СПОРНЫЕ ВОПРОСЫ ПРЕПОДАВАНІЯ МАТЕМАТИКИ.

Преподаваніе каждаго изъ предметовъ курса народной школы и средняго учебнаго заведенія, какъ извѣстно, преизобилуетъ цѣлою массой болѣе или менѣе спорныхъ вопросовъ, существованія которыхъ не рѣшится отрицать ни одинъ практикъ-педагогъ. Еще не такъ давно педагогика считалась наукой, и притомъ наукой, будто бы всецѣло опирающійся на несомнѣнныя данныя физіологіи и психологіи. Еще болѣе прочно установленнымъ во всѣхъ своихъ деталяхъ, считались, какъ извѣстно, основныя и даже второстепенныя положенія методики и дидактики вообще, а методики обученія родному языку и начальной ариѳметикѣ въ частности. Но на провѣрку оказалось, что многимъ положеніямъ методики обученія ариѳметикѣ и грамотѣ еще очень далеко до несомнѣнности, а тѣмъ болѣе—крайне далеко до приравненія ихъ къ математическимъ аксіомамъ, съ которыми непосвященные поклонники педагогики склонны были сравнивать ученія методики упомянутыхъ предметовъ преподаванія.

Но таковъ уже духъ нашего времени, почти ко всему относящагося болѣе или менѣе критически, и критическое отношеніе ко всѣмъ явленіямъ человѣческаго жить-бытья коснулось также и методики обученія всѣмъ предметамъ элементарнаго и среднеобразовательнаго курса вообще и даже методики обученія грамотѣ и начальной ариѳметикѣ. Но можно сказать съ увѣренностью, что наука и знаніе отъ этого только въ выигрышѣ. На нашихъ глазахъ даже математическія аксіомы сдѣлались предметомъ критическихъ изслѣдованій и, если такъ можно выразиться, нападковъ со стороны такихъ корифеевъ науки, какъ Гельмгольцъ и Кронэкеръ, изъ которыхъ первый, какъ извѣстно, принадлежитъ къ числу многостороннѣйшихъ мыслителей, а второй— къ числу крупнѣйшихъ геометровъ нашего времени1). Въ самое не-

1) Ср. работу проф. Гельмгольца подъ заглавіемъ «Zähleu und Messen» и работу проф. Кронэкера подъ заглавіемъ «Ueber den Zahlbegriff», помѣщенныя въ философскомъ сборникѣ, изданномъ въ честь проф. Целлера ко дню пятидесятилѣтняго его юбилея (Philosophische Aufsätze. Eduard Zeller zu seinem fünfzigjährigen Doctorjubiläum gewidmet. Leipzig. 1887).

давнее время вопросъ о безконечности тоже сталъ на очередь, благодаря работамъ такихъ геометровъ, какъ Дедекиндъ и Георгъ Канторъ1).

Стоитъ припомнить, что этому критицизму въ современной научной работѣ математическая наука обязана современною теоріею рядовъ, теоріею функціи мнимаго перемѣннаго, а также выясненіемъ вопроса объ 11-ой аксіомѣ Евклида (о такъ называемомъ Евклидовомъ постулатѣ); стоитъ припомнить, что надъ последнимъ вопросомъ не погнушались поработать такіе умы, какъ Лобачевскій, Боліаи, Гауссъ, Риманъ, Гельмгольцъ и мн. др. крупные геометры; стоитъ все это припомнить, чтобы убѣдиться въ томъ, что критицизмъ не угрожаетъ въ наукѣ ровно ничему, а въ преподаваніи въ значительной степени ему мы, можетъ быть, обязаны очень многими улучшеніями и усовершенствованіями, которыя всякій безпристрастный наблюдатель не откажется констатировать въ постановкѣ преподаванія математики за послѣдніе годы.

Во всякой критикѣ, если она воодушевлена любовью къ правдѣ и истинѣ, все неосновательное, все неосторожное или недостаточно продуманное само себя уничтожитъ, благодаря тому-же духу критицизма. Положительныя же результаты этой, съ перваго взгляда какъ-бы все разрушающей, но на самомъ дѣлѣ чрезвычайно много созидающей работы, весьма ярко выступаютъ на довольно сѣромъ фонѣ критицизма, нынѣ господствующаго во всѣхъ областяхъ человѣческой дѣятельности и человѣческаго вѣдѣнія. Даже школьное дѣло,—дѣло, какъ извѣстно, живое и не допускающее ни малѣйшей ломки, а допускающее только улучшенія, реформы, преобразованія и притомъ преобразованія, серьезно обдуманныя и осторожно проводимыя въ жизнь,—даже школьное дѣло, повторяемъ, изъ критицизма, къ которому многіе склонны относиться несочувственно, смѣшивая его съ современнымъ, часто неосновательнымъ, пессимизмомъ, не извлекаетъ ровно ничего, кромѣ пользы и величайшихъ выгодъ. Только благодаря критическому отношенію къ школьному дѣлу, возможны въ немъ улучшенія и упрощеніе пріемовъ воспитанія и обученія; только благодаря ему школьное дѣло можетъ достигнуть развитія, роста и самоопредѣленія, притомъ развитія постояннаго, прочнаго, согласнаго съ истинными и коренными требованіями дѣтскаго духа.

1) Dedekind, Was sind mid was sollen die Zahlen; Idem, Stetigkeit und irrationale Zahlen (Braunschweig 1889); Georg Cantor, Mathematische Annalen, т XXI; Meyer, Zur Lehre vom Unendlichen (Tübingen 1889).

Открывая въ «Русской Школѣ» отдѣлъ «Спорныхъ вопросовъ», мы просили-бы читателей нашихъ о возможно-дѣятельномъ и живомъ участіи въ этомъ отдѣлѣ и о присылкѣ намъ своихъ по этой части работъ, статей и даже мелкихъ замѣтокъ1): это дѣло можетъ пойти только при возможно большемъ и возможно дѣятельномъ участіи всѣхъ заинтересованныхъ въ немъ лицъ. Надѣемся, что преподаватели математики отнесутся сочувственно къ «Спорнымъ вопросамъ преподаванія».

Насколько потребность въ разработкѣ спорныхъ вопросовъ преподаванія математики назрѣла и насколько стало для преподавателя-практика необходимымъ и даже прямо неизбѣжнымъ разобраться въ своемъ сочувствіи къ такому или иному взгляду на ту или иную частность преподаванія, насколько, наконецъ, и самые вопросы созрѣли и требуютъ настоятельной разработки, обо всемъ этомъ можно безошибочно судить по циркулярному предложенію г. попечителя Кавказскаго учебнаго округа, т. с. Яновскаго, отъ 30 ноября 1882 г., за № 6.8582). Въ этомъ, заслуживающемъ полнаго вниманія, циркулярѣ г. попечитрль Кавказскаго округа предлагаетъ директору тифлисскихъ женскихъ, Великой Княгини Ольги Ѳеодоровны, прогимназіи и гимназіи, Р. К. Шёнгеру, обсудить, въ одной изъ коммиссій, образованныхъ при Кавказскомъ округѣ для улучшенія преподаванія въ учебныхъ заведеніяхъ этого округа, слѣдующіе вопросы:

«а) Въ какихъ случаяхъ при преподаваніи математики слѣдуетъ пользоваться нагляднымъ обученіемъ? b) Должно-ли изученіе нѣкоторыхъ отдѣловъ математики сопровождаться наглядными способами? с) Должно-ли наглядное преподаваніе геометріи, хотя-бы въ главныхъ чертахъ, предшествовать систематическому изложенію этого учебнаго предмета?» (цирк., № 12, стр. 589). Кромѣ этихъ, поставлены въ циркулярѣ также и вопросы объ обремененіи учащихся слишкомъ большою, въ количественномъ отношеніи, работой (стр. 512), о мѣрахъ

1) Разумѣется, редакція «Русской Школы» не беретъ и не можетъ взять на себя обязательства напечатать всѣ тѣ статьи и замѣтки, которыя вызваны будутъ выдвигаемыми въ журналѣ вопросами: этого не позволяютъ тѣсныя рамки его. Но мы можемъ обѣщать, по крайней мѣрѣ, что статьи и замѣтки, наиболѣе выдающіяся по своей содержательностн и по ясности изложенія, найдутъ себѣ мѣсто на страницахъ нашего журнала. Остальныя же статьи и замѣтки будутъ пріобщены къ портфейлю редакціи, и имъ впослѣдствіи, можетъ быть, будетъ удѣлена общая статья, имѣющая цѣлью свести итоги общей работѣ. При этомъ понятно, что всѣ авторскія права будутъ строжайше соблюдены. Ред.

2) Циркуляръ по управленію Кавказскимъ учебнымъ округомъ, № 12, за 1889 годъ.

къ возбужденію въ учащихся желанія, также и по окончаніи курса, продолжать занятія по математикѣ стр. 592), а равно слѣдующіе вопросы: «а) Когда, т. е. въ какихъ классахъ, слѣдуетъ допустить учащихся пользоваться учебниками? b) Въ какомъ отношеніи должны находиться занятія учителя съ учениками въ классѣ къ занятіямъ учениковъ по учебникамъ? с) Слѣдуетъ-ли требовать иногда письменнаго изложенія учениками математическихъ выводовъ, въ какихъ случаяхъ, и какъ при такомъ изложеніи можно допустить пользованіе учебниками? d) Слѣдуетъ-ли заставлять учениковъ приготовлять нѣкоторыя статьи по учебнику, и если слѣдуетъ, то въ какихъ классахъ можетъ быть допущено такое приготовленіе?» Кромѣ этихъ вопросовъ, г. Шёнгеру предоставлено возбуждать въ коммиссіи обсужденіе также и другихъ вопросовъ, какіе онъ найдетъ нужнымъ. Предоставляя себѣ впоследствіи вернуться къ занимающему насъ циркуляру г. попечителя Кавказскаго учебнаго округа и не имѣя въ виду хотя бы даже только въ общихъ чертахъ намѣтить всѣ вопросы преподаванія математики, затронутые въ этомъ циркулярѣ, мы не можемъ, однако, не замѣтить, что многіе изъ этихъ вопросовъ принадлежать именно къ числу спорныхъ, и это насъ особенно радуетъ.

Горе тому преподавателю, который всѣ педагогическіе и дидактическіе вопросы считаетъ для себя разрѣшенными, для котораго все ясно какъ бѣлый день, для котораго все дѣло сводится лишь къ повторенію и примѣненію, изъ года въ годъ, однихъ и тѣхъ же пріемовъ, однихъ и тѣхъ же методовъ! Но еще большее горе его ученикамъ, ибо разъ творческая мысль учащаго застыла въ принятыхъ ею неизмѣнныхъ формахъ, то какъ холодна и безучастна должна быть вся работа учащагося, на всѣхъ урокахъ вообще и на урокахъ математики въ частности, оперирующая въ сферѣ представленій, болѣе или менѣе чуждыхъ его уму и воображенію! Спорные вопросы преподаванія должны быть разрѣшаемы и обсуждаемы всѣми учителями по возможности сообща и по возможности полно: отъ работы надъ ними можно предвидѣть только величайшую пользу для нашего школьнаго дѣла. Въ этомъ смыслѣ мы отъ души должны привѣтствовать также и циркулярное, за № 6859, г. попечителя того же Кавказскаго округа, предложеніе гг. начальникамъ всѣхъ среднихъ учебныхъ заведеній округа: въ этомъ предложеніи г. попечитель проситъ обсудить отмѣченные въ другомъ его предложеніи (циркул. за № 6858) вопросы и мѣры къ возможно правильной постановкѣ преподаванія математики въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ округа.

Въ заключеніе позволимъ себѣ поставить слѣдующіе вспросы, по

которымъ мы просили бы высказаться всѣхъ заинтересованныхъ въ надлежащій постановкѣ курса математики въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ:

1) Не допускаетъ-ли среднеобразовательный курсъ математики значительныхъ сокращеній въ отношеніи внѣшняго объема и не требуется-ли, въ виду истинныхъ цѣлей образованія, внесеніе нѣкоторыхъ понятій такъ - называемой высшей математики въ курсъ средняго учебнаго заведенія, а если требуется, то изъ какихъ именно отдѣловъ и въ какомъ именно объемѣ?

2) Каково образовательное значеніе ученія о логариѳмахъ въ среднемъ учебномъ заведеніи?

3) Не умѣстно-ли рѣшеніе ариѳметическихъ задачъ алгебраическаго характера отнести не къ курсу ариѳметики, а къ курсу алгебры, и не слѣдуетъ-ли заниматься рѣшеніемъ этихъ задачъ безъ помощи уравненій параллельно съ рѣшеніемъ ихъ съ помощью уравненій?

Кромѣ того, просимъ читателей высказаться также по поводу процитированныхъ вопросовъ, предложенныхъ въ указанномъ нами циркулярѣ г. попечителя Кавказскаго учебнаго округа.

С. Ш. Т.

СПОРНЫЕ ВОПРОСЫ ПРЕПОДАВАНІЯ МАТЕМАТИКИ1).

А. Отвѣты на нѣкоторые спорные вопросы преподаванія математики.

а) Когда, т.-е. въ какихъ классахъ слѣдуетъ допустить учащихся пользоватъся учебниками?

Слѣдуетъ принять за болѣе или менѣе общее правило, что въ низшихъ классахъ лучше избѣгать учебниковъ, ограничиваясь сборниками задачъ. Но это правило, хотя и общее, не можетъ быть возведено въ законъ: многое, если не все, зависитъ отъ личности преподавателя; послѣднему-же его педагогическій тактъ долженъ подсказать, можетъ-ли онъ вести дѣло безъ руководства, т.-е. разучивать правило въ классѣ, а на домъ задавать только задачи, или нѣтъ.

Не надо, однако, смѣшивать педагогическій тактъ съ педагогическою лѣнью; несомнѣнно, что занятія по учебнику для инаго преподавателя несравненно легче, чѣмъ безъ учебника (исключенія рѣдки, о нихъ поговоримъ ниже); учитель объясняетъ правило, спрашиваетъ наудачу двухъ-трехъ учениковъ, поправляетъ и дополняетъ пробѣлы, отмѣчаетъ затѣмъ по книгѣ параграфъ и страницу, а на слѣдующій урокъ спрашиваетъ заданное; теорія считается усвоенною и наступаетъ практика, т.-е. рѣшеніе задачъ.

Такой ходъ занятій въ приготовительномъ и первомъ классахъ положительно подлежитъ осужденію, такъ какъ объемъ теоріи въ. нихъ незначителенъ и отдѣлить ее отъ практики, т.-е. отъ рѣшенія задачъ, почти невозможно.

Сидящіе въ приготовительномъ и первомъ классахъ мальчики легко, а иногда даже съ удовольствіемъ, предаются механическому, безсмысленному зазубриванію разсужденій и правилъ, написанныхъ мало понятнымъ для нихъ языкомъ; потому въ классахъ, гдѣ дѣло ве-

1) «Русская Школа», февраль 1890 г.

дется вышеупомянутымъ удобнымъ путемъ, неумѣнье приступить къ рѣшенію пустѣйшей задачи, возбуждающій жалость отвѣтъ «я правило знаю», затѣмъ слезы или дерзкая выходка — явленіе весьма заурядное.

Между тѣмъ личность учителя дѣлаетъ иногда занятія безъ учебника почти невозможными и какъ ни заманчиво звучитъ—разучивать теорію въ классѣ, пока она не будетъ усвоена одинаково всѣми и притомъ все-таки каждымъ по своему, но не надо забывать, что есть преподаватели, которые въ состояніи приковать вниманіе учениковъ положительно минутъ только на пять, на шесть, послѣ чего, при усиленномъ повтореніи одного и того-же, наступаетъ полнѣйшее разложеніе вниманія.

Такіе преподаватели, отказываясь отъ учебника, налагаютъ на себя, на родителей, на репетиторовъ, тяжелое бремя, такъ какъ безплодно мучатся сами и въ то-же время невольно сваливаютъ на чужія плечи львиную долю работы. Лучшій въ такомъ случаѣ исходъ— сознать свое безсиліе и держаться, хотя осужденнаго выше, но для нихъ единственно вѣрнаго пути—уловивъ на пять, на шесть минутъ вниманіе класса, объяснить ему новый урокъ и, тщательно размѣтивъ его по книгѣ, задать выучить на-домъ.

Но какъ преподавателей, такъ и учениковъ нельзя подводить подъ одну мѣрку; во всякомъ классѣ найдутся мальчики, стоящіе внѣ общаго уровня. Легко можетъ случиться, что при занятіяхъ съ классомъ по учебнику, съ нѣкоторыми мальчиками все-же придется женать теорію отдѣльно, изъ урока въ урокъ, запретивъ имъ пользованіе книгой; и обратно, преподаватель, избѣгающій давать классу учебники, окажется вынужденнымъ, въ облегченіе или въ наказаніе, дозволить или приказать тому или другому завести себѣ книгу; иногда съ просьбой разрѣшить мальчикамъ готовить уроки по книгѣ будутъ обращаться сами родители, причемъ, опять-таки, вѣрное рѣшеніе можетъ подсказать учителю только его педагогическій тактъ.

Большою помѣхой для занятій безъ учебника служитъ часто многочисленномъ классовъ; но и тутъ рѣшающее значеніе имѣютъ личность и опытность преподавателя; для однихъ 20—25 человѣкъ—число подавляюще большое; другіе безъ всякаго труда и одинаково успѣшно занимаются съ пятьюдесятью. Нормы установить невозможно—предполагается только, что преподаватель всегда въ выборѣ метода руководствуется пользой дѣла, а не личными удобствами.

Здѣсь кстати поговорить о тѣхъ рѣдкихъ, къ счастью, исключеніяхъ, для которыхъ нѣтъ выбора и которые должны преподавать безъ

учебника. Предоставленные самимъ себѣ, они прекрасные преподаватели; но робость, конфузливость, мнительность дѣлаютъ для нихъ изъ учебника орудіе пытки; боязнь отступить отъ текста, постоянное подозрѣніе, что ученикъ хочетъ изловить, сконфузить, поддѣть учащаго, въ лучшемъ случаѣ лишаетъ его нужнаго аппломба и влечетъ за собой малоуспѣшность класса, въ худшемъ грозитъ подрывомъ дисциплины и уваженія къ знаніямъ преподавателя.

Недостатокъ этотъ излечивается съ трудомъ и только съ годами, и насиловать преподавателя, навязывая ему учебникъ, не слѣдуетъ; въ этомъ случаѣ весьма важенъ тактъ начальника-руководителя.

Во избѣжаніе недоразумѣній напомнимъ, на всякій случай, что рѣчь все еще идетъ о преподаваніи въ низшихъ классахъ; преподаватель, боящійся книги, для старшихъ классовъ не годится.

При бѣгломъ повторительномъ курсъ ариѳметики въ IV классѣ можно и даже нужно дать ученикамъ въ руки книгу; вынуждаетъ къ этому недостатокъ времени и необходимость останавливаться только на наиболѣе трудныхъ и на наименѣе усвоенныхъ отдѣлахъ.

То-же, что было сказано о занятіяхъ по учебнику въ приготовительномъ и первомъ классахъ (ариѳметика), одинаково примѣнимо и къ алгебрѣ въ III и IV, особенно въ третьемъ.

Никакія печатныя правила не могутъ замѣнить предшествующихъ и сопутствующихъ рѣшенію задачъ разъясненій преподавателя; сборникъ алгебраическихъ примѣровъ единственная необходимая въ рукахъ учениковъ книга.

Относительно пользованія учебникомъ алгебры въ старшихъ классахъ можно принять за руководство слѣдующее правило: учебникъ съ пользой и даже съ выгодой для дѣла замѣняется сборникомъ задачъ во всѣхъ случаяхъ, гдѣ практика преобладаетъ надъ теоріей; напримѣръ, при извлеченіи квадратныхъ и кубичныхъ корней, рѣшеніи неопредѣленныхъ уравненій, ученіи о логариѳмахъ, гдѣ очень легко обойтись безъ учебника, такъ какъ теоретическій объемъ изучаемаго весьма не великъ.

Что-же касается теоріи квадратныхъ уравненій, дѣйствій надъ дробными и отрицательными показателями, теорій непрерывныхъ дробей, логариѳмическихъ строкъ, то прохожденіе этихъ отдѣловъ непремѣнно потребуетъ помощи учебника, или-же составленія всѣмъ классомъ довольно обширныхъ записокъ, чего никакъ нельзя одобрить.

Опять-таки характеръ изложенія, личность преподавателя и составъ класса играютъ и здѣсь на столько выдающуюся роль, что воз-

водить въ законъ тотъ или другой порядокъ слѣдованія учебнику невозможно.

Совсѣмъ на особомъ положеніи стоитъ геометрія; согласно требованіямъ программы ученикъ съ первыхъ-же словъ преподавателя погружается въ самую отвлеченную теорію; для него вся геометрія— одна длинная, нескончаемая теорема; практика начинается только съ отдѣла объ опредѣленіи площадей прямолинейныхъ фигуръ, почему и прохожденіе геометріи безъ учебника немыслимо.

О тригонометріи говорить почти нечего: преподавателю приходится имѣть дѣло съ взрослыми молодыми людьми, а не съ мальчиками; курсъ небольшой, времени полагается на него достаточно, а употребительная въ нашихъ гимназіяхъ книжка Малинина совмѣщаетъ въ себѣ и учебникъ, и хорошій сборникъ задачъ. Дѣло сводится къ тому, какъ съумѣетъ преподаватель справиться съ предметомъ и съ классомъ.

b) Въ какомъ отношеніи должны находиться занятія учителя съ учениками въ классѣ къ занятіямъ учениковъ по учебникамъ?

Первое и основное правило для всякаго преподавателя—отнюдь не становиться на точку зрѣнія экзаменатора.

Этимъ совѣтомъ исчерпывается почти все, что можно сказать по данному вопросу; дѣйствительно, при занятіяхъ по учебнику искушеніе перейти изъ положенія учащаго на положеніе контролера степени познаній учениковъ очень велико. Смыслъ сказаннаго по отношенію къ преподающему такой: весьма соблазнительно всю черную работу преподаванія сдать другимъ, не заботясь, будетъ-ли она исполнена или нѣтъ; себѣ-же оставить болѣе легкій трудъ выставленія отмѣтокъ.

Между тѣмъ, въ младшихъ классахъ разумное пользованіе руководствомъ едва-ли не предполагаетъ въ учащемъ большей любви къ дѣлу, большаго труда и умѣнья, чѣмъ наоборотъ.

Одна изъ главныхъ задачъ преподавателя—научить классъ обращаться съ руководствомъ на столько, чтобы сгладить всякое различіе между дурными и хорошими учебниками. Отнюдь не распространяя сказаннаго на всѣ предметы, можно положительно утверждать, что для опытнаго и преданнаго дѣлу преподавателя математики не должно бытъ такого учебника, по которому-бы учащимся нельзя было успѣшно учиться.

Конечно, чѣмъ хуже учебникъ, тѣмъ больше работы, тѣмъ болѣе поясненій и толкованій требуется отъ учителя. Во всякомъ случаѣ, эти толкованія должны частью предшествовать, частью сопутствовать

объясненію по книгѣ; не мѣшаетъ заставлять отдѣльныхъ учениковъ читать вслухъ книжный текстъ заучиваемаго правила и тутъ-же провѣрять, на сколько онъ имъ понятенъ. Чѣмъ добросовѣстнѣе будетъ выполнена работа приспособленія класса къ учебнику въ самомъ началѣ преподаванія по книгѣ, тѣмъ легче, тѣмъ съ меньшими затрудненіями пойдетъ она впослѣдствіи: достаточно будетъ легкаго намека или наведенія, и ученики поймутъ, какой смыслъ должны они придавать тексту и какія измѣненія его будутъ требоваться при отвѣтѣ.

Ни въ какомъ случаѣ нельзя одобрить заучиваніе по книгѣ помѣщенныхъ во многихъ учебникахъ образцовъ хода и рѣшенія задачъ: методы рѣшенія задачъ—дѣло классной практики. Впослѣдствіи, когда ученики понавыкнутъ въ задачахъ, можно указать имъ и книжные образцы, конечно, если послѣдніе заслуживаютъ такого вниманія. Къ сожалѣнію, нерѣдко подобные образцы страдаютъ излишнимъ многословіемъ, отсутствіемъ указаній на правильный ходъ мысли и часто щеголяютъ только внѣшнею отдѣлкой.

Чѣмъ старше классъ, чѣмъ болѣе ученики свыклись и съ учебникомъ, и съ требованіями преподавателя, тѣмъ болѣе могутъ объясненія послѣдняго расходиться съ текстомъ книги и безъ предварительнаго разбора послѣдняго. Для медленно созрѣвающей умственной самостоятельности учащихся такой пріемъ можетъ принести несомнѣнную пользу.

с) Слѣдуетъ-ли требовать иногда письменнаго изложенія учениками математическихъ выводовъ, въ какихъ случаяхъ и какъ при такомъ изложеніи можно допустить пользованіе учебниками?

Не слѣдуетъ, но можно; подобныя требованія, во всякомъ случаѣ, роскошь; письменное изложеніе математическихъ выводовъ допустимо только для отдѣловъ хорошо усвоенныхъ, когда есть ручательство, что ученики не будутъ безъ пониманія заносить готовыя заученныя фразы изъ учебниковъ или-же путаться въ хитросплетенныхъ разсужденіяхъ собственнаго измышленія, плохо сознаваемая цѣль которыхъ— замаскировать незнаніе или непониманіе. При изложеніи выводовъ, помѣщенныхъ въ учебникахъ, пользованіе послѣдними никоимъ образомъ допущено быть не можетъ, иначе урокъ математики обратится въ урокъ русскаго языка и все сведется къ умѣнью передать книжный текстъ собственными словами, что при изложеніи точныхъ математическихъ истинъ въ извѣстныхъ случаяхъ едва-ли даже желательно.

Другое дѣло, если брать теоремы, въ текстѣ учебниковъ не помѣщенныя, но изъ него вытекающія; письменное изложеніе подобныхъ выводовъ съ доказательствами весьма и весьма желательно, конечно, при условіи предварительной подготовки : нуженъ навыкъ и нѣсколько указаній, какъ взяться за дѣло. Особенно много задачъ, представляющихъ собою собственно самостоятельныя теоремы, встрѣчается въ геометріи; подходящій матеріалъ въ изобиліи найдется въ сборникахъ, изъ русскихъ у Пржевальскаго, а изъ нѣмецкихъ у Рейдта (Reidt).

Благодарную почву для такихъ упражненій представляетъ тригонометрія, въ значительно меньшей мѣрѣ алгебра и въ крайне ограниченномъ объемѣ ариѳметика, да и то развѣ въ одномъ VIII классѣ.

d) Слѣдуетъ-ли заставлять учениковъ приготовлять нѣкоторыя статьи по учебнику, и если слѣдуетъ, то въ какихъ классахъ можетъ бытъ допущено такое приготовленіе?

По всей вѣроятности текстъ вопроса долженъ быть дополненъ такимъ образомъ: «слѣдуетъ-ли заставлять учениковъ приготовлять по учебнику нѣкоторыя статьи изъ непройденныхъ и необъясненныхъ въ классѣ и т. д.?»

И слѣдуетъ, и не слѣдуетъ—пріемъ этотъ обоюдо-острый; можно убить въ ученикѣ живое отношеніе къ дѣлу какъ излишнимъ жеваніемъ понятнаго, такъ и обязательнымъ усвоеніемъ непонятнаго.

При условіи достаточной подготовки класса, умѣньи и преподавателя и учениковъ обращаться съ учебниками, а главное, полномъ довѣріи какъ учениковъ и ихъ домашнихъ, такъ и руководящаго начальства къ тому, что преподаватель прибѣгаетъ къ спорному пріему не въ видахъ собственнаго удобства, а для пользы дѣла, подобная подготовка по учебнику непройденныхъ и необъясненныхъ въ классѣ отдѣловъ можетъ быть однимъ изъ лучшихъ пробныхъ камней для опредѣленія степени зрѣлости какъ отдѣльныхъ учениковъ, такъ и цѣлаго класса; но дѣлать изъ этого пробнаго камня хлѣбъ насущный повседневнаго преподаванія ни въ какомъ случаѣ не слѣдуетъ.

Первые опыты возможны уже въ IV классѣ, при прохожденіи геометріи; нѣкоторыя теоремы на столько очевидно вытекаютъ изъ предъидущихъ, что при условіи хорошаго усвоенія послѣднихъ, превращаются почти въ аксіомы—съ такихъ-то и надо начинать. Упомянемъ еще доказательства, выкроенныя по одному образцу—напримѣръ, о пропорціональности отрѣзковъ линій на плоскости и въ про-

странствѣ, пропорціональности дугъ и угловъ, линейныхъ и двугранныхъ угловъ, площадей прямоугольниковъ, объемовъ прямоугольныхъ параллелепипедовъ и т. п.

Опытный преподаватель найдетъ подходящія статьи и въ алгебрѣ (не раньше У класса), и въ тригонометріи; но съ ариѳметикой подобныхъ экспериментовъ лучше не производить, даже въ VIII классѣ, гдѣ на нихъ можно только безъ пользы убить время. В. П.

Б. Каково образовательное значеніе ученія о логариѳмахъ въ среднемъ учебномъ заведеніи.

Чтобы отчасти отвѣтить на этотъ вопросъ, припомнимъ изъ исторіи математики, что шотландскій математикъ баронъ Джонъ Неперъ своимъ сочиненіемъ, напечатаннымъ имъ въ Эдинбургѣ въ 1614 г. подъ заглавіемъ: «Описаніе чудодѣйственнаго правила логариѳмовъ, или удивительное сокращеніе ариѳметическихъ выкладокъ», какъ нельзя лучше охарактеризовалъ практическую пользу введенія логариѳмовъ. Необходимо, чтобы при преподаваніи статьи о логариѳмахъ и учащіеся также ясно сознавали всю пользу логариѳмовъ, этого могущественнаго орудія, для производства вычисленій; развитіе такого рода сознанія имѣетъ за собою образовательное значеніе, убѣждая въ плодотворности изученія теоріи. Кромѣ сейчасъ указаннаго, образовательное значеніе ученія о логариѳмахъ заключается въ развитіи: 1) вниманія, при отыскиваніи по таблицамъ; 2) аккуратности въ производствѣ письменныхъ, довольно продолжительныхъ вычисленій; 3) умѣнья удобно располагать эти вычисленія; 4) быстроты производства вычисленій; а все это взятое вмѣстѣ имѣетъ громадное значеніе для учащихся, принося несомнѣнную пользу на предстоящемъ жизненномъ пути, пріучая къ внимательному, аккуратному, терпѣливому, обдуманному и возможно быстрому выполненію работы вообще.

Выскажемся теперь, при выполненіи какихъ условій возможно ожидать наибольшей пользы въ образовательномъ отношеніи въ средне-учебныхъ заведеніяхъ отъ преподаванія ученія о логариѳмахъ.

Необходимо, чтобы ученики, получивъ ясное понятіе о логариѳмѣ числа при томъ или другомъ основаніи, и изучивъ главныя свойства логариѳмовъ, убѣдились въ дѣйствительно громадномъ преимуществѣ вычисленія по логариѳмамъ; а для этого необходимо:

а) Ввести въ употребленіе пятизначныя таблицы, вмѣсто семизначныхъ, принятыхъ въ нѣкоторыхъ заведеніяхъ (напр., кадетскихъ корпусахъ). Данныя практическихъ вычисленій вообще имѣютъ три десятич-

ныхъ знака, рѣдко четыре и въ самыхъ исключительныхъ случаяхъ пять; «какая нужда намъ въ той огромной машинѣ, которая называется семизначными таблицами,—машинѣ тяжелой для ношенія, затруднительной и мѣшкотной при пріисканіи», говоритъ справедливо Бурже. По словамъ французскаго астронома Лаланда, онъ «вычислилъ нѣсколько сотъ затмѣній и никогда не употреблялъ другихъ таблицъ, кромѣ пятизначныхъ». При вычисленіяхъ по семизначнымъ таблицамъ тратится непроизводительно время на подыскиваніе и выписку излишняго числа цифръ; все это лишь способствуетъ затемнѣнію представленія объ ускореніи вычисленія по логариѳмамъ, и это еще замѣтнѣе при несложности вычисляемаго выраженія.

b) Приступая къ ознакомленію съ вычисленіемъ формулъ по логариѳмамъ, давать ученикамъ возможность замѣчать разницу во времени, при вычисленіи по логариѳмамъ и безъ нихъ: а для этого хорошо брать не сложные примѣры, относящіеся, напр., къ умноженію, дѣленію чиселъ, извлеченію квадратныхъ и кубическихъ корней.

c) Затѣмъ, предлагать примѣры вычисленія такихъ выраженій, въ которыя входили-бы корни 5-й, 7-й и т, д. степеней; изъ чего ученики постигнутъ пользу логариѳмовъ въ другомъ отношеніи, именно какъ средства производить такія вычисленія, производство которыхъ безъ помощи логариѳмовъ было имъ неизвѣстно, да и вообще затруднительно.

Ко всему сказанному добавимъ, что упражненія въ вычисленіяхъ по логариѳмамъ можно считать вполнѣ плодотворными лишь тогда, когда ученики осмысленно ихъ производятъ, т. е. сознаютъ, что производятъ дѣйствія надъ показателями степеней, а не занимаются только дѣйствіями съ безсознательно выписанными числами, состоящими изъ вереницы цифръ. Чтобы добиться вообще сознательности въ вычисленіяхъ, необходимо, конечно, усвоеніе опредѣленія логариѳма, какъ показателя степени, въ которую надо возвысить основаніе, чтобы получить данное число, и затѣмъ весьма педагогично прежде чѣмъ приступить къ вычисленію) формулъ по логариѳмамъ, привести нѣкоторые болѣе наглядные примѣры вычисленій по таблицѣ степеней, въ родѣ слѣдующей:

2°=1

25=32

210=1024

215=32768

21=2

26=64

211=2048

216=65536

22=4

27=128

212=4096

217=131072

23=8

28=256

213=8192

218=262144

24=1б

29=512

214=16384

219=524288 и т. д.

Положимъ, дано вычислить 1/~262144; пользуясь приведенною таблицей, имѣемъ: 262144 2187 262144 = Ѵ~21В = %9> по таблицѣ находимъ 29=512.

Чтобы еще лучше видѣть, какъ упрощаются дѣйствія при помощи таблицъ степеней, возьмемъ выраженіе:

имѣемъ:

Послѣ такого рода предварительныхъ примѣровъ, приступая къ вычисленію по принятымъ таблицамъ логариѳмовъ, можно ожидать отъ учениковъ вполнѣ сознательнаго отношенія къ работѣ.

8,3567.568,7

Положимъ, дано вычислить выраженіе: х =- 2-, по пятизначнымъ логариѳмическимъ таблицамъ Лаланда.

Для вычисленія ученикъ, конечно, прологариѳмируетъ написанное выраженіе и приступитъ къ отысканію по таблицамъ логариѳмы чиселъ, встрѣчающихся въ прологариѳмированномъ выраженіи; весьма полезно иногда требовать представленія даннаго выраженія въ видѣ дѣйствій надъ степенями 10. Напр., данное выраженіе изобразится:

A такъ какъ х= 10 , то вполнѣ осязательно становится, что отысканіе х приводится къ вычисленію показателя:

lg 8,3567 -{-lg 563,7 — 2 lg 54,653, и что соотвѣтствующая степень 10-ти, найденная въ таблицахъ, будетъ равна искомому числу х.

Намъ думается, что такого рода требованія отъ учениковъ весьма должны способствовать осмысленности ихъ работы при вычисленіяхъ по логариѳмамъ; а въ этомъ и заключается одно изъ главныхъ условій всякой работы, претендующей на образовательное значеніе.

В. А. Шидловскій.

1890 г. 22 февраля г. Полоцкъ.

Одинъ изъ спорныхъ вопросовъ по преподаванію математики.

Къ вопросу объ обученіи геометріи въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ*).

Геометрія представляетъ строго-логическую систему истинъ о протяженіяхъ; эта система развивается изъ небольшаго числа очевидныхъ истинъ, аксіомъ; эта наука древними греками изучалась въ возрастъ зрѣломъ, причемъ изученію ея придавалось громадное значеніе, о чемъ свидѣтельствуетъ и надпись, сдѣланная греческимъ философомъ Платономъ надъ дверями его философской школы: «да не входитъ сюда не знающій геометріи». Въ настоящее время за геометріею признается по прежнему великое образовательное значеніе; во-1-хъ, потому, что она направляетъ умственныя силы учащихся на путъ строго-логическаго мышленія, служа, такъ сказать, логикой въ дѣйствіи, и, во-2-хъ, сообщая необходимыя положительныя знанія, какъ для дальнѣйшаго ея изученія, такъ и весьма полезныя по своимъ многочисленнымъ приложеніямъ къ различнымъ отраслямъ человѣческаго знанія.

Чтобы преподаваніе геометріи въ нашихъ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ было наиболѣе плодотворнымъ, необходимо всегда имѣть въ виду различіе между наукою и учебнымъ предметомъ, а также и ту громадную разницу между возрастомъ, въ которомъ древніе греки изучали эту науку, и тѣмъ, въ которомъ дѣти начинаютъ обучаться ей.

*) Не вполнѣ соглашаясь съ нѣкоторыми взглядами почтеннаго автора, напримѣръ, относительно необходимости выработки обязательнаго учебнаго руководства для всѣхъ учебныхъ заведеній одного типа, а также относительно нѣкоторыхъ вопросовъ методологическаго характера, мы тѣмъ не менѣе охотно даемъ мѣсто настоящей замѣткѣ въ отдѣлѣ «Спорныхъ вопросовъ преподаванія математики». Ред.

Геометрія, какъ и всѣ вообще математическія науки, настолько отвлеченна, пониманіе истинъ, доказываемыхъ въ ней, еще на столько мало свойственно дѣтской, подвижной натурѣ, воспринимающей легко все болѣе конкретное, что первые шаги обученія этой наукѣ должны быть дѣлаемы съ особенною осмотрительностью. Нельзя не порадоваться тому, что всѣ мѣропріятія послѣдняго времени въ учебно-воспитательномъ дѣлѣ клонятся къ уменьшенію замѣчаемаго всѣми переутомленія учащихся и облегченію усвоенія ими главныхъ основаній преподаваемыхъ предметовъ. При обученіи геометріи, да и вообще разнымъ отдѣламъ математики въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ, обязательно постоянно имѣть въ виду отвлеченность этихъ предметовъ, и умственное переутомленіе, неизбѣжно являющееся на первыхъ-же ступеняхъ обученія, при ненадлежащемъ веденіи дѣла преподавателемъ и при учебникѣ, не вполнѣ приспособленномъ къ умственному развитію учащихся.

Геометрія, какъ наука, опираясь на возможно небольшое число аксіомъ, даже самыя простыя свойства протяженіи доказываетъ на основаніи этихъ аксіомъ, и потому въ самомъ началѣ изложенія этой науки по необходимости приходится вдаваться въ довольно тонкія умозрѣнія; въ геометріи, какъ учебномъ предметѣ, эти, такъ сказать, тонкости умозрѣнія должны быть устранены, такъ какъ начинающіе обучаться ей этихъ тонкостей постигнуть не могутъ и имъ нѣкоторыя свойства протяженіи представляются очевидными; они не видятъ часто, да и не могутъ видѣть необходимости доказательствъ, которыя въ научномъ отношеніи столь необходимы для приданія строгости и стройности всей системѣ. Вотъ на эту-то слабую сторону различныхъ учебниковъ геометріи, даже изъ вновь рекомендованныхъ среднимъ учебнымъ заведеніямъ, мы и считаемъ необходимымъ указать.

Одинъ изъ основныхъ вопросовъ, разсматриваемыхъ въ элементарной геометріи, это вопросъ о прямой линіи и ея свойствахъ. Еще Евклидъ опредѣлилъ прямую линію, какъ «равнолежащую линію между двумя концами ея», и доказалъ свойства ея, что она короче ломаной, проведенной между тѣми-же точками. Сущность Евклидовскаго опредѣленія прямой и доказательство сейчасъ поименованнаго свойства ея сохранились и до настоящаго времени въ научныхъ курсахъ, каковы, напр., курсы знаменитаго Остроградскаго и Ващенко-Захарченка; только опредѣленіе прямой, какъ линіи, которой положеніе вполнѣ опредѣляется двумя на ней лежащихми точками, выражено болѣе ясно. Въ учебникахъ-же геометріи замѣчается большое разнообразіе въ изложеніи основныхъ свойствъ прямой, причемъ по боль-

шей части авторы стремятся держаться строго-научной точки зрѣнія, упуская изъ виду, что имѣютъ дѣло съ изложеніемъ учебнаго предмета, и вслѣдствіе этого приводятъ рядъ умозрѣній, необходимость которыхъ не можетъ ясно представляться уму учащихся. Для подтвержденія сказаннаго приведемъ указанія на нѣкоторые учебники.

«Элементы геометріи. Курсъ среднихъ учебныхъ заведеній, составленный гг. Гика и Муромцевымъ». Принявъ за аксіому, что «между двумя точками есть только одно кратчайшее разстояніе», авторы курса опредѣляютъ прямую, какъ такую безконечную линію, какихъ можно провести только одну черезъ двѣ данныя точки; затѣмъ выводятъ слѣдствіе: «двѣ прямыя линіи могутъ пересѣкаться только въ одной точкѣ» и доказываютъ теорему: «отъ одной точки до другой можно провести только одну конечную прямую», и ей обратную теорему, изъ которой выводятъ слѣдствіе: «кратчайшее разстояніе между двумя точками есть конечная прямая, которая эти точки соединяетъ».

Въ своей «Начальной геометріи» г. Ф. Симашко принимаетъ двѣ аксіомы: 1-я—прямая линія есть кратчайшее разстояніе между двумя точками, и 2-я—между двумя точками можно провести только одну прямую линію. Затѣмъ уже доказывается теорема: «Двѣ прямыя линіи, имѣющія двѣ общія точки, сливаются на всемъ протяженіи, т.-е. составляютъ прямую линію».

Это свойство само собою вытекаетъ изъ того, что прямая линія вполнѣ опредѣляется двумя, на ней лежащими, точками и не подлежитъ никакимъ объясненіямъ. Страннымъ должна показаться начинающимъ необходимость доказательства этого очевиднаго свойства, да притомъ еще способомъ, употребленнымъ въ учебникѣ, именно способомъ приведенія къ нелѣпости, когда и прямой-то способъ доказательства имъ еще неизвѣстенъ. Авторъ учебника предпослалъ доказательство этого свойства другому свойству прямой, по которому двумя точками опредѣляется ея положеніе, и отъ того употребилъ такое затруднительное для начинающихъ объясненіе упомянутаго свойства.

Въ геометріи Давидова (изданіе 14-е. Москва 1885 г.) принимается за аксіому: «прямая линія есть кратчайшее разстояніе между двумя точками», и говорится, что это предложеніе слѣдуетъ прямо изъ понятія, которое мы имѣемъ о прямой линіи; въ введеніи авторъ, сообщая понятіе о линіи, не говоритъ, какая линія называется прямою, считая понятіе о ней первоначальнымъ. Подчеркнутое нами слово предложеніе, конечно, некстати употреблено авторомъ послѣ того разъясненія, которое дано имъ въ введеніи относительно теоремы или

предложенія. Далѣе объясняется, что между двумя точками можно вообразить только одну прямую линію, «такъ какъ больше одного кратчайшаго разстоянія между двумя точками не можетъ быть», т.-е., другими словами, на томъ основаніи, что больше одной прямой вообразить нелъзя между этими точками; изъ объясненія,- приведеннаго авторомъ, слѣдуетъ, что лучше-бы сейчасъ высказанное свойство прямой прямо принять за очевидное.

Въ своихъ «Основаніяхъ геометріи» Руше и Комберусъ считаютъ понятіе о прямой линіи основнымъ и опредѣляютъ ее, какъ «кратчайшее разстояніе между каждыми двумя своими точками», прочія основныя свойства прямой признаютъ очевидными и не подлежащими никакимъ объясненіямъ.

Достаточно и приведенныхъ примѣровъ, чтобы видѣть, какое разнообразіе въ изложеніи существуетъ въ нашихъ учебникахъ геометріи относительно самыхъ основныхъ понятій, вслѣдствіе уклоненія отъ Евклидовскаго изложенія и отъ упущенія того методологическаго принципа, что при обученіи лучше всего не давать объясненій нѣкоторымъ основнымъ понятіямъ, не требующимъ объясненій, и не опредѣлять то, что не поддается опредѣленіямъ. Какъ примѣръ недостаточной ясности геометрическихъ опредѣленій, можно привести обыкновенно даваемое опредѣленіе угла: «угломъ называется неопредѣленная часть плоскости между двумя пересѣкающимися прямыми, ограниченными въ ихъ точкѣ пересѣченія».

Намъ думается, что сведеніе понятія объ углѣ на понятіе о неопредѣленной части плоскости не дѣлаетъ представленіе объ углѣ яснымъ для учащихся.

Въ нѣкоторыхъ курсахъ геометріи уголъ опредѣляется, какъ: «отверстіе, образуемое двумя прямыми или двумя направленіями, исходящими изъ одной точки» («Начальная геометрія» Пржевальскаго), или какъ «взаимное наклоненіе двухъ пересѣкающихся прямыхъ, ограниченныхъ въ ихъ точкѣ пересѣченія». Соннэ опредѣляетъ уголъ, какъ «большее или меньшее удаленіе двухъ встрѣчающихся въ нѣкоторой точкѣ прямыхъ». Евклидъ опредѣлилъ уголъ такъ: «плоскій уголъ есть взаимное наклоненіе двухъ прямыхъ линій, на плоскости встрѣчающихся и не впрямь лежащихъ». (Евклидовыхъ началъ восемь книгъ, переводъ Ф. Петрушевскаго). Понятіе объ углѣ принадлежитъ къ основнымъ и не можетъ бытъ сведено къ болѣе простому; говоря, что двѣ прямыя АВ и АС, встрѣчаясь, образуютъ уголъ, выражаютъ мысль для всѣхъ ясную, и при этомъ чертежъ уясняетъ дѣло ученикамъ. Стремясь давать опредѣленіе нѣкоторымъ понятіямъ, можно

легко впасть въ такъ-называемый «кругъ въ опредѣленіи», чему могутъ служить примѣрами опредѣленія единицы, счета и числа въ ариѳметикѣ. Наконецъ надо имѣть въ виду степень умственнаго развитія учащихся. Понятія о времени и пространствѣ принадлежатъ къ основнымъ, и поэтому странно было-бы ихъ опредѣлять ученикамъ— время, какъ абстрактъ всѣхъ явленій послѣдовательности, и пространство, какъ абстрактъ всѣхъ явленій сосуществованія (Спенсеръ, «Основныя начала»). Необходимо вообще избѣгать излишествъ въ опредѣленіяхъ, чтобы не впасть въ крайность. Послѣ всего высказаннаго нами остановимся на тѣхъ требованіяхъ, которымъ долженъ удовлетворять учебникъ геометріи, наиболѣе согласующійся съ современными условіями учебнаго дѣла, приспособленный къ облегченію усвоенія предмета учащимися, и появленіе котораго было-бы желательно.

Нѣкоторыя основныя понятія, каковы, наприм., свойства прямой линіи не должны доказываться, а прямо формулироваться; опредѣленія не должны быть даваемы въ тѣхъ случаяхъ, когда ими одни понятія не сводятся къ другимъ простѣйшимъ. Способъ доказательства отъ противнаго не слѣдуетъ часто употреблять, и во всякомъ случаѣ слѣдуетъ ввести его въ курсъ послѣ ознакомленія съ прямымъ способомъ доказательства. Понятіе объ окружности, и примѣненіе циркуля и линейки къ рѣшенію задачъ необходимо по возможности раньше ввести въ курсъ, и для этого слѣдуетъ какъ можно раньше помѣстить статью о равенствѣ треугольниковъ, еще до изложенія о параллельныхъ линіяхъ, что будетъ и болѣе согласно съ Евклидовымъ изложеніемъ началъ геометріи*).

По поводу изложенія статьи о параллельныхъ линіяхъ замѣтимъ, что въ различныхъ курсахъ геометріи существуетъ разногласіе относительно выбора аксіомы, служащей основою для теоріи параллельныхъ линій. Конечно, желательно остановиться на аксіомѣ, выраженной въ такомъ видѣ, чтобы получилась наибольшая простота въ изложеніи всей теоріи параллельныхъ линій, въ учебномъ отношеніи. Укажемъ на рядъ учебниковъ и приведемъ, въ какомъ видѣ въ этихъ учебникахъ выражена аксіома теоріи параллельныхъ линій. Въ курсахъ геометріи: Руше и Комберуса, Блюмберга, Ващенко-Захарченко принимается за аксіому: «изъ точки внѣ прямой можно провести одну

*) Съ этимъ взглядомъ почтеннаго автора невозможно согласиться, принявъ въ соображеніе необходимость знанія свойствъ угловъ и классификаціи треугольниковъ, каковыя свойства безъ теоріи параллельныхъ линій не могутъ быть, какъ слѣдуетъ, обоснованы. Ред.

только параллельную къ ней прямую». Гг. Гика и Муромцевъ принимаютъ слѣдующую: «большій уголъ не можетъ заключаться внутри меньшаго»; г. Ф. Симашко—«наклонная и перпендикуляръ къ одной и той-же прямой, по достаточномъ ихъ продолженіи, всегда пересѣкутся»; Остроградскій: «двѣ прямыя, параллельныя третьей, параллельны между собою»; Давидовъ и Соннэ: «двѣ прямыя линіи, изъ которыхъ одна перпендикулярна къ пересѣкающей, а другая составляетъ съ ней острый или тупой уголъ, при продолженіи пересѣкаются».

Евклидъ въ своихъ «Началахъ» принялъ за аксіому въ параллельныхъ линіяхъ: «если сумма внутреннихъ одностороннихъ угловъ двухъ прямыхъ линій, пересѣченныхъ третьей, меньше двухъ прямыхъ угловъ, то такія прямыя по достаточномъ продолженіи встрѣтятся съ той стороны сѣкущей, съ которой сумма угловъ меньше двухъ прямыхъ». Вопросъ относительно формы выраженія аксіомы о параллельныхъ линіяхъ былъ уже обсуждаемъ въ математическомъ отдаленіи Новороссійскаго общества естествоиспытателей, и большинство членовъ общества признало наиболѣе простою слѣдующую форму выраженія аксіомы: «изъ точки внѣ прямой къ этой прямой можно провести только одну ей параллельную».

Чтобы ученики могли усвоить логическую связь теоремъ, что весьма важно, необходимо ограничить число ихъ главными; это дастъ возможность сесредоточиться на существенномъ и облегчитъ усвоеніе геометріи. Излишне приводить, наприм., рядъ слѣдующихъ теоремъ въ статьѣ объ окружности, и дѣлать ихъ равно обязательными для учениковъ.

«Перпендикуляръ, опущенный изъ центра на хорду, дѣлитъ пополамъ какъ хорду, такъ и соотвѣтствующіе ей центральный уголъ и дугу».

«Прямая, соединяющая центръ съ серединою хорды, перпендикулярна къ хордѣ и дѣлитъ пополамъ соотвѣтствующіе ей центральный уголъ и дугу».

«Перпендикуляръ, возставленный къ хордѣ изъ ея середины, проходитъ черезъ центръ, и дѣлитъ пополамъ центральный уголъ и дугу, соотвѣтствующіе хордѣ».

«Прямая соединяющая центръ съ серединою дуги, перпендикулярна къ соотвѣтствующей хордѣ и дѣлитъ пополамъ хорду и центральный уголъ, соотвѣтствующіе дугѣ».

Достаточно доказать первую изъ приведенныхъ теоремъ и считать знаніе ея обязательнымъ для учениковъ, остальные можно предлагать въ видѣ упражненій.

Излишне также считать равно обязательнымъ знаніе учениками такого ряда теоремъ: «Прямая, проведенная перпендикулярно къ радіусу въ его концѣ, есть касательная къ окружности». «Прямая, со~ единяющая центръ окружности съ точкою касанія, перпендикулярна къ касательной». «Перпендикуляръ, опущенный изъ центра на касательную, проходитъ черезъ точку касанія». «Перпендикуляръ, возставленный изъ точки касанія къ касательной, проходитъ черезъ центръ».

Ограничимся приведенными примѣрами, достаточно иллюстрирующими нашу мысль.

Не лишнимъ также считаемъ сказать о желательной внѣшней сторонѣ учебника геометріи; при ограниченіи числа теоремъ самыми необходимымъ существенно важными, уменьшится и объемъ учебника, а вслѣдствіе этого при меньшей стоимости можно улучшить внѣшнюю сторону изданія, т.-е. качество бумаги и чертежи, которые должны быть достаточной величины, ясны, рельефны; шрифтъ учебника долженъ быть обязательно крупный.

Въ заключеніе выяснимъ побудительную причину, вызвавшую появленіе нашей небольшой статьи. Рядъ учебниковъ по элементарной геометріи, появившихся за послѣднія 10—15 лѣтъ въ нашей учебно-математической литературѣ, сознаніе необходимости остановиться на выборѣ опредѣленнаго учебника по геометріи для среднихъ учебныхъ заведеній—все это, какъ намъ думается, дѣлаетъ вполнѣ естественнымъ желаніе каждаго заинтересованнаго лучшею ностановкою преподаванія математики въ нашихъ заведеніяхъ, высказаться относительно требованія, которымъ долженъ удовлетворять учебникъ геометріи, появленіе котораго въ свѣтъ было-бы желательно. Чѣмъ больше будутъ высказываться въ печати лица, близко стоящія къ учебному дѣлу, по поводу требованій отъ учебниковъ по тому или другому предмету, тѣмъ скорѣе можно ожидать усовершенствованія въ этомъ дѣлѣ, т.-е. появленія учебниковъ, согласныхъ съ современнымъ состояніемъ учебнаго дѣла. При появленіи таковыхъ учебниковъ, введеніе ихъ въ учебныя заведенія одного типа будетъ какъ нельзя болѣе желательно, и требованіе строго придерживаться этихъ учебниковъ при преподаваніи будетъ вполнѣ естественно.

Вл. Шидловскій.

СПОРНЫЕ ВОПРОСЫ ПО ПРЕПОДАВАНІЮ МАТЕМАТИКИ.

Въ февральской книжкѣ «Русской Школы» за прошлый годъ было поставлено нѣсколько спорныхъ вопросовъ по преподаванію математики; настоящей статьей мы попытаемся отвѣтить на два изъ нихъ, касающіеся нагляднаго обученія. Считаемъ долгомъ оговориться, что это нашъ личный взглядъ на данный вопросъ, который составляетъ результатъ личнаго опыта и наблюденія и потому можетъ быть крайне ошибоченъ и мы были-бы очень благодарны за каждое возраженіе, которое послужило-бы къ выясненію дѣла.

I. Въ какихъ случаяхъ при преподаваніи математики слѣдуетъ пользоваться нагляднымъ обученіемъ?

II. Должно-ли изученіе нѣкоторыхъ отдѣловъ математики сопровождаться наглядными способами?

Вотъ два вопроса, поставленные въ циркулярѣ попечителя Кавказскаго учебнаго округа и касающіеся нагляднаго обученія при преподаваніи математики, третій—о наглядномъ, такъ называемомъ, пропедевтическомъ курсѣ геометріи откладываемъ до другаго времени, разсматривая только первые два, такъ какъ они находятся въ непосредственной связи между собой, а именно: опредѣляя случаи пользованія нагляднымъ обученіемъ при преподаваніи математики, мы тѣмъ самымъ опредѣляемъ отдѣлы, при изученіи которыхъ оно необходимо или полезно, а также наоборотъ.

Прежде чѣмъ отвѣтить на эти вопросы, замѣтимъ, во-первыхъ, что они касаются преподаванія въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ, такъ какъ циркуляръ попечителя Кавказскаго учебнаго округа именно къ этимъ учебнымъ заведеніямъ относится, и, во-вторыхъ, опредѣлимъ, что надо разумѣть подъ словами: наглядное обученіе.

На самомъ дѣлѣ мы постоянно пользуемся наглядными методами и безъ нихъ немыслимо преподаваніе, напримѣръ, геометріи или тригонометріи, такъ какъ при прохожденіи курса этихъ наукъ мы непре-

мѣнно употребляемъ наглядный пріемъ, изображая геометрическія протяженія на чертежѣ, или начиная тригонометрію построеніемъ тригонометрическихъ линій и выводя всѣ соотношенія тригонометрическихъ величинъ изъ чертежа, который несомнѣнно есть наглядное изображеніе понятій отвлеченныхъ; но въ данномъ случаѣ разумѣются подъ нагляднымъ обученіемъ, очевидно, не такіе пріемы, а обученіе предметное, при которомъ понятія и опредѣленія математическія, а также соотношенія величинъ выводятся изъ разсмотрѣнія предметовъ, дающихъ приблизительные примѣры такихъ понятій или соотношеніи; такъ, напримѣръ, если, начиная курсъ дробей, мы пользуемся дробными счетами или ариѳметическимъ ящикомъ, или просто полоской бумаги, раздѣленной на нѣсколько равныхъ частей, чтобы дать дѣтямъ примѣръ части цѣлаго, то говорятъ, что мы употребляемъ наглядные пріемы обученія. Въ этомъ именно смыслѣ и будетъ нами пониматься выраженіе «наглядное обученіе».

Роль его въ преподаваніи курса математики общеобразовательныхъ среднеучебныхъ заведеній (разумѣются гимназіи и реальныя училища) опредѣляется той помощью, которую это обученіе можетъ оказать достиженію той или другой цѣли этого преподаванія.

Разъ предметъ включенъ въ кругъ курса общеобразовательныхъ заведеній, онъ долженъ преслѣдовать, главнымъ образомъ, двѣ цѣли: формальную—способствовать умственному развитію учениковъ, и матеріальную—давать имъ извѣстное количество свѣдѣній; также и математика, или собственно курсъ ея преподаванія въ гимназіяхъ имѣетъ двѣ главныхъ цѣли:

1) развитіе логическаго, правильнаго мышленія, навыкъ къ послѣдовательнымъ разсужденіямъ и выработку прйвычки доказывать всѣ высказываемыя сужденія; съ этой стороны математика представляетъ какъ-бы практическую часть логики, и

2) пріобрѣтеніе всѣхъ свѣдѣній по разнымъ отдѣламъ математики, которыя необходимы для разрѣшенія несложныхъ задачъ, встрѣчающихся во вседневной жизни и, главнымъ образомъ, для дальнѣйшаго продолженія математическаго образованія на математическомъ факультетѣ университета или въ спеціальныхъ высшихъ учебныхъ заведеніяхъ.

Обѣ эти цѣли должны, по нашему мнѣнію, равномѣрно преслѣдоваться и нельзя отдать предпочтенія одной изъ нихъ передъ другой.

Пріемы нагляднаго обученія являются могучимъ орудіемъ во всѣхъ тѣхъ случаяхъ, гдѣ нужно установить какое-либо представленіе или вывести понятіе изъ представленій, трудно воспроизводимыхъ вообра-

женіемъ учениковъ; съ другой стороны, эти пріемы безусловно вредны въ томъ случаѣ, если они замѣняютъ отвлеченное понятіе или выводъ примѣромъ и строгое доказательство аналогіей; такимъ образомъ, наглядное обученіе, такъ-же какъ и руководство въ рукахъ учениковъ, является орудіемъ обоюдоострымъ, которымъ надо пользоваться съ большой осторожностью. Конечно, тактъ учителя, его знаніе среднихъ способностей класса всегда могутъ подсказать ему, въ какой мѣрѣ слѣдуетъ употребить въ каждомъ данномъ случаѣ наглядные пріемы; иногда приходится прибѣгать къ этимъ пріемамъ даже въ V или VI классахъ при началѣ стереометріи, чтобы установить прочно представленіе о взаимномъ положеніи линій и плоскостей въ пространствѣ, другой разъ понятіе о дробяхъ во II классѣ усвоивается легко безъ всякихъ наглядныхъ пособій; все зависитъ отъ сравнительнаго уровня развитія класса и степени подготовки предыдущими курсами.

Чаще всего приходится прибѣгать къ пріемамъ нагляднаго обученія, разумѣется, при прохожденіи ариѳметики въ младшихъ классахъ гимназіи, какъ потому, во-1-хъ, что самый возрастъ учениковъ таковъ, что отвлеченное мышленіе для нихъ, въ большинствѣ случаевъ, недоступно, такъ, во-2-хъ, потому, что въ начальномъ курсѣ ариѳметики не можетъ быть строгихъ доказательствъ законовъ и сколько-нибудь широкихъ обобщеній, слѣдовательно, всегда можно замѣнить, безъ ущерба развитію учениковъ, примѣръ иисьменный, числовый нагляднымъ.

Отдѣлы ариѳметики, при прохожденіи которыхъ разумное пользованіе наглядномъ обученіемъ много помогаетъ дѣлу, можно намѣтить слѣдующіе: въ I классѣ: а) нумерація въ томъ случаѣ, если окажется, что ученики, поступившіе въ I классъ, плохо знакомы съ основаніями десятичной системы счисленія или эти основанія не твердо ими усвоены; съ своей стороны, мы считаемъ лучшимъ пособіемъ въ этомъ случаѣ простые торговые счеты, и b) таблица мѣръ, особенно квадратныхъ и кубическихъ, и понятіе объ именованныхъ единицахъ, какъ условныхъ, причемъ полезно наглядное сравненіе мѣръ различныхъ народовъ; во II классѣ: понятіе о дроби и иногда раздробленіе и превращеніе дробныхъ именованныхъ чиселъ, и въ III классѣ: установленіе понятія о прямо и обратно пропорціональныхъ величинахъ. Кромѣ того, въ этихъ классахъ приходится иногда прибѣгать къ нагляднымъ пріемамъ при рѣшеніи нѣкоторыхъ задачъ.

При этомъ, впрочемъ, всегда надо избѣгать излишней наглядности обученія, какъ потому, что непривычка къ отвлеченному мышленію и, главнымъ образомъ, къ умственному воспроизведенію воображеніемъ

математическихъ соотношеніи тяжело отзовется въ началѣ курса алгебры, которая не допускаетъ наглядности, такъ и потому, что пережевыванье и безъ того понятнаго вредно можетъ повліять на интересъ учениковъ къ предмету и даже на дисциплину класса.

Алгебра почти не оставляетъ мѣста для нагляднаго обученія, въ рѣдкихъ случаяхъ при рѣшеніи задачъ (на составленіе уравненій), и то въ IV классѣ, можно съ пользой примѣнять эти пріемы. Какъ примѣръ, можемъ указать весьма трудную для учениковъ задачу о встрѣчѣ стрѣлокъ на циферблатѣ часовъ, уравненіе которой и разборъ всѣхъ возможныхъ случаевъ гораздо легче усвоиваются учениками при употребленіи въ видѣ нагляднаго пособія циферблата съ подвижными стрѣлками.

Во всѣхъ упомянутыхъ случаяхъ наглядные пріемы способствуютъ достиженію обѣихъ цѣлей, намѣченныхъ нами выше, не противорѣча ни одной изъ нихъ; они, съ одной стороны, помогаютъ ученикамъ въ ихъ первыхъ шагахъ на пути анализа задачъ, уясняютъ и укрѣпляютъ въ ихъ умахъ такія основныя понятія, какъ понятія о величинахъ пропорціональныхъ или объ условныхъ единицахъ, съ другой, облегчая трудности курса, дозволяютъ учителю увеличить количество рѣшаемыхъ задачъ и вообще расширить курсъ относительно количества сообщаемаго и усвоиваемаго матеріала.

Другое дѣло геометрія, гдѣ, казалось бы, наглядные пріемы должны имѣть самое широкое примѣненіе, по нашему-же мнѣнію, при малѣйшей неосторожности учителя могутъ принести непоправимый вредъ, оказать пагубное вліяніе на убѣжденіе учениковъ въ необходимости точно доказывать каждую истину, какъ-бы она ни была очевидна, и главное, на усвоеніе геометриче.скихъ методовъ доказательствъ, которыя кажутся излишними и слишкомъ сложными въ сравненіи съ пріемами наглядными. Зачѣмъ доказывать равенство треугольниковъ, когда и такъ совсѣмъ ясно, что они равны, разъ одинъ изъ нихъ на самомъ дѣлѣ (наглядно) наложенъ на другой? Зачѣмъ употреблять методъ приведенія къ абсурду при доказательствѣ обратной теоремы о смежныхъ углахъ, когда, сложивши углы, на самомъ дѣлѣ мы ясно видимъ, что стороны ихъ составляютъ одну прямую линію? Такіе и подобные вопросы могутъ легко возникнуть въ умахъ учениковъ (вѣдь они уже въ IV классѣ, стало быть, не младенцы) при веденіи начала курса геометріи наглядно, т.-е. на вырѣзкахъ изъ картона и т. п.

На долю геометріи, какъ учебнаго предмета въ гимназіяхъ, выпала преимущественно задача—способствовать развитію логическаго

мышленія учениковъ; поэтому курсъ геометріи, давая сравнительно немного практическаго матеріала, въ цѣломъ представляетъ собой стройное зданіе, основаніемъ которому служатъ немногія истины (аксіомы), принципы и понятія, на которыхъ посредствомъ правильно построенныхъ силлогизмовъ возводятся этажъ за этажемъ всѣ остальныя геометрическія теоремы (истины). Вотъ почему въ этомъ курсѣ нѣтъ мѣста наглядности, замѣняющей примѣромъ логическія посылки и аналогіей силлогизмъ: каждое наглядное, неточное доказательство, замѣняющее вполнѣ строгое, дѣлаетъ брешь въ этомъ зданіи и грозитъ окончательнымъ его разрушеніемъ. Намъ помнится, что въ какой-то методикѣ геометріи рекомендуется заставлять учениковъ вырѣзывать изъ бумаги чертежи теоремъ, въ видахъ наглядности, но по нашему мнѣнію, хотя это и забавно, но безполезно и даже вредно, такъ какъ при доказательствѣ теоремы на вырѣзкахъ, положимъ, способомъ наложенія, кажутся ученикамъ излишними всѣ разсужденія, слѣдствіемъ которыхъ является необходимость совпаденія геометрическихъ протяженій.

Эти сомнѣнія учениковъ въ необходимости усвоенія преподаваемаго предмета, такъ какъ онъ заключаетъ въ себѣ безполезныя да еще и трудныя разглагольствованія о вещахъ, и безъ того понятныхъ и ясныхъ, могутъ въ корень подорвать интересъ къ геометріи, а весьма сомнительно, чтобы этотъ интересъ могъ быть поднятъ потомъ какими-бы то ни было мѣрами, будь то единицы или краснорѣчивыя изліянія учителя о пользѣ, какую геометрическія разсужденія должны оказать на развитіе учениковъ; извѣстно, что мальчики очень рано начинаютъ считать себясовсѣмъ достаточно развитыми, практической-же пользой геометріи нельзя убѣдить ихъ въ необходимости изученія доказательствъ всѣхъ теоремъ, и безъ того очевидныхъ при наглядномъ обученіи, которыя входятъ въ гимназическій курсъ. Поэтому мы полагаемъ, что наглядные пріемы въ геометріи могутъ быть допущены только въ двухъ случаяхъ, именно: при первомъ знакомствѣ съ геометрическими протяженіями и при переходѣ съ плоскости въ пространство, т.-е. въ самомъ началѣ курса стереометріи, причемъ ни въ какомъ случаѣ эти пріемы не должны быть примѣняемы для доказательства теоремъ, а только и исключительно для вывода какого-либо опредѣленія или въ помощь воображенію учениковъ, непривычному къ воспроизведенію новыхъ представленій.

Резюмируя все сказанное, мы видимъ, что наглядные пріемы, полезные и даже незамѣнимые въ одномъ случаѣ, приносятъ болѣе вреда, чѣмъ пользы въ другомъ, и по нашему мнѣнію, могутъ быть допу-

щены только при прохожденіи вышенамѣченныхъ отдѣловъ, которые и повторяемъ здѣсь, именно въ I классѣ, нумерація и таблица мѣръ, во II—понятіе о дробяхъ и дробныхъ именованныхъ числахъ, въ III— понятіе о пропорціональныхъ величинахъ, въ IV—анализъ нѣкоторыхъ задачъ въ алгебрѣ и начальныя геометрическія представленія и понятія и въ V или VI классѣ—начало стереометріи; хотя, опять напомнимъ, лучшимъ судьею въ томъ, слѣдуетъ-ли въ такомъ случаѣ прибѣгнуть къ наглядности или нѣтъ, можетъ быть только опытность и педагогическое чутье учителя, при искреннемъ желаніи его принести дѣйствительную пользу ученикамъ.

Н. Т.