Математическое Образованіе.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка.

№ 3.

Мартъ 1912 г.

МОСКВА

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

„Математическое Образованіе“

Мартъ 1912 г.

№ 3.

Чисто геометрическое обоснованіе ученія о пропорціяхъ и о площадяхъ.

К. Коммерелль*).

Переводъ О. Н. Цубербиллеръ. Москва.

Повидимому первая попытка обосновать ученіе о пропорціяхъ, не прибѣгая къ разсмотрѣнію непрерывности и слѣдовательно не пользуясь понятіемъ объ ирраціональныхъ величинахъ, принадлежитъ Грассману**). Аналогичные выводы мы находимъ позднѣе у Гоппе***), Купфера****), а также въ новѣйшемъ трудѣ по элементарной математикѣ Вебера и Велльштейна*****). Изложеніе у всѣхъ этихъ авторовъ имѣетъ то общее, что всѣ они выводятъ теорему Дезарга, исходя изъ пространственныхъ соображеній, и отсюда получаютъ ученіе о пропорціяхъ. Между тѣмъ это обращеніе къ пространству составляетъ самую слабую сторону этихъ системъ, такъ какъ естественно требовать, чтобы доказательства теоремъ планиметріи не выходили за предѣлы плоскости. Замѣчательно, что Гоппе (стр. 154) считаетъ невозможнымъ основать теорію подобія на равенствѣ угловъ, не покидая плоскости. Гильберту******) однако удалось обосновать

*) Mathematische Annalen, Band. 66, 1909, р. 558.

**) Н. Grassmann, Die Ausdehnungslehre von 1844, §§ 74—79.

***) R. Hoppe, Rein geometrische Proportionslehre, Archiv d. Math. u. Phys. Bd. 62, 1878, p. 153 ff.

****) K. Kupfer, Die Darstellung einiger Kapitel der Elementarmathematik, Sitzungsberichte der Dorpater Naturforscherges., 1893, p. 373 ff.

*****) H. Weber und J. Wellstein, Encyklopädie der Elementarmathematik, Bd. II, p. 234 ff.

******) D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie, II, Aüfl., 1903, § 14 ff.

ученіе о пропорціяхъ, не обращаясь къ соображеніямъ о непрерывности и не прибѣгая къ пространственной геометріи. Весьма близки къ этому позднѣйшія нѣсколько упрощенныя изложенія Моллерупа*) и Кнезера**). Гильбертъ исходитъ изъ разсмотрѣнія четырехъ отрѣзковъ, отсѣкаемыхъ двумя параллельными прямыми на сторонахъ прямого угла, и доказываетъ, при помощи довольно сложнаго исчисленія отрѣзковъ, что, отложивъ соотвѣтствующимъ образомъ четыре отрѣзка на сторонахъ любого угла и соединивъ ихъ конечныя точки, мы вновь получимъ параллельныя прямыя (основная теорема). Это исчисленіе отрѣзковъ, мало соотвѣтствующее духу Эвклидовой геометріи, вводится очевидно лишь какъ крайнее средство, такъ какъ до послѣдняго времени казалось невозможнымъ***) доказать эту основную теорему чисто геометрическимъ путемъ. Поэтому мнѣ кажется, что существуетъ дѣйствительная потребность въ чисто геометрическомъ обоснованіи ученія о пропорціяхъ и о подобіи, вполнѣ свободнаго отъ всякаго исчисленія отрѣзковъ. Отвѣтъ на этотъ запросъ и составляетъ цѣль настоящей работы. Мы сначала докажемъ основную теорему, и затѣмъ теорему Дезарга. На ряду съ этимъ мы получимъ почти всѣ главныя теоремы ученія о пропорціяхъ, такъ что, строго говоря, употребленіе символовъ оказывается излишнимъ; и если мы ихъ тѣмъ не менѣе вводимъ, то только для краткости изложенія. По той же причинѣ мы будемъ широко пользоваться движеніемъ: читатель легко убѣдится, что наши доказательства, по существу, отъ движенія совершенно не зависятъ. Такъ какь въ „Основаніяхъ“ Гильберта съ исчисленіемъ отрѣзковъ тѣсно связано и ученіе о площадяхъ, по крайней мѣрѣ въ вопросахъ касающихся мѣры площади (Inhaltsmass****), то мы попутно укажемъ какія измѣненія нужно сдѣлать, чтобы освободить ученіе о площадяхъ отъ исчисленія отрѣзковъ. Въ этомъ послѣднемъ вопросѣ, мы будемъ держаться возможно близко изслѣдованій Гильберта и ограничимся лишь самымъ необходимымъ.

*) J. Mollerap, Die Lehre von den geometrischen Proportionen, Math. Ann. 1902, p. 277 ff.

**) A. Kneser, Neue Begründung der Proportions—und Ähnlichkeitslehre unabhängig vom Archimedischen Axiom und von dem Begriff des Inkomraensurabeln. Archiv d. Math. u. Phys., dritte Reihe, Bd. 2, 1902. См. далѣе: F. Schur, Zur Proportionslehre, Math. Ann., ßd. 57, 1903, p. 205 ff. и А. Kneser, Zur Proportionslehre, Math. Ann., Bd. 58, 1904, p. 583 ff.

***) Смотри Weber u. Wellstein a.a.O. p. 246.

****) Hilbert, Grundlagen usw. § 20.

ГЛАВА I.

Ученіе о пропорціяхъ.

§ 1.

Подобные ряды точекъ. Подобные ряды отрѣзковъ.

Если двѣ прямыя линіи, пересѣкающіяся въ точкѣ О подъ угломъ (о, соотвѣтственно пересѣкаются системой параллельныхъ прямыхъ въ точкахъ А, Аг ; JB, J3, ; С, Сх ;..., то этимъ самымъ каждая точка А одной прямой приводится въ соотвѣтствіе съ точкою Ах другой прямой. Мы будемъ говорить, что рядъ точекъ А,Б,С,. . . подобенъ ряду точекъ Ах, Вх, Сѵ . . . , или эти два ряда точекъ подобны между собою. Каждыя двѣ точки А и Ах мы будемъ называть соотвѣтственными, а прямыя — основаніями рядовъ точекъ; точка О соотвѣтствуетъ очевидно сама себѣ. Далѣе, мы будемъ говорить, что эти два ряда точекъ находятся въ параллельно-перспективномъ положеніи; но мы будемъ продолжать называть такіе ряды точекъ подобными и послѣ того, какъ это особое расположеніе нарушится, вслѣдствіе взаимнаго перемѣщенія основаній рядовъ.

Такое соотношеніе между двумя рядами точекъ мы будемъ изображать символомъ

(I). О ; А, В, С,. . . ~ О ; Вѵ Сѵ . . .,

который читается такъ: рядъ О, А, В, С, ... . подобенъ ряду О, At, JS,, Cj, . . . . Такимъ образомъ символъ (I) выражаетъ, что основанія пересѣкутся въ точкѣ О, причемъ прямыя ААѴ ВВѴ ССѴ .... будутъ параллельны между собою. Для краткости назовемъ этотъ символъ соотвѣтствіемъ точекъ и будемъ различать въ немъ правую и лѣвую части. Непосредственно видно, что въ соотвѣтствіи точекъ лѣвая и правая части могутъ быть переставлены одна на мѣсто другой; и кромѣ того очевидно, что, за исключеніемъ точки О, можно перемѣщать точки одной части, если такое же перемѣщеніе произведемъ надъ соотвѣтствующими точками другой.

Съ помощью рядовъ точекъ устанавливается также соотношеніе между нѣкоторыми рядами отрѣзковъ: такъ напримѣръ отрѣзки ОА, OB, ОС, приведены въ соотвѣтствіе съ отрѣзками 0АѴ ОВх, 0СѴ.... Такіе ряды отрѣзковъ мы назовемъ подобными. Подобіе отрѣзковъ мы будемъ обозначать символомъ

(II). ОА, OB, ОС, . . . ОАѵ ОВх ОСѵ . . . .,

который читается такъ: рядъ отрѣзковъ О А, OB, ОС, .... подобенъ ряду отрѣзковъ ОАх, Oi?t, Обр . . . .*). Это значитъ, что основанія подобныхъ рядовъ отрѣзковъ могутъ быть приведены въ такое взаимное положеніе, что прямыя ААХ, ВВѴ ССХ, .... будутъ параллельны между собою, а основанія рядовъ пересѣкутся въ точкѣ О.

Будемъ называть символъ (II) соотвѣтствіемъ отрѣзковъ и будемъ различать въ немъ правую и лѣвую части. Отдѣльно отрѣзки называются членами соотвѣтствія, а такіе два члена, какъ напримѣръ ОС и ОСѵ называются соотвѣтственными. Отсюда слѣдуетъ, что въ соотвѣтствіи отрѣзковъ можно переставлять лѣвую и правую части; кромѣ того въ обѣихъ частяхъ можно производить одинаковыя перемѣщенія членовъ.

§ 2.

Основная теорема.

Два подобныхъ ряда точекъ, находящихся въ параллельно-перспективномъ расположеніи, остаются въ параллельно-перспективномъ положеніи, и въ томъ случаѣ, ко?да одно изъ основаній повернуто около точки пересѣченія основаній О.

Доказательство. Пусть

О, А, В, .... И О, .....

(черт. 1) представляютъ два подобныхъ, параллельно - перспективно расположенныхъ ряда точекъ, такъ что прямая ААХ параллельна ВВХ и т. д.; обозначимъ уголъ ВОВх черезъ со. По другую сторону прямой ОВх построимъ при точкѣ О произвольный уголъ cot, и на свободной сторонѣ его отложимъ отрѣзки ОА% = О А ОВ2 = OB и т. д. Требуется доказать, что Ах А2\\ВХВ2\\ Сх С2 и т. д.

Черт. 1.

*) Мы намѣренно устраняемъ слово „пропорція“ и обычное обозначеніе съ помощью двоеточія и знака равенства. Этимъ мы ходимъ подчеркнуть, что здѣсь идетъ рѣчь не объ отношеніи двухъ чиселъ, и что развиваемое ученіе представляетъ нѣчто иное, чѣмъ ученіе о пропорціяхъ, излагаемое въ элементарныхъ учебникахъ. Терминъ, „пропорція“ мы оставляемъ исключительно для отношеній чиселъ, полученныхъ при измѣреніяхъ.

Очевидно, что достаточно будетъ доказать паралельность прямыхъ Вх В2 и Ах А2. Для этого преположимъ сначала, что уголъ ю, меньше, чѣмъ 2d — со, и проведемъ черезъ точку Вх прямую параллельную 0Д2, которая, какъ это легко видѣть, непремѣнно пересѣчетъ прямую OB въ нѣкоторой точкѣ F3; проведемъ еще прямую F3AX. На прямой Вх0 навѣрно существуетъ точка F7*), удовлетворяющая условію:

(1)..............<£AF0^^AxF30

Соединяемъ F съ точкою F3, А съ В; на прямой F30 отмѣчаемъ точку 03 такъ, чтобы F303 = F0, и проводимъ черезъ 03 прямую параллельную 0ВѴ которая пересѣчетъ F3AX въ точкѣ Л3 и F3BX въ точкѣ В3. Прежде всего покажемъ, что 03А3 = О А и 03В3 = OB.

Дѣйствительно

Д FOA = \F3 03А3,

такъ какъ <3с A303F3 = <£: AOF (A303\\F0) и изъ (1) <$zA3F303 = = ^zAFO, наконецъ 03F3 = OF по построенію. Такимъ образомъ

(2) ..................0аА3=0Л

Изъ соотношенія (1) слѣдуетъ, что около четыреугольника F3AXFA можно описать кругъ, и потому

(3) .............ААХ-F= AF3F.

Но по условію ААХ 11 ВВХ ; слѣдовательно

(4) .............AAXF=^:BBXF,

Изъ (3) и (4) заключаемъ, что

(5) ...........^zAF3F=e3zBBxF,

а отсюда вытекаетъ, что четыреугольникъ F3BXFB тоже вписуемый и

^BF0 = <£B3F303.

Изъ послѣдняго равенства и изъ двухъ предшествующихъ 0F= OF3 ; ^zF0B = ^:F303Bs находимъ, что

b0BF=/i03B3F3,

*) Если точка F совпадаетъ съ А, то въ доказательствѣ придется сдѣлать незначительныя измѣненія, которыя нетрудно усмотрѣть.

а потому (6) -

ОВ= 03BZ

т. е. желаемое доказано.

Слѣдующій шагъ является лишь повтореніемъ предшествующаго.

Отмѣтимъ на прямой BlFi такія точки Ак и Вк, чтобы

(?).........В1 Ак = ДА3 = В А = В,А2

(8) ........BxBk^B30z = B0^B20.

Далѣе на прямой ВхО отмѣтимъ точку F4, удовлетворяющую условію:

(9) .............ВДеееВД.

Соединимъ точку /4 съ A,t, Вк, F3 ; затѣмъ Ах съ 14и О съВг Теперь можно показать, что прямая АхАк параллельна ОВѵ Изъ равенствъ (7), (8) и (9) изъ того, что

ВД FlBiBi

прежде всего слѣдуетъ:

(10) ...... \BiAiFk^lBzA,F^

(И)..............= .

Изъ (10) получаемъ, что AiFiBl = А: A^F^B^ а потому около четыреугольника AiFlAlF3 можно описать кругъ.

Аналогично находимъ изъ равенства (11), что

<^BiFlBl==<c B3F303

т. е. около четыреугольника BiFlOFs можно тоже описать кругъ. Въ этихъ двухъ вписанныхъ четыреугольникахъ мы имѣемъ:

^AlFiFK = ^:AiAiFi , ^:AiF3Fi^^c.BlOFt .

Углы въ правыхъ частяхъ этихъ равенствъ должны быть равны между собой, а потому АіА1\\ВіО. Изъ (7) и (8) вытекаетъ, что AKBk = ОА2, но такъ какъ эти отрѣзки еще и параллельны, то четыреугольникъ ВіАіА%0 представляетъ параллелограммъ и отрѣзокъ АКА2 параллеленъ ВкО. Кромѣ того мы знаемъ, что АіАі\\ВіО, откуда заключаемъ, что три точки Л4, Аѵ А2 лежатъ на одной прямой, параллельной Вк О. Наконецъ четыреугольникъ В{ВкОВ2 также представляетъ параллелограммъ и ВХВ21| В40. Оба отрѣзка АХА2 и ВХВ2 параллельны В40, а слѣдовательно они параллельны между собою, что и требовалось доказать.

Доказательство это остается справедливымъ для всѣхъ угловъ œl<^2d — со и также для всѣхъ угловъ (ü2<2d — (оп атакъ какъ уголъ cot можетъ принимать сколь угодно малыя значенія, то доказательство остается въ силѣ для всѣхъ угловъ а>.2 < 2d и наша основная теорема доказана вполнѣ.

Теперь мы уже можемъ непосредственно доказать теорему Дезарга, но прежде выведемъ еще нѣсколько предложеній.

На чертежѣ 1, гдѣ мы имѣли 03А3 = О А и 03В3 = OB, можно было бы далѣе отложить на 03В3 отрѣзки 03С3 = ОС, 03D3 = OB и т. д.; тогда прямыя СХС3, ВХВ3,. прошли бы черезъ точку F3 подобно прямымъ АгА3 и ВХВ3. Примѣняя тѣ же разсужденія, какъ и при. доказательствѣ основной теоремы, только въ другой послѣдовательности, мы легко придемъ къ слѣдующему заключенію:

Теорема 2. Если основанія подобныхъ рядовъ точекъ параллельны, то ряды точекъ находятся въ центрально-перспективномъ положеніи (въ параллельно-перспективномъ положеніи, если ряды тождественны).

Теорема 3 (обратная). Пучекъ лучей отсѣкаетъ на двухъ параллельныхъ прямыхъ подобные ряды точекъ.

До сихъ поръ, въ подобныхъ рядахъ точекъ или отрѣзковъ, точка О играла особую роль по сравненію съ другими. Однако оказывается, что любыя двѣ соотвѣтственныя точки двухъ подобныхъ рядовъ, папримѣръ А и At, могутъ замѣнить собою точку О. такъ какъ имѣетъ мѣсто слѣдующая теорема:

Теорема 4. Если два подобныхъ ряда точекъ приложены другъ къ другу такъ, что въ точкѣ пересѣченія ихъ основаній совмѣщаются двѣ соотвѣтственныя точки обоихъ рядовъ, то эти ряды находятся въ параллельно-перспективномъ расположеніи.

Пусть О ; А, В, С,. . . ~ О ; АѴВѴ Сх, . . . и пусть эти ряды находятся въ параллельно-перспективномъ положеніи, такъ что ААХIIBBt II ССг. . . . Проведемъ напримѣръ черезъ А прямую параллельную ОАх, и пересѣчемъ ее пучкомъ параллельныхъ прямыхъ ААх, ВВХ,, а также прямой, проведенной черезъ О параллельно ААХ\ тогда справедливость этой теоремы станетъ очевидной.

Примѣчаніе. Отсюда легко вывести, что, если имѣетъ мѣсто соотвѣтствіе отрѣзковъ

а, Ъ с, d,

то имѣютъ мѣсто также и слѣдующія соотвѣтствія: а, а -1- Ъ ~ с, с -f- d:

а, а— Ъ^с,с— d; а —J— è, а — b ^ с —J— d, с — d.

Теорема 5. Если стороны угла О соотвѣтственно пересѣкаются системою параллельныхъ прямыхъ въ точкахъ

А,АХ ; В,By ; С,СХ ;., то

ААХ, ВВХ, СС\,...— О А, OB, ОС,........

и ААХ, ВВХ, ССХ,....— ОАѵ ОВх, ОСх,.......

Доказательство. Передвинемъ треугольники ОААх и ОВВх вдоль прямой О А до совпаденія точекъ А и В съ точкою С; тогда справедливость перваго соотвѣтствія становится очевидной; аналогичнымъ путемъ доказывается и второе соотвѣтствіе.

Теорема 6. Если a,b^c,d и а, b ~ с, е, то e = d.

То есть: во всякомъ четырехчленномъ соотвѣтствіи отрѣзковъ, три первые члена его однозначно опредѣляютъ четвертый.

Мы опускаемъ чрезвычайно простое доказательство этой теоремы.

§ 3.

Теорема Дезарга.

Если два треугольника АВС и АУВХСХ расположены такимъ образомъ, что прямыя ААХ, ВВХ и ССХ, соединяющія соотвѣтственныя вершины, проходятъ черезъ одну и ту же точку О, и двѣ стороны AB и АС одного треугольника параллельны соотвѣтственнымъ сторонамъ АХВХ и АХС\ другого треугольника, то и третьи стороны ВС и ВХСХ параллельны между собой.

Если изъ отрѣзковъ О А, OB и ОС любые два равны между собой, то справедливость этой теоремы очевидна изт, основной теоремы § 2. Поэтому мы предположимъ, что всѣ три отрѣзка различны между собою; пусть, напримѣръ, OB будетъ наименьшій изъ нихъ. Тогда окружность, описанная изъ точки О радіусомъ OB, непремѣнно пересѣчетъ окружность, описанную около треугольника А ОС. Обозначимъ одну изъ этихъ

Черт. 2.

точекъ пересѣченія черезъ D и соединимъ ее съ точками А,С и О. Далѣе, отложимъ на прямой ОТ) отрѣзокъ ODx = OBv и проведемте прямыя DtAt и DXGV Но такъ какъ OD=0B, ODx=OBx и кромѣ того, по предположенію, АВ\\А1ВѴ то по основной теоремѣ мы заключаемъ, что отрѣзокъ AD параллеленъ AXDV Но по предложенію, АС\\АХСХ и слѣдовательно

^DAC—^zDtAtCt .

Во вписанномъ четыреугольникѣ DOÜA) углы DAG и DOC дополняютъ другъ друга до двухъ прямыхъ, значитъ и углы DxAiCx и DOC тоже составляютъ вмѣстѣ два прямыхъ, откуда слѣдуетъ, что около четыреугольника Dx0C\Ax можно описать кругъ. Изъ этихъ двухъ вписанныхъ четыреугольниковъ находимъ, что

^cDCO = ^cDAO.

Углы, въ правыхъ частяхъ этихъ равенствъ, равны между собою, такъ какъ выше было показано, что AD\\AXDX, слѣдовательно и углы, стоящіе слѣва, тоже равны, а потому DC\\DtCx. Кромѣ того OB = 0D и 0ВХ = ODx, откуда по основной теоремѣ заключаемъ, что

ВС\\В1СІ,

что и требовалось доказать.

Выражая символически теорему Дезарга, мы получимъ:

Слѣдствіе 1.

Для доказательства предположимъ, что на второмъ чертежѣ О А = а, OB = Ь, ОС= с, 0АХ = ах, 0ВХ = ЬХ и 0СХ = сѵ Тогда изъ теоремы Дезарга непосредственно слѣдуетъ справедливость этого утвержденія.

Слѣдствіе 2. (Законъ перемѣстительности*)) Если а, ах ~ 6, Ьх, то и а, Ь~а1,Ь1.

Или выражая это словами: во всякомъ четырехчленномъ соотвѣтствіи отрѣзковъ, можно переставлять ею средніе (а также крайніе) члены.

*) Гильбертъ доказалъ перемѣстительный законъ съ помощью теоремы Паскаля, см. Grundlagen § 15. Купферъ далъ первое простое доказательство, которое воспроизвели Кнезеръ и Моллерупъ. (См. литературныя указанія въ началѣ этой статьи).

Доказательство. На чертежѣ 1 мы имѣемъ, на основаніи пятой теоремы § 2 :

F343, ^ДЛ> ВХАХ,

Вз^з’ ^з^і ' 03î Ах0.

Отсюда находимъ, примѣняя первое слѣдствіе этого параграфа, что

В,Л,, ВХАХ ' Az 03, АхО.

Такъ какъ далѣе В9А3 = ВА и А203 = АО по §2 (7) и (8), то ВА,ВхАх~АО,АхО.

Но по опредѣленію подобныхъ рядовъ отрѣзковъ и, принимая во вниманіе примѣчаніе къ четвертой теоремѣ § 2, мы имѣемъ

ВА,АО~В1АѵАі О.

Два послѣднихъ соотвѣтствія доказываютъ наше утвержденіе, если положимъ

ВА = а ; ВХАХ = ах ; А0 = Ъ \ АхО~Ъх.

§ 4.

Теоремы о соотвѣтствіяхъ отрѣзковъ.

Теорема 1. Если двѣ сѣкущія встрѣчаются внутри или внѣ круга, то отрѣзки одной изъ нихъ, считая отъ ихъ общей точки, представляютъ средніе члены, отрѣзки второй — крайніе члены соотвѣтствія.

Доказательство. Пусть будутъ ОСВ и ODBx (черт. 3) двѣ сѣкущія, выходящія изъ точки О; требуется доказать, что

OB, OD~ 0ВХ« ОС.

На прямой ОВх откладываемъ отрѣзокъ ОAt =: ОС и точно также на OB откладываемъ OA=OD, тогда

Д 0CD= ЬОАхА

и слѣдовательно

(1) .............<£OCD=^OAxA.

Но такъ какъ мы имѣемъ вписанный четыреугольникъ СВВХВ, то

(2) .............

Черт. 3.

Изъ (1) и (2) находимъ, что АА1\\ВВ1 и значитъ OB, О А — ()ВХ, ОАѵ.

Отсюда вытекаетъ:

OB, ОС что и требовалось доказать.

На нашемъ чертежѣ точка О взята внѣ круга. Если она будетъ лежать внутри круга, то, при тѣхъ же обозначеніяхъ, доказательство останется тѣмъ же самымъ.

Теорема 2 (обратная). Если на одной сторонѣ нѣкотораго угла отложимъ отъ вершины его средніе члены соотвѣтствія отрѣзковъ, а на другой сторонѣ угла отложимъ крайніе члены того же соотвѣтствія, то концы этихъ отрѣзковъ опредѣлятъ четыреугольникъ, около котораго можно описать кругъ.

Доказательство подобно предыдущему.

Примѣчаніе. Если (черт. 3) мы будемъ вращать прямую OBt вокругъ точки О, то на основаніи теоремы 2, точки С,В,ВХ и D при вскомъ положеніи отредѣлятъ вписанный четыреугольникъ.

Опредѣленіе. Если въ соотвѣтствіи отрѣзковъ оба среднихъ члена тождественны, напр. такъ что

а, Ъ^Ъ,с,

то мы будемъ говорить, что Ъ есть среднее соотвѣтственное мджду а и с.

Подобно первой теоремѣ, легко доказывается и слѣдующая:

Теорема 3. Если касательная къ окружности встрѣчается съ сѣкущей, то отрѣзокъ касательной, считая отъ точки ихъ пересѣченія, есть среднее соотвѣтственное между отрѣзками сѣку шей.

Теорема 4. Во всякомъ прямоугольномъ треугольникѣ одинъ изъ катетовъ есть среднее соотвѣтственное между гипотенузой и проэкціей на нее другого катета.

Для доказательства описываемъ кругъ на второмъ катетѣ, какъ на діаметрѣ, и примѣняемъ третью теорему.

Теорема 5. Въ всякомъ прямоугольномъ треугольникѣ высота есть среднее соотвѣтственное между проэкціями обоихъ катетовъ на гипотенузу.

Для доказательства отыскиваемъ точку, симметричную вершинѣ прямого угла относительно гипотенузы, и къ полученному вписанному четыреугольнику примѣняемъ первую теорему.

Теорема 6. (См. черт. 4). Если два треугольника АгА2А9 и В1В2Вг расположены такъ, что прямыя А]Вѵ А^В., и А3В8 прохо-

датъ черезъ одну и ту же точку О, и если кромѣ того вокругъ четыреугольниковъ AXA2B2BX и АіАгВ3Ві могутъ быть описаны круги, то и около четыреугольника А2АгВгВ2 можно тоже описать кругъ.

Доказательство. Мы можемъ предположить, что всѣ три отрѣзка ОВх, ОВ2 и ОВ3 различны между собою; въ противномъ случаѣ, если бы напримѣръ ОВх = ОВ2, то и О А у = ОА2і и тогда предложеніе вытекало бы непосредственно изъ примѣчанія къ второй теоремѣ. Поэтому мы предположимъ, что напр. ОВ2 есть наибольшій изъ трехъ названныхъ отрѣзковъ: опишемъ изъ точки О радіусомъ ОВ2 окружность, которая необходимо пересѣчетъ отрѣзокъ ВХВg. Обозначимъ одну изъ точекъ пересѣченія черезъ Вх; проведемъ прямую OB4 и на ней отложимъ отъ точки О отрѣзокъ ОАі~0А2, затѣмъ соединимъ прямыя точки Ах А3 и Аг Согласно примѣчанію къ второй теоремѣ, точки Аѵ В,, В, и Ак опредѣляютъ вписанный четыреугольникъ и слѣдовательно

^АуА.О — ^В.ВуА,

но вслѣдствіе того, что четыреугольникъ АгА1ВіВг вписанный,

<$: АхА3о^^с В1ВІАХ

и изъ двухъ послѣднихъ равенствъ получаемъ

<^AxAkO = ^AxAzO.

Отсюда четыреугольникъ AxAzAkO будетъ вписаннымъ, а потому

<£ Л А 0 = АКАХ О.

Но такъ какъ выше было показано, что около четыреугольника А1В1В1АІ можно описать кругъ, то

^АкВкВх~^АкАх0

и изъ двухъ послѣднихъ равенствъ слѣдуетъ, что

^ ^4^3^ — *

Это послѣднее соотношеніе показываетъ, что вокругъ четыреугольника А1А3ВгВ1 можетъ быть описанъ кругъ. Но такъ какъ ОА2 = 0Ак и 0В2 = 02?4, то изъ примѣчанія къ второй теоремѣ

Черт. 4.

заключаемъ, что около четыреугольника А2В2В3А3 дѣйствительно можно описать кругъ.

Если мы введемъ обозначенія:

(\A-cr, 0ВХ = d; ОА2^Ъ] ()В2 с; 0А3 = е; OBz=f,

то условія этой теоремы могутъ быть выражены слѣдующими соотвѣтствіями отрѣзковъ:

а, Ъ^с, d, а, е ~ /*, d.

Такимъ образомъ теорема 0 утверждаетъ, что если справедливы эти соотвѣтствія, то имѣетъ мѣсто и такое соотвѣтствіе:

Ь, е ~ f,с, и мы пришли къ слѣдующему положенію:

Теорема 7. Если два соотвѣтствія отрѣзковъ имѣютъ одинаковые крайніе члены, то крайніе члены одного изъ нихъ могутъ быть замѣнены средними членами другого.

Доказательствомъ этихъ предложеній мы достигли нашей первой цѣли—дать чисто геометрическое изложеніе ученія о пропорціяхъ.

На ряду съ этимъ мы получили почти всѣ болѣе важныя теоремы ученія о подобіи; доказательство остальныхъ теоремъ, какъ напримѣръ о подобіи треугольниковъ, понятно, не представляетъ теперь никакого затрудненія. Въ изложеніи Гильберта главную роль играетъ теорема Паскаля; въ нашемъ изслѣдованіи о ней ни разу не упоминалось. Но если угодно, ее легко можно вывести изъ 7 теоремы.

(Продолженіе слѣдуетъ).

Къ статьѣ К. Коммерелля.

Б. Млодзѣевскій. Москва.

Въ предыдущей статьѣ центральное мѣсто занимаетъ основная теорема (§ 2). Я думаю, что нѣсколько сложное по виду доказательство этой теоремы будетъ проще и яснѣе, если будетъ выставлено въ общемъ видѣ то предложеніе, на которомъ это доказательство основано.

Пусть мы имѣемъ уголъ М0Мх (черт. 1). Возьмемъ на его сторонахъ двѣ произвольныхъ точки Fj,F и разсмотримъ пучекъ окружностей, проходящихъ черезъ эти двѣ точки. Каждая окруж-

ность пучка пересѣчетъ стороны угла еще въ двухъ точкахъ, и, соединяя ихъ, мы получимъ рядъ хордъ дополнительныхъ къ хордѣ FFt. Пусть будетъ F1AAlF одна изъ окружностей пучка. По свойству окружности, углы О А А, и OFF„ О А, А и OF, F попарно равны и, слѣдовательно, хорда ААХ антипараллельна прямой FF\ относительно сторонъ угла МОМх. Такъ какъ это справедливо относительно всѣхъ окружностей пучка, то всѣ дополнительныя хорды ААп ВВХ . . . параллельны между собою, и мы имѣемъ слѣдующее предложеніе:

Если центры пучка окружностей лежатъ на двухъ прямыхъ, то прямыя, соединяющія двѣ другія точки пересѣченія каждой окружности съ этими прямыми, параллельны между собою. Легко видѣть, что справедлива и обратная теорема:

Если двѣ прямыя ОЖ, 0МХ пересѣчены параллельными прямыми ААѴ BBt. . . и мы возьмемъ на одной изъ первыхъ двухъ прямыхъ произвольную точку F7, то всѣ окружности, проходящія черезъ F и черезъ пары точекъ ААѴ ВВХ. . . . , пересѣкутъ другую прямую въ одной и той же точкѣ Fr

Обратимся теперь къ чертежу 1 предыдущей статьи. Если мы разсмотримъ уголъ BOBх и помѣстимъ точку Fx нашей обратной теоремы въ точкѣ F;i, то всѣ окружности, проходящія чрезъ F3 и черезъ пары точекъ ААѴ В В,. . , встрѣтятъ прямую 0ВІ въ одной и той же точкѣ F. Если мы затѣмъ отложимъ F3O3 = F0 и проведемъ 0,В3 II „ то отсюда, какъ и въ предыдущей статьѣ, покажемъ, что рядъ 03АгВ^ . . . конгруэнтенъ ряду О AB...

Для доказательства второй половины теоремы откладываемъ на BXFZ отрѣзокъ В1Аі = ВА=В3Аг и проводимъ окружность F3AtA4, которая пересѣчетъ прямую AB, во второй разъ въ точкѣ F4. Пучекъ окружностей съ центрами въ F3,F4 опредѣлитъ пересѣченіемъ съ В, О, B,F3 рядъ параллельныхъ хордъ А,ЛГ 0,Вк и рядъ В1АІВ1... будетъ конгруэнтенъ ряду ВхАхО... Проведя затѣмъ OBj И B,FZ мы закончимъ доказательство, какъ и въ предыдущей статьѣ.

Изъ предыдущаго видно, что въ основѣ доказательства теоремы г. Коммерелля лежитъ указанное выше предложеніе о пучкѣ окружностей.

Черт. 1.

По поводу доказательства г. Коммерелля можно сдѣлать еще слѣдующее замѣчаніе. Въ этомъ доказательствѣ предполагается, что сумма угловъ со и cot менѣе двухъ прямыхъ угловъ. Нашъ выводъ показываетъ, что это ограниченіе излишне, и уголъ о>1 можетъ быть какимъ угодно. Единственное исключеніе представляетъ тотъ случай, когда сумма угловъ ш -f- со, равна двумъ прямымъ, и прямая 0А2 (черт. 1 предыдущей статьи) лежитъ на продолженіи прямой О А.

Предложеніе, указанное въ этой замѣткѣ, лежитъ также въ основѣ доказательства теоремы Паскаля, даннаго Гильбертомъ въ его извѣстномъ трудѣ объ основаніяхъ геометріи (Hilbert, Grundlagen der Geometrie, 8 Auflage S. 48).

О послѣдней теоремѣ Фермата.

Р. Бернштейнъ. Рига.

1. Послѣдняя теорема Фермата формулирована въ трудахъ знаменитаго математика слѣдующимъ образомъ: „il n’est pas possible de partager un cube en deux cubes, ou un carré de carré en deux carrés, et en général aucune puissance jusqu’à l’infini au delà du carré en deux puissances de meme nom“. Слѣд., рѣчь идетъ о невозможности цѣлыхъ, раціональныхъ, отличныхъ отъ нуля, рѣшеній неопредѣленнаго уравненія хп-\-y” = zH (1) при п>>2.

Какъ извѣстно, до сихъ поръ не найдено полнаго доказательства этой теоремы; она доказана для многихъ частныхъ случаевъ значенія п; цѣль настоящей статьи доказать её для нѣкоторыхъ интересных7> случаевъ, независимо отъ частныхъ числовыхъ значеній п.

2. Если назвать черезъ а общаго наибольшаго дѣлителя чиселъ X и у, то равенство (1) приметъ видъ: а”. хпх -\-ап ÿ\ =#*, или

т. е. ъ дѣлится безъ остатка на а. Поэтому въ равенствѣ

(1)

не нарушая общности задачи, можемъ считать #, у, z числами — попарно взаимно простыми.

Такъ какъ при хи z раціональныхъ цѣлыхъ невозможно равенство 2хп = ъп, то будемъ считать

у > х\ отсюда хп~х < уп~~1] (2)

изъ рав. (1) видно:

Обозначимъ для краткости я — y = h и допустимъ: ж<пЛ, (чтб вмѣстѣ съ нерав. (2) даетъ:

хп < nhyn~\

а тѣмъ болѣе будемъ имѣть:

то есть:

или хп <^ъп — //*, что противорѣчитъ равенству (1).

Итакъ необходимо х^>п (z— ?/); но при z и у цѣлыхъ наименьшее значеніе ъ—у есть единица, поэтому х > п -j-1, ïj > n -f- 2, z > w -f- 3.

3. Равенство (1) требуетъ:

—— = цѣл. числ. (3)

Такъ какт^ возвышеніе въ степень не прибавляетъ новыхъ первоначальныхъ множителей, то послѣднее равенство возможно лишь при условіи, что число у раздѣлится безъ остатка на каждаго простого множителя ъ — х\ если же у есть первоначальное число, то необходимо:

z— X = 1, ибо y^>z— X, И такъ z = x-J— 1, т. е.

Х+1 > У >Х,

что невозможно при х и у цѣлыхъ. — И такъ, большее изъ чиселъ лѣвой части равенства (1) не можетъ быть первоначальнымъ числомъ.

4. Напишемъ равенство (3) въ видѣ:

^ = zn~x -)- XZ”-2 -[- хНп~3 -)-..г”-1; (4)

назовемъ для краткости правую часть рав. (4) черезъ ср. По теоремѣ Безу, остатокъ отъ дѣленія ф на г — х равень пжя_1; но такъ какъ х и z — х числа первыя между собою, то общій наибольшій

дѣлитель чиселъ ср и z — х есть общій наибольшій дѣлитель чиселъ п и z — X. Поэтому, еслибы z— х и п были взаимно простыми числами, тофи z — х были бы также взаимно-простыми; въ такомъ -случаѣ частное отъ дѣленія уп на z — х не имѣло бы ни одного простого множителя числа z — х, что возможно лишь тогда, если z — X есть п — ая степень раціональнаго числа (по доказанному z — X не можетъ равняться 1).

Такъ какъ х, у, z числа попарно взаимно - простыя, то одно изъ нихъ и непремѣнно одно будетъ числомъ четнымъ, какъ это видно изъ равенства (1). Пусть х четное; тогда £ и у числа нечетныя, т. е. z — у >2, слѣд. х'>2п-\-2.

5. Разсмотримъ теперь случай п четнаго:

Въ такомъ случаѣ:

—!-— = цѣл. числ.; —:— = цѣл. числ. z + x e+ÿ

И такъ, у должно дѣлиться безъ остатка на каждаго простого множителя числа я-|-я; но если z-\-х есть число первоначальное, то послѣднее условіе становится невыполнимымъ, ибо у <^z-\-х. Если же z-\-x не имѣетъ ни одного кратнаго простого множителя*), то у, будучи менѣе чѣмъ z -|- х, не можетъ раздѣлиться безъ остатка на каждаго простого множителя числа z-\-х. To-же и относительно * t-У-

6. Разсмотримъ случай нечетнаго п:

Въ такомъ случаѣ:

—т- = цѣл. (5)

Число z должно дѣлиться безъ остатка на каждаго простого множителя числа хА-у и въ то-же время z<^x-{-y. Эти 2 условія становятся несовмѣстными, если х-\-у есть первоначальное число; равнымъ образомъ, эти 2 условія становятся противорѣчивыми, если число X -\-у состоитъ изъ простыхъ множителей, взятыхъ по одному (т. е. не имѣетъ кратныхъ множителей).

*) т. е. z + x — первичное число.

7. Допустимъ, что z число первоначальное*); въ этомъ случаѣ необходимо для рав. (5), чтобы x-\-y = zm,m> 2, ибо z<x-\-y.

Тогда неравенство —И-- приметъ видъ:

но zm~l^> 2 (ибо т>1, з>п),

слѣд. послѣднее неравенство невозможно.

Пусть z = a*, гдѣ а первоначальное число; тогда х-\-у = а”\

при чемъ ибо х-\-y^>z\ неравенство z^>—приметъ видъ.

что невозможно,

Резюмируя доказанное, приходимъ къ слѣдующимъ выводамъ:

1. Если меньшее изъ двухъ чиселъ и ^**) окажется менѣе или равнымъ п, то сумма хп-\-гуп не можетъ быть n-ою степенью раціональнаго цѣлаго числа.

2. Если большее изъ двухтз чиселъ — и ~ окажется первоначальнымъ числомъ, то сумма хп-\-уп не можетъ быть п-ою степенью раціональнаго цѣлаго числа.

3. Если меньшее изъ двухъ чиселъ — и ~ окажется числомъ четнымъ, меньшимъ чѣмъ 2п 2, то сумма хп уп не можетъ быть n-ою степенью раціональнаго цѣлаго числа.

4. Если z-\-x или —у,— окажутся числами первоначальными или первичными, то ъ2Р— х2Р не можетъ быть 2р-ою степенью раціональнаго цѣлаго числа***).

5. Если х-\-у или —g-— окажется числами первоначальными или первичными, то х2Р+1 + у*^1 не можетъ быть одноименною (2р-)-1"ою) степенью цѣлаго раціональнаго числа.

*) показатель п и здѣсь нечетное число.

**) 6 обозначаетъ общаго наибольшаго дѣлителя чиселъ хну, ad' — г и х.

***) Первичнымъ числомъ называютъ число Р вида рѵ рs. р3.... рм, гдѣ всѣ Рі простыя числа.

6. Нечетная степень простого числа или степени простого числа не можетъ быть разложена на сумму одноименныхъ степеней двухъ раціональныхъ цѣлыхъ чиселъ.

Спорные вопросы въ методикѣ ариѳметики.

(Докладъ, читанный на I всероссійскомъ съѣздѣ преподавателей математики).

Ѳ. Эрнъ. Рига.

Было время, когда методика ариѳметики считалась вполнѣ законченной, вполнѣ опредѣлившейся дисциплиной; лѣтъ 20 тому назадъ, напр., Калласъ въ предисловіи къ своей „методикѣ элементарнаго обученія ариѳметикѣ“ утверждалъ, что методика начальной ариѳметики является основнымъ и наиболѣе блестящимъ предметомъ (Capital—und Glanzfach) въ курсѣ учительскихъ семинарій, что на такую высоту вознесли ее труды нѣмецкихъ методистовъ, начиная съ Песталоцци и кончая Генчелемъ, что предметъ этотъ по своему объему и содержанію вполнѣ опредѣлился, и что дальше по пути указанному Генчелемъ и его предшественниками итти некуда и незачѣмъ*).

Въ настоящее время такой взглядъ на методику ариѳметики врядъ-ли раздѣляется многими методистами. Наоборотъ, я думаю, что современные преподаватели и методисты скорѣе согласятся съ мнѣніемъ другого извѣстнаго нѣмецкаго методиста, Беетца, высказаннымъ тоже лѣтъ 20 тому назадъ. Въ своей брошюрѣ „Сущность числа“ Беетцъ утверждаетъ, что „выборъ и распредѣленіе матеріала, само изложеніе, однимъ словомъ вся метода обученія ариѳметикѣ не представляетъ собою ничего единаго и однообразнаго; каждому взгляду противопоставляется другой, прямопротивоположный, противорѣчіе царитъ въ самыхъ простыхъ вопросахъ“**).

Беетцъ пытался установить и причину этого печальнаго явленія; причину эту онъ видитъ въ томъ, что нѣтъ общей идеи, которая объединяла-бы собой всё ученіе о преподаваніи ариѳметики, что не установленъ основной принципъ, изъ котораго вся методика ариѳметики могла-бы быть выведена чисто дедуктивнымъ путемъ.

Въ концѣ доклада я остановлюсь на томъ, насколько вѣренъ взглядъ Беетца на причины современнаго состоянія методики ариѳметики, теперь-же попытаюсь привести нѣсколько наиболѣе яркихъ примѣровъ, доказывающихъ, что въ современной методикѣ ариѳметики много спорныхъ вопросовъ, много очень существенныхъ разногласій и противорѣчій.

*) R. G. Kallas. Die Methodik des elementaren Rechenuterrichts. Mitau. 1889. Стр. 1—2.

**) K. O. Beetz. Das Wesen der Zahl, als Einheitsprinzip im Rechenunterricht. Leipzig. Стр. 3.

Методику ариѳметики въ настоящее время нельзя считать строго опредѣлившейся дисциплиной уже по тому одному, что такіе кардинальные вопросы, какъ вопросы о цѣли преподаванія ариѳметики въ школѣ, объ объемѣ и характерѣ курса, наконецъ о методахъ и пріемахъ обученія рѣшаются современными методистами часто въ прямо противоположныхъ направленіяхъ.

Въ самомъ дѣлѣ въ вопросѣ о томъ, какія цѣли Должно преслѣдовать преподаваніе ариѳметики въ школѣ, со временъ Песталоцци такъ рѣзко выдвинувшаго на первый планъ формальный принципъ, ведется упорная борьба между формалистами и матеріалистами, не закончившаяся и до сихъ поръ. Правда, чистыхъ песталлоціанцевъ въ настоящее время среди методистовъ уже почти не встрѣчается; уже никто не смотритъ на ариѳметику и математику вообще только какъ на прикладную логику, никто не рѣшается утверждать, что выборъ матеріала для цѣлей преподаванія безразличенъ, но всё-же въ пониманіи цѣли и задачъ обученія ариѳметики мы наблюдаемъ очень существенныя разногласія. Въ то время какъ одни авторы отрицаютъ, какъ будто, по крайней мѣрѣ на первыхъ порахъ обученія, совсѣмъ формальную цѣль, не признавая за изученіемъ ариѳметики никакой развивающей силы*), другіе лишь подчиняютъ формальныя цѣли матеріальной, придавая ариѳметикѣ главнымъ образомъ значеніе предмета необходимаго для практической дѣятельности. Вѣдь методисты этой послѣдней категоріи стараются такъ или иначе связать ариѳметику съ жизнью или другими предметами преподаванія и придать ей прикладной характеръ. Но какъ только возникаетъ вопросъ, каковъ долженъ быть этотъ прикладной характеръ, такъ сразу обнаруживаются совершенно различныя точки зрѣнія и возникаютъ очень рѣзкія разногласія. Д-ръ Гартманъ, д-ръ Рейнъ и другіе представители Гербартъ-Циллеровской школы видятъ всё спасеніе въ расположеніи учебнаго матеріала по такъ наз. „предметнымъ областямъ“ (Sachgebiete). При этомъ они руководятся исключительно интересомъ учащихся и ихъ „кругомъ представленій“; по мѣрѣ расширенія этого круга представленій путемъ обученія въ школѣ расширяется и матеріалъ разрабатываемый на урокахъ ариѳметики, захватывая всё новыя и новыя области. Сначала ученики прилагаютъ свои ариѳметическія познанія и навыки къ вычисленіямъ и измѣреніямъ въ классной и

*) Характернымъ въ этомъ отношеніи является мнѣніе извѣстнаго нѣмецкаго методиста Книллинга, который полагаетъ, что „голова никогда не бываетъ болѣе свободной отъ опредѣленныхъ образныхъ представленій какъ тогда, когда она занята вычисленіями. Вычисленіе—чисто механическій процессъ, который можетъ быть выполняемъ даже машинами. Оно состоитъ въ разложеніи чиселъ на десятичныя группы и въ примѣненіи къ этимъ группамъ таблицъ сложенія и умноженія. Разложеніе это дается самимъ письменнымъ обозначеніемъ числа; слѣдовательно мышленія при этомъ не требуется. По этому ариѳметика не можетъ служить средствомъ формальнаго развитія".

Разумѣется, эти разсужденія Книллинга неправильны уже потому, что онъ понятіе ариѳметики подмѣняетъ совершенно не покрывающимъ его понятіемъ о письменныхъ вычисленіяхъ надъ числами, но всё-же для извѣстнаго направленія методистовъ эти разсужденія являются типичными.

домашней обстановкѣ, затѣмъ переходятъ на дворъ, въ огородъ и садъ, на улицу и на базаръ, на почту и на желѣзную дорогу; наконецъ освѣщаютъ съ точки зрѣнія числа и мѣры матеріалъ предлагаемый имъ на урокахъ географіи, природовѣдѣнія и исторіи. Центромъ тяжести такого курса является практическое ознакомленіе учащихся съ мѣрами и монетами и простѣйшими, доступными дѣтскому пониманію, случаями измѣренія и вычисленія стоимости при покупкѣ и продажѣ и т. д.*).

Другіе методисты, желая придать ариѳметикѣ прикладной характеръ, превращаютъ ее въ коммерческія и финансовыя вычисленія; такъ по Книллингу 12—14 лѣтнія дѣти должны рѣшать задачи, содержаніе которыхъ берется изъ области торговли, промышленности, банковыхъ операцій и государственнаго хозяйства.

За послѣднее время приходится довольно часто слышать о необходимости тѣсной связи между ариѳметикой и геометріей; при этомъ однако связь эта устанавливается настолько прочно и неразрывно, что ариѳметика почти теряетъ характеръ самостоятельнаго предмета и становится лишь средствомъ для изслѣдованія числовыхъ отношеній при рѣшеніи тѣхъ или другихъ геометрическихъ вопросовъ.

Новѣйшее „реформаторское“ направленіе въ методикѣ ариѳметики также всецѣло подчиняетъ формальныя цѣли матеріальнымъ. Извѣстный знатокъ нѣмецкой методики математики, проф. Алоизій Гефлеръ высказывается въ этомъ отношеніи весьма опредѣленно: между формальнымъ развитіемъ и надлежащимъ усвоеніемъ математическаго матеріала существуетъ опредѣленная причинная зависимость: навыкъ въ логическомъ мышленіи и умственное развитіе вообще можетъ явиться слѣдствіемъ извѣстныхъ положительныхъ знаній въ области математики, но не наоборотъ. „Обученіе, которое съ самаго начала поставитъ себѣ цѣлью побудить ученика къ усвоенію извѣстнаго математическаго матеріала, можетъ спокойно ожидать тѣхъ побочныхъ формально-развивающихъ результатовъ, которые должны явиться слѣдствіемъ такого обученія“**).

Представители этого направленія усиленно рекомендуютъ усвоеніе учащимися идеи функціональной зависимости въ качествѣ звена связующаго ариѳметику съ жизнью вообще и съ наукой и техникой въ особенности. Такой точки зрѣнія придерживается, напр., извѣстная Меранская программа, устанавливающая для преподаванія математики слѣдующія двѣ главныя задачи: развитіе въ учащихся способности къ пространственнымъ воспріятіямъ и воспитаніе навыковъ къ мышленію въ области функцій.

Разумѣется надлежащее пониманіе функціи и ея роли въ математикѣ возможно только въ старшихъ классахъ средней школы, но по мнѣнію многихъ методистовъ уже средніе и даже младшіе

*) Dr. В. Hartmann. Der Rechenunterricht in der deutschen Volksschule. 3 Auflage. Стр. 171—195. См. также очень распространенный въ Германіи сборникъ задачъ В. Hartmann u. J. Ruhsam Rechenbuch für deutsche Stadt—u. Landschulen.

**) Alois Höfler. Didaktik des mathematischen Unterrichts. Стр. 17.

классы даютъ достаточно матеріала для подготовки учащихся къ усвоенію идеи функціональной зависимости. Въ области ариѳметики въ этомъ отношеніи большое значеніе могло-бы имѣть умѣлое и своевременное выясненіе учащимся понятія о прямой и обратной пропорціональности величинъ, сопровождаемое указаніемъ тѣхъ случаевъ, когда между величинами существуетъ болѣе сложная зависимость (измѣненіе площади квадрата и объема куба въ зависимости отъ измѣненія стороны квадрата и куба). Для лучшаго усвоенія этихъ зависимостей рекомендуется наглядно демонстрировать ихъ путемъ черченія соотвѣтствующихъ графикъ.

Стремленіе подготовить учащихся уже на первыхъ порахъ обученія къ пониманію функціональной зависимости проникло въ послѣдніе годы и въ русскую учебную литературу. Появившаяся недавно методика ариѳметики г. Галанина*) отводитъ этому вопросу видное мѣсто даже въ первомъ году обученія. Здѣсь идея прямой пропорціональности выясняется дѣтямъ при помощи опредѣленія измѣненій въ вѣсѣ, объемѣ, стоимости и т. д. различныхъ предметовъ, путемъ фактическаго измѣренія и вычисленія производимаго самими учениками. — Авторы извѣстной книги „Педагогика математики“ г.г. Мрочекъ и Филипповичъ указываютъ на изслѣдованіе свойствъ членовъ ариѳметическихъ дѣйствій и даже на составленіе т. наз. волшебныхъ квадратовъ, какъ на упражненія, способствующія выясненію функціональной зависимости**).

Но, конечно, и здѣсь возможны увлеченія очень вредныя. Упомянутый уже мною проф. Ал. Гефлеръ, вполнѣ раздѣляя въ общемъ взгляды, высказанные въ Меранской программѣ, въ тоже время настойчиво совѣтуетъ не спѣшить съ выясненіемъ функціональной зависимости и не навязывать дѣтямъ въ курсѣ ариѳметики понятій и идей имъ недоступныхъ. И здѣсь, какъ вездѣ въ ариѳметикѣ, мышленіе въ области функцій должно опираться на наблюденіе и опытъ надъ измѣняемостью перемѣнныхъ; поэтому онъ строго различаетъ „functionales Denken“ отъ „functionales Anschauen“***).

Приведенные примѣры, думается мнѣ, вполнѣ убѣждаютъ въ томъ, что цѣль обученія ариѳметики въ настоящее время устанавливается весьма различно. Въ зависимости отъ этого возникаютъ, разумѣется, разногласія и по вопросу объ объемѣ и характерѣ курса. Къ числу такихъ разногласій относятся прежде всего многіе вопросы, возникающіе въ самомъ началѣ преподаванія ариѳметики вслѣдствіе противорѣчивыхъ взглядовъ на сущность и возникновеніе числа. Въ Германіи, какъ извѣстно, чуть не сто лѣтъ идетъ борьба между сторонниками теоріи счета и теоріи непосредственнаго воспріятія числа или числовыхъ представленій. Послѣдніе (изъ нихъ особенной извѣстностью поль-

*) Д. Галанинъ. Методика ариѳметики. Первый годъ обученія. М. 1910.

**) В. Мрочекъ и Ф. Филипповичъ. Педагогика математики. Томъ I. СПБ. 1910. Стр. 266 и 267.

***) Dr. Alois Höfler. Didaktik des mathematischen Unterrichts. 1910. Стр. 19—27.

зуется Беетцъ, а въ наши дни д-ръ Лай и его послѣдователи*) полагаютъ, что понятіе о числѣ возникаетъ опытнымъ путемъ; главную роль при этомъ играютъ наблюденіе (Anschauung) при помощи органовъ внѣшнихъ чувствъ небольшихъ совокупностей или группъ предметовъ, сравненіе ихъ между собою путемъ выдѣленія существенныхъ признаковъ сходства и различія и т. д. Понятіе о числѣ будетъ отчетливымъ и яснымъ, когда отдѣльныя единицы, входящія въ составъ его, будутъ выдѣлены т. наз. постулированіемъ и вмѣстѣ съ тѣмъ всѣ эти единицы будутъ мыслиться какъ одно цѣлое. Но постулированіе это совершается безъ всякаго участія счета.

Представители другого направленія (Книллингъ, Танкъ и др.**) полагаютъ, что понятіе о числѣ не можетъ возникать исключительно опытнымъ путемъ, что нельзя ни наблюдать, ни представлять себѣ число. Сколько-бы мы ни смотрѣли на группу изъ трехъ шариковъ безъ счета мы можемъ выработать лишь представленіе и понятіе объ этихъ трехъ шарикахъ, а не о числѣ три. Понятіе-же о числѣ есть результатъ особаго психическаго акта, называемаго счетомъ. Поэтому для сторонниковъ теоріи акта каждое число есть не отдѣльная группа единицъ, совмѣстно и единовременно воспринимаемыхъ нами путемъ наблюденія, а тотъ или другой членъ цѣлаго ряда, изъ которыхъ каждый послѣдующій получается изъ предыдущаго путемъ прибавленія къ нему одной единицы.

Само собой понятно, что разногласія во взглядахъ на сущность числа и условія его возникновенія вызываютъ и разногласія въ пріемахъ преподаванія на первыхъ ступеняхъ обученія.

Для сторонниковъ теоріи счета важно научить учениковъ, какъ можно скорѣе, считать вѣрно и сознательно; считать можно какіе угодно предметы и чѣмъ чаще предметы эти будутъ мѣняться, тѣмъ рѣзче число предметовъ будетъ выдѣляться какъ особый количественный признакъ считаемыхъ совокупностей, тѣмъ скорѣе стало-быть у учащихся вырабатывается понятіе о числѣ. Поэтому для методистовъ этого направленія видъ и форма наглядныхъ пособій не играетъ большой роли. Для сторонниковъ теоріи непосредственнаго воспріятія числа важенъ не счетъ, а то впечатлѣніе, которое производитъ извѣстная группа предметовъ на внѣшніе органы чувствъ учащихся; поэтому съ ихъ точки зрѣнія шарики счетовъ или кубики ариѳметическаго ящика не пригодны для образованія понятія и представленія о числѣ, потому что и шарики и кубики, располагаясь послѣдовательно въ рядъ, не даютъ возможности рельефно выдѣлить каждый отдѣльный предметъ и затрудняютъ сравненіе одной совокупности съ другой путемъ про-

*) К. О. Beetz. Das Tvpenrechnen auf psychophysischer Grundlage. 1889. Его-же выше цитир. сочиненіе „Das Wesen der Zahl“. В. А. Лай (Dr. W. A. Lay) Руководство къ первоначальному обученію ариѳметикѣ, основанное на результатахъ дидактическихъ опытовъ. Пер. подъ ред. Д. Л. Волковскаго. М. 1910.

**) R. Knilling. Zur Reform des Rechenunterrichts in den Volksschulen 1884/6. Tank. Das Rechnen auf der Untersstufe nebst Beitrag zur Frage nach der Entstehung der Zahlbegriffe. 1884.

стого наблюденія. Поэтому-то у методистовъ этого направленія излюбленными наглядными пособіями является т. наз. числовыя фигуры, въ видѣ-ли группъ точекъ или кружковъ расположенныхъ совершенно опредѣленнымъ образомъ (графическія числовыя фигуры) или въ видѣ такихъ-же группъ шаровъ или кубиковъ на счетныхъ приборахъ (приборъ д-ра Лай’я и др.).

Различно рѣшается и вопросъ о томъ, когда и пользуясь какими пріемами слѣдуетъ ознакомить учащихся съ цифрами. Для сторонниковъ теоріи непосредственнаго воспріятія числа важно продержать дѣтей какъ можно дольше на наблюденіи и изученіи реальныхъ совокупностей или числовыхъ фигуръ, въ которыхъ отдѣльныя единицы или цѣлыя группы единицъ выступаютъ совершенно наглядно. Всякій символъ, условно обозначающій то или другое число, съ ихъ точки зрѣнія можетъ только повредить выработкѣ отчетливаго и яснаго понятія о числѣ, потому что прерветъ тотъ правильный и послѣдовательный ходъ работы, который совершается въ сознаніи дѣтей при изученіи числовыхъ фигуръ, внесетъ въ эту работу новый элементъ чуждый наглядности, требующій извѣстнаго навыка въ отвлеченномъ мышленіи и потому съ трудомъ усваиваемый дѣтьми на этой ступени обученія. Поэтому многіе методисты этой школы отодвигаютъ ознакомленіе съ цифрами до болѣе поздняго времени. Д-ръ Лай, напр., рекомендуетъ начать знакомить съ цифрами только при изученіи числа 6, другіе вводятъ понятіе о цифрѣ еще позже, упражняя дѣтей даже въ записи результатовъ дѣйствій при помощи черточекъ или кружковъ; третьи, наконецъ,—какъ г. Галанинъ,—вводятъ на первой ступени обученія только римскія цифры, пользуясь только двумя символами: I и У.

Представители теоріи счета не боятся вводить цифры въ самомъ началѣ обученія, потому что не боятся символизма вообще; для нихъ центръ тяжести всего обученія лежитъ въ счетѣ, а такъ какъ счетъ основанъ на твердомъ знаніи порядка названій чиселъ натуральнаго ряда, то имъ все равно приходится пользоваться символами: самыя числительныя имена являются, вѣдь, такими-же символами, только условно замѣняющими собою числа.

Наконецъ при переходѣ къ ариѳметическимъ дѣйствіямъ разница между пріемами обученія становится еще болѣе замѣтной. Защитники теоріи счета кладутъ счетъ и въ основу производства всѣхъ дѣйствій; результаты этяхъ дѣйствій они находятъ путемъ присчитыванія или отсчитыванія единицами группами единицъ. Поэтому они въ самомъ началѣ курса, тотчасъ послѣ усвоенія счета, переходятъ къ такъ наз. изученію дѣйствій по тому или иному плану. Разумѣется и здѣсь возможны и дѣйствительно существуютъ разногласія относительно, напр., порядка составленія такъ наз. таблицъ дѣйствій и пр., но это уже мелкія разногласія, на которыхъ я останавливаться не буду. Во всякомъ случаѣ у всѣхъ методистовъ этого лагеря одной изъ главныхъ цѣлей обученія ариѳметики на первыхъ ступеняхъ обученія является изученіе отдѣльныхъ ариѳметическихъ дѣйствій. Совершенно иначе обстоитъ дѣло у сторонниковъ другой теоріи. Имъ тоже прихо-

дится въ самомъ началѣ обученія встрѣчаться съ ариѳметическими дѣйствіями, но для нихъ эти дѣйствія важны не сами по себѣ, а лишь какъ операціи позволяющія разлагать извѣстныя группы предметовъ или числовыя фигуры на составныя части. Имъ нужно, вѣдь, выработать въ учащихся отчетливое представленіе о каждомъ числѣ путемъ сравненія различныхъ чиселъ между собою; для этого нужно выяснить составъ числа изъ слагаемыхъ или сомножителей, а этого нельзя сдѣлать, не производя ариѳметическихъ дѣйствій. Такимъ образомъ здѣсь ариѳмет. дѣйствія являются лишь средствомъ, цѣль-же заключается въ изученіи состава чиселъ изъ слагаемыхъ и сомножителей. Поэтому въ основѣ курса методистовъ этого направленія лежитъ не изученіе дѣйствій, а т. наз. изученіе чиселъ, то самое монографическое изученіе чиселъ, которое 70 лѣтъ тому назадъ было предложено Грубе, а въ 60-ыхъ и 70-ыхъ годахъ такъ неудачно пересажено на русскую почву г.г. Евтушевскимъ, Паульсономъ и др.

Но и въ дальнѣйшемъ курсѣ, уже независимо отъ различныхъ взглядовъ на сущность и условія возникновенія числа, въ статьѣ объ ариѳметическихъ дѣйствіяхъ приходится отмѣтить много спорнаго и неустановившагося.

Прежде всего до сихъ поръ не установлено окончательно число ариѳметическихъ дѣйствій. Правда, средневѣковыя удвоенія (duplatio) и дѣленіе пополамъ (mediatio), равно какъ и предложенное въ началѣ прошлаго вѣка, Стефани особое дѣйствіе Parderieren, давно канули въ вѣчность, но всё-же между современными методистами относительно числа ариѳметич. дѣйствій существуютъ большія разногласія. Гартманъ указываетъ 4 дѣйствія, но при этомъ отмѣчаетъ „измѣреніе“ (Messen), какъ особую форму дѣленія; Книллингъ употребляетъ 6 дѣйствій: сложеніе, умноженіе, вычитанія, раздѣленіе, содержаніе (Enthaltensein) и измѣреніе непрерывныхъ величинъ; у Зальберга 8 дѣйствій: сравненіе, различеніе (Unterscheiden), отниманіе, сосчитываніе, измѣреніе, увеличеніе въ нѣсколько разъ, дѣленіе и соединеніе“*) Происходятъ эти разногласія потому, что не установлены точно и строго тѣ признаки или элементы дѣйствій, которые должны лечь въ основу этой классификаціи; одни авторы обращаютъ при подраздѣленіи дѣйствій главное вниманіе на сущность и смыслъ дѣйствія, другіе— на способъ его производства; одни считаютъ опредѣляющимъ моментомъ цѣль дѣйствія, другіе выдвигаютъ на первый планъ характеръ данныхъ и искомаго и зависимость между ними.

Много спорнаго и въ вопросѣ о порядкѣ и послѣдовательности различныхъ упражненій, необходимыхъ для всесторонняго знакомства съ дѣйствіями. Одни методисты считаютъ нужнымъ познакомить дѣтей сразу со всѣми случаями примѣненія того или другого дѣйствія, другіе рекомендуютъ въ этомъ отношеніи строгую постепенность и послѣдовательность, третьи думаютъ, что нѣкоторые виды дѣйствій совсѣмъ не подлежатъ разсмотрѣ-

*) Sterner. Geschichte der Rechenkunst. Стр. 515.

нію въ элементарномъ курсѣ*). Особенно много разногласія возбуждаетъ вопросъ о дѣленіи: большинство русскихъ методистовъ считаютъ дѣленіе на равныя части болѣе простымъ и доступнымъ дѣтскому пониманію видомъ дѣленія, чѣмъ кратное сравненіе; многіе нѣмецкіе авторы методикъ наоборотъ предлагаютъ начинать изученіе дѣленія именно съ дѣленія по содержанію, такъ какъ его производство непосредственно сводится къ послѣдовательному вычитанію; третьи наконецъ стараются убѣдить, что всякіе „виды“ дѣленія только путаютъ и затрудняютъ дѣтей и что гораздо проще выяснить общее понятіе о дѣленіи, какъ о дѣйствіи обратномъ умноженію**).

Наконецъ нѣтъ между методистами полнаго согласія и относительно обученія производству дѣйствій: знакомить-ли дѣтей съ однимъ пріемомъ производства дѣйствій или съ нѣсколькими? производить вычитаніе путемъ отсчитыванія или дополненіемъ вычитаемаго до уменьшаемаго? съ какими пріемами сокращеннаго производства дѣйствій нужно познакомить учащихся? но сколько и въ чемъ именно нужно требовать сознательнаго отношенія къ производству дѣйствій? все это вопросы, которые еще ждутъ своего рѣшенія.

(Окончаніе слѣдуетъ).

О согласованіи программъ въ средней и высшей школахъ***).

К. А. Поссе. С.-Петербургъ.

Подъ согласованіемъ программъ въ средней и высшей школахъ я понимаю такую постановку преподаванія, которая обезпечивала бы учащимся по возможности плавный переходъ отъ ученія въ одной къ ученію въ другой.—Подробная разработка этой темы не укладывается въ рамки краткаго доклада и превосходитъ силу и компетенцію одного лица; поэтому я ограничусь лишь установленіемъ нѣкоторыхъ положеній, на которыхъ, по моему мнѣнію, должна основываться такая разработка, и краткимъ изложеніемъ такихъ соображеній, которыя привели меня къ постановкѣ этихъ положеній.

Вопросъ о согласованіи программъ Математики въ средней и высшей школахъ нельзя разсматривать независимо отъ вопроса объ измѣненіи этихъ программъ. Дѣйствующія въ настоящее время программы (я говорю пока только о мужскихъ школахъ) уже со-

*) Такъ, напр., г.г. Мрочекъ и Филипповичъ утверждаютъ, что „не слѣдуетъ говорить дѣтямъ, что вычесть значитъ уменьшить, а умножить увеличить. Лучше объ этомъ умолчать“. Педагогика математики. Стр. 225.

**) Изъ русскихъ авторовъ приблизительно такъ смотрятъ на дѣленіе г.г. Мрочекъ и Филипповичъ, утверждая, что „дѣленіе существуетъ только одно, какъ въ наукѣ, такъ и въ жизни, а именно дѣленіе но содержанію“ Педагогика матем. стр. 224.

***) Докладъ, прочитанный на 1-мъ съѣздѣ преподавателей математики 3-го января 1912 г. профессоромъ Константиномъ Александровичемъ Поссе.

гласованы между собою, по крайней мѣрѣ въ томъ отношеніи, что отъ поступающихъ въ высшую школу оффиціально не требуется свѣдѣній, выходящихъ за предѣлы программы средней.

Вопросъ о согласованіи программъ возникъ лишь потому, что традиціонныя программы считаются уже не соотвѣтствующими требованіямъ времени и подлежащими измѣненіямъ. Вслѣдствіе этого намъ и придется остановиться, главнымъ образомъ на вопросѣ объ этихъ измѣненіяхъ и тѣсно связанномъ съ ними вопросѣ о постановкѣ самого преподаванія.

Въ общей системѣ образованія юношества средняя школа играетъ двоякую роль. Съ одной стороны это общеобразовательная школа, которая должна дать ученикамъ законченное до извѣстной степени образованіе, не предрѣшая вопроса о характерѣ ихъ дальнѣйшей дѣятельности, и въ этомъ состоитъ, конечно, главная ея задача. Но на ряду съ этимъ она есть школа подготовительная къ высшей, дающая послѣдней главный контингентъ учащихся.

Поступающій въ высшую школу по необходимости долженъ выбрать тотъ или другой спеціальный циклъ наукъ. Явно или неявно высшая школа предъявляетъ къ нему опредѣленныя требованія, зависящія отъ сдѣланнаго имъ выбора. Различный характеръ этихъ требованій играетъ существенную роль въ занимающемъ насъ вопросѣ, и на него я прошу обратить ваше вниманіе. Все, что мнѣ пришлось слышать на нашемъ съѣздѣ по вопросу объ измѣненіи программъ Математики въ средней школѣ, почти исключительно относилось къ ея общеобразовательнымъ задачамъ. О способахъ удовлетворить спеціальнымъ требованіямъ высшей школы было сказано очень мало. Я объясняю себѣ это тѣмъ, что, повидимому, господствуетъ мнѣніе, будто средняя школа, правильно выполняющая свои общеобразовательныя задачи, тѣмъ самымъ удовлетворитъ и требованіямъ высшей. Съ этимъ мнѣніемъ я согласиться не могу и постараюсь доказать, что оно не вполнѣ справедливо.

Остановимся, прежде всего, на слѣдующемъ вопросѣ, отъ рѣшенія котораго зависятъ всѣ дальнѣйшія заключенія. Имѣетъ ли высшая школа право требовать отъ желающихъ въ нее попасть какія-нибудь спеціальныя требованія, опредѣляемыя выборомъ извѣстнаго цикла наукъ, или она должна примѣняться къ той подготовкѣ, которую даетъ средняя школа, имѣющая въ виду однѣ общеобразовательныя цѣли? Я думаю, что въ этомъ правѣ высшей школѣ отказать нельзя, и что фактически она всегда имъ пользовалась и не можетъ не пользоваться. Это не противорѣчитъ сказанному мною въ началѣ о внѣшнемъ согласованіи программъ средней и высшей школы. Изъ того, что спеціальныя требованія высшей школы не выражены явно, не слѣдуетъ, что онѣ не существуютъ. Онѣ существуютъ несомнѣнно, но иногда въ скрытой формѣ, и благодаря этому вводятъ многихъ въ заблужденіе.

Ежегодно многіе молодые люди, поступивъ на физико-математическій факультетъ Университета, весьма скоро убѣждаются въ томъ, что они недостаточно подготовлены, чтобы слѣдить за университетскимъ преподаваніемъ, и переходятъ на другіе фа-

культеты; и счастливы тѣ изъ нихъ, кто приходитъ къ этому убѣжденію, потерявъ лишь одинъ или два семестра. Менѣе счастливые или менѣе проницательные продолжаютъ съ грѣхомъ пополамъ удовлетворять снисходительнымъ требованіемъ университетскихъ экзаменовъ и кончаютъ курсъ, пріобрѣтая лишь поверхностныя и непрочныя познанія, которыми въ жизни воспользоваться не могутъ. Лишь немногіе, наиболѣе одаренные, сами пополняютъ недочеты своей подготовки, однако не безъ значительной потери въ экономіи своихъ силъ.

Поступающіе въ высшія техническія школы оказываются еще въ худшемъ положеніи. Пройдя черезъ горнило конкурсныхъ испытаній, къ которымъ ихъ готовитъ не средняя школа, а нарочито для этого устроенныя заведенія, или заполучивъ золотую медаль и поступая по конкурсу аттестатовъ, они попадаютъ въ школу, предъявляющую имъ требованіе въ 4, а иногда и въ 3 семестра (точнѣе говоря триместра) изучить высшую Математику въ объемѣ, необходимомъ каждому ученому инженеру. Требованіе невыполнимое и анормальное, но тѣмъ не менѣе существующее.

Переходя ко второй части нашего вопроса, т. е. спрашивая, не можетъ ли высшая школа сама организовать свое преподаваніе такъ, чтобы оно было доступно всякому, успѣшно окончившему общеобразовательную среднюю школу, замѣчу слѣдующее: учебные планы Университетовъ дѣйствительно даютъ, какъ уже я сказалъ раньше, студенту возможность использовать свободное отъ текущихъ занятій время на пополненіе недочетовъ его подготовки, но само университетское преподаваніе несомнѣнно страдаетъ отъ того, что по необходимости считается съ невысокимъ уровнемъ познаній учениковъ средней школы.

Почти цѣликомъ первые два года на физико-математическихъ факультетахъ посвящаются преподаванію такихъ предметовъ по Математикѣ, которые, и иногда въ большомъ объемѣ, преподаются ученикамъ старшихъ классовъ французскихъ лицеевъ. Это обстоятельство, конечно, препятствуетъ поднять уровень университетскаго преподаванія на ту высоту, на которой оно могло бы стоять при другихъ условіяхъ.

Переходя къ высшимъ техническимъ школамъ, мы встрѣчаемся съ полною невозможностью, безъ помощи средней школы, организовать преподаваніе Математики и Механики такъ, какъ того требуютъ задачи современной, дѣйствительно высшей, технической школы. Необходимость солидныхъ математическихъ познаній не отрицается самими техниками: вспомнимъ привѣтственную телеграмму Предсѣдателя ИМПЕРАТОРСКАГО Техническаго Общества. Объемъ этихъ необходимыхъ познаній постоянно растетъ вмѣстѣ съ развитіемъ научной техники*). Между тѣмъ, даже при нормальной постановкѣ преподаванія теоретическихъ предметовъ въ стѣнахъ высшей технической школы, она не можетъ не сосре-

*) Ученый инженеръ-электрикъ, напримѣръ, долженъ быть знакомъ съ рядами Фурье, интегрированіемъ уравненій Математической Физики и т. п. статьи, которыя еще сравнительно недавно не входили даже въ программу университетскаго преподаванія.

доточить это преподаваніе на промежутокъ времени въ два, много два съ половиною года. Я полагаю, никто не станетъ отрицать, что основательное изученіе этихъ предметовъ въ столь короткій срокъ, безъ спеціальной подготовки въ средней школѣ, невозможно.

Придя, такимъ образомъ, къ заключенію, что лишить высшую школу права предъявлять спеціальныя требованія нельзя, и въ то-же время, нельзя ее обязать приноровить организацію преподаванія въ своихъ стѣнахъ къ несовершенной подготовкѣ учениковъ средней школы, я ставлю вопросъ:

Можно ли составить такую программу Математики въ средней школѣ, которая удовлетворяла бы и общеобразовательнымъ задачамъ ея и спеціальнымъ требованіямъ высшей школы. Я утверждаю, что общей, обязательной для всѣхъ учениковъ, программы такого рода, составить невозможно. Я не оспариваю возможности ввести въ курсъ средней школы нѣкоторыя свѣдѣнія изъ Аналитической Геометріи и такъ называемаго высшаго Анализа, не оспариваю и общеобразовательнаго значенія такого обновленія и оживленія преподаванія Математики. Вышеупомянутыя свѣдѣнія нужны, въ настоящее время, не только будущимъ математикамъ, инженерамъ и физикамъ, они нужны и натуралистамъ и медикамъ и полезны всякому образованному человѣку.

Но я глубоко убѣжденъ, что введеніе этихъ предметовъ въ томъ объемѣ, который доступенъ всѣмъ ученикамъ и сообразованъ съ общеобразовательнымъ характеромъ школы, не будетъ достаточнымъ для удовлетворенія требованіямъ высшихъ школъ, построенныхъ на математическихъ основахъ. Для будущихъ математиковъ и инженеровъ средняя школа должна дать систематическіе курсы Аналитической Геометріи и Анализа, посвятить имъ значительное время и избрать строго научное ихъ изложеніе. Само собою разумѣется, что немыслимо сдѣлать такіе курсы общеобязательными.

Всѣ вышеизложенныя соображенія привели меня къ установленію нижеслѣдующихъ положеній:

1. Наиболѣе раціональнымъ способомъ удовлетворить требованіямъ высшей школы, не вступая въ конфликтъ съ общеобразовательными цѣлями средней школы, является раздѣленіе курса Математики на общій, обязательный для всѣхъ, и спеціальный, обязательный для тѣхъ, кто желаетъ поступить на математическое отдѣленіе физико-математическаго факультета или въ высшую техническую школу.

Такая постановка преподаванія Математики уже осуществлена въ средней школѣ Франціи и въ главныхъ чертахъ и въ Скандинавіи.

2. Спеціальный курсъ Математики долженъ изучаться въ спеціальныхъ математическихъ классахъ, вмѣстѣ съ новыми языками, знаніе которыхъ для математики необходимо.

3. При составленіи программъ, какъ общаго, такъ и спеціальнаго курса Математики можно положить въ основу учебные планы и программы французскихъ школъ [Plans d’études et programmes

de l’enseignement secondaire 1902—9], разработанные въ теченіе многихъ лѣтъ при участіи представителей высшей и средней школы.

4. Дѣйствительнаго, а не формальнаго согласованія программъ въ средней и высшей школахъ лучше всего можно достигнуть при такой организаціи школы, которая допускаетъ спеціализацію преподаванія въ старшихъ классахъ средней школы, пріуроченную къ индивидуальнымъ способностямъ учащихся.

Все вышеуказанное относится къ мужскимъ школамъ.

Позвольте мнѣ теперь сказать нѣсколько словъ о преподаваніи Математики въ женскихъ школахъ.

Русская женщина, болѣе чѣмъ какая-нибудь другая, показала, что мнѣніе о недопустимости усвоенія высшей математики женскому уму не болѣе, какъ предразсудокъ. Существованіе и постоянное развитіе высшихъ женскихъ курсовъ въ нѣсколькихъ городахъ Россіи служитъ непосредственнымъ тому доказательствомъ. Но между программами Математики средней и высшей женскихъ школъ нѣтъ и того внѣшняго согласованія, которое мы видѣли въ мужской школѣ. Въ то время, какъ программы высшихъ курсовъ все болѣе приближаются къ университетскимъ, программы женскихъ гимназій остаются, вообще говоря, много ниже мужскихъ. Я не рѣшился-бы въ настоящее время защищать полное уравненіе программъ Математики въ мужскихъ и женскихъ гимназіяхъ, но самымъ рѣшительнымъ образомъ привѣтствую путь, на который въ послѣднее время стали нѣкоторыя женскія 8 - ми классныя гимназіи, путь спеціализаціи преподаванія въ старшемъ классѣ, причемъ въ изучаемыя тамъ спеціальности вошла и Математика. Эти классы и даютъ главный контингентъ учащихся на математическомъ отдѣленіи высшихъ женскихъ курсовъ. Стать на этотъ путь я и приглашаю всѣ среднія школы, мужскія и женскія.

Заканчивая мой краткій докладъ, считаю долгомъ заявить слѣдующее:

Изъ статьи В. Б. Струве, напечатанной еще въ 1894 году въ Техническомъ Образованіи, я узналъ, что выставленныя мною положенія были имъ уже высказаны 20 лѣтъ тому назадъ въ собраніи преподавателей Математики въ томъ самомъ помѣщеніи, гдѣ мы сегодня собрались. Съ разрѣшенія организаціоннаго Комитета съѣзда я обратился къ В. Б. Струве съ просьбою прочесть докладъ по этому-же вопросу, которому посвященъ и мой, на что

В. Б. любезно согласился.

То обстоятельство, что В. Б. Струве въ теченіе истекшихъ 20 лѣтъ не отказался отъ своихъ положеній и собирается подкрѣпить ихъ аргументами, почерпнутыми изъ его долгаго педагогическаго опыта, даетъ мнѣ основаніе думать, что наши положенія основаны на правильномъ педагогическомъ принципѣ, и, рано или поздно, перейдутъ изъ области мечтаній въ область дѣйствительности, какъ это уже имѣетъ мѣсто въ странѣ Математики par excellence.

Къ вопросу о согласованіи программъ математики въ средней и высшей школѣ*).

В. Б. Струве. (t).

Намъ, педагогамъ, многое ставится въ вину, насъ во многомъ упрекаютъ. Не берусь судить, насколько справедливы тѣ многочисленные упреки, которые дѣлаются школѣ, но въ одномъ, мнѣ кажется, мы можетъ себя дѣйствительно упрекнуть. Есть область, въ которой у насъ, по общей ли человѣческой слабости, или по какой-либо другой причинѣ, слово особенно рѣзко расходится съ дѣломъ. Мы очень много говоримъ о переутомленіи, о вредѣ многопредметности, о необходимости концентрировать обученіе на основательномъ изученіи немногаго (классическое non multa sed inultum), о важности индивидуализаціи. На ряду съ этимъ мы не дѣлаемъ ни одного шага, чтобы осуществить свои пожеланія, и при составленіи нашихъ учебныхъ плановъ идемъ какъ разъ вразрѣзъ съ ними. Всякому кто принималъ когда-нибудь участіе въ составленіи табели средней школы того или другого типа, хорошо извѣстно, какъ представители каждаго изъ многочисленныхъ предметовъ, входящихъ въ курсъ средней школы, стараются отвоевать себѣ возможно большее число часовъ и остаются въ окончательномъ счетѣ недовольными, такъ какъ возможное число часовъ оказывается недостаточнымъ. За 33 года моей работы въ школахъ самаго разнообразнаго типа, какъ средней, такъ и высшей, я не припомню случая, чтобы я былъ свидѣтелемъ или участникомъ сокращенія числа предметовъ, или сокращенія программъ. Обратное происходитъ постоянно: число предметовъ увеличивается, программы расширяются. Мы не можетъ, если не захотимъ быть неискренними, отрицать этого несомнѣннаго факта несоотвѣтствія между нашимъ словомъ и нашимъ дѣломъ. Результаты, которые получаются, т. е. уровень общеобразовательной подготовки абитуріентовъ среднихъ школъ, не должны повышаться при наличіи такого противорѣчія слова съ дѣломъ, если слова наши говорятся не на вѣтеръ, если они дѣйствительно продуманы; если они выражаютъ сумму нашихъ наблюденій и нашего знанія. Это ясно à priori и подтверждается на опытѣ. Сѣтованія на недостаточность общеобразовательной подготовки учащихся вы можете услышать въ каждой высшей школѣ, и притомъ сѣтованія не голословныя, а подтверждаемыя документальными данными. Они подтверждаются тѣми изумительными сочиненіями, которыя пишутъ абитуріенты на конкурсныхъ испытаніяхъ, они подтверждаются тѣмъ фактомъ, что весьма небольшой процентъ поступающихъ въ высшія спеціальныя школы справляется даже съ очень скромнымъ minimum’омъ, требуемымъ для зачета перваго года по математикѣ, подтверждаются

*) Докладъ прочитанный на 1-мъ съѣздѣ преподавателей математики 3-го января 1912 года покойнымъ директоромъ Константиновскаго Межевого Института Василіемъ Бернгардовичемъ Струве.

единодушнымъ отзывомъ лицъ, ведущихъ практическія занятія по математикѣ въ различныхъ высшихъ учебныхъ заведеніяхъ. Два основныхъ предмета школы — родной языкъ и математика поставлены такъ, что оставляютъ желать много лучшаго, выражаясь возможно сдержанно. Приписывать это явленіе несовершенству методовъ преподаванія, недостаточной требовательности въ средней школѣ, или несовершенству способовъ оцѣнки познаній учащихся было бы, я думаю, неосновательно, если на лицо имѣется основная причина—противорѣчіе дѣйствительнаго положенія дѣла тѣмъ принципамъ, передъ которыми мы сами преклоняемся и которымъ мы при всякомъ удобномъ случаѣ свидѣтельствуемъ свое почтеніе. Положеніе юноши на рубежѣ средней и высшей школы я позволилъ - бы себѣ характеризовать такъ: переходъ изъ одного водоворота многопредметности и разбросанности мысли въ другой.

Я позволю себѣ далѣе утверждать, Милостивые Государи, что какъ - бы мы ни старались совершенствовать наши методы преподаванія, какъ-бы мы ни старались приспособлять наши программы къ современному уровню науки, какъ-бы строго мы ни относились съ самимъ себѣ и къ учащимся, но до тѣхъ поръ, пока мы не дадимъ возможности учащемуся на извѣстной ступени его развитія сосредоточиться на небольшомъ циклѣ дисциплинъ, соотвѣтствующемъ его индивидуальному духовному складу, мы не достигнемъ у него той умственной зрѣлости и силы, которая необходима для успѣшнаго прохожденія высшей школы.

Авторъ настоящаго доклада около двадцати лѣтъ тому назадъ, послѣ внимательнаго ознакомленія на мѣстѣ съ постановкой преподаванія математики въ парижскихъ лицеяхъ, высказалъ въ стѣнахъ этого самаго Педагогическаго Музея, гостепріимно открывшаго намъ свои двери, свое убѣжденіе, что французская система спеціальныхъ математическихъ классовъ (тогда—classe de mathématiques élémentaires и classe de mathématiques spéciales, по теперешнему обозначенію—classe de mathématiques и classe de mathématiques spéciales) наилучшимъ образомъ обезпечиваетъ математическую подготовку поступающихъ въ высшія спеціальныя школы.

За истекшія двадцать лѣтъ и собственный опытъ преподаванія и продолжительное наблюденіе за преподаваніемъ въ одной изъ высшихъ спеціальныхъ школъ, и соображенія теоретическія только укрѣпили во мнѣ высказанное въ то время убѣжденіе. Разница однако большая между тогда и теперь. Тогда я увлекался единственно тою мыслью, что, какъ я старался показать, только при французской системѣ есть мѣсто въ средней школѣ для дѣйствительной культуры элементарной математики. Теперь я защищаю свои положенія не только въ интересахъ преподаванія математики, но и въ интересахъ общеобразовательнаго курса средней школы вообще, въ интересахъ духовнаго здоровья нашей молодежи въ тѣ критическіе годы ея развитія, когда она стоитъ на распутьи, и когда вопросъ самоопредѣленія, вопросъ „выбора факультета" является для нея роковымъ и часто опредѣляющимъ неправильно и сумбурно все будущее индивидуума.

Мое утвержденіе, что культура элементарной математики находится во Франціи въ наиболѣе благопріятныхъ условіяхъ, подкрѣпляется въ настоящее время рядомъ новыхъ данныхъ. На этихъ дняхъ вы изволили выслушать, Милостивые Государи, глубоко-интересный докладъ М. Г. Попруженко о введеніи анализа безконечно малыхъ въ курсъ средней школы, введеніи, которое докладчикъ назвалъ однимъ изъ важнѣйшихъ культурныхъ пріобрѣтеній школы XX вѣка. Докладчикъ справедливо указалъ, что иниціатива этого введенія принадлежитъ французской математической школѣ. Переходя далѣе къ оцѣнкѣ учебной литературы по этому предмету, М. Г. Попруженко отдалъ рѣшительное предпочтеніе французскимъ учебникамъ передъ нѣмецкими. Оно и понятно: при французской системѣ есть возможность дать строгое научное изложеніе на своемъ мѣстѣ (Bourlet) и заложить основныя идеи при преобладаніи психологическихъ моментовъ надъ логическими на своемъ (Borel). Профессоръ Клейнъ точно также указываетъ своимъ соотечественникамъ на примѣръ учебной литературы зарейнскихъ сосѣдей. Не подлежитъ сомнѣнію, что и обратное вліяніе то-же велико. Двадцать лѣтъ тому назадъ преподаватели французскихъ лицеевъ совсѣмъ не занимались вопросами методики преподаванія, и органъ, посвященный этимъ вопросамъ, журналъ „l'Enseignement mathématique“ праздновалъ въ прошломъ году лишь десятилѣтіе своего существованія. Чѣмъ объяснить такое равнодушіе? Я объясняю его ничѣмъ инымъ, какъ полной обезпеченностью собственно математическаго преподаванія и математической подготовки при наличіи спеціальныхъ математическихъ классовъ. Мы знаемъ однако, что за послѣднее десятилѣтіе, когда интересъ къ общепедагогическимъ вопросамъ значительно поднялся во Франціи, общеобразовательный курсъ математики подвергся у нихъ тщательной переработкѣ.

Возвращаюсь къ основной мысли моего доклада и къ практическимъ изъ нея выводамъ. Я полагаю, что на высшей ступени средней школы нужно дать молодымъ людямъ возможность углубиться въ ту область идей, къ которой они намѣрены приложить свои силы въ высшей школѣ. Эта мысль при ея осуществленіи на практикѣ должна быть проведена не только по отношенію къ будущимъ слушателямъ математическаго отдѣленія физико-математическаго факультета и высшихъ техническихъ школъ, но и по отношенію къ будущимъ натуралистамъ, медикамъ, юристамъ и филологамъ съ соотвѣтствующими, конечно, модификаціями. Для полнаго развитія моей мысли и иллюстраціи ея практическими предложеніями потребовался - бы докладъ несравненно большаго объема, чѣмъ тотъ, который я могу предложить вашему вниманію. Соотвѣтственно задачамъ нашего съѣзда и предѣламъ нашей компетенціи я могу говорить теперь только о желательности математическихъ классовъ, какъ вѣнца зданія средней школы для тѣхъ ея учащихся, которые ищутъ, высшаго математическаго, или построеннаго на высшей математикѣ высшаго техническаго образованія. Предложеніе мое затрагиваетъ однако общій для всѣхъ, независимо отъ выбора спеціальности, курсъ средней школы въ

двухъ развѣтвленіяхъ. Во-первыхъ, возникаетъ вопросъ, съ какого класса начать раздѣленіе на спеціальности. Во-вторыхъ, естественно возникаетъ вопросъ объ объемѣ и характерѣ курса математики въ общихъ классахъ при существованіи спеціальныхъ математическихъ классовъ. Какъ тотъ, такъ и другой вопросы требуютъ конечно всесторонней и тщательной разработки и въ настоящемъ докладѣ не только не могутъ быть исчерпаны, но даже въ общихъ чертахъ намѣчены: если основная мысль будетъ признана, то эти вопросы должны пройти черезъ горнило коллективной педагогической мысли, чтобы быть очищенными отъ шлаковъ субъективизма. Сдѣлаю по этому поводу только только два замѣчанія. При разработкѣ обоихъ вопросовъ педагоги не будутъ стоять передъ tabula rasa, на которой имъ придется писать результаты одного педагогическаго творчества и вдохновенія. Пособіемъ, но отнюдь не обязательнымъ руководствомъ, будетъ служить тщательно выработанная и проведенная уже въ жизнь французская система средняго образованія.. Второе замѣчаніе существенно связано съ моими дальнѣйшими разсужденіями и касается вопроса о продолжительности курса средней школы. Французская система средней школы строитъ два математическихъ класса на фундаментѣ шести общихъ, не считая приготовительныхъ. У насъ повидимому имѣется тенденція къ установленію такой-же продолжительности, т. е. восьмилѣтней, для курса средней школы съ уравненіемъ ея для гимназій и реальныхъ училищъ. Я лично сочувствую тому, чтобы продолжительность эта не возрастала, и чтобы общій курсъ можно было помѣстить въ 6 классахъ. Допуская однако то, необходимость чего я лично не предусматриваю безусловно, т. е. что общій курсъ потребуетъ для себя не шести, а семи классовъ, и что продолжительность курса средней школы возрастетъ до 9 лѣтъ по примѣру германской, я позволяю себѣ утверждать, что продолжительность пребыванія въ средней и высшей школѣ въ совокупности отъ этого всетаки не возрастетъ, а имѣетъ даже шансы на сокращеніе сравнительно съ существующей. Къ этому убѣжденію приводятъ меня данныя о продолжительности пребыванія студентовъ въ высшихъ учебныхъ заведеніяхъ. Студенты, которые кончали - бы курсъ высшей школы въ число лѣтъ, опредѣленное нормальнымъ учебнымъ планомъ, составляютъ исключеніе. При другомъ уровнѣ и характерѣ подготовки это должно измѣниться, такъ какъ облегчится и упорядочится задача какъ средней, такъ и высшей школы.

Послѣ этихъ двухъ замѣчаній позвольте пойти дальше и, чтобы не разбрасывать вниманія, pour fixer les idées, какъ говорятъ французы, позвольте предположить, что основная мысль моя осуществлена и математическіе классы существуютъ. Посмотримъ, что можетъ выиграть отъ этого математическое преподаваніе въ средней школѣ, и что дастъ этотъ порядокъ высшей? Что наконецъ это дастъ для полезнаго взаимодѣйствія обѣихъ? Въ высшую ступень средней школы, въ математическіе классы, перейдетъ значительная и существенная часть элементовъ высшей математики въ ихъ вполнѣ научной формѣ и въ томъ приблизи-

тельно объемѣ, въ которомъ они нынѣ читаются на обязательныхъ лекціяхъ двухъ первыхъ годовъ учебнаго плана высшихъ техническихъ школъ и отчасти математическаго факультета университета. Не поставленныя въ положеніе воюющей державы, въ какомъ эти элементы находятся въ средней девятилѣтней школѣ германскаго типа по отношенію къ равноправнымъ humaniora и естествознанію, и во всѣхъ высшихъ нашихъ и германскихъ спеціальныхъ школахъ по отношенію къ техническимъ предметамъ, они могутъ вылиться въ ту строгую, изящную и чарующую форму, въ которой они намъ знакомы уже давно по классическимъ руководствамъ, предназначеннымъ для classe de mathématiques élémentaires и classe de mathématiques spéciales, руководствамъ, находящимся всегда въ соотвѣтствіи съ консолидированнымъ уровнемъ современной науки. Ученики средней школы находясь еще въ общихъ классахъ, будутъ знать о существованіи этой науки въ своихъ-же стѣнахъ, будутъ оріентированы до нѣкоторой степени въ ея розахъ и шипахъ, а перейдя въ самые математическіе классы будутъ имѣть возможность испытать свои умственныя силы и вкусы на серьезной и тяжелой работѣ, условія которой существенно отличны отъ условій работы на младшихъ курсахъ высшей школы. Преподавательскій персоналъ средней школы совершенно иначе можетъ тогда осмысливать и проводить въ жизнь тотъ запасъ математическихъ идей, который мы считаемъ нужнымъ сдѣлать уже общимъ достояніемъ, которымъ долженъ быть проникнутъ курсъ общихъ классовъ. Въ то-же время этотъ преподавательскій персоналъ не будетъ обреченъ на одну популяризацію математическихъ идей, на одну пропедевтику, а будетъ работать надъ изложеніемъ и усвоеніемъ ихъ въ строго научной формѣ, почерпая изъ этого источника и постоянное живое общеніе съ наукой и путеводную нить для построенія общаго курса. Пропасть между средней и высшей школами будетъ заполнена, и заполнена такъ, что откроется широкая дорога для дѣйствительныхъ талантовъ, весьма часто гибнущихъ въ сумбурѣ школьнаго строя. Упомянутая пропасть существуетъ не только у насъ. На нее, какъ намъ извѣстно сѣтуетъ и профессоръ Клейнъ, который на ея заполненіе посвятилъ уже болѣе двадцати лѣтъ упорнаго труда. Мнѣ представляется, что эта перспектива и притомъ не гипотетическая, а имѣющая себѣ уже подтвержденіе въ вѣковомъ опытѣ, должна встрѣтить только сочувствіе преподавателей математики какъ съ общепедагогической, такъ и со спеціально математической и, наконецъ съ бытовой точки зрѣнія. Рѣчь идетъ о томъ, чтобы зажечь свѣточъ нашей науки не только въ сравнительно немногихъ университетскихъ городахъ, но и въ многочисленныхъ темныхъ и отдаленныхъ углахъ нашего отечества. Что можетъ дать этотъ порядокъ для высшей технической школы, для университета? Онъ можетъ, какъ я думаю, освободить эти учрежденія отъ тѣхъ задачъ, которыя имъ несвойственны и справляться съ рѣшеніемъ которыхъ имъ всего труднѣе. Онъ дастъ имъ совершенно иначе подготовленный и дѣйствительно зрѣлый, сознательный контингентъ слушателей, который можетъ

быть прямо поставленъ in médias res, въ самую суть спеціальной работы безъ всякихъ прелиминарій, которыя теперь являются источникомъ массы огорченій. Не нужно думать, чтобы эти огорченія составляли нашу русскую особенность, частное проявленіе нѣкоторой неустойчивости нашего жизненнаго уклада. Въ исторіи преподаванія математики въ высшихъ спеціальныхъ школахъ Германіи мы встрѣчаемся съ тѣхъ - же явленіемъ, которое получило тамъ даже терминъ Anti-Mathématik Bewegung—противо-математическое движеніе. Это настоящая война спеціальныхъ техническихъ предметовъ съ чистой математикой на почвѣ черезполосности ихъ общей территоріи. Учащіеся спеціальныхъ высшихъ техническихъ школъ имѣютъ вездѣ опредѣленныя утилитарныя тенденціи, и о томъ, какъ нелегко впрячь ихъ въ оглобли строгой математической подготовки, могутъ вамъ пересказать многое присутствующіе здѣсь профессора. Я не боюсь впасть въ преувеличеніе сказавъ, что огромное большинство студентовъ техниковъ въ этой области стараются какъ можно меньшему научиться и какъ можно основательнѣе позабыть. Отсюда и Anti—Mathematik Bewegung, въ которой студенты нашли союзниковъ въ профессорахъ-техникахъ и которая послужила въ Германіи толчкомъ къ возможной конкретизаціи математическаго преподаванія, къ возможно тѣсному сліянію его съ преподаваніемъ техническимъ путемъ постоянныхъ экскурсій въ область приложеній. Я лично не думаю, чтобы это само по себѣ полезное и плодотворное въ дидактическомъ смыслѣ направленіе могло существенно помочь злу, основы котораго я старался формулировать въ началѣ доклада. Основаніямъ аналитической геометріи, основаніямъ анализа со включеніемъ техники дифференцированія и интегрированія функцій и даже нѣкоторыхъ случаевъ интегрированія уравненій, основаніямъ аналитической механики, основаніямъ начертательной геометріи гораздо лучше можно научить въ математическихъ классахъ, чѣмъ на первыхъ двухъ курсахъ высшей школы при наличіи той черезполосности, которая въ нихъ неизбѣжно существуетъ, и при условіи соотвѣтственной подготовки преподавателей. Если система, предлагаемая мною, будетъ проведена съ достаточной планомѣрностью и осмотрительностью (а безъ этихъ свойствъ никакая, самая стройная система не можемъ имѣть успѣха), то органически должна улучшиться и научная подготовка преподавателей средней школы. Эта послѣдняя страдаетъ у насъ отъ той-же причины, которую профессоръ Клейнъ мѣтко охарактеризовалъ системой двойного забвенія: сначала, поступивъ въ высшую школу, ты долженъ забыть все, чему тебя учили въ средней; потомъ, поступивъ преподавателемъ въ среднюю, ты долженъ забыть все, чему научился въ высшей. Уничтоженіе искусственной пропасти, создавшейся между математикой средней и высшей школы, уничтоженіе вредной черезполосности, образовавшейся въ пограничныхъ областяхъ обѣихъ, созданіе свободной территоріи, на которой могла-бы мысль учащаго и учащагося углубиться безпрепятственно въ величайшія созданія человѣческаго творчества, — вотъ то, чего я ожидалъ-бы

отъ принятія и проведенія въ жизнь защищаемыхъ мною положеній.

Я скажу немного относительно одного возраженія, которое можетъ быть мнѣ сдѣлано, относительно опасенія ранней спеціализаціи и сокращенія общеобразовательнаго курса. Милостивые Государи, наши дѣды спеціализировались въ гораздо болѣе раннемъ возрастѣ, и право это было не худо. Не слѣдуетъ забывать, что ранняя спеціализація нашихъ дѣдовъ происходила при условіяхъ, когда общее теченіе жизни давало гораздо менѣе стимуловъ и матеріала для поднятія и развитія общаго кругозора, когда не было того развитія общественной и политической жизни, какое мы имѣемъ теперь Не будемъ-же бояться этой не ранней, а своевременной спеціализаціи, при которой мы дѣйствительно научимъ нашу молодежь настоящему дѣлу и дадимъ ей возможность полюбить нашу науку.

Еще одно возраженіе, которое я могу предвидѣть. Тѣ, кто разочарованъ въ нашей средней школѣ и предубѣжденъ противъ нея, могутъ высказать опасеніе, что, вручая средней школѣ обученіе основамъ высшей математики, университеты и высшія техническія школы разрушатъ свой фундаментъ и будутъ строить свое зданіе на пескѣ. Такіе голоса раздаваться будутъ. Позвольте сказать, что то, что я осмѣливаюсь предложить, диктуется естественнымъ ходомъ историческаго процесса въ строѣ школы. Прошу васъ развернуть очень старую, но вѣчно юную книгу Lacroix: Essay sur renseignement en général et celui des mathématiques en particulier, вышедшую въ началѣ XIX вѣка. Изъ нея вы узнаете, что въ росписаніи лекцій прусскихъ университетовъ въ началѣ прошлаго столѣтія значатся лекціи по Элементарной математикѣ— алгебрѣ, геометріи, тригонометріи. Германскій университетъ ввѣрилъ затѣмъ эти дисциплины средней школѣ и не разрушился. Правда, онъ жалуется теперь на „систему двойного забвенія“, но вѣдь я именно отъ этой системы предостерегаю. Теперь наступилъ моментъ, когда пора сдѣлать тоже съ новой совокупностью математическихъ идей, знаній и навыковъ, но сдѣлать этого такъ, какъ сдѣлано было сто лѣтъ назадъ, уже нельзя, не нарушая емкости общеобразовательнаго курса. Отсюда—необходимость созданія нейтральной территоріи — спеціальныхъ математическихъ классовъ.

Если - бы мы создали такіе классы, то спрашивается, какое мѣсто заняли - бы они формально въ іерархической лѣстницѣ учебныхъ заведеній. Я понимаю это такъ, что окончаніе шести, или, если-бы это оказалось необходимымъ, семи общеобразовательныхъ классовъ должно дать всѣ права окончанія курса средней школы, кромѣ права поступленія въ высшую. Желающій поступить на математическое отдѣленіе физико-математическаго факультета, или въ высшую техническую школу, долженъ окончить два спеціальныхъ математическихъ класса.

Въ заключеніе позвольте, Милостивые Государи, принести извиненіе уважаемымъ членамъ съѣзда въ томъ, что спѣшность составленія доклада, явившагося для меня нѣкоторой неожидан-

ностью, не позволила мнѣ дать ему ту полноту и обработку, которую заслуживала-бы избранная мною тема. Помимо тѣхъ пробѣловъ, которые мнѣ могутъ указать, я вижу многіе самъ, а одинъ въ особенности: мнѣ слѣдовало-бы предпослать настоящему докладу другой съ подробнымъ очеркомъ французской системы средняго образованія, остановиться на подробностяхъ программы. Если окажется, что основныя мысли моего доклада вызовутъ интересъ и не пройдутъ незамѣченными, я постараюсь при соотвѣтственномъ случаѣ восполнить этотъ существенный пробѣлъ. Восполнить его тѣмъ болѣе для меня обязательно, что я отнюдь не являюсь слѣпымъ поклонникомъ французской школы вообще, и взялъ примѣръ ея только какъ иллюстрацію педагогическихъ принциповъ, которымъ, какъ мнѣ кажется, мы поклоняемся въ теоріи и которые нарушаемъ на дѣлѣ.

Памяти В. Б. Струве.

(1854. VI—1912. I).

И. Александровъ. (Москва).

Въ наше несчастное, значительно оскудѣвшее гражданскими талантами, время было бы неестественно не упомянуть о человѣкѣ— гражданинѣ, равныхъ которому приходится теперь считать чуть ли не единицами. Послѣдніе три года я имѣлъ честь быть очень близкимъ къ покойному Василію Бернгардовичу Струве, моему Университетскому однокурснику. Въ силу этихъ причинъ я и посвящаю эти строки В. Б.

Директоръ Межеваго Института и его реорганизаторъ, основатель средней школы Московскаго Народнаго Университета, авторъ многихъ замѣчательныхъ докладовъ по различнымъ вопросамъ образованія, В. Б. былъ вообще широкимъ и крупнымъ дѣятелемъ въ области школы. Оставивъ біографію покойнаго*), я обращусь къ его личнымъ качествамъ.

Джентльменъ съ ногъ до головы, широко и основательно образованный, европейски культурный, парламентски сдержанный, органически неспособный на неделикатность, ко всѣмъ обращавшійся съ очень опытною, но открытою душою, В. Б. сразу обезпечивалъ себѣ видный постъ педагога и общественнаго дѣятеля. Но не эти, быть можетъ, необходимыя общественному дѣятелю качества мнѣ представлялись драгоцѣнными. Я разумѣю болѣе глубокія качества. То были, во первыхъ, изумительная твердость, царственная сила, съ которой выполнялъ покойный долгъ гражданина при всякихъ обстоятельствахъ, а, во вторыхъ, глубокое, проникающее все существо, пониманіе обязанностей гражданина. Въ силу этого, между прочимъ, политическія колебанія страны не

*) Подробная біографія В. Б. будетъ вскорѣ издана Константиновск. Межевымъ институтомъ въ видѣ особой книжки. Тамъ же будутъ напечатаны перечень его трудовъ и нѣкоторыя посмертныя замѣтки покойнаго.

оказывали вліянія на міросозерцаніе покойнаго, хотя практически онъ учитывалъ эти колебанія, быть можетъ, лучше, чѣмъ кто либо. Позволю себѣ привести нѣсколько фактовъ*), и мелкихъ, и крупныхъ.

Четыре года тому назадъ я работалъ на вечернихъ курсахъ для землемѣровъ при Межевомъ институтѣ; руководителемъ курсовъ былъ В. Б., часто посѣщавшій наши уроки. Тогда его старшій сынъ былъ тяжело боленъ; въ тотъ день, въ который доктора, какъ я узналъ потомъ, произнесли сыну смертный приговоръ, В. Б. былъ у меня на первомъ урокѣ. По окончаніи урока онъ мнѣ не только указалъ всѣ достоинства и недостатки моего урока, но не пропустилъ и одной мелочи въ моей записи, которую, какъ оказалось на слѣдующемъ урокѣ, не замѣтилъ ни одинъ изъ сотни слушателей. А между тѣмъ недавная смерть этого сына, превосходнаго молодого человѣка, 23 - хъ лѣтъ, быть можетъ, лучшаго воплощенія глубоко продуманныхъ и прочувствованныхъ педагогическихъ идей покойнаго, была, какъ многіе думаютъ, причиной гибели самого В. Б.—до того онъ былъ къ нему близокъ и привязанъ**).

Въ вопросѣ о забастовкахъ учащейся молодежи В. Б. сталъ на ту точку зрѣнія, что нужно прежде всего беречь образованіе Россіи. Онъ полагалъ, что при продолженіи забастовокъ мы останемся безъ интеллигентныхъ работниковъ, а чему это равносильно, безполезно доказывать. Вотъ почему въ послѣднюю забастовку, В. Б., имѣя полную возможность перейти на болѣе покойное и доходное мѣсто, работалъ день и ночь около трехъ недѣль вмѣстѣ съ достойными его помощниками. Это было что то невѣроятное; они доходили до полнаго изнеможенія; не было практической мѣры, которой бы они не обсудили и не попробовали примѣнить. Въ результатѣ забастовка совершенно не коснулась Межеваго института. Открывъ среднюю школу народнаго университета на основ. правилъ 4-го марта, покойный полагалъ, что его долгъ есть прежде всего выполненіе закона, каковъ бы онъ ни былъ, впредь до того времени, пока дѣло можно будетъ основать на другомъ законоположеніи. Поэтому, онъ, напр., не допускалъ даже такихъ мелочей, какъ внезапная перестановка лекцій. Это не нравилось нѣкоторымъ лицамъ, но только этимъ способомъ средняя школа народнаго университета осталась невредимою.

Укажу еще на необыкновенную отзывчивость и преданность покойнаго всякому разумному начинанію въ дѣлѣ просвѣщенія, на его громадную способность сейчасъ же горячо отдаваться этому дѣлу. Послѣ смерти сына, В. В. стали посѣщать очень мрачныя, несвойственныя его дѣятельной натурѣ, мысли; въ ноябрѣ 1911 года онъ мнѣ писалъ, что, собственно, могъ бы покончить разсчеты съ земною жизнью. И что-же? Когда въ концѣ декабря того же года

*) Извиняюсь въ томъ, что изъ множества фактовъ я выбираю такіе, которые не имѣли широкаго круга свидѣтелей. Я желалъ этимъ избѣгнуть различныхъ освѣщеній фактовъ.

**) В. Б. Струве скончался ровно черезъ 5 мѣсяцевъ послѣ смерти сына, болѣвшаго всего около 6 лѣтъ.

профессоръ К. А. Поссе, его искренній другъ и пріятель (это было во время съѣзда преподавателей математики въ Петербургѣ) указалъ В. Б., что практическое обоснованіе собственнаго доклада К. А. Поссе едва ли не лучше извѣстно В. Б., сей послѣдній, на глазахъ моихъ и дочери, въ двѣ-три ночи составилъ свой блестящій докладъ*) и прочиталъ его на съѣздѣ съ чисто юношеской увлекательностью. Онъ этимъ завѣщалъ намъ бодро смотрѣть въ будущее, не взирая ни на какія обстоятельства.

О покойномъ можно написать очень много, особенно, ознакомившись съ его посмертными бумагами. Но, думается, и сказаннаго достаточно, чтобъ понять, какую крупную потерю понесло въ покойномъ общество, какое громадное незамѣнимое пустое мѣсто оставилъ послѣ себя покойный въ сферѣ школы и въ душѣ всѣхъ, правильно понимавшихъ его замѣчательно чистую, монументальную нравственную фигуру.

Задачи.

19. Рѣшить уравненіе:

Н. Агрономовъ.

20. Рѣшить уравненіе:

(Его же).

21. Въ треугольникъ АВС вписаны три окружности такъ, что онѣ касаются вписанной окружности и двухъ сторонъ треугольника. Если ихъ радіусы суть sa, s^, sc, то

г — радіусъ вписаннаго круга.

(Его же).

*) Конечно, это было возможно только при той громадной эрудиціи и опытѣ, какіе имѣлъ покойный. Доклады К. А. Поссе и В. Б. Струве на тему „согласованіе программъ средней и высшей школы“ сдѣлались гвоздями всего съѣзда; я не побоюсь сказать, что оба эти. доклада по своей глубокой обоснованности должны бы имѣть государственное значеніе.

22. Стороны AB и ВС треугольника АВС пересѣчь окружностью, проходящей чрезъ В и пересѣкающей AB и ВС въ X и У такъ, чтобы отношенія АХ : ВУ и ВХ : СУ имѣли данныя значенія.

И. Александровъ.

23. Въ Л АВС провести отрѣзокъ ХУ, параллельный АС, такъ, чтобы ВХ±СУ была данной длины. Точка Аг—на J.B, рѣшеніе требуется безъ помощи алгебры.

(Его же).

24. Найти такія числа N и /с, чтобы ІѴЛ" и /е.іѴ изображались одними и тѣми-же цифрами, но въ обратномъ порядкѣ.

Э. Ю. Лейнѣкъ.

25. Рѣшить уравненіе:

у 2 Sw3# = 4cs2#

Рѣшенія задачъ.

«N? 3. Показать, что если уравненіе:

(а + а'«/) ж2 + (Ь + Ь'у) * -f + c'y) = 0, (1.)

гдѣ у есть перемѣнный параметръ, имѣетъ только одинъ корень независящій отъ у, то оба его корня раціональны. Составить и доказать обратное предложеніе.

Если одинъ изъ корней даннаго уравненія не зависитъ отъ у, то для вычисленія его можно давать у произвольныя значенія. Представляя данное ур. въ видѣ:

ах2 -|— Ьх —|— с -J- (а'#2 -f- Ъ'х -|- с')у = 0 (1.)

и полагая у = 0 и у = сс, найдемъ, что искомый корень есть общій корень двухъ квадратныхъ уравненій:

ах2 -(- Ьх -f- с = 0 и а'#2 -f- Ъ'х + с' = 0; (2.)

вычисляя его, найдемъ

т. е. раціональное выраженіе, но въ такомъ случаѣ и второй корень будетъ раціональнымъ.

Обратно, если данное ур. при перемѣнномъ у имѣетъ раціональные корни, то одинъ корень его не зависитъ отъ у. Дѣйствительно, чтобы X было раціональнымъ, необходимо, чтобы выраженіе

(Ь + Ь'уУ* — Ца + а'у){е -f c'y)

представляло точный квадратъ; слѣдовательно, трехчленъ (V2 — 4а'сѴ + 2 у(ЪѴ — 2 о! с — 2 а! с) + Ь2 — 4ас

долженъ имѣть равные корни; отсюда коэффиціенты даннаго уравненія подчиняются условію:

(ЬЪ' — 2 а'с — 2ас')2 = (Ь2 — 4ас)(Ь'2 — 4 а!с’)\ послѣ упрощенія, оно приводитъ къ соотношенію:

(іас' — а с)2 = (аѴ — a'b)(bc' — Ь с),

которое показываетъ, что квадратныя уравненія (2.) имѣютъ общій корень и, слѣдовательно, ур. (1.) имѣетъ корень, независящій отъ у.

М. С. Зильберштейнъ (Москва). А. Раевскій (ІІучежъ).

№ 4. Рѣшить систему уравненій:

Раздѣливъ всѣ члены 1-го ур. на а2х2у2ъ2, 2-го на b2x2y2z2 и 3-го на c2x2y2z2, данной системѣ можно придать видъ:

Складывая эти уравненія почленно, получимъ:

откуда

складывая-же два первыя уравненія, найдемъ послѣ упрощенія:

слѣдовательно,

аналогично найдемъ х и у. Система имѣетъ еще нулевыя рѣшенія. А. И. Жилинскій (Москва). Д. Рѣдько (Миргородъ). А. Раевскій (Пучежъ).

Л? 5. Показать, что изъ п прямолинейныхъ отрѣзковъ длиною въ 1,2,3...п вершковъ можно составить ---------^-------— треугольниковъ, если п четное, и -------~ ~~24 ~-------“ треугольниковъ, если п нечетное*).

Изслѣдуемъ, сколько можно составить изъ данныхъ отрѣзковъ треугольниковъ,, наибольшая сторона которыхъ а=р верпъ камъ. Тогда 2-я по величинѣ сторона Ь можетъ выражаться числомъ Ъ = р— 1, а 3-я с одниимъ изъ чиселъ р — 2, р — 3,...2, что дастъ (р — 3) различныхъ треугольниковъ.

Или-же:

Ь = р — 2; с=р — 3, р — 4, 3 (р — 5) 3-ковъ

Ъ = р — 3; с = р — і,р — о, 4 (р — 7)

Если р — четное число, то послѣднія значенія b и с будутъ

(1 треугольникъ)

если же р нечетное, то

Всего при четномъ р возможно составить:

а при нечетномъ р:

Пусть п четное число, п — 2т; тогда, давая поочередно въ двухъ предыдущихъ формулахъ числу р воѣ цѣлыя значенія отъ р = 4, до р = 2т, и складывая результаты, получимъ для числа N искомыхъ въ задачѣ треугольниковъ:

Для суммированія ряда представимте его въ видѣ

*) Вслѣдствіе опечатки, въ текстѣ задачи въ № 1 „Мат. Образ.“ въ послѣдней дроби вм. (п — 1 ) напечатано п.

или

или, такъ какъ

Если-же п==2ж-|-1, то аналогично найдемъ

Ю -- X ,,

подставляя т = —-—, найдемъ

А. А. Мазингъ, Д. Казариновъ, Э. Ю. Лейнѣкъ (Москва). А. Раевскій (Пучежъ), Д. Рѣдько (Миргородъ).

№ 6. Доказать теорему: если въ треугольной пирамидѣ одинъ изъ плоскихъ угловъ при вершинѣ—прямой и высота ея проходитъ чрезъ точку пересѣченія высотъ основанія, то и прочіе углы при вершинѣ — прямые.

Пусть въ пирамидѣ SABC плоскій уголъ при вершинѣ BSC прямой*) и высота пирамиды SO проходитъ чрезъ точку пересѣченія О высотъ основанія AD и BE. Соединяя точки S и D, видимъ, что SD будетъ высотою прямоугольнаго треугольника BSC, слѣдовательно.

SC2 = BC.CD,

но изъ подобія прямоугольныхъ треугольниковъ ADC и BEG имѣющихъ общій уголъ С, мы находимъ:

^с = Ш'или АС-СЕ = ва CD;

отсюда

SC* = AC.CE;

но СЕ есть проекція ребра SC hr АС; слѣдовательно, уголъ ASC — прямой. Аналогично докажемъ, что и ASB — прямой уголъ.

Д. Казариновъ (Москва). Ф. Г. Трубинъ (Пермь).

*) Просимъ читателя сдѣлать чертежъ.

Библіографія.

Дмитрій Граве, проф. Энциклопедія математики. Кіевъ. 1912 г. Цѣна 3 р. 50 к.

Въ настоящее время, когда у насъ въ Россіи несомнѣнно возросъ интересъ къ математическимъ наукамъ, нельзя не привѣтствовать появленіе книги проф. Граве.

Это не учебникъ и не сборникъ статей, излагающихъ различные отдѣлы математики, а, лучше сказать, изложеніе математическихъ идей, какъ онѣ вылились въ послѣднее время въ математической литературѣ, своего рода profession de foi математика, философски размышляющаго и находящагося па высотѣ современныхъ требованій науки. Пожалуй, въ большей мѣрѣ, чѣмъ всякая другая наука, математика обладаетъ тѣмъ свойствомъ, что занимающійся ею человѣкъ легко можетъ зарыться въ символахъ и деталяхъ и, такъ сказать, потерять возможность видѣть ея горизонты. Особенно это можетъ случиться съ математикомъ не профессіоналомъ, для котораго еще труднѣе на столько основательно познакомиться съ различными ея отдѣлами, чтобы ясно представлять себѣ картину современнаго положенія науки во всей совокупности. Въ этомъ смыслѣ энциклопедія Граве, по нашему мнѣнію, можетъ принести большую пользу, особенно преподавателямъ математики. Вѣдь для того, что бы дѣйствительно съ успѣхомъ учить, надо не только знать, но и вѣрить въ свое дѣло и его значеніе, а для этого необходимо умѣть его окинуть мысленнымъ взоромъ во всей широтѣ.

Само собою разумѣется, что нельзя трактовать объ идеяхъ математики, не опираясь на самое математику; поэтому авторъ кратко обозрѣваетъ всѣ отдѣлы математической науки, нѣколько дольше останавливаясь на тѣхъ изъ нихъ, которые имѣютъ или особенное принципіальное значеніе или же въ новѣйшее время подверглись значительной переработкѣ въ смыслѣ болѣе твердаго логическаго обоснованія. Попутно даются историческія указанія относительно возникновенія тѣхъ или другихъ идей.

Послѣдняя глава (XV) посвящена вопросу о преподаваніи математики— высшей и элементарной. Наконецъ, въ весьма интересномъ заключеніи авторъ говоритъ о взаимоотношеніи между чистой математикой и прикладными науками—техникой, естествознаніемъ. Высказываемыя здѣсь мысли можно приблизительно резюмировать приведенными же въ заключеніи словами нашего покойнаго математика П. Л. Чебышева:

„Въ старину задавали математическія задачи боги, какъ, напримѣръ, удвоеніе куба, по поводу измѣненія размѣровъ Дельфійскаго жертвенника. Далѣе наступилъ второй періодъ, кагда задачи задавали полубоги: Ньютонъ, Эйлеръ, Лагранжъ. Теперь третій періодъ, когда задачи задаетъ практика.

Къ достоинствамъ книги надо отнести и то, что написана она простымъ и яснымъ языкомъ и довольно хорошо издана.

Книга задумана такъ широко, что трудно поставить въ вину автору нѣкоторую неравномѣрность въ изложеніи отдѣловъ, которая можетъ, впрочемъ. объясняться и особенностями взгляда на значеніе каждаго изъ нихъ въ общей картинѣ, но есть одно обстоятельство, на которое мы считаемъ долгомъ обратить вниманіе почтеннаго автора: трудъ, какъ сказано- въ предисловіи, посвящается „любителямъ математики, особенно живущимъ въ провинціи, вдали отъ университетскихъ центровъ“, а между тѣмъ въ немъ не имѣется никакихъ литературныхъ указаній. Заинтересуется человѣкъ какимъ нибудь отдѣловъ, а гдѣ почитать по-подробнѣе,—знать не будетъ. Можетъ быть, было бы полезно указать хотя бы на математическія библіографіи на русскомъ и иностранныхъ языкахъ. Ал. Гт.

Дѣятельность Математическихъ обществъ и кружковъ.

Уставъ Московскаго Математическаго Кружка.

Отъ редакціи. Въ виду высказаннаго на 1-мъ Съѣздѣ преподавателей математики пожеланія объ учрежденіи возможно большаго числа математическихъ кружковъ, которые со временемъ могли-бы объединиться въ одну общую организацію, и о выработкѣ нормаль-

наго устава такихъ кружковъ, помѣщаемъ уставъ Московскаго Математическаго Кружка, составленный согласно всѣмъ формальнымъ требованіямъ. „Временныхъ правилъ объ обществахъ и союзахъ 4 марта 1906 года“ и утвержденный Московскимъ Градоначальникомъ 20-го марта 1907 года. Прибавимъ, что согласно ст. 22 этихъ правилъ „заявленіе о желаніе образовать общество, подлежащее регистраціи, представляется губернатору или градоначальнику учредителями общества съ нотаріальнымъ засвидѣтельствованіемъ ихъ законной правоспособности и подлинности подписей и съ приложеніемъ завѣреннаго ими проекта устава общества въ двухъ экземплярахъ, а также денегъ, необходимыхъ на припечатаніе объявленій объ образованіи общества“.

I. Названіе кружка, его цѣль, районъ и способы его дѣятельности.

§ 1. Кружокъ называется: „Московскій Математическій Кружокъ“.

§ 2. Московскій Математическій Кружокъ имѣетъ цѣлью разработку вопросовъ, относящихся къ математикѣ, преимущественно элементарной, и близкимъ къ ней наукамъ, а также распространеніе математическаго образованія.

§ 3. Райономъ дѣятельности Московскаго Математическаго Кружка служитъ городъ Москва.

§ 4. Способами для достиженія указанной цѣли въ § 2 служатъ:

а) устройство засѣданій для чтенія и обсужденія докладовъ по математикѣ и близкимъ къ ней наукамъ, а также по вопросамъ, относящимся кт» преподаванію этихъ наукъ;

б) организація лекцій по вопросамъ, входящимъ въ кругъ интересовъ Кружка;

в) устройство выставокъ учебныхъ пособій;

г) содѣйствіе переводу математическихъ сочиненій на русскій языкъ и изданіе оригинальныхъ и переводныхъ сочиненій по математикѣ;

д) изданіе трудовъ Кружка и годичныхъ отчетовъ объ его дѣятельности.

II. Учредители Московскаго Математическаго Кружка.

§ 5. Учредителями Московскаго Математическаго Кружка состоятъ:

Заслуженный профессоръ ИМПЕРАТОРСКАГО Московскаго Университета, Дѣйствительный Статскій Совѣтникъ, Болеславъ Корнеліевичъ Млодзѣевскій, (адресъ)

Преподаватель Московскихъ Высшихъ Женскихъ Курсовъ Статскій Совѣтникъ, Александръ Ѳеодоровичъ Гатлихъ, (адресъ)

Преподаватель Московскихъ Высшихъ Женскихъ Курсовъ, Статскій Совѣтникъ, Іоасафъ Ивановичъ Чистяковъ, (адресъ)

ІII. Порядокъ вступленія и выбытія членовъ.

§ 6. Членами Кружка могутъ быть лица, интересующіяся вопросами, указанными въ § 2 сего устава.

§ 7. Предложеніе объ избраніи въ члены Кружка вносится въ Правленіе Кружка за подписью не менѣе, какъ двухъ лицъ, уже состоящихъ его членами. Самое избраніе производится закрытой баллотировкой въ засѣданіи, слѣдующемъ за тѣмъ, въ которомъ было сдѣлано предложеніе объ избраніи.

§ 8. Члены Кружка выбываютъ изъ него въ случаѣ ихъ о томъ заявленія, а также въ случаѣ неуплаты ими въ теченіе двухъ лѣтъ установленныхъ членскихъ взносовъ. Выбывшіе члены могутъ быть вновь приняты въ члены Кружка безъ баллотировки подъ условіемъ погашенія числящихся за ними взносовъ.

IV. Размѣръ членскихъ взносовъ и порядокъ уплаты ихъ.

§ 9. Всѣ члены Кружка дѣлаютъ въ его кассу ежегодно денежный членскій взносъ, размѣръ котораго опредѣляется въ общемъ собраніи членовъ Кружка и который не можетъ быть менѣе рубля въ годъ.

V. Составъ правленія, способы его образованія и пополненія и предметы его вѣдѣнія, а также мѣсто его нахожденія.

§ 10. Веденіе дѣлъ Кружка возлагается на Правленіе, имѣющее мѣстопребываніе въ г. Москвѣ и состоящее изъ предсѣдателя, товарища предсѣ-

дателя и двухъ секретарей, изъ которыхъ одинъ исполняетъ обязанности казначея. Члены Правленія избираются въ общемъ собраніи Кружка на два года закрытой баллотировкой.

§ 11. Въ случаѣ выхода кого-либо изъ членовъ Правленія изъ состава Правленія до окончанія срока, на который онъ былъ избранъ, производятся выборы новаго члена Правленія на остающійся срокъ.

§ 12. На Правленіе возлагается: завѣдываніе текущими дѣлами; пріемъ предложеній и заявленій, вносимыхъ членами Кружка; ближайшее наблюденіе за расходами Кружка и составленіе отчета объ его дѣятельности.

VI. Время и порядокъ созыва общаго собранія членовъ и предметы его вѣдѣнія.

§ 13. Общее Собраніе членовъ Кружка созывается Правленіемъ не рѣже одного раза въ годъ повѣстками, разсылаемыми всѣмъ членамъ.

§ 14. Предметы вѣдѣнія Общаго Собранія суть: 1) утвержденіе годичныхъ отчетовъ Правленія, 2) опредѣленіе размѣра членскаго взноса по § 9 устава, 3) избраніе должностныхъ лицъ Кружка, 4) рѣшеніе вопросовъ, связанныхъ съ измѣненіемъ организаціи Кружка и его устава.

VII. Порядокъ веденія отчетности.

§ 15. Поступающія въ распоряженіе Правленія и расходуемыя имъ денежныя суммы заносятся въ особую книгу, веденіе которой возлагается на казначея (§ 10).

§ 16. Для провѣрки суммъ и отчетности ежегодно избирается ревизіонная коммиссія въ составѣ трехъ членовъ.

VIII. Порядокъ измѣненія устава.

§ 17. Вопросъ объ измѣненіи устава Кружка можетъ быть рѣшаемъ только при условіи внесенія его на повѣстку соотвѣтствующаго Общаго Собранія. Измѣненія устава считаются принятыми только тогда, когда за нихъ выскажутся не менѣе двухъ третей всѣхъ присутствующихъ въ собраніи членовъ.

§ 18. Въ случаѣ закрытія Кружка, имущество его передается въ какое-либо изъ просвѣтительныхъ учрежденій, по постановленію Общаго Собранія его членовъ.

Засѣданіе Московскаго Математическаго Кружка 26 января 1912 г.

Засѣданіе было посвящено докладамъ о 1-мъ всероссійскомъ Съѣздѣ преподавателей математики. Секретарь Кружка I. И. Чистяковъ сообщилъ о выполненіи возложеннаго на него порученія—быть на Съѣздѣ оффиціальнымъ представителемъ Московскаго Математическаго Кружка и сдѣлать сообщеніе о дѣятельности Кружка. Вмѣстѣ съ тѣмъ I. И. Чистяковъ сообщилъ свѣдѣнія о докладахъ, прочитанныхъ на Съѣздѣ членами Моск. Матем. Кружка. А. Ф. Гатлихъ сдѣлалъ сообщеніе: „Впечатлѣнія отъ перваго съѣзда преподавателей математики“, причемъ выяснилъ главнѣйшія направленія, въ которыхъ развивалась работа Съѣзда, и изложилъ въ существенныхъ чертахъ содержаніе наиболѣе важныхъ и интересныхъ докладовъ. А. А. Волковъ сдѣлалъ докладъ „О выставкѣ учебныхъ пособій при 1-мъ Съѣздѣ преподавателей математики“, причемъ отмѣтилъ наиболѣе интересные экспонаты этой выставки, а также познакомилъ съ содержаніемъ изданныхъ кь Съѣзду нѣкоторыхъ книгъ по методикѣ математики.

По предложенію предсѣдателя, была почтена вставаньемъ память скончавшагося въ Петербургѣ вскорѣ послѣ закрытія Съѣзда В. Б. Струве.

I. И. Чистяковъ сдѣлалъ краткое сообщеніе: „Къ вопросу о представленіи числа въ видѣ суммы послѣдовательныхъ цѣлыхъ чиселъ“.

Въ концѣ засѣданія О. А. Вржесневскій изложилъ придуманное имъ „доказательство“ аксіомы параллельныхъ прямыхъ (5-го постулата Эвклида) и просилъ указать въ немъ ошибку, которой онъ самъ найти не можетъ. Предсѣдатель Б. К. Млодзѣевскій, чтобы не задерживать собраніе обсужденіемъ безспорныхъ и извѣстныхъ истинъ, предложилъ референту разъяснить его недоразумѣніе въ частной бесѣдѣ, послѣ чего засѣданіе было закрыто.

Отвѣтственный редакторъ I. И. Чистяковъ.

ОГЛАВЛЕНІЕ.

Стр.

Чисто геометрическое обоснованіе ученія о пропорціяхъ и о площадяхъ. К. Коммерелль. Переводъ О. Н. Цубербиллеръ.........................................97

Къ статьѣ К. Коммерелля. Б. Младзѣевскій............109

О послѣдней теоремѣ Фермата. Р. Бернштейнъ...........111

Спорные вопросы въ методикѣ ариѳметики. Ѳ. Эрнъ. . . . 115

О согласованіи программъ въ средней и высшей школахъ. К. А. Поссе.........................................1*22

Къ вопросу о согласованіи программъ математики въ средней и высшей школѣ. В. Б. Струве, (*}-).........127

Памяти В. Б. Струве. И. Александровъ...............134

Задачи...............................................136

Рѣшенія задачъ.......................................137

Библіографія.........................................141

Дѣятельность Математическихъ обществъ и кружковъ. . . . 141

Засѣданіе Московскаго Математическаго Кружка 26 января 1912 г..........................................143

Печатня А.И. Снегиревой Москва

1912.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНІЕ

выходитъ ежемѣсячно книжками отъ 2 до 3 печатныхъ листовъ за исключеніемъ мая, іюня, іюля и августа мѣсяцевъ.

Содержаніе журнала: 1) статьи по различнымъ отдѣламъ математики, оригинальныя и переводныя; 2) статьи по вопросамъ преподаванія математики и соприкасающихся наукъ; 3) очерки по исторіи математики, біографіи и портреты математиковъ; 4) библіографическій отдѣлъ; 5) вопросы и задачи; 6) математическая хроника; 7) Объявленія.

Цѣна 3 рубля въ годъ и 2 рубля на полгода еъ доставкой и пересылкой.

Цѣна отдѣльнаго номера 50 к. съ пересылкой.

За перемѣну адреса уплачивается 20 коп.

Объявленія принимаются съ платою: 1 страница—15 р., 7* стр. — 8 р., V» стр.—4 Р* и т. д.

Подписка принимается въ редакціи:

Москва, Остоженка, кв. 88, и въ книжныхъ магазинахъ К. И. Тихомирова (Кузнецкій жость), H. П. Карбасникова и Т-во М. О. Вольфъ (Моховая).

Печатня А.И. Снегиревой Москва