Образчикъ учебно-издательской спекуляціи.

Разумѣйчикъ, Р.— Учебникъ ариѳметики въ объемѣ курса среднихъ учебныхъ заведеній. Изд. Д. Д. Полубояринова. Спб. 1889. Тип. В. Безобразова и К°. 8 д. 156+III стр. 1.045 экз. Ц. 50 коп.

Желая оправдать появленіе въ свѣтъ новаго учебника ариѳметики, авторъ названной книги предпосылаетъ ей нѣсколько строкъ слѣдующаго содержанія:

«При составленіи настоящаго учебника, мы имѣли главнымъ образомъ въ виду облегчить по возможпости учащемуся усвоеніе пред-

мета; съ этой цѣлью 1) мы постарались изложить курсъ на столько простымъ языкомъ, что пониманіе его не затруднитъ учащагося и во время внѣклассныхъ его занятій, и 2) внесли въ курсъ лишь самое существенное, опустивъ всѣ мелкіе практическіе пріемы,—при выводѣ-же правилъ четырехъ основныхъ ариѳметическихъ дѣйствій держались одного общаго плана: приведя точныя опредѣленія дѣйствій, правила разъяснили на основаніи этихъ опредѣленій, вслѣдствіе чего учащемуся должно быть понятно, что различіе въ производствѣ дѣйствій обусловливается исключительно цѣлью дѣйствія, равно какъ и сущностью получаемаго результата».

Эти безсодержательныя и не вполнѣ грамотныя строки, напечатанныя на «verso» заглавнаго листа и не подписанныя, предвѣщаютъ мало хорошаго; и дѣйствительно, достаточно перелистовать «учебникъ ариѳметики», составить который счелъ себя призваннымъ г. Разумѣйчикъ, чтобы придти къ заключенію, что имѣешь дѣло не съ литературно-педагогическимъ произведеніемъ, а скорѣе со спекуляціей рыночнаго характера.

Начнемъ съ внѣшности изданія.

Подобная внѣшность уже успѣла заслужить въ нашей учебной литературѣ прозваніе «полубояриновской»1) и стоитъ въ полномъ противорѣчіи какъ съ тѣми требованіями, которымъ долженъ удовлетворять печатный шрифтъ учебника съ гигіенпческой точки зрѣнія2), такъ и съ «объявленіемъ» отъ Департамента М. Н. Пр., въ которомъ значится3):

«По распоряженію Господина Министра объявляется, что впредь учебныя пособія и руководства не будутъ одобряться для употребленія въ учебныхъ заведеніяхъ Министерства, не смотря на всѣ внутреннія достоинства, если не будутъ напечатаны четкимъ и, по возможности, крупнымъ шрифтомъ, равно на бумагѣ достаточно плотной и не просвѣчивающей».

Въ изданіяхъ-же «издателя книгъ Д. Д. Полубояринова»: длина строкъ 140 миллиметровъ, число строкъ 47—50 на страницѣ, бумага сѣрая и просвѣчивающая, форматъ неудобный и неуклюжій, поля почти отсутствуютъ4).

1) См. «Педагогическая Хроника» 1885. №№ 29 и 30.

2) См. «Педагогическій Сборникъ» 1890. Январь, стр. 78.

3) См. «Журналъ Министерства Народнаго Просвѣщенія» 1877. Іюль.

4) Одно изъ пріятныхъ, но рѣдкихъ, исключеній изъ общаго правила, котораго держится въ своей издательской дѣятельности г. Полубояриновъ, представляетъ изданная имъ въ 1889 г. книга: «Практическія упражненія въ геометріи

Обратимся къ содержанію книги.

Учебникъ г. Разумѣйчика производитъ такое впечатлѣніе, какъ будто онъ составленъ лѣтъ 10—15 тому назадъ, и притомъ авторомъ, который стоитъ совершенно въ сторонѣ отъ педагоговъ и педагогики. Нуженъ-ли учебникъ ариѳметики для младшихъ классовъ, нуженъ-ли таковой только для старшихъ, долженъ-ли и можетъ-ли учебникъ быть вмѣстѣ съ тѣмъ и самоучителемъ,—все это вопросы, надъ разрѣшеніемъ которыхъ господа Разумѣйчики не задумываются1).

Разбирать подробно учебникъ г. Разумѣйчика мы не намѣрены: печатныя издѣлія подобнаго пошиба не заслуживаютъ того, чтобы останавливаться на нихъ долго. Ограничимся рядомъ выписокъ, наиболѣе характеризующихъ, по нашему мнѣнію, педагогическія достоинства разсматриваемаго нами учебника.

1. На страницѣ 11 помѣщена «таблица сложенія», которой предпослано слѣдующее:

«Примѣчаніе. Суммы двухъ однозначныхъ чиселъ легко отыскиваются по такъ называемой таблицѣ сложенія, которую обыкновенно представляютъ въ слѣдующемъ видѣ (слѣдуетъ таблица).

«Чтобы составить эту таблицу, нужно выписать въ одной горизонтальной строкѣ послѣдовательно всѣ однозначныя числа, включая и О... Изъ способа составленія таблицы видно, что сумма двухъ данныхъ чиселъ находится на пересѣченіи вертикальнаго ряда, начинающагося однимъ даннымъ числомъ, съ горизонтальнымъ рядомъ, начинающимися другимъ числомъ. Напр., на пересѣченіи вертикальнаго ряда, начинающагося 7, съ горизонтальнымъ рядомъ, начинающимся Р, находится 16, слѣдовательно, сумма 7 и 9 равна 16».

Итакъ, по мнѣнію г. P., нуль есть число натуральнаго ряда, суммы чиселъ находятся (въ смыслѣ умѣщаются) на пересѣченіи горизонтальныхъ и вертикальныхъ рядовъ, и 7-j-9 = 16 вслѣдствіе того, что «на пересѣченіи вертикальнаго ряда, начинающагося 7, съ горизонтальнымъ рядомъ, начинающимся 9, находится 16, слѣдовательно, сумма 7 и 9 равна 16». Это «слѣдовательно» восхитительно;

или собраніе геометрическихъ задачъ, по Вёкелю, Шпицу и друг. составилъ A. Дмитріевъ. 4-е изданіе, исправленное. Книга 1-я. Планиметрія». Этому изданію «издатель книгъ Д. Д. Полубояриновъ» нашелъ почему-то умѣстнымъ придать видъ не только вполнѣ приличный, но даже изящный.

1) См. «О преподаваніи ариѳметики». Рѣчь, произнесенная профессоромъ B. Ермаковымъ въ засѣданіи физико-математическаго общества въ Кіевѣ 15 марта 1890 года». Указываемъ на «рѣчь» почтеннаго профессора, полагая, что гг. Разумѣйчикамъ нашей учебной литературы было-бы не безполезно ее уразумѣть.

впрочемъ, все невѣжественное и безграмотное издѣліе г. Р. восхитительно въ логическомъ, грамматическомъ и стилистическомъ отношеніи.

Мы вполнѣ понимаемъ, что для «издателя книгъ Д. Д. Полубояринова» каждое лишнее слово, каждая лишняя буква «составляетъ расчетъ» и что размѣръ нажрвы тѣмъ больше, чѣмъ меныие итогъ подлежащаго оплатѣ счета за типографскую работу. Но, вѣдь, г. Разумѣйчикъ—авторъ учебника, и, казалось-бы, долженъ руководствоваться не тѣми только побужденіями, которыми прилично руководствоваться издательскимъ фирмамъ, преслѣдующимъ исключительно цѣли быстрой наживы.

2. На стр. 11 (послѣдняя строка) значится:

«§ 9. Такъ какъ, по понятію о суммѣ (!), она должна заключать въ себѣ (!) всѣ единицы, находящіяся въ данныхъ числахъ, то отсюда очевидно (§ 2), что сумма не измѣнится, какъ-бы не были соединены вмѣстѣ единицы данныхъ чиселъ, лишь-бы всѣ онѣ были соединены». И т. д.

«Въ учебникѣ ариѳметики» г. Разумѣйчика § 2 занимаетъ около двухъ съ половиной страницъ: какой-же смыслъ имѣетъ ссылка на эти нѣсколько страницъ текста, когда дѣло идетъ объ очевидномъ? На стр. 12 § 10 помѣщена опять ссылка: ссылка на § 9, т.-е. на предшествующій. Замѣтимъ, что § 9 занимаетъ всего семъ строкъ, а три строки ниже читаемъ: «...на основаніи вышесказаннаго (§ 9), сложить послѣдовательно...»

Весьма возможно,—хотя мало-вѣроятно, — что г. Разумѣйчикъ, прежде чѣмъ выступить въ печати съ своимъ «учебникомъ», ознакомился нѣсколько съ литературой предмета; при этомъ не ускользнуло отъ его просвѣщеннаго вниманія то обстоятельство, что въ учебникахъ помѣщаются иногда ссылки на предшествующіе параграфы; но не уразумѣлъ г. Разумѣйчикъ, въ какихъ случаяхъ такія ссылки умѣстны, въ какихъ—онѣ безсмысленны. Впрочемъ, можетъ статься, что «умыселъ другой здѣсь былъ». Нашъ авторъ, исходя изъ того предположенія, что ученикъ, изучающій ариѳметику по его учебнику, успѣетъ, послѣ прочтенія первыхъ девяти параграфовъ (10 стран.), «оболваниться» уже на столько, что утратитъ способность помнить содержаніе § 9, когда читаетъ § 10,—направляетъ надлежащимъ образомъ молодой умъ заботливой рукой просвѣщеннаго педагога.

3. Относительно повѣрки четырехъ дѣйствій г. Разумѣйчикъ выражается такъ:

§ 11. Чтобы повѣрить, правильно-ли найдена сумма, разбиваютъ всю группу слагаемыхъ на двѣ или нѣсколько меньшихъ группъ (кур-

сивъ нашъ) и, найдя сумму каждой группы отдѣльно, складываютъ полученныя суммы; если при повѣркѣ получится результатъ, уже полученный, то сложеніе сдѣлано вѣрно.

§ 15. Чтобы повѣрить, правильно-ли найденъ остатокъ, складываютъ вычитаемое съ остаткомъ; если полученное при этомъ число равняется уменьшаемому, то вычитаніе сдѣлано вѣрно (§ 13).

§ 24. Чтобы повѣрить, правильно-ли найдено произведеніе, переставляютъ (!!) данныя для умноженія числа — множимое на мѣсто множителя и множитель на мѣсто множимаго—и перемножаютъ ихъ (§ 17); если полученный результатъ равенъ прежде найденному, то можно думать, что умноженіе сдѣлано вѣрно.

§ 35. Способъ повѣрки дѣленія вытекаетъ изъ опредѣленія дѣйствія дѣленія. Такъ какъ частное соотвѣтствуетъ (?) одному множителю, дѣлитель другому множителю, а дѣлимое произведенію, поэтому, чтобы сдѣлать повѣрку дѣленія, умножаютъ найденное частное на дѣлителя; если получаютъ въ произведеніи число, равное дѣлимому, то дѣленіе сдѣлано вѣрно.

Изъ приведеннаго отрывка читатель, безъ всякаго сомнѣнія, вынесетъ вмѣстѣ съ нами убѣжденіе, что г. Р. не только малограмотенъ, но и очень смѣлъ, выдавая за достовѣрное то, что только вѣроятно.

4. На стр. 42 напечатано: «Замѣчанія, относительно объясненія (?!) рѣшенія задачъ». Этотъ образцовый по своей безграмотности параграфъ (§ 42), назначенъ, повидимому, для учителя, а не для ученика, въ чемъ, между прочимъ, убѣждаетъ насъ «сноска» (стр. 44), въ которой значится: «Чтобы объясненіе задачи шло живѣе, слѣдуетъ пользоваться обоими способами одновременно (!!)».

Вотъ чему поучаетъ насъ г. Разумѣйчикъ1):

«Торговецъ смѣшалъ 27 фун. чаю перваго сорта съ 54 фун. чаю втораго. Во что обойдется ему фунтъ смѣси, если фунтъ чаю перваго сорта ему стоитъ 5 руб., а фунтъ чаю втораго сорта 2 руб.?

«Чтобы опредѣлить, во что обойдется торговцу фунтъ смѣси, нужно имѣть (! а если его не имѣешь, г. P.?) все количество смѣси и стоимость ея (§ 36); ни того, ни другаго въ задачѣ нѣтъ (какъ жаль!). Чтобы опредѣлить количество смѣси нужно имѣть: количество чаю перваго сорта и количество втораго (§ 12); то и другое въ задачѣ дано (27 ф. и 54 ф.) (не просто: дано; а непремѣнно: въ задачѣ дано!!) Чтобы опредѣлить стоимость всей смѣси нужно имѣть: стои-

1) Во всѣхъ цитатахъ мы сохраняемъ въ точности безграмотное правописаніе и знакопрепинаніе автора.

мостъ перваго сорта чаю и стоимость втораго (§ 12): ни того, ни другаго въ задачѣ нѣтъ. (Ахъ, батюшки, опять бѣда!) Чтобы опредѣлить стоимость перваго сорта нужно имѣть: число фунтовъ чаю перваго сорта и стоимость одного фунта его (§ 25), то и другое въ задачѣ (!) дано (27 ф. и 5 руб.). Чтобы опредѣлить стоимость втораго сорта нужно имѣть: число фунтовъ чаю втораго сорта и стоимость одного фунта его (§ 25); то и другое въ задачѣ (!) дано (54 ф. и 2 ф. !!).

«Если 1 фунтъ чаю втораго сорта стоитъ 2 руб., то 54 фун. того же чаю (какова точность!) должны (почему должны?) стоить 54 раза по 2 руб.; 2 руб. X 54 = 108 руб. Если 1 фун. чаю перваго сорта стоитъ 5 руб., то 27 фун. того же чаю должны стоить 27 разъ по 5 руб.; 5 руб. X 27 = 135 руб. Если первый сортъ чаю стоитъ 135 руб., а второй 108 руб., то оба сорта вмѣстѣ (а оба сорта не вмѣстѣ, г. P.?) или вся смѣсь стоитъ 135 руб. и 108 руб.; 135 руб. -\-108 руб. = 243 руб. Если перваго сорта чаю было 27 фун., а втораго 54 фун., то того и другаго сорта вмѣстѣ (!) или всей смѣси было 27 фун. и 54 фун.; 27 фун. -[-54 фун. = 81 фун. Если вся смѣсь стоила 243 руб., а смѣси было 81 фун., то 1 фун. смѣси долженъ стоить 243 руб., раздѣленные на 81; 243 руб.: 81 = 3 руб. Фунтъ смѣси обошелся купцу въ (!) 3 руб.»

Извиняемся передъ читателемъ за такую длиныую цитату; мы рѣшились на нее, чтобы дать нѣкоторое понятіе о жаргонѣ, которымъ изложенъ «Учебникъ ариѳметики» г. Разумѣйчика.

На стр. 44 читаемъ, затѣмъ, слѣдующее:

«Зависимость, существующую въ задачѣ между данными и данными и вопросомъ (?!), можно изобразить схематически (курсивъ подлинника). Чтобы показать, какъ это сдѣлать, составимъ схему первой задачи. Вопросъ этой задачи требуетъ опредѣлить стоимость фунта смѣси. Для рѣшенія этого вопроса однимъ дѣйствіемъ нужны два данныя: 1) число фунтовъ всей смѣси и 2) стоимость ея. Пишемъ вопросъ задачи и отъ него проводимъ подъ угломъ двѣ линіи, на концахъ которыхъ записываемъ указанныя данныя (!!!).

Что стоитъ 1 фунтъ смѣси

Стоимость всей смѣси

Число фунтовъ смѣси

«... Отъ записаннаго справа неизвѣстнаго даннаго проводимъ двѣ линіи и на концахъ ихъ записываемъ только-что указанныя данныя... «Проводимъ отъ слѣва записаннаго даннаго двѣ линіи подъ угломъ и на концахъ ихъ записываемъ только-что указанныя данныя. И т. д. И т. д.».

5. Страницы 74—85 «Учебника» г. Разумѣйчика посвящены отдѣлу о «дѣлителяхъ»; нужно-ли повторять, что и этотъ десятокъ страницъ свидѣтельствуетъ не о чемъ иномъ, какъ только о полной безграмотности и глубокой невѣжественности ихъ автора? Вотъ тому нѣсколько примѣровъ: а) «§ 70. 1. Если нѣсколько чиселъ дѣлится на какое-нибудь число, то и сумма ихъ раздѣлится на то же число. Возьмемъ два числа 20 и 12, которыя дѣлятся на 4; выяснимъ, не производя дѣйствія дѣленія, что и сумма ихъ должна раздѣлиться на 4. Мы покажемъ, что сумма 20 и 12 дѣлится на 4, если разъяснимъ, что число 4 будетъ множителемъ этой суммы. 20 = 4 X 5 и 12 = 3X4. Такъ какъ въ 20 4 (?!) входитъ множителемъ пять разъ, а въ 12 три раза, то въ сумму ихъ 4 должно войти множителемъ и 5, и 3 раза (!), т. е. 8 разъ [20 + 12 = 4 . 5 + 4 . 3 = 4 . (5 + 3)=4 . 8]; слѣдовательно, сумма данныхъ чиселъ раздѣлится на 4».

Раскрываемъ на стр. 46 «Курсъ ариѳметики Серре и Комберуса. Переводъ Ев. Гутора» и читаемъ: «Всякій дѣлитель нѣсколькихъ чиселъ есть дѣлитель и ихъ суммы.

«Разсмотримъ, напримѣръ, нѣсколько чиселъ, дѣлящихся на 5. Каждое изъ этихъ чиселъ, дѣлясь на 5, составлено изъ частей, равныхъ 5, а потому и сумма разсматриваемыхъ чиселъ также составлена изъ частей, равныхъ 5; слѣдовательно, эта сумма дѣлится на 5».

b) Стр. 79. § 72. «Разложить число на первоначальные дѣлители значитъ найти всѣхъ первоначальныхъ дѣлителей, изъ которыхъ число состоитъ».

Не такъ, г. Разумѣйчикъ. «Разложить число на простыхъ дѣлителей значитъ представить его въ видѣ произведенія простыхъ чиселъ».

c) Стр. 83; послѣднія строки страницы:

«Изъ предъидущаго видно: при нахожденіи наименьшаго кратнаго слѣдуетъ поступать такъ: разложивъ числа на первоначальные дѣлители, нужно брать въ наименьшее кратное (!!) всѣ первоначальные дѣлители данныхъ чиселъ столъко разъ, сколъко, болъше всего (!!), они входятъ въ какое-либо изъ данныхъ чиселъ».

И проч., и проч., и проч.

Ну, не поучителенъ-ли «Учебникъ» г. Разумѣйчика, доказываю-

щій, какъ мало требуется познаній и умѣнья для того, чтобы въ настоящіе время составить учебникъ ариѳметики и до какой беззастѣнчивости доходятъ книгоиздательскіе аппетиты у тѣхъ издателей, которыхъ представителемъ можетъ считаться г. Д. Полубояриновъ?

А. Гольденбергъ.

Письма въ редакцію.

Милостивый государь, г. редакторъ!

Въ сентябрьской книжкѣ «Русской Школы» за истекшій годъ помѣщена замѣтка г. Гольденберга подъ заглавіемъ: «Образчикъ учебно-издательской спекуляціи», въ которой авторъ еилится увѣрить читателя, что составленный мною учебникъ ариѳметики есть не что иное, какъ учебно-издательская спекуляція. Обстоятельство это вынуждаетъ меня просить васъ, г. редакторъ, помѣстить настоящее мое возраженіе въ отвѣтъ г. Гольденбергу.

Авторъ «образчика учебно-издательской спекуляціи» отлично понимаетъ, что выступать въ печати съ одними ругательствами по меньшей мѣрѣ не красиво, поэтому онъ прикрываетъ ихъ благороднымъ флагомъ негодованія, будто-бы возбужденнаго въ немъ открытой имъ спекуляціей; мнѣ, однако, не трудно будетъ доказать, что не «благородное негодованіе» заставило г. Гольденберга ополчиться на меня, а нѣчто, хотя и ничего общаго не имѣющее съ этимъ чувствомъ, но болѣе понятное такого рода рецензентамъ, къ какимъ, повидимому, принадлежитъ г. Гольденбергъ.

При самомъ сильномъ желаніи уничтожить меня, г. Гольденбергъ могъ привести только слѣдующія доказательства моего участія въ «спекуляціи рыночнаго характера»:

1) «Внѣшность изданія стоитъ въ полномъ противорѣчіи какъ съ тѣми требованіями, которымъ долженъ удовлетворять печатный шрифтъ учебника съ гигіенической точки зрѣнія, такъ и съ «объявленіемъ» отъ Департамента Мин. Нар. Пр... Въ изданіяхъ-же «издателя книгъ Д. Д. Полубояринова» : длина строкъ 140 миллиметровъ, число строкъ 47—50

аа страницѣ, бумага сѣрая и просвѣчивающая, форматъ неудобный и неуклюжій, поля почти отсутствуютъ» и

2) «Учебникъ г. Разумѣйчика производитъ такое впечатлѣніе, какъ будто онъ составленъ лѣтъ 10—15 тому назадъ, и при томъ авторомъ, который стоитъ совершенно въ сторонѣ отъ педагоговъ и педагогики... Разбирать подробно учебникъ г. Разумѣйчика мы не намѣрены: печатныя издѣлія подобнаго пошиба не заслуживаютъ того, чтобы останавливаться на нихъ долго. Ограничимся рядомъ выписокъ, наиболѣе характеризующихъ, по нашему мнѣнію, педагогическія достоинства разсматриваемаго нами учебника». (Дальше и до конца замѣтки, кромѣ пяти строкъ заключенія, идутъ выписки).

Итакъ, обвиненіе меня въ «спекуляціи рыночнаго характера» г. Гольденбергъ основываетъ лишь на томъ, что я написалъ, по его мнѣнію, плохой учебникъ, а г. Полубояриновъ дурно издалъ его. Онъ не говоритъ, что были напечатаны рекламы учебнику или предприняты были какія-либо мѣры спекулятивнаго характера для его распространенія: въ такомъ случаѣ, гдѣ-же доказательства спекуляціи? Я думаю, что г. Гольденбергъ слишкомъ увлекся ролью обличителя и подъ вліяніемъ увлеченія... очень строго отнесся ко мнѣ. Мнѣ неизвѣстно, чтобы кто-либо обличалъ г. Гольденберга въ спекуляціи за то, что онъ оцѣнилъ экземпляръ своей «Методики начальной ариѳметики» въ первомъ изданіи въ 1 р. 50 к., а во второмъ, «исправленномъ и значительно дополненномъ», въ 75 к.*). Чѣмъ г. Гольденбергъ оправдывалъ себя, когда за «не исправленную» книгу бралъ вдвое дороже, чѣмъ теперь беретъ за «исправленную»? Мало того, «Методика начальной ариѳметики» г. Гольденберга по внѣшности издана совершенно такъ, какъ и мой учебникъ: «длина строкъ 140 миллиметровъ, число строкъ 47 — 50 на страницѣ, бумага сѣрая и просвѣчивающая, форматъ неудобный и неуклюжій, поля почти отсутствуютъ». Какъ г. Гольденбергъ позволилъ подобное возмутительное дѣяніе г. Полубояринову? и какъ у него хватило смѣлости нападать за то-же самое на меня?

Перехожу къ разсмотрѣнію доказательствъ, которыя, по мнѣнію автора «Образчика учебно-издательской спекуляціи», должны убѣдить читателя въ совершенной негодности составленнаго мною учебника.

1) Сдѣлавъ слѣдующую выписку изъ учебника: «Чтобы составить эту таблицу (таблицу сложенія), нужно выписать въ одной горизонтальной строкѣ послѣдовательно всѣ однозначныя числа, включая и нуль... Изъ способа составленія таблицы видно, что сумма двухъ данныхъ чиселъ находится на пересѣченіи вертикальнаго ряда, начинающагося однимъ даннымъ числомъ, съ горизонтальнымъ рядомъ, начинающимся другимъ числомъ. Напримѣръ, на пересѣченіи вертикальнаго ряда, начинающагося 7, съ горизонтальнымъ рядомъ, начинающимся 9, находится 16, слѣдовательно, сумма 7 и 9 равна 16», г. Гольденбергъ говоритъ:

*) А. И. Гольденбергъ. Методика начальной ариѳметики. Второе изданіе, исправленное и значительно дополненное. Ц. 75 к. Спб изданіе Д. Д. Полубояринова. 1886 г.

«Итакъ, по мнѣнію г. P., нуль есть число натуральнаго ряда, суммы чиселъ находятся (въ смыслѣ умѣщаются) на пересѣченіи горизонтальныхъ и вертикальныхъ рядовъ, и 7-[-9 =16 вслѣдствіе того, что «на пересѣченіи вертикальнаго ряда, начинающагося 7, съ горизонтальнымъ рядомъ, начинающимся 9, находитсн 16, слѣдовательно, сумма 7 и 9 равна 16».

Если-бы г. Гольденбергъ не «перелистовалъ» только мой учебникъ, а прочелъ его, то и для него не подлежало-бы сомнѣнію, что я вовсе не считаю нуль числомъ натуральнаго ряда какъ потому, что значеніе его (нуля) у меня подробно разъяснено на стр. 7 § 3, такъ и потому, что, считая нуль числомъ натуральнаго ряда, я вовсе не упоминалъ-бы о немъ отдѣльно, говоря о всѣхъ однозначныхъ числахъ; къ тому-же у меня и не говорится о числахъ натуральнаго ряда, а объ однозначныхъ числахъ, т.-е. такихъ, которыя изображаются одной цыфрой, а къ такимъ числамъ безъ всякой погрѣшности можно причислить и нуль*).

Г. Гольденбергъ не привелъ изъ моего учебника мѣста, въ которомъ говорится объ употребленіи таблицы сложенія, цѣликомъ, безъ пропусковъ. Сдѣлай онъ это, мнѣ яезачѣмъ было бьт опровергать увѣренія его, будто я думаю, что « 7 -}— 9 = 16 вслѣдствіе того, что на пересѣченіи вертикальнаго ряда, начинающагося 7, съ горизонтальнымъ рядомъ, начинающимся 9, находится 16»: непредубѣжденный читатель и самъ понялъ-бы, что у меня выражена лишь такая мысль: чтобы отыскать по таблицѣ сложенія сумму 7 и 9, нужно отмѣтить 7 въ вертикальномъ ряду, а 9 въ горизонтальномъ, въ пересѣченіи этихъ рядовъ и окажется сумма 16. Точно также объясняетъ употребленіе таблицы умноженія Серрé**).

Въ виду такой дѣльности замѣчаній невольно задаешься вопросомъ, для чего понадобилось г. Гольденбергу разнести во что бы то ни стало мой учебникъ? Во всякомъ случаѣ, едва-ли онъ въ правѣ закончить разборъ вышеприведенной выписки слѣдующей тирадой: «Это «слѣдовательно» восхитительно; впрочемъ, все невѣжественное и безграмотное издѣліе г. Р. восхитительно въ логическомъ, грамматическомъ и стилистическомъ отношеніи».

2) Выдержка изъ § 9. «Такъ какъ, по понятію о суммѣ, она должна заключать въ себѣ всѣ единицы, находящіяся въ данныхъ числахъ, то отсюда очевидно (§ 2), что сумма не измѣнится и т. д.» вызвала слѣдующее замѣчаніе рецензента: «Въ учебникѣ ариѳметики» г. Разумѣйчика § 2 занимаетъ около двухъ съ половиной страницъ; какой-же смыслъ имѣетъ ссылка на эти нѣсколько страницъ текста, когда дѣло идетъ объ очевидномъ? На стр. 12 § 10 помѣщена опять ссылка: ссылка на § 9, т.-е. на предшествующій. Замѣтимъ, что § 9 занимаетъ всего семъ строкъ, а три строки ниже читаемъ: «на основаніи вышесказаннаго (§ 9), сложить послѣдовательно... ».

*) «Чтобы составить эту таблицу (таблицу сложенія) поступаютъ такъ: выписываютъ въ первой строкѣ 10 первыхъ чиселъ, отъ нуля до девяти включительно», Упрощенное руководство ариѳметики. По системѣ и подъ редакціей Шапошникова. М. 1890 г., стр. 13.

**) Серрè. Курсъ ариѳметики. Переводъ Юденича. 4-е изданіе. Москва. 1883 г.. стр. 22 § 33.

Итакъ, второе доказательство г. Гольденберга негодности моего учебника—нѣсколько найденныхъ имъ, неумѣстныхъ, по его мнѣнію, ссылокъ на предшествующіе параграфы. Не говоря о томъ, что и въ цитированномъ г. Гольденбергомъ учебникѣ Серрé встрѣчаются подобныя-же ссылки (стр. 39 § 36, стр. 43 § 63, стр. 49 § 71)*), я лично признаю очень полезнымъ возможно чаще ссылаться на предшествующіе §§, такъ какъ это, во-первыхъ, уясняетъ читаемое, а во-вторыхъ, помогаетъ болѣе отчетливому пониманію пройденнаго. Но признавъ даже, въ угоду г. Гольденберга, мои ссылки промахомъ, неужто этого достаточно, чтобы изъ-за нихъ обдавать автора грязью и издѣваться въ довольно плоскихъ издѣвательствахъ? Г. Гольденбергъ, повидимому, въ этомъ не сомнѣвается и, обрадовавшись случаю, чуть-ли не съ пѣной у рта опять накидывается на меня и глумится самымъ пошлымъ образомъ.

3) Относительно повѣрки основныхъ дѣйствій у меня сказано: «§ 11. Чтобы повѣрить, правильно-ли найдена сумма, всю группу слагаемыхъ разбиваютъ на двѣ или нѣсколько меньшихъ группъ и, найдя сумму каждой группы отдѣльно, складываютъ полученныя суммы; если при повѣркѣ получится результатъ, уже полученный, то сложеніе сдѣлано вѣрно.

§ 15. Чтобы повѣрить, правильно-ли найденъ остатокъ, складываютъ вычитаемое съ остаткомъ; если полученное при этомъ число равняется уменьшаемому, то вычитаніе сдѣлано вѣрно (§ 13).

§ 24. Чтобы повѣрить, правильно-ли найдено произведеніе, переставляютъ данныя для умноженія числа — множимое на мѣсто множителя и множитель на мѣсто множимаго—и перемножаютъ ихъ (§ 17); если полученный результатъ будетъ равенъ прежде найденному, то можно ду~ мать, что умноженіе сдѣлано вѣрно».

Приведя эти выписки въ своей замѣткѣ, г. Гольденбергъ дѣлаетъ такое заключеніе:

«Изъ приведеннаго отрывка читатель, безъ всякаго сомнѣнія, вынесетъ вмѣстѣ съ нами убѣжденіе, что г. Р. не только малограмотенъ, но и очень смѣлъ, выдавая за достовѣрное то, что только вѣроятно».

Я же полагаю, что совершенно напрасно г. Гольденбергъ навязываетъ читателю свое мнѣніе. Что повѣрка извѣстнаго ариѳметическаго дѣйствія не можетъ служить несомнѣннымъ доказательствомъ правильности полученнаго результата, это до того ясно, что нѣтъ никакой надобности упоминать объ этомъ много разъ. Совершенно достаточно оговорить это въ одномъ мѣстѣ, что и сдѣлано мною при изложеніи повѣрки умноженія. Не оговорилъ я этого при повѣркѣ сложенія и вычитанія намѣренно, не желая на первыхъ-же порахъ возбудить въ учащемся сомнѣнія въ необходимости прибѣгать къ повѣркѣ. Такъ какъ ясность и точность изложенія приведенныхъ выдержекъ, какъ и всего учебника, признана вполнѣ компетентными лицами и не оспаривается даже моимъ довольно таки придирчивымъ рецензентомъ, а это главнымъ образомъ и имѣлосъ въ виду при составленіи учебника, то и этотъ пунктъ доказательства не лмѣетъ той сокрушающей силы, какую въ немъ усматриваетъ рецен-

*) См. сноску на стр. 223.

зентъ, и показываетъ только, что г. Гольденбергъ дѣйствительно очень смѣло приписываетъ другому то, что имъ-же самимъ выдумано.

Четвертый и пятый пункты представляютъ образчикъ такой-же придирчивости и неприниманія во вниманіе того, для какого возраста учащихся предназначенъ учебникъ, какъ и три разсмотрѣнные выше, почему опровергать ихъ нахожу совершенно лишнимъ. Впрочемъ, авторъ «образчика учебно-издательской спекуляціи» и самъ, кажется, инстинктивно чувствовалъ, что его доказательства не серьезны и что предположенная имъ цѣль наврядъ-ли будетъ достигнута, поэтому онъ позволилъ себѣ слѣдующія искаженія: на стр. 44, первая строка снизу, у меня написано: «Чтобы объясненіе (курсивъ нашъ) задачи шло живѣе», а г. Гольденбергъ увѣряетъ, будто въ учебникѣ значится: «чтобы объясненіи (курсивъ г. Гольденберга) задачи шло живѣе». Точно также изъ выписки г. Гольденберга слѣдуетъ, будто у меня написано: «...съ горизонтальнымъ рядомъ, начинающимися другимъ числомъ», между тѣмъ въ учебникѣ сказано совершенно правильно: «...съ горизонтальнымъ рядомъ, начинающійся другимъ числомъ».

Предоставляю г. Гольденбергу самому подъискать соотвѣтственное названіе такому его поступку.

Хотя и сказаннаго вполнѣ достаточно, чтобы составить себѣ понятіе о добросовѣстности автора «образчика учебно-издательской спекуляціи», тѣмъ не менѣе считаю не лишнимъ привести мнѣніе г. рецензента ученаго комитета Министерства Народнаго Просвѣщенія о рукописи учебника, дабы читатель убѣдился, что учебникъ этотъ вовсе ужъ не такъ плохъ, какъ это нужно почему-то доказать г. Гольденбергу. Вотъ что сказано въ этомъ отзывѣ: «нѣкоторые отдѣлы рукописи изложены весьма отчетливо, кратко и ясно». Относительно-же схемы, которая едва-ли не больше всего подверглась глумленію г. Гольденберга, тотъ-же рецензентъ выражается такъ: «заслуживаетъ особеннаго вниманія § 69 (въ книгѣ § 42), а именно схематическое изображеніе зависимости между данными и искомымъ»*).

Я не стану увѣрять, что трудъ мой свободенъ отъ недостатковъ, но не сомнѣваюсь, что безпристрастный читатель найдетъ въ немъ отчетливость, краткость и ясность изложенія, указанную г. рецензентомъ ученаго комитета Министерства Народнаго Просвѣщенія, а также точность опредѣленій дѣйствій и выводъ правилъ, строго сообразованный съ данными опредѣленіями, чѣмъ и отличается мой трудъ отъ учебниковъ ариѳметики, принятыхъ въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ.

Р. Разумѣйчикъ.

22 декабря 1890 г. П. Сѣнница, почт. ст. Новоминскъ.

*) Отношеніе Департамента Министерства Народнаго Просвѣщенія отъ 10 марта 1889 г. за № 4488.

Шохоръ-Троцкій, С. И. Учебникъ ариѳметики для среднихъ учебныхъ заведеній, съ приложеніемъ дополнительныхъ статей. Изданіе 2-е, значительно исправленпо и заново обработанное. Спб. 1892 г. Стр. 8 ненум. Ц- 199. Цѣна 65 к.

Названный учебникъ представляетъ стройное, вполнѣ научное изложеніе ариѳметики, приспособленное къ курсу среднихъ учебныхъ за-

веденіи; авторъ воспользовался многими данными новѣйшей иностранной учебно-математической литературы; въ особенности сказалось вліяніе иностранной литературы на общихъ выводахъ, дѣлаемыхъ г. Шохоръ-Троцкимъ относительно четырехъ дѣйствій надъ цѣлыми числами и величинами. Въ основу этихъ общихъ выводовъ положено разсмотрѣніе законовъ перемѣстительнаго, сочетательнаго и распредѣлительнаго, какъ характеризующихъ собою то или другое ариѳметическое дѣйствіе. Какъ въ отношеніи ученія о четырехъ дѣйствіяхъ надъ цѣлыми и дробными числами, такъ и другихъ ариѳметическихъ ученій, учебникъ г. Шохоръ-Троцкаго заслуживаетъ полнаго вниманія гг. преподавателей математики, и вполнѣ желательно, чтобы и оканчивающіе курсъ среднихъ учебныхъ заведеній усваивали ариѳметику въ такой стройной, строго-научной системѣ и по возможности въ такомъ объемѣ. Учебникъ можетъ быть рекомендованъ поэтому для повторенія ариѳметики въ одномъ изъ старшихъ классовъ; что касается до младшихъ, то нѣкоторыя статьи требуютъ болѣе подробнаго и доступнаго изложенія (напр., статьи объ умноженіи и дѣленіи цѣлыхъ чиселъ), такъ какъ слишкомъ большая краткость изложенія этихъ статей въ учебникѣ можетъ затруднить учениковъ, даже и послѣ методической проработки этихъ статей въ классѣ.

Обратимся теперь къ болѣе подробному разбору книги, изъ котораго выяснятся ея большія достоинства и желательность нѣкоторыхъ измѣненій.

Понятія о числѣ, единицѣ, счетѣ, присчитываніи единицъ одного числа къ другому, цѣломъ и его частяхъ, величинѣ авторъ относитъ къ первоначальнымъ, основнымъ, не поддающимся точному опредѣленію и не нуждающимся въ таковомъ. Въ статьѣ о сложеніи, сказавши, что понимать подъ суммою двухъ чиселъ и что называется сложеніемъ двухъ чиселъ, авторъ тотчасъ-же останавливаетъ свое вниманіе на неизмѣняемости суммы двухъ чиселъ отъ перемѣны порядка слагаемыхъ, т.-е. на однозначности суммы; это свойство суммы принимается имъ за очевидное. Переходя къ опредѣленію и обозначенію суммы трехъ и болѣе чиселъ, авторъ вводитъ скобочныя обозначенія; такъ, сумму чиселъ: 256, 387, 520, 396 онъ обозначаетъ и такъ: [(256 + 387) 520] -f- 396. Намъ думается, что знакомство со скобочнымъ обозначеніемъ слишкомъ преждевремевно для начинающихъ, притомъ то скобочное обозначеніе, которое употреблено въ только-что указанномъ примѣрѣ, наврядъ-ли и желательно употреблять, тѣмъ болѣе на первыхъ порахъ обученія, какъ вообще не принятое въ наукѣ, о чемъ упоминаетъ и самъ авторъ въ статьѣ: «Объ употре-

бленіи скобокъ въ ариѳметикѣ». Далѣе говорится объ однозначности суммы нѣсколькихъ слагаемыхъ и о неизмѣняемости величины суммы при той или другой группировкѣ слагаемыхъ; этотъ (сочетательный) законъ въ примѣненіи къ суммѣ далѣе и доказывается, причемъ параграфъ, въ которомъ помѣщено это доказательство, отмѣченъ звѣздочкою, какъ и вообще всѣ тѣ параграфы, прохожденіе которыхъ не обязательно въ низшихъ классахъ, или могущихъ, почему-либо, представить для учениковъ этихъ классовъ особенно большія трудноети. (Вообще г. Шохоръ-Троцкій стремился отдѣлить то, что подлежитъ непремѣнному прохожденію въ низшихъ классахъ среднихъ учебныхъ заведеній, отъ подлежащаго прохожденію въ одномъ изъ высшихъ, и его взгляды на этотъ вопросъ нужно признать, по большей части^ вѣрными).

Обращаетъ на себя вниманіе и § 17-й, въ которомъ указанъ способъ сокращеннаго нахожденія суммы нѣсколькихъ слагаемыхъ; вообще въ учебникѣ встрѣчаемъ много указаній на способы сокращеннаго производства вычисленій, что весьма важно для развитія у учащихся умѣнья пользоваться составомъ чиселъ.

Остановимся теперь на статьѣ объ умноженіи цѣлыхъ чиселъ. Объясненъ законъ перемѣстительный наглядно, для младшихъ классовъ, и приведено полное его доказательство для старшаго класса; для возможности лучше слѣдить за доказательствомъ, весьма умѣстно перемѣщаемые множители напечатаны болѣе крупнымъ и жирнымъ шрифтомъ. § 35-й объ основномъ свойствѣ произведенія суммы чиселъ на какое-нибудь число отмѣченъ звѣздочкою, чѣмъ признается недоступномъ приводимаго въ немъ доказательства для начинающихъ, а между тѣмъ далѣе идетъ объясненіе правила умноженія многозначнаго числа на однозначное, которое должно быть нринято на-вѣру; но доказательство этого правила, по нашему убѣжденію, вполнѣ доступно для начинающихъ, на основаніи самаго смысла умноженія, какъ сложенія равныхъ слагаемыхъ, разсматривая многозначное число (множимое), какъ сумму единицъ различныхъ разрядовъ. При объясненіи умноженія многозначнаго числа на многозначное, дѣлается ссылка на § 35-й и приводится объясненіе слѣдующаго свойства произведенія суммы двухъ чиселъ на сумму тѣхъ-же, или иныхъ чиселъ: «произведеніе суммы нѣсколькихъ чиселъ на сумму какихъ угодно чиселъ, равно суммѣ произведеній каждаго изъ слагаемыхъ множимаго на каждое изъ слагаемыхъ множителя». Въ такомъ видѣ изложеніе является непонятнымъ для учениковъ младшихъ классовъ, что легко-бы устранить, разсматривая умноженіе на многозначное число, какъ

повтореніе множимаго слагаемымъ по частямъ, представляющимъ однозначныя числа единицъ различныхъ разрядовъ множителя. Въ заключеніе приведены различныя формы записи при умноженіи многозначнаго числа на многозначное, на что полезно указать учащимся.

Дѣленію дается такое опредѣленіе: «дѣленіе есть дѣйствіе, цѣль котораго—отысканіе неизвѣстнаго сомножителя по данному произведенпо его на другаго, извѣстнаго, сомножителя». Затѣмъ различается дѣленіе двухъ родовъ: а) дѣленіе числа на равныя между собою части и б) дѣленіе по содержанію, или кратное сравненіе одного числа съ другимъ. Далѣе дается понятіе о наименованій единицъ дѣлимаго, дѣлителя и частнаго и о дѣленіи съ остаткомъ, затѣмъ излагается правило письменнаго производства дѣленія многозначнаго числа на многозначное, разсматривая дѣленіе въ смыслѣ содержанія, и, наконецъ, въ § 45-мъ приводится уже доказательство этого правила, основанное на свойствѣ отношенія суммы числа къ нѣкоторому дѣлителю. Думаемъ, что въ томъ видѣ, какъ изложенъ въ учебникѣ вопросъ о дѣленіи многозначныхъ чиселъ, онъ мало вразумителенъ для начинающихъ, такъ какъ правило является необоснованнымъ. Опытъ показалъ, что лучше объяснять дѣленіе многозначнаго числа на однозначное и многозначное, исходя изъ опредѣленія дѣленія, какъ разложенія числа на равныя части, каковая система и принята въ кадетскихъ корпусахъ. Вообще статья о дѣленіи, какъ наиболѣе трудная, требуетъ въ учебникѣ болѣе подробнаго разъясненія даже и послѣ основательной проработки ея на урокахъ. Статья о дѣленіи заканчивается указаніемъ на нѣкоторые сокращенные способы дѣленія и замѣчаніемъ о числѣ цыфръ частнаго.

Въ §§ 51—57-мъ весьма обстоятельно разсмотрѣнъ вопросъ объ измѣняемости суммы, разности, произведенія и частнаго съ измѣненіемъ элементовъ дѣйствій; а въ § 58-мъ приведены нѣкоторыя упрощенія въ производствѣ дѣйствій надъ цѣлыми числами; пользуясь ихъ составомъ, напр., умноженіе на 99 замѣняется умноженіемъ на 100, и вычитаніемъ изъ полученнаго результата множимаго; умноженіе на 175, умноженіемъ на 200 и вычитаніемъ іІе части полученнаго, и т. п.

Въ III главѣ излагается ученіе объ именованныхъ числахъ, причемъ почему-то опущено разсмотрѣніе, такъ-называемыхъ, задачъ на время.

Глава ІV содержитъ общіе выводы относительно четырехъ дѣйствій надъ цѣлыми числами и надъ величинами; она составляетъ оригинальномъ учебника, такъ какъ въ ней разсмотрѣны дѣйствія по

отношенію къ законамъ, характеризующимъ эти дѣйствія, именно: перемѣстительному, сочетательному и распредѣлительному. Она содержитъ теорію четырехъ дѣйствій; авторомъ въ этой главѣ дается, напр., понятіе также о модулѣ дѣйствія. Авторъ находитъ, что въ томъ видѣ, какъ онъ излагаетъ всю эту статью, она вполнѣ доступна ученикамъ старшаго класса, съ чѣмъ нельзя не согласиться, если, конечно, допустить, что преподаваніе предмета велось правильно*).

Глава V, содержащая изложеніе ученія «о дѣлимости цѣлыхъ чиселъ», отличается точностпо формулировки признаковъ дѣлимости чиселъ и вѣрнымъ разграниченіемъ доступнаго ученикамъ младшихъ классовъ отъ того, что можетъ быть преподано въ старшемъ. Доказательство нѣкоторыхъ теоремъ вполнѣ можно было бы вести и на общихъ числахъ, напр,, «если дано произведеніе двухъ сомножителей, изъ которыхъ одинъ есть число взаимно-первое, съ нѣкоторымъ третьимъ числомъ, и если это произведеніе дѣлится на это третье число, то второй изъ сомножителей даннаго произведенія дѣлится на тоже третье число», и т. д. Но авторъ всѣ теоремы предпочитаетъ доказывать на числахъ.

Въ главѣ VI, содержащей изложеніе ученія «объ обыкновенныхъ дробяхъ», остановимся на умноженіи цѣлаго на дробь и дроби на дробь. Авторъ держится современнаго взгляда на опредѣленіе умноженія на дробь. Разъяснивши на примѣрѣ, какъ находить нѣсколько частей отъ цѣлаго числа и отъ дроби, объясняется сходство этихъ вопросовъ съ вопросами, при рѣшеніи которыхъ, если даны цѣлыя числа, прибѣгаютъ къ умноженію; затѣмъ, вводится опредѣленіе словъ

*) Считаемъ, однако, не лишнимъ сдѣлать одно замѣчаніе относительно теоріи сложенія. Г. Шохоръ-Троцкій, приводя законъ перемѣстительный въ сложеніи, говоритъ, что законъ этотъ справедливъ и по отношенію къ величинамъ вообще, причемъ приводитъ примѣръ изъ области именованныхъ чиселъ. Однако можно указать на такія протяженныя величины, по отношенію къ которымъ тотъ-же законъ однозначности суммы нуждается въ нѣкоторомъ разъясненій; ибо, складывая нѣсколько протяженныхъ величинъ различнымъ образомъ, мы получимъ большею частью различныя суммы. (По поводу этого см. статью г. Мануйлова въ «Журн. опытной физики и элементарной математики» за 1892 г., № 139). Законъ однозначности суммы даже и не можетъ считаться справедливымъ по отношенію къ нѣкоторымъ величинамъ; напр., 1 литръ кислорода и 2 литра водорода образуютъ 3 литра гремучаго газа, но гораздо менѣе трехъ литровъ воды. Слѣдовательно, однозначность цѣлаго не всегда примѣнима къ объемамъ тѣлъ; въ то время, какъ, напр., граммъ водорода и 8 гр. кислорода образуютъ 9 гр. гремучаго газа и 9 гр. воды, и вообще масса сложнаго тѣла всегда равна суммѣ массъ его частей, т.-е. однозначность цѣлаго всегда примѣнима къ массамъ, и т. д.

«умноженіе на дробное число», т.-е. замѣчается, что часто вмѣсто того, чтобы сказать: «требуется найти столько-то частей даннаго числа», говорятъ: «умножить на дробное число, выражающіе это число частей». Далѣе, въ § 106, предназначенномъ для старшихъ классовъ, выясняется причина, почему нахожденіе частей числа называется умноженіемъ, которую авторъ видитъ въ подчиненности нахожденія суммы одинаковыхъ долей даннаго числа тремъ основнымъ законамъ умноженія цѣлыхъ чиселъ: перестановительному, сочетательному, а относительно сложенія и вычитанія и распредѣлительному*).

Въ § 105, какъ-бы между прочимъ, упоминается о принятомъ рутинномъ опредѣленіи умноженія: «умножить одно число на другое значитъ составить изъ перваго числа третье такъ, какъ изъ единицы составлено второе число»; въ своемъ мѣстѣ отмѣчена также неясность этого опредѣленія, когда множитель равенъ 1 или 0. Вся теорія умноженія дробей, какъ она изложена въ учебникѣ, представляетъ стройное цѣлое, благодаря тому взгляду на умноженіе, по которому оно есть дѣйствіе, подчиняющееся законамъ перестановительному, сочетательному и распредѣлительному.

Въ главѣ VII («О десятичныхъ дробяхъ»), говоря объ устномъ обозначеніи десятичныхъ дробей, авторъ упоминаетъ о трехъ способахъ таковаго обозначенія и отдаетъ, совершенно справедливо, преимущество тому способу (въ особенности при большомъ числѣ знаковъ послѣ запятой), по которому многозначная десятичная дробь раздѣляется на грани, начиная отъ запятой слѣва направо, по три цыфры въ каждой, причемъ читается каждая грань съ ея знаменателемъ. Достоинъ полнаго вниманія также и приводимый авторомъ въ § 123 способъ умноженія десятичной дроби на десятичную, при которомъ: 1) сразу, хотя и приблизительно, опредѣляется наивысшая цыфра произведенія, представляющая иногда наибольшій интересъ; 2) гораздо удобнѣе приблизительное вычисленіе, такъ какъ сразу видно, какіе

*) Приведемъ доказательства по отношенію къ закону распредѣлительному. Для нахожденія суммы одинаковыхъ долей даннаго числа авторомъ вводится знакъ w. Если при этомъ данное число записывать первымъ, а дробь, обозначающую, какую сумму какихъ долей требуется найти, записывать второю, то будемъ имѣть:

десятичные знаки уже не важны, и 3) вычисленіе сразу приводитъ къ цѣли, не требуя отбрасыванія запятыхъ и побочныхъ разсужденій. Теорія періодическихъ дробей изложена полно, причемъ точно разграниченъ учебный матеріалъ первыхъ трехъ классовъ отъ доступнаго старшему классу. Доказательство, напр., признака обращенія обыкновенной дроби въ чистую періодическую и о числѣ десятичныхъ знаковъ между занятой и періодомъ въ смѣшанной періодической дроби отнесено къ отдѣлу «Дополнительныхъ статей» учебника. Замѣтимъ кстати, что всѣ «дополнительныя статьи» могутъ представить большой интересъ для любителей математики, а отчасти, сообразуясь съ силами старшаго класса, пройдены и при повтореніи ариѳметики. Къ числу такихъ интересныхъ статей относятся, напр., доказательство теоремы Ламе «о числѣ дѣленій, необходимыхъ для нахожденія, по способу Евклида, общаго наибольшаго дѣлителя двухъ цѣлыхъ чиселъ», а также статьи: «объ искусственныхъ системахъ счисленія», «объ учетѣ векселей по способу Лейбница», «о приближенныхъ вычисленіяхъ». Послѣдняя статья обработана г. Шохоръ-Троцкимъ согласно со взглядами Лагранжа, которые послѣдній проводилъ на своихъ лекціяхъ въ Нормальной школѣ.

Обязательный для прохожденія въ низшихъ классахъ текстъ учебника заканчивается IX главою («О тройныхъ правилахъ»), въ которой весьма хорошо изложена статья о процентахъ: кромѣ способа пропорціи и приведенія къ единицѣ, указанъ еще и способъ, который авторъ называетъ «способомъ дробей» и при которомъ пользуются преимущественно тѣмъ, что слово «процентъ» обозначаетъ одну сотую долю числа по отношенію къ этому числу.

Закончимъ нашу рецензпо заключеніемъ, что «Учебникъ ариѳметики» г. Шохоръ-Троцкаго достоинъ полнаго вниманія какъ гг. преподавателей, такъ и любителей математики и составляетъ вообще цѣнный вкладъ въ нашу учебно-математическую литературу. Цѣна книги весьма умѣренная (65 к., при объемѣ въ 200 слишкомъ стр., изъ которыхъ 40 стр. мелкаго шрифта).

Владиміръ Шидловскій.

Авторитетное слово въ области методики математики.

В. П. Ермаковъ. О преподаваніи алгебры. Стр. 32 in magno VIII. Спб. 1892. Ц. 30 коп.

Извѣстный русскій геометръ, которому математическая наука обязана нѣкоторыми весьма цѣнными пріобрѣтеніями, профессоръ Кіевскаго университета В. П. Ермаковъ, счелъ за благо, съ высоты своего положенія въ наукѣ, подѣлиться съ преподавателями низшей математики нѣкоторыми своими взглядами, на которые эти преподаватели, по нашему крайнему разумѣнію, должны были-бы обратить свое особенное вниманіе. Да не подумаетъ, однако, читатель, что этого вниманія взгляды В. П. Ермакова заслуживаютъ только потому, что они высказываются профессоромъ университета и человѣкомъ науки: читателю, конечно, извѣстно, что ни университетская каѳедра, ни высокое положеніе даннаго человѣка въ наукѣ еще не представляютъ собою абсолютнаго ручательства въ томъ, что книги и учебныя пособія, составленныя этимъ лицомъ для среднихъ учебныхъ заведеній, и взгляды, высказываемые имъ относительно общаго образованія, дѣйствительно отвѣчаютъ потребностямъ этого послѣдняго. Взгляды проф. Ермакова особенно цѣнны не потому, что они высказаны профессоромъ и, въ то-же время, двигателемъ науки, а потому, что этотъ ученый, кромѣ того, среднюю школу знаетъ, ея интересы принимаетъ близко къ сердцу, дѣтей любитъ искренно, правдѣ смотритъ смѣло въ глаза и своихъ взглядовъ не приноравливаетъ ни къ какимъ внѣшнимъ, болѣе или менѣе случайнымъ, требованіямъ и соображеніямъ.

При этомъ особенно назидательнымъ кажется намъ тотъ фактъ, что В. П. Ермаковъ, столь счастливо соединяющій въ себѣ званіе профессора съ правомъ на признаніе за нимъ крупныхъ ученыхъ заслугъ, не только не относится сколько-нибудь презрительно къ педагогикѣ и методикѣ преподаванія низшей математики, но даже нѣкоторымъ образомъ беретъ эти дисциплины подъ свое покровительство.

Къ подобному отношенію со стороны представителей наукъ, не особенно тѣсно соприкасающихся съ этими дисциплинамъ послѣднія, какъ извѣстно, не привыкли: нынѣ считается едва-ли не признакомъ наилучшаго тона не только среди людей науки, но даже и среди преподавателей среднихъ учебныхъ заведеній и руководителей учебнаго дѣла, относиться къ педагогикѣ и къ методикѣ преподаванія различныхъ учебныхъ предметовъ непремѣнно съ усмѣшечкою или, въ лучшемъ, случаѣ, совершенно равнодушно. Часто приходится слышать и читалъ, что «всѣ эти методики, дидактики, психологіи, всѣ эти мечтанія объ улучшеніи преподаванія выдуманы дескать нѣмцами и представляютъ собою сущій вздоръ и пустяки»*). Такъ принято думать, какъ это замѣчено выше, даже въ средѣ педагоговъ по ремеслу; на этой моды не придерживается проф. Ермаковъ, хотя ему, какъ человѣку науки, было-бы если не къ лицу (ибо самодовольное невѣдѣніе никому не къ лицу), то, по крайней мѣрѣ, простительно относиться къ вопросамъ о способахъ преподаванія низшей математики и вообще къ вопросамъ педагогическимъ болѣе или менѣе снисходительно, такъ-сказать, сверху внизъ... Поэтому да не удивится читатель, если встрѣтитъ во взглядахъ проф. Ермакова,—того самаго Ермакова, который разрѣшилъ одинъ изъ тончайшихъ вопросовъ высшаго анализа, нашедши единственно могущественный признакъ сходимости рядовъ,— уваженіе къ педагогикѣ, ясное пониманіе разницы между тѣмъ, что должно быть изложено въ учебникѣ, и тѣмъ, что должно быть преподаваемо на урокахъ, и категорическое требованіе относительно того, что отъ дѣтей не слѣдуетъ требовать учености...

Но перейдемъ къ характеристикѣ содержанія брошюры профессора Ермакова. Она представляетъ собою, кажется, пересмотрѣнный оттискъ статьи подъ тѣмъ-же заглавіемъ, помѣщенной въ сборникѣ, изданномъ въ Кіевѣ кружкомъ профессоровъ и литераторовъ въ пользу населенія мѣстностей, пострадавшихъ отъ неурожая 1891 года. Взгляды, высказываемые въ брошюрѣ, относятся къ слѣдующимъ четыремъ категоріямъ: къ общему педагогическому міросозерцанпо почтеннаго профессора, къ вопросамъ о силѣ математики - науки въ однихъ и безсиліи ея въ другихъ направленіяхъ, къ цѣлямъ преподаванія математики и математическаго самообразованія и, наконецъ, къ содер-

*) Не далѣе, какъ въ третьемъ году въ одномъ педагогическомъ журналѣ нѣкій, впрочемъ, весьма почтенный педагогъ утверждалъ, что знаніе программы преподаванія начальной ариѳметики, обнародованной однимъ вѣдѳмствомъ, для учителя совершенно достаточно и что въ разныхъ «методикахъ» собственно надобности никакой нѣтъ и быть не можетъ.

жанпо первыхъ страницъ алгебры, какъ этотъ учебный предметъ понимается проф. Ермаковымъ и какъ этотъ предметъ, по его мнѣнію, должно понимать.

Обратимся прежде всего къ замѣчаніямъ педагогическаго содержанія, которыми почтенный профессоръ въ разныхъ мѣстахъ своей брошюры пересыпаетъ свои размышленія о преподаваніи математики. Нѣкоторыя изъ этихъ замѣчаній, можетъ быть, покажутся иному пуристу-преподавателю неумѣстными въ брошюрѣ о преподаваніи алгебры; мы-же, напротивъ, въ этихъ замѣчаніяхъ, несмотря на несоотвѣтствіе между ихъ содержаніемъ и заглавіемъ брошюры, видимъ доказательство того, что проф. Ермаковъ исходитъ въ своихъ пожеланіяхъ изъ точки зрѣнія идеаловъ, притомъ идеаловъ педагогическихъ, и для насъ (а можетъ быть, и для нѣкоторыхъ изъ нашихъ читателей) это не менѣе важно, чѣмъ самое содержаніе предлагаемой проф. Ермаковымъ системы ученій алгебры.

Въ разныхъ мѣстахъ своей брошюры проф. Ермаковъ касается, напр., вопроса о способностяхъ учащихся въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ къ математикѣ и по этому поводу высказываетъ нѣсколько прекрасныхъ и проникнутыхъ любовью какъ къ предмету, такъ и къ дѣтямъ, мыслей: «Я утверждаю, что всѣ ученики, способные къ какой-бы то ни было наукѣ*), прежде всего должны быть способны къ воспріятію математики» (стр. 3); «на основаніи собственныхъ опытовъ (проф. Ермаковъ можетъ говорить о таковыхъ, такъ какъ онъ въ теченіе шести лѣтъ преподавалъ въ Кіевскомъ кадетскомъ корпусѣ) я утверждаю, что неослабнымъ вниманіемъ къ своему предмету и ученикамъ педагогъ всегда можетъ подогнать малоспособныхъ учениковъ къ среднему уровню; всегда можно достигнуть того, повидимому, недосягаемаго идеала, чтобы въ классѣ не было неуспѣшныхъ учениковъ» (стр. 7); «при правильной постановкѣ учебнаго дѣла не должно быть неуспѣшныхъ учениковъ» (стр. 5). Приведенныя выше выдержки доказываютъ, что проф. Ермаковъ не отрицаетъ различія въ склонностяхъ учащихся къ изученію математики, — отрицать это значило-бы отрицать очевидный и не подлежащій никакому сомнѣнію фактъ,—онъ только настаиваетъ на томъ, что общеобразовательный

*) Проф. Ермаковъ, не прибѣгая къ термину «учебный предметъ», разумѣетъ здѣсь и во многихъ другихъ мѣстахъ своей брошюры подъ наукою именно учебный предметъ, а не науку въ обычномъ значеніи этого слова. Онъ не дѣлаетъ этой оговорки въ виду того, что самое направленіе размышленій, которымъ посвящена брошюра, исключаетъ возможность неумѣстнаго въ томъ или другомъ случаѣ смѣшеяія этихъ понятій.

курсъ математики можетъ быть осиленъ всякимъ, не лишеннымъ здраваго смысла ученикомъ, если объ этомъ постарается преподаватель, и противъ этого, конечно, спорить сколько-нибудь убѣдительно невозможно.

Изъ другихъ основоположеній педагогическаго міросозерцанія почтеннаго профессора отмѣтимъ слѣдующія: «необходимы наблюденія надъ дѣтьми и семьѣ и школѣ» (стр. 4), и только благодаря наблюденпо надъ ученикомъ, педагогъ можетъ, по мнѣнію проф. Ермакова, привыкнутъ къ мысли, что если ученики чего-нибудь не понимаютъ, то они въ томъ не виноваты, то это еще не значитъ, что они лѣнивы и неспособны къ наукѣ». «Педагогъ не долженъ раздражаться (стр. 5); мало этого: педагогъ долженъ задать себѣ вопросъ, нельзя-ли непонятое мѣсто изложить въ другой болѣе ясной формѣ». Одною изъ причинъ, вліяющихъ на малоуспѣшность занятій, по мнѣнію проф. Ермакова, является «несоотвѣтствіе между физическими и душевными силами» (стр. 6)... Нарисовавъ грустную картину домашнихъ занятій учащихся (картину, къ сожалѣнію, очень вѣрную), проф. Ермаковъ доходитъ до того, что въ брошюрѣ, посвященной преподаванію алгебры (къ немалому ужасу, должно быть, многихъ преподавателей математики!), позволяетъ себѣ обратиться къ учащимъ и родителямъ съ слѣдующимъ совѣтомъ: сМой совѣтъ: если хорошій ученикъ начнетъ понижаться въ успѣшности своихъ занятій, то первымъ дѣломъ надо заставить такого ученика употребить болѣе продолжительное время на прогулки; движеніе на открытомъ воздухѣ настолько укрѣпляетъ физическія, а вмѣстѣ съ тѣмъ и умственныя силы ученика, что у него явятся большая сообразительность и большая память, и онъ будетъ тратить меньше времени на приготовленіе уроковъ» (стр. 6)... Подвергнувъ довольно строгой, хотя и не детальной критикѣ наше гимназическое образованіе, проф. Ермаковъ высказывается въ пользу сокращенія курсовъ различныхъ учебныхъ предметовъ, выражая свое pium desiderium слѣдующимъ образомъ: «Было-бы гораздо лучше, если-бы гимназіи по всѣмъ наукамъ давали лишь такія знанія, которыя потомъ никогда не забывались-бы. Для достиженія этой цѣли необходимо изъ теоретическаго преподаванія науки исключить массу мелочей и отнести таковыя къ практическимъ упражненіямъ. Гимназія можетъ и должна давать прочную систему знаній» (курсивъ подлинника, стр. 12 и 13). Тѣмъ-же духомъ проникнуто утвержденіе, высказываемое относительно теоріи предметовъ обученія и относительно учебниковъ: «теорія должна быть доведена до миниімума; учебники должны быть кратки» (стр. 14).

Мы считаемъ возможнымъ не приводить аргументацпо почтеннаго профессора въ пользу только-что приведенныхъ взглядовъ, такъ какъ и самъ авторъ, считая эти взгляды мало нуждающимися въ доказательствахъ, не всегда ихъ доказываетъ. Надѣемся, что и приведенныхъ выдержекъ, однако, достаточно для характеристики симпатичныхъ взглядовъ почтеннаго автора на вопросы педагогическіе. Если къ этому прибавить, что проф. Ермаковъ съ чувствомъ признательности вспоминаетъ о результатахъ дѣятельности не существующаго болѣе «Педагогическаго Общества» и о педагогическихъ опытахъ гр. Л. Н. Толстого въ Ясной Полянѣ, и что почтенный профессоръ скорѣе преувеличиваетъ, чѣмъ игнорируетъ тѣ результаты, которыхъ достигло преподаваніе ариѳметики въ начальныхъ школахъ, то характеристика педагогическихъ симпатій почтеннаго профессора будетъ достаточно полна.

Къ сожалѣнію, не всѣ взгляды проф. Ермакова выражены съ достаточнаго полнотою и ясностыо, и одинъ изъ этихъ взглядовъ (касающійся педагогической литературы) не можетъ быть признанъ во всемъ объемѣ вѣрнымъ, другой-же (изъ области психологіи и физіологіи) не можетъ не быть причисленъ къ числу спорныхъ. Не вдаваясь вообще въ настоящей статьѣ въ полемику, позволимъ себѣ привести цѣликомъ мѣста, относящіяся къ упомянутымъ предметамъ, предоставляя читателю самому разобраться въ этихъ, какъ и во многихъ другихъ, вопросахъ. Съ цѣлью разъясненія необходимости наблюденій надъ дѣтьми, а также съ цѣлью уясненія направленія и духа раціональнаго преподаванія, почтенный профессоръ во главу своихъ размышленій ставитъ и разъясняетъ слѣдующее положеніе: «Педагогическая литература основана на чистомъ умозрѣніи безъ участія опыта и наблюденія (курсивъ подлинникъ). Постараюсь оправдать это положеніе. Припомнимъ, что методики и учебники большею частью(?) пишутся молодыми педагогами, подвизающимися на педагогическомъ поприщѣ два или три (?) года. Быть можетъ, эти педагоги въ столь короткое время успѣли уже запастись педагогическимъ опытомъ? Конечно, нѣтъ, да они объ этомъ и не заботятся (?). Прочитавъ нѣсколько педагогическихъ произведеній, составляютъ собственный методъ преподаванія, выпускаютъ учебникъ, а затѣмъ примѣняютъ свой методъ на практикѣ. Но мнѣ возразятъ, что всякій методъ, выработанный теоретически, повѣряется потомъ на практикѣ. Но такая провѣрка дала хорошіе результаты только (?) въ начальныхъ школахъ, посѣщеніе которыхъ доступно (?) для всѣхъ, интересующихся дѣломъ начальнаго преподаванія; такимъ образомъ, методъ, созданный однимъ

педагогомъ, подвергался (?) критикѣ многихъ лицъ. Не то въ среднихъ школахъ, гдѣ самъ педагогъ является единственнымъ (?) критикомъ своего метода» (стр. 4). Недоказанныя утвержденія нами отмѣчены вопросительными знаками въ скобкахъ и возбуждаютъ тѣмъ больше сожалѣнія, что къ дѣлу относятся весьма отдаленнымъ образомъ; между тѣмъ это мѣсто можетъ подать поводъ къ заподозрѣнію проф. Ермакова въ несочувствіи къ посильной работѣ молодыхъ преподавателей надъ вопросами преподаванія и обученія. Профессоръ-же Ермаковъ, какъ-разъ наоборотъ (какъ мы въ томъ убѣдимся ниже и какъ о томъ можно судить также по приведеннымъ выдержкамъ) педагогической литературѣ сочувствуетъ и разнообразпо, какъ и совершенствованпо методовъ преподаванія, придаетъ величайшее значеніе. Приведенное выше мѣсто относительно педагогической литературы вообще отличается неясностью изложенія и сбивчивостью пріемовъ аргументаціи: неясно видно—чего именно авторъ хочетъ и откуда имъ почерпнуты свѣдѣнія о возрастѣ лицъ, подвизающихся на поприщѣ педагогической литературы, и о результатахъ, будто-бы, достигнутыхъ въ начальной школѣ. Бѣда не въ томъ, что на поприщѣ педагогической литературы подвизаются только очень юные педагоги, имѣющіе за спиною опытъ лишь, максимумъ, трехлѣтней педагогической практики, а въ томъ, что ни средняя, ни даже начальная школа отъ изобилія (которыми, впрочемъ, вовсе и не можетъ похвастать наша педагогическая литература) учебныхъ книгъ и учебныхъ пособій по предмету математики выигрываетъ очень мало. Ибо не только среди преподавателей начальной школы, но и среди преподавателей среднихъ учебныхъ заведеній рутина и привычка къ тому или иному учебному пособію играетъ роль болѣе видную, чѣмъ вся наша педагогическая литература и ея указанія, взятыя вмѣстѣ. Преподаватель средняго учебнаго заведенія, какъ это извѣстно всѣмъ и каждому, къ литературѣ своего учебнаго предмета болѣе или менѣе равнодушенъ, самъ «новому» учиться не склоненъ и предпочитаетъ учить по книжкамъ и методамъ, которыя ему извѣстны чуть-ли не съ тѣхъ поръ, какъ онъ самъ еще учился въ гимназіи... Доказательствомъ подобнаго равнодушія служитъ малочисленность работъ и статей, обнародованныхъ нашими преподавателями по предметамъ курса среднихъ учебныхъ заведеній: въ то время, какъ въ Западной Европѣ (въ особенности въ Германіи и Франціи) ежегодно появляются въ свѣтъ сотни журнальныхъ статей, брошюръ и учебныхъ пособій, принадлежащихъ перу преподавателей среднихъ учебныхъ заведеній, у насъ такія статьи и брошюры появляются только десятками. При

этомъ единственнымъ оправданіемъ нашимъ въ такой пассивности и апатичномъ отношеніи къ литературѣ предмета служатъ высокомѣрныя замѣчанія о томъ что «все это, дескать, пустяки, нѣмецкія выдумки, кабинетныя измышленія», что «практика, дескать, и сама научитъ, какъ вести дѣло», что «важнѣе всего практика, а все «это»— однѣ теоріи», и т. д., и т. д.

Возвращаясь къ брошюрѣ проф. Ермакова, мы должны замѣтить, что даже въ случаяхъ, когда онъ высказываетъ взгляды спорные, онъ, тѣмъ не менѣе, ведетъ насъ съ помощью этихъ взглядовъ къ мыслямъ, болѣе или менѣе симпатичнымъ. Такъ, проф. Ермаковъ изъ того не вполнѣ вѣрнаго утвержденія, что педагогическая литература основана, будто-бы, исключительно на чистомъ «умозрѣніи», дѣлаетъ тотъ глубоко вѣрный выводъ, что преподаваніе должно основываться на наблюденіяхъ надъ учащимся и надъ затрудняющими его моментами нашего преподаванія. Точно такъ-же почтенный профессоръ, весьма склонный къ положительиому разрѣшенію вопроса о томъ, рождаются-ли дѣти съ одинаковыми способностями на свѣтъ Божій (стр. 7) (вопроса, по меньшей мѣрѣ, спорнаго), продолжаетъ эту экскурсію въ область эмбріологіи и физіологіи очень практичнымъ и важнымъ для педагоговъ, хотя и не основаннымъ на безспорныхъ посылкахъ, выводомъ: «Но я спорить не стану: положимъ, что дѣти дѣйствительно рождаются съ различными способностями. Въ такомъ случаѣ священный долгъ педагога состоитъ въ томъ, чтобы исправить природные недостатки. Велика-ли заслуга педагога, если онъ обращаетъ исключительное вниманіе на способныхъ учениковъ? Нѣтъ, гораздо большая заслуга того педагога, который съумѣетъ обучить малоспособныхъ учениковъ». Найдутся, вѣроятно, читатели, которые, въ отвѣтъ на это, скажутъ: стеоріи, кабинетныя выдумки, педагогическія иллюзіи, идеализмъ»... Да, это—идеализмъ, но этотъ идеализмъ только и въ состояніи оправдать мѣсто преподаванія математики въ системѣ общаго образованія, а кто неспособенъ предаваться «иллюзіямъ», правильнѣе—идеаламъ этого рода, тотъ, строго говоря, и не долженъ-бы имѣть честь принадлежать къ сословпо преподавателей вообще и преподавателей математики въ частности. Безъ идеаловъ нѣтъ педагогики, нѣтъ образованія, нѣтъ воспитанія.

Обратимся теперь къ взглядамъ почтеннаго ученаго на математику-науку. Въ этомъ вопросѣ онъ, конечно, можетъ претендовать на особенное вниманіе. И читатель жестоко ошибется, если, съ притязаніемъ на особенную проницательность, подумаетъ, что проф. Ермаковъ превозноситъ математику «превыше облака ходячаго» и не соблю-

даетъ мѣры въ своихъ «восторгахъ». Какъ-разъ напротивъ: къ такому восторженному отношенію способны скорѣе дилеттанты, любящіе математику «изъ своего прекраснаго далека», а не серьезный ученый, который всю жизнь свою посвящаетъ изученію и преподаванію ея и споспѣшествуетъ ея прогрессу. Не мало (не только среди образованныхъ людей, но и среди преподавателей математики) встрѣчается такихъ лицъ, которыя думаютъ, что математика есть наука, проникнутая единою руководящею идеею, единою теоріею, что это—наука неразрывная, цѣльная, въ которой все, кромѣ аксіомъ, доказывается, въ которой нѣтъ ничего условнаго, нѣтъ пробѣловъ и несовершенствъ. Другіе, признавая эти качества, думаютъ (впрочемъ, безъ особеннаго сочувствія къ математикѣ). что у математики, дескать, своя логика, свой здравый смыслъ, будто-бы противорѣчащій здравому смыслу обыкновеннаго человѣка, что у ней свои законы мышленія... Проф. Ермаковъ, конечно, является противникомъ обоихъ этихъ взглядовъ.

«Въ настоящее время,—говоритъ достопочтенный профессоръ,—все заражено единствомъ: единство матеріи, единство законовъ и т. д. Педагоги также стремятся создать единую теорію, способную обнять всѣ мелочи данной науки. Но такой теоріи въ математикѣ не существуетъ, да и не можетъ существовать. Полагаю, что и въ другихъ наукахъ едва-ли возможно создать теорію, объединяющую всѣ факты» (стр. 13). Всемогущество математики въ дѣлѣ познанія природы проф. Ермаковъ тоже отрицаетъ во многихъ мѣстахъ своей брошюры. Сдѣлавъ небольшую экскурсію въ исторпо этой науки и вспомнивъ о заслугахъ Ньютона, Лейбница и въ особенности объ открытіи Нептуна, сдѣланномъ Леверрье на основаніи однихъ вычисленій, проф. Ермаковъ продолжаетъ: «Математики возликовали. Явилось убѣжденіе, что математика дастъ возможность проникнуть въ тайны мірозданія. Стоитъ только облечь данное явленіе въ математическія формулы (составить дифференціальныя уравненія), вывести при помощи математическихъ законовъ возможныя слѣдствія изъ формулъ и дать надлежащіе толкованіе результатамъ, и послѣ этого разсматриваемое явленіе раскроется предъ нами во всей полнотѣ. Такъ думали математики!» Разсказавъ о существованіи дифференціальныхъ уравненій, которыя крайне трудно, а иногда и невозможно разрѣшить, почтенный профессоръ продолжаетъ: «Напрасная мечта! математика можетъ быть примѣнена къ изслѣдованію простыхъ явленій природы; всѣ-же сложныя явленія приводятъ къ такимъ формуламъ, изъ которыхъ часто невозможно вывести никакихъ заключеній» (стр. 8). Въ этомъ направленіи проф. Ермаковъ доходитъ до крайне смѣлаго утвержденія (конечно,

не поддающагося прямому доказательству), что «если представители другихъ наукъ (кромѣ нынѣ уже примѣняющихъ математику) мечтаютъ о примѣненіи математики, то такая мечта является положительнымъ безуміемъ и напрасною тратою времени» (стр. 9). Вообще проф. Ермакова нельзя упрекнуть въ недостаткѣ скептицизма по отношенію къ услугамъ математики-науки, хотя и нельзя утверждать, что всѣ размышленія почтеннаго ученаго обставлены достаточными для его выводовъ аргументами. Свои взгляды на «отрицательныя стороны» математики-науки проф. Ермаковъ резюмируетъ слѣдующимъ образомъ: 1) математика непримѣнима къ изученію сложныхъ явленій природы, 2) математическіе законы и формулы могутъ привести къ ложнымъ результатамъ*), 3) за исключеніемъ немногихъ наукъ, къ другимъ наукамъ математика непримѣнима, и 4) нѣкоторые высшіе отдѣлы математики не могутъ имѣть никакого примѣненія». Какъ легко видитъ читатель, въ особенныхъ увлеченіяхъ въ пользу математики-науки— почтеннаго профессора упрекать не приходится. За-то тѣмъ съ большимъ правомъ онъ является ревностнымъ защитникомъ здраваго смысла математическихъ ученій и сторонникомъ методически-правильнаго математическаго образованія въ школѣ и математическаго домашняго самообразованія для взрослыхъ.

Какъ-бы въ отвѣтъ на нападки противъ математики, исходящія отъ лицъ, считающихъ математику наукою исключительно символистическою, обладающею, будто-бы, своею собственною логикою и своими законами, иногда лишенными здраваго смысла, проф. Ермаковъ говоритъ: «Если математикъ мыслитъ иначе, чѣмъ остальные люди, то такой математикъ либо психически больной человѣкъ, либо, по меньшей мѣрѣ, плохой мыслитель, плохой ученый... (Многоточія обозначаютъ дѣлаемые нами пропуски въ цитируемомъ текстѣ). Дѣйствуя сообразно математическимъ законамъ и не справляясь съ обыкновенною логикою, мы иногда приходимъ къ ложнымъ заключеніямъ... Каждая формула есть сокращенное мышленіе, выраженное символическими знаками. Хорошій математикъ ни на одну минуту не долженъ забывать истиннаго значенія находимыхъ имъ формулъ; словомъ, математическое разсужденіе должно сопровождаться и провѣряться обыкновеннымъ мышле-

*) Въ доказательство этого проф. Ермаковъ напоминаетъ объ извѣстной, такъ-называемой въ теоріи вѣроятностей «Санктпетербургской задачѣ», математическое рѣшеніе которой привело къ сомнѣніямъ въ принципахъ самой теоріи вѣроятностей и къ введенію въ науку понятія о такъ-называемомъ «нравственномъ ожиданіи».

ніемъ». Какъ далека, къ сожалѣнію, педагогическая дѣйствительность съ ея преподаваніемъ математики отъ этого идеала, начертаннаго смѣлою рукою столь крупнаго ученаго и педагога! Какъ много доказательствъ въ низшей математикѣ проникнуты духомъ всепожирающей символистики и мертвящаго формализма (мы говоримъ не объ учебникахъ, гдѣ всякое ученіе должно быть изложено кратко, а потому иногда и сухо, болѣе или менѣе формально,—мы говоримъ о преподаваніи!),— какъ часто преподаваніе чуждо живыхъ представленій и именно здраваго смысла, поневолѣ замѣняемыхъ въ учебникѣ понятіями отвлеченными и логикою формальной! Какъ часто преподаватель вмѣсто того, чтобы предварительно выяснить сущпость и разыскать нервъ доказательства какой-нибудь теоремы (хотя-бы, напримѣръ, той извѣстной теоремы, что «объемлемая выпуклая ломаная меньше любой объемлемой»), пишетъ, пишетъ и пишетъ безчисленныя равенства, неравенства, складываетъ, вычитаетъ, подставляетъ и не указываетъ учащемуся никакихъ иныхъ средствъ къ усвоенію этой теоремы, кромѣ памяти и чисто-мнемоническихъ правилъ, считая цослѣднее едва-ли не достоинствомъ своего преподаванія! Какъ часто мы, не вдумавшись въ смыслъ (въ здравый смыслъ, доступный каждому человѣку, не лишенному его) данной формулы, данной теоремы или даннаго доказательства, изъ года въ годъ рабски, чуть не дословно, повторяя текстъ учебника, не принимая во вниманіе самой сути дѣла, забываемъ, что въ учебникѣ не только дозволительно, но, для краткости, можетъ быть, и необходимо излагать данный вопросъ такъ, а не иначе, а въ классѣ нодобное изложеніе слишкомъ отвлеченно, немотивированно, неожиданно, неблагоразумно, даже прямо нелѣпо!.. Вы скажете, что проф. Ермаковъ защищаетъ права здраваго смысла въ наукѣ, имѣя въ виду петербургскую задачу и другія ошибки, въ которыя иногда впадали математики, забывавшіе случайно требованія здраваго смысла. Но если требованія проф. Ермакова, предъявляемыя имъ къ людямъ науки, проникнуты уваженіемъ къ здравому смыслу, то тѣмъ большимъ уваженіемъ къ здравому смыслу учащихся, къ ихъ логикѣ и къ ихъ желанію представлять себѣ то, что они часто принуждены выучивать только на память, должны питать мы, скромные преподаватели низшей математики, гдѣ всѣ ученія такъ просты по своей сущности и такъ общедоступны по своему логическому смыслу. Да и самъ проф. Ермаковъ послѣдняго вопроса касается по поводу того, что «педагогъ не долженъ раздражаться», прибавляя къ этому своему пожеланію еще слѣдующее: «Мало этого. Педагогъ долженъ наблюдать и записывать тѣ именно моменты, когда ученики чего-либо не понимаютъ. Прежде

всего нужно задать себѣ вопросъ: нельзя-ли непонятое мѣсто изложить въ другой, болѣе ясной формѣ? Отвѣтъ на этотъ вопросъ всегда долженъ быть утвердительнымъ, въ чемъ я убѣдился на основаніи собственныхъ, хотя и малочисленныхъ опытовъ. Непонятое мѣсто всегда можетъ быть изложено иначе — въ формѣ болѣе доступной для учениковъ» (стр. 5.). Эта цитата прямо говоритъ въ пользу сочувствія проф. Ермакова ненавистной многимъ преподавателямъ среднихъ учебныхъ заведеній, видящимъ въ этой ненависти доказательство своей учености, методикѣ преподаванія низшей математики. Она идетъ также нѣсколько въ разрѣзъ съ нѣкоторыми точками зрѣнія, впрочемъ, весьма интересной и почтенной работы В. Б. Струве подъ заглавіемъ: «О постановкѣ преподаванія математики въ среднеучебныхъ заведеніяхъ Франціи» («Русская Школа» 5 и 6 за 1892 годъ). «Непонятое мѣсто можетъ быть изложено иначе», говоритъ проф. Ермаковъ, которому не надо свою ученость доказывать выраженіями равнодушія къ методикѣ; въ этомъ простомъ правилѣ преподаванія заключается осужденіе рабскаго слѣдованія какому угодно учебнику и его изложенію; въ этомъ заключается доказательство недальновидности тѣхъ преподавателей, которые думаютъ, что если они къ изложенію какого-либо учебника привыкли и если имъ ясно его изложеніе, то столь-же ясно должно быть это изложеніе ихъ ученикамъ...

Не взирая на ясное пониманіе безсилія математики-науки въ нѣкоторыхъ направленіяхъ, проф. Ермаковъ математическое образованіе и самообразованіе цѣнитъ очень высоко. «Математика учитъ правильному мышленію» (стр. 12); этимъ почтенный профессоръ желаетъ, конечно, сказать, что изученіе математики прививаетъ уму пріемы, способы, снаровку правильнаго мышленія; онъ идетъ даже далѣе, утверждая, что «правильное занятіе математикою дѣлаетъ человѣка хорошимъ мыслителемъ» (ib.),—утвержденіе, пожалуй, даже не вполнѣ удачное. Отрицая приложимость математики къ наукамъ, не тѣсно съ нею соприкасающимся, напр., къ юриспруденціи, къ филологіи, наукамъ общественнымъ, и считая мечты о примѣненіи математики къ этимъ наукамъ «положительнымъ безуміемъ», проф. Ермаковъ, тѣмъ не менѣе, совѣтуетъ представителямъ другихъ наукъ «либо совсѣмъ оставить математику, либо изучать ее вполнѣ, не заботясь о приложеніяхъ: приложенія найдутся сами собою», считая главнѣйшею цѣлью самостоятельныхъ занятій математикою самообразованіе, воспитаніе своего мышленія. Позволимъ себѣ (совершенно въ духѣ брошюры) процитировать и сопоставить нѣкоторыя мѣста, которыя дадутъ понятіе

о взглядахъ проф. Ермакова на цѣль преподаванія математики въ среднихъ учебныхъ завеніяхъ. Такъ какъ «гимназія можетъ и должна давать прочную систему знаній», такъ какъ, далѣе, «гимназическое преподаваніе должно быть направлено къ развитію мыслительныхъ способностей», и такъ какъ, наконецъ, «въ разнообразіи методовъ и пріемовъ—вся сила и прелесть науки», то «математика наилучшимъ образомъ удовлетворяетъ цѣли развитія мыслительныхъ способностей: ибо эта наука преимущественно предъ другими науками отличается разнообразіемъ методовъ изложенія и пріемовъ рѣшенія задачъ» (стр. 13).

Къ сожалѣнію, мы не можемъ останавливаться на весьма цѣнныхъ, хотя иногда и весьма спорныхъ частностяхъ взглядовъ почтеннаго профессора Ермакова,—частностяхъ, изъ которыхъ каждая могла-бы послужить темою для цѣлой работы по вопросамъ педагогическимъ, психологическимъ, по вопросамъ исторіи математики, школовѣдѣнія и школоустройства, а также по вопросамъ чистой математики: такова уже рука мастера, чуть-ли не расточающая направо и налѣво цѣнные плоды своего опыта и размышленія. Но надѣемся, что даже на основаніи сказаннаго нами выше, читатель не преминетъ согласиться съ тѣмъ, что въ брошюрѣ проф. Ермакова мы имѣемъ дѣло съ явленіемъ, не зауряднымъ въ нашей педагогической литературѣ. О многихъ пунктахъ своего разногласія съ почтеннымъ профессоромъ мы ноэтому не считаемъ нужнымъ распространяться.

Въ заключеніе обратимся къ взглядамъ почтеннаго автора на алгебру и ея преподаваніе. Подъ алгеброю проф. Ермаковъ разумѣетъ только науку о тождественныхъ преобразованіяхъ формулъ. Само собою разумѣется, что такъ-называемыя «скобочныя» упражненія онъ исключаетъ изъ курса ариѳметики, которой цѣль, но его мнѣнію, заключается въ томъ, чтобы; «во-первыхъ, научить дѣйствіямъ надъ числами, во-вторыхъ, хорошимъ подборомъ задачъ развить, насколько возможно, мышленіе учащихся. Формулы въ ариѳметикѣ неумѣстны: онѣ служатъ только пугаломъ для посредственныхъ учениковъ» (стр. 15). Не поучительно-ли это? Не поучительно-ли, что учителя ариѳметики и составители ариѳметическихъ задачннковъ и учебниковъ отводитъ скобочнымъ упражненіямъ (Евтушевскій, Верещагинъ) громадное мѣсто и включаютъ въ курсъ ариѳметики также ученіе о пропорціяхъ (ученіе чисто-алгебраическое), въ то время, какъ ученый геометръ, профессоръ университета, считаетъ формулы и скобки совершенно чуждыми ариѳметикѣ?.. Выходитъ такъ, что учителя начальныхъ школъ и среднихъ учебныхъ заведеній желаютъ сдѣ-

лать своихъ учениковъ—тоже въ своемъ родѣ учеными, профессоръ-же университета, притомъ самъ крупный ученый, отъ учениковъ начальныхъ школъ и отъ воспитанниковъ среднихъ учебныхъ заведеній, пока они учатся ариѳметикѣ, никакой учености не требуетъ. Весьма поучительное qui pro quo.

На вопросъ о томъ—какъ приступить къ преподаванію алгебры проф. Ермаковъ даетъ отвѣтъ довольно оригинальный. Онъ предлагаетъ разрѣшить одну и ту-же задачу, допускающую два способа рѣшенія, двоякимъ образомъ идовести учащихся, путемъ надлежащихъ, конечно, упражненій, до сознанія, что «рядъ однихъ дѣйствій надъ какими-бы то ни было числами можетъ быть замѣненъ рядомъ другихъ дѣйствій надъ тѣми-же числами». Когда учащіеся поймутъ это, имъ можно дать слѣдующее, по мнѣнію проф. Ермакова, точное опредѣленіе алгебры: «Алгебра даетъ правила для замѣны однихъ дѣйствій рядомъ другихъ дѣйствій надъ тѣми-же числами» (стр. 17). Не имѣя намѣренія входить въ подробное обсужденіе этого взгляда на предметъ всей алгебры, мы должны, во всякомъ случаѣ, признать, что учащіеся необычайно много пріобрѣтутъ, когда вполнѣ поймутъ это опредѣленіе алгебры и, вмѣстѣ съ нимъ, сущность такъ-называемаго тождественнаго преобразованія, какъ цѣли если не всѣхъ, то, по крайней мѣрѣ, весьма многихъ ученій алгебры. Не останавливаясь на относящихся къ началу курса алгебры опредѣленіяхъ, не представляющихъ собою ничего особенно оригинальнаго, хотя и не лишенныхъ иногда оригинальности, мы обратимъ вниманіе на тѣ точки зрѣнія, которыя заслуживаютъ особенно сочувствія и изученія со стороны преподавателей алгебры.

Вся математика, по мнѣнію проф. Ермакова, состоитъ изъ положеній (т.-е. аксіомъ и теоремъ), условій (по мнѣнію проф. Ермакова, совершенно, по нашему-же разумѣнію, лишь болѣе или менѣе произвольныхъ), опредѣленій и задачъ. Послѣ разъясненія этихъ понятій, перечисляются положенія, условія и опредѣленія, необходимыя, но мнѣнію почтеннаго профессора, для того, «чтобы составить себѣ ясное понятіе объ алгебрѣ». При этомъ онъ ограничивается въ своей брошюрѣ только первыми тремя дѣйствіями и считаетъ основныя положенія алгебры взятыми изъ ариѳметики и не нуждающимися въ доказательствѣ даже въ ариѳметикѣ. Предоставляя себѣ въ будущемъ вернуться къ этому вопросу, приводимъ систему алгебры, предлагаемую проф. Ермаковымъ, безъ всякихъ съ нашей стороны поясненій (за исключеніемъ краткихъ подстрочныхъ замѣчаній, цѣль коихъ состоитъ въ указаніи отступленій этой системы отъ обычной); при этомъ

пользуемся буквенными обозначеніями во всѣхъ случаяхъ, когда это ведетъ къ сокращенпо рѣчи; въ остальномъ-же стараемся не отступать отъ изложенія почтеннаго профессора:

Положеніе I. Величина суммы а -\- Ъ -f- с-\- .... не зависитъ ни отъ порядка дѣйствій, ни отъ перестановки слагаемыхъ*).

Условіе I. Формула а — Ъ-\-с — d -f- в ..... выражаетъ рядъ послѣдовательныхъ дѣйствій въ томъ порядкѣ, какъ дѣйствія обозначены.

Положеніе II. а — Ъ-\-с — d — е-f-f= а-\-с-\- f— Ъ — d — е. Положеніе III. а — Ъ — с — d = а — (Ъ -\- c-\-d). Положеніе IV. (a ,Ъ) . с = a. (Ъ . с)**). Условіе II. а .Ъ : с = а : с .Ъ***).

*) Это положеніе состоитъ изъ двухъ частей: а) величина суммы не зависитъ отъ того, которое изъ слагаемыхъ принято за первое, которое—за второе, которое — за третье, и т. д. и б) величина суммы не зависитъ отъ того, какъ сгруппированы слагаемыя. Первое изъ этихъ предложеній есть аксіома, второе-же можетъ быть доказано.

**) Рядъ теоремъ, относящихся до умноженія, какъ извѣстно, наиболѣе удобенъ въ слѣдующемъ (для алгебры прямо необходимомъ) порядкѣ:

1) а . Ъ = Ъ . а;

2) а.Ь .с — Ъ .а . с; ^З) а .Ъ . с = а . с .Ъ\

4) а . Ъ .... m . п .... р . q = Ъ . a.....m . п.....р . q;

5) а .Ъ .... m. п .... р . q = a. Ь .... m . п .... q ,р;

6) а . Ъ .... m . п ....р . q — а . Ъ .... п . m ,...р . q\

7) сомножители могутъ быть взяты въ какомъ угодно порядкѣ;

8) въ выраженіи, требующемъ исключительно примѣненія дѣйствія умноженія, могутъ быть вставлены въ какомъ угодно мѣстѣ скобки и удалены имѣющіяся уже скобки.

Какъ профессоръ Ермаковъ всѣ эти восемь теоремъ надѣется исключить изъ курса, замѣняя ихъ только однимъ положеніемъ IV, трудно себѣ представить, такъ какъ уже при умноженіи одночлена на одночленъ, напримѣръ, За2Ь3с на baRPtfä придется пользоваться теоремою, помѣщенною нами подъ № 8; ибо

ЪоРЪъс . Ьа?Ъъаа — lba6b8c5d только потому, что

(За2Ъ3с). (ba*bscAd) = (3.5). {a2. a4). (Ъ3. Ъ5). (с. с4); примѣненіе-же теоремы подъ № 8 предполагаетъ всѣ остальныя.

***) Это условіе дѣлается профессоромъ Ермаковымъ въ противоположность тѣмъ авторамъ, которые условились считать, что а:Ъ . с обозначаетъ частное а : (Ь . с), а выраженіе а .Ъ : с обозначаетъ частное (а . Ъ) : с. Условіе профессора Ермакова вноситъ въ дѣйствія (по нѣмецкой терминологіи) второй ступени (der zweiten Stufe), т.-е. въ дѣйствія умноженія и дѣленія полную аналогію съ дѣйствіями первой степени, т.-е. сложенія и вычитанія, которыя всѣми подчиняются условію: а + Ъ — с = а — с -\- Ъ.

Сообразно съ условіемъ II, у профессора Ермакова получается

Положеніе T. а : b . с : d : е . f — а . с . f : b : d : е,

Положеніе TL а :b .c :d : e. f-*=* 7 * ,*).

Условіе III. Въ выраженіи, состоящемъ изъ чиселъ, соединенныхъ знаками всѣхъ четырехъ дѣйствій, условились прежде всего производить дѣйствія надъ числами, стоящими рядомъ и соединенными знаками умноженія и дѣленія.

Опредѣленіе I. Совокупность чиселъ, соединенныхъ знаками умноженія, принято называть одночленомъ.

Опредѣленіе II (того, что такое многочленъ).

Положеніе VII. а -J- Ъ — Ъ = а.

Опредѣленіе III (no которому «вычитаніе есть дѣйствіе, гдѣ по данной суммѣ и одному слагаемому ищется другое слагаемое»**).

Положеніе Till. (а-\-Ъ) .с = а .с-\-Ъ .с.

Положеніе IX, (а — Ъ). с = а . с — b.c.

Положеніе X. а —- b = (а — с) — (Ъ — с).

Положеніе XI. a. о — о.

Положеніе XII. А-\-(Ъ — c-\-d) = A-{-b — c-\-d.

Положеніе XIII. а — (b — c-\-d) = а — b-\-c — d.

Положеніе XIV (относительно умноженія многочлена на многочленъ).

Оппедѣленіе IT. Отрицательнымъ двучленомъ называется двучленъ^Ѵь которомъ изъ меньшаго приходится вычитать большее.

Опредѣленіе Т. Положительнымъ многочленомъ называется такой многочленъ, въ которомъ всѣ дѣйствія въ указанномъ порядкѣ, отъ лѣвой руки къ правой, возможны.

Не дѣлая новаго условія, проф. Ермаковъ замѣчаетъ, что «алгебра стремится къ простотѣ и общности», и отсюда дѣлаетъ

Условіе IT. а — (a -|~ Ь) = {a — a) — (a -f- b — a) = o — b.

Условіе T. Выраженіе o — b принято обозначать такъ: — b.

*) Такимъ образомъ, благодаря условію II, дѣлаемому профессоромъ Ермаковымъ сообразно принятому у очень многихъ иностранныхъ математиковъ обычаю, дѣлается возможнымъ избѣгать (въ весьма многочисленныхъ случаяхъ) разнородныхъ многоэтажныхъ скобокъ, которыя должны употребляться тѣми, кто подобнаго условія не признаетъ, и для кого обозначаемое профессоромъ Ермаковымъ формулою а : Ъ . с : d : е . /, должно обозначать такъ:

{([(a:b).c]:d):e}.f.

**) Думаемъ, что опредѣленіе III должно-бы предшествовать положенію VII, ибо въ этомъ случаѣ это положеніе могло-бы вытекать изъ опредѣленія, и вычитаніе не совершалось ранѣе, чѣмъ дано опредѣленіе этого дѣйствія.

Опредѣленіе ТІ. Число со знакомъ минусъ слѣва называется отрицательнымъ.

Опредѣленіе ТІІ. Положительными называемъ обыкновенныя числа, употребляемыя въ ариѳметикѣ, стало-быть, -\-а = а.

Положеніе XT. a-f-(— Ъ) = а — Ъ.

Положеніе XVI. ( — a) -f- (— Ъ) = — {a -f- Ъ).

Положеніе X TIL а — (— Ъ) = а -f- Ъ. Наконецъ,

Положеніе ХТІІІ (содержитъ въ себѣ правило знаковъ при умноженія и основано на распространеніи положеній IX, XI и IV на отрицательныя числа).

Не вдаваясь въ подробное разсмотреніе предлагаемой почтеннымъ проф. Ермаковымъ системы, должно, однако, замѣтить, что условія, за исключеніемъ четвертаго, имъ дѣлаются только относительно смысла записей того или другого рода, т.-е., если можно такъ выразиться, относительно алгебраической орѳографіи; четвертое-же условіе есть слѣдствіе другого, невысказаннаго и незанумерованнаго, условія относительно распространенія закона неизмѣняемости разности при одновременномъ уменьшеніи уменьшаемаго и вычитаемаго на одно и тоже число на случай отрицательнаго двучлена. Такихъ невысказанныхъ и незанумерованныхъ случаевъ такъ называемаго распространенія законовъ, выведенныхъ для одного условія, на условія совсѣмъ иного рода, читатель, конечно, не мало найдетъ въ основѣ доказательствъ «положеній», устанавливаемыхъ проф. Ермаковымъ. Эти условія едва-ли не важнѣе условій орѳографическихъ, и, можетъ быть, лучше было-бы дѣлать такого рода условія вслухъ, не удовлетворяясь только столь мало обозначающими для учащагося и столь важными въ математикѣ словечками: «распространимъ такое-то положеніе» или «распространимъ такой-то законъ» на такой-то случай. Но во всякомъ случаѣ, системѣ, предлагаемой проф. Ермаковымъ, нельзя отказать въ стройности и устойчивости, относительной простотѣ и опредѣленности. Многіе, можетъ быть, скажутъ, что «все это» давно извѣстно; но проф. Ермаковъ и не претендуетъ на открытія въ этой области, и если онъ счелъ нужнымъ говорить объ этихъ «извѣстныхъ» вещахъ, то только потому, что онъ считаетъ предлагаемые имъ систему, форму и распорядокъ «извѣстныхъ» положеній, условій и опредѣленій болѣе или менѣе важными. И онъ совершенно правъ, если онъ такъ думаетъ; ибо его попытка къ краткой систематизаціи ученій первыхъ страницъ алгебры представляетъ собою для насъ лично (и для самого профессора Ермакова, очевидно) нѣчто новое какъ по архитектурѣ своей, такъ и по духу идей, лежащихъ въ основѣ этой

попытки. Часто и не всегда согласно съ истиною цитируемое слово Лакруа о томъ, что всякая попытка новой систематизаціи учебнаго матеріала математики есть заслуга предъ обученіемъ,—слово, которымъ такъ часто оправдываютъ появленіе въ свѣтъ новыхъ учебниковъ ихъ авторы, — въ особенности справедливо въ примѣненіи къ стремленіямъ внести духъ порядка и равновѣсія въ какой-либо учебный предметъ со стороны такихъ корифеевъ науки, какъ проф. Ермаковъ. Это—не авторъ якобы «новаго» учебника,—новаго, но рабски «примѣненнаго» къ требованіямъ тѣхъ или иныхъ оффиціальныхъ программъ; нѣтъ, это—такой авторъ, который не примѣняется, а къ взглядамъ котораго программы должны были-бы если не примѣниться, то во всякомъ случаѣ прислушаться. Профессоръ Ермаковъ, можно сказать, выше стремленій къ примѣненію своихъ взглядовъ къ какимъ-бы то ни было практическимъ соображеніямъ.

Дѣленія проф. Ермаковъ въ своей брошюрѣ не касается, заканчиваетъ-же онъ ее разъясненіями терминовъ, «положительная величина», «отрицательная величина», «абсолютный нуль» и «нуль относительныя. Въ заключеніи брошюры онъ съ полнымъ убѣжденіемъ и безъ всякаго напускного скромничанія говоритъ слѣдующее: «Все изложенное здѣсь я предлагаю гг. педагогамъ въ руководство при первоначальномъ преподаваніи алгебры. Думаю, что мною выяснены мельчайшія подробности начальной алгебры, и въ умахъ учениковъ не останется никакихъ сомнѣній»,—если только, позволимъ мы себѣ добавить отъ своего имени, гг. педагоги, съ намѣченною выше системою въ рукахъ, пожелаютъ послѣдовать за почтеннымъ профессоромъ также и въ его методико-дидактическихъ взглядахъ и соображеніяхъ. Ибо, если они станутъ только излагать предлагаемую проф. Ермаковымъ систему «положеній», «условій» и «опредѣленій», не вникая въ трудности ея, не разрабатывая каждое звено этой системы вполнѣ методически и послѣдовательно, вполнѣ сообразно съ развитіемъ и разумѣніемъ учениковъ, то отъ такого пользованія предлагаемою проф. Ермаковымъ системою получатся результаты вовсе не утѣшительные. Предлагаемое проф. Ермаковымъ представляетъ собою лишь матеріальное содержаніе того, къ чему въ концѣ концовъ надо привести малолѣтковъ, учащихся начальной алгебрѣ, и вовсе не представляетъ собою того, что учитель имъ долженъ непремѣнно слово въ слово преподавать на своихъ урокахъ. Между книжнымъ, отвлеченнымъ изложеніемъ первыхъ страницъ учебника (а почтенный профессоръ въ своей статьѣ далъ именно содержаніе первыхъ страницъ учебника алгебры) и методическимъ преподаваніемъ, къ которому онъ

столь симпатично приглашаетъ гг. педагоговъ,—преподаваніемъ, которое должно быть проникнуто не книжною, а истинною живою мудростію,—есть большая разница и во всякомъ случаѣ не можетъ быть абсолютной тождественности. Говоря иначе: аппаратъ положеній, условій и опредѣленій, предлагаемый проф. Ермаковымъ, представляетъ собою сущность ученій алгебры, а не образчикъ уроковъ по предмету алгебры; послѣдніе должны привести учащихся алгебрѣ къ пониманію ученій этой послѣдней съ помощью преподаванія, которое не можетъ и не должно ограничиваться дословнымъ изложеніемъ этихъ ученій, какъ они разработаны въ брошюрѣ проф. Ермакова. «Учебникъ долженъ содержать основныя положенія науки, изложенныя въ краткой формѣ», говоритъ проф. Ермаковъ; что-же касается метода преподаванія, то онъ находится въ полной зависимости отъ преподавателя, его вкусовъ, педагогическаго и умственнаго развитія, педагогическаго образованія, любви къ предмету, любви къ дѣлу и сердечнаго отношенія къ дѣтямъ.

Мы нимало не сомнѣваемся въ томъ, что многіе преподаватели найдутъ крайне труднымъ усвоеніе дѣтьми понятій о томъ, что такое предложеніе, что—условіе, что—опредѣленіе, а также понятія о томъ, что это значитъ «распространить предложеніе такое-то» на такой-то случай; мы и сами считаемъ усвоеніе этихъ понятій учащимися задачею нелегкою. Но въ то-же время мы усвоеніе дѣтьми этихъ понятій считаемъ вмѣстѣ съ проф. Ермаковымъ вполнѣ возможнымъ и достойнымъ того, чтобы надъ этими понятіями поработать. Мы думаемъ, что безсмысленная игра знаками и буквами, къ которой сводится нынѣшнее обученіе алгебрѣ въ очень многихъ случаяхъ, для дѣтей гораздо труднѣе и гораздо менѣе доступна, чѣмъ усвоеніе какихъ-либо понятій, доступныхъ всякому здравомыслящему человѣку, если только усвоеніе этихъ понятій обставлено благопріятными методическими условіями и пріемами. Если для того, чтобы разработать эти понятія, необходимо затратить такъ-называемый «лишній» мѣсяцъ, два, три, годъ, то лучше отказаться отъ возможности блеснутъ фактическими (въ скобкахъ будь сказано — крайне сомнительными) познаніями учениковъ и довести ихъ до пониманія того, въ чемъ суть алгебры, чѣмъ отказаться отъ усвоенія ими этой сути и ограничиваться только одною игрою въ буквы, знаки, символы, доказательства и безсмысленныя вычисленія. Читатель, конечно, не заподозритъ насъ въ сочувствіи къ «разговорамъ» о томъ, что такое положеніе, что—опредѣленіе и что—условіе, или въ сочувствіи къ отвлеченнымъ опредѣленіямъ этихъ понятій: опредѣленія да и «разго-

воры» не въ состояніи выработать въ умѣ этихъ понятій. Мы желали-бы, и того-же, конечно, желаетъ проф. Ермаковъ, чтобы примѣрами, непосредственными указаніями преподавателя, вопросами и отвѣтами, однимъ словомъ, всѣми имѣющимися у преподавателя методическими средствами, эти понятія были разработаны въ умѣ учащагося, притомъ попутно съ содержаніемъ того или иного, въ данный моментъ, нужнаго—опредѣленія, условія или положенія. Если учитель, преподавая данный учебный предметъ, боится выработать въ умѣ учащагося тѣ понятія, которыя составляютъ основу, суть даннаго учебнаго предмета (для этого вовсе не надо углубляться, какъ нѣкоторые не безъ усмѣшечки говорятъ, въ «философпо предмета»), если преподаватель боится- вникнуть съ учащимися, напр., въ логическій смыслъ алгебры (въ тождественное преобразованіе, по проф. Ермакову), если преподаватель боится дать ученику надлежащее, хотя и простое, понятіе о томъ, что такое «условіе» и что это значитъ «распространитъ», то, конечно, никто не виноватъ, кромѣ самого преподавателя, въ томъ, что алгебра для большинства учащихся представляетъ собою только игру въ знаки и буквы, притомъ игру даже незанимательную. Нѣчто аналогичное встрѣчается и въ ариѳметикѣ, когда учащій думаетъ, что различіе между отношеніемъ двухъ именованныхъ чиселъ и частнымъ, происходящемъ отъ раздѣленія именованнаго на отвлеченное, для учащихся понятіе слишкомъ тонкое; а въ результатѣ получается, что когда учащемуся приходится въ физикѣ усвоивать себѣ понятія объ удѣльномъ вѣсѣ, влажности или теплоемкости, то онъ далеко не такъ хорошо и вѣрно усваиваетъ себѣ эти понятія, какъ того желалъ-бы преподаватель физики. И въ ариѳметикѣ еще много такихъ якобы «тонкихъ» пунктовъ, которые гораздо важнѣе пропорцій, обращенія періодическихъ десятичныхъ дробей въ обыкновенные и учета векселей. О геометріи-же и говорить нечего: если учащій и вмѣстѣ съ нимъ, конечно, учащійся ничего не знаютъ о томъ, что въ основѣ геометріи лежатъ весьма многочисленныя допущенія (постулаты, факты, гипотезы, требованія, условія—называйте какъ хотите: не въ названіи дѣло), то геометрія является для него въ видѣ, крайне несоотвѣтствующемъ истинѣ (Пишущаго эти строки нисколько не удивило, когда его и въ печати, и въ частной бесѣдѣ упрекали въ томъ, что онъ свой «Учебникъ геометріи» начинаетъ съ ряда допущеніи. «Помилуйте! учащійся подумаетъ, что геометрія— наука, которая не все доказываетъ и которая основана на какихъ-то безчисленныхъ произвольныхъ допущеніяхъ!» — сказалъ намъ одинъ изъ нашихъ доброжелателей.—Что-же дѣлать! пустъ думаетъ,—отвѣ-

тили мы,—ибо если онъ это подумаетъ, то это лучше, чѣмъ если онъ ничего не думая, будетъ изучать курсъ геометріи въ теченіе четырехъ лѣтъ и, въ концѣ-концовъ, ни понимать, ни цѣнить ея не будетъ). Пустъ учащійся научится понимать—что въ алгебрѣ есть условіе, что—опредѣленіе, что — аксіома, что —теорема; пустъ онъ научится понимать, что цѣль алгебры часто заключается только въ преобразованіи, и тогда въ умѣ его, какъ на это надѣется профессоръ Ермаковъ, «не останется ни малѣйшихъ сомнѣній...»

Вопросъ о томъ — какъ всему этому научить, какими средствами достигнутъ того, чтобы подлежащее въ данный моментъ преподаванія усвоено было ученикомъ, усвоено съ полнымъ разумѣніемъ, конечно, еще доселѣ не разрѣшенъ даже и въ брошюрѣ проф. Ермакова; но бѣда не въ этомъ: бѣда въ томъ, что слишкомъ много такихъ преподавателей, которые думаютъ, что онъ уже давно разрѣшенъ, и еще больше такихъ, которые считаютъ его даже недостойнымъ разрушенія. Какъ для тѣхъ, такъ и для другихъ долженъ быть весьма поучителенъ опытъ проф. Ермакова. Кто не думаетъ, что учителямъ математики въ нашихъ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ уже учиться нечему, кто не думаетъ, что они достигли въ своихъ познаніяхъ и въ пріемахъ своего преподаванія полнаго совершенства, кто не думаетъ, что все «это»—нѣмецкія выдумки, кабинетныя иллюзіи и фантазіи, кто, наконецъ, не ищетъ своей апатіи оправданія въ невѣрномъ взглядѣ, будто оффиціальныя программы стѣсняютъ-де учителя, тотъ, конечно, согласится съ нами въ томъ, что опытъ проф. Ермакова на поирищѣ методики математики составляетъ явленіе для нашего времени и поучительное, и достойное всякаго сочувствія со стороны тѣхъ, кому дѣйствительно дороги интересы разумнаго преподаванія математики въ нашихъ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ. Пункты несогласія читателя и пишущаго эти строки съ нѣкоторыми частностями тѣхъ или иныхъ взглядовъ почтеннаго профессора, конечно, при этомъ не должны приниматься въ разсчетъ. Важны не частности, а общіе идеалы, одушевляющіе почтеннаго ученаго; важны его глубокія познанія, его собственный педагогическій опытъ, его любовь къ дѣлу и къ дѣтямъ, его способность смѣло смотрѣть правдѣ въ глаза, его искренность и нелицепріятность въ вопросахъ математическаго образованія: все это такъ рѣдко встрѣчается въ столь счастливомъ сочетаніи въ нашей педагогической литературѣ.

С. Шохоръ-Троцкій.

КРИТИКА И БИБЛІОГРАФІЯ.

Д. Тихомировъ. Методика начальной ариѳметики. Руководство для учащихъ въ церковно-приходскихъ школахъ. Могилевъ на Днѣпрѣ. 1890 г. Цѣна 60 коп.

Курсъ ариѳметики для церковно-приходскихъ школъ программами виолнѣ опредѣленъ, но нримѣненіе его въ практикѣ далеко еще не установилось, особенно въ практикѣ одноклассной школы съ двухгодичнымъ курсомъ. Мы напомнимъ, что требованія этой послѣдней по ариѳметикѣ или «счисленію» (такъ ариѳметика называется въ программахъ церковно-приходскихъ школъ) совпадаютъ съ требованіями земской школы. Въ школахъ обоихъ типовъ поставлено цѣлью изученіе четырехъ дѣйствій: въ церковно-приходскихъ—надъ числами до милліона, а въ земскихъ—надъ числами любой величины; разница, конечно, несущественная. Пройти одинъ и тотъ-же курсъ въ два года или въ три—далеко не все равно. Трудность для учащихъ церковно-приходскихъ школъ увеличивается тѣмъ, что у нихъ нѣтъ въ распоряженіи методически разработаннаго сборника задачъ. Восполнить этотъ пробѣлъ, повидимому, взялся авторъ поименованнаго выше руководства, въ началѣ котораго онъ говоритъ: «Общее положеніе, на которомъ основываются новѣйтія руководства (Мартынова, Шохоръ-Троцкаго, Егорова, Житкова, Гольденберга, Лубенца),—то, что въ нихъ въ основу преподаванія полагается изученіе не числа въ его свойствахъ, а элементарныхъ дѣйствій надъ числами. Положеніе въ общемъ вѣрное, но не вездѣ оно съ одинаковою удобопримѣнимостью проводилось» (стр. 8). Такое скромное заявленіе дало намъ поводъ думать вначалѣ, что рѣчь пойдетъ только о такой разработкѣ курса, которая была-бы цѣлесообразна для церковно-приходскихъ школъ; но дальнѣйшее изученіе руководства показало намъ, что наши предположенія оказались несостоятельными и что авторскія притязанія простираются гораздо дальніе. На стр. 10 читаемъ: «Новаяі постановка ме-

тодики ариѳметики отказывается отъ слишкомъ широкихъ и далекихъ отъ жизни требованій: не претендуетъ на ознакомленіе учениковъ съ «свойствами» чиселъ, этою основою всякаго математическаго анализа, не находитъ полезнымъ упражнять учениковъ и въ сложныхъ запутанныхъ вычисленіяхъ, умѣнье обращаться съ которыми составляетъ скорѣе украшеніе ума, чѣмъ практически существенную нужду жизни. Поэтому она не находитъ въ отношеніи къ начальной народной школѣ соотвѣтствующимъ существу дѣла даже и самое названіе «ариѳметика», какъ предполагающее законченный элементарный курсъ этого учебнаго предмета, и вмѣсто этого названія вводитъ другое, болѣе скромное: «счисленіе». Это наименованіе и болѣе понятно для простого человѣка». Изъ выписанной цитаты явствуетъ, что авторъ хлопочетъ о какой-то особенно простой, у насъ будто-бы еще небывалой постановкѣ методики ариѳметики. Но, къ сожалѣнію, изъ этого ровно ничего не выходитъ. Во-первыхъ, невозможно не познакомить учениковъ съ нѣкоторыми такими свойствами чиселъ, которыя крайне полезны, напр., при умноженіи на 9 или 99, при сложеніи съ числами легко закругляемыми, при приведеніи дробей къ одному знаменателю, и т. п. Очевидно, авторъ здѣсь что-то напуталъ, не уяснивъ себѣ истинной причины неудовлетворительности методы изученія чиселъ. Ошибка Грубе и его послѣдователей заключалась не въ ознакомленіи учениковъ съ свойствами чиселъ, а въ томъ, что они второстепенное, а именно нѣкоторыя свойства чиселъ, преждевременно выдвигаютъ на первый планъ, когда еще о дѣйствіяхъ дѣти не имѣютъ представленія. Во-вторыхъ, сложныя, но, конечно, не запутанныя, вычисленія предлагаютъ ученикамъ и новѣйшіе методисты, но не «для украшенія ума», а для того, чтобы научить учениковъ вычислять съ разумѣніемъ, быстро, вѣрно и даже изящно. Неужели авторъ серьезно увѣренъ въ томъ, что если ученикъ все продѣлываетъ, какъ слѣдуетъ, надъ числами до милліона, то для него представится какое-нибудь затрудненіе въ выкладкахъ надъ большими числами? Въ-третьихъ, мы не согласны какъ съ тѣмъ, что въ курсъ начальной народной школы не умѣщается понятіе о законченномъ элементарномъ курсѣ ариѳметики: возможность такого курса видна даже изъ программы этого учебнаго предмета для церковно-приходскихъ школъ; что-же касается переименованія ариѳметики въ «счисленіе», то это переименованіе, строго говоря, сущности дѣла не измѣняетъ, а кромѣ того и не заслуживаетъ сочувствія, такъ какъ слово «счисленіе» обозначаетъ на самомъ дѣлѣ не ариѳметику въ какомъ-бы то ни было объемѣ, а только часть ея, называемую иначе нумераціею. Для того, чтобы пи-

сать книжки, «приноровленныя» къ тѣмъ или инымъ программамъ, ковсе нѣтъ надобности во что-бы то ни стало сочувствовать даже частностямъ въ этихъ программахъ,—тѣмъ болѣе, что и сами составители какой-бы то ни было программы ее не считаютъ совершенствомъ...

Расположеніе курса въ «Руководствъ» г. Тихомирова сдѣлано въ порядкѣ, указанномъ въ объяснительной запискѣ «къ программѣ обученія счисленію для церковно-приходскихъ школъ». Входить въ обсужденіе этой программы, конечно, не цѣлесообразно въ этой замѣткѣ; скажемъ только, что на первые два года обученія назначено слишкомъ много матеріала и выполнить его можно только въ исключительномъ случаѣ. Болѣе подробно у г. Тихомирова разработанъ курсъ перваго года; тутъ авторъ обнаружилъ знакомство съ новѣйшею литературою по предмету методики ариѳметики и весьма многимъ воспользовался въ этомъ направленіи. Жалъ только, что цѣль у г. Тихомирова поставлена крайне односторонне: весь этотъ курсъ проведенъ исключительно со стороны производства дѣйствій, и именно вычисленій. Безспорно, что научить хорошо вычислять учениковъ необходимо и что учителю надо знать, какъ это сдѣлать, но все-таки вычисленія—только одна сторона дѣла. Какой выйдетъ толкъ, что ученикъ будетъ умѣть производить вычисленія, но не будетъ понимать, когда какое дѣйствіе требуется приложить. Чтобы получить должное понятіе о цѣли каждаго дѣйствія, надо пріобрѣсти знаніе признаковъ дѣйствій въ значительно большемъ количествѣ, чѣмъ какое предполагается въ «Руководствѣ» г. Тихомирова. Приведемъ самый обыкновенный примѣръ, напр., задачу на кратное сравненіе: «въ лавкѣ куплено на 6 коп. грифелей, за каждый заплачено по 2 коп.; сколько куплено грифелей?» Отвѣты на такого рода задачи учениками часто даются вполнѣ безошибочные, но дѣти не понимаютъ, что для рѣшенія предложеннаго вопроса надо узнать, сколько разъ въ 6 содержится 2; до пониманія этого необходимо довести ученика, безъ чего этотъ случай дѣленія ему не будетъ извѣстенъ и рѣшеніе будетъ даваться имъ только наугадъ. Какъ достигнуть съ учениками подобныхъ результатовъ—во всѣхъ новѣйшихъ сочиненіяхъ по предмету методики ариѳметики указывается, и указанія такого рода въ общемъ сводятся въ нѣкоторыхъ сочиненіяхъ къ рѣшенію цѣлесообразно и методически подобранныхъ группъ задачъ и связанныхъ съ ними упражненій. Между тѣмъ, эта столь важная сторона дѣла, мы-бы сказали половина его, оставлена г. Тихомировымъ безо всякой разработки, какъ будто понятіе о сущности дѣйствій въ умахъ учениковъ выра-

ботается само собой или учителя сами дойдутъ до раціональной разработки этихъ вопросовъ. Доказательствомъ того, что авторъ невѣрно представляетъ себѣ роль задачъ при обученіи ариѳметикѣ, служитъ то, что онъ ограничился только совѣтомъ—уже сообщенныя ариѳметическія правила сопровождать рѣшеніемъ задачъ. Надо къ этому прибавить, что оффиціальною «объяснительной запиской», относящеюся къ преподаванію ариѳметики въ церковно-приходскихъ школахъ, задачамъ придается очень существенное значеніе въ курсѣ, а г. Тихомировъ далѣе избитыхъ фразъ о томъ, что дѣйствія надо проходить «сознательно», «съ разумѣніемъ», не идетъ. При томъ прохожденіи курса, которое рекомендуетъ авторъ, ученики не выработаютъ себѣ. правильныхъ ариѳметическихъ понятій, и такой курсъ не окажетъ на нихъ надлежащаго вліянія со стороны ихъ умственнаго развитія,—въ лучшемъ случаѣ они научатся производить вычисленія, которыя ими будутъ вскорѣ забыты, такъ какъ обученіе, рекомендуемое г. Тихомировымъ, идетъ не рука объ руку съ ихъ развитіемъ, а ведется чисто внѣшнимъ, насильственнымъ образомъ. Если г. Тихомировъ считаетъ постановку методики ариѳметики, имъ рекомендуемую, новою, то онъ, конечно, ошибается, да и хорошаго въ этомъ «новомъ» очень мало.

Курсъ второго года разработанъ въ руководствѣ по той-же системѣ, какъ и первый. «Что-же касается второго класса двухклассныхъ церковно-приходскихъ школъ, говоритъ г. Тихомировъ, то онъ не включенъ въ «Методику ариѳметики», и именно въ виду отсутствія всякой нужды въ особомъ для этого методическомъ руководствѣ... учитель будетъ просто излагать въ обычной формѣ то содержаніе, которое можно найти въ любомъ курсѣ ариѳметики, и для успѣха преподаванія здѣсь требуется лишь отчетливое знаніе самимъ учителемъ предмета его преподаванія» (стр. 106). Конечно, съ этимъ крайне смѣлымъ утвержденіемъ не только учитель народной школы, но и всякій мало-мальски образованныя, въ педагогическомъ отношеніи, человѣкъ никогда не согласится. Система учебника и его изложеніе—одно, а методически разумное преподаваніе—совсѣмъ другое. Должно поэтому отхмѣтить, что съ выходомъ въ свѣтъ труда г. Тихомирова учителя церковно-приходскихъ школъ остаются въ прежнемъ своемъ затруднительномъ положеніи, изъ котораго единственный исходъ—обратиться къ одному изъ ранѣе вышедшихъ въ свѣтъ руководствъ по методикѣ ариѳметики и, сообразно съ нимъ и примѣняясь къ программѣ церковно-приходскихъ школъ, составитъ планъ преподаванія, подобравъ къ нему соотвѣтственный матеріалъ. Указанія на то, какъ пройти

курсъ четырехъ дѣйствій надъ цѣлыми числами въ два года въ нѣкоторыхъ новѣйшихъ сочиненіяхъ по методикѣ ариѳметики не только намѣчены, но и разработаны въ своихъ деталяхъ. Н. З.

Взгляды математика на преподаваніе арѳметики.

О преподаваніи ариѳметики. Рѣчь, произнесенная проф. В. П. Ермаковымъ въ засѣданіи физико-математическаго общества въ Кіевѣ 15-го марта 1890 г.

Не такъ еще давно, лѣтъ десять-пятнадцать тому назадъ, вопросъ о томъ—чѣмъ долженъ быть ариѳметическій задачникъ—на страницахъ педагогическаго журнала показался-бы вопросомъ празднымъ, неинтереснымъ. Евтушевскій и Верещагинъ, Малининъ и Буренинъ какъ-бы разъ навсегда разрѣшили этотъ вопросъ въ томъ смыслѣ, что задачникъ долженъ быть только собраніемъ задачъ, не проникнутомъ никакою руководящею методическою идеей; о томъ—что должно преслѣдоваться задачами, никто не задумывался, и понятно, что каждый составитель новаго задачника стремился лишь чѣмъ-нибудь внѣшнимъ отличить свой задачникъ отъ общеупотребительныхъ: одинъ желаетъ, чтобы съ помощью его задачника въ памяти учащагося запечатлѣлся цѣлый рядъ фактическихъ данныхъ, другой—чтобы его задачи были особенно вѣрно согласованы съ дѣйствительностью, третій— чтобы данныя его задачъ были взяты изъ разныхъ областей науки: астрономіи, физики, географіи, исторіи и т. д. Столь-же празднымъ считался вопросъ о томъ—чему и какъ учить на урокахъ ариѳметики, все-ли, что входитъ въ курсъ ариѳметики, необходимо и полезно съ практической и съ педагогической точки зрѣнія?

Когда, въ 1888 году, появился въ свѣтъ нашъ задачникъ подъ заглавіемъ «Методическій сборникъ ариѳметическихъ задачъ для среднихъ учебныхъ заведеній », нѣкоторые изъ знакомыхъ намъ педагоговъ неоднократно спрашивалъ «что это значитъ: методическій сборникъ? значитъ-ли это, что онъ систематически предлагаетъ задачи сообразно требованіямъ программы курса? значитъ-ли это, что это «что-то» по части методики?» и т. д. Обнаружилось, что мои почтенные собесѣдники отожествляютъ систему съ методою, программу курса съ распорядкомъ занятій, чуть-ли не умственное развитіе учениковъ съ ихъ умѣньемъ рѣшать ариѳметическія задачи...

Прошло нѣсколько лѣтъ, въ теченіе которыхъ пишущій эти строки къ прежнимъ своимъ учебнымъ пособіямъ и критико - методическимъ работамъ, посвященнымъ вопросамъ методики преподаванія низшей математики вообще и ариѳметики въ частности, присоединилъ еще нѣсколько посильныхъ работъ по этимъ вопросамъ, и только теперь попадается ему въ руки оттискъ рѣчи, произнесенной почтеннымъ проф. Кіевскаго университета, В. П. Ермаковымъ, по вопросамъ преподаванія ариѳметики, еще въ мартѣ 1890 года. Брошюру проф. Ермакова по вопросу о преподаваніи алгебры пишущій настоящія строки считаетъ однимъ изъ отраднѣйшихъ явленій нашей педагогической литературы, и ей нами посвящена довольно обширная статья въ «Русской Школѣ», № 1 за 1893 годъ. Понятно, что за штудированіе рѣчи проф. Ермакова о преподаваніи ариѳметики мы принялись съ особеннымъ интересомъ и удовольствіемъ. И вотъ нынѣ считаемъ долгомъ своимъ отмѣтить, что, при всемъ своемъ несочувствіи къ взгляду почтеннаго профессора на характеръ ариѳметическихъ задачъ, который имъ желалъ-бы придать профессоръ, мы и въ этой рѣчи натолкнулись на массу достойныхъ полнаго сочувствія и крайне интересныхъ мыслей, съ которыми мы и постараемся ознакомить читателей. Надѣемся, что они на насъ за это не посѣтуютъ.

Во вступленіи почтенный профессоръ, признаваясь въ недостаточномъ своемъ зыакомствѣ съ педагогической литературою, какъ-бы оправдывается въ томъ, что онъ рѣшился «выступить въ роли педагога-руководителя». Само собою разумѣется, что оправдываться г. профессоръ въ своемъ интересѣ къ педагогическимъ вопросамъ вовсе не долженъ: знакомство съ педагогической литературою не есть безусловно необходимое условіе для человѣка, искренно желающаго предложить вниманію педагоговъ свои взгляды, которые, къ тому же, «кореннымъ образомъ (какъ замѣчаетъ самъ г. Ермаковъ) расходятся съ воззрѣніями почти всѣхъ педагоговъ».

Во главу всѣхъ своихъ педагогическихъ размышленій почтенный профессоръ ставитъ слѣдующія пять «положеній»: «1) теорію математики ученики должны изучать въ школѣ на урокахъ; 2) ученикамъ не слѣдуетъ давать учебниковъ по ариѳметикѣ и алгебрѣ; 3) ученикамъ на домъ могутъ быть задаваемы лишь однѣ задачи; 4) теорія математики должна быть доведена до минимума и до возможной простоты и 5) преподаваніе математики должно быть направлено къ достиженію двухъ цѣлей: къ умѣнью вычислять и къ развитію мыслительной способности учениковъ».

Само собою разумѣется, что не со всѣми положеніями почтеннаго

профессора можно согласиться во всемъ ихъ объемѣ (мы, напр., несогласны съ положеніями вторымъ и третьимъ*); но нельзя не признать, что положенія первое и пятое въ особенности цѣнны, если ихъ формулируетъ человѣкъ науки, крупный ученый, которому математика обязана крупными пріобрѣтеніями. Это тѣмъ отраднѣе, что почтенный профессоръ, начиная свои изслѣдованія съ ариѳметики (несмотря на то, что «много написано по методикѣ ариѳметики»), старается сразу показать, что «ариѳметика можетъ быть наукою простою, интересною», что «такова она по самому существу, но не такова въ нашей школѣ», что нынѣ «наука усложняется», что «въ ариѳметику привносятся такія вещи, которыя дѣлаютъ эту науку и трудною, и мало интересною».

Обратившись къ тому, «что въ ариѳметикѣ служитъ излишнимъ балластомъ и должно быть выброшено», почтенный профессоръ указываетъ слѣдующія статьи: ученія объ измѣненіи результатовъ четырехъ дѣйствій въ зависимости отъ измѣненія данныхъ чиселъ, всякія «новыя» правила при преподаваніи ученія объ именованныхъ числахъ, «въ особенности правила раздробленія и превращенія», рѣшеніе задачъ съ дробями, члены которыхъ слишкомъ велики, отдѣльныя статьи о признакахъ дѣлимости, о разложеніи на множители, о нахожденіи наименьшаго кратнаго, доказательства умноженія и дѣленія на дробь, правила: тройныя, цѣпное, товарищества, «фальшивое» (régula falsi, впрочемъ, нынѣ все равно не проходится), смѣшенія, а также ариѳметическія отношенія и пропорціи и даже геометрическія. Интересно при этомъ, что ученія о признакахъ дѣлимости, наименьшемъ кратномъ и т. п. почтенный профессоръ считаетъ возможнымъ выяснить «параллельно» съ упражненіями «учениковъ въ рѣшеніи задачъ, заключающихъ простѣйшія дроби, причемъ въ кругъ такихъ упражненій должны войти всевозможныя дѣйствія надъ дробями». «Только послѣ того, какъ ученикъ сознательно рѣшаетъ простѣйшія задачи на умноженіе и дѣленіе дробей, слѣдуетъ формулировать и выяснить, въ чемъ состоитъ умноженіе и дѣленіе дробей».

Намъ особенно пріятно констатировать эти взгляды почтеннаго профессора, такъ какъ на настойчивую пропаганду подобныхъ-же взглядовъ нами потрачено очень много времени и труда! Мы отлично, напр., помнимъ то неодобреніе, съ которымъ былъ встрѣченъ много лѣтъ тому назадъ въ нѣкоторыхъ педагогическихъ кружкахъ про-

*) Ср. «Цѣль и средства преподаванія низшей математики» (Спб. 1892), стр. 61 и слѣдующія.

тестъ противъ «многоэтажныхъ» задачъ, къ которымъ столь пристрастенъ былъ покойный И. П. Верещагинъ и лица, составлявшія задачи для письменныхъ испытаній на аттестаты зрѣлости... Нынѣ проф. Ермаковъ считаетъ нуяснымъ прежде всего протестовать «противъ вкоренившагося обычая давать задачи на различныя правила со многими условіями»... «Такія задачи, — говоритъ почтенный профессоръ, приведя задачу не изъ числа особенно многоэтажныхъ,— просто безсмысленны»... Наконецъ, почтенный профессоръ протестуетъ также противъ скобочныхъ въ ариѳметикѣ упражненій, считая ихъ относящимися спеціально къ алгебрѣ, съ чѣмъ, конечно, нельзя не согласиться въ большей или меньшей степени.

Изъ всего вышеизложеннаго легко придти къ заключенію, что почтенный ученый смотритъ на предметъ ариѳметики и цѣли ея преподаванія крайне трезво и просто, — проще, чѣмъ программы курса ариѳметики въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ различныхъ вѣдомствъ, и неизмѣримо проще, чѣмъ сами гг. преподаватели и преподавательницы этого предмета въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ. Къ сожалѣнію, нельзя того-же сказать о той роли и о томъ значеніи, которыя почтенный профессоръ приписываетъ при преподаваніи ариѳметики задачамъ алгебраическаго характера.

По его мнѣнію, «у насъ нѣтъ задачника, спеціально приноровленнаго къ развитію мыслительной способности учениковъ»; къ составленію подобнаго задачника онъ желалъ-бы пріохотить педагоговъ, указывая не только на пользу, которую подобный задачникъ принесетъ школѣ, но и на «значительныя матеріальныя выгоды», которыя такой задачникъ принесетъ составителю... Начать съ того, что все обученіе ариѳметикѣ и все среднее образованіе должно и можетъ быть приноравливаемо къ развитію «мыслительной способности»; кромѣ того, должно замѣтить, что всякое методически правильное преподаваніе ариѳметики, помимо задачъ алгебраическаго характера, которыя имѣетъ въ виду почтенный профессоръ, заключаетъ въ себѣ вполнѣ достаточно различныхъ элементовъ для развитія мыслительной способности учащихся; наконецъ, нельзя забывать того, что рѣшеніе задачъ алгебраическаго характера къ предмету ариѳметики, какъ таковой, вовсе не относится и представляетъ собою на самомъ дѣлѣ какъ-бы совершенно отдѣльный отъ нея предметъ обученія.

Приведя извѣстную задачу о двухъ пастухахъ*), проф. Ермаковъ

*) «Два пастушка, Коля и Ваня, гнали овецъ. Дай мнѣ одну овцу, говоритъ Коля. тогда у меня будетъ вдвое болѣе овецъ, чѣмъ у тебя. Нѣтъ, отвѣчаетъ на это Ваня, лучше ты дай мнѣ одну овцу, тогда у насъ будетъ поровну. Сколько у каждаго овецъ?»

замѣчаетъ: «Многіе педагоги протестуютъ противъ подобныхъ задачъ. Протестъ неудивителенъ, если педагоги сами не умѣютъ рѣшить подобной задачи; но такіе педагоги рѣдки. Разумнымъ-же педагогамъ я берусь доказать полезность подобныхъ задачъ, если онѣ хорошо составлены и помѣщены въ надлежащемъ мѣстѣ». Показавъ, какъ рѣшается эта задача, почтенный профессоръ превосходными анализами приходитъ къ цѣлому ряду предварительныхъ задачъ, которыя необходимы, съ методической точки зрѣнія, для возможности рѣшенія этой задачи учащимися. Такимъ образомъ, почтенный профессоръ доказалъ только необходимость также въ случаѣ задачъ алгебраическаго характера примѣненія той методы, которую мы въ своихъ посильныхъ работахъ называемъ «методою дѣлесообразныхъ задачъ». И съ этимъ нельзя не согласиться, если только принять безъ доказательства, что рѣшеніе ариѳметическихъ задачъ алгебраическаго характера необходимо или даже хотя-бы только полезно при прохожденіи ариѳметики. Но этого-то какъ разъ и не доказалъ почтенный профессоръ въ своей рѣчи, притомъ не доказалъ только потому, что доказать это невозможно; ибо рѣшеніе задачъ алгебраическаго характера при обученіи ариѳметики не только не необходимо, не только не полезно, но даже прямо вредно по причинѣ своей преждевременности. Мы крайне внимательно искали доказательства именно этого основного взгляда проф. Ермакова на задачи алгебраическаго характера, какъ на задачи крайне важныя въ курсѣ ариѳметики. Но этого доказательства или даже хотя-бы посылокъ его не нашли во всей блестящей рѣчи почтеннаго профессора. За исключеніемъ «развитія мыслительной способности», мы не нашли ни одного отвѣта на слѣдующіе вопросы; достаточно-ли имѣется въ курсѣ ариѳметики, помимо задачъ алгебраическаго характера, такихъ ученій, при которыхъ развивалась-бы мыслительная способность учениковъ? Представляетъ-ли собою задача алгебраическаго характера нѣчто, легко устранимое изъ курса ариѳметики и неизбѣжно необходимое и крайне полезное, со всѣхъ возможныхъ точекъ зрѣнія, въ курсѣ алгебры? Не можетъ-ли чисто логическое разсужденіе при рѣшеніи задачъ этого рода быть относимо въ курсъ ученія о составленіи уравненій, при прохожденіи этого послѣдняго ученія? Не умѣстнѣе-ли чисто-логическій способъ рѣшенія задачъ этого рода (безъ уравненій) именно въ pendant къ ученію объ уравненіи и его составленіи и рѣшеніи?

Только придя къ отрицательному рѣшенію всѣхъ этихъ вопросовъ, можно было-бы согласиться съ почтеннымъ профессоромъ въ томъ, что задачи алгебраическаго характера при преподаваніи ариѳметики

крайне важны; только при этомъ условіи можно было-бы раздѣлять его увлеченіе, выразившееся въ слѣдующихъ словахъ его рѣчи: «Позвольте, мм. гг., выразить надежду, что кто-нибудь изъ моихъ слушателей увлечется моей идеей и займется составленіемъ задачника, имѣющаго исключительною цѣлью развитіе мыслительной способности учениковъ. Трудно себѣ представить, какую громадную пользу принесетъ подобный задачникъ! Математическія науки процвѣтутъ, а труды составителя вознаградятся съ избыткомъ!»

Къ сожалѣнію, процвѣтаніе математическихъ наукъ въ нашемъ отечествѣ вовсе не зависитъ отъ того, скоро-ли будетъ составленъ задачникъ, заключающій только задачи алгебраическаго характера (эти именно задачи г. Ермаковъ имѣетъ въ виду въ проектируемомъ имъ задачникѣ). Улучшеніе преподаванія скорѣе зависитъ отъ того, скоро-ли будутъ усвоены тѣ основныя положенія, которыя формулировалъ проф. Ермаковъ въ своей рѣчи и которыя очень многими изъ преподавателей, вѣроятно, раздѣляются въ настоящее время.

Должно при этомъ замѣтить, что г. профессоръ Ермаковъ въ вопросѣ объ алгебраическихъ задачахъ пропагандируетъ (если забытъ о его вполнѣ законномъ требованіи относительно ихъ методичности) взгляды, довольно сильно распространенные среди нашихъ преподавателей и составителей задачниковъ. Въ этомъ вопросѣ проф. Ермаковъ примыкаетъ къ большинству, къ которому пишущій настоящія строки не можетъ присоединиться,—къ тому большинству, которое задачамъ алгебраическаго характера въ курсѣ ариѳметики придаетъ болѣе или менѣе важное значеніе. Къ сожалѣнію, ариѳметическія задачи алгебраическаго характера вмѣстѣ съ задачами на тройныя правила, правила процентовъ, смѣшенія, учета векселей и т. п. на самомъ дѣлѣ принадлежатъ къ «балласту» (позволимъ себѣ выразиться словами почтеннаго профессора), и «этотъ балластъ отчасти унаслѣдованъ нами отъ прежнихъ временъ и облюбованъ многими новыми педагогами»*). У преподаванія ариѳметики цѣли вполнѣ опредѣленныя и достаточно благородныя: научить дѣтей вѣрно, быстро и изящно вычислять и при этомъ, благодаря именно этому обученію, привить дѣтскому уму разные полезные умственные навыки; у ариѳметическихъ задачъ-же двоякая цѣль: подготовлять умъ учащагося къ выработкѣ тѣхъ или иныхъ ариѳметическихъ задачъ (принципъ «методы цѣлесообразныхъ задачъ») и упражнять въ вычисленіяхъ

*) Еще Генчель настаивалъ на задачахъ алгебраическаго характера, считая ихъ какъ-бы «орѣшками» (eine Nuss zum knacken), которые полезно давать ученикамъ даже начальной школы для «упражненія въ мышленіи».

(«принципъ труда и упражненія»). Все постороннее должно быть устранено изъ курса ариѳметики, и только тогда можно будетъ предаваться благородной мечтѣ высокопочтеннаго профессора Ермакова о «процвѣтаніи математическихъ наукъ»*).

Во всякомъ случаѣ тому обстоятельству, что такой серьезный ученый, какъ профессоръ В. П. Ермаковъ, обращаетъ свое вниманіе на вопросы методики математики, можно только порадоваться и сочувствовать. Далеко несправедливъ тотъ взглядъ, которымъ такъ охотно прикрываются иногда практики-преподаватели, утверждающіе, что только практикъ-преподаватель можетъ задаваться вопросами методическаго характера. Пишущій эти строки и самъ практикъ-преподаватель, но онъ никогда не рѣшится сказать: «В. П. Ермаковъ— профессоръ, теоретикъ; намъ никакіе методическіе взгляды не нужны; мы и сами хорошо знаемъ —чего намъ нужно». Не говорите этого, ибо хотя проф. Ермаковъ и профессоръ, и ученый, и теоретикъ, но онъ, кромѣ того, человѣкъ мыслящій и умный, и педагогическіе идеалы ему не чужды. Это-то именно и хорошо, что онъ поставленъ въ возмояжность—на вопросы преподаванія смотрѣть à vol d'oiseau, съ высоты своего почетнаго положенія въ наукѣ, и къ его словамъ мы не имѣемъ права, укрывшись подъ сѣнь рутины и такъ-называемой многолѣтней практики, относиться безъ должнаго вниманія и интереса.

С. Шохоръ-Троцкій.

*) Въ нашемъ «Методическомъ Сборникѣ ариѳметическихъ задачъ», первая частъ котораго предназначена для приготовительныхъ классовъ, а вторая—для низшихъ трехъ классовъ среднеучебныхъ заведеній, впервые проведены принципы «методы цѣлесообразныхъ задачъ», и, насколько это возможно, эти принципы выдержаны также въ отдѣлѣ задачъ алгебраическаго характера. Но въ этомъ сборникѣ (конечно, только во ІІ-ой его части) задачи этого рода все-таки помѣщены какъ-бы въ видѣ уступки господствующимъ требованіямъ. Но онѣ у насъ впервые рѣзко выдѣлены въ двухъ мѣстахъ въ отдѣльныя рубрики. Примѣненія «методы цѣлесообразныхъ задачъ» мы могли преслѣдовать въ этихъ отдѣлахъ лишь постольку, поскольку стремленіе къ этому примѣненію не слишкомъ сильно отозвалось-бы на объемѣ книжки. За-то тѣмъ большее вниманіе способамъ рѣшенія задачъ алгебраическаго характера отведено въ нашемъ «Опытѣ методики ариѳметики для преподавателей среднихъ учебныхъ заведеній», къ которому позволяемъ себѣ отослать читателей, интересующихся вопросомъ «методы цѣлесообразныхъ задачъ» и вообще вопросами методики ариѳметики. Для учителей народныхъ школъ «метода цѣлесообразныхъ задачъ» особенно подробно разработана въ «Сборникѣ задачъ для учащихъ», приложенномъ къ 3-му изданію нашей «Методики ариѳметики» (Спб. 1892).

Опытъ систематизаціи употребительнѣйшихъ ариѳметическихъ задачъ по типамъ. Составилъ A. А. Терешковичъ. Москва. 1893 г. 100+11.

Г. составитель въ предисловіи говоритъ: «Въ предлагаемомъ задачникѣ мы дѣлаемъ попытку провести систематизацпо однородныхъ задачъ послѣдовательно отъ начала, т.-е. съ того момента, когда ученики начинаютъ рѣшать задачи на числа любой величины, и до конца курса цѣлыхъ чиселъ... Такъ какъ цѣлью предлагаемаго задачника является систематизація задачъ, а не изученіе четырехъ ариѳметическихъ дѣйствій, то совершенно понятно, что въ немъ нѣтъ задачъ на каждое дѣйствіе въ отдѣльности». Примѣровъ на упражненія въ вычисленій также нѣтъ, потому что «отдѣлъ примѣровъ очень тщательно разработанъ въ существующихъ задачникахъ». Появленіе книжки авторъ мотивируетъ такъ: «До сихъ поръ преподавателю приходилось самому заниматься подборомъ и группировкой однородныхъ задачъ, нерѣдко разыскивая ихъ въ различныхъ задачникахъ, а когда такихъ задачниковъ не было подъ руками, самому составлять нужныя задачи; конечно, такая работа вносила только излишнюю тяготу и безъ того въ нелегкій трудъ учащихъ». Итакъ, чтобы пользоваться вышеназваннымъ «Опытомъ» при прохожденіи курса цѣлыхъ чиселъ, необходимо еще запастись какимъ-нибудь сборникомъ задачъ, иначе ученики не усвоятъ сущноети дѣйствій и не научатся вѣрно и быстро вычислять. Бюджетъ-же нашихъ школъ на учебныя пособія не только не великъ, но, можно сказать, ничтоженъ, а потому на эту сторону дѣла г. состявителю слѣдовало-бы обратить вниманіе.

Что-же касается теоретическихъ основаній, которыя авторъ имѣлъ въ виду при составленіи «Опыта», то мы совершенно отказываемся ихъ понять. Открываемъ задачникъ и на 9 стр. находимъ заголовокъ: «Типъ I—простѣйшія задачи на сложеніе и вычитаніе». Беремъ задачу № 1: «На двухъ баркахъ привезли муку: на первой

баркѣ было 576, а на 2-й 635 кулей муки; изъ всей этой муки 167 кулей оказались подмоченными. Сколько было неподмоченныхъ кулей». Выпишемъ еще задачу № 17: «Сумма четырехъ слагаемыхъ 11.849; сумма двухъ изъ нихъ 7.548. Найти сумму двухъ другихъ». На стр. 11 задачника подъ заглавіемъ: «Типъ II—одно число больше другого разностно (?)», возьмемъ задачу № 18: «Въ лагеряхъ стояло 1.926 казаковъ, а солдатъ на 7.845 человѣкъ больше. Сколько тамъ стояло солдатъ?». Теперь является вопросъ: если задачи «типа I» названы простѣйшими, то какую-же степень простоты придется приписать задачѣ «типа ІІ»? Далѣе, задача № 18 — «сложная», распадается на двѣ «простыя»; первая «простая» задача, которую приходится разрѣшить—сколько кулей на обѣихъ баркахъ? задача на сложеніе. Задача № 18—тоже на сложеніе, и по существу обѣ онѣ одинаковы, разница второй задачи только въ условности выраженія «больше», которое уже извѣстно въ это время учащимся. Такимъ образомъ, задача № 18, можно сказавъ, относится къ задачѣ № 1, какъ «простая» «къ сложной». Какое-же основаніе было выдѣлять задачи «типа II»? По нашему крайнему разумѣнію, никакого основанія,—ни практическаго, ни теоретическаго. Возьмемъ по задачѣ изъ двухъ слѣдующихъ «типовъ». [Задача № 24: «Привезли овесъ на 32 подводахъ, на каждой по 42 пуда, весь этотъ овесъ ссыпали въ 3 амбара, въ каждый поровну. По скольку овса ссыпали въ каждый амбаръ?» (Типъ III — простѣйшія задачи на умноженіе и дѣленіе). Задача № 34: «При постройкѣ деревянный домъ обошелся въ 9.638 рублей, а каменный въ 15 разъ дороже. Во что обошелся каменный?». Приложивъ предыдущія сужденія къ выписаннымъ задачамъ, приходимъ къ тому-же выводу, къ какому пришли относительно первыхъ двухъ «типовъ», т.-е. типы устанавливаются г. составителемъ совершенно произвольно. Есть, напр., «типъ» (VIII) задачъ «на прибылъ», гдѣ сгруппированы задачи, различныя по методу рѣшенія, но онѣ «служатъ уясненію ученикамъ принципа прибыли». Конечно, о такомъ принципѣ при группировкѣ задачъ можно говорить только развѣ въ шутку. Наконецъ, въ этомъ-же отдѣлѣ помѣщены и нѣкоторыя задачи такъ-называемаго «алгебраическаго характера». Не говоря о яѣкоторыхъ курьезныхъ заголовкахъ «типовъ», вродѣ— «содѣйсгвіе и противодѣйствіе», «одинъ настигаетъ другого», задачи такого алгебраическаго характера для учащихся въ этомъ возрастѣ не имѣютъ ни развивательнаго, ни практическаго интереса, потому что рѣшенія такихъ задачъ требуютъ отъ учащихся особой сноровки и спеціальныхъ пріемовъ, часто искусственныхъ аналитическихъ, и,

понятно, такія требованія, превышая умственное и діалектическоѳ развитіе дѣтей, только насилуютъ ихъ естественный ходъ умственнаго развитія. Въ томъ-же порядкѣ, повторяя тѣ-же «типы», идутъ задачи на именованныя числа съ прибавленіемъ, конечно, неизбѣжныхъ «типовъ» задачъ алгебраическаго характера. Въ концѣ задачника, въ послѣднихъ двухъ «типахъ» (XXV и ХХVІ), «имѣя въ виду запросы начальной школы», помѣщены задачи, «дающія понятіе о дробяхъ и—процентахъ». Учащіеся, рѣшая данныя задачи на проценты, не составятъ надлежащаго понятія о значеніи термина «процентъ», такъ какъ задачи (за исключеніемъ одной) приведены только на прибыль и убытокъ, получаемые на капиталѣ. Задачи на измѣненіе суммы, разности, произведенія и частнаго совершенно отсутствуютъ... Изъ нашей краткой характеристики «Опыта» естественно вытекаетъ, что г. составитель, очевидно, не имѣетъ ясной идей ни о курсѣ ариѳметики, ни о роли задачъ, ни объ ихъ тѣсной связи съ курсомъ, и думаетъ, что ариѳметику можно проходить саму по себѣ, а задачи рѣшать также сами по себѣ. Такимъ образомъ, желаніе г. Терешкевича облегчить «нелегкій трудъ учащихъ» осталось въ области «благихъ намѣреній». Да, правду сказать, въ этомъ и большой надобности нѣтъ: учащіе уже очень значительно облегчены трудами гг. Житкова, Шохоръ-Троцкаго, Гольденберга и нѣк. др.

Н. З.

Десятичная или метрическая система мѣръ и вѣсовъ. Составилъ для среднихъ учебныхъ заведеній В. Гебель, преподаватель Московскаго коммерческаго училища. М. Ц. 25 к.

Метрическая система не сравнима ни съ какой другой системой по своей простотѣ, легкости для запоминанія и удобству для вычисленій. Для знанія употребительныхъ единицъ этой системы необходимо помнить только 10 словъ, — 4 основныхъ мѣры: метръ, аръ, литръ, граммъ и 6 приставокъ: кило, гекто, дека, деци, центи, милли. Для знанія нашей системы надо помнить 27 словъ. Построеніе метрической системы на основаніи десятичнаго счета упрощаетъ всѣ дѣйствія съ именованными числами: перенесеніемъ запятой или приписываніемъ нулей достигаются тѣ-же результаты, которые въ другой системѣ получаются путемъ многократныхъ умноженій, дѣленій и сложеній. Рѣшимъ, для большей убѣдительности, при мѣръ по той и другой системѣ на дѣленіе именованныхъ чиселъ.

Сколько разъ 85 килогр. 537 Сколько разъ 22 пуд. 11 ф.

грам. содержатся въ 598 кил. 1 з. содерж. въ 155 пуд. 37 ф. 759 грам.? 2 л. 1 з.?

Обращаемъ оба числа въ Обращаемъ оба числа въ зо-

граммы и дѣлимъ: лотники и дѣлимъ:

Едва-ли нужны дальнѣйшія наглядныя доказательства въ этомъ направленіи. Академикъ Якоби считаетъ, что введеніемъ метриче-

ской системы курсъ ариѳметики упростится настолько, что получится выигрышъ въ 33% времени, употребляемаго теперь на изученіе ея. Исключительно одною метрическою системою пользуются въ настоящее время болѣе 400 милліоновъ людей. Изъ большихъ государствъ, она не введена только въ Россіи, Англіи и Сѣверо-Американскихъ Соединенныхъ Штатахъ, причемъ, однако, въ двухъ послѣднихъ государствахъ она еще въ 60-хъ годахъ допущена факультативно, т.-е. употребленіе ея считается столь-же законнымъ, какъ и употребленіе старой системы. Въ Россіи метрическая система примѣняется въ очень ограниченныхъ размѣрахъ, — напр., въ таможняхъ, нѣкоторыхъ лечебницахъ, аптекахъ, заводахъ, въ тарифахъ прямого сообщенія русскихъ и иностранныхъ желѣзныхъ дорогъ, въ проектахъ, представляемыхъ на утвержденіе Министерства Путей Сообщенія, во многихъ научныхъ трудахъ, наконецъ обязательно проходится въ среднихъ уч. заведеніяхъ. Самыми дѣйствительными средствами въ дѣлѣ распространенія метрической системы слѣдуетъ считать введеніе ея наравнѣ съ существующій и обязательное обученіе ей во всѣхъ низшихъ учебныхъ заведеніяхъ. Это было-бы большимъ шагомъ впередъ по пути сближенія съ Европой и къ оправданпо девиза, начертаннаго на первомъ прототипѣ метра: «A tous les temps, а tous les peuples», т.-е. «для всѣхъ временъ, для всѣхъ народовъ!» Въ своей небольшой брошюрѣ г. Гебель кратко, но просто и убѣдительно излагаетъ происхожденіе метрической системы, ея преимущества и пользу введенія въ Россіи. Для кого необходимы большія подробностпо по этому вопросу, тому рекомендуемъ обратиться къ сочиненію проф. Хвольсона: «О метрической системѣ и о введеніи ея въ Россіи», которое по данному вопросу можетъ считаться классическимъ. Н. З.

Вишневскій, Г. М. Записки по методикѣ элементарной ариѳметики. Руководство для учительскихъ семинарій, институтовъ, VІІІ кл. женскихъ гимназій, учителей и учительницъ начальныхъ училищъ. 3-е изданіе. Казань. 1894 г.

Въ этомъ руководствѣ излагается методика элементарнаго курса ариѳметики, проходимаго въ начальныхъ училищахъ, содержаніемъ котораго служитъ слѣдующій учебный матеріалъ: «а) основательное и сознательное усвоеніе учениками устной и письменной нумераціи по десят. системѣ; б) сознательное усвоеніе ими 4-хъ ариѳметическихъ дѣйствій надъ числами отвлеченными и именованными съ при-

мѣненіемъ этихъ дѣйствій къ рѣшенію задачъ и примѣровъ; в) ознакомленіе учениковъ съ простѣйшими дробями». Намѣченный матеріалъ, въ большинствѣ обычный для нашихъ школъ, распредѣленъ на пять ступеней. Первая ступень—дѣйствія надъ числами въ предѣлѣ 1-го десятка и вторая ступень—дѣйствія надъ числами въ предѣлѣ 1-ой сотни—предназначаются для прохожденія въ 1-й годъ (въ младш. отд.). Третья ступень—дѣйствія надъ числами любой величины—проходится во 2-ой годъ обученія. Четвертая ступень—дѣйствія надъ составными именованными и пятая ступень—приготовительный курсъ дробей—изучаются въ третій годъ обученія. Въ началѣ руководства, въ «Введеніи», трактуется о предметѣ методики ариѳметики о необходимости зианія методики для учителя, о значеніи ариѳметики, въ курсѣ начальныхъ училищъ, о методѣ Евтушевскаго, о наглядныхъ пособіяхъ. Въ концѣ книги приложенъ списокъ «источниковъ» по начальной ариѳметикѣ, ея методикѣ и—задачниковъ. Авторъ, составляя руководство, держался принциповъ, выработанныхъ новѣйшей методикой. и положилъ въ основу курса «счетъ и дѣйствія». Однако, г. составителю, не смотря на его здравые взгляды по многимъ вопросамъ преподаванія ариѳметики, не удалось дать учебникъ, равномѣрно обработанныы во всѣхъ своихъ частяхъ.

Производство дѣйствій — лучшая часть руководства; здѣсь способы производства дѣйствій сведены къ дѣйствіямъ надъ отдѣльными разрядами данныхъ чиселъ, и эта правильная точка зрѣнія дала возможность установить и правильную послѣдовательность, за немногими исключеніями, въ прохожденіи этой части курса. Къ числу этихъ исключеній мы относимъ позднее ознакомленіе учениковъ съ цыфрами. Составитель рекомендуетъ ознакомить съ цыфрами послѣ того, «какъ ученики будутъ свободно производить вычисленія устно и безъ наглядныхъ пособій надъ числами въ предѣлѣ 1-го десятка», т.-е. почти спустя два мѣсяца отъ начала занятій, мотивируя это малымъ развитіемъ учениковъ и незнакомствомъ ихъ съ печатными и письменными буквами. Это не убѣдительно. Если ученику на этой ступени доступна логическая суть дѣйствій,—разумѣется, въ простѣйшихъ случаяхъ, —то о доступности графически изобразить понятное не можетъ быть рѣчи. это—во-первыхъ; а во-вторыхъ, ждать, пока ученики научатся писать буквы, незачѣмъ, потому что формы цыфръ, извѣстныхъ подъ именемъ старо-англійскихъ, состоя изъ простѣйшихъ элементовъ, не затруднитъ учениковъ, и такое изображеніе цыфръ весьма желательно въ начальномъ обученіи. Мы остановились

на этомъ такъ долго потому, что организація нашей народной школы (три отдѣленія, кратковременномъ трехлѣтняго курса) такова, что ученики двѣ трети учебнаго времени должны заниматься самостоятельно, и эти самостоятельныя работы служатъ не только для усвоенія пройденнаго, но иногда и подготовкою къ слѣдующимъ урокамъ. Пробѣлъ въ самостоятельныхъ работахъ учениковъ въ теченіе одного— двухъ мѣсяцевъ окажетъ плохую услугу на первыхъ-же порахъ въ дѣлѣ отчетливаго усвоенія даже таблицъ въ предѣлѣ 1-го десятка, не говоря уже о дальнѣйшемъ.

Чтобы уяснить ученикамъ смыслъ и цѣль дѣйствій надъ числами, обыкновенно предлагаются задачи, на которыхъ дальніе ученики въ порядкѣ постепенной трудности усвояютъ ариѳметическія понятія и такимъ образомъ постепенно доводятся до полнаго понятія о каждомъ дѣйствіи и его производствъ. Но градаціи въ усвоеніи учениками ариѳметическихъ понятій мы въ руководствѣ и не видимъ; особенно бросается въ глаза отсутствіе въ этомъ отношеніи надлежащій разработки въ началѣ курса, когда идутъ «устныя упражненія въ предѣлѣ 1-го десятка» (стр. 22—84). Здѣсь въ упражненіяхъ на сложеніе ученики усваиваютъ термины: «сложить, присчитать, увеличить на...»: на вычитаніе—«отсчитать, вычесть, отнять, уменьшить на нѣсколько единицъ...»; на умноженіе — «повторить столько-то разъ, увеличить въ нѣсколько разъ, умножить, однажды, дважды, трижды, четырежды, пятью...»; на дѣленіе—«раздѣлить на, уменьшить въ нѣсколько разъ, половина, треть, содержится, заключается, во сколько одно число больше другого...» Г. составитель, вопреки своему убѣжденію, «что ученики, поступающіе въ школу, бываютъ очень мало развиты», все-таки считаетъ возможнымъ охватить почти всѣ оттѣнки дѣйствій, воображая, что учащіеся такимъ образомъ получатъ общее понятіе о каждомъ дѣйствіи. Такая торопливостъ, какъ извѣстно, только мѣшаетъ ученику отчетливо и прочно усвоить разные случай дѣйствій, что, въ свою очередь, вредно отражается на образованіи общаго понятія о нихъ; словомъ, насиліе надъ развитіемъ ученика никогда даромъ не проходитъ. Такъ какъ задачи имѣютъ огромное значеніе въ развитіи ариѳметическихъ представленій и понятій, то упомянемъ кстати и объ нихъ. О рѣшеніи задачъ вотъ что говоритъ г. составитель: на стр. 50, давъ понятіе о простой и сложной задачѣ, поясняетъ примѣромъ, какъ разложить сложную задачу на рядъ простыхъ; на стр. 72—«чтобъ ученики усвоили лучше механизмъ дѣйствія сложенія, надо задавать имъ какъ можно больше примѣровъ на сложеніе многозначныхъ чиселъ... Точно также

надо рѣшать возможно больше практическихъ задачъ, благодаря коимъ ученики еще лучше усваиваютъ механизмъ сложенія, но, главнымъ образомъ, пріучаютея къ сознательному употребленію дѣйствія сложенія»; на стр. 97—«при рѣшеніи-же задачъ (на 3-й ступени) ученикамъ приходится думать о томъ, какія дѣйствія для этого надо употреблять; благодаря этому, у нихъ является вполнѣ сознательное отношеніе къ употребленпо дѣйствій»; на стр. 29 — «задавать въ первое время задачи очень (??) замысловатыя (?) не слѣдуетъ. Давать неопредѣленныя едва-ли (?) полезно». И все въ такомъ родѣ. Между тѣмъ, на стр. 16 подъ тезисомъ: «изученіе начальной ариѳметики должно сопровождаться (??) рѣшеніемъ возможно (?) большаго (??) числа задачъ», — напечатано: «о томъ, каковы должны быть задачи по своему содержанію, а также о способахъ рѣшенія ихъ будетъ сказано дальше». Одно дѣло, конечно, пообѣщать, а другое—исполнить. Какъ г. составитель исполнилъ свое обѣщаніе и какое придаетъ онъ значеніе задачамъ въ курсѣ начальной ариѳметики— ясно изъ приведенныхъ нами цитатъ.

Кромѣ того, не можемъ не указать еще на одинъ важный недостатокъ руководства. Г. составитель, распредѣляя необходимый матеріалъ въ извѣстной системѣ и послѣдовательности, которая представлялась ему наиболѣе цѣлесообразной для успѣшнаго усвоенія курса, ничѣмъ этого не обосновываетъ, такъ что учащему по его книгѣ должно остаться непонятнымъ, почему, напр., надо сначала обучать сложенію чиселъ, сумма которыхъ не превышаетъ десяти, а ужъ потомъ—вычитанію однозначныхъ чиселъ (уменьшаемое не болѣе десяти) и пр., и ему, когда придется вести дѣло, надо будетъ или догадываться обо всемъ этомъ, или выполнять курсъ механически. На сколько обученіе такого учителя будетъ дѣйствовать развивающимъ образомъ на учениковъ, само собою понятно. Заключая нашъ отзывъ, должны сказать, что руководство г. Вишневскаго можетъ быть полезнымъ въ рукахъ учениковъ, изучающихъ методику ариѳметики подъ руководствомъ преподавателя, для самообразованія-же учителей и учительницъ мы считаемъ его непригоднымъ. Н. З.