Чему и какъ учить на урокахъ ариѳметики?

(Три публичныя лекціи, прочитанныя въ одной изъ залъ Педагогическаго Музея военно-учебныхъ заведеній въ пользу «Спб. Педагогическаго Общества взаимопомощи»).

Лекція первая.

Цѣль обученія ариѳметикѣ и содержаніе этого предмета.

Двоякая цѣль обученія дѣтей ариѳметикѣ.—Что такое изящное вычисленіе?— Облагораживающее значеніе истиннаго образованія и обученіе ариѳметикѣ.— Троякій курсъ ариѳметики. — Ариѳметика первоначальная.—Ариѳметика практическая.—Ариѳметика теоретическія.—Роль задачъ при обученіи первоначальной ариѳметикѣ.—Классификація задачъ.—Нежелательный въ курсѣ первоначальной ариѳметики матеріалъ.—Значеніе первоначальнаго курса ариѳметики.— Обращеніе дѣтей въ двурукія машины.—Взаимоотношеніе, существующее между изустною ариѳметикою и ариѳметикою цыфирною, письменною. — Ариѳметика практическія и ея истинное содержаніе.—Такъ называемыя «неспособныя» къ изученію ариѳметики дѣти.—Ариѳметика изустная.—Гдѣ дѣти должны и могутъ учиться ариѳметикѣ?—Характеръ курса ариѳметики, принципъ Жакото и «метода цѣлесообразныхъ задачъ».—Искусственныя задачи и сознательное вычисленіе.—Мнѣніе Жана Масе о преподаваніи ариѳметики.

Милостивыя государыни и мм. гг.! Для того, чтобы вѣрно судить о томъ—чему и какъ надо учить на урокахъ ариѳметики, конечно, прежде всего должно твердо установить и себѣ еполнѣ уяснить, какія именно цѣли должны преслѣдоваться при обученіи дѣтей этому предмету. Само собою разумѣется, что намъ, при томъ количествѣ времени, которое имѣется въ нашемъ распоряженіи, придется по возможности ограничиться самымъ сжатымъ очеркомъ той цѣли, которая преслѣдуется при обученіи ариѳметикѣ. Видя среди васъ много преподавателей и преподавательницъ, я, конечно, могу разсчитывать на снисходительность, если мнѣ придется обо многомъ говорить весьма сжато. какъ-бы вскользь; полное развитіе мыслей,

лежащихъ въ основѣ предстоящихъ лекцій, благосклонныя слушатели найдутъ въ моихъ книгахъ, посвященныхъ вопросамъ преподаванія ариѳметики и преподаванія математики вообще. Цѣль обученія ариѳметикѣ, какъ извѣстно, двоякая: практическая и образовательная. Практическая цѣль состоитъ въ обученіи дѣтей вѣрному и быстрому вычисленію, образовательная - же — въ привитіи дѣтскому уму тѣхъ полезныхъ умственныхъ навыковъ, пріобрѣтеніе которыхъ является результатомъ всякой умственной работы вообще и умственной работы надъ пріобрѣтеніемъ математическихъ познаній въ частности.

Для достиженія этой двоякой цѣли надо учить дѣтей не только вѣрному и быстрому, но вполнѣ сознательному и даже изящному вычисленію. Что значитъ изящное вычисленіе? Если ученикъ, при умноженіи какого-нибудь числа на 98, поступаетъ согласно правилу письменнаго производства умноженія на многозначное число, не зависящему отъ особенностей послѣдняго, то это будетъ вычисленіе неизящное; если-же онъ помножитъ множимое на 100 низъ полученнаго вычтетъ удвоенное множимое, то это будетъ, напротивъ, изящнымъ вычисленіемъ; такихъ примѣровъ можно привести великое множество. Мало того: случаевъ, когда истинное знаніе ариѳметики, какъ совокупности ученій о четырехъ дѣйствіяхъ, дозволяетъ едва-ли не каждое вычисленіе сдѣлать изящно, т.-е. сообразно не только съ общими правилами, но и съ требованіями здраваго смысла и требованіями, если такъ можно выразиться, эстетическимъ—такихъ случаевъ практика представляетъ гораздо больше, чѣмъ это можетъ показаться съ перваго взгляда человѣку, привыкшему смотрѣть на ариѳметику съ точки зрѣнія современныхъ учебниковъ ариѳметики.

Не слѣдуетъ упускать изъ виду, что разъ помянутая двоякая цѣль обученія ариѳметикѣ достигнута, то достигнута также и нравственная цѣль всякаго истиннаго образованія, а именно облагороженіе дѣтской души съ помощью привитаго ей и укрѣпленнаго обученіемъ стремленія къ знанію, стремленія къ правдѣ,—къ этому основному стремленію, если можно такъ выразиться, души человѣческой. Не самое знаніе и умѣнье облагораживаетъ душу человѣка, а стремленіе къ знанію и къ умѣнью, стремленіе къ власти надъ ними,—стремленіе къ правдѣ, къ полнотѣ знанія, къ совершенству его.

Ариѳметика должна быть различаема троякая: 1) первоначальная ариѳметика, 2) ариѳметика практическая и 3) теоретическая ариѳметика.

Ариѳметика первоначальная, дѣтская, проста до наивности, по самому матеріалу и по духу занятій вполнѣ доступна всякому ре-

бенку, если онъ только достигъ уже той ступени развитія, до которой добирается всякій средній ребенокъ къ концу седьмого или восьмого года своей жизни; содержаніе ея—счетъ, сложеніе, вычитаніе, умноженіе на однозначнаго множителя, дроби: Ѵг, Ѵ4 и 3/*, оба вида дѣленія на однозначнаго дѣлителя. Что-же касается распорядка этого курса ариѳметики, то ему отчасти посвящена будетъ третья лекція. Почему изъ курса первоначальной ариѳметики исключены умноженіе и дѣленіе на многозначное число—мы увидимъ также впослѣдствіи.

Ариѳметика практическая, —если можно такъ выразиться, техническая,—интересуется уже техникою вычисленій, притомъ вычисленій по преимуществу письменныхъ, изяществомъ пріемовъ вычисленій. Къ сожалѣнію, этотъ предметъ такъ сильно загроможденъ массою ненужнаго, излишняго и неумѣстнаго, въ тотъ или другой моментъ обученія, матеріала, что я рискую быть не вполнѣ понятымъ, если не предупрежу, что подъ практическою ариѳметикою надо разумѣть сововокупность ученій только о четырехъ дѣйствіяхъ надъ цѣлыми числами, обыкновенными дробями и десятичными и что изъ нея надо исключить отдѣлъныя статьи объ именованныхъ числахъ, о тройныхъ правилахъ, процентахъ, а также рѣшеніе задачъ алгебраическаго характера и ученія о періодическихъ дробяхъ и т. п. остатковъ и «пережитковъ» старины.

Наконецъ, ариѳметика теоретическая, строго говоря научная, доступна умамъ уже болѣе или менѣе зрѣлымъ, такъ какъ содержитъ въ себѣ совокупность тѣхъ аксіомъ и теоремъ, которыя лежатъ въ основѣ ариѳмегики—науки, т.-е. въ основѣ ариѳметики, какъ системы научныхъ соображеній о числѣ и о дѣйствіяхъ надъ нимъ.

Ариѳметика первоначальная, дѣтская, не предполагаетъ у учащагося даже умѣнья считать,—этого перваго, основного умѣнья, безъ котораго никакая ариѳметика и никакой курсъ этого предмета невозможенъ. Этотъ курсъ ариѳметики не долженъ содержать, на первыхъ ступеняхъ, никакихъ условныхъ выраженій въ родѣ: «увеличить на столько-то», «меньше во столько-то разъ», «убытокъ», «прибыль» и т. п., долженъ избѣгать какихъ-бы то ни было діалектическихъ тонкостей; ему должны быть совершенно чужды задачи, фабула которыхъ взята не изъ сферы близкихъ дѣтскому воображенію представленій; поэтому ни купцы, ни фабриканты, ни бассейны, ни курьеры, ни цибики чая не должны быть дѣйствующими въ задачахъ лицами. Вопросъ о роли задачъ въ этомъ курсѣ тѣснѣйше соприкасается съ вопросомъ о распорядкѣ его и о той методѣ, которую я осмѣливаюсь особенно рекомендовать вашему вниманію.

Задачи, предлагаемыя при прохожденіи ариѳметики, различаются, какъ извѣстно, двухъ родовъ: задачи чисто-ариѳметическія и задачи алгебраическаго характера. Если для рѣшенія данной задачи приходится для полученія неизвѣстнаго разсуждать только надъ данными числами, то эта задача чисто-ариѳметическая; если-же для рѣшенія приходится прибѣгать къ разсужденіямъ и дѣйствіямъ надъ числомъ неизвѣстнымъ, то это—задача алгебраическаго характера. Задачи перваго рода не могутъ быть разрѣшены съ помощью уравненій; задачи-же второго рода не могутъ быть, строго говоря, разрѣшаемы иначе, какъ именно съ помощью уравненія, хотя-бы и скрытаго. Примѣромъ задачи алгебраическаго характера служитъ извѣстная древняя задача, условія которой крайне просты и удобопонятны, а не - алгебраическое рѣшеніе крайне громоздко и затруднительно; эта задача гласитъ: «два пастуха встрѣтились и одинъ сказалъ другому: дай мнѣ одну овцу, и у меня будетъ тогда вдвое болѣе, чѣмъ у тебя; въ отвѣтъ на это другой сказалъ: отдай мнѣ одну изъ своихъ, тогда у насъ будетъ поровну». Само собою разумѣется, что съ ариѳметикою, какъ таковою, эта задача ве имѣетъ ничего общаго, а тѣмъ болѣе она чужда интересамъ ариѳметики первоначальной. Мнѣ не для чего освѣщать не-алгебраическое рѣшеніе этой задачи, такъ какъ цѣль моя въ настоящую минуту состоитъ только въ установленіи того взгляда, что задачамъ алгебраическаго характера не мѣсто ни въ курсѣ первоначальной ариѳметики, ни въ курсѣ ариѳметики вообще: ни онѣ ариѳметикѣ, ни ариѳметика имъ услугъ оказать не въ состояніи. Какую важную роль въ курсѣ первоначальной ариѳметики должны и могутъ играть задачи—мы увидимъ впослѣдствіи.

Покончимъ, однако, съ нежелательнымъ въ курсѣ первоначальной ариѳметики матеріаломъ; прежде всего въ этомъ курсѣ должны также отсутствовать терминологія и доказательства въ математическомъ значеніи этихъ словъ; названія «слагаемое», «вычитаемое» и т. д. должны появляться, по возможности, поздно и исподоволь, притомъ непремѣнно послѣ того, какъ надъ даннымъ дѣйствіемъ пріобрѣтена полная власть учащимся; доказательства-же совершенно не нужны, да ихъ и некуда пріурочить. Ученикъ долженъ научиться вычислять, притомъ преимущественно изустно; онъ долженъ себѣ выработать истинныя и вполнѣ ясныя представленія о четырехъ дѣйствіяхъ и ихъ примѣненіяхъ къ простѣйшимъ вопросамъ ариѳметическаго содержанія; онъ долженъ пріобрѣсти навыкъ въ изустномъ вычисленій суммъ, разностей, произведеній, частныхъ, отношеній, долженъ пріучиться

различать различныя, логически и ариѳметически, простыя задачи одну отъ другой, напр.: «5 арш. сукна стоятъ 15 p.; что стоитъ аршинъ?» и «аршинъ стоитъ 3 рубля; куплено 5 арш.; что они стоятъ?» и т. п. Полная власть надъ однозначными числами и дѣйствіями надъ ними, полная власть надъ нумераціею четырехзначныхъ чиселъ, надъ таблицами сложенія, вычитанія, умноженія и дѣленія и вообще надъ числами первой сотни, наконецъ, полное пониманіе цѣли дѣйствій—вотъ то, къ достиженію чего долженъ стремиться курсъ первоначальной ариѳметики. Если ученикъ перваго и даже второго класса ср. уч. зав. затрудняется сложить изустно 27 и 36 или помножить 87 на 7 или раздѣлить 56 на 4, то это доказываетъ, что первоначальный курсъ ариѳметики имъ своевремепно не усвоенъ

Мм. гг.! На основаніи опыта смѣю утверждать, что въ первоначальномъ курсѣ ариѳметики и въ качествахъ его усвоенія кроется залогъ всѣхъ будущихъ успѣховъ или неудачъ учащагося на поприщѣ дальнѣйшаго его математическаго образованія. Отъ качествъ первоначальнаго курса ариѳметики зависитъ—будетъ-ли ребенокъ во время своего пребыванія въ школѣ съ непосильнымъ для него трудомъ и величайшимъ отвращеніемъ къ математическому образованію илестись изъ класса въ классъ, или-же, напротивъ—съ большимъ интересомъ и возвышающимъ его душу и посильнымъ для него трудомъ овладѣвать, въ сущности говоря, крайне простымъ, содержаніемъ дальнѣйшаго курса ариѳметики и др. отраслей такъ-называемой низшей математики.

Таково содержаніе, характеръ и значеніе первоначальнаго курса ариѳметики. Что-же касается курса практической ариѳметики, то содержаніе ея, какъ я имѣлъ уже честь намѣтить ранѣе, сводится къ четыремъ дѣйствіямъ надъ числами, притомъ, къ дѣйствіямъ, производимымъ съ полною властыо учащагося надъ пріемами вычисленія,—властью, которая выражается тѣмъ, что учащійся въ тѣхъ случаяхъ, когда это возможно и цѣлесообразно, вычисляетъ изустно; когда-же изустное вычисленіе затруднительно и потому не цѣлесообразно. то письменно; когда это нужно, то онъ производитъ нисьменно данное дѣйствіе по правилу, а когда это ненужно и нецѣлесообразно, то производитъ его путемъ соображенія и вполнѣ самостоятельно, не зависимо отъ правилт,. «А именованныя числа?» спросите вы: «а тройныя правила? правила смѣшенія, товарищества, процентовъ? а теорія пропорцій, ученіе о дѣлителяхъ, о наименъшемъ кратномъ числѣ?» Мнѣ пришлось-бы въ настоящее время слишкомъ далеко уклониться отъ цѣли этой моей лекціи, если-бы я долженъ былъ по-

дробно доказывать, что всѣ поименованныя статьи курса въ томъ смыслѣ, какъ ихъ понимаетъ большинство, относятся или къ предмету алгебры, или-же къ предмету ариѳметики теоретической. Думаю, что въ доказательствѣ этого утвержденія вы не нуждаетесь. Замѣчу только, что задачи, легко разрѣшаемыя не иначе, какъ только съ помощью пропорцій, суть задачи алгебраическаго характера, что самое ученіе о пропорціяхъ есть ученіе о формулѣ нѣкотораго вида и поэтому представляетъ собою также ученіе чисто алгебраическое и что, наконецъ, полная теорія дѣлителей — ученіе, предоставляющее собою преддверіе къ теоріи сравненій, т.-е. такъ-называемой теоріи чиселъ и преподаваемой, какъ извѣстно, на математическомъ факультетѣ университета. Далѣе: что касается ученія о такъ-называемыхъ именованныхъ числахъ, то послѣднія представляютъ собою не иное что, какъ только вполнѣ приличный, чрезвычайно удобный и естественный случай для примѣненія и даже для разработки того ученія о четырехъ дѣйствіяхъ, которое учащимися должно быть усвоено изъ курсовъ первоначальной ариѳметики и ариѳметики отвлеченныхъ чиселъ. Истинное мѣсто задачъ на составныя именованныя числа, поэтому, въ отдѣлѣ такъ-называемыхъ «смѣшанныхъ» задачъ на четыре дѣйствія, и именно задачами на составныя именованныя числа можно и должно было-бы замѣнить 90°/о «смѣшанныхъ» задачъ, трактующихъ о купцахъ, торговцахъ, фабрикантахъ, курьерахъ, подрядчикахъ и другихъ излюбленныхъ дѣйствующихъ лицахъ нашихъ задачниковъ. Если еще есть на свѣтѣ дѣти, которыя сами думаютъ, и относительно которыхъ родители и учащіе утверждаютъ, что они совершенно неспособны къ ариѳметикѣ, то виною этому чаще всего не складъ индивидуальныхъ способностей этихъ дѣтей, не ариѳметика сама по себѣ и даже не преподаватели этого предмета: виною этому методическая неразработанность, логическая запутанность и педагогическая несостоятельность практикуемыхъ нынѣ курсовъ первоначальной и практической ариѳметики, а также включеніе въ курсъ ариѳметики такихъ ученій и умѣній, которыя къ ариѳметикѣ вовсе не относятся, наконецъ, сложность и запутанность, никому ненужная неестественность и даже противуестественность разрѣшаемыхъ дѣтьми задачъ не только алгебраическаго характера, но даже чисто ариѳметическихъ; не мало способствуетъ существованпо такъ-называемыхъ неспособныхъ къ ариѳметикѣ дѣтей также тотъ взглядъ, по которому задачи рѣшаются только для примѣненія дѣйствій, послѣ такъ-называемаго изученія послѣднихъ, и для изощренія дѣтскаго ума въ рѣшеніи этихъ именно задачъ во что-бы то ни

стало, въ то время какъ задачи на самомъ дѣлѣ должны употребляться чаще всего для выработки истинныхъ и вѣрныхъ ариѳметическихъ представленій.

Дѣти, которыхъ гг. учителя и родители и которыя сами себя, къ сожалѣнію, считаютъ совершенно неспособными къ ариѳметикѣ, конечно, не на столько лишены здраваго смысла, чтобы не быть въ состояніи осилить истинныя трудности раціональнаго курса ариѳметики: они только не въ состояніи войти во вкусъ рѣшенія задачъ относительно прибыли, убытковъ и др. коммерческихъ (притомъ совершенію не согласныхъ съ жизнью) разсчетовъ,—задачъ, если позволительно такъ выразиться, кляузныхъ, непремѣнно головоломныхъ, взятыхъ какъ-бы на зло элементарнѣйшимъ требованіямъ педагогики изъ областей, совершенно чуждыхъ дѣтскому здравому смыслу, разумѣнію и даже воображенію.

Считаю необходимымъ сегодня-же обратить ваше вниманіе на то обстоятельство, что учитель ариѳметики первоначальной, какъ и учитель практической ариѳметики, должны признать полную равноправность изустныхъ и письменныхъ вычисленій, между тѣмъ какъ вышеохарактеризованный видъ задачъ, не отвѣчающихъ міру представленій учащихся, такъ сильно оттѣсняетъ изустные способы вычисленій на задній планъ, что не мудрено встрѣтить учениковъ какого угодно класса какого угодно учебнаго заведенія, которые не умѣютъ сколько-нибудь увѣренно, быстро и безъ карандаша въ рукахъ, безъ ошибокъ въ умноженіи вычислить—что стоятъ ІЭѴг ф. говядины, если фунтъ ея стоитъ 14х/г коп. или что стоятъ 2ZU ф. чаю, если фунтъ его стоитъ 2 р. 40 к. Большинство нашихъ учениковъ непремѣнно обратитъ 19Ѵ2 и 14Ѵ2 въ неправильныя дроби и даже 23А въ неправильную дробь, въ то время какъ первую задачу легко рѣшить, узнавъ—что стоятъ 20 ф. говядины, а вторую, узнавъ—что стоятъ 3 ф. чаю.

Итакъ, когда мы будемъ говорить объ ариѳметикѣ, то мы при этомъ будемъ разумѣть ариѳметику въ полномъ смыслѣ этого слова, не только ариѳметику цыфирную, письменную, обыкновенно излагаемую въ учебникахъ по этому предмету, но и изустную. Отказаться отъ изустнаго вычисленія въ ариѳметикѣ первоначальной значитъ отказаться отъ ариѳметики совсѣмъ; отказаться отъ изустнаго вычисленія въ курсѣ ариѳметики практической значитъ отказаться едва-ли не отъ лучшей ея половины,—лучшей съ точки зрѣнія практической и образовательной; это значитъ сдѣлать изъ своего ученика двурукую, но безсмысленную и безсловесную машину, руки кото-

рой. разъ онѣ вооружены карандашомъ, становятся, какъ это ни грустно, умнѣе ея головы,—машину, которая, будучи въ состояніи обработать самую фокусную задачу изъ числа самыхъ кляузныхъ, перестаетъ дѣйствовать и начинаетъ скрипѣть и безсильно пыхтѣть, какъ только жизнь или наука предъявитъ къ ней требованіе поскорѣе да повѣрнѣе выполнить какое-либо, хотя-бы и самое немудрое, ариѳметическое вычисленіе. Человѣкъ не долженъ обращаться въ подобную машину, а учитель не имѣетъ нравственнаго права обращать ввѣренныхъ ему дѣтей въ машины, какъ-бы высоко на биржѣ педагогической или, вѣрнѣе, антипедагогической суеты ни стояли фонды двурукихъ машинъ того или иного рода.

Благодаря преимуществу, отдаваемому при изученіи ариѳметики письменному ариѳметическому вычисленію предъ изустнымъ, возможна такая масса лицъ, которыя, получивъ среднее и даже высшее образованіе, ариѳметику забываютъ настолько, что являются совершенно безпомощными, какъ только имъ приходится прибѣгнуть къ этой отрасли знанія. Напрасно только эти лица видятъ причину подобнаго явленія въ своей «неспособности» къ математикѣ.

Куда дѣвать задачи на тройныя правила, правило процентовъ и т. д.—мы увидимъ на послѣдней лекціи. Теперь-же обратимся къ вопросу о томъ, гдѣ проходить курсы ариѳметики первоначальной и ариѳметики практической, а также къ вопросу о томъ—кому и какъ руководить занятіями дѣтей по этимъ предметамъ, если это руководительство не поручено школѣ.

Ариѳметикѣ первоначальной ребенокъ долженъ учиться или въ приготовительныхъ классахъ среднихъ учебныхъ заведеній, или въ первый годъ обученія въ начальной народной школѣ, или, наконецъ, дома. Она должна быть поставлена такъ, чтобы дома ей могли учить всякая мать или всякій взрослый человѣкъ, какъ-бы малы ни были спеціально-математическія познанія лица, берущагося учить первоначальной ариѳметикѣ: этимъ характеризуется сущность, объемъ и самые пріемы обученія этому предмету. Понятно, что это возможно лишь при томъ условіи, когда въ рукахъ учащаго имѣется методически правильный, методически разумный задачникъ, въ которомъ задачи были-бы расположены такъ, чтобы ребенокъ, рѣшая ихъ сподрядъ безъ всякихъ пропусковъ и почти безъ объясненій руководителя занятіями, учился ариѳметикѣ. Не въ лекціяхъ нуждается начинающій учиться ариѳметикѣ, а въ такихъ условіяхъ, при которыхъ онъ могъ-бы постепенно выработать себѣ необходимый ему кругъ вѣрныхъ ариѳметическихъ представленій. Строго говоря, и ариѳметикѣ

практической, если она преслѣдуетъ только тѣ цѣли, которыя намѣчены выше, при домашнемъ обученіи могъ-бы учить всякій образованный взрослый человѣкъ, который согласенъ и самъ поучиться вмѣстѣ со своимъ ученикомъ: для успѣха дѣла ему слѣдовало-бы для этой цѣли имѣть въ своемъ распоряженій методически расположенный подборъ задачъ, удовлетворительный учебникъ и соотвѣтствующее этому курсу руководство по методикѣ ариѳметики, съ которымъ онъ могъ-бы справляться въ особенно трудные моменты своей дѣятельности. При домашнемъ обученіи ариѳметикѣ достаточно имѣть въ своемъ распоряженіи одинъ задачникъ, при классномъ-же, въ особенности въ начальныхъ училищахъ, гдѣ приходится имѣть въ одно и то-же время дѣло съ двумя или даже тремя отдѣленіями, два: одинъ, методическій, задачникъ для учителя и другой, также методическій, для такъ-называемыхъ самостоятельныхъ работъ учащихся. Къ сожалѣнію, въ Россіи, несмотря на то, что мы съ такой охотой переняли у нѣмецкой школы нѣкоторыя неподходящія для насъ особенности ея, не получила права гражданства практикуемая бъ Германіи система, при которой у учениковъ на рукахъ находится свой задачникъ, служащій для упражненій ихъ въ усвоенномъ уже изъ уроковъ, а въ рукахъ учителя—свой задачникъ, задачи котораго учащіеся прорабатываютъ подъ непосредственнымъ руководствомъ своего учителя (Schülerausgabe и Lehrerausgabe). Какъ-бы то ни было, я осмѣливаюсь надѣяться, что вопросъ о томъ — чему учить на урокахъ ариѳметики намѣченъ въ достаточно рѣзкихъ чертахъ, какъ равно намѣчено и то, чему на этихъ урокахъ учить не слѣдуетъ. Какъ учить ариѳметикѣ и какъ выйти изъ затрудненій, обусловливаемыхъ желаніемъ согласовать намѣченные выше взгляды съ требованіями оффиціальныхъ программъ—мы увидимъ на слѣдующихъ лекціяхъ. Нынѣ-же обращусь къ нѣкоторымъ основнымъ принципамъ обученія.

Первый принципъ всякаго обученія и, стало быть, обученія ариѳметикѣ состоитъ въ слѣдующемъ: «учить другихъ чему-нибудь значитъ учить ихъ тому, что они должны дѣлать сами, чтобы научиться тому, чему ихъ учатъ». Этотъ принципъ установленъ и впервые формулированъ знаменитымъ французскимъ педагогомъ, Жаномъ Жакото (1770—1840), взгляды котораго у насъ, къ сожалѣнію, очень мало извѣстны. Этотъ принципъ содержитъ въ зародышѣ остальныя идей современной дидактики: необходимость наглядности въ обученіи, необходимость постепеннаго перехода отъ простого къ сложному, отъ извѣстнаго къ неизвѣстному, необходимость такой постановки обученія, чтобы въ каждый данный моментъ преодолѣвалась только одна

трудность. Все это очень обще и отвлеченно, но если мы къ этому добавимъ, что преподаваніе ариѳметики должно вестись такъ, чтобы дѣйствительно развивалась самодѣятельность, чтобы соблюдался принципъ труда (ибо безъ труда нѣтъ ученія),—принципъ труда посильнаго (ибо трудъ непосильный вреденъ), то мнѣ кажется, что этими принципами все-таки достаточно будетъ очерченъ характеръ курса и даже нѣкоторые частности его.

Но для достиженія цѣлей обученія ариѳметикѣ должна быть также выбрана метода. Методою преподаванія, какъ извѣстно, называется совокупность пріемовъ обученія, вытекающихъ изъ того или иного педагогическаго начала. Изъ всѣхъ методъ обученія ариѳметикѣ наибольшею извѣстностью и распространенностью въ Россіи еще не такъ давно пользовалась, да и понынѣ еще пользуется, такъ-называемая «метода изученія чиселъ». Не имѣя въ виду входить въ критическую оцѣнку этой методы обученія, я долженъ, однако-же, замѣтить, что основнымъ ея недостаткомъ является то, что всякое изучаемое въ данную минуту число раскрываетъ свои свойства лишь настолько, насколько надъ нимъ производится то или иное дѣйствіе, а при слѣдованіи этой методѣ, дѣйствій-то именно дѣти какъ-разъ и не знаютъ тогда, когда они изучаютъ то или иное число.

Въ настоящее время нѣкоторые русскіе педагоги, составившіе руководства по предмету методики ариѳметики, противополагаютъ «методѣ изученія чиселъ», вполнѣ извѣстной и законченной въ своихъ деталяхъ, какую-то «методу изученія дѣйствій» (гг. Мартыновъ, Лубенецъ, Вишневскій). Такой методы, конечно, не существуетъ: изученіе дѣйствій есть практическая цѣль преподаванія ариѳметики, а цѣль не можетъ совпадать съ методою. Лучшимъ оевѣщеніемъ этой логической ошибки можетъ служить то, что при изученіи дѣйствій можно (съ какимъ успѣхомъ—это другой вопросъ) слѣдовать методѣ изученія чиселъ.

Та метода, которую я рекомендую вашему вниманію и которая легла въ основу моихъ методическихъ взглядовъ, посильныхъ печатныхъ трудовъ и практики, можетъ быть охарактеризована вкратцѣ какъ метода цѣлесообразныхъ задачъ и упражненій.

Эта метода состоитъ въ слѣдующемъ: съ помощью простѣйшихъ наглядныхъ пособій и съ помощью задачъ, относящихся къ самымъ простымъ случаямъ ариѳметическаго вычисленія, учащіеся научаются считать, притомъ вполнѣ сознательно, понимать, что значитъ прибавить, отнять единицу, образовываютъ себѣ, соотвѣтствующія сущности дѣла, представленія о прибавленіи и вычитаніе нѣсколькихъ

единицъ, вырабатываютъ себѣ представленія о сложеніи, вычитанія,, умложеніи, дѣленіи, о долѣ, о дроби, и т. д., и т. д. Съ задачъ, при методѣ цѣлесообразныхъ задачъ, начинается урокъ, задача дѣлается исходнымъ пунктомъ, когда приходится обратиться къ новому ариѳметическому представленію, будь то представленіе о сущности умноженія однозначнаго числа на однозначное-же, будь то условіе о смыслѣ умноженія на дробь, будь то двоякій смыслъ дѣленія, условное значеніе слова, «процентъ», и т. д.; задача является необходимымъ условіемъ выработки всякаго ариѳметическаго представленія.

При этомъ цѣлый рядъ однородныхъ задачъ предлагается, при слѣдованіи охарактеризованной методѣ, не для пріобрѣтенія умѣнья рѣшать задачи именно этого рода, не ради того, что этотъ типъ задачъ долженъ оказать чудодѣйственное вліяніе на умственное развитіе учащагося, а только ради выработки вѣрнаго нагляднаго представленія о тотъ или иномъ ариѳметическомъ ученіи или какой-либо ариѳметической истины. Замѣтьте, что метода цѣлесообразныхъ задачъ стремится къ выработкѣ вѣрныхъ ариѳметическихъ представленій, а не понятій, каковыя послѣднія вырабатываются уже на почвѣ представленій, притомъ съ помощью своевременныхъ указаній учащаго и учебника.

Само собою разумѣется, что, соблюдая принципы «методы цѣлесообразныхъ задачъ» въ курсѣ первоначальной ариѳметики, да и въ курсѣ ариѳметики практической, мы должны отвести изустнымъ вычисленіямъ роль не меньшую, чѣмъ письменнымъ. Дѣйствительно: вѣдь грустно видѣть, когда учащіеся, умѣющіе рѣшать задачи на. «курьеровъ», на «бассейны», на «фабрикантовъ», на «красное и синее сукно» и т. п., для того, чтобы вычесть 999 изъ какого-нибудь. числа, должны послѣднее число записать, подъ нимъ подписать 999, подчеркнуть, поставить слѣва знакъ минусъ, отмѣтить точками послѣдовательныя цыфры уменьшаемаго и дѣлать это дѣйствіе такъ, какъ будто-бы 999 ничего общаго съ тысячею не имѣетъ и не представляетъ собою числа со своею индивидуальностью, которая, конечно, не могла быть принимаема во вниманіе при составленіи пресловутаго «правила» вычитанія многозначныхъ чиселъ. а это явленіе встрѣчается сплошь и рядомъ.

«Весь долгій путь развитія человѣчества,—говоритъ Жанъ Масе,— каждый разъ повторяется во всякомъ ребенкѣ. Первый, кому пришлось сдѣлать вычисленіе, началъ не съ общихъ правилъ, изложенныхъ въ учебныхъ книжкахъ. Вполнѣ очевидно, что прежде всего онъ встрѣтился лицомъ къ лицу съ практической задачей, изъ труд-

ностей которой онъ могъ выйти побѣдителемъ, лишь пустивъ въ ходъ всѣ пружины своего ума,—и только пустивъ въ ходъ всѣ пружины своего ума, онъ могъ добраться до правила. При этомъ онъ работалъ не только ради самаго процесса работы, не ради самаго искусства. Заставлять поэтому ребенка начинать съ общаго правила и съ отвлеченностей и затѣмъ уже задавать ему задачи для разрѣшенія — это значитъ идти противъ естественнаго хода развитія человѣческаго ума, который у ребенка находится на той точкѣ развитія, на которой онъ находился въ періодъ дѣтскаго возраста человѣческаго рода. й главное: чего мы достигаемъ такимъ образомъ? Мы достигаемъ того, что умъ ребенка, оскорбленный такимъ жестокимъ съ нимъ обращеніемъ, всѣми силами своими сопротивляется преждевременнымъ отвлеченностямъ и что только память его работаетъ для печальнаго нагруженія себя массою словъ и умѣній, смыслъ которыхъ отъ нея непремѣнно ускользнулъ. Истинная метода обученія ариѳметикѣ состоитъ въ томъ, чтобы поставить умъ ребенка въ условія, приличествующія начальному періоду развитія его, и въ томъ, чтобы ребенокъ присутствовалъ, такъ сказать, при самомъ изобрѣтеніи ариѳметики».

Эти, по истинѣ золотыя слова одного изъ благороднѣйшихъ и трудолюбивѣйшихъ педагоговъ позднѣйшаго времени являются наилучшимъ оправданіемъ нашей настойчивой многолѣтней пропаганды методы, названной нами въ 1887 г. «методою цѣлесообразныхъ задачъ», которая является единственно вѣрною и цѣлесообразною методою обученія не только первоначальной ариѳметикѣ, но и ариѳметикѣ практической.

С. Шохоръ-Троцкій.

Чему и какъ учить на урокахъ ариѳметики?

Лекція вторая.

Какъ учить ариѳметикѣ?

Пособія при обученіи ариѳметикѣ.—Наглядныя пособія.—Задачники.—Учебники ариѳметики и ихъ мѣсто при изученіи практической ариѳметики.—Домашнее обученіе ариѳметикѣ.—Учебники ариѳметики въ классѣ.—Теоретическая ариѳметика и ея неумѣстность при обученіи малолѣтнихъ.—Условія разумнаго усвоенія дѣтьми ариѳметическихъ познаній и умѣній.—Трудности въ ариѳметикѣ.—Мнимая ученость въ современномъ курсѣ практической ариѳметики.—Роль воображенія въ курсѣ ариѳметики.—Остатки средневѣковой ариѳметики въ курсѣ современной.— Истинное мѣсто задачъ на простое тройное правило, на сложное тройное правило и т; п. — Развивательный элементъ въ курсѣ ариѳметики. — «Неспособные» къ усвоенію ариѳметики.—Необходимое, полезное, интересное для учащихся и интересное для учителя.—Заключеніе.

Милостивыя государыни и мм. гг! Въ прошлый разъ я имѣлъ чееть изложить свои взгляды на то, чему должно учить на урокахъ ариѳметики первоначальной и практической и чему на этихъ урокахъ учить не слѣдуетъ. Кромѣ того, я охарактеризовалъ методу, называемую мною «методою цѣлесообразныхъ задачъ», какъ методу, наиболѣе примѣнимую и отвѣчающую цѣлямъ обученія ариѳметики. Теперь намъ остается обратиться къ вопросу объ учебныхъ пособіяхъ и о способахъ обученія ариѳметикѣ. Пособіями при обученіи ариѳметикѣ являются задачники, учебники и живое слово преподавателя, т.-е. собственно преподаваніе ариѳметики. Въ виду того, что всякія ариѳметическія понятія могутъ быть созданы въ умѣ учащагося только на почвѣ представленій, а послѣднія могутъ быть организованы только путемъ нагляднымъ, къ числу пособій при обученіи ариѳметикѣ должны быть отнесены наглядныя пособія въ тѣсномъ смыслѣ этого слова, хотя въ нихъ нѣтъ ничего спеціально ариѳметическаго. Съ нихъ мы и начнемъ.

Какъ вамъ извѣстно, разнаго рода наглядныхъ пособій очень много. Въ Германіи ихъ придуманы десятки и даже сотни. Но главнѣйшими изъ нихъ надо считать всякіе удобные для счета предметы, далѣе—такъ-называемые счетные инструменты въ родѣ торговыхъ русскихъ счетовъ, такъ-называемая «солома» или «спички» и чертежныя наглядныя пособія (числовыя фигуры). Каждому изъ этихъ наглядныхъ пособій должно быть отведено опредѣленное мѣсто въ курсѣ, согласно здравому смыслу и той цѣли, которая можетъ быть достигнутъ съ помощью даннаго нагляднаго пособія. При обученіи счету (сознательному, конечно) лучше всего употреблять предметы, находящіеся подъ руками, при выясненіи представленій и понятій о десяткѣ и сотнѣ—спички, связанныя въ пучки, при выясненіи относительнаго значенія цыфръ въ ряду другихъ цыфръ—торговые счеты, при самостоятельномъ упражненій учащихся въ счетѣ и при сложеніи однозначныхъ чиселъ—числовыя фигуры. Далѣе на наглядныхъ пособіяхъ должны быть выясняемы процессъ производства дѣйствій надъ однозначными числами, смыслъ такихъ рѣченій, какъ «прибавивъ», «отнять», «откинуть», «раздѣлить» и т. п. При нѣкоторой наклонности къ вдумчивому отношенію къ требованіямъ обученія, учащій съ величайшей ясностью придетъ къ заключенію, что при выясненіи умноженія наглядныя пособія могутъ пригодиться только въ томъ смыслѣ, что выяснятъ учащемуся — насколько умноженіе есть лишь замѣна сложенія. Что касается курса практической ариѳметики, то въ немъ нагляднымъ пособіямъ этого рода должно быть отводимо мѣсто лишь въ случаяхъ упущеній, сдѣланныхъ при усвоеніи ребенкомъ первоначальной ариѳметики; при этомъ для выясненія способовъ производства дѣйствія удобны спички, связанныя въ пучки, при выясненіи письменныхъ способовъ сложенія и вычитанія — торговые счеты, при выясненіи представленія о дробяхъ и доляхъ—листъ бумаги или бумажная лента. Во всякомъ случаѣ всѣ наглядныя пособія, за исключеніемъ счетовъ, особенно большую роль должны играть на различныхъ ступеняхъ ариѳметики первоначальной, хотя въ нихъ можетъ оказаться, какъ это замѣчено выше, надобность и въ курсѣ практической ариѳметики. При этомъ должно замѣтить, что обученіе домашнее особенно благопріятно обставлено въ отношеніи выбора и примѣненія пособій,—тѣмъ болѣе, что при домашнемъ обученіи наглядными пособіями могутъ служить любые, имѣющіееся подъ руками, предметы: книги, тетради, клочки бумаги, куски картона, обломки спичекъ. Что касается счетныхъ инструментовъ, какъ-то: шведскихъ счетовъ, торговыхъ, дробныхъ, то несомнѣнное преимущество должно

быть отдаваемо въ классномъ преподаваніи (пока не имѣетъ дѣла съ мѣстнымъ значеніемъ косточекъ) счетамъ шведскимъ, а не торговымъ, въ преподаваніи-же домашнемъ—любымъ предметамъ и счетамъ торговымъ, какъ только мы добрались до десятинной нумераціи. Для класснаго обученія должно устроить особенные торговые счеты; но во всякомъ случаѣ торговые счеты должны употребляться только какъ учебное пособіе, и на вычисленія съ ихъ помощью отнюдь не должно смотрѣть, какъ на одну изъ цѣлей обученія ариѳметикѣ (такъ на нихъ смотритъ г. Лубенецъ), а только какъ на иллюстрацпо нумераціи и письменныхъ способовъ производства сложенія и вычитанія.

Относительно задачниковъ и задачъ должно замѣтить, что общераспространенные взгляды на это пособіе при обученіи отнюдь не могутъ считаться соотвѣтствующими цѣлямъ обученія ариѳметикѣ. Какъ мы уже видѣли въ концѣ прошлой лекціи, задачи должны являться исходнымъ пунктомъ обученія ариѳметикѣ и задачники—главнѣйшимъ учебнымъ пособіемъ при этомъ обученіи. При этомъ задачи простыя, т.-е. требующія примѣненія одного только дѣйствія, и сложныя чисто-ариѳметическія задачи, т.-е. требующія двухъ или нѣсколькихъ дѣйствій, должны собою представлять исключительное содержаніе задачника при обученіи первоначальной ариѳметикѣ. Всѣ основныя ариѳметическія представленія о каждомъ изъ дѣйствій, о каждомъ изъ способовъ производства, о каждомъ изъ теоретическихъ основаній этихъ дѣйствій должны быть, какъ мы это видѣли на прошлой лекціи, вырабатываемы на задачахъ. Говоря иначе: задачи простыя должны быть въ курсѣ не столько средствомъ для примѣненія уже извѣстныхъ дѣйствій, сколько средствомъ для выработки представленій ариѳметическаго характера, средствомъ для выработки точныхъ понятій о дѣйствіяхъ, для возбужденія дѣятельности ума учащагося въ томъ или другомъ, важномъ для даннаго момента обученія, направленіи. Значеніе-же задачъ сложныхъ изъ числа задачъ ариѳметическаго характера должно быть исключительно практическимъ, и главное ихъ содержаніе должно заключаться не въ различныхъ хитросплетеніяхъ сложнаго экономическаго и якобы научнаго содержанія, а преимущественно въ преобразованіяхъ составныхъ именованныхъ чиселъ и въ дѣйствіяхъ надъ ними, согласныхъ съ дѣйствительностью и здравымъ смысломъ. Отказавшись отъ рѣшенія многихъ сотенъ задачъ запутанныхъ и не проникнутыхъ единою руководящаго идеею, лучше всего тотчасъ-же послѣ усвоенія четырехъ дѣйствій надъ отвлеченными числами и даже во время этого усвоенія

заниматься рѣшеніемъ задачъ на раздробленіе и превращеніе составныхъ именованныхъ чиселъ и на четыре дѣйствія надъ этими числами. При рѣшеніи задачъ этого рода, если дѣло поставлено въ методическомъ отнопіеніи правильно, учащійся не встрѣтитъ ничего новаго и затруднительнаго, цѣль-же изученія ариѳметики будетъ достигнута, если только не считать цѣлью этого изученія умѣнье распутывать до крайности запутанныя условія всякихъ неестественныхъ задачъ, и если не забывать, что такъ-называемая развивательная сторона рѣшенія задачъ запутанныхъ представляетъ собою одинъ изъ вреднѣйшихъ предразсудковъ, насажденныхъ у насъ составителями задачниковъ, появившихся въ теченіе послѣднихъ десятилѣтій. У задачъ-же алгебраическаго характера, какъ это выяснено отчасти въ прошлый разъ, съ ариѳметикою нѣтъ ничего общаго: пріемы ариѳметическаго (вѣрнѣе: аналитическаго) ихъ разрѣшенія, т. - е. пріемы разрѣшенія задачъ этого рода безъ помощи уравненій, совершенно чужды и мѣрѣ пониманія, и степени умственнаго развитія учащихся; время-же, отнимаемое ими, съ гораздо большею для дѣла пользою можетъ быть употреблено на пріобрѣтеніе учащимися навыковъ въ производствѣ, по возможности быстромъ и изящномъ, четырехъ ариѳметическихъ дѣйствій, собственно и представляющихъ собою истинное содержаніе ариѳметики.

Относительно роли учебника ариѳметики намъ придется говорить не долго. Въ курсѣ первоначальной ариѳметики учебникамъ не можетъ быть отведено ровно никакого мѣста. Это не подлежитъ никакому спору, а потому на этомъ вопросѣ останавливаться не для чего. Что касается курса ариѳметики практической, то среди современныхъ педагоговъ немало сторонниковъ того взгляда, по которому учебникъ ариѳметики для учениковъ не только первыхъ двухъ классовъ, но и третьяго, непримѣнимъ и ненуженъ; еще болѣе среди современныхъ преподавателей ариѳметики такихъ лицъ, которые учебнику ариѳметики согласны были-бы отвести нѣкоторое мѣсто, но которые никакъ не могутъ примириться съ существующими учебниками ариѳметики и которые поэтому предпочитаютъ (какъ это ни противорѣчитъ педагогическимъ соображеніямъ разнаго рода) диктовать «кое-что» изъ курса ариѳметики, Я принадлежу къ числу сторонниковъ того взгляда, по которому учебникъ ариѳметики (но отнюдь не такъ-называемыя «записки» и конспекты) является регуляторомъ занятій и средствомъ для пріученія дѣтей къ занятіямъ (хотя - бы и подъ руководствомъ учащаго) по книгамъ. Само собою разумѣется, что при этомъ не можетъ практиковаться система «отъ сихъ мѣстъ до сихъ»; учащійся

можетъ и долженъ брать учебникъ въ руки только для того, чтобы вполнѣ закруглить, систематизировать и привести въ полный порядокъ тѣ ученія, которыя имъ уже усвоены на урокахъ практически и вполнѣ сознательно, благодаря учителю и классной работѣ. При домашнемъ обученіи это не менѣе справедливо, и если домашній учитель видитъ, что ученикъ основательно преодолѣлъ логическія и техническія трудности того или другого ученія, то онъ можетъ смѣло заставить ученика прочесть относящееся до этого ученія мѣсто учебника, перечесть это мѣсто не одинъ разъ и изучить его вполнѣ, для того, чтобы, наконецъ, придти къ окончательно окристаллизованному знанію, умѣнью или навыку.

Домашнее обученіе ариѳметики, вообще, имѣетъ предъ класснымъ слѣдующее великое преимущество: взявъ методически расположенный, а не случайно скомпанованный, подборъ задачъ, отецъ или мать или домашній учитель и учительница могутъ пройти съ ребенкомъ сподрядъ всѣ задачи такого задачника, если, понятно, въ немъ задачи дѣйствительно методически распредѣлены; многія задачи, допускающія быстрое изустное вычисленіе, разрѣшить съ нимъ изустно, а требующія письменнаго вычисленія—письменно, и при этомъ самодѣятельность учащаго будетъ упражняться во всѣхъ доступныхъ ему направленіяхъ. При переходѣ къ курсу практической ариѳметики, опять-таки съ помощью задачъ, подобранныхъ методически, отецъ, мать или домашній учитель могутъ научить своего дитомца производству дѣйствій, когда нужно—изустному, а когда нужно письменное — письменному; усвоивъ данное знаніе или умѣнье, учащійся дома ариѳметикѣ можетъ закрѣпить его съ помощью учебника, читая его на урокѣ вслухъ, вдумываясь въ читаемое, пользуясь разъясненіями учащаго относительно мѣстъ книги, почему-либо непонятныхъ, и успѣхъ въ такомъ случаѣ гарантированъ,—успѣхъ вѣрный и способный повліять на умственное и духовное развитіе учащагося чрезвычайно полезнымъ образомъ. Ужъ одно то чего стоитъ, что учащійся будетъ учиться тому—какъ учиться.

При классномъ обученіи ариѳметикѣ, чтеніе ученикомъ текста учебника вслухъ требуетъ отъ учителя величайшаго такта и полной власти надъ вниманіемъ учащихся; но несомнѣнно, что даже и при классномъ обученіи учитель, при желаніи и упорствѣ въ трудѣ, можетъ привести учащихся къ умѣнью учиться по книгѣ, пользоватьея ею, справляться съ нею и находить въ ней вѣрную помощницу въ дѣлѣ самообразованія, а не бездушный сборникъ неудобоваримыхъ опредѣленій, правилъ и терминовъ, курсивовъ и цыфирныхъ схемъ.

Вамъ, должно быть, извѣстно, что среди преподавателей среднихъ учебныхъ заведеній много такихъ, которые вѣрятъ въ возможность прохожденія въ низшихъ классахъ среднихъ учебныхъ заведеній вполнѣ теоретическаго курса ариѳметики, съ теоремами, аксіомами, доказательствамъ слѣдствіями, тонкими опредѣленіями и даже теоріями. Я не принадлежу къ ихъ числу. Аксіомы, теоремы, доказательства и необходимость ихъ съ логической точки зрѣнія представляютъ собою тѣ элементы математическаго мышленія, которые могутъ быть доступны дѣтямъ никакъ не ранѣе достиженія ими четырнадцати и даже пятнадцати-лѣтняго возраста.

Какъ-бы то ни было, рѣчь учителя, его непосредственное и живое участіе въ работѣ, простота изложенія и даже манера его, отсутствіе въ его рѣчи какихъ-бы то ни было условныхъ выраженій, пока эти выраженія не становятся возможны и необходимы, правильная разработка смысла этихъ выраженій, разъ въ нихъ является необходимость, свободное и, если можно такъ выразиться, художественное творчество на урокахъ ариѳметики—вотъ тѣ условія, которыя необходимы для живого участія учениковъ въ занятіяхъ, для интенсивной и не только внутренней, но и проявляющейся наружу работы учениковъ надъ учебнымъ матеріаломъ. Вотъ тѣ условія, при существованіи которыхъ цѣль обученія ариѳметики вполнѣ достижима, если достиженія ея умышленно не затруднять рѣшеніемъ задачъ чрезъ мѣру сложныхъ, изученіемъ правилъ громоздкихъ и многословныхъ, погонею за теоретическими и яко-бы научными тонкостями, которыхъ учащійся не въ состояніи ни оцѣнить, ни даже постигнуть. Послѣдній можетъ свободно двигаться въ сферѣ практическихъ пріемовъ, въ сферѣ вычисленій, ясныхъ ариѳметическихъ представленій, а не въ сферѣ никому ненужныхъ діалектическихъ туманностей, головоломныхъ задачъ и безполезныхъ для учащагося отвлеченноетей теоретической ариѳметики. Поменьше ничему не научающихъ правилъ, побольше здраваго смысла, побольше простоты и естественности въ задачахъ—вотъ тѣ границы, въ которыхъ должно стараться воздѣйствовать на умъ и воображеніе учащагося при преподаваніи ариѳметики, какъ первоначальной, такъ и практической.

Въ ариѳметикѣ есть, конечно, свои трудности, чисто логическія; вспомните хотя-бы оба вида дѣленія или смыслъ умноженія на дробь; но всѣ трудности ариѳметики преодолимы, если не усугублять ихъ трудностями искусственными и какъ-бы нарочно для того придуманнымиг чтобы урокъ ариѳметики не былъ урокомъ ариѳметики на самомъ дѣлѣ. Кромѣ того, не мало трудностей представляется также въ

текстѣ учебника, если преподаватель не приноровитъ, не приспособитъ своего обученія къ взглядамъ и математическому міросозерцанію составителя даннаго учебника. Пріобрѣтеніе навыка въ вычисленіяхъ равнымъ образомъ сопряжено съ большими трудностямъ если учитель считаетъ необходимымъ непремѣнно все вычислять письменно, рабски слѣдуя общимъ правиламъ и не обращая вниманія на индивидуальность тѣхъ или другихъ чиселъ, не пользуясь ихъ составомъ и предпочитая умозрѣніе и мертвое правило просто зрѣнію и живому творчеству. Сколько есть учителей, дозволяющихъ учащимся умножать 19 на 17 по правилу письменнаго производства дѣйствія, въ то время какъ это умноженіе можетъ быть очень легко и очень быстро сдѣлано изустно на основаніи того, что 17 разъ 20 составитъ 340! Сколько преподавателей допускаютъ умноженіе 37-ми на 25 по правилу письменнаго производства умноженія, въ то время какъ это умноженіе легко произвести изустно, найдя четверть 3.700 (четверть трехъ тысячъ шестисотъ и четверть ста)!

Поменьше опредѣленій, ничего не говорящихъ ни уму, ни воображенію учащихся, и нобольше вниманія къ истинной цѣли обученія ариѳметикѣ, поменьше мнимой учености, но за-то побольше власти надъ своею собственною живою мыслью: тогда можно разсчитывать на развитіе и укрѣпленіе творческой мысли учащагося. Кому изъ насъ не извѣстно, какъ безполезно доказательство неизмѣняемости величины произведенія двухъ сомножителей отъ перемѣны порядка ихъ,—доказательство, состоящее въ изображеніи рода строкъ, состоящихъ изъ единицъ, и въ сложеніи этихъ единицъ то по столбцамъ, то по строкамъ; ученики и ученицы перваго и второго классовъ среднихъ учебныхъ заведеній (не говоримъ уже о питомцахъ начальной народной школы), дѣти 11-ти и 12-ти лѣтъ отъ роду, конечно, могутъ доказательство этой теоремы усвоить даже съ нѣкоторымъ удовольствіемъ, если къ нему приступить не какъ къ доказательству, а, напримѣръ, хотя-бы слѣдующимъ образомъ: «у меня 18 мѣшковъ яблоковъ, въ каждомъ мѣшкѣ по 37 штукъ; сколько у меня всѣхъ яблоковъ? (Надо помножить и т. д.). Хорошо! Вотъ эти 18 мѣшковъ предо мною; возьму изъ каждаго мѣшка по одному яблоку; мѣшковъ 18, получаю всего 18 яблоковъ; сложу ихъ въ отдѣльный пустой мѣшокъ; изъ каждаго изъ прежнихъ мѣшковъ возьму еще по одному яблоку; снова получу 18 яблоковъ, которыя сложу въ новый пустой мѣшокъ, и т. д. Буду продолжать это далѣе, и что-же я получу? Разсудить это въ состояніи почти всякій малолѣтній ученикъ, но подобное доказательство требуетъ отъ учителя и

учениковъ живой работы воображенія, участія въ этой работѣ со стороны всѣхъ учениковъ и непремѣнно вполнѣ наглядныхъ представленій.

Вообще, воображеніе при обученіи ариѳметикѣ должно играть гораздо большую роль, чѣмъ какую она обыкновенно играетъ. Это очень вредный и странный въ средѣ образованныхъ людей предразсудокъ, будто математика и преподаваніе этого предмета должны по самому существу дѣла отличаться крайнею сухостью, отвлеченною разсудочностью и отсутствіемъ образности въ мышленіи; безъ воображенія и безъ его творческой силы не могла-бы существовать математика, какъ не можетъ существовать никакая наука, и безъ вліянія на воображеніе учащихся не должно-бы существовать преподаваніе ариѳметики.

Сейчасъ выясненнымъ мною доказательствомъ извѣстной теоремы я желалъ, конечно, только намѣтить направленіе работы учащаго и учащихся при усвоеніи ученій ариѳметики. Нѣтъ въ ней такого ученія, которое не допускало-бы примѣненія къ нему здраваго смысла и здоровой работы воображенія, простой, не уснащеной ухищреніями логики, если, конечно, исключить изъ ариѳметики все не чисто-ариѳметическое: разныя тройныя «правила», ученія о пропорціи, періодическія дроби и т. п.; эти ученія представляютъ собою, такъ сказать, пережитокъ средневѣковой старины, когда учебники ариѳметики и въ курсъ ея включалась масса наукъ, когда для рѣшенія задачъ придумывались десятки правилъ и терминовъ и когда ариѳметика была достояніемъ только ученыхъ людей; даже два-три столѣтія тому назадъ она была доступна только избранникамъ, а способы производства дѣйствій умноженія и въ особенности дѣленія представляли собою прямо непостижимую для дѣтей совокупность техническихъ пріемовъ.

Не имѣя возможности, хотя-бы даже вкратцѣ, выяснить, напримѣръ, способъ раздѣленія числа 444 на 4, который практиковался еще въ XVII столѣтіи, я могу только сказать, что для этого требовалось много времени, и долженъ замѣтить, что, къ сожалѣнію, не всѣ пріемы старины отошли въ вѣчность, съ такимъ-же успѣхомъ, какъ помянутый способъ раздѣленія 444 хъ на 4. Для доказательства этого обращу вниманіе ваше на тотъ фактъ, что «простое тройное правило» носитъ названіе, давно уже ставшее архаическимъ, ибо въ немъ въ настоящее время уже нѣтъ никакого особеннаго правила, ни тѣмъ паче правила тройного: «3 карандаша стоятъ 15 коп., что стоятъ 7 такихъ-же карандашей?» Развѣ эта задача не можетъ быть раз-

рѣшена, при правильной постановкѣ курса первоначальной ариѳметики, безъ всякихъ правилъ, а лишь на основаніи слѣдующаго соображенія: 3 карандаша стоятъ 15 коп., еще 3 карандаша—еще 15 коп., а одинъ—5 коп., итого всѣ .7 карандашей стоятъ 35 коп.

Истинное мѣсто задачъ такого рода—въ первоначальномъ курсѣ ариѳметики, когда дѣтьми усвоены дѣйствія умноженія и дѣленія и требуются упражненія въ таблицѣ умноженія и въ курсѣ ариѳметики практической на тѣхъ ступеняхъ его, когда учащійся умѣетъ находить части цѣлаго. То-же справедливо относительно мѣста задачъ на сложное тройное правило въ курсѣ практической ариѳметики, задачъ на отысканіе процентныхъ денегъ съ даннаго капитала или процентной таксы по достаточному для того числу условій. Не поступаясь интересами логической связи между различными ученіями ариѳметики, а, напротивъ, руководясь ими, учитель долженъ смотрѣть на ученіе ариѳметики съ точки зрѣнія здраваго ариѳметическаго смысла и помнить, что главнѣйшее условіе обученія заключается въ созданіи условій для успѣшнаго хода его.

Не слѣдуетъ думать, что такимъ образомъ ариѳметика будетъ лишена такъ-яазываемыхъ развивательныхъ задачъ и, вмѣстѣ съ ними, развивательнаго элемента: не въ развивательныхъ задачахъ лежитъ центръ тяжести развивательнаго значенія обученія ариѳметикѣ; развивательныхъ моментовъ при изученіи ариѳметики цѣлая сокровищпица; надо только не искать ихъ гдѣ-то на сторонѣ. Для развитія дѣтскаго ума на ариѳметическомъ матеріалѣ вовсе не нужны экскурсіи въ область задачъ-загадокъ и задачъ, созданныхъ совсѣмъ не для образовательныхъ цѣлей, едва-ли не въ средніе вѣка, которымъ чужды были современные педагогическіе идеалы. Для развитія дѣтскаго ума на ариѳметическомъ матеріалѣ вполнѣ достаточно учить ариѳметикѣ въ истинномъ значеніи этого слова.

Неспособныхъ къ изученію ариѳметики, въ томъ смыслѣ этого послѣдняго слова, который установленъ нами выше, нѣтъ и быть не можетъ; ибо нѣтъ причины, почему здравомыслящій ребенокъ, не страдающій никакою формою остраго или хроническаго тупоумія, не былъ-бы въ состояніи понять и усвоить, съ великою пользою для своего образованія, методически, т,-е. цѣлесообразно расположенный курсъ этого предмета.

Учащій ариѳметикѣ долженъ прежде всего уяснить самому себѣ— что въ курсѣ ариѳметики (будь то курсъ первоначальной ариѳметики,. или ариѳметики практической) прямо необходимо, что въ немъ только полезно, что въ немъ интересно и понятно для ученика и что въ

немъ интересно и понятно только для учителя. Необходимо, конечно, умѣнье вычислять (изустно и письменно), полезно умѣнье рѣшать вполнѣ вѣрно и довольно быстро задачи повседневной жизни, интересно для учащихся пріобрѣтеніе полной власти надъ изящнымъ вычисленіемъ и самое изученіе предмета, если оно ведется разумно и живо; интересны для учащаго, и только для него, тѣ чисто логическія, чисто научныя точки зрѣнія, которыя лежатъ въ самой основѣ предмета и которыя, однако, усваиваются учащимся не иначе, какъ безсознательно и не могутъ быть малолѣтнимъ учащимся не только поняты во всей ихъ научной силѣ, но даже научно формулированы сколько - нибудь удовлетворительнымъ и полезнымъ для ученика образомъ.

Разныя-же хитросплетенія и теоретическія тонкости, искусственныя пріемы мышленія, разныя научныя, но недоступныя уму и воображенію ученика перспективы и совершенно безплодная для истиннаго умственнаго его развитія игра ума надъ трудными задачами чужды дѣйствительнымъ духовнымъ интересамъ дѣтей и представляютъ тотъ неспособный насытить алчущаго камень, который мы даемъ препорученнымъ намъ питомцамъ въ то время, когда они отъ насъ требуютъ и ожидаютъ хлѣба, т.-е. истиннаго знанія, къ которому такъ и рвется душа всякаго здороваго ребенка.

С. Шохоръ-Троцкій.

Чему и какъ учить на урокахъ ариѳметики?

Лекція третья.

РАЗДѢЛЕНІЕ КУРСА АРИѲМЕТИКИ НА СТУПЕНИ.

«Шесть правилъ нехорошаго обученія ариѳметикѣ», составленныя Дистервегомъ.—Основные принципы разумнаго обученія ариѳметикѣ.—Тридцать ступеней курса ариѳметики.—Задачи на такъ-назыв. «вычисленіе времени», поверхноетей, объемовъ и т. п.—Принципъ распредѣленія курса по ступенямъ съ точки зрѣнія тяготѣнія многихъ однородныхъ ученій къ общему центру.—Ученіе о десятичныхъ дробяхъ и четыре ступени его.—Нормально-ли требовать отъ ребенка пониманія того, чего не понимаетъ взрослый человѣкъ?—Разница въ этомъ отношеніи между знаніемъ и пониманіемъ.—Заключеніе.

Милостивыя государыни и мм. гг.! На предыдущихъ двухъ лекціяхъ мы ознакомились съ тѣмъ, какія цѣли должны и какія не должны преслѣдоваться при раціональномъ обученіи дѣтей ариѳметикѣ и какія для этого должны быть употребляемы средства. Кромѣ того, мы въ первой лекціи уяснили себѣ рѣшеніе вопроса о томъ, чему не слѣдуетъ учить на урокахъ ариѳметики. Что касается вопроса о томъ, какихъ средствъ не надо употреблять при обученіи ариѳметикѣ, то этотъ вопросъ, конечно, не можетъ быть такъ-же легко исчерпанъ. Впрочемъ, одинъ изъ крупнѣйшихъ нѣмецкихъ педагоговъ, Адольфъ Дистервегъ, въ 1836 г. нашелъ возможнымъ обнародовать брошюру подъ заглавіемъ «Шесть правилъ нехорошаго обученія ариѳметикѣ», въ которой освѣщены главнѣйшія изъ неподходящихъ и, къ сожалѣнію, еще доселѣ не пренебрегаемыхъ, средствъ обученія этому предмету. Эти правила нехорошаго обученія ариѳметикѣ вкратцѣ гласятъ такъ: 1) изъ назначеннаго на ариѳметику числа часовъ надо каждый урокъ посвящать непремѣнно или теоріи, или однимъ изустнымъ вычисленіямъ, или-же однимъ письменнымъ вычисленіямъ; при этомъ каждый изъ уроковъ долженъ идти непремѣнно своимъ чередомъ и не долженъ имѣть ничего общаго съ другими уроками; 2) при изученіи такъ-наз.

«теоріи» надо непремѣнно начинать съ самыхъ отвлеченныхъ понятій, съ опредѣленій, теоремъ, и большую частъ времени посвящать ученіямъ, самымъ ненужнымъ въ ариѳметикѣ; 3) при изустныхъ вычисленіяхъ не надо развивать творчество, а надо заставлять ученика письменныя вычисленія дѣлать въ воздухѣ, писать, наприм., въ воздухѣ дѣлимое, за нимъ вертикальную черту, затѣмъ дѣлителя, подъ нимъ горизонтальную черту, и т. д.; 4) дабы придать въ глазахъ наѣзжаго ревизора должный вѣсъ своимъ заслугамъ, надо нѣсколько (притомъ непремѣнно сложныхъ!) примѣровъ на изустное вычисленіе заучить съ учениками наизусть; 5) при письменномъ вычисленій ученику должны быть предложены примѣры, учителемъ не объясненные; учителю-же остается только, со спискомъ отвѣтовъ въ рукахъ, восклицать при провѣркѣ: «вѣрно!» «невѣрно!» (это значитъ развивать «самостоятельность»); 6) но наиболѣе цѣлесообразнымъ средствомъ для наихудшаго преподаванія ариѳметики должно считать выборъ такихъ задачъ, въ которыхъ числа очень велики, единицы мѣры ученикамъ совершенно неизвѣстны, а условія совершенно чужды дѣтскому пониманію.

Съ тѣхъ поръ, какъ появилась въ свѣтъ помянутая брошюра Дистервега, нрошло безъ малаго шестьдесятъ лѣтъ, и только немногія изъ этихъ правилъ нехорошаго обученія ариѳметикѣ не соблюдаются въ настоящее время во всей ихъ неприкосновенности. Причина этого кроется, по всей вѣроятности, не въ томъ, что гг. педагоги забыли основные принципы обученія ариѳметики, а въ томъ, что въ ихъ распоряженіи нѣтъ усвоенной ими и притомъ разумной методы обученія.

Несмотря на то, что принципы обученія можно считать извѣстными, позволю себѣ однакоже, прежде чѣмъ перейти къ выработанному мною распредѣленію курса ариѳметики на ступени, напомнить основные принципы разумнаго и цѣлесообразнаго обученія ариѳметикѣ. изъ которыхъ нѣкоторые установлены такими людьми, какъ Коменскій, Песталоцци и Жакото. Кромѣ того принципа, который нами не разъ упоминался въ прежнихъ лекціяхъ и который установленъ Жаномъ Жакото («учить другихъ значитъ ставить ихъ въ такія условія, чтобы они сами тому научились, чему ихъ учатъ»), приведу слѣдующіе: вычисляя, ребенокъ долженъ учиться (Коменскій); форма обученія должна быть подчинена тому вѣчному закону, по которому всякое знаніе человѣка начинается не съ понятій, а съ наглядныхъ представленій (Песталоцци); каждый разъ надо стремиться къ преодолѣнію только одной трудности; правила должны быть разрабатываемы и развивае мы самими учащимися, но подъ руководствомъ учащаго;

изустныя вычисленія должны быть свободны, а письменныя пріурочиваемы къ простымъ и изящнымъ формамъ; въ основу разрабатываемыхъ ариѳметическихъ представленій должна быть положена система простыхъ и цѣлесообразныхъ задачъ («метода цѣлесообразныхъ задачъ»); ариѳметика должна изучаться не только письменная, но и изустная, и при этомъ никакое вычисленіе не должно дѣлаться непремѣнно изустно, если его цѣлесообразнѣе дѣлать письменно, а равно ни одно вычисленіе не должно дѣлаться письменно, когда его цѣлесообразнѣе и проще дѣлать изустно; въ первый годъ обученія (въ начальной-ли школѣ, въ приготовильльномъ-ли классѣ среднеучебнаго заведенія или при первоначальномъ домашнемъ обученіи—все равно) должны быть положены основанія курса ариѳметики, въ начальной школѣ курсъ ариѳметики долженъ быть законченъ къ концу второго года обученія, въ третій-же годъ онъ долженъ быть закругленъ въ теоретическомъ и діалектическомъ отношеніи; каждый урокъ ариѳметики долженъ быть урокомъ не только письменной ариѳметики, но и урокомъ ариѳметики изуетной, урокомъ родного языка и урокомъ аккуратности при выполненіи работы; задачи и примѣры, прорабатываемые и подлежащіе проработкѣ учащимися вмѣстѣ съ учащимъ, подъ непосредственнымъ его руководствомъ, должны быть выдѣлены въ отдѣльную книгу для учителя, а задачи, подлежащія проработкѣ учащихся безъ помощи учителя, должны находиться въ рукахъ учениковъ; никакое изученіе чиселъ (по Грубе или Евтушевскому) ве должно быть терпимо на урокахъ, такъ какъ оно ни одной изъ цѣлей обученія ариѳметикѣ не отвѣчаетъ*), а изъ наглядныхъ пособій каждое должно быть употребляемо лишь въ тѣхъ случаяхъ, когда именно это, а не другое, наглядное пособіе въ состояніи оказать наиболѣе вѣрную и наиболѣе существенную услугу на данной ступени курса.

Курсъ ариѳметики, въ томъ смыслѣ этого слова, который установленъ и разработанъ на первыхъ двухъ лекціяхъ, распадается, приблизительно, на тридцать ступеней.

Не имѣя въ виду вдаваться въ подробности методическаго характера относительно каждой изъ ниже характеризуемыхъ ступеней курса, я, однакоже, нѣкоторыя трудности той или другой изъ этихъ ступеней постараюсь охарактеризовать.

*) Ср. нашу «Методику ариѳметики», изд. 3-е, стр. 36 и слѣд. Вообще позволимъ себѣ лицъ, интересующихся всѣми частностями разрабатываемыхъ нами идей, отослать къ этому сочиненію, а равно къ «Сборнику для учащихся въ народныхъ школахъ» и др. посильнымъ трудамъ нашимъ, въ томъ числѣ къ «Методическому Сборнику ариѳметическихъ задачъ для ср. уч. заведеній», въ основу котораго легла метода цѣлесообразныхъ задачъ.

На первой ступени дѣти должны упражняться въ счетѣ не только словесномъ, но вполнѣ сознательномъ, — въ счетѣ дѣйствительныхъ предметовъ отъ одного до двадцати включительно. Само собою разумѣется, что счетъ отъ одного до десяти, даже для неумѣющихъ считать дѣтей, не представляетъ тѣхъ ариѳметическихъ и словесныхъ трудностей, которыя представляетъ счетъ отъ одиннадцати до девятнадцати включительно.

На второй ступени должно идти ознакомленіе дѣтей со всѣми арабскими цыфрами, за исключеніемъ нуля, и съ соотвѣтствующими этой ступени самостоятельными письменными упражненіями учащихся.

На третьей ступени дѣти, съ помощью задачъ относительно имѣющихся подъ руками наглядныхъ пособій и съ помощью задачъ другого, но непремѣнно въ высшей степени простого, содержанія должны выработать себѣ представленіе о прибавленіи къ числу, меньшему девяти, одной единицы, должны научиться этому прибавленію и усвоить себѣ, для возможности самостоятельныхъ упражненій, значеніе знаковъ сложенія и равенства, а также выработать себѣ представленіе о вычитаніи изъ однозначныхъ чиселъ одной единицы, научиться этому вычитанію и усвоить себѣ знакъ вычитанія.

На четвертой ступени учащіеся должны выработать себѣ представленіе о десяткѣ, научиться изустному прибавленію къ числамъ, большимъ десяти, но меньшимъ двадцати, одной единицы, научиться соотвѣтствующему вычитанію, обозначенію чиселъ отъ 11-ти до 19-ти включительно и, наконецъ, обозначенію чиселъ 10 и 20 съ помощью цыфръ. Считаю полезнымъ обратить вниманіе на то, что обозначеніе десятка и двухъ десятковъ съ помощью цыфръ должно слѣдовать за усвоеніемъ дѣтьми умѣнія обозначать прочія числа второго десятка, вслѣдствіе скопленія на этомъ пунктѣ нѣсколькихъ трудностей, а не предшествовать ему. Кромѣ того, на этой-же ступени достойна вниманія также трудность усвоенія дѣтьми представленія о десяткѣ, какъ о новой единицѣ счета.

На пятой ступени должна идти выработка наглядныхъ представленій, сначала на наглядныхъ пособіяхъ, а потомъ—на простыхъ задачахъ, о сложеніи чиселъ, сумма которыхъ не болѣе десяти, а также попутное выясненіе рѣченій: «столько-же», «поровну», «по сколько», «присчитать», «приложить», «прибавитъ», «сложить», «присоединитъ» (но не «увеличить на столько-то» и не «больше на столько-то», каковыя послѣднія рѣченія требуютъ особенной и притомъ неумѣстной на этой ступени разработки).

Шестая ступень имѣетъ предметомъ подобную-же выработку пред-

ставленія о вычитанія однозначнаго числа изъ однозначнаго-же и усвоенія значенія вполнѣ соотвѣтствующихъ этой ступени обученія словъ: «осталось», «остальные», «отнять», «отдѣлить», «отбросить», «вычесть» (но не «уменьшить на столько-то», «меньше на столько-то»).

Седьмая ступень посвящена сложенію одного десятка съ однозначнымъ числомъ и соотвѣтствующіе случаи вычитанія изъ суммы одного десятка съ нѣкоторымъ числомъ единицъ этого послѣдняго числа (12—2, 13—3, 17—7). На этой ступени представленіе о десяткѣ укрѣпляется въ сознаніи учащагося, каковое представленіе выработано еще, впрочемъ, на четвертой ступени обученія.

На восьмой ступени идетъ сложеніе однозначныхъ чиселъ, сумма которыхъ болѣе десяти, и сложеніе чиселъ второго десятка съ числами однозначными, дающими въ суммѣ не болѣе 20-ти. Только на этой ступени проявляется важность усвоеннаго на шестой ступени умѣнья вычитать однозначныя числа и усвоеннаго на болѣе раннихъ ступеняхъ умѣнья составлять десятокъ. Дѣйствительно: какимъ образомъ можно добраться до суммы чиселъ 8 и 7, если не понимаешь, что ранѣе всего надо къ 8-ми прибавить 2 (для того, чтобы составить одинъ десятокъ), и. если не знаешь, что, кромѣ этихъ двухъ единицъ, надо прибавить еще пять, которыя, вмѣстѣ съ составленнымъ десяткомъ, дадутъ 15?—На этой-же ступени необходимо выработать ясное представленіе (опять-таки на наглядныхъ пособіяхъ и простыхъ задачахъ) о неизмѣняемости суммы двухъ чиселъ въ зависимости отъ порядка слагаемыхъ. Равнымъ образомъ къ той-же ступени тяготѣетъ представленіе о вычитаніи всякихъ однозначныхъ чиселъ изъ чиселъ второго десятка.

Девятая ступень содержитъ въ себѣ соединеніе нѣсколькихъ ученій, которыя могутъ, съ перваго взгляда, показаться не вполнѣ родственными другъ другу: сложеніе нѣсколькихъ слагаемыхъ, переходъ къ обозначенію (словесному и письменному) умноженія однозначнаго числа на однозначное и представленія о дробяхъ: */sr, VU и 3А, тѣмъ болѣе, что все это должно быть разработано въ предѣлахъ перваго и второго десятковъ. Впрочемъ, связь между умноженіемъ и сложеніемъ довольно очевидна, такъ какъ на низшихъ ступеняхъ обученія къ тому-же и не существуетъ дѣйствія умноженія, а существуетъ только двоякій способъ изустнаго и письменнаго обозначенія одного и того-же требованія: «4 да 4 да еще 4» и «трижды четыре» или-же 4-f-4-[-4 и 4X3. Весь вопросъ только въ умѣстности на этой ступени обученія представленій о дробяхъ: 1/і и 3А; не подлежитъ сомнѣнію, что выработка представленія о части цѣлаго необходимо для усвоенія

дѣтьми должной мѣры пониманія соотношенія между множимымъ, множителемъ и произведеніемъ, какъ между частью, числомъ частей и цѣлымъ; не менѣе несомнѣнно, что то-же представленіе о части необходимо для выработки на слѣдующихъ ступеняхъ представленій о дѣленіи. Да и самыя представленія о половинѣ, четверти и трехъ четвертяхъ крайне необходимы съ ариѳметической точки зрѣнія. Но посвящать этимъ представленіямъ отдѣльную ступень я не считалъ необходимымъ, тѣмъ болѣе, что одной изъ цѣлей отнесенія этихъ представленій въ девятой ступени курса было также внесеніе, какъ-бы мимоходомъ, большаго разнообразія въ самостоятельныя упражненія учащихся. Девятая ступень курса, хотя учащіеся еще не знаютъ дѣйствія дѣленія числа на равныя части, можетъ представлять собою ту ступень, на которой (если мнѣ позволено будетъ прибѣгнуть къ дальнѣйшей разработкѣ аналогіи, на которую наводитъ слово «ступень») учащійся можетъ остановиться,—ту площадку, на которой онъ можетъ отдохнуть, привести все успоенное въ порядокъ, оглянуться назадъ и освоиться съ основными ариѳметическими представленіями: сложенія, вычитанія, умноженія, части, числа частей, цѣлаго, доли, равенства и неравенства.

На десятой ступени обученія должна быть разработана нумерація всякихъ двузначныхъ чиселъ, и наглядными пособіями должны служить торговые счеты и такъ-называемая «солома» (спички извѣстной длины и толщины, которыя можно связывать въ пучки по десяти штукъ въ каждомъ).

Только на одиннадцатой ступени, къ которой относятся усвоеніе дѣтьми сложенія и вычитанія (притомъ непремѣнно изустныхъ), двузначныхъ чиселъ и умноженіе сначала чиселъ однозначныхъ, произведеніе которыхъ менѣе 50-ти, умѣстно усвоеніе дѣтьми условныхъ выраженій: «больше на столько-то», «меньше на столько-то» и «во столько-то разъ больше». На этой-же ступени можетъ быть усвоена таблица умноженія во всемъ ея объемѣ. О способахъ усвоенія таблицы умноженія наизусть я, къ сожалѣнію, вдаваться въ подробности не могу; но долженъ замѣтить, что на этой ступени, а не позже, долженъ наступить моментъ, когда дѣти могутъ понять, что имъ полезно усвоить себѣ результаты таблицы умноженія наизусть. Средствами для усвоенія таблицы умноженія наизусть должны служить пріемъ звукового усвоенія, пріемъ умноженія на пальцахъ, когда сомножители болѣе шести, и пріемъ геометрическаго постепеннаго построенія такъ наз. Пиѳагоровой таблицы.

Двѣнадцатая ступень должна быть посвящена дѣленію. числа на

нѣсколько равныхъ частей въ предѣлѣ таблицы умноженія и уясненію связи дѣленія числа на равныя между собою части и умноженія, задачамъ на такъ-называемое тройное правило (опять-таки въ предѣлахъ таблицы умноженія), подчиненнымъ тому условію, чтобы для рѣшенія ихъ не приходилось производить сравненія двухъ чиселъ въ кратномъ отношеніи; на этой-же ступени умѣстно (если курсъ можетъ быть болѣе или менѣе полнымъ) усвоеніе дѣтьми представленія о дроби и о смѣшанномъ числѣ, какъ о частныхъ, а также (во всякомъ случаѣ) усвоеніе дѣтьми значенія выраженій «увеличить и уменьшить на столько-то», «увеличить во столько-то разъ» и «уменьшить во столько-то разъ».

На тринадцатой ступени учащіеся должны усвоить себѣ представленіе о второмъ видѣ дѣленія, т.-е. о кратномъ сравненіи одного числа съ другимъ и о связи между дѣленіемъ числа на части, съ одной стороны, и кратнаго сравненія одного числа съ другимъ, съ другой стороны, съ дѣйствіемъ умноженія и сложенія. Полезно на той-же ступени научить дѣтей рѣшенію задачъ на простое тройное правило, въ которыя входятъ величины прямо пропорціональныя и для которыхъ надо прибѣгать къ кратному сравненпо двухъ чиселъ; это полезно также въ качествѣ матеріала для полнаго усвоенія таблицы умноженія.

Четырнадцатая ступень должна быть посвящена нумераціи трехзначныхъ и четырехзначныхъ чиселъ и письменному (здѣсь-то и появляется впервые надобность въ немъ) производству сложенія и вычитанія трехзначныхъ чиселъ. Вообще четырнадцатая ступень является тою ступенью курса, на которой учащійся впервые долженъ убѣдиться въ томъ, что изустное вычисленіе не всегда вѣрно и быстро ведетъ къ цѣли.

Пятнадцатая ступень можетъ быть посвящена нумераціи многозначныхъ чиселъ до какого-либо довольно высокаго предѣла и дѣйствіямъ сложенія и вычитанія многозначныхъ чиселъ.

На шестнадцатой ступени разрабатывается умноженіе многозначнаго числа на однозначное, и только на этой ступени впервые появляется истинное умноженіе, какъ новое дѣйствіе, имѣющее свой пріемъ вычисленія, не извѣстный въ другихъ дѣйствіяхъ и на предыдущихъ ступеняхъ; на семнадцатой-же умѣстно дѣленіе двузначнаго числа на однозначное въ случаѣ двузначнаго частнаго, гдѣ также появляется уже пріемъ дѣленія, какъ дѣйствія, ибо на предыдущихъ ступеняхъ дѣленіе являлось только косвеннымъ приложеніемъ таблицы умноженія.

На восемнаддатой ступени идетъ дѣленіе многозначнаго числа на однозначное, а также умѣстны задачи на четыре дѣйствія; на девятнадцатой — умноженіе на единицу какого-либо разряда и умноженіе на однозначное число единицъ какого-либо разряда; наконецъ, на двадцатой—умноженіе многозначнаго числа на многозначное; при этомъ двадцатая ступень является именно тою, на которой учащійся постигаетъ, что умноженіе есть дѣйствительно особенное дѣйствіе, котораго производство обусловлено только возможностью цѣлесообразно пользоваться таблицей умноженія однозначнаго на однозначное и однозначнаго единицъ какого угодно разряда на нѣсколько единицъ того-же или иного разряда*).

Раздробленіе и вычитаніе составныхъ именованныхъ чиселъ представляетъ собою предметъ двадцать первой ступени обученія ариѳметикѣ; что-же касается двадцать второй ступени, то она должна быть всецѣло посвящена предварительнымъ упражненіямъ въ дѣленіи, расположеннымъ въ методическомъ отношеніи такъ, чтобы дѣленіе многозначныхъ чиселъ, которое представляетъ собою содержаніе двадцать третьей ступени, не явилось камнемъ преткновенія при усвоеніи дальнѣйшаго курса ариѳметики. Въ виду крайнихъ затрудненій, подлежащихъ преодолѣнію со стороны учащихъ и учащихся во время усвоенія послѣдними умѣнья дѣлить быстро, вѣрно и изящно одно многозначное число на другое, постараемся уяснить себѣ характеръ предварительныхъ упражненій, составляющихъ помянутое выше содержаніе двадцать третьей ступени обученія. Дѣлитель можетъ быть числомъ, легко закругляемымъ въ какое-либо однозначное число единицъ какого-либо разряда (41, 418, 598, 29), или числомъ, совсѣмъ не поддающимся закругленпо (35, 46, 554, 648); отсюда вытекаетъ необходимомъ научить дѣтей сначала дѣленію на одну единицу какого-либо разряда, далѣе — на нѣсколько единицъ какого-либо разряда, затѣмъ уже дѣленію на число, легко закругляемое, и только когда всему этому дѣти вполнѣ научились, можно приступить къ выработкѣ у нихъ умѣнья расчленять производство дѣленія чиселъ на незакругляемыя числа на тѣ двѣ операціи, которыя даютъ возмож-

*) 18-ою ступенью курса заканчивается курсъ первоначальной ариѳметики, въ составъ которой не можетъ входить ни умноженіе многозначнаго числа на многозначное, ни тѣмъ паче—дѣленіе многозначнаго числа на многозначное. Эти послѣднія два дѣйствія,—преимущественно производимыя письменно,—принадлежатъ къ матеріалу практической ариѳметики и не могутъ быть, какъ слѣдуетъ, усвоены ранѣе 10-ти, 11-ти-лѣтняго возраста со всѣми техническими ихъ пріемами.

ность учащемуся «задаться» болѣе или менѣе вѣрною въ данномъ случаѣ цыфрою частнаго. Эти двѣ операціи состоятъ въ мысленномъ двукратномъ раздѣленіи дѣлимаго на закругленнаго дѣлителя, — разъ закругленнаго такъ, чтобы вмѣсто дѣлителя было взято круглое число, меньшее его, а другой разъ закругленнаго такъ, чтобы вмѣсто дѣлителя было взято число, большее его; напр., если дѣлитель равенъ 246, то сначала должно мысленно раздѣлить дѣлимое на 200, а потомъ то-же дѣлимое раздѣлить на 300 и, наконецъ, изъ двухъ полученныхъ цыфръ взять наиболѣе, такъ сказать, среднее частное.

Когда всѣ трудности двадцать второй ступени обученія ариѳметикѣ преодолѣны, можно приступить къ разработкѣ матеріала двадцать третьей ступени, исчерпываемаго упражненіями въ письменномъ производствѣ дѣленія многозначнаго числа на многозначное-же. Понятно, что научить дѣтей вѣрно «взвѣшивать» цыфру частнаго можно только путемъ долгихъ и методическихъ въ этомъ направленіи упражненій.

На двадцать четвертой ступени вполнѣ умѣстно кратное сравненіе многозначныхъ чиселъ, а также простыхъ именованныхъ чиселъ одного наименованія и зависящее отъ него превращеніе именованныхъ чиселъ, на двадцать пятой—зависящее отъ предыдущей ступени сложеніе, умноженіе и кратное сравненіе составныхъ именованныхъ чиселъ.

Двадцать шестая ступень должна быть всецѣло посвящена выработкѣ болѣе или менѣе точныхъ понятій (представленія выработаны уже раньше) о дѣйствіяхъ сложенія и вычитанія и усвоенію дѣтьми терминологіи этихъ двухъ дѣйствій, а также понятій о вычитаніе какъ о дѣйствіи, обратномъ сложенію; двадцать седьмая ступень—выработкѣ точныхъ понятій объ умноженіи, а равно о дѣленіи на равныя части и о сравненіи двухъ чиселъ въ кратномъ отношеніи, какъ о дѣйствіяхъ обратныхъ умноженію, а также выработкѣ понятія объ отвлеченной дроби, какъ о частномъ и какъ объ отношеніи двухъ чиселъ; двадцать восьмая, двадцать девятая и тридцатая ступени могутъ быть посвящены обыкновеннымъ дробямъ, а именно: двадцать восьмая—измѣненію дроби и ея преобразованіямъ, двадцать девятая—отысканію частей цѣлаго числа и дробнаго числа и отысканію цѣлаго по части его, тридцатая—приведенію дробей къ какому-нибудь (хотя и не наименьшему) знаменателю и первымъ двумъ дѣйствіямъ надъ дробями.

На двадцать девятой ступени умѣстно также вычисленіе процентовъ, если на процентъ смотрѣть, какъ на сотую долю числа, и даже

рѣшеніе задачъ на простое тройное правило и на сложное тройное правило съ помощью такъ - называемаго способа приведенія къ единицѣ. На тридцатой-же ступени, если курсъ можетъ быть такъ полонъ и объемистъ, умѣстно рѣшеніе задачъ (конечно, не головоломныхъ) на такъ-называемое пропорціональное дѣленіе.

Что-же касается задачъ на такъ-называемое вычисленіе времени, поверхностей и объемовъ, то онѣ должны быть относимы на тѣ ступени обученія, гдѣ онѣ наиболѣе умѣстны. Алгебраическимъ -же задачамъ на выше охарактеризованныхъ ступеняхъ обученія ариѳме-тикѣ, какъ это легко видѣть изъ предыдущаго, не можетъ быть от-ведено никакого опредѣленнаго мѣста. Кромѣ того, само собою разумѣется, что содержаніе каждой изъ ступеней обученія ариѳметики, выше нами намѣченныхъ и охарактеризованныхъ, можетъ быть разрабатываемо вполнѣ подробно и детально только въ школѣ весьма благоустроенной и при домашнемъ обученіи, вполнѣ подчиненномъ методѣ цѣлесообразныхъ задачъ и требованіямъ раціональнаго обученія вообще и раціональнаго обученія ариѳметикѣ въ частности.

При распредѣленіи всего курса ариѳметики (первоначальной и практической) на тридцать ступеней мною, кромѣ точекъ зрѣнія, достаточно выясненныхъ выше, руководилъ также принципъ, по которому къ одной и той-же ступени должны быть относимы ученія, тяготѣющія къ одному и тому-же, если можно такъ выразиться, центру притяженія: напр., когда мы учимъ ребенка находить части цѣлаго или когда онъ этому вполнѣ научился, его можно научить отысканію сотыхъ долей чиселъ, отысканію любого числа сотыхъ его долей, стало быть, отысканію одного процента даннаго числа или нѣсколькихъ процентовъ его; если ему выяснено, что разумѣютъ подъ словами: «1250 р. отданы въ ростъ изъ б-ти процентовъ годовыхъ», то на той-же ступени онъ можетъ научиться рѣшенію задачъ на отысканіе прибыли съ капитала, отданнаго въ ростъ, по достаточнымъ для того условіямъ, и т. п. Согласно этому принципу, не надо стѣсняться тѣмъ, что согласно программамъ, установленнымъ по системѣ, принятой въ учебникахъ ариѳметикѣ, — системѣ, къ тому-же, содержащей въ себѣ массу не заслулживающихъ сочувствія остатковъ старины и чуть не средневѣкового пристрастія къ правиламъ,—ученіе о процентѣ отдѣлено отъ ученія о нахожденіи части цѣлаго пространствомъ въ сотню слишкомъ страницъ или промежуткомъ времени въ одинъ годъ. На самомъ-же дѣлѣ ученіе о процентѣ приводитъ къ отысканію сотыхъ долей числа, а потому истинное мѣсто этому ученію въ статьѣ о части цѣлаго. Это стремленіе къ объеди-

ненію однородныхъ въ логическомъ отношеніи ученій ариѳметики при помощи общей руководящей идеи, выясненное на одномъ примѣрѣ, должно быть понятно и учащемуся и должно повести къ болѣе сознательному съ его стороны и болѣе разумному усвоенію имъ тѣхъ ученій ариѳметики, которыя нынѣ, по какому-то печальному и весьма поучительному недоразумѣнію, разбиты на сотни различныхъ правилъ и независимыхъ другъ отъ друга механическихъ пріемовъ, въ то время какъ они на самомъ дѣлѣ составляютъ одно цѣлое, проникнутое единой руководящей идеей.

Внѣ этихъ ступеней курса стоятъ десятичныя дроби и дѣйствія надъ ними. Это ученіе само распадается на четыре ступени: 1) усвоеніе представленія о десятичной дроби съ точки зрѣнія десятичной системы счисленія, 2) сложеніе и вычитаніе десятичныхъ дробей, 3) умноженіе десятичныхъ дробей съ точки зрѣнія опять-таки десятичной системы счисленія и 4) дѣленіе десятичныхъ дробей съ той-же точки зрѣнія, а также обращеніе обыкновенныхъ дробей въ десятичныя съ извѣстнымъ приближеніемъ. Что касается періодическихъ десятичныхъ дробей, то это ученіе можно, строго говоря, считать не относящимся къ ариѳметикѣ, какъ таковой.

Если въ курсѣ ариѳметики есть ученія и задачи, которыя недоступны взрослому человѣку, если, иначе говоря, не всякій взрослый и образованныя человѣкъ въ состояніи помочь своему сыну или дочери въ ихъ занятіяхъ ариѳметикою, то это свидѣтельствуетъ о томъ, что данное ученіе или данная задача, строго говоря, къ ариѳметикѣ не относится и усвоенію дѣтьми въ низшихъ классахъ не подлежитъ. Ибо требовать отъ дѣтей большей способности къ умственному труду, чѣмъ какою отличается взрослый образованный человѣкъ, по меньшей мѣрѣ, неблагоразумно. Курсъ ариѳметики долженъ .заключать въ себѣ только то, что доступно разумѣнію каждаго ребенка, и не долженъ въ себѣ заключать ничего такого, предъ чѣмъ (какъ, напр., предъ очень многими задачами изъ Верещагина) и любой взрослый человѣкъ, если только онъ не математикъ, становится въ тупикъ. Ариѳметика — не иностранный языкъ и не географія или естественная исторія: въ ней ребенокъ долженъ прежде всего понять то, что отъ него требуется, а понимать больше, чѣмъ понимаетъ взрослый, ребенокъ не можетъ; ариѳметика—не иностранный языкъ, въ которомъ ребенокъ можетъ больше знать, чѣмъ взрослый, мало и вовсе не учившійся этому языку: въ ариѳметикѣ, повторяю, первое дѣло—понять, и если вы требуете, чтобы ребенокъ понималъ въ ариѳметикѣ многое такое, чего не понимаетъ его отецъ юристъ, или врачъ, или учитель

исторіи, то требованіе ваше суетно и не можетъ быть оправдано никакими соображеніями. Къ сожалѣнію, современный курсъ ариѳметики именно таковъ, что дѣти должны себѣ цѣликомъ усвоить то, чего ихъ «отцы» иногда совсѣмъ не понимаютъ. Это, конечно, ненормально. Не дрессировать въ какихъ-либо спеціальныхъ направленіяхъ надо дѣтей, а учить и воспитывать, т.-е. надо поболѣе стремиться къ выполненпо требованій истиннаго образованія и истиннаго воспитанія.

Для этого-же прямо необходимо, чтобы при усвоеніи дѣтьми изустныхъ и письменныхъ вычисленій, при рѣшеніи ими задачъ и выполненіи письменныхъ самостоятельныхъ работъ, точно также какъ и при изученіи текста учебника, учащійся былъ воспитываемъ въ духѣ уваженія и любви къ вѣчной правдѣ, въ духѣ уваженія къ здравому смыслу, къ уму и доброй волѣ человѣка въ преодолѣніи препятствій на пути къ знанію; онъ долженъ быть воспитываемъ въ духѣ уваженія къ истинному знанію, къ стремленію пріобрѣсти его и къ стремленію сохранить знаніе на всю жизнь; безъ воспитанія въ дѣтяхъ этого уваженія обученіе ариѳметикѣ не заслуживаетъ имени воспитывающаго обученія; ибо въ такомъ случаѣ оно ограничивается лишь малоцѣнною выучкою дѣтей въ томъ или иномъ спеціальномъ направленіи, не всегда къ тому-же и заслуживающемъ сочувствія и господствующимъ въ данный моментъ развитія педагогическихъ идей только, можетъ быть, въ силу какого-либо временнаго недоразумѣнія или временнаго-же увлеченія. а для этихъ идеальныхъ цѣлей намъ самимъ, учителямъ, надо стремиться къ правдѣ и свѣту истиннаго образованія и самоусовершенствованія, притомъ, самоусовершенствованія какъ въ отношеніи пріемовъ и способовъ преподаванія, такъ и въ отношеніи педагогическаго нашего міросозерцанія и въ отношеніи нашего общаго и спеціально педагогическаго самообразованія.

С. Шохоръ-Троцкій.