Цѣль и средства преподаванія низшей математики.

Toute éducation qui ne commence point par l'étude de la mathématique pèche nécessairement par sa base.

Auguste Comte.

L'art d'enseigner c'est l'art d'indiquer aux autres ce qu'ils doivent faire pour s'instruire.

Jean Jacotot.

О цѣли (не только практической, но даже формальной) преподаванія такъ называемой низшей математики въ среднихъ общеобразовательныхъ учебныхъ заведеніяхъ, а равно о средствахъ, находящихся въ распоряженіи преподавателя для наилучшаго достиженія этихъ цѣлей, писано очень много и очень многими. Не сведеніемъ и критикою различныхъ взглядовъ па эти вопросы и не установкою какого-либо новаго взгляда задаемся мы въ предлагаемой статьѣ; цѣль ея гораздо скромнѣе: мы желали-бы только освѣтить эти вопросы съ точки зрѣнія истинныхъ требованій общаго образованія, не предаваясь ни увлеченіямъ, вытекающимъ изъ игнорированія цѣлей другихъ учебныхъ предметовъ среднеобразовательнаго курса, ни увлеченіямъ въ сторону наивозможно большаго облегченія учащимся труда ученія. Можно очень любить предметъ и при этомъ очень скорбѣть объ обремененіи учащихся непосильными для нихъ требованіями; но учить математикѣ необходимо, и обученіе это должно быть сопровождаемо непремѣнно извѣстною работою со стороны учащагося, извѣстнымъ количествомъ труда (въ противномъ случаѣ обученіе не приносило-бы ровно никакой пользы), и наэтой практической, жизненной почвѣ мы и желаемъ стоять въ настоящей статьѣ. Единой, цѣльной, нераздѣльной низшей математики, какъ извѣстно, не существуетъ, какъ не существуетъ также единой нераздѣльной науки математики, ко-

торой части и отрасли были-бы неразрывно связаны единою, сплачивающею ихъ, руководящею идеею. Поэтому говорить о цѣли и средствахъ преподаванія всей низшей математики вообще—значило-бы двигаться въ сферѣ слишкомъ общихъ и туманныхъ соображеній, не могущихъ сколько-нибудь подвинутъ впередъ разрѣшеніе слѣдующихъ, болѣе насущныхъ, вопросовъ: 1) какова истинная цѣль преподаванія каждаго изъ отдѣльныхъ предметовъ, составляющихъ такъ называемую низшую математику: ариѳметики, такъ называемой низшей алгебры и элементарной геометріи съ тригонометріею? и 2) каковы тѣ средства, которыя употребляются и должны употребляться для достиженія этихъ цѣлей?

Настоящая статья распадается на три главы; изъ нихъ въ первой разсматривается, въ связи съ вопросами вообще о цѣли преподаванія каждаго изъ отдѣловъ низшей математики, также вопросъ о томъ: что на самомъ дѣлѣ остается изъ всего курса низшей математики въ распоряженіи окончившаго курсъ средняго учебнаго заведенія—на всю жизнь и что изъ этого курса должно было-бы оставаться у него на всю жизнь? Во второй главѣ мы болѣе детально занимаемся вопросами о цѣляхъ преподаванія ариѳметики, низшей алгебры, геометріи съ тригонометріею, въ связи съ вопросами о томъ, что изъ курсовъ этихъ предметовъ должно быть устранено и что, напротивъ, должно быть въ нихъ внесено новаго, въ виду истинныхъ цѣлей преподаванія этихъ предметовъ; въ третьей, послѣдней, главѣ будутъ разсмотрѣны средства преподаванія всѣхъ отраслей низшей математики: роль наглядныхъ пособій, учебниковъ, сборниковъ задачъ, письменныхъ работъ, значеніе различныхъ формъ обученія и т. п.

Но прежде чѣмъ перейти къ вопросамъ, которымъ посвящена первая глава, считаемъ неизлишнимъ вкратцѣ высказаться по поводу опредѣленій, которыя даются математикѣ—наукѣ, и по поводу. раздѣленія математики на низшую и высшую, дабы впослѣдствіи болѣе не возвращаться къ этимъ вопросамъ, то или иное разрѣшеніе которыхъ окажетъ вліяніе на устанавливаемыя нами точки зрѣнія на среднеобразовательный курсъ математики.

Обычное опредѣленіе математики, какъ науки о величинахъ, какъ извѣстно, не отличается ни полнотою содержанія, ни характеризующаго силой всякаго вѣрнаго и содержательнаго опредѣленія. Говоря иначе: оно не даетъ никакого понятія о содержаніи и методахъ науки, страдая, сверхъ того, тѣмъ недостаткомъ, что создаетъ въ умѣ нашемъ невѣрную идею о математикѣ, какъ о наукѣ единой и цѣлост-

ной, какъ о наукѣ, всѣ части которой вполнѣ объединены и составляютъ одно неразрывное цѣлое. Ог. Контъ вполнѣ правъ, считая вышеприведенное, обычное опредѣленіе математики неопредѣленнымъ и малозначущимъ (vague et insignifiant), но, несмотря на то, что онъ старается его замѣнить другимъ (въ третьей лекціи своего «Курса положительной философіи»), ему это не вполнѣ удается, такъ какъ общее опредѣленіе математики, какъ науки единой и неразрывной, невозможно по той простой причинѣ, что различныя ея дисциплины недостаточно связаны одна съ другою однимъ и тѣмъ-же руководящимъ началомъ. Опредѣленіе, предлагаемое Контомъ, гласитъ приблизительно такъ: цѣль математики состоитъ въ косвенномъ (не непосредственномъ) измѣреніи величинъ, т.-е. въ опредѣленіи однѣхъ величинъ въ зависимости отъ другихъ на основаніи точныхъ соотношеніи, между ними существующихъ*). Но подъ это опредѣленіе не вполнѣ подойдутъ ни тѣ части Евклидовой, аналитической и синтетической геометріи, которыя занимаются не вопросами величины, а вопросами положенія и формы, ни тѣ части математическаго анализа, въ которыхъ мы имѣемъ дѣло съ величинами, которыхъ зависимость отъ другихъ, связанныхъ съ ними, величинъ не могутъ быть выражены ни въ какихъ извѣстныхъ намъ функціяхъ. Кромѣ того, это опредѣленіе также страдаетъ (хотя и въ меньшей мѣрѣ, чѣмъ обычное) тѣмъ недостаткомъ, что объединяетъ всѣ математическія дисциплины такъ сильно, какъ онѣ на самомъ дѣлѣ не могутъ быть объединены въ настоящее время. Невозможность общаго опредѣленія математики—науки обусловливаетъ преимущественно тѣмъ, что всѣ вопросы чисто-математическаго характера распадаются на три различныхъ класса: классъ вопросовъ ариѳметическихъ (въ самомъ обширномъ смыслѣ этого слова), вопросовъ геометрическихъ и вопросовъ механики, хотя психологическіе пространство, время, движеніе и число тѣснѣйше другъ съ другомъ связаны. Поэтому вполнѣ основательнымъ должно признать взглядъ французскихъ авторовъ, принимающихъ, что существуютъ математическія науки (les mathématiques), а не математика, какъ единая наука. Только Контъ, кажется, предпочитаетъ, по примѣру Кондорсе, слово «la mathématique» обычной во французской рѣчи формѣ множественнаго числа того-же слова.

*) «Nous sommes donc parvenu maintenant à définir avec exactitude la science mathématique, en lui assignant pour but la mesure indirecte des grandeurs, et disant, qu'on s'y propose de déterminer les grandeurs les unes par les autres, d'après les relations précises qui existent entre elles». Cours de phil. pos., t. I, стр. 98.

Не менѣе условно и раздѣленіе математики на низшую и высшую*). Съ развитіемъ, въ теченіе послѣдняго пятидесятилѣтія, въ математикѣ многочисленныхъ критическихъ и логико-методологическихъ идей и точекъ зрѣнія, рѣзкая пограничная черта между такъ называемою «низшею» математикою и математикою «высшею» почти совершенно исчезла. Мало того: очень многія идеи высшей математики, сравнительно еще недавно представлявшія ея какъ-бы неотъемлемое достояніе и ни мало не вліявшія на ученія и методы низшей, а также на преподаваніе послѣдней въ среднеучебныхъ заведеніяхъ, въ настоящіе время все болѣе и болѣе проникаютъ изъ университетскихъ курсовъ въ учебники Евклидовой геометріи, низшей алгебры и даже ариѳметики и несомнѣнно повліяли на пріемы и форму преподаванія этихъ предметовъ въ среднеучебныхъ заведеніяхъ разнаго рода. Равнымъ образомъ въ отношеніи изложенія и освѣщенія научныхъ фактовъ многія отрасли высшей математики настолько упростились въ своихъ основныхъ методахъ и пріемахъ, что теперь врядъ-ли еще найдется много такихъ математиковъ, которые считали-бы аналитическую геометрію, напримѣръ, не только въ чистомъ ея видѣ, но даже съ привнесеніемъ въ нее всѣхъ идей такъ называемой «новой» синтетической геометріи, отраслью непремѣнно высшей математики. То-же самое относится и къ дифференціальному и интегральному исчисленіемъ, къ синтетической геометріи, къ теоріи сравненій и даже, можетъ быть, къ теоріи функцій мнимаго перемѣннаго. Стало быть, обозначенія «низшая» и «высшая» математика не выражаютъ ничего характернаго, относящагося до методовъ и сущности различныхъ, входящихъ въ составъ математики, отраслей знанія, а лишь служатъ для сокращеннаго обозначенія совокупности предметовъ, входящихъ въ курсъ средняго учебнаго заведенія, въ отличіе отъ предметовъ, преподаваемыхъ въ высшихъ учебныхъ заведеніяхъ: въ университетахъ (на физико-математическомъ факультетѣ) и на первыхъ курсахъ нѣкоторыхъ спеціальныхъ учебныхъ заведеній (технологическаго и горнаго институтовъ, артиллерійскихъ училищъ и академіи и т. п.). Само собою разумѣется, что мы при этомъ, говоря о математикѣ, имѣемъ

*) Вопросу объ отсутствіи въ іерархіи наукъ единой нераздѣльной математической вауки посвящено пишущимъ эти строки очень много вниманія въ другой работѣ, напечатанной двѣнадцать лѣтъ тому назадъ и содержащей въ себѣ много мыслей, съ которыми мы въ настоящее время не согласны. Мы говоримъ о рядѣ статей своихъ подъ заглавіемъ: «Математика какъ предметъ общаго образованія», помѣщенныхъ въ 1878 году въ журналѣ «Педагогическій музей».

въ виду только отрасли такъ называемой чистой математики, тѣмъ болѣе, что каждая изъ отраслей такъ называемой «прикладной» въ настоящее время образовала самостоятельную науку, и терминъ «прикладная математика» нынѣ все болѣе и болѣе выходитъ изъ употребленія.

ГЛАВА I. Результаты, нынѣ достигаемые изученіемъ низшей математики.

On ne peut pas savoir tout: il faut se contenter de comprendre.

George Sand.

Цѣль изученія какого-либо предмета въ учебномъ заведеніи можетъ бытъ двоякая: 1) практическая, такъ-сказать матеріальная, утилитарная, и 2) образовательная, или иначе—формальная, идеальная, развивательная. Какъ-бы узка ни была практическая цѣль, преслѣдуемая изученіемъ даннаго предмета, основные принципы современной педагогики однако-же требуютъ отъ обученія ему также вниманія къ образовательной, т.-е. развивательной, формальной сторонѣ обученія. Современная педагогика не можетъ примириться съ одною только дрессировкою учащагося въ пріобрѣтеніи важныхъ для него въ практическомъ отношеніи познаній и умѣній; она требуетъ также, чтобы учащійся при этомъ извлекъ изъ обученія максимумъ тѣхъ полезныхъ умственныхъ и духовныхъ навыковъ, которые изъ даннаго предмета могутъ бытъ, при данныхъ условіяхъ, извлечены. Тѣмъ не менѣе нѣкоторые изъ предметовъ обученія преслѣдуютъ таковыя образовательныя цѣли только какъ-бы по пути, и главное вниманіе учащаго обращено, благодаря особенностямъ предмета, на практическіе результаты обученія; другіе-же предметы, напротивъ, узко практическихъ цѣлей не преслѣдуютъ и преслѣдовать не могутъ, и все вниманіе учащаго обращено преимущественно на школу мышленія, свойственную этому предмету и, такъ сказать, его характеризующую. Среди отраслей низшей математики есть представительницъ! обоихъ родовъ предметовъ обученія: ариѳметика преслѣдуетъ и должна, по самому характеру своему, преелѣдовать преимущественно практическія цѣли (не забывая, конечно, принципа обязательности внесенія во всякое обученіе элемента образовательнаго), геометрія—преимущественно цѣли образовательныя, низшая алгебра—и тѣ и другія.

Ариѳметика должна учить производству четырехъ дѣйствій надъ цѣлыми и дробными числами (производству вѣрному, быстрому и болѣе или менѣе изящному); геометрія должна на вопросахъ геометрическихъ учить пріемамъ доказательства, опредѣленія, классификаціи и изслѣдованія, т.-е. должна учить нѣкоторымъ приложеніямъ формальной и практической логики; алгебра должна-бы дѣлать и то, и другое: учить и логикѣ (обобщенію и отвлеченію), и производству дѣйствій надъ количествамъ

Понятно поэтому, что въ дальнѣйшемъ развитіи этихъ взглядовъ мы натолкнемся въ каждой изъ разрабатываемыхъ въ среднеобразовательномъ учебномъ заведеніи дисциплинъ на такія ученія, которыя ни практическаго, ни математически-образовательнаго значенія въ установленномъ выше смыслѣ не имѣютъ; въ такихъ случаяхъ мы подобныя статьи курса низшей математики должны будемъ такъ или иначе отмѣтить. Точыо также мы не станемъ обходить молчаніемъ и тѣ ученія и идей математическаго содержанія, которыя нынѣ не вносятся, но могли-бы быть, съ болѣе или менѣе значительной пользой для дѣла образованія, внесены въ среднеобразовательный курсъ математики, въ виду той или другой изъ двухъ намѣченныхъ выше цѣлей изученія этого курса (причемъ, конечно, не станемъ упускать изъ виду то количество времени, которое находится въ распоряженіи средняго учебнаго заведенія). Свободное и независимое отъ установившихся взглядовъ на объемъ и содержаніе среднеобразовательнаго курса математики обсужденіе этихъ вопросовъ тѣмъ дозволительнѣе и желательнѣе въ настоящемъ случаѣ, что низшая математика (да и самая наука математики) не представляетъ собою какого-либо однороднаго цѣлаго, могущаго пострадать отъ перенесенія центра его тяжести изъ одной статьи курса въ другую, если только это перенесеніе центра тяжести признано будетъ полезнымъ въ образовательномъ отношеніи.

Мы не имѣемъ чести принадлежать ни къ числу безусловныхъ, крайне ревностныхъ и страстныхъ сторонниковъ и поклонниковъ математики, какъ предмета общаго образованія, которые, вмѣстѣ съ Дильманномъ*),. склонны ставить математику чуть не во главу всего общаго образованія и которые признаютъ математику едва-ли не исключительною представительницею умственныхъ интересовъ всего человѣчества въ его недалекомъ будущемъ**). Но само собою разумѣется, что мы не

*) Dillman. Die Mathematik, die Fackelträgerin einer neuen Zeit. Stuttgart. 1889.

**) Весьма близокъ къ этому направленію педагогической мысли ивъ новѣйшихъ авторовъ д-ръ Шоттенъ (Schotten), авторъ еще неоконченнаго сочиненія

принадлежимъ также и къ числу гораздо болѣе многочисленныхъ, чѣмъ это кажется, противниковъ изученія нѣкотораго, довольно обширнаго но объему и содержанію своему, курса математики въ среднемъ учебномъ заведеніи, думающихъ, что она отъ учениковъ требуетъ какихъ-то значительныхъ, чуть не прирожденныхъ, притомъ вполнѣ специфическихъ, способностей и забывающихъ при этомъ, что вовсе не въ томъ дѣло, чтобы всѣ ученики непремѣнно научились свободному и безукоризненному обращенію съ математическими ученіями, а въ томъ, чтобы всѣ воспитанники средняго учебнаго заведенія непремѣнно учились математикѣ и учились-бы этому предмету вполнѣ основательно*).

Во избѣжаніе, однако, недоразумѣній, мы должны еще разъ обратить вниманіе читателя на то, что, говоря объ образовательномъ значеніи изученія математики въ среднемъ учебномъ заведеніи, должно приписывать таковое не только тѣмъ ученіямъ, которыя по самому существу своему призваны привить уму учащагося пріемы точнаго мышленія вообще и математическаго въ частности, но также и тѣмъ умѣніямъ математическаго характера, которыя имѣютъ значеніе преимущественно практическое. Ибо въ математикѣ иногда пріобрѣтеніе даже вполнѣ механическихъ пріемовъ, имѣющихъ, казалось-бы, преимущественно техническое значеніе, не можетъ не сопровождаться такими элементами болѣе или менѣе отвлеченнаго мышленія, которые на умъ и душевную дѣятельность учащагося оказываютъ весьма значительное, притомъ чрезвычайно полезное воспитательное вліяніе. Кромѣ того, считаемъ нелишнимъ замѣтить, что мы лично вовсе не склонны отвергать тотъ фактъ, что не только при школьномъ обученіи, но и при домашнемъ, нѣкоторые учащіеся выказываютъ большія способности, другіе—среднія, а третьи—почти никакихъ. Отвергать это и сводить дѣло, какъ это многіе дѣлаютъ, къ различію въ подготовкѣ, къ обвиненію практикуемыхъ пріемовъ обученія въ недостаточномъ вниманіи къ потребностямъ и въ недостаточности подготовки учащихся и т. п.—по нашему крайнему разумѣнію, неосно-

критико-методическаго характера по предмету геометріи подъ заглавіемъ: Inhalt und Methode des planimetrischen Unterrichts. Lpz. 1890.

*) Изъ новѣйшихъ авторовъ, считающихъ довольно распространенное мнѣніе объ образовательномъ значеніи изученія низшей математики во многихъ пунктахъ предразсудкомъ или заблужденіемъ, слѣдуетъ назвать проф. Шиллера (Schiller), автора довольно извѣстнаго руководства по педагогикѣ, и Гюйо (Guyot), автора извѣстнаго и весьма симпатичнаго во многихъ отношеніяхъ сочиненія о воспитаніи и наслѣдственности.

вательно, ибо указанный фактъ на-лицо, и отрицать, что, при всѣхъ прочихъ одинаковыхъ условіяхъ, всѣ дѣти не равно способны къ воспріятію тонкостей математики, невозможно. Это значило-бы ставить математику какъ-бы внѣ того закона психологіи, по которому, несмотря на единообразіе психическихъ свойствъ духа всѣхъ нормальныхъ людей, у каждаго человѣка есть своя индивидуальная духовная природа, которая и обусловливаетъ пристрастіе даннаго человѣка, чуть-ли не съ дѣтскаго возраста, къ тому или иному овладѣвающему имъ комплексу физическихъ, умственныхъ, нравственныхъ и эстетическихъ вкусовъ и наклонностей. Но изъ этого факта, по меньшей мѣрѣ, неосновательно дѣлать тотъ выводъ, что учиться математикѣ должны и могутъ только одаренные такъ называемыми способностями къ ней; едва-ли не обратный выводъ напрашивается въ этомъ случаѣ на вниманіе, а именно, что изученіе математики дѣтьми, мало или незначительно къ ней расположеннымъ этимъ дѣтямъ особенно необходимо, какъ занятія физическою гимнастикою необходимы скорѣе отставшимъ въ своемъ физическомъ развитіи дѣтямъ, чѣмъ субъектамъ, которые и безъ гимнастики отличаются хорошимъ тѣлосложеніемъ и отличнымъ физическимъ здоровьемъ. Этотъ вопросъ, въ связи съ вопросомъ объ объемѣ среднеобразовательнаго курса математики, будетъ нами, впрочемъ, разсмотрѣнъ впослѣдствіи. Здѣсь-же мы считаемъ необходимымъ только выяснить въ общихъ чертахъ ту точку зрѣнія, на которой мы стоимъ въ вопросъ о такъ называемыхъ способностяхъ учатцагося къ математикѣ*).

Объ образовательномъ значеніи изученія математики написано, въ духѣ сочувствія къ математикѣ такъ много и, какъ это замѣчено выше, столь многими авторами, что стремленіе сказать что-либо новое по этому вопросу представляется намъ крайне неосновательнымъ.

*) Помянутыя выше Шоттенъ, вмѣстѣ съ очень многими болѣе или менѣе авторитетными авторами по предмету методики математики, держится того взгляда, что только ненормальныя дѣти абсолютно неспособны къ изученію математики. Несомнѣнно, что нормальный ребенокъ, такъ или иначе, въ состояніи осилить курсъ какого угодно предмета, слѣдовательно и курсъ математики; но это нисколько не вліяетъ на рѣшеніе вопроса о томъ, всѣ-ли дѣти одинаково легко и съ одинаковою любовью осиливаютъ ее, т.-е. всѣ-ли дѣти одинаково къ ней способны. Заслуживаетъ при этомъ вниманія тотъ фактъ, что наименьшая склонность къ математикѣ выказывается не такъ называемымъ среднимъ ученикомъ, а напротивъ того, часто субъектами, одаренными какими-нибудь особенными талантами, напр., къ языкамъ, къ искусствамъ, къ такъ называемымъ гуманитарнымъ наукамъ. Но и изъ этого нельзя дѣлать никакихъ выводовъ относительно значенія, цѣлей и средствъ преподаванія низшей математики.

Но, не смотря на это и не смотря на восторженные панегирикъ этому предмету преподаванія со стороны его приверженцевъ, очень. часто приходится слышать даже со стороны вполнѣ образованныхъ людей сѣтованія на слишкомъ большія требованія, предъявляемыя по этому предмету учащими къ ученикамъ, и встрѣчаться съ указаніями на то, что для изученія математики необходимы совершенно особенныя, математическія, способности, и на то, что можно быть вполнѣ образованнымъ человѣкомъ, не зная ни бинома Ныотона, ни логариѳмовъ, ни Пиѳагоровой теоремы. Причинъ существованія подобныхъ взглядовъ очень много; укажемъ на главнѣйшія изъ нихъ: 1) несомнѣнно, что методы преподаванія математики еще не отличаются тѣми особенностями, которыя необходимы для того, чтобы предметъ былъ для всѣхъ учащихся вполнѣ интересенъ; 2) въ средѣ преподавателей и завѣдывающихъ учебнымъ дѣломъ недостаточно еще усвоенъ тотъ единственно вѣрный взглядъ на преподаваніе математики, по которому главнѣйшую часть полезной работы учащійся совершаетъ только тогда, когда онъ еще учится математикѣ, а не тогда, когда онъ уже выучилъ ту или другую теорему, то или другое доказательство; 3) при современномъ состояніи преподаванія этого предмета не только у насъ, но и въ Западной Европѣ (не считая, впрочемъ, Англіи) недостаточно еще сдѣлано для разграниченія тѣхъ познаній и умѣній, которыя должны остаться навсегда въ распоряженіи учащагося, отъ тѣхъ познаній и умѣній, которыя играютъ въ курсѣ только служебную роль; наконецъ, 4) у насъ, да и въ Западной Европѣ, слишкомъ большое значеніе придается умѣнью рѣшать задачи съ искусственными по возможности условіями, отбивающія у дѣтей, почему-либо мало склонныхъ къ разсужденіямъ надъ математическими объектами, всякую охоту къ такимъ разсужденіямъ, т.-е., отбивающимъ у нихъ, говоря иначе, всякую охоту къ какимъ-бы то ни было занятіямъ математикою. При этомъ должно замѣтить, что особенно много вреда преподаванію математики въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ принесло не только у насъ, но и въ Западной Европѣ, увлеченіе рѣшеніемъ задачъ по возможности сложныхъ и запутанныхъ, какъ-бы нарочно составленныхъ для того, чтобы учащіеся въ большинствѣ своемъ и образованное общество усвоило себѣ отрицательный взглядъ на математику, какъ на предметъ общаго образованія.

Безспорнымъ, однако, какъ мы это видѣли выше, должно быть признано, что не всѣ дѣти одинаково хорошо предрасположены къ особенно успѣшнымъ занятіямъ математикою, и безспорнымъ также

должно быть признано, что можно весь вѣкъ свой прожить на свѣтѣ, не зная ни Пиѳагоровой, ни Птоломеевой теоремы, ни теоріи квадратнаго уравненія, ни многихъ другихъ усваиваемыхъ въ школѣ свѣдѣній и фактовъ. Но понятно также, что изъ всего этого отнюдь еще не слѣдуетъ, что человѣку, претендующему на средній образовательный цензъ, можно прожить все свое дѣтство и отрочество, вовсе не учась математикѣ. Отъ того, что человѣкъ, считающій себя образованнымъ, не помнитъ, въ чемъ состоитъ Птоломеева теорема, и даже не помнитъ, есть-ли такая теорема на свѣтѣ—бѣды для умственнаго благосостоянія средняго человѣка, конечно, не предвидится никакой; но если человѣкъ никогда не учился математикѣ и если его мышленіе не пріобрѣло въ свое время ни одного изъ тѣхъ навыковъ, которые могутъ быть пріобрѣтены только изученіемъ математики, то такой претендентъ на званіе человѣка образованнаго только въ какихъ-либо особенно исключительныхъ случаяхъ имѣетъ право предъявлять эту претензію. Исключительная натура какого-нибудь Фарэдэя ни въ какомъ школьномъ образованіи не нуждалась для того, чтобы изъ ученика переплетнаго цеха со временемъ превратиться въ геніальнаго физика. Но не таковъ средній человѣкъ: ему не только для того, чтобы сдѣлаться порядочнымъ физикомъ, но и для того, чтобы сдѣлаться порядочнымъ юристомъ, филологомъ, историкомъ, чиновникомъ, вообще человѣкомъ, достойнымъ званія человѣка культурнаго и образованнаго, нужна прежде всего школа мышленія, и однимъ изъ дѣятельнѣйшихъ условій этой школы является изученіе математики въ томъ или другомъ ея объемѣ. «Съ математики—говоритъ Контъ—началось развитіе положительной философіи: отъ математики человѣчество получило методъ»*). Оставивъ въ сторонѣ Контовскіе взгляды на положительную философію, мы можемъ, тѣмъ не менѣе, въ этой цитатѣ подставить вмѣсто «положительной философіи» —научное знаніе; дѣйствительно: истинно - научное знаніе и методъ начали развиваться съ математики, и первыя научныя знанія, первые научные методы познанія были несомнѣнно знанія и методы математическаго характера. Какимъ-бы нападкамъ ни подвергался авторитетъ Конта въ вопросахъ чисто-математическаго характера (Контъ, напр., не признавалъ теоріи вѣроятностей и, кромѣ того, не оставилъ сколько-нибудь значительныхъ слѣдовъ въ исторіи развитія ма-

*) C'est par les mathématiques que la philosophie positive а commencé à se former: c'est d'elles que nous vient la méthode. Aug. Comte, Cours de phil. pos., T. I, стр. 122.

тематическихъ наукъ), а такимъ нападкамъ онъ подвергался также у насъ (проф. Цингеръ), но авторитетъ Конта не можетъ быть отрицаемъ въ вопросахъ философіи наукъ,—той самой философіи, которую признаютъ нынѣ и нѣмцы, называющіе ее «ученіемъ о наукахъ» (Wissenschaftslehre)*). Кромѣ того, Контъ (что еще важнѣе) неопровержимо доказываетъ великое значеніе математики, какъ предмета образованія, и мы не можемъ не признать, что его разсужденія въ первыхъ лекціяхъ «Курса философіи» и въ первыхъ главахъ его «Субъективнаго синтеза» (Synthèse subjectif) представляютъ наиболѣе содержательное и основательное (изъ извѣстныхъ намъ) разсмотрѣніе и освѣщеніе этого кардинальнаго вопроса нашей статьи. Математикѣ должно учиться, и въ ея изученіи лежитъ одно изъ могущественнѣйшихъ средствъ къ истинному умственному развитію учащагося— потъ выводъ изъ приводимыхъ имъ соображеній относительно этого вопроса,—соображеній, которыя сводятся къ слѣдующему: «Изученіемъ математики, притомъ изученіемъ только этого предмета возможно составить себѣ вѣрную и глубокую идею о томъ, что такое наука. Только тамъ и должно искать точнаго познанія того общаго метода, который употребляется человѣческимъ умомъ во всѣхъ его изслѣдованіяхъ; ибо ни въ какой иной наукѣ вопросы не разрѣшены съ такою полнотою, а выводы не простираются такъ далеко и съ такою неуклонною строгостью. Равнымъ образомъ только тамъ наше познаваніе дало наиубѣдительнѣйшія доказательства своей силы, ибо идеи, разсматриваемыя въ математикѣ, достигаютъ наивысшей ступени возможной въ положительной наукѣ отвлеченности. Всякое научное воспитаніе, не начинающееся изученіемъ математики, тѣмъ самымъ неизбѣжно грѣшитъ въ своемъ основаніи» (Cours de philosophie positive, томъ I, стр. 99).

Ариѳметика (въ самомъ узкомъ смыслѣ этого слова) должна дать и часто дѣйствительно даетъ учащемуся рядъ чисто техническихъ умѣній въ дѣлѣ ариѳметическихъ вычисленій, практически важныхъ для дальнѣйшаго курса математики, причемъ многія изъ этихъ умѣній (что особенно характерно для ариѳметики) необходымы человѣку также и впослѣдствіи, какъ ему необходимы грамотность и письмо. Алгебра даетъ учащемуся могущественное орудіе для дальнѣйшаго

*) Ог. Контъ въ этомъ отношеніи напоминаетъ собою частью Бэкона Веруламскаго, не оставившаго человѣчеству ни одного естественно-научнаго открытія и, тѣмъ не менѣе, признаваемаго творцомъ индуктивнаго метода, а частью Канта, не открывшаго никакой планеты, но тѣмъ не менѣе, создавшаго одну изъ наиболѣе совершенныхъ теорій происхожденія міровъ вселенной.

изученія математики и дѣлаетъ, благодаря упражненіямъ учащагося въ рѣшеніи задачъ на составленіе уравненій, вкладъ неизмѣримой цѣнности въ сокровищницу математическаго мышленія учащихся въ направленіи математическаго творчества. Зато изъ умѣній, которыя даетъ учащемуся изученіе алгебры, для будущаго необходимымъ не можетъ быть признано ни одно. Геометрія, наконецъ, учитъ преимущественно доказательству, какъ таковому, т.-е. учитъ одному изъ важнѣйшихъ приложеній практической логики, притомъ учитъ ему преимущественно предъ всѣми остальными отраслями среднеобразовательнаго курса математики. Тригонометрія-же является только дополненіемъ ученія геометріи о треугольникѣ и даетъ учащемуся возможность образовать себѣ понятіе о функціи, отличной, во всѣхъ своихъ свойствахъ, отъ функцій алгебраическихъ. Таковы, вкратцѣ, дѣйствительные, а не фантастическіе результаты, достигаемые въ большей или меньшей степени практикуемымъ у насъ курсомъ такъ называемой низшей математики. Если мы только вѣрно представляемъ себѣ объемъ тѣхъ пріобрѣтеній въ области математической науки, которыя получаются въ окончательномъ результатѣ многолѣтнихъ, въ среднеучебномъ заведеніи, занятій учащагося, не одареннаго особенными способностямъ т.-е. не проникнутаго особеннымъ интересомъ къ математическимъ вопросамъ и пріемамъ мышленія, то, естественно, возбуждаются слѣдующіе вопросы: 1) достаточенъ-ли этотъ окончательный результатъ занятій математикою для всякаго человѣка, получившаго среднее образованіе? 2) не проходится-ли въ этомъ курсѣ много такихъ ученій, которыя не представляются особенно важными іни въ образовательномъ, ни въ практическомъ отношеніяхъ, и не надо-ли взамѣнъ этихъ излишнихъ, съ общеобразовательной и практической точекъ зрѣнія, статей курса включить въ курсъ такія статьи, которыхъ нынѣ нѣтъ въ среднеобразовательномъ курсѣ? и 3) правиленъ-ли тотъ, нынѣ господствующій, взглядъ на преподаваніе математики въ среднемъ учебномъ заведеніи, по которому изъ каждаго отдѣла этого учебнаго предмета всѣ абитуріенты, каковъ-бы ни былъ личный составъ даннаго класса и индивидуальныя наклонности каждаго учащагося, должны пройти непремѣнно весь установленный программою и обычаемъ курсъ во всемъ его объемѣ?

Первый изъ этихъ вопросовъ крайне важенъ, а именно вопросъ о томъ—не слишкомъ-ли незначителенъ тотъ окончательныя результатъ, который обыкновенно достигается среднеобразовательнымъ курсомъ математики, если имѣть въ виду не только-что окончившаго курсъ абитуріента и не тѣхъ молодыхъ людей, которые, благодаря особен-

ному интересу къ математикѣ, или благодаря необходимости избрать себѣ ту или другую техническую или профессіональную карьеру, занимаются и по окончаніи гимназическаго курса математикою? Молодыхъ людей послѣдней категоріи намъ, понятно, не для чего принимать во вниманіе, равнымъ образомъ и о только-что окончившихъ курсъ абитуріентахъ говорить тоже нечего: послѣдніе по математикѣ обладаютъ познаніями довольно обширными (хотя и не глубокими); въ противномъ случаѣ они не могли-бы выйти съ большею или меньшею честью изъ окончательныхъ испытаній по предмету математики, требующихъ сравнительно весьма детальнаго знанія разныхъ статей курса, Мы говоримъ о той массѣ окончившихъ курсъ въ среднеучебныхъ заведеніяхъ, которая тотчасъ по окончаніи курса поставлена въ условія, наиболѣе благопріятныя для полнаго забвенія ученій математики, и эта масса представляетъ собою чаще всего, можно сказать. подавляющее большинство. У представителей-же этой массы изъ курса ариѳметики остаются въ распоряженіи ученія о всѣхъ четырехъ дѣйствіяхъ надъ цѣлыми и нѣкоторыхъ дѣйствіяхъ надъ дробными числами, изъ алгебры—умѣнье прочесть формулу и болѣе или менѣе вѣрно понять смыслъ ея, обо всемъ-же остальномъ, за исключеніемъ ученія объ уравненіи первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ, у нихъ остаются только болѣе или менѣе смутныя воспоминанія; изъ геометріи-же остаются почти только одни воспоминанія, притомъ воспоминанія туманныя о какой-то безконечной цѣпи доказательствъ, а изъ тригонометріи (грѣха нечего таить) чаще всего только одни названія тригонометрическихъ функцій. Вопросъ, насъ нынѣ интересующій, заключается въ томъ: 1) достаточно-ли этого съ практической точки зрѣнія? и 2) можетъ-ли быть признано, что при такой бѣдности познаній средняго человѣка (окончившаго курсъ въ гимназіи или равносильномъ. ему заведеніи) въ отношеніи фактическаго, т.-е. научнаго содержанія, полученное даннымъ лицомъ математическое образованіе все-таки достаточно и нормально?

Если смотрѣть на дѣло безпристрастно, то практическая жизнь въ. отношеніи вопросовъ математическаго характера предъявляетъ къ среднему образованному человѣку преимущественно одно требованіе: этотъ человѣкъ долженъ умѣть совершать дѣйствія надъ цѣлыми числами и—рѣже—надъ дробями обыкновенными и десятичными; что-же касается ученій алгебры, геометріи и тригонометріи, то жизнь не предъявляетъ къ этому среднему человѣку съ образованіемъ почти никогда такихъ требованій, для выполненія которыхъ необходимо, чтобы данное лицо вполнѣ владѣло обширными фактическими позна-

шіями по этимъ предметамъ. Съ этой, грубо-практической, узко-утилитарной точки зрѣиія средній образованный человѣкъ (если не считать нѣкоторыхъ недочетовъ въ умѣніи даннаго человѣка съ среднимъ образованіемъ дѣлать вѣрно, быстро и съ нѣкоторымъ изяществомъ ариѳметическія вычисленія,—a такіе недочеты несомнѣнно замѣчаются въ образованномъ обществѣ) можетъ считать свое математическое образованіе не только достаточнымъ, но даже прямо роскошнымъ. Не такъ склонны смотрѣть на дѣло тѣ преподаватели математики, которые не могутъ простить никому «невѣжества» въ вопросахъ математики; многимъ учителямъ математики хотѣлось-бы, чтобы ихъ ученики на всю жизнь сохранили пріобрѣтенныя ими въ среднемъ учебномъ заведеніи математическія умѣнія и познанія. Но и этотъ взглядъ, по нашему мнѣнію, не вѣренъ въ своей основѣ.

По прошествіи нѣсколькихъ лѣтъ по окончаніи гимназическаго или другаго среднеобразовательнаго курса большинство, не занимающееся математикою или соприкосновенными отраслями вѣдѣнія, изъ ариѳметики забываетъ все ученіе о періодическихъ дробяхъ, о дробяхъ непрерывныхъ (которыя еще не такъ давно проходились въ курсѣ ариѳметики), о тройныхъ правилахъ (простомъ и сложномъ), о правилѣ процентовъ, товарин^ества, смѣшенія, цѣпномъ, н т. д. Изъ алгебры забываетъ тоже очень многое, а изъ геометріи—почта все. Практическаго значенія все забытое для него не имѣетъ ровно никакого. Кромѣ того, надо принять къ свѣдѣнію, что, при преподаваніи какого угодно предмета, а въ особенности математики въ среднеучебномъ заведеніи, фактическое содержаніе учебнаго предмета часто служитъ лишь матеріаломъ, надъ которымъ учащійся долженъ поработать для достиженія какихъ-либо идеальныхъ результатовъ въ направленіи образованія ума и воспитанія сужденія. Поэтому, если упомянутые идеальные, образовательные результаты достигнуты, то не представляется большой бѣды въ томъ, что этотъ матеріалъ, если онъ не имѣетъ самостоятельной цѣнности, памятью учащагося не сохраненъ на всю жизнь. Ни удивляться тому, что этого не случилось, ни огорчаться по этому поводу, стало быть, не слѣдуетъ. Весь вопросъ, можетъ быть, только въ томъ и состоитъ—достигнуты-ли охарактеризованные выше идеальные результаты, т.-е. пріобрѣло-ли данное лицо тѣ необходимые умственные навыки и, если можно такъ выразиться, тѣ умственные инстинкты, развитію которыхъ могли въ свое время способствовать занятія низшей математикою; весь вопросъ въ томъ—пріучилось-ли данное лицо вѣрно оцѣнивать демонстративную силу доказательства, научилось-ли оно пониманію методовъ отвлеченія и обобщенія, развило-ли

въ себѣ вкусъ къ точному мышленію и сужденію. Сохраненіе-же въ памяти всего того матеріала, при изученіи котораго эти инстинкты и навыки развились, вовсе не обязательно, ибо не въ знаніи фактическомъ вся сила изученія, математики, а въ методѣ математики и ея системѣ, безъ пониманія которыхъ могутъ обойтись только особенно талантливыя въ другихъ отношеніяхъ личности, но не можетъ обойтись средній человѣкъ, занимающій на шкалѣ талантливости и умственной или духовной самобытности какое-нибудь изъ среднихъ мѣстъ.

Мы чрезвычайно далеки отъ мысли, будто постановка курса математики въ нашихъ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ безукоризненна, ибо не можетъ дѣло рукъ человѣческихъ быть безукоризненно; но если курсъ математики пройденъ такъ, что всѣ тѣ умственные навыки и пріемы, которыми живетъ и дышитъ математика, учащимся въ свое время поняты и усвоены во всей своей силѣ и логической мощи, то нѣтъ ровно никакой бѣды въ томъ, что всякій окончившій курсъ въ среднемъ учебномъ заведеніи въ очень скоромъ времени забываетъ всю фактическую сторону того учебнаго матеріала, которому, благодаря работѣ надъ нимъ, онъ обязанъ столь полезнымъ и даже прямо необходимымъ для всякаго образованнаго человѣка направленіемъ своего мышленія въ сторону строгаго и точнаго сужденія не только о вопросахъ математическихъ, но также о предметахъ, почему-либо болѣе близкихъ его уму и сердцу. Весь вопросъ, стало быть, опять-таки, только въ томъ, что всякій средній человѣкъ, который заявляетъ притязаніе на званіе человѣка сколько-нибудь образованнаго, долженъ былъ въ отрочествѣ и юности заниматься математикою; важно, чтобы учащійся хорошо учился, а учащій хорошо училъ этому предмету; важно, чтобы изученіе математики преслѣдовало, гдѣ нужно, наравнѣ съ образовательными, также практическія, а гдѣ это неумѣстно, исключительно образовательныя цѣли. Но много-ли послѣ такого курса останется въ памяти учащагося фактическихъ знаній, притомъ навсегда, на всю жизнь—это уже вопросъ второстепенный и даже прямо праздный. Забыть фактическій матеріалъ даннаго предмета можетъ всякій, забыть это содержаніе можетъ даже человѣкъ съ большими математическими способностямъ и сильно интересующійся вопросами математики. Недаромъ разсказываютъ объ одномъ прямо крупномъ современномъ геометрѣ, будто онъ ежедневно систематически упражняется въ вычисленіяхъ разнаго рода, дабы, какъ онъ самъ говоритъ, «не позабыть этой музыки»*).

*) Мы лично близко знаемъ одно лицо, которое, доведши уже разъ свои познанія по математикѣ до весьма высокой ступени въ одномъ изъ высшихъ

Всякое только фактическое знаніе можетъ съ величайшею легкостью улетучиться изъ памяти; но, съ другой стороны, изъ этого отнюдь не слѣдуетъ дѣлать тотъ выводъ, что не стоитъ стремиться къ его пріобрѣтенію, хотя-бы только и на непродолжительное время: въ особенности это вѣрно относительно тѣхъ познаній, которыя играютъ служебную роль въ дѣлѣ образованія съ помощью ихъ ума человѣка, а не развитія его памяти. Къ сожалѣнію, не такъ судятъ многіе преподаватели и экзаменаторы; не такъ судятъ многочисленные сторонники возможно большаго сокращенія курса математики въ женскихъ учебныхъ заведеніяхъ; эти послѣдніе, имѣя въ виду спеціальныя особенности занимающаго ихъ вопроса, говорятъ: «на что женщинѣ знать теорію предѣловъ или стереометрію? вѣдь она очень скоро позабудетъ всѣ эти премудрости, и ей никогда не придется прилагать эти знанія на дѣлѣ». На это можно возразить только слѣдующимъ образомъ: знать теорію предѣловъ или стереометрію никому, конечно, кромѣ преподавателей математики и другихъ лицъ, почему-либо заинтересованныхъ этимъ предметомъ, не нужно; но изучать теорію предѣловъ, изучать стереометрію, изучать и другія отрасли низшей математики нужно всякому человѣку, а потому и всякой женщинѣ, претендующимъ на культурную роль въ обществѣ, если только намъ дѣйствительно дороги интересы истинной умственной культуры, интересы истиннаго знанія и истиннаго образованія. «Нельзя знать все (кетати, слова эти принадлежатъ женщинѣ, а именно Жоржъ-Зандъ), нельзя знать все: надо удовлетвориться пониманіемъ». Пониманіе-же представляетъ собою условіе умственной культуры, и дается оно школою мысли, а не обремененіемъ и уснащеніемъ памяти возможно большимъ количествомъ фактическихъ данныхъ, хотя безъ послѣднихъ никакая школа мысли невозможна; школа-же мысли, между прочимъ, дается и должнымъ изученіемъ нѣкотораго, болѣе или менѣе объемистаго, курса математики. Чего, съ точки зрѣнія образовательной, въ

учебныхъ заведеній въ Германіи, должно было, по винѣ домашнихъ обстоятельствъ, на много лѣтъ забросить математику, и что-же? Когда оно во второй разъ, уже достигши средняго возраста, снова принялось за математику, то оказалось, что имъ совершенно забыто почти все изъ высшей и даже низшей математики, а осталось только пониманіе духа математическаго изслѣдованія. И это лицо (ньтнѣ профессоръ университета) представляетъ собою математика чистѣйшей воды, что имъ впослѣдствіи и доказано массою научныхъ самостоятельныхъ работъ въ области теоріи функцій и трансцендентовъ разнаго рода. Этотъ фактъ, за достовѣрность котораго мы ручаемся, какъ нельзя яснѣе доказываетъ, что сохраненію въ памяти на всю жизнь учебнаго матеріала низшей математики не должно приписывать особеннаго значенія.

нынѣ практикуемомъ среднеобразовательномъ курсѣ не слѣдовало-бы изучать и что слѣдовало-бы къ нему прибавить—это совсѣмъ другой вопросъ, къ посильному разрѣшенію котораго въ области ариѳметики, низшей алгебры и Евклидовой геометріи съ тригонометріею мы придемъ въ слѣдующей главѣ настоящей статьи. Въ той-же главѣ нами будетъ разсмотрѣнъ вопросъ о служебной роли курса низшей математики при прохожденіи учащимися нѣкоторыхъ отдѣловъ физики, космографіи и друг. предметовъ среднеобразовательнаго курса.

Закончить-же первую главу мы считаемъ вполнѣ возможнымъ слѣдующимъ сопоставленіемъ, которое въ состояніи охарактеризовать самое направленіе остальныхъ главъ этой статьи. Результаты практическіе, достигаемые курсомъ математики въ общеобразовательномъ учебномъ заведеніи, незначительны, если смотрѣть на эти результаты съ точки зрѣнія количества фактическихъ познаній и техническихъ умѣній математическаго содержанія, остающихся у средняго человѣка на всю жизнь. Но это неважно; гораздо важнѣе вопросъ о томъ— достаточные-ли результаты достигаются этимъ курсомъ въ смыслѣ образовательномъ, т.-е. достаточно-ли хорошо этотъ курсъ прививаетъ уму учащагося тѣ умственные навыки и инстинкты, въ привитіи которыхъ только и состоитъ образовательная цѣль этого курса. Этотъ вопросъ невозможно разрѣшить во всѣхъ его деталяхъ въ смыслѣ положительномъ; къ счастью, это зависитъ отъ причинъ, легко устранимыхъ, и къ ихъ устраненію направленъ въ настоящее время работа очень многихъ педагоговъ не только старой западно-европейской, но и нашей, сравнительно еще молодой, школы. Въ чемъ эти причины заключаются и въ чемъ надо искать средствъ къ ихъ устраненію—мы постараемся разсмотрѣть въ слѣдующихъ главахъ нашей статьи.

С. Шохоръ-Троцкій.

(Продолженіе слѣдуетъ).

Цѣль и средства преподаванія низшей математики.

ГЛАВА II.

Отдѣльныя статьи курса низшей математики съ общеобразовательной точки зрѣнія.

Abeunt studia in mores.

Ovidius Naso.

Установивъ въ первой главѣ настоящей статьи*) общія точки зрѣнія на образовательную и практическую цѣли преподаванія низшей математики, мы въ настоящей главѣ прежде всего намѣрены, на основаніи этихъ точекъ зрѣнія и на основаніи фактическаго содержанія практикуемыхъ у насъ курсовъ различныхъ отдѣловъ этого предмета, указать — какія статьи этихъ курсовъ могутъ быть безъ ущерба для дѣла устранены и какія идеи и статьи, напротивъ, должны-бы быть включены въ каждый изъ этихъ отдѣловъ изъ области такъ-называемой высшей математики.

Ариѳметика какъ предметъ образованія должна быть различаемъ непремѣнно троякая: 1) ариѳметика ранняго дѣтскаго возраста, элементарная, первоначальная, въ самой основѣ и сущности своей наивная, оперирующая надъ нагляднѣйшими ариѳметическими представленіями: единицею, числомъ, какъ результатомъ дѣйствительнаго (но только словеснаго) счета, сложеніемъ, вычитаніемъ, умноженіемъ и дѣленіемъ чиселъ въ самыхъ простыхъ случаяхъ примѣненія этихъ дѣйствій; 2) ариѳметика возраста отроческаго, цыфирная, практическая, для которой важны не только ариѳметическія представленія, но и умѣнія, ариѳметика—искусство, греческая логистика, французскій calcul numérique, по-нѣмецки Zifferrechnen, та ариѳметика, которую

*) «Русская Школа», февраль 1891 года.

Вьетъ, творецъ новѣйшей алгебры, называетъ ars minor и которой изученіе доступно дѣтямъ съ должнымъ запасомъ ариѳметическихъ представленій; 3) ариѳметика теоретическая, руководимая научно-логическими точками зрѣнія, оперирующая уже въ сферѣ ариѳметическихъ понятій и потому доступная только для обладающаго, кромѣ ариѳметическихъ представленій и умѣній, также и нѣкоторымъ, довольно значительнымъ, вкусомъ къ пріемамъ точнаго математическаго мышленія и изслѣдованія.

Ариѳметикѣ первоначальной ребенокъ начинаетъ учиться въ самомъ раннемъ возрастѣ и продолжаетъ учиться (до вступленія въ школьный возрастъ) въ играхъ, въ своихъ отношеніяхъ къ окружающимъ, но какъ-бы мимоходомъ, пока, наконецъ, не станетъ заниматься ею болѣе или менѣе систематически подъ чьимъ-либо руководствомъ, дома, въ приготовительномъ классѣ или въ начальной школѣ. Ариѳметику первоначальную можно охарактеризовать какъ совокупность тѣхъ преимущественно наглядно-психологическихъ (но отнюдь не логическихъ) элементовъ ариѳметическаго вычисленія, которыми исчерпывается психологическая основа ариѳметики.—Практическія ариѳметика (т.-е. ариѳметика вычисленій) предполагаетъ эту психологическую основу уже имѣющеюся у учащихся на-лицо, и курсъ ея обыкновенно проходится въ низшихъ классахъ среднеучебныхъ заведеній и въ среднихъ и старшихъ отдѣленіяхъ школы начальной; этотъ курсъ сводится къ пріученію дѣтей къ вѣрному, быстрому и болѣе или менѣе изящному производству дѣйствій надъ цѣлыми и дробными числами. У насъ при этомъ ариѳметическими считаются только первыя четыре дѣйствія, во Франціи-же и нѣкоторыхъ другихъ странахъ это названіе распространяется также на возвышеніе чиселъ въ квадратъ и кубъ, на извлеченіе изъ чиселъ квадратныхъ и кубичныхъ корней и даже на логариѳмическія вычисленія. Въ ариѳметикѣ практической интуитивный характеръ первоначальной ариѳметики замѣняется техникою и объясненіями.—Что касается курса теоретической ариѳметики, котораго объемъ и содержаніе, а также мѣсто въ курсѣ низшей математики до настоящаго времени не вполнѣ точно еще установленіе, то этотъ курсъ долженъ-бы руководиться уже исключительно логическимъ теоретическими, научно-математическими точками зрѣнія. Вслѣдствіе того, что усвоенію правилъ и ухмѣній практической ариѳметики должны быть посвящены первые годы школьной жизни ребенка, въ основу этого курса не могутъ быть положены теоретическія точки зрѣнія со сколько-нибудь значительнымъ аппаратомъ аксіомъ, теоремъ, опредѣленій, доказательствъ, каковой аппаратъ умѣстенъ только

въ курсѣ ариѳметики теоретической. Недаромъ покойный академикъ В. Я. Буняковскій и многіе другіе авторы ариѳметику, называемую выше практическою, считаютъ только сводомъ правилъ выполненія дѣйствій. Такъ, напримѣръ, Буняковскій въ своемъ «Лексиконѣ» прямо говоритъ, что «алгебра доказываетъ тѣ правила, которыми ариѳметика руководствуется», что во всякомъ случаѣ предполагаетъ отсутствіе въ ариѳметикѣ доказательствъ. Почти такъ-же смотрятъ на дѣло Монферье, Ог. Контъ, Дюгамель, Лагранжъ и многіе другіе—на практическую ариѳметику вычисленій, которая единственно и можетъ и должна быть изучаема среднимъ человѣкомъ въ возрастѣ 10—13 лѣтъ, т.-е. въ низшихъ трехъ классахъ среднеучебныхъ заведеній. Съ Буняковскимъ нельзя согласиться только въ томъ, что алгебра, будто-бы, «доказываетъ тѣ правила», которыми ариѳметика руководствуется при производствѣ вычисленій: у алгебры, какъ это выяснено въ предъидущей статьѣ и будетъ выяснено еще болѣе въ настоящей, совсѣмъ иныя цѣли, и доказывать теоремы, на которыхъ основано производство дѣйствій—задача не алгебры, а теоретическій ариѳметики, какъ эту послѣднюю понимаютъ Бертранъ, Серре, а изъ русскихъ авторовъ Н. И. Билибинъ и В. Н. Стрекаловъ, изъ коихъ послѣдній въ своемъ, весьма интересномъ и заслуживающемъ всяческаго вниманія со стороны педагоговъ-математиковъ, курсѣ теоретической ариѳметики особенно строго опредѣлилъ для себя задачу подобнаго курса*).

Несмотря на то, что общій характеръ всѣхъ этихъ трехъ курсовъ и на практикѣ болѣе или менѣе подходитъ подъ вышепредложенныя характеристики ихъ, но тѣмъ не менѣе многія частности этихъ курсовъ не вполнѣ отвѣчаютъ требованіямъ каждаго изъ нихъ.

Такъ, напримѣръ, курсъ ариѳметики приготовительнаго класса часто основанъ, съ одной стороны, на такъ называемомъ монографическомъ, ни къ чему не ведущемъ, изученіи числа (благодаря распространенности у насъ задачника Евтушевскаго), а съ другой—слишкомъ обремененъ рѣшеніемъ задачъ, совсѣмъ не отвѣчающихъ основнымъ требованіямъ курса и вовсе не приноровленныхъ къ выработкѣ въ умѣ учащагося основныхъ ариѳметическихъ представленій; далѣе, въ этомъ курсѣ, по винѣ не строго методическаго подбора задачъ и

*) «Теоретическая ариѳметика» В. Стрекалова (Спб. 1890 г.). Не должно смѣшивать теоретическую ариѳметику съ «Теоріею чиселъ», какъ это склонны дѣлать нѣкоторые; если сохранить и для ариѳметики эпитеты «низшій» и «высшій», то рекомендуемую нами для одного изъ высшихъ классовъ ариѳметику должно называть низшей теоретической ариѳметикою, причемъ высшею ариѳметикою придется называть уже теорію чиселъ.

упражненій и по винѣ господства во многихъ случаяхъ того или инаго вида изученія числа, таблицы четырехъ дѣйствій усваиваются дѣтьми не твердо,—что оказываетъ крайне вредное вліяніе на всемъ протяженіи остальнаго курса ариѳметики и алгебры, ибо усвоенію таблицъ при изученіи практической ариѳметики и курса алгебры уже невозможно посвящать свое вниманіе: знаніе таблицъ является психологически-необходимою основой всего остальнаго курса. Не желая въ этомъ мѣстѣ останавливаться на выясненіи значенія спеціально для этого курса подобранныхъ и составленныхъ задачъ и упражненій, такъ какъ этотъ вопросъ не входитъ въ програму настоящей главы и достаточно освѣщенъ нами въ І-й части нашего «Методическаго сборника ариѳметическихъ задачъ для среднеучебныхъ заведеній», считаемъ, однако-же, умѣстнымъ указать, что задачи и упражненія на этой ступени обученія должны отличаться возможно большой простотою, должны быть свободны вполнѣ отъ всякихъ условныхъ и искусственныхъ выраженіи (въ родѣ «больше на столько-то», «больше во столько-то», «меньше во столько-то разъ», «увеличить число», «прибыль» и «убытокъ» и т. п.), а тѣмъ болѣе должны быть свободны отъ данныхъ, обращающихъ наивную ариѳметическую задачу въ задачу алгебраическаго характера, требующую отъ учащагося особенной изобрѣтательности и находчивости. Несоблюденіе указанныхъ условій, конечно, только препятствуетъ достиженію курсомъ этой, дѣтской, такъ сказать, ариѳметики его истиннаго назначенія и образовательныхъ цѣлей.

Въ курсѣ практической ариѳметики, съ точки зрѣнія истинныхъ цѣлей его, найдемъ тоже не мало лишняго и, кромѣ того, мы въ немъ натолкнемся на пробѣлы, которые должны быть непремѣнно восполнены. Прежде всего и въ этомъ курсѣ встрѣчаемся съ пристрастіемъ къ задачамъ сложнымъ, запутаннымъ, къ задачамъ чисто-алгебраическаго характера, какъ будто цѣль обученія практической ариѳметикѣ, между прочимъ, состоитъ также и въ усвоеніи дѣтьми способовъ распутыванія запутанныхъ задачъ. Истинная цѣль обученія практической ариѳметикѣ вовсе не предполагаетъ необходимости въ рѣшеніи такихъ задачъ. Что-же касается мнимаго, будто-бы особенно развивательнаго, а потому будто-бы и образовательнаго значенія задачъ этого рода, то, во-первыхъ, не для чего искать развивательныхъ моментовъ непремѣнно въ задачахъ, когда они имѣются въ великомъ изобиліи и въ самомъ курсѣ; а во-вторыхъ, именно обра зовательное значеніе этихъ задачъ, благодаря слишкомъ узкой, спеціальной и, притомъ, недостуиной большинству учащихся сферѣ умственныхъ интересовъ, возбуждаемыхъ рѣшеніемъ ихъ, оказывается

ничтожнымъ; въ-третьихъ, наконецъ, задачи запутанныя и алгебраическаго характера на громадное большинство учащихся оказываютъ даже прямо вредное вліяніе, отбивая у нихъ охоту отъ занятій ариѳметикою, неправильно отожествляемою ими, по примѣру большинства учителей, съ этими задачами и наводя на учениковъ только великое уныніе и даже тоску, столь вредно отзывающіяся на всей умственной дѣятельности учащагося*). Далѣе въ курсѣ практической ариѳметики встрѣчаемся со статьею объ обращеніи періодическихъ дробей въ обыкновенныя, которая не можетъ быть съ достаточною научною строгостью обоснована въ этомъ курсѣ, съ ученіемъ о пропорціяхъ, которое по самому духу своему принадлежитъ низшей алгебрѣ, со включеніемъ ученія объ ариѳметическихъ пропорціяхъ, абсолютно ни для чего въ настоящее время не нужныхъ. Что ученіе о пропорціяхъ есть ученіе, входящее въ составъ ученія о равенствѣ двухъ выраженій, т.-е. ученія о формулахъ—спорить никто не станетъ, ибо всякому понятно, что пропорція, въ которой всѣ члены извѣстны, есть аналитическое равенство, обладающее извѣстными свойствами, а пропорція, въ которой одинъ изъ членовъ неизвѣстенъ, есть уравненіе; ученіе-же о равенствахъ и уравненіяхъ умѣстно только въ алгебрѣ, а не въ практической ариѳметикѣ и даже не въ ариѳметикѣ теоретической.. Что-же касается такъ-называемыхъ ариѳметическихъ пропорціи, то очевидно, что онѣ неумѣстны не только въ ариѳметикѣ, но и вообще нигдѣ неумѣстны, ибо не нужны онѣ ни для кого и ни для чего на свѣтѣ. «А какъ-же—спроситъ читатель—ученики станутъ рѣшать задачи на тройныя правила, на правило процентовъ, учета векселей и т. д.?» Несомнѣнно, что умѣніе рѣшать задачи на нѣкоторыя тройныя правила необходимо и съ практической, и съ образовательной точки зрѣнія; но задачи этого рода должны быть отнесены, въ большинствѣ случаевъ, къ числу упражненій на нахожденіе части цѣлаго и цѣлаго по частямъ, и кромѣ того, задачи этого рода легко могутъ, быть, какъ это извѣстно читателю, разрѣшаемы и безъ пропорціи.

*) Это пристрастіе къ труднымъ задачамъ со стороны учащихъ заставило и пишущаго эти строки, если не переполнить, то, во всякомъ случаѣ, снабдить, ими, можетъ быть, въ слишкомъ значительной мѣрѣ, вторую частъ составленнаго имъ «Методическаго сборника ариѳметическихъ задачъ»; но въ этомъ послѣднемъ сочиненіи задачи хотъ расположены по типамъ, и притомъ въ немъ задачи алгебраическаго характера выдѣлены въ отдѣльныя, самостоятельныя рубрики. Ср. «Опытъ методики ариѳметики для преподавателей математики въ среднихъ, учебныхъ заведеніяхъ» (глава III: основные методическіе принципы обученія ариѳметикѣ, и въ особенности §§ 8—9).

Гораздо умѣстнѣе, чѣмъ въ курсѣ ариѳметики, прибѣгнуть къ рѣшенію задачъ на тройныя правила съ помощью пропорціи при прохожденіи въ алгебрѣ ученія о составленіи уравненій съ однимъ и со многими неизвѣстными*). Должно, кромѣ того, замѣтить, что нѣкоторыя изъ такъ-называемыхъ «тройныхъ правилъ» и совсѣмъ должны бы быть исключены изъ курса практической ариѳметики: таковы, напр., такъ-называемый, притомъ неправильно называемый, «математическій» учетъ векселей, нигдѣ на свѣтѣ не практикуемый на дѣлѣ, да и вообще все «правило учета векселей», не вносящее въ курсъ никакихъ новыхъ образовательныхъ моментовъ, а также такъ-называемое «правило смѣшенія втораго рода», въ случаѣ неопредѣленныхъ рѣшеній, непонятныхъ учащемуся ариѳметикѣ по самому существу своему, такъ какъ неопредѣленность рѣшенія можетъ быть выяснена должнымъ образомъ только съ алгебраической точки зрѣнія.

Перебравъ такимъ образомъ статьи курса практической ариѳметики, подлежащія исключенію по тѣмъ или инымъ соображеніямъ, мы должны также указать статью, совершенно игнорируемую не только въ учебникахъ ариѳметики и преподавателями этого предмета, но даже въ задачникахъ: мы говоримъ о сокращенныхъ способахъ вычисленія въ тѣхъ частныхъ случаяхъ, гдѣ сокращеніе вычисленій (сложенія, вычитанія, умноженія и дѣленія) легко можетъ быть выполнено, гдѣ оно ускоряетъ дѣло вычисленія и гдѣ оно, стало-быть, вполнѣ умѣстно**). Да и вообще должно-бы обращать надлежащее вниманіе не только на традиціонные, но и на другіе способы производства четырехъ дѣйствій надъ числами цѣлыми и дробными. Такъ, напр., кромѣ традиціонныхъ способовъ ихъ производства, крайне полезно, какъ въ практическомъ, такъ и въ образовательномъ смыслѣ, производство сложенія съ помощью записыванія каждой частной суммы, производство вычитанія многозначныхъ чиселъ съ помощью сложенія и съ помощью ариѳметическаго дополненія, производство умноженія, начинающіеся съ высшихъ разрядовъ множителя, производство дѣленія безъ записыванія частныхъ произведеній наотысканную цыфру частнаго и съ помощью составленной ранѣе таблицы произведеній дѣлителя на числа отъ 1-цы до 9-ти включительно, и т. под, Далѣе

*) Къ сожалѣнію, у пишущаго эти строки, въ свое время, не хватило мужества—изъ перваго изданія «Учебника ариѳметики», имъ составленнаго, совершенно исключить ученіе о пропорціяхъ, а задачи на тройныя правила распредѣлить по всему своему «Методическому сборнику» въ надлежащихъ мѣстахъ.

**) Ср. «Методическій сборникъ ариѳметическихъ задачъ», ч. II, стр. 32 (№№ 281-300) и стр. 389 (№№ 2276-2300).

необходимо научить производству умноженія десятичныхъ дробей по тому простому способу, на которомъ особенно настаиваетъ въ своихъ лекціяхъ въ нормальной школѣ Лагранжъ (ср. «Опытъ методики ариѳметики для преподаванія математики въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ», стр. 176), и выработать въ учащихся единственно правильный взглядъ на дѣйствія надъ составными именованными числами и на преобразованіе ихъ, а именно тотъ взглядъ, по которому эти дѣйствія и преобразованія являются лишь практическимъ и крайне простымъ приложеніемъ ученій о четырехъ дѣйствіяхъ надъ отвлеченными числами. Только при соблюденіи приведенныхъ выше соображеній истинная цѣль, преслѣдуемая изученіемъ практической ариѳметики, будетъ достигнута: дѣти научатся правильно, быстро и изящно производить дѣйствія надъ числами и при этомъ умъ ихъ пріобрѣтетъ какъ-разъ тѣ навыки, которые достаточны и необходимы для дальнѣйшаго слѣдованія по пути математическаго познаванія и общей умственной культуры.

При этомъ, само собою разумѣется, что правила дѣйствій должны быть, гдѣ это необходимо, мотивируемы, многія теоретическія положенія должны быть принимаемы безъ доказательства и что вообще никакія доказательства въ истинномъ смыслѣ этого слова въ курсѣ практической ариѳметики не должны-бы быть терпимы: неточныя— потому, что они развращаютъ умъ учащагося, а точныя—потому, что умъ малолѣтняго не въ состояніи постигнуть ихъ силу и смыслъ, и поэтому подобныя доказательства учащагося скорѣе отъ истиннаго знанія и пониманія отвращаютъ, чѣмъ къ нему приближаютъ. Мотивировать ариѳметическое правило или техническій пріемъ не то же, что доказать теорему, на которой основано это правило или данный пріемъ вычисленія*). Немотивированное правило, если оно по самому существу своему не очевидно, не должно быть терпимо въ среднемъ учебномъ заведеніи, и въ этомъ заключается причина, почему мы не можемъ сочувствовать столь распространенному во Франціи взгляду на объемъ и содержаніе ариѳметики,—взгляду, по которому въ курсъ этого предмета входятъ также дѣйствія извлеченія квадрат-

*) Къ сожалѣнію, мы не были въ состояніи держаться вполнѣ строго этого взгляда въ составленномъ нами «Учебникъ ариѳметики», и надѣемся выполнить это не ранѣе, чѣмъ въ ближайшемъ изданіи этого учебника, не взирая на то, что приведеніе въ исполненіе этого давнишняго желанія нашего въ нѣкоторыхъ пунктахъ будетъ нѣсколько расходиться съ заслуживающими во многихъ другихъ пунктахъ полнаго сочувствія соображеніями опубликованнаго недавно новаго ллана преподаванія математики въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ.

ныхъ и кубическихъ корней изъ чиселъ и даже выполненіе логариѳмическихъ вычисленій.

Чтобы покончить на этотъ разъ съ ариѳметикою и цѣлью преподаванія этого предмета, намъ остается сказать еще нѣсколько словъ о курсѣ ариѳметики, подлежащемъ усвоенію въ одномъ изъ высшихъ классовъ средняго учебнаго заведенія. Повторенію курса практической ариѳметики, какъ объ этомъ уже говорилось въ первой главѣ настоящей статьи и какъ это, надѣемся, еще яснѣе вытекаетъ изъ вышепредложеннаго детальнаго разсмотрѣнія этого послѣдняго курса, нельзя сочувствовать. Гораздо умѣстнѣе занятія дополненіемъ ариѳметическихъ познаній и умѣній новыми элементами теоретическаго характера: на первомъ планѣ должна стоять теорія дѣйствій надъ цѣлыми и дробными числами, теорія общаго наибольшаго дѣлителя и наименьшаго кратнаго двухъ и нѣсколькихъ чиселъ; кромѣ того, долженъ быть пройденъ болѣе или менѣе закругленный курсъ приближенныхъ вычисленій. Благодаря такой постановкѣ теоретической ариѳметики, она, съ одной стороны, пріобрѣтетъ въ глазахъ учащагося значеніе науки (что для его умственнаго развитія очень важно), а съ другой стороны дастъ ему возможность понять необходимыя впослѣдствіи вычисленія надъ приближенными величинами, въ которыхъ учащіеся средняго учебнаго заведенія оказываются вполнѣ безпомощными не только практически, но и въ логическомъ смыслѣ, не будучи въ состояніи поручиться за достовѣрность результатовъ, получаемыхъ ими при вычисленіяхъ надъ приближенными величинами. При этомъ должно замѣтить, что изъ теоріи чиселъ въ среднеобразовательный курсъ теоретической ариѳметики должно входить по возможности меньше, такъ какъ цѣль этого послѣдняго курса не можетъ заключаться въ ознакомленіи учащагося со всѣми перспективами, открываемыми этимъ предметомъ въ безконечной области всевозможныхъ теоретическихъ вопросовъ о числѣ. При постановкѣ обученія ариѳметикѣ, подобной охарактеризованному выше, теоретическая ариѳметика будетъ въ состояніи научно доказать тѣ теоремы, на которыхъ основано производство дѣйствій, а практическая будетъ въ состояніи отдаться выполненію своей крайне важной образовательной и практической роли въ курсѣ средняго учебнаго заведенія; научить сознательному, вѣрному, быстрому и изящному производству ариѳметическихъ вычисленій.

Итакъ, сводя итоги всему выясненному выше относительно троякаго курса ариѳметики въ среднеучебномъ заведеніи, выводимъ, что изъ курса ариѳметики приготовительнаго класса должно устранить : «изученіе чиселъ», употребленіе искусственныхъ, слишкомъ условныхъ

выраженій и терминовъ и рѣшеніе сколько-нибудь замысловатыхъ и запутанныхъ задачъ; изъ курса практической ариѳметики должно быть устранено рѣшеніе хоть сколько-нибудь запутанныхъ задачъ и въ особенности задачъ алгебраическаго характера, а также исключены слѣдующія ученія: о періодическихъ дробяхъ, объ отношеніяхъ и пропорціяхъ, о рѣшеніи задачъ съ помощью пропорціи, объ учетѣ векселей, о смѣшеніи втораго рода. Взамѣнъ этого должны быть внесены въ курсъ простѣйшія ученія о производствѣ дѣйствій во многихъ случаяхъ, допускающихъ сокращеніе вычисленій, о разныхъ способахъ письменнаго производства дѣйствій надъ десятичными числами, а также (вслѣдствіе практическихъ требованій) упражненія въ примѣненіи метрической системы мѣръ къ частнымъ случаямъ. Что касается курса ариѳметики, обыкновенно проходимаго въ одномъ изъ высшихъ классовъ средняго учебнаго заведенія, то этотъ курсъ долженъ носить характеръ курса дополнительнаго по содержанію и теоретическаго по самому духу своему, а такъ называемое «повтореніе» практическаго курса ариѳметики должно быть признано по меньшей мѣрѣ несообразнымъ ни съ практическою цѣлью ариѳметики, ни тѣмъ болѣе съ точки зрѣнія образовательной. Надѣемся, при этомъ, что ни одинъ практикъ-преподаватель не станетъ отрицать того, что какъ усвоившіе, такъ и недостаточно хорошо усвоившіе себѣ въ низшихъ классахъ курсъ практической ариѳметики, къ повторенію этого курса въ одномъ изъ высшихъ относятся не иначе, какъ съ полнымъ отвращеніемъ и, въ лучшихъ случаяхъ, съ полнѣйшимъ равнодушіемъ. Съ этимъ фактомъ тоже слѣдуетъ считаться.

Теперь мы можемъ обратиться къ курсу такъ называемой низшей алгебры, распадающейся, какъ это подробно изложено въ первой главѣ настоящей статьи, на три отдѣла: 1) общей ариѳметики или, вѣрнѣе, ариѳметики конечныхъ алгебраическихъ выраженій, той части ученія о дѣйствіяхъ надъ числами, которую Вьетъ называлъ ars major и которая называлась также arithmetica universalis, arithmetica speziosa*), а у нѣмцевъ называется allgemeine Arithmetik; 2) собственно низшей алгебры,

*) Интересно объясненіе, даваемое нѣкоторыми этому послѣднему термину: согласно этому объясненію, ученые юристы, дабы изложить свои общія правовыя воззрѣнія съ помощью частныхъ случаевъ, называли заинтересованныхъ въ данномъ вопросѣ гражданскаго права фиктивными именами: Cajus, Sempronius и т. д., и эти фиктивныя лица назывались species. Какъ-бы то ни было, но особенность общей ариѳметики, какъ ученія о дѣйствіяхъ надъ символами, обозначающими числа вообще, этимъ объясненіемъ одного изъ ея названій оевѣщается весьма ярко и образно. (Ср. Cantor, Geschichte der Mathematik, стр. 403).

той отрасли, которая весьма характерно называлась иногда arithmetica divinatoria, т.-е. ученія о рѣшеніи уравненій, и 3) низшаго алгебраическаго анализа, занимающагося свойствами нѣкоторыхъ алгебраическихъ функцій. Изъ этихъ трехъ отдѣловъ первый не должно смѣшивать съ теоретической ариѳметикой, хотя въ нихъ замѣчается сходство двоякаго рода: основныя аксіомы теоретической ариѳметики должны также войти въ ариѳметику общую; то-же справедливо относительно основныхъ теоремъ о четырехъ ариѳметическихъ дѣйствіяхъ; съ другой стороны, теоретическая ариѳметика можетъ пользоваться буквами для обозначенія чиселъ, а равно нѣкоторыми обще-ариѳметическими обозначеніями: знаками и знакоположеніями разнаго рода: коэффиціентами, показателями. Но этимъ и исчерпываются ихъ точки соприкосновенія: во всемъ остальномъ и цѣли, и пути ихъ, помимо обще-математическихъ пріемовъ, расходятся.

Предметъ общей ариѳметики — производство дѣйствій (сложенія, вычитанія, умноженія, дѣленія, возвышенія въ степень и извлеченія корней) надъ числами положительными и отрицательнымъ надъ раціональными количествами и радикалами, надъ вещественными и комплексными выраженіями вида а-\-Ы, гдѣ і обозначаетъ положительное значеніе квадратнаго корня изъ отрицательной единицы. Но при этомъ она не можетъ заниматься результатами дѣйствій, когда эти результаты представляютъ собою безконечныя ряды, потому что ученіе о рядахъ не можетъ быть примѣняемо какъ должно къ вопросамъ общей ариѳметики, а также должна игнорировать многозначность радикала, показатель котораго больше двухъ, потому что ученіе о различныхъ значеніяхъ радикала соприкасается уже съ теоріею уравненій и съ теоріею тригонометрическихъ функцій, съ одной стороны, а съ теоріею функцій комплекснаго перемѣннаго—съ другой. Стройнымъ въ научномъ и логическомъ отношеніяхъ, такимъ образомъ, является въ низшей математикѣ изъ всѣхъ ученій общей ариѳметики только ученіе о первыхъ четырехъ дѣйствіяхъ надъ алгебраическими количествами, если установить принципъ, что безконечнаго дѣленія нѣтъ и что результатъ такъ-называемаго безконечнаго дѣленія долженъ быть изображаемъ въ видѣ нѣкоторой цѣлой функціи, сложенной съ нѣкоторою дробною. Ученія-же объ извлеченіи корней и даже о возвышеніи въ степень,—въ виду необходимости, для истолкованія дробныхъ и комплексныхъ показателей, обращаться къ радикаламъ-же и къ тригонометрическимъ функціямъ,—страдаютъ не только неполнотою содержанія, но (что еще хуже) крайней нематематичностью изложенія. Еще менѣе благополучно, въ этомъ отношеніи, обстоитъ дѣло съ ученіями

собственно алгебры: уравненія первой и второй степени съ однимъ неизвѣстнымъ проходятся обстоятельно, ученіе о системѣ совмѣстныхъ уравненій первой степени со многими неизвѣстными проходится тоже довольно подробно, хотя уже менѣе полно, попричинѣ того, что полнота предполагаетъ ученіе объ опредѣлителяхъ; объ уравненіяхъ-же высшихъ степеней съ однимъ неизвѣстнымъ и о совмѣстныхъ уравненіяхъ высшихъ степеней низшая алгебра вовсе не заикается, и ученіе объ уравненіяхъ по этому въ ней производитъ впечатлѣніе довольно грустное. Оставляя пока выводы изъ этихъ фактовъ въ сторонѣ, должно замѣтить, что еще менѣе связаны единой руководящей логической идеей тѣ ученія анализа, которыя почему-то включены въ курсъ низшей алгебры. Для доказательства этого можно обратиться къ самому разработанному для низшей алгебры ученію о логариѳмахъ; оно (если говорить откровенно) прямо неосновательно, такъ какъ не принимаетъ во вниманіе, что логариѳмъ всякаго числа (положительнаго, отрицательнаго, комплекснаго) имѣетъ безчисленное множество значеній, такъ какъ далѣе ученіе объ интерполированіи излагается поневолѣ кратко и тоже неосновательно и такъ какъ, наконецъ, степень достовѣрности вычисленныхъ, съ помощью логариѳмовъ, цыфръ результата учащемуся остается совершенно неизвѣстной. Кромѣ того, полное и болѣе или менѣе образовательное изложеніе теоріи логариѳмовъ предполагаетъ примѣненіе къ истолкованію показательной функціи 10х теоріи предѣловъ, ибо иначе значеніе этой функціи при несоизмѣримомъ съ единицею показателѣ является крайне необоснованнымъ. Еще менѣе основательно въ курсѣ низшей алгебры является практически и теоретически ненужное абитуріенту средне-учебнаго заведенія сокращенное ученіе о Ньютоновомъ биномѣ (въ особенности для случаевъ дробнаго и комплекснаго показателя) и многія другія ученія, по какому-то грустному недоразумѣнію включаемыя въ низшую алгебру.

«Знать все невозможно: должно удовлетвориться пониманіемъ», т.-е. должно свой умъ воздѣлать такимъ образомъ, чтобы онъ былъ въ состояніи разобраться въ трудностяхъ вопросовъ, предлагаемыхъ жизнью и наукою. Человѣкъ, посвящающій себя по окончаніи полнаго курса въ среднемъ учебномъ заведеніи изученію математическихъ наукъ, съ величайшею легкостью усвоитъ себѣ надлежащія ученія о Ньютоновомъ биномѣ во всемъ его объемѣ (но уже съ точки зрѣнія Тэйлоровой строки), а также о значеніяхъ радикала п-ой степени, о теоріи опредѣлителей, которую нѣкоторые желали-бы (по примѣру, кажется, южногерманскихъ реальныхъ школъ) включить въ курсъ низшей алгебры, о логариѳмическихъ функціяхъ, и т. п. Для средняго-же абиту-

ріента среднеучебнаго заведенія не только безвредно, но даже прямо полезно изъ курса такъ-называемой низшей алгебры пройти только то, что можетъ быть пройдено вполнѣ основательно и многосторонне и что можетъ быть вполнѣ научно обосновано. Ученія алгебры и алгебраическаго анализа не то-же, что наивныя ученія практической ариѳметики: одною интуиціею въ теоріи функцій алгебра прожить въ настоящее время не можетъ, если въ курсъ этого предмета включать все то, что въ него нынѣ включается. Недаромъ-же, въ самомъ дѣлѣ, почтенный переводчикъ классическаго сочиненія Жозефа Бертрана по предмету алгебры, Н. И. Билибинъ, дополнившій это сочиненіе многими статьями и исключившій изъ него многія ученія математическаго анализа, въ родѣ теоріи производныхъ и т. п.,—чувствуя, что курсъ собственно алгебры неполонъ безъ ученія объ уравненіяхъ высшихъ степеней, внесъ въ самый текстъ (а не въ отдѣлъ дополнительныхъ статей) своего объемистаго перевода весьма объемистую статью объ уравненіяхъ высшихъ степеней. Недаромъ также самъ Жозефъ Бертранъ, въ своемъ замѣчательномъ и заслуживающемъ вниманія всякаго преподавателя математики «Трактатѣ алгебры»*) не дѣлитъ алгебры на низшую и высшую, а излагаетъ въ первой части все, что онъ считаетъ доступнымъ усвоенію въ классахъ, гдѣ проходится элементарная математика, а во второй—ученія, предназначаемыя «для классовъ спеціальной математики», и только въ этой послѣдней части онъ излагаетъ на-ряду съ теоріею рядовъ (притомъ послѣ этой теоріи) ученіе о соединеніяхъ и биномѣ Ньютона. Не опасаясь поэтому попасть въ число враговъ математики, мы, въ интересахъ дѣла, рѣшаемся поставить курсъ такъ-называемой низшей алгебры подъ защиту требованій общаго образованія и скромно напомнить сторонникамъ нынѣ практикуемыхъ курсовъ низшей алгебры основной принципъ этого образованія: только то, что необходимо либо съ практической, либо-же съ общеобразовательной точки зрѣнія, умѣстно въ курсѣ общеобразовательнаго средняго учебнаго заведенія.

Практически (для успѣшнаго прохожденія среднеобразовательнаго курса физики и геометріи) достаточно знанія четырехъ, пяти (но не шести или семи) дѣйствій надъ алгебраическими количествамъ и умѣніе облечь данный вопросъ въ одежду уравненія; для общихъ-же цѣлей образованія необходимы развитіе въ умѣ учащихся, съ помощью обученія общей ариѳметики и началъ алгебры, правильныхъ идей объ отвлеченіи, объ обобщеній, объ анализѣ, какъ пріемахъ

*) Traité d'algèbre par Joseph Bertrand. Paris, 1876.

мышленія и изслѣдованія, а это вполнѣ достижимо съ помощью общей ариѳметики четырехъ дѣйствій, съ помощью возможно полнаго, въ одномъ изъ высшихъ классовъ, анализа остальныхъ двухъ дѣйствій (возвышенія и извлеченія корней), съ помощью ученія объ уравненіяхъ первой, второй и третьей степени съ однимъ неизвѣстнымъ и о совмѣстныхъ уравненіяхъ первой степени и съ помощью опять-таки возможно полнаго, въ одномъ изъ высшихъ классовъ, освѣщенія, если не анализа (который на-врядъ-ли возможенъ въ среднемъ учебномъ заведеніи) вопросовъ объ уравненіяхъ высшихъ степеней, когда учащіеся знакомы уже съ тригонометрическими функціями.

Abeunt studia in mores; дѣйствительно: занятія наукою вліяютъ на нравъ, на характеръ, на привычки человѣка, притомъ вліяютъ вполнѣ специфическимъ, каждой отрасли знанія болѣе или менѣе свойственнымъ образомъ; не должно поэтому терпѣть въ курсѣ средняго учебнаго заведенія ничего незаконченнаго, несовершеннаго въ логическомъ отношеніи, ничего такого, что могло-бы учащемуся внушить хотя-бы малѣйшую тѣнь неуваженія къ наукѣ, къ знанію, къ силѣ ума человѣческаго. Учащійся долженъ твердо знать—что онъ знаетъ и чего не знаетъ: полузнаніе поэтому не должно быть терпимо ни въ какомъ случаѣ. Если, напримѣръ, проходилось въ курсѣ ученіе о рѣшеніи нѣкоторыхъ двучленныхъ уравненій вида хп—1—0, то учащійся всегда долженъ твердо знать, что онъ можетъ, въ состояніи разрѣшить уравненіе этого вида только при такихъ-то и такихъ-то значеніяхъ показателя n, а при другихъ значеніяхъ показателя п онъ этого сдѣлать не въ состояніи; въ противномъ случаѣ и все это ученіе никакой образовательной цѣнности не имѣетъ. Но такое умѣніе отличать знаніе отъ незнанія требуетъ уже нѣкоторой, довольно высокой, степени умственной зрѣлости и самосознанія. Поэтому общая ариѳметика четырехъ дѣйствій и уравненія первой степени должны быть пройдены въ низшихъ, а остальныя дѣйствія (возвышеніе и извлеченіе корней)—въ одномъ изъ высшихъ классовъ, и къ высшимъ-же должны быть отнесены нѣкоторыя другія ученія алгебры, какъ науки о рѣшеніи уравненій, причемъ пограничная черта между извѣстнымъ учащемуся и неизвѣстнымъ ему должна быть рѣзко отмѣчена въ умѣ учащагося. Ученія-же о логариѳмическихъ вычисленіяхъ, а тѣмъ болѣе тоже несовершенное въ низшей алгебрѣ, а именно въ отношеніи обобщеній, ученіе о биномѣ Ньютона, болѣе или менѣе громоздкая теорія общаго наибольшаго дѣлителя, теорія непрерывныхъ дробей, далѣе хотя и легкія, но мало-значущія въ образовательномъ смыслѣ теоріи прогрессій, сложныхъ процентовъ, срочныхъ уплатъ и т. под.

могли-бы быть, безъ особеннаго ущерба не только для практическихъ, но и для образовательныхъ цѣлей курса низшей алгебры, вполнѣ устранены изъ этого курса. Отъ этого выигрышъ во времени получился-бы громадный, и эта экономія во времени могла-бы быть съ величайшею выгодою употреблена на лучшее усвоеніе учащимися ученій общей ариѳметики и собственно алгебры и на пользу лучшаго преподаванія геометріи.

Можетъ показаться непослѣдовательностью, съ выше намѣченной точки зрѣнія, сохраненіе въ курсѣ низшей математики ученій объ уравненіяхъ; но это ученіе, несмотря на то, что оно не можетъ быть исчерпано въ курсѣ среднеучебнаго заведенія даже въ своихъ отрывкахъ, доступныхъ воспитаннику средняго учебнаго заведенія, представляетъ столько практически важныхъ (для курсовъ физики и геометріи) и столько образовательныхъ, съ точки зрѣнія логико-математической, моментовъ, что отказаться отъ этихъ отрывковъ не представляется возможнымъ, чего отнюдь нельзя сказать о невѣрной отъ начала до конца элементарной теоріи логариѳмовъ, о биномѣ Ньютона въ жалкой формѣ его, практикуемой въ среднеучебномъ заведеніи, и о многихъ другихъ ученіяхъ, подлежащихъ, по нашему разумѣнію, исключенію изъ курса учебныхъ заведеній. Мы отлично знаемъ, что нашъ взглядъ на логариѳмическія вычисленія заслужитъ особенное порицаніе со стороны очень многихъ; но мы боимся, что это порицаніе объясняется тѣмъ, что при этомъ интересы математики и учебныхъ традицій ставятся выше интересовъ образованія. Во всякомъ случаѣ, мы не можемъ, не смотря на нѣкоторую понятную робость, преодолѣть въ себѣ сознаніе, что теорія логариѳмовъ и логариѳмическія вычисленія представляются учащемуся какою-то хитрою вычислительною машиною, устройство и дѣйствіе которой ему въ концѣ-концовъ все-таки непонятны,—a такой выводъ на умъ его не можетъ оказать никакого полезнаго развивательнаго вліянія. Мало-ли на свѣтѣ хитрыхъ и остроумныхъ машинъ и механизмовъ? Но не слѣдуетъ-же изъ этого, что учащіеся среднихъ учебныхъ заведеній должны быть посвящены въ дѣйствіе хотя-бы, напр., Аркрайтова ткацкаго станка, или Томасова ариѳмометра, или, наконецъ, въ дѣйствіе обыкновенной Зингеровой швейной машины? При этомъ еще большой вопросъ: не легче-ли учащагося ознакомить съ устройствомъ любой изъ названныхъ машинъ, чѣмъ съ тою непонятною машиною, которую представляетъ собою «Логариѳмически-тригонометрическое руководство» Брёмикера, и не больше-ли развивательныхъ элементовъ содержится въ ознакомленіи его со швейною машиною, чѣмъ въ болѣе или ме-

нѣе механическомъ и безсознательномъ выполненіи имъ логариѳмическихъ вычисленій, самая основа и степень достовѣрности которыхъ для учащихся остаются болѣе или менѣе покрытыми мракомъ неизвѣстности. Тому, кто знаетъ, что такое логариѳмическая функція и какъ вычисляются положительные и всякіе Другіе логариѳмы положительныхъ и другихъ чиселъ на самомъ дѣлѣ, тому, кто ясно представляетъ себѣ возможность дѣйствительнаго, а не фиктивнаго только построенія таблицъ, о которомъ говорится въ курсахъ низшей алгебры,—двухъ часовъ работы достаточно, чтобы понять, что такое логариѳмическія вычисленія и какъ ихъ дѣлать; мало того: ему только и доступна оцѣнка величія и истиннаго значенія этой вычислительной машины. Для учащагося-же въ среднемъ учебномъ заведеніи логариѳмическія вычисленія—излишняя роскошь при обычной бѣдности истиннаго математическаго образованія, безумная трата золотаго времени надъ вненужными, въ сущности непонятнымъ тонкостями, въ то время какъ его такъ мало для усвоенія основъ математическаго мышленія и изслѣдованія. «А какъ-же быть тогда при рѣшеніи треугольниковъ?» спроситъ, можетъ быть, иной читатель. Этотъ вопросъ будетъ нами разсмотрѣнъ ниже; въ настоящую-же минуту замѣтимъ, что вопросъ о практическомъ рѣшеніи треугольниковъ представляетъ собою одинъ изъ самыхъ интересныхъ вопросовъ преподаванія математики въ среднемъ учебномъ заведеніи и что представляющіеся намъ рѣшеніе этого вопроса не только не ослабляетъ, но даже прямо подкрѣпляетъ выше намѣченное рѣшеніе о содержаніи и объемѣ курса низшей алгебры въ среднеучебномъ заведеніи.

Цѣль изученія низшей алгебры въ среднемъ учебномъ заведеніи заключается, какъ объ этомъ уже было упомянуто выше, въ привитіи уму учащагося навыковъ и методовъ правильнаго отвлеченія, обобщенія и анализа числовыхъ вопросовъ. Средства для достиженія этой цѣли будутъ разсмотрѣны въ слѣдующей статьѣ; здѣсь-же считаемъ умѣстнымъ сказать нѣсколько словъ также еще объ одномъ дополненіи курса алгебры, нами проектируемаго для среднеучебнаго заведенія; мы говоримъ о геометрическомъ истолкованіи разнаго рода алгебраическихъ количествъ: положительнаго и отрицательнаго, цѣлаго и дробнаго, раціональнаго, ирраціональнаго и даже комплекснаго; кромѣ того, желательно внесеніе въ алгебру термина «функція» и идей, связанной съ этимъ терминомъ, а равно первоначальное ученіе о Декартовыхъ координатахъ, и даже (horribile dictu!) о кривой, которой ординаты изображаются данною функціею. Вотъ эта послѣдняя идея особенно важна въ образовательномъ отношеніи, и въ настоящее время идея

кривой, олицетворяющія ходъ измѣненія какой-либо функціи, можно сказать, сдѣлалась идеею, безъ которой почти невозможно обойтись образованному человѣку вообще и ни въ одной отрасли знанія въ частности. Кромѣ того, въ курсъ низшей алгебры должны бытъ внесены идеи теоріи предѣловъ въ связи съ теоріею безконечно-малыхъ величинъ. Изъ сочувствія къ этимъ новымъ въ курсѣ алгебры статьямъ читатель, надѣемся, не откажется вывести, что не по нескромности только и не по недоразумѣнію пишущій эти строки осмѣливается причислять себя къ числу друзей истинно-математическаго склада математическаго образованія, а не къ числу его враговъ, и если ему все-таки приходится относиться отрицательно ко многимъ статьямъ такъ-называемой низшей алгебры, то у него есть къ тому достаточныя основанія и оправданія въ самой идеѣ общаго образованія, цѣль котораго гораздо важнѣе, чѣмъ хотя прочно и давно, но болѣе или менѣе случайно установившіеся взгляды на объемъ и содержаніе среднеобразовательнаго курса низшей алгебры.

Прежде чѣмъ перейти къ вопросу о преподаваніи геометріи, мы, однако-же, должны, ни мало при этомъ не забѣгая впередъ, указать на то, что курсу общей ариѳметики обыкновенно предшествуетъ и долженъ предшествовать нѣкоторый аггрегатъ упражненій, котораго цѣль заключается въ ознакомленіи учащагося съ алгебраическимъ языкомъ, его грамматикою, орѳографіею и каллиграфіею и съ искусствомъ выразительнаго чтенія алгебраическихъ фразъ. Это введеніе въ общую ариѳметику, конечно, не должно задаваться слишкомъ обширными задачами и не должно потребовать болѣе одного полугодія; кромѣ того, каждое изъ упражненій этого рода должно преслѣдовать только одну цѣль: научить дѣтей пониманію смысла алгебраическаго выраженія и ясному различенію порядка дѣйствій; упражненія-же въ изображеніи знаками слишкомъ сложныхъ функцій, выраженныхъ притомъ самымъ неестественнымъ образомъ (въ родѣ, напр., «квадрата суммы квадратовъ частныхъ, происходящихъ отъ раздѣленія куба числа а на квадратъ суммы чиселъ а и Ь» и т. д.) и въ обратномъ переводѣ на обыкновенныя притомъ неестественный, языкъ подобныхъ сложныхъ функцій; такія упражненія должно считать излишнимъ Далѣе является вопросъ: какимъ характеромъ отличается общая ариѳметика—практическимъ или-же теоретическимъ? Намъ кажется, что, не забѣгая впередъ, т.-е. не касаясь средствъ преподаванія этого предмета, можно смѣло утверждать, что производство дѣйствій въ случаяхъ, когда они совершаются надъ ариѳметическими числами, т.-е. когда нѣтъ рѣчи о числахъ фиктивныхъ, отличается характеромъ практи-

ческимъ; при введеніи-же чиселъ фиктивныхъ въ область операцій, производство дѣйствій должно уже основываться на соотвѣтствующихъ теоріяхъ. Что-же касается ученія объ уравненіяхъ, то оно является, какъ и дѣйствія возвышенія и извлеченія корней, всецѣло проникнутымъ теоріею и безъ теоріи не можетъ быть построено съ должною основательностью.

Обращаясь къ геометріи, мы прежде всего должны высказаться противъ полнаго преобразованія курса Евклидовой геометріи въ духѣ геометріи синтетической, новой, къ каковому преобразованію въ настоящіе время готовы склониться многіе изъ современныхъ намъ нѣмецкихъ авторовъ (Раузенбергеръ, Губертъ Мюллеръ, Шлегель и многіе другіе). Евклидова система должна быть замѣнена другою, болѣе доступною уму учащагося юноши и болѣе отвѣчающею современнымъ требованіямъ логики математическихъ наукъ, но ни объемъ, ни содержаніе Евклидовой геометріи не должны быть сколько-нибудь значительно измѣняемы, такъ какъ усвоеніе юношами возможно большаго количества геометрическихъ истинъ не такъ важно, какъ усвоеніе ими логики той отрасли математическихъ наукъ, которую представляетъ собою Евклидова геометрія. Мы ни мало не отрицаемъ истинной прелести и удивительнаго изящества методъ и ученій синтетической, новой геометріи; но воспитать умъ въ духѣ строгаго мышленія можно скорѣе на вѣчныхъ, неподвижныхъ, если можно такъ выразиться, Евклидовыхъ «Началахъ», чѣмъ на принципахъ новой геометріи, интересныхъ болѣе въ спеціально-научномъ и геометрически-методологическомъ, чѣмъ въ чисто-логическомъ отношеніи. Можно согласиться со многими справедливыми нападками на частности наиболѣе употребительныхъ нынѣ учебниковъ Евклидовой геометріи, съ нападками даже на наиболѣе классическое сочиненіе по этому предмету, т.-е. на Евклидовы «Начала», можно постараться извлечь полезные уроки и изъ нападокъ Шопенгауера и другихъ враговъ Евклидовой системы на манеру Евклидовыхъ доказательствъ; но все это будутъ частности, которыя не въ состояніи пошатнуть значенія Евклидовой геометріи какъ учебнаго предмета, воспитывающаго умъ учащагося въ духѣ неустаннаго стремленія къ истинѣ, въ духѣ строгаго и энергичнаго мышленія, въ духѣ логики и истинныхъ умственныхъ интересовъ. Если-бы мы не дорожили временемъ читателя и не боялись утомить его вниманіе изобильными цитатами, мы могли-бы привести противъ каждой изъ нападокъ на Евклидову геометрію возраженія какъ собственныя, такъ и болѣе авторитетныхъ лицъ; но мы считаемъ это излишнимъ и преждевременнымъ, ибо у насъ

еще не настало время нападокъ на Евклидову геометрію, какъ таковую: это была-бы полемика противъ нѣкоторыхъ, преимущественно нѣмецкихъ, авторовъ, которая ни для кого не интересна. И по объему своему, и по содержанію, и наконецъ, по особенностямъ своего вліянія на умъ учащагося, Евклидова геометрія, въ той или иной, конечно, удовлетворительной ея обработкѣ, должна быть признана въ высшей степени подходящимъ предметомъ среднеобразовательнаго курса математики. Весь вопросъ можетъ быть только о томъ, не надо-ли сократить курсъ или дополнпть его ученіями новой, синтетической геометріи, и о томъ, какимъ образомъ этотъ курсъ долженъ быть поставленъ, дабы принести умственному благосостоянію и развитію учащагося наибольшую пользу. Увеличивать объемъ курса, очевидно, не для чего, если не считать тѣхъ или иныхъ частностей въ теоріи предѣловъ, въ ученіи объ относительномъ положеніи прямой и окружности и двухъ окружностей въ плоскости и т. п. ; этого не слѣдуетъ дѣлать въ виду того, что фактическихъ познаній по предмету геометріи не только у средняго абитуріента средняго учебнаго заведенія вполнѣ достаточно, но ихъ достаточно даже и для будущаго прилежнаго студента математики; новаго-же въ отношеніи школы мышленія увеличеніе объема курса геометріи внесетъ мало въ умъ учащагося. а этимъ единственно только и можно было-бы мотивировать увеличеніе объема курса Евклидовой геометріи. Наконецъ, и въ отношеніи закругленности и законченности курса этотъ послѣдній предметъ поставленъ едва-ли не благопріятнѣе всѣхъ остальныхъ отдѣловъ низшей математики. Стало-быть, и съ этой точки зрѣнія особенное увеличеніе или уменьшеніе объема курса не представляются необходимымъ Все дѣло только въ томъ, какъ достигнуть того, чтобы изученіе въ среднихъ и высшихъ классахъ общеобразовательной геометріи принесло максимумъ пользы умственному развитію учащихся. Но этотъ вопросъ касается уже средствъ обученія, о которыхъ у насъ рѣчь впереди. Считаемъ здѣсь, однако, умѣстнымъ указать на жалкое у насъ положеніе рѣшенія задачъ на построеніе, которыя по духу своему гораздо тѣснѣе связаны въ логическомъ и методическомъ отношеніяхъ съ самымъ курсомъ геометріи, чѣмъ даже такъ-называемыя у насъ «ариѳметическія задачи» связаны съ курсомъ ариѳметики. И странное дѣло: въ то время, какъ задачами ариѳметическими у насъ увлекаются до забвенія непосредственныхъ цѣлей обученія ариѳметикѣ, задачамъ на построеніе, составляющемъ «плоть отъ плоти и кость отъ кости» Евклидовой геометріи у насъ отводится нѣкоторое подобающіе ихъ значенію мѣсто

только въ реальныхъ училищахъ, въ классическихъ-же гимназіяхъ эта дисциплина, можно сказать, находится въ полномъ небреженіи. Мы не принадлежимъ къ числу сторонниковъ рѣшенія учащимися тысячъ задачъ на построеніе и внесенія въ курсъ всѣхъ новѣйшихъ методовъ рѣшенія геометрическихъ задачъ на построеніе (ср. превосходное сочиненіе по этому предмету Петерсена, появившееся и у насъ въ переводѣ*). Но рѣшеніе задачъ съ помощью такъ-называемаго способа послѣдовательныхъ постановокъ (способа древнихъ) и съ точки зрѣнія геометрическихъ мѣстъ представляетъ собою и должно представлять прямо часть, необходимый ингредіентъ курса Евклидовой геометріи, и безъ этого ингредіента курсъ низшей математики вообще и геометріи въ особенности какъ-бы лишенъ сферы приложенія усваиваемыхъ учащимися познаній и тѣмъ самымъ лишенъ упражненій въ примѣненіи анализа къ частнымъ случаямъ. Конечно, ученія геометріи сами по себѣ содержатъ въ себѣ очень много случаевъ для развитія въ учащемся разнообразныхъ полезныхъ логическихъ навыковъ, точно такъ-же, какъ и ученіе объ уравненіяхъ ихъ не лишено; но человѣкъ, никогда не занимавшійся рѣшеніемъ задачъ на построеніе, такъ-же много теряетъ, какъ и человѣкъ, умѣющій рѣшать уравненія, но не составившій на своемъ вѣку ни одного уравненія. Совсѣмъ не то въ ариѳметикѣ и въ запутанныхъ, такъ сказать, ариѳметическихъ задачахъ: здѣсь самое производство дѣйствія есть цѣль и средство въ одно и то-же время, ясныя и безъ запутанныхъ задачъ; въ геометріи-же ученія и логика ея — цѣль, а задачи на построеніе— вполнѣ оправдываемое ею средство къ лучшему выполненію этой цѣли.

Крайне поучительнымъ при этомъ является (если читатель удостоилъ всѣ наши соображенія и сомнѣнія своего благосклоннаго вниманія) то обстоятельство, что въ области геометріи, сравнительно съ областями ариѳметики и низшей алгебры, мы замѣчаемъ гораздо меньше пунктовъ разногласія, разъ дѣло ограничивается только вопросомъ о цѣли преподаванія этого предмета и объ объемѣ и содержаніи этого предмета; за-то тѣмъ болѣе вниманія возбуждаетъ вопросъ о средствахъ обученія этому предмету, и какъ въ настоящей главѣ предмету геометріи посвящено немного мѣста, а больше мѣста посвящено ариѳметикѣ и низшей алгебрѣ, такъ въ слѣдующей придется обратить на средства обученія геометріи и методическіе вопросы этого обученія гораздо болѣе вниманія, чѣмъ на вопросы объ

*) Петерсенъ, Методы и теоріи рѣшенія геометрическихъ задачъ на построеніе, перев. М. С. Аксенова, подъ ред. А. П. Грузинцева. Харьковъ. 1883.

обученіи алгебрѣ, и еще болѣе, чѣмъ на вопросы объ обученіи ариѳметикѣ. Это объясняется не столько тѣмъ, что вопросы методики алгебры и ариѳметики разработаны болѣе, чѣмъ вопросы методики геометріи, сколько тѣмъ, что задачи обученія геометріи гораздо обширнѣе и многообразнѣе, чѣмъ задачи преподаванія остальныхъ отдѣловъ низшей математики.

Прежде чѣмъ закончить настоящую главу нашей статьи общимъ обзоромъ тѣхъ ученій логики (формальной и индуктивной), которыя находятъ свое примѣненіе въ курсѣ низшей математики, мы должны разсмотрѣть вопросъ о курсѣ прямолинейной тригонометріи, подлежащимъ прохожденію въ среднемъ общеобразовательномъ учебномъ заведеніи. Курсъ прямолинейной тригонометріи, какъ извѣстно, распадается на двѣ существенно различныхъ части, изъ которыхъ одну составляетъ ученіе о взаимной зависимости между различными тригонометрическими функціями и ученіе объ измѣненіи тригонометрическихъ функцій въ зависимости отъ нѣкоторыхъ измѣненій ихъ аргументовъ, а другая занимается собственно тригонометріею, т.-е. рѣшеніемъ треугольниковъ по достаточному для того числу данныхъ. Практическое значеніе для другихъ соприкасающихся съ математикою предметовъ обученія въ ср.-учебн. заведеніяхъ (для физики, механики, космографіи) имѣетъ преимущественно первая часть или даже, вѣрнѣе, только элементы ученія о тригонометрическихъ функціяхъ; за-то несомнѣнно громадно образовательное значеніе этого ученія: въ немъ учащіеся впервые знакомятся съ функціями періодическими и притомъ допускающими основательную разработку основныхъ свойствъ каждой изъ нихъ. При этомъ элементы ученія объ обратныхъ тригонометри ческихъ функціяхъ (arcsinx, arccosx и т. д.) тоже могутъ оказать на умъ учащагося полезное развивательное вліяніе. Невозможность должнаго выясненія, въ среднеобразовательномъ учебномъ заведеніи, способовъ вычисленія тригонометрическихъ функцій могла-бы на насъ повліять въ томъ смыслѣ, что курсу тригонометріи, какъ и ученію о логариѳмахъ, не мѣсто въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ, если-бы самое существованіе тригонометрическихъ функцій не вытекало изъ геометрическаго вопроса и если-бы функціи этого рода были, на подобіе функціи логариѳмической, многозначными. Далеко не такъ просто разрѣшается вопросъ о рѣшеніи треугольниковъ. Возможность рѣшенія ихъ должна быть извѣстна учащимся, какъ и возможность вычисленія значенія данной тригонометрической функціи при данномъ значеніи ея аргумента; но ни практическаго умѣнья вычислять эти значенія, ни практическаго-же умѣнья рѣшать задачи на отысканіе

всѣхъ элементовъ треугольника по достаточному для того числу данныхъ, никакія соображенія относительно истинной цѣли преподаванія математики потребовать не могутъ. Практической пользы умѣнье рѣшать треугольникъ принести не могутъ никакой, ибо если имѣть въ виду рѣшеніе геодезическихъ задачъ, то, во-первыхъ, для рѣшенія ихъ нужна чаще всего тригонометрія сферическая, а во-вторыхъ, для этого нужны тѣ познанія по низшей геодезіи, которымъ среднее общеобразовательное учебное заведеніе не можетъ удѣлить мѣста въ своемъ курсѣ. Когда ученики среднихъ учебныхъ заведеній рѣшаютъ треугольникъ, они производятъ такое впечатлѣніе, какъ будто-бы они занимаются дѣломъ; но въ дѣйствительности дѣло это и важность его есть не иное что, какъ оптическій, если можно такъ выразиться, обманъ; ибо какъ вычислены натуральныя величины тригонометрическихъ функцій—учащійся не имѣетъ ни малѣйшаго представленія; далѣе, о томъ, какъ вычислены логариѳмы ихъ—онъ тоже не знаетъ и знать какъ слѣдуетъ тоже не можетъ; наконецъ, насколько достовѣрны получаемые имъ результаты—онъ тоже не знаетъ и знать не можетъ. Къ чему-же, въ такомъ случаѣ, сводится образовательное значеніе его упражненій въ рѣшеніи треугольниковъ? Если говорить откровенно, то оно сводится къ чисто-механическому пользованію нѣкоторыми формулами и тою большою машиною неизвѣстнаго устройства, которая называется «Логариѳмически-тригонометрическимъ руководствомъ» барона Георга Веги или другою подобной машинкою меньшаго формата (Пржевальскаго и др.). Не можетъ подлежать сомнѣнію, что польза отъ подобныхъ упражненій ничтожна и вовсе не отвѣчаетъ количеству непроизводительнаго въ сущности труда, затраченнаго на усвоеніе умѣнья обращаться съ помянутой машиною логариѳмическихъ вычисленій. Курсъ тригонометріи долженъ непосредственно примыкать къ тому курсу чистой математики (алгебры и геометріи), который проходится въ среднеучебномъ заведеніи, долженъ отличаться характеромъ строго логическимъ, если мы желаемъ добиться лучшихъ результатовъ, чѣмъ тѣ, какіе этимъ курсомъ нынѣ достигаются. Для этого изъ него должна быть устранена вся практическая его часть, а вмѣсто того учащіеся должны-бы быть ознакомлены (опять-таки строго теоретически) съ основными теоремами тригонометріи сферической, благо ихъ немного, если не принимать во вниманіе Неперовыхъ аналогій и другихъ формулъ, важныхъ по своему практическому значенію. Понятно при этомъ, что упражненія въ преобразованіи тригонометрическихъ формулъ и въ рѣшеніи подходящихъ тригонометрическихъ уравненій могутъ сыграть весьма значительную роль

въ дѣлѣ развитія въ учащихся вкуса и интереса къ тожественнымъ преобразованіямъ и съ немалымъ выигрышемъ для дѣла истиннаго математическаго образованія замѣнить автоматическія логариѳмическія вычисленія, которыми носвящающій себя спеціальному изученію математики овладѣетъ впослѣдствіи гораздо лучше и скорѣе, чѣмъ это возможно сдѣлать въ средне-учебномъ заведеніи. Не въ логариѳмическихъ вычисленіяхъ и не въ механическомъ рѣшеніи треугольниковъ долженъ лежать центръ тяжести занятій математикою въ послѣднихъ классахъ ср. учебн. заведеній, а въ сознательныхъ занятіяхъ математикою, содержательною какъ въ отношеніи идей, ее одухотворяющихъ, такъ и въ отношеніи методовъ, составляющихъ ея силу и гордость. Это—уже не вопросъ о средствахъ преподаванія математики и о распредѣленіи курса ея по годамъ, вопросъ, къ посильному разрѣшенію котораго мы обратимся въ слѣдующей главѣ настоящей статьи, а вопросъ коренной, кардинальный, отъ того или инаго разрѣшенія котораго зависитъ весь строй и складъ математическаго образованія, даваемаго среднимъ учебнымъ заведеніемъ. Отказавшись, напр., въ курсѣ тригонометріи отъ логариѳмическихъ вычисленій, можно тѣмъ больше вниманія обратить на тѣ ученія о тригонометрическихъ функціяхъ, которыя могутъ сослужить великую службу алгебрѣ (напр., формула Моавра), и такимъ образомъ внести въ познанія учащагося нѣсколько новыхъ идей весьма высокой математической цѣнности.

Въ заключеніе-же мы считаемъ полезнымъ замѣтить, что такъ какъ образовательная цѣль математики сводится преимущественно къ привитію уму учащагося логическихъ навыковъ и стремленія къ мышленію точному и научному, то логическая сторона дѣла при изученіи отраслей низшей математики выдвигается и должна выдвигаться на первый планъ. Нѣтъ такого ученія въ математикѣ, которое не иллюстрировало-бы на примѣрѣ вполнѣ подходящемъ и научномъ какое-либо ученіе логики (Гауберъ, Дробитъ, Тренделенбургъ). Конечно, не подчиненія преподаванія математики требованіямъ терминологіи формальной или индуктивной логики, а только того, чтобы всѣ ученія низшей математики были, такъ сказать, насквозь проникнутыя ученіями и требованіями логики—вотъ чего раціональная педагогика можетъ ожидать отъ курса низшей математики въ общеобразовательномъ учебномъ заведеніи. Ни пріобрѣтенія возможно большаго количества фактическихъ познаній, ни чрезмѣрной работы математической памяти, ни, наконецъ, выработки умѣнья рѣшать болѣе или менѣе ограниченный циклъ задачъ нѣкоторыхъ типовъ преподаваніе низшей математики преслѣдовать не можетъ и не должно.

Цѣль преподаванія математики можетъ заключаться только въ слѣдующемъ: 1) дать учащемуся нѣкоторыя необходимыя на практикѣ математическія умѣнья, 2) дать ему нѣкоторое количество незыблемыхъ и прочныхъ знаній, которое сохранилось-бы у него на всю жизнь, 3) дать ему нѣкоторое количество такихъ знаній, которыя, если-бы они и были впослѣдствіи забыты, легко могли-бы быть, въ случаѣ надобности, возобновлены, и 4) дать (это самое главное) учаще муся болѣе или менѣе обширный циклъ умственныхъ, логическихъ навыковъ, которые остались-бы у него на всю жизнь и которыхъ пріобрѣтеніе есть конечная и, строго говоря, единственная цѣль, а также главнѣйшее оправданіе болѣе или менѣе объемистаго курса математики въ среднемъ общеобразовательномъ учебномъ заведеніи.

С. Шохоръ-Троцкій.

(Окончаніе будетъ).

Цѣль и средства преподаванія низшей математики*).

ГЛАВА III.

Относительная роль различныхъ пособій и средствъ раціональнаго преподаванія.

Нагдядныя представленія безъ понятій: слѣпы, но понятія безъ наглядныхъ представленій безсодержательныя пусты.

Кантъ.

Первоначальныя математическія познанія должны играть извѣстную роль въ воспитаніи дѣтей. Числа и линіи говорятъ ихъ воображенію гораздо болѣе, чѣмъ это обыкновенно принято думать, и въ нихъ заключается вѣрное средство къ упражненію воображенія, не вводя его въ заблужденія.

Кондорсе.

Если припомнимъ тѣ результаты, къ которымъ мы пришли въ, первыхъ двухъ главахъ настоящей статьи, то они сведутся, главнымъ образомъ, къ тому: 1) что нѣкоторый курсъ низшей математики непремѣнно долженъ быть пройденъ и основательно проработанъ всякимъ человѣкомъ, который впослѣдствіи будетъ претендовать на почетное званіе человѣка образованнаго, и 2) что цѣль преподаванія низшей математики можетъ считаться и практическою, и образовательною, пока мы имѣемъ въ виду только ариѳметику, во всѣхъ-же прочихъ отдѣлахъ низшей математики она преимущественно образовательная. Теперь обратимся къ пособіямъ и средствамъ преподаванія этого важнаго предмета.

*) См. «Русскую Школу», №№ 4 и 5 за 1891 годъ.

При преподаваніи низшей математики надо различать пособія, служащія цѣлямъ преподаванія (не только пособія наглядныя, но и пособія въ болѣе обширномъ смыслѣ этого слова: учебники, сборники задачъ, методическія руководства для учащихъ, полные научные курсы разныхъ отдѣловъ математики) и собственно средства преподаванія: разъясненіе и спрашиваніе уроковъ, письменныя работы (классныя и домашнія, провѣрочныя и упражняющія) и вообще преподаваніе предмета, насколько оно обусловливается личностью самого преподавателя. Это послѣднее (конечно, важнѣйшее) средство обученія математикѣ мы считаемъ цѣлесообразнѣе разсмотрѣть послѣ сравнительной оцѣнки различныхъ пособій при преподаваніи математики; ибо, уяснивъ себѣ — чего именно можно и чего нельзя ожидать отъ этихъ пособій, мы безъ большаго труда уяснимъ себѣ также и болѣе трудный вопросъ—чего можно и слѣдуетъ требовать отъ самаго преподаванія, отъ того, что называютъ viva vox преподавателя. Ибо какъ встарину къ самому преподаванію предъявлялись незначительныя требованія, такъ въ настоящее время многіе склонны предъявлять къ нему даже слишкомъ большія требованія, которымъ возможно удовлетворить только при надлежащемъ пользованіи всѣми, имѣющимися въ распоряженіи учащаго, пособіями и средствами преподаванія.

Начнемъ съ одного изъ учебныхъ пособій, предназначаемыхъ преимущественно для учащихся, а именно съ учебника, которому въ настоящее время, къ сожалѣнію, придается, какъ-бы въ противоположномъ недавней старинѣ, иногда слишкомъ малое значеніе и который, какъ мы въ томъ убѣдимся ниже, на самомъ дѣлѣ долженъ-бы играть весьма значительную роль при преподаваніи всѣхъ отдѣловъ низшей математики. Значеніе учебниковъ ариѳметики, алгебры, геометріи и тригонометріи, конечно, различно,—притомъ различно не только потому, что каждый изъ этихъ предметовъ имѣетъ вь виду учащагося того или иного возраста и умственнаго развитія, но также и по причинѣ довольно значительныхъ различій въ самомъ духѣ названныхъ предметовъ и въ матеріальномъ ихъ содержаніи. Ариѳметика, напримѣръ, проходится въ низшихъ классахъ среднеучебныхъ заведеній, если имѣть въ виду фактическое положеніе дѣла, преимущественно практическая; въ алгебрѣ, проходимой тоже практическіе въ большныствѣ своихъ статей, является такая масса условныхъ обозначеній и условныхъ-же дѣйствій, о которыхъ ариѳметика не даетъ ни малѣйшаго представленія; въ томъ отдѣлѣ низшей алгебры, который прилично называть низшимъ анализомъ, появляются доказа-

тельства,—притомъ доказательства совсѣмъ не того типа, съ какими знакомятъ учащихся въ курсѣ ариѳметики (и притомъ знакомятъ чаще всего безъ всякой пользы для дѣла, ибо, строго говоря, учащійся ариѳметикѣ не поднялся еще до пониманія возможности, необходимости и даже смысла доказательствъ); геометрія является предметомъ, преимущественно культивирующимъ доказательство; въ тригонометріи учащійся встрѣчается съ совершенно новыми для него понятіями и методами. Понятно поэтому, что роли учебниковъ различныхъ отдѣловъ низшей математики должны представлять существенныя, въ большинствѣ частностей, отличія какъ въ отношеніи употребленія ихъ при преподаваніи, такъ и въ смыслѣ доступности излагаемаго учащемуся, еще неподготовленному къ пониманію литературной математической рѣчи.

Когда, при преподаваніи ариѳметики, дѣло касается счета и нумераціи или-же способовъ производства четырехъ дѣйствій и случаевъ тождественныхъ ариѳметическихъ преобразованій (превращенія и раздробленія именованныхъ чиселъ, приведенія дробей къ одному знаменателю, сокращенія дробей, обращенія обыкновенныхъ дробей въ десятичныя), тогда малолѣтній учащійся только по учебнику всему этому научиться не въ состояніи: эти ученія требуютъ для перваго раза не только многочисленныхъ упражненій, притомъ упражненій въ присутствіи и подъ руководствомъ преподавателя, по возможности непосредственнымъ, но также энергическихъ, чуть не съ указкою въ рукахъ, разъясненій со стороны человѣка, свѣдущаго въ этомъ искусствѣ, относительно того—какъ именно, въ какомъ духѣ, какъ быстро и какъ удобнѣе всего то или другое дѣлается. Извѣстно, что съ помощью учебника не только ни одинъ мальчикъ, но даже ни одинъ взрослый человѣкъ еще не научился ни рисованію масляными или акварельными красками, ни столярному или токарному дѣлу, ни даже садоводству или земледѣлію; для того, чтобы дѣйствительно научиться чему-нибудь такому, гдѣ есть своя техника, надо воспользоваться указаніями человѣка, свѣдущаго въ данномъ дѣлѣ. Такъ какъ въ практической ариѳметикѣ есть своя, притомъ довольно обширная техника (которою, къ слову сказать, многіе преподаватели этого предмета, безъ всякаго къ тому основанія, часто слишкомъ сильно пренебрегаютъ), то научиться этому предмету какъ слѣдуетъ можно только съ помощью спеціалиста этого дѣла, притомъ спеціалиста, умѣющаго учить, каковымъ спеціалистомъ и долженъ быть всякій учитель ариѳметики. Поэтому книга, хвалящаяся тѣмъ, что по ней даже ребенку можно самостоятельно научиться ариѳметикѣ

(такихъ книгъ много появилось въ Германіи къ концу прошлаго столѣтія и въ началѣ текущаго), или даже только стремящаяся къ тому, чтобы быть самоучителемъ ариѳметики, этой цѣли никогда не достигнетъ. и для малолѣтняго учащагося не годится; малолѣтній ученикъ каждаго изъ низшихъ классовъ среднеучебнаго заведенія не съумѣетъ научиться ариѳметикѣ по учебнику этого предмета также и потому, что онъ еще вообще не умѣетъ учиться по книгѣ и еще недостаточыо усвоилъ себѣ книжную рѣчь. Ибо то, что учитель покажетъ на дѣлѣ, и то представленіе, которое онъ выработаетъ въ умѣ учащагося всѣми находящимися въ его распоряженіи средствами, самоучитель можетъ изложить только на словахъ, т.-е. языкомъ болѣе или менѣе литературнымъ, книжнымъ, котораго малолѣтній учащійся еще не научился понимать. Да и кому неизвѣстно, что многому на свѣтѣ, въ томъ числѣ и искусству ариѳметическихъ вычисленій можно научиться благодаря не словамъ только (даже въ случаѣ, если слова совсѣмъ понятны желающему что-нибудь себѣ усвоить), но преимущественно внутренней душевной, часто безмолвной работѣ надъ даннымъ ученіемъ.

Отсюда уже легко придти къ тому заключенію, что въ приготовительныхъ классахъ и при первоначальномъ домашнемъ обученіи ариѳметикѣ, учебнику ариѳметики не мѣсто; кромѣ того, можно придти также и къ тому выводу, что и въ остальныхъ низшихъ классахъ учащіеся также не могутъ самостоятельно учиться ни по какимъ учебникамъ, ибо ученики этого возраста вообще не умѣютъ самостоятельно учиться, т.-е. учиться безъ руководства со стороны учащаго. Отсюда нѣкоторые педагоги склонны дѣлать тотъ глубоко невѣрный выводъ, будто учебники ариѳметики и вовсе ненужны, въ то время какъ другіе, сторонники самоучительнаго направленія учебныхъ книгъ, говорятъ: «учебникъ ариѳметики нуженъ, но онъ долженъ быть самоучителемъ, ибо ученикъ, который пропустилъ одинъ или даже много уроковъ, въ противномъ случаѣ не будетъ въ состояніи по учебнику наверстать пройденное въ классѣ за время его отсутствія». Объ истинной роли учебника мы ниже будемъ говорить подробнѣе, здѣсь-же, дабы уяснить характеръ изложенія, наиболѣе умѣстный въ учебникѣ, обратимся къ взгляду, по которому учебная книга должна быть самоучителемъ по причинѣ того, что ученикъ, пропустившій нѣсколько уроковъ, можетъ будто-бы пострадать отъ иного характера учебной книги. Этотъ взглядъ принадлежитъ къ числу довольно сильно распространенныхъ у насъ педагогическихъ предразсудковъ. Если ученикъ пропустилъ только одинъ урокъ, то онъ

во время слѣдующихъ уроковъ, благодаря отвѣтамъ товарищей и новымъ (неизбѣжнымъ) разъясненіямъ преподавателя, гораздо легче и лучше наверстаетъ пропущенное, чѣмъ даже по самому подробномъ самоучителю; если ученикъ такъ тупъ, что этого не въ состояніи сдѣлать на основаніи отвѣтовъ товарищей и устныхъ объясненій учителя, то онъ и подавно не въ состояніи будетъ сдѣлать это съ помощью мертваго самоучителя; если учащійся пропустилъ не одинъ, а нѣсколько уроковъ, въ теченіе которыхъ пройдена и всѣми учащимися даже вполнѣ усвоена какая-нибудь отдѣльная статья ариѳметики, то и самый подробный самоучитель (не принимая во вниманіе исключительно талантливыхъ, а потому довольно рѣдкихъ учениковъ) въ большинствѣ случаевъ ничему на научитъ учащагося, и послѣдній будетъ нуждаться либо въ помощи товарищей, либо въ чьей-либо посторонней помощи (о талантливомъ-же ученикѣ не надо безпокоиться: онъ пропущенное наверстаетъ); наконецъ, если ученикъ вообще пропускаетъ уроки, то вѣдь это явленіе представляетъ собою исключеніе, а не явленіе нормальное, а если-бы самоучитель былъ для такого ученика даже и полезнѣе учебника и посторонней помощи, то изъ этого отнюдь не вытекало-бы еще, что характеръ учебниковъ долженъ приноровляться не къ случаямъ нормальнаго его употребленія, а къ случаямъ исключительнымъ*).

Итакъ, надобности въ самоучителѣ ариѳметики въ дѣйствительности не представляется, тѣмъ болѣе, что своей цѣли самоучитель этого предмета достигнутъ не въ состояніи. Теперь обратимся къ тому вреду, который можетъ быть принесенъ самоучителемъ, даже изъ числа совершеннѣйшихъ, при преподаваніи ариѳметики въ среднихъ учебныхъ, заведеніяхъ. Этотъ вредъ состоитъ въ томъ, что самоучитель непремѣнно парализуетъ истинную самодѣятельность не только учащихся (что уже само-по-себѣ крайне серьезно), но даже учащаго, если послѣдній станетъ, какъ онъ, строго говоря, и обязанъ, сообразовываться въ своемъ преподаваніи съ принятымъ у него самоучителемъ; извѣстно, что къ разрѣшенію одного и того-же вопроса можно придти нѣсколькими путями, и предполагать, что наиболѣе удобный въ данномъ классѣ и при данномъ духѣ преподаванія способъ или путь непремѣнно всегда будетъ совпадать съ путемъ, избраннымъ въ самоучителѣ, невозможно. а извѣстно, что если учитель избираетъ не тотъ

*) Того-же взгляда на учебники держится и авторъ извѣстнаго сочиненія по предмету методики математики, д-ръ Ф. Рейдтъ (F. Heidt), которому нѣмецкая учебно-математическая литература обязана нѣкоторыми весьма почтеннымъ вкладами (Anleitung zum mathematischen Unterricht, стр. 80).

путъ, который ему по какимъ-либо причинамъ болѣе по душѣ въ данномъ случаѣ, то преподаваніе моментально проникается духомъ книжнымъ и духомъ безучастія, не оплодотворяясь живою мыслью и живою иниціативою учителя, безъ которой обученіе и результаты его приближаются чаще всего къ нулю. Учебникъ-же, т.-е. руководство, излагающее кратко, сжато и въ окончательной формѣ то, что во время уроковъ учителя, а также въ изложеніи самоучителя должно постепенно развиваться и, такъ сказать, образовываться на глазахъ учащихся,—учебникъ, повторяемъ, этой опасности не представляетъ по той простой нричинѣ, что учебнику чужды какія-бы то ни было методическія и вообще не чисто-логическія точки зрѣнія. Но, кромѣ ариѳметической техники, замѣтитъ иной читатель, въ курсъ ариѳметики низшихъ классовъ входятъ также нѣкоторыя, хотя и немногочисленныя, ученія теоретической ариѳметики (которыя, замѣтимъ въ скобкахъ, большею частью,. недостуішы во всей своей полнотѣ ученикамъ низшихъ классовъ). Дѣйствительно, такія ученія входятъ въ курсъ ариѳметики низшихъ классовъ; но и для нихъ самоучительное направленіе изложенія на нужно и вредно: въ учебникѣ, какъ только дѣло касается теоретическихъ вопросовъ, конечно, должны быть намѣчены всѣ логическіе важные моменты каждаго изъ этихъ вопросовъ; но при этомъ изложеніе тоже должно отличаться сжатостью и не вдаваться въ большія подробности, ибо какъ самоучительное направленіе изложенія неумѣстно въ статьяхъ практической ариѳметики, такъ-же оно неумѣстно (притомъ по тѣмъ-же причинамъ) и въ статьяхъ характера теоретическаго.

Какую-же роль, въ такомъ случаѣ, можетъ и долженъ играть учебникъ ариѳметики при преподаваніи этого предмета въ низшихъ классахъ среднихъ учебныхъ заведеній? Подготовляться къ новому уроку по учебнику ученикъ не въ состояніи, а если-бы онъ и былъ въ состояніи это сдѣлать (благодаря своему особенно счастливому и большому, не по лѣтамъ, умственному развитію), то этому слѣдовало-бы, по понятнымъ причинамъ, всѣми силами препятствовать. Такимъ образомъ, учащемуся остается только одинъ способъ пользованія учебникомъ: ему остается читать и, если можно такъ выразиться, изучать по учебнику только то, что онъ изъ уроковъ учителя уже знаетъ, притомъ знаетъ болѣе или менѣе основательно. Въ этомъ, а не въ чемъ иномъ, и заключается важнѣйшая, и притомъ, едва-ли не единственная активная роль учебника при преподаваніи. Только при такомъ употребленіи учебника учащійся пріучится къ самостоятельной работѣ, къ занятіямъ съ помощью книгъ, къ сжатому и точному (при

томъ не механически - точному) выраженію мысли, къ разумному, а не преисполненному отчаянія и тоски, употребленію книги предъ экзаменовъ; только такимъ образомъ онъ надлежащимъ образомъ и научится укрѣпляться и совершенствоваться въ своихъ знаніяхъ и въ своемъ стремленіи къ нимъ. Эта роль учебника, насколько намъ извѣстно, благодаря отсутствію у насъ спеціально-педагогическаго образованія среди преподавателей среднихъ учебныхъ заведеній, очень часто совершенно игнорируется въ учебной практикѣ, и, по правдѣ сказать, преимущественно въ Англіи и въ англійской школѣ учебнику придается намѣченное выше, т.-е. подобающее ему, значеніе. Для нашего школьника, по всей вѣроятности, показалось-бы страннымъ, если-бы учитель потребовалъ, чтобы онъ выучилъ (конечно, не наизустъ, не непремѣнно слово въ слово, но основательно) по учебнику тотъ или иной параграфъ, содержаніе котораго учащемуся уже отлично извѣстно изъ уроковъ. На самомъ-же дѣлѣ такое требованіе не только не безсмысленно, но нреслѣдуетъ даже прямо благія цѣли, которыя понятны изъ всего предыдущаго. Далѣе: учебникъ полезно иногда (опять-таки послѣ того, какъ какое-нибудь ученіе уже пройдено и усвоено учащимся) читать съ учениками въ классѣ вслухъ, притомъ со всею подобающею этому пріему серьезностью, «съ чувствомъ, съ толкомъ, съ разстановкой», съ должными комментаріями и разъясненіями со стороны учащаго и учащихся, и при дѣятельномъ участіи всего класса: цѣль такого чтенія—пріученіе дѣтей къ разумному пользованію книгою и къ дѣйствительной работѣ*). Наконецъ, учебникъ необходимъ въ обиходѣ обученія въ качествѣ весьма требовательнаго регулятора классныхъ занятій, которыхъ форма, конечно, свободна, но которыя должны стремиться къ тому, чтобы изложеніе учебника могло бытъ окончателъными резюме всего усвоеннаго учащимися на непремѣнно свободныхъ по формѣ своей урокахъ учителя. Учитель, при всѣхъ своихъ, въ методическомъ отношеніи крайне важныхъ, пріемахъ преподаванія, долженъ ясно видѣть — въ какомъ окончательномъ видѣ то или другое ученіе изложено въ учебникѣ; понятно поэтому само собою, что преподаватель долженъ принятому у него учебнику сочувствовать хотя-бы въ самомъ главномъ, въ самомъ существенномъ, т.-е. сочувствовать основнымъ идеямъ

*) Наиболѣе пригодны для подобной проработки въ классѣ тѣ статьи учебника, которыя въ немъ почему-либо изложены особенно удачно и логично и наиболѣе отвѣчаютъ идеаламъ и личнымъ вкусамъ учителя и потребностямъ даннаго момента обученія.

этого учебника, умѣя на-время отвлекаться отъ несочувствія своего къ какимъ-нибудь мелочамъ или частностямъ изложенія.

Въ случаяхъ, когда на учебникъ ариѳметики установились почему-либо иные взгляды, роль послѣдняго при преподаваніи чаще всего сводится къ нулю, т.-е. учебникъ существуетъ самъ по себѣ, изученіе ариѳметики идетъ тоже само по себѣ, а рѣшеніе задачъ цѣлыми массами идетъ также само по себѣ.

Само собою разумѣется, что составленію учебниковъ самими учениками среднихъ учебныхъ заведеній, хотя-бы даже на основаніи диктуемаго учителемъ въ классѣ и подъ его руководствомъ, сочувствовать ни съ какой точки зрѣнія невозможно: такіе учебники, вѣрнѣе. «записки», по необходимости, крайне несовершенны во всѣхъ отношеніяхъ и той роли, которую можетъ играть книга, исполнять не въ состояніи. Распространяться о вредѣ такъ-называемыхъ «записокъ» считаемъ однако-же излишнимъ, такъ какъ вредъ этотъ нынѣ принадлежитъ къ числу педагогическихъ аксіомъ и такъ какъ въ практикѣ обученія «записки» въ настоящее время практикуются сравнительно рѣдко.

Взгляды, развитые выше относительно одного изъ самыхъ больныхъ мѣстъ преподаванія ариѳметики въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ, т.-е. относительно не всегда правильнаго употребленія учебниковъ разныхъ отдѣловъ этого предмета, въ такой-же мѣрѣ приложимы также къ учебникамъ остальныхъ отдѣловъ низшей математики, съ тою разницей, что по учебнику геометріи средній ученикъ не только одного изъ высшихъ классовъ, но даже ученикъ 4-го класса можетъ, хотя и не безъ значительнаго иногда и полезнаго, притомъ, труда приготовить урокъ, который онъ почему-либо пропустилъ, въ то время какъ, годъ или два года тому назадъ, тотъ-же ученикъ,, въ аналогичномъ случаѣ не былъ въ состояніи приготовить урока ариѳметики по учебнику этого послѣдняго предмета. Причина этой разницы заключается, главнымъ образомъ, не только въ характерѣ предметовъ, проходимыхъ въ среднихъ классахъ среднихъ учебныхъ заведеній, но также въ томъ, что ученикъ 4-го и высшихъ классовъ уже болѣе развитъ для пониманія литературной математической рѣчи и для занятій по книгамъ. Благодаря этому-же обстоятельству, преподаватель геометріи и тригонометріи (рѣже преподаватель алгебры) можетъ задавать учащимся къ слѣдующему уроку приготовить по учебнику ту или иную, еще не пройденную въ классѣ, теорему или совокупность теоремъ, при чемъ для этого должны быть избираемы, конечно, не основныя статьи въ родѣ ученія о подобіи треугольни-

ковъ, а ученія, какъ-бы вытекающія изъ основныхъ, напримѣръ, теоремы изъ статьи о проиордіональныхъ линіяхъ въ кругѣ, объ отношеніи площадей фигуръ и т. п. Учитель-же ариѳметики и даже учитель алгебры (пока ученики еще не вышли изъ сферы общей ариѳметики) не могутъ себѣ позволить ничего подобнаго. Такимъ образомъ роль учебника алгебры, начиная съ известнаго момента, а въ особенности учебника геометріи и тригонометріи, нѣсколько шире роли учебника ариѳметики, хотя, по существу своему, въ большинствѣ слу чаевъ, учебники всѣхъ отдѣловъ такъ-называемой низшей математики—вообще не должны употребляться иначе, чѣмъ это дозволяютъ истинныя требованія средняго образованія и степень умственнаго развитія даннаго класса. Такъ какъ каждый изъ этихъ отдѣловъ требуетъ того, чтобы учащійся освоился съ преобладающимъ въ немъ духомъ математической мысли, прежде чѣмъ онъ обратится къ учебнику, то особенно широкое и очень свободное пользованіе учебникомъ въ роли учителя, конечно, возможно въ сравнительно рѣдкихъ случаяхъ, которыми, однако-же, слѣдуетъ, приличнымъ образомъ и съ возможно большею пользою для дѣла, пользоваться, если преподаваніе математики заявляетъ претензіи на раціональное пользованіе всѣми, имѣющимися въ распоряженіи учащаго, средствами.

Если учебникамъ въ преподаваніи отдѣловъ низшей математики отведено то мѣсто, которое имъ на самомъ дѣлѣ приличествуетъ, то они въ состояніи играть также ту роль, которая имъ нынѣ наичаще, но иногда крайне легкомысленно и неосновательно, навязывается, а именно: роль помощника при подготовкѣ къ экзаменамъ и къ репетиціямъ, которыя мало-мальски опытные преподаватели дѣлаютъ своимъ ученикамъ нѣсколько разъ въ теченіе учебнаго года. Ибо: дѣйствительнымъ помощникомъ при подготовкѣ къ экзаменамъ, притомъ помощникомъ разумнымъ, а не приводящимъ учащихся только въ отчаяніе и уныніе, учебникъ можетъ сдѣлаться только въ томъ случаѣ, если ученики научены пользоваться учебникомъ и если учебникъ дѣйствительно былъ регуляторомъ классныхъ занятій и послѣднимъ ихъ словомъ; въ противномъ случаѣ ничего, кромѣ самаго отчаяннаго зубренія, предъ-экзаменнаго унынія и повсемѣстнаго почти распространенія такъ - называемой репетиторской помощи, представляющей собою какъ-бы testimonium paupertatis, выдаваемое жизнью нашей школѣ, ожидать отъ учебниковъ, конечно, невозможно.

II.

Второе мѣсто послѣ учебниковъ, въ ряду учебныхъ пособій при преподаваніи, занимаютъ такъ называемые задачники или, правильнѣе, сборники задачъ и упражненій по данному отдѣлу низшей математики; по мнѣнію-же нѣкоторыхъ преподавателей, эти сборники занимаютъ едва-ли не первое мѣсто среди этихъ пособій, второе-же отводится этими преподавателями (особенно когда дѣло касается ариѳметики и алгебры) учебникамъ. Только при преподаваніи геометріи и тригонометріи сборники задачъ занимаютъ у всѣхъ преподавателей мѣсто второстепенное, сравнительно съ учебниками по тѣмъ-же предметамъ.

Относительно преподаванія тригонометріи (начнемъ съ этого предмета) смѣло можно утверждать, что объемистые задачники, до безконечности варіирующіе однѣ и тѣ-же, по существу своему немногочисленныя, темы, не только не цѣлесообразны при томъ количествѣ времени, которое по снраведливости отводится тригонометріи, но даже прямо ни для кого не нужны. Если-же учитель желаетъ почему-либо самъ выбирать тѣ немногочисленныя упражненія и задачи, которыя онъ намѣренъ проработать въ классѣ и предложить въ качествѣ домашнихъ упражненій учащимся, то подобное желаніе, конечно, весьма почтенно; но въ такомъ случаѣ учащій долженъ надъ его исполненіемъ поработать, дабы не впасть, въ случаѣ, если онъ пожелаетъ дѣйствовать экспромтомъ, въ одностороннее увлеченіе упражненіями одного рода, которое повлечетъ за собою пренебреженіе упражненіями другихъ родовъ. Но, конечно, гораздо проще и практитнѣе и въ этихъ случаяхъ пользоваться тѣми-же не объемистыми сборниками тригонометрическихъ задачъ, которыми пользуются ученики, только изрѣдка прибѣгая къ упражненіямъ, взятымъ изъ другихъ сборниковъ: это избавитъ учащихся отъ необходимости невѣрно записывать, а учителя ютъ скучной обязанности невѣрно диктовать задачи, подобныя которымъ есть во всякомъ сборникѣ задачъ. Внутреннія-же достоинства различныхъ сборниковъ тригонометрическихъ задачъ болѣе или менѣе одинаковы; но какъ изъ двухъ золъ надо выбирать меньшее, такъ и изъ двухъ равно достойныхъ учебныхъ пособій тоже надо выбирать отличающіеся, ceteris paribus, меньшимъ объемомъ. Роль-же сборниковъ тригонометрическихъ задачъ только одна: упражненіе, но въ дозволительной, при данномъ объемѣ курса, мѣрѣ. Обращаемъ на это обстоятельство особенное вниманіе читателя, такъ какъ роль сборни-

ковъ задачъ по другимъ отдѣламъ не всегда совпадаетъ съ разсмотрѣнною ролью задачниковъ тригонометрическихъ.

Что касается задачъ геометрическихъ, то нѣкоторыя изъ нихъ обязательно должны входить и дѣйствительно входятъ въ неразрывный съ самимъ курсомъ геометріи составъ учебниковъ по этому предмету, другія-же должны быть взяты изъ геометрическаго задачника и предлагаемы учащимся для самостоятельнаго рѣшенія на дому. Къ сожалѣнію, не во всѣхъ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ можетъ быть удѣлено одинаковое вниманіе такъ-называемымъ задачамъ на построеніе, въ достаточномъ количествѣ которыхъ кроется не только залогъ лучшаго усвоенія учащимися теоріи предметъ, но также и залогъ болѣе серьезнаго проникновенія ихъ въ духъ этой теоріи и въ духъ анализа, которымъ пользовались геометры всѣхъ временъ и народовъ и способность къ которому такъ полезно и сильно можетъ быть развита рѣшеніемъ задачъ на построеніе. Но хотя и нельзя не пожалѣть о томъ, что мѣсто, отводимое по необходимости въ большинствѣ среднихъ учебныхъ заведеній задачамъ на построеніе, не принадлежитъ къ числу видныхъ, но для сколько-нибудь широкаго введенія ихъ въ курсъ геометріи требуется отъ учащаго столько власти надъ предметомъ, надъ классомъ и надъ самимъ собою, что нельзя также не предостеречь, въ особенности начинающихъ преподавателей, отъ увлеченія задачами на построеніе, могущаго крайне вредно отозваться на остальномъ курсѣ, который придется, благодаря увлеченію, разрабатывать въ слишкомъ ускоренномъ темпѣ. Въ умѣніи держаться середины заключается единственное спасеніе въ этомъ случаѣ; но при этомъ необходимо, конечно, чтобы это стремленіе къ «серединѣ» не вносило холода и равнодушія къ тому дѣлу, которое достойно, конечно, лучшаго отношенія. Ибо юноша, изучавшій теорію геометріи и не рѣшившій достаточнаго числа задачъ на построеніе съ тѣмъ увлеченіемъ, котораго онѣ достойны, отъ этого потеряетъ очень много, такъ какъ не будетъ достаточно хорошо знакомъ съ однимъ изъ самыхъ могущественныхъ орудій не только математическаго, но и всякаго научнаго мышленія и изслѣдованія, извѣстнымъ подъ именемъ анализа. Равнымъ образомъ и юноша, недостаточно усвоившій себѣ методы геометрическихъ доказательствъ, хотя-бы и разрѣшилъ на своемъ вѣку, съ чужаго голоса и чужою головою, довольно много задачъ на построеніе, также очень многое-бы потерялъ, ибо такое рѣшеніе задачъ на построеніе, неизбѣжное при плохомъ знаніи теоріи, мало полезно, а недостаточное знаніе теоріи тоже крайне вредно отзовется на умственномъ развитіи учащагося. Что-же касается геоме-

трическихъ задачъ на вычисленіе, то имъ можетъ быть приписываемо троякое значеніе: а) значеніе упражненія, способствующаго твердому усвоенію ученій измѣрительной геометріи, б) упражненія въ составленіи и рѣшеніи уравненій, и в) упражненія въ ариѳметическихъ вычисленіяхъ, къ сожалѣнію, часто пренебрегаемыхъ въ высшихъ классахъ среднихъ учебныхъ заведеній. Но само собою разумѣется, что увлеченіе рѣшеніемъ задачъ на вычисленіе также можетъ вредно отозваться на остальныхъ статьяхъ курса; а потому на каждую теорему измѣрительной геометріи должно быть предлагаемо опредѣленное, напередъ разсчитанное преподавателемъ, количество вычисленій, обусловливаемое самою сущностью теоремы, и если алгебра и геометрія находятся въ рукахъ одного и того-же преподавателя, то не только желательно, но и вполнѣ возможно значительное содѣйствіе алгебры цѣлямъ рѣшенія геометрическихъ задачъ на вычисленіе, а также внесеніе геометрическихъ данныхъ въ условія задачъ на составленіе уравненій. Само собою разумѣется, что внесеніе задачъ геометрическаго содержанія въ ариѳметическіе задачники для среднихъ учебныхъ заведеній не заслуживаетъ сочувствія ни съ какой точки зрѣнія и представляетъ собою наслѣдіе, такъ сказать, пережитокъ тѣхъ временъ, когда въ учебники ариѳметики и сборники задачъ вносилась вся мудрость, которою могъ похвалиться авторъ ихъ, въ томъ числѣ, напр., двадцать одно правило для рѣшенія ариѳметическихъ задачъ различныхъ типовъ на такъ-называемое тройное правило, которое, какъ правило, нынѣ тоже принадлежитъ уже къ числу воспоминаній недавней, впрочемъ, старины*).

Прежде чѣмъ перейти къ роли сборниковъ ариѳметическихъ и алгебраическихъ задачъ, считаемъ полезнымъ выставить на видъ, что при преподаваніи каждой изъ отраслей низшей математики весьма строго надо отличать тѣ представленія и понятія математическаго содержанія, которыя должны существовать въ умѣ учащагося ранѣе, чѣмъ онъ приступитъ къ логической ихъ обработкѣ, отъ этой послѣдней обработки, равно какъ и отъ тѣхъ представленій и понятій, которыхъ выработку беретъ на себя данная математическая наука.

*) Въ учебникѣ Видмана (Widmann) конца XV столѣтія поименованы слѣдующія правила: residui, reciprocationis, excessus, divisionis, quadrata (régula quadrata), inventionis, fussi, transversa, ligar, aequalitatis, legis, augmenti, augmentai et decrementi, sententiarum, suppositionis, collections, cubica, lucri, pagamenti, alligationis и falsi. (K. Fink, Abriss einer Gesch. der Elementar-Mathematik, Tübingen 1890, стр. 40).

или данный учебный предметъ. Такъ, напримѣръ, начинающій изучать ариѳметику долженъ прежде всего умѣть считать, понимать сущность и цѣль этого процесса, имѣть, стало быть, понятіе о каждомъ числѣ и о способѣ его происхожденія, о единицѣ, о томъ, какое число больше, какое меньше, и т. п.; при переходѣ отъ ариѳметики цѣлыхъ чиселъ къ ариѳметикѣ чиселъ дробныхъ, тоже предполагается, что ученикъ имѣетъ первоначальныя^ представленія о доляхъ единицы, т.-е. предполагается, что онъ понимаетъ значеніе словъ: «половина», «треть», «четверть» и т. д., что выработалъ себѣ ранѣе понятіе объ объектѣ ариѳметики дробныхъ чиселъ,—понятіе, безъ котораго усвоеніе тѣхъ логическихъ ученій, которыя представляютъ собою содержаніе этой части ариѳметики, прямо невозможно; при этомъ важно то, что опредѣленія доли и дроби, какъ-бы они хороши ни были, не будутъ учащемуся понятны, покуда онъ не будетъ полнымъ господиномъ тѣхъ представленій, которыя лежатъ въ основѣ этихъ опредѣленій, и это справедливо относительно всякихъ опредѣленій. Точно такъ-же и въ началѣ курса геометріи предполагается (хотя болѣе или менѣе произвольно), что въ умѣ учащагося уже существуютъ очень многія первоначальныя представленія и понятія въ той ихъ формѣ, въ которой они нужны для изученія геометріи: представленія и понятія о пространствѣ, о прямой линіи, о плоскости, объ углѣ, о параллельныхъ прямыхъ, о формѣ линіи, объ истинѣ, о томъ, что всякое сужденіе должно быть доказываемо, если оно только допускаетъ доказательство. Эти первоначальныя представленія и понятія ариѳметики и геометріи, дѣйствительно существующія въ умѣ учащихся, хотя и въ видѣ необработанномъ и несовершенномъ, конечно, нельзя подводить подъ одну рубрику съ тѣми представленіями и понятіями, которыя вырабатываются впослѣдствіи, при изученіи этихъ учебныхъ предметовъ, путемъ не только интуитивно-психической, но и сознательно-логической работы, напримеръ, съ понятіями о несризмѣримыхъ величинахъ, о величинахъ безконечно малыхъ, объ отрицательныхъ количествахъ, объ общемъ смыслѣ умноженія и дѣленія, и т. д. Первоначальныя понятія, а также понятія, непосредственно съ ними связанныя (напримѣръ, о четырехъ дѣйствіяхъ, о площади фигуры, объ объемѣ тѣлъ) должны быть выработаны въ умѣ учащихся тѣмъ или инымъ путемъ; логическіе-же пріемы математическаго мышленія должны быть привиты уму ихъ; наконецъ, понятія производныя (напримѣръ, объ умноженіи на дробь, о корнѣ уравненія, о предѣлѣ перемѣнной величины, имѣющей предѣлъ, и т. п.) должны быть надлежащимъ и характернымъ

для каждаго изъ этихъ понятій логическимъ путемъ развиты въ умахъ учащихся.

Принявъ все это во вниманіе, мы видимъ, что для выработки первоначальныхъ геометрическихъ представленій и понятій въ умѣ учащагося современныя методы преподаванія геометріи не дѣлаютъ ничего и что этого не въ состояніи сдѣлать задачи, называемыя геометрическими, ибо для рѣшенія этихъ задачъ требуются уже такія познанія, которыя основаны на помянутыхъ первоначальныхъ понятіяхъ. Другое дѣло—задачи ариѳметическія: имъ, конечно, можно отвести въ курсѣ такое мѣсто, чтобы и онѣ являлись только примѣненіемъ извѣстныхъ уже учащемуся ученій ариѳметики, и этимъ характеромъ отличаются задачи почти всѣхъ употребительныхъ у яасъ сборниковъ ариѳметическихъ задачъ. Но, при такой постановкѣ дѣла, преподаваніе не пользуется тѣмъ могущественнымъ орудіемъ, которое ему даетъ въ руки надлежащимъ образомъ взятая ариѳметическая задача,—орудіемъ для выработки тѣхъ или иныхъ представленій первоначальныхъ и даже производныхъ. Какъ мы о томъ уже товорили во второй главѣ настоящей статьи и какъ мы это еще подробнѣе доказываемъ въ нашихъ методическихъ руководствахъ по преподаванію ариѳметики, для выработки первоначальныхъ и даже производныхъ представленій и понятій ариѳметическаго содержанія прямо необходимы и въ высшей степени полезны методически, ad hoc подобранныя и сгруппированныя, задачи и упражненія, которыхъ рѣшеніе должно не слѣдовать, а предшествовать установленію тѣхъ или иныхъ первоначальныхъ представленій и понятій и опредѣленіямъ понятій производныхъ*). Замѣчательнѣе всего въ общераспространенныхъ у насъ взглядахъ на роль задачъ при обученіи ариѳметикѣ, что намѣченный выше взглядъ на нихъ наиболѣе распространенъ среди составителей учебниковъ ариѳметики, для которыхъ, конечно, болѣе, чѣмъ для кого-либо иного, очевидно и ясно, что выработка основныхъ ариѳметичеекихъ понятій возможна только на почвѣ задачъ, При этомъ авторы нѣкоторыхъ учебниковъ ариѳметики надѣ-

*) Ср. «Методику ариѳметики съ приложеніемъ методическаго сборника для учащихъ въ народныхъ школахъ» (Изд. 2-е, М. 188У), «Опытъ методики ариѳметики для преподавателсй математики въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ» (М. 1888), «Методическій сборникъ ариѳметическихъ задачъ для среднихъ учебныхъ заведеній» (ч. I, для приготовительныхъ классовъ и для первоначальнаго домашняго обученія, М. 1887 и ч. II, для низшихъ классовъ среднихъ учебныхъ заведеній, М. 1888).

ются помочь выработкѣ этихъ понятій съ помощью одной задачи на каждый данный случай и съ рѣшенія этой задачи начинаютъ свое изложеніе почти каждой новой статьи,—что дѣлаетъ изложеніе, впрочемъ, крайне громоздкимъ и слишкомъ тѣсно связаннымъ съ данною задачею; кромѣ того, должно замѣтить, что и цѣль, къ которой эти авторы стремятся, конечно, не достигается, ибо, какъ мы видѣли выше, эта цѣль, помимо всякихъ качествъ изложенія, принадлежитъ къ числу недостижимыхъ съ помощью только учебника. Къ этой: цѣли, т.-е. къ выработкѣ надлежащихъ представленій ариѳметиче-. скаго содержанія, ведутъ методически подобранныя задачи, притомъ предлагаемыя, въ достаточномъ для того количествѣ, въ классѣ самимъ преподавателемъ, преслѣдующимъ въ каждый данный моментъ тѣ или иныя методическія цѣли*). Но, странное дѣло: въ то времяг какъ вѣрный взглядъ на эту роль задачъ очень часто встрѣчается среди составителей учебниковъ ариѳметики, среди составителей задачниковъ и среди преподавателей ариѳметики этотъ взглядъ встрѣчается гораздо рѣже, чему лучшимъ доказательствомъ служитъ существованіе и успѣхъ у насъ одного весьма извѣстнаго и едва-ли не самаго объемистаго изъ всѣхъ существующихъ на свѣтѣ сборниковъ ариѳметическихъ задачъ, составителю котораго чужды были какія-бы то ни было методическія соображенія; ибо его интересовало только количество задачъ, сравнительная ихъ алгебраичность и ни для кого не нужная ихъ трудность. Мы, конечно, не хотимъ этимъ сказать,

*) «Исторія развитія человѣчества—говоритъ извѣстный французскій педагогъ Жанъ Масе-повторяется во всякомъ ребенкѣ... Первый, кто началъ вычислять, началъ не съ отвлеченныхъ правилъ, излагаемыхъ въ учебникахъ, Вполнѣ очевидно, что онъ прежде всего долженъ былъ столкнуться съ практическими проблемами, отъ которыхъ онъ могъ отдѣлаться, только пустивъ въ ходъ всѣ пружины своего ума съ цѣлью создать себѣ правило, и что онъ занимался этимъ не ради искусства, какъ таковаго. Заставлять ребенка начинать. съ правила и потомъ предлагать ему задачи для разрѣшенія значитъ идти противъ хода развитія человѣческаго духа... И что-же? чего мы такимъ образомъ достигаемъ? Мы достигаемъ того, что дѣтскій умъ, съ которымъ мы поступаемъ, столь грубо и круто, сопротивляется отвлеченностямъ, которыя ему предлагаются преждевременно, и что при этомъ пускается въ дѣло только его память, болѣзненно нагружаясь словами и практическими пріемами, смыслъ которыхъ ускользаетъ отъ его пониманія. Истинная метсда заключаетея такимъ образомъ въ томъ, чтобы поставить его въ условія начала знанія и сдѣлать его какъ-бы свидѣтелемъ изобрѣтенія ариѳметики». Этотъ взглядъ почтеннаго французскаго педагога и организатора многихъ плодотворныхъ для просвѣщенія французскаго варода учрежденій (народныхъ библіотекъ, музеевъ и т. п.) вполнѣ совпадаетъ» со взгдядами другаго замѣчательнаго французскаго педагога—Жана Жакото.

что ариѳметическія задачи (въ особенности изъ числа сложныхъ, но же алгебраическаго характера) не должны быть вовсе задаваемы учащимся въ качествѣ самостоятельнаго упражненія въ приложеніи четырехъ дѣйствій къ частнымъ случаямъ; но главною надо считать ту роль, которую играютъ задачи, притомъ относительно простыя и чисто ариѳметическаго характера, при выработкѣ надлежащихъ ариѳметическихъ представленій, и не пользоваться ихъ услугами въ этомъ направленіи, коиечно, по меньшей мѣрѣ, нецѣлесообразно. Что-же касается задачъ алгебраическаго характера, то при изученіи ариѳметики имъ не должно быть отводимо никакого мѣста въ курсѣ средняго учебнаго заведенія, и умѣстны онѣ только при рѣшеніи уравненій и для показанія—какую великую услугу алгебра можетъ оказать при рѣшеніи задачъ, которыхъ рѣшеніе безъ помощи уравненій требуетъ иногда большого остроумія (притомъ безплоднаго). При этомъ считаемъ необходимымъ присовокупить, что въ рѣшеніи задачъ алгебраическаго характера не алгебраическими или скрыто-алгебраическими снособами учениковъ слѣдуетъ въ свое время упражнять, но не для цѣлей изученія ариѳметики, а для цѣлей изученія алгебры и для нѣкоторой шлифовки ума учащагося въ этомъ спеціальномъ, хотя и безплодномъ, если его брать отдѣльно отъ алгебры, направленіи.

Задачи по предмету алгебры должны играть и часто играютъ на самомъ дѣлѣ,—благодаря методически-разумному распредѣленію задачъ въ одномъ изъ самыхъ распространенныхъ у насъ задачниковъ по предмету алгебры (въ особенности въ началѣ курса),—ту-же роль, которую задачи ариѳметическія должны-бы играть при преподаваніи ариѳметики: а именно роль возбудителей въ умѣ учащихся тѣхъ именно представленій, которыя должны быть на данной ступени выработаны, дабы дальнѣйшее движеніе въ глубь учебнаго предмета стало возможнымъ. Само собою разумѣется, что нѣтъ не только никакой надобности и пользы въ снабженіи задачъ въ самомъ текстѣ задачника методическими или теоретическими замѣчаніями, но что это даже прямо вредно для дѣла; этотъ балластъ дѣлаетъ книгу только болѣе объемистою, и только учителю должно быть предоставлено право «опровождать тѣ или иныя задачи тѣми именно теоретическими разъясненіями, которыя онъ найдетъ въ данномъ случаѣ умѣстными и необходимымъ методическія-же замѣчанія умѣстны въ изданіи, предназначаемомъ исключительно для учителя.

Смѣемъ надѣяться, что изъ всего вышеизложеннаго могутъ быть сдѣланы слѣдующіе выводы: 1) самоучители отдѣловъ низшей мате-

матики, если-бы они даже и были возможны (въ чемъ дозволительно сомнѣваться), для учениковъ среднихъ учебныхъ заведеній не нужны,. такъ какъ у этихъ учениковъ есть учители, которые гораздо лучше, чѣмъ самоучители, могутъ ихъ научить уму-разуму; 2) для учениковъ среднихъ учебныхъ заведеній учебники нужны, но пользованіе учебниками должно отличаться обдуманностью и яснымъ пониманіемъ тѣхъ цѣлей, которымъ учебникъ по данному отдѣлу служить въ состояніи; 3) задачи ариѳметическія, а частью также задачи алгебраическія почти всегда должны служить точкою исхода преподаванія, а не исключительно средствомъ для спеціальной дрессировки учащихся въ томъ или иномъ направленіи,—вслѣдствіе чего задачники ариѳметическіе и алгебраическіе должны занимать среди пособій мѣсто, столь-же почетное, какое должны занимать учебники; 5) задачники геометрическіе и тригонометрическіе, при всей своей важности, должны считаться второстепеннымъ учебнымъ пособіемъ; наконецъ, 6) преподаваніе отдѣловъ низшей математики должно быть всецѣло проникнуто единою руководящею идеею во всѣхъ своихъ частяхъ,—идеею, которая не дозволяла-бы такъ-называемой «теоріи» идти своимъ чередомъ, задачамъ—своимъ, вычисленіямъ изустнымъ и письменнымъ—опять своимъ чередомъ, а употребленію учебника—своимъ, ибо и теорія, и задачи, и учебникъ, и упражненія должны всѣ вмѣстѣ вести къ одной цѣли—къ воспитанію ума въ направленіи правильнаго мышленія вообще и болѣе или менѣе самостоятельнаго математическаго мышленія въ частности.

Съ этими вопросами, очевидно, тѣснѣйше соприкасается также вопросъ о такъ-называемыхъ «пропедевтическихъ» курсахъ разныхъ отдѣловъ низшей математики. Ариѳметика въ подобномъ пропедевтическомъ курсѣ не пуждается, если не считать таковымъ того курса ариѳметики, который подлежитъ прохожденію въ приготовительномъ классѣ среднихъ учебныхъ заведеній или при первоначальномъ домашнемъ обученіи этому предмету; алгебра въ особенномъ пропедевтическомъ курсѣ, если не считать таковымъ предварительныхъ упражненій въ употребленіи «алгебраическаго языка», служащихъ для перехода отъ ариѳметикикъ алгебрѣ; о тригонометріи, проходимой въ. одномъ изъ высшихъ классовъ среднихъ учебныхъ заведеній, и говорить нечего: въ ней менѣе всего такихъ представленій, которыя требовали-бы какого-нибудь особеннаго пропедевтическаго курса*). Дру-

*) Мы этимъ отнюдь не желали-бы сказать, что къ изученію тригонометріи можно приступать безъ всякаго выясненія цѣли этого учебнаго предмета. На-

гое дѣло—геометрія: помимо того, что все, излагаемое въ такъ-называемыхъ «введеніяхъ», которыми начинаются учебники геометріи, совершенно почти чуждо міру реальныхъ представленій геометрическаго содержанія, которыми владѣетъ начинающій изученіе курса геометріи,— помимо этого, самыя понятія объ аксіомѣ. теоремѣ и болѣе всего— понятіе о необходимости доказательствъ такихъ предложеній, которыя ясны или безсодержательны для учащагося, представляютъ собою для начинающаго совершенно безполезныя и мало упражняющія ученика въ мышленіи трудности. Изъ этого несомнѣннаго факта маогими педагогамъ преимущественно нѣмецкими, было выведено, что геометрія нуждается въ отдѣльномъ пропедевтическомъ курсѣ, который одни хотѣли построить на занятіяхъ въ полѣ начатками землемѣрія, другіе— на подробномъ изученіи моделей геометрическихъ тѣлъ, и т. д. При этомъ сдѣлано было педагогами не мало логическихъ и другихъ ошибокъ, благодаря чему пропедевтическіе курсы были скомпрометированы, хотя основная мысль помянутыхъ педагоговъ вѣрна. Дѣйствительно: надо себя поставить на мѣсто начинающаго заниматься Евклидовой геометріею, чтобы понять, что разговорами о тѣлѣ, поверхности, точкѣ, объ аксіомахъ и теоремахъ, о раздѣленіи геометріи и—главное—о необходимости непремѣнно все доказывать, кромѣ того-то и того-то, невозможно дѣйствительно ввести учащагося въ геометрическіе вопросы. Во-первыхъ, ему совершенно непонятно, и за это сердиться на него невозможно, что это за точка такая, которая не имѣетъ никакой ширины, толщины и формы, что это за линія безъ толщины, и т. д., и во-вторыхъ, зачѣмъ доказывать то, въ чемъ онъ убѣжденъ, да и вообще къ чему «все это»? Правда, Даламберъ въ свое время сказаляь кому-то, жаловавшемуся на то, что онъ не понимаетъ самаго начала

противъ: тригонометрія болѣе, чѣмъ любой отдѣлъ низшей математики, допускаетъ такую постановку первыхъ уроковъ, при которой цѣль предмета можетъ быть очень хорошо выяснена. Для этого слѣдуетъ только рѣшить нѣсколько задачъ на построеніе треугольниковъ по достаточному для того числу данныхъ, указать, что остальные элементы треугольника извѣстны изъ чертежа, но неизвѣстны въ зависимости отъ единицъ мѣры; далѣе можно перебрать всѣ теоремы измѣрительной геометріи, которыя даютъ возможность вычислить всѣ элементы треугольника, и тогда можно, вернувшись снова къ задачамъ на построеніе, показать, наконецъ, что измѣрительная геометрія даетъ слишкомъ мало такихъ теоремъ, на основаніи которыхъ можно было-бы вычислить всѣ элементы треугольника, съ геометрической точки зрѣнія вполнѣ извѣстнаго. Все это приведетъ учащихся къ сознанію значенія тригонометріи, какъ науки о рѣшеніи треугольниковъ; но все это не представляло-бы собою пропедевтическаго курса тригонометріи въ истинномъ смыслѣ этого слова: это было-бы только введеніемъ въ курсъ тригонометріи.

какой-то науки: «allez, allez en avant, la foi vous viendra», и мы то-же самое можемъ сказать своимъ ученикамъ. Но не надо забывать, что съ Даламберомъ несогласны очень многіе авторитетные люди, напр., Араго и Дюгамель, и кромѣ того, не надо забывать, что для того, чтобы подражать Даламберу, надо быть совершенно убѣжденнымъ въ томъ, что если для царей нѣтъ особенныхъ путей къ геометріи (такъ сказалъ будто-бы Евклидъ), то и для дѣтей ихъ нѣтъ и не должно быть.

III.

Въ высшей степени интересно то, что первый намекъ на то, чѣмъ именно долженъ быть пропедевтическій курсъ геометріи, сдѣланъ не кѣмъ инымъ, какъ тѣмъ-же Евклидомъ, не признававдіимъ даже для царей особеннаго пути къ геометріи; мы говоримъ о «требованіяхъ» (такъ-называемыхъ постулатахъ или допущеніяхь, осітт^ата), которыми онъ начинаетъ собственно геометрію, т.-е. о требованіяхъ: провести прямую и провести окружность, постулируемыхъ имъ для рѣшенія задачи о построеніи равносторонняго треугольника. Установленіемъ этихъ требованій, а также своею ХІ-ю аксіомою (которую такой знатокъ исторіи и философіи математики, какъ Ганкель, считаетъ тоже требованіемъ, утверждая, что не самъ Евклидъ, а комментаторы его поставили это требованіе среди аксіомъ),—этими «требованіями» или допущеніями Евклидъ какъ-бы сказалъ: прежде чѣмъ изучать геометрію отвлеченныхъ фигуръ, воспользуйтесь тѣмъ, что вы уже знаете и должны знать раньше всего, а именно проведеніемъ прямыхъ линій и окружностей и усвоеніемъ себѣ фактовъ или гипотезъ (это зависитъ отъ взгляда), лежащихъ въ самой основѣ геометрической науки.

Значительно позже его Ж. Ж. Руссо и еще позже Оюэль (Hoüel), Рейдтъ и многіе другіе высказали требованіе, чтобы обученіе геометріи начиналось съ элементарнаго курса самаго первоначальнаго черченія*). Читатель, надѣемся, не посѣтуетъ на насъ за то, что мы приведемъ изъ «Эмиля» Русср то мѣсто, въ которомъ Руссо, не бывъ никогда математикомъ и не всегда заботясь о точности своихъ выраженій, тѣмъ не менѣе, какъ человѣкъ великаго ума, не боявшійся мыслить самостоятельно и чувствовать искренно, смѣлыми штрихами

*) На соединенномъ засѣданіи собранія преподавателей математики въ Спб. и нѣкоторыхъ членовъ VIII съѣзда естествоиспытателой и врачей почтенный проф. Казанскаго университета А. В. Васильевъ выразилъ ту-же мысль о курсѣ черченія, какъ единственно разумномъ пропедевтическомъ курсѣ геометріи.

начерталъ программу того курса, который, рано или поздно, сдѣлается истинно - пропедевтическимъ курсомъ геометріи для начинающихъ:

«Я сказалъ, что геометрія не подъ-силу дѣтскому уму; но въ этомъ мы сами виноваты. Мы не чувствуемъ, что метода мышленія у дѣтей отнюдь не совпадаетъ съ нашею и что то, что для насъ является искусствомъ умозрѣнія, для нихъ должно быть не чѣмъ инымъ, какъ только простымъ зрѣніемъ. Вмѣсто того, чтобы имъ давать свою методу, мы гораздо лучше поступили-бы, заимствовавъ у нихъ ихъ методу; ибо наша манера изучать геометрію есть, въ сущности, столько-же дѣло воображенія, сколько умозрѣнія. Когда предложеніе высказано, мы должны себѣ представить его доказательство, т.-е. найти, изъ какого уже нзвѣстнаго предложенія наше предложеніе можетъ вытекать, и изъ всѣхъ слѣдствій, которыя могутъ вытекать изъ этого извѣстнаго предложенія, найти то, которое насъ интересуетъ... Вмѣсто того, чтобы заставить насъ найти доказательство, намъ его диктуютъ; вмѣсто того, чтобы насъ научить умозрѣнію, учитель самъ за насъ разсуждаетъ и упражняетъ только нашу память.—Сдѣлайте точныя фигуры, комбинируйте ихъ, наложите одну на другую, изслѣдуйте ихъ соотношенія; и вы изобрѣтете всю элементарную геометрію, переходя отъ наблюденія къ наблюденію, и при этомъ не будетъ вопроса ни объ опредѣленіяхъ, ни о задачахъ, ни о какихъ иныхъ формахъ доказательства, кромѣ простого наложенія. Что касается меня, то я нимало не претендую научить Эмиля геометріи: не я его, а онъ меня ей будетъ учитъ; я буду искать геометрическія соотношенія, а онъ ихъ найдетъ, ибо я ихъ буду искать такъ, чтобы онъ ихъ нашелъ. Вмѣсто того, напримѣръ, чтобы пользоваться циркулемъ для проведенія окружности, я буду пользоваться ниткою, вращающейся вокругъ стержня. Когда я захочу сравнить два радіуса одинъ съ другимъ, Эмиль будетъ смѣяться надо мною и дастъ мнѣ понять, что одна и та-же натянутая нитка не могла провести неравныхъ разстояніи.—Если я хочу измѣрить уголъ въ 60°, я опишу изъ вершины этого угла не дугу, но полную окружность, ибо никогда не надо, имѣя дѣло съ дѣтьми, подразумѣвать что либо такое, чего они не подразумѣваютъ. Я тогда найду, что частъ круга, заключенная между сторонами даннаго угла, составляетъ шестую частъ всего круга. Послѣ этого я изъ той-же вершины опишу большимъ радіусомъ новую окружность, и я найду, что длина новой дуги все еще составляетъ шестую частъ своей окружности. Я описываю третью концентрическую дугу, съ которою я сдѣлаю то-же испытаніе; и я буду продолжать это испытаніе надъ все новыми и новыми окружностями до тѣхъ поръ, пока Эмиль, шокированный моею глупостью, мнѣ скажетъ, что всякая дуга, большая или малая, заключенная между сторонами того-же самаго угла, всегда будетъ составлять шестую долю своей окружности...—Такимъ образомъ мы доберемся до употребленія транспортира... Обыкновенно пренебрегаютъ вѣрностью фигуръ, ее предполагаютъ, подразумѣваютъ, и устремляются поскорѣе къ доказательству. У насъ-же, напротивъ, никогда не будетъ вопроса о доказательствѣ; нашимъ наиболѣе значительнымъ дѣломъ будетъ проведеніе линій по возможности прямыхъ, по возможности

вѣрныхъ, по возможности равныхъ, нахожденія квадрата по возможности совершеннаго, круга по возможности круглаго. Для того, чтобы убѣдиться въ вѣрности фигуры, мы ее изслѣдуемъ во всѣхъ ея, доступныхъ зрѣнію, свойствахъ; и это намъ дастъ возможность ежедневно открывать что-нибудь новое. Мы сдѣлаемъ сгибъ въ кругѣ по его діаметру и въ квадратѣ по его діагонали, сравнимъ полученныя фигуры и посмотримъ, какая лучше сдѣлана, т.-е. въ которой края наилучше совпадаютъ; мы посмотримъ, должно-ли имѣть мѣсто всегда то-же равенство въ параллелограммахъ, въ трапеціяхъ и т. д... Геометрія для моего ученика будетъ только искусствомъ умѣло пользоваться линейкою и циркулемъ».

Конечно, эта Эмилева геометрія не будетъ геометріею Евклида. Правда и то, что подобное (во всѣхъ пунктахъ подобное) подготовленіе къ настоящей геометріи возможно только при домашнемъ обученіи, а не при классномъ. Но сдѣлать такъ, чтобы Евклидовой геометріи предшествовалъ практическій курсъ употребленія линейки и циркуля, вполнѣ возможно и необходимо также и при преподаваніи геометріи въ среднемъ учебномъ заведеніи, хотя для этого понадобились-бы нѣкоторыя, по существу незначительныя, измѣненія въ распредѣленіи курса математики въ среднемъ учебномъ заведеніи. Это былъ-бы, говоря новѣйшимъ языкомъ, истинно пропедевтическій курсъ геометріи, съ помощью котораго выработались-бы въ умѣ учащаго всѣ тѣ представленія и понятія, которыя лежатъ въ основѣ геометріи; это была-бы геометрія Евклидовыхъ «требованій», Гельмгольцева геометрія фактовъ и даже (horribile dictu) Риманова геометрія гипотезъ, лежащихъ въ основѣ геометріи Евклида; это была-бы геометрія, введеніе которой въ курсъ среднихъ учебныхъ заведеній оказало-бы послѣднему неизмѣримыя услуги; мы этотъ курсъ ниже будемъ просто называть элементарнымъ курсомъ первоначальнаго черченія. Но для того, чтобы онъ былъ дѣйствительио полезенъ, онъ долженъ находиться въ рукахъ того-же лица, которое будетъ обучать данный классъ геометріи Евклидовой. Гдѣ найти для этого курса время, вопросъ школоустройства. Этого времени довольно въ III-мъ классѣ гимназій, въ которомъ все еще изучаютъ пропорціи, совсѣмъ къ ариѳметикѣ не относящіяся и весьма мало требующія времени съ алгебраической точки зрѣнія, изучаютъ рѣшеніе массы задачъ на пропорціональныя величины, по старой памяти называемыхъ задачами на тройныя правила, съ помощью пропорціи и безъ этой помощи. Далѣе и въ IV классѣ часть времени, нынѣ безплодно уходящее на слѣдованіе правилу Даламбера: «allez en avant», безъ всякаго вреда для дѣла, а, напротивъ, съ превеликою пользою для него могло-бы пойти на уроки элементарнаго курса первоначальнаго

черченія, но, конечно, черченія не эллипсовъ, параболъ и Архимедовыхъ спиралей, а черченія, тѣснѣйше примыкающаго къ курсу Евклидовой геометріи*).

Намъ лично неоднократно приходилось встрѣчать учениковъ V-го класса классическихъ гимназій, которые, проведя изъ точки, лежащей внѣ круга, двѣ сѣкущія его, не видѣли (буквально не видѣли!) точекъ пересѣченія этихъ сѣкущихъ съ окружностью и которые не понимали, на какую дугу опирается прямой, вписанный въ кругъ, уголъ, и какую дугу стягиваетъ тупой уголъ, образованный касательною и хордою, проведенною чрезъ точку касанія. И читателю, вѣроятно, приходилось, если онъ преподавалъ геометрію, встрѣчаться съ неглупыми, впрочемъ, учениками, которые видѣли буквы чертежа, но не тѣ точки, которыя обозначаются этими буквами, и, понятно, соединяли прямыми, вмѣсто точекъ, буквы, ихъ обозначающія. Все это объясняется не тѣмъ, что еубъекты, о которыхъ мы говоримъ, необыкновенно глупы и тупы вообще или особенно тупы къ пониманію геометріи; нѣтъ, это объясняется исключительно тѣмъ, что они не знаютъ фактовъ геометріи, никогда не держали, какъ слѣдуетъ, линейки и циркуля въ рукахъ, вслѣдствіе чего для нихъ столь тягостно все, имѣющее какое-либо, хотя-бы отдаленное, отношеніе къ геометріи... Хотя-бы первоначальное черченіе и не было, въ скоромъ времени, возможна ввести въ курсъ всѣхъ среднихъ учебныхъ заведеній, но необходимо всегда, при преподаваніи геометріи, стремиться прежде всего къ тому, чтобы ученики ясно видѣли то, о чемъ идетъ рѣчъ**). Пока желанія помянутыхъ писателей относительно того, что должно предшествовать курсу геометріи, не выполнены, необходимо, пѳ крайней мѣрѣ,. помнить и стараться примѣнять къ дѣлу прекрасное изреченіе Канта,

*) Дабы точнѣе охарактеризовать содержаніе и объемъ этого курса черченія, назовемъ превосходное сочиненіе Ф. Рейдта подъ заглавіемъ «Planime tris che Aufgaben für den Gebrauch im Schul-, Privat- und Selbst-Unterricht» (Breslau, 1890), въ первой части котораго первые четыре параграфа (10 страницъ) содержатъ главнѣйшія задачи первоначальнаго курса элементарнаго черченія. Къ сожалѣнію, у Рейдта рядомъ съ задачами приведены также нѣкоторыя теоремы, и, кромѣ того, у него задачъ первоначальнаго черченія слишкомъ мало. Но характеръ многихъ изъ этихъ задачъ вполнѣ отвѣчаетъ требованіямъ элементарнаго черченія.

**) На упомянутомъ выше соединенномъ засѣданіи членовъ VIII съѣзда, одинъ изъ почтенныхъ русскихъ педагоговъ-математиковъ, а именно К. К. Мазингъ, превосходно охарактеризовалъ современное преподаваніе геометріи, сказавъ: «мы развиваемъ умозрѣніе учащихся, не обращая никакого вниманія на простое зрѣніе»; почти въ тѣхъ-же выраженіяхъ преподаваніе геометріи охарактеризовалъ Руссо (см. выше).

котораго уже никакъ нельзя заподозрить въ пристрастіи къ сколько-нибудь грубому эмпиризму: «наглядныя представленія безъ понятій слѣпы, но понятія наглядныхъ представленій иусты, безсодержательныя Поэтому, сколька ни выясняйте понятіе геометрической прямой линіи, понятіе геометрической точки, геометрическаго угла и т. д., всѣ эти понятія будутъ до тѣхъ поръ безсодержательны, пока вы не позаботились о выработкѣ лежащихъ въ ихъ основѣ и наполняющихъ ихъ содержаніемъ соотвѣтствующихъ наглядныхъ представленій. Начинайте всегда съ чертежей, многочисленныхъ и правильныхъ, заставляйте каждаго учащагося хотя-бы отъ руки вычертить то, что вамъ нужно, и вы найдете тотъ путь къ геометріи, котораго великій Евклидъ не желалъ предложить своему царственному собесѣднику. Не ищите только этого пути въ учебникѣ геометріи, не требуйте отъ послѣдняго такихъ услугъ, которыхъ онъ оказать вамъ не въ состояніи, и помните, что посредствомъ учебника геометріи такъ-же невозможно научить ребенка вѣрно представлять себѣ то, что необходимо умѣть представлять себѣ ранѣе всякаго изученія геометріи, какъ невозможно при помощи учебника ариѳметики научить счету орѣховъ и умѣнпо быстро вычислять суммы любыхъ двухъ однозначныхъ чиселъ. То-же справедливо относительно выясненія дѣтямъ необходимости одно доказывать, а другое нринимать безъ доказательствъ. Первыя теоремы геометріи, хотя онѣ въ учебникахъ излагаются и доляшы излагаться съ доказательствамъ должны быть прежде всего поняты учащимися надлежащимъ образомъ; послѣднимъ должно быть выяснено, въ чемъ суть этихъ теоремъ, и только когда это сдѣлано относительно довольно многихъ теоремъ, выясните дѣтямъ, почему надо доказывать теоремы, а если они васъ не поймутъ и послѣ этого, идите въ прежнемъ направленіи, и вѣрныя представленія, лежащія въ основѣ геометріи, будутъ ими пріобрѣтены, и текстъ многихъ теоремъ имъ сдѣлается понятенъ и извѣстенъ, и наступитъ въ скоромъ времени моментъ, когда имъ станетъ понятно и существованіе доказательствъ, а можетъ быть, и право доказательствъ на существованіе. Не давайте только, съ самаго начала, своему ученику никакого учебника въ руки, не задавайте никакихъ уроковъ, кромѣ задачъ черченія: начертить прямую, двѣ равныя прямыя, окружность, двѣ окружности съ равными радіусами, съ радіусами не равными, задачъ на сложеніе, вычитаніе и умноженіе прямыхъ и т. п., относитесь серьезно къ рѣшеніямъ этихъ задачъ и не уподобляйтесь тѣмъ преподавателямъ, которые жалуются на то, что первыя страниды учебника Давидова или Буссе совершенно «непонятны» начинающему. Ибо, если первыя

страницы учебника непонятны учащемуся, то это зависитъ только отъ того, что послѣднему дали учебникъ въ руки не во-время, т.-е. дали ему книгу, не научивъ его понимать то, что излагается въ ней. Если правда, что шестилѣтній Паскаль самостоятельно добрался до 32-го предложенія «Началъ» Евклида,то только благодаря тому, что, по причинѣ геніальности своей натуры и преждевременнаго (что доказывается и послѣдующею жизнью Паскаля) умственнаго своего развитія, этотъ великій геометръ былъ поставленъ въ такія условія, при которыхъ для него легче было самостоятельно добраться до 32-го предложенія Евклидовыхъ «Началъ», чѣмъ современному четырнадцати-лѣтнему школьнику добраться до смысла излагаемаго на первыхъ страницахъ учебниковъ. Несомнѣнно, что если-бы тому-же Паскалю, когда онъ еще не доросъ до того, дали въ руки изложеніе теоремы о его-же шестиугольникѣ, то онъ такъ-же мало понялъ-бы это изложеніе, какъ средній четырнадцатилѣтній школьникъ мало понимаетъ первыя страницы учебника Давидова или Буссе. Вся разница только въ силѣ размаха, въ амплитудѣ ума шестилѣтняго Паскаля и четырнадцатилѣтняго обыкновеннаго школьника,—и то, что справедливо относительно своевременности употребленія среднимъ ученикомъ 4-го класса того или иного учебника, въ такой-же мѣрѣ справедливо относительно пяти или трехлѣтняго Паскаля: Паскаль трехъ лѣтъ отъ роду былъ, можетъ быть, геніальнымъ, но все-таки трехлѣтнимъ ребенкомъ, которому недоступно было то, что ему стало доступно, когда ему минуло шесть или семь лѣтъ. Каждый человѣкъ долженъ подчиняться законамъ духовнаго развитія человѣка вообще и законамъ собственнаго развитія въ частности, и съ этой точки зрѣнія геніальный Паскаль даже не является непонятнымъ исключеніемъ изъ общаго правила. Всему человѣкъ учится и совершенства онъ во всемъ достигаетъ только путемъ упражненія. Понятно поэтому, что ему надо дать время и возможность также и для того, чтобы онъ научился учиться.

У насъ остаются еще неразсмотрѣнными два вопроса о средствахъ преподаванія низшей математики: вопросъ о томъ, что именно можетъ служить подготовкою къ полезному для умственнаго развитія преодолѣнію трудностей стереометріи и какова роль такъ-называемыхъ наглядныхъ пособій при преподаваніи математики вообще. При преподаваніи стереометріи не столько черченіе, сколько нѣкоторыя, хотя-бы самыя примитивныя умѣнія по рисованпо представляются не только желательнымъ, но даже просто необходимымъ основаніемъ курса стереометріи. Не умѣющіе совсѣмъ рисовать съ натуры и поэтому не

умѣющіе надлежащимъ образомъ видѣть то, на что они смотрятъ, съ ненужными никому затрудненіями плохо усваиваютъ себѣ ученія стереометріи, такъ какъ въ этой части геометріи къ логическимъ трудностямъ доказательства, какъ таковаго, присоединяются еще новыя трудности по винѣ путаницы, царствующей въ самомъ простомъ стереометрическомъ чертежѣ для учащагося, совершенно непонимающаго элементовъ перспективы. Къ тому же, въ учебникахъ геометріи безраздѣльно, можно сказать, практикуется крайне невѣрный способъ изображенія большинства пространственныхъ фигуръ, такъ что, напримѣръ, кубъ всегда изображается такъ, какъ онъ никогда глазу не представляется*). Собственный опытъ нашъ до очевидности доказалъ намъ, что изъ десяти случаевъ, когда учащагося особенно затрудняетъ изученіе стереометріи, девять объясняются полнымъ неумѣніемъ учащагося рисовать съ натуры и сколько-нибудь вѣрно видѣть предлагаемый ему стереометрическій чертежъ. Крайне полезно поэтому стереометрическимъ чертежамъ удѣлять больше вниманія, чѣмъ какое имъ обыкновенно удѣляется, и выполнять ихъ согласпо тому условному принципу, по которому болѣе удаленныя отъ глаза части линіи представляются ему тоныие менѣе удаленныхъ (ср. «Учебникъ геометріи для среднихъ учебныхъ заведеній», составленный авторомъ этихъ строкъ).

О наглядныхъ пособіяхъ мы будемъ говорить недолго: при обученіи ариѳметикѣ въ приготовительныхъ классахъ они необходимы: 1) для выработки надлежащаго умѣнія сознательно считать (кубики, пальцы, камешки и т. п.), 2) для выработки яснаго представленія о десятичной системѣ счисленія (такъ-называемая «солома»), 3) для обозначенія чиселъ цыфрами (торговые или шведскіе счеты), 4) для производства сложенія и вычитанія многозначныхъ чиселъ (солома и счеты) и 5) для надлежащаго усвоенія вѣрныхъ представленій о нѣкоторыхъ единицахъ мѣры (модели аршина, фута, метра, фунта, четверика, литра, кило). При дальнѣйшемъ изученіи ариѳметики наглядныя пособія рѣдко бываютъ нужны, за исключеніемъ поименованныхъ выше въ пунктѣ пятомъ. При изученіи планиметріи чертежъ, а при изученіи стереометріи рисунокъ-чертежъ сутъ наиболѣе естественныя наглядныя пособія; но при прохожденіи стереометріи иногда полезно прибѣгнуть къ самымъ простымъ нагляднымъ пособіямъ, имѣющимся

*) Считаемъ пріятнымъ долгомъ заявить, что вниманіе наше на неправильности стереометрическихъ чертежей въ учебникахъ геометріи обратилъ бывшій преподаватель рисованія въ женской гимназіи кн. А. А. Оболенской, художникъ К. Н. Вороновъ.

подъ рукою, а именно къ нѣсколькимъ карандашамъ и къ столу (напримѣръ, для уясненія положенія прямыхъ и плоскостей въ пространствѣ), а также къ болѣе сложнымъ пособіямъ, напримѣръ, къ моделямъ нѣкоторыхъ, никогда не виданныхъ учащимися Платоновыхъ тѣлъ, и т. п. Но тактъ учащаго и сила воображенія учащихся въ этихъ случаяхъ являются наилучшими руководителями при выборѣ наглядныхъ пособій; иногда, при достаточной въ томъ надобности, полезно изготовленіе самими учащимися изъ бумаги и проволоки моделей нѣкоторыхъ чертежей или тѣлъ; но обязательнымъ это изготовленіе, конечно, можетъ быть признано только для учениковъ, не особенно одаренныхъ геометрическимъ воображеніемъ. Что касается алгебры, то единственное наглядное пособіе, которое можетъ оказаться полезнымъ при преподаваніи этого предмета, является такъ-называемая «прямая вещественныхъ количествъ», которая можетъ оказать неоцѣнимыя услуги при выясненіи аффиксовъ цѣлыхъ чиселъ и дробныхъ, положительныхъ и отрицательныхъ, соизмѣримыхъ и несоизмѣримыхъ съ единицею, предѣловъ нѣкоторыхъ величинъ (напримѣръ, суммы членовъ убывающей геометрической прогрессіи) и т. п. Если классъ, въ которомъ преподается тригонометрія, стоитъ въ отношеніи своего математическаго развитія довольно высоко, то полезно, хотя и не необходимо, познакомить учащагося также съ Аргантовой (иначе Гауссовой) плоскостью комплексныхъ количествъ вида а-\-Ы, но при условіи, чтобы это ознакомленіе не было безплоднымъ и чтобы ему было посвящено должное вниманіе, какъ съ алгебраической, такъ и съ тригонометрической точки зрѣнія.

С. Шохоръ Троцкій.

(Окончаніе будетъ).

Цѣль и средства преподаванія низшей математики*).

IV.

Живое слово преподавателя и роль его въ преподаваніи.

Теперь намъ остается разсмотрѣть вопросъ о томъ, какъ учить низшей математикѣ въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ. Весьма замѣчательный, хотя и мало извѣстный у насъ, французскій педагогъ Жанъ Жакото (1770—1840) въ основу всякаго раціональнаго обученія кладетъ тотъ принципъ, по которому искусство обученія состоитъ только въ умѣніи поставить обучаемаго въ такое положеніе, чтобы онъ самъ научился тому, чему его хотятъ научить, т.-е. состоитъ только въ умѣніи .показать ему, что ему надо сдѣлать для того, чтобы научиться тому, чему его учатъ. Въ этомъ принципѣ кроется та простая, но глубоко вѣрная мысль, что руководительство учащаго должно состоять въ возбужденіи въ учащемся тѣхъ сторонъ дѣятельности духа или тѣла, безъ которыхъ ученикъ, строго говоря, не можетъ научиться тому, чему его учатъ. Поэтому всѣ труды учителя будутъ напрасны, если онъ не въ состояніи, поставивъ себя на мѣстѣ своего ученика, войдя, такъ сказать, въ его положеніе, показать этому ученику, чего ему собственно не хватаетъ, не достаетъ для того, чтобы достигнутъ цѣли, намѣченной учащимъ**). Прежде всего, во избѣжаніе недоразумѣній, необходимо принять къ свѣдѣнію, что не о возможно большемъ облегченіи труда учащихся должна за-

*) См. «Русскую Школу», №№ 4, 5 и 9 за 1891 годъ.

**) Изъ русскихъ писателей-педагоговъ вліянію Жакото отчасти подвергся покойный П. С. Гурьевъ, если объ этомъ судить по трудамъ этого почтеннаго педагога и по тому, что въ своей весьма интересной полемикѣ противъ покойнаго В. А. Евтушевскаго онъ говоритъ, что кто знакомъ съ педагогическими взглядами Жакото, тотъ не станетъ смотрѣть на нѣкоторыхъ нѣмецкихъ педагоговъ, какъ на авторитеты въ вопросахъ преподаванія ариѳметики.

ботиться методика математики, а лишь о томъ, чтобы работа, которую должны преодолѣть учащіеся, не была значительно выше ихъ силъ; но эта работа не должна быть и ниже ихъ силъ. Знаніе, пріобрѣтаемое безъ всякаго труда, можетъ имѣть только практическое значеніе; образовательное-же значеніе такого знанія ничтожно. Поэтому надо, ставя учащагося въ то положеніе, которое необходимо для возбужденія въ немъ должной дѣятельности, духа, заботиться также о томъ, чтобы данная работа была для него посильна и чтобы при этомъ трудъ тѣмъ не менѣе былъ необходимъ съ его стороны. Объ этомъ мы считали полезнымъ сказать нѣсколько словъ, дабы послѣдующія строки не были истолкованы благосклоннымъ читателемъ сколько-нибудь невѣрно и дабы онъ не подумалъ, что нами руководитъ желаніе по возможности упразднить трудъ учащагося математикѣ.

Читателю, вѣроятно, приходилось встрѣчать людей вполнѣ образованныхъ, которые признаются чистосердечно, что курса математики они не только въ школьные свои годы не были въ состояніи себѣ усвоить какъ слѣдуетъ, но что даже въ болѣе зрѣломъ возрастѣ они предпочли-бы какой угодно родъ умственнаго труда изученію даже гимназическаго только курса математики. Многіе изъ числа подобныхъ образованныхъ людей, лишенныхъ, если можно такъ выразиться, всякаго «вкуса» къ занятіямъ математикою, по большей части приписываютъ это свойство своего ума отсутствію у нихъ такъ-называемыхъ «математическихъ способностей», хотя въ девяти случаяхъ изъ десяти причина такого отношенія къ математикѣ заключается только въ томъ, что большинство этихъ людей въ свое время не было поставлено въ положеніе дѣйствительно учащихся математикѣ. Это доказывается также и историческими фактами: когда методы обученія математикѣ не были еще разработаны въ сколько-нибудь значительной мѣрѣ, совершенно неспособными къ математикѣ считались едва-ли не большинство учащихся; нынѣ-же совсѣмъ неспособныхъ къ математикѣ насчитываютъ въ каждомъ классѣ средняго учебнаго заведенія только нѣсколько человѣкъ; далѣе: въ старину ариѳметику считали наукою трудною и достунною только исключительнымъ натурамъ (мы говоримъ не о XVI или XVII столѣтіяхъ, а о временахъ довольно близкихъ, напримѣръ, о началѣ текущаго столѣтія); нынѣ-же ее считаютъ учебнымъ предметомъ, который вполнѣ недоступенъ, въ своихъ основаніяхъ, развѣ только дѣтямъ, страдающемъ какою-нибудь формою тупоумія. Все дѣло, стало-быть, зависитъ отъ того, какъ учатъ математикѣ, и если мы выше сказали, что боль-

шинство считающихъ себя неспособными къ математикѣ людей причисляютъ себя къ этому разряду только потому, что они никогда дѣйствительно не учились математикѣ, то мы этимъ вовсе не желаемъ сказать, что учителя имъ никогда ничего въ классѣ не объясняли, никогда ихъ не спрашивали, не ставили имъ заслуженныхъ двоекъ и единицъ въ классномъ журналѣ, и т. д. Нѣтъ, учителя объясняли и, можетъ быть, даже хорошо объясняли у доски задаваемое, учителя ихъ также и спрашивали и строго оцѣнивали баллами ихъ отвѣты. Но если учить значитъ (какъ справедливо думаетъ Жакото) показавъ учащемуся, куда ему направить всѣ духовныя силы свои (именно духовныя силы свои, а не только умъ свой и пассивное свое вниманіе), дабы научиться тому, чему его учатъ, то надо признать, что признающихъ себя неспособными къ изученію математики образованныхъ людей никогда методически не учили математикѣ.

Мы говоримъ о томъ, что на «неуспѣвающихъ» не обращалось въ старину должнаго вниманія и что мы, современные учителя, еще и понынѣ не всегда умѣемъ ставить всѣхъ своихъ учениковъ въ такое положеніе и приводить ихъ душевныя силы въ такую дѣятельность, чтобы между ними не было совершенно неуспѣвающихъ и чтобы всѣ, насколько это возможно при разнообразнѣйшихъ умственныхъ склонностяхъ, встрѣчающихся въ каждомъ классѣ, полюбили пріемы математическаго мышленія и изслѣдованія. «Всѣ люди, говоритъ одинъ изъ крупнѣйшихъ французскихъ математиковъ и преподавателей, Габріэль Ламе (Gabriel Lamé, 1795 — 1870), — приносятъ съ собою, съ появленіемъ на свѣтъ Божій, способность къ математикѣ; у нѣкоторыхъ она развивается, у большинства-же атрофируется по недостатку въ упражненій и въ обученіи». Тотъ-же Ламе, весьма строго относившійся какъ къ своимъ ученикамъ и товарищамъ, такъ и къ самому себѣ, разсказываетъ изъ своей жизни случай, между прочимъ, доказывающій, какъ осторожно надо относиться къ включенпо того или другого ученика въ разрядъ безнадежныхъ: «Во все продолженіе моей долгой преподавательской и экзаменаторской дѣятельности—говоритъ онъ—ничто меня не удивляло въ такой степени, какъ крутое и внезапное появленіе математическаго умозрѣнія у ученика, котораго я зналъ въ теченіе нѣсколькихъ лѣтъ и который, будучи исполненъ самой доброй воли, рвенія къ работѣ и желанія понять то, чѣмъ онъ усиливался нагрузить свою память, единственно дѣятельную свою способность, тѣмъ не менѣе, не могъ достигнуть именно пониманія. Однажды, посреди одного доказательства, которое я выяснялъ уже не въ первый разъ въ этомъ классѣ, вдругъ

открылась какъ-бы дверь въ душѣ этого человѣка: онъ понялъ. Радость и волненіе его по поводу этого событія не поддаются описанпо. Съ слѣдующаго-же дня онъ уже помчался впередъ и вскорѣ гигантскими шагами наверсталъ всѣ упущенія прошлаго, притомъ въ такой мѣрѣ, что сдѣлался впослѣдствіи первымъ среди своихъ товарищей». Этотъ разсказъ поучителенъ въ очень многихъ отношеніяхъ, рисуя въ самомъ лучшемъ свѣтѣ Ламе, не только какъ всею душею преданнаго своему дѣлу преподавателя, но и какъ превосходнаго человѣка, который, при всей своей глубокой учености и при всемъ громадномъ богатствѣ своего ума творческими силами, которымъ математика обязана немалымъ количествомъ превосходныхъ работъ, всетаки не пренебрегалъ, повидимому, ни однимъ изъ «малыхъ сихъ», которыхъ онъ призванъ былъ учить... Но этого мало: примѣръ съ «внезапно открывшеюся дверью» въ душѣ самаго «неспособнаго» ученика съ полною ясностью указываетъ, что надо разумѣть подъ истиннымъ преподаваніемъ математики: при такомъ преподаваніи надо стремиться къ отысканію этой «двери» души своихъ учениковъ. Правда, то, что доступно такому крупному математику и педагогу, какъ Ламе, можетъ быть недоступно для скромнаго преподавателя средняго учебнаго заведенія; но то, къ чему не гнушался стремиться крупный ученый, на которомъ, кромѣ учительскихъ обязанностей, лежали также и обязанности по отношенію къ наукѣ, безспорно достойно подражанія со стороны тѣхъ, кто призванъ преимущественно учить дѣтей и распространять, популяризировать, въ лучшемъ смыслѣ этого слова, знаніе и образованіе, двигать которыя призваны другіе.

Объекты математики: число, пространство, движеніе, принадлежатъ къ числу простѣйшихъ объектовъ научнаго знанія, и математика, какъ предметъ общаго образованія, не тѣмъ трудна для учащихся, что помянутые объекты трудны для логической ихъ обработки, а именно тѣмъ, что, вслѣдствіе крайней своей простоты, она отъ учащагося требуетъ гораздо большей вдумчивости, чѣмъ объекты гораздо болѣе сложныхъ областей человѣческаго знанія, къ каковымъ принадлежатъ нетолько исторія, географія, грамматики иностранныхъ языковъ, но даже грамматика языка родного. Объекты математики требуютъ отъ ума прежде всего самоограниченія и власти надъ собою, безъ которыхъ онъ, умъ человѣческій, не можетъ вступить въ сравнительно узкую сферу математическихъ интересовъ. «Больше», «меньше», «равно»—что можетъ быть проще и ограниченнѣе этихъ представленій, являющихся альфой и омегой математическаго изслѣдованія? Мало того: повсемѣстность этихъ тривіальныхъ

представленій такимъ подавляющимъ образомъ дѣйствуетъ на духъ человѣка, что только изучающему математическія науки эта повсемѣстность видна во всей своей силѣ, въ то время, какъ старающійся только войти въ интересы этихъ наукъ слишкомъ сильно развлекается посторонними теченіями мысли, не видя тѣхъ теченій ея, которыя отъ него требуются при изученіи математики. Ребенокъ, приступающій къ изученію математики и жившій дотолѣ въ мірѣ живыхъ и яркихъ разнообразныхъ и сильныхъ ощущеній и представленій совсѣмъ иного порядка, напоминаеттъ собою постоянно и безвыѣздно жившаго въ столицѣ горожанина, который попадаетъ въ деревенскую глушь со всѣми несложными и безшумными особенностями ея жизни. Эта послѣдняя такъ проста, примитивна, такъ свободна отъ яркихъ впечатлѣній, что столичный житель сначала въ ней теряется и чувствуетъ себя какъ-бы придавленнымъ, благодаря отсутствію въ этой жизни тѣхъ сильныхъ впечатлѣній, къ которымъ онъ привыкъ. Такъ и ребенокъ, приступая къ изученію математики, въ особенности при современной постановкѣ преподаванія этого предмета, пораженъ тѣмъ, что ему предлагаютъ объекты, упрощенные до невозможностпо линіи безъ толщины, числа безъ названія считаемыхъ предметовъ, фигуры безцвѣтныя, тѣла безтѣлесныя. Правда, нѣкоторые (напримѣръ, Даламберъ) успокаиваютъ смущеннаго душою новичка въ математическомъ мышленіи: «погодите, все сдѣлается само собою». Но гораздо лучше, если къ этому новичку все-таки придетъ на помощь человѣкъ, понимающій, гдѣ причина смущенія его ученика. Учащійся математикѣ сначала совершенно не постигаетъ и долго отказывается понять, что число десять, которое, говорятъ, составляетъ «основаніе употребляемой въ ариѳметикѣ системы нумераціи», есть какъ разъ то-же самое число, которое ему съ дѣтства знакомо по его пальцамъ; онъ и не подозрѣваетъ, что 1h и :/* суть какъ разъ тѣ старыя, давно знакомыя ему доли, которыя онъ много разъ примѣнялъ въ своей значительной практикѣ надъ яблоками и другими предметами. Онъ не видитъ, если о томъ не постарается учитель, что онъ на каждомъ шагу встрѣчается съ тѣми числами, сложеніями, вычитаніями, треугольниками, пропорціями, перемѣнными величинами, касательными и сѣкущими, перпендикулярными и параллельными прямыми, о которыхъ идетъ рѣчь въ ненавистной ему математикѣ. Въ значительной мѣрѣ то-же относится и къ студентамъ математическихъ факультетовъ и нѣкоторыхъ спеціальныхъ учебныхъ заведеній по отношенію къ ученіямъ аналитики, исчисленія безконечно-малыхъ и высшей алгебры, если ихъ не научили переселяться въ идеальный, правда, но осно-

вами своими стоящій въ мірѣ дѣйствительномъ, міръ математическихъ величинъ и интересовъ. На это обыкновенно возражаютъ: «математика занимается фантомами, ибо геометрической линіи не существуетъ на дѣлѣ, какъ не существуетъ въ дѣйствительности геометрической окружности, вполнѣ равномѣрнаго движенія и прямой линіи, отрицательныхъ количествъ и несоизмѣримыхъ величинъ». Да, всѣ эти идеальныя вещи не существуютъ въ дѣйствительности; но въ дѣйствительности существуютъ вещи, которыя даютъ намъ возможность образовать себѣ эти математическія понятія, и обязанность преподавателя математики—научить своихъ учениковъ связыванпо своихъ только вѣрныхь представленій объ этихъ вещахъ съ научными и истинными понятіями объ идеалахъ, къ которымъ эти неидеальныя вещи какъ-бы стремятся приблизиться*).

Міръ величинъ, чиселъ, формъ, движеній, какъ это справедливо замѣтилъ еще Кондорсе, вовсе не такъ чуждъ дѣтскому уму и воображенію, какъ въ томъ желаютъ насъ убѣдить тѣ, кто считаетъ математику наукою «сухою», «трудною» и доступною только избранникамъ или выродкамъ (смотря по точкѣ зрѣнія) рода человѣческаго; но этотъ міръ представляется дѣтскому уму въ реальной, а не въ идеальной формѣ; нераціональное-же обученіе математикѣ не только не етарается опираться на этотъ реальный міръ дѣтскихъ математическихъ представленій, но, какъ-бы на зло всякому здравому педагогическому смыслу, старается о томъ, чтобы этотъ реальный міръ былъ по возможности скорѣе и полнѣе устраненъ изъ ума и воображенія учащагося; при этомъ нераціональное обученіе не стремится даже къ тому, чтобы идеальный міръ истинно-математическихъ представленій былъ возведенъ хотя-бы на развалинахъ міра реальныхъ представленій.

Первое условіе раціональнаго преподаванія математики состоитъ именно въ томъ, чтобы имѣющійся у учащагося міръ математическихъ представленій былъ укрѣпленъ, развитъ и дополненъ тѣмъ, чего ему еще недостаетъ; чтобы не только сужденіе; но прежде всего зрѣніе и воображеніе учащагося сроднились съ міромъ величинъ и научились-бы, по произволу учащагося, переселяться въ этотъ міръ, какъ только въ томъ представится надобность. Для выясненія этого основного требованія методики математики позволимъ себѣ при-

*) «Математическія истины—говоритъ Даламберъ—-представляютъ собою въ нѣкоторомъ родѣ асимптоты истинъ физическихъ, такъ сказать, границу, къ которой послѣднія могутъ неопредѣленно приближаться, никогда ихъ не достигая».

вести нѣсколько примѣровъ, тривіальность которыхъ не будетъ, надѣемся, осуждена начинающимъ преподавателемъ. Если ученикъ, изучая стереометрпо, не видитъ трехгранныхъ и двухгранныхъ угловъ, образованныхъ плоскостями стѣнъ, пола и потолка комнаты, въ которой онъ сидитъ; если онъ, взбираясь по домовой лѣстницѣ дома, въ которомъ онъ живетъ, не видитъ системы параллельныхъ плоскостей; если онъ, беря въ руки карандашъ Фабера, не видитъ, что это-шестигранная правильная призма или прямой цилиндръ вращенія, хотя соотвѣтствующія ученія въ классѣ уже пройдены; если ученикъ IV класса, усваивая себѣ теорему о внутренней двуколѣнной ломаной треугольника, не видитъ своими тѣлесными очами, что отъ одной вершины треугольника къ другой можно пойти и по внутренней ломаной, и по внѣшней, и по нѣкоторой третьей, одна часть которой внутри треугольника, а другая—совпадаетъ съ частью одной изъ сторонъ треугольника, если онъ не видитъ всего этого своими тѣлесными очами, то, конечно, и ученія стереометріи, и ученія планиметріи для него будутъ очень трудны, и ему, во избѣжаніе многаго множества единицъ, придется многое множество ученій геометріи выучить наизусть, т.-е. проглотить, вмѣстѣ съ текстомъ теоремы, также весь текстъ доказательства съ буквами чертежей, знаками дѣйствій и случайными опечатками. Ибо, если онъ не видитъ того, что можетъ видѣть всякій человѣкъ, одаренный здравымъ смысломъ, то его, стало быть, не научили это видѣть, и ночтенный преподаватель, подъ руководствомъ котораго учится этотъ несчастный мученикъ низшей математики, что-нибудь весьма важное упустилъ изъ виду при своемъ преподаваніи; скорѣе всего онъ упустилъ изъ виду, что хотя умозрѣніе вещь очень хорошая, но далеко не лишняя вещь также здравый смыслъ учащагося.

«Кто желаетъ понять поэта—говоритъ Гёте—долженъ слѣдовать за нимъ по всѣмъ путямъ его», т.-е. долженъ сродниться со всѣмъ міромъ его чувствованій и представленій, т.-е. со всѣмъ душевнымъ міромъ его. Но когда говорятъ, что ученики не понимаютъ учителя, то это обозначаетъ также прямо противоположное, а именно, что учитель не понимаетъ своихъ учениковъ. Если учитель математики желаетъ, чтобы ученики понимали его и учились у него его предмету, то онъ долженъ прежде всего добиться того, чтобы они сжились, сроднились съ тѣмъ міромъ представленій и идей, въ которомъ живетъ онъ и его предметъ; онъ, какъ поэтъ, долженъ заставить своихъ учениковъ слѣдовать за нимъ по «путямъ» его представленій и сужденій; но, кромѣ того, онъ обязанъ также переселяться, въ случаѣ

надобности, въ міръ непремѣнно вѣрныхъ наглядныхъ, реальныхъ представленій, въ которомъ живетъ его ученикъ: иначе необходимое состояніе взаимнаго пониманія между учителемъ и ученикомъ непремѣнно нарушится, и тогда невозможно учителю дѣйствительно учить своего ученика въ томъ значеніи слова «учить», которое установилъ еще Жакото.

Viva vox учителя, т.-е. собственно преподаваніе и дѣятельное участіе преподавателя въ классныхъ занятіяхъ учащихся, вообще необходима, но особенно необходима при преподаваніи математики дѣтямъ и еще неискушеннымъ въ математическомъ мышленіи. Мы не желаемъ этимъ сказать, что студентъ высшаго учебнаго заведенія для вполнѣ успѣшныхъ занятій высшею математикою можетъ совершенно обойтись безъ лекцій талантливаго и мыслящаго профессора; но въ этихъ лекціяхъ для занимающагося студента важно изложеніе профессоромъ не всего предмета, а только тѣхъ статей послѣдняго, въ которыхъ замѣчается какъ-бы нѣкоторое скопленіе идей, особенно тонкихъ и плодотворныхъ, если можно такъ выразиться, имѣющихъ не только техническое, но и философское, методологическое значеніе. Несомнѣнно, что многое въ каждомъ изъ отдѣловъ такъ-называемой высшей математики занимающійся студентъ можетъ себѣ усвоить благодаря любому иечатному курсу даннаго предмета; въ помощи-же профессора онъ нуждается въ охарактеризованномъ выше философски-методологическихъ статьяхъ курса. Не такова роль учителя средняго учебнаго заведенія: онъ не только долженъ учить данному предмету во всѣхъ его подробностяхъ, не подразумѣвая ничего такого, чего не подразумѣваютъ ученики его: онъ часто, какъ мы это видѣли выше, долженъ брать на себя также трудъ выработки и укрѣпленія тѣхъ первоначальныхъ представленій въ умѣ учащагося, на почвѣ которыхъ зиждется его предметъ, которыя учащійся, строго говоря, долженъ былъ пріобрѣсти ранѣе, чѣмъ приступить къ изученію даннаго предмета, но которыхъ не приноситъ съ собою изъ дому громадное большинство учащихся, приступающихъ къ изученію этого предмета*). Но даже между самымъ образцо-

*) Мы не хотимъ этимъ сказать, что профессора высшихъ учебныхъ заведеній не могутъ быть также учителями своихъ слушателей; но они не обязаны быть таковыми и, при современной организаціи преподаванія въ высшихъ учебныхъ заведеніяхъ, возможны два равноправныхъ типа профессора: профессора-учителя и профессора, подъ руководствомъ котораго можетъ заниматься только тотъ, кто стремится къ самоусовершенствованпо и къ спеціализированпо своихъ познаній въ данномъ предметѣ. Въ среднихъ-же учебныхъ заведеніяхъ желателенъ только учитель, притомъ учитель всего класса; самоусовершенствованія-

вымъ профессоромъ высшаго учебнаго заведенія, принадлежащимъ къ типу учителей-профессоровъ, и учителемъ средняго учебнаго заведенія есть громадная разница уже потому, что профессоръ имѣетъ дѣло все-таки съ взрослыми слушателямъ Однимъ изъ величайшихъ учителей-профессоровъ, какихъ знаетъ исторія преподаванія математики, былъ, безъ сомнѣнія, Ламе; но онъ, какъ разсказываютъ, въ началѣ каждой лекціи вручалъ каждому изъ своихъ слушателей собственноручно изготовленный листочекъ, на которомъ значились всѣ формулы и чертежи въ томъ порядкѣ, въ какомъ они ему понадобятся во время лекціи. Этотъ пріемъ, превосходный, когда имѣешь дѣло со студентами, и принадлежащій къ числу, такъ сказать, педагогическихъ пріемовъ университетскаго преподаванія, въ среднемъ учебномъ заведеніи не можетъ быть примѣняемъ, да и польза его для юнаго ученика этого заведенія сводилась-бы къ нулю.

Не такъ еще давно въ нашей методической литературѣ, составляющій сколокъ съ нѣмецкой, фортъ преподаванія, какъ она понимается въ педагогикѣ, придавалось очень большое значеніе: это было время увлеченія катехитическою формою обученія и многочисленными ея видоизмѣненіями и разновидностями. Это было какъ-бы временемъ вполнѣ естественной реакціи противъ догматическаго обученія и самой подходящей для такого обученія формы, а именно противъ формы излагательной, акроаматической. Къ сожалѣнію, исключительно катехитическая форма обученія, при преподаваніи математики въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ примѣнима только въ весьма ограниченныхъ размѣрахъ, такъ-что учащему математикѣ нельзя успокоиться на томъ, что онъ въ своемъ преподаваніи примѣняетъ катехитическую форму преподаванія. Разсмотримъ, хотя-бы вкратцѣ, каждый изъ отдѣловъ низшей математики съ точки зрѣнія формы преподаванія. 1) Ариѳметика низшихъ классовъ, конечно, не допускаетъ акроаматической формы преподаванія въ сколько-нибудь значительныхъ размѣрахъ: помимо того, что ученики низшихъ классовъ не умѣютъ слушать лекцій и выносить изъ нихъ что-нибудь существенное, и самый предметъ требуетъ отъ ученика много спеціальной, предварительной умственной работы надъ выработкою основныхъ представленій и надъ усвоеніемъ технической стороны предмета; но столь-же мало

же въ какомъ-нибудь направленіи, выходящемъ за предѣлы классныхъ занятій, учащійся въ среднемъ учебномъ заведеніи можетъ добиться внѣклассными занятіями, отъ руководства которыми, конечно, не откажется ни одинъ учитель средняго учебнаго заведенія, если онъ въ этомъ увидитъ надобность и пользу для препорученнаго его попеченіямъ ученика изъ числа особенно талантливыхъ.

приложима къ преподаванію ариѳметики и исключительно катехитическая форма обученія: въ этомъ предметѣ большинство чисто-ариѳметическихъ ученій не могутъ быть, при самой искусной катехизаціи, выработаны самими учащимися, и наиболѣе пригодна катехитическая форма только въ слѣдующихъ случаяхъ: а) при рѣшеніи задачъ какъ психологически-подготовительнаго, такъ и прикладно-ариѳметическаго характера, б) при выработкѣ у учащихся навыка въ быстромъ умственномъ вычисленій и в) при усовершенствованіи учащихся въ томъ, что они уже знаютъ, но еще не безукоризненно хорошо. Во всѣхъ-же прочихъ случаяхъ форма преподаванія ариѳметики, какъ таковой, должна быть по возможности смѣшанною, приноровляясь во всякій данный моментъ къ потребностямъ этого послѣдняго; въ особенности ясно долженъ себѣ учащій ариѳметикѣ представлять роль ариѳметическихъ простыхъ задачъ и упражненій въ дѣлѣ выработки и укрѣпленія вѣрныхъ ариѳметическихъ представленій, а также роль учебника для приданія уже усвоенному учащимися окончательной формы, и тогда роль собственно преподаванія его очевидна: не придерживаясь никакой формы преподаванія преимущественно предъ другими, онъ долженъ заставить классъ и каждаго учащагося въ отдѣльности работать въ его присутствіи и, благодаря этому, и въ его отсутствіи, надъ тѣмъ, что ему даютъ задача и числовой примѣръ и чего ему не можетъ дать учебникъ. 2) Алгебра, которой преподаваніе начинается позже, а именно въ одномъ изъ среднихъ классовъ средняго учебнаго заведенія, только при преодолѣніи трудностей перехода отъ ариѳметики къ алгебрѣ тоже не допускаетъ примѣненія излагательной формы преподаванія; но впослѣдствіи эта послѣдняя форма вступаетъ все больше и больше въ свои права, хотя въ случаяхъ, когда должны быть выработаны совершенно новыя понятія и представленія, она должна чередоваться съ формою катехитическою и эвристическою, изобрѣтательною; къ числу подобныхъ понятій принадлежатъ понятія объ отрицательныхъ количествахъ, о значеніи нѣкоторыхъ символическихъ выраженій, о корнѣ уравненія или системы уравненій, о числѣ несоизмѣримомъ съ единицею, и т. п. Должно помнить при этомъ, что каждое изъ новыхъ понятій не должно быть сразу поднимаемо преподавателемъ на полную высоту своего положенія въ наукѣ, а что, напротивъ, всякій разъ надо начинать съ этого понятія съ самой скромной, элементарной точки зрѣнія, памятуя, что таково и историческое развитіе этихъ понятій; обобщенія надо проводить не гигантскими, а по возможности скромными шагами, дабы не устрашить начинающаго, а, напротивъ, ободрить его и дать

ему реальную почву для его дальнѣйшаго движенія въ гору. Начиная съ ариѳметическаго, по возможности, случая и постепенно развивая его и усложняя или упрощая (смотря по надобности), можно придти къ тому, что алгебра и въ тѣхъ своихъ частяхъ, гдѣ она является только языкомъ математики, и въ тѣхъ, гдѣ она является средствомъ для разрѣшенія чуждыхъ ей по существу вопросовъ и, наконецъ, въ тѣхъ, гдѣ она является представительницей уже собственныхъ своихъ задачъ, будетъ для учащагося не только доступна, но даже прямо интересна. При этомъ, точно такъ-же какъ и при преподаваніи ариѳметики, самъ учитель долженъ стараться дать только то, чего не можетъ дать ученику ни задачникъ, ни учебникъ, и форма преподаванія должна быть смѣшанная, а точки зрѣнія должны постепенно развиваться, такъ сказать, на глазахъ учащихся, и, начавъ съ фазы представленій самыхъ простыхъ и постепенно пройдя всѣ промежуточныя фазы, дойти до точекъ зрѣнія отвлеченныхъ; притомъ на каждой точкѣ зрѣнія учащій долженъ остановиться съ учащимися такъ долго, сколько необходимо для того, чтобы она была учащимися усвоена вполнѣ, т.-е. не долженъ удовлетворяться лишь тѣмъ, что онъ разскажетъ или объяснитъ учащемуся подробно данную точку зрѣнія, а долженъ стремиться, чтобы и учащійся вполнѣ ею овладѣлъ. 3) Что касается геометріи, то при преподаваніи этого предмета примѣнимы какъ излагательная, такъ и катехитическая форма преподаванія, а въ особенности примѣнима форма эвристическая, на которой такъ настаиваютъ Виттштейнъ въ своихъ методическихъ работахъ и Рейдтъ въ своемъ руководствѣ къ преподаванію математики. Но ни одной изъ этихъ формъ не слѣдуетъ отдавать особенное преимущество; при сколько-нибудь значительномъ, со стороны учащаго, увлеченіи одною изъ этихъ формъ въ ущербъ другимъ, учащимся почти неизбѣжно приносится какой-либо вредъ: при увлеченіи излагательною формою, они не достаточно научаются мыслить сколько-нибудь самостоятельно въ вопросахъ геометріи; при увлеченіи катехитическою формою, они разучиваются мыслить безъ вопросовъ и пользоваться, какъ слѣдуетъ, книгою; наконецъ, при увлеченіи исключительно эвристическою формою они всегда хорошо понимаютъ учащаго, но мало учатся сами, пріобрѣтая большое самомнѣніе, не соотвѣтствующее ни ихъ дѣйствительнымъ познаніямъ, ни ихъ силамъ; надежда на то, что «все это» очень легко, часто приводитъ ихъ даже къ небрежному отношенію ко всему, кромѣ заданнаго урока, и никакія увѣренія даже любимаго и уважаемаго преподавателя въ томъ, что «все это» вовсе не такъ легко и что надо изу-

чать учебникъ и не только понимать, но и владѣть тѣмъ, что понято и что нужно будетъ впоследствіи, не убѣждаютъ въ томъ учащихся. Поэтому лучше всего держаться: формы излагательной при преподаваніи основныхъ частей курса геометріи, а катехитической въ немногихъ случаяхъ, когда приходится вырабатывать новыя или укрѣплять уже имѣющіяся въ умѣ учащихся представленія; эвристическою-же формою слѣдуетъ пользоваться при разработкѣ самими учениками второстепенныхъ статей курса, являющихся только рядомъ слѣдствій, вытекающихъ изъ другихъ статей, или-же при рѣшеніи ими задачъ и при доказательствѣ теоремъ, не входящихъ въ обязательный курсъ. При этомъ, конечно, не исключается также возможность пользоваться излагательною формою при прохожденіи какой-нибудь основной теоремы, эвристическою—при нахожденіи самимъ ученикомъ доказательства слѣдствія этой теоремы, а чисто-катехитическою—при выработкѣ какого-либо понятія, къ которому приводитъ эта теорема. 4) Наконецъ, тригонометрія, будучи проходима въ одномъ изъ высшихъ классовъ и требуя отъ учащагося довольно большаго количества самостоятельныхъ упражненій, можетъ быть преподаваема при исключительномъ почти употребленіи излагательной формы, уступающей свое мѣсто во время самой лекціи катехитической бесѣдѣ о значеніи новыхъ терминовъ, о текстѣ теоремы, и т. д., дабы ученики дѣйствительно усваивали себѣ то, что излагается учащимъ; въ противномъ случаѣ, конечно, вся лекція пропадетъ даже въ VIII классѣ даромъ, такъ какъ учащійся слышитъ (въ первый или во второй урокъ, напримѣръ), слово «синусъ», но значенія этого слова еще хорошенько не усвоилъ, почему и всѣ свойства синуса для него являются окутанныя туманомъ, обусловливаемымъ не трудностями предмета, а исключительно тѣмъ, что имъ еще не усвоено значеніе того или другого термина.

Вообще изъ всего изложеннаго выше съ достаточною ясностью вытекаетъ, что пользоваться исключительно одною какою-либо формою преподаванія математики въ среднемъ учебномъ заведеніи нецѣлесообразно и что въ особенности неудобна для цѣлей обученія, хотя и весьма удобна для учителей, форма излагательная, акроаматическая. Очень склонны къ злоупотребленію этою формою обученія, впрочемъ, только новички на преподавательскомъ поприщѣ или-же преподаватели, хотя и опытные, но съ сильнымъ вообще и потому непреодолимымъ во время урока вкусомъ къ научнымъ точкамъ зрѣнія, мѣшающимъ имъ въ свое время вспомнить объ истинной цѣли преподаванія математики. Какъ для тѣхъ, такъ и для другихъ часто безсозна-

тельныхъ сторонниковъ исключительно акроаматической формы обученія классъ является аудиторіею, ученики—студентами, предметы обученія—науками, а уроки—лекціями, которыя они, преподаватели, «читаютъ» своимъ ученикамъ. Понятно, однако-же, что результаты, достигаемые при такомъ веденіи дѣла, непропорціональны даже незначительному труду, на нихъ затраченному, и ни мало не отвѣчаютъ тѣмъ требованіямъ, которыя могутъ быть предъявлены къ преподаванію математики въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ. Должно, впрочемъ, замѣтить, что у преподавателей этого типа наиболѣе выдающіеся въ классѣ ученики работаютъ превосходно, въ то время какъ у учителей, не ув.іекающихся излагательной формою обученія, ученики этого рода, при малѣйшей наклонности къ лѣни, залѣниваются и часто совсѣмъ отбиваются отъ рукъ, чему сочувствовать, конечно, также невозможно; вслѣдствіе этого для выдающихся учениковъ слѣдуетъ пользоваться правомъ преподавателя предлагать нѣкоторымъ ученикамъ болѣе трудныя, чѣмъ всему классу, самостоятельныя домашнія работы.

Значеніе того, что называется viva vox преподавателя, заключается, стало-быть, не только въ формѣ преподаванія и даже не только въ содержаніи урока, которое можетъ быть предложено учащемуся такъ, что оно возбудитъ, и такъ, что оно вовсе не возбудитъ интереса учащихся, а всецѣло въ энергическомъ возбужденіи учащихся къ полезной работѣ классной, домашней, руководимой учителемъ или же самостоятельной, т.-е. къ той работѣ, которая въ данный моментъ нужна; значеніе того, что называется viva vox, относится къ духу всѣхъ занятій учащихся, и духъ этихъ занятій зависитъ уже не отъ учебниковъ, задачниковъ и прочихъ пособій преподаванія, а только отъ самого преподавателя. Духъ этотъ удовлетворителенъ, если въ учащихся есть интересъ, живой и болѣе или менѣе постоянный, къ предмету, если этотъ интересъ возбужденъ къ посильному труду, къ работѣ надъ предметомъ, если къ этой работѣ привлеченъ весь классъ, если «двери» въ умѣ учащихся, раскрытпо которыхъ у одного изъ самыхъ вначалѣ бездарныхъ учениковъ такъ радостно удивлялся Ламе, свободно и охотно раскрываются не только во время объясненія учителемъ чего-нибудь новаго, но и во время провѣрки учителемъ познаній ученика, во время письменныхъ работъ (хотя-бы даже и провѣрочныхъ), во время молчаливаго выслушиваніи отвѣтовъ спрашиваемаго ученика, во время изображенія на доскѣ чертежей и формулъ и во время дружнаго участія въ разрѣшеніи какого-нибудь вопроса всѣмъ классомъ, однимъ словомъ, во время всего пребыванія

учителя въ классѣ и, стало быть, также во время домашнихъ занятій учащихся математикою. Пуассонъ, конечно, преувеличилъ и слишкомъ смѣло обобщилъ свое ощущеніе до общаго правила, сказавъ, что вообще «жизнь лишь по стольку прекрасна, по скольку ее можно посвятить изученію математики и преподаванію ея», ибо жизнь, притомъ жизнь не только крупнаго геометра, но и вообще человѣка прекрасна во многихъ отношеніяхъ*). Но во время урока математики и учащій, и учащіеся ей должны быть болѣе или менѣе близки къ тому ощущенпо, которое внушило помянутому геометру его взглядъ на жизнь. Мы говоримъ не только о томъ, что учитель математики, по крайпей мѣрѣ, во время уроковъ своихъ, долженъ сильнѣе, чѣмъ учитель всякаго другаго, болѣе близкаго сердцу учащихся, предмета, быть проникнутъ сознаніемъ трудности и значеніемъ своего предмета. Мы говоримъ о томъ, что уваженіе къ преподаваемому предмету, уваженіе и горячая любовь къ правдѣ и къ высшему ея проявленпо въ наукѣ, къ истинѣ, уваженіе къ уму человѣческому, къ его способностямъ и изобрѣтеніямъ и ко всякому истинному знанію, наконецъ, настойчивое стремленіе къ пріобрѣтенпо такого знанія могутъ развиться у всѣхъ учащихся, только благодаря непосредственному воздѣйствпо преподаванія учащаго: безъ того, что выше названо viva vox учителя, могутъ обойтись только люди недюжинные, масса-же нуждается въ живомъ словѣ преподователя; не пользуясь этимъ средствомъ преподаванія, учитель можетъ задавать уроки, спрашивать учениковъ, ставить отмѣтки, можетъ достигать и нѣкоторой выучки и даже нѣкоторыхъ познаній у отличныхъ и хорошихъ учениковъ, ноне можетъ достигнуть и тѣни тѣхъ результатовъ, которыхъ можно достигнуть при такомъ отношеніи къ дѣлу, при которомъ въ классныя (а чрезъ нихъ и въ домашнія) занятія учащихся вносится смыслъ, яшзнь идѣйствительная совмѣстная работа учениковъ съ учителемъ. Духъ преподаванія всецѣло зависитъ отъ учителя и нимало не зависитъ ни отъ установленныхъ программъ и плановъ преподаванія, ни отъ другихъ внѣшнихъ условій, и чѣмъ этотъ духъ выше и, такъ сказать, благородпѣе, тѣмъ достижимѣе немногосложныя, въ сущности говоря, требованія всяческихъ программъ всѣхъ возможныхъ вѣдомствъ,

*) Отвѣтственность за вѣрность приведенной цитаты, къ сожалѣнію, взять на себя не можемъ, такъ какъ ея не могли провѣрить, встрѣтивъ ее безъ указанія источника въ книгѣ Ребьера, занимательной для всякаго читателя, интересующагося анекдотическими подробностями жизни и взглядовъ людей, занимавшихся математикою: A. Rébière, Mathématiques et mathématiciens, Paris 1889, Nony et 0°.

Если учитель математики проникнутъ не духомъ боязни предъ мнимо-высокими требованіями установленныхъ программъ, а духомъ любви къ своему дѣлу, если онъ не только о томъ помышляетъ, чтобы выдрессировать своихъ учениковъ къ экзаменамъ, а также о томъ, чтобы не онъ учениковъ, а ученики его учили (какъ того желалъ Руссо), если онъ въ своемъ преподаваніи будетъ отличать необходимое отъ полезнаго, только полезное отъ только интереснаго, притомъ интересное для него только отъ интереснаго для его учениковъ, то всѣ требованія программы будутъ имъ выполнены, притомъ выполнены съ наибольшею для его учениковъ пользою. Въ противномъ-же случаѣ преподаватель, и ученики безъ всякой пользы для кого-бы то ни было и для чего-бы то ни было будутъ изнемогать не только подъ бременемъ требованій установленныхъ программъ, но также и подъ бременемъ боязни за исходъ экзаменовъ и боязни даже за правильпость оцѣнки познаній учащихся баллами: ученики будутъ на химическихъ вѣсахъ взвѣшивать оцѣнку ихъ познаній баллами, придавая какому-нибудь плюсу или минусу въ отмѣткѣ большее значеніе, чѣмъ всей математикѣ и всѣмъ ея отраслямъ, взятымъ вмѣстѣ, учитель-же будетъ бояться того, не отвѣтитъ-ли ученикъ, оцѣненный четверкою съ минусомъ, на экзаменѣ только на три съ плюсомъ...

Изъ всего вышеизложеннаго какъ-бы сама собою вытекаетъ оцѣнка остальныхъ средствъ преподаванія: задаванія и спрашиванія уроковъ, выполненія письменныхъ работъ учащимися, и т. д.: всѣ эти средства должны быть прежде всего сообразовываемы съ цѣлями обученія. Спрашиваніе урока должно быть не средствомъ излрвленія учащагося въ незнаніи, а также средствомъ преподаванія; письменныя работы должны служить не для провѣрки учащихся (ибо кто не знаетъ, что въ такомъ случаѣ они являются только средствомъ для изощренія ума учащихся въ разныхъ хитростяхъ и способахъ обмана?), а для провѣрки результатовъ преподаванія.

Въ заключеніе этой статьи намъ только желательно коснуться вопроса о значеніи сочиненій по методикѣ математики для преподавателей.

Какъ извѣстно читателю, у насъ, къ сожалѣнію, распространено въ средѣ преподавателей среднихъ учебныхъ заведеній презрительное и высокомѣрное отношеніе къ этого рода сочиненіямъ, объясняющееся чисто-исторически: во-первыхъ, отсутствіемъ въ курсѣ нашихъ физико-математическихъ факультетовъ, призванныхъ, какъ извѣстно, готовить преимущественно преподавателей среднихъ учебныхъ заведеній по предметамъ математики и физики, не только каѳедръ: логики,

психологіи и философіи вообще и методологіи математическихъ наукъ въ частности, но даже какихъ-бы то ни было хотя-бы практическихъ курсовъ и упражненій, которые могли-бы нѣсколько подготовить студентовъ-математиковъ къ ихъ будущей спеціальности, т.-е. хотя-бы курса методики преподаванія низшей математики; во-вторыхъ, помянутое презрѣніе къ сочиненіямъ по методикѣ преподаванія объясняется также тѣмъ, что первыми сочиненіями этого рода у насъ были сочиненія компилятивныя, имѣвшія въ виду преподаваніе ариѳметики въ начальныхъ школахъ, притомъ разсматривавшія это преподаваніе съ точки зрѣнія, совершенію чуждой взглядамъ преподавателей среднихъ учебныхъ заведеній, а именно съ точки зрѣнія извѣстной методы «изученія» чиселъ по Грубе,—методы, дѣйствительно шокирующей всякаго безпристрастнаго человѣка съ нѣсколько критическимъ, по отношенію къ преподаванію математики, взглядомъ надѣло.

Должно замѣтить, что методику преподаванія низшей математики въ среднеучебныхъ заведеніяхъ берутъ подъ свою защиту превосходные труды, такихъ представителей науки и педагогики, какъ Лакруа, Дюгамель, Таннери, Серре, Оюэль, Курно, Ребьеръ, Витштейнъ, Рейдтъ. Ссылкою на эти имена мы могли-бы закончить настоящую статью, являющуюся какъ-бы скромнымъ призывомъ къ болѣе дѣятельной работѣ надъ вопросами методики низшей математики. Но мы не можемъ воздержаться еще отъ одного замѣчанія. Въ то время, какъ въ Западной Европѣ, гдѣ средняя школа существуетъ уже въ теченіе многихъ столѣтій, вопросами методики преподаванія низшей математики интересуются всѣ, сколько-нибудь прикосновенные къ преподаванію этого предмета, у насъ, въ силу нѣкоторыхъ чисто-елучайныхъ обстоятельствъ, большинство преподавателей математики въ нашихъ среднеучебныхъ заведеніяхъ крайне высокомѣрно и чуть-ли не презрительно относится къ этимъ вопросамъ, считая себя въ правѣ довольствоваться принятыми у насъ учебными пособіями и указаніями своей собственной практики, конечно, не столь авторитетной и продуманной, какъ практика западно-европейской школы. Это недоразумѣніе принадлежитъ къ числу очень грустныхъ, доказывающихъ, какъ много еще надо работать русской-общеобразовательной школѣ, чтобы достигнуть той высоты, на которой соотвѣтствующія ей учебныя заведенія находятся въ Западной Европѣ. Даже то, что новѣйшая русская математическія наука можетъ гордиться Ермаковыми, Марковыми, Некрасовыми и другими двигателями ея, не является утѣшеніемъ въ указанномъ недоразумѣніи. Ибо эти имена доказываютъ только то, что высшія учебныя заведенія для немногочисленныхъ

своихъ питомцевъ, одаренныхъ особенными талантами, дѣлаютъ больше, чѣмъ для большинства своихъ питомцевъ, которые призваны не двигать науку, а создавать условія, столь необходимыя для возможно лучшаго и большаго распространенія средняго (а также и всякаго другаго) образованія въ нашемъ отечествѣ. О питомцахъ этой послѣдней категоріи давно уже пора позаботиться, учредивъ на первое время для студентовъ математики хотя-бы только одну новую каѳедру — логики и психологіи и одинъ семинарій для разработки методики преподаванія такъ-называемой низшей математики, физики и космографіи. Это — conditio sine qua non не только процвѣтанія нашей юной еще средней школы, но также и развитія истиннаго математическаго знанія и стремленія къ нему въ нашемъ отечествѣ.

С. Шохоръ-Троцкій.