Учебный предмет «математика» как цель и средство образования

O.A. Саввина

Аннотация. В настоящее время в отечественной методике преподавания математики обострился ряд противоречий. Образовательными стандартами внедрены универсальные учебные действия и метапредметные результаты. Эти новшества ставят под сомнение самодостаточность математики как учебного предмета. После их внедрения уровень математического образования школьников и студентов в России продолжает стремительно падать. Какую роль играют традиции в российском математическом образовании?

Почему необходимо их восстановить? В процессе изучения математики (как систематической науки) автоматически формируются все качества логического мышления, поэтому ошибочно ставить самоцелью образования развитие учебных действий, метапредметных результатов и пр. При этом не следует отказываться от тех достижений, которые были получены в области психологии, методики и педагогики. Однако, чтобы не случилось перекосов, необходимо соразмерять все новшества с традициями российского математического образования.

Nowadays a number of contradictions have become sharp in the sphere of Russian methods of teaching mathematics. Universal teaching activities and meta-subject results have been introduced by the educational standards. These innovations make doubtful self-sufficiency of mathematics as an educational subject. After their introduction the level of schoolchildren and students mathematics education in Russia continues to drop swiftly What is the role of traditions in Russian mathematics education? Why is it necessary to restore them? In the process of learning mathematics (as a systematic science) all the aspects of logical thinking are automatically formed, so it is wrong to set the development of educational activity, meta-subject results and other aspects as the goal of education. At the same time we should not refuse the achievements that had been acquired in the spheres of psychology, methodology and pedagogics. However, to avoid distortions it is necessary to balance all innovations with the traditions of Russian mathematics education.

Ключевые слова. Цели изучения математики, традиции математического образования.

Goals of learning mathematics, the tradition of mathematics education.

В настоящее время в отечественной методике преподавания математики обострился ряд противоречий. Внедренные новыми школьными стандартами универсальные учебные действия ставят под сомнение самодостаточность математики как учебного предмета, поскольку рассматривают ее лишь как служанку формирования этих действий, а не как царицу наук. Модернизация образовательных стандартов осуществляется в рамках новой рыночной идеологии, когда «культура усвоения замещается культурой поиска и обновления» [1]. Метапредметные результаты противопоставляются предметным (математическим) и доминируют в иерархии целей образования [2]. «Учителю велено формировать и развивать» универсальные учебные действия [3], которые, по сути, противопоставляются предметному обучению [4].

Приходится констатировать, что внедрение в российское образование деятельностной парадигмы не принесло заметных положительных результатов, уровень математического образования школьников и студентов продолжает стремительно падать. По словам академика В.И.Арнольда, реформы последних лет «ликвидируют традиционно высококачественное отечественное математическое образование» (1937-2010) [5]. Поэтому сегодня крайне важно обратиться к истокам нашего математического образования.

Как же исторически складывались аксиологические смыслы обучения математике? Какую роль играют в этом традиции отечественного математического образования и почему необходимо их восстановить?

Древнегреческая традиция заставляла в течение столетий с особым почтением относиться к математике. О чем свидетельствует, например, всем известное хрестоматийное высказывание: «Да не войдет сюда не знающий геометрии», начертанное на входе в Платоновскую академию.

Одним из первых удар по самодостаточности математики как учебного предмета в начале XIX в. нанес, как ни странно, швейцарский педагог и основоположник методики преподавания математики И.Г.Песталоцци (1746-1827). И доказать этот парадоксальный факт довольно просто. Дело в том, что в преподавании математики И.Г.Песталоцци видел средство образования, но не цель. Пытаясь показать неразрывность целей формального образования (ставящего на первый план развитие памяти, внимания и пр. психологических функций) и материального

(отдающего предпочтение формированию у детей знаний), он умалил обучающую цель и упустил из виду практическую значимость обучения математике. Главным недостатком в методико-математических взглядах швейцарского педагога была недооценка логического характера построения самой науки математики, который как раз и обеспечивает развитие логического мышления у изучающего ее как систему знаний.

Более открытое нападение на математику как учебный предмет было осуществлено шотландским философом У.Гамильтоном (1788-1856). В заметке, опубликованной в 1836 г. в журнале «Эдинбургское обозрение», он высказался категорически против изучения математики, поскольку, по его мнению, этот предмет несет вредные последствия для умственных способностей ее изучающего [6]. Заметка Гамильтона представляла собой рецензию на брошюру «Мысли об обучении математике в рамках общего образования» У. Уэвелла (1794-1866), в которой отстаивалась противоположная точка зрения. Переписка между оппонентами позднее была переиздана Уэвеллом под заголовком «Об изучении математики в качестве упражнения ума» и переведена на французский, итальянский и немецкий языки. Появление рецензии Гамильтона стало стимулом для дискуссии вокруг вопросов математического образования, в которую оказались вовлеченными европейские мыслители Дж.Милль ( 1806-1873), Дж.Буль ( 1815-1864) и др.

На русский язык заметка Гамильтона не была переведена, но это не помешало включиться в полемику московскому профессору Н.Д.Брашману (1796-1866). Отвечая шотландскому философу, в публичной речи «О влиянии математических наук на развитие умственных способностей» (1841) Н.Д.Брашман привел ряд убедительных аргументов о пользе изучения математики для развития мышления. Важно заметить, что при этом позиция Н.Д.Брашмана резко отличалась от принципов И.Г.Песталоцци. Русский ученый утверждал, что уже сама математика полезна тем, что «приучает ум к точному и последовательному рассуждению» [7, с. 4]. Логично и горячо он доказывал, что главной образовательной ценностью математики является умение связывать суждения.

Идеи Н.Д.Брашмана были развиты в трудах его ученика и коллеги Н.В.Бугаева (1837-1903), особенно в речи «Математика как орудие научное и педагогическое», впервые опубликованной в 1869 г. и переведенной затем на французский язык. Эта работа получила при жизни автора довольно большую известность и в 1875 г. была переиздана в России. В ней Н.В.Бугаев обосновал, что математика имеет «громадное преимущество перед другими науками», т.к. «строгий логический процесс, при помощи которого создается величественное здание математики, служит самым лучшим средством для воспитания логической, рассудочной стороны мышления... Постоянная необходимость при каждом дальнейшем движении иметь в виду все предшествующие истины и понятия приучает рассудок ко вниманию, сосредоточенности, к гибкости и способности сопоставлять идеи и истины. Все признают, что под влиянием этих условий развивается соображение» [8, с. 23].

Передовой для своего времени была мысль Н.В.Бугаева о том, что математика в силу своей специфики сама развивает того, кто ею занимается. Педагог-математик считал, что, проводя математические доказательства, где утверждения, опирающиеся на предшествующие, сами становятся закономерным основанием для последующих, учащиеся строят верные логические цепочки, тем самым привыкая искать верный результат и быть правдивыми. В результате подобных размышлений он пришел к закономерному заключению, что математика воспиты-

вает «любовь к истине», т.е. способствует формированию нравственных качеств человека.

Отчасти такую точку зрения разделял киевский математик В.П.Ермаков (1845-1922). При этом он отдавал предпочтение развивающей цели обучения математике, считая, что роль ее применения к другим наукам и познанию мира преувеличена. «Великая цель» этой науки, по его мнению, состоит в другом: она учит правильному мышлению. Он утверждал, что «правильное занятие математикой делает человека хорошим мыслителем» [9, с. 10].

Удивительно, но острота обозначенной Гамильтоном проблемы не снижалась и спустя десятилетия. В начале XX в. американский профессор Дж.В.А.Юнг (1838-1920) признавал, что чтение работы Гамильтона «поучительно для преподавателя математики, как чтение всех будящих мысль рассуждений об этом предмете» [10]. Аргументы Юнга в критике Гамильтона сегодня выглядят спорными. Так, американский профессор утверждал, что кажущаяся простота математики у Гамильтона скрывается в ее логической завершенности. Если же математику преподавать в соответствии с историческим ходом ее развития (следуя историко-генетическому принципу), то она уже не будет выглядеть такой простой. Отсюда следует, что Юнг выступал противником систематического подхода к построению школьного курса математики. И в этом его видение отличалось от опыта русской школы.

Начиная с периода стабилизации советской системы образования (с 1930-х гг.), важность и полезность изучения физико-математических наук в нашей стране воспринималась как данность, которая не подвергалась сомнению. Неслучайно родилось отчаянное восклицание поэта: «Что-то физики в почете. Что-то лирики в загоне...».

И даже несмотря на активное внедрение в 1990-х гг. в отечественную методику преподавания математики новой лексики, использующей понятие «деятельности», в иерархии целей математического образования обучающие цели продолжали занимать первое место. Более того, во время отрицания традиций математического образования в официальных документах и положениях (внедрение единого государственного экзамена, появление новых стандартов в 2000-х гг.) было высказано предложение определить математику как «своеобразную культурно-историческую традицию», что позволяло снять с повестки дня вопрос «Зачем изучать математику?». «Если школьная математика — это традиция, — заявлял В.М.Бусев, — то сама постановка вопроса выглядит бессмысленной. В самом деле, зачем люди празднуют Масленицу или встречают Новый год? Вряд ли можно ответить что-то вразумительное на этот вопрос. Ни за чем, таков обычай. Можно его не соблюдать и лишиться чего-то, что получают другие люди....» [11].

Как показал С.Г.Кара-Мурза, наличие логического мышления не является показателем того, что человек будет мыслить логически. В качестве «арматуры, которая предотвращает расщепление сознания» и предупреждает разрушение логического мышления, выступают традиции. Они выполняют «охранительную функцию, поскольку заключают в себе неявное знание множества поколений, проверенное опытом и здравым смыслом» [12, с. 135].

В русской традиции математика всегда рассматривалась как самодостаточный учебный предмет. Считалось, что само изучение математики (как системы научных знаний) непременно формирует логическое мышление, включая умения анализировать, синтезировать, обобщать, связывать суждения, правильно устанавливать силлогизмы и строить умозаключения, поэтому сомнительной выглядит идея о подмене традиционной знаниевой системы обучения математике симулякрами в виде метапредметных результатов и универсальных учебных действий.

Традиции математического образования складывались веками, содержание учебного предмета «математика» при этом отшлифовывалось, дорабатывалось и систематизировалось, отметалось ненужное и оставалось лишь то, что принималось в образовательной практике. Традиция, можно сказать, — это проверенная на практике многолетняя и приводящая к успеху теория, а значит, следование традиции предопределяет гармоничность образовательного процесса и придает ему устойчивость.

К сожалению, в современной образовательной практике утрачен уникальный отечественный опыт выделять в школьном курсе математики в качестве самостоятельных такие учебные предметы, как арифметика и тригонометрия, поэтому можно говорить только лишь об элементах систематичности в их изучении.

При этом гордостью отечественного образования остается школьная геометрия, которая и сегодня сохраняет дедуктивный характер (основана на доказательствах) и построена на аксиоматической основе (например, в учебниках Л.С.Атанасяна и др., продолжающих и развивающих «киселевское» направление, когда учитываются возрастные особенности и аксиомы вводятся не сразу все как у Евклида, а постепенно, по мере изучения материала). Аксиоматический метод для построения научного знания в этих учебниках применяется традиционно: сначала даются основные неопределяемые понятия и постулируются принимаемые без доказательства утверждения (аксиомы). Затем с помощью определений вводятся дальнейшие понятия и доказываются (выводятся по законам логики) дальнейшие утверждения (теоремы). Практически любой математический факт (необязательно геометрический) устанавливается по закону силлогизма. Так, прежде чем решить уравнение (линейное, квадратное, тригонометрическое и т.п.), определяется его тип (например, уравнение является квадратным) и делается заключение о методе решения (его можно решить с помощью дискриминанта). Отсюда понятно, что у освоившего такую математику будет сформировано на определенном уровне логическое мышление. И этот уровень будет тем выше, чем более завершенной и четкой будет система научных знаний в учебном математическом курсе.

В подтверждение уместно привести слова о пользе изучения математики епископа Игнатия Брянчанинова (1807-1867): «Мудрец греческий Платон воспрещал упражнение в философии без предварительного изучения математики. Верный взгляд на дело! Без предварительного изучения математики с зиждущимися на ней другими науками и без деятельных и благодатных познаний в христианстве невозможно в наше время изложение правильной философской системы. Многие, признающие себя сведущими в философии, но не знакомые с математикою и естественными науками, встречая в сочинениях материалистов произвольные мечты и гипотезы, никак не могут отличить их от знаний, составляющих собственность науки, никак не могут дать удовлетворительного отзыва и опровержения на самый нелепый бред какого-либо мечтателя, очень часто сами увлекаются этим бредом в заблуждение, признав его доказанною истиною. Одна логика может обойтись без математики; но и логика в сущности неразрывно связана с математикой, и от последней может заимствовать особенную точность и положительность. Что такое — силлогизм? Это — алгебраическое уравнение. Что такое пропорции и прогрессии? Это — логичная последовательность понятий» [13].

Таким образом, уже в XIX в. в процессе обсуждения целесообразности изучения математики была установлена развивающая функция этого учебного предмета. Однако понимание развивающей цели обучения математике у русских педагогов разительно отличалось от западного (Пе-

сталоцци, Грубе и др.), рассматривавшего ее изолированно от логики самой математической науки. Согласно отечественной традиции, учебный предмет «математика» является одновременно и целью, и средством образования при выполнении необходимого условия — если этот предмет представлен систематическими курсами (геометрии, алгебры и пр.). Эта традиция была успешно развита в советское время (в учебниках А.П.Киселева) и не потеряла актуальности и сегодня (школьный курс геометрии), поскольку подтверждает, что в процессе изучения математики как систематической науки подспудно формируются все качества логического мышления. Поэтому ставить самоцелью развитие мышления, универсальных учебных действий, метапредметных результатов и компетенций (как это понимается в современных школьных и вузовских стандартах), а не изучение математики —- это значит ставить телегу впереди лошади.

ЛИТЕРАТУРА

1. Российское образование 2020: модель образования для экономики, основанной на знаниях: к IX Международной научной конференции «Модернизация экономики и глобализация». М.: Изд. дом ГУ-ВШЭ, 2008. 39 с.

2. Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования. Утв. 17 мая 2012 г. № 413. URL: http:// base.garant.ru/70188902/ (дата обращения: 21.01.2017).

3. Бунимович Е.А. О ГДЗ и не только // Математика в школе. 2017. № 1.

4. Саввина O.A. Признаки кризиса отечественной методики преподавания математики // Математика в школе. 2017. № 2.

5. Арнольд В.И. Новый обскурантизм и российское просвещение. М.: ФАЗИС, 2003.

6. Hamilton W.A. Review of Rev. William Whewell s Thoughts on the Study of Mathematics, as a part of Liberal Education // Edinburg Review. 1836. №62.

7. Брашман Н.Д. О влиянии математических наук на развитие умственных способностей. М.: Университетская типография, 1841.

8. Бугаев Н.В. Математика как орудие научное и педагогическое. М.: Типография И.И.Родзевича, 1875.

9. Ермаков В.П. О преподавании алгебры. СПб.: Тип. М.М.Стасюлевича, 1892.

10. Young J. W.A. The Teaching of Mathematics, in the Elementary and the Secondary School. New York, 1920.

11. Бусев B.M. Школьная математика как культурно-историческая традиция // Математика в школе. 2009. № 4.

12. Кара-Мурза С.П Власть манипуляции. М.: Академический проект, 2015.

13. Брянчанинов И. Полн. собр. творений. Т. 3. М.: Паломник, 2006.