Математическое Образованіе.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка.

№ 2.

Февраль 1912 г.

МОСКВА.

Объ одномъ алгебраическомъ неравенствѣ.

С. Виноградовъ. Москва.

Предметомъ настоящей статьи служитъ одно алгебраическое неравенство, подробнаго разсмотрѣнія котораго нѣтъ, насколько мнѣ извѣстно, ни въ одномъ изъ русскихъ курсовъ алгебры. Между тѣмъ неравенство это заслуживаетъ вниманія по своимъ многочисленнымъ и разнообразнымъ приложеніямъ.

Не имѣя въ виду дать исчерпывающій указатель литературы по этому вопросу, я укажу три книги, содержащія подробное развитіе ученія объ этомъ неравенствѣ и указанія нѣкоторыхъ его приложеній и служившія пособіями при составленіи этой статьи.

Эти книги слѣдующія:

Акад. Н. Я. Сонинъ. Лекціи интегральнаго исчисленія, читанныя на СПБ. Высшихъ Женскихъ Курсахъ. Часть I. Изд. СПБ. В. Ж. К. СПБ. 1898 г.

О. Schlomüch. Handbuch der algebraischen Analysis. 5 Auflage. Jena. 1873.

G. Chrystal. Algebra. An elemantary text-book. Part II. 2 ed. London. 1900.

Въ первой изъ этихъ книгъ неравенство разсматривается въ связи съ вопросомъ о свойствахъ степенной, логариѳмической и показательной функцій.

Во второй выдвинуто значеніе неравенства для опредѣленія логариѳмической и показательной функцій, какъ предѣловъ нѣкоторыхъ степеней.

Наконецъ, въ третьей, послѣ подробнаго вывода неравенства, какъ въ текстѣ, такъ и въ упражненіяхъ приведено много приложеній его къ рѣшенію разнообразныхъ задачъ и указано на его значеніе въ вопросѣ о дифференцированіи алгебраической функціи.

§ 1. Если X есть положительное число, отличное отъ І, и р и q вещественныя числа, то при p^>q имѣетъ мѣсто неравенство.

(I)

Доказательство этого предложенія можно разбить на нѣсколько частей.

А). Если р и q суть цѣлыя и положительныя числа и р > q, то

При X > 1 имѣемъ

(1)

(2)

и, слѣд.,

(3)

Черезъ умноженіе обѣихъ частей этого неравенства на положительное число X — 1, получимъ

Отсюда получаемъ, что

(5)

При х<1 знаки неравенствъ (1), (2) и (3) мѣняются на обратные, но знакъ неравенства (4) сохранится, такъ какъ оно получается черезъ умноженіе обѣихъ частей неравенства (3) на отрицательное число х—1. Поэтому будетъ имѣть мѣсто и неравенство (5).

Итакъ, справедливость неравенства (I) установлена для случая цѣлыхъ и положительныхъ показателей.

В). Такъ какъ, по доказанному, неравенство (I) справедливо при цѣлыхъ и положительныхъ показателяхъ для положительныхъ значеній #, отличныхъ отъ 1, то можно положить x = zK, гдѣ я>о и k есть цѣлое положительное число, а подъ j/ъ разумѣется ариѳметическое значеніе корня.

Сдѣлавъ эту подстановку въ неравенствѣ (I), умноживъ обѣ части неравенства на к и замѣнивъ букву z буквой #, найдемъ неравенство:

изъ котораго заключаемъ, что неравенство (I) справедливо и для дробныхъ положительныхъ показателей.

С). Замѣнивъ въ неравенствѣ (I), гдѣ p^>q^> о, х черезъ X~1 находимъ

Отсюда черезъ умноженіе обѣихъ частей на — 1 получимъ неравенство

которое есть не что иное, какъ неравенство (I) для отрицательныхъ показателей.

D). Неравенство (I) справедливо и въ томъ случаѣ, когда одинъ или оба показателя р и q суть числа ирраціональныя. Это слѣдуетъ изъ того, что ирраціональное число опредѣляется, какъ предѣлъ извѣстныхъ послѣдовательностей раціональныхъ чиселъ.

Такимъ образомъ устанавливается справедливость неравенства (I) для двухъ вещественныхъ чиселъ р и 5, удовлетворяющихъ двумъ условіямъ: 1) |)>j и 2) р и 5 одного знака. Но второе условіе не является необходимымъ. Докажемъ это.

Такъ какъ при #>о имѣетъ мѣсто неравенство

то X — 1 > 1 — я-1; отсюда

Пользуясь этимъ неравенствомъ и неравенствомъ (I), получаемъ цѣпь неравенствъ:

она показываетъ, что неравенство (I) справедливо, когда р и q суть цѣлыя числа разныхъ знаковъ: 0 и q<^ 0.

Это заключеніе легко распространить на случай р и q дробныхъ или ирраціональныхъ при помощи разсужденій, указанныхъ выше въ пунктахъ В) и D).

Итакъ, неравенство (I) справедливо для х > 0 (х =/= 1) и р > q.

§ 2. Изъ доказаннаго въ § 1 предложенія вытекаетъ слѣдующее: Если X есть полоо/сительное число, отличное отъ 1, то

(II)

при чемъ верхніе знаки имѣютъ мѣсто, если т < 0 или т^>1, а нижніе, если 0 < ш < I.

Обозначая черезъ г положительное число, отличное отъ 1, по неравенству (I) имѣемъ

Полагая въ этихъ неравенствахъ p = mq и ъ = хч, находимъ:

(6)

(7)

Замѣнивъ въ этихъ неравенствахъ х черезъ х~г, получимъ

Отсюда получаемъ:

(8)

(9)

Неравенства (6) и (8) суть неравенства (II) съ верхними знаками для т> 1, а неравенства (7) и (9) — неравенства (II) съ нижними знаками для 0 < т < 1.

Остается показать, что неравенства (II) съ верхними знаками справедливы для отрицательныхъ значеній т.

Пусть w > 0; въ такомъ случаѣ п 4-1 > 1, и, но доказанному имѣетъ мѣсто неравенство:

(и —|— 1) хп (х — 1) ^>жи+1 — 1.

Отсюда находимъ, что

пхн (х — 1) > хп-1.

xi черезъ дѣленіе обѣихъ частей этого неравенства на — хп получили.

х~п — 1>(—п) (х—1)..................(10)

Это неравенство черезъ замѣну х черезъ х~1 и умноженіе обѣихъ частей на — 1 приводитъ къ слѣдующему:

х~п —1<(—п) Х-п~Х (х—1)...............(11)

Неравенства (10) и (11) устанавливаетъ справедливость неравенствъ (II) съ верхними знаками для 0.

Для т = 0 и ш = 1 неравенства (II) обращаются въ равенства. Слѣдствіе. Если а и Ь два положительныхъ неравныхъ числа, то для т 1 и для т < 0 имѣютъ мѣсто неравенства:

т ам~] (а — Ъ)^>аш — Ъш >т Ьт~1 (а — Ь), . . (III)

а для 0 <Г т 1 — неравенства

там~1 (а — b)<^aw—Ъ,УІ <С тЪш~1 (а — Ь) . . . (ІУ)

Доказательство этого предложенія легко получить подстановкой въ неравенства (II) а/Ь вмѣсто х и умноженіемъ полученныхъ неравенствъ на Ъш .

Нѣкоторыя приложенія неравенствъ (I), (II), (III) и (IV).

§ 3. Воспользуемся неравенствомъ (I) для изученія предѣльнаго значенія дроби.

(12)

при р = 0, предполагая х > 0.

Дробь (12) имѣетъ при положительныхъ значеніяхъ х вполнѣ опредѣленное значеніе для всѣхъ значеній аргумента р, за исключеніемъ р = 0, и представляетъ возрастающую функцію этого аргумента (§ 1).

Для р = 0 она принимаетъ неопредѣленный видъ ^. Но легко показать, что при стремленіи р къ нулю дробь (12) стремится къ опредѣленному предѣлу, независящему отъ того, происходитъ ли приближенія р къ нулю черезъ возрастаніе отрицательныхъ значеній, или черезъ убываніе положительныхъ.

Дѣйствительно, при приближеніи отрицательныхъ значеній р къ нулю (т. е. при возрастаніи р) дробь (12) возрастаетъ, но остается меньше х—1, а при приближеніи положительныхъ значеній р къ нулю (т. е. при убываніи р) она убываетъ, но остается больше 1—я-1 (см. нерав. I). Слѣд., въ томъ и другомъ случаѣ дробь (12) стремится къ предѣлу и притомъ къ одному и тому же предѣлу, какъ это видно изъ слѣдующихъ равенствъ:

Итакъ, существуетъ предѣлъ, къ которому стремится дробь (12) при стремленіи р къ нулю; этотъ предѣлъ зависитъ только отъ X, и потому мы обозначимъ его символомъ ç (ж), такъ что

(13)

Неравенство (I) даетъ возможность вычислить (р (х) для каждаго положительнаго значенія х съ любой степенью точности. Въ самомъ дѣлѣ, взявъ произвольное натуральное число т, по этому неравенству имѣемъ:

(14)

если въ этихъ неравенствахъ положимъ т = 2*, гдѣ к есть произвольное натуральное число, то вычисленіе крайнихъ звеньевъ написанной цѣпи неравенствъ потребуетъ только к - кратнаго послѣдовательнаго извлеченія квадратнаго корня.

Если въ неравенствахъ (14) положимъ m — 1 и х= \ -(-А, то получимъ неравенства

изъ которыхъ заключаемъ, что

§ 4. Разсмотримъ теперь свойства функціи <р (я), исходя изъ ея опредѣленія (13).

Свойство 1. Если #>0, у > О, то <р(ху) = <р(х)-\-(р(у). Дѣйствительно

Слѣдствіе. çp (a?x .. яи) = (р (.rj ф (х2) -4-.. —)— çp (#„), причемъ Хі >0, г = 1, 2,..., п.

Свойство 2. Если х^> 0, у > 0, то

Это видно изъ слѣдующаго:

Слѣдствіе.

(см. форм. 15).

Свойство 3. <jp (а^) = у <р (а), гдѣ а>0. По опредѣленію <jp имѣемъ:

Умноживъ числителя и знаменателя дроби второй части равенства на у, найдемъ:

Пусть аУ = X. Изъ послѣдняго равенства находимъ:

Отсюда получаемъ:

Но у въ уравненіи аУ = х называется логариѳмомъ х при основаніи а и обозначается символомъ Іод„х. Слѣд.

Это равенство показываетъ, что (х) представляетъ логариѳмъ X при такомъ основаніи а, для котораго <р (а) = 1. Возникаетъ вопросъ объ опредѣленіи этого числа а.

По неравенствамъ (14) имѣемъ (т>>0):

полагая здѣсь çp (а) = 1, получимъ неравенства:

которыя послѣ небольшихъ преобразованій можно привести къ слѣдующимъ:

Эти неравенства позволяютъ вычислить а съ любой степенью, если функции 1---— 1 и /1 —|— I стремятся при возрастаніи т до эо къ одному предѣлу, который и есть искомое нами число а.

Докажемъ, что указанныя функціи дѣйствительно имѣютъ одинъ и тотъ же предѣлъ при безграничномъ возрастаніи т.

Для этого воспользуемся неравенствами (III). Полагая во второмъ изъ нихъ а = 1 и принимая 1, находимъ:

Отсюда получаемъ неравенство

показывающее, что функція 11 -(- возрастаетъ при возрастаніи положительнаго аргумента х.

Положивъ въ первомъ изъ неравенствъ (III) а = 1, Ь = 1 — — , т = и принимая у^>х^> 1, найдемъ

откуда получимъ неравенство

изъ котораго заключаемъ, что функція ^1 4- убываетъ при возрастаніи абсолютной величины отрицательнаго аргумента.

Кромѣ того изъ первенства х2>х2 — 1 слѣдуетъ, что при

или

Возведя обѣ части этого неравенства въ степень х, находимъ:

Изъ этого неравенства въ связи съ предыдущими выводами вытекаютъ слѣдующія заключенія: при х^> 1 функція возрастающая вмѣстѣ съ х, остается меньше ^1-----^ функція ^1-----, убывающая при возрастаніи х, остается больше . Слѣд., та и другая при возрастаніи х до ос стремятся

къ нѣкоторымъ предѣламъ. Чтобы показать, что эти предѣлы равны, составимъ разность разсматриваемыхъ функцій:

Полагая въ неравенствахъ (III)

находимъ:

откуда послѣ небольшихъ преобразованій получаемъ неравенства:

Такъ какъ предѣлы крайнихъ звеньевъ этихъ неравенствъ при X = оо равны нулю, то

откуда заключаемъ, что

Предѣлъ функціи при X = X обозначается буквой е и называется пейеровымъ числомъ или основаніемъ неперовыхъ логариѳмовъ.

Итакъ, функція (р (х) есть не что иное, какъ неперовъ логариѳмъ х\ обозначимъ его символомъ Іодх.

§ 5. При помощи формулы (14) легко рѣшить задачу объ обращеніи логариѳмической функціи и получить показательную функцію, какъ предѣлъ нѣкоторой степени.

Пусть Іодъ = X. По неравенствамъ (14) имѣемъ:

Изъ этихъ неравенствъ находимъ:

или, такъ какъ z — ех,

Эти неравенства показываютъ, что

Такъ какъ для а>0 по опредѣленію логариѳма имѣемъ равенство:

(16')

§ 6. При помощи опредѣленій и формулъ §§ 4 и 5 легко обнаружить непрерывность функціи Іодх для ж>()и функціи ех для всѣхъ значеній х.

Первое слѣдуетъ изъ первой изъ формулъ (15) и равенства:

(17)

а второе изъ формулы (13) и равенства:

(18).

Равенства (17), (18), (15) и (13) ведутъ кромѣ того къ опредѣленію производныхъ Іодх и еЛ:

§ 7. О. Schlömilch показалъ, что опредѣленія (16) и (13) показательной функціи и логариѳма можно распространить на случай комплекснаго перемѣннаго. При этомъ обнаруживается связь между показательной функціей и тригонометрическими, и такимъ

образомъ всѣ функціи элементарнаго анализа объединяются въ источникѣ ихъ происхожденія: понятіи о степени*).

§ 8. Посредствомъ неравенствъ (III) и (IV) легко обнаруживается непрерывность степенной функціи хт при #>0 и т произвольномъ вещественномъ числѣ.

Дѣйствительно, полагая въ неравенствахъ (III) и (IV) Ь = х и а = находимъ:

(19)

отсюда вытекаетъ заключеніе, что приращеніе степенной функціи можетъ быть сдѣлано по абсолютной меньше произвольно малаго числа надлежащимъ выборомъ приращенія h перемѣннаго х, т.-е. устанавливается непрерывность функціи хт при

Раздѣливъ неравенства (19) на h и переходя къ предѣлу при h = 0, получимъ:

Первая часть этого равенства есть производная функціи хт. Слѣд.,

§ 9. Какъ послѣдній примѣръ приложенія выведенныхъ выше неравенствъ, приведу рѣшеніе слѣдующей задачи: показать, что среднее ариѳметическое п положительныхъ чиселъ не меньше ихъ средняго геометрическаго.

Пусть аѵ а2, .. ан суть п положительныхъ чиселъ. Требуется доказать, что

(20)

Легко убѣдиться, что для п = 2 формула (20) справедлива. Допуская ея справедливость для нѣкотораго числа ю, докажемъ, что она вѣрна и для числа п —|— 1.

Изъ неравенства (20) имѣемъ:

*) О. Schlömilch. Handbuch d. algebraischen Analysis. 5-te Auflage. Jena, 1873, Cap. II, X. См. также Chrystal. Algebra. An elementary text-book. 2 ed. London, 1900. Part. 11, chap. XXIV, XXV.

прибавивъ къ обѣимъ частямъ этого неравенства положительное число 1, находимъ

(21)

Но неравенство (II) для #>0 и т = п-\- 1, гдѣ п>0 даетъ

или

Полагая въ этомъ неравенствѣ

получимъ:

или

Отсюда но неравенству (21) заключаемъ, что

или

Но это есть не что иное, какъ неравенство (20) для числа w + 1. Желаемое такимъ образомъ доказано.

О построеніи параллелограммовъ*).

И. Александровъ. Москва.

Построеніе параллелограммовъ чаще всего сводятъ на построеніе треугольниковъ. Такого рода задачи такъ многочисленны,

*) Въ существенныхъ чертахъ доложено на съѣздѣ преподавателей математики въ Петербургѣ 2 января 1912 г.

что нѣтъ надобности въ примѣрахъ. Сравнительно рѣже встрѣчаются задачи обратнаго характера, т.-е., тѣ задачи на построеніе треугольниковъ, которыя приводятся къ построенію параллелограммовъ*).

Далѣе извѣстно, что построеніе выпуклаго четыреугольника ABCD можетъ быть сведено на построеніе параллелограмма BEFD (чер. 1), который получается параллельнымъ перенесеніемъ AB въ СЕ и А С въ DF. Во всѣхъ тѣхъ случаяхъ, когда данные элементы четыреугольника AB CD—мы его будемъ называть основнымъ четыреугольникомъ—позволяютъ построить фигуру BEFD и опредѣлить въ ней точку (7, легко перейти отъ параллелограмма къ четыреугольнику обратнымъ перенесеніемъ сторонъ**).

Если построеніе четыреугольниковъ иногда приводится къ построенію параллелограммовъ, то обратно, должны существовать задачи, въ которыхъ построеніе параллелограмма приводится къ построенію основного четыреугольника—должны быть случаи, въ которыхъ построеніе основного четыреугольника легче построенія параллелограмма. Такого рода идея, казалось бы, не должна быть новой, въ особенности для составителей задачъ; однако, я не могъ найти у Ю. Петерсена и въ другихъ сочиненіяхъ ни самой идеи, ни задачъ подобнаго характера. Между тѣмъ подобнаго рода задачи существуютъ и отличаются тѣмъ, что поражаютъ своей кажущейся необычной трудностью, тогда какъ рѣшаются довольно просто, если только слѣдовать принципу сведенія одной задачи на другую. Вотъ примѣры, разъясняющіе суть дѣла***).

I. Даны четыре прямыя, выходятся изъ точки С. Начертить параллелограммъ съ данными сторонами такъ, чтобъ его вершины лежали на данныхъ прямыхъ (чер. 1).

*) Вотъ одинъ изъ лучшихъ примѣровъ: „построить треугольникъ, зная а, ha и В — Си.

Рѣш. Д В АС перевертываемъ въ положеніи ВАХС; затѣмъ Д АСА^ повертываемъ на 180° около оси ААХ въ положеніе ААХК. Тогда можно построить /\ВКС, въ которомъ КС 1 ВС, и затѣмъ параллелограммъ ВАКАу

**) Вотъ одинъ изъ лучшихъ примѣровъ: „построить четыреугольникъ, зная отрѣзки, соединяющіе середины противоположныхъ сторонъ, уголъ между ними и два какихъ-нибудь угла“.

Рѣш. Въ параллелограммѣ BEFD (чер. 1) извѣстны обѣ діагонали (онѣ вдвое больше данныхъ отрѣзковъ) и уголъ между ними. Точка С опредѣляется пересѣченіемъ дугъ, вмѣщающихъ данные углы. Построивъ BEFD и С, дѣлаемъ обратное перенесеніе.

***) Примѣры I и VI помѣщены съ краткими указаніями въ моей книгѣ (№№ 503 и 445, I). Читатели не разъ просили моихъ указаній на рѣшеніе этихъ и другихъ задачъ, здѣсь приводимыхъ. Пользуюсь случаемъ исполнить ихъ желаніе. Задача № V не встрѣчалась въ литературѣ.

Чер. 1.

Чѳр. 2.

Если въ искомой фигурѣ BEFD сдѣлать обратное перенесеніе, то въ основномъ четыреугольникѣ AB CD окажутся извѣстными углы и діагонали.

Такой четыреугольникъ можно построить.

Замѣчаемъ, что, если въ четыреугольникѣ AB CD извѣстны углы, то извѣстна и разность угловъ ABD и CDB. Легко видѣть, что эта разность равна 180° — (J-pD) изъ равенствъ < ABD — 180° — А — <^ADB и < CDB = D — >• ADB. Такъ какъ точки А и С лежатъ на дугахъ, описанныхъ на DB и вмѣщающихъ данные углы А и (7, то задача приводится къ слѣдующей.

II. Даны двѣ пересѣкающіяся въ В и D окружности. Отыскать на нихъ по точкѣ А и С такъ, чтобъ длина АС и разность угловъ ABD и CDB были данной величины (чер. 2).

Попробуемъ уравнять углы ABD и CDB. Съ этой цѣлью построимъ /__HBD, равный данной разности.

Тогда дуги АН и ВС имѣютъ равную мѣру, и задача приводится къ слѣдующей задачѣ.

III. На двухъ окружностяхъ дано по точкѣ Н и В. Отыскать на нихъ еще по точкѣ, А и С, такъ чтобы дуги НА и ВС были подобны и длина АС была данной величины (условіе пересѣченія окружностей дѣлается лишнимъ).

Эта задача, несомнѣнно, возникла, какъ расширеніе одной изъ задачъ Аполлонія Пергамскаго, и рѣшается методомъ вращенія*). Такъ какъ послѣдняя задача можетъ имѣть вообще два

*) Задача Аполлонія состоитъ въ слѣдующемъ. „Даны двѣ прямыя и на нихъ по точкѣ, А и В. Отыскать на прямыхъ по точкѣ X и Y такъ, чтобъ АХ : В Y и длина XY были данныя“. Задача № III рѣшается такъ. Опредѣлимъ (чер. 3) центръ вращенія 02 такъ, чтобъ дуги НА и ВС совмѣщались повертываніемъ. Тогда ДД НО%В и АО^С подобны; слѣд., въ Д АО%С извѣстны два угла и сторона, и его легко построить. Послѣ этого будутъ извѣстны длины АО2 и 02С.

Чер. 3.

рѣшенія, то заключаемъ: 1) данная задача «N51 вообще имѣетъ два рѣшенія, что, очевидно, и сразу, такъ какъ стороны BE и BD могутъ мѣняться ролями; 2) отношеніе діагоналей и углы четыреугольника опредѣляютъ двѣ формы четыреугольника, такъ что, если бы стали рѣшать методомъ подобія задачу „построить четыреугольникъ, зная его площадь, углы и отношеніе діагоналей“, то вообще получили бы два рѣшенія.

Задачу № I можно варіировать различными способами.

Вотъ одинъ изъ лучшихъ варіантовъ:

IV. Даны прямыя MC и NC. Начертить параллелограммъ BEFD еъ данными сторонами такъ, чтобы В и D лежали на данныхъ прямыхъ и чтобъ /_ЕС F, а также сумма /_BDC -4- / CEF имѣли данныя значенія (чер. 1).

Эта задача, очевидно, приведется къ варіанту задачи № II, въ которомъ вмѣсто разности угловъ ABD и BDC дана сумма тѣхъ же угловъ. Этотъ варіантъ разрѣшается совершенно также, если (чер. 2) построимъ l_ GBD, равный данной суммѣ; тогда дуги AG и ВС подобны, и роль точки Н переходитъ къ точкѣ G.

V. Даны четыре прямыя, выходящія изъ точки О. Начертить параллелограммъ BEFD съ даннымъ угломъ такъ, чтобъ его вершины лежали на данныхъ прямыхъ, и чтобъ сумма BC-\-EC-\-FC-\- J)C была данной величины (чер. 1).

На этотъ разъ въ основномъ четыреугольникѣ извѣстны углы, уголъ діагоналей и периметръ. Попытаемся опредѣлить форму основного четыреугольника—тогда уже нетрудно его передѣлать въ искомую фугуру съ помощью умноженія. Замѣчаемъ, что разность угловъ ABD и BDC намъ опять извѣстна; сверхъ того извѣстно направленіе АС относительно діагонали DB. Поэтому естественно поступить слѣдующимъ образомъ.

На произвольной прямой bd*) опишемъ дуги, вмѣщающія данные углы А и С; затѣмъ въ извѣстномъ направленіи къ bd проведемъ сѣкущую ас такъ, чтобъ разность угловъ abd и bdc была равна данной величинѣ. Очевидно, вопросъ приводится къ варіантамъ задачъ II и III, въ которыхъ вмѣсто длины АС дано ея направленіе. Эти варіанты разрѣшаются весьма просто**).

Такъ какъ приводимый здѣсь варіантъ задачи № III имѣетъ только одно рѣшеніе, то заключаемъ: 1) задача № V можетъ имѣть

*) Просимъ читателей на чер. 2 большія буквы замѣнить такими же малыми.

**) Для рѣшенія придется изъ центра вращенія 02 провести (чер. 3) прямыя 02А и 020, встрѣчающія данную прямую BD подъ извѣстными углами.

только одно рѣшеніе; 2) углы четыреугольника вмѣстѣ съ угломъ между діагоналями вполнѣ опредѣляютъ форму четыреугольника*).

Послѣднее заключеніе весьма важно для задачъ на построеніе.

Мы видимъ, напр., что указаннымъ способомъ легко рѣшить множество задачъ на построеніе четыреугольника по даннымъ его угламъ и углу между діагоналями, при чемъ необходимо присоединить данное, опредѣляющее размѣры искомой фигуры (площадь, сумму или разность діагоналей, сумму медіанъ противоположныхъ сторонъ и т. п.). Всѣ эти задачи дадутъ соотвѣтственныя задачи на построеніе параллелограммовъ.

VI. Дана прямая MN и на ней точка С (чер. 4). Начертить параллелограммъ BEFD съ данными сторонами такъ, чтобъ діагональ BF лежала на данной прямой и чтобъ отрѣзки ЕС и CD были данной величины (чер. 4).

Въ этомъ случаѣ основной четыреугольникъ превращается въ трапецію, діагонали и непараллельныя стороны которой извѣстны. Для построенія такой трапеціи перенесемъ параллельно СА въ ВАХ и CD въ BDV а также опишемъ изъ центра В четыре концентрическія окружности радіусами, равными даннымъ длинамъ. Тогда изъ равенствъ ААХ = DXD и ХА = ZD вытекаетъ Ах Х= AY, и задача приводится къ извѣстной задачѣ „даны 4 концентрическія окружности; провести къ нимъ сѣкущую AxXAY (Ах, X, АХ,У суть точки встрѣчи подрядъ, начиная съ большей окружности) такъ, чтобъ А]Х = AY“.

Рѣшеніе этой задачи**) методомъ подобія извѣстно, а, слѣдовательно, и рѣшеніе данной задачи найдено.

Чер. 4.

Построеніе многоугольника параллельнымъ перенесеніемъ всѣхъ сторонъ въ одну вершину или въ одну точку приведется

*) Я пробовалъ прійти къ этому заключенію путемъ алгебры и тригонометріи; попытки оказались неудачными.

**) Касательныя АфК. и XL извѣстны по длинѣ. Изъ равенствъ АХК? = = У. XL2 = АХ . XZ и A1Dl = XZ вытекаетъ, что A{Y: АХ извѣстно; но Ai Y= 24|Х + АХ, а потому и АД : АХ извѣстно. Взявъ на прямой два отрѣзка а^х и ха такъ, чтобъ а\х : ха = А\Х : ХА, чертимъ двѣ окружности такъ, чтобъ отношеніе разстояній точекъ первой окружности до точекъ аЛ и X было равно BA{:BD, и чтобъ отношеніе разстояній точекъ второй окружности до точекъ X и а было равно BD : AB. Окружности встрѣтятся въ Ь. Тогда Д а фа ос Д АХВА, и его надо умножить на AB : ab.

къ построенію новаго многоугольника, который во многихъ случаяхъ построить легче, чѣмъ основной многоугольникъ. Идея, здѣсь проводимая, состоитъ въ томъ, что должны быть многочисленные случаи, въ которыхъ, наоборотъ, основной многоугольникъ даетъ возможность построить преобразованный многоугольникъ. Мы видимъ, что существуютъ очевидныя основанія думать, что это такъ, именно, и есть.

Въ своей замѣткѣ „о составленіи и рѣшеніи задачъ на вращеніе “*) я проводилъ болѣе широкую идею: чтобъ построить фигуру, надо найти ея первообразъ, источникъ, изъ котораго эта фигура могла развиться путемъ различныхъ преобразованій. Въ данномъ случаѣ эта идея оказалась вѣрною для параллелограммовъ, которые тогда были оставлены безъ вниманія. Родоначальникомъ сложной фигуры тогда неизмѣнно оказывался треугольникъ. То же самое и теперь. Зародышемъ фигуры BEFD съ точкою С въ задачѣ № У является А А02Н (чер. 3). Генезисъ фигуры BEFB и всей задачи № У представляется слѣдующимъ.

Произвольный àA02H былъ умноженъ и повернутъ въ положеніе В02С. Черезъ точки А,В и Н была проведена окружность, которая перемѣстилась въ Оі; образовалась точка D и затѣмъ фигура ABCD съ опредѣленнымъ угломъ діагоналей и т. д.

Такого рода идеи, будучи драгоцѣнны для композиціи задачъ, имѣютъ, къ сожалѣнію, гораздо меньшую силу для лица, рѣшающаго задачу,

Площадь вписаннаго четыреугольника и треугольника.

В. Соллертинскій. С.-Петербургъ.

1. Въ тѣхъ учебныхъ заведеніяхъ, гдѣ сообщаются лишь краткія свѣдѣнія изъ алгебры, обыкновенно пропускаютъ вычисленіе площади треугольника по тремъ его сторонамъ, такъ какъ выводъ соотвѣтствующей формулы требуетъ довольно сложныхъ выкладокъ. По той же причинѣ выраженіе площади вписаннаго четыреугольника, въ зависимости отъ его сторонъ, не всегда помѣщается даже въ учебникахъ для средней школы.

Между тѣмъ, оба вышеупомянутыя соотношенія можно бы выводить -нѣсколько проще, если принять во вниманіе слѣдующую (довольно извѣстную) теорему, которая, впрочемъ, и помимо того можетъ найти нѣкоторое примѣненіе.

*) „Вѣст. Оп. Физики“ 1905 г., кат. из. № 113; издано отдѣльной брошюрой.

Если изъ середины дуги, на которую опирается уголъ вписаннаго треугольника, опустить перпендикуляръ на одну изъ сторонъ этого угла, то разстоянія отъ основанія перпендикуляра до концовъ стороны будутъ равны полусуммѣ и полуразности сторонъ треугольника, образующихъ взятый уголъ.

Пусть D (чер. 1)—середина дуги, на которую опирается уголъ ВАС\ DM, DN—перпендикуляры къ AG, AB.

Во вписанномъ четыреугольникѣ AB DC сумма противоположныхъ угловъ С и В равна двумъ прямымъ угламъ; а потому, если одинъ изъ этихъ угловъ острый, то другой будетъ тупой, и слѣдовательно только одинъ изъ перпендикуляровъ DM и DN пойдетъ внутри четыреугольника, т.-е. встрѣтитъ самую сторону треугольника; другой же упадетъ на продолженіе стороны.

А такъ какъ внутренній уголъ вписаннаго четыреугольника равенъ противоположному внѣшнему, то треугольники DMC и DM В равны по гипотенузѣ и острому углу, откуда СМ = BN. По тому же признаку равны и прямоуг. треугольники DMA и DNA, откуда AM = AN.

Итакъ, отнявши отъ одной изъ сторонъ отрѣзокъ СМ и прибавивши его къ другой, мы получимъ равные отрѣзки AM и AN: слѣдовательно, каждый изъ послѣднихъ составляетъ половину суммы взятыхъ сторонъ, т.-е. AM = лЛ =--^---; но для того, чтобы уравнять обѣ стороны, надо было отнять отъ большей изъ нихъ половину имѣвшейся разности, а потому СМ = BN =

Чер. 1.

Замѣчаніе. Точка 2)', діаметрально противоположная точкѣ D, есть средина дуги, вмѣщающей уголъ ВАС\ проекціи же концовъ діаметра на любую хорду равноотстоятъ отъ ея средины и, слѣдовательно, насколько одна отстоитъ отъ одного конца хорды, настолько другая отъ другого. Поэтому доказанная теорема будетъ справедлива и для середины дуги, вмѣщающей уголъ вписаннаго треугольника.

2. Площадь вписаннаго четыреугольника равняется корню квадратному изъ произведенія четырехъ разностей между полупериметромъ его и каждой стороной.

Пусть точка Е (чер. 2), средина дуги BAD, находится внутри угла В DA.

Тогда пл. ABCD = пл. ВСЕ-f- пл. С DE -f-пл. EDA — пл. ВАЕ.

Изъ точки Е опустимъ перпендикуляры ЕМ, EN на ВС и AB; а такъ какъ точка эта находится на внутренней равнодѣлящей угла С и внѣшней равнодѣлящей угла А, то разстоянія ея отъ сторонъ, CD и DA будутъ равны ЕМ и 2ЙУ. Поэтому пл. ABCD = т.-е., если обозначить площадь четыреугольника и стороны его AB, ВС, CD, DA буквами

Чер. 2.

Въ прямоугольныхъ треугольникахъ ЕМС и EN А острые углы при вершинахъ С и А равны, т.-е. треугольники подобны, а потому ЕМ : EN = Ж7 : А01, откуда NA . ЕМ = MC.EN; но по предыдущей. теоремѣ МС= — и = а , такъ что

Прикладывая одно изъ этихъ равныхъ произведеній къ найденному выраженію площади и отнимая другое, мы не измѣнимъ самой величины, а получимъ только двѣ различныя формы, а именно:

гдѣ

Стало быть,

По Пиѳагоровой теоремѣ

ЕМ2 + ВМ2 = (ЕВ) = BN2 -f яж2,

откуда

ЕМ2 — EN2 = BN2 — ВМ2 = (БЛГ+ ВМ) (BN—BM); но, по теоремѣ § 1,

ВМ~А=±. и BJV=-^+i,

а потому

ЕМ* — ÆW2 = (р —с) (р — 6),

такъ что

s2 = 0 — я) (Р —Ь) (р —<0 (P —d).

Примѣчаніе. Если а ^> d. т.-е., если -В будетъ внутри угла ЛВД то s = ЬА~- . ЕМ — —~ EN и . DjV= а слѣдовательно s = (р — d) (ВМ + EN) и s = (р — а) (ЕМ — EN), т.-е. опять-таки s2 = (p— а) (р— d) (ЕМ* — EN2).

2. Доказательство не зависитъ отъ величины В А, а потому выведенную формулу можно примѣнить и къ тому случаю, когда D сольется съ А, надо только положить вездѣ d = 0; при этомъ

р = -LiAlL? и Пл. АВС=Ѵ р (р — а) (р — Ь) (р — с),

т.-е., площадь треугольника равняется корню квадратному изъ произведенія полупериметра его на три разности между полупериметромъ и каждой изъ сторонъ.

Впрочемъ теорему эту можно вывести и непосредственно. Изъ чертежа 1 видно, что

пл. ABG — s = —А 6 DM----<L DP,

а изъ треугольниковъ DMA и DPB DM : DP = AM : BP, откуда

b-+J DP = -?-DM.

Прикладывая одно изъ этихъ произведеній и отнимая другое, получимъ два новыхъ выраженія для площади:

s = (p — а) (DM-\-DP) и s = p (DM—DP),

такъ что

s2 = p (р — а) (DM* — DP2) = pip — a) (PG2—MG) =

—P (P — a) (PC—MC) (PC-|- MC) —p(p — (i) (p — b) (p — c).

О представленіи числа въ видѣ суммы послѣдовательныхъ цѣлыхъ чиселъ.

Н. Агрономовъ. Ревель.

Въ № 1 „Математическаго Образованія“ была предложена задача (№ 8): „Найти нѣсколько послѣдовательныхъ цѣлыхъ чиселъ, сумма которыхъ равнялась-бы 1000“.

Поставимъ задачу въ общемъ видѣ, именно, предложимъ себѣ найти нѣсколько послѣдовательныхъ цѣлыхъ чиселъ, сумма которыхъ равнялась-бы цѣлому числу N.

Допустимъ, что наименьшее число нашего ряда послѣдовательныхъ чиселъ есть а, a число всѣхъ чиселъ есть п. Тогда, на основаніи формулы суммы членовъ ариѳметической прогрессіи, имѣемъ:

(2а -|-п — 1). п = 2N. (1).

Отсюда заключаемъ, что число п послѣдовательныхъ цѣлыхъ чиселъ, сумма которыхъ равнялась-бы N, есть дѣлитель числа 2К.

Далѣе легко замѣтить, что два множителя, стоящія въ лѣвой части равенства (1.) именно (2а -f п — 1) и п, должны быть числами различной четности, такъ какъ сумма ихъ представляетъ нечетное число. Отсюда слѣдуетъ теорема: Число различныхъ способовъ представленія числа N въ видѣ суммы нѣсколькихъ послѣдовательныхъ цѣлыхъ чиселъ равняется числу различныхъ способовъ представленія числа 2N въ видѣ произведенія такихъ двухъ множителей, сумма которыхъ есть число нечетное. Наконецъ, замѣчая, что изъ двухъ упомянутыхъ множителей п является меньшимъ, мы видимъ, что значенія этого числа могутъ быть найдены при помощи разложенія числа 2іѴ всевозможными способами на два множителя указаннаго типа. Опредѣливъ этимъ путемъ какое-либо значеніе числа п, изъ равенства (1.) найдемъ соотвѣтствующее значеніе числа а :

(легко убѣдиться, что при соблюденіи поставленныхъ условій а будетъ числомъ цѣлымъ).

Рѣшимъ въ видѣ примѣра нашу задачу (№ 8). Здѣсь 2N = 20U0. Число 2000 представляется въ видѣ двухъ множителей, сумма которыхъ равнялась-бы числу нечетному, слѣдующими четырьмя способами:

I) 2000 = 2000. 1; II) 2000 = 400. 5

III) 2000= 125.16; ІУ) 2000= 80. 25

Соотвѣтственно получимъ 4 рѣшенія:

I) /і=1, а = 1000; II) п = 5, а =198;

III) п= 16, а = 55; ІУ) п = 25; а — 28

т. е.

I) 1000 = 1000;

II) Ю00 = 198 + 199 + 200 + 201 -f-202;

III) 1000 = 55 -f 56 + 57 +..+ 69 + 70;

IV) 1000 = 28 + 29 + 30 +....+ 51 + 52.

Сдѣлаемъ нѣсколько конкретныхъ предположеній о числѣ N.

I. N есть нѣкоторая степень 2. Въ этомъ случаѣ число 2N разлагается лишь единственнымъ способомъ на два множителя, сумма которыхъ равнялась бы числу нечетному, именно, 2Лт = 2N. 1, т. е. здѣсь п= 1, a = N. Т. о., число 2т никогда не равняется суммѣ нѣсколькихъ (больше 1) послѣдовательныхъ цѣлыхъ чиселъ.

II. N есть число абсолютно простое. Въ этомъ случаѣ 2N можно разложить двояко на два множителя, сумма которыхъ была бы число нечетное. Первое разложеніе: 2N = N.2; второе разложеніе: 2N = 2ЛТ. 1. Въ первомъ случаѣ

Во второмъ случаѣ, a = N\ п = 1.

Т. о., абсолютно простое число N можетъ равняться суммѣ двухъ и только двухъ послѣдовательныхъ цѣлыхъ чиселъ.

Этой теоремой мы можемъ пользоваться какъ критеріумомъ для распознаванія простыхъ чиселъ.

Если окажется, что какое либо число можетъ быть представлено въ видѣ суммы 3, 4 или болѣе послѣдовательныхъ цѣлыхъ чиселъ, то мы съ увѣренностью утверждаемъ, что испытуемое число — число составное.

III. N есть какая нибудь степень нечетнаго простого числа р. Пусть

N = рч

Тогда различные четные множители числа 2 N будутъ 2, 2р, 2р2,"~2рч. Число всѣхъ этихъ множителей есть <j+ 1. Слѣдовательно, число N, представляющее изъ себя q-ую степень простого нечетнаго

числа, можетъ q различными способами быть представлено въ видѣ суммы нѣсколькихъ (болѣе 1) послѣдоват. цѣлыхъ чиселъ.

Примѣръ: хѴ=243 = 35

243 = 80 + 81+82

243 = 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 30 + 31 243 = 5 f 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12+134-14-f 15 + 16-f-+ 17 + 18+19 + 20 -4-21 + 22 243 = 37 + 38-1-39 + 40 + 41 + 42 243 = 121 -4-122.

IV. N есть какое нибудь четное число вида 2причемъ р число абсолютно простое. Легко видѣть, что и въ этомъ случаѣ, число N можетъ q различными способами быть представлено въ видѣ суммы нѣсколькихъ (болѣе 1) послѣдовательныхъ цѣлыхъ чиселъ. Обратимся теперь къ разсмотрѣнію общаго случая.

Пусть N = 2“ аха\ г/2а2---dkak- Тогда число 2N очевидно, имѣетъ (at + 1)(а2 + 1)(а3 + 1).(а*+ 1) нечетныхъ множителей.

Слѣдовательно, N въ этомъ случаѣ можетъ быть представлено въ видѣ суммы нѣсколькихъ (болѣе 1) послѣдовательныхъ цѣлыхъ чиселъ всего (at + 1 ) (а2 +1).(ak + 1) — 1 способами.

Методъ обученія математикѣ въ старой и новой школѣ.

Докладъ, читанный на 1-мъ всероссійскомъ съѣздѣ преподавателей математики въ Петербургѣ, 27 декабря 1911 г.).

К. Лебединцевъ. Москва.

Окончаніе.

Какъ было уже упомянуто, традиціонный абстрактно-дедуктивный методъ преподаванія математики на практикѣ сталкивается съ весьма серьезными препятствіями: съ одной стороны, дедуктивныя доказательства многихъ важныхъ истинъ очень сложны и непосильны для учащихся (напр., доказательство неизмѣняемости произведенія отъ перемѣны порядка сомножителей въ курсѣ ариѳметики цѣлыхъ чиселъ); съ другой стороны, учащіеся никакъ не могутъ взять въ толкъ, зачѣмъ доказываются при помощи разсужденій такія истины, справедливость которыхъ имъ и безъ того очевидна (напр. теорема о томъ, что на данную прямую изъ точки, лежащей внѣ ея, можно опустить только одинъ перпендикуляръ). Поэтому естественно поставить вопросъ: должны ли мы при преподаваніи математики излагать ее учащимся въ систематической формѣ, возможно болѣе приближающейся къ ея научному изложенію, или необходимы, изъ педагогическихъ соображеній, отступленія отъ этой формы, и если да, то въ какой мѣрѣ?

Необходимость считаться съ психологіей обучающихся математикѣ дѣтей и юношей сдѣлалась въ настоящее время настолько очевидной, что врядъ ли кто станетъ стоять за абстрактно-дедуктивный методъ на протяженіи всего курса средней школы; но какъ именно сочетать въ этомъ курсѣ научныя и педагогическія точки зрѣнія,—этотъ вопросъ является въ настоящее время самымъ жгучимъ. Находятся и такіе сторонники реформы, которые предлагаютъ не считаться вовсе съ научными данными и считаютъ допустимыми въ преподаваніи неточныя и даже завѣдомо невѣрныя объясненія, лишь бы только эти объясненія казались понятными для учащихся; а равно допускаютъ и догматическое сообщеніе тѣхъ истинъ, объясненіе которыхъ слишкомъ затруднительно*). Разумѣется, эти предложенія, какими бы заманчивыми и на видъ прогрессивными доводами они не мотивировались, должны быть рѣшительно отвергнуты. Догматизмъ въ преподаваніи всегда оставляетъ нѣкоторую неудовлетворенность въ сознаніи учащихся и ни къ чему, кромѣ механическаго запоминанія, привести не можетъ; а если школа вступитъ на дорогу завѣдомо неточныхъ и невѣрныхъ объясненій, то она рискуетъ совершенно утратить въ глазахъ учащихся свой авторитетъ: рано или поздно учащійся узнаетъ, что нѣкоторыя сообщенныя ему свѣдѣнія ошибочны, и невольно заподозритъ достовѣрность всего того, чему онъ научился въ школѣ.

Напротивъ, необходимо установить категорически и безъ всякихъ исключеній, что въ учебномъ предметѣ мы не можемъ ни утверждать чего-либо противорѣчащаго тому, что утверждается въ наукѣ, ни пользоваться такими способами объясненій, которые содержатъ логическій дефектъ и потому не могутъ считаться пріемлемыми съ научной точки зрѣнія. Въ этомъ, т.-е. въ отсутствіи противорѣчій между наукой и учебнымъ предметомъ, и заключаетея необходимая научность курсовъ, предлагаемыхъ въ средней школѣ. Но мы можемъ и должны въ подходящихъ случаяхъ вмѣсто дедуктивнаго доказательства той или иной математической истины заставлять учащихся убѣдиться въ справедливости ея индуктивнымъ путемъ, на рядѣ цѣлесообразно подобранныхъ конкретныхъ примѣровъ. Вмѣсто того, чтобы доказывать учащимся перваго класса при помощи логическихъ умозаключеній перемѣстительный законъ умноженія, достаточно дать имъ продѣлать нѣкоторое число примѣровъ на умноженіе одинаковыхъ сомножителей въ разномъ порядкѣ, и убѣдиться въ неизмѣняемости произведенія во всѣхъ этихъ случаяхъ. Вмѣсто того, чтобы доказывать, что на прямую изъ внѣшней точки можно опустить только одинъ перпендикуляръ, достаточно заставить учащихся продѣлать соотвѣтственное построеніе помощью линейки и наугольника, и попробовать построить черезъ ту же точку второй перпендикуляръ.

*) См., напр., „Труды перваго всероссійскаго съѣзда учителей городскихъ по положенію 1872 года училищъ“, т. II, ч. 2, стр. 12, рѣчь проф. химіи Алексѣева.

Такой конкретно-индуктивный методъ обученія дѣлаетъ излишними всякій догматизмъ и логическія натяжки. Зачѣмъ, напр., заставлять ученика принимать на вѣру, что всѣ прямые углы равны между собой, если при помощи сгибанія и наложенія соотвѣтствующихъ вырѣзокъ изъ бумаги, легко изготовляемыхъ имъ по указаніямъ учителя, онъ можетъ пріобрѣсти достаточно прочную увѣренность въ равенствѣ прямыхъ угловъ? Зачѣмъ нагромождать цѣлый рядъ небезупречныхъ логическихъ ухищреній, какъ это дѣлается при обычномъ вычисленіи отношенія окружности къ діаметру, если при помощи непосредственныхъ измѣреній круглыхъ предметовъ учащіеся могутъ безъ особеннаго труда опредѣлить это отношеніе, хотя бы и съ небольшой степенью точности?

Кромѣ того, конкретно-индуктивный методъ обученія даетъ наибольшій возможный просторъ самодѣятельности учащихся. Не пассивное воспріятіе разсужденій со словъ учителя ставится при немъ въ основу преподаванія, а самостоятельная работа учащихся и самостоятельные ихъ выводы и заключенія подъ руководствомъ учителя.

При этомъ подъ самостоятельной работой учащихся мы подразумѣваемъ не одно только наблюденіе свойствъ чиселъ, формулъ и чертежей, а вообще изученіе всѣхъ предметовъ и явленій внѣшняго міра, могущихъ служить матеріаломъ для ознакомленія съ математическими истинами.

Особенно ясно сказывается эта сторона конкретно-индуктивнаго метода при первоначальномъ обученіи геометріи: изученіе свойствъ геометрическихъ тѣлъ по окружающимъ предметамъ, вырѣзываніе, склеиваніе и вылѣпливаніе моделей и послѣдующее ихъ изученіе и измѣреніе, изготовленіе чертежей, производство измѣреній на мѣстности—вотъ тѣ пути,. помощью которыхъ знакомятся учащіеся новыхъ школъ съ основными геометрическими истинами.

Самая важная черта конкретно-индуктивнаго метода состоитъ въ томъ, что онъ даетъ учащимся наивысшую степень субъективной увѣренности въ достовѣрности изучаемыхъ истинъ. Какъ извѣстно, и мы взрослые не всегда удовлетворяемся умозрительнымъ доказательствомъ той или иной теоріи, того или иного положенія; даже тогда, когда мы не сомнѣваемся въ правильности нашихъ выводовъ, мы стремимся провѣрить, согласуются ли они съ показаніями нашихъ чувствъ. Тѣмъ болѣе это справедливо относительно дѣтей и подростковъ, изучающихъ школьную математику и не владѣющихъ еще въ полной мѣрѣ аппаратомъ логическаго мышленія.

Въ виду вышеизложеннаго, даже въ тѣхъ случаяхъ, когда дедуктивное доказательство какой-либо математической истины доступно для учащихся, бываетъ небезполезно предпосылать ему нѣкоторую индуктивную подготовку. Такъ, напр., при изученіи свойствъ ариѳметической прогрессіи, прежде чѣмъ доказывать въ общемъ видѣ, что сумма членовъ, равноотстоящихъ отъ крайнихъ, будетъ равна суммѣ крайнихъ, цѣлесообразнѣе всего сперва за-

ставить учащихся открыть эту истину на частныхъ примѣрахъ и лишь затѣмъ познакомить ихъ съ общимъ доказательствомъ.

Наконецъ, конкретно-индуктивный методъ представляетъ единственно правильный съ педагогической точки зрѣнія путь при усвоеніи опредѣленій и условій, вводимыхъ въ математику. Тотъ порядокъ, котораго держалась при изложеніи опредѣленій старая школа — сперва дать опредѣленіе догматически, а затѣмъ пояснить его на частныхъ примѣрахъ—страдаетъ существенными недостатками. Если, напр., учитель сообщаетъ учащимся опредѣленіе: „логариѳмомъ даннаго числа называется показатель степени, въ которую надо возвысить нѣкоторое постоянное число, называемое основаніемъ, чтобы получить въ результатѣ данное число“, — то лишь тѣ учащіеся, которые способны одновременно вообразить подходящій конкретный примѣръ, воспримутъ данное опредѣленіе сознательно; остальные же не будутъ представлять себѣ ничего, кромѣ словъ, и если преподаватель тутъ же не иллюстрируетъ своего опредѣленія конкретными примѣрами, то все дальнѣйшее изложеніе будетъ построено на пескѣ. Но не проще ли въ такомъ случаѣ и начать съ этихъ конкретныхъ примѣровъ? Пусть преподаватель заставитъ учащихся вычислить рядъ степеней вродѣ слѣдующаго: 52= 25,53 = 125, 54 = 625, 55 = 3125., и укажетъ, что показателей принято называть логариѳмами полученныхъ чиселъ при данномъ основаніи 5; пусть онъ предложитъ учащимся написать нѣсколько подобныхъ рядовъ съ другими основаніями, и послѣ этого они смогутъ точно и сознательно формулировать отвѣтъ на вопросъ, что такое логариѳмъ даннаго числа при данномъ основаніи.

Такой пріемъ находится въ соотвѣтствіи съ данными современной психологіи. Можно считать безспорнымъ, что процессъ отвлеченія совершается у насъ только въ рамкахъ конкретнаго; если мы думаемъ, напр.. о шарѣ вообще, мы представляемъ себѣ шаръ вполнѣ опредѣленныхъ размѣровъ въ опредѣленномъ положеніи, но направляемъ наше вниманіе лишь на существенныя свойства даннаго шара, и по этой именно причинѣ представленіе объ одномъ опредѣленномъ шарѣ играетъ для насъ роль родового образа. Другими словами, „мы имѣемъ типическія индивидуальныя представленія и общія представленія только въ томъ смыслѣ, что мы можемъ выбрать примѣры или замѣстителей цѣлой группы воспріятій и въ состояніи сосредоточить вниманіе на извѣстныхъ опредѣленныхъ частяхъ или свойствахъ, которыя (въ болѣе или менѣе измѣненномъ видѣ) можно снова встрѣтить во всѣхъ сходныхъ воспріятіяхъ... Искусство отвлеченія основывается преимущественно на способности сосредоточивать вниманіе указаннымъ образомъ“*). А потому задача учителя при установленіи новыхъ понятій въ курсѣ математики въ томъ и состоитъ, чтобы дать учащимся такіе типичные конкретные примѣры, въ которыхъ на первый планъ выступали бы важные, существенные признаки

*) Гефдингъ. Очерки психологіи, основанной на опытѣ. Перев. подъ ред. Колубовскаго, стр. 167.

даннаго понятія, и привлечь вниманіе учащихся именно къ этимъ признакамъ; словесная формулировка понятія, такимъ образомъ пріобрѣтеннаго, будетъ уже не трудна, и учащіеся смогутъ дать ее вполнѣ самостоятельно или съ помощью наводящихъ вопросовъ.

Подобнымъ образомъ слѣдуетъ поступать и при расширеніи какихъ-либо понятій, напр., понятія о числѣ и о дѣйствіяхъ. Въ этомъ вопросѣ грѣшатъ абстрактностью и догматизмомъ не только традиціонные способы объясненій, но и пріемы, выдвигаемые нѣкоторыми сторонниками реформы. Напр., правило знаковъ при умноженіи отрицательныхъ чиселъ въ нѣкоторыхъ руководствахъ какъ стараго, такъ и новаго типа*) излагается просто въ видѣ условія, сообщаемаго догматически: условимся называть произведеніемъ двухъ положительныхъ или отрицательныхъ чиселъ то положительное число, абсолютная величина котораго равна произведенію абсолютныхъ величинъ данныхъ чиселъ, а произведеніемъ отрицательнаго числа на положительное или наоборотъ— то отрицательное число, абсолютная величина котораго равна произведенію абсолютныхъ величинъ данныхъ чиселъ. Такой пріемъ находится въ соотвѣтствіи съ научными взглядами: такъ называемое „правило знаковъ“ есть, въ сущности говоря, опредѣленіе произведенія; но съ педагогической точки зрѣнія такой пріемъ никакъ не можетъ быть оправданъ, такъ какъ учащіеся, естественно, спросятъ, съ какой же цѣлью принимается подобное условіе, и этотъ ихъ совершенно законный вопросъ останется безъ всякаго отвѣта. Поэтому необходимо, здѣсь и въ другихъ аналогическихъ случаяхъ, исходить изъ условія подходящей совершенно конкретной задачи. Для даннаго случая пригодна, напр. такая задача: „Со станціи желѣзной дороги отходитъ, направляясь вправо, поѣздъ, проходящій по а верстъ въ каждый часъ; гдѣ онъ будетъ спустя t часовъ?“ Полагая сперва данныя числа а и t положительными (напр., а = 40, £ = 3), учащіеся найдутъ, что задача рѣшается умноженіемъ (искомое разстояніе х = аі)\ тогда можно предложить имъ придать одному или обоимъ даннымъ числамъ не только положительныя, но и отрицательныя значенія, рѣшать каждый разъ получаемую задачу по соображенію и во всѣхъ случаяхъ считать найденный отвѣтъ произведеніемъ данныхъ чиселъ. Такъ для случая отрицательныхъ значеній обоихъ данныхъ чиселъ, напр., а = — 40, t = — 3, задача приметъ видъ: „Со станціи выходитъ влѣво поѣздъ, проходящій по 40 верстъ въ каждый часъ; гдѣ онъ былъ 3 часа тому назадъ (если предположить, что движеніе его совершалось съ той же скоростью и въ томъ же направленіи)?“ Такъ какъ очевидно, что поѣздъ долженъ былъ при этихъ условіяхъ придти на станцію съ правой стороны, и 3 часа тому назадъ находился въ 120 верстахъ вправо отъ нея, то отвѣтъ задачи выражается положительнымъ числомъ 120 и мы получаемъ (— 40). (— 3) = -р 120. Разобравъ подобнымъ образомъ

*) Билибинъ. Учебникъ алгебры.

Левитусъ. Курсъ элементарной алгебры.

Чихановъ. Учебникъ алгебры.

всѣ возможные случаи сочетанія знаковъ, учащіеся подъ руководствомъ вопросовъ преподавателя могутъ сами формулировать извѣстное правило.

Какъ видно изъ вышеизложеннаго, конкретно-индуктивный методъ играетъ существенную роль на всѣхъ ступеняхъ обученія математикѣ; но само собою разумѣется, что онъ не только не исключаетъ дедукціи, но долженъ быть съ нею неразрывно связанъ, въ особенности на высшихъ ступеняхъ курса. По мѣрѣ того, какъ развиваются логическія способности учащихся и возникаетъ у нихъ потребность въ прочномъ обоснованіи изучаемыхъ истинъ, долженъ имѣть мѣсто переходъ отъ чисто индуктивныхъ воспріятій къ болѣе или менѣе сложнымъ разсужденіямъ, отъ констатированія отдѣльныхъ математическихъ истинъ къ установленію логической связи между этими истинами. Когда именно долженъ начаться такой переходъ,—этого мы не можемъ установить вполнѣ опредѣленно, такъ какъ законы развитія отвлеченнаго мышленія у ребенка еще не изучены; но согласно изслѣдованіямъ Меймана, совпадающимъ съ данными простого наблюденія, можно думать, что приблизительно лишь на 14-мъ году жизни учащіеся дѣлаются способными сознательно пользоваться рядомъ умозаключеній, „оказываются въ состояніи видѣть связь между выполняемыми умозаключеніями и понимать ихъ“*). Въ связи съ этимъ обстоятельствомъ можно предложить раздѣленіе курса нынѣшней средней школы на концентры, въ каждомъ изъ которыхъ методъ преподаванія видоизмѣнялся бы сообразно степени умственнаго развитія учащихся.

Первый концентръ, соотвѣтствующій отроческому возрасту учащихся отъ 10 до 13 лѣтъ, включаетъ обученіе ариѳметикѣ, геометріи и начальнымъ свѣдѣніямъ по алгебрѣ. На этой ступени усвоеніе новыхъ понятій и истинъ должно идти исключительно конкретно-индуктивнымъ путемъ, съ широкимъ примѣненіемъ такъ называемыхъ лабораторныхъ пріемовъ: со свойствами геометрическихъ тѣлъ и фигуръ учащіеся будутъ знакомиться путемъ изученія предметовъ окружающей обстановки и моделей, ими самими изготовляемыхъ изъ бумаги, картона, глины, деревянныхъ дощечекъ и палочекъ и т. д., наконецъ, путемъ простѣйшихъ геодезическихъ измѣреній; дѣйствія надъ числами будутъ изучаться при посредствѣ цѣлесообразныхъ задачъ, съ содержаніемъ близкимъ къ жизни, а основные законы дѣйствій и принципы алгебры будутъ устанавливаться на основаніи конкретныхъ примѣровъ, надлежащимъ образомъ подобранныхъ.

Второй концентръ, соотвѣтствующій переходному возрасту отъ 13 до 16 лѣтъ, обнимаетъ основной курсъ алгебры (уравненія и функціи 1-й и 2-й степени въ связи съ необходимыми алгебраическими преобразованіями, ученіе о прогрессіяхъ и логариѳмахъ), и сверхъ того такъ называемый систематическій курсъ геометріи со включеніемъ началъ тригонометріи. Въ этомъ именно концентрѣ учащіеся должны быть мало-по-малу пріучаемы къ дедуктивному

*) Мейманъ. Лекціи по экспериментальной педагогикѣ, т. I, стр. 228—229.

мышленію. Съ этой цѣлью преподаватель можетъ предварительно на конкретныхъ примѣрахъ выяснить учащимся, что бываютъ такіе случаи, когда эмпирическое установленіе какой-либо истины затруднительно вслѣдствіе погрѣшностей въ измѣреніяхъ*), и затѣмъ помощью наводящихъ вопросовъ онъ будетъ въ состояніи заставить учащихся обосновать эту истину на какихъ-либо другихъ, болѣе для нихъ очевидныхъ. Выяснивъ себѣ такимъ образомъ сущность и значеніе дедуктивныхъ пріемовъ разсужденія, учащіеся смогутъ установить логическую связь между многими положеніями, изучавшимися раньше чисто эмпирически и независимо другъ отъ друга, и такимъ образомъ приведутъ свои познанія въ нѣкоторую систему, различая тѣ истины, которыя установлены ими на основаніи опыта, отъ тѣхъ, которыя доказываются на основаніи предыдущихъ. Такого рода умственная работа можетъ быть проведена главнымъ образомъ въ геометріи, вслѣдствіе чего ея курсъ и названъ здѣсь систематическимъ курсомъ; но, конечно, невозможно, да и не нужно превращать всѣ прежнія „аксіомы“ въ „теоремы“, и не можетъ быть рѣчи о построеніи такого систематическаго курса геометріи, который содержалъ бы наименьшее возможное число недоказуемыхъ истинъ; всѣ совершенно очевидныя истины, а также и тѣ, дедуктивное доказательство которыхъ непосильно для учащихся, должны попрежнему оставаться на положеніи „аксіомъ“, устанавливаемыхъ на основаніи опыта. Что касается опредѣленій, соглашеній и правилъ, то они, разумѣется, попрежнему должны разрабатываться конкретно-индуктивнымъ путемъ; равнымъ образомъ найдутъ примѣненіе, въ подходящихъ случаяхъ, лабораторные пріемы, включая сюда и принципъ графическаго изображенія.

Наконецъ, третій и послѣдній концентръ, соотвѣтствующій юношескому возрасту отъ 16 до 18 лѣтъ, долженъ быть посвященъ ознакомленію съ элементами аналитической геометріи, дифференціальнаго и интегральнаго исчисленія, а также систематизирующему повторенію основъ всего пройденнаго курса математики, въ связи съ сообщеніемъ необходимыхъ философскихъ и историческихъ свѣдѣній**). И на этой ступени конкретно-индуктивный методъ сохраняетъ свою силу при усвоеніи новыхъ понятій, опредѣленій и правилъ, но зато здѣсь доказываются дедуктивно и такія истины, которыя на предыдущихъ ступеняхъ были усвоены чисто эмпирически (напр., всѣ почти основные законы дѣйствій надъ числами), и такимъ образомъ заканчивается необходимая систематизація всѣхъ отдѣловъ математики; конечно, и здѣсь нѣтъ надобности стремиться къ минимуму недоказуемыхъ основныхъ истинъ; важно, чтобы учащіеся восприняли и усвоили

*) Весьма подходящимъ примѣромъ является вопросъ о суммѣ угловъ треугольника.

**) Какъ видно, программа этого концентра, да и предыдущихъ двухъ, довольно существенно отличается отъ традиціонной; но необходимость указанныхъ отступленій и измѣненій настолько общепризнана въ современной педагогикѣ, что было бы излишнимъ ее мотивировать, тѣмъ болѣе, что настоящая статья посвящена вопросу о методѣ, а не о программахъ.

себѣ не только содержаніе математики, какъ орудія міропознанія, но и ея научный строй.

Нечего добавлять, что на всѣхъ ступеняхъ обученія должно быть обращено вниманіе на установленіе тѣсной связи различныхъ отдѣловъ математики между собой и съ другими науками, а характеръ практическихъ упражненій долженъ быть близокъ къ окружающей насъ дѣйствительности.

Таковы основы метода обученія математикѣ, соотвѣтствующаго духу новой школы. Сущность этого метода можетъ быть выражена въ немногихъ словахъ: самостоятельное установленіе математическихъ законовъ при помощи изученія конкретныхъ фактовъ, и приложеніе этихъ законовъ къ рѣшенію разныхъ вопросовъ, которые ставитъ человѣку жизнь. И только при этихъ условіяхъ изученіе математики является драгоцѣннымъ вкладомъ въ общее образованіе.

О необходимыхъ отдѣлахъ математики для экономическихъ наукъ.

П. Некрасовъ. С.-Петербургъ.

(Положенія къ докладу, сдѣланному проф. П. А. Некрасовымъ 29 декабря 1911 года на 1-мъ съѣздѣ преподавателей математики, въ секціи по преподаванію математики въ коммерческихъ учебныхъ заведеніяхъ).

Экономическое образованіе въ Россіи должно быть обосновано на научныхъ достовѣрностяхъ, открываемыхъ съ помощью математики. Необходимы соотвѣтствующіе отдѣлы математики въ среднемъ образованіи. Но математика въ ея элементарныхъ высшихъ основаніяхъ такъ разрослась, что въ планѣ преподаванія средней школы имъ не находится мѣста. Отсюда нѣтъ иного выхода, кромѣ соотвѣтствующаго подраздѣленія на типы. Реальныя гимназіи (т. е. реальныя, техническія и коммерческія училища) можно раздѣлить на слѣдующія двѣ группы:

А) училища, подготовляющія къ механико-техническимъ спеціальностямъ;

Б) училища, подготовляющія къ экономическимъ (торгово-промышленнымъ и сельско-хозяйственнымъ) спеціальностямъ и къ химико-техническимъ наукамъ.

Эти двѣ категоріи училищъ нуждаются въ различныхъ группахъ элементовъ высшей математики. Тогда какъ училища А) нуждаются въ помощи аналитической геометріи и математическаго анализа, другая группа училищъ Б) въ этихъ предметахъ вовсе не нуждается, но очень нуждается въ помощи другой группы математическихъ высшихъ элементовъ, примыкающихъ къ теоріи

соединеній, теоріи чиселъ и къ теоріи безусловныхъ и условныхъ достовѣрностей, т. е. вѣроятностей. Примирить это противорѣчіе можно лишь различіемъ учебнаго плана математики въ старшихъ классахъ училищъ типа (А) и типа (Б) при общности учебнаго плана въ первыхъ четырехъ или пяти классахъ и при равноправіи этихъ типовъ въ отношеніи высшаго образованія.

Чтобы экономическое среднее и высшее образованіе въ Россіи поставить на строго научную почву, необходимо включить въ среднюю школу, въ ея типъ (Б) преподаваніе слѣдующихъ отдѣловъ математики:

1) Математическая теорія вѣроятностей, съ законами большихъ чиселъ и съ теоріей взаимоотношеній (въ смыслѣ Гальтона, Пирсона, Карла Ранке и пр:, см. книгу П. А. Некрасова: Теорія вѣроятностей, часть III);

2) Математическая статистика въ духѣ книги H. Laurent и П. А. Некрасова. Лоранъ излагаетъ математическую статистику, какъ экспериментальную часть раціональной политической экономіи;

3) Графическое исчисленіе, наглядно представляющее при помощи сличительныхъ таблицъ, чертежей и картограммъ ариѳметическія функціи и числовыя закономѣрности различныхъ текущихъ экономическихъ явленій. Изъ этихъ матеріаловъ берется лишь элементарное, вполнѣ посильное возрасту.

Аналитическая-же геометрія и высшій математическій анализъ (дифференціальное и интегральное исчисленія) могли-бы быть въ планѣ училищъ (Б) исключены, (если не хватитъ времени), кромѣ, понятія о координатахъ и кромѣ ученія о maximum — minimum простѣйшихъ функцій, встрѣчающихся въ задачахъ по статистикѣ, кредиту и экономіи. Сокращенію должны подлежать и многія пустопорожнія задачи ариѳметики, алгебры и геометріи. Напротивъ, задачи сближенныя съ запросами жизни, должны быть привѣтствуемы, если онѣ согласны съ наукою. Увлеченіе аналитическимъ изслѣдованіемъ исключаетъ способность разбираться въ вопросахъ, нужныхъ торговому дѣлу. Необходимо выработать страховое, ариѳметическое и комбинаторное мышленіе, столь необходимое для коммерческихъ людей.

Знакомство съ таблицами среднихъ школъ всѣхъ странъ Европы убѣждаетъ въ правильности проводимаго здѣсь взгляда. Даже и Франція пришла къ разочарованію въ своей прежней биффуркаціи. Французская биффуркація спеціальныхъ классовъ (классъ словесный и классъ математическій) замѣнена, по декрету 1902 г. четырьмя спеціальными классами: 1) словесный съ древними языками, 2) словесный съ новыми иностранными языками,

3) математическій съ господствомъ политической ариѳметики и описательной статистики и 4) математическій съ преобладаніемъ аналитической геометріи и анализа.

Экономическая независимость Россіи рѣшительно зависитъ отъ научно-правильной постановки реальной средней школы не только типа (А), но и типа (Б). Предлагаемая реформа основнаго учебнаго плана, поэтому, принадлежитъ къ числу неотложныхъ.

Прим. ред. Послѣ преній по докладу проф. П. А. Некрасова и по другимъ сдѣланнымъ сообщеніямъ, собраніе признало желательнымъ: 1) на слѣдующемъ съѣздѣ преподавателей математики образовать спеціальную секцію по преподаванію математики въ коммерческихъ училищахъ, 2) пересмотрѣть въ ней программу математики коммерческихъ учебныхъ заведеній, 3) обсудить вопросъ о введеніи въ курсъ коммерческихъ училищъ теоріи вѣроятностей и ея приложеній.

Первый всероссійскій съѣздъ преподавателей математики.

I. Чистяковъ. Москва.

Мысль о созывѣ всероссійскаго съѣзда преподавателей математики, неоднократно высказывавшаяся на различныхъ другихъ съѣздахъ,—напр. на XII съѣздѣ естествоиспытателей и врачей въ Москвѣ въ 1909 г.,—получила, наконецъ, осуществленіе, и съѣздъ состоялся въ Петербургѣ въ теченіе времени съ 27 декабря 1911 г. по 3 января 1912 г. Заслуга его осуществленія принадлежитъ группѣ петербургскихъ педагоговъ, которые, во главѣ съ проф. А. В. Васильевымъ, директоромъ Педагогическаго Музея ген.-л. З. А. Макшеевымъ и проф. С. Е. Савичемъ, приняли на себя какъ хлопоты по разрѣшенію съѣзда и предварительную работу по его организаціи, такъ и сложное дѣло веденія засѣданій съѣзда, устройство при немъ выставки учебныхъ и наглядныхъ пособій по математикѣ и печатаніе его „ Трудовъ“.

На съѣздѣ было заслушано и подвергнуто обсужденію нѣсколько десятковъ докладовъ по вопросамъ математики и ея преподаванія. Въ виду предстоящаго появленія въ свѣтъ „Трудовъ“ съѣзда, мы не будемъ перечислять всѣхъ докладовъ и излагать подробно ихъ содержанія, тѣмъ болѣе, что часть сдѣланныхъ сообщеній, съ любезнаго согласія ихъ авторовъ, будетъ напечатана и въ нашемъ журналѣ. Мы сдѣлаемъ лишь общій обзоръ читанныхъ докладовъ по ихъ содержанію, чтобы выяснить главнѣйшія направленія, въ которыхъ развивалась работа съѣзда, и результаты этой работы. При этомъ мы не будемъ различать докладовъ, читанныхъ въ общихъ собраніяхъ и сдѣланныхъ въ секціяхъ, такъ какъ особеннаго различія между содержаніемъ тѣхъ и другихъ не было.

Въ первую группу прочитанныхъ сообщеній можно отнести доклады научно-математическаго содержанія, не имѣющіе непо-

средственнаго отношенія къ вопросамъ преподаванія. Таковы были возбудившіе общій интересъ доклады В. Ѳ. Кагана: „О преобразованіи многогранниковъ“, С. О. Шатуновскаго: „Ученіе о величинѣ“, И. И. Александрова: „О построеніи параллелограммовъ“. По поводу докладовъ научнаго характера участники съѣзда выражали горячее пожеланіе объ организаціи временныхъ курсовъ для учителей средней школы, на которыхъ они могли-бы освѣжать и дополнять свои познанія соотвѣтственно современному развитію математической науки.

Та-же научная сторона интересовала членовъ съѣзда, главнымъ образомъ, и въ рядѣ докладовъ, посвященныхъ вопросу о введеніи въ курсъ средней школы нѣкоторыхъ новыхъ математическихъ дисциплинъ. Таковы были доклады М. Л. Франка: „Номографія и ея значеніе для средней школы“, П. А. Долгушина: „Неэвклидова геометрія въ средней школѣ“, С. А. Богомолова: „Обоснованіе геометріи въ связи съ постановкой ея преподаванія“, Б. Б. Піотровскаго: „Курсъ теоретической ариѳметики въ старшихъ классахъ средней школы“ и нѣкоторые другіе. Авторы сообщеній этого рода обыкновенно излагали въ сжатой и часто увлекательной формѣ основы предлагаемыхъ ученій, что и представляло для членовъ съѣзда главный ихъ интересъ. По вопросу-же о практическомъ осуществленіи этихъ предложеній высказывалось довольно много небезосновательныхъ сомнѣній. Найдется-ли время для прохожденія въ школѣ этихъ интересныхъ ученій? Подготовлены-ли наши учителя въ достаточной мѣрѣ къ преподаванію этихъ наукъ? Имѣются-ли по нимъ хорошія руководства, задачники и наглядныя пособія?—вотъ вопросы, которые по поводу этихъ докладовъ вставали предъ педагогами - практиками, не смотря на все принципіальное сочувствіе ихъ обновленію школьной математики новымъ содержаніемъ. До извѣстной степени подобна гоже рода сомнѣнія высказывались членами съѣзда и по поводу интереснѣйшихъ докладовъ предсѣдателя съѣзда А. В. Васильева и В. В. Бобынина, изъ которыхъ первый высказался за введеніе въ преподаваніе математики философскихъ, а второй—историческихъ элементовъ.

Съ несравненно большей увѣренностью относительно практическаго осуществленія съѣздъ выслушалъ и принялъ предложенія, касающіяся введенія въ курсъ средней школы началъ, высшей математики, именно—понятій о функціи, функціональной зависимости и о графическомъ представленіи функцій, а также основаній анализа безконечно малыхъ. Доклады, посвященные этому вопросу, заняли главное и центральное мѣсто въ занятіяхъ съѣзда. Исчерпывающее освѣщеніе вопросу о введеніи началъ высшей математики въ среднюю школу было дано въ сообщеніи М. Г. Попруженко: „Анализъ безконечно малыхъ въ средней школѣ“. Въ немъ референтъ справедливо привѣтствовалъ послѣдовавшее уже частичное введеніе основъ анализа безконечно-малыхъ въ программу нѣкоторыхъ среднихъ учебныхъ заведеній, какъ важное культурное пріобрѣтеніе нашего времени. Разъяснивъ своевременность и важность этой реформы и указавъ на то, что

жизненность и цѣлесообразность ея уже подтверждаются сдѣланнымъ въ послѣдніе годы опытомъ, референтъ перешелъ къ обозрѣнію руководствъ по курсу анализа безконечно малыхъ для средне-учебныхъ заведеній, появившихся на французскомъ, нѣмецкомъ и русскомъ языкахъ. Отмѣтивъ, что сравнительно большими достоинствами въ настоящее время отличаются французскіе учебники, М. Г. Попруженко высказалъ мнѣніе, что и русскіе учебники, не смотря на нѣкоторую ихъ схематичность, стоятъ въ общемъ на правильномъ пути и позволяютъ надѣяться, что у насъ со временемъ выработаются вполнѣ хорошія руководства по анализу безконечно-малыхъ. Того-же важнаго для нашей школы вопроса касались съ разныхъ сторонъ и многіе другіе докладчики, причемъ они всѣ сочувственно относились къ реформѣ; упомянемъ относящіяся сюда сообщенія г.г. Филипповича, Пичугина, Франка, Томилина, г-жи Тамамшевой и мн. др. И хотя при обсужденіи этихъ докладовъ выяснились и значительныя трудности, стоящія на пути къ введенію въ школу началъ высшей математики, съѣздъ опредѣленно высказался за желательность введенія въ учебный курсъ математики понятій о функціональной зависимости и началъ анализа и аналитической геометріи.

Необходимое для прохожденія вновь вводимыхъ отдѣловъ время рѣшено было получить чрезъ исключеніе изъ существующихъ программъ ряда статей второстепеннаго значенія. Эти подлежащія опущенію статьи нѣсколько различно указывались въ докладахъ, однако было ясно, что особенно большого выигрыша времени этимъ путемъ получить не удастся. Между тѣмъ, крайне желательно, чтобы учащіеся могли быть возможно основательнѣе ознакомлены съ элементами высшей математики, и въ особенности тѣ изъ нихъ, которые предполагаютъ въ высшей школѣ изучать математическія науки. Выходъ изъ этого положенія съѣздъ усмотрѣлъ въ развѣтвленіи преподаванія въ старшихъ классахъ, при которомъ учащіеся, склонные къ изученію математики, могли-бы ею заниматься въ спеціальныхъ математическихъ отдѣленіяхъ. Мысль о введеніи подобной спеціализаціи въ старшихъ классахъ средней школы нашла себѣ авторитетную поддержку въ докладахъ по вопросу о согласованіи программъ математики средней и высшей школы, прочитанныхъ проф. К. А. Поссе и директоромъ Межевого Института В. Б. Струве (къ общему огорченію заболѣвшимъ и скончавшимся въ Петербургѣ вскорѣ по окончаніи съѣзда). Въ этихъ докладахъ было указано, что въ настоящее время учащіеся поступаютъ въ высшія учебныя заведенія совершенно неподготовленными къ слушанію курсовъ высшей математики, и учрежденіе спеціальныхъ математическихъ классовъ въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ могло-бы содѣйствовать математической подготовкѣ абитуріентовъ средней школы, какъ это давно уже практикуется во Франціи и другихъ странахъ З. Европы. Того-же вопроса о развѣтвленіи преподаванія коснулся и проф. П. А. Некрасовъ въ докладѣ, посвященномъ вопросу о преподаваніи математики въ коммерческихъ учебныхъ заведеніяхъ.

Не менѣе, чѣмъ вопросъ о содержаніи курса школьной математики, членовъ съѣзда интересовалъ, конечно, и вопросъ, какъ учить. На чемъ долженъ базироваться преподаватель, чтобы учить наиболѣе успѣшно? Группа докладчиковъ указывала на крайне важное значеніе въ этомъ отношеніи знакомства съ данными психологіи и экспериментальной педагогики. Таковы были доклады и разъясненія г.г. С. И. Шохоръ-Троцкаго, В. Р. Мрочека, П. Д. Енько и проф. А. П. Нечаева. Послѣдній, кромѣ того, въ спеціальной 4-часовой лекціи любезно познакомилъ участниковъ съѣзда съ основами экспериментальной педагогики, ея методами и приборами для изслѣдованій и нѣкоторыми результатами наблюденій надъ учащимися. Эти свѣдѣнія были очень интересны и цѣнны для членовъ съѣзда, но въ то-же время многіе изъ нихъ пришли къ заключенію, что экспериментальная педагогика и ея прикладная сторона находятся еще въ стадіи разработки и пока, въ обычныхъ условіяхъ русской школьной жизни, не могутъ быть непосредственно положены въ основу обученія математикѣ. За то никакихъ сомнѣній не возбуждали и вызывали полное сочувствіе членовъ съѣзда доклады, указывающіе на необходимость развивать у учащихся образное мышленіе и съ этою цѣлью пользоваться при школьномъ преподаваніи математики принципомъ наглядности. Референты предлагали проводить этотъ принципъ не только на низшихъ ступеняхъ обученія, какъ это многими и теперь практикуется, но, по возможности, примѣнять его на всѣхъ стадіяхъ преподаванія; къ обычнымъ формамъ пользованія наглядными пособіями очень рекомендовалось присоединить еще такъ называемую „лабораторную методу“, при которой наглядныя пособія изготовляются самими учащимися, и которая съ большимъ успѣхомъ примѣняется въ школьномъ преподаваніи въ З. Европѣ и Америкѣ. Особенно обстоятельный докладъ изъ названной области былъ сдѣланъ Д. Э. Теннеромъ, который всесторонне освѣтилъ вопросъ о пользованіи наглядными пособіями въ преподованіи математики; замѣтимъ, что подъ руководствомъ г. Теннера была организована и выставка наглядныхъ математическихъ пособій при съѣздѣ. Изъ другихъ сообщеній подобнаго-же содержанія назовемъ доклады А. Н. Смирнова, А. Р. Кулишера и пр.

Но наибольшее число сообщеній на съѣздѣ было посвящено, какъ и слѣдовало ожидать вопросамъ методики, причемъ референты касались какъ общихъ, такъ и чисто спеціальныхъ вопросовъ преподаванія. Темамъ болѣе общаго содержанія были посвящены доклады: Н. Н. Володкевича—„О реальномъ направленіи математики въ связи съ жизненными фактами“, К. Ѳ. Лебединцева „Методъ обученія математикѣ въ старой и новой школѣ“, С. А. Неаполитанскаго: „Элементы логики въ школьной математикѣ“, Ѳ. А. Эрна: „Спорные вопросы въ современной методикѣ ариѳметики“, Д. Д. Галанина: „Объ измѣненіи метода обученія въ низшей и средней школѣ“ и др. Болѣе частнымъ вопросамъ были посвящены сообщенія Н. А. Извольскаго, Д. М. Левитуса, Е. С. Томашевича, Б. А. Марковича, В. А. Крогіуса, К. Ѳ. Лебединцева и многія другія.

Почти всѣ доклады сопровождались оживленными преніями. Въ частности, общее сочувствіе встрѣтили сообщенія, настаивающія на введеніи въ программу нашей средней школы интуитивнаго пропедевтическаго курса геометріи; интересный докладъ по этому поводу былъ сдѣланъ (съ демонстраціями) А. Р. Кулишеромъ. Нѣсколько отдѣльныхъ сообщеній были посвящены обозрѣнію современной учебной литературы по различнымъ отдѣламъ математики. Не было, однако, докладовъ по вопросамъ преподаванія тригонометріи, систематическаго курса аналитической геометріи и начертательной геометріи; осталась почти не затронутой область приложенія математики къ другимъ наукамъ. Жгучему вопросу объ экзаменахъ по математикѣ былъ посвященъ содержательный докладъ Б. А. Марковича, который указалъ на крайнюю неудовлетворительность современной системы экзаменовъ въ нашей средней школѣ и предложилъ въ ней существенныя измѣненія, причемъ встрѣтилъ полное сочувствіе собранія. Вопросу о подготовкѣ преподавателей математики было посвящено обширное сообщеніе В. Ѳ. Кагана, изложившаго исторію этого важнаго дѣла въ Россіи и его современное положеніе.

Въ виду того, что 1-й съѣздъ преподавателей математики въ Россіи стоитъ въ связи съ западно-европейскимъ движеніемъ въ пользу реформы преподаванія математическихъ наукъ, нельзя не пожалѣть, что на немъ не было сдѣлано сообщеній о дѣятельности Международной Комиссіи по реформѣ преподаванія математики и ея русской делегаціи. Лишь въ заключительномъ засѣданіи съѣзда предсѣдатель его проф. А. В. Васильевъ вкратцѣ упомянулъ о дѣятельности Международной Комиссіи, и по его предложенію, съѣздъ послалъ привѣтственныя телеграммы заслуженнымъ ея дѣятелемъ Ф. Клейну, Гуцмеру и Ш. Лезану (изъ русскихъ дѣятелей были посланы привѣтствія проф. В. П. Ермакову и бывшему Директору Педагогическаго Музея ген. А. Н. Макарову). Сопоставляя программу, выработанную Международной Комиссіей, съ дѣятельностью 1-го съѣзда, можно видѣть, что очень многіе вопросы, поставленные Комиссіей, получили освѣщеніе въ докладахъ прочитанныхъ на съѣздѣ. Но нѣкоторые вопросы, которые Комиссія считаетъ важными, остались всетаки почти или вовсе не затронутыми на съѣздѣ, таковы, напр. вопросы о сліяніи (фузіонизмѣ) различныхъ частей математики между собою и съ другими вѣтвями знанія, и особенно—вопросъ о практическихъ приложеніяхъ математики въ другихъ наукахъ: физикѣ, механикѣ, естествознаніи и пр. Такимъ образомъ дѣятельность съѣзда не была свободна и отъ нѣкоторыхъ пробѣловъ и недочетовъ, неизбѣжныхъ во всякомъ новомъ и сложномъ дѣлѣ, но тѣмъ не менѣе онъ имѣлъ несомнѣнно важное и благотворное значеніе. Онъ способствовалъ оживленію и поднятію интереса у насъ къ математикѣ и ея преподаванію, выясненію недостатковъ въ существующей постановкѣ математическаго образованія и выработкѣ плана необходимыхъ реформъ. Онъ содѣйствовалъ, кромѣ того, непосредственному общенію между собою преподавателей математики, съѣхавшихся изъ самыхъ различныхъ мѣстностей

Россіи въ числѣ свыше 1200 человѣкъ. Замѣтимъ, что особая группа докладовъ на съѣздѣ была посвящена сообщеніямъ о дѣятельности кружковъ и обществъ, занимающихся разработкою вопросовъ математики и ея преподаванія. Изъ этихъ докладовъ выяснилось, что въ настоящее время число такихъ кружковъ доходитъ до десяти, и что нѣкоторые изъ нихъ ведутъ оживленную научно-педагогическую работу, объединяя мѣстныхъ педагоговъ-математиковъ въ ихъ дѣятельности. Съѣздъ весьма сочувственно принялъ сообщенія о жизни и дѣятельности математическихъ кружковъ и выразилъ пожеланіе, чтобы число ихъ возрастало и чтобы они со временемъ объединились въ общую организацію.

Ниже мы помѣщаемъ полностью всѣ резолюціи, постановленныя съѣздомъ въ его заключительномъ засѣданіи. Справедливо находя невозможнымъ сдѣлать окончательныя постановленія по всѣмъ возбужденнымъ на немъ вопросамъ, 1-й съѣздъ выразилъ свои резолюціи лишь въ видѣ общихъ пожеланій, предоставивъ 2-му всероссійскому съѣзду преподавателей математики детально разработать всѣ намѣченные вопросы. При этомъ 2-й съѣздъ признано желательнымъ созвать въ Москвѣ, въ декабрѣ 1913 года, и организація его поручена Московскому Математическому Кружку.

Резолюціи Перваго Всероссійскаго Съѣзда Преподавателей Математики.

Первый Всероссійскій съѣздъ преподавателей математики, заслушавъ и обсудивъ доклады по всѣмъ вопросамъ, относящимся къ программѣ съѣзда, пришелъ къ слѣдующимъ заключеніямъ:

1) Съѣздъ признаетъ необходимымъ поднять самодѣятельность и активность учащихся, а также усилить наглядность преподаванія на всѣхъ его ступеняхъ и въ то же время повысить логическій элементъ въ старшихъ классахъ, считаясь однако съ психологическими особенностями возраста учащихся и съ доступностью для нихъ преподаваемаго матеріала.

2) Съѣздъ признаетъ своевременнымъ опустить изъ курса математики средней школы нѣкоторые вопросы второстепеннаго значенія, провести чрезъ курсъ и ярко освѣтить идею функціональной зависимости, а также—въ цѣляхъ сближенія преподаванія въ средней школѣ съ требованіями современной науки и жизни— ознакомить учащихся съ простѣйшими и несомнѣнно доступными имъ идеями аналитической геометріи и анализа.

3) Съѣздъ признаетъ крайне желательнымъ, чтобы авторы настоящихъ и будущихъ учебниковъ приняли во вниманіе точки зрѣнія, изложенныя во 2-мъ пунктѣ настоящихъ резолюцій. Въ частности признается желательнымъ выработка задачниковъ, соотвѣтствующихъ кругу интересовъ учащихся на каждой ступени ихъ обученія и включающихъ въ себя данныя изъ физики, космографіи, механики и пр., а также составленіе математической хрестоматіи, дополняющей и углубляющей свѣдѣнія, выносимыя учащимися изъ обязательной программы.

4) Съѣздъ признаетъ желательной подробную разработку вопроса о такой организаціи преподаванія въ средней школѣ, которая, сохраняя общеобразовательный ея характеръ, допускала-бы спеціализацію въ старшихгь классахъ, приноровленную къ индивидуальнымъ способностямъ учащихся и удовлетворяющую требованіямъ высшей школы.

5) Съѣздъ признаетъ желательнымъ, чтобы наиболѣе одаренные въ математическомъ отношеніи учащіеся могли найти въ учебномъ заведеніи удовлетвореніе своимъ запросамъ, а также организованное руководительство со стороны учебнаго персонала.

6) Съѣздъ признаетъ желательнымъ, чтобы университетъ безъ ущерба для главнаго своего назначенія—служить наукѣ и научному образованію—усилилъ свое преподаваніе элементами, необходимыми для будущаго преподавателя средней школы.

7) Съѣздъ признаетъ необходимымъ, чтобы кандидаты въ преподаватели по окончаніи высшаго учебнаго заведенія получали спеціальную педагогическую подготовку на курсахъ, возможно лучше обезпеченныхъ преподавательскими силами и матеріальными средствами.

8) Съѣздъ считаетъ необходимымъ, помимо постоянныхъ курсовъ, устраивать для освѣженія какъ научной, такъ и педагогической подготовки учителей среднихъ учебныхъ заведеній, также краткосрочные курсы и съѣзды.

9) Въ цѣляхъ повышенія спеціальнаго и педагогическаго самообразованія преподавателей желательно, чтобы библіотеки учебныхъ заведеній были въ полной мѣрѣ снабжены необходимыми учеными, учебными, методическими сочиненіями, справочными изданіями и журналами.

10) Съѣздъ признаетъ желательнымъ, чтобы педагогическимъ совѣтамъ учебныхъ заведеній было предоставлено больше самостоятельности въ дѣлѣ распредѣленія учебнаго матеріала по классамъ и въ выборѣ учебныхъ руководствъ.

11) Съѣздъ признаетъ желательнымъ повысить въ женскихъ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ уровень преподаванія математики, какъ въ виду высокаго образовательнаго значенія этого предмета, такъ и въ виду широкаго стремленія оканчивающихъ женскую школу къ высшему образованію.

12) Сознавая всю сложность высказанныхъ здѣсь пожеланій, съѣздъ признаетъ необходимымъ проявить соотвѣтствующую осторожность при всѣхъ начинаніяхъ, касающихся проведенія ихъ въ жизнь. Въ виду этого съѣздъ выразилъ настоящія резолюціи въ весьма общей формѣ и поручаетъ организаціонному комитету 2-го съѣзда составить комиссіи, которыя занялись бы тщательной и детальной обработкой высказанныхъ здѣсь общихъ пожеланій.

Доклады этихъ комиссій необходимо отпечатать и не позже, чѣмъ за 3 мѣсяца до начала 2-го съѣзда, разослать состоящимъ при всѣхъ вѣдомствахъ ученымъ комитетамъ, совѣтамъ и конференціямъ высшихъ учебныхъ заведеній, математическимъ обществамъ и кружкамъ, преподавателямъ математики среднихъ учебныхъ заведеній, а также органамъ педагогической печати.

Обсужденіе этихъ докладовъ и постановленіе по нимъ окончательныхъ рѣшеній должно составить главную задачу 2-го Всероссійскаго съѣзда преподавателей математики.

13) Съѣздъ признаетъ желательнымъ, чтобы отдѣльные члены его представили въ организуемыя комиссіи свои соображенія по указаннымъ въ предыдущихъ пунктахъ вопросамъ. Соображенія эти, если не будутъ включены въ доклады, должны быть къ нимъ приложены.

14) Въ виду, того, что крайне серьезный вопросъ объ экзаменахъ и письменныхъ работахъ обсуждался только въ одной изъ секцій и не прошелъ черезъ общее собраніе, съѣздъ, признавая неудовлетворительность современной постановки этого дѣла въ въ средней школѣ и необходимость коренныхъ въ ней измѣненій, поручаетъ организаціонному комитету 2-го съѣзда организовать по этому вопросу отдѣльную комиссію, въ которую передать и поступившія по этому вопросу изъ 2-ой секціи заявленія.

15) Съѣздъ выражаетъ желаніе, чтобы на 2-мъ Съѣздѣ преподавателей математики были образованы особыя секціи преподавателей женскихъ, техническихъ и коммерческихъ учебныхъ заведеній и чтобы туда были представлены доклады о переработкѣ программъ математики этихъ учебныхъ заведеній.

10) Въ виду того, что въ настоящее время въ различныхъ мѣстахъ Россіи работаетъ довольно много математическихъ кружковъ, желательно созданіе особой организаціи, которая оставляя эти кружки вполнѣ самостоятельными, объединила - бы ихъ на почвѣ общихъ интересовъ и стремленій.

17) Съѣздъ выражаетъ свою признательность тѣмъ органамъ печати, которые служили и служатъ дѣлу преподаванія математическихъ наукъ и привѣтствуетъ начинаніе Московскаго Математическаго Кружка, выразившееся въ изданіи журнала „Математическое образованіе“, который включилъ въ свои задачи содѣйствіе взаимному освѣдомленію обществъ и кружковъ, посвящающихъ себя дѣлу математическаго образованія.

18) Съѣздъ признаетъ необходимымъ созвать, второй Всероссійскій Съѣздъ преподавателей математики въ Москвѣ въ декабрѣ 1913-го года и проситъ Московскій Математическій Кружокъ, въ виду выраженной предсѣдателемъ и присутствующими членами его готовности организовать Второй Съѣздъ, взять на себя выполненіе этой задачи.

19) Съѣздъ поручаетъ своему организаціонному комитету сообщить настоящія свои постановленія Министрамъ и Главноуправляющимъ, въ вѣдѣніи которыхъ находятся среднія учебныя заведенія.

Задачи.

12. Рѣшить уравненія:

Е. С. Томашевичъ.

13. Въ уравненіи ах2-\-Ьх-{-с=0 выразить коэффиціенты такъ, чтобы корни уравненія были всегда раціональны, независимо отъ знаковъ у коэффиціентовъ (напр. частный случай: 2ж2^=5ж~3=0).

(Его же).

14. Показать, что если члены ариѳметической прогрессіи суть положительныя цѣлыя числа, то, при нечетной разности прогрессіи, сумма четырехъ послѣдовательныхъ членовъ не можетъ быть точнымъ квадратомъ.

Э. Ю. Лейнѣкъ.

15. Показать, что ни въ одной ариѳметической прогрессіи съ раціональными членами произведеніе четырехъ послѣдовательныхъ членовъ не можетъ быть точнымъ биквадратомъ.

(Его же).

16. Изъ данной точки на окружности опустить перпендикуляръ на данный діаметръ, примѣняя для построенія лишь одну линейку. (Центръ предполагается неизвѣстнымъ).

(Его же).

17. Даны двѣ окружности О и О,, на нихъ по точкѣ А и В, и еще внѣшняя точка С. Отыскать на окружностяхъ еще по точкѣ, X и Г, такъ, чтобы дуги АХ и В Y были подобны и чтобы /.CYX былъ данной величины.

И. И. Александровъ.

18. Даны три параллели и на нихъ по точкѣ А, В и С. Отыскать на нихъ еще по точкѣ X, Y и Z такъ, чтобы отношенія AX: BY, BY: СЪ и уголъ XYZ имѣли данныя значенія.

(Его же).

Рѣшенія задачъ.

Л? 1. Рѣшить уравненіе:

(іах2 -(- Ьх4- су = X2 (Ах2 + Ьх -|~ с).

Раздѣляя обѣ части ур. на ж4, (при чемъ потери корней не можетъ произойти), придадимъ ему видъ:

обозначая трехчленъ въ лѣвой части уравненія чрезъ я, получимъ

откуда

слѣдовательно

откуда найдемъ значенія х.

Вѣрныя рѣшенія прислали: Д. Казариновъ, А. А, Мазингъ, А. И. Жилинскій. Э. Ю. Лейнѣкъ (Москва), К. Верещагинъ (Козловъ), Д. Рѣдько (Миргородъ).

№ 2. Доказать, что если т нечетное число, то

Въ справедливости равенства легко убѣдиться непосредственно, если начать суммировать данный рядъ съ конца, т.-е. сложить послѣдній и предпослѣдній его члены, къ полученной суммѣ прибавить 3-й членъ отъ конца и т. д. Но то же равенство можетъ быть доказано и по способу математической индукціи; именно, замѣчая, что равенство вѣрно для ш = 1, т — 3 и проч., допустимъ, что оно справедливо для — -— членовъ, т.-е.

тогда первая часть доказываемаго равенства можетъ быть представлена въ видѣ:

Вѣрныя рѣшенія прислали: С. Саакова, Э. Ю. Лейнѣкъ, Д. Казариновъ (Москва), Д. Рѣдько (Миргородъ).

«N5 8. Найти нѣсколько послѣдовательныхъ цѣлыхъ чиселъ, сумма которыхъ равнялась бы 1000.

Рѣшеніе см. въ статьѣ Н. Агрономова (ст. 70).

Вѣрныя рѣшенія доставили: С. Саакова, Д. Казариновъ, П Новиковъ, М. С. Зильберштейнъ (Москва), К. Верещагинъ (Козловъ), Д. Рѣдько (Миргородъ).

№ 11. Рѣшить уравненіе:

32 sin*x — 40 sin*x -j- 10 sinx — 1 = 0,

Изъ уравненія находимъ

16 sinbx — 20 sin*x-\-§ sinx = —;

или

отсюда

Вѣрныя рѣшенія: А. И. Жилинскій, М. С. Зильберштейнъ, Э. Ю. Лейнѣкъ (Москва), К. Верещагинъ (Козловъ).

Библіографическій отдѣлъ.

Дж. В. А. Юнгъ. (проф. методики математики чикагскаго университета). Какъ преподавать математику? [J. W. А. Joung. The teaching of Mathematics in the Elementary and the Secondary School]. Спб. Изд. „Общественная польза“ 1912 г. Вып. I. Перевелъ и дополнилъ А. Р. Кулишеръ.

М. Симонъ (проф. Страсбургскаго Университета, старшій препод. Страсбургскаго лицея). Дидактика и методика математики въ средней школѣ. (Prof. Dr. Max. Simon. Didaktik und Methodik des Rechnens und der Mathematik). Спб. Изд. Phisice. 1912 г. Перевелъ I. В. Яшунскій.

П. Трейтлейнъ. Методика геометріи. [Р. Treutlein. Der geometrische Anschauungsunterricht als Unterstufe eines zweistufigen geometrischen Unterrichtes]. Спб. Изд. журнала „Обновленіе школы“. 1912 г. Переводъ подъ редакціей Ф. В. Филипповича*).

Почти одновременный выходъ въ свѣтъ переводовъ трехъ книгъ, имѣющихъ своимъ предметомъ методику преподаванія въ средней школѣ, указываетъ на несомнѣнную потребность въ такихъ сочиненіяхъ, а также и на оживленіе интереса къ подобнымъ вопросамъ въ средѣ преподавателей нашей средней школы; послѣдній фактъ подтверждается также тѣмъ оживленіемъ и многолюдствомъ, которымъ отличался Первый всероссійскій съѣздъ преподавателей математики. Есть достаточное основаніе предполагать, что и переводчики и издатели старались выпустить перечисленныя книги къ съѣзду; послѣднее можно съ несомнѣнностью утверждать относительно переводовъ Юнга и Трейтлейна.

Въ виду однородности вопросовъ, разсматриваемыхъ во всѣхъ трехъ сочиненіяхъ, намъ представляется болѣе удобнымъ разсмотрѣть всѣ ихъ въ одной рецензіи.

Первыя двѣ изъ названныхъ книгъ разсматриваютъ вопросы преподаванія элементарной математики во всемъ его объемѣ, послѣдняя — имѣетъ своимъ предметомъ лишь наглядный курсъ геометріи. Въ виду сказаннаго мы посвятили наше вниманіе главнымъ образомъ первымъ двумъ. Сперва постараемся дать посильную оцѣнку разбираемыхъ сочиненій въ томъ видѣ, въ какомъ они вышли изъ-подъ пера ихъ авторовъ, а потомъ укажетъ, что внесли въ нихъ переводчики, какъ со стороны различныхъ дополненій, такъ и съ точки зрѣнія качества перевода.

Книга Юнга представляетъ одинъ изъ томовъ серіи педагогическихъ руководствъ, изданныхъ подъ редакціей Рёсселя фирмой Лонгмэнгъ, Гринъ и К°. Она распадается на двѣ почти равныя части.

Первая посвящена разсмотрѣнію вопросовъ: о значеніи изученія педагогики математики; о значеніи математики, какъ предмета общаго образованія; о методахъ преподаванія; о подготовкѣ преподавателей; о важности для преподавателя широкаго математическаго образованія; заканчивается она указаніемъ списка необходимыхъ въ школѣ пособій и книгъ, какъ для учителя, такъ и для учениковъ. Переводъ этой части и выпущенъ пока фирмой „Общественная польза“.

Вторая часть начинается съ обзора пожеланій относительно постановки преподаванія математики, а также съ изложенія современныхъ тенденцій преподаванія въ Европѣ и Америкѣ. Далѣе выясняется значеніе тѣхъ предложеній, которыя должны быть положены въ основу всякой математической науки, именно т. н. аксіомъ и опредѣленій, и разсматривается вопросъ о формѣ про-

*) Подлинныя заглавія перечисленныхъ книгъ приведены составителемъ рецензіи.

веденія въ школьномъ преподаваніи научныхъ требованій, касающихся указаннаго вопроса.

Далѣе идетъ то, что можетъ быть названо методикой (въ узкомъ смыслѣ слова), ариѳметики, алгебры и геометріи. Отдѣльную главу посвящаетъ авторъ вопросамъ, связаннымъ съ понятіемъ предѣла.

Изъ приведеннаго краткаго содержанія книги можно видѣть, насколько должно быть интересно ея содержаніе. Но цѣнность книги обусловливается главнымъ образомъ широкимъ образованіемъ автора, умѣньемъ ставить вопросы научно въ формѣ простой, но достаточно широкой, въ умѣньи sine ira et Studio освѣтить различные методическіе пріемы. Въ виду сказаннаго слѣдуетъ признать, что выборъ книги для перевода сдѣланъ весьма удачно.

Нѣсколько инымъ характеромъ отличается дидактика Макса Симона (представляющая отдѣльный выпускъ „Handbuch d. Erziehungsund Unterrichtslehre“). Послѣдній является педагогомъ, не столько объективно излагающимъ Status quo преподаванія математики, современныя тенденціи и т. д., сколько методистомъ воинствующимъ. Достаточно указать, что, несмотря на близость въ цѣломъ рядѣ взглядовъ съ руководителемъ т. н. Reformbewegung Феликсомъ Клейномъ, онъ является однимъ изъ самыхъ ярыхъ его оппонентовъ.

Въ виду сказаннаго дидактика Симона носитъ въ нѣкоторыхъ своихъ частяхъ рѣзко полемическій характеръ, и цѣлый рядъ взглядовъ автора настолько субъективенъ, что съ ними нерѣдко трудно согласиться. Но въ чемъ нельзя отказать автору — въ замѣчательной эрудиціи и философской (хотя нерѣдко односторонней), постановкѣ основныхъ вопросовъ методики. Въ силу сказаннаго, хотя и не все предлагаемое Симономъ можетъ быть признано пріемлемымъ, хотя и тѣ, кому возражаетъ Симонъ, иногда болѣе правы, чѣмъ онъ самъ, но чтеніе его книги можетъ быть полезнымъ въ томъ отношеніи, что, не давая чего-либо особенно новаго въ изложеніи вопросовъ методики, содержитъ достаточно матеріала, вызывающаго на размышленіе; чѣмъ же особенно цѣнна книга Симона — это богатствомъ литературнаго матеріала, использованнаго и цитируемаго авторомъ.

Содержаніе книги распадается на слѣдующія главы: 1) историческое развитіе преподаванія математики, 2) общая методика, 3) обученіе счету (то, что у насъ обычно называется ариѳметикой), 4) ариѳметика и алгебра, 5) дидактика ариѳметики и алгебры, 6) геометрія, 7) спеціальная дидактика геометріи, 8) веденіе преподаванія, 9) учебники и задачники. Въ главахъ третьей, четвертой и пятой авторъ ссылается на другое составленное имъ методическое руководство: „Methodik der elementaren Arithmetik“; въ главахъ, посвященныхъ геометріи, на свое письмо къ Феликсу Клейну „Ueber den einleitenden geom. Unterricht auf Quarta“, а также имѣетъ въ виду свою брошюру „Die Elemente der Geometrie mit Rücksicht auf die absolute Geometrie“. Слѣдуетъ замѣтить, что чтеніе главъ 7 и 8 можетъ оставить въ впечатлѣніяхъ читателя много неяснаго, если не имѣть подъ руками послѣдней книги.

Третья изъ разбираемыхъ книгъ, какъ ясно изъ ея нѣмецкаго заглавія, имѣетъ въ виду наглядное обученіе геометріи. Она начинается интересно написаннымъ историческимъ очеркомъ преподаванія геометріи; вторая глава посвящена мотивировкѣ необходимости введенія нагляднаго курса. Эти двѣ главы и составляютъ содержаніе выпущенной журналомъ „Обновленіе школы“ первой части „Методики геометріи“. Дальнѣйшія главы содержатъ подробно разработанный планъ нагляднаго преподаванія геометріи, а также, въ заключительной части, обсужденіе вопроса о характерѣ изложенія на высшей ступени преподаванія геометріи. Въ этой части подвергаются разбору, т. н. Меранскія предложенія (Meraner Vorschläge), выработанныя подъ руководствомъ Клейна; авторъ заявляетъ себя сторонникомъ т. н. „Fusion“, т. е. внесенія въ изученіе геометріи на плоскости разсмотрѣнія пространственныхъ образовъ. Въ виду того, что вопросъ о лучшей постановкѣ преподаванія геометріи и у насъ чувствуется сравнительно острѣе другихъ, книга Трейтлейна является весьма полезной и интересной, тѣмъ болѣе, что вопросъ о содержаніи т. н. „интуитивнаго“ курса геометріи не можетъ еще считаться въ настоящее время рѣшеннымъ удовлетворительно.

Переводчики первой и второй книги сочли необходимымъ внести нѣкоторыя дополненія сравнительно съ содержаніемъ подлинниковъ. Такъ, г. Кулишеръ обѣщаетъ приложить ко второму выпуску сочиненія Юнга слѣдующія главы: Проф. М. Векки. „Характеристика главнѣйшихъ руководствъ по эле-

ментарной геометріи, вышедшихъ въ свѣтъ въ Италіи за послѣднее пятидесятилѣтіе; и „Изъ уроковъ ариѳметики и геометріи. Новѣйшая литература на иностранныхъ языкахъ и на русскомъ языкѣ“. Г. Яшунскій указываетъ въ предисловіи къ переводу, что онъ счелъ необходимымъ перенести въ русское изданіе тѣ главы изъ цитированной выше „Meth. d. elem. Arithm“, на которыя ссылается авторъ, а также и письмо автора къ Ф. Клейну; съ другой стороны отмѣчается то, что „многочисленныя библіографическія и литературно-полемическія замѣтки вынесены изъ текста и помѣщены въ концѣ каждой главы въ видѣ примѣчаній, а нѣкоторыя замѣчанія (равно какъ заключительная глава объ учебныхъ пособіяхъ) вовсе опущены, какъ представляющія интересъ спеціально для нѣмецкихъ читателей“. За сдѣланныя дополненія можно переводчика лишь благодарить; слѣдуетъ отмѣтить только, что мелкій шрифтъ, которымъ напечатаны нѣкоторые отдѣлы, далеко не всегда указываетъ (какъ можетъ показаться сначала) на то, что дѣло идетъ о выдержкѣ изъ другого сочиненія. Что касается пропусковъ и сокращеній, то о нихъ приходится пожалѣть, такъ какъ рѣшеніе вопроса о томъ, что представляетъ „интересъ спеціально для нѣмецкихъ читателей“ можетъ носить слишкомъ субъективный характеръ; да и самъ переводчикъ не установилъ даже для себя въ этомъ отношеніи строгаго критерія. Такъ на стр. 34 опущена ссылка на положеніе вопроса объ экзаменахъ на званіе учителя въ Эльзасъ-Лотарингіи (гдѣ протекаетъ дѣятельность автора), а дальнѣйшія указанія на положеніе дѣлъ въ той же части Германіи сохранены.

Особенно же приходится пожалѣть объ исключеніи главы, содержащей указатель учебной литературы. Слѣдуетъ замѣтить, кромѣ того, что брошюра „Die Elem. d. Geom.“, повидимому, осталось неизвѣстной переводчику.

Что касается качества переводовъ, то, къ сожалѣнію, ихъ нельзя признать вполнѣ удовлетворительными. Такъ, напр., на стр. 8 книги Юнга читаемъ: „Возраженіе“ (противъ изученія методики), „отмѣчающее опасность „философствованія“ и проистекающей отсюда механичности*), является.... наиболѣе сильнымъ“, т. е. совершенно непонятную фразу; объясняется это неправильнымъ переводомъ слова „machinery“, которому выше переводчикъ далъ болѣе правильное толкованіе.

Г. Яшунскій, довольно удачно въ общемъ справляясь съ философской терминологіей Симона, дѣлаетъ грубыя ошибки въ переводѣ терминовъ чисто математическихъ, такъ, смѣшиваетъ „цифру“ и „число“.

Списокъ неправильностей и неточностей въ переводѣ указанныхъ книгъ можно было бы значительно увеличить, но мы ограничимся приведенными примѣрами въ виду того, что, несмотря на недостатки, переводами г.г. Кулишера и Яшунскаго все таки можно пользоваться. Совсѣмъ иначе обстоитъ дѣло съ переводомъ книги Трейтлейна. Во первыхъ непонятно, почему г. Филипповичъ скромное названіе, данное книгѣ самимъ авторомъ, замѣнилъ болѣе громкимъ и притомъ не соотвѣтствующимъ ея содержанію. Далѣе приходится отмѣтить крайнюю неудовлетворительность перевода, въ которомъ иногда цѣлыя фразы представляютъ сплошную нелѣпость. Мы ограничимся лишь слѣдующими примѣрами: стр. 104. „Здѣсь (въ Австріи) долго шло преобразованіе устройства и способа преподаванія іезуитскаго ордена“; стр. 114: „Фрезеніусъ разсматриваетъ.... пирамиду, валъ, половинный и четвертной валъ“; стр._117: „разсмотрѣніе поверхности земли (горизонтъ, земные пояса) даетъ теоремы о соотношеніи круга съ плоскостью шарового слоя“; стр. 138: „Непремѣннымъ же условіемъ существованія логики, предмета среднихъ и старшихъ классовъ нашей гимназіи, является предварительное наглядное обученіе“. На стр. 153. „Тутъ я обсуждаю объ отрѣзкѣ, лучѣ, прямой....“ Приведенныхъ примѣровъ достаточно, чтобы стало ясно, насколько неудачно выполненъ переводъ. Въ виду этого приходится пожалѣть, что журналъ, „Обновленіе школы“ издалъ переводъ первой части книги Трейтлейна, такъ какъ это обстоятельство послужитъ лишь препятствіемъ къ появленію на русскомъ языкѣ болѣе удовлетворительнаго по исполненію изданія книги, не безполезной для русскаго читателя.

А. Волковъ.

*) курсивъ рецензента.

А. Киселевъ. Элементарная алгебра. Изд. 23-е, переработанное, В. В. Думнова, Москва 1911 г. Ц. 1 р. 30 к.

Достоинства и недостатки этого распространеннаго учебника настолько извѣстны русскому педагогическому міру, что нѣтъ надобности еще разъ подробно говорить о нихъ. Но тѣ измѣненія, которыя внесены авторомъ въ настоящее изданіе сравнительно съ прежними, заслуживаютъ быть отмѣченными.

Вотъ что говоритъ авторъ въ предисловіи о сущности и мотивахъ этихъ измѣненій:

„...Существенному измѣненію подверглось прежде всего изложеніе отрицательныхъ и положительныхъ чиселъ, а также и чиселъ несоизмѣримыхъ. Прежняя, искусственно введенная, условность въ изложеніи чиселъ отрицательныхъ теперь устранена; въ настоящемъ изданіи числа эти разсматриваются конкретно, какъ символы для выраженія величинъ, имѣющихъ „направленіе“... Хотя въ такомъ видѣ изложеніе теряетъ ту краткость, которую оно имѣло прежде, но зато оно въ значительной степени выигрываетъ въ ясности и въ легкости усвоенія“...

„О несоизмѣримыхъ числахъ въ прежнихъ изданіяхъ давалось понятіе, какъ о предѣлѣ нѣкотораго ряда соизмѣримыхъ чиселъ. Такое изложеніе страдало прежде всего логическимъ недостаткомъ, извѣстнымъ подъ названіемъ „заколдованнаго круга“ (circulus vitiosus), такъ какъ несоизмѣримое число опредѣлялось при помощи предѣла, тогда какъ понятіе о числовомъ предѣлѣ уже предполагаетъ предварительное установленіе понятіе о несоизмѣримомъ числѣ и о разности- между несоизмѣримымъ числомъ и соизмѣримымъ. Въ настоящемъ изданіи понятіе о несоизмѣримыхъ числахъ и о дѣйствіяхъ надъ ними устанавливается независимо отъ понятія о предѣлѣ“....

„Изложеніе какъ чиселъ отрицательныхъ, такъ и несоизмѣримыхъ, ведется нами все время при помощи графическаго представленія чиселъ на числовой прямой“....

Конечно, приходится констатировать, что авторъ нѣсколько запоздалъ съ признаніемъ этихъ простыхъ и здравыхъ педагогическихъ идей. За послѣднія 6—7 лѣтъ появилось въ иностранной, а затѣмъ въ русской литературѣ, немало руководствъ, твердо ставшихъ на конкретный путь въ области отрицательныхъ чиселъ; нѣкоторыя изъ этихъ руководствъ предлагали и въ области несоизмѣримыхъ чиселъ такой же конкретный путь, свободный отъ упомянутаго выше логическаго недочета; появились и журнальныя статьи, излагавшія основы новаго метода преподаванія этихъ ученій. Но лучше поздно, чѣмъ никогда, и признаніе указанныхъ истинъ авторомъ настоящаго распространеннаго руководства нужно считать явленіемъ въ высокой степени симптоматичнымъ; оно показываетъ, что старое отвлеченно-условное изложеніе началъ алгебры окончательно утратило кредитъ въ педагогической средѣ.

Необходимо однако отмѣтить, что старая закваска еще сильна и въ этомъ переработанномъ изданіи курса. Многія опредѣленія (даже опредѣленія дѣйствій надъ положит. и отрицательн. числами), попрежнему даются сразу въ отвлеченной формѣ, а не устанавливаются въ связи съ конкретными примѣрами, какъ того требуютъ педагогическія соображенія. Попрежнему фигурируетъ ученіе о „кажущейся неопредѣленности“, въ основѣ котораго лежитъ сокращеніе дроби на множителя, обращающагося въ нуль, хотя авторъ своевременно показалъ (§ 82), что этого дѣлать нельзя.

Попрежнему введеніе въ алгебру (первая глава книги) изложено слишкомъ абстрактно; есть и другіе пункты, страдающіе излишней отвлеченностью. Но будемъ разсчитывать, что эволюція учебника г. Киселева не остановится на данной фазѣ, и что въ дальнѣйшемъ авторъ введетъ въ свой курсъ и другія измѣненія и дополненіи, настоятельно требуемыя современной педагогической мыслью. К. Л.

Списокъ книгъ, поступившихъ въ редакцію и въ библіотеку Математическаго Кружка съ 1-го декабря 1911 года.

Д. Д. Галанинъ. Введеніе въ методику ариѳметики. М. 1911 г. Ц. 80 к.

Его-же. Методика ариѳметики. Первый годъ обученія. М. 1910 г. Ц. 50 к. Второй годъ обученія. М. 1911 г. Ц. 50 к.

Дж. В. А. Юнгъ. Какъ преподавать математику? Пер. А. Р. Кулишеръ. С.-Петербургъ. 1912 г. Вып. I. Ц. 1 р. 50 к.

A. H. Шапошниковъ. Курсъ элементарной алгебры. Вып. I. М. 1911 г. Ц. 50 к.

B. Г. Фридманъ. Свѣтъ и матерія. Съ предисловіемъ и подъ редакціей А. В. Цингера. М. 1912 г. Ц. 1 р. 25 к.

Первоначальная ариѳметика, составленная Г. А Уэнтвортомъ и Е. М. Ридомъ.

Пер. подъ ред. Д. Л. Волковскаго. Изд т-ва И. Д. Сытина. М. 1912 г. Ц. 75 к.

П. Карасевъ. Звукъ и музыка. Публичныя лекціи, прочитанныя въ Московской Народной Консерваторіи. М. 1910 г. Ц. 45 к.

Записки Математическаго Кружка при Оренбургскомъ реальномъ училищѣ. №№ 1 — 6; 1907—12 уч. г. Оренбургъ.

А. И. Гольденбергъ. Собраніе ариѳметическихъ упражненій для гимназій и реальныхъ училищъ. Курсъ приготовительнаго класса. 1911 г. II. 25 к. Курсъ 1-го класса. 1912 г. Ц. 25 к. Курсъ 2-го класса. 1911 г. Ц. 40 к.

Программа математики для кадетскихъ корпусовъ (утверждена Военнымъ Министромъ 17 іюня 1911 года).

Русскій астрономическій календарь Нижегородскаго Кружка любителей физики и астрономіи. Н.-Н. 1912 г. Постоянная часть. Ц. 60 к. Перемѣнная часть. Ц. 60 к.

Ѳ. И. Егоровъ. Собраніе ариѳметическихъ задачъ, вычисленій и другихъ упражненій для начальнаго преподаванія. М. 1912 г. Ц. 35 к.

Окт. Вржесневскій. Элементарная геометрія. Ч. 1-я. М. 1912 г. Ц. 1 р. 25 к.

А. Годневъ. Элементарная геометрія. Ч. 1. Симб. 1912 г. Ц. 2 р.

Изд. подъ ред. И. Горбунова-Посадова:

Л. Гурвичъ. Какъ я училъ моего мальчика геометріи. М. 1908 г. Ц. 40 к.

Вильямсъ Кемпбель. Наглядная геометрія. Пер. съ анг. Попова. М. 1910 г. Ц.1 р.

А. Герлахъ. Какъ преподавать дѣтямъ ариѳметику въ духѣ творческаго воспитанія. М. 1912 г. Ц. 35 к.

К. А. Лэзанъ. Новые пути ознакохмленія дѣтей съ математикой. Пер. Шарапова. М. 1909 г. Ц. 55 к.

Ж. Камескасъ. Какъ заниматься съ помощью ознакомителя съ математикой. (Примѣн. принц. Лэзана). М. 1912 г. Ц. 15 к.

Е. Я. Фортунатова, Л. К. Шлигеръ и А. Фортунатовъ. Первый годъ обученія въ начальной школѣ. М. 1912 г. Ц. 50 к.

А. Зеленко, Е. Фортунатова и Л. Шлигеръ. Планъ занятій въ начальной школѣ, выработанный на основаніи американскихъ школъ. М. 1911 г. Ц. 15 к.

Школа Гораса Манна въ Нью-Йоркѣ. Пер. съ англ. Кошевичъ. М. 1912 г. Ц. 40 к.

Засѣданіе Московскаго Математическаго Кружка 15 декабря 1911 года.

1. Секретарь Кружка I. И. Чистяковъ довелъ до свѣдѣнія собранія, что 2-го декабря 1911 г. послѣдовало отъ Московскаго Градоначальника разрѣшеніе на изданіе Мат. Кружкомъ журнала „Математическое Образованіе“, и что уже приступлено къ печатанію № 1 журнала.

2. Ѳ. И. Егоровъ сдѣлалъ сообщеніе: „Къ вопросу о курсѣ дробей“. Референтъ коснулся главнымъ образомъ вопроса объ умноженіи и дѣленіи дробей, причемъ предварительно изложилъ взгляды на этотъ вопросъ, которые разновременно были высказаны въ русской учебной литературѣ. Разобравъ способы изложенія названныхъ статей ариѳметики, предложенные Евтушевскимъ, Поляковымъ, Серре и нѣк. другими методистами, а также формальное ученіе о дробяхъ, референтъ пришелъ къ заключенію, что послѣднее въ научномъ отношеніи стоитъ выше остальныхъ способовъ изложенія, но, по его трудности, не можетъ быть предлагаемо учащимся младшихъ классовъ. Поэтому приходится прибѣгать къ одному изъ прочихъ способовъ изложенія, причемъ референтъ отдаетъ преимущество методу Серре. Затѣмъ докладчикъ коснулся вопроса о томъ, какія дроби должны проходиться ранѣе,—простыя или десятичныя, — и въ частности вопроса о параллельномъ прохожденіи курса тѣхъ и другихъ дробей, затронутаго въ одномъ изъ засѣданій Кружка К. Ѳ. Лебединцевымъ, и указалъ, что эта идея не является новой въ русской учебной литературѣ и была проведена въ нѣкоторыхъ руководствахъ и задачникахъ. Въ заключеніе референтъ изложилъ содержаніе трехъ концентровъ, въ которые, по его мнѣнію, должно быть расположено все ученіе о дробяхъ въ младшихъ классахъ среднихъ учебныхъ заведеній.

3. Б. К. Млодзѣевскій сдѣлалъ сообщеніе: „Геометрическая теорія пропорціональности“, причемъ изложилъ со своими дополненіями чисто геометрическое обоснованіе ученія о пропорціяхъ, предложенное Коммереллемъ въ „Matehematische Annalen“ за 1909 г. Докладъ Б. К. Млодзѣевскаго будетъ напечатанъ въ № 3 „Математическаго Образованія“.

Отвѣтственный редакторъ І. И. Чистяковъ.

ОГЛАВЛЕНІЕ.

Стр.

Объ одномъ алгебраическомъ неравенствѣ. С. Виноградова. 49

О построеніи параллелограммовъ. И. Александрова.. . . 61

Площадь вписаннаго четыреугольника и треугольника. В. Соллертинскаго........................................66

О представленіи числа въ видѣ суммы послѣдовательныхъ цѣлыхъ чиселъ. Н. Агрономова..........................70

Методъ обученія математикѣ въ старой и новой школѣ. К. Лебединцева..........................................73

О необходимыхъ отдѣлахъ математики для экономическихъ наукъ. II. Некрасова...............................79

Первый всероссійскій съѣздъ преподавателей математики. I. Чистякова.......................................81

Резолюціи перваго всероссійскаго съѣзда преподавателей математики ...........................................86

Задачи..................................................88

Рѣшенія задачъ..........................................89

Вибліографическій отдѣлъ................................91

Отчетъ о засѣданіи Матем. Кружка........................95

Печатня А. И. Снегиревой Москва

1912.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНІЕ

выходитъ ежемѣсячно книжками отъ 2 до 3 печати ныхъ листовъ за исключеніемъ мая, іюня, іюля и августа мѣсяцевъ.

Содержаніе журнала: 1) статьи по различнымъ отдѣламъ математики, оригинальныя и переводныя; 2) статьи по вопросамъ преподаванія математики и соприкасающихся наукъ; 3) очерки по исторіи математики, біографіи и портреты математиковъ; 4) библіографическій отдѣлъ; 5) вопросы и задачи; 6) математическая хроника; 7) Объявленія.

Цѣна 3 рубля въ годъ и 2 рубля на полгода съ доставкой и пересылкой.

Цѣна отдѣльнаго номера 50 к. съ пересылкой.

За перемѣну адреса уплачивается 20 коп.

Объявленія принимаются съ платою: 1 страница—15 р,, V. стр. 8 Рм V« стр.—4 р. и т. д.

Подписка принимается въ редакціи:

Москва, Остоженка, 7, кв. 88, и въ книжнымъ магазинамъ К. И. Тихомирова (Кузнецкій мостъ), Н. П. Карбасникова и Т-во М. О. Вольфъ (Моховая).

Печатня А. И. Снегиревой Москва