А. СГИБНЕВ,

г. Москва

СОЧИНИ ПРИМЕР СОСЕДУ!

Самостоятельное составление примеров вовлекает учеников в процесс учебы, развивает креативность и инициативность. Чтобы составление примера было посильным, задания должны быть достаточно типовыми и короткими. А чтобы при этом их было интересно решать, можно устроить игровое взаимодействие учеников друг с другом.

Опишу несколько игр, которые проводил на уроках алгебры с группами углубленного обучения математике в школе-интернате «Интеллектуал» . Эти игры хороши в конце изучения темы. В предлагаемых играх предполагается обсуждение решений в парах или группах. Это развивает коммуникативные и социальные навыки школьников, а также уменьшает нагрузку на учителя, надо только четко разъяснить формат задания и правила игры.

Преобразование графиков

а) Учитель рисует на доске график функции у = f(x). Просит каждого ученика загадать небольшие целые числа а и b и построить в тетради график функции у = f(x + а) + b. Потом ученики в парах обмениваются тетрадями, и каждый должен по новому графику понять, какие числа а и b были загаданы. После того как ответ сравнили с загаданными числами, часто происходит интересная дискуссия — ученики выясняют, кто же из них ошибся и в чем.

В трудных случаях обращаются к учителю.

б) То же для функции у = bf(ax). Интересно, что если на графике есть точка х = 0, у = 0, то она никуда не сдвинется при таком преобразовании — так можно быстро найти ошибку построителя графика.

Эскиз параболы

Сначала обсуждаем с классом такую задачу.

Есть квадратичная функция у = ах2 +bх + с. Знаки каких из чисел а, b, с, D = b2 - 4ас можно определить по эскизу графика?

Эскиз

Ответ

Далее играем в «испорченный телефон»: школьники объединяются в группы по четыре, каждый получает лист бумаги и рисует на нем один из видов параболы на выбор (без осей; с осью Ох; с осью Oy; с обеими осями). Листок передается соседу (по часовой стрелке). Сосед определяет по графику знаки тех из чисел а, b, с, D), которые можно определить, пишет их под графиком, заворачивает листок бумаги так, что график не был виден, а числа видны, и передает следующему соседу. Тот должен по знакам коэффициентов

К материалу есть приложение в вашем Личном кабинете на сайте www.1september.ru

восстановить график с правильным количеством осей. И так далее, пока листок не совершит полный круг. Автор задачи разворачивает листок и подсчитывает число верных переходов. Побеждает та команда, у которой их больше всего.

Восстановление функции по графику

Сначала учитель рисует на доске четыре графика, например такие:

Учитель обсуждает с классом, каков вид функции в каждом случае (линейная, квадратичная и т.д.) и как определить коэффициенты в формулах. Например, приведем рассуждения для третьего графика:

График

Функция

Парабола

у = ах2 + bх + с

«Ветви» вниз

а<0

Пересекает ось Oy в точке у = 3

с = 3

Пересекает ось Ох в точках х = -3; 1

у = а(х + 3)(х-1)

Подставляя х = О и раскрывая скобки, получаем: с = а(-3), то есть а = -1.

Итак, функция имеет вид у = —х2 —2х + 3.

После этого каждый ученик на листочке выбирает один из предложенных видов функции, рисует свой график и отмечает точки, по которым можно определить коэффициенты. После этого школьники обмениваются листочками, находят коэффициенты и сравнивают результаты. Если отмеченных точек недостаточно для определения функции, то происходят интересные диалоги.

Можно сделать модификацию этой игры: разрешить более сложные типы функций (например, параболы и гиперболы с модулем). У доски поставить две коробки, в одну складывать «обычные» графики, а в другую «сложные». Тогда у учеников есть выбор, какого уровня задачу он составит и какого получит.

Квадратичные неравенства с ошибками

Каждый ученик получает два листочка, на которых пишет свою фамилию и одно и то же квадратичное неравенство (какое хочет). На одном листочке он пишет правильный ответ к неравенству, а на другом — неправильный, но правдоподобный. После этого все листочки кладутся в одну стопку, перемешиваются и каждый ученик вытаскивает два листочка. Ему надо решить неравенства и понять, верные ли ответы приведены. По фамилии он находит автора и сравнивает свой ответ с авторским замыслом.

Потом из самых интересных заданий учитель может составить самостоятельную работу.

Функции (пример для 10-го класса)

Учитель строит на доске несколько графиков функций (дробно-рациональных, имеющих вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты). Ученики в парах пытаются восстановить функцию по графику. Пары по очереди предлагают свою функцию, а остальные пары проверяют ее по характерным особенностям (точкам пересечения с осями, асимптотам и т.д.).

Например, для такого графика могут быть предложены такие функции:

Версия

Критика версии

y = x/x2-1

Это нечетная функция, а должна быть четная

y = x2-1/x2-2

График этой функции должен пересекать ось Ох

y = x2+1/x2-1

При x = 0 эта функция отрицательна

y = - x2+1/x2-1

Это может быть правильная функция: она четная, у нее две вертикальные асимптоты x = ±1 и одна горизонтальная у = — 1; при — 1 < x < 1 она положительна, а при х> 1 их<-1 отрицательна

Понятно, что эти приемы можно комбинировать, например:

- рисовать два графика известной функции, причем один из них с ошибкой;

- определять знаки коэффициентов по эскизам графиков линейной функции, модуля, корня и гиперболы.

Школьники, склонные к методической работе, могут составить решение с ошибкой, которую надо найти, например, в решении квадратного уравнения (забыли извлечь корень из дискриминанта, поделили на 2 вместо 2а), в преобразовании выражений с квадратными корнями (забыли добавить модуль, оставить минус и т.д.).

Для игры «Сочини пример соседу» можно использовать также многие типы заданий из статьи Д. Шноля «Устные упражнения в старших классах» (Математика, 2016 г., № 1, 2).