Математическое Образованіе.

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка.

№ 1.

Январь 1912 г.

МОСКВА.

А. Давидов

Составъ Московскаго Математическаго Кружка.

Предсѣдатель: Болеславъ Корнеліевичъ Млодзѣевскій.

Товарищъ предсѣдателя: Александръ Ѳедоровичъ Гатлихъ.

Иоасафъ Ивановичъ Чистяковъ.

Секретари. Лидія Игнатьевна Лебель.

Казначей: Ѳедоръ Васильевичъ Гусевъ.

Члены:

Александрова Олимпіада Николаевна.

Александровъ Иванъ Ивановичъ.

Алмоевъ Амаянъ Карапетовичъ.

Алферова Александра Самсоновна.

Андреевъ Алексѣй Константиновичъ.

Андреевъ Константинъ Алексѣевичъ.

Баевъ Константинъ Львовичъ.

Басанина Марія Алексѣевна.

Барановъ Петръ Алексѣевичъ.

Безруновъ Алексѣй Герасимовичъ.

Бергь Мартинъ Ѳедоровичъ.

Бобынинъ Викторъ Викторовичъ.

Богдановъ Романъ Николаевичъ.

Бондаревъ Сергѣй Ивановичъ.

Бреневъ Евгеній Константиновичъ.

Бублинъ Гавріилъ Григорьевичъ.

Бугославская Наталья Григорьевна.

Бѣлоруссова Наталья Васильевна.

Бюшгенсъ Сергѣй Сергѣевичъ.

Виноградовъ Сергѣй Петровичъ.

Власовъ Алексѣй Константиновичъ.

Войновъ Александръ Даниловичъ — Павловскъ Воронежск.

Волковскій Дмитрій Лукичъ.

Волковъ Александръ Александровичъ.

Галанинъ Дмитрій Дмитріевичъ.

Гаряевъ Николай Петровичъ.

Гильвегъ Владимиръ Карловичъ—Зарайскъ Рязанск.

Глаголева Александра Александровна.

Глаголевъ Николай Дмитріевичъ.

Глаголевъ Сергѣй Александровичъ.

Горстъ Анатолій Михайловичъ.

Губкина Анна Сергѣевна.

Давыдовъ Владимиръ Саввичъ.

Дасмановъ Сергѣй Петровичъ.

Дмитровскій Арсеній Арсеньевичъ.

Добродѣева Ольга Васильевна.

Домбровскій Владимиръ Родіоновичъ.

Донде Абрамъ Моисеевичъ.

Егоровъ Дмитрій Ѳедоровичъ.

Егоровъ Ѳедоръ Ивановичъ.

Ермолова Ольга Всеволодовна.

Ефремовичъ Василій Порфирьевичъ.

Еше Татьяна Ѳедоровна.

Жегалкинъ Иванъ Ивановичъ.

Жилинскій Александръ Ивановичъ.

Запольская Любовь Николаевна.

Зегеръ Сергѣй Матвѣевичъ.

Ивановъ Петръ Михайловичъ.

Игнатовъ Алексѣй Андреевичъ.

Извольскій Николай Александровичъ.

Каганъ Веніаминъ Ѳедоровичъ—Одесса.

Казачкинъ Павелъ Степановичъ.

Карасевъ Павелъ Алексѣевичъ.

Каспарьянцъ Василій Вартановичъ.

Кашинъ Николай Владимировичъ.

Константиновъ Георгій Николаевичъ.

Коробкинъ Ѳедоръ Семеновичъ.

Котовичъ Владимиръ Ильичъ.

Косминковъ Алексѣй Павловичъ—Ростовъ Ярослав.

Краснопѣвцевъ Иванъ Васильевичъ.

Кудрявцевъ Всеволодъ Александровичъ.

Лаврова Наталья Алексѣевна.

Лавровъ Вячеславъ Михайловичъ.

Лапшинъ Сергѣй Ивановичъ.

Лариковъ Романъ Васильевичъ.

Лебединцевъ Константинъ Ѳеофановичъ.

Либерманъ Александръ Августовичъ.

Липингъ Иванъ Ивановичъ.

Лубны-Герцыкъ Елизавета Александровна.

Лузинъ Николай Николаевичъ.

Лѣтнинъ Александръ Львовичъ.

Лейнѣкъ Эдгаръ Юрьевичъ.

Ляминъ Александръ Александровичъ.

Мазингъ Евгеній Карловичъ.

Мазингъ Карлъ Карловичъ.

Мансбахъ Фелиція Францевна.

Масленникова Варвара Васильевна.

Масленниковъ Николай Петровичъ.

Мейеръ Павелъ Константиновичъ.

Млодзѣевскій Анатолій Болеславовичъ.

Морошкинъ Александръ Ивановичъ.

Наумовъ Сергѣй Ильичъ.

Недачина Анна Павловна.

Некрасовъ Александръ Ивановичъ.

Немыцкій Владимиръ Васильевичъ.

Ненсбергъ Владимиръ Оттоновичъ.

Ольсенъ Ольга Оскаровна.

Острейко Семенъ Павловичъ.

Павлова Анастасія Ивановна.

Паукеръ Анжелика Карловна.

Петровъ Александръ Васильевичъ.

Печковскій Валерьянъ Константиновичъ.

Писаревъ Владимиръ Петровичъ.

Плескачевскій Николай Павловичъ — Серпуховъ Моск.

Плеханова Наталья Григорьевна.

Подпалый Александръ Ѳедоровичъ.

Полетаевъ Иванъ Ивановичъ.

Полякъ Іосифъ Ѳедоровичъ.

Поляковъ Алексѣй Петровичъ.

Попруженко Михаилъ Григорьевичъ — С.-Петербургъ.

Потоцкій Павелъ Ивановичъ.

Пржевальскій Евгеній Михайловичъ.

Рашевскій Константинъ Николаевичъ.

Репманъ Альбертъ Христіановичъ.

Рыбкинъ Николай Александровичъ.

Ряднова Таисія Николаевна.

Сагинова Надежда Николаевна.

Сваричовскій Тарасъ Ѳедоровичъ.

Свѣнцицкій Владимиръ Павловичъ.

Севастьяновъ Леонидъ Степановичъ.

Серебряковъ Павелъ Алексѣевичъ.

Синцовъ Димитрій Матвѣевичъ — Харьковъ.

Ситарская Пина Адріановна.

Соколовъ Митрофанъ Александровичъ.

Соловьевъ Александръ Васильевичъ.

Сперанскій Евгеній Венедиктовичъ.

Страндстремъ Александръ Робертовичъ.

Струве Рудольфъ Эрнестовичъ.

Сухарникова Анна Михайловна.

Теодоровичъ Иванъ Григорьевичъ.

Терентьевъ Петръ Никитичъ.

Томашевичъ Евгеній Станиславовичъ.

Финиковъ Сергѣй Павловичъ.

Флеровъ Иванъ Александровичъ.

Фриденбергъ Викторъ Эрнестовичъ.

Фридманъ Владимиръ Георгіевичъ.

Цубербиллеръ Ольга Николаевна.

Чулицкій Николай Николаевичъ.

Шаблинскій Василій Семеновичъ.

Шапошниковъ Александръ Николаевичъ.

Шишкина Ольга Ивановна.

Шохоръ-Троцкій Семенъ Ивановичъ—С.-Петербургъ.

Шпитальскій Евгеній Ивановичъ.

Учредители Московскаго Математическаго Кружка: Заслуженный профессоръ Болеславъ Корнеліевичъ Млодзѣевскій, преподаватели Московскихъ Высшихъ Женскихъ Курсовъ: Александръ Ѳедоровичъ Гатлихъ и Іоасафъ Ивановичъ Чистяковъ.

Отъ редакціи.

При самомъ возникновеніи въ 1905 году Московскаго Математическаго Кружка основателями его высказывалось пожеланіе объ изданіи собственнаго журнала, въ которомъ печатались - бы доклады, читанные въ засѣданіяхъ Кружка, и свѣдѣнія о его дѣятельности. При этомъ учредители Кружка имѣли въ виду опытъ нѣкоторыхъ ранѣе существовавшихъ въ Москвѣ обществъ съ аналогичными задачами, въ особенности—отдѣленія преподавателей математики Педагогическаго Общества, состоявшаго при Московскомъ Университетѣ. Въ засѣданіяхъ этого послѣдняго, на протяженіи многихъ лѣтъ читались интересныя сообщенія по различнымъ отдѣламъ математики и по вопросамъ ея преподаванія, велись педагогическія бесѣды, разбирались учебныя математическія книги и пособія и пр. Но, за отсутствіемъ соотвѣтствующаго спеціальнаго журнала, результаты всей этой работы были извѣстны лишь членамъ Педагогическаго Общества, посѣщавшимъ засѣданія, и почти не имѣли распространенія среди болѣе широкаго круга интересующихся лицъ. По той же причинѣ, до послѣдняго времени и рефераты, читанные въ засѣданіяхъ Московскаго Математическаго Кружка, большею частью оставались не напечатанными; лишь немногіе изъ нихъ появлялись на страницах педагогическихъ журналовъ и „Вѣстника Опытной Физики и Элементарной Математики", редакція котораго въ послѣдніе годы любезно помѣщала и краткія свѣдѣнія о засѣданіяхъ Кружка. Поэтому, въ связи съ развитіемъ дѣятельности Кружка, возрастало и желаніе его членовъ издавать собственный органъ.

Это естественное для ученаго общества стремленіе имѣть собственный журналъ усилилось въ послѣдніе годы среди членовъ Математическаго Кружка еще и по другой причинѣ. Извѣстно, что въ связи съ быстрымъ развитіемъ математической науки и ея приложеній, вопросы преподаванія математики привлекаютъ къ себѣ въ послѣднее время усиленное вниманіе ученыхъ и педагоговъ въ Россіи и заграницей. Особенно дѣятельная работа

по пересмотру программъ и методовъ обученія математикѣ идетъ въ государствахъ З. Европы—Германіи, Франціи, Англіи, Италіи и др., гдѣ возникла и особая международная комиссія по реформѣ преподаванія математическихъ наукъ. Но и въ Россіи возросъ интересъ къ математическому образованію, о чемъ свидѣтельствуетъ оживившаяся въ послѣднее время дѣятельность математическихъ и педагогическихъ обществъ, а также появленіе значительнаго количества новыхъ книгъ и пособій по математикѣ. Въ связи съ этимъ оживленіемъ возникла и идея всероссійскаго съѣзда преподавателей математики въ Петербургѣ, который въ свою очередь долженъ вызвать еще большій интересъ къ математикѣ и ея преподаванію. Однако, въ то время, какъ въ З. Европѣ значительное содѣйствіе прогрессу математической науки и дѣлу математическаго просвѣщенія оказываютъ многочисленные и давно существующіе тамъ математическіе журналы, въ Россіи нѣтъ пока органа, спеціально посвященнаго вопросамъ математическаго образованія. Журналъ Московскаго Математическаго Кружка, по мысли его иниціаторовъ, и могъ-бы пополнить этотъ недостатокъ въ спеціальномъ математическо-педагогическомъ изданіи.

Исходя изъ приведенныхъ соображеній своихъ сочленовъ, Математическій Кружокъ и приступаетъ съ 1912 года къ изданію своего журнала „Математическое Образованіе".

Въ журналѣ будутъ помѣщаться сообщенія, читанныя въ засѣданіяхъ, и статьи математическаго и педагогическаго содержанія, причемъ и тѣ, и другія будутъ относиться преимущественно къ области элементарной математики, которой наиболѣе посвящаетъ свое вниманіе Московскій Математическій Кружокъ. Изъ статей чисто математическаго содержанія будутъ печататься преимущественно такія, которыя представляютъ не только спеціально математическій интересъ, но имѣютъ и педагогическое значеніе, представляя собою новое изложеніе, дополненіе или развитіе учебнаго матеріала. Такого-же характера будутъ и болѣе мелкія замѣтки, очерки по исторіи математики и задачи, предназначаемыя для наиболѣе успѣвающихъ учащихся. Рефераты и статьи педагогическаго характера будутъ касаться преподаванія математики на всѣхъ ступеняхъ обученія въ Россіи и заграницей, но главное вниманіе будетъ удѣляться курсу средней школы, такъ какъ именно онъ требуетъ, по общему признанію, существенной переработки и обновленія въ связи съ современными педагогическими требованіями и запросами жизни. Той - же педагогической цѣли долженъ служить и библіографическій отдѣлъ, въ которомъ предполагается помѣщать разборъ новыхъ учебниковъ и пособій по

математикѣ, книгъ для самообразованія и проч., а также обозрѣніе математическихъ журналовъ.

Подобно тому, какъ Математическій Кружокъ при своемъ возникновеніи имѣлъ задачею объединеніе въ Москвѣ лицъ, интересующихся математикою и вопросами ея преподаванія, журналъ Кружка, по мысли его иниціаторовъ, можетъ послужить къ объединенію работниковъ на поприщѣ математическаго образованія въ Россіи и содѣйствовать успѣху ихъ дѣятельности. Съ этою цѣлью редакція будетъ принимать во вниманіе запросы и пожеланія читателей относительно помѣщаемаго въ журналѣ матеріала, указанія на необходимыя въ немъ дополненія или измѣненія и проч. Кромѣ того, будутъ помѣщаться свѣдѣнія объ имѣющихся въ Россіи математическихъ и педагогическихъ обществахъ, кружкахъ и иныхъ организаціяхъ и объ ихъ дѣятельности въ области математическаго образованія, а также обозрѣнія постановки преподаванія математики въ учебныхъ заведеніяхъ различныхъ типовъ и вѣдомствъ, очерки по исторіи математическаго образованія въ Россіи, портреты и біографіи выдающихся ученыхъ и педагоговъ-математиковъ и проч.

Приступая къ трудному и отвѣтственному дѣлу предпринятаго изданія, редакція позволяетъ себѣ надѣяться на сочувствіе и содѣйствіе всѣхъ, кому дороги интересы математическаго образованія въ Россіи.

О степени точности логариѳмическихъ вычисленій.

Б. Млодзѣевскій. Москва.

Въ настоящей замѣткѣ я имѣю въ виду изслѣдовать посредствомъ элементарныхъ пріемовъ вопросъ о той точности, которую имѣютъ вычисленія при помощи таблицъ логариѳмовъ. Изъ дальнѣйшаго будетъ видно, что тѣ же разсужденія, съ соотвѣтствующими несущественными измѣненіями, приложимы и ко всякимъ другимъ таблицамъ съ медленно измѣняющеюся табличною разностью.

Всѣ логариѳмическія вычисленія сводятся къ рѣшенію двухъ основныхъ задачъ: къ нахожденію по данному числу его логариѳма и къ нахожденію по данному логариѳму соотвѣтствующаго ему числа. Какъ при всѣхъ приближенныхъ вычисленіяхъ, мы должны разсмотрѣть по отношенію къ каждой изъ этихъ задачъ вопросъ, съ какою точностью разрѣшима эта задача при помощи данныхъ таблицъ. Для опредѣленности мы остановимся на пятизначныхъ таблицахъ, дающихъ съ пятью знаками мантиссы логариѳмовъ всѣхъ четырехзначныхъ чиселъ; въ соотвѣтствующихъ мѣстахъ мы будемъ указывать, какъ измѣняются получающіеся выводы для семизначныхъ таблицъ.

Пусть намъ дано число 2Ѵ, содержащееся въ таблицахъ, т. е. состоящее не болѣе, чѣмъ изъ четырехъ знаковъ; если число знаковъ у N менѣе четырехъ, то умноженіемъ на соотвѣтствующую степень десяти мы обратимъ его въ четырехзначное число. Пусть табличный логариѳмъ N есть число L; для большей простоты изложенія мы будемъ предполагать L цѣлымъ, т. е. выраженнымъ въ единицахъ послѣдняго разряда. Такимъ образомъ, мы подъ L будемъ разумѣть въ послѣдующемъ не самый логариѳмт, числа Л", а этотъ логариѳмъ, умноженный на ІО3, хотя и будемъ продолжать называть L логариѳмомъ N. Если табличный логариѳмъ числа N есть Ь, то, какъ извѣстно, истинный логариѳмъ отличается отъ L менѣе, чѣмъ на половину единицы послѣдняго разряда. При нашихъ обозначеніяхъ N заключаетея между L----- и Такимъ образомъ, если число N находится въ таблицахъ, то его логариѳмъ можетъ быть опредѣленъ съ точностью до ~ единицы послѣдняго разряда. Пусть теперь намъ

нужно найти логариѳмъ числа М, не находящагося въ таблицахъ т. е., при пятизначныхъ таблицахъ, числа представленнаго болѣе, чѣмъ четырьмя знаками.

Мы предположимъ, что цѣлая часть числа N представляетъ четырехзначное число; этого мы всегда можемъ достигнуть умноженіемъ числа М на соотвѣтствующую степень десяти.

Такъ какъ въ таблицахъ логариѳмовъ табличная разность измѣняется очень медленно, то мы можемъ принять, что, въ предѣлахъ точности самой таблицы, при измѣненіи числахъ въ предѣлахъ одной единицы, измѣненіе логариѳма пропорціонально измѣненію числа. Это значитъ, что вычисляя—интерполируя— логариѳмы въ предположеніи, что измѣненіе логариѳма пропорціонально измѣненію числа, мы будемъ получать логариѳмы, отличающіеся отъ истинныхъ менѣе, чѣмъ на ~ единицы послѣдняго разряда. Насколько медленно измѣняется табличная разность, видно изъ того, что на первой страницѣ таблицъ, гдѣ разность измѣняется всего быстрѣе, въ пятизначныхъ таблицахъ 509 разностей имѣютъ всего 17 различныхъ значеній, встрѣчающихся, кромѣ крайнихъ значеній, отъ 25 до 48 разъ; въ семизначныхъ таблицахъ мы имѣемъ на соотвѣтствующей страницѣ 23 различныхъ значеній разности, встрѣчающихся отъ 24 до 26 разъ.

Пусть будемъ М число, для котораго мы хотимъ найти пятизначный логариѳмъ. Мы уже предположили, что умноженіемъ на соотвѣтствующую степень десяти мы привели число М къ виду N-\-z, гдѣ N четырехзначное цѣлое число, а х—положительное число меньшее единицы. Пусть будетъ d разность между табличными логариѳмами чиселъ N-\-x и Лт, выраженная въ единицахъ послѣдняго разряда. Тогда очевидно, что пятизначные логариѳмы всѣхъ чиселъ отъ N до 7Ѵ—|—1 будутъ имѣть всего w-4-l различныхъ значеній отъ L до L-j-d,—гдѣ L—табличный логариѳмъ числа N. Отсюда слѣдуетъ, что если мы раздѣлимъ промежутокъ между N и iV-f-l на 2d равныхъ частей, т. е. составимъ рядъ чиселъ N,N+-^j, --- , N+1, то пятизначные логариѳмы всѣхъ чиселъ перваго промежутка будутъ равны L, всѣхъ чиселъ втораго и третьяго—L + 1, четвертаго и пятаго L-(-2...—пятизначные логариѳмы чиселъ послѣдняго промежутка будутъ равны L-\-d. Это показываетъ, что при вычисленіи логариѳмовъ при помощи пятизначныхъ таблицъ достаточно брать данныя числа съ точностью до единицы чет-

вертаго разряда. Такъ какъ въ пятизначныхъ таблицахъ разность измѣняется съ 44 до 4, то при нахожденіи логариѳмовъ вполнѣ достаточно брать числа съ шестью знаками. Для семизначныхъ таблицъ, гдѣ разность измѣняется отъ 435 до 43 достаточно братг» восемь знаковъ.

Опредѣлимъ, какую точность имѣетъ вычисленный такимъ образомъ логариѳмъ. Такъ какъ поправка можетъ быть опредѣлена съ точностью до половины единицы послѣдняго разряда, а табличный логариѳмъ L ближайшаго цѣлаго числа N данъ съ такою же точностью, то точность окончательнаго результата равна единицѣ послѣдняго разряда. Вычислимъ, напримѣръ, пятизначный логариѳмъ числа 6000,7. Имѣемъ log 6000=3,77815, табличная разность 8, поправка 0,8.7=5,6; отсюда log 6000,7=3,77821. Между тѣмъ, таблицы даютъ семизначный логариѳмъ того же числа 3,7782019. Такимъ образомъ, ошибка въ пятизначномъ логариѳмѣ превышаетъ 0,8 единицы послѣдняго разряда.

Перейдемъ теперь къ второй задачѣ—опредѣленію числа по его логариѳму. Пусть намъ данъ пятизначный логариѳмъ L-\-y. гдѣ L—ближайшій меньшій табличный логариѳмъ, соотвѣтствующій четырехзначному числу N. Если бы L было точнымъ логариѳмомъ числа N, то обозначая искомое число черезъ N-j-x, мы нашли бы, что поправка х опредѣляется изъ формулы х = гдѣ d— табличная разность. Но такъ какъ истинный логариѳмъ числа X содержится между L — у и L-f то истинная поправка содержжится между J____L и _____ÜL. Это показываетъ, что находить числа по ихъ логариѳмамъ можно только съ точностью Если кромѣ того, и самый логариѳмъ L-\-y не вполнѣ точенъ, а данъ съ точностью до половины послѣдняго знака, какъ это обыкновенно бываетъ, то при этомъ точность понижается еще вдвое, и опредѣляя поправку X по формулѣ #=у-, мы можемъ сдѣлать ошибку до Отсюда видно, что пользуясь пятизначными таблицами, гдѣ разность измѣняется отъ 44 до 4, при опредѣленіи чиселъ тіо логариѳмамъ слѣдуетъ довольствоваться шестью знаками, причемъ шестой знакъ, а при большихъ мантиссахь уже пятый, уже не вполнѣ точны. Съ семизначными таблицами мы можемъ опредѣлять числа съ восемью знаками, съ тою же оговоркою относительно двухъ послѣднихъ знаковъ.

Найдемъ, напримѣръ, число по его пятизначному логариѳму 3,98319. Ближайшій табличный логариѳмъ 3,98318 соотвѣтствуетъ числу 9620; табличная разность 4 даетъ поправку 0,25. Такимъ образомъ, искомое число равно 9620,25. Между тѣмъ, по семизначнымъ таблицамъ логариѳму 3,9831900 соотвѣтствуетъ число 9620,33 съ точностью до —Такимъ образомъ, разность между обоими числами достигаетъ 0,08 т. е. почти -jg-.

Въ предыдущемъ мы принимали, табличную разность d за истинную разность между log N и log (ІѴ—|—1). Легко видѣть, что поступая такимъ образомъ мы не увеличили кажущимся образомъ точности результата и что если бы истинная разность не была равна табличной, то, вычисляя поправку по формулѣ я = -^,мы и въ этомъ случаѣ получимъ погрѣшность не превосходящую Въ самомъ дѣлѣ, возьмемъ крайній случай и положимъ что истинная разность равна d — 1. Тогда необходимо log N = L -f- , log(tf_|= и поправка равна lZUL. Но ясно, что это число содержится между и поправка будетъ и въ этомъ случаѣ отличаться отъ точной поправки не болѣе, чѣмъ на

Полученные нами результаты можно представить графически. Будемъ откладывать по оси ОХ числа, а по оси О Y—ихъ логариѳмы. Пусть числу N соотвѣтствуетъ табличный логариѳмъ L,а числу N-{~ 1 — логариѳмъ L -)- d] эти числа изобразятся на плоскости чертежа двумя точками L — и L-\-d. Такъ какъ въ предѣлахъ точности таблицъ можно считать приращеніе логариѳма пропорціональнымъ приращенію числа, то измѣненіе логариѳма съ возрастаніемъ числа отъ N до N +1

представится прямою (X, L-\-d). Такъ какъ, далѣе логариѳмъ числа іѴ равенъ X только съ точностью до половины единицы послѣдняго разряда, то отложивъ отъ точки L вверхъ и внизъ отрѣзки равные ~, мы получимъ точки X -f- ^, X------^ >

между которыми заключаетея истинный логариѳмъ числа N. Точно такъ же мы получимъ для log(^-)-l) предѣлы L-\-d-jr\. Соединяя между собою прямыми полученныя четыре точки, мы будемъ имѣть параллелограммъ (Х + y,X-j-d+-y) внутри котораго находятся всѣ точки, соотвѣтствующія истиннымъ логариѳмамъ всѣхъ чиселъ отъ N до N-1-1. Если теперь намъ дано число N -|- #, то чтобы найти его мантиссу, проводимъ въ точкѣ N-^-x ординату до пересѣченія съ среднею линіею (X, L-\-d) параллелограмма; величина этой ординаты X -f- у дастъ логариѳмъ числа N-\-x, вычисленный при помощи таблицъ. Такъ какъ ордината пересѣкаетъ верхнюю и нижнюю сторону параллелограма въ точкахъ P, Q состоящихъ отъ L-\-y на то точность полученнаго логариѳма равна такъ какъ и самая поправка вычисляется также съ точностью то общая точность вычисленнаго логариѳма равна одной единицы послѣдняго разряда.

Если, обратно, намъ данъ логариѳмъ L-\-y и требуется найти соотвѣтствующее число, то мы проводимъ прямую R S, параллельно оси ОХ на разстояніи L-\-y, ищемъ точку ея пересѣченія съ прямою (X, X -f- d) и проводимъ черезъ эту точку ординату; основаніе ординаты опредѣлитъ соотвѣтствующее число N-\-x. Но такъ какъ табличные логариѳмы чиселъ N и #-|-1 не вполнѣ точны, то тому же логариѳму N-\-y могутъ на самомъ дѣлѣ соотвѣтствовать разныя числа. Чтобы найти предѣлы возможныхъ погрѣшностей, ищемъ точки пересѣченіи прямой RS съ верхней и нижней стороной параллелограмма и проводимъ черезъ нихъ ординаты, основанія которыхъ, какъ это легко видѣть, и опредѣлятъ крайнія значенія того числа, которому можетъ соотвѣтствовать, какъ его логариѳмъ, число L-\-y. Такъ какъ длина отрѣзка RS, очевидно, равна -і-, то погрѣшность при опредѣленіи числа по его логариѳму не превосходитъ

На нашемъ чертежѣ видно также, что мы не уменьшаемъ возможной погрѣшности, принимая табличную разность за истинную разность между точными логариѳмами чиселъ N и N-f-l. Дѣйствительно, точки R и S лежатъ на периметрѣ параллелограмма, и потому ихъ разстоянія отъ точки X -|- у суть наибольшія

изъ всѣхъ возможныхъ и соотвѣтствуютъ самымъ невыгоднымъ предположеніямъ при вычисленіи возможной погрѣшности. Но первая изъ этихъ точекъ соотвѣтствуетъ тому случаю, когда logA=.L -f- Ѵ2, log (iY-fl) = L + d+-i, а вторая тому, когда log N = L — log {N -|- Va) — L — y, въ обоихъ случаяхъ разность равна d. Если бы мы предположили, что разность равна d — 1, то имѣли бы log іУ = L -|- у, log (N -f' 1) = L -f- d — -2-, и теченіе логариѳма представилось бы прямою (L -f- L -f- d — y ), проходящею внутри параллелограмма. Поэтому точка Т пересѣченія этой прямой съ RS лежитъ также внутри параллелограмма и ея разстояніе отъ L-{-y будетъ менѣе, чѣмъ .

Изложенныя здѣсь соображенія легко примѣнимы и къ таблицамъ логариѳмовъ тригонометрическихъ функцій. Не вдаваясь въ подробности, мы приведемъ здѣсь лишь главные результаты.

Въ пятизначныхъ таблицахъ, дающихъ логариѳмы тригонометрическихъ функцій съ интерваломъ въ 1', интерполяція возможна для log sin въ промежуткѣ отъ 6° до 90° и для log tg отъ 6° до 84°. Такъ какъ при этомъ табличная разность измѣняется отъ 121 соотвѣтственно до 13 и 25, то для полученія возможно точнаго логариѳма необходимо брать углы далекіе отъ 90° съ точностью до а углы близкіе къ 90*—для синуса до 2" и для тангенса до 1". Если же мы хотимъ, найти по логариѳму функціи уголъ, то чтобы имѣть его съ точностью хотя бы до 10", необходимо, чтобы разность была не менѣе 3. Поэтому мы можемъ опредѣлить по log tg углы отъ 6° до 84°, а по log sin — отъ 6° до 77°.

Квадратура круга и циркулятура квадрата.

А. Власовъ. Москва.

1. Квадратура круга, т. е. построеніе квадрата равновеликаго данному кругу—одна изъ самыхъ популярныхъ задачъ геометріи. Меньшей извѣстностью пользуется обратная задача, задача построенія круга равновеликаго данному квадрату, иначе-циркулятура квадрата. Но не то громадное значеніе, которое имѣли эти задачи въ исторіи развитія математическихъ идей на ряду съ другими

задачами античной геометріи, неразрѣшимыми помощью линейки и циркуля, является причиной ихъ популярности, а скорѣе несознанная невозможность ихъ рѣшенія помощью обычныхъ средствъ элементарной геометріи. Популярность квадратуры круга вызвала на свѣтъ цѣлый рядъ приближенныхъ рѣшеній ея, приближенныхъ въ самомъ существѣ ихъ, основанныхъ на случайномъ совпаденіи тѣхъ или иныхъ простыхъ числовыхъ соотношеній съ какимъ либо приближеннымъ значеніемъ числа іг. Но такія приближенныя рѣшенія знаменитой задачи по моему мало поучительны. Вѣдь вопросъ въ нихъ сводится въ сущности къ тому, какъ болѣе или менѣе просто, а иногда болѣе или менѣе хитро отложить 0,14, ибо 3 отложить не трудно и все дѣло въ дробной части числа тг, но большей точности, какъ точности до сотыхъ долей, при обычныхъ размѣрахъ чертежа графически осуществить трудно, хотя бы самому алгоритму приближеннаго построенія была присуща и большая точность. Такимъ образомъ въ этихъ рѣшеніяхъ желаемое приближеніе числа тг предполагается уже извѣстнымъ, которое и откладывается предлагаемымъ построеніемъ. Вопросъ о сущности числа тг этими построеніями нисколько не затрагивается, а между тѣмъ поучительнымъ то и является именно этотъ вопросъ. Къ сожалѣнію доказательство трансцендентности числа тг недоступно пока для элементарныхъ средствъ, которыми располагаетъ средняя школа. Но вопросы о томъ, какъ дѣйствительно можно вычислить безъ особыхъ затрудненій и съ желаемой, хотя бы практически и не высокой, точностью отношеніе окружности къ діаметру и какъ, не вычисляя этого отношенія, можно съ какою угодно теоретически степенью точности, а практически съ точностью графическихъ построеній рѣшить квадратуру круга или циркулятуру квадрата, — вопросы эти уже касаются сущности числа тг. Въ настоящей замѣткѣ я намѣренъ показать, что отвѣтъ на нихъ легко найти въ алгоритмѣ Архимеда т. е. въ алгоритмѣ удвоенія числа сторонъ правильныхъ вписаннаго въ кругъ и описаннаго около него многоугольниковъ.

Хотя обычно въ учебникахъ элементарной геометріи и пользуются этимъ именно способомъ при постановкѣ вопроса о вычисленіи тг, но въ формѣ едва-ли удобной для практическаго выполненія, а къ построенію совсѣмъ и не примѣняютъ или дѣлается только указаніе на возможность его.

2. Пусть рн и Рп обозначаютъ соотвѣтственно периметры правильныхъ вписаннаго въ кругъ и описаннаго около него п-угольниковъ, а sH и Sn ихъ площади. Между периметрами рм% Р„}рап, Р**

и между площадями sn, Sn, sa„, Sсуществуютъ слѣдующія простыя соотношенія:

(1)

(2)

т. е. периметръ Рап является среднимъ гармоническимъ первоначальныхъ периметровъ рп и Рп, а периметръ рзп среднимъ геометрическимъ периметровъ рп и Рзп и далѣе площадь s3n равна среднему геометрическому первоначальныхъ площадей sn и <S„, а площадь S3n среднему гармоническому площадей s3rt и 8п-

Въ новой русской учебной литературѣ, если я не ошибаюсь, не упоминается объ этихъ извѣстныхъ соотношеніяхъ, а между тѣмъ они представляютъ очень удобный алгоритмъ элементарнаго вычисленія постепенныхъ приближеній числа it. Кромѣ того, я хочу показать, что тѣ же соотношенія даютъ красивый алгоритмъ построенія приближеній числа г, иначе—алгоритмъ постепенныхъ приближеній къ квадратурѣ круга или къ выпрямленію окружности. Лишь въ старомъ переводѣ Основаній Геометріи Лежандра*) я встрѣтилъ второе изъ упомянутыхъ соотношеній, которое онъ и примѣняетъ къ вычисленію отношенія окружности къ діаметру. Нужно замѣтить, что и въ иностранной литературѣ не во всякомъ учебникѣ элементарной геометріи помѣщаются эти предложенія, которыя мы положимъ въ основу рѣшенія задачи о квадратурѣ круга.

Циркулятура квадрата рѣшается на основаніи также очень простыхъ предложеній и также не достаточно извѣстныхъ. Пусть Rn и гп соотвѣтственно обозначаютъ радіусы описаннаго и вписаннаго круговъ въ правильный многоугольникъ. Если этотъ многоугольникъ превратить въ равновеликій многоугольникъ съ удвоеннымъ числомъ сторонъ, то между радіусами ихъ RHt гп и г2п существуютъ слѣдующія соотношенія:

(3)

Предложенія, представляемыя этими формулами, также имѣются въ Основаніяхъ Геометріи Лежандра**) и даютъ пожалуй самый удобный практически элементарный способъ вычисленія г.

*) Основанія Геометріи А. М. Лежандра, перев. Баландина и Буттаца. Санктпетербургъ. 1837. Стр. 124, предложенія XIII и XIV.

**) Ibid, стр. 128—131, предложеніе XVI.

Полагая, что соотношенія (1), (2) и (3) не достаточно извѣстны, я прежде всего и приведу ихъ доказательство, формулируя ихъ въ видѣ теоремъ, а потомъ воспользуюсь ими для рѣшенія квадратуры круга и циркулятуры квадрата, а также и для вычисленія п.

3. Теорема 1. Периметръ правильнаго описаннаго около круга многоугольника съ удвоеннымъ числомъ сторонъ Р2п равенъ среднему гармоническому периметровъ первоначально взятыхъ правильныхъ вписаннаго и описаннаго многоугольниковъ рп и Р„, а периметръ вписаннаго ^n-угольника среднему геометрическому периметровъ рп и Р2П.

Доказ. Пусть AB сторона (чер. 1) правильнаго вписаннаго n-угольника, а AtBt сторона одноименнаго описаннаго многоугольника, касающаяся круга въ точкѣ С. Проведемъ, далѣе, касательную къ кругу въ точкѣ А до пересѣченія въ точкѣ D съ касательной АХВХ и въ точкѣ Е съ продолженіемъ радіуса 0(7, пересѣкающаго въ точкѣ Н сторону ЛВ, и соединимъ, кромѣ того, точки О и JD, а также А и С прямыми, пересѣкающимися въ точкѣ L.

Радіусъ разсматриваемаго круга обозначимъ черезъ R, апоѳему вписаннаго п-угольника черезъ hn, сторону его черезъ аи, а сторону описаннаго n-угольника черезъ Ъи\

Черт. 1.

Изъ подобія треугольниковъ DOE и AHE слѣдуетъ:

откуда имѣемъ

Слѣдовательно,

(1')

Первая часть разсматриваемаго предложенія такимъ образомъ доказана.

Далѣе, изъ подобія треугольниковъ CLD и АНС слѣдуетъ:

откуда имѣемъ

Слѣдовательно,

(1')

ч. т. д.

Теорема 2. Площадь правильнаго вписаннаго въ кругъ многоугольника съ удвоеннымъ числомъ сторонъ s2n равна среднему геометрическому площадей sM и Sn первоначально взятыхъ правильныхъ вписаннаго и описаннаго многоугольниковъ, а площадь S2M среднему гармоническому площадей s2n и Sn.

Доказ. Отмѣтимъ прежде всего слѣдующій рядъ треугольниковъ (чер. 1), составляющихъ аликвотную часть какого либо правильнаго многоугольника:

(3)

Площади треугольниковъ АОН и О АС съ общей высотой АН относятся какъ основанія:

пл.ОАН : пл.ОАС = hn :R.

Слѣдовательно,

sn : s2n = h,i: R . (4).

Площади треугольниковъ СОА и СОАх также относятся какъ основанія R и 0АУ или какъ пропорціональные имъ отрѣзки hfl и R:

пл. СОА : пл. СОАх = R : О А

или

пл. СОА : пл. СОАу =hH :R.

Изъ этой пропорціи, на основаніи равенствъ (3), слѣдуетъ:

s2n . Sn — hn . R. (5)

Сравнивая пропорціи (4) и (5), мы и получимъ желаемое соотношеніе

откуда

(2').

Первая часть второго предложенія такимъ образомъ доказана.

Разсмотримъ теперь треугольникъ ОСАх. Прямая OB является биссектрисой угла треугольника ОСАх при вершинѣ О и потому дѣлитъ площадь его на части пропорціональныя сторонамъ треугольника, исходящимъ изъ вершины О :

пл. ODC : пл.ОВАх = R : 0АХ

или

пл.ОВС : пл. ОВАх = h„:R

Замѣняя вторую часть этой пропорціи на основаніи равенства (5), будемъ имѣть:

пл. OB С : пл.ОВА{ = s2n : Sn,

откуда

пл.ОВС : пл.ОСАх — s2H : (s2„ -(- Sn).

Первая часть этой пропорціи на основаніи равенства (3) равна отношенію S2n : 2Sn. Слѣдовательно,

S2n . 2SH = s2ft. (s2tl —J— Sfî) •

Опредѣляя отсюда S2H, мы и получимъ

(2")

Ч. Т. Д.

На основаніи выведенныхъ соотношеній (1'), (1") и (2’), (2") легко между прочимъ доказать, что разность периметровъ, а также разность площадей правильныхъ одноименныхъ описаннаго и вписаннаго многоугольниковъ при безграничномъ удвоеніи числа ихъ сторонъ можетъ быть сдѣлана сколь угодно малой.

Въ самомъ дѣлѣ изъ соотношеній (1') слѣдуетъ

Замѣняя вычитаемое р2п во второй части меньшей величиной рм, мы получимъ неравенство:

Мы усилимъ это неравенство, если замѣнимъ знаменателя второй части рп Д- Рп меньшей величиной 2рп

Слѣдовательно,

Точно также разсматривая площади правильныхъ многоугольниковъ, мы изъ равенства

по замѣнѣ въ числителѣ и знаменателѣ второй части его величины s2n меньшей величиной sn получимъ неравенство:

Но

и потому а fortiori

Слѣдовательно,

(7).

При безграничномъ увеличеніи цѣлаго числа к и постоянномъ п вторыя части неравенствъ (6) и (7) могутъ быть сдѣланы сколь угодно малыми.

4. Квадратура круга. Для построенія числа т. и квадратуры круга я воспользуюсь соотношеніями (2) и буду изображать

площади въ видѣ отрѣзковъ. Именно вмѣсто площадей правильныхъ многоугольниковъ вписанныхъ въ кругъ или описанныхъ около него можно брать площади равновеликихъ имъ прямоугольниковъ съ общей высотой, равной радіусу круга; основанія этихъ прямоугольниковъ и будутъ изображать сравниваемыя площади*). Формулы (2) представляютъ то удобство, что за начальныя можно выбрать раціональныя площади, именно площади вписаннаго и описаннаго квадратовъ:

Sj = 21R2 и S4 = 4R2.

Для построенія средней геометрической и средней гармонической можно воспользоваться сходными фигурами, именно кругомъ и проведенными къ нему изъ одной точки сѣкущей и касательной. Касательная и будетъ средней геометрической между всею сѣкущей и внѣшнею ея частью, а если сѣкущая проходитъ черезъ центръ круга, то проекція касательной на сѣкущую будетъ среднимъ гармоническимъ между тѣми же отрѣзками. Послѣднее вытекаетъ изъ слѣдующихъ элементарныхъ соображеній. Пусть AB діаметръ круга съ центромъ въ точкѣ О, СТ касательная къ нему изъ точки 6Т, лежащей на, продолженіи діаметра AB, СХ проекція этой касательной на сѣкущую ВС (чер. 2).

Если С А = а и СВ = Ь, то

СТ въ то же время катетъ прямоугольнаго треугольника СТО

и потому

Черт. 2.

Но

Слѣдовательно,

*) Для описаннаго многоугольника это основаніе равняется его полупериметру, а для вписаннаго меньше иолупериметра.

Пусть теперь подлежитъ квадратурѣ кругъ съ центромъ въ точкѣ М (чер. 3). Горизонтальный его діаметръ СА4 изображаетъ площадь вписаннаго квадрата:

s4 = СЛ4. R = 2R2.

Откладываемъ на продолженіи этого діаметра отрѣзокъ А4В4 равный діаметру круга М\ отрѣзокъ СВ4 служитъ изображеніемъ площади описаннаго квадрата S4:

S4= CB4.R = 4R*.

Черт. 3.

Строимъ теперь полуокружность надъ діаметромъ Л4В4 и касательную къ ней изъ точки С. Перенеся эту касательную на прямую СВ4, получимъ точку Л s и отрѣзокъ GAs будетъ изображеніемъ площади ибо

Строимъ далѣе полуокружность подъ діаметромъ AsB4 и касательную къ ней изъ точки С. Проекція этой касательной CBS на прямую изображаетъ площадь S8, ибо

Продолжая послѣдовательно эти построенія далѣе мы получимъ рядъ точекъ А4, В4, А8, Д$, Аі6і Ві6,..., причемъ полуокружности на діаметрахъ Ап Вп строимъ надъ ними, а на діаметрахъ

Вп А2п подъ ними. Получимъ такимъ образомъ спиралъ составленную изъ полуокружностей, сопряженныхъ въ точкахъ В4, А8, В8, Отрѣзки СА4, СВ4, СЛ*,... С4* СД,, изображаютъ послѣдовательно площади вписанныхъ и описанныхъ правильныхъ многоугольниковъ:

Асимптотическая точка этой спирали Р, къ которой точки Ап и Вн можно приблизить сколь угодно близко, и будетъ концомъ отрѣзка СР, изображающаго площадь круга радіуса R:

CP.R = -R2.

другими словами — СР равняется выпрямленной полуокружности и при радіусѣ равномъ единицѣ будетъ представлять число г.

Окружность построенная на діаметрѣ СР пересѣкаетъ перпендикуляръ изъ точки М къ діаметру даннаго круга СЛ4 въ точкѣ D и отрѣзокъ CD будетъ стороной квадрата, равновеликаго данному кругу, ибо

CD2 = СР. СМ или CD2 = tM.R = тгР2.

Точки Ап и Вп скоро становятся на столько близкими одна къ другой, что, не выходя изъ предѣловъ точности графическихъ построеній, можно взять за точку Р точку промежуточную и такимъ образомъ рѣшить приближенно квадратуру круга, не вычисляя тг. Но при желаніи продолжать указанное выше построеніе точекъ Ап и Вп достаточно далеко, пришлось бы строить круги на очень малыхъ діаметрахъ АнВп и А2п Вп и проводить къ малымъ кругамъ касательныя. Такого рода построенія и затруднительны и относительно мало точны. Однако этихъ затрудненій можно избѣжать, примѣняя иные способы построенія среднихъ геометрическихъ и среднихъ гармоническихъ вмѣсто продолженія спирали по направленію къ ея асимптотической точкѣ. Напр., отрѣзки САп и СВп можно замѣнить отрѣзками и СВ'п=к. СВп, гдѣ к какое нибудь цѣлое число, напр., 2. Точки А'п и В'п будутъ дальше отстоять одна отъ другой, чѣмъ Ап отъ Д,, а среднее геометрическое новыхъ отрѣзковъ остается тѣмъ же самымъ:

Построеніе средней гармонической можно замѣнить обычнымъ построеніемъ четвертой гармонической, вытекающимъ изъ элементарнаго опредѣленія группы гармоническихъ точекъ. Достаточно, напр., провести черезъ точку С перпендикуляръ къ діаметру С А и, отложивъ на немъ въ ту и другую сторону отъ точки С равные отрѣзки СР и CQ, соединить Р съ точкой А2п, а точку Q съ точкой Вп. перпендикуляръ опущенный изъ точки пересѣченія этихъ прямыхъ на прямую СВ4 и пересѣчетъ ее въ точкѣ В2п.

(Продолженіе слѣдуетъ).

Свойства ряда нечетныхъ чиселъ и ихъ примѣненіе.

I. Чистяковъ. Москва.

Еще древнимъ было извѣстно, что сумма п послѣдовательныхъ нечетныхъ чиселъ натуральнаго ряда представляетъ собою квадратъ ихъ числа:

1 + ЗН------h(2ri— 1)=-п2.......... (1).

Наглядную иллюстрацію для этого свойства получимъ, прикладывая къ какому-либо квадрату сперва три, затѣмъ 5, 7 и т. д. квадратовъ; въ результатѣ будутъ получаться квадраты со сторонами въ 2, 3, 4 и т. д. разъ большими стороны первоначальнаго.

При всей простотѣ указаннаго свойства ряда нечетныхъ чиселъ, оно можетъ послужить для вывода нѣкоторыхъ интересныхъ слѣдствій. Такъ, изъ него вытекаетъ возможность извлеченія квадратнаго корня изъ любого цѣлаго числа N съ точностью до 1 при помощи простѣйшихъ дѣйствій — сложенія и счета; именно, для этого слѣдуетъ складывать нечетныя числа, начиная съ 1, пока не получимъ JV, или большее число; тогда число взятыхъ слагаемыхъ даетъ ÿlti точно, или съ избыткомъ. Или-же можно отнимать отъ N числа 1, 3, 5 и т. д., пока это будетъ возможно; тогда число отнятыхъ нечетныхъ чиселъ дастъ j/ N точно, или съ недостаткомъ. Но, конечно, такой способъ извлеченія корня не удобенъ для практики.

То-же свойство нечетныхъ чиселъ позволяетъ легко вывести формулу для суммы квадратовъ чиселъ натуральнаго ряда. Именно, пусть:

замѣняя каждое слагаемое по формулѣ (1), найдемъ

или, группируя вмѣстѣ одинакія нечетныя числа:

съ другой стороны:

складывая оба равенства почленно найдемъ:

или

отсюда

Извѣстно, далѣе, что если написать рядъ нечетныхъ чиселъ и затѣмъ раздѣлить ихъ на группы, причемъ въ 1-ю группу отнести одно нечетное число 1, во 2-ю два: 3 и 5, въ 3-ю три: 7, 9, 11 и т. д., то сумма чиселъ каждой группы будетъ представлять точный кубъ: 1 = I3; 3 + 5 = 23; 7-(-94-И = 33 и т. д. Дѣйствительно, чтобы выразить сумму чиселъ, напр., въ пй группѣ, можно взять сумму нечетныхъ чиселъ въ п первыхъ группахъ и вычесть изъ нея сумму чиселъ въ (п—1) предшествующихъ группахъ. Но въ п первыхъ группахъ заключаетея всего.

нечетныхъ чиселъ; слѣдовательно, по предыдущему, ихъ сумма

будетъ равна

а въ (п — 1) группахъ заключается

нечетныхъ чиселъ, сумма которыхъ равна

вычитая, найдемъ, что сумма нечетныхъ

чиселъ въ пй группѣ равна:

Отсюда, между прочимъ, вытекаетъ возможность, по крайней мѣрѣ теоретическая, извлекать кубическіе корни изъ чиселъ при помощи простѣйшихъ дѣйствій: сложенія и счета; именно, чтобы извлечь кубическій корень изъ числа N съ точностью до 1, слѣдуетъ составить указаннымъ образомъ группы нечетныхъ чиселъ и складывать числа въ каждой группѣ, пока не получимъ ІѴ, или большее число; тогда номеръ группы дастъ у точно, или съ избыткомъ.

Но то-же свойство позволяетъ легко найти формулу для суммы кубовъ чиселъ натуральнаго ряда. Дѣйствительно пусть

S3 = l3-f 23+ 33+. - - f (п —1)3 + п3;

замѣняя каждое слагаемое суммой нечетныхъ чиселъ, будемъ имѣть: S3 = l + (3 + 5) + (7 +11 + 13)+. • • всего прійдется взять, какъ мы видѣли, сумму +—- нечетныхъ чиселъ;но эта сумма выразится квадратомъ того-же числа; слѣдовательно,

Способы для быстраго возведенія чиселъ въ квадратъ.

Извѣстно, что для возведенія въ квадратъ числа, оканчивающагося цифрою 5, достаточно число его десятковъ умножить на число, единицей большее, и къ результату приписать 25. Дѣйствительно, представляя подобное число въ видѣ lOw+5, имѣемъ:

(10n+5)2=100n2-|- 100n+25=w(n+1).100+25.

Напр. 752=7.8.100-f 25=5625.

Исходя изъ подобныхъ-же соображеній, можно вывести и другіе удобные пріемы для возведенія чиселъ въ квадратъ. Такъ, проф. Б. К. Млодзѣевскій въ одномъ изъ засѣданій Математическаго Кружка указалъ слѣдующіе простые способы для возведенія въ квадратъ чиселъ, близкихъ къ 50 и къ 100:

1) Пусть N=50^ra; возводя въ квадратъ, имѣемъ:

Отсюда, для полученія искомаго квадрата нужно возводимое въ квадратъ число уменьшить на 25; это дастъ сотни искомаго квадрата, затѣмъ къ полученному результату нужно прибавить а2, что при однозначномъ или небольшомъ двузначномъ числѣ а не представитъ затрудненій. Пусть, напр. А==62; имѣемъ

62=50+12;622=(62—25)100 + 144,=37.100+144;

622=3844.

2) Пусть xV=100zta; возводя вгь квадратъ, найдемъ

(100üra)2=10000=t:200a+a2=100[2(100ita)—100]+а2, т. е. N*=(2N—100).100+а2;

т. е. данное число слѣдуетъ удвоить и уменьшить число сотенъ на единицу; это дастъ сотни искомаго квадрата; затѣмъ къ результату слѣдуетъ прибавить а2.

Напр. .¥=113; .¥2=100(226—100)+132;

і¥2=12600+169=12769.

Пусть еще ІУ= 89; тогда ^=100(178—100)+121; і¥2=7800+121=7921.

Методъ обученія математикѣ въ старой и новой школѣ.

К. Лебединцевъ. Москва.

Мы въ свое время много смѣялись надъ практикой классической школы, вмѣнявшей въ обязанность учащимся переводить съ русскаго на греческій языкъ такія, напр., фразы: „плоды масличныхъ деревъ были благородны"; „души ростовщиковъ были потрясены силою пассатныхъ вѣтровъ", или даже: „лѣнивые люди похожи на мореплавателей, ибо и тѣ и другіе, хотя и постоянно плаваютъ, но проплытое оставляютъ ничѣмъ не удобнѣе непроплытаго".

Но и въ практикѣ современнаго намъ преподаванія математики можно указать такіе же перлы. Вотъ напр. условіе задачи 370-й изъ сборника Ипатова*), появившагося въ свѣтъ въ 1910 г. и черезъ годъ выпущеннаго вторымъ изданіемъ:

„Нанятъ слуга съ условіемъ платить ему за каждый слѣдующій мѣсяцъ больше предыдущаго на 80 копѣекъ; когда истекъ тотъ мѣсяцъ, за который онъ получилъ 16 руб. 50 к., то онъ разсчиталъ, что тѣ же деньги за все прослуженное время онъ могъ бы заработать раньше на число мѣсяцевъ, логариѳмъ котораго при

*) В. М. Ипатовъ. Сборникъ алгебраическихъ задачъ (повторительный курсъ среди, уч. заведеній).

основаніи 20,6 равенъ 1,(6), еслибы ему каждый мѣсяцъ платили столько рублей, сколько единицъ въ членѣ разложенія бинома

содержащемъ первую степень #, при #=0,1. Когда слуга сдѣлалъ этотъ разсчетъ"?

А вотъ еще задача 3053-я изъ задачника Тихомирова*), вышедшаго въ 1909 г. седьмымъ изданіемъ:

„Въ тотъ моментъ, когда поѣздъ поднялся на вершину длиннаго подъема, послѣдній вагонъ оторвался и началъ спускаться назадъ, пробѣгая въ первую секунду 5 арш., во вторую 15 арш., въ третью 25 арш. и т. д. Въ концѣ 12-ой минуты вагонъ достигъ нижней точки подъема и разбился. Какова была скорость (его) въ послѣднюю секунду“?

Соль этой задачи не сразу даетъ себя почувствовать. Но если произвести вычисленіе согласно условію, то выходитъ во 1-хъ, что въ послѣднюю секунду вагонъ долженъ былъ пролетѣть разстояніе около 5 верстъ (7195 аршинъ; это число дано и въ спискѣ отвѣтовъ, что исключаетъ возможность предполагать опечатку въ условіи); во 2-хъ, что весь подъемъ, съ котораго скатился этотъ вагонъ втеченіе 12 минутъ, имѣлъ въ длину 1728 верстъ, т. е. былъ немногимъ короче, чѣмъ разстояніе отъ Петербурга до Одессы; въ 3-хъ, что подъемъ этотъ, если считать его за наклонную плоскость, представлялъ крутую гору съ уклономъ не менѣе 46 градусовъ, а въ вышину долженъ былъ превосходить самыя высокія горы, имѣющіяся на земной поверхности, приблизительно въ полтораста разъ. Остается только вообразить себѣ, насколько солиднымъ должно было быть то препятствіе, о которое въ концѣ концовъ разбился данный вагонъ, мчавшійся съ такой головокружительной быстротой!

Конечно, такого рода задачи, выходящія изъ ряда вонъ по своей несообразности, являются исключеніями. Но эти исключенія хорошо характеризуютъ ту систему, на почвѣ которой они выросли. Если пересмотрѣть сборники задачъ по всѣмъ отдѣламъ математики, наиболѣе употребительные въ нашей средней школѣ, то можно удивиться изобилію чисто формальныхъ упражненій и задачъ отвлеченнаго характера, а въ задачахъ, взятыхъ какъ будто изъ жизни, найти немало примѣровъ рѣзкаго расхожденія съ дѣйствительностью. Если же взять какой либо изъ сборниковъ, служащихъ для подготовки къ выпускнымъ экзаменамъ, или одно изъ собраній задачъ, предлагавшихся на этихъ экзаменахъ въ послѣдніе 10—15 лѣтъ, то можно убѣдиться, что входящія въ нихъ задачи носятъ сплошь отвлеченный характеръ, и по большей части (какъ и приведенная задача изъ сборника Ипатова), состоятъ изъ ряда отдѣльныхъ вопросовъ, чисто механически связанныхъ въ

*) Е. Н. Тихомировъ. Примѣры и задачи по начальной алгебрѣ. Систематическое пособіе для среднихъ учебн. заведеній.

одно нестройное и неудобопроизносимое цѣлое. И вообще матеріалъ для практическихъ упражненій по математикѣ въ нашей средней школѣ (да и не только въ средней), какъ показываютъ примѣняемые въ ней задачники, страдаетъ двумя недостатками: абстрактностью содержанія и отсутствіемъ связи съ жизнью.

Подобнымъ же образомъ обстоитъ дѣло и съ теоретическимъ курсомъ математики. Какъ извѣстно, въ руководствахъ, составленныхъ примѣнительно къ традиціонному методу обученія, дается обыкновенно такъ называемое систематическое изложеніе того или иного отдѣла математики въ видѣ логической цѣпи истинъ, опирающихся въ концѣ концовъ на возможно меньшее число аксіомъ и соглашеній. Такой способъ изложенія принято называть научнымъ. Правильнѣе было бы назвать его наукообразнымъ, такъ какъ, разумѣется, ни въ одномъ самомъ строго систематическомъ учебникѣ для средней школы не излагаются основанія ариѳметики въ такомъ видѣ, какъ они формулированы напр. у Дедекинда или основанія геометріи по Гильберту, а всегда допускается большее или меньшее число различныхъ „нестрогостей“. Кто знакомъ съ наиболѣе употребительными учебниками, составленными въ традиціонномъ духѣ, тотъ знаетъ, что подчасъ эти „нестрогости“ появляются даже тамъ, гдѣ безъ нихъ отлично можно обойтись, и что существуютъ такіе злополучные отдѣлы въ курсѣ элементарной математики, традиціонное изложеніе которыхъ представляетъ одну сплошную „нестрогость“: напр. ученіе о „кажущейся неопредѣленности" въ алгебрѣ, или въ геометріи ученіе объ отношеніяхъ несоизмѣримыхъ отрѣзковъ, о длинѣ окружности и площади круга, о поверхностяхъ и объемахъ круглыхъ тѣлъ. Но это обстоятельство, т. е. наличность чисто-научныхъ промаховъ во многихъ традиціонныхъ учебникахъ, не является еще самымъ серьезнымъ ихъ недостаткомъ; болѣе существенно то, что всѣ они, въ томъ числѣ и безупречные съ научной точки зрѣнія, изложены съ явнымъ и подавляющимъ преобладаніемъ абстракціи надъ конкретнымъ матеріаломъ и логики надъ интуиціей: сначала предлагаются, въ чисто отвлеченной формѣ, общія опредѣленія и положенія, и лишь затѣмъ они поясняются на частныхъ примѣрахъ, зачастую тоже носящихъ отвлеченный характеръ; доказываются при помощи логическихъ умозаключеній подчасъ даже и такія истины, несомнѣнность которыхъ кажется учащимся совершенно очевидной. Вотъ этотъ-то абстрактно-дедуктивный методъ изложенія и является главнымъ тормазомъ при изученіи математики въ средней школѣ, такъ какъ способность къ логическому мышленію у учащихся младшаго и даже средняго возраста не развита еще въ такой мѣрѣ, чтобы они могли осилить предлагаемую имъ систему отвлеченныхъ истинъ. Правда, практика преподаванія не всегда слѣдуетъ за традиціоннымъ учебникомъ и допускаетъ, въ особенности въ младшихъ классахъ, довольно существенныя отступленія въ сторону наглядности и удобопонятности изложенія, но тамъ, гдѣ традиціонный методъ проводится во всей его неприкосновенности—тамъ математика становится для учащихся скучнымъ, сухимъ и необычайно тяжелымъ предметомъ, такимъ самымъ жупе-

ломъ, какимъ являлись въ былыя времена древніе языки съ ихъ грамматикой и экстемпораліями.

Справедливость вышеизложеннаго признаютъ обыкновенно и сами сторонники традиціоннаго метода преподаванія. Они соглашаются, что наша школьная математика, излагаемая въ видѣ системы отвлеченныхъ истинъ, усваивается учащимися съ большимъ трудомъ и по окончаніи курса быстро исчезаетъ изъ памяти послѣднихъ. Но они считаютъ, что эти соображенія все же не колеблютъ основъ традиціонной системы. Они полагаютъ, что учащіеся, изучая математику въ ея систематическомъ изложеніи, получаютъ значительное формальное развитіе умственныхъ способностей, совершенно независимо отъ того, приложимы ли къ чему нибудь изучаемыя ими истины и удерживаются ли онѣ въ памяти послѣ окончанія школы. И въ этомъ именно формальномъ умственномъ развитіи они видятъ цѣль и смыслъ изученія математики въ школѣ.

Вотъ эта вѣра въ безусловное развивающее вліяніе математики и представляетъ собою тотъ базисъ, на которомъ держится традиціонная система преподаванія математики уже столько лѣтъ. Намъ и предстоитъ разобрать, насколько эта вѣра обоснована.

Прежде всего нужно выяснить точно и опредѣленно, что собственно подразумѣвается здѣсь подъ формальнымъ умственнымъ развитіемъ. Когда утверждаютъ, что изученіе математики способствуетъ формальному умственному развитію учащихся, то этимъ обыкновенно хотятъ сказать, что лицо, изучавшее математику, сравнительно съ лицомъ, не изучавшимъ таковой, окажется при прочихъ равныхъ условіяхъ болѣе способнымъ составлять правильныя сужденія, умозаключенія и выводы не только въ области математики и ея приложеній, но и въ другихъ областяхъ науки и жизни.

Это утвержденіе должно бы быть обосновано или на результатахъ опыта, или на данныхъ психологическаго анализа. Но, какъ извѣстно, прямыхъ опытовъ, подтверждающихъ такую роль математики въ дѣлѣ умственнаго развитія, мы не имѣемъ: экспериментальная психологія и педагогика трудятся пока еще надъ разрѣшеніемъ болѣе простыхъ проблемъ, и если мы можемъ разсчитывать въ будущемъ на освѣщеніе интересующаго насъ вопроса экспериментальными данными, то все же въ настоящемъ такихъ данныхъ у насъ еще нѣтъ. Данныя же простого наблюденія говорятъ, что учащіеся, съ успѣхомъ занимающіеся математикой, не всегда оказываются способными къ изученію другихъ наукъ, и что подчасъ даже выдающіеся математики обнаруживаютъ весьма невысокій умственный уровень, когда имъ приходится составлять сужденія въ какой либо области знаній за предѣлами своей спеціальности. Конечно, выдающіеся успѣхи въ математикѣ иной разъ совмѣщаются съ широкимъ умственнымъ развитіемъ и въ другихъ областяхъ, но уже одна наличность вышеупомянутыхъ фактовъ односторонняго умственнаго развитія въ области математики заставляетъ заключить, что традиціонное мнѣніе о безусловномъ

развивающемъ вліяніи математики невполнѣ согласуется съ дѣйствительностью .

Обратимся теперь къ даннымъ психологическаго анализа. Какъ извѣстно, въ современной психологіи имѣются нѣкоторыя основанія утверждать, что упражненіе какого либо частнаго вида данной психической функціи сопровождается развитіемъ не только этого вида функціи, но и другихъ ея категорій, или, какъ иначе говорятъ, сопровождается сопутствующимъ упражненіемъ соотвѣтственной общей функціи. Такъ напр. Мейманъ, производя эксперименты надъ памятью, нашелъ, что упражненіе въ заучиваніи безсмысленныхъ слоговъ сопровождается усиленіемъ памяти не только на безсмысленные слоги, но также и нѣкоторымъ усиленіемъ всѣхъ другихъ видовъ памяти, причемъ это „сопутствующее упражненіе“ болѣе всего сказывалось на видахъ памяти, родственныхъ съ даннымъ, напр. памяти на отдѣльныя буквы, числа, вообще при усвоеніи матеріала, запоминаемаго болѣе или менѣе механически; на остальныхъ же видахъ памяти „сопутствующее упражненіе" сказывалось въ меньшей и меньшей мѣрѣ.*) При этомъ Мейманъ прибавляетъ, что это явленіе—сопутствующее упражненіе родственныхъ видовъ дѣятельности—есть вѣроятно общее психофизическое явленіе, такъ какъ мы наблюдаемъ его во всѣхъ психическихъ и физическихъ функціяхъ“**).

Взгляды Меймана раздѣляются не всѣми психологами, но допустимъ, что они безспорны, и посмотримъ, возможно ли на нихъ обосновать традиціонную точку зрѣнія. Въ самомъ дѣлѣ, исходя изъ вышесказаннаго, мы можемъ признать вѣроятнымъ, что изученіе математики сопровождается развитіемъ не только математическаго мышленія, но и другихъ видовъ мышленія, болѣе или менѣе родственныхъ послѣднему. Вся суть теперь въ томъ, какіе же виды мышленія мы можемъ считать родственными съ математическимъ. Такъ какъ въ математикѣ мы имѣемъ дѣло преимущественно съ дедукціей, то мы въ правѣ ожидать, что изученіе математики скажется въ развитіи дедуктивныхъ видовъ мышленія, возможность же сопутствующаго упражненія и въ области индуктивнаго мышленія будетъ весьма ограничена, такъ какъ въ математикѣ индукція требуетъ сравнительно небольшого числа простыхъ наблюденій, въ другихъ же наукахъ она совершается при посредствѣ многочисленныхъ и сложныхъ наблюденій и опытовъ.

А кромѣ того и самый процессъ дедуктивнаго мышленія не можетъ считаться вполнѣ тождественнымъ во всѣхъ областяхъ знанія, такъ какъ составленіе меньшей посылки силлогизма требуетъ всегда констатированія нѣкотораго факта, а для этого необходимо предварительное наблюденіе или самонаблюденіе, т. е. процессъ, который въ различныхъ случаяхъ требуетъ дѣятельности весьма различныхъ сторонъ человѣческаго организма и психики. Пояснимъ это примѣромъ.

*) Мейманъ. Лекціи по экспериментальной педагогикѣ (перев. подъ редакц. Виноградова), ч. II, стр. 237—240.

**) Тамъ же, стр. 241.

Пусть математикъ вычисляетъ произведеніе 53.47 и строитъ такой силлогизмъ: „произведеніе суммы какихъ либо двухъ чиселъ на ихъ разность равно разности квадратовъ этихъ чиселъ; въ данномъ случаѣ множимое 53 представляетъ сумму двухъ чиселъ (50—(—3), а множитель 47—разность тѣхъ же чиселъ; слѣдовательно искомое произведеніе должно быть равно 502—32". Чтобы такой силлогизмъ могъ сложиться въ умѣ этого математика, необходима наличность двухъ условій: во 1-хъ, онъ долженъ констатировать фактъ, что первое изъ данныхъ чиселъ является суммою двухъ чиселъ, а второе—ихъ разностью; во 2-хъ, въ его психикѣ должна существовать ассоціація между представленіемъ объ этомъ фактѣ и о тождествѣ искомаго произведенія и разности квадратовъ указанныхъ чиселъ.

Съ этимъ силлогизмомъ сравнимъ другой. Пусть присяжный засѣдатель при разборѣ дѣла объ убійствѣ приходитъ къ заключенію, что убійство имѣло мѣсто въ состояніи необходимой обороны, и разсуждаетъ такъ: „если кто либо совершитъ убійство въ состояніи необходимой обороны, то въ дѣяніи его нѣтъ состава преступленія; доказано, что подсудимый Сидоровъ убилъ Петрова въ состояніи необходимой обороны, слѣдовательно въ его дѣйствіи нѣтъ состава преступленія". Такой силлогизмъ возможенъ въ умѣ даннаго присяжнаго засѣдателя опять же при наличности двухъ условій: во 1-хъ, онъ долженъ констатировать фактъ, что убійство совершено въ состояніи необходимой обороны; во 2-хъ, въ его умѣ должна быть прочная ассоціація между представленіями объ этомъ фактѣ и объ отсутствіи состава преступленія.

Нетрудно видѣть, что тѣ психологическія предпосылки, которыя въ обоихъ разсмотрѣнныхъ случаяхъ обусловливаютъ возможность дѣйствительнаго возникновенія данныхъ силлогизмовъ, не могутъ считаться тождественными: и констатированіе факта требуетъ совершенно разнородныхъ наблюденій, и необходимыя ассоціаціи исходятъ изъ различныхъ областей. Поэтому мы въ правѣ сказать, что не всѣ виды дедуктивнаго мышленія могутъ считаться одинаково родственными другъ другу, а слѣд. не всѣ виды дедуктивнаго мышленія могутъ въ равной мѣрѣ подвергаться вліянію сопутствующаго упражненія отъ изученія математики. Можно напр. ожидать, что изученіе математики разовьетъ способность къ правильному мышленію въ области теоретической механики или астрономіи, вообще такихъ наукъ, положенія которыхъ находятся въ тѣсной ассоціативной связи съ математическими, или которыя сходны съ математикой по способу установленія фактовъ; но сопутствующее умственное развитіе въ другихъ областяхъ знанія можетъ сказываться въ меньшей и меньшей мѣрѣ, или вовсе не будетъ имѣть мѣста; напр. изученіе математики врядъ ли окажется подготовкой къ усвоенію сравнительнаго языкознанія, и для послѣдней цѣли, несомнѣнно, гораздо важнѣе предварительное изученіе отдѣльныхъ языковъ. Такимъ образомъ, развитое математическое мышленіе, съ точки зрѣнія педагогики, есть хотя и весьма важный, но спеціальный навыкъ, обладаніе которымъ еще не гарантируетъ общаго умственнаго развитія; по-

слѣднее пріобрѣтается только болѣе или менѣе равномѣрной работой въ различныхъ областяхъ знанія.

Изъ установленныхъ нами положеній мы можемъ теперь сдѣлать одинъ выводъ, крайне важный для педагогической практики. Именно, мы можемъ заключить, что упражняя учащихся въ передѣлкѣ громоздкихъ отвлеченныхъ примѣровъ и въ рѣшеніи вычурныхъ, неестественныхъ задачъ вродѣ тѣхъ, которыя были цитированы во вступленіи, мы, пожалуй, совершенствуемъ ихъ мысль въ дѣлѣ расшифровки математичеческихъ и иныхъ ребусовъ и головоломокъ, но отнюдь не дѣлаемъ ихъ болѣе способными къ правильному мышленію въ какой либо области, имѣющей отношеніе къ жизни или наукѣ. Иначе говоря, мы приходимъ къ одному изъ кардинальныхъ положеній современной методики математики, именно: если мы желаемъ, чтобы учащіеся получили благодаря изученію математики возможно болѣе широкое умственное развитіе, то мы должны упражнять ихъ математическое мышленіе на такомъ матеріалѣ, который имѣлъ бы прямую связь съ областью другихъ наукъ и съ явленіями жизни въ самомъ обширномъ смыслѣ этого слова.

Этимъ положеніемъ опредѣляется желательный для новой школы характеръ практическихъ упражненій по математикѣ. Наряду съ этимъ необходимо установить соотвѣтственную точку зрѣнія и на преподаваніе теоретическаго курса ея.

(Окончаніе въ слѣд. №).

А. Ю. Давидовъ*).

А. Гатлихъ. Москва.

22 декабря 1885 г. не стало профессора Августа Юліевича Давидова, за нѣсколько мѣсяцевъ передъ тѣмъ разставшагося, послѣ 35-лѣтняго служенія, съ Московскимъ Университетомъ. Помню то горькое чувство, которое испытывали мы, студенты — метематики, когда, вернувшись въ Москву послѣ Рождественскихъ вакацій изъ разныхъ провинціальныхъ захолустій, узнали печальную вѣсть.

Мнѣ пришлось два года слушать Августа Юліевича (дифференціальное и интегральное исчисленіе). Небольшого роста, сѣдой, съ выразительными довольно красивыми чертами лица, молодыми проницательными глазами и привѣтливой улыбкой, А. Ю. съ первыхъ же лекцій завоевывалъ симпатіи студентовъ.

Лекціи читалъ онъ не громкимъ, но яснымъ голосомъ, съ слегка замѣтнымъ иностраннымъ акцентомъ. По содержанію онѣ были очень просты, кратки и ясны; несомнѣнно, онѣ были вполнѣ обдуманно приспособлены къ тому, чтобы начинающихъ математиковъ не напугать деталями и хитрыми доказательствами и вмѣстѣ съ тѣмъ оставить широкій просторъ для собственныхъ размышленій. Но что особенно было важно: при слушаніи простыхъ рѣчей

*) По поводу 25-лѣтія со дня кончины.

А. Ю. Давидова, всегда думалось, что за этими немногими словами скрывается что-то большое, чудилась даль, до которой хотѣлось какъ можно скорѣе добраться.

Правда, это чувство усиливалось въ значительной степени тѣмъ отмѣннымъ всеобщимъ уваженіемъ, которое окружало Августа Юліевича: мы всѣ выросли на его учебникахъ по математикѣ, слышали на диспутахъ, какъ онъ деликатно, мягко, но вмѣстѣ съ тѣмъ глубоко и тонко разбиралъ работы молодыхъ ученыхъ, знали, что онъ — авторъ многихъ научныхъ работъ по математикѣ и аналитической механикѣ и иниціаторъ такихъ крупныхъ просвѣтительныхъ учрежденій, какъ Московское Математическое Общество и Музей Прикладныхъ Знаній.

Но начнемъ съ біографіи. А. Ю. Давидовъ родился въ г. Либавѣ, Курляндской губерніи, въ образованной семьѣ (отецъ его былъ врачъ); до 16 лѣтъ обучался дома подъ руководствомъ отца, гдѣ получилъ не только начальное научное, но и музыкальное образованіе. Вся семья Давидовыхъ, кстати замѣчу, была очень музыкальная; его братъ, сынъ и дочь пріобрѣли почетную извѣстность въ музыкальномъ мірѣ.

Въ 1839 г. семья Давидовыхъ переѣхала изъ Курляндіи въ Москву, гдѣ отецъ получилъ мѣсто врача при Воспитательномъ домѣ. Въ 1841 году А. Ю. поступилъ въ Московскій Университетъ на медицинскій факультетъ и на вступительномъ экзаменѣ обратилъ на себя вниманіе своими познаніями по математикѣ проф. Брашмана; вскорѣ однако, по настоянію отца, А. Ю. былъ переведенъ на математическій факультетъ (по тогдашней терминологіи, второе отдѣленіе философскаго факультета). Блестящія способности Давидова привлекли къ нему серьезное расположеніе проф. Брашмана, вліяніемъ котораго, надо полагать, и можно объяснить, что А. Ю. Давидовъ, несмотря на свою склонность къ чистой математикѣ, почти всѣ свои молодые годы посвятилъ занятіямъ аналитической механикой. Ей было посвящено и содержаніе трехъ его, такъ сказать, оффиціальныхъ работъ: студенческой—„О безконечно малыхъ движеніяхъ", удостоенной, факультетомъ золотой медали въ 1845 г. (въ годъ окончанія Университета), магистерской—въ 1848 г.: „Теорія равновѣсія плавающихъ тѣлъ, погруженныхъ въ жидкость",—сочиненія и до сихъ поръ имѣющаго большое научное значеніе, и докторской въ 1851 г. „Опредѣленіе поверхности жидкости, содержащейся въ сосудѣ", представляющей одну главу изъ его обширнаго труда „Теорія капиллярныхъ явленій".

Преподавательская дѣятельность А. Ю. въ Московскомъ Университетѣ началась въ 1850 г., когда онъ былъ приглашенъ для чтенія лекцій по теоріи вѣроятностей, которая до того времени въ Университетѣ еще совсѣмъ не читалась, хотя уже была наукой довольно популярной среди русскихъ ученыхъ, благодаря трудамъ академика Буняковскаго. Теорія вѣроятностей была любимымъ предметомъ А. Ю.; онъ читалъ этотъ курсъ въ теченіе всей своей профессорской дѣятельности, продолжавшейся, какъ уже сказано, 35 лѣтъ. Особенно интересовало его приложеніе теоріи вѣроятностей къ статистикѣ,—вопросъ, впослѣдствіи получившій большое

развитіе благодаря трудамъ нѣмецкихъ ученыхъ Кнаппа, Цейнера, Лексиса и нашего соотечественника Борткевича и отчасти благодаря послѣднему сдѣлавшійся въ настоящее время довольно популярнымъ у насъ въ Россіи. Изъ трудовъ А. Ю. Давидова въ этомъ отношеніи наиболѣе блестящимъ была статья его „Приложеніе теоріи вѣроятностей къ статистикѣ", помѣщенная въ сборникѣ „Учено-литературныя статьи профессоровъ и преподавателей Московскаго Университета, изд. по случаю его столѣтняго юбилея, 1855 г."; эта весьма интересная статья не утратила своего значенія и въ настоящее время. Достойны также серьезнаго вниманія литогр. „Лекціи математической теоріи вѣроятностей. Первое полугодіе изданныя подъ редакціей самого А. Ю. Давидова въ 1855 г. и сдѣлавшіяся теперь библіографической рѣдкостью. Кромѣ теоріи вѣроятностей, А. Ю. Давидовъ читалъ въ этотъ періодъ небесную механику, которая впервые въ Моск. Университетѣ имъ была излагаема въ видѣ самостоятельнаго предмета, и еще особый элементарный курсъ механики для студентовъ математиковъ и естественниковъ.

Въ 1863 г., по смерти проф. Н. Е. Зернова, въ рукахъ котораго сосредоточивалось преподаваніе почти всей чистой математики, А. Ю. Давидовъ перешелъ на каѳедру чистой математики, на которой и оставался до конца своей дѣятельности въ Университетѣ. Въ первые годы его преподаванія на этой каѳедрѣ ему приходилось излагать преимущественно высшіе спеціальные отдѣлы математическаго анализа (теорію эллиптическихъ функцій, варіаціонное исчисленіе, интегрированіе уравненій съ частными производными, исчисленіе конечныхъ разностей, теорію функцій мнимаго перемѣннаго и др.), которые до того времени или вовсе не преподавались, или излагались вскользь, въ видѣ отдѣльныхъ главъ въ общихъ курсахъ. Нельзя не пожалѣть, что нѣкоторые изъ этихъ курсовъ, весьма цѣнные по изложенію и ясности, согласно отзывамъ слушателей того времени, совсѣмъ не появились въ печати.

Къ важнѣйшимъ заслугамъ А. Ю. Давидова должно быть отнесено учрежденіе Московскаго Математическаго Общества. Вмѣстѣ съ Н. Д. Брашманомъ онъ былъ душою и организаторомъ собравшагося около нихъ кружка молодыхъ московскихъ математиковъ. Первое собраніе происходило въ квартирѣ Августа Юліевича (1864 г.). Послѣ же смерти Брашмана (1866 г.), Давидовъ сдѣлался президентомъ Общества и состоялъ имъ до конца своей жизни.

Теперь, можно сказать, вся московская математическая наука слилась съ личностью Давидова. Въ Математическомъ Обществѣ какъ бы продолжалась его университетская дѣятельность съ тою, конечно, разницей, что здѣсь онъ имѣлъ учениковъ высшаго порядка, уже хорошо знакомыхъ съ основаніями науки и имѣвшихъ силы и способности самостоятельно работать.

Можно положительно утверждать, что въ первое время своей дѣятельности, въ теченіе болѣе десятка лѣтъ, Математическое Общество „жило, росло и вдохновлялось талантами и энергіей

своего президента: онъ не пропускалъ ни одного засѣданія, не оставлялъ ни одного реферата безъ замѣчаній, не рѣдко приводившихъ къ серьезнымъ преніямъ. Всѣ математическія диссертаціи, поступившія въ факультетъ, были предварительно сообщаемы въ видѣ рефератовъ въ Обществѣ. Всѣ молодые математики, готовившіеся къ проф. кафедрѣ и оставленные при университетѣ, были сначала посѣтителями, а потомъ членами Математическаго Общества, гдѣ подъ руководствомъ Августа Юліевича или пользуясь его совѣтами, они проходили высшую школу самостоятельной научной работы—школу, которая открыла многимъ изъ нихъ блестящую ученую карьеру... Пройдутъ года,— и русская математическая наука будетъ имѣть свою исторію; одна изъ первыхъ главъ этой исторіи будетъ посвящена Московскому Математическому Обществу. Пусть будущій историкъ не забудетъ, что Математическое Общество не только было основано по мысли А. Ю. Давидова, но что вся дѣятельность Общества въ первые годы существованія была плодомъ энергіи и самопожертвованія нашего незабвеннаго учителя, котораго теперь вмѣстѣ съ нами оплакиваетъ вся русская наука“*).

Такъ говорилъ дѣятельный членъ Математическаго Общества, тоже выдающійся математикъ, всего на нѣсколько лѣтъ пережившій своего учителя, проф. А. В. Лѣтниковъ 1 февраля 1886 г. въ засѣданіи И. М. О. Л. Е. А. и Э., посвященномъ памяти Давидова.

Со времени основанія Математическаго Общества, съ нимъ тѣсно соединилась и вся ученая дѣятельность Давидова. Почти всѣ труды его съ этихъ поръ, относящіеся исключительно къ чистой математикѣ, стали появляться въ органѣ Общества, „Математическомъ Сборникѣ“. Всѣ они отличались глубиной мысли, оригинальностью и часто давали толчекъ цѣлому ряду новыхъ изслѣдованій. Изъ нихъ упомянемъ тѣ, которые и въ наше время могутъ быть прочитаны съ большимъ интересомъ: „О геометрическомъ представленіи эллиптическихъ функцій перваго вида (1867 г.)“ и въ особенности: „Уравненіе съ частными дифференціалами какого нибудь порядка“ (одно изъ первыхъ сообщеній въ Матем. Обществѣ) и „Объ одной общей формулѣ въ теоріи опредѣленнаго интеграла“—послѣдній мемуаръ А. Ю., написанный въ 1881 г. и напечатанный въ 1882 г.

Около того же времени, какъ и Математическое Общество, возникло Общество Любителей Естествознанія, Антропологіи и Этнографіи. А. Ю. принималъ и въ немъ дѣятельное участіе въ числѣ членовъ—основателей и состоялъ, со дня открытія (14 мая 1864 г.), вице-президентомъ Общества, а послѣ смерти президента О-ва Г. Е. Щуровскаго, въ засѣданіи 15 октября 1885 г., единогласно былъ избранъ пожизненнымъ президентомъ. Какъ извѣстно, при Щуровскомъ и Давидовѣ Общество достигло высокой степени развитія и учредило извѣстный по своему широкому про-

*) Воспоминанія объ А. Ю. Давидовѣ. Изд. О. Л. Е. А. и Э., т. LI (прил.).

свѣтительному воздѣйствію на массы Политехническій Музей. Не осталась безъ результата дѣятельность Давидова и въ Обществѣ Акклиматизаціи, президентомъ котораго онъ также состоялъ нѣкоторое время.

Но независимо отъ перечисленныхъ заслугъ, А. Ю. Давидовъ поработалъ много и на педагогическомъ поприщѣ. Съ 1860 г. по 1863 г. онъ былъ инспекторомъ частныхъ учебныхъ заведеній, а потомъ до конца жизни членомъ Совѣта при Попечителѣ Московскаго Учебнаго Округа. Всегда съ большимъ вниманіемъ и интересомъ слѣдилъ онъ за преподаваніемъ математики въ гимназіяхъ и реальныхъ училищахъ. Въ качествѣ члена Попечительскаго Совѣта, покойный ежегодно просматривалъ письменныя работы оканчивающихъ курсъ гимназистовъ и реалистовъ, поступавшія изъ всего учебнаго округа, и затѣмъ излагалъ свои мнѣнія объ успѣхахъ учащихся по математикѣ по каждому изъ учебныхъ заведеній. Это былъ огромный трудъ — письменныхъ отвѣтовъ ежегодно поступало слишкомъ 4000. Я. И. Вейнбергъ, бывшій тогда окружнымъ инспекторомъ, такъ характеризуетъ эту дѣятельность А. Ю. Давидова: „Заключенія его всегда отличались полною объективностью; въ каждомъ его отзывѣ слышалось вѣсское слово ученаго педагога, учителя нѣсколькихъ поколѣній,... который знаетъ, чего можно требовать отъ преподавателей, отъ учащихся. Съ удовольствіемъ бывало покойный хвалилъ хорошее, грустно относился къ явленія грустному. Охотно останавливаясь на хорошихъ сторонахъ учебнаго заведенія, онъ всегда былъ склоненъ приписать успѣхъ данной личности, причину же неудачи старался найти въ независящихъ отъ нея обстоятельствахъ. Въ каждомъ отзывѣ сквозила присущая ему гуманность, но вмѣстѣ съ тѣмъ и ни въ какомъ случаѣ не уклонялся онъ отъ правды, ибо тутъ шло дѣло о наукѣ—эмблемѣ истины и правдѣ“*).

А. Ю. Давидовъ сыгралъ большую роль въ исторіи русскаго математическаго образованія и какъ авторъ учебниковъ. Въ 1864 г. появилась его „Элементарная геометрія“, въ 1866 г.—„Начальная алгебра“, въ 1870 г.—„Руководство къ ариѳметикѣ“, въ 1878 г.— „Геометрія для уѣздныхъ училищъ по способу Дистервега“ и въ 1881 г.— „Учебное руководство по тригонометріи“.

Наибольшимъ распространеніемъ пользовались первые два— Геометрія и Алгебра.

Можно безъ преувеличенія сказать, что по нимъ въ Россіи обучался, да еще и теперь обучается, цѣлый рядъ поколѣній. Много и за и противъ говорилось въ педагогической литературѣ относительно этихъ учебниковъ. Но прежде всего надо обратить вниманіе на то, каковы были учебники до того времени въ нашихъ среднихъ учебныхъ завевеніяхъ. Наиболѣе распространенными были краткіе курсы Буссе и Погорѣльскаго; задачъ въ нихъ не было; впрочемъ на практику въ смыслѣ рѣшенія задачъ и самостоятельнаго продѣлыванія упражненій тогда почти и не обращали вниманія. Учебники Да-

*) Воспоминанія объ А. Ю. Давидовѣ. Изд. О. Л. Е. А. и Э., т. LI (прил.).

видова, съ расширеннымъ теоретическимъ учебнымъ матеріаломъ, снабженные большимъ количествомъ задачъ и примѣровъ, съ твердо выдержаннымъ научнымъ характеромъ, произвели прямо переворотъ въ постановкѣ преподаванія математики въ нашихъ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ. Особенно удался А. Ю Давидову учебникъ алгебры, такъ какъ предметъ ея ему, какъ аналисту по складу ума, былъ несомнѣнно ближе. Нельзя не пожалѣть, что теперь этотъ прекрасный въ свое время учебникъ вытѣсняется гораздо худшими, какъ по содержанію, такъ и по научности обработки отдѣльныхъ статей. Что касается тѣхъ недостатковъ, которые, съ современной педагогической точки зрѣнія, могутъ быть поставлены въ счетъ алгебрѣ Давидова, какъ напр., слабое развитіе идеи числа, отсутствіе идеи функціональной зависимости, то они не въ меньшей степени присущи и современнымъ „ходовымъ“ учебникамъ.

Нельзя не признать также цѣннымъ, по ясности и простотѣ изложенія, учебникъ тригонометріи; онъ и теперь можетъ смѣло конкурировать съ другими распространенными учебниками.

Менѣе удачнымъ, по сравненію съ начальной алгеброй, вышелъ учебникъ элементарной геометріи. Важнѣйшимъ его недостаткомъ является слабое проведеніе принципа построенія, составляющаго главную суть элементарной геометріи; безъ этого принципа, геометрія является собраніемъ полезныхъ свѣдѣній, но не даетъ учащемуся геометрическаго развитія, необходимаго для органическаго созданія новыхъ формъ. Но опять же спѣшимъ прибавить, что этимъ недостаткомъ страдаютъ и другіе распространенные въ настоящее время учебники геометріи. Такимъ образомъ и учебникъ геометріи Давидова, хотя и уступающій его алгебрѣ, все же и до сихъ поръ не имѣетъ въ русской литературѣ вполнѣ достойнаго замѣстителя.

Къ сожалѣнію, приходится отмѣтить, что учебная русская математическая литература, со времени А. Ю. Давидова, мало подвинулась впередъ и ждетъ еще своихъ новыхъ Давидовыхъ, которые, подобно ему, вооруженные глубокимъ знаніемъ и педагогическимъ чутьемъ и опытомъ, сдѣлали бы такое же обновленіе въ преподаваніи математики, какое произвелъ А. Ю. Давидовъ въ шестидесятыхъ годахъ.

Этотъ бѣглый очеркъ дѣятельности Августа Юліевича Давидова, невольно хочется закончить словами одного изъ его учениковъ и сослуживцевъ, покойнаго проф. В. Я. Цингера, тоже весьма талантливаго математика, имѣвшаго большое вліяніе на развитіе многихъ современныхъ русскихъ ученыхъ: „Важнѣйшія, отличительныя особенности личности А. Ю. Давидова, значительно выдвигавшія его надъ обыкновеннымъ уровнемъ, заключались въ его рѣдкой талантливости и въ замѣчательной проницательности, быстротѣ и, если можно такъ выразиться, изяществѣ его ума. Этимъ объясняется какъ то обаяніе, которое онъ производилъ на своихъ слушателей съ каѳедры и на своихъ собесѣдниковъ въ ученыхъ собраніяхъ, такъ и то значеніе, которое онъ имѣлъ для

университета и которое пріобрѣталъ всюду, гдѣ ему приходилось дѣйствовать. Для людей, которымъ приходилось съ нимъ сближаться, не меньшую привлекательность составлялъ его въ высшей степени симпатичный характеръ, необыкновенная простота, добродушіе, мягкость и деликатность“*).

Первая русская печатная математическая книга.

Историческая справка.

П. Барановъ. Москва.

Первой русской печатной книгой математическаго содержанія является „Считаніе удобное которымъ Всякій человѣкъ купующій или продающій, зѣло удобно изыскати можетъ, число всякія вещи“**). Эта книга напечатана въ Московской типографіи въ 1682 году.

„Считаніе удобное“ представляетъ собою таблицы произведеній всякаго цѣлаго числа отъ 2 до 100 на всякое цѣлое число, находящееся въ тѣхъ же предѣлахъ. Таблицы, занимающія 50 страницъ, построены такъ же, какъ строятся и теперь таблицы подобнаго рода: каждая страница раздѣлена на клѣточки, сомножители помѣщены въ клѣточкахъ верхней строки и лѣваго столбца страницы, а ихъ произведенія—въ клѣточкахъ, лежащихъ въ одномъ столбцѣ съ верхнимъ сомножителемъ и въ одной строкѣ съ лѣвымъ сомножителемъ. Первыя пять страницъ таблицъ обнимаютъ собою произведенія чиселъ отъ 2 до 100 [лѣвые сомножители] на числа отъ 2 до 10 [верхніе сомножители], на слѣдующихъ пяти страницахъ помѣщаются произведенія всѣхъ цѣлыхъ чиселъ отъ 2 до 100 на числа второго десятка и т. д.

Послѣдняя страница заканчивается произведеніемъ 100 на 100.

Шрифтъ текста и цифры таблицъ—церковно-славянскіе.

На первой страницѣ листка, находящагося передъ таблицами, послѣ заглавія мы читаемъ слѣдующее: „А како число вещей, и вещамъ число цѣны изыскивати, и о томъ читая въ предисловіи къ читателю, совершенно познавши“. На слѣдующей страницѣ мы находимъ это „предисловіе къ читателю“, въ которомъ указывается цѣль книги и объясняется, какъ слѣдуетъ пользоваться таблицами. Приводимъ это предисловіе цѣликомъ.

„Къ читателю. Сія книжка читателю любезный надобна человѣку, для скораго всякія вещи цѣны обрѣтенія, которую кто купити или продати хощетъ: А мѣра и цѣна за сколько чего, сколько денегъ дати или взяти, объявляется въ сей книжкѣ на всякой страницѣ, въ верхнихъ да въ постороннихъ первыхъ стро-

*) Отчетъ Моск. Университета за 1886 г.

**) Здѣсь и въ дальнѣйшихъ выдержкахъ сохранены правописаніе и разстановка знаковъ препинанія подлинника.

кахъ въ клѣточкахъ, И мощно считати всякія вещы, хотя мѣру положити, сколько чего продаетъ, или покупаетъ въ верхнѣй строкѣ, а цѣну въ постороннѣй. Или цѣну положити, сколько чего купити, или продати въ верхнѣй строкѣ, а мѣру въ постороннѣй, сице: Есть ли мѣру положитъ въ верхнѣй строкѣ, а цѣну въ постороннѣй строкѣ, и ты отъ того числа пойди рядомъ клѣточками, и дойди до той клѣточки, которая стоитъ противъ верхняго числа, которое число мѣру показуетъ, и стани: и сколько въ той клѣточки будетъ числа, столько будетъ за тотъ товаръ и цѣны копейками, или алтынами, или гривнами, или рублями. А есть ли мѣру положитъ въ постороннѣй первой строкѣ, и ты цѣну положи въ верхнѣй строкѣ, и пойди внизъ прямо отъ того числа клѣточками же, и дойди до той клѣточки, которая стоитъ противу посторонняго числа, которое значитъ мѣру, и стани: и сколько въ той клѣточки стоитъ числомъ, столько и за тотъ товаръ цѣны будетъ копеекъ, или алтынъ, или гривенъ, или рублевъ, И о семъ читателю буди тебѣ извѣстно, что въ сей книжкѣ положено счету краткости ради только одно сто. А есть ли мѣра или цѣна превзыдетъ число счета, который положенъ въ сей книжкѣ, и тому возможно по сему же счету, мѣру и цѣну умножая, хотя многія

Снимокъ со второго листка таблицъ „считанія удобнаго“ (третья страница таблицъ).

4- натуральной величины.

тысящи счести: здравствуй, и о трудящихся въ семъ дѣлѣ моли Бога“.

Замѣтимъ, кто „Считаніе удобное“ было напечатано еще разъ въ 1714 году (въ Петербургѣ) подъ заглавіемъ: „Книга счітанія удобнаго Ко употребленію всякому хотящему безъ труда познати цѣну, или мѣру какія вещи“.

Второе изданіе „Считанія“ отпечатано уже гражданскимъ шрифтомъ и арабскими цифрами.

Задачи.

(Фамиліи лицъ, приславшихъ вѣрныя рѣшенія, будутъ напечатаны).

1. Рѣшить уравненіе:

2. Доказать, что если т—нечетное число, то

3. Показать, что если уравненіе:

гдѣ у есть перемѣнный параметръ, имѣетъ только одинъ корень независящій отъ у, то оба его корня раціональны.

Составить и доказать обратное предложеніе.

4. Рѣшить систему уравненій:

5. Показать, что изъ п прямолинейныхъ отрѣзковъ длиною въ 1, 2, 3.... п вершковъ, можно составить —1^--------- треугольниковъ, если п четное, и —------------- треугольниковъ, если п нечетное.

6. Доказать теорему: если въ треугольной пирамидѣ одинъ изъ плоскихъ угловъ при вершинѣ — прямой и высота ея проходитъ чрезъ точку пересѣченія высотъ основанія, то и прочіе углы при вершинѣ — прямые.

7. Данный треугольникъ раздѣлить на возможно меньшее число частей такъ, чтобы сложивъ ихъ въ другомъ порядкѣ можно было-бы получить треугольникъ, симметричный съ даннымъ. Для какихъ треугольниковъ достаточно разрѣзать треугольникъ на двѣ части по прямой линіи?

8. Найти нѣсколько послѣдовательныхъ цѣлыхъ чиселъ, сумма которыхъ равнялась-бы 1000.

9. Если четыреугольникъ можетъ быть одновременно вписанъ въ одинъ кругъ и описанъ около другого, то между радіусами круговъ (Л и г) и разстояніемъ ихъ центровъ d существуетъ соотношеніе:

(Lock and Child, Trigonometry).

10. Если между радіусами двухъ круговъ и разстояніемъ ихъ центровъ существуетъ соотношеніе, данное въ предыдущей задачѣ (напр. R = 35, г = 24 и d = 5), то число четыреугольниковъ одновременно вписуемыхъ и описуемыхъ неограниченно и произведеніе діагоналей такихъ четыреугольниковъ есть величина постоянная.

(Lock and Child).

11. Рѣшить уравненіе:

Примѣчаніе. Нѣкоторыя изъ предложенныхъ задачъ, могутъ быть извѣстны читателямъ, но онѣ помѣщаются здѣсь въ виду ихъ интереса и отсутствія достаточно полнаго рѣшенія ихъ въ печати.

Обозрѣніе преподаванія Математики въ Московскихъ высшихъ учебныхъ заведеніяхъ въ 1911—12 акад. году.

Читаемые курсы; практическія занятія; семинаріи.

1. Физико-Математическій Факультетъ Императорскаго Московскаго Университета.

К. К. Андреевъ. Осеннее полугодіе: аналитическая геометрія на плоскости; высшая алгебра ч. 1-я и 2-я; весеннее полугодіе: аналитическая геометрія въ пространствѣ; высшая алгебра ч. 2-я; сферическая тригонометрія.

Л. А. Лахтинъ. Осеннее полугодіе: введеніе въ анализъ; интегральное исчисленіе; теорія вѣроятностей; весеннее полугодіе: дифференціальное исчисленіе; интегральное исчисленіе; теорія вѣроятностей; исчисленіе конечныхъ разностей.

Д. Ѳ. Егоровъ. Осеннее полугодіе: дифференціальная геометрія; интегрированіе дифференціальныхъ уравненій; ариѳметическая теорія алгебраическихъ областей; весеннее полугодіе: интегрированіе дифференціальныхъ уравненій; варіаціонное исчисленіе; математическій семинарій.

В. В. Бобынинъ. Въ оба полугодія: исторія донаучнаго періода развитія наукъ математическихъ; исторія математики въ древней Греціи; исторія математики у Римлянъ и въ средніе вѣка; исторія новой математики съ эпохи Возрожденія. Теорія чиселъ.

И. К. Богоявленскій. Осеннее полугодіе: высшая алгебра (спец. курсъ).

А. А. Дмитровскій. Въ оба полугодія: плоскія кривыя высшихъ порядковъ; упражненія по аналитической геометріи на плоскости и въ пространствѣ.

С. С. Бюшгенсъ. Въ оба полугодія: упражненія по дифференціальной геометріи; упражненія по интегрированію дифференціальныхъ уравненій; весеннее полугодіе: теорія линейчатыхъ конгруенцій.

Н. Е. Жуковскій. Осеннее полугодіе: Кинематика и статика съ упражненіями; динамика твердаго тѣла; аэродинамика съ приложеніемъ къ воздухоплаванію. Весеннее полугодіе: динамика точки и теорія притяженія съ упражненіями; аэродинамика съ приложеніемъ къ воздухоплаванію.

Н. И. Мерцаловъ. Осеннее полугодіе: начертательная геометрія, линейное черченіе; теорія механизмовъ. Весеннее полугодіе: упражненія по начертательной геометріи; линейное черченіе; общая теорія машинъ.

И. В. Станкевичъ. Осеннее полугодіе: гидродинамика; интегральныя уравненія; весеннее полугодіе: гидродинамика; теорія волнъ и приливовъ.

2. Физико-Математическій Факультетъ Московскихъ Высшихъ Женскихъ Курсовъ.

Осеннее полугодіе: М. Ѳ. Бергъ — элементарная алгебра;

С. П. Виноградовъ — дополнительный курсъ алгебры; энциклопедія математики, ч. 2-я. Н. А. Извольскій — элементарная геометрія; А. Ф. Гатлихъ — дополнительный курсъ геометріи;

1. И. Чистяковъ — тригонометрія; теорія детерминантовъ; интегрированіе дифференціальныхъ уравненій; О. Н. Цубербиллеръ— упражненія по тригонометріи; Л. Н. Запольская — высшая алгебра; И. И. Жегалкинъ — анализъ, ч. 1-я и 2-я съ упражненіями; Д. Ѳ. Егоровъ — аналитическая геометрія въ пространствѣ, съ упражненіями; варіаціонное исчисленіе; А. К. Власовъ — начертательная геометрія; Б. К. Млодзѣевскій — теорія функцій комплекснаго перемѣннаго; дифференціальная геометрія; Б. К. Млодзѣевскій и А. К. Власовъ — математическій семинарій (о приближенныхъ вычисленіяхъ); С. А. Чаплыгинъ— механика; В. П. Писаревъ — упражненія по механикѣ; теорія притяженія; гидродинамика, теорія машинъ; семинарій по механикѣ.

Весеннее полугодіе: С. П. Виноградовъ — энциклопедія математики, ч. 1-я; А. Ф. Гатлихъ — синтетическая теорія коническихъ сѣченій; I. И. Чистяковъ — теорія чиселъ; И. И. Жегалкинъ — анализъ, ч. 1-я, съ упражненіями; теорія функцій дѣйствительнаго перемѣннаго; эллиптическія функціи; Д. Ѳ. Егоровъ — аналитическая геометрія на плоскости, съ упражненіями; А. К. Власовъ — теорія вѣроятностей; Б. К. Млодзѣевскій — введеніе въ анализъ, съ упражненіями; дифференціальная геометрія; уравненія съ частными производными; Б. К. Млод-

зѣевскій и А. К. Власовъ — математическій семинарій (неевклидова геометрія); С. А. Чаплыгинъ — механика; В. П. Писаревъ — упражненія по механикѣ; интегрированіе уравненій динамики. Семинарій по механикѣ.

3. Московскій Городской Народный Университетъ имени А. Л. Шанявскаго (1-й семестръ 1911—12 уч. г).

В. П. Шереметевскій — математика; О. В. Ермолова — повторительный курсъ алгебры; Б. К. Млодзѣевскій — объ основаніяхъ геометріи (эпизодическій курсъ).

Въ виду интереса, вызваннаго курсомъ Б. К. Млодзѣевскаго „Основанія геометріи“, приводимъ его программу:

Методъ геометріи. Основныя понятія и положенія геометріи. Историческое развитіе взглядовъ на происхожденіе и значеніе геометрическихъ основоположеній. Догматическая и критическая точка зрѣнія на основныя положенія геометріи. Теорія параллельныхъ прямыхъ и ея роль въ исторіи воззрѣній на основанія геометріи. Неевклидова и абсолютная геометрія. Формальное направленіе въ геометріи; роль логики и интуиціи въ геометріи. Общая характеристика современныхъ изслѣдованій объ основаніяхъ геометріи. Построеніе системы основныхъ понятій и положеній геометріи.

Библіографическій отдѣлъ.

В. Лермантовъ. Курсъ примѣнимой алгебры. Систематическое изложеніе основныхъ пріемовъ элементарной алгебры, находящихъ примѣненіе въ техникѣ и наукахъ о природѣ, обычныхъ дополнительныхъ статей и графическихъ пріемовъ рѣшенія уравненій. Для самообученія и школъ. Содержитъ матеріалъ 3, 4, 5 и 6 классовъ гимназій, 3, 4 и о классовъ реальныхъ училищъ и всего курса техническихъ училищъ, духовныхъ семинарій и женскихъ гимназій. Изд. К. Л. Риккера, Спб. 1911. Изд. 2-е.

Эта книга интересна тѣмъ, что при составленіи ея авторъ исходилъ главнымъ образомъ изъ соображеній педагогическихъ; на первый планъ въ ней выдвинуты тѣ понятія и пріемы алгебры, которые находятъ себѣ широкое примѣненіе въ естественныхъ наукахъ и техникѣ, и благодаря своей многосторонней связи съ явленіями жизни, могутъ внушить наибольшій интересъ учащимся.

Центральное мѣсто въ курсѣ отведено рѣшенію уравненій; алгебраическія же преобразованія изучаются постольку, поскольку они оказываются полезными для уравненій, и въ такой послѣдовательности, въ какой это вызывается рѣшеніемъ уравненій; наиболѣе сложные пріемы преобразованій, не имѣющіе себѣ приложеній въ уравненіяхъ, выдѣлены въ особую главу въ самомъ концѣ курса.

Существенная роль отводится также понятію о функціи и функціональной зависимости: въ связи съ уравненіями первой и второй степени сообщаются свѣдѣнія о соотвѣтствующихъ функціяхъ (одного перемѣннаго) и объ ихъ графическомъ изображеніи въ системѣ прямоугольныхъ координатъ, и излагаются пріемы графическаго рѣшенія уравненій; въ главѣ о логариѳмахъ сообщаются также краткія свѣдѣнія о функціи показательной и логариѳмической.

Наконецъ въ заключительной главѣ дается понятіе о сущности такъ назыв. высшей математики: аналитической геометріи, высшей алгебры, дифференціальнаго и интегральнаго исчисленія, и указывается, какое значеніе имѣетъ усвоеніе основныхъ понятій высшей математики при изученіи наукъ о природѣ. Необходимо при этомъ добавить, что и во всей книгѣ авторъ старается подчеркнуть связь между излагаемыми понятіями и явленіями жизни, а кромѣ того стремится излагать всякій вопросъ возможно болѣе доступнымъ для учащагося способомъ.

Такимъ образомъ, по своимъ основнымъ тенденціямъ разбираемое сочиненіе безусловно отвѣчаетъ потребностямъ настоящаго времени и тому духу, въ которомъ совершается въ настоящее время реформа преподаванія математики и, въ частности, алгебры. Но со стороны исполненія книга во многомъ оставляетъ желать лучшаго и страдаетъ существенными недостатками; во многихъ мѣстахъ бросается въ глаза неточность, расплывчатость и догматизмъ изложенія, а нѣкоторыя важныя объясненія являются логически несостоятельными. Вотъ нѣсколько характерныхъ примѣровъ указанныхъ недостатковъ.

На стр. 13, въ отдѣлѣ, посвященномъ выясненію понятія объ отрицательномъ числѣ, читаемъ слѣдующія строки: „Въ алгебрѣ принято всякое количество, предъ которымъ поставленъ знакъ—,считать „отрицательнымъ“, а то же количество безъ всякаго знака, или предшествуемое знакомъ-}-, считать „положительнымъ“. Поэтому (курсивъ мой. К. Л.) прибавить отрицательное количество значитъ то же самое, что вычесть положительное количество, состоящее изъ того же числа единицъ, и наоборотъ: вычесть отрицательное количество, то же самое, что прибавить положительное“.

Тамъ же, на стр. 15, устанавливая правила знаковъ для умноженія и дѣленія, авторъ пользуется въ области отрицательныхъ чиселъ свойствами произведенія и частнаго, справедливость которыхъ установлена пока только для ариѳметическихъ чиселъ. Впрочемъ на стр. 16 авторъ уже прямо объявляетъ, что „правило это условное и поэтому доказательства не требуетъ“. Вообще весь отдѣлъ объ отрицательныхъ числахъ изложенъ сбивчиво, неточно и неясно; мѣстами изложеніе становится прямо догматическимъ.

На стр. 23 правило умноженія многочлена на многочленъ сообщается читателю на вѣру, безъ какихъ бы то ни было поясненій. Подобнымъ же образомъ сообщается потомъ и правило дѣленія многочленовъ, на стр. 53—54.

На стр. 25 смыслъ нулевого и отрицательнаго показателя „выводится*" на основаніи правила вычитанія показателей (при дѣленіи), которое, кстати сказать, не было раньше установлено, и тутъ же торопливо формулируется и дается почти догматически. А на стр. 26 правило показателей при умноженіи дается уже прямо на вѣру, безъ всякихъ объясненій, причемъ учащимся предлагается заодно повѣрить и въ то, что „оно равно подойдетъ и къ положительнымъ и къ отрицательнымъ показателямъ, т. е. собственно и къ умноженію и къ дѣленію, которое тоже, что умноженіе на дѣлитель въ степени—1“.

На стр. 27—28 объясненіе освобожденія уравненій отъ дробей изложено неясно и догматично. О томъ, что при выводѣ правила каждый знаменатель предполагается отличнымъ отъ нуля, нѣтъ и помину.

На стр. 43, при изложеніи вопроса объ уравненіи прямой, находимъ у автора характерное колебаніе между индуктивнымъ и дедуктивнымъ изложеніемъ. Съ одной стороны онъ полагаетъ нетруднымъ доказать, что всѣ разбираемыя точки лежатъ на одной прямой („проходившіе геометрію легко сами подберутъ доказательство этого, и даже не одно, потому что къ вопросу можно подойти съ разныхъ сторонъ“); съ другой стороны, онъ предлагаетъ прямо удостовѣриться въ этомъ на опытѣ.

На стр. 59 находимъ буквально слѣдующія строки: „...общее рѣшеніе п уравненій съ п неизвѣстными можетъ быть невозможнымъ. Въ такомъ случаѣ, рѣшивъ уравненіе, найдемъ, что неизвѣстное выражается какимъ-либо конечнымъ количествомъ, дѣленнымъ на нуль. Но всякая конечная величина неизмѣримо больше нуля, поэтому такое частное называютъ „безконечно большимъ числомъ"; обозначаютъ такое число условнымъ знакомъ ос. Въ такомъ случаѣ корни совокупности уравненій найдены; это не исключеніе изъ правила, только корни эти за предѣломъ всѣхъ существующихъ конечныхъ величинъ, поэтому и можно сказать, что ,.уравненія нс совмѣстимы“, что общаго корня для нихъ не существуетъ (курсивъ мой. К. Л.) Впрочемъ нѣсколькими строками

ниже авторъ говоритъ прямо: „тутъ уже кончается область, въ которой наша алгебраическая логика примѣнима".

На стр. 109 авторъ совершенно опредѣленно утверждаетъ, что „убывающая прогрессія (геометрическая) можетъ быть продолжена до безконечнаго числа членовъ (курсивъ вездѣ мой. К. Л.), но сумма всѣхъ этихъ членовъ останется конечной величиной. Дѣйствительно, если ѵ (знаменатель) меньше единицы, то ѵ°° =0, такъ какъ правильная дробь уменьшается съ возвышеніемъ въ цѣлую положительную степень, и обратится въ нуль, когда ея знаменатель станетъ безконечно большимъ. Но при гп=0, сумма членовъ прогрессіи а. Также и на стр. 110, гдѣ авторъ приводитъ примѣры сходящихся рядовъ и даетъ разложеніе въ рядъ синуса и косинуса, находимъ прямое утвержденіе: „точное равенство получилось бы лишь въ томъ случаѣ, еслибы продолжить рядъ по тому же закону до безконечно большого числа членовъ“. Наконецъ и на стр. 176 встрѣчаемъ категорическое утвержденіе: „периметръ многоугольника и окружность круга станутъ тождественны, когда каждая сторона уменьшится до нуля, а зато число ихъ станетъ „безконечно велико“.

Можно было бы указать и еще цѣлый рядъ неточностей и недочетовъ въ изложеніи, но мы отмѣтимъ здѣсь только, что избранные пріемы объясненій не вездѣ являются достаточно простыми. При объясненіи правила перенесенія слагаемыхъ и вычитаемыхъ въ другую часть уравненія (стр. 7—8) нѣтъ надобности пользоваться аксіомами о равенствѣ результатовъ послѣ одинаковыхъ измѣненій равныхъ чиселъ; проще ссылаться здѣсь просто на свойства суммы и разности, извѣстныя изъ ариѳметики. Подобнымъ образомъ, при разборѣ вопроса объ уравненіяхъ первой степени съ двумя неизвѣстными нѣтъ никакой надобности говорить объ опредѣлителяхъ (стр. 56—57), или о способѣ неопредѣленныхъ множителей, который неизвѣстно почему названъ „способомъ уравненія коэффиціентовъ“ (стр. 55); о томъ же способѣ, который обычно называется „уравниваніемъ коэффиціентовъ“ и почти исключительно примѣняется при рѣшеніи системы уравненій съ двумя неизвѣстными, не сказано вовсе.

Если бы всѣ допущенныя авторомъ неточности и неясности являлись плодомъ его неосвѣдомленности въ математикѣ, то книга вовсе не заслуживала бы разбора. Но можно думать (и на эту мысль наталкиваетъ авторское предисловіе), что если не всѣ, то большинство логическихъ недочетовъ и несообразностей допущены авторомъ сознательно, въ томъ предположеніи, что такимъ образомъ учащіеся лучше уяснятъ себѣ суть дѣла. Мысль о томъ, что въ школьной практикѣ допустимы догматизмъ и логическія погрѣшности, дѣйствительно пользуется въ настоящее время кредитомъ среди нѣкоторыхъ педагоговъ; но не можетъ быть сомнѣнія въ томъ, что подобная мысль находится въ коренномъ противорѣчіи съ принципами современной методики, математики. Можно, въ случаѣ надобности, сообщать учащимся неполныя опредѣленія, съ тѣмъ чтобы впослѣдствіи ихъ расширить; можно и должно, въ подходящихъ случаяхъ, замѣнять логическій выводъ какой либо истины индуктивнымъ ознакомленіемъ съ нею на рядѣ конкретныхъ частныхъ примѣровъ; эти принципы, а въ особенности второй, даютъ возможность выяснить всякій вопросъ настолько просто, чтобы онъ сдѣлался доступнымъ уму учащихся, и въ то же время дѣлаютъ излишнимъ всякій догматизмъ и всякія логическія неточности.

Интересно отмѣтить, что первое изданіе книги г. Лермантова (вышедшее приблизительно десять лѣтъ тому назадъ), встрѣтило возраженія главнымъ образомъ съ научной стороны. Въ послѣднее время методическіе взгляды автора начали встрѣчать нѣкоторое сочувствіе (см. напр. статью Д. Ройтмана: „Программа математики, астрономіи и механики для шестиклассной общеобразовательной народной школы“, Русск. Школа, 1910 г.); полагаю однако, что при всей симпатіи благимъ намѣреніямъ автора, приходится признать его попытку въ общемъ неудачной.

К. Л.

D. Behrendsen und D-r E. Getting. Lehrbuch der Mathematik nach modernen Grundsätzen. Unterstufe. Ausgabe А für Gymnasien. B. G. Teubner, Leipzig und Berlin, 1911 (zweite Auflage).

Эта книга представляетъ учебникъ для нѣмецкой средней школы и составлена въ духѣ реформы традиціоннаго преподаванія математики, сообразно идеямъ, пропагандируемымъ извѣстнымъ проф. Клейномъ. Понятію о функціи и функціональной зависимости отводится центральная роль въ курсѣ: такъ что ознакомленіе съ различными математическими величинами, встрѣчающимися въ курсѣ, всякій разъ сопровождается изученіемъ ихъ функціональныхъ соотношеній. Вмѣстѣ съ тѣмъ устанавливается возможно болѣе тѣсная связь между различными отдѣлами математики, излагаемыми въ курсѣ; изучаемыя функціональныя зависимости сопровождаются графическими ихъ иллюстраціями, и многія чисто алгебраическія соотношенія наглядно представлены помощью соотвѣтственныхъ геометрическихъ образовъ.

Разсматриваемая здѣсь „первая ступень“ руководства (Unterstufe) содержитъ матеріалъ, соотвѣтствующій приблизительно курсу 3—5 классовъ нашей средней школы: общее введеніе въ геометрію, „систематическій“ курсъ планиметріи, и наконецъ общую ариѳметику и алгебру: ученіе объ общихъ свойствахъ дѣйствій надъ числами съ приложеніемъ къ дѣйствіямъ надъ буквенными выраженіями, ученіе объ уравненіяхъ и функціяхъ первой и второй степени, и ученіе о степеняхъ и корняхъ въ связи съ понятіями объ отрицательныхъ и дробныхъ показателяхъ.

Введеніе въ геометрію изложено конкретно-индуктивнымъ путемъ; систематическій курсъ планиметріи излагается уже съ помощью дедукціи, но на основѣ конкретныхъ представленій, которыя продолжаютъ играть въ немъ видную роль; изложеніе вопросовъ ариѳметики и алгебры также носитъ вездѣ наглядный характеръ. Во всемъ вообще курсѣ замѣтна тенденція связать отвлеченныя математическія понятія съ какими либо конкретными образами.

Но наряду съ указанными здѣсь достоинствами книга не свободна и отъ существенныхъ недостатковъ. Увлекаясь стремленіемъ дать по возможности простое изложеніе, авторы далеко не вездѣ позаботились о точности его. Въ особенности это сказывается при изложеніи вопросовъ о несоизмѣримыхъ отрѣзкахъ и числахъ объ измѣреніи длины окружности и площади круга. Повидимому, допускаемыя здѣсь и въ другихъ мѣстахъ курса неточности введены умышленно, въ томъ предположеніи, что такимъ образомъ учащіеся лучше поймутъ дѣло; но это, безъ сомнѣнія, ложный педагогическій пріемъ. Другимъ серьезнымъ недостаткомъ книги является одностороннее и несоразмѣрное преобладаніе геометрическаго элемента въ курсѣ ариѳметики и алгебры; даже при изученіи уравненій выдвигается на первый планъ ихъ графическое рѣшеніе, которое и излагается раньше алгебраическаго. Авторы какъ будто игнорируютъ всѣ иные пріемы конкретизированія изложенія, кромѣ геометрическихъ иллюстрацій, и доходятъ въ концѣ концовъ до того, что „разъясняютъ“ законы дѣйствій надъ степенями помощью соотвѣтственныхъ кривыхъ, нагромождая довольно сложные и запутанные чертежи тамъ, гдѣ обычное аналитическое разсужденіе гораздо проще и быстрѣе ведетъ къ цѣли и допускаетъ весьма простую подготовку общаго вывода на частныхъ случаяхъ.

Въ общемъ, руководство Б. и Г. безспорно интересно для русскихъ читателей и можетъ оказаться полезнымъ пособіемъ для педагога, который, будучи сторонникомъ реформы, съумѣетъ однако критически отнестись къ содержанію книги.

К. Л.

Списокъ книгъ, поступившихъ въ редакцію и въ библіотеку Математическаго Кружка съ 1-го октября 1911 года.

Постановка преподаванія математики, механики и физики въ Московской Практической Академіи Коммерческихъ Наукъ (Юбилейное изданіе къ 100-лѣтію Академіи). 1911 г.

Отчетъ о дѣятельности Рижскаго Педагогическаго Общества за 1910—1911 учебный г.

Педагогическая выставка въ г. Ригѣ 11 —16 апрѣля 1911 г. (Каталогъ по математикѣ).

Е. М. Пржевальскій. Элементарная алгебра. 4 изд. 1908 г. Ц. 1 р. 50 к.

Его-же. Собраніе алгебраическихъ задачъ для учениковъ старшихъ классовъ среднихъ учебныхъ заведеній, ч. I. М. 19С8 г. Ц. 1 р. 60 к. (ч. II и III печатаются).

В. П. Свѣнцицкій. Краткій курсъ аналитической геометріи на плоскости. М. 1910 г. Ц. 1 р. 75 к.

А. Ф. Гатлихъ. Синтетическая теорія коническихъ сѣченій. М. 1911 г, Ц.80к.

К. Ѳ. Лебединцевъ. Основы алгебры. Для учебныхъ заведеній съ практическимъ курсомъ алгебры. Петербургъ—Кіевъ. 1911 г. Ц. 65 к.

Его-же. Краткій алгебраическій задачникъ. Для учебныхъ заведеній съ практич. курсомъ алгебры. Петерб.—Кіевъ. 1911 г. Ц. 40 к.

Его-же. Курсъ алгебры. Ч. 1. 2-е изд. Ц. 80 к. Ч. II. 2*е изд. Д. 1 р. 10 к. Сборникъ алгебраическихъ задачъ. Ч. I. Ц. 50 к.

Д. Граве. Энциклопедія математики. Кіевъ. 1912 г. Ц. 3 р. 50 к.

I. Штёклинъ. Методика ариѳметики. Ч. I. Переводъ А. Долгова подъ ред. Д. Л. Волковскаго. М. 1911 г. Ц. 1 р. 75 к.

Его-же. Ариѳметическій задачникъ. Вып. I, II, III. Переводъ Д. Л. Волковскаго. М. 1911 г. Цѣна по 10 к. вып.

H. Извольскій. Геометрія на плоскости. М. 1911 г. Ц. 1 р. 20 к.

А. М. Горстъ. Элементарная геометрія. Пб.—Кіевъ. 1911 г. Ц. 1 р. 10 к.

A. А. Ляминъ. Прямолинейная тригонометрія для среднихъ учебныхъ заведеній. М. 1912 г. Ц. 60 к.

Его-же. Методическій сборникъ задачъ прямолинейной тригонометріи. М. 1912 г. Ц. 75 к.

Его-же. Измѣненіе тригонометрическихъ функцій при измѣненіи угла (наглядное пособіе). М. 1911 г. Ц 25 к.

Эмиль Борель. Ариѳметика, 1-й циклъ. Пер. А. Долгова подъ ред. Д. Волковскаго. М. 1911 г. Ц. 60 к.

B. Егоровъ, Н. Жуковъ, П. Карасевъ, А. Либерманъ и П. Потоцкій. Сборникъ ариѳметическихъ задачъ. М. 1911 г. Ц. 1 р. 05 к. въ перепл.

В. Каспарьянцъ. Учебникъ теоретической ариѳметики. М. 1911 г. Ц. 80 к.

Дѣятельность математическихъ обществъ и кружковъ.

Московскій Математическій Кружокъ.

Засѣданіе 27 октября 1911 года.

Засѣданіе происходило подъ предсѣдательствомъ Б. К. Млодзѣевскаго, въ присутствіи 48 членовъ Кружка.

I. Секретарь I. И. Чистяковъ довелъ до свѣдѣнія собранія, что, согласно постановленію Кружка, Правленіемъ послано въ организаціонный Комитетъ 1-го Съѣзда преподавателей математики въ Петербургѣ увѣдомленіе, что делегатомъ отъ Математическаго Кружка въ организаціонный Комитетъ Съѣзда избранъ Б. К. Млодзѣевскій, и что секретарю I. И. Чистякову поручено на Съѣздѣ сдѣлать докладъ: „О дѣятельности Московскаго Математическаго Кружка“.

2. Обсуждался внесенный группою членовъ вопросъ объ изданіи Кружкомъ собственнаго журнала. Постановлено издавать съ 1912 года журналъ „Математическое Образованіе“, по программѣ, предложенной иниціаторами предложенія. Отвѣтственнымъ редакторомъ журнала избранъ секретарь Кружка 1. И. Чистяковъ; казначеемъ Ѳ. В. Гусевъ. Правленію Кружка предложено войти къ администраціи съ заявленіемъ объ изданіи журнала.

3. Э. Ю. Лейнѣкъ сдѣлалъ сообщеніе: Объ элементарномъ построеніи стороны правильнаго 17-угольника. При этомъ докладчикъ изложилъ методъ Th. Vahlen’a для вывода основныхъ уравненій въ Гауссовой теоріи правильнаго 17-угольника. Сущность упомянутаго

метода состоитъ въ томъ, что квадратныя уравненія, связывающія неизвѣстныя величины, получаются геометрическимъ путемъ изъ разсмотрѣнія фигуры, являющейся обобщіемъ извѣстнаго построенія для механическаго дѣленія угла на три равныя части.

4. А. А. Волковъ сдѣлалъ сообщеніе: „Объ относительной ошибкѣ табличнаго логариѳма“—слѣдующаго содержанія:

Выраженіе производной десятичнаго логариѳма имѣетъ видъ <НдІЛх = Ідійе или, если пользоваться пятизначными таблицами,

Такъ какъ при увеличеніи числа на единицу четвертаго знака приращенія логариѳмовъ (въ извѣстныхъ предѣлахъ) пропорціональны приращеніямъ чиселъ, то отношеніе дифференціаловъ можетъ быть замѣнено отношеніемъ приращеній:

Откуда

Принимая во вниманія, что табличная мантисса разнится отъ того истиннаго значенія, которое она приближенно выражаетъ, меньше, чѣмъ на 0,000005 и замѣняя этимъ числомъ Аідх, получимъ:

— представляютъ верхній предѣлъ той относительной варіаціи числа, соотвѣтствующаго логариѳму, при которой логариѳмъ остается неизмѣннымъ. Такимъ образомъ, табличный пятизначный логариѳмъ опредѣляетъ соотвѣтственное ему число съ относительною погрѣшностью, не превышающею О,ОО12°/0.

Засѣданіе 17 ноября 1911 года.

Засѣданіе происходило подъ предсѣдательствомъ А. Ф. Гатлиха, въ присутствіи 42 членовъ Кружка.

Секретарь I. И. Чистяковъ сообщилъ, что Правленіемъ Кружка подано заявленіе Московскому Градоначальнику о предполагаемомъ изданіи журнала „Математическое Образованіе“, но отвѣта еще не получено. По полученіи разрѣшенія будетъ приступлено къ печатанію журнала, съ разсчетомъ выпустить № 1 еще въ декабрѣ.

Е. С. Томашевичъ сдѣлалъ сообщенія: Разборъ книги: Lock and Child, „А new trigonometry“. Докладчикъ сдѣлалъ подробное обозрѣніе книги англійскихъ авторовъ, причемъ указалъ, что она, согласно съ названіемъ, дѣйствительно представляетъ много новаго, какъ по содержанію, такъ и по методамъ изложенія метеріала. Многія части курса, отдѣльныя теоремы и доказательства разработаны авто-

рами самостоятельно и удачно. Весьма хорошъ обширный подборъ задачъ и упражненій. Но книга имѣетъ и недостатки, къ числу которыхъ относится нагроможденіе мѣстами излишняго матеріала, сложность нѣкоторыхъ доказательствъ и обиліе опечатокъ, затрудняющихъ читателя.

Е. М. Пржевальскій и I. И. Чистяковъ, знакомые съ разбираемымъ курсомъ тригонометріи, сдѣлали нѣкоторыя дополненія къ сообщенію референта. Затѣмъ I. И. Чистяковъ сдѣлалъ сообщеніе: „Нѣкоторыя свойства ряда нечетныхъ чиселъ и ихъ примѣненіе“, которое помѣщается въ настоящемъ № ,,Математическаго Образованія“.

Обзоръ дѣятельности математическаго отдѣленія Рижскаго педагогическаго общества за 1910—11 г.

Въ теченіе 1910 — 11 учебнаго года состоялось четыре засѣданія отдѣленія, посвященныхъ разработкѣ вопросовъ преподаванія математики и его реформы; въ нихъ сдѣлали сообщенія слѣдующія лица: М. К. Третьяковъ—о „мѣрныхъ линейкахъ“ и „таблицахъ времени“—новыхъ, имъ самимъ изобрѣтенныхъ наглядныхъ пособіяхъ для преподаванія ариѳметики, примѣнимыхъ при изученіи составныхъ именованныхъ чиселъ и рѣшеніи задачъ на вычисленіе времени; А. Б. Стацевичъ: „Типы ученицъ по способностямъ къ математикѣ“; И. А. Челюсткинъ: „Лабораторный методъ въ геометріи“; 0. А. Эрнъ: о „Методикѣ ариѳметики“ Д. Галанина. Доклады сопровождались оживленными преніями, причемъ въ засѣданіяхъ присутствовало отъ 25 до 65 лицъ, членовъ общества и гостей. Сверхъ того, члены отдѣленія принимали дѣятельное участіе въ математической секціи педагогической выставки, организованной въ Ригѣ по иниціативѣ попечителя округа. На выставкѣ этой были демонстрированы: множество наглядныхъ и лабораторныхъ пособій для преподаванія математики, обширное собраніе учебныхъ руководствъ и сочиненій по методикѣ математики, а также самостоятельныя работы учащихся изъ области конкретнаго изученія геометріи. Выставка вызвала большой интересъ въ педагогической средѣ и сопровождалась докладами о преподаваніи математики, какъ со стороны членовъ отдѣленія, такъ и со стороны пріѣзжихъ педагоговъ; между прочимъ прочли доклады: В. Р. Мрочекъ: „Современный кризисъ геометріи въ наукѣ и школѣ“, г. Цариковъ: „О геометріи въ народной школѣ“; О. А. Эрнъ: „Спорные вопросы въ современной методикѣ ариѳметики“.

Математическій Кружокъ окончившихъ Московскіе Высшіе Женскіе Курсы.

Въ текущемъ академическомъ году открылось въ Москвѣ новое математическое общество, учрежденное группою лицъ окончившихъ Московскіе Высшіе Женскіе Курсы.

Еще два года тому назадъ возникла мысль объ основаніи такого кружка, который способствовалъ бы объединенію, на почвѣ научныхъ интересовъ, бывшихъ слушательницъ Курсовъ и въ засѣданіяхъ котораго онѣ могли бы сообщать о своей дальнѣйшей научной дѣятельности,—обмѣниваться мыслями по различнымъ вопросамъ чистой математики, астрономіи, физики и механики.

Въ настоящее время утвержденъ уставъ Математическаго Кружка окончившихъ Московскіе Высшіе Женскіе Курсы, и г. директоромъ Курсовъ любезно предоставлено помѣщеніе для засѣданій Кружка, что, конечно, дастъ возможность расширить его дѣятельность. Въ истекшемъ году членами Кружка уже было прочитано нѣсколько рефератовъ, какъ напримѣръ: „О геометрическихъ построеніяхъ“, „Задачи Штейнера“, „О вычисленіи кривыхъ поверхностей“, „Кривая Пеано“, „О минимальныхъ поверхностяхъ“, „О линіяхъ кривизны“, „Труды С. Ковалевской по механикѣ“, „О радіактивности“, „О Хеопсовой пирамидѣ“, „О кометѣ Галлея“, „Отчетъ объ астрономическихъ наблюденіяхъ за 1910 г.“, „О кометныхъ хвостахъ“ и др. Кромѣ того, преподавателемъ В. Ж. Курсовъ I. И. Чистяковымъ сдѣлано сообщеніе: „Марія-Гаэтана Аньези и ея ученые труды“.

Отвѣтственный редакторъ I. И. Чистяковъ.

ОГЛАВЛЕНІЕ.

Портретъ профессора А. Ю. Давидова.

Составъ Московскаго Математическаго Кружка.............. 1

Отъ редакціи............................................... 3

О степени точности логарифмическихъ вычисленій. Б. Млодзѣевскаго ............................................. 6

Квадратура круга и циркулятура квадрата. А. Власова . 11

Свойства ряда нечетныхъ чиселъ и ихъ примѣненіе. I. Чистякова................................................21

Способы для быстраго возведенія чиселъ въ квадратъ . . . 23

Методъ обученія математикѣ въ старой и новой школѣ. К. Лебединцева.............................................24

А. Ю. Давидовъ. А. Гатлиха.................................30

Первая русская печатная математическая книга. П. Баранова ................................................36

Задачи.....................................................38

Обозрѣніе преподаванія математики въ Московскихъ высшихъ учебныхъ заведеніяхъ въ 1911—1912 акад. г.............39

Библіографическій отдѣлъ...................................41

Дѣятельность математическихъ обществъ и кружковъ. ... 45

Печатня А. И. Снегиревой Москва

Журналъ Московскаго Математическаго Кружка

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНІЕ

выходитъ ежемѣсячно книжками отъ 2 до 3 печатныхъ листовъ за исключеніемъ мая, іюня, іюля и августа мѣсяцевъ.

Содержаніе журнала: 1) статьи по различнымъ отдѣламъ математики, оригинальныя и переводныя; 2) статьи по вопросамъ преподаванія математики и соприкасающихся наукъ; 3) очерки по исторіи математики, біографіи и портреты математиковъ; 4) библіографическій отдѣлъ; 5) вопросы и задачи; 6) математическая хроника; 7) Объявленія.

Цѣна 3 рубля въ годъ и 2 рубля на полгода еъ доставкой и пересылкой.

Цѣна отдѣльнаго номера 50 к. съ пересылкой.

За перемкну адреса уплачивается 20 коп.

Объявленія принимаются съ платою: 1 страница—15 р., V* стр.—8 р., у, стр.—4 р. и т. д.

Подписка принимается въ редакціи:

Москва, Остоженка, кв. 88, и въ книжномъ магазинѣ К. И. Тихомирова, Кузнецкій мостъ.

Печатня А.И.Снегиревой Москва