О преподаваніи алгебры въ гимназіяхъ.

Алгебра — часть математическаго анализа, таковою должна она являться и въ гимназическомъ курсѣ. Учащихся надо познакомить съ этимъ анализомъ и хотя отчасти научить владѣть имъ. Знакомство съ анализомъ и его теоріей развиваетъ мышленіе; примѣненіе пріемовъ анализа къ практическимъ примѣрамъ самими учащимися развиваетъ въ послѣднихъ умѣнье самостоятелъно работать. Усвоеніе теоріи не даетъ еще умѣнья владѣть пріобрѣтенными знаніями, а безъ умѣнья владѣть ими не можетъ быть и достаточно основательнаго пониманія теоріи,—будетъ пониманіе только въ общихъ чертахъ. Переходя къ примѣненію теоріи, каждый долженъ обдумывать частности; вотъ это-то обдумываніе и заставляетъ глубже вникать въ теорію. Разумѣется, практическія только знанія по какому-либо предмету, т.-е. знаніе только частныхъ фактовъ безъ общей руководящей идеи, безъ навыка искать такую идею, еще менѣе удовлетворительны. Они могутъ быть легче примѣнимы, легче могутъ принести пользу ихъ обладателю, но отсутствіе идеи осуждаетъ ихъ на всегдашнее ограниченіе, не даетъ возможности развитія. Знаніе теоріи, необходимо связанное съ привычкой обобщать, когда будетъ примѣнено къ практикѣ, даетъ послѣдней большую широту и глубину и гораздо легче ведетъ къ новымъ примѣненіямъ и открытіямъ.

Что должно предшествовать? Мы думаемъ, что при обученіи дѣтей должна предшествовать практика, при обученіи взрослыхъ—теорія. Если усвоена теорія предмета, т.-е. общая мысль, то, разумѣется, сравнительно скоро можно научиться примѣненію, да кромѣ того предварительное знаніе теоріи научитъ вообще быстрой, правильной работѣ и облегчитъ обладаніе знаніемъ, давъ его въ видѣ связнаго матеріала. Для дѣтей-же такой путь немыслимъ. Для усвоенія отвлеченной теоріи нужна извѣстная подготовка, извѣстный общій навыкъ къ теоретическимъ занятіямъ, пріобрѣтенный на какихъ-либо

изученныхъ прежде предметахъ. Въ дѣтскомъ возрастъ такого навыка пріобрѣтено быть не можетъ. Первый путъ пріобрѣтенія знаній—наблюденіе, слѣдовательно, практическія работы. Анализу можно учиться только тогда, если свойства величинъ, которыя могутъ встрѣтиться въ анализируемомъ вопросѣ, достаточно извѣстны. Математическій анализъ самъ по себѣ новаго рода величинъ, отличныхъ отъ данныхъ по качеству, не даетъ, а только можетъ привести къ открытпо новаго рода числовыхъ соотношеніи между ними.

Для примѣненія алгебраическаго анализа необходимо обладаніе до извѣстной степени и средствами анализа, т.-е. алгебраическими вычисленіямъ Кто не умѣетъ самъ вести вычисленіе, тотъ принужденъ и въ анализѣ слѣдить только за развитіемъ мысли объясняющаго, самостоятельно размышлять не можетъ. Всякій учившійся алгебрѣ знаетъ, что навыкъ къ алгебраическимъ вычисленіямъ дается не легко, для пріобрѣтенія его необходимо очень большое количество упражненій.

Признавая необходимымъ овладѣть вычисленіемъ до перехода къ анализу, напомнимъ, что все-же главною цѣлью занятій должно бытъ изученіе анализа, т.-е. знакомство съ уравненіями, ихъ свойствами, съ теоріей ихъ рѣшеній и съ изслѣдованіемъ общихъ формулъ рѣшеній; разумѣется, необходимо и примѣненіе теоріи къ частнымъ случаямъ, къ задачамъ.

Мы думаемъ, что преподаватель алгебры долженъ научить дѣтей различать тѣ статьи, которыя касаются алгебраическаго вычисленія собственно и изученія свойствъ количествъ, разсматриваемыхъ алгеброй (изученія средствъ анализа), отъ статей, относящихся къ теоріи рѣшенія и изслѣдованія вопросовъ при помощи уравненій (самаго анализа). Учащіеся должны понимать значеніе статей того и другого рода въ общемъ курсѣ алгебры. Думаемъ, что на практикѣ недостаточно обращается на это вниманія, а потому учащіеся далеко не всегда видятъ нѣчто цѣлое въ курсѣ, не улавливаютъ общей идеи предмета. Постараемся доказать это разсмотрѣніемъ того, что проходится въ гимназіяхъ, а также показать, что полезно было-бы сдѣлать, по нашему мнѣнію, для улучшенія преподаванія алгебры.

Въ настоящее время въ 3-мъ классѣ знакомятъ съ алгебраическими обобщеніями и пріучаютъ къ вычисленіямъ, большею частью, насколько приходилось наблюдать, въ ограниченныхъ размѣрахъ, совсѣмъ не знакомя еще съ разложеніемъ на множители; правило знаковъ при умноженіи одночленовъ показывается, но не разъясняется тщательно; учебника обыкновенію еще не употребляютъ, а только

задачникъ. Въ четвертомъ классѣ обращается особенное вниманіе на развитіе навыка въ алгебраическихъ вычисленіяхъ, что вполнѣ понятно и правильно: необходимо овладѣть этимъ вычисленіемъ, чтобы можно было его примѣнять и понять его значеніе для анализа. Особенное вниманіе обращается, конечно, на разложеніе на множители, какъ требующее большаго количества упражненій, а затѣмъ—на рѣшеніе уравненій, при чемъ опять-таки главную трудность составляютъ преобразованія, требующія умѣнья разлагать мыогочлены на множители и отыскивать ихъ общее наименьшее кратное—для приведенія данныхъ дробей къ одному знаменателю. На теорію свойствъ уравненіи и на доказательство правила знаковъ при умноженіи, доказательство свойствъ дробей и пропорціи нѣкоторые преподаватели обращаютъ главное вниманіе, другіе-же налегаютъ по преимуществу на практическую сторону. Въ этомъ сказывается вообще различіе въ направленіи преподавателей математики, раздѣляющихся на двѣ главныя группы. Одни изъ нихъ теоріи предмета придаютъ не только главное образовательное значеніе, но даже исключительное. Они утверждаютъ, что учащіеся при усвоеніи теоріи, будучи принуждены напряженно вдумываться, чтобы понять ее, черезъ это развиваются и дѣлаются постепенно способными къ самостоятельной работѣ. Чѣмъ строже будетъ изложена теорія, думаютъ они, тѣмъ правильнѣе съ самаго начала будетъ развиваться мысль учащагося. Разумѣется, они признаютъ все-же необходимость заботиться о возможной простотѣ изложенія, но не въ ущербъ точности. Въ случаѣ сильныхъ затрудненій со стороны учащихся, они склонны думать, что таковые ученики неспособны къ математикѣ, имъ можно многіе недочеты простить, но и безпокоиться много о нихъ нечего: все равно—не поймутъ.

Другая группа преподавателей - математиковъ, вполнѣ признавая важное значеніе теоріи и образовательное вліяніе послѣдней, въ то-же время утверждаетъ, что это значеніе и это вліяніе получаетъ теорія только тогда, когда она дѣйствительно усвоена и понята учащимися, а такое пониманіе достигается не легко, надо особенно позаботиться, чтобы помочь учащимся, а потому огромное значеніе придаютъ методу преподаванія. Конечно, говорятъ они, кто въ состояніи достигнуть пониманія теоріи безъ помощи другихъ, тотъ, усвоивъ теорію, дѣйствительно разовьется отлично; но для такого усвоенія нужно имѣть и особыя способности; сама по себѣ теорія ихъ не разовьетъ, а развиваетъ та умственная работа, которую ведетъ учащійся. Но всякой работѣ нужно учить, нужно показывать ея пріемы, не то масса труда и времени будутъ потрачены даромъ. Нужно удив-

ляться способностямъ самоучки-механика, который самъ дошелъ до пониманія устройства часовъ и съумѣлъ самъ ихъ построитъ; нѣтъ сомнѣнія, что способности его сильно развились на такой работѣ, но все-же самая работа въ большей долѣ ея совсѣмъ безполезна. Гораздо лучше было-бы ему ^знать механизмъ часовъ, его теорію и пріемы работы, да примѣнить ихъ къ новой работѣ. Тогда онъ силъ потратитъ меньше, такъ какъ будетъ знать пріемы работы, но разовьется столько-же, потому что будетъ вести вполнѣ самостоятельно новую работу, а результатъ будетъ больше.

Оттого такъ много и считается не могущихъ съ успѣхомъ заниматься математикой, что преподаватели часто не обращаютъ должнаго вниманія на обученіе работѣ, обучаютъ только теоріи. Въ общеобразовательной школѣ нужно готовить не математиковъ, а всѣхъ учащихся обучать математикѣ. Только тотъ предметъ и можетъ быть предметомъ обученія въ средней общеобразовательной школѣ, который доступенъ большинству учащихся. Математика, въ томъ числѣ и алгебра, всегда и очень давно уже Считается необходимостью въ общеобразовательной школѣ, какъ упражняющая въ точномъ и осторожномъ мышленіи, результаты котораго могутъ быть и провѣрены учащимся, притомъ весьма важною и въ практическомъ отношеніи по своимъ приложеніямъ. Чтобы предметъ обученія сдѣлать доступнымъ большинству, необходимо сообразоваться съ ходомъ развитія учащихся. На этомъ основаніи нельзя требовать, говорятъ преподаватели второй груипы, чтобы дѣти, начинающія обучаться алгебрѣ, сразу усваивали возмояшо точное изложеніе теоріи: оно очень отвлеченно, и такой степеныо отвлеченности мысли дѣти разсматриваемаго возраста, вообще говоря, обладать не могутъ. Если инструментъ неточенъ (невѣренъ, какъ говорятъ), то, какъ-бы тщательыо мы его ни установляли, точныхъ результатовъ онъ дать не можетъ. Подобпо тому и дѣти, не достигшія развитія и способности къ отвлеченному мышленію, не могутъ усвоить въ высокой степени отвлеченной алгебраической теоріи, какъ-бы мы ни ухищрялись разъяснить ее. Пониманіе алгебраической теоріи можетъ явиться лишь какъ результатъ обученія, послѣ продолжительной работы надъ усвоеніемъ частностей и объясненій связи между всѣми изучаемыми частями, благодаря которымъ и создается стройное цѣлое.

Алгебра даетъ общіе знаки для выраженія количества (буквы вмѣсто цыфръ); благодаря этому, при рѣшеніи вопроса приходится только обозначить, какія дѣйствія надо произвести для полученія результата. Повидимому, это скорѣе должно обременять насъ, потому

что выраженія получаются болѣе сложныя и самый результатъ не опредѣленъ. Но въ дѣйствительности введеніе общихъ знаковъ для обозначенія количествъ даетъ чрезвычайно важные и выгодные результаты.

Во-первыхъ, употребленіе общихъ знаковъ само собою выдѣлитъ сущность вопроса изъ частностей: ими можетъ быть только показано, что должно быть сдѣлано съ данными, слѣдовательно, показываются соотношенія результата съ данными. При сокращеніи полученнаго результата, если таковое возможно, формула покажетъ только тѣ соотношенія, которыя вліяютъ на окончательный результатъ, а тѣ, которыя для опредѣленія его не нужны и являлись только посредниками вычисленія, при сокращеніи формулы сами собою исчезаютъ. Но этимъ важныя послѣдствія введенія общихъ знаковъ далеко не исчерпываются.

Вторая ихъ выгода та, что обозначить буквой, не имѣющей опредѣленнаго значенія, мы можемъ не только данныя, но и неизвѣстныя количества, искомыя. Черезъ это мы можемъ выразить не то, какія дѣйствія нужно сдѣлать съ данными для опредѣленія искомаго, но прямо тѣ условія, какія даны для рѣшенія вопроса. Въ первомъ случаѣ мы должны «рѣшить вопросъ», т.-е. данную сложную задачу разбить на рядъ простыхъ, послѣдовательно рѣшая которыя мы и опредѣлимъ тотъ рядъ послѣдовательныхъ дѣйствій, который долженъ быть выполненъ для нахожденія искомаго. Во второмъ случаѣ, вводя въ формулу кромѣ данныхъ и искомыя, мы имѣемъ возможность выразить прямо сложную зависимость между данными и искомыми посредствомъ уравненій, не нуждаемся въ раздѣленіи сложной задачи на рядъ простыхъ, т.-е. рѣшаемыхъ однимъ дѣйствіемъ. а разбить сложную задачу на простыя всего труднѣе. Каждый изъ опыта знаетъ, какъ часто бываетъ гораздо легче составить уравненіе, чѣмъ ариѳметически рѣшить задачу, т.-е. разбить ее на рядъ простыхъ.

Третье послѣдствіе введенія общихъ знаковъ для выраженія количествъ состоитъ въ томъ, что формула рѣшенія уравненія, сохраняя всѣ данныя, нужныя для рѣшенія вопроса, указывая и ихъ взаимныя соотношенія, позволяетъ разсмотрѣть всѣ возможныя видоизмѣненія рѣшенія, какія могутъ произойти при различной величинѣ данныхъ. Другими словами, формула даетъ возможность изслѣдовать тотчасъ - же по полученіи формулы всѣ возможные частные случаи рѣшенія вопроса. Изслѣдованіе частныхъ случаевъ при ариѳметическомъ рѣшеніи вопроса требуетъ очень большого напряженія, большого навыка, чтобы предусмотрѣть всѣ частные случаи. Всякій учившійся въ гимназіи знаетъ это по собственному опыту.

Четвертое послѣдствіе. Употребленіе общихъ знаковъ, приводя къ выраженпо непосредственно сложной зависимости между данными и искомыми, этимъ самымъ приводитъ и къ другой перемѣнѣ пріема рѣшенія вопросовъ. Мы рѣшаемъ уравненіе, не соображаясь съ тѣмъ, какого рода данныя выражены этими буквами; мы рѣшаемъ уравненія, соображаясь съ видомъ полученнаго выраженія. Одинъ пріемъ служитъ для рѣшенія уравненій первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ, квадратныя уравненія рѣшаются другимъ пріемомъ и т. д. Поэтому-то мы одинаково рѣшаемъ уравненія, относящіяся къ физическимъ фактамъ, механическимъ, химическимъ и т. д. Общность достигается громадная. Всѣ изслѣдованія, какія были сдѣланы относительно общей, чисто алгебраической формулы, сейчасъ-же примѣняются къ новому случаю, къ изучаемому, напримѣръ, физическому явленпо, расширяя такимъ образомъ сразу наши о немъ знанія; знаніе частныхъ случаевъ общей формулы является могущественнымъ руководствомъ въ изслѣдованіи тѣхъ фактовъ, къ которымъ удалось примѣнить формулу.

Наконецъ, пятое слѣдствіе общности употребляемыхъ знаковъ для обозначенія количествъ—возможность дальнѣйшаго развитія средствъ анализа, т.-е. появленіе новаго рода выраженій, которые, очевидно, или выражаютъ новаго рода соотношенія, по своей сложности не замѣченныя раньше, или-же имѣютъ условное значеніе, облегчающее изслѣдованія. Какое громадное значеніе имѣютъ въ наукѣ удобныя обозначенія количествъ видно уже изъ того, что алгебра почти вся и весь анализъ трансцедентныхъ функцій (высшая математика) развились только тогда, когда вошли въ употребленіе алгебраическія обозначенія количествъ. Громадная талантливость древнихъ грековъ была достаточна для такой разработки геометріи, что книга Евклида и теперь не только не потеряла своего значенія, но даже и теперь употребляется какъ руководство—или непосредственно, или составляетъ основу новыхъ книгъ. Но алгебры и вообще математическаго анализа греки разработать не могли по недостатку средствъ для удобнаго изображенія количествъ. Значеніе удобныхъ средствъ выраженія количествъ можно сравнить со значеніемъ инструментовъ при обработкѣ данныхъ матеріаловъ. Конечно, не инструментъ исполняетъ работу, но безъ него мы ничего не въ состояніи сдѣлать: безъ рубанка, напримѣръ, не выстругать доску, безъ станка не выточить ножки стола и т. д. Необходимостпо сохраненія общаго значенія употребляемыхъ знаковъ привело къ введенію отрицательныхъ количествъ, мнимыхъ количествъ, количествъ съ 0 и отрицательными показате-

лями и т. д., а стремленіе къ расширенпо разсматриваемыхъ соотношеніи привело къ введенію радикаловъ, логариѳмъ и т. д.

Разъяснить учащимся значеніе алгебраическихъ обобщеній, конечно, нужно, но это не можетъ быть сдѣлано въ короткое время, и по отвлеченности понятій они не могутъ быть разъяснены предварительно, до прохожденія курса. Они могутъ быть усвоены достаточно полно только при концѣ курса и явятся сводомъ обобщеній пройденнаго. Начинающій заниматься алгеброй можетъ усваивать только частныя примѣненія ихъ, точныхъ и общихъ алгебраическихъ выводовъ понимать онъ еще не можетъ.

На этихъ основаніяхъ вторая группа преподавателей - математиковъ говоритъ, что въ 4 классѣ гимназій возможно только еще пріучать къ обобщеніями, и алгебраическимъ общимъ разсужденіямъ, поэтому доказательства возможности преобразованія уравненій, доказательства правилъ знаковъ и тому подобныя теоретическія требованія не должны имѣть преобладающаго значенія въ курсѣ, но постепенно вводиться при дальнѣйшихъ занятіяхъ. Съ другой стороны, дѣти гораздо легче привыкаютъ къ алгебраическимъ вычисленіямъ, чѣмъ взрослые, не учившіеся прежде алгебрѣ, хотя и не мало занимавшіеся и пріобрѣвшіе значительное общее развитіе. Дѣти легко воспринимаютъ наблюдаемый фактъ и только позже доискиваются его основаній. Взрослый тотчасъ-же хочетъ выяснить себѣ каждый фактъ, и это мѣшаетъ ему на практикѣ овладѣть фактомъ, если онъ по отвлеченности понятій, ведущихъ къ его объясненію, не сразу дѣлается ему понятнымъ. Кромѣ того, дѣти любятъ самыя вычисленія и охотно занимаются ими; взрослые все желаютъ заниматься теоріей, вычисляютъ неохотно, хотя знаютъ, что для пониманія теоріи безусловно необходимо владѣть вычисленіемъ. Если-же отъ дѣтей требуютъ съ самаго начала усвоенія строгой теоріи въ самой отвлеченной формѣ, то этимъ всего скорѣе можно отбить у нихъ охоту заниматься теоріей: нѣтъ ничего тяжелѣе непосильной работы, она калѣчитъ человѣка. Горе и несчастія часто возвышаютъ духъ человѣка, но необходимость заниматься непонятной работой убиваетъ духъ. Это слишкомъ опасное положеніе для учащихся.

По нашимъ наблюденіямъ, большинство учащихся, которые даже одолѣваютъ теорію, преподаваемую имъ съ первыхъ-же шаговъ обученія алгебрѣ, впослѣдствіи пріобрѣтаютъ навыкъ судить по виду алгебраическихъ выраженій о томъ, что слѣдуетъ съ ними дѣлать, пріобрѣтаютъ навыкъ строить по извѣстнымъ имъ образцамъ разсужденія, но часто при этомъ не вдумываются въ глубь вопроса, такъ

и остаются судящими по виду выраженій. Можетъ быть, они дѣлаются и болѣе математичными, чѣмъ тѣ, отъ которыхъ требуется постепенный переходъ отъ практики къ отвлеченной теоріи, однако первые усваиваютъ методъ болѣе внѣшнимъ образомъ, основъ его касаются мало, и не склоннны ихъ касаться, общее развитіе ихъ ниже. Ни для кого не секретъ, что математики-спеціалисты далеко не славятся высокимъ развитіемъ, признаются людьми очень односторонне развитыми. Не такими должна дѣлать общеобразовательная школа своихъ питомцевъ*).

Бо всякомъ случаѣ, съ тѣмъ или другимъ оттѣнкомъ, но въ 4-мъ классѣ проходятся статьи, дающія навыки къ основнымъ алгебраическимъ преобразованіямъ, къ рѣшенію и составленію уравненій первой степени съ однимъ или двумя и нѣсколькими неизвѣстными. О квадратныхъ корняхъ (какъ положено нрограммами) большею частью пройти не успѣваютъ.

Въ пятомъ классѣ проходятъ о квадратныхъ корняхъ и другихъ радикалахъ, о квадратныхъ уравненіяхъ. До послѣднихъ измѣненій въ гимназическихъ программахъ въ курсъ 5-го класса входила еще статья о неопредѣленныхъ уравненіяхъ, а теперь она отнесена къ курсу 7-го класса, а въ курсъ 5-го класса включена небольшая статья о свойствахъ 3-го члена 2-й степени и подготовка къ изслѣдованію квадратныхъ уравненій. Курсъ 5-го класса не труденъ, но онъ долженъ имѣть важное значеніе какъ иереходный къ усиленпо и развитію занятій теоріей. Статьи о радикалахъ и квадратныхъ уравненіяхъ представляютъ къ тому удобство, такъ какъ теорія не сложна и проще теоріи общихъ свойствъ уравненій и отрицательныхъ количествъ. Кромѣ того, въ 5 классѣ представляется удобнымъ связать занятія алгеброй съ занятіями геометріей, такъ какъ къ уравненіямъ квадратнымъ часто приводитъ рѣшеніе геометрическихъ задачъ, относящихся къ курсу того-же 5-го класса. На практикѣ, насколько намъ извѣстно, преподаватели - математики (такъ назовемъ для краткости тѣхъ, которые придаютъ исключительное значеніе одной теоріи), излагая теорію квадратныхъ уравненій и радикаловъ, говорятъ о ней только въ отдѣльности, рѣдко касаясь соотношеніи ея съ прежде пройденнымъ, не говоря о ясно уже выраженномъ характерѣ алгебраическихъ разсужденій, не заставляя вникать въ методъ работы, такъ

*) Одинъ изъ наиболѣе выдающихся нашихъ математиковъ, самъ далеко не односторонній человѣкъ, прямо говаривалъ студентамъ, что не совѣтуетъ заниматься философской стороной вопросовъ математики, потому что для знанія математики это малополезно, скорѣе—вредно.

какъ разсчитываютъ на усвоеніе его путемъ упражненія (Въ этомъ мы видимъ нѣкоторое противорѣчіе съ мнѣніемъ, высказываемымъ тѣми-же преподавателями о невозможности предоставить времени и упражненіямъ постепенное усвоеніе крайне отвлеченныхъ основныхъ опредѣленій). Математики-педагоги, т.-е. преподаватели, ставящіе на первомъ планѣ стремленіе путемъ изученія предмета достигнуть извѣстныхъ образовательныхъ цѣлей, хотя не стремящіеся сдѣлать всѣхъ своихъ учениковъ математиками, но стремящіеся всѣхъ научить математикѣ и ея образу мышленія, къ сожалѣнію, въ курсѣ 5-го класса мало отличаются отъ первой группы математиковъ. Теорія квадратныхъ уравненій проста, можетъ быть точно изложена ученикамъ 5-го класса, подготовленнымъ уже предыдущими занятіями алгеброй, а также не трудно изложить точно и статью о свойствахъ радикаловъ и о дѣйствіяхъ надъ ними. Но мы сказали, что сожалѣемъ о сходствѣ работы той и другой группы преподавателей. Конечно, мы сожалѣемъ не о томъ, что всѣ находятъ возможнымъ точно излагать курсъ 5-го класса. Нѣтъ, если есть возможность точно излагать хотя нѣкоторые отдѣлы курса, то ничего не можетъ быть лучше: сила теоріи велика; но продолжаемъ настаивать на необходимости учить дѣтей методу работы и сожалѣемъ, что на это мало обращается вниманія. Недостаточно приспособляться къ развитію учащихся и состоянію ихъ знаній при изложеніи предмета,—оттого мы и высказали выше сожалѣніе.

Чтобы курсъ 5-го класса помогъ учащимся глубже вникнуть въ духъ алгебраическихъ пріемовъ, нужно на практикѣ сопоставить занятія квадратными уравненіями съ рѣшеніемъ уравненій высшихъ степеней, въ тѣхъ частныхъ случаяхъ, когда возможно разложеніе ихъ на множители, указать нѣкоторые особые пріемы пониженія степени уравненій (напримѣръ нѣкоторыхъ, двучленныхъ, возвратныхъ и т. п.). При объясненіи способа извлеченія квадратныхъ корней слѣдуетъ остановиться на разъясненіи условій, которымъ долженъ удовлетворять всякій предлагаемый способъ приближеннаго вычисленія количествъ (распредѣленіе достигнутой степени точности вычисленія и возможность сдѣлать ошибку вычисленія менѣе всякой данной величины), и указать тѣ свойства разсматриваемыхъ количествъ, которыя даютъ возможность удовлетворить этимъ условіямъ. При извлеченіи квадратнаго корня въ видѣ десятичной дроби—возможно опредѣлить тѣ разряды квадрата, въ которыхъ заключается квадратъ числа единицъ высшаго разряда корня и удвоенныя произведенія остальныхъ членовъ корня (или ихъ суммы, на первый). Если есть

время—очень хорошо показать пріемы ускоренія вычисленія второй половнны корня (что очень часто и дѣлается). При изложеніи свойствъ радикаловъ и правилъ дѣйствій надъ ними обыкновенно указываютъ на необходимость постоянно стремиться къ обобщеніямъ и на допущеніе, въ виду этого, все новыхъ и новыхъ условныхъ выраженій. Это вполнѣ необходимо; но не всегда разъясняется необходимость повѣрки правилъ дѣйствій въ примѣненіи ихъ къ новымъ количествамъ; хотя объ этомъ и упоминается, но для учащихся это указаніе остается мертвымъ и забывается очень скоро, если они не убѣдятся на какомъ-либо примѣрѣ въ ошибочности примѣненія прежняго правила къ новымъ выраженіямъ. Въ курсѣ 5-го класса поводъ къ тому даетъ знакомство съ мнимыми количествамъ во всѣхъ остальныхъ случаяхъ примѣнимы общія правила—ученики и считаютъ ихъ непреложнымъ и въ головы огромнаго большинства учащихся закрадывается мысль о безполезности доказательствъ, хотя-бы учитель утверждалъ противное. Поговорите откровенно, особенно при занятіяхъ подготовкой къ экзаменамъ, съ окончивпшми курсъ гимназіи или оканчивающими таковой, но не съ вашими учениками, и вы убѣдитесь въ вѣрности наблюденія.

Намъ, можетъ быть, скажутъ, что у преподавателя нѣтъ времени на подобныя дополнительныя занятія. Отвѣтимъ на это, что всѣ затрудненія окажутся гораздо меньшими, чѣмъ кажутся на первый взглядъ, если только явится желаніе ихъ побѣдить, т.-е. явится признаніе важности разъясненія хода работы и ея основныхъ идей, а не только изложенія готовой теоріи. Укажемъ и практическій пріемъ. Вполнѣ возможно вести желаемыя объясненія на разборѣ частныхъ случаевъ, которые могутъ предлагаться для рѣшенія желающихъ, а потомъ разсматриваться въ классѣ. Это возбуждаетъ въ учащихся интересъ и энергпо, но, какъ необязательная работа, затруднить не можетъ. Знаніе разобранныхъ въ классѣ примѣровъ и запись ихъ въ тетради мы совѣтывали-бы сдѣлать обязательнымъ уже для всѣхъ. Учащіеся почти всегда интересуются самымъ процессомъ вычисленій съ радикалами и т. п., но для поддержанія живого интереса къ работѣ далеко не безполезно выбирать такіе примѣры, чтобы результатъ получался возможно простой, даже иногда численный при алгебраическихъ данныхъ. Это нравится учащимся. Иногда, однако, отвѣты должны быть и сложнаго вида: иначе ученики будутъ считать только такое вычисленіе правильнымъ, которое приводитъ къ простому выраженію.

Въ шестидесятыхъ годахъ многіе занимались вопросомъ о томъ,

какъ улучшить преподаваніе алгебры. Но, по тогдашнему увлеченпо наглядностью преподаванія и наведеніемъ учащихся къ обобщеніями и относительно алгебры все вниманіе обращено было на первые шаги обученія ей. да притомъ на первыхъ-же шагахъ хотѣли показать всѣ пріемы работы—та-же ошибка, что лежитъ въ основѣ упомянутыхъ нами въ другой статьѣ «о переходныхъ курсахъ» геометріи. Изъ-за этой ошибки упражненія, служащія для перехода отъ ариѳметики къ алгебрѣ, тянули слишкомъ долго, занятія дѣлались очень неопредѣленными по содержанію, плохо связанными между собою съ точки зрѣнія учащихся и очень скучными; а этого одного уже достаточно, чтобы сдѣлать ихъ неудачными, непроизводительными. О томъ, какъ вести занятія алгеброй дальніе, при изученіи уравненій совсѣмъ не говорилось.

Въ настоящей статьѣ, и безъ того вышедшей довольно длинной, говорить подробно о веденіи занятій едва-ли удобно, лучше ограничиться разборомъ общихъ условій преподаванія алгебры, отлагая подробности до другого случая.

Въ 6 классѣ полагается проходить о прогрессіяхъ и логариѳмахъ. Послѣдняя статья требуетъ очень большого количества упражненій. Различіе въ способахъ веденія дѣла той и другой группой преподавателей въ этомъ классѣ сказывается на отношеніи къ теоріи логариѳмъ. Преподаватели - математики нерѣдко увлекаются излишними подробностями при разъясненій понятія о томъ, какъ могутъ быть вычисляемы логариѳмы по приближенпо. Мы называемъ излишнею такую остановку потому, что она важна для пріобрѣтенія навыка къ пользованію формулами, выражающими соотношенія опредѣляемыхъ количествъ для приближеннаго вычисленія послѣднихъ, но эта цѣль сама по себѣ гораздо болѣе имѣетъ значеніе математическое, нежели общеобразовательное, поэтому и стремиться къ достиженію ея не слѣдуетъ. Съ другой стороны, далеко не во всякомъ руководствѣ можно найти достаточно ясно формулированное указаніе значенія логариѳмъ и ихъ разнообразныхъ примѣненій къ рѣшенію такихъ уравненіи, которыя безъ посредства логариѳмъ рѣшены быть не могутъ. а рѣшеніе уравненій и преподаваніе рѣшеній — главная задача алгебры. Такимъ образомъ, выходитъ, что основная общая мысль курса отступаетъ на второй планъ, а техническія, такъ сказать, подробности (пріемы приближенныхъ вычисленій логариѳмъ), если и не занимаютъ главнаго мѣста, то все-же несоотвѣтственно важное. Рѣшеніе уравненіи при помощи логариѳмъ между тѣмъ развиваетъ въ сильной степени навыкъ къ алгебраической, такъ сказать, находчивости, развиваетъ, слѣдовательно, и общую мысль курса.

Въ статьѣ о прогрессіяхъ также нерѣдко ускользаетъ изъ виду, что формулы, связывающихъ между собою сумму членовъ, знаменателя прогрессіи, число членовъ, первый и послѣдній члены прогрессіи между собою, суть уравненія, съ помощью которыхъ, если три какихъ-либо изъ 5 входящихъ въ нихъ количествъ будутъ даны, можно отыскать два остальныхъ. Также и выводъ формулъ для суммы членовъ можно разсматривать, какъ рѣшеніе системы уравненій со многими неизвѣстными. Другими словами, опять недостаточно обращается вниманіе на обученіе пользованію уравненіями и умѣнье выражать ими условія вопроса. Уравненія, связывающія 5 элементовъ прогрессіи, представляютъ удобный случай для разъясненія того, что алгебраическое уравненіе можетъ быть рѣшено относительно какого угодно изъ входящихъ въ него количествъ, если остальные извѣстны, но какъ рѣшать—зависитъ отъ вида уравненія. Упомянемъ кстати о томъ, что необходимо возможно чаще указывать учащимся на выраженіе условій изучаемаго вопроса уравненіями. Частое возвращеніе къ основѣ предмета весьма полезно для пониманія цѣлаго. Если-же ученикамъ предлагается, какъ учебникъ, огромный томъ въ 700 страницъ, то какъ-бы ни были значительны достоинства изложенія учебника, курсъ алгебры покажется ужасающимъ. а если еще авторъ на первыхъ-же порахъ увлечется стремленіемъ излагать вполнѣ точно теорію отрицательныхъ количествъ и общихъ свойствъ уравненій, то подавляющее большинство учащихся не въ состояніи будетъ понять автора. Гдѣ-же ученику уловить въ такой массѣ матеріала общую идею! Авторъ надѣется поставить преподаваніе предмета на должную высоту, а книгу-то нельзя взять учебникомъ. Она можетъ быть лишь пособіемъ для лучшихъ учениковъ.

Въ седьмомъ классѣ теперь проходятся статьи объ изслѣдованіи уравненій, о неопредѣленныхъ уравненіяхъ, о непрерывныхъ дробяхъ, о соединеніяхъ и биномѣ Ньютона.

Статья объ изслѣдованіи рѣшеній уравненій имѣетъ очень большое и теоретическое, и образовательное значеніе. О теоретическомъ значеніи уже было сказано раньше; образовательное значеніе изслѣдованій понятно само собою. Но чтобы занятія изслѣдованіями оказали должное вліяніе, недостаточно ограничиться изслѣдованіемъ общей формулы и обычной задачи о курьерахъ. Эти изслѣдованія всегда будутъ усвоены учащимися и окажутъ извѣстное вліяніе, но важно, чтобы учащіеся упражнялись въ самостоятельномъ изслѣдованіи рѣшеній хотя несложныхъ задачъ, а не только усвоивали готовыя. Это работа трудная и часто вовсе не дѣлается, за-то она и

благодарная работа. Ввести ее возможно, потому что каждый примѣръ имѣетъ самостоятельное значеніе и будетъ полезенъ, значитъ— возможно столько примѣровъ и разобрать, сколько позволитъ время, работа будетъ все-таки законченная. Очень полезно указать на укрощеніе изслѣдованія, если предварительно будетъ обращено вниманіе на то, какое значеніе могутъ получать входящія въ формулу рѣшенія количества: часто многія изъ нихъ могутъ быть только положительными, иногда только цѣлыми и т. д. Подобныя ограниченія и облегчалъ изслѣдованіе.

Статья о неопредѣленныхъ уравненіяхъ 1-й степени съ двумя неизвѣстными полезна по законченности ея содержанія, служащаго въ то-же время хорошимъ образцомъ вывода общей алгебраическій формулы—именно формулы рѣшенія даннаго уравненія въ цѣлыхъ числахъ. Необходимость и достаточность того вида, который будетъ полученъ, легко доказать. Кромѣ того, не трудно доказать, что при взаимно простыхъ коеффиціентахъ 2 неизвѣстныхъ уравненія первой степени всегда существуетъ пара чиселъ, удовлетворяющихъ данному уравненію, а зная эту пару, легко выведемъ упомянутую сейчасъ общую формулу рѣшеній въ цѣлыхъ числахъ. Еще легче доказывается невозможность рѣшенія даннаго уравненія въ цѣлыхъ числахъ при извѣстномъ соотношеніи коеффиціентовъ уравненія. Далѣе естественно является вопросъ: какъ отыскать пару цѣлыхъ чиселъ, удовлетворяющихъ уравненію? Пріемы могутъ быть употреблены различные, можетъ быть указанъ и общій пріемъ, можно указать и упрощенія, какія выгодно вводить въ вычисленіе. Такимъ образомъ, статья о неопредѣленныхъ уравненіяхъ получаетъ законченномъ, производящую хорошее впечатлѣніе на учащихся, удовлетворяющую вполнѣ ихъ мысль и въ то-же время вовсе не обременяющею. На практикѣ очень часто ограничиваются усвоеніемъ общаго пріема розыска рѣшеній въ цѣлыхъ и положительныхъ числахъ съ указаніемъ важнѣйшихъ упрощеній въ частныхъ случаяхъ, но теоретическая оцѣнка получаемыхъ формулъ не дѣлается. Ученики могутъ тогда имѣть навыкъ въ рѣшеніи неопредѣленныхъ уравненій, но думаютъ надъ ними мало, а потому образовательное вліяніе статьи сильно страдаетъ. Учащіеся настолько мало думаютъ надъ выводомъ общихъ формулъ рѣшеній въ цѣлыхъ числахъ, что считаютъ эти формулы только тогда и дающими числа, удовлетворяющія уравненію, когда введенное въ нихъ произвольное неизвѣстное будетъ цѣлымъ. Нерѣдко учащіеся затрудняются выразить, что понимаютъ подъ «рѣшеніемъ неопредѣленнаго уравненія».

Статья о непрерывныхъ дробяхъ также должна служить образцомъ законченнаго и строгаго изслѣдованія о свойствахъ новаго рода выраженій, дающихъ возможность пользоваться этими выраженіями (непрерывными дробями) для приближеннаго вычисленія величинъ. Свойства непрерывныхъ дробей и сами по себѣ замѣчательны. Непрерывныя дроби даютъ возможность вычислять и такія величины. которыя прежде разсмотрѣнными средствами не могли быть вычислены; другія величины съ номощью непрерывныхъ дробей вычисляются удобнѣе. Свойства непрерывныхъ дробей даютъ возможность оиредѣлить два ряда чиселъ, между которыми будетъ заключаться искомое, и разность между соотвѣтственными членами того и другого ряда можетъ быть сдѣлана менѣе всякой данной величины — они пригодны для приближеннаго вычисленія величинъ, нужно только умѣть данную величину обратить въ непрерывную дробь. Эти свойства дробей обыкновенію основательно разъясняются, но очень мало примѣняются непрерывныя дроби къ дѣйствительному вычисленій), поэтому содержаніе статьи не всегда оказывается для учащихся достаточно яснымъ по цѣли. Недостаточно упражненій дѣлается и въ составленія различнаго рода соединеній изъ данныхъ элементовъ— остроумныя соображенія, относящіяся къ соединеніямъ, выскакиваютъ поэтому очень быстро изъ головъ учащихся.

Въ изложеніи бинома Ньютона недостатковъ мы не замѣчали. Что формула бинома не распространяется на дробные и несоизмѣримые показатели—это, мы думаемъ, хорошо.

Вообще надо сказать, что чѣмъ дальше идетъ курсъ, тѣмъ все болѣе и болѣе сглаживается различіе въ изложеніи преподавателей двухъ различныхъ направленій: одни съ самаго начала хлопотали о возможно точномъ и полномъ изложеніи, а другіе стремятся дойти до этого къ концу курса. Кто изъ нихъ успѣшнѣе можетъ дойти до цѣли и лучше повліяетъ на развитіе учащихся? Мы думаемъ, вторые успѣшнѣе, потому что большую часть учениковъ доведутъ до желанной цѣли; но тѣхъ немногихъ, которыхъ увлекутъ первьте, мы думаемъ, преподаватели-математики заведутъ дальше, налегая на способности своихъ немногихъ истинныхъ учениковъ; соразмѣряя свою работу съ силами именно этихъ лучшихъ учениковъ, преподаватели-математики даютъ послѣднимъ больше знаній, чѣмъ могутъ вмѣстить остальные. Мы думаемъ, что такъ поетупать въ общеобразовательной школѣ не слѣдуетъ. Занятія съ лучшими учениками выше курса, конечно, вполнѣ умѣстны и очень нолезны, какъ развивающіе ихъ силы, но должны быть поставлены внѣ классныхъ занятій.

Въ 8 классѣ полагается повторить весь курсъ математики и дополнить его нѣкоторыми статьями, по отвлеченности ихъ затруднительными для учениковъ младшихъ классовъ, преимущественно курсъ ариѳметики.

Собственно говоря, въ 8 классѣ ариѳметику теоретическую приходится не повторять, а проходить вновь, потому что учащіеся подготовлены только практически: ариѳметикѣ они учились въ младшихъ классахъ, гдѣ теоріи проходить почти нельзя, могутъ быть даны только элементарныя свѣдѣнія по теоріи. Въ дѣйствительности учениковъ 8 класса всего больше и затрудняетъ ариѳметика, какъ требующія усвоенія новаго матеріала и вниканія въ такіе вопросы, которые давно считались рѣшенными, а въ сущности рѣшенія ихъ были приняты безъ провѣрки и доказательства. На выпускныхъ экзаменахъ учащіеся чаще всего плохо отвѣчаютъ именно по ариѳметикѣ, Но, разумѣется, это нельзя считать показаніемъ противъ теоретическаго курса ариѳметики въ 8 классѣ. Такъ какъ онъ, заставляетъ очень сильно вдумываться въ то, что безъ провѣрки считалось извѣстнымъ, то образовательное значеніе его велико не только въ математическомъ смыслѣ, но и вообще въ смыслѣ вниканія въ ученіе о доказательствѣ.

Если мы говоримъ о затрудненіяхъ учащихся, то для того, чтобы убѣдить въ недостаточности двухъ уроковъ, удѣленныхъ въ настоящіе время на повтореніе курса математики въ 8 классѣ гимназій. Кромѣ ариѳметики, вѣдь надо повторить значительные курсы алгебры, геометріи, нужно повторить и тригонометрію, необходимы и упражненія въ рѣшеніи задачъ. Повтореніе курса нужно вовсе не для подготовки къ экзамену, а само по себѣ, чтобы учащіеся могли усвоить цѣлое, которое неизбѣжно ускользаетъ отъ ихъ умственныхъ взоровъ при прохожденіи курса по частямъ, въ теченіе нѣсколькихъ лѣтъ, особенно-же такого отвлеченнаго предмета, какъ математика. Но для того, чтобы разъяснить учащимся основы предмета, не мало труда и времени надо потратить на бесѣды съ учащимися. При двухъ урокахъ приходится теперь страшно торопиться — большой ущербъ для учащихся. Прежде былъ еще одинъ урокъ въ 8 классѣ и лишній часъ въ 7-мъ классѣ.

Мы нарочно выбрали для настоящей статьи форму описанія того, что дѣлается и чего не дѣлается, но желательно было-бы дѣлать при обученіи математикѣ, чтобы статью прочли. Согласятся съ ней или не согласятся — не бѣда, важно, чтобы подумали о томъ, какъ поставлено дѣло. Обыкновенно статьи о преподаваніи того или дру-

гого предмета очень мало читаются, даже и спеціалистами, а математиками—особенно. Намъ пришлось встрѣчать такихъ преподавателей, которые смѣло осуждали ту или другую (опредѣленную) книгу по методикѣ, а по нападкамъ оказывалось, что они книги и не читали, даже не перелистывали, судятъ по слухамъ и принуждены бывали сознаться въ этомъ. Избранная нами форма нѣсколько задѣваетъ за живое: вѣрно-ли описано передъ читателями, какъ мы преподаемъ? Является желаніе прочесть.

A изъ приведеннаго описанія положенія дѣлъ, мнѣ кажется, надо вывести заключеніе, что «духъ предмета» недостаточно разрабатывается, излагается теорія, но не разъясняется методъ работы по предмету, недостаточно обращается вниманія на развитіе въ учащихся тѣхъ общихъ идеи, которыя связываютъ части предмета въ одно стройное цѣлое. Преподаваніе предмета часто такъ мало согласовано съ ходомъ развитія учащихся, что отъ нихъ требуютъ сразу громаднаго скачка отъ практическихъ упражненій по математикѣ къ усвоенію теоріи въ ея окончательной формѣ и убѣждены, что это-то и служитъ лучшимъ средствомъ развить учащихся, но въ дѣйствительности огромное большинство учащихся пріучается зубрить. Преподаватели, наиболѣе преданные своему предмету, очень часто забываютъ общую цѣль школы. Преподаватели другого склада часто увлекались пріемами работы, несвойственными предмету.

Вниканіе въ построеніе математической теоріи, разумѣется, беретъ очень много времени, а его нѣтъ.

Да, его нѣтъ, но есть мѣра, которая безъ большой затраты учебнаго времени, безъ обремененія учащихся могущая оказать очень сильное вліяніе. Мѣра эта—состязательныя упражненія въ рѣшеніи математическихъ задачъ, а пожалуй, и въ изложенія теоріи какого-либо вопроса изъ курса, учащимися различныхъ учебныхъ заведеній. Такъ какъ теперь въ большинствѣ городовъ найдутся 2 среднихъ учебныхъ заведенія, то устроить состязаніе не трудно; если-же нѣтъ въ одномъ городѣ, то есть по близости; отчего-бы не устроить и прогулку? Организація состязаній должна быть такова, чтобы участвующіе чувствовали себя совершенно свободно, чтобы никакого вліянія на переводъ изъ класса въ классъ и на экзамены эти состязанія не имѣли; пусть они будутъ «свободной игрой ума» и связаны съ удовольствіями. Тогда они возбудятъ интересъ въ учащихся и заставятъ сильно работать, но безъ всякихъ на то жалобъ, по собственному желанію: никто не захочетъ ударить лицомъ въ грязь передъ другими, захочется перещеголять. Къ состязаніямъ будутъ готовиться добро-

вольно; при неудачѣ будетъ стремленіе оправиться. Заставятъ состязанія оживленно работать и преподавателей, заставятъ учить своихъ учениковъ, какъ приниматься за дѣло. Этого только и нужно.

Мы убѣждены, что при хорошей организаціи такія состязанія могутъ возвысять успѣхи и настроеніе учащихся гораздо больше какого-бы то ни было контроля надъ экзаменаторами, развивающаго притомъ въ экзаменующихся стремленіе «провести» экзаменаторовъ.

В. Латышевъ.