно тысяча аспирантовъ съѣзжается со всѣхъ концовъ Франціи держать конкурсные экзамены. Только не попавшіе въ Политехническую школу идутъ въ университетъ, и широкую программу этой школы можетъ вынести только та отборная кучка, которая проходитъ благополучно черезъ всѣ испытанія. Къ этимъ-то строгимъ экзаменамъ и готовитъ Classe de Mathématiques Spéciales французскихъ лицеевъ. Учитель здѣсь имѣетъ право заявить ученику, что его способности недостаточны для подготовки и что ему лучше уйти (не всѣ, конечно, этого слушаются). И изъ не выдержавшихъ экзаменъ многіе снова возвращаются въ тотъ же Classe de Mathématiques Spéciales, чтобы готовиться къ новому конкурсному экзамену. Требованія экзаменныхъ программъ мѣняются, и, напр., до послѣдней реформы особенное развитіе имѣла алгебра и аналитическая геометрія. Показателемъ объема требованій можетъ служить трехтомный курсъ Pruvost. Хорошій ученикъ Classe de Mathématiques Spéciales, по словамъ С. Bourlet, зналъ его отъ доски до доски. Не это, конечно, намъ нужно и во всякомъ случаѣ не это одно. Если мы говоримъ о французской системѣ, то главнымъ образомъ имѣемъ въ виду распредѣленіе на секціи. Со времени реформы 1902 года французская средняя школа раздѣляется на два цикла—низшій— 4 года и высшій—2 года съ 3-имъ дополнительнымъ*).

Первый циклъ обнимаетъ классы 6-й, 5-й, 4-й и 3-й и раздѣляется на два отдѣленія; одно—съ латинскимъ и другое безъ латинскаго. Въ 1-омъ за 4 года 9 уроковъ математики, во второмъ 17.

Вотъ что говоритъ Grevy**) характеризуя реформу 1902 года (цитирую по статьѣ Ch. Bioche въ указанномъ отчетѣ).

„Доминирующая идея реформы была та, чтобы отвести сколь возможно большую долю занятіямъ науками физико-математическими и новыми языками, чтобы ученикъ выходящій изъ лицея могъ понимать многообразныя промышленыя примѣненія, которыя ему встрѣтятся съ самаго начала его дѣятельности, и не остаться чуждымъ экономическаго движенія, значеніе котораго возрастаетъ съ каждымъ днемъ.

Наиболѣе интересное нововведеніе реформы 1902 года—это созданіе въ 1-омъ (младшемъ) циклѣ отдѣленія безъ латинскаго языка); циклъ этотъ составленъ былъ такъ, чтобы ученики, покидающіе лицей по окончаніи 3-го класса, были вооружены достаточнымъ научнымъ багажемъ, чтобы начать свою дѣятельность на поприщѣ торговли и промышленности, и чтобы остальные подготовились къ занятіямъ болѣе высшаго порядка.

*) Болѣе подробныя свѣдѣнія объ организаціи учебныхъ заведеній см. Vuіbеrt. Annuaire de la jeunesse.

**) Enseignement Secondaire 1904 № 14.

Одна изъ характеристическихъ чертъ плана занятій 1905 года есть ясное различіе, которое имъ устанавливается между характеромъ преподаванія въ 1-омъ циклѣ и во 2-омъ. До 1902 года геометрія преподавалась начиная съ 4-го класса, [соотвѣтствующаго нашему 3-му,] если не совершенно въ духѣ Евклидовыхъ элементовъ, то по крайней мѣрѣ способомъ логическимъ, представляющимъ большія аналогіи съ ученіемъ Евклида; напротивъ, по учебному плану 1905 года „геометрія“ должна быть преподаваема—въ 1-омъ циклѣ—путемъ экспериментальнымъ во всякомъ случаѣ, по крайней мѣрѣ тогда, когда дѣло идетъ о понятіяхъ прямой, плоскости, параллельныхъ и проч.; всякій новый элементъ долженъ быть сопровождаемъ его точнымъ построеніемъ съ помощью линейки и циркуля, а не проведеніемъ отъ руки не пріучающимъ къ точности; геометрическое черченіе должно быть вспомогательнымъ средствомъ при преподаваніи геометріи“. Словомъ, преподаваніе въ 1-омъ циклѣ должно быть сколь возможно конкретно; въ научныхъ классахъ 2-го цикла начинаютъ снова проходить: во 2-мъ планиметрію, въ 1-омъ стереометрію уже логическимъ образомъ.

Циклъ высшій раздѣляется на четыре отдѣленія:

A. Латинскій—греческій.

B. Латинскій—новые языки.

C. Латинскій—науки (физико-математическія).

D. Латинскій—науки.

Первые два математику изучаютъ въ значительно меньшемъ объемѣ; два другіе въ значительно большемъ: въ 1-ыхъ на математику отводится по два урока годовыхъ, въ двухъ классахъ (2-омъ и 1-омъ по французской терминологіи) въ С и D—по 5. По окончаніи ихъ А, В идутъ въ Classe de philosophie, гдѣ математикѣ отводится 1 часъ въ полугодіи обязательнаго (Космографія) и 2 ч. годовыхъ факультативнаго курса; отдѣленія же С и D въ Classe de Mathématiques, гдѣ математикѣ отводится 8 часовъ годовыхъ. При такомъ сокращеніи времени, отводимомъ на математику на секціяхъ А, В, все же удается благодаря переработкѣ программъ доходитъ до сообщенія ученикамъ понятій о производной и аналитической геометріи.

Здѣсь не мѣсто, конечно, распространяться подробно о программахъ. Не лишнее можетъ быть лишь напомнить, что программы 1902 года были реакціей противъ увлеченій предшествовавшихъ программъ введеніемъ духа строгости и систематичности, доходившей до устраненія геометрическихъ иллюстрацій понятія о производной.

Эти программы 1902 года были составлены выдающимися учеными, не имѣвшими, однако, опыта преподаванія въ средней школѣ, и вызвали оживленную критику со стороны педагоговъ, и уже въ 1905 году былъ произведенъ общій пересмотръ программъ преподаванія математики. Въ 1909 году произведенъ былъ новый пересмотръ программъ словесныхъ отдѣленій (А и В) 2-го цикла.

Вотъ что по этому поводу говоритъ Ch. Bioche въ своей вступительной къ отчету статьѣ Sur la place et l'importance des Mathématiques dans l'enseignement secondaire en France.

„Программа математики классовъ 2-го и 1-го А и В содержитъ теперь понятія о графическомъ изображеніи функцій, съ приложеніями къ равномѣрно ускоренному движенію, и элементарныя свѣдѣнія по тригонометріи,—свѣдѣнія, достаточныя для того, чтобы пользуясь таблицами натуральныхъ значеній тригонометрическихъ линій, употребленіе которыхъ становится очень обычнымъ, дать возможность ученикамъ рѣшать различныя простыя задачи, всрѣчающіяся на практикѣ. Время, посвященное математикѣ—2 часа въ недѣлю—достаточно для того, чтобы можно было настаивать на численныхъ приложеніяхъ. Если теперь ученики выучиваютъ менѣе теоремъ, чѣмъ прежде, за то они пріобрѣтаютъ интересныя понятія и научаются -ихъ примѣнять“.

Нѣтъ надобности указывать, что доза высшей математики въ отдѣленіяхъ научныхъ (С и D) несравненно выше. Можно бы думать, что эти отдѣленія оказываются очень трудными для учениковъ и мало избираемыми. Оказывается наоборотъ,—они то именно и привлекаютъ наибольшее количество учащихся. Вотъ цифры, которыя любезно сообщилъ мнѣ въ прошломъ году В. Niewenglowski, Inspecteur général de l’Enseignement secondaire,— они даютъ процентное отношеніе учащихся во 2-омъ и 1-омъ классахъ четырехъ отдѣленій за семь лѣтъ 1903—1909. (1903-й годъ нѣсколько неправиленъ, ибо реформа произведена въ 1902-мъ году).

Лицеи и коледжи.

1903

1904

1905

1906

1907

1908

1909

2-й классъ

А

10,83

10,03

9,21

8,40

8,18

7,76

7,76

В

12,30

16,95

17,87

19,18

18,62

18,61

18,83

С

24,95

24,89

24,13

23,05

22.98

22,85

22,56

D

51,91

48,12

48,77

49,36

50,21

50,77

50,93

1-й классъ

А

37,39

18,49

13,83

12,07

11,77

10,05

9,73

В

14,29

16,73

20,26

21,54

22,82

23,19

22,07

С

30,28

28,97

25,44

25,04

23,09

22,84

22,95

D

18,13

35,80

40,43

41,33

42,31

43,91

45,24

Цифры эти достаточно характерны и говорятъ сами за себя.

Мы видимъ, что почти три четверти всего числа учащихся въ 1-омъ циклѣ избираютъ именно тѣ отдѣленія, которыя наиболѣе насыщены математикой. И такъ какъ нѣтъ основаній предполагать, что французская нація характеризуется особою природною одаренностью къ математикѣ въ трехъ четвертяхъ своихъ, то мы должны будемъ признать, что болѣе обширный курсъ математики, проходимый на отдѣленіяхъ С и D не является непреодолимымъ для большинства.

Но эти цыфры чрезвычайно любопытны и въ другомъ еще отношеніи. Онѣ показываютъ какъ падаетъ число изучающихъ древніе языки и число отдающихся словеснымъ наукамъ (отд. А и В вмѣстѣ) даетъ все уменьшающуюся долю, приближающихся къ 0,25. И секція С, которая казалось должна бы быть самою многолюдною (такъ мнѣ и сообщалъ сначала г. Нивенгловскій), привлекаетъ всего 22—23%, и число это хотя и медленно, но непрерывно падаетъ. При важности латинскаго языка и римской культуры для Франціи не удивительно, что такое положеніе вещей начинаетъ даже тревожить просвѣщенныхъ людей Франціи, и это можетъ быть причина того, что за послѣднее время въ средѣ представителей науки и техники во Франціи раздаются голоса о значеніи классическаго образованія. Но это уже выходитъ изъ области нашей темы.

Позволю себѣ, чтобы не затягивать доклада, ограничиться сказаннымъ и выразить пожеланіе, чтобы и для насъ наступило время, когда математикѣ будетъ отведено подобающее ей мѣсто, и чтобы дѣло пересмотра плановъ происходило при совмѣстной работѣ представителей средней и высшей школы.

Замѣтки по преподаванію Геометріи*).

Н. Извольскій. Москва.

Однажды лѣтомъ мнѣ пришлось бесѣдовать съ гимназисткою провинціальной гимназіи, только что перешедшей изъ 5-го кл. въ 6-й. На свой вопросъ: что пройдено въ 5 кл. по геометріи? я получилъ, высказанный послѣ нѣкотораго обдумыванія, отвѣтъ: не помню. На мой повторный вопросъ, выраженный мною болѣе детально, гдѣ я пригласилъ вспомнить хоть что-либо изъ пройденнаго, былъ опять таки данъ отвѣтъ: рѣшительно не помню. Тогда я спросилъ: что же вы въ теченіи цѣлаго года дѣлали по геометріи? На это былъ быстро данъ отвѣтъ, ясный по своей опредѣленности: мы доказывали! Этотъ отвѣтъ съ одной стороны показываетъ, что работа цѣлаго года по геометріи по крайней мѣрѣ для данной ученицы прошла безслѣдно, а съ другой стороны наводитъ на соображенія, что вѣдь дѣйствительно обученіе геометріи поставлено у насъ такъ, что въ сущности обучаютъ не геометріи, а доказательствамъ: многія изъ программъ подчеркиваютъ такъ называемую привычку къ формальному мышленію, которую надо развивать въ учащихся, наши учебники слагаются изъ доказательствъ ряда, неизвѣстно почему появившихся на свѣтъ Божій, теоремъ, и, если преподаватель не вноситъ въ курсъ геометріи чего либо своего, что проясняло бы этотъ туманъ, то учащіеся

*) Настоящая статья имѣетъ тѣсную связь съ докладомъ автора на 1-мъ съѣздѣ преподавателей математики: „Современное состояніе курса геометріи въ средней школѣ“; нѣкоторыя стороны вопроса были подробнѣе освѣщены въ докладѣ, а другія подробнѣе излагаются въ этой статьѣ. Докладъ будетъ напечатанъ въ Трудахъ съѣзда.

дѣйствительно могутъ придти къ заключенію, что геометрія есть предметъ, гдѣ обучаютъ доказательствамъ.

Два пункта обычно кладутся въ основаніе обученія геометріи: 1) все, что не аксіома, обязательно доказывается, 2) при доказательствахъ ученики должны исходить изъ опредѣленій, которыми заполненъ курсъ геометріи.

По поводу перваго пункта я приведу лишь въ нѣсколько сокращенномъ видѣ слова изъ предисловія къ одному изъ новыхъ учебниковъ (Дм. Ройтманъ. Курсъ элементарной геометріи. М. 1907). Авторъ говоритъ, что онъ не будетъ слѣдовать новой модѣ, состоящей напр. въ томъ, что сначала доказываютъ, что можно возстановить перпендикуляръ, а потомъ, много послѣ, показываютъ, какъ это сдѣлать; эта мода свидѣтельствуетъ объ отсутствіи строгости въ пониманіи задачъ обученія. И что было бы съ нами, восклицаетъ авторъ, если бы, приступая къ каждому, самому простому практическому шагу, мы постоянно требовали бы отъ себя строгаго доказательства его возможности „на основаніи допущенныхъ аксіомъ и опредѣленій“.

Нельзя не согласиться съ авторомъ, что замѣченный имъ фактъ постоянно имѣетъ мѣсто въ курсахъ геометріи и что лучшимъ доказательствомъ выполнимости чего либо является самое выполненіе, причемъ само собою отпадаетъ и забыта объ доказательствѣ.

По поводу второго пункта прежде всего обращу вниманіе на рядъ фактовъ, подагогическаго характера. Одна изъ новѣйшихъ программъ по геометріи (программа кадетскихъ курпусовъ 1911 г.) настаиваетъ на построеніи системы опредѣленій.

Въ цитируемомъ выше курсѣ геометріи Дм. Ройтмана, стремящемся, какъ видно изъ предыдущей выписки, къ улучшенію преподаванія геометріи, находимъ: „весь курсъ геометріи построенъ на точныхъ опредѣленіяхъ простѣйшихъ, идеальныхъ геометрическихъ формъ..“ (Заключеніе, стр. 284) и еще раньше: „Въ опредѣленіи должно быть сказано все, что нужно, но ничего лишняго; должно было привести ровно столько признаковъ», сколько нужно, чтобы отличить данное протяженіе отъ другихъ....“ (Стр. 283).

Къ удивленію, говоря такъ, авторъ въ своемъ курсѣ даетъ вовсе не такія опредѣленія, которыя подходили бы подъ приведенную характеристику (напр. Ромбъ есть параллелограммъ, у котораго всѣ стороны равны, — извѣстно вѣдь, что достаточно равенства двухъ сосѣднихъ сторонъ; перпендикуляромъ къ плоскости наз. прямую, которая перпендикулярна ко всякой прямой на плоскости, проходящей черезъ ея основаніе,—извѣстно вѣдь, что достаточно перпендикулярности къ двумъ прямымъ).

Впрочемъ откажусь отъ только что выраженнаго мною удивленія. Въ самомъ дѣлѣ, мы вѣдь знаемъ, какъ много споровъ можетъ вызвать вопросъ объ опредѣленіи какого-либо отдѣльнаго геометрическаго объекта (напр. выше приведенное опредѣленіе ромба); еще труднѣе дать систему опредѣленій, какъ того требуетъ программа кадетскихъ курпусовъ, основныхъ геометрическихъ понятій, систему, которая не противорѣчила бы самой себѣ (напр.

К. Рашевскій. Элементарная геометрія. М. 1910. Часть пространства, занимаемая физич. тѣломъ, называется его объемомъ или геометрич. тѣломъ, а далѣе идутъ выраженія „объемъ пирамиды“ „объемъ шара“ и т. п. Такъ какъ здѣсь совершенно неумѣстно понимать физическій шаръ или физическую пирамиду, то выраженіе объемъ шара надо понимать какъ объемъ опредѣленнаго геометрич. тѣла, что, согласно первому опредѣленію учебника тождественно съ объемомъ опредѣленнаго объема!)

Къ счастію, способные ученики, которымъ предлагается заучивать рядъ опредѣленій, составляющихъ яко бы систему, сами догадываются, что не въ томъ суть,—что эти опредѣленія даются имъ только для порядка, а не для усвоенія геометріи.

Поэтому, отбросивъ стремленіе къ построенію системы опредѣленій, я прихожу къ слѣдующему, единственно правильному, основному положенію методики геометріи:

Все обученіе геометріи должно покоиться на образахъ геометрическихъ объектовъ, созданіе которыхъ въ представленіи учащихся и является основною задачею обученія.

Мы постоянно сталкиваемся въ своей практикѣ съ примѣрами, указывающими на печальныя послѣдствія игнорированія этого положенія. Учащійся, напр., знаетъ опредѣленіе перпендикуляра и основанное на немъ опредѣленіе высоты треуг-ка. Но предложите ему нарисовать высоты въ данномъ тупоугольномъ треуг-кѣ, и вы знаете, что на этомъ вопросѣ учащіеся постоянно выказываютъ, что у нихъ отсутствуетъ образъ перпендикулярныхъ прямыхъ.

Я бы предпочелъ, чтобы мой ученикъ, хотя и затруднился бы высказать словами „перпендикуляромъ называется....<с, за то сумѣлъ бы дать рисунокъ перпендикуляра къ даннной прямой при любой обстановкѣ.

Здѣсь умѣстно остановиться на вопросѣ о тѣхъ признакахъ, которыми характеризуется каждый изъ наиболѣе часто разсматриваемыхъ объектовъ геометріи, умѣстно потому, что этимъ признакамъ необходимо отдать первенствующее значеніе при созданіи образовъ этихъ объектовъ въ сознаніи учащихся.

Ф. Клейнъ*) различаетъ два періода въ развитіи геометріи: одинъ идетъ вплоть до конца XVIII вѣка, а другой начинается въ XIX вѣкѣ, когда возникла новая отрасль геометріи „новая“ геометрія, или, какъ принято называть теперь „проэктивная“ геометрія. Существеннымъ отличіемъ второго періода отъ перваго является то обстоятельство, что проэктивная геометрія устанавливаетъ равноправіе между основными геометрич. элементами: точкою, линіею (простѣйшею изъ линій является прямая) и поверхностью (простѣйшею изъ поверхностей является плоскость). Развитіе этой идеи привело къ установленію принципа двойственности. Enriques въ началѣ своего курса проэктивной геометріи устанавливаетъ, что предметомъ изученія въ геометріи служатъ соотношенія между элементами (точки, линіи, поверхности, прямыя

*) F. Klein. Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus. T. II.

линіи, плоскости и т. д.). Еще точнѣе говоритъ D. Hilbert въ началѣ своей работы Grundlagen der Geometrie: существуютъ три различныхъ системы вещей: точки, прямыя и плоскости. Точки являются элементами линейной геометріи, точки и прямыя—элементами плоской геометріи, точки, прямыя и плоскости—элементами пространственной геометріи.

Анри Пуанкаре въ своемъ мемуарѣ „Наука и Методъ“*) даетъ интересную характеристику научной работы вообще и въ области математики въ частности. Онъ устанавливаетъ, что всякая наука имѣетъ дѣло съ фактами: изъ ряда фактовъ мы выбираемъ тѣ, которые представляются намъ простѣйшими; затѣмъ начинается комбинаціонная работа: изъ различныхъ элементовъ, которыми мы располагаемъ мы можемъ создать милліоны комбинацій,—мы разсматриваемъ тѣ изъ нихъ, которыя почему либо представляются намъ интересными. Но одна такая комбинація еще ничего не даетъ; другое дѣло, если эта комбинація займетъ мѣсто въ ряду аналогичныхъ ей и если мы подмѣтимъ эту аналогію,— передъ нами уже будетъ не фактъ, а законъ.

Примѣняя все вышеизложенное къ геометріи, мы получаемъ слѣдующую схему ея развитія: изъ наблюденій надъ внѣшнимъ міромъ мы пришли къ необходимости признать существованіе не матерьяльныхъ точекъ, линій и поверхностей. Эти три рода вещей и являются тѣми элементами, надъ которыми мы выполняемъ вышеупомянутую комбинаціонную работу. Среди линій и поверхностей мы изыскиваемъ простѣйшія, а именно прямую линію и плоскость; надъ этими послѣдними, съ присоединеніемъ къ-нимъ точекъ, и идетъ главнымъ образомъ работа комбинированія. Мы можемъ даже отвлечься отъ образовъ, которыми мы представляемъ себѣ эти простѣйшіе элементы, замѣнивъ это образное представленіе рядомъ аксіомъ, и изслѣдовать получаемыя ихъ комбинаціи только помощью логики, — мы получаемъ ту отвлеченную геометрію, возникновеніе которой является характернымъ признакомъ новѣйшаго періода развитія геометріи. Несомнѣнно, что такое направленіе не должно имѣть мѣста при изученіи геометріи въ средней школѣ, и въ нашей педагогической дѣятельности мы должны отказаться отъ указаннаго отвлеченнаго направленія, мы должны преимущественно, обучая геометріи, апеллировать не къ заученнымъ аксіомамъ, а къ образному представленію геометрическихъ элементовъ, утвердившемуся въ сознаніи учащихся.

При изученіи какого-либо сложнаго геом. объекта, онъ нами прежде всего долженъ быть воспринимаемъ какъ опредѣленная комбинація основныхъ элементовъ, т. е. точекъ, линій и поверхностей. И этотъ взглядъ долженъ лечь въ основу образнаго представленія геом. объектовъ. Такъ: прямолинейный отрѣзокъ долженъ восприниматься какъ комбинація изъ прямой линіи и двухъ ея точекъ, уголъ—какъ комбинація изъ точки и двухъ исходящихъ изъ нея лучей, плоскій многоуг-никъ (полный или простой)—

*) Русскій переводъ подъ редакціею В. Ф. Кагана. Г. Пуанкаре. Наука и методъ.

какъ комбинація извѣстнымъ образомъ осуществленныхъ точекъ, и прямыхъ, многогранникъ—какъ комбинація извѣстнымъ образомъ осуществленныхъ точекъ, прямыхъ и плоскостей и т. д., наконецъ, тѣло—какъ комбинація извѣстнымъ образомъ осуществленныхъ точекъ, какихъ-либо линій и поверхностей (можетъ быть надо признать характернымъ признакомъ способа осуществленія послѣдней комбинаціи, чтобы послѣ ея осуществленія оказалась выдѣленною со всѣхъ сторонъ часть пространства, а можетъ быть можно отказаться и отъ этой оговорки и называть тѣломъ любую комбинацію точекъ, и линій поверхностей въ пространствѣ, а фигурою лишь комбинацію линій и точекъ въ геометріи на плоскости). Можетъ быть каждая изъ этихъ комбинацій имѣетъ еще какіе-либо признаки, которые, можетъ быть, потребуютъ много вниманія при изученіи этихъ комбинацій, но не эти признаки должны служить характеристикою опредѣленнаго объекта и не ими должно направляться созданіе соотвѣтствующаго образа въ сознаніи учащихся,—послѣднее должно направляться только положеніемъ, что каждый объектъ есть опредѣленная комбинація точекъ и линій, если ебъектъ принадлежитъ къ области плоской геометріи, или точекъ, линій и поверхностей, если онъ принадлежитъ къ области пространственной геометріи. Вотъ нѣкоторые изъ только что упомянутыхъ признаковъ: всякій уголъ дѣлитъ плоскость на 2 области, треугольникъ выдѣляетъ всегда изъ плоскости опредѣленную часть, но уже относительно плоскихъ 4— угольника, 5—угольника и т. д. здѣсь возникаетъ осложненіе: для полныхъ многоугольниковъ мы уже вовсе отказываемся отъ разсмотрѣнія тѣхъ частей плоскости, которыя получаются при осуществленіи такихъ многоугольниковъ, но для простыхъ многоугольниковъ эти части разсматриваютъ и притомъ имъ приписываютъ знаки -4- или — , смотря по тому, съ лѣвой или правой стороны отъ наблюдателя, обходящаго эту часть плоскости по сторонамъ многоугольника, она остается; благодаря введенію знаковъ 4- и — для частей плоскости, оказалось возможнымъ каждому простому многоугольнику (хотя бы звѣздчатому) отнести извѣстную часть плоскости, которую называютъ площадью этого многоугольника*).

Въ пространствѣ съ многогранниками дѣло оказалось еще сложнѣе: Мёбіусъ построилъ многогранникъ, относительно котораго вовсе нельзя установить, выдѣляетъ ли онъ какія-либо части пространства,—объ объемѣ такого многогранника не можетъ быть и рѣчи**).

(Окончаніе въ слѣд. №).

Михаилъ Евсевіевичъ Головинъ.

В. Бобынинъ. Москва.

Въ кругъ непосредственныхъ занятій перваго русскаго ученаго, Михаила Васильевича Ломоносова, математика не входила.

*) См. F. Klein. Elementarmathematik von höheren Standpunkte aus. T. II.

**) Ibid.

Онъ, поэтому, не оставилъ послѣ себя никакихъ трудовъ по ея предмету и тѣмъ лишилъ исторію русской математики прямаго повода къ участію въ чествованіи истекшаго 8 ноября 1911 года двухсотлѣтія дня его рожденія. Чтобы воздать должное памяти замѣчательнаго русскаго человѣка, исторіи русской математики въ виду отсутствія прямаго повода не остается ничего другого, какъ воспользоваться косвеннымъ, представляемымъ жизнью и дѣятельностью близкаго Ломоносову человѣка, слѣдовавшаго, можетъ быть, его завѣтамъ и указаніямъ и затѣмъ, благодаря имъ, сдѣлавшагося однимъ изъ первыхъ видныхъ работниковъ въ дѣлѣ укрѣпленія и развитія преподаванія математическихъ наукъ въ Россіи.

Ученая дѣятельность Головина, какъ и всѣхъ другихъ русскихъ адъюнктовъ и профессоровъ Академіи Наукъ ХVIІІ вѣка, представляетъ и значительный самостоятельный интересъ. Изученіе ея даетъ, дѣйствительно, цѣнные матеріалы для исторіи развитія физико-математическихъ наукъ въ Россіи. Оно же вводитъ изслѣдователя и въ одну изъ тѣхъ еще очень мало изученныхъ эпохъ развитія науки въ человѣчествѣ, въ которыя подъ непосредственнымъ воздѣйствіемъ науки въ настоящемъ смыслѣ этого слова совершался переходъ въ научный періодъ отдѣльныхъ племенъ и народовъ съ достигнутыхъ уже ими болѣе или менѣе высокихъ ступеней донаучнаго періода. Успѣвшими уже обрисоваться передъ новѣйшею наукою эпохами этого перехода являются VІІ—V вѣка въ Древней Греціи; все, хотя и недостигшее въ указанномъ направленіи желаемаго конечнаго результата, многовѣковое существованіе древняго Рима; Средніе Вѣка въ Западной Европѣ и, наконецъ, все ХVІІІ и часть XIX столѣтія въ Россіи. Чѣмъ ближе каждая изъ этихъ эпохъ къ новѣйшему времени, тѣмъ болѣе, по легко понятнымъ причинамъ, она способна дать матеріаловъ для изученія явленій разсматриваемаго перехода, а также и для открытія черезъ ихъ сопоставленіе между собою управляющихъ тѣмъ же переходомъ общихъ законовъ. Въ этомъ и состоитъ главное значеніе для общей исторіи наукъ физико-математическихъ такихъ изученій, какъ предлагаемый этюдъ о Головинѣ.

Родившійся въ 1756 году, М. Е. Головинъ былъ сыномъ сестры М. В. Ломоносова, Марьи Васильевны, вышедшей замужъ за крестьянина села Матигоръ Архангельской губерніи, Евсевія Леонтьевича Головина. Въ началѣ 1765 года мальчикъ былъ помѣщенъ своимъ знаменитымъ дядею въ число, какъ тогда выражались, „учениковъ Академіи“ (elèves de l’Académie), то есть въ Академическую Гимназію, по выходѣ изъ которой онъ сдѣлался студентомъ по предмету математики Академическаго Университета и, какъ таковой, ученикомъ знаменитаго Леонарда Эйлера, бывшаго, какъ и другіе академики, профессоромъ этого Университета.

Не смотря на непродолжительность времени, въ теченіе котораго Головинъ слушалъ лекціи своего великаго учителя, успѣхи его въ изученіи математики были на столько значительными, что

Эйлеръ нашелъ возможнымъ начать хлопоты о возведеніи Головина въ адъюнкты Академіи Наукъ уже съ конца 1774 года. Не будучи, по нездоровью, въ состояніи лично прибыть въ засѣданіе Академіи 31 октября 1774 года, Эйлеръ прислалъ туда два свои мемуара вмѣстѣ съ заявленіемъ, что одинъ изъ нихъ, именно имѣющій заглавіемъ „De oscillationibus minimis funis libéré suspensi“ написанъ студентомъ Головинымъ. При этомъ онъ поручилъ сообщить Академіи въ похвалу своему молодому сотруднику, что этотъ послѣдній вполнѣ хорошо понялъ и усвоилъ соотвѣтствующую часть математики, которая къ тому же далеко не является принадлежащею къ числу менѣе трудныхъ. Конференція Академіи можетъ поэтому судить какъ значительны успѣхи, сдѣланные студентомъ Головинымъ въ теченіе того малаго промежутка времени, съ начала котораго онъ сталъ посѣщать лекціи профессора Эйлера.

Приведенныя заявленія не были однако первымъ шагомъ, сдѣланнымъ Эйлеромъ въ направленіи къ достиженію намѣченной цѣли. Еще ранѣе, именно, 13 сентября, онъ представилъ директору Академіи графу Владиміру Орлову письмо, въ которомъ, воздавъ справедливую хвалу прилежанію своихъ двухъ учениковъ, Фусса*) и Головина, и давъ отчетъ объ ихъ быстрыхъ успѣхахъ въ математикѣ, онъ просилъ о приглашеніи на академическую службу перваго и о поощреніи втораго, какъ состоящаго уже на этой службѣ, увеличеніемъ получаемаго имъ до сихъ поръ очень малаго содержанія. Препроводивъ это письмо въ засѣданіе Конференціи Академіи Наукъ, происходившее 1-го декабря того-же 1774 года, Орловъ выразилъ желаніе, чтобы она высказала свое мнѣніе по предмету этого письма. Предложенія Эйлера были приняты единогласно всѣми академиками. Нѣкоторые, а именно Лекселль, Краффтъ и Эйлеръ—сынъ, бывшій Непремѣннымъ Секретаремъ Академіи, пошли даже далѣе. Они подали голоса за присужденіе Академіей и Фуссу и Головину званія адъюнкта. Къ нимъ присоединился въ своемъ письменномъ мнѣніи и академикъ Румовскій, но съ указаніемъ нѣкоторыхъ препятствій, ставимыхъ въ настоящемъ случаѣ уставомъ Академіи. Въ отношеніи Головина этимъ препятствіемъ была его принадлежность къ податному сословію, что могло быть устранено предварительнымъ увольненіемъ изъ этого сословія. Вызванный въ средѣ академиковъ указаніями Румовскаго обмѣнъ мнѣній окончился заявленіемъ Эйлера, въ которомъ онъ выразилъ, что хотя Головинъ еще и не такъ подвинутъ въ математикѣ, какъ Фуссъ, но тѣмъ не менѣе все-таки можно посовѣтовать смотрѣть на того и на другаго, какъ на занимающихъ одну и ту же ступень, и вслѣдствіе этого возвесть ихъ обоихъ въ званіе адъюнктовъ Академіи. Въ случаѣ же если такое повышеніе покажется слишкомъ поспѣшнымъ, то пусть Начальникъ Академіи назначитъ имъ для начала содержаніе, меньшее получаемаго обыкно-

*) Николай Фуссъ, впослѣдствіи извѣстный математикъ, женившійся на внучкѣ Эйлера и сдѣлавшійся его біографомъ.

венно адъюнктомъ, и тѣмъ создастъ для нихъ какъ бы среднее положеніе между студентомъ и адъюнктомъ.

Не смотря на старанія Эйлера, поднятое имъ дѣло достигло желаемаго конца не прежде начала 1776 года. Причиною задержки было, повидимому, впервые примѣненное въ настоящемъ случаѣ требованіе отъ претендентовъ на званіе адъюнкта предварительнаго представленія мемуара по избираемой спеціальности. Только послѣ доставленія академиками въ Конференцію рапортовъ о мемуарахъ Фусса и Головина эти послѣдніе были объявлены Директоромъ Академіи въ засѣданіи 15 января избранными въ адъюнкты по предметамъ первый математики, а второй опытной физики.

Мемуаромъ, представленнымъ въ исполненіе упомянутаго требованія Головинымъ въ засѣданіи Академіи 8 января черезъ посредство академика Краффта, былъ написанный на латинскомъ языкѣ „Specimen dilucidationum quarundam ad illustrissimi Euleri tractatum Sur la construction et la manoeuvre des vaisseaux“. Въ томъ же засѣданіи этотъ мемуаръ былъ переданъ для разсмотрѣнія и представленія о немъ рапорта академикамъ математическаго класса.

22 января 1776 года Головинъ впервые присутствовалъ въ засѣданіи Конференціи Академіи, какъ ея членъ, хотя и младшій. При этомъ имъ была произнесена на русскомъ языкѣ вступительная рѣчь, на которую въ заключеніе засѣданія Непремѣнный Секретарь Академіи, старшій сынъ Леонарда Эйлера, Іоганнъ Альбертъ, отвѣчалъ привѣтствіемъ на французскомъ языкѣ.

Въ кругъ занятій Головина и Фусса математикою подъ руководствомъ Эйлера входило записываніе создаваемыхъ имъ новыхъ мемуаровъ съ его словъ и сдѣланныхъ имъ предварительно мѣломъ на черномъ столѣ выкладокъ, а иногда и прямо подъ его диктовку. Пользоваться такимъ неудобнымъ способомъ работы вынудила Эйлера начавшаяся съ 1766 года болѣзнь глазъ, вслѣдствіе которой для него сдѣлалось невозможнымъ узнавать приходящихъ, читать и писать чернымъ по бѣлому. Онъ оказывался только въ состояніи, какъ сказано, писать мѣломъ на черномъ столѣ математическія вычисленія, хотя и ясно, въ правильномъ порядкѣ и въ обыкновенную величину. Написанными Головинымъ мемуарами Эйлера, кромѣ упомянутаго уже выше, были: „De trajectu citissimo stellae per duos circulos Almicantarath datos pro qualibet elevatione poli“*) и „De vi fluminis ad naves sursum trahendas applicanda“**).

Другой родъ работъ Головина во время его непродолжительнаго студенчества составляли переводы. Изъ нихъ неотносящимся къ математикѣ былъ переводъ Теренціевой комедіи „Евнухъ“, напечатанный въ 1773—1774 гг. въ С.-Петербургѣ вмѣстѣ съ дру-

*) Novi. Commentarii Academiae scientiarum Imperialis Petropolitanae, XX, p. 503—508.

**) Acta Academiae scientiarum Imperialis Petropolitanae Pro anno 1780. Pars I. P. 119—131.

гими произведеніями того же автора, переводъ которыхъ являлся уже результатомъ совмѣстной работы Головина и А. С. Хвостова.

Сочиненіемъ математическаго характера, переводомъ котораго занимался Головинъ въ разсматриваемую пору своей дѣятельности, была книга Леонарда Эйлера Théorie complette de la construction et de la manoeuvre des vaisseaux mise à la portée de ceux qui s’appliquent à la navigation (Спб. 1773, XII-{-354 pp. in—8°. Съ 11 таблицами). Къ ней Головинъ обратился не по приказанію Академіи, какъ это обыкновенно случалось съ находящимися при ней переводчиками, а по собственному почину, который явился слѣдствіемъ соображеній и обстоятельствъ, изложенныхъ частью въ „Предисловіи къ читателю“ переводчика, частью въ его-же „Посвященіи“ перевода Директору Академіи Наукъ“ С. Г. Домашневу. Въ первомъ онъ говорилъ: „въ ней (книгѣ Эйлера) Теорія Навигаціи показана столь ясно и вразумительно, что имѣющіе охоту обучаться сей наукѣ получатъ желаемое съ малымъ трудомъ и съ большимъ основаніемъ и совершенствомъ, нежели въ другой какой книгѣ. Сего для перевелъ я ее на Русской языкъ, надѣясь показать тѣмъ нѣкую услугу нашимъ мореплавателями“. Изъ „Посвященія“ достаточно привесть какъ относящееся къ тому же предмету слѣдующее мѣсто. „Всѣ причины, побудившія меня къ преложенію на нашъ языкъ столь отмѣнно полезнаго сочиненія, какого есть умозрѣніе Строенія кораблей, суть тѣ же самыя, кои обязываютъ меня посвятить оное Вашему Превосходительству: попеченіе Ваше о ввѣренной вамъ части, коей я удостоенъ Вашимъ одобреніемъ быть членомъ, наставленія Ваши непосредственно мнѣ преподаваемыя, и что болѣе всего, непосредственное Ваше испытаніе важности и пользы морской службы, коей сами были Ваше Превосходительство и свидѣтели и соучастники“.

Сочиненіе Эйлера состояло изъ трехъ частей, заглавія которыхъ въ переводѣ Головина были слѣдующія: „Часть I. О равновѣсіи кораблей на одномъ мѣстѣ стоящихъ. Часть II. О сопротивленіи, которому плывущіе по водѣ корабли подвергаются, и о дѣйствіи руля. Часть III. Объ оснасткѣ и вожденіи кораблей“. Переводъ первой части былъ представленъ Академіи Наукъ въ засѣданіи 3 іюля 1775 года академикомъ Краффтомъ. По состоявшемуся въ томъ же засѣданіи постановленію Академіи разсмотрѣніе этого труда и представленіе о немъ въ одномъ изъ слѣдующихъ засѣданій рапорта были возложены на академиковъ Котельникова и Румовскаго. Исполнилъ это порученіе, повидимому, только одинъ Румовскій, доложившій Академіи въ засѣданіи 14 августа, что переводъ удачный и потому вполнѣ заслуживаетъ быть напечатаннымъ на счетъ Академіи. Чтобы побудить переводчика къ окончанію своего труда, Академія, согласно съ заключеніемъ Румовскаго, постановила теперь же приступить къ печатанію доставленной ей части перевода. Ожиданія Академіи сбылись и въ засѣданіи 15 января 1776 года Непремѣнный Секретарь представилъ ей остальныя двѣ части перевода Головина вполнѣ законченными, при чемъ обратилъ ея вниманіе на присоединенныя отъ себя переводчикомъ примѣчанія, посвященныя подробному

развитію вычисленій, изъ которыхъ у автора были приведены только одни конечные результаты. Самъ Головинъ по поводу этихъ примѣчаній въ вышеупомянутомъ своемъ предисловіи говорилъ: „при концѣ сея книги приложилъ я нѣкоторыя примѣчанія, въ коихъ изяснилъ такія мѣста, которыхъ дальнѣйшее изслѣдованіе полезно и нужно казалось для читателей: при томъ показалъ, какимъ образомъ находить должно формулы, въ семъ сочиненіи попадающіяся; а на конецъ присовокупилъ новыя приращенія, учеными по напечатаніи самаго подлинника учиненныя, дабы читатели имѣли всѣ нужныя средства для совершеннаго уразумѣнія сея книги“. Объемъ указываемой въ этихъ словахъ принадлежащей самому Головину части его труда слѣдующій: Примѣчанія на часть первую стр. 373—394, на часть вторую стр. 394—417, на часть третію стр. 418—429; прибавленіе стр. 429—434.

Къ печатанію труда Головина приступили по распоряженію Академіи немедленно послѣ представленія послѣднихъ его частей. Вышелъ онъ въ свѣтъ въ 1778 году подъ заглавіемъ „Полное умозрѣніе строенія и вожденія кораблей, сочиненное въ пользу учащихся навигаціи Леонардомъ Ейлеромъ, а съ французскаго подлинника переведенное Академіи Наукъ Адъюнктомъ Михаиломъ Головинымъ“ (8°, XII+434 стр. и 23 листа чертежей). Отъ этого труда Головина произошелъ и его вышеупомянутый представленный имъ для полученія званія адъюнкта мемуаръ, какъ это можно видѣть уже изъ заглавія послѣдняго.

Изъ родовъ дѣятельности, входящихъ въ кругъ обязанностей адъюнкта Академіи, первымъ, къ которому былъ привлеченъ Головинъ послѣ своего возведенія въ это званіе, явилось участіе въ трудахъ коммиссій, назначаемыхъ для разсмотрѣнія и оцѣнки представляемыхъ на судъ Академіи изобрѣтеній и техническихъ проектовъ.

Капитанъ при Сухопутномъ Шляхетномъ Кадетскомъ Корпусѣ де Рибасъ получилъ возможность лично показать Императрицѣ модель проектируемаго имъ деревяннаго моста черезъ Большую Неву между Адмиралтействомъ и Сенатомъ. По состоявшемуся затѣмъ въ февралѣ 1776 года Высочайшему повелѣнію разсмотрѣніе этой модели было возложено на Академію Наукъ, директоръ которой, Домашневъ, образовалъ для этого Коммиссію, въ составъ которой имъ были назначены въ засѣданіи 22 февраля академики: Эйлеръ, Котельниковъ, Эйлеръ—сынъ и Румовскій и адъюнкты: Фуссъ и Головинъ. Въ виду единства предмета на ту-же Коммиссію было возложено также и разсмотрѣніе чертежа, описанія и вычисленій, относящихся къ проекту другаго моста, составленному механикомъ-художникомъ Академіи Наукъ, Кулибинымъ, обязавшимся окончить въ непродолжительномъ времени и представить Академіи изготовляемую имъ модель своего моста. Упомянутое, данное Кулибинымъ, описаніе его моста Головинъ долженъ былъ перевесть на латинскій языкъ и затѣмъ раздать экземпляры своего перевода всѣмъ другимъ членамъ Коммиссіи.

Рапортъ объ изслѣдованіи модели де Рибаса*) за подписями всѣхъ членовъ Коммиссіи былъ представленъ въ засѣданіи Академіи 4 марта 1776 года. Заключенія, къ которымъ пришла Коммиссія въ результатѣ своихъ изслѣдованій, были отрицательными, въ чемъ сошелся съ нею и самъ изобрѣтатель, заявившій ей при началѣ изслѣдованія, что несоотвѣтствіе полученныхъ результатовъ ожиданіямъ заставило его замѣнить прежній планъ другимъ и приступить поэтому къ устройству новой модели.

Своему закончившемуся составленіемъ упомянутаго рапорта изслѣдованію Коммиссія посвятила два засѣданія. Первое происходило 27 февраля 1776 года въ Шляхетномъ Кадетскомъ Корпусѣ, куда собрались всѣ члены Коммиссіи для разсмотрѣнія модели въ мѣстѣ ея нахожденія и при участіи самаго изобрѣтателя. Второе засѣданіе, въ которомъ обсуждались окончательно результаты изслѣдованія и былъ выработанъ самый рапортъ, происходило 8 марта.

Изслѣдованіе тою-же Коммиссіею однороднаго изобрѣтенія механика Кулибина, то—есть проектируемаго имъ деревяннаго съ одною аркою моста черезъ Неву, произведено, повидимому, не было. По крайней мѣрѣ въ протоколахъ засѣданій Академіи Наукъ не содержится по этому предмету никакихъ другихъ свѣдѣній, кромѣ сообщенія о томъ, что въ засѣданіи Конференціи 18 апрѣля 1776 года „господинъ адъюнктъ Головинъ передалъ сдѣланный имъ нѣмецкій переводъ мемуара механика Кулибина о проектируемомъ имъ деревянномъ мостѣ съ одною аркою черезъ Неву, модель котораго будетъ на дняхъ окончена. Секретарь взялъ у него этотъ переводъ, чтобы его прочесть и черезъ это получить возможность присоединить свое мнѣніе къ мнѣніямъ господъ другихъ членовъ Коммиссіи, которымъ поручено изслѣдованіе упомянутаго проекта“.

По изготовленіи де Рибасомъ его упомянутой уже выше второй модели моста, Академія вслѣдствіе приказанія Императрицы должна была назначить новую Коммиссію для изслѣдованія этой модели. Въ составъ этой Коммиссіи въ засѣданіи 11 ноября 1776 года были избраны, кромѣ членовъ прежней, еще академики Краффтъ и Лекселль. Такъ какъ при изслѣдованіи модели, происходившемъ 15 ноября въ Шляхетномъ Сухопутномъ Кадетскомъ Корпусѣ способъ ея испытанія, употребленный самимъ изобрѣтателемъ, былъ найденъ членами Коммиссіи недостаточнымъ и сомнительнымъ, то было рѣшено произвесть новое изслѣдованіе по способамъ избраннымъ самою Коммиссіею. Посвященное этому изслѣдованію второе засѣданіе было назначено на 26 ноября; но состоялось-ли оно и къ какимъ привело результатамъ остается неизвѣстнымъ вслѣдствіе отсутствія въ „Протоколахъ засѣданій Конференціи“ всякихъ указаній по этимъ предметамъ. Какъ и въ случаѣ проекта Кулибина, если рапортъ и былъ составленъ, то въ печати онъ не появился. Въ этомъ нельзя не видѣть нѣкоторой странности, потому-что

*) Протоколы засѣданій Конференціи Императорской Академіи Наукъ. T. III. Стр. 230—232.

„рѣшительный и окончательный“ рапортъ вызывалъ большой интересъ между военными, какъ это можно видѣть изъ того, что передъ его составленіемъ фельдмаршалъ князь Голицынъ два раза обращался за нимъ въ Академію Наукъ.

Болѣе удачнымъ, повидимому, чѣмъ предыдущіе, былъ проектъ деревяннаго моста черезъ Неву, принадлежащій часовщику Академіи Художествъ Нордштерну. Построенная по этому проекту модель была выставлена съ разрѣшенія директора Академіи Домашнева въ залѣ засѣданій и затѣмъ представлена изобрѣтателемъ Конференціи въ засѣданіи 3 декабря 1778 года. По прочтеніи въ этомъ засѣданіи Непремѣннымъ Секретаремъ посланія Нордштерна, которымъ онъ подвергалъ свое изобрѣтеніе изслѣдованію и суду Академіи, была для исполненія его просьбы избрана Коммиссія, въ составъ которой вошли Котельниковъ, Румовскій, Краффтъ, Лекселль, Иноходцовъ, Фуссъ, Головинъ и Эйлеръ—сынъ, какъ Непремѣнный Секретарь Академіи. Коммиссія для исполненія своего назначенія рѣшила собраться 7 декабря въ 10 часовъ утра и пригласить при этомъ въ свою среду самого изобрѣтателя. На этотъ разъ изслѣдованіе модели и составленіе рапорта не потребовали болѣе одного засѣданія. Составленный въ очень благопріятномъ для изобрѣтателя духѣ, а въ отношеніи искусства построенія модели даже въ хвалебномъ, рапортъ былъ напечатанъ за подписью всѣхъ членовъ Коммиссіи въ Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae pro Anno 1778 (Pars posterior. Petropoli 1781. Histoire. P. 85—88) подъ заглавіемъ „Jugement de Messieurs les Commissaires nommés par l’Académie pour examiner le modèle d’un pont de bois à construire sur la Néva, présenté à l’Assemblée le 3 Décembre par. Mr. Nordstern, Horloger de l’Académie Jmpériale dex Beaux Arts. Что же касается „Протоколовъ засѣданій Конференціи Академіи Наукъ“, то въ нихъ объ этомъ рапортѣ и объ его составленіи нѣтъ никакихъ свѣдѣній.

(Продолженіе въ слѣд. №.).

Задачи.

26. Рѣшить уравненіе:

я4 -|- хъ — 4х2 — 4х -j- 1 = 0.

27. Доказать, что стороны треугольника, имѣющаго вершинами центры тяжести треугольниковъ АВН, ВСН, САН\ гдѣ Н— какая угодно точка въ плоскости треугольника АВС со сторонами соотвѣтственно равны —, .

Н. Агрономовъ.

28. Найти цѣлыя положительныя числа Лт, обладающія тѣмъ свойствомъ, что сумма цифръ числа Nk равна самому числу N (* = 1, 2, 3, 4).

Э. Лейнѣкъ.

29. Опредѣлить число равнобедренныхъ треугольниковъ, которые могутъ быть составлены съ помощью отрѣзковъ длиною въ 1, 2, 3,.. п дюймовъ.

30. Даны двѣ параллели MN и PQ и точки А и Б внѣ ихъ. Провести ломаную AXYZUVWB такъ, чтобы точки изгибовъ X, У, Z, J7, F, W лежали поочередно на данныхъ параллеляхъ и каждый изъ отрѣзковъ между параллелями имѣлъ данное направленіе, сумма-же AX-\-BW имѣла-бы данное значеніе (въ частности minimum).

И. Александровъ.

31. Построить треугольникъ А В С, зная AB, ВС и сумму В —і~ 2 С = 2 ф.

(Его же.)

32. Пусть будетъ z = а -\-іЪ комплексное количество, гдѣ

гдѣ р любое цѣлое положительное число и 0<#<1.

Пусть будутъ lY /2 Ір_х цѣлыя числа, удовлетворяющія условіямъ

^0, 1^0_______Ір_х 0. Показать,что модуль разности

Ра + + — + ip-izp-i—zpi

всегда больше нѣкотораго положительнаго количества (имѣетъ нижнюю границу, отличную отъ нуля) при всѣхъ значеніяхъ Іі и р, связанныхъ равенствомъ:

1. Z, -f- 2.12 +-4" (Р — 1) • 1 “Р-

А. Некрасовъ.

Рѣшенія задачъ.

№ 12. Рѣшить уравненія:

а) я4-f-4# — 1=0. b) X4 — 4ж3 —1 = 0.

Для рѣшенія ур. а) въ лѣвой его части прибавляемъ и вычитаемъ (2аг2 1); получимъ:

X4 4~ 2#2 4" 1 — 2я2 4~ 4я — 2 = 0;

или (я2-}-1)2 = 2 (#—I)2;

отсюда

= (ж-1);

т. e. имѣемъ два квадратныхъ уравненія:

х2 1 — \/ 2 (X — 1) = 0 и X2 -f-1 4” V 2 (# — 1) = <Ѣ

рѣшивъ которыя, найдемъ 4 корня урав. а).

Что касается ур. Ь), то легко видѣть, что его корни суть числа, обратныя по величинѣ корнямъ ур. а). Дѣйствительно, полагая въ ур. Ь) х = —, получимъ —--------=--1 = 0; или zk -\--}-4z —1 = 0, т. е. урав. вида а).

А. И. Жилинскій, Д. Казариновъ, Л. Н. Александровъ, Г. Шулейкинъ, А. Матисова, М. Орбекъ, М. Кованько (Москва), I. И. Каширинъ (Ржевъ), Д. Рѣдько (Миргородъ). Ф. Меріакри (Ростовъ на Д.). И. И. Коровицкій (Спб.).

№ 13. Въ уравненіи ах2 -(- Ъх -|- с = 0 выразить коэффиціенты такъ, чтобы корни уравненія были всегда раціональны, независимо отъ знаковъ у коэффиціентовъ (напр. частный случай 2х2 zt Ъх it 3 = 0).

Пусть числа а,Ъ и с — положительныя; для того, чтобы корни квадратныхъ уравненій, выражаемыхъ общею формулой ах2 щ ±bx-tzc = 0 (А) были раціональны, очевидно, достаточно, подобрать а, Ъ и с такъ, чтобы выраженіе Ь2іи4ас было точнымъ квадратомъ. Съ этою цѣлью можно положить Ь2 = и2-{-г>2, (1.) 4ас = = 2иѵ\ (2.), гдѣ и и V раціон. числа, тогда |/Ь2щ4ас будетъ въ обоихъ случаяхъ раціональнымъ выраженіемъ. Но раціональныя рѣшенія ур. (1.) могутъ быть представлены формулами*):

u = 2pq\ v=p2~q2; b=p2+q2,

причемъ р и q—любыя раціональныя числа; тогда ур. (2) принимаетъ видъ:

ac = pq (р2 — g2).

Разлагая правую часть этого ур. разными способами на два множителя, будемъ получать различныя выраженія для коэффиціентовъ а л с. Пусть напр.,

a=pq; c=p2 — q2,

тогда квадратное ур. (А) приметъ видъ

pqx2 ± (р2 + q*) X ± (р2 — q2) = 0;

*) Ср. приводимыя въ курсахъ геометріи выраженія сторонъ пиѳагоровыхъ треугольниковъ.

дѣлая здѣсь р = 2, q = 1, получимъ приведенное въ условіи задачи ур. 2х2 rt Ъх zt 3 = 0. Положимъ еще

а = 1; c=-pq(p2 — q2)\ тогда ур. (4.) получитъ видъ

X2 д= (р2 -f- q2) X ± pq (р2 — q2) = О

И т. д.

Саакова (Москва), I. И. Каширинъ (Ржевъ), Д. Рѣдько (Миргородъ).

№ 14. Показать, что если члены ариѳметической прогрессіи суть положительныя цѣлыя числа, то при нечетной разности прогрессіи, сумма четырехъ послѣдовательныхъ членовъ не можетъ быть точнымъ квадратомъ.

Пусть 2-й изъ разсматриваемыхъ членовъ прогрессіи есть а, a разность ея d, тогда сумма 4 членовъ будетъ

S = (а — d) -f- а 4- (а -}- d) -f- (а -f- 2d); S = 2 (2а -f- d).

Такъ какъ по условію d число нечетное, то (2а d) тоже число нечетное и, слѣдовательно, S содержитъ 2 въ 1-й степени, а потому не можетъ быть точнымъ квадратомъ. Изъ полученной формулы для S можно вывести заключеніе, что квадратъ нечетнаго числа никогда не можетъ быть разложенъ на сумму 4 членовъ ариѳметической прогрессіи, квадратъ-же четнаго числа можетъ разлагаться подобнымъ образомъ лишь при четной разности прогрессіи.

Саакова, М. С. Зильберштейнъ, А. Мазингъ (Москва), Н. Агрономовъ (Ревель), Д. Рѣдько (Миргородъ). И. И. Коровицкій (Спб.). И. С. Косминковъ (Егорьевскъ).

№ 15. Показать, что ни въ одной ариѳметической прогрессіи съ раціональными членами произведеніе четырехъ послѣдовательныхъ членовъ не можетъ быть точнымъ биквадратомъ.

Пусть 2-й членъ прогрессіи есть а разность ея--, гдѣ а, Ь, с и d цѣлыя числа, тогда произведеніе четырехъ ея послѣдовательныхъ членовъ будетъ:

или

Такъ какъ знаменатель здѣсь точный биквадратъ, то достаточно показать, что числитель не можетъ быть точнымъ биквадратомъ. Обозначая для краткости ad = т, Ъс = п, получимъ:

Q = (т — п) т (т п) (т -\- 2п),

или Q = ml — т2п2 -|- 2 т3п — 2 тп3,

что можно представить въ видѣ

Q = (ш2 mn — n2)2 — n4.

Допуская, что Ç есть биквадратъ, напр. Q = В4, мы получаемъ:

что невозможно, такъ какъ сумма четвертыхъ степеней двухъ цѣлыхъ чиселъ не можетъ быть точнымъ квадратомъ. (См., напр. энциклопедію элем. математики Вебера и Велльштейна, пер. Каганъ, т. I, стр. 286).

Д. Рѣдько (Миргородъ).

№ 16. Изъ данной точки на окружности опустить перпендикуляръ на діаметръ, примѣняя для построенія лишь одну линейку. (Центръ предполагается неизвѣстнымъ).

Пусть требуется опустить перпендикуляръ изъ точки окружности м на діаметръ AB*). Опустимъ сначала съ помощью линейки перпендикуляръ на И В изъ точки, лежащей внѣ полуокружности AM В; для этого проведемъ изъ концовъ діаметра сѣкущія AMS и BNS и точки ихъ пересѣченія съ окружностью М и N соединимъ прямыми съ точками В и Л; тогда ВМ и AN будутъ высотами 3-ка ASB. Пусть Q—точка ихъ пересѣченія; тогда проведя сѣкущую къ окружности SPQR, получимъ третью высоту того - же треугольника, т. е. прямую, перпендикулярную къ діаметру AB. Соединивъ точки Р и М прямою, продолжимъ ее до пересѣченія съ продолженіемъ діаметра В А въ точкѣ К и проведемъ чрезъ точки К и R сѣкущую; пусть KR пересѣкаетъ окружность въ точкѣ L; тогда прямая ML и будетъ искомымъ перпендикуляромъ къ AB. Дѣйствительно, такъ какъ 3-къ PKR равнобедренный, то w РМ = wLÄ и, слѣдовательно, ML || PB, т. е. ML А. AB**).

Д. Казариновъ, М. 3. Таль, Гармигонъ, Ольга Р., А. Мазингъ, Л. Гамперъ, М. С. Зильберштейнъ, А. Матисова (Москва), В. Кованько (Кострома), Д. Рѣдько (Миргородъ). И. И. Коровицкій (Спб.). А. Запрягаевъ (Куб. обл.).

*) Просимъ читателя сдѣлать чертежъ.

**) Общіе методы для рѣшенія геометрическихъ задачъ на построеніе съ помощью одной линейки, при условіи пользованія неподвижными фигу-

№ 19. Рѣшить уравненіе:

(ж2 + 1)2 + 2(ж3 + *3-|-* + 1) = 0.

Уравненіе можно представить въ видѣ:

(** + l)4-2(z* f 1)(*+1)-0,

или (я2 -f-1) (х2 2# -f 3) = 0;

т. е. х2 -f- 1 = 0; X2 4~ 2х 3 ==- 0;

откуда хх = 4" х% = — h ха= — 1 4“ * 2, #4 = — 1 — і V 2.

А. И. Жилинскій, А. А. Мазингъ, В. Г. Фридманъ, Н. Бернштейнъ Л. Александровскій (Москва), М. Добровольскій (Сердобскъ), В. Кованько (Кострома), if. К. Сѣверный (Тула), і. И. Кагииринъ (Ржевъ), if. Сергачевъ (Ковровъ), И. И. Коровицкій (Спб.). if. С. Косминковъ (Егорьевскъ), Д. Рѣдько (Миргородъ).

Библіографическій отдѣлъ.

А. Годневъ. Элементарная геометрія по новому плану и съ полнымъ переустройствомъ ея фундамента. Ч. I. Планиметрія. Симбирскъ 1912 г., ц. 2 руб.

Отъ руководствъ традиціоннаго типа книга г. Годнева отличается какъ по содержанію своему, такъ и по методамъ доказательствъ. Кромѣ обычнаго курса планиметріи мы находимъ въ ней основы ученія о симметріи и гомотетіи, общее ученіе о подобіи плоскихъ фигуръ, изложеніе закона Кавальери (по отношенію къ плоскимъ фигурамъ), а также рядъ дополнительныхъ статей —о гармоническомъ дѣленіи, о радикальныхъ осяхъ, о трансверсаляхъ, о гармоническихъ пучкахъ и т. п.; въ статьѣ о параллельныхъ прямыхъ дается понятіе о неэвклидовой геометріи. Изложеніе многихъ статей измѣнено сравнительно съ общепринятымъ; особенно существенныя измѣненія внесены въ ученіе объ углахъ, о равенствѣ треугольниковъ, о параллельныхъ прямыхъ; отведено видное мѣсто движенію геометрическихъ элементовъ, какъ методу доказательства. Кромѣ того можно думать, что авторъ серьезно считался и съ педагогическими соображеніями; въ предисловіи онъ говоритъ: „Приступая къ составленію предлагаемаго нами руководства элементарной геометріи, мы поставили себѣ цѣлью—всѣми возможными способами облегчить для учащихся какъ пониманіе, такъ и запоминаніе современнаго ученія о пространствѣ, не понижая однако же достовѣрности этого ученія“ (стр. III; курсивъ автора).

Намѣренія, которыми руководился авторъ при составленіи своей книги (и о которыхъ онъ подробно говоритъ въ предисловіи), очевидно, заслуживаютъ живѣйшаго сочувствія. Къ сожалѣнію, иное приходится сказать объ ихъ выполненіи.

Прежде всего, авторъ оставляетъ совершенно невыясненнымъ вопросъ, предназначается ли его учебникъ для учащихся, непосредственно приступающихъ къ прохожденію систематическаго курса геометріи (какъ это дѣлается теперь въ 1-мъ классѣ средней школы), или же изученію геометріи по его книгѣ долженъ предшествовать такъ называемый курсъ наглядной геометріи (педагогическая необходимость котораго теперь, можно сказать, общепризнана). Такъ какъ авторъ въ предисловіи не упоминаетъ ни слова о такомъ предварительномъ курсѣ, то можно думать, что его книга предназначена для непосредственнаго изученія геометріи въ систематическомъ изложеніи; а въ такомъ случаѣ усвоеніе первыхъ трехъ главъ его книги (введеніе;

рами въ плоскости чертежа, были даны знаменитымъ нѣмецкимъ геометромъ Я. Штейнеромъ. См. Я. Штейнеръ. Геометрическія построенія, выполняемыя посредствомъ прямой линіи и неподвижнаго круга. Перев. подъ ред. проф. Д. М. Синцова, Харьковъ, 1910 г., а также А. Адлеръ. Теорія геометрическихъ построеній. Пер. подъ ред. С. О. Шатуновскаго, Одесса, 1910.

прямая линія; плоскость) представитъ для учащихся непреодолимыя трудности; вопросы о постулатахъ, о составѣ и видахъ теоремъ, объ аксіомѣ непрерывности, о равенствѣ безконечныхъ прямыхъ линій и плоскостей и т. п.,—въ этой стадіи обученія для нихъ еще недоступны и неинтересны.

Далѣе, въ предисловіи авторъ высказываетъ мысль, что для построенія систематическаго курса геометріи нѣтъ надобности исходить изъ минимальнаго числа аксіомъ (стр. XVI); но въ руководствѣ эта идея, совершенно правильная съ педагогической точки зрѣнія, не проведена сколько нибудь послѣдовательно; напротивъ, доказываются въ качествѣ теоремъ и такія истины, которыя съ удобствомъ можно было бы принять за аксіомы (напр. теорема о томъ, что къ прямой линіи изъ всякой ея точки можно возставить только одинъ перпендикуляръ).

Затѣмъ авторъ почему-то считаетъ методъ доказательства отъ противнаго—показателемъ „недостаточнаго выясненія зависимости высшаго логическаго порядка, каковою является зависимость причинная“ (предисловіе, стр. II), и старается всячески избѣгать этого метода въ курсѣ; между тѣмъ тѣ пріемы, которыми онъ замѣняетъ методъ доказательства отъ противнаго, иногда очень сложны и недостаточно убѣдительны (напр. доказательство на стр. 67—68).

Нѣкоторые вопросы изложены неясно и неточно. Напр. уголъ опредѣляется какъ „отклоненіе другъ отъ друга двухъ пересѣкающихся прямыхъ линій при точкѣ ихъ пересѣченія“ (стр. 34, хотя тутъ же въ примѣчаніи дается и другое опредѣленіе угла, какъ части безконечной плоскости). Кривыя линіи разсматриваются какъ ломаныя, „имѣющія изломъ не при раздѣльно слѣдующихъ другъ за другомъ точкахъ, а при всѣхъ до единой, непрерывно слѣдующихъ своихъ точкахъ“ (стр. 46). Немало неясныхъ и неточныхъ формулировокъ есть въ главѣ 29, посвященной вопросамъ о безконечно маломъ, о предѣлѣ и объ измѣреніи длины окружности.

Но самымъ крупнымъ дефектомъ книги является ученіе о минимальныхъ отрѣзкахъ прямыхъ и вообще о минимальныхъ величинахъ. Разсужденія автора по данному вопросу прямо поразительны. Доказавъ на стр. 143—145 обычнымъ способомъ, что въ равнобедренномъ треугольникѣ съ углами при основаніи въ 2/5 ^ боковая сторона несоизмѣрима съ основаніемъ, и упомянувъ, что подобнымъ образомъ доказывается и теорема о несоизмѣримости діагонали и стороны квадрата, онъ послѣ этого говоритъ: „Хотя по способу послѣдовательнаго дѣленія.... и не всегда возможно найти для двухъ отрѣзковъ прямыхъ линій точную, безъ остатка, общую мѣру, но таковая, однакоже, въ дѣйствительности существуетъ для всѣхъ, безъ изъятія, отрѣзковъ прямыхъ линій, и ею служитъ минимальный, по величинѣ ближайшій къ 0 (нулю) отрѣзокъ прямой линіи“.

„Въ существованіи минимальнаго отрѣзка прямой линіи и точной измѣримости имъ всѣхъ отрѣзковъ прямыхъ линій убѣждаемся посредствомъ слѣдующихъ разсужденій“.

„Возьмемъ какой угодно отрѣзокъ прямой линіи, примемъ его за 1 (единицу), и пусть по этому отрѣзку непрерывно движется точка съ одного его конца на другой“.

„Въ каждомъ своемъ положеніи на взятомъ нами отрѣзкѣ прямой, точка дѣлитъ его на двѣ части. Такъ какъ движеніе точки, по условію, происходитъ непрерывно, то и дѣленіе отрѣзка движущейся точкою на части будетъ непрерывнымъ. Когда движущаяся точка пройдетъ послѣднюю, конечную точку отрѣзка, она пройдетъ всѣ возможныя части этого отрѣзка отъ 1 до 0, а слѣд. и ту его часть, которая непосредственно примыкаетъ къ нулю и будетъ по величинѣ ближайшей къ нему частью. Эта часть и будетъ наименьшимъ минимальнымъ отрѣзкомъ прямой линіи. Такимъ образомъ существованіе ближайшаго по величинѣ къ 0 отрѣзка прямой является для нашего ума логическимъ требованіемъ идеи непрерывнаго уменьшенія непосредственно до 0 одной изъ частей отрѣзка прямой при движеніи по оному точки“ (стр. 145—146).

Правда, далѣе оказывается, что „минимальный отрѣзокъ прямой линіи мы на самомъ дѣлѣ не можетъ найти ни практически, ни теоретически“ (стр. 147), но несмотря на это, авторъ дѣлаетъ выводъ, что „несоизмѣримыхъ въ строгомъ смыслѣ отрѣзковъ совсѣмъ не существуетъ“, а затѣмъ на стр. 148 распространяетъ всю изложенную теорію и на углы, дуги и другіе геометрическіе объекты.

Такъ какъ авторъ въ предисловіи высказываетъ глубокое убѣжденіе, что допущенными въ книгѣ отступленіями отъ обычнаго курса „ни одного безспорнаго логическаго требованія не нарушено“ (стр. XVIII), то очевидно, онъ просто не замѣчаетъ, что понятіе о минимальномъ отрѣзкѣ логически несовмѣстимо съ аксіомой: „на всякомъ прямолинейномъ отрѣзкѣ можно вообразить хоть одну точку, кромѣ его концовъ“. Между прочимъ, онъ и самъ эту аксіому формулируетъ, только въ менѣе ясныхъ выраженіяхъ: „всякій отрѣзокъ прямой линіи имѣетъ точки на всѣхъ разстояніяхъ, существующихъ между крайними его точками“ (стр. 21).

При столь своеобразномъ понятіи о несоизмѣримости неудивительно, что авторъ обращается съ отношеніями несоизмѣримыхъ отрѣзковъ, какъ съ соизмѣримыми числами (напр. въ ученіи о подобіи треугольниковъ и о площадяхъ), и что всѣ теоремы, доказанныя для соизмѣримыхъ отрѣзковъ, дугъ и т. п., оказываются у него непосредственно приложимыми и къ случаю несоизмѣримыхъ объектовъ.

Несмотря на то, что нѣкоторыя нововведенія г. Годнева могутъ представлять интересъ для преподавателей, приходится признать его книгу, въ виду указанныхъ серьезныхъ дефектовъ, въ общемъ неудачной и непримѣнимой въ качествѣ учебника. К. Л.

Обзоръ иностранныхъ математическихъ журналовъ.

Отъ редакціи. Съ текущаго номера „Математическаго Образованія“ редакція будетъ помѣщать обозрѣніе содержанія иностранныхъ математическихъ журналовъ. Въ виду обилія матеріала, въ предлагаемомъ обзорѣ пришлось ограничиться почти одними оглавленіями и лишь въ рѣдкихъ случаяхъ дать краткія указанія относительно содержанія статей. При этомъ редакція придерживается такого порядка: фамилія автора и заглавіе статьи приводятся на томъ языкѣ, на которомъ напечатана статья; затѣмъ вкратцѣ излагается содержаніе статьи, или дается переводъ заглавія на русскій языкъ.

1. Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht. (Hoffmann's). Leipzig—Berl. 43 Jahrg. 1, 2, 3 Hefte. (1912).

№№ 1—2. Оглавленіе 42-го тома журнала.—Mendellssohn. Ueber die Vervendung mathematischer Originalwerke im Unterricht. (Возможность и пользу ознакомленія учащихся средней школы съ оригинальной математической литературой авторъ иллюстрируетъ примѣрами такихъ сочиненій, какъ „Начала“ Евклида, Геометрія Лежандра, Алгебра Эйлера и т. п.).

Eckhard. Neue Ableitung des binomischen Satzes für beliebige reelle Exponenten. (Новый выводъ формулы бинома для любого дѣйствительнаго показателя).—Schmalz. Schul-Mathematik in Tabellen. (Авторъ описываетъ составленныя имъ таблицы, иллюстрирующія содержаніе школьной математики).

Schälke. Zahlenrechnung im Unterricht (Разбирая вопросъ о необходимомъ числѣ значащихъ цифръ въ результатѣ той или иной задачи прикладной математики, авторъ выясняетъ преимущества для преподаванія въ средней школѣ четырехзначныхъ логариѳмическихъ таблицъ передъ пятизначными).— Fehr mid Lietzmann. Der Kongress in Mailand am 18. bis 20. September 1911 (къ статьѣ приложенъ списокъ вышедшихъ въ свѣтъ трудовъ подкомиссій IMUK1) въ отдѣльныхъ странахъ).—Подъ редакціей Lietzmann'а: Zur Reformbewegung auf dem Gebiete des mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterrichts. (Рядъ мелкихъ сообщеній).—Zur Geometrographie K. Hagge. Das Problem des Pappus.— Задачи.—Рецензіи. Programmschau (Обзоръ научныхъ приложеній къ программамъ и отчетамъ среднихъ учебныхъ заведеній: Herting (Augsburg). Von Strecke, Quadrat und Würfel zum bestimmte Integral; Geiger (Landshut) Zwei Kurven zweiter Ordnung in zwei,—drei—und viérpunktiger Berührung; Wieleitner. (Pirmasens). Mathematische Unterrichtsfragen auf d. IV Intern. Mathematiker-Kongress; Pfeiffer (Würzburg). Das die Raumkurven begleitende Dreikant; Engelhardt (Würzburg). Ueber die graphische und nährungsweise numerische Auflösung von Gleichungen 2 und 3. Grades mit einer Unbekannten im Unterrichte an der Mittelschule).

Dressier. Besprechung von Lehrmitteln. Physik. (Обзоръ учебныхъ пособій по физикѣ).— Библіографія.— Обзоръ журналовъ.—Sprechsaal—Anhang Selbstanzeiger. Engel. Hermann Grassmanns Leben; Stolz und Gmeiner. Teoretische

1) Международная Комиссія по преподаванію математики.

Arithmetik: Study. Vorlesungen über ausgewählte Gegenstände der Geometrie; Hauch. Vorlesungen über darstellende Geometrie; Krause. Theorie der elliptischen Funktionen.—Liltzman. Stoff und Methode des Rechenunterrichts in Deutschland.—Franz Küstenvauderungen.

№ 2. Eckhard. Die Summe aller Produkte von je K verschiedenen Faktoren zu bestimmen, die sich aus den n ersten natürlichen Zahlen bilden lassen. (Задача объ опредѣленіи суммы всѣхъ произведеній изъ К различныхъ множителей, которыя могутъ быть образованы изъ п первыхъ натуральныхъ чиселъ).— Stucke Ein Zahlenkunstük (числовой фокусъ на основаніи свойства числа 1001). Eine Eigenschaft der Quersumme. (Если обозначить число черезъ а, а сумму его цифръ черезъ Q, то Q = а - q. [ Е (-*-) + Е (-f~ )+ Е ..] , гдѣ Е - символъ entier).—Schmidt. Konstruktion des Quadrates des Kreises (квадратура круга).—Vorbereitungen Für die Versammlung in Cambrige.—Zur Geometrographie.— Задачи.—Рецензіи.—Dressier. Besprechung von Lehrmitteln. Mathematik. (Noodt Mathematische Experimentiermappe; Nilgevs Teodolite; Schoubie; Apparaten zur sphärischen Trigonometrie; Melder. Wandtafeln zum mathematischen Unterrichte, bearb. von Schulte -Tigges; Das Württemberigische Schulmuseum). — Библіографія.—Обзоръ журналовъ. - Sprcchsaal. Zum ersten Bande der Gesammtausgabe von Leonhard Eulers Werken.—Versammlungen.(XXI съѣздъ по преподаванію математики и естественныхъ наукъ 27 — 30-го мая въ Галле а. 3). — Anhang— Selbstanzeiger. Heiberg. Naturwissenchaften und Mathematik in klassichen Altertum; Wieleitner. Geschichte der Mathematik. II T., Jalmke. Die Mathematik an Hochschulen für besondere Fachgebiete (IMUK); Timerding. Die kaufmannsche Aufgaben im mathematischen Unterricht des höheren Schulen (IMUK) Schilling und Meldaii. Der mathematische Unterricht an d. deutschen Navigationsschulen.

2. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 21 Bd. 1 H. (1912). Heffter. Zür Einführung der vierdimensionalen Welt Minkowskis. (Къ веденію въ четырехмѣрный міръ Минковскаго).—Mises. Ueber die Grundbegriffe der Kollektivmasslehre. (Относительно основныхъ понятій въ ученіи о массовыхъ явленіяхъ).— Welsch. Parallelperspektive, komplexe Zahlen und Trägheitebener Massen. (Параллельная перспектива, комплексныя числа и инерція плоскихъ массъ).— Salkoivski. Zur Theorie der Kurven im elliptischen Raum. (Къ теоріи кривыхъ въ эллиптическомъ пространствѣ).—Satzungen (уставъ) der Deutschen Mathematiker-Vereinigung.—Составъ бюро и составъ членовъ D. М. V.— Обзоръ докладовъ въ засѣданіяхъ математическихъ обществъ.—Notizen, Besprechungen und Selbstanzeiger. Объявленіе международной Комиссіи по преподаванію математики (IMUK) о сосредоточеніи продажи всѣхъ ея изданій у фирмы Georg et Спіе, Женева (Швейцарія), Corraterie, 10. Библіографія. Pascal. Repertorium d. höheren Mathematik (Färber); Mangoldt. Eiuführung in d. höh. Mathematik f. Studierende und zum Selbsstuduim (Rothe); Müller. Technische Uebungsaufgaben für darstellende Geometrie (London); Abhandlungen über d. math. Unterricht in Deutschland, veranlasst durch d. IMUK (см. выше Zeitschrift); Anding Sechsstellige Tafeln d. Besselschen Funktionen imaginären Argumentes. Обзоръ новыхъ книгъ и журча. ювъ.

3. Biblitheca Mathematica. Leipzig, 12 Bd. 1 Heft. (1912).

Eneström. Ueber die Bedeutung von Quellenstudien bei mathematischer Geschichteschreibung (О значеніи изученія источниковъ при писаніи исторіи математики). Wiedemann. Die Schrift über den Quarastûn. (Сочиненіе западно-арабскаго математика Tâbit Ben Qurra относительно Quarastûn’a— задача о равновѣсіи рычага) — Karpinski. The algebra of Abu Kamil Shoja ben Asian). (Анализъ разсмотрѣннаго сочиненія приводитъ автора къ заключенію, что Leonardo Pisano въ своей алгебрѣ является подражателемъ и заимствователемъ у Абу Камила)—Witting. Zur Frage der Erfindung des Algorithmus der Newtouschen Fluxionsrechnung. (Авторъ разбираетъ сочиненія Ньютона, по которымъ можно выяснить, какъ онъ пришелъ къ изобрѣтенію дифференціальнаго исчисленія) — Eneström. Kleine Bemerkungen zu letzte Auflage von Cantors .»Vorlesungen über Geschichte der Mathematik“ (относительно послѣдняго изданія Исторіи Математики Кантора) — Anfragen. Ueber die ältere Geschichte des Sehnenvierecks (Относительно древнѣйшей исторіи вписаннаго въ кругъ четыреугольника).—Recensionen. Sommerville. Bibliography of non-Euclidian geometry including

the theory of parallels, the fondations of geometry, and space of n dimensions. (Eneström).

4. Mathematisch - Naturvissenschaftlicke Blätter (Berlin). 9 Jahrg. Л? 1, 2, 3 (1912).

№ l. А. Vietzke. Die neue Schrift des Archimedes von Syrakus (По поводу изданнаго Гейбергомъ „Новаго сочиненія Архимеда“; есть русок. пер. въ изд. Mathesis) — № 2, 3. Е. Zampe Ueber die angenäherte Darstellung der elementaren Funktionen durch rationale Brüche. (Авторъ разбираетъ вопросъ о подысканіи раціональныхъ дробныхъ функцій, наиболѣе близко представляющихъ такія, напр., функціи, какъ—lg ___е*ит. п.)—Zum ersten Bande der Gesamtausgabe von Leonhards Eulers Werken.—Обзоръ книгъ.—Обзоръ дѣятельности математическихъ кружковъ въ Германіи.

5. L’enseignement mathématique (Genève) XIV Année, №N? 1, 2 (1912).

№ 1. Hadamard. Le calcul fonctionel. (Авторъ даетъ обзоръ развитія функціональнаго исчисленія, и указываетъ, между прочимъ, на значеніе задачи варіаціоннаго исчисленія и теоріи интегральныхъ уравненій) — Barbette. Les sommes de p ièmes puissances distinctes de nombres polygonaux de n cotés égales à une j?-ième puissance d’un nombre polygonale de n cotés (О суммахъ ^-тыхъ степеней p угольныхъ чиселъ, равныхъ р-ой степени нѣкотораго п—угольнаго числа). — Baatard. Extraction d’une racine quelconque dim nombre réel A. (Изъ разсмотрѣнія разложенія--^ въ безконечный рядъ авторъ выводитъ очень быстро ведущій къ цѣли пріемъ приближеннаго вычисленія корня произвольной степени изъ цѣлаго числа: обобщеніе пріема на тотъ случай, когда А не цѣлое не представляетъ затрудненій). — Marcolongo. Une demonstration vectorielle du théorème de Dupin. (Доказательство при помощи векторнаго исчисленія теоремы Dupin’a о триортогональныхъ поверхностяхъ). — Chronique. Commission international de l’enseignement mathématique I. Reunion de Cambridge

II. Souscommissions nationales. —Dépôt central de vente des publicatiuos.—H. F. Oevres complètes d’Euler. — Etats-Unis: Thèses de doctorat.—Société Suisse des professeurs de mathématiques: Reunion de Zürich, 12 oct. 1911. — Les mathématiques aux cours de vacances de Zürich, octobre 1911. (Вакаціонные курсы въ Цюрихѣ, въ октябрѣ 1911 г.). — Обзоръ новыхъ работъ IMUK. — Университетскіе курсы. — Библіографія. Andoyer. Nouvelles tables trigonometriques fondamentales; Heath. Diophantus of Alexandria; Otti. Hauptfragen und. Haptmethoden der Kartenwurfslehre; Renard. La pédagogie à l’Université; Scheffers. Lehrbuch der Mathematik; Dr. Toulouse. Henri Poincaré. (Экспериментально-психологическое изслѣдованіе); Treutlein. Der geometrische Anschauungsunterricht; Winter. La méthode dans la philosophie des Mathématiques.

№ 2. Plancherel. La théorie des équations intégrales. (Тоерія интегральныхъ уравненій).—Butavand. Les rectrices; études de géométrie physique. (Вводя понятіе о „ректрисѣ“, какъ траекторіи точки, движущейся по поверхности по направленію къ опредѣленной точкѣ, авторъ даетъ примѣры отысканія ректрисъ и примѣняетъ свою теорію къ изслѣдованію нѣкоторыхъ физическихъ и химическихъ задачъ). — Crelier. Les figures collineares. (Изложивъ теоремы о гомологическихъ треугольникахъ и четыреугольникахъ, авторъ показываетъ, какъ эти теоремы могутъ быть использованы при преподаваніи начертательной геометріи). — Chronique. JMUK. Reunion de Cambridge—5те Congrès enternational des mathématiciens.—Les premier Congrès de professeurs de mathématiques en Russie (I Съѣздъ въ Петербургѣ). — Обзоръ новыхъ работъ IMUK. — Библіографія. Borchard and Perrott. Geometry for Schools; Goderey and Siddon. A Shorter Geometry; Poincaré. Calcul des probabitités, Renfer. Lerhbuch d. politischen Arithmetik, Smith and Karpinski. The Hindu-Arabic Numerals.

6. L'éducation mathématiuqe (Paris) 14 Année. №№ (1 —13) (1 Oct. 1911 — Avr. 1912).

Figures planes inversement égales (плоскія фигуры обратно равныя, т. е. симметричныя, но не симметрично расположенныя) №№ 1.2—Е. R. «)Nole d’aïgebre (Доказательство теоремы Безу методомъ полной индукціи) £) Sur la perpendiculaire à un plan. (О перпендикулярѣ къ плоскости) № 3.—Sur les calculs numériques. (Статья посвящена вопросу о приближенныхъ вычисленіяхъ). №№ 4, 11, 12.—Equations de l’ellipse et de l’hyperbole. (Объ уравненіяхъ эллипса и ги-

перболы) № 5.—Sur l’emploi des identités. (Объ примѣненіи тожествъ) №№ 6, 7.—Sur la trisection d’un angle. (О трисекціи угла) № 8. — Hermann. Quelques applications de la representation graphique. (Авторъ приводитъ графическое рѣшеніе задачъ на сложные 0/00/0, на правило смѣшенія и т. п.) (№ 10). Кромѣ указанныхъ статей журналъ содержитъ большое количество задачъ на различные отдѣлы элементарной математики.

7. Periodico di matematica per Гinsegnamento secondario. Livorno. Anno XXVII. Fase. 1, 2, 3 (Luglio-Dicembre 1911).

F. 1. — Benedetti. 11 concetto geometrico di linea (главы III и IV, въ гл. Ill авторъ строитъ опредѣленіе понятія длины кривой линіи; въ IV главѣ изслѣдуюутся свойства замкнутыхъ кривыхъ). — Del Chicca. Del matematico Gaetano Giorgini e di una sua memoria inedita. (Сообщаемый въ статьѣ мемуаръ содержитъ элементарный выводъ формулы бинома Ньютона для любого дѣйствительнаго показателя методомъ неопредѣленныхъ коэффиціентовъ). — Задачи.—Съѣздъ I MU К въ Миланѣ.—Библіографія. Pala tini. Aritmetica е algebra.— Alselmo Bassani. (Necrologia).

T. 2. Vercellin. Generalizzazione d’alcune proprietà geometriche. (Статья посвящена новѣйшей теоріи треугольника въ связи съ теоріей инволюціоннаго соотвѣтствія). — Scarpis. Intorno alla risoluzione per radicali di un’equazione algebrico in un campo di Galois. (Относительно разрѣшимости въ радикалахъ алгебраическаго уравненія въ области Galois). — Сопсіпа. Di una proprietà dei numeri primi. (Авторъ разсматриваетъ свойства /i-ыхъ степеней натуральныхъ чиселъ, меньшихъ простого числа р).—Сагііпі. Intorno alle soluzione dell’equazione xn -f- yn = zn (Въ статьѣ доказана тероема: „Не существуетъ такой тройки бинарныхъ формъ, которая бы для всякихъ значеній перемѣнныхъ давала рѣшеніе ур—ія хп -}• уп —zn, если п цѣлое число, большее двухъ“).—Cattaneo Sul calcolo delle altezze dei segmenti sferici. (О вычисленіи высотъ сферическихъ сегментовъ).—Задачи.—Библіографія .Ortu Scarboni. Raccolta di problemi d’Applicazione del Algebra alla Geometria (Tenca). Calegari. Brevi nozioni di Calcolo infinitesimale (Tenca). — V Congresso della Societa Italiana per il progresso delle Scienze.

F. 3.—Andreini. Sulla construzione di un orologie solare verticale alla Villa Palmieri (Объ устройствѣ вертикальныхъ солнечныхъ часовъ на виллѣ Пальміери). — Palatini. Sülle equazioni di condizioni delle reti cremoniane di curve piane (Объ уравненіяхъ, опредѣляющихъ кремоновы сѣти плоскихъ кривыхъ).—Библіографія. Guidice. Lezioni di aritmetica razionale e algebra elementare (Pirondini).

Списокъ книгъ, поступившихъ въ редакцію и въ библіотеку Математическаго Кружка съ 1-го февраля 1912 года.

Е. Жижневскій. Сборникъ стереометрическихъ задачъ, рѣшаемыхъ съ по мощью тригонометріи. Ворон. 1912 г. Д. 60 к.

К. Н. Рашевскій. Элементарная алгебра. М. 1912 г. Ц. 1 р. 25 к.

П. Курилко. Гоніометрическія уравненія. Спб. 1912 г. Ц. 30 к.

К. Ѳ. Лебединцевъ. Методъ обученія математикѣ въ старой и новой школѣ. Отд. отт. изъ журнала „Матем. Образованія“. М. 1912 г. Ц. 15 к.

A. Киселевъ. Элементарная геометрія. Изд. 21-е (переработанное). М. 1912 г. Ц. 1 р. 30 к.

Проектъ народной школы съ 6-годичнымъ курсомъ. Составлено по порученію Моск. губерн. земской управы. М. 1911 г.

П. Свѣшниковъ. Извлеченіе квадратныхъ и кубическихъ корней изъ чиселъ и рѣшеніе квадратныхъ и кубическихъ уравненій при помощи послѣдовательныхъ вычитаній. Уфа. 1912 г. Ц. 40 к.

П. А. Некрасовъ. Вѣра, знаніе, опытъ. Основной методъ общественныхъ и естественныхъ наукъ. Спб. 1912 г. Ц. 1 р. 50 к.

B. Г. Фридманъ. Учебникъ теоретической ариѳметики. М 1912 г. Ц. 75 к.

О. Вржесневскій. Доказательство аксіомы параллельныхъ линій. М. 1912 г. Ц. 20 к.

Е. Пржевальскій. Собраніе алгебраическихъ задачъ для учениковъ старшихъ классовъ среднихъ учебныхъ заведеній. Ч. II. М. 1912 г. Ц. 1 р. 25 к.

А. Охитовичъ. Геометрія круга (циклометрія). Ц. 1 р. Новый (неопредѣленный) методъ рѣшенія алгебраическихъ уравненій. Ц. 2 р. 50 к. Доказательство великой теоремы Фермата. Ц. 50 к.

Свободное воспитаніе. Ежемѣсячный журналъ, изд. подъред. А. И. Горбунова-Посадова. Д. 3 р. въ годъ.

С. Г. Петровичъ. Курсъ теоретической механики. Ч. 1. Кинематика. Спб. 1912. Ц. 3 р.

М. С. Лянченковъ. Математическая хрестоматія. Спб. 1912. Ц. 50 к

К. Б. Пеніонжкевичъ, Основанія анализа безконечно малыхъ. Сумы. 1909. Д. 1 р. Основанія аналитической геометріи. Спб. 1911. Ц. 1 р.

Списание на физико-математическото дружество въ София. Февруарий 1912. № 1. София.

Проф. Ф. Клейнъ. Вопросы элементарной и высшей математики. Ч. I. Пер. Д. Крыжановскаго подъ ред. В. О. Кагана. Одесса. 1912. Д. 3 р.

М. Щербина. О преподаваніи систематическаго курса обыкновенныхъ дробей. Кіевъ. 1911. Ц. 25 к.

Отчетъ Орловскаго Физико-Математическаго Кружка за 1911 г. Орелъ. 1912 г.

Дѣятельность Математическихъ обществъ и кружковъ.

Засѣданіе Московскаго Математическаго Кружка 23-го февраля 1912 года.

Въ засѣданіи былъ прочитанъ и утвержденъ отчетъ Кружка за 1911 годъ, а также произведены выборы членовъ Правленія на новый срокъ, причемъ избраннымъ оказался прежній составъ Правленія. О. А. Вржесневскій изложилъ съ нѣкоторыми дополненіями и измѣненіями свою попытку доказательства аксіомы параллельныхъ линій, предложенную имъ въ предшествующемъ засѣданіи 26-го января. Б. К. Млодзѣевскій разъяснилъ, что по его мнѣнію, источникъ ошибки референта заключаетея въ неправильномъ утвержденіи, сводящемся къ распространенію на безконечное множество точекъ одного изъ свойствъ конечнаго ряда точекъ. А. М. Горсть сдѣлалъ сообщеніе: „О нѣкоторыхъ особенностяхъ изложенія теоріи предѣловъ въ учебникахъ элементарной математики“. Референтъ считаетъ существеннымъ недостаткомъ большинства изложеній теоріи предѣловъ постоянное смѣшенія понятій: „предѣлъ функціи“, „предѣльный элементъ множества“ и „верхняя (нижняя) граница множества“; благодаря этому смѣшенію понятіе о предѣлѣ становится расплывчатымъ и неяснымъ. По мнѣнію референта, при первоначальномъ изученіи теоріи предѣловъ слѣдуетъ ограничиться предѣлами рядовъ возрастающихъ и убывающихъ величинъ, причемъ достаточно разобрать слѣдующія теоремы: „Рядъ возрастающихъ (убывающихъ) величинъ не можетъ имѣть двухъ предѣловъ“ и „Если всѣ члены ряда умножить, на какое-нибудь число, то и предѣлъ умножится на это число“. Можно также присоединить теорему о суммѣ двухъ восходящихъ или убывающихъ рядовъ. Главною цѣлью этого перваго концентра теоріи предѣловъ должно быть уясненіе самаго понятія о предѣлѣ: здѣсь важны не полнота и общность изложенія, но то, чтобы каждый отдѣльный шагъ въ разсужденіи былъ продуманъ и уясненъ учащимися. К. Ѳ. Лебединцевъ прочелъ сообщеніе: „Элементарный способъ вычисленія логариѳмовъ“, причемъ изложилъ пріемъ для приближеннаго вычисленія логариѳмовъ наиболѣе пригодный, по его мнѣнію, для педагогической практики.

Дѣятельность Орловскаго Физико-Математическаго Кружка.

Какъ видно изъ отчета Орловскаго Кружка за 1911 годъ, среди преподавателей математики и физики г. Орла давно ощущалась потребность единенія на почвѣ ихъ научныхъ и педагогическихъ интересовъ и дѣлались попытки устройства соотвѣтствующаго общества, но лишь въ 1911 г. имъ удалось организовать Физико-Математическій Кружокъ, причемъ за образецъ при составленіи устава ими принятъ уставъ Московскаго Математическаго Кружка. Въ отчетномъ 1911 году дѣятельность Орловскаго Кружка развивалась планомѣрно и успѣшно. Онъ привлекъ въ свой составъ 38 членовъ и имѣлъ 17 засѣданій, изъ которыхъ 4 были организаціоннымъ, 12 были посвящены чтенію и обсужденію докладовъ по педагогическимъ и научнымъ вопросамъ изъ области математики и физики и одно было устроено въ память М. В. Ломоносова. Содержаніе читанныхъ сообщеній, касающихся, въ общемъ, интересныхъ и важныхъ темъ, приводится вкратцѣ въ отчетѣ, изданномъ Кружкомъ.

Отвѣтственный редакторъ І. И. Чистяковъ.

При этомъ № для г.г. подписчиковъ прилагается объявленіе о книгѣ проф. П. А. Некрасова: „Теорія вѣроятностей", Спб. 1912.

Печатня А.И. Снегиревой Москва.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНІЕ

выходитъ ежемѣсячно книжками отъ 2 до 3 печати ныхъ листовъ за исключеніемъ мая, іюня, іюля и августа мѣсяцевъ.

Содержаніе журнала: 1) статьи по различнымъ отдѣламъ математики, оригинальныя и переводныя; 2) статьи по вопросамъ преподаванія математики и соприкасающихся наукъ; 3) очерки по исторіи математики, біографіи и портреты математиковъ; 4) библіографическій отдѣлъ; 5) вопросы и задачи; 6) математическая хроника; 7) Объявленія.

Цѣна 3 рубля въ годъ и 2 рубля на полгода съ доставкой и пересылкой.

Цѣна отдѣльнаго номера 50 к. съ пересылкой.

За перемѣну адреса уплачивается 20 коп.

Объявленія принимаются съ платою: 1 страница—15 р., 7« СТР- — 8 Р-. V« стр.—4 Р- и т. д.

Подписка принимается въ редакціи:

Москва, Остоженка, кв. 88, и въ книжныхъ магазинахъ К. И. Тихомирова (Кузнецкій жостъ), Н. П. Карбасникова и Т-во М. О. Вольфъ (Моховая).

Печатня А.И. Снегиревой Москва.