МАТЕМАТИЧЕСКІЙ ЛИСТОКЪ.

МАТЕМАТИЧЕСКІЙ ЛИСТОКЪ

ЕЖЕМѢСЯЧНОЕ ИЗДАНІЕ.

ПОДЪ РЕДАКЦІЕЙ

А. И. Годьденберга.

ТОМЪ I

1879-1880

МОСКВА. 1880

Типографія A. Гатцука, Кузнецкій мостъ, д. Горлецкаго.

Дозволено цензурою. Москва, 2 августа 1880 года.

ОГЛАВЛЕНІЕ.

Отъ редактора.

I. Ариѳметика и неопредѣленный анализъ.

Стр.

Нѣсколько словъ о такъ называемыхъ совершенныхъ числахъ...... 1

Свойство степеней чиселъ ..... .......... . . 7

Нѣсколько указаній относительно курса дробей. К. Мазинга. ..... 33

Замѣтка о періодическихъ дробахъ.............. 43

Къ теоріи извлеченія кубическаго корня изъ чиселъ......... 68

Замѣтка о вычисленій логариѳмическихъ таблицъ. И. Шенрока..... 70

Суммированіе однородныхъ степеней чиселъ натуральнаго ряда...... 97

Изъ неопредѣленнаго анализа................ 201

Суммированіе въ нѣкоторыхъ частныхъ случаяхъ числовыхъ рядовъ. Ѳ. Хевцуріани....................... 233

Какъ древніе извлекали квадратные корни изъ чиселъ?........ 271

Къ ученію о магическихъ квадратахъ............. 305

Къ теоріи дѣлимости чиселъ................. 319

Замѣтка о рѣшеніи ур. ах + by = c въ нѣкоторыхъ частныхъ случаяхъ. И. Шенрока........................ 337

Раціональные треугольники................. 369

Алгебра.

Замѣтка о рѣшеніи нѣкоторыхъ уравненій............ 109

Ложно правило арабскихъ математиковъ............. 169

Группа квадратныхъ уравненій...... ....... 367

Одинъ изъ пріемовъ рѣшенія уравненій А. Арефьева....... . 379

Геометрія.

Разстояніе центра описанной около треугольника окружности отъ центра вписанной въ него окружности................... 8

Прямая Симсона..................... 9

Двѣ теоремы элементарной геометріи............. . 11

Къ ученію о тѣлахъ вращенія..............18, 45, 75

Окружность девяти точекъ. ... .......... . . 39

Соотношеніе между сторонами правильныхъ пяти-, шести- и десятиугольника 41

Теорема Стеварта........... ........ 65

Стр.

Четыре задачи элементарной Геометріи.............. 72

Два построенія..................... 105

Начало Эвклида книги Х-й продол. 1-ое и книги ХІІ-й продол. 2-ое. . . . 106

Къ ученію о пропорціональности. Д. Извѣкова........... 176

Соотношеніе между взаимными разстояніями четырехъ точекъ плоскости. . . 204

Отношеніе діагонали квадрата къ его сторонѣ........... 232

Теорема элементарной Геометріи. А. Арефьева........... 239

Объ измѣреніи круга (по Архимеду,). . . .......... 265

Одно изъ доказательствъ пиѳагоровой теоремы. .......... 301

Къ графическому выпрямленію окружности.......... . . 335

Одно изъ свойствъ полнаго четыреугольника............ 340

Окружности касательныя къ сторонамъ треугольника......... 344

Центръ среднихъ разстояній системы точекъ на плоскости ....... 348

Замѣчательныя точки треугольника и ихъ взаимныя отношенія...... 352

Исторія и библіографія.

О различныхъ названіяхъ алгебры............... 15

Эвклидъ и его вѣкъ. Историко-математическій очеркъ профессора М. Кантора (Переводъ съ нѣмецкаго)............. 57, 85, 113, 181

Происхожденіе и первоначальное развитіе письменнаго счисленія. В. Бобынина. 129

Геометрія и Геометры до Эвклида. Историко-математическій очеркъ профессора Бретшнейдера (Переводъ съ нѣмецкаго). . . . .211, 245, 281, 323, 361, 385

Библіографія за 1878 г.................. 28

Книги вышедшія съ 1-го января по 1-е апрѣля 1879 г....... . 83

Списокъ рецензій въ отдѣлѣ «Математики» изданія учебнаго отдѣла московскаго общества распространенія техническихъ знаній: «Учебно-воспитательная библіотека (обзоръ русской педагогической литературы)............ 167

Книги вышедшія съ 1-го апрѣля по 1-е іюля 1879 г...... . . 199

Кнпги вышедшія съ 1 іюля по 1-е октября 1879 г. . ........ 303

Книги вышедшія съ 1-го октября 1879 г. по 1-е января 1880 г..... 373

Задачи.

Стр............ 24, 53, 79, 111, 166, 207, 243, 279, 299

Статьи не подписанныя составлены Редакторомъ.

ОТЪ РЕДАКТОРА.

Приступая къ настоящему изданію, считаемъ нужнымъ сказать нѣсколько словъ объ его программѣ. Математическій Листокъ будетъ содержать:

1. Отдѣльныя статьи элементарнаго курса, методически изложенныя.

2. Дополнительныя статьи къ различнымъ отдѣламъ курса.

3. Статьи и очерки по Исторіи Математики.

4. Библіографическій отдѣлъ.

5. Задачи по всѣмъ отдѣламъ элементарной Математики. Подъ элементарной математикой мы разумѣемъ: Ариѳметику, Алгебру, Геометрію, Тригонометрію, Геометрію Аналитическую и Начертательную.

„Листокъ" имѣетъ въ виду преимущественно учащуюся молодежь старшихъ классовъ среднихъ учебныхъ заведеній равно какъ и молодыхъ людей высшихъ учебныхъ заведеній.

Желаніе дать имъ возможность пополнять свое математическое образованіе пріобрѣтеніемъ свѣдѣній, не входящихъ въ наши оффиціальныя программы, и вмѣстѣ съ тѣмъ примѣнять свои знанія къ рѣшенію элементарныхъ математическихъ вопросовъ—будетъ постоянно руководить нами.

Мы желали бы также дать полное, по возможности, развитіе математико-историческому отдѣлу, у насъ мало обработанному. Въ виду этого на страницахъ „Листка" будутъ помѣщаемы между прочимъ и переводы статей по этому предмету иностранныхъ авторовъ.

Въ библіографическомъ отдѣлѣ читатель найдетъ списокъ всѣхъ выходящихъ на русскомъ языкѣ элементарныхъ книгъ математическаго содержанія, иногда отзывы о нихъ, а равно и указанія на выдающіяся книги иностранной математической литературы.

Далекіе отъ притязанія приписыватъ нашему скромному изданію значеніе самостоятельнаго научнаго математическаго журнала, руководимые лишь стремленіемъ содѣйствовать, по мѣрѣ силъ, распространенію математическаго образованія и возбужденію интереса къ этой области знанія, мы рѣшаемся приступитъ теперь же къ осуществленію нашей мысли.

Приглашаемъ Гг. преподавателей принятъ участіе въ возникающемъ изданіи и позволяемъ себѣ надѣяться что они отзовутся на наше обращеніе къ нимъ.

Всякое указаніе, всякій совѣтъ со стороны этихъ лицъ, равно и всѣхъ тѣхъ, которые обратятъ вниманіе на нашъ „Листокъ",—будутъ приняты нами съ признателъностью.

А. Гольденбергъ.

Москва, 31 января 1879 года.

МАТЕМАТИЧЕСКІЙ ЛИСТОКЪ.

НѢСКОЛЬКО СЛОВЪ О ТАКЪ НАЗЫВАЕМЫХЪ СОВЕРШЕННЫХЪ ЧИСЛАХЪ.

Седьмая книга «Началъ Евклида» начинается рядомъ опредѣленій, между которыми находится слѣдующее: «Совершенное число есть то, которое равно своимъ частямъ». Подъ частями числа Евклидъ разумѣетъ всѣхъ дѣлителей числа, кромѣ его самого и употребляетъ, какъ это часто дѣлали древніе, выраженіе «равно своимъ частямъ» вмѣсто: «равно суммѣ своихъ частей». Въ девятой книгѣ тѣхъ же «Началъ» помѣщено слѣдующее предложеніе: «Если, начиная съ единицы, возьмемъ сколько угодно чиселъ, возрастающихъ въ кратномъ отношеніи равномъ двумъ, пока они составятъ (т. е. сумма ихъ составитъ) простое число, то произведеніе этой суммы на послѣднее изъ взятыхъ чиселъ естъ число совершенное». Такъ напр. числа:

(1 + 2) . 2=6

(1 + 2 + 4) . 4=28

(1 + 2 + 4 + 8 + 16) . 16 = 496

принадлежатъ къ совершеннымъ.

Общій видъ совершеннаго числа, составленнаго по правилу Евклида, естъ:

ІУ=(1 + 2 + 22+. . .+2а) . 2а или i\r=(2a+1—1). 2а

Нетрудно доказать что такое число равно суммѣ своихъ дѣлителей, если только производитель 2а + 1—1 есть простое число.

Дѣйствительно, такъ какъ сумма всѣхъ дѣлителей числа a^b^c**. . . (гдѣ а, 6, с, . . . , а, ß, y,. . . . числа цѣлыя, и а, Ъу с..... кромѣ того простыя) равна

то сумма всѣхъ дѣлителей числа JV равна:

(l + 2a+i_l)(l + 2 + 22+- ■ .+2a)-(2a+1-l).2a

или

2«+і (2a+i —l)_(2a+i —1) 2a = (2a+i_l) (2a+]—2a)=(2a+1-l). 2a

т. e. равна самому числу.

Но Евклидъ не доказалъ что его формула заключаетъ всѣ четныя совершенныя числа, не доказалъ что всякое четное совершенное число имѣетъ видъ: .

(2«+і_1).2*.

Между тѣмъ легко убѣдиться слѣдующимъ разсужденіемъ что его формула дѣйствительно обладаетъ этой общностью. Если а^Ъ^с1 ... естъ четное совершенное число, то имѣемъ уравненіе:

или

2a*rfçi =(l + a + a2 + ....+aa)(l+b + b2+--+bß)....

Но сРЪ^с1.... число по предположенію четное, одинъ изъ его простыхъ производителей, напр. а, естъ 2 и уравненіе наше приметъ видъ:

2. 2вЬ^... = (1 + 2 + 2а + .... + 2вХі+Ь+Ь« + ....+ЬР)....

или

2а+1 Ъ$с*.... =(2а+1—1)(1 + &+Ь2 + .... + ^)(1 + с+с2 + .... + ^)....

Раздѣливъ обѣ части уравненія на 2a+1—1, можемъ дать ему такой видъ:

или, наконецъ, слѣдующій:

ъРсч -• -и^öc^Ufj=Сі+ьч—I-&ß)(іс«+..+.

Такъ какъ второй членъ первой части уравненія необходимо число цѣлое и отъ дѣленія Ire1... на 2a+1—1 должно получиться частное, которое содержитъ одинъ или нѣсколько изъ простыхъ производителей

Ь, с,.... въ степеняхъ меньшихъ чѣмъ то число членовъ второй части нашего уравненія, по разложеніи ее въ сумму, должно свестись къ двумъ членамъ. Но число этихъ членовъ равно:

- (ß + l)(Y + l)... a потому должно быть:

• . (ß+,l)(Y + l)--=2.

Удовлетворитъ же этому уравненію можно только, предположивъ что одно изъ чиселъ ß,y..., напр. ß, равно 1, а всѣ остальныя нули; членъ^а+1_^ обратится тогда въ ^a+i_а такъ какъ это выраженіе естъ число цѣлое и притомъ Ъ число простое, то

Ь=2*+1-1

и формула Евклида

iV=2a. (2a+1—1)

заключаетъ въ себѣ всѣ четныя совершенныя числа. Укажемъ на нѣкоторыя. свойства этихъ чиселъ.

«Совершенное четное число имѣетъ на первомъ мѣстѣ цифру 6 или 8.» Замѣтимъ прежде всего что въ нашей формулѣ а + 1 должно быть простымъ числомъ: если бы оно равнялось произведенію m.w, то 2a+1—1, равнялось бы 2тп—1 или (2т)п-Гг или также (2м)w — 1т и множитель 2а+1—Іимѣя дѣлителями 2т— 1 и 2п — 1, не былъ бы простымъ числомъ, а 2а.(2а—1) не было бы совершеннымъ. ^

Если, какъ мы доказали, а + 1 число простое, то а или равно 1, или число четное. Въ первомъ случаѣ JV=6; во второмъ 2а т. е. 22,24,26.... (4,16,64,....) имѣетъ на первомъ мѣстѣ 4 или 6 и соотвѣтственно этому 2а+1—1 имѣетъ на первомъ мѣстѣ 7 или 1. Вслѣдствіе этого число N имѣетъ на первомъ мѣстѣ цифру 8(4.7 = =28) или 6 (6.1=6).

Можно впрочемъ обнаружитъ что совершеное число, имѣющее на первомъ мѣстѣ цифру 8, имѣетъ на второмъ цифру 2, оканчивается на 28. Дѣйствительно:

Всякая степень числа 2, имѣющая на концѣ 4 (4, 4.16, 4.162...) содержитъ четное число десятковъ и можетъ быть поэтому представлена такъ

Л. + 20ж + 4,

гдѣ A число всѣхъ сотенъ и m число однозначное; a соотвѣтственный множитель 2а+і—1 имѣетъ видъ

Б + 40т + 7.

He трудно видѣть что произведеніе

(^+2Ûw-f4)(-B+40m+7)

равно кратн. 100 + 28.

«Совершенное. четное чрісло, больше 6"™, при дѣленіи на 9 датъ въ остаткѣ 1.» Замѣтимъ что число N можетъ быть представлено въ такомъ видѣ:

ІУ=(2*_1)(2а+1 + 1) + 1;

такъ какъ a число четное напр. 2апто 2а—1 [=(22)аі—1] дѣлится на 22—1 т. е. на а, и 2а+1 + 1 [^2*"*+і + 1] дѣлится на 2 + 1 т. е. на 3; поэтому

(2*_l)(2a + l+l)

дѣлится на 9, а число N даетъ 1 въ остаткѣ при дѣленіи на 9.

Изслѣдованіемъ свойствъ совершенныхъ чиселъ занимались многіе математики XVI и XVII в. Къ первымъ принадлежатъ: Рамусъ1), Стифель2) и Карданъ3), ко вторымъ: Френиклъ4), Декартъ5) и Ферматъ6).

Стифель, между прочимъ, даетъ слѣдующее правило для составленія совершеннаго четнаго числа:

Если написать прогрессію

Ф 4, 8,| 16, 3-2|..:....|22ас,.2іа+1|,-

то всякая заключенная въ скобки иара чиселъ (Стифель называетъ ихъ Numeri socii) дастъ совершенное четное число, если большее изъ нихъ, уменьшенное на единицу, помножить на меньшее.

По мнѣнію Стифеля, число вида (22* + l—1). 22а есть совершенное. Не трудно убѣдиться что его формула есть частный случай формулы Евклида: если въ послѣдней положимъ a = 2at, то и получимъ формулу Стифеля Но Евклидъ оговорилъ свою формулу условіемъ что множитель 2a+i—1 долженъ быть числомъ простымъ, чего Стифель не сдѣлалъ, предположивъ вѣроятно что всякое число вида 2*a— 1 есть простое. Ошибочность этого мнѣнія легко обнаружить: при a = 4 напр. число 29—1 =511 есть составное, такъ какъ 511=7.73.

Это нѣсколько поспѣшное заключеніе Стифеля напоминаетъ намъ одно изъ положеній Фермата, впослѣдствіи не оправдавшееся, то имен-

но, что всякое число вида TJl + 1 есть число простое. Въ письмѣ къ Паскалю отъ 29 Августа 1654 года Ферматъ выражается такъ: «C'est une propriété, de la vérité de laquelle je Vous réponds. La démonstration en est très malaisée et je Vous avoue que je n'ai pu encore la trouver pleinement; je ne Vous la proposerais pas pour la chercher, si j'en étais venu à bout».

Между тѣмъ Эйлеръ показалъ что

225 _ьі=232 + 1=4 294 967 297=641. 6 700 417*).

Въ недавнее время (18 Ноября 1877 г.) Отецъ-Первушинъ (сельскій Священникъ Пермской Губерніи) сообщилъ нашей Академіи Наукъ новый случай дѣлимости числа вида 22П +1. Онъ нашелъ что число 22" + 1 [=24096 + 1] дѣлится на простое число 114.689. Отмѣтимъ кстати что два мѣсяца спустя Г. Люкасъ (Ed. Laucas), извѣстный своими изслѣдованіями въ области- теоріи чиселъ, сообщилъ Туринской Академіи Наукъ тотъ же случай дѣлимости.

24 Января 1878 г. Отецъ Первушинъ сообщилъ Петербургской Академіи что и число 22*3 + 1 не простое, и дѣлится на простое число 167 772 161. Это громадное—Первушинское—число въ нашей системѣ нумераціи представляется 2 525 223-хъ—значнымъ; чтобы напечатать его обыкновеннымъ шрифтомъ потребовалась бы строка длиною въ 5 километровъ или книга обыкновеннаго формата въ 1000 страницъ.

Математики XVII в., о которыхъ мы упомянули выше, изучая совершенныя числа, занимались также вопросомъ: найти число въ п разъ меньшее суммы своихъ дѣлителей. Френиклъ нашелъ напр. что число

210. З5 . 5. 72 . 13. 19. 23. 89

въ четыре раза меньше суммы своихъ дѣлителей, а Декартъ показалъ что число

27 . З5 . 5. 72 . 13. 17. 19

очевидно меньшее предыдущаго обладаетъ тѣмъже свойствомъ.

Ферматъ и Декартъ указали на числа 120 и 672 какъ на единственныя вида 2П. Ъ.а (а—простое), которыя обладаютъ тѣмъ свойствомъ, что каждое изъ нихъ вдвое меньше суммы своихъ дѣлителей.

Вопросъ относительно того существуютъ ли совершенныя нечетныя числа до сихъ поръ остается нерѣшеннымъ, насколько намъ извѣстно.

*) Замѣтимъ что

641=29+27+1 6 700 417=223-221+219—217+213—214 -210+29—27+1.

1. Pierre de la Ramée; Petrus Ramus Vermanduus (no мѣсту рожд я въ Графствѣ

Vermandois). 1515—1572.

Euclides. 8. Paris. 1544.

Arithmeticae Libr. III. 4. Paris. 1555

Scholarum physicarum Libr. VIII. 8. Paris. 1565.

Scholarum mathematicarum Libr. XXXI. 4. Basil. 1569.

2. Michael Stifel (Stiefel). 1487-1567.

Arithmetica intégra (съ предисловіемъ Меланхтона). 4. Norimb. 1544.

Die deutsche Arithmethica. 4. Norimb 1545.

Rechenbuch von der welschen und deutschen Practik. 4. Norimb. 1546.

Die Koss Christoph Rudolph's mit schönen Exempeln der Coss gebessert. 4. Eönigsb. 1554.

3) Geronimo (Glrolamo) Cardano (Cardanus). 1501—1576.

Practica arithmeticae generalis et mensurandi singularis. Mediol. 1539.

Computus minor. Mediol. 1539.

Artis magnae sive de regulis Algebrae Liber unus. Mediol. 1545. (Содержитъ такъ называемую формулу Кардана).

108 трактатовъ его собрано въ:

Cardani Opera. 10 Vol. Fol. Lugd. 1663.

4. Bernard Fremde de Bessy. 1605—1675.

Traité des triangles rectangles ên nombres. Paris. 1676.

Sur les quarrés magiques. (Mém. anc. de Paris. T. V).

Table générale des quarrés magiques en quatre.

Abrégé des combinaisons.

Méthode pour trouver la solution des problèmes par exclusion.

5. René Descartes Du Perron (Cartesius). 1596—1650.

Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la vérit dans les sciences; plus la Dioptrique, les Météores et la Géométrie, 1 Vol. 4. Leyd. 1637. (Содержитъ аналитическую геометрію, имъ созданную).

Lettres de R. Descartes, où sont traitées les plus belles questions touchant la morale, la physique, la medicine et les mathématiques. Edit Clerselier. 3 Vol. 4 Paris. 1667.

6. Pierre Fermât. 1608—1665.

Отрывки его изслѣдованій въ: Lettres de Descartes (T. III); Wallisii, Opera (T. II); Oeuvres de Pascal (T. IV).

Послѣ смерти изданы его сыномъ:

Diophanti Alexandrini quaestionum arithmeticarum libri VI etc cum Commentariis D. Bacheti et observationibus P. de Fermât. Tolosoe. 1670. Varia Opera matbematica D. P. Fermât. Tolosae. 1679. (Перепечатано fac-simile. Берлинъ. 1861).

Извлеченіе изъ этихъ сочиненій, равно какъ частъ перепискп Фермата съ Mersene'м, Roberv-аl'омъ, Carcavi, Pascal'емъ и др. въ: Brassine, Précis des Oeuvres mathématiques de P. Fermât et de Diophante 8. Paris. 1853.

Въ 1843 г. Палата Депутатовъ ассигновала 15000 франковъ на новое изданіе сочиненій знаменитаго Фермата. Это изданіе, по неизвѣстнымъ причинамъ, не появилось въ свѣтъ.

7. Blaise Pascal. 1623—1662.

Essai pour les coniques. Paris. 1640.

Histoire de la Roulette (Cycloide). Paris 1658.

Traite du triangle arithmétique. Paris 1665.

Oeuvres de B. Pascal (par Bossut). 5 Yol. 8. La Haye et Paris. 1779.6 Vol 80 Paris. 1819.

8. Leonhard Euler. 1707—1783.

Съ 1727 г. состоялъ при С.-Петербургской Академіи Наукъ адъюнктомъ, съ 1730 г. профессоромъ теоретической и экспериментальной физики, съ 1733 профессоромъ высшей математики. Съ 1741 жилъ въ Берлинѣ, въ 1766 вернулся въ С.-Петербургъ Членомъ Академіи. Въ 1766 г. ослѣпъ на оба глаза.

Число его сочиненій и мемуаровъ по всѣмъ отдѣламъ математическихъ наукъ простираетсядо 756; изъ этого числа 355 относятся къ послѣднимъ десяти годамъ его жизни. Полный списокъ всего имъ написаннаго можно найти въ:

J. В. Poggenäorf, Biographisch — Literarisches Handwörterbuch Leipzig, 1836. B. I. 689—703.

СВОЙСТВО СТЕПЕНЕЙ ЧИСЕЛЪ.

«Всякая степень числа есть сумма столькихъ послѣдовательныхъ нечетныхъ чиселъ сколько единицъ въ основаніи степени.» Пустъ х первое изъ этихъ нечетныхъ чиселъ, а па взятая степень; должно бытъ

па ==#+#+2н------\-х + 2(п—1)

или

п* = (х + п—l)w,

откуда

rf^—x + n—1 х=п*~і—п + 1.

Число X очевидно цѣлое; оно положительно для всѣхъ значеній а, не меньшихъ 2, оно нечетное, такъ какъ w*-1—п [=п(п*-*—1)] всегда четное. Итакъ:

n* =п п + 1-\-п — и + Зн------\-п —п + (гп—1).

Напр.

56=5*-5 + 1 +55—5+3+55—5+5 + 55-5 + 7 + 55-5 + 9=15625.

Для а=2 имѣемъ извѣстную формулу

Для а = і найдемъ:

Если всѣ нечетныя числа, начиная съ 1, расположимъ въ равносторонній треугольникъ:

1

3 5 7 9 11

13 15 17 19

то сумма чиселъ всякаго ряда, напр. wapo, представитъ кубъ числа п.

РАЗСТОЯНІЕ ЦЕНТРА ОПИСАННОЙ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА ОКРУЖНОСТИ ОТЪ ЦЕНТРА ВПИСАННОЙ ВЪ НЕГО ОКРУЖНОСТИ.

Пусть ABC треугольникъ вписанный въ окружность центра О, радіуса J?; /—центръ вписанной окружности, IE [=г] ея радіусъ; DDX діаметръ перпендикулярный къ ВС.

Проведемъ чрезъ центры О ж I діаметръ FG описанной окружности, соединимъ точку С съ точками D; Вх и докажемъ предварительно что разстоянія DC и DI равны.

Дѣйствительно, уголъ CID равенъ суммѣ угловъ A С 2 и уголъ же ICD равный суммѣ угловъ ІСВ (=^жВСЮ (=ф равенъ этой же суммѣ; изъ равенства угловъ С и I въ треугольникѣ DCI, заключаемъ что DC=DI.

Разсматривая далѣе, подобные прямоугольные треугольники АЕІ и DACD^ найдемъ что

ІА : r ( = 2R : CI)) = 2R:ID.

или

ІА. ID = 2R. г.

но

ІА . ID (=IF. IG) = (R+OI){R—OI)

и

R*—OP = 2R. r

откуда:

OP = R(R—2r).

Итакъ

«Въ треугольникѣ разстояніе центровъ окружностей описанной и «вписанной есть средне-пропорціональное между радіусомъ первой и «избыткомъ его надъ діаметромъ второй».

Примѣчанія. 1. Радіусъ описанной окружности не можетъ быть меньше діаметра вписанной.

2. Если между радіусами iü, г двухъ окружностей и разстояніемъ d ихъ центровъ существуетъ соотношеніе.

(T2=R{R—2r),

то одинъ и тотъ же треугольникъ можетъ быть вписанъ въ первую окружность и описанъ около второй, что легко доказать способомъ приведенія къ нелѣпости.

3. Если двѣ окружности таковы что треугольникъ можетъ быть одновременно вписанъ въ одну изъ нихъ и описанъ около другой, то безчисленное число треугольниковъ обладаютъ тѣмъ же свойствомъ.

Теорема нами изложенная принадлежитъ Эйлеру и помѣщена имъ въ Мемуарахъ С. Петербургской Академіи наукъ*).

ПРЯМАЯ СИМСОНА.

Если изъ произвольной точки M окружности, описанной около треугольника АВС^ проведены на его стороны перпендикуляры, то основанія ихъ Ах, 2?t, Си лежатъ на одной прямой.

Соединимъ J?! съ Аи Бх съ Сх и точку M съ вершинами. A и С.

Такъ какъ точки М^А.Б^С лежатъ на одной окружности, то

*) Nov. Comm. Petropol. 1747. I. 48.—

уг. МАС{==ут. МСВ\ изъ чего слѣдуетъ что уг. Ж прямоугольнаго треугольника СМА{ равенъ углу M прямоугольнаго треугольника СХМА. Точки С,М,ВХАХ лежатъ на одной окружности и потому первый изъ этихъ угловъ равенъ углу СВХАХ\ второй же изъ нихъ равенъ углу АВХСХУ такъ какъ и точки Ot, Ж, Ви A лежатъ на одной окружности. Изъ равенства угловъ АВХСх жАхВхС заключаемъ что ВХАХ и Вх Сх составляютъ одну прямую.

Докажемъ обратную теорему: Если основанія перпендикуляровъ, проведенныхъ изъ точки M на стороны треугольника ABC, лежатъ на одной прямой, то точка M принадлежитъ окружности описанной около треугольника AB С.

Дѣйствительно, такъ какъ по условію . уг. АВХ Сх = уг. А1ВХС, то и уголъ M прямоугольнаго треугольника СМАХ равенъ углу Ж прямоугольнаго треугольника СХМА, а потому уголъ С перваго равенъ углу A втораго. Изъ этого заключаемъ что точки Ж,.4,Б,С, лежатъ на одной окружности, или, другими словами, что точка Ж принадлежитъ окружности описанной около треугольника ABC.

Доказанныя двѣ теоремы мы можемъ выразить слѣдующимъ предложеніемъ.

«Описанная около треугольника окружность есть геометрическое «мѣсто точекъ, обладающихъ тѣмъ свойствомъ, что основанія перпен«дикуляровъ, проведенныхъ изъ произвольной точки этой окружности «на стороны треугольника, лежатъ на одной прямой.

Эта прямая называется прямой Симсона.

Робертъ Симсонъ (1687—1768) былъ съ 1711 г. професоромъ Математики при университетѣ въ Глазговѣ и издалъ, между прочимъ:

«Treatise on conic sections, 4°. 1735.

«The loci plani of Apollonius restored. 4. 1749.

«Euclicd's Elements. 4.1756.

Послѣ его смерти иждивеніемъ Графа Stanhope'a были изданы въ 1776 слѣдующія оставшіяся послѣ Симсона сочиненія:

Apollonius determinate Section.

A treatise on porisms.

A trait on logarithm.

On the limits of quantities and ratios.

Some geometrical problems.

ДВѢ ТЕОРЕМЫ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРІИ.

«Изъ точки S проведены къ сторонамъ треугольника ABC параллельныя прямыя, которыя въ точкахъ a и al5 р и pn у и Yi пересѣкаютъ соотвѣтственно стороны АСж AB, ВА и' ВС, CA и СВ.

Доказать что

Sa. Sa, + SI S'fit + C'y. Oft^ ±'(#*—Д\)

гдѣ R есть радіусъ окружности 0 описанной около треугольника ABС, а Вх разстояніе точки S отъ 0»*).

Означивъ, для краткости, длины сторонъ ВС, CA, AB чрезъ a, Ь\ с, длины отрѣзковъ Sa, Sa, чрезъ х, у, найдемъ, пользуясь треугольниками, подобіе которыхъ очевидно вслѣдствіе построенія, что

*) Изъ «Questions proposées» въ: Nouvelles Annales de Mathématiques. 1878. 2me Série T. XVII. 237.

и что изслѣдуемая сумма

равна

Продолжимъ Sa и £оц до пересѣчеиія съ описанной окружностью въ точкахъ Nx и N. проведемъ ААХ параллельно ВС, соединимъ Ах съ С и означимъ отрѣзки aNx, aN чрезъ zt\ z.

Въ подобныхъ треугольникахъ Саа2, СААХ имѣемъ:

т. е.

или

Пользуясь извѣстнымъ свойствомъ трапеціи*) можемъ произведеніе a.AAs замѣнить разностью &2—с2 и преобразовать выраженіе нашей суммы въ слѣдующее:

Разсматривая, далѣе, хорды NNX и AB, NNt и AC, найдемъ что

a, по раздѣленіи перваго равенства на второе:

откуда:

Опредѣливъ изъ этого равенства разность c*xzx—Wyz и вставивъ ее въ выраженіе изслѣдуемой суммы, найдемъ что послѣдняя обратится въ

*) Сумма квадратовъ діагоналей трапеціи равна суммѣ квадратовъ непараллельныхъ сторонъ сложеной съ удвоеннымъ рроизведеніемъ основаній.

или, какъ легко видѣть, въ произведеніе

которое равно

(R—Пі) т. е, i?2-7?t2.

Эта теорема. дала намъ возможность доказать слѣдующую: «Если изъ произвольной точки S проведены перпендикуляры SP,, «&Р2, &Р3 на стороны ВС, CA, AB треугольника ABC, то отношеніе площади треугольника Р,Р^Рг къ площади треугольника ABC равно

Въ этой формулѣ R, R, имѣютъ прежнее значеніе.

Дѣйствительно, такъ какъ каждый изъ треугольниковъ &Р2Р3, SP^P,, SPXP^ имѣетъ по углу, которому углы А,В, С треугольника ABC служатъ соотвѣтственно дополнительными до двухъ прямыхъ угловъ, то

Если h,, \, \ исходящія изъ вершинъ A, В, С высоты треугольника ABC, то

откуда

точно также найдемъ что

Но такъ какъ*)

*) Произведеніе двухъ сторонъ треугольника равно произведенію діаметра описанной окружности на высоту, соотвѣтствующую третьей сторонѣ.

то

или, въ силу первой теоремы,

Знакъ — соотвѣтствуетъ тому случаю, когда Rt > R.

Если RX=R, то площадь PtP%P9 обращается въ нуль; другими словами, если точка S лежитъ на описанной около треугольника окружности, то точки Р1,Р2,Р3 лежатъ на прямой; треугольникъ P^R^ обращается въ прямую Симсона, о которой выше говорили.

Теорема только что нами доказанная была предложена въ англійскомъ изданіи «The Mathematician» (1844. March, p. 70), въ которомъ помѣщено и тригонометрическое доказательство. Послѣднее можно найти въ сочиненіи WiegancTa: «Die schwierigeren geometrischen Aufgaben aus des Herrn Prof. Jacobi Anhängen zu van Swinden's Elementen der Geometrie. Halle. 1849)).

Въ третьемъ томѣ «Математическаго Сборника» издаваемаго Московскимъ Математическимъ Обществомъ (1868. Отд. 2-й стр. 62) эта теорема была предложена въ числѣ «Задачъ для упражненія». Въ IV томѣ того-же изданія (отд. 2-й стр. 40) Г. H Лажечниковъ помѣстилъ тригонометрическое доказательство этой теоремы. Существуетъ ли, кромѣ только что изложеннаго, другое геометрическое доказательство ея намъ неизвѣстно.

О РАЗЛИЧНЫХЪ НАЗВАНІЯХЪ АЛГЕБРЫ.

Отрасль Математики, которая носитъ теперь общеупотребительное названіе «Алгебра», по всей вѣроятности впервые возникла у Индійцевъ; на это между прочимъ указываетъ то что одни они даютъ ей характеристическое названіе—Vija Ganita (Виджа Ганита). Это слово означаетъ родъ вычисленія, результаты котораго носятъ на себѣ слѣды. своего происхожденія. Индійцы же имѣли спеціальные письменные знаки для обозначенія какъ дѣйствій, такъ и неизвѣстныхъ или искомыхъ чиселъ. Арабы, напротивъ, не употребляли такихъ спеціальныхъ знаковъ и составили названіе для ученія о рѣшеніи уравненіи изъ сочетанія двухъ словъ, обозначавшихъ два дѣйствія, которыя они принимали за главныя при рѣшеніи уравненіи. Первое изъ нихъ состояло въ перенесеніи вычитаемыхъ членовъ изъ одной части уравненія въ другую, гдѣ они являются слагаемыми; это дѣйствіе называлось al jabar (возстановленіе) отъ глагола jaber (джаберъ)—связать, соединить, возстановить. Другое дѣйствіе заключалось въ сравненіи однородныхъ членовъ съ цѣлью сдѣлать приведеніе, какъ мы выражаемся на современномъ языкѣ; оно называлось almukâbala отъ глагола kâbal—противуставлять, сравнивать. Подъ этимъ составнымъ названіемъ: «al jaber w'almukâbala» Алгебра появилась въ Европѣ въ самомъ началѣ ХIII-го в. ХV-ая Глава сочиненія: «Liber Abaci » Леонардо Боначи1) носитъ заглавіе: «Tertia pars erit super modum algebrae et almukàbalae» и начинается словами: «Incipit pars tertia de solutione quarundam quaessionum secundum madum algebrae et almukàbalae, scilicet oppositionis et restaurationis».

Лука Пачіоли2) также употребляетъ большею частью это двойное названіе: arte di algebra ed almucabala и прилагательное algebratico. Послѣ него названіе almukâbala встрѣчается все рѣже и рѣже; Стифель, Карданъ, Гемма3) ограничиваются однимъ именемъ «Algebra» и послѣднее сочиненіе въ которомъ появляется названіе almukâbala есть Алгебра Госселена4).

Нѣкоторые писатели ввели еще другое названіе; изъ поименованныхъ уже нами: Пачіоли, Стифель, Карданъ, разсматривая Алгебру какъ высшую часть ариѳметики называли ее: Ars magna (Arte maggiore) въ отличіе отъ послѣдней, которая была—Ars minor. Это назва-

ніе впрочемъ не распространилось и исчезло послѣ Кардана, который озаглавилъ свое сочиненіе «Ars Magna». На ряду съ этимъ возникло другое названіе арабскаго происхожденія. Неизвѣстное или искомое число называлось у Арабовъ «schai» (jes, aliquid, вещь, нѣчто), а квадратъ этого числа «mal» (possesio, census), Боначи ввелъ слова «res» и «census» и алгебра получила названіе: «Ars rei et census» или, короче «Ars rei». Это названіе долго держалось въ Европѣ и, когда италіянскіе математики стали въ XIV в. писать на родномъ языкѣ, приняло италіянскія формы: слово cosa или cossa обозначало неизвѣстное, censo (иногда zenso) — квадратъ его. Къ концу XV в. названіе «La regolo о Tarte délia cosa» было общеупотребительно въ Италіи. Затѣмъ эти названія латинизировались въ «ars cossica, ars cosae»; Гемма въ своей «Arithmetica practica» употребляетъ выраженіе: «Per regulam cosae sive algebrae». Наука «Coss» появляется въ Германіи въ срединѣ XVI в. и у нѣкоторыхъ писателей встрѣчается даже слово: «numerus cossicus»; только къ концу XVII в. и это названіе исчезаетъ изъ классическихъ сочиненій.

Вьетъ5) замѣнившій числовые коеффиціенты буквеныыми, назвалъ ихъ «Species», отсюда продержавшіяся нѣкоторое время названія: «Algebra Speciosa»«Algebra numerosa». Ему же алгебра обязана другимъ названіемъ: «анализъ», которое онъ ввелъ озаглавивъ одно изъ относящихся къ ней сочиненій: «Isagoge in artem analyticam.» Въ самомъ началѣ XVII в. появляется въ 1601: «Reimari Ursi Dithmarsi arithmetica analytica»; въ 1631: «Harriotis artis analyticae. praxis; въ 1679: «De la Hire, construction des équations analytiques.»

Названіе, которое всего лучше характеризуетъ сущность Алгебра, безъ сомнѣнія, то, которое употребилъ Ньютонъ6): назвавъ одно изъ своихъ великихъ твореній: «Arithmetica universalis» (Общая ариѳметика).

1. Leonardo Bonacci (Сокращенное Filius Bonaccü); обыкновенно его называютъ Leonardo Pisano; жилъ въ XIII в.; годъ рожденія и смерти неизвѣстны.

Liber Abaci. 1202. (Передѣланное 1228 г. Первое сочиненіе, ознакомившее Европу съ Индѣйской Ариѳметикой и Алгеброй).

В. Boncompagni, Delia v ta e délie opère di Leonardo Pisano. 8. Roma. 1852.

B. Boncompagni, Intorno ad alcune opère aritm. di Leon. Pisano. 8. Roma 1854.

2. Luca Paccioli (Pacciolus, Lucas de Burgo Sancii Sepuicro). 7—1509.

Summa de arithmetica, geometria, proporzioni e proporzionalità, Fol. Venet. 1494. (2-e Изд. 1523).

3. Rainer Gemma Frisius. 1508—1555.

Methodus arithmeticae practicae. 8 Antwerp. 1540.

4. Pierre Gosselin (Joselin). ?—?

De arte magna seu de occulta parte numerorum quae et Algebra et Almacabala vulgo dicitur Libr. IV, in quibus explicantur aequationes Diophanti, regulae quantitatis simplicis et quantitatis surdae. 8. Paris, 1577.

5. François Viète. 1540—1603.

Jsagoge in artem analyticam. Tours. 1591.

Canon mathematicus. Lutetiae. 1579.

Opera mathematica. Ed. F. van Schooten. Fol. Lugd. Batav. 1644.

6. Jsaac Newton. 1642—1726.

Philosophiae naturalis principia mathematica.

Рукопись представленъ Королевскому Обществу 28 апрѣля 1686 г.

1-е Изд. 4. London 1687.

2-е Изд. съ предисловіемъ Cotes'a. Cambridge. 1713.

3-е Изд. Pemberton'a. Lond. 1726.

Изданіе Le Seur'a и Jaquier. 4. Gen. 1739—1742.

Переводъ на англійскій съ прибавленіями Machin'a. 8. London 1729.

Переводъ на французскій Маркизы Du Chastelet. 2. Vol. 4. Paris. 1759.

Переводъ на нѣмецкій: Mathem. Principen d. Naturlehre. Uebersetzt. m. amerk. u. Erläut. v. J. P. Wolfers. 8. Berlin. 1872.

Arithmetica universalis s. de compositione et resolutione arithmetica liber. 8. Cambridge. 1707. (изданіе Whiston'a).

Изданіе на англійскомъ Ralphson'a. 8. Lond. 1728.

Изданіе на латинскомъ Castilon'a: Aftihmetica universalis. C. comm J. Castillionei. 4. 2 Vol. Amst. 1761.

Analysis per qnantitatum series, fluxiones et differentias, cum enumeratione linearum tertii ordinis. (Печатано подъ наблюденіемъ Jones'a). 4 London. 1711.

J Newton. Opera quae extant omnia, comm. illustr. S. Horsley. 5. Vol 4. London. 1779-1786.

КЪ УЧЕНІЮ О ТѢЛАХЪ ВРАЩЕНІЯ.

(собраніе теоремъ и задачъ).

А. Теоремы.

1. Полная поверхность £ цилиндра равна боковой поверхности другаго цилиндра, котораго радіусъ равенъ радіусу R перваго, а высота— суммѣ высоты H и радіуса R перваго цилиндра.

S = 2r.R. (H+R).

2. Объемъ F цилиндра равенъ произведенію его боковой поверхности s на половину радіуса.

V=s. т

3. Объемъ цилиндра равенъ произведенію его боковой поверхности на треть радіуса, сложенному съ объемомъ конуса того же радіуса и той же высоты, какъ и цилиндръ.

тт. R H _.0 V=s у + у.т:й2.

4. Объемъ цилиндра равенъ произведенію его боковой поверхности на треть разстоянія произвольной точки Р, взятой на оси, отъ образующей, сложенному съ объемами двухъ конусовъ, имѣющихъ общую вершину въ точкѣ Р и общія основанія съ цилиндромъ. Если точка Р взята на продолженіи оси, то сумма объемовъ двухъ конусовъ должна быть замѣнена ихъ разностью.

5. Объемъ цилиндра равенъ произведенію площади производящаго прямоугольника на длину окружности, описанной центромъ (точкою встрѣчи діагоналей) этого прямоугольника.

V= RH. 2т:у

6. Объемъ цилиндра, его боковая поверхность и полная поверхность находятся въ зависимости, выражаемой равенствомъ.

8т:Г2=52 (S—s).

7. Объемы двухъ цилиндровъ, которыхъ боковыя поверхности равны, относятся какъ ихъ радіусы; боковыя же поверхности двухъ цилиндровъ, которыхъ объемы равны, относятся какъ числа обратныя ихъ радіусамъ.

8. Если радіусъ и высота цилиндра равны соотвѣтственно высотѣ и радіусу другаго, то боковыя поверхности этихъ цилиндровъ равны, а полныя поверхности, относятся какъ объемы.

9. Если цилиндръ радіуса г и высоты h вписанъ въ конусъ радіуса Е и высоты if, то

r h .

10. Полная поверхность S конуса равна боковой поверхности другаго конуса того же радіуса 2?, но образующая котораго равна образующей С перваго, увеличенной радіусомъ.

8=т:Е. (С+Я)

11. Объемъ конуса равенъ произведенію его полной поверхности на треть радіуса г вписаннаго шара.

V=TtB (C+R). y

12. Объемъ конуса равенъ квадрату боковой его поверхности, дѣленному на утроенную длину 2тт.й, окружности большаго круга описаннаго шара.

V=s*: 3 (2t:7?)

13. Объемъ конуса равенъ произведенію его боковой поверхности на треть разстоянія d центра основанія отъ образующей.

d

14. Объемъ конуса равенъ произведенію площади производящаго треугольника на длину 2тгт окружности, описанной центромъ среднихъ разстояніи (точкою встрѣчи медіанъ) этого треугольника.

Г=-у-х2т:т

15. Объемъ конуса, его боковая поверхность и полная поверхность находятся въ зависимости, выражаемой равенствомъ:

9тгР=£. (S—s). (2s—S).

16. Если конусъ радіуса В и высоты H описанъ около шара радіуса г, то

п—2

17. Если радіусъ конуса равенъ діаметру 2г вписаннаго шара, то

18. Если высота конуса вдвое больше діаметра вписаннаго шара, то полная поверхность конуса вдвое больше поверхности этого шара, и объемъ конуса вдвое больше объема шара.

19. Если конусъ радіуса R и высота H вписанъ въ шаръ радіуса Ви то

2R1H=B*+H*

20. Боковая поверхность отрѣзка конуса равна суммѣ боковыхъ поверхностей двухъ конусовъ, имѣющихъ туже образующую, какъ и отрѣзокъ, а радіусами: одинъ—радіусъ R нижняго основанія, другой — радіусъ г верхняго основанія отрѣзка.

s=TtRC+nrC :

21. Полная поверхность отрѣзка конуса равна суммѣ полныхъ поверхностей двухъ конусовъ такихъ же какъ въ предыдущей теоремѣ:

S=i:R (В+С)+тф+с).

22. Объемъ отрѣзка конуса равенъ суммѣ объемовъ цилиндра и конуса, имѣющихъ общую съ отрѣзкомъ высоту JT, а радіусами: цилиндръ — полусумму, а конусъ—полуразность радіусовъ Ru г отрѣзка.

г=пН'[-іг) +37t^(^J

23. Объемъ отрѣзка конуса равенъ разности объемовъ цилиндра и конуса, имѣющихъ туже высоту Я", а основаніями: цилиндръ — полусумму основаній отрѣзка, а конусъ—полукругъ, радіусъ котораго равенъ разности радіусовъ отрѣзка.

іс(Д«+г») 1 іс(Д-г)« у~п- 2 3 ' 2

24. Боковая поверхность отрѣзка конуса втораго рода*) равна

*) Отрѣзкомъ конуса „втораго рода» называется тѣло ограниченное коническою поверхностью и двумя плоскостями, перпендикулярными къ ея оси и расположенными по различнымъ сторонамъ относительно ея вершины

произведенію суммы его основаній на отношеніе образующей къ суммѣ радіусовъ

25. Полная поверхность отрѣзка конуса втораго рода равна боковой поверхности другаго отрѣзка тогоже рода, имѣющаго тѣже основанія и образующая котораго на R+r больше образующей перваго.

S=r,{R*+r>) -щ—.

26. Объемъ отрѣзка втораго рода равенъ суммѣ объемовъ двухъ конусовъ, имѣющихъ туже высоту jET, а основаніями—основанія отрѣзка,—суммѣ, уменыпенной на объемъ третьяго конуса высоты H и основанія, равнаго средне-пропорціональной между основаніями отрѣзка

27. Если высота отрѣзка конуса въ четыре раза больше разности его радіусовъ, то объемъ его равенъ разности объемовъ двухъ шаровъ, радіусы которыхъ равны соотвѣтственно радіусамъ отрѣзка.

Если высота отрѣзка конуса втораго рода въ четыре раза больше суммы его радіусовъ, то объемъ его равенъ суммѣ объемовъ двухъ шаровъ, радіусы которыхъ равны соотвѣтственно радіусамъ отрѣзка.

28. Если отрѣзокъ конуса можетъ быть описанъ около шара, то

1. Радіусъ шара есть средне-пропорціональная между радіусами отрѣзка.

2. Боковая поверхность отрѣзка равна площади круга, имѣющаго радіусомъ образующую отрѣзка.

3. Объемъ отрѣзка равенъ произведенію его полной поверхности на шестую часть высоты.

29. Если полувысота отрѣзка конуса есть средне-пропорціональная его радіусовъ, то боковая поверхность отрѣзка равна площади круга, имѣющаго радіусомъ образующую отрѣзка.

30. Если образующая отрѣзка конуса равна суммѣ его радіусовъ, то объемъ его равенъ произведенію полной поверхности на одну шестую высоты.

31. Поверхность шароваго отрѣзка равна площади круга, котораго радіусъ есть хорда образующей дуги.

32. Если основаніе шароваго отрѣзка есть- его поверхности, то высота есть —— діаметра шара.

33. Если полуокружность, раздѣленная на три равныя части вращается около своего діаметра то

1. Поверхность, описанная среднею дугою, равна суммѣ поверхностей, описанныхъ крайними дугами.

2. Поверхность, описанная хордою средней дуги, равна суммѣ поверхностей, описанныхъ хордами крайнихъ дугъ.

34. Объемъ, заключенный между двумя шаровыми концентрическими поверхностями радіусовъ R и г, равенъ ,объему коническаго отрѣзка, радіусы котораго Е и r, а высота равна учетверенному разстоянію шаровыхъ поверхностей.

Г=тг. (Я2-ьДг2 + г2).

35. Если прямую АВ(=2В) раздѣлить на два отрѣзка A С (=2г) и СВ (=2rJ и на AB, AC, СВ, какъ на діаметрахъ описать три полуокружности, по одну сторону AB расположенныя, то площадь, ограниченная этими тремя полуокружности образуетъ, при вращеніи ихъ около АВУ объемъ мѣра котораго 4тг Вггх.

36. На прямой AB построенъ равнобедренный треугольникъ ASB, на ней же, какъ на діаметрѣ описана полуокружность, центръ которой (7; къ полуокружности проведена параллельная діаметру AB касательная, которая въ точкахъ Е и F пересѣкаетъ стороны SA и SB треугольника. При вращеніи этой фигуры около AB:

1. Ломаная AEFB и полуокружность описываютъ равныя поверхности, если SA=AB.

2. Ломаная AEFB и полуокружность ограничиваютъ равные объемы, если SG=AB.

37. Если объемъ коиуса равенъ произведенію полной поверхности на !/8 высоты, то конусъ этотъ втрое меньше шара, имѣющаго радіусъ равный радіусу конуса.

38. Если высота описаннаго около шара конуса вдвое больше діаметра шара, то полная поверхность конуса вдвое больше поверхности шара и объемъ конуса вдвое больше объема шара.

39. На діаметрѣ AB полуокружности АМВ, построенъ описанный прямоугольникъ AB CD и проведена діагональ AC. При вращеніи фигуры около AB, треугольникъ АСВ, полуокругъ АМВ и прямоуго-

льникъ AB CD образуютъ три объема, которые относятся какъ числа 1, 2, 3.

40. Изъ вершины 0 квадрата ОАВС радіусомъ OA описана четверть окружности AMC и проведена хорда A С. При вращеніи построенной фигуры около OA, треугольникъ ОАС, круговой отрѣзокъ AM С и смѣшанная фигура АМСВ образуютъ равные объемы.

41. Объемъ шароваго отрѣзка равенъ объему цилиндра, котораго радіусъ есть высота H отрѣзка, а высота—радіусъ R шара, уменьшенный на одну треть высоты отрѣзка.

V=nH\ (R—

42. Квадратъ радіуса s средняго сѣченія (равноотстоящаго отъ основаній) шароваго слоя равенъ полусуммѣ квадратовъ радіусовъ г и гА

h

этого слоя, увеличенной на квадратъ полувысоты ^ этого слоя.

г2+ 2 д2

s =-J-+Т

43. Объемъ шароваго слоя равенъ объему цилиндра, котораго высота равна высотѣ слоя, а основаніе равно среднему сѣченію слоя, уменьшенному на объемъ полушара, имѣющаго высоту слоя діаметромъ.

F=irç2 h

44. Объемъ шароваго слоя высоты H и радіуса R равенъ объему цилиндра 7ci?2.iJ, уменьшенному на объемъ коническаго отрѣзка, высота котораго тоже H, а радіусы d и dx котораго равны разстояніямъ основаній слоя отъ центра щара.

45. Объемъ слоя, котораго основанія тгі?2 и тсг2, равенъ объему трехъ конусовъ, имѣющихъ общую съ слоемъ высоту H, а основаніями: одинъ основаніе тт2Д, другіе два основаніе тгг2.

V = |тгіУ(Д2 + 2г2)

46. Если въ шаровомъ слоѣ разстояніе d одного основанія отъ центра шара равно радіусу rt втораго основанія, то, въ свою очередь, разстояніе dt этого втораго основанія, отъ центра равно радіусу г перваго основанія. Въ такомъ слоѣ высота H равна суммѣ или разности

радіусовъ г и тх, смотря по положенію центра шара относительно основаній слоя.

Обратно, если высота слоя равна суммѣ или разности его радіусовъ, то разстояніе каждаго изъ основаній слоя отъ центра шара равно радіусу другаго основанія.

47. Объемъ слоя, котораго высота H равна суммѣ или разности радіусовъ г и гх его основаній, равенъ алгебраической суммѣ двухъ объемовъ: объема полушара, котораго радіусъ равенъ высотѣ слоя и объема цилиндра, котораго высота £Г, а основаніе средне-пропорціональная радіусовъ слоя. . #

V == J ъ№± ъНггх.

48. Изъ точки А, взятой внѣ окружности, проведены къ ней касательныя AB и AC, затѣмъ на діаметръ ВВ изъ точки С опущенъ перпендикуляръ CE и точка Е соединенъ съ точкою A прямою, которая въ M пересѣкаетъ полуокружность BCD. Привращеніи построенной фигуры около диаметра BD, площадь AB MC A и треугольникъ ABE образуютъ равные объемы.

49. Объемъ, происшедшій отъ вращенія круговаго отрѣзка около діаметра, проходящаго чрезъ конецъ его дуги, равенъ произведенію образованной при этомъ зоны на одну шестую ея высоты.

50. Ha AB какъ на діаметрѣ описана полуокружность, на которой взяты точки Е и С такъ что АЕ=ЕС=СВ', точки ЕжС соединены съ точкою А. При вращеніи фигуры около AB, площадь ЕАС образуетъ объемъ вдвое меньшій объема шара, имѣющаго AB діаметромъ.

Задачи.

1. Найти наименьшее число, имѣющее 180 дѣлителей.

2. Если четное число есть сумма двухъ квадратовъ, то и половина его есть сумма двухъ квадратовъ.

3. Если квадратъ числа есть сумма квадратовъ двухъ другихъ чиселъ, то одно изъ этихъ чиселъ дѣлится на 5.

4. Если сумма трехъ чиселъ, а равно и сумма ихъ квадратовъ дѣлится на З, то всѣ они одновременно вида Ъп или Зп + 1илиЗ?г—-1.

5. Если возвести въ квадратъ число и его ариѳметическое дополненіе, то эти квадраты имѣютъ столько общихъ цифръ на концѣ, сколько цифръ въ взятомъ числѣ.

6. Кубъ всякаго числа есть разность квадратовъ двухъ чиселъ вида —— (двухъ треугольныхъ чиселъ).

7. Число вида 22(2а+І) + 1 разложимо на производителей.

8. Квадратъ трехчлена а2 + «Ь + &2 есть сумма трехъ квадратовъ.

9. Квадратъ трехчлена а2+Ь2 + с2 есть сумма трехъ квадратовъ.

10. Если ЪаЪс есть кубъ числа, то (а+і + с)3 разложимо на сумму четырехъ кубовъ.

11. Найти два числа, зная ихъ сумму и ихъ наименьшее кратное.

12. Найти пять послѣдовательныхъ чиселъ такихъ, чтобы сумма квадратовъ первыхъ трехъ равнялась суммѣ квадратовъ двухъ послѣднихъ.

13. Рѣшить уравненія:

а. b. с.

14. Разложить:

(ах + Ъу + (ахх + ЪхУ на множителей первой степени относительно х.

15. Рѣшить уравненіе

(l-f^)2(l— ху=с*х*

16. Рѣшить систему уравненіи

хУ =ух X? —уч .

Когда X, у раціональны?

17. Рѣшить системы уравненіи:

1. 2.

3. 4. 5. 6.

18. Средины Е и F противуположныхъ сторонъ AD и ВС параллелограмма AB CD соединены прямой, на которой взята произвольная точка М\ прямыя AM, ВМ встрѣчаютъ стороны ВС, CD, въ точкахъ G, Н; изъ послѣднихъ проведены прямыя соотвѣтственно параллельныя сторонамъ параллелограмма. Доказать что точка N пересѣченія этихъ прямыхъ лежитъ на прямой MD.

19. Если въ треугольникѣ основаніе равно полусуммѣ двухъ другихъ сторонъ, то прямая, соединяюшая центръ J вписанной въ треугольникъ окружности съ точкою M пересѣченія прямыхъ, соединяющихъ вершины треугольника съ срединами противулежащихъ сторонъ, параллельна основанію. Вычислить разстояніе IM въ зависимости отъ сторонъ треугольника.

20. Двѣ окружности извнѣ касаются; къ нимъ проведена общая касательная. Построить окружность касательную къ двумъ даннымъ и къ ихъ общей касательной и вычислить радіусъ этой окружности.

21. Построить квадратъ, котораго стороны проходили бы чрезъ четыре данныя точки.

22. Данъ прямоугольный треугольникъ, одинъ изъ острыхъ угловъ котораго равенъ половинѣ другаго; построены внѣ-вписанныя окружности. Доказать что площадь треугольника, имѣющаго вершины. въ центрахъ этихъ окружностей относится къ площадѣ взятаго какъ 4:0/3-1).

23. Въ треугольникѣ ABC взяты на сторонѣ ВС двѣ точки а,^, симетричныя относительно ея средины; подобнымъ же образомъ взяты точки ß,ß, на сторонѣ CA и точкѣ y,Yi на сторонѣ AB.

Доказать что треугольники офу, "i?iYi равновелики.

24. Периметръ прямоугольнаго треугольника равенъ 2/3; сумма объемовъ. происшедшихъ отъ послѣдовательнаго вращенія этого треугольника около каждаго изъ катетовъ равна 2/3 ^iü3. Вычислить стороны треугольника.

25. Шаръ радіуса В пересѣченъ плоскостью, разстояніе которой отъ центра равно х\ діаметръ перпендикулярный къ плоскости сѣченія встрѣчаетъ шаровую поверхность въ точкахъ Р, Y\\ два конуса, вершины которыхъ въ этихъ точкахъ, имѣютъ общимъ основаніемъ сдѣланное сѣченіе.

Вычислить въ зависимости отъ х боковыя поверхности s и $t1 полныя поверхности S и S{ и объемы Vu Vx этихъ конусовъ.

26. Доказать что

27. Доказать что въ треугольникѣ ABC:

28. Если стороны параллелограмма a и 6, уголъ ихъ a, а уголъ діагоналей <р, то

29. Двѣ окружности, радіусы которыхъ R, B-v извнѣ касаются; уголъ ихъ внѣшнихъ касательныхъ ср. Доказать что

30. Доказать что сумма котангенсовъ угловъ, составленныхъ медіанами треугольника съ сторонами его равна нулю.

Библіографія за 1878 годъ.

1. Захаровъ, Н. Руководство ариѳметики съ методическими указаніями, для учительскихъ институтовъ и семинарій, учителей, для гимназій, прогимназій, реальныхъ и городскихъ училищъ. Одобр. Попеч. Сов. Кавк. Учеб. Окр. Тифлисъ 1878 г. Тип. Михельсона. 8 д. 250 стр.

2. Еленевъ, Ѳ. П. Руководство для учителей къ преподаванію ариѳметики въ одноклассныхъ начальныхъ училищахъ, а также прпготовительныхъ классахъ и 1-мъ классѣ гимназій. Составилъ Ѳ. П. Еленевъ. М-мъ Нар. Просвѣщ. включено въ каталогъ книгъ для основныхъ библіотекъ начальныхъ училищъ п учительскихъ семинарій. Спб. 1878 г. Тип. Имп. Акад. Наукъ. 8 д. 4 ненум. + 112 стр. 1010 экз. Ц. 65 к

3. Еленевъ, Ѳ. П. Руководство для учителей къ преподаванію ариѳметики въ двуклассныхъ начальныхъ училищахъ. Составилъ Ѳ. П. Еленевъ. М-вомъ Народн. Просвѣщ. включено въ каталогъ книгъ для основныхъ библіотекъ начальныхъ училищъ и учительскихъ семинарій. Спб. 1878 г. Тип. Имп. Акад. Наукъ. 8 д. 4 ненум.+167+l ненум. стр. 1010 экз. Ц. 1 р)бль.

4. А. Малининъ и К. Буренинъ. Ариѳметика. Изд. 12 М. Изд. кніггопр. Салаева. 1878 г. 8 д. 240 стр. 39,600 экз. Ц. 75 к. (б. ц.).

5. Воленсъ, В. Ариѳметика. Курсъ систематическій. Изд. II, совершенно измѣнен. и издан. подъ редакц. автора. Ч. I. Цѣлыя числа. Спб Тип. (бывш.) A M. Котомина 1878 г. 8 д. 2 нен.+118+нен. стр. 5000 экз. Ц. 35 к.

6. Меморскій. ариѳметяка въ вопросахъ и отвѣтахъ въ двухъ частяхъ. Для легчайшаго обученія Дѣтей. Кіевъ 1878 г. Тип. В. Л. Францкевича. 3 д. 124 стр. съ табл. вычит. и умнож. 5000 экз.

7. Меморскій. Ариѳметика въ вопросахъ и отвѣтахъ для легчайшаго обученія дѣтей въ двухъ частяхъ М. 1878 г. Тип. Мартынова. 18 Д. 105 стр. 12000 экз. Изд. одинадцатое.

8. Подоба, Фед. Гр. Руководство ариѳметики. Для Лиснчанской Штейгерской школы, нисшпхъ классовъ гимназій, прогимназій, городскихъ реальныхъ, уѣздныхъ, нисшихъ техническихъ училищъ и для учительскихъ семинарій. М. 1878 г. Тип. Мартынова п К. 8 д. 110 стр. 3600 экз. Ц. 40 к., съ пересылкой 50 к.

9. Еленевъ, Ѳ. П. Ариѳметика для одноклассныхъ начальныхъ училищъ, а также для приготовительныхъ классовъ и 1-го класса гимназій. Министерствомъ Народнаго Просвѣщенія допущена въ число учебныхъ пособій для одноклассныхъ начальныхъ училищъ. Спб. 1878 г. Тип. Импер. Акад. Наукъ. 8 д. 2 ненум +91 стр. 2510 экз. Ц. 45 к.

10. Еленевъ, Ѳ. П. Ариѳметика для двуклассныхъ начальныхъ училищъ съ приложеніемъ правилъ объ пзмѣреніи илощадей и объемовъ. Ѳ. П. Еленевъ. М-вомъ Народн. Просвѣщ. допущена въ число учебныхъ пособій для двуклассныхъ начальныхъ училищъ. Спб. 1878 г. Тип. Имп. Акад. Наукъ. 8 д. 2 нен.+ 146 стр. 1510 экз. Ц. 70 кон.

11. Meder, Richard. Grundzüge der niederen Arithmetik für den Schulgebrauch. Рига. 1878 г. Тип. Mefiepa. 8 д. 62 стр. 200Э экз.

12. Воленсъ, В. Ариѳметическія задачи. Учебныя пособія при преподаваніи ариѳметики въ среднихъ учебн. Заведеніяхъ. Состав. В. Воленсъ, изд. второе, исправленное и дополненное подъ редакціей автора. Спб. 1878 г. Тип. Янпольскаго. 8 д. II+130 стр. 3000 экз. Ц. 35 коп.

13. Воленсъ, В. Сборникъ ариѳметическихъ задачъ. Учебное пособіе при преподаваніи ариѳметики въ среднихъ учебн. заведеніяхъ. Сост. В. Воленсъ. Второе исправленное изданіе. Изданіе М. И. Попова. Ц. 35 к. С иб. 1878 г. Тип. И. М. Попова. 8 д. 136 стр. 5000 экз.

14. Воленсъ, В. ариѳметическія задачи (по Грубе). Курсъ I. Спб. 1878 г. Тип. А. Котомина. 12 д. 2+389 стр. 5000 экз, Ц. 35 к.

15. Воленсъ, В. Собраніе аріюметическихъ задачъ (по Грубе). Учебное пособіе при первоначальномъ преподаваніи ариѳметики. Въ двухъ частяхъ. Составилъ В. Воленсъ. Изданіе девятое, вновь исправл. и пересмотр. Изд. М. И. Попова. Спб. 1878 г. Тип. М. И. Попова. 12 д. 4 ненум. + 404 стр. 10,000 экз. Ц. 40 к. (б. ц.)

16. Воленсъ, В. Рѣшенія задачъ, содержащихся- въ 1-мъ курсѣ ариѳметическихъ задачъ (по Грубе), изданныя подъ редакціею автора. Сост. В. Воленсъ. Спб. 1878 г. Тип. (бывш.) A. М. Котомина 12 д. 3 ненум. + 129 стр. 3000 экз. Ц. 30 коп.

17. Евтушевскій, В. Сборникъ численныхъ примѣровъ и ариѳметическихъ задачъ для приготовит. и систем. курса. Часть I.—Цѣлыя числа. Одинадцатое изданіе. Спб 1878 г. Изданіе А. Гастфрейнда и Д. Полубояринова. Тип. Цедербаума и Гольденблюма. 8 д. VI+137 стр. 100,250 экз. Ц. 40 к.

18. Евтушевскій, В. Сборникъ ариѳметическихъ задачъ для приготовительнаго и систематическаго курса. Составилъ В. Евтушевскій. Часть вторая. Дроби. Восьмое изданіе. 210-я тысяча. Спб. 1877 г. Тип. (бывш.) A. М. Котомина. 8 д. 111+1 ненум. стр. 40,000 экз. Ц. 30 к.

19. А. Малининъ и К. Буренинъ. Собраніе ариѳметическихъ задачъ для гимназій и прогимназій, мужск. и женскихъ, реальныхъ и городск. училищъ, учительскихъ институтовъ и семинарій. Изд. 14-е. М. Изд. книгопрод. Салаева. 1878 г. 8 д. 178+I1 стр. 60000 экз. Ц. 50 к. (б. ц.)

20. Собраніе ариѳметическихъ задачъ, расположенное по руководству къ ариѳметикѣ, составленному для Уѣздныхъ Училищъ. Изданіе семнадцатое, исправленное. Продается въ книжныхъ магазинахъ И. И. Глазунова, въ Спб. и въ Москвѣ. Спб. 1878 г. Тип. И. И. Глазунова. 8 д. 106 + 2 нен. 5000 экз.

21. В. Арбузовъ. А. и В. Мининъ и Д. Назаровъ. Сборникъ ариѳметическихъ задачъ преимущественно для учениковъ старшихъ классовъ среднихъ учебныхъ заведеній. Матеріалы, для практпческихъ упражненій учениковъ въ теченіи учебнаго года, и темъ для письменныхъ испытаній. Къ сборнику приложено собраніе задачъ служившихъ ариѳметическими темами на испы-

таніяхъ зрѣлости во всѣхъ учебныхъ округахъ Россійской имперіи. Изд. 2-е. М. 1878 г. Тип. К. Индриха. 8 д. IV+77 стр. 4800 экз. Ц. 50 к

22. Томасъ, Н. Собраніе ариѳметическихъ задачъ для умственнаго и письменнаго исчисленія. Сост. Н. Томасъ. Одобрено ученымъ комитетомъ Министерства Народн. Просвѣщ. какъ учебное пособіе въ уѣздныхъ училищахъ и гимназіяхъ. Выпускъ I. Изданіе шестнадцатое исправленное и дополненное. Спб. 1878 г. Тип А. Н. Быкова. 8 д. 5 ненум. + 98 + 1 стр. 3000 экз. Ц. за выпускъ 30 к.

23. Захаровъ. Собраніе примѣровъ для письменнаго исчисленія. Вып. 1. Вычисленіе надъ числами отъ 1 до 100 Одобрено уч. ком. М. Нар. Пр. для употребленія въ начальн. училищахъ. 6-е изд. Тифлисъ. Тип. И. Мартиросіанна. 1877 г. 8 д. 94 стр. Изд. Кавк. кн. торговли Зах. Петр. Грикурова.

24. Лубенецъ, Т. Ариѳметическій задачникъ. Пособіе при изученіи цѣльныхъ чиселъ, заключающій въ себѣ задачи изъ сельскаго хозяйства. Кіевъ. Тип. Е. Я. Федорова. 1878 г. 66 стр. 6000 экз.

25. Сидоровъ, И. П. Практическія упражненія въ ариѳметикѣ. Из. Н. П. Малютина. Москва. 1878 г. Тип. Барнетъ и Пиготъ. 8 д. 216 стр. 3000 экз. Ц. 45 к.

26. Подоба, Ѳед. Гр. Собраніе задачъ для упражненій на счетахъ, въ народныхъ школахъ и нисшихъ учебныхъ заведеніяхъ. М. Тип. Мартынова. 8 д. 86 стр. 3600 экз. Ц. 20 к., съ иересылкою 25 к

27. Зегимель. Новый способъ умноженія въ умѣ, посредствомъ сложенія. Изучается въ нѣсколько минутъ. (Полезно преимущественно для дѣтей.) Правило № 1. Для умноженія чиселъ отъ 10 до 19. Составилъ Зегимель. Спб. 1878 г. Тип. Б. Г. Янпольскаго. 8 д. 1 стр. 1000 экз.

28. Блюмбергъ, Я. Элементарная алгебра. Курсъ средн. учебн. завед. Спб. 1878 г. Тип. А. Траншеля. 8 д. 3 нен.+ХХ+242 стр. 2000 экз. Ц. 1 р. 25 к. (б. ц.)

29. Блюмбергъ, Я. Дополнительныя статьи алгебры. Курсъ VII. (дополнительнаго) класса реальныхъ училищъ. Состав. Я. Блюмбергъ. Спб 1878 г. Тин. Траншеля. 8 д. 5 ненум.+76+2 стр. 1000 экз. Ц. 75 к.

30. Ев. Туторъ. Курсъ алгебры для средн. учебныхъ заведеній. Ч. I. Воронежъ. 1878 г. Тип. Г. М. Велловскаго 8 д. II+170 стр. 1200 экз. Ц. 85 к.

31. В. Арбузовъ, А. и В. Мининъ и Д. Назаровъ. Сборникъ алгебраическіхъ задачъ, преимущественно для учениковъ старшихъ классовъ сред. учебн. заведеній. Матеріалы для практ. упражн. учен. въ теченіи учеб. года и темъ для письменныхъ испытаній. М. 1878 г. Тип. Индриха, 8 д. 80 стр. 3600 экз. Ц. 50 к.

32. Вулихъ, 3. Краткій курсъ геометріи, и собраніе геометрпческихъ задачъ. Изд. 3-е Спб. 1878 г. Тип. В. Безобразова и К. 8 д. VІІІ+191 стр. 3000 экз. Ц. 80 к. (б. ц.)

33. Давидовъ, А. Геометрія для уѣздныхъ училищъ. Состав. по Дистервегу Изд. третье. М. 1878 г. Тип. Іогансона. 8 д. 63 стр. 12000 экз. Ц. 35 к.

34. Савинъ, И. Приготовительный курсъ геометріи для военныхъ гимна-

зій, и народныхъ школъ съ чертежами. Изд. I. 1878 г. Тип. Іогансона, 8 д. 59+IV стр. Ц. 50 к.

35. Леве, А. —Руководство начальной геометріи, составленное примѣнительно къ учебнымъ планамъ гимназій и реальныхъ училищъ. Составилъ А. Леве. Четвертое изданіе. Спб. 1878 г. Тип. A M. Котомина, 8 д. 1 ненум.+ 315+1 ненум.+ІІ стр. 3015 экз. Ц. 1 р.

36. Пржевальсній, Е. Начальная Геометрія. Состав. Е. Пржевальскій, преподав. 3-го воен. Алекс. училища. Изд. кн. маг. Ѳ. И. Салаева. М. Тип. А. Гатцука. 1878 г. 8 д. II+336 стр. 2500 экз. Ц. 1 р. 50 к. (б. ц.).

37. А. Давидова орд. проф. И. Моск. Унив. Элементарная геометрія въ объемѣ гимназическаго курса. Изд. 11-е изд. кн. маг. Ѳ. И. Салаева. М. Тип. Т. Рисъ. 1878 г. 8 д. 346+II стр. 25000 экз. (б. ц.)

38. Малининъ, А. и Егоровъ, Ѳ. Руководство Геометріи и собраніе геометрическихъ задачъ для гимназій, реальныхъ училищъ и учительскихъ институтовъ. Изданіе книгопродавца Салаева. М. 1878. Тип. Лаврова. 8 д. VII+488 стр. 7350 экз. Ц. 1 р. 35 к.

39. Соннэ. Геометрія теорет. и практич. Съ 7 франц. изд. перев. В. Н. Травинъ. Выпускъ V. М. 1878. Тип. А. Мамонтова и КА 8 д. 405—514 стр. 3650 экз.

40. Соннэ. Геометрія теоретическая н практическая съ примѣненіямп къ линейному черченію, архитектурѣ, землемѣрію, съемкѣ плановъ, гномикѣ, перспективѣ тѣнямъ и пр. и главнѣйшія начала начертательной геометріи съ седьмаго франц. изд. перев. В. Н. Травинъ, съ 104 политипаж. въ текстѣ. Вып. VI. Геометрич. тѣни и различныя приложенія. М. 1878. Тип. и изд. Н. И. Мамонтова, 8 д. отъ 515 по 681 стр. 3660 экз. Ц. 1 р. перес. вѣс. за 1 ф. по разстоян.

41. М. Цвѣткова. Конспектъ изъ геометріи. Тула. Тип. Н. Соколова. 1878. 8 д. 47 стр. 500 экз.

42. Мининъ, В. Сборникъ геометрическихъ задачъ, иримѣненный къ курсамъ гимназій и реальныхъ училищъ. Задачи алгебраической геометріи. Матеріалы для практическихъ упражненій учениковъ въ теченіи учебнаго года, н темы для письменныхъ испытаній. Изд. второе, исправл. и значител. дополн. съ приложеніемъ списка задачъ, служившихъ геометрическими темами на испытаніяхъ зрѣлости во всѣхъ учебныхъ округахъ Россіи. М. 1878 г. Тип. К. Индриха. 8. д. 158 стр» 7200 экз. Ц. 85 к.

43. Пржевальскій, Е. Прямолинейная тригонометрія и собраніе тригонометрическихъ задачъ. Изд. 2-е, исправ. и дополн. съ 86 фигурами въ текстѣ. Изд. Ѳ. И. Салаева. М. 1878 г. Тип. Лисснера и Романа, 8 д. VII+223 стр. 2500 экз. Ц. 1 р. 25 к.

44. Серре, А. Прямолинейная тригонометрія. Перевелъ Ев. Туторъ, преподаватель математики Воронежск. военн. гимн. Второе изд. Изд. книжн. маг. Ѳ. И. Салаева. М. Тип. Т. Рисъ. 1878 г. 8 д. VI+1 нен.+140+12 нен. стр. и 1 таблица чертежей. 2400 экз. Ц. 1 р.

45. Прямолинейная тригонометрія съ приложеніемъ статьи о логариѳмахъ. Г. М. Спб. 1878 г. Тип. военная 8 д. VIII — 155 стр. 2 л. чертеж. 3025 экз. Ц. 1 р.

46. Бржостовскій, В. Курсъ теоріи линейной перспективы и озометрической проэкціи, читанный къ Стр. учил. Мин. Внутр. Дѣлъ Инженеръ-Архитекторомъ Григорьевымъ. Составилъ В. Бржостовскій. Спб. 1877—78 г. Картограф. заведеніе Ильна (Цо способу Алисова). 8 д, 40—21 стр. и VІ— IV табл. чертежей. 165 экз. (б. ц.).

Бржостовскій, В. Курсъ теоріи тѣней, читанный въ строит. учил. Мин. Внутр. Дѣлъ, Инженеръ-Архитекторомъ Григорьевымъ. Составилъ В. Бржостовскій. Спб. 1877—78 г. Картографическое заведеніе А. Ильина. (По способу Алисова). 8 д. 100 стр. и XIX таблицъ чертежей. 160 экз. (б. ц.).

48. Мазингъ, К. Сборникъ задачъ изъ ариѳметики, алгебры, геометріи, и тригонометріи которыя были предложены во всѣхъ учебныхъ окр. Россіи для испытанія зрѣлости въ гимназіяхъ, и для выпускныхъ экзаменовъ въ реальныхъ училищахъ. Изд. Ѳ. И. Салаева. М. 1878 г. Тип. Рисъ. 8 д. 55—VIII стр. 2400 экз.

49. Практическія правила для дѣйствія надъ обыкновенными логариѳмами чиселъ и тригонометрнческихъ величинъ. Г. М. Второе дополн. изд. Спб. 1878 г. Военная тип. 8 д. 4+159 1 нен. стр. 1200 экз. Ц. 1 р.

50. Буссе, Федоръ. Сокращенная таблица обыкновенныхъ логариѳмовъ, составленная по руководству Веги, для употребленія въ учебныхъ заведеніяхъ. Изд. книгопр. Ф. А. Битепажа. 8 д. 2 ненум.+77+l н. нум. стр. 6200 экз. Ц. 50 к.

51. Таблицы ддя умноженія, провѣренныя на ариѳметической машинѣ Томаса К. Л. Петринымъ. Вып. III 2001—3000. Либава. Берлинъ. 1878 г. Тип. Мейера. 8 д. 100 стр. 5000 экз.

52. Памятная книжка. Собраніе вспомогательныхъ таблицъ, формулъ и свѣдѣній по чистой математикѣ, геодезіи, астрономіи и межевымъ законамъ, необходимыхъ для межевыхъ инженеровъ, топографовъ и астрономовъ — путешественниковъ. Сост. В. Травинъ. М. 1878 г. Тип. А. Мамонтова и К°. 12 д. V+42+188+IV+II стр. 700 экз. Ц. 2 р. (б. ц.).

53. Краткій повторительный курсъ высшей алгебры. Спб. 1878 г. Изданіе картогр. заведенія А. Ильина. 16 д. 109 + 3 нен. стр. 3000 экз. Ц. 45 к.

54. Указатель русской литературы по математикѣ, чистымъ и прикладнымъ естественнымъ наукамъ, медицинѣ, и ветеринаріи за 1876 г. Ч. I. Математическія чистыя и прикладныя, естественныя науки. Составленъ Л. Л. Лупдомъ. Подъ редак. проф. Н. А. Бунге. Изд. Кіевск. Общества. Естествоиспыт. при содѣйствіи другихъ учен. Обществъ. Кіевъ. 1877 г. Тип. Унив. 8 д. 186 стр. 1000 экз. Ц. за весь указатель 2 р.

МАТЕМАТИЧЕСКІЙ ЛИСТОКЪ.

НѢСКОЛЬКО УКАЗАНІЙ ОТНОСИТЕЛЬНО РАСПОЛОЖЕНІЯ КУРСА ОБЫКНОВЕННЫХЪ ДРОБЕЙ.

Названія нѣкоторыхъ ариѳметическихъ дѣйствій вполнѣ соотвѣтствуютъ ихъ значенію; таковы дѣйствія надъ цѣлыми числами и дѣйствія: сложеніе, вычитаніе дробей, умноженіе и дѣленіе дроби на цѣлое число; умноженіе въ послѣднемъ случаѣ есть ничто иное какъ сложеніе равныхъ слагаемыхъ, а дѣленіе—разложеніе на равныя слагаемыя.

Иными представляются дѣйствія: умноженіе и дѣленіе какого либо числа на дробь; отличительный признакъ этихъ дѣйствій условность; имъ можно давать различныя опредѣленія. Умноженіе на дробь напр. опредѣляютъ или какъ «дѣйствіе, посредствомъ котораго по цѣлому находятъ нѣсколько равныхъ частей его», или какъ «дѣйствіе, посредствомъ котораго произведеніе составляется изъ множимаго, какъ множитель составленъ изъ единицы», или какъ «дѣйствіе, которымъ замѣняются два простыхъ дѣйствія: умноженіе на числителя и дѣленіе полученаго произведенія на знаменателя».

Мы полагаемъ полезнымъ и въ преподаваніи рѣзко раздѣлять эти два рода дѣйствій съ дробями; это тѣмъ болѣе удобно, что умноженіе и дѣленіе дроби на цѣлое число во всѣхъ отношеніяхъ легче умноженія и дѣленія на дробь и притомъ первыя два дѣйствія нужны для выполненія послѣднихъ. Мы полагаемъ далѣе что было бы весьма выгодно для усвоенія этихъ четырехъ дѣйствій проходить умноженіе и дѣленіе дроби на цѣлое число раньше сложенія и вычитанія дробей съ разными знаменателями, а умноженіемъ и дѣленіемъ на дробь заключать курсъ обыкновенныхъ дробей.

Предлагаемъ въ слѣдующихъ строкахъ программу курса обыкновенныхъ дробей, присоединяя къ ней необходимыя объясненія.

Дробью мы называемъ собраніе равныхъ частей единицы; знаменатель есть ничто иное какъ наименованіе числителя. Во всей первой части курса дробей (до умноженія и дѣленія на дробь) мы можемъ обращаться съ дробями какъ съ именованными числами.

1. Сложеніе (вычитаніе) дробей съ равными знаменателями сводится къ сложенію (вычитанію) числителей, причемъ результатъ получаетъ наименованіе данныхъ.

2. Умноженіе (дѣленіе) дроби на цѣлое число сводится къ умноженію (дѣленію) числителя на это число причемъ результатъ сохраняетъ наименоніе множимаго (дѣлимаго); эти пріемы вполнѣ сходны съ соотвѣтственными дѣйствіями надъ именованными числами.

Затѣмъ переводимъ къ другому способу умноженія (дѣленія) дроби на цѣлое число: вмѣсто умноженія числителя—дѣлимъ знаменателя, вмѣсто дѣленія числителя—умножаемъ знаменателя. При этомъ не лишнее обратитъ вниманіе на аналогію съ соотвѣтственными дѣйствіями надъ именованными числами, когда вмѣсто умноженія (дѣленія) числа мы измѣняемъ наименованіе. Напр.

13 фунт.х40 [-(40 ф.)х13 = 1 пуд.х13] = 13 пуд. или, кратко: 14 верш. х16 = 14 арш.

3 верст.: 500 = 3 саж.

3. Сокращеніе дробей.

4. Когда оба способа умноженія (дѣленія) дроби на цѣлое число и сокращеніе дробей извѣстны, необходимо обратитъ вниманіе на выгоду употребленія кратчайшаго способа. Здѣсь могутъ представится три случая:

Употребленныя здѣсь и въ дальнѣйшемъ изложеніи скобки конечно не должно писать при рѣшеніи задачъ; мы пользуемся ими для замѣны словесныхъ объясненій: въ 1-мъ примѣрѣ—необходимо дѣлить знаменателя, во 2-мъ—предвидя будущее сокращеніе, предварительно сократить знаменателя съ множителемъ, въ 3-мъ—прямо умножить числителя.

Если употребленіе 2-го пріема представляетъ затрудненіе, то вмѣсто обыкновенно употребляемой схемы

слѣдуетъ держаться такой

Чтобы цѣлое число съ дробью умножить на цѣлое число, надо умножить цѣлое, затѣмъ дробь, сложить результаты и, если можно, исключить цѣлое число. Предварительное обращеніе цѣлаго числа съ дробью въ неправильную дробь только усложняетъ вычисленіе.

Примѣръ:

При дѣленіи дроби на цѣлое число слѣдуетъ также различать три случая:

Чтобы цѣлое число съ дробью раздѣлить на цѣлое число надо прежде дѣлить цѣлое, если оно больше дѣлителя, остатокъ привести въ неправильную дробь, раздѣлить ее и сложить результаты.

Мы обращаемъ особенное вниманіе на способъ полученія результатовъ. Между учениками весьма распространенъ взглядъ что важенъ только вѣрный результатъ, а не способъ его полученія. Этотъ ошибочный взглядъ приноситъ во всемъ курсѣ математики громадный вредъ, заставляя ученика вести рѣшеніе не по кратчайшему и лучшему пути, а по пути шаблонному, хотя и болѣе длинному, но не заставляющему ученика думать и вникать въ особенности каждаго вопроса. Приведенные примѣры умноженія и дѣленія могутъ наглядно показать различіе въ способѣ ихъ рѣшенія по общему шаблону и по способу вытекающему изъ свойствъ данныхъ чиселъ. Если при простомъ умноженіи и дѣленіи не особенно замѣтна разница во времени для рѣшенія по тому или другому способу, то въ дальнѣйшемъ курсѣ или

при рѣшеніи болѣе сложныхъ задачъ это различіе не остается незамѣтнымъ.

5. Приведеніе дродей къ общему знаменателю.

6. Сложеніе и вычитаніе дробей.

7. Умноженіе на дробъ.

Въ ариѳметикѣ Серре*) дано слѣдующее опредѣленіе умноженія на дробь: «Умножить какое нибудь число на дробь значитъ раздѣлить это число на столько равныхъ частей, сколько будетъ единицъ въ знаменателѣ дроби, и взять столько такихъ частей, сколько будетъ единицъ въ числителѣ»**). Это опредѣленіе можно бы сократить: Умножить какое нибудь число на дробь значитъ раздѣлить его на знаменателя дроби и полученное частное умножитъ на числителя дроби.

Рѣшая задачи такого рода: «1 арш. матеріи стоитъ 60 коп., сколько стоитъ 8/і арш.?» при помощи приведенія къ единицѣ т. е. узнавая цѣну Vi арш., а затѣмъ 3/4 арш., мы приходимъ къ заключенію что вмѣсто двухъ дѣйствій при отысканіи нѣсколькихъ частей цѣлаго можно произвести одно сложное дѣйствіе—умноженіе на дробь.

Надо при этомъ обратить вниманіе на причину названія двойнаго дѣйствія (дѣленіе на знаменателя и умноженіе на числителя) однимъ сложнымъ названіемъ — умноженіемъ на дробь. Причина эта заключаетея въ желаніи обобщить ариѳметическія дѣйствія. Когда мы рѣшаемъ задачи: «Цѣна 1 фунта товару 12 коп., сколько стоитъ 3, 4, 5 ф. того же товару?» при помощи дѣйствія умноженія на 3, 4, 5, то нѣтъ причины не назвать тѣмъ же именемъ дѣйствія необ ходимаго для опредѣленія цѣны З-^г, 4-^,—, т^т и т- Д- Фунта. Но при умноженіи на цѣлое число слово умножитъ употреблялось въ смыслѣ увеличить или сложитъ равныя слагаемыя, при умноженіи же на дробь—отыскать нѣсколько равныхъ частей цѣлаго.

Правило для умноженія на дробь единственное: Чтобы какое бы то ни было число умножитъ на дробь, надо, согласно опредѣленію, раздѣлить данное число на знаменателя дроби и полученное частное умножитъ на ея числителя. (Порядокъ этихъ дѣйствій можетъ быть измѣненъ).

*) Серре. Курсъ ариѳметики, переводъ Юденича. 1871. стр. 112.

**) Слово «будетъ» столь излюбленное въ нашей учебной математической литературѣ и повторяемое въ каждомъ учебникѣ многіе сотни разъ, очевидно совершенно излишнее. Ред.

Примѣры:

Чтобы цѣлое число съ дробью умножить на дробь (на цѣлое число съ дробью), нужно предварительно обратить его (ихъ) въ неправильную дробь и затѣмъ воспользоваться однимъ изъ предъидущихъ пріемовъ.

Изъ всѣхъ приведенныхъ примѣровъ слѣдуетъ что 1) одного приведеннаго правила для умноженія на дробь вполнѣ достаточно и 2) что, примѣняя кратчайшій способъ умноженія и дѣленія дроби на цѣлое число, умноженіе на дробь выполняютъ по этому правилу во многихъ случаяхъ короче, чѣмъ по обычному правилу (умножить числителя на числителя, знаменателя на знаменателя, и первое частное раздѣлить на второе).

8. Дѣленіе на дробь.

Предполагая что уже въ курсѣ цѣлыхъ чиселъ послѣ уясненія двоякого значенія дѣйствія дѣленія: дѣленіе на равныя части и опредѣленіе содержанія одного числа въ другомъ, было дано общее опредѣленіе дѣленія, какъ дѣйствія обратнаго умноженію, т. е. какъ дѣйствія, посредствомъ котораго по данному произведенію и одному изъ производителей вычисляется другой производитель, мы оставляемъ это опредѣленіе для дѣленія на дробь.

Правило для этого дѣйствія единственное: Надо дѣлимое раздѣлить на числителя дроби и полученное частное умножить на ея знаменателя. Выводъ правила на примѣрѣ слѣдующій: «Нѣкоторое число послѣ умноженія на 8/4 дало 18, какое это число?» При умноженіи неизвѣстнаго числа на 3Д і мы дѣлили его на 4 и умножали полученное на

3, поэтому для возстановленія неизвѣстнаго числа надо 18 раздѣлить на 3 и полученное частное умножимъ на 4.

Чтобы пользоваться дѣленіемъ на дробь при рѣшеніи задачъ по условіямъ необходимо разъяснить что здѣсь, какъ и въ задачахъ на цѣлыя числа, дѣленіе имѣетъ двоякое значеніе:—одно, сходное съ прежнимъ, опредѣленіе содержанія одного числа въ другомъ, съ тою только разницею, что въ частномъ можетъ получиться дробь или цѣлое съ дробью, которой надо придать извѣстное толкованіе;—другое, уже не дѣленіе на части, какъ при цѣломъ дѣлителѣ, а отысканіе цѣлаго по нѣсколькимъ частямъ. Напр. задачу: «3/4 арш. стоитъ 24 коп., сколько стоитъ 1 аршинъ?» можно рѣшить приведеніемъ къ единицѣ т. е. узнать цѣну '/| ар., затѣмъ цѣну цѣлаго аршина. Убѣдиться, что задача можетъ быть рѣшена однимъ сложнымъ дѣйствіемъ, дѣленіемъ на дробь, можно различно: 1) по аналогіи съ дѣленіемъ на цѣлое—при опредѣленіе цѣны одного арш. надо пользоваться дѣленіемъ; 2) изъ того, что ходъ вычисленія совпадаетъ съ правиломъ дѣленія; 3) изъ уравненія х. -^-=24, въ которомъ х выражаетъ цѣну цѣлаго аршина, прямо по опредѣленію дѣленія на дробь.

Общее правило дѣленія на дробь надо примѣнять конечно на разнообразныхъ примѣрахъ:

Этимъ кончается курсъ простыхъ дробей. Весьма важное послѣ. этого упражненіе есть составленіе формулъ рѣшенія задачь, при чемъ умноженіе или дѣленія на дробь уже не разбивается на два дѣйствія, а представляется однимъ дѣйствіемъ.

К. Мазингъ.

ОКРУЖНОСТЬ ДЕВЯТИ ТОЧЕКЪ.

Перпендикуляры къ сторонамъ треугольника изъ срединъ ихъ пересѣкаются, какъ извѣстно, въ общей точкѣ; эта точка. есть центръ окружности описанной около взятаго треугольника. Проведя чрезъ вершины треугольника прямыя параллельныя сторонамъ его, получимъ треугольникъ АХВХСХ описанный около взятаго и подобный ему; отношеніе подобія этихъ треугольниковъ равно 2.

Перпендикуляры къ сторонамъ треугольника АХВХСХ изъ срединъ ихъ Аі,Вх,С\ пересѣкаются въ общей точкѣ Н, центрѣ окружности описанной около треугольника АХВХСХ. Эта точка H вмѣстѣ съ тѣмъ есть общая точка встрѣчи перпендикуляровъ изъ вершинъ треугольника ABC на противоположныя стороны, точка встрѣчи высотъ взятаго треугольника. Изъ этого заключаемъ что

Высоты треугольника встрѣчаются въ общей точкѣ.

Такъ какъ отношеніе сходственныхъ прямыхъ АНм ВО равно 2, то

Въ треугольникѣ точка встрѣчи высотъ отстоитъ отъ каждой вершины вдвое дальше чѣмъ центръ описанной окружности отъ противулежащей стороны.

Отрѣзки AH, ВН, СН высотъ треугольника носятъ названіе верхнихъ отрѣзковъ высотъ.

Разсмотримъ прямую АА{. Она пройдетъ чрезъ средину В стороны ВС (такъ какъ АВАХ С параллелограммъ), раздѣлитъ разстояніе HO на два отрѣзка МНк MO, отношеніе которыхъ равно 2; прямая AI) въ точкѣ M раздѣлена на два отрѣзка MA и MD, отношеніе которыхъ 2. Изъ чего заключаемъ что

Прямыя, соединяющія средины сторонъ треугольника съ противулежащими вершинами (равнодѣлящія сторонъ треугольника, медіаны треугольника) встрѣчаются въ общей точкѣ М, раздѣлены въ ней въ отношеніи 2:1 (считая отъ вершинъ), что эта точка лежитъ на прямой ОН. Точкѣ M даютъ названіе центра среднихъ разстояній вершинъ треугольника. Итакъ:

Въ треугольникѣ: центръ описанной окружности, центръ среднихъ разстояній и точка встрѣчи высотъ лежатъ на одной прямой и отношеніе разстоянія двухъ послѣднихъ къ разстоянію двухъ первыхъ равно 2\ отношенію подобія треугольниковъ АхВхСхж ABC.

Проведемъ чрезъ средину F прямой ОН прямую DFN; она дѣлитъ въ точкѣ ^ пополамъ верхній отрѣзокъ АН высоты AQ, параллельна OA и дѣлится пополамъ въ точкѣ F; такъ какъ, далѣе, перпендикуляръ изъ средины Е отрѣзка BQ проходитъ чрезъ точку F (средину ОН), то эта точка равноотстоитъ—и притомъ на разстояніе равное половинѣ OA—отъ срединѣТ) стороны В С, отъ основанія Q высоты, соотвѣтствующей этой сторонѣ и отъ средины N верхняго отрѣзка этой высоты. Изъ. чего заключаемъ что

Средины трехъ сторонъ треугольника, основанія его трехъ высотъ и средины верхнихъ отрѣзковъ этихъ высотъ лежатъ на окружности, имѣющей центромъ средину разстоянія точекъ 0 и ff, а радіусомъ половину радіуса окружности описанной около треугольника. Эта окружность носитъ названіе окружности девяти точекъ и обладаетъ многими замѣчательными свойствами, которыя мы разсмотримъ въ отдѣльной замѣткѣ.

СООТНОШЕНІЕ МЕЖДУ СТОРОНАМИ ПРАВИЛЬНЫХЪ ПЯТИ-, ШЕСТИ- И ДЕСЯТИУГОЛЬНИКА ВПИСАННЫХЪ ВЪ ОКРУЖНОСТЬ.

Пустъ AB сторона вписаннаго въ окружность 0 правильнаго пятиугольника. Соединивъ точку A съ 0 и построивъ параллелограммъ AODB, сторона BD котораго въ точкѣ С встрѣчаетъ окружность, безъ труда увидимъ что BÇ есть сторона вписаннаго въ ту-же окружность правильнаго десятиугольника, что ВС есть большій отрѣзокъ /прямой BD (=АО), раздѣленной въ крайнемъ и среднемъ отношеніи. Проведемъ затѣмъ изъ точки D касательную DE къ окружности 0; DE есть средняя пропорціональная между DB и DC, есть ничто иное какъ ВС т. е. сторона правильнаго вписаннаго десятиугольника. Эта сторона слѣдовательно служитъ катетомъ прямоугольнаго треугольнаго, другой катетъ котораго радіусъ равный сторонѣ правильнаго описаннаго шестиугольника, а гипотенуза сторона правильнаго вписаннаго пятиугольника. Изъ чего заключаемъ что

«Квадратъ стороны правильнаго пятиугольника равенъ суммѣ квадратовъ сторонъ правильнаго шестиугольника и десятиугольника, вписанныхъ въ ту же окружность.

Это соотношеніе даетъ извѣстное въ нашей учебной литературѣ построеніе стороны правильнаго пятиугольника вписаннаго въ данную окружность.

«Проведемъ*) два перпендикулярныхъ діаметра AB и CD\ средину F радіуса AO соединимъ съ С и опищемъ изъ і^ радіусомъ FC дугу, которая пересѣчетъ діаметръ AB въ точкѣ Е\ OF будетъ сторона 10—ка, CE— сторона 5—ка».

Стоитъ только вообразить окружность, имѣющую AO діаметромъ и пересѣкающую—FC въ точкѣ G чтобы видѣть правильность этого построенія: CG-есть большій отрѣзокъ радіуса ОС, раздѣленнаго въ крайнемъ и среднемъ отношеніи (обычное построеніе), отрѣзокъ перенесенный въ ОЕ, а CE, на основаніи доказаннаго соотношенія, есть сторона правильнаго пятиугольника вписаннаго въ окружность.

*) А. Малининъ и Ѳ. Егоровъ, Руководство геометріи и собраніе геометрическихъ задачъ для Гимназій, Реальныхъ училищъ и учительскихъ институтовъ. Москва. 1879 г. стр. 199.

Пользуемся случаемъ чтобы указать на эту книгу, въ которой читатель найдетъ какъ подробное изложеніе курса элементарной геометріи, такъ и весьма большее число теоремъ и задачъ для упражненія. Ред.

ЗАМѢТКА О ПЕРІОДИЧЕСКИХЪ ДРОБЯХЪ.

1. Если знаменатель обыкновенной дроби (1 : п) есть число взаимно простое съ числами 2, 5, 3, то эта дробь даетъ чистую періодическую., періодъ которой дѣлится, .на 9. Если періодъ (abe...f), то

такъ какъ первая часть этого равенства дѣлится на 9, а одинъ изъ производителей второй части, именно п, число взаимно простое съ 97 по предположенію, то періодъ (abc.f) дѣлится на 9.

2. Если (1 : п) даетъ періодическую дробь, періодъ которой имѣетъ (п—1) цифръ*), то цифры первой половины періода, сложенныя соотвѣтственно съ цифрами второй половины даютъ число 99...9, состоящее изъ —цифръ.

Прим.

Пусть, для простоты, п число двузначное. При обращеніи (Î : п) въ періодическую, дробь появляются въ нѣкоторой послѣдовательности остатки:

1, 2, 3, ... . (п-1) соотвѣтственно имъ дѣлимыя:

10, 20, 30, . . . . 10 0-1).

Разсмотримъ дѣлимыя 10г и 10 (n — r) и положимъ что

получимъ

но каждый изъ остатковъ гх, г2 больше нуля и меньше 1; такъ какъ сверхъ того—---2 число необходимо цѣлое, то

*) Или короче: если эта обыкновенная дробь даетъ полный періодъ.

Если порядокъ появленія остатковъ слѣдующій:

причемъ rt=10, а гр означаетъ остатокъ равныя (п—1), а соотвѣтствующія имъ частныя (цифры періода)

то слѣдующія за этими остатки и частныя:

изъ чего прямо вытекаетъ справедливость предложенія.

Замѣтимъ что каждая изъ дробей — ; —-даетъ полный періодъ, цифры котораго представляютъ одну изъ круговыхъ перестановокъ цифръ періода, который даетъ дробь —

Прим.

Примѣчаніе. Первое изъ сдѣланныхъ въ этихъ строкахъ указаній приводитъ къ такому предложенію:

Всякое число и взаимно простое съ числами 2,5,3 всегда есть дѣлитель числа вида 111... 11 (т. е. числа написаннаго цифрами 1) Обративъ (1:п) въ періодическую дробь, найдемъ

т. е. числу цѣлому, такъ какъ по доказанному (abc.f) дѣлится .на 9.

Эта теорема можетъ бытъ нѣсколько обобщена; она имѣетъ мѣсто для всякаго числа взаимно простаго съ числомъ 10 и въ. этомъ видѣ была предложена французскимъ физикомъ Плато.

КЪ УЧЕНІЮ О ТѢЛАХЪ ВРАЩЕНІЯ.

(собраніе теоремъ и задачъ).

В. Задачи.

1. Вычислить боковую поверхность цилиндра, происшедшаго отъ вращенія около одной изъ своихъ сторонъ прямоугольника, площадь котораго а2.

А=2тш2

2. Вычислить радіусъ и высоту цилиндра по даннымъ: боковой и полной его поверхностямъ.

3. Вычислить радіусъ и высоту цилиндра по даннымъ: боковой поверхности и объему.

4. Вычислить діаметръ цилиндра по даннымъ: высотѣ и полной поверхности то2.

2Л=^/Я2+2а2-Я

5. Вычислить боковую поверхность конуса по даннымъ: полной поверхности и объему.

6. На большомъ кругѣ шара, радіусъ котораго R, построить конусъ равновеликій шару.

H=iR, C=22i/Ï7,,*=7ійУГ7, S=itR*(1+|/Ï7).

Радіусъ Rx шара описаннаго около требуемаго конуса -g- jR, а радіусъ г шара въ него вписаннаго j Çy 17—1).

7. Данъ конусъ, котораго объемъ равенъ произведенію его полной поверхности на одну восьмую высоты; вычислить s, S и F въ зависимости отъ R.

8. Въ прямоугольникѣ AB CD проведена діагональ AC ж точка Е этой діагонали соединена съ вершиною D; при вращеніи прямоугольникъ, около AB, треугольники ABC, ADE и CDE образуютъ равные объемы. Въ какомъ отношеніи точка Е дѣлитъ діагональ AC?

9. Боковая поверхность конуса равна площади круга, имѣющаго радіусомъ разстояніе вершины этого конуса отъ центра вписаннаго въ него шара; вычислить, въ зависимости отъ радіуса г этого шара, радіусъ конуса, его высоту, боковую и полную поверхности и объемъ.

10; Около даннаго шара радіуса г описанъ конусъ, котораго боковая поверхность въ п разъ больше поверхности шара; вычислить разстояніе a его вершины отъ центра шара.

11. Около даннаго шара радіуса г описанъ конусъ, котораго полная поверхность въ п разъ больше поверхности шара; вычислить высоту X конуса.

12. Около даннаго шара радіуса г описанъ конусъ, котораго объемъ въ п разъ больше объема шара; вычислить высоту х этого конуса.

13. Около шара радіуса г описанъ конусъ, кругъ касанія котора-

го отстоитъ отъ центра шара на разстояніе х\ вычислить элементы этого конуса.

14. Даны объемъ V отрѣзка конуса, его высота H и одинъ .изъ радіусовъ В; вычислить другой радіусъ г.

15. Даны высота J5T, объемъ V отрѣзка конуса и отношенія m : п его боковой поверхности къ разности основаній; вычислить В, г и С.

16. Радіусы отрѣзка конуса относятся какъ m : п\ радіусъ равноотстоящаго отъ основаній сѣченія равенъ а; высота отрѣзка Щ вычислить его объемъ.

17. Отрѣзокъ конуса, котораго радіусы В и r, а высота Д, разложенъ плоскостью параллельной его основаніямъ на два подобныхъ между собою отрѣзка; вычислить ихъ объемы F, и Г2.

18. На оси отрѣзка конуса взята точка Р такъ, что объемъ отрѣзка равенъ произведенію его боковой поверхности на треть разстоянія точки Р отъ образующей; вычислить разстоянія у точки Р отъ основаній отрѣзка.

19. Образующая С отрѣзка конуса составляетъ съ нижнимъ его основаніемъ уголъ въ 60°; объемъ отрѣзка равенъ объему шара, имѣющаго С діаметромъ. Вычислить радіусы отрѣзка.

20. Цилиндръ и отрѣзокъ конуса имѣютъ общее основаніе 7tiü2 и. общую высоту Н; объемы ихъ относятся какъ т\п. Вычислить радіусъ г верхняго основанія отрѣзка.

Если m : w = 12 : 7, то 2r=R.

21. Отрѣзокъ конуса описанный около шара радіуса R имѣетъ объемъ въ п разъ большій объема этого шара. Вычислить радіусы х, у отрѣзка.

22. Около окружности радіуса г описана трапеція AB CD, углы В и С которой прямые, и сторона AD [ = 2а] которой дана; вращеніемъ около AC трапеція AB CD образуетъ коническій отрѣзокъ. Вычислить его элементы.

23. На прямой AB какъ на діаметрѣ описана полуокружность; въ нее вписанъ прямоугольникъ DEFG, сторона FE котораго параллельна AB; средина С дуги EF соединена съ точками Е и F. При вращеніи этой фигуры около AB, прямоугольникъ DECG и треугольникъ ECF образуютъ объемы, отношеніе которыхъ равно т:п. Вычислить высоту X прямоугольника.

24. Пересѣчь шаръ плоскостью такъ чтобы площадь сѣченія равнялась разности поверхностей шаровыхъ отрѣзковъ.

Требуемая плоскость дѣлитъ діаметръ въ крайнемъ и среднемъ отношеніи.

25. Отдѣлить отъ шара отрѣзокъ, поверхность котораго была бы вдвое больше боковой поверхности конуса въ него вписаннаго.

Образующая дуга отрѣзка есть треть окружности большаго круга.

26. Отдѣлить отъ шара отрѣзокъ, поверхность котораго была бы вдвое меньше поверхности описаннаго конуса, имѣющаго общее основаніе съ отрѣзкомъ.

Высота отрѣзка равна двумъ третямъ радіуса шара.

27. Отдѣлить отъ шара отрѣзокъ, поверхность котораго равнялась бы боковой поверхности конуса, имѣющаго общее съ отрѣзкомъ основаніе, а вершину въ центрѣ шара.

Высота отрѣзка равна одной пятой діаметра.

28. Отдѣлить отъ шара отрѣзокъ, поверхность котораго равнялась бы боковой поверхности конуса, имѣющаго общее съ отрѣзкомъ основаніе, а вершину въ концѣ діаметра перпендикулярнаго къ сѣченію.

Полухорда образующей дуги равна большему отрѣзку радіуса раздѣленнаго въ крайнемъ и среднемъ отношеніи.

29. Отдѣлить отъ шара отрѣзокъ, поверхность котораго сложенная съ площадью основанія равнялась бы половинѣ шаровой поверхности.

Высота отрѣзка равна разности діаметра окружности большаго круга и стороны вписанной въ нее квадрата.

30. Около двухъ равныхъ шаровъ, разстояніе центровъ которыхъ D, а радіусъ R, описана цилиндрическая поверхность. Вычислить объемъ заключенныя между нею и поверхностями шаровъ.

Если шары касаются, то

31. Вершина конуса въ центрѣ шара радіуса R, основаніе его касается шара. При какомъ радіусѣ этого основанія полная поверхность конуса равна поверхности шара?

32. На какомъ разстояніи х отъ вершины конуса должна бытъ проведена параллельная основанію плоскостъ, чтобы полученный отрѣзокъ конуса имѣлъ объемъ въ п разъ большій объема шара, діаметръ котораго X?

33. Полукругъ радіуса В раздѣлить хордою параллельною діаметру на двѣ части такъ, чтобы площади этихъ фигуръ при вращеніи полукруга около діаметра образовали равные объемы.

Длина хорды равна By 4.

34. Шаръ радіуса Л пересѣченъ плоскостью въ разстояніи х отъ центра. Вычислить объемъ Г шароваго отрѣзка, объемы Ух и F2 описаннаго и вписаннаго конусовъ, имѣющихъ общее съ отрѣзкомъ основаніе.

35. Вычислить высоту H вписаннаго въ шаръ радіуса В цилиндра, объемъ котораго равенъ суммѣ объемовъ двухъ шаровыхъ отрѣзковъ, опирающихся извнѣ на основанія цилиндра.

36. Отдѣлить отъ шара отрѣзокъ, объемъ котораго вдвое больше объема вписаннаго въ него конуса.

37. Отдѣлить отъ шара отрѣзокъ, объемъ котораго вдвое меньше описаннаго конуса, имѣющаго съ нимъ общее основаніе.

Высота отрѣзка равна избытку діаметра окружности большаго круга надъ стороной вписаннаго въ нее квадрата.

38. Отдѣлить отъ шара отрѣзокъ, объемъ котораго равнялся бы объему конуса, имѣющаго съ нимъ общее основаніе и вершину въ центрѣ шара.

Высота отрѣзка равна меньшему отрѣзку радіуса, раздѣленнаго въ крайнемъ и среднемъ отношеніи.

39. Отдѣлить отъ шара радіуса В отрѣзокъ, объемъ котораго равнялся бы объему конуса, имѣющаго общее съ отрѣзкомъ основаніе, а вершину въ концѣ діаметра перпендикулярнаго къ сѣченію.

Высота отрѣзка равна

40. Отдѣлить отъ шара радіуса В отрѣзокъ, объемъ котораго былъ бы средне-пропорціональнымъ объемовъ двухъ конусовъ: вписаннаго въ отрѣзокъ и описаннаго около него. Разстояніе сѣченія отъ центра равно

41. Вычислить объемъ шароваго слоя, разсматривая его, какъ разность двухъ шаровыхъ отрѣзковъ.

42. Около двухъ шаровъ, радіусы которыхъ В и Вх и разстояніе центровъ B + Bt, описанъ конусъ. Вычислить объемъ, ограниченный поверхностью конуса и поверхностями шаровъ.

43. Около двухъ шаровъ, радіусы которыхъ В и Вх и разстояніе центровъ D описанъ конусъ. Вычислить объемъ, ограниченный поверхностью конуса и поверхностями шаровъ.

44. Ha AB какъ на діаметрѣ описана полуокружность AMNB\ хорда AC наклонена къ діаметру подъ угломъ въ 60° и точка С соединена съ В. Вычислить объемы, которые образуютъ отрѣзки AMC A и BNCB при вращеніи фигуры около AB.

45. Точка С полуокружности соединена съ концами AB діаметра, на который опущенъ перпендикуляръ CD; при вращеніи фигуры около АВ, треугольникъ BCD образуетъ объемъ вдвое большій объема образуемаго сегментомъ ABC. Вычислить AD.

Отрѣзокъ AD равенъ діаметру AB безъ удвоенной стороны правильнаго десятиугольника, вписаннаго въ окружность діаметра AB.

46. Около полуокружности радіуса В описана симетричная трапеція, основаніе CD которой совпадаетъ съ направленіемъ діаметра AB, средина котораго О. Вычислить OC=OD=%, если прп вращеніи около AB трапеція образуетъ объемъ, который относится къ объему шара радіусу .й, какъ m : п.

Если m : м = 3 : 2, то

47. Высота трапеціи Н, основанія ея В и &. Вычислить объемы происшедшіе отъ вращенія этой трапеціи около каждаго изъ своихъ основаній.

48. Прямоугольникъ, котораго стороны а, Ь и діагональ с, вращается около прямой, проходящей чрезъ одну изъ его вершинъ и перпендикулярной къ діагонали, исходящей изъ этой вершины. Вычислить полученный объемъ.

49. Ромбъ, діагонали котораго a и Ь, вращается около прямой, проходящей чрезъ его вершину и параллельной его діагонали. Вычислить полученный объемъ.

50. Треугольникъ иослѣдователыіымъ вращеніемъ около каждой изъ своихъ сторонъ Ь, с образуетъ объемы A, В, С. Вычислить стороны треугольника въ зависимости отъ A, В, С.

Задачи.

1. Сколькими способами данное число можетъ быть разложено на два взаимно простыхъ множителя?

2. Если въ рядѣ чиселъ

AI, АЯ, A3, ...... А.В,

находится D чиселъ кратныхъ то I) есть общій наибольшій дѣлитель чиселъ Аж В.

3. Произведеніе четырехъ послѣдовательныхъ чиселъ не можетъ быть квадратомъ числа.

4. Сумма (2п—1) послѣдовательныхъ чиселъ, начиная съ числа /?, равна (2п—I)2.

5. Въ какой ариѳметической прогрессіи сумма какихъ либо двухъ членовъ есть членъ той же прогрессіи?

6. Въ какой геометрической прогрессіи произведеніе какихъ либо двухъ членовъ есть членъ той же прогрессіи?

7. Найти геометрическую прогрессію, зная сумму ея членовъ, сумму ихъ квадратовъ и сумму ихъ кубовъ.

Рѣшить системы уравненіи:

8.

9. 10.

11. 12.

13. 14. 15.

16. Двѣ окружности A и 5 извнѣ касаются въ С; прямая касается ихъ въ точкахъ В,Е\ прямая, проходящая чрезъ С, пересѣкаетъ ихъ въ F,G.

Доказать что прямыя FD и GE перпендикулярны, что FH равна длинѣ касательной изъ точки F къ окружности Б, а GH длинѣ касательной изъ точки G къ окружности А.

17. На сторонахъ треугольника построены внѣ его подобные между собою треугольники такъ, что каждому углу взятаго треугольника прилежатъ равные углы построенныхъ. Доказать, что окружности, описанныя около построенныхъ треугольниковъ, пересѣкаются въ общей точкѣ; что чрезъ эту точку проходятъ прямыя, изъ которыхъ каждая соединяетъ одну изъ вершинъ взятаго треугольника съ вершиною треугольника, построеннаго на противуположной сторонѣ.

18. На сторонѣ AB треугольника ABC взята точка Сх такъ что

АСХ =АС; на сторонѣ AC взята точка Вх такъ что АВ{ =АВ; построенъ параллелограмъ АВХАХСХ и точки А,АХ соединены прямой, которая въ / пересѣкаетъ сторону ВС. Опредѣлить отношеніе ВІ : СІ.

19. Высота h прямоугольнаго треугольника разлагаетъ его на два другихъ. Если/*, rt,/*2 радіусы окружностей вписанныхъ соотвѣтственно въ взятый треугольникъ и въ каждый изъ построенныхъ, то

20. Если разстоянія центра вписанной въ треугольникъ окружности отъ вершинъ его А,В,С соотвѣтственно равны оц|$,у, а стороны противулежащія этимъ вершинамъ aj), то

21 На сторонахъ AC, CA, AB треугольника ABC взяты точки АХ,ВХ,С\. Доказать что

22 Если стороны двухъ квадратовъ АВСВ и AlBlClDx соотвѣтственно параллельны, то

23. Если гипотенузы ВС и ВХСХ двухъ равнобедренныхъ прямоугольныхъ треугольниковъ ВСА, ВХСХАХ лежатъ на одной прямой, то

24. Если а, Ъ, с стороны треугольника; hx, Д2, А2, его высоты; ах, а2, а3, стороны треугольника, имѣющаго вершинами основанія высотъ взятаго, то

25. Полная поверхность конуса сложенная съ боковой его поверхностью равна поверхности описаннаго шара. Вычислить высоту конуса въ зависимости отъ радіуса этого шара.

26. Изслѣдовать существуютъ ли треугольникъ углы а, ß, у которыхъ удовлетворяютъ соотношенію:

27. Въ треугольникѣ тангенсы угловъ относятся какъ 1 :2 : Н. Вычислить отношеніе его сторонъ.

28. Доказать что треугольникъ равностороненъ, если

29. Въ треугольникѣ ABC средцны АХ,ВХ,СХ сторонъ ВС, CA, AB соединены съ противу лежащими вершинами; М— точка встрѣчи этихъ прямыхъ; і?1 , R^, ... і?6 радіусы окружностей описанныхъ около треугольниковъ МАВХ, МВХС, .... МСХА; гх ,га, .... г6 — радіусы окружностей соотвѣтственно вписанныхъ въ эти треугольникъ

Доказать что

30. Если три прямыя AB, JSC, CA пересѣчены четвертой, которая встрѣчаетъ ихъ соотвѣтственно въ точкахъ Сх, Ах, Вх, то произведеніе площадей треугольниковъ АХВСХ, ВХСАХ, СХВАХ равно

ЭВКЛИДЪ И ЕГО ВѢКЪ.

ИСТОРИКО-МТЕМАТИЧЕСКІЙ ОЧЕРКЪ ПРОФЕССОРА М. КАНТОРА.

(переводъ съ нѣмецкаго).

Первымъ математическимъ писателемъ Греціи былъ Эвклидъ. Немногія изъ его сочиненій дошли до насъ и между ними нѣкоторыя едва ли подлинны. Его процвѣтаніе относится къ 300 г. до Р. Хр. Это время столь замѣчательно въ исторіи развитія наукъ, что не найдется историка, который не отмѣтилъ-бы его и не считалъ-бы основаніе Александрійской школы началомъ новаго періода.

Мы встрѣчаемся здѣсь съ явленіемъ, которое часто представлялъ ходъ развитія человѣческой мысли, явленіемъ, состоящимъ въ томъ, что за періодомъ открытій и за рядомъ научныхъ пріобрѣтеній, возникаетъ потребность собирать, провѣрять новопріобрѣтенное, систематизировать знаніе, дѣлатъ его общимъ достояніемъ, основывать школы и библіотеки.

Александрія—созданіе великаго завоевателя IV вѣка—вполнѣ могла служитъ центромъ такой дѣятельности. Ея положеніе въ Египтѣ,—странѣ, древняя культура которой едва-ли кѣмъ подвергается сомнѣнію, странѣ, которая по смерти Александра Македонскаго досталась по счастливой случайности умнѣйшему изъ его полководцевъ, — не могло не способствовать привлеченію сюда всѣхъ искавшихъ высшаго образованія, будь то учителя или ученики. Не разъ было сказано, что Птоломеи, друзья и покровители ученыхъ, создали Александрійскую школу; съ. одинаковымъ правомъ можно утверждать, что эта школа придала правленію Птоломеевъ общеисторическое значеніе.

Въ Александрійскомъ музеѣ, который съ 320 года былъ посвященъ наукѣ и находился въ непосредственной связи съ величайшей библіотекой древности, заключавшей передъ истребившемъ ее въ 47 году пожаромъ до 400000 книгъ, встрѣчаемъ мы около 308 года Эвклида, перваго математика своего времени. О жизни этого выдающагося человѣка намъ почти ничего не извѣстно; мы не можемъ точно указать его отечество; арабскій писатель Абульфарагій считаетъ Тиръ мѣстомъ его рожденія; другіе говорятъ, что онъ родомъ изъ Египта; нѣкоторые смѣшиваютъ его съ ученикомъ Платона, Эвклидомъ изъ Мегары,

жившемъ за 100 лѣтъ раньше. Эта ошибка встрѣчается и у Валерія Максима, писателя временъ Тиверія. Годъ смерти Эвклида также неизвѣстенъ; не сохранилось никакихъ относительно его жизни анекдотическихъ разсказовъ, которыми обыкновенно изобилуютъ біографіи греческихъ ученыхъ. Ему приписываютъ впрочемъ слова: «Нѣтъ царскаго пути въ Геометріи», которыми онъ отвѣтилъ Птоломею Лаги, сѣтовавшему на трудности Эвклидова метода. Сохранилось еще свидѣтельство о кроткомъ характерѣ Эвклида, его скромности и благожелательности.

Изъ всѣхъ сочиненій Эвклида наибольшею извѣстностью во всѣ времена и у всѣхъ цивилизованныхъ народовъ пользовались его «Начала» или «Элементы», которые состоятъ изъ тринадцати Книгъ. Для удобства обзора мы раздѣлимъ это сочиненіе на четыре главныя части. Первая часть содержитъ ученіе о плоскихъ геометрическихъ фигурахъ и изслѣдованія относительно ихъ равенства и неравенства. Вторая часть разсматриваетъ число, какъ измѣрителя геометрическихъ протяженій. Третья частъ посвѣщена несоизмѣримымъ величинамъ и четвертая наконецъ занимается протяженіями трехъ измѣреній.

Таково общее содержаніе «Началъ». Разсмотримъ его подробнѣе.

Въ первой книгѣ Эвклидъ говоритъ объ элементахъ прямолинейныхъ фигуръ, о прямыхъ линіяхъ, которыя или встрѣчаются или не встрѣчаются; въ первомъ случаѣ такія двѣ прямыя, пересѣкаясь съ третьей, образуютъ треугольникъ; изслѣдованіе элементовъ необходимыхъ и достаточныхъ для его определенія составляетъ содержаніе статьи о равенствѣ (совмѣстимости) треугольниковъ. Второй случай даетъ матеріалъ для статьи о параллельныхъ линіяхъ. Пересѣченіе двухъ параллельныхъ двумя другими прямыми даетъ новую фигуру — четыреугольникъ, въ частномъ случаѣ, — параллелограммъ. Сопоставленіе свойствъ треугольника съ свойствами параллелограмма приводитъ къ понятію о фигурахъ, которыя хотя и не совмѣстимы, но ограничиваютъ равныя площади—равновелики, равномѣрны. Статья о равенствѣ площадей разсматриваетъ такія фигуры, и въ предложеніи 45 этой книги изложено преобразованіе всякой прямолинейной фигуры въ параллелограммъ съ данными углами. Замѣчательнѣйшимъ случаемъ такого преобразованія заканчивается первая книга началъ: въ 47 предложеніи изложена Пиѳагорова теорема и въ слѣдующемъ обратная ей.

Вторая книга представляетъ какъ бы прибавленіе къ Пиѳагоровой теоремѣ. Въ ней указано, какъ построить квадратъ равновеликій

суммѣ или разности двухъ квадратовъ или двухъ прямоугольникъ, какъ всякую данную прямолинейную фигуру превратить въ равновеликій ей квадратъ. Эта книга можетъ бытъ впрочемъ разсмотриваема и съ другой точки зрѣнія, обусловливаемой двоякимъ значеніемъ Пиѳагоровой теоремы. Это предложеніе заключаетъ въ себѣ не только геометрическую истину, но и ариѳметическую указывая на числа, обладающія характеристическимъ свойствомъ, выражаемымъ равенствомъ а2+Ь2=с2. Вторая книга представляетъ добавленіе къ Пиѳагоровой теоремѣ, взятой и въ этомъ значеніи.

Третья книга разсматриваетъ единственную кривую, вводимую въ область элементарной геометріи—окружность и теоремы, относящіяся къ касанію прямой и окружности, равно какъ къ взаимному касанію окружностей. Затѣмъ эта книга содержитъ теоремы о величинѣ угловъ, стороны которыхъ различнымъ образомъ расположены относителыю окружности, и оканчивается рядомъ предложеній относительно сѣкущихъ и касательныхъ, изъ отрѣзковъ которыхъ составляются прямоугольники и квадраты, имѣющіе равныя площади.

Въ четвертой книгѣ трактуется о фигурахъ, получаемыхъ отъ сочетанія окружности съ нѣсколькими прямыми, о вписанныхъ и описанныхъ многоугольникахъ, преимущественно о правильныхъ.

Этими четырьмя книгами исчерпано съ Эвклидовой точки зрѣнія понятіе о равенствѣ прямыхъ и площадей и затѣмъ въ кругъ изслѣдованія вступаетъ неравенство геометрическихъ фигуръ, насколько таковое подлежитъ измѣренію. Измѣреніе это двоякое: ариѳметическое и геометрическое. И то и другое основано на ученіи о пропорціональности, которое и излагается во всей подробности въ пятой книгѣ. Изложеніе Эвклида характеристично въ томъ отношеніи что всѣ разсужденія и доказательства ведутся на прямыхъ линіяхъ.

Такой пріемъ имѣетъ вѣроятно цѣлью уяснить двоякое значеніе теоріи пропорціональности при дальнѣйшемъ изученіи геометріи. Величины, отношенія которыхъ изучаются въ этой книгѣ, изображены прямыми, чѣмъ уясняется понятіе объ отношеніи прямыхъ; но эти прямыя изображены въ отдѣльности, не образуя своимъ сочетаніемъ геометрическихъ фигуръ, и этимъ указано на точку зрѣнія болѣе общую, чѣмъ сравненіе однихъ геометрическихъ величинъ.

Шестая книга представляетъ спеціально-геометрическое приложеніе теоріи пропорціональности, ученіе о подобіи фигуръ и примѣненіе его къ изслѣдованію соотношеній между элементами подобныхъ фигуръ. Книги седьмая, восьмая и девятая содержатъ ученіе о числахъ

Ближайшей цѣлью при этомъ является ариѳметическое, какъ было сказано выше, измѣреніе неравенства. За неотысканіемъ вѣроятно болѣе удобнаго мѣста, Эвклидъ излагаетъ здѣсь же всѣ извѣстныя ему свойства чиселъ. Седьмая книга начинается съ опредѣленія чиселъ взаимно простыхъ и чиселъ имѣющихъ общую мѣру, причемъ нахожденіе ее излагается здѣсь же. Затѣмъ слѣдуетъ теорія пропорціи (числовыхъ) и разсмотрѣніе свойствъ ихъ. Свойство что произведеніе крайнихъ членовъ равно произведенію среднихъ, съ одной стороны, служитъ основаніемъ для преобразованія пропорціи, съ другой стороны ведетъ къ статьѣ о дѣлимости. Опредѣленіемъ наименьшаго кратнаго и изложеніемъ способа его нахожденія заключается эта книга.

Въ осьмой книгѣ находимъ продолженіе ученія о пропорціяхъ при чемъ членами пропорціи являются числа, которыя сами имѣютъ видъ произведенія, иногда произведенія равныхъ множителей. Прежнюю геометрическую точку зрѣнія напоминаютъ многія употребленныя при этомъ выраженія; произведеніе двухъ чиселъ называется прямоугольнымъ числомъ; произведеніе трехъ чиселъ, объемнымъ числомъ; произведеніе двухъ равныхъ множителей—квадратомъ; произведеніе трехъ равныхъ— кубомъ.

Девятая книга излагаетъ ученіе о простыхъ числахъ. Здѣсь доказывается, что число простыхъ чиселъ больше, чѣмъ любое данное число ихъ, или что, какъ мы выражаемся на современномъ языкѣ, ихъ безконечное число. Въ этой же книгѣ разсматриваются нѣкоторыя свойства чиселъ четныхъ и нечетныхъ, затѣмъ суммированіе геометрической прогрессіи, причемъ указано на рядъ: 1, 2, 4, 8, сумма членовъ котораго начиная съ перваго представляетъ иногда простое число. Въ этомъ случаѣ такая сумма, помноженная на послѣдній изъ взятыхъ для ея составленія чиселъ, даетъ совершенное число т. е. такое, которое равно суммѣ своихъ дѣлителей.

Десятая книга содержитъ ученіе о несоизмѣримости.

Эта книга начинается теоремой, которая имѣетъ гораздо большее значеніе, чѣмъ это можетъ показаться съ перваго взгляда; она служитъ основаніемъ цѣлой теоріи, которая подъ названіемъ метода истощенія или исчерпанія, замѣняла древнимъ математикамъ современное намъ исчисленіе безконечно-малыхъ. Теорема эта выражена такъ: «Если даны двѣ неравныя величины, и изъ большей вычтемъ часть большую ея половины, изъ остатка опять часть большую половины и т. д., то дойдемъ до остатка, который меньше меньшей изъ данныхъ величинъ». На языкѣ современныхъ геометровъ это предложеніе формулировалось бы

такъ: послѣдовательнымъ раздвоеніемъ какой бы то ни было величины всегда можно получить величину меньшую всякой другой произвольно малой. Значеніе этой теоремы очевидно. Но у Эвклида, который помѣстилъ ее въ началѣ десятой книги, непосредственно слѣдующее не связано съ ней; мы не находимъ даже того слѣдствія относительно несоизмѣримыхъ величинъ, которое естественно было бы ожидать: если двѣ величины несоизмѣримы, то всегда можно найти величину, соизмѣримую съ одной изъ нихъ и произвольно мало отличную отъ другой. Вмѣсто этого Эвклидъ вдается въ изслѣдованія хотя и остроумныя, но, по нашимъ понятіямъ, чрезмѣрно растянутыя относительно того, при какихъ условіяхъ двѣ величины относятся какъ данныя числа т. е. соизмѣримы, или при какихъ не существуетъ такихъ чиселъ и сравниваемыя величины слѣдовательно неизмѣримы. Частнымъ случаемъ соизмѣримыхъ и несоизмѣримыхъ величинъ въ современной математикъ являются числа раціональныя и ирраціональныя, причемъ подъ ирраціональнымъ разумѣютъ такое число, которое хотя не можетъ быть точно измѣрено единицею, но приводится къ раціональному послѣ конечнаго ряда ариѳметическихъ операцій. Подобные же взгляды имѣли и греки, хотя въ Эвклидовомъ изложенію находимъ нѣкоторое отличіе. Его раціональное, frfcôv, обнимаетъ не только непосредственно соизмѣримое съ единицею, но и простые квадратные корни которые, такимъ образомъ исключены изъ области ирраціональнаго, oUoyov. Различнымъ видамъ ирраціональныхъ выраженій, получаемымъ сложеніемъ, вычитаніемъ и т. д. радикаловъ, Эвклидъ даетъ особыя названія, на перечисленіи которыхъ нѣтъ повода здѣсь останавливаться. Этихъ краткихъ замѣчаній достаточно, чтобъ датъ понятіе о содержаніи десятой книги; укажемъ впрочемъ еще на два предложенія, помѣщенныхъ въ ней. Первое изъ нихъ тѣсно связанное съ ариѳметическимъ смысломъ пиѳагоровой теоремы представляетъ рѣшеніе вопроса: найти два числа, сумма квадратовъ которыхъ была бы квадратомъ числа. Второе предложеніе—послѣднее этой книги— состоитъ въ томъ, что сторона и діагональ квадрата несоизмѣримы. Нессельманъ, безспорно одинъ изъ лучшихъ знатоковъ греческой математикъ полагаетъ, что эта теорема принадлежитъ не самому Эвклиду, а кому либо изъ его комментаторовъ, такъ какъ она прибавлена къ концу книги и притомъ является внѣ всякой связи съ предшествующимъ. Не соглашаясь съ этимъ мы склонны думать, что Эвклидъ воспользовался здѣсь болѣе или менѣе удачно представившемся случаемъ, чтобъ изложить важную теорему, для которой не нашелъ болѣе подходящаго мѣста. Это мнѣніе находитъ подтвержденіе въ томъ, что Аристотель

ссылается на эту теорему и на доказательство Эвклида, который употребилъ здѣсь способъ приведенія къ нелѣпости: предположеніе, что діагональ и сторона квадрата соизмѣримы, приводитъ къ заключенію что число будучи четнымъ въ тоже время нечетно.

Послѣднія три книги составляютъ стереометрію.

Одинадцатая содержитъ изслѣдованіе свойствъ параллельныхъ и перпендикулярныхъ прямыхъ и плоскостей въ пространствѣ и свойствъ двугранныхъ и многогранныхъ угловъ. Затѣмъ авторъ переходитъ къ разсмотрѣнію особаго вида многогранника—параллелепипеда и только въ послѣднем предложеніи этой книги вводитъ болѣе общее понятіе призмы.

Двѣнадцатая книга содержитъ ученіе объ измѣреніи объемовъ призмы, пирамиды, конуса, цилиндра и наконецъ шара. Вычисленіе объема послѣдняго, равно какъ объема тѣхъ тѣлъ, въ образованія которыхъ входитъ кругъ, не указано Эвклидомъ, такъ какъ онъ не зналъ способа измѣренія окружности и круга. Онъ доказываетъ только въ этой книгѣ, что площади круговъ относятся какъ квадраты ихъ діаметровъ, что пирамида составляетъ треть призмы, имѣющей съ ней равную высоту и равное основаніе, что подобное же соотношеніе существуетъ для конуса и цилиндра, что объемы шаровъ относятся какъ кубы ихъ діаметровъ. Далѣе этого въ изслѣдованіи измѣренія объемовъ Эвклидъ идти не могъ. Главный интересъ этой книги представляетъ приложеніе впервые метода исчерпанія; онъ служитъ здѣсь для доказательства той теоремы, что площади двухъ круговъ относятся какъ квадраты ихъ діаметровъ. Вводя, для краткости, привычныя намъ современныя обозначенія, мы передаемъ здѣсь ходъ Эвклидова доказательства. Теорема, что площади подобныхъ вписанныхъ въ окружности, многоугольниковъ относятся какъ квадраты діаметровъ этихъ окружностей предполагается извѣстной и дальнѣйшее доказательство ведется слѣдующимъ образомъ. Пусть К^К^ площади двухъ круговъ; du d2—ихъ діаметры. Надлежитъ обнаружить справедливость пропорціи

Кх : K^d* : dx\

Предположимъ что она не вѣрна, что площадь одного изъ круговъ, напр. площадь ІГ2, слишкомъ велика; тогда существуетъ кругъ меньшій, площадь 0 котораго удовлетворяетъ пропорціи

Кх: 0=dx*: d^

и невозможно чтобы площадь, которая меньше Кх, находилась бы въ томъ же отношеніи {dx*\d< къ площади которая больше чѣмъ

0. Между тѣмъ, при сдѣланномъ предположеніи, существованіе такой невозможной пропорціи можетъ быть обнаружено и этимъ самымъ доказано что предположеніе будто отношеніе Кх. іГ2.не равно-отношенію d^: приведено къ нелѣпости. Дѣйствительно, какъ бы мала не была разность площадей К2 и О, всегда можно вписать въ кругъ ІГ2 многоугольникъ, котораго площадь больше О. Подобный же ему многоугольникъ вписанный въ Кх имѣетъ площадь меньшую Кх и всетаки отношеніе площадей этихъ многоугольниковъ равно d^: d22. Итакъ все сводится къ доказательству того, что можно вписать въ К2 многоугольникъ площадь котораго превосходила бы О, и здѣсь то употребленъ методъ исчерпанія. Описанный около круга квадратъ очевидно больше круга и вдвое больше квадрата въ него вписаннаго; послѣдній больше половины круга и разнится отъ площади круга менѣе чѣмъ на ея половину; легко видѣть, что площадь правильнаго вписаннаго осьмиугольника разнится отъ площади круга менѣе чѣмъ на одну четверть послѣдней; затѣмъ убѣдимся, что площадь правильнаго вписаннаго 16-ти угольника разнится отъ площади круга менѣе чѣмъ на восьмую часть ея и т. д.; при послѣдовательномъ удвоеніи числа сторонъ вписаннаго многоугольника разность площадей многоугольника и круга уменьшается болѣе чѣмъ вдвое, а въ силу основнаго предложенія метода исчерпанія, эта разность можетъ быть сдѣлана произвольно мала даже послѣдовательнымъ раздвоеніемъ. Такимъ образомъ доказано что долженъ наконецъ получиться многоугольникъ, котораго площадь разнится отъ круга, въ который онъ вписанъ, менѣе чѣмъ О отъ этого круга.

Тринадцатая книга, наконецъ, трактуетъ о предметѣ, о которомъ говорено было уже въ 4-й книгѣ: о правильныхъ многоугольникахъ, вписанныхъ въ окружность, преимущественно о пятиугольникѣ и треугольникѣ.

Затѣмъ эти фигуры разсматриваются какъ грани тѣлъ, вписанныхъ въ шаръ и заключеніе книги составляетъ то положеніе что существуетъ только пять правильныхъ многогранниковъ: тетраэдръ, октаэдръ, икосаэдръ, грани которыхъ треугольникъ кубъ, ограниченный квадратами, и, наконецъ, додекаэдръ, имѣющій пятиугольныя грани.

Вотъ содержаніе одного изъ самыхъ замѣчательныхъ произведеній математической литературы. Надлежитъ сказать нѣсколько словъ о цѣли, которая преслѣдовалась, при составленіи этого сочиненія. Нерѣдко выражали мнѣніе, что цѣлью здѣсь было то послѣднее предложеніе

относительно невозможности другихъ правильныхъ тѣлъ, кромѣ пяти поименованныхъ, которымъ заканчиваются «Начала», что въ виду этого написаны всѣ 13 книгъ ихъ. Достаточно познакомиться съ содержаніемъ сочиненія, даже по нашему краткому обзору, чтобы отвергнуть такое мнѣніе. Столько ума и труда не примѣняютъ для достиженія результата второстепенной важности. Тринадцатъ книгъ «Началъ» сами себѣ служатъ цѣлью. Задача, которую поставилъ себѣ Эвклидъ, заключалась въ томъ, чтобы представить энциклопедическій обзоръ тѣхъ частей Математики, на которыхъ зиждется дальнѣйшее ея развитіе, въ томъ чтобы систематизировать элементы знанія. И не онъ первыя является авторомъ такого сочиненія; до него были писавшіе въ томъ же направленіи ученые, имена которыхъ передалъ намъ Проклъ, одинъ изъ комментаторовъ «Элементовъ». Намъ называютъ Гипократа изъ Хіоса, Леона, Ѳедіоса изъ Магнезіи, Гермотима изъ Колофона. Первый изъ нихъ жилъ за 150 лѣтъ до Эвклида. Эти положительныя данныя, вполнѣ согласуются съ тѣмъ, что сочиненіе, подобное Эвклидовымъ Началамъ, не могло явиться въ началѣ эпохи научнаго развитія. Такое экциклопедическое произведеніе, такое «Руководство» какъ мы выражаемся теперь, могло быть составлено лишь долгое время послѣ того, какъ элементы знанія вошли въ содержаніе учебнаго предмета.

Переходимъ теперь къ ознакомленію съ формою, въ которой написаны «Начала».

Замѣченная опечатка въ первомъ выпускѣ стр. 25. Должно быть:

(1 + ^)(1-^)2-^2.

МАТЕМАТИЧЕСКІЙ ЛИСТОКЪ.

ТЕОРЕМА СТЕВАРТА.

Если на неопредѣленной прямой взяты двѣ точки A и В, то отрѣзокъ, ими ограниченный, въ начальной Геометріи безразлично означаютъ чрезъ AB или ВА, Но геометрическіе выводы получаютъ большую общность, если мы условимся различать, какъ то предложено Шалемъ1), направленіе отрѣзковъ и означать чрезъ AB отрѣзокъ, котораго начало А, конецъ 2? и чрезъ ВА отрѣзокъ, котораго начало В, конецъ A или, другими еловами, чрезъ AB—отрѣзокъ, измѣряемый отъ і къ J5, чрезъ ВЛ*-отрѣзокъ, измѣряемый по направленію противуположному, отъ В къ А.

Соединяя это простое обозначеніе съ обыкновенными правилами знаковъ, мы скажемъ что AB и ВА, имѣя равныя абсолютныя длины, имѣютъ противуположные знаки т. е. что

АВ = ^-ВА откуда АВ+ВА = І).

Взявъ на той же прямой третью точку С, легко убѣдиться что при всякомъ расположеніи трехъ точекъ А,В, Ç, между отрѣзками, ими опредѣляемыми, существуетъ зависимость, указываемая равенствомъ

(I) АВ+ВС+ СА = ()

Это равенство выражаетъ, какъ говорятъ иногда для краткости, связь между тремя точками на прямой. Не останавливаясь на выводѣ его, равно какъ на распространеніи его на п точекъ, лежащихъ на общей прямой («Если на прямой лежатъ п точекъ, то сумма опредѣляемыхъ ими отрѣзковъ, изъ которыхъ каждый начинается тою же точкою, которою кончается предыдущій, равна нулю»), перейдемъ къ выводу другихъ равенствъ, выражающихъ связь четырехъ точекъ на прямой.

Если къ тремъ точкамъ А,В,С, присоединимъ четвертую точку I) той же прямой, -то при всякомъ расположеніи ея относительно первыхъ трехъ, на основаніи (Г) имѣемъ: ABDA = 0 или

AB=AD+DB (1) ! BC^BD+DC

CA = CD + DA

откуда, по умноженіи этихъ равенствъ соотвѣтственно на CD.AD,BD найдемъ

AB. CD=AD. CD+DB. CD BC.AD = BD.DA-\-DC AD CA.BD = CD. BD + DA. BD

Сложивъ эти равенства и замѣтивъ что члены второй части по два уничтожаются (AJ).CD + DC.AD = 0), получимъ

(II) AB. CD+BC.AD + CA.BD = ()*).

ІІеремноживъ почленно равенства (I), и замѣтивъ что

AJ)./)A=~ÄJp и AD ±])В = АВ,

найдемъ повое соотношеніе между четырьмя точками прямой:

(III) AB. ~GD*+BC. ÄJ?+CÄ. BD* = —AB. BC. CA.

Это соотношеніе замѣчательно тѣмъ, что имѣетъ мѣсто и тогда, когда одна изъ четырехъ точекъ, напр. точка Z), лежитъ внѣ прямой, на которой расположены остальныя три.

Д.ѣйствительно, опустивъ изъ'D перпендикуляръ DE на прямую АСВЛ найдемъ

Âd'-CD* =AEl-CEl = {АЕ- CE) (АЕ+СЕ) = АС (АЕ+СЕ)

Ж*-Ш1 = АЕ*-Ш* = {АЕ-ВЕ) (АЕ+ВЕ) отсюда

AD-Cü). АВ = АВ. AC. (АЕ+СЕ) (äD*--BD* . АС = АВ. AC. (АЕ+ВЕ); вычитая же -эти равенства почленно, получимъ

*) Это равенство легко заномнить: сдѣлавъ круговую перестановку трехъ буквъ напр. А,В,С, (ABC, fi CA, CAB) и приставивъ къ нимъ четвертую букву 7), (ABCD, BCAD. CABD). безъ труда можемъ написать равенство (II).

АВ\СВ — CD\aB + BI)\aC = AB. AC. CB

или

AB. ~CDl + BC. AD*+CA. Ш)* = --АВ. ВС. CA. .

Эта теорема принадлежитъ англійскому геометру Стеварту2). Она помѣщена между прочимъ и въ «Элементарной Геометріи А. Ю. Давидова»*). Выражая одно изъ самыхъ общихъ метрическихъ свойствъ треугольника, уравненіе Стеварта можетъ служить для вычисленія высотъ треугольника, равнодѣлящихъ его сторонъ, равнодѣлящихъ его угловъ и пр.

Изъ равенства (III) можетъ быть выведено еще одно соотношеніе между четырьмя точками, лежащими на прямой. Дѣйствительно, въ силу его имѣемъ:

AB. ~CDl+BC. ÄD*+CA.BD* + AB. ВС. СА = () ВС. JXA+CD. 1Ü\dB.~CA+BC. CB. DB = i)

cd. ab'+da. ~cbà+ac. Idb'+cd. DA. AC=i)

DA. ~BC+AB. ~DC\bD.~AC+DA. AB. BD = 0.

Сложивъ почленно первое равенство съ третьимъ и вычтя изъ полученной суммы почленно второе равенство и затѣмъ четвертое, получимъ:

AB. ВС. СА—ВС. CD. DB+CD. DA. AC—DA ab. BD = () или

{ЩАВ. BC. CA = DA. AB. BD+DB. BC. CD + DC. CA.AD.

1. Michel Chasles. 1793.—

Recherches de géométrie pure sur les lignes et les surfaces du 2-me degré. Brüx. 1829.

Mémoire sur Іез propriétés gêner, des cones du 2-me ordre. Brüx. 1830. 4.

Sur le passage du premier livre de Boèce, relatif à un nouv. système de numération. Brüx. 1836. 4.

Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie, suivi d'un mémoire sur deux principes généraux, la dualité et l'homographie. Bruxelles, Acad., 1837. 4. (Библіогр. рѣдкость).

Idem, seconde édition, conforme à la première. Paris. Gauthier-Villars. 1875. 4. (30 fr.).

*) Изд. 10-e Москва. 1877 г. стр. 78 § 76.

Это сочиненіе переведено на нѣмецкій языкъ:

„Geschichte der Geometrie, uebers. v. Sohncke. Halle. 1839. 8".

Въ „Математическомъ Сборникѣ, издаваемомъ Московскимъ Математическимъ Обществомъ" начато съ V тома (1870) печатаніе въ переводѣ на русскій языкъ „Исторіи Геометріи Шаля". Traité de Géométrie Supérieure. Paris. 1852. 8.

Les porismes d'Euclide, d'après la not. de Pappus. Paris. 1860. 8.

Traité des sections coniques. I partie (la seule publ) Paris. 1865. 8.

Rapport sur les progrès de la Géométrie. Paris 1870. gr. in—8.

Кромѣ того много статей въ:

„Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Seiences".

(Эти отчеты издаются съ 1835 года, и составляютъ къ концу каждаго года два тома in—4, Годовая подписка въ Парижѣ 20 фр. Полная коллекція 1835—1878 стоитъ около 700 фр.) и въ „Journal de mathématiques pures et, appliquées, fondé par M. Liouville (1837) et rédigé par M. Résal depuis 1875.

[Годовая нодниска въ Парижѣ 30 фр. Полная коллецкія 1836— 1878 стоитъ около 800 фр].

2. Matthew Stewart. 1717 — 1785. Ученикъ P. Симсона (1687 — 1768) и К. Маклорена (Màc-Laurin 1698—1746).

General theorems of considerable use in the higher parts of mathematics. PMinb. 1746. 8.

Propositiones gcometricae more veterum demonstratae. ib. 1763.

КЪ ТЕОРІИ ИЗВЛЕЧЕНІЯ КУБИЧЕСКАГО КОРНЯ ИЗЪ ЧИСЕЛЪ*).

Если при извлеченіи кубическаьо корня изъ числа найдено одною цифрою болѣе половины всѣхъ цифръ корня, то остальныя цифры получатся отъ раздѣленія остатка на устроенный квадратъ найденной части корня**).

Положимъ что требуется извлечь кубическій корень изъ цѣлаго числа N и что искомый корень имѣетъ 2п+1 цифръ, изъ которыхъ п + 1 цифръ уже получены. Если Â найденная часть корня, а х остальная часть его, такъ что у N=A+x, то

*) Эта замѣтка доставлена въ редакцію при письмѣ не подписанномъ. Ред.

**) См. Начальная Алгебра А. Ю. Давидова» § 234 Теорема. Если найдено двуми цифрами болѣе и пр.

откуда

Такъ какъ х имѣетъ п цифръ, то х1 имѣетъ ихъ 2w или 2п—1, а же имѣетъ п+1 цифръ съ п нулями; поэтому

т. е. число цифръ въ цѣлой части суммы х+^ тоже что и въ х; отъ умноженія х+ ^ на х получится произведеніе, цѣлая часть котораго имѣетъ или 2п цифръ или 2п—1 цифръ (2п+1 цифръ могутъ получиться только при умноженіи м-значнаго числа на (п+1)—значное). Изъ этого слѣдуетъ что

При доказательствѣ этой теоремы (равно какъ аналогичной ей относительно извлеченія квадратнаго корня) у N принимался за точкой корень. Въ случаѣ же нахожденія приближенныхъ корней результатъ, получаемый отъ дѣленія остатка на ЪА* (при извлеченіи квадратнаго корня на 2А) можетъ оказатъся на единицу болѣе того, который, получился бы при нахожденіи каждой изъ цифръ х отдѣльно. Въ самомъ дѣлѣ, тогда

гдѣ у нѣкоторая правильная дробь, которая можетъ быть найдена только приближенно.

Имѣемъ въ этомъ случаѣ

Дробь

меньше

отъ сложенія дробей по-

лучится число меньшее 2%; поэтому, если х+у+у и будетъ содержатъ въ своей цѣлой части п+1 цифръ, то только въ видѣ 1 съ нулями (въ томъ случаѣ когда х состоитъ только изъ девятокъ).

Вслѣдствіе этого отъ умноженія х+у на х+у+к Q у получится произведеніе, цѣлая часть котораго не можетъ имѣть болѣе 2w-f-l цифръ, причемъ, если число цифръ 2w+l, то первая изъ нихъ 1,за которой слѣдуетъ п нулей.

Изъ чего видно что

больше единицъ лишь въ томъ случаѣ, когда х состоитъ изъ однихъ девятокъ, а A есть 1 съ %п нулями. Наконецъ, сумма

есть, вообще, число меньшее 2-хъ и лишь въ томъ случаѣ больше 2, если X состоитъ изъ однихъ девятокъ, а A есть 1 съ 2 п нулями. Послѣднее обстоятельство при вычисленій обнаружится тѣмъ что въ частномъ получается И)п или lOn-f-1.

ЗАМѢТКА О ВЫЧИСЛЕНІИ ЛОГАРИѲМИЧЕСКИХЪ ТАБЛИЦЪ ПОМОЩЬЮ ЛОГАРИѲМИЧЕСКОЙ СТРОКИ.

Вставивъ вмѣсто х дробь t) П въ извѣстную строку

получимъ

Ограничиваясь однимъ первымъ изъ заключенныхъ въ скобкахъ членомъ получимъ формулу

пользуясь которой можно составитъ логариѳмическую таблицу*). Чтобы вычислить Log 2, замѣтимъ что 1024 = 210. откуда найдемъ: Log 1024-10 Log 2

Вставляя въ формулу I)-m=1000, w=24.

Чтобы вычислить Log 3, замѣтимъ что 3* = 80+1, откуда

Чтобы вычислить логариѳмы остальныхъ простыхъ чиселъ употребляемъ слѣдующій пріемъ. Пусть р простое число, большее 2; положимъ

р1 = т-\-1

откуда

р1—\ — т.

Замѣтимъ что самая большія простые множители входящіе въ составъ числа m могутъ быть ^-Ф- и ; очевидно что каждый изъ нихъ меньше р поэтому если логарѳфмы нѣкотораго ряда простыхъ чиселъ вписаны въ таблицу, то логарѳфмъ слѣдующаго простаго числа р найдемъ, положивъ р* = m+1 и вычисливъ по нашей формулѣ логариѳмъ квадрата числа pft

Найдемъ, напр., log 37.

372 = 1369 = 1368 + 1 =36.38+1.

Полагаемъ ій= 1368=36.79.2 и п1. Но такъ какъ, по предложенію, логариѳмы всѣхъ чиселъ меньшихъ 37 вписаны въ таблицу, то найдемъ

*) Замѣняя члены въ скобкахъ суммой такой безконечно убывающей прогрессіей, два первые члена которой выписаны въ скобкахъ, получимъ формулу болѣе точную:

Вычисляя по ней log 2, найдемъ десять точныхъ цифръ.

Еслибы пожелали найти семизначные логариѳмы чиселъ 11,13,17, 19,23...., то надлежало бы взять 2М съ семью знаками, а log 7 нужнобыло бы искать, пользуясь формулою I) изъ равенства 7*=2401, полагая m =2400 и п=1.

Для большихъ простыхъ чиселъ, начиная съ нѣкотораго предѣла, проще употреблять формулу

Ив. Шенрокъ.

Новгородъ-Сѣверскъ.

ЧЕТЫРЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРІИ*)

Провести чрезъ точку А, лежащую внутри круга радіуса г, хорду такъ, чтобы она въ точкѣ A раздѣлилась въ отношеніи пі;п.

Проведите діаметръ ВАВХ, на АВ{, какъ на діаметрѣ, опишите полуокружность, возьмите точку В такъ, чтобъ AB : AB = т:п; изъ В возставьте къ ВВХ перпендикуляръ ВС; изъ A кацъ центра радіусомъ AC опишите дугу, до пересѣченія съ данной окружностью въ Е и проведите ЕАЕХ\ эта хорда искомая.

Доказательство:

АЕХ : AD (=АВХ : АЕ=АВХ : АС = АС: АВ)=АЕ:АВ АЕХ :АЕ(=АВ:АВ)=т:п. Условіе возможности:

*) Задачи 124, 125, 126, 129 Элементарной Геометріи А. Ю. Давидова. Изд 10-е Москва. 1878 г. стр, 125 126.

Отношеніе m : п должно быть не больше отношенія AI) : AD{.

Приведенное рѣшеніе помѣщено въ книгѣ «Практическія упражненія въ Геометріи, составленныя П. Гурьевымъ и А. Дмитріевымъ. С.-Пб. 1844».*).

Чрезъ внѣшнюю точку A провести сѣкущую къ кругу такъ чтобы она этимъ кругомъ раздѣлилась въ отношеніи т:п.

Проведите прямую ADDX, на ADX, какъ на діаметрѣ, опишите полуокружность, возьмйте точку В такъ, чтобы AD : АБ=т : п; изъ Б возставьте къ DDX перпендикуляръ ВС; изъ A какъ центра радіусомъ AC опишите дугу до пересѣченія съ данной окружностью въ Е и проведите ЕЕХА\ это.сѣкущая искомая.

Доказательство :

AEt : AD (=ADX : AE=AD, : АС=АС:АБ)=АЕ:АВ; AEX : AE (=AD : AB)=m : n. Условіе возможности:

Отношеніе m : n должно быть не больше отношенія AD:ADX. Чрезъ внѣшнюю точку A провести сѣкущую къ кругу такъ что-чтобы она этимъ кругомъ раздѣлилась пополамъ.

Эта задача представляетъ, очевидно, частый случай предыдущей, но можетъ быть рѣшена непосредственно и притомъ независимо отъ ученія о пропорціональности.

*) Это сочиненіе принадлежитъ въ настоящее время къ библіографическимъ рѣдкостямъ.

Дѣйствительно, пустъ ААХ искомая сѣкущая т. е. та которая въ точкѣ I раздѣлена пополамъ; перпендикуляръ къ ААХ изъ точки I встрѣтитъ данную окружность въ точкѣ Xравно отстоящей отъ іи Ах,

но ХА есть діаметръ окружности, такъ какъ уголъ при / прямой; поэтому дуга описанная изъ данной точки A радіусомъ равнымъ діаметру данной окружности, встрѣтитъ окружность въ точкѣ X; послѣ чего

точка Ах можетъ быть непосредственно получена и проведена требуемая сѣкущая.

Описать кругъ, проходящій чрезъ точки A и В и касательный къ прямой MN.

Пустъ X искомая точка касанія и 2?, симетричная точки В отноеительно данной прямой MN. Соединивъ X съ В, означивъ черезъ a данный уголъ, составленный прямой АВХ съ прямой ЖУ, найдемъ что

уг. Х^Р+уг. АХР=180°—а.

Но уг. XAF (=уг. ВХР) = уг.РХВх .

и потому

уг. АХВ^ШГ-а.

Отсюда слѣдующее построеніе:

Возьмите точку симетричную одной изъ данныхъ относительно данной прямой; соединить ее съ другой данной точкой; на прямой, соединяющей эти двѣ точки опишите дугу, вмѣщающую уголъ равный углу, который данная прямая составляетъ съ прямой, прямой, проходящій чрезъ двѣ данныя точки. Получите искомую точку касанія.

Рѣшеніе этой задачи обыкновенно основывается на ученіи о пропорціональности.

КЪ УЧЕНІЮ О ТѢЛАХЪ ВРАЩЕНІЯ.

(прибавленіе.)

1. Если треугольникъ послѣдовательнымъ вращеніемъ около каждой изъ сторонъ образуетъ объемы A, В, С, то между этими величинами имѣютъ мѣсто слѣдующія соотношенія (a—уголъ противулежащій сторонѣ а):

Если a = 90°, то

При какомъ соотношеніи между сторонами а,Ь,с, объемъ A равенъ суммѣ объемовъ В и С?

Отв. a = .

2. Равносторонній треугольникъ, сторона котораго a вращается около внѣшней оси, проходящей чрезъ одну изъ вершинъ и составляющей уголъ я съ высотой, исходящей изъ этой вершины. Доказать что происшедшія при этомъ объемъ равенъ -^7m3siiia

3. Въ треугольникѣ ABC средины D, F сторонъ AB, AC соединены прямой DF. При вращеніи фигуры около ВС треугольникъ ADF образуетъ объемъ равный половинѣ того, который образуетъ треугольникъ ABC.

4. Въ ромбѣ ABCD, описанномъ около окружности, радіусъ котораго В, діагональ BD равна сторонѣ AB. При вращеніи ABC около AC образуется объемъ равный ттй3; при вращеніи ABD около BD—объемъ равный -^-тгй3. j/3.

5. Прямоугольный треугольникъ, одинъ изъ острыхъ угловъ котораго a, вписанъ въ полуокружность радіуса В. При вращеніи этого треугольника около гипотенузы образуется объемъ равный^тгй3 sin 22a.

6. Треугольникъ вращается около одной изъ своихъ сторонъ, затѣмъ около внѣшней прямой параллельной этой сторонѣ и отстоящей отъ нея на разстояніе 4. Доказать что разность происшедшихъ при этомъ объемовъ равна произведенію площади. треугольника на длину окружности имѣющей d радіусомъ.

7. Въ полуокружности, діаметръ которой AB, проведена хорда CD параллельная ему и равная сторонѣ вписаннаго въ эту окружность квадрата; проведены прямыя ІС и AD. Доказать что при вращеніи фигуры около AB, треугольникъ ACD образуетъ объемъ, равный объему шара, имѣющаго CD діаметромъ.

8. Прямоугольная трапеція описана около окружности радіуса г; полусумма ея основаній R. Доказать что при вращеніи трапеціи около стороны перпендикулярной къ основаніямъ она образуетъ объемъ равный

| izRrÇïR—г).

При какомъ R этотъ объемъ въ п разъ больше объема шара радіуса г?

9. Когда квадратъ, сторона котораго а, вращается около внѣшней прямой, проходящей чрезъ одну изъ вершинъ и составляющей уголъ а. съ стороною квадрата, то происшедшій отъ вращенія объемъ равенъ

ita3(sina+cosa)

10. Когда прямоугольникъ, стороны котораго а- и Ь, вращается около внѣшней прямой, проходящей чрезъ одну изъ вершинъ его и составляющей уголъ a съ. стороною Ь прямоугольника, то происшедшій отъ вращенія объемъ равенъ

7т ah (acqs a+h sin a)

11. Когда правильный п—угольникъ вращается около одной изъ своихъ сторонъ с, то образуетъ объемъ равновеликій цилиндру, радіусъ котораго равенъ радіусу вписанной въ многоугольникъ окружности, а высота—периметру многоугольника.

V=nr2jic.

12. Когда половина правильнаго 2п—угольника вращается около проходящаго чрезъ двѣ вершины діаметра описанной окружности, то образуетъ объемъ V равновеликій конусу, радіусъ котораго равенъ радіусу вписанной въ многоугольникъ окружности, а высота—удвоенному діаметру описанной окружности.

V=nr* уіг=утг#г2.

13. Когда половина правильнаго 2п—угольника вращается около проходящаго чрезъ двѣ вершины діаметра вписанной окружности, то

образуетъ объемъ равновеликій полусуммѣ двухъ конусовъ, радіусы которыхъ: одного—радіусъ вписанной окружности, другаго—радіусъ описанной окружности, а общая высота—удвоенный діаметръ вписанной окружности.

14. Когда половина правильнаго (2ю+1)—угольника вращается около діаметра перпендикулярнаго къ одной изъ его сторонъ, то образуетъ объемъ равновеликій' конусу, радіусъ котораго—полусумма радіусовъ R и г описанной и вписанной окружностей, а высота — удвоенный діаметръ вписанной окружности.

15. Правильныя ломанная вписана въ полуокружность радіуса В и описана около полуокружности радіуса г. При вращеніи фигуры около общаго діаметра:

1. Поверхность описанныя ломанной есть средне-геометрическая поверхностей вписаннаго и описаннаго шаровъ.

2. Квадратъ объема ограниченнаго происшедшимъ многогранникомъ относится къ квадрату объема вписаннаго шара, какъ объемъ описаннаго шара къ объему многогранника.

Задачи.

1. Если Зп+1==кр. 10, то и Зи + 4 + 1 = кр. 10.

2. Пятая степень всякаго числа имѣетъ на мѣстѣ единицъ ту же цифру, что и само число.

3. Квадратъ всякаго числа п есть сумма первыхъ п членовъ ариѳметической прогресси,

1. первый членъ которой 1, разность 2;

2. первый членъ которой—^—, разность 1.

4. Кубъ всякаго числа п есть сумма первыхъ п членовъ ариѳметической прогресси,

1. первый членъ которой 1, разность 2(п+1);

2. первый членъ которой п, разность 2п;

3. первый членъ которой п2—»+1," разность 2; 4. первый членъ которой (п—2)2., разность 8.

5. Четвертая степень всякаго числа п есть сумма первыхъ п членовъ ариѳметической прогрессію первый членъ которой гіК разность 2w2.

6. Произведеніе (aï+W + c^a^A-b^+c,/) есть сумма четырехъ квадратовъ.

7. Нѣкоторое число имѣетъ на концѣ цифру 2; если зачеркнуть эту цифру и приставитъ ее впереди числа, то получимъ число вдвое большее взятаго. Найти это число.

8. Рѣшить систему уравненій:

Рѣшить системы уравненій:

10. 11. 12.

13.

14. 15. 16. 17.

19. На сторонахъ прямоугольнаго треугольника построены внѣ его квадраты. Доказать что прямая, соединяющая центръ квадрата, построеннаго на гипотенузѣ съ вершиною прямаго угла, пернендикулярна

къ прямой, соединяющей центры квадратовъ, построенныхъ на катетахъ, и равна ей. .

18. На гипотенузѣ прямоугольнаго треугольника построенъ внѣ его квадратъ. Доказать что центръ его отстоитъ отъ каждаго изъ катетовъ на разстояніе равное полусуммѣ катетовъ.

Если построенный квадратъ расположенъ по ту сторону гипотенузы, то центръ его отстоитъ отъ каждаго изъ катетовъ на разстояніе равное полуразности катетовъ.

20. Въ четыреугольникѣ AB CD стороны AB и DC продолжены до точки встрѣчи Е, стороны AD и ВС до точки встрѣчи F. Доказать что

1. Окружности описанныя около треугольниковъ ABF, ADE ВСЕ, CD F встрѣчаются въ общей точкѣ;

2. Точка пересѣченія этихъ четырехъ окружностей и центры ихъ лежатъ на одной окружности.

21. Окружность радіуса В имѣетъ центръ на одной изъ сторонъ прямаго угла въ разстояніи d отъ его вершины. Построить окружности касательныя къ данной и къ сторонамъ даннаго угла; вычислить ихъ радіусы, давно какъ площадь фигуры,. имѣющей вершинами центры построенныхъ окружностей.

22. Площадь прямоугольнаго треугольника равна произведенію тѣхъ двухъ отрѣзковъ гипотенузы, на которые она раздѣлена точкою касанія вписанной окружности.

23. Изъ вершинъ А,В,С треугольника ABC, стороны котораго а,Ъ,е; проведены перпендикуляры. a,ß,y на произвольную прямую, не пересѣкающую треугольника. Если S его площадь, то

24. Изъ точки встрѣчи медіанъ треугольника опущены на его стороны перпендикуляры, основанія АХ,ВХ,СХ которыхъ соединены. Вычислить отношеніе площади треугольника АХВХСХ къ площади взятаго треугольника.

25. Изъ центра вписанной въ треугольникъ окружности опущены на его стороны перпендикуляры, основанія АХ,ВХ,СХ которыхъ соединены. Вычислить отношеніе площади треугольника А,В,С, къ площади взятаго треугольника.

26. Если сторона Ь треугольника равна полусуммѣ двухъ другихъ, то

27. Если а,Ь,с стороны треугольника, площадь котораго S, то

28. Если Av 2?t, С, центры квадратовъ построенныхъ на сторонахъ ВС, CA, AB треугольника ABC, то.

29. Внутри треугольника ABC взята точка Р такъ что уг. САР=ут. АВР = ут. ВСР = а.

Доказать что

cota=cot^L-f-cotB + cot С.

30. Если A, В, С, углы треугольника, то

Замѣченная опечатка въ первомъ выпускѣ стр. 27. Должно быть:

Библіографія.

КНИГИ ВЫШЕДШІЯ съ 1-ГО ЯНВАРЯ ПО 1-ОЕ АПРѢЛЯ 1879 г.

1. Арефьевъ (А) и Соколовъ (А. Ѳ.).—Повторительный курсъ ариѳметики для начальныхъ народныхъ училищъ. Москва, 1879 г. Изд. Салаева. 8 д. 31 стр. 3600 экз. Ц. 15 к.

2. Ариѳметика для начальныхъ и войсковыхъ школъ. Изд. 2-е Спб. 1879 г. Изд. журнала „Досугъ н Дѣло". Тип. Товар. Общ. Польза. 8 д. 75 стр. Ц. 20 к.

3. Хартулари, (В. Инспект. IV Моск. воен. гимн.). Десятичныя дроби. Москва. (Скл. у автора), 8 д. 64 стр. Ц. 60 к.

4. Б., (А.) и Г., (Е). Рѣшеніе арифметическихъ задачъ на цѣлыя числа по задачнику В. Евтушевскаго. Москва. Изд. Ѳ. И. Салаева. 8 д. VІІІ+97 стр. Ц. 30 к.

5. Бычковъ (Ѳ)., Сборникъ примѣровъ и задачъ, относящихся къ курсу элементарной алгебры. Изд. 6-е. Спб. 1879 г. Тип. Безобразова и К°. 8 д. 2 пен.+VІ+334 стр. 5000 экз. Ц. 1 р. 25 к.

6. Гика, Д. и Муромцевъ А. Элементы геометріи. Курсъ среднихъ учебныхъ заведеніи, расположенный по способамъ доказательствъ. Москва. 1879 г. Изд. Салаева. 8 д. VIII+262 стр. 2, 400 экз, Ц. 1 р.

7. Пржевальскій (Е.). Собраніе геометрическихъ теоремъ и задачъ. Издан. 4-е. Москва. 8 д. 4+322 + 2 нен. стр. 1409 экз. Ц. 1 р. 60 к.

8. Дмитріевъ (А). Практическія упражненія въ геометріи или собраніе геометрическихъ задачъ по Вёкелю, Шпицу и др. Книга II. Стереометрія съ приложеніемъ задачъ на maxima и minima, а также геометрическихъ темъ для окончательныхъ испытаній въ средн. учебн. заведеніяхъ. Спб. (тип. Якобсонъ и складъ на В. 0. уголъ Б. Прос. и 12 л. въ 1-мъ реальномъ уч.) 8 д. VІ+нен, 1111 стр. I табл. чертежа ц. за 2 ч. 2 р. 70 к. сер.

9. Виноградовъ, В., межевой инженеръ. Сборникъ геометрическихъ вопросовъ и задачъ на вычисленіе въ алгебраической формѣ (по программѣ гимназій и реальныхъ училищъ) Москва. Тип. Т. Риса. Складъ въ Оренбургѣ у автора и у Мамонтова въ Спб. и М.) 8 д. ІХ+163 Ц. 80 к.

10. Орловъ, (А) (дир. Каз. Реальн. Уч.) Руководство къ геометрическому черченію для реальныхъ училищъ. Выпускъ I. Казань 1878 г. Складъ въ реальномъ училищѣ и у Дубровина. 8 д. 249 стр. и+атласъ чертежей въ 28 стр. fol 'Ц. 1 р. 60 к.

11. Сомовъ, (I.). Начальныя основанія аналитической геометріи двухъ измѣреній. 2-е изд. Спб. (Тип. А. Якобсона: Bac. О., 9-я линія д. 8.) 8 д. 88 стр., 72 черт. въ текстѣ. Ц. 1 р. 25 к.

12. Красновскій, (М.) Лекціи аналитической геометріи. Спб. 1878 г. (Лит. техн. инст.). 8 д. 237 стр.

ЭВКЛИДЪ И ЕГО ВѢКЪ*).

(продолженіе).

Форма «Началъ» Эвклида та, которая въ теченіи двухъ тысячелѣтій сохранилась въ учебникахъ математики и лишь въ настоящее время постепенно исчезаетъ, преимущественно у авторовъ, имѣющихъ въ виду кругъ болѣе свѣдущихъ читателей. Форма эта удобна въ томъ отношеніи, что изложенное легко усвоивается наизустъ, но не можетъ не показаться утомительной вслѣдствіе своего однообразія всякому, кто желаетъ читать быстро.

Сначала Эвклидъ всякій разъ высказываетъ предложеніе, затѣмъ даетъ предписанія, какія вспомогательныя построенія долженъ сдѣлать читатель на чертежѣ, какія долженъ провести прямыя или кривыя, въ какомъ направленіи и на какомъ протяженіи и пр.; затѣмъ слѣдуетъ само доказательство предложенія. Покрайней мѣрѣ таковъ порядокъ въ теоремахъ, т. е. въ предложеніяхъ, требующихъ доказательства. Въ задачахъ же идетъ сперва построеніе, затѣмъ необходимое для доказательства подготовленіе: проведеніе вспомогательныхъ линій, и проч.,и наконецъ само доказательство. О третьяго рода предложеніяхъ, такъ называемыхъ Поризмахъ, будемъ говорить впослѣдствіи. Эта строгая форма, этотъ рядъ возвращающихся въ той же послѣдовательности мыслей, это утомительное однообразіе сочетанія словъ, вслѣдствіе чего прочитанное, или по крайней мѣрѣ большая часть его, неизбѣжно должно удержаться въ памяти,—все это не имѣетъ и отдаленнаго сходства съ привлекательнымъ языкомъ греческой науки. Только математическимъ сочиненіямъ свойственна эта употребляемая Эвклидомъ форма и то не всѣмъ. Въ сочиненіи о механикѣ, которое приписываютъ Аристотелю, мы не находимъ этого. расчлененіи на: теорема, подготовленіе, доказательство; или на: задача, построеніе, подготовленіе доказательства. Позднѣйшія сочиненія по ариѳметикѣ, астрономіи, механикѣ, музыкѣ точно также обходятся большею частью безъ этихъ нодраздѣленій.

*) Начало этой статьи (стр. 57), по недосмотру, за который извиняемся передъ читателемъ, передано не вѣрно. Должно быть: Эвклидъ былъ первымъ математическимъ писателемъ Греціи, сочиненія котораго, хотя и не всѣ, дошли до насъ, не въ однихъ только отрывкахъ. Ред.

Только геометрія постоянно излагается въ такой формѣ. Ученый комментаторъ первой книги «Началъ» Проклъ Діадохъ (412—485) ничего не говоритъ о томъ, чтобы эта характеристичная форма была создана Эвклидомъ, о чемъ онъ безъ сомнѣнія упомянулъ бы, если бы Эвклидъ ввелъ ее первый. Весьма вѣроятно что эта форма была употребительна и до Эвклида, и настолько же вѣроятно что она возникла не на греческой почвѣ, а внесена въ Грецію изъ другой страны*), гдѣ геометрія хотя и не достигла научнаго развитія, но какъ учебный предметъ излагалась въ вполнѣ установленій формѣ и именно въ той, которой держался и Эвклидъ.

Говоря объ изложеніи Эвклида слѣдуетъ сказать несколько словъ и о методахъ доказательства, которыхъ онъ различаетъ два: аналитическій и синтетическій. Предложеніе доказывается аналитически, если искомое принимается за извѣстное и затѣмъ посредствомъ ряда вытекающихъ отсюда слѣдствій доходятъ до истины уже извѣстной; при синтетическомъ способѣ поступаемъ обратно: исходя изъ какой нибудь уже извѣстной истины доходятъ до предложенія искомаго. Такъ опредѣляетъ Эвклидъ эти методы въ примѣчаніи къ 4-й теоремѣ ХІІІ-й книги. Смыслъ этого объясненія слѣдующій. Если надлежитъ доказать что В существуетъ или что В не существуетъ, (то или другое можетъ быть предложено) то, слѣдуя аналитическому методу, ведутъ доказательство такъ: В существуетъ, если существуетъ О; С существуетъ, если В существуетъ; В существуетъ если A существуетъ; но существованіе А, предположимъ, предварительно доказано; изъ этого заключаютъ что В существуетъ; или не—существованіе A доказано, изъ этого заключаемъ что В не существуетъ. При синтетическомъ же методѣ начинаютъ съ утвержденія, что A существуетъ (что предварительно извѣстно), изъ. этого заключаютъ, что существуетъ Б, затѣмъ С и наконецъ Z).

Какъ при томъ такъ и при другомъ методѣ возможны двѣ формы доказательства: доказательство прямое и доказательство косвенное. Въ первомъ случаѣ доказываютъ что А, отъ котораго зависитъ существованіе D, дѣйствительно существуетъ, что изъ A вытекаетъ необходимо существованіе В\ во второмъ случаѣ доказываютъ, что A не существуетъ, но необходимо должно было бы существовать, если бы существовало D; или что существованіе A влечетъ за собою несуществованіе В. Обыкновенію предпочитаютъ первую форму доказательства вто-

*) Авторъ разумѣетъ Египетъ. Открытый въ новѣйшее время Египетскій папирусъ, такъ называемый папирусъ Ринда (Rhind) подтверждаетъ высказываемое здѣсь предположеніе. Съ содержаніемъ этого папируса мы ознакомимъ читателей «Листка». Ред.

рой, хотя косвенное доказательство (доказательство отъ противнаго, или доказательство приведеніемъ къ нелѣпоспи) не менѣе строго чѣмъ прямое.

При всѣхъ способахъ доказательства приходится очевидно пользоваться нѣкоторымъ основнымъ предложеніемъ. Справедливость его въ свою очередь вытекаетъ изъ другихъ предложеній, въ своемъ мѣстѣ строго доказанныхъ. Впрочемъ это не всегда имѣетъ мѣсто (не можетъ имѣть мѣста), такъ какъ мы необходимо должны дойти до истинъ, не подлежащихъ сведенію къ другимъ; эти послѣднія суть аксіомы и постулаты. Аксіома есть предложеніе, которое вслѣдствіе своей очевидности не требуетъ доказательства. Постулатъ есть предложеніе, которое не можетъ быть доказано; потому то очевидность предложеній послѣдняго рода подлежитъ спору; укажемъ напр. на знаменитую ХІ-ю аксіому Эвклида: «Если двѣ прямыя пересѣчены третьей, и сумма двухъ внутреннихъ одностороннихъ угловъ менѣе двухъ прямыхъ угловъ, то при достаточномъ продолженіи взятыя прямыя пересѣкутся». Это предложеніе требуетъ, собственно говоря, доказательства; но до сихъ поръ оно не найдено. Эвклидъ предпослалъ І-й книгѣ элементовъ всѣ аксіомы, на которыя онъ ссылается впослѣдствіи.

Относительно понятій, Геометрія, какъ и всякая другая наука, должна признать рядъ основныхъ не разложимыхъ на признаки понятій, которыя служатъ для опредѣленія другихъ понятій. Эвклидъ предпосылаетъ опредѣленія той книгѣ, въ которой впервые встрѣчаются опредѣляемыя понятія. Въ этомъ есть нѣкоторая доля непослѣдовательности. Надлежало, или предпослать «Началамъ» всѣ опредѣленія, систематически сгруппированныя, или же давать опредѣленія понятія тогда, когда оно впервые вводится въ кругъ изслѣдованія. Новѣйшія математическія сочиненія держатся послѣдняго распредѣленія, на логичность котораго указывалъ еще въ XVI вѣкѣ одинъ изъ. тонкихъ критиковъ того времени*).

Выше было упомянуто объ особаго вида предложеніяхъ, такъ-называемыхъ поризмахъ. Эвклидъ посвятилъ имъ отдѣльное сочиненіе «Три книги о Поризмахъ» къ разсмотрѣнію котораго теперь переходимъ.

*) Авторъ разумѣетъ Рамуса, который въ своемъ сочиненіи „Scholarum mathem. Libr. XXXI" говоритъ: „Neque enim natura initio sylvae omnium arborum radices praeposuit, ne architectus initio civitatis omnium aidificiorum fundamenta collocavit, sed suis arboribus suas radices natura, suis aedifieiis sua fundamenta architectura subjecit. Jtaque debucrat Euclides definitionem trianguli triangulorum, multangulia multangulorum doctrinae praeponere; eamque viam in caetiris prineipiis servare". Примѣч. Ред.

Содержаніе этого сочиненія долгое время составляло загадку для изслѣдователей; въ настоящее время Шаль*) возстановилъ его на основаніи сохранившихся лишь отрывочныхъ о немъ свидѣтельствъ. Это сочиненіе Эвклида о поризмахъ не дошло до насъ; слѣды его сохранились въ видѣ отрывковъ у Паппа Александрійскаго, жившаго въ концѣ IV вѣка по P. X. Въ своемъ сочиненіи: «Математическое собраніе»**) Паппъ излагаетъ собственныя изслѣдованія касательно многихъ частей математики, дѣлая при этомъ извлеченія изъ сочиненій другихъ авторовъ и комментируя эти выписки. Въ VII-й книгѣ Паппъ говоритъ о поризмахъ Эвклида и для уясненія ихъ приводитъ рядъ вспомогательныхъ теоремъ или леммъ; но однѣхъ этихъ леммъ недостаточно чтобы составить себѣ нѣсколько полное понятіе о содержаніи сочиненія: «О поризмахъ».

Мы имѣемъ леммы Паппа и къ такимъ сочиненіямъ, которыя дошли до насъ въ первоначальномъ своемъ видѣ; содержаніе ихъ показываетъ, что авторъ нерѣдко далеко отклонялся отъ комментируемаго сочиненія, такъ какъ у него встрѣчаются предложенія почти неимѣющія никакого отношенія къ тому, для уясненія чего написаны. Не было никакого основанія утверждать a priori что относительно поризмъ Эвклида не случилось того же самого. Но съ появленіемъ сочиненія Шаля О поризмахъ Эвклида нельзя не признать весьма тѣсной связи леммъ Паппа съ поризмами Эвклида. Содержанія 38 леммъ Паппа, приведенное имъ оглавленіе трехъ книгъ поризмъ, объясненія слова поризма данное Паппомъ и тождественное съ объясненіемъ у Прокла Діадоха,—все это такъ согласуется съ результатами изслѣдованій знаменитаго французскаго геометра, что едва ли можетъ возникнутъ предположеніе чтобы здѣсь имѣло мѣсто случайное совпаденіе.

Этимологическое происхожденіе слова поризма отъ По;і£о, nstpw, Pore, parare, ргі (санскр.), словъ включающихъ понятіе «подвигахъ» указываетъ намъ лишь на значеніе норизмы какъ прибавленія, корроларія, (въ какомъ смыслѣ это слово и встрѣчается въ нѣкоторыхъ геометрическихъ сочиненіяхъ); но не даетъ никакого понятія о признакахъ, отличавшихъ поризмы отъ другихъ предложеній. За то въ сочиненіяхъ Грековъ сохранилось нѣсколько опредѣленій поризмы, которыя могутъ служить для уясненія занимающаго насъ вопроса. Такъ у Паппа, въ

*) Les trois livres de Porismes d'Euclide, rétablis pour la première fois d'après la notice et les lemmes de Pappus et conformément au sentiment de R. Simson sur la forme des énoncés de ces propositions par M. Chasles. Paris. 1860.

**) „Mathematicae Collectiones" ed. Commandinus. Bononiae. 1660.

введеніи къ VII книгѣ находимъ два такихъ опредѣленія. Тамъ сказано, вопервыхъ, что «Поризма есть утвержденіе, при которомъ надлежитъ найти утверждаемое». Затѣмъ къ этому малозначащему объясненію, присоединено слѣдующее. «Это опредѣленіе поризмы измѣнено новѣйшими», (математиками), которые не могутъ всего найти; но, основываясь на «Элементахъ», только показываютъ что искомое дѣйствительно существуетъ, но само искомое не находятъ. Такъ, они говорилъ хотя въ противорѣчіи съ опредѣленіемъ, что поризма есть то, чего не достаетъ въ гипотезѣ теоремы о геометрическихъ мѣстахъ».

Другое опредѣленіе находимъ у жившаго 100 лѣтъ спустя послѣ Паппа, не разъ упомянутаго Прокла, который говоритъ: «Поризма есть предложеніе, которое, когда доказываютъ другую теорему, попутно вытекаетъ изъ этого доказательства, какъ самостоятельная истина». Всѣ эти опредѣленія указываютъ на то, что слово «поризма» измѣнило со временемъ свое первоначальное значеніе и что новѣйшіе для Паппа геометры ввели въ это понятіе новые признаки. Но во всякомъ случаѣ несомнѣнно то, что какъ у древнѣйшихъ, такъ и позднѣйшихъ математиковъ, поризма представляла сочетаніе теоремы и задачи, или была теорема, которая заключала въ себѣ проблему. Проклъ приводитъ въ примѣръ поризмы предложеніе: «если дана окружность, то центръ ея всегда можетъ быть найденъ», предложеніе, которое, очевидно, заключаетъ въ себѣ и задачу найти, построить центръ этой окружности. Другимъ примѣромъ поризмы въ древнѣйшемъ смыслѣ можетъ служить слѣдующее предложеніе изъ области хотя и чуждой греческимъ геометрамъ: «Многочленъ п-й степени относительно х всегда можетъ быть разложенъ на дѣйствительные множители». Къ этому предложенію непосредственно примыкаетъ вопросъ какой степени эти множители и какъ найти ихъ.

Чтобы объяснитъ позднѣйшее значеніе слова поризма мы должны остановиться предварительно на ученіи о «Геометрическихъ мѣстахъ».

Мѣстомъ въ Геометріи называется послѣдовательность точекъ, изъ которыхъ каждая удовлетворяетъ предложенной задачѣ или обладаетъ свойствомъ исключитюльно принадлежащимъ этимъ точкамъ. Древніе дѣлили мѣста на нѣсколько классовъ: прямую и окружность они называли плоскими мѣстами; коническія сѣченія — тѣлесными, такъ какъ происхожденіе ихъ связывали съ сѣченіемъ различныхъ конусовъ; наконецъ, кривыя высшихъ порядковъ, какъ напр. коихоиды, циссоиды, спирали и квадратриксы называли линейными мѣстами.

Подъ теоремой мѣста разумѣли такое предложеніе, въ которомъ

доказывается, что рядъ точекъ прямой или кривой удовлетворяетъ данному условію, а задачею мѣста—задачу, въ которой требуется найти рядъ точекъ, обладающихъ даннымъ свойствомъ. Легко видѣть, что эти вопросы выходили изъ предѣловъ до—Эвклидовой Геометріи и его «Началъ». Въ нихъ постоянно является перемѣнное, о которомъ въ теоремахъ «Началъ» не было и рѣчи. Изложеніе элементовъ Эвклида и по настоящее время подвергалось только незначительнымъ методическимъ измѣненіямъ, между тѣмъ какъ изслѣдованіе мѣстъ приняло существенно новое направленіе, когда въ XVII столѣтіи измѣняемость геометрическихъ протяженій легла въ основаніе новаго отдѣла науки— аналитической Геометріи, созданной Декартомъ. Только въ новѣйшее время обратились къ поризмамъ Эвклида, и съ успѣхомъ занялись ими. Школа современныхъ намъ Геометровъ, покинувъ аналитическіе пріемы XVII столѣтія, обратилась къ геометрическимъ методамъ древнихъ. Глава этой школы Шаль, возстановитель поризмъ, въ тоже время является однимъ изъ основателей этой новѣйшей «старой» Геометріи, которую принято называть «высшей».

Изслѣдованіе геометрическихъ мѣстъ въ древности неразрывно связано съ двумя знаменитыми задачами: задачею объ удвоеніи куба и о трисекціи угла. Первая изъ нихъ, такъ называемая Делійская, въ особенности пользовалась извѣстностью; нашли даже, нужнымъ приписать ей миѳическое происхожденіе. Эратосѳенъ, писатель жившій спустя немного времени послѣ Эвклида, разсказываетъ что царь Миносъ критскій заказалъ для своего умершаго сына памятникъ въ формѣ куба; узнавъ отъ архитектора, что онъ будетъ имѣть только 100 фут. въ ширину, длину и высоту, онъ велѣлъ его удвоитъ, такъ какъ размѣры памятника показались ему слишкомъ недостаточными для царскаго сына. Исполненіе этого желанія неожиданно оказалось весьма затруднительнымъ. Если мы выразимъ задачу на современномъ, намъ алгебраическомъ языкѣ и ребро первоначальнаго куба назовемъ а, то ребро вдвое большаго куба найдемъ изъ уравненія х3 = 2аг, откуда х=ау2. Съ одной стороны вычисленіе кубичныхъ корней древнимъ не было извѣстно, съ другой—прямая и окружность, единственныя линіи, которыя входили въ область ихъ Геометріи, не могли привести къ рѣшенію задачи. Первый сдѣлавшій шагъ къ ея разрѣшенію былъ Гиппократъ изъ Хіоса (450 г. до P. X.). Онъ свелъ задачу на построеніе двухъ средне-пропорціональныхъ къ двумъ даннымъ величинамъ. Дѣйствительно изъ уравненія:

a : х—х : у=у : 2а

получаемъ, исключивъ ул что х'А=2а*, т. е. что х сторона искомаго куба. Не слѣдуетъ забывать что изложенное здѣсь въ немногихъ словахъ представляло большое затрудненіе въ то время, когда, еще не были введены общіе символы, и если стараніями Гиппократа задача была только преобразована въ другую, то и въ этомъ нельзя не признать его заслуги. Даже и послѣ этого указанія Гиппократа задача долгое время оставалась нерѣшенной. и только возобновленныя попытки Платона и его школы увѣнчались успѣхомъ спустя 50 лѣтъ. Преданіе связываетъ это рѣшеніе задачи съ внѣшнимъ поводомъ. Говорятъ, что въ Делосѣ свирѣпствовалъ сильный моръ; спрошенный оракулъ, отвѣтилъ что онъ прекратится, если священный алтарь, имѣвшій форму куба, будетъ сдѣланъ вдвое больше. Тогда то обратились къ Платону за объясненіемъ этого изреченія оракула и за средствомъ исполнить его повелѣніе. Платонъ истолковалъ слова оракула въ томъ смыслѣ что боги повелѣваютъ Грекамъ, предавшимся кровавымъ распрямъ, обратиться къ наукамъ и въ особенности къ математикѣ и что только тогда моръ прекратится. Для насъ безразлично насколько справедливъ этотъ разсказъ; вѣрно лишь то что задача, получившая названіе Делійской, была рѣшена въ школѣ Платона, въ Академіи. Принадлежитъ ли заслуга перваго ея рѣшенія Платону, или Архитасу изъ Тарента, или Эвдоксу изъ Книдоса, или Менехму, достовѣрно неизвѣстно, потому что источники, заслуживающіе наибольшаго довѣрія сохранились только въ отрывкахъ, изъ которыхъ объ этомъ ничего узнать не можемъ. Я разумѣю здѣсь сочиненія Теоѳраста изъ Лесбоса и Эвдема изъ Родоса, знаменитыхъ учениковъ Аристотеля; и тотъ и другой написали исторію Геометріи, Ариѳметики и Астрономіи. Эти сочиненія, отличаясь ясностью и правдивостью, возбуждаютъ къ себѣ большое довѣріе, на сколько по крайней мѣрѣ мы можемъ судить по дошедшимъ до насъ отрывкамъ. Но, къ величайшему сожалѣнію, мы находимъ у Эвдема очень мало данныхъ относительно занимающаго насъ вопроса.

Эвтоцій изъ Аскалона, коммиментаторъ различныхъ сочиненій, жившій въ началѣ ХІ-го в., говоритъ что Платонъ для рѣшенія задачи объ удвоеніи куба прибѣгалъ къ инструменту, имѣвшему видъ прямоугольника, одна сторона котораго была подвижна и могла скользить по двумъ параллельнымъ сторонамъ. Пусть AB данная по величинѣ и положенію прямая и прямоугольникъ VWXV, сторона XV котораго подвижна, приведенъ въ такое положеніе, что одна изъ неподвижныхъ сторонъ, его напр. W'X^ проходитъ черезъ данную точку А, подвижная

имѣетъ конецъ у на продолженіи AB, конецъ X на СВ перпендикулярной къ AB, и притомъ ВС=2АВ. Если AB означимъ черезъ a, ВХ черезъ то найдемъ изъ прямоугольнаго треугольника AXV.

изъ прямоугольнаго треугольника CXV.

и, наконецъ,

изъ чего видимъ что h представля етъ ребро куба вдвое большаго куба, имѣющаго a ребромъ.

Тотъ же Эвтоцій, опираясь на свидѣтельство Эвдема, передаетъ намъ способъ Архитаса для рѣшенія задачи объ удвоеніи куба. Архитасъ держался пути болѣе научнаго чѣмъ Платонъ, не прибѣгая къ инструментальному рѣшенію, но изслѣдуя пересѣченіе нѣкоторой кривой двоякой кривизны съ поверхностью конуса. Такія изслѣдованія свидѣтельствуютъ о большомъ успѣхѣ въ геометрическихъ знаніяхъ, значеніе котораго для насъ уяснится, если вспомнимъ что до того времени изъ кривыхъ линій была извѣстна только одна окружность, теперь же изучалась кривая двоякой кривизны, которая на чертежѣ могла быть представлена не иначе какъ въ перспективѣ. Изъ этого не слѣдуетъ, впрочемъ, чтобъ такое перспективное изображеніе было бы по силамъ тогдашнимъ геометрамъ; вѣроятнѣе всего что они употребляли модели, хотя изготовленіе ихъ не могло не представлять затрудненій.

Далѣе Эвтоцій приписываетъ Менехму рѣшеніе задачи объ удвоеніи куба. Этотъ геометръ прибѣгалъ къ кривымъ, получаемымъ отъ пересѣченія конуса плоскостью, т. е. къ кривымъ, извѣстнымъ подъ названіемъ коническихъ сѣченій. Изъ этого, впрочемъ, не слѣдуетъ чтобы открытіе этихъ кривыхъ принадлежало Менехму, такъ какъ оно съ одинаковой вѣроятностью можетъ быть приписано его современнику, Аристею, написавшему «Пять книгъ о коническихъ сѣченіяхъ».

Говорятъ, наконецъ, что и Эвдоксъ съ цѣлью рѣшить ту же задачу употреблялъ особыя кривыя; мы ничего не знаемъ объ его пріемахъ.

Другая задача не менѣе знаменитая чѣмъ задача объ удвоеніи куба была задача о дѣленіи угла на три равныя части или задача о трисекціи угла. Рѣшеніе ея зависитъ отъ уравненія 3-й степени. Дѣйствительно, означивъ косинусъ даннаго угла черезъ a, а косинусъ eh) трети черезъ хЛ имѣемъ, какъ извѣстно: а=4#3—3#. Само собою разумѣется что формула эта была неизвѣстна Грекамъ; но они сознавали что рѣшеніе вопроса средствами элементарной геометріи невозможно. Диностратъ, братъ вышеупомянутаго Менехма, пользовался при рѣшеніи этой задачи кривой, которая сохранила его имя хотя открытіе ея и принадлежитъ можетъ быть Гиппіасу, современнику Сократа. Происхожденіе этой кривой слѣдующее.

Радіусъ CA окружности, равномѣрно вращаясь около центра, переходитъ изъ положенія CA въ положеніе JBA въ то же время, какъ прямая AC, двигаясь параллельно первоначальному положенію радіуса, переходитъ въ положеніе касательной BT; точка M пересѣченія вращающагося радіуса съ параллельно перемѣщающейся прямой описываетъ квадратриксу Динострата. Если напр. АЕ=-^ AB, то радіусъ, проведенный чрезъ точку М, отсѣкаетъ одну треть прямаго угла CAB; эта-же кривая служитъ для дѣленія любаго угла на три равныя части.

Изъ всего сказаннаго видно что ученіе о геометрическихъ мѣстахъ, возникшее за 450 л. до P. X:, достигло большаго развитія при Эвклидѣ, а можетъ быть и лѣтъ 50 ранѣе его; этимъ объясняется что; это ученіе трактовалось въ отдѣльныхъ сочиненіяхъ и что оно заключало особаго вида неполныя теоремы о мѣстахъ—поризмы въ Эвклидовомъ смылѣ.

Такую теорему, одну изъ извѣстнѣйшихъ, сохранилъ намъ Паппъ. На совеременномъ языкѣ она можетъ быть такъ выражена: «Если три лежащія на сторонѣ четырехсторонника*) вершины неподвижны, а каждая изъ двухъ другихъ описываетъ прямую, то и шестая вершина имѣетъ геометрическимъ мѣстомъ прямую».

Въ этомъ предложеніи: 1, дѣло идетъ о геометрическомъ мѣстѣ; 2,

*) Четыре прямыя пересѣкаясь по двѣ образуютъ фигуру, которая въ современной геометріи носитъ названіе четырехсторонника. Она имѣетъ шесть вершинъ и три діагонали. Иногда ей даютъ названіе полнаго четыреугольника.

въ условіяхъ теоремы положеніе прямыхъ, описываемыхъ двумя вершинами, не опредѣлено; другими словами въ условіяхъ этихъ не все дано; 3, вслѣдствіе этого заключеніе теоремы не вполнѣ опредѣленное; 4, заключеніе можетъ бытъ сдѣлано вполнѣ опредѣленнымъ, если положеніе прямыхъ привести въ зависимость отъ данныхъ теоремы; разсматривать эти положенія, какъ функцію ихъ. Другими словами перемѣщеніе точки поставлено въ зависимость отъ перемѣщенія двухъ другихъ точекъ, при чемъ видъ описываемой линіи данъ, положеніе же ея можетъ быть опредѣлено лишь тогда, когда въ дѣйствительности даны какъ положеніе мѣстъ, описываемыхъ двумя другими точками, такъ и положеніе трехъ неподвижныхъ точекъ.

Эта поризма, дошедшая до насъ въ болѣе полномъ видѣ, чѣмъ остальныя, примѣнялась, что узнаемъ мы изъ сочиненія Паппа, къ 10 частнымъ случаямъ. Дробленіе на частные случаи представляетъ признакъ характеристичный для древней геометріи; необходимость въ этомъ могла исчезнуть лишь послѣ введенія общихъ символовъ, выражающихъ вмѣстѣ и величины геометрическихъ протяженіи и ихъ взаимное положеніе.

Изъ сказаннаго легко заключитъ, какой большой объемъ могло получить сочиненіе о поризмахъ, если при этомъ разсматривать геометрическія мѣста всевозможныхъ родовъ. Эвклидъ повидимому ограничился изслѣдованіемъ только тѣхъ геометрическихъ мѣстъ, теорія которыхъ изложена въ его Элементахъ; въ первыхъ двухъ книгахъ «Поризмъ» онъ употребляетъ только прямую, въ третьей—окружность. Не смотря на это ограниченіе сочиненіе его заключало 171 предложеніе, которыя Паппъ дѣлитъ на 29 группъ. Къ одной группѣ относились предложенія, въ которыхъ дѣло шло о томъ, что нѣкоторая точка остается на прямой данной по своему положенію. Другую группу составляютъ предложенія, въ которыхъ доказывается, что нѣкоторая подвижная прямая проходитъ чрезъ постоянную точку. Третью группу составляютъ предложенія, которыми о.бнаруживается, что нѣкоторая подвижная прямая, пересѣкая 2 данныя прямыя, опредѣляетъ нѣкоторые отрѣзки, произведеніе которыхъ остается постояннымъ. При этой группировкѣ не приняты въ разчетъ условія, которыми опредѣляется движеніе точки въ первой группѣ, движеніе прямыхъ въ другихъ двухъ группахъ.

Что касается до формы, то сочиненіе о поризмахъ близко подходитъ къ третьему трактату Эвклида, къ разсмотрѣнію котораго переходимъ, къ такъ называемымъ «Данныя».

Это въ цѣлости дошедшее до насъ сочиненіе состоитъ изъ 25 предложеній, въ которыхъ показано, что нѣкоторыя данныя опредѣляютъ вмѣстѣ съ тѣмъ и другія.

Это выраженіе нѣсколько уяснится, если мы познакомимся съ опредѣленіями, которыя Эвклидъ помѣстилъ въ началѣ этого сочиненія. Геометри,ческія протяженія называются данными по величинѣ, если можно найдти имъ равныя. Отношеніе называется даннымъ, если можетъ быть найдено другое ему равное. Точки, прямыя, углы называются данными по положенію, если не измѣняютъ мѣста, и пр.

Вотъ нѣкоторыя изъ предложеній этого сочиненія:

Предл. 1. Данныя величины имѣютъ и данное отношеніе.

Предл. 3. Данныя величины имѣютъ и данную сумму.

Предл. 25. Если прямыя даны по своему положенію, то дана и ихъ точка пересѣченія.

Предл. 40. Если въ треугольникѣ данъ каждый изъ угловъ по величинѣ, то видъ треугольника данъ.

Предл. 41. Если въ треугольникѣ данъ уголъ и отношеніе заключающихъ его сторонъ, то видъ треугольника данъ.

Предл. 54. Если площади двухъ подобныхъ фигуръ имѣютъ данное отношеніе, то ихъ (сходственныя) стороны имѣютъ данное отношеніе.

Предл. 89. Если въ окружности даннаго радіуса дана хорда по величинѣ, то данъ по величинѣ вписанный уголъ, на нее опирающійся.

Сравненіе этихъ предложеній съ поризмами ясно указываетъ ихъ сродство по формѣ выраженія. Эти «Данныя» содержатъ каждая задачу и доказательство предложенія почти всегда ведется такъ, что вмѣстѣ съ тѣмъ дается и рѣшеніе этой задачи.

Но основное различіе между поризмами и данными то, что въ послѣднихъ не принимаются въ расчетъ перемѣнныя величины, что составляетъ сущность поризмъ и по современному взгляду придаетъ имъ научное значеніе несравненно высшее чѣмъ «даннымъ». Дѣйствительно въ послѣднихъ нѣтъ ничего такого, чего бы не заключали въ себѣ «элементы», хотя и въ другой послѣдовательности. Можно сказать, что «данныя» представляютъ матеріалъ для повторенія «элементовъ», поризмы-же являются самостоятельнымъ ихъ развѣтвленіемъ.

Проклъ разсказываетъ намъ еще о третьемъ сочиненіи Эвклида, его книгѣ «о дѣленіи фигуръ». До второй половины 16 столѣтія это сочиненіе на западѣ было неизвѣстно и только около 1563 г. Джонъ Ди (Dee) нашелъ одну арабскую рукопись точно также озаглавленную, которую онъ приписалъ Эвклиду, хотя арабскій писатель и былъ названъ

ея авторомъ. Переводъ этой рукописи на латинскій языкъ включенъ былъ въ Оксфордское изданіе Эвклида. Въ новѣйшее время предположеніе Ди нашло подтвержденіе еще въ томъ, что Вёпке (Woepke) открылъ въ Парижѣ арабскую рукопись, которая по содержанію совпадала съ рукописью Ди, хотя не дословно и кромѣ того содержала рядъ предложеній о дѣленіи круга, которыхъ совсѣмъ нѣтъ въ первой рукописи, хотя Проклъ въ своемъ комментаріи ясно на нихъ указываетъ. Въ рукописи найденной Вёпке Эвклидъ прямо названъ авторомъ этого сочиненія.

Слѣдующія задачи могутъ дать понятіе о содержаніи этихъ отрывковъ изъ сочиненій Эвклида. Мы находимъ здѣсь требованія: раздѣлить въ данномъ отношеніи треугольникъ (четыреугольникъ) прямою, параллельною данной прямой. Для пятиугольника вопросъ хотя и не поставленъ въ такомъ общемъ видѣ, но требуется также дѣленіе его или посредствомъ прямой исходящей изъ данной на сторонѣ пятиугольника точки, или прямой параллельной сторонѣ пятиугольника. Рукопись Вёпке оканчивается задачами: раздѣлить попаламъ площадь, ограниченною дугою окружности и двумя пересѣкающимися прямыми; отдѣлить отъ круга сегментъ данной площади. Для рѣшенія первой задачи проводятъ хорду ВС и изъ средины ея перпендикуляръ. DE и прямую AD. Ломанная прямая A DE очевидно дѣлитъ площадь пополамъ; если затѣмъ проведемъ DE параллельно АЕ и соединимъ F и Е, то прямая FF раздѣлитъ данную площадь пополамъ. Кромѣ вышеупомянутыхъ сочиненій Эвклида, указываютъ еще на четыре книги «о коническихъ сѣченіяхъ» и на двѣ книги о «мѣстахъ на повѣрхности», имъ написанныя. Что касается до перваго изъ этихъ сочиненій, то намъ придется сослаться на него, когда будемъ говорить объ Апполоніи, нѣкоторыя изъ книгъ котораго, по указанію Паппа, тѣсно связаны съ «коническими сѣченіями» Эвклида. Относительно же втораго сохранилось лишь его заглавіе и четыре леммы, приведенныя у Паппа.

МАТЕМАТИЧЕСКІЙ ЛИСТОКЪ.

СУММИРОВАНІЕ ОДНОРОДНЫХЪ СТЕПЕНЕЙ ЧИСЕЛЪ НАТУРАЛЬНАГО РЯДА.

Если а, Ь, с,... первые п членовъ ариѳметической прогрессіи, разность которой d, то

Возведя въ степень m обѣ части каждаго изъ этихъ равенствъ, найдемъ

Сложивъ всѣ эти равенства, получимъ

Переходя къ натуральному ряду чиселъ, полагаемъ а —1. г/=1, 11=11

и обозначаемъ, для краткоети, сумму m-ыхъ степеней первыхъ п чиселъ этого ряда чрезъ Sm, сумму ихъ нулевыхъ степеней (равную гі) чрезъ £0, вообще, сумму /v-ыхъ степеней чрезъ 8к.

Послѣднее равенство приметъ тогда слѣдующій видъ:

или, послѣ перенесенія отрицательныхъ членовъ,

Вторая часть этого равенства есть

Первая же частъ его можетъ бытъ представлена такъ

или, символически, въ такомъ видѣ

гдѣ, по разложеніи по формулѣ бинома, надлежитъ показатели

m, m—1прп Я замѣнить указателями m, m—1,..., а послѣдній членъ разложеніи т. е. 1 замѣнить суммой S{) т. е. числомъ п.

Удобная въ мнемоническомъ отношеніи формула

(А+1))Я-^=Ог + 1)'"-1

служитъ для послѣдовательнаго вычисленія суммъ однородныхъ степеней чиселъ натуральнаго ряда, продолженнаго до числа п.

Приложимъ ее къ частнымъ случаямъ.

Сумма квадратовъ первыхъ п чиселъ натуральнаго ряда выведена Архимедомъ, въ его книгѣ «О спираляхъ»; онъ пользуется ею при вычисленіи площади спиральнаго сегмента и, далѣе, при вычисленіи сегмента параболическаго. Предложеніе относительно этой суммы—предложеніе Х-ое упомянутой книги—выражено у Архимеда такъ:

«Если взяты линіи въ какомъ угодно множествѣ и каждая превосходитъ слѣдующую на избытокъ равный меньшей изъ всѣхъ и если взяты въ томъ же числѣ, какъ первыя, другія линіи, изъ которыхъ каждая равна большей изъ линій перваго ряда, то сумма всѣхъ квадратовъ на линіяхъ, равныхъ большей, сложенная съ квадратомъ на большей и сложенная съ площадью, заключенной между меньшей изъ линій и линіей, составленной изъ всѣхъ неравныхъ линій, — равна утроенной суммѣ квадратовъ, построенныхъ на неравныхъ линіяхъ».

Если длину меньшей изъ всѣхъ прямыхъ примемъ равной 1, длину слѣдующей—2, послѣдней—п, то на современномъ математическомъ языкѣ предложеніе Архимеда получаетъ слѣдующее выраженіе:

Правило для суммированія квадратовъ приведено, но безъ доказательства, въ сочиненіяхъ индійскихъ математиковъ: Брамегупта2) и Баскара3) и нѣкоторыхъ арабскихъ. Различныя докательства его находимъ у Леонарда Пизанскаго, Луки Пачіоли и Франциска Мавролика4).

Правило для суммированія кубовъ п первыхъ чиселъ натуральнаго ряда и соотношеніе между этой суммой и суммой первыхъ степеней тѣхъ же чиселъ, выражаемое равенство

находимъ, но опять безъ доказательства, у тѣхъ же индійскихъ математиковъ, равно какъ въ арабской ариѳметикѣ, составитель которой, Ибнъ Албанна, жилъ въ XIII в. Между тѣмъ къ сочиненіи арабскаго писателя болѣе древняго помѣщены два доказательства о суммѣ кубовъ, одно ариѳметическое, другое геометрическое. Абу Бекръ Мухаммедъ бенъ Алгусейнъ, прозванный Алкарки (счетчикъ), написалъ сочиненіе объ алгебрѣ, которое назвалъ «Факри» вѣроятно въ честь (умершаго въ 1016 г.) визиря Абу Галиба, Факръ Алмулка (Слава

государства»). Извлекаемъ изъ этой Алгебры геометрическое доказательство о кубахъ чиселъ, слѣдуя переводу оріенталиста Вёпке*):

«Доказательство того**) посредствомъ фигуры.

«Площадь AB CD есть результатъ умноженія 21 на 21, и 21 есть результатъ сложенія чиселъ отъ 1 до 6. Мы говоримъ что вся площадь AB CD равна совокупности кубовъ чиселъ, сумма которыхъ даетъ 21 т. е. чиселъ отъ 1 до 6.

«Полагаемъ DK=6, KL = 5, LM=4. МХ=3, Х0 = 2, ОС=1

«Дѣлимъ ВС такъ что BF=DK, FS= KL, SN= ЕМ и также другія части».

«Мы говоримъ что площади DE, ЕА и ЕВ равны кубу числа fi, потому что площадь ЕА есть 6.6, линія КЕ есть 15, и линія EF тоже, такъ что площади КЕ и ED—180; если вы прибавите площадь ЕА, которая 36, то получите 216 т. е. кубъ числа 6».

«Это такъ, потому что, если отъ какого-либо числа отнимете единицу, если разность помножите на квадратъ перваго числа и если къ тому прибавите квадратъ этого числа, то получите кубъ его***). Это очевидно.

«И если вы возьмете сколько угодно чиселъ отъ единицы въ естественномъ порядкѣ и если раздѣлите сумму на число, которое слѣдуетъ за последнимъ изъ взятыхъ, то выйдетъ половина числа,

*) Переводъ сдѣланъ съ рукописи, хранящейся въ Парижской королевской библіотекѣ. Недавно изданъ переводъ другаго сочиненія того же арабскаго писателя: Ben Alhusein Alkharkhi (Abu Bekr Muhammed).—Hafî fil Hisâb (Genügendes über Arithmetik) nach der auf der herzoglich gothaischen Schlossbibliothek befindlichen Handschrift bearbeitet von Dr. Adolph Hochheim, Professor, I. Halle a. S., Verlag von Louis Nebert. 1878. V—246.

**)

***) (n—\).п*+Ф=п*

до котораго вы взяли сумму*). Напр. вы берете сумму отъ 1 до 8; это—36; вы дѣлите это число на 9, получаете 4; это—половина числа 8.»

«Итакъ если вы возьмете сумму до какого угодно числа, въ естественномъ порядкѣ, если помножите то что получите на слѣдующее число взятое два раза и если прибавите квадратъ этого числа, то получите кубъ этого числа**). Послѣ этого объясненія видно что площади KZ, ZE и ZK составляютъ кубъ линіи LK; площади SH, HZ и HS—кубъ линіи SM; площади МТ, ТН и TN— кубъ MX; площади LI, IT и IW—кубъ ХО; наконецъ, площадь ІС—кубъ 00. Очевидно теперь что площадь CA равна кубу чиселъ отъ 1 до 6.

«А вотъ форма фигуры***)

Рукопись оканчивается слѣдующими словами.

«Конецъ сочиненія подъ заглавіемъ Факри, которое заключаетъ въ себѣ начала алгебры и начала задачъ, Хвала безъ границъ Тому, кто даруетъ разумъ. Да будетъ его благословеніе на Мухаммедѣ— Пророкѣ, его семьѣ и друзьяхъ, чистыхъ.

«Это написалъ и окончилъ Саликъ, бѣдный».

Начало, на которомъ основано только-что приведенное доказательство, можетъ быть приложено и въ другихъ случаяхъ суммированія чиселъ. Оно состоитъ въ томъ что расположенныя по нѣкоторому закону въ таблицу числа разсматриваютъ въ нѣкоторой группировкѣ и суммируютъ ихъ, затѣмъ разсматриваютъ тѣже числа въ иной группировкѣ, опять суммируютъ и сравниваютъ полученные результаты.

Пусть п* единицъ расположены въ п рядовъ по п единицъ въ каждомъ. Разсматривая ихъ въ группировкѣ, указачной на чертежъ, непосредственно заключаемъ что

1+3+5+......+(Ь-1)=п*

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

„ l+2+З+.+и п 0 nr. . .

*) >г+і ..-^-î^-m+i).

**) (l+2+3+..+w).2(w+l)+(w+l)2=w(n+l)*+(w+l)2=r(w+l)3.

***) Въ рукописи чертежъ помѣщенъ за изложеніемъ доказательства.

Написавъ рядъ чиселъ отъ 1 до п и расположивъ п такихъ рядовъ въ таблицу, видимъ что сумма всѣхъ чиселъ таблицы

(l + 2+3+-..+w).w=Sl.w

Съ другой стороны, группируя числа, какъ указано на чертежѣ, для суммы чиселъ w-oй группы найдемъ выраженіе

(1 + 2+3 +.....+m) +m(m—1)= —-m1——w;

сумма чиселъ всѣхъ группъ равна слѣдовательно

Сравнивая оба выраженія для одной и той же суммы, получимъ

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

2

4

6

8

3

6

9

12

4

8

12

16

Разсмотримъ еще такъ называемую пиѳагорову таблицу, продолженную до произведенія гі.гі.

Сумма перваго ряда этой таблицы очевидно—#п сумма втораго—2$,, сумма ю-аго— п8х, сумма всѣхъ чиселъ таблицы

^.(l+2 + 3+...+w)-Äia Съ другой стороны сумма чиселъ к-ой группы:

2т(1 +2+3 H-----h ш)—т2 = m*

сумма чиселъ всѣхъ группъ, поэтому S3 и

Только по формѣ отличается это доказательство отъ того, которое оставилъ намъ арабскій «Алкарки».

Если всѣ числа пиѳагоровой таблицы замѣнить квадратами ихъ, то для суммы чиселъ т-о\і группы нашли бы:

для суммы чиселъ всѣхъ группъ:

и заключили бы. такъ какъ съ другой стороны эта сумма [&j]2, что

2S, + Ss = i[S2f

Замѣняя квадраты чиселъ ихъ кубами и пользуясь тѣмъ же пріемомъ нашли бы что

Что касается до суммированія четвертыхъ степеней чиселъ натуральнаго ряда, то правило сюда относящеесе находимъ въ сочиненіи арабскаго писателя XVI в. Джемсида бенъ Масуда, у котораго оно выражено такъ:

«Если желаемъ знать сумму квадрато-квадратовъ чиселъ, взятыхъ по порядку, начиная съ 1, то должны изъ суммы этихъ чиселъ вычесть 1 и взятъ одну пятую частъ этой разности, къ этому прибавитъ сумму взятыхъ чиселъ и умножитъ то что получимъ на сумму квадратовъ тѣхъ же чиселъ*).

Ферматъ въ письмѣ къ Робервалю отъ 4 Ноября 1636 г. даетъ правило для суммированія биквадратовъ въ слѣдующемъ видѣ:

1) Архимедъ. 287—212. См. ст. „Эвклидъ и его вѣкъ" „Листокъ" стр. 113.

Archimedis opera et Eutocii comm. nunc prim. Gr. Lat. Ex recensione Th. Venatorii. Basil. 1544.

Archimedis quae supersunt omnia cum Eutocii Ascalonitae commentariis. Ex recensione Josephi Torelli. Oxonii. MDCCXCII.

Oeuvres d'Archimède, traduites littéralement, avec un commentaire par F. Peyrard. Paris. MDCCCVII. Второе изданіе 1844 г.

2) Брамегупта. 598—? Астрономъ и математикъ. Написалъ въ 628 г. трактатъ объ Астрономіи: Sphuta Sidd'hanta, ХІІ-ая глава (Ganita) котораго посвящена арѳфметикѣ и геометріи, а ХVIII-ая (Cuttaca)—алгебрѣ.

Algebra, with Arithmetic and Mensuration, from the sanscrit o Brahmegupta and Bhàscara. Translated by Henry Thomas Colebrooke. London. 1817. 4. fig.

3) Баскара Axapia (т. e. докторъ философіи) 1114—? Астрономъ и математикъ. Написалъ трактатъ объ Астрономіи—Sidd'hanta Siromani, часть котораго, озаглавленная Lilavati (Прекрасная) содержитъ арѳфметику и геометрію, а другая—Bija Ganita—Алгебру.

*)

Lilawati: or a treatise on Arihmetic and Geometry by Bhascara Acharya. Translated from the original sanscrit by lohn Taylor. Bombay. 1816.

4) Maurolico (Maurolykus) Francesco. 1494—1575.

Opuscula mathematica, 4, Venetiis, 1575. Arifhmeticorum libri II, 8, ib. 1575. 1580.

Emendantio et restitutio conicorum Apollonii Pergaei, fol., ib., 1654. Admirandi Archimedis Syracusani monumenta omnia quae extant, fol., Panormi, 1685.

ilntorno alia vita ed ai lavore di Francesco Maurolico» въ: Bullettino di bibliografia et di Storia délie scienze matematiche et fisiche pubblicato da B. Boncompagni. Tomo IX. Roma. 1876.

ДВА ПОСТРОЕНІЯ.

1. Построить средне-пропорціональную къ двумъ даннымъ прямымъ. Пустъ длины данныхъ прямыхъ а, Ъ и Ь<а.

На неопредѣленной прямой отложите: АВ=Ъ, ABC=BAD=a; изъ точекъ D и G радіусомъ равнымъ a опишите двѣ дуги; точку I ихъ пересѣченія соедините съ A:— AI искомая прямая.

2. Построитъ сторону правильнаго десятиугольника, вписаннаго въ данную окружность.

Пусть О центръ данной окружности, R—ея радіусъ. Проведите два перпендикулярныхъ діаметра;^,Б,(7,І>—концы ихъ. Изъ точки A радіусомъ AF, равнымъ Е, опишите дугу; изъ точки F встрѣчи ея съ дугою AB опишите дугу радіусомъ равнымъ хордѣ AB; эта дуга пересѣчетъ діаметръ CA въ двухъ точкахъ I, 7П изъ которыхъ первая на діаметрѣ CA, вторая—на его продолженіи. Тогда: 01—сторона вписаннаго десятиугольника, 0ІХ— удвоенная апотема вписаннаго пятиугольника, . ВІ—сторона вписаннаго пятиугольника, ВІХ—удвоенная апотема вписаннаго десятиугольника.

НАЧАЛЪ ЭВКЛИДА КНИГИ Х-Й ПРЕДЛОЖЕНІЕ І-ОЕ И КНИГИ ХІІ-Й ПРЕДЛОЖЕНІЕ ІІ-ОЕ.

«Если даны двѣ неравныя величины, и отъ большей отнята часть, которая больше ея половины, отъ остатка отнято больше его половины, отъ втораго остатка опятъ отнято больше его половины и т. д., то получится нѣкоторая величина, которая меньше, чѣмъ меньшая изъ данныхъ».

Пустъ АВ,Г двѣ неравныя величины, пустъ AB большая изъ нихъ. Я говорю что если отъ AB отнять частъ большую ея половины, и продолжать дѣлатъ тоже, то останется нѣкоторая величина, которая меньше величины Г.

Величина Г, будучи умножена, сдѣлается наконецъ больше AB.

Пустъ она умножена; пустъ ДЕ величина кратная Г и пустъ она больше AB. Раздѣлимъ ДЕ на части AZ,ZH,HE, изъ которыхъ каждая равна Г, отнимемъ отъ AB частъ ВѲ, большую ея половины, отъ АѲ—частъ ѲК, большую ея половины и будемъ продолжать такъ, пока число дѣленій AB сдѣлается равнымъ числу дѣленій ДЕ; пустъ же число дѣленій АК,КѲ,ѲВ равно числу дѣленій dZ, ZH, HE.

Такъ какъ ДЕ больше AB и отъ ДЕ отнята часть ЕН меньшая ея половины, а отъ AB часть ВѲ большая ея половины, то остатокъ НД больше остатка ѲА. Такъ какъ НД больше ѲА, и отъ НД отнята ея половина HZ, а отъ ѲА—часть ѲК большая ея половины, то остатокъ ДZ больше остатка КА. Но ДZ равно Г; поэтому Г больше АК или АК меньше Г. Отъ величины AB слѣдовательно осталась величина АК, которая меньше Г, меньшей изъ данныхъ величинъ. Что и требовалось доказать.

Доказательство осталось бы тоже, еслибы отнимаемыя части были половины.

«Круги относятся какъ квадраты ихъ діаметры».

Пустъ АВГД, EZH8 данные круги; ВД, ІѲ—ихъ діаметры. Говорю что квадратъ ВД относится къ квадрату Z0, какъ кругъ АВГД къ кругу EZHO.

Если квадратъ ВД не относится къ квадрату Z9, какъ кругъ АВГД къ кругу EZHO, то квадратъ ЕА относится къ квадрату Z0, какъ

кругъ АВГА относится къ площади, которая или больше круга EZHO, или меньше круга EZH6. Пусть относится, во первыхъ, какъ къ площади 2, меньшей круга EZHO.

Въ кругъ EZHO впишемъ квадратъ EZHO; этотъ квадратъ больше половины круга EZHO, такъ какъ вписанный квадратъ вдвое меньше квадрата описаннаго около того же круга. Но кругъ меньше описаннаго квадрата, слѣдовательно квадратъ EZHO больше половины круга EZHO. Раздѣлимъ дуги EZ,ZH,HO,OE пополамъ точками K,A,M,N и проведемъ ЕК, KZ, ZA, AH, НМ, МѲ, ON, NE. Каждый изъ треугольниковъ EKZ, ZAH, HMO, ONE больше половины сегмента, въ который онъ вписанъ потому что,—если чрезъ точки K,A,M,N проведемъ касательныя и на прямыхъ EZ, ZH, НѲ, ОЕ построимъ параллелограммы,— каждый изъ треугольниковъ EKZ, ZAH, HMO, ONE есть половина параллелограмма, въ который вписанъ. Но сегментъ меньше описаннаго параллелограмма; слѣдовательно каждый изъ треугольниковъ EKZ, ZAH, HMO, ONE больше половины сегмента, въ который онъ вписанъ.

Если мы оставшіяся дуги EZ, KZ,.., раздѣлимъ пополамъ, соединимъ ихъ концы прямыми, и будемъ продолжать тоже, мы дойдемъ до сегментовъ, сумма которыхъ меньше избытка круга EZHO надъ площадью 2, такъ какъ, по доказанному въ первомъ предложеніи десятой книги, если даны двѣ неравныя величины и отъ большей отнята часть, которая больше ея половины, отъ остатка отнято больше его половины и т. д., то получится нѣкоторая величина, которая меньше, чѣмъ меныпая изъ данныхъ.

Пусть же дошли до этой величины, пусть ее составляютъ сегменты круга EZHO на прямыхъ ЕК, KZ, ZA, AH, НМ, MO, ON, NE и пусть

сумма ихъ меньше избытка круга EZH0 надъ площадью 2; тогда остающійся многоугольникъ EKZAHMON будетъ больше площади 2.

Внишемъ въ кругъ АВГД многоугольникъ АЕВОГДР подобный многоугольнику EKZAHM0N; квадратъ ВД будетъ относиться къ квадрату Z0, какъ многоугольникъ АЕВОГПДР къ многоугольнику EKZAHMON (кн. XII. Предл: 1-ое). Но квадратъ ВД относится къ квадрату Z0, какъ кругъ АВГД къ площади Г; поэтому кругъ АВГД относится къ площади 2, какъ многоугольникъ АЕВОГПДР къ многоугольнику EKZAHMON и, (permutando*) кругъ АВГД относится къ многоугольнику, который въ него вписанъ, какъ площадь 2 къ многоугольнику EKZAHMZN. Но кругъ АВГД больше многоугольника, который въ него вписанъ и поэтому площадь 2 должна быть больше многоугольника EKZAHMZN. Но она должна быть и меньше его, что невозможно и поэтому квадратъ ВД не относится къ квадрату ZA, какъ кругъ АВГД къ площади, которая меньше круга EZHZ. Подобно этому, доказали бы что квадратъ Z0 не относится къ квадрату ВД, какъ кругъ EZHZ къ площади меньшей круга АВГД.

Говорю, далѣе, что квадратъ ВД не относится къ квадрату Ze, какъ кругъ АВГД къ площади, которая больше круга EZH0. Пусть, если возможно, квадратъ ВД относится къ квадрату Z0, какъ кругъ АВГД къ площади 2 большей (круга EZHO)... Тогда, (invertendo**), квадратъ Z0 относиться къ квадрату ВД, какъ площадь 2 къ кругу АВГД.

Но площадь Е относится къ кругу АВГД, какъ кругъ EZH6 къ площади меньшей круга АВГД; поэтому квадратъ Z0 долженъ относиться къ квадрату ВД, какъ кругъ EZH0 къ площади, которая меньше круга АВГД; a это, по доказанному, невозможно; слѣдовательно, квадратъ ВД не относится къ квадрату Z0, какъ кругъ ХВГД къ площади, которая больше круга EZH0. Но доказано, что квадратъ ВД не относится къ квадрату Z0, какъ кругъ АВГД къ площади, которая меньше круга EZH0. Итакъ, квадратъ ВД относится квадрату Z0, какъ кругъ АВГД къ кругу EZH0.

Круги, слѣдовательно, и пр.

*) Перестановкой среднихъ или крайнихъ членовъ пропорціи.

**) Замѣна отношеній, входящихъ въ пропорцію, обратными отношеніями.

ЗАМѢТКА О РѢШЕНІИ НѢКОТОРЫХЪ УРАВНЕНІЙ.

При рѣшеніи уравненій, имѣющихъ видъ геометрической пропорціи или такихъ, которыя легко могутъ быть къ нему приведены, весьма удобно пользоваться преобразованіемъ, которое основано на извѣстныхъ свойствахъ пропорціи*).

Если A : В=а : 6, то

Если

то

Если

то

и т. д.

*). См. Bardey, Algebraische Gleichungen nebst den Resultaten und den Methoden zu ihre Auflösung. 2-te Aufl. 1876.

Примѣры.

1. 2.

3. 4. 5. 6. 7. 8.

9. 10.

Задачи.

1. Квадратъ всякаго нечетнаго числа кратнаго трехъ есть разность двухъ треугольныхъ чиселъ взаимно простыхъ съ числомъ 3.

2. Всякое простое число большее 3 имѣетъ видъ 6w+l или 6w—1.

3. Если р простое число большее 3, то 4^2+1 есть сумма трехъ квадратовъ.

4. Если а+Ь + с = 2р, то

Р*+{Р—а)2 + (р—Ъу + (р—су=а*+Ь*+с\ Если четное число есть сумма трехъ квадратовъ, то оно можетъ быть разложено и на сумму четырехъ квадратовъ.

5. Если а2+62+с2 = #2, то сумма

(a + b + iy + (b + c+dy + (c + a + dy есть полный квадратъ.

Если въ прямой прямоугольной призмѣ, ребра которой измѣряются раціональными числами, діагональ измѣряется также раціональнымъ числомъ, то неограниченный рядъ такихъ призмъ имѣетъ тоже свойство.

6. Если Х=х\ Y=(x+1)\ Z=2(X+T+1), то каждое изъ слѣдующихъ выраженій

XV+ Х+ Г, YZ+ Y+Z, ZX+Z+ X, XV+Z, YZ+X, ZX+Y

есть полный квадратъ.

7. 1. аЬі¥Х имѣетъ на концѣ туже цифру, какъ и а.

2. Доказать что разность aih+d—aic+d дѣлится на 30.

8. Число пп—п всегда дѣлится на 2730.

9. Число п1—14ws+49w3—36w всегда дѣлится на 5040.

10. Если число ж" + п6 простое, то общій наибольшій дѣлитель показателей a и Ъ равенъ 1 или степени числа 2.

11. Опредѣлить сумму квадратовъ первыхъ п нечетныхъ и перныхъ п четныхъ чиселъ,

12. Опредѣлить сумму кубовъ первыхъ п нечетныхъ и первыхъ.п четныхъ чиселъ.

13. Сумма квадратовъ нечетныхъ чиселъ, стоящихъ на четныхъ мѣстахъ, уменьшенная на сумму квадратовъ нечетныхъ чиселъ, стоящихъ на нечетныхъ мѣстахъ, есть удвоенныя квадратъ.

14. Рѣшить уравненіе:

(х + а)(х+a+Ъ\х + a + Щ{х + a + Щ = с

Рѣшить системы уравненій:

15.

16. 17.

18. Найти восьмизначное число, квадратъ котораго имѣлъ бы на концѣ тѣже восемь цифръ, какъ и искомое число.—Если такое число существуетъ, то всякая степень его оканчивается тѣми же цифрами, которыми оно само написано.

19. Если въ четыреугольникѣ двѣ противолежащія стороны равны, то:

1° онѣ образуютъ равные углы съ прямой, проходящій чрезъ средины двухъ другихъ сторонъ;

2° проэкціи ихъ на эту прямую равны.

20. Доказать что равнодѣлящія внѣшнихъ угловъ четыреугольника, пересѣкаются по двѣ въ четырехъ точкахъ, лежащихъ на окружности.

21. Окружности О и О, пересѣкаются въ точкахъ Ö и D; прямая, проходящая чрезъ D, встрѣчаетъ первую окружность въ точкѣ В, вторую въ точкѣ Вх\ прямыя ВО, В1Оі пересѣкаются въ точкѣ М, геометрическое мѣсто которой требуется опредѣлить.

22. Бъ треугольникѣ ABC, прямая AD дѣлитъ пополамъ уголъ A и пересѣкаетъ въ точкѣ D сторону ВС; прямая EDF перпендикулярна къ AD и встрѣчаетъ стороны AB, AC въ точкахъ Е, F. Доказать что

23. На сторонахъ угла A взяты точки В и G такъ, что сумма 1 1+ постоянна. Доказать что прямая ВС проходитъ чрезъ постоянную точку.

24. Если углы треугольника составляютъ ариѳметическую прогрессію, то стороны его не могутъ составить таковой.

25. Опредѣлить видъ треугольника, въ которомъ

ЭВКЛИДЪ И ЕГО ВѢКЪ.

(ПРОДОЛЖЕНІЕ).

Переходимъ къ тремъ непосредственно за Эвклидомъ слѣдовавшимъ великимъ геометрамъ, къ Архимеду, Эратосѳену и Аполлонію.

Архимедъ безпорно принадлежитъ къ величайшимъ математикамъ древности; таковымъ его считали современники, потомство еще болѣе его возвеличило. О жизни его сохранились довольно полныя свѣдѣнія; біографію его написалъ Гераклидъ, жившій послѣ P. X., раньше VI в., такъ какъ Эвтоцій (540) о немъ упоминаетъ. Но эта біографія не дошла до насъ, вслѣдствіе чего приходится собирать свѣдѣнія объ Архимедѣ у различныхъ авторовъ (Плутархъ, Ливій, Цицеронъ, Діодоръ, Силій, Валерій упоминаютъ о немъ).

Архимедъ родился въ Сиракузахъ около 287 г. Одни утверждаютъ что онъ былъ родственникомъ Царя Гіерона, другіе говорятъ что онъ не принадлежалъ къ знатному роду*). Во всякомъ случаѣ его близкія, почти дружескія отношенія къ Царю не подлежатъ сомнѣнію. Кто былъ учителемъ Архимеда неизвѣстно. Діодоръ говоритъ—и это подтверждаютъ арабскіе писатели—что Архимедъ путешествовалъ по Египту, гдѣ, какъ извѣстно, математика процвѣтала со временъ Птолемеевъ. Упоминается также о его пребываніи въ Испаніи. Къ числу его друзей, которымъ онъ посвящалъ свои отдѣльныя сочиненія, принадлежали Зеуксиппъ, Царь Гелонъ, Кононъ и Досиѳей. Возвратившись въ свое отечество, Архимедъ жилъ, по всей вѣроятности, частнымъ лицомъ; по крайней мѣрѣ, не сохранилось никакихъ указаній на какую либо общественную должность, которую онъ занималъ бы. Въ этотъ періодъ о немъ упоминается лишь по поводу оказанныхъ Гіерону отдѣльныхъ услугъ, между которыми всего болѣе извѣстна опредѣленіе содержанія золота и серебра въ коронѣ, сдѣланной для Царя. Витрувій**), писатель эпохи Августа, разсказываетъ объ этомъ слѣдующее. Архимеду было предложено изслѣдовать составъ золотой короны, относительно которой существовало сомнѣніе состоитъ ли она изъ одного золота и не замѣнена ли часть его серебромъ. Однажды, входя въ ванну, до краевъ наполненную, Архимедъ замѣтилъ что часть

*) У Силія (De bello Punico): «Nudus opem, sed cui coelum terraeque paterent.

**) Vitruvius. De architectura libri decern. Ed. J, G. Schneider. Lipsiae. 1807.

воды вылилась. Это наблюденіе, которое безъ сомнѣнія доводилось дѣлать много разъ и до него, послужило для Архимеда исходною точкою замѣчательнаго ряда выводовъ. Количество вытѣсненной воды, разсуждалъ онъ, зависитъ только отъ объема, но не отъ вѣса погруженнаго тѣла; вѣсъ же различныхъ тѣлъ, при равномъ объемѣ, различенъ; различныя тѣла, при равномъ вѣсѣ, занимаютъ объемы различныя Если сдѣлать двѣ короны равнаго вѣса съ подлежащей изслѣдованію, одну серебрянную, другую золотую, то, при погруженіи въ сосудъ, наполненный водою, первая вытѣснитъ наибольшее количество жидкости, вторая—наименьшее, корона же, сдѣланная изъ сплава двухъ металловъ, вытѣснитъ нѣкоторое количество воды, меньшее того, которое вытѣсняетъ серебрянная и большее того, которое вытѣсняетъ золотая.

Вмѣстѣ съ этимъ Архимеду, по всей вѣроятности, представилась возможность вычислить по результатамъ сдѣланнаго опыта, составъ короны изъ серебра и золота*). Разсказываютъ что, обрадованный своимъ открытіемъ, Архимедъ выбѣжалъ изъ ванны съ возгласомъ eoprjxa, sopfjxa (нашелъ, нашелъ).

Въ сочиненіи «De ponderibus et mensuris» написанномъ около 500 г. по P. X. авторомъ достовѣрно не извѣстнымъ, находимъ другое изложеніе: открытіе Архимеда сведено къ опредѣленію удѣльнаго вѣса тѣла взвѣшиваніемъ его въ воздухѣ и взвѣшиваніемъ въ водѣ. Извѣстно что для нахожденія этого удѣльнаго вѣса, надлежитъ вычислить отношеніе вѣса тѣла къ вѣсу потерянному при погруженіи въ воду, вѣсу равному вѣсу вытѣсненной жидкости. Этотъ второй пріемъ удобнѣе перваго, такъ какъ опредѣленіе путемъ опыта вѣса тѣла можетъ быть произведено съ большей точностью, чѣмъ опредѣленіе объема вытѣсненной жидкости. По всей вѣроятности, уму Аримеда первый пріемъ, какъ непосредственный и болѣе естественный, первымъ же и представился, затѣмъ онъ былъ наведенъ на второй, когда обнаружились практическія затрудненія, связанныя съ примѣненіемъ перваго.

Это великое открытія положило начало Гидростатикѣ. Архимедъ является вмѣстѣ съ тѣмъ и основателемъ Статики твердыхъ тѣлъ, такъ какъ онъ нашел законъ равновѣсія рычага. Если мы упомянемъ еще

*) Если единица вѣса серебра вытѣсняетъ объемъ воды равный V\, единица вѣса золота—объемъ воды равный F2, единица вѣса сплава изъ х частей серебра и изъ (1—х) частей золота—объемъ воды равный V, то—X. —x).V$=V-

объ «Винтѣ», который Архимедъ употребилъ въ качествѣ водоподъемной машины, укажемъ затѣмъ на знаменитую «Сферу» имъ устроенную для изображенія движенія небесныхъ свѣтилъ и, наконецъ, скажемъ что имъ былъ построенъ большой корабль для Царя,—то этимъ въ общихъ чертахъ намѣтимъ его дѣятельность въ области механики. Съ этой дѣятельностью имя Архимеда связано въ періодъ его жизни, предшествовавшій общественному служенію.

Съ 214 г. Римляне осаждали Сиракузы и, благодаря только изобрѣтеніямъ и усиліямъ Архимеда, всѣ попытки овладѣть городомъ долго. оставались тщетны. Помимо разныхъ подъемныхъ и метательныхъ машинъ, въ особенности прославились зажигательныя зеркала, помощью которыхъ Архимедъ, по свидѣтельствамъ хотя и оспариваемымъ, сжигалъ на разстояніи непріятельскіе корабли. Только въ 212 г. Римлянамъ удалось овладѣть Сиракузами вослѣ нечаяннаго нападенія со стороны суши; при этомъ Архимедъ былъ убитъ римскимъ воиномъ. Разсказываютъ что, погруженный въ геометрическія изслѣдованія, онъ чертилъ фигуры на пескѣ и, видя приближающагося непріятеля сказалъ: «Не смѣй разстроивать моихъ круговъ»*). Марцелъ, римскій полководецъ очень огорчился смертью своего знаменитаго противника и приказалъ поставить ему памятникъ, на которомъ вмѣсто надписи была изображена геометрическая фигура согласно желанію, которое Архимедъ какъ-то высказалъ. Памятникъ былъ, по видимому, въ большомъ пренебреженіи у соотечественниковъ великаго геометра, такъ какъ Цицеронъ въ свою бытность квесторомъ Сициліи съ трудомъ нашелъ его подъ разросшимся терновникомъ.

Перейдемъ теперь къ ознакомленію съ дошедшими до насъ сочиненіями Архимеда. Замѣтимъ что всѣ онѣ написаны на дорійскомъ діалектѣ и что содержаніе ихъ составляютъ: ариѳметика, геометрія и механика. При этомъ намъ придется, прежде всего, пожалѣть объ утратѣ сочиненія Архимеда, носившаго заглавіе: «Основанія» (açxat) и содержавшаго ученіе объ ариѳметическихъ дѣйствіяхъ.

При изученіи чиселъ разсматриваютъ или тѣ свойства ихъ, на которыхъ основано производство дѣйствій, или тѣ, которыя принадлежатъ, такъ сказать, самому числу независимо отъ первыхъ. Тѣми занимается Ариѳметика, этими—теорія чиселъ.

Греки дѣлали такое же различіе, но называли ариѳметикою то что

*) «Noli turbare circulos meos.» У греческихъ авторовъ нѣсколько иначе: TQCV

мы называемъ теоріей чиселъ, а ученію о дѣйствіяхъ—ньшѣшней ариѳметикѣ—давали названіе «Логистики». ариѳметика составляла любимое занятіе пиѳагоровой школы; говоря объ Эвклидѣ, мы упомянули о некоторыхъ изслѣдованіяхъ, сюда относящихся. Что же касается до логистики - ученіи о вычисленіяхъ—то до насъ не дошло ни одного полнаго сочиненія о ней и она вѣроятно весьма немногимъ авторамъ служила предметомъ письменнаго изложенія. Послѣднее легко объяснить особенностями самого предмета. Когда, въ геометріи, доказываютъ теорему, напр. какое либо свойства треугольника, и для этой цѣли чертятъ фигуру, то, не смотря на все разнообразіе, которое представляютъ треугольники по своему виду и своимъ размѣрамъ, свойство доказанное для одного изъ нихъ признается общимъ т. е. принадлежащимъ всякому треугольнику. Важнымъ пособіемъ для такого отвлеченія слѣдуетъ признать обозначеніе отдѣльныхъ точекъ буквами, въ чемъ нельзя не видѣть своего рода символичности. Что касается до чиселъ, то, какъ извѣстно, ихъ стали обозначать общими знаками (символами) весьма поздно. Вслѣдствіе этого, при производствѣ дѣйствій съ числами, различіе одного примѣра отъ другаго было такъ значительно, что только постоянное упражненіе въ вычисленіяхъ съ разнообразнѣйшими числами могло довести до отвлеченія правила, какъ производить то или другое ариѳметическое дѣйствіе во всѣхъ случаяхъ, независимо отъ особенностей, представляемыхъ каждымъ отдѣльнымъ примѣромъ. Если устное объясненіе при самомъ производствѣ вычисленія представляетъ нѣкоторое затрудненіе, то тѣмъ большее должно было обнаружиться при всякой попыткѣ подробнаго изложенія на письмѣ ариѳметическихъ правилъ и ихъ объясненія. Кромѣ того слѣдуетъ принятъ во вниманіе что древніе производили по большей части ариѳметическія вычисленія инструментально и что объясненіе какъ употреблять счетную доску (Абаксъ, Abacus) могло быть излагаемо устно съ большимъ удобствомъ, чѣмъ письменно.

Утерянное сочиненіе Архимеда содержитъ, должно полагать, ученіе объ ариѳметическихъ дѣйствіяхъ и представляетъ по всѣй вѣроятности древнѣйшій трактатъ «о Логистикѣ». Перечислимъ сдѣсь кстати древнихъ авторовъ, писавшихъ о томъ же предметѣ. Сюда относятся: Аполлоиій, о способѣ умноженія котораго намъ придется еще говоритъ; нѣкій Магнусъ, логистику котораго хвалитъ Эвтоцій; Ѳеонъ, жившій въ IV в. и познакомившій насъ съ пріемами, которые употребляли Греки при дѣленіи и извлеченіи квадратныхъ корней; Паппъ, который по всей вѣроятности помѣстилъ въ началѣ своего «Математическаго

Сборника» все относящіеся къ логистикѣ и, наконецъ, Эвтоцій, котораго примѣры умноженія сохранились.

Если съ потерей «Основаній» Архимеда мы лишились весьма драгоцѣннаго источника, то взамѣнъ этого до насъ дошло вполнѣ другое его сочиненіе ариѳметическаго содержанія. Въ видѣ письма къ Гелону (сыну Гіерона) онъ написалъ «Исчисленіе песчинокъ» (фа^т^?, агеnarius), въ которомъ рѣшаеть слѣдующій вопросъ: выразить число большее числа песчинокъ, которыя могли бы помѣститься въ шарѣ, имѣющемъ радіусомъ разстояніе отъ центра земли до неподвижныхъ звѣздъ. Что касается до значенія зтой своеобразной задачи, то утверждали будто «Исчисленіе песчинокъ» было наиисано съ единственною цѣлью опровергнуть мнѣніе что это число песчинокъ безконечно велико или, покрайней мѣрѣ, велико настолько что, не можетъ быть выражено никакимъ числомъ*). Не отрицая что подобная задача была

*) Въ дополненіе сказаннаго въ настоящей статьѣ, считаемъ не безполезнымъ заимствовать изъ «Лексикона чистой и прикладной математики, составленнаго Академикомъ В. Я. Буняковскимъ. Томъ I. А—Д. СІІБ. 1839.» слѣдующее:

Исчисленіе песчинокъ. Письмо Архимеда къ Гелону, сыну Гіерона, Царя Сиракузскаго, написанное съ цѣлью опровергнуть мнѣніе тѣхъ изъ его современниковъ, которые утверждалъ будто бы число песчинокъ или безконечно, или по крайней мѣрѣ такъ велико, что большаго числа нельзя выразить. Архимедъ съ геометрическою точностью доказываетъ въ своемъ письмѣ, что можно выразить нетолько число песчинокъ земнаго шара въ томъ предположеніи, что онъ весь состоитъ изъ песку, но даже и тогда, когда предположимъ все пространство до неподвижныхъ звѣздъ наполненнымъ пескомъ. Архимедъ, въ этомъ письмѣ, основываетъ свое исчисленіе на предположеніи Астронома Аристарха Самосскаго—относительно удаленія неподвижныхъ звѣздъ отъ земли, именно: онъ допускаетъ, что это разстояніе не болѣе 100000000 разъ взятому радіусу земли Архимедъ полагаетъ 300 миріадъ стадій, что составляетъ 432321 версту, и слѣдовательно слишкомъ въ десять разъ болѣе настоящаго, ибо земля, какъ извѣстно, имѣетъ въ окружности около 37573 верстъ. Сверхъ того, Сиракузскій Геометръ предполагаетъ, что въ объемъ маковаго зерна входитъ не болѣе 10000 песчинокъ, а діаметръ маковаго зерна принимаетъ не менѣе ^ дюйма (Греческій дюймъ былъ, какъ полагаютъ, немногимъ болѣе — нашего дюйма). Потомъ, вычисляетъ послѣдовательно число песчинокъ, заключающихся въ шарѣ, имѣющемъ діаметромъ одинъ дюймъ, сто дюймовъ, десять тысячъ дюймовъ и проч., и находитъ окончательно, что число песчинокъ, достаточное для наполненія шара, простирающагося до неподвижныхъ звѣздъ, будетъ менѣе тысяча миріадъ чиселъ восьмыхъ (октадъ), что по нашему счисленію означаетъ число 106з.

«Исчисленіе песчинокъ» переведено на русскій языкъ: «Архимеда Псаммитъ, переводъ съ Греческаго Ѳ. Петрушевскаго. СПБ. 1824 г.» Намъ не приходилось, къ сожалѣнію, имѣть въ рукахъ эту книгу. Ред.

бы достойна обработки, нельзя не признать за сочиненіемъ о числѣ песчинокъ и другаго значенія: оно должно было служить дополненіемъ съ ариѳметической точки зрѣнія къ геометрическому способу исчерпанія. Въ основаніи этого способа, о которомъ мы говорили по поводу десятой книги «Началъ», лежитъ мысль что какъ-бы мала ни была данная величина, всегда можно найти другую меньшую. Безконечно-малому противустоитъ безконечно-большое; какъ бы велика ни была данная величина, всегда можно найти другую большую. Но если безконечно малое можетъ быть наглядно, такъ сказать, представлено въ видѣ разности двухъ геометрическихъ формъ почти совпадающихъ, то такое облегчающее пониманіе средство не можетъ быть употреблено; когда дѣло идетъ о безконечно-большомъ; здѣсь по необходимости приходится разсматривать отвлеченныя величины—числа и доказать что всегда существуетъ число большее даннаго, какъ бы велико послѣднее ни было. Это доказательство и дано Архимедомъ въ его Псаммитѣ.

На такое разъясненіе, допускаемое безъ сомнѣнія содержаніемъ трактата, можно было бы возразить что оно заставляетъ предполагать въ Архимедѣ знаніе метода безконечно-малыхъ, которымъ онъ не обладалъ. Но это возраженіе падаетъ, если скажемъ, что Архимедъ, преимущественно передъ всѣми другими греческими математиками и притомъ съ большимъ успѣхомъ чѣмъ кто либо изъ нихъ, примѣнялъ геометрическій способъ исчерпанія, что настолько признано всѣми, что нерѣдко Архимеда считаютъ изобрѣтателемъ самого способа, а таковымъ, какъ мы видѣли, онъ не былъ. Кромѣ этого, Архимедъ прибѣгалъ къ другому способу, который можно было бы назвать ариѳметическимъ исчерпаніемъ; онъ состоитъ въ нахожденіи произвольно близкихъ предѣловъ, между которыми заключено число, которое не можетъ быть выражено точно. Такимъ пріемомъ Архимедъ пользуется въ своемъ сочиненіи «Объ измѣреніи окружности». какъ увидимъ изъ слѣдующаго.

Онъ исходитъ изъ стороны правильнаго описаннаго шестиугольника и доказываетъ что отношеніе ея къ діаметру меньше отношенія 153: 265; доказываетъ затѣмъ что отношеніе стороны правильнаго описаннаго 12-ти угольника къ діаметру меньше 153:571; послѣдовательнымъ удвоеніемъ сторонъ доходитъ до описаннаго. 96-ти угольника, показываетъ что сторона его меньше jg^p Діаметра, что периметръ этого многоугольника меньше діаметра, а также меньше Зу- діаметра, изъ чего заключаетъ что длина окружности меньше Зу- діаметра.

Затѣмъ Архимедъ переходитъ къ вписаннымъ многоугольникамъ; доказываетъ что сторона правильнаго вписаннаго шестиугольника равна половинѣ діаметра, что сторона вписаннаго 12-ти угольника больше діаметра, что, наконецъ, сторона вписаннаго %-ти угольника больше діаметра, периметръ его больше <щу7 или больше d^; изъ чего заключаетъ что длина окружности больше 3^ діаметра.

Такимъ образомъ число, выражающее отношеніе длины окружности къ діаметру, если и не найдено точно, то заключено въ достаточно близкіе предѣлы: Зу^ и 3 yj. Число 3-y обозначаемое буквой кч носитъ, какъ извѣстно, названіе Архимедова отношенія*).

Скажемъ нѣсколько словъ въ поясненіе этого знаменитаго вычисленія.

Если въ окружность вписанъ правильный шестиугольникъ, около нея описанъ одноименный многоугольникъ, стороны котораго параллельны сторонамъ перваго и центръ окружности соединенъ съ вершинами этихъ многоугольниковъ, то легко видѣть что половина стороны описаннаго шестиугольника есть меньшій катетъ прямоугольнаго треугольника, котораго большій катетъ—радіусъ окружности и гипотенуза котораго вдвое больше меньшаго катета. Отыскалъ ли Архимедъ въ таблицѣ квадратовъ цѣлыхъ чиселъ то квадратное число, которое будучи умножено на 3, давало бы число близко подходящее къ другому квадратному числу и нашелъ такимъ путемъ числа 265 и 153**) этого конечно мы не знаемъ. Какъ бы то ни было онъ полагаетъ эти два числа въ основаніе всего своего вычисленія, при дальнѣйшемъ ходѣ котораго пользуется теоремой Пиѳагора и теоремой о равнодѣлящей угла треугольника. При этомъ Архимедъ обнаруживаетъ большое искусство въ производствѣ вычисленій, свободно обращаясь съ пропорціями и извлекаи квадратные корни.

Въ сочиненіяхъ великаго геометра не осталось, къ сожалѣнію, и

*) На страницахъ «Листка» будетъ помѣщенъ переводъ статьи Архимеда «объ измѣреніи окружности.» Ред.

**) Если X сторона описаннаго около окружности правильнаго шестиугольника и D діаметръ окружности то 3.r2=_D2. 3.(153)2=70227; (265)2=70229; 3 (153)2 приблизительно равно (265)2,

слѣда тѣхъ пріемовъ, къ которымъ онъ прибѣгалъ для вычисленій послѣдняго рода. Его комментаторъ Эвтоцій также ничего не говоритъ объ этомъ, показывая лишь, путемъ повѣрки, что найденные Архимедомъ квадратные корни вѣрны. По этому случаю мы узнаемъ; какъ греки, современники Эвтоція, производили письменно умноженіе; чтобы найти (265)2 поступали такъ: множили 200 послѣдовательно на 200, на 60, на 5; затѣмъ 60 на тѣже производители, наконецъ 5 на тѣже производители и складывали записанныя частныя произведеніи.

Перехожу, наконецъ, къ геометрическимъ сочиненіямъ Архимеда. Одно изъ нихъ подъ заглавіемъ «О коническихъ сѣченіяхъ» не дошло до насъ; что таковое имъ было написано можно заключить изъ слѣдующаго: онъ въ двухъ своихъ сочиненіяхъ («Квадратура параболы, пред. 3, «Книга о коноидахъ и сѳероидахъ», пред. 4). ссылается на «Коническія сѣченія», не упоминая ихъ автора, что онъ дѣлалъ только тогда, когда указывалъ на собственныя сочиненія. Предположеніе что Архимедъ написалъ вышеупомянутую книгу «О коническихъ сѣченіяхъ» подтверждается еще и тѣмъ что онъ производилъ отдѣльныя изслѣдованія надъ этими кривыми, изъ которыхъ парабола служила, казалось, любимымъ предметомъ его занятій. Книга о квадратурѣ обнаруживаетъ во всемъ блескѣ искусство Архимеда въ примѣненіи метода исчерпанія. Остановимся на нѣкоторыхъ его выводахъ сюда относящихся.

Вотъ какъ между прочимъ онъ доказываетъ то предложеніе что площадь параболическаго сегмента, равна V3 площади треугольника имѣющаго основаніемъ—хорду сегмента, а высотою— высоту сегмента.

Если черезъ средину хорды параболы проведена прямая параллель ная ея оси, и въ точкѣ пересѣченія этой параллельной съ кривою построена касательная, то эта касательная параллельна хордѣ. Вслѣдствіе этого перпендикуляръ опущенный изъ точки касанія на хорду больше перпендикуляра опущеннаго изъ всякой другой точки дуги сегмента на его хорду: это высшая точка сегмента, разстояніе ея отъ хорды, и есть высота сегмента. Изъ этого далѣе слѣдуетъ что треугольникъ имѣющій основаніемъ хорду сегмента, а высотою его высоту, больше половины сегмента, или что параболическій сегментъ больше площади этого треугольника, но меньше удвоенной площади его. Если въ полученные меньшіе сегменты впишемъ опять треугольники наибольшей площади, то каждый изъ нихъ больше половины своего сегмента и площадь его составляетъ 78 площади первоначальнаго треугольника. Поэтому площадь разсматриваемаго сегмента больше І1/^ но меньше 17л площади вписаннаго треугольника. Продолжая такимъ образомъ

далѣе, Архимедъ доказываетъ что площадь сегмента не можетъ быть больше 4/з. но не можетъ быть и меньше 4/3 треугольника, имѣющаго съ нимъ общее основаніе и общую высоту.

Выражаясь на современномъ языкѣ и обозначая черезъ 1 площадь наибольшаго треугольника вписаннаго въ сегментъ, мы сказали бы что площадь послѣдняго равна суммѣ членовъ безконечно убывающей геометрической прогрессіи:

Весьма оригинально другое доказательство того же предложенія связанное съ изслѣдоваиіями о равновѣсіи и нахожденіи центра тяжести.

Если С точка опоры равноплѣчаго рычага АСВ, и треугольникъ BDE привѣшанъ какъ показано на чертежѣ, то фигура F уравновѣситъ его, когда площадь F составляетъ одну треть площади BDE. Затѣмъ Архимедъ воображаетъ привѣшанную къ рычагу трапецію не параллельныя стороны DHii EG которой продолженныя встрѣчаются въ точкѣ В, а параллельныя DE и GH перпендикулярны къ АСВ. Относительно этой трапеціи DEGH онъ доказываетъ, что привѣшанная къ точкѣ A и уравновѣшивающая трапецію фигура F имѣетъ площадь, отношеніе которой къ площади трапеціи заключается между отношеніями -j^z и —^. Наконецъ, Архимедъ переходитъ къ параболическому сегменту. Если дуга BD его раздѣлена на произвольное число частей, если изъ каждой точки дѣленія проведена прямая

параллельная CE и точки пересѣченія ихъ съ кривою соединены съ точкою В, то, какъ показываетъ Архимедъ, параболическій сегментъ является заключеннымъ между двумя рядами трапецій. Примѣняя затѣмъ найденное для равновѣсія треугольника и трапецій, онъ находитъ что площадь сегмента составляетъ \ большаго треугольника, BDH.

Съ другой стороны если CGT параллельная хордѣ BD касательная, H средина BD, R средина BE и HG = \ DE, то площадь сегмедта составитъ слѣдовательно f малаго треугольника BEG. He останавливаясь долѣе на этомъ предметѣ равно какъ на книгѣ «О плавающихъ тѣлахъ» отмѣтимъ лишь что въ послѣдней Архимедъ изслѣдуетъ законы равновѣсія погруженныхъ въ жидкость тѣлъ, геометрическія свойства которыхъ имъ изучены въ «Книгѣ о Коноидахъ и Сфероидахъ. Подъ этимъ именемъ Архимедъ разумѣетъ тѣла, происходящія отъ вращенія около своей оси параболы, эллипса, гиперболы т. е. тѣ, которыя мы называемъ параболоидомъ, эллипсоидомъ и гиперболоидомъ вращенія. Архимедъ разбиваетъ эти тѣла плоскими равно отстоящими другъ отъ друга сѣченіями на слои, которые заключаетъ между двумя рядами цилиндровъ, однихъ вписанныхъ, другихъ описанныхъ. Суммируя объемы цилиндровъ того и другаго ряда, Архимедъ получаетъ два предѣла, между которыми заключенъ объемъ изслѣдуемаго тѣла; эти предѣлы могутъ быть произвольно сближены уменьшеніемъ разстоянія между сѣкущими плоскостями. Другими словами, Архимедъ находитъ кубатуру названныхъ тѣлъ способомъ, который усовершенствованнымъ узнаемъ въ вычисленіи объемовъ пріемами интегральнаго исчисленія. Въ книгѣ о коноидахъ и сѳероидахъ (Пред. 6) Архимедъ даетъ квадратуру эллипса, а далѣе (пред. 8—10) показываетъ что для каждаго эллипса можетъ быть найдено неограниченное число конусовъ и цилиндровъ на поверхность которыхъ онъ можетъ быть помѣщенъ.

Архимедъ оставилъ намъ еще другое сочиненіе стереометрическаго содержанія: «Двѣ книги о шарѣ и цилиндрѣ». Въ немъ онъ имѣетъ цѣлью, какъ упоминаетъ самъ о томъ въ предисловіи, доказать слѣдующія три новыя теоремы:

1) Поверхность шара въчетыре раза больше площади большаго круга.

2) Поверхность шароваго сегмента равна площади круга, имѣющаго радіусомъ прямую, которая проведена отъ вершины сегмента къ окружности, служащей ему основаніемъ*).

*) Эту теорему въ современныхъ руководствахъ выражаютъ иногда такъ: «Поверхность шароваго сегмента равна площади круга, радіусъ котораго есть хорда образующей дуги сегмента.»

3) Цилиндръ, имѣющій основаніемъ большой кругъ шара, а высотою-діаметръ этого шара (иначе: описанный около шара цилиндръ) имѣетъ объемъ равный § объема и гіоверхность равную f поверхности шара.

Открытіе этихъ теоремъ Архимедъ цѣнилъ очень высоко; геометрическая фигура, которую онъ пожелалъ имѣть себѣ памятникомъ, была шаръ съ описаннымъ цилиндромъ.

Остается сказать еще объ одномъ замѣчательномъ сочиненіи Архимеда, его «Книгѣ о спираляхъ».

«Если, говоритъ авторъ, прямая линія равномѣрно вращается въ плоскости около одной изъ своихъ точекъ, пока дойдетъ до начальнаго положенія и если въ тоже время по этой прямой равномѣрно движется точка, начавъ свое движеніе отъ неподвижной точки, то движущаяся точка описываетъ плоскую спиральную линію.

Эта кривая извѣстна теперь подъ названіемъ Архимедовой спирали. Нѣкоторые утверждали что не Архимедъ, а другъ его Кононъ, открылъ эту кривую и изслѣдовалъ ея свойства. Новѣйшими изысканіями такое мнѣніе окончательно опровергнуто. Теоремы относительно свойствъ спирали Архимедъ предложилъ Конону для доказательства и ждалъ долгіе годы не найдетъ ли кто эти доказательства; затѣмъ только изложилъ ихъ въ своемъ сочиненіи, посвященномъ Досиѳею.

Современный читатель, привыкшій, при изученіи свойствъ тѣхъ кривыхъ, къ которымъ принадлежитъ спираль, прибѣгать къ пріемамъ диффереціальнаго исчисленія и знакомый съ примѣненіемъ геометрическаго метода развѣ только при изслѣдованіи коническихъ сѣченій, не можетъ достаточно надивиться искусству Архимеда обходиться въ своихъ изслѣдованіяхъ одними элементарно-геометрическими средствами; рядъ пропорціи и неравенствъ—последнія неизбѣжны въ примѣненіи метода исчерпанія—разложеніе площади, ограниченной спиралью, на секторы, заключенные между двумя рядами круговыхь секторовъ,—вотъ средства, достаточныя для Архимеда чтобы найти квадратуру спирали и способъ проведенія касательной къ ней.

Въ заключеніе упомянемъ объ сочиненіи Архимеда, извѣстномъ подъ названіемъ «Леммъ»*) оно дощло до насъ въ арабскомъ переводѣ и содержитъ 15 предложеній геометріи**).

*) Такъ оно озаглавлено въ изданіи Peyrard'a. У Ницце (Archimedes von Syrakus vorhandene Werke) заглавіе: «Vahlsätze» (избранныя предложенія).

**) Эти предложенія слѣдующія:

I. Если двѣ окружности АЕВ, CED касаются; если діаметры AB, CD параллельны, и точки В, D соединены съ точкою касанія Е, то линія BDE прямая.

Приблизительно черезъ 11 лѣтъ послѣ рожденія Архимеда, въ 276 или 275 году, родился второй изъ трехъ великихъ современниковъ: Эратосѳенъ. сынъ Эглаоса. Уроженецъ Кирены, онъ провелъ большую частъ своей жизни въ Александріи, гдѣ учителями его были Каллимахъ, ученый хранитель знаменитой библіотеки, и философъ Лизаній. Затѣмъ онъ отправился въ Аѳины, сблизился тамъ со школой Платониковъ, такъ что его самого считаютъ принадлежащимъ къ этой школѣ, и еще болѣе углубился въ изученіе математики. Птоломей Эвергетъ пригласилъ Эратосѳена опятъ въ Александрію въ качествѣ преемника его учителя Каллимаха въ завѣдываніи библіотекой, и съ этихъ поръ его отношенія къ этому царю какъ и къ. царицѣ Арсиноѣ становятся особенно дружескимъ Нѣтъ слѣдовательно никакого основанія предполагатъ, будто Эратосѳенъ на старости лѣтъ удаленный изъ библіотеки впалъ въ нищету, хотя съ другой стороны извѣстія о томъ,

II. Пусть СВА полуокружность; пусть прямыя DC, DB касательныя къ ней; пусть прямая BE перпендикулярна къ A С (діаметру) и проведена прямая AD, которая пересѣкаетъ BE въ точкѣ F. Тогда В F=EF.

(Въ арабской рукописи теорема доказана въ томъ предположеніи, что прямая BE проходитъ чрезъ центръ полуокружности. Торелли, въ своемъ изданіи Архимеда, доказалъ эту теорему для общаго случая ».

III. Пусть CA сегментъ круга; В—точка его дуги; BD—перпендикуляръ на хорду AC; пусть DE=DA и дуга BF равна дугѣ ВА. Тогда прямая CF равна прямой CE.

IV. Пусть ABC полукругъ; на его діаметрѣ AC пусть построены два полукруга AD к DC; пусть DB перпендикуляръ къ AC* Фигура, полученная такимъ построеніемъ и ограниченная большою полуокружностью и двумя малыми называется Арбелонъ («Сѣкирка>). Площадь арбелона равна площади круга, имѣющаго діаметромъ перпендикуляръ DB.

V. Пусть AB полукругъ; С—точка его діаметра. Построимъ полукруги AC, СВ; изъ С возставимъ перпендикуляръ CD; по обѣ стороны его впишемъ круги, которые касались бы его и дугъ полукруговъ. Вписанные полукруги равны.

VI. Пусть ABC полукругъ; пусть D точка на діаметрѣ AC, взятая такъ, что отношеніе AD къ DC равно отношенію 3 къ 2; пусть на AD, DC описаны полуокружности; пусть построена окружность касательная къ тремъ полуокружностямъ и пусть EF діаметръ ея, параллельный AC. Нужно найти отношеніе діаметра AC къ діаметру EF.

VII. Если кругъ описанъ около квадрата, а другой въ него вписанъ, то описанный кругъ вдвое больше вписаннаго.

VIII. Если хорда AB круга продолжена и ВС сдѣлано равнымъ радіуса круга; если потомъ точка С соединена съ центромъ, который есть точка D, и если CD продолжена до Е, то дуга АЕ втрое больше дуги BF.

IX. Если въ окружности двѣ прямыя AB, CD, которыя не проходятъ чрезъ центръ, пересѣкаются подъ прямымъ угломъ, то дуги AD, СВ взятыя вмѣстѣ равны дугамъ AC, DB взятымъ вмѣстѣ.

что Эратосѳенъ страдая глазами, можетъ быть даже лишившись зрѣнія, добровольно покончилъ съ жизнью въ 194 г. до Р. X. голодной смертью, слишкомъ согласны между собою, чтобы не считаться вѣрными. Научное значеніе Эратосѳена весьма разносторонне. Наибольшую важность приписываетъ онъ самъ своей литературной и грамматической дѣятельности, называя себя «филологомъ». Но и въ другихъ отрасляхъ знанія Эратосфенъ является писателемъ, что доказываютъ дошедшія до насъ его сочиненія. Онъ написалъ сочиненіе «О добрѣ и злѣ» на ряду съ «Хронологіей» и сочиненіе «Объ измѣреніи земли», гдѣ онъ первый изъ Грековъ пытается опредѣлить размѣры земли, на ряду съ сочиненіемъ «О комедіи» и «Географіей», драгоцѣнные отрывки которой дошли до насъ*).

Эратосфенъ носилъ у современниковъ прозваніе «Бета»**). Одни утверждаютъ, что онъ его получилъ въ качествѣ втораго библіотекаря, но мы знаемъ, что Зенодотъ былъ первымъ, Каллимахъ вторымъ, а Эратосѳенъ слѣдовательно третьимъ изъ завѣдывавшихъ этимъ книго-

X. Пустъ ABC кругъ; DA касательная; DB сѣкущая и DC касательная. Проведемъ прямую (хорду) CE параллельнаго DB и прямую ЕА, которая пересѣкаетъ DB въ F, изъ F опустилъ перпендикуляръ F Gr на CE. Прямая FG раздѣлитъ хорду CE пополамъ въ точкѣ G.

XI. Если въ кругъ двѣ хорды AB, CD нересѣкаются подъ прямымъ угломъ въ точкѣ Е, которая не есть центръ, то сумма квадратовъ отрѣзковъ АЕ, BE, EC, ED равна квадрату діаметра.

XII. Пусть на діаметрѣ AB описана полуокружность и изъ точки С проведены касательныя CD, CE. Проведемъ прямая ЕА, DB, которыя встрѣчаются въ F', соединимъ точки С, F я продолжимъ прямую CF до пересѣченія съ діаметромъ въ G. Прямая CG перпендикулярна къ AB.

XIII. Пусть прямыя AB, CD пересѣкаются; пусть AB діаметръ; пусть CD не діаметръ. Изъ точекъ A, В проведемъ прямыя АЕ, BF перпендикулярныя къ CD. Прямая CF, DE равны.

XIV. Пусть AB полукругъ; отъ діаметра AB отнимемъ равныя части AC, BD; на прямыхъ AC, CD, BD онишемъ полуокружности {AC, BD надъ AB; CD подъ AB). Пусть точка Е центръ полуокружностей AB, CD и EF перпендикуляръ къ AB, продолженный до пересѣченія въ G съ полуокружностью AB. Площадь круга, имѣющаго FG діаметромъ, равна площади ограниченной большой полуокружностью, двумя малыми и, наконецъ, полуокружностью CD.

XV. Пусть AB полукругъ; AC—сторона вписаннаго пятиугольника (правильнаго) и AD половина дуги AC. Проведемъ прямую CD до пересѣченія въ Е съ продолженнымъ діаметромъ ВА. Проведемъ прямую BD, которая пересѣкаетъ CA въ F и изъ точки F опустимъ на AB перпендикуляръ FG. Прямая FG равна радіусу круга.

*) Eratosthenes Geographicorum fragmenta edidit Seidel. 1789.

**) Названіе второй буквы греческой азбуки.

хранилищемъ. Къ тому же нѣтъ никакихъ указаній что бы Зенодота или Каллимаха называли Альфа, или одного изъ послѣдователей Эра-тосѳена Гамма или Дельта. Вѣроятнѣе другое толкованіе: Эратосѳена считали вторымъ послѣ Платона или занимающимъ второе мѣсто вездѣ, гдѣ первое съ благоговѣніемъ отводилось его предшественникамъ.

Наконецъ, замѣтимъ, что названія буквъ нерѣдко употреблялись въ вйдѣ прозвищъ Греками, причемъ они руководились весьма своеобразными соображеніями. Такъ, напримѣръ, нѣкоего Аполлонія, который жилъ въ царствованіе Птоломея Филопатора и занимался наблюденіями надъ луною, прозвали «Эпсилонъ», такъ какъ буква носящее это названіе напоминаетъ, говорили, видъ луны.

Изъ математическихъ сочиненій Эратосѳена дошло до насъ очень немногое, но это немногое тѣмъ болѣе заставляетъ сожалѣть объ утратѣ остальнаго. Онъ занимался какъ геометріей, такъ и ариѳметикой. Относительно первой существуетъ Письмо Эратосѳена къ Птоломею Эвергету, которое въ цѣлости передалъ намъ Эвтоцій Аскалонскій въ своемъ комментаріи къ книгамъ Архимеда о шарѣ и цилиндрѣ. Въ этомъ письмѣ подробно изложено преданіе о происхожденіи задачи объ удвоеніи куба; въ немъ же Эратосѳенъ даетъ свое собственное рѣшеніе съ помощью устроеннаго съ этой цѣлью инструмента Мезолабія. Этотъ инструментъ бывшій въ древности въ большой славѣ, состоялъ изъ трехъ равныхъ прямоугольныхъ дощечекъ (сдѣланныхъ изъ дерева, слоновой кости или металла); на нихъ были обозначены діагонали AC^BF,EF и онѣ могли быть передвигаемы одна надъ другой между двумя параллелльными линейками. Чтобы помощью этого снаряда найти двѣ средне-пропорціональныя между AB и GM достаточно было досщечки AB CD, CDEF, EFGH сдвинуть такъ, чтобы онѣ приняли положеніе AB CD, CXD^EXFX, EXFXGH, показанное на чертежѣ; тогда прямыя КС и LF представятъ искомыя средне-пропорціональныя.

Эратосѳенъ придавалъ такое значеніе своему изобрѣтенію, что въ одномъ изъ храмовъ повѣсилъ мезолабій съ надписью въ стихахъ объ его употребленіи. Изъ этой надписи мы узнаемъ, между прочимъ,

что Менехмъ открылъ троякое сѣченіе конуса. Неизвѣстно относится ли также къ удвоенію куба упоминаемое въ 2-хъ мѣстахъ у Паппа сочиненіе Эратосѳена «О Среднихъ . Если такъ, то можетъ бытъ въ немъ было дано геометрическое рѣшеніе задачи, такъ какъ по замѣчанію Паппа это сочиненіе стоитъ въ тѣсной связи съ сочиненіемъ «О линейныхъ мѣстахъ».

Еще незначительнѣе сохранившіеся слѣды другаго сочиненія Эратосѳена, съ которымъ насъ знакомятъ лишь ссылки Ѳеона; въ этомъ сочиненіи говорится о пропорціяхъ и другихъ ариѳметическихъ предметахъ, но мнѣніе чтобы это былъ трактатъ ариѳметики лишено конечно всякаго основанія. Отрывокъ изъ этого сочиненія, а, можетъ быть, и изъ другаго носившаго названіе «Рѣшето» сохранилъ намъ Ямблихъ въ своемъ комментаріи къ ариѳметикѣ Никомаха Геразскаго*) Въ этомъ отрывкѣ изложенъ пріемъ составленія таблицы простыхъ чиселъ, который состоитъ въ слѣдующемъ: пишутъ всѣ нечетныя числа, начиная съ трехъ по порядку; зачеркиваютъ каждое третье число, считая послѣ трехъ, такимъ образомъ выпадаютъ (просѣиваются) числа кратныя трехъ; затѣмъ переходятъ къ слѣдующему числу 5, зачеркиваютъ каждое пятое число послѣ него, не обращая вниманія на то, было ли оно еще прежде зачеркнуто или нѣтъ; такъ выпадаютъ числа кратныя пяти. Если продолжать такъ и переходя къ незачеркнутымъ числамъ 7, 11..... зачеркивать каждое 7-ое, 11-ое..... число послѣ нихъ, то изъ всего ряда написанныхъ чиселъ останутся одни простыя числа. Число 2 какъ четное Ямблихъ не считалъ простымъ.

«Рѣшето» Эратосѳена не есть вовсе такой методъ, для открытія котораго требовалась бы чрезмѣрная изобрѣтательность. Не смотря на это, мы считаемъ его по его историческому положенію за весьма значительный шагъ въ теоріи чиселъ. Дѣйствительно, сперва отличали только простыя числа отъ сложныхъ. Затѣмъ Эвклидъ доказалъ что простыхъ чиселъ безчисленное множество. Наконецъ, Эратосѳенъ указалъ пріемъ полученія таблицы простыхъ чиселъ до какого угодно предѣла. Полагаемъ, что изобрѣтеніе Эратосѳена могло быть сдѣлано и раньше Эвклида, но тогда оно не имѣло бы того научнаго значенія. Въ этомъ случаѣ это могла бы быть неудачная попытка найти всѣ простыя числа. Теперь же, напротивъ, послѣ Эвклида, этотъ пріемъ указывалъ только на возможность составить таблицу простыхъ чиселъ до любаго предѣла.

*) Jamblichus chalcidensis in Nicomachi Geraseni arithmeticam introductionem ed. Tennulius 1668.

Переходимъ, наконецъ, къ послѣднему изъ геометровъ разсматриваемой нами эпохи, къ Аполлонію изъ Перги. названному такъ по его мѣсторожденію, городу въ Памфиліи. Тожествененъ ли онъ съ тѣмъ выше упомянутымъ астрономомъ Аполлоніемъ, который прозванъ былъ Эпсилонъ, въ точности неизвѣстно. Жили они приблизительно въ одно и тоже время. Аполлоній изъ Перги родился въ царствованіе Птоломея Эвергета (247—222) и время процвѣтанія его, также какъ и того астронома, относится къ царствованію Птоломея Филопатора, (222—205). Затѣмъ изъ «Альмагеста» Клавдія Птоломея извѣстно, что Аполлоній Пергскій занимался астрономіей и между прочимъ пытался объяснить помощью эпицикловъ движенія планетъ, Птоломей ничего не упоминаетъ о наблюденіяхъ надъ луною, которымъ Аполлоній Эпсилонъ обязанъ своимъ прозвищемъ.

О подробностяхъ жизни Аполлонія Пергскаго ничего неизвѣстно, кромѣ того что еще юношей онъ прибылъ въ Александрію гдѣ получилъ свое математическое образованіе, но кто именно, былъ его учителемъ мы не знаемъ. Извѣстно также его временное пребываніе въ Пергамѣ, гдѣ онъ подружился съ нѣкіимъ Эвдемомъ, которому посвятилъ главнѣйшее свое сочиненіе, «Восемь книгъ о коническихъ сѣченіяхъ».

Прежде чѣмъ перейти къ разбору этого замѣчательнаго сочиненія, изслѣдуемъ на сколько древніе были знакомы съ этими кривыми до Аполлонія. Если вспомнимъ что Менехмъ, современникъ Платона, прибѣгалъ для рѣшенія задачи объ удвоеніи куба къ кривымъ, получаемымъ при сѣченіи конуса плоскостъю, что Аристей написалъ пятъ книгъ о коническихъ сѣченіяхъ, что Эвклидъ и въ особенности Архимедъ занимались этими кривыми, то должны будемъ признать что до Аполлонія образовалась довольно обширная литература по этому важному предмету. Нѣкоторые изслѣдователи относятъ возникновеніе теоріи коническихъ сѣченій къ временамъ еще болѣе отдаленнымъ. Чтобы составитъ себѣ въ этомъ отношеніи взглядъ по возможности вѣрный, необходимо коснуться происхожденія и главнѣйшихъ свойствъ этихъ кривымъ, чѣмъ мы теперь и займемся.

МАТЕМАТИЧЕСКІЙ ЛИСТОКЪ.

ПРОИСХОЖДЕНІЕ И ПЕРВОНАЧАЛЬНОЕ РАЗВИТІЕ ПИСЬМЕННАГО СЧИСЛЕНІЯ.

Языкъ представляетъ главнѣйшее, если не единственное, средство духовнаго общенія между людьми. Онъ служитъ для передачи однимъ человѣкомъ другому своихъ мыслей, чувствъ, ощущеній,—вообще всего, что является результатомъ доходящихъ до сознанія взаимодѣйствій человѣка и окружающаго его міра. Дѣятельность языка ограничивается временемъ и разстояніемъ: лица, разговаривающія между собой, должны быть въ близкомъ разстояніи другъ отъ друга, а свѣдѣнія, пріобрѣтаемыя путемъ разговора, имѣютъ силу только для того короткаго промежутка времени, въ которомъ они получены; чтобы сохранить ихъ въ теченіи болѣе значительныхъ промежутковъ времени необходима дѣятельность памяти. Такимъ образомъ языкъ не только не содѣйствуетъ памяти, но напротивъ того для болѣе или менѣе продолжительнаго сохраненія результатовъ своей дѣятельности долженъ самъ обращаться за помощью къ памяти. Средствомъ, при помощи котораго языкъ освобождается отъ указанныхъ сейчасъ и налагаемыхъ на него самою природою ограниченій, является письмо. Письмо даетъ человѣку возможность разговаривать на всякомъ разстояніи и черезъ какіе угодно промежутки времени. Въ отношеніи къ памяти оно является могущественнымъ союзникомъ послѣдней, такъ какъ, преслѣдуя съ нею однѣ общія цѣли, оно обладаетъ несравненно болѣе обширными средствами и гораздо менѣе памяти зависитъ отъ внѣшнихъ физическихъ условій. Поэтому болѣе высокое развитіе языка, а вмѣстѣ съ нимъ человѣческаго разума и знаній, немыслимо безъ письма.

Прежде чѣмъ перейти къ дальнѣйшему изложенію, для избѣжанія могущихъ возникнуть недоразумѣній, считаемъ необходимымъ замѣтить, что употребляемъ и будемъ употреблять терминъ «письмо» въ значеніи

болѣе широкомъ, чѣмъ общепринятое. Именно, мы разумѣемъ подъ этимъ терминомъ всякое средство, при помощи котораго люди, когда и гдѣ-либо, болѣе или менѣе совершеннымъ образомъ, освобождали языкъ отъ ограниченій, налагаемыхъ на него временемъ и разстояніемъ, и этимъ добывали для своей слабой памяти помощника несравненно болѣе сильнаго, чѣмъ она сама.

Первый зародышъ приложенія идеи письма къ счисленію мы находимъ при развитіи системъ счисленія. Это развитіе едва ли могло достигнуть сколько нибудь значительныхъ размѣровъ, если бы первобытные люди, также какъ и современные дикари, не пришли къ мысли отмѣчать внѣшними знаками получаемыя ими при счетѣ послѣдовательныя числа, равныя основному числу той или другой употребляемой системы счисленія. Свойственная этимъ людямъ крайняя слабость памяти должна была необходимымъ образомъ привести ихъ къ употребленію упомянутаго пріема, столь облегчающаго память и ослабляющаго возможность ошибокъ. Употребленіе этого пріема мы находимъ у многихъ изъ современныхъ намъ дикарей. Такъ, островитяне Южнаго Океана считаютъ помощью стебельковъ кокосовыхъ орѣховъ, откладывая всякій разъ въ сторону стебелекъ меньшей величины по достиженіи 10 и большей по достиженіи 100; африканскіе негры считаютъ съ помощью камешковъ и орѣх;овъ, откладывая въ небольшую кучку по штукѣ всякій разъ по достиженіи 5*). Въ этихъ пріемахъ мы видимъ приложеніе идеи письма къ счисленію въ зародышевомъ состояніи, выраженномъ при томъ односторонне, такъ какъ оно имѣетъ въ виду исключительно облегченіе памяти и не представляетъ даже и тѣни намека на усовершенствованіе и расширеніе средствъ сообщенія между людьми. Эта односторонность, какъ мы увидимъ далѣе, удерживается въ теченіи весьма продолжительнаго времени. Въ дополненіе къ сказанному необходимо замѣтить что разсмотрѣнное сейчасъ приложеніе идеи письма къ счисленію представляетъ въ то-же время первоначальную форму, въ которой лредстала передъ умомъ первобытнаго человѣка идея письма вообще, какъ это показываютъ слѣдующіе два факта. Когда люди племени Коосса въ Южной Африкѣ увидѣли пишущихъ европейцевъ и пріобрѣли нѣкоторое понятіе о письмѣ, то они назвали его словомъ Bala, что значитъ на ихъ языкѣ «считать». Такимъ образомъ они думали, что пишущій считалъ вещи. Лихтенштейнъ, сообщивъ этотъ фактъ, замѣчаетъ: «что при посредствѣ письменныхъ знаковъ можно выразитъ также и что-нибудь другое кромѣ

*) Тэйлоръ. Первобытная культура, т. I, стр. 248

количественныхъ отношеній было непонятно для нихъ, ежедневно занимающихся пересчитываніемъ своихъ стадъ и при этомъ по всей вѣроятности прибѣгающихъ для облегченія памяти къ помощи знаковъ»*). Другой фактъ доставляютъ, намъ Евреи, въ языкѣ которыхъ одно и тоже слово safar означаетъ и «писать» и «считать»**).

По достиженіи счисленіемъ довольно высокой степени развитія, когда употребленіе чиселъ первобытными людьми сдѣлало такіе успѣхи, что не могло ограничиваться только однимъ непосредственнымъ счетомъ предметовъ, но стало нуждаться въ болѣе или менѣе продолжительномъ сохраненіи нѣкоторыхъ чиселъ, тогда въ изложенномъ сейчасъ пріемѣ уже было готово средство для облегченія человѣческой памяти труда этого сохраненія—труда, который, можетъ быть, далеко превышалъ ея силы, въ особенности когда дѣло шло о сохраненіи или большихъ чиселъ или даже и небольшихъ чиселъ, но на значительное время. Упомянутое средство должно было обнаружиться во всемъ своемъ объемѣ тотчасъ же, какъ только люди пришли къ мысли распространить на простыя единицы употребляемое въ приведенномъ пріемѣ обозначеніе внѣшними знаками чиселъ, равныхъ основному числу. Такимъ образомъ произошелъ счетъ по камнямъ или какимъ нибудь другимъ подходящимъ предметамъ: орѣхамъ, стебелькамъ, зернамъ, раковинамъ и т. д. Примѣры этого счета мы находимъ у очень многихъ изъ современныхъ намъ дикихъ, полудикихъ и варварскихъ племенъ. Тарагумары, по словамъ Штеффеля, «сверхъ того (пальцевъ) считаютъ еще посредствомъ маисовыхъ зеренъ, или маленькихъ камешковъ, или подрѣзанной бирки, по которой они или считаютъ сами или предлагаютъ для счета другимъ»***). Чтобы избѣжать споровъ, могущихъ произойти при расчетѣ между Должникомъ и кредиторомъ, западно-африканскіе торговцы употребляютъ слѣдующій пріемъ. Они насыпаютъ въ каждый изъ двухъ мѣшечковъ маисовыя зерна въ одинаковомъ количествѣ, равномъ при томъ величинѣ долга; одинъ изъ этихъ мѣшечковъ остается у кредитора, другой передается должнику****). Самый замѣчательный изъ этихъ примѣровъ наблюдается въ западной Африкѣ, гдѣ «уже маленькія дѣти предаются расчетамъ помощью сво-

*) Lichtenstein. Reisen im südlichen Africa in den Jahren 1803, 1804, 1805 und 1806. I. 661.— Heinrich Wuttke. Die Entstehung der Schrift, S. 51.

**) Wuttke. Loc. cit.

***) Pott. Die ([uinare und vigesimale Zählmethode. S. 10.

****) John Duncan. Reisen in West-africa von Whydah durch daz Königreich Dahomei nach Adofudia im Іnnern. I. 80. — Wuttke. Die Entstehung der Schrift, S. 60.

ихъ кучекъ каури (монетныхъ раковинъ)»*). Примѣры того же счета можно наблюдать иногда и у нашихъ европейскихъ дѣтей. Наблюденія этого рода, если бы они производились строго-научнымъ образомъ, могли бы дать очень много цѣнныхъ и поучительныхъ результатовъ. Въ біографіи знаменитаго физика Андре-Мари Ампера, написанной Франсуа Араго, мы находимъ слѣдующій разсказъ, относящійся къ его дѣтству и весьма интересный съ точки зрѣнія занимающаго насъ предмета. «У Мари Ампера прежде всего раскрылась способность считать; не зная цифръ и не умѣя ихъ писать, онъ дѣлалъ большія вычисленія посредствомъ небольшаго числа кремней или турецкихъ бобовъ. Можетъ быть, онъ былъ на дорогѣ къ открытію остроумныхъ способовъ Индусовъ; можетъ быть онъ соединялъ свои кремни подобно браминамъ Пондишери, Калькутты и Бенареса, вычисляющимъ скоро и безошибочно помощью зеренъ, нанизанныхъ на параллельныя нити. Продолженіе біографіи Ампера покажетъ, что въ нашемъ предположеніи нѣтъ ничего невѣроятнаго; теперь же объясню, какъ много любилъ онъ свою забаву: во время его тяжелой болѣзни, нѣжная мать спрятала кремни; но когда, послѣ трехдневной діэты дали ему сухарей, тогда онъ тотчасъ началъ считать по сухарямъ»**). Согласно съ сказаннымъ выше, не трудно видѣть по самой природѣ предмета, что изображеніе числа посредствомъ камней и подобныхъ имъ предметовъ представляло большія неудобства для сообщеній чиселъ между людьми, раздѣленными другъ отъ друга разстояніемъ, и почти полную невозможность для тѣхъ же сообщеній между людьми, раздѣленными временемъ. Ни въ томъ, ни въ другомъ родѣ сообщеній въ тѣ отдаленныя времена, о которыхъ идетъ рѣчь, не было почти никакой надобности, такъ какъ, при крайне слабомъ развитіи личныхъ и общественныхъ связей между людьми тѣхъ временъ, ихъ взаимныя отношенія вполнѣ исчерпывались тѣми, которыя возникали во время нахожденія ихъ въ одномъ мѣстѣ и прекращались съ ихъ разлукою.

Введеніе счета по камнямъ имѣло весьма важное значеніе въ исторіи развитія представленій четырехъ ариѳметическихъ дѣйствій и въ особенности умноженія и дѣленія, а также и въ исторіи развитія общихъ математическихъ аксіомъ въ ихъ примѣненіи къ числамъ. Дѣйствителыю, употребленіе этого счета, дававшее человѣку возможность самостоятельно производить соотвѣтствующія наблюденія и опыты надъ

*) Тэйлоръ. Первобытная культура, т. I, стр. 222.

**) Франсуа Араго. Біографіи знаменитыхъ астрономовъ, физиковъ и геометровъ, т. II. стр. 236—137.

всѣми извѣстными ему числами, не дожидаясь содѣйствія внѣшнихъ независящихъ отъ него обстоятельствъ, должно было до безконечности расширить число случаевъ, ведущихъ къ образованію всѣхъ перечисленныхъ выше представленій. Самодѣятельность человѣка при производствѣ этихъ опытовъ и наблюденій сама по себѣ должа была очень много способствовать къ усвоенію разсматриваемыхъ представленій, такъ какъ, заставляя человѣка принимать непосредственное и при томъ активное участіе въ производствѣ дѣйствій надъ числами, она весьма близко знакомила и освоивала его съ процессами этихъ дѣйствій, а также и съ свойствами послѣднихъ.

Выраженіе чиселъ, нужныхъ для болѣе или менѣе продолжительнаго сохраненія, посредствомъ камней или подобныхъ имъ предметовъ еще могло быть удобно при возможности сохранять ихъ въ одномъ мѣстѣ, но оно представляло большія затрудненія при необходимости для человѣка имѣть ихъ при себѣ во время путешествій. Явившаяся отсюда потребность приспособить выраженіе чиселъ посредствомъ камней и другихъ предметовъ къ перенесенію съ мѣста на мѣсто вызвало появленіе уже чисто искусственнаго орудія счета: шнурковъ съ узлами. У Геродота мы находимъ разсказъ о слѣдующемъ замѣчательномъ случаѣ употребленія узловъ для счисленія. Персидскій царь Дарій, отправляя своихъ іонійскихъ уполномоченныхъ, далъ имъ для измѣренія опредѣленнаго промежутка времени веревку съ 60 узлами и приказалъ развязывать каждый день по одному узлу*). Нѣкоторые сибирскіе народы и между прочимъ Буряты употребляютъ узлы какъ родъ грубаго шрифта. На ярмаркахъ въ Астрахани для выраженія чиселъ еще теперь употребляются связанныя сѣти.

Употребленіе узловъ и веревокъ для счисленія, какъ и для письма вообще, было весьма распространено въ древнія времена въ Китаѣ. Первобытные обитатели этой страны, племена Туфанъ и Сифанъ, приготовляли разнорбразно запутанныя и связанныя тесьмы или веревки; на нихъ они завязывали узлы, служившіе имъ для счета, для сохраненія воспоминаній о различныхъ событіяхъ и для обмѣна свѣдѣній на разстояніи. Поселившіеся между этими племенами и пришедшіе изъ Средней Азіи предки нынѣшнихъ Китайцевъ въ началѣ также пользовались веревками съ узлами какъ средствомъ для письма. Первоначально они употребляли эти веревки для заключенія контрактовъ и для сохраненія ихъ въ качествѣ залоговъ. Но потомъ они, по мнѣнію китайскихъ ученыхъ, стали употреблять ихъ также и для администра-

*) Herodotos. IV, 98.

тивныхъ цѣлей и потребностей. Родъ письма, представляемый веревкой съ узлами, назывался у Китайцевъ Кіейшенгъ (Kieïscheng). Его изобрѣтеніе приписывалось Суишину (Suischin или Sui-gin-schi)—легендарному лицу, когда-то, въ незапамятныя времена, управлявшему Китаемъ. Узловое письмо Китайцевъ впослѣдствіи, какъ кажется, непосредственно перешло въ систему письменныхъ знаковъ. Подтвержденіемъ этого мнѣнія служитъ таблица Лашу — одинъ изъ самыхъ древнихъ памятниковъ китайской письменности,— изображенія на фигурѣ и найденная, по увѣренію китайцевъ, около 2200 года до Р. Хр. въ Хонанѣ. Знаки этой таблицы, какъ видно изъ фигуры, представляютъ не болѣе какъ изображенія или отдѣльныхъ узловъ (кружки) или узловъ, соединенныхъ нитями. Разсмотрѣніе этой таблицы показываетъ, что она состоитъ изъ девяти отдѣльныхъ фигуръ, составленныхъ изъ различныхъ чиселъ кружковъ, соединенныхъ прямыми линіями. Числа этихъ кружковъ, помѣщенныя въ порядкѣ, соотвѣтствующемъ порядку самой таблицы, дадутъ слѣдующую группу:

4 9 2

3 5 7

8 1 6

эта группа содержитъ всѣ числа отъ 1 до 9 и представляетъ то за-

Фиг. 1.

мѣчательное свойство, что сумма чиселъ, расположенныхъ въ каждомъ горизонтальномъ или вертикальномъ ряду, а также и въ каждой діагонали, равна 15. По весьма вѣроятному мнѣнію Барроу таблица Лошу представляетъ не болѣе какъ собраніе численныхъ знаковъ. Она является поэтому весьма любопытнымъ памятникомъ древнѣйшаго изображенія первыхъ девяти чиселъ посредствомъ отдѣльныхъ знаковъ. Составленіе этой таблицы приписывается Китайцами мудрому правителю и просвѣтителю ихъ народа, Фохи. Ему же Китайцы приписываютъ какъ изобрѣтеніе письменныхъ знаковъ вообще, такъ и составленіе другаго древнѣйшаго памятника китайской письменности—книги И (Икингъ, Iking). Китайцы называютъ таблицу Лошу мистическою черепахою и думаютъ, что она, представляя числа земли и неба, выражаетъ самыя возвышенныя ученія. Мнѣніе Барроу раздѣляетъ также и Astley. Онъ говорилъ: «что касается до происхожденія китайскихъ письменъ, то, до учрежденія монархіи, китайцы употребляли въ дѣловыхъ сношеніяхъ между собою маленькіе шнурки съ передвижными узлами, изъ которыхъ каждый имѣлъ свое особое значеніе. Они изображенъ на двухъ таблицахъ, называемыхъ Го-ту и Ло-шу. Первые иоселенцы, жившіе въ Се-Чвенѣ, не имѣли никакихъ письменъ, исключая извѣстнаго рода ариѳметическихъ счетовъ, сдѣланныхъ изъ шнурковъ съ узлами, на подобіе нитокъ съ бусами; посредствомъ ихъ они считали и вели всѣ свои торговыя операціи»*). Племя Міао, принадлежащее къ числу туземныхъ племенъ Китая и оттѣсненное Китайцами въ лежащую къ юго-западу горную область еще и въ наше время пользуется узловымъ письмомъ. Когда люди этого племени заключаютъ контрактъ, они привязываютъ къ куску дерева веревку и дѣлаютъ на ней столько узловъ, сколько единицъ содержится въ изображаемомъ числѣ**).

Въ Африкѣ на Невольничьемъ берегу употребленіе узловъ съ влагаемымъ въ нихъ смысломъ до такой степени развито, что можетъ быть примѣняемо къ письменнымъ сношеніямъ на разстояніи—обстоятельство, которое заставляетъ предположить разнообразіе формъ и заранѣе условленное пониманіе. Въ Анголѣ средствомъ для письма служатъ соломенныя веревки, связанныя другъ съ другомъ различными способами; посредствомъ этихъ веревокъ на ярмаркѣ въ Лондо туземцы дѣлаютъ расчеты съ европейскими купцами: въ знакъ утвержденія договора они разрываютъ соломенку. Узлы какъ средство для письма,

*) Лёббокъ. Начало цивилизаціи, стр. 36.

**) Wuttke. Die Entstehung der Schrift, S. 243.

употребляютъ также на островахъ южнаго Океана. Frezier разсказываетъ, что только немногіе изъ жителей этихъ острововъ владѣютъ упомянутымъ средствомъ и эти немногіе хранятъ свое знаніе въ строгой тайнѣ: отецъ открываетъ его своему сыну только незадолго до своей смерти*). Въ Гавайи сборщики податей еще въ сравнительно оченъ недавнее время вели свои разсчеты при посредствѣ веревочнаго вязанья, состоящаго изъ четырехсотъ или пятисотъ нитей, различавшихся между собой узлами, петлями и пучками различнаго вида, величины и цвѣта, Для каждаго платящаго подать отводилось на этомъ вязаньи опредѣленное мѣсто, изъ котораго можно было совершенно точно заключитъ, въ какомъ количествѣ онъ долженъ былъ уплачивать свои подати и чѣмъ именно: свиньями-ли, собаками, таро, сандальнымъ деревомъ и т. д.**); Всѣ эти орудія относятся ко времени довольно высокаго состоянія первобытной культуры; такъ какъ они уже не представляютъ предметовъ, прямо заимствованныхъ изъ окружающій природы, но являются произведеніями первобытнаго искусства, сдѣлавшаго при томъ, какъ это видно изъ самаго построенія этихъ орудій, довольно значительные успѣхи.

Употребленіе узловъ, какъ средства для письма вообще и для счисленія въ особенности, достигло самой высокой степени своего развитія у древнихъ Перуанцевъ въ формѣ, извѣстной подъ именемъ квиппу или квипуса, что въ переводѣ съ перуанскаго означаетъ узелъ. Преданіе приписываетъ полное развитіе этой формы изъ имѣвшихся уже въ употребленіи простыхъ узловъ и разноцвѣтныхъ камней поэту Юлья (Vljia), любимцу четвертаго Инки, Майта Капака (Mayta Kapak). Ha основаніи хронологическихъ данныхъ о числѣ и времени царствованія перуанскихъ властителей можно заключитъ, что приписываемое Юлья изобрѣтеніе квипуса имѣло мѣсто около половины ХІV столѣтія***). Распространенію квипуса и его прочному утвержденію въ странѣ весьма много содѣйствовало покровительство, оказываемое ему самодержавными Инками. Весьма вѣроятно, что онъ былъ введенъ въ страну по распоряженію правительетва и въ началѣ имѣлъ оффиціальное значеніе. Въ самомъ дѣлѣ преданіе говоритъ, что при введеніи квипуса Инки строго запретили употребленіе всѣхъ существовавшихъ до этого времени родовъ письма и особенно живописное письмо. До насъ дошли даже из-

*) Frezier. Relation du voyage de la Mer du Sud dans les années 1712—1714.

**) Wuttke. Die'Entstehung der Schrift, S. 143.

***) Jbidem, S. 182.

вѣстія, что было приказано уничтожитъ все напсанное этимъ письмомъ и что всякая попытка его дальнѣйшаго употребленія наказывалась смертью на кострѣ. Добиться полнаго уничтоженія памятниковъ живописнаго письма Инки, конечно, не могли, но они въ значительной степени уменьшили ихъ число*) и совсѣмъ уничтожили употребленіе самаго письма. Столь сильное покровительство, оказанное квипусу Инками, объясняется между прочимъ его особенною пригодностью для административныхъ цѣлей, какъ это мы увидимъ сейчасъ изъ описанія его устройства и употребленія.

Квипусъ состоялъ главнымъ образомъ изъ узловъ (квипу), навязываемыхъ на шнурахъ (квипосъ). Матерьяломъ для приготовленія этихъ шнуровъ служила шерсть ламы или кора агавы. Связанныя вмѣстѣ веревки и бахрома изъ шнурковъ и нитей составляютъ квипусъ въ его болѣе сложныхъ формахъ. Устройство этихъ сложныхъ формъ было слѣдующее. На толстомъ шнуркѣ длиною отъ одного фута до нѣсколькихъ аршинъ навѣшивалось посредствомъ петель множество разноцвѣтныхъ шнурковъ толщиною съ обыкновенную бичевку. Эти шнурки, вмѣстѣ имѣвшіе видъ бахромы, связывались въ узлы просто или по нѣскольку разъ, многократно скручивались, плотно заплетались другъ съ другомъ, разнообразно перепутывались. Длина каждаго изъ нихъ рѣдко превосходила одинъ аршинъ, обыкновенно они были гораздо короче. Описанную сейчасъ форму имѣлъ между прочимъ квипусъ. найденный Чуди въ одной перуанской могилѣ, но встрѣчаются и другія формы. Въ квипусѣ, изображенномъ Кингсбору (Kingsborough), главная веревка зеленаго цвѣта составляетъ приближающійся въ кругу эллипсъ почти въ пядень длиною. Къ разнымъ точкамъ этого эллипса прикрѣплено множество тонкихъ зеленыхъ нитей, изъ которыхъ многія спутаны другъ съ другомъ. По всей верхней части эллипса идетъ множество стоящихъ другъ подлѣ друга или слѣдующихъ другъ за другомъ петель, изъ которыхъ нѣкоторыя соединены одна съ другою. Все это сплетеніе, распространяясь почти на палецъ отъ главной веревки, имѣетъ въ разныхъ своихъ частяхъ неодинакую длину. На довольно значительномъ разстояніи отъ главной веревки привязаны желтая нить и двѣнадцать красныхъ нитей или петель меньшаго размѣра, чѣмъ сейчасъ описанныя. Къ нижней части эллипса, составляемаго главною веревкою, прикрѣплены совершенно отдѣленныя одна отъ дру-

*) Дѣйствительно, въ Южной части Перу до сихъ поръ было найдено только два образца живописнаго письма, тогда какъ въ горной области, гдѣ власть Инковъ была несравненно слабѣе, ихъ найдено довольно много.

гой короткія нити, также зеленаго цвѣта. Весь приборъ, разсматриваемый въ его совокупноети, представляетъ крайне запутанную массу зеленыхъ, красныхъ и желтыхъ веревокъ и нитей. Величина квипуса вполнѣ зависила отъ количества свѣдѣній имъ сообщаемыхъ. Квипусъ. найденный Чуди, вѣсилъ болѣе восьми футовъ. Нѣкоторые квипусы отличались особеннымъ богатствомъ содержанія, такъ квипусъ, найденный въ Люринѣ, вѣсилъ восьмую часть центнера.

Сообщеніе свѣдѣній въ квипусѣ происходило при помощи условнаго значенія предметовъ, участвующихъ въ его строеніи. Изъ сдѣланнаго сейчасъ описанія различныхъ формъ квипуса видно, что главнѣйшими изъ этихъ предметовъ были: цвѣта веревокъ и нитей, узлы и ихъ различныя формы, взаимное положеніе шнурковъ и нитей и степень ихъ удаленія отъ главной веревки, различныя формы сплетеній нитей, снабженіе нѣкоторыхъ изъ болѣе главныхъ нитей боковыми нитями. Ближайшее назначеніе различныхъ цвѣтовъ, употребляемыхъ въ квипусѣ, состояло въ напоминаніи о различныхъ предметахъ матерьяльнаго міра; болѣе отдаленное въ напоминаніи о представленіяхъ и понятіяхъ, соотвѣтствующихъ этимъ предметамъ. Такъ, бѣлый цвѣтъ обозначалъ серебро и миръ, красный бойца и войну, желтый—золото, зеленый—маисъ и т. д. Смѣшанные цвѣта также были въ большомъ употребленіи въ квипусѣ: они получались черезъ сплетеніе нѣсколькихъ нит*ей различной окраски. Узлы квипуса главнымъ образомъ назначались для счисленія. Простой узелъ означалъ 10, два простые узла, расположенные другъ подлѣ друга,—20, узелъ, завязанный дважды,—100, два дважды завязанныхъ узла, расположенныхъ другъ подлѣ друга,—200, трижды завязанный узелъ—1000 и г. д. Взаимное расположеніе нитей и степень ихъ удаленія отъ главной веревки имѣли весьма важное значеніе въ квипусѣ. Для главныхъ предметовъ выбирались первыя вѣтви и близкое разстояніе отъ главной веревки. Чѣмъ далѣе находилась нить отъ послѣдней, тѣмъ меньшая важность придавалась представляемымъ ею предметамъ. Такъ, если квипусъ имѣлъ цѣлью представить описаніе народонаселенія извѣстной мѣстности, то на первой нити выражалось число лицъ, имѣющихъ 60 и болѣе лѣтъ отъ роду, на второй нити—число 50—лѣтнихъ, на третьей—40—лѣтнихъ и т д. и наконецъ на посдѣдней — число грудныхъ младенцевъ. При такомъ способѣ обозначенія являлись, очевидно, необходимыми разъ установленное распредѣленіе предметовъ повседневной жизни по степени ихъ важности и приписываніе каждому изъ нихъ опредѣленнаго мѣста въ ряду прочихъ. Такъ, если квипусъ имѣлъ цѣлью пред-

ставитъ отчетъ въ количествѣ собранныхъ плодовъ, то первая нить отводилась для маиса, вторая—для злаковъ, третья—для гороха, четвертая для бобовъ, пятая—для проса и т. д. Если дѣло шло о счетѣ оружія, то соотвѣтствующіе предметы располагались по нитямъ квипуса въ слѣдующемъ порядкѣ: копья, стрѣлы, луки, дротики, дубины, сѣкиры, пращи. При изображеніи разсчетовъ, производимыхъ только надъ числами, первое мѣсто принадлежало самой высшей цифрѣ. Сплетеній различныхъ нитей назначались для выраженія отношеній между соотвѣтствующими предметами. Боковыя нити, идущія отъ нѣкоторыхъ изъ главныхъ нитей имѣющія съ ними одинаковый цвѣтъг имѣли цѣлью обозначить какія-нибудь отдѣльныя подробности или датъ отчетъ объ исключеніяхъ. Такъ, напримѣръ, въ спискѣ сочетавшихся бракомъ въ извѣстномъ возрастѣ, боковыя нити служили для обозначенія чиселъ вдовъ или вдовцевъ. Родъ предметовъ, о которыхъ шла рѣчь въ квипусѣ, узнавался или по тому помѣщенію, гдѣ онъ находился, или по извѣстнымъ знакамъ, сдѣланнымъ въ началѣ его главной веревки. Есть также свидѣтельство, которое-утверждаетъ, что различныя степени толщины или крѣпости шнурковъ и нитей въ квипусѣ также имѣли опредѣленное значеніе.

Представленіе сейчасъ описаніе устройства квипуса и значенія предметовъ, входящихъ въ его составъ, заставляетъ насъ признать этотъ приборъ прекрасно приспособленнымъ къ производству вычисленій, къ составленію списковъ и слѣдовательно къ снабженію правительства статистическими свѣдѣніями. И дѣйствительно, по истеченіи каждаго года изъ всѣхъ округовъ Перуанской монархіи доставлялись центральному правительству въ Куцко списки родившихся и умершихъ за истекшій годъ вмѣстѣ съ показаніями чиселъ оставшихся вдовъ н сиротъ. Эти списки велись въ каждой мѣстности спеціально назначенными для отправленія этой должности чиновниками. Квипусы, содержащіе эти списки, давали Инкамъ точныя свѣдѣнія какъ о количествѣ принадлежащихъ имъ доходовъ, такъ и о числѣ людей способныхъ носитъ оружіе. Какъ форма, устроенная первоначально главнымъ образомъ для счисленія и счета, квипусъ только позднѣе былъ примѣнень къ удовлетворенію потребностей слова вообще. Его внутренняя природа выразилась при этомъ весьма рельефно въ указанномъ выше установленіи между всѣми предметами вообще тѣхъ отношеній, которыя существуютъ между порядковыми числительными. Самыя свѣдѣнія, сообщаемыя квипусомъ о различныхъ предметахъ всегда имѣли, такъ сказать, числовой характеръ. При сообщеніи наприм. историческихъ

свѣдѣній дѣло состояло не столько въ описаніи различныхъ событій, сколько въ точномъ установленіи ихъ порядка и послѣдовательности во времени и въ представленіи ихъ числовыхъ отношеній, наприм. числа сраженій, посольствъ, королевскихъ повелѣній и проч. Что-же касается до несравненно болѣе многочисленныхъ подробностей другаго рода, то громадное большинство ихъ представлялось для храненія памяти и устной передачи.

Употребленіе квипуса, какъ средства письма вообще, кромѣ Перу, встрѣчается и въ другихъ странахъ. Къ сѣверу отъ Перу, въ Кито (нынѣ главный городъ Эквадора) квипусъ употреблялся въ нѣсколько измѣненной формѣ: мѣсто веревокъ, шнурковъ и нитей тамъ занимали пластинки, вырѣзанныя изъ дерева, камня, глины. Посредствомъ нихъ производились вычисленія и сообщались данныя. Въ этихъ пластинкахъ, какъ и въ квипусѣ, имѣли значеніе величина, цвѣтъ и мѣсто ихъ нахожденія. Узлы квипуса были въ употребленіи также въ Чили, въ Уреквенѣ на верхнемъ Ріо-Гранде въ Бразиліи и внутри Южной Америки въ Парагваѣ: Въ Сѣверной Америкѣ квипусъ употреблялся въ Мексикѣ Тлакскальтеками и Тласкаланпами и носилъ названіе Непохвальтуитцинъ.

Дальнѣйшее развитіе и употребленіе квипуса прекратилось вмѣстѣ съ паденіемъ имперіи Инковъ, въ 1533 году. Въ продолженіи нѣкотораго времени послѣ этого событія, когда еще оставались въ живыхъ многіе знатоки квипуса, изъ квипусовъ, уцѣлѣвшихъ отъ невѣжества и жажды истребленія завоевателей, была добыта большая часть тѣхъ свѣдѣній о древней исторіи Перу, которыми мы располагаемъ въ настоящее время. Извѣснѣйшими изъ этихъ знатоковъ были: Гарчилассо де ла Вега, написавшій на испанскомъ языкѣ Historie general del Peru (нанечатана въ Кордовѣ въ 1617 году) и старый кацикъ Катари изъ Кочабамбы, считавшій себя потомкомъ изобрѣтателя квипуса Юлья. Пониманіе квипуса долгое время сохранялось между индѣйцами; даже и въ настоящее время въ южномъ Перу есть Индѣйцы, не чуждые этого пониманія, но они тщательно скрываютъ его отъ Европейцевъ. Впрочемъ, это пониманіе едва-ли идетъ далѣе разумѣнія счисленій, записанныхъ въ квипусѣ, такъ какъ въ имперіи Инковъ только это разумѣніе и было доступно всему народу.

Употребленіе простѣйшихъ формъ квипуса между индѣйскими племенами, живущими въ Перу, Чили и Парагваѣ, продолжается еще и по нынѣ. Индѣйцы—христіане употребляютъ ихъ между прочимъ для запоминанія и перечисленія своихъ грѣховъ при исповѣди. Арауканы,

живущіе въ долинѣ Антуко,въ южномъ Чили, имѣютъ, по свидѣтельству Попига, обычай обозначатъ родъ и число вещей; требуемыхъ за прекращеніе родовой мести, на шнурахъ, напоминающихъ шнуры квипуса и извѣстныхъ подъ именемъ Прона. Красный цвѣтъ этихъ шнурковъ обозначаетъ, что невыполненіе предложенныхъ условій повлечетъ за собою кровавую местъ. Но особенно замѣчательны по своему развитію остатки употребленія древняго квипуса, сохранившіеся у современныхъ пастуховъ Перу. Эти послѣдніе ведутъ списки своихъ многочисленныхъ стадъ совершенно тѣмъ-же способомъ какъ и древніе Перуанцы. По узламъ первой веревки квипуса они считаютъ быковъ, по узламъ второй—молочныхъ коровъ, по узламъ третьей—всѣхъ остальныхъ коровъ, по узламъ четвертой — телятъ, такимъ-же образомъ идутъ далѣе овцы, число убитыхъ лисицъ, количество истраченной соли и наконецъ павшій скотъ. Родъ узловъ на послѣдней веревкѣ даетъ возможность различить сколько штукъ скота пало естественною смертью и сколъко погибло отъ хищныхъ животныхъ. Узлы и веревки другаго квипуса служатъ для обозначенія сборовъ молока, сыра и шерсти.

Приведенные сейчасъ факты показываютъ намъ, что какъ въ квипусѣ, такъ и въ другихъ высшихъ формахъ счисленія по узламъ, средствомъ для обозначенія рода исчисляемыхъ предметовъ было мѣсто, на которомъ производилось, это исчисленіе. Если мы обратимъ теперь вниманіе на значеніе, принадлежащіе въ современномъ письменномъ счисленіи мѣсту, занимаемому тою или другой цифрой, входящей въ составъ изображенія числа, то для насъ станетъ совершенно яснымъ, что идея этого значенія могла произойти черезъ перенесеніе на числовые знаки условія о выраженіи числомъ того рода предметовъ, которому принадлежитъ соотвѣтствующее мѣсто. При этомъ. перенесеніи область названнаго сейчасъ условія значительно сокращалась: вмѣсто множества разнородныхъ предметовъ она заключаетъ теперь только единицы различныхъ разрядовъ. Изъ сказаннаго сейчасъ, также становится вполнѣ понятнымъ какую важную роль играло счисленіе по узламъ въ развитіи идеи о необходимости въ видахъ упрощенія письменнаго счисленія давать числовому знаку значеніе по занимаемому имъ мѣсту.

Обращаясь теперь исключительно къ квипусу, мы должны отмѣтить на основаніи приведеннымъ фактовъ, что онъ представляетъ вполнѣ развитую систему письменнаго счисленія. Разсмотримъ свойства этой системы. Счетъ производился по десячичной системѣ. Отдѣль-

ными знаками обозначались только единицы разрядовъ; десятокъ—простымъ узломъ, сотня—узломъ завязаннымъ дважды, тысяча—узломъ, завязаннымъ трижды и т. д. Число единицъ какого-нибудь изъ разрядовъ, меньшее единицы слѣдующаго высшаго разряда, обозна.чалось по аддитивному (слагательному) методу посредствомъ помѣщенія въ одномъ ряду нужнаго числа знаковъ, выражающихъ единицу разсматриваемаго разряда. Первыя мѣста принадлежали единицамъ высшаго разряда. Для уясненія сказаннаго напишемъ по системѣ квипуса число 4630 І03 + 103 + 103+ 103+102+102+102^102 + 102+102+10 + 10 + 10 По поводу этой формулы мы считаемъ необходимымъ сдѣлать нѣсколько замѣчаній. Взятое нами число не содержитъ простыхъ единицъ. Мы сдѣлали это съ умысломъ, такъ какъ не знаемъ какимъ знакомъ изображалась въ квипусѣ простая единица. Изображеніе единицы всякаго разряда въ видѣ степени числа 10 намъ казалось наиболѣе соотвѣтвѣтствующимъ съ употребляемымъ въ квипусѣ способомъ изображенія тѣхъ-же единицъ.

Употребленіе камней для счета и письма вообще, какъ было уже замѣчено выше, имѣло своею исключительною и единственною цѣлью содѣйствіе памяти въ сохраненіи чиселъ или, говоря вообще, въ сохраненіи какихъ бы то ни было нужныхъ человѣку свѣдѣній. Дальнѣйшіе успѣхи первобытпой культуры, тѣсно связанные съ развитіемъ личныхъ и общественныхъ связей между людьми. должны были необходимымъ образомъ вызвать потребность въ устраненіи препятствій для духовнаго общенія людей, раздѣленныхъ пространствомъ и временемъ. Такимъ образомъ сама собою выдвинулась на сцену человѣческой дѣятельности одна изъ главнѣйшихъ функцій письма, входящая, какъ мы видѣли выше однимъ изъ главныхъ элементовъ въ опредѣленіе термина «письмо». Только послѣ появленія этого элемента письмо можетъ быть признано вступившимъ на степень зародыша, имѣющаго ясно выраженные зачатки своихъ будущихъ органовъ. Вліяніе новой потребности на употребленіе камней, какъ средства письма, выразилось въ появленіи двухъ новыхъ формъ послѣдняго: во первыхъ, узловаго письма съ его болѣе развитой формой—квипусомъ и, во вторыхъ, Вампумомъ. Обѣ эти формы представляютъ дальнѣйшее развитіе письма при посредствѣ камней. При чемъ Вампумъ, какъ это будетъ видно изъ послѣдующаго изложенія, является переходною ступенью между каменнымъ и живописнымъ письмомъ.

Вампумъ употребляется нѣкоторыми племенами сѣвероамериканскихъ Индѣйцевъ: Лени Ленапе, Ахуандате или Гуронами, Менгве или

Ирокезами и другими. Для приготовленія Вампума берутся морскія раковины, отъ которыхъ и произошло его названіе, такъ какъ слово Wampum (Wampom, Wampam), на языкѣ Ирокезовъ обозначаетъ скорлупу морской раковины. Изъ этихъ раковинъ употребляютъ въ дѣло только тѣ, которыя имѣютъ бѣлый, бурый, фіолетовыя черный и красный цвѣта. Собранныя для Вампума раковины распиливаются на четыреугольные куски въ *— J- дюйма длиною и въ ± дюйма шириною. Эти куски получаютъ черезъ закругливаніе ихъ посредствомъ бруска овальную форму, шлифуются въ тонкія и гладкія какъ стекло пластинки и затѣмъ просверливаются. Эти пластинки, нанизанныя, смотря по надобности на нить, тонкій кожанный ремень или же на крѣпкую бичевку, даже на проволоку, составляютъ шнуръ Вампума. Нѣсколько такихъ шнуровъ (отъ 4 до 6 и болѣе) располагаются одинъ подъ другимъ, связываются концами и образуютъ полосу, похожую на поясъ. При недостаткѣ раковинъ для приготовленія Вампума берутся также и небольшіе куски дерева, которыхъ при томъ одинаково обрѣзываютъ, но окрашиваютъ различно. Пояса Вампума имѣютъ для Индѣйцевъ значеніе документа или грамоты. Смотря по количеству содержанія эти пояса получаютъ различную длину и ширину: въ длину они иногда имѣ.ютъ 5—3 аршинъ. Значеніе Вампума, какъ одной изъ формъ письма, основано на условномъ значеніи съ одной стороны цвѣта пластинокъ, а съ другой—комбинацій этихъ послѣднихъ. Темныя пластинки выражаютъ нѣчто сомнительное и суровое; черныя или, выражаясь точнѣе, бурыя и фіолетовыя предостерегаютъ отъ опасности или-же выражаютъ серьезное напоминаніе, граничащее съ угрозою, иногда даже—строгій выговоръ; бѣлыя—свидѣтельствуютъ о добрыхъ намѣреніяхъ и содержатъ обѣщанія благосклонностію мира и дружбы; красныя—всегда возвѣщаютъ войну, такъ какъ красный цвѣтъ есть цвѣтъ военный. Примѣрами условнаго значенія комбинацій пластинокъ могутъ быть выбраны слѣдующіе. Бѣлыя полосы между черными выражаютъ путь къ дружественнымъ племенамъ, лежащій между племенами враждебнымъ Черный поясъ съ красными линіями и бѣлымъ изображеніемъ бердыша обозначаетъ объявленіе войны. Бѣлый поясъ съ двумя темными наложенными одна на другую руками представляетъ знакъ посольства, имѣющаго цѣлью заключеніе мира. «Одинъ изъ наиболѣе интересныхъ экземпляровъ такого рода былъ поднесенъ Сахемами. племени Ленни— Ленапе, основателю Пенсильваніи, при заключеніи Великаго Договора подъ вязомъ въ Шахамоксѣ, въ 1782 году». Онъ до сихъ поръ еще хранится въ Музеѣ Историческаго Общества Филадельфіи и состоитъ

изъ восемнадцати шнуровъ Вампума, составленныхъ изъ бѣлыхъ и фіолетовыхъ бусъ, нашитыхъ на кожанные ремни, и которые въ совокупности составляютъ поясъ двадцати восьми дюймевъ въ длину и двухъ съ половиною въ ширину. На немъ можно отличитъ пятъ узоровъ, сдѣланныхъ фіолетовыми бусами на бѣломъ фонѣ, а въ срединѣ представленъ Пеннъ, подающій руку индѣйскому Сахему*). Пояса Вампума чаще всего посылаются однимъ племенемъ къ другому при посольствахъ, ведущихъ переговоры, и назначаются, главнымъ образомъ, для письменнаго удостовѣренія справедливости словъ посланника. Начальники племенъ бережно сохраняютъ полученные ими при сношеніяхъ съ другими племенами пояса Вампума. Собраніе этихъ послѣднихъ получаетъ такимъ образомъ значеніе государственнаго архива и время отъ времени прочитывается знающими людьми остальнымъ членамъ племени.

Въ западной части Сѣверной Америки, а также и въ сѣверной Каролинѣ, индѣйцы употребляютъ вмѣсто раковинъ связки трубочекъ съ вырѣзанными на нихъ знаками**).

Тѣже самыя цѣли, какъ и всѣ разсмотрѣнныя сейчасъ орудія, только въ исключительномъ примѣненіи къ числамъ, преслѣдуетъ извѣстная бирка, до сихъ поръ пользующаяся большимъ распространеніемъ въ простомъ народѣ всей Европы. Простѣйшая форма ея состоитъ, какъ извѣстно, изъ необдѣланной древесной палки, въ корѣ крторой, съ какой-нибудь одной изъ ея сторонъ, вырѣзываются параллельные штрихи, представляющіе послѣдовательно входящія въ счетъ простыя единицы. Болѣе сложная форма бирки, употребляемая для изображенія суммы долга, представляла четырегранную палку, каждая сторона которой могла быть употребляема для обозначенія чиселъ различныхъ предметовъ или цѣнностей данныхъ въ долгъ. Нарѣзавъ на этой палкѣ нужное число параллельныхъ штриховъ, ее разрѣзали по длинѣ на двѣ части, изъ которыхъ одна оставалась у заимодавца, а другая отдавалась должнику. Чтобы удостовѣриться въ вѣрности получаемой отъ должника суммы обѣ части бирки складывали другъ съ другомъ соотвѣтственнымъ образомъ и смотрѣли возстановлялся-ли при этомъ первоначальный продолговатый четыреугольникъ***). Бирка, какъ кажется. имѣетъ происхожденіе нѣсколько отличное отъ разсмо-

*) Леббокъ Доисторическія времена, стр. 220.

**) Wuttke. Die Entstehung der Schrift, ss. 149—152.

***) Ibidem, S. 61.

трѣнныхъ до сихъ поръ орудій письма Въ то время какъ эти послѣднія являются постепенно совершенствуемыми формами счета по камнямъ, бирка, по всей вѣроятности, произошла отъ счета по пальцамъ, такъ какъ штрихъ, выражающій въ ней единнцу, можетъ быть разсматриваемъ какъ грубое изображеніе пальца. Бирка имѣетъ весьма важное значеніе въ исторіи развитія письменнаго счисленія, какъ одна изъ первыхъ ступеней изображенія чиселъ посредствомъ письменныхъ знаковъ въ общепринитомъ значеніи этого слова. Начало употребленія бирки относится къ весьма глубокой древности. Въ пещерахъ Везерскихъ Троглодитовъ,—народа, принадлежащаго къ Каменному вѣку— найдены палочки изъ рога сѣвернаго оленя, на которыхъ сдѣлано множество маленькихъ поперечныхъ нарѣзокъ, расположенныхъ правильными рядами, и которыя принимаются археологами за бирки*).

Употребленіе бирки въ настоящее время весьма распространено: оно встрѣчается почти во всѣхъ частяхъ земнаго шара. Въ Европѣ— у неграмотныхъ крестьянъ Франціи, Германіи и Россіи, между финскими племенами Черемисовъ, Чувашей и Вотяковъ, у Арнаутовъ въ Турціи; въ Африкѣ—y Бонни; въ Азіи—y Айносовъ въ Японіи. Американскіе народы отмѣчаютъ на биркѣ числа дней, долженствующихъ протечь, наприм., до начала какого нибудь предпріятія, при чемъ штрихъ, соотвѣтствующій каждому прошедшему дню стирается съ бирки. Въ средніе вѣка бирки назывались по-латынѣ taleae, tallia, и, употреблялись при сборѣ податей; при чемъ имъ давалась форма дощечекъ, на верху которыхъ писалось имя плательщика податей, а внизу слѣдующая съ него сумма. Вслѣдствіе такого употребленія бирки слово tallia получило въ Германіи уже съ XI вѣка значеніе подати. То-же самое значеніе имѣло у Французовъ слово taille, а въ Англіи въ XIII вѣкѣ списокъ податямъ назывался tallagium. Въ Англіи до самого начала нынѣшняго столѣтія казначеи выдавали вмѣсто квитанціи бирки; такъ какъ это обыкновеніе становилось все менѣе и менѣе удовлетворительнымъ, то чиновники сперва стали писать квитанціи на биркѣ: затѣмъ начали прилагать къ биркѣ квитанціи, написанныя на бумагѣ, пока наконецъ не рѣшились совсѣмъ оставитъ бирки.

Живописное письмо, однимъ изъ частныхъ случаевъ котораго является описанная сейчасъ бирка, составляетъ первую ступень въ развитіи письменъ въ собственномъ смыслѣ этого слова. Какъ состоящее

*) Брока Везерскіе Троглодиты. Природа. книга II. стр. 154.

изъ изображеній обозначаемыхъ предметовъ и потому вызывающее представленія этихъ послѣднихъ передъ умственнымъ взоромъ человѣка помимо всякаго посторонняго условія, оно должно было тотчасъ-же представиться человѣку какъ только развившіяся болѣе тѣсныя общественныя отношенія вызвали настоятельную потребность въ устраненіи указанныхъ выше ограниченій, налагаемыхъ на дѣятельность языка разстояніемъ и временемъ. Въ настоящее время живописное письмо почти исключительно встрѣчается у однихъ сѣвероамериканскихъ Индѣйцевъ. Но въ древности оно встрѣчалось и у другихъ племенъ. Въ Старомъ Свѣтѣ мы находимъ его слѣды между прочимъ у Финикіянъ. Особенно замѣчательна въ этомъ отношеніи надпись на могилѣ сидонскаго пѣвца Антипатра, умершаго въ 100 г. до Р. Хр. На колоннѣ, находящейся при этой могилѣ, были изображены: пѣтухъ съ высоко поднятымъ скипетромъ и съ пальмовою вѣтьвью въ когтяхъ, падающій кубъ, расположенныы непосредственно около края, и козерогъ. Но объясненію Мелеагра, послѣднее изъ этихъ изображеній выражаетъ знатное происхожденіе Антипатра, первое — его знаменитость въ Финикіи, какъ пѣвца. наконецъ, среднее—его кончину, происшедшую отъ паденія въ пьяномъ видѣ*). Живописное письмо и его пониманіе, доступное по свидѣтельству Loskiel, основанному на показаніяхъ миссіонеровъ Цейсбергера и Шпангенберга, рѣшительно всѣмъ Индѣйнамъ. распространено на всемъ пространствѣ Сѣверной Америки отъ Флориды до Гудзонова залива. На языкѣ Индѣйцевъ, по Скулькрафту, живописное письмо обозначается словомъ Кекивинъ (Kekeewin). Племя Нодовесси называетъ, по Карверу, человѣка много занимавшагося живописнымъ письмомъ Шебайго (Sehebâygo), что значитъ «писецъ».

Для помѣщенія живописныхъ надписей преимущественно выбирались большія, легко бросающіяся въ глаза, деревья, расположенныя на холмахъ, на берегахъ рѣкъ. На удобномъ мѣстѣ одного изъ такихъ деревьевъ снималась кора, обнаженная древесина гладко выскабливалась и на ней посредствомъ краснаго вещества или угля дѣлался рисунокъ. Подобныя надписи (по Soskierro) сохранялись полстолѣтія и болѣе въ почти совершенно свѣжемъ видѣ. Если краснокожіе хотѣли сохранить надпись для отдаленнаго потомства, то они употребляли въ дѣло камни и каменныя поверхности; при чемъ одноврейенно

*) Wuttke. Die Entstechurtg der Schrift. S. 161—162 — Meleagros. Epigramm der griechischen Anthologie, Buch VII, n. 428.

пользовались рисованіемъ, раскрашиваніемъ, вырѣзываніемъ. Надписей на скалахъ и утесахъ удостоивались только особенно славныя дѣла. Всѣ описанные сейчасъ случаи помѣщенія живописныхъ надписей представляютъ ихъ прикрѣплеиными къ мѣсту, такъ сказать, неподвижнымъ Для подвижнаго, переноснаго письма употреблялись: снятая съ дерева березовая кора, деревянныя дощечки, звѣриныя шкуры и, наконецъ, человѣческія одежды. Пестрые рисунки живописнаго письма на деревѣ Маршандъ видѣлъ у туземцевъ Виргиніи около Норфольскаго залива и канала Кокса*). Передъ отправленіемъ на охоту въ назначенныя для того области вожди племенъ приказывали разрисовывать свои плащи, какъ карты, изображеніями, представляющими рѣки, горы, мѣстности, дороги, разстоянія, выраженныя числомъ дней ѣзды, и проч. На платьяхъ, щитахъ и домахъ изображалось иногда генеалогія рода, простиравшаяся, какъ говорятъ, даже до девятаго поколѣнія. Краснокожіе различали письменность на скалахъ и утесахъ отъ переносногй письменности. Представителей первой они называли Muzzinabikon, а представителей второй—Muzziniegun. Вслѣдствіе условій охотничьей жизни краснокожихъ, дошедшіе до насъ подвижные памятники живописнаго письма принадлежатъ къ новѣйшему времени. Памятники, относящіеся къ глубокой древности, встрѣчаются только между надписями на скалахъ и утесахъ.

Карверъ разсказываетъ, что «однажды его проводникъ изъ чипевейскаго (chipewei) племени, опасаясь возможности нападенія со стороны враждебнаго племени Нодовесси, содралъ кору съ большаго дерева около рѣки и смѣсью древеснаго угля съ медвѣжыімъ саломъ, обыкновенно замѣняющею у нихъ чернила, сдѣлалъ грубое, но весьма ясное изображеніе города племени Оттагоми Потомъ, съ лѣвой стороны онъ нарисовалъ человѣка, одѣтаго въ шкуры, который долженъ былъ изобразитъ собою Нодовесси, и провелъ прямую линію отъ его рта къ оленю, символу племени Чипевей. Затѣмъ, еще лѣвѣе, онъ нарисовалъ плывущую по рѣкѣ лодку, въ которой сидѣлъ человѣкъ въ шляпѣ; эта фигура изображала собою англичанина, то-есть меня, а спутникъ мой французъ былъ нарисованъ съ платкомъ, повязаннымъ вокругъ головы, и требъ веслами; къ этому онъ еще прибавилъ нѣсколько многозначущихъ эмблемъ, въ числѣ которыхъ была трубка мира, нарисованная у носовой части лодки. Этимъ способомъ онъ намѣренъ былъ сообщитъ Нодовессамъ,-и я не сомнѣваюсь, что эти послѣдніе

*) Etienne Marchand. Voyage autour du monde, II, 123.

поняли его очень хорошо,—что къ одному изъ начальниковъ племени Чипевей одинъ изъ начальниковъ племени Нодовесси обратился съ просьбою проводить англичанина, который недавно былъ у нихът вверхъ по Чипевейской рѣкѣ; и потому Нодовесси, не смотря на то, что Чипевей—враги ихъ, не должны безпокоитъ его во время путешествія такъ какъ онъ принялъ на свое попеченіе человѣка, котораго они уважаютъ, какъ бы своего одноплеменяика»*). Предметы духовнаго міра выражаются въ живописномъ письмѣ символически. Такъ въ прошеніи, поданномъ Индѣйцами президенту Соединенныхъ Штатовъ, о правѣ владѣнія нѣкоторыми озерами близь Верхняго озера, единство воззрѣній всѣхъ просителей выражается линіями, соединяющими глазъ главнаго изъ нихъ съ глазами всѣхъ другихъ, и единство чувствъ—линіями, соединяющими сердце главнаго просителя съ сердцами остальныхъ. Живописное письмо Сѣверо-американскимъ Индѣйцевъ въ точности выполняетъ всѣ свои функціи. Оно служитъ и для сообщеній между людьми, раздѣленными разстояніемъ, каковы наприм. сообщенія, посылаемыя однимъ племенемъ другому, прошенія, перепеси населенія и другія оффиціальныя сообщенія, представляемыя чиновникамъ Соединенныхъ Штатовъ, и для сообщеній между людьми. раздѣленными временемъ, каковы наприм. біографіи знаменитыхъ вождей различныхъ племенъ, начертанныя на ихъ надгробныхъ памятникахъ. Многочисленные примѣры индѣйскаго живописнаго письма можно найти въ сочиненіи Скулькрафта (Schuolcraft) History of the Indian Tribes in the United States, а также въ сочиненіяхъ Лёббока «Начало цивилизаціи» и Вуттке «Происхожденіе письма».

Числа въ живописномъ письмѣ Сѣверо-американскихъ Индѣйцевъ. выражаются или посредствомъ штриховъ, начертываемыхъ параллельно другъ другу въ вертикальномъ, горизонтальномъ или наклонномъ положеніи и обозначающихъ отдѣльныя единицы, или посредствомъ повторенія начертаній предметовъ, о числѣ которыхъ идетъ рѣчь, столько разъ сколько нужно. Въ окладной перепеси одного индѣйскаго клана близь Мильлэка, въ территоріи Миннесота, присланной агенту Соединенныхъ Штатовъ отъ Наго-Набе, индѣйца чипевейскаго племени, во время сбора табачной подати за 1849 годъ, число членовъ каждаго изъ семействъ этого клана обозначено соотвѣтствующимъ числомъ вертикальныхъ штриховъ, помѣщенныхъ подъ изображеніемъ, выражающимъ прозвище вождя семьи. Въ этой переписи встрѣчаются всѣ.

*) Лёббокъ. Начало цивилизаціи, стр. 37. — Carver. Fravels, p. 418.

числа отъ 7 до 1 включительно. На могильномъ памятникѣ Вабоджига, знаменитаго военачальника, умершаго близь Верхняго озера около 1793 года, семь горизонтальныхъ черточекъ, расположенныхъ съ лѣвой стороны тотэма (фамильнаго знака), обозначаютъ его начальствованіе надъ семью военными экспедиціями, а три вертикальныя черточки, расположенныя ниже тотэма, обозначаютъ три раны, полученныя имъ въ битвахъ. Въ жизнеописаніи Вингемунда, извѣстнаго вождя Делаваровъ, десять горизонтальныхъ черточекъ, помѣщенныхъ справа отъ тотэма, обозначаютъ десять войнъ или битвъ, въ которыхъ онъ принималъ участіе, 23 наклонныя параллельныя черточки, помѣщенныя снизу, обозначаютъ число его соратниковъ, шесть безголовыхъ человѣческихъ фигуръ—шесть человѣкъ, убитыхъ его воинами при взятіи одного англійскаго укрѣпленія, наконецъ четыре полныхъ человѣческихъ фигуры—четырехъ плѣнныхъ, взятыхъ въ томъ же дѣлѣ. Въ написанномъ на корѣ письмѣ вождя Сіуковъ, Чапака, къ чипевейскимъ охотникамъ, содержащемъ предложеніе заключитъ миръ и найденномъ у водопада Св. Антонія въ 1820 году, числа вигвамовъ, подчиненныхъ каждому изъ трехъ второстепенныхъ начальниковъ, обозначены соотвѣтствующими числами (14, 13 и 13) изображеній шалашей. Въ надписи, находящейся въ Канадѣ на одномъ изъ утесовъ сѣвернаго берега Верхняго озера и содержащей описаніе удачной войны, веденной вождемъ Міеенгуномъ на Верхнемъ озерѣ, число лодокъ, участвовавшихъ въ этой войнѣ, обозначено соотвѣтствующимъ числомъ ихъ изображеній (5); числа воиновъ, находившихся на каждой изъ этихъ лодокъ, обозначены соотвѣтствующими числами вертикальныхъ штриховъ, помѣщенныхъ надъ лодкою (надъ первой 16, надъ второй 9, надъ третьей 10, надъ четвертой и пятой по 8; всего 51 воинъ); наконецъ, число дней, употребленныхъ на плаваніе, обозначено соотвѣтствующимъ числомъ круговъ (3), помѣщенныхъ подъ сводомъ и изображающихъ солнце. Въ описаніи подвиговъ вождя Два пера (Zweifeder) шесть военныхъ походовъ, въ которыхъ онъ участвовалъ, обозначены шестью одинаковыми фигурами, пятнадцать воиновъ, находившихся подъ его начальствомъ въ послѣднемъ походѣ,—15-ью наклонными черточками, заключенными между двумя параллельными линіями, три непріятеля, убитыхъ въ томъ же походѣ, тремя безголовыми человѣческими фигурами. Въ письмѣ, написанномъ на березовой корѣ и оставленномъ на Верхнемъ озерѣ, 14 человѣческихъ фигуръ со шляпами на головахъ изображаютъ 14 Европейцевъ, участвовавшихъ въ одной ученой экспедиціи въ 1820 году, двѣ человѣческія фигуры безъ шляпъ—

двухъ Индѣйцевъ, служившихъ проводниками; чтобы показать, что 8 изъ всего числа Европейцевъ были солдаты—около нихъ помѣщены восемь ружей со штыками.

Въ нѣкоторыхъ изъ памятниковъ живописнаго письма Сѣверо-американскихъ Йндѣйцевъ мы можемъ замѣтить болѣе или менѣе ясные слѣды обособленія изъ ряда чиселъ числа десять, какъ единицы новаго разряда десятковъ. Въ письмѣ, написанномъ на бумагѣ однимъ Индѣйцемъ изъ племени Мандановъ и содержащихъ въ себѣ торговую сдѣлку, 30 бобровыхъ шкуръ обозначены 30-ю штрихами, помѣщенными надъ изображеніемъ бобра; изъ этихъ штриховъ первой штрихъ втораго десятка и первый штрихъ третьяго—сдѣланы значительно длиннѣе и толще всѣхъ остальныхъ, такъ что десятки являются весьма рѣзко раздѣленными одинъ отъ другаго (фиг. 2). Стремленіе облегчить и ускорить счетъ штриховъ, очевидно, было главною причиною этого раздѣленія. Въ памятникѣ, который мы сейчачъ опишемъ, человѣкъ уже не ограничивается однимъ этимъ стремленіемъ; онъ начинаетъ заботиться также и о сокращеніи письма, для чего и вводитъ особый знакъ, изображающій число 10. Этотъ памятникъ содержитъ описаніе нападенія французовъ на ирокезское племя Тсононтуановъ и состоитъ въ слѣдующемъ: Подъ сѣкирой изображены французскій гербъ и 18 особенныхъ знаковъ, выражающихъ число 10, что означаетъ 180 французскихъ воиновъ. Изображенія горы, съ которой слетаетъ внизъ птица, и оленя съ четвертью луны на спинѣ выражаютъ, что эти воины вышли изъ Монреаля въ первой четверти Іюля (мѣсяцъ Оленя). Челнокъ съ находя-

Фиг. 2.

щимися на немъ хижинами, числомъ 21, показываетъ, что тѣ-же воины пришли водою и ночевали во время плаванья 21 разъ; нога и 7 вигвамовъ показываютъ, что потомъ воины шли пѣшкомъ и ночевали въ дорогѣ 7 разъ; изображенія руки и трехъ вигвамовъ, надъ однимъ изъ которыхъ находятся двѣ висящія вѣтви—гербъ племени Тсононтуановъ и солнце, выражаютъ, что послѣ плаванія и семидневной маршировки французскіе воины приблизились къ Тсононтуанамъ на разстояніе трехъ дней пути къ востоку; 12 знаковъ, обозначающихъ число 10, вигвамъ съ двумя висящими вѣтвями и лежащій человѣкъ показываютъ, что воины напали на 120 спящихъ человѣкъ племени Тсононтуановъ; дубина, 11 головъ, 5 человѣкъ съ находящимися по одному надъ каждымъ изъ нихъ знаками числа 10 показываютъ, что воины убили 11 человѣкъ и взяли въ плѣнъ 50; дуга, внутри которой находятся 9 головъ a снизу 11 штриховъ, выражаетъ, что побѣдители потеряли 9 человѣкъ убитыми и 11 ранеными; наконецъ изображенія стрѣлы, оиеренной съ двухъ сторонъ, и стрѣлы, оперенной съ одной стороны, выражаютъ, что побѣжденные убѣжали только послѣ жаркаго боя*).

Бродячая, исполненная опасностей и лишеній, жизнь охотничьихъ племенъ Сѣверной Америки не заключала въ себѣ ничего, что могло-бы такъ или иначе содѣйствовать дальнѣйшему развитію живописнаго письма. Древнѣйшіе изъ достигшихъ до насъ памятниковъ послѣдняго не представляютъ никакихъ сколько-нибудь существенныхъ различій отъ памятниковъ новѣйшаго времени. Самое тщательное сравненіе послѣднихъ съ первыми едва-ли отыщетъ въ нихъ хотя слабые слѣды ирогресса. Последніе могли обнаружиться только при окруженной большими удобствами и болѣе обезпеченной жизни осѣдлыхъ народовъ. Поэтому, для отысканія болѣе развитыхъ формъ живописнаго письма необходимо обратиться къ осѣдлымъ племенамъ сѣверной части Америки. Этими племенами, какь извѣстно, были три великіе народа. населяющіе Среднюю Америку: Тольтеки, Майя и Ацтеки. Употребляемыя ими и стоящія, на весьма высокой степени развитія гіероглифическія системы письменныхъ знаковъ дѣйствительно оказываются, какъ это мы сейчасъ увидимъ, болѣе развитыми формами живописнаго письма. Нѣкоторыя изъ дошедшихъ до насъ народныхъ преданій Средней Америки и разсмотрѣніе состава и формъ ея гіероглифическаго письма даютъ намъ достаточныя основанія для высказаннаго сейчасъ положенія.

*) Wittke. Die EnttsJehung der Schrift, s. 158—161.

По существующему между Тольтеками преданію, ихъ предки пріѣхали на корабляхъ въ сѣверо-западную Америку и поселились въ Хвехветлапаланнѣ, находящемся вѣроятно къ сѣверу отъ Калифорніи, можетъ быть подъ 42° сѣв, шир. Преданіе не даетъ никакихъ средствъ для опредѣленія мѣста изъ котораго прибыли предки Тольтетиковъ. Его данныя не идутъ далѣе факта прибытія въ Америку и поселенія въ Хвехветлапалланѣ. Позднѣе, Тольтеки подвинулись къ югу и утвердились на сѣверо-западной границѣ нынѣшней Мексики. Здѣсь, около 666 года, они основали городъ Тула (Tula, Tullam, Tullan, Tollan— мѣсто ситника [растеніе]), отъ котораго и получили свое названіе (Tolteken или Tulteken, Tultekas, Toltekatl). Во время основанія Тула Тольтеки уже обладали весьма развитою системою живописнаго письма. Дѣйствительно, преданіе говоритъ, что около 700 года при второмъ королѣ Тула мудрецъ и астрономъ Хвематцинъ (Хвеманъ) въ сообществѣ съ другими знающими людьми написалъ живописнымъ письмомъ сочиненіе, «священную книгу» Тео Амоштли (Амокстли), въ которомъ была изложена вся сумма опытности, знанія и мышленія, пріобрѣтенная до того времени Тольтеками. Въ этой книгѣ заключались описанія учрежденій тольтекскаго народа и его странствованій, мнѣнія о происхожденіи міра и о небесныхъ явленіяхъ, ученія вѣры и доброй нравственности. Въ послѣдствіи Тольтеки подвинулись еще далѣе къ югу и заняли горную область Средней Америки, Ана—хвакъ. Цвѣтущее состояніе новаго государства, основаннаго здѣсь Тольтеками, было непродолжительно и едва-ли тянулось долѣе столѣтія. Засухи и неурожаи, голодъ и повальныя болѣзни, вызванныя религіозными распрями междоусобныя войны, возстанія покореннаго населенія, до того ослабили могущество Тольтековъ, что ихъ государство прекратило свое существованіе вмѣстѣ со смертью ихъ послѣдняго главы Топильтцина, что случилось, какъ полагаютъ, въ 1052 году. Послѣ паденія государства Тольтековъ, только немногіе изъ нихъ остались въ Анахвакѣ, большинство пересилилось въ другія мѣстности: одни отправились на югъ въ Гватемалу, другіе на востокъ въ Юкатанъ.

Тольтеки были мягкое трудолюбивое племя. Они воздѣлывали маисъ и хлопчатую бумагу и занимались обработкою металловъ. Живя осѣдлою жизнью, они пользовались обезпеченнымъ положеніемъ и попотому вопросъ о насущномъ хлѣбѣ на завтрашній день —этотъ «вѣчно тревожный и страшный» вопросъ для бродячаго охотника—не могъ оказывать на нихъ подавляющаго дѣйствія. Ихъ жизнь, протекавшая посреди городовъ и удобствъ болѣе цивилизованнаго состоянія,

была несравненно болѣе разнообразною и болѣе богатою содержаніемъ, чѣмъ бѣдная жизнь бродячаго охотника.

Племя Майя образовала три большія государства въ средней Америкѣ. Государство Цапотековъ въ южной части теперешней Мексики имѣло центральнымъ пунктомъ Ліубаа (впослѣдствіи Митла), расположеніе недалеко отъ теперешняго города Оаяка, и управлялось духовнымъ главою. Къ востоку отъ Цапотековъ, около нынѣшней Паленки въ области Ольмековъ (въ Штатѣ Чіапасъ недалеко отъ границъ Юкатана) жила другая отрасль племени Майя, составлявшая особенное государство. Часть этой отрасли, предводительствуемая священникомъ Цампа, отдѣлилась отъ своихъ соплеменниковъ и, передвинувшись вдоль морскаго берега къ югу, основала въ Юкатанѣ государство Майяпанъ съ главнымъ городомъ Итцмалъ. Спустя довольно долгое время послѣ основанія Майяпана, въ Юкатанъ пришли Тольтеки, какъ это было уже упомянуто выше, и основали близь границъ Майяпана государство Ухмалъ (Итцалане). Нѣкоторые ученые высказывали мысль, что Тольтеки и Майя принадлежатъ къ одному племени. Не смотря на то, что большинство ученыхъ держится противнаго мнѣнія, первое мнѣніе все-таки не устранено и вопросъ остается открытымъ. Племя Майя было земледѣльческое и отличалось мирными наклонностямъ Благодаря своему неутомимому трудолюбію и прилежанію оно сдѣлало большіе успѣхи и достигло довольно высокой степени развитія. Гіероглифическое письмо стояло въ племени Майя на такой-же высотѣ, какъ и у Тольтековъ. Вообще, какъ можно заключить на основаніи имѣющихся фактовъ, образованность въ различныхъ государствахъ Тольтековъ и Майя: въ Анахвакѣ, у Цапотековъ, въ Паленкѣ, въ Майяпанѣ и Ухмалѣ не представляла никакихъ сколько-нибудь существенныхъ различій и отличалась полною однородностью.

Спустя довольно долгое время послѣ разрушенія царства Тольтековъ въ Анахвакѣ, почти совсѣмъ оставленныя жителями Анахвакъ подвергся нашествію нѣкоторыхъ изъ грубыхъ племенъ Сѣвера. Сперва пришло сосѣднее племя Чичимековъ, заставившее Тольтековъ удалиться въ Никарагву; затѣмъ немного позднѣе явились воинственныя и свирѣпыя орды, принадлежащія къ нахватлакскому племени. Изъ этихъ ордъ самыми значительными были явившіяся послѣ всѣхъ орды Ацтековъ. Своимъ первоначальнымъ мѣстомъ жительства Ацтеки считали Ацтланъ — страну цаплей, лежащую на сѣверъ и на востокъ отъ Калифорнскаго моря, вѣроятно, въ странѣ великихъ внутреннихъ озеръ. По имени этой страны они назвали себя Ацтекатль. Ацтеки

утвердились въ ХІІ-омъ столѣтіи въ странѣ, лежащей къ сѣверу отъ Мексики. Достигши; спустя столѣтіе, большаго могущества и значенія они заняли Анахвакъ, поетроили въ 1325 году городъ Тенохтитланъ или Мехоаканъ, основали нѣсколько государствъ и затѣмъ покорили многія земли, лежащія къ югу отъ Анахвака. Ихъ глава, Монтецума I, доходилъ до Утлатлана—Гватемалы. Языкъ Ацтековъ—нарѣчіе языка племени Нахва распространился до Никарагвы. Воинственные и невѣжственные Ацтеки вмѣстѣ съ землями, когда-то принадлежавшими цивилизованнымъ Тольтекамъ, получили какъ бы въ наслѣдство отъ послѣднихъ ихъ знанія и искусства. Духовенство Ацтековъ не замедлило воспользоваться сокровищами гіероглифическаго письма, принадлежащаго Тольтекамъ. Дальнѣйшее развитіе этого письма въ рукахъ Ацтековъ впрочемъ уклонилось отъ пути, намѣченнаго въ Анахвакѣ, и приняло другое направленіе. Что касается до вліянія Ацтековъ, то оно не простиралось далѣе завоеванныхъ земель, и жители Чіапаса. Гватемалы и Юкатана продолжали дальнѣйшее развитіе своей культуры сообразно со своими свойствами, не уклоняясь отъ прежде намѣченныхъ путей.

Изложенные сейчасъ преданія и факты согласно убѣждаютъ насъ въ томъ что Тольтеки, Майя и Ацтеки пришли въ центральную Америку изъ странъ, лежащихъ на Сѣверѣ и представляющихъ какъ теперь, такъ и прежде, настоящее отечество живописнаго письма. Вслѣдствіе этого мысль что переселенцы приносили съ собою въ новое отечество знаніе живописнаго письма по крайней мѣрѣ въ томъ грубомъ видѣ, въ какомъ оно встрѣчается у сѣверо-американскихъ племенъ,—едва-ли можетъ возбуждать сомнѣніе. Эта мысль не теряетъ своего значенія даже и тогда, когда, основываясь на приведенномъ выше преданіи Тольтековъ, предположимъ что предки ихъ пришли изъ Восточной Азіи. Дѣйствительно, если мы примемъ во вниманіе, что въ Восточной Азіи до сихъ поръ не замѣчено никакихъ слѣдовъ живописнаго письма, то намъ придется заключить, что послѣднее не могло быть принесено Тольтеками изъ Азіи. Съ другой стороны мы не можемъ не признать, что продолжительное пребываніе Тольтековъ въ Хвехветлапалланѣ посреди сѣверо-американскихъ охотничьихъ племенъ не могло не познакомить первыхъ съ употребленіемъ столь распространеннаго между вторыми, живописнаго письма.

Перейдемъ теперь къ описанію явленій, представляемыхъ внѣшнимъ видомъ гіероглифическаго письма Средней Америки. Разсмотрѣніе дошедшихъ до насъ памятниковъ посдѣдняго показываетъ, что оно

являлось въ слѣдующихъ четырехъ формахъ. Первая форма: отдѣльныя большія изображенія, снабженныя непонятными знаками, заключенными въ квадратахъ. Эти квадраты обыкновенно располагаются по бокамъ или отдѣльныхъ фигуръ, входящихъ въ составъ изображенія, или цѣлой ихъ группы. Вторая форма: рядъ изображеній, представляющихъ довольно живо раскрашенныя фигуры, между которыми тамъ и симъ разбросаны непонятные знаки, подобные упомянутымъ выше. Совокупность этихъ фигуръ и знаковъ производитъ впечатлѣніе иллюстрированной книги съ картинамъ Третья форма: большіе четыреугольники, содержащіе въ себѣ различныя изображенія и окруженные малыми четыреугольниками съ помѣщенными внутри ихъ непонятными знакамъ Въ большихъ четыреугольникахъ находящейся въ Ватиканъ среднеамериканской книги можно видѣть наприм. изображенія аллигатора или какого-нибудь другаго чудовища, утаскивающаго человѣка или только имѣющаго его подъ собой, и воина, стоящаго въ ожиданіи минуты, удобной для убіенія чудовища. Четвертая форма: таблицы, содержащія ряды равномѣрныхъ четыреугольниковъ, внутри которыхъ находятся странные знаки.

Характеристическую особенность средне-американскаго гіероглифическаго письма составляетъ уродливость даже каррикатурность большихъ изображеній людей, животныхъ и различныхъ орудій. Огромной головѣ, большому носу зачастую соотвѣтствуетъ сдавленное крошечное тѣло. При несоразмѣрномъ развитіи однѣхъ частей тѣла часто замѣчается полное отсутствіе другихъ: большія когтевидныя изображенія пальцевъ ноги нерѣдко являются въ числѣ 3 вмѣсто 5. Контуры фигуръ большей частью прямолинейны. Во всемъ вообще замѣтенъ крайній недостатокъ заботливости сдѣлать свои изображенія вѣрными дѣйствительности, ясно выраженное сознаніе несходства цѣлей живописи и письма обнаруживается повсюду. Маленькія изображенія представляютъ людей, животныхъ, растенія, плоды, цвѣты, дубины, стрѣлы, различныя орудія, связки товаровъ, разнообразно окрашенные небольшіе круги, различныя фигуры въ завиткахъ, наконецъ много фигуръ, совершено непонятныхъ для Европейца, хотя очевидно выражающихъ извѣстные опредѣленные предметы. Изображенія людей обыкновенно состоятъ при этомъ только изъ головы или верхней части туловища. Упомянутые выше четыреугольники всегда являются правильно расположенными: въ видѣ столбцевъ или строкъ. Содержаніе нѣкоторыхъ четыреугольниковъ равно какъ и значеніе многихъ изъ отдѣльно стоящихъ фигуръ, не представляетъ особенныхъ затрудненій

для уразумѣнія своего смысла. Не трудно понять наприм., что хотѣли выразить, изображая въ четыреугольникѣ руку, связку товаровъ и человѣческое лице съ высунутымъ языкомъ. Такіе случаи, впрочемъ, встрѣчаются крайне рѣдко.

Всѣ изложенныя сейчасъ свойства среднеамериканскаго живописнаго письма даютъ намъ полное право заключить, что это письмо есть ничто иное, какъ болѣе развитая форма живописнаго письма сѣверо-американскихъ Индѣйцевъ. Въ то время, какъ квипусъ, представлявшій какъ было показано выше, дальнѣйшее развитіе совершенно другого начала, остановилъ развитіе живописнаго письма въ Южной Америкѣ, въ Сѣверной Америкѣ оно продолжалось безостановочно до самаго появленія Европейцевъ.

Среднеамериканское гіероглифическое письмо, на сколько объ этомъ можно судить по одной внѣшней его сторонѣ, представляетъ нѣсколь ко болѣе или менѣе различныхъ системъ. Наиболѣе различающимися одна отъ другой являются двѣ системы: тольтекско-ацтекская въ Мексикѣ и болѣе совершенная, на за то и менѣе понятная для насъ, употребляемая въ Паленкѣ. Образцы послѣдней до сихъ поръ сохраняются въ развалинахъ древняго города, находящихся въ лѣсистой мѣстности близь деревни Паленка. Памятники средне-американской письменности дошли до насъ въ двухъ видахъ: или въ формѣ надписей на камняхъ или, въ формѣ книгъ и документовъ, написанныхъ на болѣе удобныхъ для переноски предметахъ.

Надписи на камняхъ преимущественно твердыхъ породъ дѣлались посредствомъ рѣзца. Онѣ были большею частью выпуклыя; углубленныя встрѣчаются очень рѣдко. Ими покрывались отдѣльные камни, пьедесталы статуй боговъ, стѣны дворцовъ и храмовъ. Для предохраненія отъ разрушительныхъ дѣйствій погоды и времени эти надписи часто покрывались краснымъ лакомъ.

Для обыкновеннаго немонументальнаго письма Среднеамериканцы употребляли кожи животныхъ преимущественно оленей, древесную кору, деревянныя дощечки, бумагу. Кожи предназначаемыя для этой цѣли, отдѣлывались весьма старательно и чисто. Древесная кора тщательно выравнивалась и покрывалась тонкимъ бѣлымъ лакомъ. Деревянныя дощечки, по свидѣтельству Петра Мартиры Ангіеры*) были также бѣлыя и употреблялись для временныхъ замѣтокъ: написанное

*) De rebus oceanicis et novo orbe, decades très Petri Martyris ab Angleria Medioianensis. S. 354, 355. — Wuttke. Die Entstehung der Schrift, S. 197.

могло быть легко стерто съ нихъ посредствомъ полотна или губки. Но самымъ распространеннымъ и самымъ замѣчательнымъ письменнымъ матерьяломъ была бумага. Она приготовлялась или изъ смѣси шелка и смолы или, изъ хлопчатобумажныхъ тканей, или-же наконецъ, и это по преимуществу, изъ листьевъ и волоконъ агавы (Maguey, Алоэ) и пальмы Икцотль. Процессъ приготовленія состоялъ въ слѣдующемъ. Снятую съ листьевъ и стеблей алоэ внутреннюю кожицу клали въ воду и старательно вымывали, затѣмъ сушили ее какъ пеньку и поджаривали, укрѣпляли камедью, прессовали въ пластинки различной толщины. По выходѣ изъ-подъ пресса эти пластинки вытягивались и затѣмъ полировались. Иногда онѣ покрывались также съ двухъ сторонъ толстымъ слоемъ муки, сообщавшей имъ бѣлый цвѣтъ. Для сообщенія имъ въ этомъ случаѣ достаточной гладкости, ихъ покрывали бѣлымъ смолянымъ лакомъ или полировали во второй разъ. Въ результатѣ операціи получалась очень хорошая бумага различной степени тонкости, довольно толстая и прочная, похожая на нашъ картонъ, но полированная. Отдѣльные листы этой бумаги имѣли весьма значительную. длину: извѣстны образцы въ 45 и даже въ 70 футовъ длиною. Такая значительная длина была отчасти полезна въ виду того, что исписанные листы бумаги или оленьей кожи въ началѣ хранились и употреблялись въ видѣ свертковъ. Впослѣдствіи форма свертка, впрочемъ была почти оставлена и исписанные листы бумаги стали получать форму книги. Для сообщенія имъ этой формы они перегибались въ нѣсколькихъ мѣстахъ такимъ образомъ, что могли быть складываемы, подобно тому какъ складываются вѣера или ширмы. Образующіяся при этомъ полосы—страницы книги—имѣли ширину отъ ширины руки до одного фута. Вся книга заключалась между двумя деревянными дощечками, соотвѣтствующимн доскамъ нашихъ переплетовъ. Описанный способъ складыванія листовъ книги показываетъ, что читатель всегда имѣлъ передъ глазами обѣ страницы сразу. При этомъ необходимо замѣтить, что для письма служили обѣ стороны листа бумаги. Находящаяся въ Дрезденѣ и написанная на бумагѣ средне-американская рукопись имѣетъ 8 дюймовъ въ вышину, сложена изъ 40 листовъ и содержитъ поэтому 80 страницъ; разложенная она достигаетъ 12 футовъ 6 дюймовъ длины; сложенная она представляетъ книгу въ восьмую долю листа и въ 372 дюйма толщины. Писали на бумагѣ повсей вѣроятности посредствомъ кисти. Контуры фигуръ дѣлались обыкновенно очень черными. Краски употребляемыя для письма, отличались силою и живописью, красотою и прочностью; онѣ приготовлялись и изъ минеральныхъ веществъ, и

изъ растительныхъ. Для лучшаго сохраненія на бумагѣ цвѣтныхъ изображеній, послѣднія покрывались клеемъ или масломъ. Самое письмо, вслѣдствіе своихъ грубыхъ. толстыхъ и широкихъ штриховъ, не производитъ впечатлѣнія особенной старательности исполненія, напротивъ кажется исполняемымъ весьма бѣгло и скоро. Въ этомъ послѣднемъ обстоятельствѣ нельзя не видѣть обнаруженія существованія обширной письменности, требующей для своего исполненія множества рукъ. Книги, повидимому, пользовались у Среднеамериканцевъ большимъ уваженіемъ. Для предохраненія своихъ книгъ отъ разрушенія, весьма скоро наступающаго въ тропическихъ странахъ, люди племени Майя каждыя годъ смачивали ихъ сильно разжиженнымъ водой растворомъ окиси мѣди и уксусной кислоты. Погруженіе книгъ въ этотъ растворъ производилось при исполненіи различныхъ религіозныхъ обрядовъ.

Все изложенное сейчасъ съ полною ясностью указываетъ намъ на существоваваніе у Среднеамериканцевъ обширной и очень дѣятельной письменности. Обширное развитіе поелѣдней также подтверждается еще и слѣдующими фактами. Въ началѣ XVI столѣтія въ средней Америкѣ приготовлялись ежегодно огромныя массы бумаги. Въ Мексиканской имперіи города Каухнахвакъ, Панчималько Атлачолоайянъ, Чіутепенъ, Хртцилакъ, были обязаны доставлять императору Монтецумъ II по 8000 стопъ агавовой бумаги (по нѣкоторымъ свидѣтельствамъ 16000 даже 20000 тюковъ бумаги) ежегодно въ видѣ подати. Для производства письменныхъ работъ Монтецума II содержалъ очень много писцовъ (1000 по нѣкоторымъ свидѣтельствамъ). Душею и центромъ этой письменности было духовенство. Оно основало и поддерживало множество школъ.

Письменное счисленіе Среднеамериканцевъ, какъ и вся ихъ письменность, является стоящимъ на весьма высокой степени развитія. Система счисленія, употребляемая въ Средней Америкѣ, была двадцатиричная. Числа изображались въ ней по аддитивному методу. Особенными знаками изображались только единицы разрядовъ. У Ацтековъ были слѣдующіе знаки. Единица изображалась или кружкомъ, иногда большей, иногда меньшей величины, или просто точкой. Всѣ остальныя числа до 19 включительно выражались соотвѣтствующимъ числомъ кружковъ или точекъ, стоящихъ другъ подлѣ друга. Единица слѣдующаго разряда — число 20—обозначалась знаменемъ или флагомъ, прикрѣпленнымъ къ палкѣ (фиг. 3). Числа, кратныя 20 и меньшія 400, изображались соотвѣтствующимъ числомъ знаменъ или флаговъ, постав-

ленныхъ другъ подлѣ друга. Числа, состоящія изъ единицъ двухъ первыхъ разрядовъ, обозначались посредствомъ нужнаго числа знаменъ или флаговъ, выражающихъ число единицъ втораго разряда, и кружковъ или точекъ, выражающихъ число единицъ перваго разряда. Единица третьяго разряда — число 400 — изображалась посредствомъ пераили листа (фиг. 4). Единица четвертаго разряда—число 8000—обозначалась изображеніемъ вязанки, кошелька или мѣшка. Числа, состоящія изъ единицъ различныхъ разрядовъ, изображались такимъ же образомъ

какъ и числа, состоящія изъ единицъ первыхъ двухъ разрядовъ. Такъ число 24892 должно было. выразиться посредствомъ изображеній трехъ мѣшковъ, двухъ перьевъ или листьевъ, двухъ знаменъ или флаговъ и двѣнадцати кружковъ или точекъ. Для сокращенія числа знаковъ, нужныхъ для изображенія чиселъ, употреблялся иногда слѣдующій пріемъ. Черта, пересѣкающая стержень знамени, показывала, что нужно взять половину числа 20. изобраежамаго знаменемъ, то-есть число 10. Для обозначенія другихъ чиселъ, меньшихъ 20, стержень знамени раздѣляли на соотвѣтствующее число частей и отмѣчали нужную часть. Чтобы изобразить число, равное половинѣ, трети, тремъ четвертямъ, и т. д. числа 400, 8000, и т. д. изображали половину, третъ, три четверти и т. д. знака, изображающаго это число то-есть пера, мѣшка и т. д.*).

Наибольшее число данныхъ, относящихся къ письменноу счисленію Мексиканцевъ, было доставлено .намъ книгою, сохраненіемъ которой наука обязана Мендозѣ (Mendoza). Объясненіе содержанія этой книги было дано Тевет'омъ (Thevet) въ 1553 году, но, къ сожалѣнію, это объясненіе касается только общаго содержанія книги. Книга состоитъ изъ трехъ отдѣловъ: въ первомъ—излагается исторія Мексики, оканчивающаяся правленіемъ Монтецумы, во второмъ содержатся списки доходовъ Мексиканской Имперіи, наконецъ, въ третьемъ описывается: воспитаніе молодаго Мексиканца, занятія его въ каждомъ возрастѣ, наказанія, налагаемыя на него за непослушаніе; затѣмъ чиновники съ присвоенными имъ знаками должностей и, наконецъ, все, что относится къ войнѣ. Книга заканчивается изображеніемъ сѣдаго Монтецумы, сидящаго на тронѣ. Въ страницѣ изъ этой кннги, принадле жащей ко второму отдѣлу послѣдней и приведенной въ сочиненіи

Фиг. 3.

Фнг. 4.

*) Wuttke. Die Entstehung der Schrift. S. 214.

Вуттке, содержится описаніе податей, уплачиваемыхъ государству городомъ Тлятилюлько (нынѣ Сантьяго). Онъ долженъ былъ доставлять слѣдующіе предметы: различные щиты съ перьями, 80 полныхъ вооруженій (кольчуга, шлемъ, и проч.) двухъ видовъ по 40 отъ каждаго; — 40 корзинъ (вѣсомъ около половины центнера каждая) съ пинолемъ, веществомъ, прибавляемымъ къ шоколаду; 40 корзинъ измельченнаго какао и наконецъ 800 ластовъ большихъ плащей. Всѣ эти подати должны были уплачиваться въ теченіи 80 дней. Кромѣ того городъ былъ обязанъ содержать храмъ Хвицнахвакъ. Число полныхъ вооруженій каждаго вида—40—обозначено двумя флагами, поставленными съ правой стороны изображенія соотвѣтствующаго вооруженія, число корзинъ пиноля—40—выражено двумя изображеніями этихъ корзинъ, изъ которыхъ каждая имѣетъ флагъ; совершенно также изображеніе и число корзинъ съ какао--40; число ластовъ большихъ плащей—800—обозначено двумя изображеніями тюковъ этихъ плащей, изъ которыхъ каждый имѣетъ надъ собою изображеніе пера; число дней — 80 — выражено четырьмя изображеніями одного и того же цвѣтка, изъ которыхъ каждое обозначаетъ 20 дней (фиг. 5). Относительно избараженій корзинъ съ какао мы должны за. мѣтить, что едва ли возможно согласиться съ толкованіемъ Тевет'а, которому мы слѣдовали выше, и признать, что они выражаютъ число 40. Дѣйствительно, кромѣ флага одно изъ этихъ изображеній имѣетъ четыре, а другое пять перьевъ, совершенно похожихъ по виду и по мѣсту нахожденія на перья, находящіяся надъ тюками плащей (фиг. 6). Поэтому принимая во вниманіе значеніе пера, не правильнѣе ли будетъ принять, что первое изображеніе представляетъ 1620 корзинъ какао, а второе 2020? Фиг. 7 представляетъ рядъ десяти послѣдовательныхъ лѣтъ, соотвѣтствующихъ по нашему лѣтосчисленію періоду 1417—1426 годовъ. Каждому году соотвѣтствуетъ особенный четыреугольникъ, внутри. котораго находятся кружки въ числѣ, соотвѣтствующемъ номеру года. Эта фигура взята изъ таблицы, приведениой въ сочиненіи Вуттке и заимствованной изъ первой исторической части описанной выше мексиканской книги. Эта таблица замѣчательна также тѣмъ, что въ ней встрѣчаются слѣды болѣе древняго письменнаго

Фиг. 5.

Фиг. 6.

счисленія—выраженія числа предметовъ посредствомъ соотвѣтствующаго числа изображеній этихъ предметовъ. Число челноковъ, принадлежащихъ Ацтекамъ и разрушенныхъ возставшими жителями Шалько (Chalco), обозначено въ ней четырьмя изображеніями челнока, а число Ацтековъ, убитыхъ при этомъ мятежниками,— пятью изображеніями головы. Описаніе воспитанія молодаго Мексиканца, содержащееся въ третьей части книги, распредѣлено по возрастамъ, обозначаемымъ каждый разъ соотвѣтствующимъ числомъ кружковъ; такъ одинадцатилѣтній возрастъ обозначенъ 11-ью кружками, 15-лѣтній—15-ью кружками (фиг. 8). Замѣчательно, что какъ въ этомъ случаѣ, такъ и въ предыдущемъ, кружки, число которыхъ превосходитъ 5, распредѣляются въ отдѣльныя строки не болѣе какъ по пяти въ каждой, обстоятельство, въ которомъ нельзя не видѣть вліяніе древняго пальцеваго счета.

Всѣ изложенныя въ настоящей статьѣ факты приводятъ насъ къ слѣдующимъ заключеніямъ относительно первоначальнаго развитія письменнаго счисленія.

Письменное счисленіе началось съ обозначенія при посредствѣ одного и того же внѣшияго знака каждой отдѣльной единицы, входящей въ составъ изображаемаго числа. Этими внѣшиими знаками были: камни, узлы, вертикальныя, горизонтальныя или наклонныя черточки и кружки. Въ живописномъ письмѣ кромѣ черточекъ употреблялось еще и въ первоначальное время, какъ кажется, исключительно—обозначеніе числа какихъ-нибудь однородныхъ предметовъ посредствомъ повторенія изображенія предмета нужное число разъ. Въ первое время употребленія живописнаго письма такое обозначеніе представляло ту выгоду, что давало возможность одновременно выразить и число, и родъ считаемыхъ предметовъ. Но позднѣе, когда выступило на сцену стремленіе къ сокращенію письма и упрощенію его пріемовъ описанный сейчасъ способъ изображенія чиселъ сталъ все болѣе и болѣе отодвигаться на задній планъ и уступать свое мѣсто изображенію чиселъ посредствомъ черточекъ. Вполнѣ, однако же онъ не

Фиг. 7.

исчезъ, такъ какъ мы видѣли его слѣды даже и въ наиболѣе развитой формѣ живописнаго письма — мексиканскомъ гіероглифическомъ письмѣ. Различныя неудобства изображенія каждой единицы, входящей въ счетъ, посредствомъ отдѣльнаго знака, мало замѣтныя въ первыя времена письменнаго счисленія, когда имѣли дѣло съ небольшими числами, становились все болѣе и болѣе замѣтными по мѣрѣ расширенія границъ письменнаго счисленія. Явилась необходимость вторично воспользоваться примѣромъ аналогичнаго пріема, употребляемаго при непосредственномъ счетѣ предметовъ и состоящаго, какъ было показано выше, въ обозначеніи внѣшними знаками послѣдовательно получаемыхъ при счетѣ чиселъ, равныхъ основному числу употребляемой системы счисленія, а потомъ степенямъ того же числа. Первою, вполнѣ отвѣчающею потребностямъ времени, попыткою устранить упомянутыя неудобства первоначальнаго пріема письменнаго счисленія было введеніе въ употребленіе особеннаго знака для числа, равнаго основному числу принятой системы счисленія. Приведенные выше факты даютъ намъ возможность прослѣдить по крайней мѣрѣ въ отношеніи живописнаго письма, постепенное развитіе этого нововведенія. Сперва была значительно удлинена и утолщена черточка, представляющія первую единицу каждаго новаго десятка. Ничѣмъ не устраняя неудобства существующаго пріема изображенія чиселъ по отношенію къ самому процессу писанія, новый пріемъ значительно облегчилъ чтеніе написаннаго, такъ какъ избавлялъ читающаго отъ необходимости считать черточки, изображающія написанное число. Тогда появилась забота о доставленіи такихъ же удобствъ пишущему. Результатомъ дѣятельности, вызванной этой заботой, является введеніе особеннаго знака для числа единицъ, равнаго основному числу принятой системы счисленія. Этимъ особеннымъ знакомъ были: знакъ числа 10 у Тсоновтуановь, одиночный узелъ, обозначающій то же число, въ перуанскомъ квипусѣ, флагъ или знамя для обозначенія числа 20 въ мексиканскомъ гіероглифическомъ письмѣ. Тотъ же аддитивный методъ, который употреблялся при изображеніи числа соотвѣтствующимъ числомъ знаковъ, выражающихъ единицу, и который, замѣтимъ мимоходомъ, какъ самый простой, только одинъ и могъ имѣть

Фиг. 8.

мѣсто въ первыя времена письменнаго счисленія, получилъ примѣненіе и къ изображенію при посредствѣ новаго знака какъ чиселъ кратныхъ основному числу употребляемой системы счисленія такъ и вообще всѣхъ чиселъ большихъ этого основнаго числа. Изображеніе каждаго такого числа составлялось поэтому изъ столькихъ изображеній основнаго числа принятой системы счисленія, сколько разъ послѣднее содержится въ первомъ, и столькихъ изображеній простой единицы, сколько ихъ остается послѣ составленія единицъ втораго разряда.

Введеніе особаго знака для изображенія числа равнаго основному числу употребляемой системы счисленія устранило вызвавшія его неудобства только временно. По мѣрѣ дальнѣйшаго расширенія границъ письменнаго счисленія эти неудобства снова становились все болѣе и болѣе замѣтными. Необходимость ихъ вторичнаго устраненія съ каждымъ шагомъ впередъ являлась болѣе настоятельною. Примѣры совершенно аналогичныхъ случаевъ въ предыдущемъ должны были въ значительной степени облегчить для человѣчества затрудненія при изысканіи средствъ къ устраненію упомянутыхъ неудобствъ. Общее средство для этого устраненія, собственно говоря, было уже найдено въ предыдущемъ. Оставалось только примѣнять его къ новымъ случаямъ, не представляющимъ, скажимъ мимоходомъ, никакихъ существенныхъ различій отъ предыдущихъ случаевъ. При такихъ обстоятельствахъ мысль о возможности и необходимости упомянутаго примѣненія не могла слишкомъ замедлить своимъ появленіемъ. Люди пришли къ убѣжденію въ необходимости ввести новый знакъ для изображенія числа равнаго единицѣ третьяго разряда. Такимъ знакомъ были: дважды завязанный узелъ, для обозначенія числа 100 въ перуанскомъ квипусѣ, перо или листъ для обозначенія числа 400 въ мексиканскомъ гіероглифическомъ письмѣ. Подобнымъ же образомъ дѣло должно было идти и далѣе. Постепенно, одинъ за другимъ, вводились въ употребленіе новые знаки для обозначенія единицъ четвертаго и слѣдующихъ за нимъ разрядовъ. Знакомъ единицы четвертаго разряда были: трижды завязанный узелъ для обозначенія числа 1000 въ перуанскомъ квипусѣ, изображеніе вязанки или связки для обозначенія числа 8000 въ мексиканскомъ гіероглифическомъ письмѣ. Методъ при всѣхъ этихъ нововведеніяхъ оставался-одинъ и тотъ же—аддитивный. Иначе и не могло быть, если мы обратимъ вниманіе на весь предыдущій ходъ развитія письменнаго счисленія и на свойства употребляемыхъ въ этомъ счисленіи знаковъ.

Главнымъ изъ неудобствъ письменнаго счисленія, которыя человѣчеству пришлось преодолѣвать, было обиліе знаковъ, нужныхъ для

выраженія чиселъ. Единственною причинрю этого важнаго неудобства долженъ быть признанъ аддитивный методъ. Такъ какъ найденное людьми средство къ устраненію указаннаго сейчасъ неудобства—введеніе новыхъ знаковъ для обозначенія единицъ различныхъ разрядовъ— не могло оказать никакого вліянія на методъ соединенія письменныхъ знаковъ, вслѣдствіе чего послѣдній и оставался по-прежнему аддитивнымъ, то мы можемъ заключитъ a priori, что разсматриваемое средство, какъ не устранявшее главной причины неудобства, противъ котораго оно было направлено, не могло устранитъ вполнѣ и это самое неудобство. Если для подтвержденія этого апріорическаго заключенія мы обратимся къ фактамъ, то увидимъ, что введеніе въ письменное счисленіе каждаго новаго знака вело за собою слѣдующія уменьшенія числа знаковъ, нужныхъ для изображенія чиселъ.

Числа.

Числа знаковъ при обозначеніи особымъ или особыми знаками только единицъ:

Перваго разряда.

Первыхъ двухъ разрядовъ.

Первыхъ трехъ разрядовъ.

Первыхъ 4-хъ разрядовъ

Счисленіе перуанскаго квипуса.

1-9

1—9

1-9

1-9

1-9

10-99

10-99

1-18

1-18

1-18

100—999

100-999

10—108

1-27

1-27

1000—9999

1000—9999

100-1008

10 -117

1—36

Счисленіе мексиканскаго гіероглифическаго письма.

1—19

1—19

1

1—19

1—19

1 19

20-399

20—399

1-38

1—38

1-38

400-7999

400-7999

20-418

1—57

1-57

8000—159999

8000—159999

400-8018

20-437

1-76

Эта таблица показываетъ намъ, что параллельно съ значительнымъ уменьшеніемъ числа знаковъ, достигаемыхъ введеніемъ каждаго новаго знака, увеличивалось и число знаковъ нужныхъ для обозначенія многозначныхъ чиселъ. Это увеличеніе для наиболѣе обильнаго знаками многозначнаго числа выражалось въ перуанскомъ квипусѣ прогрессіей

; 9.18.27.36......,

въ мексиканскомъ гіероглифическомъ письмѣ прогрессіей

— 19.38.57.76.......

Столь значительное увеличеніе числа знаковъ, нужныхъ для изображенія многозначныхъ чиселъ, идущее рука объ руку съ расширеніемъ области письменнаго счисленія, не могло долгое время оставаться незамѣченнымъ. Должны были являться попытки къ устраненію этого неожиданнаго затрудненія. Но эти попытки не могли быть удачными, такъ какъ онѣ не имѣли никакихъ аналогичныхъ примѣровъ въ предыдущемъ. Только методы и принципы новѣйшаго письменнаго счисленія, тогда еще находившіеся въ зародышѣ, могли устранить разсматриваемое затрудненіе. Такъ какъ это послѣднее всего сильнѣе чувствовалось въ мексиканскомъ гіероглифическомъ письмѣ, то и не удивительно, что именно въ немъ мы встрѣчаемся съ первой изъ извѣстныхъ намъ попытокъ подобнаго рода Какъ подробно описано на стр. 64, эта попытка состояла, говоря вообще, въ изображеніи чиселъ при посредствѣ изображенія такой части знака, выражающаго единицу ближайшаго высшаго разряда, которая соотвѣтствуетъ отношенію, изображаемаго числа къ этой единицѣ.

Познающая дѣятельность человѣчества въ разсматриваемый нами періодъ времени не ограничивалась однимъ развитіемъ письменнаго счисленія по аддитивному методу. Она вырабатывала исподволь также и идеи, лекшія въ основу употребляемой нами болѣе совершенной системы письменнаго счисленія. Изложенные въ свое время факты съ полною ясностью указываютъ намъ на появленіе въ это время, хотя только еще въ зародышевомъ состояніи, двухъ изъ этихъ идей: идеи значенія числоваго знака по занимаемому имъ въ изображеніи числа мѣсту и идеи употребленія особыхъ знаковъ только для обозначенія чиселъ единицъ перваго разряда. Замѣчательно, что обѣ эти идеи, на сколько мы можемъ судить по небольшому числу находящихся въ нашемъ распоряженіи фактовъ, обязаны своимъ появленіемъ почти исключительно узловому письму. Первая изъ этихъ идей, какъ было показано выше, зародилась въ квипусѣ. Что-же касается до второй

идеи, то первое проявленіе ея мы видѣли въ таблицѣ Лошу—этомъ изображеніи первыхъ моментовъ узловаго счета. Впрочемъ, есть фактъ, который указываетъ, на обнаруженіе этой идеи также и въ живописномъ письмѣ. Юкатеки употребляли изображенія каждаго отдѣльнаго дня ихъ двадцатидневнаго мѣсяца для обозначенія того числа единицъ перваго разряда, которое соотвѣтствовало числу изображаемаго дня; слѣдовательно пользовались ими какъ цифрами*).

В. Бобынинъ.

Нижній-Новгородъ.

Задачи.

26. Изъ средины С прямой AB описана полуокружность радіусомъ меньшимъ СА\ касательныя, проведенныя изъ A и В къ полуокружности, пересѣкаютъ въ Ах, Вх третью произвольную касательную. Доказать что произведеніе ААХ. ВВХ постоянно.

27. Изъ концовъ діаметра окружности оиущены перпендикуляры на стороны вписаннаго въ него треугольника; основанія ихъ лежатъ на двухъ прямыхъ (прямыя Симсона). Доказать что эти прямыя составляютъ между собою прямой уголъ и что точка ихъ пересѣченія лежитъ на окружности девяти точекъ взятаго треугольника.

28. Въ треугольникѣ ABC, прямая аснти-параллельная основанію ВС относительно угла A пересѣкаетъ AB въ точкѣ R, AC—въ точкѣ Q\ M— средина RQ; AM пересѣкаетъ основаніе въ точкѣ D.

Доказать что BD. CD=AB: ~АС .

29. Если hx, h2, /г3 высоты треугольника, rn rg, г3—радіусы внѣ-вписанныхъ окружностей, то

30. Разложить на производителей выраженіе

*) Wuttke. Die Entstehung der Schrift. S. 228.

Библіографія.

Въ 1876 г. Учебный отдѣлъ Московскаго Общества распространенія техническихъ знаній издалъ: Учебно-воспитателъная библіотека. (Обзоръ русской педагогической литературы). Томъ I. Литература 1875 г. Въ отдѣлѣ <Математика> помѣщены рецензіи на слѣдующія книги.

A) АРИѲМЕТИКА.

Методика.

1. Методика ариѳметики Евтушевскаго. А. Гольденбергъ.

2. Руководство для учнтелей и учительницъ къ преподаванію начальной ариѳметики въ народныхъ школахъ Евтушевскаго. А. Гольденбергъ.

3. Практическіе уроки элементарной ариѳметики, Е. Каржавина. В. Преображенскаго.

Учебники и пособія.

4. Руководство къ ариѳметикѣ, съ изд. Деп. Нар. Пр. Ѳ. Егорова.

5. Ариѳметика Щеглова. А. Г.

6. Руководство ариѳметики Малинина и Буренина. А. Г.

7. Руководство къ ариѳметикѣ Назарова. К. Мазгингъ.

8. Руководство къ ариѳметикѣ Полякова. А. Г.

9. Руководство къ ариѳметикѣ Бугаева. Ѳ. Егорова.

10. Курсъ ариѳметики Серре. А. Г.

11. Сборникъ ариѳм. задачъ Евтушевскаго. Ѳ. Егорова.

12. Собраніе ариѳм. задачъ Томаса. К. Мазинг.

13. Сборникъ ариѳм задачъ Бужинскаго. А. Гольденбергъ.

14. Собраніе ариѳм. задачъ съ изд. Деп. Н. Пр. Ѳ. Егорова.

15. Собраніе ариѳм. задачъ, Иваницкаго. А. Г.

16. Собраніе ариѳм. задачъ Малинина и Буренина. А. Г.

17. Сборникъ ариѳм. задачъ Назарова.

18. Собраніе ариѳм. задачъ Полякова. А. Г.

19. Задачникъ къ ариѳметикѣ цѣлыхъ чиселъ и задачникъ къ ариѳметикѣ дробныхъ чиселъ Бугаева. Ѳ. Егорова.

Б) АЛГЕБРА.

20. Начальная алгебра Давидова. Н. Шишкина.

21. Начальная алгебра Леве. Его же.

22. Руководство алгебры Малиннна и Буренина. Его же.

23. Начальная алгебра Сомова. В. Преображенскаго.

24. Очеркъ теоріи соединеній Гришина. П. Сиротинина.

25. Практическія правила для дѣйствія надъ обыкновеннымн логариѳмами Г. М. Д. Хмырова.

26. Сборникъ примѣровъ и задачъ Бычкова. В. Шереметевскаго.

27. Практическія упражненія въ алгебрѣ Больмана. Его же.

28. Рѣшеніе задачъ алгебры Малинина и Буренина, Иванова. A Гольденбергъ.

В) ГЕОМЕТРІЯ.

29. Наглядная геометрія Б. Косинскаго. Ѳ. Егорова.

30. Руководство наглядной геометріи Малинина. И. Романова.

31. Геометрія для уѣздныхъ училищъ. А. Давидова. Его же.

32. Руководство элементарной геометріи для уѣздныхъ училищъ. Его же.

33. Начальная геометрія на русскомъ и татарскомъ яз. І. Н. Шишкина. 35. Основанія элемент. геометріи Кравченко. Его же.

35. Краткое руководство геометріи Воронова. И. Романова.

36. Краткій курсъ геометріи Вулиха. Ѳ. Егорова.

37. Элементарная геометрія Давидова. К. Мазинга.

38. Практическія упражненія въ геометріи Дмитріева. А. Гольденбергъ.

Г) ТРИГОНОМЕТРІЯ.

39. Руководство прямолинейной тригонометріи Малинина. Д. Хмырова.

40. Учебникъ нрямолинейной тригонометріи Блюмберга. Его же.

41. Систематическій сборникъ формулъ относящихся къ опредѣленію тригон. линій С. И. С. Д. Хмырова.

42. Изъ «Необходимаго круга знаній». Отд. III. Математика Демина. Н. Шишкина.

Въ томѣ II того же изданія, вышедшемъ въ 1878 г. въ отдѣлѣ «Математика» помѣщено:

43. Ариѳметика по способу Грубе, Паульсона. Ѳ. Егорова. Паульсонъ. Ариѳметическій задачникъ. Его же.

44. А. Беме. Методика начальной ариѳметики. Переводъ Царевской. Его же.

45. А. Беме. Задачникъ къ начальной ариѳметики. Его же

46. Ариѳметика въ вопросахъ и отвѣтахъ, М. Меморскаго. И. Романова.

47. Леве. Ариѳметика для начальныхъ народныхъ училищъ. Его же.

48. Общеполезный задачникъ, Т. Лубенецъ; К. Мазингъ.

19. Матеріалы для практическихъ занятій по ариѳметики М. Серебровскаго. Его же.

50. Собраніе ариѳметическпхъ задачъ и примѣровъ, Воронова. Его же.

Примѣчаніе. Отдѣлы «Математика, Физика, Космографія и Химія» изъ тома І-го соединены въ отдѣльную брошюру. Цѣна 1 руб.

МАТЕМАТИЧЕСКІЙ ЛИСТОКЪ.

ЛОЖНОЕ ПРАВИЛО АРАБСКИХЪ МАТЕМАТИКОВЪ.

Въ сочиненіяхъ арабскихъ геометровъ встрѣчается пріемъ рѣшенія численныхъ уравненій первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ, который въ настоящее время употребляется лишь какъ способъ приближеннаго вычисленія корней уравненіи высшихъ степеней. Сущность этого пріема, извѣстнаго въ наукѣ подъ именемъ «Regula falsi» или «Regula falsae positionis», заключается въ слѣдующемъ.

Пусть дано уравненіе

(1) ах+Ь = 0

вставимъ вмѣсто х произвольное число г\ и затѣмъ другое произвольное число £2 и пустъ

(2) а^{+Ъ = ^1

(3) а^2+Ь = ср2

Если бы случилось что ^=0 или <f2=0, то *,—искомый корень уравненія (1) въ первомъ случаѣ, &%—-во второмъ; но, вообще, ни шх ни £2 нулемъ не будетъ и тогда искомый корень даннаго уравненія:

Дѣйствительно, вычитая изъ (1) послѣдовательно (2) и (3), найдемъ

откуда

Если разности : х—ях , х—#а назовемъ погрѣшностями подстановокъ, а результаты ср1 , ср2 — погрѣшностями уравненія, то изъ

предыдущаго увидимъ что отношеніе первыхъ равно отношенію вторыхъ или что первыя пропорціональны вторымъ. Характеристическій признакъ пріема состоитъ слѣдовательно въ томъ что искомый корень опредѣляется изъ пропорціи (геометрической).

Примѣры.*)

Происхожденіе этого пріема надлежитъ искать въ Индіи. Хотя оригинальныя сочиненія, его содержащія, не дошли до насъ, но онъ сталъ извѣстенъ благодаря сохранившемуся переводу на еврейскій языкъ одного индійскаго сочиненія. Переводъ сдѣланъ испанскимъ евреемъ Абрагамомъ Ибнъ-Эзра (1093—1168), а затѣмъ сочиненіе переведено съ еврейскаго на латинскій. Либри, въ своей Исторіи Математики въ Италіи**), напечаталъ это сочиненіе сполна, пользуясь рукописью Парижской библіотеки. Изъ заглавія этого сочиненія — «Liber augmenti et diminutionis, vocatus numeratio divinationis, ex eo quod sapientes Indi posuerunt, quem Abraham compilavit et secundum librum, qui indorum dictus est, composuit. — видио что пріемъ носилъ у Брахмановъ названіе «Вычисленіе догадками». Замѣтимъ также что означенныя нами выше чрезъ zx , подстановки называются въ текстѣ

*) A a А—В а—Ь В = Ь ; А~ ==~1Г

**) Histoire des sciences mathématiques en Italie depuis la renaissance des lettres. Par Gu. Libri. 4 vol. Paris. 1838. T. I. Note XIV.

«lances» т. e. чашки вѣсовъ. Отсюда другое названіе для этого пріема: «Regula lancium».

Примѣръ изъ Ибнъ-Эзра. (Capitulum de negociatione).

У арабскихъ писателей мы встрѣчаемъ этотъ пріемъ подъ названіемъ «Чашки вѣсовъ» въ сочиненіи Талкисъ-алъ-Хизабъ, которое въ 1222 г. написалъ Абулъ - Абасъ - Ахмедъ - Ибнъ -Ал-Банна (сынъ архитектора), профессоръ въ Морокко. Рукопись этого сочиненія, хранящаяся въ знаменитой Бодлэйской библіотекѣ1) въ Оксфордѣ, была списана Вёпке2) незадолго до его смерти и переведена на французскій А. Марромъ3).

Пріемъ изложенъ у Ибнъ-Ал-Банна въ слѣдующемъ видѣ.

«Чашки вѣсовъ». Это—помощью геометрическаго искусства.

«Способъ состоитъ въ слѣдующемъ: ты берешь вѣсы такого вида

и ставишь на сводѣ то, что извѣстно и дано: на одну изъ чашекъ кладешь какое нибудь число, производишь надъ нимъ то, что указано сложеніемъ, пониженіемъ или другимъ дѣйствіемъ; затѣмъ сравниваешь это съ тѣмъ, что стоитъ на сводѣ; если ты вѣрно попалъ, эта чашка и будетъ искомое число; если попалъ не вѣрно, поставь ошибку на верху чашки, когда она означаетъ излишекъ, и внизу чашки, когда она означаетъ недостатокъ. Затѣмъ, ставишь на другую чашку какое нибудь число, отличное отъ перваго и поступаешь съ нимъ также какъ съ первымъ. Затѣмъ умножь ошибку каждой чашки на число другой, потомъ разбери: если обѣ чашки положительныя, то вычти меньшую изъ ббльшей, также вычти меньшее изъ двухъ произведеній изъ большаго и раздѣли разность двухъ произведеній на разность двухъ ошибокъ; если же одна изъ двухъ (ошибокъ) положительная, а другая отрицательная, то раздѣли сумму двухъ произведеній на сумму двухъ ошибокъ».

Примѣры.

1. «Найти число, которое, будучи сложено съ двумя третями его и съ единицею, давало бы десять».

Первая (правая) чашка : 9; 9+у- • 9 + 1=10 + 6; первая погрѣшность: +6.

Вторая (лѣвая) чашка : 6; 6+у . 6 + 1=10 + 1; вторая погрѣшность: +1.

2. «Найти число, которое, будучи взято б разъ и еще 7 разъ, давало бы 25». Изъ комментарія на Талкисъ, написаннаго математикомъ Абулъ-Гассанъ-Ал-Калсади [+1486].

Первая чашка: 6; 6.6 + 6.7 = 78=25 + 53: первая погрѣшность: +53 Вторая чашка: 1; 1.6 + 1.7=13 = 25—12; вторая погрѣшность: —12

' 1.53 + 6.12_ 12

х~ ,53+ 12= 13 '

3. «Найти число, котораго одна третъ и одна четверть даютъ 21».

Въ «Талкисѣ» находимъ, кромѣ того, слѣдующее видоизмѣненіе этого правила:

«Если хочешь, то поставь на второй чашкѣ тоже число, какъ на первой, или какое нибудь другое: освободи его части, сравнивай ихъ съ тѣмъ (числомъ), умноживъ ихъ на число первой чашки, которое поставлено на сводѣ; и умножь ошибку первой (чашки) на число второй; если ошибка первой означаетъ недостатокъ, то сложи оба произведенія; если же она означаетъ излишекъ, то бери разность ихъ; раздѣли полученное на части второй чашки и ты получишь искомое».

Справедливость этого правила доказать не трудно.

Пусть данное уравненіе

(1) ax + b=Q

ех—произвольная подстановка («на второй чашкѣ тоже число, какъ на первой») и

(2) агх+Ъ = уг Вычитая (1) изъ (2), найдемъ

вставляя это значеніе въ (1), получимъ:

откуда

Примѣръ.

«Найти число, котораго пятая часть и шестая частъ даютъ вмѣстѣ 20».

^ = 30; azx=\\ («части первой чашки»); yt =—9

Во второмъ случаѣ («поставь на второй чашкѣ какое нибудь другое») имѣемъ:

(1) (2) (3)

исключая Ъ изъ (1) и (2), найдемъ

вставляя это значеніе въ (3), получимъ

откуда

Примѣръ.

«Найти число, котораго одна треть и одна четверть даютъ вмѣстѣ 21».

Пріемъ, изложенный у Ибнъ-Ал-Банна, находимъ и у другаго арабскаго математика, имя котораго Бега-Эддинъ-Мухамедъ-бенъ-Ал-Гуссейнь (1547—1622). Сочиненіе его Келасатъ-ал-Хизабъ (въ буквальномъ переводѣ: «Квинтъ-эссенція счисленія») пользуется и въ настоящее время большою извѣстностью въ Персіи и Индіи и служитъ тамъ учебникомъ. «Келасатъ» переведенъ на нѣмецкій Нессельманомъ и на французскій Марромъ4).

1. Thomas Bodley, англійскій ученый и государственный человѣкъ (1544 — 1612) пріобрѣлъ для Оксфордскаго Университета, въ которомъ воспитывался, до 24,000 большею частью рѣдкихъ книгъ на сумму 200,000 фунтовъ и, кромѣ того, завѣщалъ значительную сумму на увеличеніе этой библіотеки и ея содержаніе. Библіотека носитъ названіе Бодлэйской и заключаетъ въ себѣ въ настоящее время до 280,000 книгъ и 22,000 рукописей. Оксфордскій университетъ ежегодно (8 ноября) поминаетъ щедраго и просвѣщеннаго жертвователя торжественною рѣчью.

2. Wœpke, François. 1826—64. Математикъ и оріенталистъ, извѣстный своими изслѣдованіями по исторіи математики.

L'algèbre d'Omar Alkhayyâmî. Paris. 1851.

Extrait du Fakhrî,« traité d'algèbre par Abou Bekr Mohammed ben Alhaçon Alkarkhî (Manuscrit 952, supplément arabe, de la bibliothèque impériale) Paris. 1853.

Sur l'introduction de l'arithmétique indienne en occident. Rome. 1859.

Кромѣ того, большое число его работъ по математикѣ и ея исторіи помѣінено въ слѣдующихъ періодическихъ изданіяхъ:

1. Journal für die reine und angewandte Mathematik in zwanglosen Heften. Herausgegeben von A. L. Crelle. Berlin. 1826—1856 in 4. Vol. 1—25. Fortgesetzt von C. W. Borchard. Berlin. 1857.—

2. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Paris 1835.—

3. Journal asiatique ou recueil de mémoires, d'extraits et de notices relatifs à l'histoire, à la philosophie, aux langues et à la littérature des peuples orientaux. Publié par la Société Asiatique. Paris. 1823.—

4. Nouvelles annales de Mathématique. Journal des candidats aux écoles polytechniques et normales. Publication fondée par MM. Gerono, et Terquem, continuée par MM. Gerono, Prouhet et Bourget. Paris. Première Série. T. 1-20. 1842—1861. Deuxième Série 1862.—

5. Journal de Mathématiques pures et appliquées. Fondé par J. Liouville. Paiis. 1836.—

6. Atti deirAccademia Pontificia de'nuovi Liiîcei. Roma. 1847.— Много сочиненій Вёпке до сихъ поръ не изданы.

3. Переводъ номѣщенъ въ Atti del'Accademia Pontificia XVII; затѣмъ вышелъ отдѣльной брошюрой въ Римѣ, 1865. Переводчикъ помѣстнлъ оглавленіе этого сочиненія, извлеченія изъ него и объясненія къ нимъ въ: „Journal de Mathématiques pures et appliquées. 2me Série. T. X. 1865. p. 117". Эта статья помѣщена въ переводѣ въ томѣ II „Математическаго Сборника, издаваемаго Московскимъ Математическимъ Обществомъ".

4. Beha-eddln ben Alhosein, Mohamed, aus Amul, Essenz der Rechenkunst. Arabisch und deutsch von Nesselmann. 8. Berlin. 1843. Khèlasat al Hisâb, ou Essence du calcul de Beha-eddin Mohamed ben al-Hosaîn al-Aamouli. Traduit d'après la version allemande de Nesselmann par Aristide Marre. Въ „Nouvelles annales de Mathématiques". T. V. 1846.

КЪ УЧЕНІЮ О ПРОПОРЦІОНАЛЬНОСТИ.

Лемма 1. Если двѣ постоянныя величины A и В всегда заключены между двумя величинами X и Y, разность которыхъ можетъ бытъ произвольно мала, то постоянныя A и В равны между собою

По условію леммы имѣемъ

гдѣ a есть перемѣнная величина, могущая быть произвольно малой.

Означая разности постоянныхъ A и В отъ величины у черезъ е и с', имѣемъ:

(2)

гдѣ е и е\ какъ меньшія a, сами перемѣнны и могутъ быть какъ угодно малы; онѣ могутъ быть равны или не равны между собою. Если е=е', то очевидно и А = В.

Если же е не равна с \ то разность ихъ с—е'<е,а потому е—е <а, т. е. эта разность есть также величина перемѣнная и могущая быть произвольно малой. а потому, вычитая (2) изъ (1), находимъ: A—В=е—ё , т. е. что постоянная разность между постоянными A и В равна перемѣнной разности е—е'\ но этого быть не можетъ, и слѣдов. нельзя допустить, чтобы с и е были не равны между собою.

Лемма 2: Если постоянная величина A всеьда заключается между перемѣнньгми X и х, а постоянная В между перемѣнными у и у, и если отношенія , — постоянны и равны между собою, то постоянныя A и В находятся въ томъ же самомъ отношеніи.

По условію имѣемъ: Х>А>х .... (11 Y>B>y .... (2)

(3),

гдѣ m есть величина постоянная.

Изъ равенства (3) имѣемъ: X—mY и х=ту, а потому неравенство (1) обратится въ

которое по раздѣленіи на m даетъ

Сравнивая между собою неравенства (2) и (4) по первой леммѣ имѣемъ: В=— или ~- = т.

Приложеніе 1-й леммы.

Теорема. Площади двухъ прямоугольниковъ, имѣющихъ по одной равной сторонѣ, относятся между собою какъ ихъ неравныя стороны.

Пусть неравныя стороны AC и ас ne имѣютъ общей мѣры.

Раздѣлимъ сторону ас на произвольное число п равныхъ между собою частей и будемъ откладывать такія же части отъ A на сторонѣ АС\ пусть до Е ихъ уложится ж, причемъ остатокъ ЕС< величины одной части; тогда имѣемъ

(1)

Проведя черезъ всѣ точки дѣленія прямыя параллельныя AB и ab, раздѣлимъ площадь abed на п равныхъ частей, а площадь АВЪЕ на m такихъ же частей, и потому

(2)

Сравнивая неравенства (1) и (2), находимъ, что постоянныя отношенія - и —-—=- заключены между двумя величинами ----- и — , разность которыхъ — есть величина произвольная, которая можетъ быть какъ угодно мала, а потому, на основаніи 1-й леммы,

Такимъ же образомъ могутъ быть доказаны всѣ теоремы о пропорціональности въ случаѣ несоизмѣримости сравниваемыхъ величинъ.

Приложеніе 2-й леммы.

Теорема. Окружности относятся между собою какъ ихъ радіусы.

Пустъ длина данныхъ окружностей С и с, периметры описанныхъ около нихъ правильныхъ многоугольниковъ объ п сторонахъ Р и Р' и периметры одноименныхъ вписанныхъ р и р'\ радіусы окружностей г и г .

Доказано: 1) что Р > с >р.....(і)

и Р'> е>р . ... (2)

Р Р г I) что -ы= — = , постоянной величинѣ Р р г

и 3) что разности Р—р и Р'—р съ увеличеніемъ числа сторонъ п уменьшаются произвольно.

Слѣдовательно, неравенства (1) и (2) удовлетворяютъ условіямъ 2-й леммы, а потому непосредственно имѣемъ, что -^==—,-.

Совершенно такимъ же образомъ можетъ быть доказана теорема, что площади круговъ относятся между собою какъ квадраты ихъ радіусовъ.

Д. Извѣковъ.

Наиболѣе распространенный способъ доказательства существованія пропорціональности между величинами въ случаѣ ихъ несоизмѣримости, есть способъ приведенія къ нелѣпости, къ противорѣчію (reductio ad absurdum), извѣстный также у насъ подъ устарѣвшимъ названіемъ способъ отъ противнаго. Онъ былъ, какъ извѣстно, въ большомъ употребленіи у древнихъ геометровъ. Въ прежнихъ французскихъ курсахъ геометріи, напр. у Лакруа1), сохранился этотъ же способъ, который и былъ перенесенъ изъ нихъ на страницы нашихъ руководствъ. В. Я. Буняковскій въ своей книгѣ2): «Программа и конспектъ начальной геометріи» рекомендуетъ преподавателю доказывать пропорціональность въ случаѣ несоизмѣримости приведеніемъ къ противорѣчію и слѣдовать въ этомъ Лакруа.

Въ позднѣйшихъ курсахъ нашихъ, напр. у Давидова3), Пржевальскаго4), Малинина и Егорова5) употребляется этотъ же способъ доказательства. Въ нѣмецкой учебной литературѣ reductio ad absurdum встрѣчается рѣдко; на ряду съ другими доказательствами, мы его находимъ въ «Геометріи» Гелмеса6), одной изъ самыхъ полныхъ, въ которой, вообще, предлагается нѣсколько доказательствъ одной и той же теоремы.

Другой довольно употребительный, въ особенности въ новѣйшихъ французскихъ курсахъ, способъ доказательства основанъ на общей теоремѣ, которая въ курсѣ гг. Руше и Комберусса7) напр. изложена такъ:

«Двѣ величины пропорціональны, если двумъ произвольнымъ, но равнымъ, значеніямъ первой изъ нихъ соотвѣтствуютъ два равныя значенія второй и если, кромѣ того, суммѣ двухъ какихъ либо значеній первой величины соотвѣтствуетъ сумма соотвѣтствующихъ значеній второй». На этомъ же принципѣ основаны доказательства относящихся сюда теоремъ въ руководствахъ Беренса8), Симашко9).

Оба эти способа, въ научномъ отношеніи вполнѣ строгіе, всегда казались намъ не совсѣмъ доступными для учениковъ. Кромѣ того, доказательство способомъ приведенія къ нелѣпости, разъ принятое, должно быть сполна повторено въ курсѣ пять разъ—въ статьяхъ, объ измѣреніи линейныхъ угловъ, о подобіи треугольниковъ, объ измѣреніи площадей, объ измѣреніи двугранныхъ угловъ и. наконецъ, объ измѣреніи объемовъ.

Существуетъ еще третій пріемъ весьма простой, но недостаточно строгій, доказательства теоремъ, о которыхъ говоримъ; онъ встрѣ-чается въ нѣмецкихъ учебникахъ напр. у Камбли10), Витштейна11) и въ геометріи Лежандра12). Этотъ пріемъ основанъ на слѣдующемъ положеніи: «Всякое ирраціональное число (отношеніе) можно замѣнить раціональнымъ числомъ (отношеніемъ) произвольно-мало отличающимся отъ перваго; поэтому одну изъ двухъ несоизмѣримыхъ величинъ можно замѣнить соизмѣримою, которая на произвольно-малую величину больше или меньше данной».

Четвертый способъ доказательства существованія пропорціональности между величинами въ случаѣ ихъ несоизмѣримости, который мы помѣстили выше въ изложеніи г. Извѣкова, весьма мало распространенъ у насъ; мы его нашли только въ Геометріи Мазинга13). Отдавая этому способу предпочтеніе, какъ въ научномъ отношеніи, такъ и въ методическомъ, передъ всѣми указанными нами, мы, въ видахъ его распространенія, охотно дали у себя мѣсто замѣткѣ г. Извѣкова.

Замѣтимъ что этотъ способъ доказательства принятъ въ новѣйшихъ и лучшихъ нѣмецкихъ руководствахъ и учебникахъ геометріи. Ред.

1. Lacroix. Elements de Géométrie. Paris. 1799. 20-е изд. въ 1876

Переводы на русскій:

Начальныя основанія Геометріи; соч. Лакруа; пер. съ франц. Порфирій Семеновъ. Спб. Тип. Плавильщикова. 1822. 2-е изд. 1827. Основанія Геометріи. Соч. Лакруа. Пер. съ франц. Д. П. (Перевощиковъ). Москва. Унив. Тип. 1835.

2. Программа и конспектъ начальной геометріи, для руководства въ военно-учебныхъ заведеніяхъ. Составлены Академикомъ Буняковскимъ. Спб. 1851.

3. Элементарная Геометрія въ объемѣ гимназическаго курса. А. Давидова. Изд. 10-е. Москва. 1877. Стр. 52, 92, 141, 214, 246.

4. Начальная Геометрія. Составилъ Е. Пржевальскій. Москва. 1878. Стр. 114, 119, 147, 230. 278.

5. Руководство Геометріи и собраніе геометрическихъ задачъ. Состав. А. Малининъ и Ѳ. Егоровъ. Москва. 1879. Стр. 65, 233, 207, 290, 314.

6. Helmes. Die Elementar-Mathematik nach den Berdürfnissen des Unterrichts streng vvissentchat'tlich dargestellt. 2-te Aufl. Hannover. 1874.

7. Руше и Комберуссъ. Основанія Геометріи. Переводъ A. Гольденберга. Москва 1869.

8. В. И. Беренса. Начальная геометрія для среднихъ учебныхъ заведеній. Спб. 1872.

9. Фр. Симашко. Начальная Геометрія и коническія сѣченія. Изд. 5-е дополн. Спб. 1876. Стр. 90.

10. Kambly. Die Elementar-Mathematik für den Schulunterricht bearbeitet. 4-te Aufl. Breslau. 1859.

11. Wittstein. Lehrbuch der Elementar-Mathematik. 2 Aufl. Hannover. 1863.

12. Legendre. Éléments de Géométrie. Paris. 1794. 18-е изд. 1874 г.

Геометрія Лежандра. Руководство при преподаваніи планиметріи и стереометріи. Перевелъ Л. Камбекъ. Спб. 1861.

13. К. Мазингъ. Геометрія для среднихъ учебныхъ заведеній. М. 1876. Стр. 88. Изд. 2-е. М. 1879. Стр. 132.

ЭВКЛИДЪ И ЕГО ВѢКЪ.

(ОКОНЧАНІѢ).

Разсмотримъ прямой круговой конусъ, уголъ котораго (т. е. уголъ при вершинѣ осеваго сѣченія) равенъ, положимъ, а и проведемъ плоскость перпендикулярную къ осевому сѣченію; пусть прямая пересѣченія этихъ двухъ плоскостей составитъ уголъ ß съ образующей конуса. Если ß>a, то полученное на поверхности конуса сѣченіе называется эллипсомъ, если a=ß—параболой, если а<ß—гиперболой. Изъ этого видно что всѣ три сѣченія могутъ быть получены на поверхности одного и того же конуса измененіемъ угла ß. Но можно получитъ всѣ три сѣченія, измѣняя не уголъ ß, а уголъ a конуса. За такую постоянную величину для угла ß естественно выбрать прямой уголъ и тогда сѣченіе плоскостью подъ прямымъ угломъ даетъ эллипсъ— въ остроугольномъ конусѣ, параболу—въ прямоугольномъ, гиперболу—въ тупоугольномъ. Отсюда прежнія названія для коническихъ сѣченій: сѣченіе остроугольнаго, сѣченіе прямоугольнаго, сѣченіе тупоуголънаго конуса. Аристей разсматривалъ коническія сѣченія на различныхъ конусахъ и лишь Аполлоній, по свидѣтельству Паппа, доказалъ что всѣ три сѣченія могутъ быть получены на одномъ и томъ же конусѣ и далъ имъ названія, соотвѣтствующія ихъ свойствамъ. Эти названія: эллипсъ, парабола, гипербола, а свойства, упоминаемыя Паппомъ, тѣ которыя современная математика выражаетъ соотношеніями: у*<.рх\ у*=р%\ у*>рх.

Если, съ одной стороны, мы не имѣемъ основанія не довѣрять сообщенію Паппа, то, съ другой, можемъ спросить себя: не были ли извѣстны до Аполлонія,—можетъ быть даже до Аристея — тѣ свойства на которыя названія эллипсъ, парабола, гипербола указываютъ? не были ли извѣстны кривыя, обладающія этими свойствами, раньше, чѣмъ полученіе ихъ на поверхности конуса было открыто?

Цѣннымъ матеріаломъ для рѣшенія этихъ вопросовъ могло бы служить мѣсто въ одномъ изъ діалоговъ Платона — въ Менонѣ; но толкованія его слишкомъ разнорѣчивы: одни изслѣдователи утверждаютъ что Платонъ зналъ отличительныя свойства эллипса, параболы, гиперболы, хотя не подкрѣпляютъ этого мнѣнія яснымъ переводомъ относящагося сюда отрывка изъ діалога; другіе считаютъ этотъ отрывокъ искаженнымъ и предлагаютъ измѣненіе текста, имѣющее только

филологическое значеніе; наконецъ, иные даютъ тексту такое толкованіе, изъ котораго слѣдовало бы заключить что свойства, о которыхъ идетъ рѣчь, не были извѣстны Платону. При такомъ несогласіи взглядовъ, предпочтительно конечно обратиться къ другимъ источникамъ и указаніямъ. Съ этой цѣлью мы займемся нѣкоторыми предложеніями «Элементовъ» Эвклида, а именно книги І-ой предложеніемъ 44-мъ и книги УІ-ой предложеніями 28-мъ и 29-мъ*).

I. 44. „Къ данной прямой, и въ данномъ прямолинейномъ углѣ, приложить параллелограммъ равновеликій данному треугольнику.

Пустъ AB данная прямая, Г данный треугольникъ A данный прямолинейный уголъ; надлежитъ къ данной прямой AB приложить равновеликій данному треугольнику Г параллелограммъ, въ углѣ равномъ углу А».

«Въ углѣ ЕВІІ равномъ углу A построимъ параллелограммъ BEZH равновеликій A (42), расположимъ BE на продолженіи ВА, продолжимъ ZII къ Ѳ, чрезъ A проведемъ АѲ параллельную одной изъ прямыхъ ВІІ, EZ (31) и соединимъ Ѳ съ В. Такъ какъ прямая BZ пересѣкаетъ параллельная АѲ, EZ, то углы ABZ, eZE равны двумъ прямымъ (29), а углы ВѲН, HZE менѣе двухъ прямыхъ. Прямыя, неопредѣленно продолженныя со стороны угловъ которые меньше двухъ» прямыхъ, встрѣтятся (акс. 11); посему ѲВ, ZE, продолженныя, встрѣтятся; пустъ онѣ продолжены и пустъ К точка ихъ встрѣчи; чрезъ К проведемъ КА параллельную одной изъ прямыхъ ЕА, Z0 (31) и продолжимъ прямыя ѲА, HB къ точкамъ A, II».

«Фигура 0AKZ параллелограммъ (опр. 36), ѲК—его діагонась, параллелограммы AH, ME лежатъ по діагонали ѲК, а параллелограммы AB, BZ ихъ дополненія; посему AB, BZ равнове-

*) Въ очеркѣ проф. Кантора сдѣлана лишь ссылка на эти предложенія. Такъ какъ послѣднія принадлежатъ къ тѣмъ, которыя не встрѣчаются на страницахъ руководствъ новѣйшаго времени, то мы сочли нужнымъ помѣстить ихъ здѣсь. Для перевода мы пользовались изданіемъ Peyrard'a: Les oeuvres d'Euclide en grec, latin et en français. Paris. 1814.

лики (43). Но BZ равновеликъ треугольнику Г a потому и AB равновеликъ Г- уголъ НВЕ равенъ углу АВМ (15), уголъ же НВЕ равенъ углу Д, почему уголъ АВАІ равенъ углу А».

«Итакъ къ данной прямой AB, въ углѣ АВМ равномъ данному углу А, приложенъ параллелограмъ AB равновеликій данному треугольнику Г. Что и надлежало сдѣлать».

VI. 28. «Къ данной прямой приложить параллелограммъ равновеликій данной прямолинейной фигурѣ и имѣющій недостатокъ—параллелограммъ подобный данному параллелограмму: Но данная фигура должна быть не больше параллелограмма, приложеннаго къ половинѣ той прямой, и имѣющаго недостатокъ подобный данному параллелограмму».

«Пустъ AB данная прямая, Г—прямолинейная фигура, которой долженъ быть равновеликъ параллелограммъ, приложенный къ AB-, пустъ эта фигура не больше параллелограмма приложеннаго къ половинѣ AB, при недостаткахъ подобныхъ, и пустъ Д параллелограммъ, которому недостатокъ долженъ бытъ подобенъ; надлежитъ къ данной прямой AB приложить параллелограммъ равновеликій данной прямолинейной фигурѣ Г и имѣющій недостатокъ подобный данному параллелограмму А».

«Раздѣлимъ прямую AB пополамъ точкою Е (10. I): на ЕВ построимъ параллелограммъ EBZH подобный параллелограмму A и подобно расположенный (18. VI.) и дополнимъ параллелограммъ AH; параллелограммъ All окажется или равновеликимъ фигурѣ Г или большимъ. Если параллелограммъ АН равновеликъ фигурѣ 1\ то требуемое сдѣлано, такъ какъ къ прямой AB приложенъ параллелограммъ All, равновеликій данной прямолинейной фигурѣ Г и имѣющій недостатокъ EZ подобный параллелограмму А. Но если этого нѣтъ, то ѲЕ больше Г. Но

ѲЕ равно HB и потому IIB больше Г. Построимъ параллелограммъ KAMN, равновеликій избытку параллелограмма HB надъ фигурою Г, подобный параллелограмму Д и подобно съ нимъ расположенный (25. VI); Но параллелограммъ Д подобенъ парараллелограмму HB; по сему параллелограммъ KM подобенъ паллелограмму HB. Пустъ прямая КА сходственная прямой НЕ и прямая AM сходственная прямой HZ. Такъ какъ параллелограммъ HB равновеликъ фигурамъ Г и KM, то параллелограммъ HB больше параллелограмма KM, HE больше AK и НК больше AM (20. VI). Сдѣлаемъ На равнымъ КА и НО равнымъ AM (3.1) и дополнимъ паралеллограммъ 5Н0П (31. I): параллелограммъ НП равенъ и подобенъ параллелограмму IIB (21. VI), вслѣдствіе чего параллелограммы НИ. IIB лежатъ по одной и той же діагонали (26. VI). Пусть НПВ эта діагональ; построимъ фигуру.

«Такъ какъ параллелограммъ ВН равновеликъ фигурамъ Г и KM и НИ равенъ KM, то гномонъ ГФХ равновеликъ Г; такъ какъ, далѣе, ОР равенъ 52 (43. I), то параллелограммъ OB равновеликъ параллелограмму HB. Но ЕВ равенъ TE (36. Г), такъ какъ АЕ и ЕВ равны; поэтому TE равенъ OB. Прибавимъ общій параллелограммъ Е2; параллелограммъ Т2 равенъ гномону ГФХ; но послѣдній, по доказанному, равенъ Г; поэтому и АП равновеликъ Г».

«Итакъ къ данной прямой AB приложенъ параллелограммъ ST равновеликій данной прямолинейной фигурѣ Г и имѣющій недостаткомъ параллелограммъ IIB подобный Д, такъ какъ ПВ подобенъ IUI. Что и требовалось сдѣлатъ».

VI. 29. «Къ данной прямой приложить параллелограммъ равновеликій данной прямолинейной фигурѣ и имѣющій избытокъ—параллелограммъ, подобный данному параллелограмму».

«Пустъ AB данная прямая, къ которой надлежитъ приложить параллелограммъ равновеликій данной прямолинейной фигурѣ Г и имѣющій избытокъ подобный параллелограмму Д».

«Раздѣлимъ прямую AB пополамъ точкою Е (10. I); на ЕВ построимъ параллелограммъ BZ подобный параллелограмму Д и подобно съ нимъ расположенный (18. VI) и построимъ параллелограммъ НѲ равный фигурамъ ЕА, Г, подобный параллелограмму Д и подобно расположенный (25. VI): параллелограммъ ІЮ будетъ подобенъ параллелограмму ЕА».

«Пусть КѲ сходственная ZA и КН сходственная ZE; такъ какъ

НѲ больше ZB, то прямая КѲ больше ZA и прямая КН больше ZE. Продолжимъ ZA, ZE-, пусть ZAM равна КѲ, ZEN равна КН (3. I) и построимъ параллелограммъ MN: онъ равенъ и подобенъ параллелограмму НѲ. Но параллелограммъ НѲ подобенъ параллелограмму ЕА-, почему параллелограммъ MN подобенъ параллелограмму ЕА (21. VI) и параллелограммы ЕА, MN лежатъ по одной и той же діагонали (26. VI). Пусть ZS эта діагональ; построимъ фигуру. Такъ какъ параллелограммъ НѲ равновеликъ фигурамъ ЕА, Г и НѲ равенъ MN, то параллелограммъ MN равновеликъ фигурамъ ЕА, Г. Вычтемъ общій параллелограммъ ЕА: гномонъ *РХФ будетъ равновеликъ Г. Но АЕ равна ЕВ, почему параллелограммъ AN равенъ параллелограмму NB (36.1) т. е. параллелограмму AO (43. I). Прибавимъ общій параллелограммъ EE: параллелограммъ AS будетъ равенъ гномону ФХ1Р*, но послѣдній равновеликъ Г, слѣдователъно и параллелограммъ АЕ равновеликъ Г».

«Итакъ къ данной прямой AB приложенъ параллелограммъ A3 равновеликій данной прямолинейной фигурѣ Г и имѣющій избыткомъ параллелограммъ ПО подобный Д, такъ какъ параллелограммъ ЕА подобенъ параллелограмму OIL Что и требовалось сдѣлать».

Существенно важно для насъ употребленіе въ этихъ трехъ теоремахъ выраженій: irapaßdAXsiv, èXXetltét, urcepßdXXeiv, отъ которыхъ произошли названія: парабола, эллипсъ, гипербола. Остановимся нѣсколько на этихъ предложеніяхъ Эвклида, чтобы уяснить себѣ ихъ связь съ свойствами коническихъ сѣченій; при этомъ примемъ, для краткости, что всѣ параллелограммы, о которыхъ идетъ рѣчь, прямоугольны.

Пусть АВ=р—данный отрѣзокъ, перпендикулярный къ AQ\ пусть дана точка G\ тогда всегда существуетъ точка G—и притомъ одна только—для которой прямоугольникъ AB DC равновеликъ квадрату,

построенному на прямой AG или равной ей CE. Обратно, если на прямой AQ взята точка С и составленъ прямоугольникъ ABDC, то на перпендикулярѣ къ AQ, проведенномъ чрезъ точку С, всегда существуютъ, по обѣ стороны AQ, точки Е,ЕХ такія что квадратъ на CE (или на СЕ{) равновеликъ тому прямоугольнику. При перемѣщеніи точки С вдоль AR, точка Е также измѣняетъ положеніе, но такъ что приложенный (тгарзфаХ16 jisvov) къ AB прямоугольникъ всегда равновеликъ построенному CE квадрату. Если положимъ АС=х. СЕ=у, то у*=рх: геометрическое мѣсто точки С есть парабола.

Если, кромѣ АВ = р, на AQ дана точка M такъ что АМ = а, то AMNB вполнѣ- опредѣленный прямоугольникъ, которому подобны всѣ прямоугольникъ имѣющіе общую съ нимъ вершину В, а противуположную вершину, H напр., на діагонали ВМ. Если и въ этомъ случаѣ дана площадь,напр. квадратъ на сторонѣ AG или равной ей CE, то на ВМ будетъ существовать точка H—и притомъ одна только— для которой прямоугольникъ ACHL равновеликъ тому квадрату, или, другими словами, такая точка Н, для которой прямоугольникъ приложенный къ AB, имѣя часть ALHC равновеликую квадрату на CE, оставляетъ (eXXstTusi) прямоугольникъ LHDB подобный прямоугольнику AMNB. Поставимъ и здѣсь обратную задачу: тогда для каждой точки С на AQ существуютъ двѣ точки Е и Е' такія что квадратъ на CE (или на CE') равновеликъ прямоугольнику ACHL. Если LB=~ , то LH=^ и площадь прямоугольника LHDB равна. Если опять положимъ АС=х, СЕ=у, то найдемъ что у*=-рх—-^: геометрическое мѣсто точки Е есть эллипсъ.

Если МА=а отложимъ на другомъ продолженіи прямой AQ, на

продолженіи діагонали MB возьмемъ точку £Г, такъ чтобы прямоугольникъ ACHL былъ равновеликъ квадрату на AG (или на СВ), то приложенный къ AB прямоугольникъ, чтобы достичь требуемой площади, долженъ быть увеличенъ (uTrspßa'Xxet) на прямоугольникъ BDHL подобный прямоугольнику AB NM. Поставивъ обратную задачу, найдемъ, сохраняя прежнія обозначенія, что у*=рх + : геометрическое мѣсто точки Е есть гипербола.

Все только что изложенное приводитъ къ слѣдующимъ вопросамъ: зналъ ли Эвклидъ, который въ своихъ «Элементахъ» ставитъ и рѣшаетъ лишь прямыя задачи, и тѣ обратныя, которыя приводятъ къ коническимъ сѣченіямъ? Принадлежатъ ли, далѣе, и эти прямыя задачи самому Эвклиду? Что, наконецъ, обо всемъ сюда относящемся было извѣстно предшественникамъ Эвклида? На все это отчасти отвѣчаетъ Проклъ; въ комментаріи на 44 предл. Книги І-й «Элементовъ» онь говоритъ*), ссылаясь на учениковъ Эвдема, что приложеніе къ даннымъ прямымъ параллелограммовъ даннаго вида и данной площади,— причемъ требуется ихъ приложеніе или точное, или съ недостаткомъ или съ избыткомъ, — есть изобрѣтеніе Пиѳагорейской музы. Только позднѣйшіе Математики, прибавляетъ онъ, привели употребительныя при этомъ выраженія въ связь съ коническими сѣченіями, которымъ и дали сходныя съ этими выраженіями названія.

Отсюда слѣдуетъ что Эвдемъ и его ближайшіе ученики ничего не знали объ этихъ названіяхъ, что послѣднія встрѣчаются лишь у позднѣйшихъ математиковъ, которые, согласно показанію Паппа, могли

*) Antiqua quidem sunt haec, ajunt Eudemi familiäres, Pythagoricaeque Musae inventa, applicatio utique spatiorum et excessus atque defectus. Ab Iiis autem et Juniores quum nomina suscepissent, transtulerunt ipsa iu eas etiam lineas, quae Conicae appellantur, quippe qui unam quidem harum Parobolen, alteram autem Hyperbolen, tertiam vero Ellipsim vocarunt. Proclus lib. IV, cap. 18 ad propos. 44. pag. 2C4.

быть геометры александрійской школы: Аполлоній и его современникъ Весьма сомнителъно, чтобы прежніе математики знали о коническихъ сѣченіяхъ; если бы они были имъ извѣстны какъ геометрическія мѣста, къ которымъ приводитъ рядъ задачъ на приложеніе площадей, то нѣтъ сомнѣнія, что Проклъ упомянулъ бы объ этомъ достойномъ вниманія обстоятельствѣ и не ограничился бы только замѣчаніемъ, что позднѣйшіе математики привели въ связь съ коническими сѣченіями слова парабола, эллипсъ, гипербола. Изъ всего сказаннаго слѣдуетъ заключить, что Греки со временъ Менехма и Аристея знали тѣ три кривыя, которыя получаются на поверхности различныхъ конусовъ сѣченіемъ ихъ перпендикулярной къ образующей плоскостью, что, далѣе, въ ту же эпоху — или раньше, можетъ быть — греки умѣли рѣшать задачи о приложеніи площадей, въ текстѣ которыхъ употреблялись глаголы, отъ которыхъ произошли слова: парабола, эллипсъ, гипербола.

Эти задачи могутъ, какъ мы выше видѣли, служить исходною точкою изслѣдованій геометрическихъ мѣстъ особаго вида и эти изслѣдованія, должны были привести къ кривымъ тожественнымъ съ коническими сѣченіями. Но чтобы эти изслѣдованія въ дѣйствительности были предприняты въ ту эпоху, о которой говоримъ, весьма мало вѣроятно и Аполлоній Пергскій былъ первый геометръ. которому съ достовѣрностью могутъ быть приписаны какъ эти изслѣдованія, такъ и открытіе тожества полученныхъ геометрическихъ мѣстъ съ сѣченіями одного и того же конуса плоскостями различію наклоненными къ образующей.

Я выразился осторожно, сказавъ что Аполлоній первый геометръ, которому съ достовѣрностью можетъ быть приписано знаніе только-что указаннаго тожества. Эвклидъ, можетъ быть, зналъ объ этомъ; говоритъ же Паппъ что четыре первыя книги Аполлонія «о коническихъ сѣченіяхъ» представляютъ лишь исправленное и дополненное изданіе Эвклидовыхъ «Коническихъ сѣченій». То обстоятельство, что въ его «Элементахъ» нѣтъ и слѣдовъ подобныхъ изслѣдованій не можетъ служить опроверженіемъ этого мнѣнія: нѣтъ въ нихъ также ничего изъ всего что составляетъ содержаніе «Поризмъ» и «Мѣстъ на поверхности». Но нельзя не видѣть противорѣчія у самаго Паппа, когда онъ порицаетъ то гордое пренебреженіе, съ которымъ будто бы Аполлоній относился къ Эвклиду, тогда какъ послѣдній со всей точностью отмѣчалъ все принадлежащіе своему предшественнику Аристею, лишь бы не умалить его заслугъ. Если бы упрекъ, сдѣланный Аполлонію имѣлъ нѣкоторое

основаніе, то этотъ геометръ не опирался бы, конечно, въ своихъ изысканіяхъ на Эвклида и не ограничился бы однѣми позаимствованіями у него. Такого позаимствованія не поставилъ никто въ упрекъ геометру, котораго древній міръ почтилъ прозваніемъ «Великаго» главнымъ образомъ за его сочиненіе «О коническихъ сѣченіяхъ», какъ то намъ говоритъ Эвтоцій, опираясь на свидѣтельство Гемина, жившаго за 150 лѣтъ до Р X. Этимъ вполнѣ признано какъ многое Аполлоній присоединилъ къ открытіямъ Эвклида и двухъ другихъ своихъ предшественниковъ, о которыхъ самъ упоминаетъ: Конона Самосскаго и Никотелеса Киренскаго.

Подобно тому какъ Паппъ упрекаетъ Аполлонія въ пользованіи трудами Эвклида, біографъ Архимеда, вышеупомянутый Гераклидъ, говоритъ что Аполлоній только переписывалъ изложенное Архимедомъ. Объ этомъ мы конечно ничего въ подробности не знаемъ; но отмѣтимъ что Эвтоцій, передавая этотъ упрекъ сдѣланный Гераклидомъ, говоритъ что считаетъ его несправедливымъ. Нельзя впрочемъ умолчать что Архимедъ, написавшій, какъ выше сказано, сочиненіе о коническихъ сѣченіяхъ, въ ссылкахъ на него обнаруживаетъ знакомство съ предложеніями, которыя находятся въ сочиненіи Аполлонія и, по всей вѣроятности, перешли къ послѣднему отъ перваго. Какъ бы то ни было, самостоятельность Аполлонія въ его восьми книгахъ о коническихъ сѣчеиіяхъ была велика на столько, что упрочила за нимъ славу, которая не могла бы выпасть на долю простаго комментатора.

Переходимъ къ обзору сочиненія «О коническихъ сѣченіяхъ».

Упомянуто было что геометры до Аполлонія получали коническія сѣченія на трехъ различныхъ прямыхъ конусахъ, Аполлоній же получилъ ихъ на одномъ и томъ же прямомъ конусѣ. Но Аполлоній не остановился на этомъ. Въ І-й книгѣ своего сочиненія онъ показалъ, что всѣ сѣченія могутъ быть получены и на поверхности не прямаго круговаго конуса, лишь бы плоскомъ сѣченія была перпенднкулярна къ плоскости осеваго треугольника; при этотъ онъ доказываетъ что пересѣченіе этихъ двухъ плоскостей есть діаметръ коническаго сѣченія т. е. прямая, дѣлящая пополамъ рядъ параллельныхъ между собой хордъ кривой; точка пересѣченія діаметра съ поверхностыо конуса названа вершиной кривой. Чрезъ эту вершнну проведена, въ плоскости сѣченія, параллельно системѣ хордъ, раздѣленныхъ діаметромъ пополамъ, прямая нѣкоторой опредѣленной длины, та именно, которую мы выше назвали р и которая на современномъ языкѣ извѣстна подъ названіемъ параметра кривой; Аполлоній называетъ ее

прямая—opîyj*). Легко видѣть что Аполлоній прибѣгалъ къ тѣмъ же прямымъ, которыя разсматриваютя въ аналитической геометріи, когда коническое сѣченіе относятъ къ системѣ прямолинейныхъ координатъ, начало которой—произвольная точка этой прямой, осъ абциссъ — діаметръ, проходящій чрезъ эту точку, осъ ординатъ—касательная, проведенія чрезъ начало.

Пользуясь этими элементами, Аполлоній излагаетъ различныя свойства кривыхъ въ такой формѣ, которая отъ аналитико-геометрическаго изложенія разнится лишь тѣмъ, что онъ не прибѣгаетъ къ алгебраическому вычисленію, а къ сочетанію геометрическихъ пропорцій и сравненію площадей. Въ первой же книгѣ трактуется объ центрѣ, осяхъ, сопряженныхъ діаметрахъ и касательныхъ

Во ІІ-й книгѣ «Коническихъ сѣченій» изложены свойства асимптотъ гиперболы. Построеніе асимптоты слѣдующее: къ произвольной точкѣ кривой проведена касательная; на ней отложена отъ точки касанія длина параллельнаго ей діаметра; полученная точка соединена съ центромъ кривой прямой линіей; послѣдняя — асимптота кривой. Изъ остальныхъ предложеній этой книги, отмѣтимъ слѣдующія два: прямая, соединяющая точку встрѣчи двухъ касательныхъ съ срединой хорды касанія**) есть діаметръ коническаго сѣченія; въ коническомъ сѣченіи существуетъ только одна пара прямоугольныхъ осей.

Въ ІІІ-й книгѣ, первыя 44 предложенія представляютъ отдѣлъ, въ которомъ рѣчь идетъ объ отношеніяхъ между произведеніями касательныхъ и сѣкущихъ. Первая изъ относящихся сюда теоремъ слѣдующая: пусть Ж, и Ж2 двѣ точки коническаго сѣченія, центръ котораго 0 (въ параболѣ точка 0 безконечно далека п ОЖ,, 0Ж2 параллельны оси); пустъ касательная въ Мх пересѣкаетъ 0М2 въ Tt, касательная въ М2—прямую 0МІ въ Т2 и R—точка встрѣчи касательныхъ МІТІ, М^Т^. Тогда—треугольники 3TXT2R, M^Txlî равновелики. Слѣдующія предложенія опираются на это первое и могутъ быть сведены къ двумъ главнымъ: 1) Если изъ произвольной точки проведены двѣ сѣкущія къ коническому сѣченію и взято отношеніе произведенія отрѣзковъ на одной сѣкущей къ произведенію отрѣзковъ на другой, то это отношеніе остается постояннымъ для всякой пары сѣкущихъ, соотвѣтственно параллельныхъ сѣкущихъ первой пары. 2) Если изъ произвольной точки какой либо сѣкущей

*) Въ переводѣ latus rectum. Это выраженіе было въ употребленіи до XVIII в.

**) Хорда касанія—хорда, соединяющая точки касанія.

къ коническому сѣченію проведены обѣ касательныя и хорда касанія, то точка, взятая на сѣкущей, точка пересѣченія сѣкущей съ хордою касанія, и точки пересѣченія сѣкущей съ кривой опредѣляютъ гармоническое дѣленіе на этой сѣкущей*). Къ этимъ теоремамъ примыкаютъ нѣкоторыя другія, относящіяся къ свойствамъ площадей. какъ напр. та. что треугольникъ образованный касательною къ гиперболѣ и ея двумя асимитотами имѣетъ постояную площадь. теорема которая, другими словами, можетъ быть выражена такъ: касательная къ гиперболѣ отсѣкаетъ на ея асимптотахъ отрѣзки, произведеніе которыхъ постоянно.

Въ 45 предложеніи этой книги, авторъ переходитъ къ изслѣдованію точекъ, которыя называетъ: arjjiila en т^с rcapatßoXi};, что въ буквальномъ переводѣ значитъ: точки, которыя являются при приложеніи; это—фокусы эллипса и гиперболы (о фокусѣ параболы въ этомъ мѣстѣ нѣтъ еще рѣчи). Опредѣленіе этихъ точекъ у Аполлонія и приводимыя имъ свойства ихъ слѣдующія: фокусъ есть точка дѣлящая большую ось на два отрѣзка, произведеніе которыхъ равно одной четверти фигуры; подъ фигурой онъ разумѣетъ произведеніе параметра на большую ось или, что тоже, квадратъ малой оси. Если отрѣзокъ произвольной касательной, заключенной между касательными въ концахъ большой оси, принятъ за діаметръ, то окружность на немъ описанная пересѣкаетъ большую ось въ фокусахъ.

Если одинъ конецъ діаметра этой окружности соединенъ съ однимъ фокусомъ, другой—съ другимъ, то полученныя прямыя — сопряженныя прямыя — пересѣкаются на нормали т. е. на перпепдикулярѣ, проведенномъ къ касательной чрезъ точку касанія. Затѣмъ слѣдуетъ предложеніе о равенствѣ угловъ, образуемыхъ касательною съ каждой изъ прямыхъ, проведенныхъ изъ точки касанія въ фокусы—съ радіусами векторами; кромѣ того теорема что основанія перпендикуляровъ, проведенныхъ изъ фокусовъ на всѣ касательныя, лежатъ на окружности, имѣющей большую ось діаметромъ; и, наконецъ, предложеніе о постоянствѣ суммы радіусовъ векторовъ въ эллипсѣ, разности радіусовъ векторовъ въ гиперболѣ. Все это послѣдовательно изложено въ ІІІ-й книгѣ.

Первыя три книги «Коническихъ сѣченій» посвящены Эвдему; IV-я книга начинается съ посланія Атталу; въ немъ оплакивается смерть

*) Аполлоній не употребляетъ выраженіе гармоническіе дѣленіе, но пишетъ только пропорцію между четырьмя отрѣзками сѣкущей. Ред.

Эвдема и говорится что содержаніе предстоящей книги составляетъ рѣшеніе вопроса: сколько общихъ точекъ можетъ имѣть коническое сѣченіе съ окружностью или съ другимъ коническимъ сѣченіемъ? Аполлоній при этомъ отличаетъ пересѣченіе отъ касанія. Онъ указываетъ что два коническихъ сѣченія могутъ или пересѣкаться въ 4 точкахъ, или пересѣкаться въ 2 точкахъ и одновременно касаться въ одной, или, наконецъ, касаться въ двухъ точкахъ; далѣе, что двѣ параболы могутъ касаться только въ одной точкѣ, также парабола съ гиперболой, если послѣдняя внѣшне расположена, также парабола и эллипсъ, если послѣдняя кривая внѣшне расположена. Не лишнее замѣтить здѣсь что предложенія этой книги имѣли для древнихъ геометровъ гораздо большее значеніе, чѣмъ для новѣйшихъ: изслѣдованіе точекъ пересѣченія кривыхъ, въ виду рѣшенія задачи объ удвоеніи куба, повело къ изученію свойствъ кривыхъ и, отчасти, къ ихъ открытію. Методъ которымъ Аполлоній опредѣляетъ общія точки двухъ коническихъ сѣченій сводится къ ряду апогогическихъ (не прямыхъ) доказательствъ, которыя по большей части основаны на леммѣ ІІІ-й книги касательно гармоническаго дѣленія. Такимъ образомъ IV-я книга, по формѣ и содержанію составляя одно цѣлое съ тремя первыми, должна была распространяться наравнѣ съ ними и служить заключительной книгой для тѣхъ геометровъ, которые въ тогдашней высшей математикѣ искали только необходимое для рѣшенія Делійской задачи. Эта тѣсная связь первыхъ четырехъ книгъ Аполлонія обнаруживается и въ томъ обстоятельствѣ, что только онѣ дошли до насъ въ греческомъ текстѣ, между тѣмъ какъ книги V, VI, VII сдѣлались намъ извѣстными въ половинѣ XVII в. по арабскому переводу, а книга VIII по всей вѣроятности совершенію утрачена.

Книга V-я оставляетъ далеко за собою остальныя, имѣя содержаніемъ ученіе, къ которому не приступалъ ни одинъ греческій геометръ: геометрическое ученіе о наибольшемъ и наименьшемъ. Само собою разумѣется что это ученіе не могло у греческаго геометра явиться въ той методической обработкѣ, которую оно получило при вторичномъ своемъ появленіи въ XVII в., что оно не могло быть полно и содержало только ограниченный рядъ задачъ. Но тѣмъ большаго удивленія достойно, какъ Аполлоній группируетъ отдѣльные случаи и какъ прилагаетъ къ нимъ весьма сложныя доказательства; послѣднія такъ искусственны, что невольно должно явиться предположеніе не обладалъ ли онъ какимъ либо методомъ открытія относящихся сюда предложеній, для которыхъ придумывалъ затѣмъ доказательства общеупотребитель-

ной формы. Главнымъ образомъ Аполлоній изслѣдуетъ наибольшія и наименьшія разстоянія данной точки отъ даннаго коническаго сѣченія, при чемъ прежде всего разсматриваетъ точки данныя на осяхъ. Затѣмъ слѣдуетъ рядъ теоремъ, въ которыхъ входятъ отрѣзки, въ современной математикѣ носящіе названіе субнормалей (подъ-нормалей); далѣе, рѣшаетъ задачу о проведеніи изъ данной точки нормалей къ коническому сѣченію и даетъ построеніе, при которомъ прибѣгаетъ къ пересѣченію гиперболъ. Онъ опредѣляетъ также число нормалей, которыя могутъ быть проведены изъ данной точки къ данному коническому сѣченію, число, зависящее какъ отъ положенія данной точки, такъ и отъ вида кривой; при этомъ онъ находитъ и тѣ точки, изъ которыхъ можетъ быть проведена одна только нормаль къ коническому сѣченію; эти точки—центры кривизны коническаго сѣченія—лежатъ, какъ извѣстно, на эволютѣ кривой.

VI-я книга трактуетъ о равныхъ и подобныхъ коническихъ сѣченіяхъ, получаемыхъ сѣченіями подобныхъ, прямыхъ конусовъ; въ заключеніе изслѣдованія рѣшается слѣдующая задача: данный конусъ пересѣчь такъ, чтобы полученное сѣченіе равнялось данному эллипсу.

Между книгами VII и VIII существовала, надо предполагать, тѣсная связь. На это указываетъ самъ Аполлоній, говоря что VII книга занимается предложеніями, которыя ведутъ къ онредѣленіямъ, а VII содержитъ опредѣленныя задачи о коническихъ сѣченіяхъ. Кромѣ того, Паппъ, присоединившій къ сочиненію Аполлонія довольно значительное число леммъ и распредѣлившій ихъ по отдѣльнымъ книгамъ для первыхъ шести, соединилъ въ одно леммы къ книгамъ VII и VIII. На основаніи этого Галлей сдѣлалъ попытку возстановить утраченную VIII книгу «о коническихъ сѣченіяхъ». Въ VII книгѣ помѣщены теоремы о дополнительныхъ хордахъ, о сопряженныхъ діаметрахъ, о площадяхъ параллелограммовъ на нихъ построенныхъ. Всѣ эти предложенія, которыя въ современной аналитической геометріи выводятся путемъ вычисленія, раздроблены у Аполлонія на цѣлый рядъ отдѣльныхъ, частныхъ случаевъ, при изслѣдованіи которыхъ этотъ геометръ обнаруживаетъ замѣчательное искусство.

Изложивъ вкратцѣ содержаніе главнаго сочиненія Аполлонія, обратимся къ его изслѣдованіямъ въ другихъ областяхъ математики.

О таковыхъ извѣстно, къ сожалѣнію, такъ мало что можно лишь предугадывать всю проявившуюся въ нихъ многосторонность Аполлонія и съ нѣкоторою вѣроятностью предполагать, что въ его сочиненіяхъ,

заглавія которыхъ одни только сохранились*), дѣло идетъ о приложеніи свойствъ коническихъ сѣченій къ рѣшенію геометрическихъ задачъ. Это предположеніе подтверждается двумя книгами о сѣченіи въ отношеніи**), которыя дошли до насъ въ переводѣ на арабскій языкъ. Бернаръ (Edm. Bernard) нашелъ арабскую рукопись въ концѣ XVII в. и перевелъ на латинскій незначительную часть ея; Галлей окончилъ переводъ и издалъ его въ 1706 г. Эти книги содержатъ рѣшеніе слѣдующей задачи: Даны на плоскости двѣ прямыя, пересѣкающіяся или параллельныя, на нихъ по точкѣ на каждой, и дано нѣкоторое отношеніе; требуется чрезъ точку, данную внѣ этихъ прямыхъ, провести прямую, которая отсѣкала бы отъ данныхъ прямыхъ отрѣзки такъ, чтобы отношеніе ихъ равнялось бы данному отношенію. Легко видѣть что эта задача заключаетъ большое число частныхъ случаевъ, такъ какъ положеніе данной точки относительно данныхъ прямыхъ и данныхъ на нихъ точкахъ можетъ быть весьма разнообразно и отсѣкаемые на этихъ прямыхъ отрѣзки могутъ быть считаемы по тому или другому направленію. Всѣ эти задачи Аполлоній рѣшаетъ помощью коническихъ сѣченій.

Еще объ одномъ сочиненіи Аполлонія узнаемъ мы отъ Эвтоція, который въ своемъ комментаріи къ Архимедову «Измѣренію окружности» говоритъ: «Насколько то было въ моихъ силахъ, я уяснилъ данныя Архимедомъ числа. Но достойно замѣчанія что Аполлоній изъ Перги въ своемъ Окитобоонѣ доказалъ тоже самое, употребляя другія числа, чѣмъ еще больше приблизился къ истинѣ». Значеніе слова Окитобоонъ совершено неизвѣстно равно какъ содержаніе сочиненія имъ озаглавленнаго; изъ словъ Эвтоція мы можемъ заключить только что Аполлоній для измѣренія окружности вычислилъ отношеніе болѣе точное, чѣмъ Архимедово. Но какимъ путемъ это вычисленіе было сдѣлано этого мы не знаемъ и найдемъ развѣ нѣкоторое указаніе для отвѣта въ одной арабской рукописи, изданной Вёпке***).

*) Заглавіе утраченныхъ Аполлоніевъ сочиненій слѣдующія:

1) IU(jl de tactionibus; о касаніи.

2) Епіпібоі ьолоі; losi plani; плоскія мѣста.

3) Ileal viîotjDv; de іпеіі nationibus; о наклоненіяхъ.

4) Hf(j\ xvjçCov sectio spatii; сѣченіе.

5) fltçï ôtxuoio^htjç to/*/*ç; sectio determinata; опредѣленное сѣченіе.

**) Tlrçi Хбьсь (2поТо/іГ;с—de sectione rationis.

***) Essai d'une restitution de travaux perdus d'Apollonius sur les quantités irrationnelles. D'après des indications tirées d'un manuscrit arabe. Par M. F. Wœpke. Paris. 1856.

Эта рукопись представляетъ переводъ съ греческаго комментарія на Х-ю книгу элементовъ Эвклида, книгу, въ которой, какъ извѣстно, изложено ученіе объ ирраціональныхъ величинахъ. Авторомъ этого комментарія Вепке считаетъ византійскаго астронома Веттіуса Валенса, жившаго во II в. по P. X.

Этотъ писатель въ своемъ комментаріи говоритъ объ изслѣдованіяхъ Аполлонія надъ ирраціональными величинами и приписываетъ этимъ изслѣдованіямъ высокое значеніе. «Ирраціональныя количества, говоритъ онъ, возникли въ школѣ Пиѳагора. Теэтетъ усовершенствовалъ, по свидѣтельству Эвдема, ученіе о нихъ, разсмотрѣвъ ирраціональныя количества болѣе сложныя, происходящія изъ простѣйшихъ путемъ умноженія, сложенія и вычитанія. Эвклидъ окончательно подраздѣлилъ ирраціональныя количества на различные виды. Но Аполлоній указалъ на то что кромѣ группируемыхъ (isiayjievoc у Прокла) ирраціональныхъ количествъ существуютъ негруппируемыя (атахтор)». За этимъ слѣдуетъ самый комментарій, на основаніи котораго Вёпке съ большимъ остроуміемъ возстановляетъ что должно разумѣть подъ негруппируемыми ирраціональными количествами, введенными Аполлоніемъ. Дѣло заключается въ слѣдующемъ.

Эвклидъ, какъ большинство древнихъ, ограничился изслѣдованіемъ квадратныхъ корней; простой квадратный корень изъ раціональнаго числа не считался ирраціональнымъ, представляя сторону раціональнаго квадрата и будучи, какъ выражались, раціоналънымъ въ степени. Если взять два числа, из.ъ которыхъ покрайней мѣрѣ одно раціонально въ степени, то можно было составить изъ нихъ различныя ирраціональныя числа: медіалы, биноміалы и апотомы. Медіала имѣетъ одинъ только видъ, представляя квадратный корень изъ произведенія взятыхъ чиселъ— \/\ а. \ ~ъ. Биноміалы получаются сложеніемъ; ихъ можно различать шесть видовъ, такъ какъ изъ взятыхъ двухъ чиселъ или одно бблынее раціонально только въ степени, или одно меньшее, или оба, что даетъ три вида; каждый изъ этихъ трехъ распадается опять на два, смотря потому, есть ли разность квадратовъ взятыхъ для составленія биноміала двухъ чиселъ само квадратъ или нѣтъ. Отсюда шесть видовъ биноміала:

\/а + \/а—d. Апотомы получаются вычитаніемъ; стоитъ только въ предыдущихъ формахъ замѣнить знакъ сложенія знакомъ вычитанія между взятыми числами чтобы получить тѣ шесть видовъ апотомъ, которые разсматриваетъ Эвклидъ.

Послѣ этого вышеприведенный отрывокъ комментатора получаетъ такое толкованіе: Школа Пиѳагора ввела понятіе объ ирраціональномъ; Теэтетъ показалъ существованіе медіаловъ, биноміаловъ и апотомъ; Эвклидъ расгруппировалъ эти ирраціональныя числа и нашелъ 13 видовъ ихъ: 1 медіалъ, 6 биноміаловъ и 6 апотомъ. Послѣ этого нерасгруппированными остались всѣ ирраціональныя числа изъ трехъ и болѣе частей и всѣ ирраціональныя числа, гдѣ входилъ показатель корня большій 2: ихъ то и изслѣдовалъ Аполлоній. Переходъ отъ вида \/a+\/b къ виду |/ а+У Ь + \/ с +\/d-\— представится намъ уже значительнымъ шагомъ, если вспомнимъ что древніе никогда не говорили, какъ мы, о квадратномъ корнѣ изъ числа, но всегда о сторонѣ квадрата данной площади и, обратно. о площади квадрата, который производитъ данную сторону; въ этомъ смыслѣ \/a+\/b+}/c+\/d+... производитъ площадь, вычисленіе которой представляется болѣе сложнымъ, чѣмъ возвышеніе во вторую степень двучленнаго выраженія у а+}/ Ь. Еще болѣе сложнымъ представляется съ этой точки зрѣнія разсмотрѣніе ирраціональныхъ выраженій съ показателями корней выше 2. Корень третьей степени изъ числа т. е. ребро куба даннаго объема, имѣющаго данное отношеніе къ объему другаго куба встрѣчался, какъ мы знаемъ, въ Делійской задачѣ. Если вспомнимъ какъ Гиппократъ Хіосскій свелъ ее на нахожденіе двухъ среднихъ пропорціональныхъ къ двумъ даннымъ величинамъ, то можемъ расширить эту задачу въ томъ смыслѣ, что предложить себѣ нахожденіе 3, 4 и болѣе среднихъ пропорціональныхъ къ двумъ даннымъ величинамъ.

Пусть между числами Ъи 1\ (мы опять употребляемъ современныя обозначенія) вставлено m среднихъ пропорціональныхъ. Изъ ряда пропорціи

находимъ

откуда

и вообще

Съ другой стороны:

откуда

и вообще (2)

Исключая Іп+І изъ (1) и (2) найдемъ

т. е. число высшей, если можно такъ выразиться, ирраціональностит чѣмъ простая медіана.

Вёпке предполагаетъ что Аполлоній занимался такими ирраціональными числами; но объ этомъ мы не знаемъ ничего положительнаго, равно какъ не можемъ подтвердитъ предположенія что Аполлоній, желая опредѣлить отношеніе окружности къ діаметру, былъ приведенъ къ изученію ирраціональнаго. Если это было такъ, то изученіе нерасгруппированныхъ ирраціональныхъ чиселъ должно было стоять въ тѣсной связи съ содержаніемъ выше упомянутаго Окитобона и теорія первыхъ могла составлять часть послѣдняго.

Остается намъ, наконецъ, упомянуть еще объ одномъ отрывкѣ, который сохраненъ Паппомъ и изданъ на греческомъ языкѣ въ концѣ XVІІ в. англійскимъ математикомъ Валлисомъ. Этотъ отрывокъ содержитъ особенный пріемъ умноженія, который прилагается къ двумъ числамъ, выраженнымъ буквами двухъ стиховъ*). Этому пріему должно было предшествовать изложеніе въ томъ же отрывкѣ другаго, менѣе удобнаго, но болѣе употребительнаго; это слѣдуетъ изъ того что Паппъ, послѣ умноженія буквъ перваго стиха, говоритъ что результатъ вычисленія тожественъ съ полученнымъ въ началѣ книги по другому пріему. Такимъ образомъ до насъ дошла только та часть этого ариѳметическаго сочиненія Аполлонія, которая содержала менѣе употребительные пріемы вычисленія. Если вспомнимъ что Архимедово сочиненіе, въ которомъ трактовалось о томъ же предметѣ, совсѣмъ не дошло до насъ, то невольно придется пожалѣть о такой случайности.

Изъ сохранившагося отрывка Аполлонія мы узнаемъ только слѣдующее. Подобно Архимеду, онъ расчленялъ числа на группы съ цѣлью облегчить ихъ произношеніе и производство дѣйствій. Разница лишь въ томъ, что Аполлоній за основаніе подраздѣленія принимаетъ тетрады, между тѣмъ, какъ у Архимеда были въ употребленіи единицы высшаго порядка октады. Первую тетраду Аполлоній называетъ тетрадой единицъ, вторую—тетрадой миріадъ (десятковъ тысячъ); за-

*) Каждая буква греческой азбуки имѣла свое числовое значеніе.

тѣмъ слѣдуютъ тетрады вторыхъ, третьихъ и пр. миріадъ*). Кромѣ этого находимъ въ отрывкѣ пріемъ умноженія, рахъясненный на вычисленіи произведенія чиселъ: 50, 50, 50,40, 40, 30. Сперва вычислено произведеніе 5. 5. 5. 4. 4. 3 равное 6000. Такъ какъ число десятковъ въ данныхъ числахъ 6 (т. е. произведеніе ихъ содержитъ 106 множителемъ) и это число, по раздѣленіи на 4, даетъ въ остаткѣ 2, то произведеніе этихъ десятковъ равно 100 простымъ миріадамъ. Произведеніе этихъ 100 миріадъ на 6000 единицъ даетъ 60 вторыхъ миріадъ. За этимъ слѣдуетъ примѣръ перемноженія сотенъ и десятковъ. Значеніе этихъ пріемовъ мы усвоимъ лишь тогда, когда забудемъ привычное намъ обозначеніе чиселъ. При употребленіи же греческой нумераціи, требуется нѣкоторое усиліе вниманія чтобы отъ буквы т (=300) перейти къ у ( = 3) и помнить при этомъ что число понижено на два разряда. Только принявъ въ расчетъ это обстоятельство, мы поймемъ какъ удобство пріемовъ Аполлонія, такъ и медленность, съ которой они переходили въ общее достояніе. Что послѣднее дѣйствительно было такъ слѣдуетъ изъ самаго изложенія Паппа, который приводитъ эти пріемы какъ нѣчто мало знакомое, но достойное обратить на себя вниманіе мужей науки, слѣдуетъ и изъ того что Эвтоцій Аскалонскій въ VI в. прибѣгаетъ повидимому къ совершенно другимъ пріемамъ, при которыхъ не имѣло мѣсто сведеніе чиселъ высшихъ порядковъ на числа низшихъ.

Этимъ мы заканчиваемъ изложеніе успѣховъ, которые, на сколъко можемъ судитъ по дошедшимъ до насъ свѣдѣніямъ, сдѣлала математика въ промежутокъ времени отъ 300 — 200 г. до P. X. Желаніе представить по возможности полную картину интересной эпохи и научной дѣятельности замѣчательныхъ людей, ей принадлежащихъ, руководило нами при составленіи настоящаго очерка.

*) Между тѣмъ какъ классы чиселъ у насъ трехразрядные, у Аполлонія они четырехразрядные, у Архимеда—осьмиразрядные.

Библіографія.

КНИГИ, ВЫШЕДШІЯ СЪ 1-ГО АПРѢЛЯ ПО 1-ОЕ ІЮЛЯ 1879 Г.

1. Зегиммель.—Новый способъ умноженія въ умѣ посредствомъ сложенія. Изучается въ нѣсколько минутъ. (Полезно преимущественно для дѣтей). Правило № 1 для умноженія чиселъ отъ 10 до 19. I нен. стр. 8.—

2. Воленсъ (В).—Ариѳметика, курсъ систематическій, 2-я часть: Дроби и тройныя правила. 11-е, совершенно измѣненное изд. подъ ред. самого автора. 133 стр. 8. Спб. Ц. 50 к.

3. Леве (А.).—Курсъ ариѳметики и собраніе ариѳметическихъ задачъ (въ концѣ приложено „Рѣшенія задачъ и отвѣты"). 15-е передѣланное издан. 409 стр. 8. Спб. Ц. 1 р.

4. Меморскій (М.).—Ариѳметика въ вопросахъ и отвѣтахъ, для легчайшаго обученія дѣтей. Двѣ части. Испр. изд. 106 стр. 8. М.

5. Мозговъ (С. И.).—Схематическій курсъ ариѳметики. Для среднихъ учебныхъ заведеній. 45 стр. 8. М. Ц. 30 к.

6. Васильевъ-Яковлевъ (Н.).—Сборникъ задачъ по коммерческой ариѳметикѣ для коммерческихъ и реальныхъ училищъ. 2 й выпускъ, 52 стр. 8. Кіевъ. Ц. 40 к.

7. Петрикъ (К. /1.).—Таблицы для умноженія, повѣренныя на ариѳметической машинѣ Томаса. Вып. 4-й. Безошибочное стереотипное изд. 202 стр. grand 4. Либава.

8. Блюмбергъ (Я.).—Элементарная алгебра. Курсъ среднихъ учебныхъ заведеній. (Руководство это одобрено какъ пособіе ученымъ комитетомъ министерства народн. просв.) ХХ+242 стр. 8. Спб. Ц. 1 р. 25 к.

9. Онъ-же.—Дополнительныя статьи алгебры. Курсъ VII (дополнительнаго) класса реальныхъ училищъ. (Одобренъ учен. комитет. мин. народн. просв.) 76 стр, 8. Спб. Ц. 75 к.

10. Бычковъ (Ѳ).—Сборникъ примѣровъ и задачъ, относящихся къ курсу элементарной алгебры. Изд. 6-е, 340 стр. 8. Спб. Ц. 1 р. 20 к.

11. Сомовъ (П.).—О числѣ корней алгебрическихъ уравненіи, лекціи литографированныя. 68 стр. l/a folio Спб.

12. Андреевъ (К. А.).—О геометрическихъ соотвѣтствіяхъ въ примѣненіи къ вопросу о построеніи кривыхъ линій. Москва. 166 стр. 8.

13. Пржевальскій (Е.).—Собраніе геометрическихъ теоремъ и задачъ. Изд. 4-е. 328 стр. 8. М. Ц. 1 р. 60 к.

14. Юревичъ (Б. А.). — Наглядный курсъ измѣренія линій, площадей и объемовъ. Для народныхъ, городскихъ и др. начальныхъ училищъ, а также для самообученія. 200 стр. М. Ц. 80 к.

15. Лежандръ.—Элементарная геометрія. 2-е испр. дополн. изд. 290 стр. 8. Спб. Ц. 1 р. 25 к.

16. Починскій (Н. С.).—Новыя изслѣдованія въ области элементарной геометріи. Вып. 1-й. Выпрямленіе дугъ круга. 5 листовъ чертежей, 52 стр. 4. Одесса.

17. Савинъ (И.).— Приготовительный курсъ геометріи (съ чертежами въ текстѣ) для военныхъ гимназій. 2-е испр. дополн. изд. Москва. Ц. 50 к.

18. Гавловскій (А. Г.).—Руководство геометрическаго черченія, составленное по программѣ военныхъ гимназій.

19. Спасеніи Изм. (священникъ).—Систематическое изложеніе теоретической прямолинейной тригонометріи. Второе исправленное изданіе съ приложеніями. 196 стр. 8. Спб. въ переплетъ. Ц. 2 р.

20. Гавриленко (A С.). —Основанія прямолинейной тригонометріи. 12 табл., 110 стр. 8. Варшава.

21. Чебышевъ (П.) (проф.).—О параллелограммахъ. Приложеніе къ XXXIV тому „Зап. Импер. Акад. Наукъ". 16 стр. 8. Спб. Ц. 25 к.

22. Ермаковъ (профессоръ).—Теорія вѣроятностей. Лекція, читанная въ Императ. университетѣ Св. Владиміра. 140 стр. 8. Кіевъ. Ц. 1 р. 50 к.

МАТЕМАТИЧЕСКІЙ ЛИСТОКЪ.

ИЗЪ НЕОПРЕДѢЛЕННАГО АНАЛИЗА.

1. Найти раціональныя рѣшенія уравненія

Представивъ данное уравненіе въ видѣ

полагаемъ

и рѣшаемъ эту систему уравненіи относительно y. Находимъ

или

Чтобы имѣть цѣлыя рѣшенія надлежитъ положить x=2jpq; тогда получаемъ извѣстное соотношеніе

2. Найти раціональныя рѣшенія уравненія

Представивъ данное уравненіе въ видѣ

гдѣ і мнимая единица, полагаемъ

Каждое изъ этихъ уравненіи распадается на два:

(3) (4)

Складывая почленно (3) и (4), найдемъ

a вставивъ сюда х изъ (1) , у изъ (2) :

или

откуда

и, наконецъ,

X Y

Положивъ р=—/ ? q=— 1 найдемъ слѣдующія цѣлыя рѣшенія даннаго уравненія:

и тожество:

3. Haйти два раціональныхъ числа, сумма которыхъ равнялась бы суммѣ ихъ кубовъ.

Задача приводитъ къ уравненію

или къ слѣдующему

которое можетъ быть представлено такъ

Положивъ

гдѣ t произвольное число, найдемъ

4. Найти въ цѣлыхъ числахъ стороны треугольника, въ которомъ косинусъ одного изъ угловъ равенъ раціональной дроби.

Пусть X, у, г стороны треугольника. — косинусъ угла, противулежащаго сторонѣ х.

Тогда

или

Положимъ

Рѣшивъ эти уравненія относительно х, у, найдемъ

Чтобы имѣть цѣлыя рѣшенія замѣнимъ t дробью ~ , а затѣмъ положимъ

Тогда для двухъ другихъ сторонъ найдемъ

СООТНОШЕНІЕ МЕЖДУ ВЗАИМНЫМИ РАЗСТОЯНІЯМИ ЧЕТЫРЕХЪ ТОЧЕКЪ НА ПЛОСКОСТИ.

Пусть A, В, С, I) четыре точки на плоскости; а, />, с, р, г— ихъ взаимныя разстоянія; Ві , Сх— проэкціи точекъ В, С на AB и С2—проэкція точки С на ВВ{ .

Непосредственно имѣемъ:

Пользуясь этими равенствами, вычислимъ выраженіе

=*)

Опредѣляя DGi изъ треугольника ACD^ І)В{ изъ треугольника ABI) найдемъ

Вычисляя, далѣе, высоту ВВ{ треугольника ABB и высоту ССХ треугольника ACDX найдемъ

Остается вставить въ равенство (1) выраженія для DC, , DBX ВВХ и ССХ :

Возводя обѣ части въ квадратъ, найдемъ

Это соотношеніе впервые дано Эйлеромъ въ статьѣ: De symptomatibus quatuor punctorum in eodem piano sitorum. Acta Acad. Scientiar. Petropol. 1782. P. I. p. 3.

Оно можетъ быть различно преобразовано. Для четыреугольника, стороны котораго, по порядку, а, 6, с, а діагонали е, f, получимъ, перемѣнивъ буквы и сдѣлавъ преобразованія:

*) B]D=BxCl+CxI) ; АСХ=ЛВЛ + ВХСХ

или

Приложимъ это соотношеніе къ нѣкоторымъ частнымъ случаямъ. I. Если а=с и b=ä, то

Это равенство распадается на два;

(1)

(2)

Первое выражаетъ извѣстное соотношеніе между сторонами и діагоналями параллелограмма; второе—относится въ симметричной трапеціи, діагонали которой a и a непараллельныя стороны Ь и d.

II. Если четыреугольникъ м. б. вписанъ въ окружность т. е. если

то

или

откуда

и, наконецъ

Зная отношеніе діагоналей и ихъ произведеніе найдемъ извѣстныя выраженія для діагоналей вписаннаго четыреугольника:

Задачи.

1. Найдемъ сумму цифръ даннаго числа N, затѣмъ сумму цифръ полученнаго и т. д.; мы дойдемъ такимъ образомъ до суммы, выраженной однозначнымъ числомъ, которую назовемъ послѣдней суммой цифръ числа N и, для краткости, обозначимъ символомъ 2(JV).

Доказать слѣдующее:

Если N кратное числа 9, то ï(iV)=9.

Если N отъ дѣленія на 9 даетъ остатокъ г, то l(N)=r.

Если два числа разнятся на число кратное 9, то ихъ послѣднія суммы цифръ равны.

Для всѣхъ степеней числа кратнаго трехъ 2(iV) = 9.

Всѣ степени числа вида 3w-fl или вида имѣютъ послѣднія суммы цифръ, которыя періодически повторяются изъ шести въ шесть.

Число, для котораго ^(iV) равна 3 или 6, не можетъ быть сте ненью числа.

2. Обозначая общаго наибольшаго дѣлителя чиселъ a и Ъ чрезъ D{a, Ь) и наименьшее кратное ихъ чрезъ т(а, 6), доказать справедливомъ равенства.

D[m(a, Ъ), c]=m[D(a, c),J5(b, с)]

3. Если a?=3w±l, то выраженіе

1 + 2*+4х

всегда дѣлится на 7.

4. Дано произведеніе двухъ двузначныхъ чиселъ, изъ которыхъ одно написано тѣми же цифрами, какъ и другое, но въ обратномъ порядкѣ. Найти эти числа.

5. Найти три послѣдовательныхъ числа, сумма квадратовъ которыхъ равнялась бы суммѣ квадратовъ двухъ другихъ послѣдовательныхъ чиселъ.

6. Если —=0. то

7. Опредѣлить отношеніе неизвѣстныхъ въ системѣ

8. Рѣшить систему уравненій

9. Рѣшить систему уравненій

10. Въ прямоугольномъ треугольникѣ : 6, с—катеты; a—равнодѣлящая прямаго угла. Доказать что

11. Вычислить гипотенузу ирямоугольнаго треугольника, зная его периметръ и равнодѣлящую прямаго угла.

12. Вершины равносторонняго треугольника лежатъ на трехъ параллельныхъ прямыхъ, взаимныя разстоянія которыхъ даны. Вычислить сторону треугольника.

13. Вершины равносторонняго треугольника лежатъ на трехъ концентрическихъ окружностяхъ, радіусы которыхъ даны. Вычислить сторону треугольника.

14. Три изъ вершинъ квадрата отстоятъ соотвѣтственно на разстояніяхъ a, 6,. с отъ нѣкоторой точки. Вычислить сторону квадрата.

15. На продолженномъ діаметрѣ двухъ концентрическихъ окружностей взята на данномъ отъ ихъ центра разстояніи точка, изъ которой проведены касательныя къ этимъ окружностямъ. Вычислить взаимныя разстоянія точекъ касанія.

16. На дугѣ AB квадранта АОВ дана точка С. Найти на касательной AT точку В такую чтобы площади треугольниковъ ACD, QCI) имѣли бы данное отношеніе

17. На гипотенузѣ прямоугольнаго треугольника найти точку такую, чтобы сумма квадратовъ перпендикуляровъ, опущенныхъ изъ нея на катеты, равнялась бы К1.

18. Чрезъ концы A, В діаметра окружности проведены къ ней касательныя; третья касательная пересѣкаетъ первыя двѣ въ точкахъ О, D. Опредѣлить точку касанія такъ чтобы:

a) Трапеція AB СІ) имѣла бы данный периметръ.

b) Трапеція AB CD имѣла бы данную площадь.

19. На продолженномъ діаметрѣ окружности найти такую точку, чтобы проведенная изъ нея къ окружности касательная имѣла бы длину равную хордѣ, проведенной изъ точки касанія параллельно діаметру.

20 Чрезъ двѣ данныя на окружности точки A, В провести параллельныя хорды ААХ , ѢВХ такъ чтобы трапеція ААХВХВ имѣла бы данную площадь.

21. Въ данный круговой секторъ вписать прямоугольникъ, котораго двѣ вершины лежали бы на дугѣ сектора, если дано:

a) Сумма двухъ послѣдоватольныхъ сторонъ прямоугольника.

b) Разность двухъ сторонъ.

c) Діагональ прямоугольника.

22. Внутри угла A взята точка О, чрезъ нея проведена прямая, пересѣкающая стороны угла въ В, С. Обозначивъ площади треугольникъ АОВ, АОС чрезъ S, St , доказать что

23. Около треугольника описанъ другой произвольный; около этого втораго — третій, стороны котораго соотвѣтственно параллельны сторонамъ перваго.

Если S{ . S2 , Sz площади этихъ треугольниковъ, то

24. Высота треугольника продолжена до пересѣченія съ полуокружностью, описанною на основаніи, какъ на діаметрѣ; точка пересѣченія соединена съ концами основанія; тоже построеніе повторено для другихъ сторонъ.

Если Ах , А2 , Л3—площади полученныхъ прямоугольныхъ треугольниковъ, а Л—площадь взятаго, то

25. Если между сторонами треугольника существуетъ такое соотношеніе что одна изъ нихъ или средне-ариѳметическая, или средне-геометрическая или средне-гармоническая двухъ другихъ, то соотвѣтствено этому такое же соотношеніе имѣетъ мѣсто между косинусами половинъ угловъ треугольника, вершины котораго совпадаютъ съ основаніями высотъ взятаго треугольника.

26. Если .4, В, С углы треугольника, то

27. Доказать что каждое изъ предыдущихъ отношеній равно

и выразить нослѣдиюю сумму въ зависимости отъ сторонъ и площади треугольника.

Рѣшить слѣдующія уравненія:

28. 29. 30.

Какъ доказать что въ системѣ

или въ системѣ

гдѣ a, 6, с—стороны треугольника, A, В. С его углы, каждое изъ равенствъ есть слѣдствіе двухъ другихъ?

ГЕОМЕТРІЯ И ГЕОМЕТРЫ ДО ЭВКЛИДА.

ИСТОРИКО-МАТЕМАТИЧЕСКІЙ ОЧЕРКЪ ПРОФЕССОРА БРЕТШНЕЙДЕРА.

(ПЕРЕВОДЪ СЪ НѢМЕЦКАГО).

I. Геометрія у Египтянъ.

§ 1. Простыя геометрическія представленія, какъ напр. о прямыхъ и кривыхъ линіяхъ и поверхностяхъ, даже простѣйшихъ фигурахъ и тѣлахъ, развиваются вслѣдствіе впечатлѣній, производимыхъ внѣшнимъ міромъ на сознаніе человѣка. съ такою необходимостью что о времени и мѣстѣ ихъ зарожденія также мало можетъ быть рѣчи, какъ и о происхожденіи понятія о числахъ. Дикарь получаетъ эти представленія столь же непосредственно, какъ и цивилизованный человѣкъ, даже степень ясности, съ которой эти представленія являются въ сознаніи, едва ли существенно разнится у образованныхъ и необразованныхъ людей. Поэтому родъ естественной математики, ограниченной простѣйшимъ процессомъ счисленія, измѣренія и построенія, мы находимъ вездѣ, гдѣ только живутъ люди и имѣютъ сношенія между собой, какъ бы слабы ни были ихъ общественныя связи. Но если изъ этихъ элементовъ математическаго представленія должна развиться у народа наука, то его культура должна стоять уже на извѣстной высотѣ и представлять по отношенію къ ремесламъ, искусствамъ, торговлѣ и т. д. настоятельную потребность въ разработкѣ этого умственнаго достоянія.

Поэтому совершенно естественно что мы при разсмотрѣніи вопроса о происхожденіи геометріи должны обратиться къ самому древнему извѣстному намъ культурному народу—Египтянамъ. Они сами приписываютъ себѣ не только изобрѣтеніе и первые успѣхи въ ариѳметикѣ, геометріи и астрономіи, но и ихъ примѣненіе къ потребностямъ гражданской, государственной и религіозной жизни. Нація, проведшая цѣлыхъ три съ половиной тысячелѣтій въ вполнѣ устроенной государственной жизни и воздвигшая зданія, какъ пирамиды, храмы и общественные дворцы, въ такія времена, до которыхъ не доходятъ даже и древнѣйшія сказанія сосѣднихъ народовъ,—нація, соорудившая уже въ тѣ времена такіе каналы и шлюзы, что ихъ великолѣпію и цѣлесообразности удивляются потомки по прошествіи тысячелѣтій, такая нація не могла очевидно быть несвѣдущей въ теоретической и прак-

тической математикѣ. И мы должны предположить у Египтянъ не только элементарныя и скудныя начала этой науки, напротивъ, высокая культура народа заставляетъ насъ признать въ немъ значительную долю математическаго знанія.

§ 2. Если такой взглядъ надлежало бы признать справедливымъ даже при неимѣніи какихъ-либо сюда относящихся свидѣтельствъ. то онъ пріобрѣтаетъ тѣмъ большее значеніе, что весь древній міръ единогласно и безъ зависти признаетъ за Египтянами первенство изобрѣтенія математическихъ наукъ. Уже праотецъ исторіи, Геродотъ, объѣхавшій Египетъ около 460 г. до Р. Хр., пишетъ въ своихъ путевыхъ замѣткахъ что геометрія была перенесенъ изъ Египта въ Грецію. Также упоминаетъ онъ при случаѣ: «Греки пишутъ и считаютъ марками,— водя рукой отъ лѣва вправо; Египтяне же, напротивъ, дѣлаютъ это отъ правой руки къ лѣвой», и тѣмъ самымъ свидѣтельствуетъ что Египтяне занимались искусствомъ счисленія не менѣе Грековъ. Гораздо уже опредѣленнѣе въ этомъ отношеніи показанія позднѣйшихъ писателей, напр. Изократа, Платона и другихъ. Въ діалогѣ «Федръ» Сократъ разсказываетъ: «Я слышалъ что въ египетскомъ Навкратѣ былъ одинъ изъ древнихъ боговъ, которому посвящена птица, называвшаяся Ибисомъ, между тѣмъ, какъ самъ богъ назывался Теутъ; и что этотъ богъ первый изобрѣлъ ученіе о числахъ и искусство счисленія, а также геометрію и астрономію».

Еще яснѣе высказывается Аристотель, говоря: «Потому то въ Египтѣ и возникли математическія науки. что каста жрецовъ располагалъ достаточнымъ досугомъ чтобы заниматься ими».

§ 3. Но самыя прямыя доказательства въ пользу происхожденія математики у Египтянъ мы находимъ у писателей, жившихъ по завоеваніи страны Македонянами въ такое время, когда весь кругъ египетской науки уже сталъ общимъ достояніемъ греческаго міра. Діодоръ, объѣхавшій Египетъ около 70 лѣтъ до Р. Хр. и имѣвшій сношенія съ мѣстными жрецами сообщаетъ: «Египтяне утверждаютъ что отъ нихъ произошло изобрѣтеніе письменъ и наблюденіе свѣтилъ и что ими также изобрѣтены геометрическія теоремы и большая часть наукъ и искусствъ».

Главное мѣсто о научномъ значеніи Египтянъ находимъ у Діодоръ, который говоритъ: «Жрецы учатъ своихъ сыновей письму двухъ родовъ, такъ называемому священному и обыкновенному. Геометріей и ариѳметикой они занимаются ревностно. Ихъ рѣка, измѣняя ежегодно видъ страны, причиняетъ много разнообразныхъ споровъ

между сосѣдями о границахъ; такіе споры бываетъ весьма трудно рѣшить, если настоящее положеніе дѣла не изслѣдуетъ въ точности геометръ. ариѳметика имъ служитъ въ домашнемъ обиходѣ и при геометрическихъ изслѣдованіяхъ, кромѣ того приноситъ не мало выгоды всѣмъ занимающимся астрономіей. Этотъ народъ наблюдалъ положеніе и движеніе свѣтилъ; они сохранили чертежи отдѣльныхъ наблюденій за много лѣтъ, такъ какъ этому предмету у нихъ издавна посвящались чрезвычайныя заботы. Они подробно наблюдали за движеніемъ, обращеніемъ и стояніемъ планетъ, а также и за ихъ вліяніемъ на происхожденіе живыхъ существъ».

Послѣ такого подробнаго изложенія о трудахъ Египтянъ въ точныхъ наукахъ является лишнимъ приводить мнѣнія позднѣйшихъ писателей, какъ напр. Діогена, Лаэрція, Рмблиха, Стобая и др. Всѣ повторяютъ единогласно сказанное ихъ предшественниками т. е. что ариѳметика и геометрія происходитъ изъ Египта и были оттуда перенесены въ Грецію.

§ 4. Если древніе историки дальше говорятъ что возникновеніе геометріи было вызвано практическими нуждами, а именно межеваніемъ, то это столь естественно что не можетъ ни въ комъ вызвать ни удивленія, ни сомнѣнія. Сооруженіе храмовъ, дворцовъ, шлюзъ, нивеллировка каналовъ, тянувшихся на много миль, требовали отъ ихъ строителей извѣстную сумму знанія, которой имъ не могла дать одна практическая геометрія. Но больше всего понуждала ихъ заняться межеваніемъ главная рѣка страны, Нилъ, непрерывно дѣятельная у своихъ береговъ и въ особенности въ предѣлахъ дельты. Уже Геродотъ разсказываетъ: «Также говорили, что этотъ король (Сезострисъ) раздѣлилъ землю между всѣми Египтянами такъ, что далъ каждому по одинаковому четыреугольнику, получая съ него доходъ въ видѣ ежегодной подати. У кого же рѣка отрывала часть, тотъ долженъ былъ явиться къ нему для показанія о случившемся; тогда онъ посылалъ своихъ смотрителей, имѣвшихъ обязанность вымѣрить, насколько уменьшился участокъ, для того чтобы опредѣлить размѣръ подати съ оставшагося участка. Этимъ, кажется мнѣ, было положено начало геометріи, перешедшей оттуда въ Грецію».

Но еще яснѣе высказывается на этотъ счетъ Геронъ старшій, который въ своемъ введеніи къ геометріи замѣчаетъ: «Древнѣйшая геометрія занималась, какъ насъ учитъ преданіе, измѣреніемъ и межеваніемъ земель, почему она и называлась землемѣріе. Мысль о межеваніи была внушена Египтянамъ вслѣдствіе разлива Нила, такъ

какъ много земель, лежавшихъ не залитыми до наводненія, исчезали во время прибыли воды и появлялись снова, когда вода убывала, и не всегда было возможно возстановить ихъ прежнія границы. Вслѣдствіе этого Егиитянамъ пришла мысль измѣренія земель, незалитыхъ водами Нила». Тоже самое содержитъ уже приведенное выше мѣсто у Діодора и еще подробнѣе и точнѣе говоритъ о томъ Страбонъ: «Требовалось самое точное размежеваніе вслѣдствіе смыванія границъ, которое причинялъ разливъ Нила, унося и нанося землю, видоизмѣняя мѣстность и разрушая пограничные знаки. Поэтому было необходимо постоянное межеваніе. Отъ этого, говорятъ, произошла геометрія».

§ 5. Эти показанія древняго времени доказываютъ достаточно ясно, что именно практическія потребности обитателей Нильской долины должны были по необходимости вызвать къ жизни геометрію. Но если греческіе писатели стремятся доказать своимъ читателямъ нагляднымъ образомъ неизбѣжность этого явленія, указывая на ежегодное смываніе и измѣненіе полевыхъ границъ, какъ на причину, вынудившую жителей заняться землемѣріемъ. чтобы ежегодно возобновлять межевые знаки, то это не болѣе какъ басня.

Отъ самихъ Египтянъ Греки, понятно, ни въ какомъ случаѣ не получили этихъ сомнительныхъ показаній, ибо первые, проживъ въ своей странѣ нѣсколько тысячелѣтій конечно научились укрѣплять и ограждать на столько прочно свои полевыя границы, что спокойный и постепенный разливъ Нила не могъ причинять имъ много вреда. Кажется, напротивъ, что эта басня зародилась у самихъ Грековъ, или по немногу сложилась изъ вышеприведенныхъ (§ 4) словъ Геродота. Послѣдній говоритъ лишь о томъ что теченіе Нила по временамъ отрывало или наносило нѣсколько земли отъ пограничныхъ участковъ и что происходившія отъ того измѣненія въ земельныхъ надѣлахъ приводились въ извѣстность со стороны правительства и принимались во вниманіе при собираніи податей. Это показаніе праотца исторіи, находящее себѣ подтвержденіе всюду, гдѣ только значительная рѣка протекаетъ черезъ страну, вѣроятно имѣли въ виду позднѣйшіе писатели, украсивъ и развивъ понемногу первоначальный фактъ. Сообщенія Герона, Діодора и Страбона, приведенныя выше въ хронологическомъ порядкѣ показываютъ совершенно ясно, какъ тѣ опустошенія, которыя будто Нилъ причинялъ пограничнымъ египетскимъ землямъ, принимаютъ все большіе размѣры, чѣмъ позже живетъ повѣствующій о томъ авторъ. У писателей, незнакомыхъ съ природой Египта изъ собственныхъ наблюденій, причина такого извращеннаго мнѣнія лежала

конечно къ томъ, что они смѣшивали спокойный и во всемъ своемъ развитіи правильный разливъ Нила съ внезапными и совершенно неправильными наводненіями другихъ, а именно европейскихъ рѣкъ, и переносили представленія о разрушительныхъ дѣйствіяхъ послѣднихъ на благодѣтельные разливы перваго. Но если такое мнѣніе о предметѣ разъ укрѣпилось въ литературномъ кругу того времени, то и писатели, хотя бы болѣе знакомые съ природою рѣки Нила, легко могли подчиниться неправильному воззрѣнію.

Изъ всего этого не слѣдуетъ однако выводить, какъ дѣлаютъ нѣкоторые писатели, того заключенія что свидѣтельство о происхожденіи Геометріи въ Египтѣ ничто иное какъ басня и что египетская геометрія не имѣетъ никакого значенія.

§ 6. Но если рѣчь идетъ о подробномъ изслѣдованіи этой геометріи и ея отношеніи къ иозднѣйшей греческой наукѣ, то иеобходимо прежде всего вспомнилъ, что возведеніе построекъ, измѣреніе полей и т. п. въ Египтѣ находилось въ рукахъ наслѣдствениыхъ цеховъ, такъ называемыхъ кастъ, которыя, работая подъ верховнымъ руководствомъ жрецовъ, собирали и передавали свои пріемы и свѣдѣнія изъ рода въ родъ. Такимъ образомъ могла накопиться въ продолженіи многихъ вѣковъ весьма значительная масса геометрическаго матеріала, который жрецами приводился въ порядокъ, провѣрялся и передѣлывался въ форму наиболѣе пригодную для всякаго практическаго употребленія. Конечно, эта масса не составляла науки въ строгомъ смыслѣ слова, ибо далеко не все изъ этихъ правилъ и пріемовъ было вполнѣ доказано, многое было, вѣроятно, основано и построено только на внѣшнихъ впечатлѣніяхъ: это было чертежное искусство. Взаимная зависимость сродныхъ между собой построеній, необходимая постепенность отъ болѣе легкихъ къ труднымъ, а также и законы. на которыхъ основываются элементарныя построенія, все это было хорошо извѣстно египетскимъ жрецамъ, такъ что результаты, полученныя ими совершенно удовлетворяли потребностямъ практики.

Но чего у Египтянъ, вѣроятно, недоставало, такъ это главнымъ образомъ двухъ вещей, безъ которыхъ геометрическая наука не можетъ существовать, во первыхъ: строго-логическаго развитія всей науки изъ малаго числа постулатовъ и аксіомъ, а вмѣстѣ съ тѣмъ и устраненіе всѣхъ данныхъ, достовѣрность которыхъ основывается на простомъ внѣшнемъ наблюденіи, во-вторыхъ: группированія цѣлаго ряда отдѣльныхъ случаевъ въ одно общее положеніе, и чрезъ это нахожденія общихъ истинъ и теоремъ. Устраненіе этихъ недостатковъ,

въ особенности послѣдняго, есть главная заслуга, которую пріобрѣли Греки по геометріи, и которою они блестящимъ образомъ доказали свое научное превосходство надъ египетскими жрецами.

Этотъ взглядъ на египетскую геометрію, какъ на чертежное искусство, долженъ быть признанъ наиболѣе правильнымъ. Подробное указаніе на всѣ относящіяся сюда частности, конечно, можетъ быть дано только тогда, когда мы будемъ говоритъ о трудахъ древнѣйшихъ Грековъ по геометріи. Теперь же замѣтимъ еще слѣдующее о подлежащемъ изслѣдованію вопросѣ.

§ 7. Уже въ древнія времена неоднократно признавалось что Египтяне были въ особенности искусстны въ геометрическихъ построеніяхъ. Сюда относится напр. показаніе Демокрита: «Въ построеніи линій по извѣстнымъ даннымъ меня еще никто не превосходилъ, даже сами арпедонавты Египтянъ». Еще точнѣе выражается Ѳеонъ Смирнайскій: «Вавилоняне, Халдеи и Египтяне старались найти всевозможные основные законы и гипотезы для объясненія явленій; они стремились достигнуть этого тѣмъ, что обсуждали раньше извѣданное, дѣлали свои предположенія на счетъ будущихъ явленій, при чемъ одни, какъ напр. Халдеи, употребляли ариѳметическій; другіе, какъ напр. Египтяне, геометрическій методъ».

Кромѣ этихъ прямыхъ свидѣтельствъ о значительномъ развитіи, котораго должно была достигнуть египетское чертежное искусство, намъ на тоже указываетъ геометрическій матеріалъ, который достался первымъ греческимъ геометрамъ отъ ихъ египетскихъ учителей. Онъ состоитъ, какъ это будетъ показано дальніе, не столько въ научныхъ положеніяхъ, сколько въ рѣшеніяхъ задачъ, т.-е. въ построеніяхъ, и немногія теоретическія истины, которыя мы встрѣчаемъ у нихъ, оказываются лишь такими, безъ которыхъ не могло обойтись черченіе. Ѳалесъ напр. научился измѣрять высоту предмета посредствомъ равнобедреннаго прямоугольника, Пиѳагоръ—дѣлать сравненіе и превращеніе площадей прямолинейныхъ фигуръ и ихъ сложеніе (TtapotßaXXstv древнихъ геометровъ); даже самъ Ойнопидъ, предпринявшій въ 470 г. небольшую поѣздку въ Египетъ, чтобы наскоро поучиться кое-чему у его жрецовъ, привезъ домой, какъ плодъ своихъ поисковъ, рѣшеніе нѣсколькихъ геометрическихъ задачъ.

Все это довольно ясно показываетъ что значеніе египетской геометріи состояло не столько въ развитіи теоретическихъ истинъ, сколько въ построеніяхъ; древнѣйшіе греческіе геометры, вѣроятно привезли не мало такихъ построеній изъ Египта. Это была. конечно, не геомет-

рическая наука, но все-таки необходимый матеріалъ для нея. Только Греками предпринятая разработка этого матеріала преобразовала его въ форму науки, и такое преобразованіе совершилось, по всей вѣроятности, не слишкомъ быстро, такъ какъ и для греческаго ума потребовалось не мало времени, прежде чѣмъ усвоить себѣ еще незнакомый и необычный предметъ и осилить его.

§ 8. Съ этимъ воззрѣніемъ на египетскую геометрію, какъ на чертежное искусство, совершенно согласуется еще другая особенность древнѣйшей геометріи, которую было бы не легко объяснить инымъ путемъ; a именно—чрезмѣрное дробленіе простыхъ геометрическихъ истинъ на множество частныхъ случаевъ, изъ которыхъ каждый приходится доказывать отдѣльно. Замѣчательный примѣръ тому находимъ въ отрывкѣ Гемина, сохранившемся у Евтоція въ введеніи его комментарія къ коническимъ сѣченіямъ Аполлонія. Тамъ говорится: «А что Геминъ сообщаетъ, то вѣрно: что древніе, опредѣляя происхожденіе конуса отъ обращенія прямоугольнаго треугольника около катета, естественно принимали, что не только всѣ конусы прямы, но что въ каждомъ имѣется только одинъ разрѣзъ: въ прямоугольномъ— нынѣ такъ называемая парабола, въ тупоугольномъ — гипербола и въ остроугольномъ — эллипсисъ. Вотъ это и составляетъ причину, почему мы встрѣчаемъ у нихъ такія названія. Точно также, какъ древніе для каждой отдѣльной формы треугольника доказывали особо теорему о двухъ прямыхъ углахъ, сперва для равносторонняго, затѣмъ для равнобедреннаго и, наконецъ, для разносторонняго, между тѣмъ какъ позднѣйшіе математики доказывали общую теорему, что «сумма угловъ каждаго треугольника равна двумъ прямымъ угламъ»,—такъ точно они разсматривали отдѣльно прямоугольное сѣченіе на прямоугольномъ копусѣ, тупоугольное сѣченіе на тупоугольномъ конусѣ, остроугольное—на остроугольномъ, причемъ во всѣхъ случаяхъ проводили сѣченіе перпендикулярно къ образующей. Отсюда происходятъ и прежнія названія получаемыхъ кривыхъ. Только позднѣе Аполлоній изъ Перги показалъ что всѣ сѣченія могутъ быть получены на одномъ и томъ же конусѣ измѣненіемъ положенія сѣкущей плоскости. Удивлявшіеся ему современники назвали его за такое важное открытіе «великимъ» геометромъ. Такъ сообщаетъ Геминъ въ шестой книгѣ своего сочиненія».

§ 9. Эта замѣтка даетъ возможность составить опредѣленный взглядъ на тотъ видъ геометріи, который встрѣчается у древнѣйшихъ Грековъ и несомнѣнно перешелъ къ нимъ изъ Египта. Основное положеніе о суммѣ угловъ всякаго треугольника, по Этдему, доказала

раньше другихъ Пиѳагорова школа. Греческіе математики до Пиѳагора слѣдовательно никто другой, какъ Ѳалесъ и его ученики. Но мы увидимъ позже что именно эта такъ называемая Іоническая школа дала въ области геометріи весьма мало новаго, ограничиваясь сохраненіемъ и дальнѣйшей передачей перешедшаго къ ней изъ Египта матеріала. Поэтому мы можемъ смѣло утверждать что теоремы о суммѣ угловъ въ равностороннемъ, равнобедренномъ и разностороннемъ треугольникахъ принадлежатъ египетской геометріи. Такое дробленіе простой теоремы на столько отдѣльныхъ случаевъ, сколько имѣется частныхъ фигуръ, характеризуетъ эмпирическое чертежное искусство. Вѣдь задача послѣдняго и состоитъ собственно въ томъ чтобы въ каждомъ отдѣльномъ случаѣ употреблять тѣ средства, какія указываются предлежащей задачей, но которыя обыкновенно ведутъ къ цѣли только въ разсматриваемомъ случаѣ. На греческую геометрію перешла эта особенность египетской науки вмѣстѣ съ нею, и она освободилась отъ этого неудобства только постепенно. Если по этому Эядемъ, древнѣйшій составитель исторіи геометріи, такъ восхваляетъ представителей этой науки за то, что они «обобщали и болѣе интеллектуально понимали геометрическія теоремы», то это навѣрное относится не только къ примѣненію строгаго доказательства, вмѣсто прежде употребительной внѣшней наглядности, но столько же и къ сліянію цѣлаго ряда отдѣльныхъ, но между собой тѣсно связанныхъ положеній, въ одно общее, а также и къ измѣненному способу доказательствъ, обнимающему сразу весь тотъ рядъ отдѣльныхъ случаевъ.

§ 10. Если мы спросимъ себя въ какой степени Египтяне владѣли математикой въ то время, когда первые Греки явились къ нимъ въ качествѣ любознательныхъ учениковъ, то должны тщательно отдѣлить успѣхи въ прикладной математикѣ отъ теоретической ея части.

Мы имѣемъ полное основаніе предполагать что не только египетское чертежное искусство, но и вся практическая математика народа вполнѣ удовлетворяли потребностямъ его культурнаго положенія, что существовали слѣдовательно достаточныя средства и знанія для возведенія большихъ построекъ, для измѣренія полей и нивеллированія. Такое предположеніе доказывается лучше всего содержаніемъ одного папируса, пріобрѣтеннаго для британскаго музея изъ наслѣдства умершаго Ринда (Mr. Rhind). По указанію Бирча (Mr. Birch), извѣстнаго египтолога, въ этомъ панирусѣ, какъ кажется, содержится довольно подробное изложеніе прикладной математики, въ которомъ измѣренія площадей и объемовъ играютъ главную роль. Собственно научныхъ положе-

вій во всемъ сочиненіи нѣтъ, также какъ и какого-либо указанія на синтетическую геометрію, развившуюся позднѣе въ Греціи и Александріи. Все облечено напротивъ въ форму задачъ, которыя также предлагаются не въ общемъ изложеніи, но въ опредѣленныхъ числахъ и рѣшаются вычисленіемъ. Такъ требуется напр. измѣрить прямоугольникъ, котораго стороны содержатъ 2 и 10 единицъ мѣры, или найти площадь круга, котораго діаметръ равняется 6-ти единицамъ. Къ этому прибавлены задачи геодезическія, какъ теперь выражаются, напр. отрѣзать отъ поля прямоугольный треугольникъ, котораго катеты равны 10 и 4 единицамъ; то же самое сдѣлать съ трапеціей, которой параллельныя стороны равны 6 и 4 единицамъ и которой каждое бедро равняется 20 единицамъ. Но и дѣленіе и разложеніе фигуръ объясняется отдѣльными задачами, при чемъ треугольникъ дѣлится посредствомъ прямыхъ, отстоящихъ въ равномъ разстояніи другъ отъ друга и параллельныхъ основанію, между тѣмъ, какъ другія фигуры посредствомъ разложенія дѣлятся на параллелограммы, равнобедренные треугольники и трапеціи. Наконецъ, въ папирусѣ содержится еще опредѣленіе объема тѣлъ, въ особенности цѣлыхъ и усѣченныхъ пирамидъ. Очевидно, что мы здѣсь имѣемъ точно такую же метрику, какую въ позднѣйшее время при лучшемъ процвѣтаніи геометрическаго знанія, составилъ Геронъ старшій, и можно предположить что ему послужили при этомъ образцами подобныя же произведенія египетской литературы, ибо сходство во внѣшнихъ формахъ его сочиненія съ упомянутымъ папирусомъ столь велико, что едва ли можно такое сходство приписать одной случайности*).

Но все ли, что содержится въ этой египетской метрикѣ, составляетъ результатъ теоретическаго изслѣдованія, это остается конечно до нѣкоторой степени сомнительнымъ. Что Египтяне умѣли съ точностью опредѣлить площадь круга. или объемъ пирамидъ, это вѣроятно никто не будетъ утверждать, кто знаетъ что Греки только отъ Архимеда и Эвдокса получили необходимыя для того свѣдѣнія. Въ этихъ обстоятельствахъ вѣроятно довольствовались лищь приблизительными данными, полученными изъ опытовъ. Напротивъ, измѣреніе, дѣленіе и разложеніе плоскихъ прямолинейныхъ фигуръ основано вѣроятно на правильной теоріи, такъ что мы не встрѣчаемъ здѣсь столь

*) Папирусь Ринда изданъ въ настоящее вреия Эйзенлоромъ. Подробная статья объ этомъ древнемъ памятннкѣ появится на страницахъ «Листка» вслѣдъ за настоящимъ очеркомъ. Ред.

грубыхъ и странныхъ правилъ, какъ у римскихъ землемѣровъ впоследствіи. Если бы египетская геометрія была бы совершенно ничтожна, то уже Ѳалесу въ томъ легко было убѣдиться и тогда Пиѳагоръ, Ойнопидъ и Демокритъ едва ли интересовались бы такой наукой.

§ 11. Но насколько успѣли Египтяне въ нахожденіи и развитіи теоретическихъ истинъ, о томъ намъ остается по большой части дѣлать одни предположенія. Изъ папируса Ринда становится только ясно, что ученіе объ углахъ, объ опредѣленіи треугольниковъ, параллелограммовъ и трапецій по ихъ элементамъ, а также ученіе о сравненіи площадей и измѣреніи ихъ было разработано въ главныхъ чертахъ. Точно также Египтяне не были кажется знакомы съ простѣйшими положеніями о кругѣ и даже сдѣлали нѣкоторые успѣхи въ теоріи вписанныхъ правильныхъ многоугольниковъ. Въ стереометріи же имъ вѣроятно можно приписать лишь знаніе условій, при которыхъ прямая перпендикулярна къ плоскости и развѣ еще весьма ограниченную теорію параллельныхъ прямыхъ и плоскостей въ пространствѣ. Изъ фигуръ имъ кажется были извѣстны изъ практики призмы, четырехстороннія правильныя пирамиды, прямые конусы и цилиндры, шаръ и правильныя тѣла (за исключеніемъ додекаэдра). Вслѣдствіе требованій астрономіи, они ознакомились нѣсколько подробнѣе со свойствами шара, о другихъ же тѣлахъ напротивъ они знали немного болѣе, какъ объ условіяхъ ихъ существованія. Что же касается до ученія о подобіи фигуръ, то оно навѣрное не было ихъ извѣстно, такъ какъ о необходимомъ при этомъ знаніи пропорціи мы до сего времени не находимъ у Египтянъ ни малѣйшаго слѣда; греческіе писатели говорятъ единодушно, что эта часть математическаго знанія была пріобрѣтена Греками отъ Вавилонянъ или Халдеевъ. Но этимъ конечно нисколько не отрицается что Египтяне практически пользовались свойствами подобныхъ фигуръ и извлекали практическую пользу изъ нихъ, хотя и не создали научной теоріи сюда относящейся.

§ 12. Показанная здѣсь сумма знаній теоретической геометріи у египетской касты жрецовъ конечно много ниже той, которую признаютъ, особенно въ новѣйшее время, восторженные почитатели древнеегипетской культуры. Если мы послушаемъ архитекторовъ, измѣрявщихъ колосальные египетскіе памятники, то жрецы должны были имѣть значительныя свѣдѣнія по геометріи, въ особенности по теоріи многоугольниковъ; a если послѣдовать за Рётомъ*), то придется припи-

*) Roth, Geschichte unserer abendländischen Philosophie. II.

сать Египтянамъ все сдѣланное Греками до Эвклида. Но если мы напротивъ нровѣримъ то, что привезли отъ нихъ домой Ѳалесъ. Пиѳагоръ и другіе, учившіеся въ Египтѣ, то приписавъ Египтянамъ даже и всѣ открытія этихъ мужей, геометрическія знанія первыхъ окажутся не выходящими за предѣлы элементарныхъ свѣдѣній. Можетъ быть намъ предстоитъ еще случай открыть со временемъ одинъ древнеегипетскій памятникъ, содержащій 10 книгъ Гіерограмматея, и изъ него узнать съ полной достовѣрностью какого свойства была и какой высоты достигла геометрія у Египтянъ. Но пока этого еще не случилось, мы по необходимости должны довольствоваться болѣе или менѣе основательными предположеніями и выводить состояніе египетской геометріи изъ того, что сдѣлали первые греческіе ученые по геометріи; это конечно имѣетъ свои неудобства и вынуждаетъ дѣлать заключенія о многихъ весьма существенныхъ пунктахъ на основаніи личныхъ взглядовъ. Если окончательное рѣшеніе всего этого вопроса и можетъ быть дано только тогда, когда мы объяснимъ труды древнѣйшихъ греческихъ математиковъ, то мы считаемъ не лишнимъ указать уже здѣсь нѣкоторыя обстоятельства, на основаніи которыхъ полезно не слишкомъ много ожидать отъ теоретической геометріи Египтянъ.

§ 13. Достаточно извѣстно что даже довольно обширное чертежное искусство, можетъ развиться на весьма ограниченномъ числѣ строго научныхъ положеній, такъ что совершенство перваго нисколько не обусловливаетъ высокую степень теоретическаго знанія. Для того, чтобы признать за Египтянами большіе успѣхи въ научной геометріи остается развѣ принять во вниманіе что они занимались ею въ теченіи длиннаго ряда вѣковъ. Древность вышеупомянутаго папируса Ринда опредѣляется Бирчемъ двадцатой династіей Мането, слѣдовательно между 1100 — 1000 до P. X. Въ концѣ этого сочиненія находится замѣтка: «Написано въ 23 году царствованія Рааусра, Жизнерасточителя». Но такъ какъ, по одному мѣсту этого папируса, слѣдуетъ признать что онъ есть копія, то оказывается что содержащаяся въ папирусѣ метрика принадлежитъ гораздо древнѣйшему времени. Бирчъ заключаетъ изъ особенностей письменныхъ знаковъ, употребленныхъ въ введеніи къ тексту, что древній оригиналъ относится ко временамъ Хеопса и Апофиса, слѣдовательно былъ составленъ около 3400—3200 г. до P. X. Если мы даже и отбросимъ отъ этого счисленія 1000 лѣтъ, то названный памятникъ все-таки принадлежитъ третьему тысячелѣтію до Р. Х., такъ что съ этого времени до Ѳалеса и Пиѳагора прошло почти двѣ тысячи лѣтъ. Можно полагать что въ

столь продолжительныя періодъ у Египтянъ было довольно времени чтобы значительно усовершенствовать свою геометрію.

Но слѣдуетъ принятъ во вниманіе что все научное ученіе въ Египтѣ ограничивалось и руководилось исключительно кастой жрецовъ, чѣмъ уже сильно стѣснялось процвѣтаніе и развитіе всякаго теоретическаго знанія. Первую заботу подобной касты прежде всего составляетъ религія и связанные съ нею ритуалы. Въ сравненіи съ этимъ всякое другое знаніе является постороннимъ дѣломъ. Кромѣ того, геометрическія знанія, которыхъ достигли Египтяне, постигло то несчастіе, что они уже въ самыя раннія времена своего развитія были внесены въ каноническія книги; этимъ былъ отрѣзанъ всякій путъ къ развитію науки и неизбѣжный застой ея подписанъ. Какъ египетскіе врачи до позднѣйшихъ временъ имѣли право лѣчить только по указаннымъ въ священныхъ книгахъ правиламъ и рецептамъ, если они не хотѣли подвергать себя опасности смертной казни, въ случаѣ смерти паціента, точно также и египетскіе ученые по части межеванія и геометріи были, безъ сомнѣнія, обязаны держаться правилъ и пріемовъ, предписанныхъ въ древнѣйшія времена, чтобы избѣгнуть наказанія въ случаѣ споровъ, которые могли возникнутъ.

Понятно поэтому что Египтяне еще въ самыя древнія времена могли дойти до извѣстнаго круга элементарныхъ геометрическихъ истинъ и все-таки въ продолженіи многихъ вѣковъ недалеко уйти за эти предѣлы, такъ что болѣе живые и дѣятельные Греки имѣли возможность догнать своихъ учителей по геометріи не болѣе какъ въ полъ-столѣтія и затѣмъ далеко опередить ихъ.

§ 14. Мы можемъ пока ограничиться этими замѣтками объ египетской геометріи. Укажемъ лишь на вліяніе, которое она должна была имѣть на греческую геометрію относительно изложеніе. Множество отдѣльныхъ правилъ и пріемовъ, хотя бы и не связанныхъ между собой логически, но которыя необходимо помнить, такъ какъ приходится на практикѣ постоянно прибѣгать къ нимъ, тогда только можно удержать въ памяти и свободно ими пользоваться, когда они изложены тщательно, въ краткихъ, точныхъ и вслѣдствіе того легко запоминаемыхъ выраженіяхъ. Такая форма изложенія, свойственная греческой геометріи и называемая Эвклидовой, возникла въ Египтѣ. Въ пользу этого говоритъ то обстоятельство, что отдѣльныя дошедшія до насъ мѣста сочиненій Ѳалеса и Пиѳагира, учившихся въ Египтѣ, являются именно въ этой формѣ. Чѣмъ свободнѣе является намъ греческій умъ во всѣхъ другихъ отрасляхъ человѣческаго знанія, не только

въ философскихъ, но и въ естественныхъ и опытныхъ наукахъ, тѣмъ удивительнѣй намъ должно казаться, что онъ именно въ математикѣ избираетъ себѣ столь узкую, опредѣленную форму, расчитанную преимущественно на легкость запоминанія разъ усвоенныхъ истинъ, и по всей законченности достойную названія образцовой. Мы едва ли ошибемся, если причину этого явленія будемъ искать не въ случайномъ выборѣ, который сдѣлали греческіе геометры, а въ той формѣ, въ которую были облечены правила египетскаго чертежнаго искусства,— формѣ, которая, также какъ и содержаніе, перешла къ Грекамъ. Вышеприведенный папирусъ только подтверждаетъ это: въ немъ цѣлый рядъ задачъ начинается словомъ: «вопросъ», а ихъ рѣшеніе словами: «поставь» или «слѣдуетъ».

Но и здѣсь греческій умъ доказалъ свое превосходство: тогда какъ Египтяне при рѣшеніи задачъ различали лишь построеніе и доказательство, Греки присоединили къ этому изслѣдованіе задачъ. Если, далѣе, встрѣчающееся у Эвклида и у позднѣйшихъ геометровъ расчлененіе доказательства теоремы на нѣсколько частей, не носитъ отпечатка египетскаго происхожденія, а введено самимъ Эвклидомъ, то все-таки за Египтянами останется слава перваго почина въ раздѣленіи геометрическихъ истинъ на теоремы и проблемы и отдѣленіи построенія отъ доказательства. Если же это предположеніе несомнѣнно, то Египтяне уже этимъ однимъ пріобрѣли себѣ заслугу, превышающую открытіе цѣлаго ряда элементарныхъ научныхъ положеній, которыя можно бы было имъ приписать.

II. Переходъ египетской математики къ Грекамъ.

§ 15. Съ развитіемъ новѣйшихъ изслѣдованій о политическомъ и культурномъ состояніи древняго Египта, стало исчезать заблужденіе, что Египетъ съ древнѣйшихъ временъ былъ замкнутой, ко всему иноземному враждебно относящейся страной, которая, хотя и не умерщвляла иностранцевъ, случайно заброшенныхъ въ ея предѣлы, но послѣ гостепріимной встрѣчи старалась поскорѣе освободиться отъ нихъ. Если политика нѣкоторыхъ господствующихъ династій и имѣла, можетъ быть, по временамъ, такое направленіе, то съ другой стороны опять были большіе періоды времени, въ продолженіи которыхъ страна и народъ состояли въ живомъ сношеніи съ иностранными государствами какъ тоже самое мы встрѣчаемъ въ исторіи Китайскаго го-

сударства, все политическое и культурное развитіе котораго вообще имѣетъ много сходства съ исторіей Египта.

Господство проникнувшихъ съ востока въ Нижній Египетъ семитическихъ племенъ, такъ называемыхъ Гиксосовъ, есть именно такой періодъ, когда между Египтомъ и западной Азіей происходятъ непрерывныя сношенія; къ этому то весьма продолжительному періоду, кажется, и относится медленное распространеніе цѣлаго ряда египетскихъ изобрѣтеній, относящихся къ потребностямъ вседневной жизни и къ необходимѣйшимъ ремесламъ и промысламъ, знаніе и практика которыхъ, по крайней мѣрѣ, не мало способствовали процвѣтанію народовъ Западной Азіи. Но научныя познанія Египтянъ того времени едва ли дошли до чужеземныхъ народовъ. Ибо съ одной стороны хранители этихъ познаній, жрецы страны, держали себя, какъ мы знаемъ, по возможности далеко отъ вторгшихся завоевателей, съ другой стороны, не было во всей Западной Азіи, за исключеніемъ халдейской касты жрецовъ въ Вавилонѣ, другой духовной почвы для научныхъ знаній. У Грековъ, въ то время еще вовсе не составлявшихъ націи, такое вліяніе египетской кулвтуры, само собой разумѣется прошло совершенно безслѣдно.

§ 16. Но когда около 1700 г. до Р. Хр. Гиксосы были опять изгнаны изъ Египта и послѣ повторенныхъ и тщетныхъ попытокъ къ обратному завоеванію страны раздроблены на отдѣльныя небольшія толпы, искавшія по берегамъ Средиземнаго моря новыхъ мѣстъ поселенія, тогда и въ собственной Греціи, какъ о томъ повѣствуютъ древнѣйшія преданія о Данаѣ, Кекропсѣ и друг., были основаны многія колоніи, изъ которыхъ, вслѣдствіи постепеннаго сліянія чужеземцевъ съ болѣе многочисленными туземцами, произошли тѣ первыя и древнѣйшія государства, о которыхъ повѣствуютъ туземныя преданія. То что пришельцы усвоили себѣ по отношенію къ культурнымъ началамъ на своихъ прежнихъ мѣстахъ жительства, т. е. въ Египтѣ, то было перенесено такимъ образомъ въ Грецію. Мы встрѣчаемъ здѣсь то же практическое искусство, тѣ же пріемы, простыя инструменты, однимъ словомъ, такъ сказать, первые элементы практической механики и математики, которые даются еще необразованному народонаселенію и тѣмъ мало по малу ведутъ его къ высшему матеріальному развитію. Потомство, по незнанію обстоятельствъ, обыкновенно связываетъ такія раннія пріобрѣтенія съ именами отдѣльныхъ выдающихся людей. Такъ преданіе приписываетъ введеніе необходимыхъ въ архитектурѣ инструментовъ и манипуляціи Даидалу и его племяннику

Талосу, называя ихъ изобрѣтателями топора, отвѣса, пилы и тому подобныхъ инструментовъ, подробно перечисляемыхъ Плиніемъ; и было необходимо все ясное воззрѣніе послѣдняго вѣка до Р. Хр., чтобы убѣдить Грековъ, что искусство Даидала во всей цѣлости происходитъ изъ Египта. Но въ этой зависимости отъ практическаго знаніи Египтянъ мы застаемъ Грековъ не только въ миѳическій періодъ, но и гораздо позже, въ историческія времена. Такъ, напримѣръ, почти достовѣрно что знаменитый архитекторъ храма Геры въ Самосѣ и лабиринта въ Лемносѣ, Раиковъ, пріобрѣлъ необходимыя для того познанія въ Египтѣ. О его не менѣе знаменитыхъ сыновьяхъ Теодоросѣ и Телеклесѣ говоритъ Діодоръ: «Изъ древнихъ ваятелей между ними (Египтянами) пробыли извѣстнѣйшіе Теодоросъ и Телеклесъ, сыновья Роикоса, изваявшіе для Самосцевъ статую Аполлона Пиѳійскаго». Чтобы доказать еще яснѣе полную зависимость искусства этихъ двухъ мужей отъ египетскаго искусства, Діодоръ прибавляетъ подробное изложеніе способа изготовленія той статуи, чѣмъ удостовѣряется полнѣйшее соблюденіе всѣхъ пріемовъ египетскихъ художниковъ.

§ 17. Но оставимъ этотъ предметъ, который безъ того имѣетъ только отдаленное отношеніе къ точнымъ наукамъ, и обратимся къ тому что изъ теоретической математики перешло къ Грекамъ изъ другихъ странъ.

Здѣсь мы встрѣчаемъ имя нѣкоего фригійскаго геометра, передавшаго будто бы Грекамъ первыя понятія о линіяхъ и фигурахъ. О немъ упоминаетъ въ своихъ замѣткахъ о жизни различныхъ философовъ Діогенъ Лаэрцій, говоря: Онъ (Ѳалесъ) развилъ то, что изобрѣлъ фригіецъ Эйфорбъ, какъ о томъ свидѣтельствуетъ Каллимахъ въ своихъ ямбахъ, т. е. разносторонніе треугольники и то, что относится къ теоріи линій». Но дѣло въ томъ что упоминаемое мѣсто у Каллимаха относится не къ Ѳалесу, какъ ошибочно принялъ Лаэрцій, а къ Пиѳагору и что этотъ фригіецъ Эйфорбъ никто иной какъ Пиѳагоръ. Это съ достовѣрностью вытекаетъ изъ слѣдующаго отрывка у Діодора: «Каллимахъ разсказываетъ о Пиѳагорѣ, что онъ частью изобрѣлъ, частью первый привезъ изъ Египта въ Грецію геометрическія задачи. a именно въ томъ мѣстѣ, гдѣ онъ говоритъ: «Это открылъ фригіецъ Эйфорбъ, который показалъ людямъ разносторонніе треугольники и круги и который училъ людей воздерживаться отъ животной пищи».

§ 18. Обращаясь теперь къ первымъ греческимъ математикамъ и желая опредѣлить, въ какой мѣрѣ они были знакомы съ египетской геометріей и какъ ее потомъ развивали, намъ прежде всего нужно бро-

сить взглядъ на источники, которыми придется пользоваться. Оказывается что почти все переданное намъ о геометріи до Эвклида принадлежитъ одному изъ замѣчательныхъ учениковъ Аристотеля — Эвдему, составившему «Исторію Геометріи и Астрономіи». Такъ какъ онъ жилъ въ IV в. до P. X., то стоитъ довольно близко къ Ѳалесу, жившему два съ половиной вѣка раньше, и къ ученымъ за нимъ слѣдовавшимъ, чтобы имѣть возможность сдѣлать достаточно полную оцѣнку математическихъ знаній этого періода. Не подлежитъ сомнѣнію что онъ имѣлъ передъ собой еще полныя сочиненія большей части жившихъ до него геометровъ и этими сочиненіями пользовался для своихъ историческихъ изслѣдованій. Къ сожалѣнію, эта «Исторія» не дошла до насъ, хотя и сохранилась до позднѣйшихъ временъ Александрійской школы и служила источникомъ для историческихъ справокъ по геометріи или астрономіи. Эвдемъ не довольствовался только, какъ это доказываютъ отрывки, оставшіеся отъ его сочиненія, простымъ перечисленіемъ прежнихъ трудовъ, но излагалъ самымъ основательнымъ образомъ главныя положенія, ходъ и объемъ ихъ доказательствъ, ихъ постепенное соединеніе въ теоремы болѣе общія. Съ появленіемъ этой подробной исторіи геометріи, вѣроятно очень скоро исчезли изъ литературнаго обращенія сочиненія древнихъ геометровъ. Непосредственно за Эвдемомъ послѣдовавшая обработка Эвклидомъ началъ геометріи и быстрые успѣхи въ высшей геометріи, которыми она обязана трудамъ Архимеда, Аполлонія и александрійскихъ ученыхъ, дѣлали почти излишнемъ все что было написано до этой эпохи. A такъ какъ вслѣдствіе этого древнѣйшіе геометрическія сочиненія болѣе не переписывались, то и были утрачены для позднѣйшихъ поколѣній. Эвдемова исторіи геометріи до нѣкоторой степени вознаграждала за эту утрату, и мы видимъ, что изъ нее цитируютъ вездѣ, гдѣ только сочинитель обращается ко временамъ до эвклидовымъ. Мы имѣемъ даже полное основаніе принять, что подобныя ссылки и у такихъ авторовъ, которые, какъ Геминъ, не указываютъ источниковъ, все таки относятся къ сочиненію Эвдема. Что послѣдній былъ достаточно хорошимъ знатокомъ дѣла для подробной и основательной оцѣнки своихъ предшественниковъ, это хорошо видно изъ наиболѣе обширныхъ дошедшихъ до насъ отрывковъ его сочиненія. По свидѣтельству Прокла онъ даже показалъ себя знатокомъ въ самостоятельномъ геометрическомъ изслѣдованіи, написавъ сочиненіе о плоскихъ углахъ.

Кромѣ Эвдема еще упоминается его современникъ Теофрастъ, какъ авторъ исторіи геометріи въ четырехъ книгахъ, исторіи астрономіи

въ шести книгахъ и исторіи ариѳметики въ одной книгѣ. Нѣкоторые, изъ новѣйшихъ изслѣдователей древностей думали, что имя Теофраста было смѣшиваемо съ именемъ Эвдема, такъ какъ эти сочиненія не цитируются почти ни однимъ древнимъ писателямъ. Но если и нѣтъ ничего невѣроятнаго, что послѣдній при своей чрезвычайной, всѣ отрасли знанія обнимающей литературной плодовитости, написалъ также сочиненія и на приведенныя темы, то эти сочиненія по всей вѣроятности стояли гораздо ниже сочиненій Эвдема, а потому и распространились весьма слабо. Для насъ новѣйшихъ изслѣдователей они все равно, что не существуютъ.

§ 19. Въ особенности важно для исторіи ранней греческой геометріи перечисленіе извѣстнѣйшихъ геометровъ до Эвклида съ краткимъ изложеніемъ ихъ научныхъ заслугъ, которые Проклъ въ своихъ комментаріяхъ къ Эвклидовымъ началамъ намъ передалъ и безъ сомнѣнія извлекъ изъ исторіи геометріи Евдема. Чѣмъ важнѣе эта замѣтка для изслѣдованія греческой геометріи первыхъ двухъ съ половиной вѣковъ, тѣмъ необходимѣе представляется изложить передъ читателемъ дословно все это мѣсто.

«Такъ какъ въ наше время необходимо знать первоначальное развитіе искусствъ и наукъ, то мы сообщаемъ что Египтяне изобрѣли раньше всѣхъ геометрію, получившую свое происхожденіе, по показанію большинства, отъ размежеванія земель. Послѣднее имъ было необходимо по случаю разливовъ Нила, который ежегодно смывалъ существовавшія границы. Но нѣтъ ничего удивительнаго что изобрѣтеніе этой, какъ и другихъ наукъ, исходило изъ практической потребности, такъ какъ все возникающее переходитъ отъ несовершеннаго къ совершенному. Поэтому существуетъ естественный переходъ отъ чувственнаго впечатлѣнія къ обдуманному размышленію и отъ этой къ разумному пониманію. Какъ у Финикіанъ по случаю торговыхъ сношеній возникло отличное знаніе ариѳметики, такъ у Египтянъ по той же причинѣ была изобрѣтена геометрія».

«Ѳалесъ, отправившійся въ Египетъ, привезъ первый эту науку въ Элладу; многое онъ открылъ самъ, о многомъ въ зачаткахъ передалъ своимъ послѣдователямъ; нѣкоторое онъ обобщалъ, другое дѣлалъ болѣе нагляднымъ. Послѣ него упоминается Америстъ, братъ поэта Стеснхора, какъ ревностный геометръ; Гиппіасъ Элеатъ сообщаетъ также о немъ, что онъ пріобрѣлъ себѣ славу, какъ геометръ. Послѣ этихъ ученыхъ, Пиѳагоръ преобразовалъ занятія этой научной отрасли въ настоящую науку. разсматривая ея основаніе съ болѣе высокой

точки зрѣнія и отнесясь къ теоремамъ духовнѣе и менѣе матеріально. Онъ же создалъ ученіе объ ирраціональномъ и построеніи правильныхъ (космическихъ) тѣлъ. ІІослѣ него Анаксагоръ написалъ многое о геометріи, также какъ и Ойнопидъ, который нѣсколько моложе его. Объ обоихъ упоминаетъ Платонъ какъ объ извѣстныхъ геометрахъ. Послѣ нихъ сдѣлался извѣстенъ Гиппократъ съ Хіоса, нашедшій квадратуру луны и Ѳеодоръ изъ Кирены. Между всѣми названными, Гиппократъ первый писалъ о началахъ. Платонъ, слѣдовавшій послѣ него, пополнилъ какъ другія науки, такъ и геометрію своими усиленными трудами. Свои сочиненія онъ наполнилъ математическими размышленіями и выдвигалъ вездѣ впередъ все то, что въ геометріи имѣетъ близкое отношеніе къ философіи».

«Къ этому времени принадлежитъ также Леодамъ Ѳазіецъ, Архитъ изъ Тарента и Теэтетъ изъ Аѳинъ, увеличившіе число теоремъ и представившіе ихъ въ строгомъ научномъ изложеніи. Моложе Леодама Неоклидъ и его ученикъ Леонъ, присоединившіе много къ тому, что было сдѣлано до нихъ; Леонъ также написалъ о началахъ, которыя въ отношеніи объема и требованіямъ практики составлены съ большей тщательностью. Ему же принадлежитъ изобрѣтеніе діоризма т. е. изслѣдованіе задачи. Эвдоксъ изъ Книдоса, который моложе Леона, увеличилъ число общихъ теоремъ, пріобщилъ къ тремъ (уже извѣстнымъ тогда) пропорціямъ еще три новыхъ и пополнилъ то, что было начато Платономъ о сѣченіяхъ, причемъ употреблялъ аналитическій методъ».

«Амиклъ изъ Гераклеи, одинъ изъ товарищей Платона и Менэхмъ, ученикъ Эвдокса, современникъ Платона, и братъ его Диностратъ усовершенствовали еще болѣе всю геометрію. Ѳеидій изъ Магнезіи былъ повидимому извѣстенъ, какъ въ математикѣ. такъ и въ остальной философіи; онъ также хорошо излагалъ начала, при чемъ популизировалъ много спеціальнаго. Точно также Кизикиносъ изъ Аѳинъ, жившій въ тоже время, былъ извѣстенъ, какъ по другимъ наукамъ, такъ и въ особенности по геометріи. Всѣ они имѣли между собой сношенія въ академіи, дѣлая сообща свои изслѣдованія. Гермотимосъ изъ Колофона развилъ то., что было открыто Эвдоксомъ и Теэтетомъ, открылъ многое принадлежащее къ началамъ и написалъ кое-что о мѣстахъ. Филиппъ изъ Мендэ, ученикъ Платона и посвященный имъ въ науку, дѣлалъ свои изслѣдованіи подъ его руководствомъ, и обработывалъ то, что ему казалось было въ связи съ философіей Платона».

«Писавшіе исторію (геометріи) довели развитіе науки до этого періода. Но не многимъ моложе ихъ Эвклидъ, составившій «Начала»

приведшій многое въ порядокъ и въ цѣлость то, что принадлежитъ Эвдоксу, и окончившій много, что было начато Теэтетомъ, кромѣ того доказавшій неопровержимо то, что было еще слабо доказано его предшественниками. Онъ жилъ во времена перваго Птоломея. Поэтому онъ моложе учениковъ Пматона, но старше Эратосѳена и Архимеда. По своему научному поло женіюонъ принадлежитъ къ школѣ Платона и послѣдователь его философіи, почему и ставилъ конечной цѣлью всего своего сочиненія о «Началахъ» построеніе такъ называемыхъ «Платоновыхъ тѣлъ».

§ 20. Въ приведенномъ отрывкѣ перечислены только выдающіеся геометры, жившіе отъ Ѳалеса до Эвклида; кромѣ названныхъ, намъ извѣстны, по другимъ источникамъ, имена еще нѣкоторыхъ лицъ, своими трудами по математикѣ и преимущественно по геометріи оставившихъ по себѣ память. Но и въ этомъ видѣ отрывокъ чрезвычайно важенъ для изслѣдованія развитія греческой геометріи, такъ какъ мы безъ него находились бы въ совершенной неизвѣстности относительно этой эпохи.

Самое главное и важное, что намъ представляется въ этомъ очеркѣ, есть подтвержденіе вышеприведеннаго мнѣнія, что матеріалъ для позднѣйшей геометріи происходитъ изъ Египта, и былъ лишь Греками постепенно пополненъ и переработанъ въ точную науку. Если Ѳалесъ, Пиѳагоръ и нѣкоторые другіе и привезли съ собой въ Грецію вмѣстѣ съ чертежнымъ искусствомъ и необходимыя для него теоретическія положенія, то они были, по всей вѣроятности, еще весьма элементарны и не составляли сколько нибудь полной системы геометрическихъ истинъ. Возникшая мало но малу изъ искусства межеванія египетская геометрія, вѣроятно, была переполнена многими эмпирическими правилами. Правила и задачи, вѣроятно, существовали только для немногихъ случаевъ, доказательства были не строгія и не общія, рѣшенія состояли въ простомъ счисленіи, какъ это довольно ясно видно на нѣкоторыхъ задачахъ въ папирусѣ Ринда. Только Грекамъ принадлежитъ, какъ это видно изъ отрывка Прокла, обобщеніе частныхъ случаевъ, усовершенствованіе и пополненіе доказательствъ, расширеніе научныхъ положеній, развитіе и поясненіе основанныхъ на нихъ выводовъ, а вслѣдствіе этого и цѣлый рядъ весьма важныхъ и полезныхъ для науки предложеній. При этомъ, во всякомъ случаѣ по немногу, устранялось изъ науки, а затѣмъ было совершенно исключено употребленіе счисленія (собственной логистики) и такимъ образомъ выработана строго синтетическая форма, дающая еще до сего времени столь высокую цѣну сочиненіямъ греческихъ геометровъ.

§ 21. Достаточно извѣстно—и самими Греками подтверждается—что египетскіе жрецы не мало гордились своими учениками изъ Греціи. Такъ Діодоръ говоритъ: «Египетскіе жрецы называютъ между чужестранцамъ которые по спискамъ священныхъ книгъ прежде пріѣзжали къ нимъ, Орфея, Музая, Мелампа и Даидала, послѣ этихъ поэта Гомера и спартанца Ликурга, также аѳинянина Солона и философа Платона. Пріѣзжали къ нимъ также саміецъ Пиѳагоръ и математикъ Эвдоксъ, а также Демокритъ изъ Абдеры и Ойоопидъ изъ Хіоса. Они еще указываютъ на слѣды, оставшіеся послѣ всѣхъ этихъ людей, на ихъ изображеніяхъ, на мѣста и зданія, носящія ихъ имена. Изъ сравненія того, что каждый изъ нихъ сдѣлалъ по своему предмету, они выводятъ доказательства, что все составившее ихъ славу въ Греціи взято ими изъ Египта»..

Изъ этихъ указаній слѣдуетъ между прочимъ что странствованіе жаждущихъ знанія Грековъ въ Египетъ, чтобы изучать тамъ геометрію, продолжалось приблизительно до 450 г. до Р. Хр., и что Демокритъ вѣроятно послѣдній, предпринявшій съ этой цѣлью путешествіе туда. Математическое обученіе Ѳалеса, Пиѳагора и Ойнопида у египетской касты жрецовъ доказано неопровержимыми свидѣтельствами. Ниже выяснится что именно Пиѳагоръ былъ вполнѣ знакомъ со всѣмъ содержаніемъ египетской математики и передалъ его безъ замедленія ближайшему кружку своихъ учениковъ. Пока его школа сохраняла возложенный на нее обѣтъ молчанія, это знаніе конечно не переходило ни къ одному непосвященному. Но когда между 480 и 470 г. произошло полное разложеніе пиѳагорейскаго союза, когда его члены разсѣялись по всѣмъ городамъ Греціи, и поселились также и въ Аѳинахъ, составлявшая тайну школы пиѳагорейская математика стала общимъ достояніемъ греческой націи. Вмѣстѣ съ этимъ исчезла для послѣдней потребность странствованій въ Египетъ съ цѣлью изучать тамъ математику. Греческая геометрія уже въ школѣ Пиѳагора опередила египетскую, а Гицпократъ изъ Хіоса, жившій около 450 г. до Р. Хр., стоялъ на такой высотѣ, которой египетская каста жрецовъ, вѣроятно, никогда не достигала; поэтому весьма естественно и понятно, что послѣ 450 г. до Р. Хр. не было ни одного Грека, пожелавшаго изучать геометрію заграницей. Если Платонъ и Эвдоксъ и прожили довольно долгое время въ Египтѣ, то это было сдѣлано, во всякомъ случаѣ, со стороны Платона не ради геометріи, которую онъ изучилъ еще раньше у Ѳеодора изъ Кирены, но вѣроятно ради изученія философіи. Что касается Эвдокса, то Діадоръ совершенно

опредѣленно сообщаетъ что онъ собиралъ въ Египтѣ астрономическія свѣдѣнія, посредствомъ распространенія которыхъ и пріобрѣлъ себѣ такую высокую славу между своими соотечественниками.

§ 22. Но если древнѣйшіе греческіе геометры пріобрѣли познанія по своему предмету у Египтянъ, то мы не должны думать чтобы эта передача знаній совершалась просто и безпрепятственно. На сколько вообще было трудно, даже для болѣе даровитыхъ Грековъ, склонить египетскихъ жрецовъ къ подробнымъ научнымъ сообщеніямъ, и какъ много времени проходило, пока Греки достигали полнаго знакомства съ результатами египетской науки, это можно видѣть изъ слѣдующаго мѣста Страбона, который при описаніи одной высшей школы египетскихъ жрецовъ, замѣчаетъ: «Здѣсь показываютъ дома жрецовъ и жилище Платона и Эвдокса. Ибо послѣдній прибылъ сюда съ Платономъ и они жили тутъ вмѣстѣ съ жрецами 13 лѣтъ, какъ нѣкоторые говорятъ. Этихъ въ небесныхъ явленіяхъ много свѣдующихъ, но скрытныхъ и мало сообщительныхъ людей, они только со временемъ и въ видѣ одолженія могли заставить подѣлиться съ ними кой чѣмъ изъ своихъ познаній; но о большей части эти варвары все таки молчали; такъ они знали какую часть сутокъ слѣдуетъ прибавить къ 365 днямъ чтобы вышелъ полный годъ. И все таки Греки не знали года, какъ многое другое, до тѣхъ поръ, пока новѣйшіе астрономы не у знали о томъ изъ сочиненій жрецовъ, переведенныхъ на греческій языкъ. Даже и теперь еще учатся они многому у тѣхъ, какъ и у Халдеевъ».

Не только вѣроятно, но почти достовѣрно, что 13 лѣтнее пребываніе Платона въ Египтѣ составляетъ слишкомъ долгій срокъ, смѣшиваемый, можетъ быть, съ 14 мѣсячнымъ пребываніемъ Эвдокса въ Египтѣ, и что Страбонъ ошибается. Но изъ его сообщенія ясно слѣдуетъ что стоило много времени и труда изучить у жрецовъ какую бы то ни было науку. Эта затрата времени впрочемъ немногимъ бы сократилась, если бы жрецы были и болѣе сообщительны, чѣмъ о томъ разсказываетъ Страбонъ. Уже Рётъ совершенно вѣрно замѣтилъ что каждому Греку, отправлявшемуся съ научною цѣлью въ Египетъ, не только незнакомство съ мѣстнымъ языкомъ, но еще гораздо больше незнакомство съ совершенно особеннымъ письмомъ должны были на долгое время закрывать доступъ къ ученой литературѣ страны. Научное обученіе было слѣдовательно ограничено устнымъ сношеніемъ съ жрецами и поэтому отъ доброй воли учителей зависѣлъ объемъ передаваемаго. Когда Псамметихъ снова открылъ Египетъ для иноземнаго сношенія и множество Грековъ для торговли поселились въ Навкратѣ,

египетская математика все таки стояла слишкомъ высоко чтобы быть легко доступной Грекамъ, умственное развитіе которыхъ тогда еще было слабо. Поэтому мы не должны удивляться, если въ послѣдствіи узнаемъ что Ѳалесъ, несмотря на долгое пребываніе въ странѣ, усвоилъ себѣ только посредственныя знанія египетской математики, и что только Пиѳагору, вслѣдствіе многолѣтняго пребыванія въ средѣ египетскихъ жрецовъ, удалось усвоить ихъ знанія въ полномъ объемѣ.

ОТНОШЕНІЕ ДІАГОНАЛИ КВАДРАТА КЪ ЕГО СТОРОНѢ.

Пусть AB CD—квадратъ. Изъ вершины А, какъ центра, радіусомъ равйымъ сторонѣ квадрата опищемъ полуокружность. Если M точка встрѣчи ея съ діагональю CA, iV—точка встрѣчи ея съ продолженіемъ этой діагонали, то

Изъ этого равенства видимъ что для опредѣленія отношенія AC : AB мы должны опредѣлить отношеніе AB : MC-, сдѣлаемъ это:

Мы слѣдоватательно приведены опять къ опредѣленію отношенія AB : MC, изъ чего заключаемъ что рядъ этихъ операцій не имѣетъ конца и что искомое отношеніе jjl діагонали квадрата къ его сторонѣ имѣетъ выраженіемъ

или

откуда

МАТЕМАТИЧЕСКІЙ ЛИСТОКЪ.

СУММИРОВАНІЕ ВЪ НѢКОТОРЫХЪ ЧАСТНЫХЪ СЛУЧАЯХЪ ЧИСЛОВЫХЪ РЯДОВЪ.

Въ «Traité élémentaire des séries par E. Catalan. Paris. 1860» изложены, между прочимъ, два пріема для нахожденія суммы безконечнаго числа членовъ числоваго знакопостояннаго сходящагося ряда. Одинъ изъ нихъ основанъ на разложеніи общаго члена Un даннаго ряда на разность двухъ раціональныхъ дробей, умноженную на нѣкоторый постоянный множитель; другой—состоитъ въ примѣненіи способа неопредѣленныхъ коэффиціентовъ.

Покажемъ на нѣсколькнхъ примѣрахъ употребленіе перваго пріема.

1. Суммировать рядъ

Общій членъ ряда

Полагая 2, 3, 4......п\\ складывая полученные результаты.

найдемъ для суммы п первыхъ членовъ ряда выраженіе

или

Принявъ гг=счэ, получимъ lim. Sn=S=l. 2.

2. Суммировать рядъ

Общій членъ этого ряда

Полагая »=1, 2, 3...??. и складывая результаты, найдемъ:

Отсюда при w=ço lim. #n ■

3. Суммировать рядъ

Общій членъ

Полагая w=l, 2, 3, 4.....п и складывая результаты, получимъ

4. Суммировать рядъ

Общій членъ ряда

Полагая w = 2, 3, 4....W и складывая результаты, получимъ сумму S въ такомъ видѣ:

или

При И=ОЭ,

5. Суммировать рядъ

Общій членъ Отсюда

или

При w=c/3, lim. Sn = S=

6. Суммировать рядъ:

Общій членъ

или

При н==с^>, lim. Sn =

7. Суммировать рядъ:

Общій членъ.

или

или

Отсюда, какъ и прежде получимъ:

На слѣдующихъ примѣрахъ покажемъ примѣненіе способа неопредѣленныхъ коэффиціентовъ.

1. Суммировать рядъ:

Положимъ

Отсюда имѣемъ

т. е.

Слѣдовательно

полагая п=1, 2, 3, 4....П, найдемъ

или

При n=c^>, Sn = S=

2. Суммировать рядъ

Положимъ

Отсюда

Сравнивая коэффиціенты, найдемъ

т. е.

Общій членъ приметъ видъ

Полагая »=1, 2, 3, 4....W, и складывая результаты найдемъ

или

Но мы нашли что

Слѣдовательно

При и=<х>, найдемъ

3. Суммировать рядъ, общій членъ котораго

Положимъ

Отсюда, послѣ приведенія къ общему знаменателю, получимъ:

Сравнивая коэффиціенты, найдемъ

Рѣшивъ эту систему уравненій, находимъ

и потому

или

Ho

слѣдовательно

Ѳ. Хевиуріани.

Кишеневъ.

ТЕОРЕМА ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРІИ.

«Если изъ произвольной точки, взятой въ плоскости треугольника и отстоящей на разстояніи В{ отъ центра описанной около него окружности (радіуса Л), опущены на его стороны перпендикуляры, основанія которыхъ соединены прямыми, то отношеніе площади построеннаго треугольника къ площади взятаго равно

(«Матем. Листокъ» стр. 13).

Пусть SM, SN, SP — перпендикуляры изъ точки S на стороны AB, AC, ВС треугольника ABC.

Продолжимъ PS до пересѣченія въ Q съ MN,. проведемъ прямую AQ до точки Qx встрѣчи ея съ стороной ВС и изъ Qx возставимъ перпендикуляръ къ этой сторонѣ; пусть Sx точка пересѣченія этого перпендикуляра съ продолженной AS.

Докажемъ что точка Sx принадлежитъ окружности ABC (т, е. окружности описанной около треугольника ABC).

Дѣйствительно, опустивъ перпендикуляръ SiMi иа сторону AB и соединивъ Qx съ Жп увидимъ, разсматривая треугольники QSM, QXSXMX, что прямая qxM\ параллельна MN\ опустивъ затѣмъ перпендикуляръ SXN\ на сторону АС и соединивъ Qi съ жІ4 увидимъ, разсматривая треугольники QSN, QXSXMX, что прямая Qx Nx параллельна MN; изъ этого заключаемъ что точки Qt, мь N{ лежатъ на одной прямой и что слѣдовательно («Листокъ» стр. 10) точка Sx принадлежитъ окружности ABC.

Если изъ точки S{ возславимъ перпендикуляръ къ ASt и изъ точки

В перпендикуляръ къ AB, то точка Ах встрѣчи этихъ перпендикуляровъ упадетъ, какъ легко видѣть, на ту-же описанную около треугольника ABC окружность и ирямая ААХ будетъ ея діаметромъ. (ААХ=2Е).

Принявъ за основаніе треугольника MNP сторону его MB, а за основаніе взятаго треугольника сторону его ВС, оиредѣлимъ отношеніе этихъ основаній.

Треугольники SXBC, /^Л^Д подобны (уг. SxBC=)r\\ SXMXNX, такъ кякъ точки st, В, Мх, Qx на одной окружности; уг. SXCB= уг. SVNXMX, такъ какъ точки Si, çlt с, Nx на одной окружности) и потому

MXNX : BC^SxMi : SXB

Но прямоуголъный треугольникъ SXMXB подобенъ прямоугольному треугольнику SXAAX (уголъ В перваго равенъ углу Ах втораго, такъ какъ точки Ах, 2?, A, Sx на одной окружности) и потому

SXMX : StB=SxA : АА{

Сравнивая эту пропорцію съ предыдущей имѣемъ

MXNV : BC=SXA : ААХ

Съ другой стороны:

MN : MXNX{=MA : MXA) = SA : SXA

перемножая послѣднія двѣ пропорціи найдемъ

(1) MN : BC = SA : 27/.

Эта пропорція — замѣтимъ между прочимъ — даетъ намъ слѣдующую теорему:

«Если изъ точки, взятой въ плоскости треугольника, опущены на двѣ его стороны перпендикуляры, то разстояніе основаній ихъ относится къ третьей сторонѣ треугольника, какъ разстояніе взятой точки отъ вершины, противулежащей третьей сторонѣ, относится къ діаметру описанной около треугольника окружности».

Опредѣливъ отношеніе основаній разсматриваемыхъ треугольниковъ, перейдемъ къ опредѣленію отношенія соотвѣтствующихъ высотъ. Пусть АН— перпендикуляръ на £С и РНХ— перпендикуляръ на MN.

Легко видѣть, во первыхъ, что

AH : PQ(=AQX : <№t)=ASi : SS,

Изъ подобія треугольниковъ ASXAX (уголъ Р перваго равенъ углу прямыхъ ВС\ MXNX т. е. углу MXQXB или углу MXSXBX, который

равенъ углу A треугольника AXASX, такъ какъ послѣдній, по доказанному выше, подобенъ треугольнику SXMXB) найдемъ, во вторыхъ, что

РНІ : PQ=ASX : ААХ

Изъ этихъ пропорціи заключаемъ что

РНХ : AH=AS : ААХ

и что искомое отношеніе площадей т. е. отношеніе

равно

Если, наконецъ, означимъ чрезъ Л, разстояніе точки & отъ центра описанной около треугольника окружности, то, какъ извѣстно, произведеніе SA. SSt равно ±(.йа—i?t2) и потому искомое отношеніе есть

Серпуховъ. А. Арефьевъ.

Теорема, выраженная въ пропорціи (1) можетъ быть доказана другимъ путемъ. Вообразимъ что перпендикуляръ MS иродолженъ до пересѣченія съ стороною AC треугольника и пусть I эта точка пересѣченія. Такъ какъ точки Д, M, S, N лежатъ на одной окружности, то углы IAS, IMN равны и треугольники IAS. IMN, очевидно, подобны; поэтому

MN : SA=IM : ІА

Если СС\ высота, соотвѣтствуюшая сторонѣ AB, то отношеніе IM : ІА можетъ быть замѣнено отношеніемъ ССХ : AC, а послѣднее*), въ свою очередь, отношеніемъ ВС : 2# и потому

MN : SA = BC : 2В.

*) Произведеніе двухъ сторонъ треугольника равно произведенію діаметра описанной окружности на высоту, соотвѣтствующую третьей сторонѣ. Ред.

Задачи.

1. Если гь четное не дѣлящееся на 3 число, то

1 + Ю"4-10(Г

безъ остатка дѣлится на 7.

2. Разложить

(1 + а + Ъ + а*+ab + Ъ) на сумму трехъ квадратовъ.

3. Показать что выраженіе

(о*+2а63)3+(ЗааЬа)3+(2а3д+Ь4)8 есть нолный квадратъ.

4. Если до»а, у=Ь, #=?с удовлетворяютъ уравненію

Ax* + Д?у3 + Сг3 = Bxyz

то и

я=а(Б&3— Сс*) у=ЬІСс*—Аа) z=c{Aa*—BW)

ему удовлетворяютъ.

5. Раздѣлить

(х+1)2п —х2п ~^2х—1

на

6. Треугольникъ описанъ около окружности; Z), F—точки касанія сторонъ J5C, CA, AB; В, К, L—основанія высотъ треугольника

Доказать что

1° Треугольники HKL, ABC подобны.

2° Отношеніе ихъ площадей равно г2: (2Д)2. Д—радіусъ описанной около ABC окружности; /•—радіусъ вписанной въ ABC окружности.

7. Если діагонали четыреугольника перпендикулярны. то проэкціи ихъ точки пересѣченія на стороны четыреугольника лежатъ на окружности. Средины сторонъ четыреугольника лежатъ на этой же окружности.

8. Точки А, В, С, D лежатъ на окружности. Доказать что центры вписанныхъ въ треугольники ABC, ACD, BCD, ABB окружностей суть вершины прямоугольника.

9. Построить четыреугольникъ по даннымъ угламъ и діагоналямъ.

10. Въ треугольникѣ ABC сторона ВО раздѣлена пополамъ точкою D; if—основаніе высоты АЩ X—точка встрѣчи равнодѣлящей

угла A со стороною ВС; Lx—точка встрѣчи равнодѣлящей- внѣшняго угла при A со стороной ВС. Доказать что

11. На сторонахъ AB, ВС, CA треугольника ABC взяты точки Сх , Ах , Вх такъ что прямыя АА{ , ВВХ , ССХ , пересѣкаясь въ точкахъ M, N, Р образуютъ треугольникъ. Доказать что

Если точки Ах , Вх , Сх , отсѣкаютъ каждая м-ую часть стороны, на которой лежитъ, то

12. А, В, С—углы треугольника и

Доказать что

13. Четыреугольникъ AB CD вписанъ въ окружность. Е—точка пересѣченія сторонъ AB, GD\ F—точка пересѣченія сторонъ ВС, AD. M, N, Р, Q—точки пересѣченія равнодѣлящихъ угловъ іиБ, В и С С и D, D и А.

Доказать что равнодѣлящія угловъ Е и F перпендикулярны и что

гдѣ а=АВ, Ь=ВС, c=CD, d=AD, %p=a+h + c + d. Вычислить, кромѣ того, длины сторонъ четыреугольника MNPQ и доказать что произведеніе площадей четыреугольниковъ AB CD и MNPQ равно.

ГЕОМЕТРІЯ И ГЕОМЕТРЫ ДО ЭВКЛИДА

(продолженіе).

III. Ѳалесъ и геометры іонійской школы.

§ 23. Ѳалесу, основателю іонийской философской школы, безспорно принадлежитъ слава введенія въ Грецію изученія геометріи. Жизнь и дѣятельность этого перваго и древнѣйшаго научнаго изслѣдователя, которымъ гордится греческая нація, извѣстны намъ въ общихъ чертахъ, благодаря сохранившимся о немъ у самихъ древнихъ свѣдѣніямъ. Онъ жилъ отъ 640 до 548 г. до P. X. У Діогена Лаэрція находимъ о немъ слѣдующее:

«Ѳалесъ происходитъ, какъ говорятъ Геродотъ, Турисъ и Демокритъ, отъ отца Эксаміоса и матери Клеобулины, изъ семьи Ѳелидовъ, очень почтеннаго финикійскаго рода. Онъ первый получилъ названіе мудреца, во времена аѳинскаго архонта Дамазія, какъ о томъ сообщаетъ Деметрій Фалерей въ своемъ спискѣ архонтовъ. Въ Милетѣ онъ сдѣлался гражданиномъ, когда прибылъ туда съ Неилосомъ, изданнымъ изъ Ѳиникіи; но большинство говоритъ что онъ родился въ Милетѣ и былъ благороднаго происхожденія).

«По показанію Аполлодора въ хронологическихъ таблицахъ, онъ родился около перваго года 35-ой Олимпіады и умеръ 78-ми лѣтъ. или даже 90 лѣтъ, какъ сообщаетъ Созикратъ. Говорятъ что онъ умеръ около 58-ой Олимпіады, родился же при Крезѣ».

«Онъ повидимому и въ политикѣ былъ хорошимъ совѣтяикомъ: когда Крезъ предлагалъ союзъ жителямъ Милета, онъ ихъ удержалъ отъ вступленія въ него, что, послѣ побѣды Кира, и спасло ихъ городъ».

Изъ этихъ показаній можно съ достовѣрностью заключить что Ѳалесъ жилъ до паденія Лидійскаго царства т. е. до 548 года. (Олимп. 58, 1,). Если же онъ родился, по Аполлодору, около 35-ой Олимпіады (640 до P. X.), то онъ долженъ былъ дожить до 90 лѣтъ, что подтверждается и другими извѣстіями, въ которыхъ онъ изображается престарѣлымъ мужемъ. Въ томъ что его семейство финикійскаго происхожденія и съ древнихъ временъ поселилось въ Милетѣ, нѣтъ ничего особеннаго. Если же позднѣйшіе писатели отнесли это переселеніе къ самому Ѳалесу, то это ошибка, на которую указываютъ греческія имена его родителей.

§ 24. Юность Ѳалеса совпадаетъ съ періодомъ процвѣтанія Ми-

летской торговли съ Египтомъ, гдѣ Псамметихъ за нѣсколько десятковъ лѣтъ до этого завелъ сношенія съ иностранцамъ Въ первой половинѣ своей жизни Ѳалесъ повидимому принималъ въ этой торговлѣ дѣятельное участіе. Плутархъ по этому поводу разсказываетъ: «Ѳалесъ и математикъ Гиппократъ занимались торговлею, а Платонъ покрывалъ свои путевыя издержки продажей масла въ Египетъ».

Въ Египтѣ онъ узналъ о высокомъ научномъ образованіи жрецовъ и вступилъ съ ними въ непосредственныя сношенія. Изученіе египетской мудрости, которому онъ предался, застало его совершенно неподготовленнымъ. «Никто не былъ его учителемъ, говоритъ Лаэрцій, и только во время своего пребыванія въ Египтѣ онъ имѣлъ сношенія съ Египетскими жрецами». Само собой разумѣется что при такихъ обстоятельствахъ успѣхи ученія не могли быть очень быстры. Если Ѳалесъ изучилъ систему египетской религіи и связанныя съ ней философскія ученія, какъ это доказываетъ Рётъ, то эти знанія представляютъ во всякомъ случаѣ главное, чѣмъ онъ обязанъ жрецамъ, Что же касается до астрономіи, тѣсно связанной съ египетской религіей, равно какъ и до математики, то Ѳалесъ повидимому познакомился только съ самыми начальными положеніями, потому ли, что учителя не сообщили ему большаго или, что вѣроятнѣе, потому что до своего возвращенія въ Милетъ онъ не успѣлъ глубже вникнуть въ эти предметы.

§ 25 О времени этого возвращенія мы только знаемъ что оно относится къ позднѣйшимъ годамъ его жизни; Плутархъ говоритъ: «Послѣ того, какъ онъ въ Египтѣ занимался науками онъ почти старикомъ вернулся въ Милетъ». Также сообщаетъ и Ѳемистій: «Ѳалесъ только впослѣдствіи уже старцемъ занялся изученіемъ природы, наблюдалъ небо и звѣзды и предсказалъ своимъ согражданамъ что днемъ наступитъ ночь, солнце скроется и что луна заслонитъ солнце и задержитъ его лучи».

Изъ этого можно видѣть что онъ возвратился въ Милетъ 45-ти— 50-ти лѣтъ, значитъ приблизительно между 595 - 590 годами до P. X.— предположеніе достаточное чтобы согласовать между собою всѣ дошедшія до насъ извѣстія о его послѣдующей дѣятельности.

По возвращеніи въ отечество, онъ нашелъ его еще подъ властью Тразибула и потому не имѣлъ на первыхъ порахъ случая отличиться въ политической или даже въ общественной дѣятельности. Хотя сограждане смотрѣли на него, какъ на образованнаго человѣка, обладавшаго знаніями, но они едва ли были въ состояніи оцѣнить ихъ и

не понимали между прочимъ какъ благоразумный человѣкъ можетъ заниматься вещами, которыя не приносятъ никакой матерьяльной выгоды. Чтобы доказать согражданамъ пользу своихъ занятій на убѣдительномъ примѣрѣ, онъ, по разсказу Аристотеля, прибѣгнулъ къ слѣдующему средству: предвидя однажды особенно богатый урожай маслины, онъ откупилъ большую часть прессовъ въ Милетѣ и Хіосѣ; когда началась жатва маслины и вездѣ понадобились прессы, онъ отдавалъ ихъ въ наймы за высокія цѣны и такимъ образомъ получилъ значительный барышъ.

§ 26. Не знаемъ признали ли его соотечественники, послѣ этого, пользу занятій естествовѣдѣніемъ. Его слава и превосходство были признаны сразу, когда сбылось предсказанное имъ затменіе солнца, случившееся 28 мая 585 г. до P. X. и бывшее для Милета почти полнымъ.

Въ тѣ вѣка затменіе вообще, а тѣмъ болѣе полное, казалось настолько замѣчательнымъ и вмѣстѣ съ тѣмъ страшнымъ событіемъ, что человѣкъ предсказавшій его долженъ былъ необходимо считаться мудрѣйшимъ изъ людей. Что Ѳалесъ дѣйствительно предсказалъ это затменіе подтверждаютъ единогласно всѣ древніе. Геродотъ разсказываетъ объ этомъ такъ: «Въ то время какъ они (Мидяне и Лидяне) вели войну, случилось что при началѣ сраженія день внезапно превратился въ ночь. Это превращеніе предсказалъ іонянамъ Ѳалесъ Милетскій, указавъ на годъ, когда оно произойдетъ». Изъ этого слѣдуетъ что предсказаніе Ѳалеса не представляло той точности, которая свойствена нашимъ современнымъ астрономамъ, такъ какъ указывало лишь только на годъ ожидаемаго событія, и кромѣ того сомнительно утверждалъ ли онъ—и могъ ли утверждать—видимость этого явленія для Милета. Но дѣйствителыюе наступленіе затменія среди дня и видимость его для всего западнаго берега Малой Азіи конечно были достаточны чтобы превознести имя предсказавшаго явленіе надъ всѣми современниками и распространить славу о немъ по всѣмъ землямъ греческимъ. Діогенъ Лаэрцій свидѣтельствуетъ что именно около этого времени (585 583 до P. X.) Ѳалесъ получилъ названіе «мудреца».

§ 27. Съ этихъ же поръ, какъ кажется, Ѳалесъ пріобрѣлъ и политическое вліяніе въ своемъ родномъ городѣ, особенно когда посмерти тирана Тразибула возникли тѣ продолжительныя гражданскія смуты, которыя изнурили до такой степени Милетъ что онъ долженъ былъ подчиниться власти лидійскихъ царей. Впрочемъ эта политическая

дѣятельность продолжалась не долго. Отъ политической дѣятельности, говоритъ Діогенъ Лаэрцій, онъ обратился къ изученію природы. Главнымъ образомъ онъ по всей вѣроятности занялся астрономическими наблюденіями, слѣдя за восходомъ и заходомъ созвѣздій и за движеніемъ луны и солнца. Къ этому времени его жизни, относится анекдотъ разсказанный Платономъ, будто онъ однажды вечеромъ наблюдая небо, упалъ въ ровъ, причемъ старая рабыня его сопровождавшая воскликнула: «Ты хочешь знать что происходитъ на небѣ, а не видишь что находится подъ твоими ногами». Въ старости Ѳалесъ дожилъ еще до паденія Лидійскаго царства, послѣ того, какъ мудрыми совѣтами предохранилъ отечество отъ вражды съ побѣдоноснымъ царемъ Персіи.

Какъ одиноко впрочемъ стоитъ среди своихъ современниковъ основатель научной дѣятельности Грековъ и какое ограниченное понятіе о чисто умственной дѣятельности, направленной на изслѣдованіе истины, имѣли даже самые замѣчательные люди того времени, получившіе наравнѣ съ Ѳалесомъ прозваніе семи мудрецовъ, можно заключить изъ словъ Плутарха: Ѳалесъ, какъ кажется, былъ единственный мудрецъ того времени, который въ своихъ изслѣдованіяхъ перешелъ за границы обыденныхъ потребностей, остальные же получили названіе мудрецовъ только за политическую прозорливость.

§ 28. Перейдемъ теперь къ тѣмъ научнымъ изслѣдованіямъ Ѳалеса, которыя еще дошли до насъ и начнемъ съ его открытій въ области Геометріи. Проклъ въ своихъ комментаріяхъ къ первой книгѣ «Эвклидовыхъ началъ» сообщаетъ о нихъ слѣдующее:

a) «Эта теорема учитъ что если двѣ прямыя пересѣкаются, то противуиоложные углы равны. Ѳалесъ первый открылъ эту теорему, какъ говоритъ Эвдемъ».

b) «Подобнымъ образомъ можно доказать что въ равнобедренномъ треугольникѣ углы при основаніи равны. Старцу Ѳалесу мы обязаны открытіемъ этой теоремы какъ и многихъ другихъ».

с) «Эвдемъ въ своей исторіи геометріи приписываетъ Ѳалесу эту теорему (т. е. ту что треугольникъ опредѣленъ одною изъ своихъ сторонъ и прилежащими къ ней углами). Она ему была необходима при томъ способѣ, которымъ онъ опредѣлялъ разстоянія кораблей отъ морскаго берега»,

d) «Ѳалесъ первый доказалъ что діаметръ раздѣляетъ кругъ пополамъ».

e) «Памфилъ разсказываетъ что, когда онъ (Ѳалесъ) у Египтянъ

изучалъ геометрію, то первый вписалъ въ окружность прямоугольный треугольникъ и по этому случаю принесъ въ жертву вола. Другіе, въ томъ числѣ и Аполлодоръ, относятъ это къ Пиѳагору».

§ 29. Вотъ все что сообщается о геометрическихъ открытіяхъ Ѳалеса. Какъ мы видимъ, это ничто иное какъ нѣсколько первоначальныхъ элементарныхъ предложеній, безъ которыхъ немыслима теоретическая геометрія, но которыя также необходимы и въ самомъ элементарномъ практическомъ примѣненіи послѣдней, какъ напр. въ чертежномъ искусствѣ. Далекіе отъ того чтобы считать Ѳалеса ихъ изобрѣтателемъ, мы должны признать что они принадлежатъ Египтянамъ. Если послѣдніе обладали какими-либо геометрическими свѣдѣніями, то перечисленныя предложенія должны были быть имъ извѣстны. Они передали ихъ Ѳалесу также, какъ впослѣдствіи передавали Пиѳагору, почему теорема е) и приписывается нѣкоторыми послѣднему. Если оба геометра позднѣйшими писателями признаются изобрѣтателями того чему учили своимъ учениковъ, то это безъ труда можетъ быть объяснено; ни Ѳалесъ, ни Пиѳагоръ не издавали никогда письменныхъ сочиненій и довольствовались устнымъ распространеніемъ своихъ знаній. Очень понятно что они обращали главное вниманіе на изложеніе и изслѣдованіе самого предмета и не теряли времени на объясненія ученикамъ что именно изъ сообщеннаго принадлежитъ имъ и что—египетскимъ жрецамъ. Для учениковъ такимъ образомъ учителя остались источникомъ a слѣдовательно и изобрѣтателями сообщенныхъ знаній. Что Ѳалесу кромѣ приведенныхъ теоремъ, которыя ему приписываютъ, былъ извѣстенъ цѣлый рядъ другихъ разумѣется само собою и подтверждается выше приведенными словами Прокла (послѣднія въ b).

Такъ напримѣръ ему безъ сомнѣнія должны были быть извѣстны простѣйшія теоремы о параллельныхъ прямыхъ, о равностороннихъ, равнобедренныхъ и разностороннихъ треугольникахъ, о параллелограммахъ. Расширилъ-ли онъ данный матеріалъ по собственному усмотрѣнію, упростилъ-ли онъ доказательства теоремъ или строже изложилъ эти доказательства,—не легко рѣшить. Въ приведенномъ § 19 спиокѣ геометровъ до Эвклида говорится: «Многое онъ открылъ самъ, о многомъ въ зачаткахъ передалъ своимъ послѣдователямъ, нѣкоторое онъ обобщилъ, другое сдѣлалъ болѣе нагляднымъ». Изъ этого можно было бы заключить что Ѳалесу принадлежитъ не малая доля заслуги въ развитіи добытыхъ въ Египтѣ знаній; но такъ какъ Эвдемъ не различалъ собственнаго знанія Ѳалеса отъ пріобрѣтеннаго

въ чужой сторонѣ, то остается сомнительнымъ имѣли ли самостоятельные труды нашего геометра большое значеніе. Если мы вспомнимъ что по словамъ Гемина (§ 8) геометры до Пиѳагора т. е. Ѳалесъ и его ученики въ обобщеніи теоремъ не дошли даже до того чтобы соединить въ одно общее предложеніе свойство угловъ треугольниковъ различнаго вида, то мы вправѣ заключить что обобщеніе геометрическихъ истинъ, которое Эвдемъ приписываетъ Ѳалесу, не простиралось особенно далеко. Единственное упрощеніе, повидимому принадлежавшее Ѳалесу, относится къ доказательству равенства угловъ при основаніи равнобедреннаго треугольника; это доказательство основывалось на томъ что такой треугольникъ, будучи перевернутъ, и въ этомъ положеніи самъ съ собою совмѣстимъ.

§ 30. Кромѣ исчисленныхъ нами теоретическихъ открытій, Ѳалесу приписываютъ еще рѣшеніе двухъ задачъ практической геометріи, что также доставило ему извѣстность. Первая изъ нихъ (§ 28. с.) состоитъ въ опредѣленіи разстоянія кораблей отъ Милетской гавани.

Приведенное Прокломъ мѣсто изъ Эвдема доказываетъ что послѣдній зналъ способъ, употребленный Ѳалесомъ при рѣшеніи этой задачи, такъ какъ приписываетъ ему знаніе теоремы, на которой этотъ способъ основанъ. Ясно что Ѳалесъ при этомъ получалъ результатъ построеніемъ; сомнительно только употреблялъ ли онъ косоугольный треугольникъ и не прибѣгалъ ли скорѣе къ прямоугольному. Употребленіе перваго необходимо требовало двухъ наблюдателей, которые измѣряли бы въ одно и тоже время съ концовъ данной прямой (базы) углы образуемые ею съ прямыми направленными въ точку стоянія корабля. Но сомнительно чтобы въ тѣ времена существовали средства для такихъ наблюденій и употребленіе прямоугольнаго треугольника представляется болѣе вѣроятнымъ. Въ послѣднемъ случаѣ надлежало только выбрать достаточно высокую точку наблюденія и измѣрить уголъ составленный отвѣсомъ съ прямой, исходящей изъ мѣста наблюденія къ мѣсту стоянія корабля; если высота выбранной точки надъ уровнемъ моря была предварительно измѣрена, то она вмѣстѣ съ измѣреннымъ угломъ опредѣляла прямоугольный треугольникъ. Этотъ способъ требовалъ только одного наблюдателя и приводилъ къ результату быстро, что при предстоящей задачѣ имѣло большое значеніе. При употребленіи же перваго способа наблюдателямъ надлежало сойтись чтобы сообщить другъ другу найденные углы; затѣмъ оставалось еще сдѣлать построеніе, а корабль между тѣмъ успѣвалъ перемѣнить свое положеніе и разстояніе его отъ гавани измѣня-

лось настолько, что полученный результатъ терялъ всякое значеніе. Если для измѣренія разстояній Ѳалесъ употреблялъ тотъ способъ, который мы предполагаемъ, то естественно думать что этотъ способъ не былъ собственнымъ его изобрѣтеніемъ, но представлялъ задолго до него египетскимъ геометрамъ извѣстное примѣненіе прямоугольнаго треугольника.

§ 31. Вторая практическая задача, рѣшеніе которой приписываютъ Ѳалесу, состоитъ въ опредѣленіи высоты пирамидъ по тѣни ими отбрасываемой. Древнѣйшій писатель, упоминающій объ этомъ фактѣ—Гіэронимъ изъ Родоса, ученикъ Аристотеля. Діогенъ Лаэрцій по этому поводу сообщаетъ: «Гіэронимъ разсказываетъ что онъ (Ѳалесъ) измѣрялъ пирамиды посредствомъ тѣни, наблюдая когда длина тѣни равна высотѣ предмета». Этотъ пріемъ представляетъ ничто иное какъ простое примѣненіе свойства равнобедреннаго прямоугольнаго треугольника и предполагаетъ такую незначительную долю остроумія что мы должны въ этомъ пріемѣ признать не изобрѣтеніе Ѳалеса, а давно практиковавшійся древними египетскими геометрами способъ измѣренія высотъ. Если же его приписали Ѳалесу, то по тому только что онъ первый познакомилъ съ нимъ своихъ соотечественниковъ.

Но все таки примѣненіе этого способа ошибочно отнесено къ измѣренію высоты пирамидъ, такъ какъ при его употребленіи должна быть измѣрена вся длина отбрасываемой тѣни отъ основанія предмета до конца этой тѣни. Если это можетъ быть сдѣлано для предмета, основаніе котораго имѣетъ размѣры незначительные, напр. дерево, обелискъ и проч., то является вполнѣ непримѣнимымъ къ пирамидамъ. Поэтому остается приписать Ѳалесу лишь знаніе такого способа измѣренія, а не дѣйствительное примѣненіе его къ данному случаю.

§ 32. Въ позднѣйшее время измѣнили и украсили разсказъ Гіэронима. У Плутарха встрѣчается слѣдующій разговоръ объ египетскомъ королѣ Амазисѣ между Нилоксеномъ и Ѳалесомъ на пиру семи мудрецовъ: «Хотя онъ почитаетъ тебя и за многое другое, но болѣе всего онъ цѣнитъ тебя за измѣреніе пирамидъ, за то что ты безъ всякаго труда и безъ инструментовъ, поставивъ просто шестъ на крайней точкѣ тѣни, которую бросаетъ пирамида, доказываешь посредствомъ образовавшихся двухъ треугольниковъ, что одна тѣнь относится къ другой какъ длина шеста къ высотѣ пирамиды». Этотъ пріемъ, отличный отъ того который указываетъ Гіэронимъ, предполагаетъ въ упот-

реблявшемъ его знакомство съ ученіемъ о подобіи фигуръ. Между тѣмъ, до временъ Пиѳагора мы не находимъ ни малѣйшаго слѣда знакомства греческихъ геометровъ съ этимъ ученіемъ и потому склонны признать разсказъ Плутарха за вымыселъ.

§ 33. Теперь намъ остается сказать объ астрономическихъ открытіяхъ, которыя приписываются Ѳалесу. Они имѣютъ тѣсную связь съ геометріей и кромѣ того весьма ясно указываютъ на непосредственную зависимость всей научной дѣятельности Ѳалеса отъ знаній египтянъ. Приводимъ во первыхъ важнѣйшія сюда относящіяся мѣста изъ древнихъ писателей.

a) «Эвдемъ въ своей астрономіи сообщаетъ что Ойнопидъ первый открылъ поясъ зодіака; Ѳалесъ—солнечныя затменія и то что солнечный путь между поворотами не всегда одинаковъ; Анаксимандръ,—что земля есть міровое тѣло и находится въ центрѣ вселенной; Анаксименъ,—что луна получаетъ свѣтъ отъ солнца и что она затмевается. Прочіе присоединили къ этимъ открытіямъ еще другія, напр. что неподвижныя звѣзды вращаются около оси, проходящей чередъ полюсы міра, что планеты вращаются около оси, которая отвѣсна къ зодіаку, и что ось неподвижныхъ звѣздъ и ось планетъ отстоятъ другъ отъ друга на сторону пятнадцатиугольника, что составляетъ 24°»:

b) «Эвдемъ разсказываетъ въ своей исторіи астрономіи что Ѳалесъ предсказалъ солнечное затменіе, наступившее въ началѣ битвы между Мидянами и Лидійцами, когда Кіаксаръ, отецъ Астіага, былъ царемъ Мидіи, а Аліатъ, отецъ Креза, царемъ Лидіи. Съ этимъ согласуется также и сказанное Геродотомъ въ его первой книгѣ. Время событія относится къ 50 Олимпіадѣ».

c) «По показанію нѣкоторыхъ, онъ первый занимался астрономіей и предсказывалъ солнечныя затменія и повороты, какъ о томъ повѣствуетъ Эвдемъ въ своей исторіи астрономіи, почему ему и удивлялись Ксенофонтъ и Геродотъ. Онъ первый открылъ солнечный путь отъ одного поворота къ другому и изслѣдовалъ, по показанію нѣкоторыхъ, что солнце въ 720 разъ больше луны. Онъ первый назвалъ послѣдній день въ мѣсяцѣ тридцатымъ».

d) «Говорятъ что онъ опредѣлилъ продолжительность года въ 365 дней».

§ 34. Кромѣ этихъ свидѣтельствъ, которыя всѣ почерпнуты изъ исторіи Эвдема и заслуживаютъ по этому полнаго довѣрія, мы находимъ еще у Плутарха нѣсколько указаній, которыя часто повторялись послѣдующими писателями. Приводимъ нѣкоторыя изъ нихъ.

a) «Ѳалесъ, Пиѳагоръ и ихъ ученики раздѣлили весь небесный глобусъ на поясы пятью кругами. Изъ нихъ первый, всегда видимый, называется сѣвернымъ или арктическимъ; другой — лѣтнимъ поворотнымъ кругомъ; третій — кругомъ равноденствія; четвертый - зимнимъ поворотнымъ кругомъ; пятый, никогда не видимый, — антарктическимъ. Наклонно между поворотными кругами лежитъ кругъ зодіака; всѣ пять круговъ пересѣчены отвѣсно полуденнымъ кругомъ отъ сѣвернаго полюса до южнаго. Говорятъ, Пиѳагоръ первый открылъ наклонное положеніе зодіака, что впрочемъ впослѣдствіи Ойнопидъ Хіосскій приписалъ себѣ».

b) «Ѳалесъ училъ первый что солнце затмевается когда луна передъ нимъ проходитъ».

«Ѳалесъ и его ученики учатъ, что луна освѣщается солнцемъ». «Ѳалесъ и стоики съ ихъ послѣдователями говорятъ что земля шарообразна».

«Ученики Ѳалеса говорятъ что земля лежитъ въ центрѣ міра».

c) «Ѳалесъ, Анаксагоръ, Платонъ и всѣ стоики, также какъ и математики, объясняютъ происхожденіе новолунія тѣмъ что луна сходится съ солнцемъ и имъ оевѣщается; затменія же луны тѣмъ что она вступаетъ въ тѣнь земли, которая ложится между двухъ свѣтилъ, или, лучше сказать, падаетъ на путь луны».

§ 35. Все здѣсь приведенное показываетъ что Ѳалесъ въ общемъ былъ хорошо знакомъ съ астрономической системой Египтянъ: въ центрѣ вселенной, которой приписывали видъ шара, находится шарообразная земля, около которой солнце, луна и звѣзды совершаютъ суточное вращеніе, при чемъ солнце имѣетъ еще годичное движеніе на небесномъ сводѣ, а луна мѣсячное. Ѳалесу извѣстно что солнечный путь наклонно пересѣкаетъ экваторъ и касается поворотныхъ круговъ; но, что еще гораздо важнѣе, онъ знаетъ, по увѣренію Эвдема, также и неравность періодовъ времени, въ которое солнце проходитъ путь отъ одной поворотной точки до другой; такое знаніе въ тѣ времена могло быть почерпнуто лишь изъ весьма длиннаго ряда тщательныхъ наблюденій. Раздѣленіе небеснаго свода на пять поясовъ было уже издавно извѣстно Египтянамъ и однимъ изъ первыхъ сообщалось чужестранцамъ; дѣленіе солнечнаго года на 365 полныхъ дней принадлежитъ также Египтянамъ и служило основаніемъ ихъ гражданскаго года. Имъ же какъ извѣстно принадлежитъ установленіе Сотическаго періода въ 1460 истинныхъ солнечныхъ годовъ равныхъ 1461 гражданскимъ годамъ. Избытокъ въ 6 часовъ прибли-

зительно истиннаго солнечнаго года надъ гражданскимъ и связанный съ этимъ вышеупомянутый сотическій періодъ остались какъ кажется Ѳалесу неизвѣстными.

§ 36. По вышеприведеннымъ свидѣтельствамъ, Ѳалесъ имѣлъ вѣрное представленіе о солнечныхъ и лунныхъ затменіяхъ при чемъ, само собой разумѣется, онъ зналъ что луна получаетъ свой свѣтъ отъ солнца. Единственное обстоятельство, которому можно удивляться, это—предсказаніе солнечнаго затменія въ 585 году. Свидѣтельства древнихъ, въ особенности Эвдема, настолько опредѣлены что нельзя сомнѣваться какъ въ самомъ фактѣ, такъ и въ томъ что Ѳалесъ въ этомъ случаѣ вполнѣ опирается на своихъ египетскихъ учителей. Насколько полно могло быть—и на самомъ дѣлѣ было—это предсказаніе сказано выше.

§ 26. Но что такое предсказаніе въ то время вообще было возможно, становится только объяснимымъ, если мы предположимъ что Ѳалесу былъ извѣстенъ тотъ періодъ въ 18 лѣтъ и 11 дней, по прошествіи котораго затмѣнія повторяются въ томъ же порядкѣ. Прежде принимали что открытіе этого періода принадлежитъ Халдеямъ и что Ѳалесъ отъ нихъ узналъ о немъ. Но если, съ одной стороны, трудно объяснить какимъ путемъ Ѳалесъ получилъ это знаніе непосредственно отъ халдейскихъ жрецовъ, то, съ другой, нѣтъ основанія утверждать что египетскіе жрецы не знали бы этого періода. Діодоръ говоритъ: «Ѳиванскіе жрецы утверждаютъ что они древнѣе всѣхъ людей и что у нихъ впервые появились философія и астрономія; уже самое устройство ихъ страны представляло удобства для точныхъ наблюденій надъ восходомъ и заходомъ свѣтилъ. Своеобразно у нихъ распредѣленіе мѣсяцевъ и годовъ. Они считаютъ дни не по лунѣ, но по солнцу, такъ что опредѣляютъ мѣсяцъ въ тридцать дней и прибавляютъ къ двѣнадцати мѣсяцамъ еще 51/4 Дней и такимъ образомъ получаютъ полный годъ. Дополнительныхъ мѣсяцевъ у нихъ нѣтъ, а также они не отбрасываютъ дней (отъ нѣкоторыхъ мѣсяцевъ) какъ дѣлается у большинства Грековъ. Они по видимому тщательно наблюдали за солнечными и лунными затменіями и предсказываютъ ихъ, не ошибаясь въ подробностяхъ». Если протитивъ этого свидѣтельства можно возразить что во времена Діодора Египтяне могли быть въ состояніи со всѣми подробностями предсказывать затменія такъ какъ они были знакомы съ развившейся въ то время въ Александріи греческой астрономіи, то этимъ все таки не исключается возможность такихъ предсказаній и во времена Ѳалеса, хотя конечно эти предсказанія не могли быть точ-

ны. Діогенъ Лаэрцій говоритъ что Египтяне въ продолженіи долгаго ряда лѣтъ наблюдали 373 солнечныхъ и 832 лунныхъ затменій; эти числа по изслѣдованію Freret'a представляютъ совершенно вѣрное отношеніе для періода въ 4000 лѣтъ и потому заслуживаютъ полнаго довѣрія. При такомъ значительномъ матеріалѣ было бы дѣйствительно удивительно, если бы египетскіе жрецы не знали короткаго періода въ 18 лѣтъ и 11 мѣсяцевъ. Если же этотъ періодъ имъ дѣйствительно былъ извѣстенъ, то они обладали достаточными средствами для предсказанія затменій, хотя по всей вѣроятности и не были въ состояніи съ точностью опредѣлить видимость его для различныхъ мѣстъ земной поверхности. Все это достаточно объясняетъ какимъ образомъ и Ѳалесъ могъ предсказать затменіе.

§ 37. Выше приведенный отрывокъ изъ Діодора объясняетъ намъ также довольно темное показаніе Діогена Лаэрція (§ 33 с), а именно то, что Ѳалесъ назвалъ послѣдній день мѣсяца тридцатымъ. Это явно не что иное какъ опредѣленіе продолжительности каждаго египетскаго мѣсяца согласно съ существовавшимъ тамъ календаремъ, съ которымъ стоитъ въ связи и опредѣленіе продолжительности года въ 365 дней.

§ 38. Изъ остальныхъ открытій, приписываемыхъ Ѳалесу, мы должны упомянуть еще объ его опредѣленіи величины солнца которое будто въ 720 разъ больше луны, о чемъ говорится у Діогена Лаэрція (§ 33 с). Это извѣстіе, если его принять буквально, стоитъ въ такомъ противорѣчіи со всѣми научными свѣдѣніями того времени, что остается совершенно непонятнымъ, какъ могъ Ѳалесъ дойти до такого опредѣленія. Дѣло въ томъ что въ показаніе Діогена Лаэрція вкралась неточность и мы можемъ уяснить себѣ это мѣсто лишь обратившись къ свидѣтельству Апулея, который въ точныхъ словахъ говоритъ что Ѳалесъ опредѣлилъ отношеніе видимаго діаметра солнца къ длинѣ всего его пути и нашелъ что это отношеніе равно 1 : 720. Этимъ отношеніемъ Архимедъ 300 лѣтъ спустя пользуется въ своемъ «Исчисленіи песчинокъ». Если, по словамъ Апулея, мы дѣйствительно имѣемъ здѣсь передъ собой самостоятельное наблюденіе или скорѣе открытіе Ѳалеса, то тѣмъ болѣе приходится пожалѣть что намъ неизвѣстно какимъ путемъ достигъ нашъ геометръ такого результата. Этотъ результатъ принимали всѣ древніе и онъ дѣйствительно очень близокъ къ истинѣ. Остается всетаки непонятнымъ что такъ рѣдко упоминается у древнихъ объ этомъ открытіи Ѳалеса: кромѣ Діогена Лаэрція и Апулея никто изъ древнихъ писателей о немъ не гово-

ритъ. Такое молчаніе развѣ объяснимо тѣмъ что опредѣленіе величины видимаго солнечнаго діаметра было отдѣльнымъ фактомъ не имѣвшимъ въ продолженіи нѣсколькихъ столѣтій никакой связи съ остальнымъ астрономическимъ знаніемъ и получившимъ значеніе лишь тогда когда Аристархъ и александрійскіе ученые имъ воспользовались для опредѣленія разстоянія солнца отъ земли.

§ 39. Скажемъ нѣсколько словъ о сочиненіяхъ Ѳалеса. Діогенъ Лаэрцій въ самомъ началѣ жизнеописанія Ѳалеса говоритъ: «По показанію однихъ онъ не оставилъ ничего письменнаго, ибо приписываемая ему наутическая Астрономія, говорятъ, сочинена Фокосомъ изъ Самоса; по показанію другихъ онъ написалъ лишь два сочиненія: одно о поворотахъ солнца, другое о равноденствіяхъ, считая все остальное легко доступнымъ». Впрочемъ далѣе Діогенъ говоритъ: «Все имъ написанное содержитъ, по показанію Лобона, около 200 стиховъ». Суидасъ же свидѣтельствуетъ: «Онъ писалъ въ стихахъ о небесныхъ явленіяхъ, о равноденствіяхъ и о многомъ другомъ».

Изъ всего этого кажется можно заключить что Ѳалесъ написалъ въ стихахъ, по тогдашнему обычаю, нѣсколько мелкихъ сочиненій астрономическаго содержанія. Одно изъ нихъ было очевидно посвящено изложенію движенія солнца, которое авторъ подробнѣе изучилъ въ Египтѣ и съ которымъ знакомилъ теперь своихъ соотечественниковъ. Очень вѣроятно что это сочиненіе носило заглавіе: «О поворотахъ солнца и о равноденствіяхъ». Другое сочиненіе было, можетъ быть, вышеупомянутая наутическая астрономія.

Но что касается до математики и, въ частности, до геометріи, то почти достовѣрно что Ѳалесъ ничего не оставилъ письменнаго по этимъ предметамъ и что все чтб говорится позднѣйшими писателями о его заслугахъ въ этой области основывается на показаніяхъ и сообщеніяхъ его учениковъ.

§ 40. Древніе говорятъ объ ученикахъ Ѳалеса, также какъ говорятъ объ ученикахъ Платона, Аристотеля и другихъ и совокупность ихъ называютъ «Іонійской школой». Если этимъ обозначается общность философскихъ воззрѣній о божествѣ, о мірѣ и отношеніи къ нимъ человѣка, то это выраженіе можетъ быть употребляемо. Но если этимъ хотятъ сказать что Ѳалесъ, подобно позднѣйшимъ философамъ, собралъ вокругъ себя учениковъ и послѣдователей, имъ читалъ лекціи и сообщалъ въ систематическомъ изложеніи свое знаніе, то это несправедливо. Его соотечественники и въ особенности граждане изнѣженныхъ и богатыхъ торговыхъ городовъ думали только о наживѣ; они

считали научныя занятія пустымъ времяпрепровожденіемъ и даже слава мудраго Ѳалеса не могла поколебать въ нихъ этого мнѣнія. За предѣлами же Іоніи стремленіе къ научнымъ знаніямъ возникло благодаря самому Ѳалесу и могло принести плоды лишь въ слѣдующемъ поколѣніи. Далекій отъ возможности видѣть себя окруженнымъ восторженными учениками, Ѳалесъ напротивъ долженъ былъ довольствоваться, если случайно находилъ себѣ дѣйствительнаго товарища и соучастника въ своихъ научныхъ занятіяхъ; къ таковымъ принадлежалъ Анаксимандръ, о которомъ намъ придется говорить. Теперь же упомянемъ о двухъ ученыхъ которыхъ, можетъ быть, можно считать учениками Ѳалеса.

§ 41. Первый изъ нихъ—Мандріатъ изъ Пріены, о которомъ упоминаетъ Апулей и которому Ѳалесъ будто бы сообщилъ свое опредѣленіе видимаго солнечнаго діаметра. Былъ ли онъ въ тѣсномъ смыслѣ ученикомъ Ѳалеса, или пользовался его ученіемъ только случайно, чтобы усовершенствоваться, быть можетъ, въ наутической астрономіи, этого не видно изъ текста Апулея. Но общій смыслъ разсказа говоритъ скорѣе въ пользу, послѣдняго предположенія, которое еще подтверждается и тѣмъ что дальше имя его не упоминается въ древней литературѣ и потому едва ли онъ имѣлъ какое-либо значеніе въ наукѣ. Второй, котораго можно было бы считать ученикомъ Ѳалеса это — братъ поэта Стесихора Америстъ; о немъ упоминаетъ Проклъ въ своемъ спискѣ геометровъ. Нѣтъ сомнѣнія что онъ, какъ братъ Стесихора, рожденъ въ одномъ изъ городовъ Сициліи или южной Италіи, можетъ быть въ Мамерціонѣ, почему и былъ прозванъ Мамерціемъ. О немъ упоминаетъ также Суидасъ: «Онъ (Стесихоръ) имѣлъ еще брата Мамерція, свѣдущаго въ геометріи и другого Геманакса, который былъ законодателемъ».

Такъ какъ Стесихоръ умеръ въ 560 г. до P. X. 85-ти лѣтъ, то его братъ могъ жить во времена Ѳалеса и быть его ученикомъ. Но о геометрическихъ изслѣдованіяхъ Америста (Мамерція) ни словомъ не упоминается въ древнемъ мірѣ, и можно было бы подумать, что его имя передано потомству только потому что, онъ былъ братомъ извѣстнаго поэта, еслибы Проклъ, ссылаясь на Эвдема, не упоминалъ о немъ какъ о весьма извѣстномъ геометрѣ своего времени.

§ 42. Тѣ, которыхъ можно назвать настоящими послѣдователями Ѳалеса и которые послѣ него одинъ за другимъ стояли во главѣ Іонійской школы, Анаксимандръ и Анаксименъ, кажется мало или вовсе не интересовались геометріей, а занимались главнымъ образомъ философіей и астрономіей.

Объ Анаксимандрѣ мы у древнихъ писателей находимъ слѣдующее:

a) «Но и его (Гомера) послѣдователи были извѣстные и въ философскихъ наукахъ свѣдующіе мужи; изъ нихъ Эратосѳенъ первыми послѣ Гомера называетъ Анаксимандра, ученика и согражданина Ѳалеса, и Гекатая Милезскаго; тотъ первый составилъ географическую карту, этотъ написалъ первое сочиненіе по географіи, которое, судя по его остальнымъ сочиненіямъ, дѣйствительно принадлежитъ ему».

b) «Анаксимандръ изъ Милета, сынъ Праксіада, училъ что начало вещей есть безконечное, причемъ онъ не различалъ ни воздуха, ни воды, ни чего другаго; части безконечнаго измѣняются, цѣлое же неизмѣнно. Земля находится въ центрѣ міра и шарообразна; луна свѣтитъ не своимъ свѣтомъ, а освѣщается солнцемъ; солнце же не менѣе земли и состоитъ изъ чистѣйшаго огня».

«Онъ первый изобрѣлъ гномонъ и поставилъ таковой въ Лакедемоніи, чтобы онъ показывалъ повороты солнца и равноденствія. Онъ первый изобразилъ очертанія суши и моря и изготовилъ небесный глобусъ. Свои теоремы онъ изложилъ въ сочиненіи раздѣленномъ на главы; оно дошло до Аѳинянина Аполлодора. Послѣдній въ своей хроникѣ сообщаетъ что во второмъ году 58-й олимпіады Анаксимандру было 64 года, что онъ вскорѣ послѣ того умеръ, такъ что цвѣтущее время его дѣятельности относится преимущественно къ царствованію тирана Поликрата Самосскаго».

c) «Изъ этого также выводятся отношенія величинъ. Они должны быть установлены астрономіей, такъ какъ ей подлежитъ ученіе о распредѣленіи планетъ, ихъ величинахъ и взаимныхъ разстояніяхъ. Анаксимандръ нашелъ отношенія величинъ и разстояніи, какъ повѣствуетъ Эвдемъ, между тѣмъ какъ опредѣленіе взаимныхъ положеній имъ отнесено къ открытіямъ Пиѳагорейцевъ. Разстоянія солнца и луны (отъ земли) до сихъ поръ еще выводятъ изъ затменій (что вѣроятно было открыто Анаксимандромъ); разстояніе Меркурія и Венеры опредѣляютъ изъ сравненія съ тѣми разстояніями; эти величины и разстоянія были подробнѣе изслѣдованы учениками Аристотеля, но окончательно установили ихъ Гиппархъ, Аристархъ, Птолемей и ихъ ученики».

d) «Философъ Анаксимандръ изъ Милета, сынъ Праксіада, былъ современникъ, ученикъ и послѣдователь Ѳалеса. Онъ первый открылъ повороты солнца и равноденствіе и училъ что земля лежитъ въ срединѣ міра. Онъ ввелъ въ употребленіе гномонъ и издалъ наглядное изложеніе геометріи. Писалъ онъ о природѣ, о землѣ, о неподвижныхъ звѣздахъ, о небесномъ глобусѣ и о многомъ другомъ».

§ 43. Если, по свидѣтельству Аполлодора, во второмъ году 58-й олимпіады т. е. 547 до P. X., Анаксимандру было 64 года, то онъ родился слѣдовательно въ 611 г. и ко времени возвращенія Ѳалеса въ Милетъ ему шелъ третій десятокъ; онъ поддерживалъ сношенія со своимъ учителемъ до самой его смерти. О жизни Анаксимандра мы знаемъ весьма немногое; извѣстно только что онъ не оставался, подобно своему учителю, безвыѣздно въ Милетѣ, но посѣщалъ по временамъ Элладу, гдѣ напр. въ Спартѣ, по показанію Діогена Лаэрція, установилъ гномонъ. Если онъ, судя по дошедшимъ до насъ свѣдѣніямъ о его философіи, отличался не въ многомъ отъ воззрѣній Ѳалеса, то относительно астрономіи все отъ него заимствовалъ. Стремленіе же къ практическимъ примѣненіямъ теоретическихъ свѣдѣній, которому впрочемъ не былъ чуждъ и Ѳалесъ, у Анаксимандра проявляется весьма опредѣленно. Не имъ конечно были изобрѣтены гномонъ и указатель времени, какъ это утверждаетъ Діогенъ Лаэрцій, онъ лишь ввелъ ихъ у Грековъ, какъ совершенно вѣрно говоритъ Суидасъ. И Геродотъ пишетъ объ этомъ: «Указатель времени, гномонъ и 12 частей дня узнали Греки отъ Вавилонянъ». Но устройство этихъ приборовъ и указаніе къ ихъ употребленію составляетъ неотъемлемую заслугу Анаксимандра.

§ 44. Гномонъ представляетъ вертикальный шестъ, основаніе котораго служитъ общимъ центромъ трехъ окружностей. Послѣднія начертаны такъ что конецъ тѣни, отбрасываемой шестомъ въ полдень, доходитъ во время лѣтняго солнцестоянія до внутренней окружности, во время равноденствій—до средней, во время зимняго солнцестоянія— до внѣшней. Этотъ простой приборъ показывалъ наглядно всякому даже незнакомому съ астрономіей вступленіе солнца въ кардинальныя точки своего пути. Гномонъ вмѣстѣ съ тѣмъ служитъ и для опредѣленія полуденной линіи; съ этою цѣлью надлежало только отмѣтить во время лѣтняго солнцестоянія тѣ точки на окружностяхъ средняго и внѣшняго круга, до которыхъ конецъ тѣни доходитъ въ одинъ и тотъ же день до полудня и послѣ него; оставалось затѣмъ раздѣлить пополамъ наблюденныя дуги. Когда же полуденная линія была опредѣлена, то концентрическія окружности становились очевидно излишними и достаточно было на самой линіи отмѣтить точки, соотвѣтствующія кардинальнымъ точкамъ солнечнаго пути. Устроилъ ли Анаксимандръ гномонъ перваго или втораго болѣе простаго вида не можетъ быть рѣшено по недостатку свѣдѣній. Извѣстно только что гномонъ втораго вида получилъ всеобщее распространеніе. Что касается до по-

казателя времени (тгохос;), устройство котораго также приписываютъ Анаксимандру, то трудно рѣшить что подъ этимъ слѣдуетъ разумѣть. Нельзя допуститъ чтобы это были солнечные часы, какіе существуютъ въ наше время, такъ какъ для ихъ устройства во времена Анаксимандра не доставало необходимыхъ знаній. Но легко возможно что это былъ шестъ перпендикулярный къ плоскости шести концентрическихъ окружностей, центръ которыхъ совпадалъ съ основаніемъ шеста, причемъ окружности были расположены такъ что конецъ тѣни переходилъ отъ одной окружности къ слѣдующей въ теченіи времени равнаго приблизителъно 12-й части дня. Само собой разумѣется что въ различныя времена года эти части дня не были равны между собою; но въ древности довольствовались этими неточными подраздѣленіями до эпохи Александрійской школы, которая первая открыла средства для болѣе точнаго измѣренія времени.

§ 45. Большую заслугу Анаксимандра могло бы составить приписываемое ему Эвдемомъ опредѣленіе величины и разстоянія планетъ. Но подлежитъ сомнѣнію чтобы онъ дѣйствительно сдѣлалъ это.

Если мы разсмотримъ подробнѣе дошедшія до насъ показанія изъ исторіи астрономіи Эвдема, то замѣтимъ что авторъ ея приписываетъ открытіе отдѣльныхъ астрономическихъ истинъ тому изъ своихъ соотечественниковъ, въ сочиненіяхъ которыхъ онъ встрѣчаетъ въ первый разъ опредѣленное ихъ изложеніе. Но именно въ тѣ первые дни возникновенія греческой литературы легко могло случиться что истина извѣстная не большому кружку ученыхъ людей могла быть открыта и можетъ быть въ первый разъ письменно изложена другими, далеко стоявшими отъ первыхъ.

Такъ до насъ дошелъ разсказъ о спорѣ, возникшемъ между Ойнопидомъ и Пиѳагорейской школой относительно первенства въ открытіи наклоннаго положенія эклиптики, между тѣмъ какъ нѣтъ никакого сомнѣнія что уже и Ѳалесъ зналъ это, такъ какъ послѣдній равно какъ и Ойнопидъ и Пиѳагорейская школа узнали объ этомъ астрономическомъ фактѣ отъ Египтянъ, а не пришли къ нему путемъ наблюденія. Если съ одной стороны Плутархъ совершенно опредѣленно говоритъ что уже Ѳалесу и Пиѳагору было извѣстно раздѣленіе небесной сферы на пять поясовъ, а съ другой Ѳалесъ ничего письменнаго объ этомъ предметѣ не оставилъ, между тѣмъ какъ Анаксимандръ, по свидѣтельству Суидаса, написалъ «Сферу» т. е. сочиненіе о небесныхъ кругахъ, то совершенно понятно какимъ путемъ Эвдемъ могъ приписать Анаксимандру открытіе того что земля находится въ центрѣ

вселенной, тогда какъ этотъ фактъ былъ на столько же извѣстенъ и Ѳалесу. Подобное же случилось съ вышеприведенными открытіями относительно величины и разстоянія планетъ. Прежде всего ясно что о самихъ планетахъ здѣсь не можетъ быть и рѣчи, но только о величинѣ ихъ путей. Египтяне уже принимали что эти пути тѣмъ длиннѣе, разстоянія планетъ отъ находящійся въ центрѣ вселенной земли тѣмъ значительнѣе, чѣмъ продолжительнѣе время употребляемое этими свѣтилами на полное прохожденіе зодіака. Выведенное отсюда распредѣленіе планетъ, съ включеніемъ въ число ихъ луны и солнца, конечно дошло до свѣдѣнія Ѳалеса, хотя, можетъ быть, было переданъ Грекамъ не имъ, а его ученикомъ. Поэтому Эвдемъ и приписываетъ Анаксимандру установленіе порядка планетъ. Только это и должно разумѣть подъ открытіемъ, о которомъ идетъ рѣчъ.

§ 46. Не касаясь географическихъ трудовъ Анаксимандра, о которыхъ говорить не будемъ, скажемъ еще о сочиненіи которое ему приписываетъ Суидасъ и которое онъ называетъ эяотшоаіс всей геометріи. Рётъ принимаетъ это слово въ значеніи наглядное изображеніе и заключаетъ изъ этого что Анаксимандръ составилъ руководствомъ «геометрическому черченію».

И дѣйствительно это объясненіе весьма правдоподобно. Если бы подъ этимъ названіемъ слѣдовало понимать краткое начертаніе теоретической геометріи, какъ это греческое слово могло бы быть тоже переведено, то Проклъ или вѣрнѣе Эвдемъ въ своемъ перечисленіи геометровъ упомянулъ бы объ этомъ сочиненіи и не утверждалъ бы что Гиппократъ изъ Хіоса написалъ первое сочиненіе объ элементахъ геометріи. Если же содержаніе этого сочиненія было чертежное искусство, то оно конечно ограничивалось изложеніемъ правилъ построенія, оставляя въ сторонѣ теоремы и ихъ доказательства. Съ составленіемъ же руководства къ черченію вполнѣ согласуется вся дѣятельность нашего философа; ибо устройство гномоновъ и указателей времени, составленіе географическихъ картъ и т. п., все это такъ тѣсно связано съ геометрическимъ черченіемъ что необходимо предполагаетъ нѣкоторую долю искусства въ послѣднемъ.

§ 47. Если такимъ образомъ относительно перваго послѣдователя Ѳалеса едва можетъ быть рѣчь о заслугахъ въ дѣлѣ развитія чистой геометріи, а только о практическихъ примѣненіяхъ, которыя и сдѣлали его извѣстнымъ, то Анаксименъ, ученикъ и послѣдователь Анаксимандра, жившій 570—499 г. до P. X., не оставилъ уже никакого слѣда въ исторіи развитія математики и, въ частности, геометріи.

Хотя Плиній старшій и приписываетъ ему открытіе, относящееся до геометріи, говоря: «Umbrarum hanc rationem et quam vocant gnomo nicen invenit Anaximenes Milesius, Anaximandri (de quo diximus) disci pulus. primusque horologium quod appellant sciothericon Lacedaemone ostendit»— но не трудно видѣть что онъ ошибочно отнесъ къ Анаксимену то, что принадлежитъ его учителю. Дѣятельность, приписываемая Плиніемъ нашему философу, совершенно соотвѣтствуетъ кругу занятій Анаксимандра, но нисколько не подходитъ ко всему тому, что намъ передано объ Анаксименѣ: при немъ іонійская школа отклонилась отъ точныхъ наукъ и перешла въ область мечтаній о природѣ вещей.

§ 48. Подобію Анаксимену, и Анаксагоръ, послѣдній значительный философъ іонійской школы, не имѣетъ значенія какъ геометръ. Онъ преимущественно вращался въ кругу космогеническихъ теорій и пришелъ относительно сущности и устройства видимаго міра къ взглядамъ отчасти болѣе правильнымъ, чѣмъ его предшественники и даже современники. Но не слѣдуетъ забывать что при его жизни (500—428 до P. X.) возникла другая философская школа, Пиѳагорейская или Италійская, которая, вдохновленная изученіемъ точныхъ наукъ, дала имъ основы болѣе прочныя чѣмъ тѣ, на которыхъ іонійская школа строила свою философію. Подъ вліяніемъ Пиѳагорейцевъ Анаксагоръ, какъ кажется, въ своихъ позднѣйшихъ годахъ занимался геометріей и достигъ въ ней нѣкоторыхъ успѣховъ; иначе онъ едва ли былъ бы приведенъ въ спискѣ Прокла въ числѣ геометровъ. Въ чемъ однако состояли эти успѣхи намъ не извѣстно. Плутархъ говоритъ: «Анаксагоръ писалъ въ темницѣ о квадратурѣ круга». Вотъ все что мы знаемъ.

§ 49. Совершенно отдѣльно отъ іонійской школы стоитъ геометръ и астрономъ Ойнопидъ изъ Хіоса. Проклъ и Діогенъ Лаэрцій говорятъ о немъ какъ о современникѣ Анаксагора; но, по всей вѣроятности, онъ былъ нѣсколько старше іонійскаго философа.

Древніе называютъ его положительно въ числѣ тѣхъ, которые ѣздили въ Египетъ съ научными цѣлями. Но едва ли онъ долго оставался тамъ; по крайнѣй мѣрѣ то, что имъ привезено изъ Египта, не требовало глубокихъ и продолжительныхъ занятій. Проклъ въ своихъ комментаріяхъ къ Эвклиду приписываетъ ему рѣшеніе слѣдующихъ двухъ задачъ: 1, опуститъ изъ данной точки перпендикуляръ на данную прямую и 2, построитъ уголъ равный данному. Относительно первой Проклъ замѣчаетъ:

«Эту задачу первый разрѣшилъ Ойнопидъ, признавая ее полезной

для астрономіи. Но онъ называетъ перпендикуляръ по древнему обычаю гномономъ, потому что, какъ послѣдній составляетъ прямой уголъ съ горизонтомъ, такъ и перпендикуляръ съ данной образуетъ прямой уголъ». О второй задачѣ находимъ у него только слѣдующее: «Эта задача изобрѣтена скорѣе Ойнопидомъ, какъ говоритъ Эвдемъ».

Эти задачи составляютъ единственныя открытія, приписываемыя Ойнопиду и ясно свидѣтельствуютъ что геометрія его времени все еще находилась на первыхъ ступеняхъ развитія. Она все еще носитъ характеръ чертежнаго искусства, причемъ даже далеко не всѣ построенія, входящія въ составъ таковаго, оказываются извѣстными школѣ Ѳалеса. Что касается до первой задачи, то Ѳалесъ долженъ былъ знать ея рѣшеніе, такъ какъ безъ этого основнаго дальнѣйшія геометрическія построенія немыслимы.

Но это рѣшеніе, перешедшее изъ Египта какъ и многое другое, основывалось. вѣроятно на примѣненіи совершенно частныхъ вспомогательныхъ средствъ напр. на примѣненіи свойствъ равнобедреннаго треугольника. Поэтому новое данное Ойнопидомъ построеніе (основанное на томъ что прямая, соединяющая центръ окружности съ срединою хорды, къ ней перпендикулярна) могло почитаться обогащеніемъ науки. Что касается до второй задачи, то и до Ойнопида было конечно извѣстно то или другое ея рѣшеніе; ему же принадлежитъ то построеніе, которое Эвклидъ принялъ въ свои «Элементы». Какъ бы то ни было, если геометры въ 470 годахъ до P. X. могли составлять себѣ имя подобными открытіями, то геометрія того времени стояла очень не высоко.

§ 50. Въ астрономическихъ открытіяхъ Ойнопидъ находится совершенно подъ сѣнью своихъ египетскихъ учителей. Наклонное положеніе эклиптики, открытіе котораго онъ себѣ приписываетъ, задолго до него было извѣстно и фактъ этотъ людьми дѣйствительно открывшими его сообщенъ Ѳалесу и Пиѳагору. Но такъ какъ онъ оставался извѣстнымъ лишь тѣсному кружку ихъ учениковъ, то Ойнопидъ и могъ на первыхъ порахъ выдавать чужое за свое. Этотъ примѣръ показываетъ какъ мало стѣснялись древяѣйшіе греческіе ученые, выдавая передъ соотечественниками за свое то чему научились у такъ называемыхъ варваровъ.

Ойнопиду приписываютъ еще установленіе великаго года, о чемъ Айліаносъ говоритъ слѣдующее: «Астрономъ Ойнопидъ воздвигнулъ въ Олимпіи мѣдную доску, на которой начерталъ календарь на 59 лѣтъ, считая что этотъ періодъ составляетъ великій годъ». Здѣсь мы

видимъ одну изъ тѣхъ многихъ попытокъ, которыя въ теченіи всего періода времени отъ Ѳалеса до Калиппа были дѣлаемы для согласованія луннаго года съ солнечнымъ. Необходимый для этого матеріалъ былъ конечно вывезенъ Ойнопидомъ изъ Египта, но открытіе цикла въ 59 лѣтъ принадлежитъ ему, такъ какъ таковой не былъ извѣстенъ Египтянамъ. Замѣтимъ впрочемъ что этотъ циклъ остался безъ всякаго вліянія на календарь Грековъ.

§ 51. Если мы теперь, обозрѣвши первыя сто лѣтъ развитія геометріи въ іонійской школѣ, бросимъ взглядъ на пройденный путь, то придемъ къ тому заключенію что наука не сдѣлала въ этотъ періодъ значительныхъ успѣховъ, по крайней мѣрѣ такихъ, которые выдвинули бы ее за узкіе предѣлы временъ Ѳалеса. Геометрическія построенія и ихъ примѣненіе къ потребностямъ обыденной жизни составляли главное содержаніе тогдашней геометріи. Очень возможно что доказательство тѣхъ немногихъ элементарныхъ теоремъ, которыя необходимы для такой геометріи, со временемъ дѣлались болѣе строгими, что построенія обобщались и разнообразились, но сознательнаго перенесенія науки съ почвы практическихъ примѣненій на путь теоретическихъ изслѣдованій въ то время еще не совершилось. Мыслителямъ іонійской школы чужда была мысль сдѣлать предметомъ самостоятельнаго изученія геометрическіе образы и ученіе о нихъ построить въ строго-логическую систему. Даже ученіе о сравненіи и измѣреніи площадей, которое, какъ мы выше видѣли. достигло у Египтянъ нѣкоторой высоты, осталось, если и не совсѣмъ неизвѣстнымъ Ѳалесу и его ученикамъ, то покрайней мѣрѣ совершенно не развитымъ ими. Всѣ задачи этого періода вращаются исключительно на построеніи и измѣреніи линій; мы не знаемъ ни одной, которая относилась бы къ ученію о площадяхъ.

Іонійской школѣ принадлежитъ та заслуга что она приготовила почву для изученія математики; но зерно, которое взошло на этой почвѣ и вскорѣ проявило свой могучій ростъ, было брошено на нее другимъ кружкомъ мыслителей—италійской или пиѳагорейской—школой.

МАТЕМАТИЧЕСКІЙ ЛИСТОКЪ.

«ОБЪ ИЗМѢРЕНІИ КРУГА»

(ПО АРХИМЕДУ).

Предложеніе I. Площадь круга равна площади прямоугольнаго треугольника, одинъ изъ катетовъ котораго равенъ радіусу этого круга, а другой—длинѣ окружности этого круга.

Пустъ АВГД данный кругъ: я говорю, что онъ равновеликъ треугольнику Е.

Пусть онъ больше его, если то возможно. Впишемъ въ этотъ кругъ квадратъ АГ и будемъ послѣдовательно дѣлить дуги пополамъ пока сумма оставшихся сегментовъ сдѣлается меньше разности круга

и треугольника (I. 6*). тогда будемъ имѣть прямолинейную фигуру, которая большѳ треугольника Е. Возьмемъ центръ N и опустимъ перпендикуляръ NE; этотъ перпендикуляръ меньше одного катета треугольника Е. Но периметръ составленной прямолинейной фигуры меньше другаго катета того же треугольника, такъ какъ этотъ периметръ меньше окружности круга. Поэтому прямолинейная фигура меньше треугольника, что нелѣпо.

Пусть кругъ меньше треугольника Е, если то возможно. Опишемъ около этого круга квадратъ, раздѣлимъ дуги пополамъ и проведемъ касательныя чрезъ точки дѣленія. Такъ какъ уголъ ОАР прямой, то прямая ОР больше прямой MP равной РА. Поэтому треугольникъ РОП больше половины фигуры OZAM. Пусть сумма треугольниковъ nZA, РАМ и всѣхъ таковыхъ меньше разности треугольника Е и круга АВГД. Тогда прямолинейная фигура будетъ меньше треугольника Е. Но это нелѣпо, такъ какъ эта фигура больше круга, вслѣдствіе того что NA равна высотѣ треугольника, а периметръ фигуры больше основанія треугольника.

Итакъ кругъ равновеликъ треугольнику Е.

Предложеніе II. Кругъ относится къ квадрату, построенному на его діаметрѣ, приблизительно какъ 11 къ 14.

Пусть AB діаметръ круга. Опишемъ около этого круга квадратъ ГНД; пусть прямая ДЕ вдвое больше стороны ГД, а EZ—седьмая часть ея. Такъ какъ треугольникъ АГЕ относится къ треугольнику АГД, какъ 21 къ 7 и треугольникъ АГД къ треугольнику AEZ—какъ 7 къ

*) Ссылка на сочиненіе «О шарѣ и цилиндрѣ». Книга I. Предл. 6: «Даны кругъ и двѣ неравныя величины. Описать около этого круга многоугольникъ и вписать въ него многоугольникъ такъ чтобы отношеніе плоіцади описаннаго къ площади вписаннаго было бы меньше отношенія большей изъ данныхъ величинъ къ меньшей» Архимедъ доказываетъ, что такое требованіе всегда выполнимо. Ред.

1, то треугольникъ ArZ относится къ треугольнику АГД, какъ 22 къ 7. Но квадратъ ГН въ четыре раза больше треугольника АГД; поэтому треугольникъ AFZ относится къ квадрату ГН, какъ 22 къ 28 йли какъ 11 къ 14. Но треугольникъ ArZ равновеликъ кругу AB, такъ какъ высота его АГ равна радіусу этого круга, а основаніе равно окружности того же круга, вслѣдствіе того что эта окружность—какъ будетъ доказано — равна приблизительно утроенному діаметру, увеличенному на седьмую часть его.

Итакъ кругъ относится къ квадрату ГН приблизительно какъ 11 къ 14.

Предложеніе III. Окружность круга равна его утроенному діаметру, увеличенному на часть этого діаметра, которая меньше -^- его и больше ^ его.

Пусть АГ діаметръ круга и Е его центръ; пусть прямая ТМ— касательная и уголъ ZEr—третья часть прямаго угла.

Тогда прямая EZ будетъ относится къ прямой ZT, какъ 306 къ 153, а отношеніе ЕГ къ TZ будетъ больше отношенія 265 : 1531).

Раздѣлимъ уголъ ZEr пополамъ прямою ЕН; прямая ZE будетъ къ прямой ЕГ въ томъ же отношеніи, какъ ZH къ НГ; a потому и сумма прямыхъ ZE, ЕГ будетъ относиться къ прямой Zr, какъ ЕГ къ ГН и отношеніе прямой ГЕ къ прямой ГН будетъ больше отношенія 571 : 153. Отношеніе же квадрата ЕН къ квадрату НГ будетъ больше отношенія 349450 : 23409, а отношеніе ЕН къ НГ больше отношенія : 1532).

Раздѣлимъ уголъ НЕГ пополамъ прямою ЕѲ; отношеніе ЕГ къ ГѲ

будетъ больше отношенія 1162-g- : 153, а отношеніе ѲЕ къ ѲГ больше отношенія 1172-гт- : 153.

Раздѣлимъ, далѣе, уголъ ѲЕГ пополамъ прямою ЕК; отношеніе ЕГ къ ГК будетъ больше отношенія 2334-^- : 153, а поэтому отношеніе ЕК къ ГК больше отношенія 2339-г- : 153.

Раздѣлимъ, наконецъ, уголъ КЕГ пополамъ прямою АЕ; отношеніе ЕГ къ АГ будетъ больше отношенія 4673у : 153.

Такъ какъ уголъ ZEr, который составляетъ треть прямаго, былъ. раздѣленъ послѣдовательно пополамъ четыре раза, то уголъ АЕГ составляетъ прямаго угла.

Построимъ у точки Е уголъ ГЕМ равный углу АЕГ и продолжимъ Zr до М:, уголъ АЕМ составитъ прямаго угла, а прямая AM будетъ стороной описаннаго многоугольника 96-ти сторонъ.

Мы доказали что отношеніе ЕГ къ ГА больше отношенія 4673^ : 153, а такъ какъ АГ вдвое больше ЕГ и AM вдвое больше ГА, то отношеніе АГ къ AM тоже больше отношенія 4673^ : 153; поэтому отношеніе АГ къ периметру многоугольника 96-ти сторонъ больше отношенія 4673п- : 14688. Отношеніе же этого периметра къ діаметру меньше отношенія 14688 :4673^- • Но первое число содержитъ второе три раза съ остаткомъ 667-g, который меньше чѣмъ седьмая часть числа 4673^ и поэтому периметръ многоугольника описаннаго около круга содержитъ три раза его діаметръ и еще часть діаметра, которая меньше у- его.

Окружность же круга, а fortiori, меньше утроеннаго діаметра увеличеннаго на у его.

Пустъ АГ діаметръ круга. Пустъ уголъ ВАГ равенъ одной трети прямаго угла: отношеніе AB къ ВГ меньше отношенія 1351 : 780, такъ какъ отношеніе АГ къ ГВ равно отношенію 1560 : 780.

Раздѣлимъ уголъ ВАГ пополамъ прямою АН. Такъ какъ уголъ ВАН равенъ углу НГВ, а также и углу НАГ, то уголъ НГВ равенъ углу НАГ; прямой уголъ АНГ общій; поэтому третій уголъ HZr равенъ третьему углу АГН и въ треугольникахъ АНГ, THZ углы соотвѣтственно равны, вслѣдствіе чего АН относится къ НГ, какъ ГН къ HZ и какъ АГ къ TZ. Но АГ относится къ TZ, какъ сумма прямыхъ ГА, AB къ прямой ВГ; поэтому сумма прямыхъ ВА, АГ относится къ прямой ВГ, какъ АН къ НГ. Вслѣдствіе этого отношеніе АН къ НГ меньше отношенія 2911 : 780, а отношеніе АГ къГН меньше отношенія 301 Зг : 780.

Раздѣлимъ уголъ ГАН пополамъ прямою АѲ; отношеніе АѲ къ ѲГ будетъ меньше отношенія 5924^ : 780 или равнаго ему отношенія 1823 : 240; a отношеніе АГ къ ГѲ меньше отношенія 1838: 240.

Раздѣлимъ, далѣе, уголъ ѲАГ пополамъ прямою КА; отношеніе КА къ КГ будетъ меньше отношенія 3661 jj : 240 или равнаго ему отношенія 1007 : 66, а отношеніе АГ къ ГК меньше отношенія 1009g- : 66. Раздѣлимъ, наконецъ, уголъ КАГ пополамъ прямою АА; отношеніе

ÀA къ АГ будетъ меньше отношенія 2016^ : 66, а отношеніе АГ къ ГА меньше отношенія 2017т : 66.

Отношеніе же АГ къ ГА больше отношенія 66 къ 2017^; поэтому отношеніе периметра многоугольника къ діаметру больше отношенія 6336 : 2017j. Но первое число содержитъ второе три раза съ остаткомъ, который больше ^ втораго и поэтому периметръ многоугольника 96-ти сторонъ, вписаннаго въ кругъ больше утроеннаго его діаметра, увеличеннаго на ^ этого діаметра.

Окружность же круга, а fortiori, больше его утроеннаго діаметра, увеличеннаго на этого діаметра.

Итакъ, окружность круга равна его утроенному діаметру увеличенному на часть этого діаметра, которая меньше у его и больше ^ его.

1. Въ прямоугольномъ треугольникѣ ErZ гипотенуза EZ вдвое больше катета Zr т. е. EZ : TZ=2 : 1=306 : 153. Въ томъ же треугольникѣ имѣемъ:

или

a отсюда

Такъ какъ,

то

или

КАКЪ ДРЕВНІЕ ИЗВЛЕКАЛИ КВАДРАТНЫЕ КОРНИ ИЗЪ ЧИСЕЛЪ?

Въ сочиненіи «Объ измѣреніи круга» Архимедъ, какъ мы видѣли, вводитъ въ свое вычисленіе два приближенныхъ значенія для при вычисленій периметровъ описанныхъ многоугольниковъ онъ полагаетъ

при вычисленій же периметровъ вписанныхъ многоугольниковъ онъ принимаетъ

Вычисляя |/3 съ точностію до 10~6, найдемъ

между тѣмъ какъ

Изъ сравненія этихъ чиселъ вытекаетъ:

1) Что при вычисленій периметровъ описанныхъ многоугольниковъ, Архимедъ беретъ для j/З приближенное значеніе съ недостаткомъ и поэтому для сторонъ и периметровъ этихъ многоугольниковъ получаетъ числа большія истинныхъ (сторона описаннаго шестиугольника напр. равна 2 : j/3, при І2=1);

2) Что при вычисленій периметровъ вписанныхъ многоугольниковъ, Архимедъ беретъ для j/З приближенное значеніе съ избыткомъ и по этому для сторонъ и периметровъ этихъ многоугольниковъ получаетъ числа меньшія истинныхъ (сторона внисаннаго двѣнадцатиугольника напр. равна у 2—Ѵ% при Д=1).

Нѣкоторые квадраторы, незнакомые съ твореніями великаго геометра или настолько невѣжественные что не въ состояніи были понять ихъ, сомнѣвались въ вѣрности полученнаго Архимедомъ результата. Такъ какъ, говорили они, Архимеду приходилось извлекать квадратные корни изъ ряда чиселъ и довольствоваться при этомъ, по необходимости, приближенными значеніями этихъ корней, то всѣ эти неточности могли привести его, для периметра вписаннаго многоуголь-

ника, къ числу большему того, которымъ въ дѣйствительности измѣряется длина окружности, а для периметра описаннаго многоугольника—къ числу меньшему этого.

Употребленіе Архимедомъ въ своемъ вычисленіи двухъ приближеній для j/З, одного съ недостаткомъ, другаго съ избыткомъ, показываетъ всю неосновательномъ приведеннаго сужденія и конечно свидѣтельствуетъ о проницательности геометра, который, можетъ бытъ, предвидѣлъ и такое шаткое возраженіе.

Но вопросъ въ томъ, какъ Архимедъ напалъ на дроби

которыя представляютъ такія простыя и притомъ точныя приближенія ирраціональнаго числа j/3?

До сихъ поръ не найдено, къ сожалѣнію, никакого документальнаго слѣда тѣхъ пріемовъ, которыми владѣли древніе для извлеченія корней. Приходится, по необходимости, прибѣгать къ догадкамъ.

Профессоръ Канторъ полагаетъ*) что Архимедъ могъ пользоваться для вычисленія j/З таблицей, въ которой были вписаны квадраты чиселъ и ихъ утроенные квадраты, и помощью ея найти что утроенный квадратъ числа 153 приблизительно равенъ квадрату числа 265, что З.(153)2=2652-, [70227 = 70225]

откуда

Чтобы получить другое приближеніе для у% нашему геометру пришлось бы прослѣдить довольно далеко предполагаемую Канторомъ таблицу чтобы напасть на

З.(780)2=(1351)2; [1825200 = 1825201]

Трудно согласиться съ Канторомъ. Пріемъ, который онъ предполагаетъ, требуетъ составленія весьма обширныхъ таблицъ; кромѣ того онъ мало согласуется, по своему характеру, съ высоко научнымъ направленіемъ сиракузскаго геометра. Гораздо вѣроятнѣе, что онъ владѣлъ для извлеченія корней изъ чиселъ какимъ либо общимъ пріемомъ, хотя и отличнымъ, можетъ быть, отъ того, который мы теперь практикуемъ.

Къ совершенно такой же гипотезѣ, какъ Канторъ, и притомъ независимо отъ него, пришелъ въ недавнее время другой изслѣдователь,

*) См. «Листокъ» стр. 119.

занятый изученіемъ индусской Геометріи. Мы разумѣемъ профессора въ Бенаресѣ Тибо (Thibaut). Необходимо замѣтить, что ритуалъ жертвоприношеній былъ установленъ у индусовъ до мельчайшихъ подробностей и правила сюда относящіяся собраны въ отдѣльныя книги, такъ называемыя Калпасутры; особыя прибавленія къ нимъ составляли Шулвасутры, въ которыхъ исключительно изложены предписанія относительно постройки жертвенниковъ, ихъ оріентаціи, формы, величины, поверхности, объема. Понятно, что здѣсь нельзя было обойтись безъ геометріи. Тибо изучилъ шулвасутры трехъ различныхъ авторовъ, имена которыхъ Baudhâyana, Apastamba и Kâtyâyana*). Въ нихъ онъ встрѣтилъ, между прочимъ, слѣдующее приближенное значеніе для у%:

Вычисляя \/2 съ точностью до 10~6, найдемъ

1/2=1,414213

индусское же выраженіе даетъ

^/2=1,414215.

Желая возстановить ходъ вычисленія, которое привело къ этому приближенію, Тибо предполагаетъ, что была составлена таблица:

изъ которой составитель шулвасутры усмотрѣлъ, что приблизительно

2х122 = 17* [=289]

откуда

«Но это значеніе, говоритъ Тибо, слишкомъ велико: 17 линейныхъ единицъ даютъ квадратъ въ 289 квадратныхъ единицъ т. е. на одну

*) The Sulvasûtras by G. Thibaut, Ph. D. Anglo-sanskrit professor, Banaras College. Reprinted from the journal, Asiatic Society of Bengal. Part. I, for. 1875. Calcutta. 1875.

больше, чѣмъ нужно. Надлежитъ вычесть эту излишнюю квадратную единицу; но она можетъ быть, почти точно, превращена въ прямоугольникъ, составленный изъ тридцать - четвертыхъ долей 33-хъ квадратиковъ, такъ что съ большею точностью

откуда

или

Обратимся теперь къ другому предположенію относительно пріемовъ, которыми пользовались древніе для извлеченія квадратныхъ корней изъ чиселъ.

Въ 1879 г. русскій геометръ Н. А. Алексѣевъ изложилъ*) способъ извлеченія квадратныхъ корней, который можетъ быть названъ способомъ двухъ среднихъ. Онъ состоитъ въ слѣдующемъ:

Пусть требуется извлечь квадратный корень изъ числа N. Представимъ его въ видѣ произведенія двухъ цѣлыхъ производителей a и Ъ (если N простое, то N=\.N).

Вычислимъ, затѣмъ, средне-ариѳметическое чиселъ a и Ь т. е. и ихъ средне-гармоническое т. е. ^-^-

Не трудно доказать что

изъ чего слѣдуетъ, что полученныя числа представляютъ два приближенія для j/iV, одно съ избыткомъ, другое съ недостаткомъ. Взявъ, далѣе, средне-ариѳметическое найденныхъ чиселъ и ихъ средне-гармоническое, найдемъ вторыя приближенія для \/N и т. д.

Пусть Рп числитель, Qn знаменатель м-аго приближенія большаго j/jV; тогда приближеніе того же порядка, но меньшее y/N^ будетъ ^jr1-

*) Bulletin de 1а Société Mathématique de France. 1879. Comptes rendus. T. 89. p. 403.

Такъ какъ п-ое приближеніе большее \/ N получится изъ пары предыдущихъ приближеніи

когда возьмемъ ихъ полусумму, то

или

и

(1)

Для разности двухъ приближеніи того же порядка имѣемъ

Помощью формулъ (1) эта разность можетъ быть выражена въ зависимости отъ Pw_1 и Çw-t, а понижая послѣдовательно указатели при Р и ф, найдемъ что

Вторая часть этого равенства выражаетъ степень приближенія, когда за искомый корень принимаемъ yf- Изъ этого же равенства имѣемъ

или

откуда

и

Если приложимъ этотъ пріемъ къ извлеченію квадратнаго корня изъ 2 (=2.1), то найдемъ послѣдовательно

Остановимся на приближеніи

Оно равно

или

или, наконецъ

т. е. приближенію, которое находимъ въ шулвасутрахъ. Такое совпаденіе невольно приводитъ къ предположенію, что индусамъ былъ извѣстенъ пріемъ двухъ среднихъ для извлеченія квадратныхъ корней.

Если допустимъ, далѣе, что, по всей вѣроятности, математическія знанія индусовъ перешли къ грекамъ за три вѣка до P. X., — Вёпке въ одномъ изъ своихъ сочиненій*) въ подтвержденіе этой вѣроятности перечисляетъ цѣлый рядъ вѣскихъ доводовъ — то должны ожидать встрѣтить и у Архимеда пріемы тождественные съ индусскими или, покрайней мѣрѣ, похожіе на нихъ.

Прилагая методъ двухъ среднихъ къ вычисленію j/З (=j/3.1), мы въ рядѣ приближеніи:

не найдемъ однако же архимедовыхъ приближеній:

*) Mémoire sur la propagation des chiffres indiens. Journal asiatique. 1863. p. 90. 91.

Но если сложимъ почленно а3 и А3, то получимъ

т. е. одно изъ нихъ. Это замѣчаніе сдѣлано Г. Генри*) (С. Henry). Вслѣдствіе этого мы приведены къ тому предположенію, что Архимедъ употреблялъ смѣшанный пріемъ, примѣняя начало двухъ среднихъ и другое, которое мы назовемъ началомъ медіаціи. Послѣднее заключается въ слѣдующемъ.

Если -|-двѣ неравныя дроби, члены которыхъ положительны, то дробь

больше меньшей изъ нихъ и меньше большей, или, короче,эта дробь имѣетъ величину промежуточную. Замѣтимъ,что для двухъ чиселъ, m и п напр.,ихъ средне-ариѳметическая и первая промежуточная совпадаютъ, такъ какъ, сложивъ почленно

получимъ

Такимъ образомъ Архимедъ, для вычисленія \/Ъ съ недостаткомъ, могъ поступитъ такъ: взять три пары приближеніи по пріему двухъ среднихъ, а именно

и затѣмъ прибѣгнуть къ медіаціи и взять

Продолжая эти медіаціи, мы нашли бы

*) Bulletin des siences mathématiques et astronomiques. 2-e Série T. IIІ p. 515.

т. e. другое архимедово приближеніе для j/З, а именно приближеніе съ избыткомъ. Но упомянутый нами французскій геометръ предполагаетъ, что для нахожденія \/ 3 съ избыткомъ Архимедъ вычислялъ иначе, а именно: взявъ средне-ариѳметическую и средне-гармоническую чиселъ 3 и 1 т. е.

онъ взялъ затѣмъ промежуточную и средне-гармоническую

затѣмъ средне-ариѳметическую и средне-гармоническую

и, наконецъ средне-ариѳметическую

Изъ этого слѣдуетъ, что Архимедъ, по всей вѣроятности, употреблялъ, для извлеченія квадратовъ ихъ чиселъ, методъ двухъ среднихъ въ сочетаніи съ методомъ медіаціи, причемъ измѣнялъ порядокъ медіацій, смотря потому имѣлъ ли въ виду приближеніе съ избыткомъ, или съ недостаткомъ.

Закончимъ эту бѣглую замѣтку геометрической иллюстраціей.

На неопредѣленной прямой отложимъ отъ точки 0 отрѣзки OA и 02?, равные соотвѣтственно a и Ь, причемъ а>Ъ; на АБ, какъ на діаметрѣ, опишемъ окружность и изъ точки 0 проведемъ къ ней касательныя AT и АТХ\ пусть Ах средина AB т. е. центръ построенной окружности, а ѣх точка пересѣченія хорды ТТГ съ прямой OA. Легко видѣть, что

Если изъ точки 0 радіусомъ равнымъ ОТ(ОТ=ОТх=\/ ab) опишемъ дугу, то она пересѣчетъ OA въ точкѣ X, лежащей между точками Ах и Би откуда

Если тоже построеніе повторимъ съ отрѣзками а{ и &п то точка X не измѣнитъ своего положенія, такъ какъ

и поэтому опятъ будемъ имѣть

и т. д.

Замѣтимъ,что радіусъ^-(ап—Ъп) окружности, которая содержитъ точку X, убываетъ быстрѣе, чѣмъ члены геометрической прогрессіи, <уъ знаменателемъ равнымъ одной половинѣ, такъ какъ діаметръ порядка п-го меньше радіуса порядка (п—1)-го.

Задачи.

1. Если дѣлители числа N слѣдующіе

то

2. Если а2=&2+с2, то аЬс=кр. 60.

3. Если а2=62+с2 и JD fa, 6, е)=1, то a имѣетъ видъ 12*г+1 или 12пн-5.

4. Произведеніе трехъ нечетныхъ чиселъ, помноженное на ихъ сумму, не можетъ быть квадратомъ числа.

5. Найти три квадрата, которые составляли бы ариѳметическую прогрессію; другими словами, найти цѣлыя рѣшенія уравненія

6. Если х*±2'к=к*, то а?2±Х естъ сумма двухъ квадратовъ.

7. Квадраты какихъ чиселъ имѣютъ на концѣ 25?

8. Квадраты какихъ чиселъ имѣютъ на концѣ двѣ одинаковыя цифры?

9. Найти (2п+1) послѣдовательныхъ чиселъ, удовлетворяющихъ тому условію, что сумма квадратовъ первыхъ (w+l) чиселъ равнядась бы суммѣ квадратовъ слѣдующихъ п чиселъ.

10. Показать что каждое изъ слѣдующихъ выраженій:

есть сумма двухъ квадратовъ.

11. Если а, й, с—стороны треугольника, то 1) Существуетъ треугольникъ, стороны котораго:

Ь + с, с+а, а+Ъ. Площадь его:

2) Существуетъ треугольникъ, стороны котораго:

Площадь его:

12. Найти четыре послѣдовательныхъ числа такихъ, чтобы кубъ большаго равнялся суммѣ кубовъ остальныхъ.

13. Рѣшить систему уравненій

14. Рѣшить систему уравненій

ГЕОМЕТРІЯ И ГЕОМЕТРЫ ДО ЭВКЛИДА.

(продолженіе).

IV. Пиѳагоръ и его непосредственные ученики.

§ 52. Обращаясь къ Пиѳагору и его школѣ, мы приступаемъ къ одному изъ самыхъ спорныхъ вопросовъ исторіи древней культуры. Филологи прежнихъ временъ, распологавшіе для своихъ изслѣдованій исключительно языкознаніемъ и мало свѣдущіе въ точныхъ наукахъ, постепенно возвели чуть ли не въ аксіому то положеніе, что о Пиѳагорѣ и его дѣятельности не только ничего неизвѣстно, но ничего извѣстнымъ быть не можетъ, такъ какъ сами древніе о томъ ничего опредѣленнаго не знали. Говорили, будто все, что разсказываютъ объ этомъ замѣчательномъ человѣкѣ, о его жизни и научныхъ заслугахъ, баснословно, неправдоподобно, что все это не болѣе какъ порожденіе фантазіи позднѣйшихъ писателей. О нѣкоторыхъ же дошедшихъ до насъ изъ сочиненій пиѳагорейцевъ отрывкахъ, стоявшихъ по своему содержанію въ противорѣчіи съ такимъ воззрѣніемъ, говорили, что они подложны, основываясь отчасти на филологическихъ соображеніяхъ, отчасти же на томъ, что они будто содержатъ въ себѣ идеи Платоновой школы и поэтому составлены много лѣтъ спустя послѣ Пиѳагоровой.

Новѣйшіе филологи нѣсколько отступили отъ этихъ крайнихъ воззрѣній. Пришлось согласиться что Платонъ испыталъ сильное вліяніе пиѳагорейскихъ ученій, съ которыми былъ близко знакомъ, и что идеи Платониковъ, встрѣчающіяся въ сочиненіяхъ Пиѳагоровой школы, не могутъ въ настоящее время служитъ достаточнымъ основаніемъ для признанія этихъ сочиненій подложными. Послѣ такихъ авторитетовъ какъ Бекъ (Böckh), доказавшій что отрывки Филолая не подложны, и какъ Лобекъ (Lobeck), отвергнувшій позднее, какъ думали многіе, происхожденіе орфическихъ гимновъ, привычка считать подложнымъ все дошедшее до насъ о Пиѳагорѣ и его школѣ въ значительной мѣрѣ ослабла.

§ 53. При такихъ обстоятельствахъ неудивительно, что одинъ изъ новѣйшихъ изслѣдователей Рётъ, свободный отъ предразсудковъ нѣкоторыхъ филологовъ, вдался въ противуположную крайность, и во второмъ томѣ своего сочиненія «Geschichte unserer abendländischen Philosophie» изложилъ біографію Пиѳагора, исходя изъ того принципа,

что слѣдуетъ давать вѣру всѣмъ сохранившимся о немъ извѣстіямъ и повѣствованіямъ.

Нельзя не признать, что Рётъ посвятилъ много труда, чтобы собратъ матеріалъ для такой біографіи и обнаружилъ большое искусство въ ея составленіи. При всемъ томъ, доводы, имъ приводимые, во многихъ случаяхъ не убѣдительны, а заключенія, къ которымъ онъ приходитъ, часто не вѣрны.

Одно только неоспоримо: Рётъ обстоятельно изучилъ источники, за которыми филологи до него не признавали никакого историческаго значенія, хотя и безъ всякаго достаточнаго основанія. Мы разумѣемъ извѣстія Ямблиха и Порфирія о жизни Пиѳагора. Многіе смотрѣли на сочиненія этихъ авторовъ, какъ на собраніе басенъ. Но внимательное изученіе ихъ можетъ убѣдить только въ томъ, что авторы, имѣя въ виду прославленіе Пиѳагора, ввели въ свое изложеніе нѣсколько миѳическихъ сказаній о немъ, сказаній, которыя иногда встрѣчаются и у другихъ писателей напр. у Діогена Лаэрція.

Рядомъ съ этимъ мы найдемъ, въ особенности въ сочиненіяхъ Ямблиха, относительно жизни Пиѳагора и его отношеній къ ученикамъ и современникамъ такія указанія, которымъ должны вѣрить, настолько они правдоподобны и согласны съ политическимъ и соціальнымъ строемъ тѣхъ временъ. Если обширная литература нижне-италійскихъ грековъ и не дошла до насъ, то изъ этого не слѣдуетъ, чтобы она осталась неизвѣстной напр. грекамъ временъ Александрійской Школы.

Что сталось бы со многими отдѣлами науки древностей, если бы достовѣрность дошедшихъ до насъ свѣдѣній отвергалась всегда съ тѣмъ легкомысліемъ, съ какимъ это сдѣлали многіе относительно извѣстій о Пиѳагорѣ?

Такъ какъ въ настоящемъ очеркѣ мы имѣемъ дѣло не съ философомъ, но лишь съ геометромъ Пиѳагоромъ, то не поставлены въ необходимость вдаваться въ подробныя и глубокія изслѣдованія, какъ Рётъ: заслуги италійской школы и ея основателя въ области точныхъ знаніи представляютъ намъ довольно ясную картину.

§ 54. Относительно времени, въ которомъ жилъ Пиѳагоръ, Порфирій сообщаетъ:

«Дикаярхъ и другіе историки говорятъ, что Пиѳагоръ присутствовалъ при нападеніи на его школу, ибо Ѳерекидъ умеръ еще до его отъѣзда изъ Самоса». — Нѣкоторые писатели утверждали, что когда школа Пиѳагора подверглась нападенію, то онъ не присутствовалъ при

этомъ, а находился въ Сиросѣ, гдѣ онъ посвящалъ всѣ свои заботы престарѣлому, больному Ѳерекиду, своему первому наставнику. Противъ этого-то Порфирій приводитъ свидѣтельство Дикаярха, одного изъ надежнѣйшихъ писателей. Отсюда слѣдовало бы что Пиѳагоръ переѣхалъ въ южную Италію по всей вѣроятности только около 510 г. до Р. Хр., такъ какъ Ѳерекидъ умеръ въ 513 г.

Другое хронологическое данное представляетъ то обстоятельство, что Пиѳагоръ еще юношей былъ знакомъ съ Ѳалесомъ. Ямблихъ говоритъ объ этомъ: «Но и Ѳалесъ принялъ его радушно, удивляясь его превосходству надъ другими юношами, дѣлясь съ нимъ своими знаніями насколько то позволяли ему преклонныя лѣта и слабыя силы, уговаривая его отправиться въ Египетъ и обратиться къ жрецамъ въ Мемфисѣ и Ѳивахъ, такъ какъ отъ нихъ онъ самъ получилъ то, что побудило людей прозвать его мудрецомъ».

Такъ какъ Ѳалесъ умеръ въ 548 до Р. Хр., то Пиѳагоръ родился по всей вѣроятности въ 568 (567) году до Р. Хр. Если же онъ, по указанію нѣкоторыхъ, умеръ 80, и многихъ даже 90 лѣтъ отъ роду, то его смерть слѣдуетъ отнести къ 488 (478) г. до Р. Хр.

§ 55. Пребываніе Пиѳагора въ Египтѣ, гдѣ онъ изучалъ науки, настолько же достовѣрно, какъ и подобныя же извѣстія о Ѳалесѣ, Платонѣ и др. Уже Изократъ говоритъ: «Мы могли бы привести много достойнаго удивленія о ихъ (египетскихъ жрецовъ) святости, которую не я одинъ и не я первый позналъ, но многіе изъ еще живущихъ и прежнихъ, между ними и Пиѳагоръ Самосскій, который пріѣхалъ въ Египетъ, сдѣлался ученикомъ ихъ и первый перенесъ къ грекамъ чужеземную философію». Тоже самое сообщаютъ и многіе другіе писатели, какъ напр. Діодоръ.

Былъ ли Пиѳагоръ снабженъ, какъ говорятъ, письмами отъ Поликрата къ Египетскому царю Амазису или нѣтъ, это не имѣетъ значенія.

Что прибываніе его въ Египтѣ было продолжительно и пріобрѣтенныя имъ тамъ знанія обширны, видно изъ его послѣдующихъ работъ, которыя напр. въ математикѣ стоятъ гораздо выше всего сдѣланнаго Ѳалесомъ и подтверждается еще тѣмъ, что онъ вполнѣ ознакомился съ языкомъ и всѣми родами письма Египтянъ, а это должно было потребовать многіе годы усиленныхъ занятій.

Ямблихъ свидѣтельствуетъ что время пребыванія Пиѳагора въ Египтѣ продолжалось 22 года и говоритъ что онъ затѣмъ плѣнникомъ былъ отправленъ Камбизомъ въ Вавилонъ, и, послѣ 12-ти лѣт-

няго пребыванія тамъ вернулся въ Самосъ на 56-мъ году своей жизни.

Едвали всѣ эти извѣстія достовѣрны. Если весьма правдоподобно,. что онъ такъ долго жилъ въ Египтѣ, гдѣ занимался науками до вторженія Персовъ въ эту страну, то съ другой стороны 12-лѣтнее пребываніе его плѣнникомъ въ Вавилонѣ подлежитъ сильному сомнѣнію. Если даже допустить что онъ, по приказанію Камбиза, вмѣстѣ съ египетскими жрецами былъ отведенъ въ плѣнъ (525 до Р. Хр.), то по всей вѣроятности долженъ былъ при Дарій Гистаспѣ получитъ свободу, какъ получили ее египетскіе наставники и друзья его. Слѣдуетъ также замѣтить что, согласно многимъ показаніямъ, Пиѳагоръ по возвращеніи въ отечество засталъ родной городъ подъ владычествомъ Поликрата, а такъ какъ послѣдній убитъ былъ въ 522 до Р. Хр., то возвращеніе Пиѳагора не могло послѣдовать въ 513 г.

§ 56. Водворившись снова въ Самосѣ, Пиѳагоръ пытался основать тамъ школу. Но такъ какъ онъ, по замѣчанію Ямблиха, употреблялъ способъ изложенія, который не нравился слушателямъ, то его аудиторія скоро опустѣла, и Пиѳагоръ, послѣ нѣсколько лѣтъ проведенныхъ въ путешествіяхъ по Элладѣ, прибылъ въ 510 до Р. Хр. въ Кротонъ. Въ этомъ городѣ, который въ то время находился въ полномъ разцвѣтѣ, ему удалось собратъ восторженныхъ учениковъ, которыхъ онъ не только посвящалъ въ Философію, Математику и Естествознаніе, но сплотилъ въ тѣсный союзъ, члены котораго должны были отличаться какъ своимъ образованіемъ, такъ и благородствомъ мыслей и нравственной чистотой жизни. Но при этомъ Пиѳагоръ впалъ въ значительную политическую ошибку, учредивъ свой союзъ не въ духѣ свободной Греціи, но придавъ ему характеръ замкнутаго кастическаго учрежденія. Такъ какъ, сверхъ того, этотъ союзъ имѣлъ ясно выраженный аристократическій оттѣнокъ и стоялъ въ полномъ противорѣчіи съ демократическимъ направленіемъ того времени, то школа подвергласъ насильственному нападенію и Пиѳагоръ долженъ былъ бѣжать съ своими приверженцами въ Тарентъ. Но и этотъ городъ онъ принужденъ былъ скоро покинутъ и переселиться въ Метапонтъ, гдѣ его школа подвергласъ той же участи, которую испытала въ Кротонѣ. Вскорѣ послѣ этого Пиѳагоръ умеръ (480—470 г. до Р. Хр.).

§ 57. Гораздо большими опредѣленностію и полнотою чѣмъ свѣдѣо жизни Пиѳагора, отличаются дошедшія до насъ извѣстія о его научной дѣятельности въ области точныхъ знаній. Всѣ писатели согласны въ томъ, что онъ первый возвелъ математику на степенъ науки*

Относительно ариѳметики, такъ тѣсно связанной съ его философскимъ ученіемъ, это говорится почти что каждый разъ, когда упоминается его имя; относительно же геометріи, у Прокла въ его спискѣ геометровъ читаемъ: «Пиѳагоръ первый разсматривалъ основанія науки съ болѣе возвышенной точки зрѣнія и изслѣдовалъ теоремы «интеллектуальнѣе», другими словами, онъ первый отрѣшилъ геометрію отъ ея исключительно практическихъ примѣненій, напр. къ межеванію, и разсматривалъ ее какъ теоретическую науку. Въ какомъ объемѣ Пиѳагоръ заимствовалъ ученіе о математикѣ отъ другихъ, того нельзя опредѣлить съ безусловной точностію, но изъ открытій, которыя ему приписываются, можно составить себѣ хоть приблизительное понятіе о тѣхъ ученіяхъ, которыя должиы были быть ему извѣстны.

Къ нимъ мы теперь и переходимъ.

§ 58. Въ области ариѳметики можно съ увѣренностію приписать Пиѳагору введеніе ученія о пропорціяхъ: геометрической, ариѳметической и такъ называемой гармонической, а также о средне-пропорціональныхъ: ариѳметической, геометрической и гармонической. Ямблихъ совершенно опредѣленно говоритъ: «Пиѳагоръ и его ученики знали только три пропорціи: ариѳметическую, геометрическую и третью такъ называемую противуположную, которую Архитасъ и Гиппазъ впослѣдствіи переименовали въ гармоническую». И далѣе: «Теперь слѣдуетъ сказать о совершеннѣйшей изъ пропорціи, состоящей изъ четырехъ членовъ и носящей названіе музыкальной. Она найдена Вавилонянами и, говорятъ, Пиѳагоръ первый познакомилъ съ нею Грековъ». Пропорція, о которой здѣсь идетъ рѣчь слѣдующая:

Она показываетъ, что средне-ариѳметическая двухъ чиселъ и ихъ средне гармоническая составляютъ съ самими числами геометрическую пропорцію.

Все это ученіе о пропорціяхъ, по всей вѣроятности, не Египетскаго, а Вавилонскаго происхожденія. Это можно заключитъ, между прочимъ, изъ того, что въ задачахъ папируса Ринда нѣтъ ни малѣйшаго намека на употребленіе пропорцій. Если вспомнитъ что у Ѳалеса и его учениковъ, также нѣтъ этого ученія и его примѣненія, что Ѳалесъ опредѣлялъ высоту предметовъ не помощью ученія о подобіи фигуръ, а измѣреніемъ горизонтальнаго разстоянія равнаго этой высотѣ, то должны будемъ признать что ученіе о пропорціональности не было до Пиѳагора введено въ геометрію.

Ему и его ученикамъ неоспоримо принадлежитъ заслуга введенія въ геометрію понятія о подобіи фигуръ, хотя бы только въ примѣненіи къ фигурамъ прямолинейнымъ. Естественно, что вмѣстѣ съ этимъ возникли и были рѣшены вопросы о построеніи средне-геометрической къ двумъ прямымъ и о превращеніи прямоугольника въ равновеликій ему квадратъ.

§ 59. Другое открытіе, которое принадлежитъ школѣ Пиѳагора, это теорія ариѳметической прогрессіи, развитая на столько, на сколько она необходима для ученія о фигурныхъ числахъ. Что единица къ которой послѣдовательно прикладывается число 2, даетъ рядъ нечетныхъ чиселъ, а суммированіе чиселъ этого ряда, начиная съ перваго, даетъ рядъ квадратныхъ чиселъ, — могло быть извѣстно и до Пиѳагора. По крайней мѣрѣ таблица, которая могла навести на такое открытіе т. е. слѣдующая:

22222222 2...

11 5 7 9 11 13 15 17...

1 4 9 16 25 36 49 64 81... настолько проста что Халдеи или Египтяне могли знать ее.

Этотъ законъ составленія квадратныхъ чиселъ долженъ былъ знать Пиѳагоръ, что явствуетъ изъ даннаго имъ правила для составленія раціональныхъ прямоугольныхъ треуголъниковъ. Если же эта таблица была извѣстна, то легко могла явиться мысль замѣнить двойки верхней строки натуральнымъ рядомъ чиселъ; тогда послѣдовательное суммированіе должо было дать фигурныя числа различныхъ порядковъ. Дошли ли до открытія послѣднихъ именно этимъ путемъ или были наведены на нихъ геометрическими изслѣдованіями, — въ настоящее время, конечно, рѣшено быть не можетъ.

§ 60. Болѣе полныя свѣдѣнія, чѣмъ тѣ, которыя дошли до насъ объ открытіяхъ, школы Пиѳагора, сдѣланныхъ въ области ариѳметики, представляютъ намъ сохранившіяся свѣдѣнія о трудахъ ея по геометріи. Проклъ въ своемъ комментаріи къ Звклиду говоритъ, что шесть равностороннихъ треугольника, или четыре квадрата, или три правильныхъ шестиугольника, расположенные вокругъ точки совершенно покрываютъ плоскость и прибавляетъ: «Эти теоремы принадлежатъ Пиѳагоровой школѣ». Въ «Тимеѣ» Платона Пиѳагоръ говоритъ слѣдующее: «Всякая прямолинейная фигура состоитъ изъ треугольниковъ, всѣ же треугольники разлагаются на прямоугольные съ катетами равными или неравными. Изъ послѣднихъ по своей красотѣ выдѣляется тотъ, удвоеніемъ котораго получается равносторонній треуголь-

никъ, и въ которомъ квадратъ большаго катета равенъ утроенному квадрату меньшаго, а меньшій катетъ составляетъ половину гипотенузы. Два же равнобедренныхъ прямоугольныхъ треугольника или четыре таковыхъ, сложенныхъ въ фигуру, образуютъ квадратъ; два же неравнобедренныхъ (красивѣйшихъ) треугольника или шесть таковыхъ образуютъ равносторонній треугольникъ. Изъ этихъ двухъ фигуръ происходятъ тѣла, соотвѣтствующія четыремъ элементамъ видимаго міра: тетраэдръ, октаэдръ, икосаэдръ и кубъ».

Такъ какъ Платонъ въ своихъ математическихъ познаніяхъ совершенно опирается на пиѳагорову школу, то мы съ большою вѣроятностію можетъ приписать это разложенію фигуръ на различные виды прямоугольныхъ треугольниковъ ея основателю. Мы увидимъ ниже, что предложенія, которыя исходятъ изъ того же принципа, какъ напр. теорема о гномонѣ, должны были быть извѣстны Пиѳагору. Все это указываетъ намъ на пріемъ, который школа Пиѳагора съ особенной любовью употребляла при геометрическихъ изслѣдованіяхъ и поэтому тщательно обработала, на пріемъ разложенія и сложенія прямолинейныхъ фигуръ. Трудно рѣшить теперь возникъ ли этотъ пріемъ въ самой школѣ или узналъ его Пиѳагоръ отъ своихъ египетскихъ наставниковъ.

Послѣднее представляется, по крайней мѣрѣ, возможнымъ, такъ какъ Египтяне должны были знать теорему о гномонѣ и кромѣ того вычисленіе площадей, которое находимъ въ папирусѣ Ринда, основывается на разложеніи на треугольники, параллелограммы и трапеціи.

§ 61. Изъ того, что плоскость совершенно можетъ бытъ покрыта правильными треугольниками, или четыреугольниками, или шестиугольниками, необходимо слѣдуетъ что пиѳагорейцы или даже Египтяне должны были знать, что сумма угловъ вокругъ точки равняется 4-мъ прямымъ, а слѣдовательно сумма угловъ по одну сторону прямой—двумъ прямымъ угламъ, откуда само собой вытекаетъ, что сумма внутреннихъ угловъ треугольника равна также двумъ прямымъ. Намъ неизвѣстно какимъ образомъ Египтяне, а за ними Ѳалесъ и его школа, доказывали послѣднее предложеніе, но Проклъ сохранилъ намъ приведенное Эвдемомъ въ его «Исторіи Геометріи» доказательство, которымъ школа Пиѳагора пользовалась, чтобы обнаружить свойства угловъ всякаго треугольника. Онъ говоритъ:

«Перипатетикъ Эвдемъ приписываетъ открытіе этой теоремы пиѳагорейцамъ, т. е. той, что сумма внутреннихъ угловъ каждаго треугольника равна двумъ прямымъ угламъ и говоритъ, что они доказы-

вали ее слѣдующимъ образомъ. Пусть АВГ треугольникъ. Проведемъ черезъ A прямую ДЕ параллельно ВГ. Такъ какъ ВГ и ДЕ параллельны то накрестълежащіе углы равны: уголъ ДАВ равенъ углу АВГ,

уголъ ЕАГ равенъ углу АГВ. Пусть приложенъ общій уголъ ВАГ. Тогда углы ДАВ, ВАГ, ГАЕ т. е. углы ДАВ и ВАГ, которые составляютъ два прямыхъ угла, представляютъ три угла треугольника. Поэтому углы треугольника (сумма угловъ) составляютъ два прямыхъ. Вотъ доказательство пиѳагорейцевъ».

Изъ приведеннаго отрывка видно что пиѳагорейцы не знали того, что сумма угловъ по одну сторону прямой расположенныхъ равна двумъ прямымъ, а сводили эту сумму на сумму двухъ смежныхъ угловъ.

§ 62. Другой предметъ, которымъ занимались въ школѣ, это такъ называемое приложеніе площадей. Относящаяся сюда основная задача выражена у Эвклида (I. 44) такъ: «Къ данной прямой и въ данномъ прямолинейномъ углѣ приложить параллелограммъ равновеликій данному треугольнику»*). Проклъ по поводу рѣшенія даннаго Эвклидомъ замѣчаетъ: «Все это, какъ утверждаетъ Эвдемъ, давнишнія открытія пиѳагорейцевъ». И у Плутарха читаемъ: «Пиѳагоръ принесъ въ жертву быка по поводу геометрическаго открытія.... теоремы ли о томъ, что квадратъ гипотенузы равенъ квадратамъ катетовъ или рѣшенія задачи о приложеніи площадей». Это рѣшеніе, а вмѣстѣ съ нимъ и способы сложенія и вычитанія площадей параллелограммовъ, треугольниковъ и трапецій, необходимо предполагаетъ знакомство съ теоремой Эвклида (I, 43), извѣстной подъ названіемъ теоремы о гномонѣ. Доказательство ея, которое исключительно основано на разложеніи параллелограмма на меньшія части, указываетъ на упомянутый (§ 60) методъ изслѣдованія, который такъ часто практиковался въ италійской школѣ и по всей вѣроятности исходилъ отъ Египтянъ. Если же въ школѣ была извѣстна теорема о гномонѣ, то въ ней должны были знать и все то, что составляетъ содержаніе первой книги Началъ Эвклида. Простѣйшія свойства угловъ, параллельныхъ прямыхъ, треугольниковъ и параллелограмовъ, все это должно быть извѣстно тому, кто разлагаетъ параллелограммъ, какъ это сдѣлано у Эвклида. Результаты сравненія площадей треугольниковъ, параллелограммовъ и трапецій

*) См. «Листокъ» стр. 182. Ред.

также необходимы тому, который приступаетъ къ приложенію (тгара[ШХеіѵ) этихъ фигуръ къ даннымъ прямымъ. Что совокупность всѣхъ этихъ знаній происхожденія не греческаго, а египетскаго, и развѣ въ въ нѣкоторыхъ частяхъ расширена и усовершенствована Пиѳагоромъ, не можетъ подлежатъ сомнѣнію. Ѳалесъ, какъ мы видѣли, обладалъ отчасти этими знаніями и задачи папируса Ринда на нихъ указываютъ.

§ 63. Съ большею вѣроятностію, чѣмъ открытіе только что упомянутыхъ геометрическихъ истинъ, приписывается италійскому философу носящая его имя теорема о прямоугольномъ треуголъникѣ. Послѣднюю, также какъ и обратную, мы находимъ въ «Началахъ» (I. 47, 48) первая книга которыхъ заканчивается ими. Проклъ по поводу ея говоритъ: «Если послушать тѣхъ, которые повѣствуютъ о старинѣ, то оказывается, что эта теорема принадлежитъ Пиѳагору, принесшему въ жертву быка по поводу ея открытія». Подъ тѣми, которые повѣствуютъ о старинѣ, конечно должно разумѣть Эвдема, и фактъ что теорема, о которой идетъ рѣчь, открыта Пиѳагоромъ, не можетъ подлежатъ сомнѣнію, хотя жертвоприношеніе, обыкновенно связываемое съ этимъ открытіемъ, не болѣе какъ вымыселъ, такъ какъ оно противорѣчило бы основнымъ ученіямъ школы. Противъ этого возражали, что уже Египтяне должны были знать эту теорему, такъ какъ имъ было извѣстно, что треугольникъ, стороны котораго 3, 4, 5, прямоуголенъ. Плутархъ именно говоритъ: «Египтяне вѣроятно представляли себѣ вселенную въ образѣ красивѣйшаго изъ треугольниковъ; Платонъ въ своемъ сочиненіи о государствѣ тамъ, гдѣ онъ рисуетъ картину супружества, прибѣгаетъ, кажется къ этому представленію. Этотъ треугольникъ имѣетъ отвѣсную сторону изъ 3 частей, основаніе изъ 4 и гипотенузу изъ 5; квадратъ ея равенъ квадратамъ (вмѣстѣ взятымъ) катетовъ. Можно отвѣсную сравнить съ мужскимъ началомъ, основаніе съ женскимъ, гипотенузу съ рожденнымъ отъ нихъ и такимъ образомъ представитъ себѣ Озириса причиной, Изиду воспріемницей, а Гороса ихъ произведеніемъ и т. д.».

Но изъ этихъ словъ очевидно, что приведенное сравненіе принадлежитъ самому Плутарху, который и не утверждаетъ чтобы оно было египетскаго происхожденія. Поэтому сказанное имъ вовсе не можетъ служитъ достаточнымъ доказательствомъ того, что Египтяне знали свойство этого спеціальнаго прямоугольнаго треугольника. Но если бы оно и было имъ извѣстно. то все таки весьма странно, что до Пиѳагора вовсе не упоминается объ этомъ предложеніи, имѣющемъ несомнѣнно и практическое значеніе. Устройство мѣры для прямаго угла изъ трехъ

прямыхъ, относящихся какъ 3, 4 и 5, въ подробности излагаетъ Витрувій; но и онъ это приписываетъ положительно Пиѳагору, говоря: «Item Pythagoras normam sine artificis fabricationibus inventam ostendit, et quam magno labore fabri norman facientes vix ad verum perducere possunt, id rationibus et methodis emendatum ex ejus praeceptis explicatur etc».

На основаніи всего этого должно отклонитъ притязанія Египтянъ на открытіе знаменитой теоремы и признать ее принадлежащей Пиѳагору.

§ 64. Что касается до вопроса о томъ пути, который привелъ Пиѳагора къ его открытію, то необходимо принятъ во вниманіе мѣсто, которое эта теорема занимаетъ въ «Началахъ» и вспомнитъ, что доказательство здѣсь помѣщенное принадлежитъ самому Эвклиду, а не Пиѳагору. Проклъ въ своемъ коментаріи говоритъ: «Я почитаю и тѣхъ, которые первые признали истину этого предложенія; но еще выше цѣню автора началъ, не только за то, что онъ далъ стройное доказательство этой теоремы но и за то, что болѣе общую теорему*) шестой книги основалъ на непреложныхъ научныхъ данныхъ». Изъ этого слѣдуетъ, что пиѳагорейская школа доказывала теорему иначе, чѣмъ Эвклидъ.

Съ перваго взгляда можно предположитъ, что Пиѳагоръ былъ приведенъ къ своему открытію примѣненіемъ теоріи подобія фигуръ. Но, во первыхъ, это требовало такого знанія теоріи пропорціи, которымъ Пиѳагоръ и не владѣлъ, можетъ быть, а во вторыхъ, въ противорѣчіи съ этимъ то мѣсто, которое теорема занимаетъ въ «Началахъ».

Это мѣсто указываетъ что, для доказательства теоремы, открывшій ее примѣнялъ только тѣ ученія, которыя заключаются въ первой книгѣ «Началъ». Хотя въ новѣйшее время предложено много построеній, помощію которыхъ доказательство Пиѳагоровой теоремы можетъ бытъ дано весьма просто, но эти построенія тѣмъ не менѣе, таковы, что незнающій теоремы едва ли можетъ бытъ наведенъ на нихъ. Самымъ простымъ и естественнымъ доказательствомъ намъ представляется слѣдующее.

Такъ какъ пиѳагорейцамъ безусловно была извѣстна теорема о гномонѣ, то они знали и ея примѣненіе къ квадрату, а вмѣстѣ съ тѣмъ и построеніе (Эвкл. II. 4) соотвѣтствующее формулѣ:

*) Здѣсь Проклъ разумѣетъ слѣдующее предложеніе (II. 31): «Въ прямоугольномъ треугольникѣ, фигура, построенная на гипотенузѣ, равна подобнымъ и подобно-построеннымъ на катетахъ фигурахъ». Ред.

Но прямоугольники ab разложимы на четыре равныхъ прямоугольныхъ треугольника, въ которыхъ сумма катетовъ каждаго равна сторонѣ взятаго квадрата. Если эти 4 треугольника размѣстить такъ, что бы прямые углы ихъ совпадали съ прямыми углами квадрата, какъ видно изъ чертежа, то составится квадратъ, имѣющій стороною гипотенузу треугольника, катеты котораго a л Ь. Этотъ квадратъ, какъ видно, долженъ быть равновеликъ суммѣ а2ч-Ь2.

Такое доказательство, или сходное съ нимъ, не предполагаетъ другихъ знаній, кромѣ тѣхъ, которыя мы уже признали за Пиѳагоромъ и, сверхъ того, оно вполнѣ примыкаетъ къ тѣмъ пріемамъ, которыя такъ охотно употреблялись въ школѣ. Была ли извѣстна Пиѳагору и обратная теорема (Эвкл. I. 48) рѣшено быть не можетъ. Что касается до обобщенія Пиѳагоровой теоремы (Эвкл. VI. 31), то основываясь на словахъ Прокла, мы должны приписать его Эвклиду.

§ 65. Извѣстно что Пиѳагоръ далъ правило для составленія раціональныхъ прямоугольныхъ треугольниковъ, т. е. такихъ, въ которыхъ стороны находятся въ раціональныхъ отношеніяхъ. Проклъ приводитъ это правило въ слѣдующемъ видѣ: «Излагается также нѣсколько методовъ для составленія такихъ (раціональныхъ) треугольниковъ; одинъ изъ нихъ принадлежитъ Платону, другой, исходящій отъ нечетныхъ чиселъ, Пиѳагору. Данное нечетное число принимаютъ за меньшій катетъ; возведя это число въ квадратъ, вычтя единицу и раздѣливъ оставшееся пополамъ, получаютъ большій катетъ; придавъ къ нему единицу, получаютъ гипотенузу. Берутъ напр. число 3; изъ квадрата его т. е. 9 вычитаютъ 1, дѣлятъ разность пополамъ и получаютъ 4; къ этому числу прибавляютъ 1 что составляетъ 5; такимъ образомъ и получаютъ прямоугольный треугольникъ, стороны котораго 3,4, 5».

Открытъ это правило было весьма легко, если только Пиѳагоръ зналъ то свойство чиселъ, что послѣдовательныя суммы нечетныхъ чиселъ начиная съ 1, представляютъ квадраты чиселъ въ ихъ натуральномъ порядкѣ, а мы видѣли (§ 59), что это ему было извѣстно.

Если написать натуральный рядъ чиселъ, подъ ними ихъ квадраты и послѣдовательныя разности этихъ квадратовъ т. е. составить таблицу.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14......

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196......

3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29......

то стоитъ только въ третьемъ рядѣ отмѣтить квадратныя числа, чтобы напасть на правило Пиѳагора. Дѣйствительно такое число давало квадратъ меньшаго катета, а надъ нимъ стоящее и слѣдующее—квадраты большаго катета и гипотенузы. Такимъ предположеніемъ объясняется и форма, въ которой, по свидѣтельству Прокла, правило дано Пиѳагоромъ, такъ какъ онъ могъ бы выразитъ его иначе, сказавъ: «Прибавивъ къ квадрату даннаго нечетнаго числа единицу, вычтя изъ него единицу и раздѣливъ результаты пополамъ, получимъ другія два искомыя числа». Но такая форма не вытекала бы такъ непосредственно изъ вышенаписанной таблицы.

§ 66. Однимъ изъ слѣдствій этого ученія о раціональныхъ треугольникахъ должно было явиться то открытіе, что существуютъ прямыя, отношеніе которыхъ не можетъ быть выражено никакимъ числомъ, что существуютъ и числа, отношеніе которыхъ къ единицѣ невыразимо. Это открытіе несоизмѣримыхъ величинъ и ирраціональныхъ чиселъ, составляетъ величайшую заслугу, которую древній міръ приписываетъ Пиѳагору. Дѣйствительно сознаніе факта, что существуютъ такія величины, должно почитаться замѣчательнѣйшимъ умственнымъ пріобрѣтеніемъ, такъ какъ онъ не подлежитъ никакой повѣркѣ путемъ нагляднымъ. Но сомнительно, чтобы школа Пиѳагора тотчасъ же приложила это новое понятіе къ теоріи отношеній и пропорціи. Мы ниже увидимъ, что лишь современники и ученики Платона постепенно уяснили себѣ ученіе о несоизмѣримости, а потому едва ли Пиѳагоръ и его непосредственные ученики могли далеко подвинуться въ этой теоріи.

Что же касается до синтетической геометріи, то почти достовѣрно, что цѣлый рядъ слѣдствій изъ открытой Пиѳагоромъ теоремы усмотрѣнъ имъ самимъ. Сложеніе данныхъ квадратовъ и увеличеніе площади квадрата въ данномъ отношеніи составляли одно изъ любимыхъ занятій его учениковъ. Платонъ упоминаетъ напр. въ своемъ «Теитетѣ» что пиѳагореецъ Ѳеодоръ (изъ Кирены) училъ о несоизмѣримости сторонъ тройнаго и пятернаго квадрата и довелъ въ этомъ отношеніи изслѣдованіе сторонъ различныхъ квадратовъ до того, площадь кото-

раго въ 17 разъ больше даннаго. Не менѣе достовѣрно и то, что превращеніе прямоугольника въ равновеликій квадратъ также было извѣстно пиѳагорейцамъ, а вмѣстѣ съ тѣмъ и построеніе средней пропорціональной къ двумъ прямымъ, такъ какъ необходимое для того предложеніе (о прямомъ углѣ, вписанномъ въ полуокружность) знали уже давно.

§ 67. Другая задача, рѣшеніе которой основано на предыдущихъ теоремахъ, упоминается Плутархомъ. Онъ говоритъ:

«Одна изъ геометрическихъ теоремъ или вѣрнѣе задачъ состоитъ въ томъ, чтобы построитъ фигуру подобную данной фигурѣ и равновеликую другой данной фигурѣ. Пиѳагоръ, который нашелъ ея рѣшенія, принесъ, какъ разсказываютъ, жертву богамъ. И дѣйствительно, оно остроумнѣе и научнѣе того предложенія, что квадратъ гипотенузы равняется квадратамъ катетовъ».

Приписываемое здѣсь главѣ школы рѣшеніе (Эвкл. VI. 25) предполагаемъ такъ много предварительныхъ теоремъ и построеній, что едва ли принадлежитъ ему самому. Вѣроятнѣе что оно найдено однимъ изъ его учениковъ, а затѣмъ, какъ это часто дѣлалось въ другихъ случаяхъ, приписано учителю. Что необходимая для рѣшенія задачи теорема: «Площади подобныхъ фигуръ относятся какъ квадраты сходственныхъ сторонъ» была извѣстна въ пиѳагорейской школѣ, — мы увидимъ ниже, когда будемъ говорить о Гиппократѣ. A такъ какъ и построеніе средне-пропорціональной было извѣстно, то рѣшеніе упоминаемой Плутархомъ задачи не представляло затрудненій и могло бытъ найдено въ пиѳагорейской школѣ.

§ 68. Ей же, а отчасти самому основателю, приписываютъ открытіе звѣздчатаго пятиугольника (Pentalpha), который служилъ вмѣстѣ съ тѣмъ отличительнымъ знакомъ принадлежности къ школѣ. Лукіанъ разсказываетъ объ этомъ слѣдующее: «Божественный мудрецъ Пиѳагоръ (хотя не удостоившій насъ никакого письменнаго сочиненія) не употреблялъ въ началѣ письма ни выраженія «привѣтъ тебѣ», ни выраженія «желаю тебѣ счастія», но требовалъ чтобы начинали письмо словами: «будь здоровъ». Когда поэтому его ученики писали о чемъ либо важномъ другъ другу, они всегда въ заголовкѣ ставили: «будь здоровъ», указывая этимъ на пожеланіе высшаго для души и тѣла блага, которое включаетъ въ себя всѣ остальныя. Пятиугольникъ, который они употребляли какъ отличительный знакъ, они называли здоровьемъ».

Схоліастъ одной изъ комедій Аристофана пишетъ: «Платонъ начи-

наетъ свои письма словами: «Желаю тебѣ счастія», пиѳагорейцы же словами: «будъ здоровъ». Пятиугольникъ, который они употребляли какъ отличительный знакъ, они называли здоровьемъ».

Буквальное совпаденіе этихъ двухъ цитатъ показываетъ что или схоліастъ заимствовалъ у Лукіана, или что оба пользовались однимъ источникомъ. Предметъ же, о которомъ идетъ рѣчь, стоитъ въ тѣсной связи съ теоріей правильныхъ многоугольниковъ и правильныхъ многогранниковъ, такъ называемыхъ правильныхъ тѣлъ. Знакомство съ ними и построеніе ихъ приписывается Пиѳагору всѣми древними съ такимъ единогласіемъ, что нѣтъ основанія не присоединиться къ нимъ, хотя съ опредѣленностью не можетъ быть отдѣлено въ этой теоріи то что принадлежитъ самому Пиѳагору отъ того, что заимствовано имъ отъ Египтянъ. Послѣднимъ были несомнѣнно извѣстны тетраэдръ, эксаэдръ и октаэдръ, тѣла которыя встрѣчаются въ ихъ архитектурѣ. Но извѣстны ли были имъ икосаэдръ и додекаэдръ не можетъ быть утверждаемо съ увѣренностью. Что касается до перваго изъ этихъ тѣлъ, то можно предположить что и оно было знакомо Египтянамъ, если вспомнить что въ пиѳагорейской школѣ четыре правильныхъ тѣла служили символами четырехъ элементовъ: огня, земли, воздуха и воды. Къ тому же всѣ эти многогранники ограничены или равносторонними треугольниками или квадратами и если Египтяне, для составленія многограннаго угла, соединяли по три и по четыре равностороннихъ треугольника, то соединеніемъ пяти таковыхъ могли быть приведены къ построенію икосаэдра. Убѣдившись затѣмъ, что шесть треугольниковъ равно какъ четыре квадрата не составляютъ тѣлеснаго угла, они легко могли склониться къ мнѣнію что существуетъ только четыре правильныхъ тѣла.

§ 69. Но если Египтяне умѣли вписывать въ окружность правильные треугольникъ, четыреугольникъ и шестиугольникъ, то геометрическое построеніе правильнаго пятиугольника, имъ приписываемо быть не можетъ и должно быть отнесено къ одному изъ открытій Пиѳагора. Это построеніе, какъ извѣстно, предполагаетъ не только знаніе Пифагоровой теоремы, но и умѣнье дѣлить данную прямую «въ крайнемъ и среднемъ отношеніи». Приписавъ Египтянамъ построеніе правильнаго пятиугольника, мы должны были бы допустить вмѣстѣ съ тѣмъ что они обладали въ полномъ объемѣ геометрическимъ матеріаломъ, который составляетъ содержаніе первыхъ двухъ книгъ «Началъ». Такого допущенія не сдѣлаетъ ни одинъ изслѣдователь, такъ какъ все указываетъ на то, что построеніе правильнаго пятиуголь-

ника принадлежитъ гораздо позднѣйшему времени, чѣмъ построеніе правильнаго треугольника и квадрата. «Дѣленіе прямой въ крайнемъ и среднемъ отношеніи» (золотое сѣченіе) помѣщено у Эвклида во второй книгѣ (11), но безъ всякаго примѣненія этого построенія. Приведенное доказательство указываетъ, что это предложеніе помѣщено именно въ этомъ мѣстѣ потому, во первыхъ, что является слѣдствіемъ какъ Пиѳагоровой теоремы, такъ и другихъ предшествующихъ теоремъ о сравненіи площадей, и, во вторыхъ, потому что такая же группировка была принята, по всей вѣроятности, въ прежнихъ руководствахъ.

Первое примѣненіе дѣленія прямой въ крайнемъ и среднемъ отношеніи находимъ въ четвертой книгѣ «Началъ» гдѣ Эвклидъ излагаетъ построеніе центральнаго треугольника правильнаго вписаннаго десятиугольника и затѣмъ построеніе пятиугольника. Если золотое сѣченіе было бы открыто только по поводу этихъ построеній, то едва ли Эвклидъ разъединилъ бы предложенія такъ тѣсно связанныя между собой. Но изъ того, что онъ это сдѣлалъ, мы въ правѣ заключитъ, что золотое сѣченіе было извѣстно раньше чѣмъ примѣненіе его къ построенію правильнаго пятиугольника. Это примѣненіе могло даже дать поводъ вернуться къ золотому сѣченію, чтобы подробнѣе разсмотрѣть его и не потому ли мы опять встрѣчаемъ его въ VІ-й книгѣ (30) и даже еще разъ въ ХІІІ-й.

§ 70. Если же построеніе правильнаго пятиугольника принадлежитъ Пиѳагору, то становится понятнымъ, что онъ приписывалъ этой фигурѣ большое значеніе, тщательно изучалъ ея свойства и придалъ даже эмблематическое значеніе звѣздчатому пятиугольнику, составленному пятью діагоналями этой фигуры. На основаніе всего этого и открытіе додекаэдра должно быть приписано не Египтянамъ, а Пиѳагору. Занимаясь разложеніемъ плоскости на правильныя фигуры (§ 60. 61) и уяснивъ себѣ что сумма плоскихъ угловъ многограннаго угла всегда меньше четырехъ прямыхъ угловъ, онъ долженъ былъ замѣтить, что три правильныхъ пятиугольника могутъ образовать трехгранный уголъ, а этимъ былъ сдѣланъ первый шагъ для построенія додекаэдра. Это открытіе впрочемъ должно относиться къ послѣднимъ годамъ его жизни и едва ли онъ успѣлъ закончить относящіяся сюда изслѣдованія; послѣднее выпало на долю его учениковъ, между которыми Гиппазъ, какъ кажется, преимущественно занялся этимъ. О семъ Ямблихъ разсказываетъ»: «Это въ особенности относится къ Гиппазу, который былъ пиѳагорейцемъ; онъ хвалился тѣмъ, что первый построилъ къ додекаэдру

относящійся шаръ, почему и погибъ въ морѣ, такъ какъ присвоилъ себѣ славу, которая принадлежала ему. Такъ обозначаютъ они Пиѳагора, котораго не называютъ по имени». Гиппазъ открылъ слѣдовательно или то что около правильнаго додекаэдра можетъ быть описанъ шаръ или что такой можетъ быть въ него вписанъ, и это открытіе ему показалось настолько значительнымъ, что онъ не счелъ нужнымъ приписать его, по обычаямъ школы, умершему главѣ ея. Этимъ, какъ кажется, были весьма недовольны пиѳагорейцы и не преминули указать на смерть Гиппаза какъ на наказаніе, которое онъ навлекъ на себя своей непочтительностью.

Для самаго Пиѳагора открытіе додекаэдра было источникомъ нѣкотораго затрудненія, такъ какъ не оказалось пятаго элемента, котораго символомъ могло служить это новое правильное тѣло. Но такъ какъ философская система школы была вполнѣ выработана и не подлежала какимъ либо измѣненіямъ, то возникшее затрудненіе было устранено тѣмъ, что додекаэдръ былъ признанъ символомъ вселенной. Говорили что онъ по своей формѣ всего ближе къ ней подходитъ; при этомъ забыли конечно, что тоже самое съ большимъ основаніемъ можетъ быть сказано объ икосаэдрѣ.

§ 71. Въ заключеніе всего надлежитъ упомянуть о заслугѣ, которую приписываютъ Пиѳагору и которая состоитъ въ томъ что онъ будто бы положилъ начало ученію объ изопериметрахъ. Монтюкла*) первый затронулъ этотъ вопросъ; онъ говоритъ: «Suivant Diogène, dont le texte est ici fort corrompu et probablement transposé, il ébaucha aussi la doctrine des isopérimètres, en démontrant que de toutes les figures de même contour, parmi les figures planes, c'est le cercle qui est la plus grande, et parmi les solides la sphère». Клюгель**) и даже Шаль***) говорятъ въ томъ же смыслѣ. Тѣмъ не менѣе это мнѣніе совершенно ошибочно.

Мѣсто въ сочиненіи Діогена Лаэрція, на которое ссылается Монтюкла, находится въ его «Жизни Пиѳагора». Діогенъ излагаетъ здѣсь сущность философскаго ученія пиѳагорейцевъ, причемъ пользуется какъ сочиненіемъ Александра Полигистора «О философскихъ школахъ», такъ и различными сочиненіями Аристотеля. На ряду съ многими поуче-

*) Histoire des Mathématiques. Par. J. F. Montucla. 4 V. Paris. VII. Vel. 1. p. 117.

**) Klùgel, G. S. Mathematisches Wörterburch, fortgesetzt v. Mollweide u. Grunert. 7 Th. Leipzig. 1803—36. 45 Tafeln.

***) «Aperçu historique sur Toriqiue et le développement des Méthodes en Geometrie».

ніями, правилами, предписаніями и пр. мы находимъ здѣсь между прочимъ слѣдующія слова: «Между тѣлесными фигурами (утверждаютъ они) самая совершенная шаръ, а между плоскими — кругъ». На этихъ немногихъ словахъ, на этомъ «texte fort corrompu et probablement transposé», по выраженію Монтюкла, онъ основываетъ свое вышеприведенное показаніе. Но между тѣмъ смыслъ этихъ словъ не подлежитъ ни малѣйшему сомнѣнію. Если пиѳагорейцы приписывали кругу и шару совершенство то потому, что всѣ точки окружности перваго и всѣ точки поверхности втораго равно удалены отъ центра, потому еще что кривизна окружности вездѣ одинакова, также какъ и кривизна шаровой поверхности, потому, наконецъ, что, при вращеніи около центра, окружность, не переставая совмѣщаться сама съ собою, сохраняетъ неизмѣннымъ свое положеніе относительно всѣхъ точекъ плоскости подобно тому, какъ и шаровая поверхность, при вращеніи около центра, сохраняетъ неизмѣннымъ свое положеніе относительно точекъ пространства. Въ «Тимеѣ» Платона мы читаемъ: «А также онъ приписалъ ей (вселенной) форму, которая ей свойственна и родственна ея природѣ. Тому живому существу, которое обнимаетъ собою все остальное живущее, подобаетъ и форма, которая заключала бы въ себѣ всѣ другія формы. Поэтому то онъ придалъ ей форму шарообразную, такъ что средина ея вездѣ равно отстоитъ отъ ея предѣльныхъ точекъ, и вмѣстѣ съ тѣмъ форму кругообразную; изъ всѣхъ формъ это самая совершенная и наиболѣе себѣ подобная; онъ же считалъ то, что остается себѣ подобнымъ, неизмѣримо красивѣйшимъ чѣмъ то, что себѣ подобнымъ не остается». Изъ одного этого отрывка вытекаетъ неправильность толкованія, которое Монтюкла придаетъ словамъ Діогена. Но и помимо этого, совершенно невѣроятно, чтобы Пиѳагоръ, владѣвшій относительно не обильнымъ матеріаломъ только что возникавшей науки. могъ доказать теорему, что изъ всѣхъ изопериметрическихъ плоскихъ фигуръ кругъ имѣетъ наибольшую площадь, а шаръ—наибольший объемъ изъ всѣхъ тѣлъ равной съ нимъ поверхности.

§ 72. Въ предыдущемъ изложено все что, по достовѣрнымъ свидѣтельствамъ древнихъ, извѣстно намъ о работахъ Пиѳагора и непосредственныхъ учениковъ его въ области геометріи. Сводя въ одно цѣлое все сказанное, попытаемся, въ заключеніе этого отдѣла, намѣтить состояніе въ которомъ находились геометрическія знанія въ періодъ 480— 470 до P. X.

Что касается до формы, то школа Пиѳагора, отдѣливъ геометрію отъ потребностей политической и общественной жизни, возвела ея на

степень теоретическаго знанія, на высоту науки и для изслѣдованія ея истинъ установила синтетическій методъ.

Относительно содержанія, новая наука представляетъ теперь богатство, котораго она не имѣла въ іонійской школѣ. Топическія свойства*) треугольниковъ, параллелограммовъ и правильныхъ многоугольниковъ изучены вполнѣ; изслѣдованію же метрическихъ свойствъ положена твердая основа развитіемъ ученія о сравненіи площадей, введеніемъ ученія о пропорціональности и тѣсно-связаннаго съ нимъ ученія о подобіи фигуръ. Что касается до свойствъ круга, то въ изученіи ихъ не было сдѣлано замѣтныхъ успѣховъ; мы не знаемъ ни одной относящейся сюда важной теоремы, открытіе которой приписывалось бы пиѳагорейцамъ; если, какъ увидимъ ниже, свойства центральныхъ и вписанныхъ угловъ не были извѣстны Гиппократу Хіосскому въ 440 г. до P. X., то должны будемъ признать, что ученіе объ окружности весьма немногимъ обязано италійской школѣ.

Въ стереометріи Пиѳагоръ и его ученики развили ученіе о многогранныхъ углахъ и правильныхъ многогранникахъ. Построеніе ихъ, равно какъ установленіе понятія о несоизмѣримости почитаются всѣмъ древнимъ міромъ славнѣйшими заслугами Пиѳагора и о нихъ упоминается всегда, когда рѣчь идетъ о томъ что этотъ замѣчательный мыслитель сдѣлалъ для расширенія области нашего вѣдѣнія.

*) Свойства, относящіяся къ взаимному положенію элементовъ фигуръ, въ отличіе отъ свойствъ, зависящихъ отъ ихъ метрическихъ соотношеній. Ред.

Задачи.

15. Рѣшить систему уравненій

16. Найти отношеніе a : Ъ изъ

17. ^.#67)—трапеція, діагонали которой—AC и BD. Изъ точки D параллельно СВ проведена прямая, которая въ Mвстрѣчаетъ AC; изъ точки С параллельно DA проведена прямая, которая въ N встрѣчаетъ AC.

Доказать что

1) Прямая, проходящая чрезъ точки M и JV, параллельна основаніямъ трапеціи.

2) Отрѣзокъ MN есть третья пропорціональная къ основаніямъ трапеціи.

18. D — основаніе высоты AD треугольника ABC. AD продолжена на длину DAt равную AD\ изъ Ах проведены двѣ прямыя соотвѣтственно параллельныя AB, AC; онѣ встрѣчаютъ прямую, проходящую чрезъ В и С въ точкахъ Вх, Сх.

Доказать что окружность девяти точекъ треугольника ABC въ точкѣ D касается окружности девяти точекъ треугольника Ах Вх Сх.

19. ABC—треугольникъ; Лп Бп Сх—средины его сторонъ. Доказать что окружность девяти точекъ треугольника А,ВС касается окружности девяти точекъ каждаго изъ остальныхъ треугольниковъ.

20. Уголъ постоянной величины вращается около своей вершины Р; стороны его пересѣкаютъ въ В и С стороны другаго угла, даннаго по величинѣ и по положенію. Опредѣлить геометрическое мѣсто основанія перпендикуляра изъ Р на ВС.

21. Чрезъ средины діагоналей четыреугольника AB CD проведена прямая. Доказать что она геометрическое мѣсто точки, для которой

22. На сторонахъ угла даны точки А, В. Построить двѣ равныя окружности, которыя касались бы взаимно и касались бы сторонъ даннаго угла въ данныхъ точкахъ.

23. 1) Если а, (}, у—отрѣзки сторонъ треугольника отъ вершинъ его до точекъ касанія вписанной окружности (радіуса г), то

2) Если четыреугольникъ описанъ около окружности и а, ß, y, 8— отрѣзки его сторонъ отъ вершинъ до точекъ касанія вписанной окружности (радіуса г), то

24. hк2, Іел—стороны квадратовъ вписанныхъ въ треугольникъ; гі ги г2> ^—радіусы окружностей касательныхъ къ сторонамъ этого треугольника.

Доказать что

25. 1) Если два противулежащихъ ребра тетраэдра перемѣщаются по своему направленію, не измѣняя своей длины, то объемъ тетраэдра остается неизмѣннымъ.

2) Если а, Ъ—длины двухъ противулежащихъ реберъ тетраэдра; (a, Ь) — уголъ ихъ, а ихъ кратчайшее разстояніе и V объемъ тетраэдра, то

26. Треугольникъ ABC, стороны котораго а, Ь, с, вписанъ въ окружность; діаметръ, проведенный чрезъ вершину A встрѣчаетъ сторону BG въ точкѣ D.

Доказать что

27. Двѣ окружности, радіусы которыхъ ЕІУ Jß2, пересѣкаются въ точкахъ і и Б; d—разстояніе точки A отъ общей касательной; а— уголъ, составленный прямыми, которыя соединяютъ A съ центрами взятыхъ окружностей.

Доказать что

28. Въ квадратъ ABCD вписана окружность, произвольная точка M которой соединена съ его вершинами. Доказать что

29. Доказать что

30. Рѣшить уравненія:

ОДНО ИЗЪ ДОКАЗАТЕЛЬСТВЪ ПИѲАГОРОВОЙ ТЕОРЕМЫ.

Доказательство, которое мы здѣсь имѣемъ въ виду, основано на слѣдующемъ замѣчаніи:

«Если стороны двухъ равныхъ треугольниковъ соотвѣтственно параллельны и одинаково направлены и сходственныя вершины этихъ треугольниковъ соединены прямыми, то изъ трехъ составленныхъ такимъ образомъ параллелограммовъ одинъ равновеликъ суммѣ двухъ другихъ».

Возьмемъ прямоугольный треугольникъ ABC. На гипотенузѣ ВС его построимъ*)—и притомъ внѣ треугольника — квадратъ ВВХСХС\ изъ точки С, проведемъ прямую СХАХ параллельную CA, изъ точки Вх — ирямую ВХАХ параллельную ВА и соединимъ точку Ах съточкой А.

Легко видѣть что квадратъ ВВХСХС равновеликъ суммѣ паралелограммовъ: АССхАг, АВВХАХ.

Если за основаніе перваго примемъ сторону AC, то высоту его получимъ, опустивъ изъ С перпендикуляръ на противулежащую сторону СХАХ; этотъ перпендикуляръ CN, очевидно, равенъ CA, такъ какъ треугольникъ CNCX равенъ треугольнику CAB и въ этихъ треугольникахъ стороны CN, CA лежатъ противъ равныхъ угловъ.

Изъ этого заключаемъ что параллелограммъ АССХАХ равновеликъ квадрату построенному на катетѣ AC.

Точно также доказали бы что параллелограммъ АВВХАХ равновеликъ квадрату построепному на катетѣ AB и заключили бы изъ этого что квадратъ ВССХВХ равновеликъ суммѣ построенныхъ на катетахъ квадратовъ.

Это доказательство проще общеизвѣстнаго, классическаго (Эвкл. I. 47), которое часто затрудняетъ учащихся; ново ли оно — мы не знаемъ.

Пользуясь случаемъ чтобы указать на брошюру, въ которой собраны различныя доказательства знаменитаго предложенія; это слѣдующая:

«Сорокъ пять доказательствъ Пиѳагоровой теоремы съ приложеніемъ краткихъ біографическихъ свѣдѣній о Пиѳагорѣ. Собралъ Юрій Випперъ. Съ 58 черт. Москва. Цѣна 75 коп».

*) Просимъ читателя сдѣлать чертежъ.

Библіографія.

КНИГИ, ВЫШЕДШІЯ СЪ 1-ГО ІЮЛЯ ПО 1-ОЕ ОКТЯБРЯ 1879 Г.

1. Давидовъ (А. Ю. проф. Моск. Универс).—Руководство къ ариѳметикѣ Часть 1-я. Приготовительный курсъ, числа отъ 1 до 100. 3-е нспр. изд. 96 стр. 8. Ц. 35 к. Часть 2-я. Общій курсъ. 3-е испр. изд. 234 стр. 8. Ц. 85 к. Москва. Складъ у Салаевыхъ.

2. Малининъ (А.) и Буренинъ (К). — Руководство Ариѳметики. 13-е изд. 232 стр. 8. Москва. Ц. 75 к.

3. Геде (Ѳедоръ).—Систематическій курсъ Ариѳметики. Часть 1-я. Цѣлыя числа. Руководство для учащихъ и учащихся. 120 стр. 8. Спб. Тип. бывшая Котомина. Ц. 45 к.

4. Королевъ (Ф. Н.) — Учебникъ Ариѳметики, предназначенный преимущественно для сельскихъ и городскихъ общеобразовательныхъ, а также и для всѣхъ техническихъ и ремесленныхъ школъ. 108 стр. стр. 8. Спб. Складъ въ товарищ. „Общая Польза". Ц. 40 к.

5. Меморскій (Михаилъ). — Ариѳметика въ вопросахъ и отвѣтахъ для легчайшаго обученія дѣтей. Двѣ части. 128 стр. 12. Москва. Изд. П, А. Глушкова. Ц.

6. Малининъ (А., преподав. 5-й Моск. Гимн.).—Учебникъ Ариѳметики для низшихъ классовъ среднихъ учебныхъ заведеній. Часть 1-я. Цѣлыя числа. 56 стр. 8. Москва. тип. Индриха. Ц. 35 к.

7. Вороновъ (Александръ). — Собраніе ариѳметическихъ задачъ. Часть 1-я. Цѣлыя числа. 2-е изд. 144 стр. 8. Спб. типогр. Безобразова и К°. Ц. 30 к.

8с Лубенецъ (T.). — Ариѳметическій задачникъ, преимущественно заключающій въ себѣ данныя изъ сельскаго хозяйства. Цѣлыя числа. 2-е испр изд. 112 стр. 12. Кіевъ. Складъ въ Редакц. „Народнаго Календаря". Ц.

9. Евтушевскій (В. А.).—Сборникъ ариѳметическихъ задачъ и численныхъ примѣровъ для приготовительнаго и систематическаго курса. Часть 1-я. 12-е изд. 184 стр. 8. Спб. Ц. 40 к.

10. Отвѣты къ ариѳметнкѣ В. Евтушевскаго на задачи, помѣщенныя въ первомъ и второмъ отдѣлахъ. 16 стр. 8. Спб. Тип. бывш. Котомина. Ц. 5 к.

11. Ждановъ (Д.). — Точный способъ учета векселей. 4 стр. 12. Москва. Ц. 15 к.

12. Фроловъ (0.).— Таблицы для умноженія чиселъ отъ 1 до 1000. 26 стр. 4. Архангельскъ. Складъ у автора. Ц. 50 к.

13. Вейль (С. препод. военн. гимн.).—Къ теоріи дѣлимости чиселъ. 12 стр. 8. Кіевъ. Складъ у автора. Ц. 20 к.

14. Чебышевъ (П. Л.).)—Теорія сравненій. 2-е изд. 238 стр. 8. Спб. Ц. 1 р.

15. Давидовъ (А. Ю. Профес. Моск. Универс.).— Начальная Алгебра. 9-е изд. 528 стр. 8. Москва. Складъ у бр. Салаевыхъ. Ц. 1 р. 65 к.

16. Пржевальскій (Е. Препод. Александр. Училища). — Пятизначныя таблицы логариѳмовъ чиселъ и тригонометрическихъ величинъ съ прибавленіемъ логариѳмовъ Гаусса, натуральныхъ тригонометрическихъ величинъ и нѣкоторыхъ другихъ таблицъ- 2-е стереотипъ, изд. 200 стр. 12. Москва. Типогр. Э. Лисснера и Ю. Романа. Ц. 75 к.

17. Малининъ (А.) и Егоровъ (Ѳ.). — Геометрія и собраніе геометрическихъ задачъ. Руководство для женскихъ учебныхъ заведеніи и для учительскихъ семинарій. 302 стр. 8. Москва. Складъ у бр. Салаевыхъ. Ц. 1 р.

18. Мазингъ (К.).—Геометрія и систематическій подборъ задачъ, для среднихъ учебныхъ заведеній. Вып. І-й. Планиметрія. 2-е изд. 188 стр. 8. Москва. Складъ у В. Морозова. Ц. 1 р.

19. Ковалевъ (В. Преподав. въ Курмышѣ). — Геометрія для городскихъ училищъ. Ч. 1-я. 68 стр. 8. 124 черт. въ текстѣ. Казань. Складъ у А. А. Дубровина. Ц. 50 к.

20. Дмитріевъ (А.).—Практическія упражненія въ геометріи или собраніе геометрическихъ задачъ. Книга 2-я. Стереометрія. 84 стр. 8. Спб. Складъ у автора (Васил. Остр. 12 лин., 17, кв. 13). Ц. 80 к.

21. Мининъ (В.). — Сборникъ геометрическихъ задачъ. Изд. 2-е испр. и дополн. Москва. Ц.

22. Дмитріевъ (А.).—Начальныя основанія сферическоп геометріи и сферической тригонометріи. 3-е изд. 86 стр. 8. 2 табл. черт. Спб. Ц. 80 к.

23. Бріо и Буке. — Сферическая тригонометрія, съ приложеніемъ ученія о круговыхъ функціяхъ. Перев. съ французскаго Н. И. Мамонтовымъ. 104 стр. 8. Москва. Складъ у H. И. Мамонтова въ Москвѣ и Спб. Ц. 1 р.

24. Будаевъ (профес. Инст. Пут. Сообщ.). — Литографированныя лекціи аналитической геометріи. 332 стр. 8. Спб. Изд. П. А. Стефановича. Ц.

25. Печковскій (И.).—Аналитическая геометрія двухъ измѣреній. Лекціи профес. Г. Тиле. 96 стр. 8. Спб. Изд. Шевякова. Ц.

26 Поссе (К. проф.). —Дифференціальное исчисленіе. Литогр. заниски. 128 стр. 8. Спб. Ц.

27. Деларю (Д.).—Объ особыхъ рѣшеніяхъ дифференціальныхъ уравненій какого бы ни было порядка. 32 стр. 8. Москва. Складъ въ Моск. Математ. Общ. Ц.

28. Старковъ (А.).—Объ оберткахъ круговъ и шаровъ перемѣнныхъ радіусовъ. 2 листа черт. и 34 стр. 8. Одесса. Тип. Ульриха. Ц.

МАТЕМАТИЧЕСКІЙ ЛИСТОКЪ.

КЪ УЧЕНІЮ О МАГИЧЕСКИХЪ КВАДРАТАХЪ*)

Подъ магическимъ квадратомъ разумѣютъ такое расположеніе первыхъ m1 чиселъ въ клѣткахъ шахматно-разграфленнаго квадрата, при которомъ сумма чиселъ каждой строки, каждаго столбца и каждаго діагональнаго ряда одна и таже.

Простѣйшій изъ такихъ квадратовъ очень извѣстенъ: онъ представляетъ слѣдующее расположеніе первыхъ девяти чиселъ

Происхожденіе магическихъ квадратовъ теряется въ древности. Хотя нѣкоторые и считаютъ Индію ихъ отечествомъ, но никакія достовѣрныя историческія данныя не подтверждаютъ этого мнѣнія, съ одной стороны вызваннаго тѣмъ, можетъ быть, что шахматная игра, какъ достовѣрно извѣстно, есть индусское изобрѣтеніе, съ другой—опирающагося на слова извѣстнаго путешественника XVII в. Лалубера. Между тѣмъ изъ словъ этихъ можно вывести только то заключеніе что современные Лалуберу брахманы въ Индіи владѣли пріемами для составленія магическихъ квадратовъ какъ нечетнаго, такъ и четнаго числа клѣтокъ. Съ полною достовѣрностью можетъ быть указано знакомство съ магическими квадратами впервые у Арабовъ. Этимъ предметомъ впрочемъ занимались исключительно астрологи, для которыхъ магическіе квадраты служили поводомъ не къ научнымъ изслѣдованіямъ, а матеріаломъ для мистическихъ ученій. Распространившаяся въ X в. по всему царству калифовъ философская секта изложила въ руководствахъ,

*) Первая половина этой статьи была напечатана въ «Математическомъ отдѣлѣ» журнала «Семья и Школа». 1877.

составленныхъ для своихъ членовъ, и нѣкоторыя свѣдѣнія о магическихъ квадратахъ. Въ одномъ изъ такихъ руководствъ читаемъ:

«Мы передъ тѣмъ говорили объ особенностяхъ чиселъ, затѣмъ объ особенностяхъ фигуръ; теперь скажемъ нѣчто объ особенностяхъ тѣхъ и другихъ вмѣстѣ. Если соединить нѣкоторыя числа и нѣкоторыя математическія фигуры, то обнаружатся особенности, которыхъ не представляютъ тѣ и другія отдѣльно взятыя».

«1. Если написать девять чиселъ въ такомъ видѣ, то всегда получится 15, какъ бы ни считать».

2

7

6

9

5

1

4

3

8

«2. Если написать 16 чиселъ въ такомъ видѣ, то всегда получится 34, какъ бы ни считать».

4

14

15

1

9

7

6

12

5

11

10

8

16

2

3

13

«3. Подобно этому, 25 чиселъ написанныхъ въ 25 клѣткахъ такъ, всегда дадутъ 65».

21

3

4

12

25

15

17

6

19

8

10

24

13

2

16

18

1

20

9

11

1

14

22

23

5

Далѣе говорится о квадратахъ, число клѣтокъ которыхъ 36, 49, 64, 81 и объ значеніи ихъ для астрологіи.

Относительно пріемовъ, которыми Арабы пользовались для составленія этихъ квадратовъ, мы находимся, къ сожалѣнію, въ полной неизвѣстности.

Магическіе квадраты, представлявшіе теоретическій интересъ и, сверхъ того, соотвѣтствовавшіе по своему мистическому оттѣнку направленію того времени, распространились, по всей вѣроятности, весь-

ма скоро съ одной стороны до Индіи, гдѣ послужили поводомъ къ самостоятельнымъ работамъ, результатомъ которыхъ явились индійскіе методы составленія такихъ квадратовъ, съ другой — проникли и въ христіанскія земли, между прочимъ, въ Византію. Здѣсь мы находимъ ученаго, трактатъ котораго о магическихъ квадратахъ дошелъ и до насъ, хотя не въ полномъ составѣ. Этотъ трактатъ составляетъ часть рукописи, случайно найденной Лагиромъ1) въ Парижской библіотекѣ. Французскій геометръ, самъ занятый теоретическими изслѣдованіями свойствъ магическихъ квадратовъ, изучилъ эту рукопись и не разъ представлялъ изъ нея извлеченія. Полный же текстъ трактата появился въ печати лишь въ 1876 г въ сочиненіи Гюнтера: «Vermischte Untersuchungen zur Geschichte der Mathematischen Wissenschaften von Dr. Siegmund Günther. Leipzig. 1876». Трактатъ, о которомъ мы говоримъ, принадлежитъ Мануилу Мошопулосу2) и относится по мнѣнію нѣкоторыхъ къ XIV вѣку. Въ немъ изложены пріемы составленія магическихъ квадратовъ какъ четнаго, такъ и нечетнаго числа клѣтокъ.

Не имѣя въ виду, на этотъ разъ, изложенія ученія о магическихъ квадратахъ въ его историческомъ развитіи, мы ограничимся двумя методами составленія магическихъ квадратовъ нечетнаго числа клѣтокъ, пріемомъ индійскимъ и пріемомъ византійскимъ (Мошопулоса).

Индійскій методъ.

По разграфленіи квадрата на нечетное число клѣтокъ, ставятъ 1 въ верхнюю клѣтку средняго столбца и 2—въ нижнюю слѣдующаго столбца*); затѣмъ, слѣдуя направленію діагонали AB, наполняютъ клѣтки боковой діагонали MN числами 3, 4, 5.... Дойдя до конца, переходятъ на другую сторону AB въ тотъ боковой діагональный рядъ pç, число клѣтокъ котораго составляетъ съ числомъ клѣтокъ только что наполненнаго число клѣтокъ діагонали AB и продолжаютъ вписывать числа въ ихъ натуральной послѣдовательности. Если при этомъ дойдутъ до клѣтки уже занятой, то опускаются въ слѣдующую клѣтку столбца и наполняютъ клѣтки сосѣдняго діагональнаго ряда. Продолжая такъ, дойдемъ наконецъ до нижней клѣтки средняго столбца, чѣмъ и закончится составленіе магическаго квадрата.

Этотъ способъ легко запоминается и небольшой доли вниманія до-

*) Считаемъ строки отъ верхней къ нижней, столбцы—отъ лѣваго къ правому.

статочно, чтобы помощыо его составитъ весьма скоро магическій квадратъ любаго нечетнаго числа клѣтокъ.

Переходя къ доказательству справедливости только что изложеннаго пріема, замѣтимъ что оно основано лишь на простѣйшихъ свойствахъ ариѳметической прогрессіи.

93

106

123

138

153

168

1

16

31

46

61

76

91

107

122

137

152

167

13

15

30

45

60

75

90

92

121

136

151

166

12

14

29

44

59

24

89

104

106

135

150

165

11

26

28

43

58

73

88

103

105

120

149

164

10

25

27

42

52

22

8Z

102

112

119

134

163

9

24

39

41

56

71

86

101

116

118

133

148

8

23

38

40

55

70

85

100

115

130

132

147

162

22

37

52

54

69

84

99

114

129

131

146

161

7

36

51

53

68

83

98

113

128

143

145

160

6

21

50

65

67

82

97

112

127

142

144

159

5

20

35

64

66

81

96

111

126

141

156

158

4

19

34

49

18

80

95

110

125

140

155

152

3

18

33

48

63

79

94

119

124

139

154

169

2

17

32

47

6Z

11

Пусть число клѣтокъ взятаго квадрата (2п+1)2. Въ немъ расмѣщены слѣдовательно числа

Сумма этихъ чиселъ:

Для магическаго квадрата сумма S чиселъ каждой строки, каждаго столбца, каждаго діагональнаго ряда должна быть одна и таже, для взятаго случая должна быть

или

1. Разсмотримъ составъ средняго столбца. Въ первой клѣткѣ его стоитъ число 1; чтобы достичь слѣдующей мы должны, въ нашемъ примѣрѣ, сдѣлать 6 ходовъ въ боковой дігонали MN, 6 ходовъ въ боковой діагонали р#, еще два хода и поставитъ число 14 + 1 во вторую клѣтку средняго столбца. Чтобы достичь 3 клѣтки этого столбца, намъ придется сдѣлать еще 14 ходовъ и вписать въ эту клѣтку число 2.14+1 т. е. 29. Въ нижней клѣткѣ средняго столбца окажется число 12 . 14 + 1.

Въ общемъ видѣ: въ среднемъ столбцѣ расположены члены слѣдующей ариѳметической прогрессіи.

Число членовъ этой прогрессіи—(2w+l); сумма ихъ:

2. Перейдемъ въ боковой столбецъ. Въ каждомъ изъ нихъ стоитъ одно изъ чиселъ р, большее 1, но не больше 13; остановимся на томъ напр. столбцѣ, въ которомъ стоитъ 5 (11-й столбецъ). Чтобы дойти до слѣдующей клѣтки столбца намъ нужно сдѣлать 14 ходовъ; въ эту клѣтку придется число 5 + 14; въ слѣдующую клѣтку столбца придется число 5+2.14. Продолжая такъ, мы дойдемъ до клѣтки, въ которой стоитъ число на единицу меньшее числа слѣдующей клѣтки (117,118) и это случится для выбраннаго нами числа 5 чрезъ 8 т. е. (13—5) обходовъ; затѣмъ, каждое изъ чиселъ этого столбца будетъ опять на 14 больше предыдущаго. Итакъ, числа боковаго столбца представляютъ члены двухъ ариѳметическихъ прогрессіи съ общей разностью 14; первая изъ нихъ, начинается съ числа 5 и содержитъ 9 членовъ; вторая начинается съ числа на 1 большаго послѣдняго члена первой и содержитъ 4 члена.

Въ общемъ видѣ, члены первой прогрессіи слѣдующіе

Члены второй прогрессіи слѣдующіе:

Сумма $, членовъ первой прогрессіи:

Сумма /S2 членовъ второй прогрессіи:

Упрощая выраженіе St найдемъ:

Упрощая выраженіе найдемъ:

Складывая S, и 8% получимъ

т. е.

3. Изслѣдуемъ теперь составъ строкъ и начнемъ съ верхней. Чтобы изъ средней ея клѣтки съ числомъ 1 перейти въ слѣдующую

надо сдѣлать 15 ходовъ и поставитъ число 16; въ сосѣдней клѣткѣ будетъ стоятъ число 16 + 15 и т. д. до конца строки. Въ первой же клѣткѣ строки стоитъ число на 2 большее, чѣмъ въ послѣдней, и затѣмъ, числа слѣдуютъ одно за другимъ, увеличиваясь опять на 15. Итакъ, числа верхней строки группируются въ двѣ прогрессіи съ общей разностью 15; первая начинается съ 1 и содержитъ 7 членовъ; вторая начинается съ числа на 2 большаго послѣдняго числа первой и имѣетъ 6 членовъ.

Въ общемъ видѣ, члены первой прогрессіи следующіе:

Члены второй прогрессіи слѣдующіе:

Сумма St членовъ первой прогрессіи:

Оумма £2 членовъ второй прогрессіи:

Сложивъ эти суммы, найдемъ опять что

4. Суммированіе чиселъ нижней строки аналогичной по составу съ верхней не представляетъ никакого затрудненія.

5. Разсмотримъ одну изъ промежуточныхъ строкъ.

Составъ ихъ нѣсколько сложнѣе, такъ какъ числа такой строки группируются въ три ариѳметическія прогрессіи, имѣющихъ впрочемъ общую разность.

Выпишемъ числа тѣхъ строкъ, въ которыхъ помѣщены нечетныя числа большія 1 и не большія 13; это строки четныхъ мѣстъ и если мы начнемъ ихъ съ чиселъ 13, 11, 9, 7, 5, 3, то онѣ представятся въ слѣдующемъ видѣ:

Разсматривая эти строки, замѣчаемъ что

1) Числа каждой изъ нихъ группируются въ три прогрессіи съ общей разностью 15;

2) Число членовъ средней прогрессіи постоянно для всѣхъ строкъ и равно 6;

3) Число членовъ какой либо крайней прогрессіи дополняетъ до 7 число членовъ другой крайней прогрессіи той же строки;

4) Первый членъ каждой прогрессіи на 2 больше послѣдняго члена предшествующей.

Выразимъ все это въ общемъ видѣ.

Нечетное число, которое больше 1 и не больше 2w+l, имѣетъ видъ 2п—1+і?, гдѣ і> = 0, 1, 2,...(гс—1).

Поэтому члены первой прогрессіи слѣдующіе:

Члены второй прогрессіи:

Члены третьей прогрессіи:

Число членовъ этихъ прогрессіи по порядку: Вычислимъ ихъ суммы Si9 8t\ S3:

Отдѣливъ въ этихъ выраженіяхъ члены, содержащіе р множителемъ. найдемъ

Сложивъ эти три суммы получимъ

Для строкъ нечетныхъ мѣстъ, въ которыхъ стоятъ четныя числа меньшія 13, вычисленіе суммы не отличается отъ вычисленія только что сдѣланнаго.

6. Остается, наконецъ, суммировать числа діагональныхъ рядовъ. Одинъ изъ этихъ рядовъ наполненъ (2w +1) числами натуральнаго ряда, начиная съ числа (2w+l)w + l; сумма всѣхъ этихъ чиселъ:

или

Въ другомъ діагональномъ рядѣ числа симметрично расположены относительно числа средней клѣтки и притомъ сумма двухъ симметрично расположенныхъ чиселъ равна удвоенному среднему числу. Не трудно повѣрить что сумма всѣхъ этихъ чиселъ равна также S.

Византійскій методъ.

Если число клѣтокь (2w+l)'2, то на сторонахъ квадрата строятъ симметрично по п прямоугольникъ, число клѣтокъ которыхъ Ьг—1, 2w—3, 2п—5,....5, 3, 1. Построенныя фигуры мы будемъ называть Террасса I, II, III, IV. Въ первую клѣтку террассы I ставятъ 1 и, слѣдуя направленію одной изъ діагоналей квадрата, наполняютъ послѣдовательно клѣтки числами натуральнаго ряда, какъ показано на чертежѣ; такимъ образомъ въ нижнюю клѣтку террассы III попадетъ число

(2*г + 1)2

Затѣмъ передвигаютъ каждую террассу до совпаденія ея основанія съ противулежащей стороной квадрата: числа вписанныя въ клѣтки террассъ наполнятъ тогда пустыя клѣтки квадрата и магическій квадратъ составленъ.

Эта операція передвиженій террассъ можетъ бытъ впрочемъ обойдена и мы можемъ формулировать пріемъ иначе:

Чтобы составитъ pYV) строку или рь столбецъ (р<п) магическаго квадрата считаютъ сколько чиселъ находится въ соотвѣтствующемъ горизонтальномъ или вертикальномъ рядѣ; пусть ихъ 1\ къ нимъ надлежитъ присоединитъ числа, стоящія въ той строкѣ или въ томъ столбцѣ террассы III или IV, гдѣ ихъ находится

2^-И-г.

Чтобы составитъ (м+1+р)ую строку или (п+1+р)ыіі столбецъ (р<п) поступаютъ также, замѣняя лишь террассы III, ІѴтеррассами I, II.

Доказательство, къ которому мы переходимъ, распадается на восемь частей: нужно доказать что сумма всѣхъ вписанныхъ чиселъ постояина, а именно равна во взятомъ случаѣ

4п3+6и2+4п + 1

для каждаго діагональнаго ряда, для каждой рой строки и рто столбца (р<п), Для каждой (п+1+р)0* строки и (п + 1+р)то столбца (р<п), для средней строки и, наконецъ, для средняго столбца. 1. Въ правомъ верхнемъ полѣ квадрата стоитъ число

поля діагонали AC содержатъ числа:

l-fw(2w+l), 2+w(2n+l),.... 2іе + 1+'ю(2и+1);

сумма этихъ чиселъ:

2. Другая діагональ 7)7? начинается съ числа

ея поля заняты послѣдовательно числами:

сумма этихъ чиселъ:

3. Средняя или (п-}-1)ая строка содержитъ лишь тѣ числа. которыя стоятъ въ томъ же горизонтальномъ рядѣ т. е. числа

сумма этихъ чиселъ:

4. Средній или (ю+1)нй столбецъ наполненъ числами

сумма ихъ:

5. рап строка содержитъ, во первыхъ, всѣ числа стоящія въ томъ же горизонтальномъ рядѣ т. е. п+р чиселъ; они слѣдующія:

и, во вторыхъ^ числа р" строки террассы III; эта строка содержитъ 2п-\-1 — (п+р) т. е. п+і—р чиселъ; они слѣдующія:

Суммируя первую группу чиселъ найдемъ:

или

Суммируя вторую группу чиселъ найдемъ:

или

Складывая найденныя суммы получимъ для суммы чиселъ р™ строки выраженіе

6. (п4-1+р)ая строка содержитъ, во первыхъ, числа

сумма ихъ:

или

Эта строка содержитъ, во вторыхъ, числа той строки террассы I, въ которой написано р чиселъ т. е. числа р" строки; эти числа слѣдующія:

ихъ сумма:

или

Приложивъ ее къ только что найденной суммѣ, получимъ

7 р* столбецъ наполненъ, во первыхъ, числами

и, во вторыхъ, числами рѵо столбца террассы IV т. е. числами

Суммируя первую группу чиселъ найдемъ

суммируя вторую группу найдемъ

Сложивъ эти два выраженія получимъ опять

H. Для ('•» + !+/>)го столбца имѣемъ, во первыхъ, рядъ чиселъ

и, во вторыхъ, изъ террассы II рядъ слѣдующихъ

Суммировавъ эти два ряда и сложивъ результаты, найдемъ что и для (п + і+рУ0 столбца сумма вписанныхъ въ его поля чиселъ равна

1. La Hire. Philippe de. 1640—1718.

Sectiones concaa in novem libros distributae. In fol. Paria. 1685. Traité des Roulettes, où Ton démontre la manière universelle de trouver leurs touchantes, leurs points d'inflexion et de rebroussenient, leurs superficies et leurs longueurs, par la Géométrie ordinaire. (Mémoires de l'Académie des sciences. 1704).

Traité de Gnomonique. 1682.

Constructions des quarrés magiques. 1705.

Оцѣнка его научной дѣятельности въ классическомъ сочиненіи Шаля:

Aperçu historique sur l'origine et le développement des Méthodes en Geometrie, particulièrement de celles qui se rapportent à là Géométrie moderne. Par M. Chasles. Seconde édition, conforme à la premiere. Paris. 1875. (35 fr.).

2. Въ исторіи византійской литературы извѣстны два писателя по имени Мошонулоса; одинъ жилъ при Андроникѣ Палеологѣ (во второй лоловинѣ XIV в.), другой—былъ его племянникомъ. Неизвѣстно, который изъ нихъ занимался магическими квадратами. Въ „Nouvelle Biographie générale depuis les temps les plus reculés jusqu'à nos jours (Tome XXXVI, p. 711) читаемъ:

„Un des Moschoptilos est l'auteur d'un petit traité sur les Carrés magiques... Le mathématicien français de la Hire traduisit ce petit traité en latin et le lut à l'académie des Sciences en 1691". Послѣднее замѣчаніе ошибочно.

КЪ ТЕОРІИ ДѢЛИМОСТИ ЧИСЕЛЪ*).

Разсмотримъ дѣлитель взаимно простой съ числомъ 10; онъ можетъ имѣть только одинъ изъ слѣдующихъ четырехъ видовъ:

10»—1 10»+1 10»-3 10»+ 3

1. Пусть число N=H)a+b дѣлится на 10»—1 т. е.

(1) Wa+b= кр. (10»-1)

Прибавляя къ обѣимъ частямъ равенства по Ь(И)п—1), получимъ

10а+Ь+Ь(10»—1)=кр. (10»—I)

или

10(а+»&)=кр. (10л—1)

Такъ какъ числа: 10, 10»—1 взаимно-простыя, то должно быть

(2) а+Ь»=кр. (10»—1)

Обратно, если

«+мЬ=кр. (10»—1)

то

10а+&=кр. (10»-1)

Дѣйствительно, помноживъ обѣ части равенства (2) на 10 и вычтя изъ обѣихъ частей полученнаго по Ь(10»—1), получимъ равенство (1).

Справедливость этихъ двухъ теоремъ влечетъ за собою справедливость противуположныхъ теоремъ: если (1) не существуетъ, то (2) не существуетъ, и обратно.

Отсюда правило:

«Чтобы узнать дѣлится ли данное число N на число вида 10^—1, мы множимъ единицы даннаго числа на », придаемъ это произведеніе къ числу десятковъ числа N, съ полученнымъ числомъ поступаемъ также, какъ съ даннымъ и т. д., иока получимъ число явно кратное или не кратное числа 10»—1; въ первомъ случаѣ заключаемъ что Л7 дѣлится на 10»—1,чво второмъ—что N не дѣлится на него».

Такъ какъ для дѣлителя 9(=10—1) имѣемъ »=1, то указанныя признакъ приводится къ общеизвѣстному.

Для дѣлителя 19(=10.2—1) имѣемъ »=±2; все вычисленіе безъ

*) Статья профессора H. В. Бугаева «Къ теоріи дѣлимости чиселъ» (Математическій Сборникъ. Москва. 1876. T. III. стр. 501) дала намъ матеріалъ для этого элементарнаго изложенія.

труда можетъ быть сдѣлано устно*) и потому въ нримѣненіи къ числу 19 изложенный признакъ удобенъ на практикѣ. Примѣръ. Узнать дѣлится ли на 19 число 4431579? Вычисляемъ такъ:

9.2+7=25 (исключаемъ 19)

6.2+5=17 17.2+1=35 (исключаемъ 19)

16.2 + 3 = 35 (исключаемъ 19)

16.2+4 = 36 (исключаемъ 19)

17.2+4=38 (=2.19) 2.

Пустъ число ІѴ = 10а+Ь дѣлится на 1(Ь+1 т. е.

(Г) 10а+6=кр. (lün+1)

Вычитая изъ обѣихъ частей равенства по &(10п+1), получимъ Юа + Ь—Ь(10п+1) = кр. (10іг + 1)

или

Ща—пЬ)=кр. (lün+1)

Такъ какъ числа: 10, 1(Ы + 1 взаимно-простыя, то должно быть.

(2) а—пЬ=кр. (lOw+1)

Обратно, если равенство (2) существуетъ, то и равенство (І) существуетъ.

Отсюда правило:

«Чтобы узнать дѣлится ли данное число 'N на число вида1(Ы+1. мы множимъ единицы даннаго числа на Щ вычитаемъ это произведеніе изъ числа десятковъ числа 2Ѵ, съ полученнымъ числомъ поступаемъ также. какъ съ даннымъ и т. д., пока получимъ число явно кратное или не кратное числа 1(Ы+1; въ первомъ случаѣ заключаемъ, что N дѣлится на lüw+1, во второмъ—что N не дѣлитсяна него».

Такъ какъ для дѣлителя 11( = 10+1) имѣемъ п=1, то примѣненіе въ этомъ случаѣ указаннаго признака весьма просто.

Примѣръ. Узнать дѣлится ли на 11 число 24567829?

Вычисляемъ такъ:

9 изъ 13=4**) 4 изъ 8=4 4 изъ 7=3 3 изъ 6=3 3 изъ 5=2 2 изъ 4=2 2 изъ 2=0.

*) Арабскіе счетчики говорили: «въ воздухѣ».

**) Вмѣсто того чтобы занимать 10, прибавляемъ къ уменьшаемому 11.

Само собою разумѣется, что требуется значительно больше времени чтобы письменно обозначить этотъ рядъ вычисленій, чѣмъ устно его сдѣлать.

Сопоставимъ здѣсь слѣдующее:

«Если данный дѣлитель на 1 меныие 10w, то нужно къ числу десятковъ испытуемаго числа N придавать nb, гдѣ Ъ—единицы числа N.

«Если данный дѣлитель на 1 больше lün, то нужно отъ числа десятковъ испытуемаго числа N отнимать nb, гдѣ Ъ — единицы испытуемаго числа.

3. Пусть число іѴ=10а + Ь дѣлится на ІОи—3 т. е.

(1) 10а+Ь=кр. 3)

Вычитая изъ обѣихъ частей равенства Но 36(1 Ои—З), получимъ Юа+Ь-ЗЬ(1(Ь—3)==кр. (lOtt-3)

или

10[а—(Зи—ОД=кр. (10w—3)

Такъ какъ числа: 10, ІОи—3, взаимно-простыя, то должно быть

(2) а—(Зп—1)Ь=кр. (10п—3)

Обратно, если равенство (2) существуетъ, то и равенство (1) существуетъ.

Отсюда правило:

«Чтобы у знать дѣлится ли данное число ІѴна число вида 10п—3, мы множимъ единицы испытуемаго числа на Ъп—1, вычитаемъ это произведеніе изъ числа десятковъ числа N, съ полученнымъ числомъ поступаемъ также какъ съ даннымъ и т. д., пока получимъ число явно кратное или не кратное числа 10w—3: въ первомъ случаѣ заключаемъ что N дѣлится на 10п—3, во второмъ — что N не дѣлится на него».

Такъ какъ для дѣлителя 7(=10.1—3) имѣемъ Зп—1=2, то и въ этомъ случаѣ примѣненіе найденнаго признака весьма просто.

Примѣрь. Узнать дѣлится ли на 7 число 927409?

Вычисляемъ такъ:

2.9 изъ (0+21)=3

2.3 изъ (4+7) =5 2.5 изъ (7+7) =4

2.4 изъ (2+7) =1 2.1 изъ 9 =7.

4. Пусть число іѴ=10а+Ь дѣлится на Юп+3 т. е.

(1) 10а + Ь=кр. (Юп+3)

Прибавляя къ обѣимъ частямъ равенства по 36(1 Ои+З), получимъ

10а+Ь + ЗЬ(10и+3)=кр. (Ш + З)

или

10[а+(Зм + 1)Ь]=кр. (10п+3)

Такъ какъ числа: 10, Юп+3, взаимно-простыя, то должно быть

(2) а + (3и + 1)6=кр. (Ш + 3)

Обратно, если равенство (2) существуетъ, то и равенство (1) существуетъ.

Отсюда правило:

«Чтобы узнать дѣлится ли данное число N на число вида lOw+3, мы множимъ единицы испытуемаго числа на Зю+1, придаемъ это произведеніе къ числу десятковъ числа JV, съ полученнымъ числомъ поступаемъ также, какъ съ даннымъ и т. д., пока получимъ число явно кратное или не кратное числа 3^ + 1: въ первомъ случаѣ заключаемъ, что N дѣлится на Юп+3, во второмъ — что N не дѣлится на него».

Такъ какъ для дѣлителя 13( = 10.1+3) имѣемъ Зп+1=4, то въ этомъ случаѣ примѣненіе найденнаго признака весьма просто. Примѣръ. Узнать дѣлится ли на 13 число 55052556? Вычисляемъ такъ:

4. 6 + 5=29 (исключаемъ 2.13) 4. 3 + 5=17 (исключаемъ 13) 4. 4 + 2 = 18 (исключаемъ 13) 4. 5+5=25 (исключаемъ 13) 4.12+0=48 (исключаемъ 3.13) 4.9 +5=41 (исключаемъ 3.13) 4.2 +5=13.

Сопоставимъ здѣсь слѣдующее:

«Если данный дѣлитель йа 3 меньше 10п, то нужно отъ числа десятковъ испытуемаго числа N отниматъ (Зп—1)Ь, гдѣ 6—единицы числа JV».

«Если данный дѣлитель на 3 больше 10п, то нужно къ числу десятковъ испытуемаго числа N придавать (Зп+1)Ь, гдѣ Ъ—единицы числа JV».

ГЕОМЕТРІЯ И ГЕОМЕТРЫ ДО ЭВКЛИДА.

(продолженіе).

V. Геометры отъ Пиѳагора до Платона.

§ 73. Если, съ одной стороны, италійской школѣ принадлежитъ высокая заслуга возведенія геометріи на степень науки и обогащенія многихъ частей ея, то, съ другой, все сдѣланное Пиѳагоромъ и его непосредственными учениками сохранялось, къ сожалѣнію, въ глубокой тайнѣ послѣдующими членами союза. Пиѳагоръ и оставилъ, можетъ быть, записки по тому или другому предмету, но строжайше запретилъ своимъ приближеннымъ распространять ихъ внѣ кружка. Это приказаніе свято чтилось и потому ученія и знанія школы не проникли на первыхъ порахъ въ общество. Когда же, послѣ продолжительной внутренней борьбы, окончательная побѣда въ большинствѣ городовъ Нижней Италіи осталась за демократической партіей, когда аристократическій союзъ пиѳагорейцевъ былъ разрушенъ и многіе изъ его членовъ лишены имущества и изгнаны, (около 450 г. д. P. X.) — тогда большинство ихъ переселилось въ Грецію и отдаленныя ея колоніи. Аѳины преимущественно привлекали изгнанниковъ, такъ какъ этотъ городъ, послѣ окончанія Персидскихъ войнъ, сдѣлался первымъ въ Греціи не только по своему могуществу и политическому вліянію, но и потому значенію, котораго достигли въ немъ наука и ис